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LEZIONE N° 4 – STATO LIMITE ULTIMO PER TORSIONE

• Posizione del problema• La torsione di travi in c.a - I° stadio: il comportamento elastico

– la torsione nelle sezioni monoconnesse – La torsione nelle sezioni biconnesse

• La torsione di travi in c.a - III° stadio: SLU– quadro fessurativo di una trave in c.a. soggetta a torsione– Il modello a traliccio– Il progetto delle armature longitudinali– Il progetto delle armature trasversali

• Indicazioni normative– Le prescrizioni del D.M. 14.09.05– Le prescrizioni dell’Eurocodice EC2

• La contemporanea presenza di Torsione e taglio• Esempio: calcolo dell’armatura a torsione di una trave di un solaio con

balcone a sbalzo

Università degli Studi di Roma TreFacoltà di IngegneriaCorso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07

SLU per torsione in travi in c.a. (Posizione del Problema)

Le azioni torcenti sono presenti in molte situazioni strutturali essendo i carichi difficilmente applicati al centro di taglio della trave. Tuttavia, nella pratica progettuale esse vengono in genere trascurate sia perché le strutture sono normalmente considerate piane, sia perché in effetti, a parte casi particolari, esse non producono rilevanti effetti indesiderati.

Torsione Primaria(Balconi, Scale, etc.)

Torsione Secondaria

Mt


SLU per torsione in travi in c.a. (Posizione del Problema)

Il comportamento di travi in calcestruzzo soggette a torsione è molto differente al variare del livello di sollecitazione. Per bassi livelli di sollecitazione la trave si comporta con buona approssimazione come una trave di De Saint-Venant, dunque con sezione interamente reagente (I° Stadio). Al crescere del momento torcente la trave comincia a fessurarsi con riduzione della rigidezza torsionale. La resistenza della trave allo stato limite ultimo è fornita da una parte limitata della sezione e dalle armature presenti.

I° Stadio III° Stadio

Mt crescente


La torsione in travi in c.a. (I° stadio)

SEZIONI MONOCONNESSE (SEZIONI RETTANGOLARI)Al I° stadio la trave si comporta approssimativamente come una trave di De Saint-Venant soggetta a Momento Torcente. Le tensioni tangenziali presentano un andamento lineare che si annulla a metà dello spessore.

hb

M2

tmax

3b/h

79.41b/h

And

amen

to d

elle

tens

ioni

tang

enzi

ali

hGbM

K 3tt

3/1b/h

41.01b/h

Tensioni Tangenziali

Rigidezza Torsionale

Angolo di torsione: Rotazione tra due sezioni a distanza unitaria


SLU per torsione in travi in c.a. (I° stadio)

SEZIONI MONOCONNESSE (SEZIONI RETTANGOLARI)Nelle travi con sezione decomponibile in più rettangoli, il momento torcente agente nei singoli rettangoli si valuta in proporzione alla rigidezza torsionale dei rettangoli stessi.

i2

i

tiiimax,

hb

M

i

ti

titti K

KMM

Momento Torcente e tensioni tangenziali nel rettangolo i-mo

Mt1

Mt2

Mt3

N.B. il procedimento per la valutazione dei singoli momenti torcenti Mti è in realtà esatta solo per h/b=, ma può essere accettata con tollerabile approssimazione anche in sezioni con spessore non trascurabile.

max,i


SLU per torsione in travi in c.a. (I° stadio)SLU per torsione in travi in c.a. (I° stadio)

SEZIONI CAVE (VALUTAZOINE TENSIONI TANGENZIALI)Nelle travi a sezione cava le relazioni precedenti non sono applicabili. Per sezioni di piccolo spessore esiste una teoria approssimata dovuta a Bredt che permette di valutare la tensione media lungo lo spessore.

La forza elementare agente sul tratto di sezione di lunghezza ds risulta essere pari a:

dshdsqdF Il momento esterno Mt dovrà essere equilibrato dalla somma dei momenti che le forze dF hanno rispetto al baricentro della sezione:

q2rdsqrdsqqdsrM t

h2

M t

Formula

di Bredtse h=cost

Costanza flusso delle tensioni


SLU per torsione in travi in c.a. (I° stadio)SLU per torsione in travi in c.a. (I° stadio)

SEZIONI CAVE (VALUTAZIONE RIGIDEZZA TORSIONALE)La rigidezza torsionale di travi cave di piccolo spessore si può trovare facilmente utilizzando il principio di conservazione dell’energia. Uguagliando infatti l’energia di deformazione al lavoro delle forze esterne si ha:

te M2

1L

Lavoro Esterno

dVLi 21

Energia di deformazione

ei LL dVMt 21

21

Ponendo)1(2

EG

G

t

2

t K

hds

G4M

Rigidezza Torsionale

h2

M t


(Teoremadi Clapeyron)

SLU per torsione in travi in c.a. (III° stadio)

LINEE ISOSTATICHE DI UNA TRAVE SOGGETTA A TORSIONE

Mt

Fessura

Le linee isostatiche di una trave cava soggetta a momento torcente sono quelle schematicamente indicate nella figura in basso.


Riferimento principale

Elementoinfinitesimo


STATO FESSURATIVO E MODELLO A TRALICCIO

Nel momento in cui la trave si fessura perde rigidezza e la sezione reagisce solo parzialmente alla sollecitazione. Allo stato limite ultimo è ragionevole adottare un modello a traliccio, considerando come parte reagente della sezione una sezione cava di spessore h. L’andamento delle linee isostatiche prima illustrato suggerisce il modello indicato in figura costituito da bielle compresse di cls e bielle tese rappresentate dall’armatura in ognuna delle quattro facce esterne. Questi quattro modelli piani sono poi connessi nello spazio mediante armature longitudinali.

h


TRALICCIODI RAUSCH


CALCOLO ARMATURE LONGITUDINALI

Considerata un porzione della sezione di lunghezza unitaria la forza su di esse (scorrimento) vale h dove h è lo spessore della sezione tubolare. Per l‘equilibrio questa forza si scompone in una forza nell’armatura long. (F l) e un’altra nella biella compressa (C). La forza di compressione C allo spigolo della sezione ha una componente orizzontale equilibrata dall’armatura longitudinale.

sin2

M

sin

1hC t

tan2

M

tan

1hF t

1l

yd

t

yd

1ll ftan2

pM

f

pFA

p = perimetro sezione tubolare

1.0<cot<2.0

d


Armatura Longitudinale


CALCOLO ARMATURE TRASVERSALI

La componente verticale deve essere invece equilibrata da un’armatura trasversale (staffe)

2

MsinCF t

st

d2

MfAn t

ydst,1st

s

cotdn st

2lst tanp

A

s

A

N° staffe intercettare da una biella di cls

tan

p

fA2M ydl

t

tanf2

M

cotd

An

s

A

yd

tst,1stst


Armatura Trasversale


CALCOLO ARMATURE A TORSIONE

2lst tanp

A

s

A

Fissato l’angolo e determinata la quantità di armatura longitudinale Al si può determinare l’area delle staffe per unità di lunghezza della trave. In alternativa, fissata l’armatura trasversale e l’angolo di inclinazione delle fessure si può valutare l’armatura longitudinale. Se poi si valutano indipendentemente armatura longitudinale e trasversale si può ricavare il valore dell’angolo di inclinazione delle bielle



VERIFICA BIELLE COMPRESSE

La forza di compressione C deve essere compatibile con la resistenza del cls. In particolare la tensione nella biella di cls compresa tra due fessure a distanza unitaria, la cui area resistente è pari a A=1 x h x cos

2sinh

M

A

C tc

Se = 45°

h

M

A

C tc

2sin, hfM cdCtu

Momento ultimo per schiacciamento delle bielle di cls

cos


hfM cdC,tu


RIFERIMENTI NORMATIVI (EUROCODICE 2)L’eurocodice impone che lo spessore sia pari al rapporto tra l’area racchiusa dal perimetro esterno e il perimetro esterno p stesso.

p

Ah A = area racchiusa dal perimetro esterno p

A

hL’EC2 impone inoltre che per la verifica delle bielle compresse la resistenza a compressione del cls sia ridotta del fattore

35.0200

f7.07.0 ck

Nelle travi a a cassone se le staffe sono disposte su entrambe le facce può essere 0.5


Il valore minino di h = 2 c con c=copriferro


LA CONTEMPORANEA PRESENZA DI TAGLIO E TORSIONE

Nella maggior parte dei casi gli elementi strutturali sottoposti a torsione sono anche in genere sottoposti anche a taglio. Si pensi ad esempio ad una trave che garantisca l’equilibrio dell’aggetto di un balcone e contemporaneamente garantisca l’equilibrio ai carichi verticali rappresentati dal peso del solaio e della tamponatura, oltre che al preso proprio. La contemporanea azione di taglio e

torsione produce un certo grado di interazione tra le due sollecitazione che tuttavia nella pratica progettuale si ritiene opportuno trascurare. Le armature così calcolate si sommano semplicemente. Occorre però verificare la seguente condizione (Ec2)

122

u

d

tu

td

VV

MM Mtu = momento torcente ultimo

Vu = Taglio ultimo

Mtd

Vd (Taglio di calcolo)

(Momento torcente di calcolo)



LA CONTEMPORANEA PRESENZA DI TAGLIO E TORSIONE (EC2)

122

u

d

tu

td

VV

MM

Mtu = momento torcente ultimo per crisi del cls

Vu = Taglio ultimo per crisi del cls


2sinhfM cdtu

dbfV cdu 9.05.0

35.0200

f7.07.0 ck

Vu = Fattore di riduzione della resistenza

a compressione

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