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4. Jul. 2011小林富雄
（素粒子センター）1
素粒子物理学最前線（LHC実験）第4回
「余剰次元とミニブラックホール」‐我々の宇宙は本当に3次元なのだろうか？‐
今日の話の内容１．歴史、背景
・余剰次元・超ひも理論・階層性問題
２．大きな余剰次元・概念の説明・これまで実験からの制限・ＬＨCでの探索と発見可能性
２．その他の余剰次元のモデル
３．LHCでのミニブラックホール生成
４．余剰次元のアイデアを取り入れた様々な試み
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１．歴史、背景
余剰次元の考えは昔からある。
Kaluza, Klein （1920年代）：重力と電磁気の統一（→アインシュタインの夢）
・一般相対論（4次元時空）にもう1次元（コンパクトな空間）を加えて、U(1)対称性を持つ電磁気を組み込む試み
・だがconsistentな理論ではなかった。（フェルミオンも含まれていない）
・超重力、超ひも理論の台頭とともに復活
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力の統一の歴史
これから
・大統一・重力も含むすべての力の統一
へと進むか？
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浅井（6/13）
浅井（6/20）
超ひも理論
１）第1次ストリング革命 （1984年、Michael Green & John Schwarz）
・10次元の超重力理論および超弦理論でアノマリーのない理論が存在することが示された。・特にE8×E8のゲージ場を含むヘテロティック超弦理論において、理論の定義される10次元
のうち余分な6次元をカラビ・ヤウ多様体でコンパクト化した理論からは、低エネルギーでN=1 の超対称性を持つ理論が導かれる。
・しかし、余分な6次元がコンパクト化されるメカニズムが不明。コンパクト化として可能な多様体の種類が無数にあり、どれがよいか決められない。
２） 第2次ストリング革命
・5つの超弦理論（I型、IIA、IIB、ヘテロSO(32)、ヘテロE8×E8）の間の双対性・Dブレーンが超弦理論のソリトン解であることが示された（1995年、Joseph Polchinski）・5つの超弦理論を統一する11次元のM理論を提唱（1995年、Edward Witten）・AdS/CFT対応を提唱（1997年、Juan Maldacena）
5次元超重力理論（の弱結合領域） ⇔ 4次元超対称ゲージ理論（の強結合領域）・ホログラフィー原理
３） String Landscape（2003年） ⇒ 人間原理？
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階層性問題：電弱スケール（~100GeV）は、大統一（~1016GeV）あるいは重力のスケール（~1019GeV）と何故かけはなれているか？
⇒ naturalness, fine tuning
１．超対称性による解決（⇒ 6/20の浅井先生の講義）
２．Technicolor （⇒ あまりうまくいかない）
３．大きな余剰次元による解決不自然なことには
何か理由があるはず
ヒッグス粒子の質量の量子補正：
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ADD Model：大きな余剰次元（Arkani-Hamed, Dimopoulos, Dvali）
Phys. Lett. B429 (1998) 263
もし量子重力スケールが O(TeV) だったなら、階層性問題は存在しない。
それは可能か？
4次元時空でのNewtonの法則：
GN(4) = GN =1/MP2 --- Newtonの重力定数
MP = 1.2×1019 GeV --- Planck質量
4+n 次元時空でのNewtonの法則：
（← Gaussの法則より）
4次元時空： ∫… r2dcosqdf → 4p
4+n 次元時空： ∫… rn+2dW → S(3+n)
--- D次元空間での単位球の表面積
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ここで余剰次元をコンパクト化する。
n次元のトーラス、半径 R、その体積は Vn = (2pR)n
余剰次元（ya）に周期条件： ya ~ ya + L (L = 2pR)
r >> L に対して、4+n 次元のGaussの定理を適用し、
F(4+n)(r) = F(4)(r)
となることより、
GN(4+n) =1/MP(4+n)2
MD = (2p)n/(n+2) MP(4+n) --- D=4+n 次元でのPlanck質量、すなわち量子重力の基本的エネルギースケール
MP ~ MD (RMD)n/2
1019GeV 1TeV ここでかせぐ（階層性問題の解決）
重力が弱いわけ … gravitonだけがEDを動ける。SM粒子は3次元空間にconfineされる。
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MD = 1 TeV に対し、
n = 1 R ~ 1×1014 cm ← excluded2 5×10-2 cm ← almost excluded (*)3 4×10-7 cm ← not yet excluded (**)
- - -6 3×10-12 cm
(d=n)
(*) Newtonの逆２乗則からのずれを探す実験からの制限(**) 天体物理の観測からの制限はある
⇒ 後述
（Newtonの逆2乗の法則からのずれ）
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Gravitonには多数の励起状態が存在する
Graviton fieldをED座標でフーリエ展開yi : ED座標yi → yi +2pR の周期性
KK (Kaluza-Klein) excitations
1/R は非常に小さい（<< collider実験のenergy測定精度）KK gravitonの数は膨大
散乱断面積（エネルギーEでの）には個々のKK gravitonの寄与は1/MPのオーダーだが、全体としては大きくなる。
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V (r) Gm1m2
r1aer /
Yukawa addition
a = 8n/3 = R
- Any gravitational-strength (|a|=1)Yukawa int. must have ≤ 56 m.
- Largest ED: n=1 , R ≤ 44 m
- For n=2: MD (n=2) ≥ 3.2 TeV
95% C.L. constraints on Yukawa violation of ISL
PRL 98 (2007) 021101
“Missing mass” torsion-balance
Eöt-Wash Experiment: Sub-mm Tests of Inverse Square Law (ISL)
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Astrophysical Bound S.Hannestad and G.Raffelt
PRD 67(2003)125008
PRD 69(2004)029901
1. Super Nova (SN) がKK gravitonを大量に放出すると、ニュートリノの観測と不一致2. SNで放出されたKK gravitonが崩壊して出るガンマ線がCMBの観測と不一致3. SN remnantの中性子星にtrapされたKK gravitonが光る（γ線放出） ⇔観測
しかし、・Astrophysical bound（ISL実験も）にはIR（低エネルギー）側のKK gravitonが効いている。・低エネルギー側でcompactification spaceが歪んでいるモデル (e.g. G.Giudice et al.
NPB 706(2005)455) では、この制限は消える。n=1でもOK。LHC実験（UV側）には影響しない。
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Large Extra Dimensions(gg and )
LHC実験でのSignal
MS, LT : UV cutoff scale MD
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Large Extra Dimensions(mono-jet + MET)
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The New Models for ED: Randall-Sundrum (RS) Though ADD eliminates the hierarchy
problem between MPl and mEW, it introduces a new hierarchy between mEW
and the compactification scale c ~ 1/R.
RS propose a non-factorizable 4D-metric multiplied by a “warp” factor e-2krcf , which changes rapidly as a function of an additional dimension.
This metric is a solution to Einstein’s equations with two 3-branes.
Coupling constant of an individual KK excitation to matter or other gravitational modes is set by mEW.
Properties of this model determined by the mass of the graviton and the ratio k/MPl.
f=0f=p
rc
x xrc: compactification radius
G
x5
AdS5
ds2 e2krC f
hdxdx rC
2df2
PRL 83 (1999) 3370
k : AdS curvature ~ O(MPl)
UV IR
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（大きな階層性の問題は解決）
ADD KK splitting << O(MW) だが、RSでは KK splitting ～ O(MW)
mn : mass of the n-th KK graviton modexn : n-th root of Bessel function J1
x1=3.83, x2=7.02xn～(n+1/4)p for large n
（KK gravitonは LHCではresonanceとして観測される）
RS2 model : rc →∞ PRL 83 (1999) 3370
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Apparent weakness of gravity
The model remains perturbative
LHC実験でのSignal
From top to bottom,
k/MPl = 1, 0.5,
0.1, 0.05, and 0.01
Drell-Yan production of 1.5 TeV KK gravitonand its subsequent tower states at the LHC
qq, gg → l+l-, gg, ---
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TeV-1 Scale Extra Dimensions
SM
KK exc.
of g/Z
ppZ1KK/g1
KKe+e-
もしGauge bosonがEDを動けたら、
Mn : mass of n-th KK excitations of normal gauge boson(zero-mode)
1/R : above O(TeV-1) ---これまでの実験より
（M1, M2: Fermionlocalizationの違い）
EDを動けるのはGravitonだけか？
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UED Model: Universal Extra Dimensions
もしすべてのSM粒子がEDを動けたら…
（すべてのSM粒子にKK excitationが存在）
Boundary conditionにより、discrete parity (KK-parity) が保存する：KK-parity of n-th KK mode = (-1)n
→ First KK excitationはすべて KK-parity = -1
→ 最も軽いKK粒子（KK-photon）は暗黒物質の候補→ LHCではSUSYとよく似た信号を与える（違いはスピン）
(L: cutoffparameter)
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Transplanckian 領域D=4+d次元でのSchwarzschild半径：
(4次元では、Rs = 2√s/MP2 = 2GN√s）
衝突のimpact parameter b < RS ならBlack hole が生成される
23Tanaka, Asai, et al., Eur. Phys. J. C 41, s02, 19–33 (2005)
Simulation of a mini black hole event with MBH ~ 8 TeV in ATLAS 24
（寿命：10-26 ~ 10-27 sec for MD = 1 TeV）
Black hole の蒸発 Balding phase Spin down phase Hawking evaporation
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Dijet decays of black holesPlanck領域に近くなると、量子重力の効果が重要になる。
→ 2-jet event が多くなる (L. Randall)
“Resonance” search Angular distribution analysis
余剰次元のアイデアを取り入れた様々な試み
Higgsless Model (C.Csaki, C.Grojean, H.Murayama, et al., 2004)
・EDの効果によりEWSBを起こす・通常の4次元では、Higgs粒子のないSMは
√s～1TeVでunitarityを破る（WLWL→WLWL）・lightest KK mode of gauge bosonがEWSBを引き起こす・1/R～MW
・ new heavy gauge boson (W’, Z’) が存在
Gauge-Higgs Unification (N.Manton; Y.Hosotani)
・Higgs場は高次元ゲージ場のED成分・階層性問題はEDでのゲージ対称性により解決される・Higgs粒子が安定になる→ 暗黒物質・LHCでのシグナルは ??
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まとめ
・ もし compactification のスケールが階層性問題に関係しているのならば、graviton あるいは gauge boson のKK excitation が LHC で発見可能
・ もし ED が LHC で発見されれば、量子重力の研究が始まる
・ Higgs粒子の発見 真空の概念の変更SUSYの発見 4次元時空の拡張（spinor次元の存在）EDの発見 超統一へ
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