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Modelado Matemático y
Simulación con MatLabPara estudiantes de IngenieríaRicardo J. De Armas C.
David Macías M. Amed A. Alfonso C.
Volumen 1
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Con este libro se pretende hacer una propuesta tanto metodológica como de enfoque
de contenidos para el desarrollo de la competencia de modelado matemático y
simulación. La propuesta va dirigida tanto a docentes como estudiantes de las
carreras de ingeniería. El proceso de construir un modelo matemático para resolver o
analizar un problema de la vida real, es un proceso que no surge de manera natural o
espontánea de las estructuras mentales de las personas. Para asimilarlo einteriorizarlo, se requiere inicialmente del acompañamiento de un especialista. Esta
es la razón por la cual además de presentar una estructura de contenidos con un
enfoque que da lugar a dicha organización, se hace una propuesta metodológica que
da lugar a un acompañamiento en el proceso de aprendizaje de los estudiantes, hasta
el logro de una autonomía total en su ejecución. La metodología propuesta consiste en
presentar de forma incompleta, tareas sobre procesos de modelado, la actividad de los
estudiantes consiste en completar el proceso. A medida que se avanza en el
aprendizaje de los estudiantes, sobre la competencia de modelado, se reduce la ayuda
dada sobre el proceso y por tanto se aumenta la exigencia a los estudiantes. El
problema propuesto a los estudiantes tiene una doble intencionalidad, por un lado el
desarrollo de la competencia sobre modelado matemático, y por el otro laaprehensión de los contenidos asociados al problema objeto de estudio. La
representación mental del problema produce una tensión cognitiva orientada a la
búsqueda de la información de contenidos que no posee el estudiante y que son
necesarios para la solución del problema.
Para el desarrollo de las habilidades cognitivas relacionadas con la competencia de
modelado matemático, se utiliza la teoría de los conjuntos-T de los profesores Ricardo
J. de Armas C. y David Macías M. Se espera que el libro sea de ayuda para los
orientadores del proceso de aprendizaje en este campo y aporte en el desarrollo de la
competencia de modelado matemático y simulación en los estudiantes.
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“ Hay que empezar haciendo lo posible
para terminar realizando
lo imposible”
Er nesto Guevara
“Que todo nuestro conocimiento empieza con la experiencia,
es efectivamente cosa sobre la cual no hay duda…,
pero, aunque nuestro conocimiento empieza
con la experiencia, no nace todo él
de la experiencia”
Immanuel Kant
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Agradecimientos
Los autores expresan sus agradecimientos a la doctora Edel Serrano I. directora del
Departamento de Matemáticas de la Universidad Central por su gestión ante la Facultad de
Ingeniería para que aprobaran los tiempos y recursos necesarios para investigar y escribir
este material. También extienden sus agradecimientos a todos los estudiantes y profesores
de la Facultad de Ingeniería quienes han aportado directa o indirectamente al
enriquecimiento del libro con observaciones, sugerencias y material didáctico; por ejemplo,
los estudiantes que construyeron en MatLab las ilustraciones que aparecen en la portada.
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Contenido
Introducción...........................................................................................................................6
Capítulo 1. Modelos Matemáticos……………………………………………………….10 1.1. Introducción...................................................................................................................10
1.2. Sistema...........................................................................................................................12
1.3. Los modelos ………………..........................................................................................14
1.4. Los modelos matemáticos..............................................................................................15
1.5. Simulación......................................................................................................................17
1.6. El modelado matemático................................................................................................18
1.7. La competencia de modelado matemático.....................................................................19
1.8. Los Conjuntos-T ……………………………………………………………………….20
1.9. Limitaciones en la formulación del modelo matemático...............................................25
1.10. Recomendaciones y Reflexiones….…………..........................................................26
Capítulo 2. Introducción a MatLab……………………………………………………...28
2.1. Introducción...................................................................................................................28
2.2. Matrices..........................................................................................................................29
2.3. Gráficas en dos dimensiones..........................................................................................412.4. Programación con MatLab.............................................................................................56
2.4.1 Archivos en MatLab..................................................................................................56
2.4.2 Diagramas de flujo....................................................................................................56
2.4.3 Estructuras básicas de programación........................................................................57
2.5. Diseño de interfaces gráficas.........................................................................................80
2.5.1. Creando el ambiente de trabajo GUIDE …………………………………………...81
2.5.2. Controles de una GUIDE …………………………………………………………..82
2.6. Diseño de figuras cerradas en dos dimensiones.............................................................96
2.7. Animación de trayectorias............................................................................................101
Capítulo 3. Modelos Determinísticos……………………………………………...……106
3.1. Introducción.................................................................................................................106
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3.2. Modelado matemático del crecimiento de la población humana.................................108
3.3. Modelado matemático de la población del mundo en el siglo XX..............................115
3.4. Modelado matemático de la población de Kenia (1950-1990)....................................123
3.5. Modelado matemático de las especies Linces contra Conejos.....................................130
3.6. Modelado matemático de un Sistema Eléctrico...........................................................138
3.7. Modelado matemático de un Sistema Mecánico..........................................................145
3.8. Modelado matemático de un Sistema Mecánico con amortiguamiento.......................154
3.9. Modelado matemático de un cuerpo en caída libre......................................................163
3.10. Modelado matemático del movimiento de proyectiles……………………………170
Capítulo 4. Modelos Estocásticos……………………………………………………….180
4.1. Introducción.................................................................................................................1804.2. Generación de números aleatorios...............................................................................182
4.2.1. Los números aleatorios…………………………………………………………….182
4.2.1.1. Algoritmo de cuadrados medios…………………………………………………182
4.2.1.2. Algoritmo congruencial lineal…………………………………………………...184
4.2.1.3. Algoritmo congruencial cuadrático…………………………………………...…187
4.2.2. Números aleatorios con MatLab…………………………………………………...188
4.2.3. Señales con ruido……………………………………………………………..……189
4.3. Conceptos Estadísticos.................................................................................................190
4.3.1. Variables aleatorias…………………………………………………………...……190
4.3.2. Promedio Móvil……………………………………………………………………190
4.3.3. Distribución de probabilidad……………………………………………………….192
4.3.4. Esperanza matemática o valor esperado…………………...………………………193
4.4. Simulación de las temperaturas de una estufa..............................................................196
4.5. Simulación los tiempos de atención de un cajero en el banco.....................................198
4.6. Simulación del número de piezas en una línea de ensamble.......................................201
4.7. Modelado matemático de la cola en el banco..............................................................207
Referencias Bibliográficas………………………………………………………………212
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Introducción
Los problemas de la vida real (p. ej., describir el crecimiento en el tiempo de dos especies
que interactúan en una comunidad cerrada donde una es la depredadora y la otra es la presa
que cuenta con abundante alimentación) se pueden solucionar usando ya sea el método
científico o construyendo un modelo matemático. El método científico consiste en:
“observar y describir”, “desarrollar hipótesis o explicaciones”, “comprobar por
experimentación dichas hipótesis” y “aplicar estos conocimientos en la resolución de
problemas similares”. La construcción de un modelo matemático consiste en: “definir el
problema”, “identificar las teorías que lo gobiernan”, “formular el modelo matemático”,
“resolver el modelo”, “interpretar los resultados”, “predecir hechos acerca del mundo real”,
“validar el modelo” y “determinar las limitaciones del mismo”.
La construcción de un modelo matemático para resolver problemas de la vida real presenta
varias ventajas. Una está vinculada con la optimización de recursos económicos. Es decir,
los modelos matemáticos no requieren inicialmente gastos materiales significativos para su
formulación; es más económico y rápido elaborar un modelo matemático que describa el
comportamiento de un sistema depredador – presa y usar el computador para experimentar,
que empezar con un determinado número de cada una de las especies y tener que esperarcierto tiempo para poder experimentar con ellas. Otra ventaja se encuentra en el sistema
educativo. El desarrollo de la competencia de modelado matemático y simulación en la
formación del ingeniero le permite entre otras cosas: relacionar las matemáticas con otras
disciplinas y conectarse con los problemas sensibles de la sociedad. En este nuevo contexto
educativo, el estudio de las matemáticas deja de ser considerado como el trabajo con
conceptos abstractos alejados de la actividad humana (Brito-Vallina et ál., 2011).
La competencia de modelado matemático y simulación se entiende como el conjunto de
habilidades cognitivas específicas que requiere una persona para formular un modelo
matemático y resolver un problema de la vida real. Estas habilidades cognitivas específicas
son: la habilidad para explicar brevemente y sin ambigüedades de qué se trata el problema,
la habilidad para describir el entorno físico del problema, la habilidad de establecer
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objetivos para resolver el problema, la habilidad para manejar la información científica que
se relaciona con el problema, la habilidad para establecer las variables de interés, los
parámetros constantes y un conjunto de suposiciones razonables (las hipótesis) sobre las
variables de acuerdo con las teorías que gobiernan el problema y la traducción al lenguaje
matemático de todas las suposiciones, la habilidad para analizar tablas de datos
(reconocimiento de patrones, interpretación numérica, gráfica y sugerir representaciones
algebraicas), la habilidad de usar las matemáticas y/o las estadísticas para solucionar los
modelos matemáticos, habilidad para programar las soluciones matemáticas (simular y
animar), la habilidad para interpretar matemáticamente los resultados de la simulación, la
habilidad para validar los modelos matemáticos y por último la habilidad para limitar el
modelo matemático (sin atribuirle cualidades que no llega a poseer).
Para desarrollar la competencia de modelado matemático y simulación en la formación de
los ingenieros, en este libro se usa la teoría de los conjuntos-T propuesta por los profesores
Ricardo J. De Armas y David Macías M. (2013) que siguen la trayectoria Brito-Vallina et
ál. (2011), misma que estructura de modo sistémico el desarrollo de la habilidad de modelar
teniendo en cuenta la clasificación de los principales modelos matemáticos para las
ingenierías.
Para cada problema de la vida real que se propone, el estudiante debe construir un
conjunto-T compuesto por ocho tareas que le permite alcanzar la solución del mismo y de
aquellos que le son similares. La ejecución de cada tarea trae consigo la entrega de unos
productos específicos que serán evaluados por un especialista (p. ej., el profesor). Cada
producto tiene como finalidad formativa el desarrollo de alguna de las habilidades
específicas que hacen parte del conjunto de habilidades de la competencia de modelado
matemático y simulación.
Al desarrollar la competencia de modelado matemático y simulación se tiene que lidiar con
algunos obstáculos epistemológicos. Por ejemplo, la resistencia a los trabajos de esta
naturaleza por parte de la mayoría de los estudiantes. Estos, al ser el resultado de
experiencias de enseñanza tradicionales presentan dificultades para: escribir, leer, entender
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e interpretar; es decir, para hacer una lectura significativa cuando son colocados frente a un
texto. Otro ejemplo, tiene que ver con la poca disposición que tienen hacia las tareas de
investigación. El poco manejo (o nada) que evidencia la mayoría sobre las herramientas
computacionales dificulta el desarrollo de la competencia. Para superar estos obstáculos, en
este libro se acompaña a los estudiantes en el desarrollo de las tareas hasta el logro de una
autonomía total en su ejecución. Se presentan inicialmente tareas con desarrollos
incompletos (la parte faltante se encuentra subrayada) y como actividad de los estudiantes
se solicita la completitud de dicha tarea. La exigencia de completitud va aumentando
progresivamente hasta el logro del desarrollo total de la tarea por parte de los estudiantes.
El manejo computacional es solucionado con el capítulo dos. La ejecución de las tareas
produce una tensión cognitiva1 que los lleva a la necesidad de la búsqueda de una
información. Esa información la pueden tener, no recordarla o no poseerla. Si no disponendefinitivamente de ella deben buscarla, entenderla y aplicarla.
El libro se organiza de la siguiente manera: en el primer capítulo, se crea el vocabulario
(sistema, modelo, modelos matemáticos, simulación, modelado matemático y simulación)
que se emplea en los demás capítulos. Además contiene la estrategia educativa propuesta
para el desarrollo de la competencia de modelado matemático y simulación. En el segundo
capítulo se desarrollan ejemplos y se proponen ejercicios que demandan el manejo de
comandos básicos del programa MatLab que le permitirán al usuario entre otras cosas:
graficar, programar, simular y animar los modelos matemáticos. Se seleccionó este
programa por ser amigable, robusto y de manejo casi obligatorio para la mayoría de las
ingenierías. En el tercer capítulo se resuelven problemas de la vida real que demandan la
formulación de modelos determinísticos para ser solucionados. En el cuarto y último
capítulo se resuelven problemas de la vida real que demandan la formulación de modelos
estocásticos para ser solucionados. A pesar de la variedad de modelos matemáticos que
existen, se escogieron estos, porque los estudiantes ya los han manipulado en áreas como la
Química, la Física y la Biología entre otras; lo que facilita el trabajo pedagógico de los
orientadores del proceso de aprendizaje en este campo. Por tratarse este texto del primer
1 Estado anímico de excitación, impaciencia, esfuerzo o excitación producido por determinadas circunstanciaso actividades.
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volumen o nivel introductorio al modelado matemático y simulación, los problemas de la
vida real fueron escogidos con el mismo criterio de selección de los modelos. Es de resaltar
que el libro va dirigido a los estudiantes de pregrado de ingeniería.
Los trabajos publicados sobre el modelado matemático disponibles en el medio educativo
para ser desarrollados en clases son muy escasos; problema que se agudiza en los niveles de
pregrado. Se espera que este material sea de mucha ayuda a los orientadores del proceso de
aprendizaje en este campo y les permita desarrollar la competencia de modelado
matemático y simulación de sus estudiantes.
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Capítulo 1
Modelos Matemáticos
1.1. Introducción
Según Maldonado et ál. (2013) la ingeniería, entendida como ciencia de síntesis, está
orientada a generar soluciones a problemas del entorno2, por integración de conocimientos
de diferente origen y a probar estas soluciones tomando los modelos conceptuales
(matemáticos) como dispositivos para lidiar con la complejidad de los sistemas como
referentes de conocimiento. De acuerdo con esto surgen las siguientes preguntas: ¿cuáles
son las competencias o habilidades3 cognitivas matemáticas que requiere el ingeniero para
resolver los problemas del entorno?, ¿las habilidades matemáticas que se desarrollan en los
cursos tradicionales de matemáticas son las que requiere el ingeniero para resolver
problemas del entorno?, ¿por qué los modelos matemáticos se han vuelto un tema de interés
general tanto a nivel nacional como mundial en la formación de los ingenieros? y ¿los
profesores de matemáticas están preparados para desarrollar las habilidades matemáticas de
los ingenieros para resolver los problemas del entorno? Los siguientes párrafos dan cuenta
de estas preguntas.
El ingeniero es una persona con competencias y habilidades matemáticas que le permiten
entre otras cosas: interpretar los problemas del entorno, manejar la información científica,
formular modelos matemáticos para resolver los problemas del entorno, usar herramientas
computacionales, trabajar en equipos interdisciplinarios y comunicar sus resultados usandolenguajes precisos como el matemático.
2 Entiéndase como problemas de la naturaleza y de la sociedad.3 Es el sistema de acciones u operaciones que usa la persona cuando debe ejecutar una tarea para obtener un-
(os) producto-(s) que será-(n) valorado-(s) por un especialista.
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En la mayoría de los cursos tradicionales de matemáticas dirigidos a los ingenieros, se
enfatiza mucho en los ejercicios de cálculo; algo que está lejos de desarrollar las
competencias y habilidades matemáticas que requiere el ingeniero para resolver los
problemas del entorno.
Los modelos matemáticos se han vuelto un tema de interés general tanto a nivel mundial
como nacional, porque por medio de ellos, los ingenieros pueden relacionar las
matemáticas con otras disciplinas, conectarse con los problemas sensibles de la sociedad y
proponer soluciones. Este interés se puede evidenciar en varios estudios internacionales
dirigidos por la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE,
2003), en particular, el del Programa para la Evaluación Internacional de Alumnos PISA
(Programme for International Assessment) que mide la capacidad para resolver problemasusando modelos matemáticos (OCDE, 2007). Los modelos matemáticos son inevitables en
el quehacer del ingeniero.
Poco se ha trabajado en modelos didácticos para el aprendizaje del modelado matemático
en los estudiantes a pesar de que en casi todas las áreas hay modelos matemáticos aplicados
(Física, Química, Biología y Economía, entre otras). Estos modelos les son dados en estado
terminal a los estudiantes para ser aplicados, es decir, no son productos de un proceso de
formulación. Los orientadores del proceso de aprendizaje en este campo no han recibido
unas directrices de cómo utilizar una estrategia de formular modelos matemáticos para
resolver los problemas del entorno en la enseñanza formal; esto se está construyendo de
manera empírica por cada uno de los docentes encargados de orientar dicho proceso o como
viene ocurriendo en los cursos de formación continua o disciplinas de posgrado de
Educación Matemática.
Dos son los objetivos que se proponen en este capítulo. El primero tiene que ver con la
comprensión en contexto de los conceptos: sistema, modelo, modelo matemático,
simulación, modelado matemático y simulación; que permitirá crear el vocabulario que se
usará en el resto del libro. Se debe ser conciente que en el ámbito científico para construir
modelos matemáticos hay que disponer de conocimientos especializados de las temáticas
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en donde se contextualizan los problemas del entorno, algo que no es posible en los niveles
de pregrado de ingeniería; pero lo que sí es viable como segundo objetivo, es la
metacognición4 del ejercicio de formulación de un modelo matemático para resolver
problemas del entorno.
El capítulo se organiza de la siguiente manera: desde la sección 1.2 hasta la sección 1.5 se
analizan y definen los conceptos de: sistema, modelo, modelo matemático, simulación,
proceso de modelado matemático y simulación, respectivamente, en la sección 1.6 se
analiza el proceso de modelado matemático, en la sección 1.7 se presenta una definición
sobre la competencia de modelado matemático, en la sección 1.8 se presenta una estrategia
educativa para desarrollar la competencia de modelado matemático, en la sección 1.9 se
revisan algunas limitaciones que se deben tener en cuenta a la hora de formular un modelomatemático y en la última sección, la sección 1.10 se presentan algunas reflexiones y
recomendaciones útiles para el modelado matemático.
1.2. Sistema
La realidad es una red compleja de relaciones entre objetos por lo que su análisis es una
tarea nada fácil. Sin embargo, una estrategia de análisis que se ha mostrado efectiva desde
hace más de cincuenta años, es tratarla como un sistema. Este término aparece en una
variedad de contextos: académicos, empresariales y hasta populares con distintas
interpretaciones por lo que se debe ser cuidadoso con el mismo. En este libro, cuando se
use el término sistema se estará haciendo referencia a una porción de la realidad. El análisis
riguroso de la realidad, es decir, el análisis de una multiplicidad de relaciones entre los
objetos de la porción de la realidad, demanda del diseño de sistemas complejos que
contienen componentes que proceden de tecnologías heterogéneas (Mecánica, Electrónica,
Industrial, Sistemas y Ambiental entre otras). Este tipo de sistemas requiere de ingenieros
trabajando en equipos interdisciplinarios aportando conocimientos, competencias y
habilidades específicas de acuerdo con los perfiles respectivos.
4 El estudiante es conciente del proceso a seguir en el modelado matemático de un fenómeno y su importanciaen la optimización de recursos.
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Definir sistema no es sencillo. Las definiciones de sistemas en la literatura científica
contienen invariantes como: colección, componentes, funciones, interactuar, propósitos y
realidad. De acuerdo con estas puede establecerse la siguiente definición.
Definición 1. Sistema
Es una colección de componentes relacionadas que desarrollan
funciones específicas para cumplir con un propósito definido en
la realidad.
Ejemplos de sistemas:
El cuerpo humano
La Tierra
El universo
Sistema ecológico
Sistema mecánico
Sistema eléctrico
Sistema de servicio
Sistema de producción
La empresa
Cada uno de estos sistemas contiene componentes relacionados que cumplen funciones
específicas con un determinado propósito. Los sistemas pueden interactuar con su entorno,
formar parte de otros sistemas o estar constituidos por otros sistemas. Existen sistemas:
estáticos, dinámicos, materiales, inmateriales, vivos e inanimados.
1.3. Los modelos
En los sistemas acontecen una variedad de fenómenos que se pueden explicar, describir o
predecir usando modelos. Por medio de estos, los seres humanos han logrado articular de
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una manera sistemática los conocimientos que se obtienen de la experiencia mediante el
proceso de investigación.
Definición 2. Modelos
Son representaciones simplificadas que describen sistemas,
soportados en unos supuestos teóricos o teorías y creados para
fines determinados.
El término modelo fuera del ámbito científico da lugar a ambigüedades y confusiones por
su carácter polisémico. En la ciencia se pueden encontrar una variedad de modelos como
por ejemplo: los físicos, los abstractos, los dinámicos, los estáticos, los empíricos, los
explicativos, los determinísticos, los estocásticos, los de simulación y los analíticos entre
otros.
Los modelos físicos son réplicas físicas a menor escala.
Los modelos abstractos usan símbolos para representar los sistemas estudiados.
Los modelos estáticos describen una relación, o un conjunto de relaciones, que no
cambia en el tiempo.
Los modelos dinámicos describen una relación, o un conjunto de relaciones, que
varía en el tiempo. Los modelos empíricos describen un conjunto de relaciones, sin representar
explícitamente los procesos o mecanismos que operan el sistema real; el objetivo es
predecir y no explicar.
Los modelos explicativos representan la dinámica interna del sistema de interés; el
objetivo de estos modelos es explicar el comportamiento del sistema por medio de
la representación de los mecanismos causales de dicho comportamiento.
Los modelos determinísticos no contienen variables aleatorias; las prediccionesobtenidas usando modelos determinísticos para un conjunto específico de
condiciones serán siempre las mismas.
Los modelos estocásticos contienen una o más variables aleatorias; las predicciones
obtenidas usando un modelo estocástico para un conjunto específico de condiciones
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no siempre son las mismas, ya que las variables aleatorias dentro del modelo pueden
tomar diferentes valores cada vez que se resuelve el modelo.
Los modelos analíticos son aquellos que se pueden resolver matemáticamente en
forma cerrada.
Los modelos de simulación son aquellos para los cuales es imposible encontrar una
solución analítica debido a que la función, o el conjunto de ecuaciones que
describen es demasiado compleja y deben resolverse numéricamente usando un
conjunto de operaciones aritméticas.
1.4. Los modelos matemáticos
En ciertas ocasiones la descripción del comportamiento de los fenómenos que acontecen enun sistema demanda el uso de lenguajes especializados como el matemático. Es decir, se
deben usar los modelos matemáticos.
Definición 3. Modelos Matemáticos
Son representaciones simplificadas en lenguaje matemático
(usualmente funciones o ecuaciones) que describen sistemas y
son creados para fines determinados.
Ejemplos de modelos matemáticos:
a) La representación matemática describe la relación entre los habitantes y
el tiempo en una comunidad. ( es una razón de crecimiento). b) La representación matemática
describe la relación entre la posición
con el tiempo de una masa sujetada a un resorte ( y son parámetros constantesdel sistema masa-resorte).c)
La representación matemática describe la relaciónentre la carga y el tiempo en el capacitor de un circuito RLC en serie ( , y son parámetros contantes).
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d)
La representación matemática describe la relación entre la posición con el tiempo de un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba. ( esla posición inicial, la velocidad inicial y corresponde al valor de la gravedad)
e) La representación matemática describe la relación entre lostiempos de servicio de un servidor y los clientes en la caja de un banco, si se sabe por los datos históricos que estos siguen una distribución de probabilidad
exponencial con media de 3 minutos por cliente. ( son números aleatorios)f) La representación matemática
describe la relación entre el tiempo
promedio que espera un cliente en la cola de un banco para ser atendido y lasvelocidades y ( es la velocidad de llegada de clientes al banco y es lavelocidad de atención del servidor).
Los modelos matemáticos a pesar de que reflejan solo una dimensión del sistema
modelado, pueden también describir una clase completa de sistemas, es decir, el modelo
construido a partir de la observación de un fenómeno en particular puede permitir la
descripción del mismo fenómeno en otros contextos o de otros fenómenos. Los modelos
matemáticos no requieren inicialmente gastos materiales significativos para su formulación,
por ejemplo, es más económico y rápido elaborar un modelo matemático que describa el
crecimiento de una población biológica, que empezar con un determinado número de
individuos y tener que esperar cierto tiempo para poder experimentar con ellos.
De acuerdo con Brito Vallina et ál., (2011) los modelos matemáticos se pueden clasificar
atendiendo a: La teoría o técnica básica utilizada en su elaboración.
La naturaleza de los procesos que lo componen.
La estructura matemática.
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En la primera clase se encuentran los modelos: de transporte, de balance de población y los
empíricos. En la segunda clase se encuentran los modelos: determinísticos y los
estocásticos, los estacionarios y los no estacionarios, los de parámetro combinado y los de
parámetros distribuidos. En la tercera clase se encuentran los modelos: de ecuaciones
algebraicas (lineales y no lineales), de ecuaciones diferenciales (ordinarias o parciales), de
ecuaciones integrales y de ecuaciones en diferencias (en una dimensión y
multidimensionales).
En un modelo matemático siempre es posible identificar dos conjuntos: uno de relaciones
(de igualdad y/o de desigualdad) y otro de variables sobre las que se definen las relaciones,
que reflejan la esencia de los sistemas en observación. Históricamente, la construcción de
los modelos matemáticos se ubica en el renacimiento constituyendo el inicio de la cienciamoderna.
1.5. Simulación
El término “simulación” apareció en el año 1940, cuando el matemático húngaro,
nacionalizado estadounidense Von Neuman junto con el matemático, polaco-
estadounidense Stanislau Ulam que trabajaban en el proyecto manhattan (construcción de la
primera bomba atómica antes que los nazis lo consiguieran), hicieron referencia al término
Simulación Montecarlo, en el Laboratorio Nacional de los Álamos de California, durante la
segunda guerra mundial; resolviendo problemas de reacciones nucleares cuya solución
experimental era muy costosa y el análisis matemático demasiado complejo. Se vieron
obligados a usar modelos matemáticos para imitar y describir paso a paso el
comportamiento de dichas reacciones nucleares.
Definición 4. Simulación
Es el uso de un modelo matemático para imitar, o describir paso
a paso (a través de una computadora) el comportamiento del
sistema que se está analizando.
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La simulación presenta varias desventajas. Una tiene que ver con los resultados; estos al ser
de carácter numérico pueden ser imprecisos debido al truncamiento o redondeo de las cifras
decimales y con el tiempo se convertirán en unas cifras muy significativas al obtenerse el
error. La simulación se puede usar cuando: los procedimientos matemáticos son muy
complejos y engorrosos, se necesita controlar experimentos por un cierto periodo de tiempo
para observar el comportamiento del sistema y se requiere que un proceso sea estudiado en
menos tiempo del real. También tiene aplicación en la educación como laboratorios de
aprendizaje (p. ej., interactuar con fenómenos naturales para comprenderlos) y en el
entrenamiento profesional (p. ej., simuladores de vuelo para el entrenamiento de pilotos).
Las simulaciones en este libro se desarrollan en el ambiente de desarrollo de interfaces
gráficas de usuarios de MatLab denominado GUIDE .
Ejercicio 1.
Escribir un ensayo cuyo tema es “La realidad y los modelos matemáticos”.
1.6. El modelado matemático
Un problema del entorno puede resolverse construyendo un modelo matemático o usando el
método científico. Cualquiera de estos procesos requiere de la ejecución de una serie de
pasos.
Definición 5. Modelado Matemático
Es el proceso de construcción o formulación de un modelo
matemático.
Los pasos que se siguen en el proceso de modelado matemático y simulación se ilustran en
la figura 1. Este modelo frecuentemente aparece asociado a nombres como: Gerda de Vries,
(2001) y Brito-Vallina et ál., (2011) entre otros.
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Figura 1: Ilustra los pasos del proceso de modelado matemático y simulación
En este esquema se resaltan cuatro características: la relación con el mundo real, la
estructura matemática, la inferencia matemática y las predicciones sobre el sistema
representado (Maldonado et ál., 2013).
1.7. La competencia de modelado matemático
La competencia de modelado matemático se entiende como el conjunto de habilidades
cognitivas específicas que permiten al sujeto formular un modelo matemático y resolver un
problema del entorno. A continuación se detalla este conjunto de habilidades cognitivas.
Habilidad para explicar brevemente y sin ambigüedades de qué se trata el problema quese debe resolver.
Habilidad para describir el entorno físico del problema que se debe resolver.
Habilidad para establecer objetivos que permiten resolver el problema.
Habilidad para manejar la información científica que se relaciona con el problema.
Habilidad para establecer las variables de interés, los parámetros constantes y un
conjunto de relaciones razonables (las hipótesis) sobre las variables de acuerdo con lateoría que gobierna el problema y la representación matemática de todas las relaciones.
Habilidad para analizar tablas de datos (reconocimiento de patrones, interpretaciónnumérica, gráfica y sugerir representaciones algebraicas).
Habilidad de usar las matemáticas y/o las estadísticas para solucionar los modelosmatemáticos.
Habilidad para programar las soluciones matemáticas (simular y animar).
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Habilidad para interpretar los resultados de la solución.
Habilidad para validar modelos matemáticos.
Habilidad para limitar el modelo matemático (sin atribuirle cualidades que no llega a poseer).
1.8. Los Conjuntos-T
Una estrategia educativa para desarrollar la competencia de modelado matemático y
simulación es hacer uso de los conjuntos-T 5.
Definición 6. Conjunto-T
Es el conjunto formado por un mínimo número de tareas cuyas
ejecuciones reiterativas permiten el desarrollo de una o varias
competencias; entendiéndose como tarea el estímulo que activa
configuraciones mentales y/o operaciones intelectuales para
obtener un producto cuya validez está determinada por un
especialista.
Hay tareas que son necesarias para desarrollar una competencia pero no son suficientes; “el
mínimo número de tareas” en la definición seis hace referencia a las tareas que sonnecesarias y suficientes. La ejecución de tareas adicionales implica un grado mayor de
especialización en el sujeto. Cada tarea ejecutada permite el desarrollo de una o varias
habilidades específicas. La finalidad de la tarea es la obtención de un producto. En el caso
del modelado matemático se proponen los siguientes los productos:
Una proposición
Un listado
Un párrafo
Un texto
Una tabla de datos
Un código
Una interface
5 La teoría de los conjuntos-T es autoría de los profesores Ricardo J. De Armas C. y David Macías M.
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Una animación
Un artículo
Un prototipo o maqueta
Se hace una aclaración sobre los tres primeros productos. La proposición es un enunciado
al cual se le puede asignar dos valores: o bien es verdadero, o bien es falso. El párrafo es la
secuencia organizada de varias proposiciones coherentemente relacionadas, interna y
externamente por conectivos y signos de puntuación, que expresa una idea principal,
pensamiento o idea temática. Un texto está compuesto por uno o más párrafos y que gira
alrededor de un tema.
Cada conjunto de tareas sigue trayectorias bien definidas y desglosadas en diferentes pasosorganizados por un especialista o especialistas. Para el desarrollo de la competencia de
modelado matemático y simulación se requiere de la ejecución de ocho tareas. Este
conjunto se denotará como y se hará mención a él como conjunto-T para el desarrollo de la competencia de modelado matemático y simulación. Una
trayectoria para este conjunto-T es la propuesta (con algunos ajustes) por Brito-Vallina et
ál., (2011). Los nombres de cada tarea se presentan a continuación.
: “Definición del problema” : “Teorías que gobiernan el problema” : “Formulación del modelo matemático” : “Solución matemática del modelo” : “Representación computacional de la solución” : “Interpretación de los resultados” : “Validación del modelo”
: “Limitaciones del modelo”
Se debe tener en cuenta que algunas tareas pueden pertenecer a más de un conjunto-T . Por
ejemplo, algunas tareas del conjunto-T para desarrollar la competencia de modelado
matemático y simulación hacen parte también del conjunto-T para desarrollar la
competencia del método científico establecido en 1620 por Francis Bacon. La figura 2
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presenta el proceso de modelado matemático y simulación acompañado por su respectivo
Conjunto-T .
Figura 2: Ilustra el proceso de modelado matemático y simulación (negro)
y el respectivo conjunto-T (rojo)
Los productos esperados (indicadores de logros) en cada tarea se presentan a continuación;
los comentarios que aparecen dentro de los paréntesis corresponden a las tareas del método
científico.
“Definición del problema”Se deben entregar tres productos.
Párrafo. Se explica brevemente y sin ambigüedades de qué se trata el problema.
Párrafo. Se describe: las condiciones iniciales, el entorno físico del problema y los
factores que no se incluyen en el modelo. (Observación y descripción)
Listado. Contiene el objetivo o los objetivos propuestos para resolver el problema.
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“Teorías que gobiernan el problema”Se debe entregar por lo menos uno de los siguientes productos:
Listado. Contiene los conocimientos construidos por la comunidad científica que se
relacionan con el problema y ayudan a formular el modelo matemático.
Tabla de datos. Cuando no se disponga de teorías o conocimientos científicos
relacionados con el problema, se debe manipular una tabla con datos experimentales.
“Formulación del modelo matemático” Se debe entregar por lo menos uno de los siguientes productos:
Texto. Se establecen las variables de interés (independiente y dependiente), los parámetros constantes y un conjunto de suposiciones razonables (las hipótesis) que
describan las relaciones entre las variables de interés de acuerdo con la teoría que
gobierna el problema y por último la traducción al lenguaje matemático de todas las
suposiciones. (Desarrollo de hipótesis o explicaciones)
Texto. Cuando se manipule la tabla se elabora un texto con el análisis de los datos
reconociendo patrones, interpretándolos numéricamente, gráficamente e incluso
sugiriendo una representación algebraica.
“Solución matemática del modelo” Se debe entregar un producto.
Texto. Contiene la solución analítica (cuando existe un algoritmo) o la solución
aproximada (numérica). En el caso de no contar con las soluciones anteriores tratar con
técnicas estadísticas.
“Representación computacional de la solución” Se deben entregar por lo menos dos de los siguientes productos:
Código. La solución programada.
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Interface. La interface para ejecutar las simulaciones (experimentación).
Animación. La animación del comportamiento de las variables de interés cuando
sea posible.
“Interpretación de los resultados” Se deben entregar dos productos.
Tabla con datos. Contiene los datos de las variables de interés obtenidos con la
interface.
Texto. Contiene de acuerdo con los datos de la tabla, la descripción matemática del
comportamiento de las variables de interés. Además, contiene entre otras respuestas, la
respuesta detallada de la pregunta ¿si eran los resultados que se esperaban?
“Validación del modelo” Se deben entregar dos productos.
Tabla de datos. Contiene datos de:
- Las variables de interés obtenidos con la interface.
-
La realidad.- El cálculo de errores relativos porcentuales.
Texto. Contiene la gráfica que contrasta los datos reales contra los datos de la interface.
Explica que tanto se aproximan los datos de la interface con los datos reales. Indica si
es necesaria una redefinición del modelo matemático ya sea aumentando su nivel de
resolución (es decir, incluyendo variables que no eran de interés) o reiniciando el ciclo.
(Comprobación por experimentación de dichas hipótesis)
“Li mitaciones del modelo ” Se debe entregar un producto.
Texto. Contiene: las limitaciones del modelo y el rango de aplicabilidad. (Aplicación de
estos conocimientos en la resolución de problemas similares)
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1.9. Limitaciones en la formulación del modelo
Según Brito-Vallina et ál. (2011) se deben tener en cuenta algunas limitaciones
relacionadas con la formulación de los modelos matemáticos que en unos casos, pueden
producir graves errores y, en otros casos pérdida de tiempo y esfuerzos innecesarios.
La primera tiene que ver con la disponibilidad y la exactitud de los datos necesarios para formular el modelo matemático.
La segunda tiene que ver con los métodos matemáticos disponibles para la soluciónde los modelos matemáticos.
La tercera tiene que ver con la atribución al modelo de cualidades que no llega a
poseer.
1.10. Recomendaciones y Reflexiones
A continuación se presentan unas recomendaciones y reflexiones (Serrano, 2004) que se
deben tener en cuenta a la hora de formular modelos matemáticos.
RecomendaciónDebido a la complejidad de los sistemas, al formular un modelo matemático, se tienen que
hacer simplificaciones que hacen que esta imagen matemática sea una aproximación a la
realidad que trata de reproducir.
Reflexión
El carácter aproximativo de los modelos matemáticos, más que un defecto resulta ser una
de sus ventajas. Se podría pensar que lo más deseable sería una representación matemáticaidéntica al sistema. Esto generalmente es imposible, además sería poco útil ya que el
modelo matemático sería muy difícil de analizar. El ideal es el modelo matemático más
simple que aún guarde las características del sistema que se desea reproducir. Esto encierra
al sistema dentro de un marco teórico más fácil de manejar. Se deben entonces encontrar
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caminos para simplificar el modelo matemático sin sacrificar rasgos esenciales de la
situación del mundo real.
Recomendación
Es recomendable empezar desarrollando un modelo matemático relativamente simple y
mejorarlo progresivamente. Esta es una buena estrategia en modelado matemático ya que al
introducir cada factor es posible observar su efecto. Así, el mismo proceso de la
construcción del modelo matemático, permite probar o rechazar hipótesis que serían muy
difíciles de comprobar de manera experimental.
Reflexión
Para un sistema particular, se puede construir una infinidad de modelos matemáticos. Unosenfocados a algunas características del sistema, otros a otras, unos más complejos y otros
más simples. Así, los modelos matemáticos no se pueden clasificar como correctos o
incorrectos. En su lugar, se habla de si un modelo matemático es apropiado, aplicable o no
a cierta situación. Para esto se manejan las limitaciones del modelo matemático que se
generan en su diseño.
Recomendación
La representación matemática ⁄ , por ejemplo, describe la relación de distancia ytiempo de un objeto en caída libre. Sin embargo, se deben conocer sus limitaciones para
poder usar en predicciones. Una situación como la caída de una hoja de papel, no puede
representarse con este modelo matemático ya que la resistencia del aire en este caso es muy
grande, misma que no está considerada en la representación. Así se puede decir que este
modelo matemático es aplicable en situaciones donde la resistencia del aire sea
despreciable.
Ejercicio 2.
Escribir un ensayo cuyo tema es “el modelado matemático y el método científico en
la educación superior”.
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En el siguiente capítulo se crea el espacio dedicado al desarrollo de las habilidades
computacionales necesarias para el modelado matemático y simulación.
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Capítulo 2
Introducción a MatLab
1.11. Introducción
¿Qué es MatLab? Es un software de la empresa Mathworks ubicada en Natick pueblo del
estado estadounidense de Massachusetts. La primera versión del mismo fue desarrollada en
la década de 1970 por el norteamericano Cleve Moler, profesor de matemáticas y ciencias
de la computación por casi 20 años de las Universidades de Nuevo México, de Michigan y
de Stanford. 6
El nombre simboliza Matriz Laboratorio o Laboratorio de Matrices. Es un lenguaje de
programación basado en arreglos (matrices) que con el tiempo se ha convertido en una
herramienta didáctica para el desarrollo de cursos tanto avanzados como introductorios en
matemática e ingeniería. MatLab, además de ser utilizado en el desarrollo de los
algoritmos, análisis de datos, visualización y cálculo numérico también es utilizado en áreas
tan variadas como los automóviles, los aviones, los audífonos, teléfonos celulares, los
precios de derivados financieros y académicos. Las aplicaciones están organizadas en
librerías especializadas o en cajas de herramientas (en inglés toolboxes).
En este capítulo se desarrollan ejemplos y se proponen ejercicios que demandan el manejode comandos básicos del programa que le permiten al usuario entre otras cosas: graficar,
programar, simular y animar los modelos matemáticos.
6 http://ordenador.wingwit.com/Programacion/computer-programming-languages/87495.html
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El objetivo del capítulo es crear el espacio dedicado al aprehendizaje de las herramientas
computacionales necesarias para el modelado matemático y simulación. Cabe anotar que
las soluciones que se presentan para resolver los ejemplos propuestos no son únicas.
El capítulo se organiza de la siguiente manera: en la sección 2.2 se revisa la edición de
matrices, en la sección 2.3 se estudian los comandos que permiten graficar funciones en dos
dimensiones, en la sección 2.4 se analizan las estructuras básicas de programación, en la
sección 2.5 se construyen interfaces, en la sección 2.6 se diseñan figuras en dos
dimensiones y en la última sección, es decir en la sección 2.7 se desarrollan animaciones de
trayectorias.
Figura 1. Símbolo del programa MatLab
(Ilustración tomada de imágenes en tic-tac.teleco.uvigo.es
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1.12. Matrices
Para editar matrices en la ventana de comandos (o consola como se le conoce también), se
utilizarán los paréntesis cuadrados o corchetes “[ ]”, separando los datos por espacios o
comas, a la vez que las filas se separan por punto y coma (figura 1).
Figura 1: Ilustra la ventana de comandos (en inglés Command Window)
Ejemplo 1. Edición de Vectores y Matrices
Editar en la ventana de comandos las siguientes matrices:
a) b)
c) d) e)
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Solución
a)
A = [ 1 2 3; 2 1 4 ]
a)
A = [ 1, 2, 3; 2, 1, 4 ]
b)
B = [ -1 2; 0 0.5; 9 -7 ]
c)
C = [ 3 0 5; 4 1 4; 2 0 3 ]
d)
D = [ 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 ]
e) E = [ -1; -2; -3 ]
Sugerencia
Para borrar una variable específica se escribe el comando clear dejando un espacio yescribiendo el nombre de la variable que se desea borrar. Utilizando sólo el comando clear
se borran todas las variables que se tienen asignadas en la memoria. Para borrar únicamente
el contenido de la pantalla se escribe el comando clc seguido de ENTER .
Ejemplo 2. Operaciones básicas entre Matrices
Con las matrices definidas en el ejemplo 1, computar, si es posible, las siguientes
operaciones:
a)
AB
b)
BA + C
c) D + E
d) A – B
e) Solución
Los símbolos + - * / son los operadores para suma, resta, multiplicación y división
respectivamente (como en una calculadora).
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Recomendación
Para no estar escribiendo las mismas instrucciones cada rato, se usan las teclas , . Estasdevuelven a la ventana de comandos las instrucciones establecidas previamente y
guardadas en el histórico de comandos (en inglés Command History).
a) A * B
b) B * A + C
c) D + E Error using + Matrix dimensions must agree.
MatLab indica que hay un error porque las matrices no son del mismo tamaño.
d)
A – B Error using – Matrix dimensions must agree.MatLab indica que hay un error porque las matrices no son del mismo tamaño.
e) E * E Error using * Inner matrix dimensions must agree.
MatLab indica que hay un error porque las matrices no se pueden multiplicar.
e) Para poder elevar al cuadrado cada elemento de la matriz E se tiene que escribirlos dos caracteres
que corresponden a la potenciación de arreglos.
Sugerencia
Para comprender los mensajes de error que nos muestra MatLab, se debe, frecuentemente
hacer uso de la teoría del Álgebra Lineal. Tenga en cuenta cuando escriba los nombres de
comandos, funciones y variables que MatLab distingue entre mayúsculas y minúsculas.
Ejemplo 3. Operaciones con Matrices Traspuestas
Con las matrices definidas en el ejemplo 1, computar, si es posible, las operaciones con las
matrices traspuestas.
a) b)
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c) d) e) Solución
Para obtener la matriz traspuesta se debe usar la comilla simple ’
a) A’
b) B’ * A’
c) ( A * B )’
d)
( C + B * A )’
e) D’ - E’ Error using - Matrix dimensions must agree.
MatLab indica que hay un error porque las matrices no son del mismo tamaño.
Ejemplo 4. Las entradas de una Matriz
Definir la matriz A en la ventana de comandos.
)
Determinar el tamaño y el valor de las entradas indicadas:
a)
b) c)
d) e)
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Solución
A = [ 1 -2 3 4; 5 2 7 8; 9 0 8 7; 6 5 4 3; 2 1 0 9]
size(A)
El comando size( ) nos indica el número de filas y el número de columnas de una matriz.
a)
A (1, 1)
b) A (1, 2)
c) A (2, 1)
d) A (4, 4)
e)
A (5, 5) Index exceeds matrix dimensions.MatLab nos indica que hay un error porque la matriz no tiene estas dimensiones. Esta
matriz no tiene cinco columnas.
Ejemplo 5. Selección de filas y columnas
Definir la matriz A en la ventana de comandos.
( )
Seleccionar únicamente las filas y columnas que se indican en cada caso:
a) Fila uno
b)
Fila tresc) Columna uno
d) Columna cuatro
e) Desde la fila uno hasta la fila tres.
f) Desde la fila dos hasta la fila cuatro.
g) Desde la columna uno hasta la columna tres.
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h) Desde la columna dos hasta la cuatro.
i) La segunda y la cuarta fila únicamente.
j)
La primera y la tercera columna únicamente.
Solución
A = [ 6 1 1 2; 7 2 3 4; 8 3 5 6; 9 4 7 8; 0 5 9 0]
a) A ( 1 , : )
b) A ( 3 , : )
c) A ( : , 1 )
d)
A ( : , 4 )e) A ( 1 : 3 , : )
f) A ( 2 : 4 , : )
g) A ( : , 1 : 3 )
h) A ( : , 2 : 4 )
i) A ( [ 2 4 ] , : )
j) A ( : , [ 1 3 ] )
Ejemplo 6. Submatrices
Definir la matriz A en la ventana de comandos.
Definir la submatriz B a partir de la matriz A.
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Solución
A = [ 2, 1, 1, 1 ; 0, 2, 2, 2 ; 3, 0, 1, 3 ]
B = A ( 1 : 2 , 1 : 3 )
Ejemplo 7. Formatos Numéricos
Definir la matriz A en la ventana de comandos.
Usar los siguientes formatos numéricos:
a) format long
b) format rat
c) format short
Solución
El resultado numérico que se obtiene en la ventana de comandos se puede visualizar en
diferentes formatos:
a) Para obtener más de cuatro dígitos después del punto decimal en la ventana de
comandos se debe escribir format espacio long y a continuación se define el vector A.
format long b) Para obtener una forma racional en la ventana de comandos se debe escribir format
espacio rat y a continuación definir el vector A.
format rat c) Para obtener cuatro dígitos después del punto decimal en la ventana de comandos se
debemos escribir format espacio short y a continuación definir el vector A.
format short
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Si no se indica lo contrario, por defecto se obtienen cuatro cifras decimales en la ventana de
comandos.
Ejemplo 8. Matrices Especiales
Definir las matrices especiales que se indican:
a)
La matriz A es una matriz de 3 x 4 de ceros.
b)
La matriz A es una matriz de 4 x 5 de unos.
c) La matriz A es una matriz identidad de 3 x 3.
d) La matriz A es una matriz de números aleatorios de 3 x 2.
Definir la matriz A en la ventana de comandos:
e)
La matriz U es la matriz triangular superior de A.
f)
La matriz L es la matriz triangular inferior de A.
g) La matriz M es una matriz mágica de 3 x 3.
Solución
a) A = zeros ( 3 , 4 )
b) A = ones ( 4 , 5 )
c) A = eye ( 3 )
d) A = rand (3 , 2 )
A = [ 3,3,0,1 ; 6,4,0,3 ; 0,7,1,2 ; 9, 5, 1, 8 ]
e)
U = triu ( A ) El comando triu( ) extrae la parte superior de A.
f)
L = tril ( A ) El comando tril( ) extrae la parte inferior de A.
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g) M = magic ( 3 ) ¿Por qué se les denominan matrices mágicas?
Ejemplo 9. Cambios e intercambios
Definir la matriz A en la ventana de comandos:
a) Cambiar la entrada por 8. b) Cambiar los valores de la tercera fila por 5.
c)
Cambiar los valores de la segunda columna por 1.d) Intercambiar las filas 2 y 3.
e) Intercambiar las columnas 2 y 3.
Solución
A = [ 1 2 3 4 ; 2 5 3 0 ; 1 4 1 5 ; 0 9 0 8 ]
a) A ( 3 , 2 ) = 8
b) A ( 3 , : ) = 5
c) A ( : , 2 ) = 1
d) A ( [ 2 , 3 ] , : ) = A ( [ 3 , 2 ] , : )
e) A ( : , [ 2 , 3 ] ) = A ( : , [ 3 , 2 ] )
Ejemplo 10. Construcción de Matrices
Construir una matriz A tomando como filas los siguientes vectores:
A1 = [ 1 2 3 ]
A2 = [ 4 5 6 ]
A3 = [ 7 8 9 ]
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Solución
A1 = [ 1 2 3 ]
A2 = [ 4 5 6 ]
A3 = [ 7 8 9 ]
A = [ A1 ; A2 ; A3 ]
Ejercicio 1.
1. Definir o editar en la ventana de comandos las siguientes matrices:
2. Indicar el error que se cometió en cada caso al editar la matriz A. Explicar las
respuestas.
a) A = [ 0 1 0 1 ; 1 0 1 0 ; 0 11 0 ; 1 0 0 1 ]
b) A = [ 0 1 0 1 ; 1 1 0 ; 0 1 1 0 ; 1 0 0 1 ]
c) A = [ 0 1 0 1 ; 1 0 1 0 ; 0 1 1 0 1 0 0 1 ]
d)
A = [ 0 1 0 1 ; 1010 ; 0 1 1 0 ; 1 0 0 1 ]
3.
La operación C + B no es posible efectuarla para las matrices del ejercicio 1. Editar las
instrucciones adecuadas para poder sumar estas dos matrices.
4. Proponer tres matrices A, B, y C para verificar la propiedad asociativa para el producto
entre matrices. Es decir, probar que A(BC) = (AB)C.
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5. Escribir las instrucciones que permitan obtener las cuatro submatrices que se indican
con las líneas punteadas A1, A2, A3, A4.
6.
Definir la matriz (
) en la ventana de comandos. Explicar la respuesta de
MatLab cuando se le piden los siguientes productos:
a) A * A
b) A . * A
7. Definir la matriz cuadrada A en la ventana de comandos.
( )
Describir en cada caso el comportamiento de cuando .a) b) A * A * A * … * A ( n veces )
8. Sea la matriz .Escribir las instrucciones utilizadas para construir la matriz B.
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Instrucciones:
La primera fila B1 es la segunda columna de A.
La segunda fila B2 es la primera columna de A.
La tercera fila B3 es el cuadrado de la primera fila de A.
La cuarta fila B4 es la raíz cuadrada de la cuarta fila de A.
La raíz cuadrada la podemos obtener con la instrucción sqrt( ).
9. Sea la matriz . Escribir las instrucciones para determinar:
a)
La matriz equivalente A1 después de multiplicar por 3 la primera fila de A. b) La matriz equivalente A2 después de multiplicar por 2 la segunda columna de A.
c) La matriz equivalente A3 después de multiplicar por -9 la primera fila y sumarla a
la fila cuatro de A.
1.13. Gráficas en dos dimensiones
Los comandos que permiten graficar funciones en dos dimensiones se ilustran en los
siguientes ejemplos. Con MatLab es posible agrupar y superponer las gráficas de dichas
funciones. Tenga en cuenta que en este volumen se manejan funciones en dos dimensiones
pero el programa también lo hace con tres dimensiones, funciones vectoriales, etc.
Ejemplo 1. Función exponencial decreciente
Dibujar la gráfica de la función exponencial decreciente con las característicasindicadas.
a)
El dominio es el intervalo [ -2, 1.5 ]. El paso entre los datos es 0.01.
b)
Etiqueta del eje horizontal ‘x’.
c) Etiqueta del eje vertical ‘f ( x )’.
d) Título de la gráfica ‘Función Exponencial Decreciente ’.
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Solución
Para graficar funciones de una variable independiente, se determina primero el dominio o el
intervalo donde se desea obtener la gráfica. Esto se hace definiendo un vector de n datos
con el nombre de la variable independiente, en el que se especifican: el valor inicial, el
intervalo entre puntos consecutivos (denominado el paso) y el valor final.
a)
x = -2 : 0.01 : 1.5 ;
¿Por qué se escribe el punto y coma al final de la instrucción? El punto y coma que se
escribe al final de la instrucción evita que MatLab despliegue los resultados en la ventana
de comandos.
f = exp ( - x ) ;
Para construir la gráfica se usa el comando plot( )
plot ( x, f )
b) xlabel (‘ x ’)
c) ylabel ( ‘ f ( x ) ’ )
d) title ( ‘ Función Exponencial Decreciente ’)
Ejemplo 2. Función exponencial creciente
Dibujar la gráfica de la función exponencial creciente con las característicasindicadas.
a)
El dominio es el intervalo [ -2, 2]. El paso entre los datos es 0.2.
b)
Etiqueta del eje horizontal ‘x’. Tamaño 15.
c)
Etiqueta del eje vertical ‘f ( x )’. Tamaño 15.
d) Título de la gráfica ‘Función Exponencial Creciente’.
e) Con cuadrícula.
f) La gráfica debe estar ubicada en la región ; .
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Solución
a)
x = -2 : 0.2 : 2 ;
f = exp ( x ) ;
plot ( x, f )
b) xlabel ( ‘ x ’ , ‘fontsize’ , 15 )
c) ylabel ( ‘ f ( x ) ’ , ‘fontsize’ , 15 )
d) title (‘ Función Exponencial Creciente ’)
e) grid on
f) axis ( [ -3, 4, -1, 8 ] )
El comando axis( ) permite escalar los ejes y cambiar su apariencia.
Ejemplo 3. Función trigonométrica Seno
Dibujar la gráfica de la función trigonométrica con las característicasindicadas.
a) El dominio es el intervalo [ -4, 4 ].El dominio es un vector con 200 datos.
b) La gráfica de color rojo. El tamaño de línea 3.
c) Etiqueta del eje horizontal ‘ t ’. Tamaño 14.
d) Etiqueta del eje vertical ‘ y(t) ’. Tamaño 14.
e) Título de la gráfica ‘Función Seno’. Tamaño 14.
f) Con cuadrícula.
g) La gráfica debe estar ubicada en la región ; .Solución
Un comando que también se puede usar para definir el vector del dominio es
l inspace(min,máx,N) . Cuando no se indica un valor para N , MatLab presenta por defecto
un vector linealmente espaciado de 100 datos.
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a) t = linspace ( -4*pi, 4*pi, 200 ) ;
y = sin ( t ) ;
b) plot ( t, y, ‘r’, ‘linewidth’, 3 )
c)
xlabel ( ‘ t ’ , ‘fontsize’ , 14 )
d)
ylabel ( ‘ y ( t ) ’ , ‘fontsize’ , 14 )
e) title (‘ Función Seno ’ , ‘fontsize’, 14 )
f)
grid on
g)
axis ( [ -2 * , 2 * , -1.5, 1.5 ] )Sugerencia
Cuando no se quiere manejar la cuadrícula se escribe el comando grid off
Ejemplo 4. Función trigonométrica coseno
Dibujar la gráfica de la función trigonométrica con las característicasindicadas.
a) El dominio es el intervalo [ -4, 4 ]. El dominio es un vector con 300 datos. b) La gráfica de asteriscos de color rojo.
c) La gráfica dentro de un cuadrado, sin cambiar el rango de los ejes.
Solución
a)
t = linspace ( -4*pi, 4*pi, 300 ) ;
y = cos ( t ) ;
b) plot ( t, y, ‘* r’ )
c)
axis square
Sugerencia
Para consultar todo lo que MatLab puede desarrollar con las gráficas, como por ejemplo los
colores que maneja, se escribe el comando help plot seguido de ENTER . A continuación
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aparecerá una descripción del comando plot en la ventana de comandos. Esto aplica para
cualquier otro comando.
Ejemplo 5. Función exponencial
Dibujar la gráfica de la función exponencial con las características indicadas.a) El dominio es el intervalo [ -3, 6 ]. El paso de 0.01. b) La gráfica de color negro. El tamaño de línea 4.
Solución
a)
x = -3 : 0.01 : 6 ;
y = exp ( - ) ; b) plot ( x, y, ‘k’, ‘linewidth’, 4 ) Ejemplo 6. Función definida como un producto
Dibujar la gráfica de la función con las características indicadas.a) Dominio el intervalo [ -3, 3 ].
El dominio es un vector con 500 datos. b) La gráfica de color verde. El tamaño de línea 2.
Solución
a)
x = linspace ( -3 , 3 , 500 ) ;
y = x. * exp ( - 2 ) ;Cuando escribimos los caracteres .* se está pidiendo a MatLab una multiplicación de
arreglos.
b) plot ( x, y, ‘ g ’ , ‘linewidth’, 2 )
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Ejemplo 7. Gráficas en figuras separadas
Dibujar las gráficas de las funciones y en dos figuras por separado con lascaracterísticas indicadas.
a) Primero borre todas las variables definidas
b)
Dominio el intervalo [ -1, 3 ] ; El paso de 0.01
c) Ambas figuras con cuadrícula
Solución
a) clear all
b) x = -1 : 0.01 : 3 ;
f = exp ( - ) ;g = 2 * exp ( -
);
c)
plot ( x, f ), grid on
figure
c) plot ( x, g ), grid on
Ejemplo 8. Gráficas en la misma figura
Dibujar las gráficas de las funciones y agrupándolas en una sola figura con lascaracterísticas indicadas.
a) Dominio el intervalo [ -1, 3 ].
El dominio es un vector con 50 datos.
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b) La gráfica de con trazo continuo de color rojo y la gráfica de con trazodiscontinuo de color azul.
c) Una leyenda que referencie a cada una de las funciones
Solución
a) x = linspace ( -1, 3, 50 );
f = exp (- ) ;g = 2 * exp (- ) ;
b) plot ( x, f, ‘r’, x, g, ‘b.’ )
c) legend ( ‘ f ( x ) ’ , ‘ g ( x ) ’ )
El comando legend( ) nos permite identificar la gráfica de cada una de las funciones.
Ejemplo 9. Variables Lógicas
a) Escribir un vector x con los números del 1 hasta el 9.
b) Escribir .c)
Escribir .d) Escribir .Solución
Para crear variables lógicas se utilizan los operadores relacionales ilustrados en la tabla 1.
Menor que
Mayor que Menor o igual que Mayor o igual que Igual DistintoTabla 1: Operadores relacionales
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Estos operadores se combinan con los operadores lógicos de la tabla 2.
&
|
Tabla 2: Operadores lógicosa) x = 1 : 1 : 9
b) x > 4
c) ( 2 < x ) & ( x < = 6 )
d) ( 3 < = x ) & ( x < = 5 )
Ejemplo 10. Función definida a trozos
Dibujar la gráfica de la función definida a trozos con las características indicadas.
a)
Dominio el intervalo [ -2, 3 ].El dominio es un vector con 500 datos.
b) La gráfica de color rojo. Tamaño 3.
Se debe observar la discontinuidad.
c) Con cuadrícula.
Solución
a) x = linspace ( -2, 3, 500 ) ;
f = ( ).*(x
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Ejemplo 11. Función definida por secciones
Dibujar la gráfica de la función definida por secciones con las característicasindicadas:
a)
Dominio el intervalo [ -3, 4 ]. El dominio es un vector con 600 datos.
b) La gráfica de color negro. Tamaño 4. No se debe observar las discontinuidades.
c) Con cuadrícula.
d) El tamaño de los números de los ejes es 15.
e)
El color del fondo es blanco.
f) El color del fondo es amarillo.
Solución
a) x = linspace ( -3, 4, 600 ) ;
f = (-
).*(x
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Ejemplo 12. Gráficas dentro de Matrices
Dibujar en una matriz de tamaño 2x2 las gráficas de las funciones potencias que se indican
a continuación:
La gráfica de es de color rojo. La gráfica de es de color negro. La gráfica de es de color verde. La gráfica de es de color azul.El dominio es un vector con 400 datos en el intervalo [ -1, 1 ].
Todas las gráficas con cuadrículas.
Solución
x = linspace ( -1, 1, 400 ) ;
f1 = x ;
f2 = ;f3 =
;
f4 = ;Para construir la matriz de 2 filas con 2 columnas cuyas entradas sean las gráficas, se
escribe el comando subplot.
subplot (221), plot ( x, f1 , ‘r’ ), grid on
El 2 indica el número de filas, el 2 el número de columnas y el 1 corresponde a la gráfica de
la función.
subplot (222), plot ( x, f2 , ‘k’ ), grid on
subplot (223), plot ( x, f3 , ‘g’ ), grid on
subplot (224), plot ( x, f4 , ‘b’ ), grid on
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Sugerencia
No se debe cerrar la gráfica sino minimizarla para no perder la información editada.
Ejemplo 13. Gráficas dentro de Matrices
Dibujar en una matriz de tamaño 4x1 las gráficas de las funciones trigonométricas que se
indican a continuación.
La gráfica de es de color negro. La gráfica de es de color azul. La gráfica de es de color rojo. La gráfica de
es de color verde.
El dominio es un vector con 500 datos en el intervalo [ 0, 2 ].Todas las gráficas con cuadrículas. El color de fondo es amarillo.
Solución
x = linspace ( 0, 2*pi, 500 ) ;
y1 = sin (x) ;y2 = sin ( 2*x ) ;
y3 = sin ( 3*x ) ;
y4 = sin ( 4*x ) ;
Los datos de entrada del comando subplot se pueden separar también por comas.
subplot (4,1,1), plot ( x, y1 , ‘k’ ), grid on
subplot (4,1,2), plot ( x, y2 , ‘b’ ), grid on
subplot (4,1,3), plot ( x, y3 , ‘r’ ), grid on
subplot (4,1,4), plot ( x, y4 , ‘g’ ), grid on
set ( gcf, ‘Color’, ‘y’)
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Ejercicio 2.
1.
Volver a escribir el vector x usando la instrucción linspace.
a)
x = -5 : 0.01 : 5 ;
b)
x = -3 : 0.1 : 9 ;
c)
x = -10 : 0.2 : 10 ;
d)
x = 0 : 0.001 : 8 ;
e)
x = 2 : 0.5 : 50 ;
2. Volver a escribir el vector x indicando el paso entre los datos.
a) x = linspace ( -6, 6, 100 );
b)
x = linspace ( -2, 2, 500 );c) x = linspace ( 0, 10, 1000 );
d) x = linspace ( -pi, pi, 20 );
e) x = linspace ( 0, 50, 300 );
3. Dibujar las gráficas de las funciones trigonométricas agrupándolas en una misma figura
y con las características indicadas:
a) Dominio el intervalo [ -2 , 2 ]. El dominio contiene 500 datos. b) La gráfica de es de color rojo, la gráfica de es de color verde y la gráfica de
es de color azul.
c)
Una leyenda que referencie a cada una de las funciones.
4. En la figura 2 se ilustra la gráfica de la función . Escribir lasinstrucciones que la caracterizan.
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Figura 2: Gráfica de 5. En la figura 3 se ilustra la gráfica de la función . Escribir las
instrucciones que la caracterizan.
Figura 3: Gráfica de 6. Dibujar la gráfica de la función
definida por secciones con las características
indicadas.
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a) Dominio el intervalo [ -10, 10 ].El dominio es un vector con 300 datos.
b) La gráfica de color rojo. Tamaño 3. Se deben observar las discontinuidades.
c)
Con cuadrícula.
d) La gráfica debe estar ubicada en la región
;
e) El tamaño de los números de los ejes es 18
f) El color del fondo es blanco
7. Dibujar la gráfica de la función definida por intervalos con las característicasindicadas:
a) Dominio el intervalo [ -5, 5 ]. El dominio es un vector con 100 datos.
b) La gráfica de color magenta. Tamaño 3. Se deben observar las discontinuidades.
c) Con cuadrícula.
d) El tamaño de los números de los ejes es 18.
e) El color del fondo es blanco.
f)
Etiqueta para el eje horizontal ‘ x ’. Tamaño 18. g) Etiqueta para el eje vertical ‘ f ( x ) ’. Tamaño 18.
h) Título ‘Función a intervalos ’.
8. Dibujar en una matriz de tamaño 1x2 las gráficas de las funciones que se indican a
continuación:
La gráfica de
es de color rojo.
La gráfica de es de color azulEl dominio de las funciones es un vector de 600 datos en el intervalo [ , ]. Elcolor del fondo es verde.
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9. Dibujar en una matriz de tamaño 2x1 las gráficas de las funciones que se indican a
continuación:
La gráfica de
es de color rojo.
La gráfica de es de color azul.El dominio de las funciones es un vector de 250 datos en el intervalo [ 0, 8 ]. El colordel fondo es blanco.
10.
Escribir los comandos que se usaron para obtener la gráfica que se ilustra en la figura 4.
Figura 4: Gráfica del ejercicio 10
11. De acuerdo con las instrucciones, escribir la fórmula de la función definida a trozos.
Dibujar con lápiz y papel la gráfica.
t = -2 : 0.001 : 2;
y = (-1).*((-2
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1.14. Programación con MatLab
MatLab proporciona un lenguaje de programación robusto con un ambiente computacional
interactivo y amigable. Una de las ventajas que se tiene al programar en MatLab sobre otros
lenguajes de programación, es que MatLab no requiere que se declaren las variables y sus
tipos al principio del programa ya que estas se definen automáticamente cuando se usan por
primera vez.
2.4.1.
Archivos en MatLab
Los archivos que contienen código MatLab se denominan archivos-M (en inglés M-files) y
tienen la extensión.m. Existen dos tipos de estos archivos: los guiones y las funciones.
Los guiones (en inglés scripts) no aceptan datos de entrada o producen argumentos
de salida. Manejan datos de variables que se han usado previamente.
Las funciones (en inglés functions) pueden aceptar datos o argumentos de entrada y
regresan también datos de salida. Las variables internas de una función son
variables locales.
Para editar un archivo-M se puede usar un editor de textos como Word; lo único que se
debe hacer al terminar es guardar el archivo de texto con la extensión.m.
2.4.2. Diagramas de flujo
Un diagrama de flujo (en inglés flowchart) es una de las técnicas que se utilizan para
representar los algoritmos. En la figura 5, se ilustran algunos de los símbolos usados en el
diseño de los diagramas de flujo. Recuerde que un algoritmo se define como un conjunto
finito de instrucciones precisas con un propósito específico.
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Figura 5: Se ilustran algunos símbolos de un diagrama de flujo
2.4.3.
Estructuras básicas de programación
El aprehendizaje de las estructuras de programación permite, entre otras cosas: programar,
simular y animar las soluciones de los modelos matemáticos.
Ejemplo 1.
Estructura if - end
Tiene la forma general:
if condición
instrucciones
end
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Dibujar un diagrama de flujo para esta estructura.
Solución
Figura 6: Se ilustra el diagrama de flujo de
la estructura if - end
La condición del i f puede contener operadores lógicos.
Si la condición se cumple entonces se ejecutan las instrucciones siguientes hasta el end .
Si la condición no se cumple, el programa ejecuta la primera instrucción después de end .
Esta instrucción requiere ser cerrada por lo que el end se coloca en el punto donde se unenlas dos bifurcaciones sí y no.
Ejemplo 2.
Archivo-m function
Escribir en un archivo-m function el siguiente programa:
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Asigna el valor de la función si y asigna el valor de la función si .a) Dibujar el diagrama de flujo,
b) Codificar usando la estructura i f – end .
Solución
a)
El diagrama de flujo se ilustra en la figura 7
Figura 7: Se ilustra el diagrama de flujo del ejemplo 2
b) La forma general del formato función (function) es:
function [ y ] = operación ( x )
y = instrucciones
end
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x es el argumento o parámetro de entrada
y es argumento o parámetro de salida de la función
operación es el nombre que se le asigna a la función
Para escribir el código se accede al editor (figura 8). Esto puede hacerse desde el menú
usando la ruta: File / New / Function
Figura 8: Ilustra la plantilla del formato function (versión R2011a)
El símbolo % se usa para escribir los comentarios que detallan y explican los códigos. Es
decir, si se inicia con este símbolo, MatLab interpretará esto como una línea de
comentarios. La codificación se escribirá sobre la plantilla como se ilustra en la figura 9
después de borrar los comentarios de color verde.
Figura 9: Ilustra el código del ejemplo 2
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Se guarda el documento con la extensión m. Hay que tener en cuenta que el nombre de la
función debe coincidir con el nombre del archivo-M con el cual se guarda. De no ser así, se
podrán presentar errores de directorio y/o ejecución. A continuación en la ventana de
comandos aparecerá un mensaje de error como se muestra en la figura 10.
Figura 10: Ilustra un mensaje de error arrojado por MatLab
MatLab está indicando que no se ha definido el argumento o la variable x. Por tanto, se
debe ingresar los valores seguidos de ENTER para que devuelva las respectivas salidas.
Por ejemplo para: x = -10, x = 0, x = 25 escribimos:
ejemplo2( -10 )
ejemplo2( 0 )
ejemplo2( 25 )
Ejemplo 3.
Archivo-m function
Escribir en un archivo-m function el siguiente programa:
Extrae la diagonal principal de una matriz cuadrada M . Si la matriz no es cuadrada
arroja un mensaje.
a)
Dibujar el diagrama de flujo.
b)
Codificar usando la estructura i f – end .
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Solución
a)
El diagrama de flujo es tarea para el lector.
b)
El código se ilustra en la figura 11.
Figura 11: Ilustra el código del ejemplo 3
MatLab contiene muchas funciones ubicadas en librerías especializadas llamadas toolboxes.
Por ejemplo, la función que nos permite extraer la diagonal de una matriz es diag( ) .
Cuando se quiere enviar mensajes al usuario se emplean funciones como las siguientes:
disp( ‘mensaje’ ) MatLab le muestra un mensaje al usuario.
error( ‘mensaje’ ) MatLab le muestra un mensaje al usuario y además detiene la ejecución
del programa.
Estas funciones se manejan como subrutinas para escribir programas más complejos.
Ejemplo 4.
Estructura i f - else - end
Una segunda forma del i f – end es la inclusión de la cláusula else . Esta nueva cláusula le
permite al programador el uso de un solo i f en muchos casos para ejecutar dos bloques de
instrucciones.
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La forma general es:
if condición
instrucciones a1
instrucciones a2
*
*
instrucciones an
else
instrucciones b1
instrucciones b2
*
*
instrucciones bn
end
Dibujar un diagrama de flujo para esta estructura.
Solución
Figura 12: Ilustra el diagrama de flujo de la estructura i f – else - end
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Si la condición se cumple, se ejecutan las instrucciones a1 a la an .
Después de la instrucción an , MatLab continúa con la instrucción que sigue el end .
Si la condición no se cumple, se ejecutan las instrucciones b1 a la bn .
Cuando se termina la instrucción bn , MatLab continua con la instrucción que sigue el end .
Claramente se ve que el i f – else – end sustituye a dos i f – end .
El programador tiene la libertad de usar la estructura que crea más conveniente.
Ejemplo 5.
Archivo m-function
Escribir en un archivo-m function el siguiente programa:
Calcula las soluciones de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
Usando La Regla de Cramer.
a) Dibujar el diagrama de flujo.
b)
Codificar usando la estructura i f – else - end .
Solución
a) El diagrama de flujo es tarea para el lector.
b) El código se ilustra en la figura 13.
Para el caso particular los par�