libro psu matematica uc parte 1

r

INTRODUCCIÓN

.Elpresente manual de ejercitación de Matemática para la Enseñanza Media y para laPSU, es el resultado del trabajo conjunto de dos de los autores del Manual depreparaciónPSU Matemática, editado por Ediciones Ue.. Este texto, concebido como uncuaderno deejercicios, está especialmente diseñado para complementar el Manual antes aludido. Su

. creación obedece a que en el mercado no' se ha hecho untexto de ejercicios adhoc parala prueba PSU de Matemática, en lo que se refiere a:lnivel apropiado de extensión yprofundidad. Esperamos contribuir a llenar ese vacío, desde la perspectiva de profesoresdedicados casi en forma exclusiva, a la preparación de dicha prueba.

De acuerdo a nuestra experiencia de varios años como profesores en la preparación para "las pruebas de ingreso a la:Educación superior y profesional, estamos muy conscientes delo importante que es 'la ejercitación en Matemática, una vez que se han entendido los'conceptos fundamentales. Enefecto, 'siendo la Matemática una disciplina abstracta porexcelencia y percibida como árida o abstrusa por los alumnos, lo más importante en ellaes lacomprensión y el entendimiento, y esto se logra no sin un gran esfuerzo de parte,tanto del que enseña como del que aprende. Una vez lograda la comprensión y el enten-dimiento de las ideas fundamentales, viene la etapa de la ejercitación, la cual debe serllevada a cabo en forma sistemática, rigurosa y permanente. No Se puedendesarrollarmúsculos con sólo leer un libro de gimnasia. No estamos exagerando la importancia quetiene la ejercitación en Matemática pues es la forma en que los grandes matemáticos, yasean puros o aplicados, hacen y construyen la Matemática. Conociendo la realidad mate-mática de nuestro país, toda persona que aspire a tener éxito en las pruebas de selecciónuniversi'taria (PSU), tiene que cumplir, entre otros, con los dos siguientes requisitos:

1°) debe comenzar a prepararse, al menos desde 30 medio, (ojalá desde antes) y ,2°) debe 'destinar todos los días.por lo menos, una hora diaria a ejercitar Matemática.

De ahí también que, para el logro de ese importante objetivo, se incluyen 44 Test de 30ejercicios cada uno, lo que da un total de 1.320 'ejercicios, con el formato de la P~u.Esperamos, enun futuro no muy lejano, incrementar esta cantidad de ejercicios a travésde la incorporación de nuevos test. ' .

Desde la quinta edición hemos propuesto 20 ejercicios resueltos, cuatro por~je temáticomás anexo, con el objetivo de facilitar al alumno una dejas formas de desarrollar orde-nadamente el ejercicio planteado. Esperamos que sea un real aporte a su aprendizaje.A pesar de'que el aprendizaje es personal, también es importante el trabajo de grupo, parapotenciar el hecho de compartir ideas.buscar soluciones en conjunto a los problemas másdifíciles, analizar las soluciones encontradas, etc, entre otras habilidades, En otras pala-bras, el trabajo de grupo propicia el control de calidad.

El presente texto está estructurado en cuatro grandes ejes temáticos, tal y cualIo señalanlos planes y programas del Ministerio de Educación, y cada uno de ellos contiene varios

test para los temas de la PSU Matemática, con sus correspondientes respuestas, Hemosprocurado, dentro de lo posible, ordenar los ejercicios que aparecen en los test, en ordende complejidad o dificultad creciente. No siempre es fácil ponerse de acuerdo en los crite-rios para realizar el ordenamiento pedagógico. Para tener éxito en la PSU, los alumnos y'las alumnas deben resolvertodos los test, ya que en éstos, se plantean ejercicios similares,a la PSU Matemática. Cada Test debe ser resuelto en un tiempo máximo de una hora.Además, para facilitar la labor de todos los usuarios del texto, hemos decidido colocar las

. respuestas de los ejercicios en la misma página dohde termina el respectivo test. De esta, manera, si un alumno o alumna utiliza un determinado test como evaluación diagnóstica

en un tema, entonces puede conocer su resultado inmediatamente.

Deseamos agradecer a la Sra. Teresa Navarro Castro, editora de proyectos especiales de, Ediciones DC, por la posibilidad que' nos ha dado de concretar este importante trabajo, 'quenuestros alumnos, alumnas y también colegas, estaban esperando, así como también alSr. José Miguel Cariaga De La Cuadra ya la Sra. Mónica Pérez Vera por la labor dediseño y diagramación del texto. Queremos agradecer también a la Diseñadora, Srta.

. Gladys Briones Torres, por la elaboración de algunos de los dibujos del texto. Deseamosexpresar también nuestros agradecimientos más sinceros para nuestro amigo y colega,el señor Óscar Bravo Lutz, por su contribución al tema de los vectores y al test que élmismo ayudó apreparar.

Si este texto puede servir a un gran número de usuarios, entonces nuestra tarea se habrácumplido a cabalidad.

Como siempre, deseamos a nuestras alumnas ya nuestros alumnos, desde ya, el mejor delos éxitos en sus futuras vidas profesionales y/o universitarias.

1

II

I!1:

Los autores

Santiago de Chile,.2009

r

ALF ABETO GRIEGO

Mayúsculas Minúsculas NombreA o. alfa

B ~ beta

,í y gama

/', 5 ,delta

E"

épsilonE

Z 1; zeta

H 11 eta

e e, ,} theta

1 I iota

K K kappa

1\, x lambda

M ~ rnu o mi'

N v nu o ni

- S xi

O o ómicron

n 1t pi

p p rha

L fJ,~ sigma

T r tau

y v ípsilon

<t> '1' phi

X X ji

'l' \jI psi

.' U w omega

~

111,I SIM1WLOGÍA MATEMÁTI(:A

LISTA DE SÍMBOLOS Y NOTACIONES MATEMÁTICAS

SÍMBOLOS USADÚS EN LÓGICA MATEMÁTICA SÍMBOLOS USADOS EN TEORÍA DE CONJUNTOS

Símbolo Significado Lectura

p, q, t, s, .. , proposiciones pe, CU, -ere, ese, ...

-p, -p, p, N(p) negación de p no p, es falso que p, etc.

p 1\ q conjunoón pyq

pvq disyunción, poq

P.::!.Q disyunción, excluyente, p o q, pero no ambas

P,=> q implicancia simple o condicional Si p entonces q, p implica q

p ee q implicancia doble o bicondicional p si Y sólo si q, p equivalente con q

ssi si Y sólo si si y sólo si

=> 0= proposición contradictoria' contradicción'ti cuantificador universal para todo, para cualquier

3 cuantificador existendal existe, existe al menos un(o) o una

3! cuantificador existendal estricto exi,té un(a) único(a)

Símbolo Significado, Lectura

A, B, e, ... conjuntos a, be, ce, ...

a, b, e, ... . elementos a, be, ce, ...

(a) conjunto de 'un solo elemento singleton de "a"

( a, b ) conjunto de elementos a Y b conjunto de elementos a Y b

E relación de pertenencia está en, es un 'elemento de

e negación de pertenencia no está en, no es un elemento de '

A-S relación de igualdad A es igual a S

e relación de inclusión estricta es subconjunto propio de

¡;; relación de inclusión está incluido en

::> relación de inclusión inversa incluye a,

o: negación de inclusión estricta no es subconjunto propio de

peA) o 2' conjunto potencia de A conjunto potencia de A

# Y #A- cardinalidad cardinalidad de A

u unión unión

n intersección ,intersección

- diferencia menos

"A' o K complemento complemento del conjunto' A

00{) conjunto vado o conjunto nulo . fi

U conjunto universal o universo conjunto universal o universo

( a, b ) Par ordenado de elementos a y b par ordenado de elementos a y b

AxS producto cartesiano entre A y B A cruz S- A6S diferencia simétrica entre A y B A delta B

______________Ji ----------

r"

SÍMBOLOS USA.DOS EN ARITMÉTICA. SÍMBOLOS USADOS EN ALGEBRA CLÁSICA ELEMENTAL

Símbolo Significado 'Lectura

IN conjunto de los números naturales ene

IN, conjunto de-los números cardinales ene subcero

Z conjunto de los números enteros zeta

Q conjunto de los números racionales cu

Q' 01 'conjunto de los números irracionales cu prima o i

IR conjunto de los números reales erre

e conjunto de los números complejos ce

,+ adición más

- sustracción menos

multiplicadón multiplicado por

: división . dividido por

'l. tanto por 'ciento o porcentaje tanto porciento

'lo. tanto por mil tanto por ¡nil,¡ signo radical raí~ cuadrada

~ signo de igualdad. es iguál a

'",

signo de desigualdad es distinto de

= signo de identidad es idéntico a

/ tal que tal que

> signo de comparación mayor que

< signo de comparación menor que;, signo de comparadón mayor o igual

< . signo de comparación " menor o igual

« signo de comparación mucho menor que

» signo de comparación mucho mayor que

r


n número naturatcualquiera ene

'2n número natural par dos ene

2n - 1 número natural impar dos ene menos uno

z numero compteje cua quiera zeta

z conjugado del complejo z zeta conjugado

1 a I valor absoluto de un número real valor absoluto o módulo de a

I z I valor absoluto de un complejo valor absoluto o módulo de zeta

eee proporcionalidad es directamente proporcional 'a

.. consecuencia por lo tanto, por consiguiente,

f(x)~ ax + b binomio de primer qradc efe de equis es igual a aequis más be

f(x) = ax' + bx + e trinomio de segundo grado efe de equis es igual a aequis alcuadrado más beequis más ce

± suma o resta más menos

a' , potencia enésima de a a elevado a ene

lag operador logarttmico logaritmo decimal o de Briggs

In operador logaritmico logaritmo natural o 'de Neper

, I~~I determinante de dos por dos determinante a, b, c, d

r b elde f determinante' de tres-por tres determinante a, b, e, d, e, f, g, h, i'g h i

[~~ 1 matriz de dos por dos matriz a, b, e, d

[a b eldelmatriz a, b, e; d, e, 1, g, h, ig h i matriz de tres por tres

L siqma mayúscula sumatoria

rr pi mayúscula pitatorie o multiplicatoria

[a, b 1 intervalo terrado de extremos a y b intervalo cerrado a coma b

1 a, b [ intervalo abierto de extremos a y b intervalo abierto a coma b

[a, b [ , 'i~tervato semicerrado o semiabierto intervalo semicerrado a coma b

1 a, b J intervalo semicerrado o semiabierto 'intervalo semicerrado a coma b

'~-~.

1 . .

SÍMBOLOS USADOS EN COMBINATORIA


n! olll factorial ene factoríal o faetorial de ene

P(n) permutación permutación de erie elementos

V' vañación o arreglo variación.de ene elementos tomados de a. erre. r

l:J combinacíóo combinación de ene elementos tomados de erre en erre

I1,

!

SÍMBOLOS USADOS EN PROBABILIDADES

Significado LecturaSímbolo

lím ..!:!..n-t-, n probabilidad freeueneial timite de la razón ene sub i partido por ene cuando

ene tiende a infinito

SÍMBOLOS USADOS EN ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Símbolo Significado. Lectura

f frecuencia efe

x oM.A. media aritmética o media media o promedio aritmétic~.

Me mediana mediana

Mo moda moda

; cr desviación standard sigma (minúscula)

~~

SÍMBOLOS USADOS EN GEOMETRÍA CLÁSICA ELEMENTAL


A, B, e, .... puntos a, be, ce, ...

<l::ABC ángulo ABe ángulo ABC

m (<l::ABC) medida del' ángulo ASC medida del ángulo Ase

PO segmento PO segmento cuyos extremos son P":J aPO o m(PO) longitud longitud o medida del segmento PO

L" L" L" etc líneas rectas recta L" t, L" ete

11 'paralelismo es paraleloaJ. , perpendieularidad es perpendicular a

n plano plano pi

P(A,S,C) plano plano que pasa podaspuntos no eolineales A, B ye

Il triángulo triángulo

h., h, Y h, alturas de un triángulo ABC haehe sub a; haehe sub b y hache sub e

b" ba y b.-, bisectriees de un triángulo ABC b~ sub alfa, be sub beta y be sub gama

t, t" y t, transversales de gravedad de un te sub a, te sub b y te sub etriángulo ABe

S.' S, Y S, simetrales de un triángulo ASe ese sub a, ese sub b y ese sub e

mi' mbymc . medianas de un triángulo ABe eme sub a, ~me sub b y eme su b e

H ortocentro ortocentro

1 incentro incentro

G centro de gravedad centro de gravedad

O . circuncentro circuncentro

pyq proyecciones de los eatetos sobre la pe y euhipotenusa

uyv segmentos en que la bisectriz by u y uvedivide al lado e. equivalenda es equivalente con

- congruencia es co~.~.ruentecon

- semejanza es semejante con

C(O,r) circunferencia circunferencia de centro O y radio r

C(P,O.R) circunferencia circunferencia que pasa por los

puntos no colineales P, Q YR

'I\B arco de circunferencia arco AB

1 !,

l' Il'I

SÍMBOLOS USADOS EN TRIGONOMETRÍA ELEMENTAL,


sen~ razón entre el cateto opuesto a ~ y la hipotenusa seno de beta

cosp razon entre.el cateto adyacente a }j y la mpotenusa coseno de beta

tgP , razón entre el cateto opuesto a P y el cateto adyacente a p tangente de beta

cotp razón entre el cateto adyacente a J) y el cateto opuesto a p cotangente de beta

secp razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente a ~ secante de beta

cosecf3 razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto a 13 cosecante de beta -

SÍMBOLOS USADOS EN GEOMETRÍA ANALÍTICA

Símbolo Significado Lecturaflx notación delta ~ delta equis

m pendiente de una' recta pendiente6.'1 pendiente de una recta delta ye partido por delta equisl1X ','

y=mx ecuación de una recta por el origen ye es igual a eme equis

y = mx + n ecuación principal de la recta ye es igual a enie equis más ene

AY. + By + e = o ecuación general de la recta aequis más bey más ce igual a cero

y - Yo= m(x - xo) ecuación punto-pendiente , ye menos ye subcero es igual a eme factorde equis menos equis subcero

_x_ .•-L=1 ecuación d,esegmentos de la recta equis partido por a más ye partido por be esa. b , igual a uno

x2 + y2= rl ecuación de la circunferencia con equis al cuadrado más ye al cuadradocentro en el origeh y radio erre es igual a erre al cuadrado

(x - h)' + (y - k)' = r' ecuación de la circunferencia con equis menos hache al cuadrado más yecentro en hache coma ea y radio menos ea al cuadrado es igual a erre alerre cuadrado

/¡

~

1

:11'

,1 f

TABLA DE ESPECIFICACIONES DE LA PRUEBA DE MATEMÁTICA *

'HABILIDADESINTELECTUALES

TOTAL

EJE STEMÁTICOS

, o0_o ~o",'E ~~~ID .~"'E

'~~ eo u u

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.8~~

~ o .. ~.2 éo '" • o0.> ~~~ 'ü o III

o O e~~ 2 ~ i~~0-2 c..O '" e.2

ID ~ ••••U ~e O> > c..~ , O • ~ e-o ;; u • •• O

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~~~Hl •• O~ s ~ :i ~ ~ go.. '" ._.~ o""tJ._

"'E ~o :o u •.••gO c..

Q.~~ O'U e ~ -cc.. ¿~~~ f-

11-29-21

I I ~26 20 1212

2, Álgebra y funciones

3, Geometrjo y Trigonometría

Fueme: Documento oficial. Proceso de Admisión 2005. Universidad de Chile. DEMRE. 4 de agosto de 2004.

l. . Números y proporcionalidad

4. Estadistica y probabilidad

I

1-

\:

r¡¡1

I/

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN

ALFABETO GRIEGO

SIMBOLOGÍA MATEMÁTICA

TABLA DE E$PECIFICACIONES DELA PRUEBA DE MA TEMÁTICA

PRIMER EJE TEMÁ neo. NÚMEROS Y PROPORCIONALIDADEJERCICIOS RESUELTOS

CAPÍTULO 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS ( Z)Test N° 1.- Números enteros:

22

26

I,I It¡!¡

11.!I

CAPÍTULO 2. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES ( Q)Test N"2: Números racionales 1Test N"3: Números racionales Il

31

CAPÍTULO 3. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES ( R)Test N"4: Números reales .

45

CAPÍTULO 4. RAZONES Y PROPORCIONES 51

Test N"5: Razones y proporciones

CAPÍTULO~. PROPO~CIONALIDAD

Test N"6: Proporcionalidad

CAPÍTULO 6. PORCENTAJE E INTERÉS

57

63

Test N"7: Porcentajes 1Test ¡¡O8: Porcentajes II

CAPÍTULO 7. REGULARIDADES NUMÉRICAS 74

Test N"9; Regularidades numéricas

BffiLIOGRAFÍAESPECÍFICAPrimer Eje Temático: NÚMEROS y PROPORCIONALIDAD

SEGUNDO EJE TEMÁTICO: ÁLGEBRA Y FUNCIONES

79,

EJERCICIOS RESUELTOS

CAPÍTULO 1. INTRODUCOÓN AL LENGUAJE ALGEBRAICO

82

88

Test N°1: Lenguaje algebraico 1Test N"2: Lenguaje algebraíco Il

CAPÍTULo 2. PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN y FRACCIONES ALGEBRAICAS 102

I

I,~

Test N"3: Productos notables, factorizocion. y fracciones algebraicas

C~ÍTULO 3. ECUACIONES DE PRlMER GRADo'O LINEALES y PROBLEMASVERBALES . 111

Test N"4: Ecuaciones de primer grado y problemas con enunciado verbal

CAPÍTULO 4. PROBLEMAS DE PLALWEO ~ON ENUNCIADO VERBAL 120

1

1:[

lit

1

'.· ,.1,1'11, '1I'!

(

Test N°5: Problemas de planteo con enunciado verbal

CAPÍTULO 5. DESIGUALDADES E INECUACIONES LINEALES

Test N°6: Desigualdades, inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineale

CAPÍTULO 6. GEOMETRíA ANALÍTICA BÁSICA

Test N"7: Geometria Analítica básica

CAPÍTULO 7. ECUACIÓN CARTESIANA DE LA RECTA

Test NQ8: Ecuación cartesiana de la recta

CAPÍTULo 8. SISTEMAimEECUACIONES LINEALES

Test N°9: Sistemas de ecuaciones lineales'

CAPÍTULO 't. POTENCIACIÓN

Test N°IO: Potencias

CAPÍTULO 10. RADICACIÓN

Test trn, Raíces

CAPÍTULO 11. FUNCIONES: CONCEptOS FUNDAMENTALES

, Test N°12: Funciones: Conceptos fundamentales

CAPÍTuLO 12. FUNCIÓN AFÍN, FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO y FuNCIÓN PARTE ENTERA

Test N°l3: Función afín, función valor absoluto y función parte entera

CAPÍTULO 13. FUNCIÓNCUADRÁTICA

Test N°14: Función cuadrática

CAPÍTUL014. ECUACIÓNCUADRÁTICA

TesiN°15: Ecuación cuadrática

. CAPÍTULO 15. FUNCIONES POTENCIA, EXPONENCIAL y LOGARÍTMICA

TeStN°16: Funciones potencia, exponencial y logarítmica

CAPÍTULO 16. ECUACIONES IRRACIONALES

Test N°17: Ecuaciones irracionales

CAPÍTULO 17. ECUACIONES EXPONENCIALES

Test N°18: Ecuaciones exponenciales

CAPÍTULO 18. LOGARITMACIÓN

Test N'19: Logaritmos

BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICASegundo Eje Temático: ÁLGEBRA Y FUNCIONES

TERCER EJE TEMÁTICO: GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

EJERCICIOS RESUELTOS

CAPÍTULo 1. ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS

Test N°I: Ángulos y triángulos

CAPÍTUL02. CONGRUENCIA .

Test N°2: Congruencia

CAPÍTUL03. CUADRILÁTEROS YPOLÍGONOS

Test N°3: Cuadriláteros y Poligonos

CAPÍTULO 4. TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

Tesf N°4: Transformaciones isometricas

CAPÍTULO 5. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA 275

Test N°5: Ángulos en la circunferencia

CAPÍTULO 6. PERÍMETROS YÁREAS 283

Test N°6: Perímetros y áreas

CAPÍTUL07. SEMEJANZA 291Test N°7:.Semejanza

CAPÍTULO 8. GEOMETRÍA DE PROPORCIÓN 299

Test N°B: Geometría de proporción

CAPÍTULO 9. TRIÁNGULOREcrÁl'lGULO:TEOREMASDEEUCLIDESYDEPITÁGORAS

Test N°9: Triángulo rectánguloi.Teoremas de Euclides y de Pitágoras

CAPÍTULO 10. TRIGONOMETRÍA PLANA

309

317

Test N°lO.: Trigonometría plana

CAPÍTULO 11. SEGMENTOS PROPORCIONALES EN EL CÍRCULO 326

Test N°1l: Proporciones en el Círculo

CAPÍTULO 12. GEOMETRÍA DEL ESPACIO

Test N°12: Geometría del espacio

CAPÍTULO 13. VECTORES: RECTAS y PLANOS

334

.343

Test N°l3: Veetores, ecuación veetorial de la recta y ecuaci6n veetorial del plano

BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICATercer Eje Temático: GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

CUARTO EJE TEMÁ rrco. ESTADÍSTICA y PROBABILIDAD

351

. EJERCICIOS RESUELTOS

CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

354

357

Test N°}: Estadística Descriptiva!

CAPÍTULO 2. PROBABILIDAD

Test N"2: Probabilidad l

BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICACuarto Eje Temático: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

366

376

ANEXO: SUFICIENCIA DE DATOS

EJERCICIOS RESUELTOS 378

383Test N°1 de Suficiencia de datos

JFi':

¡i:

1'1I

PSU:Cuaderno de Ejercicios, Matemática

EJERCICIOS RESUELTOSPRIMER EJE TEMÁTICO: NÚMEROS y PROPORCIONALIDAD

1) Gladys va al supermercado y compra medio kilogramo de carne molida, tres cuartos de posta rosada ydos kilogramos de lomo vetado. Si ella pide que le saquen toda la grasa al lomo vetado y ésta se reduceen un cuarto de kilogramo después de dicha operación, entonces ¿cuántos kilogramos de carne compróGladys en total?

1A) -

41

B) -2

C) 1

D) 1 -

~ 3

Solución:

.'~:';'\\~

r1

s -\-2..-1-4

PRIMER EJE TEMÁTICO I Ejercicios Resueltos

2) Dadas las razones a.: b = 3 : 4 y b : e = 8 : 9, entonces ¿cuál(es) de las siguientes igualdadesexpresadas en forma de razones es(son) siempre verdadera(s)?

1) a:b:c=6:8:9

11) a: e = 2 : 3

1I1)a + b + C a- -

23 6

A) Sólo 1 y IrB) Sólo II y IIIC) Sólo 1 y IIID) 1, II Y IIIE) Ninguna de las tres

Solución:

_-\

Z tI

Si la segunda razón de a : b = 3 : 4 se amplifica por 2, entonces resulta que a: b = 6 :8, ycomo además con la razón b e = 8 : 9 tenemos el elemento "b".en común, podemos escribir laproporción continuada a b c: e = 6 : 8 : 9. Según esto, la igualdad 1 es correcta.Ahora, para saber si Ir es correcta, comparamos "a" y"c", sacadas de la proporción anterior y tendremos:a : e = 6 : 9, Y simplificando esta última razón por 3, nos queda: a : e = 2: 3, con lo cual IItambién es correcta.

. Finalmente para la tercera, aplicamos la propiedad fundamental de toda seriede razones iguales y nos

a + b + C a . .queda: =- (hemos comparado col). la primera razón pues es' la que figura en el segundo

6 + 8 + 9 6

\~t~ Z\

- . ..". -.\;/()'--;/f

~

;::; ~

tL

. a+b+cmiembro de la proporción), lo cual se reduce a: -----también es correcta. 23

a-. Por lo tanto, la proporción III6

Este sencillo ejercicio se reduce simplemente.a escribir los numer~les de las cantidades que se mencionan'y, en seguida, sumarlas y restarlas según el caso.Tendremos:

1 3. 1 I 2-+-+2 - -=-+-+22 4 4 2 4

1 1- + - + 22 .. 2

+ 2

. 3 1(resolvemos pnmero- - -4 4tienen igual denominador) .

2-, aprovechando que4

Observaciones y comentarios:

Hay otras formas también de resolver este ejercicio, mediante el uso adecuado de una constante deproporcionalidad "k".Para tales efectos, consultar nuestro manual de preparación Matemática PSU, capítulo deproporcionalidad, páginas 82 a 85. Editado por Ediciones Universidad Católica de Chile en su octavaedición, febrero de 2008.Este es un ejercicio de razones típico de la PSU, en el cual se pide relacion~r elementos de ciertasrazones dadas y obtener también nuevas razones a partir de los datos. Es un ejercicio de. medianadificultad, aunque los alumnos cometen frecuentemente el error de creer que si a : b = 3 : 4, entoncesa. = 3 Y b = 4, lo cual es un gravísimo error pues eso significaría que no han entendido el conceptode razón.

Respuesta correcta: alternativa D .

(simplificando la fracción ~ )4

G + ± = lJ= 3

Por lo tanto Gladys compró 3 kilogramos de yarJ,le en total.


Este es un ejemplo muy sencillo tomado del diario vivir, en el cual, para resolverlo, se debentraducir. los numerales hablados en español a numerales simbólicos y luego efectuar las operacionescorrespondientes. Se considera un ej ercicio fácil.

Respuesta correcta: alternativa E

22 23.. . .._--1::;.

1111, : ..

oo.

i

Firi¡

iII

II¡I~iII,

IIt

I¡1

I1

1: II 24 .. L_

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

91, -

825 36

, - , - , el cuarto término de ella es32 64

3) Dada la siguiente sucesión: .!.'2

A)

8956

D). ~2

.8)

C)

I

I. .

E) No se puede determinar pues faltan datos

Solución:

I1I

Puesto que una sucesión es una función de N a R, entonces el problema se reduce a encontrar unafunción, expresada mediante alguna fórmula matemática, en términos de "n" para el cálculo de lasimágenes, es decir, de los términos de la sucesión, Escribamos los términos de la sucesión dada,identificándolos por sus correspondientes subíndices; los cuales nos dan la ubicación de ellos: al es elprimer término, a, es el segundo término, a, es el tercer término, etc. .

1 12

a = - = -1 2 ·i

a2 = l : (puede escribirse de una infinidad de formas)

9 32

a = - = -l 8 i

. a. = ? (es el término que ,se busca)

25 52a = - =-

5 32 25

36 62

a = ~ =.-6 64 . 26

l' Observando atentamente la forma general de los términos conocidos, vemos que el término general oenésimo de la sucesión viene dado por la expresión:

PRlMER EJE TEMÁTICO I Ejercicios Resueltos

n2a =- 'v'neN

n 2n'

En efecto, según esta fórmula, elsegundo término (n 2) sería:

22

a2 = !' es decir: a2 = 1, lo cual es correcto pues .coincide con el término dado en el enunciado.2

De tal modo que el término solicitado, el cuarto (n = 4), est~ dado por:

I 42- ,es decir:24a4

a4


'En este tipo de ejercicios, deben darse en el enunciado la suficiente cantidad de términos (ininimotres), como para poder encontrar Ia función -expresada a través de alguna fórmula matemática-que permita.encontrar las imágenes, es decir, los términos de la sucesión. Con sólo dos términos esimposible encontrar una ley general pues de seguro habría más de una y, por 10tanto, el problema seríaambiguo y habrían muchas (en general infinitas) soluciones posibles. Cuando se dan tres términos,se debe tratar de ver si hay alguna constante en dichos términos. Por ejemplo, se debe verificar si dostérminos.consecutivos difieren en una constante (progresión aritmética), o bien, si la razón entre dos

. términos consecutivos permanece constante (progresión geométrica), etc, .Por último, es importante observar que el segundo y el cuarto término de la sucesión se repiten, es.decir, son iguales. Este es un hecho perfectamente posible pues, en ningún momento de la definiciónde una sucesión de números reales, se pone de manifiesto que tal hecho no pueda ocurrir. De hecho, en

una sucesión oscilante, del tipo an = (-1)"; todos los términos pares son iguales entre sí y tienen porvalor 1, Y todos los términos impares son iguales entre sí y tienen por valor - L

Respuesta correcta: alternativa A ,

2S

1,I! 1,

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Mar'emática

1) (-2)(-3)2 + (-2)3 ; 4 =

CAPÍTULO 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS (Z). Test N' 1: Números enteros

~ -20Q , :1- .2. . ~ ---o, ",

13 ~'\ ea -2-B) -Z-1 , "lOCl -2"

17D) -Z-E) 16

2) ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?

I) 3· (-2) = 6/ III) -5 < -1 VIr) 3 . (-2) > _52 / IV) O,> ~3 ,Y

- {. .:., '.. "~ . ./

A) S610 Ir y IIIB) S610 II y IV.C) S610 III y IV,~ S610II, III y IVE) S610 III, IV Y V

.'3) -3 - 3· 3.; 3 + 3 =

,..:::,\-'-'>A) -6~ -3C) OD) 3E) 6 / "

4) El valor de - [~1 - H/+1) -1 - (-1 + 1) - 1 ] es

A) -3 - G '\lt-~-",,\\-'\ \,+,.~--,-() - rB) -2C) -1 -7 '\ _\- /\. ~ '\D) 2~ 3

~. ~\~, .~

t<

(v..:;;' 0

~, 5)

- '3-\(:_-00 -'c -z.-=i .: -S

;.'6) El valor de la expresión 18 - (~45) : (_3)2 + (-2) '(_1)' es

:~ 25,' - .t-:\5 ~ ?1 ' .f .1;.. ~;

B) 9 ó o I - \. -'.'\\C) -5 '\ ü - ,,-c b I -+ - L .\

D) -9E) 5

\2>'-\ -

26~ '::.":.\- ":i,

-eS

TIEMPO MÁXIMO PARACADA TEST: 1 HORA

V) -10 > ~iVI) 32 < 2'

"21

r!

7)

PRIMER EJE TEMÁTICO I Test W 1. NÚMEROS ENTEROS

Si a = -2 ; b = -3 ; e = -1 Y d = -4, entonces [a - b • (d - e)] - a =~ -'-9B) -7C) -4D) 7E) 9

[:-1--+ ::, • (- q -\- '\'(:i n,1:'. '\l..'¿,-I -

~..-J. ~ -J.

_': __ ;cJ\\ )

y

~ 8)

e.,

Al~B)

C)D)

'-~9)

Si a '" -2, entonces ".a2 - 1\' =-12 ' 1; .: \~ (-l'i. ?-4 - (.~l)- (--;1 ~ t 1\ -e - 2-2 ~-\ '\ i ,';)\ L'"

2 ~\." ~ ¡~~C ' ~ 7.--. -\- ~ 1

4 _ /\ ' ?- - \,\ - á,'J., -1--~ -r: _.\ \.j

Si 1 a 1 representa el Valor absoluto de a, indique cuál de las' siguientes alternativas es falsa:

El rectángulo de la figura representa una cartulina en la que se desea pegar fotografías cuadradas deigual tamaño hasta cubrirla exactamente, ¿Cuál e~ la mayor longitud del lado de las fotografías quecumplen esta condición? J o,A) 2 {\ ~.\J =- q, - ¡-;\ ','0 ~ r--\Q.~ 3 - ' ~ ")+- >,L ,_ "C) 4 'b ,..S\~ C",-D) 5 - 1\,;:5-- .E) 6 /'

A) 1-7 1< 1-8 1 ';.-;- '-:;.B) -21 < 8':¡i) 1-71> 171D) -5 < O

'E) 1-91 >1-8 1

l Ü) ~23 + 5° + 32- 4' =

A) -6 ~,\ -t Q, - 4'B) -4

.",. 5·\l -2 t

D) O -LE) 2

~ 11)

12) Tres números enteros consecutivos suman cero, ¿Cuánto vale el mayor de ellos?

A) -2,B) -1C) Oj 1E) 3

, , ----1_-{-o] ¡' ,91 . -.::~_

15

A) NP OM1~ MOPN

C) MONPD) N'PM OE) N M PO

1,~77<) ;00 LZ?.

13) Si M, N, O YP son números enteros tales que M > N, o >..P, N < P y o < M, El orden decreciente de estosnúmeros es

,7., / 7 1:1UJ <, L. __ ;

"1\ .~. "2. \.\\~, . -

2~)

~ '-,J L'~ <. 7 '7 ,I L.. ••••.

1. 1); LL27

1:1, :

I

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Motemáiíca

14) Si X E Z y X < ':'1, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) mayortes) que 1?1) x' 1I) 2xA) S610 1B) S610 IIC) S610 n y IIID) S610 1 y n¡fj) Sóló 1 y III

15) Se define: "Dos números p y q son compatibles, si el cuociente 'entre el mayor y el menor es un. número entero múltiplo de 3". .De acuerdo con esta definición, ¿cuál de los siguientes pares de números p y q ~on compatibles?

Ill) _x3

[1, .

Al 56 Y 7B) 24 Y 12C) 12 y 3D) 72 Y 9~. 54 6 ,', . .'

t; ~16) El valor :e "x" en'la siguiente igualdad -{ 1 +[ 3 - (2 + x) 1 } = O, es

1

1, " ,A) -2 -\ L "'"Zx.. "B) -1

1I :', C) O - 1\ ~ .0\; :W D) 1 -""'1 "11 ~ 2 ',,::..

? c( 1:1) Si b es el sucesor de a, entonces (a+ b)(a - b) - (a -b)' es::. A) 2a + 2'1 .::1 B) -2a + 2

·1 C) -4a - 2! D) -6a- 2

~. -2a-2

18) Sean a, by e números enteros. Si ~,;:> b, b » e y b = O, ¿cuál de las siguientes relaciones es falsa?

A) a' e < O ,/. 2\ 'O,',.').;,J V;;; .B) b: a = OC) a' b = b~ b+ c c O

\,i( . E) a -c > O"'( 19)

:>Lb >;j . )

'"'/>

'"\...J

Si a + b + e = 2p, en donde a = 5, b = 4 Y e = -3, entonces el valor numérico de la expresiónp'(p - a)(p -b)(p - e) es .

A) -24B) 24C) 84D) 96

~ 108

'f,. 20) La temperatura mínima de un día fue de dos gradosCelsius bajo cero y la máxima de ocho gradosCelsius sobre cero. ¿Cuál fue la variación de latemperatura en el día?

A) ~IO·CB) -6·Cg 6 ·C~~. 10 ·C~E) .11 °C'

- L ~f31 \¡O~\U:~;",~".....0 '"f· ["(,~}.l. '1 r /:. ,-. .'1\0

r: \0.\:_/..(~ ~_l'

I28

..i.L

rL1¡

I,II!

1

lI1,III1l'! 't,.'\

I~¡ -,

II1•1¡;!.

1

1~fl.1

PRIMER EJE TEMÁTICO I Test W l. NUMEROS ENTERpS

21) Si p Y q son enteros consecutivos tales, que p < q , entonces siempre es cierto que

1) P - q = -1

~ S6lo 1B) S6lo IIC) Sólo IIID) Sólo 1 y IIE) S6lo II y m.

Il) p : q = p" + 1 IIl) p: q =-1

') '. -a, /~- ~/.

....-.f\

22) M = 12C4 representa a un número de 4 cifras divisible por 6. ¿Qué vaiores puede tenerel dígitoC para que se cumpla la divisibilidad?

A) { 1,2,3 } , " \ 1.5 L\ b-:.2')'12" L{' fe; - ~"~',B){A, 6, 9 } 1,' L .' - é'.,-,u:"j

C) {3, 6, 9 } :;'2- J0{ 2, 5, 8) G. \.\

, '"'7 ~?v,E) {5, 6, 7 } '1./

23) Sean'X, Y, Z tres números enteros distintos, tales que X > Y » O,'Z = O. ¿Cuál de las siguientesproposiciones es falsa?

-J 1LI-r-s-\-l.A) Z(Y- X) = O

, Y-X+Z>OC) XY +Z>OD) X(Y +Z»OE) YZ+ X>O

24) Si se sabe que A > B > C y una persona debe reunir A. Primero reúne B y luego gasta C. ¿Cuántole falta-para completar la suma deseada?'

A) A + B - e.IJJJ C+A':'.,C)-A- (C-B)D) A-'(B+C)E) B -C + A

25) Se sabe que "n'' es múltiplo ¡le 3. Entonces, ¿cuál(es)de las siguientes afirmaciones es(so~) verdadera(s)?

1) n" es múltiplo de 3/ II) ·12n es múltiplo de 3/ . IlI) n + 27 es múltiple de 3A) Sól61 / '.B) Sólo m'< »>C) S6lo 1 y nI""D) S6lo II y m'< .>'

~ 1, By III ','//

(\ Q)

\ ..•..-,v.

')1 \~

" '.0

o

.- :{,_0

/.- ...•\~.1'f)]:--'-_--=~,.

lO J<')

"--' _.~.,-------

29

PSU, Cuaderno de Ejercicios, Matemática

26) La relación a > b» e, con a, b, C E Z se cumple si:

(1) a> e y b > c/ .(2) a ~ b ya> O

A)' (1) por sí sola /B) (2) por sí solav'

$.\~') Ambas juntas, (1) y (2)"<. /D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) /E) Se requiere información adicional x,

27) Dado que X.E Z. ¿Es x positivo?

(1) XZ es positivo..(2) 2x es 'positivo /

A) (l) por sí sola~ (2) por sí solaC). Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere inf.1mación adicional'. ~!,-',= ~/

28) Si a, b E Z, ¿es a + impar?

(1) '!a-=- tres 'frrl:par /(2) a.: b'", .6..---:

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)~ Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

_V l' '"29) ¿Cuál es el valor numérico de la expresión x' -r- x? ~ 'y' . 'Z,L_ ~')(1) ;2-4=·0 t:'" -J...?"':;. 1--\ X:::.;2 <r>;«;

. '\ < f,\

(2) x' = -8 ::.I~ x.. . (J -::(j

A) (1) por sí sola<0 (2) .por sí solaC) Ambas juntas, (ll.y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

30) Podemos determinar el número total de personas, entre damas y varones, que asiste a una fiesta si:

(1) es posible formar quince parejas entre los presentes y quedarían nueve varones sin dama.(2) cuando todos los hombres quieren bailar, faltan nueve damas.

.• (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, .(1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

l'

I

RESPUESTAS CORRECTAS

'rIit

PRIMER EJE TEMÁTICO I Test N" 2, NÚMEROS RACIONALES 1

CAPÍTULO 2, EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES (Q)Test N" 2: Números racionales 1 .

1) ~(%-~J=A) J... 1-165

1 r

B) 35

1 ,..'""

t 25-~

__1='~--'-~"

~c.\ I-",r:.J,_;

.-.,c:~....• 'J'

t· ,

~\ ~~\

¡II!I1 9I D) -I 15

¡E) 1

. '4 2) Una fracción de términos P/{~os aumenta $U ,vator si:

1

11) el numerador aumenta,

II) el denominador aumenta.. III) el numerador disminuye. /! ' IV) el denominador disminuye V r\}'1, . A) Sólo 1

B) Sólo 1 y II.C) Sólo 1y IIII '~) Sólo 1 y IVI E) Sólo II y IV

l

j-<-

\\

~\~~T

\ I

~\~

.r-::

~\'----.....J

\ \

'--.....5

~

_.5-'"

,\:~.J.\"0~,

3) En un curso de 40 alumnosIos ~ son niñas, Si a mediados deaño entran al curso 5 niñas más, ¿cuál8

será ahora la fracción de niños del total de alumnos del curso? ,

1A) '4

2B) '9

5C) '9

1D) 2:

1E) '3

4). Una barra de aluminio' mide 0,5 m. Por efecto de los cambios de temperatura, a las 16 h se hadilatado en una centésima parte de su longitud. ¿Cuánto mide alas. 16 h?

I ,

I 30 1 31

I,-r

It..1

A) 0,51 mB) 0,55 mC) 0,505 mD) 0,555 mE),O,5005m

11

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemdtica

5) Si n es un número entero negativo distinto de -1, ¿cuál de las siguientes fracciones es la mayor?

. ¡A) - -

n -L

• 1.-;;:- --q-1

e) - n'

lD) -

n-l

nE) - A6) Si a = .!. b

2verdaderats)?

l) a+ b c c

~ Sólo lB) Sól~ II

'e) Sólo IIID) Sólo l y ,IIE) r, II Y UI ,

-:-,. ,:-- I~ '{.:, .2J- '3:" J ~ <, 2.. ~_,_ .' ::::".Z, • "', -1':7 "\' \? -;"1 ' .,'0 .--;-r.~ -t t.,~

...::'

'~ y e = ~ , entonces ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son)7 ~" .¡Ir, I

e b- <a'e

i '.~;...:±~~II) b < e • a2 III)!"-

i

j 7) En un triángulo rectángulo isósceles, ambos ángulos interiores agudos disminuyen un noveno sumedida. Entonces la medida del tercer ángulo interior del triángulo resultante

A) aumenta en un noveno.B) disminuye en un noveno.-C) aumenta en un décimo.D) aumenta en un quinto.E) aumenta en dos novenos

8) En un ó. ARe, un ángulo interior mide x", el segundo mide l O" más que la 'mitad del anterior y elúltimo mide un quinto de lo que mide el primero. ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menorángulo interior?

"¡

! '

A)B)C)D)E)

100°20°80°40°60°

9) Un estanque'tiene ocupadas sus tres octavas partes con agua. Si agregándole 500 litros el agua ocupahasta la mitad del estanque, ¿cuál es ,su capacidad?

A) 8.000 litrosB) 4.000 litrosC) 3.600 litrosD) 2.000 litrosE) 1.000 litros

; :1

l'32 I

__L

'~

PRIMER EJE TEMÁ rrco I Test N° 2. NÚMÉROS RACIONALES 1

10) Un partido de fútboi se desarrolla en dos -tiempos de 45 minutos cada uno. ¿Qué fracción delpartido resta cuando han transcurrido 20 minutos del segundo tiempo?

2A) -

9

4B) -

9

5e) -

9

\

5D) 18

13E)

18

11) Enun gr~po de madres, ~ de ellas no han tenido hijas, un sexto. t~vo melliz~s y las 26 restantes tienen, 5,:,;,'

sólo una hija. ¿Cuántas madres hay en el grupo? ':',"

? 2. ..A) 260B) 120C) '60D) 30E) No se puede determinar

'-='. i\:?\ ¡~!;

" \ •...,' R' __ "'"

\3,.

2En un curso, un día faltaron a clases los 5cuántos alumnos se componía el curso?

12) de los alumnos. Si ese día asistieron 24 alumnos, ¿de

'2. 2.: ..\';:'. _ ,V..':;-------_._~.~11.~:;... ...• \ -......:.- -

~) 36B) 38 """ r-:

C) 40..1

D) 42E) 44

\.~~ ,,1;-,.~

13) ¿QUé' precio tiene una mercadería si los~ de losl de ella valen $7.500?. . ,3 4A) $9.000

,B) $12.500C) $15,000D) $17:500E) $24,000

Te~emos 6 botellas llenas y 4 a mitad de,capacidad, todas de lit, que contienen aceite. Para envasar1 . 4

dicho aceite en botellas de - litro ocuparemos "2 , '

14)

A)B)C)D)E) .'

5 botellas6 botellas

10 botellas'11 botellas12 botellas

33

I:i,1)11:;!

PSU. Cuaderno de Ejercicios.' Matemática

15) Una persona compró dos séptimos de 3+ docenas de naranjas. ¿Cuántas naranjas compró?

A) 2 docenas

B) 1+ . docenas

C) 1* docenasD) 1 docenaE) 1. naranja

16) Si a cinco enteros un medio se le suma el producto de tres 'octavos por cuatro quintos, se .obtiene

A) 41.;B) 4~

C) 41D) 5~

"l E) 51 .Y'"j 42 70 56;. i\ . . .'. "( 17) Si a = -; b = -; c = -, entonces; con respecto al orden entre ellos, la alternativa correcta es

, 147 245· 159 . , " '

'A) a c c c b 117~\' ¡U~ -r> ?~' ~(1):Zll.c:>::.B) b > a'> e '1 ~j, \ .' .,' - \ '

C) c o b c- a .. ,(~D) a+c=b ~'\C) ,E) a =,b -cc ,,:>"';9·,

18) L . l ,3 5 7 7 d d d " ,os raciona es -, -, -, - or ena os e mayor a menor son4 6 8 9

¡I¡IIo

!111

il1:

A 3 5 7 7) 4' 6'9'8

B 7 73 5) 8' 9' 4' 6

.;.....:..--¡'")"-" ¡ I -

. '" -'\- ,•..... "

""-

~757 38' 6' 9',4'

-r

775 39'8' 6' 4

E) 7... ,7... ~ ~9' 8' .4' 6

'J;..,D)

3 ' '19) ¿Cuántos paquetes de 4' kg de azúcar se pueden hacer con 3 sacos de 40 kg cada, uno?

A)B)

~E)

90120160210280

.'

)l~

i (0 ..c---'2 ?::

, _,'o.

34 ,Q,

»:

PRIMER EJE TEMÁTICO/Tesl N° 2, NÚMEROS RACIONALES 1

20) En un estanque deestanque?

A) 8tB) 9tC) 8+

D) 9+E) 8t

17t litros de capacidad, faltan 8-ili litros parallenarlo. ¿Cuántos litros tenía el

equivale a

.7 -1,1'

!o i'!'\ \~I

12+-, 321) -1

1 - ~3

SA) 4

4B) S

3C) -

4

49D) 5

5E) 49

5 - .!., __ 3

1 + ~3 - ,\..:....:-~_....-..-

~- '!J Il 3, ~.). ~

,L,]

...,.., ...\ c. _. __ 1. c....) !-

1) (p + q)(p - q)

A) Sólo 1B) Sólo TIC) S610 IIID) Sólo 1I y IIIE)r',IIyIII

<.o:.

-y~::j¿;

\ "\ L¡-:'~ :J ! .~.

-:).i C; ..:.._z, \.!."l.

22) ¿Cuánto, es la mitad del recíproco de 4?

1A) '2B) 2

1C) 8D) 8El 1. 2

23) Si p=- Y'3

entero?

1 'q =-, entonces, de las siguientes expresiones, ¿cuá1(es) equivaletn ) a un número4 '. ,

II) 6pq.8p

III) 3q/'

1

35

U' Al ...

1, ~

! !,

PSU, Cuaderno de Ejercicios, Matemática

24) El valor de

3 2_4__ 5_ es7 810· 15

rI

PRIMER EJE TEMÁTICO I Test N" 2, NÚMEROS RACIONALES I

27) -Si a, b y e son tres númerosracionales.positivos, ¿cuál es el menor?

1 '4

9A) -28

21B) -

10

6C) -

5D) 2

1E) -4

25) Un basquetbolista convierte In tiros y falla n. ¿Qué fracción de sus lanzamientos convierte?

mAl

m+ n

m-vn. B)

m+ n

x-C) y

mD) -m-n

mE) -

n

126) ¿Cuánto vale "2 kilo de durazno s?

(1) 3+ kg valen $\.950 .(2) 2 durazno s valen $200

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solacr Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2)E) Se requiere información adicional

(l)a-b=

.1(2) a - e = -2

!,I

I

l'1

1"

36

¡¡. A) (1) por sí sota

B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2)E) Se requiere información adicional

28). La fracción 1: es negativa. si:q

(1) P + q< O(2) p> O

A) (1)por sí solaB) (2) poi sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

9 Si a+c .7·. .2) 1 -- =-, ¿cuál es el.valor de a?c 3

(1) 3a = 4c

3

2A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

(2) e =

30) Seanx e y enteros no nulos. La fracción 2'. representa un número entero positivo, si:y

(1) le e y tienen el mismo signo(2) y> O 1\ X es múltiplo positivo de y

A) (1) por sí sola .. B) (2) por sí solaC) Ambas juntas; (l) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

.E) Se requiere. información adicional


37

.l... ¿e§ - ,--

1, :

l'1, !I

i

l·i

r¡,I!

L


TEST N° 3: Números racionales II

1) '2. + ~ + ~ =10 100 1.000

A) 0,58 '

31B) 1.000

e) 0,327D) 0,427E) 3,28

. 2n2) Si n es un número natural, entonces la expresión 2n + 1 representa siempre

A) un número impar.B) un número par.e) una fracción impropia.D). un número mixto.E) una fracción irreducible.

3), ¿Guáles de las siguientes fracciones son equivaientes?

TI) 416

2'8

IV)I) O,2~

A) Sólo .I yIIB) Sólo II y III 'C). Sólo III y IVD) Sólo II, III Y IV,E) I, II, III Y IV

4) [¡ -'(5 . ~ + 1)] - 3' : 2 =

III)

514

67

4

698

154

38

5) 0,000002' 5 . 10' =

A)

B)

C)

D)

E)

A) 500.000,2B) 10,0.e) 2,5D) 1,0E) 0,1

;38

832

rPRIMER EJE TEMÁTICO' Test N03, NÚMEROS RACIONALES [1

6) La edad de Susana es cuatro veces la edad de Pablo y' 1t veces la edad de María. ¿Qué parte dela edad de Pablo .es la edad de María?

3A) -

8

B) 2+

e) 3{-

D) 6

E) 6t

1 17) 3' - 12

14

I

I

'4A) -'9 ¡E) O

1e) -4

D) 1

5E) -3

8) Por los tre~ octavos de una torta se pagan $4.500, entonces por los cinco sextos de la misma, se debepagar

A) $10.000B) $8.000C)$12.000D) $7.250E) $9.000

9) 0,875: 0,625 =

A) 1,6B) 1,5C) 1,4D) 1,3E) ,1,2

10) Si, P = 0,001; Q = 0,01 Y R = .0,1; entonces el valor de P + QR es

A) 0,00101B) 0,0101C) 0,0022D) ,0,002E) 0,0012

39

1, :

t ':

ijt

1I

1:

1:

~,

,I¡

11r

, '

~,

PSU. Cuaderno de ·Ejercicios. Matemática

11) 0,42 =

14A) -

33

21B) -

SO33

C), 14

190)5

"S

E) 19

12)'1- 25,- _4_

3 - .!3

83

3B) -2

7C) '2

4D)-;¡

A)

3E) '7

13) ¿Cuántas veces 0;01 es iguala 1,01?

A) 100B) 101C) 110D) 1,01E) 0,101

i4) 1 : (0,125tl

A) un octavoB) un cuarto'C) un medioD) cuatroE) ocho

40 '

rIIII

PRIMER EJE TEMÁTICO I TeSI N"3, NÚMEROS RACIONALES II

15) En una liquidación de temporada, los ~ de los ~ del preciode una camisa son $1.500, Entonces, el, de Ia cami 3 14 'precio e a camisa, en pesos, es

A) 3,500

4,500B) -:;

13.750 'C)-7-

D) 5,000E) Otro valor

16) ¿Cuá1(es) de los siguientes números. es(son) racional(es)?

1) -2,73 TI) 0,123

A) S610 Ly IVB) Sólo I yIIC) S610 II y IIID) Sólo I, II Y IIIE) I, II, III YIV

III) 4,0156 IV) 5,01001000100001..,

1 '

I!

I

217) Un cordel se corta en cuatro pártes: la primera es 15 del total, la segunda es

tercera es 2. del total. Si sobraron 80 cm, entonces todo el cordel medía5

A) 360,cmB)' 3,2mC) 0,0018 kmD) 2,700 rnmE) 0,0018 m

'2'9 del total, la

18) La mitad de un tercio de 11. es lo mismo que

Al8-10

6Bl -

10

1C) 20,

D)1-5

E) 5

11) Si n . 10-3 = 10-4, entonces el valor de n es

A) 0,0000001B)' 0,000001

C) , 0,00001D) 0,001E) 0,1

41 '


20) Un bidón contiene los dos tercios de su capacidad con bencina, Si se sacan de él 2,5 litros,o 5 _quedan - de su capacidad. Entonces, para llenarlo hay que echarle. 12 ,

A) 10 litros

5 _B) 6' litros

C) 2+ litros

D) 4t litros

E) 5i litros

11,

21) Se derrumba una pared de ladrillos quedando sólo de una altura de 36 cm. Se nos dice que la parte

derrumbada es ~ de su altura original. ¿Cuántos centímetros de ladrillo habrá que levantar para darle8 .

a la pared su altura original?

rPRIMER EJE TEMÁTICO I Test N" 3, NÚMEROS RACIONALES 11

24) Si ~ = 2., entonces ¿cuál de las expresiones siguientes es igual a cero?b 2 .'

A) 2a - bB) -2a - bC) 2a+ bD) a - 2bE) a + 2b

25) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) falsafs)?

A) 12B) 24C) 36D) 48E) 60

22) 0,555 ... + 0,777 ... =

A) 0,12

B) 1,2

C) 1}

D) 1,32

E) lt

23) Una deuda de $a se cancela con $b al contado y el saldo en 12 cuotas iguales. ¿Cuál de las siguientesalternativas representa el valor de cada cuota?

A) a - ~12

B) ~-bo 12

C) a _ ab12

D) a ~ b12

E) ~ab12

42

1) (-0,9)2 < 0,1

A) Sólo 1B) Sólo' IIC) Sólo IIID) ~ólo II y IIIE) 1, II Y III

II) 0,01 > 10-2 III) 0,009' 0,1 .;. 1,1 • 10-2

26) En un curso mixto de 40 alumnos, ¿cuántas niñas hay?

(1) Hay 8 niñas más que niños.

(2) Los niños son los 3. de las niñas.3

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cadauua por sí sola.Tl)ó (2)E) Se requiere información adicional

27) ¿Qué fracción" dei triángulo equilátero ABC está sombreada en la figura adjunta?

- (1) AE = BE

(2). DE J.. AB

A) (1) por sí solaB)(2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiei:e información adicional ~B

D28) Se puede calcular el valor de x sabiendo que:

) 1 _ 2.(1 3"x - ~

1

(2) x· - 1, siendo x "" Ox

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2)E) Se requiere información adicional

43


29) ¿Cuántas personas trabajan en una fábrica?

30)

4'(1) Los - son varones,, 7(2) Hay 210 mujeres,

Al (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas; (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)El Se requiere información adicional

La fracción ~ no se puede simplificar si:b

(1) a yb son primos entre sí.(2) el máximo común divisor entre a y b es uno,

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)

"D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

PRIMER EJE TEMÁTICO I Test W 4, NÚMEROS REALES

CAPÍTULO 3. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES (R)Test N° 4: Números reales

1} El número (..fi": J3)' es

A) un número enteroB) un decimal finitoC) una fracción impropiaD) un decimal periódicoE) un decimal infinito no periódico

, 2)' Un número racional comprendido entre .J3 y 15 es

A) .J3 + 15, 2

B) .J3 - 152

C) .J4,D) 1,7E) 2,3

3) Sea Q el conjunto de los números racionales, I el conjunto de los números irracionales y IR el, conjunto delos números reales, ¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?

l) Q Í\ I=IR H) QuI=IR I1I) lRnI=!A) Sólo I.

I B) Sólo H,C) Sólo III.D) Sólo 1 y H,E) Sólo II y III.


4) En la espiral de raíces cuadradas que se muestra en la figura adjunta, con los datos indicados enella, ¿cuál(es) de los siguientes segmentos tiene(n) como medida un número irracional?

l) AB

II) AC

III) AD

A) Sólo 1 y n.B) Sólo II y III.C) Sólo l y III,D) l, II Y HI.E) Ninguna de las tres.

y

2 D

44

2 X,

45


5) El número Jl2 puede interpretarse como:

1) La altur~ de un triángulo equilátero de lado 4II) Una solución de la ecuación x' = a 12

Ill) Un número irracional comprendido entre 2 y 3

A) Sólo IB) Sólo IIe) Sólo mD) Sólo 1 y II 'E) Sólo IIy. III

6). Sea "p" un número primo. De las siguientes expresiones:

1) p.J2 II) 3N III) JP .JP¿CiIál(es) corresponde(n) a númerofs) irracional(es)?

A) Sólo 1B) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo r. Y IIE)· Sólo I y III

Iilli¡¡!¡

7) Dado que x

A) x'B) x' +e) x' - xD)x' ~ 1E) x' - 2x

- .j::¡ + 1., entonces ¿cuál de los siguientes números no es irracional?

8) Si «a» es un número irracional, entonces ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) ~verdaderats)? .

1) (-a)' es positivo II) (¡J es racional III) -a es irracional

1:.

A) Sólo IB) Sólo IIe) Sólo I yIID) S'ólo I y IIIE) 1, II Y III . .

9) ¿euál(es) de los siguientes números es(son) irracioIÍa1(es)?

. II) ..fi + 7..fi .J61) .J2.-.Jl8 III) --. ..J216

A) Sólo 1B) Sólo' IIe) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) Sólo II y III

46

r PRIMER EJE TEMÁTICO I Test N" 4, NÚMEROS REALES

10) Sean a =-2 y b =-..r:;., ¿cuál de los números siguientes pertenece a lR-?A) abB) -(a)(-b)el b~ar» (-bl - (-a)

-aEl -b

11 l ¿Cuál es el inverso aditivo de -n ; In . x ?Al - 1Bl Oel 1D) -mnxEl . mnx

12l Un número irracional comprendido entré O y 1 es

Al .J22

Bl~.J2 ~ J31

el "7Dl 0,5El 0,999

13 l El hecho que, para todo par de números reales m y n se cumpla que m + n = n + m se llamaA) propiedad aditi va.

. B) propiedad conmutativa de la adición en IR.'el clausura para la adición en IR.D) ley de cancelación para la adición en IR.El propiedad asocia tiva de la adición en IR.

14) Dados los númer~~ reales a =/J3 -1/, b =¡y ~ = ¡3(.J2 --J3)¡. El orden creciente entreellos es

A) a < b < eB) a < e < bC) b<c<aD) c cb c aE) c.c a < b

15) Si P Y Q son dos números reales ubicados en la recta numérica de la figura adjunta, entonces elproducto PQ es otro número real ubicado

A) a la izquierda del O.1 1 1 1 •••B) . entre O y P..O p Qe) entre P y Q.

r» entre Q y 1.El a la derecha del .1.

47

¡, rI1:I,i,1

i'

:1


6) El : 'd l éri l l l ió (x-2)(x-4) , d 'f'1 conjunto e va ores num ncos rea es para os cuales a expresi n 2 !!Q esta e 1-, ',x -36nida' es: '

A) (6)B) (2,4)C) (-6)D) (-6. 2. 4, 6 )E) (-6,6 i ,

17) Si el radio de una circunferencia se mide por un número racional. el lado deJ cuadrado inscrito estádado por un número:

A) racional.B) irracional.C) entero,D) cuadrado perfecto.E) ninguno de éstos.

18) El primer conjunto del cual es elemento la expresión - (2 -.J5) es

A), INB) ZC) QD) IRE) Otro

19) Si x = 5 . 10'. entonces x' =A) la· 106

B) 10 ó !O"C) 25· !O'D) 25' la'E) 25 '106

20) ¿Cuál de los siguientes números no es racional?

A) ..f9OOB) ')0.04

, 2

C) (~)

D) .J3.fíi

E) )0,999 ...

l' ,

rilJ

21) ¿Cliál(es) de las' siguientes expresiones es(son) equivalentets) a la quinta parte de 0,05?1) (0,05)' II) 10-1 I1I)

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo II y III

48

r PRIMER EJE TEMÁ TIeO I Tesl N" 4. NÚMEROS REALES

22) Dado que la altura de un triángulo equilátero está medida por un número racional, ¿cuál(es) de 'lassiguientes magnitudes debe(n) estar necesariamente medida(s) también por un número racional?

1) El perímetro del triángulo"II) El diámetro de la circunferencia circunscrita' al triángulo.

IJI) El área del triángulo.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo 1y IIE) Sólo I y III

23) ¿Cuál de las expresiones siguientes es equivalente a 5,033fA) 502 + 33B) 5· 10 +30 + 3C) 5· lO' + 33 . la'D) 5'10'+3'10+3E) ,50 . la' + 33 . 10

24) Si a = JuJ, ¿por cuál de los siguientes números puede multiplicarse «a» para dar como resultadoun número racional?

1) FaA) Sólo por 1B) Sólo por IlO) Sólo por IIID) Sólo por I ó IIEl Por I,Il ó III

II) -JW I1I) 10

25) 0,000000672 =A) 672· 10-6

B) 67,2' 10-6

C) 6,72' 10-<>D) '67,2' 10-7

,E) 6,72' 10-7

26) ¿Cuál(es) de las operaciones siguientes 'da(n) como resultado un número irracional?

.fi+J21) ..fi+ z-Ii II) ,ifi ' ifi III) fi+..fi+..fiA) Sólo 1B) Sólo II

0,01 I C), Sólo IIID) Sólo 1 y IIE) Sólo II y III

49

;fiEb . . _

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