libro psu matematica uc parte 3

PSU" Cuaderno de Ejercicios, Matemática

l.."9'

EJERCICIOS RESUELTOSSEGUNDO EJE TEMÁTICO: ÁLGEBRA YFUNCIONES .

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Ejercicios Resueltos

1) Óscar efectúa la división (X2 - 1): (x - 1), siendo "x"un número entero positivo mayor que 1,obteniendo .como resultado el binomio x + l. Para comprobar que el resultado anterior es correcto,

. Óscar podría: .

1) efectuar la división entre el divid¡mdo y el cuociente para obtener el divisor

II) multiplicar el divisor por el cuociente 'para obtener el dividendo

ID). darle valores numéricos para "x" a ambas expresiones, excepto para x = 1

De las verificaciones anteriores, es(son) correcta(s):

A) Sólo TIB) Sólo 1 y TIC) Sólo. II Y IDD) Sólo 1 y III

. E) 1,. TI Y III

no ·está definida. Sea entonces, x = 9. En tal caso, el primer miembro de la división (~) tiene- x - 1

92 - I 80· .por valor: -. -- = - = ID

9- 1 8

Yel segundo miembro de la división ex + 1) tiene por valor 9 .+ '1 = 10¡Son iguales!, por lo tanto el resultado está comprobado.A modo de ejercicio, compruébelo Ud. para otro valor numérico.

Luego III es correcto.

Observaciones y comentarios:

Este es un ejercicio muy interesante por su valor conceptual, ya que apunta a ·105 mecanismos' decomprobación de una división algebraica, Como se puede apreciar a través del ejemplo, los mecanismosde comprobación son variados y diversos. .

Respuesta correcta: alternativa E

Solución:

2) ,El perímetro de un rectángulo es de 46 cm. Si el largo disminuyeen 3 cm y el ancho aumenta en 2 cm,.el área del rectángulo no cambia. En estas condiciones, la diferencia entre el largo y el ancho originaleses de .

Para comprobar el cuociente de una división algebraica, exceptuando, por supuesto, la .división porcero, todos los procedimientos mencionados.en los incisos 1, II y III sirven para tal propósito. Enefecto, al dividir el dividendo por el cuociente obtenemos:

x2 - 1

x + I

ex + 1) (x'- 1)x + 1

= x - 1, es decir, el divisor

La simplificación anterior por e! factor ex + 1) está garantizada pues, por hipótesis, ex * -1), yaque "x" es un número entero positivo. Luego, 1 es correcto.

Ahora, si multiplicamos el divisor por el cuociente obtenemos, aplicando el producto notable suma porsu diferencia: . .

(x - 1) (x+ 1) = x2 1 , que ~s el dividendo

A) 5cmB) 7cme)· 8cmD) IOcmE) 12 cm

Solución:

Este es eltípico problema que conduce a un sistema de ecuacioneslineales,. Sean lee y las dimensiones del rectángulo' original. Hagamos un dibujo de la situación, en los dos casosa los que se alude en el enunciado:

"-- --v-- ./x '

Luego TI es correcto.

Por último, si le damos valores numéricos a la indeterminada "x" en ambos lados de la igualdad, tambiénpodremos verificar que la división está correcta. La única excepción es x = 1 pues la división por cero

82

.y + 2y

~-----------~~====~==~x -

83

PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática

Nuestra primera info~ación es que el perímetro del rectángulo original es de 46 cm, con lo cualnuestra primera ecuación a plantear es: '

2 x + 2y = 46 (1)


3) El' trinomio de segundo gra,do con coeficientes reales f(x) = a X2 + b x + e tiene como raíces o'

soluciones Xl = I Y x2 = -1, siendo a > ,O. El gráfico que mejor representa a dicho trinomio es:

A)

Ob~ervaciones y comentarios: 1 'E)

'Como se puede apreciar, este problema tiene una serie de etapas para su resolución, las que debenllevarse a cabo, paso a paso, para obtener la respuesta correcta.

De acuerdo a l~ segunda información del enunciado, el área del rectángulo es 'la misma en el primer,caso que en el segundo. Por 10 tanto, 1a segunda ecuación a planteares:

x y = (x -r- 3) (y + 2)

.Resolviendo los paréntesis y simplificando (hágalo Ud.), se obtiene la ecuación:

ix-3y-6=O (2)B)

C)

De las ecuaciones (1) y (2); formamos el sistema de ecuaciones lineales:

2 x + 2 y '= 46. }, '

2 X - 3y - 6 = O .

Restando miembro a miembro ambas ecuaciones se elimina la incógnita "x" y se obtiene:

5 Y + 6= 46, de donde: y = 8

D)

Reemplazando este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema, por ejemplo en (1), obtenemos

x = 15.

De tal modo que hls dimensiones del rectángulo original son:

x = 15 cm e y = 8 cm

y comonos piden la diferencia entre ellas, entonces el resultado es:

x - y = ,15 cm - 8 cm = 7 cm

Respuesta correcta: alternativa B

84

x

x

x

X'

x

85

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

Solución:

Si el trinomio dado tiene como raíces o soluciones XI = 1 Y x2 = -1, entonces significa que sugráfica - que es una parábola - corta al eje X en los puntos cuyas abscisas son los números dados'

~I Y 1, ubicándolos de izquierda a derecha en la recta numérica, respectivamente.Ahora bieri, como~nel enunciado se nos dice que a > O, entonces las famas de la parábola abrenhacia arriba (parábola sonriente o, como se dice en lenguaje técnico, cóncava hacia arriba).

,Finalmente, la ecuación del eje de simetría de la parábola está dada por:

XvXI + x2

2-1 + l

2O

Esto nos dice que el eje de simetría de la parábola es el eje Y.

De acuerdo a 10 anterior, la opción que responde a todos los requerimientos anteriores es la C.

Observaciones y comentarios:[

Este es un típico problema de encontrar la parábola que mejor representa a una cierta función cuadrática,dadas ciertas condiciones que la caracterizan. Se trata (le un ejercicio que involucra el manejo degráficos. '

,Si se sigue el análisis de la situación, paso a paso, el problema no ofrece dificultad alguna.

Respuesta correcta: alternativa e

4) Se da la función logarítmica y = f(x) = log x. Con respecto a ella se plantean las siguientesigualdades:

1) f(l) = O

ll) f(2) + f(5) = f(10)

llI) f(2) • f(5) = 1

De la:s,igualdad~s anteriores, es(son) correctaís):

A) S610 1B) Sólo 1 yILC) ,Sólo II Y IIID) Sólo 1 Y IIIE) 1, II Y III

86


Solución:

Veamos la validez de cada una de las tres opciones que se nos ofrecen:

1) f(l) = log 1 = O, pues, de acuerdo a la definición de logaritmo se debe cumplir que: 10°lo cuaÍ es correcto. Por lo tanto, 1es verdadera. '

1,

Il) f(2) + f(5) = log 2 + log 5

log (2 • 5), según la propiedad del logaritmo de un producto

log 10, efectuando la multiplicación

1, pues,por definición de logaritrno se debe cumplir que: 101' = 10, lo cual escorrecto. Por lo tanto, II es verdadera.

III) f(2). {{S) = lag 2 • lag 5

Ahora bien, como la función logarítmica es creciente, es~o es, si X e y son números reales positivos tales

que x < y ~ log x < lag y, 'entonces podemos aprovechar este hecho para establecer la siguiente

'desigualdad. Puesto que 1 < 2 < 10 ~ log 1 < log 2< lag 10, es decir: O < log 2 < 1. Por lotanto, ellogaritrno de dos es un número real comprendido entre cero yuno. Análogamente se puededemostrar (hágalo Ud.) que ellogaritmo de cinco también es un número real comprendido 'entre cero y ,uno. Por consiguiente, hemos demostrado las dos desigualdades siguientes:

O < log2 <O < 10g 5 < }

Multiplicándolasmiembro a miembro, tenemos que: O < 10g.2 • log 5, < 1, lo que nos indica queel producto de ambos logaritrnos es un número real comprendido entre cero y uno, pero en ningún-casoes igual a uno. Por lo tanto, III es falsa. "

Obseryaciones y comentarios:

Este es un ejercicio integrador, pues combina el.tema de las funciones, específicamente su lenguajeoperacional, con el tema de los logaritmos. Las tresopciones son directas, a excepción, probablementede la última (IlI), pues allí se trata de demostrar que la igualdad es incorrecta, mediante consideracionesreferentes a desigualdades y, obviamente, sin el conocimiento numérico de los logaritmos.

Respuesta correcta: alternativa B

',87


CAPÍTULO 1. IN'tRODUCCIÓN AL LENGUAJE ALGEBRAleO, Test N' 1: Lenguaje algebraico 1

TIEMPO M,>Í.XIMOPARÁCADA TEST: 1 HORA

1) El 'número de términos de que consta la expresión algebraica -7x' + 5y' + 2z es

A) 7

B) 5

e} 3

D} 2

E)

2}El valor numérico de la expresión':"-7a'b', si a = -1 Y b = 3, es

A) -63

'B) -21

e) oD),21

E) 63

:3) Si a = 2, b = ,~4 Y e = -1, el valor numérico de la expresión a'b + be - 5c' es

A) -17

B) -15

C), -9

D) -7E) 17

4) Si x = -2, .el valor de la expresión (x" - 3x + 2) : rs - 6:c + x') es

A)-2

B) O

C)D)' 2

E) 4

5) Si C,= -3 y d ='10, entonces el valor de la expresión _c'_ + ~ es, c+rí d-c

A) -3

B) -1C) OD) I

E) 10

{f

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 1, LENGUAJEALGEBRAICO I

6) Si a, b y e son números reales tales 'que a + b + e = O, entonces el valor numérico de la expresión

a b c a c b- + - + - + '- + -, + ~ es 'b e a e b a

A) -3

B) -1

C) O

D) 3

E) 6

,7) Laexpresión 9(2a, - 3)' es equivalente a

A) (18a - 27)'

B) 36a' - 81

C) 12a' + 81

D) 36a' + 8.1

E) (6a - 9)'

8) La cuarta parte de (8z4 + 4) es igual a

A) '2z' + l

B} 2z' + 1

C) 2z' + 4

D) 2z'

,E) 2z'

9) Si un automóvil ha recorrido (x + 1) Km en "a" horas, ¿cuál es su rapidez promedio, en kilóme-'tras/hora?

A) (x + l)a '

B) x-l-a

x+lC) -

a

'D) ~x+l

aE)

x-l

10) La sernidiferencia entre 3a + 4b Y a - 2b es

A) 2a + 6b

B) a + 3b

'C) a s- b

D) a + 2b

E) 4a + 2b

~ I Mc.

PSU. Cudderno de Ejercicios. Matemática

,11 ,311) Al reducir términos semejantes en - -a + -b + 2a - 3b - -a

, . 2 3' 4ne como" resultado

, 3 ',17 1A) - ¡a- (5b + ¡

B)<} 17 1-a - -b + -464

~a -~b + ~464

~a.:17b_~4 6 4

1 ,3 1 ,-b + -4' - 2.' ' se obtie-6

rSEGUNDO EJE TEMÁ TIeO I Test W l. LENGUAJE ALGEBRAICO 1

15) Sia,byc E IR,entonceslaexpres'ión: a'''':' b{b+c[a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)J} es equi-valente a

A) a',B) 2b'

C) a' + b'

D) a' -' b2

El O

16) El valor numérico de la' expresión a'(b' - e') + b2(c' - a') + c2(a' - b') sabiendo que a = -8,b = 9 Y e = 10 es

A) O

B)64

C) ,81

D) 100

E) 152

17) Si le restamos 6a + 5b a la suma de 2a + 9by 3a - 2b, la diferencia seráA) 5a + 7b

B) a + 2b

C) 2b- a

D) b - 2a

.E) 2a + b

18) ¿Cuál es la diferencia entre 3z' - 2z + 3 Y 2z' - 3z?A) _Z2 - Z - 3

B) 5z2 - 5z + 3

,C)' z' + z + 3

D) z, + z - 3

E) z' - z + 3

19) (-2x:y')(3x'y')' =

A) 18x'y'

B) ,-18x'y7

C) -18x'y6

D) 36x'y7'E) 36)[6y10

20) El producto de los binomios (4x - 3y) Y (2y + 5x) esA) 20)[' - 23y'

B) 20x' + 7xy- 6y2

C) 20x' - 7xY - 6y2'

D) 20x2 - 7xy + 6y'

E) 20x' - 6y' "

91

e)

D)

9171E) - -a - -b <1- -4 ,6 4

12) 5+5,[2-4(x-6)1=

A) 65 - IOx

BJ -115 - 20x

e) -220 - 4x

D) 260 - 40x

E), 135 - 20x

13) x(x + y) r- y(x - y) =

A) (x + y)(.x - y)

B) 'y2 _ x'

C) x' - 2xy + y'D) x' + 2xy _ y'

E) x' + y'

[, '1 ' ]'14) ~,-3(a-b) + '3(-6a-9b)=

A) 2a + 3b

B) 5a

e) a

D) -a

E) -5a

90,


21) Para que (y - 3) sea un factor del trinomio y2 + 2y + e, el valor de e debe ser

A) -15

B) O

C) 5

D) 8

E) 15

22) ¿Para qué valor de k, (x + 4) es un factor del trinoniio x2 + kx - 12?

A) -4 r

B) -3

C) ~2

D) -1

E) 1

23) Al dividir (x' - 81) por(x - 3) se obtiene

A) X2 + 3x + 9

'B) x' +3x2 + 9x + 27

,Cl x' - 3x2 + 9x - 27

D) x2 + 6x + 9

'E) x' + 27

24) El resto o residuo que resulta al efectuar la división (x5 + 243) :' (x + 3) es

A) -243B) ~8.1

C) OD) 81

E) 243

25) El' área de un cuadrado es 4x2 '- 12x + 9 .. Si cada lado se aumenta en 2 unidades, ¿en cuánto. aumenta la superficie del cuadrado? .

A) 8x + 8

B) 8x - 8

C) .Bx

D) 8

E) -8x

26) Si la longitud de un rectángulo es (38 + 2t) Y su perímetro es (lOs + ót), entonces el ancho delrectángulo está representado por:

A) 2s + t

B) 7s + 4t

C) 4s + 2t

,D) 3,5s + 2t

E) 2t + s

92

~<

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" i, LENGUAJE ALGEBRAICO 1

27) Sea x > 5 un número real positivo y supongamos que (x? - 25) representa el área de un rectángu-lo, siendo (x + 5) uno de los lados, El otro lado está dado por

A) x + 5

B) x - 5

C) x' + 5

D) x' - 5

E) x' - 125

28) ¿Cuál es el valor numérico de la expresión a2bo,siendo a y b distintos de cero?

(1) a = 10

(2) b = 5

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se ~equiere información adicional

29) ¿Cuál es el grado de la expresión algebraica: xmy"yP?

(I j m e n s-p.

(2) n +'p = 3,

A) (I) por sí sola

B) (2) por 'sí sola


D) Cada, una por sí sola, (L) ó (2)

E) Se requiere información adicional

30) En una biblioteca hay 180 libros, de los cual~s 3n + 10 son de Física y' 3n - 5 de Biología .¿Cuántos son los restantes?

(1) Hay 15 libros más de Física que de Biología.

(2) n = 3,

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




RESPUESTAS CORRECTAS

93

r,

,¡:1,

:1

PSU: Cuaderno de Ejercicios, Matemática

"Test N" 2: Lenguaje algebraico 11

1) Claudio debía a sus padres ir; pesos ..El mes pasado pagó 2. de lo adeudado. Este mes pagó.! del. .6 . 6

resto, más 20 pesos. ¿Cuánto dinero debe todavía a sus padres?

A) x-206

5B) ÓX-2Ó

C) 5x-206

25D). -x-20

36

E) 25x':"20

36

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test 1:'1'2, LENGUAJE ALGEBRAICO II

6) Si X = 2, enton~es el valor de la expresión 2x[ x (3x - 5)' +. IJ - 7 es

A) 1

E) 2C) 3D) 5

E) 6

7) El sucesor del número 10', siendo "n" un número natural, está dado por

A) 10'+ 1

E) 11"

C) 110+ 1

D) io- - l·

E) lO' + l

. '. p+~8) Sabiendo que 5p = 3q, entonces el valor de __ ._, . q

A) .!.!.3

13

3E)

C)115

2) Si a = - 3, ¿cuál es el valor dela expresión a' + 3a + 3?

A) - 21

B) - 15

C) -6D) 3

E) 21

3) 5m2- 5m + 4 - mOm - 4) =

A) 2m2 - m + 4

Bl 2m2 - 9m + 4

C)' 5m2 - 8m + 8

D) 5m2 - 8m

E) 2m2 - 5m

4) 'Se define, para todo número real a, ~a .•• = - [ a2(a - 1) ], ¿cuál es el valor de~':' I.••?A) -2

E) - 1

C) O

D) 1

E) 2

5) El valor numérico de la expresión a' + b' + e' - 3abc si a = -9, b '" 5 Y e = 4 esA) -729

. E) -540

"e) 125

D) 64

E) O

94

D) 135

313

E)

9) ¿Cuál(es) de las expresiones siguientes es (son) equivalentejs) a(x + y)'?

1) .(x + y)(x2 + y2 + 2xy)

II) x' + y'

III) (x + y)(x + y)(x + y)

A) Sólo 1

B) Sólo TI

e) Sólo III

D) Sólo 1y II

E) Sólo 1 y III

95


1O)2p - [ q - (p - 2q) ] =A) 3(p + q)

B) 2(p - q)

e) 3(p - q)

D)2(Pfq)

3E) -

2

11) 3y' - 5y - 2(1 _ Y + y') =A) 5y' + 7y - 2

B) y' + 3y - 2

e) y' - 3y - 2

D) 3y' - y - 2

E) 3y' - y + 2

12)1 - { -1 - [1 - x - (-x + 1)]) =

A) -2B) "':1

e) oD) 1

E) 2

a-

, 13) Sabiendo que a '= -4 y b = 8,entonces _b_ =" a b,-+-b ' a

A) -5

1B) 10

e) 1

5

.~~

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N' 2, LENGUAJE ALGEBRAICO II

'14) Si 4x - '3 = '2x + 5, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones esíson) igual(es) a 16?

I) (2x - 4)' II) x' III) x3 _ 4x' + 16A) Sólo I '

B) Sólo l Y II

e) Sólo l y III

D) l, II yIII

E) Ninguna,

a' .a".15) Si b = e ~ b = ti' siendo b, e y d distintos de cero entonces se verifica corno correcta la

relación

A) e =-d

B) e = d

e) e = bd

D) b = cd

E) d=b+c

3a2b 816) El producto entre -- y - es2 ab2

A) 8ab

24aB) -

b

3ae) b

bD) -

12a

E) 12ab

17) En la multiplicación de monomios axmy3 , x'y"mente

ax8y9, Ios valores de "m" y "n" son, respectiva-'D)25

A) 2 Y 3'

B) 2 y, 6

,e) 4 y 3

D) 4 Y 6

E) 6 Y 4 '

97

E)1'2

96


18) Si. P(x) = 2x - 1 Y Q(x) =. 1 - 2x, entonces P(x)· Q(x) =

A) O

B) 4x2 - 1

C) -4x2 - 1

D) -4x2 +4x - 1

E) 4x' - 4x + 1

19) ¿En qué se.transformala expresión (a' - x)a + bx si x,= a'"+ ab s- b"?

A) a''':' b'

B) a' + b'

e) a'

r» b'

E) á'b'

20} La. suma de tres números naturales consecutivos es 3n. ¿Cuál es el producto de los dos númerosextremos?

A) n' -.n

,B) n' - n

C) n'-l

D) n' - 1

E) n' + n :

21) l+x+ic2+x3=

I) (1 + x)(l + x')

A) Sólo 1

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo 1y II

E) Sólo II yIII

II)l-x'l-'x ' con x ;t 1 III) (1 - x)(l - x')

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 2, LENGUAJE ALGEBRAICO II

m22) ¿Cuál de las siguientes fracciones es equivalente a -; siendo n.;t O?

A)m+I

n+l

B)m-ln-l

C)2m~12n+l

D) 2m-2n

E) (:r·23)' Si e ;t O, entonces la fracción a - b es equivalente a:

-c

A)a+b

e

B)b-a

e

C)_ b-a

e

D) b+a-c

E)l:J-a-c

24) Si Ignacio tenía (y- 10) años hace 10 años atrás, entonces ¿qué edad tendrá dentro de 10 añoscon respecto a su edad actual?

.A) y - 20

B) y-ID

C) YD) Y + 10

E) 10y - 10

98 99

.._--- ...•- --~---,):

t.:1iJ'j!

,'¡"

~i

11'!,"

:1! !

" ,

"

:":

::i'1,;i

~J~~


25) Si X ;t. z,'entonces - x- y es equivalente a:x-z

-x-yA) z-x

-x+yE)

x+z

x-yC) x-z

-x+yD) __ o,

-x+z

E)x-yz-x

26) El valor de 5x-2y 5y-2x~-~es,

A) 5x+4y3z

E) O, 7x-3y

C) -- 3z

D) 7x+3y3z

E)7x-7y

3:i27) Si P representa un número par, ¿cuál es 'la expresión simbólica que corresponde a la razón entre

el sucesor par y el sucesor impar de p?

I

!

A)

E) P

C) P + 3

p+lD) -

p+2

E) p+2p+l

100

.¡:~"",

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 2, LENGUAJE ALGEBRAlCO ti

28) Se quiere determinar si el valor de x en la ecuación x + a = b es un entero positivo.

(1) a y b son enteros positivos.

(2) a ybson enteros y b > a.

A)' (l) por sí sola

B) .(2) por sí sola

C) ,Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (l)ó (2)

E) Se requiere información adicional'

29) ¿Cuál es el valor de m + 2n?

. (1) m -2p = 23,1

(2) n + ¡i = -44,08

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2)


30) ¿Es x2 - y2 = X +.y ?_

(1) x e y son enteros consecutivos, siendo x > y.

(2) x = y + l

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) ,S:ada una por sí sola, (1) '6 (2)



101

PSU. Cuaderno 'de Ejercicios, Matemática:

CAPÍTULO 2. PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN y FRACCIONES ALGEBRAICASTest N° 3: Productos notables, factorización y fracciones algebraicas

x' _y' (x-,y)' ,1) Si x *- y, entonces el valor de -- + --- ~ (x - y), , x-y x-y ,

A) x - y

B) x + y

e) -x + y'

x-yD) --

x+y

E) 2x + y

2) Sabiendo que x' + ~ = 3; entonces x' + J.x' x

A) 27

.8) 18

C) 9D) 7

E) 2\

3) Al factorizar totalmente la expresión al + a' + bl - b' se obtiene

A) (a + b)(a' + ab + b' + a + b)

B) (a + b)(a' - ab + b' + a - b)

e) (a - b)(a' - ab + b' + a...: b)

D) (a - b)(a' + ab + b' + a - b)

E) (a - b)(a' + ab + b' + a + b)

4) Un factor común a 'x' - 3x - 54, x' - x - 42 Y x' - 2x - 48 es

Eí'

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 3. PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN y FRACCIONES ALGEBRAICAS

6) El máximo común divisor (rn.c.d.) de las expresiones algebraicas siguientes: (x + 2), (x' _ 4) Y(x' - x - 6) es:

A)

B) 2

C) x - 3

D)x +2

E) x' - 4

.X12 _ 12

7) Siendo x * y, el cuociente ~x -y

A) x' + y'

B) x' + x'y' + y'

e) x' - x'y' + y'

D) x' - x'y'4 _ y'

E) x' - y'

8) ¿euál(es) 'de las siguientes fracciones es(son) equivalente(s) a la fracción ~, y *- O?' , y

1)mx-, con m e O'

.rny

A) x + 6

B) x - 9

e) x + 7

D) x - 8,

E) x - 5

H) mx" +nx ,---- , con mx + n*-Ornxy +ny

5) Un binomio que divide exactamente a x' - 2x - 15, Xl +' 27 Y x' - 9 es

A) x + 3

B) x - 3

e) x + 5

D) x-S

E) x' - 9,

102

, III)mx+ny ,my + nx ' (m * O Y n " O)

A) Sólo I.

B) S610 H.

e) S610 III,

D) S610 1 y H,

E) S610 1 y III.

9) S· f 1 f '6 5z+ 8y , , 1 denorni 'l"! setrans orma a racci n --- en otra equivalente cuyo enorninador es e' trínomio4z-5 '

12z' - 19z + 5, entonces el numerador de esta última es

A) 15i' - 5z - 24y + 8

B) 15z' + 5z + 24yz - 8

e) 15z' - 5z + 24yz - 8y

D) 15z' - 5z + 24yz + 8y

E) 15z' + 5z - 24yz - 8y

e 103


, lif l ió l 6x'> _4y' bti10) Al simp icar a expresi n ' 1 se o llene16x' +4y

x2 -, y2A) x2 +y'

4x.:..2y

B) 4x+2y

4x-y,e), 4x+y

, x-yD) x+y,

2 24x -yE) 4x' +y' ,

11) '¿euál(es) de las siguientes expresiones es(son) equivalenters) a la fracción racional x2

+x-2~ ?, 15-2x-x

1) x-4x-.3

,x-4

3-x4-x

IV) x-3x-4.x-3II) IlI)

,A) Sólo I.

'B) Sólo III y IV,

e) Sólo n, III y IV,

D) Sólo II y m,E) S610 II y IV"

,x3 y312) Si x'" y, entonces --' +--

x-y y-x"

A) x'y'

B) x' _ y'

C) X +y ,

D) x' + xy + y'

E) x' + y'

104

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N' 3, PRODUCTOS NOTABLES. FACTORIZACrÓN y FRACCIONES ALGEBRAICAS

x' +(p' +q')x+p'q'13) La simplificación de la expresión 2 es

x+p

A) q'(q' + 1)

E) X +q'

x+q?C) --x+p?

x+q'D) --

x-p'

E) Imposible.

x y _a_ + _b_ + _c_"es igual a,x-a x-b x-c

14) La diferencia entre ~ -+ _x_ +x-a x= b x-c

A) O

B) ,1

C) 2D) 3

E) x,

,\

15) , Lsi ifi x'+mx+4x+4i:n btiSI x '" -rn, entonces a sirnpli icar se o llenex s- m .

A) x + 1

B) x+m

e) x + 2'

D) x + 4m

E) x + 8

16) Siendo x, y, z todos no nulos, entonces - + - +xy yz zx

1A) x2y2z2

, x+ y-i-zB) --

x'y2z2

ch 3x2y'z2

,x +y+zD) -'-,-

xyz

E)x+y+z

3105

"'1

11

1

,1


17) '¿euál(es) 'de los' siguientes términos se puede(n) agregar a la expresión 4x' + t' para completar eldesarrollo del cuadrado de, un binomi o?

1) -4x2 H) 4x III) 4x2A) Sólo L

'B) Sólo H.

C) " Sólo III.

D) Sólo 1y IIt

E) Sólo !I y III.

1- x-- + 1

18) Al simplificar la fracción compuesta ~~~' se obtiene- -'1l+x

A) -1

1.B) --

l-x

1C) --

X

2-xD) --x

.l=xE) --

l+x

x+1 x-l-- ---19) Simplificando la fracción compuesta x 1'1 x + 1 obtenemos

1-- +--x+l x-l

A) 4x

B) 2x

e) 2

1D) -

2

E) X,

106

IID'I',po

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 3, PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN y FRACCIONES ALGEBRAICAS

20) La fracción 38xy

3' (con xy '# O); reducida a su mínima expresión es4x y+4xy

2xyA) x2y+xy2

B)xy

2e), x+y

2D) x2 +y2

2E) X-y

X\2 _x2y'21) Al simplificar la expresión 6 • ,con x '# y" obtenemos

x -y

x2y2

A) (x2+xy+y2)(X2_xy+y')

y.B) ~

xy

C)x-y

D), xy(X2 + xy+y2 )(X2 -xy +v')

E)y - x

107

rso. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

22) a + ba3 +.b3 - (a+ b)"

A)1-

3ab

1B)

2a' +ab+2b2

1C)2a' ~ab+2b'

D) 1--3ab

E) 1--2ab

23):3 2 2----+--

y+l' Y l +y

A) y-4y'+y

5y.+4B)-'-

y'+y

y+-4 •.C)

y'+y

3D)y'+y

1E)y +l

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 3. PRODUCTOS NOTABLES. FACTORIZAClÓN y FRACCIONES ALGEBRAICAS

5 3(' z24) P p+2) .4+2plOp" . ,._p-

A) p+24

B) (p+2)3p'

C)'p+2

D) (p+2)' :4(p+2)2p ,

p+2E) 4p'

(X -1) ( 2x -1 )

25) ~ : x'.j.2x+l. =

2x - 1Al" 2x' _ 1

B) x' - 12x - 1

C) x-l',D) _x2

E) x'

. 108

a3 b' ,26) _-_ a '-ab+ b'a' + b3' a-b·

2A).a+ab+b'

a+ b .

. B) a2 -ab+b'a-b

.C)a' +ab+ b'

a-b

D)a2 -ab+ b'

a+bE)

109 .


)S'1 f ió 2x'+8x+6, ival denomi d27 l a racci n es equiva ente a otra. cuyo enomma or es, x+3 . ,

rador de la segunda fracción?

A) 2x' - 6x - 8

B) x, - Sx + 8

'c) x' - 3xD) 2x'-16x + 5'

É) 2x' t 6x+ 4

(<' + 2), ¿cuál es el nume-

'~.

SEGUNDO ErE TEMÁTICOrres, N" 4, ECUACIONES DE PRIMER GRADO Y PROBLEMAS CON ENUNCIADO VERBAL

28) ¿Es x' igual a xy?

. (1) x' - y'= (x + S)(y- 5)

(2) x = y

A) (1) por sí sola

B) (2) por .sí sola




29) Se puede determinar el valor de la fracción xy - 3x +y - 3 si se sabe que:' 'xy+2y-3x-6

(1) x = 1 e y'" 3(2) X;é -2 e y = 4

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí .sola

C) .Ambas juntas, (1), y (2)



30) ¿Es (m - n)' = m' + n'?

(1) m = O

(2) n= O

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

e) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).



110

CAPÍTULO 3, ECUAeIONES DE PRIMER GRADO O LINEÁLES y PROBLEMAS VERBALESTest N° 4: Ecuaciones de primer grado y problemas con ennnciado verbal

, 1) ¿Cuál(es) de las siguientes ecuaciones esíson) de primer grado en x?

I) (x + 7)' = (x + S)(x + 8)

H) (x - 3)' = (x +9)(x- 9)

III) (2x + a)(x - ~) ;" x(2x - a) _ x'A) Sólo L

B) Sólo H.

e) Sólo III.

D) Sólo I y n.E) I, H Y ur.

3 .2) Si 1 - - =. 9; entonces x =

x' .

A)92

2B) -'9

3'e) -:8

8D) -3

9E) -

2

3). ¿Para qué valor de "x" la expresión 5(x - 3) - 4(x - 2) es igual a cero?

A) 2

B) 3

e) 4

D) 5

E) 7

4) ¿Para qué valor de "x" se tiene que las expresiones (x + l)(x + 2) Y (x - l.)(x - 2) son iguales?A) -2

B)' -1

e) O

D) 1

E) 2

111

i A

___ • _. __ -o. dWi"

pspo Cuaderno de Ejercicios, J~atemálica

5) Dada la ecuación en "x": (0,222 ... ) x + 0,777 ... = (2,333 ... ) x. El valor de x es

A)719

B)23

C) 34

'"D) 8

15

E) no se puede determinar'

5x - 4 ; entonces el valor de x es5x "

6) Si 10 ..., 7x6 +; 7x

A) 56

"B) 35

C) 11

D) 7

E) 3

"7) Si a i bson números reales, se tiene la ecuación en la incógnita x: ax + b = bx + a, Con respectoa ella es correcto afirmar que: " "

1) Si a ";t b, entonces la ecuación tiene por única solución x = l.

II) Si a = b, entonces la ecuación es una identidad que se verifica para todo x real.

lII) Si x = 1, entonces la ecuación es una identidad que se cumple para todo a y b.

De las afirmaciones" anteriores, es(son) verdadera(s):

A) Sólo 1 y n.B) Sólo II y lIl.

C) Sólo 1 y III.,

D) 1, II Y III.

E) Ninguna de ellas.

8) El conjunto solución de la ecuación l-xx-I

-1 es

A) [-1 }

B) [1}

e) IR

D) IR - [ 1 }

E) fIl

1.12

SEGUNDO EJE TEMÁTIcorrest N" 4, ECUACIONES DE PRIMER GRADO Y PROBLEMAS CON ENUNCIADO VERBAL

9) Alresolver la ecuación ~.-(3 - 0,6)2,

25' - 0,1(0,1)' _ 1 ' se obtiene. x =

A)11

4

B)11

4

C)411

D) 411

E) Ninguna de las anteriores.

S' P10) 1-q-x

A) 2

B) P - q.

C) p+q

'q "--, entonces siendo p ;é q, el valor de x esp-x " "

D) p'+ q', p-q

E) p'+ q'" p+ q

( ,

11) Dado que ~p

A) q-h

B) q(l ~ ;)-

C) q

D) q(l + ;)

bE) 'q - '---a-

a b' O . .+ -, cona e .-p ;t ° y q ;é O, entonces al despejar la variable p resulta p =q p

113


12) Si n '" O Y n '" 1, entonces el valor de x en la ecuación .!. + _n_n n+ x

x + n esnx

,j}

SBGUNDO EJE TEMÁTICOrrest N" 4, ECUÁCIONES DE PRIMER GRADO Y PROBLEMAS CON ENUNCIAD~ VERBAL

, 5x-7,16) Dada la relación y = --,_

3x+4

A) x = 4y + 75-3y

B) x=5y+74-3y

e) x = 4y-75+3y

D) x= 5y-73y+4

E)' x = 4y+35'1+7 '

4con x '" -- al despejar "x" en términos de "y" se obtiene

3

17) La diferencia entre el quíntuple del sucesor de a y el antecesor del cuadrado del doble de b,corresponde aIa expresión

A) Sea + 1) - [(2b)' - 1]

B) Sea + 1) - [2(b - 1)]'

e) Sea + 1) - (2b - 1)'

D) 5(a + 1) - 2(b' - 1)

E) Sea + 1) - 2b'- 1

18) La diferencia entre el cuadrado de un número x, y el semiproducto de él con su tercio es igual a

j'. 115

~N~

2x'B) -6

~2'~~

I 2x=3 x~D) -3

2~m~

A) n

1,- B) '2

n,~ 2(n-l)

rD) n2-1

E)n

n=-I

13) Si a y b son números reales, la ecuación 3x - 5 + a = bx + 1 tiene una única solución para x,

A) Cualesquiera que sean los números a y b

B) Sólosi a 7' 2b

e) Sólo si a '" 6

D) Sólo si b 7' O

E) Sólo si b 7' 3

14) Siendo a y. b números reales con a '" O, b '" O y a '" b, el conjunto 'solución de la ecuaciónJij

x x a-+--=--es'a b-a" b-a

A) {O}

B) {1}

e) {~}D {a2

b_a3}

) ab-s b' ,

E) I'l

15) La solución de la ecuación 2,/ x / - 8 = -/ x / + 1 está dada' por:

1) x =-3 1I) x =-2

A) Sólo I.

'B) Sólo H,

e) Sólo IlI,

D) Sólo 1 y H,

E) Sólo 1 y IlI,

114

PSíl, Cuaderno de Ejercicios. Matemática

19) Si "a" es un número real positivo, la expresión aJi puede interpr,etarse geométricamente como:2 . "

1) El lado del cuadrado inscrito en un círculo de radio ~2

II) La mitad de la diagonal de un cuadrado de lado "a".

1Il) La longitud de un cateto de un triángulo rectángulo isósceles cuya.hípotenusa es "a".

A) Sólo rr.. B), Sólo 1 y Ir.

C) Sólo 1I y lII.

D) Sólo 1y lII.

E) I, n y IIL:j

20) Si e y b son números reales positivos, con e > b, la expresión .lc' ~ b' puedeinterpretarse

verbalmente como:

La raíz cuadrada de -la diferencia entre 'los cuadrados de e y b.

La raíz cuadrada del cuadrado de la diferencia entre e y b.

Un cateto de un trián~ulo rectángulo cuya hipotenusa es "e" y cuyo cateto conocido es "b",

Sólo t.

Sólo n.Sólo III.

Solo 1 y,IIL

Sólo II y 1Il.

El enunciado: "el cuadrado de la suma de los números e y d aumentado en el cuadrado de ladiferencia entre los mismos' números es igual al doble de la suma de los cuadrados de .escsmismos, números", se expresa ,por

F ~ nI

1:1I)

:1 Un:1

A)!i'

B)'',! 'qrlI.

D)i .

m. 21)

A) (e' + d') + (ei - d') = 2(2{; - 2d)

B) (e' + d') + (e' - d') = 2(c'+ d')

C) (e + d)' + (e' - el') = 2(c'+ d')

D) (e + d)' + (e -d)' = 2(c + d)'

E) (e + d)' + (e - d)' = 2(e' +d')

Si al doble de mi edad 'actual le resto el. triple de mi edad hace 6 años, el resultado es mi edad actual,Si designamos por x a mi edad actual, ¿con cuál de las ecuaciones siguientes se determina ella?

A) 3(x ., 6) - 2x = x

B) (3x - 6) - 2x= x

C) 2x - 3(x - 6) = x

D) 2x - 3x - 6 = x

E) 2x - 3x + 6 =x

22)

116

'¡';i:',

SEGUNDO EJE TEMÁTlCOrrest N° 4, ECUACIONES DE PRIMER GRADO Y PROBLEMAS CON ENUNCIADO VERBAL

23) La expresión J :' - (b - a)' puede decodificarse como:

A) La raíz cuadrada de la diferencia entre el recíproco del cuadrado de e y el cuadrado de ladiferencia entre b y a ..

.B) La raíz cuadrada del cuadrado de la diferencia entre el recíproco de .c y la diferencia entreb y a.

C) La raíz cuadrada de la diferencia 'entre el recíproco del .cuadrado de c y la diferencia entrelos 'cuadrados de b y a.

, ,

D) La raíz cuadrada del recíproco de la diferencia de ·10s cuadrados entre e y la diferenciaentre b y a. .

E) La raíz cuadrada del cuadrado de la diferencia entre el recíproco de c y la diferencia entrebya. .

24) El enunciado: "a la tercera parte dei antecesor de un número natural "n" se le suma el sucesor delmismo número dado y se obtiene el exceso del doble del" mismo número original sobre 2", seexpresa matemáticamente por:

A) ~ - 1 + ~ + 1 = 2n - 23 3

B) ~ + ~ + 1 = 2n - 23

C) ~ + ~ + 1 = 2 - 2n.3 3

D) ~ + n + 1= 2 - 2n3

E) ~ + n + 1 = 2n - 23

25) Un campo rectangular, cuyo largo es el doble del ancho está encerrado por x metros de cercapara protegerlo. El área en términos de x es:

'"xA) 2B) 2x'

2X2

C) 9

x'D)· 18

x2

l

E) 72

'117


26) Si la ganancia que se obtiene de la venta de un artículo que cuesta C pesos y. se vende en S pesos

1 .es G =- e, entonces la ganancia está dada por

n. .

1A) G = _.- Sn-1

1B) G = - S

n

C) G = _n_·Sn+ I

D) G = _1_ Sn+1 .

E) G= ~Sn-1

27) ¿Cuál es el número de tus discípulos? se le preguntó un día a Pitágoras. "La mitad, respondió él,estudian Matemáticas, un ·cuarto· los misterios de la N aturaleza, un séptimo meditan en silencio. yademás hay tres mujeres". ¿Cuántos discípulos varones más que mujeres tenía Pitágoras? .

A) 3

B) 7

C) 14

D) 21

E) 22

28) ¿Es x + y + z = l ?

(l)x+y=l

(2) y + z = 1

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) Cada una por sí sola, (1) Ó mE) Se requiere ·información adicional, .

118

..~

SEGUNDO EJE TEMÁTICOrresl N' 4, ECUACIONES DE PRIMER GRADO Y PROBLEMAS CON ENUNCIADO VERBAL

29) Si x e y son ambos distintos de cero, ¿es x igual a y?

(1) ~ = 2°Y

(2) 2x+2y = O4

A) (1) por sí sola

B) ·(2) por sí sola




30) ¿Cuánto .tiempo demoran Susana y su madre en pintar una muralla?

(1). Susana, trabajando sola, pinta la muralla en 3 horas.

(2) Su madre, trabajando sola, demora 4 horas.

A) (l) por sí sola

B) (2) por sí. sola




119


CAPÍTULO 4. PROBLEMAS DE PLANTEO CON ENUNCIADO VERBAL. Test N° S: Problemas' de planteo con ,enunciado verbal

"1) Las edades de un padre y su hijo son 45 y 9 años, respectivamente. ¿Dentro de cuántos añosestarán enla razón de cinco es a dos?

¡

A) 8

B) 10

C) 13

D) 15E) Nunca'

2) La suma de tres números enteros impares consecutivos es 57. El producto entre el menor y el,mayor es . '.

. A) 195

B) 221

C) 323

D) 3,57

. E) ~99 ,3) En un triángulo isósceles el ángulo basal tiene 18° más que 'el ángulo menor. ¿Cuánto mide el

ángulo exterior basa]'?' .

A) 48°

B)66°

C) 114°

D) 132°

E) , 144°

4) Entre Susanay Roberto forman una sociedad. De las ganancias,' Susana recibe Sm más queRoberto. Si up día ganaron $n, ¿cuánto le corresponde a Roberto?

f·'. SEGUNDO EJE TEMÁTICO ¡Test N' 5, PROBLEMAS DE PLANTEO CON ENUNCIADO'VERBAL

~ 6).L, ili,~, ¡,''''',' d, pO; 0' "" " ,ci, "re' 1,di""", '"00;;' '" po, "" '="". Sil. di","·cia total recorrida por ambos es 700 km, ¿cuánto recorrió el camión?

A) 600 Km

B) 450 km

e) 250 km

D) 150 km

E) ·100 ,km

7) Francisca es seis años mayor 'lue Valentina. La suma de sus edades es 48, ¿Qué edad tenía.Francisca hace 6 años?

A) 27 años

B) 24 años

'e) 21 años

D) 15 años

E) 12.años

8) Claudia, Luz María, y Trinidad fueron a comer. Si cÍividieroll' la cuenta en parte~' iguales y el-monto total con el 10% de propina fue de $15.67?, ¿cuánta propina dio cada una?A) $522,5

B)$475

'e) $450'

D) $425

E) $375

9) .La suma de dos números es 17. Si el número más grande es cinco unidades mayor' que el doble, del más pequeño, entonces los números son:

A) 2. Y 15.

B) 3 Y 14

q 4 Y 13D) 5 Y 12

E) 6 Y 11

10) La fábrica, de bicicleias Ciclos produce 10.000 bicicletas al año. Si quiere aumentar la produc-'ción a razón de 1.250 unidades más por año, hasta fabricar 25.000 bicicletas anualmente, ¿cuán-to tiempo le tomará alcanzar su meta?

A)

B)

e)D)

E) 14' años .

11) La edad de A es el triple de la de B y dentro de 20 años será el doble. Hallar la 'edad' actual de A.A) 20

B) 40

e) 60

D) 80E) 100 .

ID años

11 años

l? años13 años

121

nA) '2-m

n-mB) -

2

nC) '2 + m

n-m2

E) n-m.

D) - m'

5) La suma de un número con su tercera parte es igual a su diferencia con cuatro. ¿Cuál es elnúmero?

A) 6

B) -6

C} 9í» -9

E) -12

120

A) 12 A) 7B) 15 , B) 8C) 30 C) -8D) 42 D) -28E) 45 E) -32

psu. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

12) De acuerdo con un testamento, una herencia se repartirá entre dos nietas y dos instituciones decaridad. Las dos nietas, Daniela y Macarena, deben recibir el doble de lo que obtenga cada unade las instituciones de caridad, la Cruz- Roja y el Hogar de ancianos Atardecer. Si la herencia esde $240.000.000, ¡.cuánto recibirá cada nieta?

A) $40.000.000

B) $45.000.000

C) $60.000.000

D) $65.000.000

E) $80.000.000

13} Si un obrero cobra $400por cortar verticalmente un tubo metálico en d9S partes, ¿cuánto cobra-.rá IJar cortarlo en 4 partes?

A) $400

B) $600

C)$800

D) $1.000

E) $1.200

14) En cada día, de lunes a viernes, gané $600 más de lo que gané el día anterior, Si el viernes gané$5.000, ¿cuánto gané el día lunes? .

A) $600·

B) $1.800

C) $2.000

D) $2.600

E) $3.200

15) Se ha repartido $642.000 entre dos personas, Javiera y Sofía de manera que Javiera recibe$36.000 más que Sofía. ¿Cuánto recibe Sofía?

A) $36.000

B) $267.000

C) $303.000

D) $321.000

E) $339.000

16) En un curso hay 60 alumnos. Si hay 15 niñas más que el duplo de varones, ¿cuántos varones hayen el curso? . .

122

SEGUNDO EJE TEMÁTICO /Test N° S. PROBLEMAS DE PLANTEO CONENUNC(ADO VERil AL

17) Dos números suman 21. Dividiendo el mayor por el menor se halla por cuociente 3 y por resto l.¿Cuáles son estos números?

A) 13 Y 4

B) 14 Y 7

C) 15 Y 6

D) 16 y 5

E) 19 y 6

18) Los 3. de las gallinas de un agricultor son blancas, .!. son negras y las 20 restantes son castella-53·

nas. ¿Cuántas gallinas tiene el agricultor?

A) 28

B) 30

C) 35

D) 60

E) 75

19) Se reparten $180.000 entre A, B Y C de modo que la parte de A sea la mitad de la de B y un terciode la de C. ¿Cuánto recibe B? . .

. A) $20.000

B) $30.000

C) $40.000

D) $60.000

E) $90.000

:20) lfna sala tiene doble largo que ancho, Si el largo se disminuye en 6 m. y el ancho se aumenta en4 m, la superficie de la sala no varía. Hallar el largo inicial.A) 12 m

B) 20 m

C) 22 m

D) 24 m

E) 26 m

21) Si el promedio de seis números es -6, y la suma de cuatro de ellos es 20, ¿cuál es el promedio delos otros dos números?

123

"S\i

M-20A) -2-

MB) 40

I 28)MC) 9

MD) -

2

E) 2M

A) 60°

B) 75°

C) 90° [ 29)

D) 100°

E) 105°

PS U. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

, 22) Diez socios de un club deportivo acordaron comprar nuevos uniformes para el equipo de, fútbola un costo total de $M. Después de una discusión 2 socios se retiran. ¿En cuántos pesos seincrementa el costo-correspondiente a cada uno deIos 'restantes socios?

23) Dos.ángulos son suplementarios. Si el doble del menor excede en 45° al mayor, ¿cuánto mideeste último? .

24} Dos ángulos son complementarios y están en la razón de 2 : 3. ¿Cuánto mide el menor de ellos?

A) 18°

B) 25°

,C) 32°

D) 36°

E) 54°

25) Sea x un número entero. Si el cuadrado del sucesor de x es igual al sucesor del cuadrado de x,¿cuánto vale x? '

'A) -2

B) -1C) O

. D) I

E) 2

26) Sea "a" un número. Si el doble de este número excede en 1 a su cuadrado, ¿cuál de las siguientesigualdades corresponde a ese enunciado?

A) 2. (a + 1) = a'

B) 2a + I = a'

C) 2a - 1 = (2a - 1)"

D) 2a = a' + 1

E),. 2a = (a +1)2

1;

:Ji':1,

I1:1 '"

\¡11'jl'

'1

124

'f':t SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 5. PROBLEMAS DE PLANTEO CON ENUNCIADO VER:BAL

1 . 27) U, p"f,,,~ " "tr~ • ,,,,,,. d, 01"," pre,,"" , "" .I,m"" ",',," '" "",d0;1 El ,,,o·, diante responde: si toma el doble del número que somos y lo divide por cuatro y además me,

cuenta a mí, somos exactamente 25. ¿Cuántos estudiantes eran?

A) 24,

B) 25

C) 48

D) 49

E) IDO

Se puede conocer el 'valor de x si:

(1) La quinta parte de x es 2.

(2) La diferencia entre el doble de x y -l Oes igual a x.

A) (1) por sí sola

B) , (2) por sí sola



E) Se, requiere información adicional

Se 'quiere determinar cuánto tardarán dos' hermanos en pintar una habitación trabajando juntos:

(1) Trabajando solo, .el hermano mayor demora 3 horas

(2) Trabajando solo, el hermano menor demora 1,5 veces lo que tarda el mayor

. A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


'D) Cada una por sí-sola, (1) Ó (2)


30) Sea N = 10d + uun número de dos cifras en el sistema decimal, siendo "d" la cifra de las decenasy "u" la cifra de las unidades. ¿Es N par?

(1) (d + u) es un número par

(2) "u" es dígito par'

A) (1) 'por sí sola

B) (2) por. sí sola


D). Cada una por sí sola, (1) Ó (2)

E) Se requiere información adicional ,


125


CAPÍ'fULO S. DESIGUALDADES E INECUACIONES LINEALESTest N" 6: Desigualdades, inecuaciones y sistemas' de ínecuacíones lineales

1) La máxima velocidad v permitida en carretera es de 120 km. Al expresar matemáticamente' estah

proposición se tiene

A) O < v s: 120

B) O < v < 120

C) 0<vS:119

D) v>120

El v 2120

2) El doctor indicó al Sr. Juan Gordillo que, co'nsiderando su peso actual (p,), y su peso ideal (p),, debería bajar por lo menos 8 kg. La expresión matemática para esta relación es

A)p. - PiS: 8

B) Pi + 82 p.. C) P, s: Pa- 8

D) 8 - Pa s: P,

E} Pi - P, s: 8

3) ,¿A lo más, cuántos pepinos a $200 cada uno, más una sandía de $1.800 se pueden comprar conun billete de $20.000?

A) 88

Bl 89

C) 90

D) 91

E) 92

4) En un L'. ABC, cualquiera, AB = 6 cm y BC = 9 cm. ¿Cuál de las siguientes desigualdades debeverificarse para el tercer lado?

A) 6 cm < AC < 9 cm

B) 6cm < AC < 15 cm

C) 3 cm < AC < 9 cm '

D) 3 cm < AC < 15 cm

E) 9cm < AC < 15 cm

5) El intervalo soiución de la inecuación 3x -,14 < 7x - 2 es

A) [-3, + =IB) ,]-=, - 3[

C) ]-00, - 3]

D) ]-3, + =IE) ]3, + =I

126

SEGUNDO EJE TEMÁTICO / Test N" 6, DESIGUALDADES, iNECUACIONES y SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES

2x-1 <3x+26) La solución del siguiente sistemas de inecuaciones , ( I es el conjunto

, 5x+222 x+4)

A) {x E llt / x > - 3 }

B) {x E llt I x 2 - 3 }

C) {xEllt/x>2}

D) {x Ellt I x 2 2 }

E) {x E lFU- 3 <x s:2 }

7) La solución gráfica de la inecuación 2x _ ~ > x + 10 es3 3

A) ~7

B)~

"(, "C)7

D) ,7

E)

7

8) La solución gráfica de la inecuación (x _'1)'._ 7 2 (x. - 2)2 es

~A) , 5

B) •C) ~

5

~5

Ew

'"D)

5

E)5

127


, 5x-4>7x'-169) Al expresar gráficamente y como intervalo el conjunto solución del sistema I Se

8-7x<16-15xobtiene

A) (~]-00, 1[

1

B) ~~ ]~, 1)1

C) ~ ] 1, =I1

D) ~ [1, oo[1 ,

E) ,'''4~}) - 00, 1 [ u ) 1, 00 [ ,

10) El intervalo solucióndel siguiente sistema es ,,

A) ThtB) [3,4 [

C) ] ~ ,4 [

D) )-00,4 [

E) [3, 00 [

x~3

x<4

2(x-1»5

11) La soluéión del siguiente sistema está dada por el intervalo

A) 'J3,3-:l-JU]4,o:.[

B)[3¡,4[

C) ]-oo,3t]v ]4,oo[

D) ]-oo,3[ u ]4,oo[E) ¡l

128

5(x-3)~~2+x

3x >2x+4x<3

v ~i

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I,TeS!N' 6. DESIGUALDADES. INECUACIONES y SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES

12) El"conjunto solución de la inecuación -5 > 2x + 1 ~ -13 es

A) {xEIltI-3>x~-7}

B) {x E Ilt 1-3::; x < - 7}

C) [x E Ilt 1-3 > x ]

O) [x E Ilt 1 x ~ - 7}

El ¡l

13) Se quiere poner 24 libros. en un estante de modo que en la parte superior haya al menos 7 libros''.y en la inferior, menos del doble qne en la superior, pero más de 13, ¿Cuántos libros se podrán'poner en la parte superior del estante?

A) Más de 9

B)Menos de la

e) 9 ó más

D) 10 Ó menos

E) 9 Ó 10

14) Al resolverla inecuaciónl 9 - 61\ I > 3 se obtiene como soluciónA) jr, 2 [

B) ] - 00, 1 ) u)2, 00 [

C) [1,2 [ , \

D) ) -;:-00, I[ u] 2, 00 [.

, E) Ilt

15) La solución' de Ja inecuación 11- xl $.!. es el conjunto2

A) [~,%]B) [~,oo[

C) J-oo,%J

D) [0,%]

'J lJ"[3 [E) ~'2 u 2'co

129


16) ¿Cuál(es) de las siguientes desigualdades es(son) verdadera(s)?

1 Va effi:.1) a+- ?::2,a .

a:i 1VáelR,;II) --:'>-

1+ a" 2'

III) (1 + a}(1 + b) 2: 4, si a > O, b > Oy ab = 1

A) Sólo rB) Sólo 1 y TIC) Sólo 1 y I1I

D) Sólo II y III

E) r, II Y III

17) ¿Qué números enteros cumplen simultáneamente con las dos condiciones síguíentes o

1)' el doble del número más 3 es menor que 11:

Il) el triple del número más 2 es mayor que 5:

A) cualquier entero positivo.

B) cualquier entero positivo mayor que .l.

C) sólo el 2 y 'el 3.

D) los enteros positivos menores que 4.

E) no existen números enteros que cumplan las condiciones dadas.

18) En un teatro con capacidad para 500 personas se iecaudaron más deS2.000.000 el día del estre- .no. de una obra dramática. Si la entrada valía $6.000, ¿cuántos espectadores 'asistieron ese día ala función? .

A) 500 espectadores.

B) Menos de' 500 espectadores.

C) El número de asistentes es mayor que 333 y menor o igual que 5QO.

D) 333 espectadores.

E) 334 espectadores .. '

19) ¿A cuál- intervalo pertenecen los números reales que son mayores que su cuadrado?

A) ]~, l[

B) ]0, l[

C) ]0, =ID) [O, 1]

E) ]-1.,O[

130

"~'<

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 6. DESIGUALDADES. INECUACIONES y SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES

x+3 < 522x2 - -:-:; O7

se obtiene como solución20) Al resolver el siguiente sistema de inecuaciones

A) ]-00, 7[

B) [7, +=IC) {7}

. D) IR, .E) !il

21) La.esfinge de Tebas" amenazó a un caminante con matarlo si no respondía correctamente a.Iasiguiente pregunta: "Hace 500 años mi edad no era superior a la mitad de la que tengo ahora, ydentro. de 1.000 años no será mayor que el doble. ¿Cuál es mi edad?". Si el caminante sobrevivióa la prueba, ¿cuál fue su: respuesta?

A) 500 años

B) 750 años

C)· 800 años

D)' 900 años

E) 1.000 años

22) El conjunto solución de la inecuación .¡. - 1 2: O

A) ]-00, -1] u [1, oo[

B) ]-00, -1]

C) [1, oo[

D) (-1, 1]

E) IR,

23) Los números reales que satisfacen la inecuación x' - 6x + 8 < O pertenecen al intervalo

A) ]-oo,2[

B) ]4, =IC) !il

D) IRE) ]2,4[

. 24) El conjunto solución de la inecuación x' + 6x + 9 > O es

A)

B) ]~oo, ~3[

C) . ]-3, =ID) {-3}

E) IR- {-3)

131

PSU ';Cuaderno de Ejercicios. Matemática

25) Al resolver la inecuación x' + x + l < O se' obtiene' como soluciónA) IR.B) i1J

C) [-1, 1]

D) IR. +

E) IR. ,

6 El' ión de Ia i ió 2x +1 32) r conjunto solución eIa mecuaci n ---' <, es, x+2

l·

r SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 6, DESIGUALDADES, INECUACIONES y SISTEMAS DE INECUACIONES LINEÁLES

30) Después' de un viaje, a Francisca le sobraron algunos dólares y algunos, francos, Si por aquelentonces una moneda de 1 dólar equivalía a $420 y, un franco equivalía a $9Ó, ¿cuántos francostenía Francisca?

(1) Francisca tenía ¡'a mitad de monedas de un dólar que de un franco.

(2) El valor en pesos de los dólares y francos que tenía estaba entre $5,500 y $5,900.A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) ,

O) Cada tina por sí sola, (1) ó (2)


\

133

A) l+=. -5[

.Bl ]-2, =IC) ]-=, -5[ u ]-2, Co[

D) ]-5, -2[

E) W,x+327) Al resolver la inecuación --

3

4

x+2> l se obtie~e ecmo solución el intervalo

3

A) ]-=, -2[ u ]2,=[

. B) ]-2,2[

C) }-=, -2[

D) ]2, =[

E) ]-=, -2] u [-2; =I

28), Si un cjradrado tiene lado "a" y esta longitud se .incrementa en x%, ¿se incrementa el área delcuadrado en más de un 10%?

(1) x < 10%

(2) x> 5%

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) ,Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere' información adicional

29) Se pide encontrar la longitud del mayor de los lados de un triángulo ABC, sabiendo que estámedida por un número entero.

(1) Dos de los lados del triángulo miden 2 cm y 9 cm,

(2) t;. ABC esescaleno

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




132

libro psu matematica uc parte 3

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