lờicamđoangust.edu.vn/media/27/uftai-ve-tai-day27158.pdf · chất sắt từ uge 2 [74] có...

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả mớimà tôi công bố trong luận án là trung thực và chưa được ai công bố trong bất kỳ côngtrình nào khác.

Hà Nội, ngày 25 tháng 9 năm 2019.Tác giả: Nguyễn Văn Hinh

Lời cám ơn

Trước hết, tôi xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Trí Lân, người thầy đầu tiên tiếpnhận tôi, đã luôn quan tâm sát sao, cùng tôi thực hiện các ý tưởng và giúp đỡ tôi rấtnhiều trong quá trình làm NCS. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến GS. TS. NguyễnToàn Thắng, người thầy thứ hai tiếp nhận và chỉ hướng cho tôi để định hình mục tiêunghiên cứu trong luận án, đồng thời là giáo viên hướng dẫn luận án.Tiếp theo, tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo và lãnh đạo Học việnKhoa học và Công nghệ, bộ môn Vật lý lý thuyết – Vật lý toán của Viện Vật Lý đãtạo mọi điều kiện học tập, nghiên cứu cho tôi trong quá trình làm NCS. Tôi cũng chânthành cảm ơn ban Giám hiệu, các đồng nghiệp của khoa Khoa học cơ bản, trường Đạihọc Công nghiệp Hà Nội đã giúp đỡ tôi rất nhiều về vật chất và tinh thần trong thờigian tôi làm NCS.Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn toàn thể gia đình, bạn bè luôn đồng hành, độngviên và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình theo đuổi và thực hiện ước mơ củamình.

Danh mục các chữ viết tắt

GL(Ginzburg-Landau) : Ginzburg-LandauHS (Hubbard-Stratonovich) : Hubbard-StratonovichBCS (Bardeen-Cooper-Schrieffer) : Bardeen-Cooper-SchriefferHFB (Hatree-Fock-Bogoliubov) : Hatree-Fock-BogoliubovSC (Superconductivity) : Siêu dẫnFM (Ferromagnetism) : Sắt từAFM (Antiferromagnetism) : Phản sắt từPM (Paramagneticsm) : Thuận từN (Normal) : Dẫn thườngSDW (Spin-density-wave) : Sóng mật độ spinCDW (Charge-density-wave) : Sóng mật độ điện tích

Danh sách hình vẽ

1.1. Giản đồ pha của UGe2 xác định bởi các số đo độ từ hóa dưới áp suất.Tc là nhiệt độ Curie và Tx xác định nơi chuyển pha giữa hai pha sắt từFM1 và FM2 có độ phân cực từ khác nhau. Tsc là nhiệt độ chuyển phasiêu dẫn [85, 38]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Giản đồ pha P −T của CeRhIn5 với các pha phản sắt từ (kí hiệu AFM,vùng màu xanh) và siêu dẫn (kí hiệu SC, vùng màu vàng) được xác địnhtừ số đo nhiệt dung riêng khi không có từ trường ngoài. Khi Tc < TN cótồn tại một pha đồng tồn tại AFM+SC. Khí Tc > TN trật tự phản sắttừ đột ngột biến mất [92, 32]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Hiệu ứng hút của hai điện tử do bởi sự trao đổi phonon [42] . . . . . . 291.4. Phổ chuẩn hạt. Khe năng lượng được quan sát giữa trạng thái siêu dẫn

(ở đỉnh) và trạng thái dẫn thường (ở đáy) sinh ra tham số trật tự củahệ [42]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.5. “Tính đối xứng bị phá vỡ”. Sự tiến triển của trật tự kết tinh bên trongmột giọt nước hình cầu dẫn tới sự hình thành một bông tuyết, làm giảmtính đối xứng từ đối xứng cầu tới đối xứng sáu nếp gấp [21]. . . . . . . 42

1.6. (a) Trong một kim loại thường, không có trật tự tầm xa. (b) Bên dướinhiệt độ Curie TC của một sắt từ, các spin điện tử sắp hàng để tiếntriển một tham số trật tự sắt từ. Kết quả là kim loại có một moment từhữu hạn. (c) Bên dưới nhiệt độ chuyển pha của một siêu dẫn, các điệntử kết cặp với nhau tiến triển một tham số trật tự siêu dẫn. Kết quả làkim loại biểu hiện hiệu ứng Meissner, đẩy từ trường ra khỏi bên tronglòng nó [21]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.7. (a) Năng lượng tự do Landau F (ψ) như là một hàm của nhiệt độ đốivới một tham số trật tự Ising. Các đường cong được dịch chuyển thẳngđứng. (b) Tham số trật tự ψ như là một hàm của nhiệt độ đối với mộttrường hữu hạn h > 0 và một trường rất nhỏ h = 0+ [21]. . . . . . . . . 45

1.8. Giản đồ pha trong một trường ngoài. Một đường bậc nhất kéo dài dọctheo trục trường ngoài bằng không, h = 0 đến điểm tới hạn. Tham sốtrật tự cân bằng đổi dấu khi vượt qua đường ranh giới pha này. (a) Đồthị ba chiều cho thấy sự gián đoạn theo tham số trật tự như một hàmcủa trường ψ. (b) Đường ranh giới pha hai chiều cho thấy là đường bậcnhất [21]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Danh sách hình vẽ

1.9. Sự phụ thuộc của năng lượng tự do vào tham số trật tự đối với (a) thamsố trật tự Ising ψ = ψ1, cho thấy hai cực tiểu cùng mức năng lượng và(b) tham số trật tự phức ψ = ψ1 + iψ2 = |ψ| eiφ, ở đó năng lượng tựdo Landau hình thành một “thế mũ Mexican” trong đó cực tiểu nănglượng tự do hình thành một vành các trạng thái có năng lượng bằngnhau phụ thuộc vào pha φ của tham số trật tự đồng đều [21]. . . . . . 48

1.10. Nghiệm sóng đơn của các phương trình GL. (a) Sự tiến hóa của ψ trongmột chiều tương đương với một hạt ở vị trí ψ, chuyển động trong mộtthế năng nghịch đảo V [ψ] = −fL [ψ]. Một sóng đơn tương đương vớimột “sự nảy” giữa các cực đại ở ψ = ±ψ0 của V [ψ]. (b) Đường mà hạtmô tả sự phát triển theo thời gian “t” ≡ x xác định sự phụ thuộc khônggian của tham số trật tự ψ [x] [21]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.1. Các lựa chọn khác nhau cho phép biến đổi Hubbard-Stratonovich để táchcặp số hạng tương tác hai hạt tổng quát. Hình bên trái: tách cặp theokênh “mật độ”; hình giữa: tách cặp theo kênh “kết cặp” hoặc “Cooper”;hình bên phải: tách cặp theo kênh “trao đổi”. . . . . . . . . . . . . . . 91

4.1. Một minh họa về giản đồ T − P của UGe2 được tính cho Ts = 0,Tf0 = 52K, Pc = 1.6GPa, γ/κ = 0.1089, δ/κ = 0.1867. Miền pha FSđược làm đậm. Đường nét liền biểu thị đường chuyển pha loại hai FM-FS. 134

4.2. Giản đồ pha trong mặt phẳng (t, r) khi γ = 0.49, δ = 0.84 . . . . . . . 136

Mục lục

Lời cam đoan

Lời cám ơn

Danh mục các chữ viết tắt

Danh sách hình ve

MỞ ĐẦU 1

1. TỔNG QUAN 41.1. Tổng quan về sự đồng tồn tại của trật tự từ và siêu dẫn trong hệ fermion

nặng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.1. Hiện tượng đồng tồn tại pha từ - siêu dẫn trong vật liệu fermion

nặng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2. Một số quan sát thực nghiệm trong các hợp chất Fermion nặng 61.1.3. Nghiên cứu lý thuyết về các hợp chất Fermion nặng . . . . . . . 7

1.2. Sắt từ trong kim loại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1. Trật tự sắt từ trong các hệ moment từ định xứ. . . . . . . . . . 111.2.2. Trật tự từ của hệ spin linh động . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3. Siêu dẫn và lý thuyết BCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.1. Lược sử ra đời và phát triển của siêu dẫn . . . . . . . . . . . . . 221.3.2. Lý thuyết BSC của siêu dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.3.3. Lý thuyết BCS tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.4. Lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha . . . . . . . . . . . . . . 391.4.1. Lý thuyết Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.4.2. Lý thuyết Ginzburg-Landau I: Trật tự Ising . . . . . . . . . . . 491.4.3. Lý thuyết Ginzburg-Landau II: Trật tự phức và siêu chảy . . . . 521.4.4. Lý thuyết Ginzburg-Landau cho siêu dẫn . . . . . . . . . . . . . 55

1.5. Thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN VI MÔ GINZBURG-LANDAU 592.1. Phương pháp hàm Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.1.1. Các hàm Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.1.2. Phương trình chuyển động cho các hàm Green . . . . . . . . . . 622.1.3. Ứng dụng của hàm Green cho lý thuyết siêu dẫn và sắt từ . . . 64

2.2. Phương pháp tích phân phiếm hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.2.1. Biến số Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

i

Mục lục

2.2.2. Hamiltonian và hình thức luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.2.3. Áp dụng cho hệ siêu dẫn BCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.2.4. Phiếm hàm Ginzburg-Landau một thành phần . . . . . . . . . . 84

2.3. Thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3. THIẾT LẬP PHIẾM HÀMNĂNG LƯỢNG GINZBURG-LANDAU NHIỀUTHÀNH PHẦN 893.1. Mô hình ba tham số trật tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.1.1. Hamiltonian và hình thức luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.1.2. Khử tham số kết cặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.1.3. Phiếm hàm Ginzburg-Landau ba thành phần . . . . . . . . . . 110

3.2. Các mô hình đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.2.1. Kênh mật độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.2.2. Kênh trao đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.2.3. Kênh Cooper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.3. Thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4. SỰ ĐỒNG TỒN TẠI CÁC TRẬT TỰ SẮT TỪ VÀ SIÊU DẪN TRONGCÁC HỢP CHẤT FERMION NẶNG 1174.1. Nguồn gốc vi mô của phiếm hàm Ginzburg-Landau hai thành phần . . 1184.2. Sự đồng tồn tại của các trật tự siêu dẫn và sắt từ trong UGe2 . . . . . 125

4.2.1. Phiếm hàm năng lượng tự do Ginzburg-Landau cho siêu dẫn sắttừ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.2.2. Giản đồ pha từ gần đúng phiếm hàm Ginzburg-Landau . . . . . 1314.3. Thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Phụ lục 142

A. Tính hệ fermion hiệu dụng bậc hai kết cặp với các trường phụ 143

B. Khai triển hàm mũ chứa các đạo hàm 151

C. Các phép đạo hàm lên hàm mũ 163

Tài liệu tham khảo 177

ii

MỞ ĐẦU

Trong các chất sắt từ ở dưới nhiệt độ Curie, Tc, spin của các điện tử sắp hàng để tạo ramột độ từ hóa. Trong một thời gian dài người ta cho rằng tính siêu dẫn không hợp vớitính sắt từ. Quan điểm này bén rễ từ lý thuyết vi mô về siêu dẫn được xuất bản 1957bởi Bardeen, Cooper, và Schrieffer (BCS). Trong phạm vi lý thuyết BCS chuẩn, ngưngtụ siêu dẫn được hình thành dưới tác động của một lực hút do bởi các dao động mạngliên kết các điện tử có spin đối song thành các cặp Cooper singlet. Khi các nguyên tửtạp chất từ được đặt vào một chất siêu dẫn truyền thống, thì trường cục bộ bao quanhcác nguyên tử tạp chất sẽ ngăn cản sự hình thành các cặp Cooper singlet [15], điềunày gây ra một sự sụt giảm nhanh chóng nhiệt độ chuyển pha siêu dẫn Tsc. Tuy nhiên,vào khoảng năm 1980, người ta nhận thấy dưới các điều kiện đặc biệt trật tự siêu dẫncó thể đồng tồn tại với trật tự phản sắt từ [86], ở đó các spin điện tử lân cận sắp xếpthành một cấu hình đối song. Chẳng hạn, trong các chất phản sắt từ fermion nặng,các mô men từ lưu động hầu như không có hiệu ứng làm giảm đi sự kết cặp lên các cặpCooper singlet vì tương tác trao đổi trung bình bằng không. Quan sát đầu tiên về điệntrở kháng bằng không trong trạng thái sắt từ của HoMo6S8 được đăng bởi Lynn vàcác cộng sự [57], tiếp theo bởi Genicon và các cộng sự [31]. Rồi sau đó, các thí nghiệmnhiễu xạ neutron trên các tinh thể singlet của HoMo6S8 được tiến hành bởi Rossat vàcác cộng sự [71] đã xác nhận thêm một lần nữa các quan sát ở trên. Họ nhận thấyrằng khi T < 0, 60K, với sự làm lạnh chậm, một pha sắt từ xuất hiện. Cường độ từtrường trong pha sắt từ tăng lên và sau đấy đạt bão hòa ở khoảng T = 0, 4K, biểu thịrằng ở dưới nhiệt độ này, các thăng giáng nhiệt là không đáng kể. Vật liệu có một sựchuyển pha siêu dẫn ở T = 1, 82K và một sự chuyển pha từ ở T = 0, 67K trong vùnglân cận của sự tái nhập tới trạng thái dẫn thường [57]. Sự khám phá lần đầu tiên rachất sắt từ UGe2 [74] có tính siêu dẫn (Tsc < Tc) trong năm 2000 đã gây ra một sựngạc nhiên lớn. Trong vật liệu này, một sự chuyển siêu dẫn xảy ra ở một nhiệt độ Tscngập sâu trong trạng thái sắt từ, tức là ở dưới hẳn nhiệt độ Curie Tc, mà không loạitrừ trật tự sắt từ (ta gọi nó là chất siêu dẫn sắt từ). Về sau, ba chất siêu dẫn sắt từkhác đã được phát hiện là UIr [7], URhGe [10] và UCoGe [44]. Các vật liệu này có đặcđiểm chung là trật tự sắt từ được quyết định bởi các mô men từ 5f của Uranium và cóđặc tính lưu động mạnh. Thêm nữa, tính siêu dẫn xuất hiện gần như với một từ tínhkhông ổn định. Sự đồng tồn tại của tính siêu dẫn và sắt từ trong các vật liệu này cóthể được hiểu dưới dạng các mô hình thăng giáng spin: Ở vùng lân cận điểm tới hạnlượng tử sắt từ, các thăng giáng từ then chốt có thể dàn xếp tính siêu dẫn bằng cáchghép cặp các điện tử thành các cặp Cooper spin-triplet [25, 56], đó là các trạng tháikết cặp bình đẳng về spin (L = 1, Sz = 1; L = 1, Sz = −1 và L = 1, Sz = 0). Trongnhững năm gần đây các bằng chứng phong phú đã cho thấy một cơ chế kết cặp bấtthường như thế đang tồn tại trong các chất sắt từ có tính siêu dẫn [73, 29, 61].

1

MỞ ĐẦU

Theo sát những kết quả mới mà các nhóm nghiên cứu ngoài nước đã thu được, ở ViệtNam GS. Đỗ Trần Cát là người đầu tiên triển khai nghiên cứu lý thuyết pha siêu dẫnvà pha sắt từ trong UGe2 dựa trên tính chất kết ô của cấu trúc vùng năng lượng và thuđược những kết quả thú vị [20, 19]. Các thành viên của nhóm Hệ tương quan mạnh,Trung tâm Vật lý lý thuyết, Viện Vật lý cũng đã bắt đầu nghiên cứu sự đồng tồn tạihai pha từ và siêu dẫn trong UGe2 từ năm 2006. Họ đã thu được những kết quả bướcđầu về hai pha từ FM1 và FM2 trong UGe2 [87] và đã đề xuất cơ chế siêu dẫn dựatrên trao đổi các kích thích từ do tách trường tinh thể của các mức Uranium định xứ[88].Với khám phá về các chất sắt từ siêu dẫn một chủ đề nghiên cứu mới trong lĩnh vựctừ tính và siêu dẫn đã được vạch ra. Nghiên cứu các chất sắt từ siêu dẫn sẽ giúp làmsáng tỏ các thăng giáng từ làm thế nào mà có thể kích thích tính siêu dẫn, một tínhchất mà nó là chủ đề trung tâm chạy xuyên suốt các họ vật liệu ngày càng đa dạngnhư các chất siêu dẫn fermion nặng, siêu dẫn đồng nhiệt độ Tsc cao và các chất siêudẫn được khám phá gần đây có thành phần chính là FeAs [47]. Cái nhìn mới lạ này cóthể đóng vai trò chủ chốt trong sự sáng tạo ra các vật liệu siêu dẫn mới. Tuy nhiên,vấn đề hiểu bản chất thực sự và cơ chế của sự đồng tồn tại tính siêu dẫn với sắt từlà rất phức tạp, một lời giải đầy đủ vẫn chưa có. Đã có các đề xuất rằng sự kết hợpcủa các thăng giáng spin ngang và dọc đóng một vai trò quan trọng và sẽ được kể đếntrong việc nghiên cứu vấn đề [83]. Abrikosov [5] và Mineev cùng các cộng sự [60] đãđề cập rằng tính siêu dẫn sóng s có thể là kết quả từ sự tương tác điện tử được điềuđình bởi các mô men định xứ sắp trật tự có tính sắt từ. Trong những năm gần đây,ngoài những nghiên cứu thực nghiệm khảo sát sự phụ thuộc chuyển pha vào áp suấtvà từ trường ngoài, các công trình lý thuyết của các nhóm nghiên cứu ở Đức, Mỹ, Nga,Nhật, Bulgaria . . . tập trung tìm các cơ chế chuyển pha, bản chất các pha và sự phụthuộc nhiệt độ chuyển pha và moment từ hóa tự phát vào các thông số của vật liệu.Nhiều cơ chế chuyển pha khác nhau đã được đề xuất như: sóng điện tích và sóng spin[90], trao đổi magnon [48], tương tác trao đổi trên các mức định xứ [5]. . . Tuy nhiêncho đến nay bản chất của pha siêu dẫn (singlet hay triplet) chưa rõ, cơ chế gây trậttự từ cũng còn gây tranh cãi (do moment định xứ hay do điện tử linh động), nguyênnhân gây siêu dẫn chưa xác định rõ ràng (do trao đổi phonon hay magnon hay sóngđiện tích). Đặc biệt sự phụ thuộc nhiệt độ chuyển pha và độ từ hóa vào áp suất chưađược nghiên cứu về lý thuyết. Tóm lại lý thuyết đồng tồn tại hai pha siêu dẫn và sắttừ hiện vẫn là một thách thức đối với những người nghiên cứu vật lý [22, 53]. Bởi vậy,chúng tôi chọn hướng nghiên cứu này làm chủ điểm với tiêu đề của luận án: “Phươngpháp tiếp cận vi mô Ginzburg-Landau đối với sự đồng tồn tại pha trong hệ nhiều hạt”.Sự xem xét ở trên đã thúc đẩy chúng tôi thực hiện phép biến đổi lý thuyết trườngfermion tới một lý thuyết hiệu dụng dựa trên các trường kết cặp được biểu diễn dướidạng các tham số trật tự theo các kênh khác nhau. Mục đích chính của luận án làhình thành một phiếm hàm Ginzburg-Landau (GL) mà nó có thể mô tả sự đồng tồntại của nhiều pha. Trong nghiên cứu của chúng tôi, thông qua phép biến đổi Hubbard-Stratonovich (HS), một Hamiltonian sẽ được tách thành các kênh khả dĩ, khi đó sẽnhận được một phiếm hàm chỉ phụ thuộc vào các tham số trật tự. Vì vậy chúng tôi sẽđi đến một sự biểu diễn chung của phiếm hàm GL cho hệ ba tham số trật tự thôngqua các tính toán dựa vào hàm Green. Dựa trên bài toán riêng của siêu dẫn sắt từ của

2

MỞ ĐẦU

các hệ fermion nặng dựa trên Uranium, chúng tôi sẽ rút ra một biểu diễn chính thứccho phiếm hàm GL, và sau đó sử dụng nó để nghiên cứu sự đồng tồn tại của sắt từvà siêu dẫn trong hệ UGe2 đồng thời tạo ra các đồ thị cho thấy sự phụ thuộc giữa cáctham số trật tự và biểu thị các miền pha cân bằng.

Nội dung của bản luận án sẽ được trình bày trong 4 chương:Chương 1, tổng quan. Chương này, phần đầu sẽ trình bày tổng quan về sự đồng tồntại của trật tự từ và siêu dẫn trong hệ fermion nặng. Phần tiếp theo là lý thuyết sắttừ và lý thuyết siêu dẫn. Phần cuối cùng trình bày lý thuyết Ginzburg-Landau về sựchuyển pha.Chương 2, các phương pháp tiếp cận vi mô Ginzburg-Landau. Chương này, mục 2.1chúng tôi sẽ trình bày tổng quan về phương pháp hàm Green cùng với ứng dụng củanó cho hệ sắt từ và siêu dẫn. Mục 2.2, chúng tôi sẽ phát triển bài toán siêu dẫn BCSbằng việc sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàm để tính hàm phân bố của hệ,thiết lập phiếm hàm năng lượng Ginzburg-Landau một thành phần cho siêu dẫn BCS.Chương 3, thiết lập phiếm hàm năng lượng Ginzburg-Landau nhiều thành phần.Chương này, phần đầu xây dựng mô hình ba tham số trật tự và thiết lập phiếmhàm năng lượng Ginzburg-Landau cho ba tham số trật tự, phần sau chúng tôi xâydựng một số mô hình đơn giản tương ứng với từng kênh riêng biệt.Chương 4, sự đồng tồn tại các trật tự sắt từ và siêu dẫn trong các hợp chất fermionnặng. Trong chương này, trước tiên chúng tôi trình bày một cách tiếp cận vi mô để rútra phiếm hàm năng lượng GL hai thành phần. Tiếp theo, dựa trên bài toán riêng củasiêu dẫn sắt từ của các hệ fermion nặng dựa trên Uranium, chúng tôi sẽ rút ra mộtbiểu diễn chính thức cho phiếm hàm GL hai tham số trật tự sắt từ và siêu dẫn tripletvà sau đó sử dụng nó để nghiên cứu sự đồng tồn tại của các pha sắt từ và siêu dẫntrong hệ UGe2.

3

1. TỔNG QUAN

Trong chương này chúng tôi trình bày tổng quan về sự đồng tồn tại trật tự từ và siêudẫn trong hệ fermion nặng, giới thiệu về siêu dẫn và sự hình thành siêu dẫn, từ tínhcủa vật liệu, và trình bày lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha.

1.1. Tổng quan về sự đồng tồn tại của trật tự từ vàsiêu dẫn trong hệ fermion nặng

1.1.1. Hiện tượng đồng tồn tại pha từ - siêu dẫn trong vật liệufermion nặng

Trạng thái chất lỏng Fermi trong kim loại có hai tính bất ổn định. Tính siêu dẫn do sựhình thành của cặp điện tử và sóng mật độ (spin, điện tích) được hình thành bởi việcghép cặp của các điện tử và lỗ trống. Về mặt lý thuyết, điều được mong đợi từ lâu làcác hàm số sóng ghép cặp khác ngoài sóng s như trong siêu dẫn truyền thống và trongcác sóng mật độ có thể tồn tại. Tuy nhiên, điều đó đòi hỏi một thời gian lâu đến mứcngạc nhiên để nhận dạng các trạng thái ghép cặp đông đặc phi truyền thống trong cácvật liệu thật. Giờ đây, có một sự phong phú của các chất siêu dẫn phi sóng s mà cácvật liệu này, một cách thường xuyên, được gắn liền với các hàm khe “nút” bất đẳnghướng mà tại đó các trạng thái kích thích của các chuẩn hạt trong trạng thái siêu dẫntriệt tiêu tại các điểm hoặc tại các đường trên bề mặt Fermi. Hiện tượng này dẫn tớihành vi dạng “định luật lũy thừa” tại vùng nhiệt độ thấp trong nhiều đại lượng vật lý.Các vật chất siêu dẫn actinide và đất hiếm fermion nặng là các vật liệu đầu tiên đượcgiả thiết có các trạng thái ghép cặp siêu dẫn phi truyền thống được sinh ra bởi cácthăng giáng spin năng lượng thấp. Các hợp chất siêu dẫn nhiệt độ cao Tc có chứa đồngthể hiện tính siêu dẫn sóng d là các ví dụ quan trọng và đầy hứa hẹn. Nhưng tính siêudẫn nút cũng có thể được phát hiện trong các muối hữu cơ và muối ruthenates. Cáctrạng thái sóng mật độ điện tích và sóng mật độ spin truyền thống hiện diện thườngxuyên trong các kim loại với trật tự sóng mật độ spin hay trật tự phản sắt từ tươngứng là thông thường nhất. Các hợp chất với các sóng mật độ phi truyền thống đượcxác nhận trong thực tế là khá hiếm hoi và với tính nhất định chỉ đã được tìm thấytrong các kim loại hữu cơ và có lẽ trong các vật liệu fermion nặng có chứa Uranium vàpha “giả khe” của các hợp chất có chứa đồng kích thích thấp. Điều này một phần cóthể là do sự khó khăn trong việc tìm kiếm các tham số trật tự “ẩn” mà những tham sốđó không để lại dấu vết trong các thí nghiệm về tán xạ X quang hoặc tán xạ neutrontiêu chuẩn.

4

1.1 Tổng quan về sự đồng tồn tại của trật tự từ và siêu dẫn trong hệ fermion nặng

Chúng ta sẽ chỉ tập trung vào một số vật liệu quan trọng mà tại đó thể hiện một khíacạnh quan trọng của siêu dẫn phi truyền thống và quan hệ của nó với từ trường haytrật tự ẩn. Các giản đồ pha nhiệt độ thấp phức tạp của các kim loại fermion nặng làkết quả của các lớp vỏ f lấp đầy không hoàn toàn của các ion actinide và đất hiếm màbảo toàn đặc trưng tương tự nguyên tử. Việc lấp đầy các trạng thái theo quy tắc Hunddẫn tới các moment từ. Trong một tinh thể, tính suy biến quay của các moment từ bịdịch chuyển từng phần bởi trường điện tích tinh thể và sự lai với các vùng dẫn rộngcủa các điện tử lớp ngoài. Như một hệ quả, một số lớn các kích thích năng lượng thấpđược tạo thành. Trong trường hợp của một chất lỏng Fermi lý tưởng, các kích thíchnày tương ứng với các chuẩn hạt nặng mà khối lượng hiệu dụng của chúng m∗ vào cỡvài bậc lớn hơn so với khối lượng m của điện tử tự do. Độ rộng của vùng chuẩn hạttương ứng Tc vào cỡ meV đối với các kim loại fermion nặng thực. Sự tăng cường củakhối lượng được phản ánh trong sự tăng mạnh của giá trị nhiệt dung riêng, độ từ cảmPauli và hệ số dạng T 2 của điện trở. Tuy nhiên, gần điểm tới hạn lượng tử, điểm thểhiện sự khởi đầu của các tính bất ổn định của sóng mật độ, các kỳ dị nhiệt độ thấptrong các đại lượng này xuất hiện mà các kỳ dị này là các dấu hiệu đặc trưng của trạngthái chất lỏng phi Fermi. Các cơ chế khác nhau đối với sự hình thành của các khốilượng nặng đã được đề xuất. Trong khi trong các hợp chất Ce với các trạng thái 4f 1 bịđịnh xứ hoàn toàn, cơ chế Kondo là phù hợp, có các bằng chứng ngày càng rõ rằng bảnchất đối ngẫu, nghĩa là định xứ và linh động từng phần, bản chất của các trạng thái5f chịu trách nhiệm đối với sự tái chuẩn hóa khối lượng trong trong các vật liệu chứaUranium. Trong cả hai kịch bản, người ta giả thiết rằng các chuẩn hạt nặng, một cáchưu thế, có các đặc tính f . Các tương tác thặng dư giữa các chuẩn hạt dẫn đến tínhkhông ổn định của việc ghép cặp. Hai ứng cử viên đã được nhận dạng trong các hợpchất fermion nặng: thứ nhất, các tương tác ghép cặp thông qua trao đổi của các thănggiáng spin tắt nhanh tăng cường của các chuẩn hạt linh động, một cách giả thiết tạivector sóng phản sắt từ. Mô hình này được thiết lập cho các hợp chất Ce, đặc biệt khitính siêu dẫn xuất hiện ở gần một điểm tới hạn lượng tử. Điều này cũng có thể chứamột sự thật nào đó đối với các hợp chất fermion nặng chứa Uranium linh động. Tuynhiên, chúng ta giờ đây đã biết một cách chắc chắn rằng trong các hợp chất có chứaUranium với các điện tử 5f định xứ từng phần, một cơ chế khác đang chiếm ưu thế:việc ghép cặp được sinh ra bởi sự trao đổi của các kích thích nội lan truyền (các excitontừ) của hệ con 5f định xứ. Các bằng chứng thực nghiệm mạnh mẽ (các thí nghiệmtán xạ Neutron) về sự đồng tồn tại không bị tách pha giữa sắt từ và siêu dẫn gần đâyđã được tìm thấy trong UGe2, đã ủng hộ quan điểm rằng tính sắt từ và siêu dẫn đượcgây bởi các điện tử 5f trong cùng một dải, nghĩa là các thăng giáng từ gây ra kết cặplà một cơ chế khả dĩ. Điều này dường như biểu thị rằng tương tác hút hiệu dụng giữacác chuẩn hạt nặng tái chuẩn hóa trong UGe2 không phải được cung cấp bởi tương tácđiện tử-phô nôn như trong các chất siêu dẫn thông thường, mà là được điều đình bởicác thăng giáng spin điện tử. Trong lân cận của điểm tới hạn lượng tử sắt từ, các thănggiáng từ tới hạn có thể điều đình tính siêu dẫn bằng cách kết cặp các điện tử thành cáccặp Cooper spin-triplet, đó là các trạng thái kết cặp có spin bằng nhau mà mô menspin toàn phần không bằng không (S = 1): |↑↑〉(L = 1, Sz = 1), |↓↓〉(L = 1, Sz = −1),và (|↑↓〉+ |↓↑〉) /

√2 ( L = 1, Sz = 0). Các cặp Cooper spin-triplet này có các trạng

thái lượng tử với các spin điện tử song song và vì vậy có thể tồn tại trong sự hiện diện

5


của các mô men từ.Cho đến nay, hiểu biết lý thuyết về tính siêu dẫn và từ tính trong các hệ fermion nặngvẫn luôn ở trạng thái với các mô hình có tính sơ đồ hoặc minh họa và thiếu đi nănglực dự báo thực. Các khó khăn xuất hiện ở hai mức độ. Thứ nhất chính các chuẩn hạttrạng thái chuẩn chỉ có thể được mô tả trong các bức tranh vùng được tái chuẩn hóamột hạt hiệu dụng với các tham số đầu vào có tính kinh nghiệm. Đối với một số hợpchất tương tự như UBe13 và các hợp chất có chứa Ce gần điểm tới hạn lượng tử, thậmchí chuyển pha siêu dẫn diễn ra trong một trạng thái mà trong đó không tồn tại cácchuẩn hạt được định xác định rõ như đã được cung cấp bằng chứng bởi quan sát vềhành vi chất lỏng phi Fermi. Thứ hai, tương tác ghép cặp hiệu dụng chỉ có thể đượcmô tả theo một cách được đơn giản hóa quá đáng như trong các mô hình thăng giángspin và các biến thể của mô hình này. Các mô hình được đề xuất này thông thườngbỏ qua cấu trúc quĩ đạo nội của các hợp chất điện tử f gây ra bởi liên kết spin quĩđạo giữa các nguyên tử và thế năng trường điện tích tinh thể. Các nỗ lực để đưa cácsố hạng này vào các khảo sát lý thuyết, trên thực tế, cũng không cho phép đưa cácnhận thức về các hiện tượng thú vị này đi xa hơn. Tuy vậy, việc hiểu biết các lý thuyếtđịnh tính này cũng rất quan trọng. Các thảo luận thường tập trung vào các chuẩn hạttrạng thái cơ bản, mà cụ thể là mô hình Kondo mạng đối với các hợp chất có chứa Ceđối lập với mô hình các điện tử 5f lưỡng tính đối với các hợp chất có chứa U. Bắt đầutừ nhận thức cơ sở này, lý thuyết vùng tái chuẩn hóa cung cấp một cách thức để môtả các vùng của các chuẩn hạt nặng trong khuôn khổ của một cách tiếp cận chất lỏngFermi. Từ những hiểu biết đó, các mô hình gần đúng đối với các tương tác ghép cặphiệu dụng có thể được thu nhận bằng các kỹ thuật nhiễu hạt chuẩn. Sự phân loại đốixứng của các tham số ghép cặp là một bước quan trọng để hiểu cấu trúc nút của khevà để giải các phương trình khe.

1.1.2. Một số quan sát thực nghiệm trong các hợp chất Fermionnặng

Các nghiên cứu thực nghiệm về UGe2 [74, 43, 85, 38] cho thấy rằng ở áp suất bằngkhông UGe2 là một sắt từ linh động, nhiệt độ Curie của nó Tc = 52K, và độ từ hóatự phát µs = 1.4µB/nguyên tử U. Trong tinh thể trực giao trục dễ là trục a [89]. Khiáp suất tăng lên, hệ trải qua hai chuyển pha lượng tử liên tục, từ pha sắt từ (FM) tớipha sắt từ-siêu dẫn (FM-SC) ở P = 1GPa, và từ pha sắt từ tới pha thuận từ (PM) ởáp suất cao Pc = 1.6GPa. Pha siêu dẫn tồn tại hoàn toàn trong miền sắt từ ở nhiệt độthấp và áp suất khoảng 1.0 ÷ 1.6 GPa với một nhiệt độ chuyển cực đại Tsc = 0.8K ởgần 1.2 GPa. Trong miền sắt từ, có hai pha sắt từ riêng biệt được kí hiệu là FM2 vàFM1 với độ lớn mô men từ khác nhau. Với sự tăng áp suất, trạng thái từ cơ bản chuyểntừ pha phân cực mạnh (FM2, µ = 1.5µB) tới pha phân cực yếu (FM1,µ = 0.9µB) ởáp suất Px = 1.2 GPa, và đường pha kết thúc ở giá trị cực đại của nó Tx = Tsc. Khi ápsuất tăng thì bậc của chuyển pha từ FM1 tới PM thay đổi từ bậc hai tới bậc nhất ởđiểm ba Tcr trên giản đồ T (P ), và tại áp suất tới hạn Pc. Khi áp suất tăng hơn nữa thìcả TFM và TFS sụt giảm nhanh chóng và gần như biến mất đồng thời quanh P ∼ 1.7GPa (xem hình 1.1).

6


Hình 1.1.: Giản đồ pha của UGe2 xác định bởi các số đo độ từ hóa dưới áp suất. Tclà nhiệt độ Curie và Tx xác định nơi chuyển pha giữa hai pha sắt từ FM1 và FM2có độ phân cực từ khác nhau. Tsc là nhiệt độ chuyển pha siêu dẫn [85, 38].

Các nghiên cứu thực nghiệm về CeRhIn5 [40, 49, 92, 67, 11, 32] cũng chỉ ra rằng ởáp suất bằng không, trật tự AFM xuất hiện tại TN = 3.8K với một mô men từ sole khoảng 0.8 µB. Bằng cách đặt vào áp suất, ở Tc < TN hệ có thể trải qua một sựchuyển pha lượng tử khi làm lạnh từ pha AFM tới pha AFM+SC. Khi tăng áp suất,nhiệt đô N’eel tăng nhẹ và có một cực đại trơn quanh 0.8 GPa. Sau đó TN suy giảmkhi P tiến gần tới áp suất tới hạn Pc mà tại đó tính siêu dẫn được thiết lập và nhiệt độchuyển siêu dẫn Tc = TN . Trật tự phản sắt từ biến mất ở gần P ∗c = 1.95 GPa do bởimột chuyển pha bậc nhất từ pha AFM+SC tới pha SC không truyền thống. Sự đồngtồn tại của phản sắt từ và siêu dẫn được tìm thấy trong một phạm vi hẹp áp suất từ1.6 − 1.95 GPa. Khi P tăng hơn nữa (P ở trên P ∗c ) một pha siêu dẫn không truyềnthống xuất hiện, nói cách khác, nếu Tc > TN trạng thái cơ bản là siêu dẫn thuần trongmột miền áp suất lớn từ 1.95 tới 5 GPa (xem hình 1.2).

1.1.3. Nghiên cứu lý thuyết về các hợp chất Fermion nặng

Theo các lý thuyết trước đây, tính chất từ được gây bởi các mô men spin của các điệntử định xứ 4f, 5f , còn tính siêu dẫn được gây ra bởi các cặp Cooper được hình thànhbởi các điện tử dẫn. Các khám phá trên cùng với một số các dữ liệu thực nghiệm tincậy về độ dài kết hợp và khe siêu dẫn [74, 43, 68, 10], đã ủng hộ kết luận là các điệntử 4f từ Ce và 5f từ U chịu trách nhiệm cho cả tính chất từ (sắt từ và phản sắt từ)và siêu dẫn. Các cặp Cooper trong các hợp chất kim loại này thuộc loại spin-triplet vàcác thăng giáng từ gây ra các kết cặp là một cơ chế khả dĩ. Trong những năm gần đây,bên cạnh các nghiên cứu thực nghiệm khảo sát sự phụ thuộc của chuyển pha vào ápsuất và từ trường ngoài, cũng đã có nhiều các nghiên cứu về lý thuyết tập trung vàoviệc tìm ra cơ chế chuyển pha, bản chất các pha và sự phụ thuộc của nhiệt độ chuyểnpha và mô men từ tự phát vào các tham số của vật liệu. Các cơ chế khác nhau, chẳnghạn như, kết cặp sóng mật độ điện tích và sóng mật độ spin [89, 18], trao đổi magnon

7


Hình 1.2.: Giản đồ pha P − T của CeRhIn5 với các pha phản sắt từ (kí hiệu AFM,vùng màu xanh) và siêu dẫn (kí hiệu SC, vùng màu vàng) được xác định từ số đonhiệt dung riêng khi không có từ trường ngoài. Khi Tc < TN có tồn tại một phađồng tồn tại AFM+SC. Khí Tc > TN trật tự phản sắt từ đột ngột biến mất [92, 32].

[48], tương tác điện tử được điều đình bởi các mô men định xứ sắp trật tự có tính sắttừ [5, 60], tương tác phonon bị chắn [75], trao đổi điện tử d [80], M-trigger [78, 77, 76],các mô hình nhiều vùng [1, 26, 45, 8], vv..., đã được đề xuất. Các nghiên cứu lý thuyếtđã phần nào giải quyết được vấn đề quan trọng này và cung cấp nhiều thông tin bổích về tương tác giữa các pha từ và siêu dẫn trong các trạng thái đồng tồn tại.Các mô hình hiện tượng học [58, 72] sử dụng để mô tả sự đồng tồn tại của các trật tựsiêu dẫn và sắt từ được đề xuất ngay sau khi có các khám phá thực nghiệm [74, 43, 85].Các lý thuyết này được xây dựng dựa trên các lập luận đối xứng tổng quát và các dữliệu thực nghiệm về nhiệt động lực học của các hợp chất dựa trên Uranium, nghĩa làcác lý thuyết này không liên quan đến vật lý vi mô cơ bản. Trong các hợp chất nàyngười ta cho rằng các điện tử định xứ 5f chịu trách nhiệm cho cả tính chất từ và siêudẫn. Trong bối cảnh đó, các cặp Cooper phải có mô men từ, nghĩa là một chất siêudẫn sắt từ với một trật từ đồng đều phải là một siêu dẫn triplet. Các mô hình hiệntượng học này, sau đó đã được Shopova và các cộng sự sử dụng để tìm các miền ổnđịnh của các pha trong nhiều công trình của họ và đã rất thành công trong việc mô tảsự đồng tồn tại của các trật tự sắt từ và siêu dẫn triplet trong các hợp chất dựa trênUranium [77, 78, 76, 79]. Mô hình hiện tượng học được xây dựng trong các tham khảo[58, 72] được cho bởi

fGL(ψ,M) = fS(ψ) + fF (M) + fI(ψ,M) + 12H2 (1.1)

trong đó ψ là véc tơ phức ba chiều mô tả trật tự siêu dẫn, B = (H + 4πM) = ∇×Alà cảm ứng từ, H là từ trường ngoài và A là thế véc tơ điện từ.

8


Số hạng fS(ψ) mô tả tính chất siêu dẫn khi H = M = 0, và có dạng

fS(ψ) = fgrad(ψ) + as |ψ|2 + bs2 |ψ|

4 + us2∣∣∣ψ2

∣∣∣2 + vs2

3∑i=1|ψi|4 , (1.2)

với

fgrad(ψ) = K1 (Diψj)∗ (Diψj) +K2 (Diψi)∗ (Diψi)+K3 [(Diψi)∗ (Djψj) + (Diψj)∗ (Djψi)] ,

(1.3)

ở đây sự lấy tổng theo các chỉ số i, j được thừa nhận và kí hiệu

Di = −i ∂∂xi

+ 2eAi, (1.4)

của phép lấy vi phân hiệp biến được đưa vào. Số hạng fF (M) trong phương trình (1.1)mô tả tính chất sắt từ và được cho bởi

fF (M) = cf3∑j=1|∇jMj|2 + af (Tf ) |M|2 + bf

2 |M|4 . (1.5)

Đây là biểu thức chuẩn cho một sắt từ đẳng hướng. Thêm vào đó fI(ψ,M) mô tả sựtương tác giữa các tham số trật tự sắt từ và siêu dẫn, và có dạng

fI(ψ,M) = iγ0M. (ψ ×ψ∗) + δ0 |ψ|2 |M|2 . (1.6)

Khi không có từ trường ngoài và bỏ qua các ảnh hưởng của tính bất đẳng hướng củacác cặp Cooper và tinh thể thì phiếm hàm năng lượng GL của siêu dẫn sắt từ tripletbao gồm các số hạng sau

fGL(ψ,M) = as |ψ|2 + bs2 |ψ|

4 + af |M|2 + bf2 |M|

4 + iγ0M. (ψ ×ψ∗) + δ0 |ψ|2 |M|2

(1.7)

Phiếm hàm (1.7) đã được Shopova dùng để khảo sát pha Meisner trong siêu dẫn sắttừ spin-triplet [78] và thu được nhiều kết quả phù hợp tốt với thực nghiệm.Bên cạnh các lý thuyết hiện tượng luận, các lý thuyết vi mô cố gắng giải thích các cơchế khác nhau. Một trong những mô hình vi mô tốt là mô hình được đề xuất bởi Dahl

9

1.2 Sắt từ trong kim loại

và Sudbø [23], khảo sát một Hamiltonian gồm ba số hạng. Số hạng thứ nhất mô tả cácđiện tử tự do, số hạng thứ hai là số hạng BCS spin tổng quát mô tả tính siêu dẫn, vàsố hạng cuối cùng là số hạng trao đổi sắt từ Heisenberg giải thích cho tính sắt từ linhđộng. Với Hamiltonian đó họ đã rút ra được phiếm hàm năng lượng tự do GL cho siêudẫn sắt từ sóng p, sau đó áp dụng để tính các hiệu ứng chui hầm cả trong vùng điệntích và vùng spin, và vì vậy làm sáng tỏ tương tác giữa các nhóm đối xứng bị phá vỡU1 và SU2.Các khám phá mới về các chất siêu dẫn sắt từ và bối cảnh nghiên cứu trong lĩnh vựctừ tính và siêu dẫn của cộng đồng những người nghiên cứu vật lý, đã thúc đẩy chúngtôi thực hiện phép biến đổi lý thuyết trường fermion tới một lý thuyết hiệu dụng dựatrên các trường kết cặp được biểu diễn dưới dạng các tham số trật tự theo các kênhkhác nhau nhằm tìm kiếm các pha đồng tồn tại. Để thuận tiện cho việc trình bày cácnghiên cứu mới (mục 2.2 chương 2, chương 3 và chương 4), dưới đây chúng tôi nhắclại một số kiến thức vật lý quan trọng và các phương pháp hữu ích phục vụ cho việcnghiên cứu của chúng tôi.

1.2. Sắt từ trong kim loại

Mục này sẽ thảo luận tính chất sắt từ trong kim loại. Trọng tâm của phần thảo luậnlà “tích phân trao đổi”, một đại lượng chỉ xuất hiện trong cơ học lượng tử và cho phépgiải thích được hiện tượng từ tính mạnh. Chính vì điều này mà các hiện tượng từ xuấthiện từ rất xa xưa nhưng mãi đến tận khi cơ học lượng tử ra đời người ta mới có đượcsự hiểu biết sâu sắc về nó.Trong các vật sắt từ (Fe,Ni,Co,Gd, . . ., và một số hợp kim của chúng) khi nhiệt độ củavật thấp hơn một nhiệt độ xác định nào đó thì tồn tại độ từ hóa tự phát. Độ từ hóatự phát là moment từ trung bình của vật sắt từ tính trong một đơn vị thể tích tồntại ngay cả khi không có cảm ứng từ trường ngoài B, và phụ thuộc vào nhiệt độ. KhiB = 0, nhiệt độ tăng thì độ từ hóa tự phát của vật sắt từ giảm và khi tăng đến nhiệtđộ chuyển pha sắt từ TC thì độ từ hóa của vật sắt từ bằng không, khi đó từ tính củavật sắt từ sẽ biến mất. Vật được gọi là sắt từ nếu trong vật tồn tại moment từ tự phátngay cả khi không có từ trường ngoài.Các tính chất của vật sắt từ về cơ bản được xác định bởi moment từ spin của cácđiện tử ở các lớp vỏ chưa đầy ( lớp 3d, 4f . . .) và moment từ các điện tử s ở lớp ngoài.Tương tác trao đổi (một loại tương tác điện) giữa các điện tử ở các lớp vỏ chưa đầycủa các nguyên tử với nhau dẫn đến sự định hướng các moment từ spin của các điệntử song song cùng chiều với nhau và tạo thành độ từ hóa tự phát của vật sắt từ khikhông có từ trường ngoài.

10


1.2.1. Trật tự sắt từ trong các hệ moment từ định xứ.

1.2.1.1. Tương tác trao đổi. Mẫu Heisenberg

Để dẫn đến khái niệm tương tác trao đổi, ta khảo sát bài toán Heli. Nhờ tương táctrao đổi giữa các điện tử ta giải thích được bản chất của hiện tượng sắt từ. Vì khốilượng của hạt nhân Heli rất lớn so với khối lượng của các điện tử cho nên trong bàitoán này ta coi hạt nhân của Heli đứng yên.Điện tích của hạt nhân Heli là +2e, điện tích của điện tử là −e; khoảng cách từ điệntử thứ i (i = 1, 2) đến hạt nhân là ri, khoảng cách giữa hai điện tử là r12 = r21 = r =|r2 − r1|.Phương trình Schrodinger ở trạng thái dừng đối với hệ hai điện tử của nguyên tử Helikhi không tính đến ảnh hưởng của spin có dạng:

HΦ(r1, r2) = EΦ(r1, r2) (1.8)

H là toán tử Hamiltonian và E là năng lượng của hệ.

H = H0 + U (1.9)

trong đó

H0 = H0(r1) + H0(r2) (1.10)

H0(ri) = − ~2

2m∇2i −

2e2

rilà Hamiltonian của điện tử thứ i (1.11)

U = e2

r, khảo sát như nhiễu loạn (1.12)

H0(ri)ψn(ri) = Enψn(ri) i = 1, 2 (1.13)

suy ra

Φ01(r1, r2) = ψn(r1)ψm(r2)

Φ02(r1, r2) = ψn(r2)ψm(r1)

(1.14)

11


đều là hàm riêng của toán tử H0 = H0(r1)+H0(r2) ứng với một trị riêng E0 = En+Em

H0Φ01(r1, r2) = (En + Em)Φ0

1(r1, r2) = E0Φ01(r1, r2)

H0Φ02(r1, r2) = (En + Em)Φ0

2(r1, r2) = E0Φ02(r1, r2)

(1.15)

Trong gần đúng bậc không, hàm sóng của hệ hai điện tử Φ(r1, r2) được tìm dưới dạngtổ hợp tuyến tính của Φ0

1 và Φ02

Φ(r1, r2) = c1Φ01(r1, r2) + c2Φ0

2(r1, r2) (1.16)

Phương trình Schrodinger được viết lại như sau

HΦ(r1, r2) = c1HΦ01(r1, r2) + c2HΦ0

2(r1, r2) = Ec1Φ0

1(r1, r2) + c2Φ02(r1, r2)

(1.17)

Đặt E = E0 + E ′ và dùng các phương trình

HΦ01(r1, r2) = (H0 + U)Φ0

1 = E0Φ01 + UΦ0

1

HΦ02(r1, r2) = (H0 + U)Φ0

2 = E0Φ02 + UΦ0

2(1.18)

ta có

c1UΦ01 + c2UΦ0

2 = E ′(c1Φ01 + c2Φ0

2) (1.19)

Nhân về phía trái cả hai vế của phương trình này với Φ0∗i (r1, r2) rồi lấy tích phân theo

r1, r2 và chú ý

Φ0∗i (r1, r2)Φ0

k(r1, r2)dr1dr2 = δik i, k = 1, 2 (1.20)

ta tìm đượcU11c1 + U12c2 = E ′c1

U21c1 + U22c2 = E ′c2(1.21)

hay (U11 − E ′) c1 + U12c2 = 0U21c1 + (U22 − E ′) c2 = 0

(1.22)

12


ở đây

U11 =

Φ0∗1 UΦ0

1dr1dr2 =|ψn(r1)|2 e

2

r|ψm(r2)|2 dr1dr2

U22 =

Φ0∗2 UΦ0

2dr1dr2 =|ψn(r2)|2 e

2

r|ψm(r1)|2 dr1dr2

U12 =

Φ0∗1 UΦ0

2dr1dr2 =ψ∗n(r1)ψm(r1)e

2

rψ∗m(r2)ψn(r2)dr1dr2

U21 =

Φ0∗2 UΦ0

1dr1dr2 =ψ∗m(r1)ψn(r1)e

2

rψ∗n(r2)ψm(r2)dr1dr2

(1.23)

khi thay biến số của tích phân r1 r2 thì tích phân không thay đổi. Vì vậy ta có

U11 = U22 = K; U12 = U21 = J, (1.24)

và

(K − E ′) c1 + Jc2 = 0Jc1 + (K − E ′) c2 = 0

(1.25)

Để hệ phương trình có nghiệm khác không thì định thức sau đây phải bằng không

∣∣∣∣∣ K − E ′ JJ K − E ′

∣∣∣∣∣ = 0 (1.26)

hay (K − E ′)2 − J2 = 0 suy ra E ′ = K ± Ja) Khi E ′ = K + J thì c1 = c2 và ta có

Φ1(r1, r2) ≡ Φs(r1, r2) = c1(Φ01 + Φ0

2) = c1 ψn(r1)ψm(r2) + ψn(r2)ψm(r1) (1.27)

E1 = E0 + E ′ = E0 +K + J (1.28)

b) Khi E ′ = K − J thì c1 = −c2

Φ2(r1, r2) ≡ Φa(r1, r2) = c1(Φ01 − Φ0

2) = c1 ψn(r1)ψm(r2)− ψn(r2)ψm(r1) (1.29)

13


E2 = E0 + E ′ = E0 +K − J (1.30)

Hàm Φs(r1, r2) = Φs(r2, r1) là đối xứng đối với phép hoán vị r1 cho r2 còn hàmΦa(r1, r2) = −Φa(r2, r1) là phản đối xứng đối với phép hoán vị r1 cho r2. Từ điều kiệnchuẩn hóa của các hàm sóng Φs,Φa ta tìm được c1 = 1/

√2.

Bây giờ ta xét ý nghĩa của tích phân K và tích phân J . Chú ý rằng ρ(r1) = −e |ψn(r1)|2là mật độ điện tích của điện tử ở điểm r1, ρ(r2) = −e |ψm(r2)|2 là mật độ điện tíchcủa điện tử ở điểm r2 và r = |r2 − r1| cho nên tích phân K là năng lượng tương táctĩnh điện giữa các điện tử trong nguyên tử Heli.Tích phân J không có ý nghĩa như tích phân K, nó cũng là năng lượng tương tác điệngiữa các điện tử nhưng không giống như tương tác tĩnh điện thông thường mà chúngta đã biết trong vật lý cổ điển. Sự xuất hiện đại lượng mới J gắn liền với việc trao đổichỗ giữa các hạt đồng nhất (các điện tử) trong cơ học lượng tử và do đó không thểtính được J trong phạm vi vật lý cổ điển. Tích phân J gọi là tích phân trao đổi vàphần năng lượng ±J gọi là năng lượng trao đổi. Tùy thuộc vào sự định hướng của cácspin của hai điện tử mà ta có năng lượng trao đổi bằng +J hay bằng −J .Ta hãy khảo sát vấn đề này một cách cụ thể hơn. Từ cơ học lượng tử ta biết rằng hàmsóng của hệ hạt fermion đồng nhất là hàm sóng phản đối xứng. Điện tử có spin bằng1/2 thuộc vào loại hạt fermion nên hàm sóng hệ hai hạt điện tử là hàm sóng phản đốixứng. Để đặc trưng cho chuyển động của điện tử ngoài ba tọa độ x, y, z còn có thêmmột biến số thứ tư là hình chiếu spin sz = ms~ (ms = ±1

2). Ta kí hiệu tập hợp bốnbiến số đặc trưng cho chuyển động của điện tử thứ i là ξi (i = 1, 2). Hàm sóng ψ củahệ hai điện tử là hàm sóng phản đối xứng có nghĩa là

ψ(ξ1, ξ2) = −ψ(ξ2, ξ1) (1.31)

Nếu bỏ qua sự tương tác từ do các mô men từ của các điện tử gây nên thì phân bốxác suất theo tọa độ không gian sẽ không phụ thuộc vào sự định hướng của các spin,do đó hàm sóng ψ(ξ1, ξ2) bằng tích các hàm sóng phụ thuộc vào các tọa độ không gianvà các hình chiếu spin

ψ(ξ1, ξ2) = Φ(r1, r2)χ(s1z, s2z) (1.32)

Hàm sóng ψ(ξ1, ξ2) là hàm sóng phản đối xứng, cho nên khi Φ(r1, r2) là hàm đối xứngthì hàm sóng spin χ(s1z, s2z) phải là hàm phản đối xứng, và ngược lại, khi Φ(r1, r2)là hàm sóng phản đối xứng thì hàm sóng spin χ(s1z, s2z) phải là hàm đối xứng. Hàmsóng của hệ hai điện tử ψ(ξ1, ξ2) có thể có các trường hợp sau

ψ(ξ1, ξ2) = Φs(r1, r2)χa(s1z, s2z)ψ(ξ1, ξ2) = Φa(r1, r2)χs(s1z, s2z)

(1.33)

14


ở đây

Φs(r1, r2) = Φs(r2, r1)χa(s1z, s2z) = −χa(s1z, s2z)Φa(r1, r2) = −Φa(r2, r1)χs(s1z, s2z) = χs(s1z, s2z)

(1.34)

Khi spin của hai điện tử định hướng song song cùng chiều (spin toàn phần của hệ haiđiện tử s = 1) thì hàm sóng spin là hàm sóng đối xứng χs. Khi đó hàm sóng của tọađộ phải là hàm sóng phản đối xứng Φa(r1, r2) và năng lượng của hệ hai điện tử làE2 = E0 +K − J .Khi spin của hai điện tử định hướng song song ngược chiều (spin toàn phần của hệhai điện tử s = 0) thì hàm sóng spin là hàm sóng phản đối xứng χa. Khi đó hàm sóngcủa tọa độ phải là hàm sóng đối xứng Φs(r1, r2) và năng lượng của hệ hai điện tử làE1 = E0 +K + J .Như vậy sự thay đổi cách định hướng các spin của hai điện tử làm cho năng lượng traođổi thay đổi dấu. Trạng thái của hệ hai điện tử càng bền vững khi hai điện tử ở mứcnăng lượng càng thấp.-Nếu J > 0 thì E2 < E1, hệ hai điện tử sẽ ở trạng thái có năng lượng E2 có hai spinđịnh hướng song song cùng chiều,-Nếu J < 0 thì E1 < E2, hệ hai điện tử sẽ ở trạng thái có năng lượng E1 có hai spinđịnh hướng song song ngược chiều.Khi hai spin của hai điện tử định hướng song song cùng chiều thì hai mô men từ spincũng định hướng song song cùng chiều và khi hai spin của hai điện tử định hướng songsong ngược chiều thì hai mô men từ spin của chúng cũng định hướng song song ngượcchiều. Điều kiện để hai mô men từ spin (hay hai spin) của hai điện tử định hướng songsong cùng chiều là J > 0 và song song ngược chiều là J < 0. Bài toán về tương tác traođổi giữa hai điện tử với năng lượng trao đổi bằng ±J mang tính chất tổng quát khôngphụ thuộc vào hai điện tử có ở cùng một nguyên tử hay không. Gọi Jij là tích phântrao đổi giữa các điện tử của các nguyên tử i và j trong tinh thể ở 0K, nếu Jij > 0 thìcác mô men từ spin của các điện tử trong các nguyên tử i và j định hướng song songcùng chiều và vật là vật sắt từ. Còn nếu Jij < 0 thì các mô men từ spin của các điệntử trong các nguyên tử i và j định hướng song song ngược chiều và vật là vật phản sắttừ.Để nghiên cứu lý thuyết lượng tử về sắt từ, đầu tiên ta khảo sát lý thuyết sắt từ tronggần đúng giả cổ điển. Khi đó ta coi các toán tử spin của các điện tử trong các nguyêntử i, j bất kì của tinh thể như những véc tơ spin Si = ~σi, Sj = ~σj định hướng songsong cùng chiều hay ngược chiều. Độ lớn của σ2

i và σ2j được xác định bằng công thức

σ2i = σ2

j = Si(Sj + 1) = 12(1

2 + 1) = 34. (1.35)

Ta xét bình phương của tổng σi + σj

(σi + σj)2 = σi2 + σj2 + 2σiσj = 3

4 + 34 + 2σiσj = S(S + 1) . (1.36)

15


Trong đó S là spin tổng cộng của hệ hai điện tử. Khi σi,σj định hướng song song cùngchiều thì S = 1 và khi σi,σj định hướng song song ngược chiều thì S = 0. Vậy ta có

σiσj = 12

[S(S + 1)− 3

2

]=

−34 khi S = 0,

14 khi S = 1.

(1.37)

Phần năng lượng trao đổi giữa các điện tử ở trong các nguyên tử i và j được viết chungdưới dạng

Wij = ±Jij = −12Jij − 2Jijσiσj =

−Jij khi σi ↑↑ σj ,+Jij khi σi ↓↑ σj .

(1.38)

Năng lượng trao đổi của các điện tử trong toàn bộ tinh thể của vật sắt từ sẽ là

W = 12∑i 6=j

Wij = C +H. (1.39)

Trong đó tổng theo i, j lấy theo tất cả các nguyên tử của vật sắt từ.

C = −14∑i 6=j

Jij = const, (1.40)

và

H =∑i 6=j

Jijσiσj , (1.41)

là phần năng lượng trao đổi phụ thuộc vào sự định hướng của các spin của các điện tử.Khi nghiên cứu lí thuyết về sự định hướng của các mô men từ spin của các điện tửtrong vật từ ta chỉ dùng phần năng lượng trao đổi H.Chuyển từ lý thuyết giả cổ điển đến lý thuyết lượng tử của vật từ, ta thay đổi các véctơ σi,σj bằng các toán tử Si/~, Sj/~ khi đó hàm H trở thành toán tử Hamiltonian Hcủa vật từ. Nếu chọn đơn vị đo là ~ thì σi = Si, σj = Sj và toán tử H có dạng

H = −∑i 6=j

JijSiSj = −∑i>j

JijSiSj −∑i<jJijSiSj. (1.42)

16


Nếu trong tổng thứ hai ta thay chỉ số lấy tổng i j và chú ý rằng Jij = Jji, ta có

H = −∑i 6=j

JijSiSj = −∑i>j

2JijSiSj. (1.43)

Mẫu sắt từ mà tương tác trao đổi được mô tả bằng toán tử Hamiltonian này gọi làmẫu sắt từ Heisenberg. Trong trường hợp tổng quát, các toán tử Si, Sj trong toán tửH của mẫu sắt từ Heisenberg là toán tử tổng cộng các toán tử spin của các điện tửtrong nguyên tử i và j của vật sắt từ. Mẫu sắt từ Heisenberg là mẫu điện tử định xứtrong các nguyên tử sắt từ, vì vậy mẫu này chỉ áp dụng tốt cho các vật sắt từ điện môi.Đối với các kim loại sắt từ như Fe,Co,Ni . . . ngoài những điện tử ở các lớp 3d chưa làmđầy, định xứ trong các nguyên tử, còn có các điện tử dẫn. Tương tác giữa các điện tửđịnh xứ trong các nguyên tử và các điện tử dẫn cũng có ảnh hưởng đến tính chất từcủa các kim loại sắt từ.

1.2.1.2. Lý thuyết trường trung bình phân tử Weiss

Ta bắt đầu với Hamiltonian Heisenberg

H = −∑ij

JijSiSj , (1.44)

với SiSj = S(S + 1). Ta có

Si = 〈Si〉︸︷︷︸trung bình

+ (Si − 〈Si〉)︸︷︷︸thăng giáng

, (1.45)

trong đó 〈Si〉 = TrρSi kí hiệu trung bình theo tập hợp và ρ là toán tử mật độ. Vì vậy

SiSj = [〈Si〉+ (Si − 〈Si〉)] [〈Sj〉+ (Sj − 〈Sj〉)]= 〈Si〉〈Sj〉+ (Si − 〈Si〉) 〈Sj〉+ 〈Si〉 (Sj − 〈Sj〉) + (Si − 〈Si〉) (Sj − 〈Sj〉)= −〈Si〉〈Sj〉+ Si 〈Sj〉+ 〈Si〉Sj + (Si − 〈Si〉) (Sj − 〈Sj〉) .

(1.46)

Giả sử rằng thăng giáng Si−〈Si〉 là nhỏ theo nghĩa là đóng góp của số hạng cuối cùngtrong (1.46) là không đáng kể. Điều này dẫn tới Hamiltonian trường trung bình códạng

H ∼=∑ij

Jij 〈Si〉〈Sj〉 −∑i

Si∑j

Jij 〈Sj〉 −∑i

Jij 〈Si〉∑j

Sj

= +∑ij

Jij 〈Si〉〈Sj〉 −∑i

Si.

2∑j

Jij 〈Sj〉

= E0 −

∑i

Si.HWeff ,

(1.47)

17


trong đó

E0 =∑ij

Jij 〈Si〉〈Sj〉 ,

HW = 2∑j

Jij 〈Sj〉 .(1.48)

HW gọi là từ trường phân tử Weiss hay từ trường hiệu dụng.Ta thấy rằng HW bất cứ ở đâu cũng cùng hướng với 〈Sj〉. Bởi vì 〈Sj〉 là các trung bìnhspin trong từ trường hiệu dụng và H không chứa bất kỳ số hạng bất đẳng hướng nàonên giá trị trung bình của 〈Sj〉 được tính như sau

|〈Sj〉| ≡M/gµB =

∑Sms=−Sms exp

2∑

jJij

(gµB)kBTMms

∑Sms=−S exp

2∑

jJij

(gµB)kBTMms

= SBS

(2∑j Jij

(gµB) kBTMS

),

(1.49)

trong đó BS(x) là hàm Brillouin đối với spin S. BS(x) có dạng

BS(x) = 2S + 12S coth

(2S + 12S x

)− 1

2S coth( 1

2Sx). (1.50)

Khi T → Tc thì M → 0, chú ý rằng với x 1 thì BS(x) ∼= [(S + 1) /(3S)]x, phươngtrình (1.49) trở thành

M

gµB= S

(S + 1

3S

) 2∑j Jij(gµB) kBTc

MS, (1.51)

từ đây ta có

kBTc = 2S (S + 1)3

∑j

Jij. (1.52)

Công thức này cho mối liên hệ giữa nhiệt độ Curie TC và tích phân trao đổi Jij. NếuJij = 0 thì TC = 0, nghĩa là vật không phải là vật sắt từ. Như vậy bản chất của hiệntượng sắt từ là do tương tác trao đổi, với Jij > 0.Gọi J là tích phân trao đổi của một cặp nguyên tử gần nhau nhất và gần đúng coiJij ≈ 0 khi các nguyên tử i và j ở xa nhau (không gần nhau nhất), ta có

kTC = 2S(S + 1)3 ZJ, (1.53)

18


trong đó Z là số nguyên tử gần nhất bao quanh một nguyên tử bất kỳ đã cho củatinh thể (số phối vị). Đối với kim loại sắt từ thì S = 1, Z = 8, TC = 1043K, kTC =0, 09eV ≈ 0, 1eV . Khi đó ta có

J = 32

1S(S + 1)ZkTC ≈ 0, 01eV. (1.54)

1.2.2. Trật tự từ của hệ spin linh động

1.2.2.1. Mô hình Hubbard

Làm thế nào có thể mô tả một cách đơn giản chuyển động và tương tác của các điệntử trong một chất rắn? Trước hết, ta cần lý giải một thực tế là có một mạng đều đặncủa các vị trí hạt nhân trong chất rắn, và để đơn giản ta coi các hạt nhân này là cốđịnh (nói cách khác, ta sẽ không phải lo nghĩ về các dao động mạng). Điều này gợi ýrằng ta sẽ bắt đầu với một mạng các nguyên tử (các vị trí) trên đó các điện tử chuyểnđộng. Một nguyên tử đơn là một cấu trúc rất phức tạp với nhiều mức năng lượng khácnhau. Nguyên tử đơn giản nhất ta có thể hình dung sẽ có một mức năng lượng đơn.Khi đó, nguyên lý Pauli sẽ cho chúng ta thấy rằng có tối đa hai điện tử (một có spinhướng lên và một có spin hướng xuống) có thể nằm trên nguyên tử này. Trong mộtchất rắn ở đó các điện tử có thể di chuyển khắp, các điện tử tương tác qua tương tácCoulomb bị chắn. Tương tác lớn nhất sẽ là với hai điện tử trên cùng một nguyên tử.Để đơn giản, Hubbard dừng ở đây, vì vậy các tương tác được được mô hình hóa bởimột số hạng mà nó bằng không nếu nguyên tử không có hoặc chỉ có một điện tử trênnó, nhưng sẽ có giá trị U nếu nguyên tử có hai điện tử. Không có tương tác giữa cácđiện tử trên các vị trí khác nhau. Động năng của ta bao gồm một biểu thức cho phépcác điện tử di chuyển từ một vị trí tới các vị trí lân cận nó. Tỉ lệ năng lượng t chi phốisự “nhảy” này sẽ được khảo sát bởi sự che phủ của hai hàm sóng trên cặp nguyên tử.Bởi vì các hàm sóng giảm theo hàm số mũ, nên ta có thể bắt đầu bằng cách cho phépsự nhảy chỉ giữa các nguyên tử gần nhất trong mạng tinh thể. Bây giờ ta chính thứchóa cấu trúc này. Ta định nghĩa c†jσ là toán tử sinh điện tử có spin σ ở nút mạng j.Tương tự cjσ là toán tử hủy và njσ = c†jσcjσ là toán tử số hạt.Hamiltonian Hubbard khi đó là

H = −t∑〈jl〉σ

c†jσclσ + U∑

jnj↑nj↓ − µ

∑j

(nj↑ + nj↓) . (1.55)

Số hạng thứ nhất là động năng: Nó mô tả sự hủy một điện tử có spin σ ở vị trí l vàtạo ra một điện tử có spin σ ở vị trí j. Kí hiệu 〈jl〉 nhấn mạnh rằng sự nhảy chỉ đượcphép giữa hai vị trí liền kề. Số hạng thứ hai là năng lượng tương tác. Tổng được lấytheo tất cả các vị trí và thêm vào một năng lượng U nếu tìm thấy vị trí đó bị chiếmbởi cả hai điện tử. Số hạng cuối cùng là một thế hóa học mà nó điều khiển sự lấp đầy.Chúng ta kể đến tình huống trong đó sự lấp đầy là một điện tử cho mỗi vị trí như

19


“nửa-lấp đầy” bởi vì mạng chứa một nửa số điện tử trong số điện tử cực đại (hai điệntử cho mỗi vị trí). Các nghiên cứu về mô hình Hubbard thường tập trung vào trườnghợp nửa lấp đầy bởi vì nó biểu hiện nhiều hiện tượng thú vị (hành vi Mott cách điện,trật tự phản sắt từ,...).Hamiltonian Hubbard giải được chính xác trong các giới hạn U = 0 và t = 0. Giới hạnkhông tương tác tương ứng với lý thuyết vùng trong gần đúng liên kết chặt, trong khigiới hạn t = 0 tương ứng với giới hạn nguyên tử.

Giới hạn không tương tác U = 0 Trong giới hạn U = 0, Hamiltonian rút gọn thànhđộng năng

H0 =∑k,σ

ξkc†k,σck,σ, (1.56)

trong đó ck,σ là biến đổi Fourier của cj,σ và

ξk = εk − µ = −2td∑

ν=1cos kν − µ, (1.57)

là hệ thức tán sắc của các điện tử tự do chuyển động trong tinh thể. Mật độ trạng tháibằng

N(ξ) =

kδ(ε− εk), ε = ξ + µ, (1.58)

với εk ∈ [−2dt, 2dt].

Giới hạn cục bộ t = 0 Khi biên độ “nhảy” triệt tiêu t = 0, Hamiltonian rút gọnthành

H =∑

j[Unj↑nj↓ − µ (nj↑ + nj↓)] . (1.59)

Theo nguyên lí Pauli, chỉ có bốn trạng thái trong không gian Hilbert của bài toánmột vị trí, đó là: trạng thái trống |0〉 (năng lượng ε0 = 0), hai trạng thái bị chiếmđơn |σ〉 = c†σ |0〉 với spin σ (năng lượng εσ = −µ) và một trạng thái bị chiếm đôi|↑↓〉 = c†↑c

†↓ |0〉 (năng lượng ε↑↓ = U − 2µ). Khi đó dễ dàng tính được hàm phân bố

bằng

Z =∑α

〈α| e−βH |α〉 = 1 + 2eβµ + e2βµ−βU , (1.60)

20


năng lượng bằng

E = Z−1∑α

〈α|He−βH |α〉 =(1 + 2eβµ + e2βµ−βU

)−1Ue2βµ−βU . (1.61)

và số điện tử trung bình chiếm mỗi vị trí có spin σ là

〈nσ〉 = 1Z

(eβµ + e−β(U−2µ)

). (1.62)

1.2.2.2. Tiêu chuẩn Stoner cho sắt từ

Stoner đã phát triển một bức tranh rất đơn giản về sắt từ dựa trên sự cạnh tranh giữađộng năng tiêu tốn để làm cho số điện tử có spin hướng lên và spin hướng xuống khácnhau và thế năng liên kết chúng tăng lên. Ý tưởng cơ bản như sau: Theo nguyên líPauli cách để chiếm một tập hợp các mức năng lượng đã cho với năng lượng thấp nhấtlà bắt đầu lấp đầy từ đáy và đặt hai điện tử có spin ngược nhau vào cùng mỗi mức.Mặt khác nếu tạo ra số điện tử có spin hướng lên và spin hướng xuống không bằngnhau, và không lấp đầy mỗi mức với hai điện tử, ta sẽ phải chiếm các mức năng lượngcao hơn.Tuy nhiên, nếu ta tạo ra số điện tử có spin hướng lên và spin hướng xuống không bằngnhau, thì ta có thể làm giảm thế năng: Xét giới hạn sự phân cực spin là hoàn toàntrong đó không có các điện tử thuộc về một loại spin. Khi đó, hiển nhiên là thế năngbằng không.Ta hãy làm cho lập luận này rõ ràng hơn: Xét một hệ với mật độ trạng thái N(E) vàcả các điện tử có spin hướng lên và hướng xuống đều lấp đầy các mức năng lượng lêntới cùng mức cực đại gọi là mức Fermi EF . Mật độ các điện tử có spin hướng lên vàhướng xuống bằng nhau và bằng n.Ta hãy tính sự thay đổi trong năng lượng do sự suy giảm mật độ δn của các điện tửcó spin hướng xuống đồng thời số điện tử có spin hướng lên tăng δn. Thế năng thayđổi bằng

δP = U(n+ δn)(n− δn)− Un2 = −U(δn)2. (1.63)

Nếu ta chuyển lượng điện tử thêm vào δn vào trong nhóm hướng lên, ta sẽ chiếm cácmức năng lượng bên trên mức EF ban đầu. Nhớ rằng ta định nghĩa mật độ trạng tháinhư số mức ở một năng lượng E ta sẽ thấy rằng N(E) = dN/dE vì vậy δn = N(EF )δE.Hệ thức này cho ta biết phạm vi năng lượng ở trên mức Fermi EF mà ta lấp đầy dướidạng δn lớn như thế nào. Tương tự như vậy, ta đang làm trống các mức năng lượng ởbên dưới mức EF mà trước đây nó được chiếm bởi các điện tử có spin hướng xuống.Kết quả rõ ràng của quá trình này là chuyển δn điện tử lên các mức năng lượng trongkhoảng δE. Sự thay đổi động năng là

δK = +δnδE = + 1N(EF )(δn)2. (1.64)

21

1.3 Siêu dẫn và lý thuyết BCS

Đặt hai biểu thức này cùng nhau, ta có

δE = δP + δK

= (−U + 1N(EF ))(δn)2 = (−UN(EF ) + 1) (δn)2

N(EF ) .(1.65)

Ta thấy rằng nếu UN(EF ) > 1 thì năng lượng toàn phần thay đổi δE < 0, vì vậy sẽthuận lợi để có mật độ điện tử hướng lên và hướng xuống khác nhau và vì vậy thuậnlợi để có tính sắt từ. Đây gọi là tiêu chuẩn Stoner. Nó cho ta biết rằng từ tính đượcủng hộ bởi các tương tác điện tử lớn.

1.3. Siêu dẫn và lý thuyết BCS

Mục này trình bày lược sử ra đời và phát triển của siêu dẫn, từ sự phát hiện ra hiệntượng siêu dẫn cho đến sự ra đời của lý thuyết vi mô BCS. Tìm hiểu về lý thuyết BCS,hồi tưởng lại những thành công của nó trong việc mô tả tất cả các sự kiện đã biết vàđưa ra các tiên đoán mới mà sớm đã được xác nhận bằng thực nghiệm, đóng góp vàoviệc thừa nhận rỗng rãi của lý thuyết. Sau cùng trình bày về lý thuyết BCS tổng quát.

1.3.1. Lược sử ra đời và phát triển của siêu dẫn

Siêu dẫn là một trong những chủ đề hấp dẫn nhất của vật lý chất rắn. Nó là nguồncảm hứng bất tận cho cả các nghiên cứu vật lý thực nghiệm và lý thuyết và có mộttiềm năng khổng lồ cho việc áp dụng công nghệ vào trong thực tiễn. Được khám phábởi Kamerlingh Onnes năm 1911, tuy nhiên phải cần đến gần 50 năm mới phát triểnđầy đủ khung khái niệm cần thiết để hiểu rõ hiện tượng tập thể này với sự ra đời củalý thuyết BCS. Trước khi bắt đầu ta hãy phác họa vắn tắt dòng chảy lịch sử dẫn tớinó. Hóa ra rằng hầu hết các nhà vật lý nổi tiếng của nửa đầu thế kỷ XX đã cố gắng đểtìm lời giải cho vấn đề hóc búa đó. Một số điểm sáng trong sự phát triển của lý thuyếtsiêu dẫn là• Hiện tượng siêu dẫn được khám phá năm 1911 tại phòng thí nghiệm của HeikeKammerlingh Onnes [63] ở Leiden, Hà Lan và là một bất ngờ. Onnes là người đầu tiêntrên thế giới phát triển một kĩ thuật hóa lỏng Heli trước đó vài năm và điều đó chophép tiến hành các thực nghiệm ở nhiệt độ quanh mức 4,2 Kelvin. Onnes và các cộngsự sử dụng những thí nghiệm đó để nghiên cứu hành vi phụ thuộc nhiệt độ của điện trởkháng kim loại khi làm lạnh tới không độ tuyệt đối. Cần phải nhấn mạnh rằng HeikeKamerlingh Onnes đã nghiên cứu các tính chất của kim loại ở nhiệt độ thấp khôngphải bởi ai đó đã mong đợi hay dự đoán sự xuất hiện của hiện tượng bất thường đó.Động cơ thúc đẩy chỉ là trả lời các câu hỏi đơn giản và gây tranh cãi bấy giờ là điện trởcủa kim loại có triệt tiêu như mong đợi theo lý thuyết Drude hay không. Paul Drudelập luận rằng ở nhiệt độ rất thấp sự tán xạ của các điện tử bởi các dao động mạng sẽ

22


không bị tác động và điện trở kháng sẽ sụt giảm theo sự hạ thấp nhiệt độ. Mặt kháctheo lý thuyết suy đoán của Lord Kelvin (Wiliam Thomson), một nhà khoa học rất cóảnh hưởng, dự đoán rằng điện trở sẽ tăng (thực sự tới vô cùng) ở các nhiệt độ thấpnhư một kết quả của sự đóng băng của các điện tử thành trạng thái các nguyên tửtrong vật liệu. Thật ngạc nhiên, họ nhận thấy rằng điện trở kháng của mẫu thủy ngânsụt giảm đột ngột tới giá trị không đo được, nghĩa là trở nên thực sự bằng không ởnhiệt độ thấp. Vì vậy đầu tiên người ta định nghĩa tính chất của siêu dẫn là tính dẫnđiện hoàn hảo ở dưới nhiệt độ tới hạn TC , một tính chất thể hiện đúng tên gọi củahiện tượng.• Một trong hai thí nghiệm, những thí nghiệm đã đóng góp to lớn để có được nhữnghiểu biết đúng đắn về hiện tượng và để hình thành hiện tượng học chính xác và lýthuyết vi mô sau này về hiện tượng siêu dẫn, là sự khám phá ra hiệu ứng Meissner năm1933 bởi Meissner và Ochsenfeld [59]. Khi một chất siêu dẫn được làm lạnh trong mộttừ trường yếu, từ thông bị đẩy ra khỏi chất một cách tự phát khi nó trở thành siêudẫn. Hiệu ứng Meissner minh họa rằng một chất siêu dẫn về bản chất là một nghịchtừ hoàn hảo.Tính chất nghịch từ xuất hiện khi một từ trường ngoài chỉ xuyên sâu hạn chế vào vậtliệu, và không cản trở việc vẫn còn lại ở phần bên trong của vật liệu. Độ xuyên sâuthường là nhỏ khi so sánh với bề rộng của vật liệu. Sự kiện này cũng biểu thị rằng mộttừ trường riêng sẽ phá hủy tính siêu dẫn của vật liệu.Như vậy một chất siêu dẫn không chỉ là một vật dẫn hoàn hảo mà còn là chất nghịchtừ lí tưởng. Một chất nghịch từ lí tưởng (đẩy từ thông ra) phải kéo theo điện trở bằngkhông (vì nếu điện trở khác không thì các dòng chắn dư phải liên tục tiêu hao nănglượng do tỏa nhiệt, vậy năng lượng này lấy ở đâu, phải chăng từ năng lượng tích trữtrong từ trường. Nhưng từ trường đã cho là từ trường tĩnh và do đó không thể cungcấp năng lượng cần thiết, suy ra điện trở phải bằng không), nghĩa là chất nghịch từ lítưởng cũng là chất dẫn điện hoàn hảo. Nhưng đảo lại, lại không đúng. Chính vì lí donày mà tính nghịch từ lí tưởng được coi là tính chất cơ bản hơn, thực tế là tính chấtquyết định của một chất siêu dẫn.• Heinz London và Fritz London là những người đầu tiên hiểu được tầm quan trọngthực sự phát hiện của Meissner và Ochsenfeld và đã sớm đề xuất một lý thuyết hiệntượng luận (vào năm 1937) mà nó cho phép giải thích những tính chất điện động lựccủa các chất siêu dẫn. Hai ông đã lập luận chính xác rằng tính siêu dẫn là một biểuhiện của các quy luật lượng tử trên một tỉ lệ vĩ mô vào cỡ met hoặc kilomet và đưa rahệ thức nổi tiếng

j = −nse2

mA,(∇A = 0).

Heinz và Fritz London đã quan tâm đến hiện tượng siêu dẫn nhưng không nỗ lực đểmô tả nguyên nhân. Thay vào đó họ tìm được phương trình cho độ xuyên sâu λ củasiêu dẫn [55]. Nhưng những kết quả của họ được đánh giá là quá cao với các giá trịtìm được bằng thực nghiệm, và vì vậy các giả thiết của họ bị loại bỏ.

23


• Phỏng đoán bởi Frohlich rằng tương tác giữa phonon và electron chịu trách nhiệmcho tính siêu dẫn [30] có từ năm 1950, cũng khi đó hiệu ứng đồng vị được khám phá.Vào ngày 24 tháng ba năm 1950 tạp chí chuyên đề Physical Review đã nhận được haibản báo cáo về hiệu ứng đồng vị [24, 70] và sau đó đã cho xuất bản trong cùng một sốra của tạp chí trong mục các lá thư gửi tới biên tập viên. Một bản là của E. Maxwellgửi từ NBS, Washington D.C và một báo cáo khác là của C.A. Reynolds và các cộngsự gửi từ Rutgers University, New Jersey. Cả hai nhóm đều nhận thức được công việccủa họ và đã viện dẫn lẫn nhau. Điều quan trọng cần lưu ý ở đây là có một sự phùhợp đẹp đẽ của các phép đo cực kỳ cẩn thận và chính xác. Một nhóm đo được nhiệtđộ chuyển pha siêu dẫn của thủy ngân tự nhiên có khối lượng nguyên tử trung bình200,6 là TC = 4, 156 K và của 198Hg là TC = 4, 177 K [24]. Nhóm khác [70] đã báo cáovới thủy ngân tự nhiên là TC = 4, 150 K và với đồng vị tiêu biểu 202Hg là TC = 4, 143K.Các kết quả thí nghiệm trong vòng mỗi chuỗi các đồng vị có thể được làm khớp với hệthức:

M1/2TC = const (1.66)

Từ sự phụ thuộc của TC vào khối lượng đồng vị ta thấy rằng các dao động mạngvà do đó các tương tác điện tử - mạng tinh thể có liên quan sâu sắc đến tính siêudẫn. Điều này cho phép giả thiết rằng nền tảng của tính siêu dẫn dựa vào tương tácelectron-phonnon, một giả thuyết mà sau này sẽ dẫn tới sự hình thành lý thuyết BCS.• Trong suốt mấy thập kỉ sự hiểu biết đầy đủ của cơ học lượng tử về siêu dẫn tiếntriển khá chậm chạp luôn đi sau thực nghiệm, nhưng cuối cùng một đột phá đạt đượctrong năm 1950 khi lý thuyết GL được đề xuất trên nền hiện tượng học, bắt đầu từlý thuyết Landau tổng quát về chuyển pha loại hai như chúng ta sẽ thấy chi tiết hơntrong mục 1.4.Lý thuyết Ginzburg-Landau năm 1950 [33] là một lý thuyết hiện tượng học sử dụngtrực giác vật lý và nguyên lý biến thiên của cơ học lượng tử. Nó cho phép tính toáncác đại lượng vĩ mô của vật liệu trong trạng thái siêu dẫn nếu người ta giả thiết sựchuyển pha là loại hai. Các kết quả có thể phù hợp một cách chính xác với các kết quảthực nghiệm, và sau này được chỉ ra là một dạng riêng của lý thuyết BCS. Trong khihữu ích và chính xác với các đại lượng vĩ mô, thì cũng giống như nỗ lực của London,nó không giải thích sự hình thành tính siêu dẫn trong các vật liệu này.• Bảy năm sau đó một lý thuyết vi mô, gọi là lý thuyết BCS, đã được phát triển bởiBardeen, Cooper và Schrieffer [13, 12] (bao gồm những chữ cái đầu của những ngườithành lập nó). Họ nhận thấy sự xuất hiện của tính siêu dẫn được trợ giúp bởi sự hìnhthành các cặp Cooper, loại phân tử hai điện tử liên kết lỏng lẻo. Tương tác hút cầnđể liên kết các điện tử được nhận thấy có nguồn gốc trong tương tác electron-phonon.Các cặp Cooper không còn được mô tả bởi thống kê fermi nữa và như các boson chúngcó thể chiếm một trạng thái lượng tử cố kết được mô tả bởi một hàm sóng vĩ mô Ψ.Chúng ta sẽ phác họa những điểm chính của lý thuyết BCS trong mục 1.3.2.

24


• Một điều quan trọng là hai năm sau khi lý thuyết BCS ra đời Gor’kov [34] đã chỉ rarằng lý thuyết hiện tượng luận GL thực tế có thể được suy ra một cách chính xác từlý thuyết BCS và các hệ số của nó có thể vì vậy liên quan tới các tham số vật liệu vimô chẳng hạn như vận tốc Fermi vF và mật độ trạng thái ở mức Fermi N(0). Thêmvào đó Gor’kov chứng minh rằng các đại lượng nhiệt động của hai lý thuyết, nghĩa làtham số khe BCS, 4, và hàm sóng GL, Ψ, có liên hệ với nhau bởi một hằng số tỉ lệ vàΨ có thể được coi như hàm sóng cặp Cooper trong cấu trúc khối tâm. Theo một nghĩanào đó thì lý thuyết GL là nguyên mẫu của lý thuyết hiệu dụng hiện đại; mặc dù giớihạn chỉ ở sự chuyển pha nhưng nó được ứng dụng ở nhiều lĩnh vực, chẳng hạn nó đượcsử dụng trong các trường hợp không đồng nhất, khi khe không đồng đều trong khônggian.• Một bước tiến nhảy vọt quan trọng khác được tạo bởi Abrikosov năm 1957 [6], ngườiđã nhận thấy rằng các phương trình GL cho phép sự tồn tại các chất siêu dẫn với trịsố năng lượng bề mặt phân giới siêu dẫn - dẫn thường âm. Ông đặt tên lớp mới này làsiêu dẫn loại II, các vật liệu tạo ra bề mặt phân giới nhiều nhất có thể, dẫn tới sự xuyênsâu của từ thông trong mẫu theo các đơn vị nhỏ nhất được phép về mặt cơ lượng tử -lượng tử từ thông Φ0 = hc

2e . Mỗi ống từ thông riêng lẻ có các siêu dòng lưu thông baoquanh nó che chắn từ trường và ngăn cản nó lan ra phần còn lại của mẫu. Các siêudòng lưu số này là lí do tại sao cấu trúc từ này có tên là xoáy. Do bởi năng lượng bềmặt âm, các xoáy đẩy nhau ở mọi khoảng cách và như một hệ quả là hình thành mộtmạng đặc trưng có dạng hình tam giác (được gọi là mạng Abrikosov). Trong trườnghợp ngược lại của các siêu dẫn loại I với trị số năng lượng dương của việc hình thànhcác bề mặt phân giới, nếu từ trường quá lớn và không thể được che chắn đầy đủ nữa,từ thông sẽ xuyên sâu vào mẫu dưới dạng các miền dẫn thường vĩ mô. Các miền dẫnthường trong các chất siêu dẫn loại I có thể là hình tròn, hình lá hay một tổ hợp củachúng. Hình dạng thực tế của chúng trong một mẫu riêng phụ thuộc vào hình dạngcủa mẫu.Vào cuối những năm 70, hiện tượng siêu dẫn là một chủ đề hầu như đã được giải quyếttrọn vẹn. Lý thuyết BCS đã mô tả thành công tất cả các sự kiện đã biết và đưa ra mộtsố tiên đoán mới, những tiên đoán đã được xác nhận bằng thực nghiệm, đóng góp vàosự thừa nhận phổ biến lý thuyết. Lý thuyết này đã được ứng dụng cả trong vật lý hạtnhân, lý thuyết về các ngôi sao neutron và khí nguyên tử lạnh. Các khám phá về cácchất siêu dẫn mới trong ba mươi năm cuối của thế kỉ XX và những năm đầu của thếkỉ XXI cho thấy rằng mô hình BCS đơn giản chưa đủ để hiểu các chất siêu dẫn mới,các chất siêu dẫn phi truyền thống. Các hiện tượng siêu dẫn phi truyền thống đã đượcquan sát trong nhiều lớp vật liệu khác nhau như siêu dẫn trong các hệ fermion nặng,các muối hữu cơ, các ô xit đồng nhiều lớp, hay gần đây nhất là các iron pnictides. Tagọi những hệ siêu dẫn này là những hệ tương quan mạnh. Bây giờ ta sẽ đưa ra một sựtóm tắt và tổng quan về lịch sử chưa đầy đủ của các chất siêu dẫn phi truyền thống.• Năm 1979, Frank Steglich và những cộng sự đã quan sát được hiện tượng siêu dẫndưới nhiệt độ TC ≈ 0, 5K trong CeCu2Si2[81]. Vật liệu này không là một kim loạithông thường trong trạng thái thường của nó. Thay vào đó là một kim loại fermionnặng. Các điện tử ở mức năng lượng Fermi có đặc tính orbital-f của Ce mạnh. Lựcđẩy Coulomb rất mạnh giữa các điện tử trong lớp vỏ-f dẫn tới một khối lượng hiệu

25


dụng cao m∗ me tại mức năng lượng Fermi, vì vậy nó có tên như trên. Từ đó vềsau, hiện tượng siêu dẫn được tìm thấy trong nhiều hợp chất fermion nặng khác. Lýthuyết BCS không thể giải thích tính siêu dẫn trong các kim loại tương quan cao này.Cộng hưởng từ hạt nhân và các kĩ thuật thực nghiệm khác cho thấy rằng các chất siêudẫn fermion nặng này biểu hiện tính đối xứng không bình thường của trạng thái siêudẫn.• Cũng trong năm 1979, D. Jérome và cộng sự [46] (nhóm của Klaus Bechgaard) đãquan sát được hiện tượng siêu dẫn trong một muối hữu cơ gọi là (TMTSF)2PF2 vớiTC = 1, 1K. Từ đó hiện tượng siêu dẫn được tìm thấy trong nhiều vật liệu hữu cơkhác nhau với nhiệt độ chuyển pha lớn nhất khoảng 18K. Tính đối xứng của trạngthái siêu dẫn này thường là bất thường (ta sẽ không kể đến các dạng thù hình các bon(fullerites) dưới dạng các hợp chất hữu cơ vì chúng thiếu các nguyên tử hydrogen).• Trong khi các khám phá đã đề cập trước đây cho thấy rằng hiện tượng siêu dẫncó thể xuất hiện trong các lớp vật liệu không ngờ tới và có thể do bởi các cơ chếkhông theo thông lệ, các giá trị TC không vượt quá TC ≈ 23K của Nb3Ge, thì năm1986, J. G. Bednorz and K. A. Muller [14] đã quan sát hiện tượng siêu dẫn trongLa2−xBaxCuO4 (ion đồng perophit sắp từng lớp với một số nguyên tử Ba thay thếcho La) với TC khoảng chừng trên 35K. Trong các năm tiếp theo, nhiều chất siêu dẫnkhác dựa trên cùng loại các mặt gần như phẳng CuO2 đã được khám phá. Nhiệt độchuyển pha kỉ lục với các ion đồng và với tất cả các chất siêu dẫn là TC = 138K đối vớiHg0.8Tl0.2Ba2Ca2Cu3O8+δ ở áp suất thường và TC = 164K đối với HgBa2Ca2Cu3O8+δdưới áp suất cao. Các giá trị TC cao cũng như các khảo sát thực nghiệm cho thấy rằngcác ion đồng là các chất siêu dẫn không theo lệ thường.• Năm 1991, A. F. Hebard [39] và các cộng sự đã nhận thấy rằng hợp chất các bon(fullerite) (K−)3C

3−60 trở thành siêu dẫn ở dưới TC = 18K. TC trong lớp này đã được

đẩy lên tới TC = 33K với Cs2RbC60 ở áp suất thường và TC = 38K đối với (mạngb.c.c., trong khi đó tất cả các hợp chất các bon siêu dẫn khác đã biết là mạng f.c.c)Cs3C60 dưới áp suất cao. Tính đối xứng của trạng thái siêu dẫn này xuất hiện khôngđáng kể nhưng, như đã lưu ý ở trên, có một cuộc tranh luận đang tiếp diễn về việc cóhay không sự kết cặp qua phonon trung gian.• Năm 2001, Nagamatsu và các cộng sự đã báo cáo hiện tượng siêu dẫn trong MgB2[62] với TC = 39K. TC cao và cấu trúc tinh thể xếp lớp, gợi nhớ lại các ion đồng, đưatới một kỳ vọng rằng hiện tượng siêu dẫn trong MgB2 là không theo lệ thường. Tuynhiên, hầu hết các chuyên gia bây giờ nghĩ rằng nó thực sự là siêu dẫn truyền thống,như đã lưu ý ở trên.• Một chuỗi các khám phá quan trọng gần đây nhất bắt đầu từ năm 2008, khi Kamiharavà các cộng sự (nhóm của H. Hosono) [47] đã quan sát được hiện tượng siêu dẫn vớiTC ≈ 4K trong LaFePO, một hợp chất xếp lớp khác. Kết quả này đã thêm vào danhsách các chất siêu dẫn mới một lớp vật liệu dựa vào Fe2+, nhưng nó đã không gây ranhiều xáo trộn do bởi nhiệt độ tới hạn thấp. Tuy nhiên, năm 2008, Kamihara và cáccộng sự đã tìm thấy hiện tượng siêu dẫn với TC ≈ 26K trong LaFeAsO1−xFx. Ngaysau đó, nhiệt độ tới hạn TC lớn nhất trong lớp pnictide sắt này được đẩy lên tới 55K. Hiện tượng siêu dẫn cũng được quan sát trong nhiều lớp vật liệu có liên quan, mộtsố trong chúng không chứa oxygen (chẳng hạn, LiFeAs) và một số với pnictogen (As)

26


thay thế bởi một chalcogen (ví dụ, FeSe). Nhân tố cấu trúc chung là một lớp Fe2+

phẳng, vuông với một pnictogen hoặc chalcogen đặt luân phiên nhau bên trên và dướitrung tâm của các mặt vuông Fe. Hiện tượng siêu dẫn này được coi là không theo lệthường.Sự tương tác giữa trật tự từ và siêu dẫn trong các chất siêu dẫn phi truyền thống đanglà một trong những chủ đề được quan tâm nhất của cả các nhà vật lý lý thuyết và vậtlý thực nghiệm. Việc tìm ra cơ chế chịu trách nhiệm cho sự hình thành trạng thái siêudẫn là vấn đề then chốt của vật lý hiện đại. Đã có rất nhiều các công trình nghiên cứuthực nghiệm lẫn lý thuyết, nhiều cơ chế được đề xuất và đã thu được một số thànhcông nhất định. Những nghiên cứu về các chất siêu dẫn vẫn đang phát triển mạnh mẽvà mê hoặc các thế hệ các nhà vật lý mới làm việc trong các lĩnh vực khác nhau nhưkhoa học vật liệu và lý thuyết dây.

1.3.2. Lý thuyết BSC của siêu dẫn

Nền tảng của lý thuyết lượng tử về siêu dẫn được đưa ra qua các bài báo kinh điểnnăm 1957 của Bardeen, Cooper, và Schrieffer [13, 12]. Một lý thuyết BCS về siêu dẫnvới một phạm vi áp dụng rất rộng, từ các nguyên tử He3 trong trạng thái rắn, tới cácsiêu dẫn kim loại loại I và loại II, cho tới các siêu dẫn nhiệt độ cao dựa trên các mặtphẳng tinh thể của các ion đồng. Thêm nữa còn có một hàm sóng BCS gồm các cặphạt k ↑ và −k ↓, mà khi nghiên cứu bằng lý thuyết BCS, sẽ xuất hiện tính siêu dẫnđiện quen thuộc đã quan sát trong một số kim loại. Trong phần này chúng ta sẽ chỉ đềcập đến những thành tựu riêng của lý thuyết BCS, bao gồm:

1.3.2.1. Trạng thái cơ bản BCS

Chúng ta đã biết rằng biển Fermi trở nên không bền do bởi tán xạ của các điện tửtrong các trạng thái |k, ↑〉 và |−k, ↓〉. Bardeen, Cooper, và Schrieffer (BCS) đã đề xuấtmột giả thuyết cho trạng thái cơ bản mới. Giả thuyết này dựa trên ý tưởng rằng cácđiện tử từ các trạng thái |k, ↑〉 và |−k, ↓〉 hình thành các cặp (gọi là cặp Cooper) vàtrạng thái cơ bản là một sự siêu chồng chập các trạng thái được xây dựng từ các cặpđó. Nó được viết như sau

|ψBCS〉 =∏k

(uk + vkc

†k,↑c

†−k,↓

)|0〉 , (1.67)

trong đó |0〉 là trạng thái chân không không có bất kì điện tử nào và uk, vk là các hệ

27


số phức chưa biết. Điều kiện chuẩn hóa đòi hỏi

1 = 〈ψBCS| ψBCS〉= 〈0|

∏k

(u∗k + v∗kc−k,↓ck,↑)∏k′

(uk′ + vk′c†k′,↑c

†−k′,↓) |0〉

= 〈0|∏k

(|uk|2 + v∗kukc−k,↓ck,↑ + u∗kvkc†k,↑c

†−k,↓ + |vk|2) |0〉

=∏k

(|uk|2 + |vk|2).

(1.68)

Hệ thức này tất nhiên được thỏa mãn nếu ta cho |uk|2 + |vk|2 = 1 đối với mọi k, vàtừ giờ trở đi ta sẽ thừa nhận điều đó. Lưu ý rằng sự chiếm các trạng thái |k, ↑〉 và|−k, ↓〉 là tương quan cực đại; hoặc cả hai bị chiếm hoặc cả hai đều trống. Trạng thái|ψBCS〉 là trạng thái đặc biệt, nó là sự siêu chồng chập các trạng thái với số điện tửtoàn phần khác nhau. Như một hệ quả, các biểu thức có chứa số toán tử sinh và hủyđiện tử không bằng nhau có thể có các giá trị trung bình không bằng không. Chẳnghạn,

⟨c†k,↑c

†−k,↓

⟩BCS

= 〈ψBCS| c†k,↑c†−k,↓ |ψBCS〉

= 〈0|∏k′

(u∗k′ + v∗k′c−k′,↓ck′,↑)c†k,↑c†−k,↓

∏k′′

(uk′′ + vk′′c†k′′,↑c

†−k′′,↓) |0〉

= 〈0|ukv∗k∏

k′ 6=k(|uk′ |2 + |vk′ |2) |0〉 = ukv

∗k.

(1.69)

Chúng ta viết Hamiltonian như sau

H =∑kσξkc†kσckσ + Vint (1.70)

và, chọn một gần đúng không tầm thường đơn giản nhất cho Vint có tính đến1. chỉ các điện tử có năng lượng |ξk| > ωD liên quan tới năng lượng Fermi là quan

trọng và2. tính không bền là do bởi sự tán xạ giữa các điện tử trong trạng thái hạt đơn|k, ↑〉 and |−k, ↓〉.

Điều này dẫn tới

Vint = 1N

∑kk′

Vkk′c†k↑c†−k↓c−k′↓ck′↑ (1.71)

với

Vkk′ =

−V0 khi |ξk| < ωD và |ξk′| < ωD

0 nếu khác.(1.72)

28


1.3.2.2. Sự hút qua phonon trung gian

H.Frohlich đã chứng minh được rằng, các điện tử có thể hút nhau thực sự, khi có mộtmạng ion biến dạng được, mạng này trong thực tế luôn luôn tồn tại như một cái nền.Cơ chế H.Frohlich [30] như sau: Một điện tử hút các ion gần nó nhất. Các ion đáp lạibằng cách chuyển động, dẫu chỉ một chút về phía nó, do đó tạo ra một sự dôi điện tíchdương quanh nó. Ta nói rằng điện tử đã làm cho mạng bị phân cực. Một điện tử kháclại bị hút về phía sự phân cực ở xung quanh điện tử thứ nhất, và khi làm như vậy, nóđã thực sự bị hút về phía điện tử thứ nhất (xem hình 1.3).

Hình 1.3.: Hiệu ứng hút của hai điện tử do bởi sự trao đổi phonon [42]

Tuy nhiên người ta vẫn còn cảm giác không thoải mái, vì rằng sự hút nhau này, dĩnhiên là gián tiếp, không thể đủ mạnh để thắng được sự đẩy trực tiếp giữa hai điệntử. Lý lẽ ở chỗ này hơi tinh vi và đòi hỏi một chút vật lý thú vị. Như chúng ta vừanhận xét, các điện tử tức là các chuẩn hạt của ta đẩy nhau thông qua một trường thếCoulomb bị chắn, tác dụng gần, có tầm tác dụng vào cỡ khoảng cách trung bình giữacác điện tử. Khoảng cách ấy cỡ 1

o

A hoặc 2o

A. Nhưng điều quan trọng nhất, là sự kiện,trường thế tác dụng một cách tức thời nghĩa là nó chỉ phụ thuộc vị trí hiện thời củahai điện tử đang xét. Một mặt khác, tác dụng hút nhau gián tiếp lại do chuyển độngmuộn mằn của các ion sinh ra. Các ion đều chậm chạp vì có khối lượng tương đối lớn,ít nhất cũng bằng vài nghìn lần khối lượng điện tử. Thời gian đáp ứng của ion có thểlấy bằng chu kì dao động điều hòa τD của chúng, và có giá trị điển hình vào cỡ 10−12(s).Giá trị này ứng với tần số dao động điển hình 1012Hz của chúng, gọi là tần số Debye.Điều này có nghĩa là sự phân cực cục bộ do điện tử cảm ứng nên tại một điểm, vẫncòn lưu lại trong thời gian τD, ngay cả sau khi điện tử đã chuyển động dời khỏi điểmấy. Mà điện tử lại chuyển động với vận tốc Fermi vF cỡ 108cm/s, thành thử trong thờigian τD ấy, nó đã dịch chuyển được một khoảng τD.vF cỡ 10−4 cm. Khoảng này lớnhơn rất nhiều so với khoảng cách trung bình giữa các điện tử, hay tầm xa của các lựcđẩy bị chắn giữa chúng. Do đó người ta có thể ngờ rằng điện tử thứ hai sẽ tới quanhđiểm đó và chịu sự hút của sự phân cực còn lưu lại, do điện tử thứ nhất để lại phía saunó, và còn ở quá xa nó để bị nó đẩy một cách trực tiếp. Như thế là sự đẩy trực tiếp thìmạnh nhưng lại tức thời, còn sự hút gián tiếp thì yếu nhưng bị trễ, và chính sự chênhlệch về thời gian này đã làm cho lực hút yếu lại thắng được lực đẩy mạnh hơn.

29


Theo cách nói của hệ vật lý nhiều hạt thì sự hút tương hỗ này được coi như phải quasự trung gian của phonon, tức là do sự trao đổi lượng tử dao động mạng ảo. Một điệntử phát ra một phonon, phonon này bị hấp thụ bởi một điện tử khác (ta nói ảo vìlượng tử trao đổi chỉ tồn tại giữa lúc phát và hấp thụ. Rõ ràng là các lượng tử nàyphải là các hạt boson-hạt fermion chỉ tạo ra và hủy từng cặp). Kết quả là sự hút nhauthông qua sự trao đổi phonon là cực đại khi hai điện tử có động lượng bằng nhau vàngược chiều. Điều này giúp cho hai điện tử có được sự thuận lợi tối đa của sự phân cựcdo hạt nọ tạo cho hạt kia. Cũng thế khi năng lượng trao đổi giữa hai điện tử vào cỡnăng lượng của các phonon trao đổi, năng lượng này thường bằng năng lượng Debye,thì chỉ những điện tử ở trong năng lượng Debye của mặt Fermi mới tham gia có hiệuquả vào quá trình. Năng lượng Debye của dao động mạng thường bằng 10−4lần nănglượng Fermi nên chỉ một phần rất nhỏ điện tử là bị ảnh hưởng của sự hút tương hỗnày.

1.3.2.3. Cặp Cooper

Lý thuyết BCS dựa vào giả thuyết rằng tính siêu dẫn xuất hiện khi tương tác hút cặpCooper vượt trội hơn lực đẩy Coulomb [50]. Một cặp Cooper là cặp liên kết electron-electron yếu gián tiếp tạo thành bởi một tương tác phonon. Một electron “được cặpđôi” là electron có mô men và spin đối song mà nó được hút bởi ảnh hưởng này.Sự giải thích ở trên chưa đầy đủ, bởi vì điểm chính của tương tác phonon trung gianlà một tương tác hút tầm xa và vì vậy, đòi hỏi phải cần đến cơ học lượng tử cho mộtsự giải thích đầy đủ. Cooper đã chỉ ra rằng do bởi thống kê Fermi của electron, màtrạng thái kết cặp e− − e− có thể có năng lượng nhỏ hơn năng lượng của mức Fermicủa vật liệu. Vì vậy, ở nhiệt độ đủ thấp, khi năng lượng nhiệt không phải là một nhântố, trạng thái liên kết e− − e− có thể hình thành.Ta đưa ra một lập luận ngắn, đơn giản về việc này. Giả sử ta có hai electron tương tácbằng lực hút Cooper này với một phông biển Fermi tại T = 0 mà ở đó những electronnày chỉ tương tác theo nguyên lí loại trừ Pauli. Ta tìm kiếm một hàm sóng có xunglượng bằng không có dạng:

Ψ(r1, r2) =∑

kgke

ik(r1−r2) (|↑↓〉 − |↓↑〉) (1.73)

Tính chất phản đối xứng đòi hỏi gk = g−k. Thay thế biểu thức này vào trong phươngtrình Schrodinger HΨ = EΨ mang đến điều kiện sau

(E − 2εk) gk =∑k′>kF

Vkk′gk′ (1.74)

trong đó Vkk′ = 1ΩΩd3rV (r)ei(k−k′)r. Bây giờ gần đúng trường trung bình được tạo ra

30


như sau

Vkk′ =

−V khi εF < εk < εF + ~ωc0 các trường hợp khác,

(1.75)

trong đó εF là năng lượng Fermi và ωc là tần số ngưỡng. (3.79) cho thấy rằng ta chỉcần xét các tương tác mà chúng được phép trong một phạm vi tần số của kim loại,giống như các giả thiết được tạo ra trong mô hình Debye. Khi đó ta có

1V

=∑

k>kF

12εk − E

→ N0

εF+~ωc

εF

dε

2ε− E

= N0

2 ln(

2εF − E + 2~ωc2εF − E

).

(1.76)

Đơn giản hóa ta có

12~ωc

(2εF − E) = 1e2/N0V − 1 ≈ e−2/N0V , (1.77)

khi N0V 1. Vì vậy, năng lượng của cặp thỏa mãn

E = 2εF − 2~ωce−2/N0V < 2εF . (1.78)

1.3.2.4. Mô hình

Bây giờ ta đi đến việc tìm kiếm mô hình Hamiltonian cho lý thuyết. Việc này thựchiện dễ dàng nhất trong ngôn ngữ lượng tử hóa lần hai. Gọi ckσ và c†kσ là các toán tửhủy và sinh electron có xung lượng k và spin σ =↑ hoặc σ =↓. Các hệ thức giao hoánnhư thường lệ là

ckσ, c

†k′σ′

= δ3(k− k′)δσσ′ , (1.79)

ckσ, ck′σ′ =c†kσ, c

†k′σ′

= 0. (1.80)

31


Hamiltonian được đề xuất có dạng

H =∑k,σ

ξkc†kσckσ +

∑k,lVkl c†k↑c

†−k↓c−l↓cl↑. (1.81)

trong đó ξk = εk − µ và µ là thế hóa học.Số hạng đầu tiên là động năng của các electron. Số hạng thứ hai là sự tịnh tiến củatương tác electron-electron qua phonon trung gian. Phần tử ma trận Vkl có thể có dạngtổng quát, nhưng ta sẽ đơn giản nó bằng cách sử dụng gần đúng trường trung bình sẽđược đề cập trong các tính toán phần sau. Bây giờ, trong trạng thái thường ta trôngđợi rằng không có sự hình thành các cặp Cooper, vì vậy toán tử ck↑c−k↓ được lấy trungbình sẽ bằng không. Khi đó ta định nghĩa đại lượng

bk = 〈ck↑c−k↓〉 . (1.82)

Khe năng lượng khi đó được định nghĩa là

4k = −∑k′Vkk′bk′ . (1.83)

Hamiltonian có thể được chéo hóa sau phép biến đổi Bogoliubov, ta định nghĩa phépbiến đổi tuyến tính các trạng thái γk0 và γk1 bởi

ck↑ = u∗kγk0 + vkγ†k1

c†k↓ = −v∗kγk0 + ukγ†k1,

(1.84)

sao cho |uk|2 + |vk|2 = 1. Thực tế, ta có thể lấy một trong các uk hoặc vk là số thực.Để hoàn tất việc chéo hóa ta hãy xem xét Hamiltonian trong cơ sở này

H =∑

k

ξk

[(|uk|2 − |vk|2

) (γ†k1γk1 + γ†−k0γ−k0

)+ 2 |vk|2 + 2u∗kv∗kγ−k0γk1 + 2ukvkγ

†k1γ†−k0

]+[(4kukv

∗k +4∗ku∗kv∗k)

(γ†k1γk1 + γ†−k0γ−k0 − 1

)+ (4kv

∗k −4∗ku∗k) γ−k0γk1 +

(4∗kv2

k −4ku2k

)γ†k1γ

†−k0 +4kb

∗k

].

(1.85)

Ta xác định các số hạng uk và vk sao cho các hệ số của γ−k0γk1 và γ†k1γ†−k0 triệt tiêu.

Điều này tương đương với

32


2ξkukvk +4∗kv2k −4ku

2k = 0 .

Từ điều kiện này và điều kiện chuẩn hóa |uk|2 + |vk|2 = 1 ta tìm được

|uk|2 = 12

1 + ξk√ξ2

k + |4k|2

|vk|2 = 1

2

1− ξk√ξ2

k + |4k|2

(1.86)

H =∑

k

√ξ2

k + |4k|2(γ†k1γk1 + γ†−k0γ−k0

). (1.87)

Sử dụng tính chất ξ−k = ξk và giả thiết rằng |4−k| = |4k| ta nhận được dạng chéohóa đơn giản

HBCS =∑kσEkγ

†kσγkσ (1.88)

trong đó

Ek =√ξ2

k + |4k|2. (1.89)

Từ hệ thức này ta nhận thấy rằng khe năng lượng 4k là tham số trật tự đối với lýthuyết tương tác này (xem hình 1.4).Đồ thị cũng cho thấy với tham số trật tự, trạng thái siêu dẫn vẫn có năng lượng lớnhơn không dù không có động năng, điều này không giống như trạng thái dẫn thường.Vai trò của tham số trật tự này sẽ trở nên còn rõ ràng hơn với việc tính toán các đạilượng nhiệt động.

1.3.3. Lý thuyết BCS tổng quát

1.3.3.1. Các trạng thái singlet và triplet

Do bởi tương quan spin mà chia thành trạng thái singlet và triplet.

33


Hình 1.4.: Phổ chuẩn hạt. Khe năng lượng được quan sát giữa trạng thái siêu dẫn (ởđỉnh) và trạng thái dẫn thường (ở đáy) sinh ra tham số trật tự của hệ [42].

Trạng thái singlet Chúng ta hãy xét các trạng thái năng lượng của một nguyên tửHe có hai điện tử. Cấu hình trạng thái cơ bản là 1s2. Trong cấu hình trạng thái kíchthích một trong các điện tử ở lớp vỏ có mức năng lượng cao hơn. Khi đó hai điện tửcó thể có các spin song song hoặc phản song song.Sự xắp xếp các spin kết cặp sao cho spin của cặp bằng không được gọi là một singlet.Trạng thái spin của nó là

σa(1, 2) = 1√2

[α(1)β(2)− β(1)α(2)] (1.90)

Các trạng thái triplet Các spin xắp xếp song song đưa đến một spin toàn phần kháckhông được gọi là một triplet. Có ba cách để đạt được một trạng thái spin toàn phầnkhác không

α(1)α(2),

σs(1, 2) = 1√2

[α(1)β(2) + β(1)α(2)] ,

β(1)β(2).

(1.91)

Lưu ý rằng hàm sóng toàn phần phải là phản đối xứng và trạng thái triplet có nănglượng thấp hơn trạng thái singlet.

34


1.3.3.2. Hàm khe năng lượng

Lý thuyết BCS tổng quát dựa vào một dạng mở rộng của tương tác vi mô trong đó chỉxét sự tán xạ của cặp điện tử với xung lượng toàn phần bằng không và tương tác giữachúng là tương tác hút. Hamiltonian tương ứng có thể được viết như sau

H =∑k,σ

εkc†kσckσ + 1

2∑k,l

∑σ1,σ2,σ3,σ4

Vk,l;σ1σ2σ3σ4 c†kσ1c†−kσ2

c−lσ3clσ4 , (1.92)

với ma trận tán xạ kết cặp

Vk,l;σ1σ2σ3σ4 = 〈−kσ1; kσ2| V |−lσ3; lσ4〉 . (1.93)

Do bởi các quy luật phản giao hoán của fermion hệ thức sau đây phải thỏa mãn

Vk,l;σ1σ2σ3σ4 = −V−k,l;σ2σ1σ3σ4 = −Vk,−l;σ1σ2σ4σ3 = V−k,−l;σ2σ1σ4σ3 . (1.94)

Chúng ta xét một gần đúng kết cặp yếu với tương tác hút trong một khoảng nănglượng được xác định bởi một ngưỡng εc, nghĩa là các phần tử ma trận tán xạ khôngbằng không khi −εc < εk, εk′ < εc và εc EF .Tương tự như trường hợp đơn giản ta đưa vào trường trung bình ngoài đường chéo

bk,σσ′ = 〈c−kσckσ′〉 (1.95)

dẫn tới Hamiltonian trường trung bình

H '∑k,σ

εkc†kσckσ −

12

∑k,σ1,σ2

[4k,σ1,σ2c

†kσ1c†−kσ2

+4∗k,σ1,σ2ckσ1c−kσ2

]+K (1.96)

trong đó

K = −12∑k,l

∑σ1,σ2,σ3,σ4

Vk,l;σ1σ2σ3σ4

⟨c†kσ1

c†−kσ2

⟩〈c−lσ3clσ4〉 . (1.97)

Hàm khe tổng quát được định nghĩa như một hàm của k và spin (σ, σ′) bởi các phươngtrình tự hợp

4k,σ,σ′ = −∑

l,σ3,σ4

Vk,l;σσ′σ3σ4bk,σ3σ4 ,

4∗k,σ,σ′ = −∑

l,σ1,σ2

Vk,l;σ1σ2σ′σb∗k,σ1σ2 .

(1.98)

35


Hàm khe bây giờ là một ma trận phức 2× 2 trong không gian spin

4k =(4k,↑↑ 4k,↑↓4k,↓↑ 4k,↓↓

). (1.99)

Cấu trúc của hàm khe có liên quan tới hàm sóng của các cặp Cooper, bk,σ1σ2 . Để có cáinhìn sâu sắc hơn vào các tính chất đối xứng của hàm khe, chúng ta tách bk,σ1σ2 thànhmột phần obital và một phần spin

bk,σ1σ2 = Φ(k)χσ1σ2 (1.100)

Tính chẵn lẻ của phần obital và cấu hình spin có liên quan với nhau do bởi điều kiệnphản đối xứng của hàm sóng nhiều hạt fermi như đã được đề cập ở trên

tính chẵn: Φ(k) = Φ(−k) ⇔ χσ1σ2 = 1√2

(|↑↓〉 − |↓↑〉) spin singlet, (1.101)

tính lẻ: Φ(k) = −Φ(−k) ⇔ χσ1σ2 =

|↑↑〉

1√2 (|↑↓〉+ |↓↑〉)|↓↓〉

spin singlet. (1.102)

Hệ quả là, hàm khe tuân theo các quy luật sau

4kσ1σ2 = −4−kσ2σ1 =

4−kσ1σ2 = −4kσ2σ1 chẵn−4−kσ1σ2 = 4kσ2σ1 lẻ

(1.103)

hay, ngắn gọn hơn ta kí hiệu

4k = −4T−k . (1.104)

Dựa vào các điểm này, chúng ta tham số hóa dạng của ma trận 2× 2 mà nó biểu diễnhàm khe. Đối với tính chất chẵn (spin singlet), chúng ta chỉ cần một hàm vô hướngΨ(k),

4k =(4k↑↑ 4k↑↓4k↓↑ 4k↓↓

)=(

0 Ψ(k)−Ψ(k) 0

)= iσyΨ(k), (1.105)

36


thỏa mãn Ψ(k) = Ψ(−k). Đối với trường hợp tính lẻ, cấu hình spin triplet phải đượcbiểu diễn bởi ba thành phần mà chúng ta đưa vào như hàm véc tơ d(k) theo dạng sau

4k =(4k↑↑ 4k↑↓4k↓↑ 4k↓↓

)

=(−dx(k) + idy(k) dz(k)

dz(k) dx(k) + idy(k)

)= i (d(k).σ) σy

(1.106)

với d(k) = −d(−k). Chúng ta nhận thấy rằng

4k4†k = |Ψ(k)|2 σ0 spin singlet, (1.107)

4k4†k = |d|2 σ0 + i (d× d∗) .~σ spin triplet. (1.108)

Trong khi trường hợp spin singlet luôn dẫn tới 4k4†k tỉ lệ với ma trận đơn vị σ0, thìtrong kênh spin triplet, cũng các thành phần đó có thể khác với σ0. Các trạng thái kếtcặp có q(k) = id(k) × d(k)∗ khác không được gọi là không unita và gắn liền với kếtcặp có sự phân cực spin bên trong, vì vậy q(k) có mối quan hệ với giá trị trung bìnhspin tr

[4k4†k~σ

]đối với xung lượng k. Như sẽ thấy rõ ràng dưới, điều kiện cần cho

q 6= 0 là đối xứng nghịch đảo thời gian bị phá vỡ.

1.3.3.3. Chuẩn hạt Bogolyubov và các phương trình tự hợp

Ta có thể chéo hóa Hamiltonian trung bình (1.96) bằng phép biến đổi Bogolyubov. Đểthuận tiện viết lại (1.96) dưới dạng

HBCS =∑

kC†k.ε=k

.Ck +K, (1.109)

với

Ck =

ck↑ck↓

c†−k↑c†−k↓

(1.110)

và

ε=k

= 12

(εkσ0 4k

4†k −εkσ0

), (1.111)

37


ở đây dấu hai gạch dưới chữ cái A=là ma trận 4× 4 trong không gian spin-Nambu. Bây

giờ ta kiểm tra dạng chéo

HBCS =∑

kA†k.E= k

.Ak +K, (1.112)

trong đó

Ak =

ak↑ak↓

a†−k↑a†−k↓

, (1.113)

và

E= k

=

Ek↑ 0

Ek↓−Ek↑

0 −Ek↓

. (1.114)

Biến đổi Bogolyubov được cho bởi ma trận unitary Uk với

Uk =(

u∗−k vk−v∗−k uk

), (1.115)

suy ra

Ck = UkAkvà E= k

= U †k ε=kUk. (1.116)

Ta giới hạn ở trường hợp kết cặp là unita. Điều này đảm bảo rằng Ek = Ek↑ = Ek↓.Nghiệm của bài toán trị riêng dẫn tới uk và vk

uk = σ0

[12

(1 + εk

Ek

)]1/2và vk = σ0

[12

(1− εk

Ek

)]1/2, (1.117)

và năng lượng

Ek =√ε2k + |4k|2 với |4k|2 = 1

2tr(4†k4k

). (1.118)

38

1.4 Lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha

Với các toán tử chuẩn hạt mới (1.98) ta có thể biểu diễn phương trình tự hợp hay phươngtrình khe bằng cách sử dụng a†kσalσ′ = δklδσσ′f(Ek) trong đó f(E) = 1/ [exp (E/kBT ) + 1]là hàm phân bố Fermi. Ta có

4k,σ1σ2

= −∑

l,σ3,σ4

Vk,l;σ1σ2σ3σ4

∑σ′vk,σ4σ′uk,σ′σ3

⟨a−kσ′a

†kσ′⟩− uk,σ4σ′vk,σ′σ3

⟨a†kσ′akσ′

⟩

= −∑

l,σ3,σ4

Vk,l;σ1σ2σ3σ4

4l,σ4σ3

2Ektanh

(Ek

2kBT

).

(1.119)

Bây giờ ta đưa vào số hạng tương tác kết cặp được biểu diễn bằng tham số mới đểnhận được một dạng đơn giản hơn của phương trình tự hợp,

Vk,l;σ1σ2σ3σ4 = J0k,lσ

0σ1σ4σ

0σ2σ3 + Jk,lσσ1σ4 .σσ2σ3 , (1.120)

gồm một số hạng phụ thuộc spin hay số hạng mật độ - mật độ và cặp trao đổi spin-spin.Tiếp theo ta giả thiết rằng các tương tác này chỉ khác không trong một phạm vi nhấtđịnh quanh mức năng lượng Fermi với một năng lượng ngưỡng εc. Đối với cặp spinsinglet phương trình khe có thể được biểu diễn cho Ψ(k),

Ψ(k) = −∑

l

(J0

k,l − 3Jk,l)

︸︷︷︸=vsk,l

Ψ(l)2El

tanh(

El

2kBT

), (1.121)

và |4k|2 = |Ψ(k)|2. Đối với kênh spin triplet, phương trình khe có dạng

d(k) = −∑

l

(J0

k,l + Jk,l)

︸︷︷︸=vtk,l

d(l)2El

tanh(

El

2kBT

), (1.122)

với |4k|2 = |d(k)|2.

1.4. Lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha

Trong phạm vi lý thuyết London và Pippard, mật độ chất siêu lỏng ns được coi nhưđã cho trước. Theo các lý thuyết này không có cách nào để hiểu được sự phụ thuộccủa ns vào nhiệt độ hoặc từ trường ngoài. Thêm nữa, ns được giả thiết là không thayđổi theo thời gian và đồng đều trong toàn bộ không gian - một giả thuyết mà nó được

39


kì vọng để phá vỡ sự hạn chế đối với bề mặt của một chất siêu dẫn. Những sự thiếuhụt này được khắc phục bởi lý thuyết Ginzburg-Landau, một lý thuyết đã đề xuất vàonăm 1950. Lý thuyết GL được phát triển như một sự tổng quát hóa lý thuyết London.Với xuất phát điểm tổng quát hơn nhiều, lý thuyết GL rất mạnh về sự chuyển pha,một hiện tượng ta sẽ xem xét ở dưới đây.

1.4.1. Lý thuyết Landau

Ý tưởng chính của lý thuyết Landau là không cần đi sâu vào bản chất vi mô củatham số trật tự vẫn có thể nghiên cứu các tính chất của quá trình chuyển pha dựa vàophương trình thiết lập cho tham số trật tự. Landau tạo ra một chuỗi các giả thiết đểtính gần đúng năng lượng tự do của một hệ, theo cách mà nó biểu hiện tính không giảitích của một sự chuyển pha và hóa ra thu được nhiều vật lý. Có bốn bước chính trongviệc xây dựng lý thuyết của Landau:1. Định nghĩa một tham số trật tự ψ: Đối với một hệ đã cho cần thiết phải xây dựngmột tham số trật tự. Đây là một đại lượng mà nó bằng không ở pha mất trật tự vàkhác không ở pha trật tự. Ví dụ điển hình phải kể đến độ từ hóa trong một sắt từ,phỏng theo mô hình điểm Curie. Hai pha ở hai bên nhiệt độ tới hạn có sự đối xứngkhông gian khác nhau. Pha ở phía trên nhiệt độ tới hạn, nơi không có độ từ hóa, hệbất biến đối với phép quay. Pha bên dưới nhiệt độ tới hạn, khi mà độ từ hóa tự phátxuất hiện, véc tơ từ hóa xác định một hướng ưu tiên trong không gian, phá hủy tínhbất biến đối với phép quay. Bởi vì tính đối xứng có ở pha bên này mà không có ở phabên kia, nên hai pha phải được mô tả bởi các hàm khác nhau của các biến nhiệt động,những biến không thể giải tích liên tục qua các điểm tới hạn. Bởi vì có một sự suygiảm đối xứng, nên một tham số thêm vào là cần thiết để mô tả các tính chất nhiệtđộng của pha nhiệt độ thấp. Tham số thêm vào được gọi là “tham số trật tự”, kí hiệubởi ψ, một đại lượng thường là một biến nhiệt động quảng tính có thể đo được. Trongví dụ về sắt từ, ψ là M , véc tơ từ hóa với ba thành phần.2. Xây dựng một phiếm hàm năng lượng tự do như một hàm của tham số trật tự, vàcác đại lượng nhiệt động khác nào đó chẳng hạn như áp suất hay thể tích, từ trường,vv...Ta sẽ luôn coi phiếm hàm đó là năng lượng tự do F (thực chất năng lượng tự dođược xác định bởi việc cực tiểu hóa hàm F ), nhưng hoặc nó thực sự là năng lượng tựdo, enthalpy tự do, hay một thứ nào khác phụ thuộc vào các đại lượng đã cho (áp suất,thể tích, vv...). Vì vậy, ta viết:

F = F0(T ) + FL(T, ψ) (1.123)

trong đó F0 là một hàm giải tích trơn theo nhiệt độ và là năng lượng pha có đối xứngcao không liên quan tới chuyển pha, còn FL(T, ψ) là phiếm hàm Landau chứa tất cảthông tin về sự phụ thuộc vào tham số trật tự.3. Cấu trúc của FL(T, ψ): Phiếm hàm năng lượng tự do được giả thiết là một hàmgiải tích (thường ở dạng khai triển đa thức) tuân theo tất cả các đối xứng khả dĩ gắn

40


liền với ψ, điển hình là bất biến tịnh tiến và bất biến quay, và các bậc tự do nội tạikhác biểu thị bản chất của tham số trật tự. Đây chính là phần quan trọng nhất của lýthuyết, nơi mà mọi ý nghĩa vật lý đều nằm ở đây. Trạng thái cân bằng ở nhiệt độ T làmột trạng thái mà nó cực tiểu hóa năng lượng tự do. Nói chung, ta không biết F (T, ψ)một cách tường minh. Ý tưởng của Landau là khai triển F theo ψ, chỉ bao gồm nhữngsố hạng mà nó làm cho hệ đối xứng và giữ lại số cực tiểu các số hạng đơn giản nhấtcần để nhận được các kết quả không tầm thường.4. Sự phụ thuộc vào nhiệt độ: Giả sử rằng tất cả sự phụ thuộc quan trọng vào nhiệtđộ đều ở trong các số hạng bậc thấp nhất trong khai triển của FL(T, ψ), có dạng điểnhình là

FL(T, ψ) =dV

[12a(T − Tc)ψ2 + · · ·

](1.124)

Bởi vì FL được cấu trúc như một khai triển, nên sẽ có những hằng số khác chưa biết.Trong một hệ vật lý các hằng số này có sự phụ thuộc vào nhiệt độ, nhưng sự phụ thuộcnày là trơn thì chúng có ảnh hưởng không đáng kể ở gần điểm chuyển pha. Đây là điềukiện nghiêm ngặt cho một chuyển pha liên tục và là một gần đúng cho chuyển pha bậcnhất.Với việc xây dựng phiếm hàm năng lượng và cực tiểu hóa nó theo ψ như một hàm củanhiệt độ, bản chất của chuyển pha có thể được xác định. Hệ ở mức này được định rõnhư là có một sự đồng đều, vì vậy lý thuyết Landau thực sự là một lý thuyết trườngtrung bình. Tuy nhiên, kết quả tính gần đúng năng lượng tự do là một điểm khởi đầucho việc khảo sát các ảnh hưởng của thăng giáng.

1.4.1.1. Khái niệm tham số trật tự

Ý tưởng các hiện tượng chuyển pha liên quan đến sự tiến triển của một tham số trậttự mà nó làm suy yếu hoặc phá vỡ tính đối xứng của hệ là một trong những ý tưởngđẹp đẽ nhất của vật lý nhiều hạt. Trong chương này, chúng ta đưa vào khái niệm mớiđó, nó đóng vai trò trung tâm trong sự hiểu biết của chúng ta về con đường mà các hệphức tự biến đổi thành các trạng thái mới của vật chất ở các nhiệt độ thấp.Landau đã đưa ra khái niệm tham số trật tự năm 1937 [52] như một phương tiện đểxác định sự biến đổi đầy ấn tượng của vật chất trong sự chuyển pha. Những ví dụ vềsự biến đổi như thế có rất nhiều: một bông tuyết hình thành khi nước đóng băng; sắttrở nên có từ tính khi các spin electron sắp hàng thành một hướng; tính siêu lỏng vàsiêu dẫn phát triển khi các chất lỏng lượng tử được làm lạnh và boson hay fermion kếtcặp ngưng tụ thành một trạng thái lượng tử đơn với một pha rõ ràng. Các sự chuyểnpha xảy ra ngay cả trong nhiều cấu trúc không gian, và có một bằng chứng rất tốt đólà chúng ta đang sống trong một vũ trụ phá vỡ đối xứng, đã trải qua một hoặc nhiềuhơn sự chuyển pha phá vỡ sự suy biến giữa các lực cơ bản [91], và gần đây nhất là vụnổ Big Bang. Thực chất, khi mặt trời chiếu sáng, chúng ta đang trải qua các hệ quả

41


của sự phá vỡ đối xứng. Đáng chú ý là trong khi vật lý vi mô của mỗi trường hợp làkhác nhau, thì chúng lại được hợp nhất chỉ bởi một khái niệm.Lý thuyết Landau kết hợp mỗi sự chuyển pha với sự phát triển của một “tham số trậttự” ψ ngay khi nhiệt độ sụt xuống dưới nhiệt độ chuyển pha TC :

|ψ| =

0 (T > TC)|ψ0| > 0 (T < TC)

(1.125)

Tham số trật tự có thể là một số thực hoặc phức, một véc tơ hay một spinor mà nóichung, có quan hệ với một véc tơ thực n thành phần ψ(x) = (ψ1, ψ2, · · ·ψn). Chẳnghạn:Tham số trật tự Mô hình Nguồn gốc vi môm = ψ1 Ising ferromagnet 〈σz〉ψ=ψ1+iψ2 Superfluid, Superconductor

⟨ψB⟩,⟨ψ↑ψ↓

⟩~M=(ψ1, ψ2, ψ3) Heisenberg Ferromagnet 〈~σ〉

Φ =([

ψ1 + iψ2ψ3 + iψ4

])Higg’s Field

⟨φ+⟩⟨

φ−⟩

Hình 1.5.: “Tính đối xứng bị phá vỡ”. Sự tiến triển của trật tự kết tinh bên trongmột giọt nước hình cầu dẫn tới sự hình thành một bông tuyết, làm giảm tính đốixứng từ đối xứng cầu tới đối xứng sáu nếp gấp [21].

Một cách vi mô, mỗi tham số trật tự có liên quan trực tiếp với giá trị trung bình củamột toán tử lượng tử. Vì vậy trong một sắt từ Ising “m = 〈σz(x)〉” là giá trị trung bìnhcủa mật độ spin dọc theo một trục riêng không đẳng hướng, trong khi ở một sắt từHeisenberg, độ từ hóa có thể chỉ hướng bất kì, vì vậy tham số trật tự là một véc tơ chỉtheo hướng của mật độ spin ~m = 〈~σ(x)〉 . Trong một siêu dẫn hoặc siêu chảy, tham sốtrật tự là một số phức liên quan đến giá trị trung bình một trường boson trong trạngthái ngưng.

42


Trong bảng trên chúng ta đưa ra một số ví dụ về tham số trật tự. Việc lựa chọn thamsố trật tự là một vấn đề hiện tượng luận và không phải luôn rõ ràng. Trong trườnghợp siêu chảy và siêu dẫn, tham số trật tự đúng được khám phá chỉ sau khi hiện tượngđược hiểu về mặt lý thuyết, sau một thời gian dài được quan sát bằng thực nghiệm.Trong một số trường hợp khác, chẳng hạn trong các sự chuyển spin-glass, chúng takhông chắc tham số trật tự là cái gì, hoặc thực chất là có hay không khái niệm phùhợp với nó.

Hình 1.6.: (a) Trong một kim loại thường, không có trật tự tầm xa. (b) Bên dướinhiệt độ Curie TC của một sắt từ, các spin điện tử sắp hàng để tiến triển một thamsố trật tự sắt từ. Kết quả là kim loại có một moment từ hữu hạn. (c) Bên dưới nhiệtđộ chuyển pha của một siêu dẫn, các điện tử kết cặp với nhau tiến triển một thamsố trật tự siêu dẫn. Kết quả là kim loại biểu hiện hiệu ứng Meissner, đẩy từ trườngra khỏi bên trong lòng nó [21].

Sự xuất hiện của tham số trật tự thường có các hệ quả vĩ mô đáng chú ý trong một vậtliệu. Trong trường không có hấp dẫn, các giọt nước là các hình cầu hoàn hảo, vậy mànếu được làm lạnh qua điểm đóng băng thì chúng hình thành các tinh thể nước đá vớiđối xứng sáu nếp gấp hoàn hảo của một bông tuyết (xem hình 1.5). Ta nói rằng tínhđối xứng của nước bị phá vỡ, bởi vì sự đối xứng của tinh thể nước đá không còn cóđược tính đối xứng tròn xoay liên tục của giọt nước ban đầu nữa. Các hiệu ứng mạnhmẽ đồng thời xuất hiện bên trong các chất lỏng lượng tử. Vì vậy, khi một kim loạiphát triển một tham số trật tự sắt từ thì nó sẽ phát triển tự phát một từ trường nội.Ngược lại, khi một kim loại phát triển trật tự siêu dẫn thì nó sẽ cư xử như một nghịchtừ hoàn hảo, và sẽ tự phát đẩy từ trường ra khỏi bên trong nó ngay cả khi được làmlạnh trong một từ trường, đưa đến sự xuất hiện cái gọi là “hiệu ứng Meissner” (xemhình 1.6).Sự đẹp đẽ của lý thuyết Landau là ở chỗ sự biểu diễn vi mô chính xác cho tham số trậttự không đòi hỏi phát triển một lý thuyết về các hệ quả vĩ mô của phá vỡ đối xứng.Lý thuyết Landau cung cấp một sự mô tả thô các tính chất của vật chất. Nhìn chung,sự mô tả tham số trật tự là tốt ở các quy mô lớn hơn độ dài kết hợp “ξ0”. Với cácquy mô lớn hơn độ dài kết hợp, các cấu trúc bên trong của tham số trật tự là không

43


thích đáng và cư xử như một hàm biến đổi trơn mà nó đã quên nguồn gốc vi mô củanó. Tuy nhiên vật lý ở các phạm vi nhỏ hơn độ dài kết hợp cần một sự mô tả vi mô.Chẳng hạn, trong một chất siêu dẫn, độ dài kết hợp là một số đo có kích thước củamột cặp Cooper - một kích thước mà có thể là hàng trăm hoặc hàng ngàn các khoảngcách của nguyên tử, trong khi ở trong chất siêu lỏng He− 4, độ dài kết hợp cơ bản làkhoảng cách một nguyên tử.

1.4.1.2. Năng lượng tự do Landau

Lý thuyết Landau tập trung vào miền ψ nhỏ, khai triển năng lượng tự do (tính trênmột đơn vị thể tích) của hệ nhiều hạt như một đa thức đơn giản:

f = f0 + αψ + r

2ψ2 + β

3ψ3 + u

4ψ4 + · · · (1.126)

Phiếm hàm mật độ năng lượng tự do f , theo giả thiết của Landau thì phải có đầy đủcác tính chất đối xứng của hệ đối với tham số trật tự và phải có cực tiểu, nghĩa là

∂f

∂ψ= 0, (1.127)

∂2f

∂ψ2 > 0. (1.128)

Từ các điều kiện (1.127) và (1.128) đồng thời nếu giả thiết hai khả năng phá vỡ đốixứng với −ψ và +ψ là tương đương thì số hạng bậc lẻ theo tham số trật tự bằng không(α = β = 0) và r đổi dấu qua điểm chuyển pha, vì vậy có thể giả thiết r có thể viếtdưới dạng hàm giải tích của nhiệt độ ở lân cận điểm chuyển pha

r = a(T − Tc), với a > 0. (1.129)

Bỏ qua các bậc cao hơn, ta có thể viết mật độ năng lượng tự do (thường gọi là nănglượng tự do Landau) như sau:

fL [ψ] = 1VFL [ψ] = 1

2a(T − Tc)ψ2 + u

4ψ4. (1.130)

Như vậy với điều kiện r và u lớn hơn không, cực tiểu của fL [ψ] xuất hiện khi

∂f

∂ψ= 0 = rψ + uψ3 ⇒ ψ =

0 (T > Tc)±√

a(Tc−T )u

(T < Tc)(1.131)

vì vậy khi T < Tc, có hai cực tiểu của hàm năng lượng tự do (Hình. 1.7 (a)).Lưu ý rằng

44


Hình 1.7.: (a) Năng lượng tự do Landau F (ψ) như là một hàm của nhiệt độ đối vớimột tham số trật tự Ising. Các đường cong được dịch chuyển thẳng đứng. (b) Thamsố trật tự ψ như là một hàm của nhiệt độ đối với một trường hữu hạn h > 0 và mộttrường rất nhỏ h = 0+ [21].

• Nếu chúng ta làm lạnh hệ trong một trường ngoài nhỏ, dấu của tham số trật tựcho biết dấu của trường (Hình. 1.7 (b)):

ψ =sgn(h)√a(Tc − T )

u, (T < Tc). (1.132)

Nhánh cắt này dọc theo trục nhiệt độ của giản đồ pha, là một ví dụ về điều kiệnbiên chuyển pha loại một. Điểm T = Tc, h = 0 ở đây nằm ở cuối đường nhánhcắt gọi là “điểm tới hạn”

• Nếu u < 0 năng lượng tự do trở nên không bị giới hạn bên dưới. Để xử lí vấn đềnày, năng lượng tự do Landau phải được khai triển theo ψ tới bậc sáu:

f [ψ] = 1VF [ψ] = r

2ψ2 + u

4ψ4 + v

6ψ6 (1.133)

Khi u < 0 đường cong năng lượng tự do tiến triển ba cực tiểu và sự chuyển phatrở thành loại một; điểm đặc biệt tại r = h = u = 0 là một tụ điểm của các điểmtới hạn gọi là điểm ba.

1.4.1.3. Các kì dị tại điểm tới hạn

Tại điểm chuyển pha loại hai, các đạo hàm bậc hai của năng lượng tự do tiến triển cáckì dị. Nếu đặt (1.131) vào trong biểu thức của năng lượng tự do fL [ψ] (1.130), ta sẽ có

fL =

0 (T > Tc)− a2

4u(Tc − T )2 (T < Tc)(1.134)

Theo cách này, năng lượng tự do và entropy S = −∂F∂T

liên tục tại điểm chuyển pha,nhưng nhiệt dung riêng

CV = −T ∂2F

∂T 2 = C0(T ) +

0 (T > Tc)a2T2u (T < Tc)

(1.135)

45


trong đó C0 là thành phần phông của nhiệt dung riêng không gắn với trật tự quy trình,“nhảy” một lượng 4CV = a2Tc

2u ở bên dưới điểm chuyển pha.

Hình 1.8.: Giản đồ pha trong một trường ngoài. Một đường bậc nhất kéo dài dọctheo trục trường ngoài bằng không, h = 0 đến điểm tới hạn. Tham số trật tự cânbằng đổi dấu khi vượt qua đường ranh giới pha này. (a) Đồ thị ba chiều cho thấysự gián đoạn theo tham số trật tự như một hàm của trường ψ. (b) Đường ranh giớipha hai chiều cho thấy là đường bậc nhất [21].

Tại điểm chuyển pha loại hai, vật chất trở nên nhạy cảm vô cùng với trường ngoài h,thể hiện qua sự phân kì theo độ cảm từ χ = ∂ψ

∂h. Để thấy điều này trong lý thuyết

Landau, ta hãy đưa vào một trường ngoài bằng cách thay thế

f(ψ)→ f (ψ)− hψ = r

2ψ2 + u

4ψ4 − hψ (1.136)

Một trường ngoài hữu hạn h > 0 có sự ảnh hưởng đến “sự lật nghiêng” đường viền nănglượng tự do ở bên phải, ưu tiên làm thấp hơn năng lượng của cực tiểu bên phải, nhưđược minh họa trong hình (1.8). Khi h 6= 0, sự cân bằng đòi hỏi ∂f

∂ψ= rψ+uψ3−h = 0,

ta có thể giải tìm được r = hψ− uψ2. Phía trên và dưới Tc, ta có thể giải tìm ψ bằng

cách tuyến tính hóa ψ [h] = δψ+ψ0 quanh điểm h = 0 giá trị đã cho trong (1.132), đểnhận được δψ = χ(T )h+O(h3), trong đó

χ(T ) = dψdh = 1

a |T − Tc|×

1 (T > Tc)12 (T < Tc)

(1.137)

mô tả sự phân kì của “độ cảm từ” tại điểm tới hạn. Ở tại điểm tới hạn (r = 0), thamsố trật tự độ từ hóa là một hàm không tuyến tính của trường,

ψ =(h

u

)1/3

(T = Tc) (1.138)

Sự phân kì của độ cảm từ tại điểm tới hạn nghĩa là nếu làm lạnh qua điểm tới hạn khikhông có mặt trường ngoài, thì trường sót lại cực nhỏ sẽ sinh ra một hiệu ứng khổng

46


lồ, lật nghiêng hệ thành ra một trạng thái có spin hướng lên hoặc xuống. Khi điềunày xảy ra, chúng ta nói rằng hệ “phá vỡ tự phát tính đối xứng nghịch đảo Z2” củaHamiltonian ban đầu.

1.4.1.4. Tính đối xứng liên tục bị phá vỡ: Thế mũ Mexican

Bây giờ chúng ta thực hiện một sự chuyển từ tham số một thành phần tới tham sốn-thành phần. Ta sẽ đặc biệt quan tâm tới một lớp trật tự nhiều thành phần rất quantrọng mà trong đó vật lý cơ bản tính đến một đối xứng liên tục bị phá vỡ bởi sự chuyểnpha. Trong trường hợp này, tham số trật tự n-thành phần ψ = (ψ1 · · ·ψn) đạt được cảđộ lớn và hướng, và tính đối xứng nghịch đảo Z2 không liên tục của mô hình Ising bâygiờ được thay thế bởi một tính đối xứng quay “O(N)” liên tục. Tại một sự chuyển phamà nó phá vỡ các tính đối xứng liên tục như thế có nhiều hệ quả đáng chú ý.Lý thuyết Landau đối xứng “O(N)” được xây dựng đơn giản bằng cách thay thếψ2 → |ψ|2 = (ψ2

1 + · · ·+ ψ2n) = ψ.ψ, có dạng

fL [ψ] = r

2(ψ.ψ) + u

4 (ψ.ψ)2 O(N) lý thuyết bất biến Landau (1.139)

trong đó như đã nói ở trên r = a(T − Tc). Hàm Landau này bất biến dưới phép quayO(N) chuyển ψ → Rψ bảo toàn độ lớn của tham số trật tự.Khi T < Tc, tham số trật tự đạt được một độ lớn và hướng xác định được cho bởi

ψ =√|r|u

n (1.140)

trong đó n là một véc tơ đơn vị có n-thành phần. Bằng cách đạt được một hướng xácđịnh, tham số trật tự phá vỡ tính đối xứng O(N). Trong một nam châm, phá vỡ đốixứng tương ứng với sự tiến triển tự phát của một độ từ hóa đồng đều. Trong một siêudẫn hay siêu lỏng, nó tương với sự tiến triển của một pha vĩ mô.Một ví dụ đặc biệt quan trọng về đối xứng liên tục bị phá vỡ xuất hiện trong siêu chảyvà siêu dẫn, là ở đó tham số trật tự là một tham số trật tự phức hợp thành từ haitham số trật tự phức ψ = ψ1 + iψ2 = |ψ| eiφ. Trong trường hợp này, năng lượng tự doLandau có dạng

f [ψ] = r(ψ∗ψ) + u

2 (ψ∗ψ)2,

ψ ≡ ψ1 + iψ2 ≡ |ψ| eiφ(1.141)

Hình (1.9) cho thấy năng lượng tự do Landau là một hàm của ψ, trong đó độ lớn củatham số trật tự |ψ| được biểu diễn theo các tọa độ cực. Năng lượng tự do bề mặt phô

47


Hình 1.9.: Sự phụ thuộc của năng lượng tự do vào tham số trật tự đối với (a) thamsố trật tự Ising ψ = ψ1, cho thấy hai cực tiểu cùng mức năng lượng và (b) thamsố trật tự phức ψ = ψ1 + iψ2 = |ψ| eiφ, ở đó năng lượng tự do Landau hình thànhmột “thế mũ Mexican” trong đó cực tiểu năng lượng tự do hình thành một vành cáctrạng thái có năng lượng bằng nhau phụ thuộc vào pha φ của tham số trật tự đồngđều [21].

bày một bất biến quay nổi bật, gắn liền với một thực tế là năng lượng tự do độc lậpvới pha toàn phần của tham số trật tự

f [ψ] = f[eiφψ

]bất biến gauge (1.142)

Đây là một hệ quả trực tiếp của bất biến U(1) toàn phần của các trường hạt mà chúngbảo toàn để tiến triển tham số trật tự phức. Khi T < Tc, độ cong âm của năng lượngtự do bề mặt tại ψ = 0 là nguyên nhân khiến năng lượng tự do bề mặt tiến triển mặtnghiêng của một mũ Mexican, với một vành liên tục của cực tiểu tương đương trongđó

ψ =√|r|ueiφ (1.143)

Như vậy, sự xuất hiện của một pha xác định đã phá vỡ tính đối xứng U(1) liên tục.Thế mũ Mexican minh họa một tính chất đặc biệt của các pha với tính đối xứng liêntục bị phá vỡ: nó trở nên khả dĩ để quay liên tục tham số trật tự từ một trạng thái đốixứng bị phá vỡ tới một trạng thái khác. Tuy nhiên hãy lưu ý rằng nếu tham số trật tựduy trì một pha, hoặc hướng xác định thì rõ ràng là phải có một hao phí năng lượngđể làm lệch hoặc “xoắn” hướng của tham số trật tự. Tính chất này là một thành phầncốt yếu của phá vỡ đối xứng liên tục. Trong chất siêu lỏng, sự nổi lên của một pha xácđịnh gắn liền với tham số trật tự được liên hệ mật thiết với các dòng dư, hoặc tính siêuchảy. Chúng ta sẽ sớm thấy khi chúng ta “xoắn” pha, một sự siêu chảy sẽ tiến triển

~j ∝ ~∇φ. (1.144)

48


Để mô tả sự không linh động này, ta cần thực hiện bước tiếp theo, đưa vào trong phiếmhàm năng lượng một số hạng đặc trưng cho hao phí năng lượng của một tham số trậttự không đồng đều. Việc này sẽ đưa chúng ta tới lý thuyết Ginzburg-Landau.

1.4.2. Lý thuyết Ginzburg-Landau I: Trật tự Ising

Lý thuyết Landau mô tả năng lượng chi phí của một tham số trật tự đồng đều. Để giảithích cho trường hợp các tham số trật tự không đồng đều trong đó biên độ biến đổihoặc hướng của tham số trật tự bị xoắn cần có một lý thuyết tổng quát hơn. Sự tiếntriển này của lý thuyết Landau gọi là lý thuyết “Ginzburg-Landau”, sau khi Ginzburgand Landau [33] phát triển hình thức luận này như phần lý thuyết vĩ mô về siêu dẫncủa họ. Chúng sẽ bắt đầu thảo luận lý thuyết GL với trường hợp đơn giản nhất làtham số trật tự “Ising” một thành phần.Lý thuyết GL [33] đưa vào một sự bổ sung năng lượng hao phí δf ∝ |∇ψ|2 gắn liềnvới gradients của tham số trật tự fGL [ψ,∇ψ] = s

2 |∇ψ|2 + fL [ψ(x)]. Với trường hợp

riêng, tham số trật tự Ising, năng lượng tự do (trong d chiều) được cho bởi

FGL [ψ] =ddxfGL [ψ(x),∇ψ(x), h(x)]

fGL [ψ,∇ψ, h] = s

2(∇ψ)2 + r

2ψ2 + u

4ψ4 − hψ

(1.145)

Năng lượng tự do Ginzburg-Landau: trật tự một thành phần

Có hai điểm cần lưu ý ở đây• Lý thuyết GL chỉ có hiệu lực ở gần điểm tới hạn, nơi tham số trật tự là đủ nhỏ

để cho phép một khai triển bậc chính• Sự phân tích thứ nguyên cho thấy rằng [s] / [r] = L2 có thứ nguyên bình phương

độ dài. Tỉ lệ độ dài mới mà nó được đưa vào bởi số hạng gradient gọi là “độ dàitương quan”

ξ(T ) =√

s

|r(T )| = ξ0

∣∣∣∣1− T

Tc

∣∣∣∣−12

độ dài tương quan, (1.146)

sẽ thiết lập một tỉ lệ độ dài đặc trưng của các thăng giáng tham số trật tự, trong đó

ξ0 = ξ(T = 0) =√

s

aTcđộ dài kết hợp, (1.147)

là số đo của độ dài kết hợp vi mô. Ở gần điểm chuyển pha, ξ(T ) phân kì, nhưng ra xađiểm chuyển pha, nó trở nên so sánh được với độ dài kết hợp.Theo truyền thống việc sử dụng lý thuyết GL, như là một nguyên lý biến phân, dùngđiều kiện dừng δF/δψ = 0 để xác định cấu hình không cân bằng của tham số trật tự.Lý thuyết GL cũng là điểm bắt đầu cho một sự phân tích tổng quát hơn của các thănggiáng nhiệt quanh lý thuyết trường trung bình.

49


1.4.2.1. Các nghiệm không đồng đều của lý thuyết Ginzburg-Landau

Có hai loại nghiệm không đồng đều ta sẽ xem xét:1. Đáp ứng tuyến tính, nhưng không cục bộ với một trường ngoài nhỏ.2. Các nghiệm “sóng đơn” hoặc vách miền, trong đó tham số trật tự đổi dấu, đi

qua cực đại của năng lượng tự do tại ψ = 0 (các vách miền như thế dành riêngcho trật tự Ising).

Để nhận được phương trình chi phối các nghiệm không đồng đều, ta viết

δFGL =ddxδψ(x)

[−s∇2ψ(x) + ∂fL [ψ]

∂ψ(x)

](1.148)

Vì năng lượng tự do GL phải dừng đối với các biến đổi nhỏ theo trường nên:

δFGLδψ(x) = −s∇2ψ + ∂fL [ψ]

∂ψ= 0 (1.149)

hay tường minh hơn

[(−s∇2 + r

)+ uψ2

]ψ(x)− h(x) = 0 (1.150)

1.4.2.2. Độ cảm và đường đặc trưng tuyến tính

Một ứng dụng đơn giản nhất của lý thuyết GL, là tính toán đường đặc trưng tuyếntính cho một trường ngoài không đồng đều. Khi T > Tc, với một đường đặc trưngtuyến tính nhỏ chúng ta có thể bỏ qua số hạng bậc ba vì vậy (−s∇2 + r)ψ(x) = h(x).Nếu biến đổi Fourier phương trình này ta nhận được

(sq2 + r

)ψq = hq (1.151)

hay ψq = χqhq, trong đó

χq = 1sq2 + r

= 1s(q2 + ξ−2) (1.152)

là độ cảm từ phụ thuộc xung lượng và ξ =√s/r là độ dài tương quan được định nghĩa

trong (1.146). Lưu ý rằng χq=0=1/[a(T − Tc)] = r−1 là độ cảm từ đồng đều nhận đượctrong (1.137) trước đây. Với q lớn q ξ−1, χ(q) ∼ 1/q2 trở nên phụ thuộc mạnh mẽvào động lượng, nói cách khác, đường đặc trưng cho một trường ngoài là không cục bộcho tới một độ dài tương quan.

50


1.4.2.3. Các vách miền

Khi T < Tc, có một sự tổn hao mạnh mẽ đối với tham số trật tự để lệch đáng kể khỏigiá trị cân bằng ψ0. Tuy nhiên các độ lệch chủ yếu khỏi những “chân không bền” nàycó thể xảy ra tại “các vách miền” hoặc “các sóng đơn”, là những vách hẹp của khônggian mà nó tách thành hai miền chân không bền đối dấu nhau, tại đó ψ = ±ψ0. Đểđổi dấu, tham số trật tự Ising phải đi qua giá trị không tại trung tâm của vách miền,vượt qua “đỉnh” trong năng lượng tự do.

Hình 1.10.: Nghiệm sóng đơn của các phương trình GL. (a) Sự tiến hóa của ψ trongmột chiều tương đương với một hạt ở vị trí ψ, chuyển động trong một thế năngnghịch đảo V [ψ] = −fL [ψ]. Một sóng đơn tương đương với một “sự nảy” giữa cáccực đại ở ψ = ±ψ0 của V [ψ]. (b) Đường mà hạt mô tả sự phát triển theo thời gian“t” ≡ x xác định sự phụ thuộc không gian của tham số trật tự ψ [x] [21].

Bây giờ chúng ta tìm nghiệm sóng đơn trong không gian một chiều, ở đó phương trìnhGL trở thành

sψ′′ = dfL [ψ]dψ

(1.153)

Công thức này có một sự giải thích lý thú giống như định luật Newton về chuyển độngđối với một hạt có khối lượng s chuyển động trong một thế nghịch đảo V [ψ] = −fL [ψ].Nhận xét này thừa nhận có một sự tương tự giữa một sóng đơn và chuyển động trongmột chiều, điều này cho phép ta nhanh chóng phát triển một lời giải cho sóng đơn.Theo sự tương tự này, ψ đóng vai trò của sự dịch chuyển trong khi x đóng vai trò củathời gian. Nghiệm “sóng đơn” của phương trình GL định vị tại x = x0 là

ψ(x) = ψ0 tanh(x− x0√

2ξ

)“sóng đơn” (1.154)

51


1.4.3. Lý thuyết Ginzburg-Landau II: Trật tự phức và siêu chảy

1.4.3.1. “Một hàm sóng vĩ mô”

Bây giờ ta trở lại thảo luận lý thuyết GL về tham số trật tự phức hay tham số trậttự hai thành phần. Ở đây, ta sẽ tập trung vào sử dụng lý thuyết GL để hiểu các hiệntượng siêu chảy và siêu dẫn. Trọng tâm của bài thảo luận, là sự nổi lên của một loại“hàm sóng vĩ mô” trong đó các toán tử trường vi mô của chất lỏng lượng tử ψ(x) cógiá trị trung bình⟨

ψ(x)⟩≡ ψ(x) = |ψ(x)| eiφ(x) “hàm sóng vĩ mô” (1.155)

bao gồm cả pha. Độ lớn của tham số trật tự này xác định mật độ các hạt trong chấtsiêu lỏng

|ψ(x)|2 = ns(x) (1.156)

trong khi đó sự xoắn, hay gradien của pha xác định vận tốc siêu lỏng.

vs(x) = ~m∇φ(x) (1.157)

Vitalii Ginzburg và Lev Landau đưa ra lý thuyết của họ năm 1950, như một lý thuyếthiện tượng luận về tính siêu dẫn, trong đó ψ(x) đóng vai trò của một hàm sóng vĩ mômà nguồn gốc vi mô của nó lúc đó vẫn chưa biết được. Ta sẽ bắt đầu bằng cách minhhọa ứng dụng của phương pháp này cho các chất siêu lỏng. Với một chất siêu lỏng,mật độ năng lượng tự do GL là

fGL [ψ,∇ψ] = ~2

2m |∇ψ|2 + r |ψ|2 + u

2 |ψ|4 (1.158)

năng lượng GL: siêu lỏng

• Năng lượng tự do GL được hiểu như mật độ năng lượng của chất boson ngưngtụ trong đó toán tử trường có hành vi như một tham số trật tự phức. Điều nàyđưa chúng ta tới đồng nhất hệ số của số hạng gradien

s |∇ψ|2 ≡ ~2

2m⟨∇ψ†∇ψ

⟩(1.159)

như động năng, vì vậy s = ~2

2m .

52


• Như trong trường hợp của trật tự Ising, độ dài tương quan, hay “độ dài kết hợpGinzburg-Landau” chi phối dải đặc tính của biên độ các thăng giáng của thamsố trật tự được cho bởi

ξ =√s

|r|=

√√√√ ~2

2m |r| = ξ0

(1− T

Tc

)−1/2(1.160)

trong đó ξ0 = ξ(T = 0) =√

~2

2maTc là độ dài kết hợp. Vượt quá quy mô dài này, chỉ cócác thăng giáng pha là tồn tại.

• Nếu chúng ta tách các thăng giáng trong biên độ ra ngoài, bằng cách viết ψ(x) =√nse

iφ(x), thì ∇ψ = i∇φψ và |∇ψ|2 = ns (∇φ)2. Sự phụ thuộc của động năngcòn dư vào sự xoắn trong pha là

~2ns2m (∇φ)2 = mns

2

v2s︷︸︸︷(

~m∇φ

)2 (1.161)

Vì mns là mật độ khối lượng, nên ta thấy rằng một sự xoắn pha dẫn đến sự tăng độngnăng mà ta có thể gắn liền với một vận tốc “siêu lỏng”

vs = ~m∇φ (1.162)

1.4.3.2. Tính chất cứng pha và tính siêu chảy

Trong lý thuyết GL năng lượng rất nhạy cảm đối với một sự “xoắn” pha. Nếu tathay thế ψ = |ψ| eiφ vào trong năng lượng tự do GL, thì số hạng gradient trở thành∇ψ = (∇ |ψ|+ i∇φ |ψ|)eiφ, vì vậy

fGL =

tính chất cứng pha︷︸︸︷~2

2m |ψ|2 (∇φ)2 +

các thăng giáng biên độ︷︸︸︷~2

2m (∇ |ψ|)2 + r |ψ|2 + u

2 |ψ|4 (1.163)

Số hạng thứ hai tương tự phiếm hàm GL đối với một tham số trật tự Ising, và mô tảchi phí năng lượng của những biến đổi trong biên độ của tham số trật tự. Số hạng thứnhất là một số hạng mới. Số hạng này mô tả “tính chất cứng pha”. Như ta đã biếttrong mục trước, các thăng giáng biên độ của tham số trật tự bị giam hãm trong cácquy mô ngắn hơn độ dài tương quan ξ. Với quy mô dài hơn vật lý được điều khiểnhoàn toàn bởi bậc tự do pha, vì vậy

fGL = ρφ2 (∇φ)2 +constant (1.164)

53


Đại lượng ρφ = ~2

mns thường được gọi là “độ quánh pha siêu lỏng”.

Từ quan điểm vi mô, số hạng pha không linh động đơn giản là động năng của hạttrong phần ngưng tụ, nhưng từ quan điểm vĩ mô, nó là một năng lượng đàn hồi gắnliền với pha bị xoắn. Cách duy nhất dung hòa hai quan điểm này, là nếu có một sựxoắn của hàm sóng ngưng thì dẫn đến một sự chảy dính liền của các hạt với mật độdòng Js = nsvs, trong đó

vs = ~m∇φ (1.165)

là “vận tốc siêu lỏng” được sinh ra bởi pha bị xoắn của phần ngưng. Dòng chảy hạtthông thường đạt được bằng sự thêm vào các kích thích ở trên trạng thái cơ bản, nhưngtính siêu chảy xuất hiện nhờ bởi một sự biến dạng của pha trạng thái cơ bản và mỗiđơn hạt chuyển động trong một sự đồng thời hoàn hảo.

Các xoáy và tính ổn định tôpô của siêu chảy Tính siêu chảy ổn định do bởi tínhchất tô pô cơ bản của một tham số trật tự bị xoắn. Nếu ta quấn quanh hệ thì bảnchất đơn trị của tham số trật tự kéo theo rằng sự thay đổi trong pha quanh mẫu phảilà một số nguyên nhân với 2π:

M φ =dx.∇φ = 2π × nφ (1.166)

tương ứng với nφvòng xoắn của tham số trật tự. Nhưng vì vs = ~m∇φ, điều này kéo

theo rằng tích phân đường, hay “lưu số” của siêu chảy quanh mẫu bị lượng tử hóa

ω =dx.vs = h

m× nφ lượng tử hóa của lưu số. (1.167)

Giả sử rằng hệ có đối xứng tịnh tiến, điều này đưa đến

vs = h

mLnφ lượng tử hóa của vận tốc, (1.168)

một hiện tượng mà nó được tiên đoán đầu tiên bởi Onsager and Feynman [64, 28]. Sốvòng xoắn của tham số trật tự nφ là một “bất biến tô pô” của sự ngưng tụ siêu lỏng,vì nó có thể không bị thay đổi bởi bất kì sự biến dạng liên tục nào của pha. Chỉ cócách phân rã siêu chảy là tạo ra các vách miền năng lượng cao: một tiến trình mà nóbị triệt theo quy luật hàm số mũ trong giới hạn nhiệt động. Vì vậy tính ổn định vềmặt tô pô của tham số trật tự bị xoắn duy trì một sự siêu chảy bền bỉ.

54


Một dạng bền vững về mặt tô pô khác của một siêu chảy là một “xoáy”. Một cái xoáylà một đường đặc biệt trong chất siêu lỏng mà pha của tham số trật tự tiến động bằngmột số nguyên nhân với 2π. Nếu chúng ta lấy một đường tròn bán kính r vòng quanhcái xoáy thì sự lượng tử hóa của lưu số đưa đến

ω = nφ

(h

m

)=dx.vs(x) = 2πrvs (1.169)

vs = nφ ×(~m

)1r, r & ξ (1.170)

Công thức này, vận tốc siêu lỏng xuất hiện phân kì ở những khoảng cách ngắn, sẽkhông đáng tin cậy nữa khi r . ξ, ở đó các biến thiên biên độ trong tham số trật tựtrở nên quan trọng. Bây giờ ta hãy tính năng lượng của một xoáy. Giả sử xoáy đượctập trung vào giữa một hình trụ lớn bán kính R, khi đó năng lượng của mỗi đơn vị dàilà

F

L= ρφ

2

d2x (∇φ)2 = ρφ

2

R

ξ

2πrdr(2πnφ

2πr

)2= πρφ ln

(R

ξ

)× n2

φ (1.171)

Theo cách này, ta thấy rằng năng lượng của nφ được phân tách ra các xoáy với lưu sốđơn vị là nφ lần nhỏ hơn một xoáy với lưu số gấp nφ lần. Vì lí do này, các xoáy xuấthiện với các lượng tử đơn của lưu số, và sự tương tác của chúng là lực đẩy.

1.4.4. Lý thuyết Ginzburg-Landau cho siêu dẫn

1.4.4.1. Bất biến Gauge

Trong một chất siêu lỏng trung hòa sự xuất hiện của một hàm sóng vĩ mô cùng với phadẫn tới tính siêu lỏng. Khi chất lỏng tương ứng được tích điện, tính siêu chảy mangđiện tích, hình thành một chất siêu dẫn. Một trong các tính chất cơ bản của các chấtsiêu dẫn là khả năng đẩy từ trường ra khỏi bên trong nó, gọi là “hiệu ứng Meissner”.Lý thuyết GL cung cấp một sự giải thích đẹp đẽ cho hiệu ứng này.Việc đưa điện tích vào trong lý thuyết trường mang đến cho nó khái niệm bất biếngauge. Trong lý thuyết GL của một chất lỏng lượng tử mang điện, các đạo hàm thôngthường của trường được thay thế bằng các đạo hàm bất biến gauge

∇ → D = ∇− ie∗

~A (1.172)

55


trong đó e∗ là điện tích của trường ngưng tụ. Theo đó năng lượng tự do GL cho siêudẫn được viết lại như sau

F [ψ,A] =ddx

fψ︷︸︸︷

~2

2M

∣∣∣∣(∇− ie∗

~A)ψ∣∣∣∣2 + r |ψ|2 + u

2 |ψ|4 + (∇×A)2

2µ0︸︷︷︸fEM

(1.173)

Năng lượng tự do GL : siêu lỏng mang điện tích.

trong đó M là khối lượng của trường ngưng tụ và ∇×A = B là từ trường.Lưu ý rằng:

• Chúng ta đang xét các chất siêu dẫn, ở đó boson ngưng tụ là một cặp Coopercủa các điện tử, mang điện tích e∗ = 2e.

• Dưới phép biến đổi gauge

ψ(x)→ ψ(x)eiα(x), A→ A + ~e∗∇α (1.174)

Dψ → eiα(x)Dψ, sao cho |Dψ|2 không bị thay đổi và năng lượng tự do GL là bất biếnGauge.

1.4.4.2. Các phương trình Ginzburg-Landau

Để nhận được các phương trình chuyển động ta cần lấy biến phân của năng lượng tựdo (1.173) theo thế véc tơ và tham số trật tự ψ. Các biến phân theo thế véc tơ đemlại phương trình Amperes, trong khi các biến phân theo tham số trật tự dẫn tới mộtsự tổng quát hóa phương trình Schrodinger không tuyến tính đã thu được trước đâycho các trường Ising không đồng đều. Mỗi một trong các phương trình này là mộttrong các nghiệm không đồng đều cực kì quan trọng xác định vật lý của các vách miềngiữa các vùng “dẫn thường” và “siêu dẫn” của siêu dẫn loại II, trong khi đó công thứcGinzburg-Landau của phương trình Amperes cung cấp một sự hiểu biết về hiệu ứngMeissner.Nếu biến đổi thế véc tơ, và đặt biến phân toàn phần bằng không, ta nhận được:

δF

δA(x) = −J(x) + ∇×Bµ0

= 0. (1.175)

trong đó

J(x) = −i~e∗

2M(ψ∗~∇ψ −∇ψ∗ψ

)− e∗2

M|ψ|2 A. (1.176)

56


là mật độ dòng siêu dẫn. Theo cách này, ta lại nhận được phương trình Amperes, trongđó mật độ dòng có dạng của một dòng xác suất trong phương trình Schrodinger nổitiếng. Tuy nhiên, ψ(x) bây giờ mang ý nghĩa vật lý vĩ mô, “hàm sóng vĩ mô” của phầnngưng có tính siêu dẫn. Phương trình (1.175) này sẽ dẫn tới hiệu ứng Meissner.Để lấy các biến phân theo ψ, ψ∗ trước hết lấy tích phân từng phần, đặt biến phân toànphần bằng không, ta nhận được:

~2

2M

(∇− ie

∗

~A)2ψ(x) + rψ(x) + u |ψ(x)|2 ψ(x) = 0 (1.177)

“Phương trình Schrodinger không tuyến tính” này gần như là đồng nhất với phươngtrình (1.150) đã nhận được đối với tham số trật tự Ising, nhưng ở đây∇2 →

(∇− i q~A

)2

hợp nhất với bất biến gauge và ψ3 → |ψ|2 ψ có kể đến tham số trật tự phức. Phươngtrình (1.177) có thể được sử dụng để xác định sức căng bề mặt σsn của một giọt chấtlỏng có tính siêu dẫn.

1.4.4.3. Hiệu ứng Meissner

Bây giờ ta sẽ xem xét một chất siêu dẫn sẽ có hành vi như thế nào trong sự hiện diệncủa một từ trường. Để thuận tiện viết dòng siêu dẫn (1.176) dưới dạng biên độ và phacủa tham số trật tự ψ = |ψ| eiφ

J(x) = e∗ns

vs︷︸︸︷~M

(~∇φ− e∗

~A)

= e∗nsvs(1.178)

trong đó ta đã thay thế |ψ|2 = ns và đồng nhất

vs = ~M

(∇φ− e∗

~A)

(1.179)

như vận tốc siêu lỏng. Viết một cách tường minh, phương trình Amperes khi đó trởthành

∇×B = −µ0nse∗2

M

(A− ~

e∗∇φ

)(1.180)

Nếu ta lấy curl biểu thức này (giả sử ns là hằng số), ta thu được kết quả là

∇2B = 1λ2L

B, Hiệu ứng Meissner

1λ2L

= µ0nse∗2

M= µ0

nee2

me

(1.181)

57

1.5 Thảo luận

Ở đâyM = 2me và e∗ = 2e tương ứng là khối lượng và điện tích của cặp Cooper, trongkhi đó ns = 1

2ne là một nửa nồng độ điện tử trong chất ngưng.Phương trình này, được rút ra đầu tiên bởi Fritz London trên nền tảng hiện tượng học[54], biểu diễn tính chất kinh ngạc là các từ trường bị đẩy mạnh mẽ ra khỏi chất siêudẫn. Các nghiệm đồng đều duy nhất khả dĩ là

B = 0,ns > 0, trạng thái siêu dẫnB 6= 0,ns = 0, trạng thái dẫn thường

(1.182)

Các nghiệm một chiều cho phương trình London ∇2B = B/λ2L có dạng B ∼ B0e

−x/λL ,cho thấy rằng ở gần bề mặt của một chất siêu dẫn, từ trường chỉ xuyên sâu một khoảngđộ dài λL vào trong chất ngưng. Các dòng siêu dẫn dư chắn từ trường xâm nhập vàochất siêu dẫn nằm trong vòng lớp vỏ mỏng trên bề mặt.

1.5. Thảo luận

Lý thuyết Ginzburg-Landau [33] là một lý thuyết hiện tượng học sử dụng trực giác vậtlý và nguyên lý biến thiên của cơ học lượng tử. Nó cho phép tính toán các đại lượng vĩmô của vật liệu trong trạng thái siêu dẫn nếu người ta giả thiết sự chuyển pha là loạihai. Các kết quả có thể phù hợp một cách chính xác với các kết quả thực nghiệm, vàsau này được chỉ ra là một dạng riêng của lý thuyết BCS. Trong khi hữu ích và chínhxác với các đại lượng vĩ mô, thì cũng giống như nỗ lực của London, nó không giải thíchsự hình thành tính siêu dẫn trong các vật liệu này.Đáng chú ý là hai năm sau khi lý thuyết BCS ra đời Gor’kov [34] đã chỉ ra rằng lýthuyết hiện tượng luận GL thực tế có thể được suy ra một cách chính xác từ lý thuyếtBCS và các hệ số của nó có thể vì vậy liên quan tới các tham số vật liệu vi mô chẳnghạn như vận tốc Fermi vF và mật độ trạng thái ở mức Fermi N(0). Thêm vào đóGor’kov chứng minh rằng các đại lượng nhiệt động của hai lý thuyết, nghĩa là thamsố khe BCS, ∆, và hàm sóng GL, Ψ, có liên hệ với nhau bởi một hằng số tỉ lệ và Ψcó thể được coi như hàm sóng cặp Cooper trong cấu trúc khối tâm. Theo một nghĩanào đó thì lý thuyết GL là nguyên mẫu của lý thuyết hiệu dụng hiện đại; mặc dù giớihạn chỉ ở sự chuyển pha nhưng nó được ứng dụng ở nhiều lĩnh vực, chẳng hạn nó đượcsử dụng trong các trường hợp không đồng nhất, khi khe không đồng đều trong khônggian.Thêm nữa, năm 2013 Frank [69] đã trình bày nguồn gốc chặt chẽ của lý thuyết GL.Bắt nguồn từ mô hình BCS, lý thuyết GL xuất hiện như một lý thuyết hiệu dụng trênquy mô vĩ mô, trong sự hiện diện các trường ngoài yếu và biến thiên chậm, và nhiệtđộ gần với nhiệt độ tới hạn.Như vậy, lý thuyết hiện tượng luận GL có thể được liên hệ với một lý thuyết vi mô cơbản. Phương pháp tích phân phiếm hàm là một trong những công cụ hữu dụng cungcấp một hình thức luận nghiêm khắc, chặt chẽ để liên hệ hai lý thuyết này.

58

2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TIẾPCẬN VI MÔ GINZBURG-LANDAU

Trong chương này chúng tôi sẽ giới thiệu hai phương pháp tiếp cận vi mô Ginzburg-Landau: phương pháp hàm Green và phương pháp tích phân phiếm hàm. Trong nghiêncứu của chúng tôi các hàm Green chỉ được sử dụng ngắn gọn, nhưng vì tầm quan trọngtuyệt vời của nó trong nhiều lĩnh vực vật lý, và bởi vì một số độc giả có thể không quenthuộc với dạng tổng quát của hàm Green (khác với hàm Green được sử dụng trong lýthuyết các phương trình vi phân tuyến tính) một thảo luận ngắn gọn sẽ được trình bàytrong mục 2.1. Để biết thêm chi tiết thảo luận xem một trong nhiều sách giáo khoaxuất sắc về chủ đề này [27, 2]. Trong mục 2.2, chúng tôi sẽ phát triển bài toán siêudẫn BCS bằng việc sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàm để tính hàm phân bốcủa hệ, thiết lập phiếm hàm năng lượng GL một thành phần cho siêu dẫn BCS. Đâychính là tiền đề để các chương sau, xuất phát từ Hamiltonian tương tác nhiều hạt tổngquát chúng tôi thực hiện phép biến đổi lý thuyết trường fermion tới một lý thuyết hiệudụng dựa trên các trường kết cặp được biểu diễn dưới dạng các tham số trật tự theocác kênh khác nhau từ đó rút ra một sự biểu diễn tổng quát nhất của phiếm hàm GLcho hệ hai, ba tham số trật tự nhằm tìm kiếm các pha đồng tồn tại.

2.1. Phương pháp hàm Green

Trong những năm gần đây, các phương pháp của lý thuyết trường lượng tử đã đượcnhận thấy là rất hữu ích trong vật lý thống kê. Thời gian sau đó nó được quan tâmtrong các tính toán cả cho các tính chất cân bằng và không cân bằng của các hệ nhiềuhạt. Trong việc nghiên cứu các bài toán như thế phương pháp hàm Green là mộtphương pháp rất hữu ích. Nó cho phép người ta trình bày các bài toán theo một cáchchặt chẽ hơn và giải thích rõ ràng một số khái niệm bằng trực giác đã có trước đó,chẳng hạn như sự mô tả một hệ ở nhiệt độ thấp dưới dạng các chuẩn hạt. Thêm vàođó, người ta có thể dễ dàng suy ra một số kết quả chính xác nhất định, các hệ thức tánsắc và các quy luật lấy tổng chính xác trong phạm vi lý thuyết nhiễu loạn. Cuối cùng,phương pháp này tạo ra một quá trình chuyển đổi khá dễ dàng từ nhiệt độ không, tạiđó các phép tính gần giống với lý thuyết trường lượng tử, sang nhiệt độ khác không.Các hàm Green về cơ bản là hữu ích để tính tổng các lớp giản đồ bị hạn chế của lýthuyết nhiễu loạn và rất mạnh khi kết hợp với biểu diễn phổ. Trong lý thuyết trườnglượng tử hàm Green được gọi là hàm truyền. Tên này dựa trên ý tưởng rằng, để tìmcác tính chất vật lý quan trọng của một hệ, điều cần thiết là phải biết hành vi trungbình của một hoặc hai hạt điển hình chứ không phải là chi tiết hành vi của từng hạt

59

2.1 Phương pháp hàm Green

trong hệ. Các đại lượng mô tả hành vi trung bình này được gọi là các hàm truyền mộthạt và hai hạt. Về cơ bản, có hai cách liên quan chặt chẽ để xác định các hàm Greenlà từ các phương trình chuyển động và điều kiện biên mà chúng tuân theo, và từ việcsử dụng đơn giản lý thuyết nhiễu loạn.Trong mục 2.1 này, trước tiên, chúng tôi sẽ định nghĩa các hàm Green một hạt. Sauđó, chúng tôi xây dựng phương trình chuyển động của các hàm Green, chúng có dạngmột chuỗi vô hạn các phương trình kết hợp. Tiếp theo, bao gồm một mô tả khá chitiết về việc áp dụng các kỹ thuật các hàm Green cho các lý thuyết siêu dẫn và sắt từdựa trên các nghiên cứu của một số tác giả nổi tiếng. Cuối cùng, chúng tôi đưa ra mộtsự thảo luận ngắn gọn so sánh các phương pháp khác nhau để có được các hàm Green.

2.1.1. Các hàm Green

Có nhiều lý do để nghiên cứu các hàm Green. Trước hết, các quy luật Feynman để tìmkiếm sự đóng góp bậc thứ n của lý thuyết nhiễu loạn đối với hàm Green thì đơn giảnhơn đối với tổ hợp khác của các toán tử trường. Thêm nữa, hàm Green cung cấp mộtsố thông tin vật lý quan trọng nhất như năng lượng và các hàm nhiệt động khác trongtrạng thái cơ bản của hệ, năng lượng và thời gian sống của các trạng thái kích thích,và sự đáp ứng tuyến tính với các nhiễu loạn bên ngoài. Cuối cùng, hàm Green cũng làmột phương tiện thuận tiện để xác định các hệ số truyền dẫn mà không cần đòi hỏiphải thiết lập các phương trình truyền dẫn. Trong thảo luận này chúng tôi chỉ đề cậpđến các loại hàm Green như hàm Green nhân quả hai thời điểm Gc(t, t′), được địnhnghĩa dưới dạng giá trị trung bình của T tích các toán tử, hàm Green trễ Gr(t, t′) vàhàm Green sớm Ga(t, t′).Các hàm Green được sử dụng ở đây là các hàm Green hai thời điểm áp dụng trongvật lý chất rắn và cơ học thống kê, chúng phụ thuộc vào hai toán tử A(t) và B(t′) ởcác thời điểm khác nhau t và t′. Sự khác nhau cơ bản giữa các hàm Green này và cáchàm Green trong lý thuyết trường lượng tử là ở chỗ trong lý thuyết trường lượng tử,trung bình được lấy theo trạng thái chân không thấp nhất hay trạng thái cơ bản còncác hàm Green sử dụng ở đây được lấy trung bình theo tập hợp chính tắc lớn.

Gc(t, t′) = 〈〈A(t);B(t′)〉〉c = −i 〈T (A(t)B(t′))〉 (2.1)

Gr(t, t′) = 〈〈A(t);B(t′)〉〉r = −iθ(t− t′) 〈[A(t), B(t′)]〉 (2.2)

Ga(t, t′) = 〈〈A(t);B(t′)〉〉a = iθ(t′ − t) 〈[A(t), B(t′)]〉 . (2.3)

Ký hiệu 〈. . .〉 trong các phương trình trên biểu thị lấy trung bình theo một tập hợpchính tắc lớn, nghĩa là với toán tử ρ bất kỳ ta có

〈ρ〉 = 1ZTr

(e−

HKT ρ

)(2.4)

60


trong đó Z là hàm phân bố của hệ chính tắc lớn

Z = Tr(e−

HKT

), (2.5)

Tr biểu thị toán tử vết, và H là toán tử Hamiltonian toàn phần của hệ

H = H − µN, (2.6)

H là toán tử Hamiltonian độc lập thời gian, N là toán tử số hạt toàn phần của hệ, µlà thế hóa học và T là nhiệt độ tuyệt đối; 〈〈A(t);B(t′)〉〉c,r,a ký hiệu rút gọn của cáchàm Green tương ứng. A(t) và B(t′) là các toán tử trong biểu diễn Heisenberg có dạng(ở đây ta xét trong hệ đơn vị mà ~ = 1)

A(t) = eiH tAe−iH t. (2.7)

Toán tử T tích được định nghĩa theo cách thông thường

T (A(t)B(t′)) = θ(t− t′)A(t)B(t′) + ηθ(t′ − t)B(t′)A(t) (2.8)

trong đó

θ(t) =

1 nếu t > 00 nếu t < 0

(2.9)

Cuối cùng [A,B] biểu thị các hệ thức giao hoán hoặc phản giao hoán

[A,B] = AB − ηBA (2.10)

với η = ±1. Dấu của η trong (2.8) và (2.10) được chọn là dương hay âm tùy thuộcvào mỗi bài toán. Người ta thường chọn dấu dương nếu A và B là các toán tử Bose vàdấu âm nếu chúng là các toán tử Fermi, nhưng lựa chọn khác về dấu của η cũng khảdĩ. Nói một cách tổng quát, A và B không phải là các toán tử Bose cũng không phảilà các toán tử Fermi, thì tích của các toán tử có thể thỏa mãn các hệ thức giao hoánphức tạp hơn. Dấu của η đối với các hàm Green nhiều thời điểm thường được xác địnhduy nhất, tùy thuộc vào giao hoán của các toán tử Fermi là chẵn hay lẻ trong các tíchđược xắp xếp lại theo trật tự thời gian.Sử dụng các hệ thức (2.8) và (2.10) ta viết lại các hàm Green như sau

Gc(t, t′) = −iθ(t− t′) 〈A(t)B(t′)〉 − iηθ(t′ − t) 〈B(t′)A(t)〉 (2.11)

61


Gr(t, t′) = −iθ(t− t′) 〈A(t)B(t′)〉 − η 〈B(t′)A(t)〉 (2.12)

Ga(t, t′) = iθ(t′ − t) 〈A(t)B(t′)〉 − η 〈B(t′)A(t)〉 (2.13)

Cần lưu ý rằng trong trường hợp cân bằng thống kê các hàm Green Gc(t, t′), Gr(t, t′)và Ga(t, t′) phụ thuộc vào t và t′ chỉ qua t − t′. Biến đổi Fourier của các hàm Greenđược cho bởi

G(t− t′) =G(ωn)e−iωn(t−t′)dωn (2.14)

trong đó ωn là tần số Matsubara. Có thể chỉ ra rằng đối với Fermion chỉ có các thànhphần Forurier của tần số lẻ mới khác không, và đối với Boson chỉ có các thành phầnForurier của tần số chẵn mới xác định. Điều này dẫn tới các kết quả [27] sau

G(k, ωn) = 1iωn − ε(k) ;

ωn = (2n+ 1)πT đối với Fermionωn = 2nπT đối với Boson

(2.15)

Các kết quả này đặc biệt hữu ích khi chúng cho phép các tính toán trên hàm Green trởnên tự động, chúng ta sẽ gặp lại thường xuyên hơn trong các tính toán có liên quanđến kỹ thuật hàm Green ở các chương sau.

2.1.2. Phương trình chuyển động cho các hàm Green

Chúng ta sẽ thiết lập các phương trình chuyển động cho các hàm Green (2.1), (2.2) và(2.3). Với toán tử A(t) bất kỳ phương trình chuyển động có dạng

idA

dt= AH −HA (2.16)

vế bên phải của (2.16) có thể được viết lại chi tiết hơn bằng cách sử dụng dạng tườngminh của Hamiltonian và các hệ thức giao hoán cho các toán tử. Lấy vi phân các hàmGreen (2.1), (2.2) và (2.3) theo thời gian t ta nhận được phương trình

idG

dt= i

d

dt〈〈A;B〉〉 = dθ(t− t′)

dt〈[A(t), B(t′)]〉+

⟨⟨idA(t)dt

;B(t′)⟩⟩

(2.17)

62


phương trình này là giống nhau cho cả ba hàm GreenGc,Gr vàGa bởi vì dθ(−t)dt= −dθ(t)

dt.

Sử dụng hệ thức liên hệ giữa hàm bậc θ(t) và hàm delta δ(t)

θ(t) = t

−∞δ(t)dt (2.18)

và phương trình chuyển động (2.16) đối với toán tử A(t) chúng ta có thể viết phươngtrình cho hàm Green dưới dạng

idG

dt= δ(t− t′) 〈[A(t), B(t′)]〉+ 〈〈A(t)H(t)−H(t)A(t);B(t′)〉〉 (2.19)

Từ số hạng cuối cùng trong phương trình (2.19), chúng ta có được một hàm Greenkhác mà chúng ta có thể viết ra được phương trình chuyển động của nó; quá trình tuầntự này sẽ dẫn chúng ta đến một hàm Green thậm chí còn phức tạp hơn. Theo cách này,chúng ta có được một chuỗi các phương trình kết hợp. Để có được một nghiệm cho tậphợp các phương trình này, ngoại trừ trong những trường hợp rất đơn giản, người tacần phải phá vỡ chuỗi bằng cách thực hiện một số phép tính gần đúng, nghĩa là biếnđổi nó thành một tập hợp hữu hạn các phương trình, mà sau đó có thể giải được. Tuyvậy, chỉ trong một số trường hợp giới hạn của các mô hình Hamiltonian mới khả dĩ đểthực hiện trên chuỗi các phương trình đó một sự tách chuỗi tiệm cận với độ chính xáckhi V → ∞. Các phương trình (2.19) là chính xác và lời giải của chuỗi phương trìnhnày là cực kỳ phức tạp để tổng quát hóa. Hiện thời không có một sự mô tả chung chomột sự tách chuỗi như vậy.Trong định nghĩa các hàm Green ở trên xuất hiện các trung bình theo tập hợp thốngkê của tích các toán tử trong biểu diễn Heisenberg, có dạng

FAB(t, t′) = 〈A(t)B(t′)〉 ;FBA(t, t′) = 〈B(t′)A(t)〉 (2.20)

ta sẽ gọi các trung bình này là các hàm tương quan, chúng là những đại lượng quantrọng trong vật lý thống kê. Phương trình chuyển động của các hàm tương quan nàylà

iddt

FAB(t, t′) = 〈A(t)H(t)−H(t)A(t)B(t′)〉i ddt

FBA(t, t′) = 〈B(t′) A(t)H(t)−H(t)A(t)〉(2.21)

Các hàm tương quan có thể được tính hoặc bằng cách tích phân trực tiếp phương trình(2.21) kèm theo các điều kiện biên, hoặc gián tiếp bằng cách trước hết tính các hàmGreen từ phương trình (2.19). Cách thứ hai thường được sử dụng hơn vì người ta cóthể dùng các định lý về phổ của hàm Green để làm thỏa mãn các điều kiện biên.

63


2.1.3. Ứng dụng của hàm Green cho lý thuyết siêu dẫn và sắt từ

Hàm Green nhân quả đã sớm được Abrikosov và Gor’kov áp dụng cho lý thuyết siêudẫn trong các công trình được ấn bản vào những năm 1958-1959 [35, 3, 4]. Các hàmGreen trễ và hàm Green sớm [93] cũng đã được Zubarev dùng để mô tả siêu dẫn BCSdựa trên mô hình Hamiltonian như đề xuất của Bogolyubov. Bogolyubov và Tyablikov[17] đã áp dụng kỹ thuật này cho lý thuyết sắt từ Heisenberg đối với trường hợp tất cảspin có spin − 1

2 , và sau đó Tahir-Kheli and Ter Haar [84] mở rộng ra cho các trườnghợp có spin S = 1

2 , 1,32 , 2,

52 và 3. Năm 2013, Brhane và cộng sự [37] đã mô tả sự đồng

tồn tại của các pha siêu dẫn và sắt từ trong HoMo6S8 nhờ thiết lập các phương trìnhchuyển động cho hàm Green trễ...Trong phần này, chúng tôi sẽ đưa ra các ví dụ vềtính toán bằng cách sử dụng các hàm Green. Trong mục 2.1.3.1 chúng tôi tóm tắtcông trình của Zubarev [93] trên hệ siêu dẫn BCS sử dụng kỹ thuật hàm Green. Trongmục 2.1.3.2 chúng tôi mô tả công trình của Bogolyubov và Tyablikov [17] cho sắt từHeisenberg.

2.1.3.1. Áp dụng cho lý thuyết siêu dẫn

Người ta thường phát triển một lý thuyết vi mô về siêu dẫn bắt đầu từ mô hìnhHamiltonian BCS, trong đó sự tương tác electron-phonon được thay thế bằng mộttương tác electron-electron trực tiếp, và chỉ tính đến sự tương tác của các cặp cácelectron có mô men và spin đối song. Tương tác này được chỉ ra là tương tác cơ bảnchịu trách nhiệm cho hiện tượng siêu dẫn. Trong tài liệu tham khảo [16], lý thuyếtsiêu dẫn được phát triển bắt đầu từ Hamilton chính xác của Frohlich trong đó sự phátxạ và hấp thụ của các phonon mạng được tính đến một cách tường minh, khả năngthay thế Hamiltonian của Frohlich bởi một mô hình Hamiltonian [16] là đặc biệt đặttrên một cơ sở vững chắc và sự lựa chọn các thông số của nó đã được thực hiện chínhxác hơn. Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày vắn tắt công trình [93] mà Zubarev đãáp dụng các hàm Green sớm và hàm Green trễ cho siêu dẫn dựa trên một mô hìnhHamiltonian loại như trên.Hamiltonian được xem xét có dạng

H =∑f

Tfa†faf −

12V

∑f,f ′

J(f, f ′)a†fa†−fa−f ′af ′ (2.22)

trong đó f = (k, σ), −f = (−k,−σ), σ là chỉ số spin lấy hai giá trị +12 và −1

2 , k làxung lượng, Tf = k2/2m − µ, µ là thế hóa học, a†f và af là các toán tử sinh và hủyđiện tử thỏa mãn các hệ thức giao hoán tuân theo thống kê Fermi-Dirac. J(f, f ′) làhàm thực có các tính chất

J(f, f ′) = 12 J(k,k′)δσ−σ′ − J(k,−k′)δσ+σ′ (2.23)

64


Đưa vào hàm Green

Gf (t− t′) =⟨⟨af (t); a†f (t′)

⟩⟩;(η = −1), (2.24)

và viết phương trình chuyển động cho nó ta nhận được

idGf

dt= δ(t− t′) + TfGf −

1V

∑f ′J(f, f ′)

⟨⟨a†−fa−f ′af ′ ; a

†f (t′)

⟩⟩. (2.25)

Phương trình này cũng chứa cả hàm Green hai thời điểm mới

Γff ′(t− t′) =⟨⟨a†−f (t)a−f ′(t)af ′(t); a

†f (t′)

⟩⟩. (2.26)

Xây dựng phương trình chuyển động cho hàm Green mới này, bỏ qua tính chính xáctiệm cận trong phương trình này, và đồng thời thực hiện phép biến đổi Fourier chohai hàm Green Gf (t− t′) và Γff ′(t− t′), ta nhận được hệ phương trình cho Gf (E) vàΓff ′(E)

EGf = 12π + TfGf −

1V

∑f ′J(f, f ′)Γff ′

EΓff ′ = (2Tf ′ − Tf )Γff ′ −1V

∑g

J(f, g)⟨a†ga

†−ga−f ′af ′

⟩Gf

− 1V

∑g

J(f ′, g) (1− n−f ′ − nf ′) Γfg.

(2.27)

Nghiệm của phương trình (2.27) có thể được tìm dưới dạng

⟨a†ga

†−ga−f ′af ′

⟩=⟨a†ga

†−g

⟩〈a−f ′af ′〉 = AgAf ′ ;Γff ′ = ΓfAf ′ . (2.28)

Thực vậy, nếu chúng ta đặt

2Tf ′ +1− 2nf ′Af ′

Lf ′ = 0 (2.29)

và đưa vào ký hiệu

Lf = − 1V

∑g

J(f, g)Ag (2.30)

65


thì ta sẽ nhận được hệ phương trình cho Gf và Γf như sau

(E − Tf )Gf − LfΓf = 12π

(E + Tf ) Γf − LfGf = 0(2.31)

Giải tập hợp các phương trình (2.31) ta nhận được

Gf (E) = 14π

(1 + Tf

ωf

)1

E − ωf+(

1− Tfωf

)1

E + ωf

,

Γff ′(E) = 14πωf

Af ′Lf

1

E − ωf− 1E + ωf

(2.32)

trong đó

ωf =√T 2f + L2

f (2.33)

biểu diễn phổ các kích thích cơ bản,và

Af = − Lf2ωf

tanh ωf2θ (2.34)

Lf = − 1V

∑g

J(f, g) Lg2ωgtanh ωg2θ (2.35)

đóng vai trò hàm khe trong phổ các kích thích cơ bản.Ta cũng có thể dễ dàng tính được số chiếm trung bình và năng lượng trung bình nhưsau

nf = 12

1− Tf

ωftanh ωf2θ

(2.36)

〈H〉 = 12∑f

Tf

(1− Tf

ωftanh ωf2θ

)− 1

2∑f

L2f

2ωftanh ωf2θ (2.37)

66


2.1.3.2. Áp dụng cho lý thuyết sắt từ

Bogolyubov và Tyablikov [17] đã áp dụng các hàm Green sớm và hàm Green trễ chonhiệt động lực học của sắt từ. Sau đây chúng tôi sẽ trình bày vắn tắt theo các bài báocủa họ.Theo như mô hình Heisenberg, một tinh thể sắt từ trong từ trường có thể được mô tảbởi Hamiltonian được biểu diễn dưới dạng các toán tử spin

H = −µBH∑f

Szf −12∑f1f2α

J(f1 − f2)Sαf1Sαf2 (2.38)

trong đó Sαf là thành phần α của spin của điện tử nằm ở nút mạng f . J(f1 − f2) làtích phân trao đổi được giả thiết có giá trị dương. H là từ trường ngoài hướng theotrục z, và µB là Bohr magneton. Tổng được lấy theo tất cả các nút khác với f , vì thếcó thể đặt J(0) = 0. Ta giả sử thêm rằng mỗi nút mạng chỉ có một điện tử.Thay các toán tử spin bằng các toán tử Pauli

Sxf = bf + b†fSyf = i

(b†f − bf

)Szf = 1− 2b†fbf

(2.39)

các toán tử này tuân theo các hệ thức giao hoán

bfb†f + b†fbf = 1, b2

f =(b†f)2

= 0bfb†g − b†gbf = 0,

bfbg − bgbf = bfbg − bgbf = 0

nếu f 6= g

(2.40)

Các hệ thức giao hoán cho các toán tử Pauli này thuộc loại Fermi đối với các vị trímạng như nhau và thuộc loại Bose đối với các vị trí khác.Hamiltonian (2.38) trở thành

H = −N(µBH + J(0)

2

)+ (2µBH + 2J(0))

∑f

b†fbf

−∑f1f2

2J(f1 − f2)b†f1bf2 −∑f1f2

2J(f1 − f2)nf1nf2

(2.41)

trong đó J(0) = ∑f J(f), và N là số nút mạng tinh thể. Toán tử nf

nf = b†fbf (2.42)

67


là số điện tử với các spin bên trái tại nút f .Đưa vào các hàm Green (η = 1)

Gg,f (t− t′) =⟨⟨bg(t); b†f (t′)

⟩⟩,

Gg1g2,f (t− t′) =⟨⟨ng1(t)bg2(t); b†f (t′)

⟩⟩.

(2.43)

Lấy đạo hàm các hàm Green này theo thời gian và sử dụng các phương trình chuyểnđộng của các toán tử bg, ng ta nhận được phương trình chuyển động của các hàm GreenGg,f

idGg,f

dt= (1− 2n) δ(t− t′) + [2µBH + 2J(0)]Gg,f −

∑p

2J(g − p)Gp,f

+∑p

4J(g − p) (Ggp,f −Gpg,f )(2.44)

Tiếp theo ta giới hạn ở gần đúng bậc nhất, và tách chuỗi các phương trình Green nhưsau

Ggp,f (t− t′) =⟨⟨ng(t)bp(t); b†f (t′)

⟩⟩= 〈ng〉

⟨⟨bp(t); b†f (t′)

⟩⟩= ngGp,f (t− t′) (2.45)

khi đó phương trình (2.44) có dạng

idGg,f

dt= [2µBH + (1− 2n) 2J(0)]Gg,f −

∑p

(1− 2n) 2J(g − p)Gp,f

+ (1− 2n) δ(t− t′)δgf ,(2.46)

phương trình này không còn chứa hàm Green bậc cao hơn nữa.Thực hiện phép biến đổi Fourier đối với hàm Green

Gg,f (t) = +∞

−∞Gg,f (E)e−iEtdE, (2.47)

và viết lại phương trình (2.46) dưới dạng

EGg,f = 12π (1− 2n) δgf + [2µBH + (1− 2n) 2J(0)]Gg,f

−∑p

(1− 2n) 2J(g − p)Gp,f

(2.48)

68

2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm

Giải phương trình này ta nhận được hàm Green

Gq(E) = 12π

1− 2nE − Eq

(2.49)

trong đó Gq(E) là ảnh Fourier của Gg,f (E)

Gg,f (E) = 1N

∑qei(g−f)qGq(E), (2.50)

và

Eq = 2µBH + (1− 2n) 2 (J(0)− J(q)) ,J(q) =

∑fJ(f)eifq. (2.51)

Từ đây ta cũng nhận được hàm tương quan và

⟨b†f (t′), bg(t)

⟩= 1N

∑qei(g−f)qe−iEq(t−t′) 1− 2n

eEqθ − 1

(2.52)

từ phương trình này ta có thể xác định tham số độ từ hóa σ

σ =⟨Szg⟩

= 1− 2n, (2.53)

thỏa mãn phương trình

1σ

= v

(2π)3

coth 1 + σ (1− i(q))

τdq (2.54)

trong đó h, τ, i(q) tương ứng là từ trường, nhiệt độ, tích phân trao đổi không thứnguyên được xác định như sau

h = µBH

J(0) ,τ = θ

J(0) , i(q) = J(q)J(0) . (2.55)

2.2. Phương pháp tích phân phiếm hàm

Phương pháp tích phân phiếm hàm đã được áp dụng rộng rãi trong vật lý lý thuyếttrong những thập niên gần đây. Phương pháp này được xây dựng trên khái niệm tíchphân theo các quỹ đạo mà Feynman đưa vào vật lý để phát biểu lại cơ học lượng tử

69


bằng ngôn ngữ quen thuộc hơn. Sau đó nó đã được sử dụng trong vật lý thống kê vàcuối cùng cho lý thuyết trường lượng tử. Nó có một loạt tính chất ưu việt hơn cácphương pháp khác như: sự tổng quát, thuận tiện cho những lớp rộng rãi các hệ, baogồm cả những hệ không chính tắc, lượng tử hóa các trường vật lý phức tạp. Các quytắc về kỹ thuật giản đồ Feynman đã được phát triển trong điện động lực học lượng tửđầu tiên dựa trên tích phân quỹ đạo. Ưu việt của nó ở chỗ nó cho phép thiết lập sựtổng quát của lý thuyết trường và vật lý thống kê lượng tử, cùng với việc sử dụng cácphương pháp tính toán vượt ra khỏi lý thuyết nhiễu loạn thông thường. Điều này chophép khả năng nghiên cứu các cấu trúc phức tạp của cả hai lý thuyết trên và đặc biệtlà các lý thuyết trường chuẩn trong việc mô tả tương tác của các hạt cơ bản.Trong mục này chúng tôi có hai mục tiêu:(i) Tính hàm phân bố của hệ. Động cơ là chỉ ra rằng các trung bình lượng tử của cáchệ nhiều hạt trong cân bằng nhiệt động có thể được tính bằng cách sử dụng tích phânphiếm hàm theo các cấu hình trường.(ii) Thực hiện phép biến đổi HS-để cung cấp một hình thức luận nghiêm khắc, chặtchẽ ở đó lý thuyết hiện tượng luận GL có thể được liên hệ với một lý thuyết vi mô cơbản.

2.2.1. Biến số Grassmann

Theo đòi hỏi của thống kê Fermi-Dirac tích phân phiếm hàm cho các hệ fermion phảichứa các hàm phản giao hoán. Để phù hợp với đặc điểm này ta cần thiết phải đưa vàocác biến phản giao hoán gọi là các biến số Grassmann. Đại số Grassmann được xâydựng bằng một tập hợp các hàm sinh, ký hiệu là ψα với α = 1, . . . , n, phản giaohoán

ψαψβ + ψβψα = 0, (2.56)

đặc biệt

ψ2α = 0 (2.57)

Cơ sở của đại số Grassmann được tạo ra bởi tất cả các tích khác nhau của các hàmsinh Vì một số trong đại số Grassmann là một tổ hợp tuyến tính với các hệ số phức củacác số 1, ψα1 , ψα1ψα2 , . . . , ψα1ψα2 · · ·ψαn trong đó quy ước rằng các chỉ số αi đượcxắp thứ tự α1 < α2 < . . . < αn. Số chiều của một đại số Grassmann với n hàm sinh là2n bởi vì các phần tử cơ sở khác nhau được sinh ra bởi hai khả năng bao gồm 0 hoặc1 lần xuất hiện trong mỗi tích n hàm sinh. Vì vậy, một biểu diễn ma trận của các sốGrassmann đòi hỏi các ma trận có tối thiểu 2n × 2n chiều. Trong một đại số với mộtsố chẵn n = 2p các hàm sinh, có thể định nghĩa một sự liên hợp các toán tử theo cách

70


sau. Chọn một tập hợp p hàm sinh ψα và với mỗi hàm sinh ψα ta liên hợp với nó mộthàm sinh, ký hiệu là ψ∗α, các tính chất sau xác định sự liên hợp:

(ψα)∗ = ψ∗α; (ψ∗α)∗ = ψα, (2.58)

nếu λ là một số phức thì

(λψα)∗ = λ∗ψ∗α, (2.59)

và với tích bất kỳ các hàm sinh

(ψα1ψα2 · · ·ψαn)∗ = ψ∗αnψ∗αn−1 · · ·ψ

∗α1 . (2.60)

Phép lấy đạo hàm theo biến Grassmann được định nghĩa đồng nhất với phép đạo hàmtheo biến số phức ngoại trừ thứ tự lấy đạo hàm. Toán tử đạo hàm ∂ψ tác dụng lên ψphải là phản giao hoán đến tận khi nó sát với ψ, chẳng hạn

∂

∂ψ(ψ∗ψ) = −ψ∗ ∂

∂ψ(ψ) = −ψ∗ (2.61)

Phép lấy tích phân theo các biến Grassmann được định nghĩa là một phép ánh xạtuyến tính có các tính chất cơ bản của tích phân thông thường khi các hàm triệt tiêuở vô cùng là: tích phân của một vi phân chính xác thì bằng không. Điều này kéo theotích phân của 1 bằng 0, vì 1 là đạo hàm của ψ. Chỉ có tích phân của ψ là không triệttiêu vì ψ không là một đạo hàm,

dψ1 = 0;

dψψ = 1 (2.62)

Dễ dàng chứng minh được tích phân Gaussian cho các biến Grassmann được cho bởibiểu thức

dψ∗dψe−ψ∗Aψ = detA (2.63)

trong đó A là một ma trận Hecmit.

71


2.2.2. Hamiltonian và hình thức luận

Trong hình thức luận tích phân phiếm hàm, hàm phân bố của hệ nhiều hạt tại nhiệtđộ tuyệt đối T có dạng tổng quát:

Z = Tr exp −β [H − µN ]

=

[Dψ][Dψ

]exp

− β

0dτL

[ψ, ψ, τ

],

(2.64)

trong đó L[ψ, ψ, τ

]là Lagrangian được cho bởi

L[ψ, ψ, τ

]=L0

[ψ, ψ, τ

]+ Lint

[ψ, ψ, τ

], (2.65)

với

L0[ψ, ψ, τ

]=

dx∑σ

ψσ(x, τ)[∂

∂τ− ∇2

2m − µ]ψσ(x, τ) (2.66)

và

Lint[ψ, ψ, τ

]=∑αβγδ

dy

dz ψα(y, τ)ψβ(z, τ)Vαβγδ(y− z)ψδ(z, τ)ψγ(y, τ) (2.67)

lần lượt là Lagrangian tự do và Lagrangian tương tác, còn β = 1kBT

, τ là thời gian ảocó giá trị từ 0 đến β, µ là thế hóa học.Gọi F0 là hàm phân bố của hệ fermions tự do, ta có

F0 =DψDψ exp

−β

0

dτL0[ψ, ψ, τ

]=DψDψ exp

−β

0

dτ

dx∑σ

ψσ(x, τ)[∂

∂τ− ∇2

2m − µ]ψσ(x, τ)

(2.68)

Đưa vào các kí hiệu

x, τ −→ x; x′, τ ′ −→ x′

β

0

dτ

dx −→

dx;β

0

dτ ′

dx′ −→

dx′

δ(x− x′)δ(τ − τ ′) −→δ(x− x′)G(x− x′, τ − τ ′) −→G(x− x′),

(2.69)

72


hàm phân bố của hệ fermion tự do (2.68) được viết lại như sau

F0 =DψDψ exp

−

dx∑σ

ψσ(x)[∂

∂τ− ∇2

2m − µ]ψσ(x)

. (2.70)

Đưa vào phiếm hàm sinh

F0 [η, η] =DψDψ exp

−

dx∑σ

ψσ(x)[∂

∂τ− ∇2

2m − µ]ψσ(x)

× exp[

dx∑σ

(ψσ(x)ησ(x) + ησ(x)ψσ(x)

)],

(2.71)

và gọi Gσσ′(x− x′) là nghiệm của phương trình

[∂

∂τ− ∇2

2m − µ]Gσσ′(x− x′) = δσσ′δ(x− x′), (2.72)

tịnh tiến các biến tích phân của phiếm hàm (2.71)

ψσ(x) −→ ψσ(x)−dx′Gσσ′(x− x′)ησ′(x′)

ψσ(x) −→ ψσ(x)−dx′ ησ′(x′)Gσ′σ(x′ − x), (2.73)

[ψσ(x)−

dx′ ησ′(x′)Gσ′σ(x′ − x)

](∂

∂τ− ∇2

2m − µ)

×[ψσ(x)−

dx′′Gσσ′′(x− x′′)ησ′′(x′′)

]

= ψσ(x)(∂

∂τ− ∇2

2m − µ)ψσ(x)−

dx′ ησ′(x′)Gσ′σ(x′ − x)

(∂

∂τ− ∇2

2m − µ)ψσ(x)

− ψσ(x)(∂

∂τ− ∇2

2m − µ)

dx′′Gσσ′′(x− x′′)ησ′′(x′′)

+

dx′ ησ′(x′)Gσ′σ(x′ − x)(∂

∂τ− ∇2

2m − µ)

dx′′Gσσ′′(x− x′′)ησ′′(x′′)

= ψσ(x)(∂

∂τ− ∇2

2m − µ)ψσ(x)− ησ(x)ψσ(x)− ψσ(x)ησ(x)

+

dx′ ησ′(x′)Gσ′σ(x′ − x)ησ(x),

(2.74)

73


ta nhận được

F0 =DψDψ exp

−

dx∑σ

ψσ(x)[∂

∂τ− ∇2

2m − µ]ψσ(x)

× exp

dx∑σ


)

× exp−

dx

dx′∑σσ′

ησ′(x′)Gσ′σ(x′ − x)ησ(x) (2.75)

Từ (2.75) và (2.71) ta có thể viết

F0 [η, η] = F0 exp

dx

dx′∑σσ′

ησ(x)Gσσ′(x− x′)ησ′(x′). (2.76)

Hàm phân bố của hệ fermion có tương tác khi đó được biểu diễn qua phiếm hàm sinhcủa hệ fermion tự do như sau

Z = exp

−β

0

Hint

[δ

δηβ(x) ,δ

δηα(x)

]dτ

F0 [η, η] |η=η=0 (2.77)

2.2.3. Áp dụng cho hệ siêu dẫn BCS

Nhằm chỉ ra phương pháp chung để liên hệ lý thuyết GL với một lý thuyết vi mô cơbản, trong mục này chúng tôi mô tả một số tính toán chi tiết của chính các tác giảbằng công cụ tích phân phiếm hàm trên mô hình siêu dẫn BCS.Đối với hệ siêu dẫn BCS, Hamiltonian của hệ cho bởi

H = H0 +H1

H0 =∑

σ=↑↓

dxψ†σ (x)

(−∇2

2m − µ)ψσ (x)

H1 = −g2∑αβ

dydzψ†α (y)ψ†β (z)ψβ (z)ψα (y)

(2.78)

trong đó g2 là một hằng số tương tác dương (tương tác hút) giữa các điện tử có spinhướng lên (↑) và hướng xuống (↓) còn µ là thế hóa học.

74


Hàm phân bố của hệ siêu dẫn là

Z =DψDψ exp

−β

0

dτL0[ψ, ψ, τ

]× exp

g2∑αβ

β

0

dτ

dy

dz ψα(y, τ)ψβ(z, τ)ψβ(z, τ)ψα(y, τ)

.(2.79)

Đưa vào trường phụ vô hướng phức Φβα(z,y, τ),Φ∗αβ(y, z, τ) phản đối xứng dưới sựhoán vị đồng thời các tọa độ không gian và các chỉ số spin

Φβα(z,y, τ) =− Φαβ(y, z, τ),Φ∗αβ(y, z, τ) =− Φ∗βα(z,y, τ),

(2.80)

và đặt

ZΦ0 =

DΦDΦ∗ exp[−κ2

β

0

dτ

dy

dz∑αβ

Φ∗αβ(y, z, τ)Φβα(z,y, τ)] (2.81)

trong đó κ là hằng số có thứ nguyên của khối lượng được đưa vào để có thứ nguyênđúng với Φ, dĩ nhiên kết quả vật lý sẽ không phụ thuộc vào κ.Trong phiếm hàm (2.81) thực hiện phép dịch chuyển các biến tích phân

κΦβα(z,y, τ) −→ κΦβα(z,y, τ)− gψβ(z, τ)ψα(y, τ)κΦ∗αβ(x,y, τ) −→ κΦ∗αβ(x,y, τ)− gψα(y, τ)ψβ(z, τ), (2.82)

Dưới sự trợ giúp của phép biến đổi HS, tương tác 4-fermion có thể được biểu diễn dướidạng trường phụ liên hợp của cặp fermion như sau

exp

−β

0

dτH1(ψ, ψ)

= 1ZΦ

0

DΦDΦ∗ exp

−κ2

dτ

dy

dz∑αβ

Φ∗αβ(y, z, τ)Φβα(z,y, τ)

× exp

gκ∑αβ

β

0

dτ

dy

dz[ψα(y, τ)ψβ(z, τ)Φβα(z,y, τ)

+ Φ∗αβ(y, z, τ)ψβ(z, τ)ψα(y, τ)]

(2.83)

75


Hàm phân bố (2.79) trở thành

Z = 1ZΦ

0

DΦDΦ∗ exp

−κ2

dτ

dy

dz∑αβ


×DψDψ exp

−β

0

dτL0[ψ, ψ, τ

]× exp

gκ∑αβ

β

0

dτ

dy

dz

ψα(y, τ)ψβ(z, τ)Φβα(z,y, τ)

+ Φ∗αβ(y, z, τ)ψβ(z, τ)ψα(y, τ)

= 1ZΦ

0

DΦDΦ∗F [Φ,Φ∗]

× exp−κ2

dτ

dy

dz∑αβ

Φ∗αβ(y, z, τ)Φβα(z,y, τ) ,

(2.84)

trong đó

F [Φ,Φ∗]

=DψDψ exp

−β

0

dτL0[ψ, ψ, τ

]× exp

gκ∑αβ

β

0

dτ

dy

dz


+ Φ∗αβ(y, z, τ)ψβ(z, τ)ψα(y, τ) (2.85)

Biểu thức này mô tả hệ fermion hiệu dụng bậc hai kết cặp với các trường phụ đượcđưa vào bởi phép biến đổi HS. Các trường phụ mới thỏa mãn điều kiện

Φαβ(y, z, τ) = gψα(y, τ)ψβ(z, τ), (2.86)

và tuân theo tính chất hermitan

Φαβ(y, z, τ)∗ = Φ∗βα(z,y, τ). (2.87)

76


Bởi vì

δ

δηα(y) exp

dx∑σ


)

= ψα(y) exp

dx∑σ


) (2.88)

δ

δηα(y) exp

dx∑σ


)

= −ψα(y) exp

dx∑σ


) (2.89)

δ2

δηβ(z)δηα(y) exp

dx∑σ


)

= −ψσ(y)ψβ(z) exp

dx∑σ


) (2.90)

δ2


dx∑σ


)

= −ψα(y)ψβ(z) exp

dx∑σ


) (2.91)

cho nên nếu thực hiện sự thay thế

ψα(y)ψβ(z) −→− δ2

δηβ(z)δηα(y)


δηβ(z)δηα(y)

(2.92)

77


ta có thể viết lại (2.85) như sau:

F [Φ,Φ∗]

=DψDψ exp

−

dx∑σ

ψσ(x)[∂

∂τ− ∇2

2m − µ]ψσ(x)

× exp

gκ∑αβ

dy

dz[ψα(y)ψβ(z)Φβα(z, y) + Φ∗αβ(y, z)ψβ(z)ψα(y)

]= exp

gκ∑αβ

dy

dz[− δ2

δηβ(z)δηα(y)Φβα(z, y)

− Φ∗αβ(y, z) δ2

δηβ(z)δηα(y)

]F0 [η, η]∣∣∣∣η=η=0

= F0 exp

−gκ∑αβ

dy

dz[

δ2

δηβ(z)δηα(y)Φβα(z, y) + Φ∗αβ(y, z) δ2

δηβ(z)δηα(y)

]× exp

dx

dx′

∑σσ′

ησ(x)Gσσ′(x− x′)ησ′(x′) ∣∣∣∣

η=η=0

(2.93)

Trong khai triển hàm mũ chứa Φ,Φ∗ của biểu thức (2.93) các số hạng bậc m của nócó dạng (a+ b)m, sau khi các phép lấy đạo hàm được thực hiện ta đặt η = η = 0 thìtrong (2.93) chỉ còn lại các số hạng bậc chẵn chứa số bằng nhau các hàm Φ và Φ∗

F [Φ,Φ∗] =F0

∞∑n=0

(gκ)2n 1(2n)!

(2n)!n!n!

∑αβ

dy

dzΦ∗βα(z, y) δ2

δηα(y)δηβ(z)

n

×

∑α′β′

dy′

dz′ δ2

δηβ′(z′)δηα′(y′)Φα′β′(z′, y′)

n

× exp

dx

dx′∑σσ′

ησ(x)Gσσ′(x− x′)ησ′(x′) ∣∣∣∣

η=η=0

(2.94)

Vì các chỉ số tọa độ và spin đều biến thiên theo cùng một quy luật nên để đơn giảncách viết ta chỉ viết theo chỉ số spin và quy ước khi một chỉ số được lặp lại hai lầntrong một biểu thức tích thì có nghĩa là lấy tổng theo chỉ số đó, khi đó một số bậc đầutiên (xem chi tiết trong phụ lục A) của (2.94) là:

F (2) = 2F0(gκ)2(Φ∗GΦGT

)= F0(2gκ)2

(12Φ∗GΦGT

),

(2.95)

78


F (4) = 2F0(gκ)4(

Φ∗GΦGT)2− 2

(Φ∗GΦGTΦ∗GΦGT

)

= F0(2gκ)4

12!

(12Φ∗GΦGT

)2+(−1

4Φ∗GΦGTΦ∗GΦGT)

,

(2.96)

F (6) =F0(gκ)6 13!3!

48(Φ∗GΦGT

)3− 288

(Φ∗GΦGT

) (Φ∗GΦGTΦ∗GΦGT

)+ 384

(Φ∗GΦGTΦ∗GΦGTΦ∗GΦGT

)

=F0(2gκ)6

13!

(12Φ∗GΦGT

)3+(1

2Φ∗GΦGT)(−1


+(1

6Φ∗GΦGTΦ∗GΦGTΦ∗GΦGT)

,

(2.97)

F (8) = F0(2gκ)8

14!

(12Φ∗GΦGT

)4+ 1

2

(12Φ∗GΦGT

)2 (−1


+ 12

(−1

4Φ∗GΦGTΦ∗GΦGT)2

+(1

2Φ∗GΦGT)(1


+(−1

8Φ∗GΦGTΦ∗GΦGTΦ∗GΦGTΦ∗GΦGT)

(2.98)

Lưu ý rằng:

1 +∞∑n=1F (2n) =F0 exp

12(2gκ)2

(Φ∗GΦGT

)− 1

4(2gκ)4(Φ∗GΦGTΦ∗GΦGT

)+ 1

6(2gκ)6(Φ∗GΦGTΦ∗GΦGTΦ∗GΦGT

)− 1

8(2gκ)8(Φ∗GΦGTΦ∗GΦGTΦ∗GΦGTΦ∗GΦGT

)+ · · ·

,

(2.99)

ta nhận được kết quả:

F [Φ,Φ∗] =F0 exp

12Tr ln

[1 + (2gκ)2

(Φ∗GΦGT

)](2.100)

79


Như vậy hệ hiệu dụng bậc hai F [Φ,Φ∗] ở trên có thể được tính một cách chính xácbằng phương pháp tích phân phiếm hàm theo các biến Grassmann của các điện tử vàcó thể biểu diễn dưới dạng hình thức như (2.100).Bây giờ đưa vào một hàm nguồn cho trường Φ có dạng

Z [j, j∗]

= 1ZΦ

0

DψDψDΦDΦ∗ exp

−β

0

dτL0[ψ, ψ, τ

]× exp

−κ2

dτ

dx

dy∑αβ


× exp

gκ∑αβ

β

0

dτ

dy

dz[ψα(y, τ)ψβ(z, τ)Φβα(z,y, τ)

+ Φ∗αβ(y, z, τ)ψβ(z, τ)ψα(y, τ)]

× exp

gκ∑αβ

β

0

dτ

dy

dz[j∗αβ(y, z, τ)Φβα(z,y, τ)

+ Φ∗αβ(y, z, τ)jβα(y,x, τ)]

(2.101)

Hàm phân bố bây giờ là

Z = Z [j, j∗]∣∣∣j=j∗=0

(2.102)

Đặt (2.85) vào (2.101), ta có

Z [j, j∗]

= 1ZΦ

0

DΦDΦ∗F [Φ,Φ∗] exp

−κ2

dτ

dy

dz∑αβ


× exp

gκ∑αβ

β

0

dτ

dy

dz[j∗αβ(y, z, τ)Φβα(z,y, τ) + Φ∗αβ(y, z, τ) jβα(z,y, τ)

](2.103)

80


Lại đặt (2.100) vào (2.103), và áp dụng công thức tính tích phân Gaussian ta có

Z [j, j∗] = F0

ZΦ0

DΦDΦ∗ exp

12Tr ln

[1 + (2gκ)2

(Φ∗GΦGT

)]

exp−κ2Φ∗Φ + gκ [j∗Φ + Φ∗j]

= F0

ZΦ0

DΦDΦ∗ exp

12Tr ln

[1 + (2gκ)2

(δ

δjG

δ

δj∗GT

)]

exp−κ2Φ∗Φ + gκ [j∗Φ + Φ∗j]

= F0

ZΦ0

exp

12Tr ln

[1 + (2gκ)2

(δ

δjG

δ

δj∗GT

)]DΦDΦ∗ exp

−κ2Φ∗Φ + gκ [j∗Φ + Φ∗j]

= F0

ZΦ0

exp

12Tr ln

[1 + (2gκ)2

(δ

δjG

δ

δj∗GT

)]exp

g2j∗j

(2.104)

Để tính hàm nguồn Z [j, j∗] ta viết nó dưới dạng

Z [j, j∗]

= F0

ZΦ0

exp

12Tr ln

[1 + χ2

(δ

δjG

δ

δj∗GT

)]exp

g2j∗j

= F0

ZΦ0

exp

12χ

2(G

δ

δj∗GT δ

δj

)− 1

4(χ2)2(G

δ

δj∗GT δ

δjG

δ

δj∗GT δ

δj

)

+ 16(χ2)3

(G

δ

δj∗GT δ

δjG

δ

δj∗GT δ

δjG

δ

δj∗GT δ

δj

)+ · · ·

exp

g2j∗V j

= F0

ZΦ0

exp ∞∑n=1

12n(−1)n−1(χ2)nG δ

δj∗GT δ

δj· · ·G δ

δj∗GT δ

δj︸︷︷︸An

exp

g2j∗V j

= F0

ZΦ0

∞∑N=0Z(N)

[δ

δj∗,δ

δj

]exp

g2j∗V j

=

∞∑N=0ZN [j, j∗] .

(2.105)

Có thể chứng minh (để chi tiết xem phụ lục B) được số hạng đạo hàm bậc thứ N theo

81


cặp(

δδj∗, δδj

)có dạng sau

Z(N)[δ

δj∗,δ

δj

]

= AN + 12! (Aq1Aq2) + 1

3! (Aq1Aq2Aq3) + · · ·+ 1m!

Aq1 · · ·Aqm︸︷︷︸m

+ · · ·+ 1N ! A1 · · ·A1︸︷︷︸

N

=N∑m=1

1m!

∑P

∏i

1ki!

(Aqi)ki

=

N∑m=1

1m!

∑P

∏i

1ki!

(Ωqi)kiδλ1σ1 . . . δλ2N−1σ2N−1

×

δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1

· · · δ

δj∗σ′2N−1σ

′2N

δ

δjσ2Nλ2N−1

(2.106)

trong đó ∑ qiki = N,∑ki = m, P là số hoán vị có thể có của các Aqi trong tích.

Và khi đó (để chi tiết xem phụ lục C) tác dụng của số hạng đạo hàm bậc thứ N theocặp

(δδj∗, δδj

)lên hàm mũ exp

g2jα1α2Vα1α2α

′1α′2j∗α′1α′2

có kết quả là

δ

δj∗σ′2N−1σ

′2N

δ

δjσ2Nλ2N−1

· · · δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1

expg2jα1α2Vα1α2α

′1α′2j∗α′1α′2

=

1N !

∑P(β′1···β′N)

∑P (α1···αN )

(g2V

)αNβ

′N

· · ·(g2V

)α1β′1

+ 1N ! ×N

∑P(β′1···β′N)

∑P (α1···αN )

(g2V

)αNβ

′N

· · ·(g2V

)α2β′2

(g2V j∗

)α1

(g2j V

)β′1

+ · · ·

+ 1N !

N

(N − 1)!∑

P(β′1···β′4)

∑P (α1···α4)

(g2V

)αNβ

′N

×(g2V j∗

)αN−1

(g2j V

)β′N−1· · ·

(g2V j∗

)α1

(g2j V

)β′1

+ 1N ! ×

1N !

∑P(β′1···β′4)

∑P (α1···α4)

(g2V j∗

)αN

(g2j V

)β′N· · ·

(g2V j∗

)α1

(g2j V

)β′1

× exp

g2jα1α2Vα1α2α

′1α′2j∗α′1α′2

82


= ∆N(γ1 · · · γN , α1 · · ·αN)

1N !

(g2V

)N+ · · ·

+ 1(N − k)!

(g2V

)N−k ( 1k!

)2 [(g2V j∗

) (g2jV

)]k+ · · ·

+( 1N !

)2 [(g2V j∗

) (g2jV

)]N ×∆N(γ′1 · · · γ′N , β′1 · · · β′N) exp

g2jα1α2Vα1α2α

′1α′2j∗α′1α′2

= ∆N

N∑k=0

1(N − k)!

(g2V

)N−k ( 1k!

)2 [(g2V j∗

) (g2jV

)]k ∆N

× expg2jα1α2Vα1α2α

′1α′2j∗α′1α′2

(2.107)

Đặt (2.107) và (2.106) vào trong (2.105) ta có

ZN [j, j∗]

= F0

ZΦ0

N∑m=1

1m!

∑P

∏i

1ki!

(Ωqi)ki× δλ1σ1 . . . δλ2N−1σ2N−1 ×∆N(γ1 · · · γN , α1 · · ·αN)

×

N∑k=0

1(N − k)!

(g2V

)N−k ( 1k!

)2 [(g2V j∗

) (g2jV

)]k ∆N(γ′1 · · · γ′N , β′1 · · · β′N)


′1α′2j∗α′1α′2

(2.108)

trong đó

∆N(γ1 · · · γN , α1 · · ·αN) =∑

P (α1···αN )δγ1α1 . . . δγNαN

∆N(γ′1 · · · γ′N , β′1 · · · β′N) =∑

P(β′1···β′N)δγ′1β′1 . . . δγ′Nβ′N

(2.109)

và

σ2nσ2n−1 ≡βnσ′2nσ

′2n−1 ≡β′n

(2.110)

83


Thay σ2nλ2n−1 ≡ αn rồi thực hiện tính toán ta được

δλ1σ1 . . . δλ2N−1σ2N−1 ×∆N(γ1 · · · γN , α1 · · ·αN)=δλ1σ1 . . . δλ2N−1σ2N−1

∑P (α1···αN )

δγ1α1 . . . δγNαN

=δλ1σ1 . . . δλ2N−1σ2N−1

∑P (σ2λ1,···σ2Nλ2N−1)

δγ1(σ2λ1) · · · δγN (σ2Nλ2N−1)

=∑

P (σ2σ1···σ2Nσ2N−1)δγ1(σ2σ1) · · · δγN (σ2Nσ2N−1)

=∑

P (β1···βN )δγ1β1 · · · δγNβN

=∆N(γ1 · · · γN , β1 · · · βN).

(2.111)

Vậy khai triển bậc N đầy đủ của Z [j, j∗] trong biểu thức (2.105) có dạng

ZN [j, j∗]

= F0

ZΦ0

N∑m=1

1m!

∑P

∏i

1ki!

(Ωqi)ki×∆N(γ1 · · · γN , β1 · · · βN)

×

N∑k=0

1(N − k)!

(g2V

)N−k ( 1k!

)2 [(g2V j∗

) (g2jV

)]k ∆N(γ′1 · · · γ′N , β′1 · · · β′N)


′1α′2j∗α′1α′2

(2.112)

2.2.4. Phiếm hàm Ginzburg-Landau một thành phần

Từ (2.84) và (2.100) suy ra tác dụng hiệu dụng bằng

Seff

=

dτ

dy

dz12Tr

∞∑n=1

(−1)n−1

n

[(2gκ)2

(Φ∗GΦGT

)]n−

dτ

dy

dz∑αβ

κ2 |Φαβ|2(2.113)

Bậc hai của tác dụng hiệu dụng được cho bởi

S2 [Φ∗,Φ] =

dτ

dy

dz12Tr

[(2gκ)2

(Φ∗GΦGT

)]−

dτ

dy

dz∑αβ

κ2 |Φαβ|2

84


(2.114)

Trong không gian xung lượng, biểu thức này được viết lại dưới dạng

S2 [Φ∗,Φ] = 2g2κ2 T

V

∑q,ων

Φ∗(q,ων)L(q,ων)Φ(−q,− ων) (2.115)

với

L(q,ων) = T

VGα1σ1σ1(k, ωn)Gα2

σ2σ2(k− q, ωn − ων)−1

2g2

= T

V

∑k,ωn

1iωn − εk

.1

i(ωn − ων) + εk−q− 1

2g2

= 1V

∑k

1εk−q + εk − iων

[1

exp(βεk) + 1 −1

exp(−βεk−q) + 1

]− 1

2g2

= 12

1V

∑k

1εk−q + εk − iων

[tanh

(εk

2T

)+ tanh

(εk−q

2T

)]− 1

2g2

(2.116)

Tại q = 0, ων = 0 ta có

L(0, 0) = 12

1V

∑k

1εk

tanh(εk

2T

)− 1

2g2

≈ N(0) ∞

0

dε

εtanh

(ε

2T

)− 1

2g2 .

(2.117)

ở đây từ dòng thứ nhất sang dòng thứ hai ta đã sử dụng gần đúng

1V

∑k· · · →

d3k

(2π)3 · · · =4π

(2π)3

k2dk ≈ N(0)

dε (2.118)

với

N(0) = mkF2π2 = 3n

4µ . (2.119)

Lưu ý rằng nhiệt độ Fermi TF = mk2F/2mkB trong hầu hết các vật liệu ở quanh mức

10000K. Tích phân theo ε hội tụ theo hàm số logarith. Tuy nhiên, đây lại là một đặcđiểm không có ý nghĩa vật lý của gần đúng cục bộ của tương tác giả định giữa các điệntử. Như ta đã lập luận ở trên, tương tác hút giữa các điện tử được gây ra bởi trao đổi

85


phonon. Tuy nhiên phonon có các tần số hầu hết ở bậc của tần số Debeye ωD, một đạilượng được coi như một ngưỡng trong tất cả các tích phân năng lượng

dε, giới hạn

chúng trong một khoảng ε ∈ (0, ωD) , được gây ra bởi cấu trúc mạng của hệ. Nhiệt độTD = ~ωD/kB vào bậc 1000K và vì vậy là khá lớn khi so sánh với nhiệt độ đặc trưngmà ở đó tính siêu dẫn được thiết lập. Nhưng bởi vì nó là một bậc nhỏ hơn bậc củaTF , nên tương tác hút giữa các điện tử chỉ có hiệu lực giữa các trạng thái trong phạmvi một lớp mỏng lân cận bề mặt của khối cầu Fermi. Với ngưỡng ωD, phương trình(2.117) mang lại

L(0, 0) ≈ N(0) ∞

0

dε

εtanh

(ε

2T

)− 1

2g2

= N(0) log(ωDT

2eγ

π

)− 1

2g2 ,

(2.120)

trong đó γ là hằng số Euler

γ = 0.577 . (2.121)

Biểu thức L(0, 0) trong (2.120) triệt tiêu ở nhiệt độ tới hạn được xác định bởi

Tc = 2eγ

πωD.e

−1/N(0)2g2 = 1.13ωD.e−1/N(0)2g2. (2.122)

Theo Tc, phương trình (2.120) có thể viết lại dưới dạng

L(0, 0) = N(0) log(TcT

)= N(0)

(1− T

Tc

)(2.123)

Nếu hệ đủ gần nhiệt độ tới hạn thì tất cả các số hạng tương tác bậc cao ngoại trừS4 [Φ∗,Φ] đều trở nên không thích đáng. Và trong S4 chỉ có đóng góp không phụ thuộcvào xung lượng, tần số là quan trọng. Biểu thức của số hạng bậc bốn là

S4 [Φ∗,Φ] = −

dτ

dy

dz14Tr

[(2gκ)4


)](2.124)

86


Trong không gian xung lượng, biểu thức này có dạng

S4 [Φ∗,Φ]

= −14(2gκ)4T

∑σi=↑,↓

∑ωn, ωνi

k,q

Gσ1σ1(k, ωn)Φσ1σ2(q1, ων1)

×GTσ2σ2(k− q1, ωn − ων1)Φ∗σ2σ3(q2, ων2)

×Gσ3σ3(k− q1 − q2, ωn − ων1 − ων2)Φσ1σ2(q3, ων3)×GT

σ4σ4(k− q1 − q2 − q3, ωn − ων1 − ων2 − ων3)× Φ∗σ4σ1(−q1 − q2 − q3,−ων1 − ων2 − ων3)

= −A4 (2gκ)4 ∑σi=↑,↓

|Φσ1σ2(0, 0)|4

(2.125)

Hệ số A có thể được tính như sau

A = T∑ωn,k

Gσ1σ1(k, ωn)GTσ2σ2(k, ωn)Gσ3σ3(k, ωn)GT

σ4σ4(k, ωn)

= T∑ωn,k

1(ω2

n + ε2(k))2 ≈ N(0)T∑ωn

dε

1(ω2

n + ε2)2

= N(0)π2T∑ωn

1|ωn|3

= N(0) 7ζ(3)8 (πT )2 = 6N(0) ε

20v2F

≈ 10−3 k3F

TFT 2 .

(2.126)

Khai triển tác dụng hiệu dụng theo theo các trường phụ Φ tới bậc bốn đủ để nhậnđược các kết quả có ý nghĩa vật lý. Các tính toán tường minh ở trên chỉ ra rằng vớiΦ không phụ thuộc vào không gian và thời gian ta nhận được ở gần nhiệt độ tới hạnmột mật độ năng lượng tự do GL cho siêu dẫn như sau

fL = α(T ) |Φ|2 + β(T ) |Φ|4 (2.127)

với

α(T ) ' 2g2κ2N(0)(T

Tc− 1

). (2.128)

β(T ) = (gκ)4N(0) 7ζ(3)2 (πT )2 (2.129)

87

2.3 Thảo luận

2.3. Thảo luận

Chúng tôi kết thúc chương này bằng cách đưa ra một vài nhận xét so sánh tính hữuích của các phương pháp khác nhau. Trong các phương pháp hàm Green, kỹ thuậtgiản đồ chắc chắn là rất mạnh mẽ. Nó cho phép người ta thực hiện các xấp xỉ khá tốttrong đó người ta chọn một lớp giản đồ nhất định và tính tổng chúng, thường cho tấtcả các bậc trong lý thuyết nhiễu loạn. Đôi khi nó cũng cho thấy được một ý tưởng sơbộ về tầm quan trọng của các số hạng mà người ta đã bỏ qua. Và, bằng cách xem xétcác tính chất giải tích của tất cả các giản đồ, người ta có thể chứng minh một hoặchai kết quả chính xác cho tất cả các bậc của lý thuyết nhiễu loạn. Tuy nhiên, có mộtkhó khăn rất quan trọng đó là chúng ta không biết chúng ta có thể tin tưởng vào lýthuyết nhiễu loạn đến mức nào. Như đã thấy trong tài liệu tham khảo [66], các tác giảđã thực hiện rất nhiều liên kết với các số hạng trong khai triển nhiễu loạn, và chúngta không nên làm điều này trừ khi chúng ta biết chuỗi đó hội tụ tuyệt đối. Hơn nữa,chúng ta biết rằng trong một số trường hợp, chẳng hạn như siêu dẫn, chuỗi không hộitụ. Chính vì lý do này mà các phương pháp phương trình chuyển động ngay từ đầuđược ưu tiên hơn.Phương pháp tích phân phiếm hàm là một công cụ hiệu quả trong lý thuyết trườnglượng tử. Ưu điểm chính của phương pháp này ở chỗ nó thể hiện mối liên hệ giữa lýthuyết lượng tử và lý thuyết cổ điển rất rõ ràng. Từ phương pháp tích phân phiếm hàmcó thể thiết lập các quy tắc giản đồ và xây dựng các hàm Green. Nó có thể áp dụngcho các bài toán lý thuyết trường và hạt cơ bản (xét khi T = 0 K, xử dụng tác dụngMinkowski) cũng như các vấn đề hệ nhiều hạt (T = 0 K, sử dụng tác dụng Euclide),nó cũng rất thuận tiện khi thực hiện nhóm tái chuẩn hóa. Thêm nữa, các phép gầnđúng như gần đúng trường trung bình, bổ chính do thăng giáng v.v có thể thực hiệntương tự như trong các phương pháp khác. Nhược điểm của phương pháp này là cáctính toán chỉ có thể thực hiện tường minh khi tính tới bậc hai của thăng giáng, cònnếu tính bậc cao hơn lại cần các gần đúng, và ta gặp lại các khó khăn của các phươngpháp khác là cần phân tích bản chất vật lý để chọn các gần đúng thích hợp.Trong việc xây dựng phiếm hàm Ginzburg-Landau thì phương pháp tích phân phiếmhàm có ưu việt rất nổi trội vì ta phải tính thế nhiệt động học. Thế nhiệt động họclại được tính từ tổng thống kê, mà tính tổng thống kê bằng giản đồ hoặc các phươngpháp khác (thí dụ bằng giản đồ Feynman ở nhiệt độ khác không) thường phức tạp hơnbằng phương pháp tích phân phiếm hàm. Với phương pháp này, hàm Green được biểudiễn qua phiếm hàm sinh mà không cần sự có mặt của T-tích (ở đây T-tích đã đượcẩn trong biểu diễn tích phân phiếm hàm). Thêm nữa định lý Wick cũng được xác địnhbằng các thao tác hoàn toàn trực tiếp mà không cần phải đảo trật tự của các toán tửtrường. Chính vì những ưu điểm nổi trội của phương pháp tích phân phiếm hàm mànó được chúng tôi lựa chọn làm công cụ để nghiên cứu sự đồng tồn tại pha trong hệnhiều hạt.

88

3. THIẾT LẬP PHIẾM HÀM NĂNGLƯỢNG GINZBURG-LANDAUNHIỀU THÀNH PHẦN

Trong chương này, xuất phát từ Hamiltonian tương tác nhiều hạt tổng quát, chúng tôithực hiện phép biến đổi lý thuyết trường fermion tới một lý thuyết hiệu dụng dựa trêncác trường kết cặp được biểu diễn dưới dạng các tham số trật tự theo các kênh khácnhau. Từ đó chúng tôi rút ra một sự biểu diễn tổng quát nhất của phiếm hàm GL chohệ ba tham số trật tự nhằm tìm kiếm pha đồng tồn tại (chương này được trích mộtphần trong tài liệu tham khảo [41] của chính tác giả).

3.1. Mô hình ba tham số trật tự

3.1.1. Hamiltonian và hình thức luận

Thông thường một hệ trong vật lý chất rắn được mô tả bởi mô hình vi mô với Hamil-tonian cho dưới dạng lượng tử hóa lần hai

H = H0 +H1, (3.1)

trong đó

H0 =∑σ

∑kεσ(k)ψ†σ(k)ψσ(k) (3.2)

H0 là Hamiltonian không nhiễu loạn mô tả hệ điện tử tự do; ψσ(k) và ψ†σ(k) là cáctoán tử hủy và sinh điện tử với hình chiếu spin tương ứng σ =↑, ↓; εσ(k) là độ tán sắccủa các điện tử tự do; và

H1 =∑

σ1,σ2,σ′1,σ′2

∑k,k′,q

Vσ1σ2σ′1σ′2(k,k′,q)ψ†σ1(k− q

2 )ψ†σ2(k′ + q2 )ψσ′2(k′ − q

2 )ψσ′1(k + q2 );

(3.3)

89

3.1 Mô hình ba tham số trật tự

H1 là số hạng tương tác hai hạt hiệu dụng tổng quát của các điện tử có tương tác đượcviết theo trật tự chuẩn. Vσ1σ2σ′1σ

′2(k,k′,q) là các phần tử ma trận tán xạ kết cặp tổng

quát, bao gồm đóng góp của các tương tác khác nhau trong hệ như tương tác điện tử -phonon, tương tác spin - spin,...thậm chí là cả tương tác tạp chất - điện tử, tương táctạp chất - tạp chất. Về cả mặt toán học và vật lý, số hạng tương tác hiệu dụng tổngquát rất phức tạp, không có biểu thức giải tích chính xác và tường minh.Hàm phân bố lớn của hệ được biểu diễn qua tích phân phiếm hàm

Z =

[Dψ][Dψ†

]exp

−β

0

dτ[∑σ

∑kψ†σ(k, τ) (∂τ + εkσ)ψσ(k, τ) +H1

[ψ†, ψ

](τ)] .

(3.4)

Số hạng tương tác hai hạt tổng quát H1[ψ†, ψ

](τ) được tách cặp qua các trường phụ

theo các kênh trực tiếp, trao đổi và Cooper nhờ phép biến đổi Hubbard-Stratonovich

H1[ψ†, ψ

]= γ2

dHd1

[ψ†, ψ

]− γ2

exHex1

[ψ†, ψ

]+ γ2

CHC1

[ψ†, ψ

], (3.5)

trong đó các Hamiltonian Hd1 , H

ex1 và HC

1 là các tương tác hai hạt tổng quát được viếttheo các số hạng song tuyến tính fermion khác nhau và được minh họa như sau

Hd1 =

∑σ1,σ2,σ′1,σ

′2

∑k,k′,q

ψ†σ1(k−q2 )ψσ′1(k+q

2 ) (Vd)σ1σ2σ′1σ′2

(k,k′,q)ψ†σ2(k′+q2 )ψσ′2(k′−q

2 ),

(3.6)

Hex1 =

∑σ1,σ2,σ′1,σ

′2

∑k,k′,q

ψ†σ1(k−q2 )ψσ′2(k′−q

2 ) (Vex)σ1σ2σ′1σ′2

(k,k′,q)ψ†σ2(k′+q2 )ψσ′1(k+q

2 ),

(3.7)

HC1 =

∑σ1,σ2,σ′1,σ

′2

∑k,k′,q

ψ†σ1(k−q2 )ψ†σ2(k′+q

2 ) (VC)σ1σ2σ′1σ′2

(k,k′,q)ψσ′2(k′−q2 )ψσ′1(k+q

2 )

(3.8)

Ba lựa chọn khác nhau để kết cặp các toán tử fermion, xây dựng nên số hạng songtuyến tính fermion của tương tác hai hạt được chỉ ra trong hình (3.1). Ở đây, đườnglượn sóng đính vào các đỉnh trường biểu diễn tương tác, các ô mỏng biểu thị các toán

90


Hình 3.1.: Các lựa chọn khác nhau cho phép biến đổi Hubbard-Stratonovich để táchcặp số hạng tương tác hai hạt tổng quát. Hình bên trái: tách cặp theo kênh “mậtđộ”; hình giữa: tách cặp theo kênh “kết cặp” hoặc “Cooper”; hình bên phải: táchcặp theo kênh “trao đổi”.

tử trường fermion được kết cặp với nhau như thế nào. Dạng của phép biến đổi trongphương trình (3.6) ở trên tương ứng với giản đồ bên trái của hình (3.1). Loại kết cặpđó liên quan tới sự tách cặp theo kênh trực tiếp, hay kênh mật độ. Ở đây, ta nói vềsự tách cặp theo một “kênh” bởi vì hàm truyền của trường tách cặp được hiểu làhai đường hàm Green nối với nhau bởi tương tác nhiều mối, một vật thể đa hợp liêntưởng một “kênh”. Việc tách cặp theo kênh trao đổi (giản đồ bên phải hình 3.1) đượctạo ra bởi sự lựa chọn cặp fermion (ψ†ψ)σ2σ′1

(k′,k,q, τ). “Trao đổi” là bởi vì, trongphạm vi tương tác Coulomb, kết cặp đảo ngược của các toán tử trường liên tưởng tớiliên kết trao đổi sinh ra các đóng góp loại Fock. Và cuối cùng, ta có thể tách cặp sốhạng tương tác hai hạt theo kênh Cooper (giản đồ giữa hình 3.1), (ψψ)σ′2σ′1(k′,k,q) và(ψψ)†σ2σ1(k′,k,−q). Ở đây, trường kết cặp là liên hợp hai toán tử hủy được biến đổiđể tạo ra bài toán siêu dẫn.Các giá trị của các tham số γi sẽ thỏa mãn đồng nhất thức

γ2d − γ2

ex + γ2C = 1. (3.9)

Hàm tác dụng fermion biểu diễn theo các trường phụ trong phương trình (3.4) trởthành:

Z = 1W

[Dϕ] [Dϕ∗] exp −S0 [ϕ, ϕ∗]F [ϕi , γi] , (3.10)

91


trong đó

S0 [ϕ, ϕ∗]

=β

0

dτ

∑σ1,σ2,σ′1,σ

′2

∑k,k′,q

(ϕ1)∗σ′2σ2(k′,−q, τ)(V1)−1

σ′2σ′1σ2σ1

(k′,k,q)(ϕ1)σ1σ′1(k,−q, τ)

+ ∑σ1,σ2,σ′1,σ

′2

∑k,k′,q

(ϕ2)∗σ′1σ2(k′,k,q, τ)(V2)−1

σ′2σ′1σ2σ1

(k,k′,q)(ϕ2)σ1σ′2(k′,k,−q, τ)

+ ∑σ1,σ2,σ′1,σ

′2

∑k,k′,q

(ϕ3)∗σ′1σ′2(k′,k,q, τ)(V3)−1σ′2σ′1σ2σ1

(k,k′,q)(ϕ3)σ1σ2(k′,k,−q, τ)

(3.11)

là hàm tác dụng không tương tác của phép biến đổi HS ba lần tác dụng;

[Dϕ] [Dϕ∗] = [Dϕ1] [Dϕ∗1] [Dϕ2] [Dϕ∗2] [Dϕ3] [Dϕ∗3] ; (3.12)

W =W1W2W3; (3.13)

F [ϕi , γi] mô tả hệ fermion bậc hai hiệu dụng kết cặp với các trường phụ ϕiđược đưa vào bởi phép biến đổi HS

F [ϕi , γi] =

[Dψ][Dψ†

]exp

−S

[ψ†, ψ; ϕi , γi

]. (3.14)

trong đó

S[ψ†, ψ; ϕi , γi

]

=β

0

dτ[∑σ

∑kψ†σ(k, τ) (∂τ + εkσ)ψσ(k, τ)

+ iγd∑σ,σ′

∑k,q

((ϕ1)∗σ′σ(k,−q, τ)(ψ†ψ)σσ′(k,−q, τ)

+(ψ†ψ)†σ′σ(k,−q, τ)(ϕ1)σσ′(k,−q, τ)

)

+ γex∑σ,σ′

∑k,q

((ϕ2)∗σ′σ(k′,k,−q, τ)(ψ†ψ)σσ′(k′,k,−q, τ)

+(ψ†ψ)†σ′σ(k′,k,−q, τ)(ϕ2)σσ′(k′,k,−q, τ)

)

+ iγC∑σ,σ′

∑k,q

((ϕ3)∗σ′1σ′2(k′,k,q, τ)(ψψ)σ′2σ′1(k′,k,q)

+(ψψ)†σ2σ1(k′,k,−q)(ϕ3)σ1σ2(k′,k,−q, τ)

)].

(3.15)

92


Hệ hiệu dụng bậc hai F [ϕi , γi] có thể tính chính xác bằng cách lấy tích phân theocác biến Grassmann của các điện tử. Để thực hiện nhiệm vụ này, ta đưa vào Nambuspinor:

Ψ(

k + q2 , τ

)=(ψ↑(k + q

2 , τ) ψ↓(k + q2 , τ) ψ†↑(−k + q

2 , τ) ψ†↓(−k + q2 , τ)

)T,

(3.16)

Ψ†(

k + q2 , τ

)=(ψ†↑(k + q

2 , τ) ψ†↓(k + q2 , τ) ψ↑(−k + q

2 , τ) ψ↓(−k + q2 , τ)

).

(3.17)

Hàm tác dụng hiệu dụng S[ψ†, ψ; ϕi , γi

]trong phương trình (3.15) biểu diễn theo

Nambu spinor có dạng

S[ψ†, ψ; ϕi , γi

]= −1

2

β

0

dτ∑

k,k′,qΨ†(

k + q2 , τ

)[G0]−1 (k,k′,q, τ)Ψ

(k′ − q

2 , τ),

(3.18)

trong đó [G0]−1 (ϕi , γi ; k,k′,q, τ) là một ma trận 4× 4:

[G0]−1 (k,k′,q, τ)

=

[Ge0]−1

↑↑ (k,k′,q, τ) [Ge0]−1↑↓ (k,k′,q, τ) F↑↑(k,k′,q, τ) F↑↓(k,k′,q, τ)

[Ge0]−1↓↑ (k,k′,q, τ) [Ge0]−1

↓↓ (k,k′,q, τ) F↓↑(k,k′,q, τ) F↓↓(k,k′,q, τ)F∗↑↑(k,k′,q, τ) F∗↑↓(k,k′,q, τ)

[Gh0]−1

↑↑(k,k′,q, τ)

[Gh0]−1

↑↓(k,k′,q, τ)

F∗↓↑(k,k′,q, τ) F∗↓↓(k,k′,q, τ)[Gh0]−1

↓↑(k,k′,q, τ)

[Gh0]−1

↓↓(k,k′,q, τ)

(3.19)

với

[Ge0]−1σσ′ (k,k

′,q, τ) = (−∂τ − εkσ) δ(k− k′)δσσ′− [iγd(Φ1)σσ′(k,q, τ)δ(k− k′) + γex(Φ2)σσ′(k,k′,q, τ)]= [Ge

0]−1σσ′ (k,k

′,q, τ)− Φσσ′(k,k′,q, τ),[Gh0]−1

σσ′(k,k′,q, τ) = (−∂τ + εkσ) δ(k− k′)δσσ′

+ [iγd(Φ1)σ′σ(k,q, τ)δ(k− k′) + γex(Φ2)σ′σ(k,k′,q, τ)]

=[Gh

0

]−1

σσ′(k,k′,q, τ) + Φσσ′(k,k′,q, τ),

Fσσ′(k,k′,q, τ) = −2iγC(ϕ3)σ1σ2(−k′,k,q, τ),F∗σσ′(k,k′,q, τ) = −2iγC(ϕ3)∗σ2σ1(−k,k′,−q, τ),

(3.20)

93


và

(Φ1)σσ′(k,q, τ) = ((ϕ1)∗σ′σ(k,−q, τ) + (ϕ1)σσ′(k,q, τ)) ,(Φ2)σσ′(k,k′,q, τ) = ((ϕ2)∗σ′σ(k,k′ − q,q, τ) + (ϕ2)σσ′(k′ − q,k,q, τ)) .

(3.21)

Tích phân Gaussian theo các trường Grassmann bây giờ có thể được tính dễ dàng,mang lại biểu thức hình thức của hàm phân bố lớn như sau

Z = 1W

[Dϕ] [Dϕ∗] exp −S0 [ϕi] exp

ln det

(12 [G0]−1

). (3.22)

Như vậy bằng cách đưa vào phép biến đổi HS tách cặp lên số hạng tương tác hai hạt,ta có thể biểu diễn hàm phân bố lớn như là một phiếm hàm của các trường phụ ϕi.Để phát triển xa hơn ta có thể chỉ cần triển khai trong phạm vi gần đúng nào đó.

3.1.2. Khử tham số kết cặp

Quy trình chuẩn để giải quyết các định thức sinh ra ở các bước trung gian của thủthuật lấy tích phân theo các trường như trong biểu thức (3.22) là mũ hóa lại chúng.Điều này được thực hiện nhờ công thức nổi tiếng sau

ln det A = Tr ln A, (3.23)

công thức này đúng với toán tử A (không kì dị) tùy ý. Vì vậy, số hạng hàm mũ thứhai trong phương trình (3.22) trở thành:

exp

ln det(1

2 [G0]−1)

= expTr ln

(12 [G0]−1

)= exp

Tr ln

(12

)+ Tr ln

([G0]−1

),

(3.24)

ở đây

[G0]−1 = [Ge

0]−1 − Φ FF∗

[Gh

0

]−1+ Φ

.Để cấu trúc của hàm mũ rõ ràng hơn, khai triển của Tr ln

([G0]−1

)theo chuỗi lũy thừa

của các trường phụ ϕi sẽ được thực hiện. Những đóng góp logarit trong phương trình

94


(3.22) có thể được khai triển như thể nó là một hàm số (một hệ quả lấy vết toán tử),tức là,

Tr ln([G0]−1

)= Tr ln

[Ge0]−1 − Φ FF∗

[Gh

0

]−1+ Φ

= Tr ln

[Ge0]−1 00

[Gh

0

]−1

+(−Φ FF∗ Φ

)= Tr ln

[Ge

0]−1 00

[Gh

0

]−1

I +

[Ge0]−1 00

[Gh

0

]−1

−1 (−Φ FF∗ Φ

)

= Tr ln [Ge

0]−1 00

[Gh

0

]−1

+ Tr ln

I + [Ge

0]−1 00

[Gh

0

]−1

−1 (−Φ FF∗ Φ

)= ln det

[Ge0]−1 00

[Gh

0

]−1

+ Tr ln[I +

(Ge

0 00 Gh

0

)(−Φ FF∗ Φ

)]

= ln [Ge0]−1 + ln

[Gh

0

]−1+ Tr

∑N≥1

(−1)N−1 1N

[(Ge

0 00 Gh

0

)(−Φ FF∗ Φ

)]N︸︷︷︸

[G]N

(3.25)

trong đó toán tử vết được hiểu như toán tử chéo hóa spin, động lượng và tần số củacác phần tử ma trận đưa đến các hàm Green tự do của các điện tử tự do.Đặt

[G]N = (−1)N−1 1N

[(Ge 00 Gh

)(Φee F ehFhe Φhh

)]N,

trong đó

Φee = −Φ, F eh = F ,Φhh = Φ, Fhe = F∗,Ge = Ge

0 Gh = Gh0 .

95


Thực hiện khai triển số hạng bậc nhất

[G]1 =(Ge 00 Gh

)(Φee F ehFhe Φhh

)=(GeΦee GeF ehGhFhe GhΦhh

), (3.26)

với

GeΦee =(

[Ge]↑↑ 00 [Ge]↓↓

)(Φee↑↑ Φee

↑↓Φee↓↑ Φee

↓↓

)

=(

[Ge]↑↑Φee↑↑ [Ge]↑↑Φee

↑↓[Ge]↓↓Φee

↓↑ [Ge]↓↓Φee↓↓

);

(3.27)

GhΦhh =

[Gh]↑↑

00

[Gh]↓↓

( Φhh↑↑ Φhh

↑↓Φhh↓↑ Φhh

↓↓

)

=

[Gh]↑↑

Φhh↑↑

[Gh]↑↑

Φhh↑↓[

Gh]↓↓

Φhh↓↑

[Gh]↓↓

Φhh↓↓

.(3.28)

Lấy vết ma trận ta nhận được

Tr [G]1 = [Ge]↑↑Φee↑↑ + [Ge]↓↓Φee

↓↓ +[Gh]↑↑

Φhh↑↑ +

[Gh]↓↓

Φhh↓↓

=∑σ1

Geσ1σ1Φee

σ1σ1 +∑σ1

Ghσ1σ1Φhh

σ1σ1

=∑α1

∑σ1

Gα1σ1σ1Φα1α1

σ1σ1

=∑α1

∑σ1

Gα1σ1σ14

α1α1σ1σ1 .

(3.29)

Theo cách này, ta cũng nhận được các kết quả:khai triển số hạng bậc hai

Tr [G]2 = −12

∑σ1σ2

(Geσ1σ1Φee

σ1σ2Geσ2σ2Φee

σ2σ1

)+∑σ1σ2

(Ghσ1σ1Φhh

σ1σ2Ghσ2σ2Φhh

σ2σ1

)+∑σ1σ2

(Geσ1σ1F

ehσ1σ2G

hσ2σ2F

heσ2σ1

)+∑σ1σ2

(Ghσ1σ1F

heσ1σ2G

eσ2σ2F

ehσ2σ1

)

= −12

∑α1

∑σ1σ2

(Gα1σ1σ1Φα1α1

σ1σ2Gα1σ2σ2Φα1α1

σ2σ1

)+

∑α1, α2α1 6= α2

∑σ1σ2

(Gα1σ1σ1F

α1α2σ1σ2 G

α2σ2σ2F

α2α1σ2σ1

) ,

(3.30)

96


khai triển số hạng bậc ba

Tr [G]3 = 13

∑σi

Geσ1σ1Φee

σ1σ2Geσ2σ2Φee

σ2σ3Geσ3σ3Φee

σ3σ1

+∑σi

Ghσ1σ1Φhh

σ1σ2Ghσ2σ2Φhh

σ2σ3Ghσ3σ3Φhh

σ3σ1

+ 3∑σi

Geσ1σ1Φee

σ1σ2Geσ2σ2F

ehσ2σ3G

hσ3σ3F

heσ3σ1

+ 3∑σi

Ghσ1σ1Φhh

σ1σ2Ghσ2σ2F

heσ2σ3G

eσ3σ3F

ehσ3σ1

= 13∑σi=↑,↓

∑αi=e,h

Gα1σ1σ1∆α1α2

σ1σ2Gα2σ2σ2∆α2α3


σ3σ1 ,

(3.31)

khai triển số hạng bậc bốn

Tr [G]4 = −14

(GeΦee)4 + 4 (GeΦee)2

(GeF ehGhFhe

)+ 4 (GeΦee)

(GhΦhh

) (GeF ehGhFhe

)+(GhΦhh

)4+ 4

(GhΦhh

)2 (GhFheGeF eh

)+ 2

(GhFheGeF eh

)2

= −14

∑σi

∑α=e,h

Gασ1σ1Φαα

σ1σ2Gασ2σ2Φαα



σ4σ1

+ 4∑σi

∑α, β = e, hα 6= β

Gασ1σ1Φαα


σ2σ3Gασ3σ3F

αβσ3σ4G

βσ4σ4F

βασ4σ1

+ 2∑σi

∑α, β = e, hα 6= β

Gασ1σ1Φαα

σ1σ2Gασ2σ2F

αβσ2σ3G

βσ3σ3Φββ

σ3σ4Gβσ4σ4F

βασ4σ1

+∑σi

∑α, β = e, hα 6= β

Gασ1σ1F

αβσ1σ2G

βσ2σ2F

βασ2σ3G

ασ3σ3F

αβσ3σ4G

βσ4σ4F

βασ4σ1

= −14∑σi=↑,↓

∑αi=e,h

Gα1σ1σ1∆α1α2




σ4σ1 .

(3.32)

97


Bằng cách sử dụng phương pháp quy nạp, ta nhận được

Tr [G]N = (−1)N−1 1N

∑σi=↑,↓

∑αi=e,h

∑pi,ωni

Gα1σ1σ1(p1, ωn1)∆α1α2

σ1σ2 (p1, ωn1 ; p2, ωn2)

×Gα2σ2σ2(p2, ωn2)∆α2α3

σ2σ3 (p2, ωn2 ; p3, ωn3)· · ·×GαN

σNσN(pN, ωnN )∆αNα1

σNσ1 (pN, ωnN ; p1, ωn1)

= (−1)N−1 1N

∑σi=↑,↓

∑αi=e,h

∑ωn, ωνi

k,q

Gα1σ1σ1(k, ωn)∆α1α2

σ1σ2 (q1, ων1)

×Gα2σ2σ2(k− q1, ωn − ων1)∆α2α3

σ2σ3 (q2, ων2)

· · ·×GαNσNσN

(k− q1 − · · · − qN−1, ωn − ων1 − · · · − ωνN−1)

×∆αNα1σNσ1 (−q1 − · · · − qN−1,−ων1 − · · · − ωνN−1)

.

(3.33)

Như được thảo luận ở trên, ý nghĩa vật lý của các trường phụ khác nhau liên hợp vớicác kết cặp toán tử fermion cần được làm rõ. Giữa vô số khả năng tách số hạng tươngtác hai hạt ra như trong (3.5), có ba trường hợp đặc biệt: khi γi = 1 và γj 6=i = 0.Những trường hợp này được biết như là các trường phụ trực tiếp, trao đổi và Cooper.Ý nghĩa vật lý của mỗi sự tách cặp sẽ trở nên rõ ràng khi một sự phân tích nhiễu loạnbằng giản đồ của thế nhiệt động lớn

Ω = − 1β

lnZ (3.34)

được phát triển bằng cách sử dụng hàm truyền trường tự do để tạo ra các giản đồFeynman giống nhau mà chúng được tìm thấy khi dùng hình thức luận toán tử chínhtắc trong phạm vi lý thuyết nhiều hạt.Xét sự phụ thuộc vào ϕi của khai triển trong phương trình (3.22). Số hạng thứ nhất,số hạng bậc không theo ϕi đưa đến một hằng số toàn phần nhân với tích phân phiếmhàm, tức là một hằng số mô tả nội dung không tương tác của lý thuyết. Số hạng thứhai, tuyến tính theo ϕi, triệt tiêu do sự phân tích trường trung bình nào đó. Và cácsố hạng khác, các số hạng bậc cao theo ϕi, là những số hạng đáng quan tâm. Nhữngsố hạng này mô tả những thăng giáng bị ảnh hưởng như thế nào bởi sự hiện diện củacác điện tử tự do. Tính toán hàm mũ của (3.22), ta nhận được tích các chuỗi lũy thừatheo ϕi kể cả trung bình của chúng. Thực hiện việc lấy trung bình Gaussian, tức làsử dụng định lý Wick, áp dụng cho các trường phụ boson, tất cả các giản đồ Feynmankhả dĩ của lý thuyết sẽ được sinh ra một cách có hệ thống.

98


Một sự phân tích giản đồ cẩn thận cho thấy rằng chuỗi giản đồ Feynman sinh ra từcả ba sự tách cặp với γi = 1 và γj 6=i = 0 là đồng nhất về mặt giản đồ. Đặc điểm nàyxuất hiện một cách tự nhiên trong hình thức luận tích phân phiếm hàm. Mặc dù bấtkì một trong ba sự tách cặp khả dĩ có thể được sử dụng để tính các đại lượng vật lýmong muốn, nhưng sự thuận tiện của mỗi sự tách cặp được điều khiển bởi các thănggiáng có liên quan đến đại lượng quan tâm, sẽ được chỉ ra một cách tường minh trongphép đạo hàm của cấu trúc giản đồ của thế nhiệt động lớn và tính nhạy cảm của mỗisự kết cặp. Tuy nhiên, những kết quả đúng và chính xác này có thể chỉ nhận đượctrong trường hợp khi mà các tính toán của các giản đồ Feynman được thực hiện chínhxác và chặt chẽ. Mặt khác, một gần đúng không chặt chẽ có thể dẫn tới các kết quảphi lý. Dĩ nhiên, kết quả chính xác tự nó bao hàm các gần đúng khả dĩ chẳng hạn nhưgần đúng HF đối với các kênh mật độ và trao đổi, gần đúng Bogoliubov đối với kênhCooper những gần đúng này tương đương với gần đúng trường tĩnh trong hình thứcluận tích phân phiếm hàm, hay nói cách khác là lý thuyết trường trung bình; và nhữnggần đúng khai triển xa hơn phát triển từ những gần đúng cơ bản này. Những nghiêncứu về cấu trúc của chuỗi giản đồ xuất hiện khi sử dụng một tổ hợp các sự tách cặpmật độ, trao đổi, và Cooper cũng chỉ ra rằng các đại lượng vật lý của hệ, nếu chúngđược tính chính xác, thì hiển nhiên độc lập với các giá trị của các tham số γi đượcchọn. Tuy nhiên, nếu một tổ hợp tách cặp được khai thác bởi những cách không chặtchẽ, thì các kết quả khác biệt có thể thu được, và hệ quả là một sự không rõ ràng xuấthiện. Để tránh vấn đề đã đề cập ở trên từ sự phụ thuộc các phương pháp gần đúng vàocác tham số γi, ta phải tập trung vào vấn đề quan trọng nhất của việc nghiên cứucấu trúc giản đồ của các chuỗi nhiễu loạn tạo ra từ bất kì tổ hợp kết cặp HS nào trongba kênh. Đó là sự độc lập của các đại lượng vật lý đối với các tham số γi của kết cặpHS. Kết luận này là động cơ để thu được sự nhận thức đúng đắn của hình thức luậnvà sự trình bày về tích phân phiếm hàm trở nên có hệ thống, tránh được sự tối nghĩa.Sự độc lập của các đại lượng vật lý với các tham số γi của kết cặp HS có thể đượcbiểu diễn theo ngôn ngữ toán học là tất cả các đạo hàm của thế nhiệt động lớn bằngkhông, tức là, đối với tập hợp bất kì của các tham số γi của kết cặp HS, điều kiệnsau đây phải được thỏa mãn

ddγi

Ω = −β ddγi

lnZ

≡ 0(3.35)

99


Áp dụng điều kiện (3.35) cho logarithm của hàm phân bố lớn (3.22), ta nhận được

ddγi

lnZ

= 1Z

ddγiZ

= 1Z

1W

[Dϕ] [Dϕ∗] exp −S0 [ϕi]

(ddγi

exp

ln det(1

2 [G0]−1))

= 1Z

1W

[Dϕ] [Dϕ∗] exp −S0 [ϕi]

(ddγi

ln det(1

2 [G0]−1))

× exp

ln det(1

2 [G0]−1)

=⟨

ddγi

ln det(1

2 [G0]−1)⟩

= 0

(3.36)

trong đó i =d, ex, và C, 〈· · · 〉 là kí hiệu giá trị trung bình của một biểu thức theo hệhiệu dụng của các trường phụ.Để tính toán tử vi phân lên hàm logarith d

dγiTr ln([G0]−1

), cần nhắc lại liên kết (3.9)

giữa các tham số γi

γ2d − γ2

ex + γ2C = 1

điều kiện này phản ánh sự phụ thuộc của một tham số tách cặp vào tập hợp tùy ý cáctham số γi khác. Để tránh sự phức tạp và khó khăn trong các tính toán xa hơn, cáctham số này có thể được biểu diễn, mà không mất tính tổng quát, bởi hai tham số độclập mới φ và θ như sau

γd = cosh θ sinφ,γex = sinh θ,γC = cosh θ cosφ.

(3.37)

Dưới dạng các tham số φ và θ, phương trình (3.35) được viết lại như sau

⟨ddφ ln det

([G0]−1

)⟩= 0, (3.38)

và

⟨ddθ ln det

([G0]−1

)⟩= 0. (3.39)

100


các phương trình này mô tả mối quan hệ nhiều hạt giữa các đại lượng vật lý của hệ ởđó có nhiều loại thăng giáng tương ứng với các tham số trật tự được xem xét. Phântích sâu hơn hệ phương trình tự hợp này sẽ cho thấy sự ràng buộc cụ thể để khử bằnggiản đồ giữa các họ giản đồ sinh ra bởi các kết cặp HS khác nhau.Nói chung, ta có khả năng tính toán hệ các phương trình tự hợp (3.38) và (3.39) vớimột gần đúng nào đó. Một ý tưởng tốt và thuận tiện của một gần đúng như vậy là lýthuyết trường trung bình nhận được bằng cách tìm kiếm một lời giải cho tập hợp cácphương trình điểm yên ngựa của tác dụng hiệu dụng trong phương trình (3.22). Ta có

δ

δϕi

(S0 [ϕi]− ln det

(12 [G]−1

))= 0 (3.40)

Phương trình trường (3.40) đối với ϕ1 có thể được viết lại như sau

∑σ2σ′2

∑p2.p

′2

ωn2 , ω′n2

(ϕ1)∗σ2σ′2(p2, ωn2 ; p′2, ω′n2) (V1)−1

σ2σ′2σlσk(p′2, ω′n2 ; pl, ωnl)

=∑N≥1

(−1)N−1 1N

∑σ3α3

∑p3ωn3

· · ·∑σNαN

∑pNωnN

Gαlσlσl

(pl, ωnl)

× ∂

∂ (ϕ1)σlσk4αlαkσlσk

(pl, ωnl ; pk, ωnk)︸︷︷︸σl=σ1,σk=σ2

×Gαkσkσk

(pk, ωnk)∆αkα3σkσ3 (p2, ωn2 ; p3, ωn3)

· · ·×GαN


σNσ1 (pN, ωnN ; p1, ωn1)+ · · ·+∑σ2α2

∑p2ωn2

· · ·∑σN−1αN−1

∑pN−1ωnN−1

Gαkσkσk

(pk, ωnk)∆αkα2σkσ2 (pk, ωnk ; p2, ωn2)

×Gα2σ2σ2(pk, ωnk)∆α2α3

σ2σ3 (p2, ωn2 ; p3, ωn3)· · ·

×Gαlσlσl

(pl, ωnl)∂


(pl, ωnl ; pk, ωnk)︸︷︷︸σl=σN ,σk=σ1

.

(3.41)

Nhân cả hai vế phương trình này bởi tanh θ(Φ1)σlσk (pl, ωnl ; pk, ωnk), ta có:

101


∑σ2σ′2

∑p2.p

′2

ωn2 , ω′n2

((ϕ1)∗σ2σ′2

(p2, ωn2 ; p′2, ω′n2) (V1)−1σ2σ′2σlσk

(p′2, ω′n2 ; pl, ωnl)×(Φ1)σlσk (pl, ωnl ; pk, ωnk)

)tanh θ

=∑N≥1

(−1)N−1 1N

∑σ3α3

∑p3ωn3

· · ·∑σNαN

∑pNωnN

Gαlσlσl

(pl, ωnl)×

×

tanh θ(Φ1)σlσk (pl, ωnl ; pk, ωnk)∂



×Gαk

σkσk(pk, ωnk)∆αkα3

σkσ3 (p2, ωn2 ; p3, ωn3) . . . GαNσNσN

(pN, ωnN )∆αNα1σNσ1 (pN, ωnN ; p1, ωn1)

+ · · ·+∑σ2α2

∑p2ωn2

· · ·∑σN−1αN−1

∑pN−1ωnN−1

Gαkσkσk

(pk, ωnk)∆αkα2σkσ2 (pk, ωnk ; p2, ωn2)Gα2

σ2σ2(pk, ωnk)

×∆α2α3σ2σ3 (p2, ωn2 ; p3, ωn3) . . . Gαl

σlσl(pl, ωnl)

×

tanh θ(Φ1)σlσk (pl, ωnl ; pk, ωnk)∂



.

(3.42)

Một cách tương tự, nhân cả hai vế của phương trình trường (3.40) đối với ϕ2 bởicoth θ(Φ2)σlσk (pl, ωnl ; pk, ωnk), và đối với ϕ3 bởi tanh θ(ϕ3)αlσlσk (pl, ωnl ; pk, ωnk) ta được

102


∑σ2σ′1

∑p2.p

′1

ωn2 , ω′n1

((ϕ2)∗σ2σ′1

(p2, ωn2 ; p′1, ω′n1) (V2)−1σ2σ′1σlσk

(p′1, ω′n1 ; pl, ωnl)(Φ2)σlσk (pl, ωnl ; pk, ωnk)

)coth θ

=∑N≥1

(−1)N−1 1N

∑σ3α3

∑p3ωn3

· · ·∑σNαN

∑pNωnN

Gαlσlσl

(pl, ωnl)

×

coth θ(Φ2)σlσk (pl, ωnl ; pk, ωnk)∂



×Gαk




+ · · ·

+∑σ2α2

∑p2ωn2

· · ·∑σN−1αN−1

∑pN−1ωnN−1

Gαkσkσk


σ2σ2(pk, ωnk)

×∆α2α3σ2σ3 (p2, ωn2 ; p3, ωn3) . . . Gαl

σlσl(pl, ωnl)

×

coth θ(Φ2)σlσk (pl, ωnl ; pk, ωnk)∂



,

(3.43)

103


và

∑σ′1σ′2

∑p′1.p

′2

ωn′1 , ω′n2

((ϕ3)∗σ2σ′2

(p′1, ωn′1 ; p′2, ω′n2) (V3)−1σ′1σ′2σlσk

(p′2, ω′n2 ; pl, ωnl)×(ϕ3)αlσlσk (pl, ωnl ; pk, ωnk)

)tanh θ

=∑N≥1

(−1)N−1 1N

∑σ3α3

∑p3ωn3

· · ·∑σNαN

∑pNωnN

Gαlσlσl

(pl, ωnl)

×

tanh θ(ϕ3)αlσlσk (pl, ωnl ; pk, ωnk)∂



×Gαk




+ · · ·+∑σ2α2

∑p2ωn2

· · ·∑σN−1αN−1

∑pN−1ωnN−1

Gαkσkσk


σ2σ2(pk, ωnk)

×∆α2α3σ2σ3 (p2, ωn2 ; p3, ωn3) . . . Gαl

σlσl(pl, ωnl)

×

tanh θ(ϕ3)αlσlσk (pl, ωnl ; pk, ωnk)∂



.

(3.44)

Cộng vế với vế cả ba phương trình này, ta nhận được

104


∑σ2σ′2

∑p2.p

′2

ωn2 , ω′n2

((ϕ1)∗σ2σ′2

(p2, ωn2 ; p′2, ω′n2) (V1)−1σ2σ′2σlσk


)tanh θ

+∑σ2σ′1

∑p2.p

′1

ωn2 , ω′n1

((ϕ2)∗σ2σ′1

(p2, ωn2 ; p′1, ω′n1) (V2)−1σ2σ′1σlσk


)coth θ

+∑σ′1σ′2

∑p′1.p

′2

ωn′1 , ω′n2

((ϕ3)∗σ2σ′2

(p′1, ωn′1 ; p′2, ω′n2) (V3)−1σ′1σ′2σlσk


)tanh θ

=∑N≥1

(−1)N−1 1N

∑σ3α3

∑p3ωn3

· · ·∑σNαN

∑pNωnN

Gαlσlσl

(pl, ωnl)

×

tanh θ(Φ1)σlσk∂4αlαk

σlσk

∂ (ϕ1)σlσk+ coth θ(Φ2)σlσk

∂4αlαkσlσk

∂ (ϕ2)σlσk+ tanh θ(ϕ3)σlσk

∂4αlαkσlσk

∂ (ϕ3)σlσk︸︷︷︸∂∂θ4αlαkσlσk

×Gαk




+ · · ·+∑σ2α2

∑p2ωn2

· · ·∑σN−1αN−1

∑pN−1ωnN−1

Gαkσkσk



σ2σ3 (p2, ωn2 ; p3, ωn3) . . . . . . Gαlσlσl

(pl, ωnl)

×

tanh θ(Φ1)σlσk∂4αlαk

σlσk

∂ (ϕ1)σlσk+ coth θ(Φ2)σlσk

∂4αlαkσlσk

∂ (ϕ2)σlσk+ tanh θ(ϕ3)σlσk

∂4αlαkσlσk

∂ (ϕ3)σlσk︸︷︷︸∂∂θ4αlαkσlσk

=∑N≥1

(−1)N−1 1N

∑σ3α3

∑p3ωn3

· · ·∑σNαN

∑pNωnN

Gαlσlσl

(pl, ωnl)∂

∂θ4αlαkσlσk


×Gαkσkσk

(pk, ωnk)∆αkα3σkσ3 (p2, ωn2 ; p3, ωn3) . . .

×GαNσNσN


+ · · ·

105


+∑σ2α2

∑p2ωn2

· · ·∑σN−1αN−1

∑pN−1ωnN−1

Gαkσkσk



σ2σ3 (p2, ωn2 ; p3, ωn3) . . .

×Gαlσlσl

(pl, ωnl)

∂∂θ4αlαkσlσk


.

(3.45)

Lấy tổng cả hai vế của phương trình (3.45) theo αl, αk;σl, σk; pl, pk;ωnl , ωnk (ký hiệungắn là a ≡ (αl, αk;σl, σk; pl, pk;ωnl , ωnk)), ta nhận được:

∑a

∑σ2σ′2

∑p2.p

′2

ωn2 , ω′n2

((ϕ1)∗σ2σ′2

(p2, ωn2 ; p′2, ω′n2) (V1)−1σ2σ′2σlσk


)tanh θ

+∑a

∑σ2σ′1

∑p2.p

′1

ωn2 , ω′n1

((ϕ2)∗σ2σ′1

(p2, ωn2 ; p′1, ω′n1) (V2)−1σ2σ′1σlσk


)coth θ

+∑a

∑σ′1σ′2

∑p′1.p

′2

ωn′1 , ω′n2

((ϕ3)∗σ2σ′2

(p′1, ωn′1 ; p′2, ω′n2) (V3)−1σ′1σ′2σlσk


)tanh θ

=∑N≥1

(−1)N−1 1N

∑σ1α1

∑p1ωn1

· · ·∑σNαN

∑pNωnN

(Gα1σ1σ1(p1, ωn1) ∂

∂θ4α1α2σ1σ2 (p1, ωn1 ; p2, ωn2)

. . .×GαNσNσN


)

+ · · ·

+∑σ1α1

∑p1ωn1

· · ·∑σNαN

∑pNωnN

(Gα1σ1σ1(p1, ωn1)∆α1α2

σ1σ2 (p1, ωn1 ; p2, ωn2). . .×GαN

σNσN(pN, ωnN ) ∂

∂θ4αNα1σNσ1 (pN, ωnN ; p1, ωn1)

)

= ∂

∂θln det

(12 [G0]−1

).

(3.46)

106


Bởi vì⟨∂∂θ

ln det(

12 [G0]−1

)⟩= 0 và chú ý rằng

⟨(ϕi)∗

(V −1i

)(ϕi)∗

⟩= 0, ta suy ra:

⟨ϕ∗1V

−11 ϕ1

⟩tanh θ +

⟨ϕ∗2V

−12 ϕ2

⟩coth θ +

⟨ϕ∗3V

−12 ϕ3

⟩tanh θ = 0. (3.47)

Từ phương trình này ta có

sinh θ =[− 〈ϕ∗2V −1

2 ϕ2〉〈ϕ∗1V −1

1 ϕ1〉+〈ϕ∗2V −12 ϕ2〉+〈ϕ∗3V −1

3 ϕ3〉

]1/2, (3.48)

coth θ =[ 〈ϕ∗1V −1

1 ϕ1〉+〈ϕ∗3V −13 ϕ3〉

〈ϕ∗1V −11 ϕ1〉+〈ϕ∗2V −1

2 ϕ2〉+〈ϕ∗3V −13 ϕ3〉

]1/2. (3.49)

Tương tự như tính toán đã làm với tham số θ, đối với tham số φ ta cũng có

sinφ =[ 〈ϕ∗1V −1

1 ϕ1〉〈ϕ∗1V −1

1 ϕ1〉+〈ϕ∗3V −13 ϕ3〉

]1/2, (3.50)

cosφ =[ 〈ϕ∗3V −1

3 ϕ3〉〈ϕ∗1V −1

1 ϕ1〉+〈ϕ∗3V −13 ϕ3〉

]1/2. (3.51)

Ở đây để thuận tiện ta đã sử dụng các ký hiệu ngắn

⟨ϕ∗1V

−11 ϕ1

⟩=⟨∑a

∑σ2, p2, ωn2

σ′2, p′2, ω

′n2

((ϕ1)∗σ2σ′2

(p2, ωn2 ; p′2, ω′n2) (V1)−1σ2σ′2σlσk

(p′2, ω′n2 ; pl, ωnl)×(ϕ1)σlσk (pl, ωnl ; pk, ωnk)

)⟩,

⟨ϕ∗2V

−12 ϕ2

⟩=⟨∑a

∑σ2, p2, ωn2 .σ′1, p

′1, ω

′n1

((ϕ2)∗σ2σ′1

(p2, ωn2 ; p′1, ω′n1) (V2)−1σ2σ′1σlσk

(p′1, ω′n1 ; pl, ωnl)(ϕ2)σlσk (pl, ωnl ; pk, ωnk)

)⟩,

⟨ϕ∗3V

−12 ϕ3

⟩=⟨∑a

∑σ′1, p

′1, ωn′1 .

σ′2, p′2, ω

′n2

((ϕ3)∗σ2σ′2

(p′1, ωn′1 ; p′2, ω′n2) (V3)−1σ′1σ′2σlσk

(p′2, ω′n2 ; pl, ωnl)×(ϕ3)σlσk (pl, ωnl ; pk, ωnk)

)⟩.

107


(3.52)

Như vậy sau khi khử các tham số θ, φ trong hệ 5 phương trình (3.38) , (3.39) và (3.40)ta nhận được kết quả

γd = cosh θ sinφ =

⟨ϕ∗1V

−11 ϕ1

⟩⟨ϕ∗1V

−11 ϕ1

⟩+⟨ϕ∗2V

−12 ϕ2

⟩+⟨ϕ∗3V

−13 ϕ3

⟩1/2

γex = sinh θ =−

⟨ϕ∗2V

−12 ϕ2

⟩⟨ϕ∗1V

−11 ϕ1

⟩+⟨ϕ∗2V

−12 ϕ2

⟩+⟨ϕ∗3V

−13 ϕ3

⟩1/2

γC = cosh θ cosφ =

⟨ϕ∗3V

−13 ϕ3

⟩⟨ϕ∗1V

−11 ϕ1

⟩+⟨ϕ∗2V

−12 ϕ2

⟩+⟨ϕ∗3V

−13 ϕ3

⟩1/2

(3.53)

thế ngược các tham số (3.53) vào hệ năm phương trình trên ta nhận được ba phươngtrình

∑σ2σ′2

∑p2, p

′2

ωn2 , ω′n2

(ϕ1)∗σ2σ′2(p2, ωn2 ; p′2, ω′n2) (V1)−1

σ2σ′2σlσk(p′2, ω′n2 ; pl, ωnl)

=∑N≥1

(−1)N−1 1N

∑σ3α3

∑p3ωn3

· · ·∑σNαN

∑pNωnN

Gαlσlσl

(pl, ωnl) δαlαk(−1)αli cosh θ sinφ︸︷︷︸σl=σ1,σk=σ2

×Gαkσkσk

(pk, ωnk)4αkα3σkσ3 (pk, ωnk ; p3, ωn3) . . . GαN


σNσ1 (pN, ωnN ; p1, ωn1)+ · · ·+∑σ2α2

∑p2ωn2

· · ·∑σN−1αN−1

Gαkσkσk

(pk, ωnk)4αkα2σkσ2 (pk, ωnk ; p2, ωn2)


σ2σ3 (p2, ωn2 ; p3, ωn3) . . . Gαlσlσl

(pl, ωnl) δαlαk(−1)αli cosh θ sinφ︸︷︷︸σl=σN ,σk=σ1

,(3.54)

108


∑σ2σ′1

∑p2, p

′1

ωn2 , ω′n1

(ϕ2)∗σ2σ′1(p2, ωn2 ; p′1, ω′n1) (V2)−1

σ2σ′1σlσk(p′1, ω′n1 ; pl, ωnl) =

=∑N≥1

(−1)N−1 1N

∑σ3α3

∑p3ωn3

· · ·∑σNαN

∑pNωnN

Gαlσlσl

(pl, ωnl) δαlαk(−1)αl sinh θ︸︷︷︸σl=σ1,σk=σ2

×Gαkσkσk



σNσ1 (pN, ωnN ; p1, ωn1)+ · · ·+∑σ2α2

∑p2ωn2

· · ·∑σN−1αN−1

Gαkσkσk




(pl, ωnl) δαlαk(−1)αl sinh θ︸︷︷︸σl=σN ,σk=σ1

,(3.55)

∑σ′1σ′2

∑p′1, p

′2

ω′n1 , ω′n2

(ϕ3)∗σ′1σ′2 (p′1, ω′n1 ; p′2, ω′n2) (V3)−1σ′1σ′2σlσk

(p′2, ω′n2 ; pl, ωnl) =

=∑N≥1

(−1)N−1 1N

∑σ3α3

∑p3ωn3

· · ·∑σNαN

∑pNωnN

Gαlσlσl

(pl, ωnl) (1− δαlαk) (−2i cosh θ cosφ)︸︷︷︸σl=σ1,σk=σ2

×Gαkσkσk



σNσ1 (pN, ωnN ; p1, ωn1)+ · · ·+∑σ2α2

∑p2ωn2

· · ·∑σN−1αN−1

Gαkσkσk




(pl, ωnl) (1− δαlαk) (−2i cosh θ cosφ)︸︷︷︸σl=σN ,σk=σ1

.(3.56)

Hệ phương trình này bao gồm các phương trình khe BCS và phương trình độ từ hóachứa đựng những đóng góp của các kênh khác nhau, nhận được dễ dàng từ gần đúngHFB, dẫn đến một nghiệm khả dĩ đối với sự đồng tồn tại của nhiều pha. Hơn nữa,trong lân cận sự chuyển pha, khai triển nhiễu loạn xa hơn của tác dụng hiệu dụng

109


trong (3.22) quanh lý thuyết trường trung bình theo các trường phụ để lộ ra nhiềuthông tin về sự chuyển pha của chúng mà sự chuyển pha đó được mô tả bởi phiếm hàmGinzburg-Landau nhiều thành phần của các tham số trật tự.

3.1.3. Phiếm hàm Ginzburg-Landau ba thành phần

Khai triển tác dụng hiệu dụng theo các trường phụ ϕi tới bậc bốn trong đó chỉ baogồm những số hạng thỏa mãn tính đối xứng của hệ và giữ lại số cực tiểu các số hạngđể nhận được các kết quả có ý nghĩa vật lý, ta thu được phiếm hàm năng lượng tự doGL với sự tham gia của nhiều tham số trật tự mô tả mối quan hệ của các pha sóngmật độ điện tích, sóng spin và siêu dẫn.

fGL [ϕi] = a1 |ϕ1|2 + a2 |ϕ2|2 + a3 |ϕ3|2 + b1 (ϕ∗1) |ϕ3|2 + b2 (ϕ1) |ϕ3|2

+ b3 (ϕ∗2) |ϕ3|2 + b4 (ϕ2) |ϕ3|2 + c1 |ϕ1|4 + c2 |ϕ2|4 + c3 |ϕ3|4

+ c4 |ϕ1|2 |ϕ2|2 + c5 |ϕ2|2 |ϕ3|2 + c6 |ϕ3|2 |ϕ1|2(3.57)

Ở đây, cả ba số hạng bậc hai |ϕ1|2 , |ϕ2|2 , |ϕ3|2 có vai trò như nhau, và cả ba số hạngbậc bốn |ϕ1|4 , |ϕ2|4 , |ϕ3|4 cũng vậy, chúng mô tả mỗi kênh riêng biệt tương ứng. Cácsố hạng khác mô tả tương tác giữa các kênh đưa đến sự đồng tồn tại của các pha cânbằng. Các hệ số khai triển ai, bj, ck là các hàm của nhiệt độ (có thể là cả áp suất vàcác đại lượng nhiệt động khác) và là tích của các hàm Green tự do của các điện tử vàlỗ trống. Tổng theo tần số Fermi Masubara ωn = (2n + 1)π

βvà các véc tơ sóng k của

các tích này có thể tính được nhờ khai triển Taylor và lý thuyết thặng dư.Nhờ phép biến đổi HS để tách cặp các số hạng tương tác hai hạt, ta thu được phiếmhàm (3.57) theo cách tổng quát nhất. Thực tế, các trường phụ ϕi chưa phải là phacụ thể nào bởi vì như đã nói ở trên các chỉ số spin σ, σ′ là chung cho tất cả các phakhả dĩ. Thêm vào đó, thế năng nghịch đảo V −1 được đưa vào theo phương pháp táchcặp trong hầu hết các hệ vật lý không phải luôn tồn tại.ϕi đóng vai trò tham số cụ thể nào, và ϕi nào tồn tại trong mỗi bài toán cụ thểsẽ phụ thuộc vào việc chúng ta chọn kênh nào để tách cặp. Sự lựa chọn kênh đúng phụthuộc chủ yếu vào hai yếu tố: cấu trúc toán học của số hạng tương tác hai hạt và lý dovật lý của hệ được xem xét. Về mặt toán học, sự lựa chọn kết cặp đúng tương ứng vớisự tồn tại của tích phân Gaussian W của các trường phụ boson ϕi. Nói cách khác,phải tồn tại ma trận nghịch đảo V −1, mà thành phần Hermitian của nó là một matrận xác định dương với các giá trị riêng thực. Nghịch đảo của phần tử ma trận haihạt, (V )−1

σ′2σ′1σ2σ1

(k′,k,q), được định nghĩa bởi:

110

3.2 Các mô hình đơn giản

∑σ,σ′

∑k′Vσ1σσ′1σ

′(k,k′,q)(Vd)−1σ′σ′2σσ2

(k′,k1,q) = δkk1δσ1σ2δσ′1σ′2 (3.58)∑σ,σ′

Vσ1σσ′σ′1(k,k′,q)(Vex)−1

σ′2σ′σσ2

(k′,k,q) = δσ1σ2δσ′1σ′2 (3.59)∑σ′1,σ

′2

Vσ3σ4σ′1σ′2(k,k′,q)(VC)−1

σ′2σ′1σ2σ1

(k′,k,q) = δσ1σ3δσ2σ4 (3.60)

Khi cấu trúc toán học của số hạng tương tác hai hạt thỏa mãn, ta cần phải được xemxét về mặt vật lý. Trong trường hợp đơn giản nhất, các phần tử ma trận hai hạt khôngphụ thuộc vào spin, cả ba sự tách cặp đều khả dĩ và tất cả các tham số trật tự có thểđồng tồn tại trong hệ được xem xét. Tuy nhiên, trong trường hợp này, các tính toán lýthuyết sẽ dẫn đến các kết quả khác nhau, tức là sự lưỡng nghĩa sẽ xuất hiện. Để tránhđiều này, ta cần tính đến sự phụ thuộc spin của phần tử ma trận hai hạt trong các môhình vi mô. Lý do vật lý đơn giản nhất cho việc này là sự đóng góp của các boson traođổi phản ánh các tương tác giữa các điện tử dẫn và các thăng giáng nền boson sẽ đưađến sự xuất hiện các kênh cạnh tranh được lựa chọn. Tùy thuộc vào các chỉ số spinđược tách ra như thế nào (σ, σ′ là ↓↓, ↑↑ hoặc ↓↑ ± ↑↓) mà ta sẽ có trật tự siêu dẫnsinglet hay trật tự siêu dẫn triplet, trật tự sắt từ hay trật tự phản sắt từ. Nếu trật tựlà singlet, hệ hoàn toàn có thể tồn tại một pha phản sắt từ và pha siêu dẫn singlet nhưtrong CeRhIn5 và CeIrIn5. Nếu trật tự là triplet, hệ hoàn toàn có thể tồn tại một phasắt từ và một pha siêu dẫn triplet như trong UGe2 mà không phụ thuộc vào việc cácđiện tử có định xứ hay là không.

3.2. Các mô hình đơn giản

Như được thảo luận ở trên, giữa vô số khả năng tách số hạng tương tác hai hạt thànhcác số hạng một hạt như trong (3.5), có ba trường hợp đặc biệt: khi γi = 1 và γj 6=i = 0.Những trường hợp này được biết như là các kênh trực tiếp, trao đổi và Cooper. Sauđây sẽ xét một số mô hình vật lý đơn giản rút ra từ các kênh này

3.2.1. Kênh mật độ

Khi γd = 1 và γex = γC = 0, Hamiltonian của hệ có dạng

H = H0 +Hd1 , (3.61)

trong đó

H0 =∑σ


111


Hd1 =

∑σ1,σ2,σ′1,σ

′2

∑k,k′,q

ψ†σ1(k−q2 )ψσ′1(k+q

2 ) (Vd)σ1σ2σ′1σ′2

(k,k′,q)ψ†σ2(k′+q2 )ψσ′2(k′−q

2 ),

(3.63)

Các số hạng direct Vσ1σ2σ′1σ′2(k,k′,q) ≡ V (q) chứa các tích phân theo bình phương

mô đun của các hàm Wannier và các thăng giáng mật độ kết cặp tại các nút lân cận,∑k,k′,q V (q)nknk′ , trong đó nk = ∑

σ ψ†σ(k)ψσ(k). Đóng góp này giải thích cho bản

chất tương tác cổ điển giữa các điện tích nằm ở các nút lân cận. Trong một số vật liệu,các tương tác của loại này có khả năng gây ra sự mất ổn định chung trong sự phân bốđiện tích được biết đến là sóng mật độ điện tích không ổn định. Trong gần đúng điệntử gần tự do, Hamiltonian trên thường được rút gọn tới môi trường một chiều và bỏqua các bậc tự do spin

H =∑

kε(k)ψ†(k)ψ(k)+ ∑

k,k′,qψ†(k− q

2 )ψ(k+ q2 )V (q)ψ†(k′+ q

2 )ψ(k′− q2 ), (3.64)

các kích thích cơ bản của hệ fermion một chiều là các sóng, nghĩa là các kích thíchtương ứng với hệ thức tán sắc tuyến tính ω = vρ |q| (vρ là trị riêng của Hamiltonianmột chiều), chúng được gọi là sóng mật độ điện tích (một sự trình bày chi tiết hơnxem trong tài liệu tham khảo [9], trang 68).

3.2.2. Kênh trao đổi

Một đóng góp quan trọng khác đến từ kết cặp trao đổi của kênh exchange, kết cặp nàygây ra các tương quan từ giữa các spin điện tử. Bỏ qua các số hạng kết cặp theo cáckênh trực tiếp và Cooper, Hamiltonian của hệ bây giờ có dạng

H = H0 +Hex1 , (3.65)

trong đó

H0 =∑σ


và

Hex1 =

∑σ1,σ2,σ′1,σ

′2

∑k,k′,q

ψ†σ1(k−q2 )ψσ′2(k′−q

2 ) (Vex)σ1σ2σ′1σ′2

(k,k′,q)ψ†σ2(k′+q2 )ψσ′1(k+q

2 ),

(3.67)

Ta hãy suy ra một vài mô hình đơn giản từ kênh này.

112


3.2.2.1. Mô hình Heisenberg

Mô hình Heisenberg có thể được xây dựng với giả thiết đóng góp vượt trội là đến từsố hạng tương tác đồng thời phần tử ma trận tán xạ kết cặp hai hạt phải có dạng

(Vex)σ1σ2σ′1σ′2

(k,k′,q) = (Vex) (k,k′,q)σσ1σ′1.σ†σ2σ′2

(3.68)

trong đó (Vex) (k,k′,q) = J là hằng số tương tác trao đổi, thỏa mãn

J =

J0 ở lân cận gần nhất0 các trường hợp khác

(3.69)

và J0 > 0 đối với tương tác sắt từ và J0 < 0 đối với tương tác phản sắt từ. HamiltonianHeisenberg bây giờ được viết dưới dạng sau

H = −2∑ij

JijSi.Sj (3.70)

Trong trường hợp sắt từ (J0 > 0) các spin sẽ định hướng song song cùng chiều. Điềunày xảy ra khi sự xen phủ giữa các obitan i và j lớn. Khi đó do nguyên lí Pauli (tươngtự như trường hợp của quy tắc Hund) điện tử sẽ có xu hướng xắp song song cùng chiềuspin của chúng. Tuy nhiên nếu các spin nằm đối song ở các nguyên tử lân cận thì mộtsự chui hầm, một hiệu ứng chỉ khả dĩ nếu các spin xắp ngược nhau, có thể thích hợphơn, vì vậy trong trường hợp này J0 < 0.

3.2.2.2. Mô hình Hubbard

Thực hiện các phép biến đổi Fourier, biểu diễn mới của Hamiltonian của hệ trong hệcơ sở các hàm Wannier có dạng

H =∑ii′tii′a

†iσai′σ −

∑ii′jj′

Uii′jj′a†iσa†i′σ′aj′σ′ajσ (3.71)

trong đó

tii′ = 1N

∑kεke

ik(Ri−Ri′ ) (3.72)

và

Uii′jj′ =dr

dr′φ∗Ri

(r)φRj(r)Vσ1σ2σ′1σ

′2(r− r′)φ∗Ri′

(r′)φRj′(r′) (3.73)

113


Trong giới hạn nguyên tử, ở đó các nguyên tử tách rời nhau, và sự xen phủ giữa cácorbital lân cận là yếu, các phần tử ma trận tij là nhỏ theo quy luật hàm số mũ đối vớikhoảng cách giữa các nguyên tử. Trong giới hạn này, tương tác Coulomb hay Hubbard“tại chỗ”, Uiiii = U , ∑i Uiiiia

†iσa†iσ′aiσ′aiσ = ∑

i Uni↑ni↓, tạo ra cơ chế tương tác vượttrội. Chỉ lấy sự đóng góp lân cận gần nhất cho các phần tử ma trận trao đổi, và bỏqua sự bù năng lượng do bởi số hạng chéo, Hamiltonian hiệu dụng có dạng đơn giảnđược biết đến là mô hình Hubbard

H = −t∑〈ij〉

a†iσajσ + U∑i

ni↑ni↓ (3.74)

trong đó 〈ij〉 ký hiệu các nút mạng lân cận.

3.2.3. Kênh Cooper

Cuối cùng, kết cặp Cooper giữa các fermion trong kênh Cooper có thể gây ra cáchiện tượng siêu dẫn. Bỏ qua các số hạng kết cặp theo các kênh trực tiếp và trao đổi,Hamiltonian của hệ bây giờ có dạng

H = H0 +HC1 , (3.75)

trong đó

H0 =∑σ


và

HC1 =

∑σ1,σ2,σ′1,σ

′2

∑k,k′,q

ψ†σ1(k−q2 )ψ†σ2(k′+q

2 ) (VC)σ1σ2σ′1σ′2

(k,k′,q)ψσ′2(k′−q2 )ψσ′1(k+q

2 )

(3.77)

Tùy theo tương quan spin là singlet hay triplet mà ta có mô hình siêu dẫn truyền thốnghay phi truyền thống.

3.2.3.1. Siêu dẫn truyền thống (Siêu dẫn BCS)

Lý thuyết BCS dựa vào giả thuyết rằng tính siêu dẫn xuất hiện khi tương tác hút cặpCooper vượt trội hơn lực đẩy Coulomb [50]. Một cặp Cooper là cặp liên kết electron-electron yếu gián tiếp tạo thành bởi một tương tác phonon. Một electron “được cặpđôi” là electron có mô men và spin đối song mà nó được hút bởi ảnh hưởng này.

114

3.3 Thảo luận

Trong trường hợp cặp Cooper là kết cặp singlet, Hamiltonian trên được viết lại dướidạng

H =∑k,σ

εkc†kσckσ +

∑k,lVkl c†k↑c

†−k↓c−l↓cl↑. (3.78)

trong đó Vkk′ = 1ΩΩd3rV (r)ei(k−k′)r, và gần đúng trường trung bình được tạo ra như

sau

Vkk′ =

−V khi εF < εk < εF + ~ωc0 các trường hợp khác,

(3.79)

trong đó εF là năng lượng Fermi và ωc là tần số ngưỡng. Phương trình (3.79) cho thấyrằng ta chỉ cần xét các tương tác mà chúng được phép trong một phạm vi tần số củakim loại, giống như các giả thiết được tạo ra trong mô hình Debye.

3.2.3.2. Siêu dẫn không truyền thống

Lý thuyết BCS tổng quát dựa vào một dạng mở rộng của tương tác vi mô trong đó chỉxét sự tán xạ của cặp điện tử với xung lượng toàn phần bằng không và tương tác giữachúng là tương tác hút. Hamiltonian trên có thể được viết như sau

H =∑k,σ

εkc†kσckσ +

∑k,l

∑σ1,σ2,σ3,σ4

Vk,l;σ1σ2σ3σ4 c†kσ1c†−kσ2

c−lσ3clσ4 , (3.80)

trong đó ma trận tán xạ kết cặp

(VC)σ1σ2σ′1σ′2

(k,k′,q) ≡ Vk,l;σ1σ2σ3σ4 = 〈−kσ1; kσ2| V |−lσ3; lσ4〉 , (3.81)

có thể biểu diễn được dưới dạng


(k,k′,q) = (VC) (k,k′,q) (iσσy)σ1σ2(iσσy)†σ′1σ′2 (3.82)

với (VC) (k,k′,q) = VC là hằng số tương tác hút.

3.3. Thảo luận

Phiếm hàm năng lượng Ginzburg-Landau nhiều thành phần (3.57) là phiếm hàm thuđược theo cách tổng quát nhất, nó chứa cả các số hạng mô tả mỗi kênh riêng biệt tươngứng lẫn các số hạng khác mô tả tương tác giữa các kênh khả dĩ đưa đến sự đồng tồntại của các pha cân bằng. Tùy theo bài toán cụ thể ta xét sự đồng tồn tại của trật tự

115

3.3 Thảo luận

siêu dẫn singlet hay trật tự siêu dẫn triplet, trật tự sắt từ hay trật tự phản sắt từ màrút ra phiếm hàm năng lượng Ginzburg-Landau cụ thể. Chẳng hạn phiếm hàm nănglượng Ginzburg-Landau một thành phần (2.127) có thể nhận được từ phiếm hàm nănglượng Ginzburg-Landau nhiều thành phần (3.57) khi cho các tham số γd, γex của cáckênh trực tiếp và trao đổi bằng không.Như đã nói ở trên, ϕi đóng vai trò tham số cụ thể nào, và ϕi nào tồn tại trongmỗi bài toán cụ thể sẽ phụ thuộc vào việc chúng ta chọn kênh nào để tách cặp. Sựlựa chọn kênh đúng phụ thuộc chủ yếu vào hai yếu tố: cấu trúc toán học của số hạngtương tác hai hạt và lý do vật lý của hệ được xem xét. Về mặt toán học, sự lựa chọnkết cặp đúng tương ứng với sự tồn tại của tích phân Gaussian W của các trường phụboson ϕi. Còn về mặt vật lý ta cần tính đến sự phụ thuộc spin của phần tử ma trậnhai hạt trong các mô hình vi mô. Tùy thuộc vào các chỉ số spin được tách ra như thếnào (σ, σ′ là ↓↓, ↑↑ hoặc ↓↑ ± ↑↓) mà ta sẽ có trật tự siêu dẫn singlet hay trật tự siêudẫn triplet, trật tự sắt từ hay trật tự phản sắt từ. Chẳng hạn, đối với bài toán sự đồngtồn tại của trật tự sắt từ và siêu dẫn trong UGe2, hệ hoàn toàn có thể tồn tại mộtpha sắt từ và một pha siêu dẫn triplet. Vì vậy, chương còn lại của luận án chúng tôisẽ xem xét khả năng sử dụng phiếm hàm GL (3.57) để nghiên cứu sự đồng tồn tại củapha sắt từ và siêu dẫn triplet trong hệ UGe2.

116

4. SỰ ĐỒNG TỒN TẠI CÁC TRẬTTỰ SẮT TỪ VÀ SIÊU DẪNTRONG CÁC HỢP CHẤTFERMION NẶNG

Các hiện tượng từ và siêu dẫn truyền thống đã được biết đến từ lâu. Thế nhưng, tínhchất nghịch từ hoàn hảo của siêu dẫn, trong một thời gian dài, đã khiến cho người ta cósuy nghĩ rằng từ tính không hợp với siêu dẫn. Tuy nhiên năm 1979 Steglich và các cộngsự đã khám phá ra vật liệu fermion nặng đầu tiên có tính siêu dẫn là CeCu2Si2[81].Trong những năm 80, tính siêu dẫn đã được tìm thấy trong các hợp chất fermion nặngdựa trên U, chẳng hạn như UBe13 (năm 1983) [65] và UPt3 (năm 1984) [82]. Trong cáchợp chất có chứa nguyên tố đất hiếm cerium Ce và uranium U này, trật tự siêu dẫncó thể đồng tồn tại với trật tự phản sắt từ và các spin của các điện tử lân cận nhausắp xếp thành một cấu hình phản song song dưới các điều kiện đặc biệt (áp suất caovà nhiệt độ rất thấp). Một đột phá khác là sự phát hiện ra UGe2 trong năm 2000, tiếptheo sau đó các chất UIr,URhGe, và UCoGe có sự đồng tồn tại của các trật tự sắt từvà siêu dẫn. Trong các vật liệu này người ta quan sát được hiện tượng siêu dẫn ở dướinhiệt độ Curie mà không có hiện tượng loại trừ trật tự sắt từ. Các nghiên cứu về hệfermion nặng và các vật liệu ngoại lai khác chỉ ra rằng sự cạnh tranh giữa các trật tựtừ và siêu dẫn là một đặc tính quan trọng của các hệ điện tử tương quan mạnh.Để nghiên cứu các hiện tượng đồng tồn tại của từ và siêu dẫn người ta thường dựa trênhình thức luận Ginzburg-Landau để xây dựng phiếm hàm năng lượng tự do hai thànhphần. Bên cạnh đó, người ta cũng quan tâm đến việc thiết lập các mô hình vi mô đểrút ra phiếm hàm năng lượng GL hai thành phần đó. Trong chương này, trước tiênchúng tôi trình bày một cách tiếp cận vi mô để rút ra phiếm hàm năng lượng GL haithành phần. Tiếp theo, dựa trên bài toán riêng của siêu dẫn sắt từ của các hệ fermionnặng dựa trên Uranium, chúng tôi sẽ rút ra một biểu diễn chính thức cho phiếm hàmGL hai tham số trật tự sắt từ và siêu dẫn triplet và sau đó sử dụng nó để nghiên cứusự đồng tồn tại của các pha sắt từ và siêu dẫn trong hệ UGe2. Và cuối cùng, các tínhtoán giải tích và tính số được tiến hành để chỉ ra các miền pha cân bằng. Các kết quảsẽ được biểu diễn bằng đồ thị để minh họa sự đồng tồn tại của pha sắt từ và siêu dẫntriplet trong hệ UGe2 (chương này được trích một phần trong tài liệu tham khảo [51]của chính tác giả).

117

4.1 Nguồn gốc vi mô của phiếm hàm Ginzburg-Landau hai thành phần

4.1. Nguồn gốc vi mô của phiếm hàmGinzburg-Landau hai thành phần

Ta bắt đầu từ một mô hình Fermion tương tác. Dưới dạng lượng tử hóa lần hai,Hamiltonian của hệ có thể viết dưới dạng

H = H0 +H1, (4.1)

trong đó

H0 =∑σ

∑kεσ(k)ψ†σ(k)ψσ(k), (4.2)

H0 là Hamiltonian không nhiễu loạn mô tả hệ Fermion tự do; ψσ(k) và ψ†σ(k) là cáctoán tử hủy và sinh của Fermion với các hình chiếu spin là σ =↑, ↓; εσ(k) là hệ thứctán sắc của các Fermion tự do và

H1 =∑

σ1,σ2,σ′1,σ′2

∑k,k′,q

Vσ1σ2σ′1σ′2(k,k′,q)ψ†σ1(k−q

2 )ψ†σ2(k′+q2 )ψσ′2(k′−q

2 )ψσ′1(k+q2 ). (4.3)

H1 là số hạng tương tác hai hạt hiệu dụng tổng quát của Fermion tương tác được viếtdưới dạng trật tự chuẩn. Vσ1σ2σ′1σ

′2(k,k′,q) là phần tử ma trận tán xạ kết cặp tổng

quát, nó có thể bao gồm cả những sự đóng góp của các tương tác khác nhau trong hệchẳng hạn như tương tác electron-phonon, tương tác spin-spin,... thậm chí cả tươngtác impurity-electron và tương tác impurity-impurity. Về cả mặt toán học và vật lý, sốhạng tương tác hiệu dụng tổng quát rất phức tạp và không có dạng giải tích chính xácvà tường minh.Để biến đổi Hamiltonian trên thành một Hamiltonian không tương tác hiệu dụng, tatách cặp số hạng Fermion bậc bốn thành các số hạng bậc hai. Các gần đúng khác nhaucó thể được sử dụng để thực hiện nhiệm vụ này. Trong miền nhiệt độ thấp, nơi màcác kích thích cơ bản là vượt trội, các thăng giáng quanh giá trị trung bình của cáctham số trật tự là nhỏ đến mức các số hạng thăng giáng bậc hai có thể được bỏ quathì phương pháp đơn giản nhất là gần đúng trường trung bình.Có ít nhất ba lựa chọn không tương đương của sự kết cặp các toán tử Fermion cóthể được sử dụng để cấu trúc nên số hạng song tuyến tính từ tương tác hai hạttổng quát. Đó là các kết cặp theo kênh trực tiếp (ψ†ψ)σ1σ′1

(k,−q, τ), kênh trao đổi(ψ†ψ)σ2σ′1

(k′,k,q, τ), và theo kênh Cooper (ψψ)σ′2σ′1(k′,k,q) và (ψψ)†σ2σ1(k′,k,−q).Tuy nhiên, sự lựa chọn đúng của trường tách cặp sẽ chỉ được thúc đẩy bởi những lýdo vật lý, nghĩa là, ta phải tiến tới thu được một lý thuyết hiệu dụng dựa trên các

118


trường kết cặp. Trong trường hợp đơn giản nhất, các phần tử ma trận hai hạt khôngphụ thuộc spin, Vσ1σ2σ′1σ

′2(k,k′,q) = V (k,k′,q), sự tách cặp theo cả ba kênh là khả dĩ

và cả ba tham số trật tự có thể đồng tồn tại trong hệ được xem xét. Tuy nhiên, trongtrường hợp này các tính toán lý thuyết sẽ dẫn đến các kết quả khác nhau. Nói cáchkhác, sự lưỡng nghĩa xuất hiện. Để tránh lỗi này, chúng ta phải tính đến sự phụ thuộcspin của phần tử ma trận hai hạt Vσ1σ2σ′1σ

′2(k,k′,q) trong mô hình vi mô. Lý do vật

lý đơn giản nhất phải đưa vào sự phụ thuộc spin của phần tử ma trận hai hạt trongmô hình vi mô là sự đóng góp của các boson trao đổi phản ánh tương tác giữa cácđiện tử dẫn và các thăng giáng boson nền mà nó gây ra các kênh cạnh tranh được lựachọn. Phụ thuộc vào việc các chỉ số spin được tách ra như thế nào (σ, σ′ là ↓↓, ↑↑ hay↓↑ ± ↑↓) mà ta sẽ có trật tự siêu dẫn singlet hay triplet, trật tự sắt từ hay phản sắttừ. Nếu như trật tự là singlet thì hệ có thể tồn tại một pha phản sắt từ và một phasiêu dẫn truyền thống như trong CeRhIn5 và CeIrIn5. Nếu trật tự là triplet, hệ có thểtồn tại một pha sắt từ cùng với pha siêu dẫn không truyền thống như trong UGe2 màkhông phụ thuộc vào việc các điện tử có định xứ hay không.Vì những lý do trên, trong bài toán này, số hạng tương tác hai hạt hiệu dụng tổngquát H1

[ψ†, ψ

]được tách thành một tổng của hai số hạng Fermion song tuyến tính

khả dĩ với các tham số tùy ý γi, trong đó i ∈ ex,C như sau

H1[ψ†, ψ

]= γ2

exHex1

[ψ†, ψ

]+ γ2

CHC1

[ψ†, ψ

](4.4)

ở đây các Hamiltonian Hex1 và HC

1 là các tương tác hai hạt tổng quát được viết lại theocác số hạng song tuyến tính Fermion khác nhau:

Hex1 =

∑σ1,σ2,σ′1,σ

′2

∑k,k′,q

ψ†σ1(k− q2 )ψσ′2(k′ − q

2 ) (Vex)σ1σ2σ′1σ′2

(k,k′,q)ψ†σ2(k′ + q2 )ψσ′1(k + q

2 ),

(4.5)

HC1 =

∑σ1,σ2,σ′1,σ

′2

∑k,k′,q

ψ†σ1(k− q2 )ψ†σ2(k′ + q

2 ) (VC)σ1σ2σ′1σ′2

(k,k′,q)ψσ′2(k′ − q2 )ψσ′1(k + q

2 ),

(4.6)

và các giá trị của các tham số γi sẽ thỏa mãn đẳng thức

γ2ex + γ2

C = 1. (4.7)

Đẳng thức này đảm bảo rằng thế năng Vσ1σ2σ′1σ′2(k,k′,q) có thể được viết ra theo nhiều

cách khác nhau, nhưng tổng của chúng phải bằng thế năng ban đầu. Chúng ta có thể

119


tìm được các tham số γi bằng cách cực tiểu hóa phiếm hàm năng lượng tự do GL theoγi.Cụ thể, ma trận tương tác có dạng đơn giản

(Vex)σ1σ2σ′1σ′2

(k,k′,q) = (Vex) (k,k′,q)σσ1σ′2.σ†σ2σ′1

(4.8)

trong đó (Vex) (k,k′,q) = Vex là hằng số tương tác. Khi đó, ta định nghĩa tham số trậttự sóng mật độ spin (SDW) như sau

Mσ1σ′2(q) =

∑σ2,σ′1

∑k,k′

(Vex) (k,k′,q)σ†σ2σ′1

⟨ψ†σ2(k′ + q

2 )ψσ′1(k + q2 )⟩

(4.9)

Ở đây σ(i)ss′ ký hiệu phần tử (ss′) của ma trận Pauli thứ i, với s, s′ = ±1, và σ =

xσx + yσy + zσz ký hiệu véc tơ có các thành phần là các ma trận Pauli thông thường.Ta cũng xét tương tác siêu dẫn chỉ theo kênh triplet, nghĩa là


(k,k′,q) = (VC) (k,k′,q) (iσσy)σ1σ2(iσσy)†σ′1σ′2 , (4.10)

với hằng số tương tác (VC) (k,k′,q) = VC . Tham số trật tự siêu dẫn triplet được xácđịnh như sau

4σ1σ2(k,q) = (VC)σ1σ2σ′1σ′2

(k,k′,q)⟨ψσ′2(k′ − q

2 )ψσ′1(k + q2 )⟩

= [i (d(k)σ)σy]σ1σ2.

(4.11)

Sử dụng các tham số trật tự SC và SDW, ta viết lại phần tương tác dưới dạng bậc hainhư sau

Hex1 =

∑σ1,σ′2

∑k,k′,q

[(M.σ)σ1σ′2

(q, τ)ψ†σ1(k− q2 )ψσ′2(k′ − q

2 )

+(M.σ)†σ1σ′2(q, τ)ψ†σ1(k′ + q

2 )ψσ′2(k + q2 )]

+ M2

Vex

(4.12)

HC1 =

∑σ1,σ2

∑k,k′,q

[4σ1σ2(k,q)ψ†σ1(k− q

2 )ψ†σ2(k′ + q2 )

+4†σ1σ2(k,q)ψσ1(k + q2 )ψσ2(k′ − q

2 )]

+ |∆|2

VC.

(4.13)

Để xác định năng lượng tự do GL, ta phải lấy tích phân theo các trường fermion củahàm phân bố chính tắc lớn trường trung bình. Để thuận tiện cho việc lấy tích phân,

120


ta viết lại các phương trình (4.12) và (4.13) dưới dạng bậc hai chặt chẽ của spinor bốnthành phần Ψ, được đưa vào như sau:

Ψ(

k + q2

)=(ψ↑(k + q

2 ) ψ↓(k + q2 ) ψ†↑(−k + q

2 ) ψ†↓(−k + q2 ))T, (4.14)

Ψ†(

k + q2

)=(ψ†↑(k + q

2 ) ψ†↓(k + q2 ) ψ↑(−k + q

2 ) ψ↓(−k + q2 )), (4.15)

Bây giờ, Hamiltonian trường trung bình có thể được viết lại dưới dạng song tuyến tính

HMF = −12∑

k,k′,qΨ†(

k + q2

)D(k,k′,q)Ψ

(k′ − q

2 , τ)

+ M2

Vex+ |∆|

2

VC, (4.16)

trong đó D(k,k′,q) là một ma trận cấp 4× 4 cho bởi,

D(k,k′,q) =

−ε↑↑ − Φ↑↑ −Φ↑↓ F↑↑ F↑↓−Φ↓↑ −ε↓↓ − Φ↓↓ F↓↑ F↓↓F∗↑↑ F∗↑↓ ε↑↑ + Φ↑↑ Φ↑↓F∗↓↑ F∗↓↓ Φ↓↑ ε↓↓ + Φ↓↓

(4.17)

Trong phương trình (4.17), hai khối ma trận con bậc hai nằm ngoài đường chéo củama trận D(k,k′,q) tương ứng là hệ siêu dẫn triplet thuần, và hai khối ma trận connằm trên đường chéo chứa trường sóng mật độ spin M kết cặp các fermion giữa haivùng điện tử và lỗ trống. Ở đây, để đơn giản cách viết các ký hiệu ngắn sau đã đượcsử dụng:

Fσσ′ = 2γ2C∆σ1σ2(−k′,k,q, τ),

F∗σσ′ = 2γ2C∆∗σ2σ1(−k,k′,−q, τ).

(Φ)σσ′ = γ2ex [(M.σ)∗σ′σ(−k,−q) + (M.σ)σσ′(k,q)] .

(4.18)

Để nhận được năng lượng tự do, ta bắt đầu với hàm phân bố chính tắc lớn của hệ. Nócó thể được biểu diễn theo một tích phân phiếm hàm như sauHàm phân bố chính tắc lớn của hệ có thể được biểu diễn theo một tích phân phiếmhàm như sau

Z =

[Dψ][Dψ†

]exp

−β

0

dτ[∑σ

∑kψ†σ(k, τ)∂τψσ(k, τ) +H

[ψ†, ψ

](τ)] . (4.19)

121


Với Hamiltonian trung bình trong phương trình (4.16), tích phân phiếm hàm trongphương trình (4.19) có dạng Gaussian, và các trường fermion có thể được lấy tíchphân. Khi đó năng lượng tự do GL có thể nhận được theo cách khá dễ dàng, mang đến

F = +M2

Vex+ |∆|

2

VC−

Ωln det

(12 [G0]−1

)(4.20)

Trong phương trình (4.20) hàm Green được cho bởi [G0]−1 (k,k′,q) = iωnI4×4 +D(k,k′,q), I4×4 là ma trận đơn vị cấp 4×4, và

Ω ≡

1β

∑ωn

1V

∑k

∑σi=↑,↓

∑α=e,h

∑qi,ωνi

làký hiệu của tổng theo xung lượng, các tần số Matsubara, spin và các chỉ số vùng của cácđiện tử và lỗ trống. Ở đây, các tần số Matsubara của boson ký hiệu bởi ων = 2νπT ,ν = 0,±1,±2, . . ., và tần số Matsubara của fermion ký hiệu bởi ωn = (2n+ 1) πT ,n = 0,±1,±2, . . .. Nhiệt độ nghịch đảo và thể tích của hệ ký hiệu tương ứng làβ = 1/kBT và V . Vex là hằng số tương tác trao đổi và VC là hằng số kết cặp siêu dẫntriplet.Các đóng góp logarithmic trong phương trình (4.20) có thể được khai triển như mộthàm số (một hệ quả của toán tử vết), nghĩa là

ln det 12

([G0]−1

)= Tr ln 1

2([G0]−1

)= ln

(12

)+ ln [Ge

0]−1 + ln[Gh

0

]−1+∑N≥1

Tr [G]N , (4.21)

trong đó

[G]N = (−1)N−1 1N

[(Ge 00 Gh

)(Φee F ehFhe Φhh

)]N, (4.22)

Φee = −Φ, F eh = FΦhh = Φ, Fhe = F∗

Ge = Ge0 Gh = Gh

0 ,

và toán tử vết được hiểu là toán tử chéo hóa spin, xung lượng và tần số mà các phầntử ma trận của nó cho bởi hàm Green tự do của các Fermion tự do.Lấy vết ma trận, chỉ giữ lại các số hạng tham số trật tự kết cặp có spin, xung lượngvà tần số boson Matsubara khép kín, ta nhận được các kết quả sau:khai triển bậc nhất

122


ΩTr [G]1

=∑α1

∑σ1

∑k,qi

∑ωn,ωνi

Gα1σ1σ1Φα1α1

σ1σ1

= 2γ2d

∑α1

∑σ1

∑k,qi

∑ωn,ωνi

Gα1σ1σ1(M.σ)σσ′(k,q), (4.23)

khai triển bậc hai

ΩTr [G]2

= −12

∑α1

∑σ1σ2

∑k,qi

∑ωn,ωνi

(Gα1σ1σ1Φα1α1


σ2σ1

)+

∑α1, α2α1 6= α2

∑σ1σ2

∑k,qi

∑ωn,ωνi

(Gα1σ1σ1F

α1α2σ1σ2 G

α2σ2σ2F

α2α1σ2σ1

)

= −(γ2d

)2∑σi

∑qi,ωνi

∑α1 = e, h

∑k,ωn

Gα1σ1σ1(k, ωn)Gα1

σ2σ2(k− q1, ωn − ων1)

×[(M.σ)∗σ1σ2(q1, ων1)(M.σ)σ2σ1(−q1,−ων1)

]

−∑σi

∑qi,ωνi

12(2γ2

C

)2 ∑α1, α2 = e, hα1 6= α2

∑k,ωn


σ2σ2(k− q1, ωn − ων1)

×[(∆)∗σ1σ2(q1, ων1)(∆)σ2σ1(−q1,−ων1)

], (4.24)

khai triển bậc ba

123


ΩTr [G]3

= 13

3∑σi

∑k,q3

∑ωn,ων3

Geσ1σ1Φee

σ1σ2Geσ2σ2F

ehσ2σ3G

hσ3σ3F

heσ3σ1

+3∑σi

∑k,q3

∑ωn,ων3

Ghσ1σ1Φhh

σ1σ2Ghσ2σ2F

heσ2σ3G

eσ3σ3F

ehσ3σ1

= −∑σi

∑qi,ωνi

2(γ2d

) (2γ2

C

)2 ∑k,ωn

Geσ1σ1(k, ωn)Ge

σ1σ1(k, ωn)Ghσ3σ3(k− q3, ωn − ων3)

−2(γ2d

) (2γ2

C

)2 ∑k,ωn

Ghσ1σ1(k, ωn)Gh

σ1σ1(k, ωn)Geσ3σ3(k− q3, ωn − ων3)

×(M.σ)σ1σ1(0, 0)

[(∆)∗σ1σ3(q3, ων3)(∆)σ3σ1(−q3,−ων2)

], (4.25)

khai triển bậc 4

ΩTr [G]4

= −14

∑α1=e,h

∑σi=↑,↓

∑k,qi

∑ωn,ωνi

Gα1σ1σ1Φα1α1




σ4σ1

+ 4∑

α1, α2 = e, hα1 6= α2

∑σi=↑,↓

∑k,qi

∑ωn,ωνi

Gα1σ1σ1Φα1α1


σ2σ3Gα1σ3σ3F

α1α2σ3σ4 G

α2σ4σ4F

α2α1σ4σ1

+∑

α1, α2 = e, hα1 6= α2

∑σi=↑,↓

∑k,qi

∑ωn,ωνi

Gα1σ1σ1F

α1α2σ1σ2 G

α2σ2σ2F

α2α1σ2σ3 G

α1σ3σ3F

α1α2σ3σ4 G

α2σ4σ4F

α2α1σ4σ1

= −∑σi

∑qi,ωνi

2(γ2d

)4 ∑α1=e,h

∑k,ωn

(Gα1σ1σ1(k, ωn)Gα1

σ2σ2(k− q1, ωn − ων1)×Gα1

σ1σ1(k, ωn)Gα1σ4σ4(k− q3, ωn − ων3)

)

×[(M.σ)∗σ1σ2(q1, ων1)(M.σ)σ2σ1(−q1,−ων1)

] [(M.σ)∗σ1σ4(q3, ων3)(M.σ)σ4σ1(−q3,−ων3)

]−∑σi

∑qi,ωνi

4(γ2d

)2 (2γ2

C

)2 ∑α1, α2 = e, hα1 6= α2

∑k,qi




)

×[(M.σ)∗σ1σ2(q1, ων1)(M.σ)σ2σ1(−q1,−ων1)

] [(∆)∗σ1σ4(q3, ων3)(∆)σ4σ1(−q3,−ων3)

]−∑σi

∑qi,ωνi

12(2γ2

C

)4 ∑α1, α2 = e, hα1 6= α2

∑k,qi




)

×[(∆)∗σ1σ2(q1, ων1)(∆)σ2σ1(−q1,−ων1)

] [(∆)∗σ1σ4(q3, ων3)(∆)σ4σ1(−q3,−ων3)

].

124

4.2 Sự đồng tồn tại của các trật tự siêu dẫn và sắt từ trong UGe2

(4.26)

Ở gần điểm tới hạn, cả tham số trật tự sắt từ và siêu dẫn đề nhỏ, vì vậy một gần đúngphiếm hàm năng lượng tự do GL được thỏa mãn. Trong trường hợp này, bằng cáchkhai triển tác dụng hiệu dụng theo các tham số trật tự M,∆ tới bậc bốn, chỉ baogồm những số hạng được phép bởi tính đối xứng của hệ và giữ lại những số hạng đơngiản nhất đủ để nhận được các kết quả không tầm thường, ta sẽ nhận được phiếm hàmnăng lượng tự do Ginzburg-Landau với sự tham gia của hai tham số mô tả mối quanhệ giữa pha sóng mật độ spin và pha siêu dẫn

f(M,∆) = αf . |M.σ|2 + βf |M.σ|4 + αs |∆|2 + βs |∆|4

+ufs. (M.σ) |∆|2 + vfs. |M.σ|2 |∆|2 (4.27)

Trong phương trình (4.27), hai số hạng đầu tiên mô tả phần năng lượng tự do của mộtpha sắt từ chuẩn, hai số hạng tiếp theo mô tả tính siêu dẫn khi M = H = 0 và haisố hạng cuối cùng mô tả tương tác giữa tham số trật tự sắt từ M và tham số trật tựsiêu dẫn ∆. Các biểu thức vi mô của các hệ số GL là tích của các hàm Green của cácđiện tử và lỗ trống. Chúng có thể được tính tổng theo các tần số Matsubara và xunglượng k của Fermion dựa trên các kỹ thuật khai triển chuỗi Taylor và ứng dụng của lýthuyết thặng dư.

4.2. Sự đồng tồn tại của các trật tự siêu dẫn và sắt từtrong UGe2

Trong mục này chúng tôi sẽ biến đổi phiếm hàm trong phương trình (4.27) thành phiếmhàm giống với phiếm hàm GL hiện tượng luận được đề xuất bởi Shopova và Uzunov[78] trong phương trình (1.7). Sau đó chúng tôi sẽ sử dụng cách tiếp cận được trìnhbày trong tham khảo [78] để nghiên cứu sự đồng tồn tại của các trật tự từ và siêu dẫntrong hệ UGe2 khi không có từ trường ngoài.

4.2.1. Phiếm hàm năng lượng tự do Ginzburg-Landau cho siêudẫn sắt từ

Ở đây ta chỉ quan tâm đến các pha đồng đều, nghĩa là các tham số trật tự d và Mkhông phụ thuộc vào các tọa độ không gian x. Vì vậy, ta không cần tính đến các sốhạng bất đẳng hướng là các bất biến Landau được thêm vào cùng với các số hạnggradien trong phiếm hàm năng lượng tự do GL của siêu dẫn không truyền thống. Đểtrình bày một cách rõ ràng nghiên cứu về sự đồng tồn tại của trật tự siêu dẫn Meissnervà trật tự sắt từ, ta sẽ tập trung vào bài toán riêng mà nó có đủ thông tin từ các dữ

125


liệu thực nghiệm để tạo ra một sự so sánh chi tiết các tham số lý thuyết và dữ liệuthực nghiệm.Bây giờ ta xây dựng phiếm hàm năng lượng tự do GL riêng cho UGe2 bắt đầu từphương trình (4.27). Từ định nghĩa của các tham số trật tự trong mục 4.1, ta tìm được

∆k.∆†k = |d|2 σ0 + i (d× d)σ(M.σ) (M.σ)† = M2.σ0

(4.28)

UGe2 là một sắt từ có cấu trúc trực giao với các mô men từ định hướng theo trụca của tinh thể. Nếu ta chọn hệ trục tọa độ x//b, y//c, z//a ở đó a là trục dễ thìM = (0, 0,M). Bởi vì ảnh hưởng của trường trao đổi M là mạnh, nên có sự phá vỡcác kết cặp, chỉ có các cặp Cooper với các spin song song có thể tồn tại. Trong trườnghợp này ta có thể viết véc tơ d dưới dạng d = (d1, d2, 0), nghĩa là spin cặp Cooper trỏtheo hướng của M. Khi đó ta có

|M.σ|4 = M4.σ0

|∆|2 = φ2.σ0 − φ1φ2 sin θ.σz|∆|4 = φ4.σ0 − (2φ1φ2 sin θ)2 .σ0 − 4φ2φ1φ2 sin θ.σz

(M.σ) |∆|2 = Mφ2.σz − 2Mφ1φ2 sin θ.σ0

|M.σ|2 |∆|2 = M2φ2.σ0 − 2M2φ1φ2 sin θ.σz (4.29)

trong đó φ = |d| ,φj = |dj|, và θ = θ1 − θ2 là góc pha giữa các số phức d1 = φ1eiθ1 và

d2 = φ2eiθ2 .

Thay thế biểu thức (4.29) vào trong phương trình (4.27), ta nhận được phiếm hàmnăng lượng tự do Ginzburg-Landau cho siêu dẫn sắt từ triplet như sau

fGL(M,φ1, φ2, θ) = αf . |M|2 σ0 + βf . |M|4 σ0

+αs[(φ2

1 + φ22

)σ0 − 2φ1φ2 sin θ.σz

]+βs

[(φ2

1 + φ22

)2σ0 + 4φ2

1φ22 sin2 θ.σ0 −4

(φ2

1 + φ22

)φ1φ2 sin θ.σz

]+ufs

[|M|

(φ2

1 + φ22

)σz − 2 |M|φ1φ2 sin θ.σ0

]+vfs

[|M|2

(φ2

1 + φ22

).σ0 − 2 |M|2 φ1φ2 sin θ.σz

](4.30)

Sử dụng các điều kiện cân bằng pha của pha đồng tồn tại trật tự siêu dẫn và sắt từ(pha FS), được cho bởi: sin θ = −1, φ1 = φ2 = φ/

√2, ta có thể viết lại phiếm hàm

năng lượng tự do GL (4.30) dưới dạng rút gọn như sau

fGL(M,φ) = afM2 + bf

2 .M4 + asφ

2 + bs2 φ

4 + γ0Mφ2 + δ0M2φ2 (4.31)

126


trong đó

af = αf , bf = 2βf , γ0 = 2ufs,as = 2αs, bs = 8βs, δ0 = 2vfs. (4.32)

Phiếm hàm trong phương trình (4.31) giống hệt phiếm hàm GL hiện tượng luận trongphương trình (1.7) được đề xuất bởi Shopova và Uzunov [78] khi ta bỏ qua các ảnhhưởng bất đẳng hướng từ cả các cặp Cooper và tinh thể, đồng thời giới hạn sự xemxét ở các tham số trật tự đồng đều. Tuy nhiên, cần nhấn mạnh là phiếm hàm trongphương trình (4.31) có nguồn gốc vi mô. Nó được xây dựng dựa trên lý thuyết trườngtrung bình và hình thức luận tích phân phiếm hàm. Các hằng số cặp với các tham sốtrật tự sắt từ và siêu dẫn trong phiếm hàm vi mô là tích của các hàm Green tự do củacác điện tử và lỗ trống, được xác định từ mục 4.1. Chúng có thể được tính tổng theocác tần số Matsubara của fermion ωn và véc tơ sóng k dựa trên kĩ thuật khai triểnchuỗi Taylor và ứng dụng của định lý thặng dư như sau:Gọi N (0) là mật độ trạng thái ở mức năng lượng Fermi xác định bởi

N (0) ≡ Z(EF ) = 12π2

(2m~2

)3/2E

1/2F = mkF

π2~2 = 32nµ. (4.33)

Trong phần này, giới hạn nhiệt độ không và thể tích vô hạn được hiểu là

1V

∑k → 1

8π3

k

dk;

limβ→∞∂fe(ξk)∂ξk

= −δ (ξk)

= −δ(

k2

2m −k2F

2m

)

= − 1vFδ (|k| − kF ) . (4.34)

Thêm nữa, các xung lượng trao đổi qi được giả thiết nằm trong giới hạn sóng dài|qi| kF . Chọn hệ tọa độ cầu trong không gian k với góc giữa q và k là góc cực θ, tacó

127


k.q = |k| . |q| . cos θ= |k| . |q| .λ;

18π3

k

dk = 18π3

∞

k=0

π

θ=0

2π

ϕ=0

k2dk sin θdθdϕ

= 14π2

∞

k=0

k2dk+1

−1

dλ; (4.35)

và

|q|2

2m |q| vF . (4.36)

Tiến hành lấy tích phân theo xung lượng và tần số fermion Matsubara ta nhận được

αf

= 1Vd

−(γ2d

)2 ∑α1, α2 = e, hα1 6= α2

1V

∑k

1β

∑ωn


σ2σ2(k− q1, ωn − ων1)

= 1Vd

+(γ2d

)2 N (0)2

[1− ων1

vF |q1|arctan

(vF |q1|ων1

)]

−(γ2d

)2 N (0)2

[1 + ων1

vF |q1|arctan

(−vF |q1|

ων1

)]

≈ 1Vd−(γ2d

)2 N (0)2 × π ων1

vF |q1|+O

( |q|c

)2 ;

(4.37)

128


βf

= −2(γ2d

)4

×∑

α1, α2 = e, hα1 6= α2

1V

∑k

1β

∑ωn




)

≈ −2(γ2d

)4 N (0)2 ×

1

−1

dλ1.dλ3 ×1

(iων1 − iων3 − vF |q1|λ1 + vF |q3|λ3)

×

1(iων1 − vF |q1|λ1) −

iων1

(iων1 − vF |q1|λ1)2

− 1(iων3 − vF |q3|λ3) + iων3

(iων3 − vF |q3|λ3)2

−2

(γ2d

)4 N (0)2 ×

1

−1

dλ1.dλ3 ×1

(iων1 − iων3 + vF |q1|λ1 − vF |q3|λ3)

×

1(iων1 + vF |q1|λ1) −

iων1

(iων1 + vF |q1|λ1)2

− 1(iων3 + vF |q3|λ3) + iων3

(iων3 + vF |q3|λ3)2

≈ 4N (0)× 1

vF |q1|× 1vF |q3|

×[(π

2

)(ων1

vF |q1|

)+(π

2

)(ων3

vF |q3|

)],

(4.38)

với sự trợ giúp của các phương trình (1.622.3) và (1.644.2) từ tham khảo [36] để đạtcác đẳng thức cuối cùng của các phương trình (4.37) và (4.38)

αs

= 1VC

−12(2γ2

C

)2 ∑α1, α2 = e, hα1 6= α2

1V

∑k

1β

∑ωn


σ2σ2(k− q1, ωn − ων1)

=(2γ2

C

)2 N (0)2 ln

(T

TC

)+ 1

2(2γ2

C

)2N (0) 1

6π2T 278ζ(3)υ2

Fq2, (4.39)

129


trong đó

TC =(

2γωDπ

)e− 2VC.N (0) , (4.40)

với sự trợ giúp của phương trình ( 3.527.3) từ tham khảo [36] để đạt được dòng thứhai của đẳng thức (4.39).

βs

= −12(2γ2

C

)4

×∑

α1, α2 = e, hα1 6= α2

1V

∑k

1β

∑ωn




)

= −12(2γ2

C

)4× 2N (0)

[β2

π278ζ (3)

− 31192

(|q3| |kF|

m

)2β4

π4 ζ (5)− 31192

(|q1| |kF|

m

)2β4

π4 ζ (5)

(4.41)

ufs

= 2γ2d

(2γ2

C

)2 1V

∑k

1β

∑ωn

(

Ghσ1σ1(k, ωn)Gh

σ1σ1(k, ωn)×Ge

σ3σ3(k− q3, ωn − ων3)

)

−(

Geσ1σ1(k, ωn)Ge

σ1σ1(k, ωn)×Gh

σ3σ3(k− q3, ωn − ων3)

)= 2γ2

d

(2γ2

C

)2× 2N (0)β

2

π278ζ(3) q2

2m ; (4.42)

vfs

= 4(γ2d

)2 (2γ2

C

)2

×∑

α1, α2 = e, hα1 6= α2

1V

∑k

1β

∑ωn


σ2σ2(k− q1, ωn − ων1)Gα1σ1σ1(k, ωn)Gα2

σ4σ4(k− q3, ωn − ων3)

)

= 4(γ2d

)2 (2γ2

C

)2N (0)

[78β2

π2 ζ (3)

− 724 ×

3132β4

π4 ζ (5) (|q1| vF )2 − 724 ×

3132β4

π4 ζ (5) (|q3| vF )2]

(4.43)

130


4.2.2. Giản đồ pha từ gần đúng phiếm hàm Ginzburg-Landau

Từ các tính toán ở trên, dễ thấy rằng as = Λs(T − Ts), af = Λf (T − Tf ) trong đóΛs,Λf là các tham số dương và Ts là nhiệt độ tới hạn của một chuyển pha loại haichuẩn xảy ra tại M = H = 0, Tf là nhiệt độ tới hạn của sắt từ. Tham số γ0 đối vớicác chất siêu dẫn sắt từ có thể lấy cả các giá trị dương và âm. Nói chung, giá trị củacác tham số (Ts, Tf , as, bs, af , bf , γ0, δ0) có thể phụ thuộc vào các tham số nhiệt độngnhư nhiệt độ T và áp suất P .Như đã thảo luận ở trên, ta có thể viết M = (0, 0,M), trong đó M = ±|M| là độ từhóa dọc theo trục z. Bởi vì sự tương đương về mặt nhiệt động của các trạng thái vật lýhướng lên và hướng xuống (±M) nên sự phân tích có thể chỉ được thực hiện vớiM ≥ 0.Ở đây nhiệt độ chuyển sắt từ Tf được giả thiết phụ thuộc vào áp suất P . Khai triểnTf (P ) theo chuỗi Taylor quanh điểm Pc mà ở đó nó tiến tới không, và chỉ giữ lại sốhạng không bằng không đầu tiên, mang đến Tf (P ) = T

′f (Pc − P ) = Tf (0) (1− P/Pc).

Sự phụ thuộc tuyến tính của Tf vào P phù hợp chính xác với sự phụ thuộc áp suất đobằng thực nghiệm đối với UGe2. Từ phương trình (4.31) ta tìm được

M = (Λf/bf )1/2 [Tf (P )− T ]1/2 (4.44)

Chúng ta định nghĩa lại năng lượng tự do (4.31) trong một dạng thuận tiện khôngthứ nguyên f = fGL/ (bfM4

0 ), trong đó M0 = [ΛfTf0/bf ]1/2 là giá trị của độ từ hóa Mtương ứng với phân hệ từ thuần khiết d = 0 tại T = P = 0 and Tf0 = Tf (0). Thamsố trật tự giả định có tỉ lệ m = M/M0 và ϕ = φ/

[(bf/bs)1/4M0

]và kết quả là năng

lượng tự do trở thành

f = rϕ2 + 12ϕ

4 + tm2 + 12m

4 + γϕ2m+ δϕ2m2 (4.45)

Các tham số không thứ nguyên t, r và γ trong phương trình (4.45) được cho bởi

r = κ(T − Ts(P )

); t = T − Tf (P ) = T − 1 + P (4.46)

ở đây κ = Λsb1/2f /Λfb

1/2s , γ = γ0/ [ΛfTf0.bs]1/2 , δ = δ0/ (bsbf )1/2 và P = P/Pc.

T = T/Tf0, Tf (P ) = Tf (P )/Tf0 và Ts = Ts(P )/Tf0 là các nhiệt độ thu gọn.Bây giờ, ta áp đặt các điều kiện các pha cân bằng

∂f(µ0)∂µα

= 0, (4.47)

131


và pha bền

∂2f(µ0)∂µα∂µβ

> 0, (4.48)

(trong đó µα ≡ (M,ϕ1, ϕ2, θ1, θ2) và µ0 kí hiệu một pha cân bằng tương ứng với cựctiểu của năng lượng tự do) lên hệ có năng lượng tự do được cho bởi (4.45) để tìm kiếmpha ở đó có sự đồng tồn tại của trật tự sắt từ và siêu dẫn.Khi r < 0, có một số pha siêu dẫn thuần (m = 0, ϕ > 0) và một số pha hỗn hợp khác(m 6= 0, ϕ > 0). Tuy nhiên chúng là các pha không bền, vì vậy ta không xem xét chúngmột cách chi tiết.Khi r > 0 , nghĩa là, T > Ts, có ba pha bền:

• pha dẫn thường (N): tồn tại khi ϕ = m = 0 và các điều kiện bền là t ≥ 0, r ≥ 0;

• pha sắt từ thuần (FM): tồn tại khi ϕ = 0,m = (−t)1/2 > 0, trong đó t < 0 vàbền với các điều kiện r ≥ 0 và r ≥ δt+ γ (−t)1/2;

• pha đồng tồn tại của trật tự từ và siêu dẫn (FS): được cho bởi sin θ = −1 (khisin θ = 1, ta có miền pha khác tương đương về mặt nhiệt động và ta sẽ khôngxem xét ở đây), ϕ1 = ϕ2 = ϕ/

√2 trong đó tham số siêu dẫn thỏa mãn phương

trình

ϕ2 = −r + γm− δm2, (4.49)

và độ từ hóa m là nghiệm của phương trình

2(1− δ2

)m3 + 3γδm2 +2(t− δr − γ2

2 )m+ γr = 0(4.50)

Các điều kiện bền cho miền pha FS cho bởi các phương trình (4.49) và (4.50) là

κ(Ts − T ) + 2γm− δm2 ≥ 0,

γm ≥ 0,

và

132


(3− δ2

)m2 + γδm+ T + t− δr ≥ 0.

Trước tiên ta hãy vẽ đồ thị biểu thị sự phụ thuộc của nhiệt độ chuyển pha sắt từ siêudẫn TFS(P ) vào áp suất. Từ (4.49) và điều kiện tồn tại của pha FM, suy ra rằng đườngchuyển pha loại hai TFS(P ) tách các pha FM và FS thỏa mãn phương trình

TFS(P ) = Ts + δκt(TFS, P ) + γ

κ

[−t(TFS, P )

]1/2(4.51)

Khi Ts = 0, đường cong TFS(P ) cắt trục P tại hai điểm có tọa độ: (P0C = 1− γ2

δ2 ; TFS =0) và

(P0C′ = 1; TFS = 0

), và có một cực đại tại điểm (Tm; Pm) nhận được bằng cách

đạo hàm hai vế của phương trình (4.51) theo P .

∂TFS

∂P=

∂TS∂P

+ δκ− γ

2κ

[−t(TFS, P )

]−1/2

1− δκ

+ γκ

[−t(TFS, P )

]−1/2 (4.52)

Đặt ∂TFS∂P

= 0, và lưu ý rằng ∂TS∂P

= 0 vì TS không phụ thuộc vào P ta suy ra t(Tm, Pm) =− γ2

4δ2 . Thế ngược giá trị này vào (4.51) ta nhận được tọa độ điểm cực đại của đườngcong TFS(P ) là

Tm = Ts + γ2

4κδPm = 1− Tm − γ2

4δ2

(4.53)

Để phác thảo giản đồ T − P của UGe2 ta cần biết thông tin về các giá trị củaPc;Tf0;Ts; γ/κ; δ/κ. Từ giản đồ pha thực nghiệm [74, 43, 85, 38], ta có: Pc = 1, 6GPa,P0C = 1, 05GPa, Tf0 = 52K,Tm ≈ 0, 8K and Pm ≈ 1, 2GPa. Các bằng chứng thựcnghiệm chỉ ra rằng không có pha siêu dẫn thuần tồn tại tách biệt với pha sắt từ trongUGe2. Điều này ngụ ý nhiệt độ tới hạn Ts của trạng thái siêu dẫn thuần là quá nhỏ,và được coi là Ts = 0. Sử dụng các tham số này, cùng với Ts = 0, ta nhận đượcγ/κ = 0.1089, δ/κ = 0.1867 và Pm = 1.438GPa. Các giá trị này phù hợp tương đối vớicác kết quả thực nghiệm chính. Giản đồ T − P của UGe2 được chỉ ra trong hình 4.1.Tiếp theo, ta sẽ đi tìm các miền cân bằng pha thông qua việc khảo sát sự phụ thuộccủa r vào t. Từ điều kiện tồn tại của pha FS (4.50), ta sẽ biểu diễn r như là hàm của(m, t) khi γ, δ là các hằng số

133


Hình 4.1.: Một minh họa về giản đồ T−P của UGe2 được tính cho Ts = 0, Tf0 = 52K,Pc = 1.6GPa, γ/κ = 0.1089, δ/κ = 0.1867. Miền pha FS được làm đậm. Đường nétliền biểu thị đường chuyển pha loại hai FM-FS.

r(t) = mδm−γ/2

[(1− δ2)m2 + 3

2γδm+ (t− γ2

2 )]

(4.54)

Ở đây ta sẽ sử dụng thông tin đã cho ở trên cho ba pha khác nhau để phác thảo giảnđồ pha (t, r) biểu thị các miền cân bằng của các pha N, FM, và FS. Trước hết ta tìmbiểu thức các biểu thức năng lượng tự do cân bằng của các pha FS, FM. Đặt các điềukiện tồn tại của các pha FS, FM vào phương trình (4.45) và thay thế r bởi (4.54), tanhận được

fFS = − m2

2 (δm− γ/2)2

(1− δ2)m4 + γδm3

+ 2[t(1− δ2

)− γ2

8

]m2 − 2γδtm+ t

(t− γ2

2

)(4.55)

fFM = − t2

2 (4.56)

Tiếp theo, ta tìm điểm ba mà nó là giao điểm của ba đường biên tách các miền cânbằng bền của các pha N, FM và FS. Tọa độ của điểm ba thỏa mãn phương trình

fFS = fFM = fN = 0 (4.57)

ta nhận được tọa độ của điểm ba như sau

134


tB = 0rB = γ2

4(δ+1) ,(4.58)

khi đó m = γ2(δ+1) phải là giá trị cân bằng trên đường biên của các miền ổn định của

các pha FM và FS. Đặt m = γ2(δ+1) vào trong phương trình (4.54) ta nhận được đường

chuyển pha giữa pha FM và pha FS là bậc nhất dọc theo đường cân bằng BC. Nó đượccho bởi phương trình

r1(t) = γ2

4(δ+1) − t (4.59)

Mặt khác, đường chuyển pha giữa pha FM và pha FS cũng nhận m = (−t)1/2 là giátrị cân bằng. Vì thế đường cong chuyển pha giữa pha FM và pha FS được cho bởi hệthức

r2(t) = γ√−t+ δt (4.60)

Kết quả là giao điểm C của r1(t) và r2(t) là điểm tới hạn của chuyển pha loại hai, nócó tọa độ

tC = − γ2

4(δ+1)2

rC = γ2(2+δ)4(δ+1)2 .

(4.61)

Đường biên của các miền pha cân bằng ổn định FM và N thỏa mãn phương trình

fFM = fN = 0 (4.62)

suy ra

t = 0. (4.63)

Đường chuyển pha giữa pha N và pha FS được cho bởi phương trình

135

4.3 Thảo luận

r(t) = meq(δmeq−γ/2)

[(1− δ2)m2

eq + 32γδmeq + (t− γ2

2 )]

(4.64)

trong đó giá trị cân bằng meq trên đường AB được tìm thấy bằng cách đặt năng lượngtự do cân bằng fFS của pha FS trong phương trình (4.55) bằng không, nghĩa là bằngnăng lượng tự do của pha N. meq thỏa mãn phương trình sau

(1− δ2

)m4eq + γδm3

eq + 2[t(1− δ2

)− γ2

8

]m2eq − 2γδtmeq + t

(t− γ2

2

)= 0 (4.65)

Tính số của phương trình (4.65) như một đa thức của m chỉ ra rằng nó có một nghiệmdương khi t ∈ [0,γ2/2).

Hình 4.2.: Giản đồ pha trong mặt phẳng (t, r) khi γ = 0.49, δ = 0.84

Giản đồ pha cho các tham số cụ thể γ và δ được chỉ ra trong hình 4.2. Các miền ổnđịnh của các pha N, FM, và FS được biểu thị. DCB là đường ranh giới giữa hai miềnổn định của các pha FM và FS. Trong đó đường cong DC (đường nét đứt bên trái điểmC) là đường chuyển pha bậc hai, đường CB là đường chuyển pha bậc nhất. Đườngchuyển pha giữa các pha N và FS là đường bậc nhất và đi dọc theo đường cân bằngBA. Đường nét đứt thẳng đứng trùng với trục r bên trên B là đường ranh giới giữahai miền pha ổn định FM và N. Đường này biểu thị một chuyển pha loại hai. A và Clà các điểm tới hạn của các đường chuyển pha, B là điểm ba.

4.3. Thảo luận

Thông qua các tính toán dựa trên lý thuyết trường lượng tử và hình thức luận tích phânphiếm hàm, phiếm hàm Ginzburg-Landau hai thành phần đã được thiết lập. Trong hệUGe2, các tương tác dẫn tới sự hình thành các trật tự siêu dẫn và trật tự từ-sóng mậtđộ spin, sự hút và đẩy của các hạt là giống nhau, và kết quả là chúng ảnh hưởng lẫnnhau. Cụ thể, hai trật tự hoặc có thể ủng hộ lẫn nhau và dẫn tới sự đồng tồn tại định

136

4.3 Thảo luận

xứ đồng nhất của các trạng thái siêu dẫn và sóng mật độ spin; hoặc một trong chúngcó thể ngăn cản hoàn toàn trật tự khác, dẫn đến một trạng thái với các vùng tách biệtvề không gian của trật tự thuần siêu dẫn hoặc trật tự thuần sóng mật độ spin. Đườngchuyển pha giữa các trạng thái khác nhau có thể hoặc là bậc hai liên tục hoặc bậc mộtgián đoạn. Dựa trên bài toán riêng của sắt từ siêu dẫn trong UGe2 chúng tôi đã biếnđổi sự tương quan giữa các tham số trật tự mô tả trong phiếm hàm Ginzburg-Landaunhiều thành phần thành tương quan giữa các tham số T và P (những đại lượng vật lýcó thể nhận được trực tiếp từ các giản đồ pha của thực nghiệm). Giản đồ T − P củaUGe2 được phác thảo dựa trên các tính toán lý thuyết và được chỉ ra trên hình 4.1có một sự phù hợp với các kết quả chính của thực nghiệm, mặc dù Pm tương ứng vớicực đại (tìm thấy ở 1.45 GPa) lớn hơn khoảng 0.25 GPa so với dữ liệu thực nghiệm[43]. Nếu các giản đồ thực nghiệm là chính xác thì sai lệch này có thể là do chưa kểđến sự đóng góp của tính bất đẳng hướng của cặp Cooper spin-triplet và tinh thể hoặcdo ảnh hưởng của những yếu tố nằm ngoài phạm vi của mô hình hiện tại. Tầm quantrọng tương đối của ảnh hưởng này lên giản đồ pha cần được nghiên cứu. Tuy nhiêntrong phạm vi luận án này, việc đưa vào bài toán riêng của sắt từ siêu dẫn chỉ nhắmmục đích minh họa rằng phiếm hàm Ginzburg-Landau nhiều thành phần (3.57) có thểmô tả được sự đồng tồn tại của nhiều pha trong các hệ nhiều hạt mà điển hình là hệFermion nặng dựa trên Uranium.Khác với lý thuyết vi mô của Frank [69] dẫn ra hình thức luận GL nói chung, lý thuyếtvi mô của chúng tôi dẫn ra hình thức luận GL cho sự đồng tồn tại. Chúng tôi đã suyra nguồn gốc vi mô của phiếm hàm năng lượng tự do GL hai thành phần mô tả mốiquan hệ giữa tham số trật tự sắt từ và tham số trật tự siêu dẫn. Phiếm hàm (4.31)giống với phiếm hàm hiện tượng luận của Shopova và nó mô tả rất tốt sự đồng tồntại của trật tự siêu dẫn Meissner và trật tự sắt từ trong UGe2. Phiếm hàm GL tiết lộkhông chỉ là biên độ khe triplet kết cặp tuyến tính với biên độ độ từ hóa |d|2 |M|2 màcòn cả véc tơ-d triplet kết cặp tuyến tính với hướng độ từ hóa, iM.(d× d∗). Nó phùhợp với mức độ trường trung bình ở đó sự kết cặp buộc véc tơ d xắp song song hoặcphản song song với độ từ hóa. Mặc dù chúng tôi tập trung vào một mô hình vi mô mànó được sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu các hệ kim loại sắt từ UGe2, nhưng hầuhết các kết quả của chúng tôi là đến từ sự phân tích vi mô GL, và như một hệ quả nócó thể áp dụng được cho các hệ khác mà ta quan tâm, chẳng hạn như các hợp chấtdựa trên Ce và U và ZrZn2.Tương tự như lý thuyết vi mô của Dahl và Sudbo bắt đầu với Hamiltonian mà khôngcố gắng giải thích cơ chế kết cặp spin-triplet không unita của khí điện tử. Xuất phátđiểm của chúng tôi cũng là một mô hình fermion có tương tác, nhưng số hạng tươngtác hai hạt tổng quát H1

[ψ†, ψ

]được tách ra thành tổng của hai số hạng song tuyến

tính fermion khả dĩ với các tham số kết cặp tùy ý γi và các ma trận tương tác có dạngđơn giản (4.8) và (4.10). Chúng tôi thu được phiếm hàm năng lượng tự do GL vi môhai thành phần có thể mô tả được sự đồng tồn tại của các pha sóng mật độ spin vàsiêu dẫn, và sau đó áp dụng cho hệ UGe2. Các tính toán giải tích và tính số được tiếnhành để chỉ ra các miền pha cân bằng. Các kết quả được biểu diễn bằng đồ thị để minhhọa sự đồng tồn tại của pha sắt từ và siêu dẫn triplet trong hệ UGe2. Cách tiếp cậncủa chúng tôi và cách tiếp cận của Dahl và Sudbo đối với cùng một bài toán là khác

137

4.3 Thảo luận

nhau (khác về Hamiltonian ban đầu và khác nhau về nguồn gốc toán học) nhưng cùngdẫn tới dạng giống nhau của lý thuyết trường hiệu dụng GL.Như vậy, nguồn gốc của lý thuyết GL hiệu dụng từ mô hình vi mô tổng quát của tươngtác bốn fermion đã được trình bày khá chi tiết. Nó minh họa và xác nhận các kết quảđược phác thảo trong một tham khảo gần đây [78], cũng như xác nhận dạng của phiếmhàm năng lượng tự do GL cho cùng một bài toán, được suy ra đầu tiên theo một cáchhơi khác bởi Dahl và Sudbo [23].

138

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Kết luận

Các khám phá mới về các chất siêu dẫn sắt từ và bối cảnh nghiên cứu trong lĩnh vực từtính và siêu dẫn của cộng đồng những người nghiên cứu vật lý, đã thúc đẩy chúng tôithực hiện phép biến đổi lý thuyết trường fermion tới một lý thuyết hiệu dụng dựa trêncác trường kết cặp được biểu diễn dưới dạng các tham số trật tự theo các kênh khácnhau nhằm tìm kiếm các pha đồng tồn tại. Trong nghiên cứu của chúng tôi, thông quaphép biến đổi Hubbard-Stratonovich, một Hamiltonian đã được tách thành các kênhkhả dĩ, khi đó nhận được một phiếm hàm chỉ phụ thuộc vào các tham số trật tự. Vìvậy chúng tôi đi đến một sự biểu diễn chung của phiếm hàm GL cho hệ ba tham sốtrật tự thông qua các tính toán dựa vào hàm Green. Dựa trên bài toán riêng của siêudẫn sắt từ hay siêu dẫn phản sắt từ của các hệ fermion nặng dựa trên Uranium hoặcCedium, chúng tôi đã rút ra một biểu diễn chính thức cho phiếm hàm GL và sau đó sửdụng nó để nghiên cứu sự đồng tồn tại của sắt từ và siêu dẫn trong hệ fermion nặngdựa trên Uranium đồng thời tạo ra các đồ thị cho thấy sự phụ thuộc giữa các thamsố trật tự và biểu thị các miền pha cân bằng. Cụ thể trong luận án chúng tôi đã thựchiện được các kết quả sau:

1. Hình thành một phương pháp tiếp cận vi mô Ginzburg-Landau cho sự đồng tồntại pha.

2. Phát triển bài toán siêu BCS dẫn bằng việc sử dụng phương pháp tích phânphiếm hàm để tính hàm phân bố của hệ từ đó thiết lập phiếm hàm năng lượngGinzburg-Landau một thành phần cho siêu dẫn BCS.

3. Từ Hamiltonian tổng quát của hệ nhiều hạt có tương tác dẫn ra hình thức luậnGL cho sự đồng tồn tại, chúng tôi thu được phiếm hàm năng lượng tự do GLvi mô chứa ba tham số trật tự, có thể mô tả được sự đồng tồn tại của các phakhác nhau trong hệ nhiều hạt. Sử dụng các điều kiện dừng của thế nhiệt độnglớn theo các tham số trật tự và điều kiện cực tiểu năng lượng thiết lập được hệcác phương trình tự hợp. Các phương trình này mô tả các hệ thức nhiều hạt giữacác đại lượng vật lý của hệ, ở đó có nhiều loại thăng giáng của các tham số trậttự tương ứng được xem xét. Các phương trình này sẽ dẫn tới gần đúng Hatree-Fock-Bogoliubov. Phương trình dải BCS và phương trình từ hóa chứa đựng sựđóng góp của các kênh khác nhau sẽ nhận được từ gần đúng này, kết quả là mộtlời giải khả dĩ cho sự đồng tồn tại của nhiều pha.

4. Chỉ rõ nguồn gốc vi mô của phiếm hàm năng lượng tự do Ginzburg-Landau haitham số trật tự sắt từ và siêu dẫn triplet. Dựa trên bài toán riêng của siêu dẫn

139

4.3 Thảo luận

sắt từ UGe2 chúng tôi đã biến đổi sự tương quan giữa các tham số trật tự môtả trong phiếm hàm Ginzburg-Landau hai thành phần thành tương quan giữacác tham số T và P (những đại lượng vật lý có thể nhận được trực tiếp từ cácgiản đồ pha của thực nghiệm). Bằng các tính toán giải tích và tính số chúng tôiđã vẽ được giản đồ T − P của UGe2, giản đồ này phù hợp với giản đồ thu đượctừ thực nghiệm. Các kết quả này minh họa và xác nhận các kết quả được phácthảo trong một tham khảo gần đây [78], cũng như xác nhận dạng của phiếm hàmnăng lượng tự do GL cho cùng một bài toán, được suy ra đầu tiên theo một cáchhơi khác bởi Dahl và Sudbo [23].

Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo

• Trong mục 4.2 khi áp dụng phiếm hàm Ginzburg-Landau hai thành phần đểnghiên cứu sự đồng tồn tại pha sắt từ và siêu dẫn trong hệ Fermion nặng, giảnđồ T −P của UGe2 được phác thảo dựa trên các tính toán lý thuyết và được chỉra trên hình 4.1 về cơ bản phù hợp với thực nghiệm. Tuy nhiên Pm tương ứngvới cực đại (tìm thấy ở 1.45 GPa) lớn hơn khoảng 0.25 GPa so với dữ liệu thựcnghiệm [43]. Nếu các giản đồ thực nghiệm là chính xác thì sai lệch này có thể làdo chưa kể đến sự đóng góp của tính bất đẳng hướng của cặp Cooper spin-tripletvà tinh thể hoặc do ảnh hưởng của những yếu tố nằm ngoài phạm vi của môhình hiện tại. Tầm quan trọng tương đối của ảnh hưởng này lên giản đồ pha cầnđược nghiên cứu.

• Trong mục 3.1.2 ở trên, chúng tôi đã thiết lập được phiếm hàm Ginzburg-Landaunhiều thành phần mô tả sự tương quan giữa các tham số trật tự. Đồng thời chúngtôi cũng thu được một hệ các phương trình tự hợp mô tả các mối liên hệ nhiềuhạt giữa các đại lượng vật lý của hệ ở đó có nhiều loại thăng giáng của các thamsố trật tự tương ứng được xem xét. Để tiếp tục các công việc này, cần phải tiếnhành từng bước giải số nhằm chỉ ra rõ ràng các mối liên hệ giữa các tham số trậttự và những đóng góp cụ thể của chúng trong tiến trình. Các kết quả sẽ minhhọa cho sự đồng tồn tại của nhiều pha trong hệ nhiều hạt.

140

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃCÔNG BỐ

1. Ginzburg-Landau functional for three order parameter problemNguyen Van Hinh, Nguyen Tri Lan, Journal of Physics: Conference Series 726 (2016)012016.2. Microscopic derivation of the two-component Ginzburg-Landau functional for a fer-romagnetic superconductorNguyen Van Hinh, International Journal of Engineering Science Invention, 7 (2018)I0710035158.3. A Microscopic Model for Superconductivity in Ferromagnetic UGe2

Nguyen Van Hinh, Nguyen Tri Lan, Journal of the Korean Physical Society, Vol. 74,No. 5, March 2019, pp. 488-497.

141

Phụ lục

142

A. Tính hệ fermion hiệu dụng bậc haikết cặp với các trường phụ

F [Φ,Φ∗]

=DψDψ exp

−β

0

dτ

dx∑σ

ψσ(x, τ)[∂

∂τ− ∇2

2m − µ]ψσ(x, τ)

× exp

gκ∑αβ

β

0

dτ

dy

dz


+ Φ∗αβ(y, z, τ)ψβ(z, τ)ψα(y, τ)

(A.1)

Bởi vì:

δ

δηα(y) exp

dx∑σ


)

= ψα(y) exp

dx∑σ


) (A.2)

δ

δηα(y) exp

dx∑σ


)

= −ψα(y) exp

dx∑σ


) (A.3)

δ2


dx∑σ


)

= −ψσ(y)ψβ(z) exp

dx∑σ


) (A.4)

δ2


dx∑σ


)

= −ψα(y)ψβ(z) exp

dx∑σ


) (A.5)

143

Tính hệ fermion hiệu dụng bậc hai kết cặp với các trường phụ

cho nên nếu thực hiện sự thay thế


δηβ(z)δηα(y)


δηβ(z)δηα(y)

(A.6)

có thể viết lại (A.1) như sau:

F [Φ,Φ∗]

=DψDψ exp

−

dx∑σ

ψσ(x)[∂

∂τ− ∇2

2m − µ]ψσ(x)

× exp

gκ∑αβ

dy

dz[ψα(y)ψβ(z)Φβα(z, y) + Φ∗αβ(y, z)ψβ(z)ψα(y)

]= exp

gκ∑αβ

dy

dz[− δ2

δηβ(z)δηα(y)Φβα(z, y)

− Φ∗αβ(y, z) δ2

δηβ(z)δηα(y)

]F0 [η, η]∣∣∣∣η=η=0

= F0 exp

−gκ∑αβ

dy

dz[

δ2

δηβ(z)δηα(y)Φβα(z, y) + Φ∗αβ(y, z) δ2

δηβ(z)δηα(y)

]× exp

dx

dx′

∑σσ′

ησ(x)Gσσ′(x− x′)ησ′(x′) ∣∣∣∣

η=η=0

(A.7)

Trong khai triển hàm mũ chứa Φ,Φ∗ của biểu thức (A.7) các số hạng bậc m của nó códạng (a+ b)m, và do sau khi các phép lấy đạo hàm được thực hiện ta đặt η = η = 0nên trong biểu thức (A.7) chỉ còn lại các số hạng bậc chẵn chứa số bằng nhau các hàmΦ và Φ∗

F [Φ,Φ∗] =F0

∞∑n=0

κ2ng2n 1(2n)!

(2n)!n!n!

∑αβ

dy

dzΦ∗βα(z, y) δ2

δηα(y)δηβ(z)

n

×

∑α′β′

dy′

dz′ δ2

δηβ′(z′)δηα′(y′)Φα′β′(z′, y′)

n

× exp

dx

dx′∑σσ′

ησ(x)Gσσ′(x− x′)ησ′(x′) ∣∣∣∣

η=η=0

(A.8)

Vì các chỉ số tọa độ và spin đều biến thiên theo cùng một quy luật nên để đơn giảncách viết ta chỉ viết theo chỉ số spin và quy ước khi một chỉ số được lặp lại hai lần

144


trong một biểu thức tích thì có nghĩa là lấy tổng theo chỉ số đó, khi đó một số bậc đầutiên của (A.8) là:Số hạng bậc hai (n = 1):

F (2)

= F0(gκ)2

∑α1β1

Φ∗β1α1

δ2

δηα1δηβ1

∑α′1β′1

δ2

δηβ′1δηα′1

Φα′1β′1

exp

∑σσ′

ησGσσ′ησ′

∣∣∣∣η=η=0

= F0(gκ)2(

Φ∗β1α1

δ2

δηα1δηβ1

)[(−1)1+2 (ηG)α′1 (ηG)β′1 exp ησGσσ′ησ′

∣∣∣∣η=η=0

]Φα′1β′1

= F0(gκ)2Φ∗β1α1

[(−1)1+2Gβ1α

′1Gα1β

′1

+ (−1)1+2+1Gα1α′1Gβ1β

′1

]Φα′1β′1

= F0(gκ)2[−Φ∗β1α1Gα1β

′1Φα′1β′1Gβ1α

′1

+ Φ∗β1α1Gα1α′1Φα′1β′1Gβ1β

′1

]

= F0(gκ)2[

Φ∗β1α1Gα1β′1Φβ′1α′1GTα′1β1

+ Φ∗β1α1Gα1α′1Φα′1β′1GTβ′1β1

]= 2F0(gκ)2Φ∗β1α1Gα1β

′1Φβ′1α′1GTα′1β1

= 2F0(gκ)2(Φ∗GΦGT

),

(A.9)

ở đây ta đã sử dụng tính chất

Φαβ = −Φβα (A.10)

và

Gαβ ≡ GTβα (A.11)

145


Số hạng bậc bốn (n = 2):

F (4)

F0(gκ)4 12!2!

(Φ∗β1α1Φ∗β2α2

δ4

δηα1δηβ1δηα2δηβ2

)

×

δ4



Φα′2β′2Φα′1β′1

exp ησGσσ′ησ′∣∣∣∣η=η=0

= F0(gκ)4 12!2!Φ

∗β1α1Φ∗β2α2

Gα1α

′1Gβ1β

′1Gα2α

′2Gβ2β

′2−Gα1α

′1Gβ1β

′1Gα2β

′2Gβ2α

′2

−Gα1α′1Gβ1α

′2Gα2β

′1Gβ2β

′2

+Gα1α′1Gβ1α

′2Gα2β

′2Gβ2β

′1

+Gα1α′1Gβ1β

′2Gα2β

′1Gβ2α

′2

−Gα1α′1Gβ1β

′2Gα2α

′2Gβ2β

′1−Gα1β

′1Gβ1α

′1Gα2α

′2Gβ2β

′2

+Gα1β′1Gβ1α

′1Gα2β

′2Gβ2α

′2

+Gα1β′1Gβ1α

′2Gα2α

′1Gβ2β

′2−Gα1β

′1Gβ1α

′2Gα2β

′2Gβ2α

′1−Gα1β

′1Gβ1β

′2Gα2α

′1Gβ2α

′2

+Gα1β′1Gβ1β

′2Gα2α

′2Gβ2α

′1

+Gα1α′2Gβ1α

′1Gα2β

′1Gβ2β

′2−Gα1α

′2Gβ1α

′1Gα2β

′2Gβ2β

′1

−Gα1α′2Gβ1β

′1Gα2α

′1Gβ2β

′2

+Gα1α′2Gβ1β

′1Gα2β

′2Gβ2α

′1

+Gα1α′2Gβ1β

′2Gα2α

′1Gβ2β

′1

−Gα1α′2Gβ1β

′2Gα2β

′1Gβ2α

′1−Gα1β

′2Gβ1α

′1Gα2β

′1Gβ2α

′2

+Gα1β′2Gβ1α

′1Gα2α

′2Gβ2β

′1

+Gα1β′2Gβ1β

′1Gα2α

′1Gβ2α

′2−Gα1β

′2Gβ1β

′1Gα2α

′2Gβ2α

′1−Gα1β

′2Gβ1α

′2Gα2α

′1Gβ2β

′1

+Gα1β′2Gβ1α

′2Gα2β

′1Gβ2α

′1

Φα′2β′2Φα′1β′1,

(A.12)

nhờ tính chất (A.10) và hệ thức (A.11) ta nhận được:

146


F (4)

= F0(gκ)4 12!2!

(Φ∗β1α1Gα1α

′1Φα′1β′1GTβ′1β1

)(Φ∗β2α2Gα2α


)+(

Φ∗β1α1Gα1α′1Φα′1β′1GTβ′1β1

)(Φ∗β2α2Gα2β


)−(

Φ∗β1α1Gα1α′1Φα′1β′1GTβ′1α2

Φ∗α2β2Gβ2β′2Φβ′2α′2GTα′2β1

)−(



)−(


Φ∗α2β2Gβ2α′2Φα′2β′2GTβ′2β1

)−(



)+(


)(Φ∗β2α2Gα2α


)+(


)(Φ∗β2α2Gα2β


)−(

Φ∗β1α1Gα1β′1Φβ′1α′1GTα′1α2


)−(



)−(



)−(



)−(



)−(



)

147


−(



)−(



)+(


)(Φ∗β2α2Gα2α


)+(


)(Φ∗β2α2Gα2β


)−(



)−(



)−(



)−(



)+(


)(Φ∗β2α2Gα2α


)+(


)(Φ∗β2α2Gα2β


)

= 2F0(gκ)4(


)2

− 2(



)

= 2F0(gκ)4(

Φ∗GΦGT)2− 2


)(A.13)

Số hạng bậc sáu (n = 3):

F (6)

= F0(gκ)6 13!3!

(Φ∗β1α1Φ∗β2α2Φ∗β3α3

δ6

δηα1δηβ1δηα2δηβ2δηα3δηβ3

)

×

δ6




Φα′3β′3Φα′2β′2Φα′1β′1


= F0(gκ)6 13!3!Φ

∗β1α1Φ∗β2α2Φ∗β3α3

∑P (α′iβ

′i)

(−1)PGα1α′1Gβ1β

′1Gα2α

′2Gβ2β

′2Gα3α

′3Gβ3β

′3

× Φα′3β′3Φα′2β′2Φα′1β′1

148


= F0(gκ)6 13!3!

48(


)×(


)(Φ∗β3α3Gα3α


)− 288

(Φ∗β1α1Gα1α


)(Φ∗β2α2Gα2α



)+ 384

(Φ∗β1α1Gα1α




)

= F0(gκ)6 13!3!

48(Φ∗GΦGT

)3− 288

(Φ∗GΦGT


)+ 384


)(A.14)

Số hạng bậc tám (n = 4):

F (8)

= F0(gκ)8 14!4!

(Φ∗β1α1

δ2

δηα1δηβ1

)4 δ2


Φα′1β′1

4


= F0(gκ)8 14!4!

384

(Φ∗GΦGT

)4− 4608

(Φ∗GΦGT

)2 (Φ∗GΦGTΦ∗GΦGT

)+ 4608


)2+ 12288

(Φ∗GΦGT

) (Φ∗GΦGTΦ∗GΦGTΦ∗GΦGT

)− 18432

(Φ∗GΦGTΦ∗GΦGTΦ∗GΦGTΦ∗GΦGT

)(A.15)

Các số hạng trên được viết lại như sau:

F (2) = 2F0(gκ)2(Φ∗GΦGT

)= F0(2gκ)2

(12Φ∗GΦGT

), (A.16)

F (4) = 2F0(gκ)4(

Φ∗GΦGT)2− 2


)

= F0(2gκ)4

12!

(12Φ∗GΦGT

)2+(−1


,

(A.17)

149


F (6)

= F0(gκ)6 13!3!

48(Φ∗GΦGT

)3− 288

(Φ∗GΦGT


)+ 384


)

= F0(2gκ)6

13!

(12Φ∗GΦGT

)3+(1

2Φ∗GΦGT)(−1


+(1


,

(A.18)

F (8)

= F0(2gκ)8

14!

(12Φ∗GΦGT

)4+ 1

2

(12Φ∗GΦGT

)2 (−1


+ 12

(−1

4Φ∗GΦGTΦ∗GΦGT)2

+(1

2Φ∗GΦGT)(1


+(−1

8Φ∗GΦGTΦ∗GΦGTΦ∗GΦGTΦ∗GΦGT)

(A.19)

Lưu ý rằng:

1 +∞∑n=1F (2n) =F0 exp

12(2gκ)2

(Φ∗GΦGT

)− 1

4(2gκ)4(Φ∗GΦGTΦ∗GΦGT

)+ 1

6(2gκ)6(Φ∗GΦGTΦ∗GΦGTΦ∗GΦGT

)− 1

8(2gκ)8(Φ∗GΦGTΦ∗GΦGTΦ∗GΦGTΦ∗GΦGT

)+ · · ·

,

(A.20)

ta nhận được kết quả:

F [Φ,Φ∗] =F0 exp

12Tr ln

[1 + (2gκ)2

(Φ∗GΦGT

)](A.21)

150

B. Khai triển hàm mũ chứa các đạohàm

∞∑N=0Z(N)

[δ

δj∗,δ

δj

]= exp

∞∑n=1

12n(−1)n−1(χ2)nG δ

δj∗GT δ

δj· · ·G δ

δj∗GT δ

δj︸︷︷︸An

(B.1)

Để đơn giản trong cách trình bày ta đặt:

12χ

2(G

δ

δj∗GT δ

δj

)=A1

−14(χ2)2

(G

δ

δj∗GT δ

δjG

δ

δj∗GT δ

δj

)=A2

+16(χ2)3

(G

δ

δj∗GT δ

δjG

δ

δj∗GT δ

δjG

δ

δj∗GT δ

δj

)=A3

−18(χ2)4

(G

δ

δj∗GT δ

δjG

δ

δj∗GT δ

δjG

δ

δj∗GT δ

δjG

δ

δj∗GT δ

δj

)=A4

· · ·

(B.2)

Bậc 0:

Z(0)[δ

δj∗,δ

δj

]=1 (B.3)

Bậc 1:

Z(1)[δ

δj∗,δ

δj

]=A1

=12χ

2

Gσ1σ′1

δ

δj∗σ′1σ′2

GTσ′2σ2

δ

δjσ2σ1

=(1

2χ2Gλ1σ

′1GTσ′2σ2

)δλ1σ1

δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1

=Ω1δλ1σ1

δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1

(B.4)

151

Khai triển hàm mũ chứa các đạo hàm

Bậc 2:

Z(2)[δ

δj∗,δ

δj

]

= A2 + 12!A1A1

= −14χ

4

Gσ1σ′1

δ

δj∗σ′1σ′2

GTσ′2σ2

δ

δjσ2σ3

Gσ3σ′3

δ

δj∗σ′3σ′4

GTσ′4σ4

δ

δjσ4σ1

+ 1

2!12χ

2

Gσ1σ′1

δ

δj∗σ′1σ′2

GTσ′2σ2

δ

δjσ2σ1

12χ

2

Gσ3σ′3

δ

δj∗σ′3σ′4

GTσ′4σ4

δ

δjσ4σ3

=(−1

4χ4Gλ3σ

′1GTσ′2σ2Gλ1σ

′3GTσ′4σ4

)δλ1σ3δλ3σ1

δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1

δ

δj∗σ′3σ′4

δ

δjσ4λ3

+ 1

2!

(12χ

2Gλ1σ′1GTσ′2σ2

)(12χ


)δλ1σ1δλ3σ3

δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1

δ

δj∗σ′3σ′4

δ

δjσ4λ3

=

(−1

4χ4Gλ3σ


′3GTσ′4σ4

)δλ1σ3δλ3σ1

+ 12!

(12χ


)(12χ


)δλ1σ1δλ3σ3

δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1

δ

δj∗σ′3σ′4

δ

δjσ4λ3

(B.5)

Trong số hạng thứ nhất của thừa số đầu tiên của tích gán lại tên λ1 λ3, ta được

(−1

4χ4Gλ3σ


′3GTσ′4σ4

)δλ1σ3δλ3σ1 =

(−1

4χ4Gλ1σ


′3GTσ′4σ4

)δλ1σ1δλ3σ3 ,

(B.6)

vậy

Z(2)[δ

δj∗,δ

δj

]

=

(−1

4χ4Gλ1σ


′3GTσ′4σ4

)︸︷︷︸

Ω2

+ 12!

(12χ


)︸︷︷︸

Ω1

(12χ


)︸︷︷︸

Ω1

× δλ1σ1δλ3σ3

δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1

δ

δj∗σ′3σ′4

δ

δjσ4λ3

152


=

Ω2 + 12!Ω

1Ω1δλ1σ1δλ3σ3

δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1

δ

δj∗σ′3σ′4

δ

δjσ4λ3

=∑

P

Ω2 + 12!∑P

( 12!Ω

1Ω1)

δλ1σ1δλ3σ3

δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1

δ

δj∗σ′3σ′4

δ

δjσ4λ3

(B.7)

trong đó P là số hoán vị có thể có của các Ωj trong tích.Bậc 3:

Z(3)[δ

δj∗,δ

δj

]

= A3 + 12! (A1A2 + A2A1) + 1

3!A1A1A1

= 16χ

6

Gσ1σ′1

δ

δj∗σ′1σ′2

GTσ′2σ2

δ

δjσ2[σ3]Gσ3σ

′3

δ

δj∗σ′3σ′4

GTσ′4σ4

δ

δjσ4[σ5]Gσ5σ

′5

δ

δj∗σ′5σ′6

GTσ′6σ6

δ

δjσ6[σ1]

+ 1

2!

12χ

2Gσ1σ′1

δ

δj∗σ′1σ′2

GTσ′2σ2

δ

δjσ2[σ1]

×

−14χ

4Gσ3σ′3

δ

δj∗σ′3σ′4

GTσ′4σ4

δ

δjσ4[σ5]Gσ5σ

′5

δ

δj∗σ′5σ′6

GTσ′6σ6

δ

δjσ6[σ3]

+ 1

2!

−14χ

4Gσ1σ′1

δ

δj∗σ′1σ′2

GTσ′2σ2

δ

δjσ2[σ3]Gσ3σ

′3

δ

δj∗σ′3σ′4

GTσ′4σ4

δ

δjσ4[σ1]

×

12χ

2Gσ5σ′5

δ

δj∗σ′5σ′6

GTσ′6σ6

δ

δjσ6[σ5]

+ 1

3!

12χ

2Gσ1σ′1

δ

δj∗σ′1σ′2

GTσ′2σ2

δ

δjσ2[σ1]

12χ

2Gσ3σ′3

δ

δj∗σ′3σ′4

GTσ′4σ4

δ

δjσ4[σ3]

×

12χ

2Gσ5σ′5

δ

δj∗σ′5σ′6

GTσ′6σ6

δ

δjσ6[σ5]

=(1

6χ6Gλ5σ



′5GTσ′6σ6

)δλ1σ3δλ3σ5δλ5σ1

×

δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1

δ

δj∗σ′3σ′4

δ

δjσ4λ3

δ

δj∗σ′5σ′6

δ

δjσ6λ5

153


+ 12!

(12χ


)(−1

4χ4Gλ5σ


′5GTσ′6σ6


×

δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1

δ

δj∗σ′3σ′4

δ

δjσ4λ3

δ

δj∗σ′5σ′6

δ

δjσ6λ5

+ 1

2!

(−1

4χ4Gλ3σ


′3GTσ′4σ4

)(12χ



×

δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1

δ

δj∗σ′3σ′4

δ

δjσ4λ3

δ

δj∗σ′5σ′6

δ

δjσ6λ5

+ 1

3!

(12χ


)(12χ


)(12χ



×

δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1

δ

δj∗σ′3σ′4

δ

δjσ4λ3

δ

δj∗σ′5σ′6

δ

δjσ6λ5

=(1

6χ6Gλ5σ



′5GTσ′6σ6


+ 12!

(12χ


)(−1

4χ4Gλ5σ


′5GTσ′6σ6


+ 12!

(−1

4χ4Gλ3σ


′3GTσ′4σ4

)(12χ



+ 13!

(12χ


)(12χ


)(12χ



×

δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1

δ

δj∗σ′3σ′4

δ

δjσ4λ3

δ

δj∗σ′5σ′6

δ

δjσ6λ5

(B.8)

Trong số hạng thứ nhất của thừa số đầu của tích ta đổi λ1 λ5 sau đó đổi λ5 λ3,ta được

(16χ

6Gλ5σ′1GTσ′2σ2Gλ1σ


′5GTσ′6σ6


=(1

6χ6Gλ1σ



′5GTσ′6σ6


(B.9)

Trong số hạng thứ hai của thừa số đầu của tích ta đổi λ5 λ3, ta được

(12χ


)(−1

4χ4Gλ5σ


′5GTσ′6σ6


=(1

2χ2Gλ1σ

′1GTσ′2σ2

)(−1

4χ4Gλ3σ


′5GTσ′6σ6


(B.10)

154


Trong số hạng thứ ba của thừa số đầu của tích ta đổi λ1 λ3, ta được

(−1

4χ4Gλ3σ


′3GTσ′4σ4

)(12χ



=(−1

4χ4Gλ1σ


′3GTσ′4σ4

)(12χ



(B.11)

Vậy

Z(3)[δ

δj∗,δ

δj

]=(1

6χ6Gλ1σ



′5GTσ′6σ6

)+ 1

2!

(12χ


)(−1

4χ4Gλ3σ


′5GTσ′6σ6

)+ 1

2!

(−1

4χ4Gλ1σ


′3GTσ′4σ4

)(12χ


)+ 1

3!

(12χ


)(12χ


)(12χ


)

× δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ5

δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1

δ

δj∗σ′3σ′4

δ

δjσ4λ3

δ

δj∗σ′5σ′6

δ

δjσ6λ5

=

Ω3 + 12!Ω

1Ω2 + 12!Ω

2Ω1 + 13!Ω

1Ω1Ω1δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ5

×

δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1

δ

δj∗σ′3σ′4

δ

δjσ4λ3

δ

δj∗σ′5σ′6

δ

δjσ6λ5

×∑

P

Ω3 + 12!∑P

(Ω1Ω2

)+ 1

3!∑P

( 13!Ω

1Ω1Ω1)

δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ5

×

δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1

δ

δj∗σ′3σ′4

δ

δjσ4λ3

δ

δj∗σ′5σ′6

δ

δjσ6λ5

(B.12)

Bậc 4:

Z(4)[δ

δj∗,δ

δj

]

= A4 + 12! (A1A3 + A3A1 + A2A2) + 1

3! (A1A1A2 + A1A2A1 + A2A1A1) + 14!A1A1A1A1

=−1

8χ8Gσ1σ

′1

δ

δj∗σ′1σ′2

GTσ′2σ2

δ

δjσ2σ3

Gσ3σ′3

δ

δj∗σ′3σ′4

GTσ′4σ4

δ

δjσ4σ5

Gσ5σ′5

δ

δj∗σ′5σ′6

GTσ′6σ6

δ

δjσ6σ7

×Gσ7σ′7

δ

δj∗σ′7σ′8

GTσ′8σ8

δ

δjσ8σ1

155


+ 12!

12χ

2Gσ1σ′1

δ

δj∗σ′1σ′2

GTσ′2σ2

δ

δjσ2σ1

×

16χ

6Gσ3σ′3

δ

δj∗σ′3σ′4

GTσ′4σ4

δ

δjσ4σ5

Gσ5σ′5

δ

δj∗σ′5σ′6

GTσ′6σ6

δ

δjσ6σ7

Gσ7σ′7

δ

δj∗σ′7σ′8

GTσ′8σ8

δ

δjσ8σ3

+ 1

2!

12χ

2Gσ7σ′7

δ

δj∗σ′7σ′8

GTσ′8σ8

δ

δjσ8σ7

×

16χ

6Gσ1σ′1

δ

δj∗σ′1σ′2

GTσ′2σ2

δ

δjσ2σ3

Gσ3σ′3

δ

δj∗σ′3σ′4

GTσ′4σ4

δ

δjσ4σ5

Gσ5σ′5

δ

δj∗σ′5σ′6

GTσ′6σ6

δ

δjσ6σ1

+ 1

2!

−14χ

4Gσ1σ′1

δ

δj∗σ′1σ′2

GTσ′2σ2

δ

δjσ2σ3

Gσ3σ′3

δ

δj∗σ′3σ′4

GTσ′4σ4

δ

δjσ4σ1

×

−14χ

4Gσ5σ′5

δ

δj∗σ′5σ′6

GTσ′6σ6

δ

δjσ6σ7

Gσ7σ′7

δ

δj∗σ′7σ′8

GTσ′8σ8

δ

δjσ8σ5

+ 1

3!

12χ

2Gσ1σ′1

δ

δj∗σ′1σ′2

GTσ′2σ2

δ

δjσ2σ1

12χ

2Gσ3σ′3

δ

δj∗σ′3σ′4

GTσ′4σ4

δ

δjσ4σ3

×

−14χ

4Gσ5σ′5

δ

δj∗σ′5σ′6

GTσ′6σ6

δ

δjσ6σ7

Gσ7σ′7

δ

δj∗σ′7σ′8

GTσ′8σ8

δ

δjσ8σ5

+ 1

3!

12χ

2Gσ1σ′1

δ

δj∗σ′1σ′2

GTσ′2σ2

δ

δjσ2σ1

12χ

2Gσ7σ′7

δ

δj∗σ′7σ′8

GTσ′8σ8

δ

δjσ8σ7

×

−14χ

4Gσ3σ′3

δ

δj∗σ′3σ′4

GTσ′4σ4

δ

δjσ4σ5

Gσ5σ′5

δ

δj∗σ′5σ′6

GTσ′6σ6

δ

δjσ6σ3

+ 1

3!

−14χ

4Gσ1σ′1

δ

δj∗σ′1σ′2

GTσ′2σ2

δ

δjσ2σ3

Gσ3σ′3

δ

δj∗σ′3σ′4

GTσ′4σ4

δ

δjσ4σ1

×

12χ

2Gσ5σ′5

δ

δj∗σ′5σ′6

GTσ′6σ6

δ

δjσ6σ5

12χ

2Gσ7σ′7

δ

δj∗σ′7σ′8

GTσ′8σ8

δ

δjσ8σ7

+ 1

4!

12χ

2Gσ1σ′1

δ

δj∗σ′1σ′2

GTσ′2σ2

δ

δjσ2σ1

12χ

2Gσ3σ′3

δ

δj∗σ′3σ′4

GTσ′4σ4

δ

δjσ4σ3

×

12χ

2Gσ5σ′5

δ

δj∗σ′5σ′6

GTσ′6σ6

δ

δjσ6σ5

12χ

2Gσ7σ′7

δ

δj∗σ′7σ′8

GTσ′8σ8

δ

δjσ8σ7

=(−1

8χ8Gλ7σ




′7GTσ′8σ8

)δλ1σ3δλ3σ5δλ5σ7δλ7σ1

×

δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1

δ

δj∗σ′3σ′4

δ

δjσ4λ3

δ

δj∗σ′5σ′6

δ

δjσ6λ5

δ

δj∗σ′7σ′8

δ

δjσ8λ7

156


+ 12!

(12χ


)(16χ



′7GTσ′8σ8


×

δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1

δ

δj∗σ′3σ′4

δ

δjσ4λ3

δ

δj∗σ′5σ′6

δ

δjσ6λ5

δ

δj∗σ′7σ′8

δ

δjσ8λ7

+ 1

2!

(16χ



′5GTσ′6σ6

)(12χ



×

δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1

δ

δj∗σ′3σ′4

δ

δjσ4λ3

δ

δj∗σ′5σ′6

δ

δjσ6λ5

δ

δj∗σ′7σ′8

δ

δjσ8λ7

+ 1

2!

(−1

4χ4Gλ3σ


′3GTσ′4σ4

)(−1

4χ4Gλ7σ


′7GTσ′8σ8

)

× δλ1σ3δλ3σ1δλ5σ7δλ7σ5

δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1

δ

δj∗σ′3σ′4

δ

δjσ4λ3

δ

δj∗σ′5σ′6

δ

δjσ6λ5

δ

δj∗σ′7σ′8

δ

δjσ8λ7

+ 1

3!

(12χ


)(12χ


)(−1

4χ4Gλ7σ


′7GTσ′8σ8

)


δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1

δ

δj∗σ′3σ′4

δ

δjσ4λ3

δ

δj∗σ′5σ′6

δ

δjσ6λ5

δ

δj∗σ′7σ′8

δ

δjσ8λ7

+ 1

3!

(12χ


)(−1

4χ4Gλ5σ


′5GTσ′6σ6

)(12χ


)


δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1

δ

δj∗σ′3σ′4

δ

δjσ4λ3

δ

δj∗σ′5σ′6

δ

δjσ6λ5

δ

δj∗σ′7σ′8

δ

δjσ8λ7

+ 1

3!

(−1

4χ4Gλ3σ


′3GTσ′4σ4

)(12χ


)(12χ


)


δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1

δ

δj∗σ′3σ′4

δ

δjσ4λ3

δ

δj∗σ′5σ′6

δ

δjσ6λ5

δ

δj∗σ′7σ′8

δ

δjσ8λ7

+ 1

4!

(12χ


)(12χ


)(12χ


)(12χ


)


δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1

δ

δj∗σ′3σ′4

δ

δjσ4λ3

δ

δj∗σ′5σ′6

δ

δjσ6λ5

δ

δj∗σ′7σ′8

δ

δjσ8λ7

=

(−1

8χ8Gλ7σ




′7GTσ′8σ8


+ 12!

(12χ


)(16χ



′7GTσ′8σ8


+ 12!

(16χ



′5GTσ′6σ6

)(12χ



+ 12!

(−1

4χ4Gλ3σ


′3GTσ′4σ4

)×(−1

4χ4Gλ7σ


′7GTσ′8σ8


157


+ 13!

(12χ


)(12χ


)×(−1

4χ4Gλ7σ


′7GTσ′8σ8


+ 13!

(12χ


)(−1

4χ4Gλ5σ


′5GTσ′6σ6

)×(1

2χ2Gλ7σ

′7GTσ′8σ8


+ 13!

(−1

4χ4Gλ3σ


′3GTσ′4σ4

)(12χ


)×(1

2χ2Gλ7σ

′7GTσ′8σ8


+ 14!

(12χ


)(12χ


)(12χ


)

×(1

2χ2Gλ7σ

′7GTσ′8σ8


×

δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1

δ

δj∗σ′3σ′4

δ

δjσ4λ3

δ

δj∗σ′5σ′6

δ

δjσ6λ5

δ

δj∗σ′7σ′8

δ

δjσ8λ7

(B.13)

-Trong số hạng thứ nhất của thừa số đầu của tích ta đổi λ3 λ1, được

(−1

8χ8Gλ7σ




′7GTσ′8σ8


=(−1

8χ8Gλ7σ




′7GTσ′8σ8

)δλ3σ3δλ1σ5δλ5σ7δλ7σ1,

(B.14)

tiếp theo ta lại đổi λ5 λ1 , có

(−1

8χ8Gλ7σ




′7GTσ′8σ8


=(−1

8χ8Gλ7σ




′7GTσ′8σ8


(B.15)

cuối cùng đổi λ7 λ1, ta được

(−1

8χ8Gλ7σ




′7GTσ′8σ8


=(−1

8χ8Gλ1σ




′7GTσ′8σ8


(B.16)

158


Trong số hạng thứ hai của thừa số đầu của tích đổi λ5 λ3 , có

12!

(12χ


)(16χ



′7GTσ′8σ8


= 12!

(12χ


)(16χ



′7GTσ′8σ8


(B.17)

sau đó đổi λ7 λ3, ta được

12!

(12χ


)(16χ



′7GTσ′8σ8


= 12!

(12χ


)(16χ



′7GTσ′8σ8


(B.18)

-Trong số hạng thứ ba của thừa số đầu của tích đổi λ3 λ1, ta được

12!

(16χ



′5GTσ′6σ6

)(12χ



= 12!

(16χ



′5GTσ′6σ6

)(12χ



(B.19)

sau đó đổi λ5 λ1 , ta được

12!

(16χ



′5GTσ′6σ6

)(12χ



= 12!

(16χ



′5GTσ′6σ6

)(12χ



(B.20)

-Trong số hạng thứ tư của thừa số đầu của tích ta đổi λ3 λ1 đồng thời đổi λ7 λ5, được

12!

(−1

4χ4Gλ3σ


′3GTσ′4σ4

)(−1

4χ4Gλ7σ


′7GTσ′8σ8


= 12!

(−1

4χ4Gλ1σ


′3GTσ′4σ4

)(−1

4χ4Gλ5σ


′7GTσ′8σ8


(B.21)

159


-Trong số hạng thứ năm của thừa số đầu của tích đổi λ7 λ5, ta được

13!

(12χ


)(12χ


)(−1

4χ4Gλ7σ


′7GTσ′8σ8


= 13!

(12χ


)(12χ


)(−1

4χ4Gλ5σ


′7GTσ′8σ8


(B.22)

-Trong số hạng thứ sáu của thừa số đầu của tích ta đổi λ5 λ3, có

13!

(12χ


)(−1

4χ4Gλ5σ


′5GTσ′6σ6

)(1

2χ2Gλ7σ

′7GTσ′8σ8


= 13!

(12χ


)(−1

4χ4Gλ3σ


′5GTσ′6σ6

)(1

2χ2Gλ7σ

′7GTσ′8σ8


(B.23)

-Trong số hạng thứ bảy của thừa số đầu của tích đổi λ3 λ1 , ta cũng được

13!

(−1

4χ4Gλ3σ


′3GTσ′4σ4

)(12χ


)(1

2χ2Gλ7σ

′7GTσ′8σ8


= 13!

(−1

4χ4Gλ1σ


′3GTσ′4σ4

)(12χ


)(1

2χ2Gλ7σ

′7GTσ′8σ8


(B.24)

Vậy

Z(4)[δ

δj∗,δ

δj

]=

(−1

8χ8Gλ1σ




′7GTσ′8σ8

)

+ 12!

(12χ


)(16χ



′7GTσ′8σ8

)+ 1

2!

(16χ



′5GTσ′6σ6

)(12χ


)+ 1

2!

(14χ


′3GTσ′4σ4

)(14χ


′7GTσ′8σ8

)

160


+ 13!

(12χ


)(12χ


)(−1

4χ4Gλ5σ


′7GTσ′8σ8

)+ 1

3!

(12χ


)(−1

4χ4Gλ3σ


′5GTσ′6σ6

)(12χ


)+ 1

3!

(−1

4χ4Gλ1σ


′3GTσ′4σ4

)(12χ


)(12χ


)

+ 14!

(12χ


)(12χ


)(12χ


)(12χ


)× δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ5δλ7σ7

δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1

δ

δj∗σ′3σ′4

δ

δjσ4λ3

δ

δj∗σ′5σ′6

δ

δjσ6λ5

δ

δj∗σ′7σ′8

δ

δjσ8λ7

=

Ω4 + 12!Ω

1Ω3 + 12!Ω

3Ω1 + 12!Ω

2Ω2 + 13!Ω

1Ω1Ω2 + 13!Ω

1Ω2Ω1

+ 13!Ω

2Ω1Ω1 + 14!Ω

1Ω1Ω1Ω1


δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1

δ

δj∗σ′3σ′4

δ

δjσ4λ3

δ

δj∗σ′5σ′6

δ

δjσ6λ5

δ

δj∗σ′7σ′8

δ

δjσ8λ7

=∑

P

Ω4 + 12!∑P

(Ω1Ω3 + 1

2!Ω2Ω2

)+ 1

3!∑P

( 12!Ω

1Ω1Ω2)

+ 14!∑P

( 14!Ω

1Ω1Ω1Ω1)


δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1

δ

δj∗σ′3σ′4

δ

δjσ4λ3

δ

δj∗σ′5σ′6

δ

δjσ6λ5

δ

δj∗σ′7σ′8

δ

δjσ8λ7

(B.25)

Bằng phương pháp quy nạp ta có thể tổng quát hóa cho bậc thứ N như sau:

Z(N)[δ

δj∗,δ

δj

]

= AN + 12! (Aq1Aq2) + 1

3! (Aq1Aq2Aq3) + · · ·+ 1m!

Aq1 · · ·Aqm︸︷︷︸m

+ · · ·+ 1N ! A1 · · ·A1︸︷︷︸

N

=N∑m=1

1m!

∑P

∏i

1ki!

(Aqi)ki

=

N∑m=1

1m!

∑P

∏i

1ki!

(Ωqi)kiδλ1σ1 . . . δλ2N−1σ2N−1

×

δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1

· · · δ

δj∗σ′2N−1σ

′2N

δ

δjσ2Nλ2N−1

161


(B.26)

162

C. Các phép đạo hàm lên hàm mũ

Bậc 1:

J (1) [j, j∗]

= δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1


′1α′2j∗α′1α′2

= δ

δj∗σ′1σ′2

(g2V j∗

)λ1σ2


′1α′2j∗α′1α′2

=(g2V

)λ1σ2σ

′1σ′2

+(g2V j∗

)λ1σ2

(g2j V

)σ′1σ′2

exp

g2jα1α2Vα1α2α

′1α′2j∗α′1α′2

=(g2V

)α1β′1

+(g2V j∗

)α1

(g2j V

)β′1

exp

g2jα1α2Vα1α2α

′1α′2j∗α′1α′2

= δγ1α1

(g2V

)γ1γ′1

+(g2V j∗

)γ1

(g2j V

)γ′1

δγ′1β′1 exp

g2jα1α2Vα1α2α

′1α′2j∗α′1α′2

= ∆1(γ1, α1)(g2V

)γ1γ′1

+(g2V j∗

)γ1

(g2j V

)γ′1

∆1(γ′1, β′1)


′1α′2j∗α′1α′2

(C.1)

ở đây vì các bộ chỉ số σ2nσ2n−1 và σ′2nσ′2n−1 là các bộ chỉ số kép nên để đơn giản trongcách viết ta đã đặt

σ2nλ2n−1 ≡αnσ2nσ2n−1 ≡βnσ′2nσ

′2n−1 ≡β′n

(C.2)

Sử dụng (B.4) và (C.1) có thể viết

Z(1) [j, j∗] = F0

ZΦ0

Ω1δλ1σ1∆1(γ1, α1)(g2V

)γ1γ′1

+(g2V j∗

)γ1

(g2j V

)γ′1

∆1(γ′1, β′1)


′1α′2j∗α′1α′2

163

Các phép đạo hàm lên hàm mũ

(C.3)

Thay σ2λ1 ≡ α1 rồi thực hiện tính toán ta được

δλ1σ1 ×∆1(γ1, α1) = δλ1σ1δγ1α1

= δλ1σ1δγ1(σ2λ1) = δγ1(σ2σ1) = ∆1(γ1, β1)(C.4)

vậy khai triển bậc 1 đầy đủ của Z [j, j∗] trong biểu thức (2.105) có dạng cuối cùng là

Z(1) [j, j∗] = F0

ZΦ0

Ω1∆1(γ1, β1)(g2V

)γ1γ′1

+(g2V j∗

)γ1

(g2j V

)γ′1

∆1(γ′1, β′1)


′1α′2j∗α′1α′2

,

(C.5)

trong đó

∆1(γ1, β1) =δγ1(σ2σ1)

∆1(γ′1, β′1) =δγ′1(σ′2σ′1)(C.6)

Bậc 2:

J (2) [j, j∗]

= δ

δj∗σ′3σ′4

δ

δjσ4λ3

δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1


′1α′2j∗α′1α′2

= δ

δj∗σ′3σ′4

δ

δjσ4λ3

[(g2Vλ1σ2σ′1σ′2

)+(g2V j∗

)λ1σ2

(g2j V

)σ′1σ′2

]


′1α′2j∗α′1α′2

=(g2V

)σ2λ1σ

′1σ′2

(g2V

)σ4λ3σ

′3σ′4

+(g2V

)σ2λ1σ

′3σ′4

(g2V

)σ4λ3σ

′1σ′2

+(g2Vσ2λ1σ

′1σ′2

) (g2V j∗

)σ4λ3

(g2j V

)σ′3σ′4

+(g2V

)σ4λ3σ

′1σ′2

(g2V j∗

)σ2λ1

(g2j V

)σ′3σ′4

+ g2Vσ2λ1σ′3σ′4

(g2j V

)σ′1σ′2

(g2V j∗

)σ4λ3

+(g2Vσ4λ3σ

′3σ′4

) (g2V j∗

)σ2λ1

(g2j V

)σ′1σ′2

+(g2V j∗

)σ2λ1

(g2j V

)σ′1σ′2

(g2V j∗

)σ4λ3

(g2j V

)σ′3σ′4

exp

g2jα1α2Vα1α2α

′1α′2j∗α′1α′2

164


(C.7)

165


Sử dụng(C.2) khi đó (C.7) được viết lại như sau

J (2) [j, j∗]

=(g2V

)α1β′1

(g2V

)α2β′2

+(g2V

)α1β′2

(g2V

)α2β′1

+(g2V

)α1β′1

(g2V j∗

)α2

(g2jV

)β′2

+(g2V

)α2β′1

(g2V j∗

)α1

(g2jV

)β′2

+(g2V

)α1β′2

(g2jV

)β′1

(g2V j∗

)α2

+(g2V

)α2β′2

(g2V j∗

)α1

(g2jV

)β′1

+(g2V j∗

)α1

(g2jV

)β′1

(g2V j∗

)α2

(g2jV

)β′2


′1α′2j∗α′1α′2

=

12!

∑P(β′1β′2)

∑P (α1α2)

(g2V

)α1β′1

(g2V

)α2β′2

+ 12! × 2

∑P(β′1β′2)

∑P (α1α2)

(g2V

)α1β′1

(g2V j∗

)α2

(g2jV

)β′2

+ 12!

12!

∑P(β′1β′2)

∑P (α1α2)

(g2V j∗

)α1

(g2jV

)β′1

(g2V j∗

)α2

(g2jV

)β′2


′1α′2j∗α′1α′2

=

12!

∑P(β′1β′2)

∑P (α1α2)

(g2V

)γ1γ′1

δγ1α1δγ′1β′1

(g2V

)γ2γ′2


+ 12! × 2

∑P(β′1β′2)

∑P (α1α2)

(g2V

)γ1γ′1


(g2V j∗

)γ2

(g2jV

)γ′2δγ2α2δγ′2β′2

+ 12!

12!

∑P(β′1β′2)

∑P (α1α2)

(g2V j∗

)γ1

(g2jV

)γ′1

(g2V j∗

)γ2

(g2jV

)γ′2δγ1α1δγ′1β′1δγ2α2δγ′2β′2


′1α′2j∗α′1α′2

= ∆2(γ1γ2, α1α2) 1

2!(g2V

)γ1γ′1

(g2V

)γ2γ′2

+ 12! × 2

(g2V

)γ1γ′1

(g2V j∗

)γ2

(g2jV

)γ′2

+ 12!

12!(g2V j∗

)γ1

(g2jV

)γ′1

(g2V j∗

)γ2

(g2jV

)γ′2

∆2(γ′1γ′2, β′1β′2)


′1α′2j∗α′1α′2

= ∆2(γ1γ2, α1α2)

12!(g2V

)2+(g2V

) (g2V j∗

) (g2jV

)

+ 12!

12![(g2V j∗

) (g2jV

)]2∆2(γ′1γ′2, β′1β′2) expg2jα1α2Vα1α2α

′1α′2j∗α′1α′2

,

166


(C.8)

với∆2(γ1γ2, α1α2) =δγ1α1δγ2α2 + δγ1α2δγ2α1 =

∑P (α1α2)

δγ1α1δγ2α2

∆2(γ′1γ′2, β′1β′2) =δγ′1β′1δγ′2β′2 + δγ′1β′2δγ′2β′1 =∑

P(β′1β′2)δγ′1β′1δγ′2β′2

(C.9)


Z(2) [j, j∗]

= F0

ZΦ0

∑P

Ω2 + 12!∑P

( 12!Ω

1Ω1)

δλ1σ1δλ3σ3

×∆2(γ1γ2, α1α2) 1

2!(g2V

)γ1γ′1

(g2V

)γ2γ′2

+ 12! × 2

(g2V

)γ1γ′1

(g2V j∗

)γ2

(g2jV

)γ′2

+ 12!

12!(g2V j∗

)γ1

(g2jV

)γ′1

(g2V j∗

)γ2

(g2jV

)γ′2

∆2(γ′1γ′2, β′1β′2)


′1α′2j∗α′1α′2

(C.10)


δλ1σ1δλ3σ3 ×∆2(γ1γ2, α1α2) = δλ1σ1δλ3σ3

∑P (α1α2)

δγ1α1δγ2α2

= δλ1σ1δλ3σ3

∑P (σ2λ1,σ4λ3)

δγ1(σ2λ1)δγ2(σ4λ3) =∑

P (σ2σ1,σ4σ3)δγ1(σ2σ1)δγ2(σ4σ3)

=∑

P (β1β2)δγ1β1δγ2β2 = ∆2(γ1γ2, β1β2)

(C.11)

Vậy khai triển bậc 2 đầy đủ của Z [j, j∗] trong biểu thức (2.105) có dạng cuối cùng là:

Z(2) [j, j∗]

= F0

ZΦ0

∑P

Ω2 + 12!∑P

( 12!Ω

1Ω1)

×∆2(γ1γ2, β1β2) 1

2!(g2V

)γ1γ′1

(g2V

)γ2γ′2

+ 12! × 2

(g2V

)γ1γ′1

(g2V j∗

)γ2

(g2jV

)γ′2

+ 12!

12!(g2V j∗

)γ1

(g2jV

)γ′1

(g2V j∗

)γ2

(g2jV

)γ′2

∆2(γ′1γ′2, β′1β′2)


′1α′2j∗α′1α′2

167


(C.12)

trong đó

∆2(γ1γ2, β1β2) =∑

P (β1β2)δγ1β1δγ2β2

∆2(γ′1γ′2, β′1β′2) =∑

P(β′1β′2)δγ′1β′1δγ′2β′2

(C.13)

Bậc 3:

J (3) [j, j∗] = δ

δj∗σ′5σ′6

δ

δjσ6λ5

δ

δj∗σ′3σ′4

δ

δjσ4λ3

δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1


′1α′2j∗α′1α′2

(C.14)

Sử dụng kết quả từ (C.7) ta được:

J (3) [j, j∗]

= δ

δj∗σ′5σ′6

δ

δjσ6λ5

(g2Vσ2λ1σ′1σ′2

) (g2Vσ4λ3σ

′3σ′4

)+(g2Vσ2λ1σ

′3σ′4

) (g2Vσ4λ3σ

′1σ′2

)+(g2Vσ2λ1σ

′1σ′2

) (g2V j∗

)σ4λ3

(g2j V

)σ′3σ′4

+ Vσ4λ3σ′1σ′2

(g2V j∗

)σ2λ1

(g2j V

)σ′3σ′4

+ g2Vσ2λ1σ′3σ′4

(g2j V

)σ′1σ′2

(g2V j∗

)σ4λ3

+(g2Vσ4λ3σ

′3σ′4

) (g2V j∗

)σ2λ1

(g2j V

)σ′1σ′2

+(g2V j∗

)σ2λ1

(g2j V

)σ′1σ′2

(g2V j∗

)σ4λ3

(g2j V

)σ′3σ′4

exp

g2jα1α2Vα1α2α

′1α′2j∗α′1α′2

(C.15)

Sử dụng (C.2) ta viết lại (C.15) như sau

J (3) [j, j∗]

=

13!

∑P(β′1β′2β′3)

∑P (β1β2β3)

(g2V

)β1β′1

(g2V

)β2β′2

(g2V

)β3β′3

+ 13! × 3

∑P(β′1β′2β′3)

∑P (β1β2β3)

(g2V

)β2β′2

(g2V

)β3β′3

(g2V j∗

)β1

(g2j V

)β′1

+ 32!

13!

∑P(β′1β′2β′3)

∑P (β1β2β3)

(g2V

)β3β′3

(g2V j∗

)β2

(g2j V

)β′2

(g2V j∗

)β1

(g2j V

)β′1

(C.16)

168


+ 13!

13!

∑P(β′1β′2β′3)

∑P (β1β2β3)

(g2V j∗

)β1

(g2j V

)β′1· · ·

(g2V j∗

)β3

(g2j V

)β′3

× exp

g2jα1α2Vα1α2α

′1α′2j∗α′1α′2

=

13!

∑P(β′1β′2β′3)

∑P (β1β2β3)

(g2V

)γ1γ′1

δγ1β1δγ′1β′1

(g2V

)γ2γ′2


(g2V

)γ3γ′3


+ 13! × 3

∑P(β′1β′2β′3)

∑P (β1β2β3)

(g2V

)γ1γ′1


(g2V

)γ2γ′2


×(g2V j∗

) (g2jV

)γ′3δγ3β3δγ′3β′3

+ 32!

13!

∑P(β′1β′2β′3)

∑P (α1α2α3)

(g2V

)γ1γ′1


×(g2V j∗

)γ2

(g2jV


(g2V j∗

)γ3

(g2jV


+ 13!

13!

∑P(β′1β′2β′3)

∑P (α1α2α3)

(g2V j∗

)γ1

(g2jV

)γ′1· · ·

(g2V j∗

)γ3

(g2jV

)γ′3

× δγ1α1δγ′1β′1δγ2α2δγ′2β′2δγ3α3δγ′3β′3

exp

g2jα1α2Vα1α2α

′1α′2j∗α′1α′2

= ∆3(γ1γ2γ3, α1α2α3) 1

3!(g2V

)γ1γ′1

(g2V

)γ2γ′2

(g2V

)γ3γ′3

+ 13! × 3

(g2V

)γ1γ′1

(g2V

)γ2γ′2

(g2V j∗

)γ3

(g2jV

)γ′3

+ 32!

13!(g2V

)γ1γ′1

(g2V j∗

)γ2

(g2jV

)γ′2

(g2V j∗

)γ3

(g2jV

)γ′3

+ 13!

13!(g2V j∗

)γ1

(g2jV

)γ′1

(g2V j∗

)γ2

(g2jV

)γ′2

(g2V j∗

)γ3

(g2jV

)γ′3

×∆3(γ′1γ′2γ′3, β′1β′2β′3) exp

g2jα1α2Vα1α2α

′1α′2j∗α′1α′2

= ∆3(γ1γ2γ3, α1α2α3)

13!(g2V

)3+ 1

2!(g2V

)2 (g2V j∗

) (g2jV

)

+( 1

2!

)2 (g2V

) [(g2V j∗

) (g2jV

)]2+( 1

3!

)2 [(g2V j∗

) (g2jV

)]3×∆3(γ′1γ′2γ′3, β′1β′2β′3) exp

g2jα1α2Vα1α2α

′1α′2j∗α′1α′2

,

(C.17)

169


trong đó

∆3(γ1γ2γ3, α1α2α3) =∑

P (α1α2α3)δγ1α1δγ2α2δγ3α3

∆3(γ′1γ′2γ′3, β′1β′2β′3) =∑

P(β′1β′2β′3)δγ′1β′1δγ′2β′2δγ′3β′3

(C.18)


Z(3) [j, j∗]

= F0

ZΦ0

∑P

Ω3 + 12!∑P

(Ω1Ω2

)+ 1

3!∑P

( 13!Ω

1Ω1Ω1)

× δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ5∆3(γ1γ2γ3, α1α2α3)

×

13!(g2V

)3+ 1

2!(g2V

)2 (g2V j∗

) (g2jV

)

+( 1

2!

)2 (g2V

) [(g2V j∗

) (g2jV

)]2+( 1

3!

)2 [(g2V j∗

) (g2jV

)]3×∆3(γ′1γ′2γ′3, β′1β′2β′3) exp

g2jα1α2Vα1α2α

′1α′2j∗α′1α′2

(C.19)


δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ5 ×∆3(γ1γ2γ3, α1α2α3)=δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ5

∑P (α1α2α3)

δγ1α1δγ2α2δγ3α3

=δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ5

∑P (σ2λ1,σ4λ3,σ6λ5)

δγ1(σ2λ1)δγ2(σ4λ3)δγ3(σ6λ5)

=∑

P (σ2σ1,σ4σ3,σ6σ5)δγ1(σ2σ1)δγ2(σ4σ3)δγ3(σ6σ5)

=∑

P (β1β2β3)δγ1β1δγ2β2δγ3β3

=∆3(γ1γ2γ3, β1β2β3)

(C.20)

170



Z(3) [j, j∗]

= F0

ZΦ0

∑P

Ω3 + 12!∑P

(Ω1Ω2

)+ 1

3!∑P

( 13!Ω

1Ω1Ω1)

∆3(γ1γ2γ3, β1β2β3)

×

13!(g2V

)3+ 1

2!(g2V

)2 (g2V j∗

) (g2jV

)+( 1

2!

)2 (g2V

) [(g2V j∗

) (g2jV

)]2

+( 1

3!

)2 [(g2V j∗

) (g2jV

)]3∆3(γ′1γ′2γ′3, β′1β′2β′3) expg2jα1α2Vα1α2α

′1α′2j∗α′1α′2

(C.21)

trong đó

∆3(γ1γ2γ3, β1β2β3) =∑

P (α1α2α3)δγ1β1δγ2β2δγ3β3

∆3(γ′1γ′2γ′3, β′1β′2β′3) =∑

P(β′1β′2β′3)δγ′1β′1δγ′2β′2δγ′3β′3

(C.22)

vớiσ2nσ2n−1 ≡βnσ′2nσ

′2n−1 ≡β′n

(C.23)

Bậc 4:

J (4) [j, j∗]

= δ

δj∗σ′7σ′8

δ

δjσ8λ7

δ

δj∗σ′5σ′6

δ

δjσ6λ5

δ

δj∗σ′3σ′4

δ

δjσ4λ3

δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1


′1α′2j∗α′1α′2

=

24(g2Vσ8λ7σ

′7σ′8

) (g2Vσ6λ5σ

′5σ′6

) (g2Vσ4λ3σ

′3σ′4

) (g2Vσ2λ1σ

′1σ′2

)+ 96

(g2Vσ8λ7σ

′7σ′8

) (g2Vσ6λ5σ

′5σ′6

) (g2Vσ4λ3σ

′3σ′4

) (g2V j∗

)σ2λ1

(g2j V

)σ′1σ′2

+ 72(g2Vσ8λ7σ

′7σ′8

) (g2Vσ6λ5σ

′5σ′6

) (g2V j∗

)σ4λ3

(g2j V

)σ′3σ′4

(g2V j∗

)σ2λ1

(g2j V

)σ′1σ′2

+ 16(g2Vσ8λ7σ

′7σ′8

) (g2V j∗

)σ2λ1

(g2j V

)σ′1σ′2

×(g2V j∗

)σ4λ3

(g2j V

)σ′3σ′4

(g2V j∗

)σ6λ5

(g2j V

)σ′5σ′6

+(g2V j∗

)σ2λ1

(g2j V

)σ′1σ′2

(g2V j∗

)σ4λ3

(g2j V

)σ′3σ′4

×(g2V j∗

)σ6λ5

(g2j V

)σ′5σ′6

(g2V j∗

)σ8λ7

(g2j V

)σ′7σ′8


′1α′2j∗α′1α′2

171


(C.24)

Sử dụng (C.2) ta viết lại

J (4) [j, j∗]

= 14!

∑P(β′1···β′4)

∑P (α1···α4)

(g2V

)α4β′4

(g2V

)α3β′3

(g2V

)α2β′2

(g2V

)α1β′1

+ 44!

∑P(β′1···β′4)

∑P (α1···α4)

(g2V

)α4β′4

(g2V

)α3β′3

(g2V

)α2β′2

(g2V j∗

)α1

(g2j V

)β′1

+ 34!

∑P(β′1···β′4)

∑P (α1···α4)

(g2V

)α4β′4

(g2V

)α3β′3

(g2V j∗

)α2

(g2j V

)β′2

(g2V j∗

)α1

(g2j V

)β′1

+ 14! ×

43!

∑P(β′1···β′4)

∑P (α1···α4)

(g2V

)α4β′4

(g2V j∗

)α3

(g2j V

)β′3

×(g2V j∗

)α2

(g2j V

)β′2

(g2V j∗

)α1

(g2j V

)β′1

+ 14! ×

14!

∑P(β′1···β′4)

∑P (α1···α4)

(g2V j∗

)α4

(g2j V

)β′4

(g2V j∗

)α3

(g2j V

)β′3

×(g2V j∗

)α2

(g2j V

)β′2

(g2V j∗

)α1

(g2j V

)β′1

= ∆4(γ1 · · · γ4, α1 · · ·α4) 1

4!(g2V

)γ1γ′1

(g2V

)γ2γ′2

(g2V

)γ3γ′3

(g2V

)γ4γ′4

+ 14! × 4

(g2V

)γ1γ′1

(g2V

)γ2γ′2

(g2V

)γ3γ′3

(g2V j∗

)γ4

(g2jV

)γ′4

+ 14! × 3

(g2V

)γ1γ′1

(g2V

)γ2γ′2

(g2V j∗

)γ3

(g2jV

)γ′3

(g2V j∗

)γ4

(g2jV

)γ′4

+ 43!

14!(g2V

)γ1γ′1

(g2V j∗

)γ2

(g2jV

)γ′2

(g2V j∗

)γ3

(g2jV

)γ′3

(g2V j∗

)γ4

(g2jV

)γ′4

+ 14!

14!(g2V j∗

)γ1

(g2jV

)γ′1· · ·

(g2V j∗

)γ4

(g2jV

)γ′4

×∆4(γ′1 · · · γ′4, β′1 · · · β′4) exp

g2jα1α2Vα1α2α

′1α′2j∗α′1α′2

= ∆4(γ1 · · · γ4, α1 · · ·α4)

14!(g2V

)4+ 1

3!(g2V

)3 (g2V j∗

) (g2jV

)

+ 12!

( 12!

)2 (g2V

)2 [(g2V j∗

) (g2jV

)]2+( 1

3!

)2 (g2V

) [(g2V j∗

) (g2jV

)]3+( 1

4!

)2 [(g2V j∗

) (g2jV

)]4∆4(γ′1 · · · γ′4, β′1 · · · β′4) expg2jα1α2Vα1α2α

′1α′2j∗α′1α′2

(C.25)

172



Z(4) [j, j∗]

= F0

ZΦ0

∑P

Ω4 + 12!∑P

(Ω1Ω3 + 1

2!Ω2Ω2

)+ 1

3!∑P

( 12!Ω

1Ω1Ω2)

+ 14!∑P

( 14!Ω

1Ω1Ω1Ω1)

× δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ5δλ7σ7∆4(γ1 · · · γ4, α1 · · ·α4)

×

14!(g2V

)4+ 1

3!(g2V

)3 (g2V j∗

) (g2jV

)+ 1

2!

( 12!

)2 (g2V

)2 [(g2V j∗

) (g2jV

)]2

+( 1

3!

)2 (g2V

) [(g2V j∗

) (g2jV

)]3+( 1

4!

)2 [(g2V j∗

) (g2jV

)]4×∆4(γ′1 · · · γ′4, β′1 · · · β′4) exp

g2jα1α2Vα1α2α

′1α′2j∗α′1α′2

(C.26)


δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ5δλ7σ7 ×∆4(γ1 · · · γ4, α1 · · ·α4)=δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ5δλ7σ7

∑P (α1···α4)

δγ1α1δγ2α2δγ3α3δγ4α4

=δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ5δλ7σ7

∑P (σ2λ1,σ4λ3,σ6λ5,σ8λ7)

δγ1(σ2λ1)δγ2(σ4λ3)δγ3(σ6λ5)δγ4(σ8λ7)

=∑

P (σ2σ1,σ4σ3,σ6σ5,σ8σ7)δγ1(σ2σ1)δγ2(σ4σ3)δγ3(σ6σ5)δγ4(σ8σ7)

=∑

P (β1···β4)δγ1β1δγ2β2δγ3β3δγ4β4

=∆4(γ1 · · · γ4, β1 · · · β4)

(C.27)


Z(4) [j, j∗]

= F0

ZΦ0

∑P

Ω4 + 12!∑P

(Ω1Ω3 + 1

2!Ω2Ω2

)+ 1

3!∑P

( 12!Ω

1Ω1Ω2)

+ 14!∑P

( 14!Ω

1Ω1Ω1Ω1)

×∆4(γ1 · · · γ4, β1 · · · β4)

14!(g2V

)4+ 1

3!(g2V

)3 (g2V j∗

) (g2jV

)

173


+ 12!

( 12!

)2 (g2V

)2 [(g2V j∗

) (g2jV

)]2+( 1

3!

)2 (g2V

) [(g2V j∗

) (g2jV

)]3+( 1

4!

)2 [(g2V j∗

) (g2jV

)]4∆4(γ′1 · · · γ′4, β′1 · · · β′4) expg2jα1α2Vα1α2α

′1α′2j∗α′1α′2

(C.28)

trong đó

∆4(γ1 · · · γ4, β1 · · · β4) =∑

P (β1···β4)δγ1β1δγ2β2δγ3β3δγ4β4

∆4(γ′1 · · · γ′4, β′1 · · · β′4) =∑

P(β′1···β′4)δγ′1β′1δγ′2β′2δγ′3β′3δγ′4β′4

(C.29)

Bậc N:

J (N) [j, j∗]

=

δ

δj∗σ′2N−1σ

′2N

δ

δjσ2Nλ2N−1

· · · δ

δj∗σ′1σ′2

δ

δjσ2λ1


′1α′2j∗α′1α′2

=

1N !

∑P(β′1···β′N)

∑P (α1···αN )

((g2V

)αNβ

′N

· · ·(g2V

)α1β′1

)

+ 1N ! ×N

∑P(β′1···β′N)

∑P (α1···αN )

((g2V

)αNβ

′N

· · ·(g2V

)α2β′2

(g2V j∗

)α1

(g2j V

)β′1

)

+ · · ·

+ 1N !

N

(N − 1)!∑

P(β′1···β′4)

∑P (α1···α4)

(g2V)αNβ

′N

(g2V j∗

)αN−1

(g2j V

)β′N−1

· · ·(g2V j∗

)α1

(g2j V

)β′1

+ 1N ! ×

1N !

∑P(β′1···β′4)

∑P (α1···α4)

((g2V j∗

)αN

(g2j V

)β′N· · ·

(g2V j∗

)α1

(g2j V

)β′1

)× exp

g2jα1α2Vα1α2α

′1α′2j∗α′1α′2

= ∆N(γ1 · · · γN , α1 · · ·αN)

1N !

(g2V

)N+ · · ·

+ 1(N − k)!

(g2V

)N−k ( 1k!

)2 [(g2V j∗

) (g2jV

)]k+ · · ·+

( 1N !

)2 [(g2V j∗

) (g2jV

)]N ×∆N(γ′1 · · · γ′N , β′1 · · · β′N) exp

g2jα1α2Vα1α2α

′1α′2j∗α′1α′2

174


= ∆N

N∑k=0

1(N − k)!

(g2V

)N−k ( 1k!

)2 [(g2V j∗

) (g2jV

)]k ∆N


′1α′2j∗α′1α′2

(C.30)


Z(N) [j, j∗]

= F0

ZΦ0

N∑m=1

1m!

∑P

∏i

1ki!

(Ωqi)ki× δλ1σ1 . . . δλ2N−1σ2N−1 ×∆N(γ1 · · · γN , α1 · · ·αN)

×N∑k=0

1(N − k)!

(g2V

)N−k ( 1k!

)2 [(g2V j∗

) (g2jV

)]k ∆N(γ′1 · · · γ′N , β′1 · · · β′N)

×


′1α′2j∗α′1α′2

(C.31)

trong đó

∆N(γ1 · · · γN , α1 · · ·αN) =∑

P (α1···αN )δγ1α1 . . . δγNαN

∆N(γ′1 · · · γ′N , β′1 · · · β′N) =∑

P(β′1···β′N)δγ′1β′1 . . . δγ′Nβ′N

(C.32)


δλ1σ1 . . . δλ2N−1σ2N−1 ×∆N(γ1 · · · γN , α1 · · ·αN)=δλ1σ1 . . . δλ2N−1σ2N−1

∑P (α1···αN )

δγ1α1 . . . δγNαN

=δλ1σ1 . . . δλ2N−1σ2N−1

∑P (σ2λ1,···σ2Nλ2N−1)

δγ1(σ2λ1) · · · δγN (σ2Nλ2N−1)

=∑

P (σ2σ1···σ2Nσ2N−1)δγ1(σ2σ1) · · · δγN (σ2Nσ2N−1)

=∑

P (β1···βN )δγ1β1 · · · δγNβN

=∆N(γ1 · · · γN , β1 · · · βN)

(C.33)

175


vậy khai triển bậc N đầy đủ của Z [j, j∗] trong biểu thức (2.105) có dạng cuối cùng là

Z(N) [j, j∗]

= F0

ZΦ0

N∑m=1

1m!

∑P

∏i

1ki!

(Ωqi)ki×∆N(γ1 · · · γN , β1 · · · βN)

×

N∑k=0

1(N − k)!

(g2V

)N−k ( 1k!

)2 [(g2V j∗

) (g2jV

)]k ∆N(γ′1 · · · γ′N , β′1 · · · β′N)


′1α′2j∗α′1α′2

(C.34)

trong đó

∆N(γ1 · · · γN , β1 · · · βN) =∑

P (β1···βN )δγ1β1 . . . δγNβN

∆N(γ′1 · · · γ′N , β′1 · · · β′N) =∑

P(β′1···β′N)δγ′1β′1 . . . δγ′Nβ′N

(C.35)

176

Tài liệu tham khảo

[1] M. G. Vavilov A. B. Vorontsov and A. V. Chubukov. Superconductivity andspin-density waves in multiband metals. Phys. Rev. B, 81(174538), 2010.

[2] I.E. Dzyaloshinski A.A. Abrikosov, L.P. Gorkov. Methods of Quantum Field The-ory in Statistical Physics. Pergamon; 2nd Revised edition (1965), 2 edition, 1965.

[3] I.M. Khalatnikov A.A. Abrikosov, L.P. Gor’kov. A superconductor in a highfrequency field. JETP, 8:182, January 1959.

[4] L.P. Gor’kov A.A. Abrikosov. On the theory of superconducting alloys; i. theelectrodynamics of alloys at absolute zero. JETP, 8:1090, June 1959.

[5] A. A. Abrikosov. Superconductivity due to ferromagnetically ordered localizedspins. Journal of Physics: Condensed Matter, 13:48., 2001.

[6] A. A. Abrikosov. Type II Superconductors and the Vortex Lattice, Nobel PrizeLecture in Les Prix Nobel, published by the Nobel Foudation. the Nobel Foudation,2003.

[7] T. Akazawa, H. Hidaka, T. Fujiwara, T. C. Kobayashi, E. Yamamoto, Y. Haga,R. Settai, and Y. Onuki. Pressure-induced superconductivity in ferromagnetic uirwithout inversion symmetry. J. Phys.: Condens. Matter, 16:L29, 2004.

[8] D. E. Almeida, R. M. Fernandes, and E. Miranda. Induced spin-triplet pairing inthe coexistence state of antiferromagnetism and singlet superconductivity: Collec-tive modes and microscopic properties. Phys. Rev. B, 96:014514, Jul 2017.

[9] Alexander Altland and Ben Simons. Condensed Matter Field Theory. CambridgeUniversity Press; 2 edition (March 11, 2010), 2 edition, March 2010.

[10] D. Aoki, A. Huxley, E. Ressouche, D. Braithwaite, J. Flouquet, J.-P. Brison,E. Lhotel, and C. Paulsen. Coexistence of superconductivity and ferromagnetismin urhge. Nature, 413:613–616., 2001.

[11] W. Bao, P. G. Pagliuso, J. L. Sarrao, J. D. Thompson, Z. Fisk, J. W. Lynn,and R. W. Erwin. Incommensurate magnetic structure of cerhin5. Phys. Rev. B,67:099903(E)., 2003.

[12] J. Bardeen, L. N. Cooper, and J. R. Schrieer. Microscopic theory of superconduc-tivity. Phys. Rev., 106(1):162–164, 1957.

[13] J. Bardeen, L. N. Cooper, and J. R. Schrieer. Theory of superconductivity. Phys.Rev., 108(5):1175– 1204, 1957.

[14] J. G. Bednorz and K. A. Muller. Possible high tc superconductivity in the ba-la-cu-o system. Zeit. Phys. B, 64:1989–1993, 1986.

177


[15] N. F. Berk and J. R. Schrieffer. Effect of ferromagnetic spin correlations onsuperconductivity. Phys. Rev. Lett., 17:433., 1966.

[16] N.N. Bogoliubov. A new method in the theory of superconductivity. i. JETP,7:41, July 1958.

[17] S. V. Bogolyubov, N. N.; Tyablikov. Retarded and advanced green functions instatistical physics. Soviet Physics Doklady, 4:589, December 1959.

[18] J. Choe C. W. Chen and E. Morosan. Charge density waves in strongly correlatedelectron systems. Rep. Prog. Phys., 79(8):084505, July 2016.

[19] D. T. Cat and V. N. Tuoc. Proceedings of 9th apps. page 415, 2003.[20] D. T. Cat and V. N. Tuoc. Reported at the 28th national conference on theoretical

physics, sam son. 2003.[21] P. Coleman. Introduction to Many Body Physics. Printed in the United Kingdom

by Bell & Bain Ltd, 2015.[22] M. G. Cottam, D. V. Shopova, and D. I. Uzunov. On the phase diagrams of the

ferromagnetic superconductors uge2 and zrzn2. Phys.Lett. A, 373:152–155., 2008.[23] E. K. Dahl and A. Sudbø. Derivation of the ginzburg-landau equations for a

ferromagnetic p-wave superconductor. Phys. Rev. B, 75:144504, Apr 2007.[24] E.Maxwell. Isotope effect in the superconductivity of mercury. Physical Review

(U.S.), 78:477, 1950.[25] D. Fay and J. Appel. Coexistence of p-state superconductivity and itinerant fer-

romagnetism. Phys. Rev. B, 22:3173., 1980.[26] R. M. Fernandes and J. Schmalian. Competing order and nature of the pairing

state in the iron pnictides. Phys. Rev. B, 82(1):014521, July 2010.[27] A.L. Fetter and J.D. Walecka. Quantum Theory of Many-Particle Systems.

McGraw-Hill, London, 1971.[28] R. P. Feynman. Progress in Low Temperature Physics. North Holland, Amsterdam,

1, 1955.[29] F.Lévy, I. Sheikin, and A. Huxley. Acute enhancement of the upper critical field for

superconductivity approaching a quantum critical point in urhge. Nature Physics,3:460–463., 2007.

[30] H. Frohlich. Theory of the superconducting state. i. the ground state at theabsolute zero of temperature. Phys. Rev., 79:845–856, 1950.

[31] J. L. Genicon, J. P. Modon Danon, R. Tournier, O. Pena, R. Horyn, and M. Ser-gent. Percolation of superconductivity ”walls” in the ferromagnet homo6s8. J.Physique Lett., 45:L–1175–L–1184., 1984.

[32] Jacques Flouquet Georg Knebel, Dai Aoki. Magnetism and superconductivity incerhin5. 2018.

[33] V. L. Ginzburg and L. D. Landau. On the theory of superconductivity. Zh. Eksp.Teor. Fiz, 20:1064, 1950.

178


[34] L. P. Gor’kov. Microscopic derivation of the ginzburg-landau equations in thetheory of superconductivity. Zh. Eksperim. i Teor. Fiz., 36:1918–1923, 1959.

[35] L.P. Gor’kov. On the energy spectrum of superconductors. JETP, 7:505, Septem-ber 1958.

[36] I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik. Table of integrals, series and products. Aca-demic Press, London, fifth edition, 1980.

[37] Getachew Abebe Haftu Brhane, Amarendra Rajput. Coexistence of superconduc-tivity and ferromagnetism in a magnetic superconductor. IJES, 2:17, 2013.

[38] A. Harada, S. Kawasaki, H. Mukuda, Y. Kitaoka, Y. Haga, E. Yamamoto,Y. Onuki, K. M. Itoh, E. E. Haller, and H. Harima. Experimental evidencefor ferromagnetic spin-pairing superconductivity emerging in uge2: A ge-nuclear-quadrupole-resonance study under pressure. Phys. Rev. B, 75:140502(R)., 2007.

[39] A. F. Hebard, R. C. Haddon, R. M. Fleming, and A. R Kortan. Deposition andcharacterization of fullerene films. Appl. Phys. Lett., 59:2109–2111, 1991.

[40] H. Hegger, C. Petrovic, E.G. Moshopoulou, M. F. Hundley, J. L Sarrao, Z. Fisk,and J. D. Thompson. Pressure-induced superconductivity in quasi-2d cerhin5.Phys. Rev. Lett., 84:4986., 2000.

[41] N. V. Hinh and N. T. Lan. Ginzburg-landau functional for three order parameterproblem. Journal of Physics: Conference Series, 726:012016, 2016.

[42] P.J. Hirschfeld. Introduction to unconventional superconductivity. 2014.[43] A. Huxley, I. Sheikin, E. Ressouche, N. Kernavanois, D. Braithwaite, R. Calem-

czuk, and J. Flouquet. Uge2: A ferromagnetic spin-triplet superconductor. Phys.Rev. B, 63:144519., 2001.

[44] N. T. Huy, A. Gasparini, D.E. de Nijs, Y. Huang, J. C. P. Klaasse, T. Gortenmul-der, A. de Visser, A. Hamann, T. Gorlach, and H. V.Lohneysen. Superconduc-tivity on the border of weak itinerant ferromagnetism in ucoge. Phys. Rev. Lett.,99:067006., 2007.

[45] P. M. R. Brydon J. Schmiedt and C. Timm. Superconducting pairing in thespin-density-wave phase of iron pnictides. Phys. Rev. B, 89(5):054515, February2014.

[46] D. Jerome, A. Mazaud, M. Ribault, and K. Bech-gaard. Superconductivity in asynthetic organic conductor (tmtsf)2pf6. J. Phys. Lett., 41:95–98, 1980.

[47] Y. Kamihara, T. Watanabe, M.Hirano, and H. Hosono. Iron-based layered super-conductor la[o(1-x)fx]feas (x = 0.05-0.12 ) with tc = 26k. J. Am. Chem. Soc.,130:3296–3297., 2008.

[48] N. Karchev. Magnon exchange mechanism of ferromagnetic superconductivity.Phys. Rev. B, 67:054416., 2003.

[49] S. Kawasaki, T. Mito, Y. Kawasaki, G. Q. Zheng, Y. Kitaoka, D. Aoki, Y. Haga,and Y. Onuki. Gapless magnetic and quasiparticle excitations due to the coexis-tence of antiferromagnetism and superconductivity in cerhin5: A study of in115nqr under pressure. Phys. Rev. Lett., 91:137001., 2003.

179


[50] C. Kittel. Introduction to Solid State Physics. Jonh Wiley & Sons, Inc, the UnitedStates of America., 2005.

[51] N. V. Hinh & N. T. Lan. A microscopic model for superconductivity in ferromag-netic uge2. J. Korean Phys. Soc., 74(5):488–497, March 2019.

[52] L. D. Landau. Theory of phase transformations. Phys. Z. SowjUn, 11(26):545,1937.

[53] J. Linder and et al. Coexistence of itinerant ferromagnetism and a nonunitarysuperconducting state with line nodes: Possible application to uge2. Phys. Rev.B, 77:184511., 2008.

[54] F. London. Superfluids. Dover Publications, New York, 64, 1961.[55] F. London and H. London. The electromagnetic equations of the supraconductor.

Proc. Roy. Soc. A, 149:71–88, 1935.[56] G.G. Lonzarich. in Electron: A Centenary Volume. 1997.[57] J. W. Lynn, A. Raggazoni, R. Pynn, and J. Joffrin. Observation of long range

magnetic order in the reentrant superconductor homo6s8. J.Physique Lett., 42:L–45–L–49., 1981.

[58] K. Machida and T. Ohmi. Phenomenological theory of ferromagnetic supercon-ductivity. Phys. Rev. Lett., 86:850, 2001.

[59] W. Meissner and R. Ochsenfeld. Ein neuer effekt bei eintritt der supraleitfahigkeit.Die Naturwissenschaften, 44:787–788, 1933.

[60] V. P. Mineev and T. Champel. Theory of superconductivity in ferromagneticsuperconductors with triplet pairing. Phys. Rev. B, 69:144521., 2004.

[61] A. Miyake, D. Aoki, and J. Flouquet. Field re-entrant superconductivity inducedby the enhancement of effective mass in urhge. J. Phys. Soc. Jpn, 77:094709.,2008.

[62] J. Nagamatsu, N. Nakagwa, T. Muranaka, Y. Zenitani, and J Akimitsu. Super-conductivity at 39 k in magnesium diboride. Nature, 410:63–64, 2001.

[63] H.K. Onnes. The superconductivity of mercury. Commun. Phys. Lab. Univ. Lei-den, pages 122– 124, 1911.

[64] L. Onsager. Statistical hydrodynamics. Nuovo Cimento, Suppl., 6:279, 1949.[65] H. R. Ott, H. Rudigier, Z. Fisk, and J. L. Smith. Ube13: An unconventional

actinide superconductor. Phys. Rev. Lett., 50:1595–1598., 1983.[66] W. E. Parry and R. E. Turner. Green functions in statistical mechanics. Rep.

Prog. Phys., 27:23, 1964.[67] C. Petrovic, R. Movchovich, M. Jaime, P. G. Pagliuso, M. F.Hundley, J. L. Sarrao,

Z. Fisk, and J. D. Thompson. A new heavy-fermion superconductor ceirin5: Arelative of the cuprates. Europhys. Lett., 53:354., 2001.

180


[68] C. Pfleiderer, M. Uhlatz, S. M. Hayden, R. Vollmer, H. V. Lohneysen, N. R.Berhoeft, and G. G. Lonzarich. Coexistence of superconductivity and ferromag-netism in the d-band metal zrzn2. Nature, 412:58–61., 2001.

[69] R. Seiringer R. L. Frank, C. Hainzl and J. P. Solovej. Microscopic derivation of theginzburg-landau model. XVIIth International Congress on Mathematical Physics,pages 575–583, 2013.

[70] C. A. Reynolds, B. Serin, W. H. Wright, and L. B. Nesbitt. Superconductivity ofisotopes of mercury. Phys. Rev., 78:487, 1950.

[71] J. Rossat-Mignod, P. Burlet Pand S. Quézel, A. Benoıt, J. Flouquet, R. Horyn,O. Pena, and M. Sergent. Neutron diffraction study of homo6s8 single crystal. J.Physique Lett., 46:L–373 – L–378., 1985.

[72] K. V. Samokhin and M. B. Walker. Order parameter symmetry in ferromagneticsuperconductors. Phys. Rev. B, 66:174501., 2002.

[73] K. G. Sandeman, G. G. Lonzarich, and A. J. Schofield. Ferromagnetic supercon-ductivity driven by changing fermi surface topology. Phys. Rev. Lett., 90:167005.,2003.

[74] S.S. Saxena, P. Agarwal, K. Ahilan, F. M. Grosche, R.K. Haselwimmer, M. J.Steiner, E. Pugh, I.R. Walker, S.R. Julian, P. Monthoux, G.G. Lonzarich, A. Hux-ley, I. Sheikin, D. Braithwaite, and J. Flouquet. Superconductivity on the borderof itinerant-electron ferromagnetism in uge2. Nature, 406:587–592., 2000.

[75] H. Shimahara and M. Kohmoto. Triplet superconductivity induced by screenedphonon interactions in ferromagnetic compounds. Europhys. Lett., 57:247., 2002.

[76] D. V. Shopova, T. E. Tsvetkov, and D. I. Uzunov. Phenomenological study ofspin-triplet ferromagnetic superconductors. Cond. Matter Phys., 8:181., 2005.

[77] D. V. Shopova and D. I. Uzunov. Phase diagram of a class of spin-triplet ferro-magnetic superconductors. Phys. Lett. A, 313:139–143., 2003.

[78] D. V. Shopova and D. I. Uzunov. Meissner phases in spin-triplet ferromagneticsuperconductors. Phys. Rev. B, 72:024531, 2005.

[79] Diana V. Shopova and Dimo I. Uzunov. Thermodynamics of ferromagnetic su-perconductors with spin-triplet electron pairing. Phys. Rev. B, 79:064501, Feb2009.

[80] J. Spalek and P. Wrobel. Coexistence of spin-triplet superconductivity and fer-romagnetism induced by the local hund’s rule exchange. cond-mat 0202043v1.,2002.

[81] F. Steglich, F. Aart, C. D. Bredl, W. Lieke, D. Meschede, W. Franz, and H. Schafer.Superconductivity in the presence of strong pauli paramagnetism: Cecu2si2. Phys.Rev. Lett., 43:1892–1896, 1979.

[82] G. R. Stewart, Z. Fisk, J. O. Willis, and J. L. Smith. Possibility of coexistence ofbulk superconductivity and spin fluctuations in upt3. Phys. Rev. Lett., 52:679–682,1984.

181


[83] M. Tachiki, T. Koyama, H. Matsumoto, and H. Umezawa. Spin fluctuation and ul-trasonic attenuation in magnetic superconductors. Solid State Commun., 34:269–273., 1980.

[84] R. A. Tahir-Kheli and D. ter Haar. Use of green functions in the theory of fer-romagnetism. i. general discussion of the spin-s case. Phys. Rev., 127:88–94, Jul1962.

[85] N. Tateiwa, T. C. Kobayashi, K. Hanazono, A. Amaya, Y. Haga, R. Settai, andY. Onuki. Pressure-induced superconductivity in a ferromagnet uge2. J. Phys.Condensed Matter, 13:L17, 2001.

[86] W. Thomlinson, G. Shirane, D. E. Moncton, M. Ishikawa, and O. Fischer. Neutronscattering studies of the coexistence of long-range magnetic order and supercon-ductivity in dy1.2mo6s8 and tb1.2mo6s8. J. Appl. Phys., 50:1981, 1979.

[87] N. K. Thuy and N. T. Thang. Ferromagnetism of uge2 in the dual model for 5f -uranium electrons. Comm. Phys. Suppl., 17:71 – 76., 2007.

[88] N. K. Thuy and N. T. Thang. On the magnetic - exciton - mediated ferromagneticsuperconductivity. Communications in Physics, 18:141–145., 2008.

[89] S. Watanabe and K. Miyake. Coupled cdw and sdw fluctuations as an ori-gin of anomalous properties of ferromagnetic superconductor uge2. cond-mat,0110492v3., 2001.

[90] S. Watanabe and K. Miyake. A scenario for superconductivity of uge2 due tocoupled charge and spin fluctuations. J.Phys. Chem. Solids, 63:1465–1468., 2002.

[91] Steven Weinberg. A model of leptons. Phys. Rev. Lett., 19(21):1264–1266, 1967.[92] M. Yashima, S. Kawasaki, H. Mukuda, Y. Kitaoka, H. Shishido, R. Settai, and

Y. Onuki. Quantum phase diagram of antiferromagnetism and superconductiv-ity with a tetracritical point in CeRhin5 in zero magnetic field. Phys. Rev. B,76:020509, Jul 2007.

[93] D. N. Zubarev. Double-time green functions in statistical physics. Sov. Phys.Usp., 3(3):320–345, March 1960.

182

lờicamđoangust.edu.vn/media/27/uftai-ve-tai-day27158.pdf · chất sắt từ uge 2 [74] có...

Documents