limites (propiedades y operaciones)
DESCRIPTION
Analisis Matematico ITRANSCRIPT
-
Analisis Matematico I
Danessa Chirinos F.
UNIVERSIDAD CATOLICA SANTO TORIBIO DE MOGROVEJO
20 de marzo de 2013
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 1 / 29
-
Contenidos
1 LIMITESLmitesPROPIEDADES DE LIMITESOPERACIONES CON INFINITO
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 2 / 29
-
Lmites Lmite
Recta Numerica
x0 Recta Numerica
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 3 / 29
-
Lmites Lmite
Recta Numerica
x0
x0+ Numeros a la derecha
de x0
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 4 / 29
-
Lmites Lmite
Recta Numerica
x0
x0
Numeros a la izquierdade x0
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 5 / 29
-
Lmites Lmite
Recta Numerica
Derecha e Izquierda
Senalar cinco numeros a la derecha e izquierda del
numero x0 indicado a una distancia
1 x0 = 3, = 0,5
2 x0 = 2, = 0,63 x0 = 1/2, = 1
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 6 / 29
-
Lmites Lmite
Funciones
Se representa
f : A Bx y = f(x)
La variable x se ubica en el eje de las abscisas y la
variable y en el eje de las ordenadas.
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 7 / 29
-
Lmites Lmite
Funciones
Se representa
f : A Bx y = f(x)
La variable x se ubica en el eje de las abscisas y la
variable y en el eje de las ordenadas.
DefinicionUna funcion es un conjunto de pares ordenados tal quela primera coordenada del par ordenado se corresponde
una unica vez con la segunda coordenada.
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 8 / 29
-
Lmites Lmite
Grafica de una funcion
Graficar f(x) = 2x+ 1
2 1
1 2
3
1
1
3
5
x y
-2 -3
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 9 / 29
-
Lmites Lmite
Grafica de una funcion
Graficar f(x) = 2x+ 1
2 1
1 2
3
1
1
3
5
x y
-2 -3
-1 -1
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 10 / 29
-
Lmites Lmite
Grafica de una funcion
Graficar f(x) = 2x+ 1
2 1
1 2
3
1
1
3
5
x y
-2 -3
-1 -1
0 1
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 11 / 29
-
Lmites Lmite
Grafica de una funcion
Graficar f(x) = 2x+ 1
2 1
1 2
3
1
1
3
5
x y
-2 -3
-1 -1
0 1
1 3
2 5
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 12 / 29
-
Lmites Lmite
Funciones
Trazar la grafica de las siguientes funciones1 f(x) = 3x+ 12 f(x) = x 33 f(x) = x 24 f(x) =
{x+ 1, x 2x 1, x < 2
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 13 / 29
-
Lmites Lmite
Lmites Laterales
1 Lmite por la derecha
lmxx+0
f(x) = f(x0)
2 Lmite por la izquierda
lmxx0
f(x) = f(x0)
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 14 / 29
-
Lmites Lmite
Lmites Laterales
Graficar f(x) = 2x+ 1 y calcular lmx1+
f(x), lmx1
f(x)
2 1
1 2
3
1
1
3
5
f(x) =
{2x+ 1, x 12x 1, x < 1
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 15 / 29
-
Lmites Lmite
Lmites laterales
Calcular lmxx+0
f(x), lmxx0
f(x)
1 f(x) = 3x+ 1, x0 = 32 f(x) = x 3, x0 = 13 f(x) = x 2, x0 = 04 f(x) =
{x+ 1, x 2x 1, x < 2 , x0 = 2
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 16 / 29
-
Lmites Lmite
Lmites
Decimos que un lmite lateral existe, si al reemplazar x0en la funcion, obtenemos un numero real.
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 17 / 29
-
Lmites Lmite
Lmites laterales
Decir si los lmites laterales de f existen en el punto x01 f(x) = x2 + 4x+ 1, x0 = 2
2 f(x) = x2 3x+ 2, x0 = 13 f(x) =
x2 + 4
x3 + 1, x0 = 0
4 f(x) =
{ x+ 1, x 1
x3 + 2, x < 1 , x0 = 1
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 18 / 29
-
Lmites Lmite
Lmites
Decimos que el lmite de una funcion existe si loslmites laterales de dicha funcion existen y son iguales
lmxx+0
f(x) = lmxx0
f(x)
Luego, escribimos el lmite de f
lmxx0
f(x)
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 19 / 29
-
Lmites Lmite
Lmites laterales
Diga si, el lmite de la funcion f, existe en el punto
indicado
1 f(x) = 3x+ 1, x0 = 32 f(x) = x 3, x0 = 13 f(x) = x 2, x0 = 04 f(x) =
{x+ 1, x 2x 1, x < 2 , x0 = 2
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 20 / 29
-
Lmites Lmite
Calcular
lmx5
k
lmx1
x
lmx1
3x 2
lmx2
(x2 + 1)
lmx1
(2x2 + 3x 2)
lmx2+
(x3 + 1)
lmx2
x2 + 1x 1
lmx2
x2 + 1x+ 1
lmx5
2x 1
lmx3
x|2x 1|
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 21 / 29
-
Lmites Propiedades
PROPIEDADES
Sean f y g dos funciones, reales de variable real,definidas al menos en un entorno reducido de un punto
x0 esto es: lmxx0
f(x) = L y lmxx0
g(x) = m entonces:
Y si f(x) = k entonces lmxx0
f(x) = k
Y si f(x) = x entonces lmxx0
f(x) = x0
Y si f(x) = kx entonces lmxx0
f(x) = kx0
lmxx0
[f(x) + g(x)] = lmxx0
f(x) + lmxx0
g(x) = L+m
lmxx0
[f(x) g(x)] = lmxx0
f(x) lmxx0
g(x) = Lmlmxx0
[f(x)g(x)] = lmxx0
f(x) lmxx0
g(x) = Lm
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 22 / 29
-
Lmites Propiedades
PROPIEDADES
Sean f y g dos funciones, reales de variable real,definidas al menos en un entorno reducido de un punto
x0 esto es: lmxx0
f(x) = L y lmxx0
g(x) = m entonces:
Y si f(x) = k entonces lmxx0
f(x) = k
Y si f(x) = x entonces lmxx0
f(x) = x0
Y si f(x) = kx entonces lmxx0
f(x) = kx0
lmxx0
[f(x) + g(x)] = lmxx0
f(x) + lmxx0
g(x) = L+m
lmxx0
[f(x) g(x)] = lmxx0
f(x) lmxx0
g(x) = Lmlmxx0
[f(x)g(x)] = lmxx0
f(x) lmxx0
g(x) = Lm
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 22 / 29
-
Lmites Propiedades
PROPIEDADES
Sean f y g dos funciones, reales de variable real,definidas al menos en un entorno reducido de un punto
x0 esto es: lmxx0
f(x) = L y lmxx0
g(x) = m entonces:
Y si f(x) = k entonces lmxx0
f(x) = k
Y si f(x) = x entonces lmxx0
f(x) = x0
Y si f(x) = kx entonces lmxx0
f(x) = kx0
lmxx0
[f(x) + g(x)] = lmxx0
f(x) + lmxx0
g(x) = L+m
lmxx0
[f(x) g(x)] = lmxx0
f(x) lmxx0
g(x) = Lmlmxx0
[f(x)g(x)] = lmxx0
f(x) lmxx0
g(x) = Lm
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 22 / 29
-
Lmites Propiedades
PROPIEDADES
Sean f y g dos funciones, reales de variable real,definidas al menos en un entorno reducido de un punto
x0 esto es: lmxx0
f(x) = L y lmxx0
g(x) = m entonces:
Y si f(x) = k entonces lmxx0
f(x) = k
Y si f(x) = x entonces lmxx0
f(x) = x0
Y si f(x) = kx entonces lmxx0
f(x) = kx0
lmxx0
[f(x) + g(x)] = lmxx0
f(x) + lmxx0
g(x) = L+m
lmxx0
[f(x) g(x)] = lmxx0
f(x) lmxx0
g(x) = Lmlmxx0
[f(x)g(x)] = lmxx0
f(x) lmxx0
g(x) = Lm
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 22 / 29
-
Lmites Propiedades
PROPIEDADES
Sean f y g dos funciones, reales de variable real,definidas al menos en un entorno reducido de un punto
x0 esto es: lmxx0
f(x) = L y lmxx0
g(x) = m entonces:
Y si f(x) = k entonces lmxx0
f(x) = k
Y si f(x) = x entonces lmxx0
f(x) = x0
Y si f(x) = kx entonces lmxx0
f(x) = kx0
lmxx0
[f(x) + g(x)] = lmxx0
f(x) + lmxx0
g(x) = L+m
lmxx0
[f(x) g(x)] = lmxx0
f(x) lmxx0
g(x) = Lmlmxx0
[f(x)g(x)] = lmxx0
f(x) lmxx0
g(x) = Lm
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 22 / 29
-
Lmites Propiedades
PROPIEDADES
Sean f y g dos funciones, reales de variable real,definidas al menos en un entorno reducido de un punto
x0 esto es: lmxx0
f(x) = L y lmxx0
g(x) = m entonces:
Y si f(x) = k entonces lmxx0
f(x) = k
Y si f(x) = x entonces lmxx0
f(x) = x0
Y si f(x) = kx entonces lmxx0
f(x) = kx0
lmxx0
[f(x) + g(x)] = lmxx0
f(x) + lmxx0
g(x) = L+m
lmxx0
[f(x) g(x)] = lmxx0
f(x) lmxx0
g(x) = Lmlmxx0
[f(x)g(x)] = lmxx0
f(x) lmxx0
g(x) = Lm
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 22 / 29
-
Lmites Propiedades
PROPIEDADES
lmxx0
[f(x)
g(x)
]=
lmxx0
f(x)
lmxx0
g(x)= L
m
lmxx0
[logb f(x)] = logb
[lmxx0
f(x)
]= logbL, L, b >
0, b 6= 1
lmxx0
uf(x) = u
[lm
xx0
f(x)
]= uL, u > 0
lmxx0
f(x)g(x) =
[lmxx0
f(x)
] lmxx0
g(x)
= Lm, L > 0
lmxx0
[f(x)]n =
[lmxx0
f(x)
]n= Ln, n Z+
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 23 / 29
-
Lmites Operaciones con infinito
Infinito
Sea k R
k =
+ =
= Ind
(k) = , k 6= 0
() =
0() = IndDanessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 24 / 29
-
Lmites Operaciones con infinito
Infinito
Sea k R
k =
+ =
= Ind
(k) = , k 6= 0
() =
0() = IndDanessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 24 / 29
-
Lmites Operaciones con infinito
Infinito
Sea k R
k =
+ =
= Ind
(k) = , k 6= 0
() =
0() = IndDanessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 24 / 29
-
Lmites Operaciones con infinito
Infinito
Sea k R
k =
+ =
= Ind
(k) = , k 6= 0
() =
0() = IndDanessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 24 / 29
-
Lmites Operaciones con infinito
Infinito
Sea k R
k =
+ =
= Ind
(k) = , k 6= 0
() =
0() = IndDanessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 24 / 29
-
Lmites Operaciones con infinito
Infinito
Sea k R
k =
+ =
= Ind
(k) = , k 6= 0
() =
0() = IndDanessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 24 / 29
-
Lmites Operaciones con infinito
Infinito
Sea k R
k =
+ =
= Ind
(k) = , k 6= 0
() =
0() = IndDanessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 24 / 29
-
Lmites Operaciones con infinito
Infinito
0
k= 0, k 6= 0
k
0=, k 6= 0
k
= 0, k 6=
k
=, k 6=, 0 = 0
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 25 / 29
-
Lmites Operaciones con infinito
Infinito
0
=
0
0= Ind
= Ind
k0 = 1, k R
00 = Ind
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 26 / 29
-
Lmites Operaciones con infinito
Infinito
0 = Ind
1 = Ind
0 = 0
=
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 27 / 29
-
Lmites Operaciones con infinito
Infinito
0k =
{0, k > 0, k < 0
k+ ={ , k > 1
0, 0 < k < 1
k ={
0, k > 1+, 0 < k < 1
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 28 / 29
-
Lmites Operaciones con infinito
Infinito
0k =
{0, k > 0, k < 0
k+ ={ , k > 1
0, 0 < k < 1
k ={
0, k > 1+, 0 < k < 1
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 28 / 29
-
Lmites Operaciones con infinito
Infinito
0k =
{0, k > 0, k < 0
k+ ={ , k > 1
0, 0 < k < 1
k ={
0, k > 1+, 0 < k < 1
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 28 / 29
-
Lmites Operaciones con infinito
Infinito
Calcular el lmite de las siguientes funciones:
lmr
r4 r2 + 1r5 + r3 r
lmx1
1x1x
lmx
(x+x)
lmx1
x7 1x6 1
lmx
ex2
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 29 / 29
-
Lmites Operaciones con infinito
Infinito
Calcular el lmite de las siguientes funciones:
lmr
r4 r2 + 1r5 + r3 r
lmx1
1x1x
lmx
(x+x)
lmx1
x7 1x6 1
lmx
ex2
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 29 / 29
-
Lmites Operaciones con infinito
Infinito
Calcular el lmite de las siguientes funciones:
lmr
r4 r2 + 1r5 + r3 r
lmx1
1x1x
lmx
(x+x)
lmx1
x7 1x6 1
lmx
ex2
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 29 / 29
-
Lmites Operaciones con infinito
Infinito
Calcular el lmite de las siguientes funciones:
lmr
r4 r2 + 1r5 + r3 r
lmx1
1x1x
lmx
(x+x)
lmx1
x7 1x6 1
lmx
ex2
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 29 / 29
-
Lmites Operaciones con infinito
Infinito
Calcular el lmite de las siguientes funciones:
lmr
r4 r2 + 1r5 + r3 r
lmx1
1x1x
lmx
(x+x)
lmx1
x7 1x6 1
lmx
ex2
Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 29 / 29
LMITESLmitesPROPIEDADES DE LMITESOPERACIONES CON INFINITO