limiti - dipartimento di matematica e informatica · corso di laurea in biotecnologie a.a....

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti - p. 1/39

Limiti

Limiti di funzioni reali

Introduzione

Esempio 1

Esempio 2

Limite +∞ per x→+∞

Limite −∞ per x→+∞

Limite finito per x→+∞

Illustrazione della definizione 1



Limiti di successioni

Altri Limiti

Verifiche di limite

Operazioni con i limiti

Limiti e continuità


Introduzione

Sia an una successione di numeri reali

Problema: cosa succede ad an, quando ndiventa arbitrariamente grande?


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite




Introduzione



I valori

■ cresceranno?


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite




Introduzione



I valori

■ cresceranno?■ decresceranno?


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite




Introduzione



I valori

■ cresceranno?■ decresceranno?■ approssimeranno sempre meglio un qualche

valore “limite”?


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite




Esempio 1

Disegniamo nel piano cartesiano i primitermini della successione bn = n

n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

bn1

n bn


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite




Esempio 1


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

bn1

n bn

0 0


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite




Esempio 1


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

bn1

n bn

0 01 1/2


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite




Esempio 1


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

bn1

n bn

0 01 1/22 2/3


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite




Esempio 1


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

bn1

n bn

0 01 1/22 2/33 3/4


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite




Esempio 1


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

bn1

n bn

0 01 1/22 2/33 3/44 4/5


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite




Esempio 1


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

bn1

n bn

0 01 1/22 2/33 3/44 4/55 5/6


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite




Esempio 1


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

bn1

n bn

0 01 1/22 2/33 3/44 4/55 5/66 6/7


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite




Esempio 1


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

bn1

n bn

0 01 1/22 2/33 3/44 4/55 5/66 6/77 7/8


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite




Esempio 1


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

bn1

n bn

0 01 1/22 2/33 3/44 4/55 5/66 6/77 7/88 8/9


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite




Esempio 1


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

bn1

n bn

0 01 1/22 2/33 3/44 4/55 5/66 6/77 7/88 8/99 9/10


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite




Esempio 1


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

bn1

n bn

0 01 1/22 2/33 3/44 4/55 5/66 6/77 7/88 8/99 9/10

Si osserva che i valori tendono a crescere edavvicinarsi sempre più a 1


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite




Esempio 1


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

bn1

n bn

0 01 1/22 2/33 3/44 4/55 5/66 6/77 7/88 8/99 9/10

Si osserva che i valori tendono a crescere edavvicinarsi sempre più a 1

Il concetto di limite (finito) formalizzeràquesta osservazione


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite




Esempio 2

Facciamo la stessa cosa con la successionecn = n2

n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

cnn cn


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite




Esempio 2


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

cnn cn

0 0


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite




Esempio 2


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

cnn cn

0 01 1/2


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite




Esempio 2


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

cnn cn

0 01 1/22 4/3


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite




Esempio 2


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

cnn cn

0 01 1/22 4/33 9/4


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite




Esempio 2


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

cnn cn

0 01 1/22 4/33 9/44 16/5


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite




Esempio 2


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

cnn cn

0 01 1/22 4/33 9/44 16/55 25/6


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite




Esempio 2


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

cnn cn

0 01 1/22 4/33 9/44 16/55 25/66 36/7


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite




Esempio 2


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

cnn cn

0 01 1/22 4/33 9/44 16/55 25/66 36/77 49/8


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite




Esempio 2


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

cnn cn

0 01 1/22 4/33 9/44 16/55 25/66 36/77 49/88 64/9


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite




Esempio 2


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

cnn cn

0 01 1/22 4/33 9/44 16/55 25/66 36/77 49/88 64/99 81/10


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite




Esempio 2


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

cnn cn

0 01 1/22 4/33 9/44 16/55 25/66 36/77 49/88 64/99 81/10

Si osserva che, al crescere di n, i valori cncrescono, ma non esiste un maggiorante


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite




Esempio 2


n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

cnn cn

0 01 1/22 4/33 9/44 16/55 25/66 36/77 49/88 64/99 81/10

Si osserva che, al crescere di n, i valori cncrescono, ma non esiste un maggiorante

Il concetto di limite (infinito) formalizzeràquesta osservazione


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite




Limite +∞ per x → +∞Sia A un sottoinsieme di R non limitatosuperiormente ed f : A → R

Diremo che f ha limite +∞ per x tendente a+∞ e si scrive

limx→+∞

f(x) = +∞

se per ogni M ∈ R esiste xM ∈ R tale chef(x) > M per ogni x ∈ A tale che x > xM


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite




Limite −∞ per x → +∞Sia A un sottoinsieme di R non limitatosuperiormente ed f : A → R

Diremo che f ha limite −∞ per x tendente a+∞ e si scrive

limx→+∞

f(x) = −∞

se per ogni M ∈ R esiste xM ∈ R tale chef(x) < M per ogni x ∈ A tale che x > xM


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite




Limite finito per x → +∞Sia A un sottoinsieme di R non limitatosuperiormente ed f : A → R

Diremo che f ha limite ℓ ∈ R per x tendentea +∞ e si scrive

limx→+∞

f(x) = ℓ

se per ogni ε > 0 esiste xε ∈ R tale cheℓ − ε < f(x) < ℓ + ε per ogni x ∈ A taleche x > xε


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite





Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

limx→+∞

√x = +∞


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

√x = +∞

Dato un valore M

M


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

√x = +∞

Dato un valore M

esiste xM nel dominio

M

xM


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

√x = +∞

Dato un valore M

esiste xM nel dominiotale che tutti gli x > xM

M

xM x


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

√x = +∞

Dato un valore M


hanno valori corrispon-denti f(x) > M

M

xM x


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

√x = +∞

Dato un valore M


hanno valori corrispon-denti f(x) > M

M

xM x

f(x)


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

√x = +∞

Cambiando M

M


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

√x = +∞

Cambiando M

si trova un altro corri-spondente xM

M

xM


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

√x = +∞

Cambiando M


con analoghe proprietàM

xM


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

√x = +∞

Questo dev’essere veroper ogni M !

M

xM


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

√x = +∞

Equivalentemente è co-me richiedere che, datoM

M


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

√x = +∞


si riesce a trovare un xMM

xM


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

√x = +∞


si riesce a trovare un xM

tale che il grafico dellafunzione per x > xM

stia tutto nella regionetratteggiata

M

xM


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite





Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

limx→+∞

(−x2) = −∞


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

(−x2) = −∞

Dato un valore M

M


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

(−x2) = −∞

Dato un valore M

esiste xM nel dominioM

xM


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

(−x2) = −∞

Dato un valore M


M

xM x


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

(−x2) = −∞

Dato un valore M


hanno valori corrispon-denti f(x) < M

M

xM x


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

(−x2) = −∞

Dato un valore M


hanno valori corrispon-denti f(x) < M

M

xM x

f(x)


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

(−x2) = −∞

Cambiando M

M


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

(−x2) = −∞

Cambiando M

si trova un altro corri-spondente xM M

xM


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

(−x2) = −∞

Cambiando M


con analoghe proprietàM

xM


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

(−x2) = −∞


M

xM


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

(−x2) = −∞

Questo dev’essere veroper ogni M ! M

xM


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

(−x2) = −∞


M

xM


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

(−x2) = −∞

Equivalentemente è co-me richiedere che, datoM M


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

(−x2) = −∞



M

xM


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

(−x2) = −∞



tale che il grafico dellafunzione per x > xM

stia tutto nella regionetratteggiata

M

xM


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite





Illustriamo la terza definizione col seguente esempio

limx→+∞

arctg x =π

2

π/2

−π/2


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

arctg x =π

2

Dato ε > 0

π/2

−π/2

π/2− ε

π/2 + ε


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

arctg x =π

2

Dato ε > 0

esiste xε nel dominio

π/2− ε

π/2 + ε

xε


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

arctg x =π

2

Dato ε > 0

esiste xε nel dominiotale che a tutti gli x > xε

π/2− ε

π/2 + ε

xε x


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

arctg x =π

2

Dato ε > 0


corrispondono valoriπ

2− ε < f(x) < π

2+ ε

π/2− ε

π/2 + ε

xε x


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

arctg x =π

2

Dato ε > 0


corrispondono valoriπ

2− ε < f(x) < π

2+ ε

π/2− ε

π/2 + ε

xε x

f(x)


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

arctg x =π

2

Cambiando ε > 0

π/2− ε

π/2 + ε


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

arctg x =π

2

Cambiando ε > 0

si trova un altro corri-spondente xε

π/2− ε

π/2 + ε

xε


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

arctg x =π

2

Cambiando ε > 0

si trova un altro corri-spondente xε

con analoghe proprietà π/2− ε

π/2 + ε

xε


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

arctg x =π

2

Questo dev’essere veroper ogni ε > 0 !

π/2− ε

π/2 + ε

xε


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

arctg x =π

2

Equivalentemente è co-me richiedere che, datoε > 0

π/2− ε

π/2 + ε


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

arctg x =π

2


si riesce a trovare un xε π/2− ε

π/2 + ε

xε


Introduzione

Esempio 1

Esempio 2








Altri Limiti

Verifiche di limite






limx→+∞

arctg x =π

2


si riesce a trovare un xε

tale che il grafico del-la funzione per x > xε

stia tutto nella strisciatratteggiata

π/2− ε

π/2 + ε

xε



Limiti finiti

Limiti infiniti

Successioni monotone

Limite di successioni monotone

Altri Limiti

Verifiche di limite







Limiti finiti

Limiti infiniti



Altri Limiti

Verifiche di limite




Limiti finiti

Data una successione f : N → R, poichè N

non è superiormente limitato, si possonoapplicare le definizioni di limite:



Limiti finiti

Limiti infiniti



Altri Limiti

Verifiche di limite




Limiti finiti

Data una successione f : N → R, poichè N

non è superiormente limitato, si possonoapplicare le definizioni di limite: postof(n) = an

Diremo che (an) converge a ℓ ∈ R escriveremo

limn→∞

an = ℓ

se per ogni ε > 0 esiste nε ∈ N tale cheℓ− ε < an < ℓ+ ε per ogni n > nε



Limiti finiti

Limiti infiniti



Altri Limiti

Verifiche di limite




Limiti infiniti

Diremo che (an) diverge a +∞ (rispettiva-mente −∞) e scriveremo

limn→∞

an = +∞ (rispettivamente −∞)

se per ogni M ∈ R esiste nM ∈ N tale chean > M (rispettivamente an < M ) per ognin > nM



Limiti finiti

Limiti infiniti



Altri Limiti

Verifiche di limite





La definizione di funzione monotone sitraduce per le successioni nel seguente modo:



Limiti finiti

Limiti infiniti



Altri Limiti

Verifiche di limite





La definizione di funzione monotone sitraduce per le successioni nel seguente modo:

■ (an) è strettamente crescente se

an < an+1 ∀n ∈ N

■ (an) è crescente (o non decrescente) se

an ≤ an+1 ∀n ∈ N

■ (an) è strettamente decrescente se

an > an+1 ∀n ∈ N

■ (an) è decrescente (o non crescente) se

an ≥ an+1 ∀n ∈ N



Limiti finiti

Limiti infiniti



Altri Limiti

Verifiche di limite





Si può dimostrare il seguente

Teorema. Ogni successione monotona halimite, finito o infinito.



Limiti finiti

Limiti infiniti



Altri Limiti

Verifiche di limite






Teorema. Ogni successione monotona halimite, finito o infinito. Più precisamente:



Limiti finiti

Limiti infiniti



Altri Limiti

Verifiche di limite






Teorema. Ogni successione monotona halimite, finito o infinito. Più precisamente:■ lim

n→+∞an = sup an se (an) è crescente



Limiti finiti

Limiti infiniti



Altri Limiti

Verifiche di limite






Teorema. Ogni successione monotona halimite, finito o infinito. Più precisamente:■ lim

n→+∞an = sup an se (an) è crescente

■ limn→+∞

an = inf an se (an) è decrescente



Altri Limiti

Esempio introduttivo

Limite finito per x → x0Illustrazione della definizione

Limite finito per x→x±0

Un’importante osservazione

Altri limiti

Limite +∞ per x→x±0

Illustrazione delle definizioni

Ricapitolazione

Verifiche di limite




Altri Limiti



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite





Sia f(x) = x2

1

1



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite





Sia f(x) = x2

Consideriamo la retta secante pas-

sante per i punti del grafico di

ascissa 1 e x

1

1 x

x2



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite





Sia f(x) = x2



ascissa 1 e x

Il coefficiente angolare è

m(x) =x2 − 1

x− 1

1

1 x

x2



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite





Sia f(x) = x2



ascissa 1 e x


m(x) =x2 − 1

x− 1

Facciamo variare x 6= 1

1

1 x

x2



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite





Sia f(x) = x2



ascissa 1 e x


m(x) =x2 − 1

x− 1


1

1x

x2



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite





Sia f(x) = x2



ascissa 1 e x


m(x) =x2 − 1

x− 1


Al “limite”, quando x tende a 1,

m(x) tende al coefficiente ango-

lare della retta tangente in x = 1;

si avrà

limx→1

m(x) = 2

1

1



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite




Limite finito per x → x0

Siano f :]a, b[\{x0} → R e x0 ∈ [a, b]

Si dice che f ha limite ℓ ∈ R per x tendentea x0, e si scrive

limx→x0

f(x) = ℓ

se e solo se per ogni ε > 0 esiste δ > 0tale che ℓ − ε < f(x) < ℓ + ε per ognix ∈]a, b[\{x0} tale che x0 − δ < x < x0 + δ



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite




Illustrazione della definizione

Illustriamo la definizione di limite finito per x → x0 colseguente esempio

limx→0

x sen1

x= 0



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite






limx→0

x sen1

x= 0

Dato ε > 0

bε

b−ε



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite






limx→0

x sen1

x= 0

Dato ε > 0

esiste δ > 0

bε

b−ε

bb

−δ δ



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite






limx→0

x sen1

x= 0

Dato ε > 0

esiste δ > 0 tale che sex0 − δ < x < x0 + δ

bε

b−ε

bb

−δ δ



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite






limx→0

x sen1

x= 0

Dato ε > 0

esiste δ > 0 tale che sex0 − δ < x < x0 + δ

alloraℓ− ε < f(x) < ℓ+ ε

con ℓ = 0 e x0 = 0

bε

b−ε

bb

−δ δ



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite






limx→0

x sen1

x= 0

Cambiando ε > 0

bε

b

−ε



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite






limx→0

x sen1

x= 0

Cambiando ε > 0

si trova un altro corri-spondente δ

bε

b

−ε

b b−δ δ



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite






limx→0

x sen1

x= 0

Cambiando ε > 0


con analoghe proprietàb

ε

b

−ε

b b−δ δ



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite






limx→0

x sen1

x= 0


ε

−ε

−δ δ



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite






limx→0

x sen1

x= 0

Questo dev’essere veroper ogni ε > 0 ! ε

−ε



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite






limx→0

x sen1

x= 0


ε

−ε



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite






limx→0

x sen1

x= 0


si riesce a trovare un δ ε

−ε

−δ δ



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite






limx→0

x sen1

x= 0


si riesce a trovare un δ

tale che se −δ < x < δ

il grafico della funzio-ne stia tutto nella regionetratteggiata

ε

−ε

−δ δ



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite






limx→0

x sen1

x= 0



tale che se −δ < x < δ

il grafico della funzio-ne stia tutto nella regionetratteggiata

ε

−ε



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite




Come altro esempio illustriamo il seguente limite

limx→1

x3 − x2 + x− 1

x− 1= 2

1

2

×

×



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite





limx→1

x3 − x2 + x− 1

x− 1= 2

Dato ε > 0

×

2 + ε

2− ε



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite





limx→1

x3 − x2 + x− 1

x− 1= 2

Dato ε > 0

esiste δ > 0

×

2 + ε

2− ε

1 + δ1− δ



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite





limx→1

x3 − x2 + x− 1

x− 1= 2

Dato ε > 0

esiste δ > 0 tale che se

x0 − δ < x < x0 + δ

e x 6= x0

×

2 + ε

2− ε

1 + δ1− δ



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite





limx→1

x3 − x2 + x− 1

x− 1= 2

Dato ε > 0


x0 − δ < x < x0 + δ

e x 6= x0 allora

ℓ− ε < f(x) < ℓ+ ε

dove ℓ = 2 e x0 = 1

×

2 + ε

2− ε

1 + δ1− δ



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite





limx→1

x3 − x2 + x− 1

x− 1= 2

Dato ε > 0


1− δ < x < 1 + δ

e x 6= x0 allora

2− ε < f(x) < 2 + ε

dove ℓ = 2 e x0 = 1

×

2 + ε

2− ε

1 + δ1− δ



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite





limx→1

x3 − x2 + x− 1

x− 1= 2

Cambiando ε > 0

×

2 + ε

2− ε



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite





limx→1

x3 − x2 + x− 1

x− 1= 2

Cambiando ε > 0


×

2 + ε

2− ε

1 + δ1− δ



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite





limx→1

x3 − x2 + x− 1

x− 1= 2

Cambiando ε > 0


con analoghe proprietà

×

2 + ε

2− ε

1 + δ1− δ



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite





limx→1

x3 − x2 + x− 1

x− 1= 2


×2 + ε

2− ε

1 + δ1− δ



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite





limx→1

x3 − x2 + x− 1

x− 1= 2


×2 + ε2− ε

1 + δ1− δ



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite





limx→1

x3 − x2 + x− 1

x− 1= 2


×

2 + ε

2− ε



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite





limx→1

x3 − x2 + x− 1

x− 1= 2



×

2 + ε

2− ε

1 + δ1− δ



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite





limx→1

x3 − x2 + x− 1

x− 1= 2



tale che se x 6= 1 e1− δ < x < 1 + δ ilgrafico della funzionestia tutto nella regionetratteggiata

×

2 + ε

2− ε

1 + δ1− δ



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite





limx→1

x3 − x2 + x− 1

x− 1= 2




×2 + ε

2− ε

1 + δ1− δ



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite





limx→1

x3 − x2 + x− 1

x− 1= 2




×2 + ε2− ε

1 + δ1− δ



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite




Limite finito per x → x±0Sia f :]a, b[\{x0} → R

Si dice che f ha limite ℓ ∈ R per x tendente a x0 da sinistra, e si

scrive

limx→x

−

0

f(x) = ℓ

se per ogni ε > 0 esiste δε > 0 tale che ℓ − ε < f(x) < ℓ + ε

per ogni x ∈]a, b[ tale che x0 − δε < x < x0

Si dice che f ha limite ℓ ∈ R per x tendente a x0 da destra, e si

scrive

limx→x

+

0

f(x) = ℓ

se per ogni ε > 0 esiste δε > 0 tale che ℓ − ε < f(x) < ℓ + ε

per ogni x ∈]a, b[ tale che x0 < x < x0 + δε



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite





limx→x0

f(x) = ℓ ⇐⇒

esistono i limiti di f perx → x0 da destra e dasinistra e sono entrambiuguali ad ℓ



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite





limx→x0

f(x) = ℓ ⇐⇒


Esempio: la funzione segno

sgn (x) =

{

1 se x > 0

−1 se x < 0 x

sgn (x)

0

1

−1



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite





limx→x0

f(x) = ℓ ⇐⇒



sgn (x) =

{

1 se x > 0

−1 se x < 0 x

sgn (x)

0

1

−1

Si ha che

limx→0−

sgn (x) = −1



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite





limx→x0

f(x) = ℓ ⇐⇒



sgn (x) =

{

1 se x > 0

−1 se x < 0 x

sgn (x)

0

1

−1

Si ha che

limx→0−

sgn (x) = −1 limx→0+

sgn (x) = 1



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite





limx→x0

f(x) = ℓ ⇐⇒



sgn (x) =

{

1 se x > 0

−1 se x < 0 x

sgn (x)

0

1

−1

Si ha che

limx→0−

sgn (x) = −1 6= limx→0+

sgn (x) = 1



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite





limx→x0

f(x) = ℓ ⇐⇒



sgn (x) =

{

1 se x > 0

−1 se x < 0 x

sgn (x)

0

1

−1

Si ha che

limx→0−

sgn (x) = −1 6= limx→0+

sgn (x) = 1

quindi il limite della funzione quando x → 0 non esiste



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite




Altri limiti

Analogamente si possono dare le definizionidei limiti

limx→x0

f(x) = +∞, limx→x0

f(x) = −∞,

limx→x+

0

f(x) = +∞, limx→x+

0

f(x) = −∞,

limx→x−

0

f(x) = +∞, limx→x−

0

f(x) = −∞,

ed anche

limx→−∞

f(x) = +∞, limx→−∞

f(x) = −∞,

limx→−∞

f(x) = ℓ



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite




Limite +∞ per x → x±0Sia f :]a, b[\{x0} → R

Si dice che f ha limite +∞ per x tendente a x0 e si scrive

limx→x0

f(x) = +∞

se ∀M ∈ R ∃ δM > 0 : x ∈]a, b[, 0 < |x−x0| < δM =⇒ f(x) > M

Si dice che f ha limite +∞ per x tendente a x0 da destra e si scrive

limx→x

+

0

f(x) = +∞

se ∀M ∈ R ∃ δM > 0 : x ∈]a, b[, 0 < x− x0 < δM =⇒ f(x) > M

Si dice che f ha limite +∞ per x tendente a x0 da sinistra e si scrive

limx→x

−

0

f(x) = +∞

se ∀M ∈ R ∃ δM > 0 : x ∈]a, b[, 0 < x0 − x < δM =⇒ f(x) > M



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite






limx→1

1

(x− 1)2= +∞

×1



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite






limx→1

1

(x− 1)2= +∞

Dato un valore M

×1

M



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite






limx→1

1

(x− 1)2= +∞

Dato un valore M

esiste δM > 0

M

1− δM 1 + δM



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite






limx→1

1

(x− 1)2= +∞

Dato un valore M

esiste δM > 0

tale che tutti gli0 < |x− 1| < δM

M

1− δM 1 + δMx



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite






limx→1

1

(x− 1)2= +∞

Dato un valore M

esiste δM > 0

tale che tutti gli0 < |x− 1| < δMhanno valori corrispon-denti f(x) > M

M

1− δM 1 + δMx



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite






limx→1

1

(x− 1)2= +∞

Dato un valore M

esiste δM > 0

tale che tutti gli0 < |x− 1| < δMhanno valori corrispon-denti f(x) > M

M

1− δM 1 + δMx

f(x)



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite






limx→1

1

(x− 1)2= +∞

Cambiando M

M



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite






limx→1

1

(x− 1)2= +∞

Cambiando M

si trova un altro corri-spondente δM

M

1− δM 1 + δM



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite






limx→1

1

(x− 1)2= +∞

Cambiando M

si trova un altro corri-spondente δMcon analoghe proprietà

M

1− δM 1 + δM



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite






limx→1

1

(x− 1)2= +∞


M

1− δM 1 + δM



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite






limx→1

1

(x− 1)2= +∞

Questo dev’essere veroper ogni M ! M

1− δM 1 + δM



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite






limx→1

1

(x− 1)2= +∞


M

1− δM 1 + δM



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite






limx→1

1

(x− 1)2= +∞

Equivalentemente è co-me chiedere che, dato M

M



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite






limx→1

1

(x− 1)2= +∞


si riesce a trovare un δM

M

1− δM 1 + δM



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite






limx→1

1

(x− 1)2= +∞


si riesce a trovare un δMtale che il grafico,per 0 < |x− 1| < δM ,stia tutto nella strisciatratteggiata

M

1− δM 1 + δM



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite






limx→1

1

(x− 1)2= +∞


si riesce a trovare un δMtale che il grafico,per 0 < |x− 1| < δM ,stia tutto nella strisciatratteggiata M

1− δM 1 + δM



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite






limx→1

1

(x− 1)2= +∞


si riesce a trovare un δMtale che il grafico,per 0 < |x− 1| < δM ,stia tutto nella strisciatratteggiata

M

1− δM 1 + δM



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite




Illustriamo le altre definizioni con i seguenti esempi

limx→1+

1

x− 1= +∞ lim

x→1−

1

x− 1= −∞

×



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite





limx→1+

1

x− 1= +∞ lim

x→1−

1

x− 1= −∞

Dato un arbitrario M

×1

M



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite





limx→1+

1

x− 1= +∞ lim

x→1−

1

x− 1= −∞


si riesce a trovare un δM

×1

M

1 + δM



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite





limx→1+

1

x− 1= +∞ lim

x→1−

1

x− 1= −∞


si riesce a trovare un δMtale che il grafico,per 1 < x < 1 + δM ,stia tutto nella strisciatratteggiata

×1

M

1 + δM



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite





limx→1+

1

x− 1= +∞ lim

x→1−

1

x− 1= −∞


si riesce a trovare un δMtale che il grafico,per 1− δM < x < 1,stia tutto nella strisciatratteggiata

×1

M



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite





limx→1+

1

x− 1= +∞ lim

x→1−

1

x− 1= −∞


si riesce a trovare un δMtale che il grafico,per 1− δM < x < 1,stia tutto nella strisciatratteggiata

×1

M

1− δM



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite




Ricapitolazione

■ Il limitelim

x→+∞f(x)

fornisce informazioni sul comportamentodella funzione quando x è molto grande



Altri Limiti





Altri limiti



Ricapitolazione

Verifiche di limite




Ricapitolazione

■ Il limitelim

x→+∞f(x)

fornisce informazioni sul comportamentodella funzione quando x è molto grande

■ Il limitelimx→x0

f(x)

fornisce informazioni sul comportamentodella funzione quando x è vicino a x0 (madiverso da x0)



Altri Limiti

Verifiche di limite

Esempio 1

Esempio 2

Problematiche e obiettivi




Verifiche di limite



Altri Limiti

Verifiche di limite

Esempio 1

Esempio 2





Esempio 1

Verifichiamo che

limx→0

x sen1

x= 0



Altri Limiti

Verifiche di limite

Esempio 1

Esempio 2





Esempio 1

Verifichiamo che

limx→0

x sen1

x= 0

Per definizione, fissato un qualunque ε > 0, bisognatrovare un δ > 0 tale che

x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1

x< ε



Altri Limiti

Verifiche di limite

Esempio 1

Esempio 2





Esempio 1

Verifichiamo che

limx→0

x sen1

x= 0


x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1

x< ε

ovvero che0 < |x| < δ =⇒

∣

∣x sen 1

x

∣

∣ < ε



Altri Limiti

Verifiche di limite

Esempio 1

Esempio 2





Esempio 1

Verifichiamo che

limx→0

x sen1

x= 0


x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1

x< ε


∣

∣x sen 1

x

∣

∣ < ε

Prendendo δ = ε,



Altri Limiti

Verifiche di limite

Esempio 1

Esempio 2





Esempio 1

Verifichiamo che

limx→0

x sen1

x= 0


x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1

x< ε


∣

∣x sen 1

x

∣

∣ < ε

Prendendo δ = ε, se 0 < |x| < δ = ε, allora



Altri Limiti

Verifiche di limite

Esempio 1

Esempio 2





Esempio 1

Verifichiamo che

limx→0

x sen1

x= 0


x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1

x< ε


∣

∣x sen 1

x

∣

∣ < ε

Prendendo δ = ε, se 0 < |x| < δ = ε, allora∣

∣

∣x sen

1

x

∣

∣

∣



Altri Limiti

Verifiche di limite

Esempio 1

Esempio 2





Esempio 1

Verifichiamo che

limx→0

x sen1

x= 0


x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1

x< ε


∣

∣x sen 1

x

∣

∣ < ε


∣

∣x sen

1

x

∣

∣

∣= |x| ·

∣

∣

∣sen

1

x

∣

∣

∣



Altri Limiti

Verifiche di limite

Esempio 1

Esempio 2





Esempio 1

Verifichiamo che

limx→0

x sen1

x= 0


x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1

x< ε


∣

∣x sen 1

x

∣

∣ < ε


∣

∣x sen

1

x

∣

∣

∣= |x| ·

∣

∣

∣sen

1

x

∣

∣

∣≤ |x| · 1



Altri Limiti

Verifiche di limite

Esempio 1

Esempio 2





Esempio 1

Verifichiamo che

limx→0

x sen1

x= 0


x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1

x< ε


∣

∣x sen 1

x

∣

∣ < ε


∣

∣x sen

1

x

∣

∣

∣= |x| ·

∣

∣

∣sen

1

x

∣

∣

∣≤ |x| · 1< ε



Altri Limiti

Verifiche di limite

Esempio 1

Esempio 2





Esempio 1

Verifichiamo che

limx→0

x sen1

x= 0


x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1

x< ε


∣

∣x sen 1

x

∣

∣ < ε


∣

∣x sen

1

x

∣

∣

∣= |x| ·

∣

∣

∣sen

1

x

∣

∣

∣≤ |x| · 1< ε

Ricapitolando



Altri Limiti

Verifiche di limite

Esempio 1

Esempio 2





Esempio 1

Verifichiamo che

limx→0

x sen1

x= 0


x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1

x< ε


∣

∣x sen 1

x

∣

∣ < ε


∣

∣x sen

1

x

∣

∣

∣= |x| ·

∣

∣

∣sen

1

x

∣

∣

∣≤ |x| · 1< ε

Ricapitolando. Quindi, per definizione



Altri Limiti

Verifiche di limite

Esempio 1

Esempio 2





Esempio 2

Si può verificare che

limx→1

3x− 1

x+ 1= 1



Altri Limiti

Verifiche di limite

Esempio 1

Esempio 2





Esempio 2


limx→1

3x− 1

x+ 1= 1

Per definizione, dato ε > 0, tutto sta a trovare δε > 0

tale che

0 < |x− 1| < δε implica∣

∣

∣

3x− 1

x+ 1− 1

∣

∣

∣< ε



Altri Limiti

Verifiche di limite

Esempio 1

Esempio 2





Esempio 2


limx→1

3x− 1

x+ 1= 1


tale che


∣

∣

3x− 1

x+ 1− 1

∣

∣

∣< ε

Per ε < 2 si può prendere

δε = min

{

2ε

2 + ε,

2ε

2− ε

}



Altri Limiti

Verifiche di limite

Esempio 1

Esempio 2





Esempio 2


limx→1

3x− 1

x+ 1= 1


tale che


∣

∣

3x− 1

x+ 1− 1

∣

∣

∣< ε

Per ε < 2 si può prendere

δε = min

{

2ε

2 + ε,

2ε

2− ε

}

Questa scelta non è evidente (vedi Libro)



Altri Limiti

Verifiche di limite

Esempio 1

Esempio 2





Posto f(x) = 3x−1

x+1, osserviamo che f(1) = 1 cioè

limx→1

f(x) = f(1)



Altri Limiti

Verifiche di limite

Esempio 1

Esempio 2





Posto f(x) = 3x−1


limx→1

f(x) = f(1)

In questo caso il limite di f per x → x0

si ottiene calcolando il valore f(x0)



Altri Limiti

Verifiche di limite

Esempio 1

Esempio 2





Posto f(x) = 3x−1


limx→1

f(x) = f(1)

In questo caso il limite di f per x → x0

si ottiene calcolando il valore f(x0)

Problema: È una situazione generale?



Altri Limiti

Verifiche di limite

Esempio 1

Esempio 2






Verificare il limite mediante ladefinizione è scomodo e difficile



Altri Limiti

Verifiche di limite

Esempio 1

Esempio 2







Obiettivo: trovare dei metodi più rapidiper il calcolo e la verifica dei limiti



Altri Limiti

Verifiche di limite

Esempio 1

Esempio 2








Teoremi sui limiti



Altri Limiti

Verifiche di limite

Esempio 1

Esempio 2








Teoremi sui limiti

Funzioni continue



Altri Limiti

Verifiche di limite

Esempio 1

Esempio 2








Teoremi sui limiti

Funzioni continue Operazioni coi limiti



Altri Limiti

Verifiche di limite


I numeri reali ampliati

Teorema (operazioni con i limiti)






Altri Limiti

Verifiche di limite







Definiamo

R := R ∪ {−∞,+∞}



Altri Limiti

Verifiche di limite







Definiamo

R := R ∪ {−∞,+∞}con le seguenti regole di calcolo:

+∞+ c = c+∞ := +∞, −∞+ c = c−∞ := −∞,

+∞+∞ := +∞, −∞−∞ := −∞c

±∞ := 0 dove c ∈ R

(±∞) · (±∞) := (prodotto dei segni)∞

(±∞) · c := (prodotto dei segni)∞ dove c 6= 0



Altri Limiti

Verifiche di limite







Definiamo

R := R ∪ {−∞,+∞}con le seguenti regole di calcolo:

+∞+ c = c+∞ := +∞, −∞+ c = c−∞ := −∞,

+∞+∞ := +∞, −∞−∞ := −∞c

±∞ := 0 dove c ∈ R

(±∞) · (±∞) := (prodotto dei segni)∞

(±∞) · c := (prodotto dei segni)∞ dove c 6= 0

Restano indeterminati i risultati delle seguenti operazioni

+∞−∞ (±∞) · 0 ±∞±∞

0

0

±∞0



Altri Limiti

Verifiche di limite






Teorema (operazioni con i limiti)Teorema. Siano f e g due funzioni con

limx→x0

f(x) = α ∈ R, limx→x0

g(x) = β ∈ R

con x0 ∈ R.



Altri Limiti

Verifiche di limite






Teorema (operazioni con i limiti)Teorema. Siano f e g due funzioni con

limx→x0

f(x) = α ∈ R, limx→x0

g(x) = β ∈ R

con x0 ∈ R. Allora si ha■ somma: lim

x→x0

[

f(x) + g(x)]

= α + β

in tutti i casi in cui α + β è definito

■ prodotto: limx→x0

[

f(x) · g(x)]

= α · βin tutti i casi in cui α · β è definito

■ quoziente: se α 6= 0 e f(x) 6= 0 ∀x allora

limx→x0

1

f(x)=

1

α

■ valore assoluto: limx→x0

|f(x)| = |α|



Altri Limiti

Verifiche di limite



Definizioni

Teoremi sulla continuità

Continuità e funzioni elementari





Altri Limiti

Verifiche di limite



Definizioni




Definizioni

Sia I un intervallo di estremi a e b con a < b.Sia f : I → R una funzione e x0 ∈ I

Si dice che f è continua in x0 se

limx→x0

f(x) = f(x0)

intendendo eventualmente il limite da destrao da sinistra se x0 è estremo di I

Se f non è continua in x0 si dice che èdiscontinua in x0

Si dice che f è continua in I se è continua inogni punto di I



Altri Limiti

Verifiche di limite



Definizioni





Dal Teorema sulle operazioni con i limiti si ha

Teorema. Siano f, g : I → R due funzionicontinue in x0 ∈ I . Allora■ f + g è continua in x0■ f · g è continua in x0■ f/g è continua in x0, se g(x0) 6= 0

■ |f | è continua in x0■ l’inversa di una funzione continua è

continua■ la composta di funzioni continue è

continua



Altri Limiti

Verifiche di limite



Definizioni





Teorema. Tutte le funzioni elementari so-no funzioni continue sul relativo dominio didefinizione



Altri Limiti

Verifiche di limite



Definizioni





Teorema. Tutte le funzioni elementari so-no funzioni continue sul relativo dominio didefinizione

Sono dunque continue le seguenti funzioni:■ funzioni lineari e affini■ potenze e radici n-esime■ polinomi■ funzioni razionali■ funzioni esponenziali e logaritmiche■ valore assoluto■ funzioni trigonometriche (sen, cos, tan)■ funzioni trigonometriche inverse

limiti - dipartimento di matematica e informatica · corso di laurea in biotecnologie a.a....

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