Lineáris algebraLineáris algebraLineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek általános alakja

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

........

........

........

2211

22222121

11212111

Lineáris egyenletrendszerek típusai

Inhomogén lineáris egyenletrends z er Homogén lineáris egyenletrends z er

L ineáris egyenletrends z erek

Lineáris egyenletrendszerek típusai

• Ha a jobb oldalon lévő b1, b2, ……..bm számok mindegyike zérus, akkor homogén lineáris egyenletrendszerről beszélünk.

• Nyilván egy ilyen egyenletrendszernek mindig van triviális megoldása, ami azt jelenti, hogy x1= x2= ……..=xn =0

• Az ilyen egyenletrendszerek megoldásának lényege a triviálistól különböző megoldások megkeresése.

Lineáris egyenletrendszerek típusai

Ha a jobb oldalon lévő b1, b2, ……..bm számok nem mindegyike zérus, akkor inhomogén lineáris egyenletrendszerről beszélünk.

Lehetséges esetek:• Nincs megoldás• Pontosan egy megoldás van• Végtelen sok megoldás van

Lineáris egyenletrendszerek típusai II.

Nincs megoldás ainkompatibilis vagy inkonz is z tens

P ontos an egy megoldás a van Végtelen s ok megoldás a van

Van megoldás akompatibilis vagy konz is z tens

L ineáris egyenletrends z erek

Lineáris egyenletrendszerek megoldása

• A lineáris egyenletrendszer megoldása az olyan x1, x2, ……xn , számok meghatározását jelentik, amelyek az összes egyenletet kielégítik.

• Két lineáris egyenletrendszert ekvivalensnek nevezünk, ha pontosan ugyanazok az egyenletrendszerek megoldásai.

Ekvivalens átalakítások:

Az egyenletrendszer megoldáshalmaza nem változik, ha az alábbi átalakításokat hajtjuk végre:

• Két egyenlet felcseréljük• Az egyik egyenletet zérustól különböző valós

számmal szorozzuk• Az egyik egyenletet, vagy valós számmal való

szorzatát hozzáadjuk a másik egyenlethez

Lineáris egyenletrendszer kibővített mátrixa

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

........

........

........

2211

22222121

11212111

mmnm

n

n

baa

baa

baa

1

2221

1111

Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss eliminációval

A megoldás az ismeretlenek szukcesszív kiküszöbölésével történik.

Mátrixalgebra

Az mxn db aij elemből álló téglalap alakban elrendezett számtáblázatot (mxn) típusú mátrixnak nevezzük.

aij szimbólum a mátrix i-edik sorának a j-edik elemét jelöli.

Mátrixok

• Az elem első indexe mindig a sorindex

• Az elem második indexe mindig az oszlopindex

• Jelölése: A mátrixokat általában vastagított nagybetűkkel jelöljük, illetve szögletes zárójelbe tesszük.

• Két mátrixot azonos típusúnak nevezzük, ha soraik és oszlopaik száma megegyezik

Mátrixok

Két mátrix akkor és csak akkor egyenlő, ha azonos típusúak és a megfelelő helyen álló elemeik rendre egyenlők egymással.

Speciális mátrixok

Négyzetes vagy kvadratikus mátrix:

Olyan mátrix, ahol m=n azaz a sorok száma megegyezik az oszlopok számával.

Mátrix rendje:

A négyzetes mátrix sorainak vagy oszlopainak a száma

Speciális mátrixok

• Oszlopmátrix vagy oszlopvektor: csupán egy oszlopból áll

• Sormátrix vagy sorvektor: Olyan mátrix, amelynek egyetlen sora van

• Nullmátrix: Olyan mátrix, amelynek minden eleme nulla.

Jelölése : 0

Speciális mátrixok

• Diagonalmátrix: Olyan négyzetes mátrix, amelynek csak a főátlójában vannak elemei. Főátló alatt értjük a bal felső sarokból a jobb alsó sarokba húzott átlót.

Speciális mátrixok

Egységmátrix: olyan diagonális mátrix, amelynek minden főátlóbeli eleme 1.

Jele : E

Speciálisan: En ahol n jelöli a mátrix rendszámát.

Minden egységmátrix n olyan sorra vagy oszlopra bontható particionálható, amelynek mindegyike egységvektor.

Példa egységmátrixra

10000

01000

00100

00010

00001

Mátrixok típusai

• Az egységvektor indexe azt mutatja meg, hogy az egységvektor hányadik eleme 1.

• Összegzővektor: az az oszlop vagy sorvektor, amelynek minden eleme 1.

Jele:1

• Felső háromszögmátrix

• Alsó háromszögmátrix

Speciális mátrixok

Alsó háromszögmátrix

3441

0353

0021

0001

Mátrixok típusai

• Szimmetrikus mátrix: olyan négyzetes mátrix, ahol aik=aki

• Ferdén szimmetrikus mátrix: olyan négyzetes mátrix, ahol aik=-aki

• Permutáló mátrix: Olyan négyzetes mátrix, amely a sorainak illetve az oszlopainak az átrendezésével egységmátrixszá alakítható.

Mátrix transzponáltja

• Mátrix transzponáltján azt az AT jelölt mátrixot értjük, amelyet az A mátrixból úgy kapunk, hogy sorait rendre felcseréljük az oszlopaival.

Minormátrix

• Ha az A mátrixból tetszés szerinti sort, vagy oszlopot elhagyunk, akkor az eredeti mátrix minormátrixát kapjuk.