lineær regressionsanalyse - systime | systimesystime.dk/.../linearregression.pdf338 8. lineær...

8Lineær regressionsanaLyse

336 8 . L i n e æ r r e g r e s s i o n s a n a l y s e

Lineær regressionsanaLyseFra kapitel 4 i Mat C-bogen ved vi, at man kan indtegne en række punkter i et koordinatsystem, for at afgøre, hvor ”tæt” på en ret linie disse punkter ligger. Dette gennemgik vi under overskriften Lineær regression, side 166, og vi bestemte denne lineære funktion ved hjælp af bl.a. CAS-værktøj.

Lineær regression er altså en måde, hvorpå man til et givet an-tal punkter i koordinatsystemet kan bestemme den lineære funktion, hvis graf passer ”bedst” på disse punkter. Den til-passede linje (eller estimerede) skriver vi som y ax b= + . Sym-bolet over y læses som ”y hat”.

yi = f (xi) = axi + b

y = ax + b

e = yi – yi = yi – (axi + b) = yi – axi – b yi

xi

Figur 1

Vi kan på punkterne i figur 1 se, at de er fordelt omkring den indtegnede rette linie. Derfor vil det være naturligt at vælge regressionsfunktionen som den tilpassede linje, dvs. y ax b= + .

Bemærk, at vi altså forlanger, at vi, inden regressionsanaly-sen foretages, ved, hvilken type funktion der er tale om. Dette kan f.eks. som i ovenstående tilfælde kontrolleres grafisk.På figuren er der indtegnet en ret linie, der på øjemål ser ud

3378 . L i n e æ r r e g r e s s i o n s a n a l y s e

til at være den ”bedste”. Men hvad vil det sige at finde den ”bedste” linie, og hvorfor er det den ”bedste”? I det følgende skal vi ud fra nogle givne kriterier forsøge at finde den linie, der repræsenterer alle punkterne bedst, dvs. vi skal bestemme a og b i denne linies ligning: y ax b= + . Det er ofte sådan, at ingen af de afsatte punkter ligger på grafen for den fundne rette linie.

Et kriterium for at bestemme den ”bedste” rette linie kan være, at den lodrette afstand, der måles fra punktet og op/ned til li-nien, samlet set skal være så lille som muligt. Dvs. vi kan måle afstanden fra punktet til linien for hvert eneste målepunkt og derefter summere alle disse afstande. Hvis linien er den ”bed-ste”, vil den samlede summerede afstand være så lille som over-hovedet muligt.

Forestiller vi os, at der på figur 1 er afsat n punkter ( , ),( , ),...,( , )x y x y x yn n1 1 2 2 vil et vilkårligt punkt kunne betegnes ( , )x yi i , hvor i n= 1, ... , . Denne betegnelse vil vi benytte frem-over.

I hvert eneste punkt er y-værdien yi , og funktionsværdien for den rette linie er ˆ ( )y f x ax bi i i= = + . Derved kan vi nu beregne den lodrette afstand ei (se figur 1) mellem punkt og linie. Denne forskel kalder vi for den estimerede models residualer og be-tegnes med ei . Vi har derfor at

ˆ ˆ ( )e y y y ax b y ax bi i i i i i i= − = − + = − −se figur 1


Lad os se på et eksempel.

eksempeL 1Sammenhængen mellem X og Y fremgår af tabel 1.

X Y

150 2,24

160 2,48

165 2,61

175 3,03

180 3,35

185 3,44

200 4,48

210 4,43

215 4,60

220 4,76

Tabel 1

Lad os prøve at bestemme residualerne. Ved hjælp af CAS-værktøj bestemmer vi først den ”bedste” linje til ˆ , , .y xi = −0 039 3 685

Se figur 2:

4,8

4,4

4,0

3,6

3,2

2,8

2,4

2,0150 160 170 180 190 200 210 120

Figur 2


Residsualerne, som er afrundet til hele tal, fremgår af ta-bel 2:

Obs. nr. Xi Yi

Bedste linjeˆ , , .y xi = −0 039 3 685

Residualˆ ˆe y yi i i= −

1 150 2,24 2,165 0,075

2 160 2,48 2,555 -0,070

3 165 2,61 2,750 -0,140

4 175 3,03 3,140 -0,110

5 180 3,35 3,335 0,015

6 185 3,44 3,530 -0,090

7 200 4,48 4,115 0,365

8 210 4,43 4,505 -0,075

9 215 4,6 4,700 -0,100

10 220 4,76 4,895 -0,135

Tabel 2

Summen af residualerne får vi til: eii=∑ = −

1

100 139, . Symbolet

eii=∑

1

10

betegner summen af de 10 residualer, dvs. summen:e1+e2+e3+ … +e10. Dette vender vi tilbage til i afsnittet om test af forudsætninger, dvs. modelkontrol.

Da afstanden ei kan antage positive såvel som negative vær-dier, kan man opnå, at summen eii

n

=∑ =

10 , selvom alle punkter

ligger langt fra linien, derfor bruges kvadratet på afstanden, ei

2.

Vi vil derfor undersøge den kvadrerede afstand:

e y yi i i2 2= −( ˆ )

Ved at regne med kvadratet på afstanden, er de enkelte bidrag ei

2 0≥ , så den samlede sum eii

n

=∑ ≥

1

2 0 . Lighedstegnet gælder kun, hvis alle punkter ligger på den rette linie.

Summen af de kvadrerede afstande fra alle punkter til linien bliver nu:

har opløftet ”i anden”, dvs. kvadreret


e e e e y yn ii

n

i ii

n

12

22 2 2

1

2

1

+ + + = = −= =∑ ∑... ( ˆ )

= − − + − − + + − −( ) ( ) ... ( )y ax b y ax b y ax bn n1 12

2 22 2

Denne størrelse udtrykker altså, hvor stor den ”samlede” (kva-drerede) afstand er fra punkterne til regressionslinien, og for-målet må være, at gøre denne sum så lille som muligt.

Meningen er nu, at vi skal bestemme a og b, således at denne sum bliver minimeret. a og b er altså variable og ikke konstan-ter, som de plejer at være.

Den metode vi skal anvende til at bestemme a og b kaldes Mindste Kvadraters Metode (MKM), da a og b jo netop bestem-mes således, at eii

n

=∑

1 bliver så lille som muligt.

eksempeL 2Lad der være givet punkterne ( , )−3 1 , (1,2) og ( ; )5 8 . Ved indtegning fås følgende

x

y

1

-3

3

5

7

-2 -1 0 1 2

(-3,1)

(1,2)

(5,8)

3 4 5

Figur 3

har lagt alle afstandene sammen

har indsat e y y y ax bi i i i i= − = +ˆ ˆhvor


Vi ønsker ved hjælp af MKM at bestemme den rette linie, der passer bedst til punkterne, forstået sådan, at ei

i

n2

1=∑ bli-

ver så lille som muligt:

e e e12

22

32+ +

= − − + − − + − −( ) ( ) ( )y ax b y ax b y ax b1 1

22 2

23 3

2

= − ⋅ − − + − ⋅ − + − ⋅ −( ( ) ) ( ) ( )1 3 2 1 8 52 2 2a b a b a b

= + − + − − + − −( ) ( ) ( )1 3 2 8 52 2 2a b a b a b

Ideen er nu, at vi skal bestemme a og b således, at udtryk-ket ( ) ( ) ( )1 3 1 8 52 2 2+ − + − − + − −a b a b a b minimeres, dvs. bliver så lille som muligt.

Vi ved fra kapitel 3 i B-bogen, at en måde at minimere en funktion på, er ved at differentiere og sætte lig med 0. Så når vi skal bestemme værdien af ikke én men to varia-ble størrelser (nemlig a og b), vil vi opfatte ( ) ( ) ( )1 3 1 8 52 2 2+ − + − − + − −a b a b a b først som en funktion, hvor a er den variable størrelse, og derefter som en funk-tion, hvor b er den variable størrelse. At differentiere så-dan en funktion af to variable kaldes at differentiere par-tielt (partiel = delvis).

1) a er variabel:

h a a b a b a b( ) ( ) ( ) ( )= + − + − − + − −1 3 2 8 52 2 2

h a a b a b a b'( ) ( ) ( ) ( ) (= ⋅ + − ⋅ + ⋅ − − ⋅ − + ⋅ − −2 1 3 3 2 2 1 2 8 5 )) ( )⋅ −5

h a a b a b a b'( ) = + − − + + − + +6 18 6 4 2 2 80 50 10

h a a b'( ) = + −70 6 78

har skrevet de tre kva-drerede afstande op (da der er tre punkter)

har indsat i e y ax bi i i= − −

har indsat koordina-terne

har reduceret

har indført funktionen h

har differentieret, bl.a. ved hjælp af reglen om differentiation af sam-mensatte funktioner, se sætning 4 kapitel 2 i B-bogen. Bemærk, at a er variabel og b er konstant.

har ganget ind i paren-teserne

har reduceret


2) b er variabel:

k b a b a b a b( ) ( ) ( ) ( )= + − + − − + − −1 3 2 8 52 2 2

k b a b a b'( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (= ⋅ + − ⋅ − + ⋅ − − ⋅ − + ⋅ −2 1 3 1 2 2 1 2 8 5aa b− ⋅ −) ( )1

k b a b a b a b'( ) = − − + − + + − + +2 6 2 4 2 2 16 10 2

k b a b'( ) = + −6 6 22

Vi ved også, at hvis begge funktioner skal minimeres, skal der gælde:

h a'( ) = 0 og k b'( ) = 0

70 6 78 0a b+ − = og 6 6 22 0a b+ − =

Dette er to ligninger med to ubekendte, som vi kender fra MAT C, og hvis vi løser dem med de metoder, der blev gen-nemgået i MAT C, kapitel 3, fås:

a = 0 875, og b = 2 792,

og derved bliver regressionsfunktionen, den bedste rette linie, ˆ , ,y x= +0 875 2 792 .

Anvender vi et CAS-værktøj får vi følgende output:”RegEqn” ”m*x+b””m” 0.875”b” 2.7916666666667”r²” 0.8546511627907”r” 0.9244734516419

Og vi ser, at a = 0 875, og b = 2 792, . Samme resultat som vi fik ved brug af den ovenfor gennemgåede metode, MKM. Se figur 4.

har indført funktionen k

har differentieret, bl.a. ved hjælp af reglen om differentiation af sam-mensatte funktioner, se kapitel 2 i B-bogen. Bemærk, at b er varia-bel og a er konstant.

har ganget ind i paren-teserne

har reduceret

ifølge sætning 2 kapitel 3 i B-bogen

har indsat h a'( ) og k b'( )


x

y

1

-3

3

5

7

-2 -1 0 1 2

(-3,1)

(1,2)

y = 0,875 · x + 2.70167

(5,8)

3 4 5

Figur 4

ØveLse 1Skitsér i samme koordinatsystem såvel punkter som re-gressionslinie fra eksempel 1.

At vi virkelig har fundet et minimum i eksempel 1, kan vi se af udtrykket, der skulle minimeres:

( ) ( ) ( )1 3 1 8 52 2 2+ − + − − + − −a b a b a b

Hvis man forestillede sig, at vi orkede at udregne dette udtryk, ville man se, at der samlet set vil komme til at stå 35 2a som et af leddene, og 3 2b som et andet af leddene.

Begge disse led har positive tal foran variablene a2 og b2 (nem-lig 35 og 3), og så ved vi fra MAT C om andengradsfunktioner, at det er parabler, der vender grenene opad.

Så ved at sætte de afledede lig med 0, må det være parabler-nes toppunkter, i dette tilfælde altså deres minimumspunkter, vi finder.

Vi kan let overbevise os selv om, at den gennemgåede metode i eksempel 6 er tidkrævende med flere punkter end de tre i ko-ordinatsystemet. Så vi konkluderer følgende uden bevis:


har udregnet de to gen-nemsnit

ifølge sætning 1

har indsat koordinaterne

har udregnet

ifølge sætning 1

har indsat de kendte størrelser

har udregnet

sætning 1

Lad ( , ),( , ), ... ,( , )x y x y x yn n1 1 2 2 være en række punkter i et koordinatsystem. Den rette

linie f x ax b( ) = + minimerer e y ax bii

n

i ii

n2

1

2

1= =∑ ∑= − −( ) , hvis:

ax x y y

x x

i ii

n

ii

n=

− ⋅ −

−

=

=

∑

∑

( ) ( )

( )

1

2

1

og b y ax= −

x og y står for gennemsnittene for x- og y-koordinaterne, og det viser sig, at re-gressionslinien går gennem punktet ( , )x y .

Lad os se, hvordan disse formler fungerer i praksis:

eksempeL 3Vi vender tilbage til eksempel 2 med punkterne (-3,1), (1,2) og ( , )5 8 . Vi udregner:

x = − + + =3 1 53

1 og y = + + =1 2 83

3 667,

Herefter fås ved brug af sætning 1:

ax x y y

x x

i ii

n

ii

n=

− ⋅ −

−

=

=

∑

∑

( ) ( )

( )

1

2

1

a = − − ⋅ − + − ⋅ − + − ⋅( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) (3 1 1 3 667 1 1 2 3 667 5 1 8 −−− − + − + −

3 6673 1 1 1 5 12 2 2

, )( ) ( ) ( )

a = 0 875,

b y ax= −

b = − ⋅3 667 0 875 1, ,

b = 2 792,

Dermed er værdierne for a og b de samme som i eksempel 1.


Af CAS-udskriften ovenfor fremgår tillige at r = 0 924, og r2 0 855= , .

Tallet r kaldes korrelationskoefficienten, og det angiver hvor god overensstemmelse, der er mellem den beregnede funktion og de punkter, der er opgivet. Hvis der er fuldstændig overens-stemmelse, er r r= ∨ = −1 1 , og hvis der slet ikke er nogen over-ensstemmelse, er r = 0 . Hvis linien er aftagende er r negativ. Værdierne af r vil ligge i intervallet: − ≤ ≤1 1r .

Tallet r2 kaldes determinationskoefficienten, og den angiver tilpasningsgraden af en estimeret regressionslinie. Hvis der er fuldstændig tilpasning, er r2 1= , og hvis der slet ikke er nogen tilpasning, er r2 0= . Værdierne af r2 vil ligge i intervallet: 0 12≤ ≤r , hvilket betyder, at r2 kan opfattes som en procent-del, og det er meget almindeligt at konklusionen for r2 0 855= , er, at 85,5 % af variationen i den afhængige variabel (y) kan forklares af variationen i den uafhængige variabel (x).

Vi kan gennemføre regressionsanalyser som er baseret på an-dre end lineære sammenhænge. Vi bestemmer altså på for-hånd hvilken type regression vi vil gennemføre.

Nedenfor fremgår resultatet af en eksponentiel regressions-analyse med de samme punkter som ovenfor. Som det ses, har både r og r2 bedre værdier, hvorfor den eksponentielle funk-tion f x x( ) , ,= ⋅1 943 1 297 er bedre i overensstemmelse med de givne data. Vi skal ikke gå nærmere ind de forskellige regres-sionstyper, men alene se på lineære regressioner.Resultat af eksponentiel regressionsanalyse:

”RegEqn” ”a*b^x””a” 1.9430638823072”b” 1.296839554651”r²” 0.96428571428571”r” 0.98198050606197


eksempeL 4Sammenhængen mellem X og Y fra eksempel 1 er:

X Y

150 2,24

160 2,48

165 2,61

175 3,03

180 3,35

185 3,44

200 4,48

210 4,43

215 4,60

220 4,76

Tabel 3

Vi ønsker at bestemme korrelations- og determinationsko-efficenten. Ved hjælp af CAS-værktøj får vi følgende resul-tat:

”r²” 0.9744998927252

”r” 0.98716761126224

Som det ses, er der en høj grad af lineær overensstemmelse samt tilpasningsgrad mellem X og Y. Anvender vi fortolk-ningen af r2 som vi så ovenfor, betyder det i dette eksem-pel, at 97,4 % af variationen (udsving) i den afhængige va-riabel (Y) kan forklares af variationen (udsving) i den uafhængige variabel (X).

ØveLse 2Sammenhængen mellem disponibel indkomst efter fradrag af faste udgifter og dagligvareforbrug pr. husholdning, fremgår af tabel 4.


Indkomst Forbrug

54600 32400

55200 33240

54000 47700

55800 33000

55800 32400

55800 31920

57150 33228

58200 34200

63600 36900

67800 35400

70200 37340

75138 41400

Tabel 4

Bestem den ”bedste” rette linie samt r og r2 vha. lineær regression.

ØveLse 3Sammenhængen mellem ugentlig salg i tusinde kr. og test-scores for en stikprøve bestående af 8 salgskonsulenter fremgår af tabel 5:

Ugentlig salg 10 12 28 24 18 16 15 12

Test scores 55 60 85 75 80 85 65 60

Tabel 5

Bestem den ”bedste” rette linie samt r og r2 vha. lineær re-gression.


ØveLse 4Prisen på DVD-afspillere sættes forskelligt i 8 forskellige regioner af landet, se nedenfor.Prisen er opgivet i hundrede dollar, se tabel 6:

Antal solgt 420 380 350 400 440 380 450 420

Pris 5,5 6,0 6,5 6,0 5,0 6,5 4,5 5,0

Tabel 6

Bestem den ”bedste” rette linie samt r og r2 vha. lineær regression.

test i Lineære regressionerSpørgsmålet er, om det vi har gennemgået ovenfor, er tilstræk-kelig til at anvende resultatet fra en lineær regression til prog-noser? Når vores resultater baseres på populationsdata, vil re-sultatet af undersøgelsen være sand. Men, som vi har set i kapitlet om test i MAT B-bogen, vil vi i praksis sjældent un-dersøge et spørgsmål ved at bruge data fra hele populationen, men ved at udtage en stikprøve fra populationen. Det betyder, at resultatet af sådan en stikprøve er behæftet med usikker-hed, idet en anden stikprøve fra samme population jo kunne give et andet resultat. Vi må derfor supplere ovenstående med gennemførelse af test i lineære regressioner. I denne sammen-hæng vil vi koncentrere os to test: 1. Test af forudsætninger. 2. Test af om stigningstallet β antager visse værdier, herun-

der konfidensinterval for linjens stigningstal. β er det te-oretiske stigningstal i den lineære regressionsmodel: y a x= + β .

Læg mærke til at i forhold til den måde vi normalt skriver li-niens ligning y ax b= + på, er det almindeligt i statistikbøger at skrive det som y a x= + β .

β er det græske bogstav, der svarer til b


Styrken ved lineær regression ligger endvidere i det faktum, at modellen, som nævnt, kan anvendes til forudsigelser (prog-noser), hvorfor det er særdeles vigtigt, at vi kan ”stole” på mo-dellens resultater.

Når vi gennem lineær regression fastlægger den ”bedste” li-nie, er det udtryk for et estimat, som vi i resten af kapitlet skri-ver således: y a bx= + . Læg mærke til, at modellen har en ”hat” over y’et, hvilket betyder, som vi så ovenfor, at der er tale om et bedste bud (= estimat) for den lineære sammenhæng. b an-giver stigningstallet og a skæring med y-aksen.

Vi gennemfører altså ikke en test af modellens hældnings-koefficienten b, men af den teoretiske hældningskoefficient β .

test af forudsætninger, modeLkontroLSom vi har set ovenfor definerede vi residualerne som forskel-len mellem de observerede og de tilpassede y-værdier, dvs.:ˆ ˆe y yi i i= − . Den vigtigste forudsætning, som skal være opfyldt,

for gennemførelse af simpel lineær regressionsanalyse er, at:E ei( ) = 0 , dvs. at middelværdien af residualerne skal være 0, eller tæt på 0. Hvis der ikke eksisterer en lineær sammenhæng mellem de to variable, vil den bedste linje ikke give de rigtige værdier for de fleste x-værdier, og middelværdien af residua-lerne vil være forskellig fra 0. Normalt vil man, udover at te-ste om E ei( ) = 0 , skulle undersøge om yderligere fire forudsæt-ninger er opfyldt. Vi nøjes i denne sammenhæng med at nævne to af disse forudsætninger:

1. ei ’erne er normalfordelte2. σ σei( ) = , dvs. samme spredning for alle residualerne

eksempeL 5Lad os se på de data vi har fra eksempel 1, og undersøge om forudsætningen E ei( ) = 0 er opfyldt.

Ved hjælp af CAS-værktøj får vi tegnet en tendenslinje, se figur 2 og figur 5 øverst.


Som vi kan se af figur 5 er punkterne pænt og jævnt for-delt omkring regressionslinien, hvorfor forudsætningen ser ud til at være opfyldt. Vi så endvidere, at e E ei

ii=

∑ = − ( ) =1

100 139, , hvilket betyder, at −−0 0139, , som er meget tæt på 0.

hvilket betyder, at e E eii

i=∑ = − ( ) =

1

100 139, , hvilket betyder, at −−0 0139, , som er meget tæt på 0. som er meget tæt på 0.

Vi kan endvidere tegne et såkaldt residualplot over residu-alerne, jfr. tabel 2.

Residualplottet ses nedenfor i figur 5 sammen med ten-denslinjen:

y

x

-0,15

0,00

0,15

0,30

2,0

2,4

2,8

3,2

3,6

4,0

4,4

4,8

150 160 170 180 190 200 210 220

y = 0,038854 · x – 3.68483

Figur 5

Nedenfor i figur 6 har vi medtaget et plot og en tendensli-nie hvor forudsætningen ikke er opfyldt, da punkterne ikke ligger pænt og jævnt fordelt omkring regressionslinien, men ligger i klumper på hver side af regressionslinien.


x

y

1

2

10

12

14

16

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

y = 0,396553 · x + 8,9076

Figur 6

ØveLse 5Anvend data fra henholdsvis øvelse 2, 3 og 4 og undersøg ved hjælp af tendenslinien om forudsætningen E ei( ) = 0 ser ud til at være opfyldt. Beregn eventuelt E ei( ) . Suppler eventuelt med et residualplot.

β -TesT

I en β -test tester man følgende hypoteser:

H0 0: ;β = ingen lineær sammenhæng mellem X og YYlineær sammenhæng mellem X og YH1 0: ;β ≠

Man undersøger om der er en lineær sammenhæng mellem den afhængige variabel (Y) og den uafhængige variabet (X). Af H0 ses det, at hvis β = 0 vil alle X-værdier blive ganget med 0, og X-værdierne vil dermed ikke påvirke Y-værdierne. Kun hvis H0 afvises, dvs. at β ≠ 0 , tyder det på, at der findes en lineær sammenhæng.Når vi gennemfører en β -test undersøger vi altså om β anta-ger visse værdier.


Følgende definition er vigtig:

definitionDen lineære regressionsmodel

y a x= + β

er signifikant, hvis β ≠ 0

Det skal fastslås at en model, som er signifikant betyder, at alle p-værdierne, med hensyn til hældningskoefficienten β , er mindre end signifikansniveauet α . Se kapitel 7 i B-bogen.

Lad os se på et eksempel, hvor der er udtaget en stikprøve og hvor vi ønsker at gennemføre en β -test.

eksempeL 6For at få undersøgt årsagerne til udsvingene i salget af cy-kelhjelme, har man sammenlignet salget med en række andre variable. De enkelte data er indsamlet for 14 tilfæl-digt udvalgte måneder og gengives i nedenstående tabel. I undersøgelsen indgik der 3 forskellige variable, salg af cyk-ler, reklameindex og prisindex, der havde indflydelse på sal-get af cykelhjelme. Vi vil koncentrere os salg af cykler, dvs. én variabel (= simpel lineær regression), idet vi ikke skal komme nærmere ind på det, der betegnes som multipel li-neær regressionsanalyse.


Sammenhængen mellem salg af cykler og salget af cykel-hjelme.

Salg af cyklerx

Salg af cykelhjelmey

6153 238

5081 199

6342 260

7126 301

6528 298

7414 319

5392 163

6128 241

6688 294

5842 207

5444 222

4987 182

5312 176

5677 211

Tabel 7

Anvender vi et CAS værktøj får vi følgende resultat:

”RegEqn” ”m*x+b””m” 0.063746932500087”b” -146.50067716517”r²” 0.88096357709014”r” 0.93859659976485


y

x

160

4800

200

240

280

320

5000 5200 5400 5600 5800 6000 6200 6400 6600 6800 7000 7200 7400 7600

y = 0,063747 · x – 146,501

Figur 7

Som det ses af plottet og CAS-udskriften kan den estime-rede model fastlægges således: ˆ , ,y x= − +146 5007 0 0637 .

Af værdierne r og r2 kan vi endvidere se, at der er en god overensstemmelse og forklaringsgrad mellem salget af cyk-ler og salget af cykelhjelme.

For at gennemføre en β -test, opstiller vi, jfr. ovenfor, følgende hypoteser:

HH

0

1

00

::

ββ

=≠

Som det ses af H0 har salget af cykler ingen indflydelse på sal-get af cykelhjelme. På samme måde ses det af H1 at salget af cykler vil have indflydelse på salget af cykelhjelme.

Vi skal ikke gå i detaljer med selve teorien bag denne test, men koncentrere os om testresultatet, hvor vi vil fokusere på p-vær-dien.


BesLutningsregeL 1Ved fastlæggelse af et signifikansniveau på α = 0 05, vil vi afvise nulhypotesen hvis p < α .

eksempeL 7Anvender vi data fra eksempel 6 og bruger et CAS-værk-tøj får vi følgende resultat:

”Alternativ Hyp” ”β ≠ 0””RegEqn” ”a+b*x””PVal” 6.7733525760999E-7“df” 12.

Vi skal fokusere på tallet PVal = p-værdi. Ved p-værdien for-stås sandsynligheden for at observere noget, der er mindst lige så ekstremt som det foreliggende, på betingelse af at nul-hypotesen er korrekt. Sagt på en anden måde: Signifi-kanssandsynlighed kan fortolkes som sandsynligheden for at forskellen mellem det forventede (hypotetiske) og det ob-serverede (= observerede salg af cykelhjelme på basis af solgte cykler) er tilfældig. Er sandsynligheden tilstrække-ligt lille, dvs. p < α, antages forskellen (afvigelsen) ikke til-fældig og så forkastes påstanden dvs. nulhypotesen (Ho).

Tallet er skrevet på såkaldt eksponentiel form, hvilket be-

tyder, at tallet 6,7733… skal ganges med10 110

77

− = , eller

mere populært sagt, så skal du flytte kommaet 7 pladser til venstre, hvilket giver os en p-værdi = 0,0000006773.

Ifølge beslutningsreglen kan vi afvise nulhypotesen (vi si-ger at parameteren salg af cykler er signifikant, da p-vær-dien er stort set 0), hvilket betyder, at det med 95 % sand-synlighed må antages, at der findes en lineær sammenhæng mellem salget af cykler og salget af cykelhjelme.


Som tidligere nævnt ligger styrken i den lineære regression i, at man kan anvende modellen til prognoser eller forudsigelser. I vores eksempel vil det være interessant at kunne forudsige salget af cykelhjelme på basis af et antal solgte cykler, hvor de anvendte data ikke har været en del af stikprøven. Det skal dog bemærkes, at man skal være meget forsigtig med at lave forudsigelser, når man anvender x-værdier (dvs. salg af cyk-ler) udenfor det observerede interval, da vi jo ikke kan have sikkerhed for, at udviklingen i salg af cykelhjelme fortsætter lineært.Den estimerede model er, jævnfør eksempel 6:

ˆ , ,y x= − +146 5007 0 0637 , for 4987 < x < 7414.

Ønsker vi at forudsige antallet af solgte cykelhjelme ved et salg på 6.500 cykler, som ligger indenfor intervallet, se tabel 7, så kan vi bestemme dette vha. følgende:

ˆ ˆ ˆy a bx= + .Vi indsætter i modellen: ˆ , , , .y = − + ⋅ =146 5007 0 0637 6500 267 5493

Det må altså forudsiges, at ved et salg på 6.500 cykler, vil det kunne forventes at der sælges 267 cykelhjelme. Problemet med denne forudsigelse er, at der ikke tages højde for den usikker-hed der er knyttet hertil. Vi vil derfor i stedet bestemme det såkaldte 95 % forudsigelsesinterval.

Igen skal vi ikke komme nærmere ind på formlerne bag be-stemmelsen af dette interval, men anvende et CAS-værktøj til at beregne det.

Vi får vi følgende: Antal solgte cykelhjelme vil med 95% sand-synlighed ligge mellem 226 og 309, når der sælges 6500 cykler.

ØveLse 6I denne øvelse skal du arbejde videre med eksemplet oven-for, idet salget af cykelhjelme nu søges forklaret vha. rekla-meindex. Reklameindex er et index for det anvendte beløb til reklame. Tallene fremgår af tabel 8.


Reklame-indexx


131 238

112 199

152 260

198 301

177 298

230 319

76 163

152 241

160 294

122 207

132 222

94 182

94 176

134 211

Tabel 8

a) Bestem den bedste lineære model, der forklarer salget af cykelhjelme på basis af reklameindex.

b) Vurder modellens holdbarhed vha. r og r2.c) Gennemfør en β -test.d) Bestem et 95 % forudsigelsesinterval på salget af cykel-

hjelme, hvis reklameindex er 180.

ØveLse 7I denne øvelse skal du igen arbejde videre med eksemplet ovenfor, idet salget af cykelhjelme nu søges forklaret vha. prisindexet. Prisindexet er udtryk for det generelle prisni-veau i samfundet i de valgte måneder. Tallene fremgår af tabel 9.

Sammenhængen mellem prisindex og salget af cykelhjelme.


Prisindexx


123 238

121 199

123 260

123 301

121 298

120 319

120 163

121 241

123 294

119 207

119 222

118 182

121 176

123 211

Tabel 9

a) Bestem den bedste lineære model, der forklarer salget af cykelhjelme på basis af prisindex.

b) Vurder modellens holdbarhed vha. r og r2 .c) Test forudsætningen om at E ei( ) = 0 . Suppler eventu-

elt med et residualplot.d) Gennemfør en β - test.e) Bestem et 95 % forudsigelsesinterval på salget af cykel-

hjelme, hvis prisindex er henholdsvis 122 og 126.

Til sidst vil vi se på fastlæggelse af konfidensinterval for liniens hældningskoefficient. Et konfidensinterval er, som vi så i kapitel 7 i MAT B-bogen, et interval hvor vi med en vis stor sandsynlighed har tillid til, at den sande værdi for liniens hældningskoefficient ligger. Uden at vi kommer yderligere ind på det, bestemmes et konfidensinterval for liniens hældningskoefficient ved hjælp af CAS-værktøj.


eksempeL 8Lad os igen tage udgangspunkt i de data vi har fra eksem-pel 1.

Ved hjælp af CAS-værktøj får vi følgende 95 % -konfidens-interval for hældningskoefficienten b:

0 0337 0 0439, ,< <b .

Det betyder, at b med 95 % sikkerhed ligger mellem 0,0337 og 0,0439.

eksempeL 9Lad os nu tage udgangspunkt i eksempel 6, hvor vi så på sammenhængen mellem salg af cykler og salg af cykel-hjelme.

Ved hjælp af CAS-værktøj får vi følgende 95 % -konfidens-interval for hældningskoefficienten b:

0 0490 0 0785, , .< <b

Af dette kan vi tolke, at b med 95 % sikkerhed ligger mel-lem 0,0490 og 0,0785. Vi er altså 95 % sikre på, at antallet af solgte cykelhjelme stiger med et antal mellem 0,0490 og 0,0785, når salget af cykler stiger med 1.

ØveLse 8Anvend data fra øvelse 2, 3 og 4 til bestemmelse af et 95 % -konfidensinterval for hældningskoefficienten b.


opgaver

opgave 1Marketingafdelingen i en større virksomhed har i samar-bejde med deres brancheorganisation besluttet at investere i salgsfremmende foranstaltninger. Salget af vare A påvir-kes selvfølgelig af prisen. For at vurdere denne faktor har de i første omgang bedt statistikafdelingen om at udarbejde en regressionsanalyse, som beslutningsgrundlag. Resulta-tet fremgår af tabel 10.

Prisindeks for vare A Antal solgte vare A

110 1700

100 722

110 2244

111 3276

109 3198

115 3733

112 1200

113 1766

116 3095

99 913

120 1310

Tabel 10

a) Bestem den bedste lineære model, der forklarer salget af vare A på basis af prisindex.

b) Vurder modellens holdbarhed vha. r og r2 .c) Test forudsætningen om at E ei( ) = 0 . Suppler eventu-

elt med et residualplot.d) Gennemfør en β -test.e) Bestem et 95 % forudsigelsesinterval på salget af vare

A, hvis prisindex er 105.

3618 . L i n e æ r r e g r e s s i o n s a n a l y s e 361

opgave 2Virksomheden IT Online, som ikke i øjeblikket har hard-disk-optagere i sit sortiment, ønsker på grund af den store efterspørgsel at udvide sit sortiment til også at omfatte harddisk-optagere. For at få en fornem melse af hvilke hard-disk-optagere der sælger bedst, har virksomheden indhen-tet salgsoplysninger på 15 tilfældig forskellige harddisk-optagere for april 2011. I første omgang har man koncentreret sig om sammenligning af pris og afsætning. Resultatet ses i tabel 11.

Afsætning Pris i kr.

630 746

610 787

870 1430

910 332

987 558

630 450

1000 933

833 663

730 1702

1000 398

1100 1203

599 1723

887 905

796 176

951 770

Tabel 11

a) Bestem den bedste lineære model, der forklarer salget af harddisk-optagere på basis af prisen.

b) Vurder modellens holdbarhed vha. r og r2 .c) Test forudsætningen om at E ei( ) = 0. Suppler eventuelt

med et residualplot.d) Gennemfør en β -test.e) Bestem et 95 % forudsigelsesinterval på salget af hard-

disk-optagere, hvis prisen er 1820 kr.


opgave 3En virksomhed sælger hængelåse og marketingafdelingen har undersøgt sammenhængen mellem antal solgte hæn-gelåse og prisen på hængelåsene, udtrykt ved henholdsvis prisindekset samt den korte rente.

Sammenhængen fremgår af tabel 12.

Antal solgte hængelåse

Den korte rentePrisindeks for

hængelåse

1700 3,00 110

722 2,90 100

2244 2,90 110

3276 3,12 111

3198 3,40 109

3733 2,80 115

1200 3,30 112

1766 3,10 113

3095 3,30 116

913 3,70 99

1310 3,20 120

Tabel 12

Gennemfør en lineær regressionsanalyse samt β -test for-klaret ved henholdsvis den korte rente og prisindeks.

Vurder hvilken model, der bedst giver en forklaring på an-tal solgte hængelåse.

Du kan også gennemføre forudsigelser.


opgave 4Udviklingen i prisindeks for ejendomssalg fordelt på enfa-miliehuse i perioden 1992-2006.

Sammenhængen fremgår af tabel 13.

Prisindeks for ejendomssalg (2006=100) efter tid og ejendomskategori

Enfamiliehuse

2009 88,1

2008 101,1

2007 104,9

2006 100,0

2005 82,3

2004 70,1

2003 64,4

2002 62,5

2001 60,2

2000 56,9

1999 53,4

1998 50,0

1997 45,9

1996 41,2

1995 37,2

1994 34,6

1993 31,0

1992 31,2

Tabel 13

Kilde: statistikbanken, Danmarks statistik.

a) Gennemfør en lineær regressionsanalyse samt β -test.b) Test forudsætningen om at E ei( ) = 0 . Suppler eventu-

elt med et residualplot.c) Bestem et 95 % -konfidensinterval for hældningskoeffi-

cienten b.

Du kan eventuelt overveje hvad der er årsagerne til, at pris-indekset er faldet fra 2006 til 2009.


opgave 5Fra sundhedsmyndighedernes side er man interesseret i at undersøge hvad der er bestemmende for spiritusforbru-get. Man har udtaget en stikprøve på 24 personer og sam-menlignet spiritusforbruget med deres alder og uddannel-sestid.

Resultatet fremgår af tabel 14.

SpiritusforbrugAntal genstande pr. uge

alderUddannelsestid

Antal år i alt

11 28 12

14 36 14

7 20 8

6 19 9

9 24 16

23 55 16

9 22 6

5 22 10

5 19 10

19 54 15

8 23 14

22 49 18

8 33 9

24 57 8

15 42 17

7 21 12

10 22 14

12 32 14

14 38 12

22 55 8

10 18 8

9 20 8

6 18 14

22 48 12

Tabel 14


a) Gennemfør to lineære regressionsanalyser, hvor den for-klarende variabel er henholdsvis alder og uddannelses-tid.

b) Undersøg gennem en β -test af de to regressioner hvil-ken af de to variable (alder eller uddannelsestid), der gi-ver den bedste forklaring på det ugentlige spiritusfor-brug.

opgave 6Brug Danmarks Statistiks Databank til at gennemføre li-neære regressionsanalyser samt β -test.


sammenfatning

• I lineær regressionsanalyse bestemmes den bedste li-neære sammenhæng mellem måleresultater af to vari-able x og y.

• Residualerne bestemmes som: ˆ ˆe y yi i i= − .

• Test forudsætningen om at E ei( ) = 0 .

• Metoden til bestemmelse af den bedste linie kaldes Mindste Kvadraters Metode (MKM).

• β-test ( β = det græske bogstav beta): Den lineære re-gressionsmodel y a x= + β er signifikant, hvis β ≠ 0.

• For at gennemføre en β -test opstiller vi følgende hypo-teser:

HH

0

1

00

::

ββ

=≠

• Beslutningsregel vedr. β -test: Vi fastsætter signifikans-niveauet til α = 0 05, og vil afvise nulhypotesen hvisp < α

.

• Konfidensinterval for liniens hældningskoefficient be-stemmes ved hjælp af CAS-værktøj.

• 95 % forudsigelsesinterval: Angiver med 95 % sandsyn-lighed i hvilket interval det må antages at det afhæn-gige variabel ville ligge.

lineær regressionsanalyse - systime | systimesystime.dk/.../linearregression.pdf338 8. lineær...

Documents