chapter 02 wavelets - lineær algebra

11

Chapter 02Chapter 02Wavelets - Lineær algebraWavelets - Lineær algebraChapter 02Chapter 02Wavelets - Lineær algebraWavelets - Lineær algebra

22

Vektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22

Vektor-addisjonVektor-addisjonVektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22

Vektor-addisjonVektor-addisjon

Vektor-addisjon vha parallell-konstruksjon

21 vvv

1.aksex-akse

2.aksey-akse

vv1

v2

v

v1

v2

33

Vektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22Vektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22

Vektoren v har komponenter x1 og x2

og vi skriver v = [x1,x2]

21, xxv

1.aksex-akse

2.aksey-akse

x1

x2v

44


Vi innfører enhetsvektorer e1 og e2 langs x- og y-aksen henholdsvis.Enhetsvektorene har lengde 1.Disse lineært uavhengige enhetsvektorene sies å danne en basis for xy-planet siden enhver vektor i dette planet kan skrives som en lineær-kombinasjon av disse enhetsvektorene.

1.aksex-akse

2.aksey-akse

x1

x2

2

1221121,

iiiexexexxxv

e2

e1

v

55

Vektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22 Egenskaper - EksEgenskaper - EksVektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22 Egenskaper - EksEgenskaper - Eks

5

1e2

e1

v

21 151,5 eev

2

4

e2

e1

v

21 424,2 eev

66

Vektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22 Ulike basiserUlike basiserVektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22 Ulike basiserUlike basiser

3

2

e2

e1

v

21 232,3 eev

k2 = 4e1 + 6e2

k1 = 2e1 + e2

v

21

2121

21

8

1

4

5

4

1

2

12

8

1

4

33

232,3

kk

kkkk

eev

21 8

1

4

5kkv

21 23 eev

77

Vektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22 Biortogonale basiserBiortogonale basiserVektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22 Biortogonale basiserBiortogonale basiser

k2 = 4e1 +6e2

k1 = 2e1 + e2

v

21 8

1

4

5kkv

21

2

1 pånormalt står ,

,vv

abv

bav

k2 = -1/8(e1 - 2e2)

k1 = 1/8(6e1 -4e2)

21

~24

~8 kkv

21 23 eev

88

Vektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22 Lengden av en vektorLengden av en vektorVektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22 Lengden av en vektorLengden av en vektor

Vi kan benytte Pythagoras’ læresetning til å finne lengden av en vektor

1.aksex-akse

2.aksey-akse

x1

x2

2

1221121,

iiiexexexxxv

e2

e1

v

22

21 xxvv

99

Vektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22 SkalarproduktSkalarproduktVektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22 SkalarproduktSkalarprodukt

Skalarproduktet av to vektorer v1 og v2 er definert somlengden av v1 multiplisert med lengden av v2

multiplisert med cosinus til vinkelen mellom v1 og v2.

1.aksex-akse

2.aksey-akse

v1

cos212121 vvvvvv

v2

1010


For vektoren v og enhetsvektorene e1 og e2 får vi spesielt:

1.aksex-akse

2.aksey-akse

v1

cos212121 vvvvvv

v2e2

e1

021 ee

121 ee

vvvv

ji

jiee jiji 0

1,

eller:

1221 vvvv

1111


1.aksex-akse

2.aksey-akse

v1

2211

22112211

21212121

212121

2121212121

sinsincoscos

sinsincoscos

sinsincoscos

)cos(cos

yxyx

uvuvuvuv

uuvvuuvv

uuuuvv

uuvvvvvvvv

v2

e2

e1

u2u1

2211

22121211

2222121212121111

2222112211221111

22112211

1001

yxyx

yxyxyxyx

eeyxeeyxeeyxeeyx

eyexeyexeyexeyex

eyeyexex

2

12211

212121

cos

iii yxyxyx

vvvvvv

22112

22111

eyeyv

exexv

1212


For enhetsvektorene e1 og e2 får vi spesielt:

1.aksex-akse

2.aksey-akse

v

e2

e1

2

12211

iiiexexexv

ji

jii

iiji

iiij

iiijj

xx

eexexeexeve

2

1,

2

1

2

1

2

1

jjj evvex

1313


Vi innfører enhetsvektorer e1, e2 og e3 langs x-, y- og z-aksen henholdsvis.Enhetsvektorene har lengde 1.Disse lin. uavh. enhetsvektorene sies å danne en basis for det 3-dimensjonale rommet siden enhver vektor i dette rommet kan skrives som en lineær-kombinasjon av disse enhetsvektorene.

2.aksey-akse

3.aksez-akse

x2

x3

3

1332211321 ,,

iiiexexexexxxxv

e3

e2

v

1.aksex-akse

x1

e1

ji

jiee jiji 0

1,

jjj evvex

23

22

21 xxxvvvv

1414

Vektorer i n-dim RVektorer i n-dim RnnVektorer i n-dim RVektorer i n-dim Rnn

Vi innfører enhetsvektorer e1, e2, …,en i det n-dimensjonale rommetEnhetsvektorene har lengde 1.Disse lin. uavh. vektorene sies å danne en basis for det n-dimensjonale rommet siden enhver vektor i dette rommet kan skrives som en lineær-kombinasjon av disse vektorene.

n

iiinnn exexexexexxxxxv

1332211321 ...,...,,,

ji

jiee jiji 0

1,

jjj evvex

222

21 ... nxxxvvvv

i

n

iii

n

ii eevevev

11

1515

Ortogonal - OrtonormalOrtogonal - OrtonormalOrtogonal - OrtonormalOrtogonal - Ortonormal

Vektorene u og v sies å være ortogonale (skrives u v) hvis <u|v> = 0.

0 , vuvu

v2

En vektor v sies å være ortogonal til en mengde M E(skrives v M) hvis v m for alle m M.

Vektorer {v1,v2,…} kalles et ortogonalt systemhvis vi vj for i j.Hvis i tillegg ||vi|| = 1 for alle i,kalles systemet ortonormalt.

MmmuMu

v3

jivv ji

iv

jivv

i

1 ||||

ji

v1

1616

Vektorer i n-dim RVektorer i n-dim Rnn

Biortogonale basis-settBiortogonale basis-settVektorer i n-dim RVektorer i n-dim Rnn

Biortogonale basis-settBiortogonale basis-sett

Vi innfører to sett med basisvektorer k1, k2, …,kn og k1, k2, …,kn Disse to basissettene sies å danne et biortogonalt sett hvis basisvektoreneoppfyller betingelsen * vist nedenfor.

n

iiikxv

1

ji

jikk jiji 0

1~,

vkx jj

~ i

n

iii

n

ii kvkkvkv

~~

11

ji

jii

iiji

iiij

iiijj

xx

kkxkxkkxkvk

2

1,

2

1

2

1

2

1

~~~~

k2

k1

v

k2

k1

*

1717

Komplekse vektorer i planet CKomplekse vektorer i planet CKomplekse vektorer i planet CKomplekse vektorer i planet C

La v være en vektor i det komplekse planet med komponenter x og iy.Pga at i2 = -1, får vi lengden av denne vektoren ved å skalarmultipliserev med den kompleks konjugerte av v.

k

x

viy

2222 )()( yxiyxiyxiyxvvvvvv

12 i

2222 )()( yxiyxiyxiyxvvvvvv

1818

Komplekse vektorer i CKomplekse vektorer i Cnn

Bra-Ket notasjonBra-Ket notasjonKomplekse vektorer i CKomplekse vektorer i Cnn

Bra-Ket notasjonBra-Ket notasjon

La v være en vektor i det komplekse planet med komponenter x og iy.Pga at i2 = -1, får vi lengden av denne vektoren ved å skalarmultipliserev med den kompleks konjugerte av v.

k

x

vjiy

n

iiivvvvvvvv

1

12 i

nkiyxv

v

v

v

vv kkk

n

,...,2,1 hvor ...

2

1

nT vvvvv ,...,, 21 122121 vvvvvv T

v

v

1919

Komplekse vektorer i CKomplekse vektorer i CnnKomplekse vektorer i CKomplekse vektorer i Cnn

n

iii

n

iii

n

iii kkvkvkkxv

111

n

iii

n

iii

n

iii kvkkkvkxv

111

2020

Analyse - SynteseAnalyse - SynteseAnalyse - SynteseAnalyse - Syntese

AnalyseAnalyse

SynteseSyntese

n

iii

n

iii kkvkxv

11

ikv

n

iii

n

iii kkvkxv

11

ikv

v

ik

ik

2121


Biortogonale basis-settBiortogonale basis-settVektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22


n

iii

n

iii kvkkxv

11

~

ji

jikk jiji 0

1~,

k2

k1

v

k1

k2

n

iii

n

iii kvkkvkv

11

~~

xKx

x

kk

kk

xkxk

xkxk

xk

xk

xk

xk

k

kx

k

kx

kxkxkxv

vv

n

iii

2

1

2212

2111

222112

221111

222

221

112

111

22

212

12

111

221112

1

vKv

v

kk

kk

vkvk

vkvk

vk

vk

x

xx T

~~~

~~

~~

~~

~

~

2

1

2221

1211

222121

212111

2

1

2

1

1~~~ KKIKKvKKxKv TTT KK

~

basis ortonormal

1

T

i

KK

k

1~ KK T

Basisvektorene ker kolonner i K

TKK 1~

2222


Biortogonale basis-settBiortogonale basis-settVektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22


KK~

basis ortonormal

1

T

i

KK

k

1~ KK TBasisvektorene k er kolonner i K

k2 = 4e1 +6e2

k1 = 2e1 + e2

v

k2 = -1/8(e1 - 2e2)

k1 = 1/8(6e1 -4e2)

21 23 eev

21 8

1

4

5kkv

21

~24

~8 kkv

61

42K

4

1

2

18

1

4

3~ 1 T

KK

2323

Analyse - SynteseAnalyse - SynteseBiortogonale basis-settBiortogonale basis-settAnalyse - SynteseAnalyse - SynteseBiortogonale basis-settBiortogonale basis-sett

AnalyseAnalyse

SynteseSyntese

ikv ~

v

ik~

n

iii

n

iii kkvkkvv

11

~~

ik

ikv

n

iii kkvv

1

~

n

iii kkvv

1

~

2424

Rom-hierarkiRom-hierarkiRom-hierarkiRom-hierarki

Vektor-rom

Indre produkt-rom

Hilbert-rom

Banach-rom

Komplekse n-rom l2-rom

Normert lineært rom Normert vektor-rom over C

Vektor-rom medindre produkt,norm og distanse Komplett normert lineært rom

Komplett indre produkt-rom

L2([-, ]) L2(R)

L(H1,H2)

L2([a,b])

2525

Vektor-romVektor-romDefDefVektor-romVektor-romDefDef

Med et vektor-rom V mener vi en mengde av vektorer x = (x1,x2,…,xn) eller x = (x1,x2,...) med addisjon og skalarmultiplikasjon (og lukket under disse operasjonene)slik at:

xx

xx

xxx

yxyx

xxVxVx

VxxxV

zyxzyx

xyyx

1

)()(

)(

)(

0)(at slik

0at slik 0

)()(

VV x C sjon multiplikaSkalar

VV x V Addisjon

x

yx

,...}v,{v V 21

2626

Vektor-romVektor-romLineær uavhengighetLineær uavhengighetVektor-romVektor-romLineær uavhengighetLineær uavhengighet

La V være et vektor-rom.La S V.Spannet til S, sp S er sub-rommet til V bestående av alle lineærkombinasjoner av vektorer i S.

Vektorene v1, v2,…,vn kalles lineært uavhengige hvisen lineærkombinasjon av disse lik 0,medfører at hver koeffisient er lik 0,ellers lineært avhengige(gjelder også for uendelig mange vektorer).

En delmengde {v1, v2,…,vn} av vektorer i V kalles for en basis for V hvis V = sp {v1, v2,…,vn} og v1, v2,…,vn er lineært uavhengige.n kalles for dimensjonen til V.

n

iiis

1

i

v

i

n

iii

0

01

Vn

vvn

iii

dim

1

,...}v,{v V 21

2727

Indre produkt-romIndre produkt-romDefDefIndre produkt-romIndre produkt-romDefDef

Et indre produkt-rom E er et vektor-romsammen med en kompleks funksjon < | > (samt norm og distanse) definert ved:

}..{V,E

|||| Distanse

|||| Norm

yx produkt Indre2/1

yx

xxxxx

0 0 0

xxxxx

xyyx

yxyx

zyzxzyx

}..{V,E

2828

Indre produkt-rom RIndre produkt-rom R22Indre produkt-rom RIndre produkt-rom R22

2

1221121,

iiiexexexxxv

22

21 xxvvvvv

2.aksey-akse

v

e2

e1

221122112211 )()( yxyxeyeyexexyxyx

222

211 )()( vuvuvuvuvuvu

Indre produkt

Norm

Distanse

2929

Indre produkt-rom RIndre produkt-rom RnnIndre produkt-rom RIndre produkt-rom Rnn

n

iiinnn exexexexexxxxxv

1332211321 ...,...,,,

222

21 ... nxxxvvvvv

nn yxyxyxyxyx ...2211

2222

211 )...()()( nn vuvuvu

vuvuvuvu

Indre produkt

Norm

Distanse

3030

Indre produkt-romIndre produkt-romEksemplerEksemplerIndre produkt-romIndre produkt-romEksemplerEksempler

nxxxxv ,...,,, 321

n

iii yxyxyx

1

Vektorer i Rn

Kontinuerlige funksjonerpå intervallet [a,b]

Vektorer i C2

b

a

dxxgxfgf )()(

Polynomermed ai C

n

i

iin xaxp

1

)(

n

i

iibaqp1

21,vvv 21,www

2211 wvwvwvwv

3131

Indre produkt-romIndre produkt-romSchwarz ulikhet - Triangel ulikhet - ParallellogramSchwarz ulikhet - Triangel ulikhet - ParallellogramIndre produkt-romIndre produkt-romSchwarz ulikhet - Triangel ulikhet - ParallellogramSchwarz ulikhet - Triangel ulikhet - Parallellogram

|||||| ||||

yx

xx

zxzyx

gramParallello )||||||(||2 ||||||||

ulikhet Triangel |||||||| ||||

ulikhet Schwarz ||||||||

2222 yxyxyx

yxyx

yxyx

}..{V,E

3232

Indre produkt-romIndre produkt-romSchwarz ulikhet - BevisSchwarz ulikhet - BevisIndre produkt-romIndre produkt-romSchwarz ulikhet - BevisSchwarz ulikhet - Bevis

Schwarz ulikhet:

}..{V,E

|||||||| ||||||||

||x||-0 ||||

Sett : 0

oppfylten Ulikhet 0

||||||)Re(2||||

0

:gjelder C alleFor

242

2

222

yxyxxy

yx

xy

xyx

yx

yxyx

xyxyyxxx

yxyx

3333

Indre produkt-romIndre produkt-romTriangel ulikhet / Parallellogram - BevisTriangel ulikhet / Parallellogram - BevisIndre produkt-romIndre produkt-romTriangel ulikhet / Parallellogram - BevisTriangel ulikhet / Parallellogram - Bevis

222

222

||)||||(||||||||||||||2||||

||||)Re(2|||| , ||yx||

:ulikhet Schwarz-Cauchy Fra

yxyyxx

yyxxyxyxyxyx

Triangel ulikhet:

Parallellogram:

)|||||||| 2(

||||)Re(2|||| ||||)Re(2||||

||yx||||yx||

22

2222

22

yx

yyxxyyxx

yxyxyxyx

}..{V,E

3434

Indre produkt-romIndre produkt-romOrtogonal - OrtonormalOrtogonal - OrtonormalIndre produkt-romIndre produkt-romOrtogonal - OrtonormalOrtogonal - Ortonormal

Vektorene u og v sies å være ortogonale (skrives u v) hvis <u|v> = 0.

0 vuvu

v2

En vektor v sies å være ortogonal til en mengde M E(skrives v M) hvis v m for alle m M.

Vektorer {v1,v2,…} kalles et ortogonalt systemhvis vi vj for i j.Hvis i tillegg ||vi|| = 1 for alle i,kalles systemet ortonormalt.

MmmuMu

v3

jivv ji

iv

jivv

i

1 ||||

ji

v1

}..{V,E

3535

Indre produkt-romIndre produkt-romOrtonormal / Lineært uavhengigOrtonormal / Lineært uavhengigIndre produkt-romIndre produkt-romOrtonormal / Lineært uavhengigOrtonormal / Lineært uavhengig

Et ortonormalt system {i} er lineært uavhengig.

k

n

jjkj

n

jkjj

n

jkjj

k

n

jjjk

n

jjj

aaaa

a

a

111

1

1

0 0

0

23

Bevis:

Ethvert endelig-dimensjonalt indre produkt-rom har en ortonormal basis.

1

}..{V,E

3636

Indre produkt-romIndre produkt-romPythagorasPythagorasIndre produkt-romIndre produkt-romPythagorasPythagoras

Det Pythagoreiske teorem:

222 |||||||| |||| vuvuvu v

u

Bevis:

22

22

2

||||||||

00

||||

vu

||v||||u||

vvvuuvuu

vuvuvu

vu

u+v

}..{V,E

3737

Indre produkt-romIndre produkt-romDistanseDistanseIndre produkt-romIndre produkt-romDistanseDistanse

Distansen d(v,S) fra et punkt v E til en mengde S Eer definert ved: } | ||inf{||),( SssvSvd

SE

v

s

v

s

v-s

S

inf = Største nedre grense (Greatest lower bound)sup = Minste øvre grense (Least upper bound)

}..{V,E

3838

Indre produkt-romIndre produkt-romDistanse fra en vektor til et underromDistanse fra en vektor til et underromIndre produkt-romIndre produkt-romDistanse fra en vektor til et underromDistanse fra en vektor til et underrom

La M være et endelig-dimensjonalt underrom av Eog la {1, 2,…, n} være en ortonormal basis for M.For hver vektor v E vil vektoren w = <v|j> j

være den entydige vektoren i Mmed egenskapen ||v-w|| = d(v,M)

),( |||| MvdwvMwv

M

vv-w

w

}..{V,E

3939Mwv

vvvv

vvwvzwv

wvzwvzMz

vw

vwvvwv

wMwv

wvzwwvzwwvzvwzMz

wvMvdMw

n

kkk

n

kkkkj

n

k

n

jjk

n

kkk

n

kk

n

jjjk

n

kkk

n

kkk

n

kkk

n

kkk

k

n

kk

j

n

jj

j

n

jjkkk

n

jjjkk

n

jjj

0,,,,,

,,,,, ,

, ,

,

, ,,,,0

Mfor basis ortonormalen være ,..., la at slik wfinne åFor

|||| |||||||| |||| ||||

||||),(at slik La

111 11

1 1111

1

1

1

11

1n1

22222

Indre produkt-romIndre produkt-romDistanse fra en vektor til et underrom - BevisDistanse fra en vektor til et underrom - BevisIndre produkt-romIndre produkt-romDistanse fra en vektor til et underrom - BevisDistanse fra en vektor til et underrom - Bevis

}..{V,E

4040

La M være et underrom av E.Anta at v E og w M.Da vil v-w M hvis og bare hvis ||v-w|| = d(v,M).

M

vv-w

w

),( |||| MvdwvMwv Bevis:

0 , har vi ig,er vilkårlr Siden

|||||,| |,|2

,

|||||| ,Re2

||||||,Re2||||,||)(|| ||||

, underrom M Mz |||| |||| ),( ||||

|||| ),(

2222

22

222

wvz

zwvzrwvzr

Rrwvzr

zwvz

zwvzwvzwvzwvzwvwv

CMzMzwzvwvMvdwv

wvMvdMwv

Indre produkt-romIndre produkt-romNormalitet til et underromNormalitet til et underromIndre produkt-romIndre produkt-romNormalitet til et underromNormalitet til et underrom

}..{V,E

4141

Normert lineært romNormert lineært romDefDefNormert lineært romNormert lineært romDefDef

Et normert lineært rom X er et vektor-romsammen med en reell funksjon |||| definert ved:

}||||{V,X

ulikhet Triangel |||||||| ||||

|||||| ||||

0 0 |||| 0 ||||

yxyx

Cxx

xxx

4242

Banach romDefBanach romDef

Et normert lineært rom X kalles kompletthvis enhver Cauchy-sekvens i X konvergerer.

c}||||{V,B cX

0 ||||lim hvis sekvens-Cauchyen kalles

X romlineært normert et i }{ sekvensEn

,

mnmn

n

xx

x

Et Banach rom B er et komplett normert lineært rom.

4343

Hilbert romHilbert romDefDefHilbert romHilbert romDefDef

|||| Distanse

,|||| Norm

produkt Indre

yx

xxx

yx

Et Hilbert rom H over de komplekse tall C er definert ved:

1. H er et vektor-rom.Vektorer i H kan adderes og multipliseres med (komplekse) skalarer.

2. H har et indre produkt.

3. H er et komplett metrisk rom med hensyn til distanse definert ved dens norm.

0||||lim

0||||lim

xxx

xx

nn

mn

m

n

x

yx

sjon multiplikaSkalar

Addisjon

4444

)||...|||(| |||| Norm

... produkt Indre

),...,,x( sjon multiplikaSkalar

),,yx( Addisjon

),...,,y(

),...,,(xx

222

21

2211

21

2211

21

21

n

nn

n

nn

n

n

xxxxxx

yxyxyxyx

xxx

yxyxyx

yyy

xx

Hilbert rommet Cn (n-tupler av komplekse tall).

Hilbert romHilbert romCCnn

Hilbert romHilbert romCCnn

4545

Hilbert-romHilbert-romLL22([a,b])([a,b])Hilbert-romHilbert-romLL22([a,b])([a,b])

Hilbert-rommet L2([a,b]) er mengden av alle kvadratisk integrerbarefunksjoner på intervallet [a,b].

b

a

dttfCbafbaL22 )(],[:]),([

4646

Hilbert-rom Hilbert-rom LL22([a,b]) - Indre produkt([a,b]) - Indre produktHilbert-rom Hilbert-rom LL22([a,b]) - Indre produkt([a,b]) - Indre produkt

L2 indre produkt på L2([a,b]) er definert ved:

]),([, )()( 22 baLgfdttgtfgf

b

aL

4747

Hilbert-romHilbert-romLL22([a,b]) - Indre produkt - Motivasjon([a,b]) - Indre produkt - MotivasjonHilbert-romHilbert-romLL22([a,b]) - Indre produkt - Motivasjon([a,b]) - Indre produkt - Motivasjon

Diskretisering av f på intervallet [a,b] = [0,1]:

NNN Rtftftff ))(),...,(),(( 21

Nt

N

jg

N

jf

NN

jg

N

jfgf

N

N

jg

N

jftgtfgf

N

j

N

jRNN

N

j

N

jjjRNN

N

N

1t

11

)()(

11

11

1

01

)()(lim1

lim2 dttgtftN

jg

N

jfgf

Ngf

N

jNRNN

NL N

f

0 1

4848

2/12

0

2

0

2

0

2

)()(2

1 ,|||| Norm

)()(2

1 produkt Indre

f(t) ))((sjon multiplikaSkalar

g(t)f(t) g)(t)f( Addisjon

|)(| :funksjoner målbare Lebesgue Komplekse

dttgtffff

dttgtfgf

tf

dttf

Hilbert rommet L2[0,2]

Hilbert romHilbert romLL22[0,2[0,2]]Hilbert romHilbert romLL22[0,2[0,2]]

4949

2/1

2

)()( ,|||| Norm

)()( produkt Indre




dttgtffff

dttgtfgf

tf

dttf

Hilbert rommet L2[-,+ ] = L2[R]

Hilbert romHilbert rom LL22[R][R]

Hilbert romHilbert rom LL22[R][R]

5050

2/1

)()( ,|||| Norm

)()( produkt Indre




dttgtffff

dttgtfgf

tf

dttf p

Hilbert rommet Lp[-,+ ] = Lp[R]

Hilbert romHilbert rom LLpp[R][R]

Hilbert romHilbert rom LLpp[R][R]

5151

Hilbert rommet l2(A) hvor A er en vilkårlig mengde (endelig, uendelig tellbar elleruendelig ikke-tellbar).

2/1

2

)()( ,|||| Norm

)()( produkt Indre



funksjoner dvs

|c| : tallkomplekse avsekvenser summerbare Kvadratisk

dttgtffff

dttgtfgf

tf

c

Hilbert romHilbert rom ll22(A)(A)

Hilbert romHilbert rom ll22(A)(A)

5252

Hilbert romHilbert romKomplekse n-romKomplekse n-romHilbert romHilbert romKomplekse n-romKomplekse n-rom

Det komplekse n-rom Cn består av mengden av alle n-tupler x = (x1,x2,…,xn) av komplekse tallmed addisjon, skalarmultiplikasjon, indre produkt og normdefinert ved:

RCCxxxyxx

RCCyxyxyxyyx

CCCxxx

CCCyxyxyx

yyy

xx

n

n

i

nn

n

ii

n

nn

n

n

x )||...|||(||x| |||| Norm

x ... x produkt Indre

x ),...,,x( sjon multiplikaSkalar

x ),...,,yx( Addisjon

),...,,y(

),...,,(xx

nn222

21

1

2i

nn2211

1i

nn21

nnn2211

21

21

5353

Hilbert romHilbert romKonvekst romKonvekst rom - - DefDef

Hilbert romHilbert romKonvekst romKonvekst rom - - DefDef

En mengde C H kalles konveks hvis mengden

{tx+(1-t)y | 0 <= t <= 1}

er inneholdt i C for alle x,y C.

Ctyttx

Cyx

}10|)1({

,

xy

x

y

Konveks Ikke konveks

5454

1. Ethvert underrom av et Hilbert rom H er konveks.

2. Hvis x og y er vektorer i 2- eller 3-dim rommet C, så vil C være konveks hvis hele linjesegmentetsom forbinder x og y er inneholdt i C.

3. r-ball Sr(x0) = { x | ||x-x0|| <=r} er konveks.

4. Megden av alle funksjoner i L2([a,b])som er positive nesten overalt på [a,b] er konveks.

rxytxxtxyttx

txSyx r

||||)1(|||| ||)1(||

]1,0[)(,

000

0

3 :

Hilbert romHilbert romKonvekst romKonvekst rom - - EksEks

Hilbert romHilbert romKonvekst romKonvekst rom - - EksEks

5555

La S være et underrom av et Hilbert rom H.Lukningen (closure) av S er mengden av alle vektorer i Hsom er grensen av sekvenser av vektorer i S.

Hvis lukningen av S er lik S, kalles S en lukket (closed) mengde.

lukketer

} }{ | {

SSS

xxHxHxS

HS

nn

Hilbert romHilbert romLukket romLukket rom - - DefDef

Hilbert romHilbert romLukket romLukket rom - - DefDef

5656

1. Enhver r-ball i H er en lukket mengde.

2. Ethvert endeligdimensjonalt underrom av et Hilbert rom H,

er lukket.

Hilbert romHilbert romLukket romLukket rom - - EksEks

Hilbert romHilbert romLukket romLukket rom - - EksEks

5757

Hilbert romHilbert romOrtogonalt komplementOrtogonalt komplementHilbert romHilbert romOrtogonalt komplementOrtogonalt komplement

La S H.Det ortogonale komplement S til S er mengden

{xH | x S}

} | { SxHxS

5858

Hilbert romHilbert romTeoremTeoremHilbert romHilbert romTeoremTeorem

La M være et lukket underrom til et Hilbert rom H.La y H.Det eksisterer da en entydig w M og en entydig v M

slik at y = w+v

vwyMvMw

Hy

at slik ,

H tilunderromlukkket M H

M

M

y

w

v

y = w + v

Hvis M er et lukket underrom til et Hilbert rom H,så har vi (M) = M.

5959

Hilbert romHilbert romTeorem - BevisTeorem - BevisHilbert romHilbert romTeorem - BevisTeorem - Bevis

Bevis:

. vderfor v og w whar vi w,av entydighet Pga

.M vM w v wy at Anta

.M w-y at vslik M wentydigen eksistererDet

11

1

1111

Mwy

Mwy

MMwyv

)0()(

v wy at slik M vog )(M y at Anta

.)(M Mopplagt har Vi

1

6060

Hilbert romHilbert romKonvergensKonvergensHilbert romHilbert romKonvergensKonvergens

n

kk

nk

k

k

xxxx

Hxx

11

lim

,Def:

Eks:

0||||||

:Bevis

,...),(

for basis standard }{

1

2

1

1221

2

nnk

k

n

kkk

kkk

k

ex

exlx

le

6161


yxyx

yyxx

nn

nn

, ,

Bevis:

0 ||||||||||||||||

|,||,| |,|

:ulikhet sSchwarz' Fra

|||||||| ||||||||

yxxyyx

yxxyyxyx

xxyyxx

nnn

nnnnn

nnn

Det indre produkt er kontinuerlig på H x H,dvs hvis xn -> x og yn -> y i H så har vi<xn,yn> -> <x,y>

6262


kkk

kk

kk

kk

kk

kk

yy

l

x

xx

,

}{ r konvergere

rkonvergere ,

ulikhet sBessel' |||| |,|

H i systemt ortonormal ,...},{

2

2

21

6363

Hilbert romHilbert romOrtonormal basisOrtonormal basisHilbert romHilbert romOrtonormal basisOrtonormal basis

Et ortonormalt system {1, 2,…} kalles en ortonormal basis for H hvis for hver v H

v = kkk for noen 1, 2,… i C

Hver k = <y, k> kalles en Fourier-koeffisient til y

6464


kkk

kk

kk

k

yxyxHyx

xxHx

spsp

xkx

,, , ,

ligning sParseval' |,| ||||

}{ i vektorer av sekvensen av grenseen er H ir hver vekto dvs H, ier tett }{

0 ,...2,1 0 ,

Hfor basis ortonormalen er ,...},{

:eekvivalenter statement Følgende

H i systemt ortonormal ,...},{

22

21

21

6565

Hilbert romHilbert romLineær-operatorer - DefLineær-operatorer - DefHilbert romHilbert romLineær-operatorer - DefLineær-operatorer - Def

En funksjon A : H1 H2 kalles en lineær operator hvis for alle x,y H1, C :

A(x+y) = A(x) + A(y)A(x) = A(x)

)( )(

)()( )(

xAxA

yAxAyxA

A(x) skrives ofte Ax = 0 A(0)=0

6666

Til enhver n x n matrise av komplekse tallkan vi tilordne en lineær-operator A = (aij) : Cn Cn gitt ved:

n

jjiji

nn

a

A

1

11 ),...,( ),...,(

Hilbert romHilbert romLineær-operatorer - EksLineær-operatorer - EksHilbert romHilbert romLineær-operatorer - EksLineær-operatorer - Eks

6767

||||sup Ax

En lineær operator A : H1 H2 kalles begrensethvis:

||||sup||||1||||AxA

x

Normen til A, skrevet ||A||, er definert ved:

A er begrenset hvis og bare hvis den tar 1-ball S1 med senter 0 i H1 inn i en r-ball i H2.Den minste ballen i H2 som inneholder AS1 har radius ||A||.

Hilbert romHilbert romBegrensedeBegrensede Lineær-operatorer - DefLineær-operatorer - Def

Hilbert romHilbert romBegrensedeBegrensede Lineær-operatorer - DefLineær-operatorer - Def

6868

||x|| ||||sup Ix

xIx

Identitetsoperatoren I : H1 H1 gitt ved Ix = xer en begrenset lineær-operator med norm 1.

1||||sup||||sup||||1||||1||||

xIxIxx

Hilbert romHilbert romBegrensedeBegrensede Lineær-operatorer - Eks - IdentitetsoperatorenLineær-operatorer - Eks - Identitetsoperatoren

Hilbert romHilbert romBegrensedeBegrensede Lineær-operatorer - Eks - IdentitetsoperatorenLineær-operatorer - Eks - Identitetsoperatoren

6969

n

jiij

n

jijij axaAx

1,

22

1,

222 |||||| |||| ||||

Matrise-operatoren A = (aij) : Cn Cn er en begrenset lineær-operator

2/1

1,

2

1||||||||||sup||||

n

jiij

xaAxA

n

jjiji

nn

a

A

1

11 ),...,( ),...,(

Hilbert romHilbert romBegrensedeBegrensede Lineær-operatorer - Eks - MatriseoperatorLineær-operatorer - Eks - Matriseoperator

Hilbert romHilbert romBegrensedeBegrensede Lineær-operatorer - Eks - MatriseoperatorLineær-operatorer - Eks - Matriseoperator

7070

||||

||||sup ||||sup ||||sup ||||

01||||1|||| x

AxAxAxA

xxx

yAxyAxAyxyx

,sup ,sup ||||1||||||||1|||||,||||

CA

HxC||x||A

|||| ogbegrenset er A

|||| 1

Hilbert romHilbert romBegrensedeBegrensede Lineær-operatorer - TeoremerLineær-operatorer - Teoremer

Hilbert romHilbert romBegrensedeBegrensede Lineær-operatorer - TeoremerLineær-operatorer - Teoremer

7171

Mengden av begrensede lineær-operatorer A : H1 H2 betegnes

L(H1,H2)

Hvis H1 = H2 skrives L(H1) i stedet for L(H1,H1)

),( 21 HHL

Hilbert romHilbert romMengden avMengden av begrensedebegrensede lineær-operatorer - Deflineær-operatorer - Def

Hilbert romHilbert romMengden avMengden av begrensedebegrensede lineær-operatorer - Deflineær-operatorer - Def

7272

A,B L(H1,H2)

),( 21 HHL

|||||||| ||||

),(

)(

),(

|||||||| ||||

|||||| ||||

),(

2121

21

ACCA

HHLCA

AxCCAx

HHLC

BABA

AA

HHLBA

Hilbert romHilbert romMengden avMengden av begrensedebegrensede lineær-operatorer - Teoremerlineær-operatorer - Teoremer

Hilbert romHilbert romMengden avMengden av begrensedebegrensede lineær-operatorer - Teoremerlineær-operatorer - Teoremer

7373

Hilbert romHilbert romMatriserepresentasjon av Matriserepresentasjon av begrensede lineær-operatorer på et separabelt Hilbert rombegrensede lineær-operatorer på et separabelt Hilbert rom

Hilbert romHilbert romMatriserepresentasjon av Matriserepresentasjon av begrensede lineær-operatorer på et separabelt Hilbert rombegrensede lineær-operatorer på et separabelt Hilbert rom

x H A L(H) 1, 2, … ortonormal basis for H

),( 21 HHL

kk

k

k jkjkj

j kkkjj

kk

kjj

jj

j

jj

j

xy

xA

AxAx

AA

AxAx

xx

,

,,

,,

,

,

, kj

jkj yxA ,,,

ijij Aa ,

Matrisen A = (aij) svarende til 1, 2, … er definert ved:

7474

EndEnd

chapter 02 wavelets - lineær algebra

Documents