lääketieteeseen suuntaavat opinnot · 2018-02-27 · lt: fysiikan aihekokonaisuudet 19....

Alkio-opisto

Lääketieteeseen suuntaavat opinnotFysiikan aihekokonaisuudet

Kurssikirja

Johdanto ja merkinnöistä

Tämän luentomonisteen tarkoituksena on antaa riittävät perustiedot fysiikasta lääketieteellisen tiede-kunnan pääsykokeissa menestymiseen. Oppimisen edellyttämiseksi tämä teos ei välttämättä yksinäänriitä, vaan lisäksi on hyvä käyttää kurssin yhteydessä jaettavia laskuharjoitustehtäviä ja muita esimerk-kejä.

Kirjan merkinnät on pyritty tekemään huolella siten, että mm. tärkeät matemaattiset erot vektori-suureiden ja skalaarisuureiden luonteen välillä tulevat esiin. Esityksessä painotetaan monilta osin sekäfenomenologista ymmärtämistä että matematiikkaa, sillä allekirjoittaneen mielestä molempien näkö-kulmien tarkastelu auttaa selventämään fysiikan ilmiöiden mallintamisfilosofiaa.

Joissakin kirjan otsikoissa on varsinaisen tekstin perässä merkintä ∗ tai ∗∗. Tämä tarkoittaa, että ot-sikkoa seuraava materiaali on muuta materiaalia vaikeampaa tai että sitä ei mahdollisesti ole käytytai käydä lukiossa läpi. Syy tällaisen materiaalin olemassaololle on se, että se saattaa auttaa ymmärtä-mään, miksi tiettyjä ajatusmalleja suositaan ja käytetään.

Monisteen tekstiosuus on kirjoitettu LATEX 2ε ladontakielellä. Kuvat on tehty vapaan lähdekoodinohjelmalla GLE (Graphics Layout Engine). Nämä työkalut ovat hyödyllisiä myös opiskelijoille. Mikälimielenkiintoa on, voi ohjelmista ja niiden peruskäytöstä kysellä lisää. Ks. ohjelmia ei ole kuitenkaanmahdollista asentaa Alkio-opiston tietokoneille.

Jyväskylässä (päivämäärä jolloin valmis),

(allekirjoitus)

Riku Järvinen

Sisältö

1 Lähtökohdat 51.1 Miksi fysiikkaa tutkitaan? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Fysiikan tutkimuksen tarkoitus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Fysikaalinen suure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Fysiikan hyvät ja huonot puolet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Fysiikan perussuureet ja SI-järjestelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1 Pituus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.3 Aika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.4 Lämpötila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.5 Sähkövirta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.6 Valovoima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.7 Ainemäärä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Matemaattiset apuvälineet fysiikassa 112.1 Yhtälöiden ratkaiseminen analyyttisesti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Ensimmäisen asteen yhtälö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.2 Toisen asteen yhtälö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.3 Korkeamman asteen yhtälöt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Vektoreista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.1 Vektorin määrittely: motivointia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.2 Vektorit kahdessa ulottuvuudessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.3 Vektorit kolmessa ulottuvuudessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.4 Vektorien pistetulo ja ristitulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Funktioteorian alkeita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.1 Funktioiden määrittelystä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.2 Lineaariset funktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.3 Paraabelifunktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.4 Potenssifunktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.5 Sini-ja kosinifunktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.6 Eksponenttifunktio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.7 Funktioiden kääntäminen ja vääntäminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.8 Logaritmifunktio ja logaritmiasteikko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2

LT: Fysiikan aihekokonaisuudet 19. marraskuuta 2009

2.3.9 Muista tavallisista funktioista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4 Differentiaalilaskentaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.1 Derivaatan yleinen määrittely ja ajattelutapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4.2 Derivointi käytännössä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4.3 Derivaattaan liittyviä esimerkkilaskuja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5 Integraalilaskennan perusteita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5.1 Integroinnin perusajatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5.2 Integraalien laskeminen käytännössä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5.3 Integrointimenetelmiä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.5.4 Määrätyt integraalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.5.5 Esimerkkejä integrointisääntöjen soveltamisesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3 Klassinen mekaniikka 473.1 Kinematiikan perusteet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.1 Tasainen liike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.1.2 Muuttuva liike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.1.3 Liike useammassa ulottuvuudessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2 Dynamiikan perusteet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.2.1 Newtonin mekaniikka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.2.2 Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat . . . . . . . . . . . . 583.2.3 Kitkavoimat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.3 Ympyräliike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.3.1 Tasainen ympyräliike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.3.2 Muuttuva ympyräliike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.4 Työ ja mekaaninen energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.4.1 Fysikaalinen työ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.4.2 Mekaaninen energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.5 Liikemäärä ja törmäykset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.5.1 Liikemäärä ja impulssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.5.2 Liikemäärän säilymislaki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.5.3 Epäelastiset törmäykset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.5.4 Elastiset törmäykset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.5.5 Massakeskipiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.6 Pyörimisliike ja pyörimisliikkeen dynamiikka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.6.1 Pyörimisliikkeen energia ja hitausmomentti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.6.2 Vääntömomentti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.6.3 Vääntömomentin ja kulmasuureiden yhteys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4 Virtausmekaniikka 984.1 Kappaleiden elastisuudesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.1.1 Vetojännitys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.1.2 Leikkausjännitys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.1.3 Paine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.2 Virtausstatiikkaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3


4.2.1 Paine revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.2.2 Paineen mittaaminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.2.3 Arkhimedeen sääntö ja kelluminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.2.4 Nesteen pintajännitys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.2.5 Alveolien pintajännitys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.3 Virtausdynamiikan perusteet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.3.1 Jatkuvuusyhtälö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.3.2 Bernoullin yhtälö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.3.3 Sydämen tekemä työ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.4 Veren virtaaminen suonistossa; verenpaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.4.1 Paineaallon kulkeutuminen suonistossa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.4.2 Verisuonten kimmoisuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.5 Virtausvastus eli viskositeetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.5.1 Veri nesteenä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.5.2 Viskositeetti laminaariselle virtaukselle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.5.3 Poiseuillen yhtälö laminaariselle virtaukselle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.5.4 Laminaarinen ja turbulenttinen virtaus; Reynoldsin luku . . . . . . . . . . . . . . 1244.5.5 Lasko ja punasolujen rajanopeus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.6 Elimistön nestetilat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.6.1 Nestetilojen mittaaminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.6.2 Soluelinten erottelu sentrifugoimalla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.6.3 Nesteiden liikkeet elimistössä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5 Aalto-oppi ja optiikka 1385.1 Periodinen liike ja aaltoliike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.1.1 Oskillaatio ja yksinkertainen harmoninen värähtelijä . . . . . . . . . . . . . . . . 1385.1.2 Harmoninen värähtelijä matemaattisesta näkökulmasta . . . . . . . . . . . . . . 1415.1.3 Harmonisen värähtelijän energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.1.4 Sovellus: yksinkertainen heiluri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.2 Mekaaniset aallot yleisesti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.2.1 Periodiset mekaaniset aallot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.2.2 Matemaattinen aaltofunktio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.2.3 Aaltojen superpositio ja interferenssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.2.4 Seisova aaltoliike köydessä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.3 Ääniaallot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.3.1 Ääniaaltofunktio ja äänen nopeus väliaineessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.3.2 Äänen intensiteetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.3.3 Äänen vaimeneminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625.3.4 Äänen heijastuminen rajapinnasta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.3.5 Seisovat ääniaallot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.3.6 Resonanssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1675.3.7 Äänen huojunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1675.3.8 Dopplerin ilmiö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.3.9 Ultraääni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

4

Luku 1

Lähtökohdat

1.1 Miksi fysiikkaa tutkitaan?

Aloitan esityksen kertomalla lyhyesti fysiikan lähtökohdista ja historiasta. Tärkeää on tiedostaa se,mikä on fysiikan tarkoitus ja mihin se parhaimmillaan pystyy. Fysiikan voidaan sanoa olevan luontoakuvaava malli, joka pyrkii esittämään selityksiä tietyntyyppisille luonnonilmiöille. Fysiikalle tyypillinen piirreon sopivien muuttujien spesifioiminen ja niiden muutosten mittaaminen.

1.1.1 Fysiikan tutkimuksen tarkoitus

Fysiikan tutkimuksen voidaan katsoa alkaneen renessanssin jälkeen, jolloin Galileo Galilei suoritti en-simmäisiä kokeitaan. Myös aiemmin oli tehty havaintoja luonnosta, mutta Galilein työssä oli uusi nä-kökulma. Hän pyrki löytämään tavallisista luonnollisista ilmiöistä säännönmukaisuuksia toistamalla il-miön (kokeen) useita kertoja mahdollisimman samanlaisissa olosuhteissa. Yhden toistokerran aikanahän määritti eli mittasi ilmiön tapahtumista ajan avulla; toisin sanoen hän liitti jonkin ilmiön muu-toksen (esimerkiksi tiilen putoaminen pisan tornista, tiilen paikan muutos) toiseen muutokseen, jokaluettiin auringon liikkeistä. Tämä muutos eli aika on yksi tärkeimmistä fysikaalisista suureista.

Mikä erottaa Galilein tutkimuksen ja aikaisemman luonnon havainnointityön? Keskiajalla mystii-kan ja noitauskomusten vallitessa noidiksi tekeytyneet1 henkilöt keräsivät kirjoihinsa merkintöjä ta-pahtumista luonnossa. Heidän työnsä oli kuitenkin suurelta osin vain havaintojen muistiin laittamista.Työn luonteelta puuttui tarkkuus ja toistettavuus; mittaamista ei suoritettu sitä luonnehtivien kritee-rien mukaisesti.

Nykyajan fysiikan tutkimuksessa on sama päämäärä kuin Galileilla aikanaan; luoda luonnostaidealisoitu malli, joka kuvaa sen käyttäytymistä riittävän hyvällä tarkkuudella sovellusten näkökul-masta. Tässä yhteydessä on syytä korostaa, että fysiikka todellakin vain mallintaa luontoa ja se on vainyksi useista eri tavoista kuvailla sitä. Usein mainitut fysiikan ”lait” ovat approksimaatioita; ei voidaosoittaa, että luonto käyttäytyisi täsmälleen niiden kuvaamalla tavalla. Toisaalta, tätä harvoin vaadi-taan; riittävä tarkkuus tiettyjen virherajojen välissä on usein kiinnostavampi tosiseikka.

1En ota tässä yhteydessä mitään kantaa noituuden olemassaoloon.

5


1.1.2 Fysikaalinen suure

Suure (esimerkiksi pituus) on mikä tahansa fysiikassa tutkittavan ilmiön mitattavissa oleva ominai-suus. Suureeseen liittyy aina yksikkö (pituuden tapauksessa metri), joka on universaali, kaikkien mit-taajien käyttämä suuruuden mittari. Saatu mittaustulos ilmoitetaan muodossa, joka kertoo, kuinkamontaa suureen arvoa mittaustuloksen arvo vastaa. Mittaustulosten keskinäisen vertailun mahdollis-taa se, että mittaajat käyttävät samoja yksiköitä tai ovat tietoisia siitä, millaiset relaatiot eri yksikköjär-jestelmien välillä ovat voimassa.

1.1.3 Fysiikan hyvät ja huonot puolet

Fysikaalinen suure pystytään aina mittaamaan, jolloin sen ”arvo” voidaan sitoa johonkin tunnettuunmuutokseen. Tämä tuo tiettyä yhdenmukaisuutta erilaisille suureille ja myös tarkkuutta. Tästä huo-limatta on olemassa paljon luonnossa esiintyviä ilmiöitä ja asioita, joita ei pystytä kovin hyvin fy-siikan avulla kuvaamaan. Tällöin tarvitaan poikkitieteellistä tutkimusta, jossa tutkimustuloksia yhdiste-tään useilta eri aloilta. Yksi tunnetuimmista tämän hetken poikkitieteellisistä aloista on nanotiede, johonperehdymme tässä teoksessa myöhemmin.

Tunteet ovat hyvä esimerkki luonnossa esiintyvästä asiasta, jonka suora kuvaileminen fysikaalistensuureiden avulla on mahdotonta. Tunteen määrää tai voimakkuutta ei voi mitata. Toisaalta voidaanajatella, että tunteen epäsuora mittaus on mahdollista esimerkiksi tarkastelemalla aivoissa liikkuviasähköimpulsseja. Kun henkilö on tietyn tunteen vallassa, hänen aivojensa hermosolut lähettävät säh-köimpulssit eri puolille kehoa, jotka voidaan mitata. Tällöin pystytään tunnetila päättelemään jolla-kin tarkkuudella pelkän aivoista ja kehosta otetun mittausdatan perusteella. Tällaista tutkimusta ontehty jonkin verran ja tavoitteena on usein määrittää henkilön aivoissa piileviä vakaviin sairauksiinviittaavia merkkejä. Aivojen sähkö- ja magneettikenttien tutkimuksessa mittaustarkkuuden on oltavaäärimmäisen hyvä; ainoa systeemi, jolla aivojen magneettikenttiä on pystytty tarkasti määrittämään,perustuu suprajohteiden makroskooppiseen kvantti-interferenssi -ilmiöön, jota käsittelemme kvalita-tiivisesti kurssin loppupuolella.

1.2 Fysiikan perussuureet ja SI-järjestelmä

Mittaaminen fysiikan näkökulmasta tarkoittaa saadun tuloksen vertaamista johon universaaliin, kaik-kien tuntemaan mittaan. Erilaisia ”perusmittoja” on fysiikassa seitsemän ja niitä kutsutaan perussuu-reiksi. Ne antavat lähtökohdan uusien suureiden, johdannaissuureiden, määrittelyyn.

Perussuureiden järjestelmää kutsutaan SI-järjestelmäksi (Le Systéme International d’Unités). Toinenyleinen nimitys sille on metrinen järjestelmä, vrt. Englannissa käytössä olevat jalat, gallonat ja niin edel-leen (Imperial Units). Taulukossa 1.1 on listattu SI-järjestelmän perussuureet.

SI-järjestelmässä käytetään kerrannaisyksiköitä, jotta suureiden suuruuksien ilmoittaminen olisi hel-pompaa. Taulukossa 1.2 on esitetty kerrannaisyksiköt, niitä vastaavat suuruudet ja etuliitteet.

1.2.1 Pituus

Pituuden yksikkö SI-järjestelmässä on metri (1 m). Se on määritelty esittämään matkaa, jonka valokulkee ajassa t = 1/299792458 s. Vuoteen 1960 asti metri määriteltiin Ranskassa säilytettävän platina-

6


TAULUKKO 1.1: SI-järjestelmän perussuureet.

Yksikön nimi Yksikkö Suureen laatu (ominaisuus)

metri m pituus

kilogramma kg massa

sekunti s aika

Ampeeri A sähkövirta

Kelvin K lämpötila

kandela cd valaistusvoimakkuus

mooli mol ainemäärä

TAULUKKO 1.2: SI-järjestelmän kerrannaisyksiköt ja etuliitteet.

Nimi Etuliite Kerroin

deka da 101

hehto h 102

kilo k 103

mega M 106

giga G 109

tera T 1012

peta P 1015

eksa E 1018

zetta Z 1021

## ## ##

desi d 10−1

sentti c 10−2

milli m 10−3

mikro µ 10−6

nano n 10−9

piko p 10−12

femto f 10−15

atto a 10−18

zepto z 10−21

7


iridium-tangon pituutena, joka oli noin 1/100000000 etäisyydestä pohjoisnavalta Pariisiin. Tästä mää-ritelmästä on nykyään luovuttu kokonaan.

1.2.2 Massa

Massa on suure, joka kuvaa kappaleen kykyä vastustaa sen liiketilan muutosta. Mitä suurempi mas-sa kappaleella on, sitä pienemmän muutoksen ulkoinen kappaleeseen kohdistuva voima ~F saa aikaan.Massan perusyksikkö on yleisistä konventioista poiketen kilogramma (1 kg), eli kilo-etuliite on jo pe-rusyksikössä.

1.2.3 Aika

Aika on suure, joka alunperin liittyy Auringon liikkeisiin. Sen yksikkö on sekunti (1 s). Mielenkiintois-ta ajassa on se, että yksikkö ei ole kymmenjärjestelmän mukainen; 60 sekuntia on yksi minuutti, 60minuuttia yksi tunti ja 24 tuntia yksi päivä. Kokonaisen kalenterivuoden voidaan yksinkertaistetussatapauksessa2 ajatella koostuvan 365:stä päivästä.

1.2.4 Lämpötila

Lämpötilan määrittäminen perustuu luonnostaan siihen, mikä ihmisen mielestä ”tuntuu” lämpimältätai kylmältä. Täm on kuitenkin epämääräsitä, sillä asitihavainnot ovat riippuvaisia ihmisen hetkellises-tä olotilasta. Lämpötilan mittaaminen voidaan kuitenkin kvantifioida sitomalla se johonkin fysikaali-seen, mitattaavaan muutokseen, joita voivat olla esimerkiksi metallin tai kaasun laajeneminen (lämpö-mittarit). Mittari mittaa itse asiassa oman lämpötilansa, mutta kun se tuodaan kosketukseen mitattavankohteen kanssa, kohde ja mittari saavuttavat termisen tasapainotilan ja päätyvät samaan lämpötilaan.

Lämpötilan SI-yksikkö on Kelvin (1 K). Lämpötila-asteikkona Euroopassa käytetään kuitenkin useim-miten Celciusta, jotaka saadaan laskettua Kelvineistä yhtälöllä

0 ◦C = 273, 15 K (1.1)

Useissa valtioissa on käytössä Fahrenheit-asteikko, jonka mukainen lämpötila saadaan Celciuksista yh-tälöllä

TF =95· TC + 32 (1.2)

Yhtälössä (1.2) TF on lämpötila Fahrenheit-asteikolla ja TC lämpötila Celcius-asteikolla. helposti saa-daan myös käänteismuunnos

TC =95(TF − 32) (1.3)

1.2.5 Sähkövirta

Sähkövirta liittyy läheisesti sähkövaraukseen: se tarkoittaa varausten liikettä aikayksikössä. Sähkövir-ran yksikkönä on Ampeeri (1 A), joka on toisaalta 1 A = 1 C/s, missä C on Coulombi eli sähkövarauksenyksikkö. Sähkövirta on vektorisuure, eli sillä on kaksi vapausastetta: suuruus ja suunta. Sähkövirran

2Ei huomioida karkausvuotta eli sitä, että joka neljäs vuosi tulee yksi ”ylimääräinen” päivä lisää. Jos tätä korjausta ei tehtäisi,niin kalenteri menisi sekaisin eikä pitkällä aikavälillä olisi enää alkuperäisessä relaatiossa Auringon kierron kanssa.

8


suunnaksi on sovittu positiivisen varauksen liikesuunta, vaikka useissa materiaaleissa sähkövirtaa kul-jettavat elektronit, joilla on itse asiassa negatiivinen varaus. Tällöin sähkövirran positiivinen suunta onelektronien liikesuuntaa vastaan. Huomaamme myöhemmin, että tämä ei kuitenkaan aiheuta ongel-maa laskutehtävissä.

Varauksenkuljettajien avulla ilmaistuna johtimessa kulkeva sähkövirta~I voidaan ilmaista muodos-sa

~I = Anq~v, (1.4)

missä A on johtimen poikkipinta-ala, n on varaustenkuljettajien lukumäärä tilavuusyksikössä, q on yk-sittäisen varauksenkuljettajan varaus ja~v on varauksenkuljettajien keskimääräinen (ajautumis)nopeus.Varauksenkuljettajan ajatumisnopeuteen (drift velocity) vaikuttavat hiukkaseen kohdistuva sähkökent-tä sekä hiukkasen törmäykset johdemateriaalin verraten massiivisten ionien kanssa. Nämä kaksi ai-kaansaavat nopeuden ~v, jonka voidaan hyvällä tarkkuudella olettaa olevan sama kaikille samantyyp-pisille varauksenkuljettajille materiaalissa.

1.2.6 Valovoima

Valovoima tarkoittaa valon voimakkuutta (tai määrää) jossakin kiinnitetyssä suunnassa. Jos valonläh-de säteilee isotrooppisesti3 joka suuntaan, saadaan valovirrasta Φ laskettua valovoima I:

I =Φ

4π, (1.5)

missä 4π on koko avaruuskulman suuruus ja valovirta Φ on yksiköissä [Φ]= 1 lm (lumen). Valovirtaavoidaan pitää valotehon mittarina.

1.2.7 Ainemäärä

Ainemäärän yksikkö on mooli (mol); yhdessä moolissa on NA = 6, 022 · 1023 samanlaista aineen atomia,molekyyliä tai ionia tarkasteltavasta rilanteesta riippuen. Aineelle ominainen suure moolimassa M ku-vaa yhden moolin massaa yksiköissä g/mol. Moolitilavuus Vm = 22, 41 dm3/mol on puolestaan yhdenkaasumoolin tilavuus normaaliolosuhteissa eli NTP-olosuhteissa. Tämä tarkoittaa, että kaasu on lämpö-tilassa T0 = 273, 15 K (0◦ C) ja paineessa p0 = 101, 3 kPa (1,013 bar). Kaasun tiheys ρ NTP-olosuhteissasaadaan yhtälöstä ρNTP = M/Vm.

Kaasun ainemäärä voidaan yleisessä tapauksessa laskea yhtälöstä

n =VNTP

Vm=

mM

, (1.6)

missä m on kaasun massa.Moolimassaan läheisesti liittyvä käsite molekyylimassa on yhden molekyylin sisältämien atomien

massojen summa. Tarkasti ottaen molekyylimassa on hieman pienempi kuin osiensa summa, muttakoska atomien väliset sidosenergiat ovat merkityksettömän pieniä, voidaan molekyylimassaa approk-simoida osien summan massalla. Molekyylimassaa mitataan tavallisesti yksiköissä 1 u, missä u onyhtäsuuri kuin 12C-atomin massa SI-yksiköissä.

3Jokaiseen suuntaan yhtä voimakkaasti.

9


Esimerkki: molekyylimassan laskeminen

Hapen moolimassa on noin 15,99 g/mol ja hiilen moolimassa on noin 12 g/mol. Mikä on hiilidioksidimolekyylinmoolimassa?

Ratkaisu: Hiilidioksidin kemiallinen esitys on CO2, joten olettamalla atomien väliset sidosenergiatmerkityksettömän pieniksi saadaan

M = 12 g/mol + 2 · 15, 99 g/mol ≈ 44 g/mol (1.7)

10

Luku 2

Matemaattiset apuvälineet fysiikassa

Tämän luvun tarkoituksena on kerrata fysiikassa tarvittavaa matematiikkaa sekä antaa opiskelijalletietoa sen sovelluskohteista. Kyseessä ei ole ”täydellinen matematiikan oppikirja”, vaan suuri osa tu-loksista oletetaan tunnetuiksi tarkempia todistuksia esittämättä.

Joissakin tämän luvun kohdissa saattaa olla (tarkoituksenmukaisesti) selitetty matemaattisia käsit-teitä termein, jotka eivät ole kovin tarkkoja tai välttämättä edes oikeita puhtaan matematiikan näkökul-masta. Kaikesta huolimatta esityksen tavoitteena on edesauttaa fysiikan ymmärtämistä, joten kaikkiinmatematiikan yksityiskohtiin ei ole syytä (eikä aikaa) perehtyä.

Fyysikon tärkeimmät matematiikan työkalut ovat algebralliset perustaidot (yhtälöiden ratkaisu,kaavojen pyörittely,. . . ), vektorilaskenta, differentiaalilaskenta sekä integraalilaskenta. Tässä luvussa käy-dään läpi nämä kaikki fysiikan näkökulmasta riittävällä tarkkuudella. Esitys on melko tiivis, joten seon syytä opiskella äärimmäisellä tarkkuudella.

2.1 Yhtälöiden ratkaiseminen analyyttisesti

Analyyttisesti ratkeava yhtälö tarkoittaa yhtälöä, jolle voidaan algebrallisin menetelmin1 löytää ratkai-su. Käytännössä katsoen lähes kaikki lukiotasolla esitettävät yhtälöt ovat analyyttisiä. Mikäli yhtälö eiole analyyttinen, niin sille ei ole olemassa algebrallista ratkaisua. Tällöin tarvitaan numeerista matema-tiikkaa, jota ei käsitellä tässä teoksessa.

Tässä osiossa puhutaan jo funktioista, vaikka niiden tarkempi määrittely tehdään vasta kohdassa2.3. Näin siksi, että yhtälöt ja funktiot liittyvät toisiinsa ja voidaan olettaa, että funktioita on jo jonkinverran opiskeltu aiemmin. Toki on mahdollista lukea ensin luku 2.3 ja palata vasta sitten yhtälöidenratkaisemiseen; itse suosittelen molempien tarkkailua samalla kertaa2.

2.1.1 Ensimmäisen asteen yhtälö

Tarkastellaan yhtälöäbt + c = d, (2.1)

1Tarkoittaa yhtälön termien siirtelyä, puolittain kertomista ja jakamista, summaamista ja vähentämistä ja kaikkea, mitä las-kulakien sallimassa maastossa on lupa tehdä.

2Esimerkiksi lukee ensin koko luvun ja miettii sen jälkeen eri kappaleiden välisiä yhtäläisyyksiä.

11


missä b, c ja d ovat tunnettuja vakioita ja jossa tuntemattomana on t. Lukiomatematiikassa käytetäänusein kirjainta x esittämään tuntematonta, mutta aivan yhtä hyvin voimme laittaa x:n paikalle t:n.Yhtälö ratkaistaan siirtämällä luku c yhtälön oikealle puolelle ja jakamalla yhtälön molemmat puoletluvulla b. Tällöin saadaan t = (d − c)/b.

Ensimmäisen asteen yhtälössä tuntemattoman t potenssi on aina 1. Näin ollen yhtälö on suoravii-vaista ratkaista ja ratkaiseminen tapahtuu aina edellä esitetyllä tavalla: tuntematon siirretään toisellepuolelle yhtälöä ja tunnetut luvut toiselle puolelle.

Ensimmäisen asteen yhtälön graafinen tulkinta on suora. Yhtälö voidaan aina kirjoittaa muodos-sa t + a = 0, missä a on jokin tunnettu vakioluku. Piirtämällä funktion x = x(t) = t + a kuvaaja(t, x)-koordinaatistoon voidaan yhtälön ratkaisu havaita graafisesti tarkastelemalla funktion x = x(t)nollakohtia. Nähdään, että funktio x leikkaa pystyakselin korkeudella a nollatasosta ja vaaka-akselinkohdassa −a.

Esimerkki: ensimmäisen asteen yhtälön ratkaiseminen

Ratkaise yhtälö3t + 5 = 2 (2.2)

Ratkaisu: Siirretään yhtälön vakiotermit oikealle puolelle ja jaetaan muuttujan t kertoimella:

3t + 5 = 2

3t = −3

t = −1

(2.3)

Piirretään vielä kuva: nyt funktiona on x(t) = 3t + 3. Yhtälön (2.2) ratkaisun graafinen tulkinta onesitetty kuvassa 2.1.

2.1.2 Toisen asteen yhtälö

Otetaan esimerkiksi yhtälöat2 + bt + c = 0, (2.4)

missä a, b ja c ovat vakiota. Tätä yhtälöä ei ihan suoraan pysty ratkaisemaan. Pienellä matemaattisella”kikkailulla” ratkaisu kuitenkin löytyy, ja se on muotoa

t =−b ±

√b2 − 4ac

2a(2.5)

Yhtälö (2.5) antaa kaksi ratkaisua. Jossain tapauksissa toinen niistä ei ole fysikaalisesti mielekäs, jolloinse hylätään (tästä lisää myöhemmin). Kaavan pätevyyden voi todeta esimerkiksi siten, että sijoittaa senyhtälöön (2.4).

Toisen asteen yhtälön graafinen tulkinta on toisen asteen käyrä eli paraabeli. Jos määritellään funktiox(t) = at2 + bt+ c, niin funktion x nollakohdat eli t-akselin leikkauspisteet ovat yhtälön (2.4) ratkaisut.Tämä on hyödyllinen tapa tarkistaa saatu vastaus graafisesti.

12


x(t) = 0 ⇔ t = −1

KUVA 2.1: Yhtälön (2.2) ratkaisun graafinen tulkinta.

Esimerkki: toisen asteen yhtälön ratkaiseminen

Ratkaise yhtälöt2 + 2t − 1 = 2 (2.6)

Ratkaisu: Muokataan yhtälö (2.6) samaan muotoon kuin yhtälö (2.4), jolloin voidaan käyttää yhtälöä(2.5) sen ratkaisemiseen. Nyt saadaan

t2 + 2t − 1 = 2

t2 + 2t − 3 = 0

⇒ t =−2 ±

√

22 − 4 · 1 · (−3)2 · 1

=−2 ± 4

2

(2.7)

Saadaan kaksi ratkaisua, t1 = 1 ja t2 = −3. Vastauksen voi tarkistaa vielä sijoittamalla saadut luvuttakaisin alkuperäiseen yhtälöön. Kuvassa on esitetty ratkaisu graafisesti: funktiona on nyt x(t) = t2 +

2t − 3.

2.1.3 Korkeamman asteen yhtälöt

Kolmannen asteen yhtälö ja sitä korkeammat asteet ovat yleisessä tapauksessa melko hankalia rat-kaista. Kolmannen asteen yhtälölle on olemassa ratkaisukaava, mutta sitä ei kannata käyttää saati sit-ten opetella ulkoa. Korkeamman asteen yhtälöissä joutuu miettimään, miten ongelmanratkaisussa on

13


x(t) = 0 ⇔ t = −3 tai t = 1

KUVA 2.2: Yhtälön (2.6) ratkaisun graafinen tulkinta.

viisasta edetä kaavaan sijoittamisen sijasta. Seuraavassa on muutamia erikoistapauksia korkeammanasteen yhtälöiden ratkaisumetodeista.

Eräs tapa ratkaista kolmannen asteen yhtälö at3 + bt2 + ct + d = 0 on arvata sille yksi ratkaisur. Kun tämä on tehty, voidaan polynomi at3 + bt2 + ct + d jakaa jakokulmassa tekijällä t − r, jolloinsaadaan toisen asteen yhtälö. Tämä ratkaistaan ratkaisukaavalla.

Jos ratkaistava neljännen asteen yhtälö on muotoa at4 + bt2 + c = 0, niin voidaan kirjoittaa x = t2 jaratkaista yhtälö ax2 + bx + c = 0 uuden muuttujan x suhteen. Lopuksi sijoitetaan t = ±√

x ja saadaanalkuperäisen yhtälön ratkaisut.

Korkeamman asteen (seuraavassa n:nnen asteen) yhtälöissä on kyseessä funktion x(t) = ∑ni=0 aiti

nollakohtien ratkaiseminen (ai on vakioluku jokaiselle i). Graafisella laskimella voi helposti tarkistaasaadun vastauksen piirtämällä funktion x(t) kuvaajan ja selaamalla läpi sen nollakohdat.

Esimerkki: kolmannen asteen yhtälön ratkaiseminen

Kuinka monta ratkaisua on yhtälöllät3 − t2 + 2t + 5 = 1 ? (2.8)

Ratkaisu: Ongelma kannattaa ajatella siten, että kyseessä on funktion x(t) = t3 − t2 + 2t + 4 nolla-kohtien etsiminen eli yhtälö muotoa x(t) = 0. Tavoitteena on pudottaa yhtälön kertalukua yhdel-lä, jolloin ratkaistavaksi jää toisen asteen yhtälö. Kertaluvun pudotus tapahtuu jakamalla polynomit3 − t2 + 2t + 4 jakokulmassa jollakin sen tekijällä, joka on muotoa t − r, missä r on polynomin nolla-kohta. Tämä löytyy yleensä kokeilemalla, esimerkiksi kokeillaan nyt luvulla t = −1 :

(−1)3 − (−1)2 + 2 · (−1) + 4 = −1 − 1 − 2 + 4 = 0, (2.9)

14


joten termi t + 1 on polynomin t3 − t2 + 2t + 4 tekijä. Jakamalla jakokulmassa saadaan

t2 − 2t + 4

t + 1∣∣∣ t3 − t2 + 2t + 4

−t3 − t2

−2t2 + 2t

2t2 + 2t

4t + 4

−4t − 4

0

(2.10)

Nyt polynomi t3 − t2 + 2t + 4 voidaan kirjoittaa muodossa (t + 1)(t2 − 2t + 4). Jotta polynomi saisiarvon nolla, tulee jomman kumman tulontekijöistä olla 0. Jos oletetaan, että t + 1 6= 0, niin silloint2 − 2t + 4 = 0. Sijoittamalla yhtälö toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan saadaan mielenkiintoinentilanne:

t =2 ±

√22 − 4 · 1 · 42 · 1

=2 ±

√−12

2 · 1

(2.11)

Neliöjuuren alle tulee negatiivinen lauseke...!? Tilanteen voi tulkita kompleksilukujen kautta ottamallakäyttöön määrittely

√−1 =: i, mutta se tuskin on kovinkaan mielekästä, sillä emme tarvitse komplek-

silukuja juurikaan tällä kurssilla. Todetaan vain, että ratkaisua (reaaliluvuilla) ei ole olemassa. Miksinäin on? Kuva selventää asiaa, joten piirretään sellainen (kuva 2.3). Kuva antaa hieman osviittaa sil-le, että funktio näyttäisi olevan aidosti kasvava. Tällaisen funktion derivaatta3 on aina positiivinen,joten jos sillä on olemassa nollakohta, niin niitä on tasan yksi, sillä nollakohdan ohitettuaan funktionarvo pysyy aina nollan yläpuolella. Riittää siis osoittaa aidosti kasvavuus eli derivaatan positiivisuus.Derivoidaan:

ddt

x(t) =ddt

(

t3 − t2 + 2t + 4)

= 3t2 − 2t + 2(2.12)

Jaetaan tarkastelu väleihin:

• Jos t = −1, niin dx(t)dt

∣∣∣t=−1

= 7 > 0.

• Jos t < −1, niin 3t2 − 2t + 2 > 3 + 2 + 2 > 0.

• Jos t ∈ ]− 1, 0[, niin 3t2 − 2t + 2 > 0 + 0 + 2 > 0.

• Jos t = 0 niin 3t2 − 2t + 2 = 2 > 0.

3Derivaatta määritellään käsitteenä myöhemmin, vaikka sitä tässä jo tarvitaankin.

15


x(t) = 0 ⇔ t = −1

KUVA 2.3: Funktion x(t) = t3 − t2 + 2t + 4 kuvaaja.

• Jos t ∈ ]0, 1], niin 3t2 − 2t + 2 > 0 − 2 + 2 = 0.

• Jos t > 1, niin 3t2 − 2t + 2 = t(3t − 2) > (3 − 2) + 2 > 0.

Havaitaan, että derivaatta todellakin on positiivinen kaikkialla, joten funktio on aidosti kasvava. Täl-löin sillä voi olla korkeintaan yksi nollakohta, eli t = −1.

2.2 Vektoreista

Fysiikassa vektorit ovat erittäin tärkeässä asemassa. Klassisen mekaniikan ongelmien ratkaiseminenedellyttää vektorien ominaisuuksien hyvää hallintaa. Vektoriin törmää myös lukuisissa mielenkiintoi-sissa fysiikan sovelluksissa, joissa tarkastellaan useita eri suuntia.

2.2.1 Vektorin määrittely: motivointia

Millainen on vektorisuure matemaattisesti tarkasteltuna ja mihin sitä fysiikassa tarvitaan? Vektori, toi-sin kuin skalaari (reaaliluku), on suure, jolla on suuruutensa lisäksi myös suunta. Vektoria a merkitääntämän vuoksi reaaliluvusta eroavalla symbolilla~a.

Vektoria voidaan kuvata viivalla, jonka päässä on nuoli. Viivan pituus kuvaa vektorin suuruuttaja nuoli vektorin suuntaa. Kuvassa 2.4 on esitetty jokin vektori ~a. Vektori on luonnollinen fysiikassa,koska useilla tarkasteltavilla suureilla on sekä suunta että suuruus. Helppo esimerkki saadaan kinema-tiikasta, jossa tarkastellaan nopeutta sekä kiihtyvyyttä. Vastaavasti dynamiikassa voima ja momenttiovat vektorisuureita.

16


~a

KUVA 2.4: Vektori ~a avaruudessa. Vektorilla on kaksi ominaisuutta, suunta ja suuruus, jotka onmolemmat huomioitava laskuissa.

Vektorin suunta tulee aina ilmaista jonkin vertailujärjestelmän eli koordinaatiston suhteen. Jos tar-kastelussa on vain yksi ulottuvuus, ovat ainoat mahdolliset suunnat positiivinen ja negatiivinen. Täl-löin suunta voidaan huomioida suureen etumerkillä (±). Sanotaan, että vektorin suunnalla on vainyksi vapausaste.

Kahdessa ulottuvuudessa tilanne ei ole yhtä yksinkertainen, sillä vektori saa toisen vapausasteen jageometrisesti se voi sijoittua äärettömän monella eri tavalla kaksiulotteisessa tasossa. Kolmessa ulottu-vuudessa vektorilla on kolme vapausastetta, jolloin tarkastelu muuttuu entistä monimutkaisemmaksi.Seuraavassa paneudutaan siihen, kuinka vektoreita tulisi kuvata useassa ulottuvuudessa.

2.2.2 Vektorit kahdessa ulottuvuudessa

Aloitetaan vektorien tarkastelu kaksiulotteisessa karteesisessa (eli tavallisessa) (x,y)-koordinaatistos-sa. Oletetaan, että meillä on jokin mielivaltainen vektori~a, joka lähtee koordinaatiston origosta eli nol-lakohdasta johonkin suuntaan. Havaitaan, että vektori ~a ”ylettyy” x-suunnassa jonkin matkan ax jay-suunnassa jonkin matkan ay (kuva 2.5). Kuvaan on piirretty lisäksi yksikkövektorit4 i ja j. Kuvastanähdään, että vektori ~a voidaan sanoa skalaarikomponenttiensa ax ja ay sekä yksikkövektoreiden i ja javulla muodossa~a = ax i + ay j. Tämä on vektorin~a esitys valitussa koordinaatistossa. Huomaa, että vek-torin eri komponentteja ei saa laskea yhteen suoraan, sillä ne ovat eri suunnissa. Sanotaankin, että ija j ovat lineaarisesti riippumattomia eli ne toimivat ikään kuin eri ulottuvuuksissa: i asustaa x-akselillaystäviensä ki kanssa, missä k on mikä tahansa (reaali)luku. Vastaavasti j on vallannut kavereidensa kjkanssa y-akselin; sinne ei ole i:n ”jengillä” mitään asiaa.

Yksikkövektorien avulla voidaan määrittää mikä tahansa paikka valitussa koordinaatistossa, kunniitä kerrotaan sopivilla luvuilla. Esimerkiksi koordinaattiin (2,3) päästään koordinaatiston nollakoh-dasta eli origosta vektorilla 2i+3 j. Kuvassa 2.6 on esitetty yksikkövektorit koordinaatistossa ja summa-vektori 2i+3 j. Vektorin suuruus eli normi voidaan kahdessa ulottuvuudessa laskea suorakulmaiseenkolmioon liittyvän Pythagoraan lauseen avulla. Kolmion kateetteina ovat vektorin i- ja j-komponent-tien edessä olevat kertoimet ja esimerkiksi kuvan 2.6 vektorille 2i+3 j saadaan pituudeksi |2i+3 j| =√

22 + 32 =√

13. Vektorin~a normille käytetään merkintää |~a|.

2.2.3 Vektorit kolmessa ulottuvuudessa

Kolmiulotteisen avaruuden vektorin kuvaaminen vaatii kolmiulotteisen koordinaatiston. Otetaan x- jay-akselien lisäksi käyttöön z-akseli, joka on kohtisuorassa kahta edellistä vastaan. Merkitään z-akselin

4Yksikkövektorin pituus on 1 ja suunta tässä tapauksessa koordinaattiakselin suunnassa. Esimerkiksi vektori i on x-akselinsuuntainen.

17


x

y

~a = ax i + ay j

ax

ay

i

j

KUVA 2.5: Kaksiulotteinen vektori~a tavallisessa (x, y)-koordinaatistossa.

y

x

i

j

|i| = |j| = 1

2i

3j

2i+

3j

KUVA 2.6: Yksikkövektorit ja vektorien yhteenlasku, esimerkkinä summavektori 2i+3 j.

suuntaista yksikkövektoria symbolilla k, jolloin meillä on käytössä kolme toisiaan vastaan kohtisuo-rassa olevaa yksikkövektoria: i, j ja k. Mikä tahansa kolmiulotteisen avaruuden vektori voidaan il-maista näiden lineaarikombinaationa eli kertomalla jokaista yksikkövektoria tietyllä luvulla: esimerkik-si vektori 2i+ j−4k, joka lähtee origosta ja päättyy pisteeseen (2, 1,−4), voidaan ilmaista ottamallaoikea määrä askelia aina tietyn yksikkövektorin suuntaan. Tällaisen vektorin pituus saadaan yleis-tetystä Pythagoraan lauseesta, eli summataan komponenttien neliöt ja otetaan neliöjuuri: pituus on|2i + j − 4k| =

√

22 + 12 + (−4)2 =√

21. Kuvassa 2.7 on esitetty yksikkövektorit kolmessa ulottuvuu-dessa sekä edellinen esimerkkivektori.

18


x

y

z

k

j

i

2i

j

−4k

2i+

j−

4k

KUVA 2.7: Yksikkövektorit kolmessa ulottuvuudessa ja vektorien yhteenlasku, esimerkkinä sum-mavektori 2i+ j − 4k.

2.2.4 Vektorien pistetulo ja ristitulo

Vektoreille voidaan algebrallisesti määritellä kaksi laskutoimitusta, joille löytyy selkeä geometrinentulkinta ja sovellus fysiikasta. Jos meillä on kaksi kaksiulotteista vektoria~a = a1 i + a2 j ja~b = b1 i + b2 j,niin olisi kiinnostavaa tietää, kuinka paljon ”yhteistä” näillä kahdella kaverilla on. Kuinka tällaista voi-daan mitata? No, olemme määritelleet vektorin olioksi, jolla on vain kaksi ominaisuutta; suunta ja suu-ruus. Mittaamme siis näiden ominaisuuksien vastaavuutta. Mittaamiseen voidaan määritellä pistetulo(·), joka lasketaan seuraavasti:

~a ·~b = a1b1 + a2b2 (2.13)

Onko tekemämme mittari hyvä? Helposti huomataan, että pistetulo saa maksimiarvon silloin, kunvektorit ovat täysin samat: tulos on pythagoraan lauseen neliö a2

1 + a22. Jos vektorit ovat kohtisuorassa

toisiaan vastaan, niin tulokseksi saadaan nolla (perustele miksi). Mikäli vektorit ovat keskenään kovineri pituisia, antaa pistetulo korkeintaan lyhyemmän vektorin pituuden tulokseksi. Tuntuisi järkevältämäärittelyltä. . .

Pistetulon voi ajatella myös hieman toisesta näkökulmasta vaikkapa fysiikan kautta. Klassisessamekaniikassa törmätään usein tilanteeseen, jossa halutaan laskea voiman tekemä työ tietyn paikkasiir-tymän aikana. Usein on niin, että voima ja siirtymä eivät ole täsmälleen samansuuntaisia, vaan niidensuunnat eroavat kulman α verran toisistaan. Tällöin ainoastaan se voiman komponentti, joka on siir-tymän suunnassa, aiheuttaa jonkin vaikutuksen kyseisessä suunnassa. On kiinnostavaa tietää, kuinkasuuri kyseinen komponentti on.

Pistetulo tulee nyt avuksi. Vektoreille~a = a1 i + a2 j ja~b = b1 i + b2 j pistetulo voidaan kirjoittaa myösseuraavasti:

~a ·~b = a1b1 + a2b2 = |~a||~b| cos(α), (2.14)

missä α on vektorien~a ja~b välinen kulma (kuva 2.8). Huomaa, että pistetulo antaa skalaarin, eikä vek-toria.

19


~b

~aα~a ·~b = |~a||~b| cos(α)

KUVA 2.8: Vektorien pistetulon laskeminen ja geometrinen esitys. Fenomenologisesti pistetulo ker-too, kuinka paljon ”yhteistä” kahdella vektorilla on keskenään. Pistetulo saa maksimiar-von, kun vektorit~a ja~b ovat samansuuntaiset ja minimiarvon, kun ne ovat kohtisuorassatoisiaan vastaan.

HUOM! Edellä esitetyt määritelmät pistetulolle ovat ekvivalentteja eli ne kuvaavat täsmäl-leen samaa asiaa kahdella erilaisella matemaattisella lausekkeella. Kumpaa muotoa sittenhalutaankaan käyttää laskuissa riippuu tarkasteltavasta fysikaalisesta ongelmasta ja val-miiksi tiedetyistä suureista.

Vektoreille kannattaa5 määritellä myös toinen laskutoimitus, jota kutsutaan nimellä ristitulo eli vekto-ritulo (×). Määrittely juontaa juurensa sieltä, että halutaan vektori ~c, joka olisi kohtisuorassa kaksiu-lotteisessa tasossa olevia vektoreita~a ja~b vastaan. Toisaalta tiedetään, että jos jonkin vektorin pistetulojonkin toisen vektorin kanssa on nolla, niin vektorit ovat kohtisuorassa. Näin ollen voidaan esittää al-gebrallinen vaatimus, että kolmannen vektorin~c = c1 i + c2 j + c2k pistetulon vektoreiden~a ja~b kanssatulee olla nolla:

~c ·~a = [c1 i + c2 j + c2k] · [a1 i + a2 j + a2k]

= c1a1 + c2a2 + c3a3

= 0

~c ·~b = [c1 i + c2 j + c2k] · [b1 i + b2 j + b2k]

= c1b1 + c2b2 + c3b3

= 0

(2.15)

Yhtälöistä (2.15) meidän tulee ratkaista kolme tuntematonta c1, c2 ja c3. Kahdesta yhtälöstä tämä onhieman hankalaa, ja todennäköisesti asiaa pohtinut matemaatikko joutui käymään kahvilla useaanotteeseen, ennen kuin hänen ”maagiset” kykynsä kehittivät ratkaisun ongelmaan. Kertoimet c1, c2 jac3 voidaan valita esimerkiksi seuraavalla tavalla:

c1 = a2b3 − a3b2

c2 = −a1b3 + a3b1

c1 = a1b2 − a2b1

(2.16)

Sijoittamalla tuntemattomat yhtälön (2.15) pistetuloon~z ·~a saadaan

~c ·~a = c1a1 + c2a2 + c3a3

= (a2b3 − a3b2)a1 + (−a1b3 + a3b1)a2 + (a1b2 − a2b1)a3

= 0

(2.17)

5Se, miksi tämä on järkevää, nähdään myöhemmin.

20


Analogisella laskulla saadaan pistetulosta~c ·~b nolla, joten kertoimet valittiin oikein. Ristitulo voidaannyt kirjoittaa vektoreille~a,~b ja~c muodossa

~a ×~b = ~c = (a2b3 − a3b2)i + (−a1b3 + a3b1) j + (a1b2 − a2b1)k (2.18)

Yhtälön (2.16) kertoimia on vaikea muistaa ulkoa. Koska ihminen muistaa luonnollisemmin geo-metrisiä muotoja kuin pitkiä matemaattisia rivejä, kirjoitetaan ristitulo yleensä determinanttimuodos-sa:

~a ×~b =

∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k

a1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣∣∣

= (a2b3 − b2a3)i + (a3b1 − a1b3) j + (a1b2 − b1a2)k (2.19)

Huomaa, että determinantti on ainoastaan muistisääntö sille, kuinka ristitulo kirjoitetaan algebrallises-ti näkyviin. Sillä ei ole mitään syvällisempää sisältöä. Determinanttia käytetään hyvin paljon erilaisissamatemaattisissa konstruktioissa, erityisesti lineaarialgebrassa ja moniulotteisessa differentiaali- ja in-tegraalilaskennassa.

Kuten pistetulo, voidaan ristitulo kirjoittaa hieman erilaisessa muodossa. Motivaation seuraavallemäärittelylle antaa klassisen mekaniikan momentin käsite, joka kuvaa voima vääntövoimakkuutta.Momentti lasketaan voiman ja voiman varren tulona, ja ainoastaan voiman vartta kohtisuorassa olevavoiman komponentti vaikuttaa momentin suuruuteen. Tällä tavoin ajatellen voidaan ristitulo kirjoittaamuodossa

~a ×~b = |~a||~b| sin(α)u = ~c, (2.20)

missä α on vektorien välinen kulma ja u on yksikkövektori, joka on kohtisuorassa vektorien ~a ja ~bmäärittämää tasoa vastaan vastaan. Kuvassa 2.9 on ristitulon geometrinen esitys (~a ×~b = ~c).

~a~b

~c

α

KUVA 2.9: Vektorien ristitulon geometrinen esitys. Ristitulovektorin~c normi |~c| saa maksimiarvon,kun vektorit~a ja~b ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

21


2.3 Funktioteorian alkeita

Mikä on funktio? Luulisin, että toimiva tapa on ajatella se kahden luvun6 välisen riippuvuussuhteenesittäjänä. Jos meillä on esimerkiksi luvut 3 ja 15, niin millaisella funktiolla f saadaan ”muunnettua”eli kuvattua kolmonen luvuksi 15? Vastauksia on toki äärettömän monta, tässä kaksi niistä: f (t) = 5x jaf (t) = 12 + x. Edellä x esittää kuvattavaa lukua (3) ja f (x) on kuvauksen lopputulos (15).

Funktio-käsite on hyödyllinen siksi, että sillä voidaan esittää kahden fysikaalisen suureen välistäriippuvuussuhdetta. Luonnollinen esimerkki on tasainen liike, jossa paikka x muuttuu ajan t kulkiessaeteenpäin. Tällöin kirjoitetaan x = x(t), joka tarkoittaa paikkaa x jollakin ajanhetkellä t, ts. x voidaanilmaista muuttujan t jonkinlaisena lausekkeena.

Esimerkki: tasaista liikettä kuvaava funktio

Mummeli köröttelee kirkkaan punaisen skodansa kyydissä. Hän matkustaa vakiovauhdilla v = 10 m/s. Millainenajasta riippuva paikkafunktio x(t) kuvaa mummon paikkaa, jos hän on valitun koordinaatiston origossa hetkellät = 0 s?

Ratkaisu: Tiedämme, että x(0) = 0. Mummo etenee jokaisen sekunnin aikana kymmenen metriä, jotenesimerkiksi hetkellä t = 1 s mummo on paikassa x(1) = 10 m, hetkellä t = 2 s paikassa x(2) = 20 m janiin edelleen. Näin ollen voidaan päätellä, että x(t) = 10t.

Toisaalta, tasaisessa liikkeessä pätee myös yhtälö v = x/t, missä x on kuljettu matka ja t on matkaankulunut aika. Ratkaisemalla tästä s saadaan x = x(t) = vt = 10t, joka on sama kuin edellä pääteltytulos.

2.3.1 Funktioiden määrittelystä

Yleensä funktioiden määrittelemisessä ollaan hyvin tarkkoja. Täytyy aina mainita (ellei asiayhteydestäole selvä), mikä on funktion määrittelyjoukko ja arvojoukko. Määrittelyjoukko on kaikkien niiden (reaa-li)lukujen joukko, jotka voidaan sijoittaa funktioon. Käytännössä tämä tarkoittaa lukuja, jotka sijoitta-malla funktio antaa järkeviä arvoja; järkevyys voi olla tilanteesta riippuen matemaattinen tai fysikaali-nen tosiasia. Esimerkiksi funktio

f (x) =2x − 1

x(2.21)

ei ole määritelty pisteessä x = 0, sillä tuloksena olisi f (0) = 0/0. Vastaavasti mikään ajasta riippuvafunktio f (t) ei ole määritelty negatiivisilla ajan t arvoilla (ajassa taaksepäin liikkuminen. . . ?). Vastaa-vasti energia saa aina (klassisessa fysiikassa) positiivisen arvon7.

Funktion arvojoukko on sen saavuttamien arvojen joukko. Yleensä fysikaalinen funktio voi saadaarvoksi minkä tahansa reaaliluvun, mutta poikkeuksia on: esimerkiksi trigonometristen funktioidensin(x) ja cos(x) arvojoukko on väli [−1, 1]. Eksponenttifunktio 2x on puolestaan aina suurempi kuinnolla.

6Tässä käsitellään ainoastaan yhden muuttujan funktioita. Yleisessä tapauksessa funktio voi riippua myös useammasta muut-tujasta (esimerkiksi aika ja paikka), kuten myöhemmin huomaamme.

7Kvanttimekaniikassa voidaan kohdata tilanne, jossa saadaan negatiivisen energian ratkaisuja fysikaalisesti mielekkäillä yh-tälöillä.

22


Vaikka funktion määrittelyjoukko olisi periaatteessa koko reealilukujen joukko, voidaan funktiomääritellä myös pienemmässä alueessa tarpeen mukaan. Tällöin saadaan ns. rajoittumafunktio f |A(x),missä lukujoukko A on jokin reaalilukujen osajoukko. Tällöin funktio tulee kirjoittaa eksaktisti muo-dossa

f : A → R : x 7→ f (x) (2.22)

Yhtälön (2.22) merkinnät tarkoittavat seuraavaa: kuvaus (tai funktio, ihan sama millä sitä kutsuu) f ,joka on määritelty joukossa A, kuvaa minkä tahansa joukon A luvun x toiseksi luvuksi f (x), joka onjokin reaaliluku. Huomaa, että kun muuttuja x on valittu, niin se määrää yksikäsitteisesti funktionf arvon pisteessä x. Nyt f (x) tarkoittaa lukua, koska muuttuja on kiinnitetty! Vaikka funktion arvomaaliavaruudessa on yksikäsitteinen, voi ks. arvoon kuvautua useampi kuin yksi lähtöjoukon A piste(esimerkkifunktioksi käy vaikka f (x) = x2).

Haluan korostaa funktion käytön syytä fysiikassa: jos kokeellisten havaintojen perusteella on saatunumeerista dataa, joka näyttää esimerkiksi suoralta, voidaan pistejoukkoon piirtää suora, jonka avullaon mahdollista ennustaa ja rakentaa teoriaa tutkittavasta ilmiöstä. Matemaattinen mallintaminen onpääsääntöisesti tapa laittaa sekalaiset havainnot johonkin mielekkääseen järjestykseen.

2.3.2 Lineaariset funktiot

Yleisen pohdinnan jälkeen voimme miettiä esimerkiksi sitä, millaisia erilaisia funktioita on olemassa.Luonnollisempaa olisi kysyä sitä, millaisia erilaisia riippuvuussuhteita erilaisten luonnossa havaitta-vien ilmiöiden välillä näyttäisi olevan. Mikäli jokin riippuvuus havaitaan, voidaan sitä approksimoidamatemaattisella mallilla eli funktiolla.

Helpoin riippuvuus on se, kun ei ole riippuvuutta lainkaan. Tämä tarkoittaa tilannetta, jossa toinensuureista käyttäytyy täysin satunnaisesti tai ei muutu lainkaan, kun toinen muuttuu. Jos esimerkiksitarkastellaan tasaista nopeutta ja aikaa, niin nopeus ei muutu millään tavalla vaikka aika laukkaisimaailmanloppuun saakka. Tällainen funktio voidaan esittää vaakasuorana viivana koordinaatistossaja sellainen löytyy esimerkiksi kuvasta 3.2. Matemaattinen funktio, joka kuvaa ks. tilannetta, on muotoaf (t) = vakio.

Hieman hankalampi lineaarinen eli suora riippuvuus tulee kyseeseen, kun toinen suureista kasvaamyös toisen kasvaessa. Graafisesti saamme kuvaajan, jossa esitettävällä suoralla on kulmakerroin (ku-va 3.1). Suoran yhtälö on yleisessä mielessä samaa muotoa kuin ensimmäisen asteen yhtälö8, eli

f (x) = kx + b, (2.23)

missä k on kulmakerroin ja b vakioluku. Suoran kulmakerroin kuvaa kahden suureen välistä riippu-vuutta; sen suuruus voidaan laskea piirtämällä suoran johonkin osaan suorakulmainen kolmio (hy-potenuusana suoranosa) ja jakamalla kolmion pystysuuntainen kateetti vaakasuuntaisella kateetilla.Suuri kulmakertoimen arvo tarkoittaa, että pystyakselilla oleva suure muuttuu paljon vaaka-akselillaolevan suureen muuttuessa vähän; pieni kulmakerroin päinvastoin.

Kolmas riippuvuus, joka kahden suureen välillä silloin tällöin esiintyy, on käänteinen lineaarinen riip-puvuus. Graafisesti kyseessä on laskeva suora, jolla on negatiivinen kulmakertoimen arvo. Kun vaaka-akselilla oleva suure kasvaa, niin pystyakselilla oleva suure pienenee. Tyypillinen tämäntapainen riip-puvuus voi olla esimerkiksi se, jos kuvataan määränpäähän jäljellä olevan etäisyyden pienenemistätasaisella nopeudella liikuttaessa (aika-paikka -tyyppinen koordinaatisto).

8Tämä on yksi syy siihen, miksi suoria kutsutaan ensimmäisen asteen käyriksi.

23


Lineaariset funktiot (kuten myös kaikki muut polynomifunktiot x:n potenssista riippumatta) ovatmatemaattisesti määriteltyjä kaikille muuttujan x arvoille. Yleensä fysiikan tilanteissa näin ei kuiten-kaan ole, ja määrittelyjoukkoa joudutaan rajaamaan pienemmäksi (esimerkiksi jousivoima, joka onsuoraan verrannollinen jousen venymään, käyttäytyy näin vain melko pienellä venymän arvolla).

2.3.3 Paraabelifunktiot

Hieman monimutkaisemman graafisen esityksen edelliseen verrattuna tuo paraabelifunktio, jonkayleinen muoto on

f (x) = ax2 + bx + c (2.24)

Kyseessä on samaa muotoa oleva käyrä kuin toisen asteen yhtälö9. Eräs yksinkertainen paraabeli löy-tyy kuvasta 3.3.

Paraabeli on muodoltaan kaareva ja se voi ”aueta” joko ylös- tai alaspäin (positiivinen/negatiivinentermin x2 etumerkki). Paraabelilla on aina joko minimi tai maksimi (eli derivaatan nollakohta). Tämänähdään siten, että derivoidaan funktiota f kerran, jolloin saadaan ensimmäisen asteen käyrä. Tällekäyrälle löytyy varmasti piste, jossa d

dx f (x) = 0. Joskus tutkittavasta paraabelista puuttuu x-termi;Tämä helpottaa asioita mm. silloin, kun paraabelin nollakohtia selvitetään.

Fysiikassa paraabeliriippuvuutta käytetään mm. kuvaamaan erilaisia kuoppia ja rinteitä. Ensim-mäinen mieleen tuleva esimerkki on liike-energia K, joka riippuu paraabelimaisesti liikkuvan kappa-leen vauhdista v: K = mv2/2. Vertaa esimerkiksi potentiaalienergiaan U, joka on suoraan verrannolli-nen korkeuteen h: U = mgh.

2.3.4 Potenssifunktiot

Potenssifunktio on erittäin monipuolinen ja siitä voidaan muokata joko kasvava tai vähenevä funktio.Yleinen muoto on

f (x) = xa, (2.25)

missä a on jokin rationaaliluku. Jos a = 0, niin saadaan vakiofunktio f (x) = 1. Jos a on jokin positiivi-nen kokonaisluku, saadaan polynomifunktio, jonka aste on a. Mikäli a on negatiivinen kokonaisluku,saadaan funktio f (x) = 1/xb, missä b = −a on positiivinen kokonaisluku. Muissa tapauksissa a onmurtoluku, jolloin puhutaan murtopotenssista. Murtopotenssi tarkoittaa juuren ottamista: tunnetuin eri-koistapaus on varmasti a = 1/2, joka vastaa tilannetta f (x) = x1/2 =

√x. Muut tilanteet määritellään

analogisesti, esimerkiksi potenssi 1/5 tarkoittaa viidennen juuren ottamista muuttujasta x. Kuvassa2.10 on esimerkkinä potenssifuntion f (x) = x−2 kuvaaja.

Potenssifunktiolle pätevät tavanomaiset laskusäännöt:

xa+b = xa · xb

x−a =1xa

xa

xb= xa−b

(2.26)

9Josta tulee nimitys toisen asteen käyrä. . .

24


KUVA 2.10: Potenssifunktio f (x) = x−2.

2.3.5 Sini-ja kosinifunktiot

Monissa luonnonilmiöissä säännöllisyys ja toistuminen tietyin väliajoin ovat keskeisiä ominaisuuksia.Näin on erityisesti aaltoliikkeen tapauksessa. Periodista eli säännöllistä aaltoa eli kuvataan usein sini- taikosinifunktiolla. Yksinkertainen sinifunktio löytyy kuvasta 2.12.

Mikä ihme oikeastaan on funktio f (x) = sin(x)? Melko varmasti helpoin tapa ymmärtää funk-tion käyttäytymistä on yksikköympyrä, joka on esillä kuvassa 2.11. Ympyrän sisään voidaan piirtää suo-rakulmainen kolmio, jonka kateetit ovat a ja b. Määritellään kateettien x- ja y-koordinaattien suhteetkolmion hypotenuusan c pituuteen kiertokulman (positiivisesta x-akselista vastapäivään kiertävä) φ

avulla seuraavasti:

ac=

a1= sin(φ)

bc=

b1= cos(φ)

(2.27)

Geometrian perusteella on selvää, että sin(φ):n ja cos(φ):n arvot ovat aina välillä [0, 1]. Jos kierto-kulma on 0, niin kateetti b = c ja cos(0◦) = 1; samalla pätee sin(0◦) = 0. Kun kulmaa kierretään 90astetta, saadaan a = c ja sin(90◦) = 1 (cos(90◦) = 0). Vastaavalla tavalla voidaan edetä koko ym-pyränkaari: esimerkiksi kulmalle φ = 270◦ saamme cos(270◦) = 0 ja sin(270◦) = −1. Kun tullaankiertokulmaan 360 astetta, ollaan saavuttu takaisin alkuperäiseen pisteeseen. Tällöin voidaan aloittaauusi kierros, jossa edelliset vaiheet toistuvat samanlaisina.

Yksikköympyrä kertoo oleellisen asian sini- ja kosinifunktioista; ne ovat jaksollisia ja niiden jaksonpituus on 360 astetta; radiaaniyksiköissä tämä vastaa kulmaa 2π. Voimme esittää nämä trigonometrisetfunktiot hieman eri muodossa siten, että koordinaatiston vaaka-akselille laitetaan kiertokulman suu-

25


0

π2

π

3π2

b

a

φ

1 = c

KUVA 2.11: Yksikköympyrä.

ruus ja pystyakselille funktion arvo: tämä on tehty kuvassa 2.12. Kuvasta havaitaan, että sini ja kosiniovat itse asiassa lähes sama funktio; ne eroavat toisistaan vain aaltomuodon paikan suhteen. Sanotaan-kin, että sinin ja kosinin välillä on vaihe-ero, jonka suuruus on 90 astetta (tai π/2 rad). Matemaattisestivoidaan kirjoittaa

sin(x + π/2) = cos(x) (2.28)

2.3.6 Eksponenttifunktio

Mikä tahansa funktio, joka on muotoa ax (a > 1 on positiivinen vakioluku), on nimeltään eksponentti-funktio. Tässä keskitymme kuitenkin vain kahteen kantalukuun, jotka ovat 10 ja e; eksponenttifunktioi-den perusominaisuudet ovat nimittäin samat kaikille kantaluvuille. Lukua e kutsutaan Neperin luvuksi(matemaatikon Napier mukaan) ja sen suuruus on noin 2,78 (laskimesta saa tarkemman arvon). Mate-maattisesti kyseinen luku on määritelty raja-arvona

e = limn→∞

(

1 +1n

)n

(2.29)

Tarkastellaan aluksi eksponenttifunktiota ex. Sen määrittelyjoukko on koko reaalilukujen joukkoja arvojoukko positiiviset reaaliluvut. Se on kasvava, itse asiassa hyvin nopeasti kasvava verrattunavaikka polynomiin ja karkaa käsistä melko helposti (out of scale). Kun x pienenee negatiivisten luku-jen alueelle, lähestyy eksponenttifunktio arvoa 0. Se ei kuitenkaan koskaan saavuta ks. arvoa. Ekspo-nenttifunktio on esillä kuvassa 2.13.

26


KUVA 2.12: Sinifunktio f (x) = sin(2x).

KUVA 2.13: Eksponenttifuktio f (x) = ex.

Tässä vaiheessa on syytä huomauttaa, että myös kaikkien edellä esitettyjen funktioiden yhdistelmiäsaattaa tulla joissakin tehtävissä esille. Tällöin kannattaa tarkastella funktiota osissa, jolloin siitä saa

27


paremman käsityksen. Yhdistelmäfunktion kuvaajaa on usein erittäin hankalaa hahmottaa päässä, silläfunktion jokainen osatekijä vaikuttaa sen arvoon jokaisessa sen määrittelyjoukon pisteessä.

2.3.7 Funktioiden kääntäminen ja vääntäminen

Mitä tarkoittaa funktion kääntäminen ja käänteisfunktion olemassaolo? Maalaisjärjellä mietittynä ti-lanne on seuraava: meillä on jokin funktio f = f (x), joka kuvaa jonkin joukon A alkion x arvojouk-koon B alkioksi f (x). Haluaisimme löytää funktion g( f (x)) siten, että se kuvaa joukon B alkion f (x)takaisin alkuperäiseksi joukon A alkioksi x: g( f (x)) = x.

Perusoletus käänteisfunktion olemassaololle on se, että alkuperäinen funktio f on injektio eli jo-kaisella funktion f määrittelyjoukon pisteellä x on arvojoukossa tasan yksi piste f (x), johon yksikääntoinen määrittelyjoukon piste ei kuvaudu. Monia funktioita on helppoa kääntää; esimerkiksi funktiollef (x) = x käänteisfunktio on g( f (x)) = g(x) = x eli funktio itse. Muista, että funktion ”kääntäminen”ei tarkoita tässä yhteydessä sitä, että edellisen käänteisfunktio olisi 1/x: jakolasku ja käänteisfunktioeivät ole sama asia!

Esimerkki: käänteisfunktion löytäminen

Olkoon funktio

f : R+ → R+ : x 7→ 1x + 3

, (2.30)

missä R+ tarkoittaa positiivisia reaalilukuja. Etsi f : n käänteisfunktio.

Ratkaisu: Tarkoituksena on keksiä funktio, joka kuvaa maalijoukon pisteen y = 1/(x + 3) takaisinlähtöjoukon pisteeksi x. Tämäntyyppisen tehtävän ratkaisuun ei ole olemassa oikein muuta keinoakuin oma mielikuvitus, sillä ratkaistava yhtälö on muotoa

g(y) = g

(1

x + 3

)

= x (2.31)

Vedetään hatusta funktio

g : Im( f ) → R+ : y 7→ 1y− 3 (2.32)

Yhtälössä (2.32) Im( f ) on funktion f maalijoukko: tällaisella määrittelyllä varmistamme sen, että funk-tio g antaa jokaiselle pisteelle y positiivisen arvon. Nyt kuvaamalla funktion f kuvapiste 1/(x + 3)edelleen funktiolla g saadaan

g( f (x)) =1

f (x)− 3 =

11/(x + 3)

− 3 = x + 3 − 3 = x, (2.33)

joka on juuri haluttu tulos. Tehtävästä kannattaa huomata se, että funktio g kuvaa kuvapisteen ko-konaisuudessaan eikä pelkästään muuttujaa x. Tämä siksi, että se kulkee tietyssä mielessä ”toiseensuuntaan” kuin f .

Funktion vääntäminen on huomattavasti hankalampaa kuin kääntäminen. Vääntö ei ole yleisessäkäytössä oleva termi, vaan määrittelen sen tarkoittamaan ”parametrien sovitusoperaatiota” olemassaolevaan dataan. Ideana on se, että datajoukkoon pitäisi saada sovitettua käyrä, jonka avulla pystyt-täisiin tekemään luotettavia ennusteita mitattujen tulosten ulkopuolelle (ekstrapoloimaan). Kyseessä

28


on oikean muotoisen funktion arvaaminen ja funktion parametrien määritys yrityksen ja erehdyksenkautta.

Lukiotasolla ainoa yleisesti dataan sovitettava käyrä on suora, sillä epälineaaristen käyrien tapauk-sessa käyrään liittyvän virheen arviointi muuttuu erittäin monimutkaiseksi. Emme tässä yhteydessäkäy läpi datan sovitusesimerkkiä, sillä niitä tulee varmasti myöhemmin pääsykoetehtävissä.

2.3.8 Logaritmifunktio ja logaritmiasteikko

Eksponenttifunktion käänteisfunktio on nimeltään logaritmifunktio. Jos eksponenttifunktion kantaluku-na10 on Neperin luku e, merkitään logaritmia symbolilla ln(x). Kaksi muuta erityisessä käytössä olevaamerkintää ovat log(x) ja lg(x), jotka molemmat (yleensä11) kuvaavat 10-kantaista logaritmifunktiotaeli funktion f (x) = 10x käänteisfunktiota. Jos tarvitaan jotain muuta kantalukua k, niin merkitään ylei-sesti logk(x); tällöin on esimerkiksi loge(x) = ln(x). Esitys e-kantaisesta logaritmista on kuvassa 2.14.Kuvassa 2.15 on sekä eksponentti- että logaritmifunktio.

KUVA 2.14: Luonnollinen logaritmifuktio f (x) = ln(x).

Logaritmifunktiota log(x) voisi kuvailla kahdessa osassa: pisteen x = 1 jälkeen hitaasti kasvavaksija ennen sitä nopeasti kasvavaksi. Se saa pisteessä x = 1 arvon log(1) = 0 kantaluvusta riippumatta jajatkaa tämän pisteen jälkeen tasaisesti mutta erittäin hitaasti kasvaen. Logaritmi saa negatiivisen arvonpisteissä, jotka ovat avoimella välillä ]0, 1[; logaritmi ei ole määritelty pisteessä x = 0, sillä sen raja-arvoks. pisteessä lähestyy miinus ääretöntä. Erittäin pienillä muuttujan x arvoilla logaritmin arvo saattaa

10Logaritmin kantaluvun a tulee eksponenttifunktion määrittelyn nojalla olla aina suurempi kuin 1.11Myös muuta voidaan sopia. Erityisesti merkintää log(x) voidaan käyttää kuvaamaan logaritmifunktiota yleensä, kun kan-

talukua ei ole tarpeen kertoa (puhutaan esimerkiksi ominaisuuksista, jotka pätevät kaikille logaritmifunktioille kantaluvustariippumatta).

29


olla itseisarvoltaan hyvinkin suuri, sillä logaritmin arvojoukko pisteille välillä ]0, 1[ on oleellisesti ]−∞, 0[.

KUVA 2.15: Luonnollinen logaritmifuktio f (x) = ln(x) (tavallinen viiva) sekä sen käänteisfunktiog(x) = ex (tiheä katkoviiva) samassa kuvassa. Kolmas graafi (harva katkoviiva) onmuotoah(x) = ln(ex) = x: Tämä näyttää, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktiotodella ovat käänteisfunktioita.

Logaritmi on erityisen kuuluisa hieman poikkeavista laskusäännöistään, jotka voidaan melko suo-raviivaisesti myös osoittaa oikeiksi. Tässä tyydymme kuitenkin vain listaamaan nämä mainiot ominai-suudet! Ne pätevät kaikille logaritmifunktioille kantaluvusta riippumatta.

(i) Perusominaisuus, joka seuraa logaritmin käänteisfunktio-ominaisuudesta:

loga(ax) = x kaikille reaaliluvuille x

aloga(x) = x kaikille x > 0(2.34)

(ii) Laskusäännöt eli kertolaskun ja jakolaskun muuntaminen:

log(xy) = log(x) + log(y) ja log(

xy

)

= log(x)− log(y) (2.35)

(iii) Eksponentista eroon pääseminen, joka seuraa osittain logaritmin kertolaskun laskusäännöstä:

log(xy) = y log(x) (2.36)

(iv) Logaritmin kannanvaihto eli uuteen kantalukuun b siirtyminen vanhasta kantaluvusta a:

loga(x) =logb(x)logb(a)

(2.37)

30


Esimerkki: logaritmifunktion ääriarvo

Olkoon logaritmifunktio

f (x) = ln(

2x2

e3x

)

(2.38)

Selvästi nähdään, että funktio f on hyvin määritelty: funktiot x2 ja e3x ovat aina positiivisia. Sievennä funktiotaniin pitkälle kuin mahdollista ja kuvaile sen käytöstä. Laske, missä pisteessä funktio f saa maksimiarvonsa; loga-ritmin derivaatta on d/dx(ln(x)) = 1/x.

Ratkaisu: Käyttämällä logaritmin laskusääntöjä saadaan funktion lauseke muotoon

ln(

2x2

e3x

)

= ln(2x2)− ln(e3x) = 2 ln(√

2x)− 3x, (2.39)

josta havaitaan, että funktiolla todella on maksimiarvo.Kuinka tällaisen havainnon voi tehdä? No, ainakin funktio laskee kohti miinus ääretöntä, kun

muuttujan x arvo lähestyy ääretöntä. Hyvin pienillä x:n arvoilla logaritmifunktio ln(√

2x) kasvaa hy-vin voimakkaasti, paljon voimakkaammin kuin 3x. Kasvu kuitenkin hidastuu, jolloin funktio saavuttaamaksimin. Maksimi saavutetaan derivaattafunktion d f (x)/dx nollakohdassa:

ddx

[

2 ln(√

2x)− 3x]

= 2 ·√

2√2x

− 3 =2x− 3 = 0

⇔ x =23

(2.40)

Tehtävän funktio on piirretty kuvassa 2.16 Maksimin voi perustella tarkasti esimerkiksi siten, että las-kee funktion arvon hyvin lähellä nollakohtaa sen molemmilla puolilla sekä funktion arvon nollakoh-dassa. Koska nollakohdan molemmin puolin saadaan pienempi arvo kuin nollakohdassa, on funktiollanollakohdan pisteessä maksimi. Perustelun kirjoittaminen jätetään itsenäiseksi harjoitustehtäväksi.

2.3.9 Muista tavallisista funktioista

Fysiikassa esiintyy harvoin funktioita, jotka eivät kuulu edellä mainittuihin pääkategorioihin. Useinvaikealta tuntuva funktio on jonkinlainen monimutkainen yhdistelmä tavallisista funktioista. Joskustulee kuitenkin eteen tilanne, jossa fysikaalinen riippuvuussuhde ei ole esitettävissä12 yksikertaisessamuodossa edellisten funktioiden avulla. Esimerkkejä ”oudoista” funktioista ovat mm. sinin ja kosininkäänteisfunktiot arcsin(x) ja arccos(x) sekä tangenttifunktio tan(x) ja sen käänteisfunktio arctan(x).Näistä funktioista ei tarvitse osata mitään kovin erikoista (tietysti pitää muistaa, että tangentti tarkoit-taa geometrisesti yksikköympyrän pystysuoran kateetin jakamista vaakasuoralla kateetilla jne.). Syysiihen, miksi tangentti ei ole trigonometrisista funktioista yhtä tunnetussa asemassa kuin sini ja kosini,perustuu osittain sen graafiseen esitysmuotoon (kuva 2.17): se on epäjatkuva säännöllisin π:n väleineikä muodoltaan juurikaan ero esimerkiksi sopivasti valitusta potenssifunktiosta.

12Sini- ja kosinifunktioiden avulla voidaan periaatteessa esittää melkein mitä tahansa, mutta funktioiden lausekkeet muuttu-vat nopeasti erittäin monimutkaisiksi.

31


KUVA 2.16: Esimerkin funktio. Jos sijoitetaan x = 23 yhtälöön (2.39), niin huomataan, että maksi-

miarvo pitää hyvin paikkansa.

2.4 Differentiaalilaskentaa

Kaksi fysiikan matematiikan peruspilaria, differentiaali- ja integraalilaskenta, auttavat suuresti fysii-kan fenomenologian ymmärtämisessä ja parantavat matemaattis-loogisia ajattelutaitoja. Tarkastelem-me ensiksi differentiaalilaskentaa ja derivaattaa, jolle löytyy fysiikasta varsin luonnollinen tulkinta fy-sikaalisen suureen muutosnopeuden kuvaajana.

2.4.1 Derivaatan yleinen määrittely ja ajattelutapa

Jos haluamme selvittää jollekin funktiolle derivaattafunktion, mitä oikeastaan etsimme? Yleensä fy-siikassa ollaan kiinnostuneita selvittämään fysikaalisten suureiden muutoksia jonkin toisen suureenmuutoksen suhteen. Tavallisin esimerkki tästä on tarkastella jotakin suuretta, kun aika muuttuu. Täl-löin halutaan selvittää suureen muutosnopeus ajan suhteen, joka saadaan laskemalla derivaatta.

Oletetaan, että suure S riippuu ajasta jollakin tavalla eli S = S(t). Voimme olla kiinnostuneita selvit-tämään suureen S muutosnopeuden jossakin kiinnitetyssä pisteessä t = t′ tai sitten haluamme tietäämuutosnopeuden mielivaltaisella ajanhetkellä t. Keskitytään ensin hetkellisen muutosnopeuden sel-vittämiseen. Koska S on funktio, voidaan se piirtää koordinaatistossa: Tämä on tehty kuvassa 2.18.funktion valinnalla ei ole tässä asian kannalta mitään merkitystä13. Derivaattaa määriteltäessä eräshankala asia liittyy siihen, että kuinka käyrälle piirrettävä tangenttisuora oikein löydetään. Voidaanajatella, että jos tarkasteltavaa pistettä lähestytään sekanttisuorilla jommalta kummalta puolelta, niinpienentämällä etäisyyttä kohdepisteeseen voidaan saavuttaa tarkin mahdollinen kulmakertoimen ar-

13Riittää, että funktio on jatkuva ja derivoituva: tästä lisää myöhemmin.

32


KUVA 2.17: Tangenttifunktio. Tan(x) on epäjatkuva pisteissä π/2 ± π; tämä seuraa tangentin geo-metrisesta määrittelystä, jonka mukaan tangentti lasketaan kolmion kateettien osa-määränä. Yksikköympyrää tarkastelemalla huomataan, että kohdassa φ = π/2 saa-daan tangentin arvoksi +∞ tai −∞ riippuen siitä, mistä suunnasta kulmaa π/2 lähes-tytään.

vo (kuva 2.19). Koska tangenttisuoran piirtäminen vaatii kuitenkin aina kaksi pistettä, niin derivaattamääritellään raja-arvona, kun sekanttisuoran toinen piste lähestyy kohdepistettä. Funktiolle S(t) kir-joitetaan siis

dS(t)dt

∣∣∣t=t′

=: lim∆t−→0

S(t′ + ∆t)− S(t′)∆t

, (2.41)

missä ∆t on etäisyys jonkin pisteen t ja kohdepisteen t′ välillä. Välin ∆t pienentäminen saa aikaan sen,että sekanttisuoran kulmakerroin alkaa yhtä suuremmalla tarkkuudella vastata funktion S(t) hetkellis-tä muutosnopeutta pisteessä t = t′. Kun välin pituus menee raja-arvona nollaan, saavutetaan ”suurinmahdollinen tarkkuus” eli derivaatta.

2.4.2 Derivointi käytännössä

Edellä tarkastelimme derivointia yhdessä pisteessä. Jos funktio on kuitenkin jatkuva ja derivoituva eliderivaatta on olemassa ja yksikäsitteinen, niin derivaatan arvo voidaan laskea mielivaltaisessa pistees-sä. Jotta tämä toimisi kätevästi, olisi hyvä olla olemassa yleinen esitys jonkin funktion derivaatalle eliderivaattafunktio. Tämä saadaan selvitettyä, kun johdetaan lauseke derivaatalle käyttäen kiinteän pis-teen x′ tilalla mielivaltaista pistettä x.

Käytännössä derivointi on huomattavasti yksinkertaisempaa kuin edellä esitetty pohdiskelu. Eri-laisille funktioille on olemassa derivointisäännöt tai -kaavat, jotka voidaan johtaa derivoinnin perus-

33


∆t

∆S

dS(t)dt

∣

∣

∣

∣

t=t′

=∆S(t)

∆t

t = t′

KUVA 2.18: Mielivaltainen funktio S(t). Kuvassa on piirretty tangenttisuora pisteeseen t = t′. De-rivaatan arvo tässä pisteessä on tangenttisuoran kulmakerroin ja se kuvaa funktionS(t) muutosnopeutta ajan suhteen kyseisellä ajanhetkellä.

määritelmästä. Kaavoissa ei ole mitään ”mystistä”, mutta niiden johto voi viedä aikaa. Esimerkkinäjohdan seuraavaksi funktion f (x) = x2 derivointikaavan.

Esimerkki: derivointikaavan johto

Johda derivointikaava funktiolle f (x) = x2.

Ratkaisu: Aletaan kirjoittamaan derivoinnin määritelmän kautta auki ja katsotaan, mitä tulee:

ddx

f (x) =d

dx(x2) = lim

∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

= lim∆x→0

(x + ∆x)2 − x2

∆x

= lim∆x→0

x2 + 2x∆x + (∆x)2 − x2

∆x

= lim∆x→0

(2x + ∆x) · (∆x)∆x

= lim∆x→0

∆x∆x

· (2x + ∆x)1

= lim∆x→0

(2x + ∆x)1

−→∆x→0

2x

(2.42)

34


dS(t)dt

∣

∣

∣

∣

t=t′

= lim∆t→0S(t′+∆t)−S(t′)

∆t

t = t′

∆t

KUVA 2.19: Derivaatan määrittely sekanttisuorien avulla. Kun sekantin toinen piste lähestyy koh-depistettä t = t′, niin arvio kulmakertoimen suuruudelle muuttuu tarkemmaksi. Kunvälin pituuden arvo on lähellä nollaa, saadaan erittäin suurella tarkkuudella kulma-kerroin ja siis derivaatta kyseisessä pisteessä. Kuvassa sekanttiviivat ja välin pituudeteivät vastaa toisiaan, vaan ainoastaan pyrkivät kuvaamaan prosessia, jolla derivaattasaadaan määriteltyä.

Tuttu kaava saadaan lopputuloksena. Muille funktioille vastaavasti. Seuraavaksi esitettävät derivoin-nin perussäännöt voidaan myös todistaa edellisen esimerkin tavoin.

Derivointiin liittyvät perussäännöt

Olkoot f (x), g(x) ja h(x) derivoituvia funktioita ja olkoon C vakioluku. Tällöin ovat voimassa seuraa-vat säännöt:

(I)

f (x) = C ⇒ ddx

f (x) = 0

(II)

f (x) = g(x)± h(x) ⇒ ddx

f (x) =d

dxg(x)± d

dxh(x)

(III)

f (x) = g(x) · h(x) ⇒ ddx

f (x) =d

dxg(x) · h(x) +

ddx

h(x) · g(x)

35


(IV)

f (x) =g(x)h(x)

⇒ ddx

f (x) =dg(x)

dx · h(x)− dh(x)dx · g(x)

[h(x)]2, h(x) 6= 0

(V) Yhdistetylle funktiolle f (x), jolle x = x(t) saadaan

d f (x)dt

=d f (x)

dx· dx(t)

dt

(VI) Funktion f (x) käänteisfunktiolle g(y) = f−1(y) pätee

dg(y)dy

=1

d f (x)dx

Tavallisten funktioiden derivaattoja

Derivointi on suoraviivainen operaatio: noudatetaan derivointisääntöjä ja saadaan tulokseksi derivaat-tafunktio, joka kuvaa alkuperäisen funktion muutosnopeutta valitun muuttujan suhteen (se muuttuja,jonka suhteen derivointi on suoritettu). Derivoinnin oppii tekemällä eli laskemalla laskuja, toistamallasamat vaiheet yhä uudelleen niin kauan että taito muuttuu luonnolliseksi osaamiseksi. Derivointikaa-voja ei kannata opetella pitkinä listoina ulkoa, sillä tarvittavat kaavat oppii ja hieman erikoisemmatlöytyvät taulukkokirjoista. Derivointikaavojen muistaminen ei ole itseisarvo.

Seuraavan listan derivointikaavat olisi hyvä osata ulkoa suurin piirtein, sillä niitä joutuu käyttä-mään melko paljon käytännön laskuissa. Niiden opetteluun ei kuitenkaan kannata panostaa väkisin,vaan laskemalla paljon fysiikan tehtäviä tarpeellisimmat kaavat jäävät varmasti mieleen.

Oletetaan, että f (x) on derivoituva funktio ja a on vakioluku. Tällöin ovat voimassa seuraavat de-rivointikaavat:

(i)

f (x) = xa :d f (x)

dx= axa−1

(ii)

f (x) = ax :d f (x)

dx= ax ln(a), (a > 0)

(iii)

f (x) = ex :d f (x)

dx= ex

(iv)

f (x) = ln(x) :d f (x)

dx=

1x

(v)

f (x) = sin(x) :d f (x)

dx= cos(x)

(vi)

f (x) = cos(x) :d f (x)

dx= − sin(x)

36


HUOM! Haluan korostaa tässä sitä, että derivointi on operaatio ja laskuissa pitää olla tietoi-nen siitä, mikä on operaation kohteena. Epäselvät merkinnät voivat aiheuttaa sekaannusta.Esimerkiksi merkintä d

dt f (t)g(t) tarkoittaa derivoinnin suorittamista funktioon f (t) ja ker-tomalla lopputulosta funktiolla g(t), kun taas merkintä d

dt [ f (t)g(t)] tarkoittaa funktioidenf (t) ja g(t) kertomista keskenään ja lopputuloksena saatavan funktion derivointia.

2.4.3 Derivaattaan liittyviä esimerkkilaskuja

Seuraavassa muutamia tekniikoita, joita voi hyödyntää tulevaisuudessa.

Esimerkki 1: kuution tilavuus

Kuution tilavuus lasketaan tunnetusti yhtälöllä V = s3, missä s on kuution särmä. Määritä kuution tilavuudenmuutosnopeuden lauseke ja laske muutosnopeus, kun s = 3 cm.

Ratkaisu: Derivoidaan tilavuusfunktiota halutun muuttuja eli särmän pituuden suhteen, ja saadaan

dds

V(s) =dds

s3 = 3s2 (2.43)

Sijoittamalla s = 3 cm saamme

dds

V(s)∣∣∣s=3 cm

= 3 · (3 cm)2 = 27cm3

cm, (2.44)

eli tilavuus muuttuu 27 kuutiosenttiä kuutiosentin särmän muutosta kohden, kun särmän pituus on 3senttiä.

2.5 Integraalilaskennan perusteita

Integraali on hyvin keskeisessä osassa fysiikan ongelmien ratkaisua. Sen käyttö tulee kysymykseenvaikkapa silloin, kun meidän on laskettava jonkin muuttuvan suureen (muuttuva esimerkiksi ajansuhteen) aiheuttama ”keskimääräinen” vaikutus. Kyseessä on (graafisesti tarkasteltuna) pinta-alan las-keminen tilanteeseen liittyvässä koordinaatistossa. Seuraavassa tarkastellaan integraalin olemusta esi-merkin kautta.

2.5.1 Integroinnin perusajatus

Kuvassa 2.20 näemme funktion f (t) = −t2 + 4t. Oletetaan, että haluamme laskea funktion f ja t-akselin rajaaman pinta-alan A välillä 0 → 2 s. Ajatellaan, että voimme jakaa t-akselin pieniin väleihin,joiden jokaisen pituus on ∆t ja joita on yhteensä n kappaletta. Kuvan tapauksessa välejä on kahdek-san ja jokaisen välin pituus on 0,5 s. Piirrämme jokaiseen väliin suorakulmion, joka on juuri ja juu-ri funktion f (t) alapuolella. Näiden suorakulmioiden rajaaman pinta-alan suuruus voidaan kirjoittaasummalausekkeena

A1 = ∆t1 · h1 + ∆t2 · h2 + · · ·+ ∆tn · hn =n

∑j=1

∆tj · hj = ∆tn

∑j=1

hj, (2.45)

37


missä hj on suorakulmion korkeus välillä ∆tj. Edellisessä termi ∆t otettiin summan eteen, sillä kaik-ki välit ovat yhtä pitkiä. Kuvasta 2.20 havaitsemme helposti, että suorakulmioiden summan rajaamapinta-ala on hieman pienempi kuin funktion f ja t-akselin rajaama pinta-ala, eli A1 < A.

∆t

hj

KUVA 2.20: Kuva funktiosta f (t) = −t4 + 4t välillä 0 → 2 s. Suorakulmioiden (leveys ∆t = 0, 5)ja t-akselin rajaama pinta-ala on jonkin verran pienempi kuin funktion f ja t-akselinrajaama pinta-ala.

Tihennetään välijakoa siten, että uusi välin pituus on ∆t/2 = ∆t′

ja piirretään jälleen suorakulmiotjuuri ja juuri funktion f alapuolelle (kuva 2.21). Pinta-alaksi saadaan

A2 = ∆t′1 · h

′1 + ∆t

′2 · h

′2 + · · ·+ ∆t

′2n · h

′2n =

2n

∑j=1

∆t′j · h

′j = ∆t

′ 2n

∑j=1

h′j, (2.46)

missä h′j on väliä ∆t

′j vastaavan suorakulmion korkeus. Näemme, että A1 < A2 < A; uudessa välijaossa

uudet suorakulmiot kuvaavat jonkin verran tarkemmin funktion f ja t-akselin väliin jäävää pinta-alaa.

No, mikäs meitä estäisi jakamasta välin pituutta edelleen puolikkaaseen ja sitten uudelleen puolik-kaaseen ja jatkaa prosessia loputtomiin? Kuinka lähelle pinta-alaa A voimme päästä tällaisella iteraa-tiomenetelmällä? Vastaus on, että juuri niin lähelle kuin haluamme14. Jos välin pituutta pienennetäänja pienennetään, niin lopulta pituudeksi tulee ns. infinitesimaalinen pituus dt, joka on suurempi kuin0, mutta pienempi kuin mikään positiivinen reaaliluku. Samalla, kun välin pituus pienenee, suora-kulmion leveys kutistuu pistemäiseksi. Tämä tarkoittaa sitä, että suorakulmio vastaa oleellisesti yhtä

14Todistus tehdään ensimmäisen vuoden yliopistomatematiikan kurssilla.

38


∆t′hj

KUVA 2.21: Kuva funktiosta f (t) = −t4 + 4t välillä 0 → 2 s. Suorakulmioiden määrä on nyt kak-sinkertainen kuvaan 2.20 verrattuna. Niiden ja t-akselin rajaama pinta-ala on suurempikuin kuvan 2.20 suorakulmioiden yhteenlaskettu pinta-ala. Kun välin pituutta pienen-netään edelleen, saadaan suorakulmioiden pinta-ala vielä lähemmäksi f :n ja t-akselinrajaamaa pinta-alaa.

pistettä funktion f käyrällä. Kirjoitetaan nyt summalausekkeen raja-arvo eli tilanne, jossa välien määräkasvaa äärettömän suureksi ja samalla välin pituus pienenee mielivaltaisen pieneksi:

A = limn→∞

n

∑j=1

∆tj(n) · hj = limn→∞

∆t(n)n

∑j=1

hj ≡∫ 2 s

0f (t) dt (2.47)

Edellisessä on eksplisiittisesti (näkyvästi) merkitty ∆t(n), sillä välin pituus riippuu välien kokonais-määrästä (koska koko tarkasteluvälin pituus on kiinnitetty arvoon 2 sekuntia).

Kuten geometrinen tarkastelu osoittaa, funktion f ja koordinaattiakselin rajaama pinta-ala todel-la saadaan integraalina. Integrointi on pinta-alan laskemista siinä tapauksessa, kun valitun siirtymän∆t pituus on mielivaltaisen pieni. Syy integrointiin on se, että suuremmilla siirtymän pituuksilla esi-merkiksi edellisen funktion ja t-akselin rajaaman pinta-alan laskeminen tuottaisi virheellisen tuloksen(tulos olisi liian pieni).

Integraali on tähän mennessä ollut ainoastaan merkintätapa raja-arvolle summalausekkeesta. Em-me ole vielä lainkaan käsitelleet, mitä integraalin laskeminen on käytännössä. Se voidaan ajatella an-tiderivointina eli derivaatan käänteisoperaationa, jolla operoidessa derivoitu funktio ”palautetaan en-tiselleen” takaisin alkuperäiseksi funktioksi. Motivaation integraalin määrittämiseen käänteisoperaa-tiona antavat useat fysiikan sovellukset. Esimerkiksi nopeus ja kiihtyvyys liittyvät toisiinsa relaation

39


~a = d~v/dt kautta, josta seuraa d~v = d~a dt. Tämä tarkoittaa, että infinitesimaalisella aikavälillä dt in-finitesimaalinen nopeus d~v saadaan infinitesimaalinen kiihtyvyyden ja ajan tulona. Integroimalla ylijonkin fysikaalisen (reaalisen) aikavälin ∆t saadaan nopeus:

~v = ~v0 +∫

∆t~a dt (2.48)

Karkeasti voidaan sanoa, että derivoimalla nopeutta saadaan kiihtyvyys ja integroimalla kiihtyvyyttäsaadaan nopeus.

2.5.2 Integraalien laskeminen käytännössä

Integrointi ei onnistu ilman kunnollista derivointitaitoa. Integroinnin yhteydessä joutuu aina mietti-mään, mistä funktiosta integroitava funktio eli integrandi saadaan derivoimalla. Jos tämän voi päätelläsuoraan, niin työ on lähes tehty: integraali on derivaatan käänteisoperaatio. Otetaan esimerkiksi funk-tio f (t) = cos(t), jolle haluamme laskea integraalifunktion. Tiedämme, että funktion sin(t) derivaattaon cos(t), joten integraalin käänteisoperatiivisen luonteen perusteella vastaus olisi sin(t). Nyt pitääkuitenkin muistaa, että vakiofunktion g(t) = C = vakio derivaatta on nolla, joten lopullinen ratkaisuon muotoa ∫

cos(t) dt = sin(t) + C, (2.49)

missä C on jokin (tuntematon) vakio. Joskus lasketehtävän yhteydessä on annettu alkuehto15, jonkaperusteella tuntemattoman vakion arvon voi määrittää. Vakiota ei esiinny ns. määrätyissä integraaleissa,joihin käymme käsiksi hetken kuluttua.

Monet funktiot voi integroida suoraan edellisen esimerkin tavoin. Laskennallinen prosessi on täl-löin se, että päättelemällä ”keksitään” funktio, josta integrandi on saatu derivoimalla. Muussa tapauk-sessa turvaudutaan integrointisääntöihin ja -kaavoihin, joista lisää seuraavassa.

Integrointiin liittyvät perussäännöt

Olkoot f (t) ja g(t) joitakin fysiikkaan liittyviä funktioita ja olkoot a ja c vakioita (reaalilukuja). Alla onmuutamia tärkeitä integrointiin liittyviä sääntöjä ja ominaisuuksia.

(I)∫

[ f (t)± g(t)] dt =∫

f (t) dt ±∫

g(t) dt

(II)∫

a f (t) dt = a∫

f (t) dt

(III) Jos funktiolle f pätee∫

f (t) dt = F(t) + c, niin silloin on myös∫

f (g(t))dg(t)

dtdt = F(g(t)) + c

(IV)∫ d

dt f (t)

f (t)dt = ln(| f (t)|) + c

15Esimerkiksi sellainen, että integraalifunktion arvo pisteessa t = 0 on 5 tai jotain vastaava.

40


Integrointikaavoja

Seuraavassa on lista integrointikaavoja, joista suurin osa olisi hyvä muistaa ulkoa. Loput integraaleis-ta löytyvät taulukkokirjoista, koetilaisuudessa annetuista kaavoista tai internetistä. Joskus niitä pitääosata laskea erilaisilla menetelmillä, joista lisää myöhemmin.

(i)∫

tc dt =tc+1

1 + c+ a, c 6= −1

(ii)∫ 1

tdt = ln(|t|) + c

(iii)∫

at dt =at

ln(a)+ c

(iv)∫

et dt = et + c

(v)∫

sin(t) dt = cos(t) + c

(vi)∫

cos(t) dt = − sin(t) + c

(vii)∫

ln(t) dt = t ln(t)− t + c

2.5.3 Integrointimenetelmiä

Nyt meillä on jonkin verran kalustoa astuessamme integroinnin iloiseen maailmaan. Raskas kalusto eikuitenkaan tee mitään, ellei sitä erityisesti käske tekemään jotakin. Tähän tarvitaan toimivaa ajattelua.

Integrointia voisi luonnehtia ”liukuhihnamenetelmäksi” siinä mielessä, että laskettaessa joudutaanusein kokeilemaan erilaisia menetelmiä eikä laskun alussa voida varmasti tietää, johtaako valittu tie oi-keaan lopputulokseen. Peukalosääntönä kannattaa siis kokeilla eri menetelmiä vuoron perään, kunnessaa tehtävästä järkevän ratkaisun. Seuraavat menetelmät yhdistettyinä edellä esitettyihin kaavoihinantavat valmiudet myös kohtuullisen vaikeiden integraalien ratkaisemiseen. Menetelmien tavoitteenaon palauttaa monimutkainen integraali sellaiseksi, joka osataan ratkaista tuttujen integrointisääntöjenavulla.

41


Muuttujanvaihtomenetelmä

Tämä erittäin käyttökelpoinen menetelmä koetaan usein epämääräiseksi ja ”viimeiseksi vaihtoehdok-si”, sillä sen käyttö vaatii tilanteen mukaista luovaa ja soveltavaa ajattelua. Olkoon meillä integraali

∫

f (t) dt, (2.50)

joka ei ratkea suoraan tunnettujen sääntöjen avulla. Tehdään muuttujanvaihto eli kirjoitetaan t = g(x),missä g(x) on jostakin toisesta muuttujasta x riippuva funktio. Tällöin

dtdx

=d

dxg(x) ⇒ dt =

dg(x)dx

dx (2.51)

Sijoittamalla edellinen yhtälöön (2.50) saadaan

∫

f (t) dt =∫

f [g(x)]dg(x)

dxdx (2.52)

Hyvällä tuurilla yhtälön (2.52) integraali on sellainen, että se osataan laskea. Kun integraali on laskettu,sijoitetaan alkuperäinen muuttuja takaisin yhtälön x = g−1(t) mukaisesti.

Osittaisintegrointi

Olkoot U(t) ja V(t) reaali(luku)muuttujan t funktioita. Tällöin voidaan kirjoittaa16

U(t) · V(t) =∫

ddt

[U(t) · V(t)] dt

=∫ [

ddt

U(t)

]

· V(t) + U(t) ·[

ddt

V(t)

]

dt(2.53)

Siirtelemällä edellisen yhtälön termejä saadaan osittaisintegrointiyhtälö

∫ [ddt

U(t)

]

· V(t) = U(t) · V(t)−∫

U(t) ·[

ddt

V(t)

]

dt (2.54)

Ei tuo kovin hyvältä näytä, mutta siitä on apua, kun osaa valita funktiot U ja V sopivasti tilanteestariippuen.

Osamurtokehitelmä

Osamurtokehitelmä tulee kysymykseen silloin, kun integrandi on polynomien jakolasku. Tällöin ni-mittäjässä on useimmiten toisen tai korkeamman asteen polynomi, eikä integrointia pysty suoraantekemään. Tilanne voi olla esimerkiksi seuraavanlainen:

∫t − 3f (t)

dt =∫

t − 3t2 − 3t + 2

dt = ? (2.55)

16Integroinnista tulevaa tuntematonta vakiota ei ole merkitty tässä yhteydessä näkyviin, sillä sen voidaan olettaa sisältyvänjäljelle jääneeseen integraaliin. Osittaisintegrointia käytetään yleensä määrättyjen integraalien laskemiseen, jolloin integrointiva-kio supistuu pois. Tästä lisää seuraavassa luvussa.

42


Ensiksi ratkaistaan polynomin nollakohdat. Huomataan, että t2 − 3t + 2 = (t − 1)(t − 2). Nyt voidaankirjoittaa osamurto

t − 3t2 − 3t + 2

=a

t − 1+

bt − 2

, (2.56)

missä a ja b ovat vakioita. Vakioiden arvot löydetään ratkaisemalla edellinen yhtälö eli asettamalla

t − 3t2 − 3t + 2

=a(t − 2) + b(t − 1)

(t − 1)(t − 2)⇒{

a + b = 1

−2a − b = −3(2.57)

Yhtälöparista seuraa, että a = 2 ja b = −1. Näin ollen alkuperäinen integraali muuttuu muotoon

∫t − 3f (t)

dt =∫

t − 3t2 − 3t + 2

dt =∫ 2

t − 1dt −

∫ 1t − 2

dt

= 2 ln |t − 1| − ln |t − 2|+ C,(2.58)

missä C on jokin tuntematon vakio.

2.5.4 Määrätyt integraalit

Useissa tilanteissa halutaan laskea integraali jostakin lähtöpisteestä17 t0 maalipisteeseen t1. Tällöin käy-tetään määrättyä integraalia. Integraalin laskeminen tapahtuu täsmälleen samalla tavalla kuin edelläon kuvattu, mutta laskun lisäksi sijoitetaan integroituun funktioon maalipisteen ja lähtöpisteen arvotjuuri tässä kirjoittamassani järjestyksessä. Formaalisti: jos f (t) on funktio, jonka integraalifunktio onF(t) + C (C on tuntematon vakio), niin funktion f määrätty integraali yli välin (t0, t1) on

∫ t1

t0

f (t) dt =∣∣∣

t1

t0

F(t) + C

= F(t1) + C − (F(t1) + C)

= F(t1)− F(t0)

(2.59)

Määrätyssä integraalissa tuntematon integrointivakio supistuu pois.Useimmiten määrätyn integraalin tuloksena saadaan jokin luku. Toisaalta, jos halutaan integroida

esimerkiksi ajan nollahetkestä johonkin ajanhetkeen t, niin tuloksena on muuttujan t funktio. Seuraa-vassa esimerkissä tarkastellaan näitä molempia tapauksia.

Esimerkki: määrätyn integraalin laskeminen

Voiman aiheuttama impulssi kuvaa voiman vaikutusta lyhytaikaisessa tapahtumassa, joka voi olla esi-merkiksi isku tai törmäys. Impulssi voidaan laskea sen aiheuttavasta voimasta lausekkeen

~I =∫ t1

t0

~F(t) dt (2.60)

mukaisesti, missä t0 on tarkastelun alkuhetki ja t1 loppuhetki. Impulssia käsitellään mekaniikan liikemäärä-luvussa 3.5, mutta otetaan nyt ensimmäinen silmäys aiheeseen esimerkin kautta.

17Huomaa, että tämä piste ei välttämättä kuvaa aina paikkaa vaan voi olla myös aikakoordinaatti.

43


Rosvoremmin pojat ovat saaneet varastetun Ladan alleen ja lähtevät ajelulle kohti Kotkan keskustaaperjantai-iltana. Tavoitteena on selvittää, kuinka vahvaa tekoa Kalliolan (nimi muutettu) kultase-pänliikkeen vahvistetut ikkunat oikeasti ovat.

Lada kurvaa torille subbarit jauhaen. Jengi astuu ulos Ladasta naamat peruslukemilla. Porukan po-mo, Iso-Make, ottaa Ladan paksista katkaistun jääkiekkomailan (lapa tallella). Hän tarttuu mailanvarteen kaksin käsin ja lyö valtavalla voimalla kultasepänliikkeen näyteikkunan palasiksi.

Jos iskun kesto on 0,01 sekuntia ja iskun aikana vaikuttavan voiman suuruus on F(t) = 5000 ·e−

t0,01 N, niin kuinka suuri on iskun aikaansaama impulssi? Millainen on tämä impulssi ajan funk-

tiona esitettynä?

Ratkaisu: Asetetaan ajan alkuhetki t0 iskun alkuhetkeen ja ajan loppuhetki t1 iskun päättymishetkeen.Voimafunktion muodosta nähdään, että voima on 0 iskun päättymishetkellä. Integroidaan voimafunk-tiota yli tämän aikavälin ja saadaan impulssin suuruus:

|~I(t)| =∫ 0,01 s

0F(t) dt =

∫ 0,01 s

05000 · e−

t0,01 N dt

= 5000 ·∣∣∣

0,01 s

0

(

−0, 01 · e−t

0,01

)

Ns

= 50 ·(

e0 − e−1)

Ns

≈ 117, 520 . . . Ns

(2.61)

Havaitaan, että tulos on reaaliluku. Impulssi ajan funktiona esitettynä saadaan korvaamalla edellisessäintegraalissa integraalin sijoituksen yläraja t1 = 0, 01 s arvolla t, joka saa muuttujan roolin. Tällöintuloksena on funktio, joka on muotoa

|~I(t)| =∫ t

0F(t′) dt′ =

∫ t

05000 · e−

t′0,01 N dt′

= 5000 ·∣∣∣

t

0

(

−0, 01 · e−t′

0,01

)

Ns

= 50 ·(

e0 − e−t

0,01

)

Ns

= 50 ·(

1 − e−t

0,01

)

Ns

(2.62)

Edellä merkitsimme integrointimuuttujaa pilkullisella koordinaatilla t′, sillä kyseessä on eri muuttujakuin integraalin tulokseen sijoitettava t (joka tietyssä mielessä on vakio, sillä tilannetta tarkastellaanjollakin mielivaltaisella ajanhetkellä).

2.5.5 Esimerkkejä integrointisääntöjen soveltamisesta

Integroimaan oppii vain laskemalla. Seuraavat esimerkit saattavat kuitenkin auttaa ymmärtämään sitä,kuinka integrointisääntöjä ja -kaavoja sovelletaan käytäntöön.

44


Esimerkki 1: muuttujanvaihtomenetelmä

Ratkaistaan integraali∫

e√

t√

tdt (2.63)

Tämä näyttää hankalalta, mutta muuttujanvaihdolla t = x2 homma hoituu näppärästi. Nyt saadaan

dtdx

=d

dxx2 = 2x ⇒ dt = 2x dx (2.64)

Sijoittamalla edellinen yhtälöön (2.63) saamme

∫e√

t√

tdt =

∫ex

x· 2x dx = 2

∫

ex dx = 2ex + C, (2.65)

missä C on jokin vakio. Sijoitetaan takaisin x =√

t ja saadaan

∫e√

t√

tdt = 2e

√t + C (2.66)

Esimerkki 2: muuttujanvaihto ja osittaisintegrointi

Tarkastellaan integraalia∫

f (t) dt =∫

ln(t + α) dt, (2.67)

missä α on vakio. Toimiva menetelmä integraalin laskemiseksi on muuttujanvaihto. Kirjoitetaan t +α = ex, jolloin

d(t + α)

dx=

ddx

ex =d

dx(ex − α) =

dtdx

= ex ⇒ dt = ex dx (2.68)

Sijoitetaan tämä yhtälöön (2.67) ja saadaan∫

ln(t + α) dt =∫

ln(ex)ex dx =∫

xex dx (2.69)

Tämä integraali ratkeaa osittaisintegroinnilla, kun valitaan osittaisintegrointiyhtälössä dU(x)dx = ex ja

V(x) = x:∫

xex dx = xex −∫

1 · ex dx = xex − ex + C, (2.70)

missä C on vakio. Sijoittamalla takaisin x = ln(t + α) saadaan lopullinen vastaus:

xex − ex + C = ln(t + α)eln(t+α) − eln(t+α) + C = (t + α) ln(t + α)− (t + α) + C (2.71)

Esimerkki 3: integrointisäännöt

Ratkaistavana on integraali∫

et5t4 dt = ? (2.72)

45


Tätä ei kannata ruveta osittaisintegroimaan, sillä heti nähdään, että polynomin potenssi 4 tuottaisisuunnattomasti päänvaivaa. Integrointi muuttuu helpoksi, kun huomataan, että integrandin voi kir-joittaa hieman toisella tavalla:

et5t4 =

15· et5 · 5t4 =

15

eg(t) dg(t)dt

=15

f [g(t)]dg(t)

dt(2.73)

funktioille f (t) = et ja g(t) = t5. Nyt voidaan käyttää integrointisäännöistä toista ja kolmatta kohtaasuoraan, ja saadaan

∫

et5t4 dt =

15

∫

f [g(t)]dg(t)

dtdt =

15(F(g(t) + C) =

15

et5+ D (2.74)

Huomaa, että funktio F(t) on funktion f (t) integraalifunktio.

46

Luku 3

Klassinen mekaniikka

Klassinen mekaniikka toimii erittäin hyvänä analogiana moneen modernin fysiikan ilmiöön ja kehit-tää matemaattisia valmiuksia monipuolisesti. Mekaniikan ymmärtäminen auttaa hyvin paljon jatkossatarkasteltavissa sovelluksissa.

3.1 Kinematiikan perusteet

Tässä luvussa käsittelemme tilanteita, joissa pistemäinen hiukkanen liikkuu yhdessä ja kahdessa ulot-tuvuudessa. Tämäntapainen malli on sopiva silloin, kun sivusuuntainen liike ja pyörimisliike ovatmerkityksettömän pieniä. Esittelemme suureet nopeus ja kiihtyvyys, joiden avulla pisteen liikettä voi-daan kuvailla. Käytännön laskutehtävissä hiukkasen tilalla voi olla auto, ihminen, lentokone. . . mitäikinä halutaan approksimoida.

3.1.1 Tasainen liike

Tarkastellaan tilannetta, jossa hiukkanen liikkuu positiivisen x-akselin suuntaisesti tasaisella nopeu-della. Oletetaan, että hiukkanen liikkuu ajassa t2 − t1 = ∆t matkan x2 − x1 = ∆x. Tällöin hiukkasenkeskimääräisen nopeuden suuruuden itseisarvo saadaan yhtälöstä

|~vk| =∣∣∣∣

∆x∆t

∣∣∣∣

, (3.1)

missä merkintä | · · · | tarkoittaa vektorisuureen normia (pituutta) ja tavallisten lukujen tapauksessa it-seisarvoa. Tästä eteenpäin merkitsemme (keski)nopeuden suuruutta eli vauhtia lyhyesti vk, oli se sittentilanteesta riippuen positiivinen tai negatiivinen. Yhtälöstä (3.1) nähdään, että ajassa ∆t keskivauhdillavk etenevä hiukkanen kulkee matkan ∆x = ∆t · vk. Jos hiukkanen on ennen liikkumistaan lähtöpistees-sä x0, niin hiukkasen paikka ajanhetken ∆t jälkeen on

x = x0 + ∆t · vk (3.2)

Vektorisuureelle nopeus tulee ilmoittaa myös suunta. Koska liike on x-akselin suunnassa, voidaan kir-joittaa ~vk = (∆x/∆t)i, missä i on x-akselin suuntainen yksikkövektori (|i| = 1).

47


HUOM! Yhtälö (3.1) antaa keskinopeuden tietylle aikavälille riippumatta siitä, millä tavallamatka on kuljettu. Tämän voi perustella sillä, että keskinopeuden arvo riippuu vain paikanalku-ja loppupisteistä eikä kuljetusta reitistä.

Nopeuden yksiköt SI-järjestelmässä saadaan ajan ja pituuden SI-yksiköistä:

[v] =[x][t]

=ms

(3.3)

Toinen tavallinen käytössä oleva yksikkö on km/h, joka saadaan nopeuden SI-yksiköistä seuraavasti:

1kmh

=10003600

ms

=1

3, 6ms

⇒ 1ms

= 3, 6 · 1kmh

(3.4)

Kuvassa 3.1 on aika-paikka- eli (t, x)-koordinaatistossa esitetty tasainen liike, jolle pätee vk = 0, 5 m/s.Sama liike esitettynä (t, v)- eli aika-nopeus-koordinaatistossa on kuvassa 3.2.

KUVA 3.1: Tasainen liike (t, x)-koordinaatistossa. Liikkuvan kappaleen vauhti on vk = 0, 5 m/s.

Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä

Juna etenee tasaisella vauhdilla vk. Laske junan keskivauhti, jos matka Jyväskylästä Tampereelle kestää 1 h 35min.

Ratkaisu: Jyväskylän ja Tampereen välinen etäisyys on noin 150 km. Aika tulee muuttaa sekunneik-si tai tunneiksi riippuen siitä, halutaanko tulos ilmoittaa yksiköissä m/s vai km/h. Tässä tapauksessakm/h on luontevampi, joten muutetaan tunneiksi. Asettamalla x0 = Jyväskylä ja x = Tampere saadaan

48


KUVA 3.2: Kuvan 3.1 liike (t, v)-koordinaatistossa.

yhtälön (3.2) avulla

150 km = ∆t · vk ⇒ vk =150 km19/12 h

= 94, 736 . . . km/h. (3.5)

3.1.2 Muuttuva liike

Muuttuva liike voi olla tasaisesti muuttuvaa tai mielivaltaisesti muuttuvaa. Nyrkkisääntönä kannattaamuistaa, että suurin osa ”tutuista” lukiokaavoista kiihtyvyydelle, paikalle ja nopeudelle pätee ainoas-taan tasaisesti muuttuvalle liikkeelle.

Tasaisesti muuttuva liike

Tasaisesti muuttuva liike tarkoittaa hiukkasen liikettä, jossa vauhti hidastuu tai kiihtyy tasaisella muu-tosnopeudella. Tällöin vektorisuureella kiihtyvyys on vakioarvo ja sen suunta pysyy samana. Yleisessätapauksessa kiihtyvyys kuvaa hiukkasen nopeuden muutosta ajan funktiona.

Jos hiukkasen vauhti on alkuhetkellä v1 ja myöhemmällä ajanhetkellä v2, voidaan keskikiihtyvyydensuuruus |~ak| = ak vastaavalla aikavälillä t1 → t2 laskea yhtälöstä

ak =v2 − v1

t2 − t1=

∆v∆t

(3.6)

HUOM! Yhtälössä (3.6) keskikiihtyvyyden suuruus riippuu ainoastaan nopeuden suuruu-desta tarkastelun alku-ja loppuhetkillä. Se ei riipu siitä, millä tavalla alkutilanteen nopeu-desta on päästy lopputilan nopeuteen.

Kiihtyvyyden SI-yksiköt voidaan laskea nopeuden ja ajan SI-yksiköistä:

[a] =[v][t]

=ms2 (3.7)

49


Tasaisesti muuttuva liike on mukava erikoistapaus yleisestä muuttuvasta liikkeestä. Sille pätee paljonhyödyllisiä sääntöjä. Jos oletetaan, että ajan alkuhetki on t1 = 0 s ja loppuhetki t2 = t s, niin~ak = ~a jasaadaan

~a =~v2 −~v1

t2 − t1

=~v(t)−~v0

t − 0⇒ ~v(t) = ~v0 +~at

(3.8)

Mielivaltaisella ajanhetkellä t voidaan tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä hetkellinen nopeus laskea yhtä-löstä

~v(t) = ~v0 +~at , (3.9)

kun tunnetaan hiukkasen alkuvauhti v0 ja kiihtyvyyden suuruus a.Eräs hyödyllinen yhtälö koordinaatille x saadaan, kun käytetään hyväksi keskinopeuden kaavaa ja

tasaisesti kiihtyvän liikkeen oletuksia:

x(t) = x0 + v0t +12

at2 (3.10)

On olemassa myös kaksi muuta yhtälöä, jotka on kiva johtaa itse tasaisesti kiihtyvän liikkeen peruso-letuksista ja edellä mainitusta yhtälöistä:

v2 = v20 + 2a(x − x0)

x − x0 =v0 + v

2t

(3.11)

Kuvissa 3.3, 3.4 ja 3.5 on graafisesti esitettynä tasaisesti kiihtyvä liike, jolle a = 1 m/s2.Putoamisliike on luonnollinen esimerkki tasaisesti kiihtyvästä liikkeestä. Maan vetovoima aiheuttaa

Maan pintaa kohti suuntautuvan vakiokiihtyvyyden1 |~g| = 9, 81 m/s2, joka on riippumaton kappa-leen massasta, muodosta tms. geometrisista seikoista. Jos positiivinen suunta valitaan ylöspäin, niinputoamisliikettä kuvaavat yhtälöt ovat

x(t) = x0 + v0t +12

gt2

v(t) = v0 + gt,(3.12)

missä v0 voi olla positiivinen tai negatiivinen.

Yleinen muuttuva liike

Yleisessä muuttuvassa liikkeessä tasaisesti kiihtyvän liikkeen yhtälöt eivät aina päde. Ne pätevät jolla-kin tarkkuudella silloin, kun rajoitutaan mielivaltaisen liikkeen osaan, jossa kiihtyvyys on ollut suurinpiirtein tasaista2. Keskimääräisten suureiden (keskinopeus ja keskikiihtyvyys) lisäksi lisäksi voidaan

1Tämä kiihtyvyys on suunnilleen vakio, se vaihtelee hieman eri puolilla maapalloa.2Näin on tietyssä mielessä aina, sillä fysiikka on luonnon mallintamista. Oleellinen kysymys on se, mikä tarkkuus riittää

tietyssä tilanteessa.

50


KUVA 3.3: Tasaisesti kiihtyvä liike (t, x)-koordinaatistossa esitettynä. Kiihtyvyyden suuruus on|~a| = 1 m/s2.

mielivaltaisista liikkeen kuvaajista määrittää hetkellisiä suureita, kuten hetkellinen nopeus ja hetkellinenkiihtyvyys.

Mielivaltaisessa (t, x) koordinaatiston kuvaajassa graafin jyrkkyys jollakin ajanhetkellä eli käyränkulmakerroin kertoo hiukkasen hetkellisen nopeuden ks. ajanhetkellä. Matematiikasta tuttu derivaattavoidaan tulkita kulmakertoimena, jolloin saadaan hetkellinen vauhti ajanhetkellä t = t′:

v(t′) =dx(t)

dt

∣∣∣∣t=t′

(3.13)

Käytännössä hetkellinen nopeus voidaan laskea piirtämällä (t, x)-koordinaatiston käyrälle tangentti-suora ja laskemalla suoran kulmakerroin. Kuvassa 3.6 on havainnollistava esimerkki tilanteesta.

Koska kiihtyvyys kuvaa nopeuden muutosnopeutta eli on (t, v)-koordinaatistossa kuvaajan kulma-kerroin, voidaan se matemaattisesti tulkita nopeuden derivaattana. Koska derivaatan arvo voi muut-tua eri pisteissä, sanotaan tietyssä pisteessä laskettua nopeuden kuvaajaan kulmakerrointa hetkellisek-si kiihtyvyydeksi kyseisessä pisteessä:

a(t′) =dv(t)

dt

∣∣∣∣t=t′

(3.14)

Kuvassa 3.7 on esitetty hetkellisen kiihtyvyyden määrittämisperiaate.

Integrointi ja kinematiikan suureet**

Integroinnilla voi tehdä kaikkea järkevää esimerkiksi paikalle, nopeudelle ja kiihtyvyydelle. Oletetaan,että hiukkasen kiihtyvyys on vakio aikavälillä 0 → t. Tällöin saadaan

51


KUVA 3.4: Kuvan 3.3 liike (t, v)-koordinaatistossa.

KUVA 3.5: Kuvan 3.3 liike (t, a)-koordinaatistossa.

∆t

∆x

|~v(T )| =∣

∣

∆x∆t

∣

∣

t = T

KUVA 3.6: Hetkellisen nopeuden määrittäminen muuttuvasta liikkeestä (t, x) koordinaatistossa.

d~v(t)dt

=~a

d~v(t) =~a dt ||∫

molemmat puolet

⇒∫ ~v(t)

~v0

d~v′(t) =∫ t

0~a dt′ =~a

∫ t

0dt′

~v(t)−~v0 = t~a − 0

⇒ ~v(t) = ~v0 +~at

(3.15)

Miksi kiihtyvyyden tulee olla vakio edellisessä? Jos kiihtyvyys riippuisi ajasta, ei integrointia voi suo-rittaa kuten edellä;~a ei tulisi integraalista ulos suoraan. Yleinen muoto nopeuden laskemiselle kiihty-

52


∆t

∆v

|~a(T )| =∣

∣

∆v∆t

∣

∣

t = T

KUVA 3.7: Hetkellisen kiihtyvyyden määrittäminen muuttuvasta liikkeestä (t, v) koordinaatistos-sa.

vyydestä on

~v(t) = ~v0 +∫ t

0~a(t′) dt′ (3.16)

Integroinnin voidaan ajatella kuvaavan sitä, että kiihtyvyyden aikaisemmat arvot vaikuttavat siihennopeuteen, jota laskemme tarkasteluhetkellä. Ne ikään kuin ”summautuvat”, mutta summaustapanaon integrointi eikä yhteenlasku. Huomaa, että vakiokiihtyvyys kasvattaa myös nopeutta. Havainnol-listetaan tilannetta esimerkillä.

Vaikeahko esimerkki: nopeuden laskeminen ajasta riippuvalle kiihtyvyydelle

Tarkastellaan humalassa olevaa autoilijaa. Hän ajelee yöaikaan moottoritiellä todella kummallista vauhtia. Tielläkiemurtelun lisäksi hän painelee iloisesti jarru-ja kaasupolkimia ja vääntelee vaihteita melko täsmällisin välia-join. Kuljettajan epämääräisestä olotilasta huolimatta auton kiihtyvyyden suuruus noudattaa erittäin suurellatarkkuudella matemaattista ajan funktiota, joka on muotoa3 |~a(t)| = t cos(2t) m/s2. Oletetaan, että auton alku-vauhti on 144 km/h = 40 m/s. Määritä auton vauhti ajanhetkillä t = 3 s ja t = 8 s.

Ratkaisu: Liikkeen kuvaaja (a, t)-koordinaatistossa aikavälillä 0 → 10 s on esitetty kuvassa 3.8. Ku-ten nähdään, liike ei ole lähimainkaan tasaisesti kiihtyvää. Integrointia tarvitaan.

Ajanhetkellä t = 3 s saadaan vauhdiksi

v(t) = v0 +∫ 3 s

0a(t) dt

= 40 m/s +∫ 3 s

0t cos(2t) dt

(3.17)

3Huomaa, että vakiolla 2 on sinifunktion sisällä yksiköt rad/s, eli lopputulos on radiaaneissa.

53


KUVA 3.8: Humalassa olevan autoilijan liikkeen kuvaaja. Kuten nähdään, tällä liikkeellä ei ole mi-tään tekemistä tasaisesti kiihtyvän liikkeen kanssa.

Tässä tarvitsemme osittaisintegrointia. Valitaan osittaisintegrointiyhtälössä (2.54) funktiot U ja V siten,että dU(t)/dt = cos(2t) ja V(t) = t. Nyt on U(t) = 1

2 sin(2t) ja dV(t)/dt = 1. Sijoitetaan lasketutfunktiot yhtälöön (2.54) ja saadaan

∫ 3 s

0t′ cos(2t′) dt′ =

∣∣∣

3 s

0

12

sin(2t) · t −∫ 3 s

0

12

sin(2t) dt

=12· sin(6 rad) · 3 m/s − 1

2·(

−12

∣∣∣

3 s

0cos(2t)

)

=32· sin(6 rad) m/s +

14[cos(6 rad)− 1] m/s

= −0, 429 . . . m/s

(3.18)

Lisäämällä alkuvauhti v0 saadaan nopeuden suuruudeksi hetkellä t = 3 s

v(t = 3 s) = 142, 455 . . . km/h ≈ 142 km/h (3.19)

Nopeus kahdeksan sekunnin kohdalla saadaan sijoittamalla t = 8 s jo integroituun yhtälöön:

v(t = 8 s) = 40 m/s +82· sin(2 · 8 rad) m/s +

14[cos(2 · 8 rad)− 1] m/s

= 40 m/s − 1, 3910 . . . m/s

≈ 139 km/h

(3.20)

Havaitsemme, että vaikka kiihtyvyyden vaihtelut ovat melkoisia, niin ne tasapainottavat toisensa jotenkuten. Kun aikaa kuluu enemmän, vauhdin heilahtelu kasvaa ja humalainen saattaa suistua tieltä.

54


3.1.3 Liike useammassa ulottuvuudessa

Tähän asti olemme käsitelleet tilanteita, joissa liike tapahtuu vain yhdessä dimensiossa (ulottuvuudes-sa). Lähes kaikki fysiikan käytännön ongelmat vaativat kuitenkin useampiulotteista tarkastelua. Ava-ruusgeometrisessa hahmottamisessa päärooliin nousevat vektorit ja niiden perusominaisuudet, kutenpistetulo ja ristitulo. Näiden käsitteiden hyvä hallinta tekee mekaniikan verraten helpoksi.

Tarkastellaan moniulotteisen liikkeen esimerkkinä heittoliikettä, jossa ainoa kappaleeseen vaikutta-va voima on painovoima. Kyseessä on tasaisesti kiihtyvä liike. Tämä on huomattavan yksinkertaistet-tu malli, sillä se ei lainkaan huomioi ilmanvastusta ja ilmavirtoja. Seurauksena on, että mm. golfpallonlentomatkaksi rautaseiskalla lyötynä malli ennustaa alle sata metriä (todellisuudessa 140-170 metriä).Joka tapauksessa malli tarjoaa hyvän lähtökohdan useampiulotteisen kinematiikan aloittamiseen.

Oletetaan, että pallo heitetään positiivisten x- ja y-akselien määräämässä suunnassa yläviistoonkulmassa α ja annetaan pallolle alkunopeus ~v0. Pallon nopeus voidaan jakaa x- ja y-suuntaisiin kom-ponentteihin siten, että ~v0 = vx0 i + vy0 j. Trigonometrialla nähdään, että alkutilanteessa pätee

vx0 = cos(α)|~v0| ja vy0 = sin(α)|~v0| (3.21)

Koska ainoa vaikuttava voima on maan vetovoima negatiivisen y-akselin suuntaan, säilyy x-akselinsuuntainen nopeuskomponentti vakiona eli ax = 0, toisin sanoen kyseessä on tasainen liike. Käyttä-mällä yhtälöä (3.10) ja oletusta x0 = 0 saadaan laskettua paikka x-suunnassa mielivaltaisella ajanhet-kellä t:

vx(t) = vx0 = cos(α)|~v0|⇒ x(t) = x0 + vx0 t = cos(α)|~v0|t

(3.22)

Pystysuunnassa tilanne on hieman monimutkaisempi, sillä vetovoima painaa palloa alaspäin. Käyttä-mällä yhtälöitä (3.9) ja (3.10) saadaan nopeus ja paikka y-suunnassa:

vy = |~v0| sin(α)− gt

y = |~v0| sin(α)t − 12

gt2(3.23)

Paikkavektorin ja nopeusvektorin suuruudet mielivaltaisella ajanhetkellä saadaan yhdistämällä x- jay-komponentit (vrt. Pythagoraan lause):

r =√

x2 + y2 ja |~v| =√

v2x + v2

y (3.24)

Pallon suuntakulma γ eli poikkeama x-akselin tasosta ylös- tai alaspäin jollakin ajanhetkellä t voidaanlaskea yhtälöstä

tan(γ) =vy(t)

vx(t)(3.25)

Kuvassa 3.9 on graafinen esitys edellisistä yhtälöistä.

55


~v0 = vx0i + vy0j

vx0 i = |~v0| cos(α)i

vy0j = |~v0| sin(α)j

~g

~g

~v = |~v0| cos(α)i

vx0i = |~v0| cos(α)i

~v = vx0i + vy j

vy j = (|~v0| sin(α) − |~g|t)j

~g

KUVA 3.9: Graafinen esitys heittoliikkeestä. Kuvaan on piirretty vektorit kolmeen eri kohtaan: al-kutilanne, tilanne jossa vy = 0 ja lopputilanne. Huomaa, että y-suuntainen nopeuskom-ponentti eroaa nollasta kaikkialla muualla paitsi lakipisteen kohdalla.

3.2 Dynamiikan perusteet

Edellisessä luvussa tutkimme hiukkasen liikettä, mutta mikä aiheuttaa liikkeen? Vastauksen etsimisek-si alamme tarkastella kappaleiden dynamiikkaa, jossa tutkitaan liiketilan muutoksen ja sen aiheuttajan,voiman, välisiä vuorovaikutuksia. Voiman lisäksi esittelemme käsitteen massa, joka on kappaleen sisäi-nen ominaisuus4 ja joka kuvaa kappaleen kykyä vastustaa liiketilansa muutosta. Kertaamme lyhyestiNewtonin mekaniikan lait, niiden seuraukset ja keskeiset sovellusalueet.

Hyvä dynamiikan perusteiden hallinta muodostaa pohjan jatkossa käsiteltävään yleiseen statiik-kaan, jossa tarvitaan sekä voimien että niiden momenttien tasapainoehtoja. Tämän vuoksi dynamiikka-osioon käytetään melko paljon aikaa ja opiskellaan monenlaisia esimerkkejä.

3.2.1 Newtonin mekaniikka

Voima on vektorisuure, joka aiheuttaa kappaleen liiketilan muutoksen. Voimat voidaan raa’asti jakaakahteen ryhmään; kosketusvoimiin ja pitkän kantaman voimiin. Seuraavassa lueteltavat periaatteet pätevätkaikenlaisille voimille ja ne muodostavat pohjan newtonilaiselle (klassiselle) mekaniikalle.

Tässä yhteydessä pitää huomauttaa, että esitettävät säännöt, vaikka ne usein lakien nimellä kul-kevatkin, eivät ole koko totuus. Newtonin mekaniikka on vain fysikaalinen malli, joka pätee tietyissäolosuhteissa jollakin tarkkuudella. Esimerkiksi atomien välisiä vuorovaikutuksia tai lähellä valon no-

4Ei riipu klassisessa mekaniikassa kappaleen ulkoisista ominaisuuksista, kuten vauhti ja paikka tms.

56


peutta tapahtuvaa liikettä ei ole mielekästä mallintaa Newtonin laeilla, sillä tällöin saadaan omituisiatuloksia.

Newton IHiukkanen, johon ei vaikuta voimia tai johon vaikuttavien voimien summa on nolla, liikkuu tasaisellanopeudella ~v (joka voi olla ~v =~0). Tämä periaate voidaan lyhyesti kirjoittaa

∑n

~Fn =~0, (3.26)

missä n on vaikuttavien voimien lukumäärä.

Tästä seuraa, että kokonaisvoimalle ~F = Fx i + Fy j + Fz k on Fl = 0, l = x, y, z. Huomaa, et-tä mikäli hiukkaseen vaikuttaa useita voimia, niin jokainen komponentti Fl on summa vaikut-tavien voimien komponenteista: Fl = ∑n Fnl , l = x, y, z ja n on voimien lukumäärä (summa-taan kaikkien voimien yli). Samalla merkintätavalla hiukkaseen vaikuttava kokonaisvoima on~F = ∑

3l=1 ∑n Fnl ul , missä u1 = i, u2 = j ja u3 = k. Jos vaikuttavia voimia on esimerkiksi kolme,

merkitään ~F1,~F2 ja ~F3. Tällöin

~F =3

∑l=1

3

∑n=1

Fnl ul

=3

∑l=1

(F1l + F2l + F3l) ul

= u1 (F11 + F21 + F31) + u2 (F12 + F22 + F32) + u3 (F13 + F23 + F33)

= i (F11 + F21 + F31) + j (F12 + F22 + F32) + k (F13 + F23 + F33)

(3.27)

Newton IIJos hiukkaseen vaikuttava kokonaisvoima eroaa nollasta, on hiukkanen kiihtyvässä liikkeessä. Kiihtyvyydensuunta on sama kuin vaikuttavan kokonaisvoiman suunta. Voima voidaan laskea yhtälöstä

~F = m~a, (3.28)

missä m on kappaleen massa; se kuvaa kappaleen inertiaa eli kykyä vastustaa liiketilan muutosta.

Newtonin toinen laki on yhtäpitävää seuraavan voimien komponenttien yhtälöryhmän kanssa:

∑n

Fxn = max, ∑n

Fyn = may, ∑n

Fzn = maz, (3.29)

missä n on vaikuttavien voimien lukumäärä.

Newton IIIJos kappale A kohdistaa voiman ~FAB kappaleeseen B, niin kappale B kohdistaa yhtäsuuren mutta vastak-kaissuuntaisen voiman ~FBA kappaleeseen A.

Tätä periaatetta ei yleensä mietitä loppuun asti, vaan kysellään:

57


”Jos molemmat kappaleet kohdistavat toisiinsa yhtäsuureet voimat, niin eikö voimien summaole silloin nolla ja kappaleet pysyvät paikoillaan?”

Jos tämä kommentti olisi totta, niin mikään ei liikkuisi minnekään. Esimerkiksi minun painaes-sani tämän tietokonenäppäimistön nappia voimalla |~F| = 50 N (kovaa), nappi kohdistaa minuunyhtä suuren voiman enkä saa ikinä yhtään kirjainta ruudulle saati sitten paperille. . .

Mikä avuksi? Nyt tulee muistaa, että kappaleeseen kohdistuvien voimien kokonaisvaikutustalaskiessa tarkastellaan aina yhtä kappaletta. Newtonin kolmannessa laissa voimat kohdistuvat erikappaleisiin, eli niitä molempia ei oteta huomioon, kun lasketaan yhteen kappaleeseen vaikutta-vaa kokonaisvoimaa.

Massan SI-yksikkönä käytetään kilogrammaa (1 kg). Voiman yksikkö saadaan suoraan massan ja kiih-tyvyyden yksiköistä ja sitä kutsutaan Newtoniksi (N), joka vaikuttaessaan yhden kilogramman massai-seen punnukseen antaa sille kiihtyvyyden 1 m/s2.

Tavallinen esimerkki voimasta on painovoima tai lyhyemmin paino. Sijoittamalla Newtonin toiseenlakiin kiihtyvyyden paikalle putoamiskiihtyvyys saadaan yhden kilon punnukselle painoksi |~w| =

m|~g| ≃ 10 N.

3.2.2 Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat

Newtonin lait ovat muodoltaan kenties yksinkertaisia, mutta niiden soveltaminen voi olla erittäin mie-lenkiintoista ja haastavaa. Tässä muutama käytännön vinkki, joista saattaa olla apua:

Newtonin ensimmäinen ja toinen laki ovat aina liitoksissa johonkin kappaleeseen. Kun käytät niitä,mainitse aina, mihin kappaleeseen viittaat.

Ainoastaan kappaleeseen vaikuttavat voimat ovat merkittäviä. Kappaleeseen vaikuttavia voimia jakappaleen muihin kappaleisiin kohdistamia voimia EI saa sekoittaa (eli käytännössä laskea yhteen taimuuta vastaavaa).

Vapaakappalekuvasta saattaa olla suurta hyötyä relevanttien voimien tunnistamisessa.

Mikä on vapaakappalekuva? Se on mallikuva kappaleesta (esimerkiksi piste massapisteen kohdalla),johon piirretään vektoreilla näkyviin kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat. Samassa vapaakappale-kuvassa ei saa ikinä olla näkyvissä voima-vastavoima -paria. Lisäksi ne voimat, jotka kappale kohdis-taa itseensä, eivät näy vapaakappalekuvassa. Kuvassa 3.10 on esimerkki kahdesta erilaisesta tilanteestapiirretyistä vapaakappalekuvista.

Seuraavaksi käydään läpi kaksi esimerkkiä Newtonin lakien soveltamisesta. Esimerkkien tarkoi-tuksena on opettaa järjestelmällisen laskutavan lisäksi myös sitä, että kaavoja kannattaa johtaa mah-dollisimman pitkälle symbolimuodossa ja vasta lopussa sijoittaa niihin tarvittavat arvot. Käsiteltävienesimerkkien avulla pitäisi olla mahdollista ratkaista monenlaisia tehtäviä, jotka liittyvät Newtonin la-keihin.

Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki

Tarkastellaan kuvan 3.11 mukaista tilannetta. Pyörillä varustettu laatikko pysyy paikallaan kitkattomalla vinollatasolla (α = π/8 rad = 22, 5◦) köyden varassa. Laatikon massa on 10 kilogrammaa. Kuinka suuri on köyden

58


~G

~T

~G

~T

Ty j

Tx i

xy

(a) (b)

KUVA 3.10: Kaksi vapaakappalekuvaa. (a) Mies, joka roikkuu köyden varassa paikallaan olevastahelikopterista. Vaikuttavien voimien summa on~0, eli hän on tasapainossa. (b) Mies, jo-ka roikkuu köyden varassa vaakasuuntaisessa kiihtyvässä liikkeessä olevasta helikop-terista. ~T on köyden jännitysvoima. Koska vaikuttavalla voimalla on nollasta eroavakomponentti positiivisessa x-suunnassa, on roikkuva mies kiihtyvässä liikkeessä.

jännitysvoima ja tason tukivoima?

Ratkaisu: Oletetaan, että laatikon kaikki massa sijaitsee sen massakeskipisteessä, joka on suurin piir-tein keskellä laatikkoa. Piirretään tilannetta vastaava vapaakappalekuva5 (kuva 3.11). Valitaan koordi-naatisto siten, että positiivinen x-suunta on köyden jännitysvoiman suunnassa. Tällöin normaalivoima~N on automaattisesti y-suunnassa eli tasoa vastaan kohtisuorassa. Kuvasta nähdään, että painovoiman~G komponentit x- ja y-suunnissa ovat

Gx = |~G| sin(α)

Gy = |~G| cos(α)(3.30)

Vaaditaan, että voiman komponenttien summa on 0 sekä x- että y-suunnassa. Tällöin saadaan

0 = −Gx + |~T| = −|~G| sin(α) + |~T| ⇒ |~T| = m|~g| sin(α)

0 = −Gy + |~N| = −|~G| cos(α) + |~N| ⇒ |~N| = m|~g| cos(α)(3.31)

Sijoittamalla kulma ja laatikon massa saadaan ~T ≈ 37, 5 i N ja ~N ≈ 90, 6 j N.Seuraava esimerkki on melko vaativa, sillä se on ollut muinoin Jyväskylän yliopiston fysiikan pe-

ruskurssi 1:sen tenttitehtävänä (tosin hieman eri muodossa). Se ei kuitenkaan vaadi mitään uutta jakummallista, ainoastaan Newtonin sääntöjen soveltamista.

Esimerkki 2: Newtonin toinen laki

Tarkastellaan kuvan 3.12 tilannetta. Palikka, jonka massa on m1 = 2 kg, on kitkattomalla alustalla. Sen toiseenpäähän on kytketty erittäin ohut siima, joka voidaan olettaa massattomaksi ja venymättömäksi. Siima kulkee kit-

5Huomaa, että kuvassa vektorin ~T pituus ei ole kuvassa yhtä suuri kuin painovoiman ~G x-suuntainen komponentti. Näinkuitenkin on, sillä laatikko on paikallaan ja voimien summa siis 0.

59


α = π/8

α

αα

~G

~T~N

KUVA 3.11: Vaunu kaltevalla tasolla. Koordinaatisto kannattaa valita siten, että x-akseli on köydenjännitysvoiman suunnassa. Tällöin saadaan normaalivoima ~N y-suuntaan ja tarkasteluon helppo tehdä.

kattoman hihnapyörän yli ja siiman toisessa päässä roikkuu punnus, jonka massa on m2 = 5 kg. Jos jälkimmäi-nen punnus on tuettu ja se päästetään vapaaksi ajanhetkellä t = 0, mikä on ensimmäisen punnuksen kiihtyvyys?Laske myös siiman jännitysvoima.

~N1

~G1

~T

~a

~G2

~T

~a

x

y

KUVA 3.12: Esimerkin 2 tilanne. Tehtävässä vaaditaan omat vapaakappalekuvat sekä palikalle ettäpunnukselle. Oletus venymättömästä ja massattomasta siimasta on tärkeä, sillä muu-ten palikka ja punnus voisivat liikkua eri kiihtyvyyksillä ja ongelma muuttuisi huo-mattavasti vaikeammaksi.

Ratkaisu: Ongelman helpottamiseksi on syytä huomata, että massattomassa siimassa jännitysvoimaon jokaisessa kohdassa siimaa yhtä suuri. Lisäksi kiihtyvyydet x- ja y-suunnissa ovat suuruudeltaansamanarvoiset, sillä kappaleet liikkuvat annetussa ajassa saman matkan. Koska meillä on kaksi massa-pistettä, kirjoitetaan Newtonin toisen lain mukaiset yhtälöt erikseen palikan ja punnuksen komponen-

60


teille. Palikalle saadaan

∑ Fx = |~T| = m1|~a|

∑ Fy = −|~G1|+ |~N| = 0(3.32)

Huomaa, että palikalla ei ole pystysuuntaista kiihtyvyyttä lainkaan. Punnukselle kirjoitetaan yhtälö

∑ Fy = −|~G2|+ |~T| = −m2|~a| ⇒ −m2|~g|+ |~T| = −m2|~a|∑ Fx = 0

(3.33)

Sijoittamalla siiman jännitysvoima yhtälöstä (3.32) yhtälöön (3.33) saadaan

−m2|~g|+ m1|~a| = −m2|~a| ⇒ |~a| = m2

m2 + m1|~g| (3.34)

Sijoittamalla annetut arvot saadaan |~a| ≈ 7 m/s2. Jännitysvoima voidaan laskea yhtälöstä (3.32):

|~T| = m1m2

m1 + m2|~g| (3.35)

Sijoittamalla arvot saadaan tulokseksi |~T| ≈ 14 N.

3.2.3 Kitkavoimat

Käytännön elämän tilanteissa kitkavoimat ovat erittäin merkittävässä roolissa. Ilman kitkavoimia maa-ilmaa tuskin olisi edes olemassa. Seuraavaksi esitetään yksinkertaisin mahdollinen täysin mekaaninenkitkavoimaa kuvaava malli, jossa kitkavoima ~Fk on suoraan verrannollinen kappaletta pystysuunnassatukevaan pinnan tukivoimaan ~N, kirjoitetaan ~Fk ∝ ~N. Lisäksi kitkavoima on aina kohtisuorassa pinnantukivoimaa vastaan. Kitkan tarkempi mallintaminen vaatisi sähköopin ja lämpöopin käsitteitä, joihinei mennä vielä tässä yhteydessä.

Kitkavoimia voidaan ajatella olevan kahdenlaisia. Staattinen kitka tulee kysymykseen esimerkiksitilanteessa, jossa paikallaan olevaa painavaa laatikkoa aletaan työntää eteenpäin. Homma tuntuu mel-ko raskaalta, kunnes laatikko vihdoin lähtee liikkeelle. Tämän jälkeen se on kevyen tuntuista pitääliikkeessä, sillä liukuvan kappaleen liukukitka on aina pienempi kuin sen staattinen kitka. Staattisellekitkalle ja liukukitkalle voidaan kirjoittaa yhtälöt

|~Fliuku| = η|~N| ja |~Fstat| = µ|~N| (3.36)

missä η ja µ ovat liukukitkakerroin ja staattisen kitkan kerroin. Erityisesti pätee µ ≥ η. Kuvassa 3.13 onesitetty (kitkavoiman näkökulmasta) tilanne, jossa laatikkoa työnnetään eteenpäin vaakasuoralla alus-talla kitkavoiman vaikuttaessa.

Kitkavoimat: Esimerkki

Tarkastellaan laatikkoa kaltevalla tasolla, jonka kaltevuuskulma on α = 10◦. Laatikon massa on m = 20 kg ja seon paikallaan. Selvitä tason suunnassa vaikuttava kitkavoima. Jos laatikon liikkeelle työntäminen (alaspäin) vaa-tii 30 Newtonin voiman tason suunnassa, mikä on laatikon ja kaltevan tason välinen staattisen kitkan kerroin?

61


~Fkstat

~Fkliuku

KUVA 3.13: Kuva tilanteesta, jossa kappaletta työnnetään vaakasuoralla alustalla kitkavoiman vai-kuttaessa. Staattisen kitkan alueella ollaan silloin, kun laatikko ei vielä liiku (liu’u).Kun työntövoima saavuttaa tietyn huippuarvon, niin laatikko lähtee liikkeelle ja siir-rytään liukukitkan vaikutusalueelle. Koska liukukitka on jonkin verran staattista kit-kaa pienempi, putoaa laatikon liikkeessä pitämiseen tarvittava voima hieman huip-puarvoa pienemmäksi.

Ratkaisu: Piirretään laatikosta kuva ja vapaakappalekuva (kuva 3.14). Valitaan positiivinen x- ja y-suunta kuten kuvassa. Tarkastellaan ensin tilannetta, jossa laatikko on paikallaan. Nyt x-suunnassasaadaan

0 = ∑ Fx = −|~G| sin(α) + |~Fk|⇒ |~Fk| = m|~g| sin(α)

= 20 kg · 9, 81 m/s2 · sin(10◦)

= 34, 069 . . . N ≈ 30 N.

(3.37)

Laatikkoon vaikuttava tason normaalivoima puolestaan saadaan y-suunnan tarkastelusta:

0 = ∑ Fy = −|~G| cos(α) + |~N|⇒ |~N| = m|~g| cos(α)

= 20 kg · 9, 81 m/s2 · cos(10◦)

= 193, 219 . . . N.

(3.38)

Kun laatikko lähtee liikkeelle, niin y-suunnan voimien tasapaino säilyy. Laatikon liikuttamiseen tarvit-tava kokonaisvoima on ~F = −~Fk − 30 N i. Koska kitkakerroin µ on kääntäen verrannollinen normaali-

62


~G

~N ~Fk

yx

KUVA 3.14: Kitkavoimaesimerkin tilanne sekä vapaakappalekuva.

voimaan eli pätee |~F|/|~N| = µ, niin saadaan

µ =| − ~Fk − 30 N i|

|~N|

=m|~g| sin(α) + 30 N

m|~g| cos(α)

=20 kg · 9, 81 m/s2 · sin(10◦) + 30 N

20 kg · 9, 81 m/s2 · cos(10◦)

= 0, 3315 . . . ≈ 0, 3

(3.39)

3.3 Ympyräliike

Kun hiukkanen liikkuu ympyräradalla, sen nopeuden suunta muuttuu jatkuvasti. Näin ollen hiukka-sella on aina sen nopeuden suuntaa vastaan kohtisuorassa oleva kiihtyvyyskomponentti ympyräradankeskipisteen suuntaan. Seuraavaksi tarkastellaan tasaista ympyräliikettä, muuttuvaa ympyräliikettäsekä lyhyesti ympyräliikkeen dynamiikkaa.

3.3.1 Tasainen ympyräliike

Tasaisella ratavauhdilla vr liikkuva hiukkanen on tasaisessa ympyräliikkeessä. Ratavauhti voidaan las-kea tasaisen liikkeen perusyhtälöstä:

vr =∆s∆t

=2πR∆t

(3.40)

Yhtälössä (3.40) termi 2πR tulee ympyräradan pituudesta. Tasaisessa ympyräliikkeessä hiukkasen no-peuden suuruus radan jokaisessa pisteessä on sama ja sen suunta on ympyräradan tangentin suunta.

Hiukkaseen vaikuttava kiihtyvyys, normaalikiihtyvyys~aN , on aina kohtisuorassa ratanopeutta vas-taan (kuva 3.15). Normaalikiihtyvyys pitää hiukkasen ympyräradalla. Kiihtyvyyttä vastaavaa voimaakutsutaan usein keskeisvoimaksi (tai normaalivoimaksi) ~FN = m~aN .

Tasaisessa ympyräliikkeessä voidaan normaalikiihtyvyyden~aN suuruudelle johtaa yhtälö

|~aN | =v2

r

R= ω2R, (3.41)

63


~aN

~vr

R

KUVA 3.15: Tasainen ympyräliike. Normaalikiihtyvyys~aN ja ratanopeus ~vr ovat jokaisessa ympy-räradan pisteessä kohtisuorassa toisiaan vastaan. Huomaa, että tässä tarkastelussa eiole lainkaan huomioitu Maan vetovoimaa.

missä vr on hiukkkasen ratanopeuden suuruus, R on ympyräradan säde ja ω = vr/R on kulmanopeus,joka kuvaa kierretyn kulman suuruutta aikayksikössä. Huomaa, että kulmanopeuden yksikkö on rad/s,ei ◦/s. Yhtälöiden (3.40) ja (3.41) avulla voidaan määritellä ympyräliikkeen yhteen kierrokseen hiuk-kaselta kuluva aika eli jaksonaika ∆t:

∆t =2πR

vr(3.42)

ja yhtälöt (3.40) ja (3.42) yhdistämällä saadaan vaihtoehtoinen lauseke normaalikiihtyvyyden suuruu-delle:

|~aN | =v2

r

R=

4π2R2

(∆t)2R=

4π2R(∆t)2 (3.43)

Tasainen ympyräliike: esimerkki

Kilpa-auto (massa mA = 800 kg) tulee kovaa vauhtia mutkaan, jonka radan kaarevuussäde on R = 30 metriä.Jos tien pinnan ja auton renkaiden välinen auton sivusuunnassa luisumista estävä staattisen kitkan kerroin onµ = 0, 85, mikä on maksiminopeus jolla auto voi ajaa mutkan luisumatta sivusuunnassa?

Ratkaisu: Piirretään tilannetta selventävä kuva sekä vapaakappalekuva (kuva 3.16) ja valitaan suunnatsen mukaisesti.

Tarkastellaan voimien tasapainoehtoja x- ja y-suunnissa. Helposti nähdään, että

0 = ∑ Fy = −|~G|+ |~N| ⇒ |~N| = mA|~g|

∑ Fx = |~FN | = mAv2

r

R

(3.44)

64


R

xz

mA

~N

~G

~FN

~aN

xy

KUVA 3.16: Tasaisen ympyräliikkeen esimerkin tilanne. Huomaa, että tilannekuva ja vapaakappa-lekuva on piirretty eri tasoissa, eli pystysuunta ei näy vasemmanpuoleisessa kuvassa.

Jotta kilpa-auto pysyy R-säteisellä ympyräradalla, tulee keskeisvoiman olla yhtälön (3.44) nojalla suu-ruudeltaan vähintään mAv2

r /R. Tämä asettaa auton renkaille ehtoja: ne eivät saa luisua sivusuunnassa.Renkaisiin kohdistuvan staattisen kitkan tulee olla riittävä. Jos staattisen kitkan vaihe ylitetään ja siir-rytään liukukitkaan, saa kilpa-auto keskeivoimaa vastaan samassa tasossa olevan vastakkaiseen suun-taan osoittavan voimakomponentin, jolloin summavoima ei ole enää riittävä pitämään autoa ympyrä-radalla. Kitkavoiman suuruus saadaan luonnollisesti yhtälöstä |~Fk| = µ|~N| = µ|~G|. Koska normaali-voima on suoraan verrannollinen auton maksiminopeuden neliöön, saadaan maksiminopeudelle ehto

|~Fk| = |~FN | ⇔ µmA|~g| = mAv2

rMAX

R(3.45)

Ratkaisemalla tämä yhtälö maksiminopeudelle saadaan

vrMAX =√

µ|~g|R =

√

0, 85 · 9, 81 m/s2 · 30 m = 15, 816 . . . m/s ≈ 16 m/s (3.46)

Huomaa, että tulos ei riipu kilpa-auton massasta! Tilanne on melko epärealistinen sen suhteen, ettänormaalisti kilpa-auto ajaa mutkaan jarruttaen paraabelin muotoista rataa pitkin. Koska tässä esimer-kissä oletetaan vakionormaalikiihtyvyys, on tilanne sama tarkastellaan sitä millä ajanhetkellä tahansaauton ollessa keskeisvoiman vaikutuksen alaisena (ei tapahdu sitä, että auto suistuisi mutkan jyrkim-mässä kohdassa tieltä. Se suistuu joko heti tai ei ollenkaan).

3.3.2 Muuttuva ympyräliike

Yleisessä muuttuvassa ympyräliikkeestä hiukkasen ratanopeus muuttuu ajan funktiona. Tällöin hiuk-kasen kiihtyvyys on kahden komponentin summa. Normaalikiihtyvyys~aN vaikuttaa edelleen ympyrä-

65


radan keskipistettä kohti, mutta lisäksi tangenttikiihtyvyys~aT ratanopeuden suunnassa kasvattaa hiuk-kasen ratanopeutta. Tangenttikiihtyvyyden avulla voidaan määritellä kulmakiihtyvyys α = |~aT |/R, jokakuvaa kulmanopeuden muutosta aikayksikössä. Jos painovoimaa ei huomioida, saadaan hiukkasenkokonaiskiihtyvyys jollakin ajanhetkellä laskettua tavalliseen tapaan:

~a =~aN +~aT ⇒ |~a| =√

|~aN |2 + |~aT |2 (3.47)

Vastaavasti hiukkaseen vaikuttava kokonaisvoima ~F saadaan vektorisummana.Jos ympyräliikkeen kulmakiihtyvyys on vakio, on kyseessä tasaisesti kiihtyvä ympyräliike. Tällöin

kulmasuureille saadaan suoraviivaisen tasaisesti kiihtyvän liikkeen yhtälöiden kanssa analogiset yh-tälöt:

ω = ω0 + αt

θ = θ0 + ω0t +12

αt2(3.48)

Edellisissä yhtälöissä tulee kulmasuureiden yksikköinä käyttää radiaaneja asteiden sijaan.Vaikka normaalikiihtyvyys vaikuttaa aina ympyräradan keskipistettä kohti, voi sen suunta muut-

tua koordinaatistovalinnasta riippuen. Seuraava esimerkki havainnollistaa tilannetta.

Esimerkki: muuttuva ympyräliike

Oletetaan, että henkilö (massa m = 70 kg) liikkuu vastapäivään maailmanpyörässä ympyräradalla (säde R = 20m). Ajan alkuhetkellä henkilö on radan ylimmässä pisteessä, jolloin hänellä on tangenttikiihtyvyys |~aT | = 1 m/s2

ja normaalikiihtyvyys |~aN | = 1 m/s2. Radan alimmassa pisteessä kiihtyvyyksien suuruudet ovat samat. Lisäksihenkilöön vaikuttaa painovoima. Oletetaan, että henkilö pysyy paikallaan eikä lennä pois maailmanpyörän kyy-distä. Laske henkilöön vaikuttavan istuimen tukivoiman suuruus radan ylimmässä ja alimmassa pisteessä sekähenkilön ratavauhti ajan alkuhetkellä.

Ratkaisu: Kuvan piirto auttaa jälleen. Kuvasta 3.17 nähdään, että henkilöön vaikuttava tukivoima onvarsin erilainen radan ylimmässä ja alimmassa pisteessä.

Valitaan suunnat kuvan 3.17 mukaisesti. Henkilön ratavauhti ajan alkuhetkellä saadaan normaali-kiihtyvyyden yhtälöstä:

|~aN(0)| =[vr(0)]2

R⇒ vr(0) =

√

|~aN(0)|R =

√

1 m/s2 · 20 m = 2√

5 m/s (3.49)

Otetaan seuraavaksi käsittelyyn henkilöön kohdistuva tukivoima radan ylimmässä pisteessä. Helpostisaadaan seuraavat x-ja y-suunnissa ehdot voimien tasapainolle:

0 = ∑ Fx = |~Nx| − |~FT | ⇒ |Nx| = |~FT | = m|~aT | = 70 kg · 1 m/s2 = 70 N

0 = ∑ Fy = |~Ny| − (|~G|+ |~FN |)⇒ |~Ny| = m (|~g|+ |~aN |)

= 70 kg ·(

9, 81 m/s2 + 1 m/s2)

= 756, 7 N

(3.50)

66


~FN + ~Ny

~FT

~G

~Nx

~FT

~G + ~FN

~Ny

~Nx

xy

KUVA 3.17: Muuttuvan ympyräliikkeen esimerkkitehtävän kuva.

Kokonaistukivoiman ~N = ~Nx + ~Ny suuruus saadaan Pythagoraan lauseella:

|~N|ylä =√

|~Nx|2 + |~Ny|2 ≈ 760 N (3.51)

Tarkastellaan seuraavaksi radan alinta pistettä. Voimille kirjoitetaan seuraavanlaiset tasapainoehdot:

0 = ∑ Fx = −|~Nx|+ |~FT | ⇒ |Nx| = |~FT | = m|~aT | = 70 kg · 1 m/s2 = 70 N

0 = ∑ Fy = |~Ny|+ |~FN | − |~G| ⇒ |~Ny| = m (|~g| − |~aN |)= 70 kg ·

(

9, 81 m/s2 − 1 m/s2)

= 616, 7 N

(3.52)

Kokonaistukivoiman suuruus on näin ollen

|~N|ala =√

|~Nx|2 + |~Ny|2 ≈ 620 N (3.53)

3.4 Työ ja mekaaninen energia

Yksi tärkeimmistä periaatteista fysiikan ongelmien ratkaisussa on energiaperiaate, joka voidaan ly-hyesti kirjoittaa muodossa ∆E = W. Fenomenologisesti yhtälö voidaan ajatella siten, että fysikaalisensysteemin sisäenergian muutos on yhtäsuuri kuin systeemiin tehty työ6.

Energia on suure, joka voi muuttua muodosta toiseen, mutta jota ei voida luoda tyhjästä tai tuhotapois. Mekaniikassa tarkastellaan usein tilanteita, joissa kappaleen kokonaisenergian katsotaan koos-tuvan pelkästään kineettisestä energiasta ja potentiaalinergiasta, vaikka todellisuudessa energia esiintyylukuisissa eri muodoissa (lämpöenergia, sähköinen energia, ääni,. . . ). Tästä huolimatta mekaniikantarkastelulla voidaan saada suuntaa antavia tuloksia. Energia-käsitteen lisäksi tarkastelemme työtä fy-siikassa, sillä energian määrittelyn perustana on fysikaalisen työn käsite.

6Tämä tarkoittaa usein ei-konservatiivisten vastusvoimien, kuten kitkan ja ilmanvastuksen, tekemää työtä.

67


3.4.1 Fysikaalinen työ

Seuraavaksi tarkastellaan vakiovoiman tekemää työtä sekä muuttuvan voiman tekemää työtä.

Vakiovoiman tekemä työ ja teho

Olkoon hiukkaseen vaikuttava voima ~F vakio. Jos voima ~F tekee työtä matkan ~x, niin tehty työ on

W = ~F ·~x = |~F||~x| cos(φ) (3.54)

Yhtälössä (3.54) on kyseessä kahden vektorin pistetulo ja kulma φ on vektorien ~F ja ~x välinen kulmavastapäivään kierrettynä (kuva 3.18).

φ

~x

~F

~F · ~x = |~F ||~x| cos(φ)

Fy j = |~F | sin(φ)j

Fx i = |~F | cos(φ)i

~F = Fxi + Fyj

~F

KUVA 3.18: Voima ~F ja siirtymä ~x. Ainoastaan siitymän suuntainen voiman ~F komponentti Fx =

|~F| cos(φ) on merkittävä, kun lasketaan fysikaalista työtä siirtymän suunnassa.

Merkintä ~x tarkoittaa vektorisiirtymää; se huomioi siirtymän lisäksi myös siirtymän suunnan. Jossiirtymä ja vaikuttava voima ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, niin tehty työ on 0. Jos siirtymä javoima ovat eri suuntaan, on tehty työ negatiivinen (kuva 3.19). Huomaa, että työ on skalaarisuure; silläei ole suuntaa. Työn yksiköt saadaan voiman ja matkan SI-yksiköistä: [W] = [F][x] = 1 Nm = 1 J.Yksikköä kutsutaan nimellä newtonmetri tai tavallisemmin joule.

~x

~F

~F⊥~x ⇒ W = 0

~x~F

~F ↑↓ ~x ⇒ W < 0

~x ~F

~F ↑↑ ~x ⇒ W > 0

KUVA 3.19: Fysikaalinen työ eri tilanteissa. Huomaa, että työ voi olla positiivinen, negatiivinen tainolla, vaikka vaikuttava voima olisi olemassa. Tärkeää on havaita voiman ja siirtymänsuunta toisiinsa nähden.

Joissakin oppikirjoissa työ on määritelty hieman erilaisesta näkökulmasta. Voidaan nimittäin aja-tella, että joku muu kuin vaikuttava voima (esimerkiksi ihminen) tekee työtä vaikuttavaa voimakent-tää vastaan. Esimerkkinä voidaan ajetella tilannetta, jossa painonnostaja nostaa tangon suorille käsille.

68


Hän tekee työtä painovoimakenttää vastaan ja työn suuruus on painojen massa kerrottuna niiden nos-tokorkeudella. Näin ollen tästä näkökulmasta tehty työ olisi positiivinen, mutta edellä määrittelemäl-lämme tavalla saadaan negatiivinen arvo (koska siirtymä on voiman vaikutussuuntaa vastaan).

Käytännön laskuissa kannattaa havaita se, että usean voiman tekemän työn voi laskea kahdella eritavalla:

1 Laskemalla jokaisen vaikuttavan voiman tekemä työ eli pistetulo siirtymän suhteen erik-seen ja summaamalla työt yhteen.

2 Laskemalla vaikuttavien voimien summa (vektorisumma) ja sen pistetulo siirtymänkanssa.

Tehty työ ei ole sidoksissa siihen, kuinka kauan aikaa työn tekemiseen käytetään. Tämä on usein kui-tenkin kiinnostavaa tietää. Fysikaalinen hetkellinen teho määritellään hiukkaseen vaikuttavan voiman~F ja hiukkasen nopeuden ~v pistetulona:

P = ~F ·~v (3.55)

Tehon SI-yksikkönä on watti (1 W = 1 J/s). Teho voidaan määritellä myös myöhemmin käsiteltävänliike-energian K muutoksena aikayksikössä, eli P = dK/dt. Jos halutaan laskea keskimääräinen tehoPk jollakin aikavälillä ∆t, niin tehty työ W voidaan jakaa aikavälin pituudella:

Pk =W∆t

(3.56)

Esimerkki: vakiovoiman tekemä työ

Punttisalilla rehkitään usein hieman liian suurilla painoilla. Reima on päättänyt toteuttaa pitkäaikaisen haaveen-sa ja vetää 150 kiloa painavaa jalkaprässitelinettä kolme metriä eteenpäin. Hän on suunnitellut homman niin,että hän sitoo narun vartolonsa ympäri, jolloin vetokulma vaakatasoon nähden on 20 astetta. Oletetaan, että Rei-man vetovoima on hurjat 2000 Newtonia. Jos liukukitkakertoimen suuruus on η = 0, 3, niin kuinka suuren työnReima tekee?

Ratkaisu: Piirretään tilanteesta mallikuva, johon merkitään jalkaprässiin kohdistuvat voimat (kuva3.20). Kuvaan on merkitty selvyyden vuoksi myös kitkavoima. Valitaan siirtymän suunnaksi positii-vinen x-suunta. Reima vetää jalkaprässitelinettä vinossa kulmassa. Kun laskemme tehtyä työtä, tuleemeidän huomioida ainoastaan siirtymän suunnassa vaikuttava voiman komponentti. Jos ~FR = 2000 Non Reiman prässiin kohdistuva voima, niin voimakomponentti siirtymän suunnassa on Fx = cos(20◦) ·|~FR|. Sijoittamalla tämä tieto yhtälöön (3.54) saadaan

W = Fx i ·~x = cos(20◦) · |~FR| · x

= cos(20◦) · 2000 N · 3 m

= 5638, 1557 . . . J

≈ 6 kJ

(3.57)

Huomaa, että kitkavoimaa ei huomioida, sillä lasketaan Reiman vetovoiman tekemää työtä. Toki häntekee tämän työn mm. kitkavoimaa vastaa.

69


Fx i

Fx j~FR

α~Fµ

KUVA 3.20: Jalkaprässi esitettynä ”laatikkokasana” ja reiman kohdistava vetovoima. Vetokulmansuuruus on α = 20◦.

Esimerkki: vakiovoiman tekemän työn teho

Oletetaan, että edellisen esimerkin Reimalla menee jalkaprässin siirtoon aikaa 2 sekuntia. Mikä on tällöin Rei-man keskimääräinen teho? Kuinka suuren keskimääräisen kiihtyvyyden Reima aiheuttaa prässille?

Ratkaisu: Jalkaprässiä siirrettiin kolme metriä kahden sekunnin aikana, joten keskimääräinen siirto-nopeus (siirtymän suunnassa) on 1, 5 m/s. Sijoittamalla yhtälöön (3.55) saadaan

P = ~FR ·~v= Fx · v

= cos(20◦) · 2000 N · 1, 5 m/s

= 2819, 077 . . . W

≈ 3 kW

(3.58)

Edellinen tulos saadaan vaihtoehtoisesti myös yhtälöllä (3.56), sillä kyseessä on keskimääräisen tehonarvo.

Esimerkki: tehon laskeminen

Torontossa sijaitseva CN tower on Pohjois-Amerikan korkein rakennus. Sen alemman näköalatasanteen korkeuson 342 metriä. Oletetaan, että Torontossa järjestettävään Sporting Life 10K -juoksutapahtuman kilpailija (massa65 kg) päättää juosta ylös CN towerin rappuset. Jos hänellä kuluu tempaukseen aikaa 12 minuuttia, niin kuinkasuuren työn hän tekee? Mikä on keskimääräisen tehon suuruus?

Ratkaisu: Juoksijan lihasvoima tekee työtä painovoimaa vastaan (muut voimat, kuten kitkavoimatyms. oletetaan mitättömän pieniksi). Tehty työ on yhtä suuri kuin alkutilan (juoksija alhaalla) ja lop-putilan (juoksija tasanteella) energian muutos7 (kuva 3.21). Siirtymä ja vaikuttava voima ovat samassasuunnassa, joten saadaan

W = mgh = 65 kg · 9, 81 m/s2 · 342 m = 218076, 3 J ≈ 2, 2 · 105 MJ (3.59)

7Tästä tulee lisää infoa energiaperiaatteen yhteydessä myöhemmin.

70


Teho saadaan jakamalla tehty työ siihen kuluneella ajalla, eli

P =W∆t

=mgh∆t

=218076, 3 J

12 · 60 s= 302, 883 . . . W ≈ 0, 3 kW. (3.60)

h

W = mgh

Pavg = W/∆t

1

2

KUVA 3.21: Taiteilijan näkemys Toronton CN Towerista. Huomaa, että tehty työ on samansuurui-

nen kuin alkutilan 1 ja lopputilan 2 juoksijan potentiaalienergian muutos.

Muuttuvan voiman tekemä työ**

Jos tarkasteltava voima ei ole vakio vaan muuttuu ajan (ja näin ollen paikan) funktiona, emme voisuoraan laskea tehtyä työtä voiman ja siirtymän tulona. Emme myöskään voi soveltaa tasaisesti kiihty-vän liikkeen yhtälöitä, sillä muuttuva voima aiheuttaa muuttuvan kiihtyvyyden. Ongelman ratkaisuk-si meidän tulee ”keskiarvoistaa” voima eli laskea sille aikakeskiarvo. Tämä tarkoittaa käytännössä sitä,että määritämme tietyllä aikavälillä vaikuttavalle voimalle keskivoiman (vrt. keskinopeus ja keskikiih-tyvyys). Jos voima ~F on ajan funktio eli ~F(t) ja se vaikuttaa aikavälillä t1 → t2, niin sen aikakeskiarvovoidaan laskea yhtälöstä

〈~F(t)〉 = 1t2 − t1

∫ t2

t1

~F(t′) dt′ (3.61)

Edellisessä integroinnissa merkittiin intergointimuuttujaa pilkullisella symbolilla t′, sillä integrointi-muuttuja on eri asemassa (muuttujana) yhtälössä kuin sinne sijoitettava kiinnitetty (=vakiona pysyvä)ajan arvo t. Keskivoiman avulla voidaan laskea tehty työ vakiovoiman työn kaavalla.

Toinen vaihtoehto laskea muuttuvan voiman tekemä työ on integroida voimaa suoraan yli paikka-siirtymän, eli

W =∫ x1

x0

F(x) dx, (3.62)

71


missä x1 − x0 on paikkasiirtymä voiman vaikutusaikana. Tämä yhtälö pätee, jos voima ja siirtymäovat samassa suunnassa. Mikäli ne eivät ole, tulee työ laskea viivaintegraalina useassa dimensiossa. Sepuolestaan ei ole tämän kurssin keskeisintä sisältöä.

Yhtälö (3.62) seuraa suoraan fysikaalisen työn graafisesta tulkinnasta pinta-alana. Yhtälön käyttä-minen on järkevää, jos voima on alun perin annettu paikkariippuvassa muodossa ja se on yhdensuun-tainen siirtymän kanssa.

Esimerkki: muuttuvan voiman tekemä työ**

New Yorkin Madison Square Gardenissa järjestetään ”Old Champion’s Boxing Night” (OCBN), jos-sa ottelevat keskenään legendaarinen Cassius Clay (Muhammad Ali) sekä Mike Tyson. Kellon soi-dessa ensimmäiseen erään Ali lähestyy painavin askelin vastustajaansa ja yrittää ratkaista hommankertaheitolla; hän lyö oikean yläkoukun Tysonia leukaan. Oletetaan, että iskun pituus on (osumanjälkeen) 0,2 metriä ja että nyrkki vaikuttaa leukaan vähenevällä voimalla, jonka suuruus on F(x) =

10000 · (x − 0, 2)2 N. Kaatuuko Tyson, jos hän kestää korkeintaan sadan joulen iskun?

Ratkaisu: Koska voima ja siirtymä ovat samassa suunnassa ja voima on annettu paikkariippuvassamuodossa, kannattaa käyttää hyväksi yhtälöä (3.62). Tällöin saadaan

W =∫ 0,2 m

0F(x) dx =

∫ 0,2 m

010000 · (x − 0, 2)2 N dx

=10000

3

∣∣∣

2 m

0(x − 0, 2)3 Nm

=10000

3·[

0 − (0, 2)3]

Nm

= 26, 6667 J

≈ 30 J

(3.63)

Siispä Tyson pysyy pystyssä ja todennäköisesti Ali kaatuu hyvin nopeasti mattoon. Yleensä nyrkkei-lytilanteessa tehty työ ei ole kovin merkittävä suure, sillä se ei mitenkään spesifioi työhön käytettyäaikaa. Voidaan kuitenkin olettaa, että nyrkkeilyisku tapahtuu erittäin nopeasti, vaikka kymmenen mil-lisekunnin aikana. Tällöin olisi järkevämpää laskea esimerkiksi iskun hetkellinen teho tai impulssi, jo-hon päästään myöhemmin liikemäärän käsittelyn yhteydessä.

3.4.2 Mekaaninen energia

Energia-käsite on fysiikassa tarkoin määritelty. Se voi mekaniikan yhteydessä kuvata esimerkiksi liik-kuvan kappaleen energiaa, paikallaan olevan kappaleen potentiaalienergiaa tai vaikkapa pyörivänkappaleen pyörimisenergiaa (käsitellään myöhemmin). Energian absoluuttisella arvolla ei monessa-kaan fysiikan tilanteessa ole juuri mitään merkitystä, jos vertailukohdetta ei tunneta. Tärkeässä osassaovat kappaleiden väliset energiaerot, oli kyse sitten liike-energiasta tai potentiaalienergiasta.

Kineettinen energia eli liike-energia

Oletetaan, että m-massainen hiukkanen on x-akselilla tasaisesti kiihtyvässä liikkeesä. Oletetaan, ettähiukkasen nopeuden suuruus muuttuu alkuarvosta v1 arvoon v2 siirtymän ∆x = x2 − x1 aikana. Tasai-

72


sesti kiihtyvän liikkeen yhtälöistä (3.9) ja (3.10) voidaan helposti johtaa yhtälö, josta aika on eliminoitupois:

v22 = v2

1 + 2a(x2 − x1) ⇒ a =v2

2 − v21

2∆x(3.64)

Nyt hiukkaseen vaikuttavan voiman suuruus on |~F| = ma ja tehty työ x-akselin suunnassa on |~F|∆x =

ma∆x, joten

W = m · v22 − v2

12∆x

∆x =12

m(v22 − v2

1) (3.65)

Tämän yhtälön voi ymmärtää siten, että hiukkaselle tehty työ siirtymän ∆x aikana on yhtä suuri kuinhiukkasen liike-energian muutos. Näin ollen yhtälö (3.65) on yksi muoto energiaperiaatteelle. Nopeu-della ~v liikkuvan m-massaisen hiukkasen liike-energia K määritellään edellisen yhtälön perusteellaseuraavasti:

K =12

m|~v|2 (3.66)

Esimerkki: liike-energian laskeminen

Tyrannosaurus Rex on muinoin maan päällä oleskellessaan ollut noin 70000 Newtonin painoinen. Laske Rexinliike-energia, kun se tallustaa eteenpäin (rauhallisella) 4 m/s ”kävelyvauhdilla”. Kuinka nopeasti tulisi 70 kiloi-sen ihmisen liikkua, jotta hänellä olisi enemmän kineettistä energiaa kuin tällä dinosauruksella?

Ratkaisu: Tyrannosauruksen massa saadaan laskettua yhtälöstä |~G| = m|~g|, missä ~g on putoamis-kiihtyvyys ja ~G = 70000 N on saurukseen kohdistuva painovoima. Sijoittamalla saatu tulos yhtälöön(3.66) antaa

K =12

m|~v|2

=12|~G||~g| |~v|

2

=12· 70000 N

9, 81 m/s2 · (4 m/s)2

= 57084, 607 J

≈ 60 kJ

(3.67)

Jälkimmäisessä kohdassa merkitään ihmisen massaa symbolilla m. Vaatimalla EIHMINEN ≥ EREX liike-energioille saadaan

12

mv2 ≥ EREX ⇒ v ≥√

2mEREX = 2826, 985 m/s ≈ 10200 km/h (3.68)

Ihmisen tulisi liikkua nopeudella, jonka saavuttaminen maan päällä on hankalaa.

Potentiaalienergia

Liike-energian ohella voidaan määritellä toinen tavallinen energian muoto eli potentiaalienergia. Ulkoi-sen vakiovoimakentän (esimerkiksi painovoiman) vaikuttaessa se saadaan laskettua voiman ja paikan

73


muutoksen tulona, eliU = ~F · ∆~x (3.69)

Jos vaikuttava voima on painovoima ja siirtymä on yhdensuuntainen sen kanssa, saadaan tuttu yhtälöU = mgh, missä h on korkeus jostakin nollatasosta ylöspäin (korkeusero) ja g on putoamiskiihtyvyy-den suuruus. Havainnollistava graafinen esitys tilanteesta kahden laatikon tapauksessa löytyy kuvasta3.22.

h

U = mgh

U ′ = 0

KUVA 3.22: Potentiaalienergian graafinen tulkinta. Tasanteella olevalla laatikolla on potentiaalie-nergiaa verrattuna maassa olevaan laatikkoon. Kannattaa huomata, että ylhäällä ole-van laatikon potentiaalienergia on ainoastaan suhteellinen potentiaalienergiaero ver-rattuna alatasoon; sillä ei ole ”absoluuttisesti” ajateltuna mitään erityistä arvoa.

Jos esimerkiksi kivi pudotetaan talon katolta alas, on kivellä jonkin verran liike-energiaa maahanosuessaan. Alkutilanteessa talon katolla kivi on kuitenkin paikallaan, jolloin sillä on potentiaalienergi-aa arvon U = mgh verran maanpinnan tasoon nähden. Muutos kiven potentiaalienergiassa (tai vastaa-vasti liike-energiassa) tarkoittaa tietyn suuruisen työn tekemistä: tämän työn tekee painovoima vetäes-sään kiveä maata kohti tasaisella kiihtyvyydellä. Painovoiman tekemä työ voidaan ilmaista yhtälöllä

W = U1 − U2, (3.70)

missä U1 on alkutilan potentiaalienergia ja U2 lopputilan potentiaalienergia8. Järjestys on nimenomaanalkutila−lopputila, sillä kivelle tehtiin työ voiman suuntaan ja se on näin ollen positiivinen. Voimaavastaan tehty työ olisi negatiivinen ja tällöin lopputilan potentiaalienergia olisi suurempi kuin alkuti-lan potentiaalienergia.

8Yhtälö (3.70) pätee yleisesti voimalle, joka on konservatiivinen. Tästä lisää myöhemmin.

74


Jousen potentiaalienergian kaavan johto*

Haluan korostaa tässä sitä, että edellä kuvattu gravitaatiopotentiaalienergia on vain yksi potentiaalie-nergian monista muodoista. Sen ohella voidaan tarkastella esimerkiksi elastista potentiaalienergiaa,joka ilmenee jousisysteemeissä. On kokeellisesti havaittu, että kun jousta venytetään vähän verrattunajousen lepopituuteen, vaadittava voima on muotoa

~F = −k~x, (3.71)

missä k on vakio (jousen jousivakio) ja x on jousen poikkeama tasapainoasemasta. Miinusmerkki koros-taa sitä, että voima suuntautuu päinvastaiseen suuntaan kuin jousta venytetään (kohti jousen tasapai-noasemaa eli lepotila-origoa). Jos jousta venytetään lähtöasennosta x0 lyhyen matka x verran poispäintasapainoasemasta, niin yhtälön (3.62) perusteella tehdyn työn suuruus on

W =∫ x

x0

−kx′ dx′ = − k2

∣∣∣

x

x0

x′2 = −12

k(

x2 − x20

)

= −12

kx2 (3.72)

Edellisessä yhtälössä tehty työ on negatiivinen, sillä se tehdään voiman suuntaa vastaan. Origo onjousen tasapainoasemaan, eli x0 = 0.

Lyhyt venytys on hyvin oleellinen jousivoimaa tarkasteltaessa. Lyhyellä venytysmatkalla päteväyhtälö (3.71) tarkoittaa, että venyttävä voima on lineaarisesti eli suoraan verrannollinen siirtymään.Tätä fysikaalista periaatetta kutsutaan myös nimellä Hooken laki, jonka pätevyysalue riippuu jousenpituudesta ja jousivakiosta.

jousi on puristunut kasaan

jousi on venynyt

jousi lepotilassa

∆x < 0

∆x > 0

∆x = 0 ~F = −k~x

KUVA 3.23: Jousen venyttämistä. Kannattaa havaita, että jousisysteemeihin liittyvät laskut hoide-taan samalla tavalla riippumatta siitä, onko jousi venynyt tai puristunut kasaan. Tär-keintä on, että venytys ei ole liian suuri. jousivoiman ~F suunta on aina kohti jousentasapainoasemaa.

Yhtälön (3.70) nojalla tehdyn työn suuruus on yhtä suuri kuin alku- ja lopputilan potentiaaliener-gioiden erotus. Jousen potentiaalienergian nollataso valitaan siten, että se saa arvon 0 jousen ollessa

75


lepopituudessaan x0 (ei venytystä); valitaan siis U(x0) = 0. Jousen potentiaalienergialle jollakin etäi-syydellä x tasapainoasemasta x0 saadaan täten yhtälö

U(x) =12

kx2 (3.73)

Yksinkertaisissa jousitehtävissä oletetaan lähes aina, että jousi on massaton. Mikäli näin ei ole, niinesimerkiksi gravitaatio kohdistaa pystysuorassa värähtelevään jouseen erisuuruisen voiman jousen eripisteissä. Jos jousen geometria ja tiheys tiedetään, niin gravitaation kohdistama voima voidaan laskea.

Energiaperiaate

Mekaanisen energian säilymislaki on tärkeä fysiikan malli, jolla saadaan ratkaistua hyvinkin monimut-kaisia ongelmia ilman integroinnin tuomia iloja. Jos ainoa fysikaaliseen systeemiin vaikuttava voimaon painovoima eli gravitaatio, niin systeemin kokonaisenergia säilyy vakiona tarkastelutilanteen alus-sa ja lopussa:

E = K + U = vakio ⇔ dEdt

= 0 (3.74)

Tämä tulos perustellaan seuraavaksi.Systeemiin tehty kokonaistyö voidaan (yleisessä mielessä) kirjoittaa systeemin liike-energian muu-

toksena, eli W = K′ − K, missä pilkullinen koordinaatti viittaa lopputilan energiaan ja pilkuton al-kutilaan. Koska painovoima on ainut vaikuttava voima, niin kokonaistyö voidaan myös lausua senavulla eli W = U − U′. Yhdistämällä nämä kaksi tulosta saadaan energiaperiaate tilanteelle, jossa eiole gravitaation lisäksi muita voimia:

K′ − K = U − U′ ⇒ K + U = U′ + K′

⇔ 12

mv2 + mgh =12

mv′2 + mgh′(3.75)

Huomaa, että edellinen yhtälö pätee myös jousen potentiaali-ja liike-energioille (vaihtamalla gravi-taation tilalle jousen potentiaalienergiatermi 1/2kx2), mikäli vain elastiset voimat tekevät työtä. Tässätapauksessa saadaan

12

mv2 +12

kx2 =12

mv′2 +12

kx′2 (3.76)

Jos painovoima huomioidaan elastisten voimien lisäksi, niin yhtälöön tulee lisätä gravitaatiopotenti-aalienergiatermit molemmille puolille. Tätä käsitellään esimerkissä hetkisen kuluttua.

Energiaperiaate käytännössä

Yhtälö (3.75) on melkoinen yksinkertaistus käytännön tilanteesta, sillä ainakin kitkavoima on tärkeäosa klassista mekaniikkaa. Vastusvoimat voidaan huomioida energiaperiaatteen lausekkeessa siten,että kokonaistyön paikalle kirjoitetaan W ′ = Wg + Wk, missä Wg = W on gravitaation tekemä työ jaWk on muiden voimien (esimerkiksi kitka ja ilmanvastus) tekemä työ. Sijoittamalla tulos energiaperi-aatteen lausekkeeseen saadaan

12

mv2 + mgh + Wk =12

mv′2 + mgh′ (3.77)

Yhtälön (3.77) mukaan muiden voimien kuin painovoiman tekemä työ on yhtäsuuri kuin systeeminkokonaisenergian muutos. Sama periaate pätee myös elastisille voimille.

76


Esimerkki 1: energiaperiaate yksinkertaisessa tilanteessa

Hullu mies haluaa esitellä kykyjään. Hän suorittaa hypyn alas jyrkänteeltä, jonka korkeus on 300 metriä. Ilman-vastus tekee hypyn aikana työn, jonka suuruus on 30000 J. Laske miehen vauhti juuri ennen kuin hän kohtaamaanpinnan, jos hänen massansa on 100 kg.

Ratkaisu: Tarkastelussa on vain yksi suunta, joten vektoreita ei tarvita. Tilanteen alussa miehellä onpotentiaalienergiaa maanpinnan tasoon nähden painovoiman määräämässä voimakentässä. Lopputi-lanteessa miehellä on pelkästään liike-energiaa. Ilmanvastus huomioidaan siten, että miehen lopputi-lan energia on sama kuin potentiaalienergian ja ilmanvastuksen tekemän työn erotus. Näin ollen voi-daan kirjoittaa

12

mv2

︸︷︷︸

=0

+mgh − Wk︸︷︷︸

=30000 J

=12

mv′2 + mgh′︸︷︷︸

=0

⇒ v′2 = 2mgh − 30000 J

m

⇒ v′ = +(−)

√

2mgh − 30000 J

m

= 72, 704 . . . m/s

≈ 70 m/s

(3.78)

Vauhti on äärimmäisen kova. Jalkoihin voi sattua, kun mies kohtaa maanpinnan.

Esimerkki 2: energiaperiaate monimutkaisessa tilanteessa

Aku Ankka lepäilee lokoisasti kotinsa pihalla riippumatossa lueskelleen väkivaltaisia Spiderman-sarjakuvia. Au-rinkoisena kesäpäivänä tämä ankka on viettänyt lukemattomia työpäiviä laiskotellen, josta Roope ei ole aivan yhtämielissään. Vuokra on jälleen maksamatta ja on kuun viimeinen päivä.

Virkistävän aamuisen rahauinnin ja setelisuihkun jälkeen Roope lähtee energisenä ja erittäin vihaisena raha-säiliöltä kohti Paratiisitie 13:sta. Hän saapuu talon pihalle ja havaitsee Akun vetelevän sikeitä.

”Mokoma laiskamato”,

hän puhisee ja kopauttaa riippumaton toisessa päässä olevaa vehreää tammea kävelykepillään. Aku havahtuu jakömpelönä ankkana pyörähtää riippumatosta alas. Hän ei huomaa, että riippumaton alla on Tupun, Hupun jaLupun unohtama trampoliini, joka ponkaisee Akun 0,8 metrin korkeudelle hieman sivusuunnassa. Tämä jälkeenAku tipahtaa ruohon pintaan nokka edellä ja alkaa juosta karkuun Roope perässään.

Jos riippumaton korkeus on 1 metri ja trampoliini on 0,5 metrin korkeudella ja se joustaa 0,2 metriä, mikä ontrampoliinin jousisysteemeissä vaikuttavan vakiona pysyvän kitkavoiman tekemän työn suuruus? Laske myöstrampoliinin jousivakio. Akun massa on 40 kg ja trampoliinia voi pitää massattomana jousena. Ilmanvastusta eitarvitse huomioida.

Ratkaisu: Tehtävän ideana on se, että trampoliinin elastinen potentiaalienergia muuttuu ankan gra-vitaatiopotentiaalienergiaksi ja päinvastoin. Kokonaisenergia ei kuitenkaan säily, sillä Akun alkukor-keus (1 metri) on suurempi kuin 0,8 metriä. Elastinen jousivoima, kitkavoima sekä painovoima tekevät

77


työtä. Näin ollen energiaperiaate voidaan kirjoittaa muodossa

12

mv2 +12

kx2 + mgh + Wk =12

mv′2 +12

kx′2 + mgh′ (3.79)

Kaavaan suoraan sijoittamisessa ei ole mitään hauskaa, joten mietitään tilanne ensin läpi fysiikan näkö-kulmasta. Alussa Akulla on potentiaalienergiaa, sillä hän on riippumatossa metrin korkeudella maan-pinnasta. Oletetaan, että painovoimaan liittyvän potentiaalienergian nollataso on maan pinnassa. KunAku tippuu alas, hän saa tietyn suuruisen liike-energian, joka aiheuttaa trampoliinin venymisen. Sa-malla, kun trampoliini venyy, kitkavoimat sen jousissa tekevät työtä venymissuuntaa vastaan. Akupysähtyy, kun trampoliini on venynyt matkan 0,2 metriä, jolloin hänellä on sekä gravitaatiopotentiaa-lienergiaa että elastista potentiaalienergiaa. Jousi alkaa liikkua kohti tasapainoasemaa, ja kitkavoimatekee jälleen työtä siirtymää vastaan olevaan suuntaan. Trampoliini pompauttaa Akun korkeudelle0,8 metriä, jolloin hän pysähtyy ja hänellä on ainoastaan gravitaatiopotentiaalienergiaa. Lopuksi Akutippuu maahan.

Tarkastellaan kahta eri tapausta. Valitaan ensimmäisessä tapauksessa tarkastelun alkuhetkeksi het-ki, jolloin Aku on riippumatossa. Valitaan loppuhetkeksi hetki, kun Aku on 0,8 metrin korkeudella.Näillä valinnoilla meidän ei tarvitse välittää tässä vaiheessa mitään jousen (trampoliinin) potentiaalie-nergiasta, vaan voimme laskea kitkavoiman tekemän työn helposti. Energiaperiaatteen avulla saadaan

12

mv2

︸︷︷︸

=0

+12

kx2

︸︷︷︸

=0

+mgh + Wk =12

mv′2

︸︷︷︸

=0

+12

kx′2

︸︷︷︸

=0

+mgh′

⇒ mgh + Wk = mgh′

⇒ Wk = −mg(h − h′)

= −40 kg · 9, 81 m/s2 · 0, 2 m

≈ −78, 48 J

(3.80)

Edellä pilkuttomat koordinaatit liittyvät alkuhetkeen ja pilkulliset loppuhetkeen. Kitkavoiman teke-män työn yhteydessä on hyvä huomata, että kitkavoima on aina liikkeen suuntaa vastaan, joten se saanegatiivisen arvon. Jos siirtymä on alaspäin, niin kitkavoima on ylöspäin ja päinvastoin. Tämän vuok-si jousen liikkuessa ylös ja alas kitkavoiman tekemällä työllä on molempiin suuntiin liikuttaessa samamerkki.

Kun kitkavoiman tekemä työ on laskettu, voidaan keskittyä jousen jousivakion määrittämiseen.Koska kitkavoima on vakio, niin sen tekemä työ trampoliinin puristuessa on yhtä suuri kuin trampolii-nin noustessa ylöspäin. Trampoliinin elastinen voima vaikuttaa ankkaan ylöspäin ainoastaan lepokor-keuteen x = 0, 5 m asti, sillä yhtälöstä (3.85) nähdään, että elastisen voiman suunta muuttuu tasapai-nokohdan saavuttamisen jälkeen (kohti tasapainoasemaa). Valitaan toisen tapauksen alkuhetkeksi se,kun Aku on riippumatossa ja loppuhetkeksi se, kun trampoliini on puristunut kasaan ala-asennossa.Alkutilanteessa ankalla on vain gravitaatiopotentiaalienergiaa ja lopputilanteessa sekä gravitaatio- että

78


elastista potentiaalienergiaa. Energiaperiaatteen mukaan saamme

12

mv2

︸︷︷︸

=0

+12

kx2

︸︷︷︸

=0

+mgh +12

Wk =12

mv′2

︸︷︷︸

=0

+12

kx′2 + mgh′

⇒ 12

kx′2 = mg(h − h′) +12

Wk

⇒ k = 2mg(h − h′) + 1

2 Wk

x′2

(3.81)

Sijoittamalla arvot x′ = 0, 2 m, h − h′ = 0, 7 m ja edellä laskettu työ Wk saadaan vastaukseksi k ≈11772 N/m. Tämä on jonkin verran pienempi arvo kuin esimerkiksi auton jousien jousivakiot, jotkaovat suuruusluokkaa 105 N/m.

Konservatiiviset voimat ja yleinen energian säilymislaki

Tähän asti käsitellyistä voimista painovoima sekä elastinen jousivoima ovat konservatiivisia voimia, kuntaas kitkavoima ja ilmanvastus eivät ole. Mitä tarkoittaa voimaan liittyvä käsite konservatiivisuus?

Vaaditaan, että voiman tekemän työn tulee toteuttaa ainakin seuraavat ominaisuudet, jotta voimavoisi olla konservatiivinen:

(i) Tehty työ on yhtäsuuri kuin potentiaalienergiaero alku-ja lopputilojen välillä.

(ii) Työ on riippumaton siitä reitistä (polusta), mitä pitkin se suoritetaan. Se riippuu näin ollen ai-noastaan polun alku-ja loppupisteistä.

(iii) Se on reversiibeli, eli esimerkiksi painovoiman tapauksessa energia voi muuttua potentiaaliener-giasta liike-energiaksi ja päinvastoin ilman energiahäviöitä.

Huomaa, että edelliset ehdot ovat vähimmäisvaatimus voiman konservatiivisuudelle. Vaikka voimantekemä työ toteuttaisi ne, niin voima ei välttämättä ole konservatiivinen.

Helposti havaitsemme, että kitkavoima ei toteuta ainakaan ehtoa (i). Esimerkiksi vaakasuuntaisel-la tasolla tehty edestakainen kitkatyö pisteestä x0 pisteeseen x ja takaisin aiheuttaa nollaa suuremmantyön. Toisaalta tämä tarkoittaa sitä, että kitkavoimalle ei ole olemassa järkevästi määriteltävää potenti-aalifunktiota U. Kitkavoima ei myöskään toteuta ehtoa (ii), sillä se riippuu valitusta polusta.

Ei-konservatiivisten voimien vaikutuksia voidaan kuvata systeemin sisäenergian avulla. Hyvä esi-merkki tästä on auton jarruttaminen ja renkaiden sekä tienpinnan lämpeneminen (ei huomioida il-manvastusta). Kun auton liike-energia pienenee, niin auton ja tienpinnan sisäenergia (lämpöenergiayms.) kasvaa ideaalitilanteessa juuri saman verran. Tämä on kokeellinen havainto, ja sen perusteellasaadaan yleisin mahdollinen muoto energian säilymislaille:

∆K + ∆U + ∆Usis = 0 (3.82)

Huomaa, että tämä periaate on todella yleinen; sisäenergiaan voi kuulua useita erillisiä energiamuo-toja kappaleen ominaisuuksista riippuen. Kappaleiden sisäenergiaa tarkastellaan lisää lämpöopin yh-teydessä.

79


Potentiaalienergian ja vaikuttavan voiman yhteys**

Tarkastellaan voimaa, joka vaikuttaa x-suunnassa (suunta voi olla pysty-tai vaakasuunta). Potentiaa-lienergia on jonkin vaikuttavan voiman ominaisuus, jonka suuruus riippuu myös tarkasteltavasta kap-paleesta ja erityisesti sen massasta. Aiemmin havaitsimme, että voiman kappaleelle tekemä työ on sa-ma kuin kappaleen potentiaalienergian muutos tarkastelun alku-ja lopputilan välillä. Toisaalta, tehtytyö saatiin laskettua integroimalla vaikuttavaa voimaa yli voiman vaikutusmatkan. Kysymys kuuluu,voidaanko vaikuttava voima ja potentiaalienergia liittää toisiinsa jollakin relaatiolla? Jos tiedämme po-tentiaalienergian suuruuden, niin voimmeko sitä kautta selvittää voiman suuruutta?

Vastaus on myönteinen. Yhdistämällä tuloksia saadaan yhtälö

W = U(x0)− U(x) =∫ x

x0

F(x′) dx′ (3.83)

Selvästi nähdään, että potentiaalienergiafunktio on voimafunktion integraalifunktio. Derivoidaan yh-tälö puolittain, niin saadaan

W =dU(x0)

dx− dU(x)

dx=∣∣∣

x

x0

F(x′)

= F(x)− F(x0)

(3.84)

Valitaan vertailujärjestelmä (eli koordinaatisto) siten, että F(x0) = 0. Tällöin myös potentiaali kyseises-sä pisteessä on 0 ja näin ollen

F(x) = −dU(x)dx

(3.85)

Tunnetusta potentiaalienergiasta saadaan vaikuttava voima derivoimalla. Tämä yhteys on hyödyllinensilloin, kun potentiaalienergiafunktio on annettu paikkariippuvassa muodossa U = U(x).

3.5 Liikemäärä ja törmäykset

Fysiikkaan liittyy useita ilmiöitä, joiden käsitteleminen ainoastaan energiaperiaatteen ja Newtonin toi-sen säännön avulla olisi ylettömän työlästä tai jopa mahdotonta. Monissa tilanteissa relevanttien voi-mien tunnistaminen voi osoittautua hyvin vaikeaksi. Jos esimerkiksi rekka ja tavallinen henkilöautotörmäävät risteyksessä ja jäävät toisiinsa kiinni, niin millä tavalla voisimme määrittää autokasan liik-kumissuunnan ja nopeuden törmäyksen jälkeen? Toisaalta, jos haluamme lyödä biljardia pelatessam-me kohdepallon avulla maalipallon pussiin, kuinka meidän tulisi valita tähtäyssuunta? Tämäntyyppi-siin ongelmiin auttaa uuden käsitteen, liikemäärän, käyttöönotto.

Lähestytään ongelmaa uudella tavalla. Ilmenee, että meidän ei tarvitse tietää juuri mitään edelläkuvatun kaltaisten ”hankalien” tilanteiden vaikuttavista voimista. Havaitsemme, että liikemäärän säily-mislaki on keskeinen työkalu ongelmien ratkaisussa.

3.5.1 Liikemäärä ja impulssi

Tarkastellaan hiukkasta, jonka massa on m. Newtonin toinen laki hiukkaselle voidaan kirjoittaa muo-dossa

~F = m~a = md~vdt

=ddt(m~v), (3.86)

80


missä~a on hiukkasen kiihtyvyys ja ~v hiukkasen nopeus. Yhtälö (3.86) tarkoittaa, että hiukkaseen koh-distuvan voima on verrannollinen suureen m~v muutosnopeuteen ajan funktiona. Uutta suuretta m~vkutsumme liikemääräksi ~p:

~p = m~v (3.87)

Liikemäärän yksiköt SI-järjestelmässä ovat [p] = [m] · [v] = 1 kgm/s = 1 Ns.Liikemäärän avulla voidaan määritellä toinen tärkeä suure eli impulssi ~J, joka kuvaa voiman vai-

kutusta jonkin (lyhyen) aikajakson aikana:

~J = ~p2 − ~p1, (3.88)

missä ~p2 on kappaleen liikemäärä tarkastelun loppuhetkellä ja ~p1 liikemäärä tarkastelun alkuhetkel-lä. Ratkaisemalla vaikuttava voima differentiaaliyhtälöstä (3.86) (VARO Integraalia!) saadaan relaatioimpulssin ja hiukkaseen vaikuttavan voiman välille:

~F =d~pdt

⇒ ~F dt = d~p

⇒∫ t2

t1

~F dt =∫ ~p2

~p1

d~p′

= ~p2 − ~p1

= ~J

(3.89)

Lauseke on melkein samanlainen, kuin aikaisemmin kirjoitimme voiman aikakeskiarvolle. Ainoa muu-tos on, että nyt emme jaa tulosta aikavälin pituudella.

3.5.2 Liikemäärän säilymislaki

Tarkastellaan idealisoitua tilannetta, jossa kahdesta hiukkasesta koostuva fysikaalinen systeemi on eris-tetty eli ainoastaan hiukkasten väliset ”sisäiset” voimat vaikuttavat. Newtonin kolmannen lain perus-teella hiukkasen A hiukkaseen B kohdistama voima ~FBA on yhtäsuuri mutta vastakkaissuuntainenkuin hiukkasen B hiukkaseen A kohdistama voima ~FAB. Kirjoittamalla Newtonin toinen laki liikemää-rän avulla saamme

∑~F = 0 = ~FBA + ~FAB =d~pB

dt+

d~pA

dt=

ddt

(~pB + ~pA) (3.90)

Huomataan, että liikemäärä ei muutu ajan suhteen eli se on vakio. Koska tulos pätee mille tahansafysikaalisesti mielekkäälle ajanhetkelle, voidaan sitä käyttää monipuolisesti hyväksi laskutehtävissävalitsemalla ajanhetki kuhunkin tilanteeseen sopivalla tavalla. Liikemäärän säilymislaki on hyödylli-nen, koska meidän ei tarvitse tietää mitään kappaleiden välisistä sisäisistä voimista; ne ”kumoavat”toisensa.

HUOM! Liikemäärä on vektorisuure ja sen säilyminen tarkoittaa vektorin säilymistä. Näinollen yhtälö (3.90) voidaan kirjoittaa komponenteittain muodossa

px = pAx + pBx = vakio1

py = pAy + pBy = vakio2

pz = pAz + pBz = vakio3

(3.91)

81


|~FAB | = |~FBA|

A B

KUVA 3.24: Skemaattinen kuva tilanteesta, jossa kaksi hiukkasta kohdistaa toisiinsa yhtä suuretvoimat. Kaikki, mikä on olemassa hiukkassysteemin ulkopuolella, on jätetty pois tar-kastelusta.

Liikemäärän säilymisperiaate tilanteelle, jossa systeemi ei ole eristetty (esimerkiksi systeemi paino-voimakentässä) voidaan kirjoittaa

∑~Fulk =d~Pdt

, (3.92)

missä ~Fulk on ulkoinen vaikuttava voima ja ~P on hiukkassysteemin kokonaisliikemäärä. Käytännön las-kuissa (esimerkiksi törmäystehtävissä) ulkoiset voimat ovat usein pieniä verrattuna sisäisiin voimiin

Esimerkki: liikemäärän säilyminen eristetylle systeemille 1

Pallo (massa m = 400 g) heitetään tiiliseinään siten, että pallon vauhti juuri ennen törmäystä on 30 m/s. Pallokimpoaa seinästä takaisin vauhdilla 20 m/s. Laske palloon kohdistuvan voiman aiheuttama impulssi törmäyksenaikana. Jos törmäys kestää 0,01 sekuntia, kuinka suuri on seinän palloon kohdistama keskimääräinen voima tör-mäyksen aikana?

Ratkaisu: Piirretään tehtävän tilanteesta mallikuva (kuva 3.25). Valitaan positiivinen x-suunta oikeal-le kuten kuvassa. Lasketaan aluksi pallon liikemäärä juuri ennen törmäystä (~P1) ja heti törmäyksenjälkeen (~P2):

~P1 = mv0 = 0, 4 kg · −30 m/s = −12 kgm/s

~P2 = mv0 = 0, 4 kg · 20 m/s = 8 kgm/s(3.93)

Havaitaan, että liikemäärät ovat erimerkkiset, sillä nopeuden suunta muuttuu törmäyksessä. Impulssilasketaan liikemääsän muutoksena eli

~J = ~P2 − ~P1 = [8 kgm/s − (−12 kgm/s)]i = 20 kgm/s i (3.94)

Impulssia vastaava voima saadaan laskettua jakamalla impulssin~J suuruus impulssin vaikutusajalla:

|~F| =~J∆t

=20 kgm/s

0, 01 s= 2000 N (3.95)

Havaitaan, että palloon törmäyksen aikana vaikuttava keskimääräinen voima on melko suuri verrat-tuna esimerkiksi palloon vaikuttavaan painovoimaan, jonka suuruus on hieman alle 4 N.

Esimerkki: liikemäärän säilyminen eristetylle systeemille 2

Olkoon fysikaalinen eristetty systeemi, jossa kaksi hiukkasta on kitkattomalla alustalla yhdistettyinä toisiinsamassattomalla elastisella langalla. Hiukkasten massat ovat m1 =1 kg ja m2 =100 kg. Lankaa venytetään tietyn

82


Alkutilanne

Lopputilanne

m/s

m/s

~v0 = −30

~v = 20

+x

KUVA 3.25: Esimerkin tilannekuva. Oikeast pallolla on tehtävässä annettu nopeus juuri ennen tör-mäystä: kuvassa on hieman liioiteltu pallon ja seinän välistä etäisyyttä.

matkaa, jonka jälkeen hiukkasten annetaan olla levossa. Lopulta ne päästetään irti. Kuinka suuri on kilogrammanpainoisen hiukkasen liike-energian osuus koko systeemin liike-energiasta?

Ratkaisu: Valitaan positiivinen suunta hiukkasen 1 nopeuden suuntaan, kun kappaleet päästetään liik-kumaan. Koska systeemi on eristetty, sen liikemäärä on sama ennen hiukkasten päästämistä vapaaksija sen jälkeen. Hiukkasten ollessa paikallaan systeemin kokonaisliikemäärä on nolla, joten saadaan

m1|~v1| − m2|~v2| = 0 ⇒ |~v2| =m1

m2|~v1| =

|~v1|100

(3.96)

Toisaalta, hiukkassysteemin liike-energia on

K = K1 + K2 =12

m1|~v1|2 +12

m2|~v2|2 (3.97)

Nyt saadaan

K1

K=

12 m1|~v1|2

12 m1|~v1|2 + 1

2 m2|~v2|2=

m1|~v1|2m1|~v1|2 + m2|~v2|2

=m1|~v1|2

m1|~v1|2 + m2

(|~v1|100

)2

=m1

m1 +m2

10000

=1 kg

1 kg +100 kg10000

=100101

(3.98)

83


Melkein kaikki systeemin liike-energia on kilon painoisella hiukkasella. Mielenkiintoista tuloksessaon se, että liike-energia jakautuu hiukkasten kesken kääntäen verrannollisesti siihen, kuinka suuri osasysteemin massasta niillä on.

3.5.3 Epäelastiset törmäykset

Liikenneonnettomuuksissa ja vastaavissa rajuissa törmäyksissä kappaleiden väliset keskinäiset voimatovat huomattavasti suurempia kuin ulkoiset systeemiin vaikuttavat voimat (esimerkiksi kitkavoima japainovoima). Tällöin voimme hyvällä tarkkuudella olettaa, että systeemi on täysin eristetty. Systeeminkokonaisliikemäärä on siis vakio:

~P1 = ~P2 = vakio, (3.99)

missä indeksi 1 viittaa alkutilaan ja indeksi 2 lopputilaan. Usein alku- tai lopputila kannattaa valitasiten, että systeemin kokonaisliikemäärä siinä on helppo laskea tai se on nolla.

Täysin epäelastisessa törmäyksessä kappaleet ”takertuvat” kiinni toisiinsa ja jatkavat törmäyksenjälkeen matkaa yhtenä ”kasana”. Tällöin kasan loppunopeus on jokaiselle sen osatekijälle eli kappa-leelle sama. Tarkastellaan tilannetta luontoesimerkin avulla.

Luontoesimerkki: epäelastinen törmäys

Aurinkoisena syysaamuna Jänis hyppii pellolla melkoisella vauhdilla v = 14 m/s. Hän huomaa, että vastaan tu-lee Jääkarhu, joka tallustaa eteenpäin hitaasti vauhdilla V = 0, 5 m/s. Jänis päättää kokeilla onneaan ja ”runtata”Jääkarhun kumoon. Jos Jäniksen massa on m =15 kg ja Jääkarhun massa on M =250 kg, niin mihin suuntaanJänis-Jääkarhu-systeemi jatkaa matkaansa täysin epäelastisen törmäyksen jälkeen? Jos Lammas (massa mL = 40kg) loikkii kohti Jänistä ja Jääkarhua kohtisuorassa suunnassa nopeudella vL = 3 m/s ja törmää niihin täysinepäelastisesti samalla hetkellä kun Jänis ja Jääkarhu törmäävät, niin mikä on Eläinrykelmän loppunopeus? Ilmoi-ta tulos vektorimuodossa. Oleta, että systeemi on täysin eristetty.

Ratkaisu: Valitaan positiivinen suunta Jäniksen etenemissuuntaan. Lasketaan ensin Jänis-Jääkarhu-systeemin nopeus ja nopeuden suunta törmäyksen jälkeen. Koska Lampaan vauhti on kohtisuorassa,on se helppo huomioida jälkikäteen. Jänis-Jääkarhun liikemäärä ennen törmäystä on

|~P| = mv − MV = 15 kg · 14 m/s − 250 kg · 0, 5 m/s = 85 Ns (3.100)

Jänis todellakin ”runttaa” Jääkarhun ja matka jatkuu Jäniksen menosuuntaan. Loppuvauhti v′ saadaanlaskettua helposti:

(m + M)v′ = 85 Ns ⇒ v′ =85 Ns

15 kg + 250 kg= 0, 3207 . . . m/s (3.101)

Jotta saamme Eläinrykelmän (Lammas mukana) loppunopeuden laskettua, tulee meidän huomata ettäliikemäärän Lammas-komponentti säilyy sellaisenaan kohtisuorassa suunnassa:

|~pL| = mLvL = 40 kg · 3 m/s = 120 Ns (3.102)

84


Nyt Eläinrykelmä jatkaa matkaansa kohtisuorassa suunnassa Jänis-Jääkarhun kulkusuuntaa vastaanvauhdilla v′′, jolla liikemäärä säilyy:

(m + M + mL)v′′ = 120 Ns ⇒ v′′ =

120 Ns15 kg + 250 kg + 40 kg

= 0, 3934 . . . m/s (3.103)

Loppunopeus voidaan ilmoittaa vektorimuodossa, kun valitaan Jäniksen suunta positiivisen x-akselinsuuntaiseksi ja Lampaan suunta positiivisen y-akselin suuntaan:

vloppu = v′ i + v′′ j = 0, 3207 m/s i + 0, 3934 m/s j ≈ 0, 3 m/s i + 0, 4 m/s j (3.104)

3.5.4 Elastiset törmäykset

Elastisessa törmäyksessä hiukkasten väliset törmäyksessä vaikuttavat voimat ovat luonteeltaan kon-servatiivisia. Näin ollen eristetyn systeemin liikemäärä sekä liike-energia ovat ajan suhteen vakiota elisamoja tarkastelun alku- ja loppuhetkellä.

Täysin elastisiin törmäyksiin liittyvät laskutehtävät saattavat usein näyttää todella helpoilta, silläkäytössä on kaksi yhtälöä epäelastisen törmäyksen yhden yhtälön sijasta. Tästä huolimatta laskuistasaattaa tulla algebrallisesti melko monimutkaisia, kuten seuraava sumopainijaesimerkki kertoo.

Huom! ÄLÄ käytä seuraavan laskun kaavoja suoraan tehtävissä, pääset helpommalla.

Sumoesimerkki: elastinen törmäys

Kaksi Yokozuna-sumomestaria, Takanohana (T) ja Musashimaru (M), ottelevat Tokion Ryogoku Kokugikan Su-mo –arenaalla. Oletetaan, että T:n massa on mT = 154 kg ja M:n massa mM = 235 kg. Tuomari antaa merkin,jonka M aavistaa ja ryntää suoraan päin T:tä. Jos M:n vauhti on vM = −2, 5 m/s ja T:n vauhti on vT = 0, 5 m/störmäyshetkellä, mihin suuntaan T etenee törmäyksen jälkeen ja kuinka suurella nopeudella? Oleta, että törmäyson täysin elastinen.

Ratkaisu: Sumojen toisiinsa kohdistamat voimat ovat melkoiset, joten sumo-systeemi voidaan käsi-tellä täysin eristettynä. Tällöin liike-energia ja liikemäärä ovat ajan suhteen vakiota. Liike-energia jaliikemäärä alussa ovat

K1 =12

[

mMv2M + mTv2

T

]

=12

[

235 kg · (−2, 5 m/s)2 + 154 kg · (0, , 5 m/s)2]

= 753, 625 J

P1 = mTvT − mMvM

= 154 kg · 0, 5 m/s − 235 kg · 2, 5 m/s

= −510, 5 Ns

(3.105)

Edellisessä huomioitiin liikemäärän suunta miinusmerkillä, jolloin vektoreita ei tarvitse käyttää.

85


Tarkastelun lopputilanteessa meillä on kaksi tuntematonta, eli sumojen vauhdit vM2 ja vT2 . Ne rat-kaistaan yhtälöparista

K1 = K2 =12

[

mMv2M2

+ mTv2T2

]

P1 = P2 = mTvT2 − mMvM2

(3.106)

Alemmasta yhtälöstä saadaan vM2 = (mTvT2 − P1)/mM, joka sijoitetaan ylempään yhtälöön:

2K1 = mM

(mTvT2 − P1

mM

)2

+ mTv2T2

=1

mM

(

m2Tv2

T2− 2mTP1vT2 + P2

1

)

+ mTv2T2

=

(

m2T

mM+ mT

)

v2T2− 2mT P1

mMvT2 +

P21

mM

(3.107)

Tästä saadaan kirjoitettua toisen asteen yhtälö nopeudelle vT2 :(

m2T

mM+ mT

)

v2T2− 2mT P1

mMvT2 +

P21

mM− 2K1 = 0 (3.108)

Heitetään edellinen hirviö ratkaisukaavaan, ja saadaan

vT2 =

2mT P1mM

±√(

2mT P1mM

)2− 4 ·

(m2

TmM

+ mT

)

·(

P21

mM− 2K1

)

2(

m2T

mM+ mT

) (3.109)

Sijoittamalla annetut arvot saadaan loppuvastauksiksi vT2(+) ≈ 0, 5 m/s ja vT2(−) ≈ −3, 1 m/s. KoskaTakanohana on reilusti kevyempi kuin Musashimaru, hän lähtee liikkeelle vauhdin vT2(−) suuntaan.

3.5.5 Massakeskipiste

Tähän mennessä tarkastelun kohteena on ollut yksittäinen hiukkanen. Jos fysikaalinen systeemi koostuuuseista erillisistä hiukkasista, voimmeko luonnehtia koko systeemin kollektiivista liikettä ja paikkaajollakin tavalla? Vastaus on myönteinen, ja tarkastelun mahdollistaa massakeskipisteen käyttöönotto. Yh-dessä ulottuvuudessa hiukkasjärjestelmän massakeskipisteen paikka hiukkasille, jotka ovat paikoissaxi ja joilla on massat mi on

xMPK =1

∑i mi∑

i

mixi (3.110)

Kahdessa ulottuvuudessa tarkastelu menee vastaavasti. Massakeskipisteen nopeus voidaan selvittäälaskemalla yksittäisten hiukkasten nopeuksista ~vi:

~vMPK =1

∑i mi∑

i

mi~vi (3.111)

Näin saadaan yhtälö massakeskipisteen liikemäärälle:

~pMPK =1

∑i mi∑

i

mi~pi (3.112)

86


Esimerkki: massakeskipisteen laskeminen

Oletetaan, että kolme hiukkasta on (x, y)-koordinaatiston pisteissä (1, 2), (−3,−1) ja (4, 5). Hiukkasten massatsamassa järjestyksessä ovat 5 kg, 2 kg ja 7 kg. Määritä kolmen hiukkasen muodostaman fysikaalisen systeeminmassakeskipiste.

Ratkaisu: Tarkastellaan ongelmaa erikseen x- ja y-suunnissa. Soveltamalla yhtälöä (3.110) saadaanmassakeskipisteelle x-suunnassa

xMPK =1

5 kg + 2 kg + 7 kg(2 kg · 1 + 5 kg · (−3) + 7 kg · 4)

= 1, 0714 . . .(3.113)

Vastaavanlaisella laskulla saadaan y-koordinaatille yMKP ≈ 2, 4285. Massakeskipiste on siis (xMKP, yMKP) =

(1, 1; 2, 4).

Esimerkki: vesimolekyylin massakeskipiste

Tarkastellaan kuvan 3.26 vesimolekyyliä. Hyvällä tarkkuudella voidaan arvioida, että vety- ja happiatomin mas-sakeskikpisteiden välinen etäisyys on s = 9, 57 · 10−11 m. Vetyatomit ovat sijoittuneet symmetrisesti molemmillepuolille happitomia (kulma 1 rad). Vetyatomin massa atomimassayksiköissä mitattuna on 1,0 u ja happiatomin16,0 u. Määritä molekyylin massakeskipiste kuvassa 3.26 annetun koordinaatiston mukaisesti.

Ratkaisu: Selvitetään aluksi vetyatomien koordinaatit. Trigonometrialla saadaan kosinin ja sinin avul-la ilmaistua ylemmän ja alemman vetyatomin paikka. Ylemmälle atomille (merkitään atomi 1) tuleekoordinaatiksi

x1 = cos(1) · s

y1 = sin(1) · s(3.114)

alemmalle atomille saamme

x2 = cos(1) · s

y2 = − sin(1) · s(3.115)

Atomimassayksikön suuruus on 1 u = 1, 660538 · 10−27 kg. Lasketaan ensin x-suunnan massakeskipis-te yhtälön (3.110) mukaisesti:

xMKP =1

18 u· (0 · 16 u + 1 u · cos(1)s + 1 u · cos(1)s)

= 5, 7452 . . . · 10−12 m(3.116)

Laskettaessa y-suunnan massakeskipistettä huomataan, että vetyatomien symmetrinen orientaatio x-akselin suhteen kumoaa massakeskipisteen y-koordinaatin:

yMKP =1

18 u· (0 · 16 u + 1 u · sin(1)s − 1 u · sin(1)s)

= 0(3.117)

Massakeskipiste vesimolekyylille on (5, 7 · 10−7 m, 0)

87


rad

Happi

Vety

y

xs

1

KUVA 3.26: Yksinkertainen malli vesimolekyylistä.

3.6 Pyörimisliike ja pyörimisliikkeen dynamiikka

Tässä luvussa käsittelemme jäykän kappaleen pyörimistä eli oletamme, että kappale säilyttää muotonsaja kokonsa pyörimisliikkeen aikana. Muutos hiukkastarkasteluun tulee esille siinä, että enää kappalettaei kohdella pistemäisenä objektina ellei niin erityisesti mainita. Joissakin tapauksissa voidaan jäykänkappaleen paikkaa approksimoida sen massakeskipisteen paikalla.

Olemme jo aiemmin luvussa 3.3 käsitelleet ympyräliikkeen kinematiikkaa, ja samat säännöt pätevätedelleen jäykän kappaleen pyörimiselle. Kinematiikan vastapainoksi tarkastelemme pyörimisliikettäenergian ja dynamiikan näkökulmista.

Tärkeä huomio kulmasuureiden (kulma, kulmanopeus, kulmakiihtyvyys) kanssa leikkiessä on, et-tä muistaa käyttää yksikköinä radiaaneja. Tämä on selvää esimerkiksi ympyrän kaaren pituuden smäärittelystä:

s = Rθ, (3.118)

missä R on hiukkasen ympyräradan säde ja θ on kulma, jonka verran ympyrän kaarta pitkin on kuljet-tu.

Jäykän kappaleen kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys

Jäykälle kappaleelle kannattaa havaita myös se, että kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys ovat vakioita elieivät riipu siitä, minkä massapisteen suhteen niitä tarkastellaan. Tämän voi esimerkiksi kulmanopeu-delle havaita yhtälöstä vR = Rω: säteen kasvaessa ratanopeus kasvaa.

Edellinen ei luonnollisesti perustele sitä, miksi kulmanopeus olisi edellisessä yhtälössä vakio. No,ajatellaan käänteisesti, että on olemassa kaksi massapistettä m1 ja m2, jotka sijaitsevat etäisyyksillä R1

88


ja R2 niiden massakeskipisteestä jossakin tasossa (oletetaan liike kaksiulotteiseen tasoon yksinkertai-suuden vuoksi). Pisteillä on kulmanopeudet ω1 ja ω2 siten, että ω1 6= ω2. Vaaditaan lisäksi, että pisteetmuodostavat jäykän kappaleen, eli kappaleen ”muoto” ei muutu ajan kuluessa.

Alkutilanne on esillä kuvassa 3.27 Koska massapisteitä on vain kaksi, voidaan koordinaatisto va-lita tarkastelun helpottamisen kannalta siten, että pisteet ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Kos-ka kulmanopeudet eroavat toisistaan, niin voidaan esimerkiksi olettaa, että ω1 > ω2. Tällöin päteeω1 − ω2 = ωδ jollekin ωδ > 0.

ω1

ω2

KUVA 3.27: Alkutilanne. Massapisteet ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Kulmanopeuksille pä-tee ω1 − ω2 = ωδ jollekin ωδ > 0.

Tiedetään, että alussa tehdyn koordinaatistovalinnan nojalla massapisteet 1 ja 2 ovat kohtisuorassatoisiaan vastaan. Tällöin niiden välinen kulma on tasan π. Merkitään kulmanopeuden ωδ suuruuttaωδ = δ · ω2 rad/s, missä δ > 0 on vakio. Kun massapisteet 1 ja 2 pyörivät, niin matka (ympyränkaartapitkin mitattuna), jonka piste 1 lähestyy pistettä 2 pyörimisajanajan t avulla ilmaistuna, on ∆s = δ ·ω2 · t. Annetaan massapisteiden pyöriä nyt niin kauan, että t = π

δω2, jolloin saamme

∆s = δ · ω2 ·π

δω2= π (3.119)

Tämä tarkoittaa, että massapiste 1 on valitussa ajassa muuttanut sijaintiaan massapisteen 2 suhteenkulman π verran. Kuvassa 3.28 on esitetty tämä muutos (vertaa kuvaan 3.27). Koska pistesysteeminmassakeskipiste on liikkunut, havaitsemme, että systeemi ei voi esittää jäykkää kappaletta. Koska tämäon ristiriita alkuoletuksen kanssa (systeemi esittää jäykkää kappaletta), ei voi olla olemassa kulmano-peutta ωδ siten, että ω1 − ω2 = ωδ > 0. Siispä kulmanopeudet ovat samat molemmille massapisteilleriippumatta niiden etäisyyksistä massakeskipisteestä mitattuna9.

3.6.1 Pyörimisliikkeen energia ja hitausmomentti

Oletetaan, että pistemäinen hiukkanen on ympyräliikkeessä, jonka säde on R. Hiukkasen liike-energiavoidaan ilmaista kulmanopeuden ja uuden suureen, hitausmomentin, avulla. Lineaarisen kinematiikan

9Huomaa, että täysin analoginen tarkastelu pätee myös silloin, jos valitaan alussa ω2 − ω1 = ωδ > 0.

89


ω2

ω1 t = πδω2

t = 0

KUVA 3.28: Massapistesysteemi sen jälkeen, kun pisteet ovat olleet liikkeessä jonkin aikaa. Havai-taan, että suuremmalla kulmanopeudella ympyrärataa etenevä massapiste 1 on ”saa-vuttanut” massapisteen 2 ja systeemin massakeskipiste on muuttanut paikkaansa al-kutilanteeseen nähden. Tällöin on selvää, että kappale ei ole jäykkä, joka on puolestaanristiriita alkuoletuksen kanssa.

ja ympyräliikkeen kinematiikan yhdistämällä saadaan kappaleen liike-energia muotoon

K =12

mv2 =12

m(Rω)2 =12

mR2ω2 =12

Iω2, (3.120)

missä I = mR2 on hiukkasen hitausmomentti valitun pyörimisakselin suhteen. Hitausmomentin yksi-köt ovat [I] = [m][r2] = kgm2.

Esimerkki: hitausmomentti kolmen kappaleen massapistesysteemille

Tarkastellaan fysikaalista systeemiä, joka rakentuu kolmesta pistemäisestä hiukkasesta. Hiukkasten massat ovatm1 = 1 kg, m2 = 2 kg ja m3 = 3 kg. Vastaavat etäisyydet koordinaatiston origosta ovat R1 = 2

√2 m, R2 =√

5 m ja R3 =√

13 m. Laske massapistesysteemin hitausmomentti origon suhteen.

Ratkaisu: Edellä havaittiin että yksittäisen pisteen hitausmomentti on mR2. Lasketaan nämä yhteenannetuille pisteille:

Ikok =3

∑i=1

miR2i = m1R2

1 + m2R22 + m3R2

3

= 1 kg · (2√

2 m)2 + 2 kg · (√

5 m)2 + 3 kg · (√

13 m)2

= 57 kgm2

(3.121)

Hitausmomentin yksiköt ovat kgm2. Näin ollen hitausmomentti on suoraan verrannollinen massaanja massapisteen etäisyyden toiseen potenssiin.

90


1

2

3

KUVA 3.29: Esimerkkitehtävän kuva. Etäisyydet 1,2 ja 3 on mitattu lyhyintä tietä kuhunkin pistee-seen.

Antiikkiesimerkki: hitausmomentin laskeminen

The Gramophone Companyn valmistama His Masters Voice -antiikkigramofoni pyörittää levyjä nopeudella 53rpm. Tällöin pyörimisalustan kineettinen energia on 0,05 J. Kuinka suuri on sen hitausmomentti?

Ratkaisu: Hitausmomentti ja jäykän kappaleen (tässä tapauksessa gramofonin pyörimisalusta) pyö-rimisenergia liittyvät toisiinsa relaation (3.120) kautta. Kulmanopeus tulee ilmoittaa yksiköissä rad/s,joten saadaan

ω = 53 rpm =53 · 2π rad

60 s= 5, 550 . . . rad/s (3.122)

Sijoittamalla kulmanopeus yhtälöön (3.120) saadaan hitausmomentiksi

K =12

Iω2 ⇒ I =2Kω2

=2 · 0, 05 J

(5, 550 1/s)2

= 0, 00324 . . . kgm2

≈ 0, 003 kgm2

(3.123)

Hitausmomentti erilaisille kappaleille

Yleisesssä tapauksessa hitausmomentin laskeminen jäykälle kappaleelle riippuu kappaleen muodos-ta, massasta ja valitusta pyörimisakselista. Kaavoja alkuoletuksista johdettaessa jouduttaisiin usein in-tegroimaan. Onnistumme välttämään tämän, sillä käytännössä hitausmomenttien arvot erilaisille geo-metrisille objekteille luetaan taulukkokirjasta.

Hitausmomentti kuvaa kappaleen kykyä pyöriä valitun akselin ympäri. Suuri hitausmomentti vai-keuttaa pyörimistä. Fenomenologisesti tarkasteltuna hitausmomentti on samantyyppinen suure kuin

91


massa, eli se on kappaleen ominaisuus, joka vastustaa liiketilan muutosta (joka on tällä kertaa pyöri-mistä). Käytännön elämässä havaitaan tilanne, jossa pitkää homogeenistä10 puukeppiä on huomatta-vasti helpompi pyörittää pitämällä kiinni sen keskikohdasta kuin jommasta kummasta reunasta. Kunhitausmomentti lasketaan kepille sen keskipisteen ja toisen pään suhteen, niin huomataan, että keski-pisteen suhteen laskettu arvo on vain 1/4 kepin pään suhteen lasketusta arvosta: IMKP = (1/12)ml2,missä m on kepin massa ja l sen pituus.

Yleensä hitausmomentti ilmoitetaan muodossa, jossa se on laskettu jäykän kappaleen massakes-kipisteen kohdalle valitun pyörimisakselin suhteen. Mikäli pyörimisakseli kulkee jossakin muualla(mutta samansuuntaisesti kuin alkuperäinen akseli), voidaan uusi hitausmomentti uuden akselin suh-teen laskea yhtälöstä

I = IMKP + md2, (3.124)

missä d on uuden akselin etäisyys jäykän kappaleen massakeskipisteestä, IMKP on kappaleen hitaus-momentti massakeskipisteen suhteen ja m on kappaleen massa.

Esimerkki: hitausmomentin soveltaminen

Tarkastellaan kuvan 3.30 mukaista systeemiä. Ympinaisesta sylinteristä (massa M, säde R) muodostuvan väki-pyörän ympärille on punottu ohutta lankaa, joka voidaan olettaa venymättömäksi, massattomaksi ja liukumatto-maksi. Langan toisessa päässä roikkuu punnus (massa m) korkeudella h maanpinnan tasosta mitattuna. Punnus-ta pidetään alussa mekaanisesti paikallaan. Jollakin ajanhetkellä punnus päästetään liikkeelle. Selvitä punnuksennopeus juuri ennen sen osumista maanpintaan, kun h = 20 cm, m = 300 g ja M = 2 kg.

Ratkaisu: Koska köysi käyttäytyy erittäin mukavasti (ei veny tms. muuta epämääräistä), on sylinte-rin kulmanopeuden ω ja punnuksen vauhdin v välillä yhteys: sylinterin ratanopeus pisteessä, jostaköysi menee suoraan alaspäin punnukselle, on sama kuin v. Voidaan siis kirjoittaa ω = v/R. Lisäksihavaitaan, että ainoastaan painovoima tekee työtä, joten systeemin mekaaninen kokonaisenergia säi-lyy (ts. kyseessä on eristetty systeemi). Kun punnus on paikallaan, voidaan systeemin kokonaisener-gia kirjoittaa muodossa E = mgh. Kun punnus päästetään liikenteeseen, muuttuu potentiaalienergiapunnuksen liike-energiaksi ja sylinterin pyörimisenergiaksi:

E =12

mv2 +12

Iω2 (3.125)

Hitausmomentti umpinaiselle sylinterille on I = MR2/2, joten energiaperiaate voidaan alku-ja loppu-tilanteille kirjoittaa muodossa

mgh =12

mv2 +12· 1

2MR2ω2

=12

mv2 +12· 1

2MR2

( vR

)2

=12

(

mv2 +12

Mv2)

⇒ gh =12

(

1 +M2m

)

v2

(3.126)

10Kepin tiheys on vakio.

92


Kävi hyvä tuuri, sillä sylinterin säde R supistui pois. Tämä tarkoittaa myös sitä, että saatu tulos eiriipu sylinterin säteestä lainkaan. Edellistä yhtälöä hieman muokkaamalla saamme lopulta yhtälönpunnuksen vauhdille v:

v =

√

2gh

1 + M2m

(3.127)

Sijoittamalla annetut arvot suureille M, m ja h saadaan tulokseksi v ≈ 1 m/s.

1 2

h

m E = mgh

M

~v

m

E = mv2

2+ Iω2

2

Mω

KUVA 3.30: Mallikuva esimerkin tilanteesta. Alussa (tilanne 1) systeemin kokonaisenergia on po-tentiaalienergiaa, lopussa (2) punnuksen liike-energiaa ja sylinterin pyörimisenergiaa.Ainoastaan painovoima tekee työtä, joten systeemin mekaaninen kokonaisenergia säi-lyy.

3.6.2 Vääntömomentti

Voiman (vääntö)momentti ~τ kuvaa sen kykyä aiheuttaa muutosta pyörimisliikkeessä. Analogisesti li-neaarisen liikkeen kanssa tämä tarkoittaa sitä, että momentti saa aikaan jäykän kappaleen kulmakiih-tyvyyden. Käytännössä momentti tulee esille mm. työkalujen kanssa toimiessa, suljettujen ovien avaa-misessa sorkkaraudalla ja autoa rassatessa (pulttien irrotus ja kiinnitys).

Momentin suuruus riippuu kolmesta tekijästä: vääntävän voiman ~F suuruudesta, momenttivar-ren11 ~r pituudesta ja voiman sekä momenttivarren keskinäisistä suunnista. Kuvassa 3.31 on esitettytilanne, jossa voima ~F vääntää pisteestä P tukivartta~r momenttipisteen O suhteen. Ainoastaan vekto-ria~r vastaan kohtisuoralla vektorin ~F komponentilla on merkitystä väännön voimakkuuden kannalta:tämä nähdään hetkisen kuluttua momentille esitettävästä matemaattisesta relaatiosta.

Momenttia laskettaessa tulee aina mainita, minkä momenttipisteen ja pyörimisakselin suhteen sitälasketaan. Jos tehtävässä on useita momentteja, niin ne kaikki tulee laskea saman momenttipisteensuhteen. Tämä siksi, että tarkoituksena on selvittää jäykän kappaleen pyörimistä jonkin kiinnitetyn(vakiona säilyvän) pyörimisakselin ympäri.

11Momenttivarsi on etäisyys momenttipisteestä siihen pisteeseen, jossa vääntävä voima vaikuttaa.

93


~r

~Fα

F⊥

F‖

~τ

O

P

KUVA 3.31: Mallikuva momentista τ vääntötilanteessa. Huomaa, että momentti vektorisuure, jollaon myös suunta. Kuvassa esitetty momentti on kohtisuorassa vektoreita~r ja ~F vastaan,eli se tulee ulospäin paperista. Momentin suunnan voi yleisesti päätellä ”kourasään-nön” avulla, eli kiertämällä oikean käden sormia vääntösuuntaan näyttää pystyssäoleva peukalo momenttivektorin suunnan.

Matemaattisesti momentti ~τ on vektorisuure ja se voidaan kirjoittaa muodossa

~τ =~r × ~F ⇒ τ = sin(α)|~F||~r|, (3.128)

missä α on vektorien ~F ja~r välinen kulma ja~r on momenttivarren pituuden suuntainen siirtymävek-tori. Ristitulo luonnehtii sitä, että momenttivektori on kohtisuorassa vektorien ~F ja~r määräämää tasoavastaan. Huomaa, että momentilla on samat yksiköt kuin työllä ja energialla, eli [τ] = Nm. Tästä huo-limatta tehty työ ei ole fysikaalisesti sama asia kuin vääntömomentin suuruus.

Edellä merkittiin lyhyesti τ kuvaamaan momentin suuruutta, joka voi olla positiivinen tai negatii-vinen. Yhtälöstä nähdään, että τ saa positiivisen arvon, kun väännetään vastapäivään eli kun α > 0ja negatiivisen arvon, kun α < 0 (myötäpäivään väännettäessä). Lähes poikkeuksetta lukiotason teh-tävissä oletetaan, että momentti τ on skalaarisuure ja vääntävä voima ~F on kohtisuorassa siirtymää~rvastaan. Tällöin yhtälö (3.128) muuttuu yksinkertaisempaan muotoon

τ = Fr, (3.129)

missä F on voiman suuruus ja l momenttivarren pituus. Edellisessä huomioidaan momentin etumerkkisen mukaan, tapahtuuko vääntö vasta- vai myötäpäivään.

Esimerkki: vääntömomentin laskeminen

Auton renkaiden vaihtaminen voi joskus osoittautua ongelmalliseksi, jos pultit ovat ”jämähtäneet” kiinni. Täl-laisissa ääritilanteissa joudutaan viime kädessä turvautumaan väkivaltaisiin menetelmiin. Eräs tunnettu ”pa-tentti” on laittaa pultinavaaja pulttiin kiinni ja ”polkaista” avaajaa jalalla. Oletetaan, että polkaisu tapahtuusuoraan alaspäin ja polkaisuvoiman suuruus on 900 N. Jos pultinavaaja muodostaa 25 asteen kulman vaakata-son kanssa ja avaajan pituus on 0,6 metriä, kuinka suuri on pulttiin kohdistuva momentti?

94


Ratkaisu: Piirretään tilanteesta mallikuva. Väännön voimakkuuteen vaikuttaa ainoastaan se voiman~F komponentti, joka on kohtisuorassa vipuvartta~r vastaan. Voiman komponentti voidaan lukea ku-vasta, ja se on F⊥ = |~F| cos(α). Kertomalla tämä voiman varren pituuden kanssa saadaan momentin ~τsuuruudeksi

τ = |~r||~F| cos(α) = 0, 6 m · 900 N · cos(25◦) = 489, 406 . . . Nm ≈ 500 Nm (3.130)

α = 25◦~r

~F

KUVA 3.32: Mallikuva tilanteesta. Nyt voiman varsi ja vääntävä voima eivät ole alun perin kohti-suorassa, joten pultinavaajan maanpinnan kanssa muodostama kulma tulee huomioi-da laskussa. Voimme ajatella tarkastelevamme joko voiman ~F kohtisuoraa komponent-tia siirtymän~r suhteen tai toisaalta ottaa siirtymän kohtisuoran komponentin voimankanssa. Molemmilla tavoilla saadaan sama tulos.

3.6.3 Vääntömomentin ja kulmasuureiden yhteys

Koska momentti on kiinteässä yhteydessä vääntämiseen ympyrärataa pitkin, on luonnollista, että kul-masuureiden (kulmanopeus, kulmakiihtyvyys) välillä olisi jonkinlaista riippuvuutta. Momentti puo-lestaan on kiinteästi yhteydessä voimaan: momentti lasketaan voiman ja voiman varren tulona. Kos-ka voima puolestaan aiheuttaa kappaleen liiketilan muutoksen eli kiihtyvyyden, voidaan arvata, ettämomentti jollakin tavalla aikaansaa kulmakiihtyvyyden. Ympyräliikkeessä kappaleen hitautta kuvaahitausmomentti (vrt. lineaarisessa liikkeessä massa), joten momentin ja kulmakiihtyvyyden välinenyhtälö voidaan kirjoittaa muodossa

∑ τ = Iα (3.131)

Edellinen yhtälö ei ole vektorimuodossa, mutta lienee selvää, että kulmakiihtyvyyden suunnan tuleeolla sama kuin momentin suunnan. Yhtälö (3.131) sanoo lyhyesti, että jäykälle kappaleelle kokonais-vääntömomentti on yhtä suuri kuin kappaleen hitausmomentti (valitun pyörimisakselin suhteen) ker-rottuna sen kulmakiihtyvyydellä. Kulmakiihtyvyys tulee olla luonnollisissa yksiköissä rad/s, ei rpmtai muuta epämääräistä!

Massapistesysteemille kannattaa havaita myös se, että yhtälö (3.131) sisältää vain jäykkään kappa-leeseen kohdistuvat ulkoiset voimat. Jos nimittäin kaksi massapistettä vaikuttavat toisiinsa jollakin voi-milla, niin niiden momentit kumoavat toisensa (Newtonin kolmannen lain nojalla massapisteet koh-distavat toisiinsa yhtä suuret mutta vastakkaissuuntaiset voimat).

Esimerkki: momentin ja kulmasuureiden soveltaminen

Tarkastellaan kuvan 3.33 mukaista tilannetta. Tämä esimerkki on jatkoa esimerkkiin 3.6.1 siinä mielessä, ettätilannekuva on hyvin samanlainen. Umpinaisen sylinterin (massa M) ympärille on kiedottu massatonta ja ve-nymätöntä ohutta lankaa, jonka toisessa päässä roikkuu punnus (massa m). Alkuhetkellä punnus on tuettu jasen korkeus maanpinnasta on h. Laske punnuksen kiihtyvyys, kun M = 5 kg ja m = 1 kg.

95


Ratkaisu: Sylinterin kulmakiihtyvyyden α ja punnuksen kiihtyvyyden a välillä tulee olla relaatio, sil-lä sylinterin kulmanopeus kasvaa samalla kun kappaleen nopeus kasvaa ja lanka ei veny tms. muutaepämääräistä. Ajatus on sama kuin esimerkissä 3.6.1, eli alkutilanteessa systeemillä on vain punnuksenpotentiaalienergia maanpinnan suhteen ja punnuksen lähdettyä liikkeelle on systeemillä punnuksenpotentiaali- ja liike-energiaa sekä sylinterin pyörimisenergiaa. Meidän kannattaa tarkastella sylinteriäja punnusta erillisinä kappaleina, joiden välillä on punnuksen kiihtyvyyden ja sylinterin kulmakiih-tyvyyden relaatio a = Rα. Vapaalappalekuvat sylinteristä ja punnuksesta on esitetty myös kuvassa3.33.

~a

m

M α

R

~Gs

~Ns

R

~T

M

∑~τ = −1

2MR2α

~Gp

~T

∑ ~F = −Gp + T = −ma

KUVA 3.33: Mallikuva esimerkin tilanteesta. Alussa systeemin kokonaisenergia on potentiaalie-nergiaa, lopussa punnuksen liike-energiaa ja sylinterin pyörimisenergiaa. Ainoastaanpainovoima tekee työtä, jolloin mekaaninen kokonaisenergia säilyy. Huomaa, että mo-mentti saa määritelmän mukaan negatiivisen arvon, sillä vääntö tapahtuu vastapäi-vään.

Kuvan 3.33 perusteella voidaan kirjoittaa voimayhtälö punnukselle:

∑~Fpunnus = T − mg = −ma (3.132)

Yhtälössä (3.132) on valittu positiivinen suunta alaspäin ja vektorisuureiden suunnat on ilmaistu etu-merkein. Vastaavasti voimme kirjoittaa momenttiyhtälön sylinterille:

∑~τsylinteri = −Iα = −12

MR2 · −aR

= RT, (3.133)

missä R on sylinterin säde ja T on sylinteriä ”vääntävä” voima. Huomaa, että nyt väännetään myötä-päivään, joten momentti saa määritelmässään negatiivisen arvon. Säteen R lukuarvoa ei tunneta, muttatoivotaan, että se supistuu pois jossakin vaiheessa. . . Edellisestä yhtälöstä hieman muokkaamalla saa-

96


daan lauseke langan jännitysvoimalle ~T:

12

MR2 aR

= RT

12

MRa = RT

⇒ T =12

Ma

(3.134)

Sijoittamalla jännitysvoiman lauseke yhtälöön (3.132) saadaan vihdoin sellainen muoto, josta voidaanratkaista kiihtyvyys a:

T − mg = −ma

12

Ma − mg = −ma

12

Ma + ma = mg

a

(M2m

+ 1)

= g

⇒ a =g

M2m + 1

(3.135)

Jee... havaittiin, että sylinterin säde R todella supistui pois, ja saimme miellyttävän lausekkeen punnuk-sen kiihtyvyydelle a. Sijoittamalla lukuarvot massoille saadaan tulokseksi a ≈ 3 m/s2. Huomattavastinumeerista vastausta mielenkiintoisempaa on kuitenkin tarkastella itse tulosta eli johdettua yhtälöäkvalitatiivisesti. Helposti nähdään, että punnuksen massan ollessa suuri sylinterin massan nähden elim >> M saadaan kiihtyvyydeksi arvo, joka on lähellä putoamiskiihtyvyyttä. Toisaalta, jos sylinterion raskas verrattuna punnukseen (M >> m), on kiihtyvyys itseisarvoltaan todella pieni. Tämä tuntuuluonnolliselta, ja tätä lähestymistapaa saatujen tulosten analysointiin kannattaa käyttää myös jatkossa.

Yhdistetty etenemis- ja pyörimisliike

Yhdistetty etenemis- ja pyörimisliike tulee kysymykseen esimerkiksi silloin, kun mennään polkupyö-rällä tasaista tietä pitkin tai annetaan jojon rullata ylös-alas. Ajatuksena on, että minkä tahansa jäykänkappaleen liike voidaan esittää kahden liikkeen summana:

• Massakeskipisteen (MKP) translaatioliike (lineaarinen etenemisliike), sekä

• MKP:n kautta kulkevan akselin ympäri tapahtuva pyörimisliike.

Idea on samanlainen kuin voiman komponenttien tarkastelussa:

Jaetaan suuri ongelma pienempiin osiin, jotka osataan (toivottavasti) ratkaista.

Jäykän kappaleen liike-energialle voidaan johtaa lauseke

K =12

mv2MKP +

12

IMKPω2 (3.136)

En jaksa keksiä esimerkkiä ks. asiasta vielä. . . katsotaan myöhemmin.

97

Luku 4

Virtausmekaniikka

Klassisen mekaniikan kaveriksi otamme virtausmekaniikan, jonka yhteydessä tarkastelemme erityi-sesti veren sekä muiden elimistön nesteiden virtauksia. Suuri osa käsiteltävästä asiasta on todennäköi-sesti uutta vain lukion fysiikan kursseja opiskelleelle. Lähtökohtana esitykselle on Galenos-kirja, jonkaformalismia on muutettu hieman selittävämpään suuntaan.

Aloitamme asian käsittelyn tutkimalla kappaleen muodonmuutoksia ja niiden aiheuttajia, josta siir-rymme virtausstatiikkaan. Tarkastelemme muutamia oleellisia sovelluksia, kuten hengityselinten pai-netta ja alveolien (keuhkorakkuloiden) pintajännitystä. Viimeiseksi käsittelemme virtausdynamiikkaasekä erilaisten nesteiden liikkeitä elimistössä. Emme luonnollisestikaan jätä käsittelemättä virtausdy-namiikan ja mekaniikan yhdistävää sentrifugia.

Virtausmekaniikan yhtälöt pätevät nesteille ja joissakin tapauksissa myös kaasuille. Aineesta, johonyhtälöitä sovelletaan, käytetään yleisesti termiä fluidi.

4.1 Kappaleiden elastisuudesta

Klassisen mekaniikan lopussa käsitelty jäykkä kappale ei muuta muotoaan, kun siihen kohdistetaanvoimia. Jäykän kappaleen approksimaatio on näin ollen melko rajoitettu, sillä usein ollaan kiinnostu-neita kappaleen muodonmuutoksista. Jotkut aineet, kuten esimerkiksi nesteet, muuttavat muotoaansen mukaan, millaisessa tilavuudessa ne ovat. Jäykän kappaleen mekaniikkaa ei voida suoraan sovel-taa nesteiden analysointiin.

Kappaleen alkuperäistä muotoa voivat muuttaa kolme erilaista kappaleeseen kohdistuvaa jänni-tystä: vetojännitys, leikkausjännitys ja paine. Nämä aiheuttavat erilaisia venymiä. Kun muutokset ovatkappaleen alkuperäiseen kokoon verrattuna pieniä, niin kokeellisten havaintojen perusteella jännitysja kappaleen suhteellinen venymä ovat suoraan verrannollisia toisiinsa:

jännityssuhteellinen venymä

= elastinen moduuli ≡ Z, (4.1)

missä Z on elastinen moduuli eli kimmomoduuli (käytännön laskuissa verrannollisuuskerroin). Yhtä-löä (4.1) kutsutaan yleiseksi Hooken laiksi.

98


4.1.1 Vetojännitys

Kuvitellaan tilanne, jossa kaksi joukkuetta vetää köyttä toisistaan poispäin (köydenvetokilpailu). Täl-löin köyden keskiosaan kohdistuu huomattava voima, joka aiheuttaa köyden venymisen. Jos venymäon pieni verrattuna köyden kokonaispituuteen, voidaan yleistä Hooken lakia soveltaa.

Tarkastellaan köyden poikkileikkausta hieman tarkemmin (kuva 4.1). Selvästi nähdään, että vai-kuttava voima ~F on kohtisuorassa köyden poikkipinta-alaa A vastaan; merkitään ~F = ~F⊥.

(a) (b)

l0

A

l0 ∆l

~F⊥~F⊥

KUVA 4.1: Vetojännitys. (a) Kappale on levossa. (b) Kappaleeseen kohdistetaan vaakasuuntainenvoima molempiin suuntiin, joka aiheuttaa kappaleen venymisen suunnassa, joka onkohtisuorassa pinta-alaa A vastaan. Venymää ∆l on kuvassa liioiteltu selvyyden vuoksi;jos tilanne olisi todellisuudessa tämä, niin Hooken lain soveltaminen olisi vähintäänkinkyseenalaista.

Vetojännitys L määritellään voiman ~F⊥ suuruuden ja poikkipinta-alan A suhteena:

L =|~F⊥|

A(4.2)

Tässä yhteydessä on tarkasteltu kappaleen venymistä, mutta yleinen Hooken laki pätee myös kappa-leen kasaan puristamiselle. Myös tällöin deformaation (muodonmuutoksen) tulee olla pieni verrattunakappaleen alkuperäiseen pituuteen.

Vetojännityksen yksiköt ovat 1 N/m2 = 1 Pa, joita kutsutaan nimellä Pascal. Pascalia käytetäänyksikkönä myös seuraavaksi esiteltäville leikkausjännitykselle ja paineelle. Se on melko pieni yksik-kö, sillä esimerkiksi ”normaali” ilmanpaine on suuruudeltaan noin 101,3 kPa. Toinen paljon käytettyjännityksen yksikkö on 1 bar, jonka suuruus on 105 Pa.

Vetojännityksen elastinen moduuli on nimeltään Youngin moduuli Y , ja se saadaan jakamalla yhtä-lön (4.2) vetojännitys t vastaavalla suhteellisella venymällä ∆l/l0, missä l0 on kappaleen alkuperäinenpituus ja ∆l venymä:

Y =|~F⊥|/A∆l/l0

(4.3)

Youngin moduuli on aineelle ominainen vakio. Sen arvot eri aineille löytyvät tarvittaessa taulukkokir-joista.

99


TAULUKKO 4.1: Youngin moduulien arvoja (arvioita) taulukoituna eri aineille.

Aine Youngin moduuli Y

Kumi 0, 05 · 109 Pa

Alumiini 69 · 109 Pa

Hammaskiille 83 · 109 Pa

Teräs 200 · 109 Pa

Hiilinanoputki 1000 · 109 Pa

Timantti 1220 · 109 Pa

Lisäjuttu: kuinka Youngin moduuli tulee tulkita fysikaalisesti**

Voi olla, että edellinen määrittely hieman sumensi sitä, kuinka Youngin moduuli oikeastaan tulisi ym-märtää. Fysiikassa yleensä on tapana, että kun uusi suure määritellään, tulee sen merkitys ajatustasollatulkita jo olemassa olevien suureiden avulla.

Tarkastellaan Youngin moduulia erilaisissa tapauksissa. Havaitaan, että jos vaikuttava voima ~F⊥on pieni ja se aiheuttaa verraten suuren suhteellisen venymän ∆l/l0, niin silloin Y saa melko pienenarvon (oletetaan pinta-ala A vakioksi). Toisaalta, jos pieni vetävä voima saa aikaan suuren venymän,niin silloin kappale on melko helposti muokattavissa; esimerkkeinä voisivat olla vaikkapa ohut kumi-nauha tai muovailuvaha. Yhdistämällä nämä kaksi havaintoa voidaan todeta, että helposti venyvälläaineella on pieni Youngin moduuli. Vastaavasti päättelemällä saadaan selville, että aineella, jota on vai-kea venyttää, on suuri Y . Kannattaa muodostaa tämäntapaisia havaintoja aina, kun tutustuu uuteenfysikaalisees suureeseen. Se luo vuorovaikutukseen syvyyttä ja pitää mielenkiintoa fysiikkaa kohtaanyllä.

4.1.2 Leikkausjännitys

Ajatellaan tilanne, jossa neliön muotoista pahvilaatikkoa vedetään sen yläosasta oikealle ja alaosas-ta vasemmalle (kuva 4.2). Jos vetävä voima on riittävän suuri, niin pahvilaatikko ”menee kasaan” elipainuu litteäksi. Ennen tätä laatikkoon vaikuttaa leikkausjännitys s, joka on verrannollinen vetävän voi-man ja laatikon yläpinnan alan A suhteeseen. Koska voima ~F on tangentiaalinen laatikon yläpintaannähden, merkitään ~F = ~F‖. Nyt saamme

s =|~F‖|A

(4.4)

Jännitystä vastaava suhteellinen venymä määritellään voiman ~F‖ suuntaisen vaakatason venymän ∆xja laatikon korkeuden h suhteena ∆x/h; tässä oletetaan, että laatikon korkeus muuttuu venytyksessämerkityksettömän vähän. Leikkausmoduuli S saadaan jakamalla leikkausjännitys suhteellisella veny-mällä:

S =|~F‖|/A

∆x/h(4.5)

100


(a) (b)

A

h

∆x

~F‖

~F‖

KUVA 4.2: Leikkausjännitys. (a) Kappale levossa. (b) Kappaleeseen kohdistetaan voimat, jotka ve-tävät kappaletta sen ala-ja yläpintojen tangenttien suunnassa toisistaan poispäin. Veny-mää ∆x on kuvassa liioiteltu.

Leikkausjännityksellä on tärkeä merkitys virtausdynamiikassa. Kun fluidi virtaa, niin virtauksen voi-daan ajatella koostuvan erillisistä ”kerroksista”, jotka kohdistavat edetessään muihin kerroksiin nes-teen sisäisen kitkavoiman, viskositeetin.

4.1.3 Paine

Jos kappale on esimerkiksi veden alla, kohdistaa vesi kappaleeseen sen joka puolelta yhtä suuren voi-man ~F. Mikroskooppisella tasolla voiman aiheuttajina ovat nesteen molekyylit, jotka törmäilevät ve-dessä olevaan kappaleeseen. Koska voima on kohtisuorassa esineen pintaa vastaan, merkitään ~F = ~F⊥.Nesteen paine on tämän voiman suuruus jaettuna pinta-alalla A, johon voima kohdistuu:

p =|~F⊥|

A(4.6)

Painetta vastaava elastinen moduuli on bulkkimoduuli B, joka lasketaan paineen muutoksen ∆p jasitä vastaavan suhteellisen tilavuuden muutoksen ∆V/V0 suhteena:

B = − ∆p∆V/V0

(4.7)

Miinusmerkki kertoo, että paineen kasvaessa tilavuus pienenee ja päinvastoin; bulkkimoduulin arvoon aina positiivinen ja se on tavallisesti taulukkokirjakamaa. Painetta käsitellään hieman tarkemminseuraavan kalaesimerkin jälkeen.

Kalaesimerkki: Tilavuuden muutoksen laskeminen

Määrätietoinen Lahna uiskentelee järvivedessä pinnan tuntumassa. Se päättää sukeltaa 10 metrin syvyyteen.Jos nesteen Lahnaan kohdistama paine 10 metrin syvyydessä (p2) on kaksi kertaa pintaveden paineen p1 =

101, 3 kPa suuruinen, niin kuinka suuri on Lahnan tilavuuden muutos verrattuna Lahnan alkuperäiseen tila-vuuteen? Oletetaan, että Lahnan bulkkimoduuli on B = 108 Pa.

101


Ratkaisu: Oletetaan, että tilavuuden muutos ja paineen muutos tapahtuvat Hooken lain sallimissarajoissa. Paineen muutos on

∆p = p2 − p1 = 2p1 − p1 = p1 = 101, 3 kPa (4.8)

Yhtälöstä (4.7) saadaan

B = − ∆p∆V/V0

⇒ ∆VV0

= −∆pB

⇒ ∆VV0

= −∆pB

= − p1

B

= −101, 3 · 103 Pa108 Pa

= −0, 001013 . . . ≈ −0, 001

(4.9)

Koska tilavuuden muutos on

∆VV0

≈ −0, 001 ⇒ V − V0 = −0, 001V0 ⇔ V = 0, 999V0 (4.10)

niin havaitaan, että Lahna kutistuu.

4.2 Virtausstatiikkaa

Virtaustatiikka on analoginen tutkimusala klassisen mekaniikan statiikan kanssa siinä mielessä, ettätarkasteltavat fluidit ovat tasapainossa. Tärkeitä käsitteitä ovat fluidin kappaleeseen kohdistama paineja Arkhimedeen sääntö, joihin paneudumme seuraavaksi.

4.2.1 Paine revisited

Aiemmassa keskustelussa emme puhuneet tarkasti siitä, kuinka syvyys vaikuttaa paineeseen. Koke-muksesta tiedetään, että paine vaihtelee melkoisesti eri syvyyksillä. Jos tarkasteltava fluidi on homo-geeninen eli sen tiheys ρ on vakio, niin paine-erolle ∆p = p− p0 (p0 on paine fluidin pinnalla ja p painesyvyydellä h) voidaan johtaa yhtälö

p − p0 = ρgh, (4.11)

missä g on putoamiskiihtyvyyden suuruus. Yhtälöstä nähdään, että paine kasvaa, kun ollaan syvem-mällä. Tämä vastaa hyvin käytännön kokemusta esimerkiksi uimahallissa, kun nopeasti sukeltaa vii-simetrisen altaan pohjaan. Tällöin korviin kohdistuu ympäröivän nesteen hydrostaattinen paine ρghilmanpaineen p0 lisäksi.

Huomaa, että paine on vakio kiinnitetyllä syvyydellä riippumatta siitä, minkä muotoiseenesineeseen se kohdistuu. Tätä periaatetta kutsutaan Pascalin säännöksi.

102


Yhtälö (4.11) pätee hyvällä tarkkuudella nesteille lähes kaikissa mahdollisissa olosuhteissa, sillänesteen voidaan ajatella olevan kokoonpuristumatonta. Kaasuille (esim. ilmalle) yhtälö pätee vain, jospystysuora siirtymä on pieni. Emme voi käyttää yhtälöä, jos esimerkiksi haluamme laskea paine-eronuseita kilometrejä korkean vuoren huipulla ja maanpinnalla. Syynä tähän on siinä, että ilman tiheys eiole vakio ks. tarkastelualueella.

Koska paine p jollakin syvyydellä h on suoraan verrannollinen paineeseen p0 fluidin pinnalla, niinpaineen muutos pintatasolla heijastuu suoraan kaikkialle nesteeseen. Tätä voidaan havainnollistaa hy-draulisella nosturilla, josta lisää seuraavassa esimerkissä.

Nostoesimerkki: hydraulisen nosturin toimintaperiaate

Tarkastellaan systeemiä, jossa fluidia on suljetussa tilavuudessa (kuva 4.3). Tilavuuden voidaan ajatella jakautu-neen kahteen osaan, joita yhdistää ohut putki. Molempien osien yläpäässä on mäntä, jota liikutetaan pystysuun-nassa. Männät ovat alussa samalla korkeudella. Oletetaan, että mäntiä vastaavat pinta-alat ovat A1 = 10 cm2

ja A2 = 1000 cm2. Kuinka suuri on mäntien nesteeseen kohdistamien voimien suhde |~F1|/|~F2| alkutilantees-sa? Ratkaisu: Männät 1 ja 2 ovat samalla korkeudella, joten nesteen kumpaankin mäntään kohdistama

pA1 pA2

~F1~F2

KUVA 4.3: Hydraulisen nosturin toimintaperiaate. Pascalin säännön nojalla paineet ovat molem-missa tilavuuksissa 1 ja 2 samat mäntien korkeudella, joten ainoastaan pieni voima ~F1

tarvitaan nostamaan mäntä 2 ylöspäin.

paine (voima pinta-alayksikköä kohti) on yhtä suuri. Mäntä 1 kohdistaa pinta-alaan A1 alaspäin suun-tautuvan voiman ~F1, joten vastaava nesteen männän yläpintaan kohdistama paine on p1 = |~F1|/A1.Vastaavasti männän 2 tapauksessa saadaan p2 = |~F2|/A2. Merkitsemällä paineet yhtäsuuriksi saadaan

p1 = p2 ⇔ |~F1|A1

=|~F2|A2

⇒ |~F1||~F2|

=A1

A2=

10 cm2

1000 cm2 =1

100(4.12)

Voimien suuruuksien suhde on suoraan verrannollinen pinta-alojen suhteeseen. Yhtälö voidaan myöskirjoittaa hieman havainnollisemmassa muodossa, eli

|~F1| =1

100|~F2| (4.13)

Koska A1 on huomattavasti pienempi kuin A2, niin voiman ~F1 ei tarvitse olla kuin murto-osa voimasta~F2, jotta systeemi säilyttää tasapainon. Tällä periaatteella voidaan nostaa painavia taakkoja, eikä nos-toon vaadita kuin verraten pieni voima.

103


4.2.2 Paineen mittaaminen

Paineen suuruutta voidaan mitata joko absoluuttisena paineena tai suhteellisena paineena. Esimerkiksi pol-kupyörän renkaan täyttöohjeessa lukeva paine 6,2 bar tarkoittaa, että pyörän renkaan sisällä oleva il-manpaine on 6,2 bar ”normaalia” ilmanpainetta suurempi. Absoluuttinen paine renkaan sisällä on täl-löin p = (6, 2 + 1, 013) bar = 7, 213 bar ≈ 720 kPa. Suhteellinen paine voi olla myös negatiivinen,jolloin renkaan sisällä olisi alipainetta. Absoluuttisen paineen minimiarvo on nolla (tyhjiö).

Paineen mittaamiseen voidaan käyttää esimerkiksi U-putkimanometriä; kuvassa 4.4 on yksinkertai-nen manometriputki. Putken toinen pää on avoinna ilmanpaineelle p0 ja mitattava paine p on ympy-rän muotoisessa säiliössä. Säiliö voi olla yhdistettynä johonkin laajempaan laitteistoon, johon johtavaventtiili on suljettu. Putken pohjalla paine voidaan määrittää joko ilmanpaineen tai mitattavan paineen

y1

y2

y2 − y1p

p + ρgy1 = p0 + ρgy2

p0

KUVA 4.4: Yksinkertainen kuva manometristä. Pascalin säännön nojalla paineet ovat yhtä suuretputken alaosassa; tämä mahdollistaa tuntemattoman paineen p määrittämisen.

avulla, ja vaatimalla näiden yhtäsuuruus saadaan

p + ρgy1 = p0 + ρgy2 ⇔ p = p0 + ρg(y2 − y1), (4.14)

missä ρ on putkessa olevan nesteen vakiotiheys. Yhtälössä (4.14) paine p kuvaa absoluuttista painettaja paine-ero p − p0 suhteellista painetta.

Elohopeabarometri on toinen tavallinen painemittari, jolla on helppoa mitata vallitseva ilmanpaine.Se koostuu elohopealla täytetystä pystysuorasta putkesta, joka on käännetty ylösalaisin ja asetettu elo-hopealla täytettyyn astiaan (kuva 4.5). Putken yläpäässä oleva tyhjä tila sisältää vain elohopeahöyryä,jonka paine on äärimmäisen pieni; voimme olettaa, että tilan paine on p = 0. Koska paine elohopeanpinnalla on yhtä suuri kuin ilmanpaine p0, niin saadaan

p0 = p + ρg(y2 − y1) = ρg(y2 − y1), (4.15)

missä y2 − y1 on etäisyys putkessa olevan elohopean yläpinnan ja astian elohopean pinnan välillä.Näemme, että elohopeabarometri kertoo suoraan ilmanpaineen suuruuden, joka on verrannollinenelohopeapatsaan korkeuteen.

104


p = 0

y2 − y1y2

y1

p0

KUVA 4.5: Periaatteellinen kuva barometrin toiminnasta. Paineen suuruus elohopean pinnalla onyhtä suuri kuin ilmanpaine, joten elohopeapatsaan korkeus kertoo ilmanpaineen suu-ruuden suoraan yksiköissä 1 mmHg. Normaali ilmanpaine p0 = 101, 3 kPa vastaa hy-vällä tarkkuudella elohopeapatsaan korkeutta y2 − y1 = h = 760 mmHg.

Yhä nykyäänkin monissa sovelluksissa käytetään ilmanpaineen yksikkönä elohopeapatsaan kor-keutta millimetreissä (1 mmHg). Esimerkiksi verenpainetta mitattaessa arvo 130/80 viittaa maksimi- jaminipaineeseen (paine-ero lepotilaan verrattuna) verisuonistossa, joka on mitattu yksiköissä 1 mmHg.Koska verenpaine riippuu korkeudesta, jolla se mitataan, tulee eri aikoina tehtävät mittaukset suorittaaennalta sovitusta paikasta. Tämän vuoksi verenpaine mitataan aina käden yläosasta, sydämen kanssasamalta korkeudelta.

4.2.3 Arkhimedeen sääntö ja kelluminen

Jos kappale asetetaan veteen, se tuntuu siellä kevyemmältä kuin ilmassa. Käytännön kokemuksestatiedämme, että ihmiskeho kelluu veden päällä ja toisaalta esimerkiksi heliumilla täytetty ilmapalloleijuu ilmassa. Nämä jokapäiväiset ilmiöt selittää Arkhimedeen periaate:

”Kun kappale on kokonaan tai osittain fluidissa, kohdistaa fluidi kappaleeseen voiman, joka on yhtä-suuri mutta vastakkaissuuntainen kuin kappaleen fluidista käyttämän tilavuuden kokoiseen fluidie-lementtiin kohdistuva painovoima.”

Arkhimedeen periaate voidaan helposti perustella (kuva 4.6). Ajatellaan, että meillä on kappaleenmuotoinen ja tilavuudeltaan samanlainen palanen fluidia. Koska fluidi on levossa, on Newtonin en-simmäisen lain nojalla fluidielementtiin kohdistuvien voimien summa nolla. Siispä fluidielementinympärillä olevan fluidin tulee kohdistaa elementtiin ylöspäin suuntautuva tukivoima eli nostevoima,jonka suuruus on sama kuin fluidielementin painovoima. Korvataan nyt elementti kappaleella; edel-leen ympäröivä fluidi kohdistaa nostevoiman kappaleeseen. Saadaan kolme tapausta:

(i) Kappaleen tiheys > fluidin tiheys ⇒ kappale vajoaa fluidiin.

105


(ii) Kappaleen tiheys = fluidin tiheys ⇒ kappale pysyy paikallaan eli on tasapainossa. Sen yläpintaon vedenpinnan korkeudella.

(iii) Kappaleen tiheys < fluidin tiheys ⇒ kappale nousee fluidin pintaan ja jää kellumaan. Osa kap-paleesta on vedenpinnan alapuolella ja loput yläpuolella. Tämä osuus määräytyy kappaleen jafluidin tilavuuksien suhteesta, kuten seuraavasta askuesimerkistä nähdään.

~Ge

~N

V

~Gv

~N

V

~Ge + ~N = ?

~Gv + ~N = 0

KUVA 4.6: Arkhimedeen periaate. Fluidi kohdistaa fluidielementtiin ja kappaleeseen yhtä suu-ren nostevoiman ~N. Nostevoima on samansuuruinen kuin fluidielementtiin kohdistuvapainovoima ~G = ρvVg, missä ρv on fluidin tiheys ja V elementin (ja kappaleen) tilavuus.

Sovelluksena Arkhimedeen periaatteesta voidaan mainita hydrometri, jota käytetään nesteiden tiheyk-sien määrittämiseen (kuva 4.7). Tietyn massainen (massa mP) ohut suljettu putki (tai vastaava esineerilaisella geometrialla) asetetaan nesteeseen, ja se uppoaa sinne jonkin tilavuuden V verran. Putkensivussa on mitta-asteikko, joka on kalibroitu näyttämään nesteeseen uponneen tilavuuden suuruuden.Koska putken massa tunnetaan ja putki on tasapainossa, niin Newtonin ensimmäisen lain perusteellanesteen putkeen kohdistama nostevoima on yhtä suuri kuin putken paino. Täten putken ”syrjäyttä-män” nestemäärän tilavuus vastaa massaltaan putken massaa. Nesteen tiheys saadaan laskettua yhtä-löstä

ρ =mP

V(4.16)

Mikäli neste on todella tiheää, niin putki uppoaa nesteeseen vain vähän. Tämä nähdään siitä, ettämassa mP säilyy vakiona yhtälössä (4.16), jolloin tilavuuden V tulee olla pieni.

Esimerkki: Arkhimedeen periaate

Ihminen kelluu vedessä. Oletetaan, että jos hän vetää keuhkot täyteen ilmaa, hänen tiheytensä on ρ1 = 980 kg/m3

ja keuhkot tyhjinä ρ2 = 1010 kg/m3. Veden tiheys on ρv = 1000 kg/m3. Pysyykö ihminen pinnalla kummas-sakaan tapauksessa? Jos pysyy, niin kuinka suuri osa hänen kokonaistilavuudestaan on vedenpinnan alapuolella?

106


| ~G| = mpg

| ~N | = ρvV g

ρv

KUVA 4.7: Hydrometri. Putki uppoaa nesteeseen tilavuuden V verran, joka voidaan lukea putkenmitta-asteikosta. Tasapainotilanteessa nesteen putkeen kohdistama noste on samansuu-ruinen kuin putkeen vaikuttava painovoima.

Ratkaisu: Tarkastellaan ensin tilannetta, jossa ihmisellä ei ole ilmaa keuhkoissaan. Tällöin

ρ2 = 1010 kg/m3 > 1000 kg/m3 = ρv, (4.17)

joten ihminen vajoaa mereen (häneen kohdistuva painovoima on suurempi kuin veden aikaansaamanostevoima). Kun ihmisellä on keuhkot täynnä ilmaa, pätee ρ1 = 980 kg/m3 < ρv = 1000 kg/m3, jotenhän pysyy osittain pinnalla. Merkitään ihmisen vedenpinnan alapuolella olevaa tilavuutta symbolillaV1 ja vedenpinnan yläpuolella olevaa tilavuuutta V1. Koska ihminen kelluu, hän on tasapainossa elihäneen vaikuttavien voimien summa on nolla. Tällöin nesteen ylöspäin aikaansaama nostevoima ~N =

ρvV1g on yhtä suuri kuin ihmiseen kohdistuva painovoima ~G = ρ1(V1 + V2)g :

ρvV1g = ρ1(V1 + V2)g

⇒ V1

V1 + V2=

ρ1

ρv

=980 kg/m3

1000 kg/m3

= 0, 98

(4.18)

Havaittiin, että 98 prosenttia ihmisen kokonaistilavuudesta on vedenpinnan alapuolella silloin, kunihmisen keuhkot ovat täynnä ilmaa.

4.2.4 Nesteen pintajännitys

Nesteen pinta käyttäytyy mikroskooppisella tasolla poikkeavasti nesteen muusta osasta. Voidaan aja-tella, että pinnalla oleviin molekyyleihin vaikuttaa muiden nesteen molekyylien kohdistama vetovoi-ma. Toisin kuin muualla nesteessä, pintamolekyylit kokevat tämän voiman ainoastaan alaspäin ja si-vuille, sillä pinnan yläpuolella ei ole nestemolekyylejä (kuva 4.8). Ilmiön seurauksena pinnan neste-

107


KUVA 4.8: Skemaattinen kuva pintajännityksestä. Nesteen pinnalla olevaan molekyyliin kohdis-tuvat alaspäin ja sivuille vetävät vesimolekyylien väliset voimat, kun taas pinnan ala-puolella olevaan molekyyliin kohdistuu voimia kaikista suunnista. Tämä saa aikaannesteen pinnan ”virittyneen” rakenteen.

molekyylit ”pakkautuvat” tiiviisti yhteen ja nesteen pinnan tiheys saa suuremman arvon kuin nes-teen tiheys muualla; syntyy pintajännitys. Pakkautuminen kalvomaiseen, virittyneeseen rakenteeseenon seurausta siitä, että neste pyrkii minimoimaan pinta-alansa suhteessa omaan tilavuuteensa1. Pinta-alan minimointiperiaate näkyy käytännössä esimerkiksi siten, että sadepisarat ovat pyöreän muotoisia;ympyrälle pinta-alan ja tilavuuden suhde on pienin mahdollinen.

Pintajännitystä merkitään tässä monisteessa symbolilla γ (kreikan kirjain gamma). Pintajännityk-sen yksiköt SI-järjestelmässä ovat [γ] = N/m. Koska mekaanisen työn yksiköt ovat Nm, voidaan pinta-jännityksen yksiköt kirjoittaa myös muodossa Nm/m2 = J/m2, joka tulkitaan pintaenergiana (energiaapinta-alayksikköä kohti). Tarkastellaan pintajännitystä seuraavaksi keuhkorakkuloiden kautta.

4.2.5 Alveolien pintajännitys

Ihmisen keuhkoissa tapahtuu kaasujen (happi ja hiilidioksidi) vaihtoa hengitysilman ja veren välil-lä. Prosessista ovat vastuussa keuhkorakkulat eli alveolit. Niiden koko vaihtelee välillä 0,1–0,4 mm ja nemuodostavat pääosan ihmisen keuhkokudoksesta. Aikuisen ihmisen keuhkoissa on noin 300 miljoo-naa alveolia, joiden yhteenlaskettu kokonaispinta-ala vastaa reippaan kokoista asuntoa (70-100 m2).

Alveolien pinnalla olevassa nesteessä havaittava pintajännitys vaikuttaa ihmisen tekemään hen-gitystyöhön. Pintajännityksen muodostumisessa voidaan ajatella, että nestemolekyylien siirtäminennesteen ”sisältä” pinnalle vaatii energiaa, jonka suuruus riippuu pinta-alan A muutoksesta ∆A ja pin-tajännityksen γ suuruudesta:

∆E = γ∆A (4.19)

Toisaalta voidaan miettiä, että nestekalvon pinnan kasvattaminen vaatii energiaa sen verran, että pin-tajännityksen vaikutus kumoutuu. Tällöin pintaan vaikuttaa jokin voima ~F, jonka vaikutuksesta pintavenyy. Oletetaan, että voima venyttää jokaista kalvon pistettä kalvon suhteen kohtisuorassa suunnassaja että se on jokaisessa kalvon pisteessä samansuuruinen2.

1Luonnollinen systeemi pyrkii aina asettumaan tilaan, jossa se minimoi energiansa. Tämä periaate on hyvin tavallinen fysii-kassa.

2Tämä voima on luonteeltaan kolmiulotteinen keskeisvoima, joka suuntautuu poispäin pallomaisen alveolin keskipisteestä

108


Jos nesteen kalvo ajatellaan puolipallon muotoiseksi, niin sen pinta-ala ennen venytystä on A =

2 · 2πR2, missä R on pallon säde. Huomaa, että edellisessä puolipallon pinta-alassa on huomioitu sekäkalvon sisä- että ulkopuoli (ei kokonaista ympyrää) ja kalvo on oletettu erittäin ohueksi (sisä- ja ul-kopinnan alat samat). Kasvatetaan pinnan sädettä matkan ∆R verran siten, että muutos vastaa edellämainittua pintajännityksen syntymisessä vaadittavaa energiaa ∆E. Tällöin puolipallopinnan pinta-alakasvaa arvoon

A1 = 2 · 2π(R + ∆R)2 = 4π(R2 + 2R∆R + (∆R)2) (4.20)

Pinta-alan muutokseksi saadaan

∆A = A1 − A = 4π(2R∆R + (∆R)2) (4.21)

Koska venyttävä voima ~F tekee työtä matkan ∆R ja voima on siirtymän suunnassa (kohtisuorassanesteen pintaa vastaan), niin voiman tekemä työ on W = |~F|∆R. Koska tämän työn tulee olla yhtäsuurikuin pintajännityksen muodostumiseen vaadittava energia, niin

∆E = W ⇔ γ∆A = |~F|∆R (4.22)

Näin ollen voima, joka tarvitaan pintajännityksen voittamiseen, on suuruudeltaan

|~F|∆R = 4πγ(2R∆R + (∆R)2)

|~F| = 4πγ(2R∆R + (∆R)2)

∆R= 4πγ(2R + ∆R)

(4.23)

Alveolissa nestepinnan laajeneminen alkaa siitä, kun keuhkorakkulaan tulee ilmaa ja se täyttyy. Kunrakkulan sisällä oleva ilmanpaine kasvaa riittävästi, niin rakkula alkaa laajenemaan. Jos oletetaan, et-tä alveolin pinnan lämpötila on suurin piirtein vakio rakkulan täyttymis- ja laajentumisprosessin ajan,niin rakkulan laajeneminen on termodynaamisesta näkökulmasta isoterminen tilanmuutos, jossa tila-vuus ja paine muuttuvat lämpötilan ollessa vakio. Tällöin tilavuuksille ja paineille on voimassa yhtälö

p1V1 = p2V2, (4.24)

missä 1 viittaa alkutilaan ja 2 lopputilaan. Sisäänhengitysvaiheessa alveolin paine on yleensä alipainet-ta, jonka suuruus vaihtelee välillä 1–3 mmHg. Uloshengityksessä samansuuruinen ylipaine aiheuttaailman virtaamisen pois keuhkoista.

4.3 Virtausdynamiikan perusteet

Monissa käytännön tilanteissa virtausten kuvaaminen matemaattisesti on äärimmäisen monimutkais-ta; ajatellaan vaikkapa veden virtaamista pyörteisessä koskessa tai ilmavirtaa tuulisena päivänä. Nämämolemmat esimerkit kuvaavat tilanteita, joissa virtaus on riippuvainen hyvin monista tekijöistä (mm.monimutkainen geometria,aika,. . . ).

Joissakin tapauksissa voimme kuvata virtausta idealisoidulla mallilla, jossa fluidi oletetaan ko-kooonpuristumattomaksi ja fluidin viskositeetti eli sisäinen kitka mitättömäksi3. Oletetaan, että virtaus

3Tarkastelemme myöhemmin tilannetta, jossa viskositeetin vaikutus otetaan huomioon.

109


on tasaista eli se ei muutu ajan funktiona. Ajatellaan virtauksen olevan lisäksi laminaarista, joka tarkoit-taa, että fluidin eri ”kerrokset” kulkevat toistensa ohi sujuvasti (ilman kitkaa). Laminaarisen virtauksenvastakohta on turbulenttinen virtaus, jossa virtaus muuttuu kaoottiseksi ja epäsäännölliseksi. Tämän il-miön voivat aiheuttaa esimerkiksi liian suuret virtausnopeudet tai epämääräiset virtaavaa fluidia ym-päröivät pinnat. Turbulenttinen virtaus muuttuu jatkuvasti (ajan funktiona) eikä sen käytöstä voidaennustaa juuri ollenkaan.

Virtauksen suunnasta on hyvä huomioida, että fluidi virtaa aina korkeammasta paineesta mata-lampaan. Tämän voi helposti havaita, kun tarkastellaan esimerkiksi ketsuppituubia. Painamalla tuu-bia saadaan ketsuppi tulemaan sieltä ulos, jolloin tuubin sisällä oleva paine on huomattavasti ulkoistailmanpainetta suurempi. Ketsuppi on (hammastahnan ohella) varsin luonnollinen esimerkki fluidista,jolla on verraten suuri viskositeetti.

4.3.1 Jatkuvuusyhtälö

Virtaavan, kokoonpuristumattoman fluidin massa ei muutu fluidin virratessa. Tämän voi perustellaesimerkiksi siten, että tiettynä lyhyenä ajanjaksona tarkasteltuna kahdessa eri virtausreitin poikkileik-kauskohdassa tulee fluidia virrata sama määrä poikkileikkauksen läpi. Periaate antaa meille tärkeänrelaation, jatkuvuusyhtälön, jonka tarkempi perustelu esitetään seuraavaksi.

Ajatellaan tasaista virtausta kahdessa eri kohdassa, joiden poikkileikkauksien pinta-alat ovat A1

ja A2 (kuva 4.9). Olkoot v1 ja v2 näitä poikkileikkauksia vastaavat virtausnopeuksien suuruudet. Jostarkastellaan lyhyttä ajanhetkeä dt, niin poikkileikkauksen 1 kohdalla fluidi liikkuu tässä ajassa matkands1 = v1dt ja vastaavasti poikkileikkauksen 2 kohdalla matkan ds2 = v2dt. Täten nesteen tilavuus, jokakulkee kohdan A1 läpi ajassa dt, on dV1 = A1ds1; kohdan 2 läpi saadaan dV2 = A2ds2. Nyt voidaankirjoittaa

ρ =dm1

dV1=

dm2

dV2⇒ dm1 = ρdV1 ja dm2 = ρdV2 (4.25)

jatkuvuusyhtalokuva1.eps Koska massojen tulee olla tasaisessa virtauksessa samat, niin saadaan

v1

A1

A2

v2

A1v1 = A2v2

Aivi = vakio

KUVA 4.9: Jatkuvuusyhtälö graafisesti. Fluidi on kokoonpuristumatonta, jolloin virtauksen määräaikayksikössä tulee olle sama virtausreitin jokaisessa kohdassa. Tämä voidaan kirjoittaakuvan perusteella kahdella eri tavalla.

110


dm1 = dm2 ⇒ ρdV1 = ρdV2 ⇔ ρA1v1dt = ρA2v2dt (4.26)

Supistamalla tiheydet ja ajanhetket pois saadaan jatkuvuusyhtälö fluidille, jonka tiheys on vakio:

A1v1 = A2v2 (4.27)

Tulo Aivi kuvaa sitä, kuinka suuri määrä fluidia virtaa aikayksikössä jossakin kohdassa virtausta. Tätäkutsutaan tilavuusvirraksi dV/dt:

dVdt

= Av (4.28)

Vastaavasti voidaan määritellä massavirta dm/dt, joka on yksinkertaisesti d(ρV)/dt = ρAv.Yhtälö (4.27) voidaan yleistää tapaukselle, jossa fluidin tiheys ei ole vakio. Tällöin jatkuvuusyhtälö

saa muodonρ1 A1v1 = ρ2 A2v2, (4.29)

missä ρ1 ja ρ2 ovat fluidin tiheydet poikkileikkauksissa 1 ja 2.

4.3.2 Bernoullin yhtälö

Jatkuvuusyhtälön perusteella fluidin virtausnopeus voi vaihdella eri kohdissa virtausreittiä. Tämä ontotta myös virtauksen paineelle. Voidaan osoittaa, että paine riippuu virtauksen korkeudesta ja no-peudesta; tätä tulosta kutsutaan nimellä Bernoullin yhtälö. Se pätee tasaisesti virtaavalle, kokoonpu-ristumattomalle fluidille ja osoittaa, että nämä oletukset täyttävän fluidin kokonaisenergia säilyy. Jostarkastellaan tilannetta, missä fluidi virtaa pisteestä 1 pisteeseen 2, niin Bernoullin yhtälö voidaan kir-joittaa muodossa

p1 + ρgy1 +12

ρv21 = p2 + ρgy2 +

12

ρv22, (4.30)

missä pi paine pisteessä i, yi on tarkastelupisteen i korkeus jostakin valitusta nollatasosta lähtien ja vi

on fluidin virtausvauhti pisteessä i. Yhtälössä esiintyvää termiä ρv2/2 sanotaan kineettiseksi paineenosaksi; termi ρgyi on hydrostaattinen paineen osa.

Koska pisteet 1 ja 2 voidaan valita mielivaltaisesti virtauksen reitiltä, kirjoitetaan Bernoullin yhtälövaihtoehtoisesti muodossa

pi + ρgyi +12

ρv2i = Vakio, (4.31)

missä indeksi i viittaa mielivaltaiseen pisteeseen, jonka kautta virtaus kulkee. Huomaa, että jos virtauson levossa, niin Bernoullin yhtälö redusoituu virtausstatiikan paineen yhtälöksi (4.11).

Bernoullin yhtälössä esiintyviä termejä ρgh ja ρv2/2 kutsutaan joskus energiatiheyksiksi. Tämä ni-mitys on peräisin termien dimensioista, jotka ovat J/m3. Energiatiheys on ”energia tilavuusyksikköäkohti” ja se on luonteeltaan mikroskooppinen suure (vrt. massa on makroskooppinen). Vastaavanlaisiasuureita on fysiikassa useita; melkein jokaiselle makroskooppiselle suureelle löytyy mikroskooppinenvastine. Mikroskooppisten suureiden käyttö riippuu siitä, millä tavalla ilmiötä halutaan tarkastella (fy-sikaalinen näkökulma).

Bernoullin yhtälön muoto on monessa mielessä analoginen mekaniikan energiaperiaatteen kanssa.Tämä samankaltaisuus on lähtöisin siitä, että Bernoullin yhtälöä johdettaessa lasketaan fluidielemen-tille tehty työ, kun se siirtyy pisteestä 1 pisteeseen 2.

111


Esimerkki: Venturi-mittari

Tarkastellaan kuvan 4.10 mukaista järjestelyä, jota kutsutaan Venturi-mittariksi. Sillä voidaan määrittää vir-tauksen nopeus jossakin kohdassa putkistoa. Tämä nopeus riippuu pystysuorien putkien vedenpintojen korkeus-erosta h. Jos poikkileikkauksien pinta-alat ovat A1 = 10 cm2 ja A2 = 3 cm2 ja putkien vesipatsaiden korkeuseroon h = 4 cm, niin kuinka suuri on virtauksen nopeus pisteessä 1? Entä pisteessä 2? Pisteet ovat samalla korkeu-della.

A1

p1

A2 p21 2

h

v1 v2

KUVA 4.10: Venturi-mittari. Koejärjestelyllä on yksinkertaista määrittää fluidin virtausnopeus pis-teessä, jonka kohdalla on pystysuora putki.

Ratkaisu: Sovelletaan ongelmaan jatkuvuusyhtälöä (4.27) ja Bernoullin yhtälöä (4.30). Jatkuvuusyhtä-lön nojalla A1v1 = A2v2, eli v2 = (A1/A2)v1. Koska tarkastelupisteet ovat samalla korkeudella, niinBernoullin yhtälö antaa

p1 + ρgy1 +12

ρv21 = p2 + ρgy2 +

12

ρv22

∣∣∣∣ y1 = y2

p1 +12

ρv21 = p2 +

12

ρv22

∣∣∣∣ v2 = (A1/A2)v1

p1 +12

ρv21 = p2 +

12

ρ

(A1

A2v1

)2

p1 − p2 =12

ρv21

(

A21

A22− 1

)

(4.32)

Paine-erolle p1 − p2 pätee virtausstatiikan perusteella p1 = p2 + ρgh, joten paine-eron suuruus on ρgh.Yksi tapa ajatella tämä on, että paine tilassa 1 ”nostaa” fluidin korkeammalle kuin tilassa 2 oleva paine.

Koska pystysuunnassa vaikuttavat voimat ovat tasapainossa, niin statiikan yhtälöitä voidaan so-

112


veltaa. Täten saamme

ρgh =12

ρv21

(

A21

A22− 1

)

⇒ v1 = +(−)

√

2gh(A1/A2)2 − 1

=

√

2 · 9, 81 m/s2 · 0, 04 m(0, 001 m2/0, 0003 m2)2 − 1

= 0, 2785 . . . m/s

≈ 0, 3 m/s

(4.33)

Sijoittamalla vauhdille v1 saatu arvo jatkuvuusyhtälön lausekkeeseen antaa

v2 = 0, 001/0, 0003 · v1 ≈ 0, 9 m/s (4.34)

Havaitsemme, että kun putken halkaisija pienenee kolmasosaan, niin virtausnopeus putkessa kolmin-kertaistuu. Tämä käänteinen riippuvuus on selvää jatkuvuusyhtälöstä (4.27).

4.3.3 Sydämen tekemä työ

Sydämen tehtävänä on pitää verisuonistossa etenevä veri liikkeessä. Veren tehtävänä on (virtausdyna-miikan näkökulmasta) kuljettaa erilaisia aineita elimistössä (ravintoaineet, kuona-aineet,. . . ). Sydämenvasen kammio pumppaa verta isoon verenkiertoon ja oikea kammio pieneen verenkiertoon. Isosta veren-kierrosta veri saapuu oikeaan eteiseen, josta se siirtyy edelleen oikeaan kammioon. Sydän pumppaaoikeasta kammiosta hiilidioksidipitoista verta keuhkoihin, joissa hiilidioksidi poistuu verestä (alveolit)ja veri muuttuu happipitoiseksi. Keuhkoista veri virtaa vasempaan eteiseen ja vasempaan kammioon,josta sydän pumppaa veren takaisin isoon verenkiertoon.

Sydänlihaksen teho on 10 W, mutta tehosta saadaan hyötykäyttöön vain noin 1 W, joka on noin 1% koko elimistön aineenvaihdunnan tehosta. Kun sydän pumppaa verta aorttaan, niin se tekee työtästaattista painetta vastaan antaakseen verelle liike-energiaa. Olettaen, että vaikuttava voima ~F on verensiirtymän suuntainen, saadaan työn suuruudeksi

W = |~F|∆x = pA∆x, (4.35)

missä A on aortan poikkipinta-ala, p on aortassa vallitseva paine ja ∆x on veren kulkema matka. Jos sy-dämen isku kestää ajan ∆t, niin sydämen tekemää työtä W vastaava keskimääräinen teho tällä aikavälilläon

P1 =W∆t

= pA∆x∆t

= pAv, (4.36)

missä v = ∆x/∆t on veren (keskimääräinen) virtausnopeus aortassa aikavälillä ∆t.Aortassa virtaavan veren saama liike-energia voidaan kirjoittaa muodossa

K =mv2

2=

ρA∆xv2

2, (4.37)

113


jolloin liike-energian muutosta vastaava keskimääräinen teho ajassa ∆t on

P2 =K∆t

=12

ρA∆x∆t

v2 =12

ρAv3, (4.38)

missä ρ on veren tiheys. Sydän aiheuttaa veren liikkumisen, joten sydämen kokonaisteho (aikavälillä∆t) saadaan tehojen P1 ja P2 summana:

P = P1 + P2 = pAv +12

ρAv3 =

(

p +12

ρv2)

Av =

(

p +12

ρv2)

qV , (4.39)

missä Av = qV on tilavuusvirta. Lausekkeessa suluissa esiintyvä termi on täsmälleen sama kuin Ber-noullin yhtälössä, paitsi siitä on jätetty pois hydrostaattinen paineen osa pois. Tähän on syynä se, ettätilannetta tarkastellaan sydämen korkeudella, jolloin korkeusero tarkastelupisteen ja valitun nollata-son (sydämen taso) välillä on nolla.

Sydämen keskimääräinen teho pidemmällä aikavälillä

Sydämellä on noin puoli sekuntia aikaa levätä pumppaustapahtumien välillä. Edellä laskettu sydä-men keskimääräinen teho vastaa keskimääräistä tehoa sillä aikavälillä, kun sydän pumppaa verta. Joshaluamme tarkastella sydämen toimintaa pidemmällä aikavälillä, tulee meidän huomioida myös sy-dämen lepotauot. Voidaan osoittaa, että sydämen keskimääräiselle teholle pätee jollakin tarkkuudellalauseke

〈P〉 = 12

ρ(

〈v2k〉+ 〈v2

a〉)

〈qV〉+ (〈pk〉+ 〈pa〉) 〈qV〉, (4.40)

missä merkintä 〈S〉 kuvaa suureen S aikakeskiarvoa eli keskimääräistä arvoa tarkasteluaikana. Indeksik viittaa pieneen verenkiertoon, joka alkaa keuhkovaltimorungosta ja indeksi a isoon verenkiertoon,joka lähtee liikkeelle aortasta.

Kokeellisesti on havaittu, että aortassa verenpaine on keskimäärin kuusi kertaa keuhkovaltimonverenpaineen suuruinen eli 〈pa〉 = 6〈pk〉. Vastaavasti veren virtausnopeuksien aikakeskiarvoille 〈va〉ja 〈vk〉 on havaittu, että 〈v2

k〉 ≈ 〈v2a〉 ≈ 3, 5〈v〉2, missä 〈v〉 on veren keskimääräinen virtausnopeus aor-

tassa. Huomaa, että suureet 〈v2〉 ja 〈v〉2 eivät ole sama asia, sillä 〈v2〉 tarkoittaa vauhtien neliöiden kes-kimääräistä arvoa ja 〈v〉2 vauhdin keskimääräisen arvon neliötä. Veren keskimääräinen tilavuusvirtaon puolestaan määritelty lausekkeella 〈qV〉 = 〈v〉A.

Sijoittamalla edelliset tulokset yhtälöön (4.40) saamme

〈P〉 = 3, 5ρ〈v〉2〈qV〉+76〈pa〉〈qV〉

=3, 5ρ

A2 〈qV〉3 +76〈pa〉〈qV〉

(4.41)

Yhtälön ensimmäinen termi kuvaa sitä tehon osaa, joka pitää veren liikkeessä; tätä voidaan kutsua ki-neettiseksi tehon osaksi. Liikkeen yhdistäminen tähän termiin on luonnollista jo sen vuoksi, että terminsuuruus on verrannollinen keskimääräisen veren tilavuusvirran kuutioon. Jälkimmäinen termi kuvaakeskimääräistä tehoa, joka tarvitaan paineen ylläpitämiseen. Jälkimmäiselle termille käytetään nimi-tystä hydrostaattinen tehon osa.

114


4.4 Veren virtaaminen suonistossa; verenpaine

Sydämen pumpatessa verta elimistöön veri kulkeutuu kehon eri osiin valtimoita pitkin. Valtimot ovatrakenteeltaan paksuseinäisiä ja niissä vallitsee melko korkea suhteellinen verenpaine. Veri saapuu ke-hon eri osista takaisin sydämeen laskimoita pitkin, joissa verenpaine on huomattavasti alhaisempi kuinvaltimoissa. Laskimot ovat rakenteeltaan ohutseinäisiä ja läpimitaltaan suurempia kuin valtimot.

Ihmisen verenpaine ilmoitetaan usein muodossa RR 120/75. Lyhenne RR tulee verenpaineen mää-ritysmenetelmästä eli ns. Riva-Roccin menetelmästä. Lukema 120 on systolinen paine eli pulssipaine,joka tarkoittaa verenpainetta systolen eli sydänkammioiden supistumisvaiheen aikana suurissa valti-moissa sekä vasemmassa kammiossa. Luku 75 puolestaan on diastolinen paine, joka on yhtä suuri kuinsuurten valtimoiden pienin verenpaine ennen uutta systolea. Systolinen ja diastolinen paine mitataanyksiköissä mmHg; edellä esitetyt arvot ovat tyypillisiä nuorelle, terveelle henkilölle.

Riva-Roccin menetelmässä käsivarren ympärille sydämen kanssa samalle korkeudelle kierretäänmansetti eli suljettu rengas, joka on yhdistetty painepumppuun ja elohopeamanometriin (kuva 4.11).Pumpulla pumpataan mansettiin niin paljon ilmaa, että sydän ei jaksa pumpata verta mansetin ohi.Tilannetta tarkkaillaan stetoskoopilla, jolla kuunnellaan käsivarresta pulssiääniä. Mansetissa vallitse-vaa painetta pienennetään siten, että sydän jaksaa pumpata verta juuri ja juuri mansetin ohi; tällöinmasetissa vallitseva paine on yhtäsuuri kuin systolinen paine. Kun painetta pienennetään edelleen,muuttuvat pulssiäänet erittäin hiljaisiksi, jolloin ollaan saavutettu diastolinen paine.

Riva-Roccin menetelmää on sovellettu mm. digitaalisiin verenpainemittareihin, joissa pulssiääniäseurataan mansetin sisällä olevalla mikrofonilla. Eräs verraten uusi tapa mitata verenpainetta on oskil-lometrinen menetelmä, jossa pulssiääniä ei kuunnella lainkaan. Pulssiaaltojen muutokset havaitaan säh-köisellä paineanturilla ja mittaustuloksista ratkaistaan systolinen ja diastolinen paine laskualgoritmil-lä. Oskillometriseen menetelmään perustuvan verenpainemittarin huonona puolena on usein säännöl-linen kalibrointitarve ja mittauslaitteiston sopimattomuus verenkiertohäiriöistä ja sydänsairauksistakärsivien potilaiden tutkimiseen.

4.4.1 Paineaallon kulkeutuminen suonistossa

Kun sydän supistuu, niin paineaalto alkaa etenemään suonistossa. Aallon nopeus riippuu valtimoidenelastisuudesta; lähellä sydäntä suuri elastisuus saa aikaan sen, että aallon nopeus on noin 4 m/s. Ää-reisvaltimoissa aallon nopeus kasvaa pienemmän kimmoisuuden vuoksi ja saavuttaa arvon, joka onnoin 7–12 m/s. Pulssiaalto ei etene samalla nopeudella kuin veri, sillä pulssiaallon eteneminen sydä-mestä jalkoihin kestää noin 0,2 sekuntia. Veri ei tässä ajassa ehdi kuin aortankaareen saakka.

Pulssiaallon etenemiselle voidaan johtaa lauseke

v =√

B

√

Vρ

, (4.42)

missä B = ∆p/∆V on aineelle ominainen bulkkimoduuli4, V on veren kokonaistilavuus ja ρ on verentiheys.

4Kuvaa tilavuuden muutoksen ja paineen muutoksen relaatiota (jos paine muuttuu vähän, niin kuinka paljon tilavuus muut-tuu. . . ).

115


Pumppu

Manometri

Mansetti

KUVA 4.11: Riva-Roccin menetelmä verenpaineen mittaamiseen. Pumpulla lisätään mansetissavallitsevaa painetta, joka voidaan lukea elohopeamanometrin asteikolta. Kun painet-ta on lisätty siten, että stetoskoopilla ei kuulla sydämen pulssiääniä, aletaan manse-tin painetta laskea; tämän mahdollistaa pumpussa kiinni oleva venttiili. Kun painettaon laskettu siten, että pulssiääni kuullaan juuri ja juuri, niin systolisen paineen arvovoidaan lukea elohopeabarometristä. Kun painetta lasketaan edelleen, niin pulssiäänimuuttuu vaimeaksi tai katoaa kokonaan, jolloin saadaan diastolinen paine.

Jos suonen elastisuus on huonontunut, niin suoneen ”ei mahdu” niin paljon verta kuin ”normaa-liin” elastiseen suoneen. Tämä lisää sydämen vasemman kammion pumppaamistyötä, sillä suonen ohikulkee tavallista pienempi verimäärä.

4.4.2 Verisuonten kimmoisuus

Verisuonissa on tietty paine. Jotta suonet eivät laajentuisi liikaa, tulee verisuonten seinien rakenteenolla kimmoisa eli elastinen. Kun sydän pumppaa verta suonistoon, niin valtimoissa paine kasvaa het-kellisesti; voidaan ajatella, että painetta vastaava voima venyttää verisuonta sivusuunnassa. Kun suonion venynyt tiettyyn maksimiarvoon, on suonen elastinen voima yhtä suuri paineeseen liittyvän voi-man kanssa, jolloin venyminen loppuu. Kun pulssi menee ohi, paineen kohdistama voima pienenee jasuonen elastinen voima palauttaa venymän tasapainotilanteeseen. Jos venymät ovat pieniä, niin Hoo-ken laki pätee jollakin tarkkuudella.

Eräässä fysikaalisessa mallissa voidaan verisuonta jollakin poikkileikkauksen A kohdalla tarkas-tella yksiulotteisena ”köytenä”, johon kohdistuu vetojännitys. Toisaalta voidaan päätellä, että suonis-tossa etenevän paineaallon suonen seinämiin kohdistava voima on suoraan verrannollinen suonenpoikkipinta-alaan. Nämä tulokset yhdistämällä ja yhtälön yhtälön (4.3) perusteella saadaan

|~F| = YA∆l

l0= Y

A(2πR − 2πR0)

2πR0, (4.43)

missä Y on (kudostyypistä riippuva) Youngin moduuli, l0 = 2πR0 on sylinterimäisen suonen kehänympärysmitta ja ∆l on suonen kehän ympärysmitan muutos suonen venyessä. R on suonen osan säde

116


venytyksessä.Tarkastellaan suonen osaa, jonka pituus on l ja seinämän paksuus ∆x (Kuva 4.12). Tällöin suonen-

seinämän poikkipinta-ala (venytyssuunnassa) on5 A = ∆xl ja yhtälö (4.43) saadaan muotoon

|~F| = Y∆xl(R − R0)

R0(4.44)

Jakamalla edellinen yhtälö suonenosan pituudella saadaan lauseke suonen elastisen voiman ~F ja suo-nenosan pituuden l suhteelle:

|~F|l

= Y∆x(R − R0)

R0(4.45)

Koska [|~F|/l] = 1 N/m, niin ratkaistu suure on luonteeltaan samanlainen kuin yksinkertaisen jousi-systeemin jousivakio. Kokeellisesti on havaittu, että relaatiossa (4.45) Youngin moduuli muuttuu jon-kin verran, kun suonta venyttävä voima ylittää tietyn kynnysarvon. Näin ollen voiman ja venymänkuvaaja ei ole lineaarinen, vaan kaksivaiheinen (kuva 4.13).

l

R∆x

KUVA 4.12: Verisuonen venyminen. Huomaa, että poikkipinta-ala on tässä venymistarkastelussapaksuuden ∆x ja pituuden l määrittämää tasoa vastaan kohtisuorassa.

4.5 Virtausvastus eli viskositeetti

Tämä kappale on vielä hieman epäselvä ja kesken. . .

5Tässä kannattaa ajatella kuten edellä, eli suonen venymistä tarkastellaan yksiulotteisen köysimallin kautta. Nyt venytystävastaan kohtisuorassa oleva poikkipinta-ala on itse asiassa kaksiulotteinen ”taso”, jonka pituus on suonenosan pituus l ja kor-keus seinämän paksuus ∆x. Huomaa, että poikkipinta-ala todella kasvaa lineaarisesti, sillä ympyrän kehän pituus on suoraanverrannollinen ympyrän säteeseen.

117


Voiman F kynnysarvoLineaarinen alue

Ei-lineaarinen alue

KUVA 4.13: Verisuonen kaksivaiheinen venyminen. Hooken laki pätee hyvin, kun ollaan kuvaa-jan lineaarisella alueella (venyttävä voima on suoraan verrannollinen venymän suu-ruuteen). Käytännön tilanteessa tämä tarkoittaa suonessa olevan elastiinin venymistä.Kun venymä kasvaa edelleen, ei Hooken laki enää päde, vaan suonen venyttämiseentarvitaan suhteessa suurempi voima kuin pienemmän venytyksen tapauksessa. Sano-taan, että venyttävän voiman ja venymän välillä on ei-lineaarinen (tai epälineaarinen)riippuvuus. Elastiinin sijasta tässä tapauksessa venyvät kollageenisäikeet.

Virtausvastuksen sähköinen malli

Yksi tapa esittää/kuvailla veren virtaamista elimistössä on sähköinen malli. Tarkastellaan seuraavassatilannetta, jossa virtausmekaniikan suureet saavat sähköiset vastineet6. Määritellään tarvittavat suu-reet seuraavasti:

• Veren tilavuusvirtaa qV = dV/dt vastaa sähkövirta I

• Paine-eroa ∆p vastaa jännite eli potentiaaliero U

• Veren viskositeettia vastaa resistanssi R

Peruskoulusta tuttu Ohmin laki R = U/I pätee myös nyt, sillä sijoittamalla edelliset määrittelyt jakäyttämällä aiemmin johdettua tulosta tilavuusvirralle qV saamme

R =UI=

∆pqV

= ∆p8ηL

π∆pr4 =8ηLπr4 (4.46)

6Näillä ei ole mitään tekemistä ilmiön ”oikean” kuvailun kanssa, vaan kyseessä on abstrakti mallinnostapa.

118


Virtausvastuksen yksiköksi saadaan

[R] =[∆p][qV ]

=1 Pa

1 m3/s=

Nsm5 (4.47)

Useassa käytännön tilanteessa järkevämpi yksikkö on ns. perifeerinen vastuyksikkö PRU, jonka dimensiotovat

1 PRU =[∆p(mmHg)][qV(ml/s)]

≈ 1 mmHg760 mmHg

· 105 N/m2 · 1s106m3 = 1, 3 · 108 Ns/m5 (4.48)

Sähköisissä kytkennöissä vastuksia (ja muita komponentteja) voidaan kytkeä joko sarjaan tai rinnan.Sarjankytkennässä vastusten aikaansaama kokonaisresistanssi on osien summa, eli

Rkok = R1 + R2 + . . . = ∑i

Ri (4.49)

Rinnankytkennässä kokonaisresistanssin käänteisluku on suoraan verrannollinen osien käänteisluku-jen summaan, eli

1Rkok

=1

R1+

1R2

+ . . . = ∑i

1Ri

(4.50)

Sarjaan- ja rinnankytkentöjä voidaan verenkierrossa samaistaa esimerkiksi pään, raajojen ja suolistonverenkiertoon. Tarkastellaan seuraavaksi esimerkkiä, joka todennäköisesti selventää mallin käyttöä.

Verenvirtausesimerkki: Pään verenkierto sähköisen mallin avulla

Tarkastellaan kuvan KUVA mukaista mallia pään verenkierrosta. Se ilmestyy tänne kohtapuoleen. . .

4.5.1 Veri nesteenä

Veri koostuu plasmasta (50–60 % veren tilavuudesta), punasoluista (40–50 %) sekä valkosoluista ja ve-rihiutaleista (1 %). Veriplasma on lähes kokonaan vettä (91 %), mutta sen lisäksi siellä on myös valkuai-saineita kuten albumiinia (4,3%), globuliineja (2,4 %), fibrinogeenia (0,3 %) ja pienimolekyylisiä aineita(2,0 %). Laskemalla edelliset yhteen havaitaan, että plasman proteiinien tilavuuskonsentraatio7 on noin7 prosenttia; luku vaihtelee jonkin verran tarkasteltavan yksilön ominaisuuksien mukaan. Jos tutkitta-va henkilö on sairas, proteiinien osuus plasmassa kasvaa, jolloin veren virtausvastus eli viskositeettisuurenee. Plasman proteiinimäärän lisäksi veren viskositeetti riippuu mm. veren virtausnopeudesta,punasolujen deformaatioista8, hematokriittiarvosta9 ja punasolujen tilavuuskonsentraatiosta. Viskosi-teetin lisäksi verellä on myös viskoelastisia ominaisuuksia.

4.5.2 Viskositeetti laminaariselle virtaukselle

Tarkastellaan laminaarista virtausta. Aiemmin oletimme, että nesteen virtausvastus eli viskositeetti onmitättömän pieni. Näin ei kuitenkaan aina ole, ja viskositeetin vaikutus on huomioitava jollakin tavalla.Laminaarisen virtauksen tapauksessa voidaan käyttää mallia, jossa virtausprofiilin muoto putkessa onparaabeli. Kuvassa 4.14 on esitetty kitkattoman ja viskoisen (kitkallisen) virtauksen ideaaliset profiilit.

7Tarkoittaa, kuinka paljon valkuaisaineita on tilavuusyksikköä kohti.8Punasolu voi muuttaa muotoaan, jos siihen kohdistuu esimerkiksi jonkin elimistölle haitallisen aineen vaikutus tai voima.9Veren hematokriittiarvo on sen verisolujen suhteellinen osuus veren tilavuudesta. SEn tyypillinen arvo on välillä 0,35–0,45.

119


Kitkallinen virtausKitkaton virtaus

KUVA 4.14: Kitkaton ja kitkallinen (viskoinen) laminaarinen virtaus. Viskoisen virtauksen nopeusputken seinämien läheisyydessä on lähes nolla, ja nopeus kasvaa siirryttäessä kohtiputken keskikohtaa. Virtausnopeuden profiili on paraabelin muotoinen (vaikka kuvaei siltä ehkä näytä. . . tarkoitus olisi näyttää). Kitkattoman virtauksen profiili on tasai-nen, eli virtausnopeus on sama jokaisessa kohdassa putkea.

Yksi idealisoitu malli virtaukselle on Couetten virtaus, johon liittyy kuvan 4.15 mukainen tilanne.Oletetaan, että nestekerros on kahden yhdensuuntaisen levyn välissä, joista alempi on paikoillaan jaylempi liikkuu nopeuden~v osoittamaan suuntaan. Levyjen välinen etäisyys toisistaan pysyy vakiona jasen arvo on h. Koska ylempään levyyn vaikuttavan voiman suuruus on |~F| ja levyn pinta-ala on A, niinnesteeseen kohdistuva leikkausjännitys on s = |~F|/A. Leikkausjännityksen lisäksi voidaan määritellänesteen leikkausnopeus ξ = dv/dy = v/h, joka on eräs nesteen nopeuden mitta.

A~F

~v

h

0 |~v|

KUVA 4.15: Coutten virtaus. Malli kuvaa kitkallisen eli viskoisen fluidin yhden ”kerroksen” vir-taamista toiseen fluidikerrokseen nähden. Ajatuksena on, että virtausnopeus on lähesnolla kerroksen reunalla ja kasvaa siirryttäessä reunasta poispäin. Tämä periaate onviskoisen, laminaarisen virtauksen virtaamisperiaate.

120


Monilla nesteillä leikkausjännitys ja leikkausnopeus ovat suoraan verrannollisia toisiinsa, eli

s = ηξ, (4.51)

missä η on (vakio) verrannollisuuskerroin eli dynaaminen viskositeetti, jonka yksikkö on 1 Pas (Pascal-sekunti). Kirjoittamalla leikkaussuureiden määritelmät auki saadaan Newtonin viskositeettilaki

s = ηξ ⇔ |~F| = Aηdvdy

(4.52)

Lakia noudattavia nesteitä kutsutaan Newtonin nesteiksi.Nesteiden lisäksi viskositeetti voidaan määritellä myös kaasuille; tosin sen arvo on niille huomat-

tavasti pienempi kuin nesteille. Viskositeetin lämpötilariippuvuudesta seuraa, että nesteiden viskosi-teetti pienenee lämpötilan kasvaessa ja kaasujen suurenee. Taulukossa 4.2 on joidenkin aineiden visko-siteettien arvoja. Viskositeetti riippuu melko paljon lämpötilasta, kuten veden viskositeetista voidaanhavaita.

TAULUKKO 4.2: Viskositeetteja eri aineille

Aine Lämpötila (◦C) Viskositeetti (Pas)

Vesi 100 2, 8 · 10−4

” 37 6, 9 · 10−4

” 20 1, 0 · 10−3

” 0 1, 8 · 10−3

Metanoli 20 6, 0 · 10−4

Bentseeni 20 6, 0 · 10−4

Veriseerumi 37 1, 0 · 10−3

Veriplasma 37 1, 2 · 10−3

Oliiviöljy 20 8, 4 · 10−2

Vesihöyry 100 1, 3 · 10−5

Hiilidioksidi 15 1, 5 · 10−5

Ilma 18 1, 8 · 10−5

Ammoniakki 20 9, 8 · 10−6

Viskositeetti voidaan laskea myös seokselle. Hyvä esimerkki on veriplasma, joka sisältää jonkinverran valkuaisaineita veden lisäksi. Kokeellisesti on havaittu, että seoksen dynaaminen viskositeettiη saadaan Einsteinin kaavalla

η = (1 + kc)η0, (4.53)

mikäli valkuaisainemolekyylien konsentraatio c seoksessa on pieni (alle 1%). Yhtälössä (4.53) η0 onnesteen viskositeetti ja kerroin k on vakio, jolle sopiva arvo pallomaisten molekyylien tapauksessa on

121


k ≈ 2, 5. Yhtälön (4.53) avulla voidaan määritellä suhteellinen viskositeetti seuraavasti:

ηsuht =η

η0= (1 + kc). (4.54)

Viskositeetin sijasta voidaan puhua myös nesteen juoksevuudesta, joka on viskositeetin käänteisarvo.Suhteellinen juoksevuus määritellään analogisesti.

4.5.3 Poiseuillen yhtälö laminaariselle virtaukselle

Luodaan nyt kitkallista virtausta käytännössä kuvaava mielekäs fysikaalinen malli. Voidaan olettaa,että kitkallisen virtauksen nopeus suonen seinämien kohdalla on nolla ja virtausnopeus kasvaa siirryt-täessä seinämästä poispäin (kuva 4.14). Arvioidaan kuvan mukaisesti, että virtauksen nopeusprofiilion paraabelin muotoinen, jolloin virtauksen nopeuden suuruutta kuvaa funktio v(r) ∝ R2 − r2 kuvan???? (jota ei vielä ole) mukaisesti. Tarkastellaan L-pituista verisuonen osaa, jonka säde on R ja jonkapäiden välillä on paine-ero ∆p. Tarkempi analyysi osoittaa, että virtausnopeuden suuruus etäisyydellär suonen keskipisteestä on

v =∆p4ηL

(R2 − r2) (4.55)

Voimme laskea tilavuusvirran suuruuden integroimalla yli suonen poikkipinta-alan. Käytetään in-tegrointiin napakoordinaatteja r ja θ siten, että r on pisteen etäisyys keskiakselilta ja θ on kiertokulma.Kuten karteesisten koordinaattien x ja y tapauksessa, voidaan mikä tahansa tason piste esittää etäisyy-den r ja kulman θ avulla, kunhan origo ja kulman nollakohta on kiinnitetty.

Tavoitteenamme on integroida yli ympyrälevyn. Tämä kannattaa kuvitella siten, että säde r muut-tuu arvosta 0 (keskiakselilla) arvoon R (suonen reuna) ja kulma θ kiertää täyden ympyrän eli 360 astetta(2π rad); tällöin koko levy tulee integroiduksi. Tavallisesta integroinnista poiketen meillä on nyt kaksiintegraalia, toinen kulman ja toinen säteen suhteen. Koska pieni muutos dl ympyränkaarella (ympy-ränkaaren pituus) riippuu säteestä r ja on suuruudeltaan rdθ, on pieni muutos ympyrälevyllä muotoardrdθ. Itse asiassa kyseinen ”elementti” on alkio, jossa arvioimme nopeuden v(r) suuruutta; integroi-malla kaikkien alkioiden yli saadaan nopeuden kokonaisvaikutus poikkipinta-alalla eli tilavuusvirta.Aiemmin laskimme tilavuusvirran nopeuden ja pinta-alan tulona juuri sen vuoksi, että nopeus oli va-kio jokaisessa poikkipinta-alan pisteessä, ts. se ”tuli integroinnista ulos.” Nyt helposti saadaan

qV =∫ 2π

θ=0

∫ R

r=0

∆p4ηL

(R′2 − r2) rdrdθ

=∆p4ηL

∫ 2π

θ=0dθ∫ R

r=0(rR′2 − r3) dr

= 2π · ∆p4ηL

∣∣∣

R

0

12

r2R′2 − 14

r4

= 2π · ∆p4ηL

· 14

R4

=π∆pR4

8ηL

(4.56)

Lopullinen tulos on Poiseuillen yhtälö, joka liittää toisiinsa tilavuusvirran qV , suonenosan päiden välisen

122


paine-eron ∆p, dynaamisen viskositeetin η sekä suonen säteen R:

qV =π∆pR4

8ηL(4.57)

Poiseuillen yhtälön oleellinen asia on se, että tilavuusvirta on verrannollinen verisuonen säteenneljänteen potenssiin. Jos säde pienenee esimerkiksi arvoon 0, 9R verrattuna alkuperäiseen säteeseenR, niin tilavuusvirta uuden poikkileikkauksen läpi olisi vain

qvuusi = 0, 94 · qvalkup. = 0, 6561 · qvalkup. (4.58)

Koska elimistö tarvitsee tietyn määrän verta, ei tilavuusvirta pienene, vaan pienentynyt poikkipinta-ala kompensoidaan lisäämällä veren virtausnopeutta. Kun katsomme Poiseuillen yhtälöä huomaam-me, että tämä tarkoittaa paine-eron ∆p kasvua. Koska tilavuusvirta qv on suoraan verrannollinenpaine-eroon ∆p, niin uuden paine-eron tulee olla suuruudeltaan ∆p/0, 6561 ≈ 1, 52∆p, jotta säteenpieneneminen on huomioitu. Paine kasvaa siis yli 50 prosenttia alkuperäiseen nähden jo silloin, kunsuonen poikkipinta-alaa vastaava säde pienenee ”vain” 10 prosenttia. . . !

Esimerkki: Poiseuillen virtaus

Tarkastellaan sylinterin muotoisen verisuonen osaa, jonka poikkipinta-ala on A = 1 cm2 ja pituus L. Oletetaan,että suonenosan päiden välinen paine-ero on ∆p ja veri virtaa suonessa laminaarisesti. Kuinka monta prosenttiasuonenosan päiden välinen uusi paine-ero ∆p2 on alkuperäistä paine-eroa ∆p suurempi, jos suonen pinta-alapienenee arvoon A2 = 0, 64 cm2?

Ratkaisu: Suonen poikkipinta-alalle pätee A = πR2, missä R on suonen säde alussa. Kun ala pienenee,niin uudeksi säteen arvoksi saadaan

A2 = πr2 ⇒ r =

√

A2

π=

√

0, 64 · Aπ

=

√

0, 64πR2

π= 0, 8R (4.59)

Poiseuillen yhtälöä saa käyttää, sillä virtaus on laminaarista. Jakamalla tilavuusvirta lopussa (qVl) alku-

tilanteen tilavuusvirralla (qVa ) saadaan 1, sillä kaventuneesta suonesta tulee virrata sama määrä vertaaikayksikössä kuin myös aiemmin (elimistö tarvitsee tietyn määrän verta). Koska suonen säde piene-nee, tämä tarkoittaa virtauksen nopeuden kasvua. Näin ollen paine-ero kasvaa alkutilaan verrattuna.Tulokseksi saadaan

1 =qVl

qVa

=

π∆p2(0,8R)4

8ηL

π∆pR4

8ηL

= 0, 84 ∆p2

∆p

⇒ ∆p2 =∆p

0, 84 =625256

∆p

(4.60)

Lopputilan paine-ero on 100 · (625 − 256)/256 ≈ 144 % suurempi kuin alkutilan paine-ero. Ihmisentapauksessa tämä tarkoittaa hengenvaaraa.

123


4.5.4 Laminaarinen ja turbulenttinen virtaus; Reynoldsin luku

Poiseuillen yhtälö pätee vain jos virtaus on laminaarista. Kun virtauksen nopeus kasvaa yli kriittisenrajanopeuden vkr, niin virtaus alkaa käyttäytyä satunnaisesti ajan funktiona. Nesteeseen tulee pyörteitäja nestekerrokset sekoittuvat. Tällaista virtausta kutsutaan turbulenttiseksi virtaukseksi. On selvää, ettätähän asti johdetut tulokset virtaukselle eivät ole voimassa turbulenttiselle virtaukselle.

Virtauksen nopeuden kasvu on seurausta paine-eron kasvusta virtauksen reitillä. Koska tilavuus-virta qV on suoraan verrannollinen paine-eroon ∆p (qV ∝ ∆p), niin voidaan määritellä kriittinen paine-ero ∆pkr, jolla virtaus muuttuu turbulenttiseksi. Huomaa, että paine-ero on aina liitoksissa johonkinetäisyyteen L kahden virtauksen reitillä sijaitsevan tarkastelupisteen välillä.

Voidaan osoittaa, että virtauksen turbulenttisuus riippuu virtausta vastaan kohtisuorassa olevanpoikkipinta-alan säteestä R, fluidin viskositeetista η, tiheydestä ρ ja virtausnopeuden suuruudesta v.Suure, joka kertoo, onko virtaus turbulenttista vai ei, on Reynoldsin luku R:

R =ρvR

η(4.61)

Jos R = Rkr ≈ 1000 ja virtaus on tasaista, niin virtausta voidaan jollakin tarkkuudella käsitellä täysinlaminaarisena10. Suuremmilla arvoilla virtaus muuttuu enemmän ja enemmän turbulenttiseksi. KunR ≫ 1, niin fluidissa vaikuttavat kitkavoimat ovat pieniä ja virtausta voidaan käsitellä kitkattomana.Aortan verenkierrossa pätee R ≈ 1000, mutta arvo vaihtelee jonkin verran (virtaus etenee sykäyk-sittäin). Hiussuonissa puolestaan on R ≈ 0, 001. Vaikka aortan Reynoldsin luku on lähellä kriittistäarvoa, niin veren virtaus ei terveellä ihmisellä ole turbulenttista; tämä johtuu osittain virtauksen epä-tasaisuudesta.

4.5.5 Lasko ja punasolujen rajanopeus

Lasko eli senkka kuvaa veriplasmassa tapahtuvaa punasolujen laskeutumisnopeutta. Laskoa käytetäänseurantakokeena infektioissa ja kroonisten sairauksien (esim. tuberkuloosi ja reuma) seurannassa.

Punasolujen laskeutuminen veriplasmassa perustuu siihen, että niiden tiheys ρ = 1, 1 g/cm3 onsuurempi kuin plasman tiheys ρ0 = 1, 03 g/cm3. Punasolun laskeutumisnopeuteen vaikuttavat plas-man nostevoima, maan vetovoima sekä Stokesin voima, joka voidaan kirjoittaa muodossa

~Fs = − f~v(t) (4.62)

Yhtälössä (4.62) ~v(t) on punasolun laskeutumisnopeus nesteessä (jollakin ajanhetkellä t) ja f solunmuodosta ja koosta riippuva verrannollisuuskerroin, joka kuvaa veriplasman kitkan eli viskositeetinvaikutusta punasoluun. Pallomaiselle kappaleelle voidaan osoittaa, että kerroin f on muotoa f = 6πηr,missä r on kappaleen säde ja η fluidin viskositeetti. Tällöin Stokesin voima on

~Fs = −6πηr~v(t) (4.63)

Huomaa, että voiman ~Fs suunta on vastakkainen punasolun laskeutumisnopeudella. Näin ollen Sto-kesin voima on yhdensuuntainen punasoluun kohdistuvan nostevoiman kanssa. Kun solu laskeutuu,

10Joskus Reynoldsin luvun määritelmässä käytetään virtausputken säteen sijasta putken halkaisijaa; tällöin kriittiseksi arvoksitulee Rkr ≈ 2000.

124


sen nopeus alkaa kasvaa (alkuhetkellä Stokesin voima |~Fs| = 0 ja punasoluun kohdistuva maan ve-tovoima on suurempi kuin nostevoima). Koska Stokesin voima on suoraan verrannollinen punasolunlaskeutumisnopeuteen, saavuttaa laskeutumisnopeus jonkin ajanhetken ∆t kuluttua maksimiarvon,joka vastaa vaikuttavien voimien tasapainotilannetta. Periaatteellinen kuva punasolusta laskossa onesillä kuvassa 4.16.

~G

~N + ~Fs

~Fs = −6πηr~v(t)

~Ns = 4gπr3ρ0/3

~Gs = −4gπr3ρ/3

~v(t)

KUVA 4.16: Punasolun laskeutuminen veriplasmassa. Soluun vaikuttaa veriplasman nostevoima~N, Stokesin voima ~Fs sekä painovoima ~G. Stokesin voima kasvaa punasolun nopeudenkasvaessa, ja tietyn ajan kuluttua punasolun nopeus muuttuu suurin piirtein vakioksi.

Newtonin ensimmäisen lain perusteella kappale jatkaa tasapainotilanteessa liikettään tasaisella no-peudella, jota kutsutaan rajanopeudeksi. Tasapainotilanteen liikeyhtälö voidaan kirjoittaa muodossa

~Fs + ~N − ~G = 0 (4.64)

Pallomaisen solun massa on m = 4πr3ρ/3, joten painovoiman suuruudeksi saadaan |~G| = 4gπr3ρ/3.Nostevoiman suuruus on solun ”syrjäyttämään” neste-elementtiin kohdistuva painovoima, eli |~N| =4gπr3ρ0/3 (ρ0 on nesteen tiheys). Sijoittamalla nämä tulokset yhtälöön (4.64) saadaan lauseke punaso-lun rajanopeudelle ~vkr:

6πηr|~vkr|+43

gπr3ρ0 −43

gπr3ρ = 0

⇒ 6η|~vkr| =43

gr2(ρ − ρ0)

|~vkr| =29

gr2(ρ − ρ0)

η

(4.65)

Rajanopeudesta ~vkr käytetään myös nimitystä sedimentoitumisnopeus.Laskon mittamisessa käytetään yleensä 20 cm korkeita lasisia koeputkia. Tutkittavan henkilön ve-

rinäyte sekoitetaan huolellisesti ja laitetaan putkeen, jota pidetään huoneenlämpötilassa ulkoisilta häi-riötekijöiltä (esim. tärinä) eristetyssä tilassa. Punasolujen annetaan laskeutua noin tunnin ajan, jonka

125


jälkeen mitataan putken yläosaan muodostuneen plasmakerroksen korkeus. Korkeus millimetreissäkertoo laskon, jonka arvo miehillä on normaalisti 3–9 mm ja naisilla 6–12 mm. Kun lähes kaikki puna-solut ovat laskeutuneet koeputken phjalle, voidaan putken pohjalle muodostuneen punasolupatsaankorkeudesta lukea arvio11 hematokriittiarvolle.

Laskon käyttö lääketieteellisenä indikaattorina perustuu siihen, että sairaustapauksessa punasolu-jen yhteenkasautuminen lisääntyy ja ne muodostavat yhtä solua suurempia kokonaisuuksia. Yhtälön(4.65) mukaan suuren kappaleen rajanopeus on suurempi kuin pienen kappaleen (r kasvaa), joten suu-ret ”solurykelmät” laskeutuvat mittausaikana nopeammin koeputken pohjalle kuin yksittäiset solut.Tällöin mitattu laskon arvo on suurempi kuin terveellä ihmisellä. Yhteenkasautuminen on kuitenkinjonkinasteista myös normaalitilanteessa; tämän seurauksena punasolun sedimentoitumisnopeus ei py-sy vakiona ajan suhteen, vaan vaihtelee jonkin verran.

4.6 Elimistön nestetilat

Fysikaalisten ominaisuuksiensa vuoksi vesi on erittäin tärkeä elementti ihmisen soluille; ihmisen mas-sasta noin 60 prosenttia on vettä ja loput 40 prosenttia kiinteää ainetta, joka edelleen jakautuu valkuai-saineisiin ja hiilihydraatteihin (≈20 %), lipideihin (≈15 %) ja mineraaleihin (≈5 %).

Elimistön solut vaativat toimiakseen vakiolämpötilaa ja säännöllistä hapen, sokerin, aminohappo-jen, elektrolyyttien ja veden saantia sekä kuona-aineiden poistoa. Aineiden ja veden vaihtuminen ta-pahtuu solujen sisäisen ja ulkoisen nestetilan välillä. Solunulkoinen tila eli ekstrasellulaaritila käsittää noin20 prosenttia koko ruumiin massasta. Se jakautuu kahteen osaan eli solunvälitilaan (interstitium, 16 %massasta) ja plasmaan12 (4 % massasta). Solunsisäinen eli intrasellulaaritila käsittää noin 40 prosenttiaihmisen massasta.

Elimistön nestetilojen fysiologiset vaihtelut aiheuttavat jonkin verran variaatiota nestetilojen suuruu-teen. Käytännössä normaalipainoisen aikuisen vesiosuus on 55–65 % ihmisen massasta. Yksilöllisetvaihtelut voivat olla merkittäviä.

4.6.1 Nestetilojen mittaaminen

Nestetilan tilavuuden mittauksessa elimistöön ruiskutetaan liuos (tilavuus v), joka päätyy tiettyyn nes-tetilaan V ja joka sisältää jonkin ainemäärän M jotakin tunnettua merkkiainetta, jota elimistössä ei al-kutilanteessa ole lainkaan (tai on merkityksettömän pieni määrä). Seuraavaksi odotetaan, että näytesekoittuu tasaisesti elimistön tutkittavaan nestetilaan ja otetaan nestetilasta näyte, jonka tilavuus onv ja mitattu merkkiaineen ainemäärä m. Oletetaan, että näyte on jakautunut tasaisesti ks. nestetilaan.Koska juuri otetun näytteen ja koko nestetilan merkkiaineiden konsentraatiot13 ovat oletuksen nojallasamat, voidaan kirjoittaa

MV

=mv

⇒ VM

=vm

⇒ V =Mm

v (4.66)

11Kyseessä on likimääräinen tulos, sillä punasolujen joukossa on jonkin verran veriplasmaa.12Huomaa, että plasma ei tässä yhteydessä kuvaa ihmisen koko verimäärää. Esimerkiksi 80 kg massaisen henkilön veriplas-

man määrä on noin 4 litraa, kun henkilön veren kokonaismäärä on 7–8 litraa.13Konsentraatio tarkoittaa tässä tilanteessa ainemäärää tilavuusyksikköä kohti. Se voidaan määritellä myös yksiköissä aine-

määrää massayksikköä kohti tms.

126


Edellinen yhtälö on melkoinen idealisointi käytännön tilanteesta, sillä usein osa merkkiaineesta katoaa,poistuu elimistöstä tai ei ole sekoittunut tasaisesti. Virhettä voi aiheuttaa myös se, jos elimistöön onjostain syystä kulkeutunut merkkiainetta ennen mittausta.

(M, v)

(M,V ) (M,V )

(m, v)

2

1 3

KUVA 4.17: Elimistön nestetilan tilavuuden mittaaminen. 1 Liuos (tilavuus v), jossa on ainemää-rä M merkkiainetta, ruiskutetaan elimistön nestetilaan, jonka tilavuus V halutaan sel-

vittää. 2 Liuoksen sisältämän merkkiaineen annetaan sekoittua tietty aika, jonka jäl-

keen merkkiaine on jakautunut nestetilaan suurin piirtein tasaisesti. 3 Otetaan näy-te, jonka tilavuus on v ja mitataan merkkiaineen konsentraatio näytteessä. Lasketaannestetilan tilavuus. Kuvassa on liioiteltu liuoksen määrää suhteessa nestetilavuuteen:tavallisesti liuoksen tilavuus on alle tuhannesosan nestetilan tilavuudesta. Tällöin voi-daan olettaa, että nestetilan tilavuus ei merkittävästi muutu, kun liuos ruiskutetaansiihen.

Plasman tilavuuden ja elimistön kokonaisvesitilavuuden määrittäminen voidaan suorittaa käyttä-mällä hyväksi radioaktiivisuuteen perustuvaa leimaamismenetelmää, jossa hyvin pieni määrä radioak-tiivista ainetta sekoitetaan elimistöön ruiskutettavaan liuokseen. Kun ”leimattu” näyte on ruiskutettuelimistöön, voidaan aineelle ominaisen sekoittumisajan jälkeen mitata nestetilan radioaktiivisuus. Mit-tauksessa on syytä käyttää ”leimaaja-aineena” tarpeeksi pitkäikäistä isotooppia14, jotta merkkiaine eiehdi mittauksen kuluessa hajota elimistöön. Tällaisia aineita ovat esimerkiksi tritium, jodi ja teknetium.

Esimerkiksi suorassa verisolujen tilavuuden mittaamisessa voidaan käyttää punasoluihin sitoutu-vaa radioaktiivista merkkiainetta, johin keskitytään seuraavassa laskuesimerkissä. Epäsuorassa mit-

14Isotooppi tarkoittaa jonkin aineen ”muunnelmaa” siinä mielessä, että aineen ytimessä on sama määrä protoneita kuin sta-biilissa eli ei-radioaktiivisessa ainessa, mutta neutronien määrä eroaa stabiilista ytimestä. Radioaktiivisen hajoamisen kauttaepästabiili ydin pyrkii saavuttamaan tasapainotilan, eli pääsemään eroon ylimääräisistä neutroneista.

127


tauksessa tulos lasketaan veriplasman tilavuudesta:

veren tilavuus =plasman tilavuus

1 − hkr, (4.67)

missä hkr on veren hematokriittiarvo (punasolujen osuus koko verimäärästä).

Vaikeahko esimerkki: nestetilan tilavuuden määrittäminen

Seuraavaksi käydään periaatteellisella tasolla läpi kokonaisuudessaan se prosessi, jolla nestetilan tila-vuus määritetään käyttämällä radioaktiivista merkkiainetta. Tilavuus määritetään lopulta uuden kon-sentraatiokäsitteen, aktiivisuuskonsentraation15, avulla. Esimerkissä käytetään jonkin verran radioaktii-viseen hajoamiseen liittyviä käsitteitä.

Ruiskutetaan elimistöön 5 ml liuosta, joka sisältää 1 mg radioaktiivista tritium-isotooppia. Olete-taan, että tritiumin tasainen sekoittuminen elimistöön kestää noin viisi tuntia. Tritium hajoaa heliumik-si alla olevan reaktioyhtälön mukaisesti:

31T −→ 3

2He + e− + νe (4.68)

Yhtälössä (4.68) e− on reaktiossa vapautuva, ytimestä irtoava elektroni ja νe on tätä elektronia vastaavaantineutriino, jonka olemassaolo on välttämätön energian säilymisen perusteella (tästä lisää myöhem-min). Tritium-isotoopin massa on m0 = 3, 01604 u ≈ 5, 01 · 10−27 kg, joten tritium-ytimien määrällemittauksen alkuhetkellä saadaan arvio jakamalla massa m = 1 mg tritiumytimen massalla:

N0 =1 · 10−6 kg

5, 01 · 10−27 kg/ydin= 1, 9967 . . . · 1020 ydintä (4.69)

Laskettu arvo ei ole tarkka, sillä atomien välisiä vuorovaikutuksia ja elektronien massoja ei ole huo-mioitu lainkaan16.

Tritiumin puoliintumisaika eli aika, jona alkuperäisten tritium-ytimien määrä laskee puoleen, ont1/2 = 4500 ± 8 päivää eli t1/2 ≈ (390 ± 1) · 106 s. Tritiumin hajoamista kuvaa yleinen hajoamislaki

N(t) = N0e− ln(2)t

t1/2 , (4.70)

missä N0 on radioaktiivisten ytimien määrä alussa. Kuvasssa 4.18 on esitetty kvalitatiivisesti atomiyti-mien lukumäärä ajan funktiona. Tritium-näytteen aktiivisuus jollakin ajanhetkellä t saadaan yhtälöstä

A(t) =ln(2)t1/2

N0e− ln(2)t

t1/2 = A0e− ln(2)t

t1/2 , (4.71)

missä A0 on näytteen aktiivisuus mittauksen alkuhetkellä. Sen arvoksi saadaan

A0 = (t) =ln(2)t1/2

N0 =ln(2)

390 · 106 s· 1, 9967 . . . · 1020 ydintä

= 3, 5487 . . . · 1011 ydintäs

≈ 3, 5 · 1011 Bq

(4.72)

15Tarkoittaa elimistöstä otetun näytteen aktiivisuutta tilavuusyksikköä kohden.16Elektronin massa on noin 1/2000 verrattuna protonin massaan, joten tämä ei aiheuta suurta virhettä lopputulokseen

128


Ato

miy

timie

nlk

m

Aika

Atomiytimien lkm

KUVA 4.18: Atomiytimien lukumäärä ajan funktiona.

Aktiivisuuden yksikkönä SI-järjestelmässä on Becquerel (1 Bq), joka tarkoittaa hajoamisten lukumäärääaikayksikössä (1 Bq = 1 hajoaminen/s).

Valitaan ajan alkuhetki siihen, kun radioaktiivinen isotooppi on sekoitettu merkkiaineeseen ja seruiskutettu elimistön nestetilaan. Voidaan hyvällä tarkkuudella olettaa, että merkkiaineen pieni tila-vuus ei oleellisesti muuta tutkittavan nestetilan tilavuutta. Kun odotetaan sekoittumisaika t = 5 h, onmerkkiaine (ja radioaktiivinen isotooppi) sekoittunut elimistöön tasaisesti. Otetaan tällöin näyte, jon-ka tilavuus on 5 ml ja mitataan sen aktiivisuus: oletetaan, että mittaustulokseksi saadaan 1, 85 · 108 Bq.Mittaustulokseen vaikuttavat ainakin mittausgeometria, laitteiston sisäiset (elektroniikkaan liittyvät)virheet17 sekä laitteiston säätämiseen kuluva aika. Näitä ei nyt kuitenkaan huomioida, vaan oletetaan,että nestetilan tilavuus on ainut merkitsevä muuttuja.

Elimistön nestetilaan sekoittuneen merkkiaineen teoreettinen aktiivisuus sekoittumisajan jälkeen18

voidaan laskea yhtälöllä (4.71):

A(5 h) = A0e− ln(2)t

t1/2 = 3, 5487 . . . · 1011 Bq · e−ln(2)·5·3600 s

390·106 s

= 3, 54858 . . . · 1011 Bq(4.73)

Määritellään nyt aktiivisuuskonsentraatio α siten, että se kuvaa nesteen aktiivisuutta tilavuusyksikköä koh-den. Sen yksiköt ovat Bq/l. Koska radioaktiivinen merkkiaine on jakautunut elimistön nestetilaan ta-saisesti, niin näytteen aktiivisuuskonsentraation tulee olla sama kuin elimistön nestetilan (tilavuus V)

17Näitä voivat olla esimerkiksi signaaliviiveet ja säteilyilmaisimen kuollut aika eli aika, joka on verrannollinen ilmaisimenmaksiminäytteenottotaajuuteen (ilmaisimella kestää aina kuolleen ajan verran ”palautua” sen havaittuaan yhden säteilykvantineli fotonin).

18Tässä lasketaan sitä, kuinka paljon radioaktiivisen aineen kokonaisaktiivisuus nestetilassa putoaa sekoittumisaikana. Tätäverrataan elimistöstä otetun näytteen mitattuun aktiivisuuteen ja sitä kautta määritetään nestetilan tilavuus.

129


aktiivisuuskonsentraation. Nyt saamme

A(5 h)V

=Am

v⇒ V =

A(5 h)Am/v

=3, 54858 · 1011 Bq

1, 85 · 108 Bq/l/ 0,005 l

= 9, 5907 . . . l

≈ 9, 6 l

(4.74)

Saatu tulos on realistinen, kun kyseessä on esimerkiksi solunvälitilan tilavuus.

4.6.2 Soluelinten erottelu sentrifugoimalla

Soluelinten toiminnan tarkastelemiseksi on mielekästä erotella ne ryhmiin, ts. tarkastella eri kompo-nentteja toisistaan riippumatta. Erottelu tapahtuu elinten ominaisuuksien perusteella, joita ovat mm.koko, tiheys ja sähköiset ominaisuudet. Sentrifugoinnissa käytetään hyväksi soluelinten erilaisia ko-koja (differentiaalisentrifugointi) tai tiheyksiä (tiheysgradienttisentrifugointi). Tarkastellaan ensin differen-tiaalisentrifugointia.

Ennen sentrifugointiprosessia solut murskataan. Murskaavia menetelmiä on useita, mm. mekaa-ninen murskaaminen, kemiallisen liuoksen käyttö tai suuritaajuisen ultraäänen käyttäminen. Tavoit-teena on saada soluelimet erilleen tosistaan, mutta säilyttää ne ehjinä. Murskaamisen jälkeen näytehomogenoidaan, eli sekoitetaan/muokataan tasalaatuiseksi ja laitetaan koeputkeen, jossa on liuotinai-netta. Mikäli näytteen molekyylien tiheys on suurempi kuin liuotinaineen tiheys, näytteen molekyy-lit laskeutuvat hitaasti putken pohjalle. Laskeutumisnopeutta voidaan kasvattaa asettamalla koeputkilaitteeseen, joka pyörittää putkea tasaisella kulmanopeudella ω. Tätä laitetta kutsutaan sentrifugiksi.Periaatteellinen kuva sentrifugista on kuvassa 4.19.

ω

KUVA 4.19: Skemaattinen kuva sentrífugista. Kuvaan on piirretty kahdeksan uloketta, joihin voi-daan asettee koeputki. Koeputket voivat olla pystysuorassa, kaltevassa kulmassa taitäysin vaakatasossa: kulma verrattuna pystytasoon on sitä suurempi, mitä suurem-malla kulmanopeudella sentrifugia pyöritetään. Sentrifugin keskellä oleva roottori onerittäin raskas verrattuna koeputkiin ja tavallisesti muistuttaa umpinaista sylinteriä.

Oletetaan, että koeputkea pyöritetään vaakasuunnassa. Pyörimisakselista etäisyydellä r olevaanhiukkanen (esimerkiksi soluelin) etenee kohti putken suljettua päätä harvemman nesteen joukossa.

130


Voidaan osoittaa, että hiukkaseen kohdistuva voima koeputken suunnassa on

|~F| = V(ρm − ρn)a = V(ρm − ρn)ω2r = V(ρm − ρn)

|~v|2r

, (4.75)

missä V on hiukkasen tilavuus, ρm on hiukkasen tiheys, ρn on nesteen tiheys ja |~v| on hiukkasen rata-nopeus. Yhtälön (4.75) voit tulkita siten, että nesteessä vaikuttava nostevoima on vastakkaisuuntainensentrifugin hiukkaseen kohdistamaan vaikuttavaan voimaan, joka aiheuttaa hiukkaselle kiihtyvyydenkohti kapillaariputken toista päätä (kuva 4.20). Huomaa, että sentrifugoinnissa ympyräradan säde r(hiukkasen etäisyys pyörimisakselista) muuttuu ajan kuluessa, joten voiman suuruus ei ole yleisestivakio eikä hiukkanen ole tavallisessa ymmpyräliikkeessä. Koska hiukkanen liikkuu nesteessä, vaikut-

~G

~N + ~Fs~Fc

KUVA 4.20: Hiukkasen vapaakappalekuva sentrifugissa. Huomaa, että gravitaatio aiheuttaa pe-riaatteessa alaspäin vetävän voiman hiukkaseen. Tällä ei useinkaan ole käytännössämerkitystä, sillä senntrifugin hiukkaseen kohdistama voima on huomattavasti suu-rempi kuin gravitaatio.

taa siihen myös Stokesin voima, joka on muotoa |~Fs| = f |~v|. Hiukkanen saavuttaa tietyn ajan kuluessatasaisen rajanopeuden, jolla matka jatkuu19. Tällöin voidaan kirjoittaa

|~F| = |~Fsmax |V ⇒ |~vmax| =V(ρm − ρn)ω2r

f, (4.76)

missä kerroin f riippuu molekyylin geometriasta ja nesteen viskositeetista eli se luonnehtii nesteenkitkavoiman vaikutusta. Maksiminopeus |~vmax| on sama asia kuin sedimentoitumisnopeus.

Käytännön mittauksissa (differentiaalisentrifugointi) sentrifugia pyöritetään aluksi pienellä rata-nopeudella (pienellä keskeiskiihtyvyydellä) lyhyen ajanjakson ajan. Ratanopeutta ja pyörittämisaikaakasvatetaan portaittain ja jokaisen vaiheen välillä kerätään koeputken pohjalle kerääntynyt osa liuok-sesta talteen erillisiin astioihin. Näin saadaan eroteltua soluelimet toisistaan.

19Tilanne on täysin analoginen aiemmin käsitellyn punasolun rajanopeuden kanssa. Tässä tapauksessa hiukkaseen vaikutta-va kiihtyvyys kuitenkin eroaa maan putoamiskiihtyvyydestä, sillä sen saa aikaan sentrifugi. Vaikka sentrifugin kiihtyvyydenaiheuttama voima ei ole vakio (vrt. painovoima), voidaan se pienillä ympyräradan säteen muutoksilla approksimoida vakiovoi-maksi. Tämä tarkoittaa käytännössä sitä, että säteen muutos ei aiheuta merkittävää virhettä lopputulokseen.

131


Sentrifugin roottori, johon koeputket asetetaan, on massaltaan hyvin suuri verrattuna koeputkienmassaan. Roottoria voidaan tarkastella jäykkänä kappaleena, joka pyörii massakeskipisteensä kauttakulkevan akselin ympäri. Tällöin roottorin pyörimisliikkeen energia on

E =12

Iω2, (4.77)

missä I on roottorin hitausmomentti. Roottori on usein epämääräisen muotoinen, mutta sitä voidaanapproksimoida esimerkiksi kiinteänä sylinterinä. Tällöin hitausmomentiksi saadaan I = mR2/2, missäR on roottorin ”ulokkeen” etäisyys sen keskipisteestä. Tällöin pyörimisenergia on

E =14

mR2ω2, (4.78)

Tiheysgradienttisentrifugointimenetelmä on muunnos edellä esitetystä differentiaalisentrifugointime-netelmästä. Kapillaariputkeen laitetaan kerroksittain eri tiheyksisiä liuoksia siten, että suurin tiheys onpohjalla ja pienin pinnalla; tutkittava näyte asetetaan päällimmäiseksi. Kun sentrifugin roottoria pyö-ritetään, jakautuvat soluelimet väliaineeseen ”vyöhykkeittäin” tiheyksien mukaisesti. Sentrifugoinninjälkeen mitataan vyöhykkeistä aineiden pitoisuudet ja tulosten perusteella lasketaan soluelimien mää-rät.

Sentrifugointia käytetään hyvin erilaisissa tutkimuksissa. Yhtenä sovelluskohteena on veren he-matokriittiarvon eli verisolujen osuuden verestä selvittäminen. Tarkasteltavaan verinäytteeseen sekoi-tetaan hyytymisen estävää ainetta, jonka jälkeen näyte sentrifugoidaan ohuessa kapillaariputkessa.Punasolupatsaan suhteellinen osuus koko kapillaaripatsaan korkeudesta kertoo verisolujen osuuden.Kyseessä on arvio, sillä pieni määrä veriplasmaa on aina punasolujen seassa. Tyypillinen arvo hema-tokriitille on välillä 0,35–0,45.

4.6.3 Nesteiden liikkeet elimistössä

Elimistössä liikkuu veren lisäksi myös paljon muita nesteitä. Biologian ja lääketieteen näkökulmas-ta hyvin oleellinen käytännön esimerkki on nesteiden kulkeutuminen soluihin ja niistä pois. Tämänta-paista liikettä voidaan virtausmekaniikassa kuvata mm. diffuusion ja osmoosin avulla. Solun nesteidenliikkeisiin liittyvät myös solun sähköiset ominaisuudet, joita ei kuitenkaan tässä yhteydessä käsitellä.

Diffuusio

Diffuusio tarkoittaa fluidin molekyylien satunnaista liikettä (Brownin liikettä) siten, että nesteessä ole-vien molekyylien konsentraatioerot tasoittuvat ajan kuluessa. Jos esimerkiksi kaksi tilaa, joissa on eri-laisia molekyylejä, yhdistetään, niin molekyylit sekoittuvat spontaanisti. Molekyylien nettosiirtymääjossakin pisteessä x voidaan kuvata konsentraation c(x) muutosnopeuden dc/dx avulla. Näin saadaanmolekyylivuontiheys~Jd, joka kuvaa molekyylien siirtymää pinta-alayksikköä kohti aikayksikössä:

~Jd = −Ddcdx

u, (4.79)

missä D on diffuusiokerroin ja yksikkövektori u osoittaa virtauksen suuntaan. Negatiivinen etumerk-ki puolestaan korostaa sitä, että molekyylien liike tapahtuu aina suuremmasta konsentraatiosta pie-nempään, ts. dc/dx < 0 jos vuontiheys on positiivinen vektorin u suuntaan. Molekyylivuontiheydenyksiköt ovat [~Jd] = 1 mol/(m2s). Molekyylivuontiheys on esitetty graafisesti kuvissa 4.21 ja 4.22.

132


A

~Jd

z

x

y

KUVA 4.21: Molekyylivuo poikkipinnan läpi. Molekyylivuontiheys kuvaa sitä, kuinka paljon ai-netta (mooleissa) siirtyy pinta-alayksikön läpi aika yksikössä. Kun tiedämme pinta-alan ja molekyylien siirtymäajan, voimme laskea pinnan läpäisseiden molekyylienmäärän kertomalla molekyylivuontiheyttä näillä suureilla.

c

x

c(x2)

c(x1)

x1 x2

~Jd = −D dcdx

u

KUVA 4.22: Molekyylivuontiheys yhdessä ulottuvuudessa. Kuvassa on esitetty konsentraatio cpaikan x funktiona. Diffuusion vaikutuksesta molekyylit siirtyvät suuremmasta kon-sentraatiosta pienempään. Tällöin konsentraatiogradientti dc/dx on negatiivinen, ku-ten kuvasta nähdään.

Jos tarkasteltavat molekyylit ovat pallomaisia, voidaan diffuusiokertoimelle D johtaa lauseke

D =kTf

, (4.80)

missä k ∼= 1, 38065 · 10−23 J/K on Boltzmannin vakio, T absoluuttinen lämpötila ja f kitkakerroin,joka riippuu tarkasteltavan kappaleen muodosta ja fluidin viskositeetista (liittyy Stokesin voimaan).Pallomaiselle molekyylille kertoimen f suuruus on f = 6πηr, missä η on fluidin viskositeetti ja r onmolekyylin säde. Yhden molekyylin massa voidaan kirjoittaa muodossa

m =MNA

=43

πρr3 ⇒ r = 3

√

3M4πNA

, (4.81)

missä M on aineen moolimassa ja NA Avogadron vakio. Yhdistämällä tulokset (4.80) ja (4.81) saadaan

133


diffuusiokertoimelle yhtälö

D =kT

6πηr=

kTη

3

√

ρNA

162π2M(4.82)

Huomaa, että yhtälö (4.82) olettaa tarkasteltavan molekyylin pallomaiseksi eikä näin ollen päde ylei-sesti.

Virtaus homogeenisen kalvon läpi

Tarkastellaan nestemolekyylien liikkumista yhdessä ulottuvuudessa. Jos molekyylit virtaavat poikkipinta-alan A läpi, niin ajan ∆ kuluessa voidaan kalvon (membraanin läpi kulkeneiden molekyylien määrä saa-daan kertomalla molekyylivuontiheys ~Jd suuruus pinta-alalla A ja ajan muutoksella ∆t:

molekyylinen lukumäärä = A · ∆t · |~Jd| (4.83)

Molekyylien siirtymistä kalvon läpi diffuusion vaikutuksesta kutsutaan passiiviseksi kuljetukseksi.Kun molekyylivuo membraanin läpi on tasapainossa, niin membraanin sisään virtaavien molekyy-

lien määrä aikayksikössä on yhtäsuuri kuin kalvosta pois virtaavien molekyylien määrä; näin ollenmolekyylivuontiheys kalvon molemmilla rajapinnoilla on sama ja molekyylien kokonaismäärä kalvonsisällä pysyy muuttumattomana. Mikäli kalvon rajapinnat ovat koordinaateissa 0 ja x, niin voidaankirjoittaa ~Jd(0) = ~Jd(x) Jos lisäksi oletetaan, että kalvon sisällä olevat molekyylit ovat jakautuneet ta-saisesti kalvoon, niin molekyylivuontiheys on vakio kalvon sisällä, merkitään ~Jd0

. Tällöin pätee myös~Jd(0) = ~Jd(x) = ~Jd0

.Integroimalla vakiona pysyvää molekyylivuontiheyttä kalvon suunnassa (x-suunnassa) saadaan

∫ x

0|~Jd0

| dx = |~Jd0|∫ x

0dx = |~Jd0

|(x − 0) = |~Jd0|∆x (4.84)

Toisaalta, integroimalla molekyylivuotiheyttä suoraan sen määritelmästä käsin saamme

∫ x

0|~Jd0

| dx = −∫ x

0D

dcdx

dx = −D∫ x

0dc = D[c(0)− c(x)] (4.85)

Konsentraatiot c(0) ja c(x) ovat membraanin rajapinnassa, joten niiden määrittäminen on mittaustek-nisistä erittäin hankalaa. Huomattavasti helpompaa on mitata konsentraatiot cu ja cs solukalvon erot-tamista tilavuuksista (kuva 4.23). Konsentraatioille on olemassa relaatiot

c(0) = Kcu ja c(x) = Kcs, (4.86)

missä vakio K on nimeltään jakautumiskerroin, joka kuvaa molekyylien suhteellista jakautumista mo-lemmilla puolilla kalvoa. Yhdistämällä tulokset (4.84), (4.85) ja (4.86) saadaan uusi yhtälö molekyyli-vuontiheydelle~Jd, joka on muotoa

|~Jd0|∆x = KD[c(0)− c(x)] ⇒ |~Jd0

| = −KD∆c∆x

, (4.87)

missä konsentraation muutos on ∆c = c(x)− c(0).Usein membraanin paksuuden ∆x määrittäminen on hankalaa, kuten myös jakautumiskertoimen

laskeminen. Molekyylivuontiheys voidaan puolestaan mitata melko yksinkertaisesti ja sama on totta

134


konsentraatioille cu ja cs. Näin ollen edellisestä yhtälöstä kannattaa ratkaista suhde |~Jd0|/(−∆c), jolle

saadaan lauseke|~Jd0

|−∆c

=KD∆x

= P, (4.88)

missä P on kalvon läpäisevyys eli permeabiliteetti. Sen yksiköt ovat [P] = 1 m/s.

Kalvo

cu cs

~Jd

0 x

KUVA 4.23: Skemaattinen kuva molekyylien virtauksesta solukalvon läpi. Kalvon molemmillapuolilla oleviin tilavuuksiin liittyvät konsentraatiot cu ja cs siten, että cu > cs. Tällöinmolekyylivirta on kuvan vasemmasta tilasta oikeaan tilaan.

Virtaus huokoisen kalvon läpi

Tarkastellaan seuraavaksi kalvoa, jossa on aukkoja (kuva 4.24). Oletetaan, että aukot on täytetty samal-la liuottimella kuin molemmissa tilavuuksissa kalvon vasemmalla ja oikealla puolella on ja että aukko-jen halkaisija on huomattavasti suurempi kuin liikkuvien molekyylien koko. Tällöin jakautumiskerroinK = 1 ja molekyylivuontiheys huokoisten kanavien läpi on

|~Jk| = −D∆c∆x

= Dcu − cs

x − 0(4.89)

Jos aukkojen yhteispinta-ala on Ak ja kalvon kokonaispinta-ala on A, niin ajassa ∆t aukkojen kauttasiirtyvien molekyylien määräksi saadaan

n = |~Jk|Ak∆t (4.90)

Mikäli aukkojen kautta kulkeneiden molekyylien määrä tarkasteluaikana on huomattavasti suurempikuin kalvon läpi kulkeneiden molekyylien määrä, voidaan molekyylivuontiheydelle koko kalvon läpikirjoittaa

|~Jd| =n

A∆t=

|~Jk|Ak∆tA∆t

=Ak

A|~Jk| = − AkD

A∆x∆c = P∆c, (4.91)

missä P on huokoisen kalvon läpäisevyys.

Osmoosi, Van’t Hoffin ja Daltonin lait

Vesimolekyylit ovat kooltaan suuruusluokkaa 3 · 10−10 m, joten ne pystyvät siirtymään huokoisen kal-von puolelta toiselle, jos kalvon aukkojen koko on 4-8·10−10 m. Mikäli vesiliuoksessa on jotakin toista

135


Kalvo

cu cs

~Jd

0 x

KUVA 4.24: Molekyylien virtaus huokoisen membraanin läpi. Aukkojen olemassaolo muuttaa kal-von läpäisevyyttä verrattuna homogeeniseen kalvoon.

ainetta, jonka molekyylit eivät suuren kokonsa vuoksi pysty liikkumaan kalvon aukkojen läpi (puo-liläpäisevä kalvo), liikkuvat vesimolekyylit diffuusion vaikutuksesta solukalvon läpi tasoittaakseenpuolten välillä vallitsevat konsentraatioerot. Vesimolekyylien diffuusiolle käytetään nimitystä osmoosi.

Tarkastellaan kuvan 4.25 mukaista tilannetta. Tarkasteltavan aineen molekyylien konsentraatiotkalvon eri puolilla ovat cu ja cs ja vastaavat hydrostaattiset paineet pu ja ps. Valitaan positiivinen suun-ta oikealle ja oletetaan, että cu > cs ja pu > ps (jälkimmäinen oletus tarkoittaa käytännössä sitä, ettätarkasteltavan aineen molekyyleillä on suurempi tiheys kuin vedellä). Nyt molekyylivuontiheys |~Jo|voidaan kirjoittaa muodossa

|~Jo| = −k(cu − cs) = k∆c, (4.92)

missä k on vakio, jonka arvon voidaan osoittaa olevan

k = GTR (4.93)

Yhtälössä (4.93) G on virtausvastuksen käänteisluku, T on absoluuttinen lämpötila ja R ≈ 8, 314 j/mol Kon yleinen kaasuvakio.

Koska tarkasteltavat molekyylit ovat raskaampia kuin vesi, seuraa hydrostaattisesta paine-erosta∆p = pu − ps vesimolekyylien virtaus päinvastaiseen suuntaan kuin ~Jo. Tämän virtauksen molekyyli-vuontiheys on suuruudeltaan

|~Jd| = G(pu − ps) = −G∆p (4.94)

Kokonaismolekyylivuontiheys on edellisten summa eli

~J = ~Jd +~Jo ⇒ |~J| = −G∆p + GTR∆c = G(TR∆c − ∆p) (4.95)

Edellinen yhtälö eroaa Galenoksen vastaavasta sivulla 125 siten, että miinusmerkit ovat vaihtuneet.Tämä on seurausta siitä, että Galenoksessa termi ∆p (vastaavasti ∆c) tarkoittaa alkutilan ja lopputilanerotusta; tässä yhteydessä meillä on käytössä lopputila – alkutila.

Yhtälön (4.95) termi Π = TR∆c kuvaa osmoottista painetta. Merkitsemällä ∆c = n/V, missä n onmolekyylien lukumäärä ja V tilavuus, tulee osmoottisen paineen lauseke muotoon

Π =nRT

V(4.96)

136


Yhtälöä (4.96) kutsutaan Van’t Hoffin yhtälöksi. Se voidaan edelleen kirjoittaa muodossa

Π = φRT∆c, (4.97)

missä φ on osmoottinen heijastuskerroin, joka kuvaa membraanin läpäisevyyttä. Kertoimen arvo on 1täydelliselle puoliläpäisevälle kalvolle ja muulloin pienempi kuin 120.

Osmoottisen paineen suuruus riippuu veteen liuenneiden (dissosioituneiden) erillisten hiukkastenkokonaisainemäärästä, joka ilmaistaan osmooleina. Osmolariteetti kuvaa osmoolien lukumäärää liuok-sessa litraa kohden (mosm/l) ja osmolaliteetti on osmoolien lukumäärä kilogrammaa kohden. Aineidenliukeamisprosessit yms. ovat kemian asiaa, joten ei niistä tässä yhteydessä enempää. Dissosioituneidenaineiden seokselle voidaan laskea osmoottinen paine Daltonin yhtälön avulla, jonka mukaan

Π = ∑i

Πi = ∑i

niRTV

(4.98)

Yhtälössä (4.98) Πi on aineen i osapaine ja ni on aineen i hiukkasten lukumäärä.

Kalvo

cu cs

pu ps

~Jd

0 x

~Jo

KUVA 4.25: Molekyylien virtaus ja osmoosi huokoisen kalvon läpi. Tarkasteltavan aineen mole-kyylit eivät kunnolla ”mahdu” membraanin aukoista, joten vesimolekyylit (eivät näykuvassa) siirtyvät puolelta toiselle tasoittaakseen konsentraatioerot. Tämän vuoksikonsentraatioita muuttavia virrantiheyksiä on kaksi: ~Jd liittyy tarkasteltavan aineenmolekyyleihin ja ~Jo vesimolekyyleihin. Huomaa, että virrantiheydet ovat keskenäänvastakkaissuuntaiset.

20Kertoimen suuruus pienenee, mikäli kalvo päästää osan tarkasteltavan aineen molekyyleistä lävitse. Tällöin tietty määrävesimolekyyleistä ”heijastuu” takaisin. Toisena rajatapauksena on täydellinen läpäisevä kalvo, jolle φ = 0.

137

Luku 5

Aalto-oppi ja optiikka

Aalto-opin ja optiikan merkitys lääketieteelle on suuri. Erityisesti ultraäänitutkimusta on käytetty hy-väksi mm. elimistön sisäisten tilojen ominaisuuksien vuorovaikuttamattomassa havainnoinnissa (non-invasive measurement).

Aloitamme keskustelun tarkastelemalla periodista eli säännöllisesti toistuvaa (harmonista) liikettä,jonka jälkeen tutkimme erityyppisiä aaltoliikkeitä yleisesti. Yleinen formalismin jälkeen paneudum-me hieman suuremmalla tarkkuudella ääniaaltoihin ja valoaaltoihin Lopuksi kertaamme optiikkaanliittyviä perusasioita ja käymme läpi keskeisten optisten kojeiden, kuten mikroskoopin, toimintaa.

5.1 Periodinen liike ja aaltoliike

Luonnossa esiintyy useita erilaisia ilmiöitä, joissa tietty liike toistuu samanlaisena yhä uudelleen sään-nöllisin väliajoin (esimerkiksi kaappikellon heiluripainon heiluminen). Tällaista liikettä kutsutaan pe-riodiseksi liikkeeksi. Sen ominaisuuksien ymmärtäminen auttaa myöhemmin opiskeltavan aaltoliikkeensekä sähkömagnetismin sisäistämisessä.

Tällä kurssilla aaltoliikkeen perustana on säännöllinen värähtelyliike. Luonnossa esiintyy hyvinpaljon aaltoliikkeeseen liittyviä ilmiöitä, joissa aallon keskeiset ominaisuudet (aallonpituus, jakson-aika) voivat vaihdella huomattavan paljon. Valitettavasti emme voi tarkastella näitä hienoja ilmiöitäkovinkaan tarkasti niiden monipuolisuuden vuoksi.

5.1.1 Oskillaatio ja yksinkertainen harmoninen värähtelijä

Periodiseen liikkeeseen (ja myös aaltoliikkeeseen) liittyvät suureet on luonnollista käydä läpi esimer-kin kautta. Tarkastellaan jousella toisesta päästä kiinnitettyä laatikkoa vaakatasolla, jonka kitkavoimaon merkityksettömän pieni (kuva 5.1). Oletetaan, että laatikon massa on huomattavasti suurempi kuinjousen massa, jolloin gravitaation vaikutus jouseen ei ole tarkastelun kannalta merkittävä (ainoa laatik-koon vaikuttava voima on jousen jousivoima,). Valitaan tarkastelun vaakasuuntainen koordinaatistositen, että sen nollakohta on laatikon kohdalla laatikon ollessa tasapainoasemassaan (kuva 5.1 a ).

Työnnetään laatikkoa vasemmalle siten, että jousi puristuu kasaan ja laatikko siirtyy tasapainoase-mastaan matkan −x1 vasemmalle (positiivinen suunta on valittu oikealle). Jousen puristuessa laatik-

138


koon alkaa kohdistua tasapainoasemaa kohti suuntautuva palauttava voima (harmoninen voima), jokaon suoraan verrannollinen puristuman suuruuteen:

~F = −k~x, (5.1)

missä k on jousen jousivakio ja |~x| =: x venytyksen suuruus. Jousivakio kuvaa jousen jäykkyyttä; mi-tä suurempi sen arvo on, sitä suurempi voima tarvitaan jousen venyttämiseen. Voiman ~F negatiivinenetumerkki kuvaa sitä, että voima vaikuttaa päinvastaiseen suuntaan kuin venymä. Yhtälöä (5.1) kut-sutaan Hooken laiksi ja se on voimassa silloin, kun jousen puristuma on pieni verrattuna jousen lepopi-tuuteen. Yhtälö pätee sekä jousen puristumalle että venymälle.

Kun laatikkoa vetänyt käsi päästetään irti, alkaa laatikko liikkua kiihtyvällä liikkeellä kohti tasapai-

noasemaa (kuva 5.1 b ). Huomaa, että kiihtyvyys on muuttuvaa, sillä jousivoima muuttuu venymänpienentyessä. Näin ollen tasaisesti kiihtyvän liikkeen yhtälöitä ei voida käyttää liikkeen kuvailussa.Tasapainoaseman saavutettuaan laatikko on saavuttanut (kiihdyttävän voiman vaikutuksesta) vauh-din v. Samalla laatikkoon vaikuttava voima on pienentynyt nollaan (kuva 5.1 c ). Tämä nopeus saalaatikon liikkumaan oikealle ja venyttää jousta. Jousen venyessä jousivoima ~F alkaa vaikuttaa kohti ta-sapainoasemaa ja hidastaa laatikon nopeutta. Ideaalisessa tapauksessa laatikko ”venyttää” jousta juuri

aiemman poikkeaman |x1| verran, jonka jälkeen laatikko pysähtyy (kuva 5.1 d ). Laatikko pysyy ääria-sennossa erittäin lyhyen hetken, jonka jälkeen se lähtee liikkumaan tasapainoasemaa kohti. Laatikkoasaavuttaa tasapainoaseman kohdalla maksimivauhdin v (kuva 5.1 e ), joka saa sen liikkumaan tasa-painoaseman vasemmalle puolelle matkan −x1 verran. Tämä ”heiluriliike” jatkuu loputtomiin, mikälijousen kitkavoimaa ei huomioida ja laatikko liikkuu täysin kitkattomasti.

Hooken laki eli relaatio ~F = −k~x voiman ~F ja jousen venymän x välillä on voimassa vain johonkintiettyyn kriittisen venymän arvoon A asti. Tämä arvo on nimeltään värähtelyn amplitudi A eli maksimi-poikkeama, jonka suuruus riippuu jousen ominaisuuksista (jousivakio, massa, materiaali). Amplitudinohella voidaan määritellä värähtelyn jakso tai kierros, joka kuvaa yhtä edestakaista liikettä (esimerkiksiliike toisesta ääriasennosta toiseen ja takaisin). Edellisen esimerkin tilanteessa yksi jakso on tapahtu-masarja a – e .

Jaksoon liittyy jaksonaika T, joka on yhden jakson liikkumiseen kulunut aika. Jaksonajan yksikötovat sekuntia/kierros. Jaksonajan käänteisarvo on taajuus f = 1/T, joka puolestaan mittaa kuljettujenjaksojen lukumäärää aikayksikössä. Sen yksikkönä käytetään tavallisesti Herziä (Hz):

[ f ] =[1][T]

=kierrosta

s= 1

1s= 1 Hz (5.2)

Taajuuden kaveriksi määritellään usein kulmataajuus ω = 2π f = 2π/T, jonka yksiköt ovat rad/s(merkintä rad jätetään usein pois jos tämä on asiayhteydestä selvä). Kulmataajuudelle ω, jousivakiollek ja jousen päähän kiinnitetyn kappaleen massalle m voidaan massattoman jousen tapauksessa johtaayhtälö1

ω =

√

km

(5.3)

Yhtälöstä (5.3) seuraa, että värähtelytaajuudelle f ja jaksonajalle T saadaan esitykset

f =ω

2π=

12π

√

km

ja T =1f= 2π

√mk

(5.4)

1Tämä ratkaistaan differentiaaliyhtälöstä ma = −kx merkitsemällä kiihtyvyyttä a paikan x toisena aikaderivaattana.

139


a

x = 0v = 0

b

x = −x1v = 0

~F

c

x = 0v > 0

~v

d

x = x1

v = 0~F

e

x = 0v > 0

~v

KUVA 5.1: Esimerkki jaksollisesta liikkeestä. Kun jousen päässä olevaa kappaletta poikkeutetaantasapainoasemastaan etäisyyden −x1 verran (b), niin jousi kohdistaa kappaaleeseenvoiman ~F, joka suuntautuu kohti tasapainoasemaa. Kappaleen liike pysähtyy ja sensuunta muuttuu. Kun kappale on tasapainoaseman kohdalla (c), niin sillä on juuri senverran vauhtia, että se pystyy liikkumaan etäisyydelle x1 tasapainoasemasta. Koordi-naatissa x1 liike pysähtyy (d) ja kappale lähtee liikkumaan kohti tasapainoasemaa (e).Tämä kierto jatkuu säännöllisenä eli periodisena, mikäli ulkoiset voimat kuten esimer-kiksi kitkavoima eivät vaikuta laatikkoon.

140


Esimerkki: Ultraäänilähettimen jaksonaika

Tarkastellaan ultraäänilähetintä, jota voidaan lääketieteellisessä tutkimuksessa käyttää esimerkiksi poskiontelo-tulehduksen diagnosointiin. Oletetaan, että ääniaaltojen värähtelytaajuus on 6,7 MHz. Laske värähtelyn kulma-taajuus ja jaksonaika.

Ratkaisu: Värähtelyn kulmataajuus saadaan yhtälöstä ω = 2π f :

ω = 2 · π · 6, 7 · 106 Hz ≈ 4, 2 · 107 rad/s (5.5)

Värähtelyn jaksonaika on kääntäen verrannollinen värähtelytaajuuteen f , joten

T =1f=

16, 7 · 106 Hz

≈ 1, 5 · 10−7 s. (5.6)

Tuloksista havaitaan, että ultraäänilähettimen taajuus on verraten suuri ja jaksonaika pieni. Käytän-nössä tämä tarkoittaa hyvin nopeaa edestakaista värähtelyliikettä. Ultraäänen ominaisuuksiin pala-taan myöhemmin ääniaaltojen tarkastelun yhteydessä.

5.1.2 Harmoninen värähtelijä matemaattisesta näkökulmasta

Harmonisen värähtelyliikkeen tapauksessa palauttava voima on suoraan verrannollinen venymän suu-ruuteen (F = −kx). Newtonin toisen lain perusteella voidaan kirjoittaa

ma = F = −kx

⇒ |~a| = − km

x

⇔ d2xdt2 +

km

x = 0

(5.7)

Yhtälössä (5.7) a = d2x/dt2 on kiihtyvyyden suuruus, F on vaikuttavan voiman suuruus ja x on ve-nymä. Alimmalla rivillä olevaa paikan differentiaaliyhtälöä kutsutaan yksinkertaiseksi harmoniseksi dif-ferentiaaliyhtälöksi ja sen yleinen ratkaisu on muotoa

x(t) = A cos(ωt + φ), (5.8)

missä ω =√

k/m on jaksollisen liikkeen kulmataajuus ja φ on vaihekulma. Vaiheen φ fysikaalinenmerkitys tulee esille silloin, jos ajanhetkellä t = 0 paikka x eroaa arvosta A. Kuvassa 5.2 on kaksipaikkaa kuvaavaa ajan funktiota, joilla on sama amplitudi ja jaksonaika, mutta jotka ovat eri vaihees-sa.Havaitsemme, että harmoninen värähtelijä saa aikaan harmonisen aallon, jonka jaksonaika ja ampli-tudi pysyvät vakioina ajan suhteen. Aaltoliikkeen perustana on näin ollen värähtelyliike.

Esimerkki: Harmoninen värähtelijä matemaattisesti

Oletetaan, että harmonisen värähtelijän paikkaa x ajanhetkellä t kuvaa funktio

x(t) = A cos(π

2t +

π

8

)

, (5.9)

missä A = 2 m on värähtelyn amplitudi. Tässä tehtävässä kulmayksiköt ovat luonnollisesti radiaaneja ja muistayksiköistä ei tarvitse välittää.

141


-1

1

Paik

kax

2 4 6 8 10 12

Aika t

KUVA 5.2: Aaltofunktion vaihe-ero. Kuvassa on kaksi sinifunktiota, jotka ovat muotoa cos(t) jacos(t + π/2). Sanotaan, että funktioiden välillä on vaihe-ero, joka on suuruudeltaanπ/2.

(i) Johda lausekkeet värähtelijän vauhdille ja kiihtyvyyden suuruudelle ajanhetkellä t. Kuinka suurion värähtelijän kiihtyvyys, kun t = 2 s?

(ii) Millä ajanhetkellä t värähtelijä saavuttaa maksiminopeutensa ja mikä on tuon nopeuden suu-ruus? Onko ratkaisu yksikäsitteinen?

(iii) Laske värähtelijän jaksonaika.

Ratkaisu:

(i) Värähtelijän vauhti tarkoittaa paikan muutosnopeutta ajan suhteen, eli se saadaan annetustapaikkafuntiosta derivoimalla sitä muuttujan t suhteen: v = dx/dt. Vastaavasti kiihtyvyys ku-vaa vauhdin muutosnopeutta ajan suhteen ja se saadaan derivoimalla äsken luotua vauhtifunk-tiota vielä kerran muuttujan t suhteen: a = dv/dt. Paikkaan, nopeuteen ja kiihtvyyteen liittyvätfunktiot on esitetty kuvassa 5.3. Duunataan ensimmäiseksi nopeusfuntktiolle lauseke:

v(t) =dxdt

=ddt

A cos(π

2t +

π

8

)

= − Aπ

2sin(π

2t +

π

8

)

= −π sin(π

2t +

π

8

)

(5.10)

142


Analogisesti saamme kiihtyvyyden a(t):

a(t) =dvdt

= − Aπ2

4cos

(π

2t +

π

8

)

= −π2

2cos

(π

2t +

π

8

)(5.11)

Sijoittamalla ajanhetki t = 2 s kiihtyvyyden yhtälöön (5.11) tulee kiihtyvyyden arvoksi

a(t = 2 s) = −π2

2cos

(π

2· 2 s +

π

8

)

= −π2

2cos

(

π +π

8

)

= −π2

2cos

(9π

8

)

= 4.559 . . . m/s2

≈ 5 m/s2

(5.12)

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Paik

kax(

t),n

opeu

sv(

t),k

iihty

vyys

a(t)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Aika (t)

PaikkaNopeusKiihtyvyys

KUVA 5.3: Esimerkin paikka-, nopeus- ja kiihtyvyysfunktio. Kiihtvyyttä kuvaavan funktion ampli-tudi on suurin, kun taas paikkafunktiolla on pienin amplitudi. Funktioilla on sama jak-sonaika.

(ii) Kuten lukiomatematiikasta muistetaan, funktio saavuttaa ääriarvonsa sen derivaattafuntion nol-lakohdissa (pisteet, joissa funktion käyrä on vaakasuora eli yhdensuuntainen x-akselin kanssa).

143


Ääriarvoja ovat funktion maksimi ja minimi, joten aletaan tutkia nopeusfunktion derivaattafunk-tiota eli kiihtyvyysfunktiota. Asetetaan se nollaksi:

π2

2cos

(π

2t +

π

8

)

= 0

⇒ cos(π

2t +

π

8

)

= 0(5.13)

Jotta kosinifunktio olisi nolla, tulee meidän löytää sellaiset ajankohdat t, joille kosinin argumen-tin eli termin π/2 · t + π/8 arvot ovat yhtä suuria kuin π/2. Tämä siksi, että kosinifunktion mää-rittelyssä (yksikköympyrä) kosinin arvoksi pisteissä z · π/2, z saadaan nolla, missä z on paritonnollasta eroava kokonaisluku. Nollakohdiksi saadaan

π/2 · t + π/8 = z · π/2

π/2 · t = z · π/2 − π/8

⇒ t = z − 1/4 s

(5.14)

Havaitaan, kosinifunktion nollakohdat ovat t = z − 1/4 s, missä z on mikä tahansa nollastapoikkeava pariton kokonaisluku. Meidän tulee vielä selvittää se, ovatko funktion nollakohdatmaksimi-vai minimiarvoja nopeudelle v(t). Koska nopeusfunktio on sinifunktio, niin se on myösperiodinen, joten maksimit/minimit toistuvat säännöllisin välein. Lasketaan nopeusfunktion ar-vo pisteissä t = −13/4 s, t = −5/4 s, t = 3/4 s, t = 11/4 s ja t = 19/4 s:

v(t = −13/4 s) = −π sin(π

2· (−13/4) +

π

8

)

= −π sin(−3π/2)

= −π

(5.15)

v(t = −5/4 s) = −π sin(π

2· (−5/4) +

π

8

)

= −π sin(−π/2)

= π

(5.16)

v(t = 3/4 s) = −π sin(π

2· (3/4) +

π

8

)

= −π sin(π/2)

= −π

(5.17)

v(t = 11/4 s) = −π sin(π

2· (11/4) +

π

8

)

= −π sin(3π/2)

= π

(5.18)

v(t = 19/4 s) = −π sin(π

2· (19/4) +

π

8

)

= −π sin(5π/2)

= −π

(5.19)

144


Helposti havaitaan, että maksimi-ja minimiarvot toistuvat vuorotellen säännöllisesti. Lyhyestivoidaan kirjoittaa, että nopeusfunktio v(t) saavuttaa maksimiarvonsa pisteissä t = z− 1/4, missäz = . . . ,−5,−1, 3, 7, . . . on kokonaisluku.

(iii) Jaksonaika tarkoittaa aikaa, joka värähtelijältä kuluu yhteen jaksoon. Jakson pituus on jokaiselletämän tehtävän funktiolle sama, joten voimma tarkastella esimerkin vuoksi vaikkapa paikka-funktiota x(t). Trigonometriselle funktiolle jakson pituus on funktion argumentin arvon muuttu-minen kahden i:n verran. Tällöin riittää selvittää se, miten paljon ajan t pitää muuttua alkuarvostat = 0, että koko argumentti muuttuu arvon 2π verran. Arvolle t = 0 saadaan

t = 0 s ⇒ sin(π

2· 0 +

π

8

)

= sin(π

8

)

(5.20)

Välittömästi näemme, että ajan t tulee muuttuua arvoon t = 4 s, jotta funktion argumentti siirtyykahden π:n verran ”eteenpäin”: jaksonaika on näin ollen neljä sekuntia.

t = 4 s ⇒ sin(π

2· 4 +

π

8

)

= sin(

2π +π

8

)

(5.21)

5.1.3 Harmonisen värähtelijän energia

Energiaperiaatteen käyttö harmonisen värähtelijän analysoinnissa on järkevää sen vuoksi, että tasai-sesti kiihtyvän liikkeen kinematiikkaa ei voida suoraan soveltaa muuttuvan voiman (ja muuttuvankiihtyvyyden) vaikuttaessa. Kun jousen massa on mitätön verrattuna värähtelijän massaan ja kitkavoi-mat eivät vaikuta, säilyy jousisysteemin kokonaisenergia E eli

dEdt

= 0 ⇒ E = K + U = vakio, (5.22)

missä K on värähtelijän liike-energia ja U jousen potentiaalienergia. Luvusta 3.4.2 muistamme, ettäjousen potentiaalienergia on muotoa U = kx2/2, missä x on poikkeama tasapainoasemasta. Näin ollenvoimme kirjoittaa yhtälön (5.22) muodossa

E =12

mv2 +12

kx2 = vakio, (5.23)

missä m on värähtelijän massa.Koska kokonaisenergia on vakio kaikilla ajanhetkillä, voidaan tarkastella kahta erityistä rajatapaus-

ta. Värähtelijän saavuttaessa amplitudin (maksimivenymän) A se pysähtyy, jolloin kaikki sen energiaon jousen potentiaalienergiaa: E = kA2/2. Värähtelijän tullessa takaisin tasapainoasemaan jousivoi-man vaikutus lakkaa ja värähtelijällä on ainoastaan kineettistä energiaa, toisin sanoen E = mv2

max/2.Katsotaan nyt pari esimerkkiä, joista ensimmäisessä sovelletaan harmonisen (jousi)värähtelijän pe-

rusyhtälöitä ja jälkimmäisessä havainnollistetaan liike-energian ja potentiaalienergian suhdetta toisiin-sa.

Esimerkki: värähtelevä jousi

Tarkastellaan jousta, joka värähtelee harmonisesti pystysuunnassa (kuva 5.4). Jousen päässä on punnus, jonkamassa on m = 3 kg. Kuinka suuri on punnukseen vaikuttava kokonaisvoima silloin, kun punnus roikkuu tasa-painoasemassaan? Huomioi gravitaatio. Kuinka suuri voima jouseen tulee kohdistaa, että jousi venyy 3 cm, jos

145


jousen jousivakion k suuruus on 13 N/m?

Ratkaisu: Kun jousi on tasapainoasemassaan, niin punnukseen vaikuttava painovoima sekä jousenylöspäin kohdistama (tuki)voima ~N ovat yhtä suuret. Jouseen kohdistuva kokonaisvoima on nolla.

Jousen jousivakio tarkoittaa, että 13 newtonin voima venyttää jousta metrin verran (teoriassa, käy-tännössä yhtälö pätee kun venymä on pieni verrattuna jousen lepopituuteen). Sijoittamalla yhtälöön~F = −k∆x venymäksi ∆x = 0, 03 m ja jousivakion arvo saamme tulokseksi

F = −kx = −13 N/m · 0, 03 m = 0, 39 N (5.24)

~G

~N

~G

~N + ~F∆x

|~F | = k∆x

a) b)

KUVA 5.4: Pystysuunnassa värähtelevä jousi. Jousen ollessa tasapainoasemassa (lepotilassa) siihenvaikuttaa painovoima alaspäin sekä jousivoima ~N ylöspäin. Voima ~N on itseisarvoltaanyhtä suuri kuin painovoima.

Esimerkki: vaakasuunnassa värähtelevä vaunu ilmaradalla

Ilmarata on laboratoriokoejärjestely, jossa metalliseen kiskoon on porattu pieniä reikiä ja kiskon sisälle on asetet-tu ilmapuhallin. Kun puhallin laitetaan käyntiin ja metallinen vaunu vaakasuoraan asetetun kiskon päälle, onvaunun liike ilmaradalla lähes kitkatonta. Oletetaan, että vaunu on kiinnitetty sen vasemmasta reunasta massat-tomaan jouseen, jonka toinen pää on kiinni ilmaradan tukipylväässä (kuva 5.5).Vaunun massa on mv = 1 kg jasen värähtelyn amplitudin suuruus on A = 0, 1 m. Kokeellisesti on havaittu, että jousen venyttämiseen 3 cm:nmatkalla vaaditaan 30 Newtonin suuruinen voima. Kuinka kauan värähtelijällä kestää saavuttaa tasapainoase-ma, jos se päästetään liikkeelle maksimivenymästään? Laske myös värähtelijän jaksonaika ja taajuus. Oleta, ettäkitkavoimat ovat merkityksettömän pieniä.

Ratkaisu: Jousen jousivakio saadaan laskettua yhtälöstä ~F = −k~x :

~F = −k~x ⇒ k =|~F||~x| =

30 N0, 03 m

= 1000 N/m (5.25)

146


KUVA 5.5: Jousi-vaunusysteemi värähtelee ilmaradalla. Ilmapuhaltimen puhaltama ilma pitäävaunun hieman ilmassa kiskon päällä, jolloin vaunun liike on lähes kitkatonta.

Meidän kannattaa laskea ensin värähtelijän maksimivauhti eli vauhti, jonka se saavuttaa tasapainoa-seman kohdalla. Koska systeemin mekaaninen kokonaisenergia säilyy, voidaan kirjoittaa

E =12

mv2max =

12

kA2

⇒ vmax = A

√

km

= 0, 1 m ·√

1000 N/m1 kg

=√

10 m/s

(5.26)

Värähtelijän keskivauhti sillä aikavälillä, kun se liikkuu ääriasennosta tasapainoasemaan, on

vk =vmax − v0

2=

vmax

2(5.27)

Etäisyys ääriasennon ja tasapainoaseman välillä on amplitudi A, joten tasaisen liikkeen yhtälöstä saam-me värähtelijän matkaan käyttämän ajan:

A = vkt ⇒ t =Avk

=2A

vmax=

2 · 0, 1 m√10 m/s

= 0, 063245 . . . s ≈ 0, 1 s (5.28)

Värähtelijän taajuus kuvaa jaksojen lukumäärää aikayksikössä (sekunnissa). Edellisen laskun perus-teella tiedetään, että yhteen jaksoon kuluva aika eli jaksonaika on T = 4t = 0, 25298 . . . s ≈ 0, 3 s, jotentaajuudeksi saamme f = 1/T = 3, 952 . . . Hz ≈ 4 Hz.

5.1.4 Sovellus: yksinkertainen heiluri

Yksinkertaisella heilurilla tarkoitetaan fysikaalista systeemiä, jossa ylhäältä kiinnitetyn massattomanja venymättömän langan toisessa päässä oleva punnus (pistemäinen kappale) heiluu sivusuuntaisesti;luonnollisena (tosin ei kovin tarkkana) esimerkkinä voi olla vaikka rakennusten purkamisessa käytet-tävä metallipallo, joka roikkuu nosturiin kiinnitetyn vaijerin päässä.Yksinkertaisen heilurin vapaakap-

147


θ

l

~G

~T

m

Gx

Gy

Gx = −mg sin(θ)Gy = mg cos(θ)

sin(θ) ≈ θ

KUVA 5.6: Yksinkertaisen heilurin vapaakappalekuva. Jousisysteemiä vastaavana palauttavanavoimana toimii nyt painovoiman toinen komponentti, joka pyrkii ”vetämään” punnus-ta kohti tasapainoasemaa.

palekuva on esitetty kuvassa 5.6. Heilurin tasapainoasemaa kohti suuntautuvana voimana on gravi-taation toinen komponentti, jonka suuruus riippuu heilahduskulman θ suuruudesta:

|~F| = Gx − mg sin(θ) (5.29)

Tilanne muodostuu hieman ongelmalliseksi, sillä nyt palauttava voima ei ole suoraan verrannollinen”venymään”, vaan pätee |~F| ∝ sin(θ). Tehtävän helpottamiseksi rajoitutaan tilanteeseen, jossa heilah-duskulma θ on ”pieni.” Käytännössä tämä tarkoittaa, että sin(θ) ≈ θ, jolloin

Gx ≈ −mgθ = −mgxL= −mg

Lx ≡ −kθ x, (5.30)

missä kθ = mg/L on fenomenologisessa mielessä jousivakiota vastaava suure yksinkertaisen heilu-rin tapauksessa. Käyttämällä hyväksi yhtälöitä (5.3) ja (5.4) saadaan lausekkeet kulmataajuudelle ω,taajuudelle f ja jaksonajalle T:

ω =

√

km

=

√

mg/Lm

=

√gL

f =1

2π

√

km

=1

2π

√gL

T = 2π

√mk= 2π

√

Lg

(5.31)

Huomaa, että tulokset eivät millään tavalla riipu kappaleen punnuksen massasta vaan ainoastaan lan-gan pituudesta L. Lopputulos on järkevä, sillä pitkän heilurin jaksonaika on suurempi kuin lyhyem-män heilurin jaksonaika. Mielenkiintoista yhtälössä (5.31) on myös se, että jaksonajan suuruus ei riipuamplitudista (muista kuitenkin, että oletimme heilahduskulman pieneksi).

148


5.2 Mekaaniset aallot yleisesti

Mekaaninen aaltoliike luonnossa voi ilmetä monessa eri yhteydessä, esimerkiksi meriveden liikkeenätai musikaalisina ääninä. Aalto saa alkunsa, kun fysikaalista systeemiä poikkeutetaan tasapainotilas-taan ja ”häiriö” alkaa etenemään systeemin osasta toiseen.

Mekaaninen aalto on systeemin tasapainotilan häiriö, joka tarvitsee edetäkseen jonkin väliaineen (seei etene tyhjiössä). Mekaaniset aallot voidaan jakaa kahteen päätyyppiin:

(1) Poikittaisessa aaltoliikkeessä väliaineen hiukkkaset liikkuvat kohtisuorassa aallon etenemissuuntaavastaan (kuva 5.7)

(2) Pitkittäisessä aaltoliikkeessä väliaineen hiukkasten liike on värähtelyliikettä aaltoliikkeen etenemis-suunnassa ja vastakkaisessa suunnassa (kuva 5.8).

Esimerkki poikittaisesta aallosta on jousisoittimen kielessä etenevä värähtely ja pitkittäisestä aaltoliik-keestä ääni, jonka eteneminen perustuu ilman molekyylien värähtelyyn.On tärkeää havaita, että aallon

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Aaltofunktioψ(x,t)

Paikka x

KUVA 5.7: Poikittainen aaltoliike. Väliaineen rakennehiukkaset värähtelevät poikittain aallon ete-nemissuuntaa vastaan. Kuva esittää aaltofunktiota ψ(x, t) (katso luku 5.2.2) jollakinkiinnitetyllä eli valitulla ajanhetkellä t. Tämän voi havaita esimerkiksi siitä, että kuvanperusteella harmonisessa värähtelyliikkeessä olevat väliaineen rakennehiukkaset (ku-van ympyrät) ovat paikallaan eivätkä värähtele. Jos tilanteesta otetaan uusi kuva pie-nen hetken kuluttua, niin rakennehiukkaset ovat ehtineet liikkua pystysuunnassa erikooordinaatteihin. Poikittainen aaltoliike koostuu siis huomattavasta määrästä harmo-nisesti värähteleviä hiukkasia, joilla kaikilla on sama jaksonaika.

aikaansaamiseksi fysikaaliseen systeemiin on tuotava energiaa eli systeemin tasapainotilaa on häirit-tävä. Häiriön eteneminen tarkoittaa tämän energian kulkeutumista systeemissä; väliaineen hiukkasetEIVÄT MATKUSTA aallon mukana (ne ainoastaan värähtelevät tasapainoasemansa ympärillä).

149


KUVA 5.8: Pitkittäinen aaltoliike. Kuvassa on ilmamolekyylejä, jotka värähtelevät edestakaisin jamuodostavat näin ääniaallon (pitkittäisen aaltoliikkeen). Ääni etenee ilmassa molekyy-lien tihentyminä ja harventumina eli paine-eroina.

5.2.1 Periodiset mekaaniset aallot

Jaksollisessa eli periodisessa aaltoliikkeessä jokainen aallon väliaineen rakennehiukkanen on säännölli-sessä, jaksollisessa liikkeessä. Jos kyseessä on harmoninen värähtelyliike, puhutaan harmonisesta eli si-nimuotoisesta aallosta. Tällaiselle aallolle jaksonaika T ja amplitudi A ovat vakioita ja ne määritelläänkuten periodisen liikkeen tapauksessa.

Harmoniselle aallolle määritellään aallonpituus λ, joka kuvaa aallon kahden peräkkäisen amplitu-dimaksimin (tai minimin) välistä etäisyyttä eli matkaa, jonka aalto etenee yhden jaksonajan kuluessa.Koska jaksonaika ja näin ollen myös aallonpituus pysyvät vakioina, niin aallon etenemisnopeus ~v onmyös vakio ja sen suuruus on

v =λ

T= λ f , (5.32)

missä f on aallon taajuus2. Yhtälö (5.32) on voimassa sekä poikittaiselle että pitkittäiselle aaltoliikkeel-le3. Valoaalloille ja sähkömagneettisille aalloille yhtälö saa muodon c = λ f , missä c = 299792458 m/son valon nopeus tyhjiössä.

Monissa käytännön tilanteissa aallon etenemisnopeus~v riippuu pelkästään väliaineen ominaisuuk-sista. Tällöin kaikki tietyn tyyppiset aallot (esimerkiksi ääniaallot) etenevät aallon taajuudesta riippu-matta samalla nopeudella väliaineessa. Matemaattisesti asiaa voi ajatella niin, että taajuuden f kas-vaessa aallonpituus λ pienenee siten, että v pysyy vakiona. Käytämme tätä oletusta käsitellessämmemekaanisia aaltoja ja ääniaaltoja. Myöhemmin valoaaltojen tapauksessa huomaamme, että aaltojen no-peuden taajuusriippuvuus eli dispersio saa esimerkiksi prisman hajottamaan valkean valon useaan eriväriin.

5.2.2 Matemaattinen aaltofunktio

Aallon osasten tarkka kuvailu edellisen kappaleen suureiden avulla ei ole mahdollista. Silloin tällöintarvitaan aaltofunktiota, joka kuvaa aallon väliaineen minkä tahansa hiukkasen paikkaa (etäisyyttä ta-sapainoasemasta) mielivaltaisella ajanhetkellä. Aaltofunktio ψ riippuu näin ollen väliaineen hiukkasenpaikasta x ja ajanhetkestä t, ts. ψ = ψ(x, t). Seuraava tarkastelu rajoittuu sinimuotoisiin aaltoihin.

Tarkastellaan aaltoa, joka liikkuu positiiviseen x-suuntaan. Aaltoa kuvaavalle funktiolle ψ voidaanjohtaa esitysmuoto

ψ(x, t) = A cos (kx − ωt) , (5.33)

2Taajuus on sama koko aallolle, sillä jokainen rakennehiukkanen on harmonisessa värähtelyliikkeessä.3Pitkittäisessä aaltoliikkeessä (ilma väliaineena) aallonpituus määritellään kahden ilmamolekyylien tihentymän välisenä etäi-

syytenä.

150


missä k = 2π/λ on aaltoluku ja ω = 2π f = 2πv/λ = vk on aallon kulmataajuus. Aaltofunktio voidaanesittää graafisesti piirtämällä ψ muuttujan x funktiona jollakin ajanhetkellä t; kun kuvia piirretään usei-ta, voidaan niistä tarkastella aallon aikaevoluutiota eli muutosta/kehitystä ajan suhteen. Vastaavastivoidaan kiinnittää koordinaatti x ja piirtää ψ ajan t funktiona. Tämä tarkoittaa yksittäisen harmonisenvärähtelijän eli esimerkiksi väliaineen molekyylin liikkeen tutkimista.

Matemaattinen aaltofunktio on esitys aallon väliaineen rakennehiukkasten liikkeelle. Jos paikka xon kiinnitetty, niin se kuvaa kyseisessä koordinaatissa olevan hiukkasen liikettä ajan funktiona. Yhdis-tämällä Newtonin lait tämän näkökulman kanssa huomataan, että aaltofunktiota ajan suhteen derivoi-malla voidaan selvittää hiukkasen nopeus (ajan funktiona) ja nopeutta derivoimalla kiihtyvyys (vrt.kinematiikan suureet paikka, nopeus ja kiihtyvyys).

5.2.3 Aaltojen superpositio ja interferenssi

Tähän asti käsitellyissä tilanteissa aalto on edennyt vapaasti ja jatkuvasti yhteen suuntaan. Kun aaltokohtaa väliaineen rajapinnan, se heijastuu osittain tai kokonaan takaisin väliaineeseen. Tämän ilmiönvoi kokea esimerkiksi kuulemalla kaiun, kun huutaa kovalla äänellä kohti vuoren seinämää sopivanmatkan päästä. Sopiva matka viittaa siihen, että kalliota kohti etenevä aalto ja kalliosta heijastuva aaltovahvistavat toisiaan. Ilmiöstä käytetään nimeä aaltojen yhteisvaikutus eli interferenssi.

Aallon heijastuminen voi tapahtua hyvinkin eri tavoin riippuen siitä, millainen väliaineen rajapintaon. Ehtoja, jotka vaikuttavat aallon heijastumisen voimakkuuteen rajapinnassa, kutsutaan reunaehdoik-si. Esimerkkinä voidaan tarkastella seinään kiinteästi sidottua köyttä, jota pitkin saapuu poikittainenaaltopulssi kohti köyden ja seinän rajapintaa. Kokeellisesti havaitaan, että heijastunut pulssi ”kääntyyympäri”.

Kahden aallon yhteisvaikutus on luontevaa määritellä pisteittäin. Olkoot aaltofunktiot ψ1(x, t) jaψ2(x, t) siten, että ne kuvaavat kahta osittain tai kokonaan päällekkäin olevaa aaltoa. Interferenssiaalloneli kokonaisvaikutusaallon Ψ(x, t) arvo jollakin ajanhetkellä t pisteessä x saadaan laskemalla aaltofunk-tioden arvot yhteen ks. pisteessä:

Ψ(x, t) = ψ1(x, t) + ψ2(x, t) (5.34)

Yhtälöä (5.34) kutsutaan aaltojen lineaariseksi superpositioperiaatteeksi. Se on voimassa fysikaalisille sys-teemeille, jotka noudattavat Hooken lakia.

5.2.4 Seisova aaltoliike köydessä

Aaltoliikkeen heijastuminen väliaineen rajapinnasta muuttuu mielenkiintoiseksi silloin, kun heijastuvaaalto on harmoninen. Tällainen aalto saadaan aikaiseksi esimerkiksi sitomalla köysi toisesta päästäkiinteästi seinään ja asettamalla toiseen päähän harmoninen värähtelijä, joka saa aikaan aaltopulssinköyttä pitkin. Kun pulssi kulkee seinän kiinnityspisteeseen ja saapuu takaisin alkupisteeseen, näyttääpulssissa etenevä aaltoliike pysyvän paikallaan eli aallon vaihe ei etene. Tällaista liikettä kutsutaanseisovaksi aaltoliikkeeksi (kuva 5.9).Katsotaan hieman tarkemmin seisovan aallon rakennetta. Nähdään,että kuvassa 5.9 esiintyy kupuja, joissa amplitudi saavuttaa maksimiarvon ja solmuja, joissa amplitudion nolla. Solmun kohdalla seinää kohti kulkevan ja seinästä heijastuvan aallon amplitudit ovat yhtä

151


Kupu

Solmu

Kupu

Solmu

KUVA 5.9: Seisova aaltoliike köydessä. Kun köyden toinen pää on kiinnitetty seinään ja toisessapäässä on harmoninen värähtelijä, syntyy seisova aaltoliike, jossa aallon vaihe ei etene.Seinää kohti kulkeva aalto ja seinästä heijastunut aalto interferoivat eli vuorovaikutta-vat siten, että aallon amplitudin maksimikohdassa ne vahvistavat toisiaan ja minimeissäheikentävät toisiaan (sillä aalloilla on sama vaihe).

suuret mutta vastakkaissuuntaiset4, kun taas kupujen kohdalla aallot vahvistavat toisiaan5. Solmut jakuvut pysyvät paikoillaan, sillä harmonisen aallon jaksonaika ja aallonpituus ovat vakioita.

Seisovan aaltoliikkeen aaltofunktio voidaan selvittää laskemalla yhteen seinää kohti etenevä ja sei-nästä takaisin saapuva aaltofunktio. Koska aaltopulssin amplitudi kääntyy vastakkaiseksi sen heijas-tuessa kiinteästä kiinnityskohdasta, ovat aaltofunktiot muotoa

ψ1(x, t) = −A cos(kx + ωt)

ψ2(x, t) = A cos(kx − ωt),(5.35)

missä ψ1 kulkee vasemmalle ja ψ2 oikealle6. Interferenssiaalloksi saadaan kosinin summakaavan cos(x±y) = cos(x) cos(y)∓ sin(x) sin(y) avulla

ψ1(x, t) + ψ2(x, t) = −A cos(kx + ωt) + A cos(kx − ωt)

= −A [cos(kx) cos(ωt)− sin(kx) sin(ωt)] +

+ A [cos(kx) cos(ωt) + sin(kx) sin(ωt)]

= [2A sin(kx)] sin(ωt)

(5.36)

Ensimmäiset kaksi termiä yhtälössä (5.36) on erotettu suluilla ajasta riippuvasta vaihetermistä. Yh-tälöstä nähdään, että seisovan aallon amplitudi on kaksinkertainen alkuperäisen aallon amplitudiin

4Tästä ilmiöstä käytetään nimitystä destruktiivinen interferenssi.5Vastaavasti tämä on konstruktiivista interferenssiä.6Miinus- ja plus-merkit termien kx ja ωt edessä seuraavat geometrisesta tarkastelusta, jota ei tässä yhteydessä käydä tarkem-

min läpi. Positiivinen x-suunta on valittu oikealle ja langan kiinnityskohta on pisteessä x=0.

152


verrattuna. Yhtälöstä havaitaan myös, että aallon muoto jossakin koordinaatissa x säilyy samassa pai-kassa, sillä muuttujan t kasvaessa ainoastaan aallon amplitudi muuttuu (muuttujat x ja t ovat erillisissätermeissä). Tämä tarkoittaa sitä, että kahden aallon solmukohdan välissä olevat aallon rakennehiukka-set värähtelevät samassa vaiheessa keskenään. Seisovalle aallolle on karakteristista myös se, että se eikuljeta energiaa väliaineessa; vasemmalle ja oikealle etenevät aallot kuljettavat samat määrät energiaaeri suuntiin, jolloin kokonaisenergiavuo on nolla.

Yhtälön (5.36) avulla voidaan löytää solmukohtien paikat. Ne sijaitsevat pisteissä, joissa sin(kx) = 0(tietenkin myös pisteessä ωt = 0+ n · π, missä n on kokonaisluku, saadaan interferenssiaallon arvoksinolla, mutta tällöin funktion arvo on nolla kaikissa pisteissä x. Oletetaan siis, että ajasta riippuva termieroaa nollasta, jolloin funktio saa arvon 0 ainoastaan solmukohdissa). Näin ollen saamme

sin(kx) = 0 ⇒ x = 0 ± n · π

k

= 0 ± n · λ

2, n on kokonaisluku

(5.37)

Esimerkki: Seisova aaltoliike

Harmoninen poikittainen aalto, jonka aallonpituus on λ = 0, 5 m ja amplitudi A = 0, 25 m, etenee toisestapäästä kiinnitetyssä köydessä. Aallon taajuus on f = 0, 2 Hz. Kun aalto tulee kiinnitettyyn köyden päähän, seheijastuu siitä takaisin ja muodostuu seisova aaltoliike. Kirjoita seisovan aallon aaltofunktio ja laske aallon etene-misnopeus ja jaksonaika. Missä pisteissä interferenssiaalto saavuttaa amplitudimaksiminsa ajanhetkellä t = 5/4s?

Ratkaisu: Aallonpituudesta saadaan lasketuksi aaltoluku ja tästä edelleen aaltofunktion tunnetun taa-juuden avulla aallon etenemisnopeus. Koska k = 2π/λ ja kulmataajuudelle pätee ω = vk, niin tulok-seksi saadaan

k =2π

λ=

2π

0, 5 m= 4π 1/m = 12, 566 . . . 1/m

ω = vk ⇒ v =ω

k=

2π f4π

=0, 2 1/s2π 1/m

= 0, 0318 . . . m/s(5.38)

Aallon jaksonaika on sen taajuuden käänteisluku eli 5 sekuntia. Seisovaa aaltoliikettä kuvaavan funk-tion kirjoittamiseksi meillä on nyt kaikki tarvittava, joten yhtälön (5.36) avulla saadaan

Ψ(x, t) = [2A sin(kx)] sin(ωt)

= 2 · 0, 25 m · sin(4πx) sin(2π · 0, 2 Hz · t)

= 0, 5 sin(4πx) sin(

2π

5t

) (5.39)

Aaltofunktio Ψ(x, t) saavuttaa amplitudimaksiminsa ajanhetkellä t = 5/4 s niissä pisteissä x, joille on

4πx = n · π

2, n = 1, 3, 5, 9, . . .

⇒ x =n8

, n = 1, 3, 5, 9, . . .(5.40)

Näin sen vuoksi, että sinifunktio saa maksimiarvonsa aina kun sen argumentti on π/2 tai jokin senparittomalla luvulla kerrottu monikerta (seuraa yksikköympyrästä, pitäisi osata tässä vaiheessa).

153


Sovellus: aallon normaalimoodit kielisoittimessa

Värähtelevän systeemin normaalimoodi on liiketila, jossa kaikki systeemin rakennehiukkaset liikkuvatsiniaallon määräämällä tavalla ja samalla taajuudella. Käytännössä seisovan aaltoliikkeen tila esimer-kiksi kielisoittimen kielessä on kyseisen kielen normaalimoodi.

Soittimissa värähtelevä kieli on kiinnitetty molemmista päistä. Kun kieli asetetaan värähtelemään,alkaa kieltä pitkin edetä aalto, joka heijastuu kielen kiinnityskohdista ja muuttuu hetkessä seisovak-si aalloksi. Kielen aaltoliike saa sen ympäröivät ilmamolekyylit värähtelemään, jolloin ilmassa alkaaliikkua ääniaalto7 Äänen taajuus riippuu kielen ominaisuuksista, kuten pituudesta L ja viivatiheydestäµ, joka tarkoittaa massaa pituusyksikköä kohden. Viivatiheys on varsin hyödyllinen mitta silloin, kuntarkasteltava objekti on hyvin pitkä suhteessa sen muihin dimensioihin (esimerkiksi kitaran kieli taiohut kuparilanka).

Jotta kielisoittimeen voisi syntyä seisova aalto, tulee kielen pituuden olla sopiva. Yhtälöstä (5.37)nähdään selvästi, että seisovan aallon solmukohdat kielessä ovat puolen aallonpituuden päässä toi-sistaan. Koska kieli on kiinnitetty molemmista päistä, tulee molemmissa päissä olla solmukohta. Näinollen saadaan kielen pituudelle L ehto

L = n · λ

2, n = 1, 2, 3, . . . (5.41)

Yhtälön (5.41) asettama ehto kielen pituudelle on välttämätön seisovan aaltoliikkeen, jonka aallonpi-tuus on λ, olemassaololle8 ks. kielessä. Yhtälöstä voidaan ratkaista aallonpituus, jolloin saadaan

λ =2Ln

, n = 1, 2, 3, . . . (5.42)

Kuvassa 5.10 on seisova aaltoliike piirrettynä vakion n arvoille n = 1, 2 ja 3.Aaltoliikkeen perusyhtälös-tä (5.32) ja yhtälöstä (5.42) saadaan seisovan aaltoliikkeen taajuus ilmoitettuna aallon etenemisvauhdinv, kielen pituuden L ja vakion n avulla:

v = λ f ⇒ f =vλ= n

v2L

, n = 1, 2, 3, . . . (5.43)

Taajuutta, jolle n = 1, kutsutaan perustaajuudeksi (first harmonic). Muusikot kutsuvat taajuuksia, joillen ≥ 2, harmonisiksi ylä-ääniksi (harmonic overtones). Kielen värähdellessä vapaasti muodostavat har-moniset äänet harmonisen sarjan, eli kielessä on useita erilaisilla taajuuksilla värähteleviä aaltoja (tosinharmoniset ylä-äänet ovat huomattavasti perustaajuuden ääntä heikompia)9

Köydessä etenevän aallon etenemisvauhdille v voidaan johtaa yhtälö käyttämällä dimensioanalyysiä.Tehdään seuraavasti: voidaan olettaa, että aallon vauhti riippuu langan jännitysvoimasta |~F| =: F jalangan viivatiheydestä µ. Kirjoitetaan verrannollisuusyhtälö

v ∝ Fµ ⇔ v = κFαµβ, (5.44)

missä κ on jokin (tuntematon tai kokeellisesti määritettävä) vakio ja α ja β ovat reaalilukuja. Koska

7Ääniaalloista kerromme lisää seuraavassa luvussa 5.3.8Kielessä voi olla eteneviä aaltoja, vaikka seisovaa aaltoa ei muodostuisikaan.9Nämä äänet esimerkiksi kitarassa kuulostavat ”huilumaisilta” ja pehmeiltä. Kun kitaralla soitetaan ensimmäinen harmoni-

nen ylä-ääni (n = 2), värähtelevät kielessä kaikki muut harmonisen sarjan taajuudet paitsi perustaajuus, jolloin ääni muuttuu.

154


λ/2 = Ln = 1

2λ/2 = Ln = 2

3λ/2 = Ln = 3

KUVA 5.10: Aallon normaalimoodit kielisoittimessa.

155


nopeudella v tulee olla samat yksiköt kuin termillä Fαµβ, saadaan dimensioyhtälö

[v] = [Fα][µβ]

ms−1 =(

kgms−2)α

·(

kgm−1)β

,(5.45)

josta edelleen saamme yhtälöryhmän yksiköiden potenssien perusteella (potenssien laskusäännöt):

1 = α − β

−1 = 2α

0 = α + β

(5.46)

Yhtälön (5.46) nojalla α = 1/2 = −β, joten nopeuden lausekkeen lopullinen muoto on

v = κ

√

Fµ≈√

Fµ

, (5.47)

missä viimeinen approksimaatio pätee kokeellisesti melko hyvällä tarkkuudella.Yhdistämällä yhtälöt (5.43) ja (5.47) saadaan värähtelevän kielen perustaajuudelle relaatio

fn=1 =1

2L

√

Fµ

(5.48)

Mikäli kielen jännitysvoima on vakio jokaisessa kielessä samoin kuin kielen pituus, niin havaitaan, ettätaajuus kasvaa viivatiheyden pienentyessä. Tämä on odotettu tulos, sillä kielisoittimissa korkeat äänettuotetaan juuri ohuimmilla kielillä.

5.3 Ääniaallot

Ihmisen korva on herkkä havaitsemaan ilman paineenvaihteluita. Nämä vaihtelut yleensä usein ääni-aaltoja, jotka liikkuvat ilmassa pitkittäisenä (mekaanisena) aaltoliikkeenä.

5.3.1 Ääniaaltofunktio ja äänen nopeus väliaineessa

Ääni on pitkittäistä aaltoliikettä, jonka väliaineena voi periaatteessa olla mikä tahansa (ilma, vesi, kiin-teä aine). Väliaineen rakennehiukkaset värähtelevät aallon etenemissuunnan kanssa samassa suunnas-sa edestakaisin (kuva 5.8). Yksinkertainen tapa kuvata ääniaaltoa on sinimuotoinen aalto, jolle aallonamplitudi, taajuus ja aallonpituus ovat vakiota. Tällöin ääniaallon aaltofunktio on täsmälleen samaamuotoa kuin yhtälön (5.33) funktio: tässä tulee kuitenkin tiedostaa aallon rakennehiukkasten väräh-telysuunta, joka on kohtisuorassa poikittaisen aaltoliikkeen rakennehiukkasten värähtelysuuntaa vas-taan (eli aallon siirtymän suuntainen). Esimerkiksi amplitudi A tarkoittaa nyt sitä maksimietäisyyttä,jonka väliaineen hiukkanen voi aallon etenemissuunnassa poiketa tasapainoasemastaan.

Ääniaaltoja voidaan kuvata myös väliaineen eri pisteissä vallitsevien paine-erojen avulla. Paineellep saadaan tällöin ajasta ja paikasta riippuva lauseke

p(x, t) = BkA sin(kx − ωt), (5.49)

156


missä B on väliaineelle ominainen bulkkimoduuli. Termiä BkA =: pmax kutsutaan paineamplitudiksi,sillä se määrää painevaihtelun suuruuden. Kiinnittämällä amplitudi A ja bulkkimoduuli B havaitaan,että paineamplitudi on suuri, jos tarkasteltavan aallon aallonpituus on pieni ja päinvastoin (k = 2π/λ).Tämä on seurausta siitä, että lyhyet aallot ”pakkautuvat” tiheämmin väliaineeseen ja pakkautuminenaiheuttaa paineenvaihtelun kasvun.

Yksinkertaisen köysisysteemin tapaan voidaan myös ääniaallolle johtaa yhtälö, joka kuvaa aallonetenemisnopeuden suuruutta väliaineessa. Aikaisemman yhtälön (5.47) perusteella voimme arvata,että vauhti on seuraavaa muotoa:

v =

√

systeemin tasapainoon palauttavan voiman suuruussysteemin liiketilan muutosta vastustava hitaus

(5.50)

Neliöjuuren yläosassa oleva termi kuvaa sitä, kuinka helppoa tai vaikeaa tarkasteltavaa väliainetta(fluidia) on puristaa kokoon. Vastaava fysikaalinen suure on bulkkimoduuli B. Toisaalta, neliöjuurennimittäjässä oleva termi kuvaa fluidin hiukkasen inertiaa eli kykyä vastustaa liiketilan muutosta. Vir-tausmekaniikasta muistamme, että tämä suure on massan mikroskooppinen vastine, massa tilavuusyk-sikköä kohden eli tiheys ρ. Tämä ”perusteltu arvaus” osoittautuu melko monimutkaisen matemaatti-sen väännön (ei esitetä) jälkeen oikeaksi, joten äänen nopeus fluidissa on

v =

√

Bρ

(5.51)

Äänen nopeus ilmassa on noin 344 m/s. Äänen nopeudelle ideaalikaasussa10 voidaan myös johtaa vaih-toehtoinen yhtälö, joka on usein edellistä käyttökelpoisempi. Havaitaan, että äänen nopeus riippuulämpötilasta:

v =

√

γRTM

, (5.52)

missä γ on kaasun lämpökapasiteetteihin liittyvä vakio (ilmalle γ ≈ 1, 40), R = 8, 314 J/mol K onyleinen kaasuvakio, T on aineen absoluuttinen lämpötila ja M moolimassa11.

Jos ääniaalto etenee kiinteässä aineessa, on tilanne hieman erilainen. Väliaineessa tapahtuu jonkinverran deformaatiota aaltoliikkeen suuntaa vastaan kohtisuorassa suunnassa (esimerkiksi rautatanko,joka puristuu kasaan aaltoliikkeen edetessä). Voidaan kuitenkin osoittaa, että aaltoliikkeen etenemis-vauhdille on voimassa yhtälö

v =

√

Yρ

, (5.53)

missä Y on väliaineelle ominainen Youngin moduuli. Taulukossa on äänen nopeuksia muutamassa eriaineessa.

Esimerkki: äänen nopeus väliaineessa

Ääni etenee kaasumaisessa (ideaalikaasu) väliaineessa. Kaasun mitattu paine yksikkötilavuudessa V = 1, 0 m3

on 1,013 bar. Kaasun tiheys on 1,2 kg/m3 ja moolimassa 4, 0 · 101 g/mol. Termodynaamisella tarkastelulla voi-daan osoittaa, että kaasun lämpökapasiteettiin liittyvä vakio γ (adiabaattivakio) on suuruudeltaan noin γ ∼= 1, 5.

10Ideaalikaasu on teoreettinen malli kaasulle, jonka mukaan kaasun molekyylit eivät vuorovaikuta keskenään ja liikkuvatsatunnaisliikkeen (esimerkiksi Brownin liikkeen) mukaisesti.

11Massa, joka vastaa yhtä moolia kaasun rakennemolekyylejä.

157


TAULUKKO 5.1: Äänen nopeuksia eri väliaineissa

Väliaine ja lämpötila Olomuoto Äänen nopeus (m/s)

Ilma (293 K) Kaasu 344

Helium (293 K) ” 999

Helium (4 K) Neste 211

Elohopea (293 K) ” 1451

Vesi (273 K) ” 1402

Vesi (293 K) ” 1482

Alumiini Kiinteä 6420

Lyijy ” 1960

Teräs ” 5941

Laske äänen nopeus kaasussa.

Ratkaisu: Koska kaasu käyttäytyy ideaalikaasun tavoin, voidaan soveltaa ideaalikaasun tilanyhtälöä12

pV = nRT, (5.54)

missä p =paine, V =tilavuus, n=kaasun ainemäärä mooleissa, R ∼= 8, 134 J/molK on yleinen kaasu-vakio ja T absoluuttinen lämpötila. Ajatuksena on, että lasketaan yhtälön (5.54) avulla lämpötila, jossaääni kulkee ja sijoitetaan tulos yhtälöön (5.52), josta saadaan äänen nopeus. Kun yhtälöön (5.54) si-joitetaan ainemäärän tilalle n = m/M, missä m on kaasun massa ja M on sen moolimassa, saadaanlämpötila T selville:

pV = nRT =mM

RT ⇒ T =pVMmR

=1, 013 · 105 Pa · 1 m3 · 0, 04 kg/mol

1, 2 kg · 8, 314 J/molK

= 415, 1299 . . . K

(5.55)

12Nämä asiat käydään tarkemmin läpi myöhemmin termodynamiikan yhteydessä, tämä on vain esittelyä.

158


Sijoittamalla tulos yhtälöön (5.52) saamme tulokseksi

v =

√

γRTM

=

√

1, 5 · 8, 314 J/molK · 415, 129 K0, 04 kg/mol

= 355, 843 . . . m/s

≈ 360 m/s

(5.56)

5.3.2 Äänen intensiteetti

Aallon kuljettaman energian määrää aikayksikössä yksikköpinta-alaa kohti kuvaa aallon intensiteetti.Intensiteetti on luonteeltaan samanlainen suure kuin teho P; keskeisenä erona on pinta-alalla A jaka-minen. Näin ollen intensiteettiä mitataankin yksiköissä W/m2. Ääniaallon intensiteetti on

I =PA

=~Fk ·~vk

A= pkvk, (5.57)

missä ~Fk on ilmamassaa työntävä keskimääräinen voima, ~vk on ilmamassan keskimääräinen nopeus jap paine. Jos intensiteetti halutaan määrittää keskimääräisen tehon avulla, voidaan intensiteetille kir-joittaa yhtälö

I =WAt

, (5.58)

missä W on ilmamassaa eteenpäin työntävän voiman tekemä työ.Äänen intensiteetti on luonnollisesti riippuvainen myös äänilähteen ja kuuntelijan etäisyydestä.

Yhtälöissä (5.61) ja (5.62) tämä riippuuvuussuhde ei tule esille, sillä ne tarkastelevat intensiteettiä ilmanpaikkariippuvuutta. Usein on kuitenkin erittäin käyttökelpoista tietää, kuinka suuri äänen intensiteettion jollakin etäisyydellä.

Jos ääniaalto leviää tasaisesti kolmiulotteiseen ympäristön, voidaan ajatella, että ääniaalto on jol-lakin etäisyydellä R tasaisesti levittäytynyt r-säteisen pallon kuorelle. Kuoren pinta-ala on tunnetus-ti 4πr2, joten intensiteetti I pallon kuorella on äänilähteen alkuperäiseen intensiteettiin I0 verrattunaI = I0/4πr2. Tästä ajatuksesta saamme yleisemmänkin tuloksen: Jos äänen intensiteetti etäisyydellä r1

äänilähteestä on I1 ja etäisyydellä r2 se on I2, niin pätee

I1

I2=

r22

r21

(5.59)

Yhtälöstä nähdään, että intensiteetti on kääntäen verrannollinen äänilähteen ja kuuntelijan välisen etäi-syyden neliöön. Kuva 5.11 kertoo saman asian graafisesti.

159


0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Suht

eelli

nen

inte

nsite

etti

1 2 3 4 5 6 7 8

Suhteellinen matka (alkup. verrattuna)

Intensiteetti

I ∝ 1

r2

KUVA 5.11: Äänen suhteellinen intensiteetti suhteellisen etäisyyden funktiona. Intensiteetille pä-tee I ∝ r−2, joten jo etäisyyden kaksinkertaistaminen saa intensiteetin putoamaan yh-teen neljäsosaan alkuperäisestä.

Äänen intensiteetti aaltofunktioilla**

Koska paine p ja nopeus ~v ovat itse asiassa aaltofunktioita, saadaan intensiteetin suuruus laskemallaaaltofunktion (5.49) aikakeskiarvo yli aallon jaksonajan T. Laskemalla hiukan saadaan

pv = BkA sin(kx − ωt) · ∂

∂tψ(x, t)

= BkA sin(kx − ωt) · ∂

∂t[A cos (kx − ωt)]

= BωkA2 sin2(kx − ωt)

(5.60)

Integroimalla edellistä funktiota aikavälin 0 → T = 2π/ω yli antaa lopputulokseksi

I =12BωkA2 (5.61)

Käyttämällä relaatioita ω = vk ja v2 = B/ρ (yhtälö (5.51)) saadaan sinimuotoisen ääniaallon intensi-teetille yhtälö

I =12

√

ρBω2 A2 (5.62)

Yhtälöstä (5.62) nähdään välittömästi se, että matalataajuisen subwooferin tulee värähdellä huomat-tavasti suuremmalla amplitudilla kuin korkeataajuisen diskanttikaiuttimen, jotta sama äänen inten-siteetti saadaan aikaiseksi. Kirjoittamalla yhtälössä (5.62) paineamplitudi pmax = BkA, kulmataajuus

160


ω = vk ja aallon etenemisnopeus v2 = B/ρ saadaan yhtälö muotoon

I =12

√

ρBω2 A2

=12

√

ρBv2k2 A2

=1

2ρ

√

ρBvBk2 A2

=p2

max

2√

ρB

(5.63)

Havaitaan, että paineamplitudin kasvattaminen kasvattaa voimakkaasti myös intensiteettiä. Vastaa-vasti bulkkimoduulin tai tiheyden pienentäminen laskee intensiteettiä. Lyhyesti tämän voi ajatella esi-merkiksi niin, että aallon intensiteetti on verraten suuri harvalle kaasulle, jossa paineenvaihtelut ovatsuuria.

Esimerkki: äänen intensiteetti

Ääniaalto etenee ilmassa siten, että sen paineenvaihtelulla on maksimiarvo pmax = 3, 0 · 10−2 Pa. Ilman läm-pötila on 293,15 K, joten ilman tiheydeksi voidaan hyvällä tarkkuudella olettaa ρ ∼= 1, 2 kg/m3. Äänen nopeusilmassa on v = 344 m/s. Laske aallon intensiteetti.

Ratkaisu: Äänen intensiteetille pätee yhtälö

I =p2

max

2√

ρB, (5.64)

josta tunnemme tässä vaiheessa kaiken muun paitsi bulkkimoduulin. Yhtälön (5.51) nojalla aallon ete-nemisnopeudelle fluidissa pätee v =

√B/ρ, josta bulkkimoduulille saadaan yhtälö B = v2ρ. Sijoitta-

malla tulos yhtälöön (5.64) saamme ratkaisuksi

I =p2

max

2ρB

=p2

max

2ρv

=(3, 0 · 10−2 Pa)2

2 · 1, 2 kg/m3 · 344 m/s

= 1, 090 . . . · 10−6 W/m2

≈ 1, 1 · 10−6 W/m2

(5.65)

Desibeliasteikko ja äänen intensiteettitaso

Ihmisen korva havaitsee parhaimmillaan ääniä taajuusalueella 20-20000 Hz. Koska taajuusalue on laa-ja, on usein mielekästä käyttää logaritmista asteikkoa äänen intensiteetille. Äänen intensiteettitaso β

määritellään seuraavasti:

β = (10 dB) log(

II0

)

(5.66)

161


TAULUKKO 5.2: Approksimatiivisia äänen intensiteettitason β arvoja

Äänilähde β (dB) I (W/m2)

Manowar-yhtye (Guinness-ennätys v. 1984) 129,5 ???

Kipukynnys (arvio) 120 1

Liikenne ruuhka-aikaan 70 10−5

Tavallinen keskustelu 65 3, 2 · 10−6

Radio soimassa taustalla ”hiljaa” 40 10−8

Kuiskaus 20 10−10

Kuulokynnys 0 10−12

Yhtälössä (5.66) I0 on referenssitaso, jonka suuruudeksi on valittu I0 = 10−12 W/m2; tämä vastaasuurin piirtein ihmisen kuulokynnystä 1000 Hz:n äänelle.

Äänen intensiteettitason yksikkö, dB eli desibeli, on nimetty puhelimen keksijän Alexander GrahamBellin mukaan. On syytä huomata, että yhtälön (5.66) mukainen intensiteettitaso ei ota huomioon kor-van reagointia eri tavalla eri taajuisiin ääniin. Soveltamalla logaritmin laskusääntöjä voidaan yhtälö(5.66) pienellä vaivalla saattaa muotoon

I = I010β/(10 dB), (5.67)

joka selvästi näyttää intensiteetin kasvavan logaritmisesti intensiteettitason noustessa.Katsotaan hieman tarkemmin yhtälöä (5.66). Havaitaan, että äänen intensiteetin ollessa I0 saa-

daan intensiteettitasoksi β = 0. Koska β riippuu intensiteetistä I logaritmisesti, tulee intensiteetinkasvaa melkoisesti ennen kuin huomattavia intensiteettitason muutoksia havaitaan. Jos esimerkiksiI = 1000 · I0, niin intensiteettitason suuruus on 10 dB · log(1000) = 30 dB. Taulukossa 5.2 on muutamiaintensiteettitasojen arvoja.

5.3.3 Äänen vaimeneminen

Kun ilmassa etenevä ääniaalto kohtaa esimerkiksi rakennuksen seinän, sen intensiteetti vaimenee huo-mattavasti. Tapahtumasta käytetään nimitystä absorptiovaimeneminen, jota mitataan yksiköissä dB/meli intensiteettitason lasku pituusyksikköä kohden. Absorption voimakkuutta kuvaa äänenvaimennus-kerroin a, ja äänen intensiteettiä kohdemateriaalissa jollakin syvyydellä x kuvaa yleinen absorptiolaki

I(x) = Iie−ax, (5.68)

missä Ii on äänen intensiteetti ilman ja kohdeaineen rajapinnassa. Tavallisesti intensiteetille I määritel-lään puoliintumispaksuus x1/2, joka tarkoittaa matkaa, jonka tarkasteltavassa aineessa edettyään inten-siteetti on pudonnut puoleen alkuperäisestä:

I(x1/2) =12

Ii = Iie−ax1/2 ⇒ ln(1/2) = −ax1/2 ⇒ x1/2 =

ln(2)a

(5.69)

162


Mielivaltaiselle rakenteelle voidaan määritellä äänieristävyys R desibeliyksiköissä. Oletetaan, ettäI1 on rakenteeseen saapuvan aallon intensiteetti (ääniteho) juuri ennen rakennetta ja I2 on rakenteenläpäisseen äänen intensiteetti juuri rakenteen jälkeen. Tällöin äänieristävyys R on

R = 10 lg(

I1

I2

)

= 10 lg(

1τ

)

, (5.70)

missä τ = I2/I1 on rakenteen läpäisysuhde. Jos seinä koostuu useasta rinnakkaisesta erilaisesta mate-riaalista, saadaan rakenteen keskimääräinen äänieristävyys laskettua rakenteiden poikkipinta-aloillapainotetuilla läpäisysuhteiden summalla:

τ =τ1 A1 + τ2 A2 + τ3 A3 + · · ·

A1 + A2 + A3 + · · ·

=∑i τi Ai

∑i Ai

(5.71)

Mikäli tarkastellaan tilannetta, jossa ääntä eristäviä materiaaleja on useita peräkkäin, kannattaa äänenintensiteetin putoaminen laskea materiaali kerrallaan ja sijoittaa saatu tulos aina seuraavan materiaalintulointensiteettiin.

5.3.4 Äänen heijastuminen rajapinnasta

Kun ääniaalto kohtaa ilman ja esimerkiksi kiinteän aineen rajapinnan, osa aallosta heijastuu takaisintulosuuntaan ja osa jatkaa matkaansa uuteen väliaineeseen. Jotta voisimme kuvata heijastumisen suu-ruutta, tulee meidän määritellä uusi suure nimeltään akustinen ominaisimpedanssi Z = ρv, missä ρ onväliaineen (ilman) tiheys ja v on äänen nopeus ilmassa. Kun ääni saapuu aineiden 1 ja 2 rajapintaan,sen heijastumista takaisin aineeseen 1 kuvaa heijastuskerroin H:

H =

(Z1 − Z2

Z1 + Z2

)2

(5.72)

Yhtälöstä (5.72) nähdään, että heijastumiskerroin on maksimaalinen, jos ominaisimpedanssit Z1 ja Z2

poikkeavat toisistaan mahdollisimman paljon (toinen on huomattavasti suurempi kuin toinen).

Esimerkki: ilman ominaisimpedanssin määrittäminen

Ilmassa (hieman tavallisesta poikkeavassa lämpötilassa) etenee ääniaalto, jonka aallonpituus on λ = 30 µm jataajuus 1, 1 · 107 Hz. Laske aallon nopeus. Kuinka suuri on ilman akustinen ominaisimpedanssi, jos ilman tiheyson ρ = 1, 3 kg/m3?

Ratkaisu: Aaltoliikkeen perusyhtälöstä saamme aallon nopeudelle tuloksen

v = λ f = 30 µm · 1, 1 · 107 Hz = 330 m/s. (5.73)

Akustisen ominaisimpedanssin suuruudeksi saamme Z = ρv = 1, 3 kg/m3 · 330 m/s = 429 kg/m2s

163


Esimerkki: ilman tiheyden määrittäminen

Ääniaalto saapuu ilman ja alumiinin rajapintaan, josta se osittain heijastuu takaisin tulosuuntaan (ilmaan). Ää-nen nopeus ilmassa on vi = 344 m/s, ilman tiheys on ρi = 1, 2 kg/m3, alumiinin tiheys on ρa = 2700 kg/m3 jaäänen nopeus alumiinissa on va = 6400 m/s. Määritä ilman ja alumiinin heijastuskerroin

Ratkaisu: Lasketaan ensin ilman ja alumiin akustiset ominaisimpedanssit. Ilmalle saamme Zi = ρivi =

1, 2 kg/m3 · 344 m/s = 412, 8 kg/m2s ja vastaavasti alumiinille Za = ρava = 2700 kg/m3 · 6400 m/s =

17280000 kg/m2s. Sijoittamalla saadut tulokset yhtälöön (5.72) saamme heijastuskertoimen arvoksi

H =

(Z1 − Z2

Z1 + Z2

)2

=

[

(412, 8 − 17280000) kg/m2s

(412, 8 + 17280000) kg/m2s

]2

= 0, 9999 . . .

≈ 1

(5.74)

Käytännössä kaikki ääni heijastuu takaisin ilman ja alumiinin rajapinnasta.

5.3.5 Seisovat ääniaallot

Pitkittäisen ääniaallon edetessä putkessa se heijastuu putken päistä (vrt. poikittainen aaltoliike köydes-sä). Kun heijastunut aalto ja etenevä aalto interferoivat, muodostuu putkeen seisova aaltoliike. Seisoviaääniaaltoja käytetään hyväksi mm. puhallinsoittimissa, kun halutaan tuottaa ääniaaltoja ympäröiväänilmaan. Toisaalta, seisovien ääniaaltojen putkimallilla voidaan kuvata esimerkiksi korvan reagointiky-kyä eritaajuisiin ääniin.

Vaikka ääniaalto on pitkittäistä aaltoliikettä, voidaan sitä hahmottaa graafisesti poikittaisena liik-keenä tietyissä erikoistapauksissa. Käytännössä tämä tulee ilmi silloin, kun tarkastellaan ääniaaltojenseisovaa aaltoliikettä avoimessa ja puoliavoimessa putkessa. Aiemmasta tarkastelusta muistamme, et-tä seisovassa aaltoliikkeessä aaltojen toisiaan vahvistavat interferenssikohdat muodostavat kupuja aal-lon etenemisreitille (amplitudimaksimit) ja toisiaan heikentävät kohdat solmuja (vast. minimit). Ääni-aallolle tämä voidaan ajatella niin, että paineenvaihtelun maksimikohdat ovat kupuja ja minimikohdat(molekyylit tasapainoasemassa) solmuja. Kuvassa 5.12 on seisova ääniaaltoliike esitetty skemaattisesti.

Sovellus: seisova ääniaalto avoimessa putkessa

Avoimella putkella voidaan mallintaa esimerkiksi puhallinsoitinta. Avoimuus tarkoittaa tässä yhtey-dessä sitä, että putken molempiin päihin muodostuu seisovan aaltoliikkeen kupu eli amplitudimaksi-mi (kuva 5.12). Putkeen muodostuva perustaajuus saadaan, kun asetetaan ääniaallon aallonpituudeksiλ = 2L (kuva 5.13). Tällöin taajuus voidaan selvittää aallon etenemisvauhdista v yhtälön (5.32) mukai-sesti:

v = λ f ⇒ f =vλ=

v2L

(5.75)

164


L

λ

KUVA 5.12: Ääniaallon mallintaminen poikittaisena aaltoliikkeenä graafisesti. Kuvan tarkoitukse-na on osoittaa sitä, että amplitudimaksimeissa (kupujen kohdalla) paineenvaihtelu onmaksimaalista lepotilaan verrattuna ja solmujen kohdalla puolestaan minimaalista.Kuva ei esitä ilmamolekyylejä, vaan on ainoastaan skemaattinen kuvaus ääniaallonkäyttäytymisestä.

Putken sisälle muodostuvat harmoniset ylätaajuudet saadaan ”sovittamalla” putkeen seisovia aaltojajärjestyksessä siten, että kupujen määrä on pienin mahdollinen. Reunaehtona on, että kupujen tuleemuodostua putken päihin. Kuvassa 5.14 on esitetty seisova aalto ensimmäiselle harmoniselle ylätaa-juudelle (n = 2) ja kuvassa 5.12 toiselle harmoniselle ylätaajuudelle (n = 3). Kuvista nähdään, ettäseisovien aaltojen aallonpituuksille pätee

L = nλn

2⇒ λn =

2Ln

, n = 1, 2, 3, . . . (5.76)

Edelleen saadaan yhtälö taajuuksille:

fn = nv

2L, n = 1, 2, 3, . . . (5.77)

L = λ/2

KUVA 5.13: Ääniaallon perustaajuus avoimessa putkessa.

Sovellus: seisova ääniaalto puoliavoimessa putkessa

Puoliavoimessa putkessa seisovalla ääniaallolla on solmu putken suljetussa päässä ja kupu avoimessapäässä (kuva 5.15). Sovittamalla putkeen seisovia aaltoja ”minimiperiaatteella” kuten avoimen putken

165


L = λ

λ

n = 2

KUVA 5.14: Ääniaallon ensimmäinen harmoninen ylätaajuus avoimessa putkessa.

tapauksessa saadaan aaltoliikkeen taajuudelle yhtälö

fn = nv

4L, n = 1, 3, 5, . . . (5.78)

Ensimmäinen harmoninen ylä-ääni puoliavoimessa putkessa on esitetty kuvassa 5.16.

Vihje: Ääniaaltojen sovittamistehtävissä kannattaa muistin virkistämiseksi yleensä piirtääkuva ja tarkastella sen kautta tilannetta. Avoimeen ja puoliavoimeen putkeen liittyvät kaa-vat on helppo johtaa kuvien perusteella.

L = λ/4

n = 1

KUVA 5.15: Ääniaallon perustaajuus puoliavoimessa putkessa. Huomaa, että putken suljettuunpäähän muodostuu solmu ja avoimeen päähän kupu.

L = 3λ/4

n = 3

KUVA 5.16: Ääniaallon ensimmäinen harmoninen ylätaajuus puoliavoimessa putkessa.

166


Esimerkki: korvan reagointi ääneen

Korvakäytävän voidaan ajatella olevan toisesta päästä suljettu putki, jonka pituus on 3,5 cm. Mille kuultavissaoleville taajuuksille tällaisen mallin mukainen korva reagoi herkimmin? Äänen nopeus ilmassa on 344 m/s.

Ratkaisu: Kuultavissa olevien äänien alue on 20–20000 Hz. Korva reagoi herkimmin sellaiseen ää-neen, jonka taajuus vastaa seisovan aaltoliikkeen taajuutta ”putkikorvassa”. Tämä on seurausta siitä,että seisovassa aaltoliikkeessä aallon amplitudin ja minimin ero eli maksimaalinen paine-ero on suu-rin mahdollinen. Seisovalle aaltoliikkeelle puoliavoimessa putkessa pätee yhtälö (5.78), jota voidaankäyttää. Sijoittamalla arvot L = 0, 035 m ja v = 344 m/s saadaan

f1 =v

4L=

344 m/s4 · 0, 035 m

= 2457, 14 . . . Hz ≈ 2460 Hz

f3 =3v4L

=3 · 344 m/s4 · 0, 035 m

= 7371, 42 . . . Hz ≈ 7370 Hz

f5 =5v4L

=5 · 344 m/s4 · 0, 035 m

= 12285, 71 . . . Hz ≈ 12300 Hz

f7 =7v4L

=7 · 344 m/s4 · 0, 035 m

= 17200 Hz

(5.79)

Arvolle n = 9 saadaan taajuudeksi yli 20 kHz, joka ei ole ihmisen korvan kuuloalueella.

5.3.6 Resonanssi

Kun periodiseen liikkeeseen kykenevään fysikaaliseen systeemiin kohdistetaan ulkoinen periodinenvoima, systeemi alkaa värähdellä voiman taajuuden mukaisesti13.

Resonanssi-ilmiö saa alkunsa, kun ulkoinen voima vaikuttaa samalla taajuudella kuin värähtelevänsysteemin ominaistaajuus eli normaalimoodi. Tällöin se vahvistaa värähtelyä ja tuo siihen koko ajanlisää energiaa. Käytännön tilanteessa kitkavoimat ja muut vastusvoimat pienentävät värähtelyä siten,että tietyn ajan kuluttua värähtely saavuttaa maksimiarvon.

Resonanssi on syynä mm. siihen, miksi lasinen esine saattaa hajota osiin sopivan taajuisen ääniaal-lon vaikutuksesta. Jos äänen taajuus on sama kuin lasin ominaistaajuus, alkaa lasi värähdellä ja väräh-telyn amplitudi kasvaa jatkuvasti. Lasin rikkoutuminen edellyttää erittäin voimakasta ääntä, yleensäelektronisesti vahvistettua (tämä vastaa suurta paineenvaihtelua).

5.3.7 Äänen huojunta

Kun kaksi hieman erilaisella taajuudella varustettua sinimuotoista aaltoa interferoivat, muodostuu nii-den summa-aaltona huojunta-aalto, jonka amplitudi vaihtelee periodisesti. Käytännössä huojunta il-menee esimerkiksi äänen intensiteetin ja äänenvoimakkuuden vaihteluna, joka havaitaan esimerkiksiviritettäessä kielisoittimen kieliä ”oikeille” taajuuksille toisen soittimen avulla. Kuvassa 5.17 on piir-retty kaksi vuorovaikuttavaa aaltoa (aaltojen taajuudet ovat 16 Hz ja 18 Hz) sekä niiden huojunta-aalto (interferenssiaalto). Havaitaan, että huojunta-aallon amplitudi käy läpi periodisen vaihtelun, jon-ka ajanjakson pituus on T = 0, 5 sekuntia. Tähän jakson pituuteen liittyen määritellään huojuntataajuus

13Voiman taajuus tarkoittaa tässä sitä, että voiman suuruus vaihtelee periodisesti ajan funktiona. Luonnollisena yksinkertai-sena esimerkkinä on vauhdin antaminen kiikussa keinuvalle lapselle.

167


fh = 1/T = 2 Hz. Kuvan 5.17 perusteella näyttäisi selvältä, että huojuntataajuus on tarkasteltavien

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

Aal

tofu

nktio

t

sin(16*2 t)-sin(18*2 t)

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Sum

maa

alto

funk

tio

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Aika t (s)

T

KUVA 5.17: Ääniaaltojen huojunta. Kaksi aaltoa, joiden taajuudet ovat lähellä toisiaan, muodos-tavat interferenssiaallon, jonka amplitudi vaihtelee periodisesti. Tässä esimerkissä in-terferoivilla aalloilla on taajuudet 16 Hz ja 18 Hz. Huojuntataajuudeksi kutsutaan taa-juuksien erotusta 18 Hz − 16 Hz = 2 Hz, ja se vastaa ajanjaksoa T = 0, 5 s, joka inter-ferenssiaallolta kuluu yhden amplitudin ”variaatiosyklin” läpikäymiseen. Kuva pitääymmärtää mallikuvana, sillä ääni on pitkittäistä aaltoliikettä.

taajuuksien erotus. Tämä on myös erittäin helppoa osoittaa matemaattisesti. Tarkastellaan kahta inter-feroivaa aaltoja, joiden taajuudet ovat f1 ja f2 ja taajuuksia vastaavat jaksonajat T1 ja T2. Koska tarkas-telemme huojuntailmiötä, aaltojen taajuudet eroavat toisistaan hieman. Oletetaan, että aallon 1 taajuuson suurempi kuin aallon 2 taajuus eli f1 > f2 ja että aallot 1 ja 2 ovat samassa vaiheessa ajan alkuhetkel-lä t = 0. Olemme kiinnostuneita siitä, milloin aallot ovat jälleen samassa vaiheessa; huojuntataajuusvastaa määritelmänsä mukaan sitä ajanjaksoa, jolloin yksi interferenssiaallon amplitudin ”variaatio-sykli” on kokonaisuudessaan käyty läpi, eli amplitudi on kasvanut nollasta maksimiin ja pudonnuttakaisin nollaan.

Koska f1 > f2, niin T1 < T2. Aallolta 1 kuluu siis vähemmän aikaa yhteen jaksoon kuin aallolta 2.Kun aalto 1 kulkee yhden jakson ajassa T1, niin aalto 2 ”jää” tässä ajassa yhden jaksonsa täyttymisestäjälkeen ajan T = T2 − T1 verran. Kuvan 5.17 aalloille tämä tarkoittaa ajanjaksoa 1/16 s − 1/18 s. Kunedelleen kuljetaan jakso T1, jää aalto 2 vielä enemmän jälkeen, nyt jo ajan 2 · (T2 − T1) verran. Onselvää, että kun kuljetaan tarpeeksi monta jaksoa T1, niin lopulta ”hitaampi” aalto 2 jää jälkeen yhdenkokonaisen oman syklinsä, eli ajan T2 verran: jollekin luvulle n pätee siis

n(T2 − T1) = T2 (5.80)

168


Luvun n valitseminen näin tarkoittaa käytännössä sitä, että kun aalto 1 kulkee n kertaa oman jaksonsa,on se samassa vaiheessa, jossa se oli ajanhetkellä T = 0. Vastaavasti aalto 2 kulkee tässä ajassa n − 1omaa jaksoansa, joten se on myös samassa vaiheessa kuin ajan alkuhetkellä. Näin ollen aallot 1 ja 2ovat keskenään samassa vaiheessa, ja ne ovat kulkeneet täsmälleen yhden huojunta-aallon amplitudi-variaatiosyklin jaksonajan T0. Jakso T0 voidaan kirjoittaa jaksonajan T1 avulla muodossa T0 = nT1, jayhdistämällä tämä tuloksen (5.80) kanssa saamme

n(T2 − T1) = T2 ⇒ n =T2

T2 − T1

⇒ T0 =T2T1

T2 − T1

(5.81)

Kirjoittamalla T0 = 1/ f0 saamme halutun tuloksen:

f0 =1T0

=T2 − T1

T2T1=

1T1

− 1T2

= f1 − f2 (5.82)

Huojuntailmiö havaitaan selvimmin silloin, kun tarkasteltavien aaltojen taajuusero on pieni (alle 5Hz). Kun taajuusero kasvaa, amplitudimaksimit eivät enää erotu tarkasti ja ääni alkaa kuulostaa tasai-semmalta. Kun taajuusero kahden äänilähteen lähettämän aallon välillä on huomattava (esimerkiksikahden puhallinsoittimen lähettämät äänet, joilla on taajuudet 1800 Hz ja 1900 Hz), voidaan varsinais-ten ääniaaltojen lisäksi kuulla erotusääni, jonka taajuus on ääniaaltojen erotus. Erotusäänen ja huojun-taäänen keskeinen ero on siinä, että erotusäänen amplitudi ei vaihtele periodisesti.

Esimerkki: äänen huojunta

Kitaristi ja basisti jammailevat yhdessä A-mollissa. Keski-C:n yläpuolella olevan A-sävelen taajuus on 440 Hz.Basisti soittaa hieman nuotin vierestä ja näppäilee ilmaan ääniä, joiden taajuus on 443 Hz. Laske kitaran ja bas-son huojuntataajuutta vastaava jaksonaika. Kuinka monta prosenttia pienempi on A-sävelen taajuutta vastaavajaksonaika kuin huojuntataajuutta vastaava jaksonaika?

Ratkaisu: Kitaristin ja basistin taajuuksien erotus on huojuntataajuus, eli f0 = 443 Hz− 440 hz = 3 Hz.Jaksonaika on taajuuden käänteisluku, eli T0 = 1/ f0 = 1/3 s. Analogisesti saamme A-sävelen taajuuttavastaavan jaksonajan T = 1/440 s. Jakamalla jaksonajat keskenään saadaan

TT0

=1/440 s

1/3 s=

3440

= 0, 00681 . . . (5.83)

Näin ollen jaksonajan T osuus jaksonajasta T0 on noin 0,681 %. Vähentämällä tämä jaksonajan T0 ko-konaismäärästä eli sadasta prosentista saamme (100 − 0, 681)% = 99, 318 . . . %, joten jaksonaika T onnoin 99,3 % pienempi kuin jaksonaika T0.

5.3.8 Dopplerin ilmiö

Hälyytysajossa olevan ambulanssin ajaessa kuuntelijan ohi saa kuuntelija vaikutelman, että ambulans-sin hälyytysäänen taajuus putoaa auton ohitettua hänet. Tämä havainto tunnetaan nimellä Dopplerinilmiö. Yleisessä mielessä se voidaan lausua seuraavasti:

169


”Kun äänilähde ja kuuntelija ovat ovat liikkeessä toistensa suhteen, kuuntelijan kuuleman äänentaajuus ei ole sama kuin äänilähteen äänen taajuus.”

Dopplerin ilmiö havaitaan myös ja valoaalloille (yleisemmin sähkömagneettisille aalloille).Tutkiessamme Dopplerin ilmiötä haluamme saada relaation äänen taajuuden muutokselle ja ää-

nilähteen ja kuuntelijan nopeuksille äänen väliaineen (ilman) suhteen. Oletetaan yksinkertaisuudenvuoksi, että kuuntelijan ja äänilähteen nopeudet ovat samalla suoralla (toisin sanoen, ei vektorianalyy-siä). Olkoon vK kuuntelijan vauhti, vL äänilähteen vauhti ja v äänen vauhti ilmassa. Valitaan seuraavis-sa tarkasteluissa positiivinen suunta kuuntelijasta äänilähteeseen päin.

Dopplerin ilmiö: Liikkuva kuuntelija, äänilähde paikallaan

Katsotaan kuvan 5.18 mukaista tilannetta, jossa äänilähde L on paikallaan ja kuuntelija K liikkuu oi-kealta vasemmalle vakionopeudella vk kohti lähdettä. Oletetaan, että äänilähteen lähettämän äänentaajuus on f ; vastaava aallonpituus on λ = v/ f . Ääniaaltojen suhteellinen nopeus14 niitä kohti liikku-van kuuntelijan suhteen on vK + v. Aaltoliikkeen perusyhtälöstä vK + v = λ f (yhtälö (5.32)) saadaannyt laskettua kuuntelijan kohdalla äänen taajuus fK :

fK =vK + v

λ=

vK + vv

f =(

1 +vK

v

)

f (5.84)

Havaitaan, että kuuntelijan kohdalla äänen taajuus on suurempi. Tämä on luonnollista, sillä ääntäkohti liikkuva kuuntelija kohtaa häntä vastaan tulevat aaltorintamat useammin kuin paikallaan ole-va kuuntelija. Mikäli kuuntelija liikkuisi äänilähteestä poispäin, olisi ääniaaltojen suhteellinen nopeuskuuntelija suhteen pienempi kuin levossa olevan tarkkailijan suhteen: v− vK. Tällöin kuuntelija kuulisipienempitaajuisen äänen, jonka taajuus olisi f = (1 − v/vK) f0.

λ

L ~vK K

KUVA 5.18: Dopplerin ilmiö, liikkuva kuuntelija. Ääniaaltojen suhteellinen nopeus kuuntelijastakäsin tarkasteltuna on suurempi kuin levossa olevan henkilön näkökulmasta.

Poliisiautoesimerkki 1: liikkuva kuuntelija

Partioajossa olevat poliisit havaitsevat pahoinpitelytapauksen ja pysäyttävät autonsa kadun reunaan. He eivätjaksa astua ulos autosta, sillä hetkeä aikaisemmin he hakivat konditoriasta maittavat, sokerikuorrutetut donitsitja kahvitauko painaa päälle. Sen sijaan he laittavat sireenin laulamaan, joskohan se säikyttäisi pahoipitelijänkarkuteille. Tällä tavoin he säästyisivät myös ikävältä paperityöltä, sitä on muutenkin jo liikaa.

14Tarkoittaa ääniaaltojen nopeutta mitattuna siinä koordinaatistossa, joka liikkuu vauhdilla vk oikealta vasemmalle. Levossaolevan henkilön vauhti tässä koordinaatistossa mitattuna olisi vK ja suunta vasemmalta oikealle.

170


Sireeni alkaa lähettää hyvin voimakasta ääntä taajuudella f = 1000 Hz. Pahoinpitelijä saa sätkyn ja alkaajuosta karkuun. Huonosta fyysisestä kunnostaan huolimatta mies kykenee saavuttamaan tasaisen vauhdin, jol-loin sireenin ääni kuuluu hänen korvassaan taajuudella 980 Hz. Laske miehen vauhti. Kuinka suurella vauhdillamiehen tulisi juosta, jotta sireenin ääni menisi hänen kuuloalueensa ulkopuolelle (alle 20 Hz)? Äänen nopeudensuuruus ilmassa on 344 m/s.

Ratkaisu: Tässä tapauksessa mies kuulee pienempitaajuisen äänen, joten hänen nopeutensa on saman-suuntainen ääniaaltojen etenemisnopeuden kanssa. Näin ollen saamme

fK =(

1 − vK

v

)

f ⇒ vK =

(

1 − fK

f

)

v

=

(

1 − 980 Hz1000 Hz

)

344 m/s

= 6, 88 m/s

(5.85)

Tämä on melko kova vauhti, sillä esimerkiksi Paavo Nurmi juoksi vuoden 1920 olympialaisissa 10000metrin juoksun keskimäärin hitaammalla vauhdilla. Rajanopeus äänen kuulemiselle saadaan asetta-malla

fK =(

1 − vK

v

)

f < 20 Hz ⇒ vK =

(

1 − 20 Hzf

)

v

=

(

1 − 20 Hz1000 Hz

)

· 344 m/s

= 337, 12 m/s

≈ 1200 km/h

(5.86)

Pahoinpitelijä ei pääse signaalia ”karkuun”, vaikka hänellä olisi lentokone.

VÄLIVIHJE: Älä ajattele Dopplerin ilmiötä pelkkien kaavojen avulla, vaan mieti ensiksi koko tilanneläpi ja vasta sitten laske lasku oikein.

Dopplerin ilmiö: Liikkuva äänilähde ja liikkuva kuuntelija

Oletetaan nyt, että äänilähde liikkuu nopeudella vL kuuntelijaa kohti ja kuuntelija edelleen nopeu-della vK äänilähdettä kohti (kuva ). Nyt äänilähteen lähettämän ääniaallon aallonpituus muuttuu, sil-lä lähteen etupuolella (liikesuuntaan nähden) olevat aallot ovat ”pakkautuneet tiheämmin” toistensasuhteen kuin lähteen takana olevat aallot. Syy tähän on esitetty graafisesti kuvassa 5.20 . Kuvasta pe-rusteella ääniaaltojen pakkautuminen aiheutuu siitä, että aaltoliikkeen jaksonajan T aikana äänilähdeliikkuu matkan s = vL∆t aaltoliikkeen suuntaan. Aallonpituus on edelleen vakio, mutta lyhyempikuin paikallaan olevan äänilähteen tapauksessa. Vastaavasti äänilähteen takana mitattu aallonpituuson suurempi kuin levossa olevan tarkkaijan suhteen määritetty aallonpituus.Koska aallonpituus riip-puu äänilähteen ja aallon liikkeestä toistensa suhteen, saadaan aallonpituudelle äänilähteen etupuolellayhtälö

λ =vf− vL

f=

v − vL

f, (5.87)

171


L ~vL ~vK K

KUVA 5.19: Dopplerin ilmiö, liikkuva äänilähde ja kuuntelija. Huomaa, että kuvassa on esitettyvain yksi mahdollinen tilanne, missä liikkuvan kuuntelijan ja äänilähteen dopplerin il-miö voi ilmetä. Keksitkö kolme muuta tapausta ja vielä paremmin, ymmärrätkö kuin-ka tilanne muuttuu niissä jokaisessa?

L~vL

~v

L~vL

~v

λ− vLTvLT

λ

t = 0

t = T

KUVA 5.20: Dopplerin ilmiö, liikkuva äänilähteen vaikutus aallonpituuteen. Lähteen liikkuessaaallonpituus lähteen liikesuunnan etupuolella pienenee, sillä ääniaaltojen suhteellinennopeus lähteen suhteen on pienempi kuin levossa olevan tarkkailijan suhteen. Kuvanperusteella pienetynyt aallonpituus on suuruudeltaan λ − vLT, missä T on aaltoliik-keen jaksonaika. Jos äänilähde olisi paikallaan, niin aallonpituudeksi tulisi λ ja jos ti-lannetta tarkasteltaisiin äänilähteen takana, niin aallonpituus olisi λ + vLT.

172


missä f on äänilähteen äänen taajuus15. Vastaavasti aallonpituus äänilähteen takana on λ = (v +

vL)/ f . Kuuntelijan kuuleman äänen taajuus saadaan sijoittamalla edellä laskettu aallonpituus yhtä-lön (5.84) ensimmäiseen muotoon. Tuloksena saatava yhtälö kuvaa Dopplerin ilmiötä tilanteessa, jossakuuntelija liikkuu äänilähdettä kohti ja äänilähde kuuntelijasta poispäin:

fK =vK + v

λ=

(vK + vvL + v

)

f (5.88)

Vaihtelemalla etumerkkejä sopivasti voidaan määrittää kaikki mahdolliset tilanteet riippuen kuunteli-jan ja äänilähteen liiketilasta. Yleensä käytännöllinen perusajattelu ja tilanteen ymmärtäminen on vält-tämätöntä Dopplerin ilmiöön liittyvien tehtävien ratkaisemiseksi.

Poliisiautoesimerkki 2: Takaa-ajo

Poliisiautoesimerkin 1 poliisit ajavat takaa vaarallista rattijuoppoa, joka hurjastelee moottoritiellä vauhdillavJ = 50 m/s. Takaa-ajon alkuvaiheessa poliisiauto on 300 metrin päässä rattijuopon autosta ja sen vauhtion vP = 20 m/s. Poliisiauton sireenin äänen taajuus on 1000 Hz. Määritä äänen taajuus edellä olevan autonkohdalla. Äänen nopeus ilmassa on v = 344 m/s.

Ratkaisu: Poliisiauton ja rattijuopon auton välisellä etäisyydellä ei ole merkitystä laskun lopputulok-sen kannalta. Poliisiauton etupuolella äänen aallonpituus on lyhyempi kuin auton takana ja se saadaanyhtälöstä

λ =v − vP

fP, (5.89)

missä vP on poliisiauton nopeus ja fp = 1000 Hz on poliisiauton lähettämän sireenin taajuus. Koskarattijuoppo etenee äänilähteestä poispäin, havaitsee hän pienemmän taajuuden kuin paikallaan olevakuuntelija. Tällöin juopon kuulema taajuus on f J = (v − vJ)/λ ja saadaan

f J =v − vJ

v − vPfP

=

(344 m/s − 50 m/s344 m/s − 20 m/s

)

· 1000 Hz

= 907, 407 . . . Hz

≈ 900 Hz

(5.90)

Saatu tulos on mielekäs, sillä takaa-ajettava liikkuu suuremmalla vauhdilla kuin takaa-ajaja.

5.3.9 Ultraääni

Ultraääneksi kutsutaan ilmanpaineen vaihtelua, jonka taajuus on ihmisen kuulorajan yläpuolella (yli20 kHz). Ultraääntä käytetään usein, kun halutaan tarkastella jonkin suojaavan kerroksen sisäpuolel-la olevan rakenteen yksityiskohtia. Yksi tunnetuimmista ultraäänen sovelluksista on sikiönkehityksen

15Pysyy vakiona, sillä ääniaaltoja lähetetään edelleen samoin säännöllisin väliajoin kuin paikallaan olevan äänilähteen tapauk-sessa.

173


tutkiminen kohdusta heijastuneiden ultraäänien avulla. Tätä tutkimushaaraa kutsutaan lääketieteelli-seksi sonografiaksi, ja sikiön lisäksi sillä voidaan tutkia myös yleisesti ihmisen ruumiinosia ja kudoksia(lihakset, nivelet ja sisäelimet).

Ultraäänen käyttö lääketieteellisessä kuvantamisessa perustuu aallon heijastumisominaisuuksiin.Äänipulssi, jonka taajuus tyypillisesti on luokkaa 1–10 MHz, ohjataan tarkasteltavaan kehon osaan,ja kehosta takaisin heijastuneiden aaltojen intensiteetit mitataan. Heijastumisen voimakkuus riippuumm. kudoksen tiheydestä, nestepitoisuudesta, kudoksen ja äänilähteen välisestä etäisyydestä ja ku-doksen geometrisesta rakenteesta16. Näin ollen ultraäänellä saatu kuva korostaa usein juuri pehmei-den kudosten (sisäelimet) reunoja. Mittausresoluutio eli eri kudosalueiden ja niiden reunojen välisenkontrastin voimakkuus riippuu käytetyn äänen taajuudesta: pääsääntöisesti suuremmalla taajuudel-la saadaan tarkempia tuloksia, koska lyhyen aallonpituuden ultraääniaallot pystyvät ”kulkeutumaan”pienempiin tarkastelukohteen väleihin kuin pitkät aallot.

Katsotaan ultraääntä mittausteknisesti hieman tarkemmin. Kun aaltopulssi kohtaan elimistön si-sällä pinnan, jonka akustinen impedanssi eroaa jonkin verran ultraäänen tulosuunnassa olevan aineenakustisesta impedanssista, niin osa aallosta heijastuu takaisin yhtälön (5.72) perusteella. Kun tämä hei-jastunut aalto (kaikuaalto) saapuu takaisin lähettimelle, voidaan signaalin keskimääräisestä nopeudes-ta v ja matkaan kuluneesta ajasta t laskea heijastuksen etäisyys lähettimestä: s = vt. Kun lisäksi mi-tataan kaikuäänen intensiteetti ja huomioidaan yleiset signaalin vaimenemiseen liittyvät tekijät (etäi-syys, muut rajapinnat yms.), voidaan datasta piirtää kuva, jossa lasketut etäisyydet on väritetty niitävastaavien intensiteettien mukaisesti17. Kun intensiteettejä verrataan ultraäänen alkuperäiseen inten-siteettiin, voidaan selvittää heijastumiskertoimen suuruus ja kudosten tiheydet akustisen impedanssinmääritelmän Z = ρv avulla.

Edellä kuvattu koejärjestely antaa luonnollisesti elimistön kudosprofiilin vain rajoitetussa tarkas-telusuunnassa. Kun ultraäänilähdettä siirrellään tasossa useaan eri pisteeseen (tämä voidaan toteuttaamanuaalisesti tai koneellisesti) ja mittausprosessi toistetaan useaan kertaan, saadaan tarkasteltavastakohteesta muodostettua kolmiulotteinen mallikuva, joka näyttää kudosten paikat ja tiheydet. Skemaat-tinen esitys ultraäänen toimintaperiaatteesta on esillä kuvassa 5.21.

Esimerkki: Ultraäänen intensiteettien laskeminen

Lääketieteellinen tutkimusryhmä tarkastelee ultraäänellä muutaman kuukauden ikäisen sikiön tilaa. Anturi onasetettu kiinni ihoon ja anturin ja ihon välissä on geelimäistä ainetta, joka hyvällä tarkkuudella poistaa kehon jailman rajapinnassa esiintyvät heijastukset. Signaalin keskimääräinen etenemisnopeus ihmisessä on 1500 m/s.

Mittauksen kuluessa havaitaan kaksi heijastetta, joita vastaavat mitatut ajat ovat 0,1 ja 0,12 millisekuntia.Laske, kuinka syvällä kehossa ultraäänisignaalit ovat heijastuneet takaisin.

Oletetaan, että ultraäänen intensiteetti vaimenee kehossa siten, että absorptiokertoimen suuruus on a =

0, 2 1/m. Tutkimusryhmä on teoreettisesti laskenut heijastuskertoimet ja saanut ensimmäiselle signaalille arvon0,5 ja toiselle signaalille 0,9. Jos äänilähteen lähettämän ultraäänen alkuperäinen intensiteetti on 10−4 W/m2,niin kuinka suuria ovat mitatut intensiteetit? Käytä apuna intensiteetin eksponentiaalista pienenemistä. Voi-daanko saatuja tuloksia verrata suoraan toisiinsa? Oleta, että heijastuspinnat ovat ohuita eli heijastuminen ta-

16Voimakkaimmat heijasteet tulevat kovista pinnoista. Heijastuskerroin on verrannollinen aineen akustiseen impedanssiin,kuten muistamme aiemmilta luennoilta. Jos kohdeaineen akustinen impedanssi on huomattavan suuri tuloaineen akustiseenimpedanssiin verrattuna, niin ultraääni heijastuu takaisin lähes kokonaan.

17Voidaan käyttää esimerkiksi liukuväriä vaaleasta tummaan, missä tumma väri kuvaa suhteellisesti voimakasta intensiteettiä.

174


Hei

jast

unee

npu

lssi

nvo

imak

kuus

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Aika t (s)

0

Matka s (m)

KUVA 5.21: Skemaattinen kuva ultraäänitutkimuksesta. Ultraääni heijastuu takaisin näytteessäolevista objekteista, joilla on pienempi tai suurempi akustinen impedanssi kuin ym-päröivällä aineella. Kuvan alaosassa on heijasteita vastaavat intensiteetit (heijastustenvoimakkuudet). Huomaa, että mitatut intensiteettilukemat on normitettava eli niissätulee huomioida signaalin kulkema matka. Muuten tuloksia ei voida verrata keske-nään.

175


pahtuu signaalin kohdatessa heijastavan pinnan ainoastaan pinnan toisella puolella.

Ratkaisu: Aaltoliikkeen nopeudesta ja signaalien kulkuajasta saadaan helposti laskettua se, kuinkasyvällä signaalit käyvät kehossa:

s1 = vt1 = 1500 m/s · 10−4 s = 0, 15 m

s2 = vt2 = 1500 m/s · 1, 2 · 10−4 s = 0, 18 m(5.91)

Absorptiokertoimelle oli annettu arvo a = 0, 2 1/m ja heijastuskertoimille oli H1 = 0, 5 ja H2 = 0, 9.Ultraäänen intensiteetti kehon pinnalla oli Ii = 10−4 W/m2. Tarkastellaan ensin signaalia 1. Signaalikulkee ensin matkan s1, jonka jälkeen osa siitä heijastuu takaisin. Heijastunut osa kulkee jälleen mat-kan s1, jonka jälkeen se mitataan. Mitatun signaalin suuruus saadaan kertomalla aallon alkuperäinenintensiteetti heijastuskertoimella sekä eksponentiaalisella vaimenemistekijällä yhtälön (5.68) mukaises-ti: periaate on esitetty kuvassa 5.22. Tulokseksi saamme

I1 = Iie−as1 H1e−as1 = 10−4 W/m2 · e−0,2·0,15 · 0, 5 · e−0,2·0,15 = 4, 7088 . . . · 10−5 W/m2

≈ 5 · 10−5 W/m2(5.92)

Signaalin 2 kulkereitti on huomattavasti monimutkaisempi, sillä osa signaalista heijastuu pinnasta 1 ja

(a)

(b)

s1 = 0, 15 m

I1 = Iie−as1H1e

−as1

KUVA 5.22: Ultraääniesimerkin ensimmäinen kuva. Signaali 1 (alkuperäinen intensiteetti Ii) kul-kee ensin matkan s1, jonka aikana se vaimenee arvoon Iie

−as1 . Aalto kohtaa rajapin-nan, josta osa heijastuu takaisin heijastuskertoimen H1 mukaisesti. Tämän jälkeenaalto palaa takaisin, kulkien matkan s1, ja mitatun signaalin suuruudeksi saammeI = Iie

−as1 H1e−as1 . Kuvassa on selvyyden vuoksi piirretty takaisin palaava aalto eril-leen, käytännössä aalto tulee samalla korkeustasolla takaisin kuin se eteni kohdeai-neen ja muun kudoksen rajapintaan.

osa pinnasta 2. Mitataan nyt signaalia, joka kulkee pintaan 2 ja heijastuu sieltä. Kulkereitti on esitettygraafisesti kuvassa 5.23. Kuvassa 5.23 on näkyvillä myös yhtälö, joka antaa signaalin mitatun arvon: se

176


(a)

(b)

s1 = 0, 15 m s2 − s1 = 0, 03 m

I2 = Iie−as1H1e

−a(s2−s1)H2e−a(s2−s1)H1e

−as1

= IiH21H2e

−2as2

H1 H2

KUVA 5.23: Ultraääniesimerkin toinen kuva. Signaalin 2 kulkee ensin matkan s1, jonka aikana sevaimenee eksponentiaalisen lain mukaisesti. Aalto kohtaa rajapinnan 1, josta osa hei-jastuu ja osa läpäisee pinnan. Pinnan läpäissyt aalto jatkaa matkaansa matkan s2 − s1,jonka jälkeen se heijastuu pinnasta 2. Heijastunut aalto kulkee jälleen matkan s2 − s1,jonka jälkeen se saapuu rajapintaan 1. Jälleen osa heijastuu ja osa jatkaa matkaansakohti mittalaitetta. Viimeisessä vaiheessa aalto vaimenee vielä eksponentiaalisen lainmukaisesti ja saapuu lopulta anturille, joka mittaa signaalin intensiteetin. Kuvassa esi-tetty matemaattinen kaava kertoo saman asian kronologisesti oikeassa järjestyksessä.Huomaa, että kyseessä on approksimaatio: Oletimme, että heijastuspinnat ovat hyvinohuita, jolloin heijastus tapahtuu vain kerran signaalin kohdatessa kudoksen ja heijas-tavan pinnan rajan.

177


on muotoa

I2 = Iie−as1 H1e−a(s2−s1)H2e−a(s2−s1)H1e−as1

= Ii H21 H2e−2as2

= 10−4 W/m2 · (0, 5)2 · 0, 9 · e−2·0,2·0,18

= 2, 093694 · 10−5 W/m2

≈ 2 · 10−5 W/m2

(5.93)

Havaitsemme, että signaalin 2 mitattu intensiteetti on pienempi, vaikka pinnan heijastuskerroin onsuurempi kuin pinnan 1 heijastuskerroin (tämä tarkoittaa sitä, että aineella 2 on suurempi akustinenominaisimpedanssi kuin aineella 1). Tuloksia ei voida suoraan verrata keskenään, sillä signaalit ovatkulkeneet eripituiset matkat ja pidemmän matkan kulkeneen signaalin intensiteetti putoaa matkallapelkästään matkan vuoksi enemmän kuin lyhyemmän matkan kulkenut signaali. Lisäksi kolme heijas-tumista vaikuttavat. Tulokset saadaan vertailukelpoisiksi esimerkiksi siten, että jälkimmäisen signaalinmitattua arvoa kerrotaan termillä, joka huomioi ylimääräiset tekijät. Tämä jätetään lukijalle itsenäiseksiharjoitustehtäväksi.

178

lääketieteeseen suuntaavat opinnot · 2018-02-27 · lt: fysiikan aihekokonaisuudet 19....

Documents