logaritmos_parte1-2012.ppsx

7/28/2019 Logaritmos_Parte1-2012.ppsx

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LOGARITMOSPARTE 1/2


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QUALOTEMPO?

Giovanna ganhou 1.000 reais de seu pai pra fazersua festa de 15 anos. Ao receber o dinheiro, no

entanto, resolveu abrir mo da festa, pois queria

comprar um computador.

Mas havia um problema: o computador que ela

queria custava 1.500 reais. O jeito era aplicar o

dinheiro que tinha, at conseguir o valor

necessrio.


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QUALOTEMPO?

Giovanna foi ao banco e conseguiu uma taxa de 5% ao ms, capitalizados mensalmente. Chegandoem casa, ficou curiosa. Em quanto tempo os 1000

reais aplicados se transfor-mariam nos 1500 reaisde que precisava?

Ela havia acabado de aprender a calcular juroscompostos. Fez, ento, as suas contas:


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VEJAOSCLCULOS

Capital aplicado: C = 1 000

Taxa: i = 5 % ao ms = 0,05 ao ms

Montante pretendido: M = 1 500

M = C.( 1 + i )t 1 500 = 1 000 . (1,05)t

1,05t = 1,5

Giovanna concluiu, portanto, que seu objetivo seriaatingido no final do 9 ms de aplicao.

1,057 1,407

1,058

1,4771,059 1,551 1,05

t 1,059 t 9


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QUALOEXPOENTE?

Como poderia ser obtido, com uma aproximao

razovel e sem utilizar o mtodo das tentativas, o

valor de t na equao 1,05t = 1,6?

A teoria dos logaritmos muito til em problemas

como esse, que envolve a determinao de um

expoente.


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UMPOUCODE

HISTRIA


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HISTRIA

A inveno dos logaritmos ocorreu no incio dosculo XVII e creditada ao escocs John Napier

e ao suio Jobst Burgi.

Inicialmente seu objetivo era simplificar os

clculos numricos, principalmente em

problemas ligados Astronomia e Navegao.

A partir dessa fabulosa inveno, tornaram-se

mais simples e mais geis clculos deexpresses como


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HISTRIA

Foi o matemtico ingls Henry Briggs (1561

1631) quem props, inicialmente, a utilizao do

sistema de logaritmos decimais. Afinal, o nosso

sistema de numerao utiliza justamente a base10.

Atualmente, so inmeras as aplicaes

tecnolgicas dos logaritmos. Eles so teis, por

exemplo, na resoluo de problemas queenvolvem desintegrao radiotiva, o crescimento

de uma populao de animais ou bactrias, etc.


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LOGARITMO

COMOEXPOENTE


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LOGARITMOCOMOEXPOENTE

O conceito de logaritmo est associado

operao potenciao: mais precisamente

determinao do expoente. Veja:

2x = 8 x = 3

No caso, dizemos, que o logaritmo de 8, na base 2, igual ao expoente 3. Em smbolos,

log2 8 = 3


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LOGARITMOCOMOEXPOENTE

Observe: calcular o log2 8 descobrir o expoente

ao qual se deve elevar a base 2, para obter,

como resultado, a potncia 8.

Vale, portanto a equivalncia:

log2

8 = 3 23 = 8

Calcular um logaritmo obter um expoente.

Logaritmo o mesmo que expoente.


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DEFINIO

Suponhamos dois reais positivos a e b (a 1). Seax = b, dizemos que x o logaritmo de b na base a

(simbolicamente loga b = x).

loga b = x ax = b

a a base;

b o logaritmando ou antilogaritmo;

x o logaritmo;


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log525 = 2/3, porque 52/3 = 52

EXEMPLOS

log2 32 = 5, porque 25 = 32

log3 (1/81) =4, porque 34 = 81

log10 0,001 =3, porque 103 = 0,001

3 3

De acordo com a definio, calcular um logaritmo

descobrir o expoente, ou seja, resolver uma

equao exponencial.


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EXEMPLOS

1. Calcular log4 8.

log4 8 = x

4x = 8 (22)x = 23

22x = 23 x = 3/2

2. Calcular log1/39.5

log1/39 = x5

13

x

= 95

(31)x = 32/5 3x = 32/5

x = 2/5 x =2/5


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CONDIODEEXISTNCIADOLOGARITMO

Da definio, conclumos que o logaritmo s existesob certas condies:

log a b = x

b > 0

a > 0

a 1


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CONDIODEEXISTNCIA

Analise quais seriam os significados de log 2 (

4),log (2) 8, log 7 0, log 1 6 e log 0 2, caso fossemdefinidos.

log2 (4) = x 2x =4 impossvel

log (2) 8 = x (2)x = 8 impossvel

log7 0 = x

7x = 0 impossvel

log1 6 = x

1x = 6 impossvel

log0 2 = x

0x = 2 impossvel


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OBSERVAO

Muitas vezes, um logaritmo envolve variveis.Nesse caso, devemos analisar o domnio dessas

variveis. Para isso, usamos as condies de

existncia do logaritmo.


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EXEMPLO

Resolver a equao log x (2x + 8) = 2.1o. Vamos analisar a condio de existncia do

logaritmo.

2x + 8 > 0

x > 0

x 1

x >4

x > 0

x 1

x > 0

x 1

2o. Usando a definio de logaritmo.

logx (2x + 8) = 2 x2 = 2x + 8 x2 2x 8 = 0

x =2 ou x = 4. S = {4}


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CONSEQUNCIASDA

DEFINIO


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CONSEQUNCIASDADEFINIO

Admitindo-se vlidas as condies de existncia

dos logaritmos, temos os seguintes casos

especiais, que so consequncias da definio.

loga1 = 0

logaa = 1

logaak = k

porque a0 = 1

porque a1 = a

porque ak = ak


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EXEMPLOS

log3 3 = log10 10 = log3,7 3,7 = 1

log3 1 = log10 1 = log3,7 1 = 0

log3 39 = 9

log10 103 = 3


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CONSEQUNCIASDADEFINIO

Sabemos que log a k o expoente ao qual se deveelevar a base a para se obter k. Vale por isso, a

seguinte igualdade:

logak

a =k


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EXEMPLOS

log5

3

5 = 3

1 + log2 6

2 = 21.2log2 6

= 2.6 = 12

log3 5 9 = (32)

log3 53

log3 5 2

= = 52 = 25

1 log15 3

15 =

log15 3

151

15

=15

3= 5


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http://depirassununga.edunet.sp.gov.br/cursomatematica.htm

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