logicas multivaluadas (many-valued logics)

LogicasMultivaluadas

Jonathan JulianHuerta y Munive

Marco Historico

Introduccion: Delo clasico a lomultivaluado

Lo clasico

Lo Multivaluado

SistemasMultivaluadosBasicos

Conclusiones

Referencias

Logicas MultivaluadasUna Introduccion

Jonathan Julian Huerta y Munive

Facultad de Ciencias Fısico-MatematicasBenemerita Universidad Autonoma de Puebla

26 de septiembre de 2013

Marco Historico

Lo clasico

Lo Multivaluado

Conclusiones

Referencias

Marco Historico

Introduccion: De lo clasico a lo multivaluadoLo clasicoLo Multivaluado

Sistemas Multivaluados Basicos

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Una nocion rapida

Los valores de verdad de una conjuncion (la ”y” del espanolde todos los dıas) depende de las subformulas.

Sean las oraciones siguientes:

I ”Esta es una platica delogica.” ≡ Verdadera

I ”Las vacas vuelan.” ≡Falsa

∧ V F ¬V V F FF F F V

Mantengase el valor de verdadde las oraciones pasadas yestablezcase ahora:

I ’Llovera manana.” ≡¡Quien sabe!

∧ V ? F ¬V V ? F F? ? ? ? ?F F ? F V

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Una nocion rapida

∧ V ? F ¬V V ? F F? ? ? ? ?F F ? F V

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Una nocion rapida

∧ V ? F ¬V V ? F F? ? ? ? ?F F ? F V

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Una nocion rapida

∧ V ? F ¬V V ? F F? ? ? ? ?F F ? F V

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Una nocion rapida

∧ V ? F ¬V V ? F F? ? ? ? ?F F ? F V

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Una nocion rapida

∧ V ? F ¬V V ? F F? ? ? ? ?F F ? F V

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Una nocion rapida

∧ V ? F ¬V V ? F F? ? ? ? ?F F ? F V

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Una nocion rapida

∧ V ? F ¬V V ? F F? ? ? ? ?F F ? F V

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Una nocion rapida

∧ V ? F ¬V V ? F F? ? ? ? ?F F ? F V

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Seccion 1

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Aristoteles

Los antecedentes de las Logicas Multivaluadas pueden serrastreados hasta los griegos.

Silogismo

I Todo hombre esmortal.

I Socrates eshombre.

I Socrates es mortal.

I Libro DeInterpretatione:¿Que valor deverdad tendra unadeclaracion deeventos futuros?

I El mismo problema deContingentia futura fuediscutido por mas de2000 anos.

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Aristoteles

Silogismo

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Aristoteles

Silogismo

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Aristoteles

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Aristoteles

Silogismo

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Referencias

Lukasiewicz

I Jan Lukasiewicz fue unlogico y filosofo polaconacido en Lwow, ahoraparte de Lemberg,Alemania.

I El ”boom”de las logicasmultivaluadasocurrio principalmente enla decada que va de 1920a 1930.

I La Escuela Polaca deLogica, bajo la direccionde Lukasiewicz,realizo variaspublicaciones explicandolas ideas fundamentales ylos resultados tecnicosprincipales probadoshasta la fecha.

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Lukasiewicz

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Lukasiewicz

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Lukasiewicz

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Otros datos historicos

I Emil Leon Post → sist. finitamente multivaluados →mas tecnico que filosofico.

I M. Wajsberg axiomatiza la logica L3

I J. Slupecki extiende y axiomatiza la logica L3

I K. Godel y S. Jaskowski clarificaron la relacion entre laslogicas multivaluadas y la logica intuicionista.

I Bochvar introduce una logica trivaluada para resolverparadojas.

I S. Kleene aplica las logicas multivaluadas a problemasde funciones definidas parcialmente.

I B. Rosser y A. R. Turquette generalizaron y probaronresultados esenciales.

I En la decada de los 50’s, declina el interes en las logicasmultivaluadas.

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Seccion 2

Introduccion: De lo clasico a lo

multivaluado

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Lo clasico

La forma mas comun de modelar la logica en matematicas ha sidoestableciendo un lenguaje, construyendo las ”WFS”(por las siglasen ingles de Well Formed FormulaS) propias del lenguaje yanazilando su comportamiento por medio de una descripcionsemantica o sintantica.

Definicion (Lenguaje)

Un lenguaje es una coleccion que consta de:

I Un conjunto no vacıo de sımbolos conectivos: {→,¬,∨,∧}I Un conjunto de sımbolos de agrupacion: {(, ), [, ]}I Un conjunto numerable de constantes y/o variables atomicas:

Pn := {P1,P2,P3 . . .}I Un conjunto de sımbolos cuantificadores: {∀,∃}

El ultimo inciso en general solo se utiliza cuando se estudia unCalculo de Predicados.

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Lo clasico

I Un conjunto no vacıo de sımbolos conectivos: {→,¬,∨,∧}

I Un conjunto de sımbolos de agrupacion: {(, ), [, ]}I Un conjunto numerable de constantes y/o variables atomicas:

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I Un conjunto no vacıo de sımbolos conectivos: {→,¬,∨,∧}I Un conjunto de sımbolos de agrupacion: {(, ), [, ]}

I Un conjunto numerable de constantes y/o variables atomicas:Pn := {P1,P2,P3 . . .}

I Un conjunto de sımbolos cuantificadores: {∀,∃}

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Pn := {P1,P2,P3 . . .}

I Un conjunto de sımbolos cuantificadores: {∀,∃}

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Definicion (Conjunto de Formulas Bien Formadas)

El conjunto mınimo PROP (o WFS) de Formulas bienformadas se construye recursivamente:

I ∀i ∈ {1, 2, 3, . . .} : Pi ∈ PROPI ϕ ∈ PROP ⇒ (¬ϕ) ∈ PROPI ϕ,ψ ∈ PROP ⇒ (ϕ→ ψ) ∈ PROPI La unica forma de obtener elementos en PROP es mediante la

aplicacion de las tres condiciones previas.

I (En el caso de Calculo de Predicados)ϕ ∈ PROP ⇒ (∀x(ϕ)) ∈ PROP

A los elementos de este conjunto se les denomina formulasbien formadas o proposiciones.

Ejemplo Abstracto

Ası supongamos que P1,P2,P3, . . . ,P8 son atomos. Entonces ellospertenecen al conjunto PROP y por lo dicho anteriormente tambien(¬P1), (¬P2), . . . , (¬P8),(P1 → P2), (P1 → P3), . . . , (P7 → P8)

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I ∀i ∈ {1, 2, 3, . . .} : Pi ∈ PROP

I ϕ ∈ PROP ⇒ (¬ϕ) ∈ PROPI ϕ,ψ ∈ PROP ⇒ (ϕ→ ψ) ∈ PROPI La unica forma de obtener elementos en PROP es mediante la

Ejemplo Abstracto

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I ∀i ∈ {1, 2, 3, . . .} : Pi ∈ PROPI ϕ ∈ PROP ⇒ (¬ϕ) ∈ PROP

I ϕ,ψ ∈ PROP ⇒ (ϕ→ ψ) ∈ PROPI La unica forma de obtener elementos en PROP es mediante la

Ejemplo Abstracto

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Conclusiones

Referencias

I ∀i ∈ {1, 2, 3, . . .} : Pi ∈ PROPI ϕ ∈ PROP ⇒ (¬ϕ) ∈ PROPI ϕ,ψ ∈ PROP ⇒ (ϕ→ ψ) ∈ PROP

I La unica forma de obtener elementos en PROP es mediante laaplicacion de las tres condiciones previas.

Ejemplo Abstracto

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Ejemplo Abstracto

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Ejemplo Abstracto

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Ejemplo Abstracto

Ası supongamos que P1,P2,P3, . . . ,P8 son atomos.

Entonces ellospertenecen al conjunto PROP y por lo dicho anteriormente tambien(¬P1), (¬P2), . . . , (¬P8),(P1 → P2), (P1 → P3), . . . , (P7 → P8)

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Ejemplo Abstracto

Ası supongamos que P1,P2,P3, . . . ,P8 son atomos. Entonces ellospertenecen al conjunto PROP

y por lo dicho anteriormente tambien(¬P1), (¬P2), . . . , (¬P8),(P1 → P2), (P1 → P3), . . . , (P7 → P8)

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Ejemplo Abstracto

Ası supongamos que P1,P2,P3, . . . ,P8 son atomos. Entonces ellospertenecen al conjunto PROP y por lo dicho anteriormente tambien(¬P1), (¬P2), . . . , (¬P8),

(P1 → P2), (P1 → P3), . . . , (P7 → P8)

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Ejemplo Abstracto

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Ejemplo Concreto

Ahora hablemos del espanol:

I Un ejemplo de formula ”mal” formada serıa: ”La nina perrocorrer grandes es.”

I Dos ejemplos de proposiciones atomicas serıan: ”La nina esmuy estudiosa” , ”La nina tiene talento”.

I Ejemplos de sımbolos conectivos serıan las palabras ”y, o, si... entonces”.

I Finalmente, algunas formulas bien formadas podrıan ser: ”Lanina tiene talento y la nina es muy estudiosa.” ”La nina tienetalento o la nina es muy estudiosa.” ”Si la nina tiene talentoentonces la nina es muy estudiosa.”

Importante

Notar que las formulas estan bien formadas a pesar de que elvalor de verdad que les demos no necesariamente es cierto.

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Ejemplo Concreto

Importante

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Ejemplo Concreto

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Importante

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Principios elementales y Tipos de descripciones

En general, en la logica clasica se aceptan dos principiosfundamentales:

I Principio de bivalencia: Toda proposicion puede sersolamente verdadera o falsa (este principio rechazan laslogicas multivaluadas).

I Principio de extensionalidad: El valor de verdad deuna proposicion depende del valor de verdad de lassubformulas que lo conforman.

Observacion

En logicas multivaluadas lo que se hace es rechazar elprincipio de bivalencia y permitir la existencia de otros”grados de verdad”.

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Observacion

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Observacion

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Observacion

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Existen dos tipos de analisis que se pueden hacer paraobtener el comportamiento de las logicas:

Sintactica

I Este tipo de analisisconsiste en laseleccion de unconjunto especıfico deformulas bienformadasdenominadas axiomasy a partir de ellas yunas reglas deinferencia sedesarrolla lo que es elconcepto de prueba yteorema.

Semantica

I El analisis semantico consisteen el desarrollo deasignaciones en lasproposiciones de tal maneraque se pueda determinar sugrado de verdad.

I En esta presentacion nosenfocaremos mas en elanalisis semantico debido aque los grados de verdad delas logicas multivaluadasimplican la asignacion devalores a estas formulas.

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Sintactica

Semantica

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Semantica

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Puede decirse que desde el punto de vista semantico, elobjetivo principal consiste en hallar las funciones de valoresde verdad que caracterizan a los conectivos.

Digamos que ϕ representa a la proposicion con valores arribay ψ la proposicion con valores en la izquierda.

∧ V F

V V FF F F

∧ 1 0

1 1 00 0 0

∴ ∧ ≡ min{val(ϕ), val(ψ)}

Desde el punto de vista algebraico, el objetivo consiste enconsiderar no solo los valores de verdad sino tambien larealizacion de una estructura algebraica completa con losvalores de verdad como soporte.

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∧ V F

V V FF F F

∧ 1 0

1 1 00 0 0

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∧ V F

V V FF F F

∧ 1 0

1 1 00 0 0

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Algebras Booleanas

Frecuentemente, se utiliza un algebra booleanaB = 〈B,u,t, ∗, 0, 1〉 para proveer la estructura algebraicanecesaria para modelar el Calculo Proposicional Clasico.

Definicion (Retıculo)

Un retıculo (o lattice) es un conjunto parcialmente (B,�)ordenado tal que para cada par de elementos p, q, existen unsupremo p t q y un ınfimo p u q.

Definicion (Algebra Booleana)

Un algebra booleana es un retıculo (B,�,u,t) distributivo ycomplementado:

I ∀p ∈ B : ∃0, 1 ∈ B : 0 � p � 1

I ∀p ∈ B : ∃q ∈ B : p t q = 1 ∧ p u q = 0

I ∀p, q, r ∈ B : p t (q u r) = (p t q) u (p t r) ∧ p u (q t r) =(p u q) t (p u r)

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Algebras Booleanas

I ∀p ∈ B : ∃0, 1 ∈ B : 0 � p � 1

I ∀p ∈ B : ∃q ∈ B : p t q = 1 ∧ p u q = 0

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I ∀p ∈ B : ∃0, 1 ∈ B : 0 � p � 1

I ∀p ∈ B : ∃q ∈ B : p t q = 1 ∧ p u q = 0

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Algebras Booleanas

I ∀p ∈ B : ∃0, 1 ∈ B : 0 � p � 1

I ∀p ∈ B : ∃q ∈ B : p t q = 1 ∧ p u q = 0

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Algebras Booleanas

I ∀p ∈ B : ∃0, 1 ∈ B : 0 � p � 1

I ∀p ∈ B : ∃q ∈ B : p t q = 1 ∧ p u q = 0

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Algebras Booleanas

I ∀p ∈ B : ∃0, 1 ∈ B : 0 � p � 1

I ∀p ∈ B : ∃q ∈ B : p t q = 1 ∧ p u q = 0

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Referencias

Un resultado importante

Se dice que la clase de formulas universalmente validas deLogica Clasica es la clase de todas las formulas validas paratodas las estructuras de Algebras Booleanas no triviales (ycompletas) como estructuras de valores de verdad.

De manera mas breve: La clase de Algebras Booleanas(completas) es caracterıstica de la Logica Clasica.

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Definicion (Sistema Multivaluado S)

I Un lenguaje LS del sistema S que a su vez consta de:

(1) Un conjunto de conectivos proposicionales J S

(2) Un conjunto de constantes de grados deverdad.

(3) Un conjunto de cuantificadores.

I Un conjunto de grados de verdad W S

I Una familia de funciones de Grados de Verdad junto con surespectiva correspondencia a los conectivos proposicionales.

I Una familia de elementos de los grados de verdad y sucorrespondencia (1 a 1) con las constantes de grados deverdad del lenguaje.

I Un conjunto de funciones interpretadoras de loscuantificadores y su correspondencia (1 a 1) con loscuantificadores del lenguaje.

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Referencias

Definicion (Notacion)

I LS := 〈J S ,Constantes,Cuantificadores〉I S :=〈LS ,W S , funciones1, funciones2, correspondencias〉

Definicion (Notacion para conjuntos de grados deverdad.)

I W0 := {x ∈ Q | 0 ≤ x ≤ 1}I W∞ := {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1}I Wm := { k

m−1 | 0 ≤ k ≤ m − 1}

Valores Designados

En toda logica multivaluada construida se pueden seleccionaralgunos valores del conjunto de grados de verdad. A esos valoresse les denomina Valores Designados e, intuitivamente, fungencomo lo hace el 1 en la logica clasica.

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Conclusiones

Referencias

I W0 := {x ∈ Q | 0 ≤ x ≤ 1}I W∞ := {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1}I Wm := { k

m−1 | 0 ≤ k ≤ m − 1}

Valores Designados

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Conclusiones

Referencias

I W0 := {x ∈ Q | 0 ≤ x ≤ 1}I W∞ := {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1}I Wm := { k

m−1 | 0 ≤ k ≤ m − 1}

Valores Designados

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Referencias

I W0 := {x ∈ Q | 0 ≤ x ≤ 1}I W∞ := {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1}I Wm := { k

m−1 | 0 ≤ k ≤ m − 1}

Valores Designados

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Conclusiones

Referencias

I W0 := {x ∈ Q | 0 ≤ x ≤ 1}I W∞ := {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1}I Wm := { k

m−1 | 0 ≤ k ≤ m − 1}

Valores Designados

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Referencias

I W0 := {x ∈ Q | 0 ≤ x ≤ 1}I W∞ := {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1}I Wm := { k

m−1 | 0 ≤ k ≤ m − 1}

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Referencias

I W0 := {x ∈ Q | 0 ≤ x ≤ 1}I W∞ := {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1}I Wm := { k

m−1 | 0 ≤ k ≤ m − 1}

Valores Designados

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Lo clasico

Lo Multivaluado

Conclusiones

Referencias

I W0 := {x ∈ Q | 0 ≤ x ≤ 1}I W∞ := {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1}I Wm := { k

m−1 | 0 ≤ k ≤ m − 1}

Valores Designados

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Conclusiones

Referencias

I W0 := {x ∈ Q | 0 ≤ x ≤ 1}I W∞ := {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1}I Wm := { k

m−1 | 0 ≤ k ≤ m − 1}

Valores Designados

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Lo Multivaluado

Conclusiones

Referencias

Seccion 3

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Lo clasico

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Conclusiones

Referencias

Sistemas por ver

Sistemas principales

I Las logicas de Lukasiewicz Lk

I Las logicas de Godel Gk

I La logica producto Π

I Las logicas de Post Pm con 2 ≤ m ∈ N

Para las de Lukasiewicz y Godel se cumple quek ∈ {n ∈ N | n ≥ 2} ∪ {∞}. Mientras que para las logicasde Post no existe el caso ”infinito”.

Las tres logicas varıan en sus grados de verdad perocomparten el rasgo comun de que al utilizar loscuantificadores universal y existencial, las funciones que loscaracterizan son el supremo y el infımo de los elementos enel rango de los cuantificadores.

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Conclusiones

Referencias

Sistemas por ver

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Conclusiones

Referencias

Sistemas por ver

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Conclusiones

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Sistemas por ver

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Conclusiones

Referencias

Sistemas por ver

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Sistemas por ver

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Referencias

Sistemas por ver

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Conclusiones

Referencias

Sistemas por ver

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Conclusiones

Referencias

Logicas de Godel

B = 〈B,∨,∧,∼, 0, 1〉

∀2 ≤ k ≤ ∞ : El conjunto de grados de verdad de Gk es Wk

u ∧ v = min{u, v}

∼ u =

{1 si u = 00 si u > 0

u ∨ v = max{u, v}

u →G v =

{1 si u ≤ vv si u > v

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Conclusiones

Referencias

Logicas de Lukasiewicz

Nuevamente ∀2 ≤ k ≤ ∞ : El conjunto de grados de verdadde Lk es Wk

Originalmente disenadas con dos conectivos:

¬u = 1− u u →L v = min{1, 1− u + v}Aunque con estos dos es posible definir a:

ϕ&ψ := ¬(ϕ→L ¬ψ) ϕ Y ψ := ¬ϕ→L ψ

Generando ası las funciones:u&v = max{u + v − 1, 0} u Y v = min{u + v , 1}

Llamadas comunmente la conjuncion y disyuncionaritmeticas de Lukasiewicz. Obteniendo ası el cuerpoalgebraico B = 〈B,Y,&,¬, 0, 1〉.

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Conclusiones

Referencias

Observacion 1

La conjuncion y disyuncion aritmeticas se relacionanmediante la negacion del sistema generando la ley de DeMorgan: ¬(u&v) = ¬u Y ¬v

Observacion 2

Con las definiciones siguientes:ϕ ∧ ψ := ϕ&(φ→L ψ) ϕ ∨ ψ := (ϕ→L ψ)→L ψ

Se generan la conjuncion y disyuncion de Godel confunciones mınimo y maximo respectivamente.

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Lo Multivaluado

Conclusiones

Referencias

Observacion 1

Observacion 2

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Lo Multivaluado

Conclusiones

Referencias

Observacion 1

Observacion 2

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Lo clasico

Lo Multivaluado

Conclusiones

Referencias

Logica del Producto

u � v = u · vu →Π v =

{1 si u ≤ vuv si u < v

Se definen las funciones:

∼ ϕ := ϕ→Pi 0 ϕ ∧ ψ := ϕ� (ϕ→Π ψ)

Es posible demostrar que ambos operadores descritosanteriormente coinciden con sus correspondientes en G∞.Ademas de que la disyuncion de la logica de Godel seobtiene por la definicion:

ϕ ∨ ψ := ((ϕ→Pi ψ)→Pi ψ) ∧ ((ψ →Π ϕ)→Π ϕ)

Finalmente: B = 〈B,→Π,�,∼, 0, 1〉

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Logicas de Post

B = 〈B,∨,∼, 0, 1〉

Si el sistema de Post Pm cumple que m ≥ 2, entonces elconjunto de grados de verdad de Pm es Wm

∼ u =

{1 si u = 0u − 1

m−1 si u 6= 0u ∨ v = max{u, v}

La propiedad caracterıstica de este sistema es que puederepresentar por medio de sus conectivos cualquier posiblefuncion de grados de verdad de los otros sistemas que hemosrevisado.

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Otros sistemas multivaluados

I Bochvar

∧ V ? F ¬V V ? F F? ? ? ? ?F F ? F V

& V ? F ∼V V F F F? F F F FF F F F V

I Kleene

p ∧ q p ∨ q p → q ¬pq V I F V I F V I F

V V I F V V V V I F Fp I I I F V I I V I I I

F F F F V I F V V V V

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I Bochvar

∧ V ? F ¬V V ? F F? ? ? ? ?F F ? F V

I Kleene

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I Bochvar

∧ V ? F ¬V V ? F F? ? ? ? ?F F ? F V

I Kleene

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I Bochvar

∧ V ? F ¬V V ? F F? ? ? ? ?F F ? F V

I Kleene

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I Bochvar

∧ V ? F ¬V V ? F F? ? ? ? ?F F ? F V

I Kleene

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I Bochvar

∧ V ? F ¬V V ? F F? ? ? ? ?F F ? F V

I Kleene

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∧ V ? F ¬V V ? F F? ? ? ? ?F F ? F V

I Kleene

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Seccion 4

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Puntos finales por destacar

I Lo que hemos visto hasta ahora es solo un resumen deanos de trabajo de varias personas.

I El desarrollo de las logicas multivaluadas se llevo a caboen su mayorıa por inquisiciones filosoficas.

I El interes por las logicas multivaluadas se ha retomadorecientemente pero en su modalidad de logicas difusasdebido a su exito en el area de Inteligencia Artificial.

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Seccion 5

Referencias

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Referencias

1. Gottwald, Siegfried. Many-Valued Logics. ElsevierScience. 8 de mayo de 2005: 56 p. Institute of Logicand Philosophy of Science, Leipzig University. 22 deseptiembre de 2005.

2. Cohn, Henry. Propositional Calculus and BooleanAlgebra. Otono 2011: 16 p. MIT MathematicsDepartment Adjunct Professor. 22 de septiembre de2005.

3. Arrazola, Jose. Logicas Multivaluadas. Topologıa ySistemas Dinamicos III. 2010: 27 p. BenemeritaUniversidad Autonoma de Puebla.

4. Mendelson, Elliott. Introduction to Mathematical Logic.United States: Chapman & Hall, 1997, 4th edition, 440p.

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logicas multivaluadas (many-valued logics)

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