Conjunto

Conjunto

Para otros usos de este trmino, vaseConjunto (desambiguacin).

Los diversospolgonosen laimagenconstituyen un conjunto. Algunos de los elementos del conjunto, adems de ser polgonos sonregulares. La coleccin de estos ltimos los polgonos regulares en la imagen es otro conjunto, en particular, unsubconjuntodel primero.

Enmatemticas, unconjuntoes una coleccin de elementos considerada en s misma como un objeto. Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa:personas,nmeros,colores,letras,figuras, etc. Se dice que unelemento(omiembro) pertenece al conjunto si est definido como incluido de algn modo dentro de l.

Ejemplo: el conjunto de los colores delarcorises:

AI= {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Ail, Violeta}Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para losnmeros naturales, si se considera la propiedad de ser unnmero primo, el conjunto de los nmeros primos es:

P= {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}Un conjunto queda definido nicamente por sus miembros y por nada ms. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o aadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo:

S= {Lunes, Martes, Mircoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Mircoles}AI= {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Ail, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Ail, Azul}Los conjuntos pueden serfinitosoinfinitos. El conjunto de los nmeros naturales es infinito, pero el conjunto de losplanetasen elSistema Solares finito (tiene ocho elementos). Adems, los conjuntos pueden combinarse medianteoperaciones, de manera similar a lasoperaciones con nmeros.

Los conjuntos son un conceptoprimitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en trminos de nociones ms elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuicin y a la lgica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemtica: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemticos, como los nmeros y lasfunciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introduccin deaxiomasy conduce a lateora de conjuntos.

Historia[editar]El concepto de conjunto como objeto abstracto no comenz a emplearse en matemticas hasta elsiglo XIX, a medida que se despejaban las dudas sobre la nocin deinfinito.1Los trabajos deBernard BolzanoyBernhard Riemannya contenan ideas relacionadas con una visin conjuntista de la matemtica. Las contribuciones deRichard Dedekindal lgebra estaban formuladas en trminos claramente conjuntistas, que an prevalecen en la matemtica moderna:relaciones de equivalencia,particiones,homomorfismos, etc., y l mismo explicit las hiptesis y operaciones relativas a conjuntos que necesit en su trabajo.

Lateora de conjuntoscomo disciplina independiente se atribuye usualmente aGeorg Cantor. Comenzando con sus investigaciones sobre conjuntos numricos, desarroll un estudio sobre los conjuntos infinitos y sus propiedades. La influencia de Dedekind y Cantor empez a ser determinante a finales del siglo XIX, en el proceso de axiomatizacin de la matemtica, en el que todos los objetos matemticos, como los nmeros, lasfuncionesy las diversasestructuras, fueron construidos con base en los conjuntos.

Definicin[editar]Un conjunto es una coleccin bien definida de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa:nmeros, personas, letras, otros conjuntos, etc. Algunos ejemplos son:

Aes el conjunto de los nmeros naturales menores que 5.

Bes el conjunto de los colores verde, blanco y rojo.

Ces el conjunto de las vocalesa,e,i,oyu.

Des el conjunto de lospalosde labaraja francesa.

Los conjuntos se denotan habitualmente por letras maysculas. Los objetos que componen el conjunto se llamanelementoso miembros. Se dice que pertenecen al conjunto y se denota mediante el smbolo:n 1la expresinaAse lee entonces como aest enA, apertenece aA, Acontiene aa, etc. Para la nocin contraria se usa el smbolo. Por ejemplo:

3A,DamarilloB,zCNotacin

Relacin de pertenencia.El conjuntoAes un conjunto depolgonos. En la imagen, algunas de las figuras pertenecen a dicho conjunto, pero otras no.

Existen varias maneras de referirse a un conjunto. En el ejemplo anterior, para los conjuntosAyDse usa unadefinicin intensivao por comprensin, donde se especifica una propiedad que todos sus elementos poseen. Sin embargo, para los conjuntosByCse usa unadefinicin extensiva, listando todos sus elementos explcitamente.

Es habitual usarllavespara escribir los elementos de un conjunto, de modo que:

B= {verde, blanco, rojo}C= {a, e, i, o, u}Esta notacin mediante llaves tambin se utiliza cuando los conjuntos se especifican de forma intensiva mediante una propiedad:

A= {Nmeros naturales menores que 5}D= {Palos de la baraja francesa}Otra notacin habitual para denotar por comprensin es:

A= {m:mes un nmero natural, y 1 m 5}D= {p:pes un palo de la baraja francesa}F= {n2:nes un entero y 1 n 10},

En estas expresiones losdos puntos(:) significan tal que. As, el conjuntoFes el conjunto de los nmeros de la forman2tal quenes un nmero natural entre 1 y 10 (ambos inclusive), o sea, el conjunto de los diez primeroscuadrados denmeros naturales. En lugar de los dos puntos se utiliza tambin labarra vertical(|) uoblicua/ .

Igualdad de conjuntos

Conjunto de personas.El conjunto de personas mostrado en la imagen,A, tiene 8miembros. Este conjunto puede representarse mediantellaveso mediante undiagrama de Venn. El orden de las personas enAes irrelevante.

Un conjunto est totalmente determinado por sus elementos. Por ello, la igualdad de conjuntos se establece como:

Propiedad de laextensionalidadDos conjuntosAyBque tengan los mismos elementos son el mismo conjunto,A=B.

Esta propiedad tiene varias consecuencias. Un mismo conjunto puede especificarse de muchas maneras distintas, en particular extensivas o intensivas. Por ejemplo, el conjuntoAde los nmeros naturales menores que 5 es el mismo conjunto queA, el conjunto de los nmeros 1, 2, 3 y 4. Tambin:

B= {verde, blanco, rojo} = {colores de la bandera de Mxico}C= {a, e, i, o, u} = {vocalesdelespaol}D= {Palos de la baraja francesa} = {, , , }El orden en el que se precisan los elementos tampoco se tiene en cuenta para comparar dos conjuntos:

B= {verde, blanco, rojo} = {rojo, verde, blanco}C= {a, e, i, o, u} = {e, i, u, a, o}Adems, un conjunto no puede tener elementos repetidos, ya que un objeto solo puede o bien ser un elemento de dicho conjunto o no serlo. Se da entonces que, por ejemplo:

{1, 2} = {1, 2, 1}En ausencia de alguna caracterstica adicional que distinga los 1 repetidos, lo nico que puede decirse del conjunto de la derecha es que 1 es uno de sus elementos.

Conjunto vaco[editar]Artculo principal:Conjunto vacoEl conjunto que no contiene ningn elemento se llama el conjunto vaco y se denota poro simplemente {}. Existe un nico conjunto vaco, ya que lo nico que distingue a un conjunto son sus elementos.

Subconjuntos[editar]Artculo principal:Subconjunto

Subconjunto.Bes unsubconjuntodeA(en particular unsubconjunto propio).

Un subconjuntoAde un conjuntoB, es un conjunto que contiene algunos de los elementos deB(o quiz todos):

Un conjuntoAes unsubconjuntodel conjuntoBsi cada elemento deAes a su vez un elemento deB.

CuandoAes un subconjunto deB, se denota comoABy se dice que Aest contenido enB. Tambin puede escribirseBA, y decirse queBes unsuperconjuntodeAy tambin Bcontiene aA o Bincluye aA.

Todo conjuntoAes un subconjunto de s mismo, ya que siempre se cumple que cada elemento deAes a su vez un elemento deA. Es habitual establecer una distincin ms fina mediante el concepto desubconjunto propio:Aes un subconjunto propio deBsi es un subconjunto deBpero no es igual aB. Se denota comoAB, es decir:ABperoAB(y equivalentemente, para un superconjunto propio,BA).n 2Ejemplos.El conjunto de todos los hombres es un subconjunto propio del conjunto de todas las personas.

{1, 3}{1, 2, 3, 4}

{1, 2, 3, 4}{1, 2, 3, 4}

Conjuntos disjuntosDos conjuntosAyBson disjuntos si no tienen ningn elemento en comn. Por ejemplo, los conjuntos de losnmeros racionalesy losnmeros irracionalesson disjuntos: no hay ningn nmero que sea a la vez racional e irracional. Lainterseccinde dos conjuntos disjuntos es el conjunto vaco.