lotka -volterra modellen - aalborg universitetdenne afhængighed er beskrevet ved lotka-volterra...

Lotka-Volterra modellen

G4-105 Matematik

Aalborg Universitet 20. december 2016

Sædvanlige differentialligninger G4-105

School of Engineering and ScienceFredrik Bajers Vej 7G9220 Aalborg Østwww.ses.aau.dk

Titel:


Tema:

Sædvanlige differentialligninger

Projektperiode:Semesterprojekt, matematikEfterårssemesteret 2016

Projektgruppe:G4-105

Deltagere:Lizette Ravn AndersenPeter Løfqvist HenriksenIben Ravnborg JensenSimon Nicolai NielsenRikke Maarbjerg PiechnikChristian Serup Ravn Thorsen

Vejleder:Jon Johnsen

Oplagsantal: 9

Sidetal: 65

Bilagsantal: 0

Afsluttet: 20. december 2016

Synopsis:Dette projekt omhandler Lotka-Volterra mo-dellen, der beskriver udviklingen i et økolo-gisk system med rovdyr og byttedyr, hvorbyttedyrene har adgang til uendelige mæng-der føde, mens rovdyrenes eneste fødegrund-lag er byttedyrene. For at kunne bestemmemodellens ligevægtspunkter og deres type, in-troduceres første og anden ordens differenti-alligninger, forskellige begreber dertil og løs-ninger heraf. Derefter beskrives systemer aflineære første ordens koblede differentiallig-ninger, samt tilhørende begreber og løsnings-former. Til sidst beskrives grafisk analyse affaseportrætter, herunder ligevægtspunkter ognulkliner, samt linearisering af ikke-lineæresystemer. Ud fra den beskrevne teori findesLotka-Volterra modellens to ligevægtspunkter,(0, 0) og

( c

d,a

b

), som bestemmes til at være

henholdsvis et ustabilt saddelpunkt og et sta-bilt centrum.

Side I af 65


Forord

Denne rapport er udarbejdet af en gruppe matematikstuderende på 3. semester ved AalborgUniversitet. Sædvanlige differentialligninger er det overordnede tema for semestret. Rapportener skrevet med henblik på, at læseren har et basalt kendskab til lineær algebra, differential- ogintegralregning.

Der vil igennem rapporten fremtræde referencer, og disse vil være samlet i en litteraturliste ba-gerst. Der er i rapporten anvendt kildehenvisning efter Vancouver-standarden. Det er i startenaf hvert afsnit nævnt, hvilke kilder det er baseret på, og ved citeringer er kilden nævnt ved citatet.

Aalborg Universitet, 20. december 2016

Lizette Ravn Andersen Peter Løfqvist Henriksen

Iben Ravnborg Jensen Simon Nicolai Nielsen

Rikke Maarbjerg Piechnik Christian Serup Ravn Thorsen

Side III af 65


Symboloversigt

Her ses en oversigt over de anvendte symboler i projektet, samt deres betydning.

• x(t): Byttedyrspopulationen til tiden, t, i Lotka-Volterra modellen

• y(t): Rovdyrpopulationen til tiden, t, i Lotka-Volterra modellen

• a og b: Positive vækstkonstanter for byttedyrspopulationen i Lotka-Volterra modellen

• c og d: Positive vækstkonstanter for rovdyrpopulationen i Lotka-Volterra modellen

• ρ(t): Integrationsfaktor i forbindelse med lineære differentialligninger

• L{f(t)}: Laplace-transformationen af funktionen f(t)

• W : Wronski-determinant

Side V af 65


IndholdIndhold

Forord III

Symboloversigt V

1 Indledning & problemformulering 11.1 Initierende problem 11.2 Problemanalyse 21.3 Problemformulering 31.4 Problemafgrænsning 3

2 Sædvanlige differentialligninger 42.1 Første ordens differentialligninger 42.1.1 Separable ligninger 52.1.2 Lineære ligninger 62.2 Anden ordens differentialligninger 72.2.1 Homogene lineære ligninger 7

3 Laplace-transformation 113.1 Laplace-transformation 113.2 Den inverse Laplace-transformation 143.3 Begyndelsesværdiproblemer 16

4 Systemer af lineære koblede differentialligninger 204.1 Systemer af første ordens koblede differentialligninger 204.2 Løsning af lineære systemer af første ordens koblede differentialligninger 224.2.1 Løsning af homogene lineære systemer af koblede første ordens differentialligninger 234.2.2 Egenværdimetoden til løsning af homogene systemer 27

5 Stabilitet & ligevægt 345.1 Ligevægt 345.2 Grafisk repræsentation 365.2.1 Retningsfelt 365.3 Nulkliner 385.4 Stabilitet 395.5 Typer af ligevægtspunkter 405.5.1 Maksimalt definitionsinterval 42

Side VII af 65


5.6 Ligevægtspunkter i lineære systemer 455.6.1 Reelle egenværdier med multiplicitet 1 og samme fortegn 455.6.2 Reelle egenværdier med multiplicitet 1 og modsatte fortegn 475.6.3 Reelle egenværdier med multiplicitet 2 485.6.4 Kompleks-konjugerede egenværdier med realdel forskellig fra 0 495.6.5 Rent imaginære egenværdier 495.6.6 Opsummering 505.7 Linearisering i nærheden af et ligevægtspunkt 505.7.1 Stabilitet af ligevægtspunkt i et næsten lineært system 53

6 Lotka-Volterra modellen 556.1 Linearisering af Lotka-Volterra modellen 556.2 Nulkliner i Lotka-Volterra modellen 566.3 Grafisk analyse af ligevægtspunkt 58

7 Konklusion 63

Litteratur 65

Side VIII af 65


Kapitel 1

Indledning &problemformulering

1.1 Initierende problemRovdyr og byttedyr lever ikke i fred og harmoni, men begge populationer kæmper for deres egenoverlevelse. Rovdyrene, som er øverst i fødekæden, har intet at frygte og vil kun æde byttedyrenefor at få stillet deres sult. Byttedyrene kæmper for at holde deres population i live og for atfinde føde. Dette er altså et biologisk system, som består af to forskellige populationer. Det erdog ikke kun biologer, der kan have interesse i at undersøge sådanne systemer. To matematikereudviklede, uafhængigt af hinanden, et system af koblede differentialligninger, som anvendes tilundersøgelse af populationer. Denne model kaldes Lotka-Volterra efter de to matematikere, somopfandt modellen: Alfred J. Lotka og Vito Volterra. Alfred J. Lotka og Vito Volterra kom fremtil modellen i henholdsvis 1925 og 1926.

Vito Volterra (1860-1940) var en italiensk og kendt matematiker. Han fik ideen til denne modelfra sin svigersøn, der var biolog, som spurgte efter matematisk hjælp efter at have studeret stør-relsen på populationer af forskellige fiskearter i Adriaterhavet før, under og efter 1. Verdenskrig.Svigersønnen observerede de største rovdyrpopulationer i havet under og lige efter krigen, dafiskeriet var meget begrænset i denne tid. Han konkluderede derfor, at rovdyr- og byttedyrspo-pulationerne var i ligevægt under krigen, da det intense fiskeri før og efter krigen forstyrredebalancen. Dette gjorde, at rovdyrene ikke havde lige så meget føde, og derfor var rovdyrpopula-tionen mindre. Dette havde Volterras svigersøn dog ingen biologisk forklaring på, og derfor søgtehan Volterras hjælp til at udforme en matematisk model til at forklare hændelserne.

Alfred J. Lotka (1880-1949) var en amerikansk matematisk biolog, som selvstændigt lavede mangetilsvarende modeller, som Vito Volterra gjorde på næsten sammen tid. Alfred J. Lotkas primæreeksempel på et rovdyr-byttedyrsystem blev lavet ud fra en plantepopulation og et planteædendedyr, som var afhængig af, at planterne var til stede.

Dette afsnit, samt det følgende, er baseret på [1].

Side 1 af 65


1.2 ProblemanalyseEt biologisk system af to populationer kan beskrives ved hjælp af et system af koblede differen-tialligninger, såsom Lotka-Volterra-modellen:

dx

dt=(a− b · y(t)

)x(t),

dy

dt=(− c+ d · x(t)

)y(t)

(1.1)

De to populationstørrelser er henholdsvis byttedyr, x(t), og rovdyr, y(t). I modellen indgår ogsåfire positive konstanter: a, b, c og d. Den øverste ligning i (1.1) beskriver populationen af byttedyrtil tiden, t, og den nederste beskriver populationen af rovdyr til tiden, t. De to populationer vilfluktuere forskudt af hinanden, da de to populationsstørrelser påvirker hinanden.

Det antages, at byttedyrene har ubegrænset adgang til føde, og ikke har andre trusler endrovdyrene, der er afhængige af byttedyrene, som deres eneste føde. Hvis der ingen rovdyr er, vilbyttedyrenes population stige eksponentielt, det vil sige, hvis x(t) vokser til tiden, t, så vil:

dx

dt= a · x(t)

Sådan hænger det dog ikke sammen, da der er rovdyr, som giver en negativ komponent i byt-tedyrenes vækstrate. Dernæst antages det, at hyppigheden af rovdyrenes jagt på byttedyrene erproportional med hyppigheden af møder mellem rovdyr og byttedyr, som kan føre til et eller flerebyttedyrs død.

Disse antagelser medfører konklusionen, at den negative komponent af byttedyrenes vækstra-te er proportional med produktet af rovdyrenes, y(t), og byttedyrenes, x(t), populationsstørrelser:

dx

dt= a · x(t)− b · y(t) · x(t) ⇒

dx

dt=(a− b · y(t)

)x(t) (1.2)

Derefter betragtes rovdyrpopulationen. Hvis der ingen byttedyr er, vil rovdyrene intet få at æde,og populationsstørrelsen vil aftage eksponentielt:

dy

dt= −c · y(t)

Igen, sådan hænger det ikke sammen, da rovdyrene har adgang til føde. Det vil sige, den fødeder bruges til at understøtte væksten af rovdyrene er proportional med byttedyrpopulationen,hvilket derfor leder frem til følgende model:

dy

dt= −c · y(t) + d · y(t) · x(t) ⇒

dy

dt=(− c+ d · x(t)

)y(t) (1.3)

Ud fra ligning (1.2) og (1.3) ses det, at de to populationer, x(t) og y(t), er afhængige af hinanden.Denne afhængighed er beskrevet ved Lotka-Volterra modellen, som er et system af to koblededifferentialligninger, som ses i ligning (1.1).

Denne model kunne være interessant at belyse ved hjælp af teori om differentialligninger. Der-udover er det interessant at undersøge, om der nogensinde opstår ligevægt mellem byttedyreneog rovdyrene, hvilket resulterer i følgende problemformulering.

Side 2 af 65


1.3 ProblemformuleringHar Lotka-Volterra modellen ligevægtspunkter, og i så fald hvordan kan de og deres type be-stemmes?

1.4 ProblemafgrænsningI rapporten er tre forskellige eksistens- og entydighedssætninger indskrevet, men de bevises ikke,der henvises kun til hvor de står skrevet.

Der findes to udgaver af Lotka-Volterra modellen: En med to forskellige arter, hvor en popu-lation af rovdyr har en population af byttedyr som eneste fødegrundlag, og en anden med tokonkurrerende populationer. I denne rapport undersøges kun førstnævnte udgave af modellen.Det vil sige, at modellen med konkurrerende arter, som kæmper om samme føde, ikke beskrives.

Fænomenet grænsecyklus beskrives ikke, da det ikke kan beskrives og analyseres ved hjælp af denævnte løsningsmetoder i denne rapport.

Side 3 af 65


Kapitel 2

Sædvanligedifferentialligninger

En differentialligning beskriver forholdet mellem en funktion og dens afledte, hvor sædvanligedifferentialligninger kun indeholder funktioner af én uafhængig variabel. Følgende ligning er eteksempel på en sædvanlig differentialligning, da den kun indeholder én uafhængig variabel, nem-lig t, hvor y(t) er en funktion, som afhænger af t:

a1y′′(t)− a2y′(t) + a3y(t) = f(t)

Indeholder en differentialligning to eller flere uafhængige variable, kaldes den en partiel diffe-rentialligning. Den første afledte af en funktion, f(t), beskriver, hvorvidt f(t) er stigende elleraftagende i punktet t, og den første afledte vil derfor være ens for alle værdier af den uafhængi-ge variabel, hvis funktionen, f(t), er lineær. Mange funktioner kan differentieres flere gange, ogdermed findes der differentialligninger af forskellige ordener, da ordenen afhænger af den høje-ste afledte. En n’te ordens differentiallignings højeste afledte er en n’te ordens afledt. Dermedindeholder første ordens differentialligninger kun en første afledt, og anden ordens differentiallig-ninger indeholder en dobbeltafledt og eventuelt også en første afledt. I dette kapitel vil første oganden ordens differentialligninger blive beskrevet, samt løsningsmetoder dertil.

2.1 Første ordens differentialligningerGenerelt kan en sædvanlig første ordens differentialligning skrives som:

dy

dt= f

(t, y(t)

)(2.1)

Løsningen til differentialligningen vil være funktionen y(t). Der findes forskellige former for førsteordens differentialligninger, og nogle af dem vil blive beskrevet i det følgende.

Side 4 af 65


2.1.1 Separable ligningerDet følgende afsnit er baseret på [2] (s. 32-34) med mindre andet er angivet. En første ordensdifferentialligning siges at være separabel, hvis f

(t, y(t)

)i ligning (2.1) kan skrives som et pro-

dukt af to funktioner af henholdsvis t og y(t);

dy

dt= g(t)h

(y(t)

)hvor f

(t, y(t)

)= g(t)h

(y(t)

). Når dette er tilfældet, kan ligningen omskrives, så variablene sepa-

reres og sættes på hver sin side af lighedstegnet på de intervaller, hvor h(y(t)) 6= 0, således at:

dy

dt= g(t)h

(y(t)

)⇒ 1

h(y(t)

) dydt

= g(t)

Den generelle løsning kan nu findes ved at bestemme stamfunktionen med hensyn til t på beggesider, og derefter isoleres funktionen y(t). Hvis det ikke er muligt at isolere y(t), vil der være taleom en implicit løsning til differentialligningen.

Eksempel 1. Bestemmelse af mulige løsninger til en separabel første ordensdifferentialligningDet ønskes at finde mulige løsninger til ligningen:

y′(t) = y(t) sin(t) (2.2)

Ligningen er allerede skrevet som et produkt af to funktioner, hvor g(t) = sin(t) og h(y(t)) =y(t), så variablene separeres således:

1

y(t)y′(t) = sin(t)

Begge sider integreres med hensyn til t, og højresiden integreres ved substitution, jævnførsætning 8.22 i [3] (s. 147):∫ (

1

y(t)y′(t)

)dt =

∫sin(t) dt⇒ ln|y(t)|+ c1 = − cos(t) + c2

Funktionen y(t) kan nu isoleres;

|y(t)| = e− cos(t)+c = ec · e− cos(t)

⇓y(t) = ±ec · e− cos(t) = k · e− cos(t)

hvor k = ±ec, k ∈ R\{0}. Dette er en løsning til ligning (2.2), hvor y(t) = 0 ikke er defineret.Dog ses det af samme ligning, at y(t) ≡ 0 også er en løsning, men denne kan dog ikke findesved ovenstående metode.

Side 5 af 65


2.1.2 Lineære ligningerDet følgende afsnit er baseret på [2] (s. 46-48) med mindre andet er angivet. En anden form forførste ordens differentialligninger er de lineære, for hvilke det gælder, at differentialligningen kanskrives som;

dy

dt+ P (t)y(t) = Q(t) (2.3)

hvor P (t) og Q(t) er koefficient-funktioner, der er kontinuerte på et interval. Lineære første ordensdifferentialligninger løses ved hjælp af en integrationsfaktor, ρ(t) = e

∫P (t) dt, der multipliceres

på hvert led i ligningen:

dy

dte∫P (t) dt + P (t)e

∫P (t) dty(t) = Q(t)e

∫P (t) dt (2.4)

Det gælder om differentiering af et produkt af to funktioner, at(f(x)g(x)

)′= f ′(x)g(x) +

f(x)g′(x), jævnfør sætning 7.6 i [3] (s. 113). Venstresiden i ligning (2.4) svarer til højresiden iovenstående regel, hvor f(x) = y(t) og g(x) = e

∫P (t) dt. Da det gælder, at

(∫P (t) dt

)′= P (t),

kan venstresiden i ligning (2.4) skrives som den afledte af et produkt, der ses som venstresidenaf følgende ligning: (

y(t)e∫P (t) dt

)′= Q(t)e

∫P (t) dt

Denne ligning integreres:

y(t)e∫P (t) dt =

∫ (Q(t)e

∫P (t) dt

)dt

Derefter kan funktionen, y(t), isoleres, da e∫P (t) dt 6= 0 for alle t, og

1

e∫P (t) dt

= e−∫P (t) dt:

y(t) = e−∫P (t) dt

∫ (Q(t)e

∫P (t) dt

)dt (2.5)

Hermed er ligningens generelle løsning fundet. Bemærk, at e−∫P (t) dt også multipliceres på inte-

grationskonstanten.

Eksempel 2. Bestemmelse af mulige løsninger til en lineær første ordens diffe-rentialligningDet ønskes at finde mulige løsninger til ligningen:

y′(t)− 2y(t) = t2

Da differentialligningen allerede er skrevet på formen vist i ligning (2.3), hvor P (t) = −2 ogQ(t) = t2, findes ρ(t):

ρ(t) = e∫−2 dt = e−2t

Side 6 af 65


Herefter sættes disse værdier ind i formlen for den generelle løsning set i ligning (2.5):

y(t) = e2t∫t2e−2t dt

Ved hjælp af partiel integration, hvor∫f(x)g(x) dx = f(x)G(x)−

∫f ′(x)G(x) dx, udregnes

integralet, jævnfør sætning 8.23 i [3] (s. 148), hvor f(x) = t2 og g(x) = e−2t:

y(t) = e2t∫ (

t2e−2t)dt

= e2t((−1

2t2e−2t − 1

2te−2t − 1

4e−2t

)+ c

)= −1

2t2 − 1

2t− 1

4+ e2tc

Dermed er den generelle løsning til differentialligningen fundet.

2.2 Anden ordens differentialligningerDet følgende afsnit er baseret på [2] (s. 100-102, 107, 109-111) med mindre andet er angivet. Enanden ordens differentialligning indeholder, i modsætning til en første ordens differentialligning,et led med en dobbeltafledt funktion. For linearitet i forhold til anden ordens differentialligningergælder de samme betingelser, som for lineære første ordens differentialligninger. En lineær andenordens differentialligning har formen:

a1y′′(t) + a2y

′(t) + a3y(t) = f(t) (2.6)

Her er a1 ∈ F \{0} og a2, a3 ∈ F konstante koefficienter, som også kan være funktioner af t, ogy′′(t) og y′(t) er henholdsvis den dobbeltafledte og første afledte funktion af y(t).

2.2.1 Homogene lineære ligningerI dette afsnit vil der blive lagt vægt på den generelle løsning til den homogene lineære andenordens differentialligning. Der tages udgangspunkt i ligning (2.6), der er homogen, hvis f(t) ≡ 0:

a1y′′(t) + a2y

′(t) + a3y(t) = 0 (2.7)

Da a1 6= 0 divideres der med a1 på alle led, så følgende udtryk fås;

y′′(t) + py′(t) + qy(t) = 0 (2.8)

hvor p =a2a1

og q =a3a1

. Det giver mulighed for at indføre følgende sætning:

Side 7 af 65


Sætning 2.1: Generelle løsninger til homogene differentialligninger ([2] s. 107)

Lad y1(t) og y2(t) være to lineært uafhængige løsninger til den homogene lineære andenordens differentialligning;

y′′(t) + py′(t) + qy(t) = 0

hvor p og q er kontinuerte på det åbne interval I. Hvis y(t) er en vilkårlig løsningtil ligningen, y′′(t) + py′(t) + qy(t) = 0, på I, så eksisterer konstanter, c1 og c2, således:

y(t) = c1y1(t) + c2y2(t) ∀ t ∈ I (2.9)

Der ses på udtrykket ert, hvor det bemærkes, at:

(ert)′ = rert og (ert)′′ = r2ert

En vilkårlig afledt af ert er altså en konstant multipliceret udtrykket selv. Da ert 6= 0, kany(t) i ligning (2.7) med fordel erstattes af ert:

a1r2ert + a2re

rt + a3ert = 0

Det gælder, at y(t) = ert er en løsning, hvis r er en rod i det karakteristiske ligning:

a1r2 + a2r + a3 = 0

Når diskriminanten, d, er positiv, fås to forskellige værdier af r, nemlig r1 og r2. Hvis d = 0, err1 = r2, og der vil være tale om en dobbeltrod. Tredje og sidste mulighed er, at d < 0, hvilketresulterer i to forskellige komplekse rødder. For de tre forskellige tilfælde af d gælder, jævnførligning (2.9) i sætning 2.1:

• To forskellige rødder, r1 6= r2, giver løsningen: y(t) = c1er1t + c2e

r2t.

• Dobbeltroden, r, giver løsningen: y(t) = c1ert + c2te

rt.

• To komplekse rødder, r = α± βi, giver løsningen: y(t) = c1eαt cos(βt) + c2e

αt sin(βt).

Forskellige rødder

Når d > 0 er r1 6= r2, og y1(t) = er1t og y2(t) = er2t er løsninger til den homogene differential-ligning. Den generelle løsning er y(t) = c1e

r1t + c2er2t med vilkårlige konstanter c1 og c2.

Side 8 af 65


Eksempel 3. Forskellige rødderBetragt følgende ligning:

y′′(t) + 5y′(t)− 6y(t) = 0

Den karakteristiske ligning anvendes, og det fås, at:

r2 + 5r − 6 = 0

Diskriminanten beregnes til at være 49, så da d > 0 har differentialligningen forskellige rød-der, r1 = 1 og r2 = −6.

Dermed er den generelle løsning:

y(t) = c1et + c2e

−6t

Dobbeltrod

Når d = 0, har den karakteristiske ligning dobbeltrod, r, og y1(t) = ert og y2(t) = tert er løsnin-ger til den homogene differentialligning. Dette betyder, at;

y(t) = c1ert + c2te

rt

er den generelle løsning, hvori c1 og c2 er konstanter.

Eksempel 4. DobbeltrodBetragt ligningen:

y′′(t) + 10y′(t) + 25y(t) = 0

Diskriminanten beregnes til at være 0, hvormed den karakteristiske ligning har en dob-beltrod, og r = −5.

Den generelle løsning vil derfor være:

y(t) = c1e−5t + c2te

−5t

Komplekse rødder

Når d < 0 har den karakteristiske ligning komplekse rødder, r = α± iβ, og den generelle løsningtil den homogene differentialligning er:

y(t) = c1eαt cos(βt) + c2e

αt sin(βt)

Side 9 af 65


Eksempel 5. Komplekse rødderBetragt ligningen:

y′′(t)− 6y′(t) + 10y(t) = 0

Diskriminanten beregnes til at være −4, så da d < 0 har den karakteristiske ligning kom-plekse rødder, der udregnes til r = 3± i. Altså er α = 3 og β = 1.

Dermed er den generelle løsning:

y(t) = c1e3t cos(t) + c2e

3t sin(t)

Side 10 af 65


Kapitel 3

Laplace-transformation

Laplace-transformation kan benyttes til løsning af blandt andet begyndelsesværdiproblemer, ogvil i dette kapitel blive beskrevet, samt hvordan den kan anvendes til at løse differentialligninger.

3.1 Laplace-transformationDette afsnit er baseret på [2] (s. 267-269, 273-274, 278-279) med mindre andet er angivet. Laplace-transformationen defineres som følgende:

Definition 3.1: Laplace-transformation

Givet en funktion, f(t), hvor t ≥ 0, da er Laplace-transformationen af f(t) defineret somfølgende;

F (s) = L{f(t)} =

∫ ∞0

(e−stf(t)

)dt

for alle værdier af s, hvor det uegentlige integral konvergerer.

Bemærk, at F (s) ikke er en stamfunktion til f(t), men er Laplace-transformationen af f(t).

Definition 3.2: Uegentligt integral ([3] s. 149)

Lad f : [a,∞[→ R være en kontinuert funktion. Da siges det uegentlige integral;∫ ∞a

f(t) dt

at være konvergent, hvis udtrykket; ∫ b

a

f(t) dt

har en grænseværdi for b→∞. I så fald gælder:∫ ∞a

f(t) dt = limb→∞

∫ b

a

f(t) dt

Hvis grænsen ikke eksisterer, siges det uegentlige integral at divergere eller ikke at eksistere.

Side 11 af 65


Forud for sætning 3.1 og bevis for Laplace-transformationen, indføres en definition for eksponen-tielt begrænsethed af en funktion.

Definition 3.3: Eksponentielt begrænset funktion ([4] s. 320)

En funktion, f(t), kaldes eksponentielt begrænset for t ≥ 0, hvis der eksisterer ikke-negativekonstanter M, c og T , så:

|f(t)| ≤Mect ∀ t ≥ T

Til beviset for sætning 3.1 er følgende observation baseret på korollar 8.6 og sætning 8.10 i [3](s. 136 og 141) nødvendig:

Betragt de integrable funktioner, f(x), g(x) og h(x). Lad f(x) ≤ g(x), og lad h(x) = g(x)−f(x) ≥0. Da gælder det om h(x), at:

h(x) ≥ 0⇒∫ b

a

h(x) dx ≥ 0

Derfor gælder følgende ulighed:∫ b

a

h(x) dx =

∫ b

a

(g(x)− f(x)

)dx ≥ 0⇒

∫ b

a

g(x) dx ≥∫ b

a

f(x) dx (3.1)

Sætning 3.1: Laplace-transformation

Lad funktionen, f(t), være kontinuert, stykkevist glat for t ≥ 0 og eksponentielt begræn-set, når t→ +∞. Da eksisterer Laplace-transformationen, F (s), af f(t):

F (s) =

∫ ∞0

(e−stf(t)

)dt

Mere præcist, hvis f(t) overholder betingelserne i definition 3.3, så vil Laplace-transformationen, F (s), eksistere for alle s > c.

BevisLad f(t) være kontinuert, stykkevist glat for t ≥ 0 og eksponentielt begrænset, når t → +∞.Lad {an}∞n=1 være den følge, hvor:

an =

∫ N

0

(e−stf(t)

)dt (3.2)

Det skal vises, at {an}∞n=1 er en Cauchy-følge. Lad ε > 0 være givet. For at {an}∞n=1 er enCauchy-følge, skal følgende være opfyldt:

∀ ε > 0 ∃N0 ∈ N : (N + p), N ≥ N0 ⇒ |aN+p − aN | < ε

Det ses, jævnfør sætning 8.12 og 8.11 i [3] (s. 141-142), at:

|aN+p − aN | =

∣∣∣∣∣∫ N+p

0

(e−stf(t)

)dt−

∫ N

0

(e−stf(t)

)dt

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∫ N+p

N

(e−stf(t)

)dt

∣∣∣∣∣Side 12 af 65


Da f(t) er kontinuert på intervallet [N + p,N ], er f(t) integrabel, jævnfør sætning 8.9 i [3] (s.139), og derfor gælder det, jævnfør sætning 8.10 i [3] (s. 141), at:

∣∣∣∣∣∫ N+p

N

(e−stf(t)

)dt

∣∣∣∣∣ ≤∫ N+p

N

|e−stf(t)| dt =

∫ N+p

N

(e−st|f(t)|

)dt

Da f(t) er eksponentielt begrænset, jævnfør definition 3.3, kan |f(t)| erstattes med Mect, ogjævnfør observationen gjort i forbindelse med ligning (3.1), fremkommer følgende ulighed:∫ N+p

N

(e−st|f(t)|

)dt ≤

∫ N+p

N

(e−st ·Mect

)dt = M

∫ N+p

N

e(c−s)t dt

Sidste del af udtrykket integreres:

M

[1

c− se(c−s)t

]N+p

N

= M

(e(c−s)(N+p)

c− s− e(c−s)N

c− s

)

Der ses på udtrykkete(c−s)N

c− s. Da s > c, er c − s < 0, og e(c−s)N → 0 for N → ∞. Det

samme gælder for udtrykkete(c−s)(N+p)

c− s. Det fås heraf, at:

limN→∞

(M

∫ N+p

N

(e(c−s)t

)dt

)= 0

Da følgende ulighed gælder;

0 ≤ |aN+p − aN | ≤M∫ N+p

N

(e−stect

)dt

ses det, at |aN+p − aN | → 0 for N → ∞, og følgen, {an}∞n=1, opfylder betingelserne for en

Cauchy-følge. Jævnfør ligning (3.2), konvergerer∫ ∞0

(e−stf(t)

)dt, og af definition 3.1 fås det,

at Laplace-transformationen af f(t) er:

F (s) =

∫ ∞0

(e−stf(t)

)dt

�

Side 13 af 65


I tabel 3.1 nedenfor ses eksempler på Laplace-transformationer af forskellige funktioner:

L{f(t)} F (s)

a) L{1} 1

s, hvor s > 0

b) L{t} 1

s2, hvor s > 0

c) L{t2} 2

s3, hvor s > 0

d) L{tN} N !

sN+1, hvor s,N > 0

e) L{eat} 1

s− a, hvor s > a

f) L{eattN} N !

(s− a)N+1, hvor s,N > 0

Tabel 3.1: Elementære Laplace-transformationer ([2] s. 271).

Eksempel 6. Udregning af a) i tabel 3.1Betragt en funktion med f(t) ≡ 1 for t ≥ 0. Det ses, at:∫ b

0

e−st1 dt =

[−1

se−st

]b0

= −1

se−sb +

1

se−s·0 = −1

se−sb +

1

s

Da −1

se−sb → 0 for b→∞, fås det, at:

L{1} =1

sfor s > 0

3.2 Den inverse Laplace-transformationFor at kunne løse en første eller anden ordens lineær differentialligning ved hjælp af Laplace-transformation er kendskab til den inverse Laplace-transformation nødvendigt. Afsnittet er ba-seret på [2] (s. 271) og [5] (s. 7-8). Ved at udnytte lineariteten af Laplace-transformationen erdet med den inverse Laplace-transformation muligt at bestemme f(t) ud fra F (s) ved hjælpaf elementære Laplace-transformationer, der ses i tabel 3.1. Dette resulterer i, at den inverseLaplace-transformation eksisterer og er defineret som følgende:

Side 14 af 65


Definition 3.4: Invers Laplace-transformation

Hvis Laplace-transformationen af f(t) er F (s), siges den inverse Laplace-transformation afF (s) at være f(t), og det skrives som:

L−1{F (s)} = f(t)

Eksempel 7. Bestemmelse af den inverse Laplace-transformation

Funktionen, F (s) =7

s− 3, er givet, og den inverse Laplace-transformation, f(t), findes:

f(t) = L−1{F (s)} = L−1{

7

s− 3

}= 7 · L−1

{1

s− 3

}

Udtrykket1

s− 3kan ud fra punkt e i tabel 3.1, skrives som L{e3t}. Derfor fås:

f(t) = 7 · L−1{L{ e3t}

}= 7 · e3t

Det kan i nogle tilfælde være mere kompliceret at finde den inverse Laplace-transformation afen funktion, hvis funktionen ikke er på en af de elementære former set i tabel 3.1. Hvis detteer tilfældet, kan funktionen omskrives til en sum af elementære former, og dette kan gøres vedstambrøksdekomposition ([6] s. 565). Nedenfor ses et eksempel på en funktion, som ikke er på enaf de elementære former set i tabel 3.1.

Eksempel 8. Invers Laplace-transformationDen inverse Laplace-transformation af følgende ligning skal bestemmes:

F (s) =2s− 3

(s+ 2)(s− 3)

Det ses, at F (s) ikke er på en af de elementære former set i tabel 3.1, så F (s) omskrives vedhjælp af stambrøksdekomposition;

2s− 3

(s+ 2)(s− 3)=

A

s− 3+

B

s+ 2(3.3)

hvor A og B er konstanter. Ved at multiplicere med (s+ 2)(s−3) på alle led i ligningen, fås:

2s− 3 = A(s+ 2) +B(s− 3)

Side 15 af 65


Ved substitution af s = 3 for at finde A, ses det, at A =3

5, og ved substitution af s = −2

for at finde B, ses det, at B =7

5. Herefter indsættes værdierne for A og B i ligning (3.3),

og følgende udtryk fås:

F (s) = L{f(t)} =

3

5s− 3

+

7

5s+ 2

Da L−1{

1

(s− a)

}= eat, jævnfør tabel 3.1, er:

f(t) =3

5e3t +

7

5e−2t

3.3 BegyndelsesværdiproblemerEt begyndelsesværdiproblem er en givet differentialligning med tilhørende betingelser, som f(t)og f ′(t) skal overholde for en specifik værdi af den uafhængige variabel. En løsning til et begyn-delsesværdiproblem er derfor en bestemt løsning til differentialligningen, som overholder betin-gelserne for f(t) og f ′(t). Uden betingelser for f(t) og f ′(t), er der uendeligt mange løsninger tildifferentialligningen, hvis en løsning eksisterer, og det er muligt at opskrive den generelle løsning,hvor der indgår vilkårlige konstanter. Ud fra begyndelsesværdierne for en funktion kan konstan-terne bestemmes, og en bestemt løsning er fundet. Dette afsnit er baseret på [2] (s. 277-278) medmindre andet er angivet.

For at løse et begyndelsesværdiproblem ved brug af Laplace-transformation kan følgende frem-gangsmåde benyttes:

1. Den givne ligning Laplace-transformeres.

2. Herefter isoleres F (s).

3. Løsningen, f(t), findes som den inverse Laplace-transformation af F (s).

Eksisterer en løsning til et sådant begyndelsesværdiproblem, er løsningen entydig, jævnfør føl-gende sætning:

Sætning 3.2: Eksistens og entydighed for lineære ligninger ([2] s. 114)

Lad funktionerne, p1(t), p2(t), . . . , pn(t) og g(t), være kontinuerte på det åbne interval, I,der indeholder punktet, a. Lad også n konstanter, b0, b1, . . . , bn−1, være givet.

Så har den n’te ordens lineære ligning;

f (n)(t) + p1(t)f (n−1)(t) + . . .+ pn−1(t)f ′(t) + pn(t)f(t) = g(t)

en entydig løsning på intervallet, I, som opfylder de n begyndelsesbetingelser:

f(a) = b0, f′(a) = b1, . . . , f

(n−1)(a) = bn−1

Side 16 af 65


Med henblik på at kunne løse begyndelsesværdiproblemer er nedenstående sætning betydnings-fuld.

Sætning 3.3: Laplace-transformation af højere ordens afledte

Antag, at funktionen, f(t), er kontinuert differentiabel, og at f(t) og dens afledte opfylderbetingelserne i definition 3.3 og sætning 3.1 på side 12. Så eksisterer L{f (n)(t)}, nårs > c, og:

L{f (n)(t)} = snL{f(t)} − sn−1f(0)− sn−2f ′(0)− . . .− f (n−1)(0)

= snF (s)− sn−1f(0)− . . .− sf (n−2)(0)− f (n−1)(0)

BevisDet bevises først, at den første afledte af Laplace-transformationen eksisterer, altså n = 1. Detskal vises, at L{f ′(t)} = s · F (s)− f(0). Jævnfør definition 3.1 og 3.2 på side 11 gælder det, at:

L{f ′(t)} = limN→∞

∫ N

0

(e−stf ′(t)

)dt (3.4)

Efter partiel integration ([6] s. 539) fås:

L{f ′(t)} = limN→∞

(−∫ N

0

((e−st)′f(t)

)dt+

[e−stf(t)

]N0

)

= limN→∞

(s ·∫ N

0

(e−stf(t)

)dt+ e−sNf(N)− f(0)

)

= s · limN→∞

(∫ N

0

e−stf(t) dt

)+ limN→∞

(e−sNf(N)

)− limN→∞

f(0)

Første led kan skrives som s · F (s), jævnfør definition 3.1 og 3.2 på side 11, og sidste led kanskrives som f(0). Da |f(t)| ≤Mect, gælder det for andet led, at:

0 ≤ |e−sNf(N)| ≤ e−sN ·MecN = Me(c−s)N

Det ses, at Me(c−s)N → 0 for N →∞, når s > c. Altså må |e−sNf(N)| → 0 for N →∞. Derforgælder det altså, at:

L{f ′(t)} = s · F (s)− f(0)

Det kan nu bevises, at den anden afledte af Laplace-transformationen eksisterer, altså n = 2, ogdet skal vises, at L{f ′′(t)} = s2 · F (s)− s · f(0)− f ′(0). Bemærk, at L{f ′′(t)} kan skrives som:

L{f ′′(t)} = L{(f ′(t))′}

Side 17 af 65


Da det før blev vist, at L{f ′(t)} = s · F (s)− f(0), vil det gælde, at:

L{f ′′(t)} = s · L{f ′(t)} − f ′(0)

= s · (s · F (s)− f(0))− f ′(0)

= s2F (s)− sf(0)− f ′(0)

Dermed er det vist, at L{f ′′(t)} = s2 · F (s)− s · f(0)− f ′(0). Det kan analogt vises for alle n.�

I det følgende eksempel vil Laplace-transformation blive benyttet til at løse et begyndelses-værdiproblem. Så kan F (s) bestemmes, hvor Laplace-transformationen, grundet dens linearitet,anvendes på leddene hver for sig.

Eksempel 9. Løsning af et begyndelsesværdiproblemDer tages udgangspunkt i ligningen, f ′(t) − 5f(t) = 17 − 10t med begyndelsesværdierne,f(0) = −2, f ′(0) = 0. Laplace-transformationen anvendes på begge sider af lighedstegnet:

L{f ′(t)− 5f(t)} = L{17− 10t}

Heraf ses det, at:L{f ′(t)} − 5L{f(t)} = L{17} − 10L{t} (3.5)

Leddene i ovenstående ligning bestemmes enkeltvis. Først bestemmes L{f ′(t)}:

L{f ′(t)} = sF (s)− f(0) = sF (s) + 2

Dernæst bestemmes −5L{f(t)}:

−5L{f(t)} = −5F (s)

Til sidst bestemmes L{17} og −10L{t}, hvor det, jævnfør tabel 3.1 på side 14 punkt a) ogb), gælder, at:

L{17} =17

sog −10L{t} = −10

s2

De fundne udtryk indsættes i ligning (3.5), og F (s) isoleres:

sF (s) + 2− 5F (s) =17

s− 10

s2

⇓

(s− 5)F (s) =−2s2 + 17s− 10

s2

⇓

F (s) =−2s2 + 17s− 10

s2(s− 5)

Side 18 af 65


Den inverse Laplace-transformation til F (s) bestemmes for at finde løsningen, f(t), til be-gyndelsesværdiproblemet. Inden da anvendes stambrøksdekomposition af F (s) for at få ele-mentære funktioner beskrevet i tabel 3.1:

F (s) =−2s2 + 17s− 10

s2(s− 5)=

A

(s− 5)+B

s+C

s2(3.6)

Dernæst bestemmes konstanterne, A,B og C. Der multipliceres med s2(s−5) på begge sideraf lighedstegnet:

−2s2 + 17s− 10 =A · s2(s− 5)

(s− 5)+B · s2(s− 5)

s+C · s2(s− 5)

s2

= As2 +Bs(s− 5) + C(s− 5)

= (A+B)s2 + (C − 5B)s+ (−5)C

Konstanterne, A,B og C, isoleres ved at løse ligningssystemet bestående af de tre ligningermed tre ubekendte:

−5C = −10 ⇔ C = 2

C − 5B = 17 ⇔ 2− 5B = 17⇔ B = −3

A+B = −2 ⇔ A− 3 = −2⇔ A = 1

Disse værdier indsættes i ligning (3.6):

F (s) =1

s− 5− 3

s+

2

s2

Herefter anvendes den inverse Laplace-transformation på F (s):

f(t) = L−1{

1

s− 5

}− 3 · L−1

{1

s

}+ 2 · L−1

{1

s2

}= e5t − 3 + 2t

Den inverse Laplace-transformation til Y (s) er altså:

f(t) = e5t − 3 + 2t

Side 19 af 65


Kapitel 4

Systemer af lineære koblededifferentialligninger

Udviklingen i Lotka-Volterra modellen beskrives ved et system af første ordens koblede differen-tialligninger. Dette kapitel er derfor tilføjet for at beskrive definitioner og begreber i forbindelsemed sådanne systemer og løsning af disse.

4.1 Systemer af første ordens koblede differentialligningerSystemer af koblede differentialligninger består af ligninger, der har fælles uafhængig variabel.Afsnittet er baseret på [2] (s. 326-329) med mindre andet er angivet. Generelt kan et systembestående af to første ordens differentialligninger skrives som:

f(t, x(t), y(t), x′(t), y′(t)

)= 0,

g(t, x(t), y(t), x′(t), y′(t)

)= 0

Dette system er et første ordens system, hvor den uafhængige variabel er tiden, t, og to afhæn-gige variable, x og y. Når et sådant system løses, findes to funktioner, x(t) og y(t), der løserbegge ligninger over samme interval. Et system siges at være lineært, hvis det kun består aflineære differentialligninger, der er beskrevet i afsnit 2.1.2 på side 6, eller homogent, hvis det kunbestår af homogene ligninger, som er beskrevet i afsnit 2.2.1 på side 7. Systemer kaldes auto-nome, hvis de alene består af autonome differentialligninger, hvilket betyder, at den uafhængige

variabel ikke fremgår direkte, hvilket vil sige, at∂f

∂t≡ 0 og

∂g

∂t≡ 0. En autonom første ordens

differentialligning kan generelt skrives som:

dy

dt= f

(y(t)

)Den uafhængige variabel, t, indgår i den afledte funktion og via y(t) i overstående ligning.Hvis den uafhængige variabel er tid, kaldes det autonome system tidsinvariant. Løsningernetil f(y) = 0 er såkaldte ligevægtspunkter for den autonome differentialligning.

Side 20 af 65


Et system kan være af højere orden end første orden, men kan transformeres til et ækvivalentsystem bestående af første ordens differentialligninger, hvilket gør det lettere at løse systemet.Sætning 4.1 beskriver transformationen af en n’te ordens differentialligning, der i sig selv ikkeudgør et system, men repræsenterer et n’te ordens system:

Sætning 4.1: Transformation af n’te ordens differentialligning ([7] s. 256-257)

Lad n ∈ N+, og lad a0(t), . . . , an−1(t) og g(t) være differentiable funktioner. Funktionen,x(t), er en løsning til den n’te ordens lineære differentialligning;

x(n)(t) + an−1(t)x(n−1)(t) + . . .+ a1(t)x′(t) + a0(t)x(t) = g(t)

hvis og kun hvis funktionerne, x0(t) := x(t), x1(t) := x′(t), . . . , xn−1(t) := x(n−1)(t), eren løsning til systemet bestående af n lineære differentialligninger:

x′0(t) = x1(t)

x′1(t) = x2(t)

...x′n−2(t) = xn−1(t)

x′n−1(t) = −an−1(t)xn−1(t)− . . .− a0(t)x0(t) + g(t)

BevisAntag, at funktionen, x(t), er en løsning til den n’te ordens lineære differentialligning:

x(n)(t) + an−1(t)x(n−1)(t) + . . .+ a1(t)x′(t) + a0(t)x(t) = g(t) (4.1)

Bemærk, at denne løsning er n gange differentiabel, idet den løser en n’te ordens differentiallig-ning.

Nu indføres funktionerne x0(t) := x(t), x1(t) := x′(t), . . . , xn−1(t) := x(n−1)(t). Derfor kan dif-ferentialligningen skrives som et system bestående af n lineære første ordens differentialligninger:

x′0(t) = x′(t) = x1(t)

x′1(t) = x′′(t) = x2(t)

...

x′n−2(t) = x(n−1)(t) = xn−1(t)

x′n−1(t) = x(n)(t) = −an−1(t)x(n−1)(t)− . . .− a1(t)x′(t)− a0(t)x(t) + g(t)

= −an−1(t)xn−1(t)− . . .− a1(t)x1(t)− a0(t)x0(t) + g(t)

Hvis det omvendt gælder, at x0(t), . . . , xn−1(t) løser det ovenstående system, udgør disse en vek-torfunktion med n indgange, der hver især er mindst én gang differentiabel. Så gælder det, at:

Side 21 af 65


x1(t) = x′0(t)

x2(t) = x′1(t) = x′′0(t)

...

xn−1(t) = x′n−2(t) = x(n−1)0 (t)

x′n−1(t) = x(n)0 (t)

Det ses altså successivt, at x0 er n gange differentiabel og løser derfor ligning (4.1), og systemetkan derfor skrives som den givne n’te ordens differentialligning:

g(t) = x′n−1(t) + an−1(t)xn−1(t) + . . .+ a1(t)x1(t) + a0(t)x0(t)

= x(n)0 (t) + an−1(t)x

(n−1)0 (t) + . . .+ a1(t)x′0(t) + a0(t)x0(t)

�

Det ses af sætning 4.2, at løsningen er entydig, og i mange tilfælde vil det altså være tilstrækkeligtat kunne løse et første ordens lineært system.

Sætning 4.2: Eksistens og entydighed for lineære systemer ([2] s. 334)

Lad funktionerne, p11(t), p12(t), . . . , pnn(t), og funktionerne, f1(t), f2(t), . . . , fn(t), værekontinuerte på det åbne interval, I, som indeholder punktet, a. Lad også n konstanter,b1, b2, . . . , bn, være givet. Så har systemet;

x′1(t) = p11(t)x1(t) + p12(t)x2(t) + . . .+ p1nxn(t) + f1(t)

x′2(t) = p21(t)x1(t) + p22(t)x2(t) + . . .+ p2nxn(t) + f2(t)

...x′n(t) = pn1(t)x1(t) + pn2(t)x2(t) + . . .+ pnnxn(t) + fn(t)

(4.2)

en entydig løsning på intervallet, I, som opfylder de n begyndelsesbetingelser:

x1(a) = b1, x2(a) = b2, . . . , xn(a) = bn

4.2 Løsning af lineære systemer af første ordens koblededifferentialligninger

I dette afsnit beskrives en metode, hvormed det er muligt at løse et autonomt system af kob-lede homogene lineære første ordens differentialligninger. Dette er tilføjet, da det er relevant iforbindelse med analyse af løsninger til ikke-lineære systemer. Dog vil denne sammenhæng blivebeskrevet nærmere i kapitlet om stabilitet og ligevægt, i dette afsnit præsenteres løsningsmetoderblot.

Side 22 af 65


Der vil blive vist en metode til at finde den generelle løsning til et homogent lineært førsteordens system med konstante koefficienter på formen:

x′1(t) = a11x1(t) + a12x2(t) + . . .+ a1nxn(t)

x′2(t) = a21x1(t) + a22x2(t) + . . .+ a2nxn(t)

...x′n(t) = an1x1(t) + an2x2(t) + . . .+ annxn(t)

(4.3)

Dette kan skrives som ~x′(t) = A~x(t), hvor A = [aij ] for i, j = 1, 2, . . . , n.

4.2.1 Løsning af homogene lineære systemer af koblede første ordensdifferentialligninger

Dette underafsnit indeholder vigtige resultater i forbindelse med, hvordan et homogent systemaf lineære første ordens differentialligninger løses. Den vigtigste sætning, sætning 4.5 på side 26,fortæller, at for at finde den generelle løsning til et homogent system af n første ordens diffe-rentialligninger er det nok at finde n lineært uafhængige løsninger. Løsningerne kaldes lineærtuafhængige, hvis ingen af løsningerne kan skrives som en linearkombination af de øvrige løsnin-ger. Denne sætning bevises sidst i dette underafsnit, da det er nødvendigt først at beskrive noglesætninger, der skal anvendes i beviset. Afsnittet er baseret på [2] (s. 357-359) med mindre andeter angivet.

Sætning 4.3: Vektorrum af løsninger

Lad et homogent system af n lineære første ordens differentialligninger på et åbentinterval, I, være givet ved ~x ′(t) = P (t)~x(t), og lad ~x1(t), ~x2(t), . . . , ~xn(t) være n løsningertil systemet på I. Da gælder, at hvis c1, c2, . . . , cn er konstanter, er linearkombinationen;

~x(t) = c1~x1(t) + c2~x2(t) + . . .+ cn~xn(t)

også en løsning til systemet på I.

BevisLad et homogent lineært system af n første ordens differentialligninger på det åbne interval, I,være givet ved ~x′(t) = P (t)~x(t), hvor P (t) er en n×n matrix, og hver indgang heri er en funktionaf t.

Lad nu ~x1(t), ~x2(t), . . . , ~xn(t) være n løsninger til systemet på I, og sæt derudover:

~x(t) = c1~x1(t) + c2~x2(t) + . . .+ cn~xn(t)

Så gælder det, at:

~xi′(t) = P (t)~xi(t) ∀ i = 1, 2, . . . , n

Side 23 af 65


Dermed fås;

~x ′(t) = c1~x1′(t) + c2~x2

′(t) + . . .+ cn~xn′(t)

= c1P (t)~x1(t) + c2P (t)~x2(t) + . . .+ cnP (t)~xn(t)

= P (t)(c1~x1(t) + c2~x2(t) + . . .+ cn~xn(t))

= P (t)~x(t)

hvilket derfor viser, at ~x(t) er en løsning til systemet.�

Sætning 4.4: Wronski-determinanter for løsninger

Lad ~x′(t) = P (t)~x(t) være et homogent system af n lineære første ordens differentiallig-ninger, hvor P (t) er en n× n matrix, hvor alle indgange antages at være kontinuerte pået åbent interval, I. Antag at ~x1(t), ~x2(t), . . . , ~xn(t) er n løsninger til ~x′(t) = P (t)~x(t).

Lad X(t) =[~x1(t) ~x2(t) . . . ~xn(t)

]være matricen med de n løsninger som søjler,

og benævn determinanten af denne matrix W . Så gælder det, at:

1. Hvis ~x1(t), ~x2(t), . . . , ~xn(t) er lineært afhængige på I, så er W (t) = 0 ved ethvertpunkt på I.

2. Hvis ~x1(t), ~x2(t), . . . , ~xn(t) er lineært uafhængige på I, så er W (t) 6= 0 ved ethvertpunkt på I.

Denne determinant benævnes ofte Wronski-determinanten.

Bemærk, at {~x1(t), ~x2(t), . . . , ~xn(t)} er lineært afhængigt på et interval, I ⊆ R, hvis der eksistererkonstanter, c1, c2, . . . , cn ∈ R, hvor mindst én er forskellig fra nul, således:

c1~x1(t) + c2~x2(t) + . . .+ cn~xn(t) = ~0 ∀ t ∈ I

Vær dog opmærksom på, at ligningen skal gælde med de samme konstanter for alle t ∈ I.

For at kunne bevise sætning 4.4 skal følgende lemma bruges.

Lemma 1: Lineær uafhængighed for løsninger til systemer ([8] s. 47)

Lad ~x′(t) = A~x(t) have løsninger, ~x1(t), ~x2(t), . . . , ~xk(t), og betegn løsningsrummet V . Daer følgende udsagn ækvivalente:

1. ~x1, ~x2, . . . , ~xk er lineært uafhængige i V

2. ∀ t : ~x1(t), ~x2(t), . . . , ~xk(t) er lineært uafhængige i Rn

3. ∃ t0 : ~x1(t0), ~x2(t0), . . . , ~xk(t0) er lineært uafhængige i Rn

Side 24 af 65


Bevis1)⇒ 2):Det bevises kontrapositivt, at 1)⇒ 2), derfor tages der udgangspunkt i ¬2).

Antag, der eksisterer et t0, så ~x1(t0), ~x2(t0), . . . , ~xk(t0) er lineært afhængige i Rn. Altså;

λ1~x1(t0) + λ2~x2(t0) + . . .+ λk~xk(t0) = ~0

for passende (λ1, λ2, . . . , λk) 6= (0, 0, . . . , 0). Betragt begyndelsesværdiproblemet:

~x ′(t) = A~x(t)

~x(t0) = ~0(4.4)

Problemet løses af:

~x(t) =

k∑i=1

λi~xi(t) og af ~y(t) ≡ ~0 da ~x(t0) =

k∑i=1

λi~xi(t0) = ~0 (4.5)

Da ligning (4.4) løses af ligning (4.5), giver sætning 4.2, at;

~x(t) ≡ ~y(t) ≡ ~0

fordi de begge løser samme begyndelsesværdiproblem.

Dermed er ~x1, ~x2, . . . , ~xk lineært afhængige i V for et sæt af skalarer (λ1, λ2, . . . , λk) 6= (0, 0, . . . , 0),altså er det vist, at ¬2)⇒ ¬1). Dermed er det bevist kontrapositivt, at 1)⇒ 2).

2)⇒ 3):Det er trivielt.

3)⇒ 1):Antag, at λ1, λ2, . . . , λn i R opfylder, at:

λ1~x1 + λ2~x2 + . . .+ λk~xk = ~0 i V (4.6)

Særligt kan der indsættes t = t0, og der fås:

λ1~x1(t0) + λ2~x2(t0) + . . .+ λk~xk(t0) = ~0 i Rn (4.7)

Da t0 i 3) har den egenskab, at ~x1(t0), ~x2(t0), . . . , ~xk(t0) er lineært uafhængige i Rn, så giverligning (4.7), at:

λ1 = 0, λ2 = 0, . . . , λk = 0

Da fås via ligning (4.6), at ~x1, ~x2 . . . , ~xk er et lineært uafhængigt sæt i V .�

Side 25 af 65


Bevis for sætning 4.4Punkt 2):Hvis ~x1, ~x2, . . . , ~xn er lineært uafhængige på I, så giver implikationen 1) ⇒ 2) i lemma 1, at~x1(t), ~x2(t) . . . , ~xn(t) er lineært uafhængige i Rn for ethvert t ∈ I. Dermed er;

W (t) = det[~x1(t) ~x2(t) . . . ~xn(t)

]6= 0 ∀ t ∈ I

da det fra sætning 8.2.4 i [9] (s. 115-116) vides, at når vektorerne er lineært uafhængige, erdeterminanten forskellig fra nul.

Punkt 1):Hvis ~x1(t1), ~x2(t1) . . . , ~xn(t1) er lineært afhængige i Rn, så er 2) i lemma 1 ikke opfyldt. Da viserimplikationen 2)⇒ 3) i lemmaet, at 3) ikke er opfyldt. Det vil sige, at ~x1(t0), ~x2(t0), . . . , ~xn(t0)er lineært afhængige for alle t0 ∈ R. Ud fra sætning 8.2.4 i [9] (s. 115-116) vides det, at nårvektorerne er lineært afhængige, så er determinanten lig nul.

�

Sætning 4.4 på side 24 medfører, at det kun er nødvendigt at bestemme determinanten foren enkelt værdi af t, for at se om løsningerne er lineært uafhængige eller afhængige, da det sam-me vil gælde for samtlige t ∈ I.

Sætning 4.5: Generelle løsninger til homogene systemer

Lad ~x1(t), ~x2(t), . . . , ~xn(t) være n lineært uafhængige løsninger til den homogene lineæreligning ~x′(t) = P (t)~x(t) på det åbne interval, I, hvor P er en n × n matrix, hvoralle indgange er kontinuerte. Hvis ~x(t) er en løsning til ~x′(t) = P (t)~x(t) på I, så ek-sisterer konstanter, c1, c2, . . . , cn, således at den generelle løsning til systemet er givet ved:

~x(t) = c1~x1(t) + c2~x2(t) + . . .+ cn~xn(t) ∀ t ∈ I

BevisLad et system af n differentialligninger på I være givet ved ~x′(t) = P (t)~x(t). Lad a ∈ I, lad~x1(t), ~x2(t), . . . , ~xn(t) være n lineært uafhængige løsninger til ~x′(t) = P (t)~x(t) og lad ~x(t) væreen given løsning til systemet. Så er;

~y(t) = c1~x1(t) + c2~x2(t) + . . .+ cn~xn(t)

også en løsning til ~x′(t) = P (t)~x(t), jævnfør sætning 4.3 på side 23.

Det vises nu, at der eksisterer konstanter, c1, c2, . . . , cn, således at:

~y(a) = c1~x1(a) + c2~x2(a) + . . .+ c1~xn(a) = ~x(a) (4.8)

Det vil sige, at der findes en løsning, ~y(t), som opfylder den samme begyndelsesværdibetingelse,som ~x(t) for et fastholdt punkt, a, på I.

Lad X(t) være den n × n matrix med søjlevektorerne, ~x1(t), ~x2(t), . . . , ~xn(t), og lad ~c væresøjlevektoren med indgange, c1, c2, . . . , cn. Så kan ligning (4.8) skrives som:

Side 26 af 65


X(a)~c = ~x(a)

Det vides, at ~x1(t), ~x2(t), . . . , ~xn(t) er lineært uafhængige per antagelse. Det betyder, at Wronski-determinanten er 6= 0, jævnfør sætning 4.4, og dette betyder, at matricen, X(a), er inverterbar([10] s. 200). Det betyder derfor, at:

X(a)−1 ·X(a) · ~c = X(a)−1 · ~x(a)⇔ ~c = X(a)−1 · ~x(a)

Altså eksisterer der konstanter, c1, c2, . . . , cn, som opfylder ligning (4.8). Det vil sige, at løs-ningerne, ~x(t) og ~y(t), med de konstanter, c1, c2, . . . , cn, der netop er fundet, opfylder den sammebegyndelsesværdibetingelse. Altså gælder det ifølge sætning 4.2 på side 22, at:

~y(t) = ~x(t) ∀ t ∈ I

Dermed er det bevist, at enhver løsning kan skrives som:

~x(t) = c1~x1(t) + c2~x2(t) + · · ·+ cn~xn(t)�

4.2.2 Egenværdimetoden til løsning af homogene systemerMetoden for at løse et system som ligning (4.3) på side 23 kaldes egenværdimetoden. Før metodenbeskrives, er det nødvendigt at definere nogle begreber. Afsnittet er baseret på [2] (s. 366-376)med mindre andet er angivet.

Definition 4.1: Egenværdier og egenvektorer for n× n matrix ([10] s. 294)

Lad A være en n× n matrix. En ikke-nulvektor, ~v, kaldes en egenvektor for A, hvis A~v eret multiplum af ~v. Det vil sige A~v = λ~v for en skalar, λ. Denne skalar kaldes egenværdienfor A tilhørende ~v.

Som bekendt er egenværdierne for A de værdier, λ, som opfylder:

det(A− λI) = 0

Dette leder frem til følgende definition:

Definition 4.2: Karakteristisk polynomium og ligning ([10] s. 302)

Ligningen;det(A− λI) = 0

kaldes den karakteristiske ligning for A og;

det(A− λI)

kaldes det karakteristiske polynomium.

Side 27 af 65


Når determinanten skrives ud, fås den karakteristiske ligning på formen:

(−1)nλn + bn−1λn−1 + . . .+ b1λ+ b0 = 0

Løsningerne til ligningen er egenværdierne for A. Det betyder, at n×n matricen, A, har præcis negenværdier, hvis egenværdierne tælles med multiplicitet ([11] s. 1). Egenværdierne kan desudenbåde være komplekse og reelle.

Sætning 4.6: Egenværdiløsninger til ~x′(t) = A~x(t) ([2] s. 368)

Lad λ være en egenværdi til en koefficientmatrix, A, i følgende første ordens lineæresystem:

~x′(t) = A~x(t)

Hvis ~v er en egenvektor tilhørende λ, så gælder, at;

~x(t) = ~v · eλt

er en ikke-triviel løsning til systemet.

For at løse det homogene, konstant-koefficient, n× n system, ~x′(t) = A~x(t), gøres følgende:

1. Først løses den karakteristiske ligning for egenværdierne, λ1, λ2, · · · , λn for matricen, A,som kan være reelle, komplekse, forskellige eller med multiplicitet > 1.

2. Hvis muligt findes n lineært uafhængige egenvektorer, ~v1, ~v2, . . . , ~vn, tilhørende disse egen-værdier.

Punkt 2 er ikke altid muligt, men når det er, fås n lineært uafhængige løsninger, jævnfør sæt-ning 4.4 på side 24:

~x1(t) = ~v1eλ1t, ~x2(t) = ~v2e

λ2t, . . . , ~xn(t) = ~vneλnt

Hvis dette er tilfældet er den generelle løsning af ~x′(t) = A~x(t) en linearkombination af dis-se n løsninger. Det vil sige:

~x(t) = c1~x1(t) + c2~x2(t) + . . .+ cn~xn(t)

Det vil nu blive beskrevet, hvordan egenværdimetoden anvendes for følgende tilfælde af egen-værdier for et 2× 2 system: Reelle egenværdier med multiplicitet 1, komplekse egenværdier medmultiplicitet 1 og reelle egenværdier med multiplicitet 2.

Egenværdimetoden for reelle egenværdier med multiplicitet 1

Hvis hver egenværdi i systemet er reel, og alle har multiplicitet 1, er det muligt at finde entilhørende egenvektor for hver enkelt egenværdi. Hvis dette er tilfældet, gælder det, at løsnings-vektorerne, ~x1(t), ~x2(t), . . ., ~xn(t), er lineært uafhængige. Givet et konkret eksempel kan dennepåstand altid bekræftes ved brug af Wronski-determinanten beskrevet i sætning 4.4. Følgendeeksempel er tilføjet for at give en forståelse for, hvorledes egenværdimetoden anvendes, når egen-værdierne er reelle med multiplicitet 1.

Side 28 af 65


Eksempel 10. Egenværdimetoden for reelle egenværdier, multiplicitet 1Betragt følgende system af første ordens koblede differentialligninger med konstante koeffi-cienter:

x′1(t) = −8x1(t)− 6x2(t),

x′2(t) = 6x1(t) + 12x2(t)

Dette kan omskrives til en koefficient-matrix på formen:

~x′(t) =

[−8 −66 12

]~x(t)

Ud fra koefficient-matricen udregnes egenværdierne til at være λ1 = −6 og λ2 = 10, som erreelle og begge har multiplicitet 1. For λ1 = −6 beregnes den tilhørende egenvektor til at

være ~v1 =

[3−1

], og jævnfør sætning 4.6 på foregående side bestemmes løsningsvektoren:

~x1 =

[3−1

]· e−6t

For λ2 = 10 beregnes den tilhørende egenvektor til at være ~v2 =

[1−3

], og jævnfør sætning

4.6 bestemmes løsningsvektoren:

~x2 =

[1−3

]· e10t

De to egenværdier og tilhørende egenvektorer giver altså de to løsninger:

~x1 =

[3−1

]· e−6t og ~x2 =

[1−3

]· e10t

Da de to egenværdier er forskellige, betyder det, at de tilhørende egenvektorer er lineærtuafhængige. Derfor er W (0) 6= 0, og jævnfør sætning 4.4 på side 24 er ~x1(t) og ~x2(t) lineærtuafhængige som funktioner. Det vil sige, at den generelle løsning af systemet er:

~x(t) = c1~x1(t) + c2~x2(t) = c1

[3−1

]· e−6t + c2

[1−3

]· e10t

Dette kan også skrives på skalarform:

x1(t) = c13e−6t + c2e10t

x2(t) = −c1e−6t − 3c2e10t

Egenværdimetoden for komplekse egenværdier med multiplicitet 1

Egenværdimetoden kan også anvendes på komplekse egenværdier. Problemet bliver dog at egen-vektorerne får komplekse koordinater, hvilket resulterer i komplekse løsninger, men der ønskesreelle løsninger. Da det antages, at A udelukkende har reelle indgange, betyder det dermed, at

Side 29 af 65


koefficienterne i den karakteristiske ligning vil være reelle. Derfor skal enhver kompleks egenværdioptræde, som kompleks-konjugerede par. Det antages at;

λ = p+ qi og λ = p− qi

er et par af kompleks-konjugerede egenværdier. Hvis ~v er egenvektor tilhørende egenværdienλ, således at;

(A− λI)~v = ~0

så fås følgende, når denne løsning kompleks-konjugeres;

(A− λI)v = ~0

eftersom A = A og I = I, da matricernes indgange er reelle. Desuden er ~v kompleks-konjugeret,v, en egenvektor tilhørende λ. Den kompleks-konjugerede af en vektor er defineret komponentvis.Altså er v = ~a−~bi. Løsningen med komplekse værdier tilhørende λ og ~v er da givet ved:

~x(t) = ~veλt = ~ve(p+qi)t = (~a+~bi)ept(

cos(qt) + i sin(qt))

Det vil sige:

~x(t) = ept(~a cos(qt)−~b sin(qt)

)+ iept

(~b cos(qt) + ~a sin(qt)

)Hvis ~x(t) kompleks-konjugeres, fås veλt, og det ses, at den kompleks-konjugerede egenværdiog egenvektor er indeholdt i x(t), men da λ også er en egenværdi for matricen, A, med tilhørendeegenvektor, v, er x(t) også en løsning til det homogene differentialligningssystem. Da systemetnetop er homogent, vil;

~x1(t) =1

2~x(t) +

1

2x(t)

også være en løsning, jævnfør sætning 4.5 på side 26. Dette er den reelle del af løsningen, ~x(t),da;

~x1(t) =~x(t) + x(t)

2=a+ bi+ a− bi

2= a

hvor det for simpelhedens skyld er indført, at:

a = ept(~a cos(qt)−~b sin(qt)

)og b = ept


)Jævnfør sætning 4.5 er;

~x2 =1

2i~x(t)− 1

2ix(t)

også en løsning, og dette er den imaginære del af løsningen, ~x(t):

~x2 =~x(t)− x(t)

2i=a+ bi− (a− bi)

2i= b

Da både den reelle og den imaginære del af løsningen med komplekse værdier også i sig selv er løs-ninger, fås to løsninger med reelle værdier tilhørende de kompleks-konjugerede egenværdier, p±qi:

Side 30 af 65


~x1(t) =Re[~x(t)] = ept(~a cos(qt)−~b sin(qt)

)~x2(t) =Im[~x(t)] = ept


)Det kan vises, at de samme to løsninger med reelle værdier fås ved at tage henholdsvis denreelle og imaginære del af veλt. Det betyder, at det kun er nødvendigt at se på én af de toegenværdier, da samme resultat opnås, ligegyldigt om det bestemmes ud fra λ eller λ. Derfor eregenværdimetoden lidt anderledes for komplekse egenværdier:

1. Først findes en løsning, ~x(t) = ~veλt, tilhørende den komplekse egenværdi, λ, hvor ~x(t) harkomplekse løsninger.

2. Derefter findes den reelle del, ~x1(t), og den imaginære del, ~x2(t), for at få to lineært uaf-hængige løsninger med reelle værdier tilhørende de to kompleks-konjugerede egenværdier,λ og λ.

Eksempel 11. Egenværdimetoden for komplekse egenværdier, multiplicitet 1Betragt følgende system af koblede differentialligninger med konstante koefficienter:

x′1(t) = 3x1(t)− 4x2(t)

x′2(t) = 4x1(t) + 3x2(t)

Ud fra dette konstrueres koefficientmatricen:

A =

[3 −44 3

]Herudfra er det muligt at finde egenværdierne ved hjælp af den karakteristiske ligning:

det(A− λI) = 0⇔[3− λ −4

4 3− λ

]= 0⇔ λ2 − 6λ+ 25 = 0

Løses denne andengradsligning fås de kompleks-konjugerede egenværdier:

λ = 3− 4i og λ = 3 + 4i

Når λ = 3− 4i indsættes i (A− λI)~v = ~0 fås:[3− (3− 4i) −4

4 3− (3− 4i)

] [ab

]=

[00

]⇔

[4i −44 4i

] [ab

]=

[00

]

Ligningssystemet kan løses, hvis a = 1 og b = i. Det vil sige, at;

~v =

[1i

]er en kompleks egenvektor tilhørende den komplekse egenværdi, λ = 3 − 4i. Den tilhø-rende løsning, ~x(t) = ~veλt af ~x′(t) = A~x(t), med komplekse værdier er:

Side 31 af 65


~x(t) =

[1i

]e(3−4i)t =

[1i

]e3t(

cos(4t)− i · sin(4t))

= e3t[cos(4t)− i sin(4t)i cos(4t) + sin(4t)

]

Derudfra findes den reelle og den imaginære del:

~x1(t) =Re[~x(t)] = e3t[cos(4t)sin(4t)

]og ~x2(t) =Im[~x(t)] = e3t

[− sin(4t)cos(4t)

]

Det vil sige, at den generelle løsning til ~x′(t) = A~x(t) med reelle værdier er:

~x(t) = c1~x1(t) + c2~x2(t) = e3t[c1 · cos(4t)− c2 · sin(4t)c1 · sin(4t) + c2 · cos(4t)

]

Skrevet på skalarform bliver det:

x1(t) = e3t(c1 · cos(4t)− c2 · sin(4t)

)x2(t) = e3t

(c1 · sin(4t) + c2 · cos(4t)

)

Egenværdimetoden for egenværdier med multiplicitet 2

Dette underafsnit, baseret på [2] (s. 393-401), omhandler de to muligheder, der fås, hvis et ho-mogent system af to førsteordens differentialligninger på formen ~x′(t) = A~x(t) har en egenværdimed multiplicitet 2. Én mulighed er, at det er muligt at finde to lineært uafhængige egenvektorertil denne egenværdi. Hvis dette er tilfældet, anvendes sætning 4.6 på side 28 til at finde den ge-nerelle løsning for systemet. Hvis der til gengæld ikke findes to lineært uafhængige egenvektorer,da giver sætning 4.6 kun en enkelt uafhængig løsning, ~x1(t) = ~v1e

λt. Derfor er det nødvendigt atfinde endnu en løsning, der er lineært uafhængig af den foregående, før det er muligt at beskriveden generelle løsning til systemet. Dette kan lade sig gøre, hvis det er muligt at finde vektorer,~v1, ~v2 6= ~0, således følgende betingelser er opfyldt:

(A− λI)~v1 = ~0 (4.9)

(A− λI)~v2 = ~v1 (4.10)

Betingelsen i ligning (4.9) viser, at ~v1 skal være en egenvektor med tilhørende egenværdi, λ.Derfor er ~v1eλt en løsning til systemet som før, hvis systemet, ~x′(t) = A~x(t), har egenværdien λmed tilhørende egenvektor ~v1.

Hvis der derudover eksisterer en vektor ~v2 6= ~0, der opfylder (4.9) og (4.10), da er ~x2(t) =(~v1t+ ~v2)eλt også en løsning til systemet, og ~x1(t) og ~x2(t) er lineært uafhængige løsninger. Førden generelle løsning til systemet skrives, testes det, hvorvidt den fundne ~x2(t) overhovedet eren løsning, det vil sige om udsagnet ~x ′2(t) = A~x2(t) er sandt:

~x2(t) = (~v1t+ ~v2)eλt

Side 32 af 65


På grund af kædereglen fås:

~x ′2(t) = ~v1eλt + λ(~v2 + t ~v1)eλt

= (~v1 + λ~v2)eλt + tλ~v1eλt

Ud fra ligningerne (4.9) og (4.10) fås:

~x ′2(t) = A~v2eλt + t ·A~v1eλt

= A(~v2 + t · ~v1)eλt

= A~x2(t)

Dermed er den generelle løsning til systemet, jævnfør sætning 4.5 på side 26, givet ved;

~x(t) = c1~x1(t) + c2~x2(t) = c1~v1eλt + c2(~v1t+ ~v2)eλt

for vilkårlige konstanter, c1 og c2. For at finde vektoren, ~v2 6= ~0, ses det ud fra ligning (4.9)og (4.10), at vektoren opfylder:

~0 = (A− λI)~v1 = (A− λI)((A− λI)~v2

)= (A− λI)2~v2

Dermed ses det, at det er tilstrækkeligt at finde en vektor, ~v2 6= ~0, der opfylder (A− λI)2~v2 = ~0,således:

~v1 = (A− λI)~v2 = ~0

Ifølge en fundamentalsætning i lineær algebra er det altid muligt for en egenværdi med multipli-citet 2 at finde enten en egenvektor og en vektor, som opfylder ligning (4.9) og (4.10), eller tolineært uafhængige egenvektorer tilhørende samme egenværdi ([2] s. 401).

Side 33 af 65


Kapitel 5

Stabilitet & ligevægt

Lotka-Volterra modellen er et system af koblede differentialligninger på formen;

dx

dt= f

(x(t), y(t)

),

dy

dt= g(x(t), y(t)

) (5.1)

hvor den uafhængige variabel, t, ikke fremstår direkte. Normalt ses x og y som positionsvariablei xy-planen og t som tidsvariabel. I det kommende afsnit ses der nærmere på et tidsinvariantsystem, altså et autonomt system med tid som den uafhængige variabel, da analysen af systemetog visualiseringen af dets løsninger er lettere end for et system, hvor t indgår direkte.

5.1 LigevægtHvis løsningen gennem punktet, (x∗, y∗), givet ved x(t) ≡ x∗ og y(t) ≡ y∗, eksisterer, betyderdet samtidigt, at der ikke eksisterer andre løsninger gennem dette punkt, jævnfør sætning 3.2 påside 16. Derudover gælder det, at hvis punktet, (x∗, y∗), opfylder kravene i definition 5.1, kaldespunktet også et ligevægtspunkt.

Definition 5.1: Ligevægtspunkt ([2] s. 488)

Et punkt, (x∗, y∗), i et autonomt system af koblede differentialligninger på formen i ligning(5.1) siges at være et ligevægtspunkt, hvis punktet, (x∗, y∗), opfylder:

f(x∗, y∗) = g(x∗, y∗) = 0

Et ligevægtspunkt kaldes også et kritisk punkt.

Side 34 af 65


Eksempel 12. Ligevægtspunkt i et system af autonome differentialligningerDet ønskes at finde ligevægtspunkterne i systemet:

dx

dt= 60x(t)− 4x(t)2 − 2x(t)y(t),

dy

dt= 36y(t)− 4y(t)2 − 2x(t)y(t)

(5.2)

Der ses på følgende to ligninger, hvor ligevægtspunktet, (x∗, y∗), skal være opfyldt for begge:

60x− 4x2 − 2xy = x(60− 4x− 2y) = 0,

36y − 4y2 − 2xy = y(36− 4y − 2x) = 0

Det betyder, at der både gælder;

x = 0 ∨ 60− 4x− 2y = 0

og;y = 0 ∨ 36− 4y − 2x = 0

Det ses hurtigt, at hvis både x = 0 og y = 0 vil der være et ligevægtspunkt i (0, 0), dabegge funktioner kun er afhængige af x og y. Hvis x = 0 og y 6= 0, fås y = 9. Hvis x 6= 0 ogy = 0, fås x = 15. Hvis både x og y er forskellige fra 0, løses følgende to ligninger med toubekendte:

60− 4x− 2y = 0

36− 4y − 2x = 0

Løses dette fås x = 14 og y = 2. Det betyder, at systemets fire ligevægtspunkter er henholds-vis (0, 0); (0, 9); (15, 0) og (14, 2). Hvis x(t) og y(t) repræsenterer populationen af henholdsvisrovdyr og byttedyr, og hvis begge populationer er konstante, følger det, at ligningerne i (5.2)kun tillader tre ikke-trivielle muligheder for ligevægtspunkter:

• Enten 0 rovdyr og 9 byttedyr,

• eller 15 rovdyr og 0 byttedyr,

• eller 14 rovdyr og 2 byttedyr.

Særligt gælder der for ligevægtspunktet, (14, 2), at den beskriver den eneste mulighed for,at systemet består af både rovdyr og byttedyr i sameksistens med hinanden.

Side 35 af 65


5.2 Grafisk repræsentationHvis begyndelsespunktet, (x0, y0), ikke er et ligevægtspunkt, så er den tilsvarende bane en kurve ixy-planen, hvor punktet, (x, y), bevæger sig langs kurven, efterhånden som t vokser. Det er muligtat vise det autonome system af koblede differentialligningers forløb grafisk ved at konstruere etbillede, der viser systemets ligevægtspunkter sammen med løsningskurver i xy-planen. Sådan etbillede kaldes et faseportræt, da det viser faserne i systemet og indikerer, hvordan de ændrer sigmed tiden. Et faseportræt indeholder et retningsfelt, der konstrueres ved at tegne vektorer medhældninger;

y′(t)

x′(t)=f(x(t), y(t)

)g(x(t), y(t)

)hvor disse vektorer beskriver hældningerne til tangentlinjerne for løsningskurverne for det auto-nome system af koblede differentialligninger. Denne hældning er defineret som ([6] s. 828):

dy

dx= limt→t0

y(t)− y(t0)

x(t)− x(t0)(5.3)

5.2.1 RetningsfeltFor at danne sig et indtryk af hvorledes løsninger til en differentialligning forløber, kan en grafiskrepræsentation af potentielle løsningers tangenthældninger udnyttes. Givet en begyndelsesværdi-betingelse er det muligt ved brug af differentialligningen at bestemme den afledtes værdi i dettepunkt. Dette kan udnyttes til at bestemme et retningsfelt. For at kunne bevise at vektorerne frasystemet beskriver hældningerne for tangentlinjerne til løsningskurverne introduceres følgendelemma, hvor:

~h(x(t), y(t)

):=

[f(x(t), y(t)

)g(x(t), y(t)

)]

Lemma 2: Differentiabilitet af løsninger for systemer

Lad ~ϕ ′(t) = ~h(x(t), y(t)

)være et differentialligningssystem. Så vil løsningen, ~ϕ(t), være

k + 1 gange differentiabel, hvis ~h(x(t), y(t)

)er k gange differentiabel.

BevisAntag, at ~h

(x(t), y(t)

)er k gange differentiabel. Da ~ϕ(t) er en løsning til ligningssystemet;

~ϕ ′(t) = ~h(x(t), y(t)

)og differentiering er en lineær afbildning, er ligheden bevaret under differentiering. Det vil sige,at hvis højresiden differentieres k gange, så er ~ϕ(t) differentieret k + 1 gange.

�

Sætning 5.1: Hældning for løsningskurver

Lad ~v være en retningsvektor for differentialligningssystemet, ~ϕ ′(t) = ~h(x(t), y(t)

), til

tiden, t. Så vil ~v beskrive hældningen for løsningskurvens tangent til tiden, t.

Side 36 af 65


BevisLad ~v være en retningsvektor til tiden, t0, til differentialligningssystemet;

~ϕ ′(t) = ~h(x(t), y(t)

)og antag, at ~ϕ(t) er en løsning til dette differentialligningssystem. Denne løsning kan opdeleskomponentvis, så:

x′(t) = f(x(t), y(t)

)og y′(t) = g

(x(t), y(t)

)Det skal vises, at hældningen for løsningskurven er lig hældningen for retningsvektoren, ~v, ogdette gøres først for første-komponenten, x(t). Hældningen kan bestemmes i et punkt, τx, i inter-vallet, ]t; t0[ eller ]t0; t[, ved hjælp af Middelværdisætningen (sætning 7.12 i [3] s. 119). Uden tabaf generalitet vælges intervallet, ]t; t0[. Middelværdisætningen kræver, at x(t) er differentiabel iintervallet, ]t; t0[. Ved at bruge lemma 2 ses det, at en første ordens differentiallignings løsnings-kurver altid vil være differentiable af første orden i intervallet, de eksisterer på. Derfor er x(t)også differentiabel i intervallet. Altså gælder det ifølge Middelværdisætningen, at:

x(t)− x(t0)

t− t0= x′(τx)

Ved at addere −x′(t0) +x′(t0) på højre side i overstående ligning, hvilket er muligt, da det er lig0, og efterfølgende multiplicere med (t− t0) på begge sider, fås:

x(t)− x(t0) = (t− t0) ·(x ′(τx)− x ′(t0) + x ′(t0)

)= (t− t0) · x ′(t0) + (t− t0) ·

(x ′(τx)− x ′(t0)

) (5.4)

Det ses, at denne ligning har samme form som et førsteordens Taylorpolynomium udviklet ud frat0 ([6] s. 684). Det betyder, at når t→ t0 vil x′(t0) beskrive hældningen på første-komponentenaf tangenten for løsningskurven i punktet, t0. Ved at dividere med (t− t0) på begge sider fås:

x(t)− x(t0)

t− t0= x′(t0) + x′(τx)− x′(t0)

Det ses af definition 7.1 i [3] (s. 111), at;

x(t)− x(t0)

t− t0→ x′(t0) for t→ t0

og derfor må det nødvendigvis gælde, at x′(τx)− x′(t0)→ 0 for t→ t0.

Da x′(τx) − x′(t0) → 0 for τx → t0, skal det vises, at τx → t0 for t → t0. Eftersom τx ∈ ]t; t0[gælder det, at t < τx < t0, så når t → t0 vil t0 < τx < t0, og ifølge definition 3.1 i [3] (s. 34) erτx = t0, når τx < t0 og t0 < τx. Det betyder, at x′(τx)− x′(t0)→ 0 for t→ t0.

Det kan vises analogt for y(t) i punktet, τy. Disse to komponenter udgør ~ϕ(t). Derfor kan hæld-ningen af løsningskurven beskrives som hældningen af tangenten til tiden, t0. Denne hældninger ~ϕ ′(t0), som er lig retningsvektoren, ~v, til tiden, t0. Altså beskriver ~v hældningen for løsnings-kurvens tangent til tiden, t0.

�

Side 37 af 65


Bemærk, at da faseportrættet er to-dimensionelt, vil der kun være en første- og andenakse,

kaldet x- og y-aksen. Det vil sige, at hældningerne er betegnetdy

dx, som er lig med

y′(t)

x′(t). Denne

lighed bestemmes ud fra ligning (5.3), hvor ~ϕ(t) =(x(t), y(t)

)er en løsningskurve. Ifølge ligning

(5.4) fås det, at;

y(t)− y(t0) = (t− t0)y′(t0) + (t− t0)(y′(τy)− y′(t0)

)x(t)− x(t0) = (t− t0)x′(t0) + (t− t0)

(x′(τx)− x′(t0)

)hvilket indsættes i ligning (5.3):

dy

dx= limt→t0

(t− t0)y′(t0) + (t− t0)(y′(τy)− y′(t0)

)(t− t0)x′(t0) + (t− t0)

(x′(τx)− x′(t0)

)= limt→t0

y′(t0) +(y′(τy)− y′(t0)

)x′(t0) +

(x′(τx)− x′(t0)

)Da både τx → t0 og τy → t0 for t→ t0, ses det derfor, at:

dy

dx=y′(t0)

x′(t0)

Da t0 er vilkårligt valgt, gælder dette for alle t i intervallet, og det kan generelt skrives som:

dy

dx=y′(t)

x′(t)

5.3 NulklinerDette afsnit omhandler nulkliner og er baseret på [12] (s. 3). Nulkliner bruges til at analysereog beskrive faseportrættet og betegnes x-nulkliner og y-nulkliner, hvis x og y er de to afhængigevariable. I faseportættet er x-nulklinerne løsninger til f(x, y) = 0, mens y-nulklinerne er løsningertil g(x, y) = 0. Bemærk, at x′(t) = f

(x(t), y(t)

), så f

(x(t), y(t)

)beskriver hældningen af x(t),

og ligeledes beskriver g(x(t), y(t)

)hældningen af y(t). Dette kan også formuleres som følgende

definition:

Definition 5.2: Nulkliner

Betragt et autonomt system af to koblede differentialligninger:

dx

dt= f

(x(t), y(t)

)dy

dt= g(x(t), y(t)

)Da er x-nulkliner de punkter, (x, y), som løser ligningen:

f(x, y)

= 0

Ligeledes er y-nulkliner de punkter, (x, y), der løser ligningen:

g(x, y) = 0

Side 38 af 65


Sætning 5.2: Nulkliner

En skæring mellem en x-nulklin og en y-nulklin resulterer i et ligevægtspunkt.

BevisLad en vilkårlig x-nulklin og en vilkårlig y-nulklin skære i punktet (x∗, y∗), så vil;

f(x∗, y∗) = g(x∗, y∗) = 0

som er definitionen på et ligevægtspunkt. �

Den følgende tabel viser retningen af banerne, når nulklinerne kendes.

f(x, y) > 0 f(x, y) = 0 f(x, y) < 0

g(x, y) > 0 ↗ ↑ ↖

g(x, y) = 0 → 0 ←

g(x, y) < 0 ↘ ↓ ↙

Tabel 5.1: Retning af løsningskurver for forskellige værdier af f(x, y) og g(x, y) ([12] s. 3).

5.4 StabilitetFølgende afsnit er baseret på [2] (s. 492-494). Hvis der for enhver afstand, ε > 0, fra ligevægts-punktet eksisterer en afstand, δ > 0, fra ligevægtspunktet, således at hvis begyndelsespunktetstarter indenfor afstanden δ, medfører det, at løsningen, ~x(t) =

(x(t), y(t)

), forbliver indenfor

afstanden ε for alle t > 0. Det betyder, at ligevægtspunktet er stabilt, jævnfør følgende definition:

Definition 5.3: Stabilt ligevægtspunkt

Lad ~x∗ være et ligevægtspunkt, ~x0 være et begyndelsespunkt og ~x(t) være en løsning til~x ′(t) = f(~x(t)). Da siges ligevægtspunktet, ~x∗, at være stabilt, hvis:

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : || ~x0 − ~x∗ ||< δ ⇒ || ~x(t)− ~x∗ ||< ε ∀ t > 0

Et ligevægtspunkt, der ikke er stabilt, kaldes ustabilt.

Som en stærkere egenskab kaldes et ligevægtspunkt, ~x∗, asymptotisk stabilt, hvis hver løsnings-kurve, som starter tilstrækkeligt tæt på ~x∗, konvergerer mod ~x∗ for t→ +∞. Det følger også afdefinition 5.4:

Side 39 af 65


Definition 5.4: Asymptotisk stabilt ligevægtspunkt

Lad ~x∗ være et stabilt ligevægtspunkt, ~x0 være et begyndelsespunkt og ~x(t) være en løsningtil ~x ′(t) = f(~x(t)) med ~x(0) = ~x0. Da siges ligevægtspunktet, ~x∗, at være asymptotiskstabilt, hvis:

∃ δ > 0 : || ~x0 − ~x∗ ||< δ ⇒ limt→∞

~x(t) = ~x∗

Definitionerne viser, at stabilitetsforhold omhandler, hvordan alle løsningerne i nærheden afligevægtspunktet forløber. Hvorvidt punktet er stabilt, ustabilt eller asymptotisk stabilt kanbestemmes ved at se på typen af ligevægtspunktet.

5.5 Typer af ligevægtspunkterDette afsnit beskriver forskellige typer af ligevægtspunkter og er baseret på [2] (s. 491-495) medmindre andet er angivet. For at forstå hvordan ligevægtspunktets type afspejles i faseportrættet,er det nødvendigt at definere begrebet udprikket kugle:

Definition 5.5: Udprikket kugle ([3] s. 99)

Lad x ∈ Rn. Ved en udprikket kugle med centrum, x, og r > 0, forstås mængden:

Br(x) = {y ∈ Rn | 0 < ‖y − x‖ < r}

Lad A ⊆ Rn, og lad f : A → R være en reel funktion defineret på A. Hvis x ∈ Rn, og hvisder eksisterer en udprikket kugle Br(x), hvor f er defineret på, så siges f at være definereti nærheden af x. Det vil sige, der eksisterer et r > 0, så Br(x) ⊆ A.

Der findes forskellige typer af ligevægtspunkter, der afhænger af hvordan løsningskurver-ne i faseportrættet forløber i nærheden af ligevægtspunktet, ~x∗.

Definition 5.6: Knude

Et ligevægtspunkt, ~x∗, kaldes en knude, hvis enten:

• Alle løsningskurver med ~x(0) ∈ Br(~x∗) for et passende r > 0 enten går mod eller vækfra ligevægtspunktet, når t→ +∞, eller

• Alle løsningskurver med ~x(0) ∈ Br(~x∗) for et passende r > 0 tangerer en ret linje, dergår gennem ligevægtspunktet.

En knude siges at være egentlig, hvis der ikke findes to forskellige par af løsningskurver,som tangerer den samme lige linje gennem ligevægtspunktet.

Modsat kaldes en knude uegentlig, hvis alle løsningskurver, undtagen et enkelt par,tangerer den samme rette linje gennem ligevægtspunktet.

Side 40 af 65


Figur 5.1: Asymptotisk stabil egentlig knude

Figur 5.2: Asymptotisk stabil uegentlig knude Figur 5.3: Ustabil uegentlig knude

Derudover kaldes en knude et dræn, hvis alle løsningskurver går mod ligevægtspunktet, og enkilde, hvis alle løsningskurver går væk fra ligevægtspunktet. Dette betyder samtidig, at et dræner et asymptotisk stabilt ligevægtspunkt, og en kilde er et ustabilt ligevægtspunkt. Derfor erorigo i figur 5.1 et egentligt dræn, hvorimod origo i figur 5.2 er et uegentligt dræn. På figur 5.3ses et faseportræt, hvor origo er en kilde.

Hvis der er præcis to løsningskurver, der går mod ligevægtspunktet for t → +∞, og toløsningskurver, der går mod ligevægtspunktet for t → −∞, kaldes ligevægtspunktet etsaddelpunkt. Et centrum er et stabilt ligevægtspunkt, hvor alle løsningskurver danner lukkedekredse, som repræsenterer periodiske løsninger, omkring ligevægtspunktet.

Side 41 af 65


Figur 5.4: Saddelpunkt Figur 5.5: Centrum

Et spiralpunkt er et ligevægtspunkt, hvor alle løsningskurver med ~x(0) ∈ Br(~x∗) for etpassende r > 0 enten spiralerer væk fra eller mod ligevægtspunktet. Hvis det spiralerer vækfra ligevægtspunktet, er det ustabilt. Omvendt hvis det spiralerer mod ligevægtspunktet, er detasymptotisk stabilt.

Figur 5.6: Asymptotisk stabilt spiralpunkt

5.5.1 Maksimalt definitionsintervalDet har indtil videre været antaget, at differentialligningernes løsninger har været define-ret på ] − ∞;∞[, men det er ikke altid tilfældet. Ifølge følgende sætning gælder det genereltfor ikke-lineære systemer, at begyndelsesværdiproblemers løsninger er entydige på et lille interval:

Side 42 af 65


Sætning 5.3: Eksistens- og entydighedssætning ([13] s. 27)

Betragt begyndelsesværdiproblemet;

~x ′(t) = f(t, ~x(t)

), ~x(t0) = ~x0

hvor f : A → Rn og A ⊆ R × Rn er et åbent interval. Lad∂f

∂~xieksistere og være

kontinuerte på A, hvor i = {1, 2, · · · , n}.

Hvis (t0, ~x0) ∈ A og ∃ δ, ε > 0, som opfylder;

[t0 − δ; t0 + δ]×Bε(~x0) ⊆ A

så eksisterer et delinterval, ]a; b[⊂ [t0 − δ; t0 + δ], og en løsning, ~ϕ : ]a; b[→ Rn, som erentydig på delintervallet.

For eksempel vil løsningen til begyndelsesværdiproblemet;

dx

dt= 1 + x(t)2 , x(0) = 0 (5.5)

være x(t) = tan(t), og denne løsning er kun defineret på intervallet]−π

2;π

2

[. Dette interval

kaldes det maksimale definitionsinterval for ligning (5.5).

Definition 5.7: Maksimalt definitionsinterval ([8] s. 42)

Lad M være løsningsmængden til begyndelsesværdiproblemet:

~y ′(t) = f(t, ~y (t))

~y(t0) = ~y0(5.6)

Så vil intervallet ]α;β[ defineres som;

α = inf {τ | ∃ ~ϕ ∈M : ~ϕ er defineret på ]τ ; t0]}

β = sup {µ | ∃ ~ϕ ∈M : ~ϕ er defineret på [t0;µ[}

hvor τ og µ er vilkårlige værdier, der indgår i intervallet, som løsningen, ~ϕ, er defineret på.Dette interval, ]α;β[ , kaldes det maksimale definitionsinterval.

Derfor vil løsninger til en differentialligning være defineret på et maksimalt definitionsinterval.Det vil sige, at en løsning til et begyndelsesværdiproblem er entydig, jævnfør følgende sætning:

Sætning 5.4: Entydighed af maksimal løsning ([8] s. 42)

Betragt en differentialligning med begyndelsesværdiproblemet, set i ligning (5.6), og ladMvære den ikke-tomme løsningsmængde. Så eksisterer en entydigt bestemt løsning, ~ϕ(t) ∈M , defineret på det maksimale definitionsinterval, ]α;β[.

Side 43 af 65


BevisLad ]α;β[ være det maksimale definitionsinterval fra definition 5.7, og τ0 ∈ ]α;β[ være vilkårligtgivet. Forsøgsvist sættes ~ϕ(τ0) fra sætning 5.4 til at være givet ved ~ϕ(τ0) = ~ϕ1(τ0), hvor ~ϕ1(t)er en vilkårlig løsning defineret på intervallet, ]τ1; t0], hvor τ1 < τ0 ≤ t0.

Lad også ~ϕ2(t) være en løsning defineret på intervallet, ]τ2; t0], hvor τ2 < τ0 ≤ t0. Sæt:

T = {τ > max(τ1, τ2) | ∀ t ∈ [τ ; t0] : ~ϕ1(t) = ~ϕ2(t)}

Det er klart, at t0 ∈ T , da t0 er en begyndelsesværdibetingelse, så s = inf(T ) opfylder:

max(τ1, τ2) ≤ s ≤ t0

Antag nu, at s > max(τ1, τ2). Da ~ϕ1(s) = ~ϕ2(s) på grund af kontinuiteten af ~ϕ1(t) og ~ϕ2(t), ogfordi ethvert τ∗ ∈ ]s; t0] opfylder, at τ∗ ∈ [τ ; t0] med τ ∈ T , så eksisterer et s ∈ T .

Så findes δ > 0, så ~ϕ1(t) og ~ϕ2(t) er definerede på intervallet,[s− δ; s+ δ]. Derfor eksisterer et

mindre delinterval,]s− δ0; s+ δ0

[, hvorpå løsningerne er defineret entydigt, jævnfør sætning 5.3.

Dette er i modstrid med, at s = inf(T ). Det viser altså, at s må være lig max(τ1, τ2). Specieltfås, at:

~ϕ1(τ0) = ~ϕ2(τ0)

Det betyder, at ~ϕ(t) = ~ϕ1(t) for alle t ∈ ] max(τ1, τ2); t0]. Da α = max(τ1, τ2), jævnfør definition5.7, er ~ϕ1(t) = ~ϕ2(t) på intervallet ]α; t0].

Entydigheden af løsningernes funktionsværdier på intervallet, [t0;β[ , kan bevises analogt.Altså kan ~ϕ(t) generelt defineres på det maksimale definitionsinterval, ]α;β[ , ved at sætte~ϕ(τ0) = ~ϕ1(τ0) for en vilkårlig løsning, ~ϕ1(t), defineret i en omegn af τ0 i intervallet, ]α;β[ . Da~ϕ1(t) er differentiabel i en omegn af τ0, gælder dette også for ~ϕ(t), og:

~ϕ ′(t) = ~ϕ1′(t) = f

(t, ~ϕ1(t)

)= f

(t, ~ϕ(t)

)Altså er ~ϕ(t) en entydig løsning til begyndelsesværdiproblemet på det maksimale definitionsin-terval, hvilket kaldes den maksimale løsning.

�

Bemærk, at det af beviset også ses, at enhver løsning til begyndelsesværdiproblemet, seti ligning (5.6), er en restriktion af den maksimale løsning, ~ϕ(t). Det gælder desuden, at daen løsning til et begyndelsesværdiproblem er entydig, jævnfør sætning 5.4, kan to løsningermed samme begyndelsesværdibetingelse ikke krydse hinanden i faseportrættet, idet de er ens.Desuden gælder det, at to forskellige løsninger til samme differentialligning, givet forskellige be-gyndelsesværdibetingelser, heller ikke kan krydse hinanden i faseportrættet. Løsningerne vil ogsåvære ens, selvom de krydser samme punkt til forskellige tidspunkter, da deres funktionsværdiervil være ens. Dette ses tydeligt ved eksemplet med ligning (5.5).

Side 44 af 65


5.6 Ligevægtspunkter i lineære systemerMetoden diskuteret i afsnit 4.2.2 på side 27, angående egenværdimetoden anvendes i dette afsnit,baseret på [2] (s. 503-507) med mindre andet er angivet, til at undersøge ligevægtspunktet, (0, 0)i det lineære system;

~x′(t) = A~x(t) (5.7)

hvor A er en konstant-koefficientmatrix. Det bemærkes, at det givne system i ligning (5.7) altidhar et ligevægtspunkt i (0, 0), men dette punkt er kun isoleret, hvis matricen, A, er inverterbar,da det homogene ligningssystem, a · x(t) + b · y(t) = 0, c · x(t) + d · y(t) = 0, i dette tilfældekun har (0, 0) som løsning. Dette betyder derfor, at ad − bc 6= 0, og dermed er λ = 0 ikkeen egenværdi for et isoleret ligevægtspunkt, (0, 0). I det kommende antages det, at (0, 0) er etisoleret ligevægtspunkt, hvilket betyder, at de to egenværdier for 2 × 2 matricen, A, begge erforskellige fra nul. Typen af det isolerede ligevægtspunkt, (0, 0), afhænger derfor af, hvorvidt deto egenværdier, λ1, λ2 6= 0, tilhørende matricen, A, er:

• reelle, med multiplicitet 1 og samme fortegn,

• reelle, med multiplicitet 1 og modsatte fortegn,

• reelle og med multiplicitet 2,

• kompleks-konjugerede med realdel 6= 0 eller

• rent imaginære tal.

Disse fem tilfælde vil blive diskuteret i de kommende underafsnit. Det viser sig, at hver af dissetilfælde repræsenterer henholdsvis en knude, som enten er egentlig eller uegentlig, et saddelpunkt,et spiralpunkt, eller et centrum. Dette vil også blive diskuteret videre i de kommende underafsnit.

5.6.1 Reelle egenværdier med multiplicitet 1 og samme fortegnHvis egenværdierne er reelle med multiplicitet 1 og samme fortegn, da har matricen, A, lineært

uafhængige egenvektorer, ~v1 og ~v2, og den generelle løsning, ~x(t) =

[x(t)y(t)

], er givet ved:

~x(t) = c1~v1eλ1t + c2~v2e

λ2t

Denne løsning beskrives bedst ved det skæve uv-koordinatsystem, som er vist på figur 5.7:

Side 45 af 65


Figur 5.7: Det skæve uv-koordinatsystem bestemt ud fra egenvektorerne, ~v1 og ~v2 ([2] s. 503).

Her er u, v-akserne bestemt ud fra egenvektorerne. Da er uv-koordinatfunktionerne, u(t) ogv(t), til punktet, ~x(t), der flytter sig afhængig af t, bestemt ved deres afstande fra origo målt iretningerne parallelt til egenvektorerne. Dermed er en løsningskurve til systemet, der opfylderbegyndelsesværdibetingelserne, u0 = u(0) og v0 = v(0), givet ved:

u(t) = u0eλ1t , v(t) = v0e

λ2t (5.8)

Dette er en parametrisk kurve, der er defineret som:

Definition 5.8: Parametisk kurve ([6] s. 728)

En parametrisk kurve, C, i xy-planen er et par af funktioner;

x = f(t), y = g(t)

der giver x(t) og y(t) som kontinuerte funktioner af parameteren, t ∈ [a; b].

Hvis v0 = 0, ligger løsningskurven på u-aksen, og ligeledes hvis u0 = 0, ligger løsningskurven påv-aksen. Derimod hvis både u0 og v0 er forskellige fra nul tager den parametiske kurve i ligning

(5.8) formen v(t) = Cu(t)k, hvor k =λ2λ1

> 0 og C =v0

uλ2λ10

. Denne udledning af C og k er fundet

ved først at isolere t i u(t):

u(t) = u0eλ1t ⇔ u(t)

u0= eλ1t

Da u(t) og u0 begge er positive, er det muligt at tage den naturlige logaritme på begge sider, ogt kan dermed isoleres:

1

λ1· ln(u(t)

u0

)= t

Side 46 af 65


Dette t indsættes i v(t):

v(t) = v0eλ2· 1

λ1ln(u(t)u0

)

=v0

uλ2λ10

· u(t)λ2λ1

= C · u(t)k

Bemærk, at fordi λ1, λ2 har samme fortegn er k > 0, og da λ1 6= λ2 er k 6= 1. Dette giver derforto muligheder:

• Når k > 1, tangerer løsningskurverne i (0, 0) på u-aksen.

• Når 0 < k < 1, tangerer løsningskurverne i (0, 0) på v-aksen.

Derfor giver dette en uegentlig knude.

Desuden fås to muligheder for egenværdiernes fortegn:

• Hvis λ1, λ2 > 0, vil løsningskurverne bevæge sig væk fra origo for t → ∞. I så fald erligevægtspunktet, (0, 0), en kilde.

• Hvis λ1, λ2 < 0, vil løsningskurverne gå mod origo for t→∞. I så fald er ligevægtspunktet,(0, 0), et dræn.

Disse to punkter ses af ligning (5.8) ved at indsætte λ1 og λ2 og lade t→∞, og derefter se omudtrykket går mod 0 eller ∞. Dermed er nedenstående sætning bevist:

Sætning 5.5: Ligevægtspunkt i et system med λ1 6= λ2 med samme fortegn

Lad matricen, A, have egenværdierne λ1 6= λ2 med samme fortegn. Hvis λ1 > λ2 > 0,er det isolerede ligevægtspunkt, (0, 0), en kilde, og hvis λ1 < λ2 < 0, er det isoleredeligevægtstpunkt, (0, 0), et dræn.

5.6.2 Reelle egenværdier med multiplicitet 1 og modsatte fortegnHer fås samme situation som beskrevet i 5.6.1, nu er tilfældet dog, at λ1 og λ2 har modsattefortegn, det vil sige λ2 < 0 < λ1. Nu ligger løsningskurverne med u0 = 0 eller v0 = 0 på u- ogv-akserne gennem ligevægtspunktet, (0, 0).

Når u0, v0 6= 0 tager løsningskurverne formen v(t) = Cu(t)k, hvor k =λ2λ1

< 0. De ikke-lineære

løsningskurver ligner hyperbler, og dermed vil ligevægtspunktet, (0, 0), være et ustabilt saddel-punkt.

Side 47 af 65


5.6.3 Reelle egenværdier med multiplicitet 2Egenværdierne er i dette tilfælde givet ved λ = λ1 = λ2 6= 0. Nu afhænger karakterisationen afligevægtspunktet af, om koefficientmatricen, A, har to lineært uafhængige egenvektorer, ~v1 og~v2, eller ej. Hvis den har, fås de skæve uv-koordinater som beskrevet før, og løsningskurverne ernu givet ved:

u(t) = u0eλt , v(t) = v0e

λt

Da λ1 = λ2, er k = 1. Derfor er løsningskurverne med u0 6= 0 alle på formen v(t) = Cu(t), ogligger derfor på en ret linje gennem origo. Derfor er ligevægtspunktet (0, 0) en egentlig knude.Det er en kilde, hvis λ > 0, og et dræn hvis λ < 0.

Hvis egenværdien λ 6= 0 kun har en enkelt tilhørende egenvektor, ~v1, eksisterer der alli-gevel en generaliseret egenvektor, ~v2, således at (A − λI)~v2 = ~v1 og det lineære system,~x′(t) = A~x(t), har to lineært uafhængige løsninger;

~x1(t) = ~v1eλt, ~x2(t) = (~v1t+ ~v2)eλt

som set i afsnit 4.2.2 på side 32. Det er stadig muligt at anvende de skæve uv-korrdinater vedbrug af ~v1 og ~v2. Da fås u(t) og v(t) som;

u(t) = (u0 + v0t)eλt , v(t) = v0e

λt (5.9)

hvor u0 = u(0) og v0 = v(0) som tidligere. Hvis v0 = 0, ligger løsningskurven på u-aksen. Hvisikke fås en ikke-lineær løsningskurve med tangenthældningen (jævnfør afsnit 5.2.1 på side 36):

dv

du=

dv

dtdu

dt

=λv0e

λt

v0eλt + λ(u0 + v0t)eλt=

λv0v0 + λ(u0 + v0t)

Det ses, atdv

du→ 0 for t → ∞, så det følger, at hver løsningskurve er en tangent til u-

aksen. Derfor er (0, 0) en uegentlig knude. Hvis λ < 0, ses det af ligning (5.9), at knuden eret dræn. Derimod er knuden en kilde, hvis λ > 0. Med disse resultater er følgende sætning bevist:

Sætning 5.6: Ligevægtspunkt i et system med λ1 = λ2

Lad koefficientmatricen, A, have egenværdien, λ 6= 0, med multiplicitet 2. Hvis koef-ficientmatricen har to lineært uafhængige egenvektorer tilhørende λ, er det isoleredeligevægtspunkt, (0, 0), en egentlig knude. Hvis λ > 0, er (0, 0) en egentlig kilde, og hvisλ < 0, er (0, 0) et egentligt dræn.

Hvis matricen kun har én egenvektor tilhørende λ, er (0, 0) en uegentlig knude.Hvis λ > 0 er (0, 0) et uegentligt dræn, og hvis λ < 0, er (0, 0) en uegentlig kilde.

Side 48 af 65


5.6.4 Kompleks-konjugerede egenværdier med realdel forskellig fra 0Antag at koefficientmatricen, A, har egenværdierne, λ = p + qi og λ = p − qi, hvor p, q 6= 0.Desuden er de tilhørende kompleks-konjugerede egenvektorer, ~v = ~a + ~bi og v = ~a − ~bi. Dagælder, som set i afsnit 4.2.2 på side 29, at det lineære system, ~x′(t) = A~x(t), har to uafhængigeløsninger med reelle værdier givet ved:

~x1(t) = ept(~a cos(qt)−~b sin(qt)

),

~x2(t) = ept(~b cos(qt) + ~a sin(qt)

) (5.10)

Det betyder, at komponenterne, henholdsvis x(t) og y(t), i enhver løsning, ~x(t) = c1~x1(t)+c2~x2(t),svinger mellem positive og negative værdier for t → ∞. Det vil sige, at ligevægtspunktet (0, 0)er et spiralpunkt. Hvis den reelle del, p, af egenværdierne er negativ, ses det af ligning (5.10),at ~x(t) → ~0 for t → ∞, og (0, 0) er dermed et asymptotisk stabilt spiralpunkt. Hvis p derimoder positiv, er ligevægtspunktet et ustabilt spiralpunkt. Med disse argumenter er nedenståendesætning bevist:

Sætning 5.7: Ligevægtspunkt i et system med λ = p± qi, hvor p, q 6= 0

Lad koefficientmatricen, A, have kompleks-konjugerede egenværdier, λ = p ± qi, hvorp, q 6= 0. Da er det isolerede ligevægtspunkt, (0, 0), et spiralpunkt. Hvis p > 0, er (0, 0)et ustabilt spiralpunkt, og hvis p < 0, er (0, 0) et asymptotisk stabilt spiralpunkt.

5.6.5 Rent imaginære egenværdierHvis koefficientmatricen, A, har kompleks-konjugerede imaginære egenværdier, λ = qi ogλ = −qi, med tilhørende kompleks-konjugerede egenvektorer, ~v = ~a+~bi og v = ~a−~bi, anvendesligning (5.10) med p = 0. Det ses, at der fås følgende uafhængige løsninger til det lineæresystem, ~x′(t) = A~x(t):

~x1(t) = ~a · cos(qt)−~b · sin(qt),

~x2(t) = ~b · cos(qt) + ~a · sin(qt)

Enhver løsning hertil, givet ved ~x(t) = c1~x1(t) + c2~x2(t), beskriver en ellipse med cen-trum i origo i xy-planen. Dette betyder derfor, at (0, 0) er et stabilt centrum. Dermed er følgendesætning bevist:

Sætning 5.8: Ligevægtspunkt i et system med λ = ±pi

Lad koefficientmatricen, A, have rent imaginære egenværdier, λ = ±qi, hvor q 6= 0. Da erdet isolerede ligevægtspunkt, (0, 0), et stabilt centrum.

Side 49 af 65


5.6.6 OpsummeringFor at opsummere de forskellige resultater beskrevet i de foregående underafsnit indførestabel 5.2. Tabellen beskriver typen af et ligevægtspunkt, (0, 0), i systemet, ~x′(t) = A~x(t), meddet(A) 6= 0, som afhænger af egenværdierne, λ1, λ2 6= 0.

Egenværdier for A Type af ligevægtspunkt Stabilitet

λ1 > λ2 > 0 Uegentlig kilde Ustabilt

λ1 < λ2 < 0 Uegentligt dræn Asymptotisk stabilt

λ1 = λ2 > 0 Egentlig/uegentlig kilde Ustabilt

λ1 = λ2 < 0 Egentligt/uegentligt dræn Asymptotisk stabilt

λ1 < 0 < λ2 Saddelpunkt Ustabilt

λ1, λ2 = p± qi medp < 0, q 6= 0

Spiralpunkt Asymptotisk stabilt

λ1, λ2 = p± qi medp > 0, q 6= 0

Spiralpunkt Ustabilt

λ1, λ2 = ±qi med q 6= 0 Centrum Stabilt

Tabel 5.2: Typen af det isolerede ligevægtspunkt, (0, 0), i systemet, ~x ′(t) = A~x(t), samt dets stabilitetbestemt ud fra egenværdierne til matricen, A.

5.7 Linearisering i nærheden af et ligevægtspunktI nogle tilfælde er det muligt at beskrive stabilitetsforhold omkring et ligevægtspunkt, selvomsystemet er ikke-lineært. Dette gøres ud fra stabiliteten af et ligevægtspunkt i et passendelineært system. Dette vil blive beskrevet nærmere i dette afsnit. Afsnittet er baseret på [2] (s.500-502).

Betragt løsningerne til følgende autonome system af to koblede første ordens differential-ligninger i nærheden af et isoleret ligevægtspunkt, (x∗, y∗):

dx

dt= f(x(t), y(t)), (5.11)

dy

dt= g(x(t), y(t)) (5.12)

Et ligevægtspunkt kaldes isoleret, hvis der i nærheden af punktet ikke findes andre ligevægts-punkter. Det vil sige, der findes en udprikket kugle med centrum i (x∗, y∗) og radius, r > 0,hvori der ingen andre ligevægtspunkter er. Det antages, at funktionerne, f og g, er kontinuertdifferentiable i nærheden af (x∗, y∗). Det antages, uden tab af generalitet, at x∗ = y∗ = 0.Årsagen er, at hvis ikke dette er tilfældet, laves substitutionen, u(t) = x(t)−x∗ , v(t) = y(t)−y∗.

Da erdx

dt=du

dtog

dy

dt=dv

dt, og derfor fås systemet;

Side 50 af 65


du

dt= f(u(t) + x∗ , v(t) + y∗) = f1

(u(t), v(t)

)dv

dt= g(u(t) + x∗ , v(t) + y∗) = g1

(u(t), v(t)

)der har (0, 0) som ligevægtspunkt. Dette er en måde at få et ligevægtspunkt 6= (0, 0) ixy-planen til at blive afbildet over i et ligevægtspunkt, (0, 0), i uv-planen, uden at fa-seportrætternes udseende ændres. For at forstå brugen af linearisering anvendes nedenståendedefinition:

Definition 5.9: Taylorpolynomiet af første orden med to variable

Lad f(x(t), y(t)

)være kontinuert differentiabel i nærheden af et punkt, (x∗, y∗). Da er

Taylorpolynomiet af første orden udviklet ud fra punktet, (x∗, y∗), givet ved;

f(x(t), y(t)

)= f(x∗, y∗) + fx(x∗, y∗)

(x(t)− x∗

)+ fy(x∗, y∗)

(y(t)− y∗

)+R1

(x(t), y(t)

)hvor R1 (x(t), y(t)) kaldes restleddet.

Definitionen, samt at f(x(t), y(t)

)= f

(u(t)+x∗, v(t)+y∗

), anvendes til at omskrive f

(x(t), y(t)

):

f(x(t), y(t)

)= f(u(t) + x∗, v(t) + y∗)

= f(x∗, y∗) + fx(x∗, y∗)(u(t) + x∗ − x∗

)+ fy(x∗, y∗)

(v(t) + y∗ − y∗

)+R1

(u(t), v(t)

)= f(x∗, y∗) + fx(x∗, y∗)u(t) + fy(x∗, y∗)v(t) +R1(u(t), v(t))

Her udgør R1

(u(t), v(t)

)restleddet, som skal opfylde betingelsen:

lim(u,v)→(0,0)

R1

(u(t), v(t)

)√u(t)2 + v(t)2

= 0

Hvis Taylors formel også virker på funktionen, g, på samme vis under antagelse af, at (x∗, y∗)er et isoleret ligevægtspunkt, således f(x∗, y∗) = g(x∗, y∗) = 0, fås systemet;

du

dt= fx(x∗, y∗)u(t) + fy(x∗, y∗)v(t) +R1

(u(t), v(t)

),

dv

dt= gx(x∗, y∗)u(t) + gy(x∗, y∗)v(t) + S1

(u(t), v(t)

) (5.13)

hvor R1

(u(t), v(t)

)og det analoge restled, S1

(u(t), v(t)

), opfylder:

lim(u,v)→(0,0)

R1

(u(t), v(t)

)√(u(t)

)2+(v(t)

)2 = lim(u,v)→(0,0)

S1

(u(t), v(t)

)√(u(t)

)2+(v(t)

)2 = 0 (5.14)

Side 51 af 65


Det betyder, at når u(t) og v(t) er små, så er R1

(u(t), v(t)

)og S1

(u(t), v(t)

)meget små. Hvis

de ikke-lineære led, R1

(u(t), v(t)

)og S1

(u(t), v(t)

), fratrækkes ligning (5.13), resulterer det i det

lineære system givet ved:

u′(t) = fx(x∗, y∗)u(t) + fy(x∗, y∗)v(t),

v′(t) = gx(x∗, y∗)u(t) + gy(x∗, y∗)v(t)(5.15)

Idet ligning (5.13) er ækvivalent med det oprindelige ikke-lineære system;

u′(t) = f(x∗ + u(t), y∗ + v(t)),

v′(t) = g(x∗ + u(t), y∗ + v(t))

indikerer betingelserne i ligning (5.14), at det lineariserede system i ligning (5.15) nærmer sig

det ikke-lineære system, når(u(t), v(t)

)er tæt på (0, 0).

Antag nu, at (0, 0) også er et isoleret ligevægtspunkt i ligning (5.15), og at ligning (5.14)er opfyldt. Da siges systemet, x′(t) = f

(x(t), y(t)

), y′(t) = g

(x(t), y(t)

), at være næsten-lineært

i nærheden af det isolerede ligevægtspunkt, (x∗, y∗). Det vil sige, der eksisterer en udprikketkugle med centrum i (x∗, y∗) og radius, r > 0, hvori der ikke er andre ligevægtspunkter. I så falder dets linearisering ved (x∗, y∗), givet ved det lineære system i ligning (5.15). Dette betyder

altså, at denne linearisering er det lineære system, ~u ′(t) = J~u(t), med ~u(t) =

[u(t)v(t)

], hvis

koefficientmatricen er den såkaldte Jacobimatrix givet ved:

J(x∗, y∗) =

[fx(x∗, y∗) fy(x∗, y∗)gx(x∗, y∗) gy(x∗, y∗)

]

Eksempel 13. Linearisering i nærheden af et ligevægtspunktBetragt følgende system af ikke-lineære koblede differentialligninger:

x′(t) = 3x(t)− x(t)2 − x(t)y(t) = x(t)(3− x(t)− y(t)

)y′(t) = y(t) + y(t)2 − 3x(t)y(t) = y(t)

(1 + y(t)− 3x(t)

) (5.16)

Dette system har (1, 2) som ligevægtspunkt, og Jacobimatricen tilhørende ligning (5.16) er:

J(x, y) =

[3− 2x− y −x−3y 1 + 2y − 3x

]

Det vil sige, at Jacobimatricen med punktet (1, 2) er:

J(1, 2) =

[−1 −1−6 2

]Det betyder derfor, at lineariseringen af systemet ved dets ligevægtspunkt, (1, 2), erdet lineære system:

u′(t) = −u(t)− v(t),

v′(t) = −6u(t) + 2v(t)

Side 52 af 65


5.7.1 Stabilitet af ligevægtspunkt i et næsten lineært systemVed at anvende lineariseringen i et ligevægtspunkt i et næsten lineært system, som beskrevet iafsnit 5.7, er det muligt at bestemme typen af ligevægtspunktet i det næsten lineære system udfra stabilitetsforholdet for ligevægtspunktet i det lineariserede system. Dette vil blive beskrevetnærmere i dette afsnit, som er baseret på [2] (s. 508-510).

I afsnit 5.6 på side 45 blev det vist, hvorledes egenværdier kan bruges til at bestemme,om et isoleret ligevægtspunkt er henholdsvis stabilt, asymptotisk stabilt eller ustabilt i et lineærtsystem givet ved ~x′(t) = A~x(t). Den følgende sætning, som postuleres uden bevis, fortællerhvorledes denne metode kan udvides til at bestemme stabilitetsforhold for et ligevægtspunkt iet næsten lineært system.

Sætning 5.9: Stabilitet i næsten lineære systemer ([2] s. 508)

Lad λ1 og λ2 være egenværdierne til koefficientmatricen for det lineære system, givet ved;

dx

dt= a · x(t) + b · y(t) ,

dy

dt= c · x(t) + d · y(t)

(5.17)

med ad− bc 6= 0. Antag at dette system er forbundet med det næsten lineære system:

dx

dt= a · x(t) + b · y(t) +R1(x(t), y(t)) ,

dy

dt= c · x(t) + d · y(t) + S1(x(t), y(t))

(5.18)

Da gælder:

1. Hvis λ1 = λ2 ∈ R, er (0, 0) i ligning (5.18) enten en knude eller et spiralpunkt. Deter asymptotisk stabilt, hvis λ1 = λ2 < 0, og hvis λ1 = λ2 > 0 er det ustabilt.

2. Hvis egenværdierne er rent imaginære og λ = ±qi, er (0, 0) i ligning (5.18) et centrumeller spiralpunkt og kan være stabilt, asympototisk stabilt eller ustabilt.

3. Hvis hverken punkt 1. eller 2. er gældende, er (0, 0) i ligning (5.18) af samme typeog stabilitet som ligevægtspunktet, (0, 0), i ligning (5.17).

Det betyder altså, at hvis de to egenværdier er forskellige og ikke rent imaginære, kan typenog stabiliteten af ligevægtspunktet i det næsten lineære system i ligning (5.18) bestemmesved analyse af det tilhørende lineære system i ligning (5.17). Sammenhængen mellem etligevægtspunkts type og dets egenværdier for det lineariserede system er givet i tabel 5.3.

Side 53 af 65


Egenværdier ilineariseret system

Type af ligevægtspunkt inæsten lineært system Stabilitet

λ1 < λ2 < 0 Uegentligt dræn Asymptotisk stabilt

λ1 = λ2 < 0 Knude eller spiralpunkt Asymptotisk stabilt

λ1 < 0 < λ2 Saddelpunkt Ustabilt

λ1 = λ2 > 0 Knude eller spiralpunkt Ustabilt

λ1 > λ2 > 0 Uegentlig kilde Ustabilt

λ = p± qi med p < 0, q 6= 0 Spiralpunkt Asymptotisk stabilt

λ = p± qi med p > 0, q 6= 0 Spiralpunkt Ustabilt

λ = ±qi med q 6= 0 Centrum eller spiralpunkt Stabilt, asymptotisk stabilteller ustabilt

Tabel 5.3: Sammenhæng mellem egenværdier i et lineariseret system og ligevægtspunkter i et næstenlineært system.

Eksempel 14. Sammenhæng mellem ligevægtspunkter i lineariserede og næstenlineære systemer

Betragt ligningssystemet med ligevægtspunkt i (2, 2):

x′(t) = −28 + 2x(t)2 + 3x(t) + 4y(t) = f(x(t), y(t)

),

y′(t) = −8 + x(t)y(t) + 2y(t) = g(x(t), y(t)

)Altså er den tilhørende Jacobimatrix:

J(x, y) =

[4x+ 3 4y x+ 2

]Jacobimatricen for ligevægtspunktet, (2, 2), er:

J(2, 2) =

[11 42 4

]Det tilhørende lineære system er derfor:

u′(t) = 11u(t) + 4v(t)

v′(t) = 2u(t) + 4v(t)

Dette system har egenværdier λ1 = 12 og λ2 = 3. Derfor vides det, at egenværdierne i detlineariserede system er reelle, positive og forskellige. Altså er ligevægtspunktet, (2, 2), i detnæsten lineære system en ustabil, uegentlig kilde, jævnfør sætning 5.9 og tabel 5.3.

Side 54 af 65


Kapitel 6


Lotka-Volterra modellen er et system bestående af to koblede første ordens differentialligninger,som beskriver forholdet mellem to populationer af arter, byttedyr, x(t), og rovdyr, y(t):

dx

dt=(a− b · y(t)

)x(t),

dy

dt=(− c+ d · x(t)

)y(t)

(6.1)

Byttedyrene er ikke nødvendigvis en dyreart, men kan også være en planteart, og rovdyrene vili så fald være en planteæder. Modellen er begrænset i sin oprindelige form, da det her antages,at der er tale om et lukket økologisk system, hvilket sjældent er tilfældet i naturen. Altså harbyttedyrene uendelige mængder af føde og trues kun af rovdyrene, som til gengæld kun harbyttedyrene som fødekilde. Modellen kan dog stadig anvendes til at give et overblik over detøkologiske system, og i tilfælde hvor begrænsningerne har for stor betydning, kan modelleneventuelt udvides med flere parametre. Det vil dog ikke blive gjort i dette projekt.

6.1 Linearisering af Lotka-Volterra modellenModellens ligevægtspunkter kan findes ved at bestemme løsningen, (x, y), til ligningerne:(

a− b · y)x = 0, (6.2)(

− c+ d · x)y = 0 (6.3)

Det ses for ligning (6.2), at enten er x = 0 eller y =a

b, mens det for ligning (6.3) gælder,

at enten er x =c

deller y = 0. Derfor fås to ligevægtspunkter, nemlig (0, 0) og

( cd,a

b

).

Ligevægtspunkternes type kan bestemmes ved hjælp af linearisering af systemet som beskreveti afsnit 5.7 på side 50, hvor Jacobimatricen anvendes:

J(x, y) =

[a− b · y −b · xd · y −c+ d · x

]

Side 55 af 65


Først ses på Jacobimatricen for ligevægtspunktet, (0, 0):

J(0, 0) =

[a 00 −c

]

Det ses, at J(0, 0) er en diagonalmatrix, hvorfor diagonalerne er dens egenværdier, jævn-før proposition 7.5.4 i [9] (s. 94). Altså er egenværdierne λ1 = a og λ2 = −c. Da a > 0 og −c < 0,har de to egenværdier forskellige fortegn, så ifølge tabel 5.2 er der tale om et ustabilt saddelpunkt.

Jacobimatricen for ligevægtspunktet,( cd,a

b

), er:

J( cd,a

b

)=

0 −b · cd

d · ab

0

Det ses, at den karakteristiske ligning for denne matrix er:

(0− λ)(0− λ)−(−b · c

d· d · ab

)= 0⇒ λ2 +

b · c · d · ad · b

= 0⇒ λ2 + c · a = 0

Når λ isoleres, ses det, at λ = ±i√c · a. Idet egenværdierne er et rent imaginært kompleks-

konjugeret par, er ligevægtspunktet,( cd,a

b

), enten et centrum eller et spiralpunkt, og kan være

stabilt, asymptotisk stabilt eller ustabilt, jævnfør sætning 5.9 på side 53. Altså er en nærmereanalyse nødvendig for at bestemme typen af ligevægtspunktet,

( cd,a

b

).

6.2 Nulkliner i Lotka-Volterra modellenSom beskrevet er ligevægtspunkterne for Lotka-Volterra modellen henholdsvis (0, 0) og

( cd,a

b

).

Dermed bliver x-nulklinerne linjerne x = 0 og y =a

b, og y-nulklinerne bliver linjerne y = 0 og

x =c

d. Da modellen omhandler populationer, er det kun relevant at betragte x, y ≥ 0, hvilket

betyder, at x-nulklinen, y =a

b, og y-nulklinen, x =

c

d, opdeler faseportrættet i fire områder, der

kaldes basisområder, og retningen i disse områder bestemmes.

Først bestemmes retningen af vektorfeltet på y-nulklinen, x =c

d, henholdsvis over og un-

der x-nulklinen, y =a

b. Dette gøres ved brug af et ∆, som indikerer, hvor langt over eller under

x-nulklinen punktet befinder sig. Punktet,( cd,a

b+ ∆

), indsættes i øverste ligning i (6.1):

x′(t) = a · cd− b ·

c

d

(ab

+ ∆)

=a · cd− b · c

d·(ab

+ ∆)

=a · c− c(a+ ∆)

d=−c∆d

Side 56 af 65


Hvis ∆ < 0, befinder punktet sig under x-nulklinen og x′(t) > 0. Det betyder, at vektorernepeger direkte mod højre, hvis punktet befinder sig på y-nulklinen, jævnfør tabel 5.1 på side 39.Ligeledes hvis ∆ > 0, befinder punktet sig over x-nulklinen og x′(t) < 0, hvilket medfører,at vektorerne peger direkte mod venstre, hvis punktet befinder sig på y-nulklinen, jævnførtabel 5.1. Dette betyder derfor, at retningsfeltet peger mod højre over og mod venstre underx-nulklinen.

På samme vis bestemmes retningen i retningsfeltet for x-nulklinen, y =a

b, til højre og

venstre for y-nulklinen, x =c

d, ved ligeledes at anvende ∆, der i dette tilfælde benyttes til

at bestemme, hvor langt til højre eller venstre for y-nulklinen punktet befinder sig. Punktet,( cd

+ ∆,a

b

), indsættes i nederste ligning i (6.1) på side 55:

y′(t) = −c · ab

+ d ·( cd

+ ∆)· ab

=−c · a+ a(c+ ∆)

b=a∆

b

Hvis ∆ < 0, ligger punktet til venstre for y-nulklinen og y′(t) < 0, hvilket betyder, at vektorernei retningsfeltet er aftagende. Tilsvarende hvis ∆ > 0, ligger punktet til højre for y-nulklinen,hvilket betyder, at y′(t) > 0, og dermed er vektorerne i retningsfeltet voksende. Til højre fory-nulklinen peger vektorfeltet altså direkte opad, og til venstre for y-nulklinen peger vektorfeltetdirekte nedad, når punktet befinder sig på x-nulklinen.

Figur 6.1: Retningsfelt og nulkliner for Lotka-Volterra modellen ([14] s. 241).

Af denne analyse kan det konkluderes, at vektorfeltet bevæger sig rundt om ligevægtspunktetmod urets retning, som det ses på figur 6.1. Ud fra dette kan det dog ikke konkluderes, hvorvidtløsningskurverne danner lukkede kredse, udadgående spiraler eller indadgående spiraler. Dermeder det ikke muligt at bestemme typen af ligevægtspunktet,

( cd,a

b

), nærmere ved hjælp af

nulklinerne, end det blev gjort i afsnit 6.1, og yderligere analyse er derfor nødvendigt.

Side 57 af 65


6.3 Grafisk analyse af ligevægtspunktAnalysen af Lotka-Volterra modellen har vist, at (0, 0) er et saddelpunkt. Det er interessant atundersøge ligevægtspunktet,

( cd,a

b

), da dets type endnu ikke er kendt, og da dette ligevægts-

punkt er det eneste, der giver mulighed for sameksistens mellem rovdyr og byttedyr. Retningernei første kvadrant kendes, men typen af ligevægtspunktet,

( cd,a

b

), kan ikke bestemmes ud fra

ovenstående analyse, men det vides, at ligevægtspunktet enten er et centrum eller et spiralpunkt.Derfor vil det i det følgende blive undersøgt, hvorvidt ligevægtspunktet er et centrum eller etspiralpunkt.

Hvordan x og y afhænger af hinanden vil nu blive undersøgt ved at se på forløbet af x(t) ogy(t) i basisområderne opdelt af x-nulklinen, y =

a

b, og y-nulklinen, x =

c

d. Da x′(t) er strengt

voksende over x-nulklinen, jævnfør figur 6.1, vil x(t) være en bijektion, og derved findes densinverse, t = τ(x). Da det vides, at y(t) eksisterer, kan udtrykket for t indsættes i y(t) i områdetover x-nulklinen, så y(τ(x)) = y(x) eksisterer i dette område. Det kan gøres analogt for områdetunder x-nulklinen, hvor x′(t) er strengt aftagende. Altså eksisterer y(x) i hele første kvadrantaf xy-koordinatsystemet. Samtidig ses det, at y′(t) vil være strengt voksende til højre fory-nulklinen, og strengt aftagende til venstre for y-nulklinen. Dermed kan det analogt vises, atx(y) eksisterer i hele første kvadrant af xy-koordinatsystemet.

Forholdet mellem y′(x) og x′(y) undersøges nu. Først ses på:

dy

dx=y(x)

(− c+ d · x

)x(a− b · y(x)

) (6.4)

Der er tale om en separabel ligning, jævnfør afsnit 2.1.1 på side 5, så variablene separeres:

a− b · y(x)

y(x)

dy

dx=−c+ d · x

x

Udtrykket integreres, og venstresiden integreres ved substitution, jævnfør sætning 8.22 i [3] (s.147): ∫ (

a− b · y(x)

y(x)

dy

dx

)dx =

∫ (−c+ d · x

x

)dx

⇓a · ln(|y(x)|)− b · y(x) + c1 = −c · ln(|x|) + d · x+ c2

Integrationskonstanterne samles på højresiden som C∗, og eksponentialfunktionen anvendes påligningen;

ea·ln(|y(x)|)−b·y(x) = e−c·ln(|x|)+d·x+C∗⇒ |y(x)|a · e−b·y(x) = |x|−c · ed·x · C (6.5)

hvor C = eC∗. Det ses, at y(x) ikke kan isoleres, hvorfor ovenstående er en implicit løsning til

ligning (6.4).

Side 58 af 65


Der ses nu på:dx

dy=

x(y)(a− b · y

)y(− c+ d · x(y)

)Den implicitte løsning til denne differentialligning udregnes analogt som ved ligning (6.4), og detfås, at:

|x(y)|−c · ed·x(y) · C = |y|a · e−b·y (6.6)

Da ligning (6.5) og (6.6) er ens, på nær hvilken variabel der anses for at være den uafhængigevariabel, kan både x og y betragtes som uafhængige variable. Derfor kan den implicitte løsningskrives som;

|x|−c · ed·x · C = |y|a · e−b·y

og følgende funktioner kan derfor indføres:

z(y) = |y|a · e−b·y og w(x) = C · |x|−c · ed·x

Der ses på z(y) og w(x) i koordinatsystemet, set i figur 6.2, i henholdsvis anden og fjerdekvadrant, samt på z(y) = w(x) i tredje kvadrant, hvori den lineære sammenhæng er repræsen-teret. Ekstremaerne af funktionerne, z(y) og w(x), definerer området i første kvadrant, hvorpåløsningskurven er begrænset. Ekstremaet for w(x) definerer afgrænsningerne for y-aksen, mensekstremaet for z(y) definerer afgrænsningerne for x-aksen. Denne afgrænsning vil nu bliveundersøgt. Først tages der udgangspunkt i, hvordan w(x) begrænser løsningskurven, jævnfør

Figur 6.2: Koordinatsystem, hvori funktionerne w(x) og z(y) er afbilledet i henholdsvis anden og fjerdekvadrant, samt funktionen z(y) = w(x) i tredje kvadrant. De to nulkliner, x-nulklinen for y = c

dog

y-nulklinen for x = ab, og ligevægtspunktet,

(cd, ab

), hvis type ønskes bestemt, er desuden markeret i

første kvadrant. Figuren er baseret på figur i [8] (s. 25).

Side 59 af 65


figur 6.3. Der ses på fjerde kvadrant, hvor der tages udgangspunkt i w(x)’s minimum. Der føresen vandret linje gennem tredje kvadrant, hvor den skærer funktionen, z(y) = w(x). Fra dettepunkt føres en lodret linje op gennem anden kvadrant, hvor denne skærer funktionen, z(y), togange. Fra hvert af disse to punkter føres en vandret linje gennem første kvadrant, der definererløsningskurvens mindste og største y-værdi, ymin og ymax.

Figur 6.3: Illustration af hvordan afgrænsningenfor y(x) i første kvadrant aflæses ud fra w(x)’sminimum og z(y)’s maksimum, markeret med hen-holdsvis røde og grønne stiplede linjer. De sor-te stiplede linjer er x-nulklinen, y = c

d, og y-

nulklinen, x = ab. Baseret på figur i [8] (s. 25).

Figur 6.4: Illustration af, at y(x) danner en kredsom ligevægtspunktet,

(cd, ab

), hvormed dette punkt

er et centrum med start i begyndelsesværdibetin-gelsen, (x0, y0). Afgrænsningen for y(x) er mar-keret med blå, mens aflæsning af y0 ud fra x0 ermarkeret med rød. Baseret på figur i [8] (s. 25).

Dernæst tages der udgangspunkt i, hvordan z(y) begrænser løsningskurven, jævnfør figur 6.3.Fra maksimummet tilhørende z(y) føres en lodret linje ned gennem tredje kvadrant, hvor denskærer funktionen, z(y) = w(x), og fra dette punkt føres en vandret linje gennem fjerde kvadrant,hvor den skærer w(x) to gange. Til sidst føres en lodret linje fra hvert af disse to punkter opgennem første kvadrant, og disse linjer definerer den mindste og største x-værdi, xmin og xmax.Med disse fire afgrænsninger ses det, at løsningskurven er afgrænset af et rektangulært områdei første kvadrant, jævnfør figur 6.3. Derfor vil der være tale om et centrum, idet løsningskurvenikke kan spiralere, og det vides, at ligevægtspunktet enten er et spiralpunkt eller et centrum fratidligere analyse.

At ligevægtspunktet,( cd,a

b

), er et centrum bekræftes nu ved at se på en vilkårlig be-

gyndelsesværdibetingelse, (x0, y0). Hvis det antages, at dette punkt, (x0, y0), er i basisområdetnederst til højre, så følges retningsvektorerne, jævnfør figur 6.1, og det ses, y(x) er voksende,når x er voksende, indtil yderpunktet,

(xmax,

a

b

)rammes, hvorefter y(x) er voksende, når

x er aftagende. Dette vil fortsætte, indtil yderpunktet,( cd, ymax

), rammes, og herefter er

Side 60 af 65


y(x) aftagende, når x er aftagende, indtil yderpunktet,(xmin,

a

b

), rammes, hvorefter y(x) er

aftagende, når x er voksende. Når yderpunktet,( cd, ymin

)rammes, skifter retningen igen, så

y(x) er voksende, når x er voksende, og der tages nu udgangspunkt i samme basisområde,som punktet for begyndelsesværdibetingelsen er i. Herfra vokser x, indtil førstekoordinaten for(x0, y0) rammes. Det aflæses via funktionerne, w(x), z(w) og z(y), at y(x0) er lig y0, jævnførfigur 6.4. Derfor rammes (x0, y0) igen, og dermed er der tale om en lukket kreds. Det samme gørsig gældende, hvis begyndelsesværdibetingelsen, (x0, y0), er i ét af de tre andre basisområdereller er et af yderpunkterne. Altså er ligevægtspunktet,

( cd,a

b

), et centrum.

Bemærk, at figur 6.4 ikke er et faseportræt for Lotka-Volterra modellen, idet akserne er ændrede.Desuden ses det også, at (0, 0) ikke er et saddelpunkt, som det allerede er bestemt. For grafiskat vise de konklusioner, der er gjort om modellen i dette kapitel, ses der i figur 6.5 et eksempelpå et faseportræt for Lotka-Volterra modellen. Modellen er i denne figur givet ved:

x′(t) = 400x(t)− 8x(t)y(t),

y′(t) = −300y(t) + 4x(t)y(t)

Figur 6.5: Eksempel på Lotka-Volterra modellen med x′(t) = 400x(t)−8x(t)y(t) og y′(t) = −300y(t)+4x(t)y(t) med ligevægtspunkterne (0, 0) og (75, 50).

Side 61 af 65


Det ses, at konstanterne er a = 400, b = 8, c = 300 og d = 4, og det stabile centrum er (75, 50). Detses af figur 6.5, at der er flere løsningskurver til dette system, og disse repræsenterer forskelligebegyndelsesværdibetingelser. Hvis der ingen pludselige ændringer sker i populationerne, hvorindivider fjernes eller tilføres, vil det økologiske system altid følge samme løsningskurve. Hvisindivider fjernes, for eksempel hvis jægere skyder dyr, vil systemet springe til en ny løsningskurveog følge denne, indtil en eventuel ny ændring sker. Hvorvidt det sker til en løsningskurve tætterepå eller længere væk fra det stabile centrum afhænger af, hvornår i perioden individer fjernes.Det ses særligt, at hvis der fjernes individer fra rovdyrpopulationen i et punkt på løsningskurven,der befinder sig over x-nulklinen, y =

a

b, springer systemet til en løsningskurve tættere på det

stabile centrum, og omvendt under samme x-nulklin. Ligeledes, hvis der fjernes individer frabyttedyrspopulationen i et punkt på løsningskurven, der befinder sig til højre for y-nulklinen,x =

c

d, springer systemet til en løsningskurve tættere på det stabile centrum, og omvendt til

venstre for samme y-nulklin.

Side 62 af 65


Kapitel 7

Konklusion

Formålet med denne rapport er at undersøge, hvorvidt Lotka-Volterra modellen har ligevægts-punkter, og i så fald hvilken type de er. Lotka-Volterra modellens ligevægtspunkter er fundet tilat være;

(0, 0) og( cd,a

b

)da det er i disse punkter, at x′(t) = y′(t) = 0. Efter linearisering af Lotka-Volterra modellenved hjælp af Jacobimatricer, er typen af de to ligevægtspunkter bestemt. Egenværdierne forJacobimatricen i ligevægtspunktet, (0, 0), resulterer i et rent imaginært kompleks-konjugeret paraf egenværdier, hvilket betyder, at (0, 0) er et saddelpunkt. Egenværdierne for Jacobimatriceni ligevægtspunktet,

( cd,a

b

), resulterer i ens egenværdier med rent imaginære værdier. Dette

betyder, at ligevægtspunktet enten kan være et centrum eller et spiralpunkt, og efter en grafiskanalyse konkluderes det, at løsningskurverne danner lukkede kredse omkring ligevægtspunktet.Det betyder, at ligevægtspunktet,

( cd,a

b

), er et stabilt centrum.

Side 63 af 65


Litteratur

[1] Duke University: Predator-Prey Models.https://services.math.duke.edu/education/ccp/materials/engin/predprey/pred2.htmlSidst besøgt: 7. oktober 2016.

[2] C. Henry Edwards & David E. Penny: Elementary Differential Equations.Pearson Education Inc., 6. udgave, 2008.

[3] Ebbe Thue Poulsen: Funktioner af en og flere variable - Indledning til matematisk analyse.Institut for Matematik, Aarhus Universitet, 1. udgave, 3. oplag, 2015.

[4] Compiled by Morten Nielsen, Aalborg University: An introduction to Complex Numbers andDifferential Equations.Pearson Education Limited, 2. udgave, 2011.

[5] Nikolaj Hess-Nielsen: Introduktion til Laplace transformen.Sidst revideret marts 2013.http://mikkelhb.dk/FSAE2016/NHess_Laplace.pdfSidst besøgt: 15. december 2016.

[6] William Briggs, Lyle Cochran & Bernard Gillett: Calculus Early Transcendentals.Pearson Education Limited, 2. udgave, 2015.

[7] Bernd S. W. Schröder: A Workbook for Differential Equations.Wiley, 1. udgave, 2010.

[8] Karl Gustav Andersson & Lars-Christer Böiers: Ordinära differential-ekvationer.Studentlitteratur, 2. udgave, 1992.

[9] Isaiah Lankham, Bruno Nachtergaele & Anne Schilling: Linear Algebra As an Introductionto Abstract Mathematics.University of California, sidst opdateret den 2. januar, 2016.

[10] Lawrence E. Spence, Arnold J. Insel & Stephen H. Friedberg: Elementary Linear Algebra -A Matrix Approach.Pearson Education Inc., 2. udgave, 2008.

[11] Dr. David Butler: Facts About Eigenvalues.https://www.adelaide.edu.au/mathslearning/play/seminars/evalue-magic-tricks-handout.pdfSidst besøgt: 15. december 2016.

Side 64 af 65


[12] Bard Ermentrout: Nullclines and phaseplanes.http://www.math.pitt.edu/∼bard/classes/mth3380/pplect.pdfSidst besøgt: 9. december 2016.

[13] Horia Cornean: Notes for Analyse 1 and Analyse 2.Sidst revideret 9. april 2015.http://people.math.aau.dk/∼cornean/analyse2_F15/noter-analyse1og2-9-04-2015.pdfSidst besøgt: 15. december 2016.

[14] Morris W. Hirsch, Stephen Smale & Robert L. Devaney: Differential equations, dynamicalsystems, and an introduction to chaos.Elsevier, 2. udgave, 2004.

Side 65 af 65

lotka -volterra modellen - aalborg universitetdenne afhængighed er beskrevet ved lotka-volterra...

Documents