Construcciones Geomtricas- Efran Soto Apolinar

CO N S T RU CC I O N E S GE O M T R I C A SEfran Soto ApolinarT R M I N O S D E U S ODerechos Reservados c

2010.Todos los derechos reservados a favor de Efran Soto Apolinar.Soto Apolinar, Efran. Construcciones Geomtricas. Primera edicin.Mxico. 2010.Apreciado lector, usted puede sentirse libre de utilizar la informacin que se en- cuentra en este material, bajo las siguientes condiciones:Atribucin: Debe dar crdito al autor del libro, independientemente del medio que se utilice para su divulgacin (impresa, electrnica, en lnea, etc.)Uso no comercial: No se permite el uso de este material ni de su contenido con fines comerciales y/o lucro en forma alguna. Puede utilizarlo con fines educativos o de divulgacin de las ciencias. Se permite el uso por instituciones educativas pblicas o privadas sin fines de lucro, con la condicin de que no se aplique cargo, ni en especie ni en moneda, ni en cualquier otra forma, a los usuarios finales de este material, sean estos profesores, autoridades educati- vas, estudiantes o pblico en general interesado en la enseanza y/o el apren- dizaje de las matemticas.No Modificar: No se permite alterar, transformar, modificar, en forma alguna este material. Usted tiene permiso para utilizarlo como est y es. No se per- mite ni agregar, ni eliminar, ni modificar: palabras, u oraciones, o prrafos, o pginas, o subsecciones, o secciones, o captulos o combinaciones de las anteriores o parte alguna del libro.Permisos: Puede contactar al autor de este material directamente a la cuenta de correo electrnico que aparece en los crditos. Si usted tiene una copia de este libro en formato PDF y desea publicarlo en algn sitio de Internet, primero solicite permiso al autor a travs de un mensaje a la cuenta de correo electrnico que aparece en los crditos. No requiere de permiso alguno para imprimir una copia de este material para uso personal.Responsabilidad: Ni el autor, ni el editor son responsables de cualquier prdida o riesgo o dao (causal, incidental o cualquier otro), ocasionado debido al uso o interpretacin de la informacin que se incluye en este material.Versin Electrnica de distribucin gratuita.Estrictamente prohibido el uso comercial de este material.iiiPrefacioEste cuaderno consiste en la compilacin de las construcciones geomtricas que se incluyen en el sitio de Internet:http://www.aprendematematicas.org.mx/En la seccin: Tutoriales/Construcciones Geomtricas.La idea de compartir este material se justifica en que algunos profesores no tienen acceso permanente a Internet, de manera que pueden descargar este material e im- primirlo para poder continuar su capacitacin en la geometra plana, especfica- mente en las construcciones con regla y comps.En verdad espero que este material le permita prepararse mejor y ensear las matemti- cas con mayor impacto en sus estudiantes, es decir, de una manera ms atractiva.Le agradezco infinitamente respetar los trminos de uso de este material.Efran Soto ApolinarMonterrey, N.L., Mxico.Mayo de 2010.www.aprendematemticas.org.mx Efrain Soto A.ndice de contenidosTrminos de uso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiPrefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiiConstrucciones bsicas1

Trazar un tringulo equiltero dado un lado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

Trazar una perpendicular a una recta por uno de sus puntos . . . . . . . . . . .4

Trazar una perpendicular a una recta por un punto externo . . . . . . . . . . . .6

Trazar la mediatriz de un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

Trazar el punto medio de un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

Construccin del simtrico de un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

Construccin de un cuadrado dado uno de sus lados . . . . . . . . . . . . . . . . .10

Construccin de un segmento de una longitud dada . . . . . . . . . . . . . . . . .12

Construccin de la suma de dos segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

Construccin de la diferencia de dos segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

Trazar una bisectriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

Hacer una copia de un ngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

Suma de dos ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

Diferencia de dos ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

Construir un tringulo dados un ngulo interno y dos lados adyacentes . . .16

Construir un tringulo dados dos ngulos y el lado que comparten . . . . . . .17

Construir un tringulo dados sus tres lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

Trazar una paralela a una recta por un punto dado . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

Dividir un segmento en n segmentos congruentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

Trazar la circunferencia circunscrita a un tringulo . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

Trazar la circunferencia inscrita a un tringulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

Trazar la circunferencia que pasa por tres puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

Trazar la circunferencia dado un arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

Ubicar el centro de una circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

Trazar un ngulo de 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

Trazar un ngulo de 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

Trazar un ngulo de 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

Trazar un hexgono regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

Trazar un rectngulo ureo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

Trazar una espiral urea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

Trazar un pentgono regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

Trazar un decgono regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

Trazar un octgono regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

Trazar un dodecgono regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

Crditos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

www.aprendematemticas.org.mx Efrain Soto A.1Construcciones ba sicaswww.aprendematemticas.org.mx Efrain Soto A. 1.1. Trazar un tringulo equiltero dado un ladoTR I N G U LO E QU I L T E ROAquel tringulo que tiene todos sus lados de la misma medida.

1.1Definicin 1.1.1

Tringulo equilteroEmpezamos trazando uno de sus lados que servir de base para el tringulo:A BAhora trazamos una circunferencia con centro en cada uno de los extremos del segmento que pase por el otro extremo.Es decir, el radio de la circunferencia es igual a la longitud del segmento.A BEl punto de interseccin de las dos circunferencias es el tercer vrtice del tringulo equiltero.Trazamos los segmentos AC y B C para obtener el tringulo equiltero:CA B 1.2

1.2. Trazar una perpendicular a una recta por uno de sus puntos

Definicin 1.2.1

RE C TA S P E R P E N D I C U L A R E SDos rectas son perpendiculares si al cortarse forman cuatro ngulos de la misma medida.

`2Vamos a trazar la perpendicular a la recta dada `1 por uno de sus puntos. Empezamos dibujando la recta a la cual se le trazar la perpendicular:`1PCon ayuda del comps vamos a trazar dos arcos que corten la recta `1 apoyndonos en el punto P , como se muestra enseguida:`1PA Bdonde A y B son los puntos de interseccin del arco con la recta `1 .Ahora vamos a trazar, con una mayor abertura del comps, dos arcos que se corten, apoyndonos primero en el punto A y luego en B .Q`1PA BEl punto de interseccin de los arcos es QAhora basta unir los puntos P y Q para obtener la recta `2 perpendicular a `1 :`1 `2Q`1PA B`2Y terminamos. 1.3

1.3. Trazar una perpendicular a una recta por un punto ex- terno

Empezamos dibujando la recta a la cual se le trazar la perpendicular:

P`1La perpendicular debe pasar por el punto P , que es externo a la recta `1 dada.Apoyando el comps en el punto P trazamos dos arcos que corten la recta `1 como se muestra enseguida:P`1A Bdonde A y B son los puntos de interseccin del arco con la recta `1 .Ahora vamos a trazar, con el mismo radio, apoyndonos primero en A y luego en Bdos arcos que se corten.P`1A BQEl punto de interseccin de los dos arcos se llama Q . Trazamos la recta que pasa por los puntos P y Q .`1 `2 P`1A BQ`2Y terminamos. 1.4. Trazar la mediatriz de un segmento

1.4ME D I AT R I ZLa mediatriz de un segmento es la recta que es perpendicular al segmento y que pasa por su punto medio.

Definicin 1.4.1

BMALos puntos A y B son extremos del segmento y el punto M es el punto medio de stos.Ahora vamos a trazar una mediatriz a un segmento dado.Empezamos mostrando el segmento al cual trazaremos la mediatriz:BACon el comps abierto ms que la mitad de la longitud del segmento, trazamos arcos de mismo radio que se corten mutuamente, apoyndonos primero en A y luego en B como se muestra enseguida:BAAhora solo falta trazar la recta que pasa por los puntos de interseccin de los arcos para obtener la mediatriz del segmento A B :

BMAMediatriz 1.5. Trazar el punto medio de un segmento

Utilizando la construccin anterior, vemos que el punto M indicado es el punto medio del segmento A B .

1.5BMAMediatriz 1.6. Construccin del simtrico de un puntoEmpezamos con el punto P y la recta:

1.6

`PTrazamos una perpendicular a la recta ` que pase por el punto P . (ver construccin 3)

`PQ

El punto Q es la interseccin de la recta ` y la perpendicular que pasa por P .Finalmente, trazamos una circunferencia con centro el punto Q que pase por P :

P 0

`PQ

1.7

El punto P 0 es el punto simtrico de P respecto a la recta `. 1.7. Construccin de un cuadrado dado uno de sus lados

Empezamos con uno de los lados del cuadrado:

A BConstruimos una perpendicular a cada extremo del lado dado: ( Ver construccin 2)A BTrazamos una circunferencia con centro en A primero, luego en B y con radio igual a la longitud del lado:A BLos puntos P y Q de interseccin de cada circunferencia con las perpendiculares son los otros vrtices del cuadrado:P QA B 1.8

1.8. Construccin de un segmento de una longitud dadaConstruir un segmento de una longitud dada en una recta, a partir de un punto es muy sencillo:1. Medimos la distancia con el comps.2. Apoyndonos en el punto sobre la recta, marcamos un arco con la distancia medida.A BP B 0 ` 1.9

El segmento P B 0 es el buscado. 1.9. Construccin de la suma de dos segmentos1. Primero construimos uno de los segmentos en la recta dada2. Y luego el segundo.A B C D 1.10

P B 0 D 0 `

1.10. Construccin de la diferencia de dos segmentos1. Primero construimos el ms largo de los segmentos en la recta dada:2. Y luego, apoyndonos en D 0 trazamos una circunferencia con radio de longitud del segmento ms corto:A B C DP Q D 0 `El segmento PQ es el buscado. 1.11. Trazar una bisectriz

1.11BI S E C T R I ZRecta que divide a un ngulo en dos ngulos de la misma medida. En otras palabras, la bisectriz es el eje de simetra del ngulo.

Definicin 1.11.1

Ahora vamos a trazar bisectriz del ngulo dado.Empezamos mostrando el ngulo al cual trazaremos la bisectriz:Primero abrimos el comps para dibujar dos arcos de mismo radio que corten, uno a cada lado del ngulo:BAdonde A y B son las intersecciones.Ahora, apoyndonos en cada punto de interseccin generados con estos trazos, volvemos a trazar dos arcos de mismo radio, que se corten entre ellos.B QAAhora solo falta trazar la recta que pasa por el vrtice del ngulo y el punto Q :

B QA

1.12

Y terminamos. 1.12. Hacer una copia de un ngulo

1. Primero construimos un rayo que servir de lado para el ngulo a copiar.2. Y luego, una circunferencia con centro en el vrtice del ngulo a copiar.3. Con ese mismo radio, dibujamos una circunferencia con centro en un extremo del segmento que dibujamos.4. Ahora medimos con el comps la distancia entre las intersecciones de la circun- ferencia con los lados del ngulo.5. Y con esa abertura del comps apoyndonos en la interseccin de la circunferen- cia con el segmento cortamos a la circunferencia.Finalmente, trazamos el otro lado del ngulo. 1.13. Suma de dos ngulos

1. Empezamos copiando el primero de los dos ngulos( Ver construccin 12)2. Y luego, tomando como base un lado del ngulo copiado, copiamos el otro ngulo.3. Y terminamos.

1.13

+ = 1.14

1.14. Diferencia de dos ngulos

1. Empezamos copiando el primero de los dos ngulos( Ver construccin 12)2. Y luego, tomando como base el lado inicial del ngulo copiado, copiamos el otro ngulo.3. Y terminamos. 1.15

=

1.15. Construir un tringulo dados un ngulo interno y dos lados adyacentes

1. Empezamos copiando el primer lado del tringulo( Ver construccin 8)2. Y luego copiamos el ngulo entre los dos lados adyacentes( Ver construccin 12) 4. Ahora copiamos la longitud del segundo lado. ( Ver construccin 8)5. Finalmente, trazamos el lado faltante que va de los extremos de los lados conoci- dos del tringulo. 1.16. Construir un tringulo dados dos ngulos y el lado que comparten

1. Empezamos copiando el primer lado del tringulo( Ver construccin 8)2. Y luego copiamos el primer ngulo en un extremo del lado( Ver construccin 12)

1.16

4. Ahora copiamos el segundo ngulo. ( Ver construccin 12)5. Y hemos terminado. 1.17

1.17. Construir un tringulo dados sus tres lados

1. Empezamos copiando el primer lado del tringulo( Ver construccin 8)2. Y luego trazamos una circunferencia con centro en un extremo del lado y con radio igual al segundo lado.

4. Y luego trazamos una circunferencia con centro en el otro extremo del lado y con radio igual al tercer lado.5. El punto de interseccin de las dos circunferencias es el tercer vrtice del trin- gulo. 1.18. Trazar una paralela a una recta por un punto dado1. Trazamos una perpendicular a la recta dada que pase por el punto P dado( Ver construccin 3)2. Y luego trazamos una perpendicular a la recta trazada por el punto P del lado y con radio igual al segundo lado.( Ver construccin 2)

1.18P` k `0

`0

`

1.19. Dividir un segmento en n segmentos congruentes

1. Empezamos dibujando el segmento A B a dividir.2. Ahora trazamos un rayo con punto incial en el extremo A del segmento dado.3. Con un radio fijo, trazamos n segmentos congruentes sobre el rayo, empezando en A .

1.19

A B4. Conectamos la ltima divisin con B .5. Paralelo a este segmento traza rectas que pasen por cada divisin y corten al segmento A B6. Los puntos de interseccin de estas rectas con el segmento A B son los que dividen al segmento en n segmentos congruentes. 1.20

A 1 2 3 4 B

1.20. Trazar la circunferencia circunscrita a un tringulo

1. Empezamos dibujando el tringulo dado.2. Ahora trazamos las mediatrices de dos lados del tringulo.3. El punto de interseccin de las dos mediatrices es el centro de la circunferencia circunscrita al tringulo. 1.21. Trazar la circunferencia inscrita a un tringulo

1. Empezamos dibujando el tringulo dado.2. Ahora trazamos las bisectrices de dos ngulos del tringulo.3. El punto de interseccin de las dos bisectrices es el centro de la circunferencia inscrita al tringulo.

1.214. Ahora trazamos una perpendicular a un lado que pase por el punto de intersec- cin de las dos bisectrices ( Ver construccin 3)5. La circunferencia inscrita pasa por el pi de la perpendicular.

1.22. Trazar la circunferencia que pasa por tres puntos

1. Empezamos dibujando el tringulo con vrtices en los puntos dados.2. Ahora trazamos las mediatrices de dos lados del tringulo.3. El punto de interseccin de las dos mediatrices es el centro de la circunferencia circunscrita al tringulo.

1.22 1.23

1.23. Trazar la circunferencia dado un arco

1. Empezamos dibujando el arco dado.2. Ahora ubicamos tres puntos sobre el arco.

3. Finalmente, trazamos la circunferencia que pasa por esos tres puntos. ( Ver construccin 22) 1.24. Ubicar el centro de una circunferencia

1. Empezamos trazando la circunferencia dada.2. Ahora ubicamos tres puntos sobre la circunferencia.3. Usando la construccin 22 podemos encontrar el centro de la circunferencia. ( Ver construccin 22)

1.24C 1.25. Trazar un ngulo de 601. Empezamos trazando una circunferencia.2. Con el mismo radio, apoyando el comps en cualquier punto de la circunferen- cia, trazamos un arco que corte a la circunferencia.3. Finalmente, unimos los tres puntos.

1.25

60C 1.26 1.26. Trazar un ngulo de 301. Empezamos trazando un ngulo de 60( Ver construccin 25)2. Ahora trazamos la bisectriz del ngulo. ( Ver construccin 11) 1.27

60 30 1.27. Trazar un ngulo de 151. Empezamos trazando un ngulo de 30( Ver construccin 26)2. Ahora trazamos la bisectriz del ngulo. ( Ver construccin 11)

1.28

30 15 1.28. Trazar un hexgono regular1. Empezamos trazando una circunferencia2. Ahora con el mismo radio, trazamos un arco apoyndonos en cualquier punto de la circunferencia.3. Con el mismo radio, trazamos arcos apoyndonos en el corte del ltimo arco con la circunferencia. 1.29. Trazar un rectngulo ureo

1. Empezamos trazando un cuadrado. ( Ver Construccin 7)2. Encontramos el punto medio M de su base. ( Ver construccin 5)3. Trazamos una circunferencia con centro en M que pase por el vrtice opuesto al lado del cuadrado.

1.29

M4. Extendemos la base hasta que corte a la circunferencia.5. Este segmento es la base del rectngulo ureo.La altura del rectngulo ureo es la altura del cuadrado. Ahora podemos trazar el rectngulo ureo.M 1.30

1.30. Trazar una espiral urea

1. Empezamos trazando un rectngulo ureo ( Ver construccin 29)2. Trazamos un arco de 90 como se indica en la figura.3. Trazamos los siguientes arcos como se indican en la figura.

1.31

Observa que cada vez vamos dibujando cuadrados dentro de cada rectngulo ureo que vamos formando conforme avanzamos en la construccin. 1.31. Trazar un pentgono regular1. Empezamos trazando una circunferencia.2. Ahora trazamos dos perpendiculares se corten en el centro de la circunferencia.3. Encontramos el punto medio M indicado en la figura. ( Ver construccin 5)M4. Ahora apoyndonos en M abrimos el comps hasta que corte la interseccin de la circunferencia y la recta vertical.5. Con este mismo radio, y apoyndonos en M cortamos la recta horizontal.6. La distancia entre N y P es la longitud del lado del pentgono regular.PM N7. Medimos esta distancia con el comps y la utilizamos para encontrar los dems vrtices del pentgono.PM 1.32

1.32. Trazar un decgono regular

1. Empezamos trazando un pentgono regular ( Ver construccin 31).2. Ahora encontramos el punto medio de cada uno de sus lados.3. Encontramos la interseccin de la recta que pasa por el centro de la circunferen- cia y el punto medio de cada lado con la circunferencia.4. Esos puntos son los otros cinco vrtices del decgono regular. 1.33

1.33. Trazar un octgono regular

1. Empezamos trazando un cuadrado ( Ver construccin 7) y una circunferencia con centro en la interseccin de las diagonales del cuadrado que pase por uno de sus vrtices.2. Ahora encontramos el punto medio de cada uno de sus lados.3. Encontramos la interseccin de la recta que pasa por el centro de la circunferen- cia y el punto medio de cada lado con la circunferencia.4. Esos puntos son los otros vrtices del octgono regular.

1.34. Trazar un dodecgono regular

1. Empezamos trazando un hexgono regular ( Ver construccin 28)2. Ahora encontramos el punto medio de cada uno de sus lados.3. Encontramos la interseccin de la recta que pasa por el centro de la circunferen- cia y el punto medio de cada lado con la circunferencia.4. Esos puntos son los otros vrtices del octgono regular.

1.34CR D I TO SAutor: Efran Soto ApolinarProductor general: Efran Soto ApolinarDireccin y coordinacin editorial: Efran Soto ApolinarEdicin: Efran Soto ApolinarComposicin tipogrfica: Efran Soto Apolinar Diseo de portada: Efran Soto Apolinar Diseo de figuras: Efran Soto ApolinarRevisin tcnica: 15 de mayo de 2010 (Elaborada por el autor)Ao de edicin: 2 010Ao de publicacin: 2 010ltima revisin: 15 de mayo de 2 010.ltima modificacin: 16 de mayo de 2 010.Software utilizado: En la edicin, diseo y composicin tipogrfica de este material se han utilizado los siguientes programas:Apreciado lector, agradezco sus comentarios, sugerencias y correcciones a la cuenta de correo electrnico:efra.soto.a@gmail.comUsted puede descargar esta compilacin de construcciones geomtricas elementales de manera gratuita del siguiente sitio de Internet:http://www.aprendematematicas.org.mx/Gracias por respetar los trminos de uso de este material.Uno

`2`1 `1

LATEX 2"

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Diseo de figuras, encabezados y diagramas.pgfPlotsGrficas y diagramas.TEXnicCenterEdicin del cdigo fuente LATEX 2" .