luiz a. b. san martin 29 de mar˘co de 2020lino/alglie0.pdf · 5 8 algebras semi-simples....

Algebras de Lie

Luiz A. B. San Martin

29 de marco de 2020

Sumario

Prefacio 11

Prefacio da segunda edicao 15

1 Conceitos basicos 171.1 Definicao e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2 Generalidades algebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2.1 Morfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.2 Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2.3 Quocientes e teoremas de isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.4 Soma direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2.5 Extensao do corpo de escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3 Representacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.3.1 Representacao adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.3.2 Construcoes com representacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.3.3 Decomposicoes de representacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.3.4 Lema de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.4 Derivacoes e produtos semidiretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.4.1 Derivacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.4.2 Produtos semidiretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.5 Series de composicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.5.1 Serie derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.5.2 Serie central descendente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.6 Algebras soluveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.7 Algebras nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.8 Radicais soluveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.9 Algebras simples e algebras semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.10 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2 Algebras nilpotentes e soluveis 592.1 Algebras nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.1.1 Representacoes nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.1.2 Decomposicoes de Jordan de representacoes . . . . . . . . . . . 64

2.2 Algebras soluveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4

2.3 Radicais nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3 Criterios de Cartan 79

3.1 Derivacoes e suas decomposicoes de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.2 Criterios de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.3 Aplicacoes as algebras semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4 Subalgebras de Cartan 103

4.1 Subalgebras de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.2 A abordagem algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.3 Apendice: Teorema da aplicacao aberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5 Cohomologia 125

5.1 Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.2 Interpretacoes de H1 e H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.2.1 Existencia de complementares e H1 . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.2.2 Extensoes abelianas e H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.2.3 Representacoes afins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.3 Lemas de Whitehead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.4 Teoremas de Weyl e Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.4.1 Teorema de decomposicao de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.4.2 Teorema de decomposicao de Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.5 Algebras redutıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6 Algebras semi-simples 149

6.1 Representacoes de sl(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.2 Subalgebras de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6.3 A formula de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.4 Sistemas simples de raızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

6.5 Matrizes de Cartan e diagramas de Dynkin . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6.5.1 Matrizes de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6.5.2 Diagramas de Dynkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

7 Diagramas de Dynkin 181

7.1 Classificacao dos diagramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

7.2 Realizacoes dos diagramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

7.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

5

8 Algebras semi-simples. Complementos 1958.1 Algebras isomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1958.2 Algebras classicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2048.3 Subalgebras semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2138.4 Algebras excepcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

8.4.1 Construcao de G2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2158.4.2 E6, E7 e E8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2248.4.3 F4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

8.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

9 Grupos de Weyl 2379.1 Sistemas de raızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2379.2 Grupos de Weyl e sistemas simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2469.3 Decomposicoes minimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2489.4 Camaras de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2539.5 Automorfismos de Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2599.6 Elementos de ordem 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2639.7 Os grupos de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

9.7.1 Diagramas excepcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2759.8 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

10 Algebras envelopantes 28110.1 Algebras universais envelopantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28110.2 Teorema de Ado e complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28910.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

11 Representacoes de algebras semi-simples 29911.1 Representacoes irredutıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29911.2 Representacoes fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31411.3 Algebras de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32111.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

12 Algebras semissimples reais 33512.1 Formas reais e algebras simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33512.2 Formas reais compactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34412.3 Decomposicoes de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35312.4 Abelianos maximais e formas reais normais . . . . . . . . . . . . . . . . 35712.5 Algebras classicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36112.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

13 Algebras semissimples reais nao compactas 36913.1 Subalgebras de Cartan distinguidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36913.2 Diagramas de Satake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37713.3 Subalgebras de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38113.4 Algebras classicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

13.4.1 Formas reais de Al = sl (n,C), n = l + 1 . . . . . . . . . . . . . 39113.4.2 Formas reais de Bl = so (2l + 1,C) . . . . . . . . . . . . . . . . 39813.4.3 Formas reais de Cl = sp (l,C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39813.4.4 Formas reais de Dl = so (2l,C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

13.5 Apendice: princıpio do maximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39813.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

14 Sistemas de raızes com involucoes 40114.1 Sistemas restritos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40114.2 Diagramas de Satake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

14.2.1 Diagramas Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41414.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

15 Algebras simples reais. Classificacao 43115.1 Automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43115.2 Sistemas de raızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43815.3 Diagramas de Satake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44315.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454

16 Representacoes de algebras reais 45716.1 Tipos de representacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45716.2 Representacoes conjugadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46116.3 Indice de representacoes autoconjugadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 46616.4 Algebras semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46816.5 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47516.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

A Algebra Linear 479A.1 Quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479A.2 Decomposicao primaria e formas de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . 480A.3 Formas bilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481A.4 Espacos reais e complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

A.4.1 Formas de Jordan reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484A.4.2 Realificacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

A.5 Algebra tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

Referencias bibliograficas 493

Indice 497

Para

Nita,

Chica eZenesto

com carinho

Prefacio

O objetivo deste livro e oferecer um texto introdutorio as algebras de Lie. O mate-rial apresentado fornece ao leitor os princıpios fundamentais das algebras de Lie dedimensao finita, desde as primeiras nocoes ate resultados profundos que envolvem aclassificacao e as representacoes das algebras semi-simples.

As algebras de Lie formam o aparato basico do que e conhecido genericamentepor teoria de Lie. Essa teoria teve suas origens por volta de 1870 a partir da ideia,aparentemente singela, de abordar as equacoes diferenciais sob o mesmo ponto de vistaque o adotado por Galois para equacoes algebricas. O programa, lancado por SophusLie e Felix Klein, consistia em estudar as equacoes diferenciais via seus grupos desimetrias. Esse programa colocou em evidencia os grupos contınuos de transformacoespara os quais foi criada, ao longo dos anos, uma extensa teoria com ramificacoes nasmais diversas areas da matematica e de suas aplicacoes.

A alavanca basica na criacao desse vasto corpo do conhecimento matematico foi adescoberta, feita por S. Lie, dos grupos infinitesimais ou – como se diz hoje em dia –das algebras de Lie. Os resultados pioneiros da teoria, que foram posteriormente deno-minados de teoremas de Lie, estabelecem a relacao entre os grupos de transformacoes– denominados atualmente grupos de Lie – e as algebras de Lie, atraves da aplicacaoexponencial. Esses teoremas mostraram desde cedo uma das caracterısticas da teoriade Lie que e a de contrapor os conceitos complementares de grupos e algebras de Lie.Os grupos de Lie tem uma natureza geometrica enquanto que as algebras de Lie saoobjetos algebricos por excelencia.

Este livro considera apenas as algebras de Lie. Virtualmente o unico pre-requisitonecessario para sua leitura e a algebra linear, tanto no que diz respeito a linguagemquanto aos resultados preliminares. Boa parte dos argumentos se reduzem, em ultimainstancia, a uma aplicacao do teorema das formas canonicas de Jordan. Alias, osconceitos e resultados da teoria das algebras de Lie de dimensao finita estendem osda algebra linear, formando uma continuacao natural da mesma. Com o objetivo desituar o leitor foi incluıdo, ao final do livro, um apendice sobre algebra linear, onde saocomentados os principais resultados e a terminologia utilizada ao longo do texto.

Os diferentes capıtulos contem uma introducao que descreve o seu conteudo. Econveniente, no entanto, fazer aqui um comentario sobre os mesmos. No capıtulo 1 saointroduzidos os conceitos, a terminologia a ser usada ao longo de todo o texto. Sualeitura e imprescindıvel aqueles que se deparam com as algebras de Lie pela primeiravez. Este capıtulo e recheado de exemplos: quase nenhum conceito e apresentado semser acompanhado dos exemplos que melhor o representem. O capıtulo 2 apresenta dois

11

12 Prefacio

resultados que remontam os primordios da teoria das algebras de Lie. Eles descrevem,por alto, as algebras nilpotentes e as algebras soluveis como sendo – em essencia –algebras de matrizes triangulares superiores. Esses sao os teoremas de Engel e de Lie,que aparecem de forma recorrente nos desenvolvimentos posteriores. Ja o capıtulo 3 ededicado aos criterios de Cartan. Esses criterios servem para decidir se uma algebra deLie e soluvel ou semi-simples, em termos de uma forma bilinear na algebra – a formade Cartan-Killing. Eles desempenharam um papel fundamental tanto nos trabalhos deElie Cartan de classificacao das algebras simples quanto nos trabalhos posteriores deformalizacao da teoria. O conceito de subalgebra de Cartan e onipresente na teoriadas algebras semi-simples. Esse conceito e introduzido no capıtulo 4, cujo resultadoprincipal e o teorema que garante que duas subalgebras de Cartan arbitrarias saoconjugadas entre si por um automorfismo da algebra. Esse resultado e demonstrado deduas formas diferentes: uma delas, de natureza mais concreta, restrita a algebras sobreo corpo dos reais (ou complexos) e outra para corpos arbitrarios. Nessas demonstracoesaparecem um dos poucos casos, ao longo de todo o texto, em que e necessario lancarmao de recursos que extrapolam o contexto da algebra linear. A demonstracao, nocaso das algebras reais, se utiliza do teorema das funcoes implıcitas; ja o caso geralrequer resultados de geometria algebrica que generalizam, para funcoes polinomiais, oteorema da funcao implıcita. O capıtulo 5 contem uma introducao a cohomologia dasalgebras de Lie. O termo introducao aqui deve ser tomado ao pe da letra, ja que logoapos as definicoes o objetivo e dirigido a demonstracao de dois teoremas que fazemparte do folclore da teoria. Sao eles o teorema de Weyl sobre as representacoes dasalgebras semi-simples e o teorema de Levi que decompoe uma algebra de Lie arbitrariacomo soma direta de uma algebra semi-simples e uma algebra soluvel. Esses teoremassao demonstrados a partir dos lemas de Whitehead sobre cohomologias de algebrassemi-simples.

Com os cinco primeiros capıtulos se conclui o trabalho arduo de fundamentacao dateoria das algebras de Lie. A partir daı, com o domınio da linguagem, o leitor podeapreciar os seus valores esteticos. Os capıtulos 6 e 7 apresentam o cerne de uma dasmais belas teorias em voga nos dias de hoje: a teoria de Killing e Cartan de classificacaodas algebras simples. Essa teoria tira o leitor, entre surpreso e atonito, de uma posturaabstrata e geral e o transporta a um mundo habitado por seres especiais como osangulos de 120, 135 e 150 ou os numeros inteiros ±1, ±2 e ±3. Esses capıtulossao complementados pelo capıtulo 8, onde, por um lado, se concluem alguns aspectosformais da classificacao e, por outro, sao apresentadas as algebras simples de formaconcreta. Essas se constituem das algebras classicas, que sao realizadas como algebrasde matrizes, e das algebras excepcionais. O capıtulo 9 e, em princıpio, independentedas algebras de Lie. Sao estudados aı certos grupos de transformacoes lineares geradospor reflexoes, os grupos de Weyl. No entanto, esses grupos proporcionam uma visaopanoramica dos sistemas de raızes, em cima dos quais e feita a classificacao das algebrassimples. Alem do mais, os grupos de Weyl aparecem como uma ferramenta importantenos desenvolvimentos posteriores.

Os nove primeiros capıtulos formam o corpo central da teoria das algebras de Liede dimensao finita. A partir daı existem bifurcacoes e o leitor pode escolher o cami-

Prefacio 13

nho de acordo com seus interesses. Uma possibilidade e a teoria de representacao dasalgebras semi-simples. Uma introducao a essa teoria e feita no capıtulo 11 onde saoapresentados os teoremas sobre as representacoes com pesos maximos e sao caracteri-zadas as representacoes irredutıveis de dimensao finita das algebras semi-simples sobrecorpos algebricamente fechados. Essas representacoes sao dadas por conjuntos finitosde inteiros nao-negativos e dentre elas sao selecionadas algumas – ditas fundamentais– a partir das quais se obtem as demais representacoes via o produto tensorial. As re-presentacoes fundamentais das algebras classicas sao apresentadas com detalhes. Issoexigiu que se fizesse uma discussao sobre as algebras de Clifford, uma vez que algumasdas representacoes das algebras das matrizes anti-simetricas sao spinoriais. A teoriade representacao de algebras semi-simples e imensa, sendo ainda hoje em dia um ob-jeto de pesquisa. Nesse sentido, o conteudo do capıtulo 11 e apenas introdutorio enao discute assuntos relevantes como, por exemplo, os carateres das representacoes dedimensao finita. A leitura do capıtulo 11 requer o teorema de Poincare-Birkhoff-Wittsobre algebras universais envelopantes, que e o objetivo principal do capıtulo 10. Nessecapıtulo foi incluıdo ainda o teorema de Ado sobre representacoes de dimensao finitade algebras de Lie.

Numa outra vertente, os capıtulos 12 a 16 sao dedicados as algebras semi-simplesreais. O capıtulo 12 contem as construcoes basicas tais como a das formas reais com-pactas e a decomposicao de Cartan de uma algebra real nao-compacta. O materialdeste capıtulo e suficiente para a leitura de boa parte dos textos que envolvem algebrassemi-simples reais como, por exemplo, a literatura sobre espacos simetricos ou a es-trutura dos grupos de Lie semi-simples nao-compactos. Independente disso, o capıtulo12 abre caminho para a classificacao das algebras simples reais que e feita nos doiscapıtulos subsequentes. A abordagem adotada aqui para essa classificacao, que nao ea mais comum na literatura do genero, consiste em determinar os diagramas de Sa-take, o que e feito no capıtulo 14, com a classificacao propriamente dita sendo feitano capıtulo 15. Por fim, o capıtulo 16 e dedicado a representacao das algebras semi-simples reais nao-compactas. O que se faz aı nao e uma classificacao detalhada dessasrepresentacoes, mas apenas uma indicacao de como essas representacoes sao extraıdasdas representacoes das algebras complexas correspondentes.

Os capıtulos todos sao acompanhados de listas de exercıcios. A maioria deles saoresolvidos por uma aplicacao direta dos resultados do texto e tem o proposito, comoem qualquer lista de exercıcios, de auxiliar o leitor a desenvolver uma intuicao sobreo assunto. Alguns dos exercıcios, porem, contem resultados relevantes e interessantes,que por uma razao ou outra nao encontraram espaco no texto, mas foram incluıdoscomo exercıcios para efeito de informacao ao leitor. Muitos desses exercıcios tem umademonstracao envolvente e por isso eles aparecem com sugestoes detalhadas ou comuma referencia a literatura.

Ao final de muitos capıtulos foi incluıda uma secao intitulada “Notas”, que contemcomentarios adicionais sobre a teoria, principalmente de carater historico e bibliogra-fico. Essas notas nao tem pretensao a erudicao e servem apenas para dar algumasindicacoes dos caminhos (e descaminhos) percorridos no desenvolvimento da teoria.O fato e que a historia da teoria de Lie e amplamente documentada, com diversos

14 Prefacio

textos acessıveis (veja, por exemplo, Borel [5], Cartan [6], Fritzsche [17], Hawkins [19]e Wussing [52]); torna-se irresistıvel reproduzir algumas de suas passagens.

As referencias bibliograficas procuram fornecer um amplo espectro de textos e ar-tigos de pesquisa sobre a teoria de Lie, nao se restringindo as algebras de Lie especifi-camente. Ao percorre-la o leitor encontrara referencias aos grupos de Lie, aos gruposalgebricos, a teoria de representacao (de dimensao finita ou infinita), a teoria de semi-grupos de Lie e a aplicacoes da teoria de Lie.

Este livro foi escrito ao longo dos ultimos quatro ou cinco anos. Durante esseperıodo tive a oportunidade de utilizar parte do material em cursos de pos-graduacaono Instituto de Matematica (Imecc) da Unicamp, para estudantes de mestrado e dou-torado. Nesses cursos (semestrais) adotava como conteudo mınimo os capıtulos de 1a 7 e parte dos capıtulos 8 (incluindo as algebras classicas) e 9; dependendo das cir-cunstancias, apresentava uma exposicao mais detalhada do capıtulo 9 ou o capıtulo 11(incluindo os pre-requisitos da secao 10.1) ou ainda o capıtulo 12 sobre algebras semi-simples reais. Espero que esta experiencia sirva como sugestao aqueles que pretendamutilizar este texto em algum projeto didatico envolvendo a teoria de Lie.

Por fim, gostaria de expressar meus agradecimentos as diversas pessoas que, de al-guma forma, participaram da confeccao deste livro, apresentando sugestoes, apontandodiversas falhas nas versoes preliminares e manifestando o seu apoio. Em particular,sou grato a todos estudantes que participaram dos cursos de algebras de Lie no Imecc.Agradeco em especial a colaboracao de meus amigos e colegas Carlos Braga Barros,Jose Adonai Seixas, Marco Antonio Fernandes, Marcelo Firer, Osvaldo do Rocio, PauloRuffino e Pedro Catuogno.

Barao Geraldo, fevereiro, 1999Luiz A. B. San Martin

Prefacio da 2a edicao

Para esta edicao o texto original foi revisado e algumas (poucas) modificacoes foramfeitas. As mais significativas estao nos capıtulos 4 (subalgebras de Cartan) e 5 (coho-mologia). A abordagem algebrica da secao 4.2 se iniciava com a demonstracao doteorema da aplicacao aberta da geometria algebrica (e fatos relacionados). Essa de-monstracao foi colocada na nova secao 4.3, como um apendice ao capıtulo 4. Agora asecao 4.2 inclui apenas a demonstracao geral da conjugacao das sugalgebras de Cartan,usando livremente o teorema da aplicacao aberta. Ja no capıtulo 5 a subsecao 5.2.3,sobre representacoes afins, foi reescrita e ampliada. O texto original estava imprecisoe incompleto.

Afora isso foram feitas modificacoes localizadas, tais como a inclusao de uma ououtra proposicao ou corolario para melhor explicitar afirmacoes que poderiam passardesapercebidas. Isso sem contar, e claro, os inevitaveis erros de impressao ou digitacao.Foram incluıdos tambem novos exercıcios ao final dos capıtulos.

Agradeco a todos da comunidade de professores e estudantes que manifestaram oapreco pela primeira edicao, alguns de forma calorosa. Agradeco tambem aos alunose professores que usaram o livro ao longo desses dez anos e apontaram defeitos eapresentaram sugestoes.

Barao Geraldo, setembro de 2009Luiz A. B. San Martin

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Capıtulo 1

Conceitos basicos

Este e um capıtulo introdutorio, formado em sua maior parte pelas definicoes dosconceitos que formam a linguagem basica da teoria das algebras de Lie. Esses con-ceitos sao fartamente ilustrados por exemplos que devem servir de guia na leitura doscapıtulos subsequentes. Os resultados (proposicoes, teoremas etc.) incluıdos aqui naotem um carater profundo e servem, em sua maioria, para dar continuidade a exposicaoe articular entre si os diferentes conceitos.

1.1 Definicao e exemplos

Uma maneira natural de iniciar um texto sobre algebras de Lie e, sem duvida, com adefinicao do que vem a ser uma algebra de Lie. Por isso,

Definicao 1.1 Uma Algebra de Lie consiste de um espaco vetorial g munido de umproduto ( colchete ou comutador)

[ , ] : g× g −→ g

com as seguintes propriedades:

1. e bilinear,

2. anti-simetrico, isto e, [X,X] = 0 para todo X ∈ g (o que implica [X, Y ] =−[Y,X] para todo X, Y ∈ g e e equivalente se o corpo de escalares nao e decaracterıstica dois) e

3. satisfaz a identidade de Jacobi , isto e, para todo X, Y, Z ∈ g,

[X, [Y, Z]] + [Z, [X, Y ]] + [Y, [Z,X]] = 0.

Esta igualdade pode ser reescrita alternativamente de uma das duas formas

(a) [X, [Y, Z]] = [[X, Y ], Z] + [Y, [X,Z]]

17

18 Capıtulo 1. Conceitos basicos

(b) [[X, Y ], Z] = [[X,Z], Y ] + [X, [Y, Z]].

Existem razoes especiais para escrever a identidade de Jacobi nestas formas; vejaa seguir representacoes adjuntas e derivacoes de algebras de Lie.

Em geral, uma algebra e um espaco vetorial g munido de um produto, isto e, umaaplicacao de g×g a valores em g. Qualquer aplicacao deste tipo que mereca o nome deproduto deve ser bilinear. A anti-simetria e a identidade de Jacobi sao caracterısticasdas algebras de Lie. Outros tipos de algebras tem outros tipos de propriedades que adefinem. Existem por exemplo as algebras associativas , para as quais a propriedadeadicional e x(yz) = (xy)z. Aqui convem observar que o colchete de Lie nao e, em geral,associativo, pois em qualquer circunstancia [[X,X], Y ] = 0 e no entanto [X, [X, Y ]] nemsempre se anula.

Existe uma grande variedade de exemplos de algebras de Lie, todos eles interessan-tes, desde o ponto de vista da teoria em si como das aplica coes desta teoria aos gruposde Lie. Antes de ver alguns destes exemplos, no entanto, e conveniente introduzir anocao, obvia, de subalgebra de Lie.

Definicao 1.2 Seja g uma algebra de Lie. Uma subalgebra de g e um subespaco veto-rial h de g que e fechado pelo colchete, isto e, [X, Y ] ∈ h se X, Y ∈ h.

Evidentemente, uma subalgebra de Lie e uma algebra de Lie com a estrutura her-dada pela estrutura de g.

Exemplos: A maioria dos exemplos que serao apresentados aqui sao de subalgebrasda algebra de Lie das transformacoes lineares. Por isso, o primeiro exemplo deve ser:

1. gl(n,K) : o espaco de todas as transformacoes lineares de um espaco vetorial dedimensao n sobre o corpo K que e o mesmo que o espaco das matrizes n×n comcoeficientes em K. O colchete e dado por

[X, Y ] = XY − Y X

com X e Y matrizes. Estas algebras aparecerao adiante com bastante frequencia.Muitas vezes elas serao indicadas por gl(n) apenas, sem especificar o corpo quandoeste nao for relevante. Da mesma forma, a algebra das transformacoes linearesde um espaco vetorial V sera denotada por gl(V ).

Este exemplo se estende para espacos de transformacoes lineares de espacos ve-toriais que nao sao de dimensao finita, com o colchete dado da mesma forma pelocomutador. Um exemplo mais geral ainda e formado pela seguinte famılia dealgebras de Lie.

2. Algebras de Lie provenientes de algebras associativas : Seja A uma algebra asso-ciativa e em A defina o colchete pelo comutador

[x, y] = xy − yx x, y ∈ A.

Este colchete define em A uma estrutura de algebra de Lie.

1.1. Definicao e exemplos 19

3. Algebras abelianas : [ , ] = 0. Neste caso, a estrutura de algebra de Lie naoacrescenta nada a estrutura de espaco vetorial.

Exemplos de algebras abelianas

(a) Se dim g = 1, g e abeliana.

(b) Todo subespaco de dimensao 1 de uma algebra de Lie qualquer e uma sub-algebra abeliana.

(c) O espaco das matrizes diagonais e uma subalgebra abeliana de gl(n,K).

(d) O espaco das matrizes da formaa1 −b1

b1 a1

. . .

ak −bkbk ak

,

como subalgebra de gl(2k,K), e uma algebra abeliana.

Todo subespaco de uma algebra abeliana e uma subalgebra.

4. Subalgebras de gl(n,K):

(a) so (n,K) = X ∈ gl (n,K) : X + X t = 0 onde X t indica a transposta damatriz X.

O espaco das matrizes simetricas

X ∈ gl(n,K : X = X t

nao e subalgebra se n ≥ 2, pois se X e Y sao sime tricas, entao [X, Y ] eanti-simetrica.

(b) sl(n,K) = X ∈ gl(n,K) : trX = 0. Como no caso de gl(n), muitas vezesse denotara estas algebras apenas por sl(n).

(c) O subespaco das matrizes triangulares superiores com zeros na diagonal

X ∈ gl (n,K) : X =

0 ∗. . .

0 0

e uma subalgebra.

(d) O subespaco das matrizes triangulares superiores

X ∈ gl(n,K) : X =

a1 ∗. . .

0 an

e uma subalgebra.


(e) sp (n,K) = X ∈ gl(2n,K) : XJ + JX t = 0 onde J e escrito em blocosn× n como

J =

(0 −11 0

)com 0 representando a matriz nula e 1 a matriz identidade n × n. Paraver que este subespaco e de fato uma subalgebra, observe em primeiro lugarque J2 = −1 e, portanto, X ∈ sp (n,K) se e so se X t = JXJ . Se X, Y ∈sp (n,K), entao

[X, Y ]t = (XY − Y X)t

= −X tY t + Y tX t

= −JXJ2Y J + JY J2XJ= J(XY − Y X)J= J [X, Y ]J,

isto e, [X, Y ] ∈ sp (n,K).

(f) so (p, q,K) = X ∈ gl (n,K) : XJ + JX t = 0 onde

J =

(−1p×p 0

0 1q×q

).

Para ver que este subespaco e uma subalgebra, procede-se como no exemploanterior, utilizando o fato de que J2 = 1 e, portanto, que X ∈ so (p, q,K)se e so se X t = −JXJ . Os casos p = 0 ou q = 0 se reduzem a so (n).

(g) u (n) = X ∈ gl(n,C) : X + Xt

= 0 onde X e a matriz obtida de X porconjugacao de suas entradas.

Este conjunto nao e um subespaco vetorial complexo de gl (n,C) (por exem-

plo, iX + (iX)t

= iX − iXt, que em geral e nao-nulo). Mas e subespaco

vetorial real de gl(n,C) quando este e considerado como espaco vetorial so-bre R. u(n) e algebra de Lie sobre o corpo dos reais (nao e difıcil verificarque e fechado pelo colchete). Ela e denominada de a lgebra unitaria por sera algebra de Lie do grupo das matrizes unitarias.

(h) su(n) = X ∈ u(n) : trX = 0.

5. Algebras de dimensao ≤ 2 :

(a) dim g = 1. Entao, g e abeliana.

(b) dim g = 2. Existem duas possibilidades

i. g e abeliana

ii. Existe uma base X, Y de g tal que

[X, Y ] = Y

1.2. Generalidades algebricas 21

e a partir daı, o colchete de dois elementos quaisquer de g e dado por

[aX + bY, cX + dY ] = (ad− bc)[X, Y ] = (ad− bc)Y.

De fato, suponha que g nao seja abeliana e tome uma base X ′, Y ′de g. Entao, [X ′, Y ′] 6= 0, pois caso contrario g seria abeliana. SejaY ′′ = [X ′, Y ′] e escolha X ′′ tal que X ′′, Y ′′ seja base de g. Entao,X ′′ = aX ′ + bY ′, Y ′′ = cX ′ + dY ′ e

[X ′′, Y ′′] = αY ′′

com α 6= 0 (pois X ′′, Y ′′ e base e daı que se α = 0 a algebra seriaabeliana). Os elementos X = 1

αX ′′ e Y = Y ′′ formam a base requerida.

As algebras de Lie

g = (a b0 −a

): a, b ∈ K e g =

(a b0 0

): a, b ∈ K

sao exemplos concretos de algebras bidimensionais nao-abelianas. 2

1.2 Generalidades algebricas

As generalidades algebricas, a que se refere o tıtulo desta secao, sao as nocoes demorfismo, quociente, produto etc. Essas nocoes fazem sentido e funcionam da mesmaforma para uma grande variedade de estruturas algebricas e serao catalogadas, a seguir,para as algebras de Lie.

1.2.1 Morfismos

Definicao 1.3 Uma transformacao linear ψ : g→ h (com g e h algebras de Lie) e um

• homomorfismo se ψ[X, Y ] = [ψX,ψY ];

• isomorfismo se for um homomorfismo inversıvel;

• automorfismo se e um isomorfismo e g = h.

As algebras g e h sao isomorfas se existe um isomorfismo ψ : g→ h.

Exemplos:

1. Os homomorfismos entre as algebras abelianas sao as transformacoes lineares.Duas algebras abelianas sao isomorfas se e so se elas tem a mesma dimensao.

2. Se ψ : g → h e homomorfismo e h e abeliana entao kerψ contem todos oselementos da forma [X, Y ], X, Y ∈ g, pois ψ[X, Y ] = [ψX,ψY ] = 0.


3. A aplicacao tracotr : gl(n,K) −→ K

e um homomorfismo, pois tr(XY − Y X) = 0 para quaisquer transformacoeslineares X, Y e, portanto, tr[X, Y ] = 0 = [trX, trY ], ja que K, por ser dedimensao um, e uma algebra abeliana.

4. Seja P uma transformacao linear inversıvel do espaco vetorial V . Entao, a con-jugacao por P

A ∈ gl(V ) 7−→ PAP−1 ∈ gl(V )

e um automorfismo de gl(V ). 2

Uma forma de verificar que algebras de Lie de dimensao finita sao isomorfas eatraves do colchete entre elementos de suas bases. Seja g uma algebra de Lie eX1, . . . , Xn uma base de g. Tomando dois elementos Xi, Xj desta base, o colcheteentre eles [Xi, Xj] pode ser escrito como combinacao linear

[Xi, Xj] =∑k

ckijXk .

Os coeficientes ckij sao denominados de constantes de estrutura da algebra em relacaoa base. Estas constantes determinam a algebra, a menos de isomorfismo. De fato, seja huma algebra de Lie com uma base Y1, . . . , Yn com as mesmas constantes de estruturackij que g. Seja tambem a transformacao linear ψ: g→ h tal que ψ(Xi) = Yi. Entao,

ψ[X, Y ] =∑ijk

aibjckijψ (Xk) =∑ij

aibj[Yi, Yj] = [ψX,ψY ]

onde ai e bj; i, j = 1, . . . , n sao as coordenadas de X e Y respectivamente em relacaoa base de g. Isto mostra que ψ e um isomorfismo e, portanto, que g e h sao isomorfas.

As constantes de estrutura satisfazem as igualdades para todo i, j, k,m:

ckij = −ckji∑l

(clijc

mlk + cljkc

mli + clkic

mlj

)= 0

com a primeira delas devido a anti-simetria do colchete e a segunda a identidade deJacobi. Reciprocamente, pode-se verificar que dadas as constantes ckij satisfazendoessas duas igualdades, elas sao as constantes de estrutura de uma algebra de Lie, istoe, partindo de uma base X1, . . . , Xn de um espaco vetorial, definindo [Xi, Xj] = ckijXk

e estendendo por bilinearidade, obtem-se uma algebra de Lie no espaco vetorial cujasconstantes de estrutura sao ckij.

Estes fatos nao sao nada surpreendentes e dizem apenas que para conhecer umaalgebra de Lie, a menos de isomorfismo, e suficiente conhecer os colchetes dos elementosde uma base. A partir daı, pode-se incluir mais um exemplo na lista anterior.

Exemplo: A menos de isomorfismo, existem apenas duas algebras de Lie de di-mensao dois. Uma delas e a abeliana e a outra e a que admite uma base X, Y talque [X, Y ] = Y . 2


1.2.2 Ideais

Definicao 1.4 Um subespaco h ⊂ g e um ideal se

∀Y ∈ h, X ∈ g, [X, Y ] ∈ h,

isto e,

[g, h] = ger[X, Y ] : X ∈ g, Y ∈ h ⊂ h.

E claro que todo ideal e subalgebra. Nem toda subalgebra, no entanto, e ideal.

Por exemplo, o subespaco de sl(2,R) gerado por

(1 00 −1

)e uma subalgebra por ser

unidimensional. Nao e, porem, um ideal pois

[

(1 00 −1

),

(0 10 0

)] =

(0 20 0

).

Todo subespaco de uma algebra abeliana e um ideal.

As propriedades da soma e da interseccao de ideais e subalgebras estao catalogadasna seguinte tabela onde h1 e h2 denotam subespacos de uma algebra de Lie g:

h1 h2 h1 + h2 h1 ∩ h2

ideal ideal ideal idealsubalgebra ideal subalgebra subalgebrasubalgebra subalgebra ? subalgebra

Para verificar essa tabela, basta recorrer as definicoes. O sinal ? significa que a somade duas subalgebras nao e, em geral, uma subalgebra. Uma situacao tıpica e a somade dois subespacos unidimensionais. Cada um deles e uma subalgebra e, no entanto,o colchete entre eles pode sair do subespaco de dimensao dois que os contem. Por

exemplo, sejam h1 e h2 os subespacos de sl(2,R) gerados por

(1 00 −1

)e

(0 11 0

)respectivamente. Como

[

(1 00 −1

),

(0 11 0

)] =

(0 2−2 0

),

h1 + h2 nao e subalgebra.

Seja ψ : g → h um homomorfismo. As seguintes afirmacoes sao de verificacaoimediata

• kerψ e um ideal.

• imψ e uma subalgebra.


1.2.3 Quocientes e teoremas de isomorfismo

Definicao 1.5 Seja g uma algebra de Lie e h ⊂ g um ideal. No espaco vetorialquociente g/h, defina

[X,Y ] = [X, Y ],

onde X denota a classe X + h.

Como e usual, na construcao de quocientes, deve-se mostrar que a definicao docolchete e independente dos representantes X e Y e define em g/h uma estruturade algebra de Lie. A verificacao desses fatos pode ser feita diretamente sem maioresproblemas. Alem do mais, a projecao canonica

π : g −→ g/hX 7−→ X

e um homomorfismo sobrejetor de algebras de Lie.Nessa construcao, e imprescindıvel que h seja um ideal. Se for apenas uma sub-

algebra, o colchete no quociente nao fica bem definido; diferentes representantes daodiferentes colchetes.

Relacionado com os homomorfismos e as algebras quocientes, existem os

Teoremas de isomorfismo:

1. Seja ψ : g→ h um homomorfismo. Entao,

g/ kerψ ≈ imψ.

O isomorfismo e dado por X ∈ g/ kerψ 7→ ψ(X) ∈ imψ. A demonstracao desteteorema e a usual.

2. Sejam g algebra de Lie e h1, h2 ⊂ g ideais de g . Entao,

(h1 + h2)/h1 ≈ h2/h1 ∩ h2.

O isomorfismo e obtido passando ao quociente o homomorfismo

x1 + x2 ∈ h1 + h2 7→ x2 ∈ h2/h1 ∩ h2.

Exemplos:

1. Suponha que g se escreve como soma direta

g = h1 + h2

com h1 ideal e h2 subalgebra. Entao, g/h1 ≈ h2. O isomorfismo e dado porX ∈ h2 7→ X ∈ g/h1.


2. O subconjuntoz = a1 ∈ gl(n,K) : a ∈ K

e um ideal de gl(n,K) pois a identidade comuta com todas as transformacoeslineares. Alem do mais, gl(n,K) = z⊕ sl(n,K) e daı que, pelo exemplo anterior,gl(n,K)/z ≈ sl(n,K)

3. Sejam

g = X ∈ gl(3,K) : X =

0 ∗ ∗0 0 ∗0 0 0

e

h = X ∈ gl(3,K) : X =

0 0 ∗0 0

0

.h e ideal de g pois para todo X ∈ h, Y ∈ g, [X, Y ] = 0. O quociente g/h e umaalgebra abeliana bidimensional pois dados X, Y ∈ g, [X, Y ] ∈ h. A algebra g econhecida como algebra de Heisenberg. 2

1.2.4 Soma direta

Definicao 1.6 Sejam g1, . . . , gn algebras de Lie e

g = g1 ⊕ · · · ⊕ gn

sua soma direta como espacos vetoriais. Isto e, g = g1 × · · · × gn com a estruturavetorial produto. Para X = (X1, . . . , Xn) e Y = (Y1, . . . , Yn), a expressao

[X, Y ] = ([X1, Y1], . . . , [Xn, Yn])

define em g uma estrutura de algebra de Lie em que a i-esima componente e um idealisomorfo a gi.

De forma semelhante, pode-se definir o produto direto e a soma direta de infinitostermos.

1.2.5 Extensao do corpo de escalares

Sejam g uma algebra de Lie sobre um corpo K e K uma extensao de K. Seja tambem gKo espaco vetorial sobre K extensao de g. Os elementos de gK sao da forma X =

∑aiXi

com ai ∈ K, Xi ∈ g. Para X =∑aiXi, Y =

∑bjYj ∈ gK, defina

[X, Y ] =∑

aibj[Xi, Yj] ∈ gK.

Esse colchete define em gK uma algebra de Lie, como pode ser verificado facilmente.Formalmente, o espaco vetorial gK e definido como o produto tensorial sobre K, gK =


g⊗K K que contem g por X ∈ g 7→ X ⊗ 1 ∈ g⊗K e e um espaco vetorial sobre K pora(X ⊗ b) = X ⊗ ab se X ∈ g e a, b ∈ K.

Exemplos:

1. gl (n,C) e (isomorfo a) gl (n,R)C pois X ∈ gl(n,C) e da forma X =∑ajXj, Xj ∈

gl(n,R), aj ∈ C. O mesmo ocorre com os demais exemplos 1.1 (exceto u (n) esu (n)); o complexificado das algebras obtidas com K = R e, em cada um doscasos, a mesma algebra, mas com K = C.

2. Seja u(n) a algebra unitaria, que e uma algebra de Lie sobre R. Entao, u (n)C eisomorfa a gl(n,C). De fato, X ∈ gl (n,C) pode ser escrito como X = A+B comA e B matrizes complexas e A anti-simetrica (At = −A) e B simetrica (Bt = B)(tome A = (X −X t)/2 e B = (X +X t)/2). Tem-se A = A1 + iA2 com A1 e A2

anti-simetricas reais (i =√−1). Da mesma forma, B = B1 + iB2 com B1 e B2

simetricas reais. Como matrizes do tipo A+iB com A e B reais, A anti-simetricae B simetrica pertencem a u(n), qualquer elemento de gl(n,C) pode ser escritocomo Z + iW com Z,W ∈ u(n), e daı a afirmacao. 2

1.3 Representacoes

Seja V um espaco vetorial e gl(V ) a algebra de Lie das transformacoes lineares de V .Seja tambem g uma algebra de Lie (sobre o mesmo corpo de escalares que V ). Umarepresentacao de g em V e um homomorfismo

ρ : g −→ gl(V ).

Na terminologia usual, V se denomina o espaco da representacao enquanto quesua dimensao e a dimensao da representacao. Uma representacao ρ e dita fiel seker ρ = 0.

A nocao de representacao vem da ideia de descrever (representar) as algebras de Liecomo algebras de transformacoes lineares. No caso das representacoes fieis, g ≈ im ge, portanto, a algebra pode ser vista como uma subalgebra de transformacoes lineares(ou matrizes se a dimensao e finita). Essa ideia de considerar algebras de Lie comosubalgebras de transformacoes lineares e realizada, pelo menos ao nıvel teorico, paraas algebras de Lie de dimensao finita. Isso se deve a um resultado bastante conhecido– o teorema de Ado, que sera considerado no capıtulo 10 – que afirma que toda algebrade Lie de dimensao finita admite uma representacao fiel tambem de dimensao finita.

Exemplos:

1. Se g ⊂ gl(V ) e subalgebra, a inclusao define, trivialmente, uma representacao deg em V denominada representacao canonica.

1.3. Representacoes 27

2. Seja g a algebra de Lie de dimensao dois nao-abeliana e tome uma base X, Y de g tal que [X, Y ] = Y . A unica transformacao linear ρ : g → gl(n,K) quesatisfaz

ρ(X) =

(1/2 00 −1/2

)ρ(Y ) =

(0 10 0

)define uma representacao fiel de g . Sua imagem e

im ρ = (a b0 −a

): a, b ∈ K.

Esta representacao e a que fornece uma das realizacoes apresentadas anterior-mente para estas algebras bidimensionais nao-abelianas.

3. A aplicacao

(a bc −a

)∈ sl(2,K) 7−→

2a −2b 0−c 0 b0 2c −2a

∈ gl(3,K)

e uma representacao de sl (2). De fato, seja a base X,H, Y de sl(2,K) onde

X =

(0 10 0

)H =

(1 00 −1

)Y =

(0 01 0

).

Suas constantes de estrutura sao dadas por

[H,X] = 2X [H,Y ] = −2Y [X, Y ] = H.

As imagens dos elementos desta base formam uma base de im ρ que tem asmesmas constantes de estrutura.

4. Seja C∞(Rn) o espaco das aplicacoes f : Rn → Rn de classe C∞. Para A ∈gl(n,R), defina ρ(A) : C∞(Rn)→ C∞(Rn) por

(ρ(A)f)(x) = dfx(Ax) x ∈ Rn;

onde dfx denota a diferencial de f em x, isto e, ρ(A)f e a derivada de f na direcaode Ax. Nao e difıcil verificar que ρ define uma representacao. 2

Um modulo sobre uma algebra de Lie g e um espaco vetorial V juntamente comuma operacao de multiplicacao g × V → V , denotada por (X, v) 7→ Xv, que satisfaz,para X, Y ∈ g, u, v ∈ V e um escalar x, as seguintes propriedades:

1. (X + Y ) v = Xv + Y v,

2. X (u+ v) = Xu+Xv,

3. xXv = X (xv),


4. [X, Y ]v = XY v − Y Xv.

Em um modulo V cada X ∈ g define uma aplicacao linear de V por multiplicacaoa esquerda

v ∈ V 7−→ Xv ∈ V.

Em virtude das propriedades de modulo, essas aplicacoes lineares definem uma repre-sentacao de g em V . Vice-versa, dada uma representacao ρ de g em V , o produtog× V → V dado por

(X, v) 7−→ Xv = ρ (X) v

define um modulo sobre g. Em outras palavras, os conceitos de modulo e de repre-sentacao sao equivalentes.

1.3.1 Representacao adjunta

Para um elemento X na algebra de Lie g, considere a transformacao linear

ad(X) : g −→ g

definida por ad(X)(Y ) = [X, Y ]. A aplicacao

ad : X ∈ g 7−→ ad(X) ∈ gl (g)

define uma representacao de g em g, denominada representacao adjunta. O fato dead ser linear provem da bilinearidade do colchete. Ja a propriedade de homomor-fismo de ad e equivalente a identidade de Jacobi. De fato, a igualdade ad([X, Y ]) =ad(X) ad(Y )− ad(Y ) ad(X) e a mesma que

[[X, Y ], Z] = [[X,Z], Y ] + [X, [Y, Z]]

para todo Z ∈ g. Esta expressao e exatamente uma das formas da identidade de Jacobiapresentada na definicao de algebras de Lie.

O nucleo da representacao adjunta e denominado de centro de g e e denotado porz (g):

z (g) = X ∈ g : ad(X)(Y ) = [X, Y ] = 0 para todo Y ∈ g.

Isto e, o centro de uma algebra de Lie e o conjunto de seus elementos que comutamcom todos os seus elementos. A terminologia aqui segue a da teoria de grupos comotoda a terminologia da teoria de algebras de Lie. Evidentemente, z (g) e um ideal de g.

De forma mais geral, o centralizador de um subconjunto A ⊂ g e definido comosendo

z(A) = Y ∈ g : ∀X ∈ A, [X, Y ] = 0.

E claro, o centralizador de g e o proprio centro (e, portanto, a notacao e consis-tente). Por outro lado, o centralizador de um conjunto unitario X e precisamenteo nucleo ker ad(X). Alem do mais, o centralizador do conjunto A e a interseccao dos


centralizadores de seus elementos, o que acarreta que o centralizador decresce com oaumento do conjunto.

Para qualquer A ⊂ g, z(A) e uma subalgebra, pois se X, Y ∈ z(A) e Z ∈ A, entao

[[X, Y ], Z] = [[X,Z], Y ] + [X, [Y, Z]] = 0,

pela identidade de Jacobi. No entanto, z(A) nem sempre e um ideal como ocorre como centro.

Antes de ver alguns exemplos, e conveniente que se faca o seguinte comentario sobrenotacoes: se h ⊂ g e uma subalgebra e X ∈ h, a notacao ad(X) pode significar tantouma transformacao linear de g quanto de h. Muitas vezes e necessario distinguir essesdois casos. Quando isso ocorre, o usual e indicar a algebra com um subındice. Porexemplo, adh(X) e uma transformacao linear de h.

Exemplos:

1. A representacao adjunta de uma algebra abeliana g e trivial, isto e, para todoX ∈ g, ad(X) = 0.

2. A representacao do exemplo 3 da pagina 27 e a representacao adjunta de sl(2,K);as matrizes de ad(X), ad(H) e ad(Y ) na base X,H, Y sao, respectivamente, 0 −2 0

0 0 10 0 0

2 0 00 0 00 0 −2

0 0 0−1 0 00 2 0

.

3. Seja

g = X ∈ gl(3,K) : X =

0 ∗ ∗0 0 ∗0 0 0

a algebra de Heisenberg. Tome a base X, Y, Z com

X =

0 1 00 0 00 0 0

Y =

0 0 00 0 10 0 0

Z =

0 0 10 0 00 0 0

.

Suas constantes de estrutura sao dadas por [X, Y ] = Z e os outros colchetes saotodos nulos. Daı que ad(Z) = 0 e as matrizes de ad(X) e ad(Y ) na base dadasao

[ad(X)] =

0 0 00 0 00 1 0

[ad(Y )] =

0 0 00 0 0−1 0 0

.

O centro z (g) e o subespaco gerado por Z e coincide com o ideal apresentadono exemplo 3 da pagina 25. Como foi mencionado naquele exemplo, g/z (g) euma algebra abeliana. Fato este que pode ser verificado diretamente a partir doscolchetes descritos acima.


4. Sejam g a algebra nao-abeliana bidimensional e X, Y uma base de g tal que[X, Y ] = Y . Nesta base, as matrizes de ad(X) e ad(Y ) sao

[ad(X)] =

(0 00 1

)[ad(Y )] =

(0 0−1 0

).

A representacao adjunta e dada, portanto, por

[ad(aX + bY )] =

(0 0−b a

)que e, sem duvida, uma representacao fiel, isto e, o centro desta algebra e trivial.

5. Em gl (n,K) seja Eij a matriz cuja i, j-esima entrada e 1 e as demais sao todasnulas. Seja H a matriz diagonal

H = diagλ1, . . . , λn.

Entao, ad(H)Eij = (λi−λj)Eij. Como Eiji,j=1,...,n forma uma base de gl(n,K),ad(H) e diagonalizavel e os seus autovalores sao λi−λj, i, j = 1, . . . , n, associadosaos autovetores Eij respectivamente. O centralizador de H contem a subalgebradas matrizes diagonais e coincide com essa subalgebra se e so se λi 6= λj paratodo i 6= j. 2

1.3.2 Construcoes com representacoes

Representacoes equivalentes

Sejam ρ1 e ρ2 duas representacoes de uma mesma algebra de Lie g nos espacos V1

e V2 respectivamente. Elas sao ditas equivalentes se existe um isomorfismo linearP : V1 → V2 tal que

ρ2(X) P = P ρ1(X) (1.1)

para qualquer X ∈ g. Vice-versa, dados uma representacao ρ1 e um isomorfismo linearP , definindo ρ2 a partir da expressao acima, obtem-se uma representacao isomorfa aρ1. O isomorfismo P que realiza a equivalencia entre as representacoes e denominadooperador de intercambio entre ρ1 e ρ2.

De maneira mais geral, se ρ1 e ρ2 satisfazem (1.1) com P linear, diz-se que P e umaaplicacao entre as representacoes ρ1 e ρ2.

Soma direta de representacoes

Sejam g uma algebra de Lie e ρ1, . . . , ρn representacoes de g em V1, . . . , Vn, respectiva-mente. Defina

ρ : g −→ gl(V1 ⊕ · · · ⊕ Vn)

por ρ(X) = ρ1(X) ⊕ · · · ⊕ ρn(X). Entao, como pode ser verificado sem maiores pro-blemas, ρ define uma representacao em V1 ⊕ · · · ⊕ Vn denominada de soma direta dasrepresentacoes ρi. Em forma de matrizes, ρ se escreve em blocos como


ρ =

ρ1. . .

ρn

.

Produto tensorial de representacoes

Sejam g uma algebra de Lie e ρi, i = 1, . . . , n representacoes de g em Vi. Defina

ρ : g −→ gl(V1 ⊗ · · · ⊗ Vn)

porρ(X) = ρ1(X)⊗ 1⊗ · · · ⊗ 1 + · · · + 1⊗ · · · ⊗ ρn(X) (1.2)

onde 1 representa a identidade em cada um dos espacos. Entao, como pode serverificado diretamente a partir das definicoes, ρ define uma representacao de g emV1 ⊗ · · · ⊗ Vn. Este e o produto tensorial das representacoes.

No caso particular em que n = 2 o produto tensorial e

ρ(X)(u⊗ v) = ρ(X)u⊗ v + u⊗ ρ(X)v.

Vale a pena observar que a aplicacao ρ(X) = ρ1(X) ⊗ ρ2(X) nao define uma re-presentacao ja que nao e linear. A motivacao para definir o produto tensorial derepresentacoes como acima vem do produto tensorial de representacoes de grupos deLie. A ideia e que se ρ1, . . . , ρn sao representacoes de um grupo, entao, o produtotensorial ρ1(g) ⊗ · · · ⊗ ρn(g) ainda e uma representacao do grupo. Por outro lado,uma representacao de um grupo de Lie induz uma representacao de sua algebra de Liepor intermedio de derivadas da forma d/dt (ρ(exp tX))t=0. Como a derivada de umproduto e a soma das derivadas de cada parcela, a representacao da algebra fica sendouma soma como em (1.2).

A representacao ρ definida aqui sera denotada por ρ1 ⊗ · · · ⊗ ρn. Essa notacao,apesar de permitir uma interpretacao equivocada, e mais compacta que a notacao aope da letra

ρ1 ⊗ · · · ⊗ 1 + · · ·+ 1⊗ · · · ⊗ ρn,e nao deve gerar confusao se fica claro que se trata de representacoes de algebras deLie.

Representacoes duais

Dada uma representacao ρ de g em V , pode-se tomar a representacao ρ∗ de g no dualV ∗ de V dada pela formula

ρ∗(X)(λ) = −λ ρ(X) λ ∈ V ∗.A verificacao de que ρ∗ definida desta forma e, de fato, uma representacao, e ime-

diata. O sinal negativo que aparece nessa definicao e necessario para que os colchetesaparecam na ordem certa.

A representacao ad∗ em g∗ dual da representacao adjunta e denominada repre-sentacao co-adjunta .


Restricoes de representacoes

Seja ρ uma representacao de g em V e suponha que W seja um subespaco invariantepor ρ, isto e,

∀X ∈ g, ρ(X)W ⊂ W.

A aplicacaoρ|W : X ∈ g 7−→ ρ(X)|W ∈ gl(W )

define uma representacao de g em W .A soma e a interseccao de subespacos invariantes sao tambem invariantes.

Quocientes de representacoes

Seja ρ uma representacao de g em V e W ⊂ V um subespaco invariante pela repre-sentacao. A aplicacao

ρW : g −→ gl(V/W )

definida por X 7→ ρ(X) e uma representacao. Aqui, ρ(X) : V/W → V/W e a unicatransformacao linear que comuta o diagrama

V/W - V/Wρ(X)

V - Vρ(X)

? ?π π

onde π : V → V/W denota a projecao canonica. A existencia de ρ(X) vem do fato deW ser invariante.

Extensao do Corpo de escalares

Dada uma algebra de Lie g sobre um corpo K, e possıvel estender esse corpo de es-calares para todas as representacoes de g pelo processo usual de extensao: sejam ρuma representacao de g em V e K uma extensao de K. Denotando por gK e VK asextensoes de g e V , respectivamente, pode-se definir para cada X ∈ g a extensao deρ(X) a VK. Como os elementos de gK sao combinacoes lineares, com coeficientes emK, de elementos de g, esse processo define, como e facil verificar, uma representacaode gK em VK. Essas extensoes sao bastante uteis em diversas situacoes, principalmentequando deseja-se trabalhar com corpos algebricamente fechados.


Exemplos:

1. O produto tensorial de uma representacao com a representacao dual coincide com(ou melhor, e equivalente a) a representacao adjunta na algebra das transforma-coes lineares do espaco da representacao. Para ver isso, tome uma representacaoρ de g em V . O espaco gl(V ) das transformacoes lineares de V e naturalmenteisomorfo ao produto tensorial V ⊗ V ∗. O isomorfismo e definido nos elementosde V ⊗ V ∗ da forma v ⊗ λ, v ∈ V e λ ∈ V ∗ por v ⊗ λ 7→ A ∈ gl(V ), ondeA(w) = λ(w)v, w ∈ V e nos demais elementos por extensao linear. Tomando arepresentacao σ = ρ⊗ 1 + 1⊗ ρ∗ em V ⊗ V ∗,

σ(X)(v ⊗ λ) = ρ(X)v ⊗ λ− v ⊗ (λ ρ(X)) .

O segundo membro desta igualdade e levado pelo isomorfismo natural entre V ⊗V ∗ e gl(V ) na transformacao linear ρ(X)A − Aρ(X) onde A e a transformacaoassociada a v ⊗ λ, isto e, σ e equivalente a representacao adjunta de g em gl(V )induzida por ρ.

2. Seja

g = (a, b, c) =

0 a c0 0 b0 0 0

: a, b, c ∈ K

a algebra de Heisenberg e ρ a representacao em K3 dada pela inclusao. See1, e2, e3 denota a base canonica de K3, os subespacos W1 e W2 gerados pore1 e e1, e2, respectivamente, sao invariantes por ρ.

Restricoes:

(a) ρ|W1= 0

(b) ρ|W2avaliado em (a, b, c) e a transformacao linear que tem por matriz(

0 a0 0

)na base e1, e2.

Quocientes:

(a) ρW1avaliado em (a, b, c) tem por matriz

(0 b0 0

)na base e2, e3.

(b) ρW2= 0.

3. Um subespaco h ⊂ g e invariante pela representacao adjunta se e so se h e umideal de g. Nesse caso, a imagem da representacao quociente e a representacaoadjunta de g/h. 2


1.3.3 Decomposicoes de representacoes

Uma representacao ρ de g em V e dita irredutıvel se os unicos subespacos invariantespor ρ sao os triviais 0 e V .

A representacao e dita completamente redutıvel se V se decompoe como

V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vn

com cada Vi invariante e tal que a restricao de ρ a Vi e irredutıvel. Dito de outramaneira, ρ e completamente redutıvel se ela e isomorfa a soma direta ⊕iρ|Vi de repre-

sentacoes irredutıveis. Em geral, a decomposicao de V em componentes irredutıveisnao e unica (serao vistos exemplos a seguir). Apesar dos nomes, uma representa-cao irredutıvel e sempre completamente redutıvel. As representacoes completamenteredutıveis sao denominadas tambem representacoes semi-simples .

A afirmacao contida na proposicao a seguir fornece um criterio, bastante utilizado,para verificar se uma representacao e completamente redutıvel.

Proposicao 1.7 Seja ρ uma representacao de dimensao finita de g em V . Entao, ρ ecompletamente redutıvel se e so se todo subespaco invariante admite um complementarinvariante, isto e,

(?) para todo W ⊂ V invariante, existe W1 tambem invariante tal que

V = W ⊕W1.

Demonstracao: Assumindo (?), suponha que V nao e irredutıvel (caso contrarionao existe nada a demonstrar) e tome um subespaco invariante, nao-trivial, W . Existeentao W1 invariante tal que

V = W ⊕W1.

Esta soma direta e a decomposicao desejada se tanto W quanto W1 forem irredutıveis.Suponha, portanto, que um deles, por exemplo W , e redutıvel. Entao, e possıvelquebrar W atraves da seguinte afirmacao crucial

(??) W tambem satisfaz (?).

De fato, seja W ′ ⊂ W invariante. Entao,

W ′ ⊕W1 ⊂ V

e invariante pois uma soma de subespacos invariantes e invariante. Como V satisfaz(?), existe W2 invariante tal que

V = (W ′ ⊕W1)⊕W2.

O subespaco (W1⊕W2)∩W e invariante pois a interseccao de subespacos invariantestambem e invariante. Por isso, para verificar (??) e suficiente mostrar que

W = ((W1 ⊕W2) ∩W )⊕W ′. (1.3)


Seja x ∈ W ′ e suponha que x ∈ W1 ⊕W2. Entao, x = y + z com y ∈ W1 e z ∈ W2.Como x − y ∈ W ′ ⊕ W1, da igualdade x − y = z se tira que x − y = z = 0 e daıque x ∈ W ′ ∩W1, de onde se conclui que x = 0. Isso mostra que a soma do segundomembro de (1.3) e direta. Agora, dado x ∈ W , pode-se escrever

x = x1 + x2 + x3

com x1 ∈ W ′, x2 ∈ W1, x3 ∈ W2. Entao, x2 + x3 = x − x1 ∈ W , mostrando que W erealmente a soma dos subespacos em (1.3) e, portanto, (??).

A partir de agora, a decomposicao de V em subespacos invariantes e irredutıveise obtida por inducao, decompondo sucessivamente os subespacos que aparecem nasdecomposicoes. Como V e de dimensao finita esse procedimento e realizavel.

Para a recıproca, usa-se inducao sobre a dimensao de V .Se dimV = 1 nao existe nada a se demonstrar. Para dimensoes maiores, escreva

V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vn

com cada Vi invariante e irredutıvel. Seja W ⊂ V invariante. Cada W ∩Vi e invariantee como os subespacos Vi sao irredutıveis, W ∩ Vi = 0 ou Vi para todo i. Existemduas possibilidades:

Caso 1) Para algum i, por exemplo i = 1, W ∩ V1 = V1, isto e, V1 ⊂ W . Entao,

W = V1 ⊕ (W ∩ (V2 ⊕ · · · ⊕ Vn)).

De fato, tome x ∈ W e escreva x = x1 + x2 com x1 ∈ V1 e x2 ∈ V2 ⊕ · · · ⊕ Vn.Como V1 ⊂ W , x1 ∈ W e, portanto, que x2 ∈ W . Daı que

W = V1 +W ∩ (V2 ⊕ · · · ⊕ Vn).

Essa soma e direta, pois V1 ∩ (V2 ⊕ · · · ⊕ Vn) = 0. Usando agora o passo deinducao, existe W ′ tal que

V2 ⊕ · · · ⊕ Vn = (W ∩ (V2 ⊕ · · · ⊕ Vn))⊕W ′

e W ′ complementa W em V ja que V1 ⊂ W .

Caso 2) Para todo i , W ∩ Vi = 0. Entao, W ⊕ V1 esta nas condicoes do primeirocaso e, portanto, existe W ′ invariante tal que

V = (W ⊕ V1)⊕W ′,

isto e, V = W ⊕ (V1 ⊕W ′).

Com estes dois casos conclui-se a demonstracao da recıproca. 2


Exemplos:

1. A representacao canonica da algebra de Heisenberg

g =

0 a c0 0 b0 0 0

em K3 nao e irredutıvel, pois os subespacos gerados por e1 e por e1, e2 saoinvariantes. Nao e tambem completamente redutıvel ja que 〈e1〉, que e subespacoinvariante, nao admite complementar invariante. Isto e consequencia de que paratodo x ∈ K3 − 〈e1〉, 0 1 1

0 0 00 0 0

x ∈ 〈e1〉 − 0.

2. Existe uma classe de algebras de Lie (as semi-simples) para as quais todas as re-presentacoes de dimensao finita sao completamente redutıveis (essa e a afirmacaodo teorema de Weyl, que sera discutido com detalhes no capıtulo 5). Para essaclasse de algebras, pode-se classificar, a menos de isomorfismo, suas represen-tacoes de dimensao finita. O que, alias, e feito classificando as representacoesirredutıveis.

3. Seja g a algebra de Lie abeliana de dimensao n sobre o corpo K e considere arepresentacao (fiel) cuja imagem e a subalgebra

g = X ∈ gl(n,K) : X e diagonal.

Ao escrever Kn = V1⊕ · · · ⊕ Vn como soma direta dos eixos coordenados, obtem-se uma decomposicao em subespacos invariantes irredutıveis. A representacao e,portanto, completamente redutıvel e so e irredutıvel se n = 1.

Um subespaco W ⊂ Kn invariante e sempre da forma

W = Vi1 ⊕ · · · ⊕ Vik k = dimW.

Para ver isso, tome x ∈ W e escreva

x = x1 + · · ·+ xn com xi ∈ Vi.

Seja Hi a matriz diagonal Hi = diag0, . . . , 1, . . . , 0 com 1 na i-esima coorde-nada. Entao, Hix = xi e daı que xi ∈ W . Isto mostra que Vi ⊂ W se existex ∈ W tal que na decomposicao acima xi 6= 0. Daı que W e a soma direta dealguns dos eixos coordenados.

Este exemplo e o proximo ajudam a entender a segunda parte da demonstracaoda proposicao anterior (de que a condicao e suficiente): se todos os subespacosinvariantes sao da forma Vi1⊕· · ·⊕Vik , como ocorre neste caso, entao e claro que


todo subespaco invariante e complementavel. O exemplo seguinte, no entanto,mostra que nem todo subespaco invariante e desta forma, sendo necessario, por-tanto, um processo um pouco diferente para escolher o complementar, como efeito na demonstracao da proposicao.

4. Seja a subalgebra abeliana de gl(4,K)

g = diaga, a, b, b : a, b ∈ K.

Denotando por e1, . . . , e4 a base canonica, a decomposicao

K4 = 〈e1〉 ⊕ · · · ⊕ 〈e4〉 = V1 ⊕ · · · ⊕ V4 (1.4)

e uma decomposicao em subespacos invariantes irredutıveis. O subespaco W =〈e1 + e2〉 e invariante pois, restrito a 〈e1, e2〉, todo elemento de g e um multiploda identidade. Como W ∩Vi = 0 para todo i, W nao e uma soma de elementosda decomposicao (1.4).

A decomposicao em invariantes irredutıveis, neste caso, nao e unica:

K4 = 〈e1 + e2〉 ⊕ 〈e2〉 ⊕ 〈e3〉 ⊕ 〈e4〉

tambem e uma decomposicao em invariantes irredutıveis.

5. As representacoes canonicas de gl (n,K), sl (n,K), so (n,K), sp (n,K), so (p, q,K)e su (n) sao irredutıveis. 2

1.3.4 Lema de Schur

O lema de Schur e um resultado simples de algebra linear, no entanto e muito utilem diversas situacoes que envolvem representacoes irredutıveis. Ele diz respeito aocentralizador de subconjuntos de transformacoes lineares e se aplica, em particular, arepresentacoes de algebras de Lie.

Sejam A e B transformacoes lineares em gl (V ) que comutam entre si. Se Av = 0,entao ABv = BAv = 0, o que significa que kerA e um subespaco invariante por B.Da mesma forma, se w = Av, entao Bw = B (Av) = A (Bv) e a imagem imA tambeme B-invariante.

Agora tome um subconjunto Γ ⊂ gl (V ) e suponha que ele seja irredutıvel, nosentido em que os unicos subespacos invariantes por todos os elementos de Γ sao ostriviais 0 e V . Tome L ∈ gl (V ) que comuta com todos os elementos de Γ. EntaokerL e imL sao subespacos invariantes por Γ. Como Γ e irredutıvel, segue que aspossibilidades para kerL e imL sao 0 e V . Isso significa que L = 0 ou L e bijetora.

Suponha, alem do mais, que L tem um auto-valor λ no corpo de escalares de V , istoe, L tem um auto-vetor em V (o que acontece se o corpo de escalares e algebricamentefechado e dimV <∞). Entao, L− λid tambem comuta com todos os elementos de Γ.O que implica, no caso irredutıvel, que L − λid e 0 ou bijetora. No entanto, L − λidnao pode ser bijetora, pois L tem auto-vetores. Daı que L−λ · id = 0, isto e, L = λ · ide uma transformacao escalar. Esse e o resultado do lema de Schur:


Proposicao 1.8 Seja V um espaco vetorial sobre K e Γ ⊂ gl (V ) um conjunto irre-dutıvel de transformacoes lineares de V . Seja L ∈ gl (V ) que comuta com todos oselementos de Γ. Suponha que L tem um auto-vetor em V associado ao auto-valorλ ∈ K. Entao, L = λ · id. Em particular, se K e algebricamente fechado e dimV <∞,entao o centralizador z (Γ) de Γ em gl (V ) e o subespaco das transformacoes escalares(multiplas da identidade).

1.4 Derivacoes e produtos semidiretos

1.4.1 Derivacoes

Definicao 1.9 Uma aplicacao linear D : g → g e uma derivacao da algebra de Lie gse satisfaz

D[X, Y ] = [DX, Y ] + [X,DY ] para todo X, Y ∈ g.

De forma mais geral, uma derivacao de uma algebra e uma transformacao linearque satisfaz a regra de Leibniz de derivada de um produto D(xy) = D(x)y + xD(y).

Um tipo de derivacao que aparece com frequencia na teoria sao as adjuntas doselementos de g. Uma das formas da identidade de Jacobi apresentada no inıcio mostraque

ad(X)[Y, Z] = [X, [Y, Z]] = [[X, Y ], Z] + [Y, [X,Z]]

ouad(X)[Y, Z] = [ad(X)Y, Z] + [Y, ad(X)Z],

isto e, ad(X) e uma derivacao. Derivacoes deste tipo sao denominadas de deriva-coes internas . O conjunto destas derivacoes coincide com a imagem da representacaoadjunta. O espaco das derivacoes internas e, portanto, uma subalgebra de gl(g). Nao edifıcil verificar que o espaco de todas as derivacoes tambem e uma subalgebra de gl (g).

Nem toda derivacao e interna. Um exemplo trivial e o caso das algebras abelianasem que toda transformacao linear e uma derivacao e, no entanto, existe uma unicainterna, que e a transformacao identicamente nula. No outro extremo, nas algebrassemi-simples, toda derivacao e interna, como sera visto adiante.

A proposicao seguinte e util, tanto para esclarecer a ideia subjacente ao conceitode derivacao, quanto em diversas situacoes da teoria.

Proposicao 1.10 Seja g uma algebra de Lie real de dimensao finita e D : g→ g umatransformacao linear. Entao, D e uma derivacao se e so se para todo t ∈ R, etD eautomorfismo de g.

Demonstracao: Suponha que para todo real t, etD seja automorfismo, isto e,

etD[X, Y ] = [etDX, etDY ] para todo X, Y ∈ g.

A derivada desta igualdade, como funcao de t, se escreve

DetD[X, Y ] = [DetDX, etDY ] + [etDX,DetDY ]

1.4. Derivacoes e produtos semidiretos 39

que, avaliada em t = 0, mostra que

D[X, Y ] = [DX, Y ] + [X,DY ],

isto e, D e derivacao. Por outro lado, assumindo que D e derivacao, sejam as curvasem g dadas por

α(t) = etD[X, Y ]β(t) = [etDX, etDY ].

Tem-se α(0) = [X, Y ] = β(0),

α′(t) = DetD[X, Y ] = Dα(t)

eβ′(t) = [DetDX, etDY ] + [etDX,DetDY ] = D[etDX, etDY ] = Dβ(t),

pois D e derivacao. Portanto, α e β satisfazem a mesma equacao diferencial linear etem as mesmas condicoes iniciais e daı que α = β. 2

Exemplos:

1. Como ja foi mencionado, toda transformacao linear de uma algebra abeliana euma derivacao.

2. Seja g a algebra nao-abeliana bidimensional e X, Y uma base tal que [X, Y ] =Y. Seja D : g→ g linear que nesta base se escreve como

D =

(a cb d

).

Para encontrar as relacoes entre a, b, c e d para que D seja derivacao, e suficienteolhar a relacao D[X, Y ] = [DX, Y ] + [X,DY ] com X e Y os elementos da basedada (a relacao em geral e obtida por bilinearidade). A igualdade

DY = D[X, Y ] = [DX, Y ] + [X,DY ]

e equivalente a

cX + dY = [aX + bY, Y ] + [X, cX + dY ] = a[X, Y ] + d[X, Y ] = (a+ d)Y

e daı que D e derivacao se e so se c = 0 e d = a+ d , isto e, a = 0. Portanto, asmatrizes das derivacoes D de g sao da forma

D =

(0 0b d

).

Essas matrizes tem a mesma forma que as matrizes que aparecem na representa-cao adjunta de g (veja o exemplo 4 da pagina 30). Portanto, toda derivacao deg e uma derivacao interna. 2


1.4.2 Produtos semidiretos

Representando uma algebra de Lie em outra por derivacoes, pode-se construir umaalgebra de Lie no produto cartesiano das duas algebras. Esse produto, chamado deproduto semidireto, e bastante semelhante ao produto semidireto de grupos e generalizao produto direto de algebras visto anteriormente. Os detalhes desta construcao saodados pela proposicao seguinte.

Proposicao 1.11 Sejam g e h algebras de Lie e ρ uma representacao de g em h.Suponha que para todo X ∈ g, ρ(X) e uma derivacao de h e defina em g×h o colchete

[(X1, Y1), (X2, Y2)] = ([X1, X2], ρ(X1)Y2 − ρ(X2)Y1 + [Y1, Y2]). (1.5)

Com esse colchete, g× h e uma algebra de Lie que se decompoe em soma direta

g× h = (g× 0)⊕ (0× h)

de uma subalgebra isomorfa a g por um ideal isomorfo a h.

Demonstracao: O colchete em g × h e evidentemente anti-simetrico. Quanto aidentidade de Jacobi, ela vale na primeira coordenada por valer em g. Escrevendovi = (Xi, Yi), a segunda coordenada de [[v1, v2], v3] se decompoe nas quatro parcelas

ρ[X1, X2]Y3 − ρ(X3)(ρ(X1)Y2 − ρ(X2)Y1)ρ(X3)[Y1, Y2]

[ρ(X1)Y2 − ρ(X2)Y1, Y3][[Y1, Y2], Y3].

Somando as permutacoes cıclicas, os termos correspondentes a primeira parcela seanulam pelo fato de ρ ser uma representacao. Os correspondentes a ultima parcelase anulam pela identidade de Jacobi em h e os termos correspondentes as segundas eterceiras parcelas se cancelam entre si pelo fato de ρ(Xi) ser derivacao. Isso mostra aidentidade de Jacobi do colchete. A partir daı, as outras afirmacoes sao imediatas. 2

A notacao para o produto semidireto e g×sh ou g×ρh. Essa ultima notacao e usadaquando se deseja ressaltar a representacao que define o produto semidireto. Qualqueruma das notacoes distingue g de h, ja que o papel que essas algebras desempenham noproduto semidireto sao distintos.

O produto direto de duas algebras pode ser visto como um caso particular de umproduto semidireto. Para isto, basta tomar a representacao nula de g em h. Nessecaso, g passa a ser um ideal do produto e nao apenas uma subalgebra como ocorre como produto semidireto em geral. Alias, um produto semidireto e um produto direto see so se g (ou mais precisamente g × 0) e um ideal de g ×s h e, e claro, nesse caso ρ ea representacao identicamente nula. Esse fato pode ser verificado diretamente a partirde (1.5), que define o produto semidireto, ou usando o fato de que se dois ideais i1 e i2de uma algebra satisfazem i1 ∩ i2 = 0, entao [X, Y ] = 0 para X ∈ i1 e Y ∈ i2, ja que ocolchete esta tanto em i1 quanto em i2.

1.5. Series de composicao 41

A ultima afirmacao da proposicao 1.11 garante que um produto semidireto se escrevecomo a soma direta de um ideal por uma subalgebra. A recıproca dessa afirmacaotambem vale. Se uma algebra s e a soma direta de um ideal h por uma subalgebra g,entao ela e isomorfa ao produto semidireto g×s h. A representacao de g em h e dadapela restricao a g da representacao adjunta de s, o que e possıvel pelo fato de h ser umideal. O isomorfismo de s com g×s h e dado pela decomposicao de s.

Exemplo: Seja V um espaco vetorial e denote por af(V ) o espaco das transformacoesafins de V , isto e, das transformacoes de V da forma Tw = Aw + v com A linear ev ∈ V . O espaco af(V ) e dado pelo produto gl(V )× V . O colchete

[(A, v) , (B, u)] = ([A,B], Au−Bv)

define em af(V ) uma estrutura de algebra de Lie que e o produto semidireto de gl(V )por V com a representacao dada pela representacao canonica. Um caso particular des-sas algebras e a algebra af(1) das transformacoes afins de um espaco unidimensional.Observe que af(1) tem dimensao dois e nao e abeliana e, portanto, essa e outra rea-lizacao da algebra bidimensional nao-abeliana. 2

1.5 Series de composicao

1.5.1 Serie derivada

Tomando, como sempre, g como sendo uma algebra de Lie, para dois subconjuntos Ae B de g sera usada a notacao [A,B] para indicar o subespaco gerado por

[X, Y ] : X ∈ A, Y ∈ B.

Define-se, por inducao, os seguintes subespacos de g:

g(0) = gg′ = [g, g]

...g(k) = [g(k−1), g(k−1)].

Esses subespacos sao ideais de g. Para ver isso basta notar que se i e j sao ideais de gentao [i, j] tambem e ideal, como segue diretamente da identidade de Jacobi. Portanto,g′ = [g, g] e um ideal, assim como g′′ = [g′, g′], etc.

Essa sequencia de ideais e conhecida por serie derivada de g e suas componentessao as algebras derivadas de g.

Exemplos:

1. g e abeliana se e so se g′ = 0.


2. g =

0 ∗ ∗0 0 ∗0 0 0

; g′ = 0 0 ∗

0 0 00 0 0

; g′′ = 0 e g(k) = 0 se k ≥ 2.

3. Seja g a algebra das matrizes triangulares superiores com zeros na diagonal

g =

0 · · · ∗...

. . ....

0 · · · 0

n×n

.

Entao, g(k) = 0 se k e suficientemente grande.

4. g =

∗ ∗ ∗0 ∗ ∗0 0 ∗

; g′ =

0 ∗ ∗0 0 ∗0 0 0

; g′′ =

0 0 ∗0 0 00 0 0

; g(k) = 0 se

k ≥ 3.

5. Seja g a algebra das matrizes triangulares superiores

g =

∗ · · · ∗.... . .

...0 · · · ∗

n×n

.

Entao, g′ e a algebra das matrizes triangulares superiores com zeros na diagonal,portanto, g(k) = 0 se k ≥ k0 para algum k0 suficientemente grande.

6. Seja g a algebra bidimensional nao-abeliana e X, Y base com [X, Y ] = Y .Entao, g′ e o espaco gerado por Y e g(k) = 0 se k ≥ 2.

7. Para a algebra g = sl(2,R), g′ = g e, portanto, g(k) = g para todo k ≥ 0. Defato, sejam

X =

(0 10 0

)H =

(1 00 −1

)Y =

(0 01 0

).

Entao,

[H,X] = 2X [H,Y ] = −2Y [X, Y ] = H

e, portanto, X,H, Y ∈ g′ e como X,H, Y e uma base de g, g′ = g. A mesmaafirmacao vale para sl(2,K) desde que K seja um corpo de caracterıstica diferentede dois. Se a caracterıstica e dois, g′ e o subespaco gerado por H e, portanto,g′′ = 0.

8. Seja g = gl(2,K). Como tr(XY −Y X) = 0, g′ ⊂ sl(2,K). Pelo exemplo anterior,g′ = sl(2,K) e daı que g(k) = sl(2,K) para k ≥ 2.

1.5. Series de composicao 43

9. Os dois exemplos anteriores se generalizam completamente: tanto se g e sl(n,K)ou gl(n,K), g′ = sl(n,K). Para ver isso, use a base dada pelas matrizes Eij cujai, j-esima entrada e 1 e as demais sao nulas. O produto de duas dessas matrizes edado por EijErs = δjrEis. Usando esse produto, e possıvel proceder como no casoem que n = 2, substituindo X,H e Y por Eij, Eii − Ejj e Eji, respectivamente.

10. A algebra g = so(3) tambem satisfaz g(k) = g para todo k ≥ 0. De fato, a basei, j, k dada por

i =

0 0 00 0 −10 1 0

j =

0 0 10 0 0−1 0 0

k =

0 −1 01 0 00 0 0

satisfaz [i, j] = k, [j, k] = i, [k, i] = j e, portanto, esta contida em g′. 2

As observacoes sobre a serie derivada, contidas nas seguintes proposicoes, sao uti-lizadas frequentemente.

Proposicao 1.12 O quociente g(k−1)/g(k) e uma algebra abeliana.

De fato, para todo X, Y ∈ g(k−1), [X, Y ] ∈ g(k).

Proposicao 1.13 Seja g algebra de Lie e h ideal. Seja tambem π : g→ g/h o homo-morfismo canonico. Entao,

π(g(k))

= (g/h)(k)

Demonstracao: Por inducao sobre k. E claro que π(g(0)) = (g/h)(0). Assumindoque a igualdade vale para k − 1, tem-se

π(g(k))

= π[g(k−1), g(k−1)]= [π(g(k−1)), π(g(k−1))]

= [(g/h)(k−1) , (g/h)(k−1)]

= (g/h)(k) ,

o que mostra a igualdade do enunciado. 2

De forma analoga uma inducao sobre k mostra a seguinte

Proposicao 1.14 Se g e algebra de Lie e h ⊂ g e subalgebra entao

h(k) ⊂ g(k).


1.5.2 Serie central descendente

A serie central descendente da algebra de Lie g e definida, por inducao, como

g1 = gg2 = [g, g] = g′

...gk = [g, gk−1].

Como o produto de ideais e ideal, segue dessa definicao que gk e um ideal paratodo k ≥ 1. Daı que gk+1 = [g, gk] =⊂ gk e a serie central descendente e, de fato,descendente:

g1 = g ⊃ g2 ⊃ · · · ⊃ gk ⊃ · · ·

Proposicao 1.15 1. [gi, gj] ⊂ gi+j.

2. gk e o subespaco gerado por todos os possıveis produtos (colchetes) envolvendo kelementos de g : [X1, . . . , [Xk−1, Xk] . . .].

(por exemplo:produto de dois elementos : [X, Y ]produto de tres elementos : [X, [Y, Z]]produto de quatro elementos: [[X, Y ], [Z,W ]] ou [X, [Y, [Z,W ]]])

Demonstracao:

1. Por inducao sobre j. Para j = 1 a inclusao e a definicao de gi+1. Assumindo oresultado para j,

[gi, gj+1] = [gi, [gj, g]] ⊂ [[gi, gj], g] + [gj, [gi, g]]⊂ [gi+j, g] + [gj, gi+1]⊂ gi+j+1.

2. Para k = 1 ou 2, e imediato a partir da definicao. Para k ≥ 2, usa-se inducaosobre k. Assuma o resultado para k − 1. Os elementos de gk−1 sao entao daforma

∑i Zi com Zi produto de k − 1 elementos de g. Daı que gk e gerado por

elementos da forma ∑i

[Xi, Zi],

isto e, por produtos de k elementos.

Vice-versa, todo elemento de g que pode ser escrito como produto de k elementosesta em gk como segue do item anterior. 2

1.6. Algebras soluveis 45

Exemplos:

1. g = g1 =

0 ∗ ∗0 0 ∗0 0 0

; g2 =

0 0 ∗0 0 00 0 0

; g3 = 0, assim como gk para

k ≥ 3.

2. g =

∗ ∗ ∗0 ∗ ∗0 0 ∗

; g1 =

0 ∗ ∗0 0 ∗0 0 0

; gk = g2 se k ≥ 3.

3. Para a algebra nao-abeliana g de dimensao dois, com base X, Y com [X, Y ] =Y , gk e o subespaco gerado por Y para todo k ≥ 2.

4. g =

a ∗ ∗0 a ∗0 0 a

; g2 =

0 ∗ ∗0 0 ∗0 0 0

; g3 =

0 0 ∗0 0 00 0 0

e gk = 0 para

todo k ≥ 4. 2

Assim como para a serie derivada, os quocientes sucessivos dos elementos da seriecentral descendente sao abelianos e a serie central descendente da imagem sobrejetorade uma algebra coincide com a imagem da serie central descendente da algebra. Estesfatos estao contidos nas proposicoes seguintes. Suas demonstracoes sao semelhantes ascorrespondentes para a serie derivada.

Proposicao 1.16 gk/gk+1 e uma algebra abeliana.

Proposicao 1.17 Seja π : g→ g/h o homomorfismo canonico. Entao,

π(gk) = (g/h)k.

A afirmacao seguinte fornece uma comparacao entre a serie derivada e a serie centraldescendente.

Proposicao 1.18 A serie derivada tem decrescimento mais rapido que a serie centraldescendente:

g(k) ⊂ gk+1

Demonstracao: Por inducao. Supondo g(k) ⊂ gk+1, entao

g(k+1) = [g(k), g(k)] ⊂ [g, gk+1] = gk+2,

o que mostra o passo de inducao. 2

1.6 Algebras soluveis

Definicao 1.19 Uma algebra e soluvel se alguma de suas algebras derivadas se anula,isto e,

g(k0) = 0

para algum k0 ≥ 1 (e, portanto, g(k) = 0 para todo k ≥ k0).


Exemplos:

1. As algebras abelianas sao soluveis, pois para essa classe de algebras g′ = 0.

2. Se dim g = 2, entao g e soluvel independentemente de g ser abeliana ou nao. Istoporque existem apenas duas classes de algebras bidimensionais. As abelianas saosoluveis e as nao-abelianas tem algebra derivada de dimensao um e, portanto, asegunda derivada se anula.

3. As algebras de matrizes triangulares superiores

g =

∗ · · · ∗.... . .

...0 · · · ∗

n×n

sao soluveis. Alias, este e o exemplo tıpico de algebra soluvel. Como sera vistoadiante (teorema de Lie), toda algebra de Lie soluvel de transformacoes lineares,de dimensao finita, sobre um corpo algebricamente fechado e uma subalgebra dematrizes triangulares superiores.

4. As algebras sl(n) nao sao soluveis pois suas algebras derivadas coincidem comelas mesmas. 2

Evidentemente, a algebra derivada de uma algebra soluvel esta contida propria-mente na algebra.

Subalgebras e imagens homomorficas de algebras soluveis sao tambem soluveis.Esta afirmacao esta garantida pela proposicao seguinte.

Proposicao 1.20 1. Se g e soluvel e h ⊂ g e subalgebra, entao h tambem e soluvel.

2. Se g e soluvel e h ⊂ g e um ideal, entao g/h tambem e soluvel.

Demonstracao:

1. As algebras derivadas sucessivas de h estao contidas nas correspondentes algebrasderivadas de g. Portanto, h e soluvel se g o for.

2. Como (g/h)(k) = π(g(k)), se alguma algebra derivada de g se anula, o mesmoocorre com a algebra derivada correspondente de g/h. 2

Um caso particular da primeira afirmacao desta proposicao e que os ideais dealgebras soluveis sao tambem soluveis. Como a segunda afirmacao diz que os quo-cientes por ideais sao tambem soluveis, a seguinte proposicao complementa a anteriorao dizer que a algebra propriamente dita e soluvel se algum de seus quocientes junta-mente com o seu nucleo e soluvel.

Proposicao 1.21 Seja g uma algebra de Lie e h ⊂ g um ideal. Suponha que tanto hquanto g/h sejam soluveis. Entao, g e soluvel.

1.7. Algebras nilpotentes 47

Demonstracao: Seja k1 tal que (g/h)(k1) = 0. Por π(g(k)) = (g/h)(k), tem-se queπ(g(k1)) = 0. Isto significa que g(k1) ⊂ h. Como h e soluvel, existe k2 tal que h(k2) = 0.Daı que

g(k1+k2) = (g(k1))(k2) ⊂ h(k2) = 0.

Portanto, g e soluvel. 2

Seja g uma algebra de Lie sobre K e K uma extensao de K. As algebras derivadastanto de g quanto de gK sao geradas por colchetes sucessivos de elementos de g; asalgebras derivadas de g sao obtidas por combinacoes lineares com coeficientes em Kenquanto as de gK por combinacoes lineares com coeficientes em K. Daı que

(g(n))K = (gK)(n)

para todo n ≥ 0. Portanto,

Proposicao 1.22 g e soluvel se e so se gK e soluvel.

Essas sao as informacoes preliminares sobre as algebras soluveis. No proximocapıtulo a estrutura e as representacoes dessas algebras serao consideradas com maisdetalhes.

1.7 Algebras nilpotentes

Definicao 1.23 Uma algebra de Lie e nilpotente se sua serie central descendente seanula em algum momento, isto e,

gk0 = 0

para algum k0 ≥ 1 (e, portanto, gk = 0 para todo k ≥ k0).

Exemplos:

1. As algebras abelianas sao nilpotentes.

2. As seguintes subalgebras de matrizes sao nilpotentes

(a) g =

0 · · · ∗...

. . ....

0 · · · 0

n×n

.

(b) g =

a · · · ∗...

. . ....

0 · · · a

n×n

.


3. A algebra das matrizes triangulares superiores

g =

∗ · · · ∗.... . .

...0 · · · ∗

n×n

nao e nilpotente. 2

Da mesma forma que para as algebras soluveis, subalgebras e quocientes de algebrasnilpotentes sao tambem nilpotentes:

Proposicao 1.24 Seja g uma algebra nilpotente.

1. Se h ⊂ g e subalgebra entao h e nilpotente.

2. Se h ⊂ g e um ideal entao g/h e nilpotente.

De fato, hk ⊂ gk se h ⊂ g e π(gk) = (π(g))k se π e um homomorfismo.As algebras nilpotentes sao soluveis pois g(k) ⊂ gk+1. No entanto, nem toda algebra

soluvel e nilpotente como mostra a algebra das matrizes triangulares superiores, quee soluvel mas nao nilpotente. Outro exemplo de algebra soluvel que nao e nilpotentee a algebra nao-abeliana de dimensao dois. Para esta algebra, gk = g2 6= 0 se k ≥ 2,porem g′′ = 0.

Uma distincao entre as algebras soluveis e as nilpotentes e dada pelo centro:

Proposicao 1.25 O centro de uma algebra de Lie nilpotente nao e trivial.

De fato, seja k tal que gk 6= 0 e gk+1 = 0. Entao, gk ⊂ z(g), pois [g, gk] = gk+1 = 0.No entanto, o centro de uma algebra soluvel pode se anular (exemplo: a algebra

nao abeliana bidimensional).Outra diferenca entre as algebras nilpotentes e as soluveis esta na possibilidade de

reconstruir a propriedade de solubilidade a partir de um quociente e do nucleo dessequociente. O mesmo nao ocorre com as algebras nilpotentes: Se h ⊂ g e ideal eambos h e g/h sao nilpotentes, entao g e soluvel mas nao necessariamente nilpotente.Um exemplo e novamente a algebra nao-abeliana bidimensional com [X, Y ] = Y . Osubespaco h gerado por Y e ideal e e nilpotente por ser de dimensao um. O mesmoocorre com g/h. A algebra nao e, no entanto, nilpotente.

Sejam g uma algebra de Lie sobre K e K uma extensao de K. Como gnK e gnK saogerados por produtos de n elementos de g, vale a igualdade

(gn)K = (gK)n.

De onde se conclui que

Proposicao 1.26 g e nilpotente se e so se gK e nilpotente.

1.8. Radicais soluveis 49

Se g e uma algebra nilpotente, existe um inteiro k tal que todos os colchetes envol-vendo k elementos de g se anulam. Em particular,

[X, . . . , [X, Y ] . . .] = 0

se X aparece k − 1 vezes, isto e, ad(X)k−1 = 0 para todo X ∈ g. Em outras palavras,nas algebras nilpotentes, as adjuntas de seus elementos sao transformacoes linearesnilpotentes. A recıproca a esta afirmacao tambem e verdadeira: se g e uma algebrade dimensao finita tal que ad(X) e nilpotente para todo X ∈ g, entao g e nilpotente.Este e o conteudo do teorema de Engel que sera visto com detalhes no capıtulo 2.

1.8 Radicais soluveis

Proposicao 1.27 Sejam g uma algebra de Lie e h1, h2 ⊂ g ideais soluveis (isto e,soluveis como algebras de Lie). Entao, h1 + h2 tambem e ideal soluvel.

Demonstracao: O fato de que h1 + h2 e ideal e consequencia de que soma de ideaise ideal. Por um dos teoremas de isomorfismo,

(h1 + h2)/h2 ≈ h1/h1 ∩ h2.

Como h1 e soluvel, h1/h1 ∩ h2 e soluvel e daı que (h1 + h2)/h2 e soluvel. Como h2 esoluvel, h1 + h2 e soluvel pela proposicao 1.21. 2

Proposicao 1.28 Seja g algebra de Lie de dimensao finita. Entao, existe em g umunico ideal soluvel r ⊂ g que contem todos os ideais soluveis de g.

Demonstracao: Denote por n o maximo das dimensoes dos ideais soluveis de g eseja r um ideal soluvel com dim r = n. Entao, todo ideal soluvel de g esta contidoem r. De fato, se h e ideal soluvel, r + h tambem e. Pela maximalidade da dimensao,dim(r + h) = dim r e daı que r + h ⊂ r e h ⊂ r. Portanto, r contem todos os ideaissoluveis e ele e evidentemente o unico. 2

Nesta proposicao, a hipotese de g ser de dimensao finita nao e essencial. Ela foicolocada aı so para facilitar o argumento da demonstracao. Em geral, pode-se apli-car algum princıpio de maximalidade, ao inves do argumento da maximalidade dadimensao, e chegar ao mesmo resultado.

Definicao 1.29 O ideal r da proposicao anterior e chamado de radical soluvel (ousimplesmente radical) de g. Para o radical de g sera utilizada a notacao r(g).

Exemplos:

1. g e soluvel se e so se r(g) = g.


2. O radical de gl(2,R) e

r(g) = z = (a

a

): a ∈ R.

De fato, z e ideal abeliano de g e, portanto, soluvel. Alem do mais, e o unicoideal soluvel pois os ideais de gl(2,K) sao z e sl(2,R), alem dos triviais. Para verisso, observe que

gl(2,R) = sl(2,R)⊕ z

e, portanto, gl(2,R)/z ≈ sl(2,R). Seja h um ideal nao-trivial de gl(2,R). Entao,h/z e um ideal de sl(2,R). Como os unicos ideais de sl(2,R) sao os triviais (issoporque sl(2,R) e uma algebra simples como sera discutido adiante), ou h = z ouh∩ sl(2,R) e nao-nulo. Neste ultimo caso h contem sl(2,R) e, portanto, deve serou o proprio sl(2,R) ou gl(2,R).

3. Em geral, o radical soluvel de gl(n,R) e o seu centro, que por sua vez, consistedos multiplos da identidade, isto e, das matrizes escalares. 2

Assim como no caso soluvel, e possıvel considerar tambem o radical nilpotente deuma algebra de Lie. Esse e um ideal que contem todos os ideais nilpotentes da algebra.A demonstracao de sua existencia, no entanto, requer o teorema de Lie. Por isso, adiscussao sobre os radicais nilpotentes foi colocada ao final do capıtulo 2.

1.9 Algebras simples e algebras semi-simples

Definicao 1.30 Uma algebra de Lie g e semi-simples se

r(g) = 0

(isto e, g nao contem ideais soluveis alem de 0).

Definicao 1.31 Uma algebra g e simples se

1. os unicos ideais de g sao 0 e g e

2. dim g 6= 1

O que se deseja chamar de simples sao as algebras que nao possuem ideais alem dostriviais. Nesse sentido, as algebras de dimensao 1 nao possuem ideais. Essas nao sao,no entanto, consideradas simples, essencialmente para que exista compatibilidade entreos conceitos de algebras simples e semi-simples. Como e imediato a partir da definicao,as algebras unidimensionais nao sao semi-simples. Porem, as demais algebras que naopossuem ideais proprios sao semi-simples. De fato, seja g uma algebra que nao possuiideais nao-triviais. Como r (g) e um ideal, ele deve ser 0 ou g. No primeiro caso, g esemi-simples como se pretende. O segundo caso nao pode ocorrer se dim g ≥ 2. Issoporque se r(g) = g entao g e soluvel e, portanto, g′ 6= g. Como g′ tambem e um ideal,

1.9. Algebras simples e algebras semi-simples 51

g′ = 0, isto e, g e abeliana. Mas isso e impossıvel se dim g ≥ 2, pois todo subespacode uma algebra abeliana e um ideal. Em outras palavras, as algebras simples saosemi-simples.

Por outro lado, toda algebra semi-simples e um produto direto de algebras simples.Isso e consequencia de um dos criterios de Cartan, e sera discutido no capıtulo 3.

Exemplos:

1. sl(2,R) e simples. Para uma verificacao direta, sejam

X =

(0 10 0

)H =

(1−1

)Y =

(0 01 0

).

Os colchetes entre esses elementos sao dados por [H,X] = 2X, [H, Y ] = −2Y e[X, Y ] = H. Tome Z = aX + bH + cY . Entao,

ad(X)Z = −2bX + cH, ad(X)2 = −2cX

de onde se ve que se Z 6= 0, entao Z, ad(X)Z ou ad(X)2Z e multiplo nao-nulode X. Conclusao: se h 6= 0 e ideal nao-nulo, entao X ∈ h. Como H = −[Y,X]e Y = 1/2[Y,H], Y,H ∈ h e daı que h = sl(2,R). O mesmo resultado vale paracorpos quaisquer desde que a caracterıstica seja diferente de dois.

2. Em geral, sl(n,K) e simples se K nao e de caracterıstica dois. A verificacao diretae semelhante ao caso n = 2. 2

O centro de uma algebra e um ideal abeliano e, portanto, soluvel. Assim, o centro deuma algebra semi-simples e necessariamente nulo. Como o centro de uma algebra qual-quer coincide com o nucleo da representacao adjunta, isso mostra que a representacaoadjunta de uma algebra semi-simples e fiel. Por isso, toda algebra semi-simples podeser vista como uma subalgebra de transformacoes lineares.

As algebras semi-simples diferem completamente das soluveis ou nilpotentes tantona forma quanto nos metodos de estudo. A classe das algebras nilpotentes, e, portanto,a das soluveis, contem as algebras abelianas e, em certo sentido, formam uma extensaodessas algebras. E comum numa demonstracao de um resultado sobre algebras soluveisconsiderar os quocientes sucessivos g(k)/g(k+1) que sao abelianos. Ja com as algebrassemi-simples ocorre justamente o contrario. Pode-se dizer que elas sao o oposto dasalgebras abelianas. Os metodos para estuda-las sao de outra natureza. A proposicaoseguinte estabelece uma primeira relacao entre as algebras soluveis, semi-simples egerais.

Proposicao 1.32 Sejam g uma algebra de Lie que nao e soluvel e h ⊂ g um idealsoluvel. Entao, g/h e semi-simples se e so se h = r(g).

Demonstracao: Suponha que h = r(g). Seja π : g → g/r(g) o homomorfismocanonico e tome um ideal soluvel i ⊂ g/r(g). Entao, π−1(i) e um ideal que contem r(g)e i = π−1(i)/r(g). Daı que π−1(i) e soluvel e, portanto, esta contido em r(g), isto e,


i = 0, o que mostra que g/r(g) e semi-simples. Reciprocamente, se h e ideal soluvel,h ⊂ r(g) e r(g)/h e um ideal soluvel de g/h. A hipotese de que g/h e semi-simplesimplica, entao, que r(g)/h = 0, isto e, r(g) = h. 2

Esta proposicao sugere que uma algebra de Lie arbitraria possa ser decompostacomo a soma de algebras, uma soluvel (radical) e outra semi-simples isomorfa ao quo-ciente g/r (g). Uma decomposicao deste tipo e possıvel para quocientes de espacosvetoriais de dimensao finita pois todo subespaco admite um subespaco complementar.Nem sempre e possıvel, no entanto, complementar um ideal de uma algebra de Lie poruma subalgebra (veja o exemplo abaixo). Porem, no caso em que o ideal e o radical deuma algebra de dimensao finita, e possıvel mostrar a existencia de uma subalgebra queo complementa. Esta subalgebra e necessariamente semi-simples por ser isomorfa aoquociente. Este e o enunciado do teorema de Levi, cuja demonstracao, alias bastanteenvolvente, sera feita no capıtulo 5.

Exemplo: Sejam

g =

0 ∗ ∗0 0 ∗0 0 0

e h =

0 0 ∗0 0 00 0 0

.g e a algebra de Heisenberg e h, o centro de g, e um ideal de codimensao dois. Paraver que nao existe nenhuma subalgebra de g que complementa h, seja X, Y, Z a basedada por

X =

0 1 00 0 00 0 0

Y =

0 0 00 0 10 0 0

Z =

0 0 10 0 00 0 0

e seja h1 um subespaco qualquer que complementa h (g = h ⊕ h1). Entao, h1 nao esubalgebra. De fato, se W1,W2 e base de h1, pode-se escrever

W1 = a1X + b1Y + c1Z W2 = a2X + b2Y + c2Z,

com a1X + b1Y e a2X + b2Y linearmente independentes (pois W1,W2, Z e base deg). Isso significa que a1b2 − a2b1 6= 0. Mas,

[W1,W2] = (a1b2 − a2b1)Z /∈ h1

e, portanto, h1 nao e subalgebra. 2

Notas

As algebras de Lie surgiram com Sophus Lie na decada de 1870, dentro de seu programa

de estender, as equacoes diferenciais, a teoria de Galois para equacoes algebricas. A ideia –

1.10. Exercıcios 53

devida a S. Lie – de olhar os grupos de transformacoes como sendo constituıdos por grupos a

um parametro, obtidos por solucoes de equacoes diferenciais ordinarias, foi crucial como ponto

de partida e para o desenvolvimento da imensa teoria construıda desde entao. As algebras

de Lie aparecem como objetos infinitesimais associados aos grupos de transformacoes com o

colchete da algebra correspondendo ao comutador do grupo. Um exemplo tıpico e o de um

grupo de transformacoes lineares inversıveis: as exponenciais dos elementos de uma algebra

de Lie de matrizes formam (ou mais precisamente, geram) um grupo de Lie.

O termo “algebra de Lie” foi popularizado a partir da decada de 1920 com Hermann Weyl

(por sugestao de Nathan Jacobson), em substituicao ao “grupo infinitesimal” que se utilizava

desde os tempos de Lie (veja [52]).

Os “grupos infinitesimais” foram considerados, a princıpio, como objetos concretos associados

a grupos de transformacoes. Um dos programas de S. Lie era o de classificar os grupos de

transformacoes agindo num determinado espaco. Deve-se a Wilhelm Killing (1884) a ideia de

dividir esse problema em dois: o de classificar o objeto abstrato que corresponde a algebra

de Lie e posteriormente analisar as acoes dos grupos correspondentes (veja [19]).

O material apresentado neste capıtulo pode ser encontrado em qualquer texto que contenha

uma introducao as algebras de Lie. Esses textos normalmente se dividem em dois tipos: os

algebricos (no sentido da algebra linear) representados principalmente por Jacobson [28] e

os que dao um tratamento simultaneo aos grupos e as algebras de Lie como os classicos de

Chevalley [7] e Helgason [20]. Seguem a tradicao de Jacobson os livros de Humphreys [25] e

Serre [42]. Na segunda classe, encontram-se os livros Varadarajan [46], Fulton e Harris [18],

Onishchik e Vinberg [37], mais voltados a teoria de representacao ou aos grupos algebricos,

e o de Hochschild [23], que cobre os fatos basicos da teoria de Lie. Numa classe a parte se

encontra o tratado de Bourbaki [5] em seus capıtulos sobre grupos e algebras de Lie.

1.10 Exercıcios

1. Mostre que φ : g1 → g2 e um homomorfismo se e so se o seu grafico e umasubalgebra do produto direto g1 × g2.

2. Seja g uma algebra de Lie. Mostre que uma transformacao linear D : g → g euma derivacao se e so se

ad (DX) = [D, ad (X)].

Mostre tambem que φ : g→ g e um automorfismo se e so se

ad (φX) = φ ad (X) φ−1.

3. Mostre que o espaco das derivacoes de g e uma subalgebra de gl (g).

4. Seja A uma algebra associativa. Entao, toda derivacao de A e tambem uma de-rivacao da algebra de Lie correspondente. De exemplo de uma algebra associativae uma derivacao da algebra de Lie que nao e derivacao da algebra associativa.


5. Dados quatro elementos X, Y , Z e W numa algebra de Lie, mostre que

[[[X, Y ], Z],W ] + [[[Y,X],W ], Z] + [[[Z,W ], X], Y ] + [[[W,Z], Y ], X] = 0.

6. Sejam i1 e i2 ideais de uma algebra de Lie que satisfazem i1 ∩ i2 = 0. Entao,[i1, i2] = 0.

7. Seja g uma algebra de Lie. Mostre que todo subespaco vetorial que contem aalgebra derivada g′ e um ideal de g.

8. Seja φ : g → h um homomorfismo de algebras de Lie tal que φ (g′) 6= 0. Mostreque, se um multiplo de φ, λφ e homomorfismo, entao λ = 0 ou 1.

9. Sejam β1 e β2 formas bilineares equivalentes em Kn. Para i = 1, 2, defina

gi = A ∈ gl (n,K) : βi (Ax, y) = βi (x,Ay) para todo x, y ∈ Kn.

Mostre que g1 e g2 sao isomorfas.

10. (Algebra de Heisenberg generalizada) Seja V um espaco vetorial de dimensao fi-nita sobre K e ω : V×V → K uma forma bilinear anti-simetrica e nao-degenerada.Em g = V ×K defina

[(v, x) , (w, y)] = (0, ω (v, w)) .

Entao, esse colchete define em g uma algebra de Lie com g3 = 0. No caso em quedimV = 2, g e isomorfa a algebra de Heisenberg.

11. Verificar que o produto vetorial × em R3 e um colchete de Lie que faz de R3 umaalgebra de Lie isomorfa a so(3,R). Essa algebra e simples e isomorfa a algebrasu(2).

12. Seja h a algebra associativa dos quaternions. Considerando a algebra de Lie deseus comutadores, o subespaco dos quaternions puramente imaginarios e umasubalgebra de Lie isomorfa as algebras do exercıcio anterior.

13. Uma representacao ρ de dimensao finita de uma algebra de Lie g e irredutıvel see so se a representacao dual ρ∗e irredutıvel.

14. Seja ρ uma representacao no espaco vetorial V de dimensao finita de uma algebrade Lie g. Entao, a representacao dual ρ∗ e equivalente a ρ se e so se existeem V uma forma bilinear β (a valores no corpo de escalares) nao-degenerada einvariante por ρ, isto e,

β(ρ(X)v, w) + β(v, ρ(X)w) = 0 para todos v, w ∈ V X ∈ g.

De maneira mais geral, se σ e uma representacao de g em W , entao σ e equivalentea ρ∗ se e so se existe uma “dualidade invariante” entre V e W , isto e, uma formabilinear β : V ×W → K nao-degenerada tal que

β(ρ(X)v, w) + β(v, σ(X)w) = 0

v ∈ V e w ∈ W .


15. Dadas as representacoes ρ1, . . . , ρs de g em V1, . . . , Vs, interprete os elementos doproduto tensorial

V = V1 ⊗ · · · ⊗ Vscomo funcionais multilineares definidos em V ∗1 × · · · × V ∗s (veja apendice A) emostre que para f ∈ V e X ∈ g,

ρ (X) f(α1, . . . , αs) = −f(ρ∗1(X)α1, . . . , αs)− · · · − f(α1, . . . , ρs(X)αs)

onde ρ = ρ1 ⊗ · · · ⊗ ρs e αi ∈ V ∗i . Conclua que o espaco dos tensores simetricose o dos tensores anti-simetricos sao invariantes por ρ.

16. No exercıcio anterior, denote por ρ a restricao de ρ aos tensores simetricos

V1 · · · Vs

e por ρ∧ a restricao de ρ aos tensores anti-simetricos

V1 ∧ · · · ∧ Vs .

Mostre que, para vi ∈ V1,

ρ(X)(v1 · · · vs) = ρ1(X)v1 · · · vs + · · ·+ v1 · · · ρs(X)vs

e que uma formula semelhante vale para ρ∧.

17. Sejam u1, . . . , un ∈ V = Kn e defina ν = u1 ∧ · · · ∧ un. Mostre que se A e umatransformacao linear de V , entao

Au1 ∧ · · · ∧ un + · · ·+ u1 ∧ · · · ∧ Aun = (trA)u1 ∧ · · · ∧ un .

18. Dada uma representacao ρ de g em V , de dimensao finita, a aplicacao momentoassociada a ρ e a aplicacao linear µ : V ⊗ V ∗ → g∗ definida por

µ (v ⊗ φ) (X) = φ (ρ (X) v)

para v ∈ V , φ ∈ V ∗ e X ∈ g. Mostre que µ intercambia as representacao ρ⊗ ρ∗com a representacao co-adjunta de g.

19. Mostre que o colchete de uma algebra de Lie e associativo se e so se g′ esta contidono centro de g.

20. Se h e um ideal da algebra de Lie g, entao h(k) e hk tambem sao ideais de g.

21. Seja g uma algebra de Lie soluvel. Entao existe um ideal h ⊂ g de codimensaoum.

22. Uma algebra de Lie que nao e semi-simples contem um ideal abeliano.


23. De exemplo de uma algebra soluvel g com um ideal i ⊂ g que nao contem aalgebra derivada g′.

24. O produto semidireto de duas algebras soluveis e soluvel.

25. Mostre que o colchete do produto semi-direto g×ρh e a unica estrutura de algebrade Lie em g× h que satisfaz as seguintes condicoes: i) g× 0 e uma subalgebraisomorfa a g; ii) 0× h e uma subalgebra isomorfa a h; iii) Se X ∈ g e Y ∈ hentao [(X, 0) , (0, Y )] = ρ (X)Y . Segue dessas condicoes que 0× h e um ideal.

26. Seja g uma algebra de Lie de dimensao finita e suponha que exista uma base deg tal que para todo X ∈ g a matriz de ad (X) em relacao a essa base e triangularsuperior. Mostre que g e soluvel.

27. Seja ρ a representacao da algebra unidimensional K no espaco vetorial V dadapor

t ∈ K 7−→ tA ∈ gl (V )

onde A e uma transformacao linear de V . Denote por g o produto semidireto deK por V dado por essa representacao. Mostre que g e soluvel. Mostre tambemque g e nilpotente se e so se A e nilpotente como transformacao linear de V , istoe, Ak = 0 para algum k.

28. Sejam g e g1 dadas por A e A1, como no exercıcio anterior. Entao, g e g1 saoisomorfas se e so se A1 = aPAP−1, a 6= 0, para alguma transformacao linearinversıvel P .

29. Seja g uma algebra de Lie de dimensao finita que admite um ideal h de codi-mensao um. Tome X /∈ h e seja l o subespaco gerado por X. Entao g e isomorfaao produto semidireto de l por h com a representacao de l em h dada pela repre-sentacao adjunta de X em h. Em particular, toda algebra soluvel e, de algumaforma, um produto semidireto.

30. Encontre – a menos de isomorfismo – todas as algebras de Lie g de dimensao 3sobre um corpo algebricamente fechado, tais que dim g′ = 2. (Use o anterior e asformas canonicas de Jordan de transformacoes lineares em espacos de dimensaodois). Faca o mesmo com as algebras sobre R.

31. Uma algebra soluvel nao-abeliana de dimensao tres pode ser realizada como umaalgebra de matrizes da forma (

A x0 0

)com A uma matriz 2× 2 e x uma matriz 2× 1.

32. Uma algebra de Lie de dimensao tres ou e soluvel ou simples.

33. Seja ρ : gl (n)→ K um homomorfismo. Entao ρ (X) = a trX para algum escalara. (Use o fato de que sl (n) e simples).


34. Seja g uma algebra de Lie sobre R e ρ uma representacao de dimensao finita deg em V . Seja tambem 〈·, ·〉 um produto interno em V . Suponha que, para todoX ∈ g, ρ (X) e anti-simetrica em relacao a esse produto interno e mostre que ρe completamente redutıvel.

35. O mesmo que o anterior para algebras complexas, trocando o produto internopor uma forma hermitiana e assumindo que ρ (X), X ∈ g, e anti-hermitiana.

36. Seja T : g → g uma transformacao linear que comuta com ad (X) para todoX ∈ g. Entao,

T [X, Y ] = [TX, Y ] = [X,TY ]

para todo X, Y ∈ g. O centroide de uma algebra de Lie e a algebra associativadas transformacoes lineares g → g que comutam com ad (X) para todo X ∈ g.Mostre que se g′ = g, entao o centroide e comutativo.

37. Na algebra de Heisenberg g, defina a operacao ∗ por

X ∗ Y = X + Y +1

2[X, Y ].

Mostre que g com essa operacao e um grupo. (Compare com a formula deCampbell-Hausdorff, por exemplo, em [46]).

Capıtulo 2

Algebras nilpotentes e soluveis

Os resultados principais deste capıtulo sao os teoremas de Engel e de Lie, que descrevemas algebras nilpotentes e soluveis como sendo – essencialmente – algebras de matrizestriangulares superiores. Esses teoremas surgem em qualquer contexto que envolvaalgebras nilpotentes ou soluveis. Em particular, o teorema de Engel, que tem comoconsequencia a caracterizacao das representacoes das algebras nilpotentes, sera umapeca fundamental no estudo das subalgebras de Cartan, que formam a base para aclassificacao das algebras semi-simples.

2.1 Algebras nilpotentes

Nesta secao, serao descritas a estrutura e as representacoes das algebras de Lie nilpo-tentes. O resultado principal e o teorema de Engel que afirma que, para uma algebrade Lie de transformacoes lineares cujos elementos sao nilpotentes, e possıvel encontraruma base em que as matrizes desses elementos sao todas triangulares superiores comzeros na diagonal principal. Esse resultado tem diversas consequencias. Uma delase que uma algebra de Lie de dimensao finita e nilpotente se, e so se, as adjuntas deseus elementos sao nilpotentes. Outra consequencia do teorema de Engel, que seraapresentada a seguir, e que, numa representacao qualquer de uma algebra nilpotente,os elementos da algebra se decompoem, em alguma base, em blocos triangulares supe-riores semelhantes aos blocos de Jordan em que se decompoe uma transformacao linearqualquer.

2.1.1 Representacoes nilpotentes

Seja g uma algebra de Lie. Uma representacao ρ de g no espaco vetorial V e umarepresentacao nilpotente ou uma nil-representacao se ρ(X) e nilpotente para todoX ∈ g. Isto significa que, dado X, existe um inteiro positivo k (dependente de X) talque ρ(X)k = 0.

Um exemplo de uma nil-representacao e a representacao adjunta de uma algebranilpotente. Como foi visto no primeiro capıtulo, ad(X), X ∈ g, e nilpotente se g enilpotente. Alias, essa e uma condicao necessaria e suficiente para que uma algebra de

59

60 Capıtulo 2. Algebras nilpotentes e soluveis

Lie seja nilpotente, como sera mostrado adiante. Por esse criterio, fica simples encontrarexemplos de representacoes (adjuntas inclusive) que nao sao nilpotentes. Por exemplo,a representacao adjunta da algebra bidimensional nao-abeliana, que e soluvel, mas naoe nilpotente, nao e uma nil-representacao. Isso, no entanto pode ser visto diretamentetomando uma base X, Y com [X, Y ] = Y . Como ad(X)kY = Y para todo k, ad(X)nao e nilpotente.

Para estudar as representacoes nilpotentes, vai ser utilizado o seguinte fato sobre aadjunta em gl.

Proposicao 2.1 Seja V um espaco de dimensao finita e A ∈ gl(V ). Suponha que Aseja nilpotente. Entao, ad(A) tambem e nilpotente. Portanto, se ρ : g → gl(V ) e umanil-representacao, entao X 7→ ad(ρ(X)) tambem e uma nil-representacao.

Demonstracao: Existem diversas maneiras de verificar essa afirmacao. Uma delase visual atraves de matrizes: como A e nilpotente, em alguma base de V , A se escrevecomo uma matriz triangular superior com zeros na diagonal. Com isso, nao fica difıcilse convencer que a imagem de ad(A)k esta contida no subespaco de matrizes

glk = C = (cij)n×n : cij = 0 se i− j ≥ n− k

em que as primeiras k diagonais secundarias inferiores se anulam. Dessa forma, ad(A)2n

se anula.Uma outra maneira de mostrar a proposicao tem um carater mais geral: sejam B

e C transformacoes dos espacos U e W , respectivamente. Seja D : U ⊗W → U ⊗Wdada por D = B ⊗ 1 + 1⊗ C. Uma inducao simples mostra que

Dk =k∑j=0

(k

j

)Bk−ju⊗ Cjv

de onde se ve que, se B e C sao nilpotentes, o mesmo ocorre com D. De fato, sejam k1 ek2 tais que Bk1 = 0 e Ck2 = 0. Entao, se k > k1 +k2, todos os termos da soma acima seanulam, pois se 0 ≤ j ≤ k, entao (k−j)+j > k1 +k2 e daı que ou k−j > k1 ou j > k2.Portanto, D e nilpotente, de onde se tira que ρ1⊗ρ2 e uma representacao nilpotente setanto ρ1 quanto ρ2 sao representacoes nilpotentes de dimensao finita. Em particular,como a representacao adjunta em gl(V ) e isomorfa a ρ⊗ ρ∗, tem-se o resultado.

Uma terceira possibilidade e observar que ad(A)nB e uma soma de termos da formaArBAs com r + s = n e, portanto, se n e suficientemente grande Ar = 0 ou As = 0.Portanto, a soma se anula. 2

O seguinte teorema e o resultado tecnico basico de onde se tiram todas as in-formacoes sobre as representacoes nilpotentes.

Theorem 2.2 Seja V 6= 0 um espaco vetorial de dimensao finita e g ⊂ gl(V ) umasubalgebra. Suponha que todo X ∈ g e nilpotente. Entao, existe v ∈ V, v 6= 0 tal queXv = 0 para todo X ∈ g.


Demonstracao: E por inducao sobre a dimensao de g. Se dim g = 1, seja X ∈g, X 6= 0. Como X e nilpotente, existe k ≥ 1 tal que Xk = 0 e Xk−1 6= 0. Seja w ∈ Vtal que Xk−1w 6= 0 e tome v = Xk−1w. Entao, v 6= 0 e Xv = 0, o que mostra oresultado para algebras de dimensao um.

Para mostrar o passo de inducao, suponha que dim g > 1 e que o resultado valepara toda algebra com dimensao estritamente menor que dim g. Com essa hipotese, aprimeira coisa que se mostra e que existe um ideal h ⊂ g de codimensao um. De fato, gadmite subalgebras nao-triviais, isto e, diferentes de 0 e g, pois subespacos de dimensaoum sao subalgebras. Seja entao uma subalgebra h nao-trivial cuja dimensao e maximaentre as dimensoes das subalgebras nao-triviais. Entao, h e um ideal de codimensaoum de g. Para ver isso, considere o espaco vetorial g/h. Como ad(X) para X ∈ h deixah invariante, a representacao adjunta de h em g induz uma representacao ρ de h emg/h. Pela proposicao anterior, ad(X), X ∈ h, e nilpotente em gl(V ) e, portanto, suarestricao a g tambem e nilpotente, o que implica que ρ e uma nil-representacao. Entao,ρ(h) e uma algebra que satisfaz as hipoteses do teorema e tem dimensao estritamentemenor que g. O teorema vale, portanto, para ρ(h) e daı que existe w ∈ g/h, w 6= 0tal que ρ(h)w = 0. Essa ultima afirmacao significa que existe X0 ∈ g \ h tal que[X0, h] ⊂ h, o que mostra que h e de codimensao um, pois o subespaco gerado porX0 e h e uma subalgebra de dimensao estritamente maior que a dimensao de h e h foiescolhido de dimensao maxima entre as subalgebras nao-triviais. Alem do mais, comoX0 /∈ h, [X0, h] ⊂ h e h e de codimensao um, h e na verdade um ideal de g.

Agora, aplicando a hipotese de inducao para h como subalgebra de gl(V ), o subes-paco

W = v ∈ V : Xv = 0 para todo X ∈ h

e nao-nulo. Como os elementos de W se anulam pelos elementos de h, para concluir ademonstracao do teorema e suficiente mostrar que existe v ∈ W, v 6= 0 tal que X0v = 0com X0 como acima. Para isso, observa-se que W e invariante por X0, ja que se X ∈ he w ∈ W , entao

XX0w = [X,X0]w +X0Xw= 0,

pois X, [X,X0] ∈ h. Isso mostra que X0w ∈ W e que W e invariante por X0. Noentanto, X0 e nilpotente e, portanto, sua restricao a W tambem e nilpotente e daı queo argumento usado no caso em que dim g = 1 permite concluir a demonstracao doteorema. 2

A partir desse teorema, pode-se agora proceder por inducao, atraves de quocientessucessivos, e construir uma base na qual todos os elementos de uma nil-representacaosao triangulares superiores.

Theorem 2.3 Seja V um espaco vetorial de dimensao finita e g ⊂ gl(V ) uma subal-gebra tal que todo X ∈ g e nilpotente. Entao, existem subespacos

0 = V0 ⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ Vn−1 ⊂ Vn = V


tais que XVi ⊂ Vi−1, i = 1, . . . , n. Esses subespacos podem ser definidos indutivamentepor

V0 = 0Vi = v ∈ V : Xv ∈ Vi−1 para todo X ∈ g.

Em particular, estendendo sucessivamente bases dos subespacos Vi, chega-se uma baseβ de V tal que a matriz de X em relacao a β e triangular superior com zeros nadiagonal para todo X ∈ g.

Demonstracao: Defina

V1 = v ∈ V : Xv = 0 para todo X ∈ g.

Pelo teorema anterior, V1 6= 0. Alem do mais, V1 e claramente g-invariante. Portanto,a representacao canonica de g em V passa ao quociente definindo uma representacao ρde g em V/V1. Como cada X ∈ g e nilpotente, ρ e uma nil-representacao e o teoremaanterior se aplica a ρ. Existe, portanto, w ∈ V/V1, w 6= 0 tal que ρ(X)w = 0 para todoX ∈ g. Isso significa que existe v ∈ V − V1 tal que Xv ∈ V1 para todo X ∈ g, o quegarante que o subespaco

V2 = v ∈ V : Xv ∈ V1 para todo X ∈ g

contem V1, e e distinto de V1. O mesmo argumento permite construir, sucessivamente,

Vi = v ∈ V : Xv ∈ Vi−1 para todo X ∈ g

que contem e e diferente de Vi−1. Como dimV < ∞, algum Vi = V , mostrando aprimeira parte do teorema. Quanto a segunda parte, tome a base

β = v1, . . . , vi1 , vi1+1, . . . , vi2 , . . . , vin−1+1, . . . , vin

com vij+1, . . . , vij+1∈ Vj+1, j = 0, . . . , n − 1. Em relacao a esta base, os elementos

de g se representam todos como matrizes triangulares superiores com zeros nos blocosdiagonais correspondentes as dimensoes dos subespacos Vi. 2

O exemplo padrao de algebras nilpotentes, que foi apresentado no primeiro capıtulo,e o das algebras das matrizes triangulares com zeros na diagonal. O teorema anteriormostra que toda subalgebra de matrizes, cuja representacao canonica e uma nil-repre-sentacao, esta contida na algebra das matrizes triangulares superiores e, como tal, enilpotente. Vale a pena destacar este fato.

Corolario 2.4 Seja V um espaco vetorial de dimensao finita e g ⊂ gl(V ) uma sub-algebra tal que todo X ∈ g e nilpotente. Entao, g e nilpotente. Em particular, ρ(h) euma algebra nilpotente se ρ e uma nil-representacao da algebra h em V .

Para a ultima afirmacao deste corolario, h e uma algebra arbitraria. Nao pede-senem mesmo que h seja de dimensao finita. O que esta envolvido e a imagem de ρ


nao sendo necessaria nenhuma informacao sobre o seu nucleo (um exemplo trivial e ocaso em que ρ = 0). No entanto, no caso de uma representacao adjunta nilpotente, epossıvel verificar (para algebras de dimensao finita) que a algebra e nilpotente e naoapenas sua imagem pela adjunta.

O corolario 2.4 mostra, de imediato, que uma algebra h de dimensao finita e soluvelse sua representacao adjunta e nilpotente, pois, nesse caso, ker (ad) e o centro da algebraque e abeliano e, portanto, soluvel, o mesmo ocorrendo com im (ad) ≈ h/ ker (ad) porser nilpotente. Para mostrar que nessa situacao h e nilpotente, convem introduzir aserie central ascendente de uma algebra de Lie g, que e definida indutivamente como

g0 = 0gi = X ∈ g : [Y,X] ∈ gi−1 para todo Y ∈ g.

Os termos dessa serie sao ideais de g, pois, como segue da definicao, [g, gi] ⊂ gi−1 ⊂gi para todo i. Em geral, pode ocorrer que, a partir de algum termo, a serie centralascendente se estabilize num ideal proprio de g. Isso nao ocorre se a representacaoadjunta de uma algebra de dimensao finita e nilpotente. De fato, a sequencia desubespacos Vi do teorema anterior coincide, no caso de uma representacao adjunta,com a serie central ascendente. Dessa forma, se a representacao adjunta e nilpotente,a serie central ascendente termina em g. Isso mostra o corolario

Corolario 2.5 Seja g uma algebra de Lie de dimensao finita e suponha que ad e umanil-representacao. Entao, a serie central ascendente satisfaz

0 = g0 ⊂ g1 ⊂ · · · ⊂ gn = g

para algum n.

Agora e quase que imediato provar o teorema de Engel.

Theorem 2.6 Seja g uma algebra de Lie de dimensao finita e suponha que, para todoX ∈ g, ad(X) e nilpotente. Entao, g e nilpotente.

Demonstracao: Pelo corolario anterior, a serie central ascendente termina em gn =g. Dessa forma, procedendo por inducao e usando o fato de que [g, gi] ⊂ gi−1, mostra-seque a serie central descendente esta contida na ascendente

gi ⊂ gn−i+1.

Daı que gn+1 = 0 e, portanto, g e nilpotente. 2

Para fazer uma ideia concreta deste ultimo teorema, e conveniente pensar em seusignificado em termos de colchetes sucessivos na algebra. Por um lado, uma algebra enilpotente se todos os produtos que envolvem uma certa quantidade de elementos seanulam. No entanto, para que a representacao adjunta de uma algebra seja nilpotente,pede-se algo aparentemente muito mais fraco, uma vez que se requer apenas que certosprodutos que envolvem dois elementos, um deles aparecendo uma unica vez, se anulem;o numero de elementos nesses produtos nao e, nem mesmo, fixado a priori para todosos pares de elementos. O anulamento desses produtos, porem, e suficiente para semostrar que a algebra e nilpotente.


2.1.2 Decomposicoes de Jordan de representacoes

A informacao dada pelo teorema 2.3 sobre as nil-representacoes pode ser utilizada paraesclarecer as representacoes das algebras nilpotentes. Em geral, uma representacao deuma algebra nilpotente nao tem por que ser nilpotente, como mostram os seguintesexemplos.

Exemplos:

1. Seja g a algebra das matrizes diagonais n× n, que e abeliana e, portanto, nilpo-tente. A representacao canonica de g, dada pela inclusao, nao e uma nil-repre-sentacao pois uma matriz diagonal nao e nilpotente, a menos que ela se anule.

2. Seja g a algebra das matrizes triangulares superiores com diagonal nao-nula, mascom os elementos diagonais iguais:

g =

λ ∗. . .

λ

.A representacao canonica de g nao e nilpotente, pois as matrizes que sao multiplasda identidade pertencem a g e nao sao nilpotentes. Como sera visto, toda repre-sentacao de uma algebra nilpotente e uma soma direta de representacoes comoesta. 2

A diferenca de uma representacao arbitraria para uma nil-representacao de umaalgebra nilpotente esta em que, em geral, podem aparecer autovalores nao-nulos, desdeque com um certo padrao de repeticao, como no caso do segundo exemplo acima. Essepadrao de repeticao e dado pelas decomposicoes de Jordan dos elementos da algebraque, como vai ser visto a seguir, sao compatıveis entre si, isto e, se realizam de maneirasimultanea.

Para analisar essas decomposicoes, seja V um espaco vetorial de dimensao finita eA : V → V uma transformacao linear. O teorema da decomposicao primaria decompoeV em subespacos A-invariantes

V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vs

que sao os auto-espacos generalizados

Vi = v ∈ V : pi(A)kv = 0 para algum k ≥ 1

onde os polinomios irredutıveis pi, i = 1, . . . , s, sao as componentes primarias do po-linomio minimal p = pmi1 . . . pmss de A. No caso em que o corpo de escalares e algebrica-mente fechado, pi(A) = A−λi com λi autovalor de A e os subespacos da decomposicaoprimaria se escrevem como

Vi = v ∈ V : (A− λi)kv = 0 para algum k ≥ 1.


Para enfatizar a relacao desses subespacos com os autovalores de A, eles seraodenotados por Vλi .

Quando se olha representacoes de algebras de Lie, e interessante verificar a maneiracomo age uma outra transformacao linear B nos espacos da decomposicao primariade A. Para isso, as seguintes formulas de comutacao em algebras associativas, que seaplicam em particular a algebra das transformacoes lineares de um espaco vetorial, saoessenciais.

Proposicao 2.7 Seja A uma algebra associativa e tome x, y ∈ A.

1. Denotando ade(x)y = xy− yx, tem-se, para todo n ≥ 1, a formula de comutacaoa esquerda

xny =n∑p=0

(n

p

)(ade(x)n−py)xp.

2. A formula de comutacao a direita e dada por

yxn =n∑p=0

(n

p

)xp(add(x)n−py)

onde add(x)y = yx− xy e a adjunta a direita.

Demonstracao: Por inducao. Para n = 1,

xy = yx+ [x, y]

que e a igualdade do enunciado. Para n+ 1,

xn+1y = x(xny)

=n∑p=0

(n

p

)(ade(x)n−p+1y)xp +

n∑p=0

(n

p

)(ade(x)n−py)xp+1

pela hipotese de inducao aplicada aos nıveis n e 1. Substituindo-se p por p + 1 nasegunda soma dessa igualdade, tem-se

xn+1y =n∑p=0

(n

p

)(ade(x)n−p+1y)xp +

n+1∑p=1

(n

p− 1

)(ade(x)n+1−py)xp

= ade(x)n+1y + yxn+1 +n∑p=1

((n

p

)+

(n

p− 1

))(ade(x)n+1−py)xp,

que e a formula de comutacao a esquerda. A formula de comutacao a direita segue como mesmo tipo de inducao. 2

A partir dessas formulas de comutacao, e possıvel mostrar que os espacos das de-composicoes primarias dos elementos de uma algebra nilpotente sao invariantes pelaalgebra.


Proposicao 2.8 Suponha que o corpo de escalares e algebricamente fechado. SejamA e B transformacoes lineares de V e Vλi, como acima, os auto-espacos generalizadosde A. Entao, BVλi ⊂ Vλi para todo i se e so se ad(A)qB = 0 para algum q ≥ 1.

Demonstracao: Dado i, seja Ai = A − λi (= A − λi1). Como λi e multiplo daidentidade, tem-se que ad(A)qB = 0 se e so se ad(Ai)

qB = 0.Suponha que ad(Ai)

qB = 0 e tome v ∈ Vλi . Pela forma como esse espaco e descrito,existe um expoente k, tal que Aki v = 0. Fixando os expoentes q e k, tome n > q + k.Entao, para 0 ≤ p ≤ n, tem-se que ou n − p > q ou p > k e, portanto, na formulade comutacao para Ani B, todos os termos aplicados a v se anulam. Isso mostra queAni Bv = 0 e, portanto, que Bv ∈ Vλi e daı que Vλi e B-invariante.

Reciprocamente, como a restricao de Ai a Vλi e nilpotente, tem-se pela proposicao2.1 que ad(Ai)

qiBi = 0, para algum qi, onde Bi e a restricao de B a Vλi . O que mostraque, para algum q, ad(A)qB = 0. 2

Voltando as representacoes, a proposicao anterior permite decompor o espaco darepresentacao em auto-espacos generalizados, como acima, com o refinamento de queeles sao auto-espacos simultaneos para todos os elementos da algebra. De fato, seja guma algebra de Lie nilpotente e ρ uma representacao de dimensao finita de g em V .Como g e nilpotente, dados X, Y ∈ g, ad(X)q(Y ) = 0 para algum q ≥ 1. Aplicando ρa essa igualdade, tira-se que, para X, Y ∈ g,

ad(ρ(X))qρ(Y ) = 0

para algum q ≥ 1. Assumindo o corpo de escalares algebricamente fechado, a proposi-cao acima se aplica entao a todo par de elementos de g. Dessa forma, fixando X ∈ g,considere a decomposicao primaria de V dada por ρ(X)

V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vs.

Cada Vi e invariante por ρ(Y ) para todo Y ∈ g e, portanto, esses subespacos sao g-invariantes e como tal, g se representa em cada um deles. Pode-se pensar entao emtomar a decomposicao primaria de Vi em relacao as restricoes de ρ(Y ), com Y ∈ g.Agora, se para todo Y ∈ g, i = 1, . . . , s, a decomposicao primaria de ρ(Y ) em Vi seconstitui de um unico elemento, entao cada Vi e um auto-espaco generalizado dascorrespondentes restricoes de ρ(Y ) para todo Y ∈ g. Isso significa que dados Y ∈ ge i = 1, . . . , s, existe um autovalor λi(Y ) para ρ(Y ) tal que Vi esta contido no auto-espaco generalizado associado a λi(Y ), isto e, (ρ(Y )− λi(Y ))kv = 0 para algum k ≥ 1se v ∈ Vi.

Por outro lado, se algum Vi se decompoe por algum ρ(Y ), pode-se tomar umanova decomposicao de V e repetir o argumento. Como as dimensoes dos subespacosdiminuem, obtem-se, dessa forma, por inducao, uma decomposicao em subespacos g-invariantes

V = W1 ⊕ · · · ⊕Wt

tal que para todo Y ∈ g e i = 1, . . . , t, existe λi(Y ) autovalor de ρ(Y ) com (ρ(Y ) −λi(Y ))kv = 0 para algum k ≥ 1 se v ∈ Wi.


A partir dessa discussao, obtem-se a decomposicao em relacao a representacao deuma algebra nilpotente.

Theorem 2.9 Suponha que o corpo de escalares e algebricamente fechado e tome umarepresentacao de g em V, com dimV < ∞ e g nilpotente. Entao, existem funcionaislineares λ1, . . . , λs tal que se

Vλi = v ∈ V : ∀X ∈ g,∃n ≥ 1, (ρ(X)− λi(X))nv = 0,

entao Vλi e g-invariante, i = 1, . . . , s e

V = Vλ1 ⊕ · · · ⊕ Vλs .

Demonstracao: A discussao anterior garante a existencia de subespacos g-invariantesW1, . . . ,Ws e aplicacoes λi : g→ K tal que

V = W1 ⊕ · · · ⊕Ws

e Wi ⊂ Vλi com Vλi como no enunciado. Nessa decomposicao, pode-se tomar λi 6= λjse i 6= j, somando, se necessario, parcelas para as quais os λ coincidem. Assumindoisso, e possıvel mostrar que Wi = Vλi .

Em primeiro lugar, tem-se que λi e linear. De fato, denote por ρi a restricao darepresentacao a Vλi . Pela forma como Vλi esta definido, tem-se que ρi(X) − λi(X) enilpotente para todo X ∈ g. Portanto, tr(ρi(X) − λi (X)) = 0. A linearidade de λisegue, entao, da formula

λi(X) =tr ρi(X)

dimVλi.

Agora, os funcionais lineares λi − λj nao sao nulos e sao em quantidade finita.Por isso e possıvel tomar X ∈ g tal que λi(X) 6= λj(X) para todo i 6= j. Para Xdessa forma, cada λi(X) e autovalor de ρ(X). Pode-se entao considerar o auto-espacogeneralizado associado, ou seja Vλi(X). Como os autovalores sao distintos, a soma

Vλ1(X) + · · ·+ Vλs(X)

e direta. Alem do mais, essa soma coincide com V pois Wi ⊂ Vλi(X). Isso mostra queWi = Vλi(X), i = 1, . . . , s. Mas, como segue das definicoes, Vλi ⊂ Vλi(X), o que mostraque Wi = Vλi , concluindo a demonstracao do teorema. 2

A representacao de g dentro de Vλi e, a menos de λi, uma nil-representacao. Dessaforma, ela pode ser descrita com mais detalhes com o auxılio do teorema 2.3. Noentanto, antes de fazer essa descricao, e conveniente introduzir uma terminologia queaparece a todo momento, ligada aos autovalores λi da representacao.

Definicao 2.10 Seja g uma algebra de Lie e ρ uma representacao de g em V . Umpeso de ρ e um funcional linear λ : g→ K tal que o subespaco Vλ de V definido por

Vλ = v ∈ V : ∀X ∈ g, ∃n ≥ 1, (ρ(X)− λ(X))nv = 0

satisfaz Vλ 6= 0. O subespaco Vλ e chamado de subespaco de pesos associado a λ. Adimensao de Vλ e chamada de multiplicidade de λ.


Os pesos de uma representacao sao, portanto, os autovalores dos elementos daalgebra. O teorema 2.9 garante que representacoes de dimensao finita das algebras nil-potentes admitem pesos no caso em que o corpo de escalares e algebricamente fechado.Ligado a esse teorema, pode-se fazer os seguintes comentarios sobre a nocao de peso.Em primeiro lugar, o fato de pedir que corpo seja algebricamente fechado e natural(e, na verdade, de pouca importancia para o desenvolvimento da teoria, pois sempree possıvel estender a representacao ao fecho algebrico), ja que, em geral, a existenciade autovalores nao e garantida em corpos que nao sao algebricamente fechados. Poroutro lado, a nilpotencia da algebra aparece aı de maneira decisiva. A existencia depesos foi garantida, em ultima instancia, pelo anulamento de alguns termos da formulade comutacao, isto e, por uma comutatividade telescopica dos elementos da algebra,o que ocorre em geral somente para algebras nilpotentes. Isso justifica que se tenhaintroduzido a nocao de peso de uma representacao neste capıtulo de algebras nilpoten-tes e nao, por exemplo, no primeiro capıtulo de conceitos gerais, onde a ideia de pesoficaria vaga. No que segue, aparecerao pesos de representacoes de algebras soluveise esses desempenharao um papel central na descricao dessas representacoes. Ja paradescrever a estrutura e as representacoes das algebras semi-simples, sera utilizada a re-presentacao de uma subalgebra nilpotente da algebra dada (subalgebra de Cartan, quena realidade e uma algebra abeliana). Os exemplos a seguir servem para complementaressa discussao sobre a nocao de peso de uma representacao.

Exemplos:

1. Tomando a algebra g das matrizes diagonais em relacao a base e1, . . . , en osfuncionais λi, i = 1, . . . , n definidos por

λi(diaga1, . . . , an) = ai

sao pesos da representacao canonica de g. Neste caso, Vλi , i = 1, . . . , n e osubespaco gerado por ei. Estes sao os unicos pesos desta representacao.

2. Para a algebra

g =

λ ∗. . .

λ

,o unico peso da representacao canonica e dado pelo funcional λ ∗

. . .

λ

7−→ λ.

O subespaco de pesos associado, neste caso, e todo o espaco da representacao.

3. Se ρ e uma nil-representacao de dimensao finita, entao 0 e o unico peso de ρ e V0

coincide com o espaco da representacao.


4. Considere sl(2,C) e sua representacao canonica em C2. Os auto-espacos de(1−1

)sao os subespacos gerados pelos elementos da base canonica, enquanto os auto-espacos de (

0 11 0

)sao os subespacos gerados por (1, 1) e (1,−1). Como esses subespacos tem in-tersecao nula dois a dois, essa representacao nao admite pesos. 2

Voltando a representacao de g dentro de Vλi como no teorema 2.9, se ρi denota arestricao de ρ a Vλi , ρi(X)−λi(X) e nilpotente para todo X ∈ g. Esse fato, juntamentecom o que foi mostrado para as nil-representacoes, permite esclarecer a forma de ρi taologo se conclua que ρi − λi e tambem uma representacao. Isso de fato ocorre.

Proposicao 2.11 Seja ρ uma representacao de dimensao finita de g em V e suponhaque exista λ : g→ K tal que ρ(X)− λ(X) seja nilpotente para todo X ∈ g. Entao, λ elinear e ρ =ρ− λ e uma representacao.

Demonstracao: Como na demonstracao do teorema 2.9, tem-se que

λ(X) =tr ρ(X)

dimV

o que mostra que λ e linear. Essa formula mostra tambem que λ[X, Y ] = 0 para todoX, Y ∈ g, ja que o traco de um comutador se anula. Por essa razao, ρ[X, Y ] = ρ[X, Y ].Por outro lado,

[ρ(X), ρ(Y )] = [ρ(X)− λ(X), ρ(Y )− λ(Y )]= [ρ(X), ρ(Y )],

pois os multiplos da identidade comutam com todas as transformacoes lineares. Issomostra que ρ e representacao. 2

As diferencas ρi = ρi − λi sao, entao, nil-representacoes e, portanto, existem basesde Vλi tal que ρi(X) e triangular superior com zeros na diagonal. Como λi e multiploda identidade, a restricao de ρi (X) a Vλi e triangular superior com λi (X) na diagonal.Assim, ρ admite uma decomposicao que tem o mesmo estilo que a decomposicao deJordan de uma transformacao linear.

Theorem 2.12 Suponha que o corpo de escalares e algebricamente fechado e seja ρuma representacao da algebra nilpotente g sobre o espaco de dimensao finita V . Entao,existe uma base de V tal que nessa base ρ se escreve como

ρ(X) =

ρ1(X). . .

ρs(X)

X ∈ g


com os blocos diagonais ρi(X) da forma

ρi(X) =

λi(X) ∗. . .

0 λi(X)

X ∈ g,

onde λi e peso da representacao.

Esse resultado e o melhor que se pode dizer sobre representacoes de algebras nilpo-tentes dentro do contexto geral colocado aqui. Observe que essa decomposicao mostrade imediato que, no caso algebricamente fechado, uma representacao de uma algebranilpotente e irredutıvel se e so se ela e de dimensao um.

Os blocos (de Jordan) triangulares superiores que aparecem no teorema acima saopara corpos algebricamente fechados. No caso geral, consegue-se tambem uma de-composicao em blocos, estendendo a representacao ao fecho algebrico do corpo deescalares. A questao e que, ao voltar ao corpo original, nao aparecem, em geral, blocostriangulares superiores. Um exemplo tıpico do procedimento de extensao e retorno aocorpo de escalares e o caso de algebras sobre R. Falando por alto, tomando uma repre-sentacao de uma algebra real, essa representacao pode ser complexificada e decompostacomo acima com os pesos λj assumindo valores em C. Escrevendo λj = aj + ibj comi =√−1 e aj, bj funcionais lineares reais, o procedimento usual de descomplexificar

transformacoes lineares, permite decompor a representacao real em blocos que sao outriangulares superiores ou da forma

aj(X) −bj(X)bj(X) aj(X)

∗. . .

0aj(X) −bj(X)bj(X) aj(X)

dependendo se bj e ou nao identicamente nulo.

2.2 Algebras soluveis

Como no caso das algebras nilpotentes, os elementos de uma algebra soluvel tambempodem ser colocados em forma triangular simultanea. Essa e a afirmacao do teoremade Lie, que sera mostrado logo mais. A diferenca aqui e que nao se tem, como nocaso nilpotente, uma decomposicao do tipo de Jordan, em blocos com as diagonais decada bloco multiplas da identidade. O exemplo da algebra das matrizes triangularessuperiores com diagonal arbitraria, que e soluvel, mas nao nilpotente, mostra que naose deve esperar uma decomposicao desse tipo para algebras soluveis em geral.

Como e usual para as algebras soluveis, a demonstracao do teorema de Lie utilizaum processo de inducao. Nesse caso, o passo de inducao usa o fato de que numaalgebra soluvel de dimensao finita existem ideais de codimensao um. A existencia de

2.2. Algebras soluveis 71

tais ideais vem do fato de que a algebra derivada g′ e propria e, portanto, esta contidaem subespacos de codimensao um, que sao ideais por conterem g′.

Para construir uma base que triangularize os elementos de uma algebra soluvel,o primeiro passo consiste em garantir a existencia de um autovetor comum para oselementos da algebra. Isso e feito no seguinte teorema.

Theorem 2.13 Sejam V 6= 0 um espaco vetorial de dimensao finita sobre um corpoalgebricamente fechado e g ⊂ gl(V ) uma subalgebra soluvel. Entao, existe v ∈ V, v 6= 0e um funcional linear λ : g→ K tal que

Xv = λ(X)v para todo X ∈ g,

isto e, v e um autovetor comum a X ∈ g com autovalor λ(X).

Demonstracao: A primeira observacao que se faz e que se λ(X) e, como no enun-ciado, autovalor de X ∈ g com mesmo autovetor v, entao λ e linear como segue daigualdade Xv = λ(X)v. E suficiente entao verificar a existencia de um autovetorcomum.

Para isso, sera utilizada inducao sobre a dimensao de g. Se dim g = 1, g e geradapor X e a existencia de um autovetor para X vem do fato do corpo ser algebricamentefechado. Se dim g > 1, g admite um ideal h de codimensao 1. A hipotese de inducaoaplicada a h garante entao a existencia de w ∈ V , w 6= 0, tal que

Xw = λ(X)w X ∈ h.

Como h e de codimensao um, existe X0 ∈ g tal que X0 e h geram g. Assim, oteorema ficara provado tao logo se mostre a existencia de um autovetor comum a X0

a aos elementos de h. Isso, por sua vez, e garantido pela existencia de um subespacoW 6= 0 que satisfaca

1. W e invariante por X0 e

2. todo v ∈ W , v 6= 0 e autovetor de todo Y ∈ h.

De fato, como W e invariante por X0 e o corpo e algebricamente fechado, X0 temum autovetor em W e, portanto, esse autovetor e comum a todos os elementos de g.

Um subespaco W que satisfaz as condicoes acima e o subespaco cıclico de X0 geradopor w, isto e,

W = gerX i0w : i ≥ 0.

E claro que este subespaco e invariante por X0. Para ver que a restricao de Y ∈ ha W e multiplo da identidade, observe, em primeiro lugar, que para algum p ≥ 0,β = w,X0w, . . . , X

p0w e base de W. Dado Y ∈ h, seu valor nos elementos dessa base

e dado pela formula de comutacao a direita como

Y Xk0w =

k∑j=0

(k

j

)Xj

0(add(X0)k−jY )w 0 ≤ k ≤ p.


Como h e ideal e w e autovetor para os elementos de h, tem-se que

Y Xk0w =

k∑j=0

(k

j

)λ(add(X0)k−jY )Xj

0w

=k−1∑j=0

(

(k

j

)λ(add(X0)k−jY )(Xj

0w) + λ(Y )Xk0w.

(2.1)

Essas igualdades mostram que W e invariante por h. Elas mostram tambem que,em relacao a base β, a restricao de Y a W e triangular superior, sendo que os elementosdiagonais sao todos iguais a λ(Y ). Calculando entao tr(Y|W ), chega-se a

λ(Y ) =tr(Y|W )

dimW.

Mas todo colchete de transformacoes lineares tem traco zero, assim

tr(add(X0)k−jY|W ) = 0

se k − j ≥ 1. Juntando isso com a expressao para Y Xk0w dada em (2.1), tem-se que

Y Xk0w = λ(Y )Xk

0w Y ∈ h, k = 0, . . . , p.

Portanto, para todo Y ∈ h a restricao Y|W e multipla da identidade e, assim, W sa-

tisfaz as condicoes requeridas. 2

A partir deste teorema, pode-se mostrar atraves de quocientes sucessivos, a exis-tencia de uma base que triangulariza simultaneamente os elementos de uma algebrasoluvel. Esse e o conteudo do teorema de Lie:

Theorem 2.14 Sejam V um espaco vetorial de dimensao finita sobre um corpo al-gebricamente fechado e g ⊂ gl(V ) uma algebra soluvel. Entao, existe uma base β =v1, . . . , vn de V e funcionais lineares λ1, . . . , λn : g → K tal que, em relacao a β,X ∈ g se escreve como

X =

λ1(X) ∗. . .

λn(X)

.

Demonstracao: Seja v1 autovetor comum aos elementos de g com autovalor λ1(X).Como foi visto, λ1 e um funcional linear. Seja V1 o subespaco gerado por v1. Entao,g deixa V1 invariante e, portanto, se representa em V/V1. Como g e soluvel, existew ∈ V/V1 que e autovetor comum para os elementos da representacao de g com auto-valor dado pelo funcional linear λ2. Tomando v2 como representante de w em V , tem-seque Xv2 = λ2(X)v2 + u com u ∈ V1. Como w 6= 0 em V/V1, v1, v2 e linearmente

2.3. Radicais nilpotentes 73

independente. Esse procedimento pode ser repetido sucessivamente ate obter a base eos pesos requeridos. 2

Este teorema vale quando o corpo e algebricamente fechado. Como no caso dasalgebras nilpotentes, para tratar as algebras sobre corpos gerais, e necessario estenderao fecho algebrico e “descomplexificar” a extensao. Novamente, um exemplo tıpico edado pelo caso real. Complexificando a representacao e descomplexificando, se mostraque e possıvel triangulariza-la com blocos diagonais de ordem no maximo dois.

Por fim, tem-se a seguinte consequencia do teorema anterior que e frequentementeutil quando se trabalha com algebras soluveis.

Proposicao 2.15 Seja g uma algebra de Lie de dimensao finita. Entao, g e soluvelse e so se a algebra derivada g′ e nilpotente.

Demonstracao: Se g′ e nilpotente, ela e, em particular, soluvel. Como g/g′ e sempreabeliana e, portanto, soluvel, segue-se que g e soluvel.

Reciprocamente, assumindo g soluvel, para mostrar que g′ e nilpotente, pode-sesupor, sem perda de generalidade, que os escalares estao num corpo algebricamentefechado. De fato, a extensao algebrica do derivado e o derivado da extensao algebricae uma algebra e nilpotente se e so se suas extensoes sao nilpotentes.

Assumindo o corpo como sendo algebricamente fechado, a representacao adjuntade g se escreve, em alguma base, como matrizes triangulares superiores. Como o col-chete de matrizes triangulares superiores e triangular superior com zeros na diagonal,os elementos de g′, na representacao adjunta, se escrevem como matrizes triangularessuperiores com diagonal nula. Eles sao, portanto, nilpotentes. Conclui-se entao quea representacao adjunta de g′ em g e nilpotente. Por restricao, tem-se entao que arepresentacao adjunta de g′ e tambem nilpotente. O que mostra, juntamente com oteorema de Engel, que g′ e nilpotente. 2

2.3 Radicais nilpotentes

Como foi visto, a soma de ideais soluveis de uma algebra e tambem um ideal soluvel.Esse fato tecnico, e alias elementar, e o que garante a existencia de ideais que absorvemtodos os ideais soluveis de uma algebra, isto e, dos radicais soluveis. Para os ideaisnilpotentes, tem-se

Proposicao 2.16 Sejam g uma algebra de Lie de dimensao finita e h1, h2 ideais nil-potentes de g. Entao, h1 + h2 e um ideal nilpotente e sua representacao adjunta em ge uma nil-representacao.

Demonstracao: Pode-se assumir, sem perda de generalidade, que o corpo de escala-res e algebricamente fechado. Assumindo isso, a primeira observacao a ser feita e queas representacoes de h1 e h2 em g sao nilpotentes, pois, se por exemplo, X ∈ h1, entao


ad(X)g ⊂ h1 e daı que ad (X) e nilpotente em g. Agora, h1 + h2 e um ideal soluvel deg. Para ver que ele e nilpotente, considere sua representacao adjunta em g e apliqueo teorema de Lie. Existe uma base de g tal que, para todo X ∈ h1 + h2, adg(X) seescreve nessa base como λ1(X) ∗

. . .

λk(X)

com λi os pesos da representacao. Como para X ∈ h1 ∪ h2, adg(X) e nilpotente,λi(X) = 0, i = 1, . . . , k, de onde se conclui, pelo fato de os pesos de uma representacaoserem lineares, que adg(X) e nilpotente para todo X ∈ h1 + h2, isto e, a representacaoadjunta de h1 + h2 em g e nilpotente, o que pelo teorema de Engel implica que h1 + h2

e nilpotente. 2

A partir dessa proposicao, mostra-se, com o mesmo argumento utilizado no caso dosradicais soluveis, que numa algebra de Lie de dimensao finita existe um ideal nilpotenteque engloba todos os ideais nilpotentes. Tem-se

Proposicao 2.17 Seja g uma algebra de Lie de dimensao finita. Entao, existe umideal nilpotente de g, denotado por rn(g) e denominado de radical nilpotente ou nil-ra-dical de g, que contem todo ideal nilpotente de g.

Por ser nilpotente, o nil-radical de uma algebra e um ideal nilpotente do radicalsoluvel. Dessa forma, o nil-radical se anula se isso ocorre com o radical, isto e, se aalgebra e semi-simples. Ao longo do texto, o termo radical sera empregado para indicar,de preferencia, o radical soluvel, enquanto que sera mencionado explicitamente o radicalnilpotente quando for o caso.

Como foi mostrado na proposicao 2.15, a algebra derivada de uma algebra soluvelg e nilpotente e, portanto, esta contida no nil-radical. Em particular, as imagens dasderivacoes internas de g estao contidas em rn(g). Este fato se estende a derivacoes emgeral.

Proposicao 2.18 Seja g uma algebra soluvel e D uma derivacao de g. Entao, imD ⊂rn(g). Em particular, rn (g) e invariante por D.

Demonstracao: Seja K o corpo de escalares visto como uma algebra abeliana dedimensao um. Entao, K se representa em g por t 7→ tD e essa representacao define oproduto semidireto h = K × g. Como K e uma algebra abeliana, h′ ⊂ 0 × g ≈ g. Deforma explıcita,

h′ = g′ + imD

como segue diretamente a partir do colchete

[(s,X), (t, Y )] = (0, sDY − tDX + [X, Y ])

em h. Isso mostra que h tambem e soluvel e, portanto, que h′ e um ideal nilpotentede h e, em particular, de g. Daı que h′ ⊂ rn(g), de onde se conclui que imD ⊂ rn(g). 2

2.4. Exercıcios 75

Corolario 2.19 Seja g uma algebra de Lie com radical soluvel r. Entao,

[g, r] ⊂ rn(r).

Em particular, se g e soluvel, entao g′ ⊂ rn (g).

Demonstracao: De fato, [g, r] e gerado pelas imagens das restricoes a r de ad(X),X ∈ g. Como essas transformacoes lineares sao derivacoes de r, pela proposicao ante-rior suas imagens estao contidas no radical nilpotente de r. 2

Notas

Os teoremas de Engel e Lie fazem parte dos primordios da teoria. O teorema de Engel

pode ser estendido a subespacos de transformacoes lineares que nao sao algebras de Lie

mas que sao fechados por “produtos” mais gerais que o comutador (para isso e para uma

demonstracao alternativa do teorema de Engel veja Jacobson [28]). O teorema 2.12 que

decompoe uma representacao de uma algebra nilpotente como a decomposicao de Jordan de

uma transformacao linear e creditado a Zassenhaus (veja [28]).

2.4 Exercıcios

1. Mostre a seguinte recıproca da proposicao 2.1: se ad (A) ∈ gl (gl (V )) e nilpotentee trA = 0 entao A e nilpotente.

2. Seja V um espaco vetorial de dimensao finita e A uma transformacao linear deV . Suponha que trAm = 0 para todo m ≥ 1 e mostre que A e nilpotente. (Use oteorema de Cayley-Hamilton para mostrar que detA = 0 e aplique inducao sobrea dimensao de V para concluir que 0 e o unico autovalor de A; aqui o corpo deescalares deve ser de caracterıstica zero ou maior que a dimensao do espaco).

3. De exemplo de uma algebra nilpotente cuja serie central ascendente seja diferenteda serie central descendente.

4. Para uma algebra de Lie nilpotente g, mostre que existe uma sequencia de ideais

g = i0 ⊃ i1 ⊃ · · · ⊃ ik = 0

tal que ii+1 tem codimensao um em ii. De exemplo de uma algebra soluvel sobreR para a qual nao existe uma sequencia dessas.

5. Seja i ⊂ g um ideal da algebra nilpotente g. Mostre que i tem uma intersecaonao-nula com o centro de g.


6. O normalizador de uma subalgebra h ⊂ g e definido como

n (h) = X ∈ g : ad (X) h ⊂ h.

Mostre que n (h) e uma subalgebra. Mostre tambem que se h e uma subalgebranilpotente, entao ela e maximal nilpotente (isto e, nao esta contida propriamenteem nenhuma subalgebra nilpotente) se n (h) = h.

7. Mostre que se uma representacao de uma algebra de Lie nilpotente, sobre umcorpo algebricamente fechado, e irredutıvel, entao ela e de dimensao zero ou um.De um exemplo de uma representacao irredutıvel de dimensao dois de uma algebranilpotente. Mostre que as representacoes irredutıveis das algebras nilpotentessobre R sao de dimensao no maximo dois.

8. Seja ρ uma representacao de dimensao finita de uma algebra nilpotente g sobre umcorpo algebricamente fechado. Suponha que nenhum dos pesos da representacaose anula. Entao, existe X ∈ g tal que ρ (X) e inversıvel.

9. Seja ρ uma representacao de dimensao finita de uma algebra nilpotente (sobreum corpo algebricamente fechado). Mostre que os pesos da representacao dualρ∗ sao os negativos dos pesos de ρ. Encontre os pesos de ad (ρ (·)) em funcao dospesos de ρ.

10. Seja ρ uma representacao em V , de dimensao finita, de uma algebra nilpotentesobre um corpo algebricamente fechado. Suponha que W ⊂ V seja um subespacoinvariante e mostre que

W = (W ∩ V1)⊕ · · · ⊕ (W ∩ Vs) ,

onde V1, . . . , Vs sao os diferentes espacos de pesos.

11. Seja g uma algebra de Lie, que nao e nilpotente, sobre um corpo algebricamentefechado. Mostre que existe uma subalgebra nao-abeliana de dimensao dois h ⊂ g.

12. Suponha que uma representacao ρ 6= 0 de dimensao finita de uma algebra nilpo-tente g satisfaca det (ρ (X)) = 0 para todo X ∈ g e mostre que existe v no espacoda representacao tal que ρ (X) v = 0 para todo X ∈ g.

13. Seja ρ : g → gl (V ) uma representacao de dimensao finita da algebra nilpotenteg. Suponha que o corpo de escalares e algebricamente fechado e encontre os pesosda representacao de dimensao um ρ′ = tr ρ em termos dos pesos de ρ.

14. Mostre que as subalgebras de dimensao dois de sl(2,R) nao sao abelianas e,portanto, sao isomorfas entre si. Mostre tambem que os isomorfismos entre elassao da forma X 7→ PXP−1 com P uma matriz inversıvel.

15. Uma algebra de Lie g e dita quase-abeliana se ela admite um ideal abeliano decodimensao um tal que para todo X ∈ g, ad (X)|h e um multiplo da identidade.

Mostre as seguintes equivalencias para uma algebra de Lie de dimensao finita:

2.4. Exercıcios 77

(a) g e quase-abeliana.

(b) Todo hiperplano de g e uma subalgebra

(c) Todo subespaco vetorial de g e uma subalgebra.

16. Mostre que as algebras de Lie quase-abelianas podem ser realizadas como algebrasde matrizes do tipo (

a1 x0 0

)onde 1 representa a matriz identidade n× n e x e uma matriz n× 1.

17. Mostre que o radical nilpotente de g1 × g2 e o produto dos radicais nilpotentesde g1 e g2.

18. De exemplo de uma algebra de Lie soluvel, nao nilpotente, cujo radical nilpotenteseja diferente da algebra derivada.

19. Se uma algebra de Lie g e tal que ρ (g) e uma algebra abeliana, para toda repre-sentacao ρ irredutıvel de dimensao finita, entao g e abeliana.

20. Encontre uma algebra de Lie g, um ideal h ⊂ g e uma derivacao D de g tal queh nao seja invariante por D.

Capıtulo 3

Criterios de Cartan

A forma de Cartan-Killing de uma algebra de Lie g de dimensao finita e a forma bi-linear definida tr (ad (X) ad (Y )). Os criterios de Cartan sao condicoes necessarias esuficientes, em termos dessa forma bilinear, para que g seja semi-simples ou soluvel:1) g e semi-simples se e so se sua forma de Cartan-Killing e nao-degenerada e 2) g esoluvel se e so se tr (ad (X) ad (Y )) = 0 para todo X ∈ g e Y ∈ g′. O objetivo destecapıtulo e discutir os criterios de Cartan e resultados semelhantes envolvendo formasbilineares em que a representacao adjunta e substituıda por uma representacao qual-quer. Como a forma de Cartan-Killing de uma algebra semi-simples nao e degenerada,ela e uma ferramenta poderosa no estudo dessas algebras de Lie. Ao final do capıtulosao apresentadas algumas aplicacoes dos criterios de Cartan as algebras semi-simples,que serao utilizados posteriormente na teoria de classificacao.

3.1 Derivacoes e suas decomposicoes de Jordan

A decomposicao de Jordan de uma derivacao de uma algebra de Lie (ou de uma algebraqualquer) tem um bom comportamento em relacao ao produto da algebra. Essa decom-posicao sera analisada a seguir. Os resultados obtidos serao utilizados posteriormentena demonstracao dos criterios de Cartan e na analise da estrutura da algebra.

Proposicao 3.1 Seja D : g→ g uma derivacao da algebra de Lie de dimensao finitasobre um corpo algebricamente fechado. Tome a decomposicao primaria

g = gλ1 ⊕ · · · ⊕ gλm

ondegλi = X ∈ g : (D − λi)nX = 0 para algum n ≥ 1

e o auto-espaco generalizado associado ao autovalor λi. Entao,

[gλi , gλj ] ⊂ gλi+λj .

(gλi+λj = 0 se λi + λj nao e autovalor de D).

79

80 Capıtulo 3. Criterios de Cartan

Demonstracao: Cada gλi se decompoe em componentes de Jordan, isto e, existemconjuntos l.i. X1, . . . , Xr tais que

DXj = λiXj +Xj−1 j = 1, . . . , r (X0 = 0),

e existe uma base de gλi formada por tais conjuntos.Para mostrar a proposicao e entao suficiente mostrar que se

X1, . . . , Xr ⊂ gλi e Y1, . . . , Ys ⊂ gλj

sao conjuntos l.i. como acima, entao

[Xk, Yl] ⊂ gλi+λj k = 1, . . . , r; l = 1, . . . , s.

A demonstracao disso e feita por inducao dupla sobre k + l. O passo de inducaoconsiste, essencialmente, da seguinte igualdade

D[Xk, Yl] = [DXk, Yl] + [Xk, DYl]= [λiXk +Xk−1, Yl] + [Xk, λjYl + Yl−1]= (λi + λj)[Xk, Yl] + [Xk−1, Yl] + [Xk, Yl−1]

de onde se tira que

(D − (λi + λj))[Xk, Yl] = [Xk−1, Yl] + [Xk, Yl−1]. (3.1)

A inducao se processa da seguinte forma: suponha que k = l = 1. Entao, o segundomembro da igualdade acima se anula, o que significa que [X1, Y1] ∈ ker(D− (λi + λj)),isto e, [X1, Y1] ∈ gλi+λj .

Por outro lado, dados k e l a hipotese de inducao garante que o segundo membroesta no nucleo de (D − (λi + λj))

n para algum n. Portanto,

(D − (λi + λj))n+1[Xk, Yl] = 0,

isto e, [Xk, Yl] ∈ gλi+λj . 2

Exemplo: Uma situacao que ilustra bem a proposicao acima se apresenta na algebrasl (n,R) da seguinte forma: seja

H = diagλ1, . . . , λn

uma matriz diagonal em sl (n,R). A sua adjunta ad(H) e diagonalizavel e seus auto-valores sao αij = λi − λj; i, j = 1, . . . , n. Suponha αij 6= αrs se i 6= j e (i, j) 6= (r, s).Entao, os auto-espacos de ad(H) sao dados da seguinte forma:

• o subespaco h das matrizes diagonais e o auto-espaco associado ao autovalor zero.Esse subespaco e evidentemente uma subalgebra de sl (n,R).

3.1. Derivacoes e suas decomposicoes de Jordan 81

• O subespaco gerado por Eij, i 6= j, que e a matriz cuja i, j-esima entrada e 1 eas demais entradas sao todas nulas, e o auto-espaco associado ao autovalor αij.O colchete entre duas dessas matrizes e dado por

[Eij, Ers] = δjrEis − δsiErj

(onde δij = 1 se i = j e 0 caso contrario). Assim, por exemplo, o colchete entre oselementos do auto-espaco associado a αij = λi−λj e os elementos do auto-espacoassociado a αjs = λj − λs estao contidos no auto-espaco associado ao autovalor

αis = (λi − λj) + (λj − λs) = λi − λs,

que e o subespaco gerado por Eis. 2

A partir dessa informacao sobre os produtos dos auto-espacos de uma derivacao,pode-se provar que suas componentes semi-simples e nilpotente tambem sao derivacoes.

Theorem 3.2 Seja g uma algebra de Lie de dimensao finita e D uma derivacao de g.Escreva D = S +N , de maneira unica, com S semi-simples, N nilpotente e

[D,S] = [D,N ] = [S,N ] = 0.

Entao, S e N tambem sao derivacoes.

Demonstracao: Pode-se assumir, sem perda de generalidade, que o corpo de esca-lares e algebricamente fechado. Isso porque uma transformacao linear de uma algebrae uma derivacao se e so se sua extensao ao fecho algebrico e uma derivacao da algebraestendida. Alem do mais, as componentes semi-simples e nilpotente de uma extensaosao as respectivas extensoes.

E possıvel, portanto, aplicar a proposicao anterior. Para mostrar que S e umaderivacao, e suficiente mostrar que S[X, Y ] = [SX, Y ]+[X,SY ] para X, Y elementos deuma base. Como g se decompoe nos auto-espacos generalizados de D, e suficiente entaomostrar a propriedade de derivacao para X ∈ gλi e Y ∈ gλj com λi, λj autovalores.Tem-se,

[X, Y ] ∈ gλi+λj

pela proposicao anterior. Os auto-espacos generalizados de D sao auto-espacos de S.Assim,

S[X, Y ] = (λi + λj)[X, Y ]

sendo que [X, Y ] = 0 se λi + λj nao e autovalor. Por outro lado,

[SX, Y ] + [X,SY ] = λi[X, Y ] + λj[X, Y ]= (λi + λj)[X, Y ],

o que mostra que S e derivacao. Como N = D − S e D e derivacao, o mesmo ocorrecom N . 2


Este teorema pode ser encarado como um resultado que afirma que certas trans-formacoes, associadas de alguma forma a derivacoes, sao tambem derivacoes. Esse tipode informacao e util em diversas situacoes. A seguir, sera apresentado outro resultadonessa direcao. Antes disso, porem, e necessario introduzir a seguinte terminologia.

Seja λ = (λ1, . . . , λk) uma sequencia finita de elementos de um corpo. Uma ternaordenada (i1, i2, i3) de elementos de 1, . . . , k e dita λ-fechada (ou simplesmente fe-chada), se λi1+λi2 = λi3 . (Por exemplo, as ternas fechadas para λ = (1, 1, 2) sao (1, 2, 3)e (2, 1, 3), ja para λ = (λ1, λ2, λ3) com λ1 = λ3 e λ2 = 0 as ternas fechadas sao todasas que terminam em 1 ou 3 e contem 2). Diz-se que uma sequencia µ = (µ1, . . . , µk)imita λ se as ternas fechadas para λ sao tambem µ-fechadas, isto e, µi1 + µi2 = µi3se λi1 + λi2 = λi3 . (Por exemplo, se µ1 = µ3 e µ2 = 0, entao µ = (µ1, µ2, µ3) imitaλ = (1, 2, 3)).

As sequencias que imitam os autovalores de uma derivacao diagonalizavel permitemconstruir novas derivacoes:

Proposicao 3.3 Seja S uma derivacao de uma algebra de Lie g de dimensao finita esuponha que S e diagonalizavel, isto e, SXi = λiXi, i = 1, . . . , k, para λ = (λ1, . . . , λk)os autovalores e X1, . . . , Xk uma base de autovetores de g.

Seja µ = (µ1, . . . , µk) uma sequencia que imita λ e defina a transformacao linearTµ : g→ g, por TµXi = µiXi, i = 1, . . . , k.

Entao, Tµ tambem e derivacao.

Demonstracao: E suficiente mostrar que

Tµ[Xi, Xj] = [TµXi, Xj] + [Xi, TµXj] (3.2)

para i, j = 1, . . . , k. No caso em que λi + λj nao e autovalor, [Xi, Xj] = 0 e essaigualdade e satisfeita trivialmente pois

[TµXi, Xj] + [Xi, TµXj] = (µi + µj)[Xi, Xj].

Ja se λi+λj e autovalor entao λi+λj = λl para algum l e a terna (i, j, l) e λ-fechada.Como µ imita λ, tem-se que µi + µj = µl e o segundo membro da igualdade (3.2) co-incide com µl[Xi, Xj]. Por outro lado, pela proposicao 3.1, S[Xi, Xj] = λl[Xi, Xj]. Noentanto, os autovetores de S associados ao autovalor λl sao autovetores de Tµ, associ-ados a µl o que mostra que Tµ[Xi, Xj] = µl[Xi, Xj] concluindo a demonstracao. 2

Esta proposicao sobre derivacoes diagonalizaveis, permite mostrar o seguinte te-orema que, entre outras coisas, sera utilizado a seguir para mostrar os criterios deCartan.

Theorem 3.4 Sejam g uma algebra de Lie de dimensao finita sobre um corpo alge-bricamente fechado e D uma derivacao de g. Suponha que para toda derivacao M deg se tenha

tr(DM) = 0.

Entao, D e nilpotente.

3.2. Criterios de Cartan 83

Demonstracao: Seja D = S+N a decomposicao de D em componentes semi-simples(S) e nilpotente (N) que comutam entre si. Pretende-se mostrar que S = 0. Comofoi visto acima, S e uma derivacao e com a hipotese de que o corpo e algebricamentefechado, S = diagλ1, . . . , λk em alguma base de g. Evidentemente, mostrar que S = 0e equivalente a mostrar que λi = 0 para i = 1, . . . , k. Isso sera feito construindo-seuma quantidade suficiente de sequencias que imitam λ = (λ1, . . . , λk).

Como o corpo de escalares K e de caracterıstica zero, ele contem os racionais Q ee um espaco vetorial sobre Q. Seja V ⊂ K o subespaco vetorial sobre Q gerado pelosautovalores λ1, . . . , λk. E claro que V e de dimensao finita.

Seja ψ : V → Q um funcional linear em V , e defina

µi = ψ(λi) µ = (µ1, . . . , µk).

A sequencia µ imita λ pois se λi1 + λi2 = λi3 entao µi1 + µi2 = ψ(λi1 + λi2) = µi3 .Para essa sequencia µ, seja Tµ como na proposicao anterior. Entao, Tµ e derivacao e,por hipotese,

0 = tr(DTµ) =k∑i=1

λiψ(λi).

Esta ultima expressao e uma combinacao linear sobre Q de λ1, . . . , λk. Aplicando ψ aesta combinacao linear, obtem-se

0 =k∑i=1

ψ(λi)2

e, como esta e uma soma de racionais positivos, conclui-se que ψ(λi) = 0 para todo i.Como ψ e um funcional linear arbitrario e V e de dimensao finita, tem-se que λi = 0para todo i, o que mostra o teorema. 2

Por fim duas observacoes sobre as hipoteses utilizadas nesta secao: i) O teorema3.4 vale sem a hipotese de que o corpo e algebricamente fechado (veja o exercıcio 4,ao final do capıtulo. ii) Os resultados acima nao se restringem a algebras de Lie. Aunica propriedade exigida e a de derivacao e esta pode ser considerada numa algebraqualquer.

3.2 Criterios de Cartan

Dada uma representacao ρ de dimensao finita da algebra de Lie g, define-se em g aforma traco βρ que e a forma bilinear simetrica dada por

βρ(X, Y ) = tr(ρ(X)ρ(Y )).

Essa forma, juntamente com a forma quadratica βρ(X,X) associada, desempenhara umpapel central no desenvolvimento da teoria principalmente no caso das representacoesadjuntas.


Para as representacoes adjuntas a forma traco e denominada de forma de Cartan-Killing da algebra e sera denotada de maneira mais simples por 〈·, ·〉 ou por 〈·, ·〉gquando se quiser ressaltar a algebra g. Antes de ver exemplos e propriedades dessasformas, e interessante discutir a seguinte motivacao para a introducao das mesmas.Como foi visto nas algebras nilpotentes e soluveis, a maneira de estudar suas repre-sentacoes, e em particular as representacoes adjuntas, e atraves da forma canonica deJordan, decomposicoes primarias etc., de seus elementos. Por isso, e relevante consi-derar os polinomios caracterısticos desses elementos. Agora, se A e uma matriz n× n,seu polinomio caracterıstico e da forma

PA(λ) = λn + pn−1(A)λn−1 + pn−2(A)λn−2 + · · ·+ p0(A)

onde os coeficientes pi(A) sao polinomios de grau n−i nas entradas de A. Por exemplo,pn−1(A) = − trA que, por sua vez, e dado pela soma λ1 + · · ·+ λn dos autovalores deA. Ja pn−2 e a soma dos menores de ordem dois ao longo da diagonal, isto e,

pn−2(A) =∑i<j

λiλj.

A partir desta igualdade e usando a forma canonica de Jordan, pode-se ver que

2pn−2(A) = (trA)2 − tr(A2).

Em outras palavras, pn−2(ρ(X)) e obtido a partir de tr ρ(X) e βρ(X,X) se ρ e uma

representacao. E aı que reside o interesse em βρ. Se, por exemplo, tr ρ(X) = 0, o queocorre se X ∈ g′ (e em particular para todo X se g e semi-simples ja que nesse casog = g′ como sera visto adiante), o polinomio de menor grau em ρ(X) que aparece entreos coeficientes do seu polinomio caracterıstico e essencialmente βρ.

Exemplos:

1. Se ρ e uma representacao nilpotente de g entao βρ(X,X) = 0 para todo X ∈ gpois o traco de uma transformacao linear nilpotente se anula. Como βρ se obtemda forma quadratica βρ(X,X) por polarizacao, se tem que βρ e identicamentenula para essas representacoes. Em particular, a forma de Cartan-Killing de umaalgebra nilpotente e identicamente nula.

2. Seja ρ uma representacao de uma algebra soluvel. Passando ao fecho algebricodo corpo de escalares, o teorema de Lie garante que os elementos de g podemser escritos, de maneira simultanea, como matrizes triangulares superiores e, por-tanto, os elementos de g′ sao representados por matrizes triangulares superiorescom zeros na diagonal. Assim que, ρ(X)ρ(Y ) e nilpotente se X ∈ g′. Dessaforma, no caso em que g e soluvel, βρ(X, Y ) = 0 para X ∈ g′ e em particular,βρ e identicamente nula em g′. Um dos criterios de Cartan a que se refere otıtulo deste capıtulo e justamente uma recıproca deste fato, isto e, g e soluvel seβρ(X, ·) = 0 para X ∈ g′ e ρ a representacao adjunta.


3. Um elemento X de sl(2), se escreve como

X =

(a bc −a

).

De onde se tira que trX2 = 2(a2 +bc). Essa e, portanto, a expressao de βρ(X,X)se ρ e a representacao canonica de sl(2). A partir daı, tem-se que a matriz de βρem relacao a base

X =

(0 10 0

)H =

(1 00 −1

)Y =

(0 01 0

)e 0 0 1

0 2 01 0 0

de onde se ve que βρ e nao-degenerada, ja que o determinante desta matriz enao-nulo. Em relacao a base A,H, S com

A =

(0 −11 0

)S =

(0 11 0

)a matriz de βρ e diagonal, sendo que −βρ(A,A) = 2 = βρ(S, S).

Ja a forma de Cartan-Killing de sl(2) e dada por 8(a2 + bc), como pode ser vistoa partir da forma dessa representacao dada no primeiro capıtulo. Essa forma eum multiplo de βρ e e, portanto, nao-degenerada. Esse fato e um caso particularde um dos criterios de Cartan que afirma que uma algebra e semi-simples se e sose sua forma de Cartan-Killing e nao-degenerada.

4. Escrevendo X ∈ so(3) como

X =

0 −a −ca 0 −bc b 0

tem-se que trX2 = −2(a2 + b2 + c2) e essa e a expressao de βρ se ρ e a re-presentacao canonica dessa algebra. Como esta representacao coincide com aadjunta de so(3), essa e exatamente sua forma de Cartan-Killing. Se o corpode escalares e o corpo dos reais, a forma de Cartan-Killing e negativa definidae em particular nao-degenerada. O fato dela nao ser degenerada esta ligado aofato da algebra ser simples. Ja o fato dela ser negativa definida, admite umainterpretacao geometrica em termos de grupos de Lie: so(3,R) e a algebra de Liedo grupo de Lie compacto SO(3,R). Como acontece sempre com tais algebras,sua forma de Cartan-Killing e negativa definida. 2

Como o traco de duas transformacoes lineares conjugadas e o mesmo, a forma tracoe invariante por conjugacoes. Em termos da algebra de Lie, essa invariancia se traduznas seguintes afirmacoes.


Proposicao 3.5 1. As adjuntas dos elementos da algebra sao anti-simetricas emrelacao a βρ, isto e,

βρ([X, Y ], Z) + βρ(Y, [X,Z]) = 0

para todo X, Y, Z ∈ g.

Ja no caso especıfico da forma de Cartan-Killing, tem-se

(a) 〈φX, φY 〉 = 〈X, Y 〉 se φ e um automorfismo de g.

(b) 〈DX, Y 〉+ 〈X,DY 〉 = 0 se D e uma derivacao de g.

Demonstracao: A igualdade em 1) e consequencia imediata de que o traco de umcomutador se anula. Quanto as igualdades correspondentes a forma de Cartan-Killing,a primeira e devido a que ad(φX) = φ ad(X)φ−1, se φ e um automorfismo. Ja asegunda segue do fato de que

ad(DX) = [D, ad(X)]

para uma derivacao D qualquer. 2

A invariancia da forma traco, enunciada nesta proposicao, e uma das principaispropriedades dessas formas bilineares e por essa razao aparece frequentemente ao longoda teoria.

Outras propriedades da forma de Cartan-Killing sao as seguintes:

1. A restricao da forma de Cartan-Killing a um ideal i de g coincide com a formade Cartan-Killing de i. De fato, dados X ∈ i e Y ∈ g, a imagem de ad(Y ) ad(X)esta contida em i. Dessa forma, tomando uma base de i e complementando-a auma base de g, ve-se que os elementos que estao fora de i nao contribuem para otr(ad(Y ) ad(X)) e, portanto, 〈Y,X〉 coincide com tr(ad(Y ) ad(X)|i). Como essa

expressao e a forma de Cartan-Killing de i se Y ∈ i tem-se, em particular, queessa forma coincide com a restricao i da forma de Cartan-Killing de g.

2. Se g e uma algebra de Lie sobre K e K e uma extensao de K, pode-se considerara algebra estendida gK. Como o traco de uma transformacao linear permaneceo mesmo ao se fazer uma extensao do corpo de escalares, segue que a forma deCartan-Killing de gK quando restrita a g coincide com a forma de Cartan-Killingde g.

O primeiro dos criterios de Cartan caracteriza as algebras soluveis em termos desuas formas de Cartan-Killing. Sua demonstracao requer o seguinte lema.

Lema 3.6 Seja g uma algebra de Lie de dimensao finita e suponha que sua forma deCartan-Killing seja identicamente nula. Entao, g e soluvel.


Demonstracao: Pode-se assumir, sem perda de generalidade, que o corpo de esca-lares e algebricamente fechado, pois as propriedades de ser soluvel e de ter a forma deCartan-Killing identicamente nula sao invariantes por extensao do corpo de escalares.(Essa hipotese e feita para poder aplicar livremente o teorema 3.4.)

Para mostrar que g e soluvel, sera mostrado que sua algebra derivada g′ e nilpotente.Para isso, tome Y, Z ∈ g e seja D uma derivacao. Entao,

tr([adY, adZ]D) = tr(adY adZD − adZ adY D)= tr(adZD adY − adZ adY D)= tr(adZ[D, adY ])= tr(adZ ad(DY ))= 〈Z,DY 〉= 0.

A ultima igualdade vem da hipotese de que a forma de Cartan-Killing e identicamentenula. Portanto, tr(ad[Y, Z]D) = 0. Mas a aplicacao X 7→ tr(adXD) e linear. Daı quetr(adXD) = 0 para X ∈ g′ e qualquer derivacao D. O teorema 3.4, garante entao que

ad(X) e nilpotente, isto e, a representacao adjunta de g′ e nilpotente. Pelo teorema deEngel, segue que g′ e nilpotente, concluindo a demonstracao do lema. 2

Theorem 3.7 Denotando por 〈·, ·〉 a forma de Cartan-Killing da algebra de Lie g dedimensao finita, tem-se que g e soluvel se e so se

g′ ⊂ g⊥

onde g⊥ = X ∈ g : ∀Y ∈ g, 〈X, Y 〉 = 0. Esta condicao significa que para todo X ∈ g′

e Y ∈ g, 〈X, Y 〉 = 0.

Demonstracao: A condicao e necessaria pelo teorema de Lie, como foi comentadono exemplo 1. Por outro lado, a condicao garante, em particular, que a forma deCartan-Killing e identicamente nula em g′. Como g′ e um ideal, os comentarios acimagarantem entao que a forma de Cartan-Killing de g′ e identicamente nula. Pelo lemaanterior, conclui-se que g′ e soluvel o que mostra, como se desejava, que g e soluvel. 2

A partir deste criterio para as algebra soluveis, pode-se mostrar o criterio de Cartanpara as algebras semi-simples. Este ultimo sera amplamente utilizado na classificacaodessas algebras.

Theorem 3.8 A forma de Cartan-Killing de g nao e degenerada se e so se g e semi-simples.

Demonstracao: Supondo, em primeiro lugar, que g nao e semi-simples, entao gadmite um ideal abeliano i nao-trivial. Isso porque r(g) 6= 0 e portanto r(g)(k) e umideal abeliano nao-nulo para algum k. Seja X ∈ i. Entao, para todo Y ∈ g, a imagemde ad(Y ) ad(X) esta contida em i pois i e ideal. Por essa razao, o traco de ad(Y ) ad(X)


coincide com o traco de sua restricao a i. Mas ad(Y ) ad(X)|i = 0 pois i e abeliano.

Consequentemente,〈Y,X〉 = 0

para todo X ∈ i e Y ∈ g. Isso mostra que as algebras que tem forma de Cartan-Killingnao-degeneradas sao semi-simples.

Reciprocamente, assumindo que g e semi-simples, seja g⊥ o subespaco de g definidopor

g⊥ = X ∈ g : 〈X, Y 〉 = 0 para todo Y ∈ g.

Entao, g⊥ e um ideal, pois

〈[Z,X], Y 〉 = −〈X, [Z, Y ]〉 = 0

se X ∈ g⊥ e Y , Z sao arbitrarios. Como a restricao de 〈·, ·〉 a g⊥ e identicamentenula, e esta coincide com sua forma de Cartan-Killing, conclui-se, a partir do teoremaanterior, que g⊥ e soluvel. O fato de g ser semi-simples implica entao que g⊥ = 0. Masdizer isso e o mesmo que dizer que a forma de Cartan-Killing de g e nao-degenerada,concluindo a demonstracao do teorema. 2

Os criterios de Cartan mostram um outro aspecto de contraste entre as algebrassoluveis e as semi-simples. Por um lado, a forma de Cartan-Killing de uma algebrasoluvel e praticamente nula, fornecendo dessa forma pouca informacao adicional sobrea estrutura da algebra (ou nenhuma, como no caso das algebras nilpotentes nas quais ofato de que a forma de Cartan-Killing se anula e uma consequencia trivial do teoremade Engel). Ja com as algebras semi-simples, ocorre o contrario. Como sera visto emcapıtulos subesequentes, a forma de Cartan-Killing vai desempenhar um papel centralna compreensao da estrutura dessas algebras. Isso se deve, e claro, ao fato dela nao serdegenerada, permitindo que se introduza nessas algebras uma estrutura semelhante aum produto interno que oferece mais recursos que aqueles dados apenas pela estruturalinear (alias, nao e de graca que foi escolhida aqui a notacao 〈·, ·〉 para representar aforma de Cartan-Killing). Mas, a diferenca mostrada pelos criterios de Cartan naoaparece apenas nessas questoes de metodo. A existencia de uma forma bilinear in-variante e, principalmente, nao-degenerada nas algebras semi-simples limita, de umacerta forma, a quantidade de classes de equivalencias dessas algebras, permitindo queelas possam ser classificadas e distinguidas quase que uma a uma, o que nao acontececom as algebras soluveis, que apresentam uma variedade muito grande de classes deequivalencia.

3.3 Aplicacoes as algebras semi-simples

Como foi mencionado, o criterio de Cartan para algebras semi-simples permite provardiversas propriedades sobre as mesmas. O objetivo desta secao e apresentar algumasdessas propriedades. A primeira observacao diz diz respeito a relacao entre algebrassemi-simples em diferentes corpos de escalares. Se g e uma algebra de Lie sobre K

3.3. Aplicacoes as algebras semi-simples 89

e K e uma extensao de K, entao a forma de Cartan-Killing de gK quando restrita ag coincide com a forma de Cartan-Killing de g. Agora, uma forma bilinear e ou naodegenerada se e so se o determinante de sua matriz em alguma base se anula ou nao.Como bases de g sao tambem bases de gK, tem-se entao que a forma de Cartan-Killingde g e degenerada se e so se o mesmo ocorre com a forma de Cartan-Killing de gK.Dessa forma, tem-se o seguinte fato.

Proposicao 3.9 Com as notacoes acima, g e semi-simples se e so se gK e semi-simples.

Esta proposicao merece alguns comentarios. Um deles esta relacionado a sua de-monstracao que foi feita atraves dos criterios de Cartan e nao diretamente como comos resultados correspondentes para as algebras nilpotentes e soluveis. Quanto a isso,pode-se mostrar diretamente que g e semi-simples se gK o for. De fato, se i e um idealde g, entao pode ser verificado sem maiores problemas que sua extensao iK e um idealde gK. Como extensoes de algebras soluveis sao tambem soluveis, isso mostra que seg admite ideais soluveis o mesmo ocorre com gK mostrando que se gK e semi-simpleso mesmo acontece com g. A recıproca a isso, no entanto, e mais delicada e exige quese mostre que os ideais soluveis de gK interceptam g. Isso e mostrado indiretamenteatraves do criterio de Cartan para algebras semi-simples. Uma outra questao a serdiscutida diz respeito as extensoes das algebras simples. Da mesma forma, o fato deque extensoes de ideais sao ideais mostra que g e simples se gK for simples. A recıproca,no entanto, nao vale. Pode ser que g seja simples e gK nao o seja ainda que seja semi-simples como garante o segundo criterio de Cartan atraves da proposicao anterior (estaquestao e discutida com detalhes no capıtulo 12 para o caso em que K e o corpo dosreais e K dos complexos).

A partir dos criterios de Cartan e possıvel esclarecer completamente a estruturados ideais de uma algebra semi-simples: sejam g uma algebra dessas e i ⊂ g e um idealnao-trivial. Entao, 〈·, ·〉i e a restricao a i da forma de Cartan-Killing 〈·, ·〉 de g e se i⊥

denota o ortogonal de i em relacao a 〈·, ·〉 entao i⊥ e um ideal complementar a i. Defato, se X ∈ i⊥ e Y ∈ g entao para todo Z ∈ i,

〈[Y,X], Z〉 = −〈X, [Y, Z]〉 = 0,

o que mostra que i⊥ e um ideal. Alem do mais, j = i ∩ i⊥ e um ideal de g e, pordefinicao, tem-se que, para todo X ∈ j, 〈X,X〉 = 0, o que pelo primeiro criterio deCartan mostra que j e soluvel e, portanto, j = 0 ja que g e semi-simples e daı que i⊥

e complementar a i. Mas isso implica que a restricao a i da forma de Cartan-Killingnao e degenerada, o que pelo segundo criterio de Cartan garante que i e semi-simples.O fato de que i⊥ complementa i implica tambem que a representacao adjunta de ge completamente redutıvel e portanto se decompoe como soma direta de subespacosinvariantes irredutıveis. E claro, um subespaco invariante irredutıvel e um ideal simplesde g. Com isso se obtem as algebras semi-simples a partir dos ideais simples.


Theorem 3.10 Seja g uma algebra semi-simples. Entao, g se decompoe em somadireta

g = g1 ⊕ · · · ⊕ gs (3.3)

com gi, i = 1, . . . , s, ideais simples. Nessa decomposicao [gi, gj] = 0 se i 6= j. Alem domais,

1. o ortogonal g⊥i de uma componente simples, em relacao a forma de Cartan-Killing, e a soma das demais componentes,

2. os ideais de g sao somas de algumas dessas componentes e

3. a decomposicao e unica (a menos de permutacao dos ındices).

Demonstracao: A decomposicao em componentes simples foi mostrada acima. Paramostrar os itens seguintes, suponha que g se decomponha como soma de dois ideais

g = h1 ⊕ h2 .

Entao, o complementar ortogonal de um dos ideais e o outro. De fato, h⊥1 complementah1 e, portanto, tem a mesma dimensao que h2. Por outro lado, os ideais sao ortogonaisem relacao a forma de Cartan-Killing, pois se X ∈ h1 e Y ∈ h2, entao

ad (X) ad (Y )

se anula em h1 e em h2. Tomando entao uma base de g cujos elementos estao contidosou em h1, ou em h2, ve-se que 〈X, Y 〉 = 0. Portanto, h2 ⊂ h⊥1 e essa inclusao e umaigualdade, pois as dimensoes coincidem.

Seja agora gi uma componente simples e denote por ci a soma das demais com-ponentes simples. Entao ci e um ideal, pois o colchete entre componentes simplesdiferentes se anula. Pelo que foi dito acima, ci coincide com o complementar ortogonalde gi o que mostra 1. Para ver o item 2, seja h um ideal de g. Entao ou h contem giou h∩ gi = 0 pois gi e simples. No primeiro caso, h∩ ci e um ideal que se for nao-nulo,um argumento por inducao permite mostrar que ele e soma de componentes simples,o mesmo ocorrendo com h. Ja se h ∩ gi = 0 entao h ⊂ ci pois se X ∈ gi e Y ∈ h entaoad (X) se anula em ci e ad (Y ) se anula em gi, o que garante que

〈X, Y 〉 = tr (ad (X) ad (Y )) = 0,

mostrando que h ⊂ g⊥i = ci. Usando novamente um argumento por inducao, conclui-seque h e soma de componentes simples da decomposicao (3.3). Por fim, o item 3 decorredo item anterior que garante que gi, i = 1, . . . , s sao os unicos ideais simples de g. 2

Esse teorema tem as seguintes consequencias.

Corolario 3.11 Se g e semi-simples, entao g′ = g.


Demonstracao: De fato, (g′)⊥ e um ideal que complementa g′ e e abeliano pois seX, Y ∈ (g′)⊥, entao [X, Y ] ∈ g′ ∩ (g′)⊥, isto e, [X, Y ] = 0. Portanto, (g′)⊥ = 0, o quemostra que g′ = g. 2

Corolario 3.12 Se g e semi-simples e h e uma algebra abeliana entao a aplicacaoidenticamente nula e o unico homomorfismo de g em h. Em particular, a unica re-presentacao de dimensao um de g e a representacao nula e, para uma representacao ρqualquer, tr ρ(X) = 0 para todo X ∈ g.

Demonstracao: Se φ : g → h e um homomorfismo, entao φ[X, Y ] = 0 para todoX, Y ∈ g e, como g′ = g, isso mostra que φ = 0. 2

Corolario 3.13 Seja g uma algebra semi-simples e i um ideal proprio de g. Entao,g/i e semi-simples.

Demonstracao: Pelo que foi comentado acima, existe um ideal j tal que g = i⊕ j deonde se ve que g/i ≈ j que e semi-simples como sao todos os ideais de g. 2

Quanto as derivacoes das algebras semi-simples, tem-se

Proposicao 3.14 Suponha que g seja semi-simples. Entao, toda derivacao de g e umaderivacao interna.

Demonstracao: Seja D uma derivacao e seja o funcional linear em g dado por

X 7−→ tr(D ad(X)).

Como a forma de Cartan-Killing nao e degenerada, existe YD ∈ g tal que

tr(D ad(X)) = 〈YD, X〉

para todo X ∈ g. Tem-se que D = ad(YD). De fato, E = D− ad(YD) e uma derivacaoe, pela igualdade acima (e pela definicao da forma de Cartan-Killing), tem-se quetr(E ad(X)) = 0 para todo X ∈ g. Agora, tomando X e Y arbitrarios,

〈EX, Y 〉 = tr(ad(EX) adY )= tr([E, adX] adY )

pois [E, adX] = ad(EX) ja que E e derivacao. Portanto,

〈EX, Y 〉 = tr(E adX adY − adXE adY )= tr(E ad [X, Y ])= 0,

o que mostra que E = 0 e, portanto, que D = ad(YD). 2

A partir desta proposicao e do fato provado anteriormente que garante que as com-ponentes semi-simples e nilpotentes de uma derivacao sao tambem derivacoes, obtem-sea seguinte decomposicao dos elementos de uma algebra semi-simples.


Corolario 3.15 Suponha que g seja semi-simples e seja X ∈ g. Entao, X se decompoede maneira unica em

X = XS +XN

com XS, XN ∈ g tais que ad(XS) e semi-simples, ad(XN) e nilpotente e

[XS, XN ] = [X,XS] = [X,XN ] = 0.

Demonstracao: Tome a decomposicao de Jordan

ad(X) = S +N

com S e N derivacoes que comutam entre si e com ad(X). Pela proposicao anterior,S = ad(XS) e N = ad(XN) e daı que

ad(X −XS −XN) = 0

e, portanto, X = XS + XN pois ker ad = 0, ja que g e semi-simples. A unicidade dadecomposicao, assim como sua comutatividade em g, sao verificadas da mesma formaatraves da injetividade da representacao adjunta. 2

Este corolario e bastante util em diversas situacoes. Ele garante, entre outrascoisas, que algebras semi-simples contem elementos cujas adjuntas sao semi-simples,ja que existem elementos que nao sao nilpotentes e, portanto, admitem componentessemi-simples nao-nulas. Esse fato se estende a uma representacao fiel qualquer comomostra a seguinte proposicao.

Proposicao 3.16 Seja g ⊂ gl (V ) uma algebra semi-simples. Entao, g contem ele-mentos semi-simples nao-nulos.

Demonstracao: Pode-se supor, sem perda de generalidade, que o corpo de escalarese algebricamente fechado. Assumindo isso, seja X ∈ g e X = XS +XN a decomposicaode X garantida pela proposicao anterior. Seja tambem X = S +N a decomposicao deX como transformacao linear de V , isto e, S,N ∈ gl(V ) comutam entre si e com X, Se semi-simples e N nilpotente. Tomando adjunta em gl(V ),

ad(X) = ad(S) + ad(N)

e essa e a decomposicao de ad(X) em componentes semi-simples e nilpotente. Como ossubespacos invariantes por uma transformacao linear sao tambem invariantes por essascomponentes, tem-se que g, visto como subespaco de gl(V ), e invariante por ad(S)e por ad(N) e as restricoes dessas adjuntas sao derivacoes de g. Pela unicidade daproposicao anterior, tem-se que

ad(S −XS) e ad(N −XN)

se anulam em g. Como se esta supondo que a representacao e irredutıvel, o lema deSchur (veja proposicao 1.8) garante que S−XS e N −XN sao multiplas da identidade.


Como trS = trX = 0 e trXS = 0 (pois X,XS ∈ g que e semi-simples) tem-se quetr(S − XS) = 0, de onde se conclui que S = XS e, portanto, que N = XN . Como oteorema de Engel garante que existem elementos em g que nao sao nilpotentes, existeX tal que XS 6= 0 mostrando que g contem elementos semi-simples nao-nulos. 2

A existencia tanto de elementos semi-simples quanto de nilpotentes em algebrassemi-simples de transformacoes lineares, e imediata a partir da teoria de representacaodessas algebras, que sera apresentada no capıtulo 11. O resultado acima foi incluıdoaqui para ser utilizado na demonstracao de que as formas traco das representacoes dasalgebras semi-simples sao nao-degeneradas, assim como a forma de Cartan-Killing.

Tomando uma algebra semi-simples g, seja ρ uma representacao de g em V e

βρ (X, Y ) = tr (ρ (X) ρ (Y ))

a forma traco correspondente. Como a forma de Cartan-Killing de g nao e degenerada,βρ pode ser descrita por

βρ (X, Y ) = 〈PX, Y 〉,

onde P : g→ g e uma transformacao linear. Como

βρ ([X, Y ], Z) + βρ (Y, [X,Z]) = 0

e uma igualdade semelhante vale para a forma de Cartan-Killing, a expressao para βρmostra que

P ad (X) = ad (X) P

para todo X ∈ g. Em particular, se o corpo de escalares e algebricamente fechadoe g e simples, entao o lema de Schur garante que P e multipla da identidade e daıque βρ e multipla da forma de Cartan-Killing. Portanto, uma forma traco de umarepresentacao de uma algebra simples nao e degenerada se e so se ela nao se anula.Isso permite mostrar, para algebras simples, que βρ nao e degenerada se ρ e fiel.

Proposicao 3.17 Seja g ⊂ gl (V ) uma algebra simples, assuma o corpo algebrica-mente fechado e denote por ρ a representacao canonica. Entao, βρ 6= 0 e, portanto, βρnao e degenerada.

Demonstracao: Pela proposicao 3.16 existe um elemento semi-simples X ∈ g. Comoo corpo de escalares e algebricamente fechado, tem-se em alguma base de V que

X = diagλ1, . . . , λn.

Considere, como na demonstracao do teorema 3.4, o subespaco vetorial U de K,sobre o corpo dos racionais, gerado pelos autovalores λ1, . . . , λn. Seja ψ : U → Q umfuncional linear e µj = ψ(λj) suas imagens por ψ. Se Tµ ∈ gl(V ) e a transformacaolinear correspondente, a sequencia dos autovalores de ad(Tµ) imita a sequencia dosautovalores de ad(X) e, portanto, ad(Tµ) define, por restricao, uma derivacao de g.Dessa forma, existe Xµ ∈ g tal que ad(Xµ) coincide com ad(Tµ) em g. Tomando


a decomposicao Xµ = Sµ + Nµ em componentes semi-simples e nilpotente. Comoad (Tµ) e diagonal em g, o mesmo argumento da proposicao 3.16 garante que Sµ = Tµ.Portanto, tr(XµX) = tr(TµX). No entanto,

tr(TµX) =n∑j=1

λjψ(λj).

Aplicando ψ a esta igualdade, obtem-se

ψ(tr(XµX)) =n∑j=1

ψ(λj)2.

O segundo membro, por ser uma soma de quadrados de numeros racionais, nao se anulase uma das parcelas nao se anula. Assim, tomando ψ tal que ψ(λj) 6= 0 para algumautovalor λj se chega a existencia de Y = Xµ ∈ g tal que tr(XµX) 6= 0 mostrando queβρ 6= 0 e, portanto, nao-degenerada. 2

Uma vez mostrado que βρ nao e degenerada para as algebras simples, pode-se passaras algebras semi-simples, considerando suas componentes simples. Tem-se

Proposicao 3.18 Seja g ⊂ gl (V ) uma algebra semi-simples sobre um corpo algebri-camente fechado e denote por ρ a representacao de g em V . Considere a decomposicao

g = g1 ⊕ · · · ⊕ gk

de g em componentes simples. Entao, existem escalares nao-nulos a1, . . . , ak tal que

βρ (X, Y ) = aj〈X, Y 〉

se X, Y ∈ gj. Alem do mais, βρ nao e degenerada e βρ (X, Y ) = 0 se X e Y estao emcomponentes simples diferentes.

Demonstracao: O fato de que βρ e multipla nao-nula da forma de Cartan-Killingnas componentes simples foi mostrado acima. Para ver a ortogonalidade entre ascomponentes simples, seja g⊥j o subespaco ortogonal a gj em relacao a βρ. Entao,g⊥j ∩ gj = 0 pois aj 6= 0 e, como ocorre com qualquer forma bilinear, a dimensao de g⊥je pelo menos a codimensao de gj. Mas g⊥j e um ideal pois βρ e invariante. Portanto,g⊥j e a soma das componentes simples diferentes de gj e daı que duas componentessimples sao ortogonais entre si. Por fim, tome X ∈ g e considere a decomposicao

X = X1 + · · ·+Xk

em relacao as componentes simples. Se Xj ∈ gj nao e nulo, entao existe Y ∈ gj tal queβρ (Xj, Y ) 6= 0. Como βρ (X, Y ) = βρ (Xj, Y ), segue que βρ nao e degenerada. 2


A hipotese de que o corpo de escalares e algebricamente fechado pode ser retiradapor extensao do corpo de escalares: se g ⊂ gl (V ) e uma algebra semi-simples e Ko fecho algebrico do corpo de escalares, entao gK e semi-simples em gl (VK). Comoa forma traco de g e a restricao da forma na extensao, tomando uma base de g e amatriz da forma em relacao a base, ve-se que βρ nao e degenerada em g se e so se elanao for degenerada em gK. Portanto, as formas traco de representacoes fieis nao saodegeneradas.

Theorem 3.19 Seja g uma algebra de Lie semi-simples. Entao, se ρ e uma repre-sentacao fiel de g, a forma traco βρ nao e degenerada.

O fato de βρ nao ser degenerada permite que se facam as seguintes construcoes:seja g ⊂ gl(V ) uma algebra semi-simples e tome uma base γ = X1, . . . , Xn de g.Essa base admite a base dual γ′ = Y1, . . . , Yn que satisfaz βρ(Yi, Xj) = δij onde βρe a forma traco da representacao canonica de g. Um elemento X ∈ g se escreve comocombinacao linear de γ como

X = βρ(X, Y1)X1 + · · ·+ βρ(X, Yn)Xn .

Alem do mais, escrevendo [X,Xi] =∑

j cijXj e [X, Yi] =∑

j dijYj, tem-se dij = −cji.De fato, dados i, j,

cij = βρ([X,Xi], Yj) = −βρ(Xi, [X, Yj]) = −dji .

Agora, seja Γ a transformacao linear de V definida por

Γ = Y1X1 + · · ·+ YnXn .

Essa transformacao e conhecida como elemento de Casimir da representacao. A pro-priedade principal dessa transformacao e que ela comuta com os elementos de g. Defato,

[Γ, X] =n∑i=1

(YiXiX −XYiXi) =n∑i=1

(Yi[Xi, X] + [Yi, X]Xi)

e usando o fato de que cij = −dji, chega-se a que [Γ, X] = 0. O elemento de Casi-mir guarda diversas informacoes sobre g e sua representacao em V . Por exemplo, adimensao de g e dada pelo traco de Γ, pois

tr Γ = βρ (Y1, X1) + · · ·+ βρ (Xn, Yn) .

Observe que isso mostra em particular que Γ nao e nilpotente.

Proposicao 3.20 Seja g uma algebra semi-simples e ρ uma representacao de g em V .Entao,

V =⋂X∈g

ker ρ(X) +∑X∈g

im ρ(X).


Demonstracao: Por inducao sobre a dimensao de V . Se dimV = 1, entao arepresentacao e identicamente nula e o primeiro termo do segundo membro coincide como espaco da representacao. Para dimensoes maiores que 1, existem duas possibilidades.Uma delas e que a imagem de g por ρ seja nula. Nesse caso, V coincide com o primeirotermo do segundo membro. Caso contrario, a imagem de g por ρ e uma algebra semi-simples de gl (V ), pois e o quociente de g por um ideal. Dessa forma, pode-se assumir,sem perda de generalidade, que g e uma subalgebra semi-simples de gl (V ). Sendoassim, seja Γ elemento de Casimir Γ de g. Entao, V se decompoe como

V = V0 ⊕ V1

com V0 o auto-espaco generalizado associado ao autovalor 0 de Γ, e V1 a soma dosdemais auto-espacos generalizados. Esses subespacos sao g-invariantes pois Γ comutacom os elementos de g e se os dois nao se anulam, pode-se aplicar o passo de inducaosubstituindo V por V0 e V1 e g pelas suas restricoes, obtendo a decomposicao dessessubespacos e, portanto, de V .

Agora, se um dos subespacos V0 ou V1 se anula, esse e necessariamente V0, pois Γe nilpotente em V0 e, no entanto,

tr Γ =n∑i=1

tr(YiXi) = n,

o que mostra que Γ nao e nilpotente em V . Mas se V0 = 0, Γ e inversıvel e, portanto,V = im Γ e, como um elemento na imagem de Γ e uma soma de elementos das imagensde Yi, i = 1, . . . , n, isso mostra que V =

∑X∈g imX, concluindo a demonstracao da

proposicao. 2

Com o auxılio do teorema de decomposicao de Weyl, sera facil mostrar que a somaque aparece nessa proposicao e de fato direta. Na verdade, essa proposicao e umaconsequencia imediata do teorema de Weyl. No entanto, ela vai ser necessaria para ademonstracao desse teorema, que sera feita no capıtulo 5.

Notas

O conceito de sequencia que imita outra e uma adaptacao da teoria das replicas de Chevalley:

as matrizes diagonais cujos autovalores imitam a sequencia dos autovalores de uma matriz

diagonal dada sao replicas dessa ultima (veja, por exemplo, [46] para um tratamento deta-

lhado dessa teoria).

A forma de Cartan-Killing foi introduzida por E. Cartan em sua tese (1894) como uma

ferramenta fundamental para colocar em bases solidas as ideias de Killing sobre a classificacao

das algebras simples complexas (veja [19]).

Em muitos textos, uma algebra de Lie e dita semi-simples se sua forma de Cartan-Killing e

nao-degenerada (veja, por exemplo, [20]).

3.4. Exercıcios 97

3.4 Exercıcios

1. Seja D uma derivacao da algebra de Lie g de dimensao finita e suponha que X ∈ ge autovetor de D associado a um autovalor 6= 0. Entao, ad (X) e nilpotente.

2. Sejam X e H transformacoes lineares de um espaco vetorial V tais que trX = 0e [H,X] = X. Mostre que X e nilpotente.

3. Seja g uma algebra de Lie de dimensao finita e suponha que g admita umaderivacao inversıvel. Entao, g e nilpotente. (A recıproca nao vale: existemalgebras de Lie nilpotentes sem derivacoes inversıveis, como mostrado em [14]).

4. Demonstre o teorema 3.4 sem a hipotese de que o corpo e algebricamente fechado.

5. Seja g = gλ1 ⊕ · · · ⊕ gλm a decomposicao de Jordan de uma derivacao de g.Mostre que 〈gλi , gλj〉 = 0, a menos que λi = −λj, onde 〈·, ·〉 denota a forma deCartan-Killing de g.

6. Seja i um ideal semi-simples da algebra de Lie g e denote por i⊥ seu ortogonal emrelacao a forma de Cartan-Killing. Mostre que g = i⊕ i⊥. Use isso para mostrarque se i e g/i sao semi-simples entao o mesmo ocorre com g.

7. De exemplo de uma algebra soluvel cuja forma de Cartan-Killing nao e iden-ticamente nula e de uma algebra soluvel, mas nao nilpotente, cuja forma deCartan-Killing e identicamente nula.

8. Sejam ρ e σ representacoes irredutıveis de g em V e W , respectivamente, esuponha que o corpo de escalares seja algebricamente fechado.

(a) Se ρ e σ sao equivalentes e P,Q : V → W operadores de intercambio, entaoP = λQ para algum λ no corpo.

(b) Se σ e equivalente a ρ∗ por uma dualidade β (veja 14), que e uma aplicacaobilinear nao-degenerada definida em V ×W , e a valores no corpo de escalaresque satisfaz

β (ρ (X) v, w) + β (v, σ (X)w) = 0

para todo v ∈ V , w ∈ W e X ∈ g, entao qualquer outra dualidade γ entreV e W e da forma γ = λβ para algum escalar λ.

9. Se φ : g→ h e um isomorfismo, entao 〈φX, φY 〉h = 〈X, Y 〉g, onde 〈·, ·〉∗ denota aforma de Cartan-Killing de ∗.

10. Se ρ1 e ρ2 sao representacoes de dimensao finita equivalentes de uma mesmaalgebra de Lie g, entao, βρ1

= βρ2.

11. De exemplo de uma algebra de Lie g e de subalgebras i ⊂ h tal que i e ideal deh mas nao de g. Mostre que se h tambem e ideal isso nao ocorre em algebrassemi-simples.


12. Seja i um ideal de uma algebra de Lie g de dimensao finita. Suponha que i sejasemi-simples. Entao, existe um ideal j de g tal que g = i⊕ j.

13. De exemplo de um ideal i numa algebra de Lie de dimensao finita tal que i⊥∩i 6= 0onde ⊥ denota o ortogonal em relacao a forma de Cartan-Killing. Mostre queem toda algebra que nao e semi-simples existe um ideal desse tipo.

14. As componentes simples de uma algebra de Lie semi-simples sao duas a duasortogonais em relacao a forma de Cartan-Killing.

15. De exemplo de uma derivacao interna ad (X) cuja decomposicao de Jordan

ad (X) = S +N

e tal que S e N nao sao derivacoes internas.

16. Sejam g uma algebra de Lie simples sobre um corpo algebricamente fechado e βuma forma bilinear invariante em g, isto e, β satisfaz

β ([X, Y ], Z) + β (Y, [X,Z]) = 0

para todo X, Y, Z ∈ g. Entao, β e um multiplo da forma de Cartan-Killing e,portanto, β e simetrica e nao e degenerada, caso β 6= 0. (Escreva β (X, Y ) =〈PX, Y 〉 com P : g→ g linear e use o lema de Schur).

17. Use o exercıcio anterior para escrever a forma de Cartan-Killing das seguintesalgebras de matrizes na forma

〈X, Y 〉 = c tr (XY )

com c uma constante. (Para se encontrar c, e suficiente calcular 〈X,X〉 e tr (X2)em um unico elemento).

(a) sl (n,C)

(b) so (n,C)

(c) sp (n,C)

Encontre tambem a forma de Cartan-Killing das algebras reais correspondentese mostre que no caso de so (n,R) a forma e negativa definida. (Compare com asecao 8.2 do capıtulo 8).

18. Suponha que g seja uma algebra de Lie semi-simples que nao e simples e queo corpo de escalares seja algebricamente fechado. Entao, existem em g formasbilineares invariantes que nao sao multiplas da forma de Cartan-Killing.

3.4. Exercıcios 99

19. Seja g uma algebra semi-simples sobre um corpo algebricamente fechado. Su-ponha que β seja uma forma bilinear invariante que g1 e g2 sejam ideais comg1 ∩ g2 = 0. Entao, β (X, Y ) = 0 se X ∈ g1 e Y ∈ g2. Use isso para carac-terizar as formas bilineares invariantes nas algebras semi-simples sobre corposalgebricamente fechados.

20. Considere, numa algebra simples g sobre um corpo algebricamente fechado, umaforma bilinear invariante β 6= 0. Tome uma base X1, . . . , Xn de g e sejaY1, . . . , Yn a base dual em relacao a β:

β (Xi, Yj) = δij .

Entao, a transformacao linear Γ : g→ g definida por

Γ = ad (X1) ad (Y1) + · · ·+ ad (Xn) ad (Yn)

e um multiplo nao-nulo da identidade.

21. Dada uma representacao ρ de g em V a aplicacao momento correspondente eµ : V ⊗ V ∗ → g∗, que e dada por

µ (v ⊗ φ) (X) = φ (ρ (X) v)

v ∈ V , φ ∈ V ∗ e X ∈ g. Se g e semi-simples, µ define uma aplicacao momento µ′

a valores em g porµ (v ⊗ φ) = βρ (µ′ (v ⊗ φ) , ·) .

Entao µ′ e um operador de intercambio entre ρ ⊗ ρ∗ e a representacao adjunta.Alem do mais, identificando V ⊗ V ∗ com o espaco gl (V ) das transformacoeslineares de V , ρ (g) fica sendo um subespaco de V ⊗ V ∗. Por essa identificacao,µ′ e nada mais nada menos que a projecao ortogonal de V ⊗ V ∗ sobre ρ (g) emrelacao a forma traco em gl (V ).

22. O objetivo deste exercıcio e indicar a demonstracao do seguinte fato (lema deMorozov ): seja g uma algebra semi-simples e seja Y ∈ g tal que ad (Y ) enilpotente. Suponha que Y,H ∈ g satisfazem

[H,Y ] = −2Y H ∈ im ad (Y ) .

Entao, existe X ∈ g tal que [H,X] = 2X e [X, Y ] = H. (Em outras palavras, He Y estao contidos numa algebra sl (2)).

(a) Seja Z ∈ g tal que [Y, Z] = H. Mostre que

[H,Z] = 2Z +X1

com X1 ∈ z (Y ), o centralizador de Y .

(b) Mostre que z (Y ) e invariante por ad (H).


(c) Seja Z como no item anterior e use a notacao T = ad (H) e S = ad (Y ).Mostre que para todo inteiro n ≥ 0

[Sn, ad (Z)] = Sn−1T + Sn−2TS + · · ·+ TSn−1.

(d) Com as mesmas notacoes, mostre que

[Sn, ad (Z)] = n (T + (n− 1))Sn−1.

(e) Use a formula do item anterior para mostrar que

ad (H)(z (Y ) ∩ ad (Y )n−1) ⊂ (z (Y ) ∩ ad (Y )n) .

Conclua a partir daı e da nilpotencia de ad (Y ) que a restricao T de ad (H)a z (Y ) satisfaz

(T +m) (T +m− 1) · · · (T + 1)T = 0

para algum inteiro m ≥ 0.

(f) Mostre que os autovalores da restricao de ad (H) a z (Y ) sao inteiros ≥ 0.Portanto, ad (H)− 2 e inversıvel em z (Y ).

(g) Seja X1 como no item 1) e tome Y1 ∈ z (Y ) tal que (ad (H)− 2)Y1 = X1.Mostre que X = Z − Y1 satisfaz as condicoes do enunciado.

Capıtulo 4

Subalgebras de Cartan

Foi visto que se D : g→ g e derivacao e

g =⊕i

gλi

e a decomposicao de g em componentes primarias de D, entao [gλi , gλj ] ⊂ gλi+λj . Estaobservacao e a base para o estudo da estrutura das algebras de Lie, principalmenteas semi-simples. Para esta classe de algebras de Lie, toda a estrutura e dada peladecomposicao primaria (na verdade espectral) de ad(X) para certos elementos X ∈ gditos regulares (veja definicao abaixo). No caso em que D = ad(X) e uma derivacaointerna, o zero sempre aparece como autovalor, poisX ∈ ker ad(X). Pela relacao acima,g0 e uma subalgebra e [g0, gλi ] ⊂ gλi e, portanto, a decomposicao primaria de ad(X)da origem a uma decomposicao da representacao adjunta de g0 em g. Uma subalgebrade Cartan e exatamente uma subalgebra, como g0, que e o auto-espaco generalizadoassociado ao autovalor nulo da adjunta de um elemento regular. O objetivo destecapıtulo e introduzir formalmente os conceitos de subalgebra de Cartan e elementoregular e discutir a relacao existente entre os mesmos. O resultado principal que serademonstrado e o que garante que se o corpo de escalares e algebricamente fechado,entao duas subalgebras de Cartan sao obtidas uma da outra por um automorfismo daalgebra. Esse resultado permite classificar algebras de Lie atraves de sua decomposicaoem espacos de pesos. No que segue, o auto-espaco generalizado associado ao autovalornulo de ad(X) sera indicado por g0(X).

4.1 Subalgebras de Cartan

Definicao 4.1 Seja g uma algebra de Lie. Uma subalgebra de Cartan de g e umasubalgebra h ⊂ g que satisfaz

1. h e nilpotente e

2. o normalizador de h em g coincide com h. Esta condicao e equivalente a

2′. Se [X, h] ⊂ h entao X ∈ h.

101

102 Capıtulo 4. Subalgebras de Cartan

Sobre esta definicao podem-se fazer os seguintes comentarios:

1. Uma das razoes pelas quais se introduz a nocao de subalgebra de Cartan e queesse tipo de subalgebra e exatamente o que aparece como g0 na decomposicaoprimaria de ad(X) para X generico (regular) em g. Outra razao vem da se-guinte observacao: o fato de h ser nilpotente garante que sua representacao emg, via a representacao adjunta, se decompoe em g = ⊕gλi com λi os pesos darepresentacao. O funcional nulo e sempre um peso dessa representacao, poisa representacao adjunta de h em si mesma e nilpotente. Alem do mais, g0 esubalgebra e h ⊂ g0. A segunda condicao na definicao de subalgebra de Cartangarante que h = g0.

2. Na terminologia usual, os pesos nao-nulos da representacao adjunta em g de umasubalgebra de Cartan h sao denominados de raızes .

3. Ao estender o corpo de base de g, as subalgebras de Cartan se estendem emsubalgebras de Cartan, isto e, se K e uma extensao do corpo K dos escalares deg, e gK e a extensao de g, entao a extensao hK de uma subalgebra de Cartanh tambem e uma subalgebra de Cartan. Isso se deve a que a extensao de umaalgebra nilpotente e nilpotente e tambem porque a propriedade do normalizadornao depende de quais os escalares que se tome. Essas extensoes de subalgebrasde Cartan serao uteis principalmente quando se quiser considerar corpos algebri-camente fechados.

Exemplos:

1. Para g = sl(2),

h = (a 00 −a

)

e uma subalgebra de Cartan, pois h e abeliana, e se

X =

(0 10 0

)H =

(1 00 −1

)Y =

(0 01 0

),

entao

[H, aX + bH + cY ] = 2aX − 2cY

e este colchete esta em h se e so se a = c = 0. Por razoes semelhantes, a subalgebradas matrizes diagonais e de Cartan em sl(n). Este exemplo nao funciona se ocorpo de base e de caracterıstica dois, pois, nesse caso, a subalgebra das matrizesdiagonais e a algebra derivada de sl(n), que por sua vez e nilpotente.

2. Ainda em sl(2),

h = (

0 −aa 0

)

4.1. Subalgebras de Cartan 103

e subalgebra de Cartan. Essa subalgebra e abeliana. Sejam

S =

(0 11 0

)H =

(1 00 −1

)A =

(0 −11 0

).

Essas matrizes formam uma base de sl (2) e satisfazem [H,A] = −2S, [H,S] =−2A e [S,A] = 2H. Portanto,

[A, aS + bH + cA] = −2bS − 2aH

e este colchete esta em h se e so se a = b = 0. O mesmo comentario feito noexemplo anterior, sobre corpos de caracterıstica dois, vale aqui.

3. Se g e nilpotente, entao sua unica subalgebra de Cartan e ela mesma. Isso porque,se h e uma subalgebra propria, sua representacao adjunta em g e nilpotente, omesmo ocorrendo entao com a representacao ρ de h induzida em g/h pela adjunta.Existe, portanto, v ∈ g/h, v 6= 0 tal que ρ(X)v = 0 para todo X ∈ h. Tomandoum representante Y ∈ g de v, isso significa que Y /∈ h e que [Y, h] ⊂ h, o quemostra que h nao e seu proprio normalizador.

4. Como exemplo de uma subalgebra nilpotente que nao e de Cartan, tome a algebradas matrizes triangulares superiores em sl(n). As matrizes diagonais normalizamessa algebra. 2

Como foi dito acima, a representacao adjunta de uma subalgebra de Cartan sedecompoe como a decomposicao primaria dos elementos regulares de g. Para definiresses elementos regulares, tome X ∈ g. O polinomio caracterıstico de ad(X) denotadopor pX e da forma

pX(λ) = λn + pn−1(X)λn−1 + · · ·+ p1(X)λ+ p0(X)

onde n = dim g e cada pi(·) e um polinomio de grau n− i em X, ja que os coeficientesdo polinomio caracterıstico sao polinomios no espaco das transformacoes lineares e ade linear em X. Em geral, esses coeficientes sao dados pelo traco de algum produtoexterior da transformacao linear. Por exemplo, pn−1(X) = − tr(ad(X)) e p0(X) =(−1)n det ad(X). Este ultimo se anula sempre, pois X ∈ ker ad(X).

Definicao 4.2 O posto de uma algebra de Lie de dimensao finita e o menor ındice iem que pi nao e identicamente nulo, onde pi denota, como acima, os coeficientes dospolinomios caracterısticos. Um elemento X ∈ g e dito regular se pi(X) 6= 0 onde i e oposto de g.

O conjunto dos elementos regulares e generico no sentido em que o conjunto doselementos nao-nulos de um polinomio, que nao e identicamente nulo, e generico. Porexemplo, no caso em que o corpo de base e o corpo dos reais, tomando a topologia deespaco euclidiano de g, o conjunto dos elementos regulares e aberto e denso em g. Alemdo mais, os elementos regulares de uma algebra sao aqueles em que a multiplicidade


algebrica do autovalor nulo de suas adjuntas e a menor entre todas as multiplicidadesalgebricas possıveis desses autovalores. Evidentemente, a multiplicidade algebrica doautovalor nulo de ad(X), para X regular, coincide com o posto de g .

Exemplos:

1. Seja sl(2) com a base canonica X,H, Y . Tomando Z = aX+bH+cY , a matrizde sua adjunta nessa base e

ad(Z) =

2b −2a 0−c 0 a0 2c −2b

e, portanto, pZ(λ) = λ3−4(b2 +ac)λ. Daı que o posto de sl(2) e um e Z e regularse e so se b2 + ac 6= 0. Em particular, H e um elemento regular e X e Y nao saoregulares.

2. Como a representacao adjunta de uma algebra nilpotente e nilpotente, o seu postocoincide com a dimensao da algebra e todos os elementos sao regulares.

3. Tomando a base X, Y com [X, Y ] = Y da algebra bidimensional nao-abeliana,se Z = aX + bY , entao

ad(Z) =

(0 0−b a

)e o polinomio caracterıstico e dado por pZ(λ) = λ2 − aλ. Assim, o conjunto doselementos que nao sao regulares coincide com a algebra derivada. 2

Existe uma ligacao bastante forte entre os elementos regulares e as subalgebras deCartan. Essa ligacao e feita da seguinte forma: o auto-espaco generalizado associado aoautovalor nulo de um elemento regular e uma subalgebra de Cartan e, reciprocamente,toda subalgebra de Cartan e dada dessa maneira. A demonstracao dessa correspon-dencia e o objeto de praticamente todo o resto deste capıtulo. Uma vez mostrada essacorrespondencia, fica-se com uma imagem clara do que sao as subalgebras de Cartan.Em particular, a dimensao de toda subalgebra de Cartan coincide com o posto daalgebra ja que a multiplicidade algebrica do autovalor nulo de ad(X) e exatamente adimensao de g0(X).

Theorem 4.3 Seja X ∈ g e denote por g0(X) o auto-espaco generalizado associadoao autovalor nulo na decomposicao primaria

g = g0(X)⊕ gλ1 ⊕ · · · ⊕ gλk

de ad(X) com λ1, . . . , λk autovalores nao-nulos. Entao, g0(X) e subalgebra de Cartanse X for regular.


Demonstracao:

1. g0(X) e subalgebra, pois em geral, [gλi , gλj ] ⊂ gλi+λj .

2. Tome Y /∈ g0(X) e escreva

Y = Y0 + Y1 + · · ·+ Yk com Y0 ∈ g0(X);Yi ∈ gλi .

Algum Yi, i = 1, . . . , k e nao-nulo. Como os subespacos gλi sao invariantes porad(X), a decomposicao correspondente para [X, Y ] e dada por

[X, Y ] = [X, Y0] + [X, Y1] + · · ·+ [X, Yk],

o que mostra que [X, Y ] /∈ g0(X). De fato, a restricao de ad(X) a cada gλi einversıvel ja que esses autovalores sao diferentes de zero. Portanto, [X, Yi] 6= 0para algum i = 1, . . . , k. Como X ∈ g0(X), tem-se que Y nao normaliza g0(X).Essa subalgebra coincide, portanto, com seu normalizador.

3. Para verificar que g0(X) e nilpotente usa-se o fato de que X e regular.

O objetivo e mostrar que, para Y ∈ g0(X), ad(Y )|g0(X) e nilpotente e aplicar

o teorema de Engel. Isso, por sua vez, se garante mostrando que o polinomiocaracterıstico de ad(Y )|g0(X) e da forma λr onde r e a dimensao de g0(X).

Observe que ad(X)|g0(X) e nilpotente, pois este e o auto-espaco generalizado

associado ao autovalor nulo.

Dessa forma, denote por π0 o polinomio caracterıstico de ad(Y )|g0 (X) e suponha,

por absurdo, que esse polinomio nao e da forma λr. Entao,

π0(λ) = λr + · · ·+ qr−i(Y )λr−i

com i > 0 e qr−i(Y ) 6= 0. Isso garante que qr−i nao e um polinomio identica-mente nulo em g0(X). Como os subespacos gλi sao invariantes por ad(Y ), pois[g0(X), gλi ] ⊂ gλi , o polinomio caracterıstico de ad(Y ) e dado por

pY (λ) = π0π1 . . . πk

com πi o polinomio caracterıstico de ad(Y )|gλi . O termo constante de πi e dado

por det(ad(Y )|gλi ). Agora, a aplicacao di(Z) = det(ad(Z)|gλi ) e um polinomio

em g0(X) e nao e identicamente nulo, pois ad(X)|gλi e inversıvel. Alem do mais,

o termo de menor grau de pY tem por coeficiente o polinomio

qr−i(Y )d1(Y ) . . . dk(Y ),

que nao e um polinomio identicamente nulo em Y como o e cada um de seusfatores. Mas isso contradiz o fato de X ser regular, pois esse termo de menorgrau se anula em X ja que qr−i se anula em X, pois ad(X) restrita a g0(X) enilpotente. Como essa contradicao vem do fato de que qr−i nao e um polinomioidenticamente nulo para algum i > 0, tem-se que ad(Y ) e nilpotente em g0(X)para todo Y ∈ g0(X) e, portanto, essa algebra e nilpotente.


Em resumo, g0(X) satisfaz as condicoes requeridas para uma subalgebra de Cartan,concluindo a demonstracao do teorema. 2

Como os elementos regulares sao aqueles que nao anulam um polinomio nao-nulo,nao ha nenhuma duvida sobre a existencia de tais elementos. Por isso,

Corolario 4.4 Existem subalgebras de Cartan em algebras de Lie de dimensao finita.

Uma outra consequencia do teorema anterior e que h = g0(X) no caso em queX ∈ h e um elemento regular e h e uma subalgebra de Cartan. De fato, por ser hsubalgebra de Cartan, h e nilpotente e, portanto, ad(X) dentro de h e nilpotente, e daıque h ⊂ g0(X). Mas g0(X) e nilpotente o que implica que h = g0(X) ja que h e seuproprio normalizador. Dito de outra maneira, g0(X) e a unica subalgebra de Cartanque contem X se X e um elemento regular.

O objetivo agora e mostrar a recıproca do teorema 4.3, isto e, que se h e umasubalgebra de Cartan, entao h = g0(X) para algum elemento regular X. E claro, seisso ocorre, entao X ∈ h, pois X ∈ g0(X). E vice-versa, pelos comentarios acima,h = g0(X) se X ∈ h e um elemento regular. Portanto, a recıproca ao teorema 4.3 econsequencia da seguinte afirmacao.

Theorem 4.5 Seja g uma algebra de dimensao finita e h ⊂ g uma subalgebra deCartan. Entao, existe um elemento regular X ∈ h.

A demonstracao deste teorema e bastante mais envolvente que a do teorema 4.3.Ela sera feita a seguir de duas maneiras diferentes. Uma, especıfica para algebrassobre o corpo dos reais, e que usa metodos de calculo diferencial, e por isso maisconcreta que a demonstracao para corpos arbitrarios (de caracterıstica zero) que serafeita posteriormente.

Nos dois casos, usa-se o fato de que existe X ∈ h tal que h = g0(X) e se verificaque X e regular se satisfaz essa igualdade. Por isso, sao necessarios os seguintes lemas.

Lema 4.6 Seja h uma subalgebra de Cartan e ρ a representacao de h em g/h induzidapela representacao adjunta de h em g. Entao, se X ∈ h, g0(X) = h se e so se ρ(X) einversıvel.

Demonstracao: De fato, ρ(X) e inversıvel se e so se ker ρ(X) = 0 o que ocorre see so se g0(X) ⊂ h, ja que ad(X) e nilpotente em g0(X) e ρ(X) e induzida por ad(X).Como h ⊂ g0(X) para todo X ∈ h, tem-se o lema. 2

Lema 4.7 Seja h uma subalgebra de Cartan. Entao, existe X ∈ h tal que h = g0(X).

Demonstracao: Para verificar a igualdade para algum X, considera-se o espaco quo-ciente g/h e a representacao ρ de h em g/h induzida pela representacao adjunta de h emg. Tomando a extensao dessa representacao ao fecho algebrico do corpo de base, essaextensao se decompoe em subespacos de pesos, ja que h e nilpotente. Como h coincide


com o seu normalizador em g, nenhum desses pesos se anula. De fato, o anulamentode algum dos pesos da extensao implicaria a existencia v ∈ g/h com ρ(X)v = 0 paratodo X ∈ h, o que, por sua vez, significa que existe Y ∈ g\h com [X, Y ] ∈ h para todoX ∈ h, contradizendo o fato de h ser de Cartan. Sendo assim, existe X ∈ h que naoanula nenhum dos pesos, o que significa que ρ(X) e inversıvel em g/h. Para esse X olema anterior garante que g0(X) = h. 2

Uma vez tendo esse lema, que caracteriza uma subalgebra de Cartan como o nucleogeneralizado de algum de seus elementos, a demonstracao do teorema 4.5 segue deimediato da seguinte afirmacao.

Proposicao 4.8 O nucleo generalizado g0(X) de qualquer X ∈ g contem um elementoregular.

(Em particular se g0(X) = ker ad (X) entao X comuta com um elemento regular.)A demonstracao dessa proposicao sera feita aqui, num primeiro momento, para

algebras de Lie em que o corpo de base e real. O caso geral de um corpo algebricamentefechado sera considerado mais adiante na secao 4.2.

Demonstracao da proposicao 4.8 no caso real: A ideia da demonstracao estabaseada no fato de que se φ e um automorfismo de g e Y ∈ g entao

ad(φY ) = φ ad(Y ) φ−1,

isto e, φ[Y, φ−1Z] = [φY, Z] para todo Z ∈ g. Portanto, ad(φY ) e ad(Y ) tem o mesmopolinomio caracterıstico e daı que Y e regular se e so se φ (Y ) e regular. Baseado nisso,deve-se buscar um automorfismo φ e Y ∈ g0 (X), tal que φ (Y ) e regular. Para isso,considera-se a aplicacao ψ : g× g0 (X)→ g dada por

ψ(Z, Y ) = ead(Z)Y.

A aplicacao linear exp ad(Z) e um automorfismo de g, pois ad(Z) e uma derivacao.Por outro lado, o conjunto dos elementos regulares de g e aberto e denso em g, ja quee o conjunto dos pontos onde um polinomio nao se anula. Portanto, ao mostrar que aimagem de ψ contem um aberto, conclui-se que essa imagem intercepta o conjunto doselementos regulares e daı que algum Y ∈ g0 (X) e conjugado a um elemento regular e,portanto, e regular.

Agora, ψ e uma aplicacao diferenciavel (na verdade analıtica), assim, para mostrarque sua imagem contem um aberto e suficiente, pelo teorema da aplicacao aberta,mostrar que sua diferencial dψ(Z,Y ) tem posto maximo para algum (Z, Y ) ∈ g×g0 (X).Tomando A ∈ g, B ∈ g0 (X), Z = 0 e Y = X, tem-se

dψ(0,X)(A,B) =d

dtead(tA)(X + tB)t=0

= − ad(X)A+B.(4.1)


Agora, g = g0 (X) ⊕W onde W e a soma dos auto-espacos generalizados de ad (X)associados aos auto-valores diferentes de 0. A restricao de ad (X) a W e inversıvel.Portanto tomando na expressao acima B = 0 e A ∈ W se ve que W esta contido naimagem de dψ(0,X). Por outro lado, tomando A = 0 e B ∈ g0 (X) arbitrario segueque g0 (X) tambem esta na imagem de dψ(0,X). Portanto dψ(0,X) e sobrejetora o queconclui a demonstracao. 2

A partir dessa demonstracao do teorema 4.5 para algebras sobre o corpo dos reais,e possıvel obter de maneira rapida o mesmo resultado para algebras sobre o corpo Cdos complexos. De fato, dada uma algebra complexa g, sua realificada gR e a algebracujo espaco vetorial subjacente e o espaco vetorial real obtido de g, restringindo osescalares aos reais. A dimensao de gR e o dobro da dimensao de g e os subespacosde g sao tambem subespacos de gR e suas dimensoes duplicam quando consideradoscomo espacos reais. Agora, o fato de uma subalgebra h de g ser de Cartan, ou nao,depende apenas do colchete em g (nilpotente e normalizador) e nao dos escalares que setome. Dessa forma, uma subalgebra de Cartan h de g e tambem, quando consideradacomo espaco vetorial real, uma subalgebra de Cartan, com dimensao duplicada, degR. Aplicando entao o teorema 4.5 para as algebras reais, tem-se que h contem umelemento regular para gR. Por outro lado, uma transformacao linear T de um espacovetorial complexo, e tambem linear sobre R no realificado do espaco. O polinomiocaracterıstico de T , considerada como transformacao linear sobre C, e da forma

P (z) = (z − λ1)k1 · · · (z − λs)ks ,

com λj ∈ C os autovalores de T . Ja ao se considerar T como transformacao linearreal, seus autovalores passam a ser λj, λj, j = 1, . . . , s, e o polinomio caracterıstico ficasendo

Q(x) = (x− λ1)k1(x− λ1)k1 · · · (x− λs)ks(x− λs)ks ,

cujo grau e o dobro do de P . Por essa relacao entre P e Q, ve-se que a multiplicidadede uma raiz real de Q e o dobro de sua multiplicidade como raiz de P . Em particular,isso ocorre com o autovalor nulo de T . Aplicando esse fato aos elementos regulares deg, chega-se a que o posto de gR e o dobro do posto de g e que X ∈ g e regular se e sose for regular para gR. Isso, juntamente com os comentarios acima, mostra o teorema4.5 tambem para algebras de Lie sobre C. 2

Antes de buscar a demonstracao geral (necessariamente algebrica) do teorema 4.5convem fazer a seguinte discussao sobre subalgebras de Cartan e a acao sobre as mesmasdos automorfismos da algebra.

Sejam φ : g→ g um automorfismo e h uma subalgebra de Cartan de g. Como podeser verificado sem maiores problemas, o fato de φ ser um automorfismo implica que aimagem φ(h) de h por φ tambem e uma subalgebra de Cartan. Duas subalgebras deCartan sao ditas conjugadas se uma e a imagem da outra por um automorfismo deg. Como a inversa e a composta de automorfismos sao automorfismos, a relacao deconjugacao no conjunto das subalgebras de Cartan e uma relacao de equivalencia.

Essa relacao de equivalencia no conjunto das subalgebras de Cartan passa ao con-junto dos elementos regulares por intermedio do teorema 4.3, da seguinte forma: denote


por g o conjunto dos elementos regulares em g. Para X ∈ g, g0(X) e uma subalgebrade Cartan. Dessa forma, define-se em g a relacao X ∼ Y se g0(X) e conjugada deg0(Y ). Pelas mesmas razoes que a relacao de conjugacao, essa relacao em g tambem euma relacao de equivalencia.

As classes de equivalencia de ∼ sao invariantes por automorfismos, isto e, X ∼ Ycaso um deles seja a imagem do outro por um automorfismo de g. De fato, se Y = φ(X),entao ad(Y ) = φ ad(X) φ−1 e, portanto, g0(Y ) = φ(g0(X)), mostrando que X ∼ Y .No entanto, como mostra o exemplo das algebras sl (n) adiante, pode-se ter X ∼ Y semque eles sejam levados um no outro por automorfismos de g. Em outras palavras, asclasses de equivalencia de ∼ sao maiores que as classes dadas pela relacao de conjugacaopor automorfismos, isto e, pelas orbitas do grupo dos automorfismos de g.

Um fato interessante e bastante util sobre a relacao de conjugacao no conjunto dassubalgebras de Cartan, que sera mostrado adiante, e que se o corpo de base e algebri-camente fechado, entao existe uma unica classe de equivalencia, isto e, as subalgebrasde Cartan sao conjugadas entre si. Isso tem como consequencia o teorema 4.5, ja queexistem subalgebras de Cartan contendo elementos regulares.

A demonstracao da conjugacao entre subalgebras de Cartan em algebras sobre cor-pos algebricamente fechados arbitrarios sera feita adiante. No caso das algebras sobreos complexos e possıvel dar uma demonstracao por intermedio do calculo diferencial,como acima. Essa demonstracao e incluıda aqui, pois, alem de ser mais concreta quea geral, ela fornece uma interpretacao geometrica das classes de equivalencia por con-jugacao nas algebras de Lie sobre os reais.

Theorem 4.9 Seja g uma algebra de Lie sobre R e g o subconjunto, aberto e denso,dos elementos regulares de g. As componentes conexas de g sao abertos em g. TomeX e Y numa mesma componente conexa. Entao X ∼ Y .

Demonstracao: O primeiro passo consiste em mostrar que se X e um elemento regu-lar, entao sua classe de equivalencia e um aberto que o contem. Para isso, considera-sea aplicacao

ψ(Y1, Y2) = ead(Y1)Y2 ,

com Y1 ∈ g e Y2 ∈ g0(X). Como g0(X) e subalgebra de Cartan, a demonstracao feitaacima pode ser aplicada aX e g0(X) para concluir que dψ(0,X) e sobrejetora. O Teoremada Funcao Implıcita mostra, entao, que existe uma vizinhanca U de X = ψ(0, X) talque todo Z ∈ U e da forma ψ(Y1, Y2) com Y1 ∈ U1, Y2 ∈ U2, onde U1 e uma vizinhancada origem em g e U2 e uma vizinhanca de X em g0(X). Pode-se restringir U2 eassumir que U2 ⊂ g. Assumindo isso, o fato de existir uma unica subalgebra de Cartancontendo um elemento regular implica que g0(Y2) = g0(X) se Y2 ∈ U2, ja que g0(Y2)e uma subalgebra de Cartan que contem Y2 que, por sua vez, esta em g0(X). Dessaforma,

g0(ψ(Y1, Y2)) = ead(Y1)g0(Y2)= ead(Y1)g0(X)

e, portanto, para todo Z em uma vizinhanca de X, Z ∼ X. Isso mostra que as classesde equivalencia de ∼ sao abertas. Como essas classes de equivalencia particionam g,


elas sao tanto abertas quanto fechadas, e por isso sao unioes de componentes conexasde g e daı que as componentes conexas estao contidas em uma mesma classe de equi-valencia, que e o que se queria mostrar. 2

Por esse teorema, a quantidade de classes de equivalencia de ∼ e no maximo onumero de componentes conexas de g. Esse numero e sempre finito pois g e o conjuntodos pontos que nao anulam um polinomio nao-nulo, e um conjunto desse tipo temquantidade finita de componentes conexas. No caso particular das algebras complexas,foi visto que se pode tomar a realificacao gR sem que se altere as subalgebras de Cartannem os elementos regulares. Mas, nem por isso, o conjunto dos elementos regularesdeixa de ser o conjunto dos pontos que nao anulam um polinomio com coeficientescomplexos num espaco vetorial complexo. Para esses polinomios, o complementar deseus zeros e conexo, como mostra a seguinte proposicao.

Proposicao 4.10 Seja p : Cn → C um polinomio, que nao e identicamente nulo.Entao,

C = v ∈ Cn : p(v) 6= 0

e conexo (por caminhos).

Demonstracao: E por inducao sobre n. Para n = 1, o resultado vale, pois o conjuntodas raızes de um polinomio e finito e, portanto, seu complementar em C e conexo. Paran ≥ 2 sejam z = (z1, . . . , zn) e w = (w1, . . . wn) com p(z) 6= 0 6= p(w).

A reta que passa por z e w e o conjunto

r = xz + (1− x)w : x ∈ C.

A restricao de p a r define o polinomio q (x) = p (xz + (1− x)w), x ∈ C, que nao eidenticamente nulo, pois q (1) = p (z) 6= 0. Portanto, z e w estao na mesma compo-nente conexa de q (x) 6= 0 em r, o que implica que eles estao na mesma componenteconexa de p (x) 6= 0 em Cn. 2

Em resumo,

Theorem 4.11 Em algebras de Lie complexas as subalgebras de Cartan sao conjugadasentre si.

Exemplos:

1. Na algebra sl(n,C), seja hβ a subalgebra das transformacoes lineares cujas ma-trizes sao diagonais na base β de Cn. Cada uma dessas subalgebras e de Car-tan, pois elas sao abelianas e se H e a matriz diagonal H = diagλ1, . . . , λn eA = (ajk) e uma matriz n× n, entao ad(H)A e dada pela matriz ((λj − λk)ajk).Assim, ad(H)A e diagonal para toda matriz diagonal H se e so se A tambem ediagonal. Como dim hβ = n − 1, o posto sl(n,C) e n − 1. Ainda pela forma de


ad(H), H ∈ hβ, ve-se que H e regular se e so se λj−λk 6= 0, j 6= k, isto e, se todosos autovalores de H sao distintos. Pelo teorema anterior, duas dessas subalgebrasde Cartan sao conjugadas por um automorfismo de sl(n,C). Nesse caso parti-cular, o automorfismo que conjuga as subalgebras hβ1

e hβ2e dado pela matriz

de mudanca de base entre β1 e β2. Seja P essa matriz. Entao, P e inversıvele, portanto, define um automorfismo φ de sl(n,C) dado por φ(A) = PAP−1 etem-se evidentemente que φ(hβ1

) = hβ2.

Vice-versa, toda subalgebra de Cartan de sl(n,C) e da forma hβ para algumabase β de Cn. Existem duas formas de se verificar isso. Uma delas usa o fato(que nao vai ser provado aqui) de que os automorfismos de sl(n,C) sao da formaφ(A) = PAP−1 ou φ(A) = −PATP−1 para alguma matriz inversıvel P . Sendoassim, se h e uma subalgebra de Cartan, ela e conjugada a uma subalgebra hβpara alguma base β o que mostra que os elementos de h sao simultaneamentediagonalizaveis em alguma base de Cn.

Um outro metodo para verificar que as subalgebras hβ cobrem todas as subal-gebras de Cartan de sl(n,C) consiste em verificar diretamente que os elementosregulares sao aqueles cujos autovalores sao todos distintos e que sao, portanto,transformacoes lineares diagonalizaveis. Verificado isso, tem-se que todo elementoregular esta contido em alguma hβ e, portanto, que essas sao as unicas subalgebrasde Cartan. Seja entao A um elemento de sl(n,C) e considere sua forma canonicade Jordan. Nessa forma, A se escreve como uma matriz diagonal em blocos como

A =

A1 0. . .

0 Ak

com cada bloco Aj triangular superior cujos elementos diagonais sao todos iguais.Por isso, toda matriz diagonal em blocos com os blocos do mesmo tamanho queos blocos de Jordan de A, e cujos blocos sao triangulares superiores, pertence aoauto-espaco generalizado associado ao autovalor nulo de ad(A). Em particular,as matrizes diagonais pertencem a esse auto-espaco generalizado e daı que suadimensao e estritamente maior que dim hβ, a menos que os blocos de Jordan deA sejam todos 1× 1, isto e, que todos os autovalores de A sejam distintos. Comoas subalgebras de Cartan tem a mesma dimensao, a dimensao do auto-espacogeneralizado associado ao autovalor nulo de ad(A) coincide com dim hβ se A eregular. Portanto, os autovalores de A sao todos distintos se A e elemento regularde sl(n,C) e daı que suas subalgebras de Cartan sao da forma hβ com β base deCn e seus elementos regulares sao aqueles cujos autovalores sao distintos dois adois.

2. A analise feita no exemplo anterior das subalgebras de Cartan de sl(n,C) permiteque se compreenda, via complexificacao, as subalgebras de Cartan de sl(n,R). Defato, sl(n,C) e o complexificado de sl(n,R). Por isso, o complexificado de umasubalgebra de Cartan de sl(n,R) e uma subalgebra de Cartan de sl(n,C) e daı que


o posto dessas duas algebras coincidem. Dessa forma, se X e um elemento regularde sl(n,R), entao ele tambem e regular como elemento de sl(n,C) e, portanto,existe uma base β de Cn tal que nessa base X e diagonal e seus autovalores saodistintos dois a dois. Porem, X e real e daı que seus autovalores sao da forma

λ1, λ1, . . . , λk, λk, µ1, . . . , µs

com 2k + s = n, λj complexo e µj real. Alem do mais, pode-se tomar

β = w1, w1, . . . , wk, wk, v1, . . . , vs

com vj ∈ Rn. Assim, se

γ = Rew1, Imw1, . . . ,Rewk, Imwk, v1, . . . , vs,

entao γ e base de Rn e nessa base X se escreve como

X =

a1 −b1

b1 a1

. . .

ak −bkbk ak

µ1. . .

µs

,

onde λj = aj + ibj. Seja h a subalgebra de Cartan de sl(n,R) associada a X e hCsua complexificada. Entao, hC e a subalgebra de Cartan de sl(n,C) associada a Xe coincide com as matrizes diagonais na base β. Como os elementos de h sao reaise diagonais em relacao a base β, o fato de v1, . . . , vs serem reais implica que todoelemento de h se escreve, na base γ, da mesma forma que X com k blocos 2× 2juntamente com s = n− 2k elementos diagonais. Dessa forma, para cada inteirok com 0 ≤ k ≤ n/2 tem-se uma famılia de subalgebras de Cartan que sao aquelasem que, em alguma base de Rn, seus elementos se escrevem como acima e essassao todas as subalgebras de Cartan de sl(n,R). Para k = 0, tem-se a algebradas matrizes diagonais e, e claro, para k arbitrario, a dimensao das algebras esempre n − 1. Todas as algebras dadas por um mesmo k sao conjugadas entresi ja que uma se obtem da outra por uma mudanca de base. Ja duas algebrascom diferentes valores de k nao sao conjugadas, pois a quantidade de autovalorescomplexos das adjuntas de seus elementos varia, ja que essa quantidade dependede k. Em resumo, o numero de classes de conjugacao das subalgebras de Cartande sl(n,R) e n/2+1 se n e par e (n+1)/2 se n e ımpar e cada classe e representadapor uma algebra de matrizes da forma acima. Duas classes se distinguem pelaquantidade de autovalores complexos de seus elementos. 2

4.2. A abordagem algebrica 113

4.2 A abordagem algebrica

A demonstracao do teorema 4.11 de conjugacao das subalgebras de Cartan em algebrascomplexas nao se aplica para algebras sobre corpos algebricamente fechados em ge-ral, ja que ela recorre ao calculo diferencial atraves do teorema da funcao implıcita.Nesta secao, sera demonstrada a conjugacao das subalgebras de Cartan por metodospuramente algebricos. O procedimento aqui consiste em evitar o teorema da funcaoimplıcita considerando apenas aplicacoes polinomiais. Para essas aplicacoes e possıveldesenvolver um calculo algebrico semelhante ao calculo diferencial sem, no entanto,utilizar a nocao de limite que requer, para seu uso pleno, a completude do corpo.

No que segue, K denotara um corpo algebricamente fechado de caracterıstica zero.Anteriormente ja se considerou, mais de uma vez, polinomios em espacos vetoriais sobreK. Como esses polinomios aparecem aqui de maneira mais extensiva, e convenientecomentar com mais detalhes suas propriedades basicas, assim como a forma de defini-los.

Seja V um espaco vetorial de dimensao finita sobre K. Um polinomio em V e umaaplicacao p : V → K que e constante ou pode ser escrita como soma de produtos finitosde funcionais lineares de V . Em outras palavras, p e da forma

p = λ11 · · ·λ1r1 + · · ·+ λs1 · · ·λsrs

com λij ∈ V ∗. O grau de p e o maior dos ındices ri. Tomando uma base β = e1, . . . , ende V , tem-se que p(x) e uma combinacao linear de monomios do tipo

xr11 · · ·xrnn ,

onde (x1, . . . , xn) sao as coordenadas de x em relacao a base β. Vice-versa, umaaplicacao de V em K dada dessa forma a partir de uma base e evidentemente umpolinomio de V .

O conjunto dos polinomios de V sera denotado por K[V ]. Definindo a soma e oproduto de polinomios da forma usual, assim como a multiplicacao por escalares emK, K[V ] se torna uma algebra associativa com unidade sobre K.

Seja agora W outro espaco vetorial sobre K. Uma aplicacao P : V → W e ditapolinomial se λ P e um polinomio em V para todo funcional linear de W . Fixandouma base γ = f1, . . . , fm de W , P se escreve como

P = p1f1 + · · ·+ pmfm

com p1, . . . , pm polinomios em V . Vice-versa, aplicacoes desse tipo entre V e W saoaplicacoes polinomiais. Portanto, as aplicacoes polinomiais entre V e W sao aquelascujas coordenadas sao polinomios de V . A composta de aplicacoes polinomiais tambeme polinomial.

A demonstracao do teorema 4.5 apresentada na secao anterior para as algebras reaisrecorre ao teorema da aplicacao aberta, que e utilizado para garantir que a imagem deuma certa aplicacao diferenciavel tem interior nao-vazio. Numa linguagem puramentealgebrica, um conjunto aberto passa a ser o complementar do conjunto dos zeros de


um polinomio. Nesse sentido o seguinte resultado de geometria algebrica afirma que aimagem de uma aplicacao polinomial, cuja diferencial e sobrejetora, contem abertos docontra-domınio, estendendo o teorema da aplicacao aberta a aplicacoes polinomiais.

Theorem 4.12 Seja P : V → W uma aplicacao polinomial e suponha que dPx esobrejetora para algum x ∈ V . Seja p um polinomio nao-nulo em V . Entao, existeum polinomio q ∈ K[W ] tal que para todo y ∈ W tal que q(y) 6= 0 existe x ∈ Vcom p(x) 6= 0 e tal que P (x) = y. (Em outras palavras, a imagem por P do abertop(x) 6= 0 contem o aberto q(y) 6= 0.)

Esse teorema sera demonstrado a seguir na secao 4.3, que e um apendice a estecapıtulo.

Para obter conjugacoes entre subalgebras de Cartan, a ideia e aplicar o teorema4.12 a transformacoes do tipo

(X, Y ) 7−→ ead(X)Y,

como foi feito no caso real. Para isso e necessario dar sentido as exponenciais

ead(X) =∑k≥0

1

k!ad(X)k.

Por sorte, sera suficiente considerar exponenciais de transformacoes lineares nilpoten-tes, para as quais as exponenciais sao dadas por somas finitas e, portanto, fazem sentidonum contexto algebrico.

Proposicao 4.13 Seja D uma derivacao nilpotente de uma algebra de Lie g. Entao,expD e um automorfismo de g.

Demonstracao: Dados X, Y ∈ g, sejam α e β as aplicacoes de K em g dadas por

α(t) = etD[X, Y ] β(t) = [etDX, etDY ]

Como D e nilpotente, α e β sao polinomiais. Calculando derivadas sucessivas emrelacao a t, mostra-se por inducao que α(k)(0) = β(k)(0) para todo k ≥ 0. Isso im-plica que α = β e daı que exp tD e homomorfismo. De maneira semelhante, prova-sedet (exp tD) = 1 para todo t ∈ K, mostrando que exp tD e de fato um automorfismo. 2

Agora, seja h uma subalgebra de Cartan de g. Entao, g se decompoe em subespacosde pesos para a representacao adjunta de h em g isto e, em subespacos de raızes:

g = h +∑λi

gλi .

Tomando X num subespaco de raızes gλi , ad(X) e nilpotente. De fato, se Y pertencea um subespaco de raızes gλj qualquer, entao [X, Y ] ∈ gλi+λj , e de maneira mais geral,

4.2. A abordagem algebrica 115

ad(X)kY ∈ gλj+kλi e, como existe apenas um numero finito de raızes, ad(X)kY = 0para algum k ≥ 0 e daı que ad(X) e nilpotente.

O teorema anterior sera aplicado ao seguinte contexto: sejam X1, . . . , Xn umabase de

∑gλi , obtida pela uniao de bases dos subespacos de raızes gλi , e H1, . . . , Hm

uma base de h. A aplicacao φ : Kn × h→ g definida por

φ(t,H) = exp t1 ad(X1) · · · exp tn ad(Xn) (H) ,

onde t = (t1, . . . , tn) ∈ K e polinomial, pois ad(Xi) e nilpotente para cada i = 1, . . . , ne φ e linear em H. Tomando derivadas parciais em relacao a ti, tem-se

∂φ

∂ti(0, H) = ad(Xi)(H) = −[H,Xi].

Complementando essas derivadas parciais com as derivadas na direcao de H ∈ h, ve-se que dφ(0,H) e sobrejetora se λ(H) 6= 0 para toda raiz λ. Portanto, φ satisfaz ascondicoes do teorema 4.12. A partir daı, e possıvel mostrar o teorema 4.5. De fato,seja i o posto de g e pi(X) o polinomio nao-nulo em g que e o coeficiente do termo demenor grau nao-nulo do polinomio caracterıstico de ad(X). Entao, p = pi φ e umpolinomio nao-nulo em K× h, pois dφ e sobrejetora em pelo menos um ponto. Assim,pelo teorema 4.12, existe um polinomio q em g tal que se Y = φ(t,H) e q(Y ) 6= 0,entao p(t,H) 6= 0.

Agora, p(t,H) = pi(φ(t,H)) e daı que Y e regular se q(Y ) 6= 0. Porem

Y = exp t1 ad(X1) · · · exp tn ad(Xn)(H)

e, portanto, H e regular, pois a imagem de elementos regulares por automorfismos saoregulares. Isso mostra que h contem elementos regulares como enunciado no teorema4.5.

Esse argumento mostra, na verdade que, para uma subalgebra de Cartan dada,existe um polinomio nao-nulo q em g tal que o conjunto

Aq = Y ∈ g : q(Y ) 6= 0

e formado por elementos regulares e para todo Y ∈ Aq existe um automorfismo ψ de gtal que ψ(Y ) ∈ h. Tomando entao outra subalgebra de Cartan h1 tem-se um polinomioq1 com as mesma propriedades. Como qq1 e um polinomio nao-nulo, existe Y ∈ g talque q(Y ) 6= 0 6= q1(Y ). Para esse Y existem automorfismos ψ e ψ1 tais que ψ(Y ) ∈ he ψ1(Y ) ∈ h1, de onde se tira que

ψ1ψ−1(ψ(Y )) ∈ h1.

Mas ψ(Y ) e um elemento regular em h e daı que ψ1ψ−1(h) = h1, o que mostra que

duas subalgebras de Cartan sao conjugadas entre si. Em suma,

Theorem 4.14 Numa algebra sobre um corpo algebricamente fechado, as subalgebrasde Cartan sao duas a duas conjugadas por automorfismos.


Por fim, no caso em que o corpo nao e algebricamente fechado, e possıvel queexistam subalgebras de Cartan, que nao sao conjugadas. Mas, em todo caso, o teorema4.5 continua valendo. Isso porque, estendendo o corpo de base K ao seu fecho algebricoK, as subalgebras de Cartan h se estendem a subalgebras de Cartan hK e se pi eo polinomio que determina os elementos regulares, entao pi nao se anula em hK e,portanto, pi nao se anula em h, o que mostra que em h existem elementos regulares.

4.3 Apendice: Teorema da aplicacao aberta

O objetivo deste apendice e apresentar uma demonstracao do teorema polinomial daaplicacao aberta, o teorema 4.12.

Retomando a terminologia do inıcio da secao 4.2, a composta de duas aplicacoespolinomiais se obtem por substituicao de polinomios em outros e, portanto, e tambempolinomial. Em particular, q P e um polinomio em V se P : V → W e polinomial e qe um polinomio em W . Essa observacao permite interpretar as aplicacoes polinomiaiscomo homomorfismos entre as algebras dos polinomios da seguinte maneira: dada umaaplicacao polinomial P : V → W , sua transposta e definida como

σP : q ∈ K[W ] 7−→ q P ∈ K[V ].

Como pode ser verificado de maneira imediata, σP e um homomorfismo entre asalgebras K[W ] e K[V ]. Vice-versa, seja σ : K[W ] → K[V ] um homomorfismo. To-mando uma base γ = f1, . . . , fm de W , sejam y1, . . . , ym os funcionais lineares que aum elemento de W associa suas coordenadas em relacao a γ. Entao, σ(yi), i = 1, . . . ,msao polinomios em V . Definindo pi = σ(yi) e pondo

P = p1f1 + · · ·+ pmfm ,

verifica-se imediatamente que P e uma aplicacao polinomial tal que σP = σ.Dessa forma, P 7→ σP define uma aplicacao sobrejetora entre o conjunto das

aplicacoes polinomiais entre V e W e o conjunto dos homomorfismos entre K[W ] eK[V ]. Essa aplicacao tambem e injetora, ja que v1, v2 ∈ W coincidem se λ(v1) = λ(v2)para todo funcional linear emW . Portanto, se P e Q sao aplicacoes polinomiais taisque σP = σQ, entao λ P = λ Q para todo funcional λ e daı que P = Q.

A identificacao entre as aplicacoes polinomiais e os homomorfismos vai ser utilpara dar um tratamento algebrico a geometria das imagens das aplicacoes polinomiais.Alem do mais, essa identificacao tem como caso particular a seguinte caracterizacaodos homomorfismos de K[V ] a valores em K.

Proposicao 4.15 Seja τ : K[W ]→ K. Entao, existe y ∈ V tal que τ(q) = q(y).

Demonstracao: E apenas uma questao de fazer o devido reconhecimento dos objetosenvolvidos: seja V = 0 o espaco vetorial trivial. Entao, os polinomios em V saoconstantes e, portanto, p ∈ K[V ] se identifica com p(0) ∈ K. Da mesma forma, uma

4.3. Apendice: Teorema da aplicacao aberta 117

aplicacao polinomial P : V → W depende apenas de P (0) = y ∈ W . Pelos comentariosacima, τ = σP para algum P . Portanto, se q ∈ K[W ], entao

τ(q) = q P

se identifica com q P (0) = q(y). 2

Agora, fixando uma base β de V , um polinomio e escrito como combinacao lineardos monomios formados pelas coordenadas em relacao a base. Para um monomio dessetipo, suas derivadas parciais sao definidas como

∂

∂xi(xr11 · · ·xrnn ) = rix

r11 · · ·x

ri−1i · · · xrnn ,

as quais se estendem aos polinomios por linearidade. A partir daı, define-se a diferencialdpx do polinomio p em x como sendo o funcional linear cuja matriz na base β e dadapor

dpx =

(∂p

∂x1

(x) · · · ∂p

∂xn(x)

).

De maneira semelhante, define-se a diferencial de uma aplicacao polinomial

P = p1f1 + · · ·+ pmfm

atraves de sua matriz em relacao as bases β e γ de V e W , respectivamente, comosendo

dPx =

∂p1

∂x1

(x) · · · ∂p1

∂pn(x)

......

∂pm∂x1

(x) · · · ∂pm∂xn

(x)

. (4.2)

E possıvel definir dpx e dPx sem recorrer as bases, utilizando a forma intrınseca dospolinomios. Em todo caso, pela expressao (4.2), para dPx ve-se de imediato que x 7→dPx e uma aplicacao polinomial de V a valores no espaco das matrizes m × n. Essasdiferenciais satisfazem virtualmente todas as propriedades usuais utilizadas no calculodiferencial. Em particular, pode-se verificar diretamente a partir da definicao a validadeda regra da cadeia:

d(P Q)x = dPQ(x) dQx .

Uma relacao entre a diferencial de uma aplicacao polinomial e o homomorfismocorrespondente e dada pelo seguinte criterio que relaciona a injetividade de σP com oposto de P .

Proposicao 4.16 Seja P : V → W uma aplicacao polinomial e suponha que dPx0 sejasobrejetora para algum x0 ∈ V . Entao, a transposta σp : K[W ]→ K[V ] e injetora.


Demonstracao: Suponha por absurdo que σP nao seja injetora e tome q ∈ kerσpcom q 6= 0 e tal que o grau de q e mınimo entre os elementos nao-nulos do nucleo deσP . Entao, q P = 0 e, portanto, d(q P ) e o polinomio identicamente nulo definidoem V e a valores no espaco das matrizes 1× n. Pela regra da cadeia,

dqP (x) dPx = 0 (4.3)

para todo x ∈ V . Essa igualdade leva a uma contradicao, pois ela implica que o po-linomio x 7→ dqP (x) e identicamente nulo. De fato, suponha que isso nao ocorra. Entao,pelo fato de que dPx0 e sobrejetora, tem-se que um de seus menores m×m e inversıvel.Denotando esse menor por A(x), o polinomio detA(x) nao e identicamente nulo e,portanto, existe x tal que os polinomios detA(·) e dqP (·) nao se anulam em x (pois sep1, . . . , ps sao polinomios nao-nulos, entao p1 · · · ps e nao-nulo, o que implica que existex tal que pi(x) 6= 0, i = 1, . . . , s), o que contradiz (4.3). Assim, (4.3) implica que dqP (x)

e identicamente nulo como um polinomio em x. Agora, pela definicao de dq, tem-seque suas entradas sao polinomios de grau menor que o grau de q. Mas q foi tomadocomo sendo de grau mınimo entre os elementos nao-nulos de kerσP . Assim, dq = 0 e,portanto, q e o polinomio constante e, como q P = 0, q = 0, contradizendo a escolhade q 6= 0 e mostrando que σP e injetora. 2

Para o proximo teorema sera usada a seguinte notacao: sejam B uma algebraassociativa sobre K e A ⊂ B uma subalgebra. Entao, A[x1, . . . , xr] denota a subalgebrade B gerada por A e x1, . . . , xr ⊂ B.

Theorem 4.17 Sejam K um corpo algebricamente fechado de caracterıstica zero eK uma extensao de K (em particular K e uma algebra associativa sobre K). Sejamtambem A e B = A[x1, . . . , xr] subalgebras de K. Entao, homomorfismos de A a valoresem K se estendem a B. De maneira mais especıfica:dado p ∈ B, p 6= 0, existe q ∈ A tal que se σ : A→ K e um homomorfismo que satisfazσ(q) 6= 0, entao σ se estende a um homomorfismo τ : B → K tal que τ(p) 6= 0.

Demonstracao: Como

A[x1, . . . , xr] = A[x1, . . . , xr−1][xr],

um raciocınio simples, por inducao, garante que e suficiente considerar o caso em quer = 1 e B = A[x].

Seja C o subcorpo de K gerado por A. Existem duas possibilidades:

I) x e transcendente sobre C, isto e, nao existem polinomios com coeficientes em Cque anulam x. Nesse caso, os elementos de A[x] se escrevem de maneira unicacomo combinacoes lineares finitas da forma

a0 + a1x+ · · ·+ asxs ai ∈ A s ≥ 0.

Em particular,p = b0 + b1x+ · · ·+ bmx

m

4.3. Apendice: Teorema da aplicacao aberta 119

e, e claro, pode-se supor que bm 6= 0. O elemento de A desejado e q = bm. Defato, seja σ : A→ K um homomorfismo tal que σ(q) 6= 0 e considere o polinomioP na variavel λ e com coeficientes em K dado por

P (λ) = σ(b0) + σ(b1)λ+ · · ·+ σ(bm)λm.

Esse polinomio e nao-nulo, pois σ(bm) 6= 0 e, portanto, ele tem exatamente mraızes em K e, como esse corpo nao e finito, existe c ∈ K tal que P (c) 6= 0. Apartir daı, defina τ por ∑

aixi 7−→

∑σ(ai)c

i.

Entao, τ esta bem definido pelo fato de que os elementos de A[x] se escrevem demaneira unica como combinacoes lineares de xi, i ≥ 0. A verificacao de que τ eum homomorfismo que estende σ e imediata. Por fim, τ(p) = P (c) 6= 0, o queconclui a demonstracao do caso transcendente.

II) x e algebrico sobre C, isto e, existe um polinomio

P (λ) = a0 + a1λ+ · · ·+ amλm

com coeficientes em C tal que P (x) = 0. Como C e o subcorpo gerado porA, pode-se supor que os coeficientes de P estao em A. Tomando P de menorgrau entre os polinomios que anulam x, tem-se que P e irredutıvel no anel dospolinomios C[λ] sobre C.

O primeiro passo consiste em estender a A[x], de maneira arbitraria, homomor-fismos σ : A → K que satisfazem σ(am) 6= 0. Para isso, considera-se a aplicacaoavaliacao π de C[λ] em A[x] dada por

π(R) = R(x) R ∈ C[λ].

Este e um homomorfismo sobrejetor e, portanto, atraves dele se tem

A[x] = C[λ]/ kerπ.

Agora, dado σ com σ(am) 6= 0, considere o polinomio

P σ(λ) = σ(a0) + σ(a1)λ+ · · ·+ σ(am)λm

com coeficientes em K. Entao, P σ tem raızes em K, pois esse corpo e algebrica-mente fechado. Seja c ∈ K uma raiz de P σ. A partir dessa raiz, pode-se definiro homomorfismo τ ′ : C[λ]→ K por

τ ′ :∑

aiλi 7−→

∑σ(ai)c

i,

que e evidentemente bem definido e e uma extensao de σ (quando se consideraA ⊂ C[λ] como sendo o conjunto dos polinomios constantes com coeficientes emA). Para construir uma extensao de σ a A[x], e suficiente mostrar que τ ′ passa ao


quociente por π, isto e, que τ ′(kerπ) = 0. Seja, entao, R um polinomio sobre Cem ker π. Pela definicao de π, isto significa que R(x) = 0 e, como P foi escolhidode grau mınimo, tem-se que a−1

m P divide R, isto e,

akmR = PS

para algum polinomio S e algum expoente k. Mas τ ′(P ) = P σ(c) = 0 e, portanto,σ(akm)τ ′(R) = 0, de onde se tira que τ ′(R) = 0, pois σ(akm) = σ(am)k 6= 0 pelaescolha de σ, o que mostra que esses homomorfismos se estendem a A[x].

Agora, tomando p ∈ A[x], tem-se que p tambem e algebrico sobre C e, portanto,existe um polinomio de menor grau

Q = c0 + c1λ+ · · ·+ cnλn,

com coeficientes em A, tal que Q(p) = 0. Da mesma forma que P , Q e irredutıvele, portanto, Q(0) 6= 0. Seja q = Q(0)am = c0am com am como acima. Entao q eo elemento em A que se procura. De fato, se σ : A→ K satisfaz σ(q) 6= 0, entaoσ(am) 6= 0 e pelo que foi discutido, σ se estende a um homomorfismo τ de A[x].Para concluir a demonstracao, so falta verificar que τ(p) 6= 0. Para isso, seja opolinomio

Qσ(λ) = σ(c0) + σ(c1)λ+ · · ·+ σ(cn)λn.

Aplicando τ a igualdade Q(p) = 0, obtem-se que Qσ(τ(p)) = 0. No entanto,Qσ(0) = σ(c0) 6= 0 por hipotese e daı que τ(p) 6= 0. 2

Uma vez feita essa preparacao, e possıvel demonstrar o teorema 4.12, da aplicacaoaberta.

Demonstracao do Theorem 4.12: Seja σP : K[W ]→ K[V ] o homomorfismo definidopor P . Pela proposicao 4.16, σP e injetora. Para aplicar o teorema anterior, sejamK o corpo das fracoes racionais de K[V ], que e uma extensao de K, e em K sejam assubalgebras A = σP (K[W ]) e B = K[V ]. Como B e finitamente gerada e contem A,tem-se em particular que B e gerada por A e uma quantidade finita de elementos deK. Essas algebras estao, portanto, nas condicoes do teorema anterior. Dessa forma,tomando p ∈ B como no enunciado, seja q ∈ K[W ] tal que σP (q) ∈ A e um doselementos cuja existencia e garantida no teorema anterior. Esse q e o polinomio em Wque se procura. De fato, seja y ∈ W tal que q(y) 6= 0. Entao y define o homomorfismoσ : K[W ]→ K dado por

σ : q 7→ q(y),

que pode ser interpretado como um homomorfismo de A, pois esta algebra e isomorfaa K[W ]. Como q (y) 6= 0, σ(q) 6= 0 e, portanto, σ se estende a um homomorfismo τdefinido em K[V ] tal que τ(p) 6= 0. No entanto, τ(p) = p(x) para algum x ∈ V (vejaproposicao 4.15 acima) e, portanto, p(x) 6= 0. Agora, tomando r ∈ K[W ], tem-se que

r(P (x)) = σP (r)(x) = τ(σP (r)) = σ(σP (r)) = r(y).

Como r e arbitrario, P (x) = y, concluindo a demonstracao do teorema. 2


Notas

O artigo recente de Michael [34] fornece uma abordagem alternativa para o teorema de

conjugacao das subalgebras de Cartan.

4.4 Exercıcios

1. Mostre que se duas algebras de Lie sao isomorfas, entao seus postos coincidem.Por outro lado, de exemplos de algebras de Lie com o mesmo posto que nao saoisomorfas.

2. Em g = sl (2,R) o numero de componentes conexas do conjunto g e maior que ode classes de equivalencia de subalgebras de Cartan.

3. Sejam X e Y matrizes reais e considere as funcoes α (t) = exp (t ad (X))Y eβ (t) = exp (tX)Y exp (−tX) com t ∈ R. Verifique que α e β satisfazem umamesma equacao diferencial com mesma condicao inicial α (0) = β (0) e concluaque

ead(X)Y = eXY e−X .

4. Sejam g uma algebra de Lie de dimensao finita, que nao e nilpotente, e X ∈ gum elemento regular. Entao, existe uma representacao de dimensao finita ρ de gtal que ρ (X) e inversıvel.

5. Toda subalgebra de Cartan h ⊂ g com dim h > 1, contem elementos nao nulosque nao sao regulares (descarte o caso patologico em que g e nilpotente).

6. Sejam hi ⊂ gi, i = 1, 2 subalgebras de Cartan. Mostre que h1 ⊕ h2 e subalgebrade Cartan de g = g1 ⊕ g2. Reciprocamente, sejam πi, i = 1, 2 as projecoes de gem gi. Mostre que se h ⊂ g e uma subalgebra de Cartan, entao πih e de Cartanem cada uma das componentes.

7. Sejam φ um automorfismo e h uma subalgebra de Cartan de g. Se λ e uma raizde h em g, entao λ φ−1 e raiz de h1 = φ (h) e vale a relacao φ (gλ) = gλφ.

8. Seja K um corpo algebricamente fechado e β1 e β2 bases de Kn tal que β1 6= β2

(como conjuntos e nao apenas como bases ordenadas). Se H e diagonal tanto nabase β1 quanto na base β2, entao H tem um autovalor com multiplicidade maiorque um. Qual a relacao disso com subalgebras de Cartan?

9. Seja V o subespaco

V = (a1, . . . , an) ∈ C : a1 + · · ·+ an = 0.

O subconjunto dos elementos (a1, . . . , an) tais que ai 6= aj se i 6= j e conexo. Denovo, qual a relacao disso com as subalgebras de Cartan?


10. Se no exercıcio anterior C e substituıdo por R, entao o conjunto em questao temn! componentes conexas.

11. Encontre as subalgebras de Cartan de gl (n,C).

12. Se D : g → g e uma transformacao linear nilpotente, entao faz sentido, emqualquer corpo de escalares, escrever

expD =∑k≥0

1

k!Dk

pois a soma no segundo membro e finita. Mostre que se D e nilpotente, entao De derivacao se e so se exp (tD) e automorfismo para todo t.

13. Mostre que se uma subalgebra de Cartan de g e abeliana, entao todas as demaistambem sao abelianas e, nesse caso, o centro de g coincide com a intersecao dassubalgebras de Cartan.

Capıtulo 5

Cohomologia

Neste capıtulo, serao demonstrados dois teoremas fundamentais da teoria, que sao osteoremas de decomposicao de Weyl e de Levi. O teorema de Weyl garante que todarepresentacao de dimensao finita de uma algebra de Lie semi-simples e completamenteredutıvel. Ja o teorema de decomposicao de Levi assegura que uma algebra de Liequalquer e o produto semidireto de uma subalgebra semi-simples pelo radical soluvel.O contexto em que esses teoremas devem ser colocados e o da teoria de cohomologiade algebras de Lie aonde eles sao obtidos como consequencias dos lemas de Whiteheadsobre a cohomologia de algebras semi-simples.

5.1 Definicoes

Sejam g uma algebra de Lie e ρ : g→ gl(V ) uma representacao de g no espaco vetorialV. Associados a g e V , considere os espacos An de aplicacoes multilineares alternadas,definidos da seguinte forma:

• A0 = V que e interpretado como o espaco das aplicacoes constantes fv : g→ V ,fv(X) = v.

• An, n ≥ 1 e o espaco das aplicacoes n-lineares de g em V

f : gn −→ V

que satisfazem, para toda permutacao σ de n-elementos,

f(Xσ(1), . . . , Xσ(n)) = (−1)|σ|f(X1, . . . , Xn),

onde |σ| denota o grau da permutacao σ, que e 0 ou 1 dependendo se σ e oproduto de uma quantidade par ou ımpar de permutacoes simples.

No caso em que tanto g quanto V sao de dimensao finita, An tambem e de dimensaofinita e sua dimensao e dada por

dimAn = d

(m

n

), (5.1)

123

124 Capıtulo 5. Cohomologia

onde d e a dimensao de V e m e a dimensao de g. Isso porque, ao escolher uma basede V , pode-se definir um isomorfismo entre An e (∧ng)d atraves das coordenadas doselementos de V em relacao a base dada. Uma consequencia da formula da dimensao(5.1) e que An = 0 se n ≥ m e daı que a quantidade dos espacos An e finita.

A cohomologia de g em relacao a representacao ρ e definida a partir do operadorde diferenciacao exterior dn−1 : An−1 → An, n ≥ 0, que, por sua vez, e definido pelaformula

(df)(X1, . . . , Xn) =∑

i(−1)i+1ρ(Xi)f(X1, . . . , Xi, . . . , Xn)

+∑

i,j(−1)i+jf([Xi, Xj], X1, . . . , Xi, . . . , Xj, . . . , Xn).

Nesta formula, o sımbolo significa, como e usual, que o que esta sob ele deve seromitido. Neste capıtulo, a preocupacao principal e com as cohomologias de ordembaixa que envolvem dn apenas para n ≤ 2. As expressoes de d para esses valores de nsao:

d0v(X) = ρ(X)v

se v ∈ V e X ∈ g,

d1f(X, Y ) = ρ(X)f(Y )− ρ(Y )f(X)− f([X, Y ])

se f ∈ A1 e X, Y ∈ g e

d2f(X, Y, Z) = ρ(X)f(Y, Z)− ρ(Y )f(X,Z) + ρ(Z)f(X, Y )−f([X, Y ], Z) + f([X,Z], Y )− f([Y, Z], X)

se f ∈ A2 e X, Y, Z ∈ g.Para toda f ∈ An, df ∈ An+1 e d2 = 0, isto e, dn+1dn = 0 para todo n ≥ 0. Esses

fatos nao serao mostrados aqui. Se n = 0, entao, para v ∈ V ,

d1d0v(X, Y ) = ρ(X)ρ(Y )v − ρ(Y )ρ(X)v − ρ([X, Y ])v

e, portanto, d1d0 se anula pelo fato de que ρ e uma representacao. Se f ∈ A1, entaod2d1f(X, Y, Z) e dada por uma expressao com dezoito termos que se cancelam mutua-mente pela identidade de Jacobi e pelo fato de que ρ e uma representacao.

Exemplo: Seja f : g × g → g dada pelo colchete, f(X, Y ) = [X, Y ]. Sem duvida,f ∈ A2. Tomando a representacao adjunta ρ = ad, df = 0. Esta igualdade pode serverificada diretamente (ela e equivalente a identidade de Jacobi) ou pelo fato de quef = dh onde h e a identidade de g. De fato,

dh(X, Y ) = ρ(X)h(Y )− ρ(Y )h(X)− h[X, Y ]= [X, Y ]− [Y,X]− [X, Y ]= [X, Y ]= f(X, Y )

e, portanto, df = d2h = 0. 2

5.1. Definicoes 125

Definicao 5.1 1. Cn = ker dn ⊂ An

2. Fn = im dn−1. Tem-se, pela proposicao anterior, que Fn ⊂ Cn.

3. Hn = Cn/Fn para n ≥ 1.Os elementos de Cn sao chamados de cociclos e os de Fn de cofronteiras e Hn,

n ≥ 1 sao os espacos de cohomologia da representacao. A rigor, Hn deveria ser escritocomo Hn(g, ρ) assim como An, Cn, Fn. Deve-se ressaltar que Hn e Cn se anulam sen > dim g.

Exemplos:

1. Sejam g uma algebra abeliana de dimensao finita, V = K, o corpo de escalares eρ uma representacao em V , isto e, ρ e um funcional linear em g.

Como g e abeliana,

df(X1, . . . , Xn) =n∑i=1

(−1)i+1ρ(Xi)f(X1, . . . , Xi, . . . , Xn).

Distinguem-se dois casos,

(a) ρ = 0. Neste caso, d = 0 e, portanto, Fn = 0 , Cn = An e Hn = An e suadimensao e dada por

(dim gn

).

(b) ρ 6= 0. Para encontrar o H1 neste caso, seja f = dv ∈ F1. Entao, f(X) =ρ(X)v com v ∈ K e, portanto,

F1 = f : f = vρ, v ∈ K = Kρ,

isto e, F1 e o subespaco de g∗ gerado por ρ. Seja f ∈ A1. Entao, df(X, Y ) =ρ(X)f(Y )−ρ(Y )f(X) e, portanto, f ∈ C1 se e so se ρ(X)f(Y ) = ρ(Y )f(X).Tomando Y tal que ρ(Y ) 6= 0,

f(X) =f(Y )

ρ(Y )ρ(X)

para todo X. Daı que F1 = C1 e, portanto, H1 = 0.

2. Seja g a algebra de Heisenberg com base X, Y, Z, [X, Y ] = Z. Considere arepresentacao trivial ρ = 0 unidimensional. Entao,

F1 = f : f(W ) = ρ(W )v = 0 para todo W = 0.

Quanto a C1, f ∈ C1 se e so se para todo X1, X2 ∈ g,

ρ(X1)f(X2)− ρ(X2)f(X1)− f [X1, X2] = 0


isto e, f [X1, X2] = 0 com X1 e X2 arbitrarios. Esta igualdade e equivalente af(Z) = 0. Portanto,

C1 = f : f(Z) = 0e daı que dim C1 = 2 e, como H1 = C1, dimH1 = 2.

Quanto a H2, se f ∈ A2, para encontrar df e suficiente encontrar df(X, Y, Z). Oqual, por sua vez, e dado por

df(X, Y, Z) = −f([X, Y ], Z) + f([X,Z], Y )− f([Y, Z], X)= −f(Z,Z)= 0

e daı que C2 = A2. Para encontrar F2, seja β ∈ F2. Entao, β(X1, X2) =f [X1, X2] para algum f ∈ A1. Como [X1, X2] e um multiplo de Z, conclui-se queβ e um multiplo de γ onde

γ(X1, X2) = f0[X1,X2],

sendo que f0(X) = f0(Y ) = 0 e f0(Z) = 1. Daı que dimF2 = 1 e, portanto,dimH2 = 2.

Ja H3 = A3 cuja dimensao e 1. Isso porque F3 = 0, pois d2 = 0, como foiverificado acima, e C3 = A3, pois d3 = 0, ja que A4 = 0.

3. Seja g = sl(2,R) e ρ a representacao trivial de dimensao um. Usando a baseX,H, Y de sempre,

• d0v(·) = ρ(·)v = 0.

• d1f(X,H) = −f [X,H] = 2f(X).

d1f(X, Y ) = −f [X, Y ] = −f(H).

d1f(H,Y ) = −f [H, Y ] = 2f(Y ).

Dessas igualdades, tira-se que dimF2 = 3 = dimA2, isto e, F2 = A2. Defato, variando f na base α, β, γ dual de X,H, Y , df percorre a baseα ∧ β, α ∧ γ, β ∧ γ de ∧2g.

• d2 = 0 pois

d2f(X,H, Y ) = −f([X,H], Y ) + f([X, Y ], H)− f([H, Y ], X)= 2f(X, Y ) + 2f(Y,X)= 0.

• d3 = 0 pois A4 = 0.

Dessas observacoes sobre d, tira-se que H1 = 0, H2 = 0, H3 = A3 e Hn = 0 paran ≥ 4.

O fato de que H1 e H2 se anulam sera generalizado logo mais para representacoesarbitrarias de algebras semi-simples quaisquer, como e o caso de sl(2,R).

5.1. Definicoes 127

4. Sejam W um espaco vetorial e h ⊂ gl(W ) uma subalgebra de Lie e considereo espaco vetorial V = h ⊕W . Seja g = W visto como algebra abeliana. Sejatambem ρ a representacao de g em V dada por

ρ(u)(A, v) = (0, Au) u ∈ W,A ∈ h, v ∈ W. (5.2)

O fato de ρ ser uma representacao segue das igualdades

ρ[u, v] = 0, pois g e abeliana

e[ρu, ρv](A,w) = (ρu)(ρv)(A,w)− (ρv)(ρu)(A,w)

= (ρu)(0, Av)− (ρv)(0, Au)= 0,

pois ρ(u)(0, w) = 0.

Para encontrar H1 desta representacao, seja f : W → h ⊕ W = V e escrevaf = (f1, f2) com f1 : W → h e f2 : W → W. A partir dessa decomposicao doselementos de A1, vale a seguinte decomposicao de A1: definindo

A11 = f ∈ A1 : f1 = 0 = gl(W )

eA1

2 = f ∈ A1 : f2 = 0 = L(W, h)

EvidentementeA1 = A1

1 ⊕A12.

Com esta decomposicao, fica possıvel encontrar d:

Para d0, seja f = (A, v) ∈ V = h⊕W . Entao,

(d0f)(u) = ρ(u)(A, v) = (0, Au) A ∈ h, u ∈ W.

Portanto, F1 ⊂ A11 e, como A ∈ h, F1 = h ⊂ gl(W ).

Para d1, tome em primeiro lugar f ∈ A11. Entao,

(d1f)(u, v) = ρ(u)f(v)− ρ(v)f(u) = 0,

pois tanto f (u) quanto f(v) sao da forma (0, ∗) e ρ(u) ou ρ(v) se anula quandoaplicado num elemento deste tipo. Isso mostra que A1

1 ⊂ C1 e, como F1 ⊂ A11, a

primeira cohomologia se decompoe como

H1 = (A11/F1)⊕ (A1

2 ∩ C1).

O quociente que aparece no primeiro termo desta soma e gl(W )/h (quociente deespacos vetoriais) e, portanto, e dado juntamente com h. De fato, A1

1 = gl(W ) eF1 = h, como ja foi visto. Ja a segunda parcela da soma e dada pelos cociclos


em A12. Para encontra-los, tome f ∈ A1

2. Entao, f = (f1, 0) com f1 : W → h.Tem-se,

d1f(u, v) = ρ(u)(f1(v), 0)− ρ(v)(f1(u), 0)= f1(v)u− f1(u)v

(5.3)

e, portanto,

C1 ∩ A12 = f : W → h : f(u)v = f(v)u todo u, v.

Se h e uma subalgebra de gl(W ), o espaco das aplicacoes f : W → h que saocociclos, como em (5.3), e denominado de prolongamento de h e e denotado porh(1). A cohomologia H1, da representacao (5.2), e, portanto, (gl (W ) /h)⊕ h(1).

Eis alguns exemplos de prolongamentos

(a) Seja h = so(n,R) ∈ gl(Rn). Entao, h(1) = 0. De fato, sejam f ∈ h(1) eu, v, w ∈ Rn. Entao, se 〈·, ·〉 denota o produto interno canonico,

〈f(u)v, w〉 = −〈v, f(u)w〉 = −〈v, f(w)u〉= 〈f(w)v, u〉 = 〈f(v)w, u〉= −〈w, f(v)u〉 = −〈w, f(u)v〉

e daı que 〈f(u)v, w〉 = 0 para todo u, v, w e, consequentemente, f = 0.

(b) Da mesma forma, pode-se verificar que (so(p, q))(1) = 0. 2

5.2 Interpretacoes de H1 e H2

Em geral, o anulamento de algum dos espacosHn esta ligado, de uma forma ou de outra,a existencia de complementares de subespacos em espacos de representacoes. Comosera visto adiante, esta relacao entre a cohomologia e a existencia de complementares eo que permitira demonstrar dois resultados bastante uteis que sao o teorema de Weyl,que garante a redutibilidade completa das representacoes de algebras semi-simples, e oteorema de Levi, que decompoe uma algebra arbitraria como soma direta de seu radicalsoluvel e uma algebra semi-simples.

5.2.1 Existencia de complementares e H1

Sejam ρ uma representacao de g em V, de dimensao finita, e W um subespaco de Vque seja invariante por g. Seja tambem P o conjunto das projecoes de V cuja imageme W. Isto e,

P = P ∈ gl(V ) : P 2 = P e imP = W.

O nucleo de cada projecao P ∈ P e um subespaco complementar a W , pois onucleo e a imagem de uma projecao sao complementares. Reciprocamente, dada umadecomposicao V = W ⊕W ′, a aplicacao v = v1 +v2 ∈ V 7→ v1 ∈ W , com v1 ∈ W e v2 ∈W ′, define uma projecao com nucleo W ′ e imagem W . Portanto, os complementares

5.2. Interpretacoes de H1 e H2 129

W ′ de W sao descritos pelas projecoes com imagem em W . Um complementar W ′

e invariante se e so se a projecao correspondente comuta com todos os elementos daimagem de ρ: [ρ(X), P ] = 0 para todo X ∈ g. De fato, tome v ∈ kerP e X ∈ g. Entao,Pρ(X)v = ρ(X)Pv + [P, ρ(X)]v = 0 e, portanto, ρ(X)v ∈ kerP se [ρ(X), P ] = 0e kerP e invariante. Por outro lado, a mesma igualdade mostra que [ρ(X), P ]v = 0se kerP e invariante. Alem do mais, se w ∈ W,Pw = w e ρ(X)w ∈ W e daı que[ρ(X), P ]w = 0, o que mostra que [ρ(X), P ] = 0. Algebricamente, portanto, a existenciade um complementar invariante e descrito pela comutatividade da projecao com oselementos da algebra. Essa comutatividade tem uma interpretacao cohomologica daseguinte forma:

O conjunto P das projecoes sobre W e um subespaco afim do espaco dos endo-morfismos de V. Seu subespaco vetorial paralelo e o espaco das transformacoes cujaimagem e W e que se anulam em W

E = T ∈ gl (V ) : T (W ) = 0 e T (V ) ⊂ W.

Para ver isso, tome P,Q ∈ P . Entao, P e Q coincidem em W e, portanto, P −Q seanula em W e como a imagem esta em W , P −Q ∈ E . Isso mostra que P esta contidonum subespaco afim paralelo a E . Por outro lado, dados P ∈ P , T ∈ E , P + T ∈ P ,pois sua imagem esta em W , como segue direto das definicoes, sua restricao W e aidentidade pelo fato de T se anular em W e

(P + T )2 = P 2 + PT + TP + T 2 = P + T,

pois P 2 = P , T 2 = 0, TP = 0 e PT = T , como decorre do fato de que a imagem de Testa contida em W e a restricao de P a W e a identidade.

Em suma, para qualquer projecao P ∈ P , P = P + E . Dessa forma, os subespacoscomplementares a W sao descritos pelos elementos de E tao logo uma projecao P0 ∈ Pfor fixada.

Voltando a questao da existencia de complementares invariantes, fixando P0 ∈ P ,e tomando T ∈ E , o subespaco complementar associado a P = P0 + T e invariante see so se [ρ(X), P ] = 0 para todo X ∈ g o que, por sua vez, ocorre se e so se

[ρ(X), T ] = [ρ(X),−P0] (5.4)

para todo X ∈ g. Por outro lado, esta igualdade pode ser interpretada como sendo aigualdade que garante que um certo cociclo de uma representacao de g em E e umacofronteira, isto e, como uma igualdade cohomologica. De fato, seja ρ : g → gl(E) aaplicacao dada por

ρ(X)T = [ρ(X), T ].

Esta aplicacao define uma representacao de g em E . De fato, ρ e nada mais nadamenos que a restricao a E da composta da representacao adjunta de gl (V ) pela repre-sentacao ρ. O fato de que essa restricao e possıvel e devido a que E e invariante pelasadjuntas de ρ (X), X ∈ g, ja que a imagem da aplicacao

ρ (X)T − Tρ (X)


e um subespaco contido em W , e o nucleo dessa aplicacao contem W , pois este subes-paco e invariante por ρ (X).

Uma vez tendo esta representacao, a igualdade (5.4) se interpreta da seguinte ma-neira. O primeiro membro e nada mais nada menos que ρ(X)T, isto e, dT. Ja o segundomembro e f(X) onde f : g → E e dada por f(X) = [ρ(X),−P0]. Essa f e linear e,portanto, um elemento de A1. Mais que isso, f e um cociclo ja que

df(X, Y ) = ρ(X)f(Y )− ρ(Y )f(X)− f [X, Y ]= [ρ(X), [ρ(Y ),−P0]]− [ρ(Y ), [ρ(X),−P0]]− [[ρ(X), ρ(Y )],−P0]= 0

pela identidade de Jacobi em gl (E).Em suma, o subespaco complementar associado a T e invariante se dT coincide com

o cociclo f(X) = [ρ(X),−P0].Para verificar, entao, se o subespaco invariante W admite ou nao complementar

invariante e suficiente verificar se um determinado cociclo e ou nao uma cofronteira.O interessante desta afirmacao esta no fato de que se a representacao ρ tem H1 = 0,

entao W admite subespaco invariante complementar. Isso merece ser destacado.

Proposicao 5.2 Com as notacoes acima, W admite subespaco invariante complemen-tar no caso em que H1(g, ρ) = 0.

Vai ser mostrado adiante que se g e semi-simples, entao, para todas suas repre-sentacoes de dimensao finita, H1 = 0. Isso, juntamente com a proposicao anterior,garante que as representacoes de dimensao finita de algebras semi-simples sao comple-tamente redutıveis.

5.2.2 Extensoes abelianas e H2

Uma extensao da algebra de Lie g consiste de uma algebra g juntamente com umhomomorfismo sobrejetor π : g→ g. Em outras palavras, uma extensao de g e qualqueralgebra que admite g como quociente g ≈ g/ kerπ. Uma das perguntas principais quese faz sobre as extensoes de g e a da existencia ou nao de uma subalgebra h ⊂ g talque h ≈ g e g = ker π ⊕ h. Isto e, se g pode ou nao ser realizada como subalgebrade g. Deve-se observar que esta realizacao e possıvel no caso em que g e um produtodireto em que um dos fatores e isomorfo a g. Nesse caso, g se realiza em g nao apenascomo subalgebra mas como um ideal de g. Essa questao de realizar um quociente naalgebra e levantada com o intuito de decompor a extensao g. Uma situacao em queuma tal decomposicao vai aparecer adiante e o caso do quociente g ≈ g/r(g) da algebrag pelo seu radical soluvel. A possibilidade de realizar g em g fornece o teorema dedecomposicao de Levi, que garante que uma algebra arbitraria pode ser escrita comode soma de seu radical por uma algebra semi-simples.

Nao serao consideradas aqui extensoes arbitrarias, mas apenas extensoes abelia-nas, isto e, extensoes para as quais kerπ e um ideal abeliano de g. O teorema dedecomposicao de Levi pode ser reduzido a extensoes deste tipo.


Para olhar a realizacao de g na extensao abeliana de dimensao finita g, a primeiraobservacao que se faz e que os subespacos de g complementares a kerπ sao descritospelas secoes σ : g → g que sao as transformacoes lineares que satisfazem πσ = 1.De fato, dado um subespaco W ⊂ g, complementar a kerπ, a restricao de π a W einversıvel e sua inversa define uma secao de g em g. Vice-versa, a imagem de umasecao e um subespaco que complementa kerπ, ja que σ e injetora (por admitir inversaa esquerda) e sua imagem intercepta kerπ apenas na origem.

Denote por V o nucleo de π.Com o objetivo de descrever os complementares que sao subalgebras em termos de

σ, considera-se a aplicacao fσ : g× g→ V dada por

fσ(X, Y ) = [σX, σY ]− σ[X, Y ].

O fato de que fσ, definida dessa forma, assume valores em V , e devido a que

πfσ(X, Y ) = π[σX, σY ]− πσ[X, Y ] = 0.

Esta igualdade permite provar que as afirmacoes abaixo sao equivalentes.

i) fσ = 0.

ii) σ e homomorfismo.

iii) A imagem de σ e uma subalgebra.

De fato, a equivalencia entre i) e ii) e imediata. Ja iii) e consequencia de ii) pelofato de que a imagem de um homomorfismo e uma subalgebra. Por outro lado, sea imagem de σ e subalgebra, o segundo membro na definicao de fσ pertence a essaimagem e, portanto, e necessariamente nulo.

Em vista disso, a questao de encontrar um complementar que e subalgebra se reduza questao de encontrar uma secao σ tal que fσ = 0.

Agora, dada uma secao σ, todas as outras secoes sao descritas como σ′ = σ − ponde p : g → V e uma transformacao linear arbitraria. De fato, dada uma secao σ′,σ′ − σ assume valores em V pois π(σ′ − σ) = πσ′ − πσ = 0 e, portanto, σ′ = σ − pcom p = σ − σ′. Vice-versa, σ − p e uma secao, pois π(σ − p) = πσ = 1. A existenciade complementar que e subalgebra se garante mostrando que fσ e uma cofronteira daseguinte representacao de g em V : seja ρ : g→ gl(V ) definida por

ρ(X)v = [σ(X), v]

onde o colchete e tomado em g. Observe que ρ(X)v ∈ V , pois V e um ideal de g.Entao, ρ define uma representacao, pois

ρ[X, Y ]v = [σ[X, Y ], v]= [σ[X, Y ] + [σX, σY ]− σ[X, Y ], v],


ja que [σX, σY ]− σ[X, Y ] ∈ V e V e uma algebra abeliana. Daı que

ρ[X, Y ] = [[σX, σY ], v]= [ρX, ρY ]v

e, portanto, ρ e um homomorfismo (a definicao dessa representacao independe da secaoσ fixada pois [σ′(X) − σ(X), v] = 0 ja que V e uma algebra abeliana). Voltando afσ, ela e claramente anti-simetrica. Alem do mais, ela e um cociclo da representacao ρpois

dfσ(X, Y, Z) = [σX, [σY, σZ]]− [σY, [σX, σZ]] + [σZ, [σX, σY ]]−[σ[X, Y ], σZ] + [σ[X,Z], σY ]− [σ[Y, Z], σX]−[σX, σ[Y, Z]] + [σY, σ[X,Z]]− [σZ, σ[X, Y ]]+σ[[X, Y ], Z]− σ[[X,Z], Y ] + σ[[Y, Z], X]

e esta expressao se anula da seguinte forma: os tres primeiros e os tres ultimos pelaidentidade de Jacobi e os seis intermediarios se cancelam dois a dois. Suponha quealem de cociclo, fσ seja uma cofronteira (o que ocorre se H2(ρ) = 0). Entao, fσ = dppara algum p : g→ V . Tome a secao σ′ = σ − p. Entao, por ser V algebra abeliana,

fσ′(X, Y ) = fσ(X, Y )− ([σX, pY ]− [σY, pX]− p[X, Y ])= fσ(X, Y )− dp(X, Y )= 0

e σ′ esta associada a uma subalgebra complementar de ker π. Daı que

Proposicao 5.3 Com as notacoes acima, suponha que H2 da representacao ρ de g emV se anule. Entao, existe uma subalgebra h ⊂ g tal que g = kerπ ⊕ h.

5.2.3 Representacoes afins

A algebra afim af(V ) do espaco vetorial V e a algebra que tem por espaco subjacenteo produto gl(V )× V , sendo que o colchete e dado por

[(A, v), (B,w)] = ([A,B], Aw −Bv) A,B ∈ gl(V ); v, w ∈ V.

Isso significa que af(V ) e o produto semi-direto de gl(V ) por V , dado pela repre-sentacao canonica.

Seja g uma algebra de Lie. Uma representacao afim de g em V e um homomorfismoα : g→ af(V ). Escrevendo α em coordenadas como α(X) = (ρ(X), v(X)) com ρ : g→gl(V ) e v : g → V aplicacoes lineares, a condicao para que α seja um homomorfismovem das igualdades

α[X, Y ] = (ρ[X, Y ], v[X, Y ])

e[αX,αY ] = [(ρ(X), v(X)), (ρ(Y ), v(Y ))]

= ([ρ(X), ρ(Y )], ρ(X)v(Y )− ρ(Y )v(X)).


Daı que α e uma representacao afim se, e so se, ρ[X, Y ] = [ρX, ρY ], isto e, ρ e umarepresentacao linear usual e

v[X, Y ] = ρ(X)v(Y )− ρ(Y )v(X).

Essa igualdade, por sua vez, e equivalente a

ρ(X)v(Y )− ρ(Y )v(X)− v[X, Y ] = 0,

o que significa que v e um cociclo para ρ. Portanto, uma representacao afim consistede um par formado por uma representacao linear e por um cociclo da representacao.Nesse sentido, e possıvel distinguir representacoes afins equivalentes por intermedio daprimeira cohomologia da representacao linear ρ.

Duas representacoes afins, α1, α2 : g → af(V ), sao equivalentes se existe um auto-morfismo ψ de af (V ) tal que α1 (X) = ψ (α2 (X)). Os automorfismos de af (V ) sao daforma

ψ (A, v) =(PAP−1, Pv − PAP−1a

)com P : V → V linear inversıvel e a ∈ V (veja o exercıcio 3, ao final do capıtulo).Portanto, escrevendo as representacoes em coordenadas como αi = (ρi, vi), as repre-sentacoes sao equivalentes se, e so se, existem P e a tal que para todo X ∈ g,

ρ1(X) = Pρ2(X)P−1

v1(X) = Pv2(X)− Pρ2(X)P−1a.

Essas condicoes ocorrem se, e so se, ρ1 e ρ2 sao equivalentes como representacoeslineares e v1 e Pv2 sao cociclos cohomologos para ρ1, uma vez que o ultimo termo dasegunda igualdade e uma co-fronteira (Observe que Pv2 e tambem um cociclo paraρ1.) Isso permite distinguir as representacoes afins atraves da primeira cohomologiadas representacoes lineares.

Em primeiro lugar a equivalencia das representacoes lineares e condicao necessariapara a equivalencia das representacoes afins. O que leva a considerar o caso em queρ1 = ρ2 = ρ. Nesse caso, dois cociclos v1 e v2 definem representacoes afins equivalentesse, e so se, existe P com ρ (·) = Pρ (·)P−1 tal que v1 e Pv2 sao cohomologos. Emparticular, se H1 (ρ) = 0, entao todas as representacoes afins com parte linear ρ saoequivalentes entre si e equivalentes a propria ρ, que corresponde ao cocilo nulo.

Em geral, deve-se conhecer o grupo das transformacoes P que comutam com aimagem de ρ e olhar suas orbitas em H1 (ρ) ou, mais precisamente, no espaco projetivode H1 (ρ). Isso se da da seguinte forma: seja Gl (V ) o conjunto das transformacoeslineares inversıveis P : V → V e denote por

Z (ρ) = P ∈ Gl (V ) : ∀X ∈ g, Pρ (X)P−1 = ρ (X)

o centralizador de ρ (g) em Gl (V ). Valem as seguintes propriedades:

1. Z (ρ) e um grupo.


2. Z (ρ) contem o subgrupo das transformacoes escalares P = xid, x ∈ K,, x 6= 0.

3. Se α ∈ An e P ∈ Z (ρ), entao Pα e um novo elemento de An e essa expressaodefine acoes de Z (ρ) em cada um dos espacos An.

4. Um calculo direto, usando a comutatividade Pρ (X) = ρ (X)P , mostra quednPα = Pdnα. Essa igualdade garante que tanto Cn = ker dn quanto Fn =im dn−1 sao invariantes por cada P ∈ Z (ρ). Portanto, cada P ∈ Z (ρ) induz umaaplicacao linear em Hn (ρ), o que define uma acao de Z (ρ) em Hn (ρ).

5. Denote por PH1 (ρ) o espaco projetivo de H1 (ρ), isto e, o conjunto das retaspassando pela origem deH1 (ρ), e por af (ρ) o conjunto das classes de equivalenciade representacoes afins cuja parte linear e ρ. Entao, existe uma aplicacao bemdefinida f : PH1 (ρ) → af (ρ), que a reta r ∈ PH1 (ρ) associa a representacaoafim definida por 1–cociclo que representa qualquer gerador de r. A aplicacaoe bem definida, pois dois cociclos determinam representacoes afins equivalentesse eles sao cohomologos ou se um e multiplo do outro (pois Z (ρ) contem astransformacoes escalares).

6. A aplicacao f : PH1 (ρ) → af (ρ) satisfaz a igualdade f (r1) = f (r2) se, e so se,existe P ∈ Z (ρ) tal que r2 = P (r1). Isso vem do fato de que dois cociclos naonulos v1 e v2 definem representacoes afins equivalentes se, e so se, existe P ∈ Z (ρ)tal que v1 e Pv2 sao cohomologos.

Em suma,

Proposicao 5.4 O conjunto das classes de equivalencia das representacoes afins cujaparte linear e ρ esta em bijecao com o conjunto das orbitas de Z (ρ) em PH1 (ρ) jun-tamente com 0, que corresponde a propria ρ.

Por exemplo, suponha que ρ seja irredutıvel e o corpo dos escalares seja algebri-camente fechado. Entao, pelo lema de Schur, Z (ρ) e o conjunto das transformacoesescalares. Portanto, o conjunto das classes de equivalencia das representacoes afinsesta em bijecao com PH1 (ρ) ∪ 0.

5.3 Lemas de Whitehead

Os lemas a que se refere o tıtulo desta secao, estao embutidos no seguinte teorema. Oplural e para cada uma das cohomologias H1 e H2.

Theorem 5.5 Sejam g uma algebra de Lie semi-simples de dimensao finita e ρ umarepresentacao de g em V tambem de dimensao finita. Entao H1(ρ) e H2(ρ) se anulam.

A demonstracao deste teorema e feita em duas partes; uma para cada um dosespacos de cohomologia.

5.3. Lemas de Whitehead 135

Para H1, seja ρ a representacao canonica de g em A1, vista como subespaco deV ⊗ g∗. Para f ∈ A1, e X ∈ g, ρ(X)f e dada por

(ρ(X)f)(Y ) = ρ(X)f(Y )− f [X, Y ].

O objetivo e mostrar que C1 = F1, sendo que esses dois espacos sao subespacosde A1, isto e, do espaco da representacao de ρ. Seja f ∈ C1. Uma comparacao entreas expressoes de ρ(X)f e df mostra que ρ(X)f(Y ) = ρ(Y )f(X). De onde se tiraque ρ(X)f = d(f(X)) e, portanto, que ρ(X)f e uma cofronteira. Isso significa queρ(X)C1 ⊂ F1 para todo X ∈ g. Como F1 ⊂ C1, isso mostra que C1 e invariante porρ. Denote por ρ a restricao de ρ a C1. O fato de que ρ(X)C1 ⊂ F1, para todo X ∈ g,mostra que ∑

X∈g

im ρ(X) ⊂ F1.

Por outro lado, foi mostrado no capıtulo 3 (veja proposicao 3.20) que, para qualquerrepresentacao de uma algebra semi-simples, a soma das imagens dos elementos de gcomplementa a intersecao de seus nucleos. Em particular para ρ,

C1 =⋂X∈g

ker ρ(X) ⊕∑X∈g

im ρ(X).

Como o segundo termo do segundo membro desta expressao esta contido em F1, paramostrar entao que F1 = C1, e suficiente mostrar que

⋂X∈g ker ρ(X) = 0.

Seja entao f ∈ C1 tal que ρ(X)f(Y ) = 0 para todo X, Y ∈ g. Entao, para todoX, Y ∈ g, ρ(Y )f(X) = 0, o que fornece, invertendo as posicoes de X e Y , que f [X, Y ] =0 para todo X, Y ∈ g. Isto e, f se anula no derivado g′ de g. Como g e semi-simples,g′ = g o que mostra que f = 0 concluindo que H1 = 0.

Antes de passar ao segundo lema, deve-se observar que o anulamento de H1 mos-tra de imediato o teorema de decomposicao de Weyl e, portanto, que o espaco V dequalquer representacao ρ de g se decompoe em soma direta como

V =⋂X∈g

ker ρ(X)⊕∑X∈g

im ρ(X)

(veja o corolario 5.7 na proxima secao).Considerando agora H2, seja, da mesma forma, ρ a representacao canonica de g em

A2 visto como subespaco de V ⊗∧2 g∗. De maneira explıcita, ρ e dada por

(ρ(X)f)(Y, Z) = ρ(X)f(Y, Z)− f([X, Y ], Z)− f(Y, [X,Z]).

Como no caso da primeira cohomologia, ρ(X)f ∈ F2 se f e um cociclo. De fato,neste caso ρ(X)f = dfX onde fX(Y ) = f(X, Y ), como pode ser verificado diretamentea partir da formula da diferencial exterior. Portanto, ρ(X)C2 ⊂ F2 o que mostra, emparticular, que C2 e invariante por ρ. Denotando por ρ a restricao de ρ a C2, valetambem que ∑

X∈g

im ρ(X) ⊂ F2.


Portanto, para concluir que C2 = F2 e suficiente, da mesma maneira, mostrar que⋂X∈g ker ρ(X) ⊂ F2 pois

C2 =⋂X∈g

ker ρ(X) ⊕∑X∈g

im ρ(X).

Seja entao f ∈ C2 tal que para todo X, Y, Z ∈ g, ρ(X)f(Y, Z) = 0. O que se deseja emostrar que f ∈ F2, isto e, f = dg para algum g ∈ A1.

Para isso, sera usada a primeira parte do teorema. Para X ∈ g, seja fX(Y ) =f(X, Y ).

Evidentemente, fX ∈ A1. Tem-se, alem do mais, que fX ∈ C1. De fato, a partirdas definicoes, ve-se de imediato que

df(X, Y, Z) = ρ(X)f(Y, Z)− dfX(Y, Z)

e, como f e um cociclo, dfX = 0. Como H1 = 0 pela primeira parte, fX ∈ F1 paratodo X ∈ g.

Portanto, dado X, existe v(X) ∈ V tal que fX = d(v(X)), isto e,

f(X, Y ) = ρ(Y )v(X) para todo X, Y ∈ g.

A ideia agora e mostrar que

a) pode-se escolher v(X) de tal forma que X 7→ v(X) e linear, isto e, v ∈ A1 e que

b) v satisfaz a igualdade ρ(X)v(Y ) = v[X, Y ] para todo X, Y .

Essas afirmacoes implicam, por um lado, que

dv(X, Y ) = ρ(X)v(Y )− ρ(Y )v(X)− v[X, Y ]= −v[X, Y ]

por (b). Por outro lado,f(X, Y ) = ρ(Y )v(X)

= −v[X, Y ].

Portanto, f = d (−v).Para mostrar as duas afirmacoes acima sobre v, tome todas as permutacoes cıclicas

de ρ(X)f(Y, Z). Entao,

0 = ρ(X)f(Y, Z) = ρ(X)f(Y, Z)− f([X, Y ], Z)− f(Y, [X,Z])0 = ρ(Z)f(X, Y ) = ρ(Z)f(X, Y )− f([Z,X], Y )− f(X, [Z, Y ])0 = ρ(Y )f(Z,X) = ρ(Y )f(Z,X)− f([Y, Z], X)− f(Z, [Y,X]).

Somando essas tres igualdades e levando em conta que df = 0, chega-se a

f([X, Y ], Z)− f([X,Z], Y ) + f([Y, Z], X) = 0

5.4. Teoremas de Weyl e Levi 137

que, substituindo na expressao de ρ(X)f(Y, Z), mostra que

ρ(X)f(Y, Z) = ρ(X)f(Y, Z)− f(X, [Y, Z]).

Portanto,ρ(X)f(Y, Z) = f(X, [Y, Z]). (5.5)

Com esta igualdade e possıvel mostrar as propriedades de v enunciadas acima. Paraisso, a primeira observacao que se faz e que, como g′ = g, todo elemento de g pode serescrito como combinacao linear de colchetes e, portanto, f assume valores em

VI =∑X∈g

im ρ(X).

Porem, este subespaco e invariante por ρ, definindo uma representacao de g. Comof assume valores neste espaco, ela pode ser vista como um cocadeia para a repre-sentacao de g em VI . Essa cocadeia e, na verdade, um cociclo, como pode ser visto,considerando df como aplicacao a valores em VI . Assim, da mesma forma que acima,o anulamento da primeira cohomologia garante que v(X) pode ser escolhido em VI .Agora, suponha que existam v1, v2 ∈ VI tais que f(X, Y ) = ρ(Y )v1 = ρ(Y )v2 paratodo Y ∈ g. Entao, v1−v2 ∈ VN =

⋂X∈g ker ρ(X) e, como VI∩VN = 0, isso mostra que

v(X) e escolhido de maneira unica em VI . Dessa unicidade, tira-se de maneira imediataa linearidade de X 7→ v(X) ∈ VI , mostrando a primeira das afirmacoes acima.

Juntando agora (5.5) com o fato de que fX = d (v(X)), obtem-se

ρ (X) ρ (Y ) v (Z) = ρ (X) f (Z, Y )= f (X, [Z, Y ])= f ([Y, Z], X)= ρ (X) (v[Y, Z]) .

Isso implica que

ρ(X)(ρ(Y )v(Z)− v[Y, Z]) = 0 para todo X, Y, Z ∈ g.

Portanto, ρ(Y )v(Z) − v[Y, Z] ∈ VN para todo Y, Z. Usando novamente a transversa-lidade de VI com VN , chega-se a que ρ(Y )v(Z) = v[Y, Z] para todo Y, Z ∈ g, que e oque se queria mostrar.

5.4 Teoremas de Weyl e Levi

5.4.1 Teorema de decomposicao de Weyl

Theorem 5.6 Seja g uma algebra de Lie semi-simples de dimensao finita e ρ umarepresentacao de dimensao finita g em V . Entao, ρ e completamente redutıvel, isto e,V se decompoe como

V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vkcom cada Vi invariante e irredutıvel.


Esse resultado e consequencia imediata de que a primeira cohomologia de uma repre-sentacao qualquer de uma algebra semi-simples se anula e que a completa redutibilidadede ρ esta associada ao anulamento de H1 para uma representacao obtida de ρ.

Uma consequencia do teorema de decomposicao e o seguinte fato que foi utilizadona demonstracao do segundo lema de Whitehead.

Corolario 5.7 Seja ρ uma representacao de dimensao finita da algebra semi-simplesg em V . Entao,

V =⋂X∈g

ker ρ(X)⊕∑X∈g

im ρ(X).

Demonstracao: Suponha, em primeiro lugar, que ρ e irredutıvel e nao-nula. Entao,V coincide com o segundo termo do segundo membro, pois a soma das imagens doselementos de g e um subespaco invariante nao-nulo.

O caso geral sai daı, aplicando esse fato as componentes irredutıveis de V , fornecidaspela decomposicao de Weyl. A soma das componentes irredutıveis em que a representa-cao de g nao se anula coincide com as somas das imagens dos elementos de g, enquantoque ⋂

X∈g

ker ρ(X)

e o subespaco em que todos os elementos de g se anulam e, portanto, e a soma dascomponentes irredutıveis de dimensao 1 na decomposicao de Weyl. 2

5.4.2 Teorema de decomposicao de Levi

Theorem 5.8 Seja g uma algebra de Lie de dimensao finita e r(g) o seu radical soluvel.Entao, existe uma subalgebra s de g tal que g = r(g)⊕ s. Como s ≈ g/r(g), s e semi-simples.

A soma que aparece nesse enunciado e uma soma direta de subespacos de g. Elanao significa que g e o produto direto de r(g) com s. Dito de outra maneira, s nao e,em geral, um ideal de g. No entanto, a decomposicao acima exibe g como o produtosemidireto de s por r(g), com a representacao de s em r(g) sendo a representacao ad-junta. Como foi comentado no paragrafo sobre extensoes, a algebra s que complementar(g) nao e, em geral, unica. Qualquer desses complementos e chamado de componentede Levi da algebra.

A demonstracao desse teorema esta implıcita nas secoes anteriores no caso em queo radical r(g) e abeliano. De fato, nesse caso, a existencia de complementar isomorfo ag/r(g) e consequencia do anulamento da segunda cohomologia de uma representacao daalgebra quociente, que nesse caso e semi-simples. O que falta fazer entao para concluira demonstracao do teorema de Levi e mostrar o procedimento para reduzir o caso geralao caso em que o radical e abeliano.

A algebra derivada r(g)′ de r(g) e um ideal de g e o radical de g/r(g)′ e isomorfoa r(g)/r(g)′ e e, portanto, abeliano. Os resultados anteriores se aplicam a g/r(g)′ e

5.5. Algebras redutıveis 139

daı que existe uma subalgebra s0 tal que g/r(g)′ = (r(g)/r(g)′) ⊕ s0. Denote porπ : g → g/r(g)′ a projecao canonica e seja q = π−1(s0). Essa subalgebra de g contemr(g)′ e q/r(g)′ e isomorfo a s0. No entanto, s0 e semi-simples e como r(g)′ e soluvel,esta ultima e o proprio radical soluvel de q. Agora, existem duas possibilidades: ser(g)′ e abeliano, entao q se decompoe como q = r(g)′ ⊕ s e s e isomorfo a s0 que ecomplementar a r(g)/r(g)′, de onde se tira que s e complementar a r(g), mostrando oteorema. Ja no caso em que r(g)′ nao e abeliano, repete-se o procedimento tomandoq no lugar de g. Como r(g)(n) = 0 para algum n, o processo de inducao termina emalgum momento.

5.5 Algebras redutıveis

Uma algebra de Lie g e dita redutıvel se ela pode ser escrita como

g = s⊕ z(g),

onde z(g) e o centro de g e s e semi-simples. Em outras palavras, uma algebra e redutıvelse o seu radical e abeliano e a componente semi-simples na decomposicao de Levi eum ideal. Essas algebras surgem nas representacoes irredutıveis: como sera provadologo mais, uma subalgebra de transformacoes lineares e redutıvel se sua representacaocanonica for irredutıvel. Antes disso, e conveniente acrescentar as seguintes informacoesadicionais sobre algebras derivadas.

Proposicao 5.9 Seja g uma algebra de Lie de dimensao finita e g = r(g) ⊕ s umadecomposicao de Levi de g. Entao,

g′ ∩ r(g) = [g, r(g)].

Demonstracao: A algebra derivada g′ se escreve

g′ = [s, s]⊕ [g, r(g)]

sendo que a soma e direta pelo fato de que [s, s] ⊂ s e [g, r(g)] ⊂ r(g), de onde se tirade imediato a igualdade do enunciado. 2

Proposicao 5.10 Seja g ⊂ gl(V ) uma algebra de Lie. Entao, X e nilpotente paratodo X ∈ n = [g, r(g)].

Demonstracao: Pode-se supor, sem perda de generalidade, que o corpo de base ealgebricamente fechado. Assumindo isso, V se decompoe em subespacos de pesos den, ja que, como foi mostrado ao final do capıtulo 2, esse ideal e nilpotente por estarcontido no nil-radical de g. Pretende-se mostrar que o unico peso dessa representacao eo peso nulo. Sejam λ1, . . . , λs os pesos da representacao de n em V e Vλi os correspon-dentes espacos de pesos. Denote por ρ a representacao adjunta de g em gl(V ). Entao,


tomando uma base β de V que e a uniao de bases dos subespacos Vλi , o subespaco depeso, associado ao peso nulo de ρ, e formado pelas matrizes em relacao a β que saodiagonais em blocos, com os blocos correspondendo as bases dos subespacos Vλi . Comoa representacao adjunta de n em g e nilpotente, g esta contido no subespaco associadoao peso nulo e, portanto, seus elementos se escrevem em blocos diagonais da mesmaforma. Mas isso significa que Vλi e g-invariante para todo peso λi e, portanto, g serepresenta em cada um desses subespacos de pesos. Seja ρi essa representacao. Entao,

tr ρi(X) = λi(X) dimVλi

se X ∈ n. Mas tr ρi(X) = 0, pois X ∈ g′ e, portanto, λi(X) = 0, o que mostra que ospesos sao todos nulos. 2

Sabendo-se que as restricoes das representacoes de g a [g, r(g)] sao nilpotentes, epossıvel mostrar que no caso de representacoes irredutıveis elas se anulam.

Theorem 5.11 Seja g ⊂ gl(V ) uma subalgebra de Lie e suponha que sua representacaocanonica em V seja irredutıvel. Entao, g e redutıvel.

Demonstracao: Como a representacao de [g, r(g)] em V e nilpotente, o subespaco

W = v ∈ V : Xv = 0 para todo X ∈ [g, r(g)]

e diferente de zero. Sejam Y ∈ g, v ∈ W e X ∈ [g, r(g)]. Entao,

XY v = Y Xv + [X, Y ]v = 0

e, portanto, W e g-invariante. Como a representacao e irredutıvel e W 6= 0, conclui-seque [g, r(g)] = 0, isto e, r(g) esta no centro de g. Tomando entao uma decomposicaode Levi, ve-se de imediato que g e redutıvel. 2

Este teorema fornece o seguinte criterio: se g e uma algebra de Lie de transformacoeslineares cuja representacao canonica e irredutıvel, entao g e semi-simples se e so se ocentro de g e trivial. Em particular, se o corpo de base e algebricamente fechado, olema de Schur garante que z(g) = 0, isto e, que g e semi-simples se e so se g nao contemmultiplos da identidade.

Notas

Existe uma relacao bastante estreita entre a cohomologia de algebras de Lie, um conceito

algebrico, e a cohomologia de grupos de Lie (topologia): se um grupo de Lie e compacto,

entao sua cohomologia de De Rham coincide com a cohomologia de sua algebra de Lie na

representacao trivial (ρ = 0 em dimensao um).

A demonstracao do teorema de Weyl usando cohomologia de algebras de Lie nao e a ori-

ginal devida a H. Weyl. Originalmente, Weyl demonstrou que uma representacao de uma


algebra semi-simples complexa e completamente redutıvel utilizando o metodo denominado

de transcendental, que consiste em utilizar o truque unitario de Weyl, que associa a uma

algebra semi-simples complexa um grupo de Lie compacto (veja as formas reais compactas

no capıtulo 12); as representacoes de uma algebra semi-simples complexa coincidem com as

representacoes de um grupo compacto; e facil mostrar que representacoes de grupos compac-

tos sao completamente redutıveis, pois um grupo desses admite uma medida invariante finita

(medida de Haar) de onde se tira que seus elementos sao transformacoes ortogonais em relacao

a um produto interno no espaco da representacao. O termo transcendental e empregado para

esse metodo pela mesma razao que sao denominadas de transcendentais as funcoes reais nao

racionais como seno, cosseno, exponencial etc.; a integracao de Haar em um grupo compacto

envolve essencialmente integrais de funcoes trigonometricas. A demonstracao cohomologica

(algebrica) apresentada no texto nao se restringe ao corpo dos complexos.

Um teorema complementar ao teorema de Levi e o teorema de Malcev que descreve as compo-

nentes de Levi de uma algebra de Lie, isto e, as componentes semi-simples que complementam

o radical. O teorema de Malcev pode ser encontrado no livro de Varadrajan [46].

5.6 Exercıcios

1. A cohomologia da soma de representacoes e a soma das cohomologias. De maneiramais precisa, sejam g uma algebra e ρi, i = 1, . . . , n, representacoes de g em Vi.Escrevendo

ρ = ρ1 ⊕ · · · ⊕ ρntem-se Hk (g, ρ) ≈

∑iHk (g, ρi) para todo k. (Escreva os elementos de A em

suas componentes em cada um dos Vi).

2. Os espacos de cohomologia das representacoes nulas das algebras abelianas naosao triviais e, no entanto, todas essas representacoes sao completamente re-dutıveis.

3. Considere a algebra de Lie afim af (V ) = gl (V ) × V do espaco vetorial de di-mensao finita V . Dados P : V → V linear inversıvel e a ∈ V , verifique que atransformacao φ (A, v) = (PAP−1, Pv − PAP−1a) e um automorfismo de af (V ).

Os itens a seguir mostram que todo automorfismo ψ de af (V ) e dessa forma:

(a) Mostre que todo ideal de af (V ) contem V (= 0 × V ). (Encontre essesideais.)

(b) Mostre que ψ (V ) = V e denote por P a restricao de ψ a V .

(c) Calcule ψ[(A, 0) , (0, v)] e conclua que ψ (A, 0) = (PAP−1, θ (A)) com θ :gl (V )→ V .

(d) Mostre que θ[A,B] = PAP−1θ (B) − PBP−1θ (A) e, portanto, θ (A) =PAP−1θ (id). (Calcule ψ[(A, 0) , (B, 0)].)


4. Mostre que gl (n,K) tem uma unica componente de Levi, isto e, uma unica sub-algebra semi-simples que complementa o seu radical.

5. De exemplos de algebras que admitem mais de uma componente de Levi (consi-dere algebras reais e automorfismos da forma exp tad (X) com X no radical).

6. Seja g uma algebra de Lie e r seu radical. Mostre que [g, r] e o menor ideal i talque g/i e redutıvel.

7. Seja g uma algebra de Lie de dimensao finita e ρ uma representacao irredutıvelde g em V nao-trivial (ρ 6= 0). Mostre que⋂

X∈g

ker ρ(X) = 0 e∑X∈g

im ρ(X) = V.

Use isso para mostrar que se g e semi-simples e

V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vs

e a decomposicao em componentes irredutıveis (garantida pelo teorema de Weyl),entao

V =∑X∈g

im ρ(X)

se dimVi > 1 para todo i. Mostre tambem que, numa representacao qualquer deg,⋂X∈g ker ρ (X) e a soma das componentes irredutıveis de dimensao um:⋂

X∈g

ker ρ (X) = v ∈ V : ρ (X) v = 0 para todo X ∈ g

enquanto que∑

X∈g im ρ (X) e a soma das componentes nao-triviais de tal formaque

V =⋂X∈g

ker ρ (X)⊕∑X∈g

im ρ (X) .

De exemplo de uma representacao de uma algebra (nao semi-simples) tal que essasoma nao e direta.

8. Uma vez mostrado o teorema de Weyl, pode-se mostrar que Hk (g, ρ) = 0 paratodo k se g e semi-simples e ρ e uma representacao irredutıvel nao-trivial (ρ 6= 0).Isso pode ser feito da seguinte maneira:

(a) Os elementos de Ak sao transformacoes multilineares alternadas de gk avalores em V e, portanto, eles podem ser vistos como transformacoes linearesde∧k g a valores em V . Dessa forma, Ak e um subespaco de V ⊗

∧k g∗. Aalgebra g se representa nesse espaco por

ρ = ρ⊗ ad∗⊗ · · · ⊗ ad∗ .


Verifique que, para f ∈ Ak,

(ρ (X) f) (X1, . . . , Xk) = ρ (X) f (X1, . . . , Xk)

+ki=1 (−1)i f

([X,Xi], X1, . . . , Xi, . . . , Xk

).

(b) A formula para ρ (X) f mostra que se f ∈ Ck, entao ρ (X) f = dfX , ondefX ∈ Ak−1 e definida por

fX (X2, . . . , Xk) = f (X,X2, . . . , Xk) .

(c) O item anterior mostra que para todo X ∈ g, ρ (X) Ck ⊂ Fk ⊂ Ck e,portanto, g se representa em Ck. Denote por ρ essa representacao. Mostreque

f ∈ Ck : ρf = 0 ⊂ Fk.

9. (Demonstracao do teorema de Weyl sem cohomologia) Seja g uma algebra semi-simples e ρ uma representacao de dimensao finita de g em V .

(a) Se W ⊂ V e invariante e dimW = 1, entao a restricao de ρ a W se anula.Alem do mais, W admite um complementar invariante. (Use a decomposicaode V dada por ∩ ker ρ (X) e

∑im ρ (X) e inducao sobre dimV ).

(b) Sejam W um subespaco invariante e v1, . . . , vk uma base de W . Entao,o subespaco W k de dimensao um do k-esimo produto exterior gerado porv1 ∧ · · · ∧ vk e invariante pela representacao de g induzida por ρ.

(c) Seja F um subespaco do produto exterior complementar a W k. Denote porU o conjunto dos elementos v ∈ V tais que se w1, . . . , wk−1 sao elementosde W , entao v ∧ w1 ∧ · · · ∧ wk−1 ∈ F . Mostre que U e um subespaco de Vcomplementar a W . Mostre tambem que se F e invariante, entao U tambeme invariante. Conclua a partir daı o teorema de Weyl.

10. Mostre que g e redutıvel se e so se g′ e semi-simples.

11. Mostre que uma algebra de Lie e redutıvel se e so se o seu centro coincide com oseu radical nilpotente.

12. Seja g uma algebra de Lie sobre um corpo algebricamente fechado com radical r.Mostre que se ρ e uma representacao irredutıvel de g, entao ρ (X) e um escalar(multiplo da identidade) para todo X ∈ r.

13. Seja g uma algebra semi-simples e ρ uma representacao irredutıvel de g em V econsidere o produto semidireto h = g × V . Mostre que o centro de h e trivial,h′ = h e que h nao e o produto direto de uma algebra semi-simples por um idealsoluvel.


14. Dada uma algebra de Lie g, denote por g∞ a intersecao de suas algebras derivadas.Mostre que g/g∞ e soluvel e que (g∞)′ = g∞. Mostre tambem que g e o produtodireto de uma algebra semi-simples por uma soluvel se e so se g∞ e semi-simples.

15. Um ideal h de g e dito minimal se h 6= 0 e os unicos ideais de g contidos em hsao o proprio e 0. Mostre que para um ideal minimal h, ou h ⊂ r – e nesse casodim h = 1 – ou h ∩ r = 0 e, nesse caso, h e semi-simples.

16. Numa algebra de Lie g, considere a sequencia crescente de ideais ij definidaindutivamente por

(a) i0 = 0

(b) ij+1/ij e um ideal abeliano maximal em g/ij.

Mostre que se ip = ip+1 = · · · , entao ip e o radical soluvel de g.

17. Para uma algebra de Lie de transformacoes lineares g ⊂ gl (V ) seja U (g) a algebraassociativa gerada por g, isto e, U (g) e a algebra associativa de transformacoeslineares de V – com o produto dado pela composta – obtida tomando produtossucessivos de elementos de g. Mostre que para v ∈ V o subespaco

U (g) v = Xv : X ∈ U (g)

e invariante por g. Conclua que se g e irredutıvel, entao para cada par v, w ∈ Vexiste X ∈ U (g) tal que Xv = w.

18. Seja g uma algebra de dimensao finita e ρ uma representacao de g em V (dedimensao finita) e suponha que V admita uma decomposicao em componentesirredutıveis por ρ como

V = V1 ⊕ · · · ⊕ VsDenote por πi : V → Vi a projecao sobre Vi ao longo das demais componentes.Seja W ⊂ V um subespaco invariante e tome X ∈ W com X 6= 0. Escreva

X = X1 + · · ·+Xs

a decomposicao de X de acordo com a decomposicao acima de V . Mostre quese Xi 6= 0, entao πi(W ) = Vi. (Use o exercıcio anterior e o fato de que πi(W ) einvariante por U (g)).

19. Considere duas representacoes ρ1 e ρ2 de uma mesma algebra g. Os espacos dasrepresentacoes sao V1 e V2. Suponha que P : V1 → V2 seja um operador deintercambio entre as representacoes, isto e,

Pρ1 (X) = ρ2 (X)P X ∈ g.

Se ρ1 e irredutıvel, entao P e injetora, e se ρ2 e irredutıvel, entao P e sobre.


20. De exemplo de uma extensao abeliana π : g → g tal que ker π admite comple-mentar e, no entanto, a representacao de g em kerπ dada por secoes de π naotem H2 trivial.

21. De exemplo de uma algebra de Lie g que nao e semi-simples e que satisfaz g′ = g.

22. Mostre que se a representacao canonica de g ⊂ gl (V ) e completamente redutıvel,entao g e redutıvel.

23. Sejaso (n) = A ∈ sl (n) : A+ At

a algebra das matrizes anti-simetricas sobre um corpo K algebricamente fechado.Mostre que so (n) e semi-simples. (Uma vez verificado que a representacaocanonica de so (n) e irredutıvel, e facil verificar que as matrizes escalares naopertencem a so (n)).

24. O mesmo que o anterior substituindo so (n) por

sp (n) = A ∈ sl (2n) : AJ + JAt,

onde J e a matriz 2n× 2n escrita em blocos 2n× 2n como

J =

(0 −11 0

).

Capıtulo 6

Algebras semi-simples

Neste capıtulo, inicia-se a apresentacao da teoria de Killing e Cartan das algebrassemi-simples sobre corpos algebricamente fechados. A essencia desta teoria consistenuma analise detalhada da representacao adjunta das subalgebras de Cartan. Toda aestrutura da algebra e dada pelos colchetes entre os espacos associados aos pesos (raızes)dessa representacao. Esses colchetes, por sua vez, dependem das somas das raızescorrespondentes e essas sao completamente determinadas pelos valores que assume aforma de Cartan-Killing nas raızes. Como se vera, a forma de Cartan-Killing, restritaa uma subalgebra de Cartan (ou melhor, ao subespaco racional gerado pelas raızes), epositiva definida, ou seja, e um produto interno. Dessa forma, toda estrutura de umaalgebra semi-simples e desvendada pelas relacoes mutuas entre um numero finito deelementos em um espaco vetorial com um produto interno (sistema de raızes), sendopossıvel, a partir daı, obter uma classificacao dessas algebras. As algebras semi-simplesmais palpaveis sao as algebras sl(n). Por isso, elas serao utilizadas para ilustrar osconceitos e resultados sobre algebras semi-simples em geral. Ao longo deste capıtulo,supoe-se que o corpo de escalares K e algebricamente fechado e de caracterıstica zero.

6.1 Representacoes de sl(2)

Um dos fatos principais sobre as algebras semi-simples sobre corpos algebricamentefechados e que a toda raiz da representacao de uma subalgebra de Cartan esta associadauma subalgebra de dimensao tres isomorfa a sl(2,K). A representacao adjunta dessasubalgebra na algebra desempenha um papel fundamental na compreensao das raızese dos espacos de raızes associados a subalgebra de Cartan. Por essa razao, antes deiniciar o estudo das algebras semi-simples, e necessario fazer uma analise completa dasrepresentacoes da algebra sl(2,K), que sera denotada por sl(2) apenas. Uma base destaalgebra e X,H, Y , onde

X =

(0 10 0

)H =

(1 00 −1

)Y =

(0 01 0

).

Os colchetes entre os elementos da base sao

[H,X] = 2X [H, Y ] = −2Y [X, Y ] = H.

147

148 Capıtulo 6. Algebras semi-simples

Como sl(2) e simples, o teorema de Weyl permite reconstruir suas representacoes dedimensao finita a partir daquelas que sao irredutıveis. Seja entao ρ uma representacaoirredutıvel e de dimensao finita de sl(2) em V . Suponha que v ∈ V e um autovetor deρ(H) associado ao autovalor λ. Entao,

ρ(H)ρ(X)v = ρ[H,X]v + ρ(X)ρ(H)v= (2 + λ)ρ(X)v

e, portanto, ρ(X)v e autovetor de ρ(H) associado ao autovalor λ+ 2 se ρ(X)v 6= 0. Demaneira simetrica, se ρ(Y )v e nao-nulo, ele e um autovetor de ρ(H), mas associado aoautovalor λ− 2. A partir daı, obtem-se

ρ(H)ρ(X)kv = (λ+ 2k)ρ(X)kvρ(H)ρ(Y )kv = (λ− 2k)ρ(X)kv.

Portanto, iteracoes das acoes de ρ(X) dao origem a autovetores de ρ(H) associados aautovalores em ordem crescente, o mesmo ocorrendo com ρ(Y ), mas com autovetoresassociados a autovalores em ordem decrescente. E dessa observacao que se tira aseguinte caracterizacao das representacoes irredutıveis de sl(2).

Theorem 6.1 Seja ρ uma representacao irredutıvel de sl(2) em V com dimV = n+1.Entao, existe uma base v0, . . . , vn de V tal que para i = 0, . . . , n

ρ(X)vi = i(n− i+ 1)vi−1

ρ(H)vi = (n− 2i)viρ(Y )vi = vi+1,

(6.1)

onde v−1 = vn+1 = 0. Essas expressoes mostram que, em relacao a base dada, ρ(X)e triangular superior, ρ(H) e diagonal (com autovalores inteiros) e ρ(Y ) e triangularinferior.

Demonstracao: Seja v um autovetor de ρ(H) associado ao autovalor λ. Peloscomentarios acima, ρ(X)iv e autovetor associado ao autovalor λ + 2i se ρ(X)iv 6= 0.Como os autovetores associados a autovalores distintos sao linearmente independentese V e de dimensao finita, existe i0 ≥ 1 tal que ρ(X)i0v = 0 e ρ(X)i0−1v 6= 0. Tomandoi0 dessa forma, seja v0 = ρ(X)i0−1v. Entao, v0 e um autovetor de ρ(H), pois v0 e obtidode um autovetor de ρ(H) por aplicacoes sucessivas de ρ(X). O autovalor associado seradenotado por λ0. Fixado v0 defina, para i ≥ 1,

vi = ρ(Y )iv0.

Seja k o primeiro inteiro tal que vk+1 = 0. A existencia desse k deve-se a que V e dedimensao finita. O conjunto v0, . . . , vk e linearmente independente pois

ρ(H)vi = (λ0 − 2i)vi

6.1. Representacoes de sl(2) 149

e, portanto, e um conjunto de autovetores de ρ(H) associados a autovalores diferentes.A acao de ρ(X) nesses vetores e dada por

ρ(X)vi = i(λ0 − i+ 1)vi−1. (6.2)

Esta igualdade segue por inducao sobre i: para i = 0, ρ(X)v0 = 0 pela definicao de v0

e evidentemente o segundo membro de (6.2) se anula. Para i ≥ 1,

ρ(X)vi = ρ(X)ρ(Y )vi−1

= ρ[X, Y ]vi−1 + ρ(Y )ρ(X)vi−1.

Mas [X, Y ] = H. Portanto,

ρ[X, Y ]vi−1 = ρ(H)ρ(Y )i−1v0

= (λ0 − 2(i− 1))vi−1.

Por outro lado, o passo de inducao mostra que

ρ(Y )ρ(X)vi−1 = ρ(Y )(i− 1)(λ0 − i+ 2)vi−2

= (i− 1)(λ0 − i+ 2)vi−1.

Somando essas duas igualdades, chega-se a

ρ(X)vi = (i(λ0 − i+ 2)− i)vi−1

= i(λ0 − i+ 1)vi−1 ,

que e a expressao para ρ (X) em (6.2). Essa igualdade mostra que o espaco geradopor v0, . . . , vk e invariante por ρ(X) e como ele e claramente invariante por ρ(H) eρ(Y ), ele coincide com V , ja que a representacao e irredutıvel. Portanto, k = n e daıque para concluir a demonstracao do teorema e suficiente mostrar que λ0 = n. Por umlado,

ρ(H)vn = (λ0 − 2n)vn .

No entanto,ρ[X, Y ]vn = ρ(X)ρ(Y )vn − ρ(Y )ρ(X)vn

= −ρ(Y )(n(λ0 − n+ 1)vn−1)= −n(λ0 − n+ 1)vn

e, portanto,λ0 − 2n = −n(λ0 − n+ 1)

o que implica que λ0 = n. 2

Sobre este teorema, valem as seguintes observacoes:

1. Na demonstracao, a hipotese de que o corpo de escalares e algebricamente fechadoso foi usada para garantir a existencia de autovetores de ρ(H). Dessa forma, esuficiente que isso ocorra para que a representacao seja como no enunciado.


2. Convem ressaltar a forma da matriz de ρ(H) em relacao a base v0, . . . , vnque aparece nesse teorema. Ela e diagonal, os seus autovalores sao inteiros eformam uma progressao aritmetica decrescente de razao −2. O maior autovalor en = dimV −1 e o menor deles e−n, e todos eles tem a mesma paridade. Portanto,a dimensao da representacao fornece os autovalores de ρ(H) e, reciprocamente,os autovalores de ρ(H) determinam a dimensao da representacao irredutıvel.O fato de os autovalores de ρ(H) serem inteiros dara um carater “aritmetico”as algebras semi-simples, no sentido de que muitas de suas propriedades seraodescritas em termos de subespacos, bases etc. sobre o corpo dos racionais e naosobre o corpo de origem.

A partir do teorema anterior, e quase imediato obter a seguinte classificacao dasrepresentacoes irredutıveis de sl(2).

Theorem 6.2 Para cada n ≥ 0 existe uma unica (a menos de isomorfismo) repre-sentacao irredutıvel de dimensao n + 1 de sl(2) e essas representacoes cobrem todassuas representacoes de dimensao finita.

Demonstracao: Dado um espaco vetorial V de dimensao n+1, seja v0, . . . , vn umabase de V . Defina ρ(X), ρ(H) e ρ(Y ) pelas expressoes do teorema anterior. Entao, ρe uma representacao de sl(2) em V . Para ver isto, e suficiente verificar que a relacaoentre os colchetes e satisfeita quando eles sao avaliados nos elementos da base de V .Por exemplo,

ρ[H,Y ]vi = −2ρ(Y )vi = −2vi+1 = [ρ(H), ρ(Y )]vi

pela forma como sao definidos ρ(H) e ρ(Y ). O fato de ρ ser irredutıvel vem de que ossubespacos invariantes sao, em particular, invariantes por ρ(H). Como os autovaloresde ρ(H) sao todos distintos, os unicos subespacos invariantes sao somas de auto-espacosde ρ(H) e, pela forma como ρ(X) e ρ(Y ) foram definidos, ve-se que nao existemsubespacos invariantes proprios.

Isso mostra a existencia de representacoes irredutıveis de dimensao n + 1. Ja aunicidade e obtida definindo o isomorfismo entre duas representacoes irredutıveis demesma dimensao pela transformacao linear que faz corresponder entre si as bases cujasexistencias sao garantidas pelo teorema anterior. 2


Seja g uma algebra semi-simples sobre K e h uma subalgebra de Cartan de g. A algebrase decompoe como

g = h⊕ gα1 ⊕ · · · ⊕ gαk

com α1, . . . , αk os pesos nao-nulos da representacao adjunta de h em g. Seguindo aterminologia usual, esses pesos serao denominados raızes de h em relacao a g e o seuconjunto sera denotado por Π. Os espacos gαi serao denominados espacos de raızes.


Como o corpo e algebricamente fechado, a representacao de h dentro de cada gαi edada por matrizes da forma

ad(H) =

αi(H) ∗. . .

αi(H)

para todo H ∈ h. Alem do mais,

[gαi , gαj ] ⊂ gαi+αj .

A estrutura desta decomposicao e descrita pelos resultados apresentados a seguir.Como em capıtulos anteriores, a forma de Cartan-Killing de g sera denotada por 〈·, ·〉.

Lema 6.3 Sejam α e β dois pesos de h (raızes ou o peso nulo). Se X ∈ gα e Y ∈ gβentao,

〈X, Y 〉 = 0,

a menos que β = −α.

Demonstracao: Seja Z ∈ gγ. Entao,

ad(X)Z ∈ gα+γ

ad(Y ) ad(X)Z ∈ gα+β+γ .

Assim, tomando uma base de g adaptada a decomposicao em espacos de raızes, ne-nhum elemento da base contribui para o traco de ad(X) ad(Y ), a menos que α+β = 0,o que mostra o lema. 2

Este lema, juntamente com o fato de que a forma de Cartan-Killing nao e degene-rada, tem as seguintes consequencias interessantes.

Corolario 6.4 1. A restricao de 〈·, ·〉 a h e nao-degenerada.

2. Se α e raiz, entao −α tambem e raiz.

3. Para todo X ∈ gα existe Y ∈ g−α tal que 〈X, Y 〉 6= 0.

Demonstracao:

1. Seja H ∈ h, H 6= 0. Como 〈·, ·〉 nao e degenerada, existe X ∈ g tal que 〈H,X〉 6=0. Escrevendo

X = H1 +X1 + · · ·+Xk H1 ∈ h, Xi ∈ gαi ,

o lema anterior garante que 〈H,Xi〉 = 0 e, portanto, 〈H,H1〉 6= 0, o que mostraque a restricao nao e degenerada.


2. Seja X ∈ gα. Como existe Y ∈ g tal que 〈X, Y 〉 6= 0, o lema anterior implica queg−α 6= 0, isto e, −α e raiz.

3. De fato, se 〈X, Y 〉 = 0 para todo Y ∈ g−α, entao o lema anterior implica que〈X,Z〉 = 0 para todo Z ∈ g, o que contradiz o fato de que a forma de Cartan-Killing nao e degenerada. 2

Proposicao 6.5 Para todo H ∈ h e todo peso α, ad(H)|gα = α(H) id e as trans-

formacoes lineares ad(H), H ∈ h sao simultaneamente diagonalizaveis.

Demonstracao: A restricao de ad (H) a um subespaco de raızes e da forma

ad(H)|gα =

α(H) ∗. . .

α(H)

.

Seja a decomposicao H = HS + HN com ad(HS) semi-simples, ad(HN) nilpotente ecom H,HS e HN comutando dois a dois. Entao, ad(HS) e a parte diagonal de ad(H).Portanto, restrito a gα, ad(HN) e da forma 0 ∗

. . .

0

.

Tomando em particular α = 0 (isto e, gα = h), isso mostra que ad(HN)h ⊂ h edaı que HN ∈ h pois h e subalgebra de Cartan. Por outro lado, para todo H ′ ∈ h,ad(HN) ad(H ′) e triangular superior com zeros na diagonal. Portanto, 〈HN , H

′〉 = 0,o que mostra que HN = 0, ja que a forma de Cartan-Killing e nao-degenerada em h.Portanto, ad(H) e diagonal. 2

Proposicao 6.6 h e abeliana.

Demonstracao: Pela proposicao anterior, se H1, H2 ∈ h entao,

ad[H1, H2] = [adH1, adH2] = 0

Como a representacao adjunta e fiel, segue-se que h e abeliana. 2

Proposicao 6.7 O conjunto Π das raızes gera o dual h∗ de h, isto e, H = 0 seβ(H) = 0 para toda raiz β.


Demonstracao: Pela proposicao 6.5, ad(H) = 0 se β(H) = 0 para toda raiz β.Como o nucleo da representacao adjunta se anula, isso mostra que H = 0 se β(H) = 0para toda raiz β. 2

Antes de prosseguir, e necessario definir o correspondente a forma de Cartan-Killingno dual h∗ de h. Como 〈·, ·〉 e uma forma bilinear, ela define uma aplicacao h→ h∗ por

H 7−→ αH(·) = 〈H, ·〉.

Como a restricao da forma de Cartan-Killing a h nao e degenerada, essa aplicacao eum isomorfismo entre h e h∗. Para α ∈ h∗, sua imagem pela inversa desse isomorfismosera denotada por Hα, isto e, Hα e definido pela igualdade

〈Hα, H〉 = α(H) para todo H ∈ h.

Usando esse isomorfismo, pode-se “passar” a forma de Cartan-Killing a h∗, definindo

〈α, β〉 = 〈Hα, Hβ〉 = α(Hβ) = β(Hα)

se α e β sao funcionais lineares em h. Essa e uma forma bilinear simetrica e nao-degenerada em h∗. Ela tambem sera denominada de forma de Cartan-Killing (observeque nao foi alterada a notacao ao passar da forma em h a forma em h∗).

Pelo isomorfismo entre h e h∗ definido a partir da forma de Cartan-Killing, as raızesα ∈ Π definem um numero finito de elementos especiais Hα em h. Como o conjuntodas raızes gera h∗, o conjunto Hα : α e raiz gera h.

O seguinte lema fornece uma primeira descricao da decomposicao de g em espacosde raızes de h.

Lema 6.8 1. Se X ∈ gα e Y ∈ g−α, entao [X, Y ] = 〈X, Y 〉Hα.

2. Para todo X ∈ gα, existe Y ∈ g−α tal que [X, Y ] = Hα.

3. Sejam α e β raızes. Entao,

〈β, α〉 = qβα〈α, α〉.

com qβα racional. (Nessa igualdade α e β nao sao simetricos. E claro que〈β, α〉 = qαβ〈β, β〉, mas em geral, qαβ 6= qβα).

4. Para toda raiz α, 〈α, α〉 e um racional estritamente positivo. Portanto, 〈α, β〉 ∈ Qpara qualquer par de raızes α, β.

5. dim gα = 1 para toda raiz α.

6. Os unicos multiplos inteiros de uma raiz α que sao raızes sao α e −α.

Demonstracao:


1. O colchete [X, Y ] pertence a gα−α = h. Seja H ∈ h arbitrario. Entao,

〈H, [X, Y ]〉 = 〈[H,X], Y 〉= α(H)〈X, Y 〉= 〈X, Y 〉〈H,Hα〉= 〈H, 〈X, Y 〉Hα〉.

Como 〈·, ·〉 nao e degenerada e H e arbitrario, segue-se que [X, Y ] = 〈X, Y 〉Hα.

2. Pelo item anterior, e suficiente mostrar que dado X ∈ gα existe Y ∈ g−α com〈X, Y 〉 = 1. Seja Y ′ ∈ g−α tal que 〈X, Y ′〉 6= 0. Entao,

〈X, 1

〈X, Y ′〉Y ′〉 = 1,

o que mostra o que se deseja.

3. Seja V o subespaco de g dado pela soma direta

· · · ⊕ gβ−2α ⊕ gβ−α ⊕ gβ ⊕ gβ+α ⊕ gβ+2α ⊕ · · ·

onde se adota que gβ+kα = 0 se β + kα nao e raiz e, e claro, gβ+kα = h seβ + kα = 0. Essa soma e finita, pois existe apenas um numero finito de raızes.Sejam X ∈ gα e Y ∈ g−α com [X, Y ] = Hα, como foi garantido no item anterior.Pela definicao de V , ad(X)V ⊂ V e ad(Y )V ⊂ V . Alem do mais,

ad(Hα)|V = ad[X, Y ]|V = [adX|V , adY|V ].

Portanto,tr(ad(Hα)|V ) = 0,

ja que o traco de qualquer comutador se anula. Esta e a igualdade que, devi-damente expandida, mostra que qβα e racional. De fato, seja dk = dim gβ+kα.Entao,

tr(ad(Hα)|V ) =∑k

dk(β + kα)(Hα)

=∑k

dk(〈β, α〉+ k〈α, α〉)

= 〈β, α〉∑k

dk + 〈α, α〉∑k

kdk

= 0.

Mas∑

k dk > 0 pois d0 = dim gβ > 0. Portanto,

〈β, α〉 = −∑kdk∑dk〈α, α〉

e daı que

qβα = −∑kdk∑dk

e racional.


4. Pelo item anterior, se 〈α, α〉 = 0, entao 〈β, α〉 = 0 para toda raiz β, isto e,β(Hα) = 0 para toda raiz β, o que contradiz o fato de que o conjunto das raızesgera o dual h∗ de h. Isso mostra que 〈α, α〉 6= 0 para toda raiz α. No entanto,

〈α, α〉 = 〈Hα, Hα〉= tr(ad(Hα)2)

=∑β raiz

dββ(Hα)2,

onde dβ = dim gβ. Pela formula do item anterior,

〈α, α〉 =∑β raiz

dβq2βα〈α, α〉2

= 〈α, α〉2∑β raiz

dβq2βα .

Como 〈α, α〉 6= 0,

〈α, α〉 =1∑dβq2

βα

e um racional positivo.

5. Sejam X ∈ gα e Y ∈ g−α tais que [X, Y ] = Hα. O subespaco V gerado por Y, h e∑k≥1

gkα

e invariante por ad(X), pois [X, Y ] ∈ h e ad(X)gkα ⊂ g(k+1)α (com g0 = h).Ele e invariante tambem por ad(Y ), ja que ad(Y )gkα ⊂ g(k−1)α para k ≥ 1 e[H, Y ] = −α(H)Y para todo H ∈ h. Como Hα = [X, Y ],

tr(ad(Hα)|V ) = 0.

Mas,

tr(ad(Hα)|V ) = −α(Hα) +∑k≥1

dkkα(Hα)

= −〈α, α〉+∑k≥1

dkk〈α, α〉,

onde dk = dim gkα. Cancelando 〈α, α〉, fica

1 = d1 + 2d2 + 3d3 + · · ·

O que so e possıvel se d1 = 1 e di = 0 para i ≥ 2.

6. Pela demonstracao do item anterior, dim gkα = 0 se k ≥ 2 e daı que o unicomultiplo inteiro positivo de α que e raiz e a propria α. O mesmo argumento seaplica a −α por ser esta uma raiz. 2


Exemplo: Como foi verificado no capıtulo 4, a subalgebra h das matrizes diagonais detraco nulo e uma subalgebra de Cartan de sl(n). Para i, j = 1, . . . , n seja Eij = (ars)r,sa matriz n × n cuja unica entrada nao-nula e aij = 1. O conjunto das matrizes Eij eEii − Ejj, i 6= j e uma base de sl(n). Dado H ∈ h, pode-se escrever

H = diaga1, . . . , ancom a1 + · · ·+ an = 0 e, portanto,

ad(H)(Eij) = (ai − aj)Eij .Esta igualdade mostra que as raızes de h sao os funcionais lineares αij = λi−λj, i 6= j,onde λi e dado por

λi : diaga1, . . . , an 7−→ ai . (6.3)

e os espacos de raızes correspondentes sao os subespacos unidimensionais gerados porEij, i 6= j. Tomando H ∈ h, como em (6.3),

〈H,H〉 =∑i 6=j

(ai − aj)2 = 2∑i<j

(ai − aj)2,

que pode ser reescrito como

〈H,H〉 = 2∑i<j

(a2i + a2

j)− 4∑i<j

aiaj .

No primeiro termo do segundo membro, cada a2i e somado n − 1 vezes, ja o segundo

termo coincide com 2∑

i a2i pois

∑ai = 0. Portanto,

〈H,H〉 = 2nn∑i=1

a2i .

Esta igualdade, juntamente com a formula de polarizacao, que relaciona uma formaquadratica com a forma bilinear associada, fornece a forma de Cartan-Killing restritaa h:

〈H,H ′〉 = 2n(a1b1 + · · ·+ anbn),

onde H ′ = diagb1, . . . , bn. Devido a essa expressao,

Hαij =1

2n(Eii − Ejj)

e, portanto, os valores da forma de Cartan-Killing nas raızes sao os racionais

〈αij, αrs〉 =1

2n(δir − δis − δjr + δjs),

onde δij = 1 se i = j e 0 caso contrario. Em particular,

〈αij, αij〉 =1

n.

Os valores de 〈·, ·〉 nos elementos dos espacos de raızes sao dados por 〈Eij, Ers〉 = 0 se(r, s) 6= (j, i). Como

[Eij, Eji] = Eii − Ejj = 2nHαij ,

segue que 〈Eij, Eji〉 = 2n. 2

6.3. A formula de Killing 157

6.3 A formula de Killing

A partir do ultimo lema da secao anterior, e possıvel considerar em g subalgebrasisomorfas a sl(2): dada uma raiz α, seja h(α) o subespaco de h gerado por Hα. Entao,o subespaco

g(α) = g−α ⊕ h(α)⊕ gα

e uma subalgebra de dimensao tres, pois [gα, g−α] ⊂ h(α) e cada uma das componentesna soma tem dimensao um.

Proposicao 6.9 g(α) e isomorfa a sl(2).

Demonstracao: Seja H∨α ∈ h(α) definido por

H∨α =2

〈α, α〉Hα.

Pelo lema 1, existem Xα ∈ gα e Y−α ∈ g−α tal que

〈Xα, Y−α〉 =2

〈α, α〉.

Como α(H∨α ) = 2, os colchetes entre esses elementos sao

[H∨α , Xα] = α(H∨α )Xα = 2Xα

[H∨α , Y−α] = −α(H∨α )Y−α = −2Y−α[Xα, Y−α] = 〈Xα, Y−α〉Hα = H∨α .

Isso mostra que g(α) e isomorfa a sl(2) com o isomorfismo dado por

X ←→ Xα H ←→ H∨α Y ←→ Y−α

com X,H, Y a base canonica de sl(2). 2

O isomorfismo da demonstracao acima nao e unico, pois existe uma liberdade naescolha de Xα e Y−α. Ja a escolha de H∨α e determinada por α(H∨α ) = 2, pois enecessario que os autovalores de ad(H∨α ) coincidam com os autovalores de ad(H) emsl(2).

Pela proposicao anterior, cada raiz α define uma representacao de sl(2) em g atravesda representacao adjunta de g(α) em g. Com essas representacoes, os resultados obtidossobre as representacoes irredutıveis de sl(2) permitem fazer um analise detalhada dosprodutos [gα, gβ] para duas raızes α e β.

Para isso, considera-se a seguinte sequencia de elementos de h∗

. . . , β − 2α, β − α, β, β + α, β + 2α, . . .

que sera denominada de α-sequencia iniciada em β . Para entender o colchete em g,deseja-se saber quais os elementos dessa sequencia que sao pesos. A resposta e dadapela formula de Killing:


Theorem 6.10 Os elementos da α-sequencia iniciada em β que sao pesos formam umintervalo contendo β, isto e, existem inteiros p, q ≥ 0 tal que

β − pα, . . . , β − α, β, β + α, . . . , β + qα

sao os unicos pesos da forma β + kα com k inteiro. Alem do mais, vale a seguinteformula (de Killing)

p− q =2〈β, α〉〈α, α〉

. (6.4)

A respeito deste teorema, valem os seguintes comentarios:

1. Na formula de Killing α e β nao sao simetricos. Para a β-sequencia iniciada emα, sao outros os valores de p e q que definem o intervalo dos pesos.

2. A formula (6.4) mostra, em particular, que a expressao que aparece no segundomembro e um inteiro. Esse fato, a princıpio surpreendente, e devido a relacaoentre as dimensoes das representacoes irredutıveis de sl(2) e os autovalores de Hnessas representacoes; o segundo membro de (6.4) e nada mais nada menos queum autovalor de H numa representacao de sl(2).

3. O inteiro2〈β, α〉〈α, α〉

e denominado numero de Killing associado as raızes α e β.

Demonstracao: Suponha, em primeiro lugar, que β e multiplo inteiro de α, isto e,β = 0 ou ±α. Entao, a α-sequencia iniciada em β e

−α, 0, α

e o numero de Killing entre α e β e 0 ou ±2, de onde se tira a formula de Killing.Uma vez verificado esse caso particular, assume-se para o resto da demonstracao,

que β nao e multiplo inteiro de α, ou o que e a mesma coisa, β + kα 6= 0 para todo k.Tomando g(α) ≈ sl(2) como acima, seja o subespaco

Vβ,α = · · · ⊕ gβ−α ⊕ gβ ⊕ gβ+α ⊕ · · ·

Esta soma e finita, pois existe apenas um numero finito de pesos. A representacaoadjunta de g(α) em g deixa Vβ,α invariante pois

ad(Xα)gβ+kα ⊂ gβ+(k+1)α

ad(Y−α)gβ+kα ⊂ gβ+(k−1)α

ad(H∨α )gβ+kα ⊂ gβ+kα.

Portanto, g(α) se representa em Vβ,α. Essa representacao e irredutıvel. Para ver isso,seja

Vβ,α = V1 ⊕ · · · ⊕ Vs

6.3. A formula de Killing 159

a decomposicao de Vβ,α em componentes irredutıveis, garantida pelo teorema de Weyl.Pela classificacao das representacoes irredutıveis de sl(2), os autovalores de H∨α (≈ H)dentro de Vi sao da forma mi − 2j com mi = dimVi − 1 e 0 ≤ j ≤ mi. Portanto,esses autovalores sao inteiros e sao ou todos pares ou todos ımpares. No entanto, osautovalores de H∨α dentro de Vβ,α sao dados por

(β + kα)(H∨α ) =2

〈α, α〉β(Hα) +

2k

〈α, α〉α(Hα)

= 2〈β, α〉〈α, α〉

+ 2k..

Essa igualdade mostra de imediato que2〈β, α〉〈α, α〉

e inteiro. Mais ainda, como

2〈β, α〉〈α, α〉

+ 2k

tem a mesma paridade que2〈β, α〉〈α, α〉

, os diferentes autovalores de H∨α dentro de Vβ,α tem

todos a mesma paridade. Isso mostra que as dimensoes dos subespacos Vi sao todaspares ou todas ımpares, o mesmo ocorrendo com mi.

Por outro lado, os autovalores de H∨α sao todos simples, pois os auto-espacos saoda forma gβ+kα e estes tem dimensao um, ja que β+ kα 6= 0. A partir daı, obtem-se airredutibilidade de Vβ,α. De fato, suponha que na decomposicao acima s 6= 1. Entao,existem i, j tal que mj = mi + 2k com k ≥ 0, o que contradiz o fato de mi ser umautovalor simples, pois entao ele apareceria como autovalor em Vi e em Vj.

A irredutibilidade de Vβ,α e o fato que (β + kα)(H∨α ) varia de dois em dois, quandose varia k, garantem que

Vβ,α = gβ−pα ⊕ · · · ⊕ gβ+qα ,

o que mostra que o conjunto dos pesos na α-sequencia iniciada em β e um intervalo.Agora, o maior autovalor de H∨α dentro de Vβ,a e dado por

(β + qα)(H∨α ) =2〈β, α〉〈α, α〉

+ 2q.

Como dimVβ,α = p+ q + 1,

p+ q =2〈β, α〉〈α, α〉

+ 2q,

isto e,

p− q =2〈β, α〉〈α, α〉

,

que e a formula de Killing. 2

No que segue, o termo α-sequencia iniciada em β sera usado para designar apenaso intervalo dos pesos da forma β + kα.

Como consequencia da formula de Killing, tem-se:


Proposicao 6.11 Os unicos multiplos de uma raiz α que sao raızes sao ±α.

Demonstracao: Suponha β = cα com c 6= 0 e β, α raızes. Entao,

2〈β, α〉〈α, α〉

= 2c

e2〈β, α〉〈β, β〉

=2

c.

Sejam n = 2c e m = 2/c. Entao, m,n sao inteiros e mn = 4. Isso so e possıvel sen = ±1,±2 ou ±4, isto e, c = ±1

2,±1 ou ±2 e, portanto, c = ±1, pois como ja foi

mostrado, os unicos multiplos inteiros de uma raiz sao ela mesma e sua oposta. 2

Proposicao 6.12 Sejam α e β raızes e suponha que α + β seja raiz (α + β 6= 0).Entao,

[gα, gβ] = gα+β .

Demonstracao: Se α + β e raiz, entao na α-sequencia iniciada em β o valor de q e≥ 1. Daı que, a expressao de X nas representacoes irredutıveis de sl(2) mostra que

ad(Xα)gβ = gα+β ,

onde Xα ∈ gα e escolhido como acima. Essa igualdade mostra a proposicao. 2

Exemplo: Continuando o exemplo da secao anterior, para uma raiz αij a subalgebrag(αij) e gerada por Eij, Eji e Eii −Ejj e, portanto, ela se identifica com a algebra dastransformacoes lineares de traco zero do subespaco gerado por ei e ej onde e1, . . . , ene a base utilizada para escrever as matrizes. As expressoes dadas para a forma deCartan-Killing mostram que para duas raızes αij e αrs o numero de Killing e o inteiro

2〈αij, αrs〉〈αij, αij〉

= δir − δis − δjr + δjs ,

enquanto que

H∨αij = Eii − Ejj .

Para a αij-sequencia iniciada em αrs, existem as possibilidades

1. i, j ∩ r, s = ∅. Entao, a sequencia consiste de αrs apenas, pois αrs + αij eαrs − αij nao sao raızes, ja que esses funcionais nao sao da forma λa − λb. Alemdo mais, a expressao acima mostra que o numero de Killing associado as raızesse anula.

6.4. Sistemas simples de raızes 161

2. i, j∩r, s tem um elemento. Entao, na soma que fornece o numero de Killing,apenas uma das parcelas nao se anula e daı que

2〈αij, αrs〉〈αij, αij〉

= ±1

e a sequencia e formada por αrs e αrs + αij ou αrs − αij, pois esses sao os unicosfuncionais possıveis da forma λa − λb.

3. i, j = r, s. Entao, αij = ±αrs e a sequencia e formada por ±αij e 0.

Os possıveis numeros de Killing sao 0, ±1 e ±2, sendo que este ultimo caso soocorre se as raızes sao multiplas uma da outra. 2

6.4 Sistemas simples de raızes

Como foi visto, o conjunto Π das raızes de uma subalgebra de Cartan h gera o dualh∗ da algebra. Da mesma forma, os elementos Hα, α ∈ Π, duais das raızes em relacaoa forma de Cartan-Killing, geram h. O objetivo desta secao e selecionar, dentro doconjunto das raızes, bases especiais de h e h∗ (sistemas simples de raızes).

Essas bases serao escolhidas de tal maneira que, em relacao a elas, os elementosde Π serao escritos com coordenadas inteiras. Por essa razao, e mais convenientetrabalhar sobre os subespacos racionais de h∗ e h, gerados pelas raızes e seus duais,ao inves de considerar todo h (a razao pela qual isso e possıvel se deve a que a formade Cartan-Killing assume valores racionais quando avaliada nas raızes). Como o corpode escalares K e de caracterıstica zero, ele contem o corpo Q dos racionais. Por isso,h pode ser considerado como um espaco vetorial sobre Q. No que segue, o subespacoracional de h gerado por Hα, α ∈ Π sera denotado por hQ :

hQ = a1Hα1 + · · ·+ akHαk : ai ∈ Q e αi ∈ Π.

Como o conjunto das raızes e finito, hQ e um espaco vetorial de dimensao finita sobreos racionais. De maneira mais precisa,

Proposicao 6.13 dim hQ = dim h.

Demonstracao: Como Hα : α ∈ Π gera h, existe α1, . . . , αl ⊂ Π tal que

B = Hα1 , . . . , Hαl

e base (sobre K) de h. Em particular, B e linearmente independente sobre K e, por-tanto, linearmente independente sobre Q. Daı que dim hQ ≥ dim h.

Para mostrar que as dimensoes coincidem, e suficiente mostrar que B gera hQ (comcoeficientes em Q). Dada uma raiz α, pode-se escrever

Hα = a1Hα1 + · · ·+ alHαl


com ai ∈ K. Os coeficientes dessa combinacao linear sao necessariamente racionais. Defato, uma maneira de encontrar esses coeficientes e resolvendo em ai o sistema linearl × l

l∑i=1

〈Hαi , Hαj〉ai = 〈Hα, Hαj〉 j = 1, . . . , l.

Esse sistema tem uma unica solucao, pois a matriz de seus coeficientes e a matriz daforma nao-degenerada 〈·, ·〉 em relacao a base B. Alem do mais, os coeficientes dosistema sao todos racionais e daı que cada ai e racional, o que mostra que B gera,sobre os racionais, o dual Π e, portanto, hQ, concluindo a demonstracao. 2

Por restricao, a forma de Cartan-Killing define em hQ uma forma bilinear simetrica,pois 〈·, ·〉 assume valores racionais em Π. Como as dimensoes de h e hQ coincidem, aforma restrita tambem nao e degenerada. Sobre essa restricao, no entanto, pode-sedizer mais do que isso. De fato:

Proposicao 6.14 A forma de Cartan-Killing restrita a hQ e um produto interno.

Demonstracao: So falta mostrar que e positiva definida. Para isso, seja H ∈ hQ.Entao,

〈H,H〉 = tr(ad (H)2) =

∑α∈Π

α(H)2 =∑α∈Π

〈Hα, H〉2

e, portanto, 〈H,H〉 ≥ 0. Alem do mais, 〈H,H〉 = 0 se e so se 〈Hα, H〉 = 0 para todoα ∈ Π, o que ocorre se e so se H = 0, pois Π gera h∗. 2

A construcao do espaco racional pode ser feita tambem no dual h∗ de h: procedendocomo na discussao acima, mostra-se que o subespaco racional h∗Q gerado pelas raızestem a dimensao de h e se identifica com o dual de hQ. Da mesma maneira, a forma deCartan-Killing e um produto interno em h∗Q.

Como hQ e um espaco vetorial racional, ele pode ser estendido a um espaco vetorial,de mesma dimensao, hR sobre o corpo dos reais. O produto interno em hQ, definidopela forma de Cartan-Killing, estende-se tambem a um produto interno em hR. Emgeral, hR nao esta relacionado com h, mas no caso em que K e o corpo dos complexos,toda a construcao feita acima poderia ter sido feita sobre R ao inves de Q, obtendodessa forma hR como um subespaco vetorial real de h. Quando os escalares sao numeroscomplexos e conveniente trabalhar com hR no lugar de hQ (veja o capıtulo 9 para maiscomentarios nessa direcao).

No que segue, o espaco vetorial hQ com o produto interno, dado pela forma deCartan-Killing, vai desempenhar um papel fundamental. A classificacao das algebrassemi-simples (ou melhor, simples) e feita em cima da geometria das raızes (ou de seuscorrespondentes Hα) em relacao a esse produto interno. A classificacao e possıvelporque essa geometria e bastante rıgida, como sera exposto adiante.

O objetivo agora e construir os sistemas simples de raızes. O primeiro passo consistenuma discussao sobre as ordens lexicograficas em espacos vetoriais.


Seja V um espaco vetorial sobre Q e v1, . . . , vl uma base ordenada de V . Sejamv, w ∈ V escritos em coordenadas como

v = a1v1 + · · ·+ alvlw = b1v1 + · · ·+ blvl.

A ordem lexicografica em V em relacao a essa base e definida por v ≤ w se v = w ou seai < bi, onde i e o primeiro ındice em que as coordenadas de v e w sao diferentes. Essarelacao define de fato uma ordem que e compatıvel com a estrutura de espaco vetorial(isto e, v ≤ w ⇒ v + u ≤ w + u e xv ≤ xw se x > 0 e v ≤ w).

Quando V e munido de um produto interno, a ordem lexicografica em V satisfaza propriedade enunciada no lema seguinte, que sera utilizada para construir sistemassimples de raızes.

Lema 6.15 Tomando a ordem lexicografica dada pela base ordenada v1, . . . , vl, sejaw1, . . . , wm um subconjunto de V satisfazendo

a) wi > 0 para todo i = 1, . . . ,m,

b) 〈wi, wj〉 ≤ 0 para i 6= j.

Entao, w1, . . . , wm e l.i. (e, em particular, m ≤ l).

Demonstracao: Suponha por absurdo que, por exemplo,

wm = a1w1 + · · ·+ am−1wm−1.

Se todos os coeficientes sao ≤ 0 entao wm ≤ 0, pois wi > 0 e, portanto, aiwi ≤ 0 seai ≤ 0. Portanto, a) garante que pelo menos um dos coeficientes e positivo. Seja adecomposicao

wm = w+ + w−,

onde w+ e a soma dos elementos na combinacao acima em que os coeficientes saopositivos e w− a soma daqueles em que os coeficientes sao negativos. Entao, w+ 6= 0.No entanto,

〈wm, w+〉 =∑i

ai〈wm, wi〉 ≤ 0,

pois nessa soma os coeficientes ai (que aparecem em w+) sao > 0 e 〈wm, wi〉 ≤ 0,devido a b). Por outro lado,

〈wm, w+〉 = 〈w+ + w−, w+〉= |w+|2 + 〈w−, w+〉.

O ultimo termo desta expressao e estritamente positivo, pois |w+|2 > 0 e 〈w−, w+〉 ≥ 0,ja que se w+ =

∑biwi e w− =

∑cjwj, entao

〈w−, w+〉 =∑

bicj〈wi, wj〉


e bi > 0, cj ≤ 0 e 〈wi, wj〉 ≤ 0. Essa contradicao mostra que o conjunto e linearmenteindependente. 2

A partir de agora, fixa-se uma ordem lexicografica dada por uma base de h∗Q.

Definicao 6.16 Uma raiz α ∈ Π e simples – em relacao a ordem fixada – se

i) α > 0

ii) Nao existem β, γ ∈ Π tal que β e γ sao positivas e

α = β + γ.

O conjunto das raızes simples sera denotado por Σ.O objetivo dos lemas a seguir e mostrar que Σ forma uma base de h∗Q. O primeiro

passo consiste em mostrar que Σ e nao-vazio. Isso e necessario para aplicar o lema6.15, em cujo enunciado esta implıcito que o conjunto w1, . . . , wm e nao-vazio.

Lema 6.17 Σ 6= ∅.

Demonstracao: Seja α uma raiz positiva minimal, isto e, tal que nao existe β ∈ Πcom β > 0 e β < α. A existencia de uma raiz desse tipo vem de que −γ ∈ Π se γ ∈ Πe, portanto, existem raızes positivas e, como Π e um conjunto finito, existem raızespositivas minimais. Uma raiz α, satisfazendo essas propriedades, e simples. De fato,se α = β + γ com β, γ > 0 e β, γ ∈ Π entao, α > β > 0 pois γ > 0 contradizendo aescolha de α. 2

Lema 6.18 〈α, β〉 ≤ 0 se α, β ∈ Σ e α 6= β.

Demonstracao: Sera usada a formula de Killing. A primeira observacao que se faze que se α 6= β sao raızes simples, entao β − α /∈ Π. Isso porque se β − α fosse raiz,entao

i) β − α ≤ 0, pois β = α + (β − α) e β e simples e

ii) β − α ≥ 0, pois α = β + (α− β) e α e simples,

o que e uma contradicao.Portanto, na α-sequencia iniciada em β, p = 0. Pela formula de Killing

0 ≥ −q =2〈β, α〉〈α, α〉

e daı que 〈α, β〉 ≤ 0 se α 6= β sao raızes simples. 2


Lema 6.19 Σ e l.i.

Demonstracao: E consequencia imediata do lema anterior e do lema 6.15. 2

O conjunto (finito) das raızes simples sera escrito como

Σ = α1, . . . , αl.

Lema 6.20 Seja β ∈ Π com β > 0. Entao, β se escreve de maneira unica como

β = n1α1 + · · ·+ nlαl

com n1, . . . , nl inteiros ≥ 0. Em particular, Σ gera h∗Q.

Demonstracao: Se β e simples, β = αi para algum i. Caso contrario existem raızespostivas β1 e β2 tal que β = β1 + β2 e essa soma fornece a decomposicao para β se β1

e β2 sao simples. Se uma dessas raızes nao e simples, ela pode ser decomposta comosoma de raızes positivas (por exemplo β1 = γ1 +γ2 com γ1, γ2 raızes positivas) e assimsucessivamente. Como em cada decomposicao se obtem raızes estritamente menoresque as anteriores, esse processo termina em raızes para as quais nao existe nenhumaraiz positiva menor que as mesmas. Essas raızes sao simples, como foi mostrado nolema 6.17. Dessa forma, β se escreve como soma (com possıveis repeticoes) de raızessimples, isto e, β e uma combinacao linear com coeficientes inteiros ≥ 0, como noenunciado. 2

Corolario 6.21 1.

a) Seja γ uma raiz positiva que nao e simples. Entao, existe α ∈ Σ tal que 〈γ, α〉 > 0e γ − α e raiz positiva.

b) Toda raiz positiva γ pode ser escrita como

γ = αi1 + · · ·+ αik

com αij raiz simples de tal maneira que as somas parciais

αi1 + · · ·+ αis

s = 1, . . . , k sao raızes.

Demonstracao:

a) Se 〈γ, α〉 ≤ 0 para toda raiz simples α, entao o lema 6.15 garante que Σ ∪ γ elinearmente independente, contradizendo o lema anterior. Ja o fato de que γ−αe raiz vem da formula de Killing, uma vez que na α-sequencia iniciada em γ,p > 0 pois 〈γ, α〉 > 0.


b) A afirmacao e imediata se γ e uma raiz simples. Por outro lado, se γ nao esimples, entao existe α ∈ Σ tal que γ−α e raiz positiva. Como γ = (γ − α) +α,o resultado segue por inducao. 2

A conclusao dessa discussao e que, se

Σ = α1, . . . , αl

e o conjunto das raızes simples em relacao a uma ordem lexicografica, entao

a) Σ e uma base de h∗Q e

b) toda raiz β pode ser escrita como

β = n1α1 + · · ·+ nlαl

com coeficientes inteiros e todos eles de mesmo sinal.

A afirmacao em b) vem do ultimo lema: se uma raiz e positiva, ela se escreve comouma combinacao linear em que os coeficientes sao todos inteiros ≥ 0. Por outro lado,se β nao e positiva, entao −β e positiva, e daı que todos os coeficientes de β em relacaoa Σ sao ≤ 0.

Baseado nesses fatos, introduz-se o seguinte conceito.

Definicao 6.22 Um subconjunto Σ = α1, . . . , αl satisfazendo a) e b) acima e deno-minado sistema simples de raızes.

E claro que o conjunto das raızes simples definidas a partir de uma ordem lexi-cografica em h∗Q e um sistema simples de raızes. Vice-versa, partindo de um sistemasimples de raızes Σ, pode-se definir em h∗Q a ordem lexicografica definida por Σ, que euma base de h∗Q. Em relacao a essa ordem, o conjunto das raızes simples e exatamenteΣ. De fato, se nessa ordem β e uma raiz positiva, sua primeira coordenada nao-nulaem relacao a base Σ e positiva e, portanto, todas essas coordenadas sao positivas porb). Por essa razao, e impossıvel escrever αi = β + γ com β e γ raızes positivas o quemostra que os elementos de Σ sao raızes simples. Como o conjunto das raızes simplese uma base, Σ coincide com esse conjunto.

Nao existe um unico sistema simples de raızes. Por exemplo, se Σ e um sistemasimples, o mesmo ocorre com −Σ = −α1, . . . ,−αl. A quantidade de tais sistemas(que e evidentemente finita) e dada pela ordem do grupo de Weyl. Esse e o grupo detransformacoes lineares de h∗Q gerado por rα : h∗Q → h∗Q, α ∈ Π, onde rα e a reflexaodefinida pelo hiperplano ortogonal a raiz α, isto e

rα(β) = β − 2〈β, α〉〈α, α〉

α.

O grupo de Weyl sera estudado no capıtulo 9.


Fixando um sistema simples de raızes (ou uma ordem lexicografica), pode-se definir

Π+ = α ∈ Π : α > 0 Π− = −Π+ = α ∈ Π : α < 0.

Sejam

n+ =∑α∈Π+

gα n− =∑α∈Π−

gα .

Entao,

g = n+ ⊕ h⊕ n−

e n+ e n− sao duais pela forma de Cartan-Killing, pois 〈gα, g−a〉 6= 0 e 〈gα, gβ〉 = 0 seβ 6= −α. Alem do mais, h e auto-dual, pois a restricao de 〈·, ·〉 a h nao e degenerada.Essa e a estrutura basica das algebras semi-simples e que imita a de sl(2) onde essadecomposicao e dada pela base X,H, Y . A algebra n+ e nilpotente, pois se X ∈gα, entao, ad(X)kgβ ⊂ gkα+β, o mesmo ocorrendo com n− que e isomorfa a n+. Asubalgebra de Cartan h normaliza tanto n+ quanto n−. Assim, b = h ⊕ n+ e umasubalgebra e, como n+ e um ideal de b, essa subalgebra e soluvel. A subalgebra b econhecida como subalgebra de Borel .

Exemplo: Entre as raızes αij da subalgebra de Cartan h de sl(n), o conjunto

Σ = α12, . . . , αn−1,n

e um sistema simples. Isso decorre de que se αij e uma raiz com i < j, entao

αij = αi,i+1 + · · ·+ αj−1,j

(pois αij = λi−λj) e, portanto, αij se escreve como combinacao linear dos elementos deΣ com todos os coeficientes iguais a um. Como αji = −αij e o numero de elementos deΣ coincide com a dimensao de h, isso garante que Σ e um sistema simples. O conjuntodas raızes positivas e

Π+ = αij : i < j

e, portanto, n+ e a subalgebra das matrizes triangulares superiores com zeros na dia-gonal, sendo que n− e a subalgebra das matrizes triangulares inferiores.

Nessa escolha de Σ esta subentendida uma ordem na base de Kn que diagonalizaos elementos de h. Reordenando essa base, obtem-se um outro sistema simples cujasalgebras n+ e n− passam a ser a das matrizes triangulares superiores ou inferiores emrelacao a nova base ordenada. Uma das coisas que vai ser mostrada no capıtulo 9 eque todos os sistemas simples de h sao obtidos dessa maneira por diferentes ordens nabase de Kn. Como ficou claro no capıtulo 4, para escolher uma subalgebra de Cartande sl(n,K), e suficiente que se escolha uma base de Kn. Por outro lado, para selecionarum sistema simples no conjunto de todos esses sistemas, nas diferentes subalgebras deCartan, basta que se tome uma base ordenada de Kn. 2


6.5 Matrizes de Cartan e diagramas de Dynkin

6.5.1 Matrizes de Cartan

Foi mostrado que se Σ e um sistema simples de raızes, entao toda raiz positiva ecombinacao linear de Σ com coeficientes inteiros positivos ou, o que e o mesmo, e umasoma – com possıveis repeticoes – dos elementos de Σ. Dessa forma, para encontrar asraızes positivas (e, portanto, todas as raızes, ja que Π = Π+ ∪−Π+) deve-se encontrarquais as somas de elementos de Σ que sao raızes. Isso e feito com a ajuda da formulade Killing, passo a passo, considerando a quantidade de raızes simples que aparece naexpressao de uma raiz positiva: seja

Σ = α1, . . . , αl

o sistema simples. Se β e uma raiz positiva, entao

β = n1α1 + · · ·+ nlαl

com os coeficientes inteiros nao-negativos. A altura de β e o inteiro positivo n1+· · ·+nl.Por exemplo, as raızes positivas de altura 1 sao exatamente as raızes simples.Ja as raızes positivas de altura 2 sao as da forma αi + αj com i 6= j (pois para

uma raiz α, 2α nao e raiz). A formula de Killing para αi e αj permite encontrar quaisdestas somas sao raızes. De fato, se αj − pαi, . . . , αj + qαi e a αi-sequencia iniciada emαj entao p = 0 pois αi − αj nao e raiz. Portanto,

−q =2〈αi, αj〉〈αi, αi〉

e daı que q > 0 (isto e, αi + αj e raiz) se, e so se,

2〈αi, αj〉〈αi, αi〉

< 0

(convem lembrar que 〈α, β〉 ≤ 0 se α e β sao raızes simples distintas). Dessa forma,para decidir quais sao as raızes de altura dois, basta olhar a tabela


i, j = 1, . . . , l

dos numeros de Killing associados as raızes simples.Seja agora β uma raiz de altura 3. Pelo corolario 1, β = α + αk com α de altura

dois e αk ∈ Σ, isto e,β = αi + αj + αk

com i 6= j. A formula de Killing para a αk-sequencia iniciada em αi + αj e

p− q =2〈αi + αj, αk〉〈αk, αk〉

.

Com isso, existem as seguintes possibilidades:

6.5. Matrizes de Cartan e diagramas de Dynkin 169

a) i 6= k 6= j. Neste caso, p = 0 pois αi+αj−αk nao e raiz por ser uma combinacaolinear em que aparecem tanto coeficientes positivos quanto negativos. Daı quepartindo de αi+αj ∈ Π+, os valores de k para os quais αi+αj+αk e raiz positivasao aqueles em que

2〈αi, αk〉〈αk, αk〉

< 0 ou2〈αj, αk〉〈αk, αk〉

< 0.

b) k = i ou k = j. Por exemplo, k = j. Neste caso, a αk-sequencia iniciada emαi + αj faz parte da αj-sequencia iniciada em αi. Como αi − αj nao e raiz, paradecidir se αi + 2αj e raiz basta olhar

2〈αi, αj〉〈αj, αj〉

.

Em cada um desses casos, os numeros de Killing correspondentes as raızes simplesdeterminam as raızes de altura tres.

Em geral, procede-se por inducao da mesma forma. Pelo corolario 1, as raızes dealtura n+ 1 sao da forma α+ αk com α raiz de altura n e αk raiz simples. A formulade Killing mostra quais dessas somas sao raızes: a αk-sequencia iniciada em α e dadapor p e q com

p− q =2〈α, αk〉〈αk, αk〉

.

Por inducao, p e conhecido, pois α − αk, α − 2αk, . . ., se sao raızes sao positivas (poisos coeficientes de α sao positivos) e de altura menor que n. Se

α = n1α1 + · · ·+ nlαl ,

entao2〈α, αk〉〈αk, αk〉

= n12〈α, α1〉〈α1, α1〉

+ · · ·+ nl2〈α, αl〉〈αl, αl〉

e novamente q (e, portanto, o fato de α+αk ser ou nao raiz) e encontrado a partir dosnumeros de Killing correspondentes aos elementos de Σ.

Essa discussao permite que se convenca que os numeros de Killing associados aoselementos de um sistema simples determinam todas as raızes de h e, portanto, a estru-tura da algebra semi-simples. Isso sera mostrado com detalhes no capıtulo 8 por ummetodo que elabora devidamente os comentarios acima.

Os numeros associados as raızes simples sao colocados em forma de matriz l × lcomo

C =

(2〈αi, αj〉〈αi, αi〉

)i,j

.

Essa matriz recebe o nome de Matriz de Cartan do sistema simples de raızes. Oselementos diagonais dessa matriz sao todos iguais a 2 e os elementos de fora da diagonalsao inteiros ≤ 0. A proposicao seguinte mostra que as possibilidades para os elementosde fora da diagonal sao bastante restritas.


Proposicao 6.23 Sejam α e β raızes.

a) Se θ denota o angulo entre α e β (ou entre Hα e Hβ) entao,

cos θ = 0,±1,±√

3

2,±√

2

2,±1

2,

isto e, θ = kπ/6 ou kπ/4.

b) Os possıveis valores para os numeros de Killing sao

2〈β, α〉〈α, α〉

= 0,±1,±2,±3.

Demonstracao:

a) Como2〈β, α〉〈α, α〉

e2〈β, α〉〈β, β〉

sao inteiros,

4 cos 2θ =4〈α, β〉2

〈α, α〉〈β, β〉e inteiro. Portanto,

4 cos 2θ = 0, 1, 2, 3, 4

e daı que cos θ e como no enunciado.

b) Pelo item anterior,2〈β, α〉〈α, α〉

2〈β, α〉〈β, β〉

e um dos inteiros 0, 1, 2, 3, 4 e cada um dos fatores e um inteiro. Alem do mais,se um deles se anula, entao 〈α, β〉 = 0 e, portanto, o outro tambem se anula. Daıque cada um dos fatores do produto acima pode assumir apenas os valores

0,±1,±2,±3,±4

sendo que ±4 nao ocorre. De fato, se por exemplo

2〈β, α〉〈α, α〉

= ±4,

entao

4 cos 2θ = 4〈β, α〉2

〈α, α〉〈β, β〉= 4

e cos θ = ±1, isto e, β e multiplo de α. Daı que β = ±α e

2〈β, α〉〈α, α〉

= ±2,

o que e uma contradicao. 2


Esta proposicao mostra que os elementos de fora da diagonal da matriz de Cartanassumem apenas os valores 0,−1,−2 ou −3. Ela mostra tambem que se θ e o anguloentre duas raızes simples αi e αj, entao θ = 0 (se as raızes coincidem) ou θ = 90,120, 135 ou 150, se as raızes simples sao distintas. Alem do mais, o fato de quecos 2θ < 1 para i 6= j garante que se


= −2 ou − 3,

entao, necessariamente,2〈αj, αi〉〈αj, αj〉

= −1

pois o produto desses dois numeros de Killing coincide com 4 cos 2θ. Em outras pala-vras, se uma entrada cij, i 6= j da matriz de Cartan e −2 ou −3, entao a entrada cji e−1. Da mesma forma, se cij = 0, o mesmo ocorre com cji. Em resumo:

Proposicao 6.24 Seja C = (cij) a matriz de Cartan de um sistema simples de raızes.Entao,

1. cii = 2 para todo i,

2. cij = 0,−1,−2 ou −3,

3. cji = −1 se cij = −2 ou −3 e

4. cij = 0 se e so se cji = 0.

Nem todas as matrizes l × l satisfazendo essas quatro propriedades sao efetiva-mente matrizes de Cartan de algum sistema simples de raızes. As matrizes de Cartanserao encontradas posteriormente atraves dos diagramas de Dynkin. Antes disso, econveniente ver alguns exemplos dessas matrizes.

Exemplos:

1. A matriz (2 −1−1 2

)e a matriz de Cartan de sl(3). As raızes simples sao α1 = α12 e α2 = α23, quesatisfazem

2〈α1, α2〉〈α1, α1〉

=2〈α1, α2〉〈α2, α2〉

= −1.

Na α1-sequencia iniciada em α2 tem-se que p = 0 e, portanto, q = 1. O mesmoocorre com a α2-sequencia iniciada em α1. Daı que α1 +α2 e a unica raiz positivaja que α1 +2α2 e 2α1 +α2 nao sao raızes e, portanto, nao existem raızes de altura3.


2. A matriz 2 −1 0−1 2 −10 −1 2

e a matriz de Cartan de sl(4). As raızes positivas sao obtidas da matriz de Cartanda seguinte forma.

(a) As raızes de altura um sao as raızes simples α1 = α12, α2 = α23 e α3 = α34.

(b) As raızes de altura dois sao α1 + α2 e α2 + α3. A soma α1 + α3 nao e raiz,

pois2〈α1, α3〉〈α1, α1〉

= 0.

(c) A unica raiz de altura tres e α1 + α2 + α3, ja que αi + 2αj nao e raiz paranenhum par de raızes simples αi e αj.

Nao existem raızes de altura quatro, ja que na αi-sequencia iniciada em α1 +α2 +α3, p = 1 se i = 1 ou 3 e p = 0 se i = 2, ja que as raızes de altura dois sao α1 +α2

e α2 + α3. Pela matriz de Cartan, ve-se que esses valores coincidem com

2〈αi, α1 + α2 + α3〉〈αi, αi〉

e, portanto, q = 0.

3. Em geral, a matriz de Cartan de sl(n) e2 −1−1 2

0

. . .

02 −1−1 2

,

pois 〈αi,i+1, αi+1,i+2〉 = −1 e os outros produtos entre as raızes simples se anulam.As raızes positivas de altura h sao dadas por αi,i+h com i variando entre 1 e n−h.Ja as matrizes dos espacos de raızes correspondentes tem entradas nao-nulasapenas na h-esima diagonal secundaria acima da diagonal principal e, variandoi, os espacos de raızes cobrem essa diagonal.

4. A matriz (2 −3−1 2

)e uma matriz de Cartan. As raızes de altura h sao dadas por

(a) as raızes simples sao α1, α2. A α1-sequencia iniciada em α2 tem p = 0 eq = 1, enquanto que a α2-sequencia iniciada em α1 tem p = 0 e q = 3.

(b) α1 + α2 e a unica raiz de altura dois.


(c) α1 + 2α2 e a unica raiz de altura 3. Isso porque 2α1 + α2 nao e raiz, pelofato de que a α1-sequencia iniciada em α2 tem q = 1.

(d) α1 + 3α2 e a unica raiz de altura 4. Somando raızes simples a raiz de alturatres, a outra possibilidade seria 2α1 + 2α2, que nao e raiz por coincidir com2(α1 + α2).

(e) 2α1 + 3α2 e a unica raiz de altura cinco. Isso porque, para a α1-sequenciainiciada em α1 + 3α2, vale a formula

p− q =2〈α1, α1 + 3α2〉〈α1, α1〉

= −1

e p = 0 pois 3α2 nao e raiz. Daı que q = 1 e 2α1 + 3α2 e de fato raiz. Poroutro lado, a outra possibilidade seria α1 + 4α2 que nao e raiz, como podeser visto a partir da α2-sequencia iniciada em α1.

Nao existem raızes de altura seis. Somando raızes simples a raiz de altura cinco,as possibilidades sao 3α1+3α2 e 2α1+4α2, que nao sao raızes por serem multiplosde raızes. Com isso, ficam determinadas todas as raızes positivas. Elas sao dealtura no maximo cinco e sua quantidade e seis. Portanto, o numero total deraızes e doze e, como a subalgebra de Cartan tem dimensao dois, a algebra semi-simples associada a matriz de Cartan acima tem dimensao 14. 2

6.5.2 Diagramas de Dynkin

O diagrama de Dynkin e um diagrama (grafo) que contem as mesmas informacoes quea matriz de Cartan. Ele e definido a partir de um sistema simples de raızes fixado:

Σ = α1, . . . , αl.

O diagrama contem l pontos (vertices) representando cada uma das raızes. Os verticessao ligados ou nao por um, dois ou tres segmentos (arestas) de acordo com as seguintesinstrucoes.

1. Se2〈αi, αj〉〈αi, αi〉

=2〈αi, αj〉〈αj, αj〉

= 0

nao existe ligacao:eαi

eαj


=2〈αi, αj〉〈αj, αj〉

= −1,

αi e αj sao ligadas por um segmento:eαi

eαj



ou2〈αi, αj〉〈αj, αj〉

e −2 (respectivamente −3) entao os vertices sao ligados por dois (respectivamentetres) segmentos:e

αieαj

eαi

eαj

A ideia do diagrama de Dynkin e poder utiliza-lo para obter a matriz de Cartan.Seja C = (cij) essa matriz. Se o diagrama for construıdo de acordo com as regrasacima, entao cij = cji = 0 quando as raızes αi e αj nao sao ligadas e cij = cji = −1se essas raızes sao ligadas por apenas um segmento. No entanto, quando a ligacao efeita por dois ou tres segmentos, nao fica claro qual das entradas cij ou cji da matrizde Cartan e −2 ou −3. Para distinguir isso, orienta-se a ligacao na direcao da raiz αjse

cji =2〈αi, αj〉〈αj, αj〉

= −2 ou − 3

(e, portanto, cij = −1). Obtem-se dessa forma as ligacoes orientadas:eαi

eαjA

eαi

eαjA

O numero de ligacoes entre duas raızes no diagrama de Dynkin tem a seguinteinterpretacao geometrica. Se θ e o angulo entre αi e αj entao,

4 cos 2θ =2〈αi, αj〉〈αi, αi〉

2〈αi, αj〉〈αj, αj〉

e, portanto, este valor e o numero de arestas que ligam as raızes ja que, se um dosfatores deste produto e nulo, o mesmo ocorre com o outro e, caso contrario, pelo menosum deles e um. Dessa forma, o numero de ligacoes entre duas raızes simples e o anguloθ que elas formam entre si estao relacionados pela seguinte tabela

e e θ = 90o

e e θ = 120o

e e θ = 1350

e e θ = 150o


No caso de ligacoes com dois ou tres segmentos, a direcao convencionada para a ligacaoesta associada ao comprimento relativo entre as raızes. De fato, o quociente entre osnumeros de Killing correspondentes e

2〈αi, αj〉/〈αi, αi〉2〈αi, αj〉/〈αj, αj〉

=〈αj, αj〉〈αi, αi〉

. (6.5)

Portanto, se duas raızes sao ligadas por um unico segmento entao elas tem o mesmocomprimento enquanto que, se elas forem ligadas por dois ou tres segmentos, o quadradode seus comprimentos relativos e dois e tres, respectivamente. Por (6.5) se ve que adirecao de uma ligacao multipla foi escolhida de tal forma que ela aponta para a raizde menor comprimento entre as duas raızes da ligacao.

Exemplos:

1. A matriz de Cartan (2 −3−1 2

)define o diagrama

e eA

2. A matriz de Cartan de sl(n) define o diagrama

e e . . . e e3. A matriz de Cartan

2 −1 0 0−1 2 −1 00 −2 2 −10 0 −1 2

e o diagrama

e e e eA

estao associados entre si. 2

Notas

A historia do desenvolvimento da teoria das algebras simples e relatada em detalhes em

Hawkins [19]; desde os trabalhos de W. Killing, que elaborou os fundamentos conceituais

da teoria, ate o desfecho brilhante de E. Cartan. O teorema final de classificacao (veja os

proximos capıtulos) foi enunciado por W. Killing (1888-90), apresentando uma demonstracao

com falhas, que foram cobertas por E. Cartan em sua tese (1894). Nas palavras de E. Cartan:


“No que diz respeito aos grupos contınuos e finitos, os princıpios da teoria foram assentados

por S. Lie e M. Engel. Em uma serie de artigos importantes, Killing deu um grande avanco

a teoria e, em particular, determinou todos os grupos simples com parametros complexos.

Mas suas demonstracoes continham diversas lacunas e passagens inexatas. Em minha Tese

(1894) me propus a ordena-los com rigor. Mesmo assim obtive independentemente de Killing

diversos resultados novos” [6].

O termo raiz para indicar os autovalores das adjuntas dos elementos de uma subalgebra de

Cartan foi utilizado por W. Killing para indicar as raızes do polinomio caracterıstico das

adjuntas dos elementos da subalgebra de Cartan.

A abordagem as algebras semi-simples via as subalgebras de Cartan e a adotada hoje em dia.

Com Killing e Cartan, a enfase era dada aos elementos regulares. As subalgebras de Cartan

passaram a ser consideradas principalmente depois dos trabalhos de H. Weyl sobre grupos

compactos.

A teoria desenvolvida neste capıtulo nao se restringe a algebras sobre corpos algebricamente

fechados desde que existam elementos regulares cujas adjuntas tenham autovalores no corpo

em questao. Exemplos de algebras que satisfazem essa condicao sao as formas reais normais,

discutidas no capıtulo 12.

6.6 Exercıcios

Nos exercıcios a seguir, o corpo de escalares e suposto algebricamente fechado e decaracterıstica zero, exceto nos casos em que se menciona explicitamente ao contrario.

1. Mostre que o teorema sobre as representacoes de sl (2) sobre corpos algebrica-mente fechados vale tambem para sl (2,R).

2. As representacoes de sl (2,K) sao realizadas nos espacos de polinomios sobreK2: denotando por (x, y) as coordenadas em relacao a uma base fixa, seja p umpolinomio em (x, y). Para A ∈ sl (2), seja q = Ap a derivada direcional (formal)de p na direcao de A (x, y). Mostre que q e um polinomio de mesmo grau que pe que p 7→ Ap define uma representacao de sl (2) em cada espaco dos polinomioshomogeneos. Mostre tambem que essas representacoes sao irredutıveis.

3. Uma subalgebra de uma algebra de Lie e dita abeliana maximal se ela for abelianae nao estiver contida propriamente em nenhuma subalgebra abeliana. Mostre quenuma algebra semi-simples uma subalgebra h abeliana maximal e de Cartan se eso se ad(H) e semi-simples para todo H ∈ h. (Tome o fecho algebrico do corpode escalares e faca a decomposicao em subespacos de pesos da extensao de h). Deexemplo de uma algebra abeliana maximal numa algebra semi-simples que nao ede Cartan.

Numa algebra qualquer se h e subalgebra de Cartan e ad(H) e semi-simples, paratodo H ∈ h, entao h e abeliana.

4. Mostre que numa algebra semi-simples existem subalgebras de Cartan h1 e h2

com h1 ∩ h2 = 0.


5. Sejam g uma algebra semi-simples e X ∈ g. Mostre que se o nucleo generalizadog0 (X) de ad (X) coincide com ker ad (X) entao ad (X) e uma transformacaolinear semi-simpes. (Use a proposicao 4.8 do capıtulo 4.)

6. Numa algebra semi-simples, se h e uma subalgebra de Cartan entao existe H ∈ htal que se X e um autovetor de ad (H) associado a um autovalor nao-nulo, entaoX gera um subespaco de raızes de h.

7. O suporte de uma raiz α e o conjunto das raızes simples que aparecem (comcoeficiente nao-nulo) na combinacao linear de α. Mostre que o suporte de todaraiz e um subconjunto conexo do diagrama de Dynkin e que todo subconjuntoconexo e o suporte de alguma raiz.

8. Para duas raızes quaisquer α e β, a α-sequencia iniciada em β tem no maximoquatro elementos.

9. Para raızes simples α, β sejam Xα e Xβ nos espacos de raızes correspondentes.Mostre que

ad (Xα)1−kα,β Xβ = 0,

onde kα,β =2〈β, α〉〈α, α〉

e o numero de Killing entre as raızes.

10. Com as mesmas notacoes do exercıcio anterior, assuma que 〈Xα, X−α〉 = 1 emostre que

[X−α, [Xα, Xβ]] = q(p+ 1)〈α, α〉

2Xβ .

11. Dada uma raiz α, mostre que∑

β〈α, β〉2 = 〈α, α〉 onde a soma se estende a todasas raızes.

12. Mostre que numa algebra semi-simples g existem dois elementos X, Y ∈ g quegeram a algebra.

13. Compare a matriz de Cartan C com a matriz da forma de Cartan-Killing em hem relacao a base formada pelas raızes simples. Conclua que detC > 0.

14. Sejam g uma algebra semi-simples e Σ um sistema simples de raızes da subalgebrade Cartan h. Tome um subconjunto Θ ⊂ Σ e denote por Π (Θ) o subconjuntodas raızes cujos coeficientes em relacao a Σ sao nulos para β /∈ Θ, isto e, seα ∈ Π (Θ), entao o suporte de α esta contido em Θ. Mostre que para α ∈ Θexistem raızes α1, . . . , αn ∈ Θ tal que α1 + · · · + αi e raiz para todo i = 1, . . . , ne α = α1 + · · ·+ αn.

15. O objetivo deste exercıcio e indicar uma demonstracao para o seguinte fato (te-orema de Jacobson-Morozov ): Se g e uma algebra de Lie semi-simples e Y ∈ ge tal que ad (Y ) e nilpotente, entao existem H,X ∈ g tais que

[H,X] = 2X [H,Y ] = −2Y [X, Y ] = H,


isto e, Y esta contido numa algebra sl (2). (Nao e necessario que o corpo deescalares seja algebricamente fechado).

(a) Suponha que g ⊂ gl (V ) via uma representacao fiel (por exemplo a adjunta).Mostre que existe um subespaco U ⊂ gl (V ), invariante pela adjunta de g,tal que gl (V ) = g⊕ U .

(b) Encontre H ′, X ′ ∈ gl (V ) tais que

[H ′, X ′] = 2X ′ [H ′, Y ] = −2Y [X ′, Y ] = H ′.

(Escreva a forma canonica de Jordan de Y como transformacao linear de Ve defina X ′ e H ′, como no teorema 6.1).

(c) Suponha que H ′ = H1 + H2 com H1 ∈ g e H2 ∈ U e mostre que H1 e Ysatisfazem as condicoes do exercıcio 22 do capıtulo 3.

Capıtulo 7

Diagramas de Dynkin

O objetivo deste capıtulo e encontrar todos os possıveis diagramas de Dynkin. Apartir desses diagramas, sera feita a classificacao das algebras semi-simples sobre corposalgebricamente fechados.

Os diagramas de Dynkin foram construıdos a partir de sistemas simples de raızesque, em ultima instancia, sao bases de espacos vetoriais racionais com produto interno.A maneira como se associou um diagrama a uma base dependeu apenas da estruturageometrica da base, isto e, dos comprimentos e dos angulos entre seus elementos.Dessa forma, os diagramas podem ser considerados sem fazer alusao aos sistemas deraızes e, assim, encontrar todos os diagramas significa encontrar todas as bases de Ql,l ≥ 1, cujos elementos formam entre si angulos de 90, 120, 135 ou 150 e tal queos quadrados dos comprimentos relativos entre dois vetores da base que formam umangulo de 135 ou 150 seja dois ou tres, respectivamente. Por isso, este capıtulo eindependente dos demais e o que sera feito aqui e encontrar as bases

u1, . . . , ul

de Ql, l ≥ 1, satisfazendo essas condicoes. Os diagramas serao pensados como sinoni-mos para essas bases.

Para encontrar os diagramas de Dynkin e suficiente encontrar os que sao conexos,isto e, aqueles em que duas raızes quaisquer podem ser conectadas por um caminho dearestas do diagrama. Um diagrama qualquer e sempre uma uniao disjunta de diagramasconexos. Dessa forma, conhecendo-se os conexos obtem-se todos os diagramas. Comosera discutido no proximo capıtulo, os diagramas conexos sao aqueles associados asistemas de raızes em algebras de Lie simples, sendo que as componentes conexas deum diagrama para uma algebra semi-simples correspondem aos diagramas de suascomponentes simples.

7.1 Classificacao dos diagramas

O procedimento para encontrar os digramas de Dynkin consiste em eliminar uma seriede possibilidades e verificar ao final que os diagramas restantes sao de fato provenientes

179

180 Capıtulo 7. Diagramas de Dynkin

de bases de Ql. Nesse processo, sao considerados, em primeiro lugar, apenas os angulosentre os elementos da base, deixando de lado seus comprimentos. Em termos dosdiagramas, isso significa considerar apenas a quantidade de arestas entre os vertices,sem se preocupar com suas orientacoes. Para lidar apenas com os angulos e convenientetrabalhar com bases normalizadas, o que nao pode ser feito diretamente em Ql, poisas normas dos vetores nao presam ser racionais.

Dessa forma,u1, . . . , ul

e uma base de Rl, l ≥ 1, em que os angulos entre seus elementos sao de 90, 120, 135

ou 150 que sao normalizadas, isto e, |ui| = 1, i = 1, . . . , l. Para uma base normalizada,o cosseno do angulo entre dois de seus elementos ui e uj e dado por 〈ui, uj〉 e, portanto,

esse produto interno assume apenas os valores 0, −1

2, −√

2

2, −√

3

2. Alem do mais, o

numero de arestas que liga os vertices ui e uj e dado por 4〈ui, uj〉2.

Lema 7.1 Ao retirar de um diagrama alguns vertices juntamente com todas as ares-tas incidentes a esses vertices, o que se obtem ainda e um diagrama, denominado desubdiagrama.

Demonstracao: De fato, o processo de retirar os vertices e as arestas incidentessignifica, em termos da base associada ao diagrama, que se retiram os elementos dabase que correspondem aos vertices retirados. Dessa forma, o diagrama que fica estaassociado ao conjunto de vetores linearmente independentes restantes. 2

Lema 7.2 Num diagrama com l vertices, a quantidade de pares conectados, isto e, quenao sao ortogonais, e < l.

Demonstracao: Suponha que o diagrama e dado pela base

u1, . . . , ul

com |ui| = 1. Um par (ui, uj) e conectado se 〈ui, uj〉 < 0. Seja

u = u1 + · · ·+ ul .

Entao, u 6= 0 e

0 < |u|2 = 〈∑i

ui,∑j

uj〉

=l∑

i=1

|ui|2+2∑

i<j〈ui, uj〉

= l +∑i<j

2〈ui, uj〉

e, portanto, ∑i<j

−2〈ui, uj〉 < l.

7.1. Classificacao dos diagramas 181

Seja θij o angulo entre ui e uj. Entao, cos θij = 〈ui, uj〉. Pelos possıveis valores de θij,tem-se que

−2〈ui, uj〉 = 0, 1,√

2,√

3

e daı que −2〈ui, uj〉 ≥ 1 se 〈ui, uj〉 6= 0. Pela desigualdade acima, tem-se entao quea quantidade de pares que nao sao ortogonais e menor que l. Como essa quantidadecoincide com a de pares ligados isso mostra o lema. 2

A partir desses dois lemas, retiram-se de imediato alguns grafos que nao sao dia-gramas: um ciclo e um pedaco de diagrama que se fecha. Por exemplo,

e e e...e e e

Lema 7.3 Um diagrama nao contem ciclos.

Demonstracao: Um ciclo contido num diagrama tambem e um diagrama, pois aoretirar do diagrama original os vertices nao contidos no ciclo juntamente com as arestasincidentes a eles obtem-se o ciclo. No entanto, pelo lema anterior, um ciclo nao e umdiagrama de Dynkin, pois os pares de elementos ligados num ciclo de l elementos eexatamente l. 2

Lema 7.4 A quantidade de arestas incidentes a um vertice de um diagrama e ≤ 3.

Demonstracao: Sejam u um vertice e v1, . . . , vk os vertices que se ligam a u. Onumero de arestas ligando vi a u e 4〈vi, u〉2 (= 4 cos 2θ onde θ e o angulo entre vi e u).Daı que o numero de arestas incidentes a u e dado por

4〈v1, u〉2 + · · ·+ 4〈vk, u〉2.

Esse numero e estritamente menor que 4. De fato, sejam U e V os subespacos geradospor u, v1, . . . , vk e v1, . . . , vk, respectivamente. O complementar ortogonal a Vdentro de U e de dimensao um, pois u, v1, . . . , vk e linearmente independente. Sejaw com |w| = 1 um gerador desse complementar ortogonal. Tem-se

〈u,w〉 6= 0

pois u /∈ V . Alem do mais, 〈vi, vj〉 = 0 para todo i, j = 1, . . . , k com i 6= j, pois, casocontrario, algum vi seria ligado a algum vj e, como ambos sao ligados a u, o diagramaconteria ciclos. Portanto, w, v1, . . . , vk e uma base ortonormal de U . Daı que

u = 〈u,w〉w + 〈u, v1〉v1 + · · ·+ 〈u, vk〉vk


e|u|2 = 〈u,w〉2 + 〈u, v1〉2 + · · ·+ 〈u, vk〉2 = 1,

de onde se conclui que〈u, v1〉2 + · · ·+ 〈u, vk〉2 < 1,

demonstrando o lema. 2

Esse lema mostra que ligacoes do tipo

e e eeel

l

,,

e,,ll

ee

e e,,ll

ee

nao ocorrem em um diagrama, ja que em cada uma delas existem quatro arestas in-cidentes a um unico vertice. O lema mostra tambem que a unica possibilidade paraum diagrama de Dynkin conter uma ligacao tripla e dada pelo seguinte diagrama comapenas dois vertices

G2e e

Este diagrama define a matriz de Cartan que aparece no exemplo 4 da pagina 175.Para o proximo lema, sera utilizado o termo cadeia simples para indicar um dia-

grama ou um pedaco de diagrama do tipoe e . . . e eisto e, um diagrama em que os vertices sao ligados sucessivamente por apenas umaaresta.

Lema 7.5 Suponha que um diagrama contem uma cadeia simples. Entao, contraindoa cadeia simples a um vertice e mantendo a esse vertice as ligacoes com a cadeiasimples, o que se obtem ainda e um diagrama.

Um exemplo da contracao descrita no enunciado e

e e e . . . e e - e e eDemonstracao: Sejam v1, . . . , vk o conjunto dos vertices correspondentes a cadeiasimples e u1, . . . , ur seu complementar na base que define o diagrama. Seja tambem

v = v1 + · · ·+ vk .


Entao, v, u1, . . . , uk e uma base cujo diagrama e o obtido por contracao da cadeiasimples, como no enunciado. De fato, tem-se em primeiro lugar que

〈v, v〉 = 〈∑i

vi,∑j

vj〉

=∑i

|vi|2 + 2∑i<j

〈vi, vj〉

= k + 2∑i<j≤k

〈vi, vj〉

e, como os vertices vi formam uma cadeia simples,

|v|2 = k + 2k−1∑i=1

〈vi, vi+1〉.

Agora, o angulo entre vi e vi+1 e de 120 pois existe apenas um segmento ligando-os.Portanto, 2〈vi, vi+1〉 = −1 e daı que a igualdade acima mostra que

|v|2 = k − (k − 1) = 1.

Para ver a ligacao de v com os vertices fora da cadeia simples, o que se observa e queum vertice ui se liga no maximo a um vj, ja que num diagrama nao existem ciclos. Issosignifica que cada ui nao e ortogonal a no maximo um dos vertices vj. Daı que dado i,

〈v, ui〉 = 〈vj, ui〉

para algum vj. Isso mostra que no conjunto linearmente independente

v, u1, . . . , ur

os angulos entre os seus elementos estao de acordo com os requeridos para definir umdiagrama. Alem do mais, o fato de que o angulo entre v e cada ui coincide com o anguloentre algum vj e ui implica que o diagrama definido por esse conjunto e exatamente odiagrama obtido do original por contracao de v1, . . . , vk a v. 2

A partir desses lemas, e possıvel obter a seguinte classificacao preliminar dos dia-gramas de Dynkin.


Proposicao 7.6 Os unicos diagramas conexos (nao-orientados) possıveis sao os se-guintes

e e . . . e e . . . e e...

ee e . . . e e e . . . e e

G2e e

Al e e . . . e e

Demonstracao: O primeiro dos diagramas acima (cadeia simples) e o unico que naoapresenta ligacoes multiplas (ligacoes com duas ou tres arestas entre vertices sucessivos)ou bifurcacoes (vertices ligados a mais de dois vertices distintos). Ja o segundo dosdiagramas e o unico que apresenta ligacoes triplas. Agora, se um diagrama apresentauma ligacao dupla ou uma bifurcacao, entao, a partir de uma das extremidades daligacao dupla ou do ponto de bifurcacao, inicia-se uma cadeia simples. Se ao finaldessa cadeia simples existe uma ligacao dupla ou um bifurcacao, pode-se realizar umadas seguintes contracoes

e e e . . . e e - e e e

eel

l

,,

e e . . . e,,ll

ee

- eeel

l

,,

,,

ll

ee

e e e . . . e,,ll

ee

- e e,,ll

ee

Como os resultados obtidos nao estao contidos em diagramas, conclui-se que se umdiagrama contem uma ligacao dupla ele nao contem uma bifurcacao nem outra ligacaodupla. Da mesma forma, um diagrama que contem uma bifurcacao nao contem uma


ligacao dupla nem outra bifurcacao. Portanto, se um diagrama nao e uma cadeia sim-ples e nem contem uma ligacao tripla, ele e como o terceiro diagrama do enunciado(se contiver uma ligacao dupla) ou como o quarto (se contiver uma bifurcacao). Essaafirmacao conclui a demonstracao da proposicao. 2

Agora e feita a analise de quais sao os possıveis diagramas em que aparecem ligacoesduplas ou bifurcacoes. Tem-se

Proposicao 7.7 Os possıveis diagramas que contem ligacoes duplas sao

BCl e e . . . e (l-vertices, l ≥ 2)eF4

e e e e (4 vertices)

Demonstracao: Existem inteiros p, q ≥ 1 tal que o diagrama se escreve comoeu1

eu2

. . . eup−1

eup

evq

evq−1

. . . ev2

ev1

Sera mostrado que q = 1 ou 2 e que para q = 1 nao existe restricao a p enquantoque para q = 2 se tem necessariamente p = 1 ou 2. Essas duas possibilidades fornecemos dois diagramas do enunciado. O truque todo esta em tomar

u =

p∑i=1

iui e v =

q∑i=1

ivi

e aplicar a desigualdade de Cauchy-Schwartz a esses dois vetores. Fazendo as contas,tem-se

〈u, u〉 = 〈p∑i=1

iui,

p∑j=1

juj〉

=

p∑i=1

i2|ui|2 + 2∑i<j

〈iui, juj〉

=

p∑i=1

i2 −p−1∑i=1

i(i+ 1),

pois |ui|2 = 1 e 2〈ui, ui+1〉 = −1, ja que o angulo e 120. Essa igualdade pode serreescrita como

|u|2 =

p∑i=1

i2 −p−1∑i=1

(i2 + i)

= p2 −p−1∑i=1

i

= p2 − p(p− 1)

2

=p2 + p

2,


isto e,

|u|2 =p(p+ 1)

2.

Da mesma forma,

|v|2 =q(q + 1)

2.

Por outro lado,〈u, v〉 = 〈pi=1iui,

qj=1 jvj〉

= 〈pup, qvq〉= pq〈up, vq〉,

pois ui e ortogonal a vj se i < p ou j < q. Como a ligacao entre up e vq e dupla,〈up, vq〉2 = 1

2e daı que

〈u, v〉2 =1

2p2q2.

A desigualdade de Cauchy-Schwartz aplicada a u e v fornece, entao,

1

2p2q2 <

p(p+ 1)

2

q(q + 1)

2.

Essa desigualdade e estrita, pois u e v sao linearmente independentes, ja que u pertenceao espaco gerado por u1, . . . , up e v ao espaco gerado por v1, . . . , vq. Tem-se entaoque

pq − p− q + 1 < 2,

isto e,(p− 1)(q − 1) < 2.

Agora, consideram-se os diferentes casos.

a) q = 1. Entao, nao existe restricao a p.

b) q = 2. Entao, p− 1 < 2, isto e, p = 1 ou p = 2.

c) q ≥ 3. Entao, q− 1 ≥ 2 e, portanto, p = 1. Invertendo os papeis entre p e q, estecaso e o mesmo que a).

Com isso, todos os casos estao cobertos, demonstrando assim a proposicao. 2

Por fim, sao determinados os diagramas com bifurcacao.


Proposicao 7.8 Os possıveis diagramas que admitem bifurcacao sao

Dle e . . . e,,

ll

ee (l vertices, l ≥ 4)

E6e e e e e

e(6 vertices)

E7e e e e e e

e(7 vertices)

E8e e e e e e e

e(8 vertices)

Demonstracao: Como na proposicao anterior, o truque da demonstracao e umverdadeiro achado. Para inteiros p, q, r > 1 o diagrama pode ser escrito como

eu1

eu2

. . . eup−1

ez

evq−1

. . . ev2

ev1

ewr−1

...

ew2

ew1

A partir daı, define-se

u =

p−1∑i=1

iui v =

q−1∑i=1

ivi w =r−1∑i=1

iwi

que sao dois a dois ortogonais, pois pertencem a espacos gerados por vetores mutua-mente ortogonais. Da mesma forma que na proposicao anterior,

|u|2 =p(p− 1)

2|v|2 =

q(q − 1)

2|w|2 =

r(r − 1)

2.

A relacao desejada entre p, q e r vai aparecer ao olhar os angulos que u, v e w formamcom z. Sejam θ1, θ2, θ3 esses angulos. Como |z| = 1 e u, v, w sao ortogonais dois adois, a norma da projecao ortogonal de z sobre o espaco V gerado por u, v, w ecos 2θ1 + cos 2θ2 + cos 2θ3. No entanto, z /∈ V pois u, v, w esta contido no espacogerado por ui, vi, wi o que nao ocorre com z. Daı que

cos 2θ1 + cos 2θ2 + cos 2θ3 < 1.


Por outro lado,

〈u, z〉 = 〈p−1∑i=1

iui, z〉

= 〈(p− 1)up−1, z〉=

1− p2

,

pois ui e ortogonal a z se i < p− 1 e up−1 forma um angulo de 120 com z. Juntandoesta igualdade com a expressao acima para |u|2, tem-se que

cos 2θ1 =(p− 1)2/4

p(p− 1)/2

=1

2(1− 1

p).

Da mesma forma,

cos 2θ2 =1

2(1− 1

q) cos 2θ3 =

1

2(1− 1

r).

A partir dessas expressoes para os cossenos e da desigualdade acima, obtem-se entaoque

1

p+

1

q+

1

r> 1.

Essa desigualdade estabelece as restricoes necessarias aos diagramas com bifurcacoes.Para descrever essas restricoes, supoe-se, sem perda de generalidade, que p ≥ q ≥ r > 1.Existem os casos:

1. r = 2.

(a) q = 2. Entao,1

p> 0

e nao ha restricao a p. Os diagramas sao como Dl do enunciado.

(b) q = 3. Entao,1

p+

5

6> 1

e p < 6, isto e, p = 3, 4 ou 5 que dao origem aos diagramas com E6, E7 eE8 que aparecem no enunciado.

(c) q ≥ 4. Entao,

1 <1

p+

1

q+

1

2≤ 1

p+

3

4

e daı que p < 4, o que contradiz a hipotese de que p ≥ q. Portanto, naoexistem diagramas com esses valores de q e r.


2. r ≥ 3. Como q ≥ r ≥ 3, tem-se

1 <1

p+

1

q+

1

r≤ 1

p+

2

3

e p < 3, contradizendo a hipotese de que p ≥ q. Portanto, nao existem diagramasquando r ≥ 3.

Como estes cobrem todos os casos, ve-se que os unicos diagramas possıveis sao osenunciados. 2

Com esta proposicao, ficam determinados todos os diagramas provenientes de basesnormalizadas, isto e, aqueles que nao sao dirigidos. A partir daı, fica facil encontrarquais sao os diagramas dirigidos. Isso porque, entre os diagramas acima, os unicos queapresentam ligacoes multiplas sao G2, F4 e BCl e e possıvel ver diretamente quais saoas formas de se colocar uma direcao nessas ligacoes. Nos casos G2 e F4, e indiferentequal a direcao que se tome, pois o diagrama e simetrico em relacao a ligacao multipla.O mesmo ocorre com BC2. Ja para os diagramas BCl, existem dois diagramas dirigidospossıveis se l ≥ 3. Com isso, a classificacao dos diagramas de Dynkin esta concluıda.

Theorem 7.9 Os diagramas de Dynkin conexos sao

Al, l ≥ 1 e e . . . e eα1 α2 αl−1 αl

Bl, l ≥ 2 e e . . . e eAα1 α2 αl−1 αl

Cl, l ≥ 3 e e . . . eA

eα1 α2 αl−1 αl

Dl, l ≥ 4 eα1

eα2

. . . eαl−2

,,

ll

eαl−1

eαl

G2e eAα1 α2

F4eα1

eα2

eα3

A

eα4

E6e e e e e

eα1 α2 α3 α4 α5

α6

E7e e e e e e

eα1 α2 α3 α4 α5 α6

α7

E8e e e e e e e

eα1 α2 α3 α4 α5 α6 α7

α8


De acordo com a discussao feita ate o momento, estes sao os unicos diagramas deDynkin possıveis. Pela forma como este teorema esta enunciado, sua demonstracao estaainda incompleta no sentido em que falta verificar que os cinco diagramas especiais G2,F4, E6, E7 e E8 e as quatro classes Al, Bl, Cl e Dl sao de fato diagramas de Dynkin,isto e, sao definidos a partir de bases de Ql, normalizadas em Rl. Isso sera feitoapresentando explicitamente bases de Ql que sao associadas a esses diagramas, isto e,serao apresentadas as

7.2 Realizacoes dos diagramas

As realizacoes dos diagramas dadas a seguir sao provenientes das realizacoes das alge-bras correspondentes que serao feitas posteriormente.

Nos diferentes casos, denota-se por e1, . . . , el a base canonica de Ql.

Al Em Ql+1, l ≥ 1, seja El o subespaco de dimensao l dado por

El = (x1, . . . , xl+1) : x1 + · · ·+ xl+1 = 0.

O conjuntoΣl = e1 − e2, e2 − e3, . . . , el − el+1

e uma base de El. Todos os elementos de Σl tem comprimento√

2 e o anguloentre os elementos sucessivos de Σl e 120, enquanto quaisquer outros pares deelementos sao ortogonais. Por isso, Al, l ≥ 1, e o diagrama de Σl.

Bl Em Ql, sejaΣl = e1 − e2, . . . , el−1 − el, el.

Entao, Σl e uma base de Ql e os primeiros l − 1 elementos de Σl tem o mesmopadrao de comprimentos e angulos que Al−1. Alem do mais,

|el−1 − el|2 = 2 = 2|el|2

e o angulo entre el−1 − el e el e de 135. Por isso, o diagrama de Σl e Bl, l ≥ 2.

Cl Da mesma forma que no caso anterior, verifica-se que a base

Σl = e1 − e2, . . . , el−1 − el, 2el

de Ql e uma realizacao de Cl, l ≥ 3.

Dl Uma realizacao e dada pela base

Σl = e1 − e2, . . . , el−2 − el−1, el−1 − el, el−1 + el

de Ql, l ≥ 4. O vertice de bifurcacao e el−2 − el−1 que forma um angulo de 120

com ei − ei+1, i = l − 3, l − 1 e com el−1 + el.

7.2. Realizacoes dos diagramas 191

G2 Qualquer base de Q2 cujos elementos formam um angulo de 150 e tem comprimentorelativo igual a

√3 e uma realizacao deG2. Uma base deste tipo nao existe quando

se considera o produto interno canonico em Q2, pois essa base seria da forma

(x, y), (−3

2x±√

3

2y,

√3

2x± 3

2y)

que nao pode ser obtida sobre os racionais. Uma forma de evitar isso e tomarsubespacos de dimensao dois em espacos de dimensao maior, com o produtointerno canonico. Por exemplo, o par de vetores

(0,1

6,−1

6) (− 1

18,− 1

18,

2

18)

de Q3 tem G2 por diagrama com o primeiro dos vetores o de comprimento maior.Essa realizacao e a que aparece na construcao da algebra de Lie G2.

Cabe aqui o comentario de que uma realizacao de G2 em R2 se obtem facilmentepor

Σ = (1, 0), (−3

2,

√3

2)

e que a insistencia em uma realizacao racional e mais ou menos fictıcia e se deveao contexto em que os diagramas de Dynkin vem sendo tratados. No capıtulo 9sera feita uma discussao detalhada sobre a relacao entre os diagramas definidosa partir de bases em espacos racionais e reais.

F4 Esse diagrama e realizado pela base de Q4 dada por

e1 − e2, e2 − e3, e3,1

2(−e1 − e2 − e3 + e4)

em que o comprimento dos elementos maiores e√

2 e dos menores e 1 e a ligacaodupla e feita entre e2 − e3 e e3.

E6, E7 e E8 Uma realizacao de E8 e a base do subespaco

E8 = (x1, . . . , x9) ∈ Q9 : x1 + · · ·+ x9 = 0

de Q9 dada porΣ8 = e2 − e3, e3 − e4, . . . , e8 − e9, v,

onde v e a projecao ortogonal de − (e2 + e3 + e4) sobre E8 que e

v = −2

3(e2 + e3 + e4) +

1

3(e1 + e5 + e6 + e7 + e8 + e9) .

O vertice de bifurcacao e dado por e4 − e5 que se liga a v e a e5 − e6 e o ladomaior da base do diagrama comeca em e8 − e9.

Os diagramas E6 e E7 sao subdiagramas de E8 e, portanto, sao realizados reti-rando os primeiros vertices de E8 que sao e8 − e9 e e7 − e8.


7.3 Exercıcios

1. Construa as matrizes de Cartan correspondentes a cada um dos diagramas deDynkin.

2. Mostre diretamente que o diagramae e enao e um diagrama de Dynkin.

3. Mostre que um diagrama conexo Σ se decompoe de forma unica como Σ = Θ∪Υcom Θ ∩Υ = ∅ de tal forma que u e v sao ortogonais se u, v ∈ Θ ou se u, v ∈ Υ.

Capıtulo 8

Algebras semi-simples.Complementos

No capıtulo 6 foi estabelecida a relacao entre as algebras semi-simples e os diagramasde Dynkin. Foi mencionado, entao, que as algebras sao completamente determinadaspelos diagramas, de tal forma que a classificacao dos diagramas que foi apresentada nocapıtulo 7 e tambem a classificacao das algebras semi-simples. O objetivo deste capıtuloe completar a classificacao das algebras via os diagramas de Dynkin. A classificacaoconsiste em mostrar que existe uma relacao biunıvoca que associa a cada classe deequivalencia de algebras semi-simples um unico diagrama e vice-versa. Um dos pontosrelevantes dessa discussao e a construcao de modelos concretos de algebras semi-simplesassociadas a cada um dos diagramas. A construcao desses modelos vai ocupar boa partedeste capıtulo. Ela e interessante nao apenas do ponto de vista teorico (garantindo queos diagramas sao de fato provenientes de algebras de Lie) mas tambem por permitiruma manipulacao efetiva das algebras.

8.1 Algebras isomorfas

A partir de uma algebra semi-simples, foi construıda uma matriz de Cartan, que porsua vez deu origem a um diagrama de Dynkin. Para essa construcao foram feitas duasescolhas na algebra. Em primeiro lugar, foram tomados, de maneira arbitraria, umasubalgebra de Cartan e posteriormente um sistema simples de raızes da subalgebra.Assim, para garantir que um diagrama e determinado a partir de uma algebra semi-simples, e necessario verificar que todos os sistemas simples em todas as subalgebrasde Cartan de uma algebra dada tem o mesmo diagrama de Dynkin. Colocando isso deforma mais esquematica, seja g uma algebra semi-simples. Um diagrama fica determi-nado a partir de g se forem verificados os seguintes fatos:

A) Se Σ1 e Σ2 sao sistemas simples de raızes para uma mesma subalgebra de Cartan hde g, entao os diagramas a eles associados coincidem. Dessa forma, h determina,sem ambiguidade, um diagrama de Dynkin.

193

194 Capıtulo 8. Algebras semi-simples. Complementos

B) Os diagramas associados a duas subalgebras de Cartan de g coincidem.

Uma vez verificados esses dois fatos, fica faltando garantir que o diagrama dependena verdade das classes de equivalencia das algebras. Isso e feito mostrando que

C) os diagramas associados a g1 e g2 coincidem se essas algebras sao isomorfas.

Em direcao contraria, e necessario verificar que

D) cada um dos diagramas Al, Bl, Cl, Dl, G2, F4, E6, E7 e E8 e o diagrama de Dynkinde alguma algebra de Lie semi-simples.

Por fim, o quadro se completa mostrando que algebras que tem o mesmo diagramapertencem a mesma classe de equivalencia, isto e,

E) se g1 e g2 tem o mesmo diagrama, entao essas algebras sao isomorfas.

O item (A) sera discutido com detalhes no proximo capıtulo, que trata dos gruposde Weyl de um conjunto de raızes. A questao e que o diagrama definido por umsistema simples de raızes depende apenas dos angulos e dos comprimentos relativosentre as raızes quando esses sao medidos em relacao ao produto interno na subalgebrade Cartan, dado pela forma de Cartan-Killing. Assim, dois sistemas simples definemo mesmo diagrama se um deles for obtido do outro por uma aplicacao ortogonal (ouisometria) em relacao ao produto interno. No proximo capıtulo sera provado que ogrupo de Weyl e um grupo de transformacoes ortogonais cuja acao e transitiva noconjunto dos sistemas simples de raızes, isto e, dois sistemas simples arbitrarios saoobtidos um do outro por uma transformacao do grupo de Weyl. Portanto, dois sistemassimples de uma mesma subalgebra de Cartan definem um mesmo diagrama.

Tendo garantido que uma subalgebra de Cartan define, sem ambiguidades, umdiagrama de Dynkin, o fato de que duas subalgebras de uma mesma algebra determi-nam o mesmo diagrama vem da discussao do capıtulo 4 sobre a conjugacao entre assubalgebras de Cartan. De fato, sejam h1 e h2 duas subalgebras de Cartan de g. Comoo corpo de escalares e algebricamente fechado, existe um automorfismo φ de g tal queφ(h1) = h2.

Isso implica que os diagramas de h1 e h2 coincidem. De fato, sejam Π1 e Π2 osconjuntos das raızes de h1 e h2 respectivamente. Tomando α ∈ Π1, existe, por definicao,X 6= 0 tal que

[H,X] = α(H)X

para todo H ∈ h1. Aplicando φ a essa igualdade e usando o fato de que φ e umautomorfismo, chega-se a

[H,φ(X)] = α(φ−1(H))φ(X)

para todo H ∈ h2. Isso mostra que φ∗α = α φ−1 e uma raiz para h2 e daı queφ∗(Π1) ⊂ Π2. Mas φ e automorfismo e tanto Π1 quanto Π2 sao finitos, portanto

8.1. Algebras isomorfas 195

φ∗(Π1) = Π2. Tomando entao um sistema simples Σ1 ⊂ Π1, os elementos de Π1

sao combinacoes lineares de Σ1 com coeficientes inteiros, todos eles de mesmo sinal.Aplicando φ∗ a essas combinacoes lineares, ve-se que o mesmo ocorre com Π2 e φ∗ (Σ1).Daı que φ∗ (Σ1) e um sistema simples para h2. Por outro lado, a forma de Cartan-Killinge invariante por φ e φ∗ e uma isometria entre as formas de Cartan-Killing em h∗1 e h∗2.Portanto, Σ1 e φ∗ (Σ1) tem o mesmo diagrama, mostrando que diferentes subalgebrasde Cartan de uma mesma algebra definem um mesmo diagrama, concluindo a discussaodo item (B).

Para verificar que duas algebras isomorfas definem um mesmo diagrama como em(C), o procedimento e como no item (B): um isomorfismo entre duas algebras aplicasubalgebras de Cartan em subalgebras de Cartan e e uma isometria entre as formas deCartan-Killing das algebras.

Antes de examinar os demais itens, e conveniente discutir a relacao entre as com-ponentes conexas dos diagramas e a decomposicao da algebra simples em componentessimples.

Proposicao 8.1 Seja g uma algebra semi-simples e

g = g1 ⊕ · · · ⊕ gs

sua decomposicao em componentes simples. Entao, o diagrama de g se decompoe nauniao disjunta dos diagramas de g1, . . . , gs, que nao estao ligados entre si.

Demonstracao: Tome subalgebras de Cartan hi de gi. Entao,

h = h1 ⊕ · · · ⊕ hs

e uma subalgebra de Cartan de g (veja o exercıcio 6 do capıtulo 4). Alem do mais, seΠi denota o conjunto das raızes de gi em relacao a hi, entao α ∈ Πi pode ser estendidoa um funcional linear em h, colocando α (hj) = 0 para j 6= i. Por essas extensoes,Π = Π1 ∪ · · · ∪ Πs fica sendo o conjunto das raızes de g em relacao a h.

Se α ∈ Πi entao α (hj) = 0 para j 6= i. Por outro lado, as componentes simplesde g sao duas a duas ortogonais em relacao a forma de Cartan-Killing fazendo comque a mesma relacao subsista com as subalgebras de Cartan hi. A partir dessas duasobservacoes tira-se que Hα ∈ hi se α ∈ Πi e Hα coincide com o dual de α em relacaoa forma de Cartan-Killing de gi. Dessa forma, 〈Hα, Hβ〉 = 0 se α ∈ Πi e β ∈ Πj,i 6= j. Isso mostra que no diagrama de Π as partes correspondentes a Πi e a Πj naosao ligadas, concluindo a demonstracao da proposicao. 2

Como complemento a essa decomposicao dos diagramas das algebras semi-simples,deve-se mostrar que os diagramas das algebras simples sao conexos, tirando daı queas componentes conexas dos diagramas de uma algebra semi-simples sao os diagramasassociados a seus ideais simples. A demonstracao disso depende do seguinte lema.

Lema 8.2 Seja h uma subalgebra de Cartan de g e tome Σ um sistema simples deraızes de h. Suponha que Σ se decomponha como uma uniao disjunta Σ = Σ1∪Σ2 com


Σ1 6= ∅ 6= Σ2 e tal que 〈α, β〉 = 0 se α ∈ Σ1 e β ∈ Σ2. Sejam h∗1 e h∗2 os subespacos deh∗Q gerados por Σ1 e Σ2 respectivamente. Entao, Π ⊂ h∗1 ∪ h∗2 onde Π e o conjunto dasraızes.

Demonstracao: Suponha por absurdo que existam raızes que nao estao nem em h∗1nem em h∗2. Existem entao raızes positivas nessas condicoes. Escolha uma raiz positivaβ /∈ h∗1 ∪ h∗2 cuja altura seja mınima entre as raızes positivas que nao estao em h∗1 ∪ h∗2.Essa raiz nao e simples, pois, por construcao, Σ ⊂ h∗1 ∪ h∗2. Portanto, existe uma raizsimples α ∈ Σ tal que β − α e raiz positiva. Pela escolha de β, β − α ∈ h∗1 ∪ h∗2.Suponha, para fixar as ideias, que β − α ∈ h∗1. Isso implica que α ∈ h∗2, pois se α ∈ h∗1,entao β = (β − α) + α ∈ h∗1.

A contradicao aparece ao ser examinada a α-sequencia iniciada em β − α. Comoβ e raiz positiva, sua expressao como combinacao linear das raızes simples mostra queβ − 2α e raiz negativa se e so se β = α, o que nao ocorre, pois β nao e simples. Poroutro lado, β− 2α /∈ h∗1 ∪ h∗2, ja que se β− 2α ∈ h∗1, entao α = (β − α)− (β − 2α) ∈ h∗1e se β− 2α ∈ h∗2, entao β−α = (β − 2α) +α ∈ h∗2. Portanto, a escolha de β como raizde altura mınima implica que β − 2α nao e raiz. Daı que a α-sequencia iniciada emβ − α e da forma

β − α, β, . . .

Entao, na formula de Killing p = 0 e q > 0, o que mostra que 〈β − α, α〉 < 0. Issocontradiz o fato de que β − α ∈ h∗1 e α ∈ h∗2. 2

Proposicao 8.3 Suponha que g seja simples. Entao, seu diagrama e conexo.

Demonstracao: Seja h uma subalgebra de Cartan de g, Π o conjunto de raızescorrespondente e Σ um sistema simples em Π. Suponha por absurdo que o diagramaassociado nao seja conexo. Isso significa que Σ se decompoe numa uniao disjuntaΣ = Σ1 ∪ Σ2 com Σ1 6= ∅ 6= Σ2 e 〈α, β〉 = 0 se α ∈ Σ1 e β ∈ Σ2. Sejam h∗1 e h∗2 ossubespacos de h∗Q gerados por Σ1 e Σ2, respectivamente. Como Σ e base, h∗Q = h∗1⊕ h∗2.Defina Πi = Π ∩ h∗i , i = 1, 2. Pelo lema anterior, Π = Π1 ∪ Π2. Defina

gi = hi ⊕∑α∈Πi

gα i = 1, 2

onde hi e o subespaco de h gerado por Hα, α ∈ Πi. Entao, g1 e g2 sao ideais de g. Defato, para α, β ∈ Π1, [gα, gβ] ⊂ h1 se β = −α e [gα, gβ] = gα+β se α + β e raiz. Nesseultimo caso, α + β ∈ Π1, o que mostra que g1 e uma subalgebra. Por outro lado, seγ ∈ Π2 entao [gα, gγ] = 0, ja que α + γ nao e raiz, pois α + γ /∈ h∗1 ∪ h∗2. Alem domais, h2 e o complementar ortogonal de h1 em h e daı que [h2, g1] = 0. Com isso ficamostrado que g1 e um ideal, contradizendo a hipotese de que g e simples. 2

Voltando a questao da classificacao das algebras a partir dos diagramas, a existenciadas algebras como em (D) sera discutida em outras secoes deste capıtulo, quandoserao apresentadas realizacoes concretas de algebras para cada um dos diagramas da


classificacao. O resto desta secao e dedicado a questao da unicidade enunciada no item(E). O objetivo e demonstrar o teorema 8.8 abaixo.

Para discutir a unicidade, serao necessarias algumas informacoes adicionais sobre oscolchetes entre os diferentes espacos de raızes gα, α ∈ Π associados a uma subalgebrade Cartan h de g.

Escolha de uma vez por todas uma base de g formada por uma base de h e porXα ∈ gα, de tal forma que

〈Xα, X−α〉 = 1. (8.1)

Como dim gα = 1, Xα gera gα e daı que [Xα, Xβ] e multiplo de Xα+β se α+ β for raiz.No que segue, sera usada a notacao mα,β para designar o coeficiente de [Xα, Xβ] emrelacao a Xα+β, isto e, mα,β e definido por

[Xα, Xβ] = mα,βXα+β

se α + β e raiz e mα,β = 0 se α + β nao e raiz. Evidentemente, mβ,α = −mα,β.

Proposicao 8.4 Sejam α e β raızes e

β − pα, . . . , β, . . . , β + qα

a α-sequencia iniciada em β. Entao,

[X−α, [Xα, Xβ]] = q(p+ 1)〈α, α〉

2Xβ .

Demonstracao: Seja g(α) a algebra isomorfa a sl(2) gerada por gα, g−α e Hα. Paraobeter o isomorfismo entre g (α) e sl (2) deve-se escolher Xα ∈ gα arbitrario e Y−α ∈ g−αtal que

〈Xα, Y−α〉 =2

〈α, α〉.

Pela escolha de X−α em (8.1),

Y−α =2

〈α, α〉X−α .

Uma vez feita a identificacao de sl (2) com g (α), considere sua representacao no sub-espaco

V = gβ−pα ⊕ · · · ⊕ gβ+qα .

Pelo teorema da formula de Killing, essa representacao e irredutıvel. Como a dimensaoda representacao e p+ q + 1, existe uma base v0, . . . , vp+q tal que

[Xα, vi] = i(p+ q − i+ 1)vi−1 [Y−α, vi] = vi+1 .

Essa base satisfaz vi ∈ gβ+(q−i)α e, portanto, vq ∈ gβ e

[Y−α, [Xα, vq]] = q(p+ 1)vq .

Como Xβ e multiplo de vq, a mesma igualdade e satisfeita com Xβ no lugar de vq. A

proposicao e entao consequencia de que Y−α =2

〈α, α〉X−α. 2


Lema 8.5 Sejam α e β raızes e

β − pα, . . . , β, . . . , β + qα

a α-sequencia iniciada em β. Entao,

mα,βm−α,−β = −q(p+ 1)〈α, α〉

2.

Demonstracao: Pela definicao de mα,β,

〈[Xα, Xβ], [X−α, X−β]〉 = 〈mα,βXα+β,m−α,−βX−(α+β)〉= mα,β m−α,−β .

Por outro lado, a anti-simetria de ad(X−α) em relacao a forma de Cartan-Killing mostraque

〈[Xα, Xβ], [X−α, X−β]〉 = −〈[X−α, [Xα, Xβ]], X−β〉de onde tira-se, a partir da proposicao anterior, que

mα,β m−α,−β = −q(p+ 1)〈α, α〉

2,

concluindo a demonstracao do lema. 2

Lema 8.6 Sejam α, β e γ raızes e suponha que α + β + γ = 0. Entao,

mα,β = mβ,γ = mγ,α .

Demonstracao: Observe antes de mais nada que as raızes sao duas a duas linear-mente independentes, pois os unicos multiplos de uma raiz sao ela mesma e sua oposta.A aplicacao da identidade de Jacobi a [Xα, [Xβ, Xγ]] fornece

mβ,γ[Xα, Xβ+γ] = mα,β[Xα+β, Xγ] +mα,γ[Xβ, Xα+γ]. (8.2)

Por hipotese β + γ = −α. Portanto, [Xα, Xβ+γ] = Hα, pois 〈Xδ, X−δ〉 = 1 para todaraiz δ. Substituindo da mesma forma α+ β e α+ γ no segundo membro de (8.2), essaigualdade fica sendo equivalente a

mβ,γHα = mα,βH−γ +mα,γHβ .

Substituindo agora −γ = α + β, chega-se a

mβ,γHα = mα,β(Hα +Hβ) +mα,γHβ .

Como α e β sao linearmente independentes, isso implica que

mβ,γ = mα,β = −mα,γ = mγ,α ,

mostrando o lema. 2


Lema 8.7 Sejam α, β, γ e δ raızes e suponha que nenhuma e a oposta da outra. Su-ponha tambem que

α + β + γ + δ = 0.

Entao,mα,βmγ,δ +mβ,γ mα,δ +mγ,α mβ,δ = 0.

Demonstracao: Suponha em primeiro lugar que β + γ e raiz. Entao, faz sentidoescrever mα,β+γ e vale a igualdade

[Xa, [Xβ, Xγ]] = mα,β+γ mβ,γXα+β+γ

= mα,β+γ mβ,γX−δ ,

pois −δ = α + β + γ. Pelo lema 8.6 aplicado as raızes α, β + γ, δ, mα,β+γ = mδ,α, quesubstituıdo na igualdade acima fornece

[Xα, [Xβ, Xγ]] = −mα,δ mβ,γX−δ . (8.3)

Observe que esta igualdade faz sentido e e valida mesmo que β + γ nao seja raiz, pois,nesse caso, o primeiro membro se anula pelo fato de que [Xβ, Xγ] = 0 e o segundo pelofato de que mβ,γ = 0. Agora, aplicando a identidade de Jacobi ao primeiro membro de(8.3), obtem-se a partir do segundo membro, fazendo permutacoes cıclicas de α, β, γ,que

(mα,δ mβ,γ +mγ,δ mα,β +mβ,δ mγ,α)X−δ = 0,

que implica a igualdade do enunciado. 2

A partir desses lemas, e possıvel mostrar o seguinte teorema que e essencialmenteo item (E).

Theorem 8.8 Suponha que g1 e g2 sejam algebras simples e tome subalgebras de Car-tan h1 ⊂ g1 e h2 ⊂ g2. Denote por Π1 e Π2 os conjuntos de raızes correspondentes esejam h1Q e h2Q os subespacos racionais gerados pelas raızes. Suponha que exista umatransformacao linear (sobre os racionais) inversıvel φ : h1Q → h2Q tal que φ(Π1) = Π2.

Entao, φ se estende a um isomorfismo φ : g1 → g2.

Demonstracao: O primeiro passo consiste em garantir que φ e uma isometria entreas formas de Cartan-Killing de h1Q e h2Q. A demonstracao disso esta baseada naproposicao 9.9 do proximo capıtulo, que afirma que 〈α, β〉 = c〈φ (α) , φ (β)〉 para umescalar c 6= 0. Como

〈α, β〉 =∑

γ∈Π1γ (Hα) γ (Hβ)

=∑

γ∈Π1〈γ, α〉〈γ, β〉

= c2∑

γ∈Π1〈φ (γ) , φ (α)〉〈φ (γ) , φ (β)〉

= c2〈φ (α) , φ (β)〉,

conclui-se que c2 = c e, portanto, c = 1 e φ e uma isometria.


O procedimento para construir a extensao φ e o seguinte: para cada α ∈ Π1, escolhaXα ∈ g1

α de tal forma que〈Xα, X−α〉 = 1.

Como acima, sera usada a notacao [Xα, Xβ] = mα,βXα+β. O objetivo e encontrarYφ(α) ∈ g2

φ(α) tal que 〈Yφ(α), Y−φ(α)〉 = 1 e

[Yφ(α), Yφ(β)] = mα,βYφ(α)+φ(β) .

Feito isso, o isomorfismo e dado pela igualdade das constantes de estrutura das basesXα e Yφ(α).

A definicao de Yφ(α) e feita por inducao em relacao a uma ordem em Π. Por isso, econveniente introduzir um sistema simples Σ ⊂ Π com a ordem correspondente em Π.

Por simplicidade de notacao φ (α) sera indicado por α′.A construcao de Yα′ e por inducao sobre a altura de α se α > 0 e pela relacao

〈Yα′ , Y−α′〉 = 1 se α < 0.As raızes positivas de altura 1 sao as raızes simples. Para essas raızes, escolha

elementos nao-nulos arbitrarios Yα′ ∈ g2α′ e tome Y−α′ de tal forma que 〈Yα′ , Y−α′〉 = 1.

Passando as raızes de altura n > 1, seja Πn o conjunto das raızes α tais que α ou−α e de altura ≤ n, dependendo se α e positiva ou negativa. A hipotese de inducao eque Yα′ esta definido para toda raiz α ∈ Πn−1 e se β, γ e β + γ estao em Πn−1, entao

[Yβ′ , Yγ′ ] = mβ,γYβ′+γ′ .

Seja δ uma raiz positiva de altura n. Para definir Yδ′ escolha uma decomposicaoδ = α + β com α raiz simples e β raiz positiva. Como α + β e raiz, mα,β 6= 0 e,portanto, pode-se definir Yδ′ pela igualdade

mα,βYδ′ = [Yα′ , Yβ′ ],

e, a partir daı, Y−δ′ e dado por 〈Yδ′ , Y−δ′〉 = 1.Uma vez definidos esses elementos, pode-se escrever

[Yγ′ , Yδ′ ] = nγ,δYγ′+δ′

se γ, δ e γ + δ estao Πn. Para concluir a demonstracao do teorema falta mostrar quenγ,δ = mγ,δ. Tomando duas dessas raızes, devem-se considerar os seguintes casos:

1. γ, δ e γ + δ estao em Πn−1. Entao, nγ,δ = mγ,δ pela hipotese de inducao.

2. γ + δ e uma raiz positiva de altura n. Nesse caso, γ e δ sao raızes positivas e,portanto, estao em Πn−1. Como foi definido acima γ + δ = α + β com α raizsimples e

mα,βYγ′+δ′ = [Yα′ , Yβ′ ].

Em vista desta igualdade, pode-se supor que γ e δ sao diferentes de α e β. Dessaforma, o lema 8.7 se aplica as raızes α, β, −γ e −δ, mostrando que

mα,βm−γ,−δ = −mβ,−γmα,−δ −m−γ,αmβ,−δ . (8.4)


Da mesma forma, o lema 8.7 se aplica as raızes α′, β′, −γ′ e −δ′ fornecendo aigualdade

nα,βn−γ,−δ = −nβ,−γnα,−δ − n−γ,αnβ,−δ . (8.5)

Os segundos membros de (8.4) e (8.5) coincidem pela hipotese de inducao ja queα, β, γ e δ sao raızes positivas. Portanto,

mα,βm−γ,−δ = nα,βn−γ,−δ .

No entanto, mα,β = nα,β 6= 0 pela definicao de Yγ′+δ′ . Portanto, n−γ,−δ = m−γ,−δ.

A partir desta igualdade, mostra-se que n−α,−β = m−α,−β usando o fato de que φe uma isometria. Tomando a α-sequencia iniciada em β, o lema 8.5 garante que

mα,βm−α,−β = −q(p+ 1)〈α, α〉

2.

Por outro lado, a α′-sequencia iniciada em β′ tem os mesmos parametros p e q

que a α-sequencia inicada em β, pois φ aplica raızes em raızes. Daı que

nα,βn−α,−β = −q(p+ 1)〈α′, α′〉

2

e, como φ e isometria, segue-se que n−α,−β = m−α,−β, concluindo a demonstracaodesse caso.

3. γ + δ e raiz negativa e − (γ + δ) e de altura n. Entao, a primeira parte dademonstracao do caso anterior aplicada as raızes −γ e −δ mostra que mγ,δ = nγ,δ.(Em virtude da falta de simetria nas definicoes de Xγ+δ e X−γ−δ o caso anteriornao pode ser obtido por simetria a partir deste).

4. Uma das raızes γ ou δ e de altura ±n. Por exemplo, suponha que −γ e dealtura n. Entao, δ e positiva pois γ + δ ∈ Πn. Dessa forma, as raızes δ e− (γ + δ), cuja soma e −γ, estao nas condicoes do segundo caso. Por essa razao,nδ,−γ−δ = mδ,−γ−δ. Agora, aplicando o lema 8.6 com γ, δ e − (γ + δ), tem-seque mδ,−γ−δ = mγ,δ. Aplicando o mesmo lema a γ′, δ′ e − (γ′ + δ′), chega-se anδ,−γ−δ = nγ,δ, mostrando a igualdade entre mγ,δ e nγ,δ.

Esses casos cobrem todas as possibilidades, concluindo a construcao de uma basede g2 com as mesmas constantes de estrutura que a base dada de g1. As algebras sao,portanto, isomorfas. 2

Com esse teorema fica mostrado que se duas algebras tem sistemas simples como mesmo diagrama, entao elas sao isomorfas, pois a transformacao linear que associaos elementos correspondentes dos sistemas simples se estende, primeiro a uma trans-formacao linear entre os conjuntos de raızes e depois a um isomorfismo entre as algebrasde Lie.

Para completar toda a discussao, falta verificar que a cada um dos diagramas corres-ponde alguma algebra simples. Essas algebras serao construıdas adiante, distinguindo


as series Al, Bl, Cl e Dl – que estao associadas a algebras concretas de matrizes, conhe-cidas como algebras classicas – dos demais diagramas que estao associados as chamadasalgebras excepcionais.

8.2 Algebras classicas

As algebras classicas sao representantes das algebras associadas aos diagramas Al (l ≥1), Bl (l ≥ 2), Cl (l ≥ 3) e Dl ( l ≥ 4). Os detalhes da construcao dessas algebrasserao apresentados a seguir. Em cada um dos casos, e feita uma escolha canonica deuma subalgebra de Cartan e de um sistema simples de raızes.

Al Como foi verificado ao longo do capıtulo 6, o diagrama

Al, l ≥ 1 e e . . . e eα1 α2 αl−1 αl

esta associado a algebra sl(l + 1). Em resumo,

• uma subalgebra de Cartan e a algebra das matrizes diagonais de traco zero.

• As raızes sao λi − λj, i 6= j, onde λi e dado por

λi : diaga1, . . . , al+1 7−→ ai.

• Um sistema simples de raızes e

Σ = λ1 − λ2, . . . , λl − λl+1.

• As raızes positivas em relacao a esse sistema simples sao

λi − λj : i < j.

Usando a notacao Σ = α1, . . . , αl essas raızes positivas sao dadas comocombinacao linear por

αi + αi+1 + · · ·+ αj : 1 ≤ i ≤ j ≤ l.

• A algebra nilpotente n+, soma dos espacos de raızes associados as raızespositivas, e a subalgebra das matrizes triangulares superiores com zeros nadiagonal.

• dimAl = (l+ 1)2− 1 = l(l+ 2). A restricao a h da forma de Cartan-Killinge

〈H,H ′〉 = 2n tr (HH ′) .

8.2. Algebras classicas 203

Bl O diagrama

Bl, l ≥ 2 e e . . . e eAα1 α2 αl−1 αl

e o diagrama de Dynkin da algebra de matrizes anti-simetricas em dimensaoımpar

so(2l + 1) = A ∈ sl(2l + 1) : At + A = 0

cuja dimensao e(2l + 1)2l

2= l(2l + 1).

Essas algebras sao semi-simples (veja o exercıcio 23 do capıtulo 5). O fato deque elas sao na verdade algebras simples sera verificado a partir do diagrama deDynkin. Para encontrar uma subalgebra de Cartan de so (2l + 1) e mais conve-niente escrever esta algebra da seguinte forma: as matrizes de so(n) sao matrizesde transformacoes lineares anti-simetricas em relacao a forma quadratica nao-degenerada, definida pela matriz identidade. Como o corpo de escalares e alge-bricamente fechado, duas formas quadraticas nao-degeneradas sao equivalentes,o que acarreta que as algebras de matrizes anti-simetricas em relacao a formasquadraticas nao-degeneradas distintas sao isomorfas. De fato, suponha que J1 eJ2 sao matrizes simetricas que definem formas quadraticas equivalentes. Entao,existe uma matriz inversıvel g tal que J1 = gtJ2g. Para i = 1, 2, defina

gi = A ∈ sl(2l + 1) : AtJi + JiA = 0.

Entao, e imediato verificar que A ∈ g2 se e so se gAg−1 ∈ g1. Em outras palavras,gg2g

−1 = g1 e as algebras sao isomorfas. Portanto, existem diferentes maneirasde realizar so(2l + 1), escolhendo diferentes formas quadraticas.

A forma quadratica mais conveniente para descrever uma subalgebra de Cartande so(2l + 1) e dada pela matriz J , escrita em blocos como

J =

1 0 00 0 1l0 1l 0

onde 1l indica a matriz identidade l× l. Essa matriz e simetrica e nao-degeneradae se

g =1√2

√2i 0 00 i1l 1l0 1l i1l

onde i =

√−1 entao gtg = J . Portanto, a algebra das matrizes anti-simetricas

em relacao a J e isomorfa a so (2l + 1).


Escrevendo uma (2l + 1)× (2l + 1)-matriz A em blocos do mesmo tamanho queos blocos de J e usando a condicao AJ + JAt = 0, A ∈ so(2l + 1) se e so se A eda forma

A =

0 β γ−γt a b−βt c −at

(8.6)

com β e γ matrizes 1 × l, as demais l × l e com b e c anti-simetricas. Umasubalgebra de Cartan h e a subalgebra de dimensao l das matrizes diagonais emso(2l + 1), isto e, H ∈ h se e so se H e da forma

H =

0Λ−Λ

(8.7)

com Λ uma matriz l × l diagonal arbitraria. A verificacao disto e imediata. Seα e uma raiz, entao α (H) e uma diferenca de autovalores de H. Sejam λj,j = 1, . . . , l os funcionais

λj : Λ = diaga1, . . . , al 7−→ aj .

Entao, os autovalores de H sao 0 e ±λj(H), j = 1, . . . , l, e daı que os possıveisvalores que uma raiz de h assume em H sao ±λj(H) e ±λj(H) ± λk(H) paraj, k = 1, . . . , l. No entanto, ±2λj(H), j = 1, . . . , l, nao aparece como autovalorde ad(H), pois as matrizes no auto-espaco correspondente teriam suas entradasnao-nulas ao longo das diagonais de c ou de b (onde c e b sao definidas em (8.6)),que sao anti-simetricas. Mas a diagonal de uma matriz anti-simetrica e nula,portanto ±2λj nao e raiz. Os demais funcionais lineares sao de fato raızes de h.Assim, as raızes, com os espacos de raızes correspondentes, sao dadas por

• λj, j = 1, . . . , l, com o espaco de raızes formado pelas matrizes A da forma(8.6) em que a = b = c = 0, β = 0 e γ = (0, . . . , xj, . . . , 0).

• −λj, j = 1, . . . , l com o espaco de raızes dado por a = b = c = 0, γ = 0 eβ = (0, . . . , xj, . . . , 0).

• λi − λj com i 6= j com o espaco das raızes dado por β = γ = 0, b = c = 0 ea uma matriz l × l cuja unica entrada nao-nula e a i, j.

• λi + λj com i 6= j com o espaco de raızes dado por β = γ = 0, a = c = 0 e buma matriz anti-simetrica cujas unicas entradas nao-nulas estao nas posicoesi, j e j, i.

• −(λi+λj) com i 6= j com o espaco de raızes dado pelas matrizes transpostasdo anterior.

Cada um desses espacos de raızes e de dimensao um e H = 0 se α(H) = 0 paratoda raiz α, como e de se esperar para uma algebra semi-simples.


Um sistema simples de raızes e dado por

Σ = λ1 − λ2, . . . , λl−1 − λl, λl.

Isso porque Σ tem o mesmo numero de elementos que a dimensao de h e todaraiz pode ser escrita como uma soma, com repeticoes, de elementos de Σ ou de−Σ. De fato, para cada j = 1, . . . , l,

λj = (λj − λj+1) + · · ·+ (λl−1 − λl) + λl

e, portanto, essas raızes sao positivas e suas opostas −λj sao negativas. Alem domais, se i < j. entao

λi + λj = (λi − λi+1) + · · ·+ (λj−1 − λj) + 2(λj − λj+1) + · · ·+ 2λl

e, portanto, essas raızes tambem sao positivas sendo que suas opostas sao nega-tivas. Por fim,

λi − λj = (λi − λi+1) + · · ·+ (λj−1 − λj),

como no caso Al.

Para encontrar a restricao da forma de Cartan-Killing a h seja H como em (8.7)com

Λ = diaga1, . . . , al.

A lista das raızes dada acima mostra que

〈H,H〉 = 2l∑

i=1

a2i +

∑i 6=j

(ai − aj)2 +∑i 6=j

(ai + aj)2.

Portanto,

〈H,H〉 = 2l∑

i=1

a2i + 4

∑i<j

(a2i + a2

j).

Como∑

i<j(a2i + a2

j) = 2(l − 1)∑

i a2i ,

〈H,H〉 = 2(2l − 1)l∑

i=1

a2i .

Finalmente, pela formula de polarizacao

〈H,H ′〉 = 2(2l − 1)l∑

i=1

aia′i

se H ′ e dada da mesma forma por Λ′ com

Λ′ = diaga′1, . . . , a′l.


O exercıcio 1, ao final do capıtulo, apresenta uma forma alternativa para encon-trar a forma de Cartan-Killing.

Denote por Λα a matriz diagonal l × l que define Hα, o dual da raiz α. Entao,

Λλi =1

2(2l − 1)diag0, . . . , 1i, . . . , 0,

Λλi−λj =1

2(2l − 1)diag0, . . . , 1i, . . . ,−1j, . . . , 0,

Λλi+λj =1

2(2l − 1)diag0, . . . , 1i, . . . , 1j, . . . , 0.

A partir dessas expressoes, e imediato concluir que o diagrama de Σ e Bl. A raizde comprimento menor que as demais e λl, ja que

〈λi − λj, λi − λj〉 =2(2l − 1)

22(2l − 1)22 =

1

2l − 1

e

〈λl, λl〉 =2(2l − 1)

22(2l − 1)=

1

2(2l − 1).

Portanto, so(2l+ 1) e um representante das algebras que tem diagrama Bl, l ≥ 2e, em particular, essas algebras sao simples, pois o diagrama e conexo.

Uma forma alternativa para encontrar o diagrama de Σ e atraves da formula deKilling: como sao dadas expressoes explıcitas para as raızes, e possıvel determinaros numeros de Killing pela α-sequencia iniciada em β, para duas raızes simplesα e β.

Quando l = 1, so(3) e isomorfa a sl(2). O isomorfismo pode ser visto tanto pelodiagrama – neste caso a unica raiz simples e λ1 – ou pela representacao adjuntade sl(2). A imagem dessa representacao e uma subalgebra de so(3), pois ela deixainvariante a forma de Cartan-Killing que e simetrica e nao-degenerada. Mas, asduas algebras tem a mesma dimensao e, como a representacao adjunta e fiel, elae um isomorfismo entre as algebras.

Cl O diagrama

Cl, l ≥ 3 e e . . . eA


e o diagrama de Dynkin da algebra sp(l) construıda da seguinte forma. Seja J amatriz anti-simetrica 2l × 2l escrita em blocos l × l como

J =

(0 −11 0

),


onde 1 representa a identidade l × l. Essa matriz define uma forma bilinearanti-simetrica nao-degenerada (forma simpletica) ω em K2l por ω(x, y) = ytJx,x, y ∈ K2l. A algebra sp(l) e a algebra das matrizes 2l×2l que sao anti-simetricasem relacao a ω:

sp(l) = A ∈ sl(2l) : AJ + JAt = 0.Esta algebra e semi-simples (veja exercıcio 24 do capıtulo 5). Escrevendo umamatriz 2l × 2l em blocos l × l, A ∈ sp(l) se e so se A e da forma

A =

(α βγ −αt

)(8.8)

com β e γ matrizes l × l simetricas. Um calculo imediato de colchetes mostraque a subalgebra h das matrizes diagonais em sp(l) e de Cartan. Os elementosH ∈ h sao da forma

H =

(Λ 00 −Λ

)(8.9)

com Λ = diaga1, . . . , al uma matriz diagonal l × l arbitraria. Se α e uma raiz,α(H) e uma diferenca de autovalores de H e, portanto, da forma ±ai±aj. Aqui,ao contrario do caso Bl, ±2ai aparece como autovalor de ad(H) pois β e γ saomatrizes simetricas e, portanto, podem ter entradas nao-nulas ao longo de suasdiagonais. Dessa forma, as raızes de h com os correspondentes espacos de raızessao dados por

• λi − λj, i 6= j, com o espaco de raızes dado pelas matrizes em (8.8) tal queβ = γ = 0 e α uma matriz l × l cuja unica entrada nao-nula e a i, j.

• λi + λj com o espaco de raızes dado por α = γ = 0 e β com entradasnao-nulas so em i, j e j, i.

• −(λi + λj) com o espaco de raızes dado por α = β = 0 e γ com entradasnao-nulas so em i, j e j, i.


Σ = λ1 − λ2, . . . , λl−1 − λl, 2λl

cujo numero de elementos e a dimensao de h. As raızes sao escritas como com-binacao linear de Σ como

• λi − λj = (λi − λi+1) + · · ·+ (λj−1 − λj) se i < j e

• λi+λj = (λi−λi+1)+ · · ·+(λj−1−λj)+2(λj−λj+1)+ · · ·+2(λl−1−λl)+2λl.se i ≤ j. As raızes positivas sao λi − λj, i < j e λi + λj, i, j = 1, . . . , l.

Para encontrar a forma de Cartan-Killing em h, seja H dado por Λ como em(8.9). Entao,

〈H,H〉 =∑i 6=j

(ai − aj)2 +∑i 6=j

(ai + aj)2 + 8

l∑i=1

a2i


com a primeira soma no segundo membro correspondente as raızes λi − λj, asegunda soma as raızes±(λi+λj), i 6= j, e a terceira as raızes±2λi. Rearranjandoessa expressao, obtem-se de imediato, que

〈H,H〉 = 4(l + 1)l∑

i=1

a2i .

Por polarizacao,

〈H,H ′〉 = 4(l + 1)l∑

i=1

aia′i

se H ′ e dado por Λ′ = diaga′1, . . . , a′l. A partir daı, os duais Hα das raızes αsao dados por Λα como

Λλi−λj =1

4(l + 1)diag0, . . . , 1i, . . . ,−1j, . . . , 0,

Λλi+λj =1

4(l + 1)diag0, . . . , 1i, . . . , 1j, . . . , 0 i 6= j,

e

Λ2λi =1

2(l + 1)diag0, . . . , 1i, . . . , 0.

Essas expressoes mostram que o diagrama de Dynkin de Σ e Cl (e, portanto, econexo e a algebra e simples) com 2λl a raiz de comprimento maior, pois

〈2λl, 2λl〉 = 4 (l + 1)4

42(l + 1)2=

1

(l + 1)

e

〈λi − λi+1, λi − λi+1〉 = 4 (l + 1)2

42(l + 1)2=

1

2(l + 1).

Para l ≤ 2, sp(l) e isomorfa a so(2l+1) ja que os diagramas coincidem. Portanto,sp(1) ≈ so(3) ≈ sl(2) e sp(2) e isomorfa a so(5).

Dl O diagrama

Dl, l ≥ 4 eα1

eα2

. . . eαl−2,,

ll

eαl−1

eαle o diagrama de Dynkin da algebra das matrizes simetricas em dimensao par

so(2l) = A ∈ sl(2l) : A+ At = 0.


Como no caso de dimensao ımpar, essa algebra e isomorfa a algebra das ma-trizes anti-simetricas em relacao a uma forma bilinear simetrica nao-degeneradaqualquer. Assim, tomando

J =

(0 11 0

)escrita em blocos l × l, so(2l) e isomorfa a algebra

A ∈ sl(2l) : AJ + JAt = 0,

que tambem sera denotada por so(2l). Escrevendo uma matriz 2l× 2l em blocosl × l como J , A ∈ so(2l) se e so se

A =

(α βγ −αt

)(8.10)

com β e γ anti-simetricas. A subalgebra h das matrizes diagonais e de Cartan.Seus elementos se escrevem como

H =

(Λ 00 −Λ

)(8.11)

com Λ = diaga1, . . . , al uma matriz diagonal arbitraria. As raızes avaliadas emH sao diferencas de autovalores de H e, como β e γ sao matrizes anti-simetricas,as raızes e os correspondentes espacos de raızes sao dados por

• λi − λj, i 6= j, com o espaco de raızes dado pelas matrizes (8.10) em queβ = γ = 0 e α com entrada nao-nula so em i, j e j, i.

• λi + λj, i 6= j, com o espaco de raızes dado por α = γ = 0 e β com entradanao-nula apenas em i, j e j, i.

• −(λi + λj), i 6= j, com o espaco de raızes dado por α = β = 0 e γ comentrada nao-nula so em i, j e j, i.


Σ = λ1 − λ2, . . . , λl−1 − λl, λl−1 + λl

pois o numero de elementos desse conjunto de raızes coincide dim h e

• λi − λj = (λi − λi+1) + · · ·+ (λj−1 − λj) se i < j e

• λi + λj = (λi − λj) + 2(λj − λl−1) + 2λl−1 se i < j.

As raızes positivas sao λi − λj, i < j e λi + λj, i 6= j.

A forma de Cartan-Killing e dada, para H e Λ como em (8.11), por

〈H,H〉 =∑i 6=j

(ai − aj)2 +∑i 6=j

(ai + aj)2,


que e o mesmo que

〈H,H〉 = 4(l − 1)l∑

i=1

a2i .

Portanto,

〈H,H ′〉 = 4(l − 1)l∑

i=1

aia′i .

Os duais Hα das raızes sao dados por Λα com

Λλi−λj =1

4(l − 1)diag0, . . . , 1i, . . . ,−1j, . . . , 0

Λλi+λj =1

4(l − 1)diag0, . . . , 1i, . . . , 1j, . . . , 0.

O produto interno entre os elementos de Σ mostra de imediato que o seu diagramae Dl (e, portanto, a algebra e simples, pois o diagrama e conexo). O vertice emque ha bifurcacao e dado pela raiz λl−2 − λl−1, pois

〈λl−2 − λl−1, λl−3 − λl−2〉 =1

2(l − 1),

〈λl−2 − λl−1, λl−1 − λl〉 =1

2(l − 1),

〈λl−2 − λl−1, λl−1 + λl〉 =1

(l − 1)

e, portanto, λl−2 − λl−1 esta ligado a tres vertices distintos se l ≥ 4.

Para l < 4 existem as possibilidades:

• se l = 1 a algebra e so(2) que e abeliana, mas nao semi-simples.

• Se l = 2, Σ se reduz a

Σ = λ1 − λ2, λ1 + λ2

e essas raızes sao ortogonais. Por isso o diagrama de so(4) e formado porduas componentes conexas; cada uma com um unico vertice. Essa algebranao e simples mas a soma de dois ideais simples isomorfos a A1. Em outraspalavras, so(4) ≈ sl(2) ⊕ sl(2) ≈ so (3) ⊕ so (3). O isomorfismo se obtematraves da soma direta das algebras g(λ1−λ2) e g(λ1 +λ2) isomorfas a sl(2)associadas as raızes simples. Em forma matricial a decomposicao de umamatriz em so (4) e dada por(

α βγ −αt

)=

(α0 00 −αt0

)+

(12

tr α βγ −1

2tr α

),

onde α0 = α − 12

tr α e uma matriz em sl(2) e β e γ sao matrizes 2 × 2anti-simetricas (veja o exercıcio 10 ao final do capıtulo).

8.3. Subalgebras semi-simples 211

• Por fim, o diagrama de so(6) e A3, por isso essa algebra e isomorfa a sl(4).Um isomorfismo pode ser construıdo explicitamente a partir das raızes quese correspondem.

8.3 Subalgebras semi-simples

Do ponto de vista algebrico, a construcao das excepcionais e mais envolvente que a dasalgebras classicas. Em particular, as algebras E6 e E7 serao construıdas a partir da E8

por um processo de retirada de raızes do diagrama. O objetivo desta secao e discutira construcao de subalgebras geradas por subdiagramas do diagrama de Dynkin. Essaconstrucao generaliza a de g (α) a partir de uma raiz α.

Sejam g uma algebra semi-simples e Σ um sistema simples de raızes da subalgebrade Cartan h. Tome um subconjunto Θ ⊂ Σ e denote por Π (Θ) o conjunto de raızesgerado por Θ, isto e, Π (Θ) e o conjunto das raızes que sao escritas como combinacoeslineares de Θ apenas. Considere o subespaco

g (Θ) = h (Θ) +∑

α∈Π(Θ)

gα, (8.12)

onde h (Θ) e o subespaco de h gerado pelos duais Hα, α ∈ Θ.

Lema 8.9 g (Θ) e uma subalgebra. O conjunto gα : ±α ∈ Θ gera g (Θ).

Demonstracao: Se α, β ∈ Π (Θ) e α+β 6= 0 e raiz, entao α+β ∈ Π (Θ) e, portanto,[gα, gβ] ⊂ g (Θ). Ja se β = −α, entao [gα, g−α] esta contido no subespaco gerado porHα o qual, por sua vez, esta em h (Θ). Alem do mais, [h (Θ) , gα] ⊂ gα para toda raizα. Portanto, g (Θ) e uma subalgebra.

Para ver que g (Θ) e gerada pelos espacos de raızes associados a Θ, observe que seα ∈ Π (Θ) e raiz positiva, entao α se escreve como α = α1 + · · ·+ αk, com αi ∈ Σ e detal forma que as somas parciais α1 + · · · + αi, 1 ≤ i ≤ k sao raızes (veja proposicao 1e o exercıcio 14 do capıtulo 6). Como α ∈ Π (Θ), cada raiz simples αi ∈ Θ. Para duasraızes quaisquer γ e δ, [gγ, gδ] = gγ+δ. Portanto, colchetes sucessivos dos espacos deraızes gαi , i = 1, . . . , k, geram gα. Alem do mais, h (Θ) e gerado por colchetes do tipo[gα, g−α], com α ∈ Θ. Isso mostra que g (Θ) e gerada por gα : ±α ∈ Θ. 2

O objetivo agora e verificar que g (Θ) e semi-simples. Isso e feito a partir dasseguintes consideracoes sobre a forma de Cartan-Killing 〈·, ·〉 de g (Θ):

• Seja Hα, α ∈ Θ. Entao, 〈Hα, Hα〉 > 0, pois

〈Hα, Hα〉 = tr(ad(Hα)2

)=

∑β∈Π(Θ)

β(Hα)2

que e positivo, pois β(Hα) e racional para toda raiz β.


• Para α ∈ Θ tome elementos nao-nulos X ∈ gα e Y ∈ g−α. Entao, 〈X, Y 〉 6= 0.De fato,

α (Hα) 〈X, Y 〉 = 〈[Hα, X], Y 〉 = 〈Hα, [X, Y ]〉 6= 0,

pois [X, Y ] e um multiplo nao-nulo de Hα. Isso mostra que 〈X, Y 〉 6= 0.

• Se H ∈ h (Θ) e Y ∈ gβ, β ∈ Π (Θ) entao 〈H,Y 〉 = 0. De fato, em relacao a umabase adaptada aos subespacos de raızes, ad(H) e diagonal e ad(Y ) e triangularsuperior e daı que ad(H) ad(X) e nilpotente e, portanto, seu traco e zero.

• Sejam α, β ∈ Π (Θ) com α 6= −β. Entao, gα e ortogonal a gβ pois se X ∈ gα eY ∈ gβ, entao

α (Hα) 〈X, Y 〉 = 〈Hα, [X, Y ]〉 = 0

e a ortogonalidade e consequencia de que α (Hα) = 〈Hα, Hα〉 6= 0.

• 〈·, ·〉 nao e degenerada em h (Θ). Em primeiro lugar, se H pertence ao espacoracional gerado por Hα, α ∈ Σ, entao

〈H,H〉 =∑

α∈Π(Θ)

α(H)2 > 0

pois α(H) e racional. Isso mostra que 〈·, ·〉 restrito ao subespaco racional geradopor Hα, α ∈ Σ e um produto interno. Esse subespaco racional tem a mesmadimensao que h (Θ), pois Hα, α ∈ Θ e uma base de ambos. Dessa forma, seH1, . . . , Hs e uma base ortonormal do subespaco racional, entao H ∈ h (Θ)pode ser escrito como

H = a1H1 + · · ·+ asHs .

Se H ′ = a−11 H1 + · · ·+ a−1

s Hs, entao 〈H,H ′〉 = s, o que mostra que a forma naoe degenerada em h (Θ).

Essas relacoes mostram que os espacos ortogonais por 〈·, ·〉 seguem o mesmo padraoque o da forma de Cartan-Killing de g. Portanto, 〈·, ·〉 nao e degenerada. Em particular,g (Θ) e semi-simples.

Por fim, e possıvel mostrar que o diagrama de g (Θ) e exatamente Θ:

Theorem 8.10 Sejam g uma algebra semi-simples e Σ um sistema simples em g.Tome um subconjunto Θ ⊂ Σ. Entao, a subalgebra g (Θ) gerada por

gα : ±α ∈ Θ

e semi-simples. O seu diagrama de Dynkin coincide com o diagrama associado a Θ,visto como subconjunto de Σ.

Demonstracao: So falta verificar que Θ e o diagrama de g (Θ). A subalgebra abelianah (Θ) e de Cartan, pois se X ∈ gα, α ∈ Π (Θ), entao [Hα, X] = 〈α, α〉X 6= 0. As raızesde h (Θ) dentro de g (Θ) sao exatamente as raızes em Π (Θ). Como essas raızes sao

8.4. Algebras excepcionais 213

combinacoes lineares de Θ, com coeficientes inteiros, todos positivos ou negativos, Θ eum sistema simples de raızes de h (Θ). O diagrama desse sistema simples coincide como diagrama determinado pelas raızes de Θ dentro de Σ. De fato, os dois diagramas saodados pelos numeros de Killing

2〈α, β〉〈α, α〉

α, β ∈ Θ,

onde se toma a forma de Cartan-Killing de g (Θ) ou de g, dependendo de qual diagramase considera. Em qualquer um dos casos, no entanto, a formula de Killing garante queesses numeros sao dados, para α, β ∈ Θ, pela α-sequencia iniciada em β que nao sealtera quando considerada em g ou em g (Θ). 2

8.4 Algebras excepcionais

8.4.1 Construcao de G2

Como foi verificado no exemplo da pagina 175, para o diagrama

G2e eAα1 α2

as raızes positivas sao

α1, α2

α1 + α2, α1 + 2α2, α1 + 3α2

2α1 + 3α2

A dimensao da algebra correspondente deve ser entao 14, sendo que a soma dosespacos de raızes tem dimensao 12 e a subalgebra de Cartan dimensao 2. Graficamente,as raızes sao:


qα2bb

bb

bbbb

qα1

TTTTT

qα1 + α2

q 2α1 + 3α2

""""""""

qqα1 + 2α2 α1 + 3α2

qbbbbbbbbqq

q

""

""

""""q

TTTTTq

de onde se ve de imediato que o conjunto das raızes se divide em seis raızes longas eseis curtas.

Vai ser apresentada aqui uma construcao de G2 baseada na representacao canonicade sl (3) em K3.

A ideia dessa construcao – que sera tambem utilizada para o diagrama E8 – vem daobservacao de que sl (3) aparece como subalgebra de G2. De fato, o subespaco formadopela subalgebra de Cartan e pelos espacos de raızes associados as raızes longas e umasubalgebra isomorfa a sl (3), ja que o diagrama dessas raızes e A2.

Dessa forma, sl (3) se representa na algebra G2 via a representacao adjunta. Enatural, portanto, procurar a realizacao deG2 em espacos de representacao de dimensao14 de sl (3). Isso e feito da seguinte maneira:

A algebra sl (3) se representa de maneira canonica em V = K3 e, portanto, nodual V ∗ de V via a representacao dual. Essas representacoes serao denotadas por Xv,X ∈ sl (3), v ∈ V e Xα, X ∈ sl (3), α ∈ V ∗ sendo que essa ultima e dada pela expressaoXα = −α X

A algebra G2 e construıda sobre o espaco vetorial

g = sl (3)⊕ V ⊕ V ∗.

O colchete em g sera definido a partir de identificacoes entre V , V ∗ e espacos de pro-dutos exteriores. Por isso, antes de mais nada, e necessario fazer algumas construcoesrelacionadas a esses espacos.

Como V e de dimensao 3, o produto exterior∧3V = V ∧ V ∧ V

e de dimensao um e, portanto, isomorfo a K. Fixando uma forma volume, isto e, umelemento ν 6= 0 em

∧3 V , um isomorfismo entre∧3 V e K e dado por

x ∈ K 7−→ xν ∈∧3

V.


A forma volume sera tomada como sendo

ν = e1 ∧ e2 ∧ e3

com e1, e2, e3 uma base de V . Uma vez fixado esse isomorfismo, o produto exterior∧2 V se identifica com V ∗. A identificacao e feita pelo isomorfismo

T :∧2

V −→ V ∗

que associa ao elemento u ∧ v ∈∧2 V o funcional α ∈ V ∗ tal que

α(w) = u ∧ v ∧ w ∈ K =∧3

V

para todo w ∈ V . Dito de outra maneira, α = T (u ∧ v) e dado pela igualdade

u ∧ v ∧ w = α(w)ν. (8.13)

Essa identificacao define um operador de intercambio entre as representacoes desl (3) em V ∗ e a representacao tensorial em

∧2 V que e dada por

X (u ∧ v) = Xu ∧ v + u ∧Xv.

Isso se deve a que para quaisquer elementos u, v, w ∈ V vale a igualdade

Xu ∧ v ∧ w + u ∧Xv ∧ w + u ∧ v ∧Xw = (trX)u ∧ v ∧ w = 0.

Daı que se α = T (u ∧ v), entao −α (Xw) = β (w) para todo w ∈ V onde β e ofuncional T (Xu ∧ v + u ∧Xv).

Analogamente, obtem-se uma identificacao de V com∧2 V ∗ pela escolha de uma

forma volume ν∗ ∈∧3 V ∗. Essa escolha define uma aplicacao

S :∧2

V ∗ −→ V

pela relacaoα ∧ β ∧ γ = γ(v)ν∗, (8.14)

onde α, β, γ ∈ V ∗ e v = S (α ∧ β).Esses isomorfismos sao, em essencia, o produto vetorial entre dois vetores de um

espaco de dimensao tres. Por exemplo, se I : V ∗ → V e o isomorfismo que aplica a basedual ε1, ε2, ε3 em e1, e2, e3 entao I T (u ∧ v) e dado em coordenadas pelo produtovetorial entre u e v.

Para manter a dualidade nas identificacoes e necessario tomar ν∗ como sendo

ν∗ = ε1 ∧ ε2 ∧ ε3,

onde ε1, ε2, ε3 e a base dual da base usada para se definir ν.


Com essa escolha de ν∗, os isomorfismos T e S estao relacionados por S = (T ∗)−1

onde T ∗ : V →∧2 V ∗ e a transposta de T . A definicao da transposta de uma trans-

formacao linear mostra que o significado dessa relacao entre T e S e que se u∧v ∈∧2 V

e α ∧ β ∈∧2 V ∗, entao

T (u ∧ v) (S(α ∧ β)) = (u ∧ v, α ∧ β)

com o segundo membro dado por

(u ∧ v, α ∧ β) = α(u)β(v)− α(v)β(u),

que e a dualidade canonica entre∧2 V ∗ e

∧2 V .Para verificar que S = (T ∗)−1 = (T−1)

∗observe que os valores de T na base sao

dados porT (e1 ∧ e2) = ε3, T (e1 ∧ e3) = −ε2, T (e2 ∧ e3) = ε1,

de onde se tira que se α ∈ V ∗, entao

T−1(α) = α (e1) e2 ∧ e3 − α (e2) e1 ∧ e3 + α (e3) e1 ∧ e2 .

Portanto, se η ∈∧2 V ∗ e α ∈ V ∗, entao

α((T−1)

∗η)

= α (e1) e2 ∧ e3 − α (e2) e1 ∧ e3 + α (e3) e1 ∧ e2

= α (e1) (η, e2 ∧ e3)− α (e2) (η, e1 ∧ e3) + α (e3) (η, e1 ∧ e2).

Por outro lado, a igualdadeη ∧ α = α (Sη) ν∗

e o fato de que (ν, ν∗) = 1 implicam que

α (Sη) = (η ∧ α, ε1 ∧ ε2 ∧ ε3)

com (·, ·) indicando a dualidade canonica entre∧3 V e

∧3 V ∗. Essa dualidade e dada,para ui ∈ V e αi ∈ V ∗, por

(u1 ∧ u2 ∧ u3, α1 ∧ α2 ∧ α3) =∑σ

(−1)|σ| ασ(1) (u1)ασ(2) (u2)ασ(3) (u3)

com a soma percorrendo as permutacoes de tres elementos e onde |σ| denota o ındiceda permutacao σ. Aplicando essa dualidade a expressao acima para α (Sη), ve-se que

α((T−1

)∗)= α (Sη)

para todo α ∈ V ∗, mostrando a igualdade S = (T ∗)−1.Uma vez feita essa discussao sobre identificacoes em produtos exteriores, pode-se

definir o colchete em g = sl (3) + V + V ∗. Esse colchete sera definindo em pares deelementos nos diferentes subespacos que compoem g.

1. o colchete entre dois elementos de sl (3) e o usual.


2. Se X ∈ sl (3) e v ∈ V , entao

[X, v] = −[v,X] = Xv,

isto e, o colchete e dado pela representacao de sl (3) em V .

3. Se X ∈ sl (3) e α ∈ V ∗, entao [X,α] = −[α,X] = Xα.

4. O colchete entre os elementos u, v ∈ V e dado por

[u, v] = −4

3u ∧ v ∈

∧2V = V ∗.

O coeficiente −4

3e necessario para obter a identidade de Jacobi.

5. O colchete entre elementos de V ∗ se define de maneira semelhante:

[α, β] =4

3α ∧ β ∈

∧2V ∗ = V.

6. Para v ∈ V e α ∈ V ∗,[v, α] = v ⊗ α− 1

3α(v)1,

onde v⊗α e visto como a transformacao linear de V dada por (v ⊗ α) (u) = α(u)v.Esse colchete esta de fato em sl(3), pois tr(v⊗α) = α(v) e, portanto, tr[v, α] = 0.O seu valor em u ∈ V e

[v, α](u) = α(u)v − 1

3α(v)u.

Uma maneira alternativa de definir esse colchete e verificar, tomando uma basede V , que

〈[v, α], X〉 = α(Xv) (8.15)

para todo X ∈ sl (3) onde 〈·, ·〉 e a forma traco da representacao canonica desl (3) em V obtendo a partir daı o elemento [v, α] de sl (3) ja que 〈·, ·〉 e umaforma nao-degenerada em sl (3).

As expressoes dadas definem aplicacoes bilineares a valores em g e definidas emV × V , V ∗ × V ∗, etc. Essas aplicacoes se estendem por bilinearidade a uma aplicacaobilinear g × g → g anti-simetrica. Assim, para ver que g e uma algebra de Lie enecessario mostrar a identidade de Jacobi. Isso e feito considerando ternas de elementosnos diferentes espacos sl (3), V e V ∗. A identidade de Jacobi sera tomada na forma

[a, [b, c]] = [[a, b], c] + [b, [a, c]].


Podem ocorrer os seguintes casos:

1. Dois elementos pertencem a sl (3). Entao, a identidade de Jacobi e satisfeitaporque o colchete e a representacao em V ou em V ∗. Por exemplo, tomandoX, Y ∈ sl (3) e v ∈ V ,

[X, [Y, v]] = XY v

e por outro lado,

[[X, Y ], v] + [Y, [X, v]] = [X, Y ]v + Y Xv

e os segundos membros dessas igualdades sao iguais, pois [X, Y ] = XY − Y X.

2. A terna contem um elemento de X ∈ sl (3) e dois elementos de u, v ∈ V . Nessecaso,

[X, [u, v]] = −4

3X (u ∧ v)

e, por outro lado,

[[X, u], v] + [u, [X, v]] = −4

3Xu ∧ v − 4

3u ∧Xv,

que mostra a validade da identidade de Jacobi.

3. Se a terna contem um elemento de sl (3) e dois de V ∗ a identidade de Jacobi esatisfeita pelas mesmas razoes.

4. Sejam X ∈ sl (3), v ∈ V e α ∈ V ∗. Denote por Y o elemento de sl (3) dado porY = [v, α]. O primeiro membro da identidade de Jacobi e [X, Y ] ∈ sl (3), ja osegundo membro e dado por

[Xv, α] + [v,Xα] ∈ sl (3) .

Para mostrar a igualdade entre esses dois elementos de sl (3), seja Z um elementoarbitrario de sl (3). Entao, por (8.15) aplicado a Y = [v, α],

〈[X, Y ], Z〉 = −〈Y, [X,Z]〉 = −α ([X,Z]v)

(nao e difıcil verificar que tr ((v ⊗ α)A) = α (Av) para uma tansformacao linearA qualquer). Por outro lado, (8.15) fornece ainda

〈[Xv, α], Z〉 = α (ZXv)

e〈[v,Xα], Z〉 = (Xα) (Zv) = −α (XZv) .

Comparando os ultimos membros dessas tres igualdades e levando em conta queZ e arbitrario e a forma de Cartan-Killing de sl (3) nao e degenerada, chega-se aidentidade de Jacobi para a terna X, v e α.


5. Tomando u, v, w ∈ V , o primeiro membro da identidade de Jacobi e

−4

3[u, v ∧ w] ∈ sl (3) .

Por definicao [u, v ∧ w] = v ⊗ α − 1

3α (v), onde α = T ([v ∧ w) e o elemento de

V ∗ que se identifica a v ∧ w. Seja Z ∈ sl (3) arbitrario. Entao, por (8.15)

〈[u, v ∧ w], Z〉 = α (Zu) .

Assim, identificando K com∧3 V e aplicando (8.13) chega-se a que o primeiro

membro da identidade de Jacobi e

〈−4

3[u, v ∧ w], Z〉 = −4

3v ∧ w ∧ Zu = −4

3Zu ∧ v ∧ w.

Pelos mesmos argumentos, o segundo membro e dado por

〈−4

3[u ∧ v, w], Z〉+ 〈−4

3[v, u ∧ w], Z〉 =

4

3u ∧ v ∧ Zw +

4

3u ∧ Zv ∧ w,

de onde se tira a identidade de Jacobi, ja que

Zu ∧ v ∧ w + u ∧ Zv ∧ w + u ∧ v ∧ Zw = 0,

pois trZ = 0 (veja exercıcio 17 do capıtulo 1).

6. Para u, v ∈ V e α ∈ V ∗, a identidade de Jacobi e verificada da seguinte maneira:em primeiro lugar,

[u, [v, α]] = −[v, α]u = −α(u)v +1

3α(v)u,

enquanto que

[v, [u, α]] = −[u, α]v = −α(v)u+1

3α(u)v.

A diferenca entre a primeira e a segunda dessas expressoes e dada por

[u, [v, α]]− [v, [u, α]] = −4

3(α(u)v − α(v)u) .

Tome β ∈ V ∗. O valor de β no segundo membro dessa igualdade e

−4

3(α(u)β (v)− α(v)β (u)) = −4

3(u ∧ v, α ∧ β),

onde (·, ·) e a dualidade entre∧2 V e

∧2 V ∗. Por outro lado,

[[u, v], α] = −4

3[u ∧ v, α] = −4

3(u ∧ v) ∧ α,


onde o primeiro produto exterior e entre elementos de V , enquanto que o segundoe entre elementos de V ∗. O resultado desse colchete e um elemento de V (a rigor,o ultimo membro deveria ser escrito como S (T (u ∧ v) ∧ α) onde T e S sao asidentificacoes descritas anteriormente). Por (8.14) a avaliacao de β ∈ V ∗ em(u ∧ v) ∧ α e dada por

(u ∧ v) ∧ α ∧ β = β ((u ∧ v) ∧ α) ν∗. (8.16)

Mudando a posicao de (u ∧ v) no primeiro membro e aplicando (8.14) novamente,obtem-se a igualdade

α ∧ β ∧ (u ∧ v) = (u ∧ v)(α ∧ β)ν∗. (8.17)

(A rigor, o coeficiente do segundo membro e T (u ∧ v) (S (α ∧ β))). Assim, (8.16)e (8.17) mostram que β ((u ∧ v) ∧ α) = (T (u ∧ v))(S (α ∧ β)). Mas foi mostradoque S = (T−1)

∗. Portanto,

β ((u ∧ v) ∧ α) = (u ∧ v, α ∧ β)

ja que∧2 V ∗ e identificado com

(∧2 V)∗

via a dualidade (·, ·). A conclusao e que

β ([[u, v], α) = −4

3(u ∧ v, α ∧ β)

e, como β e arbitrario, a identidade de Jacobi e satisfeita tambem nesse caso.

Esses casos cobrem todas as possibilidades exceto o caso em que aparecem doiselementos de V ∗ e um elemento de V , que e semelhante a esse ultimo por dualidade.

Com isso fica mostrado que g e uma algebra de Lie. Sua dimensao e claramente 14.A questao agora e verificar que g e de fato uma realizacao de G2.

Em primeiro lugar se verifica, de maneira direta, que g e simples tomando um ideali 6= 0 e mostrando que i = g. Para isso, e suficiente mostrar que i∩ sl (3) 6= 0, pois isso,juntamente com o fato de que sl (3) e simples, garante que sl (3) ⊂ i e, portanto, queV = [V, sl (3)] e V ∗ = [V ∗, sl (3)] estao contidos em i. Seja entao um elemento nao-nuloX ∈ i. Ele se decompoe como

X = A+ α + v

com A ∈ sl (3), α ∈ V ∗ e v ∈ V . Suponha que

1. Aα 6= 0 e Av 6= 0. Entao, [A,X] = Aα+Av e tomando o colchete desse elementocom Aα se obtem um elemento de nao-nulo de sl (3) contido em i. A questao aıe que [β, w] 6= 0 se β ∈ V ∗ e w ∈ V sao nao-nulos.

2. Aα 6= 0 e Av = 0. Entao, [A,X] = Aα ∈ i. Tomando [w,Aα] com w ∈ V ,w 6= 0 conclui-se que i intercepta sl (3) nao trivialmente. O caso em que Aα = 0e Av 6= 0 se verifica da mesma forma.


3. Aα = 0 = Av. Existem duas possibilidades. Suponha, em primeiro lugar, queα 6= 0 6= v. Entao, [α,X] = [α, v] 6= 0 e esse colchete pertence a sl (3) ∩ i. Ja seα = 0 ou v = 0, so interessa o caso em que o outro, por exemplo v, nao se anula.Entao, tomando w ∈ V linearmente independente de v,

[w,X] = −Aw + w ∧ v = u+ β u ∈ V, β ∈ V ∗

e β 6= 0. Se u = 0, entao [β, z] com 0 6= z ∈ V e um elemento nao-nulo de sl (3)∩i.Ja se u 6= 0, entao [β, [w,X]] e nao-nulo e pertence a intersecao sl (3) ∩ i.

Com isso fica mostrado que g e simples.Agora, a subalgebra h das matrizes diagonais de sl (3) e de Cartan em g. Isso

porque se [X, h] ⊂ h, entao, escrevendo X em componentes como acima, tem-se queα = 0 e v = 0. Alem do mais, A ∈ h, pois h e de Cartan em sl (3).

Portanto, g e uma algebra simples de posto 2 e dimensao 14. Como os unicosdiagramas com dois vertices sao A2, B2 e G2, a possibilidade que resta para g e queseu diagrama seja G2, ja que as dimensoes de A2 e B2 sao 8 e 10, respectivamente.

Para ver a estrutura das raızes de G2, nesse modelo, seja λi o funcional de h definidopor

λi : diaga1, a2, a3 7−→ ai .

Entao, as raızes de h em g sao dadas por

i) ± (λi − λj), i 6= j cujos subespacos de raızes estao contidos em sl (3);

ii) λi, i = 1, 2, 3 cujos subespacos de raızes estao contidos em V e sao os subespacosgerados pelos elementos da base em que h e diagonal;

iii) −λi, i = 1, 2, 3 cujos subespacos de raızes estao contidos em V ∗.

Como os elementos de sl (3) tem traco nulo, essas ultimas raızes sao dadas tambempor λi + λj, i 6= j.

As raızes do diagrama sao ordenadas como

G2e eAα1 α2


α1 = λ1 − λ2 α2 = λ2,

que gera as raızes positivas

• α1 + α2 = λ1,

• α1 + 2α2 = λ1 + λ2 = −λ3,


• α1 + 3α2 = λ1 + 2λ2 = λ2 − λ3,

• 2α1 + 3α2 = 2λ1 + λ2 = λ1 − λ3.

Comparando essas raızes com o grafico apresentado acima, ve-se que as raızes longascoincidem com as raızes de h em sl (3).

Para o calculo da forma de Cartan-Killing, seja H = diaga1, a2, a3 em h. Entao,tr (ad(H)2) e dado por

2((a1 − a2)2 + (a2 − a3)2 + (a1 − a3)2 + a2

1 + a22 + a2

3

)e daı que

〈H,H〉 = 8(a2

1 + a22 + a2

3

)e

〈H,H ′〉 = 8 (a1a′1 + a2a

′2 + a3a

′3)

se H = diaga′1, a′2, a′3. Os duais em h das raızes sao dados diretamente por essasformulas. Por exemplo,

Hα1 = (1

8,−1

8, 0) Hα2 = (− 1

24,

2

24,− 1

24),

cujo diagrama e G2.

8.4.2 E6, E7 e E8

A construcao das algebras E6 e E7 pode ser feita a partir da algebra E8 ja que, aoretirar uma ou duas raızes deste diagrama, obtem-se os diagramas anteriores.

O caminho para a construcao de E8 e semelhante ao de G2, tomando agora repre-sentacoes de sl (9) ao inves de sl (3).

Seja V o produto exterior

V =∧3

K9.

A algebra sl (9) se representa em V por extensao linear de

X (u ∧ v ∧ w) = Xu ∧ v ∧ w + u ∧Xv ∧ w + u ∧ v ∧Xw,

onde u, v, w ∈ K9, X ∈ sl (9) e Xu, Xv e Xw indica a representacao canonica de sl (9)em K9. De forma semelhante, sl (9) se representa em

V ∗ =∧3 (

K3)∗.

Esses espacos sao duais entre si com a dualidade dada pela forma bilinear definida por

(u1 ∧ u2 ∧ u3, α1 ∧ α2 ∧ α3) =∑σ

(−1)|σ|αi(uσ(i)

),


onde a soma percorre o conjunto das permutacoes de tres elementos e |σ| denota o ındiceda permutacao σ. Via essa dualidade, as representacoes em V e V ∗ se relacionam por

(X (u1 ∧ u2 ∧ u3) , α1 ∧ α2 ∧ α3) = −(u1 ∧ u2 ∧ u3, X (α1 ∧ α2 ∧ α3)).

Tomando uma base e1, . . . , e9 de K9, uma base de V e dada por

ei ∧ ej ∧ ek : i < j < k,

portanto, dimV =

(9

3

)= 84. Da mesma forma, tomando a base dual ε1, . . . , ε9, uma

base de V ∗ e dada por εi∧εj∧εk, i < j < k e, e claro, as dimensoes de V e V ∗ coincidem.Alem do mais, se H = diagλ1, . . . , λ9 na base de K9, entao sua representacao em Ve diagonal na base acima e os autovalores sao dados por λi + λj + λk, i < j < k e omesmo ocorre com a representacao emV ∗, so que agora os autovalores sao dados por− (λi + λj + λk), i < j < k. Pela dualidade acima, a base εi ∧ εj ∧ εk e dual da baseei ∧ ej ∧ ek.

A algebra E8 vai ser construıda no espaco

g = sl (9)⊕ V ⊕ V ∗.

Da mesma forma que em G2 o colchete entre elementos de V deve definir uma aplicacaobilinear anti-simetrica de V a valores em V ∗. Isso e feito com o auxılio da identificacao∧2

V =∧6

K9 ↔ V ∗,

que se obtem escolhendo a forma volume ν = e1∧· · ·∧e9 em∧9 K9. Com essa escolha,

η ∧ θ ∈∧2 V se identifica ao funcional α ∈ V ∗ cujo valor em ψ ∈ V e dado pela

igualdadeη ∧ θ ∧ ψ = α(ψ)ν

em∧9 K9. De forma dual, identifica-se

∧2 V ∗ com V , escolhendo agora a forma volumeν∗ em

∧9 (K9)∗

dada por ν∗ = ε1 ∧ · · · ∧ ε9. Essas identificacoes definem operadores deintercambio entre as representacoes de sl (9) em

∧2 V e V ∗ e em∧2 V ∗ e V . A razao

para isso e que Xν = (trX) ν = 0 e Xν∗ = 0. Alem do mais, em virtude da escolhade ν∗ como o dual de ν, as identificacoes preservam a dualidade no sentido em que atransposta do isomorfismo ∧2

V −→ V ∗

e a inversa de ∧2V ∗ −→ V.

O colchete em g = sl (9)⊕V ⊕V ∗ e definido agora nos pares formados por elementosdos subespacos que compoem esta soma.

1. Entre elementos de sl (9), o colchete e o usual.


2. Para X ∈ sl (9) e v ∈ V , [X, v] = Xv.

3. Para X ∈ sl (9) e η ∈ V ∗, [X, η] = Xη.

4. Se v, w ∈ V , entao [v, w] = a v ∧ w ∈ V ∗, com a um escalar a ser determinadopela identidade de Jacobi.

5. Se η, φ ∈ V ∗, entao [η, φ] = b η ∧ φ ∈ V e, da mesma forma, b e um escalar a serdeterminado pela identidade de Jacobi.

6. Se v ∈ V e φ ∈ V ∗, entao [v, φ] e um multiplo do valor em v ⊗ φ da aplicacaomomento da representacao de sl (9) em V . Explicitamente, [v, φ] ∈ sl (9) e ounico elemento de sl (9) que satisfaz

〈[v, φ], Z〉 = c φ (Zv)

para todo Z ∈ sl (9) onde 〈·, ·〉 denota a forma traco da representacao de sl (9)em K9:

〈X, Y 〉 = tr (XY ) .

Nessa definicao c e um escalar a ser determinado de acordo com a e b.

Esse colchete satisfaz a identidade de Jacobi. Isso se verifica da mesma maneiraque no caso G2. Como la, as unicas ternas, para as quais a identidade de Jacobi naoe imediata, sao as que envolvem dois elementos de V e um de V ∗. A identidade deJacobi para essas ternas e a que determina a compatibilidade entre os coeficientes a, be c. Sejam entao v, w ∈ V e φ ∈ V ∗. Os colchetes relevantes sao dados por

• [v, [w, φ]] = −[w, φ] v,

• [[v, w], φ] = a [v ∧ w, φ] = ab (v ∧ w) ∧ φ e

• [w, [v, φ]] = −[v, φ]w.

Deve-se verificar que o primeiro desses colchetes e a soma dos outros dois, ou deforma equivalente que

ab (v ∧ w) ∧ φ = [v, φ]w − [w, φ] v.

Para verificar essa igualdade e suficiente mostrar que ela e satisfeita quando avaliadaem ψ ∈ V ∗ arbitrario. Da mesma forma que na construcao de G2, o valor de ψ noprimeiro membro e dado por

ab (v ∧ w, φ ∧ ψ) = ab (φ (v)ψ (w)− φ (w)ψ (v)) . (8.18)

Por outro lado, avaliando ψ no segundo membro, obtem-se

[v, φ]ψ (w)− [w, φ]ψ (v) = ψ ([v, φ]w)− ψ ([w, φ]v) . (8.19)


Essa expressao define uma dualidade entre∧2 V e

∧2 V ∗, isto e, uma forma bilinearnao-degenerada em

∧2 V ×∧2 V ∗. De fato, pela definicao do colchete [v, φ],

c ψ ([v, φ]w) = 〈[v, φ], [w,ψ]〉

e daı que o segundo membro de (8.19) e anti-simetrico em v, w e tambem em φ, ψ,definindo, portanto, uma forma bilinear em

∧2 V ×∧2 V ∗. Calculando a forma em

bases de∧2 V e de

∧2 V ∗, verifica-se que ela nao e degenerada. Tanto a dualidade de(8.18) quanto a de (8.19) sao invariantes pelas representacoes de sl (9) em

∧2 V e∧2 V ∗.

Portanto, as dualidades definem operadores de intercambio entre as representacoes(veja exercıcio 14 do capıtulo 1). Por outro lado, essas representacoes sao irredutıveise daı que as dualidades sao multiplas uma da outra (veja exercıcio 8 do capıtulo 3).Existe, portanto, um escalar k tal que

〈[v, φ], [w,ψ]〉 = k (v ∧ w, φ ∧ ψ) .

Sendo assim, a identidade de Jacobi sera satisfeita se a, b, c sao escolhidos de tal formaque a b c = k.

A subalgebra h das matrizes diagonais em sl (9) e uma subalgebra de Cartan de g.Denotando por λi o funcional

λi : diaga1, . . . , a9 7−→ ai ,

as raızes de h sao dadas por

• αij = λi − λj, i 6= j cujos espacos de raızes estao contidos em sl (9),

• βijk = λi+λj +λk, i < j < k. Pois esses sao os autovalores dos elementos de h na

representacao em V =∧3 K9. Os espacos de raızes correspondentes sao gerados

por

ei ∧ ej ∧ ek .

• −βijk = − (λi + λj + λk), i < j < k cujos espacos de raızes estao contidos emV ∗.

Para encontrar um sistema simples para essas raızes, pode-se partir da ordem lexi-cografica em h∗ definida pela base

λ1 − λ2, . . . , λ8 − λ9.

Em relacao a essa ordem, as raızes λi − λj, i < j sao positivas. Para encontrar asdemais raızes positivas, observa-se que a restricao de λi + λj + λk a h coincide com ofuncional

−1

3

∑l

λl +2

3(λi + λj + λk)


onde, na soma do primeiro termo, l percorre os ındices diferentes de i, j, k. Os coeficien-tes desse funcional somam zero e, portanto, ele pode ser escrito como uma combinacaolinear da base acima. Em geral, um funcional

µ = b1λ1 + · · ·+ b9λ9

com b1 + · · ·+ b9 = 0, se escreve como

µ = a1 (λ1 − λ2) + · · ·+ a8 (λ8 − λ9)

com a1 = b1, a2 = b1 + b2, . . . , a9 = b1 + · · ·+ b8 = −b9. Assim, as raızes βijk positivassao aquelas em que i = 1 e uma raiz da forma −βijk e positiva se i 6= 1. Em resumo,as raızes positivas sao

• αij, 1 ≤ i < j ≤ 9,

• β1jk, 1 < j < k ≤ 9 e

• −βijk, 1 < i < j < k ≤ 9.

Dentre as somas dessas raızes, as que ainda fornecem raızes sao

1. αij + αrs com j = r o que da a raiz αis.

2. β1jk + αrs com r 6= j, k e s = j ou k. O resultado e uma raiz β1ra.

3. −βijk + αrs com r = i, j ou k e s 6= i, j, k, que da uma raiz −βabc.

4. β1rs−βijk com (r, s) igual a um dos pares formados por i, j, k. O resultado dessasoma e uma raiz α1a.

5. −βijk − βrst com i, j, k ∩ r, s, t = ∅. Como

λ1 + · · ·+ λ9 = 0,

o resultado dessa soma e da forma β1ab.

Com isso, e possıvel localizar as raızes simples: em 2), a soma diminui os subındicesda raiz β, portanto as raızes β1jk com (j, k) 6= (8, 9) nao sao simples. No entanto, em5),

−β234 − β567 = β189

e, portanto, nenhuma das raızes β1jk e simples. Ja em 3), a soma aumenta os subındicesde −β e daı que a unica raiz que nao aparece numa soma dessas e −β234. Como umaraiz −β so aparece como uma soma de raızes no caso 3), −β234 e simples. Por 4),α12 = β134 − β234. Portanto, as raızes simples sao

Σ8 = λ2 − λ3, . . . , λ8 − λ9,− (λ2 + λ3 + λ4),


cujo diagrama e

E8e e e e e e e

eα1 α2 α3 α4 α5 α6 α7

α8

com α8 = − (λ2 + λ3 + λ4). A raiz α8 se liga a α5 = λ4 − λ5, ja que

− (λ2 + λ3 + λ4) + (λ4 − λ5) = − (λ2 + λ3 + λ5)

e a unica soma entre as raızes simples, envolvendo α8, que e raiz. Na base do diagramaa ordem e dada por α1 = λ8 − λ9 e α7 = λ2 − λ3.

A algebra g e, portanto, uma realizacao do diagrama E8. Como a dimensao de

sl (9) e 80 e a de V e V ∗ e

(9

3

)= 84, a dimensao de E8 e 248.

O diagrama

E7e e e e e e

eα1 α2 α3 α4 α5 α6

α7

e obtido retirando de E8 a raiz mais a esquerda de sua base. Pela realizacao de E8,essa raiz e λ8−λ9. Portanto, o teorema 8.10 mostra que E7 e realizado pela subalgebragerada pelos espacos de raızes associados a

Σ7 = λ2 − λ3, . . . , λ7 − λ8,− (λ2 + λ3 + λ4)

e a −Σ7. As raızes positivas sao as raızes de E8, que sao combinacoes lineares comcoeficientes positivos das raızes em Σ7, e esse conjunto e um sistema simples. Tomandosomas sucessivas de elementos de Σ7, as raızes positivas de E7 ficam sendo

• λi − λj, 2 ≤ i < j ≤ 8,

• − (λi + λj + λk), 2 ≤ i < j < k ≤ 8 e

• λ1 + λi + λ9, 2 ≤ i ≤ 8.

No primeiro desses conjuntos de raızes existem 21 elementos, no segundo

(7

3

)= 35

e no terceiro 7. Existem, portanto, 21 + 35 + 7 = 63 raızes positivas e daı que adimensao de E7 e 2 · 63 + 7 = 133.

O diagrama

E6e e e e e


α6


e realizado pela subalgebra de E8, cujo sistema simples e

Σ6 = λ2 − λ3, . . . , λ6 − λ7,− (λ2 + λ3 + λ4).

As raızes positivas geradas por Σ6 sao

• λi − λj, 2 ≤ i < j ≤ 7,

• − (λi + λj + λk), 2 ≤ i < j < k ≤ 7 e

• λ1 + λ8 + λ9,

que sao em numero de 15 + 20 + 1 = 36. A dimensao de E6 e 2 · 36 + 6 = 78.

8.4.3 F4

A algebra F4 pode ser construıda como a subalgebra dos pontos fixos de um automor-fismo involutivo de E6.

Se θ : V → V e uma transformacao linear do espaco vetorial V tal que θ2 = 1, osseus autovalores sao ±1 e V se decompoe em soma direta dos auto-espacos associadosa esses autovalores. Em particular, se θ : g → g e uma automorfismo da algebra deLie g, essa se decompoe nos auto-espacos de θ. No entanto, como θ e automorfismo, osubespaco dos pontos fixos

k = X ∈ g : θ (X) = X

e uma subalgebra de g.Sendo assim, seja θ um automorfismo involutivo de E6 que estende o automorfismo

nao-trivial do diagrama. A existencia de θ vem do teorema 8.8: o automorfismo dodiagrama define uma transformacao linear no dual h∗ da subalgebra de Cartan. Porintermedio da forma de Cartan-Killing, define-se a partir daı uma transformacao linearna subalgebra de Cartan h que deixa invariante o conjunto das raızes. Pelo teorema8.8, essa ultima se estende a um automorfismo da algebra. Todas as transformacoeslineares envolvidas sao denotadas por θ. O fato de que o automorfismo do diagrama einvolutivo implica que existe uma extensao involutiva. Isso nao e evidente a partir doteorema 8.8, mas a discussao feita no capıtulo 12 sobre extensoes involutivas mostra,em particular, que os automorfismos de diagramas admitem tais extensoes (veja, paramais detalhes, o exercıcio 2 do capıtulo 12).

O subespaco k dos pontos fixos por esse automorfismo e uma subalgebra simplesque realiza F4.

Para ver isso, considera-se, em primeiro lugar, o subespaco hf = k∩h dos elementosde h fixos pelo automorfismo. Escrevendo as raızes do diagrama como

E6e e e e e


α6


o automorfismo e dado pelas permutacoes α1 ↔ α5, α2 ↔ α4 e as raızes α3 e α6 saofixas. Os funcionais α1 + α5 e α2 + α4 sao fixados por θ, enquanto que

θ (α1 − α5) = − (α1 − α5) e θ (α2 − α4) = − (α2 − α4) .

Assim, hf e o subespaco de dimensao quatro de h gerado por

Hα1+α5 , Hα2+α4 , Hα3 , Hα6 .

Esse subespaco e uma subalgebra de Cartan de k. De fato, os auto-espacos de θ saoortogonais, pois θ e uma transformacao ortogonal. Dessa forma, hf e o anulador deα1 − α5, α2 − α4 e um elemento de h∗ se anula identicamente em hf se e so se elepertence ao subespaco de h∗ gerado por esses funcionais. Qualquer funcional nessesubespaco se expressa em termos das raızes simples como combinacoes lineares em quealgum dos coeficientes e negativo. Portanto, nenhuma raiz se anula em hf . Como onumero de raızes e finito, existe H ∈ hf tal que α (H) 6= 0 para toda raiz α. Esseelemento de hf e regular na algebra E6 e, portanto, em k. O seu centralizador em k ehf e daı que esse subespaco e uma subalgebra de Cartan de k.

O subespaco gα ⊕ gθ(α) e invariante por θ e se decompoe como soma direta dossubespacos V +

α e V −α gerados respectivamente por Xα + θXα e por Xα − θXα. Oselementos de V +

α sao fixados por θ, enquanto que θ (Y ) = −Y para Y ∈ V −α . Osubespaco V −α e de dimensao um se θ (α) 6= α e se reduz a 0 se θ (α) = α. Fazendoα percorrer o conjunto de todas as raızes, os subespacos V ±α juntamente com h geramg. Dessa forma, a subalgebra k dos pontos fixos e dada por

k = hf ⊕∑α∈Π

V +α .

Com essa igualdade a subalgebra k fica determinada tao logo se conheca a acao deθ no conjunto de todas as raızes. As raızes de E6 foram dadas, acima, em termos dosfuncionais lineares λj, 2 ≤ j ≤ 7. Por isso, e conveniente calcular θ em termos dessesfuncionais. Usando a expressao de Σ6 em termos de λj, chega-se a que

[θ] =1

3

1 1 1 1 1 −21 1 1 1 −2 11 1 1 −2 1 11 1 −2 1 1 11 −2 1 1 1 1−2 1 1 1 1 1

,

cuja j-esima coluna indica os coeficientes de θ (λj) em relacao a λ2, . . . , λ7. Nessamatriz todos os elementos da coluna j sao iguais a 1/3, exceto o que aparece na linhaσ (j) onde σ e a permutacao σ = (2, 7) (3, 6) (4, 5). Usando essa permutacao, os valoresde θ nas raızes positivas sao

• θ (λi − λj) = λσ(j) − λσ(i), 2 ≤ i < j ≤ 7.


• θ (− (λi + λj + λk)) = − (λi′ + λj′ + λk′) onde i′, j′, k′ e o complementar em2, . . . , 7 de σ (i) , σ (j) , σ (k).

• θ (λ1 + λ8 + λ9) = −θ (λ2 + · · ·+ λ7) = λ1 + λ8 + λ9.

A partir daı, tira-se que as raızes positivas que sao fixas por θ sao

• λi − λσ(i), i = 2, 3, 4,

• − (λi + λj + λk) de tal forma que nenhum dos ındices i, j, k e imagem do outropor σ e

• λ1 + λ8 + λ9.

Existem, portanto, 12 raızes positivas invariantes por θ e, como em E6 existem 36raızes positivas, a quantidade de raızes que nao sao invariantes e 24. Assim, o subespacogerado por V +

α , α > 0 tem dimensao 24 e, portanto, a dimensao de k e 24+24+4 = 52.Sejam agora H ∈ hf e α raiz de E6. Entao,

[H,Xα + θXα] = α (H)Xα + α (θH) θXα = α (H) (Xα + θXα) ,

pois θ (H) = H, o que mostra que as restricoes a hf das raızes de E6 sao raızes de hfem k. No entanto, k e gerado por hf e V +

α e, portanto, essas restricoes cobrem todasas raızes de hf .

O dual de hf se identifica com o subespaco dos pontos fixos por θ em h∗. A projecaoortogonal em h∗ sobre o subespaco dos pontos fixos por θ e dada por

α 7−→ α + θ α

2

e, como α ∈ h∗ coincide em hf com sua projecao ortogonal, o conjunto das raızes dehf e a projecao ortogonal das raızes de h em E6 (veja o capıtulo 14 para mais detalhessobre essa projecao).

Para concluir, falta verificar que k e semi-simples e que o diagrama das raızes de hfe F4. O exercıcio 8 traz indicacoes de como mostrar que k e semi-simples. Quanto aodiagrama, a projecao do sistema simples de E6 e um sistema simples, isto e,

α1 + α5

2,α2 + α4

2, α3, α6

e um sistema simples de raızes para hf como subalgebra de Cartan de k. O diagramaassociado a esse sistema e encontrado a partir dos numeros de Killing entre as raızes.Por exemplo,

2〈α3, (α2 + α4) /2〉〈α3, α3〉

=〈α3, α2〉〈α3, α3〉

+〈α3, α4〉〈α3, α3〉

= −1

e, como 〈α2 + α4, α2 + α4〉 = 〈α2, α2〉+ 〈α4, α4〉 = 2〈α2, α2〉 = 2〈α4, α4〉,

2〈(α2 + α4) /2, α3〉〈(α2 + α4) /2, (α2 + α4) /2〉

=2〈α2, α3〉〈α2, α2〉

+2〈α4, α3〉〈α4, α4〉

= −2 .


Assim, as raızes longas do diagrama sao α3 e α6.A tabela abaixo mostra as raızes positivas de F4 com as respectivas alturas e com-

primentos. Na tabela as raızes simples sao denotadas por α1, α2, α3, α4 (que nao saoraızes de E6 como acima) ordenadas como no diagrama

F4eα1

eα2

eα3

A

eα4

As demais raızes foram construidas a partir das raızes simples por inducao sobre asalturas, aplicando a formula de Killing.

Tabela das raızes positivas de F4

altura curtas longas1 α3, α4 α1, α2

2 α2 + α3, α3 + α4 α1 + α2

3 α1 + α2 + α3, α2 + α3 + α4 α2 + 2α3

4 α1 + α2 + α3 + α4, α2 + 2α3 + α4 α1 + α2 + 2α3

5 α1 + α2 + 2α3 + α4 α1 + 2α2 + 2α3, α2 + 2α3 + 2α4

6 α1 + 2α2 + 2α3 + α4 α1 + α2 + 2α3 + 2α4

7 α1 + 2α2 + 3α3 + α4 α1 + 2α2 + 2α3 + 2α4

8 α1 + 2α2 + 3α3 + 2α4 —9 — α1 + 2α2 + 4α3 + 2α4

10 — α1 + 3α2 + 4α3 + 2α4

11 — 2α1 + 3α2 + 4α3 + 2α4


Em resumo, as algebras de Lie simples com as respectivas dimensoes sao dadas pelaseguinte tabela:

tipo dim l ≥ 1Al l(l + 2) l ≥ 2Bl l(2l + 1) l ≥ 3Cl l(2l + 1) l ≥ 4Dl l(2l − 1)G2 14F4 52E6 78E7 133E8 248

Notas

As construcoes das algebras excepcionais apresentadas aqui sao devidas a H. Freudenthal.

Uma forma alternativa e apresentar as algebras excepcionais como algebras de derivacoes de

certas algebras nao associativas. Por exemplo, G2 e a algebra das derivacoes dos octonions

(algebra de Cayley) e F4 e a algebra das derivacoes de uma algebra de Jordan de dimensao

27, a algebra de Jordan M83 , que pode ser realizada como uma subalgebra de matrizes sobre a

algebra de Cayley. Um tratamento detalhado dessa construcao e feito em [29] (veja tambem

[28] para G2, F4 e E6). As construcoes do texto, apesar de longas e trabalhosas, apresentam

as raızes de forma clara e sucinta.

8.5 Exercıcios

1. Escreva uma expressao para a forma de Cartan-Killing de cada uma das algebrasclassicas em termos da forma traco de suas representacoes canonicas. (Use oexercıcio 16 do capıtulo 3).

2. Use a formula de Killing para determinar os diagramas de Dynkin das algebrasclassicas, a partir das realizacoes das raızes. (O inves de usar a forma de Cartan-Killing, como apresentado no texto.)

3. Seja g = g1⊕g2 com g1 e g2 ideais simples. Mostre que as subalgebras de Cartande g sao da forma h1 ⊕ h2 com hi ⊂ gi subalgebra de Cartan.

4. Seja Θ um subconjunto do sistema de raızes simples Σ, denote por 〈Θ〉 o con-junto das raızes geradas por Θ e por g (Θ) a subalgebra gerada por gα com αpercorrendo 〈Θ〉. Mostre que g (Θ) e semi-simples. Motre tambem que h (Θ) =gerHα : α ∈ Θ e uma subalgebra de Cartan de g (Θ) e que Θ e o diagrama deDynkin de g (Θ).


5. Uma subalgebra de Borel de uma algebra semi-simples sobre um corpo algebrica-mente fechado e uma subalgebra do tipo b = h + n+ com

n+ =∑α∈Π+

gα

para alguma subalgebra de Cartan e algum sistema positivo de raızes. Umasubalgebra que contem uma subalgebra de Borel e chamada de subalgebra pa-rabolica . Mostre que essas subalgebras coincidem com seus normalizadores.Mostre tambem que duas subalgebras de Borel sao a imagem uma da outrapor um automorfismo da algebra. (Use o seguinte resultado, que sera provado noproximo capıtulo: dados dois sistemas simples de raızes Σ1 e Σ2, para uma mesmasubalgebra de Cartan h, existe φ ∈ Aut (g) tal que φ (h) = h e φ (Σ1) = Σ2.)

6. Continuando o exercıcio anterior, tome um subconjunto Θ do sistema de raızessimples Σ. Denote por 〈Θ〉 o conjunto das raızes geradas por Θ e escreva 〈Θ〉± =〈Θ〉 ∩ Π±. Defina n−Θ =

∑α∈〈Θ〉− gα e pΘ = n−Θ ⊕ b. Verifique que pΘ e uma

subalgebra. Mostre os seguintes fatos:

(a) Toda subalgebra parabolica p e conjugada a alguma subalgebra pΘ, isto e,existem φ ∈ Aut (g) e Θ ⊂ Σ tal que φ (p) = pΘ.

(b) O nilradical de pΘ e dado por n+ (Θ) =∑

α∈Π+\〈Θ〉+ gα.

(c) O radical soluvel r (pΘ) de pΘ e dado por r (pΘ) = hΘ ⊕ n+ (Θ), onde hΘ =H ∈ h : ∀α ∈ Θ, α (H) = 0.

(d) A subalgebra g (Θ) do exercıcio 4 e uma componente de Levi de pΘ, isto e,pΘ = g (Θ)⊕ r (pΘ).

(e) Uma subalgebra p e parabolica se, e so se, p⊥ = rn (p), onde p⊥ e o ortogonala p, em relacao a forma de Cartan-Killing de g e rn (p) e o nil-radical.

7. Use as realizacoes deste capıtulo para descrever as subalgebras parabolicas dasalgebras classicas.

8. A demonstracao de que k, na construcao de F4, e semi-simples pode ser feitaseguindo os passos: 1) O centralizador de k em E6 se anula (se X comuta comk, entao [H,X] = 0 para H ∈ hf regular de E6. Decompondo X no espaco deraızes, ve-se que X = 0). 2) Se k nao e semi-simples, existe radical soluvel r e ofato de que o centralizador e zero implica que o nil-radical n = [g, r] e diferentede zero (ver capıtulo de cohomologia). 3) A forma de Cartan-Killing de g e nao-degenerada em k, ja que 〈V +

α , Vβ〉 = 0 a menos que β = −α. Isso contradiz o fatode que n 6= 0, pois X ∈ n e nilpotente.

9. Verifique que as 18 raızes de B3 estao contidas num cubo centrado na origem,sendo que as raızes curtas sao os baricentros das faces, e as longas das arestas.As 12 raızes de D3 sao os pontos medios das arestas de um cubo semelhante, jaas 18 raızes de C3 sao os vertices e os pontos medios das arestas de um octaedro.


10. Mostre que a algebra das matrizes 4× 4 da forma(a12×2 βγ −a12×2

),

com β e γ anti-simetricas 2× 2, e isomorfa a sl (2). Exiba o isomorfismo.

11. Sejam g e g′ algebras simples sobre um corpo algebricamente fechado. Mostre quese dim g e um numero primo, entao existe um homomorfismo injetor φ : g→ g′.

Capıtulo 9

Grupos de Weyl

Neste capıtulo, os sistemas simples de raızes de uma subalgebra de Cartan serao olhadoscom mais detalhes. Um objeto fundamental para entender os sistemas simples e ogrupo de Weyl que e o grupo de transformacoes lineares da subalgebra de Cartan(ou seu dual), gerado pelas reflexoes definidas pelas raızes. Dessa forma, o estudodos sistemas simples segue em paralelo ao dos grupos de Weyl. No que segue, seraoconsiderados os sistemas de raızes que representam uma abstracao das propriedadesde um conjunto de raızes de uma subalgebra de Cartan. Com isso, leva-se em contauma situacao um pouco mais geral que a requerida para as algebras semi-simples sobrecorpos algebricamente fechados, que aparece, no entanto, em outros contextos como,por exemplo, nas algebras semi-simples reais.

9.1 Sistemas de raızes

Seja E um espaco vetorial de dimensao finita sobre R. Dado um elemento nao-nuloα ∈ E, uma reflexao em relacao a α e uma transformacao linear inversıvel r : E → Eque satisfaz

1. r(α) = −α

2. O conjunto Fr = β ∈ E : r(β) = β dos pontos fixos de s e um hiperplano deE.

Evidentemente, Fr e um subespaco complementar a reta gerada por α e, e claro,cada hiperplano complementar define uma reflexao em relacao a α. Como r restrito aFr e a identidade e r(α) = −α, r e involutivo, isto e, r2 = 1.

Definicao 9.1 Um conjunto Π ⊂ E e um sistema de raızes se satisfaz

1. Π e finito, gera E e nao contem 0.

2. Para todo α ∈ Π existe uma reflexao rα em relacao a α tal que rα(Π) = Π.

3. Para todos α, β ∈ Π, rα(β)− β e um multiplo inteiro de α.

235

236 Capıtulo 9. Grupos de Weyl

Os elementos de Π serao chamados de raızes. Observe que a segunda propriedadegarante que se α ∈ Π, entao −α = rα(α) tambem e raiz. A segunda condicao garanteainda que a reflexao rα e unica. De fato, suponha que para α ∈ Π existam duas reflexoesr1 e r2 em relacao a α que deixam Π invariante. Entao r = r1r2 e uma transformacaolinear inversıvel que deixa Π invariante. Como Π e finito, alguma potencia rk de r e aidentidade em Π. Mas pela primeira propriedade Π gera E, portanto rk e a identidadede E. Por outro lado, seja α, β1, . . . , βl−1 uma base de E tal que β1, . . . , βl−1 euma base do hiperplano Fr2 dos pontos fixos de r2. Entao em relacao a essa base, amatriz de r se escreve em blocos como(

1 ∗0 1l−1,l−1

)e, portanto, r e triangular superior de onde se ve que rk = 1 implica que r = 1, o quemostra que r1 = r2.

As propriedades que definem um sistema de raızes praticamente caracterizam umconjunto de raızes de uma subalgebra de Cartan de uma algebra de Lie semi-simplessobre um corpo algebricamente fechado. Uma diferenca essencial e quanto aos possıveismultiplos de raızes que sao tambem raızes. Tendo isso em vista, introduz-se a seguintecondicao adicional sobre um sistema de raızes.

Definicao 9.2 Um sistema de raızes Π e dito reduzido se os unicos multiplos de α ∈ Πque sao raızes sao α e −α.

Num sistema nao-reduzido, existem raızes α ∈ Π tal que tα ∈ Π com t 6= ±1.Este coeficiente, no entanto, se diferente de ±1, e sempre ±1

2ou ±2. De fato, como

rα(tα) − tα = −2tα, a terceira propriedade da definicao garante que 2t e inteiro. Damesma forma, como rtα(α)−α = −2

t(tα), −2

te inteiro e, portanto, t = ±1

2,±1 ou ±2.

(Veja o exercıcio 8 para mais informacoes sobre os sistemas nao-reduzidos).

Definicao 9.3 O grupo de Weyl de um sistema de raızes Π e o grupo gerado pelasreflexoes rα, α∈ Π. Este grupo sera denotado por WΠ, ou simplesmente W .

O grupo de Weyl de Π e finito. A razao disto e que, como W e gerado por trans-formacoes que deixam Π invariante, todo elemento de W deixa Π invariante e se umelemento de W e a identidade quando restrito a Π, entao ele e a identidade de E pois Πgera E. Dessa forma, a restricao a Π define um homomorfismo injetor de W no grupodas bijecoes de Π. Como Π e finito, isso implica que W e finito.

Atraves do grupo de Weyl, pode-se introduzir um produto interno em E adaptadoa Π. Isso se deve ao seguinte fato geral da teoria de representacoes de grupos.

Proposicao 9.4 Seja W um grupo finito de transformacoes lineares inversıveis deum espaco vetorial real E. Entao, existe em E um produto interno 〈·, ·〉 invariantepor W no sentido em que todo w ∈ W e uma isometria do produto interno, isto e,〈wα,wβ〉 = 〈α, β〉 para todo α, β ∈ E.

9.1. Sistemas de raızes 237

Demonstracao: Seja (·, ·) um produto interno arbitrario em E e defina

〈α, β〉 =∑w∈W

(wα,wβ).

Entao, 〈·, ·〉 e um produto interno pois 〈α, α〉 = 0 se e so se∑w∈W

(wα,wα) = 0

e isso ocorre se, e so se, α = 0 pois (·, ·) e um produto interno. A invariancia de 〈·, ·〉vem do fato de que na sua definicao a soma e estendida a todo W e daı que se r ∈ W ,entao

〈rα, rβ〉 =∑w∈W

((wr)α, (wr)β) =∑w∈W

(wα,wβ) = 〈α, β〉

o que mostra que os elementos de W sao ortogonais em relacao a 〈·, ·〉. 2

Em vista desta proposicao, fixa-se, de uma vez por todas, um produto internoinvariante pelo grupo de Weyl.

Em termos do produto interno invariante, as reflexoes rα, α ∈ Π, sao reflexoes emrelacao ao hiperplano α⊥ ortogonal a α. Isso porque α⊥ e rα-invariante, pois rα eortogonal e deixa invariante o subespaco gerado por α. Dessa observacao, segue deimediato que o hiperplano dos pontos fixos de rα e exatamente α⊥. Como, alem domais, rα (α) = −α, rα e a propria reflexao ortogonal

rα(β) = β − 2〈β, α〉〈α, α〉

α.

O grupo de Weyl permite decompor E e o sistema de raızes em componentes daseguinte forma: seja F ⊂ E um subespaco invariante por W , isto e, wF = F paratodo w ∈ W . Como os elementos de W sao transformacoes ortogonais, F⊥ tambem einvariante por W . Usando esse fato reiteradamente, obtem-se uma decomposicao de Eem subespacos dois a dois ortogonais

E = E1 ⊕ · · · ⊕ Ek

com Ei, i = 1, . . . , k subespaco invariante por W e irredutıvel, no sentido em que naoexistem subespacos proprios nao-nulos F ⊂ Ei que sejam W -invariantes. Esse tipo dedecomposicao funciona para qualquer subgrupo finito de transformacoes lineares. Nocaso particular do grupo de Weyl, que esta relacionado com um sistema de raızes, adecomposicao de E em subespacos invariantes acarreta uma decomposicao semelhantedo sistema de raızes:

Proposicao 9.5 Dada a decomposicao de E em subespacos W -invariantes e irre-dutıveis como acima, seja Πi = Π ∩ Ei, i = 1, . . . , k. Entao, Πi e um sistema deraızes em Ei e o grupo de Weyl de Πi coincide com a restricao de W a Ei. Alem domais, Π = Π1 ∪ · · · ∪ Πk.


Demonstracao: Sejam α ∈ Π e β ∈ Ei. Entao, rα(β) ∈ Ei pois Ei e W -invariante.Como

rα(β) = β − 2〈β, α〉〈α, α〉

α,

tem-se que ou α ∈ Ei ou 〈α, β〉 = 0. Mas como β ∈ Ei e arbitrario, isso significa queα ∈ Ei ou α ∈ E⊥i . Dessa forma, Πi 6= ∅, pois caso contrario, Π ⊂ E⊥i , contradizendo ofato de que Π gera E. Garantido isso, seja F o subespaco gerado por Πi. Usando o fatode que W e gerado por reflexoes ortogonais em relacao as raızes, e possıvel verificar, semmaiores problemas, que F e W -invariante, de onde se conclui que F = Ei pois Ei e ir-redutıvel. Isso mostra a primeira propriedade da definicao de um sistema de raızes. Asoutras duas sao obtidas de maneira imediata por restricao a Ei. Agora, o fato de W sergerado por reflexoes ortogonais implica que sua restricao a Ei e gerada pelas reflexoesem relacao as raızes em Ei e, portanto, coincide com o grupo de Weyl de Πi. Por fim,dada uma raiz α, tem-se que α ∈ Ej para algum j, pois os subespacos invariantes saoortogonais e se a raiz nao esta num subespaco invariante, entao ela pertence ao ortogo-nal a esse subespaco. Isso mostra que Π = Π1∪· · ·∪Πk, concluindo a demonstracao. 2

Um sistema de raızes e dito irredutıvel se ele nao e a uniao de dois subconjuntosdisjuntos e ortogonais. A proposicao acima mostra que a decomposicao de E emsubespacos invariantes decompoe Π em componentes ortogonais. Reciprocamente, naoe difıcil verificar que uma decomposicao de Π em conjuntos disjuntos e ortogonaisacarreta uma decomposicao de E em espacos invariantes por W . Dessa forma, qualquersistema de raızes e a uniao de sistemas irredutıveis e um sistema e irredutıvel se e so seo grupo de Weyl e irredutıvel em E. A seguinte proposicao oferece uma caracterizacaoalternativa para os sistemas irredutıveis.

Proposicao 9.6 Um sistema Π e irredutıvel se e so se para qualquer par de raızesα, β ∈ Π existe uma sequencia de raızes α1, . . . , αs com α = α1, β = αs e 〈αi, αi+1〉 6= 0,i = 1, . . . , s− 1.

Demonstracao: Para duas raızes α e β escreva α ↔ β, se existe uma sequencia deraızes como no enunciado ligando α a β. Fixando uma raiz α seja

Πα = β ∈ Π : α↔ β

e denote por Π0α o seu complementar, isto e, o conjunto das raızes que nao sao ligadas

a α.

Esses conjuntos sao ortogonais entre si, pois se γ ∈ Π0α nao e ortogonal a β ∈ Πα,

entao a ligacao de α a β se estende a γ contradizendo a definicao de Π0α. Portanto, se

o sistema e irredutıvel, toda raiz e ligada a α e daı que duas raızes sao ligadas entre si.

Reciprocamente, se o sistema nao e irredutıvel, entao se α e β estao em subespacosinvariantes diferentes nao e possıvel ligar α a β. 2


A expressao dada acima para as reflexoes rα tem consequencias interessantes. Umadelas e que os numeros de Killing

2〈β, α〉〈α, α〉

α, β ∈ Π

sao inteiros como segue da propriedade 3) da definicao de sistemas de raızes. A partirdaı, pode-se escolher o produto interno invariante de tal forma que ele assuma valoresracionais em Π.

Proposicao 9.7 Existe um produto interno invariante pelo grupo de Weyl tal que〈α, β〉 e racional para todo α, β ∈ Π.

Demonstracao: Assuma em primeiro lugar que Π e irredutıvel e tome α ∈ Π.Como os multiplos de um produto interno invariante sao tambem invariantes, e possıvelescolher 〈·, ·〉 de tal forma que 〈α, α〉 seja racional. Essa escolha fornece um produtointerno como no enunciado. De fato, se β ∈ Π e tal que 〈α, β〉 6= 0, entao

〈β, β〉〈α, α〉

=2〈β, α〉〈α, α〉

〈β, β〉2〈β, α〉

e racional, pois os numeros de Killing sao inteiros e daı que 〈β, β〉 e racional. Por outrolado, a proposicao 9.6 garante que, no caso irredutıvel, qualquer γ ∈ Π pode ser ligadaa α, isto e, existem αi ∈ Π, i = 1, . . . , s com α = α1, αs = γ e tal que 〈αi, αi+1〉 6= 0.Dessa forma, por recorrencia verifica-se que 〈αi, αi〉 e racional e, portanto, que 〈γ, γ〉 eracional para todo γ ∈ Π. Usando novamente o fato de que os numeros de Killing

2〈γ, α〉〈α, α〉

sao inteiros, chega-se a que 〈α, γ〉 e racional concluindo a demonstracao para sistemasirredutıveis.

O caso geral segue do caso irredutıvel tomando a decomposicao

E = E1 ⊕ · · · ⊕ Ek

em componentes irredutıveis. Cada Ei admite um produto interno invariante que as-sume valores racionais em Πi = Π∩Ei. Esses produtos internos definem, por extensaobilinear, um produto interno invariante em E que assume valores racionais em Π. 2

Como sera verificado logo mais, um sistema de raızes reduzido e sempre um conjuntode raızes de alguma subalgebra de Cartan de uma algebra de Lie semi-simples sobreum corpo algebricamente fechado. Estes, no entanto, sao subconjuntos de um espacovetorial racional, mas nao real como considerado aqui. Convem, entao, comparar essesdois corpos de escalares. E claro, da mesma maneira que acima, podem ser definidossistemas de raızes em espacos vetoriais racionais. Agora, dado um espaco vetorial Fsobre o corpo dos racionais, seja E o espaco vetorial real obtido por extensao do corpo


de escalares. Se Π e um sistema de raızes em F , entao Π satisfaz a propriedade 1)quando considerado como subconjunto de E, pois conjuntos geradores de F geram Esobre os reais. Alem do mais, a extensao de uma reflexao rα de F e uma reflexaode E em que o hiperplano dos pontos fixos e obtido por extensao. Dessa forma, aspropriedades 2) e 3) sao satisfeitas por Π quando este e considerado como subconjuntode E e, portanto, Π e um sistema de raızes de E.

Por outro lado, seja Π ⊂ E um sistema de raızes no espaco vetorial real E e FΠ

o subespaco racional gerado por Π. Evidentemente, Π visto como um subconjuntode FΠ satisfaz a primeira propriedade da definicao de um sistema de raızes. Paraverificar as outras, seja α ∈ Π. A reflexao rα deixa Π invariante e como rα e umatransformacao linear de E, considerado como espaco vetorial racional, FΠ e tambeminvariante. Portanto, rα define uma transformacao linear r′α de FΠ. Tomando em Eum produto interno invariante e que assume valores racionais em Π, como garantidona ultima proposicao, define-se, por restricao, um produto interno em FΠ. Com esseproduto interno, r′α fica sendo a reflexao ortogonal em relacao a α dentro de FΠ. Dessaforma, as propriedades 2) e 3) sao satisfeitas automaticamente, mostrando que Π e umsistema de raızes em FΠ.

Em resumo, um sistema de raızes num espaco vetorial racional e tambem um sis-tema de raızes num espaco real e vice-versa, sendo, portanto, indiferente a escolha dequalquer um desses corpos como escalares. Nesse sentido, o conjunto das raızes de umasubalgebra de Cartan h de uma algebra semi-simples forma um sistema de raızes em h∗Qcom as reflexoes dadas pelas reflexoes ortogonais em relacao a forma de Cartan-Killing,cuja restricao a h∗Q e um produto interno invariante pelo grupo de Weyl.

Voltando aos numeros de Killing, o fato de que2〈β, α〉〈α, α〉

e inteiro garante, da mesma

forma que no caso das raızes de uma subalgebra de Cartan, que esses numeros podem

assumir apenas os valores 0,±1,±2,±3,±4, sendo que2〈β, α〉〈α, α〉

= ±4 se e so se β = ±2α,

o que ocorre apenas em sistemas nao-reduzidos. Alem do mais, a partir da igualdade

4 cos 2θ =2〈β, α〉〈α, α〉

2〈α, β〉〈β, β〉

,

onde θ e o angulo entre α e β, verifica-se que2〈β, α〉〈α, α〉

= ±1 se

2〈β, α〉〈β, β〉

= ±2 ou ± 3.

A partir daı, e possıvel mostrar que a formula de Killing vale tambem no contextodos sistemas de raızes. Como anteriormente para α, β ∈ Π, a α-sequencia iniciada emβ e formada pelo conjunto dos elementos do tipo β + nα que pertencem a Π ∪ 0.

Proposicao 9.8 Sejam α, β ∈ Π. Entao, a α-sequencia iniciada em β

β − pα, . . . , β, . . . , β + qα


e um intervalo e satisfaz

p− q =2〈β, α〉〈α, α〉

.

Demonstracao: O resultado e imediato se α e β sao raızes proporcionais. Porexemplo, se β = 2α entao a sequencia e

−2α,−α, 0, α, 2α

e q = 0, p = 4 e, e claro, o numero de Killing e 4.Supondo que α e β nao sao proporcionais, a α-sequencia iniciada em β esta contida

no plano gerado por α e β e e simetrica em relacao a reta perpendicular a α pois einvariante por rα. Dessa forma, as raızes β − pα e β + qα sao tambem simetricas e,portanto,

β − pα = rα(β + qα) = β + qα− 2〈β + qα, α〉〈α, α〉

α.

Daı que

p− q =2〈β, α〉〈α, α〉

.

Falta entao mostrar que a α-sequencia e um intervalo. Para isso, sera feita umaanalise, caso a caso, das raızes no plano gerado por α e β de acordo com os diferentes

valores de2〈β, α〉〈α, α〉

. Nos casos em que α e β nao sao perpendiculares, supoe-se que

〈α, β〉 > 0. Isso pode ser feito, pois rα(β) pertence a α-sequencia iniciada em β e 〈α, β〉e 〈α, rα(β)〉 tem sinais diferentes.

1. 〈α, β〉 = 0. Se a α-sequencia iniciada em β se reduz a β, entao ela e evidentementeum intervalo. Por outro lado, se existe algum outro elemento na sequencia elenao e perpendicular a α e a analise recai nos outros casos.

2.2〈β, α〉〈α, α〉

= 1 =2〈β, α〉〈α, α〉

. Entao, α e β sao raızes de mesmo comprimento e formam

entre si um angulo de 60. Dessa forma, α e β podem ser realizados em R2 por

α = (1, 0) β = (1

2,

√3

2).

Por essa realizacao, ve-se que os unicos elementos da forma β+nα com n inteiroque formam com α um dos angulos permitidos entre raızes sao β + α (angulo de30), β − α (angulo de 120) e β − 2α (angulo de 150). Se β + α e raiz, entaotodos esses elementos sao raızes por simetria em relacao a reta perpendicular aα e daı que a α-sequencia iniciada em β e um intervalo. Ja se β + α nao e raiz,entao β − 2α nao e raiz e as raızes sao β − α e β + α, que tambem formam umintervalo.


3.2〈β, α〉〈α, α〉

= 2. Entao,2〈β, α〉〈β, β〉

= 1 e as raızes podem ser realizadas como α = (1, 0)

e β = (1, 1), ja que o angulo entre elas e de 45 e

〈β, β〉〈α, α〉

=2〈β, α〉〈α, α〉

〈β, β〉2〈α, β〉

= 2.

Daı se ve que as possıveis raızes sao β − α = (0, 1) e β − 2α = (−1, 1). Esteultimo elemento e raiz, pois e simetrico a β em relacao a reta perpendicular a α.Como (0, 1) e simetrico a (1, 0) em relacao a reta perpendicular a (−1, 1), β − αtambem e raiz e daı que a α-sequencia iniciada em β e um intervalo. Da mesmaforma se verifica que a β-sequencia iniciada em α e um intervalo.

4.2〈β, α〉〈α, α〉

= 3. O angulo entre α e β e de 30 e 〈β, β〉 = 3〈α, α〉. Portanto, uma

realizacao em R2 e dada por α = (1, 0) e β = (32,√

32

). A partir daı, uma analisegeometrica semelhante aos casos anteriores mostra que a sequencia e de fato umintervalo.

Esses itens cobrem todos os casos, concluindo a demonstracao. 2

Fixando uma ordem lexicografica em E, diz-se, como no capıtulo 6, que uma raizα ∈ Π e simples se ela nao e a soma de duas raızes positivas. O conjunto das raızessimples sera denotado por Σ. Toda a discussao feita anteriormente sobre as raızessimples de uma subalgebra de Cartan se reproduzem aqui no contexto dos sistemasde raızes. As demonstracoes feitas, entao, fazem referencia as algebras semi-simplesatraves apenas da formula de Killing que, pela proposicao anterior, vale tambem parasistemas de raızes em geral. Dessa forma, o conjunto das raızes simples e uma basede E e uma raiz qualquer e escrita como combinacao linear, com coeficientes inteiros,das raızes simples, e todos os coeficientes com o mesmo sinal. Da mesma maneira, Σdefine uma matriz de Cartan e um diagrama Dynkin, que determinam sua estruturageometrica. O processo utilizado anteriormente para obter todas as raızes a partir dosistema simples pode ser empregado aqui, ja que a formula de Killing tambem estadisponıvel. A diferenca, porem, e que num sistema de raızes, em geral, pode ocorrerque o dobro de uma raiz seja tambem raiz e isso nao e detectado pelo diagrama deDynkin. Mas esse processo funciona para os sistemas reduzidos, o que mostra queum sistema de raızes deste tipo e sempre o conjunto das raızes de uma subalgebrade Cartan sobre um corpo algebricamente fechado. Sistemas de raızes nao-reduzidosaparecem, por exemplo, nas algebras de Lie semi-simples reais.

A um sistema de raızes Π ⊂ E esta associado um sistema dual Π∗ ⊂ E∗ da seguinteforma: um produto interno invariante pelo grupo de Weyl define o isomorfismo α ∈E 7→ λα = 〈α, ·〉 ∈ E∗ entre E e E∗. Esse isomorfismo define um produto interno em


E∗ dado por 〈λα, λβ〉 = 〈α, β〉. A reflexao em E∗ em relacao ao subespaco ortogonal aλα e dada por

rλα(λβ) = λβ −2〈λβ, λα〉〈λα, λα〉

λα

= λrαβ .

Portanto,

Π∗ = λα : α ∈ Π

e um sistema de raızes em E∗ e o grupo de Weyl de Π∗ e o proprio grupo de Weyl deΠ agindo em E∗ por transposicao. Como a aplicacao linear α 7→ λα e um isomorfismoentre E e E∗, esses fatos sobre o sistema dual sao um caso particular da seguinteafirmacao sobre isomorfismos entre sistemas de raızes.

Proposicao 9.9 Sejam Π1 e Π2 sistemas de raızes em E1 e E2 com grupos de WeylW1 e W2 e escolha produtos internos invariantes 〈·, ·〉1 e 〈·, ·〉2 respectivamente. Sejaφ : E1 → E2 um isomorfismo que satisfaz φ (Π1) = Π2 e suponha que Π1 seja irredutıvel.Entao,

〈φ (α) , φ (β)〉2 = c〈α, β〉1 α, β ∈ Π,

onde c e uma constante. Em particular, existem produtos internos invariantes emrelacao aos quais φ e uma isometria. Alem do mais,

rφ(α) = φraφ−1

se α ∈ Π1. Se Π1 = Π2 entao c = 1, isto e, φ e isometria.

Demonstracao: A imagem por φ da β-sequencia iniciada em α coincide com aφ (β)-sequencia iniciada em φ (α). Portanto, a formula de Killing garante que

〈α, β〉1〈β, β〉1

=〈φ(α), φ (β)〉2〈φ (β) , φ (β)〉2

.

Essa igualdade pode ser reescrita como

〈α, β〉1 = cβ〈φ (α) , φ (β)〉2, (9.1)

onde

cβ =〈β, β〉1

〈φ (β) , φ (β)〉2.

A simetria entre α e β em (9.1) mostra que cα = cβ se 〈α, β〉1 6= 0. Pela irredutibilidadede Π1, cα independe de α, mostrando a primeira parte da proposicao. A conjugacaoentre as reflexoes no grupo de Weyl segue da mesma maneira que no caso dos sistemasduais.

No caso em que Π1 = Π2 a igualdade 〈φ (α) , φ (β)〉2 = c〈α, β〉1 aplicada a α = βmostra que c = 1 se para alguma raiz α a raiz φ (α) tem o mesmo comprimento


que α o que ocorre num diagrama que tem apenas ligacoes simples. Ja num dia-grama com ligacoes multiplas suponha por absurdo que α e φ (α) tem comprimen-tos diferentes. Por exemplo α e raiz longa e φ (α) e raiz curta. Segue da igualdade〈φ (α) , φ (α)〉2 = c〈α, α〉1 que c < 1 o que implica que φ2 (α) e uma raiz de comprimentomenor que φ (α) o que e absurdo. De forma simetrica se chega a uma contradicao casoα seja raiz curta e φ (α) longa. 2

9.2 Grupos de Weyl e sistemas simples

Seja Σ um sistema simples de raızes e Π+ o conjunto das raızes positivas correspondente.Como o grupo de Weyl deixa o sistema de raızes invariante, se w ∈ W , entao w(Σ) ⊂ Πe uma base de E e Π = w(Π+) ∪ w(−Π+). Alem do mais, os elementos de w(Π+) seescrevem como combinacoes lineares de w (Σ) com coeficientes inteiros ≥ 0. Em outraspalavras, w(Σ) e tambem um sistema simples de raızes. Dessa forma W age no conjuntodos sistemas simples de raızes. A seguir sera mostrado que essa acao e transitiva, isto e,se Σ1 e Σ2 sao dois sistemas simples de raızes entao existe w ∈ W tal que Σ2 = w (Σ1).

Proposicao 9.10 Seja Σ = α1, . . . , αl um sistema simples e Π+ o conjunto dasraızes positivas correspondente. Entao, para todo i = 1, . . . , l

rαi(αi) = −αi

e

rαi(Π+ − Ai) = Π+ − Ai,

onde Ai = αi ou αi, 2αi dependendo se 2αi e ou nao raiz. Portanto, αi e 2αi saoas unicas raızes positivas que sao levadas em negativas pela reflexao rαi definida porαi.

Demonstracao: A primeira igualdade e imediata. Quanto a segunda, seja β umaraiz positiva. Entao,

rαi(β) = β − 2〈β, αi〉〈αi, αi〉

αi .

No entanto, β = n1α1 + · · · + nlαl com nj ≥ 0 para todo ındice j. Como todos oscoeficientes da combinacao linear de uma raiz em relacao as raızes simples tem o mesmosinal, a igualdade acima mostra que rαiβ e uma raiz negativa se e so se nj = 0 paraj 6= i, o que significa que β e um multiplo de αi, isto e, β = αi ou 2αi.

Isso mostra que rαi(Π+ − Ai) ⊂ Π+. Agora, como rαi(−αi) = αi (e rαi(−2αi) =

2αi), rαi(Π+ − Ai) ⊂ Π+ − Ai e, como esses conjuntos tem o mesmo numero de ele-

mentos, ja que rαi e uma bijecao no conjunto das raızes, conclui-se que esses conjuntoscoincidem. 2

9.2. Grupos de Weyl e sistemas simples 245

Proposicao 9.11 Sejam Σ0 e Σ sistemas simples de raızes cujos conjuntos de raızespositivas sao Π+

0 e Π+, respectivamente. Entao existe w ∈ W tal que w (Σ0) = Σ ew (Π0) = Π.

Demonstracao: Dados Σ0 ⊂ Π+0 e Σ ⊂ Π+ como no enunciado escreva Π−0 = −Π+

0

e Π− = −Π+. Seja n(Π+) o numero de raızes em Π− ∩ Π+0 . A demonstracao e por

inducao sobre n(Π+). Procura-se w ∈ W tal que w(Π+0 ) = Π+. Se n(Π+) = 0 entao

Π− ∩ Π+0 = ∅ e Π+ = Π+

0 . Portanto, w = 1 satisfaz o que se pede.Assumindo, entao, que n(Π+) ≥ 1, existe uma raiz simples α ∈ Σ0 tal que α ∈ Π−

pois, caso contrario, Σ0 ⊂ Π+ e os dois sistemas coincidem. Para fixar as ideias suponhaque, para essa raiz α, 2α nao e raiz. Entao,

n(r−1α Π+) = n(Π+)− 1.

De fato, como α ∈ Π−,

Π+0 ∩ Π− = ((Π+

0 − α) ∩ Π−) ∪ α.

Portanto, n(Π+) e um a mais que o numero de elementos em (Π+0 − α) ∩ Π−.

Por outro lado, r−1α Π− = −r−1

α Π+ = (r−1α Π+)− e

Π+0 ∩ r−1

α Π− = r−1α (rαΠ+

0 ∩ Π−)= r−1

α (rα((Π+0 − α) ∪ α) ∩ Π−)

= r−1α (((Π+

0 − α) ∪ −α) ∩ Π−)= r−1

α ((Π+0 − α) ∩ Π−),

pois rα(Π+0 − α) = Π+

0 − α e rα(α) = −α. Como −α /∈ Π− pois α ∈ Π−,

Π+0 ∩ r−1

α Π− = r−1α ((Π+

0 − α) ∩ Π−)

e, portanto, n(r−1α Π+) e igual ao numero de elementos em (Π+ − α) ∩ Π− o que,

juntamente com o anterior, mostra que n(r−1α Π+) = n(Π+) − 1, como foi anunciado.

No caso em que 2α tambem e raiz, os mesmos argumentos mostram que

n(r−1α Π+

)= n

(Π+)− 2.

Em todo, caso n (r−1α Π+) e menor que n (Π+), existindo, portanto, w ∈ W tal que

r−1α Π+ = wΠ+

0 ,

o que significa que Π+ = rαwΠ+0 , que e o que se queria mostrar. 2

Uma consequencia imediata da transitividade do grupo de Weyl nos sistemas sim-ples de raızes e que os diagramas de Dynkin, definidos pelos mesmos, coincidem. Issoporque os diagramas dependem apenas da geometria das raızes simples, isto e, dos seusangulos mutuos e de seus comprimentos relativos e os elementos do grupo de Weyl saotransformacoes ortogonais em relacao ao produto interno invariante. Portanto, essageometria permanece inalterada.


9.3 Decomposicoes minimais

Ao longo desta secao se fixara um sistema simples de raızes

Σ = α1, . . . , αl,

cujo conjunto de raızes positivas e denotado por Π+ e a camara de Weyl associada porC. Como foi visto, todo sistema simples e obtido a partir deste pela acao do grupo deWeyl.

Sejam α ∈ Π e w ∈ W . Entao, β ∈ E,

rwα(β) = β − 2〈β, wα〉〈wα,wα〉

wα

= w(w−1β − 2〈w−1β, α〉〈α, α〉

α)

= wrαw−1(β),

pois w e isometria. Isto e, vale o seguinte caso particular da proposicao 9.9

rwα = wrαw−1.

A partir desta conjugacao, e possıvel mostrar que as reflexoes em relacao as raızessimples apenas sao suficientes para gerar W .

Theorem 9.12 O grupo de Weyl W e gerado pelas reflexoes rα, α ∈ Σ. Alem do

mais, para toda raiz β ∈ Π existe w ∈ W tal que wβ ouwβ

2pertence a Σ. Portanto, se

o sistema for reduzido, toda raiz de Π e imagem de uma raiz simples por um elementode W .

Demonstracao: Seja W0 o subgrupo de W gerado pelas reflexoes em relacao asraızes simples. Dado β ∈ Π+, seja W0β = wβ : w ∈ W0 a orbita de β por W0. Sejatambem γ ∈ W0β ∩Π+ um elemento de altura mınima, isto e, a altura de γ e a menorentre as alturas das raızes positivas que se encontram na orbita de β. Para mostrara segunda afirmacao do teorema, o que se deseja e mostrar que γ ou γ/2 esta em Σ.Suponha, por absurdo, que isso nao ocorre. Entao, existe uma raiz simples α diferentede γ e γ/2 tal que 〈α, γ〉 > 0 pois, caso contrario, o conjunto Σ∪γ seria linearmenteindependente (veja o corolario 1). Sendo assim,

rα(γ) = γ − 2〈γ, α〉〈α, α〉

α

e uma raiz. Como γ nao e multiplo de α e todas as coordenadas de rα(γ) em relacaoas raızes simples tem o mesmo sinal, conclui-se que rα(γ) e uma raiz positiva. Mas〈γ, α〉 > 0 e, portanto, rα(γ) tem altura menor que γ, contradizendo a escolha de γ.

Isso mostra que, para β ∈ Π, wβ ouwβ

2e uma raiz simples para algum w ∈ W0. Agora

β e β/2 definem a mesma reflexao e, portanto, a conjugacao

rwβ = wrβw−1

9.3. Decomposicoes minimais 247

com w ∈ W0 mostra que rβ ∈ W0 para toda raiz β e, como W e gerado pelas con-jugacoes em relacao as raızes, W = W0, concluindo a demonstracao do teorema. 2

Este teorema esclarece completamente as orbitas de W no conjunto das raızes deum sistema reduzido. Num sistema desses, toda raiz e a imagem de uma raiz simplespor um elemento do grupo de Weyl. Dessa forma, as orbitas desse grupo no conjuntodas raızes sao determinadas por suas restricoes ao conjunto das raızes simples. Porem,se duas raızes simples α e β sao ligadas por uma unica aresta, entao suas reflexoesrespectivas rα e rβ satisfazem

rα (β) = α + β = rβ (α)

e, portanto, rβrα (β) = α e uma raiz e obtida da outra por um elemento do grupode Weyl. Da mesma maneira, se as raızes α e β sao ligadas por uma sequencia deraızes ligadas sucessivamente por uma aresta, entao w (α) = β para algum w ∈ W .Olhando, entao, os diagramas de Dynkin, a conclusao e que duas raızes simples demesmo comprimento sao a imagem uma da outra por um elemento do grupo de Weyl.Com isso, ficam determinadas as orbitas de W no conjunto das raızes:

Proposicao 9.13 Num sistema de raızes reduzido e irredutıvel (cujo diagrama de Dyn-kin e conexo), para duas raızes α e β de mesmo comprimento, existe w ∈ W tal quew (α) = β. Em particular, se os diagramas sao Al, Dl ou os excepcionais E6, E7 ou E8,entao o grupo de Weyl e transitivo no conjunto das raızes. Para os demais diagramas,existem duas orbitas pela acao do grupo de Weyl no conjunto das raızes.

O objetivo agora e olhar com detalhes a maneira como as reflexoes em relacao asraızes simples geram os elementos do grupo de Weyl. Seja

Σ = α1, . . . , αl

um sistema simples. A reflexao em relacao a αi ∈ Σ sera denotada por ri. Essasreflexoes serao chamadas de reflexoes simples. O fato de que as reflexoes ri, i = 1, . . . , lgeram W , permite que se assuma na discussao a seguir que Π e um sistema reduzido.De fato, Σ gera um sistema reduzido cujo grupo de Weyl coincide com W , ja queduas raızes proporcionais definem a mesma reflexao. Dessa forma, para simplificar osenunciados sera assumido, de uma vez por todas, que Π e um sistema reduzido.

Para w ∈ W seja

Π(w) = |w(Π+) ∩ Π−| = |Π+ ∩ w−1(Π−)| (9.2)

o conjunto das raızes positivas que sao levadas em negativas por w e denote por n(w)o numero de elementos em Π(w). Este numero esta relacionado com a forma como wse escreve como produtos das reflexoes ri:

Lema 9.14 Para w ∈ W e i = 1, . . . , l valem as igualdades:

1. n(w−1) = n(w)


2. n(wri) = n(w)± 1 com o sinal de acordo com o sinal da raiz w(αi).

3. n(riw) = n(w)± 1 com o sinal de acordo com o sinal da raiz w−1(αi).

Demonstracao:

1. Por (9.2),Π(w−1) = w−1(Π+) ∩ Π−

= w−1(Π+ ∩ w(Π−)).

Alem do mais, Π+ ∩w(Π−) tem o mesmo numero de elementos que Π(w) ja queum e o oposto do outro. Como w−1 e bijecao, n(w−1) = n(w).

2. Pela proposicao 9.10,

ri(Π+) = −αi ∪ (Π+ − αi).

Ao aplicar w a esse conjunto, surgem as seguintes possibilidades:

(a) w(αi) e positiva. Entao, as raızes positivas que sao levadas em negativaspor w estao em Π+−αi e sua quantidade e n(w). Alem do mais, w(−αi)e raiz negativa e daı que a quantidade de raızes negativas em wri(Π

+) en(w) + 1.

(b) w(αi) e negativa. Entao, as raızes positivas que sao levadas em negativas saoαi e as n(w)− 1 raızes em Π+ − αi. Como w(−αi) e positiva, conclui-seque a quantidade de raızes negativas em wri(Π

+) e n(w)− 1.

3. E consequencia dos itens anteriores, pois r−1i = ri e n(riw) = n(w−1

i r).

Uma consequencia deste lema e que se w ∈ W e escrito como produto de reflexoessimples

w = ri1 · · · rik ,entao

n(w) ≤ k, (9.3)

ja que, para todo w′ ∈ W , n (w′r) ≤ n (w′) + 1 se r e uma reflexao simples.Uma decomposicao de w ∈ W como produto de reflexoes simples e dita minimal se

a quantidade de reflexoes e a menor possıvel entre todas as decomposicoes existentes.Pela desigualdade em (9.3), numa decomposicao minimal, o numero de reflexoes simplesque aparece e pelo menos n(w). Na verdade, esses numeros coincidem, isto e, o numerode raızes positivas que sao levadas em negativas por w ∈ W e tambem o numero deraızes simples que aparece numa decomposicao minimal de w. Este fato e provado nasproposicoes seguintes.

Proposicao 9.15 Suponha que w ∈ W se escreve como

w = r1 · · · rk

com ri = rαi reflexao simples. Entao, as seguintes afirmacoes sao equivalentes

9.3. Decomposicoes minimais 249

(i) n(w) < k.

(ii) r1 · · · rjαj+1 e uma raiz negativa para algum j < k.

(iii) αi = ri+1 · · · rjαj+1 para algum par i, j com 1 ≤ i ≤ j < k.

(iv) ri+1 · · · rj+1 = ri · · · rj para algum par i, j com 1 ≤ i ≤ j < k.

(v) Para algum par i, j com 1 ≤ i ≤ j < k pode-se retirar ri e rj do produto, isto e,

w = r1 · · · ri · · · rj+1 · · · rk,

onde · significa que o elemento e retirado do produto.

Demonstracao:

(i)⇒(ii) Suponha que para todo j = 1, . . . k − 1,

r1 · · · rjαj+1 > 0.

Entao, pelo lema 9.14 aplicado a r1 · · · rj e αj+1,

n(r1 · · · rj+1) = n(r1 · · · rj) + 1,

de onde se conclui, por inducao, que n(w) = k contradizendo (i).

(ii)⇒(iii) Seja j um ındice dado por (ii). Entao, r1 · · · rjαj+1 < 0 e αj+1 > 0 e daıque existe um ındice i ≤ j tal que ri · · · rjαj+1 < 0 e ri+1 · · · rjαj+1 > 0. Issosignifica que ri aplica a raiz positiva ri+1 · · · rjαj+1 em uma raiz negativa. Mas rie a reflexao simples definida por αi. Portanto, pela proposicao 9.10, tem-se queαi = ri+1 · · · rjαj, mostrando (iii).

(iii)⇒(iv) Como αi = ri+1 · · · rjαj+1, a reflexao ri em relacao a αi e conjugada areflexao rj, isto e,

ri = (ri+1 · · · rj)rj+1(ri+1 · · · rj)−1

e dessa igualdade obtem-se a que aparece em (iv) multiplicando-se a direita porri+1 · · · rj.

(iv)⇒(v) Usando a igualdade de (iv), pode-se substituir, na decomposicao

w = r1 · · · ri · · · rj · · · rk ,

ri · · · rj por ri+1 · · · rj+1. Dessa forma, ri e rj+1 desaparecem fornecendo a decom-posicao de (v).

(v)⇒(i) E consequencia do lema anterior, ou mais precisamente, da desigualdade(9.3).

A equivalencia entre (i) e (v) desta proposicao fornece o seguinte valor para n(w):


Corolario 9.16 n(w) coincide com o numero de reflexoes simples numa decomposicaominimal de w.

Portanto, o numero de raızes positivas que sao levadas em negativas por w e dadapelo numero de fatores numa decomposicao minimal qualquer de w como produto dereflexoes simples. Esse numero e denominado de comprimento de w (em relacao aosistema simples Σ).

Corolario 9.17 Se Σ e um sistema simples de raızes e w ∈ W e tal que wΣ = Σ entaow = 1. Da mesma forma w = 1 se wΠ+ = Π+ para um conjunto de raızes positivasΠ+.

Demonstracao: Se wΣ = Σ entao wα > 0 para toda raiz positiva α. Portanto, pelaproposicao 9.15, n (w) = 1, isto e, w = 1. 2

Desse corolario e da proposicao 9.11 segue que o conjunto dos sistemas simples deraızes esta em bijecao com o grupo de Weyl W atraves da aplicacao que a w ∈ Wassocia o sistema simples wΣ0 onde Σ0 e um sistema simples pre-fixado. A proposicao9.11 garante a sobrejetividade dessa aplicacao enquanto que o corolario acima mostrasua injetividade.

A proposicao a seguir fornece, a partir de uma decomposicao minimal, as raızespositivas que sao levadas em negativas por w.

Proposicao 9.18 Para w ∈ W , seja

w = r1 · · · rk

uma decomposicao minimal como produto das reflexoes ri = rαi em relacao as raızessimples αi. Entao, as raızes positivas que sao levadas em negativas por w sao

αk, rkαk−1, rkrk−1αk−2, . . . , rkrk−1 · · · r2α1 (9.4)

Demonstracao: Invertendo a decomposicao minimal de w, obtem-se a decomposicao

w−1 = rk · · · r1

que e tambem minimal. O item (ii) da proposicao anterior, aplicado a esta decom-posicao, garante que as raızes

rk · · · rj+1αj j = 1, . . . , k

sao positivas. Estas raızes sao levadas em raızes negativas por w. De fato, aplicandow, obtem-se as raızes

r1 · · · rjαj = −r1 · · · rj−1αj

(pois rjαj = −αj) e essas raızes sao negativas em virtude do item (ii) da proposicaoanterior aplicado a decomposicao minimal de w.

9.4. Camaras de Weyl 251

Suponha que para algum par l, j com 1 ≤ l < j ≤ k,

rk · · · rj+1αj = rk · · · rl+1αl .

Entao, cancelando rk · · · rj+1, esta igualdade se reduz a αj = rj · · · rl+1αl, isto e,

αj = −rj−1 · · · rl+1αl,

que, pelo item (ii) da proposicao 9.15 garante que l = j. Assim, as raızes em (9.4)sao distintas, positivas e suas imagens por w sao negativas. Como a quantidade dessasraızes e k = n(w), isso mostra a proposicao. 2

Segue da proposicao acima que a raiz αk que aparece no comeco da lista (9.4) esimples e que sua imagem por w e uma raiz negativa. Convem ressaltar esta observacao.

Corolario 9.19 Para todo w ∈ W , w 6= 1, existe uma raiz simples α ∈ Σ tal que wαe negativa.

9.4 Camaras de Weyl

Seja Π ⊂ E um sistema de raızes. O conjunto

E = β ∈ E : 〈α, β〉 6= 0 para todo α ∈ Π

e aberto e denso pois o seu complementar e a uniao dos nucleos de um numero finito defuncionais lineares nao-nulos. E e o conjunto dos elementos regulares em E. A razaodesse nome e que quando Π e dado por uma subalgebra de Cartan, E coincide comos elementos regulares dentro da subalgebra. As componentes conexas de E sao conesconvexos em E. De fato, seja C uma componente conexa. Se β ∈ C, entao β ∈ E e,portanto, a semi-reta R+β ∈ E. Como esta semi-reta e conexa, R+β ⊂ C. Alem domais, o funcional linear 〈α, ·〉, α ∈ Π, nao muda de sinal em C, pois β : 〈α, β〉 = 0divide E em duas componentes conexas. Daı que se β1, β2 ∈ C, entao o segmentotβ1 + (1− t)β2, t ∈ [0, 1] pertence a E. Como esse segmento e conexo, ele esta de fatocontido em C.

Uma camara de Weyl e uma componente conexa do conjunto dos elementos regu-lares.

Exemplos:

1. No caso em que E e de dimensao um, as camaras de Weyl sao dadas pelas duassemi-retas complementares a origem. Nesse caso, os unicos sistemas de raızespossıveis sao o reduzido ±α e o nao-reduzido ±α,±2α.

2. O sistema de raızes obtido pelo diagrama A2 e formado por ±α1, ±α2, ±(α1+α2).O angulo entre duas raızes quaisquer e um multiplo de 60. Por essa razao, as


retas ortogonais as raızes formam angulos sucessivos de 60 e existem seis camarasde Weyl

TTTTT

TTTTT

60o

2

Um sistema simples de raızes Σ e definido a partir de uma ordem lexicografica emE, isto e, pelo conjunto das raızes positivas Π+ em relacao a essa ordem. Vice-versa,definindo a ordem lexicografica a partir de um sistema simples Σ, o conjunto das raızessimples para essa ordem e o proprio sistema Σ. Dessa forma, existe uma bijecao entreos sistemas simples Σ em Π e os conjuntos de raızes positivas Π+ em relacao a algumaordem lexicografica. Essa bijecao se estende as camaras de Weyl.

Proposicao 9.20 a) Seja C uma camara de Weyl e defina

Π+(C) = α ∈ Π : 〈α, β〉 > 0 para todo β ∈ C.

Entao, existe uma ordem lexicografica tal que Π+(C) e o conjunto das raızespositivas em relacao a essa ordem.

b) Seja Σ(C) o conjunto das raızes simples em Π+(C). Entao,

C = β ∈ E : 〈β, α〉 > 0 para todo α ∈ Σ(C).

c) Sejam C1 e C2 camaras de Weyl. Entao, Σ(C1) = Σ(C2) se e so se C1 = C2.

Demonstracao:

a) Seja γ1, . . . , γl uma base ordenada ortonormal de E tal que γ1 ∈ C. Em relacaoa ordem lexicografica definida por essa base, o conjunto das raızes positivas eΠ+(C). De fato, se α ∈ Π+(C), entao α se escreve como

α = 〈α, γ1〉γ1 + · · ·+ 〈α, γl〉γl (9.5)

com 〈α, γ1〉 > 0, ja que γ1 ∈ C. Portanto, α e positiva em relacao a ordemlexicografica. Reciprocamente, seja α uma raiz positiva. Escrevendo α como em(9.5), 〈α, γ1〉 6= 0 pois γ1 e um elemento regular. Como 〈α, γ1〉 e o primeiro


coeficiente nao-nulo na decomposicao de α, 〈α, γ1〉 > 0. Dito isso, suponha porabsurdo que exista β ∈ C tal que 〈α, β〉 < 0. Entao, a funcao de t dada por

〈α, tγ1 + (1− t)β〉

e negativa em t = 0 e positiva em t = 1. Portanto, ela se anula para algum valorde t ∈ [0, 1] o que e um absurdo, pois o segmento tγ1 + (1− t)β esta contido emC e, portanto, e formado por elementos regulares.

b) Por um lado, 〈β, α〉 > 0 se β ∈ C e α ∈ Σ(C) pois Σ(C) ⊂ Π+(C). Reciprocamente,suponha que 〈β, α〉 > 0 para toda raiz simples α. Entao, 〈β, γ〉 > 0 para toda raizγ ∈ Π+(C), pois essas raızes sao combinacoes lineares com coeficientes ≥ 0 dasraızes simples. Como Π = Π+ ∪−Π+, β e elemento regular e, portanto, pertencea alguma camara de Weyl. Tomando β′ ∈ C, seja tβ + (1 − t)β′, t ∈ [0, 1] osegmento que o une a β. Para todo t nesse segmento,

〈γ, tβ + (1− t)β′〉 > 0

para toda raiz positiva γ. Portanto, esse segmento esta contido em E e daı que βe β′ pertencem a mesma componente conexa do conjunto dos elementos regulares,isto e, β ∈ C.

c) E consequencia imediata do item anterior.

Uma camara de Weyl define, entao, de maneira natural, um sistema simples deraızes em Π. Vice-versa, saindo de um sistema simples Σ em Π, seja

CΣ = β ∈ E : 〈β, α〉 > 0 para toda α ∈ Σ.

Entao, CΣ e uma camara de Weyl. De fato, da mesma forma que na demonstracaoacima, CΣ e um cone convexo contido no conjunto dos elementos regulares e, portanto,existe uma camara de Weyl C ′ que o contem. Como tanto CΣ quanto C ′ sao cones,se CΣ estiver contido propriamente em C ′, entao algum elemento de sua fronteira estaem C ′. No entanto, β pertence a fronteira de CΣ se e so se 〈β, α〉 = 0 para alguma raizsimples α e, portanto, β nao e elemento regular. Consequentemente, CΣ = C ′ e umacamara de Weyl.

Evidentemente, CΣ(C) = C e Σ(CΣ) = Σ, o que estabelece uma bijecao entre ossistemas simples de raızes e as camaras de Weyl.

Seja Σ = α1, . . . , αl um sistema simples de raızes e tome a base dual Φ =β1, . . . , βl definida por 〈αi, βj〉 = δij. Se γ ∈ E entao

γ = 〈γ, α1〉β1 + · · ·+ 〈γ, αl〉βl

portanto γ ∈ CΣ se e so se os coeficientes dessa combinacao linear sao ≥ 0. Essaobservacao da uma caracterizacao alternativa de CΣ como sendo o cone convexo geradopor Φ.


Exemplo: A figura abaixo mostra as raızes de B2 e G2 cada um com um sistemasimples dado por α, β em que β e a raiz curta. A camara de Weyl definida por essesistema simples e marcada por C.

B2

@@@@

@@

@@

qq

q

q

qqq

qβ

α α + β α + 2β

CG2 q βb

bb

bbbqα

TTTT

qα + β

q 2α + 3β

""""""

qqα + 2β α + 3β

qbbbbbbqq

q

"""

"""q

TTTTq

C

2

O grupo de Weyl age no conjunto dos sistemas simples de raızes. Como foi visto nasecao anterior essa acao e transitiva (dados Σ1 e Σ2 existe w ∈ W tal que wΣ1 = Σ2)e simples (wΣ = Σ se e so se w = 1).

Por outro lado, se C e um camara de Weyl e w ∈ W entao w (C) tambem e camarade Weyl. De fato, se β nao for um elemento entao 〈α, β〉 = 0 para alguma raiz αe, como o produto interno e invariante, 〈w(α), w(β)〉 = 0 mostrando que w(β) nao eregular, pois w(α) e raiz. Dessa forma, w deixa invariante o conjunto dos elementosnao-regulares e, portanto, o seu complementar E. Seja C uma camara de Weyl. Comow e contınua, w(C) e conexo e, portanto, esta contido numa camara de Weyl C ′. Deforma simetrica, w−1(C ′) esta contido numa componente conexa de E. Como, porconstrucao, w−1 (C ′) contem C, conclui-se que w (C) = C ′, isto e, w (C) e camara deWeyl.

As acoes de W nos conjuntos de camaras de Weyl e sistemas simples e equivarianteem relacao a bijecao estabelecida acima no seguinte sentido.


Proposicao 9.21 Sejam w ∈ W , Σ um sistema simples de raızes e C uma camara deWeyl. Entao,

w(Σ(C)) = Σ(w(C)) e w(CΣ) = Cw(Σ) .

Demonstracao: A segunda igualdade e imediata a partir da definicao de CΣ e dofato de que os elementos de W sao isometrias. Ja a primeira igualdade e consequenciade que os conjuntos de raızes positivas para w(Σ(C)) e para Σ(w(C)) coincidem, comosegue da definicao e, portanto, os dois sistemas simples tambem coincidem. 2

Por essa equivariancia segue que as propriedades da acao de W no conjunto dossistemas simples valem tambem para a acao no conjunto das camaras de Weyl. Portantoa acao de W no conjunto das camaras de Weyl e transitiva (dados C1 e C2 existew ∈ W tal que w (C1) = C2) e simples (wC = C se e so se w = 1). Existe portantouma bijecao entre W e o conjunto das camaras de Weyl (e o conjunto dos sistemassimples). Uma bijecao e obtida associando w ∈ W a w (C0) onde C0 e uma camaraescolhida previamente. Essa aplicacao e sobrejetora pois a acao e transitiva e e injetorapois se w1 (C0) = w2 (C0) entao w−1

2 w1 (C0) = C0 o que implica que w1 = w2.A uniao das camaras de Weyl e um conjunto aberto e denso de E pois e o comple-

mentar de uma quantidade finita de hiperplanos. Dessa forma, para todo β ∈ E existeuma camara de Weyl C com β ∈ C. Combinando essa informacao com a transitividadede W nas camaras de Weyl se chega ao seguinte fato usado com frequencia.

Corolario 9.22 Dados β ∈ E e uma camara de Weyl C existe w ∈ W tal que wβ ∈ C.

Demonstracao: Se C1 e uma camara de Weyl com β ∈ C1 e w ∈ W e tal quew (C1) = C entao wβ ∈ C por continuidade da aplicacao linear w. 2

Os resultados as seguir dao informacoes mais precisas sobre a acao de W nascamaras de Weyl.

Proposicao 9.23 Seja C uma camara de Weyl.

1. Se w ∈ W , entao w(C) = C se e so se w = 1.

2. Se β e um elemento do fecho C de C e w ∈ W entao w(β) ∈ C se e so sew(β) = β.

Demonstracao: Como toda camara de Weyl e proveniente de um sistema simplesde raızes, pode-se assumir, sem perda de generalidade, que

C = β ∈ E : 〈β, α〉 > 0 para todo α ∈ Σ.

Seja w ∈ W tal que w(C) = C. E necessario mostrar que w = 1 ou, o que e a mesmacoisa, n(w) = 0. Para isso, seja β ∈ C. Entao, wβ ∈ C e, portanto, para toda raizpositiva α, 〈wβ, α〉 > 0. Mas, os elementos de W sao isometrias, portanto

〈wβ, α〉 = 〈β, w−1α〉,


de onde se tira que w−1α > 0 para toda α > 0 pois, caso contrario, 〈β,−w−1α〉 > 0.Isso mostra que n(w) = n(w−1) = 0 e, portanto, que w = 1.

Para o segundo item basta mostrar que w(β) = β se β e w(β) pertencem ao fecho deC. Isso se demonstra por inducao sobre n(w). Se n(w) = 0, entao w = 1 e a afirmacaoe evidente. Para n(w) ≥ 1, seja C o fecho de C e suponha que β e w(β) pertencam aC. Tomando C como no item anterior, 〈β, α〉 ≥ 0 e 〈wβ, α〉 ≥ 0 para toda raiz α > 0.Daı que se α e uma raiz positiva tal que wα < 0, entao

〈β, α〉 = 〈wβ,wα〉 ≤ 0,

de onde se conclui que 〈β, α〉 = 0. Isso garante que, para uma raiz desse tipo, rαβ = βe, portanto, que wrαβ = wβ. Tomando w′ = wrα, o lema 9.14 garante que n(w′) =n(w)−1, ja que wα e raiz negativa. Pode-se aplicar, entao, a hipotese de inducao sobrew′ e concluir que wβ = w′β = β, como se queria demonstrar. 2

O primeiro item dessa proposicao garante que se β e um elemento (do interior) dacamara de Weyl C, entao sua orbita

Wβ = wβ : w ∈ W

percorre todas as camaras de Weyl e se wβ = β, entao w = 1. O subgrupo de isotropiade um elemento regular se reduz entao a identidade. Para os demais elementos de Eesse subgrupo e dado pela afirmacao a seguir.

Proposicao 9.24 Para λ ∈ E, seja Wλ = w : wλ = λ o seu subgrupo de isotropia.Entao, Wλ e gerado pelas reflexoes rα, α ∈ Π tais que 〈α, λ〉 = 0.

Demonstracao: Tome uma camara de Weyl C cujo fecho contem λ e denote por Σo sistema simples de raızes correspondente. Seja W ′ o subgrupo gerado pelas reflexoesrα, α ∈ Σ, tais que 〈α, λ〉 = 0. Para para essas raızes rα (λ) = λ, portanto W ′ ⊂ Wλ.

A inclusao recıproca se mostra por inducao sobre n (w), w ∈ Wλ. Se n (w) = 0,entao w = 1 ∈ W ′. Ja para n (w) ≥ 1, existe α ∈ Σ tal que w−1 (α) < 0 (veja corolario9.19). Pelo lema 9.14, n (rαw) = n (w) − 1. No entanto, 〈λ, α〉 ≥ 0, ja que λ esta nofecho de C e, por outro lado,

〈λ, α〉 = 〈wλ, α〉 = 〈λ,w−1α〉 ≤ 0.

Portanto, 〈λ, α〉 = 0. Pelo passo de inducao, rαw ∈ W ′ e daı que w ∈ W ′.Por fim se W ′′ e o subgrupo gerado pelas reflexoes rα, α ∈ Π, tais que 〈α, λ〉 = 0

entao W ′ ⊂ W ′′, concluindo a demonstracao. 2

A demonstracao da proposicao anterior garante, de forma mais precisa, que Wλ egerado pelas reflexoes em relacao as raızes simples.

Corolario 9.25 Se λ esta no fecho de C entao Wλ e gerado pelas reflexoes rα, α ∈ Σ,tais que 〈α, λ〉 = 0 onde Σ e o sistema simples correspondente a C.

9.5. Automorfismos de Π 257

Esses resultados sobre os subgrupos de W que fixam λ ∈ E se generalizam asubespacos de E. Dado um subespaco F ⊂ E seja Π⊥F o conjunto das raızes que “seanulam” em F que e definido por

Π⊥F = Π ∩ F⊥ = α ∈ Π : ∀λ ∈ F, 〈α, λ〉 = 0.

Entao existe λF ∈ F tal que α ∈ Π se anula em F se e so se α se anula em λ, isto e,

Π⊥F = α ∈ Π : 〈α, λF 〉 = 0. (9.6)

De fato, se α ∈ Π nao e ortogonal a F entao δ ∈ F : 〈α, δ〉 = 0 e um subespacoproprio de F . O complementar da uniao de uma quantidade finita de subespacosproprios e um conjunto aberto e denso e portanto nao vazio. Se λF pertence a essecomplementar entao 〈α, λF 〉 = 0 se e so se α e ortogonal a F e portanto satisfaza condicao desejada. Um λF satisfazendo (9.6) e chamado de elemento F -regular emrelacao a Π. A caracterizacao (9.6) vale para qualquer elemento λF que seja F -regular.

O conjunto Π⊥F pode ser vazio, o que ocorre se um elemento F -regular pertence auma camara de Weyl, isto e, e um elemento regular de E. A proposicao a seguir mostraque Π⊥F e um sistema de raızes num subespaco de E se Π⊥F 6= ∅.

Proposicao 9.26 Dado um subespaco F ⊂ E seja

Π⊥F = Π ∩ F⊥ = α ∈ Π : ∀λ ∈ F, 〈α, λ〉 = 0

o conjunto das raızes que se anulam em F . Suponha que Π⊥F 6= ∅. Entao existe umsistema simples de raızes Σ tal que Π⊥F = 〈Σ⊥F 〉 onde Σ⊥F = Σ ∩ F⊥ (em particularΣ⊥F 6= ∅).

Demonstracao: Seja λF ∈ F tal que 〈α, λ〉 = 0 se e so se α ∈ F⊥, como discutidoacima e escolha uma camara de Weyl C tal que λF ∈ C. O sistema simples de raızesΣ = α1, . . . , αl associado a C satisfaz a condicao do enunciado. De fato, seja α ∈ Π⊥Fpositiva em relacao a Σ e escreva a combinacao linear α = n1α1 + · · · + nlαl comni ≥ 0. Se uma raiz simples αi nao esta em F⊥ entao 〈αi, λF 〉 > 0 pois λF ∈ C. Dessaforma, o coeficiente ni = 0 se αi /∈ Σ⊥F e portanto α e combinacao linear de Σ⊥F . Como−Π⊥F = Π⊥F , essa conclusao vale tambem para as raızes negativas em Π⊥F . 2

Deve-se observar que em geral Π⊥F nao gera F⊥ por isso Π⊥F pode nao ser um sistemade raızes em F⊥. No entanto o conjunto Π⊥F e um sistema de raızes no subespaco geradopor ele, de tal forma que Σ⊥F e um sistema simples de raızes para Π⊥F . O diagrama deDynkin de Σ⊥F e o subdiagrama de Σ correspondente as raızes em Σ⊥F .

9.5 Automorfismos de Π

Os elementos do grupo de Weyl W deixam invariante o conjunto Π das raızes. Oobjetivo dessa secao e discutir os automorfismos de um sistema de raızes Π ⊂ E quesao as transformacoes lineares de E que deixam invariante Π. Ao longo dessa secao sesupoe que o sistema de raızes Π e irredutıvel. E possıvel obter os automorfismos deum sistema redutıvel a partir dos automorfismos de suas componentes irredutıveis.


Definicao 9.27 Um automorfismo do sistema de raızes Π ⊂ E e uma transformacaolinear φ de E que preserva Π, isto e, φ (Π) = Π.

A proposicao 9.9 mostra que um automorfismo φ de Π e isometria do produtointerno invariante no caso em que Π e um sistema irredutıvel. Segue daı que umautomorfismo φ de Π tem inversa φ−1 que tambem satisfaz φ−1 (Π) = Π. Portanto oconjunto dos automorfismos de Π forma um grupo de transformacoes lineares com aoperacao de composicao. Esse grupo e denotado por Aut (Π).

Os elementos do grupo de Weyl sao automorfismo de Π, isto e, W ⊂ Aut (Π).Para diversos sistemas de raızes vale a igualdade W = Aut (Π). Para analisar oscasos em que isso ocorre tome φ ∈ Aut (Π) e um sistema simples de raızes Σ =α1, . . . , αl. Entao φ (Σ) = φ (α1) , . . . , φ (αl) tambem e sistema simples pois seβ ∈ Π e β = a1φ (α1) + · · · + alφ (αl) entao φ−1 (β) = a1α1 + · · · + alαl e dessaforma toda raiz β ∈ Π se escreve como combinacao linear dos elementos de φ (Σ) comcoeficientes inteiros todos de mesmo sinal. Isso garante o conjunto das raızes simplesobtido pela ordem lexicografica definda a partir da base φ (Σ) e o proprio conjuntoφ (Σ). Pela transitividade de W no conjunto dos sistemas simples existe w ∈ W talque wφ (Σ) = Σ. Escrevendo ψ = wφ se obtem φ = w−1ψ com w ∈ W e ψ ∈ Aut (Π)que satisfaz ψ (Σ) = Σ, isto e, todo elemento de Aut (Π) se fatora no produto de umelemento de w por um elemento que deixa Σ invariante.

Se ψ ∈ Aut (Π) e tal que ψ (Σ) = Σ entao sua restricao a Σ define uma permutacaodos vertices do diagrama correspondente. Como ψ e isometria essa permutacao e umautomorfismo do diagrama (definido por Σ) no seguinte sentido.

Definicao 9.28 Dado um diagrama de Dynkin definido por um sistema simples Σ umapermutacao π dos elementos de Σ e uma simetria do diagrama ou um automorfismo dodiagrama se ela isto e, preserva comprimentos de raızes e as ligacoes entre os vertices,isto e, a ligacao entre as raızes α e β do diagrama coincide com a ligacao entre π (α)e π (β).

O conjunto dos automorfismos de um diagrama Σ forma um grupo, denotado porAut (Σ). A proposicao 9.29 abaixo mostra que uma simetria do diagrama se estendede maneira unica a um automorfismo de Π.

Os automorfismos de Σ sao vistos diretamente pelas simetrias geometricas dos di-agramas. Uma rapida inspecao mostra que nos diagramas A1, Bl, Cl, G2, F4, E7 eE8 nao existem simetrias alem da identidade. (Em todo caso pode-se argumentar naseguinte direcao: se π ∈ Aut (Σ) entao o numero de raızes ligadas a α e π (α) e omesmo e daı que se α e uma raiz numa extremidade do diagrama entao π (α) tambemesta na extremidade. Nos diagramas com ligacoes multiplas (Bl, Cl, G2 e F4) as raızesdas estremidades sao de comprimentos diferentes e por isso fixadas por π. Portantoas raızes contiguas as estremidades tambem sao fixadas e assim por diante, mostrandoque π = id. Um argumento semelhante se aplica aos diagramas E7 e E8.)

Os demais diagramas admitem as seguintes simetrias nao triviais: em

9.5. Automorfismos de Π 259

Al, l ≥ 2 e e . . . e eα1 α2 αl−1 αl

alem da identidade, existe apenas o automorfismo que permuta as raızes equidistantesdo centro αi ↔ αl−i+1. Ja em

Dl, l ≥ 5 eα1

eα2

. . . eαl−2,,

ll

eαl−1

eαll 6= 4, o unico automorfismo diferente da identidade e dado pela permutacao αl−1 ↔ αl.No caso em que l = 4, o diagrama

eα1

eα2,,

ll

eα3

eα4

e simetrico em relacao a α2 e qualquer permutacao das demais raızes e um automor-fismo do diagrama. O grupo desses automorfismos e o grupo das permutacoes em treselementos. Por fim, para

E6e e e e e


α6

o unico automorfismo diferente da identidade e o que permuta as raızes equidistantesde α3, α1 ↔ α5, α2 ↔ α4, fixando as demais raızes.

O grupo Aut (Σ) tem dois elementos (e isomorfo a Z2) para todos esses diagramasexceto no caso D4 em que Aut (Σ) e isomorfo ao grupo das permutacoes de 3 elementos.

Proposicao 9.29 Todo π ∈ Aut (Σ) se estende a um unico automorfismo π ∈ Aut (Π).

Demonstracao: Como Σ = α1, . . . , αl e base existe uma unica transformacaolinear π que satisfaz π (α) = π (α) para toda raiz α ∈ Σ. Deve-se mostrar que se β eraiz entao π (β) ∈ Π e para isso e suficiente tomar β > 0. A demonstracao de π (β) ∈ Πe por inducao sobre a altura de β. que π (β) e raiz de mesma altura que β.

Se a altura e 1 entao β e raiz simples e π (β) = π (β) e raiz simples por definicao.Dado k > 1 se assume, para a inducao, que se γ e raiz de altura ≤ k entao π (γ) eπ−1 (γ) sao raızes de mesma altura que γ.

Agora tome uma raiz β de k + 1. Entao β = γ + α com γ de altura k e α simples.Para mostrar que π (β) = π (γ) + π (α) e raiz basta mostrar que na π (α)-sequenciainiciada em π (γ) dada por

π (γ)− pπ (α) , . . . , π (γ) , . . . , π (γ) + qπ (α)


o coeficiente q ≥ 1. Isso sera feito comparando essa sequencia com a α-sequenciainiciada em γ,

γ − p1α, . . . , γ, . . . , γ + q1α.

Em primeiro lugar, segue da hipotese de inducao que p = p1 pois γ − p1α e uma raizde altura ≤ k daı que π (γ − p1α) = π (γ) − p1π (α) e raiz mostrando que p ≤ p1.Argumentando da mesma forma com π−1 (π (γ)− pπ (α)) se conclui que p1 ≤ p.

Por outro lado, os numeros de Killing 2〈γ, α〉/〈α, α〉 e 2〈π (γ) , π (α)〉/〈π (α) , π (α)〉sao iguais. De fato, se γ = n1α1 + · · · + nlαl e a combinacao linear de γ em relacaoas raızes simples entao π (γ) = n1π (α1)+· · ·+nlπ (αl) e uma combinacao linear com osmesmos coeficientes ni. Como os numeros de Killing 2〈αi, α〉/〈α, α〉 e 2〈π (αi) , πα〉/〈π (α) , π (α)〉sao iguais segue que 2〈γ, α〉/〈α, α〉 = 2〈π (γ) , πα〉/〈π (α) , π (α)〉.

Aplicando entao a formula de Killing se obtem

p− q1 =2〈γ, α〉〈α, α〉

=2〈π (γ) , π (α)〉〈π (α) , π (α)〉

= p− q

e daı que q = q1. Como q1 ≥ 1 pois β = γ + α e raiz se obtem q ≥ 1 e portantoπ (β) = π (γ) + π (α) e raiz, concluindo a demonstracao. 2

Segue dessa proposicao que Aut (Σ) e isomorfo ao subgrupo φ ∈ Aut (Π) : φ (Σ) =Σ tambem denotado por Aut (Σ). Como mencionado acima se φ ∈ Aut (Π) entaoφ (Σ) e um sistema simples e portanto existe w ∈ W tal que ψ = wφ ∈ Aut (Σ), isto e,φ = w−1ψ.

Corolario 9.30 W e subgrupo normal de Aut (Π) e Aut (Π) = WAut (Σ) = Aut (Σ)W(onde Aut (Σ) e visto como subgrupo de Aut (Π)). Alem do mais W e isomorfo aAut (Π) /Aut (Σ).

Demonstracao: Se φ e isometria e rα uma reflexao entao φrαφ−1 = rφ(α) de onde se

mostra que W e subgrupo normal. As demais afirmacoes foram provadas acima. 2

Evidentemente Aut (Π) = W nos casos dos diagramas sem simetrias. Para osdiagramas com simetrias listados acima Aut (Σ) tem 2 elementos exceto para D4. Foraesse caso Aut (Π) = W ∪ φ0W onde φ0 e um elemento qualquer em Aut (Π) \W . Ocomentarios a seguir indicam os casos em que pode-se tomar φ0 = −1 (= −id).

Se Σ e um sistema simples de raızes entao −Σ tambem e e daı que existe um unicow0 ∈ W tal que w0 (Σ) = −Σ. Esta igualdade implica que w2

0 (Σ) = Σ e portantow2

0 = 1, isto e, w0 e involutivo. Se Π+ e o conjunto das raızes positivas definidas porΣ entao w0 (Π+) = −Π+ e portanto w0 e o unico elemento de comprimento maximocomo produto de reflexoes em relacao a Σ. Esse comprimento e igual a quantidade deraızes positivas.

O elemento de comprimento maximo e denominado de involucao principal emrelacao a Σ. Se Σ1 e outro sistema simples, entao Σ1 = w (Σ), w ∈ W , e a in-volucao principal em relacao a Σ1 e ww0w

−1 e, portanto, as involucoes principais deW sao conjugadas entre si.

9.6. Elementos de ordem 2 261

Por definicao (−w0) (Σ) = Σ o que significa que −w0 ∈ Aut (Σ) ja que −w0 eisometria. Por outro lado, −1 ∈ Aut (Π) e (−1) (Σ) = Σ daı que se −1 ∈ W se e so sew0 = −1, isto e, −w0 = 1. Para os diagramas sem simetrias (A1, Bl, Cl, G2, F4, E7 eE8) w0 = −1 pois −w0 e necessariamente a identidade.

Para os diagramas com simetrias sera verificado na secao 9.7 que w0 6= −1 em Al(l ≥ 2), Dl (l ımpar) e E6 sendo que w0 = −1 em Dl com l par. Nos casos em quew0 6= −1, Aut (Σ) tem ordem 2 e daı que Aut (Π) = W ∪ (−W ) ja que −1 /∈ W e noentanto −1 ∈ Aut (Π).

Essa discussao sobre a involucao principal distingue um diagrama de Dynkin comsistema simples Σ e grupo de Weyl W num dos seguintes casos:

• Σ e do tipo interior (ou simplesmente diagrama interior) se −1 ∈ W ou, de formaequivalente, w0 = −1. (Diagramas A1, Bl, Cl, Dl (l par), G2, F4, E7 e E8.)

• Σ e um diagrama exterior se −1 /∈ W ou, de forma equivalente, w0 6= −1.(Diagramas Al (l ≥ 2), Dl (l ımpar) e E6.)

9.6 Elementos de ordem 2

Nessa secao serao descritas as involucoes de W , que sao os elementos 1 6= w ∈ Wtais que w2 = 1. Em diversas situacoes que envolvem alguma acao do grupo de WeylW se requer o conhecimento das involucoes em W . Por exemplo as involucoes emW aparecem de forma decisiva na classificacao das algebras semissimples reais (veja ocapıtulo 13).

Para simplificar os argumentos se assume aqui que os sistemas de raızes sao redu-zidos, isto e, se α e raiz entao 2α nao e raiz.

Uma involucao natural em W e uma reflexao rα em relacao a uma raiz α ∈ Π.Mais geralmente, se α1, . . . , αs sao raızes duas a duas ortogonais entao as respectivasreflexoes rα1 , . . . , rαs comutam entre si e portanto w = rα1 · · · rαs tem ordem 2. Adiantesera mostrado que as involucoes em W sao dadas dessa forma como produto de reflexoesem relacao a raızes ortogonais. Outros exemplos sao dados pelas involucoes principaisdefinidas na secao anterior.

Como mencionado acima, sera demonstrado que as involucoes em W sao produtosde reflexoes em relacao a raızes ortogonais. Para isso se considera em primeiro lugaras involucoes principais. A decomposicao de uma involucao principal como produto dereflexoes comutativas depende do conceito de raiz maxima definida a seguir.

Definicao 9.31 Seja Π um sistema de raızes munido de um conjunto de raızes posi-tivas Π+ e o sistema simples Σ ⊂ Π+. Uma raiz µ ∈ Π+ e maxima se para toda raizα ∈ Π+, µ+ α nao e raiz.

Raızes maximas existem pelo fato de que Π e um conjunto finito. No caso desistemas irredutıveis, isto e, com diagrama de Dynkin conexo, a seguinte proposicaomostra a unicidade de raiz maxima uma vez feita a escolha de um conjunto de raızespositivas Π+.


Proposicao 9.32 Num sistema de raızes irredutıvel Π se o diagrama de Dynkin (co-nexo) contem apenas ligacoes simples entao o fecho C de uma camara de Weyl Ccontem uma unica raiz µ. Se o diagrama tem ligacoes multiplas entao C contem umaunica raiz longa µ e uma unica raiz curta ν. Em ambos os casos µ e raiz maxima emrelacao a Π+. Alem do mais, se α ∈ Π+ e tal que µ− α ∈ Π entao µ− α > 0.

Demonstracao: A existencia vem do fato de que o grupo de Weyl age transitivamenteno conjunto das camaras de Weyl e portanto nos respectivos fechos. Para a unicidadetome raızes de mesmo comprimento µ1, µ2 ∈ C. Essas raızes estao na mesma orbita dogrupo de Weyl, isto e, existe w ∈ W tal que µ2 = w (µ1). Portanto µ1 e w (µ1) estaoem C e a proposicao 9.24 garante que µ1 = w (µ1) = µ2.

Para ver que µ e maxima, tome uma raiz α > 0 de tal forma que 〈α, µ〉 ≥ 0 poisµ ∈ C. A α-sequencia iniciada em µ dada por µ− pα, . . . , µ+ qα satisfaz

p− q =2〈α, µ〉〈α, α〉

≥ 0.

Nessa situacao se 〈α, µ〉 6= 0 entao q = 0 e p = 1, 2 ou 3 e portanto µ + α nao e raiz.Ja se 〈α, µ〉 = 0 a unica possibilidade para que µ+ α seja raiz e quando as duas raızessao curtas num diagrama com ligacoes duplas. Como µ e raiz longa µ + α nao e raiz.Por fim, se α > 0 e µ− α e raiz entao α− µ < 0 pois caso contrario µ+ (α− µ) = 0 eraiz com α− µ > 0. 2

O argumento com a formula de Killing dessa demonstracao mostra que se µ e raizmaxima e α > 0 entao 〈α, µ〉 ≥ 0 o que significa que µ ∈ C. Portanto se um diagramade Dynkin conexo contem so ligacoes simples (Al, Dl, E6, E7 e E8) entao existe umaunica raiz maxima pois, que e a unica raiz contida em C. A unicidade vale tambempara os diagramas com ligacoes multiplas (Bl, Cl, G2, e F4) pois a raiz curta ν ∈ Cnao e maxima como pode ser verificado caso a caso usando as informacoes contidas nasecao 9.7 abaixo (por exemplo os casos dos diagramas B2 e G2 sao vistos diretamenteda figura de suas raızes, apresentada acima).

As proposicoes a seguir relacionam a raiz maxima µ e a reflexao rµ com a involucaoprincipal. Essas proposicoes serao usadas na sequencia para obter uma fatoracao dew0 como produto de reflexoes em relacao a raızes (nao necessariamente simples).

Proposicao 9.33 Suponha Π irredutıvel e sejam µ a raiz maxima e w0 a involucaoprincipal em relacao ao sistema simples Σ. Entao, w0µ = −µ e rµw0 = w0rµ. Se α eraiz com 〈α, µ〉 = 0 entao 〈w0α, µ〉 = 0.

Demonstracao: Tanto w0µ quanto −w0µ sao raizes em que a primeira delas estaem −C pois, por definicao w0C = −C. Daı que −w0µ e uma raiz de mesmo com-primento que µ que esta em C com isso w0µ = −µ. A comutatividade rµw0 = w0rµsegue da igualdade w0rµw

−10 = rw0µ. Por fim, se α e uma raiz com 〈α, µ〉 = 0 entao

〈w0α, µ〉 = 〈α,w0µ〉 = −〈α, µ〉 = 0 pois w0 = w−10 e isometria. 2


Para a proxima proposicao denote por Πµ o conjunto das raızes ortogonais a raizmaxima µ e escreva

Σµ = Πµ ∩ Σ = α ∈ Σ : 〈α, µ〉 = 0.

A proposicao 9.24 e seu corolario 9.25 mostram que o subgrupo Wµ ⊂ W dos elementosque fixam µ e gerado pelas reflexoes em relacao as raızes α ∈ Σµ. Alem do mais, Πµ eum sistema de raızes com sistema simples Σµ.

Antes de prosseguir convem observar que as raızes de Πµ satisfazem a propriedademais forte de serem totalmente ortogonais a µ no sentido em se α ∈ Πµ entao µ ± αnao e raiz. De fato, se α e positiva entao µ+ α nao e raiz e como 〈α, µ〉 = 0 a formulade Killing garante que µ − α tambem nao e raiz. Ja se α < 0 a afirmacao segueargumentando com −α.

Para a proxima proposicao se assume tambem que Π e irredutıvel.

Proposicao 9.34 Com as notacoes acima seja wµ0 a involucao principal de Wµ (emrelacao a Σµ). Entao

w0 = rµwµ0 = wµ0 rµ

onde w0 e a involucao principal de Π. A restricao de w0 a Πµ coincide com wµ0 .

Demonstracao: Seja Π+ o conjunto das raızes positivas (em relacao a Σ) e denotepor Π+

µ = Πµ ∩ Π+. Por definicao de involucao principal wµ0 Π+µ = −Π+

µ e n (w0) ea quantidade de raızes em Π+

µ . Uma decomposicao minimal de wµ0 em Wµ tambeme minimal em W . Por isso, wµ0β < 0 para β ∈ Π+ se e so se β ∈ Π+

µ e daı que seβ ∈ Π+ \ Π+

µ entao wµ0β > 0.Por outro lado, se β ∈ Π+ \ Π+

µ entao rµβ = β − µ e essa raiz e negativa. De fato,

〈β, µ〉 > 0 e como µ e raiz longa, o numero de Killing 2〈α,µ〉〈µ,µ〉 = 1 daı que rµβ = β − µ,

que e uma raiz negativa pois µ e raiz maxima.Como rµ fixa os elementos de Πµ e os conjuntos Πµ e Π\Πµ sao invariantes tanto por

rµ quanto por wµ0 , segue que rµwµ0α < 0 para toda raiz α > 0. Portanto rµw

µ0 = wµ0 rµ e

a involucao principal w0 de W . Sua restricao a Πµ e wµ0 pois rµ e a aplicacao identidadenesse conjunto. 2

Corolario 9.35 Se w0 = −1 entao wµ0 = −1 (no espaco gerado por Πµ).

A proposicao 9.34 fornece uma fatoracao da involucao principal w0 como um pro-duto de uma reflexao em relacao a uma raiz (maxima) e um elemento de comprimentomenor que w0. Sua demonstracao foi feita com a hipotese de que o sistema de raızes Πe irredutıvel (com diagrama de Dynkin conexo) para usar a unicidade da raiz maxima.No entanto a mesma fatoracao pode ser obtida em geral, levando em conta a decom-posicao do sistema de raızes em componentes irredutıveis de tal forma que a involucaoprincipal fica sendo o produto (comutativo) das involucoes principais de cada compo-nente. A fatoracao em cada componente leva a fatoracao de w0 mesmo no sistemaredutıvel.


Em geral o sistema de raızes Πµ da proposicao 9.34 nao e irredutıvel. Mesmoassim, como indicado no paragrafo anterior, a involucao principal wµ0 pode ser fatoradano produto de uma reflexao em relacao a uma raiz por um elemento de comprimentomenor. Procedendo dessa forma sucessivamente, se chega a seguinte fatoracao comoproduto de reflexoes.

Proposicao 9.36 Existe um conjunto totalmente ortogonal de raızes O = µ1, . . . , µstal que a involucao principal w0 = rµ1

· · · rµs. Esse conjunto e maximal ortogonal, istoe, nao existe raiz α ortogonal as raızes de O. A involucao principal w0 e −1 se e sose existe uma base ortogonal formada por raızes.

Demonstracao: Falta verificar a ultima afirmacao. Por um lado, se µ1, . . . , µl euma base ortogonal entao rµiµi = −µi e rµiµj = µj se j 6= i. Portanto w = rµ1

· · · rµl =−1 e se µ1, . . . , µl sao raızes entao w ∈ W e assim w0 = w. Reciprocamente, se−1 = w0 = rµ1

· · · rµs entao µ1, . . . , µs e uma base pois caso contrario w0 = 1 nosubespaco ortogonal a µ1, . . . , µs. 2

Como mencionado acima (e sera verificado na proxima secao) os diagramas para osquais w0 6= −1 sao Al (l ≥ 2), Dl (l ımpar) e E6. Os sistemas de raızes dados por essesdiagramas nao admitem bases ortogonais formadas por raızes ao contrario dos demais.

A demonstracao dessa proposicao (ou melhor da proposicao 9.34) indica a formade construir o conjunto de raızes ortogonais O = µ1, . . . , µs tal que w0 = rµ1

· · · rµs .O procedimento indutivo comeca com a raiz maxima µ1 = µ que define o sistema deraızes Πµ ortogonal a µ e o subdiagrama Σµ de Σ. Daı µ2 e a raiz maxima de Πµ emrelacao a Σµ e assim sucessivamente.

Essa construcao indutiva da fatoracao w0 = rµ1· · · rµs depende do conhecimento,

para cada diagrama de Dynkin, da raiz maxima µ assim como do subdiagrama Σµ.Para diagramas conexos essa informacao e dada pelo diagrama afim estendido, que e odiagrama obtido do diagrama acrescentando a raiz −µ e suas ligacoes as raızes simples.(Num diagrama nao conexo a involucao principal e o produto das involucoes principaisde suas componentes conexas.)

Os diagramas afins estendidos dos diagramas de Dynkin estao reproduzidos abaixono final da secao. O exemplo a seguir ilustra o uso dos diagramas afins para a construcaosucessiva das raızes ortogonais µ1, . . . , µs que fornecem a involucao principal.

Exemplo: Considere o diagrama Cl com raızes simples α1, . . . , αl e raiz maxima µ.O diagrama afim mostra que µ = α1 +2α2 + · · ·+2nl−1αl−1 +αl e −µ tem uma ligacaodupla com α1 e e ortogonal as demais raızes simples. Portanto Σµ = α2, . . . , αl cujodiagrama e Cl−1 cuja raiz maxima tem a mesma descricao mas com uma raiz simples amenos. Com isso se obtem a fatoracao −1 = w0 = rµ1

· · · rµl dada pela base ortogonalde raızes µ1 = µ, µ2 = α2 + 2α3 + · · ·+ 2nl−1αl−1 + αl, . . . , µl = αl.

Na realizacao de Cl dada pelas raızes ± (λi ± λj) apresentada no capıtulo 8, a raizmaxima µ e dada por 2λ1 e daı que a sequencia de raızes µ1, . . . , µl e formada pelasraızes longas 2λ1, . . . , 2λl. 2


A fatoracao dada acima de uma involucao principal sera usada a seguir para obterdecomposicoes semelhantes para involucoes arbitrarias de W . As demonstracoes acimacolocaram em evidencia o seguinte tipo de involucao: dados um sistema simples deraızes Σ e Θ ⊂ Σ o conjunto de raızes 〈Θ〉 gerado por Θ e um subsistema de raızestendo Θ como sistema simples e o grupo de Weyl WΘ de 〈Θ〉 e o subgrupo de W geradopelas reflexoes em relacao as raızes em Θ. Denote por wΘ

0 a involucao principal de 〈Θ〉em relacao ao sistema simples de raızes Θ. Entao, wΘ

0 e uma involucao em W . Aproposicao a seguir mostra que toda involucao de W e obtida dessa maneira.

Proposicao 9.37 Seja w 6= 1 uma involucao no grupo de Weyl W . Entao existe umsistema simples de raızes Σ e um subconjunto Θ ⊂ Σ cujo subdiagrama e interior (istoe, wΘ

0 α = −α se α ∈ Θ) e tal que w = wΘ0 .

Alem do mais existem raızes µ1, . . . , µs ∈ 〈Θ〉 ⊂ Π duas a duas ortogonais tal que

w = rµ1· · · rµs .

O subespaco F− gerado por µ1, . . . , µs e o auto-espaco de w associado ao auto-valor −1enquanto que F+ = F⊥− e o auto-espaco associado ao auto-valor +1.

Demonstracao: Os auto-valores de w sao ±1 com auto-espacos F± ortogonais entresi. Se F+ = 0 entao w = −1 e a involucao principal e o resultado foi provado naproposicao 9.36. Para o caso em que F+ 6= 0 tome λw ∈ F+ um elemento F+-regularcomo em (9.6), escolha uma camara de Weyl C com λw ∈ C e seja Σ o sistema simplesassociado a C. Por hipotese w 6= 1 o que implica que λw nao e regular e portantoo conjunto Πλw = α ∈ Π : 〈α, λw〉 = 0 nao e vazio e esta contido em F− = F⊥+ .Denote por Wλw o subgrupo do grupo de Weyl gerado pelas reflexoes em relacao asraızes de Πλw . O corolario 9.25 mostra que Wλk = u ∈ W : uλw = λw, em particularw ∈ Wλw .

O subespaco 〈Πλw〉 gerado Πλw coincide com F− pois se u ∈ Wλk entao u = 1 nosubespaco ortogonal 〈Πλw〉⊥ no entanto w = −1 em F− daı que F− ∩ 〈Πλw〉⊥ = 0 e〈Πλw〉⊥ = F+. Portanto, Πλw e um sistema de raızes em F− e como w ∈ Wλw e −1 emF− segue que w e a involucao principal de Wλw . Da mesma forma que na proposicao9.26 o conjunto Θ = Σw = Πλw ∩ Σ e um sistema simples de Πλw cujo diagrama deDynkin e um subdiagrama de Σ e cuja involucao principal e −1. 2

Por essa proposicao se obtem os elementos de ordem 2 de W , a menos de conjugacao,por subdiagramas interiores do diagrama de Dynkin, isto e, em que cada componenteconexa do subdiagrama e um diagrama do tipo A1, Bl, Cl, Dl (l par), G2, F4, E7 ouE8. Cada subdiagrama desses determina um elemento de ordem 2 como o produtodas involucoes principais de suas componentes conexas. A proposicao 9.37 garante quetodo elemento de ordem 2 de W e conjugado a um produto de involucoes principais desubdiagramas interiores.

Exemplo: Os subdiagramas de Al sao do mesmo tipo e daı que so sao diagramas in-teriores aqueles em que cada componente conexa contem uma unica raiz. Dessa forma,


as classes de conjugacao dos elementos de ordem 2 sao parametrizadas por subcon-juntos Θ ⊂ Σ cujas raızes sao ortogonais entre si. Essa parametrizacao nao e exatapois algumas involucoes sao conjugadas entre si. Por exemplo, dois conjuntos unitariosdefinem reflexoes conjugadas entre si. 2

Corolario 9.38 Se w ∈ W e uma reflexao em relacao a um hiperplano entao w = rαpara alguma raiz α ∈ Π.

Demonstracao: Uma reflexao w ∈ W e uma involucao e portanto se escreve comow = rµ1

· · · rµs com µ1, . . . , µs um conjunto ortogonal de raızes. Se w ∈ W e reflexaoem relacao a hiperplano entao o subespaco dos pontos fixos de w tem codimensao 1 eisso so e possıvel se s = 1, isto e, w = rµ1

. 2

Serao consideradas agora projecoes ortogonais do sistema de raızes na seguintesituacao: seja 1 6= σ ∈ Aut (Π) um automorfismo de ordem 2 do sistema de raızes Π.Os auto-valores de σ sao ±1 e os respectivos auto-espacos E±1 sao ortogonais entre si,em que E−1 6= 0 pois σ 6= 1. Denote por P : E = E+1 ⊕ E−1 → E+1 a projecaoortogonal sobre o espaco dos pontos fixos, que e dada por P = (1 + σ) /2.

A questao colocada aqui e se a projecao de Π por P e um sistema de raızes em E+1.Isso em geral nao e verdadeiro (mesmo que se retire 0 da projecao) como ilustra umexemplo apresentado abaixo. A condicao dada na definicao a seguir e suficiente paraque P (Π) \ 0 seja um sistema de raızes em E+1.

Definicao 9.39 O automorfismo de ordem 2, σ ∈ Aut (Π), e dito normal se para todaraiz α ∈ Π, α− σα nao e raiz.

Proposicao 9.40 Suponha que σ seja normal. Entao, P (Π) \ 0 e um sistema deraızes em E+1. O grupo de Weyl WP de P (Π)\0 e gerado pelas reflexoes em relacaoas projecoes Pα 6= 0, α ∈ Π.

Demonstracao: O conjunto P (Π) e evidentemente finito e gera E+1, pois Π geraE. Em E+1 se toma a restricao do produto interno de E e se Pα 6= 0, α ∈ Π, entao areflexao a Pα e dada por

rPα (λ) = λ− 2〈Pα, λ〉〈Pα, Pα〉

Pα.

A demonstracao consiste em verificar que P (Π) e invariante por essas reflexoes e oscorrespondentes numeros de Killing

2〈Pα, Pβ〉〈Pα, Pα〉

para α, β ∈ Π sao inteiros. Para isso, sao considerados os seguintes casos:


1. Pα = α, isto e, σα = α. Nesse caso α ∈ E+1 e 〈Pα, Pβ〉 = 〈α, β〉 para qualquerβ ∈ Π, pois β se escreve como Pβ + γ com γ ∈ E−1 que e ortogonal a E+1. Porisso, o numero de Killing


=2〈α, β〉〈α, α〉

e inteiro. Alem do mais,

rPα (Pβ) = Pβ − 2〈Pα, Pβ〉〈Pα, Pα〉

Pα = P

(β − 2〈α, β〉

〈α, α〉α

)e, portanto, rPα deixa P (Π) invariante.

2. Pα 6= α e σα e ortogonal a α. Entao,

〈Pα, Pα〉 = 〈α + σα

2,α + σα

2〉 =

1

2〈α, α〉 =

1

2〈σα, σα〉.

Portanto, para β ∈ Π, o numero de Killing associado a Pα e Pβ e


=〈α + σα, β〉〈Pα, Pα〉

=2〈α, β〉〈α, α〉

+2〈σα, β〉〈σα, σα〉

.

O ultimo membro desta igualdade e inteiro por ser a soma de numeros de Killingde Π. Essa igualdade mostra tambem que a reflexao rPα e dada por

rPα (Pβ) = P

(β − 2〈α, β〉

〈α, α〉α− 2〈σα, β〉〈σα, σα〉

σα

).

A expressao no argumento de P no segundo membro e nada mais nada menosque rαrσα (β), ja que α e σα sao ortogonais. Isso mostra que rPα = P rα rσα.Portanto, rPα deixa P (Π) invariante.

3. Pα 6= α e σα nao e ortogonal a α. E aqui que entra a hipotese de que σ e normal.Em primeiro lugar,

〈Pα, Pα〉 =1

4〈α, α〉 =

1

4〈σα, σα〉. (9.7)

De fato, α− σα nao e raiz, pois o sistema e normal, dessa forma a σα-sequenciainiciada em α e da forma α, α+σα, . . .. Como σα nao e ortogonal a α, a formulade Killing aplicada a essa sequencia mostra que 〈α, σα〉 < 0. Mas α e σα saoraızes de mesmo comprimento (pois σ e isometria) e daı que o numero de Killingcorrespondente so pode ser

2〈α, σα〉〈α, α〉

= −1.

Portanto, 2〈α, σα〉 = −〈α, α〉, o que implica (14.1).


Seja β outra raiz. Por (14.1) o numero de Killing entre Pα e Pβ e

2〈Pα, β〉〈Pα, Pα〉

=4〈α, β〉〈α, α〉


,

que e inteiro. Com essa expressao para o numero de Killing, fica facil mostrarque

rPα (Pβ) = P (rαrσαrα (β)) ,

o que garante que rPα deixa P (Π) invariante.

Com esses itens se conclui a demonstracao. 2

O seguinte exemplo exibe uma projecao que nao e sistema de raızes.

Exemplo: Sej Π o sistema de raızes Al com a realizacao dada pelas raızes λi − λj,i 6= j, e o produto interno canonico. Tome α = λ1 − λ2 e σ = rα. Se β = λ2 − λ3

entao rαβ = α + β e portanto β − rαβ = −α e raiz e σ nao e normal. A projecao eP = (1 + rα) /2 portanto

Pβ =α

2+ β =

λ1

2+λ1

2− λ3

e daı que 〈Pβ, Pβ〉 = 3/2. Por outro lado se, por exemplo, γ = λ3−λ4 entao Pγ = γ e〈Pγ, Pγ〉 = 2. O quociente 〈Pβ, Pβ〉/〈Pγ, Pγ〉 = 3/4 nao satisfaz as possıveis relacoesentre comprimentos de raızes num sistema de raızes. Por isso P (Π)\0 nao e sistemade raızes. 2

Em geral, a projecao P (Π) \ 0 nao e um sistema reduzido de raızes como ilustrao exemplo em D4 a seguir.

Exemplo: As raızes positivas de D4,

eα1

eα2,,

ll

eα3

eα4

saoα1, α2, α3, α4

α1 + α2, α2 + α3, α2 + α4

α1 + α2 + α3, α1 + α2 + α4, α2 + α3 + α4

α1 + α2 + α3 + α4, α1 + 2α2 + α3 + α4 .

Denotando por ri a reflexao em relacao a raiz simples αi, i = 1, . . . , 4, as reflexoes r1,r3 e r4 comutam entre si, pois as raızes sao ortogonais duas a duas. Por essa razao,

σ = r1r3r4


e uma involucao. Alem do mais, σ (αi) = −αi, i = 1, 3, 4 e

σ (α2) = α1 + α2 + α3 + α4 .

Os valores de σ nas demais raızes sao encontrados por linearidade. Esses valores mos-tram que σ define um sistema normal. O subespaco dos pontos fixos por σ e dedimensao um e e gerado por α1 + 2α2 + α3 + α4, enquanto que E−1 e gerado por−α1, α3, α4. A projecao P (Π) \ 0 e o sistema de raızes formado por

±P (α2) e ± P (α1 + 2α2 + α3 + α4) = ±2P (α2) ,

que nao e um sistema reduzido. 2

Outros exemplos de projecoes P (Π)\0 que sao sistemas nao reduzidos aparecemnas algebras de Lie semissimples reais. As chamadas raızes restritas sao definidas porprojecoes de sistemas de raızes de algebras complexas. Na construcao dessas raızesaparecem os casos em que α e 2α sao raızes (veja o capıtulo 13). Emm virtude dessarelacao com as raızes restritas, para a classificacao das algebras de Lie semissimplesreais serao obtidos os automorfismos normais de ordem 2 dos diversos sistemas deraızes.

Essa secao sera concluıda com a reproducao dos diagramas afins estendidos cor-respondentes a cada um dos diagramas de Dynkin conexos. Na lista abaixo o dia-grama estendido de Xl e denotado por Xl e e obtido de Xl acrescentando a raiz −µe suas ligacoes com as raızes simples onde µ e a raiz maxima. Os numeros de Kil-ling 2〈−µ, αi〉/〈αi, αi〉 sao ≤ 0 e portanto as ligacoes entre −µ e as raızes simples saodefinidas da mesma forma que as ligacoes entre as raızes simples.

Os numeros que aparecem ao lado das raızes nos diagramas sao os coeficientes dacombinacao linear

µ = n1α1 + · · ·+ nlαl.


Al, l ≥ 2

eHH

HHH

H

−µ

e e 1. . . e eα1

1α2

1αl−1

1αl

1

Bl, l ≥ 2

e−µe e 2. . . e eAα1

1α2

2αl−1

2αl

2

Cl, l ≥ 3 e Ae 2. . . e

Ae

−µ α1

1αl−1

2αl

1

Dl, l ≥ 4 eα1

1 ee−µα2

2 2. . . eαl−2

2,,

ll

eαl−11

eαl1

G2e e eA

α1

2

α2

3

−µ

F4e−µ

eα1

2 eα2

3 A

eα3

4 eα4

2

E6e e e e e

eα1

1α2

2α3

3α4

2α5

1

α62

e−µ

E7e e e e e e

eα1

1α2

2α3

3α4

4α5

3α6

2

α72

e−µ

E8e e e e e e e

eα1

2α2

3α3

4α4

5α5

6α6

4α7

2

α83

e−µ

9.7 Os grupos de Weyl

A partir das realizacoes dadas nos capıtulos 7 e 8 dos sistemas de raızes associados aosdiagramas de Dynkin, pode-se obter realizacoes dos grupos de Weyl correspondentes,encontrando os grupos gerados pelas reflexoes em relacao as raızes simples. Isso serafeito a seguir para os grupos de Weyl dos diagramas classicos Al, Bl, Cl e Dl. Emcada um desses casos, vai ser considerado o produto interno canonico ao inves doproduto interno proveniente da forma de Cartan-Killing como no capıtulo 8. Comoesses produtos internos sao multiplos um do outro, as reflexoes ortogonais que elesdefinem sao as mesmas.

Al O sistema de raızes e um sistema no subespaco E de dimensao l de Rl+1, com oproduto interno canonico, dado por

E = (x1, . . . , xl+1) : x1 + · · ·+ xl+1 = 0

e as raızes sao αij, i 6= j, com

αij = (0, . . . , 1i, . . . ,−1j, . . . , 0),

9.7. Os grupos de Weyl 271

onde os subındices i e j indicam a coordenada correspondente. Um conjunto deraızes simples e

Σ = αi,i+1 : i = 1, . . . , l.Aplicando em (x1, . . . , xl+1) a reflexao ortogonal em relacao a raiz αij se obtem

(x1, . . . , xl+1) 7−→ (x1, . . . , xl+1)− (xi − xj) (0, . . . , 1i, . . . ,−1j, . . . , 0).

Portanto, rαij e dada pela permutacao

(x1, . . . , xi, . . . , xj, . . . , xl+1) 7−→ (x1, . . . , xj, . . . , xi, . . . , xl+1)

de coordenadas em relacao a base canonica de Rl+1. Como essas reflexoes geramW , o grupo de Weyl age em E por permutacoes das coordenadas. No entanto,as permutacoes simples (i, j) geram o grupo das permutacoes em l+1 elementos.Daı que W coincide com o grupo das permutacoes das coordenadas em relacao abase canonica, isto e, com o grupo das permutacoes de l+1 elementos. Portanto,|W | = (l + 1)!. Dito de outra maneira, W e o grupo de transformacoes linearesde Rl+1 formado pelas matrizes de permutacao, que sao as matrizes em que emcada linha e em cada coluna existe exatamente uma entrada igual a 1 as demaissao nulas. Visto dessa maneira, W atua em E por restricao das transformacoeslineares de Rl+1.

A camara de Weyl associada a Σ e

C = (x1, . . . , xl+1) ∈ E : x1 > x2 > · · · > xl+1.

Isso porque o produto interno entre α = (x1, . . . , xl+1) e αi,i+1 e xi − xi+1 e daıque para α ∈ C, xi > xi+1. Como o grupo de Weyl e transitivo no conjunto dascamaras de Weyl e age por permutacoes, as demais camaras de Weyl sao dadaspor

(x1, . . . , xl+1) : xi1 > · · · > xil+1

para as diferentes permutacoes i1, . . . , il+1 de 1, . . . , l + 1.

O conjunto −Σ tambem e um sistema simples de raızes. A camara de Weylassociada e

C− = (x1, . . . , xl+1) ∈ E : x1 < x2 < · · · < xl+1

e o unico elemento w0 ∈ W que satisfaz w0 (Σ) = −Σ e a permutacao que invertea ordem de todos os subındices. Em outras palavras, a involucao principal emrelacao a Σ e

w0 = (1, l + 1) (2, l) · · · (j, l − j + 2) · · · .A acao de w0 nas raızes simples e dada por

w0 (αj,j+1) = −αl−j+1,l−j+2 ,

que e uma mudanca de sinal seguida da permutacao das raızes do diagrama quesao equidistantes ao centro.


Bl O sistema de raızes e realizado em E = Rl e e dado por ±λi, αij, i 6= j, e ±βij.Onde αij e como acima,

λi = (0, . . . , 1i, . . . , 0)

eβij = (0, . . . , 1i, . . . , 1j, . . . , 0) = λi + λj .

Um sistema simples eΣ = α12, . . . , αl−1,l, λl.

Da mesma forma que em Al, as reflexoes em relacao as raızes αij sao dadaspor permutacoes das coordenadas i e j. Ja a reflexao em relacao a λi, aplica(x1, . . . , xl+1) em

(x1, . . . , xl+1)− 2xi(0, . . . , 1i, . . . , 0) = (x1, . . . ,−xi, . . . , xl+1),

isto e, muda o sinal da i-esima coordenada em relacao a base canonica. Comoessas reflexoes geram W , os elementos do grupo de Weyl agem em Rl por mudancade sinal seguida de permutacoes nas coordenadas em relacao a base canonica. Poroutro lado, pode-se verificar, sem maiores dificuldades, que as transformacoeslineares desse tipo pertencem a W . Portanto, W e o grupo de transformacoeslineares cujas matrizes em relacao a base canonica sao dadas por SP onde P euma matriz de permutacao e S e uma matriz diagonal cujas entradas sao ±1.Portanto, a ordem de W e

|W | = 2l l! .

A camara de Weyl, associada ao sistema simples Σ dado acima, e

C = (x1, . . . , xl) : x1 > · · · > xl > 0.

As coordenadas dos elementos desta camara sao todas estritamente positivas.Assim, fazendo W agir emC, obtem-se, para uma permutacao p = i1, . . . , il de1, . . . , l e uma n-upla ε = (ε1, . . . , εl) com εi = ±1, uma camara de Weyl

Cp,ε = (x1, . . . , xl) : |xi1 | > · · · > |xil | e εjxij > 0

e essas cobrem as 2l l! camaras.

A camara de Weyl, associada ao sistema simples −Σ, e

C− = (x1, . . . , xl) : x1 < · · · < xl < 0

e a involucao principal em relacao a Σ e dada por

w0 = −1.

Cl O grupo de Weyl coincide com o de Bl pois, a menos do comprimento relativo dasraızes simples, os diagramas coincidem e W e gerado pelas reflexoes em relacaoas raızes simples que independem do comprimento das raızes.


Dl O sistema de raızes e realizado em E = Rl e as raızes sao αij, βij, i 6= j, que temo mesmo significado que em Bl. Um sistema simples e

Σ = α12, . . . , αl−1,l, βl−1,l.

As reflexoes em relacao a αij sao, como antes, dadas por permutacoes nas coor-denadas dos elementos. Ja a reflexao em relacao a βij e dada por

(x1, . . . , xl) 7−→ (x1, . . . ,−xi, . . . ,−xj, . . . , xl).

Portanto, assim como nos casos anteriores, os elementos de W sao permutacoesseguidas de mudanca de sinal nas coordenadas. Mas, ao contrario dos casos Bl eCl, as mudancas de sinal ocorrem sempre numa quantidade par de coordenadas,ja que aqui nao existem as raızes λi ou 2λi que aparecem em Bl e Cl, respec-tivamente. Assim, as matrizes dos elementos de W sao, como acima, da formaSP com P uma matriz de permutacao e S diagonal com entradas ±1, mas comdetS = 1. Dessa forma, a ordem de W e

|W | = 2l−1 l! .

A camara de Weyl associada a Σ e

C = (x1, . . . , xl) : x1 > · · · > xl e xl−1 + xl > 0

que pode ser reescrita como

C = (x1, . . . , xl) : x1 > · · · > xl > −xl−1.

Nessa camara xl−1 > 0 e, portanto, as primeiras l − 1 coordenadas sao es-tritamente positivas. Por acao de W em C, obtem-se, para uma permutacaop = i1, . . . , il e uma n-upla ε = (ε1, . . . , εl) com εi = ±1 e tal que −1 apareceuma quantidade par de vezes, as camaras de Weyl Cp,ε dadas pelos (x1, . . . , xl)que satisfazem

|xi1| > · · · > |xil | > −|xil−1| e εjxij > 0 se j ≤ l − 1

que cobrem as 2l−1 l! camaras de Weyl.

Por fim, a involucao principal w0 varia aqui de acordo com a paridade de l. Sel e par, entao −1 ∈ W e o unico elemento de W que aplica Σ em −Σ, isto e,w0 = −1. Ja se l e ımpar, entao

w0 = S

onde S e a matriz diagonal em que as primeiras l entradas sao −1. A acao de w0

no sistema simples e dada por

w0 (αj,j+1) = −αj,j+1

se j < l − 1, enquanto que w0 (αl−1,l) = −βl−1,l e w0

(βl−1,l

)= −αl−1,l.


9.7.1 Diagramas excepcionais

Quanto aos grupos de Weyl dos diagramas excepcionais, nao e difıcil encontrar umarealizacao explıcita para o de G2: como pode ser visto na figura da pagina 216, as 12raızes de G2 formam entre si angulos sucessivos de 30 e, portanto, suas retas ortogonaisdividem o plano em 12 camaras de Weyl e essa e a ordem o grupo de Weyl. Tomandoa realizacao do diagrama no espaco

E = (x1, x2, x3) ∈ R3 : x1 + x2 + x3 = 0,

o sistema simples pode ser dado por

α1 = (0,1

6,−1

6) α2 = (− 1

18,− 1

18,

2

18)

cujas reflexoes em relacao ao produto interno canonico sao

rα1(x1, x2, x3) = (x1, x3, x2)

erα2(x1, x2, x3) = (−x2,−x1,−x3).

Portanto, o grupo de Weyl esta contido no grupo das transformacoes lineares de R3

que sao da forma ±P , com P uma permutacao das coordenadas em relacao a basecanonica. Como esse grupo tem 12 elementos, ele e exatamente o grupo de Weyl deG2.

As ordens dos grupos de Weyl das demais algebras excepcionais sao encontradasatraves das proposicoes 9.13 e 9.24 levando em conta que a orbita Wµ da raiz maximaµ pelo acao do grupo de Weyl e o conjunto de todas as raızes nos casos E6, E7 e E8

(diagramas que contem so ligacoes simples) e o conjunto das raızes longas no caso deF4. O numero de elementos |Wµ| na orbita Wµ e igual a |W | / |Wµ| onde Wµ e osubgrupo dos elementos que fixam µ, isto e, |W | = |Wµ| |Wµ|. Nessa igualdade seobtem |Wµ| a partir da realizacao das algebras de Lie que foi feita no capıtulo 8. JaWµ e o grupo de Weyl do diagrama de Dynkin de Σµ formado pelas raızes simplesortogonais a µ. O diagrama Σµ pode ser lido diretamente a partir dos diagramas afinsestendidos apresentados acima.

• O diagrama afim estendido F4 de F4 mostra que o conjunto Σµ das raızes simplesortogonais a raiz maxima µ forma um diagrama C3 cujo grupo de Weyl tem 23 ·3!elementos. Daı que |Wµ| = 23 · 3!. Por outro lado, F4 tem 24 raızes longas comomostra a tabela das raızes positivas ao final do capıtulo 8. Esse numero e a ordemde |Wµ|. Portanto, a ordem de W e

24 · 23 · 3! = 1.152.

Esse numero e igual a 6 · 192 e coincide a ordem do grupo dos automorfismos deD4, que tem 6 automorfismos de diagrama, e o seu grupo de Weyl 192 = 23(4!)elementos. Isso nao e coincidencia, pois o grupo de Weyl de F4 e o grupo dosautomorfismos de D4 (veja os exercıcios 19 e 20, ao final do capıtulo).


• Pelo diagrama afim estendido E6 de E6 se ve que o conjunto Σµ das raızes simplesortogonais a raiz maxima µ forma um diagrama A5 cujo grupo de Weyl tem6! elementos. O numero total de raızes de E6 e 72 como segue da tabela dasdimensoes ao final do capıtulo 8 (numero de raızes e igual a dimensao menos oposto). Portanto a ordem do grupo de Weyl W de E6 e

72 · 6! = 51.840.

A involucao principal w0 de E6 e 6= −1 pois caso contrario o corolario 9.35mostraria que a involucao principal wµ0 de Σµ seria −1. No entanto, o diagramade Σµ e A5 cuja involucao principal e 6= −1. Portanto w0 = −π onde π e asimetria nao trivial do diagrama E6.

• Para E7 o diagrama afim estendido E7 mostra que Σµ tem diagrama D6 cujogrupo de Weyl tem ordem 25 · 6!. Como

E7 tem 126 raızes, a ordem de seu grupo de Weyl e

126 · 25 · 6! = 2.903.040.

• Para E8 o conjunto das raızes simples Σµ ortogonais a µ formam um diagramaE7. Como E8 tem 240 raızes, a ordem de seu grupo de Weyl e

240 · 126 · 25 · 6! = 696.729.600.

Notas

Os grupos de Weyl formam uma classe particular dos grupos de Coxeter, que sao grupos

gerados por reflexoes ortogonais em relacao a formas bilineares mais gerais que o produto

interno. Duas excelentes exposicoes sobre os grupos de Coxeter sao o classico Bourbaki [5] e

o texto mais recente de Humphreys [26]. Entre os grupos gerados por reflexoes ortogonais em

relacao a um produto interno existem, alem dos grupos de Weyl, apenas a classe dos grupos

diedrais (grupo de simetrias de um polıgono regular) e dois grupos excepcionais (H3 e H4). O

que distingue os grupos de Weyl dos demais e a existencia de um reticulado invariante pelo

grupo. Nesse sentido, os grupos de Weyl sao grupos de Coxeter cristalograficos. Associados a

formas bilineares positivas semidefinidas existem os chamados grupos afins, que desempenham

o papel de grupo de Weyl nas algebras de Kac-Moody, que sao algebras de dimensao infinita

com uma estrutura que se assemelha a das algebras semi-simples (veja [30]). Sao conhecidas

ainda algumas classes de grupos associados a formas nao-degeneradas, que nao sao positivas

definidas. Uma delas e a classe dos grupos de Coxeter hiperbolicos que tambem podem ser

obtidos por reflexoes do espaco hiperbolico (veja [26]).

O termo “involucao principal” utilizado aqui nao e de uso universal. E comum encontrar em

seu lugar a expressao “elemento de comprimento maximo” do grupo de Weyl.

O tratamento dado aqui a involucao principal de E6 nao e o usual. Normalmente a deter-

minacao dessa involucao e feita atraves dos polinomios invariantes pelo grupo de Weyl (veja

[26]).


9.8 Exercıcios

1. Seja Π um sistema de raızes que se decompoe como uniao disjunta Π = Π1 ∪ Π2

e suponha que tanto Π1 quanto Π2 sao fechados por somas ou diferencas de seuselementos que sao raızes, isto e,

• se α, β ∈ Πi e α± β e raiz, entao α± β ∈ Πi.

Entao, Π1 e Π2 sao ortogonais entre si.

2. Seja Θ um subconjunto do sistema simples de raızes Σ e denote por 〈Θ〉 o menorsubconjunto de Π fechado que contem Θ. Entao, 〈Θ〉 e um sistema de raızes noespaco gerado por Θ.

3. Dados um sistema de raızes Π em E e α ∈ Π, denote por α∨ o unico funcionallinear de E que se anula no ortogonal de α e em α vale 2. Mostre que Π∨ = α∨ :α ∈ Π e um sistema de raızes no dual E∗ de E. Compare esse sistema de raızescom o sistema dual dado por um produto interno invariante que foi discutido aofinal da secao 1.

4. Num sistema reduzido de raızes, seja α = n1α1 + · · ·+ nlαl a combinacao linearde uma raiz α em relacao as raızes simples. Mostre que

ni〈αi, αi〉〈α, α〉

e inteiro.

5. Seja g uma transformacao linear de E que deixa invariante o conjunto das raızes.Mostre que g e inversıvel e ortogonal em relacao ao produto interno invariante pelogrupo de Weyl. Mostre tambem que o conjunto G das transformacoes linearesinversıveis de E que deixam Π invariante e um grupo e que contem o grupo deWeyl W como subgrupo normal.

6. Numa algebra de Lie g (sobre corpo algebricamente fechado) com subalgebra deCartan h, se X ∈ gα, espaco de raızes, entao ad (X) e nilpotente. Faz sentido,entao, escrever exp (ad (X)) ja que essa exponencial e uma soma finita. TomandoX ∈ gα, Y ∈ g−α, mostre que

r = exp (ad (X)) exp (ad (−Y )) exp (ad (X))

deixa h invariante e sua restricao a h coincide com a reflexao rα em relacao aα. (Se H ∈ h e ortogonal a Hα, entao r (H) = H o que permite reduzir tudo asubalgebra g (α) isomorfa a sl (2)).

7. Mostre que se o diagrama de Dynkin tem apenas ligacoes simples, entao existeuma unica raiz µ tal que 〈µ, α〉 ≥ 0 para toda raiz positiva α. Ja se o diagramatem ligacoes duplas ou triplas, entao existem exatamente duas raızes satisfazendoessa propriedade.


8. (Sistemas de raızes nao-reduzidos) Mostre que num sistema nao-reduzido se α e2α sao raızes, entao o numero de Killing

2〈β, α〉〈α, α〉

e par para toda raiz β. Conclua que o diagrama de Dynkin de um sistemareduzido e A1 ou Bl, l ≥ 2.

Mostre que a uniao das raızes de Bl e Cl (que tem o mesmo grupo de Weyl deBl) e o unico sistema nao-reduzido em dimensao l ≥ 2.

9. Seja ρ = 12

∑α>0 α; mostre que para toda raiz simples α vale rα (ρ) = ρ−α (caso

de sistema reduzido) ou rα (ρ) = ρ − 3α (sistema nao reduzido). Conclua que2〈ρ, α〉〈α, α〉

= 1 e que ρ pertence a camara de Weyl positiva associada ao sistema

simples.

10. De exemplo(s) das seguintes situacoes:

(a) Um sistema de raızes Π ⊂ E e um subconjunto ∆ ⊂ Π, que gera E, masnao contem nenhum sistema simples.

(b) Um sistema de raızes Π ⊂ E e um subconjunto ∆ ⊂ Π, que gera E, nao eum sistema simples e tal que para todo par α 6= β em ∆, vale 〈α, β〉 ≤ 0.

11. Mostre que para λ ∈ E, wλ < λ para todo w ∈ W se e so se λ (Hαi) > 0 paratoda raiz simples αi.

12. Fixando um sistema simples de raızes, sejam ri as reflexoes em relacao as raızessimples. No grupo de Weyl W , defina a relacao ≤ por: w ≤ w′ se

(a) w′ = wri1 · · · rik e

(b) wri1 · · · rij−1(αj) > 0, 1 ≤ j ≤ k.

Mostre que essa relacao e uma ordem parcial em W . Mostre tambem que sew ≤ w′, entao wΛ ≥ w′Λ para todo Λ em que 〈Λ, β〉 ≥ 0 para toda raiz positiva

β e tal que os numeros de Killing 2〈Λ,α〉〈α,α〉 sao inteiros para as raızes α. De exemplo

de Λ satisfazendo essas condicoes e w,w′ ∈ W tais que wΛ ≥ w′Λ e, nao valew ≤ w′. (Veja [12].)

13. (Caracterizacao de um conjunto de raızes positivas) Sejam Π um sistema deraızes em E e Ω um subconjunto fechado de Π (veja o exercıcio 1). Suponha queΠ = Ω ∪ −Ω. Entao, existe w ∈ W tal que Π+ ⊂ wΩ onde Π+ e um conjuntode raızes positivas em relacao a uma ordem lexicografica. (Mostre que se Ω∩Π+

tem q elementos, entao existe uma reflexao r em relacao a uma raiz simples talque rΩ ∩ Π+ tem pelo menos q + 1 elementos).

O conjunto Ω = Π+ das raızes positivas em relacao a uma ordem lexicograficasatisfaz as seguintes condicoes:


(a) Ω e fechado;

(b) Π = Ω ∪ −Ω;

(c) Ω ∩ −Ω = ∅.

Mostre que essas condicoes sao suficientes para que um subconjunto Ω ⊂ Π sejao conjunto das raızes positivas em relacao a uma ordem lexicografica.

14. Sejam Π um sistema de raızes e α, β ∈ Π. Mostre que (rαrβ)i = 1 com i = 2, 3, 4ou 6. (Considere o plano gerado por α e β e use o fato de que o produto de duasreflexoes no plano e uma rotacao).

15. Seja w0 a involucao principal de W . Mostre que em sua decomposicao comoproduto de reflexoes simples cada uma dessas reflexoes aparece pelo menos umavez.

16. Dado um sistema simples Σ, seja C a camara de Weyl correspondente. Mostreque o comprimento ` (w) de w ∈ W coincide com o numero de raızes postivas αtais que α (C) > 0 e α (wC) < 0.

17. Sejam r1, . . . , rk reflexoes em relacao a raızes simples duas a duas distintas. Mos-tre que ` (r1 · · · rk) = k.

18. Encontre a ordem do grupo de Weyl dos diagramas classicos pelo mesmo metodoutilizado para os diagramas excepcionais.

19. Um automorfismo de um sistema de raızes Π e uma isometria que deixa Π in-variante. Mostre que o conjunto Aut (Π) dos automorfismo de Π e um grupoisomorfo ao produto semidireto entre o grupo dos automorfismos do diagrama deΠ e do grupo de Weyl.

20. Mostre que o grupo de Weyl de G2 coincide com Aut (A2). Mostre tambem queW (F4) = Aut (D4). (Use o fato de que raızes longas de G2 e F4 formam o sistemade raızes A2 e D4 respectivamente).

21. Suponha que o sistema simples de raızes e Σ = α1, . . . , αl. Um elemento deCoxeter e um produto de reflexoes rαi1 · · · rαil em que cada raiz aparece exata-mente uma vez. Mostre que os elementos de Coxeter pertencem a mesma classede conjugacao do grupo de Weyl.

Capıtulo 10

Algebras envelopantes

A algebra gl(V ) das transformacoes lineares de V e tanto uma algebra de Lie quantouma algebra associativa. Ao representar uma algebra de Lie num espaco vetorial,obtem-se uma subalgebra de Lie de transformacoes lineares. Em geral, essa algebrade Lie nao e associativa, mas a algebra associativa gerada por ela contem diversasinformacoes sobre a representacao. A algebra universal envelopante de uma algebra deLie g e uma algebra associativa U(g) construıda (gerada) de maneira abstrata a partirde g sendo que as representacoes de g induzem representacoes de U(g) de tal forma queas imagens de U(g) por essas representacoes coincidem com as algebras associativasgeradas pelas imagens das representacoes de g. Com a construcao formal das algebrasuniversais envelopantes desenvolve-se uma tecnica algebrica bastante util no estudo dasrepresentacoes das algebras de Lie.

10.1 Algebras universais envelopantes

O que se entende por uma algebra universal envelopante da algebra de Lie g e umaalgebra associativa U(g) que “contem” g e tal que toda representacao ρ de g se “es-tende” a uma representacao de U(g) (subentende-se, ao longo deste capıtulo, que asalgebras associativas sao com unidade). De maneira mais formal, uma algebra associ-ativa U e uma algebra universal envelopante de g se existe um homomorfismo injetor

i : g −→ U

de g a valores na algebra de Lie cujo colchete e o comutador em U , que satisfaz

i) a imagem i(g) gera U como algebra associativa e

ii) se ρ : g→ gl(V ) e uma representacao de g em V , entao existe uma representacaoρ : U → gl(V ) que satisfaz

ρ i(X) = ρ(X),

para todo X ∈ g. Aqui, ρ e uma representacao de uma algebra associativa, istoe, satisfaz

ρ(XY ) = ρ(X)ρ(Y ),

279

280 Capıtulo 10. Algebras envelopantes

onde o produto do primeiro membro e o produto da algebra e o do segundo mem-bro e a composta usual de transformacoes lineares em V . Em outras palavras,U e uma algebra universal envelopante se para toda representacao ρ existe umarepresentacao ρ tal que o diagrama

g

6

U(g)

-

HHHHH

HHHjgl(V )ρ

i

ρ

comuta.

O termo “universal” que aparece nessa definicao vem do fato de que se toma umarepresentacao arbitraria ρ de g. E claro, pode-se definir algebras envelopantes quenao sao universais, so que associadas a representacoes pre-determinadas. Em todocaso, a condicao (i) acima garante que a algebra associativa de transformacoes linearesgerada por ρ(g) coincide com a imagem ρ(U) da algebra universal envelopante e garantetambem que a representacao ρ obtida por extensao de ρ e unica.

Duas algebras universais envelopantes sao isomorfas como algebras associativas.Para ver isso, a primeira coisa que se observa e que o homomorfismo i : g→ U defineuma representacao µ de g em U por multiplicacao a esquerda:

µ(X)(a) = i(X)a X ∈ g, a ∈ U.

O fato de µ ser uma representacao e consequencia imediata de que i e um homomor-fismo. Dessa forma, se i1 : g → U1 e uma outra algebra universal envelopante, entaoexiste uma representacao µ1 de g em U1 que define por sua vez uma representacao µ1

de U em U1. Como µ1(g) gera µ1(U), os elementos de µ1(U) sao tambem dados pormultiplicacao a esquerda em U1. Assim, se 1 ∈ U1 denota a unidade de U1, entao aaplicacao

φ1 : a ∈ U 7−→ µ1(a)1

define um homomorfismo de U a valores em U1. Da mesma forma existe um homo-morfismo φ : U1 → U . Compondo esses homomorfismos, obtem-se o homomorfismoφ φ1 de U , que restrito a i(g), e a identidade. Por essa razao, φ φ1 e a identidademostrando que esses homomorfismos definem isomorfismos entre U e U1.

Essa discussao permite considerar como algebra universal envelopante de g qualqueruma das algebras envelopantes isomorfas entre si. Uma tal algebra sera denotadagenericamente por U(g). Existe, no entanto, uma realizacao canonica de U(g), que e,na verdade, a utilizada como algebra universal envelopante de g. Para a construcaodessa realizacao canonica, e conveniente que se facam antes as seguintes consideracoessobre ideais e quocientes de algebras associativas.

Dada uma algebra associativa A, um ideal a esquerda e uma subalgebra I tal queab ∈ I se b ∈ I e a ∈ A. Mesmo que A seja uma algebra com unidade, nao se pede

10.1. Algebras universais envelopantes 281

que I contenha a unidade. De maneira semelhante, define-se o que vem a ser um ideala direita e um ideal bilateral. Este ultimo e um ideal invariante por multiplicacoes adireita e a esquerda. Como um ideal I e em particular um subespaco de A, e possıvelformar o espaco quociente A/I. No caso em que I e um ideal bilateral, o produto emA passa ao quociente, definindo em A/I o produto

(a+ I) (b+ I) = ab+ I

para a, b ∈ A. Esse produto e bem definido, pois se a′ e b′ sao equivalentes a a e b,respectivamente, entao

ab− a′b′ = a(b− b′) + (a− a′)b′

e como I e um ideal bilateral, o segundo membro dessa expressao esta em I. Esseproduto define em A/I uma algebra associativa tal que a projecao canonica

π : A −→ A/I

e um homomorfismo. Essa definicao de algebra quociente requer que I seja bilateral.Em geral, se I e um ideal a esquerda ou a direita mas nao bilateral, o produto em Anao passa ao quociente. Um exemplo disso pode ser visto na algebra associativa gl (2)das matrizes 2× 2. O subespaco I das matrizes da forma(

0 ∗0 ∗

)e um ideal a esquerda, ja que essas sao as matrizes que anulam o primeiro vetor dabase. As matrizes

X =

(1 00 0

)e X ′ =

(1 10 0

)sao equivalentes modulo I. No entanto, tomando

Y =

(0 01 0

),

XY = 0 e X ′Y = X e X + I 6= I, ja que X /∈ I.Dado um subconjunto C ⊂ A, o ideal bilateral gerado por C e o menor ideal I desse

tipo que contem C. No caso em que A contem elemento unidade, esse ideal coincidecom o subespaco gerado por todos os produtos da forma

azb

com a, b ∈ A e z ∈ C. De fato, I contem todos os produtos desse tipo e, portanto,o subespaco gerado pelos mesmos. Reciprocamente, o subespaco gerado por essesprodutos e claramente um ideal bilateral que contem C, pois A e uma algebra comunidade.


Com esses comentarios, a realizacao canonica da algebra universal envelopante econstruıda a partir de g seguindo a ideia basica de que U(g) e uma algebra associativagerada por g (ja que a aplicacao i : g→ U(g) e injetora) e, portanto, os elementos deU(g) devem ser justaposicoes associativas de elementos de g. Dessa forma, considera-sea algebra associativa livre gerada por g. Essa e a algebra tensorial

T (g) =∑k

k⊗g

de g. Seus elementos sao combinacoes lineares finitas de monomios da forma

X1 · · ·Xk

com o produto indicando o produto tensorial dos elementos Xi ∈ g, i = 1, . . . k, (osımbolo ⊗ de produto tensorial e omitido tanto por razoes de economia de notacaoquanto para enfatizar que o produto e obtido por justaposicao – formal – dos elementosde g). A algebra T (g) e uma algebra associativa que contem e e gerada por g. Noentanto, a inclusao g → T (g) nao e um homomorfismo de g a valores na algebra de Liedefinida em T (g) pelo comutador. Isso porque, para X, Y ∈ g, XY −Y X e diferente de[X, Y ], pois o primeiro e um elemento de ordem dois de T (g), enquanto que o segundoe um elemento de g, isto e, de ordem um. O homomorfismo se consegue tomando umaalgebra quociente de T (g). Assim, a algebra universal envelopante pode ser construıdacomo

U(g) = T (g) /I ,

onde I e o ideal bilateral de T (g) gerado por elementos (nao-homogeneos) da forma

XY − Y X − [X, Y ] ∈ T (g)

com X, Y ∈ g. Os elementos dessa algebra quociente sao representados, da mesmaforma, por combinacoes lineares de monomios do tipo X1 · · ·Xk (representantes emT (g)) com a diferenca que em U(g) existem igualdades entre elementos nao-homoge-neos. Por exemplo,

X1 · · ·XY · · ·Xk = X1 · · ·Y X · · ·Xk +X1 · · · [X, Y ] · · ·Xk

em U(g), mas nao em T (g). Os produtos em U(g) sao, da mesma forma, dados porjustaposicao de monomios. Passando ao quociente a inclusao de g em T (g), obtem-se uma aplicacao de g em U(g) que e, por construcao um homomorfismo quando seconsidera em U(g) o colchete dado pelo comutador. Essa aplicacao de g em U(g) einjetora, pois o ideal I tem intersecao nula com g, ja que os elementos de I sao geradospor elementos de ordem dois ou mais da algebra tensorial. Por fim, uma representacaoρ de g no espaco vetorial V se estende a uma representacao ρ de U(g) que e definidanos monomios por

ρ(X1 · · ·Xk) = ρ(X1) · · · ρ(Xk). (10.1)


O procedimento para ver que ρ e de fato uma representacao e o seguinte: em primeirolugar, estende-se ρ a algebra tensorial T (g). Isso e possıvel, pois T (g) e a algebraassociativa livre gerada por g e, portanto, qualquer aplicacao de g a valores numaalgebra associativa se estende a um homomorfismo de T (g). Feito isso, o fato de queρ e uma representacao de algebra de Lie garante que o ideal I definido acima estacontido no nucleo da representacao de T (g). Passando ao quociente, isso define umarepresentacao de U(g), que nos monomios e dada por ρ como acima.

Essa realizacao de U(g) como combinacoes lineares finitas de monomios nos ele-mentos de g em que se identifica XY − Y X com [X, Y ] e a que e utilizada semprecomo algebra universal envelopante de g.

Exemplos:

1. Seja g uma algebra abeliana. Entao, [X, Y ] = 0 para todo X, Y ∈ g. Dessa forma,a identificacao que se faz em T (g) para obter U(g) e a dada por XY = Y X e,portanto, U(g) e a algebra simetrica de g, que e abeliana. Seja

β = X1, . . . , Xn

uma base ordenada de g. Os elementos de U(g) sao combinacoes lineares demonomios do tipo

Xi1 · · ·Xik

com Xij ∈ β. Como dois elementos quaisquer de g comutam, e possıvel reescreveros monomios como

Xs11 · · ·Xsn

n .

O produto de dois desses monomios e dado como o produto de dois monomioscomutativos nas variaveis X1, . . . Xn. Portanto, U(g) e nada mais nada menosque uma algebra de polinomios.

2. Seja g a algebra soluvel de dimensao dois com base X, Y tal que [X, Y ] = Y .Os elementos de U(g) sao combinacoes lineares de monomios da forma

X1 · · ·Xk

com Xi = X ou Y para todo i = 1, . . . k. Num monomio desses, toda ocorrenciado tipo XY , com X antecedendo Y , pode ser substituıda por

XY = Y X + [X, Y ]= Y X + Y.

Dessa forma, pode-se substituir o monomio dado por um monomio em que todaocorrencia de X aparece a direita das de Y e um monomio qualquer de U(g) eigual a um monomio da forma Y iXj, i, j ≥ 0. Assim, U(g) e o conjunto dascombinacoes lineares finitas desses monomios. O produto desta algebra e obtidopor inducao a partir da igualdade acima. Tem-se

XkY =k∑j=0

(k

j

)Y Xk−j


pela formula de comutacao vista no capıtulo 2. Daı se tira por inducao que

XkY s =k∑

j1=0

k−j1∑j2=0

· · ·k−(j1+···+js−1)∑

js=0

Ckj1···jsY

sXk−(j1+···+js)

onde

Ckj1···js =

(k

j1

)· · ·(k − (j1 + · · ·+ js−1)

js

).

Esta igualdade fornece uma expressao explıcita para o produto entre os monomiosY jXk e Y sXr. 2

Um resultado central sobre as algebras universais envelopantes e o teorema de Poin-care-Birkhoff-Witt. Esse teorema, de natureza puramente combinatoria, fornece basesde U(g) ordenando os monomios de acordo com ordens em bases de g da mesma formaque nos dois exemplos anteriores. Explicitamente, tem-se

Theorem 10.1 (Poincare-Birkhoff-Witt) Seja g uma algebra de Lie (de dimensao fi-nita ou nao) e Xii∈J uma base de g ordenada por uma ordem no conjunto dos ındicesJ . Entao, os monomios do tipo

Xi1 · · ·Xik i1 ≤ · · · ≤ ik (10.2)

formam uma base de U(g). Em particular, se dim g <∞ e

β = X1, . . . , Xn

e uma base ordenada de g, entao os monomios

Xm11 · · ·Xmn

n

com mi ≥ 0 formam uma base de U(g).

Demonstracao:

1. Para mostrar que o conjunto dos monomios ordenados do enunciado formam umconjunto gerador, deve-se mostrar que um monomio qualquer

m = Xi1 · · ·Xik

pode ser escrito como combinacao linear dos monomios ordenados. Isso e feitopor inducao: seja d(m) a quantidade de pares ij, il com j ≤ l que aparecem comosubındices no monomio acima tais que ij > il , isto e, d (m) e a quantidade depares fora de ordem que aparecem no monomio. A inducao e feita sobre k, aordem de m e d(m). O passo de inducao e feito da seguinte forma. Se d(m) = 0,entao m esta bem ordenado e, portanto, pertence ao conjunto que se pretendeque seja gerador. Caso contrario, saindo de um par ij > il com j ≤ l e tomando


sucessivamente os elementos a partir de Xij , chega-se a algum ındice s tal queis > is+1. Usando esse ındice s, pode-se reescrever m como

Xi1 · · ·XisXis+1 · · ·Xik = Xi1 · · ·Xis+1Xis · · ·Xik

+ Xi1 · · · [Xis , Xis+1 ] · · ·Xik .

Nessa igualdade, o primeiro termo do segundo membro e um monomio m′ demesma ordem que m mas com d(m′) < d (m). Ja o segundo membro e uma somade monomios de ordem menor que a ordem de m. Dessa forma, obtem-se o passode inducao. E claro, a inducao comeca, pois se a ordem de m e um, entao m estabem ordenado e, como foi dito acima, se d(m) = 0, m esta bem ordenado. Issomostra que o conjunto dos monomios do enunciado geram U(g).

2. Para a demonstracao da independencia linear de (10.2), consideram-se os mono-mios correspondentes na algebra tensorial. Seja T0 o subespaco de T (g) geradopelos monomios ordenados de acordo com a base de g. Como os monomios saolinearmente independentes em T (g), para mostrar sua independencia linear emU(g), e suficiente mostrar que T0 ∩ I = 0. Para garantir que esta intersecao seanula, e usado o artifıcio de construir uma transformacao linear

σ : T (g)→ T (g)

tal que

• σ se anula em I e

• restrita a T0, σ e a identidade.

E claro, σ e determinada pelos seus valores σ(m) nos monomios

m = Xi1 · · ·Xik

de T (g). Para definir σ(m), e usada inducao sobre k, a ordem de m, e d(m), onded(m) e, como acima, o numero de pares que aparecem no monomio m em ordemcontraria a ordem da base de g. Para iniciar o processo de inducao, assume-seque a ordem k de m e zero ou um, e define-se σ(m) = m, ja que, nesse caso, omonomio m esta ordenado, e σ deve ser a identidade em T0. Se k ≥ 2, define-seσ(m) por inducao sobre d(m). Se d(m) = 0, entao σ(m) = m, pois m e ummonomio ordenado. Caso contrario, pode-se encontrar, como no item anterior,um ındice s tal que is > is+1. Fixando esse ındice, seja

σ(m) = σ(Xi1 · · ·Xis+1Xis · · ·Xik) + σ(Xi1 · · · [Xis , Xis+1 ] · · ·Xik),

onde o segundo membro e dado pela hipotese de inducao. Essa definicao de σ(m)depende, em princıpio, da escolha do ındice s. Por outro lado, σ e evidentementea identidade quando restrita a T0. Por isso, para concluir a demonstracao doteorema, e suficiente mostrar que


(a) a expressao dada acima para σ(m) com d(m) ≥ 1 independe do ındice s e

(b) σ se anula em I.

Quanto a (b), tem-se que I e gerado por elementos da forma

c = a(XiXj −XjXi − [Xi, Xj])b

com Xi e Xj, i 6= j elementos da base de g e a e b monomios na algebra tensorial.Agora, usando a definicao de σ(aXiXjb) se i > j ou a de σ(aXjXib) se i < jve-se que σ(c) = 0, o que mostra que σ se anula em I.

Falta verificar, entao, que σ esta bem definida. Para isso, seja r outro ındicetal que ir > ir+1. Deve-se mostrar que σ(m) nao se altera ao se usar r ao invesde s em sua definicao. A demonstracao disso tambem se faz por inducao sobrek e d(m). Dessa forma, pode-se assumir que σ esta bem definida para valoresmenores de k e d(m). Evidentemente, para k ≤ 1 ou d(m) = 0, nao ha nada ademonstrar, sendo possıvel se preocupar apenas com o passo de inducao. Existemdois casos

Caso I s, s+ 1 nao intercepta r, r + 1. Por exemplo, s ≥ r + 2, isto e, m eda forma

m = Xi1 · · ·XirXir+1 · · ·XisXis+1 · · ·Xik .

Entao, usando a comutacao em ir e posteriormente em is, chega-se a queσ(m) e dada por

σ(Xi1 · · ·Xir+1Xir · · ·Xis+1Xis · · ·Xik)+σ(Xi1 · · · [Xir , Xir+1 ] · · ·Xis+1Xis · · ·Xik)+σ(Xi1 · · ·Xir+1Xir · · · [Xis , Xis+1 ] · · ·Xik)+σ(Xi1 · · · [Xir , Xir+1 ] · · · [Xis , Xis+1 ] · · ·Xik).

A mesma expressao seria obtida se fosse feita, primeiro, a permutacao em ise, depois, em ir. Assim, pode-se usar inducao sobre k e d(m) para verificarque σ(m) esta bem definida neste caso.

Caso II Os conjuntos s, s+1 e r, r+1 se interceptam. Pode-se assumir ques = r + 1 e m se escreve como

m = Xi1 · · ·XirXir+1Xir+2 · · ·Xik

com ir > ir+1 > ir+2 . Usando a definicao de σ pela comutacao entre Xir+1

e Xir+2 e a hipotese de inducao, σ(m) sera dada por

σ(Xi1 · · ·Xir+2Xir+1Xir · · ·Xik)+σ(Xi1 · · ·Xir [Xir+1 , Xir+2 ] · · ·Xik)+σ(Xi1 · · · [Xir , Xir+2 ]Xir+1 · · ·Xik)+σ(Xi1 · · ·Xir+2 [Xir , Xir+1 ] · · ·Xik).

(10.3)

10.2. Teorema de Ado e complementos 287

Por outro lado, definindo σ pela comutacao entre Xir e Xir+1 , chega-se aexpressao

σ(Xi1 · · ·Xir+2Xir+1Xir · · ·Xik)+σ(Xi1 · · · [Xir+1 , Xir+2 ]Xir · · ·Xik)+σ(Xi1 · · ·Xir+1 [Xir , Xir+2 ] · · ·Xik)+σ(Xi1 · · · [Xir , Xir+1 ]Xir+2 · · ·Xik),

(10.4)

para σ(m). A diferenca entre essas duas expressoes se anula, pois os primei-ros termos sao iguais. Mais ainda, a hipotese de inducao permite comutaros demais termos, obtendo, para a diferenca entre (10.3) e (10.4),

σ(Xi1 · · · [Xir [Xir+1 , Xir+2 ]] · · ·Xik)+σ(Xi1 · · · [Xir+1 , [Xir+2 , Xir ]] · · ·Xik)+σ(Xi1 · · · [Xir+2 [Xir , Xir+1 ]] · · ·Xik).

Mas esta expressao se anula pela identidade de Jacobi de g, o que mostra queσ esta bem definida, garantindo que o conjunto e linearmente independente.

Portanto, os produtos ordenados formam uma base de U(g), concluindo a de-monstracao do teorema. 2

10.2 Teorema de Ado e complementos

O objetivo desta secao e mostrar o teorema de Ado, que garante que uma algebra de Lieg de dimensao finita admite uma representacao fiel. O que interessa aqui sao apenas asrepresentacoes de dimensao finita, pois o homomorfismo canonico de uma algebra deLie em sua algebra universal envelopante define de maneira natural uma representacaofiel (de dimensao infinita). Dessa forma, o que se pretende e ver as algebras de Liecomo uma subalgebra de matrizes.

O ponto de partida para a demonstracao do teorema de Ado esta na observacao deque o nucleo da representacao adjunta e o centro da algebra. Assim, uma representacaoe fiel se ela e a soma direta da representacao adjunta com uma representacao ρ cujonucleo intercepta o centro trivialmente, isto e, se a restricao de ρ ao centro e fiel. Aquestao, entao, se reduz a construir uma representacao ρ desse tipo. A construcao deuma representacao dessas e feita por inducao, partindo de uma representacao fiel docentro, estendendo a representacao ate o radical de g e posteriormente a toda algebrag usando a decomposicao de Levi. Essas extensoes sao feitas tomando representacoesem espacos quocientes de algebras universais. Por essa razao sao incluıdos aqui algunsresultados adicionais sobre essas algebras.

Proposicao 10.2 Seja D uma derivacao de g. Entao, existe uma unica derivacao Dde U (g) que estende D. Alem do mais, a aplicacao D 7→ D e uma representacao daalgebra das derivacoes de g no espaco U (g).


Demonstracao: A algebra d das derivacoes de g se representa canonicamente em g.Denotando essa representacao por ρ, podem-se considerar as representacoes

ρ⊗k = ρ⊗ · · · ⊗ ρ

nos produtos tensoriais ⊗kg onde, para D ∈ d, o valor ρ⊗k (D) em X1 · · ·Xk e dadopor

((DX1) · · ·Xk) + · · ·+ (X1 · · · (DXk)) .

Tomando a soma direta dessas representacoes, obtem-se uma representacao ρ de d naalgebra tensorial T (g). A forma de ρ⊗k mostra de imediato que ρ (D) e uma deriva-cao dessa algebra para todo D ∈ d. Essa representacao passa ao quociente a algebrauniversal, pois, para todo D ∈ d, ρ (D) deixa invariante o ideal I que define U (g). Defato, dados X, Y ∈ g, o valor de ρ (D) em XY − Y X − [X, Y ] e

((DX)Y − Y (DX)− [DX, Y ]) + (X(DY )− (DY )X − [X,DY ]) ,

que pertence a I. Como os elementos dessa forma geram I e ρ (D) e derivacao, issomostra que ρ (D) I ⊂ I para todo D ∈ d, mostrando que d se representa em U (g) porderivacoes. Por construcao, essa representacao estende a representacao canonica de dem g definindo como se pede uma extensao D para cada derivacao D.

Por fim, a unicidade da extensao vem do fato de que g gera U (g), o que implicaque, se duas derivacoes de U (g) coincidem em g, entao elas sao iguais. 2

No caso particular de uma derivacao interna D = ad(X), a extensao D e nada maisnada menos que o comutador

Da = Xa− aX,ja que o segundo membro dessa expressao e uma derivacao de U (g) que estende ad(X),

pois se a ∈ g, entao Xa−aX = [X, a]. Em geral, para obter D a partir de D e suficiente

que se tenha as expressoes de D em monomios da forma

Xi1 · · ·Xis

com X1, . . . , Xn uma base de g, pois o teorema de Poincare-Birkhoff-Witt asseguraque os produtos desse tipo formam uma base de U (g). Nesse sentido, a seguinteformula e util.

Lema 10.3 Sejam D uma derivacao de g e Xj, 1 ≤ j ≤ s elementos de g. Entao,

Dm (X1 · · ·Xs) =∑k

Dk1X1 · · ·DksXs,

onde k = (k1, . . . , ks) e a soma e estendida as s-uplas tais que k1 + · · ·+ ks = m.

Demonstracao: Por inducao sobre m. Se m = 1, a igualdade vem do fato de que Destende D e e uma derivacao. Supondo que a igualdade vale para m,

Dm+1 (X1 · · ·Xs) = D∑k

Dk1X1 · · ·DksXs .


Usando o fato de que D e uma derivacao chega-se a

Dm+1 (X1 · · ·Xs) =∑k

∑j

Dk1X1 · · ·Dkj+1Xj · · ·DksXs ,

que e a igualdade desejada. 2

A partir dessa formula tira-se a seguinte informacao sobre derivacoes nilpotentes.

Corolario 10.4 Seja D uma derivacao nilpotente de g. Entao, para todo a ∈ U (g)

existe um inteiro m tal que Dma = 0.

Demonstracao: Como produtos de elementos de g geram U (g), e suficiente consi-derar o caso em que a e da forma

a = X1 · · ·Xs

com Xj ∈ g, 1 ≤ j ≤ s. Seja p um inteiro tal que Dp = 0. Se m > sp e k1, . . . , ks saotais que

k1 + · · ·+ ks = m,

entao kj > p para algum 1 ≤ j ≤ s e daı que

Da =∑k

Dk1X1 · · ·DksXs = 0,

mostrando o lema. 2

Uma transformacao linear A de um espaco vetorial V e chamada localmente nilpo-tente se para todo v ∈ V existe um inteiro m tal que Amv = 0. Assim, o corolarioanterior garante que a extensao de derivacoes nilpotentes sao localmente nilpotentes.Em geral, uma transformacao linear localmente nilpotente nao e nilpotente ja que oexpoente m depende de v. Isso ocorre, por exemplo, com D no corolario acima ondea escolha de m depende do grau de a. Nao e difıcil, no entanto, verificar que no casoem que V e de dimensao finita as transformacoes localmente nilpotentes em V sao defato nilpotentes.

As representacoes de algebras em quocientes de algebras universais sao obtidas daseguinte forma: por um lado, uma representacao ρ de g em V se estende a uma repre-sentacao, tambem denotada por ρ, de U (g) em V . Isso define um homomorfismo dealgebras associativas

ρ : U (g) −→ gl (V ) .

O nucleo J desse homomorfismo e um ideal bilateral de U (g). A subalgebra associativade gl (V ), imagem de U (g) por ρ, e isomorfa a algebra quociente U (g) /J . Alem domais, ρ (U (g)) e a algebra associativa gerada por ρ (g) e, portanto, g se representa emρ (U (g)) via o comutador de gl (V )


Vice-versa, dado um ideal bilateral J de U (g), pode-se construir a algebra quociente

U (g) /J . Como J e um ideal bilateral, ele e invariante pelas extensoes D quando

D = ad(X) e uma derivacao interna, como decorre da expressao dada acima para D,como um comutador. Dessa forma, a representacao de g em U(g) passa ao quocientedefinindo uma representacao de g em U (g) /J . Em geral, essa representacao nao estadefinida em toda a algebra das derivacoes de g, pois J nao e necessariamente invariantepelas derivacoes que nao sao internas.

Uma outra forma de obter uma representacao de g em U (g) e por multiplicacoes aesquerda. Dado X ∈ g, seja EX : U (g)→ U (g) definida por

EX (a) = Xa.

A aplicacao X 7→ EX define uma representacao, pois para a ∈ U (g),

E[X,Y ]a = [X, Y ]a = XY a− Y Xa.

Seja J um ideal a esquerda de U (g). Entao, J e um subespaco invariante pela repre-sentacao E de g em U (g). Portanto, g se representa no espaco quociente U (g) /J . Eclaro que ideais bilaterais sao ideais a esquerda e daı que o mesmo tipo de representacaoe obtida quando se toma J um ideal desse tipo. No caso em que J e bilateral, arepresentacao de g emU (g) /J e dada por multiplicacao a esquerda por elementos deπ (g) onde π e o homomorfismo canonico

π : U (g) −→ U (g) /J.

Dessa forma, a imagem da representacao se identifica com uma subalgebra de U (g) /J .Uma vez construıdas essas representacoes, podem-se mostrar os seguintes lemas

centrais na demonstracao do teorema de Ado.

Lema 10.5 Seja V um espaco de dimensao finita, g ⊂ gl (V ) uma algebra de Lie en ⊂ g um ideal de g. Denote por A a subalgebra associativa (com identidade) de gl (V )gerada por g e por I o ideal bilateral de A gerado por n.

Suponha que a representacao canonica de n em V seja nilpotente. Entao, I enilpotente no sentido em que Ik = 0, isto e, produtos de k elementos de I se anulampara algum inteiro k.

Demonstracao: O ideal I e o subespaco gerado pelos produtos da forma

azb

com a, b ∈ A e z ∈ n. Dessa forma, Ik e o subespaco gerado por todos os produtosde elementos de A que contem k elementos de n. Esses produtos se anulam. De fato,como A e a algebra gerada por g, os elementos de A sao produtos de elementos de g e,portanto, faz sentido considerar produtos de elementos de g que contem k elementosde n.

Agora, o teorema de Poincare-Birkhoff-Witt garante que e possıvel considerar, alemdo mais, apenas os produtos em que os elementos de n aparecem multiplicados a direita.


Isso mostra que para algum k esses produtos todos se anulam, ja que a representacaocanonica de n e nilpotente e, portanto, seus elementos sao, em alguma base, matrizestriangulares superiores com zeros na diagonal. 2

Lema 10.6 Seja J ⊂ U (g) um ideal bilateral de codimensao finita. Entao, para qual-quer inteiro k, o ideal Jk tambem e de codimensao finita.

Demonstracao: Denote por π : T (g) → U (g) o homomorfismo canonico utilizadona construcao de U (g). Entao, J = π−1 (J) e um ideal bilateral de T (g) que e decodimensao finita na algebra tensorial, pois T (g) /J = U (g) /J . Tome uma baseX1, . . . , Xn de g. Os monomios

Xn1i1· · ·Xns

is

formam uma base de T (g). O fato de J ser de codimensao finita garante que todos osmonomios dessa forma com s ou mais elementos, para algum s ≥ 1, estao contidos emJ pois, caso contrario, existiriam infinitos elementos linearmente independentes fora deJ . Isso mostra que todos os monomios com sk elementos, ou mais, estao contidos no

ideal Jk

e, portanto, esse ideal e de codimensao finita. Como π(Jk)

= Jk, conclui-se

que Jk tambem e de codimensao finita. 2

Lema 10.7 Seja g uma algebra soluvel e J um ideal bilateral de U (g). Denote por no radical nilpotente de g e suponha que J satisfaca as seguintes condicoes

a) U (g) /J e de dimensao finita.

b) Para todo X ∈ g, π(X) e nilpotente onde π : U (g)→ U (g) /J e o homomorfismocanonico.

Entao, existe um ideal bilateral J1 ⊂ J satisfazendo as mesma condicoes e que einvariante pelas derivacoes de g, isto e, DJ1 ⊂ J1 para toda derivacao D onde D e aderivacao de U (g) definida na proposicao 10.2.

Demonstracao: A imagem π (n) de n por π e uma subalgebra de Lie de U (g) /J ,que e uma algebra associativa. O mesmo acontece com π (g), que e uma algebra quecontem π (n). A representacao de π (g) em U (g) /J por multiplicacoes a esquerda e fiele, portanto, π (g) e vista como uma subalgebra de transformacoes lineares de U (g) /J .Como g gera U (g), a algebra associativa de transformacoes lineares de U (g) /J geradapor π (g) e exatamente U (g) /J , onde cada elemento dessa algebra e visto como umatransformacao linear por multiplicacao a esquerda.

Dito isso, seja L o ideal bilateral de U (g) /J gerado por π (n). Pelo lema 10.5, L enilpotente e, portanto, existe um inteiro k tal que Lk = 0. Seja, entao, M o ideal deU (g) definido por M = π−1 (L) e tome o ideal J1 = Mk. Esse e o ideal procurado.


De fato, J1 ⊂ J ja que Lk = 0 em U (g) /J . Por outro lado, a dimensao deU (g) /M e finita ja que M contem J . Em outras palavras, M e de codimensao finita,o que implica pelo lema anterior que U (g) /J1 e de dimensao finita.

Dado X ∈ n, pela condicao b), existe um inteiro s tal que Xs ∈ J . Como J ⊂ M ,isso garante que Xks ∈ Mk = J1. Portanto, Xks = 0 em U (g) /J1 mostrando que J1

tambem satisfaz b).Por fim, tome uma derivacao D de g. Como foi visto ao final do capıtulo 2, a

imagem de D esta contida em n. Isso garante que a imagem de D esta contida emM e, em particular, M e invariante por D. Como D e derivacao, J1 = Mk tambem einvariante por D, concluindo a demonstracao do lema. 2

Voltando agora ao teorema de Ado, seja g uma algebra de dimensao finita e consi-dere uma decomposicao de Levi de g,

g = r⊕ s

com r o radical soluvel de g e s semi-simples. Como foi dito acima, a ideia parademonstrar a existencia de representacoes fieis e construir representacoes que sao fieisno centro de g. Evidentemente, o centro de g esta contido em r. Dessa forma, oque se faz e construir, em primeiro lugar, uma representacao de r que seja fiel nocentro e estender essa representacao a g. Tanto essa extensao quanto a construcao darepresentacao de r sao obtidas atraves do seguinte teorema.

Theorem 10.8 Seja g uma algebra de Lie de dimensao finita e suponha que g sedecompoe como

g = q⊕ u

com q um ideal soluvel e u uma subalgebra.Seja σ uma representacao de dimensao finita de q e suponha que σ (X) e nilpotente

para todo X no radical nilpotente de q. Entao, existe uma representacao ρ de g tal que

q ∩ ker ρ ⊂ kerσ.

Alem do mais, em qualquer das possibilidades

1. o nil-radical de q coincide com o nil-radical de g ou

2. g e nilpotente

a representacao ρ e tal que ρ (X) e nilpotente para todo X no radical nilpotente deg.

Demonstracao: A representacao ρ sera tomada num quociente da algebra universalU (q)de q. Para isso, define-se, em primeiro lugar, uma representacao de g em U (q)tomando para X ∈ g sua decomposicao

X = Y + Z


com Y ∈ q e Z ∈ u. Como Y ∈ q, pode-se considerar sua translacao a esquerda EY emU (q) e, como Z ∈ g, ad(Z) quando restrita a q define uma derivacao DY dessa algebra

e, portanto, induz a derivacao DY de U (q). A partir dessas aplicacoes define-se

FX = EY + DZ ,

obtendo uma aplicacao X 7→ FX cujos valores sao transformacoes lineares de U (q).Esta aplicacao e uma representacao de g em U (q).

Dada agora uma representacao σ de q em V satisfazendo as condicoes do enunciado.Ela induz uma representacao, tambem denotada por σ, que e um homomorfismo dealgebras associativas

σ : U (q) −→ gl (V ) .

O seu nucleo J = kerσ e um ideal bilateral de U (q). Esse ideal satisfaz as condicoesdo lema anterior, pois por hipotese σ (X) e nilpotente para X no nil-radical de q e aprojecao canonica π : U (q)→ U (q) /J coincide com σ atraves da identificacao

U (q) ≈ imσ.

Dessa forma, existe um ideal J1 ⊂ J de codimensao finita e invariante por derivacoesde q. Como J1 e um ideal, ele e invariante por EY , Y ∈ q e, por ser invariantepor derivacoes, J1 e invariante por FX para todo X ∈ g. Dessa forma, FX passa aoquociente, definindo uma representacao ρ de g em U (q) /J1. Essa e a representacaoprocurada.

De fato, ρ e de dimensao finita e se Y ∈ q e tal que ρ (Y ) = 0, entao a translacao aesquerda EY satisfaz

EY (U (g)) ⊂ J1 .

Mas J1 ⊂ J e daı que essa inclusao e satisfeita com J no lugar de J1. Em particular,Y.1 ∈ J e Y ∈ J = kerσ. Isso mostra que

q ∩ ker ρ ⊂ kerσ.

Falta mostrar que, em qualquer um dos casos assinalados, ρ assume valores nilpo-tentes no nil-radical de g. Tem-se,

1. se o nil-radical de g e igual ao nil-radical de q, entao os elementos de q sao nil-potentes em U (q) /J1 pela construcao do ideal J1 na proposicao anterior. Comopara Y ∈ q, ρ (Y ) e dada por translacoes a esquerda, isso mostra que esseselementos sao nilpotentes.

2. Se g e nilpotente, pretende-se mostrar que ρ (X) e nilpotente para todo X ∈g, pois nesse caso g coincide com seu nil-radical. Em primeiro lugar, ρ (Y ) enilpotente para todo Y ∈ q, ja que essas transformacoes sao dadas por translacoesa esquerda em U (g) /J1. O lema 10.5 garante, entao, que o ideal em U (g) /J1,gerado por ρ (q), e nilpotente. Dito de outra maneira, isso significa que existeum inteiro k tal que qualquer produto da forma

ρ (X1) · · · ρ (Xs) ,


com Xj ∈ g e que envolva k elementos de q, se anula.

Por outro lado, dado Z ∈ u, ad (Z) e nilpotente em q, pois g e nilpotente. Dessa

forma, o corolario 10.4 garante que DZ e localmente nilpotente em U (q) e, como

U (q) /J1 e de dimensao finita, DZ passa ao quociente a uma transformacao linearnilpotente de U (q) /J1. Portanto, ρ (Z)p = 0 para algum p.

Juntando esses dois fatos, obtem-se que ρ (X) e nilpotente para todo X ∈ g. Defato, escrevendo X = Y + Z com Y ∈ q e Z ∈ u,

ρ (X)kp = (ρ (Y ) + ρ (Z))kp

se anula, pois ao desenvolver o segundo membro, aparecem ou k elementos de qou potencias da forma ρ (Z)p.

Com isso, conclui-se a demonstracao do teorema. 2

A partir desse teorema fica facil obter uma representacao de g que seja fiel em seucentro. De fato, sejam r o radical, n o nil-radical e z o centro de g. Evidentemente,

z ⊂ n ⊂ r

e n e o nil-radical de r. Alem do mais, z e um ideal abeliano de n e daı que – tomandopor exemplo a serie central ascendente de n – pode-se construir uma sequencia desubalgebras

z = g0 ⊂ g1 ⊂ · · · ⊂ gs = n

de tal forma que gi e um ideal de codimensao um em gi+1. Devido a essa codimensao,cada gi admite uma subalgebra complementar ui (de dimensao um) em gi+1. Dessaforma, o teorema anterior se aplica a decomposicao gi+1 = gi ⊕ ui tao logo se tenhauma representacao nilpotente de gi. O resultado da aplicacao do teorema (no segundodos casos considerados) e uma representacao nilpotente ρi+1 de gi+1 que satisfaz

gi ∩ ker ρi+1 ⊂ ker ρi .

Isso indica um procedimento indutivo para se construir uma representacao nilpotentede n que e fiel em z faltando apenas iniciar a inducao com uma representacao fiele nilpotente de z. Para isso, pode-se decompor z em subespacos unidimensionais erealizar o mesmo tipo de inducao iniciando agora, por exemplo, com a representacaodada

t 7−→(

0 t0 0

)da algebra unidimensional.

Uma vez obtida a representacao de n, aplica-se novamente o teorema (agora nosegundo caso) para se obter, de novo por inducao, uma representacao de r. Isso efeito construindo da mesma maneira uma sequencia ascendente de subalgebras tal quecada uma e um ideal na subsequente e cujas dimensoes aumentam de um em um. Isso


e possıvel porque n contem o derivado de r e, portanto, r/n e abeliana. Como emcada passo nao se aumenta o nucleo da representacao, dentro da algebra anterior, asrepresentacoes continuam sendo fieis em z.

Por fim, a representacao de r se estende a uma representacao de g tomando umadecomposicao de Levi dessa algebra e aplicando o segundo caso do teorema anterior.

Com isso, conclui-se a demonstracao do teorema de Ado.

Theorem 10.9 Toda algebra de Lie de dimensao finita admite uma representacao fielρ de dimensao finita. Alem do mais, essa representacao pode ser tomada de tal formaque ρ (X) e nilpotente para todo X no nil-radical da algebra.

Demonstracao: Seja g uma algebra de Lie de dimensao finita. Por tudo que foi feitoate agora, existe uma representacao σ de g que e fiel no centro z de g. Entao,

ρ = ad⊕σ

e uma representacao fiel, pois se ρ(X) = 0, entao ad(X) = 0 e X ∈ z, o que mostra queX = 0, pois σ e fiel no centro. O fato de que ρ e nilpotente no nil-radical e consequenciade que isso ocorre para a representacao adjunta, por definicao de nil-radical e tambempara σ conforme a construcao feita acima atraves do teorema anterior. 2

10.3 Exercıcios

1. Seja h ⊂ gl (V ) uma algebra de Lie de transformacoes lineares e considere oproduto semi-direto g = h× V . Encontre uma representacao fiel de g.

2. Seja A uma algebra associativa finitamente gerada e I um ideal bilateral de Atal que dim (A/I) e finita. Mostre que I admite uma base ideal finita, isto e,existem a1, . . . , as ∈ I tal que

I =∑i

AaiA .

Mostre tambem que dim(A/Ik

)<∞ para todo k.

3. De a expressao para o produto de dois monomios na algebra universal envelopanteda algebra de Heisenberg. Mostre que o centro da algebra universal e a subalgebragerada pelo centro da algebra de Lie.

4. Para uma algebra de Lie g, mostre que a aplicacao

X ∈ g 7−→ X ⊗ 1 + 1⊗X ∈ U (g)⊗ U (g)

se estende a um homomorfismo δ da algebra universal U (g) em U (g) ⊗ U (g).Mostre tambem que a ∈ U (g) pertence a g se e so se δ (a) = a ⊗ 1 + 1 ⊗ a.(Calcule δ para um monomio X1 · · ·Xk ∈ U (g)).

Capıtulo 11

Representacoes de algebrassemi-simples

Um fato que desempenha um papel central na teoria das algebras semi-simples e queas classes de equivalencia das representacoes irredutıveis de dimensao finita de sl(2)sao distinguidas entre si por inteiros ≥ 0. Um inteiro desses aparece como o maiorautovalor de determinados elementos da subalgebra de Cartan em apenas uma classede equivalencia de representacoes irredutıveis. Como sera visto neste capıtulo, essacaracterıstica das representacoes de sl (2) se generaliza a algebras semi-simples sobrecorpos algebricamente fechados em geral. As representacoes irredutıveis de dimensaofinita dessas algebras sao parametrizadas por l-uplas de inteiros nao-negativos, ondel e o posto da algebra. Da mesma forma que em sl (2), esses inteiros sao autovaloresmaximais de certos elementos da subalgebra de Cartan e caracterizam os chamadospesos maximos da representacao.

11.1 Representacoes irredutıveis

Seja g uma algebra semi-simples sobre um corpo algebricamente fechado. Para todadiscussao sobre as representacoes de g, e conveniente fixar, de antemao, os seguintesobjetos com as correspondentes notacoes: h e uma subalgebra de Cartan de g cujoconjunto de raızes e Π. Em Π escolhe-se um sistema simples

Σ = α1, . . . , αl

com Π+ o conjunto das raızes positivas e Π− o das negativas. Para α ∈ Π, Hα e o seudual pela forma de Cartan-Killing, enquanto que

H∨α =2

〈α, α〉Hα

297

298 Capıtulo 11. Representacoes de algebras semi-simples

denota o normalizado desse dual. Escolhe-se Xα ∈ gα e Yα ∈ g−α de tal forma que[Xα, Yα] = H∨α . O subespaco gerado por Xα, Yα e H∨α e uma subalgebra isomorfa asl(2) com H∨α correspondendo a H. As subalgebras

n+ =∑α∈Π+

gα e n− =∑α∈Π−

gα

sao nilpotentes e duais entre si pela forma de Cartan-Killing. Alem do mais, a subal-gebra

b = h⊕ n+

e soluvel. A subalgebra b e conhecida como a subalgebra de Borel . Tem-se tambem

g = n− ⊕ h⊕ n+ = n− ⊕ b.

Seja ρ : g → gl(V ) uma representacao de g em V . Nao se assume, num primeiromomento, que V e de dimensao finita. No que segue, ρ sera frequentemente omitido,assim Xv, X ∈ g e v ∈ V significa ρ(X)v, isto e, sera usada, por simplicidade, alinguagem de modulos.

Por um peso da representacao de uma algebra semi-simples se entendera um pesoda representacao de h obtido pela restricao de ρ, isto e, um funcional linear em λ ∈ h∗

tal que o subespaco de pesos

Vλ = v ∈ V : Hv = λ(H)v para todo H ∈ h

e nao-nulo. A multiplicidade de um peso λ e a dimensao do subespaco de pesos Vλ.Da mesma forma que nas representacoes de sl(2), a ideia para entender as repre-

sentacoes de g e decompor V como soma direta dos subespacos de pesos Vλ. No casode sl(2), existe um subespaco de pesos privilegiado que e aquele associado ao maiorautovalor de H. Os outros subespacos sao obtidos desse por aplicacoes reiteradas deY . Por analogia, introduzem-se os seguintes conceitos.

Definicao 11.1 1. Um peso λ e um peso maximo se n+Vλ = 0.

2. Um vetor v ∈ V , v 6= 0 e um elemento primitivo com peso λ se v ∈ Vλ e λ e umpeso maximo.

Nem toda representacao admite peso maximo . As de dimensao finita, no entanto,sao representacoes com peso maximo. Esse peso caracteriza completamente a repre-sentacao e e dado por uma l-upla de inteiros nao-negativos onde l e a dimensao deh.

Exemplo: Em sl(2) com base X,H, Y , n+ e o subespaco gerado por X e asubalgebra de Cartan e gerada por H. O sistema simples e dado pelo funcional αque satisfaz α(H) = 2. Pela forma da representacao irredutıvel de dimensao n + 1,n ≥ 0, ve-se que essa e uma representacao com peso maximo, que e dado pelo funcionalλn determinado por λn(H) = n. 2

As representacoes irredutıveis de g sao caracterizadas pelos seguintes teoremas.

11.1. Representacoes irredutıveis 299

Theorem 11.2 Suponha que a representacao ρ de g em V seja irredutıvel e admitapeso maximo. Entao,

a) Existe um unico peso maximo (denotado por λ).

b) dimVλ = 1.

c) Os demais pesos sao da forma

µ = λ−l∑

i=1

miαi

com mi inteiro nao-negativo e αi ∈ Σ. Todos os pesos tem multiplicidade finita.

d) V se decompoe em soma direta como

V =∑µ

Vµ

com a soma estendida aos pesos da representacao. Em outras palavras, todov ∈ V se escreve de maneira unica como uma soma finita de elementos de

⋃µVµ.

e) Se ρi, i = 1, 2 sao representacoes irredutıveis com pesos maximos λi, i = 1, 2,entao ρ1 e isomorfa a ρ2 se e so se λ1 = λ2.

Deve ser ressaltado que neste teorema nao se assume que V e de dimensao finita.Apesar disso, os subespacos de pesos sao de dimensao finita. Dessa forma, dimV <∞se e so se a quantidade de pesos e finita.

Theorem 11.3 Para todo λ ∈ h∗ existe uma representacao irredutıvel com peso ma-ximo λ.

Esses dois teoremas mostram que as representacoes (de dimensao finita ou nao)que sao irredutıveis e admitem peso maximo sao parametrizadas pelo dual h∗ de hno sentido em que para cada λ ∈ h∗ existe uma unica (a menos de isomorfismo)representacao com peso maximo λ. No que segue, um representante qualquer dessaclasse de representacoes sera denotado por ρλ e o espaco da representacao por V (λ).

Quanto as representacoes de dimensao finita,

Theorem 11.4 Seja λ ∈ h∗. Entao, ρλ e de dimensao finita se λ(H∨α ) e um inteiro≥ 0 para toda raiz simples α.

Vice-versa,

Theorem 11.5 Se ρ e uma representacao irredutıvel de g, de dimensao finita, entaoρ admite peso maximo. Seja λ esse peso. Entao, λ(H∨α ) e um inteiro ≥ 0 para todaraiz simples α ∈ Σ. (E portanto, para toda raiz β ∈ Π.)


Esses dois teoremas mostram que as representacoes irredutıveis de dimensao finitasao parametrizadas pelas l-uplas de inteiros nao negativos

(λ(H∨α1), . . . , λ(H∨αl)).

Pela forma como os pesos sao obtidos dos pesos maximos, no teorema 11.2, conclui-se que todos eles assumem valores inteiros em H∨α para toda raiz α e o peso maximoassume valores inteiros nao-negativos nos elementos correspondentes as raızes positivas.

Esses teoremas sao enunciados a partir de um sistema simples fixado. Mudandoesse sistema, altera-se n+, n−, os vetores primitivos, os pesos maximos e os espacos depesos das representacoes. No entanto, com Σ fixo, o conjunto

P = λ ∈ h∗ : dimV (λ) <∞

esta contido no subespaco racional h∗Q, ja que um peso maximo associado a uma repre-sentacao de dimensao finita assume valores inteiros nas raızes. Alem do mais, P estacontido no cone

λ : λ(Hα) ≥ 0, α ∈ Π+,isto e, na camara de Weyl associada ao sistema simples e P e a intersecao dessa camaracom o reticulado

λ : λ(H∨α ) ∈ Z, α ∈ Π.Convem ressaltar tambem que os pesos maximos das representacoes de dimensao finitaassumem valores inteiros em H∨α e nao exatamente nos duais Hα das raızes.

O resto desta secao e dedicado as demonstracoes dos teoremas acima.

Lema 11.6 1.

a) Dados uma raiz α e λ ∈ h∗, tem-se que

gαVλ ⊂ Vλ+α,

onde Vµ = 0 se µ nao e peso.

b) A soma ∑µ peso

Vµ

e direta e g-invariante.

Demonstracao:

a) Sejam X ∈ gα e v ∈ Vλ. Entao, se H ∈ h,

HXv = XHv + [H,X]v= λ(H)Xv + α(H)Xv= (λ+ α)(H)Xv

e, portanto, Xv ∈ Vλ+α.


b) O fato da soma ser direta e devido a que auto-espacos associados a autovaloresdistintos sao linearmente independentes. Ja a invarianca da soma e consequenciado item anterior. 2

No que segue sera denotado, como no capıtulo 10, por U(g) a algebra universalenvelopante de g. Essa algebra desempenha um papel central nas demonstracoes devidoa possibilidade de aplicar o Teorema de Poincare-Birkhoff-Witt para obter bases dossubespacos g-invariantes de uma representacao. Esses subespacos sao obtidos pela acaode U(g) da seguinte forma: uma representacao de g em V induz uma representacao deU(g) em V . Dado v ∈ V , o conjunto

U(g)v = av : a ∈ U(g)

e o menor subespaco g-invariante de V que contem v. De fato, um subespaco e invari-ante por g se e so se ele e invariante por U(g), ja que os elementos de U(g) sao dadospor concatenacoes de elementos de g. Alem do mais, U(g)v e um subespaco invariantepor U (g) e esta contido em qualquer subespaco invariante que contenha v.

A partir de agora, e conveniente fixar uma ordem qualquer de Π+

Π+ = β1, . . . , βk

que define uma base ordenada Yβ1, . . . , Yβk de n− com Yβi ∈ g−βi . Essa ordem vai

ser util para tomar uma base de U (g).

Proposicao 11.7 Suponha que a representacao admita peso maximo e seja v ∈ V umelemento primitivo de peso λ. Denote por W = U(g)v o menor subespaco invariantecontendo v. Entao,

a) Os elementos da forma

Y m1β1· · ·Y mk

βkv mi inteiros ≥ 0

geram W .

b) Os pesos da representacao restrita a W sao da forma

µ = λ−l∑

i=1

niαi ni inteiros ≥ 0

e suas multiplicidades sao finitas.

c) λ e peso da representacao restrita a W e dimWλ = 1.

d) W e indecomponıvel, isto e, nao existem subespacos g-invariantes W1 6= 0 eW2 6= 0 tais que

W = W1 ⊕W2 .


Demonstracao:

a) Seja X1, . . . , Xs uma base ordenada de b = h⊕ n+. Essa base complementa abase Yβ1

, . . . , Yβk de n−, formando uma base ordenada de g. Pelo Teorema dePoincare-Birkhoff-Witt, os elementos de W sao combinacoes lineares de elementosda forma

Y m1β1· · ·Y mk

βkXp1

1 · · ·Xpss v.

Como v e um elemento primitivo, tem-se que n+v = 0 e Hv e um multiplo dev se H ∈ h. Dessa forma, Xp1

1 · · ·Xpss v e multiplo de v, o que mostra que os

elementos de U(g)v sao combinacoes lineares de elementos da forma Yβ1· · ·Yβkv.

b) Pelo lema anterior e pelo fato de que Yβi ∈ g−βi , tem-se que Yβkv ∈ Wλ−βk ,Y 2βk∈ Wλ−2βk , e assim sucessivamente, garantindo que

Y m1β1· · ·Y mk

βkv ∈ Wλ−(m1β1+···+mkβk) ,

o que, juntamente com o item anterior, mostra que

W =∑µ

Wµ

com a soma estendida aos pesos da forma

µ = λ− (m1β1 + · · ·+mkβk) mi inteiros ≥ 0.

Isso mostra que esses sao todos os pesos da representacao restrita a W , ja queespacos de pesos associados a pesos distintos sao linearmente independentes.Agora, como βi, i = 1, . . . , k, sao raızes positivas, elas sao combinacoes line-ares com coeficientes inteiros positivos das raızes simples αi, i = 1, . . . , l, o quemostra que os pesos sao como no enunciado.

Falta verificar que as multiplicidades dos espacos de pesos sao finitas. Para issose observa que se µ = λ − (m1β1 + · · · + mkβk) e um peso de W , entao Wµ egerado por elementos da forma

Ym′1β1· · ·Y m′k

βkv m′i inteiros ≥ 0

que satisfazem

m1β1 + · · ·+mkβk = m′1β1 + · · ·+m′kβk

e a quantidade das k-uplas de inteiros nao-negativos (m′1, . . . ,m′k) que satisfa-

zem esta igualdade e finita. Isso segue do fato de que as raızes positivas saocombinacoes lineares com coeficientes inteiros nao-negativos das raızes simples e,portanto, a igualdade acima define um sistema linear com coeficientes positivosem (m′1, . . . ,m

′k) e a quantidade de solucoes inteiras positivas de um sistema desse

tipo e finita.


c) Como no item anterior,Y m1β1· · ·Y mk

βkv ∈ Wλ

se, e so se,m1β1 + · · ·+mkβk = 0,

e isso so e possıvel se m1 = · · · = mk = 0, pois βi, i = 1, . . . , k sao raızes positivas.Isso garante que dimWλ = 1.

d) Suponha que W = W1 ⊕W2. Entao, o elemento primitivo v ∈ Wλ se decompoecomo

v = v1 + v2 com v1 ∈ W1, v2 ∈ W2 .

Seja H ∈ h. Entao, Hvi ∈ Wi, i = 1, 2 e do fato que Hv = λ(H)v, tira-se que

(Hv1 − λ(H)v1) + (Hv2 − λ(H)v2) = 0

de onde se conclui que Hvi = λ(H)vi, i = 1, 2. Isso mostra que v1 e v2 estao emWλ. Mas pelo item anterior, dimWλ = 1 e, portanto, v1 = 0 ou v2 = 0. Se, porexemplo, v2 = 0 entao v = v1 e W = U(g)v1 ⊂ W1, pois W1 e invariante e daıque W2 = 0, o que mostra que W e indecomponıvel. 2

Demonstracao do Theorem11.2: Suponha que λ seja um peso maximo de V e sejav ∈ Vλ, v 6= 0, um elemento primitivo de peso λ. Tem-se V = U(g)v, pois U(g)v einvariante e a representacao e irredutıvel. Os itens (b),(c) e (d) do teorema seguem,entao, da proposicao anterior.

Para mostrar (a), seja λ′ outro peso maximo. Pela forma como os pesos sao escritos,tem-se

λ′ = λ−l∑

i=1

miαi mi inteiros ≥ 0.

De maneira simetrica,

λ = λ′ −l∑

i=1

m′iαi m′i inteiros ≥ 0.

Somando estas duas igualdades, obtem-se

l∑i=1

(mi +m′i)αi = 0

e, portanto, mi +m′i = 0. Como esses coeficientes sao ≥ 0, mi = m′i = 0, i = 1, . . . , l edaı que λ = λ′, mostrando a unicidade dos pesos maximos.

Quanto a (d), suponha em primeiro lugar que ρ1 ≈ ρ2. Existe, entao, uma trans-formacao linear inversıvel P : V1 → V2 tal que

Pρ1(X) = ρ2(X)P para todo X ∈ g.

Portanto,


i) µ e peso de ρ1 se e so se e peso de ρ2 e se isso ocorre P (V1)µ = (V2)µ. De fato, seH ∈ h, entao

ρ2(H)Pv = Pρ1(H)v = µ(H)Pv

se v ∈ (V1)µ. Isso implica que os pesos de ρ1 sao tambem pesos de ρ2 e que aimagem por P dos espacos de pesos de ρ1 estao contidas nos espacos de pesoscorrespondentes de ρ2. Pelo argumento simetrico, usando P−1 no lugar de P ,obtem-se a afirmacao.

ii) Se λ e peso maximo de ρ1, entao e peso maximo de ρ2, pois se X ∈ n+, entao

ρ2(X)Pv = Pρ1(X)v = 0,

se v ∈ Vλ.

Consequentemente, ρ1 e ρ2 tem o mesmo peso maximo.Para a demonstracao da recıproca, usa-se o truque, bastante comum, de construir

o isomorfismo atraves de seu grafico que e um subespaco de V1⊕V2 (≈ V1×V2). Comopode ser verificado sem maiores problemas, uma transformacao linear P : V1 → V2

satisfazPρ1(X) = ρ2(X)P

para todo X ∈ g se e so se o seu grafico e um subespaco invariante pela representacaoρ = ρ1 ⊕ ρ2 de g em V1 ⊕ V2. Dessa forma, para mostrar a existencia de um operadorde intercambio entre ρ1 e ρ2 e suficiente construir um subespaco invariante por ρ queseja um grafico de uma transformacao linear inversıvel.

Sejam, entao, vi ∈ (Vi)λ, i = 1, 2 elementos primitivos de V1 e V2 associados ao pesomaximo comum λ. Entao, v = v1 + v2 e um elemento primitivo de V1 ⊕ V2 de peso λ,pois

ρ(H)v = ρ1(H)v1 + ρ2(H)v2 = λ(H)v,

se H ∈ h e ρ(X)(v1 + v2) = 0 se X ∈ n+. O fato de v ser um elemento primitivopermite mostrar que o subespaco invariante

W = U(g)v

e o grafico de uma transformacao linear inversıvel. De fato, sejam πi : V1 ⊕ V2 → Vi,i = 1, 2 as projecoes canonicas. Entao, suas restricoes a W sao transformacoes linearesinversıveis. Para ver isso tome, por exemplo, π1. Como ρ = ρ1 ⊕ ρ2, tem-se

π1ρ(X) = ρ1(X)π1

e, portanto,π1U(g)v = U(g)π1v = U(g)v1

e este ultimo espaco coincide com V1, pois ρ1 e irredutıvel. Isso mostra que a restricaode π1 a W e sobrejetora. Por outro lado, ker(π1|W ) = W ∩ V2 e um subespaco ρ-

invariante de V2, pois e a intersecao de subespacos invariantes. Como V2 e irredutıvel,


para mostrar que π1 e injetora e suficiente verificar, entao, que W ∩ V2 6= V2, isto e,que V2 nao esta contido em W . Mas isso ocorre, pois caso contrario v2 e v1 + v2 seriamelementos primitivos de peso λ em W , o que contradiz o fato de que dimWλ = 1, jaque v2 e v1 + v2 sao linearmente independentes.

Da mesma forma, mostra-se que a restricao de π2 e um isomorfismo garantindo queo subespaco invariante e o grafico de um operador de intercambio e, portanto, que ρ1

e ρ2 sao representacoes isomorfas. 2

Corolario 11.8 Tomando uma representacao como no teorema e uma raiz positivaα ∈ Π+, Xα e localmente nilpotente, isto e, para todo u ∈ V , Xj

αu = 0 para algumj ≥ 0.

Demonstracao: E suficiente considerar o caso em que u pertence a algum espaco depesos Vµ . Nesse caso

µ = λ− (m1α1 + · · ·+mlαl)

e Xjαu ∈ Vµ+jα. Como α e raiz positiva, ela e uma combinacao linear com coeficientes

positivos das raızes simples. Dessa forma, µ+ jα nao e da forma acima para algum je, portanto, nao e raiz. Isto significa que Vµ+jα = 0 e daı que Xj

αu = 0. 2

Na demonstracao do teorema 11.3 vai ser usado o seguinte lema.

Lema 11.9 Suponha que o espaco da representacao V se decomponha em subespacosde pesos

V =∑µ

Vµ

e seja U ⊂ V um subespaco invariante. Entao,

U =∑µ

U ∩ Vµ .

Demonstracao: Um elemento v ∈ U se escreve como

v = u1 + · · ·+ us

com 0 6= uj ∈ Vµj , j = 1, . . . , s, e os pesos µj dois a dois distintos. Como se tem aı umaquantidade finita de pesos, existe H ∈ h tal que µj (H) 6= 0 para todo j. Aplicandoreiteradamente H em v, obtem-se as decomposicoes

Hkv = µ1 (H)k u1 + · · ·+ µs (H)k us

em que a matriz quadrada formada pelos coeficiente de

v,Hv, . . . , Hs−1v


e inversıvel. Portanto, esse conjunto e linearmente independente no subespaco geradopor u1, . . . , us e daı que cada uj e combinacao linear das imagens de v pelas iteradasde H e, como v ∈ U , conclui-se que uj ∈ U , j = 1, . . . , s. Isso mostra que

U ⊂∑µ

U ∩ Vµ

e, como a inclusao contraria e imediata, o lema esta demonstrado. 2

Demonstracao do Theorem 11.3: Dado λ ∈ h∗Q, considere a representacao unidi-mensional da algebra de Borel b dada por

Hv = λ(H)v se H ∈ h; Xv = 0 se X ∈ n+.

Essas expressoes definem uma representacao pelo fato de que a algebra derivada de be n+. Seja v 6= 0 um elemento do espaco dessa representacao e defina formalmente oespaco vetorial V como sendo o espaco vetorial gerado por elementos do tipo

Y m11 · · ·Y mk

k v mj inteiros ≥ 0,

onde Y1, . . . , Yk e uma base ordenada de n−. Nesses geradores, Yj e omitido se mj = 0e daı que v e o elemento gerador em que todos os expoentes sao nulos. Dessa forma, oespaco da representacao de b pode ser visto como um subespaco de V .

Complementando a base de n− por uma base X1, . . . , Xs de b, pode-se aplicar oteorema de Poincare-Birkhoff-Witt e obter a base de U(g) dada por

Y m11 · · ·Y mk

k Xn11 · · ·Xns

s mi, ni inteiros ≥ 0.

A partir daı, obtem-se uma representacao de U(g) em V justapondo a ∈ U (g) aesquerda dos geradores de V :

b = aY m11 · · ·Y mk

k

pode ser escrito como uma combinacao linear dos elementos da base de U (g). Assim,bv e uma combinacao linear de

Y m11 · · ·Y mk

k Xn11 · · ·Xns

s v,

sendo queXn1

1 · · ·Xnss v

e um multiplo de v com o coeficiente dado pela representacao unidimensional de b.Isso define uma representacao de U (g) e, portanto, de g em V .

Como a representacao em v e proveniente da representacao unidimensional de b, ve um elemento primitivo de V associado ao peso maximo λ.

A representacao desejada e obtida como um quociente da representacao em V . Defato, seja U ⊂ V o subespaco gerado por todos os subespacos proprios g-invariantes deV . Entao, U tambem e g-invariante e, portanto, fica definida a representacao quociente


de g em V/U . Essa representacao e irredutıvel, pois se W ⊂ V/U e um subespacoinvariante, entao π−1 (W ) e g-invariante emV , onde

π : V → V/U

e a projecao canonica. Pela definicao de U , π−1 (W ) ⊂ U ou π−1 (W ) nao e proprio,isto e π−1 (W ) = V . Portanto, W = 0 ou W = V/U , o que mostra que a representacaoem V/U e irredutıvel.

Por outro lado, seja V ′ ⊂ V um subespaco proprio g-invariante. Entao,

V ′ ⊂∑µ 6=λ

Vµ .

De fato, pelo lema anterior,

V ′ =∑µ

V ′ ∩ Vµ

e, se V ′ ∩ Vλ 6= 0, entao v ∈ V ′. No entanto, por construcao, V = U (g) v e daı queV ′ = V , contradizendo o fato de que V ′ e proprio. Isso mostra que

U ⊂∑µ 6=λ

Vµ ,

de onde se tira que π(v) 6= 0. Por essa razao, π (v) e um elemento primitivo de pesomaximo em V/U e essa representacao e irredutıvel e de peso maximo λ, como se queriamostrar. 2

Essa demonstracao fornece exemplos de representacoes que sao indecomponıveismas nao irredutıveis. Uma representacao de dimensao finita de um algebra semi-simplese indecomponıvel se e so se ela e irredutıvel como segue do teorema de decomposicao deWeyl. O mesmo nao ocorre com representacoes em dimensao infinita: a representacaono espaco V da demonstracao anterior e indecomponıvel, como mostra a proposicao11.7. No entanto, para diversos valores de λ ela nao e irredutıvel, ja que o subespacoU nao e trivial, pois V/U fornece uma representacao com peso maximo λ, que podeser de dimensao finita, enquanto que V e sempre de dimensao infinita.

Demonstracao do Theorem 11.5: A subalgebra de Borel b = h ⊕ n e soluvel e,como o corpo dos escalares e algebricamente fechado, o teorema de Lie garante que arestricao de ρ a b se escreve em alguma base v1, . . . , vn de V como λ1(·) ∗

. . .

λn(·)

.

O primeiro vetor da base, v1 e um elemento primitivo cujo peso e a restricao λ de λ1 ah. De fato, a algebra derivada b′ de b se representa por matrizes triangulares superiores


com zeros na diagonal. Como b′ = n+, n+v1 = 0 e como v1 e autovetor de H ∈ h comautovalor λ1(H) ele e, de fato, um elemento primitivo de peso λ. Isso mostra que ρadmite peso maximo.

Seja α uma raiz positiva. Entao, o subespaco g(α) gerado por

Xα, H∨′α , Yα

e uma subalgebra isomorfa a sl(2). Restringindo a representacao ρ a g(α) obtem-seuma representacao de dimensao finita de sl(2). Seja v um elemento primitivo da re-presentacao. Entao, como na demonstracao da proposicao 11.7, tem-se que U(g(α))ve o espaco de uma representacao irredutıvel de g(α) e v e um elemento primitivo dessarepresentacao. Pela forma das representacoes de sl(2), conclui-se, entao, que λ(H∨α ) einteiro. 2

A ideia para mostrar o teorema 11.4 vem de que o conjunto dos pesos de umarepresentacao que satisfaz suas condicoes e invariante pelo grupo de Weyl, como egarantido pelo lema seguinte.

Lema 11.10 Seja λ ∈ h∗ tal que λ(H∨α ) e um inteiro positivo para toda raiz simplesα. Denote por P (λ) o conjunto dos pesos da representacao irredutıvel ρλ com pesomaximo λ. Entao, wP (λ) ⊂ P (λ) para todo w no grupo de Weyl W .

A demonstracao deste lema sera feita adiante. Com ele se mostra o teorema 11.4da seguinte forma.

Demonstracao do Theorem11.4: Para verificar que dimVλ <∞ e suficiente mostrarque P (λ) e finito ja que os espacos de pesos sao de dimensao finita (pelo teorema 11.2).Cada µ ∈ P (λ) se escreve como

µ = λ−l∑

i=1

miαi mi inteiros > 0.

Assim, P (λ) e finito se e so se o conjunto das possıveis l-uplas (m1, . . . ,ml) que apare-cem nesta expressao e limitado. Para verificar que isso ocorre, seja w ∈ W o elementodo grupo de Weyl que satisfaz w(Σ) = −Σ. Tem-se que w−1 = w e, pelo lema,wµ ∈ P (λ) se µ ∈ P (λ). Portanto, existem inteiros nao-negativos ni, i = 1, . . . , l talque

w−1µ = λ−l∑

i=1

niαi .

Aplicando w a esta igualdade, obtem-se

µ = w(λ)−l∑

i=1

niw(αi).


Mas w(αi) ∈ −Σ, portanto

µ = w(λ) +l∑

i=1

piαi pi inteiros ≥ 0

(pi e uma permutacao de ni : pj = ni se w(αi) = −αj). Juntando isso com aexpressao original para µ, chega-se a

λ− w(λ) =l∑

i=1

(pi +mi)αi .

Essa e uma representacao de λ− w (λ) como combinacao linear das raızes simplescom os coeficientes pi+mi definidos a partir do peso µ. No entanto, λ−w(λ) se escrevede maneira unica como

λ− w (λ) =l∑

i=1

ciαi

com os coeficientes ci dependendo apenas de λ e nao de qualquer outro peso µ. Dessaforma, pi + mi = ci e como pi ≥ 0, segue que mi ≤ ci. Em outras palavras, os pesosda representacao sao dados por inteiros ≥ 0 limitados pelos coeficientes de λ− w (λ),o que mostra que P (λ) e um conjunto finito. 2

Para mostrar o lema 11.10, sao necessarios os seguintes lemas.

Lema 11.11 Tomando uma representacao de g no espaco vetorial U , seja v ∈ U talque Xαv = 0 para toda raiz simples α ∈ Σ. Entao, n+v = 0.

Demonstracao: E suficiente mostrar que Xβv = 0 para qualquer raiz positivaβ ∈ Π+. Isso e feito por inducao sobre a altura de β. Se a altura e 1, entao β e raizsimples e Xβv = 0 por hipotese. Caso contrario, β = γ + α com α simples e a alturade γ um a menos que a altura de β. Tem-se Xβ = c[Xγ, Xα] com c 6= 0. E daı que

Xβv = c[Xγ, Xα]v = c(XγXα −XαXγ)v.

Pela hipotese de inducao, Xγv = Xαv = 0, daı que Xβv = 0. 2

Lema 11.12 Nas condicoes do Lema 11.10, Xα e Yα sao localmente nilpotentes paratoda raiz simples α ∈ Σ.

Demonstracao: Devido ao corolario 11.8 so falta mostrar que Yα e localmentenilpotente. Fixando α ∈ Σ, seja o subespaco

U = v ∈ V : Y mα v = 0 para algum m ≥ 0.

O que se pretende e mostrar que U = V . Isso e feito em duas partes.


1. Sejam m = λ(H∨α ) e v ∈ Vλ um elemento primitivo. Entao, Y m+1α v = 0 e,

portanto, Vλ ⊂ U .

De fato, seja g(α) a algebra isomorfa a sl(2) obtida de α. Da mesma forma quena analise das representacoes irredutıveis de sl(2), mostra-se que

XαYkα v = k(m− k + 1)Y k−1

α v,

de onde se conclui queXαY

m+1α v = 0.

(e nesse ponto que aparece a hipotese de que λ(H∨α ) e um inteiro nao-negativo).Agora, se β e outra raiz simples, β − α nao e raiz, portanto [Xβ, Yα] = 0, isto e,Xβ e Yα comutam e daı que

XβYm+1α v = Y m+1

α Xαv = 0

pois v e elemento primitivo. Pelo lema anterior, tem-se, entao, que n+Y m+1α v = 0.

Daı que Y m+1α v se anula, pois caso contrario, ele seria um elemento primitivo de

raiz λ− (m+ 1)α, contradizendo o fato de que existe apenas um peso maximo.

2. U e n−-invariante. De fato, seja β ∈ Π+ e u ∈ U . Tem-se a formula de comutacao

Y nα Yβ =

n∑i=0

(n

i

)(ad(Yα)i(Yβ))Y n−i

α .

Como n− e nilpotente, ad(Yα)i(Yβ) = 0 para i suficientemente grande. Por outrolado, Y m1

α u = 0 para algum m1, pela definicao de U . Juntando esses dois fatos,segue que Y n

α Yβu = 0 para n suficientemente grande, concluindo que Yβu ∈ U e,portanto, que U e n−-invariante.

Como U contem v e e invariante por n−, U = V , concluindo a demonstracao dolema. 2

Demonstracao do Lema 11.10: Como W e gerado pelas reflexoes rα, α ∈ Σ, esuficiente mostrar que P (λ) e invariante por essas reflexoes, isto e, que rα(µ) = µ −µ(H∨α )α e peso se µ e peso, o que e imediato se µ(H∨α ) = 0. Pode-se assumir entao queµ(H∨α ) 6= 0. Nesse caso a ideia e considerar as inclusoes

Y µ(H∨α )α Vµ ⊂ Vµ−µ(H∨α )α se µ(H∨α ) > 0

eX−µ(H∨α )α Vµ ⊂ Vµ−µ(H∨α )α se µ(H∨α ) < 0

e mostrar, de acordo com cada um dos casos, que

X−µ(H∨α )α u 6= 0 ou Y µ(H∨α )

α u 6= 0


para algum u ∈ Vµ. Dessa forma se obtem que Vrα(µ) 6= 0 e, portanto, que rα(µ) =µ− µ(H∨α )α e peso da representacao.

Nos dois casos tem-se que para qualquer u ∈ Vµ existe um subespaco U de dimensaofinita que contem u e e invariante pela subalgebra g(α) isomorfa a sl(2). De fato, pelolema anterior Xα e Yα sao localmente nilpotentes e, portanto, existem inteiros i, j taisque X iu = 0 = Y ju. Como u ∈ Vµ, isso garante que U (g(α))u esta contido nosubespaco

i∑k=−j

Vµ+kα,

que e de dimensao finita por ser uma soma finita de subespacos de pesos. Portanto,U = U(g(α))u e um subespaco g(α)-invariante de dimensao finita.

Supondo agora que µ(H∨α ) < 0 (o outro caso e semelhante), U se decompoe emcomponentes irredutıveis e dentro de cada uma delas H∨α e uma matriz diagonal daforma

diagm,m− 2, . . . ,−m+ 2,−m,

Como u e autovetor de H∨α , u pertence a alguma dessas componentes irredutıveis. Daıque µ(H∨α ) = m−2k < 0 para algum k, o que implica que −m+2k > 0 tambem aparececomo autovalor de H∨α . Alem do mais, H∨αu = (m− 2k)u, portanto X−m+2k

α u esta noauto-espaco de H∨α associado ao autovalor m − 2k + 2 (−m+ 2k) = −m + 2k < m.Como anula apenas o autovetor associado ao maior autovalor, segue que X−m+2k

α u 6= 0,

isto e, X−µ(H∨α )α u 6= 0. Isso mostra que

rα (µ) = µ− 2〈α, µ〉〈α, α〉

α = µ− µ (H∨α )α

e peso da representacao. 2

Esse lema completa as demonstracoes dos teoremas de representacao.Em principio, o peso maximo λ contem todas as informacoes sobre a representacao

ρλ. Apesar disso, e claro que nem sempre e possıvel explicitar a relacao entre λ e asdiversas propriedades da representacao. Existem resultados nao-triviais nessa direcao.Exemplos desses resultados sao as formulas do carater e da dimensao de Weyl. Aformula do carater calcula, em termos de λ, o traco das exponenciais de ρλ (X), X ∈ g.Ja a formula da dimensao fornece a dimensao d (λ) da representacao irredutıvel cujopeso maximo e λ. Essa formula e dada por

d (λ) =∏α∈Π+

〈λ+ δ, α〉〈δ, α〉

,

onde δ e metade da soma das raızes positivas

δ =1

2

∑α∈Π+

α.


11.2 Representacoes fundamentais

Os pesos maximos das representacoes irredutıveis de dimensao finita de uma algebrasemi-simples g sao os funcionais lineares na subalgebra de Cartan h que assumemvalores inteiros nao-negativos nos normalizados

H∨α =2

〈α, α〉Hα

dos duais Hα das raızes positivas. Seja

Σ = α1, . . . , αl

o sistema simples de raızes e use a notacao

Hi = H∨αi i = 1, . . . , l.

Como as raızes positivas sao combinacoes lineares com coeficientes inteiros nao-nega-tivos das raızes simples, um funcional λ de h e o peso maximo de uma representacaoirredutıvel de dimensao finita se e so se λ (Hj) e um inteiro ≥ 0 para todo j = 1, . . . , l.Uma maneira alternativa de expressar isso e atraves da base dual

Φ = λ1, . . . , λl

de H1, . . . , Hl que e definida por

λi (Hj) = δij .

Um funcional linear λ de h assume valores inteiros nao-negativos em Hi se e so se

λ = n1λ1 + · · ·+ nlλl

com os coeficientes ni inteiros ≥ 0. Esses sao, portanto, os pesos maximos das repre-sentacoes irredutıveis de dimensao finita. Em particular, os elementos de Φ sao pesosmaximos desse tipo e definem tambem representacoes de dimensao finita. As repre-sentacoes associadas aos elementos de Φ sao chamadas de representacoes fundamentais(ou basicas), os elementos de Φ sao os pesos fundamentais (ou basicos) e Φ e umsistema fundamental de pesos . A definicao de Φ como dual da base formada por Hj

mostra que, para encontrar os coeficientes λj como combinacao linear das raızes sim-ples, e necessario resolver um sistema linear cuja matriz dos coeficientes e a matriz deCartan do diagrama. Assim, os coeficientes dessas combinacoes lineares sao as colunasda inversa da matriz de Cartan.

Assim, como os pesos das representacoes irredutıveis sao obtidos por combinacoesdos pesos fundamentais, as representacoes irredutıveis tambem sao obtidas das repre-sentacoes associadas aos pesos basicos. Isso e feito atraves do processo conhecido porcomposicao de Cartan, que e descrito na seguinte proposicao.

11.2. Representacoes fundamentais 313

Proposicao 11.13 Sejam ρ1 e ρ2 representacoes de dimensao finita de uma mesmaalgebra semi-simples g em V1 e V2, respectivamente. Suponha que elas admitam pesosmaximos λ1 e λ2 e sejam v1 ∈ V1, v2 ∈ V2 elementos primitivos associados aos pesosmaximos. Considere a representacao ρ = ρ1 ⊗ ρ2 em V1 ⊗ V2. Tem-se

1. v = v1 ⊗ v2 e um elemento primitivo de ρ1 ⊗ ρ2 de peso maximo λ1 + λ2.

2. dim (V1 ⊗ V2)λ1+λ2= 1.

3. A restricao de ρ ao menor subespaco invariante

U ⊂ V1 ⊗ V2,

que contem v e irredutıvel e, portanto, e um representante da classe de equiva-lencia das representacoes irredutıveis de peso maximo λ1 + λ2.

4. Nenhuma outra componente irredutıvel de V1⊗V2 e isomorfa a representacao emU .

A restricao de ρ a U e chamada de composicao de Cartan das representacoes ρ1 eρ2 e e denotada por ρ1 ∗ ρ2.

Demonstracao:

1. E consequencia imediata da formula

ρ (X) (v1 ⊗ v2) = ρ1 (X) v1 ⊗ v2 + v1 ⊗ ρ (X) v2,

que define o produto tensorial de representacoes.

2. Os pesos da representacao no produto tensorial sao da forma µ1 +µ2 com µ1 pesode ρ1 e µ2 peso de ρ2. Os subespacos de pesos correspondentes sao os produtostensoriais dos subespacos de pesos de V1 e V2. Como os pesos de ρi, i = 1, 2, saodados por

λi −∑j

mjαj ,

a unica soma µ1 +µ2 de um peso de V1 com um de V2 que e λ1 +λ2 ocorre quandoµ1 = λ1 e µ2 = λ2. Por isso,

(V1 ⊗ V2)λ1+λ2= (V1)λ1

⊗ (V2)λ2

e a dimensao desse espaco de pesos e 1.

3. A irredutibilidade da representacao em U vem da proposicao 11.7. O menorsubespaco invariante que contem v e

ρ (U (g)) v,

que, como foi mostrado, e indecomponıvel. Como a dimensao e finita, isso implicaque U e irredutıvel.


4. E consequencia de que o peso maximo λ1 + λ2 aparece apenas em U e, portanto,nao aparece em nenhuma outra componente irredutıvel. 2

A associatividade do produto tensorial garante a associatividade

(ρ1 ∗ ρ2) ∗ ρ3 = ρ1 ∗ (ρ2 ∗ ρ3)

de composicoes de representacoes. Isso permite considerar composicoes sucessivas

ρ = ρ1 ∗ · · · ∗ ρk

de k representacoes, com k arbitrario. Numa composicao dessas, se ρi e representacaocom peso maximo λi, entao ρ e representacao com peso maximo

λ = λ1 + · · ·+ λk .

Como os pesos maximos das representacoes irredutıveis de dimensao finita de umaalgebra semi-simples sao somas – com multiplicidades – dos pesos fundamentais, es-sas representacoes sao dadas por composicoes de Cartan sucessivas das representacoesfundamentais.

Dessa forma, tao logo as representacoes fundamentais das algebras semi-simplessejam conhecidas, as composicoes de Cartan fornecem um metodo para construir todasas representacoes de dimensao finita.

Algebras classicas

A seguir, sao apresentadas as representacoes fundamentais das algebras classicas. Asrealizacoes dessas algebras, assim como as notacoes das raızes, sao as mesmas queaparecem no capıtulo 8.

Al A algebra e g = sl (l + 1) e a subalgebra de Cartan h escolhida e a das matrizesdiagonais de traco zero. As raızes sao dadas por αij = λi − λj, i 6= j, onde

λi : diaga1, . . . , al+1 7−→ ai .

Um sistema simples eΣ = α12, . . . , αl,l+1

e, como o dual de uma raiz e dado por

Hαij =1

2n(Eii − Ejj) ,

os duais normalizados Hi =2

〈αi, αi〉Hαi das raızes simples formam a base

E11 − E22, . . . , Ell − El+1,l+1


de h. O sistema fundamental de pesos e a base dual dessa base. Um calculodireto mostra que, em termos dos funcionais λi,

Φ = λ1, λ1 + λ2, . . . , λ1 + · · ·+ λl.

(No exercıcio 15 aparece a expressao dos pesos fundamentais em termos dasraızes simples, o que fornece a inversa da matriz de Cartan de Al). Sejam V =Kl+1 e e1, . . . el+1 a base canonica emV . A representacao de sl (l + 1) em V eirredutıvel e e1 e um elemento primitivo de peso maximo λ1. Portanto, essa e arepresentacao fundamental associada ao peso λ1.

As demais representacoes fundamentais sao obtidas nos produtos exteriores∧kV k = 2, . . . , l

em que sl (l + 1) se representa por

X (u1 ∧ · · · ∧ uk) = Xu1 ∧ · · · ∧ uk + · · ·+ u1 ∧ · · · ∧Xuk .

O conjunto formado por

ei1 ∧ · · · ∧ eik i1 < · · · < ik

e uma base de∧k V e os subespacos gerados pelos elementos dessa base sao

subespacos de pesos associados aos pesos

λi1 + · · ·+ λik i1 < · · · < ik .

O primeiro elemento da base v = e1 ∧ · · · ∧ ek e um elemento primitivo de peso

λ1 + · · ·+ λk .

Alem do mais, a representacao e irredutıvel. Para verificar isso e suficiente, emvista da proposicao 11.7, mostrar que U (g) v cobre o espaco todo. Isso por suavez e consequencia de que qualquer elemento da base de

∧k V pode ser escritocomo

X1 · · ·Xsv

com Xi ∈ n− e s ≤ k. De fato, dado w = ei1 ∧ · · · ∧ eik com i1 < · · · < ik, seik = k entao w = v. Caso contrario, ik > k e Xk = Eik,k satisfaz

Xk (e1 ∧ · · · ∧ ek) = e1 ∧ · · · ∧ eik

e, se ik−1 = k − 1, o segundo membro dessa expressao coincide com w. Casocontrario, ik−1 > k − 1 e Xk−1 = Eik−1,k−1 satisfaz

Xk−1Xk (e1 ∧ · · · ∧ ek) = e1 ∧ · · · ∧ eik−1∧ eik


e, assim, sucessivamente, chega-se a

X1 · · ·Xs (e1 ∧ · · · ∧ ek) = ei1 ∧ · · · ∧ eik ,

garantindo que a representacao de sl (l + 1) e irredutıvel em∧k V . Essa re-

presentacao e, portanto, a representacao fundamental de Al com peso maximoλ1 + · · ·+ λk.

Atraves das composicoes de Cartan, as representacoes irredutıveis de sl (l + 1) saorealizadas em subespacos dos produtos tensoriais dos espacos das representacoesfundamentais, isto e, em produtos tensoriais dos produtos exteriores. Como osprodutos exteriores sao subespacos da algebra tensorial de V = Kl+1, isso mostraque toda representacao irredutıvel de sl (l + 1) e realizada em um subespaco daalgebra tensorial de Kl+1.

Bl A algebra e g = so (2l + 1) e uma subalgebra de Cartan foi escolhida como sendo aalgebra das matrizes diagonais da forma

H =

0Λ−Λ

com Λ matriz diagonal l × l. Dados os funcionais

λ1 : Λ = diaga1, . . . , al 7−→ ai ,

um sistema simples de raızes e dado por

Σ = λ1 − λ2, . . . , λl−1 − λl, λl,

cujos duais normalizados fornecem a base

Σ∨ = H∨λ1−λ2, . . . , H∨λl−1−λl , H

∨λl

de h, cujos elementos sao dados pelas matrizes diagonais l × l

Λλi−λi+1= diag0, . . . , 1i,−1i+1, . . . , 0

eΛλl = diag0, . . . , 2.

A base dual de Σ∨ e o sistema fundamental de pesos

Φ = λ1, λ1 + λ2, . . . , λ1 + · · ·+ λl−1,1

2(λ1 + · · ·+ λl).

(veja o exercıcio 15 para a expressao dos elementos de Φ em termos das raızessimples). A representacao canonica de so (2l + 1) em V = Kl+1 e irredutıvel.Seja e0, e1, . . . , e2l a base de V que diagonaliza h. Os espacos gerados pelos


elementos dessa base sao os subespacos de pesos da representacao em V e estaoassociados aos pesos λ0 = 0 e ±λj, j = 1, . . . , l. Como n+e1 = 0, o peso maximodessa representacao e λ1, mostrando que essa e a representacao fundamentalassociada ao primeiro dos pesos fundamentais.

As representacoes fundamentais associadas aos pesos

λ1 + · · ·+ λk k ≤ l − 1

sao dadas, de maneira semelhante ao caso Al, em∧k V . O produto exterior

e1 ∧ · · · ∧ ek

e primitivo de peso maximo λ1 + · · ·+λk e os demais elementos da base canonicade∧k V sao obtidos a partir desse elemento primitivo por aplicacoes iteradas dos

elementos de so (2l + 1), mostrando que essas representacoes sao irredutıveis.

A representacao fundamental associada ao peso

1

2(λ1 + · · ·+ λl)

e de uma natureza diferente das anteriores. Como foi comentado acima, no casoAl, o fato de que suas representacoes fundamentais se realizam em subespacosda algebra tensorial de Kl+1 garante que todas as representacoes irredutıveis dedimensao finita de sl (l + 1) se realizam tambem na algebra tensorial. Isso naoocorre com as representacoes das algebras de matrizes anti-simetricas. De fato,os pesos das representacoes de so (2l + 1) na algebra tensorial de V sao da forman1λ1 + · · · + nlλl com ni inteiros ≥ 0, cujos espacos de pesos sao gerados portensores da forma

ei1 ⊗ · · · ⊗ eis ,

onde ei aparece ni vezes e e0 uma quantidade arbitraria de vezes. Por essa razao,a representacao fundamental associada a

1

2(λ1 + · · ·+ λl)

nao aparece como um subespaco da algebra tensorial de V , sendo necessario umoutro metodo para a sua realizacao. Esse metodo e fornecido pelas algebrasde Clifford que fornecem as representacoes spinoriais das algebras de matrizesanti-simetricas. Essas algebras e representacoes serao vistas adiante, na proximasecao.

Cl As representacoes da algebra simpletica g = sp (l) sao tensoriais, como no caso Al.Uma subalgebra de Cartan h e a das matrizes diagonais da forma

H =

(Λ−Λ

)


com Λ matriz diagonal l×l. As raızes sao os funcionais λi−λj, i 6= j, e ± (λi + λj)e um sistema simples e

Σ = λ1 − λ2, . . . , λl−1 − λl, 2λl,

que define a baseΣ∨ = H∨λ1−λ2

, . . . , H∨λl−1−λl , H∨2λl.

Esta base, por sua vez, e determinada pelas matrizes

Λλi−λi+1= diag0, . . . , 1i,−1i+1, . . . , 0

eΛ2λl = diag0, . . . , 0, 1.

O sistema fundamental de pesos e a base dual de Σ∨ e e dado por

Φ = λ1, λ1 + λ2, . . . , λ1 + · · ·+ λl−1, λ1 + · · ·+ λl.

Assim, tomando a base e1, . . . , e2l de V = K2l que diagonaliza h, ve-se que osprodutos exteriores

e1 ∧ · · · ∧ ekem

∧k V , 1 ≤ k ≤ l, sao elementos primitivos associados aos pesos fundamen-tais. Portanto, as representacoes obtidas por restricao aos subespacos invariantesgerados por esses elementos primitivos sao as representacoes fundamentais desp (l). Aqui, ao contrario do caso Al, o espaco da representacao nao e todo

∧k Va menos que k = 1. Nesse caso, V e irredutıvel, pois, para cada elemento ei dabase, existe X ∈ sp (l) tal que Xe1 = ei.

Dl As representacoes fundamentais de g = so (2l) sao semelhantes as de Bl. Umasubalgebra de Cartan e dada pelas matrizes diagonais do tipo

H =

(Λ−Λ

)com Λ diagonal l × l. Um sistema simples de raızes e

Σ = λ1 − λ2, . . . , λl−1 − λl, λl−1 + λl,

que fornece a base

Σ∨ = H∨λ1−λ2, . . . , H∨λl−1−λl , H

∨λl−1+λl

.

Os elementos desta base sao dados pelas matrizes

Λλi−λi+1= diag0, . . . , 1i,−1i+1, . . . , 0

eΛλl−1+λl = diag0, . . . , 1, 1.

11.3. Algebras de Clifford 319

Assim, o sistema fundamental de pesos e dado por

λ1 + · · ·+ λl−1 + λk k ≤ l − 2

e1

2(λ1 + · · ·+ λl−1 − λl)

1

2(λ1 + · · ·+ λl−1 + λl) .

Da mesma forma que no caso Bl, as representacoes fundamentais associadas aospesos maximos

λ1 + · · ·+ λk 1 ≤ k ≤ l − 2

sao as representacoes canonicas em∧k V com V = K2l que sao irredutıveis. E,

ainda da mesma maneira, nem toda representacao irredutıvel e tensorial de V ,pois na representacao no espaco dos tensores nao aparecem os pesos

1

2(λ1 + · · ·+ λl−1 + λl)

1

2(λ1 + · · ·+ λl−1 − λl)

e as representacoes fundamentais associadas a esses pesos sao construıdas poroutro processo.

11.3 Algebras de Clifford

Alguns dos pesos fundamentais de so (n) (Bl ou Dl) nao aparecem como peso de re-presentacao em espacos tensoriais da representacao canonica. Por essa razao, existemrepresentacoes irredutıveis dessas algebras que nao sao tensoriais e a realizacao dasmesmas exige uma construcao alternativa, que e dada pelas algebras de Clifford.

Os ingredientes para a construcao dessas algebras sao um espaco vetorial V e umaforma bilinear simetrica em V . Essa forma sera denotada por 〈·, ·〉 e, como o interesseaqui e na construcao das representacoes fundamentais, considera-se principalmente ocaso em que o corpo de base e algebricamente fechado e 〈·, ·〉 nao e degenerada.

A algebra de Clifford C (V ) (ou C (V, 〈·, ·〉) ou ainda C, apenas) e a algebra associa-tiva com unidade gerada por V de tal forma que para u, v ∈ V ,

uv + vu = −2〈u, v〉.

Dito de maneira mais precisa, C (V ) e o quociente da algebra tensorial T (V ) pelo idealbilateral Ic gerado pelos elementos da forma

u⊗ v + v ⊗ u+ 2〈u, v〉1

com u, v ∈ V e 1 a unidade de T (V ). O produto em C e indicado por justaposicao deseus elementos.

Quando a forma bilinear se anula, o ideal Ic que define C coincide com o ideal quedefine a algebra exterior

∧V e, portanto, essas algebras coincidem. Caso contrario, as

algebras sao diferentes, apesar de que o espaco vetorial subjacente a C e dado pela soma


entre o espaco correspondente a algebra exterior de V com o subespaco unidimensionalgerado pela unidade 1. Isso pode ser visto tomando uma base ortonormal

e1, . . . , en

de V (que existe se o corpo de base e algebricamente fechado porque as formas bilinearesnao-degeneradas sao equivalentes). Entao os produtos da forma

ei1 · · · eis i1 < · · · < is (11.1)

com s = 0, . . . , n formam uma base de C. De fato, os produtos da forma

ej1 · · · ejs

numa ordem qualquer e com s arbitrario geram C, pois esses produtos sao a imagemdos elementos da base canonica de T (V ). No entanto, como a base e ortonormal,

e2i = −1 e eiej = −ejei se i 6= j

e, portanto, em C um produto arbitrario coincide, a menos de sinal, com um produtoem que os subındices estao em ordem crescente. Isso mostra que os elementos em(11.1) geram C. Para ver que eles sao independentes, e suficiente verificar que se Wc eo subespaco de T (V ) gerado pelos seus representantes

ei1 ⊗ · · · ⊗ eis i1 < · · · < is ,

entao, Wc ∩ Ic = 0. E isso ocorre, pois os elementos de Ic sao da forma

a(u⊗ v + v ⊗ u+ 2〈u, v〉)b

com a, b ∈ T (V ) e u, v ∈ V . Portanto, ao se escrever um elemento nao-nulo de Ic comocombinacao linear da base canonica de T (V ) aparece um coeficiente multiplicando umelemento do tipo

ej1 ⊗ · · · ⊗ ejkque contem pelo menos um par jr, jt, r < t, fora de ordem, isto e, com jr > jt. Essetipo de coisa nao acontece com os elementos nao-nulos de Wc, pois esse subespaco egerado por produtos tensoriais de elementos da base de V , tomados na ordem da base.Dessa forma, Wc ∩ Ic = 0 e o conjunto em (11.1) e de fato uma base de C.

As algebras de Clifford generalizam algebras conhecidas como a dos complexos(visto como algebra sobre R) ou a dos quaternions.

Exemplos:

1. Se V e um espaco de dimensao 1 sobre K e 〈·, ·〉 e uma forma bilinear em que〈v, v〉 = 1 para v ∈ V , entao a algebra de Clifford e

C = K1 + V

e v2 = −1. Em particular, se K = R, entao C e exatamente o corpo dos complexos.


2. Sejam V um espaco de dimensao 2 com uma forma bilinear 〈·, ·〉 e uma basei, j ortonormal em relacao a 〈·, ·〉. Entao, uma base da algebra de Cliffordcorrespondente e 1, i, j, k com k = ij. Os produtos dos elementos dessa basesao

i2 = j2 = k2 = −1 ij = k jk = i ki = j

e, portanto, C e a algebra dos quaternions. 2

As algebras de Clifford sao algebras associativas e, portanto, elas definem algebrasde Lie pelo comutador.

A questao central nas representacoes de so (n) e que essas algebras sao isomorfas asubalgebras de Lie das algebras de Clifford. De fato,

Proposicao 11.14 O subespaco gerado pelos colchetes

[u, v] = uv − vu = 2 (uv + 〈u, v〉) u, v ∈ V

e uma subalgebra de C isomorfa a so (n). Essa algebra se representa em V pelo colchete

[uv + 〈u, v〉, w] = 2〈u,w〉v − 2〈v, w〉u

e essa representacao e equivalente a representacao canonica de so (n).

Demonstracao: Sejav1, . . . , vn

uma base ortonormal de V . Entao,

[vi, vj] = 2vivj

e esses colchetes geram o subespaco gerado pelos colchetes entre elementos de V . Ocolchete entre vivj e vrvs e dado de acordo com os seguintes casos

• se i, j ∩ r, s = ∅. Entao,

vrvsvivj = −vrvivsvj = vivrvsvj = vivjvrvs

ja que a base e ortonormal. Portanto, [vivj, vrvs] = 0.

• Se i, j = r, s. Entao, vivj = ±vrvs, pois a base e ortonormal e daı que ocolchete entre esses dois elementos se anula.

• Se i, j ∩ r, s e um conjunto unitario, por exemplo, j = r e i 6= s. Entao,

vivjvrvs = viv2j vs = −vivs

evrvsvivj = v2

rvsvi = vivs

e, portanto, [vivj, vrvs] = −2vivs.


Essas possibilidades mostram que o subespaco em questao e fechado pelo colchetee, portanto, e uma subalgebra.

Para ver o isomorfismo entre essa algebra e so (n), tome a base de so (n) formadapelas matrizes

Fij = Eij − Eji 1 ≤ i < j ≤ n,

onde Eij e a matriz cuja entrada i, j e 1 e as demais sao nulas. Entao, as constantes deestrutura dessa base sao as mesmas que as constantes de estrutura da base

−1

2vivj,

o que mostra que a algebra e realmente isomorfa a so (n) e que a representacao em V ,dada pelo colchete, e isomorfa a representacao canonica de so (n). 2

Por essa proposicao, a algebra de Lie so (n) pode ser vista como uma subalgebrade uma algebra de Clifford. Dessa forma, uma representacao de C induz, por restricao,uma representacao de so (n).

As representacoes de C sao homomorfismos a valores na algebra associativa dastransformacoes lineares de um espaco vetorial. Uma maneira conveniente de se obterhomomorfismos desse tipo e atraves da seguinte propriedade universal das algebras deClifford:

Seja A uma algebra associativa com unidade e

θ : V −→ Auma aplicacao linear. Como a algebra tensorial T (V ) e a algebra associativa livregerada por V , a expressao

θ (v1 ⊗ · · · ⊗ vs) = θ (v1) · · · θ (vs)

estende θ a um homomorfismo (tambem denotado por θ)

θ : T (V ) −→ A.Se esse homomorfismo se anula no ideal Ic que define C, entao ele passa ao quocientedefinindo um homomorfismo de C a valores em A. Como Ic e o ideal bilateral geradopelos elementos da forma

u⊗ v + v ⊗ u+ 2〈u, v〉1,a condicao para que θ passe ao quociente a C e que θ se anule nesses elementos. Ditode outra maneira, se θ : V → A e uma aplicacao linear que satisfaz para todo u, v ∈ V ,

θ(u)θ(v) + θ(v)θ(u) = −〈u, v〉1,entao θ se estende de maneira unica a um homomorfismo (tambem denotado por θ)

θ : C 7−→ A.Dessa forma, obtem-se representacoes de C quando se toma A como sendo a algebradas transformacoes lineares de um espaco vetorial.

Essa e a tecnica para construir as representacoes spinoriais de so (n). Dependendo,se a dimensao e ımpar (algebras Bl), ou par (Dl), o procedimento e diferente. Por essarazao, esses casos serao considerados separadamente.


Representacao spin de Bl

A realizacao da algebra Bl (= so (2l + 1)) foi feita escolhendo uma base de V

β = d, e1 . . . , el, f1, . . . fl

de tal forma que a matriz de 〈·, ·〉 em relacao a essa base e 1 0 00 0 1l0 1l 0

com 1l indicando a matriz identidade l × l. Em outras palavras, a base e escolhida detal forma que 〈ei, fi〉 = 1 e os demais valores da forma bilinear se anulam.

Sejam W o subespaco de V gerado por e1, . . . , el e W ′ o gerado por f1, . . . , fl.Esses subespacos sao duais entre si por 〈·, ·〉.

A representacao spinorial e dada por uma representacao de C na algebra exteriorde W ∧

W =∧0

W ⊕∧1

W ⊕ · · · ⊕∧l

W,

acrescida dos escalares∧0W . Essa representacao e definida usando a propriedade

universal de C discutida acima. Para v ∈ V deve-se associar uma transformacao linearθ (v) :

∧W →

∧W de tal forma que, para u, v ∈ V ,

θ (u) θ (v) + θ (v) θ (u) = −2〈u, v〉1. (11.2)

Essa aplicacao e definida nos diferentes elementos da base de V da seguinte maneira:

1. Para w ∈ W , θ (w) e a multiplicacao a esquerda em∧W

θ (w) η = w ∧ η.

2. Para u ∈ W ′, θ (u) e dada pela dualidade entre W e W ′: θ (u)(∧0W

)= 0 e para

w1, . . . , ws ∈ W ,

θ (u) (w1 ∧ · · · ∧ ws) = 2s∑i=1

(−1)i 〈u,wi〉 (w1 ∧ · · · ∧ wi ∧ · · · ∧ ws) .

3. Sejam ∧parW =

∑k

∧2kW e

∧impW =

∑k

∧2k+1W

os produtos exteriores de ordem par e ımpar, respectivamente. Entao, θ (d) e atransformacao linear de

∧W que e a identidade em

∧parW e menos a identidadeem∧imp W .


A verificacao de que θ se estende a um homomorfismo de C, isto e, que ela satisfaz(11.2) e um exercıcio de paciencia. Em todo caso, e suficiente verificar (11.2) noselementos da base de V . Nos casos em que 〈u, v〉 = 0, entao as transformacoes θ (u) eθ (v) anti-comutam como deve acontecer. Por exemplo,

θ (fi) θ (fj) = −θ (fj) θ (fi)

se i 6= j, pois calculando ambos os membros num elemento

η = ei1 ∧ · · · ∧ eis

da base de∧W , eles se anulam se ei ou ej nao aparece em η e se ei aparece na posicao

ki e ej na posicao kj com ki < kj, entao

θ (fi) θ (fj) η = 4 (−1)kj+ki ei1 ∧ · · · ∧ ei ∧ · · · ∧ ej ∧ · · · ∧ eis ,

enquanto que, revertendo a ordem entre i e j, o coeficiente que aparece multiplicandoo segundo membro e 4 (−1)ki+kj−1.

O unico caso em que u e v nao sao ortogonais e quando u = ei e v = fi. E aqui queaparece a necessidade do coeficiente 2 na definicao de θ nos elementos de W ′. Tomandoη como acima, se ei aparece em η na posicao ki, entao

θ (ei) θ (fi) η = 2 (−1)ki ei ∧ ei1 ∧ · · · ∧ ei ∧ · · · ∧ eis = −2η

e θ (fi) θ (ei) η = 0. Uma situacao semelhante acontece se ei nao aparece em η o quegarante que θ se estende a uma representacao de C em

∧W .

Essa representacao se restringe a uma representacao de so (2l + 1). Para ver os seuspesos, considera-se a subalgebra de Cartan das matrizes que sao diagonais na base β,isto e, a subalgebra das matrizes da forma 0

Λ−Λ

com Λ matriz diagonal l × l. Essa subalgebra corresponde em C ao subespaco geradopelos colchetes

[fi, ei] = 2fiei + 2,

pois

• [fiei + 1, ej] = 2〈fi, ej〉ei,

• [fiei + 1, fj] = −2〈ei, fj〉fi e

• [fiei + 1, d] = 0.


Portanto, na representacao em V dada pelo colchete de C, fiei+1 e diagonal. Dessasigualdades, tira-se ainda que a matriz diagonal de so (2l + 1), que e definida por

Λ = diaga1, . . . , al,

corresponde em C a1

2(a1 (f1e1 + 1) + · · ·+ al (flel + 1)) .

Os pesos fundamentais de so (2l + 1) sao dados por

Φ = λ1, λ1 + λ2, . . . , λ1 + · · ·+ λl−1,1

2(λ1 + · · ·+ λl),

onde λi e o funcional que a matriz Λ associa sua i-esima entrada diagonal. Essefuncional e dado tambem por

λi(b1 (f1e1 + 1) + · · ·+ bl (flel + 1)) = 2bi .

Agora, sejaη = ei1 ∧ · · · ∧ eis 1 ≤ i1 < · · · < is ≤ l

um elemento da base canonica de∧W . Entao,

θ(ei)η = ei ∧ η

e isso se anula se ei aparece em η, isto e, se i ∈ i1, . . . , is. Caso contrario,

θ (fi) θ (ei) η = −2η

e, dessa forma, η e um autovetor de θ (fiei + 1) associado ao autovalor 1 se ei apareceem η e ao autovalor −1 se ei nao aparece em η. Esses autovalores sao dados por

±1

2λi (fiei + 1) .

Isso mostra que os pesos da representacao θ em∧W sao dados por

µI =1

2

(∑i∈I

λi −∑i/∈I

λi

)

com I variando entre os subconjuntos de 1, . . . , l e com o espaco de pesos correspon-dente a µI o subespaco gerado pelo elemento da base canonica de

∧W definido por I.

Em particular,1

2(λ1 + · · ·+ λl)

e um peso da representacao e seu espaco de pesos e gerado por

ηm = e1 ∧ · · · ∧ el .


Esse e o unico peso maximo da representacao. De fato, n+ e a algebra das matrizesda forma 0 0 γ

−γt a b0 0 −at

com a matriz l× l triangular superior com zeros na diagonal e b anti-simetrica. Em C,essa subalgebra e o subespaco gerado por

• fjei, i < j que corresponde a matriz a,

• eiej, i 6= j que corresponde a b e

• eid que corresponde a γ

e os valores de θ nesses elementos se anulam quando calculados em ηm. Por outrolado, dado

η = ei1 ∧ · · · ∧ eisdiferente de ηm, existe algum ei que nao aparece em η e, portanto,

θ (eid) = ±ei ∧ η 6= 0 (11.3)

e daı que nenhum peso diferente de1

2(λ1 + · · ·+ λl) e peso maximo.

Isso mostra que a representacao de so (2l + 1) em∧W e irredutıvel e e a repre-

sentacao fundamental de Bl que faltava ser construıda.Ao inves da representacao em

∧W , teria sido possıvel considerar

∧W ′ e obter uma

representacao semelhante. Dessa forma, C se representa em∧W ⊕

∧W ′.

E possıvel verificar que essa representacao define um isomorfismo entre C e a algebraassociativa

gl(∧

W)⊕ gl

(∧W ′).

Representacao spin de Dl

As representacoes spinoriais basicas de so (2l) sao construıdas de forma semelhante aocaso ımpar. Tomando uma base

e1, . . . , el, f1, . . . , fl

de V de tal forma que a matriz de 〈·, ·〉 nessa base se escreve como(0 1l1l 0

),


seja W o subespaco gerado por e1, . . . , el. Uma representacao de C em∧W e cons-

truıda da mesma forma definindo θ (ei) e θ (fi) pelas mesmas expressoes. Da mesmaforma, o subespaco gerado por

fiei + 1

e uma subalgebra de Cartan e os pesos da representacao sao dados por

µI =1

2

(∑i∈I

λi −∑i/∈I

λi

)

com I variando nos subconjuntos de 1, . . . , l e o espaco de pesos associado a µl e osubespaco gerado por

ei1 ∧ · · · ∧ eis ,

onde I = i1, . . . , is.Ao contrario do caso ımpar, a nao existencia de d na base de V faz com que os

subespacos ∧parW =

∑k

∧2kW e

∧impW =

∑k

∧2k+1W

de∧W sejam invariantes pela representacao de so (2l) (veja (11.3)). Em todo caso,

essas representacoes sao irredutıveis, pois da mesma forma que em Bl, n+ e gerada por

fjei i < j e eiej i 6= j,

que se anulam simultaneamente apenas em

e1 ∧ · · · ∧ el e e1 ∧ · · · ∧ el−1

e, portanto, os unicos pesos maximos sao

1

2(λ1 + · · ·+ λl) e

1

2(λ1 + · · ·+ λl−1 − λl)

e, portanto, o peso fundamental1

2(λ1 + · · ·+ λl) e peso maximo de

∧parW , enquanto

que∧impW e a representacao fundamental associada ao peso fundamental

1

2(λ1 + · · ·+ λl−1 − λl) .

Isso conclui a construcao da ultima das representacoes fundamentais de Dl.De maneira semelhante ao caso ımpar, e possıvel mostrar que a representacao de C

em∧W induz um isomorfismo entre C e a algebra associativa

gl(∧

W).


Algebras excepcionais

As colunas da inversa da matriz de Cartan fornecem os coeficientes dos pesos funda-mentais quando escritos como combinacoes lineares das raızes simples. A matriz deCartan de G2 e (

2 −1−3 2

),

cuja inversa e (2 13 2

)e, portanto, os pesos fundamentais sao

λ1 = 2α1 + 3α2 e λ2 = α1 + 2α2 .

A representacao irredutıvel, cujo peso maximo e λ1 e a propria representacao adjunta.Ja λ2 e o peso maximo da representacao de dimensao 7 obtida pelo fato de G2 sera algebra das derivacoes da algebra nao-associativa dos octonions (veja [28], e os co-mentarios feitos ao final do capıtulo 8).

As matrizes de Cartan C, assim como suas inversas C−1 das demais algebras ex-cepcionais, sao registradas a seguir.

• F4

C =

2 −1 0 0−1 2 −1 00 −2 2 −10 0 −1 2

C−1 =

2 3 2 13 6 4 24 8 6 32 4 3 2

• E6

C =

2 −1 0 0 0 0−1 2 −1 0 0 00 −1 2 −1 0 −10 0 −1 2 −1 00 0 0 −1 2 00 0 −1 0 0 2

C−1 =

43

53

2 43

23

153

103

4 83

43

22 4 6 4 2 343

83

4 103

53

223

43

2 53

43

11 2 3 2 1 2

• E7

C =

2 −1 0 0 0 0 0−1 2 −1 0 0 0 00 −1 2 −1 0 0 00 0 −1 2 −1 0 −10 0 0 −1 2 −1 00 0 0 0 −1 2 00 0 0 −1 0 0 2


C−1 =

32

2 52

3 2 1 32

2 4 5 6 4 2 352

5 152

9 6 3 92

3 6 9 12 8 4 62 4 6 8 6 3 41 2 3 4 3 2 232

3 92

6 4 2 72

• E8

C =

2 −1 0 0 0 0 0 0−1 2 −1 0 0 0 0 00 −1 2 −1 0 0 0 00 0 −1 2 −1 0 0 00 0 0 −1 2 −1 0 −10 0 0 0 −1 2 −1 00 0 0 0 0 −1 2 00 0 0 0 −1 0 0 2

C−1 =

2 3 4 5 6 4 2 33 6 8 10 12 8 4 64 8 12 15 18 12 6 95 10 15 20 24 16 8 126 12 18 24 30 20 10 154 8 12 16 20 14 7 102 4 6 8 10 7 4 53 6 9 12 15 10 5 8

Notas

A abordagem algebrica aos teoremas de representacao via algebra universal envelopante e

o teorema de Poincare-Birkhoff-Witt e considerada standard hoje em dia. Essa abordagem

surgiu dos trabalhos de Harish-Chandra e Chevalley, na decada de 1940. A classificacao das

representacoes irredutıveis por inteiros positivos foi feita por E. Cartan em 1913 (veja [6]).

As formulas do carater dimensao de Weyl mencionadas no texto fazem parte da teoria do

carater de representacoes. Essa teoria foi desenvolvida inicialmente para grupos compactos

e algebras semi-simples complexas atraves do truque unitario de Weyl, isto e, via metodos

transcendentes. Hoje em dia, existe uma extensa teoria que enfatiza os metodos algebricos

(uma apresentacao dessa teoria pode ser encontrada em [18]).

O material sobre algebras de Clifford, incluıdo no texto, e o mınimo exigido para apresentar

as representacoes basicas das algebras Bl e Dl. Uma exposicao sistematica recente sobre

essas algebras pode ser encontrada em [39].

As inversas das matrizes de Cartan das algebras excepcionais foram calculadas pelo Maple

incorporado ao Scientific Workplace c©; calcular a inversa de uma matriz quadrada de mais

de tres linhas e um tarefa ardua se os recursos computacionais sao apenas o lapis e o papel.


11.4 Exercıcios

Para os exercıcios a seguir, se o corpo de escalares nao e especificado, entao ele ealgebricamente fechado e de caracterıstica zero.

1. Duas representacoes de dimensao finita de uma algebra semi-simples sao equiva-lentes se e so se os polinomios caracterısticos dos elementos das representacoescoincidem.

2. Usando o fato de que o grupo de Weyl e gerado por exponenciais do tipo

eXe−Y eX ,

com X e Y localmente nilpotentes (veja exercıcio 6 do capıtulo 9), de uma de-monstracao alternativa para o lema 11.10 que afirma que o conjunto dos pesos einvariante pelo grupo de Weyl.

3. Mostre que se o grupo de Weyl e transitivo no conjunto dos pesos de uma re-presentacao e cada espaco de pesos tem dimensao um, entao a representacao eirredutıvel.

4. Seja H um elemento regular da algebra semi-simples g. Mostre que ρ (H) ediagonalizavel para qualquer representacao de dimensao finita ρ de g.

5. Mostre que as representacoes irredutıveis de dimensao finita da algebra semi-simples g separam pontos da algebra universal U (g), isto e, se a ∈ U (g) e talque ρ (a) = 0 para toda representacao de dimensao finita, entao a = 0.

6. Denote por Z o centro da algebra universal envelopante U (g). Mostre que a ∈ Zse e so se ρ (a) e um multiplo da identidade para toda representacao irredutıvelde dimensao finita ρ. Alem do mais, definindo θ (a) por ρ (a) = θ (a) 1, θ e umhomomorfismo de Z a valores no corpo de base.

7. Dada uma uma algebra de Lie semissimples g sejam X1, . . . , Xn uma base deg e Y1, . . . , Yn sua base dual em relacao a forma de Cartan-Killing. Defina oelemento de Casimir

Γ = X1Y1 + · · ·+XnYn ∈ U (g) .

Mostre que Γ pertence ao centro de U (g).

8. A partir dos isomorfismos

(a) so (3) ≈ sl (2),

(b) so (4) ≈ sl (2)⊕ sl (2),

(c) so (5) ≈ sp (4),

(d) so (6) ≈ sl (4),


ver quais representacoes das algebras a direita sao spinoriais e quais sao tensoriais.

9. Com a ordem nas raızes simples como indicado nas realizacoes do capıtulo 8, oscoeficientes dos pesos maximos das representacoes adjuntas das algebras simplesem relacao as raızes simples e aos pesos fundamentais sao, respectivamente, osseguintes:

Al (1, . . . , 1) e (1, 0, . . . , 0, 1)

Bl (1, 2, . . . 2) e (0, 1, 0 . . . , 0)

Cl (2, 2, . . . , 2, 1) e (2, 0, . . . , 0)

Dl (1, 2, . . . 2, 1, 1) e (0, 1, 0, . . . , 0)

G2 (2, 3) e (1, 0)

F4 (2, 3, 4, 2) e (1, 0, 0, 0)

E6 (1, 2, 3, 2, 1, 2) e (0, 0, 0, 0, 0, 1)

E7 (1, 2, 3, 4, 3, 2, 2) e (0, 0, 0, 0, 0, 1, 0)

E8 (2, 3, 4, 5, 6, 4, 2, 3) e (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

10. Mostre que a representacao adjunta de so (n) e equivalente a representacao ca-nonica em

∧2. Encontre a decomposicao de so (4) em componentes simples,mostrando que o subespaco gerado por

e1 ∧ e2 + e3 ∧ e4, e1 ∧ e4 + e2 ∧ e3, e1 ∧ e3 − e2 ∧ e4

e invariante por so (4).

11. Encontre os espacos das representacoes fundamentais de sp (l).

12. Mostre que se uma representacao irredutıvel ρ de uma algebra semi-simples g tempeso maximo λ, em relacao a um sistema simples Σ, entao a representacao dualρ∗ tem peso maximo −λ em relacao ao sistema simples −Σ. Uma representacaoρ e autodual se ela e equivalente a representacao dual ρ∗. Mostre que todas asrepresentacoes de dimensao finita das algebras Al (l = 1), Bl, Cl, Dl (l par), G2,F4, E7 e E8 sao autoduais. (Considere w0 ∈ W em que w0Σ = −Σ).

13. Encontre as representacoes duais das representacoes basicas das algebras Al(l ≥ 2) e Dl (l ımpar). Usando a realizacao dessas representacoes nos produ-tos exteriores, encontre os operadores de intercambio.

14. A composicao de Cartan de representacoes autoduais e autodual.

15. Os coeficientes dos pesos fundamentais, quando escritos como combinacoes line-ares das raızes simples, fornecem as colunas das inversas das matrizes de Cartan.Para as algebras classicas esses coeficientes sao dados da seguinte maneira:


Al Um peso fundamental de Al e da forma µi = λ1 + · · · + λi, i ≤ l, que,restrito a subalgebra de Cartan, coincide com o funcional cujas coordenadasem relacao a λj sao

(1, . . . , 1, 0, . . . , 0)− i

n(1, . . . , 1) = (

n− in

, . . . ,n− in

,− in, . . . ,− i

n)

com n = l + 1. Use esta expressao para verificar que os coeficientes dacombinacao linear de µi em relacao as raızes simples λj − λj+1 sao(

n− in

, 2n− in

, . . . , in− in

, · · ·).

Bl Os pesos fundamentais sao

µi = λ1 + · · ·+ λi, i ≤ l − 1 µl =1

2(λ1 + · · ·+ λl)

e seus coeficientes (a1, . . . , al) em relacao as raızes simples λ1 − λ2, . . ., λlsao

• (1, , 2, . . . , i, . . . i) se i ≤ l − 1

• (1/2, 1, . . . , l/2) se i = l.

Cl Os pesos fundamentais sao µi = λ1 + · · · + λi, i ≤ l e os coeficientes de µisao (

1, 2, . . . , i,i

2

).

Dl Os pesos fundamentais sao λ1 + · · ·+ λi, i ≤ l − 2 e

1

2(λ1 + · · ·+ λl−1 ± λl) .

Os coeficientes sao dados por

• (1, 2, . . . , i, i/2, i/2) se i ≤ l − 2.

• (1/2, 1, . . . , (l − 2) /2, l/4, (l − 2) /4) se i = l − 1 e

• (1/2, 1, . . . , (l − 2) /2, (l − 2) /4, l/4) se i = l.

Capıtulo 12

Algebras semissimples reais

A analise feita em capıtulos anteriores das algebras semi-simples sobre corpos algebrica-mente fechados determina, em particular, a estrutura das algebras semi-simples sobreo corpo C dos complexos. Neste capıtulo, serao estudadas as algebras semi-simplesreais. O metodo consiste em considerar uma algebra complexa gC, e, a partir dela,suas formas reais, isto e, as algebras reais cujas complexificadas sao gC. Existe umaclasse especial de formas reais, as formas reais compactas. Toda algebra complexa temuma unica (a menos de isomorfismo) forma real compacta e a estrutura dessas formasreais e completamente descrita pela algebra complexa. Essas nao sao, no entanto, asunicas formas reais, ja que existem formas reais nao-compactas. A descricao de umaforma real nao-compacta e feita a partir da decomposicao que se obtem ao intercepta-la com a forma real compacta (decomposicao de Cartan). Esse metodo fornece umaclassificacao das algebras reais, por sistemas de raızes e diagramas, semelhante a dasalgebras sobre corpos algebricamente fechados.

12.1 Formas reais e algebras simples

O objetivo desta secao e descrever a relacao entre uma algebra de Lie real g e suacomplexificada, isto e, a algebra obtida de g por extensao de R ao corpo dos complexos.

O primeiro passo consiste em discutir as complexificacoes e realificacoes dos espacosvetoriais. Por isso, seja V um espaco vetorial sobre C e V R o espaco vetorial realobtido por restricao dos escalares a R. Esse espaco e denominado de realificado de Ve sua dimensao e o dobro da de V . A multiplicacao por complexos em V se recuperaa partir de V R e da transformacao linear real obtida pela multiplicacao por i emV . De fato, v ∈ V 7→ iv ∈ V define uma transformacao J : V R → V R, ja queos conjuntos subjacentes a esses dois espacos coincidem. E evidente que J e umatransformacao linear de V R que satisfaz J2 = −1. O espaco real V R, juntamente comJ , determina a estrutura de espaco vetorial complexo em V definindo o produto porescalares complexos como

(a+ ib)v = av + bJv (12.1)

com a e b reais.

333

334 Capıtulo 12. Algebras semissimples reais

Definicao 12.1 Seja W um espaco vetorial real. Uma estrutura complexa em W euma transformacao linear J : W → W que satisfaz J2 = −1.

Pelo que foi dito acima, o realificado de um espaco vetorial complexo tem umaestrutura complexa canonica. Vice-versa, o polinomio minimal de uma estrutura com-plexa e da forma λ2 + 1 cujas raızes sao ±i que sao os autovalores de J . Como essesautovalores aparecem aos pares, a existencia de uma estrutura complexa em W implicaque dimW e par. Se esse e o caso, definindo como em (12.1) o produto por escalarescomplexos em W , obtem-se um espaco vetorial complexo cujo realificado e W .

Em geral, um espaco vetorial de dimensao par admite diferentes estruturas com-plexas e essas dao origem a espacos vetoriais complexos, que apesar de isomorfos, saodistintos. Por exemplo, tomando W = Rn × Rn, existe a estrutura complexa J cujamatriz nas bases canonicas de Rn e dada por

J =

(0 −11 0

)com 1 indicando a matriz identidade n × n. Com essa estrutura complexa, define-seem R2n o produto por escalar dado por

(a+ ib)(u, v) = (au− bv) + i(av + bu) u, v ∈ Rn,

que e a representacao usual de Cn. Por outro lado, escolhendo J com uma matrizcomo acima mas numa base diferente, obtem-se outra multiplicacao por um escalarcomplexo.

Considerando ainda um espaco vetorial complexo V , seja U ⊂ V um subespaco.Seu realificado e um subespaco real de V R. No entanto, nem todo subespaco de V R eobtido pela realificacao de um subespaco de V . Para que isso ocorra, e necessario que osubespaco seja fechado por multiplicacao por i. Em outras palavras, um subespaco deV R e proveniente de um subespaco complexo se e so se ele e invariante pela estruturacomplexa J .

Quanto as complexificacoes, seja V um espaco vetorial real e VC o seu complexifi-cado. Os elementos de VC se escrevem como u+ iv, u, v ∈ V . Escrevendo os elementosde VC desta maneira, fica definida a conjugacao σ : VC → VC

σ(u+ iv) = u+ iv = u− iv.

Esta conjugacao satisfaz σ2 = 1 e e antilinear (ou sesquilinear) em VC no sentido emque σ e linear sobre os reais e

σ(z w) = z w z ∈ C, w ∈ VC .

E claro queV = w ∈ VC : σ(w) = w.

Definicao 12.2 Seja U um espaco vetorial complexo. Uma conjugacao em U e umatransformacao antilinear σ que satisfaz σ2 = 1.

12.1. Formas reais e algebras simples 335

Um espaco vetorial complexo U com uma conjugacao σ pode ser visto como ocomplexificado de um espaco real. De fato, σ e uma transformacao linear de UR ecomo e uma involucao,

UR = U1 ⊕ U−1

com U1 o auto-espaco associado ao autovalor 1 e U−1 associado ao autovalor −1. O fatode σ ser antilinear como transformacao de U implica que se v ∈ U1, entao σ(iv) = −ive, portanto, iv ∈ U−1. Em outras palavras, J(U1) ⊂ U−1 se J e a estrutura complexade UR. Da mesma forma, J(U−1) ⊂ U1, o que mostra que U1 e U−1 tem a mesmadimensao e, portanto, U e o complexificado de U1. Alem do mais,

U1 = v ∈ U : σ(v) = v

e σ e a conjugacao obtida da decomposicao U = U1 +U−1 = U1 + iU1. Evidentemente,diferentes conjugacoes em U fornecem diferentes formas de ve-lo como o complexificadode um espaco real.

Em resumo, os espacos vetoriais complexos estao em bijecao com os espacos reaisprovidos de uma estrutura complexa. De maneira semelhante, existe uma bijecaoentre as conjugacoes de um espaco vetorial complexo V e seus subespacos reais que secomplexificam em V .

O realificado de um espaco complexo pode, por sua vez, ser complexificado. Seja(V R)C esse complexificado. A estrutura complexa J e uma transformacao linear realde V R, cujos autovalores sao ±i. Portanto, J nao tem autovetores em V R, mas sim noseu complexificado. Sejam V±i os auto-espacos generalizados de J em (V R)C associadosaos autovalores ±i. Dentro de Vi, J tem uma matriz da forma i ∗

. . .

i

e, como J2 = −1, essa matriz e diagonal, de onde se conclui que Jv = iv para todov ∈ Vi. Da mesma forma, Jw = −iw para todo w ∈ V−i. Pelo fato de que J e real emV R, V−i = σ(Vi) onde σ e a conjugacao de (V R)C associada a V R. Dessa forma, Vi eV−i tem a mesma dimensao e, como

(V R)C = Vi ⊕ V−i ,

a dimensao de V±i e a metade da dimensao de V R e, portanto, coincide com a dimensaode V . Como esses espacos sao complexos, eles sao isomorfos a V .

Essa complexificacao de um espaco realificado pode ser interpretada como umespaco vetorial quaternionico com a multiplicacao por escalar dada por

(a+ bi+ cj + dk)w = aw + Ew + Fw +Gw a, b, c, d ∈ R, w ∈ (V R)C,

onde E, F e G sao as transformacoes lineares E = Jσ com σ a conjugacao de (V R)Cem relacao a V R; F a multiplicacao por i em (V R)C e G = EF .


Passando agora as algebras de Lie, uma estrutura complexa J em uma algebra deLie real g e dita adaptada se ela comuta com ad(X) para todo X ∈ g, isto e, se

[JX, Y ] = [X, JY ] = J [X, Y ] (12.2)

para todo X, Y ∈ g. Uma estrutura complexa adaptada satisfaz a condicao mais fraca

[JX, JY ] = −[X, Y ] (12.3)

para todo X, Y ∈ g. Em geral a condicao (12.3) nao implica (12.2). E claro que se aestrutura complexa e dada pela multiplicacao por i de uma algebra complexa, entaoela e adaptada. Reciprocamente, definindo a multiplicacao por escalares complexosatraves de J , g passa a ser uma algebra de Lie complexa.

Na analise dos subespacos reais de uma algebra complexa g, as conjugacoes queinteressam sao aquelas que satisfazem

[σX, σY ] = σ[X, Y ]. (12.4)

Uma transformacao antilinear inversıvel de g que satisfaz (12.4) e chamada de antiau-tomorfismo. Um antiautomorfismo de g e claramente um automorfismo da realificadagR. Alem do mais, o subespaco real dos pontos fixos para um antiautomorfismo e umasubalgebra do realificado de g, pois se X e Y sao fixos por σ, entao (12.4) mostra deimediato que [X, Y ] tambem e fixo por σ. Dessa forma, dado um antiautomorfismo emg, a algebra real

g0 = X ∈ g : σ(X) = X

tem por complexificada a algebra complexa g.

Definicao 12.3 Seja g uma algebra complexa. Uma forma real de g e uma subalgebrag0 de gR que e o subespaco dos pontos fixos de uma conjugacao σ que satisfaz (12.4).Se isso ocorre, g e o complexificado de g0.

Exemplos:

1. Se g e uma algebra real e gC sua complexificada, entao a conjugacao usual emgC tem g como subalgebra dos pontos fixos. Por exemplo, seja a conjugacaoA 7→ A em sl(n,C) dada pela conjugacao usual de numeros complexos. Entao, asubalgebra dos pontos fixos e sl(n,R).

2. Em sl(n,C), seja σ dada por σ(A) = −At. Entao, σ e um antiautomorfismo. Aalgebra de seus pontos fixos e

su(n) = A ∈ sl(n,C) : A = −At,

que e, portanto, uma forma real de sl(n,C). 2


Dada uma algebra real g, associa-se a ela sua complexificada gC e a correspondenterealificacao (gC)R. Por simplicidade de notacao, essa ultima algebra sera denotada porgρ. Como foi mencionado no capıtulo 3, a forma de Cartan-Killing de g coincide coma restricao a g da forma de Cartan-Killing de gC. A proposicao seguinte relaciona asformas de Cartan-Killing de gC e de sua realificada gρ.

Proposicao 12.4 Seja h uma algebra complexa e sejam 〈·, ·〉 e 〈·, ·〉ρ as formas deCartan-Killing de h e hR, respectivamente. Entao, para X, Y ∈ h,

〈X, Y 〉ρ = 2 Re〈X, Y 〉,

onde Re significa a parte real de um numero complexo.

Demonstracao: Como a forma de Cartan-Killing e dada pelo traco de

T = ad(X) ad(Y ),

a proposicao e consequencia do seguinte lema. 2

Lema 12.5 Seja V um espaco vetorial complexo, V R seu realificado e T : V → Vuma transformacao linear. Denote por TR a mesma transformacao so que vista comotransformacao linear de V R. Entao,

trTR = 2 Re (trT ) .

Demonstracao: Seja β =v1, . . . , vn uma base de V . Entao,

βρ = v1, . . . , vn, iv1, . . . , ivn

e base de V R. Se A e a matriz de T na base β, entao uma verificacao simples mostraque a matriz de TR na base βρ e dada por(

B −CC B

),

onde B e C sao a parte real e imaginaria de A, respectivamente. Isso mostra quetrTR = 2 trB. Mas trB e exatamente a parte real de trA, mostrando o lema. 2

A proposicao anterior mostra de imediato que 〈·, ·〉 nao e degenerada se isso ocorrercom 〈·, ·〉ρ. Vice-versa, se 〈·, ·〉 nao e degenerada, entao, dado X ∈ h, existe Y ∈ h talque 〈X, Y 〉 6= 0 e se 〈X, Y 〉 e puramente imaginario, entao 〈X, iY 〉 e real, o que mostraque 〈·, ·〉ρ nao e degenerada.

Portanto, uma algebra complexa e semi-simples se e so se sua realificada tambem e.Dessa forma, tomando g, gC e gρ como acima, se uma dessas algebras for semi-simples,o mesmo ocorre com as demais. Isso nao garante, no entanto, que se uma delas forsimples as outras tambem sao.


Quanto a isso, se gC e simples, entao g tambem e simples. Isso porque os ideaisproprios de g se complexificam em ideais proprios de gC (veja capıtulo 3). A recıproca,no entanto, nao vale em geral. Existem algebras reais simples cujas complexificadasse decompoem como soma de ideais proprios. Como existem tambem algebras reaissimples cujas complexificadas sao simples, isso separa essas algebras em duas classes:

Definicao 12.6 Uma algebra real g e do

tipo I se sua complexificada gC e simples e do

tipo II se sua complexificada gC nao e simples.

As algebras do tipo I sao as formas reais das algebras simples complexas. Boa parteda teoria e desenvolvida com o objetivo de determinar essas formas reais. Ja as algebrasdo tipo II sao as realificadas das algebras simples complexas, como sera provado logomais.

Proposicao 12.7 Seja h uma algebra complexa. Entao, h e simples se e so se hR esimples.

Demonstracao: Para mostrar que hR e simples se h o for, e suficiente mostrar queos ideais de hR sao invariantes pela estrutura complexa J , pois entao esses ideais saosubespacos complexos e, portanto, ideais de h. Seja, entao, i um ideal de hR. Como hR

e semi-simples, i tambem e semi-simples e, portanto, [i, i] = i. Daı que

J i = J [i, i] = [i, J i],

pois J e uma estrutura complexa adaptada. Mas como i e ideal, o ultimo membrodessas igualdades esta contido em i, o que mostra que i e invariante por J e, portanto,um ideal de h.

Reciprocamente, os ideais de h, quando realificados, dao ideais de hR. O que mostraque h e simples se hR o for. 2

Esta proposicao mostra em particular que gρ e uma algebra real simples se g fordo tipo I. Para mostrar que as algebras do tipo II sao precisamente as realificadas dasalgebras simples complexas, e necessario mostrar um criterio semelhante para essasalgebras.

Proposicao 12.8 Seja h uma algebra complexa simples e denote por hC o complexi-ficado do realificado de h, isto e, hC = (hR)C. Entao, hC se decompoe como soma dedois ideais simples

hC = i1 ⊕ i2

isomorfos a h.


Demonstracao: Seja J a estrutura complexa em hR. Entao, como foi visto acima,os auto-espacos de J decompoem hC na soma direta

hC = hi ⊕ h−i .

Sejam v ∈ hi e w ∈ hC. Entao, pelo fato de que J e adaptada,

J [w, v] = [w, Jv] = i[w, v]

e, portanto, [w, v] ∈ hi, o que mostra que hi e um ideal. Da mesma forma, h−itambem e um ideal. Como os elementos de h±i sao autovetores associados a autovalorescomplexos, h±i ∩ h = 0. Esses ideais sao algebras complexas de mesma dimensao queh. Para verificar os isomorfismos, seja φ : hR → hC a aplicacao dada por

φ(X) =1

2(X − iJ(X)).

(No segundo membro i e o imaginario de hC enquanto que J e a transformacao linearde hR, que e a multiplicacao pelo imaginario de h). Nao e difıcil verificar que φ, vistacomo aplicacao de h a valores em hC, e linear sobre os complexos. Alem do mais, aimagem de φ esta contida em hi, ja que, para todo X ∈ h,

2J(φ(X)) = J(X − iJX)= (JX − iX)= i(X − iJX),

pois J2 = −1, o que mostra que φ(X) ∈ hi. O fato de que h−i ∩ h = 0 implica que φe injetora, pois se φ (X) = 0, entao J (X) = −iX. Portanto, para concluir que h e hisao isomorfas, e suficiente mostrar que φ : h → hC e um homomorfismo. Aqui entranovamente o fato de que J e estrutura complexa adaptada:

4[φX, φY ] = [X − iJX, Y − iJY ]= [X, Y ]− i[X, JY ]− i[JX, Y ]− [JX, JY ]= 2[X, Y ]− 2iJ [X, Y ]= 4φ[X, Y ]

e, portanto, φ e homomorfismo e hi e isomorfa a h. De maneira semelhante, X 7→(X + iJX) /2 define um isomorfismo entre h e h−i, concluindo a demonstracao da pro-posicao. 2

Reciprocamente,

Proposicao 12.9 Seja g uma algebra real simples e suponha que gC se decomponhacomo soma de ideais simples

gC = i1 ⊕ i2

isomorfos entre si. Entao, g = hR para alguma algebra complexa simples h e os ideaissao isomorfos a h.


Demonstracao: A demonstracao consiste em construir uma estrutura complexaadaptada J em g. A construcao dessa estrutura complexa e inspirada nos isomorfismosentre h e h±i da proposicao anterior. Como h−i e o conjugado de hi, a primeira coisaa ser feita e substituir i2, por exemplo, pelo conjugado de i1 na decomposicao de gCem soma direta de ideais. Para isso, seja σ a conjugacao de gC em relacao a g. Entao,σ(i1) e um ideal, de mesma dimensao que i1, que satisfaz

gC = i1 ⊕ σ(i1).

De fato, i1 ∩ g = 0, pois essa intersecao e um ideal de g, que e simples, portanto i1 ∩ ge 0 ou g. Porem, i1 e um subespaco complexo e daı que i1 ∩ g = g implica que i1 = gC,contradizendo o fato de que i2 e isomorfo a i1. Da mesma maneira, i1 ∩ ig = 0 o que,juntamente com i1 ∩ g = 0, implica que i1 ∩ σ(i1) = 0. Como as dimensoes de σ(i1) ei1 sao as mesmas, gC e a soma direta de i1 com σ(i1). Alem do mais, o fato de que σ eum antiautomorfismo mostra que σ(i1) e um ideal de gC.

Agora, X ∈ g se escreve de maneira unica como

X = X1 +X2 X1 ∈ i1, X2 ∈ σ (i1) .

Mas σ(X) = X e, portanto, σ(X1) = X2 e σ(X2) = X1. Dito isso, define-se J comosendo multiplicacao por i em i1 e por −i em σ(i1), isto e,

J(X) = i(X1 −X2). (12.5)

Como σ(J(X)) = −i(σ(X1)− σ(X2)), J(X) e invariante por σ e, portanto, esta em g.A decomposicao de J(X) como soma de elementos de i1 e σ(i1) e dada por 12.5. Dessaexpressao, segue-se que

J2(X) = i(iX1 + iX2) = −X

e, portanto, J e uma estrutura complexa em g. Por fim, ela e adaptada, pois se Y ∈ g,entao [Y,X1] ∈ i1 e [Y,X2] ∈ σ(i1) e daı que

[Y, JX] = i([Y,X1]− [Y,X2])= J [Y,X].

Isso mostra que g e o realificado de uma algebra complexa h que e necessariamentesimples, pois g e simples. O isomorfismo entre os ideais e h se demonstra, entao, comona proposicao anterior. 2

As proposicoes anteriores caracterizam as realificadas das algebras complexas sim-ples como somas de ideais simples. Como consequencia dessa caracterizacao e possıvelmostrar que essas sao exatamente as algebras do tipo II.

Theorem 12.10 Seja g uma algebra real simples. Entao, g e do tipo II se e so seg = hR para alguma algebra complexa simples h.


Demonstracao: Pela proposicao 12.8, g e do tipo II se ela e o realificado de umaalgebra complexa. Por outro lado, suponha que g e do tipo II e seja gC sua complexi-ficada e σ a conjugacao em relacao a g. Seja i1 um ideal simples de gC. Entao, σ(i1)tambem e simples e como g e simples, os mesmos argumentos da demonstracao daproposicao 12.9 mostram que i1 ∩ σ(i1) = 0. Portanto, i = i1 ⊕ σ(i1) e um ideal degC. Tomando um ideal j complementar a i em gC, pode-se fazer uma decomposicaosemelhante, e assim sucessivamente obter

gC = (i1 ⊕ σ(i1))⊕ · · · ⊕ (is ⊕ σ(is))

com ik, k = 1, . . . , s ideais simples. Seja jk = (ik ⊕ σ(ik)) ∩ g. Entao, jk e ideal de g e

g = j1 ⊕ · · · ⊕ js .

De fato, X ∈ g se escreve de maneira unica como

X = X1 + · · ·+Xs Xk ∈ ik ⊕ σ(ik).

Aplicando σ a ambos os membros dessa igualdade e usando o fato de que tanto Xquanto ik ⊕ σ(ik) sao invariantes por σ, conclui-se que σ(Xk) = Xk, isto e, Xk ∈ jk,o que mostra que g se decompoe na soma direta acima. No entanto, g e simples e,portanto, s = 1. A ultima proposicao mostra, entao, que g e o realificado de umaalgebra complexa simples. 2

O resumo e a seguinte classificacao preliminar das algebras reais simples.

Theorem 12.11 Seja g uma algebra real simples. Entao, g e

I) uma forma real de uma algebra complexa simples, ou

II) g e o realificado de uma algebra complexa simples.

O complexificado de uma algebra do tipo I e simples e o de uma algebra do tipo IIse decompoe como soma de dois ideais simples isomorfos entre si.

Exemplo: Para ilustrar a decomposicao do complexificado de uma algebra de tipoII, seja g o realificado de sl(n,C). Evidentemente, gC e isomorfo a sl(n,C)⊕ sl(n,C).Existem diversas realizacoes naturais desta algebra como algebra de matrizes. Umadelas e a seguinte: uma matriz complexa α se escreve como α = A + iB com A eB reais. Identificando Cn com R2n, α define uma transformacao linear em R2n cujamatriz se escreve em blocos n× n como

α =

(A −BB A

), (12.6)

A algebra das matrizes 2n × 2n deste tipo e a realificada g de sl(n,C). Isso forneceuma representacao de g como algebra de matrizes reais. A complexificada de g e a


algebra das matrizes da forma (12.6) com A e B complexas. A estrutura complexa Je dada por multiplicacao por i em α. Traduzindo isso para as matrizes 2n× 2n comoem (12.6):

J

(A −BB A

)=

(−B −AA −B

).

A decomposicao do complexificado gC em algebras isomorfas a sl(n,C) e dada pelosauto-espacos gi e g−i associados aos autovalores i e −i de J , respectivamente. Umcalculo simples mostra que gi e o espaco das matrizes do tipo(

γ iγ−iγ γ

)com γ matriz complexa n× n de traco zero enquanto que g−i e o espaco das matrizesdo tipo (

γ −iγiγ γ

)com γ ∈ sl (n,C). Estas duas algebras complexas sao isomorfas a sl(n,C). 2

12.2 Formas reais compactas

Como foi mencionado na introducao a este capıtulo, existe uma classe especial de formasreais das algebras semi-simples que sao as formas reais compactas. Existe uma bijecaoentre este tipo de algebra semi-simples real e as algebras semi-simples complexas; asoutras formas reais sao descritas por intermedio de suas intersecoes com as formas reaiscompactas.

Definicao 12.12 Uma algebra de Lie sobre R e dita compacta se sua forma de Cartan-Killing e negativa definida.

E claro que as algebras compactas sao semi-simples, pois suas formas de Cartan-Killing nao sao degeneradas. O termo compacto usado para essas algebras tem umsignificado topologico. Uma algebra semi-simples real e a algebra de Lie de um grupode Lie compacto se e so se ela e compacta no sentido da definicao acima. Isso porque,num grupo compacto, as medidas de Haar sao finitas, o que acarreta que gruposcompactos se representam como grupos de transformacoes ortogonais em relacao aalgum produto interno. Em particular, a representacao adjunta admite um produtointerno invariante, o que implica que a forma de Cartan-Killing e negativa definida.

O objetivo desta secao e demonstrar o seguinte teorema fundamental sobre as formasreais compactas.

Theorem 12.13 Toda algebra semi-simples complexa admite formas reais compactas.Se u1 e u2 sao formas reais compactas de g, entao existe um automorfismo de φ de gtal que φ(u1) = u2 e, portanto, as formas reais compactas sao isomorfas entre si.

12.2. Formas reais compactas 343

A demonstracao deste teorema requer diversos resultados auxiliares. O primeiropasso consiste em construir uma forma real compacta.

Seja g uma algebra complexa semi-simples e h uma subalgebra de Cartan, cujoconjunto de raızes e Π, e seja Σ um sistema simples em Π. O conceito central naconstrucao de uma forma real compacta e o de base de Weyl . Essa e uma base de gformada por Hα, α ∈ Σ e Xα ∈ gα, α ∈ Π, que satisfaz

• [Xα, X−α] = Hα e

• [Xα, Xβ] = mα,βXα+β com mα,β = 0 se α + β nao e raiz e tal que

mα,β = −m−α,−β,

o que implica que mα,β e real, como sera verificado abaixo.

A existencia de bases de Weyl sera mostrada logo mais. Dada uma base dessas,seja u o subespaco real gerado por

iHα Xα −X−α i(Xα +X−α) (12.7)

com α percorrendo o conjunto Π+ das raızes positivas. Entao, u e uma forma realcompacta. De fato,

1. g = u+ iu, pois Hα e Xα podem ser escritos como combinacoes lineares de (12.7)com coeficientes complexos.

2. u e uma subalgebra real. De fato, usando a notacao Aα = Xα − X−α e Sα =i(Xα + X−α) com Aα = Sα = 0 se α nao e raiz, os colchetes entre os elementosdo conjunto gerador sao

[iHα, Aβ] = β(Hα)Sβ[iHα, Sβ] = −β(Hα)Aβ,

se α e β sao raızes quaisquer. E, se α 6= β, entao usando que mα,β = −m−α,−β,

[Aα, Aβ] = mα,βAα+β +m−α,βAα−β[Sα, Sβ] = −mα,βAα+β −mα,−βAα−β[Aα, Sβ] = mα,βSα+β +mα,−βSα−β.

Por fim,

[Aα, Sα] = 2iHα.

Esses colchetes mostram que u e uma subalgebra real, pois mα,β e β (Hα) saoreais.


3. u e compacta. Isso porque a forma de Cartan-Killing de u coincide com a restricaoda forma de Cartan-Killing 〈·, ·〉 de g, ja que u e uma forma real. Alem do mais, seduas raızes nao sao opostas, os espacos de raızes correspondentes sao ortogonais.Daı que, usando a notacao acima,

〈iHα, Aβ〉 = 〈iHα, Sβ〉 = 〈Aα, Sβ〉 = 0.

Portanto, se hR denota o subespaco de h gerado por Hα;α ∈ Π e H1 . . . , Hle uma base ortogonal de hR, o conjunto

iH1, . . . , iHl

juntamente com Aα, Sα;α ∈ Π+ forma uma base ortogonal de u. Agora,〈iHj, iHj〉 = −〈Hj, Hj〉 < 0, pois a forma de Cartan-Killing restrita a hR epositiva definida. Alem do mais,

〈Aα, Aα〉 = 〈Xα −X−α, Xα −X−α〉= −2,

pois [Xα, X−α] = Hα e, portanto, 〈Xα, X−α〉 = 1. Da mesma forma, 〈Sα, Sα〉 =−2 o que mostra que a forma de Cartan-Killing de u e negativa definida.

Com isso, fica construıda, a partir de uma base de Weyl, uma forma real compactade g. Essa construcao mostra de imediato que o subespaco ihR e uma subalgebra deCartan de u. Alem do mais, se k e s denotam respectivamente os subespacos geradospor Hα, Aα e Sα, α ∈ Π, entao

[k, k] ⊂ k [k, s] ⊂ s [s, s] ⊂ k.

Em particular, k e uma subalgebra de u.A construcao da forma real compacta e inspirada na algebra unitaria que e uma

forma real compacta de sl(n,C) como e mostrado no exemplo seguinte.

Exemplo: O conjunto formado por Ejk, j 6= k e Ejj − Ekk, j < k e uma base desl(n,C). Ela e um multiplo inteiro de uma base de Weyl associada a subalgebra deCartan h das matrizes diagonais. Por isso, a construcao acima, se feita com essa base,fornece tambem uma forma real compacta. Ela e gerada pelas matrizes i(Ejj − Ekk),Ejk −Ekj e i(Ejk +Ekj) e, portanto, ela e formada pelas matrizes complexas de tracozero cujas partes reais sao anti-simetricas e cujas partes imaginarias sao simetricas.Portanto, essa forma real compacta e a algebra su(n) das matrizes anti-hermitianas detraco zero. E claro que uma base de Weyl e uma generalizacao dessa base de su(n)com Xα desempenhando o papel de Ejk, j < k. 2

O objetivo agora e mostrar a existencia de bases de Weyl. Para isso, sera usado oteorema 8.8 do capıtulo 8 e os lemas a ele relacionados. O que precisa ser mostrado eque e possıvel encontrar Xα ∈ gα, α ∈ Π, de tal forma que

mα,β = −m−α,−β . (12.8)


Essa igualdade garante automaticamente que mα,β e real, pois, pelo lema 8.5,

mα,βm−α,−β = −q(p+ 1)〈α, α〉

2< 0.

Assim, (12.8) implica que m2α,β > 0 e, portanto, mα,β e real.

Lema 12.14 Existem Xα ∈ gα, α ∈ Π com 〈Xα, X−α〉 = 1 e tal que se mα,β e definidopor

[Xα, Xβ] = mα,βXα+β ,

entao mα,β = −m−α,−β.

Demonstracao: O teorema 8.8 garante que existe um automorfismo de g que restritoa h e −1, ja que esta transformacao linear de h deixa invariante o conjunto das raızesde h. Seja φ esse automorfismo. Entao, φ(gα) = g−α e, portanto, escolhendo Yα ∈ gα,α ∈ Π com 〈Yα, Y−α〉 = 1,

φ(Yα) = kαY−α

para algum complexo kα 6= 0. Como a forma de Cartan-Killing e invariante por φ,〈φYα, φY−α〉 = 〈Yα, Y−α〉 = 1 e daı que kαk−α = 1. Pretende-se encontrar Xα da forma

Xα = xαYα

satisfazendo as condicoes do enunciado. Em primeiro lugar,

〈Xα, X−α〉 = xαx−α〈Yα, Y−α〉 = xαx−α

e, portanto, xα deve ser tomado de tal forma que xαx−α = 1. Por outro lado, se forpossıvel escolher xα tal que φ(Xα) = −X−α, entao

m−α,−βX−(α+β) = [−X−α,−X−β]= φ([Xα, Xβ])= mα,βφ(Xα+β)= −mα,βX−(α+β) ,

obtendo a relacao desejada entre mα,β e m−α,−β. Agora,

φ(Xα) = xαφ(Yα)

=xαx−α

kαX−α

e, portanto, tomando xα tal que

xαx−α = 1 e x2α = −kα ,

Xα satisfaz as condicoes desejadas. Essa escolha de xα e possıvel, pois kαk−α = 1, oque conclui a demonstracao do lema. 2


Com este lema, fica demonstrada a existencia de bases de Weyl associadas a subal-gebras de Cartan justificando a construcao da forma real compacta.

A unicidade da forma real compacta e consequencia do teorema 12.18 a seguir,que e de interesse tambem para as decomposicoes de Cartan das formas reais nao-compactas, que serao discutidas posteriormente. Antes de enuncia-lo, sao necessariosos seguintes comentarios adicionais. Se g0 e uma forma real da algebra complexa g e φe um automorfismo de g, entao g = φg0 + iφg0, o que mostra que φg0 tambem e umaforma real de g. Alem do mais, e imediato verificar que se σ e a conjugacao de g emrelacao a g0, entao a conjugacao em relacao a φg0 e dada por φσφ−1.

Seja g1 outra forma real com conjugacao σ1. Entao, g0 e invariante por σ1 se e so seσ e σ1 comutam e se isso acontece, entao g1 e invariante por σ. De fato, suponha queσ e σ1 comutem. Entao, dado X ∈ g0, σ(σ1(X)) = σ1(σ(X)) = σ1(X), o que mostraque σ1(X) e fixado por σ, isto e, σ1(X) ∈ g0. Vice-versa, tomando Z = X + iY ∈ gcom X, Y ∈ g0,

σ1σ(Z) = σ1(X − iY )= σ1(X) + iσ1(Y ),

pois σ1 e antilinear. Por outro lado,

σσ1(Z) = σ(σ1(X)− iσ1(Y ))= σ1(X) + iσ1(Y ),

pois σ1 deixa g0 invariante. Em suma, as conjugacoes comutam se e so se a forma realdeterminada por uma delas e invariante pela outra.

O interesse em conjugacoes que comutam e, portanto, que deixam invariante asformas reais correspondentes vem da seguinte decomposicao dada pela intersecao dasalgebras.

Proposicao 12.15 Sejam g0 e g1 formas reais de g com conjugacoes σ e σ1 respecti-vamente e tais que σσ1 = σ1σ. Entao,

g1 = (g1 ∩ g0)⊕ (g1 ∩ ig0).

Demonstracao: Seja Z ∈ g1. Entao, Z se escreve de maneira unica como

Z = X + iY X, Y ∈ g0. (12.9)

Aplicando σ1 a essa igualdade,

Z = σ1(Z) = σ1(X)− iσ1(Y ),

pois σ e antiautomorfismo. Como as conjugacoes comutam, σ1 (X) e σ1 (Y ) estao emg0 e, portanto, σ1 (X) = X e σ1 (Y ) = −Y , pois a decomposicao (12.9) e unica. Issomostra que X ∈ g1 e Y ∈ ig1, isto e, iY ∈ g1. 2

Uma consequencia desta proposicao e o seguinte criterio para decidir se duas alge-bras compactas coincidem.


Lema 12.16 Sejam u1 e u2 formas reais compactas. Entao, elas coincidem se e so sesuas conjugacoes comutam.

Demonstracao: Se as conjugacoes comutam, a proposicao anterior garante que

u2 = (u2 ∩ u1)⊕ (u2 ∩ iu1).

Seja X ∈ u2 ∩ iu1. Entao, X = iY com Y ∈ u1 e, portanto,

0 ≥ 〈X,X〉 = −〈Y, Y 〉 ≥ 0,

pois as formas de Cartan-Killing de u1 e u2 sao negativas definidas. Isso mostra queX = 0 e, portanto, que u1 = u2. 2

Lema 12.17 Seja σ a conjugacao em relacao a uma forma real compacta u da algebracomplexa g. Entao, a expressao

Hσ(X, Y ) = −〈X, σY 〉

define uma forma hermitiana em g.

Demonstracao: E claro que Hσ se distribui em relacao a soma e e linear em X.Alem do mais, dados X, Y ∈ g e z ∈ C,

Hσ(X, zY ) = −〈X, σ(zY )〉= zHσ(X, Y ),

pois σ e antilinear. Por fim, escrevendo Z ∈ g como Z = X + iY , X, Y ∈ u,

Hσ(Z,Z) = −〈X + iY,X − iY 〉= −〈X,X〉 − 〈Y, Y 〉,

de onde se ve que Hσ(Z,Z) > 0 se Z 6= 0. 2

Theorem 12.18 Sejam g uma algebra semi-simples complexa e u uma forma real com-pacta de g. Seja tambem g0 uma forma real qualquer de g e denote por σ a conjugacaocorrespondente. Entao, existe um automorfismo interno φ de g tal que σ comuta coma conjugacao em relacao a forma real compacta φ(u).

Demonstracao: Seja τ a conjugacao em relacao a u. Deve ser encontrado umautomorfismo φ tal que φτφ−1 comuta com σ. Esse automorfismo sera construıdo apartir de τσ atraves dos seguintes passos.


1. ψ = στ e um automorfismo diagonalizavel da algebra complexa g. De fato, ψ eum automorfismo, pois e a composta de dois antiautomorfismos. Por outro lado,a forma Hτ em g definida por

Hτ (X, Y ) = −〈X, τY 〉

e hermitiana, pois τ e a conjugacao em relacao a uma forma real compacta.Entao, pelo fato de que ψ e automorfismo,

Hτ (ψ−1X, Y ) = −〈ψ−1X, τY 〉

= −〈X,ψτY 〉= −〈X, σY 〉= Hτ (X,ψ

−1Y )

e, portanto, ψ−1 e hermitiana em relacao a Hτ . Como transformacoes desse tiposao diagonalizaveis, segue-se que ψ−1 e diagonalizavel e seus autovalores sao reais.Portanto, ψ tambem e diagonalizavel com autovalores reais.

2. Seja ξ = ψ2. Entao, ξ = expA para algum A e suas potencias reais ξt = exp tA,t ∈ R sao automorfismos de g. Para ver isso, seja X1, . . . , Xn uma base de gque diagonaliza ψ. Nessa base, ξ e diagonal

ξ = diagλ1, . . . , λn

com λj real positivo. Portanto, ξ e a exponencial de uma transformacao linear.Suas potencias reais sao

ξt = diagλt1, . . . , λtn.Sejam cljk as constantes de estrutura da base que diagonaliza ψ, isto e,

[Xj, Xk] =n∑l=1

cljkXl. (12.10)

Aplicando ξ a esta igualdade e usando o fato de que ξ e um automorfismo,

λjλk[Xj, Xk] =n∑l=1

λlcljkXl .

Substituindo o colchete do primeiro membro pela combinacao linear (12.10),chega-se a

cljkλjλk = cljkλl

para todo j, k, l. Essa igualdade implica, cancelando e posteriormente multipli-cando pelas constantes de estrutura, que

cljkλtjλ

tk = cljkλ

tl ,

o que mostra de imediato que ξt e automorfismo para todo t ∈ R.


3. φ =ξ1/4 e o automorfismo desejado. De fato, como ψ = στ , τψτ−1 = τσ = ψ−1.Portanto, τξτ−1 = ξ−1, isto e, τξ = ξ−1τ . Tomando a matriz (ajk) de τ na baseque diagonaliza ξ, essa ultima igualdade significa que ajkλk = ajkλ

−1j para todo

j, k. Dividindo por ajk, exponenciando por t e multiplicando novamente por ajk,obtem-se ajkλ

tk = ajkλ

−tj . Isso implica que τξt = ξ−tτ para todo t ∈ R. Agora,

seja τ 1 = φτφ−1 a conjugacao da forma real compacta φ(u). Entao,

στ 1 = σξ1/4τξ−1/4

= στξ−1/2

= ψξ−1/2

e, como ξ = ψ2, a matriz de στ 1 e diagonal e suas entradas sao ±1 com o sinalde acordo com o sinal da entrada correspondente de ψ. Da mesma forma,

τ 1σ = ξ1/2τσ

= ξ1/2ψ−1

que tem a mesma matriz que στ 1. Portanto, σ e τ 1 comutam.

Com isso, fica demonstrado o teorema. 2

Juntando este teorema ao lema 12.16, obtem-se a “unicidade” das formas reaiscompactas.

Corolario 12.19 Sejam u1 e u2 formas reais compactas de g. Entao, existe um auto-morfismo φ de g tal que φ (u1) = u2.

Como ficou claro na secao anterior, existem algebras complexas que nao sao simplese que admitem formas reais simples (as complexificadas das algebras de tipo II). Essasformas reais nao sao compactas, como segue da proposicao seguinte.

Proposicao 12.20 Uma algebra complexa g e simples se e so se sua forma real com-pacta u e simples. Se g e semi-simples e se decompoe em ideais simples como

g = g1 ⊕ · · · ⊕ gs,

entao u = u1 ⊕ · · · ⊕ us e uma forma real compacta de g se uj e forma real compactade gj.

Demonstracao: E claro, u e simples se g o for. Reciprocamente, suponha que useja simples do tipo II. Entao, u = hR para alguma algebra simples complexa h. Sejav a forma real compacta de h. Entao, h = v ⊕ iv e, como v e compacta, a forma deCartan-Killing de h restrita a iv e positiva definida. E isso contradiz o fato de que ue compacta, pois a forma de Cartan-Killing da realificada e o dobro da parte real daforma de Cartan-Killing da algebra complexa. Portanto, u e do tipo I o que mostraque sua complexificada e simples.


Quanto a segunda afirmacao, u e claramente uma forma real e e compacta, pois osideais simples na decomposicao de g sao dois a dois ortogonais em relacao a forma deCartan-Killing. 2

Essa proposicao mostra que as algebras compactas simples sao do tipo I. Ela mostratambem que o conjunto das classes de equivalencia das algebras compactas esta embijecao com o das classes de equivalencia das algebras complexas semi-simples com abijecao sendo dada, por um lado, por complexificacao e, por outro lado, pela construcaodas formas reais compactas como foi feito acima.

A bijecao entre as algebras semissimples complexas e as compactas serve tambempara revelar a estrutura dessas ultimas. De fato, pela construcao das formas reaiscompactas, elas sao escritas como

u = ihR ⊕∑α

kα,

onde kα e o subespaco de u gerado por Aα e Sα. Dessa forma, uma base de Weyl deuC fornece uma base de u formada por elementos de ihR e por Aα, Sα, com α variandoao longo das raızes positivas. As constantes de estrutura dessa base sao dadas pelosseguintes colchetes, onde H ∈ hR,

• [iH,Aα] = α(H)Sα

• [iH, Sα] = −α(H)Aα

• [Aα, Aβ] = mα,βAα+β +m−α,βAα−β

• [Sα, Sβ] = −mα,βAα+β −mα,−βAα−β

• [Aα, Sβ] = mα,βSα+β +mα,−βSα−β

• [Aα, Sα] = 2iHα

com os demais colchetes iguais a zero.Por fim, as formas reais compactas das algebras classicas sao:

1. Como foi visto, su(n) e uma forma real compacta de sl(n,C).

2. Uma forma real compacta de so(n,C), n ≥ 3, e so(n,R). Essa algebra e evi-dentemente uma forma real. Para ver que ela e compacta, usa-se o fato deque os autovalores de uma matriz anti-simetrica real sao puramente imaginarios.Alem do mais, os complexificados dessas matrizes sao diagonalizaveis. Dessaforma, ad(A) em so(n,C) e diagonalizavel e os autovalores sao imaginarios pu-ros se A ∈ so(n,R). Por isso, tr ad(A)2 ≤ 0, o que mostra que a forma deCartan-Killing de so(n,R) e negativa semidefinida. Mas ela e nao-degenerada,pois essa algebra e uma forma real de uma algebra semi-simples. Assim, a formade Cartan-Killing e negativa definida mostrando que so(n,R) e uma algebra com-pacta. Essas algebras sao simples se n 6= 4 e so(4,R) e isomorfa a su(2)⊕ su(2),pois so(4,C) ≈ sl(2,C)⊕ sl(2,C).

12.3. Decomposicoes de Cartan 351

3. Tomando a subalgebra de Cartan canonica de sp(n,C) e construindo a formareal compacta como foi feito acima a partir de uma base de Weyl, ve-se que umaforma real compacta dessa algebra e a subalgebra das matrizes anti-hermitianasem sp(n,C). Essa algebra e denotada por sp (n):

sp (n) = sp(n,C) ∩ su(2n)

e seus elementos sao da forma (A −CC A

)com A anti-hermitiana n× n e C simetrica.

12.3 Decomposicoes de Cartan

A proposicao 12.15, juntamente com o teorema 12.18, permite decompor uma formareal qualquer de uma algebra semissimples complexa a partir de sua intersecao comuma forma real compacta. Essa decomposicao e fundamental no estudo das algebrassemissimples reais nao-compactas.

Seja g0 uma forma real nao-compacta da algebra semi-simples complexa g e σa conjugacao correspondente. Seja tambem u uma forma real compacta de g comconjugacao τ . Pelo teorema 12.18, pode-se supor, sem perda de generalidade, queτσ = στ , o que significa que g0 e invariante por τ e u e invariante por σ. Assumindoisso, a proposicao 12.15 garante que

g0 = k⊕ s,

ondek = g0 ∩ us = g0 ∩ iu.

Essa decomposicao e conhecida por decomposicao de Cartan de g0. E claro que adecomposicao depende da escolha da forma real compacta u. No entanto, como seraverificado adiante, duas decomposicoes de Cartan de uma algebra semi-simples real g0

sao obtidas uma da outra por um automorfismo de g0.Como u e subalgebra, [u, iu] ⊂ iu e [iu, iu] ⊂ u. Essas inclusoes mostram que os

colchetes entre os elementos da decomposicao de Cartan satisfazem

[k, k] ⊂ k [k, s] ⊂ s [s, s] ⊂ k (12.11)

e, portanto, k e uma subalgebra, cuja representacao adjunta deixa s invariante e s naoe subalgebra, pois, caso contrario, [s, s] = 0 e s seria um ideal abeliano contradizendoo fato de que g0 e semi-simples.

A subalgebra k e a componente compacta da decomposicao de Cartan. A razao paraesse termo e que, em boa parte dos casos, k e de fato uma algebra compacta e, nos


casos em que isso nao ocorre, k e redutıvel e sua componente semissimples e compacta(dessa forma k esta sempre associada a grupos de Lie compactos).

Como as formas reais, as decomposicoes de Cartan tambem sao descritas por in-volucoes das algebras reais. Por um lado, seja τ a conjugacao de g em relacao a formareal compacta u e θ sua restricao a g0, o que e possıvel, pois g0 e invariante por τ .Entao, θ e uma involucao de g0 e

θ(X) = X se X ∈ k θ(Y ) = −Y se Y ∈ s.

Como τ e um antiautomorfismo de g, θ e um automorfismo de g0. Alem do mais, sejaBθ a forma bilinear em g0 definida por

Bθ(X, Y ) = −〈X, θY 〉. (12.12)

Entao, Bθ e positiva definida, isto e, e um produto interno como segue do lema 12.17,pois Bθ e a restricao de Hτ a g0, ja que a forma de Cartan-Killing de g0 e a restricaoda forma de Cartan-Killing de g.

Reciprocamente, seja θ um automorfismo involutivo da forma real nao-compactag0 tal que Bθ definido como em (12.12) e um produto interno. Entao, θ determinauma decomposicao de Cartan da seguinte forma: como θ2 = 1, g0 se decompoe nosauto-espacos

V1 = X : θ(X) = Xe

V−1 = Y : θ(Y ) = −Y .Pondo k = V1 e s = V−1, g0 = k ⊕ s e uma decomposicao de Cartan. De fato, comk e s dessa forma, as relacoes (12.11) sao satisfeitas, pois θ e um automorfismo (porexemplo: se X ∈ k e Y ∈ s, entao θ[X, Y ] = [θX, θY ] = −[X, Y ], o que mostra que[X, Y ] ∈ s). Dessa forma, definindo u por

u = k⊕ is,

u e uma subalgebra. Comog = (k⊕ is)⊕ (ik⊕ s),

u e uma forma real de g. Alem do mais, como Bθ e um produto interno, a forma deCartan-Killing de g0 (e, portanto, a de g) e negativa definida em k e positiva definidaem s. Isso implica que u e uma forma real compacta. Como k = g0 ∩ u e s = g0 ∩ iu, θdefine uma decomposicao de Cartan de g0.

Em resumo,

Proposicao 12.21 Dada uma decomposicao de Cartan g = k ⊕ s, o automorfismoinvolutivo θ definido por θ (X) = X se X ∈ k e θ (Y ) = −Y se Y ∈ s e tal que a formabilinear

Bθ(X, Y ) = −〈X, θY 〉 (12.13)

e um produto interno em g. Vice-versa, dado um automorfismo θ tal que (12.13) eum produto interno, os seus auto-espacos determinam uma decomposicao de Cartan.O automorfismo θ e denominado involucao de Cartan.

12.3. Decomposicoes de Cartan 353

A involucao de Cartan θ e em princıpio um automorfismo de g, que pode, noentanto, ser complexificado a um automorfismo de gC. Como a forma real compacta ue dada por

u = k⊕ is,e claro que u e invariante pelo complexificado de θ, que por restricao define um au-tomorfismo involutivo de u. Esse automorfismo e 1 em k e −1 em is. Portanto, ainvolucao de Cartan pode ser vista tanto como um automorfismo de g quanto comoum automorfismo de u.

Exemplo: A decomposicao de Cartan e inspirada na decomposicao do espaco de ma-trizes em soma direta do espaco das matrizes anti-simetricas e das matrizes simetricas.Tomando g = sl(n,C), uma forma real compacta e u = su(n) e se g0 = sl(n,R), entaog0∩u e a subalgebra das matrizes que sao anti-hermitianas e reais, isto e, a subalgebraso(n) das matrizes anti-simetricas. Por outro lado, g0 ∩ iu e o subespaco das matri-zes reais X tais que iX e anti-hermitiana e, portanto, e o subespaco s das matrizessimetricas. Assim,

sl(n,R) = so(n,R)⊕ s

e uma decomposicao de Cartan. A involucao de Cartan correspondente e

θ(X) = −X t,

pois θ = 1 em so(n,R) e θ = −1 em s. 2

De maneira mais geral, as decomposicoes de Cartan de uma serie de algebras reaisserao obtidas, como no caso sl(n,R), por matrizes anti-simetricas e matrizes simetricas,em alguma representacao canonica da algebra. Independente disso, essa decomposicaopode ser vista de maneira intrınseca na representacao adjunta.

Proposicao 12.22 Seja g0 = k ⊕ s uma decomposicao de Cartan com involucao θ.Entao, ad(X), X ∈ k e anti-simetrica em relacao a Bθ enquanto que ad(Y ), Y ∈ s esimetrica. Alem do mais, k e s sao ortogonais tanto em relacao a forma de Cartan-Killing 〈·, ·〉 quanto a Bθ.

Demonstracao: Sejam X,Z,W ∈ g0. Entao,

Bθ([X,Z],W ) = −〈[X,Z], θW 〉= 〈Z, [X, θW ]〉= 〈Z, θ[θX,W ]〉.

Isso mostra que ad(X) e anti-simetrica se θ(X) = X e ad(Y ) e simetrica se θ(Y ) = −Y .Para a ultima afirmacao, sejam X ∈ k e Y ∈ s. Como θ e automorfismo,

〈X, Y 〉 = 〈θX, θY 〉 = −〈X, Y 〉.

Daı que 〈X, Y 〉 = 0. Da mesma forma, Bθ(X, Y ) = 〈X, Y 〉 = 0. 2


Quando a algebra semi-simples real e o realificado de uma algebra complexa, suasdecomposicoes de Cartan sao as decomposicoes da algebra complexa em partes reais eimaginarias em relacao as formas reais compactas:

Proposicao 12.23 Seja g uma algebra semi-simples complexa e u uma forma realcompacta. Entao,

gR = u⊕ iue uma decomposicao de Cartan do realificado de g.

Demonstracao: Seja θ a conjugacao de g em relacao a u. Entao, θ e um automorfismoinvolutivo de gR. Se Bθ e definido como em (12.13), entao Bθ e um produto interno.De fato, u e uma forma real compacta, portanto, como no lema 12.17, a expressao

Hθ (X, Y ) = −〈X, θY 〉,onde 〈·, ·〉 e a forma de Cartan-Killing de g, define uma forma hermitiana. Como aforma de Cartan Killing de gR e duas vezes a parte real da forma de Cartan-Killing deg, Bθ e o dobro da parte real de Hθ e, portanto, e um produto interno. Por fim, θ = 1em u e θ = −1 em iu e daı que gR = u⊕ iu e uma decomposicao de Cartan. 2

Para concluir esta secao sera demonstrado que as decomposicoes de Cartan saoconjugadas por automorfismos de g0.

Theorem 12.24 Seja g0 uma algebra semi-simples real e

g0 = k1 ⊕ s1 g0 = k2 ⊕ s2

duas decomposicoes de Cartan de g0. Entao, existe um automorfismo φ de g0 tal que

φ(k1) = k2 φ(s1) = s2 .

Demonstracao: Sejam g o complexificado de g0 e uj, j = 1, 2 as formas reaiscompactas definidas por

uj = kj ⊕ isj j = 1, 2.

Denotando por τ j a conjugacao de g em relacao a uj, o teorema 12.18 garante queexiste um automorfismo φ de g tal que τ 2 = φτ 1φ

−1 e, portanto, que φ(u1) = u2. Paramostrar o teorema, e suficiente mostrar que φ e real, isto e, φ(g0) = g0, pois se issoacontece, entao a restricao de φ e um automorfismo de g0. Como

φ(u1) = φ(k1 ⊕ is1) = φ(k1)⊕ iφ(s1),

a imagem por φ de uma decomposicao de Cartan e a outra. Para mostrar que φ e real,e necessario lembrar que na demonstracao do teorema 12.18 ela foi construıda comosendo φ =ξ1/4 onde ξ = (τ 1τ 2)2 e uma transformacao diagonalizavel. Agora, seja σa conjugacao de g em relacao a g0. Tanto τ 1 quanto τ 2 comutam com σ. O mesmoocorre, portanto, com ξ e, como ξ e diagonal, segue que φ comuta com σ. Isso garanteque g0 e invariante por φ, ja que se X ∈ g0, entao

σφ(X) = φσ(X) = φ(X)

e, portanto, φ(X) ∈ g0, concluindo a demonstracao do teorema. 2

12.4. Abelianos maximais e formas reais normais 355

12.4 Abelianos maximais e formas reais normais

Da mesma forma que com as algebras complexas, as algebras semi-simples reais sedecompoem em subespacos de pesos associados as subalgebras de Cartan. Em geral,os pesos de uma subalgebra de Cartan assumem valores complexos. Por essa razao, ateoria de sistemas de raızes, para algebras reais, nao e desenvolvida via subalgebras deCartan. Esse papel e desempenhado pelas subalgebras abelianas maximais contidas naparte simetrica de suas decomposicoes de Cartan. De maneira mais precisa, sejam guma algebra semi-simples real,

g = k⊕ s

uma decomposicao de Cartan. Seja tambem a ⊂ s uma subalgebra abeliana que emaximal no sentido em que a nao esta contida em nenhuma subalgebra abeliana contidaem s. A existencia de subalgebras desse tipo e facilmente garantida por argumentosde maximalidade, levando em conta que existem subalgebras abelianas contidas em scomo, por exemplo, os subespacos de dimensao um.

Um exemplo de uma algebra como a e a subalgebra das matrizes diagonais emsl (n,R). Nesse caso particular, a e uma subalgebra de Cartan. Isso, no entanto, naoe tıpico, pois em geral as subalgebras abelianas maximais em s nao sao de Cartan.Apesar disso, e possıvel mostrar que a esta contida em alguma subalgebra de Cartan:

Proposicao 12.25 Seja a uma subalgebra abeliana, maximal em s. Entao, existe umasubalgebra abeliana maximal h de g que contem a. A subalgebra h e de Cartan e sedecompoe em soma direta como

h = (h ∩ k)⊕ a = hk ⊕ a.

Demonstracao: A existencia de h e garantida da mesma forma que a de a. Para vera decomposicao em soma direta, seja θ a involucao de Cartan associada a decomposicaog0 = k + s. Entao, h e invariante por θ. De fato, para X ∈ h, X − θX ∈ s, pois

θ (X − θX) = − (X − θX) .

Alem do mais, para Y ∈ a,

[X − θX, Y ] = −[θX, Y ] = −θ[X, θY ] = θ[X, Y ] = 0

e, como a e maximal, isso garante que X − θX ∈ a mostrando que θX ∈ h, ja queX ∈ h. O fato de h ser invariante por θ garante a decomposicao em soma direta

h = (h ∩ k)⊕ (h ∩ s)

com h ∩ s = a, ja que a e maximal.A demonstracao de que h e Cartan e feita mostrando que se H ∈ h, entao ad(H)

e semi-simples (veja o exercıcio 3 do capıtulo 6). Para verificar que ad (H), H ∈ h esemi-simples, seja a decomposicao

H = Hk +Hs


com Hk ∈ k e Hs ∈ s. Entao, ad (Hs) e simetrica em relacao ao produto interno Bθ en-quanto que ad(Hk) e anti-simetrica. Essas transformacoes sao, portanto, semi-simples.Como elas comutam sua soma, ad(H) tambem e semi-simples, o que conclui a demons-tracao. 2

Um comentario que complementa essa proposicao e que nem sempre uma subal-gebra abeliana pode ser estendida a uma subalgebra de Cartan. Por exemplo, umelemento nilpotente numa algebra semi-simples nao pode pertencer a uma subalgebrade Cartan, ja que essas subalgebras contem apenas elementos semi-simples.

A razao para considerar a subalgebra a e para que ela desempenhe, na classificacaodas algebras reais, o mesmo papel das subalgebras de Cartan no caso dos corpos al-gebricamente fechados. Isso e feito, de maneira semelhante, considerando as raızesda representacao adjunta de a em g0. Como a ⊂ s, as adjuntas de seus elementos saosimetricas em relacao ao produto interno Bθ e daı que seus autovalores sao reais. Dessaforma, a decomposicao do complexificado de g0 em subespacos de pesos da representa-cao adjunta de a e, na verdade, uma decomposicao da propria algebra g0. Sendo assim,seja α um funcional linear (real) em a e considere o subespaco

gα = X ∈ g0 : ad(H)X = α(H)X para todo H ∈ a.

O funcional α 6= 0 e chamado de raiz restrita de g0 em relacao a a caso gα 6= 0.O funcional nulo aparece como um peso da representacao adjunta de a em g0, pois

a e uma subalgebra abeliana. O subespaco associado ao peso nulo e o centralizadorz (a) de a pois ad (H), H ∈ a, e diagonalizavel. Com isso, g0 se decompoe como

g0 = z (a)⊕∑α

gα

com α percorrendo o conjunto das raızes restritas.O centralizador z (a) e uma subalgebra e como ad(H), H ∈ a e diagonalizavel. Daı

que se h e uma subalgebra de Cartan que contem a, entao h ⊂ z (a) e, e claro, como ae abeliano maximal em s, z (a) ∩ s = a. Em geral, a inclusao de h em z (a) e propria.

O conjunto das raızes restritas e um conjunto finito de funcionais lineares em a.Por essa razao, o subconjunto

a = H ∈ a : α(H) 6= 0 para toda raiz α

e um aberto e denso de a. Por analogia ao caso complexo, um elemento de a e chamadode regular real . Se H e um elemento regular real, entao o seu centralizador e z (a) edaı que o conjunto dos elementos de s que comutam com H e exatamente a.

No proximo capıtulo as raızes restritas serao tratadas como restricoes efetivas dasraızes da complexificada hC de h. Com isso sera mostrado que o conjunto das raızesrestritas e um sistema de raızes em a, no sentido do capıtulo 9. Em geral esse sistemade raızes nao e reduzido.

Como foi feito para as algebras complexas, a ideia para classificar as algebras reais eanalisar a geometria das raızes restritas. Para que essa analise seja efetiva e necessario

12.4. Abelianos maximais e formas reais normais 357

que a escolha do abeliano maximal em s possa ser feita sem perda de generalidade. Nocaso das subalgebras de Cartan, isso foi garantido pelo fato de que essas subalgebrassao conjugadas entre si.

Essa conjugacao ocorre tambem com as subalgebras abelianas maximais de s. Essefato e mostrado na seguinte proposicao que e, mais propriamente, um resultado dateoria de grupos de Lie.

Proposicao 12.26 Sejam a e a′ duas subalgebras abelianas maximais de s. Entao,existe k ∈ K tal que ka′ = a onde K e o grupo de automorfismos gerado pelas expo-nenciais das adjuntas de elementos em k:

K = ead(X1) · · · ead(Xl) : Xj ∈ k, l ≥ 1.

Demonstracao: Um fato essencial para a demonstracao (que nao sera mostrado aqui)e que K e um subgrupo compacto do grupo das transformacoes lineares inversıveis deg0.

Dito isso, sejam H ∈ a e H ′ ∈ a′ elementos regulares reais e considere a funcao

k ∈ K 7−→ Bθ(kH′, H) ∈ R.

Essa e uma funcao contınua e, como K e compacto, ela assume um mınimo em algumk0 ∈ K. Portanto, se X ∈ k, a funcao real a valores reais dada por

t 7−→ Bθ

(et ad(X)k0H

′, H)

assume um mınimo em t = 0. Como ad(X) e anti-simetrica em relacao a Bθ, a trans-formacao linear exp (t ad(X)) e uma isometria em relacao a esse produto interno e daıque essa funcao pode ser escrita como

Bθ

(k0H

′, e−t ad(X)H).

Tomando derivadas em relacao a t em t = 0 (que e um mınimo da funcao), chega-se a

Bθ(k0H′, [X,H]) = 0,

que e o mesmo queBθ ([H, k0H

′], X) = 0, (12.14)

pois ad(H) e simetrica. Agora, sao utilizados os colchetes entre k e s. Como [k, s] ⊂ s,exp (ad(Y )) s ⊂ s para todo Y ∈ k e, portanto, ks ⊂ s para todo k ∈ K. Em particular,k0H

′ ∈ s. Por outro lado, [s, s] ⊂ k e daı que

[H, k0H′] ∈ k.

Isso, juntamente com (12.14), que garante que [H, k0H′] e ortogonal a todo X ∈ k,

implica que H e k0H′ comutam. Portanto, k0H

′ ∈ a e daı que a esta contido no cen-tralizador de k0H

′. Esse centralizador e k0a′, pois k0 e um automorfismo de g0. Assim,

a ⊂ k0a′ e daı que dim a ≤ dim a′. Por um argumento simetrico, as dimensoes de a e


a′ coincidem, mostrando que k0a′ = a. 2

Com o auxılio dessa proposicao, e possıvel mostrar diversas propriedades relacio-nadas com os subespacos abelianos maximais em s, em analogia com as subalgebrasde Cartan. Por exemplo, as subalgebras abelianas maximais sao os centralizadores ems dos elementos regulares reais e o conjunto desses elementos e denso em s, ja queesse conjunto e denso em cada subalgebra abeliana maximal e todo elemento de s estacontido numa subalgebra dessas. Alem do mais, as subalgebras abelianas maximaissao todas de mesma dimensao, o que justifica a

Definicao 12.27 O posto real de uma algebra semi-simples real e a dimensao comumdas algebras abelianas maximais contidas em s.

Em geral, o posto real de uma algebra de Lie e menor que o seu posto, ja que assubalgebras abelianas maximais em s nem sempre sao subalgebras de Cartan. Essadiferenca entre o posto e o posto real permite distinguir uma classe especial de formasreais.

Definicao 12.28 Seja g uma algebra semi-simples complexa. Uma forma real g0 de ge normal se para qualquer decomposicao de Cartan

g0 = k⊕ s

existe em s uma subalgebra de Cartan de g0. Em outras palavras, uma forma real enormal se o seu posto coincide com o seu posto real.

As formas reais normais das algebras semi-simples complexas formam o oposto dasformas reais compactas no sentido em que, por um lado, os pesos da algebra complexaassumem valores puramente imaginarios nas subalgebras de Cartan das formas reaiscompactas, enquanto que os mesmos pesos assumem valores reais nas subalgebras deCartan das formas reais normais. Da mesma maneira que as formas reais compactas,toda algebra complexa admite formas reais normais, que sao conjugadas entre si:

Proposicao 12.29 Seja g uma algebra semi-simples complexa. Entao, g admite formareal normal.

Demonstracao: Tome Xα ∈ gα de tal forma que Hα, Xα, α ∈ Π forme uma base deWeyl de g. Como as constantes de estrutura associadas a essa base sao reais, o subes-paco real g0 gerado por ela e uma forma real de g. Pela construcao feita anteriormente,o subespaco real u gerado por

iHα Xα −X−α i (Xα +X−α)

e uma forma real compacta de g e assim uma decomposicao de Cartan de g0 e dadapor

g0 = (g0 ∩ u)⊕ (g0 ∩ iu) = k⊕ s.


Nessa decomposicao, k e o subespaco gerado por Xα −X−α enquanto que s e o subes-paco gerado por Hα, Xα + X−α. A forma real g0 e normal, pois o subespaco geradopor Hα, α ∈ Π e uma subalgebra de Cartan contida em s. 2

A menos de conjugacao por um automorfismo de g, existe uma unica forma realnormal. Esse fato fica claro a partir da classificacao das formas reais das algebrassimples, que sera feita nos capıtulos subsequentes.

Exemplo: A algebra sl (n,R) e uma forma real normal de sl (n,C). Uma decom-posicao de Cartan de sl (n,R) e dada por k ⊕ s com k a subalgebra das matrizesanti-simetricas e s o subespaco das matrizes simetricas. Alem do mais, a subalgebrah das matrizes diagonais e de Cartan e esta contida em s e daı que o posto real desl (n,R) coincide com o seu posto.

A interpretacao da proposicao 12.26 a sl (n,R) fornece o resultado bastante conhe-cido de que as matrizes simetricas sao conjugadas, por matrizes ortogonais, a matrizesdiagonais. De fato, para uma matriz X, a exponencial de sua adjunta e dada por

ead(X)Y = eXY e−X

(veja o exercıcio 3 do capıtulo 4). Daı que a proposicao 12.26 garante que toda matrizsimetrica de traco zero e da forma PHP−1 com H ∈ h e P uma matriz da forma

P = eX1 · · · eXs

com X1, . . . , Xs matrizes anti-simetricas. No entanto, a exponencial de uma matrizanti-simetrica e ortogonal e, portanto, matrizes simetricas de traco zero sao conju-gadas por matrizes ortogonais a matrizes diagonais. Esse fato se estende a matrizessimetricas arbitrarias somando as matrizes de traco zero as matrizes escalares, que naose alteram por conjugacoes. 2


Da mesma forma que no caso complexo, aparecem de maneira natural algebras semi-simples reais entre as algebras de matrizes. Essas sao as algebras reais classicas queserao apresentadas a seguir, juntamente com decomposicoes e involucoes de Cartancanonicas.

Na descricao das algebras e das involucoes sao utilizadas as seguintes matrizesescritas em blocos

Ip,q =

(1p 00 −1q

)Jn =

(0 −1n1n 0

)

Kp,q =

1p−1q

−1p1q

,


onde 1r indica a matriz identidade r × r. Na apresentacao das algebras a notacaoe a usual: u e a forma real compacta de uma algebra complexa e g = k ⊕ s e adecomposicao de Cartan enquanto que θ denota a involucao de Cartan de g, que podeser vista tambem como um automorfismo da forma real compacta. O tipo a que serefere em cada um dos casos segue a notacao da classificacao de Cartan das algebrasreais.

Formas reais de Al

A forma real compacta e su (n), n = l + 1.

Tipo AI A forma real e sl (n,R) que, como foi visto acima, e a forma real normal desl (n,C). A involucao de Cartan restrita a sl (n,R) e θ (X) = −X t enquanto quea restricao de θ a su (n) e dada por θ (X) = X.

Tipo AII A forma real e a algebra sl (n,H) das matrizes quaternionicas n×n em quea parte real do traco e zero. Essas algebras so ocorrem em dimensao complexapar, isto e, como forma real de sl (m,C) com m = 2n. Sua construcao, comoforma real de sl (2n,C), e feita da seguinte maneira: a algebra dos quaternions eformada por elementos da forma

q = a+ b i+ c j + d k (12.15)

com a, b, c, d ∈ R e com o produto dado por i2 = j2 = k2 = −1 e

i j = k j k = i k i = j .

A multiplicacao a esquerda por q define uma transformacao linear de R4 cujamatriz e

q =

a −b −c −db a −d cc d a −bd −c b a

.

Se a expressao em (12.15) representa uma n × n matriz q sobre os quaternions,com a, b, c e d matrizes reais, a matriz acima fica sendo uma matriz real 4n× 4nescrita em blocos n× n. Essa matriz pode ser escrita como

q =

(A −BB A

)com

A =

(a −bb a

)e B =

(c dd −c

).

Portanto, q e a imagem da 2n× 2n matriz complexa q′ = A+ iB pelo homomor-fismo canonico

α + iβ −→(α −ββ α

)


dado pela realificacao de Cn. Pela forma das matrizes A e B, a condicao paraque uma matriz complexa 2n× 2n seja quaternionica e que ela seja do tipo

q′ =

(Z1 −Z2

Z2 Z1

)(12.16)

com Z1 e Z2 matrizes complexas n × n. Uma matriz como q′ esta em sl (n,C)se e so se trZ1 + trZ1 = 0. Essa condicao e equivalente ao anulamento da partereal do traco de q. Assim, sl (n,H) e a algebra das matrizes da forma (12.16)que estao em sl (n,C). Uma decomposicao de Cartan e dada por k = sp (n), quee formado pelas matrizes (12.16) em que Z1 e anti-hermitiana e Z2 simetrica, epor s, que e formado pelas matrizes hermitianas da forma (12.16).

Tipo AIII As formas reais sao su (p, q), p ≤ q. Essas sao as algebras das matrizescomplexas (p+ q)× (p+ q) que satisfazem

Ip,qX +X tIp,q = 0 .

Uma matriz X ∈ su (p, q) e escrita em blocos p× p e q × q como

X =

(α β

βtγ

)α e γ anti-hermitianastr (α + γ) = 0.

Uma decomposicao de Cartan e dada por

k = (α 00 γ

) s =

(0 β

βt

0

), (12.17)

ja que tanto k quanto is estao contidos em su (p+ q). Um elemento X ∈ k podeser escrito como(

α− tr αp

1 0

0 0

)+

(0 00 γ − tr γ

q1

)+

( tr αp

1 0

0 tr γq

1

), (12.18)

o que mostra que k nao e semi-simples e e isomorfa a

su (p)⊕ su (q)⊕ z,

onde o centro z e formado pelas matrizes do ultimo termo na decomposicao (13.5).

Um abeliano maximal em s e dado pela subalgebra das matrizes (13.4) com β daforma

β =(

Λ 0)

com Λ real e diagonal p×p. Dessa forma, o posto real de su (p, q) e p = min (p, q).

A involucao de Cartan em su (p, q) e dada por θ (X) = −X tenquanto que em

su (p+ q) ela e dada por θ (X) = Ip,qXIp,q.


Formas reais de Bl e Dl

A forma real compacta e representada por so (n), n ≥ 5.

Tipo BDI A forma real e so (p, q), p ≤ q que e a algebra das matrizes reais (p+ q)×(p+ q) tais que

Ip,qX +X t Ip,q = 0.

Em outras palavras, so (p, q) e a algebra das matrizes anti-simetricas em relacaoa forma quadratica cuja matriz e Ip,q. Uma matriz X ∈ so (p, q) se escreve emblocos como

X =

(α ββt γ

)α e γ anti-simetricas.

Essa algebra e uma forma real das matrizes complexas do mesmo tipo. Nessarealizacao, uma forma real compacta e

u =

(α i βi βt γ

)com α, β e γ reais. Assim, uma decomposicao de Cartan de so (p, q) e

k = (α 00 γ

) s =

(0 ββt 0

),

portanto k e isomorfa a so (p)⊕so (q) e e semi-simples se p 6= 2 6= q, caso contrarioa parte correspondente a so (2) e o centro de k. Um abeliano maximal em s edado pelas matrizes em que β e da forma

β =(

Λ 0)

com Λ diagonal p× p. Assim, o posto real e p = min (p, q). Esse posto coincidecom o posto da algebra complexa quando

• q = p + 1 se p + q e ımpar. E daı que as formas reais normais das algebrasdo tipo Bl sao so (l, l + 1).

• q = p se p+ q e par, de onde se ve que so (l, l) e a forma real normal de Dl.

Tanto em u quanto em so (p, q) a involucao de Cartan e dada por θ (X) = −X t.

Tipo DIII A interseccao sl (n,H) ∩ so (2n,C) e uma forma real de so (2n,C) (e,portanto, de Dl). Pela forma (12.16) das matrizes em sl (n,H) (vista comosubalgebra de matrizes complexas), as matrizes em sl (n,H)∩ so (2n,C) sao ma-trizes complexas da forma(

Z1 Z2

−Z2 Z1

)Z1 anti-simetricaZ2 hermitiana.

Essa algebra coincide com a das matrizes complexas 2n× 2n tais que

XtJn + JnX = 0.


Formas reais de Cl

A forma real compacta e sp (n) = sp (n,C) ∩ su (2n).

Tipo CI A forma real normal de sp (n,C) e a algebra simpletica real sp (n,R) que eformada por matrizes reais 2n× 2n escritas em blocos n× n como(

α βγ −αt

)β e γ simetricas.

Uma decomposicao de Cartan dessa algebra e dada por

k = (α −ββ α

) α anti-simetrica

β simetrica

e

s = (α ββ −α

) α e β simetricas.

A subalgebra k e isomorfa a u (n), a algebra das matrizes anti-hermitianas n×n.O isomorfismo e dado pela realificacao de Cn em que uma transformacao linearcomplexa dada pela n× n matriz α+ i β fica sendo uma matriz real como em k.A matriz complexa e anti-hermitiana se e so se α e anti-simetrica e β e simetrica.Um abeliano maximal em s e dado pelas matrizes diagonais(

Λ 00 −Λ

)com Λ matriz diagonal n× n. Assim, o posto real de sp (n,R) coincide com seuposto, confirmando que essa e uma forma real normal.

A involucao de Cartan em sp (n,R) e dada por θ (X) = −X t enquanto que naforma real compacta u, θ (X) = X.

Tipo CII A forma real e a algebra sp (p, q) das matrizes em sp (p+ q,C) que satisfa-zem

AKp,q +Kp,qAt = 0,

isto e, que sao anti-simetricas em relacao a forma hermitiana definida por Kp,q.Essa algebra e obtida pela involucao de Cartan em su (p+ q) definida por θ (X) =Kp,qXKp,q cuja decomposicao de Cartan e

k =

X 0 W 00 Y 0 Z−X 0 X 00 −Z 0 Y

: X ∈ u (p) , Y ∈ u (q) ;W,Z simetricas sobre C

e

s =

0 X 0 YX t 0 Y t 00 Y 0 −XY t 0 −X t 0

: X, Y sao p× q sobre C.

A subalgebra k e isomorfa a sp (p)× sp (q).


Notas

A construcao das formas reais compactas, como apresentada no texto, foi amplamente utili-

zada por H. Weyl em seu truque unitario. Conta a historia (veja [4, pg.74]) que E. Cartan

verificou, caso a caso, a existencia de formas reais compactas das algebras simples complexas,

sem levar em conta que isso levaria ao desenvolvimento de um metodo poderoso no estudo

das algebras de Lie reais.

A decomposicao de Cartan, alem de ser um instumento fundamental na analise das algebras

de Lie semi-simples reais, estabelece uma relacao estreita entre essas algebras e os espacos

Riemannianos simetricos (veja [20]) de tal forma que a classificacao das algebras praticamente

fornece uma classificacao dos espacos simetricos.

12.6 Exercıcios

1. Se g e uma algebra semi-simples real, existe uma subalgebra h ⊂ g de dimensaotres isomorfa a sl (2,R) ou a so (3). Se g e uma algebra compacta, entao h enecessariamente so (3). Ja se g nao e compacta, existe h isomorfa a sl (2,R) e seg admite uma raiz restrita α, em que 2α tambem e raiz, entao existe h isomorfaa su (2, 1).

2. De exemplo de algebra complexa que nao e a complexificada de uma algebra real.

3. Mostre que numa algebra semi-simples real g o conjunto dos pares X, Y ∈ gque geram g e denso em g × g. (Uma vez garantida a existencia de um par deelementos X, Y que gera g, existe uma base formada por colchetes sucessivosde X e Y ; dessa forma existem polinomios nao-nulos em g × g cujos elementosnao-nulos sao geradores).

4. Seja g uma algebra simples e g = k⊕s uma decomposicao de Cartan. Mostre quea representacao adjunta de k em s e irredutıvel. Conclua que ou k e semi-simplesou k e redutıvel com centro de dimensao exatamente um.

5. Considere uma decomposicao de Cartan g = k⊕s da algebra simples g e suponhaque z (k) 6= 0. Mostre que existe X ∈ z (k) tal que a restricao AX de ad (X) a ssatisfaz A2

X = −1. Mostre tambem que para esse X, θ = exp (πX) onde θ e ainvolucao de Cartan correspondente a decomposicao.

6. Suponha que a algebra semi-simples g se decomponha como g = k ⊕ s com k es subespacos cujos colchetes sao como numa decomposicao de Cartan. Suponhatambem que os autovalores de ad (X), X ∈ k sao puramente imaginarios e mostreque g = k⊕ s e uma decomposicao de Cartan.

7. Para a algebra semi-simples real g seja g = k⊕ s uma decomposicao de Cartan.

(a) Mostre que se nenhuma das componentes simples de g e compacta, entao arepresentacao ajunta de k em s e fiel.


(b) Com a mesma hipotese do item anterior, mostre que [s, s] = k.

8. Sejam g1 ⊂ g2 algebras semi-simples. Mostre que toda involucao de Cartan θ1

de g1 se estende a uma involucao de Cartan θ2 de g2. De maneira equivalente, seg1 = k1 ⊕ s1 e uma decomposicao de Cartan, entao existe uma decomposicao deCartan g2 = k2 ⊕ s2 com k1 ⊂ k2 e s1 ⊂ s2. (Veja [35]).

9. Se H ⊂ a e regular real, entao o centralizador de H em g coincide com o centra-lizador de a.

10. Seja g uma algebra semi-simples nao-compacta com decomposicao de Cartang = k + s e a ⊂ s abeliano maximal. Denote a forma de Cartan-Killing de g por〈·, ·〉. Demonstre os seguintes fatos sobre a decomposicao

g = m +∑α

gα

de g nos subespacos de raızes restritas de a.

(a) 〈gα, gβ〉 = 0 se β 6= −α.

(b) A restricao de 〈·, ·〉 a a e um produto interno.

(c) Para todo H ∈ a existe uma raiz restrita α tal que α (H) 6= 0.

(d) Dado X ∈ gα existe Y ∈ g−α tal que 〈X, Y 〉 = 1.

(e) Se X ∈ gα e Y ∈ g−α, entao [X, Y ] = 〈X, Y 〉Hα onde Hα ∈ a e definido porα (·) = 〈Hα, ·〉.

(f) Se θ denota a involucao de Cartan e α e uma raiz restrita, entao θ (gα) = g−α.

Capıtulo 13

Algebras semissimples reais naocompactas

Seja g uma algebra de Lie semissimples nao compacta cuja complexificada e gC. Aolongo deste capıtulo se usara sistematicamente notacoes com sub ou super ındice Cpara indicar objetos relacionados a gC. Por exemplo Π e um sistema de raızes de genquanto que ΠC e sistema de raızes de gC, etc.

Para a algebra semissimples complexa gC se fixa de uma vez por todas uma formareal compacta u cuja conjugacao e denotada por τ . Como no capıtulo 12, u e definidapor uma base de Weyl de gC que e determinada por elementos Xα ∈ (gC)α.

????

prepara o caminho para a classificacao a ser feita posteriormente usando os diagra-mas de Satake.

σ e a conjugacao de gC em relacao a g.

13.1 Subalgebras de Cartan distinguidas

Se a forma real g de gC e tal que sua conjugacao σ comuta com a conjugacao τ de uentao uma decomposicao de Cartan de g e dada por g = k⊕s com k = g∩u e s = g∩iu.Nesse caso a involucao de Cartan correspondente θ e a restricao a g do automorfismoθ = τσ = στ . A involucao de Cartan θ define o produto interno Bθ (X, Y ) = 〈X, θY 〉de tal forma que ad (X) e simetrico se X ∈ s e ad(Y ) e anti-simetrico em relacao a Bθ

se Y ∈ k.

Seja a ⊂ s e um abeliano maximal. Nessa secao serao estudadas subalgebras deCartan de g que contem a e portanto admitem uma decomposicao do tipo h = hk ⊕ acom hk ⊂ k (veja proposicao 12.25). Essas subalgebras de Cartan sao especiais uma vezque as demais classes de equivalencia de subalgebras de Cartan sao construıdas a partirda decomposicao h = hk⊕ a. (Na literatura de grupos de Lie as subalgebras de Cartanque contem a sao chamadas de subalgebras de Cartan com parte vetorial maximal oucom parte compacta minimal pois o grupo gerado por hk e compacto enquanto que ogrupo gerado por a e difeomorfo a um espaco vetorial.)

367

368 Capıtulo 13. Algebras semissimples reais nao compactas

Todo abeliano maximal a ⊂ s esta contido em alguma subalgebra de Cartan h deg. No entanto, a subalgebra de Cartan h que estende a nao e unica. As possıveisextensoes serao discutidas abaixo. Antes disso a proposicao a seguir garante que duassubalgebras de Cartan espciais sao conjugadas por um automorfismo de g.

Proposicao 13.1 Sejam h1 = h1k ⊕ a1 e h2 = h2

k ⊕ a2 duas subalgebras de Cartan deg em que cada uma contem um abeliano maximal a1 ⊂ s1 e a2 ⊂ s2, respectivamenteonde s1 e s2 sao componentes simetricas de decomposicoes de Cartan de g. Entao,existe um automorfismo φ de g tal que φ (h1) = h2.

Demonstracao: Sejam g = k1⊕s1 = k2⊕s2 as decomposicoes de Cartan com a1 ⊂ s1

e a2 ⊂ s2. Entao existe um automorfismo ψ1 de g tal que ψ1 (k1) = k2 e ψ1 (s1) = s2

(veja o teorema 12.24). O subespaco ψ1 (a1) e abeliano maximal em s2. Portanto existeum automorfismo ψ2 de g tal que ψ2 (k2) = k2 e ψ2 (ψ1 (a1)) = a2 (veja a proposicao12.26). Tomando a composta ψ = ψ2 ψ1 se obtem a subalgebra de Cartan ψ (h1) quecontem a2 e portanto e da forma ψ (h1) = h3

k ⊕ a2. Por fim, sera mostrado abaixo naproposicao 13.22 (numa situacao mais geral) que existe um automorfismo κ que fixa a2

(isto e, κ (H) = H para todo H ∈ a2), deixa k2 invariante e satisfaz κ (h3k ) = h2

k . Daıque φ = κ ψ e o automorfismo desejado. 2

A complexificada hC de uma subalgebra de Cartan h = hk⊕ a e uma subalgebra deCartan de gC. O conjunto das raızes de hC e denotado por ΠC. As restricoes a a dasraızes em ΠC sao funcionais lineares reais e fornecem o conjunto Π das raızes restritasde a.

Como em capıtulos anteriores, se α ∈ h∗C define-se por Hα ∈ hC por α (·) = 〈Hα, ·〉e denota-se por hR o subespaco vetorial real de hC gerado por Hα, α ∈ ΠC. As raızesα ∈ ΠC assume valores reais em hR. De forma mais precisa,

hR = H ∈ hC : ∀α ∈ ΠC, α (H) ∈ R.

As raızes assumem valores reais em a e puramente imaginarios em hk pois ad (H) esimetrico em relacao a Bθ se H ∈ a enquanto que ad (A) e anti-simetrico se A ∈ hk.Portanto, a ⊂ hR e hk ⊂ ihR, isto e, ihk ⊂ hR. Na verdade vale a seguinte decomposicaode hR.

Proposicao 13.2 hR = a ⊕ ihk. Os subespacos a e ihk sao ortogonais entre si emrelacao a forma de Cartan-Killing e sao os auto-espacos associados aos auto-valors ±1da restricao de σ a hR. Isto e, σ = id em a e σ = −id em ihk

Demonstracao: Se X ∈ a entao σ (X) = X pois os elementos de g sao fixados por σ.Pela mesma razao σ (Z) = Z se Z ∈ hk e como σ e anti-linear segue que σ (Y ) = −Yse Y ∈ ihk. A restricao de σ a hR e uma isometria da forma de Cartan-Killing 〈·, ·〉.Daı que se X ∈ a e Y ∈ ihk entao 〈X, Y 〉 = 〈σX, σY 〉 = −〈X, Y 〉, isto e, 〈X, Y 〉 = 0o que mostra que ihk e ortogonal a a. Por fim a soma direta segue da igualdade dasdimensoes dimR h = dimR hR. 2

13.1. Subalgebras de Cartan distinguidas 369

A soma direta hR = a⊕ihk tambem decompoes hR nos auto-espacos de φ = στ = τσassociados aos auto-valores ±1 so que com os auto-valores mudando de sinal poisτ = −id em hR.

Em relacao a proposicao acima convem enfatizar que a soma direta em (??) eortogonal (em relacao a forma de Cartan-Killing) e vale para qualquer hk tal que hk⊕ae subalgebra de Cartan de g. Mudando hk obtem-se novas subalgebras hC e hR mas asoma direta continua valendo.

A decomposicao hR = a ⊕ ihk em soma direta ortogonal permite distinguir doistipos de raızes em ΠC, as raızes reais e as raızes imaginarias, definidas a seguir. Asraızes reais desempenham um papel central na descricao das subalgebras de Cartan deg enquanto que as raızes imaginarias aparecem na construcao dos diagramas de Satake.

Definicao 13.3 Uma raiz α ∈ ΠC e real se Hα ∈ a. De forma equivalente, a raiz α ereal se ela se anula em hk (pois a soma direta hR = a ⊕ ihk e ortogonal). O conjuntodas raızes reais e denotado por ΠRe.

Se α e raiz real entao α (H) e real para todo H ∈ h = hk⊕ a pois α se anula em ihke e real em a.

Definicao 13.4 Uma raiz α ∈ ΠC e dita imaginaria se α se anula em a, isto e,α (H) = 0 para todo H ∈ a. De forma equivalente, α e imaginaria se Hα ∈ ihk . Oconjunto das raızes imaginarias em ΠC e denotado por ΠIm.

Se α e raiz imaginaria entao α (H) ∈ iR para todo H ∈ h pois α se anula em a e eimaginaria em hk.

Segue direto das definicoes que −ΠRe = ΠRe e −ΠIm = ΠIm.Deve-se ressaltar que os conceitos de raizes reais e imaginarias so faz sentido para

raızes de uma subalgebra de Cartan hC que contem um abeliano maximal a ⊂ s, isto e,para subalgebras de Cartan de hC complexificadas das subalgebras especiais. Em geralas raızes reais e imaginarias nao exaurem ΠC. Pode ocorrer de nao existirem raızesreais ou imaginarias, dependendo da forma real.

As proposicoes a seguir dao informacoes sobre os espacos de raızes (gC)α para αraiz real ou imaginaria.

Proposicao 13.5 Seja α uma raiz real e defina gα = (gC)α ∩ g. Entao gα e umsubespaco de dimensao 1. O subespaco sl (α) = gα ⊕ gerHα ⊕ g−α e uma subalgebraisomorfa a sl (2,R). Se 0 6= X ∈ gα entao Aα = X + θX ∈ k, Sα = X − θX ∈ se uma decomposicao de Cartan e dada por sl (α) = kα ⊕ sα com kα = gerAα esα = gerHα, Sα.

Demonstracao: Tome H ∈ h tal que β (H) 6= 0 e β (H) 6= γ (H) para toda β, γ ∈ ΠCcom β 6= γ. A decomposicao

gC = hC ⊕∑β∈ΠC

(gC)β


de gC nos espacos de raızes e a decomposicao em auto-espacos de ad (H) em que cadaauto-valor β (H) 6= 0 tem multiplicidade 1. Agora, se α e raiz real α (H) e real.Portanto o auto-espaco (gC)α contem um auto-vetor real, isto e, dimR g

α ≥ 1. Vale aigualdade pois (gC)α de dimensao complexa 1.

Para ver o isomorfismo da ultima afirmacao se observa que como α e real, θ (Hα) =−Hα e portanto α θ = −α o que implica que θ (gα) = g−α. Tome 0 6= X ∈ gα e0 6= X ∈ g−α tal que 〈X, Y 〉 = 2

〈α,α〉Hα. Entao as relacoes abaixo

X →(

0 10 0

)2

〈α, α〉Hα →

(1 00 −1

)Y →

(0 01 0

)definem o isomorfismo com sl (2,R).

A ultima afirmacao segue de imediato do fato que αθ = −α e portanto θgα = g−α.2

Nao se deve confundir o espaco gα da proposicao anterior com o espaco de raızesrestritas gα definido no capıtulo anterior. Esse ultimo inclui os espacos (gC)β paratodas as raızes β cujas restricoes a a coincidem com α. (Veja abaixo uma discussaosobre as raızes restritas.)

Proposicao 13.6 Seja α uma raiz imaginaria. Entao

1. a comuta com (gC)α.

2. (gC)α ⊂ k + ik.13.6

Demonstracao: Se H ∈ a e X ∈ (gC)α entao [H,X] = α (H)X = 0 o que mostraque a comuta com (gC)α.

Para a segunda afirmacao seja θ = τσ = στ o automorfismo de gC que estende ainvolucao de Cartan da decomposicao g = k ⊕ s. Por definicao Y ∈ k + ik se e so seθ (Y ) = Y e Z ∈ s + is se e so se θ (Z) = Z.

Se H ∈ ihk entao θ (H) = H e como α e raiz imaginaria, θ (Hα) = Hα, o que implicaque α θ = α e daı que θ (gC)α = (gC)α. Portanto, se X ∈ (gC)α entao θ (X) = cXe como θ2 = 1 se obtem c2 = 1, isto e, c = ±1. Se c fosse −1 se teria θ (X) = −Xpara X ∈ (gC)α o que implica que (gC)α ⊂ s+ is. Mas isso contradiz o fato de que a eabeliano maximal em s pois pelo item (1) a comuta com (gC)α e hC ∩ (gC)α = 0.

Portanto c = 1, θ (X) = X para X ∈ (gC)α e (gC)α ⊂ k + ik. 2

Os resultados a seguir mostram que ΠRe e ΠIm sao sistemas de raızes nos espacosque eles geram (caso esses conjuntos nao sejam vazios).

Proposicao 13.7 Os conjuntos de raızes reais e imaginarias sao caracterizados daseguinte maneira:

1. Existe Hk ∈ ihk tal que

ΠRe = α ∈ Π : α (Hk) = 0.


2. Existe Ha ∈ a ⊂ hR tal que

ΠIm = α ∈ Π : α (Ha) = 0.

Demonstracao: Se β ∈ ΠC nao e raiz real entao sua restricao β|ihk ao subespacoreal ihk e um funcional linear nao nulo. Dessa forma o conjunto β|ihk : β /∈ ΠRe e umconjunto finito de funcionais lineares nao nulos de ihk. Portanto a uniao de seus nucleose um subconjunto proprio de ihk e daı que existe Hk ∈ ihk tal que β (Hk) = β|ihk (Hk) 6= 0para toda raiz β nao real. Por outro lado se α e raiz real entao α (Hk) = 0 por definicaode raiz real de onde se conclui que

ΠRe = α ∈ ΠC : α (Hk) = 0.

Os mesmos argumentos se aplicam as raızes imaginarias substituindo ihk por a. 2

A demonstracao acima deixa claro queHk eHa nao sao unicos e podem ser escolhidosentre quaisquer elementos de “regularidade maxima” em ihk e a, respectivamente, nosentido em que nao se anulam nas raızes que nao sao identicamente nulas. Um elementoHa que define as raızes imaginarias e regular real como definido no capıtulo anterior(veja tambem a discussao abaixo sobre raızes restritas definidas em a).

Agora ΠC e um sistema de raızes no espaco real hR, como no capıtulo 9, sobregrupos de Weyl. O conjunto das camaras de Weyl em hR e denso. Tomando Hk talque ΠRe = α ∈ ΠC : α (Hk) = 0 existe uma camara de Weyl h+

R,k ⊂ hR que contem

Hk em seu fecho. Denote por Σk o sistema simples de raızes associado a camara h+R,k e

seja ΣRe o conjunto das raızes simples imaginarias em Σk, isto e, ΣRe = ΠRe ∩ Σk.Da mesma forma, se toma uma camara de Weyl h+

R,a que contem Ha em seu fecho.

O sistema simples associado a h+R,a e denotado por Σa e se define ΣIm = ΠIm ∩ Σa. A

proposicao a seguir mostra que ΣRe e ΣIm sao suficientemente grandes para gerar ΠRe

e ΠIm, respectivamente. Essa proposicao e um caso particular da proposicao 9.24 docapıtulo 9.

Proposicao 13.8 ΠRe = 〈ΣRe〉 e ΠIm = 〈ΣIm〉.

Demonstracao: No caso imaginario se tem evidentemente 〈ΣIm〉 ⊂ ΠIm. Para ainclusao contraria e suficiente mostrar que se β e uma raiz imaginaria positiva (emrelacao a Σa) entao β e combinacao linear de ΣIm, isto e, suppβ ⊂ ΣIm. Isso e feitopor inducao sobre a altura h (β) de β. Se h (β) = 1 entao β ⊂ ΣIm. Por outrolado se h (β) > 1 entao existe uma raiz simples α tal que 〈α, β〉 > 0 e β − α e raiz

positiva de altura menor que β. Nesse caso rβ (α) = α − 2〈α,β〉〈β,β〉 β e raiz negativa pois

h (β) > 1 portanto β e combinacao linear de mais de uma raiz simples. Combinandoessa observacao com o fato de que β ∈ ΠIm e que α (Ha) ≥ 0 se chega a

0 ≤ α (Ha) = α (rβHa) = rβ (α) (Ha) ≤ 0.

Isto e, α (Ha) = 0 o que mostra que α ∈ ΣIm e β − α ∈ ΠIm. Portanto a hipotese deinducao garante que β ∈ 〈ΣIm〉.


No caso real a demonstracao e identica, tomando Σk no lugar de Σa e Hk ao invesde Ha. 2

capıtulo 9

Corolario 13.9 ΠRe e ΠIm sao sistemas de raızes nos subespacos que eles geram. Deforma equivalente Hα : α ∈ ΠRe e Hα : α ∈ ΠIm sao sistemas de raızes emsubespacos de a e ihk, respectivamente.

Na secao 12.4 uma raiz restrita α foi definida como sendo um elemento de a∗

que e um peso nao nulo da representacao adjunta de a em g. O espaco de raızescorrespondente e o auto-espaco

gα = X ∈ g0 : ad(H)X = α(H)X para todo H ∈ a

e fornece a decomposicao

g = z (a)⊕∑α∈Π

gα

onde Π denota o conjunto das raızes restritas e z (a) e o centralizador de a em g. Asoma acima e uma decomposicao em auto-espacos de ad (H) para todo H ∈ a em queos auto-valores, 0 e α (H), α ∈ Π, sao todos reais.

Tomando h = hk ⊕ a e sua complexificada hC com raızes ΠC se tem a soma

gC = hC ⊕∑β∈ΠC

(gC)β

que tambem e uma decomposicao em auto-espacos de ad (H), H ∈ a, com auto-valores0 e β (H), β ∈ ΠC. Segue daı que se β e uma raiz em ΠC entao sua restricao β|aa a assume valores reais e e uma raiz retrita e reciprocamente, toda raiz restrita e arestricao a a de alguma raiz em ΠC. Alem do mais, se α ∈ Π entao

gα = g ∩∑β|a =α

(gC)α .

Adiante sera mostrado que Π e um sistema de raızes em a∗, usando as restricoesdas raızes de ΠC. Para isso e mais conveniente trabalhar em hR ao inves do dual h∗R.Para α ∈ Π seja Hα ∈ a tal que α (·) = 〈Hα, ·〉. Essa notacao e consistente com aanterior (em hC e hR) pois α ∈ a∗ pode ser visto como um funcional linear em hR quee identicamente nulo em ihk.

Escreva R = Hα : α ∈ Π ⊂ a e RC = Hβ : β ∈ ΠC ⊂ hR. O conjunto RC e umsistema de raızes reduzido em hR. Se for verificado que R e um sistema de raızes em ase conclue que Π e um sistema de raızes em a∗ pois α 7→ Hα e um isomorfismo.

A restricao β 7→ β|a se traduz em termos de projecao ortogonal: seja P : hR =a⊕ ihk → a a projecao ortogonal sobre a com nucleo ihk, isto e, P = (1 + σ) /2. Seguedas definicoes que se β ∈ h∗R entao PHβ = Hβ|a e portanto,

P (RC) \ 0 = R.


Na proposicao 14.2 do capıtulo 9 foi provado que uma projecao de um sistema deraızes e um sistema de raızes desde que o automorfismo σ que define a decomposicaonos ±1 auto-espacos seja normal no sentido em que α − σα nao e raiz se α e raiz. Aproposicao a seguir mostra que a restricao a hR da conjugacao σ (que e um automorfismode ΠC) e normal, o que vai garantir que o conjunto das raızes restritas e um sistemade raızes.

Proposicao 13.10 Seja β ∈ ΠC com Hβ ∈ RC. Entao Hβ − σHβ /∈ RC, isto e, ofuncional γ (·) = 〈Hβ − σHβ, ·〉 nao e raiz em ΠC.

Demonstracao: A diferenca Hβ − σHβ ∈ ihk portanto se γ fosse raiz ela seriaraiz imaginaria e pela proposicao 13.6 se teria (gC)γ ⊂ k + ik. Seja θ = στ = τσ oautomorfismo de gC que estende a involucao de Cartan. Sua restricao a hR e θ = −σpois τ = −id em hR. Portanto, Hβ − σHβ = Hβ + θHβ e γ = β + β θ. Se X ∈ (gC)βentao θX ∈ (gC)βθ e se γ fosse raiz entao [X, θX] 6= 0 estaria em (gC)γ ⊂ k + ik. Noentanto,

θ [X, θX] = [θX,X] = − [X, θX]

o que mostra que [X, θX] ∈ s + is o que e uma contradicao, mostrando que γ nao eraiz. 2

Essa proposicao permite aplicar a proposicao 14.2 do capıtulo 9 e concluir de ime-diato que o conjunto das raızes restritas e um sistema de raızes.

Corolario 13.11 R = P (RC) \ 0 e um sistema de raızes em a e portanto Π e umsistema de raızes em a∗.

Um sistema simples para as raızes restritas Π (ou para o sistema de raızes R)pode ser obtido a partir das construcoes feitas anteriormente. Seja Ha ∈ a como naproposicao 13.7 (2) que define as raızes imaginarias por

ΠIm = α ∈ ΠC : α (Ha) = 0.

Foi tomada uma camara de Weyl h+R que contem Ha em seu fecho e o sistema simples

correspondente foi denotado por Σa.

Por outro lado, Ha e regular real no sentido em que α (Ha) 6= 0 para toda raizrestrita α, pois se α = β|a 6= 0, β ∈ ΠC, entao β nao e imaginaria e portanto α (Ha) =β (Ha) 6= 0. Portanto existe uma camara de Weyl a+ ⊂ a para o sistema de raızesrestritas Π (ou R) tal que Ha ∈ a+, cujo conjunto de raızes positivas Π+ e dado por

Π+ = α ∈ Π : α (Ha) > 0.

Denote por ΣRe o sistema simples de raızes restritas associado a Π+. Esse sistemasimples e exatamente o conjunto das restricoes nao nulas das raızes em Σa.


Proposicao 13.12 Com as notacoes acima,

ΣRe = β|a : β ∈ Σa \ ΣIm.

Isto e, PHβ : β ∈ Σa \ ΣIm e o sistema simples de raızes de R associado a camarade Weyl que contem Ha.

Demonstracao: Seja Π+C o conjunto das raızes de ΠC positivas em relacao a h+

R . Seβ ∈ Π+

C entao β (Ha) ≥ 0. Se alem do mais β nao e imaginaria entao β (Ha) > 0, oque significa que β|a ∈ Π+. Por outro lado se γ ∈ −Π+

C entao γ (Ha) ≤ 0 e daı que

Π+ = β|a : β ∈ Π+C \ ΠIm. Segue daı que as raızes de Π+ sao combinacoes lineares

com coeficientes inteiros ≥ 0 de β|a : β ∈ Σa \ ΣIm pois isso ocorre com as raızes em

Π+C em relacao Σa, concluındo a demonstracao. 2

O diagrama de Dynkin de ΣRe pode ser obtido calculando os numeros de Killingentre as restricoes β|a (ou entre as projecoes Hβ) com β ∈ Σa \ ΣIm. Isso sera feito nasecao 13.2 quando sera definido o diagrama de Satake que acrescenta informacoes aodiagrama de Dynkin de Σa, que permitem recuperar ΣRe.

?????multiplicidade de raiz restrita????Uma outra classe de subalgebras de Cartan e dada por aquelas que contem uma

subalgebra de Cartan de k. A proposicao a seguir garante sua existencia mostrandoque e possıvel estender subalgebras de Cartan de k.

Proposicao 13.13 Tomando a decomposicao de Cartan g = k ⊕ s e um abelianomaximal a ⊂ s valem as seguintes afirmacoes.

1. Seja t uma subalgebra de Cartan de k. Entao existe uma subalgebra de Cartan jde g tal que j = t⊕ (j ∩ s).

2. Existe uma subalgebra de Cartan j de g tal que j = t⊕(j ∩ a) em que t e subalgebrade Cartan de k.

Demonstracao: A primeira afirmacao se demonstra da mesma forma que a pro-posicao 12.25, que garante que a se estende a subalgebras de Cartan: os elementos det sao semissimples, portanto existe uma subalgebra de Cartan j de g com t ⊂ j. que einvariante por θ. De fato, se H = H1 +H2 e a decomposicao de Cartan de H ∈ j entaopara todo X ∈ t,

0 = [X,H] = [X,H1] + [X,H2]

e daı que [X,H1] = [X,H2] = 0 pois [X,H1] ∈ k e [X,H2] ∈ s. Como t e abelianomaximal em k se conclui que H1 ∈ t ⊂ j e portanto H2 ∈ j. Isso mostra que j =(j ∩ k)⊕ (j ∩ s) e deve-se ter t = j ∩ k pois t e subalgebra de Cartan de k.

Para a segunda afirmacao tome uma subalgebra de Cartan j1 = t1 ⊕ (j ∩ s) em quet1 e subalgebra de Cartan de k. Pela proposicao 12.26 existe uma automorfismo k tal

13.2. Diagramas de Satake 375

que k (k) = k e k (j ∩ s) ⊂ a. Entao t = k (t1) e subalgebra de Cartan de de k e portantoj = k (j1) e a subalgebra de Cartan desejada. 2

????Comentarios: zC (hk ⊕ b) = h +∑

β∈r gβ, zk (hk ⊕ b) = h +∑

β∈r kβ, ....?????

13.2 Diagramas de Satake

— bem definido para g (escolhas diferentes dao o mesmo diagrama).— duas algebras com o mesmo diagrama de Satake sao isomorfas (tem a mesma

complexificada).— diagrama de Dynkin das raızes restritas a partir do diagrama de Satake.— se α = −α e e realzC (a) = hC ⊕

∑α∈ΠIm

gαzg (a) = zC (a) ∩ gm = zk (a) = zg (a) ∩ k = zC (a) ∩ k = (hC ∩ k)⊕

∑α∈ΠIm

gα ∩ kescrever m a partir do diagrama de Satake (artigo 2-cohomologia Proposition 6.1).????subalgebra de Cartan contendo a: h = hk ⊕ a onde hk e subalgebra de Cartan

de m (abeliano maximal).Se nao existem raızes imaginarias dim hk + dim a = posto = dim hR.O diagrama de Satake de uma forma real g nao compacta descreve a restricao a

uma subalgebra de Cartan do automorfismo στ = τσ onde τ e a conjugacao em relacaoa forma real compacta u e σ a conjugacao em relacao a g. Para definir o diagrama deSatake de g se toma uma subalgebra de Cartan especial h = hk⊕a e sua complexificadahC. Como antes ΠC denota o conjunto das raızes de hC.

????A escolha de Σ se baseia nas raızes imaginarias.???Proposicao: e Diagrama de Satake (da algebra real) e para esse sistema simples em

particular.????Para definir os diagramas de Satake sao necessarias informacoes adicionais relacio-

nadas a soma direta hR = a⊕ ihk dada na proposicao 13.2.Em primeiro lugar se α e raiz entao Hα ∈ hR com α (·) = 〈Hα, ·〉. Nesses termos,

• α e raiz imaginaria se e so se Hα ∈ ihk pois ihk e o subespaco ortogonal a a e umaraiz e imaginaria se se anula em a.

Seja (ihk)Im ⊂ ihk o subespaco gerado por Hα : α ∈ ΠIm. Esse conjunto e umsistema de raızes em (ihk)Im em que ΣIm e um sistema simples de raızes. (Mais adiantesera verificado que na maior parte dos casos (ihk)Im = ihk.)

????WIm subgrupo do grupo de Weyl gerado pelas reflexoes em relacao as raızes ima-

ginarias (ΠIm ou ΣIm)


Se w ∈ WIm entao wσ = σw pois w (H) = H se H ∈ a e portanto w (ihk) = ihk. Acomutatividade segue entao do fato de que σ = id em a e σ = −id em ihk.

wIm = involucao principal de WIm em relacao a ΣIm

???O elemento Ha que define as raızes imaginarias nao esta necessariamente no interior

da camara de Weyl h+R . O seguinte lema garante escolhas convenientes de elementos

H+ ∈ h+R proximos de Ha.

Lema 13.14 Denote por (ihk)+Im a camara de Weyl em (ihk)Im associada a ΣIm e sejam

m =1

2minβ (Hg) : β ∈ Σg \ ΣIm > 0

M = max|Hβ| : β ∈ Π.

Entao H+ = Ha +H1 ∈ h+R se H1 ∈ (ihk)

+Im e tal que |H1| < m/M .

Demonstracao: Se β ∈ Σa \ ΣIm entao β (Ha) > 0 pois por definicao β (Ha) 6= 0 eHa pertence ao fecho da camara de Weyl h+

R associada a Σa. Daı que m e de fato > 0como no enunciado.

Agora, se α ∈ ΠIm entao α (H+) = α (H1) que e estritamente positivo se α ∈ ΣIm

por escolha de H1. Por outro lado, se β ∈ Σa \ ΣIm entao

β(H+)

= β (Ha) + 〈Hβ, H1〉

que e > 0 pois β (Ha) > m e |〈Hβ, H〉| ≤ |Hβ| |H1| ≤ m. Portanto qualquer raizsimples e positiva em H+ o que mostra que H+ ∈ h+

R . 2

?????

Proposicao 13.15 σwIm (Σa) = Σa, isto e, σwIm = wImσ e um automorfismo dediagrama.

Demonstracao: Tome H+ = Ha+H1 ∈ h+R com H1 ∈ (ihk)

+Im como no lema anterior.

Entao, σ (H+) = Ha−H1 pois Ha ∈ a e H1 ∈ ihR. Portanto wImσ (H+) = Ha−wIm (H1)ja que wIm fixa a. Mas wIm e a involucao principal e portanto wIm (H1) ∈ −ΣIm, istoe, −wIm (H1) ∈ ΣIm e como |−wIm (H1)| = |H1| as condicoes do lema estao satisfeitasgarantindo que wImσ (H+) ∈ h+

R . A aplicacao linear wImσ e um automorfismo do sis-tema de raızes e portanto o conjunto wImσ

(h+R)

e uma camara de Weyl que so pode serh+R pois H+ e wImσ (H+) estao em h+

R . Isso mostra que wImσ (Σa) = Σa, concluindo ademonstracao. 2

Segue dessa proposicao que a restricao a hR da conjugacao σ em relacao a g (tambemdenotada por σ) se fatora como

σ = wImπ = πwIm


onde π e uma simetria do diagrama de Dynkin da algebra complexa. As transformacoesσ, wIm e π comutam entre si e σ2 = w2

Im = 1, portanto π2 = 1. Portanto π e umapermutacao de ordem 2 das raızes simples o que permite escrever Σa da forma

Σa = β1, π (β1) , . . . , βk, π (βk) , γ1, . . . , γs

com as raızes γi fixadas por π.Uma vez feita a escolha do sistema simples Σa e demonstradas algumas de suas

propriedades e possıvel definir o diagrama de Satake correspondente.

Definicao 13.16 O diagrama de Satake da forma real g e dado pelo diagrama de Dyn-kin do sistema simples Σa, convenientemente escolhido acima acrescido das seguintesinformacoes:

1. As raızes simples immaginarias em ΣIm sao marcadas por cırculos cheios:u2. Os pares de raızes que sao permutadas por π sao ligadas por flechas duplas ←→.

??????Comentario-definicao: diagrama interior-exteriorAinda no caso em que σ = wIm a involucao principal wIm do sistema de raızes ΠIm

e −id. Como foi visto no capıtulo 9 essa propriedade da involucao principal vale paratodos os sistemas de raızes exceto para Al (l ≥ 2), Dl (l ımpar) e E6. Isso significa queesses diagramas de Dynkin nao aparecem como componentes conexas de ΣIm dentrodo diagrama de Dynkin de Σg.

Na maior parte dos casos π = id (por exemplo quando as algebras complexas naosao do tipo Al, Dl ou E6).

????A partir das informacoes contidas no diagrama de Satake pode-se obter os su-

bespacos a e ihk de hR. Para ver isso considere em priemeiro lugar os diagramasinteriores em que π = σwIm = 1, isto e, σ = wIm. Nesse caso wIm = −id em ihk poise o que ocorre com σ. Isso implica que (ihk)Im = ihk uma vez que wIm (H) = H noespaco ortogonal a (ihk)Im ja que wIm e um produto de reflexoes ortogonais em relacaoa elementos de (ihk)Im.

Portanto para diagramas interiores ihk e o subespaco gerado pelas raızes marcadaspor cırculos cheios no diagrama de Satake.

Para um diagrama exterior em que π = σwIm 6= 1 tem-se π2 = σ2w2Im = 1 pois

σ e wIm comutam. Portanto hR = V+1 ⊕ V−1 onde V±1 e o ±1-auto-espaco de π.Como π e isometria V+1 e V−1 sao ortogonais entre si e V−1 6= 0 pois π 6= 1. Essessubespacos sao dados em termos das raızes da seguinte maneira: π e uma permutacaode ordem 2 do sistema simples de raızes Σg. Portanto Σg pode ser ordenado comoβ1, π (β1) , . . . , βk, π (βk) , γ1, . . . , γs de tal forma que π (γi) = γi. A matriz de π nabase Hβ : β ∈ Σg (ordenada dessa forma) e formada por blocos 2× 2 do tipo(

0 11 0

)


e um bloco id correspondente aos termos γi. Daı se ve que V+1 e gerado pelos elementosHβi + πHβi e γi. Enquanto que V−1 e gerado por elementos do tipo Hβi − πHβi , isto e,

V−1 = Hβ − πHβ : β ∈ Σg, π (β) 6= β.

Em relacao aos subespacos a e ihk, tem-se a ⊂ V+1 pois π = σwIm e tanto σ quantowIm sao iguais a id em a. Isso implica que V−1 ⊂ ihk (pois as decomposicoes em somasdiretas sao ortogonais). Essa observacao pode ser obtida explicitamente levando emconta que wIm e a involucao principal de um sistema de raızes.

Portanto a proposicao 9.36 do capıtulo 9 garante que existem raızes α1, . . . , αk ∈ΠIm ortogonais entre si tal que

wIm = rα1 · · · rαk .

Daı que para qualquer β vale wImβ = β − n1α1 − · · · − nkαk com ni = 2〈β,αi〉〈αi,αi〉 . Em

hR essa igualdade se escreve wImHβ = Hβ − n1Hα1 − · · · − nkHαk . Aplicando σ a essaigualdade se obtem

πHβ = σwImHβ = σHβ + n1Hα1 + · · ·+ nkHαk

pois σα = −α se α e raiz imaginaria. Em particular Hβ ± πHβ = Hβ ± σHβ ±H comH ∈ (ihk)Im.

Agora pode-se provar a proposicao a seguir que reconstroi a decomposicao hR =a⊕ ihk a partir do diagrama de Satake.

Proposicao 13.17 ihk e gerado por Hα com α ∈ ΣIm e Hβ−πHβ com β percorrendoas raızes simples em Σa \ ΣIm.

Demonstracao: Se o diagrama de Satake e interior entao π = 1 e ihk = (ihk)Im egerado pelas raızes imaginarias como comentado acima.

Suponha que π 6= 1 e tome os auto-vetores Hβi ± πHβi e Hγi com βi, γi ∈ Σa comodescrito acima. O subespaco ihk e gerado por esses auto-vetores.

Dentre eles se β e γ sao raızes imaginarias entao Hγ ∈ ihk e Hβ ± πHβ = Hβ ±σHβ + H com H ∈ (ihk)Im e portanto Hβ ± πHβ tambem esta em ihk. Portanto paraos auto-vetores geradores fora de ihk basta considerar raızes em Σa \ΣIm. Considere osseguintes casos:

1. Seja γ ∈ Σa \ ΣIm com πHγ = Hγ. Pelos calculos acima

πHγ = σwImHγ = σ (Hγ − n1Hα1 − · · · − nkHαk) = σHγ + n1Hα1 + · · ·+ nkHαk

com α1, . . . , αk raızes imaginarias. Se γ nao e raiz imaginaria a igualdade πHγ =Hγ implica que σHγ = Hγ e portanto Hγ ∈ a (isto e, γ e real).

2. Tome β ∈ Σa \ ΣIm de tal forma que Hβ /∈ ihk. Entao, σHβ 6= −Hβ, isto e,Hβ + σHβ 6= 0. Como Hβ + σHβ ∈ a (e fixado por σ) segue que Hβ + σHβ /∈ ihk.Por outro lado, foi verificado acima Hβ +πHβ = Hβ +σHβ +H com H ∈ (ihk)Im.Daı que Hβ + πHβ tambem nao esta em ihk.


3. Para qualquer raiz β ∈ Σa, Hβ−πHβ ∈ ihk pois Hβ−πHβ = Hβ−σHβ +H comH ∈ (ihk)Im e Hβ − σHβ ∈ ihk.

Portanto os auto-vetores de π determinados pelas raızes simples β ∈ Σa que estaoem ihk\(ihk)Im sao da formaHβ−πHβ com β ∈ Σa\ΣIm o que conclui a demonstracao. 2

Uma vez obtido o subespaco ihk, a partir do diagrama de Satake, o subespaco a edado pelo complementar ortogonal de ihk em hR. Por exemplo no caso dos diagramasinteriores, como ihk e gerado por Hα com α ∈ ΠIm, o complementar ortogonal a e oanulador de ΠIm, isto e,

a = H ∈ hR : ∀α ∈ ΠIm, α (H) = 0.

No caso dos diagramas exteriores a pode ser determinado caso a caso a partir dapermutacao π. Isso sera feito na descricao abaixo das algebras classica.


Oo objetivo desta secao e determinar as classes de equivalencia das subalgebras de Car-tan das algebras de Lie reais nao compactas. Ao contrario do que ocorre nas algebrascomplexas e nas algebras compactas a situacao tıpica para as algebras nao compactas eque existam mais de uma classe de equivalencia de subalgebras de Cartan. No capıtulo4 foi visto o exemplo de sl (n,R) onde as classes de equivalencia das subalgebras deCartan sao distinguidas pelos auto-valores (reais, complexos ou imaginarios) de seuselementos. O caso geral a ser tratado aqui reproduz (em ultima instancia) esse padrao.

Nessa secao se mantem fixada uma decomposicao de Cartan g = k⊕s com k = u∩ge s = iu∩ g, um abeliano maximal a ⊂ s e as correspondentes notacoes ja utilizadas (τe σ sao as conjugacoes em relacao a u e g, respectivamente, com στ = τσ, θ = θ = τ |g .Se fixa tambem uma subalgebra de Cartan especial h = hk ⊕ a cuja complexificada ehC e se mantem as notacoes de secoes anteriores em que ΠC e o conjunto das raızes dehC e hR e o subespaco gerado por Hα, α ∈ ΠC.

A seguinte proposicao reduz a analise a subalgebras de Cartan do tipo j = jk ⊕ bcom jk ⊂ k e b ⊂ a. Para a demonstracao da proposicao se observa que um subespacoV ⊂ g e invariante pela involucao de Cartan θ se e so se V = (V ∩ k) ⊕ (V ∩ s). Defato, se X = A + Y ∈ k⊕ s e um elemento de V entao θX = A− Y tambem esta emV e portanto A, Y ∈ V o que mostra a inclusao V ⊂ (V ∩ k) ⊕ (V ∩ s), sendo que ainclusao contraria segue de imediato.

Proposicao 13.18 Seja j ⊂ g uma subalgebra de Cartan. Entao existem um auto-morfismo φ de g tal que φ (j) = (φ (j) ∩ k)⊕ (φ (j) ∩ s), isto e, φ (j) e invariante por θ.Alem do mais φ (j) ∩ s ⊂ a.

Demonstracao: A complexificada jC de j e uma subalgebra de Cartan de gC. Denotepor uj a forma real compacta de gC obtida pela construcao de Weyl a partir da decom-posicao em espacos de raızes de jC (como na secao 12.2). Seja τ j a conjugacao de gC em


relacao a uj. Pelo teorema 12.18 existe um automorfismo ψ de gC tal que ψ(uj)

= u,

isto e, τ = ψτ jψ. De maneira precisa ψ e definido como sendo ψ = ξ1/4 onde ξ =(στ j)2

e uma transformacao linear diagonalizavel com auto-valores reais positivos.Pela expressao de ψ se ve que ψ (jC) = jC. De fato, jC e invariante por σ (por ser a

complexifcada de j) e invariante por τ j pela construcao de uj. Daı que jC e invariante

por ξ =(στ j)2

o que implica a invariancia de jC por ψ = ξ1/4 (pois um subespaco Winvariante por uma transformacao diagonalizavel e soma direta dos subespacos W ∩Vλcom Vλ percorrendo os autoespacos). O mesmo argumento mostra que g tambem einvariante por ψ de tal forma que ψ|g e um automorfismo de g.

Como τ = ψτ jψ−1 se conclui que τ (jC) = jC e como τ (g) = g, vale τ (j) = j, isto e,θ (j) = j pois j = jC ∩ g. Por fim, como φ (j)∩ s e abeliano existe um abeliano maximala′ ⊂ s que contem φ (j) ∩ s. Pela proposicao 12.26 existe um automorfismo k de g quepreserva a decomposicao de Cartan e tal que k (a′) = a. Compondo k com ψ se obtemum automorfismo φ tal que φ (j) ∩ s ⊂ a. 2

Definicao 13.19 As raızes α e β sao totalmente ortogonais se ±α±β nao sao raızes.

Da definicao segue de imediato que se α e β sao totalmente ortogonais entao omesmo ocorre com ±α e ±β, isto e, com −α e β, etc.

Pela formula de Killing se α, β ∈ ΠC entao a α-sequencia iniciada em β e β −pα, . . . , β + qα com p − q = 2 〈α,β〉〈α,α〉 . Portanto, se duas raızes totalmente ortogonaisentao p = q = 0 e as raızes sao ortogonais em relacao a forma de Cartan-Killing. Arecıproca dessa afirmacao nao vale. Por exemplo, em B2 com raızes simples α, β emque β e a raiz longa, as raızes positivas sao α, β, β + α, β + 2α e as raızes curtas αe β + α sao ortogonais mas nao totalmente ortogonais. Esse fato ocorre apenas nossistemas de raızes cujos diagramas tem ligacoes duplas e as raızes sao curtas. Nossistemas de raızes cujos diagramas contem apenas ligacoes simples e em G2 duas raızessao totalmente ortogonais se e so se elas sao ortogonais. Da mesma forma, duas raızeslongas ortogonais sao totalmente ortogonais.

Aplicando a formula de Killing se ve que (gC)±α comuta com (gC)±β se α e β saoraızes de ΠC totalmente ortogonais.

As classes de equivalencia das subalgebras de Cartan sao determinadas por conjun-tos totalmente ortogonais de raızes reais de ΠC. Esse e o conteudo do seguinte teoremaque vai ocupar a maior parte desta secao.

Theorem 13.20 Seja h = hk ⊕ a uma subalgebra de Cartan especial. Valem as se-guintes afirmacoes:

1. Toda classe de equivalencia de subalgebras de Cartan contem uma subalgebra dotipo j = jk ⊕ b com hk ⊂ jk ⊂ k e b ⊂ a.

2. Sejam j1 = j1k ⊕ b e j2 = j2k ⊕ b subalgebras de Cartan com o mesmo b ⊂ a. Entaoexiste um automorfismo k que centraliza a (isto e, k (H) = H para todo H ∈ a),satisfaz k (k) = k e tal que k (j1k ) = j2k .


3. Seja b ⊂ a um subespaco. Entao existe uma subalgebra de Cartan j = jk ⊕ b comhk ⊂ jk ⊂ k e b ⊂ a se e so se o complementar ortogonal b⊥ ⊂ a de b em a egerado por um conjunto Hα : α ∈ O onde O = α1, . . . , αs e um conjuntototalmente ortogonal de raızes reais.

4. Na situacao do item anterior se b⊥ e gerado por Hα : α ∈ O entao uma escolhade jk e dada por jk = jO⊕hk onde jO ⊂ k e o subespaco gerado por Aα = Xα+θXα,α ∈ O, com Xα 6= 0 no subespaco de dimensao 1, gα = (gC)α ∩ g.

Esse teorema classifica as classes de equivalencia de subalgebras de Cartan de g porsubconjuntos do conjunto totalmente ortogonal de raızes reais Omax do ultimo item. Apartir do teorema pode-se dizer de imediato que se nao existem raızes reais entao todasas subalgebras de Cartan sao equivalentes. Exemplos de classificacoes de subalgebras deCartan serao dados na secao 13.4 que trata das algebras classicas. O resto dessa secaosera dedicado a demonstracao do teorema 13.20 e dos lemas utilizados na demonstracao,que por sua vez tem interesse proprio por fornecer informacoes adicionais sobre aestrutura das raızes.

A proposicao a seguir demonstra o item (4) e uma das implicacoes da equivalenciado item (3) do teorema 13.20. A construcao de jk, a partir do conjunto totalmenteortogonal O, no item (4) e na proposicao abaixo esclarece as relacoes entre subalgebrasde Cartan e conjuntos totalmente ortogonais. Essa relacao serve de guia para o restoda demonstracao do teorema 13.20.

Como mencionado anteriormente, se α e raiz real entao gα = (gC)α ∩ g e umsubespaco de dimensao 1 e se 0 6= Xα ∈ gα entao Aα = Xα + θXα ∈ k, sendo queθXα ∈ g−α. Se α e β sao totalmente ortogonais g±α comuta com g±β.

Proposicao 13.21 Sejam b ⊂ a um subespaco e O = α1, . . . , αs um conjunto to-talmente ortogonal de raızes reais tal que Hα : α ∈ O gera b⊥. Denote por jOo subespaco de k gerado por Aα1 , . . . , Aαs onde como acima Aα = Xα + θXα ∈(gα + g−α) ∩ k.

Entao, j = jO ⊕ hk ⊕ b e um subalgebra de Cartan como no teorema 13.20.

Demonstracao: A soma jO ⊕ hk ⊕ b e uma subalgebra abeliana. De fato, hk ⊕ b eabeliana e se α ∈ O entao α (H) = 0 se H ∈ hk ⊕ b pois Hα e ortogonal a hk ⊕ b.Isso implica que hk ⊕ b comuta com Aα, α ∈ O e portanto com jO. Alem do mais jO eabeliana pois se α, β ∈ O entao [Aα, Aβ] tem a forma mα,βAα+β + m−α,βAα−β que seanula pois α e β sao totalmente ortogonais.

Agora ad (X) e uma transformacao linear semissimples se X ∈ j pois isso ocorrecom os elementos de jO ⊕ hk e de b e esses subespacos comutam entre si. Por fim,

dim j = dim jO + dim (hk ⊕ b) = dim(hk ⊕ b⊕ b⊥

)= dim (hk ⊕ z)

que e o posto de g. Portanto j e de fato uma subalgebra de Cartan. 2

A demonstracao completa do teorema 13.20 esta baseada no princıpio do maximo,considerado no apendice incluido na secao 13.5 (veja em especial o corolario 13.33).


A proposicao a seguir complementa a conjugacao da proposicao 13.18, garantindoque toda subalgebra de Cartan e conjugada a uma subalgebra do tipo j = jk ⊕ b emque hk ⊂ jk como no item (1) do teorema 13.20.

Proposicao 13.22 Seja j = jk ⊕ b uma subalgebra de Cartan com jk ⊂ k e b ⊂ a e

zk (b) = X ∈ k : ∀H ∈ b, [X,H] = H

o centralizador de b em k. Tome uma subalgebra abeliana c ⊂ zk (b). Entao existe umautomorfismo φ de g tal que φ (k) = k, φ fixa b (isto e, φ (H) = H para todo H ∈ b) eφ (c) ⊂ jk.

Portanto se j1 = j1k ⊕ b e outra subalgebra de Cartan com a mesma componente bentao existe um automorfismo φ que fixa b e deixa k invariante tal que φ (j1k ) = jk eφ (j1) = j.

Demonstracao: E uma consequencia imediata do corolario 13.33 uma vez que sefaca as seguintes observacoes. O grupo K = 〈exp ad (k)〉 gerado pelas exponenciaisead(X), X ∈ k, e um grupo de Lie compacto de automorfismos de g cuja algebra de Liead (k) e isomorfa a k. O centralizador de b em K,

ZK (b) = g ∈ K : ∀H ∈ b, gH = H

e um subgrupo de Lie fechado (e, portanto compacto) de K. Sua algebra de Lie eo centralizador zk (b) que contem tanto jk quanto c. Pelo corolario 13.33 existe umautomorfismo k0 ∈ K tal que k0 (c) comuta com jk. Como k0 (c) comuta tambem comb se conclui que k0 (c) ⊂ j. Por construcao, k0 (k) = k e daı que k0 (c) ⊂ k o que implicaque k0 (c) ⊂ jk.

Para a ultima afirmacao toma-se c = j1k e as igualdades seguem da inclusao k0 (j1k ) ⊂jk e do fato de que as dimensoes de jk e j1k coincidem. 2

Corolario 13.23 Dado um subespaco b ⊂ a suponha que exista uma subalgebra deCartan j = jk ⊕ b. Tome uma subalgebra abeliana c ⊂ zk (b). Entao existe umasubalgebra de Cartan j1 = j1k ⊕ b tal que c ⊂ j1k ⊂ j1, isto e, a subalgebra abelianac⊕ b se estende a uma subalgebra de Cartan.

Demonstracao: Se φ e o automorfismo garantido pela proposicao anterior comφ (c) ⊂ jk entao φ−1 (j) = φ−1 (jk)⊕ b e uma subalgebra de Cartan que contem c. 2

A proposicao 13.22 demonstra os itens (1) e (2) do teorema 13.20.As proposicoes a seguir completam a demonstracao da condicao necessaria e sufici-

ente do item (3) do teorema 13.20.

Proposicao 13.24 Seja b ⊂ a um subespaco proprio e suponha que exista uma subalgebrade Cartan j = jk ⊕ b com hk ⊂ jk ⊂ k. Entao, b⊥ e gerado por elementos do tipo Hβ

com β raiz real.


Demonstracao: Denote por R o conjunto das raızes (reais) β ∈ ΠC tais que Hβ ∈ b⊥.Suponha por absurdo que Hβ : β ∈ R nao gera b⊥. Entao existe H ∈ b⊥ tal queβ (H) = 〈Hβ, H〉 = 0 para todo β ∈ R (no caso eventual em que R = ∅ toma-sequalquer H ∈ b⊥, H 6= 0). Para se chegar a uma contradicao sera mostrado que Hcomuta com j o que implica que H ∈ j contradizendo o fato de que j ∩ a = b.

Para isso deve-se observar que o centralizador (em gC) zC (hk ⊕ b) de hk ⊕ b e dadopor

zC (hk ⊕ b) = h +∑β∈R

gβ.

Isso porque R e o conjunto das raızes que se anulam simultaneamente em hk e b, jaque uma raiz β se anula em hk se e so se ela e real, isto e, Hβ ∈ a e uma raiz real β seanula em b se e so se Hβ ∈ b⊥. (A soma acima se reduz a h se R = ∅.)

Se H ∈ b⊥ e escolhido como acima entao β (H) = 0 para toda raiz β ∈ R, daıque [H,X] = 0 para todo X ∈ zC (hk ⊕ b). Por fim, a condicao hk ⊂ jk garante quej ⊂ zC (hk ⊕ b) e daı que H comuta com j chegando a uma contradicao. 2

Proposicao 13.25 Suponha que o subespaco b ⊂ a e a a-componente de uma subalgebrade Cartan j = jk ⊕ b com hk ⊂ jk ⊂ k. Entao existe uma conjunto totalmente ortogonalde raızes reais O = α1, . . . , αs tal que Hαi ∈ b⊥ onde s = dim a − dim b, isto e,Hα : α ∈ O e uma base de b⊥.

Demonstracao: A construcao de O e feita indutivamente definindo para cada j =1, . . . , s, um subconjunto Oj = α1, . . . , αj de raızes reais totalmente ortogonais comHαi ∈ b⊥, i = 1, . . . , j. Para j = 1 tome α1 como sendo qualquer raiz real comHα1 ∈ b⊥ cuja existencia e garantida pela proposicao ??. Suponha que Oj estejadefinido para 1 ≤ j < s. Como na proposicao 13.5 seja Aαi = Xαi + θXαi ∈ kαi comαi ∈ Oj, Xαi ∈ gαi e i = 1, . . . , j.

Defina o subespaco cj = hk⊕ oj onde oj e o subespaco gerado por Aαi , i = 1, . . . , j.Esse subespaco e abeliano (pois as raızes em Oj sao totalmente ortogonais), esta contidoem k e comuta com hk ⊕ b, isto e,

cj ⊂ zk (hk ⊕ b) = hk ⊕∑β∈R

kβ

pois Hαi ∈ b⊥, i = 1, . . . , j. Na soma acima R e o conjunto das raızes reais α com Hα ∈b⊥ como na proposicao anterior. Portanto, pelo corolario 13.23 existe uma subalgebrade Cartan j1 = j1k⊕b com cj ⊂ j1k ⊂ zk (hk ⊕ b). Como j < s, dim oj < dim j1k−dim hk = se portanto cj esta propriamente contido em j1k .

Se Z ∈ j1k \ cj entao Z ∈ hk ⊕∑

β∈R kβ e como hk ⊂ cj pode-se assumir queZ ∈

∑β∈R kβ e e claro, Z 6= 0 e daı que Z =

∑β∈r aβAβ com algum coeficiente aβ 6= 0.

Esse elemento comuta com Aαi para todo αi ∈ Oj, daı que para i = 1, . . . , j se obtem

0 = [Aαi , Z] =∑β∈r

aβ (mαi,βAαi+β +m−αi,βAαi−β)


pois valem os colchetes [Aα, Aβ] = mα,βAα+β+m−α,βAα−β. Nessa combinacao linear oscoeficientes sao nulos pois o conjunto dos elementos nao nulos em Aαi+β, Aαi−β : β ∈R e l.i. ja que αi + β1 = αi− β2 implica que β1 = −β2 o que nao ocorre pois as duasraızes sao positivas. Portanto, se um coeficiente αβ 6= 0 deve-se ter mαi,β = m−αi,β = 0o que significa que αi ± β nao e raiz, isto e, β e totalmente ortogonal a αi. Como ie arbitrario, o conjunto Oj+1 = α1, . . . , αj, β e totalmente ortogonal concluındo opasso de inducao. 2

A demonstracao do passo de inducao na proposicao acima mostra que um conjuntototalmente ortogonal de raızes reais contido em b⊥ se estende a conjunto totalmenteortogonal que gera b⊥. Isto e, o seguinte corolario tambem foi provado.

Corolario 13.26 Com as notacoes da proposicao 13.25 seja O0 um conjunto total-mente ortogonal de raızes reais com Hα : α ∈ O0 ⊂ b⊥. Entao existe um conjuntototalmente ortogonal O tal que O0 ⊂ O e Hα : α ∈ O gera b⊥.

Com a proposicao 13.25 se conclui a demonstracao do teorema 13.20.O objetivo agora e obter uma famılia canonica de conjuntos totalmente ortogonais

de raızes reais. Essa famılia e canonica no sentido em que seO e um conjunto totalmenteortogonal de raızes reais entao existe w no grupo de Weyl WRe do sistema de raızesΠRe das raızes reais tal que wO pertence a famılia. A famılia canonica de conjuntostotalmente ortogonais permite representantes naturais das classes de equivalencia dassubalgebras de Cartan.

Num sistema de raızes em geral se α1, . . . , αs sao raızes ortogonais entao as reflexoescorrespondentes rαi , i = 1, . . . , s comutam entre si. Portanto o produto w = rα1 · · · rαse uma involucao (w2 = 1) cujo auto-espaco associado ao auto-valor −1 e gerado porα1, . . . , αs enquanto que o seu ortogonal e o auto-espaco associado ao auto-valor +1.

No capıtulo 9 foi provado que se w e uma involucao no grupo de Weyl entao existeum sistema simples de raızes Σ e um subconjunto Θ ⊂ Σ, tal que w e a involucaoprincipal wΘ

0 de WΘ. Esse fato e provado na proposicao 9.37 aonde se garante que alemdo mais o diagrama de Dynkin de Θ e interior no sentido em que wΘ

0 α = −α se α ∈ Θ.Portanto o auto-espaco de w = wΘ

0 associado ao auto-valor −1 e o subespaco geradopor Θ.

Por outro lado a proposicao 9.36 indica um metodo indutivo para construir umconjunto totalmente ortogonal de raızes O = µ1, . . . , µs ⊂ 〈Θ〉 tal que a involucaoprincipal wΘ

0 = rµ1· · · rµs . (A proposicao 9.36 supoe que Θ e conexo, mas em geral,

se Θ = Θ1 ∪ · · · ∪ Θk e a uniao das componentes conexas de Θ no diagrama de Dyn-kin de Σ entao cada componente conexa Θi, i = 1, . . . , k e um diagrama interior ewΘ

0 = wΘ10 · · ·w

Θk0 e o produto das involucoes principais correspondentes. Portanto a

afirmacao vale tambem para Θ nao conexo desde que suas componentes conexas sejamdiagramas interiores.) Olhando de um ponto de vista um pouco diferente esses fatosgarantem que se Σ e um sistema simples previamente fixado e w e uma involucao dogrupo de Weyl entao existe u tal que uwu−1 = wΘ

0 para algum Θ ⊂ Σ, cujo diagramae interior.


Esses fatos gerais serao particularizados a seguir as involucoes do grupo de WeylWRe sistema das raızes reais ΠRe. Para que esses resultados possam ser aplicados aconjugacoes de subalgebras de Cartan e necessario obter extensoes dos elementos WRe aautomorfismos de g. Essas extensoes serao essenciais para a classificacao e sao tratadascom detalhes na secao ??. A seguinte proposicao e um caso particular dos resultadosda secao ?? e cobre o caso necessario aqui para obter conjugacoes de subalgebras deCartan.

Proposicao 13.27 Dado u ∈ WRe existe um automorfismo u de g que estende u (istoe, u e a restricao de u a a) e tal que u (k) = k, u (s) = s e u (H) = H para todo H ∈ hk.

Demonstracao: Extensoes desse tipo serao obtidas na secao ??. Para efeito destaproposicao deve-se observar que se α e raiz real entao uma extensao rα da reflexao rαe dada por e(π/2)ad(Aα). Esse automorfismo deixa k e s invariantes pois o mesmo ocorrecom ad (Aα). Alem do mais, e(π/2)ad(Aα) fixa os elementos de hk pois Aα comuta comhk se α e raiz real. Como as reflexoes geram WRe as mesmas propriedades valem paraw = rα1 · · · rαk com extensao w = rα1 · · · rαk . 2

Agora e possıvel enunciar e provar o resultado que fornece uma famılia canonica deconjuntos totalmente ortogonais de raızes reais.

Theorem 13.28 Sejam h = hk ⊕ a uma subalgebra de Cartan que contem a e ΠC oconjunto das raızes de sua complexificada hC. Suponha que o conjunto ΠRe das raızesreais seja nao vazio e tome um sistema simples Σ ⊂ ΠRe. Para cada subconjuntoΘ ⊂ Σ seja como acima um totalmente ortogonal OΘ = µ1, . . . , µs ⊂ 〈Θ〉 tal quewΘ

0 = rµ1· · · rµs. Denote por bΘ o subespaco ortogonal em a a b⊥Θ que e gerado por

Hµ : µ ∈ OΘ e seja jOΘo subespaco de k gerado por Aµ : µ ∈ OΘ. Como no item

(4) do teorema 13.20,jΘ = jOΘ

⊕ hk ⊕ bΘ

e uma subalgebra de Cartan.Entao, qualquer subalgebra de Cartan e conjugada a alguma jΘ, Θ ⊂ Σ.

Demonstracao: Seja jO uma subalgebra de Cartan definida por um conjunto total-mente ortogonal O = α1, . . . , αs de raızes reais como no item (4) do teorema 13.20e na proposicao 13.21 e defina wO = rα1 · · · rαk ∈ WRe. Pelos comentarios acima sobreinvolucoes no grupo de Weyl WRe existe u ∈ WRe tal que uwOu

−1 = wΘ0 = rµ1

· · · rµscomo no enunciado do teorema. Entao uO = OΘ e portanto a extensao u de u satisfazu (jO) = jΘ. Isso conclui a demonstracao pois toda subalgebra de Cartan e conjugadaa alguma jO. 2

Em relacao a esse teorema valem as seguintes observacoes adicionais:

1. Para o enunciado do teorema pode-se tomar qualquer sistema simples Σ de raızesreais. Na secao 13.1 foi definido o sistema simples ΣRe, que e uma escolha con-veniente para obter informacoes diretamente a partir dos diagramas.


2. Existem subconjuntos Θ1,Θ2 ⊂ Σ, Θ1 6= Θ2, para os quais as subalgebras jΘ1

e jΘ2 sao conjugadas, isto e, pertencem a mesma classe de equivalencia. Paraisso basta que Θ2 = σ (Θ1) com σ automorfirsmo do sistema de raızes reais. Porexemplo, se Θ1 = α1 e Θ2 = α2 com α1 e α2 raızes simples reais de mesmocomprimento entao existe w ∈ WRe tal que wα1 = α2 e portanto a extensao w dew satisfaz w (jΘ1) = jΘ2 .

3. Se as subalgebras de Cartan j1 = (j1 ∩ k) ⊕ (j1 ∩ s) e j2 = (j2 ∩ k) ⊕ (j2 ∩ s) saoconjugadas entao suas partes compactas (j1 ∩ k) e (j2 ∩ k) assim como suas partesem s, (j1 ∩ s) e (j2 ∩ s), tem a mesma dimensao pois os elementos de k tem auto-valores imaginarios enquanto que os de s tem auto-valores reais. Portanto seduas subalgebras jΘ1 e jΘ2 , Θ1,Θ2 ⊂ Σ, como no teorema sao conjugadas entaoΘ1 e Θ2 tem a mesma quantidade de elementos. Isso porque a dimensao da partecompacta de jΘ e o numero de elementos em Θ mais a dimensao de hk.

4. Com as notacoes do teorema, o centralizador de jOΘem a e exatamente bΘ pois b⊥Θ

e o subespaco gerado por Hα, α ∈ Θ, e se H ∈ a centraliza jOΘentao wΘ

0 H = H.

Entre as subalgebras de Cartan dadas pela famılia canonica do teorema 13.28 exis-tem subalgebras que sao maximais compactas, isto e, contem subalgebras de Cartande k. A proposicao a seguir especifica para quais subconjuntos Θ ⊂ Σ as subalgebrasjΘ sao maximais compactas.

Proposicao 13.29 Com as notacoes do teorema 13.28, a subalgebra de Cartan jΘ emaximal compacta se e so se Θ ⊂ Σ e maximal (por inclusao) com a propriedade deser um diagrama interior. Isso e equivalente a que o conjunto OΘ = µ1, . . . , µs quedefine wΘ

0 = rµ1· · · rµs seja maximal totalmente ortogonal.

Demonstracao: Como jΘ = jOΘ⊕ hk ⊕ bΘ essa subalgebra e maximal compacta se e

so se jOΘ⊕hk e subalgebra de Cartan de k. Se Θ ⊂ Θ1 entao jOΘ

⊂ jOΘ1por construcao

desses subespacos. Portanto se Θ nao e maximal entao jOΘ⊕ hk nao e de subalgebra

de Cartan de k pois essas subalgebras sao maximas abelianas.Para a recıproca seja t uma subalgebra de Cartan de k que contem jOΘ

⊕hk e escolhac ⊂ a tal que t ⊕ c e subalgebra de Cartan de g. Entao, c ⊂ bΘ pois como observadoacima bΘ e o centralizador de jOΘ

em a. Daı que b⊥Θ ⊂ c⊥ e pelo corolario 13.26 existe umconjunto totalmente ortogonal de raızes O que gera c⊥ e tal que OΘ = µ1, . . . , µs ⊂ O.Portanto, se OΘ e maximal entao b⊥Θ = c⊥, c = bΘ e jOΘ

⊕ hk = t e uma subalgebra deCartan, concluindo a demonstracao. 2

Em geral existe mais de um conjunto maximal de raızes reais totalmente ortogonais(veja por exemplo o caso de sl (n,R) na secao sobre algebras classicas reais). Segue noentanto da proposicao que todos esses conjuntos tem o mesmo numero de elementos,digamos M , e que o posto de k e dado por M + dim hk sendo que dim hk e a diferencaentre o posto de g e seu posto real (dim a).

Como caso particular tome as forma reais normais quando se tem hk = 0, hR = ae todas as raızes de ΠC sao reais. Se o diagrama de Dynkin e interior entao a involucao


principal w0 = rµ1· · · rµl = −1 e o conjunto de raızes µ1, . . . , µl e uma base de raızes

totalmente ortogonais. Esse conjunto e maximal totalmente ortogonal e os demaisconjuntos maximais sao dados pelas diferentes escolhas de raızes que fornecem w0 comoproduto de reflexoes. Nesse caso de uma forma real normal com diagrama interior, oposto de k e igual ao posto de g pois dim hk = 0 e o numero de raızes numa basetotalmente ortogonal µ1, . . . , µl e o posto de g.

Para uma forma real normal em que o diagrama de Dynkin nao e interior, a quan-tidade de raızes num conjunto totalmente ortogonal maximal e menor que o posto de ge portanto o posto de k e menor que o de g. Com isso se chega a seguinte consequenciainteressante dos resultados anteriores.

Proposicao 13.30 Seja g = k⊕s uma forma real normal. Entao o posto de k coincidecom o posto de g se e so se o diagrama de Dynkin de ΠC (que e o mesmo que o diagramade Dynkin Π das raızes restritas) e interior. Essa afirmacao e equivalente a que oconjunto das raızes admita uma base totalmente ortogonal.

Os seguintes exemplos ilustram essa afirmacao sobre as formas reais normais (vejamais detalhes na secao sobre algebras classicas reais):

1. Para g = sl (n,R), k = so (n) cujo posto e n/2 ou (n− 1) /2 dependendo se n epar ou ımpar. Daı que nao existem bases de raızes totalmente ortogonais pois oposto de sl (n,R) e n− 1 (A menos que n = 2).

2. A forma real normal de Bl = so (2l + 1,C) e a algebra g = so (l, l + 1) cujocompacto maximal e k = so (l)⊕ so (l + 1).

O posto de k e l/2 + (l + 1− 1) /2 = l se l e par e (l − 1) /2 + (l + 1) /2 = l se le impar. Em ambos os casos o posto de k coincide com o posto de g, que e l. Odiagrama de Dynkin de Bl e interior.

3. Para Cl = sp (l,C) a forma real normal e a algebra g = sp (l,R) cujo compactomaximal e k = u (l). O posto de sp (l,R) e l que e igual ao posto de k = u (l). Odiagrama de Dynkin de Cl e interior.

4. A forma real normal de Dl = so (2l,C) e a algebra g = so (l, l) cujo compactomaximal e k = so (l) ⊕ so (l). Se l e par entao o posto de k e l = l/2 + l/2 eportanto e igual ao posto de g. Por outro lado se l e ımpar entao k tem posto(l − 1) /2 + (l − 1) /2 = l − 1 que e menor que o posto de g. Como se sabe Dl einterior se l e par e exterior se l e ımpar.

Os resultados desta secao valem para as realificadas das algebras semissimples com-plexas. O exemplo a seguir mostra que para essas algebras a situacao e relativamentetrivial uma vez que as subalgebras de Cartan sao todas conjugadas entre si.

Exemplo: Seja g o realificado de uma algebra complexa semissimples gC. Uma de-composicao de Cartan de g e dada por g = u⊕ iu onde u e uma forma real compacta


de gC. Nessa situacao a subalgebra de Cartan h de g (e de gC) que vem sendo usadae da forma h = ihR ⊕ hR com hR ⊂ s = iu abeliano maximal gerado pelas raızes.O subespaco ihR e uma subalgebra de Cartan de u e portanto h e uma subalgebramaximal compacta. Como a = hR ⊂ h essa subalgebra e tambem minimal compacta.Portanto pelos resultados apresentados acima existe uma unica classe de equivalenciade subalgebras de Cartan de g. A complexificada gC de g e a soma de dois ideais iso-morfos a gC, isto e, gC = gC×gC onde a complexificada hC e h×h (veja o capıtulo 12).As raızes de hC sao da forma α× 0 ou 0×α com α raiz de h. Como a inclusao de g nacomplexificada e dada por X 7→ (X,φX), se ve que nenhuma raiz de hC = h×h e real,confirmando o fato de que existe apenas uma classe de equivalencia de subalgebras deCartan.


— Compactos maximais.

— Diagramas de Satake

— subalgebras de Cartan (mencionar o que esta aqui nos exemplos do capıtulo desubalgebra de Cartan).

— formas reais compactas e normais no capıtulo anterior

— base de Weyl adaptada

— posto real

— multiplicidades das raızes restritas

Nessa secao serao apresentadas as formas reais das algebras simples complexasclassicas (sl (n,C),so (n,C) e sp (n,C)). Essas formas reaiz tambem sao denominadasalgebras classicas.

Na descricao das algebras reais sao utilizadas as seguintes matrizes escritas emblocos

Ip,q =

(1p 00 −1q

)Jn =

(0 −1n1n 0

)

Kp,q =

1p 0 0 00 −1q 0 00 0 −1p 00 0 0 1q

,

onde 1r indica a matriz identidade r × r. Na apresentacao das algebras a notacaoe a usual: u e a forma real compacta de uma algebra complexa gC e g = k ⊕ s e adecomposicao de Cartan enquanto que θ denota a involucao de Cartan de g, que podeser vista tambem como um automorfismo da forma real compacta. O tipo a que serefere em cada um dos casos segue a notacao da classificacao de Cartan das algebrasreais.

Sao usadas aqui livremente as notacoes assim como outros fatos sobre algebrascomplexas classicas da secao 8.2.


13.4.1 Formas reais de Al = sl (n,C), n = l + 1

As formas reais nao compactas de sl (n,C) sao sl (n,R), sl (n,H) e su (p, q) (p+q = n).

Formas reais de Al

A forma real compacta e su (n), n = l + 1.

Tipo AI = sl (n,R)

A forma real e sl (n,R) que, como foi visto anteriormente, e a forma real normal desl (n,C). A involucao de Cartan restrita a sl (n,R) e θ (X) = −X t enquanto que arestricao de θ a su (n) e dada por θ (X) = X. A ecolha natural da subalgebra deCartan h com parte vetorial maxima e dada pelas matrizes diagonais reais de traco 0.Assim como no caso complexo as raızes de h sao λi − λj, i 6= j.

Tipo AII = sl (n,H)

A forma real e a algebra sl (n,H) das matrizes quaternionicas n × n em que a partereal do traco e zero.

Essa algebra pode ser representada tambem por matrizes reais ou complexas usandoos homomorfismos canonicos entre matrizes reais, complexas e quaternionicas: IC,R :Mn×n (C)→M2n×2n (R), IH,R :Mn×n (H)→M4n×4n (R) e IH,C : Mn×n (H)→M2n×2n (C).Esses homomorfismos sao dados por

IC,R (α + iβ) =

(α −ββ α

)com α e β matrizes n× n reais,

IH,R (a+ ib+ jc+ kd) =

a −b −c −db a −d cc d a −bd −c b a

(13.1)

onde a, b, c e d sao matrizes n× n reais e

IH,C (a+ ib+ jc+ kd) = IH,C (a+ ib+ j (c− id)) =

(a+ ib −c+ idc− id a− ib

)em que a, b, c e d sao matrizes reais n × n e portanto a + ib e c − id sao matrizescomplexas n× n.

Por esses homomorfismos a algebra sl (n,H) e isomorfa a algebra das matrizes reais4n× 4n da forma (13.1) com tra = 0 ou a algebra das matrizes complexas 2n× 2n daforma

q =

(Z −WW Z

)(13.2)


trZ + trZ = 0, isto e, Re trZ = 0. O conjunto das matrizes (13.2) e um subespacovetorial real mas nao complexo. Nesse ultimo caso o homomorfismo e dado por

Z + jW 7→(

Z −WW Z

).

Da realizacao de sl (n,H) como algebra de matrizes complexas segue de imediatoque sua complexificada e sl (2n,C). De fato, a igualdade(

A BC D

)=

1

2

(A+D B − C−B + C A+D

)+

1

2

(A−D B + CB + C −A+D

)=

1

2

(A+D B − C−B + C A+D

)+i

2

(−iA+ iD −iB − iC−iB − iC iA− iD

)fornece a decomposicao de uma matriz complexa arbitraria 2n × 2n como uma somaX + iY em que ambas X e Y tem a forma (12.16). Alem do mais, trA+ trD = 0 se eso se Re trX = Re trY = 0. Portanto sl (2n,C) e o complexificado do espaco (real) dasmatrizes do tipo (12.16). Isso significa que sl (n,H) e uma forma real de sl (2n,C).

Numa algebra de Lie de matrizes uma decomposicao de Cartan natural g = k ⊕ se dada por matrizes anti-simetricas e simetricas (ou hermitianas). Com isso, a de-composicao de Cartan natural de sl (n,H) dada nas diferentes realizacoes e que secorrespondem sao as seguintes:

1. Na realizacao por matrizes reais k e dado pelas matrizes anti-simetricas e s pelasmatrizes simetricas que sao da forma (13.1).

2. Na realizacao por matrizes complexas, k e s sao dadas por matrizes da forma(13.2) que sao anti-hermitianas e hermitianas respectivamente. Isto e,

k = (A BT

B −AT) A+ A

T= B +B = 0

e

s = (

Z −W T

W ZT

) Z − ZT

= W +W = 0.

3. Na realizacao por matrizes quaternionicas k e s sao os espacos (reais) das matrizesanti-hermitianas e hermitianas respectivamente. Isto e,

k = X ∈Mn×n (H) : X = −XT s = X ∈Mn×n (H) : X = XT.

A algebra k das matrizes quaternionicas anti-hermitianas e denotada por k =sp (n) e e a forma real compacta de Cn = sp (n,C).

Na realizacao por matrizes quaternionicas a algebra de matrizes diagonais

h = diaga1 + ibi, . . . , an + ibn : ar, br ∈ R, a1 + · · ·+ an = 0


e subalgebra de Cartan. Ela se decompoe como h = hk ⊕ a em que hk e dada pelasmatrizes imaginarias em h e a pelas matrizes reais. O subespaco a e abeliano maximalem s. Portanto o posto real de sl (n,H) e n− 1 = dim a.

Na realizacao por matrizes complexas tem-se

a = (

Λ 00 Λ

): trΛ = 0 hk =

(iΛ 00 −iΛ

)

com Λ diagonal real n× n em ambos os casos. Portanto h esta contida na subalgebrade Cartan hC de sl (2n,C) formada pelas matrizes diagonais (complexas) de traco 0.Como as dimensoes coincidem hC e a complexificada de h. O conjunto das raızes ΠCde hC e formado por λr − λs, r 6= s, sendo que se α = λr − λs ∈ ΠC entao Hα e ummultiplo racional da matriz diagonal com entrada 1 na posicao r, −1 na posicao s e 0nas demais posicoes,

Hα = cdiag0, . . . , 1r, . . . ,−1s, . . . , 0 0 < c ∈ Q. (13.3)

Para as subalgebras de Cartan h e hC as construcoes feitas na secao 13.1 sao asseguintes:

1. hR e a algebra das matrizes diagonais reais 2n × 2n de traco 0 e ihk e a algebradas matrizes diagonais reais da forma(

Λ 00 −Λ

).

2. O conjunto das raızes reais ΠRe e vazio pois nenhuma matriz diagonal da forma(13.3) pertence a a. Ja o conjunto das raızes imaginarias e dado por

ΠIm = ± (λr − λn+r) : r = 1, . . . , n.

3. Uma escolha de um elemento regular real Ha ∈ a tal que ΠIm = α ∈ ΠC :α (Ha) = 0 pode ser feita entre matrizes do tipo

Ha =

(Λ 00 Λ

)Λ = diaga1, . . . , ana1 > · · · > an > 0.

As raızes estritamente positivas em Ha sao λr − λs, λn+r − λn+s, λr − λn+s,λn+r − λs com 1 ≤ r < s ≤ n em todos os casos. Essas raızes fazem partede um conjunto Π+

C de raızes positivas associado a uma camara de Weyl h+R

que contem Ha no seu fecho. Um sistema simples de raızes Σa que define umacamara h+

R e construido da seguinte forma: tome o conjunto de raızes imaginariasβ1 = λ1 − λn+1, β1 = λ2 − λn+2, . . . βn = λn − λ2n, isto e, βs = λs − λn+s,s = 1, . . . , n e intercale o conjunto de raızes α1 = λn+1− λ2, α2 = λn+2− λ3, . . . ,αn−1 = λn−1 − λn que sao positivas em Ha para obter

Σa = λ1 − λn+1, λn+1 − λ2, λ2 − λn+2, λn+2 − λ3, λ3 − λn+3, λn+3 − λ4, λ4 − λn+4, . . . , λn−1 − λn, λn − λ2n= β1, α1, β2, α2, . . . , αn−1, βn.


Esse conjunto e um sistema simples de raızes em ΠC cujo conjunto de raızespositivas associado Π+

C e o conjunto de raızes dado acima, que sao estritamentepositivas em Ha, juntamente com as raızes imaginarias λr − λn+r, r = 1, . . . , n.

No diagrama de Satake de Σa as raızes β1, β2, . . . , βn sao representadas por cırculoscheios. Por outro lado, dado duas raızes simples nao imaginarias emm Σa suas restricoesa a nao sao iguais. Em termos do diagrama isso significa que nao existe ligacao (flechadupla) entre duas raızes nao imaginarias. Por isso o diagrama de Satake eu e u u e u

Para olhar as raızes restritas e mais conveniente tomar a realizacao por matrizesquaternionicas. Nesse caso a e dado pelas matrizes diagonais Λ = a1, . . . , an comai ∈ R e trΛ = 0. Como nas algebras sl (n,R) e sl (n,C), as raızes sao os funcionaislineares

αrs (Λ) = (λr − λs) (Λ) = ar − as.O espaco gαrs correspondente a raiz αrs e dado pelas matrizes quaternionicas comentrada nao nula so na posicao rs. Daı que todas as raızes tem multiplicidade 4. Cadaespaco de raızes gαrs ≈ H se decompoe em dois subespacos invariantes por hk pois amultiplicacao por i em H deixa invariante os subespacos gerados por 1, i e por j, k.

O conjunto das raızes de (sl (n,H) , a) e um sistema de raızes do tipo An−1 e umconjunto de raızes simples natural e

Σ = λ1 − λ2, . . . , λn−1 − λn= α1, . . . , αn−1

cujo diagrama de Dynkin e

Al, l ≥ 1 e4 e4 . . . e4 e4α1 α2 αl−1 αl

Os numeros acima das raızes no diagrama dao as multiplicidades das raızes restritas.Em sl (n,H) existe uma unica classe de equivalencia de subalgebras de Cartan pois

nao existem raızes reais. Isso pode ser visto tambem pelo fato de que h = hk ⊕ a e aomesmo tempo uma subalgebra de Cartan minimal compacta (pois a ⊂ h) e maximalcompacta pois hk e subalgebra de Cartan de k = sp (n).

Tipo AIII = su (p, q)

As formas reais sao su (p, q), p ≤ q. Essas sao as algebras (reais) das matrizes complexas(p+ q)× (p+ q) que satisfazem

Ip,qX +X tIp,q = 0 .

Uma matriz X ∈ su (p, q) e escrita em blocos p× p e q × q como

X =

(α β

βtγ

)α e γ anti-hermitianastr (α + γ) = 0.


Uma decomposicao de Cartan e dada por

k = (α 00 γ

) s =

(0 β

βt

0

), (13.4)

ja que tanto k quanto is estao contidos em su (p+ q). Um elemento X ∈ k pode serescrito como (

α− tr αp

1 0

0 0

)+

(0 00 γ − tr γ

q1

)+

( tr αp

1 0

0 tr γq

1

), (13.5)

o que mostra que k nao e semi-simples e e isomorfa a

su (p)⊕ su (q)⊕ z,

onde o centro z e formado pelas matrizes do ultimo termo na decomposicao (13.5).Um abeliano maximal em s e dado pela subalgebra das matrizes (13.4) com β da

formaβ =

(Λ 0

)com Λ real e diagonal p× p. Dessa forma, o posto real de su (p, q) e p = min (p, q).

A involucao de Cartan em su (p, q) e dada por θ (X) = −X tenquanto que em

su (p+ q) ela e dada por θ (X) = Ip,qXIp,q.

AIII1

e e e uu

ue e e

?

6

?

6

?

6

Bpe e . . . e eA

The corresponding diagrams of ΣC and Σ in the case p = q are

AIII2 e e e ee e e e e

ZZ

?6

?6

?6

?6

Cp e e eA

e

Formas reais de Bl e Dl

A forma real compacta e representada por so (n), n ≥ 5.

Tipo BDI A forma real e so (p, q), p ≤ q que e a algebra das matrizes reais (p+ q)×(p+ q) tais que

Ip,qX +X t Ip,q = 0.

Em outras palavras, so (p, q) e a algebra das matrizes anti-simetricas em relacaoa forma quadratica cuja matriz e Ip,q. Uma matriz X ∈ so (p, q) se escreve emblocos como

X =

(α ββt γ

)α e γ anti-simetricas.


Essa algebra e uma forma real das matrizes complexas do mesmo tipo. Nessarealizacao, uma forma real compacta e

u =

(α i βi βt γ

)com α, β e γ reais. Assim, uma decomposicao de Cartan de so (p, q) e

k = (α 00 γ

) s =

(0 ββt 0

),

portanto k e isomorfa a so (p)⊕so (q) e e semi-simples se p 6= 2 6= q, caso contrarioa parte correspondente a so (2) e o centro de k. Um abeliano maximal em s edado pelas matrizes em que β e da forma

β =(

Λ 0)

com Λ diagonal p× p. Assim, o posto real e p = min (p, q). Esse posto coincidecom o posto da algebra complexa quando

• q = p + 1 se p + q e ımpar. E daı que as formas reais normais das algebrasdo tipo Bl sao so (l, l + 1).

• q = p se p+ q e par, de onde se ve que so (l, l) e a forma real normal de Dl.

Tanto em u quanto em so (p, q) a involucao de Cartan e dada por θ (X) = −X t.

Tipo DIII A interseccao sl (n,H)∩ so (2n,C) e uma forma real de so (2n,C) (e, por-tanto, deDl). Pela forma (12.16) das matrizes em sl (n,H) (vista como subalgebrade matrizes complexas), as matrizes em sl (n,H) ∩ so (2n,C) sao matrizes com-plexas da forma (

Z1 Z2

−Z2 Z1

)Z1 anti-simetricaZ2 hermitiana.

Essa algebra coincide com a das matrizes complexas 2n× 2n tais que

XtJn + JnX = 0.

Formas reais de Cl

A forma real compacta e sp (n) = sp (n,C) ∩ su (2n).

Tipo CI A forma real normal de sp (n,C) e a algebra simpletica real sp (n,R) que eformada por matrizes reais 2n× 2n escritas em blocos n× n como(

α βγ −αt

)β e γ simetricas.


Uma decomposicao de Cartan dessa algebra e dada por

k = (α −ββ α

) α anti-simetrica

β simetrica

e

s = (α ββ −α

) α e β simetricas.

A subalgebra k e isomorfa a u (n), a algebra das matrizes anti-hermitianas n×n.O isomorfismo e dado pela realificacao de Cn em que uma transformacao linearcomplexa dada pela n× n matriz α+ i β fica sendo uma matriz real como em k.A matriz complexa e anti-hermitiana se e so se α e anti-simetrica e β e simetrica.Um abeliano maximal em s e dado pelas matrizes diagonais(

Λ 00 −Λ

)com Λ matriz diagonal n× n. Assim, o posto real de sp (n,R) coincide com seuposto, confirmando que essa e uma forma real normal.

A involucao de Cartan em sp (n,R) e dada por θ (X) = −X t enquanto que naforma real compacta u, θ (X) = X.

Tipo CII A forma real e a algebra sp (p, q) das matrizes em sp (p+ q,C) que satisfa-zem

AKp,q +Kp,qAt = 0,

isto e, que sao anti-simetricas em relacao a forma hermitiana definida por Kp,q.Essa algebra e obtida pela involucao de Cartan em su (p+ q) definida por θ (X) =Kp,qXKp,q cuja decomposicao de Cartan e

k =

X 0 W 00 Y 0 Z−X 0 X 00 −Z 0 Y

: X ∈ u (p) , Y ∈ u (q) ;W,Z simetricas sobre C

e

s =

0 X 0 YX t 0 Y t 00 Y 0 −XY t 0 −X t 0

: X, Y sao p× q sobre C.

A subalgebra k e isomorfa a sp (p)× sp (q).


13.4.2 Formas reais de Bl = so (2l + 1,C)

13.4.3 Formas reais de Cl = sp (l,C)

13.4.4 Formas reais de Dl = so (2l,C)

13.5 Apendice: princıpio do maximo

O objetivo desse apendice e provar o resultado sobre grupos de Lie compactos denomi-nado de princıpio do maximo (ou do mınimo). Esse princıpio e util para mostrar quesubalgebras sao conjugadas entre si no seguinte contexto: seja l uma algebra de Lie(real e dim l <∞). O conjunto de transformacoes lineares

L = ead(X1) · · · ead(Xk) : X1, . . . , Xk ∈ l, k ≥ 1

e um grupo de Lie de automorfismo de l. Se l e uma algebra compacta (como u ou ke muitas de suas subalgebras) entao L e compacto e o prıncipio do maximo se aplica.Com isso pode-se provar, a partir do princıpio do maximo, as conjugacoes que aparecemno teorema de classificacao das subalgebras de Cartan.

O que se denomina de princıpio do maximo e a combinacao das afirmacoes nasproposicoes a seguir. Nessas proposicoes Ad denota a representacao adjunta de umgrupo de Lie em sua algebra de Lie (no caso de um grupo linear como L acima, vale aformula Ad

(ead(X)

)= ead(X)).

Proposicao 13.31 Seja U um grupo de Lie compacto com algebra de Lie u. DadosX, Y ∈ u suponha que exista um subgrupo de Lie compacto K ⊂ U tal que para todok ∈ K,

[Y,Ad (k)X] ⊂ k.

Entao existe k0 ∈ K tal que [Y,Ad (k0)X] = 0.

Demonstracao: Seja (·, ·) um produto interno Ad (U)-invariante em u e defina afuncao F : K → R dada por

F (k) = (Ad (k)X, Y ) .

Essa funcao e diferenciavel e, como K e compacto, ela assume um mınimo em algumk0 ∈ K. Portanto, se k e a algebra de Lie de K entao para qualquer Z ∈ k, a funcaof : R→ R dada por

f (t) =(etad(Z)Ad (k0)X, Y

)assume um mınimo em t = 0. Usando o fato de que etad(Z) e isometria de (·, ·), f sereescreve como

f (t) =(Ad (k0)X, e−tad(Z)Y

)cuja derivada e

f ′ (0) = (Ad (k0)X, [Y, Z]) = 0


que e o mesmo que([Y,Ad (k0)X], Z) = 0,

pois ad(Y ) e antissimetrica. Por hipotese [Y,Ad (k0)X] ∈ k e como a restricao de (·, ·)a k e nao degenerada e Z ∈ k e arbitrario, se conclui que [Y,Ad (k0)X] = 0. 2

Proposicao 13.32 Seja U um grupo de Lie compacto com algebra de Lie u. Dadosos toros T1, T2 ⊂ U com algebras de Lie (abelianas) t1 e t2, respectivamente suponhaque exista um subgrupo de Lie compacto K ⊂ U com algebra de Lie k tal que para todok ∈ K, vale

[t2,Ad (k) t1] ⊂ k.

Entao existe k0 ∈ K tal que

1. todo elemento de k0T1k−10 comuta com os elementos de T2 e

2. para todo X ∈ t1 e Y ∈ t2, [Ad (k0)X, Y ] = 0.

Demonstracao: Por hipotese [Y,Ad (k)X] ∈ k se X ∈ t1, Y ∈ t2 e k ∈ K. Portantoa proposicao anterior garante que existe k0 ∈ K tal que [Y,Ad (k0)X] = 0. Isso implicaque os grupos a 1-parametro k0e

tXk−10 = etAd(k0)X e esY comutam entre si e portanto

os seus fechos tambem comutam entre si. Escolhendo entao X ∈ t1 e Y ∈ t2 de talforma que seus grupos a 1-parametro sejam densos em T1 e T2 respectivamente, seconclui que k0T1k

−10 comuta T2 provando a primeira afirmacao. A segunda afirmacao

e consequencia da primeira. 2

Um caso particular da proposicao anterior e quando o subgrupo K coincide comU . Nesse caso a condicao [t2,Ad (k) t1] ⊂ k e automaticamente satisfeita. O corolarioa seguir considera essa situacao sem assumir de antemao que os grupos associados asalgebras abelianas sao fechados.

Corolario 13.33 Sejam U um grupo de Lie compacto com algebra de Lie u e l1, l2 ⊂u subalgebras abelianas. Entao existe u0 ∈ U tal que para todo X ∈ l1 e Y ∈ l2,[Ad (u0)X, Y ] = 0.

Demonstracao: Sejam L1 = 〈exp l1〉 e L2 = 〈exp l2〉 os grupos de Lie conexos comalgebras de Lie l1 e l2 respectivamente. Esses grupos sao abelianos mas nao sao neces-sariamente fechados, isto e, toros como no proposicao anterior. Em vista disso tomeos fechos Ti = Li, i = 1, 2, que sao toros, e denote por ti, i = 1, 2, suas algebras deLie. Pela proposicao anterior existe u0 ∈ U tal que Ad (u0) t1 comuta com t2 daı queAd (u0) l1 ⊂ Ad (u0) t1 comuta com l2 ⊂ t2. 2

13.6 Exercıcios

?????

Capıtulo 14

Sistemas de raızes com involucoes

Este capıtulo tem o mesmo espırito que o capıtulo 9 sobre grupos de Weyl. Sao con-sideradas aqui transformacoes lineares involutivas que deixam invariante um sistemade raızes. O estudo dessas involucoes e decisivo na classificacao por diagramas, a serfeita no proximo capıtulo, das formas reais das algebras simples complexas. Nessasalgebras, involucoes que deixam invariante o sistema de raızes aparecem atraves dasinvolucoes de Cartan.

14.1 Sistemas restritos

Um sistema de raızes Π ⊂ E, juntamente com uma transformacao linear σ : E → Einvolutiva (σ 6= 1 e σ2 = 1), que preserva Π (isto e, σ(Π) = (Π)) e denominadode σ-sistema de raızes. Para estudar os σ-sistemas e possıvel assumir, sem perda degeneralidade, que o sistema de raızes Π e irredutıvel, uma vez que todo sistema de raızesse decompoe em componentes irredutıveis. Pode-se assumir tambem que o sistema ereduzido. Isso evita a necessidade de considerar, em diversos argumentos, multiplosinteiros das raızes.

Assumindo que o sistema e irredutıvel, uma transformacao σ que deixa invarianteo conjunto das raızes e uma isometria do produto interno invariante pelo grupo deWeyl. De fato, os numeros de Killing associados as raızes α,β e σα,σβ coincidem, poisa imagem por σ da α-sequencia iniciada em β e a σα-sequencia inciada em σβ. Dessaforma, procedendo como na demonstracao do teorema 8.8, e usando a irredutibilidadedo sistema de raızes, mostra-se que σ e uma isometria do produto interno.

O fato de σ ser isometria garante que o conjunto

β ∈ E : 〈α, β〉 = 0 para algum α ∈ Π

dos elementos nao regulares e invariante por σ. Portanto, o conjunto dos elementosregulares tambem e invariante e, por continuidade, σ permuta entre si as camaras deWeyl.

Por essa razao, a menos de multiplicacao por um automorfismo de diagrama, σ eum elemento do grupo de Weyl W . De fato, tomando uma camara de Weyl C e o

399

400 Capıtulo 14. Sistemas de raızes com involucoes

sistema simples Σ correspondente, σ (C) e uma camara de Weyl e, portanto, existeum unico w ∈ W tal que se πσ = wσ, entao πσ (C) = C, isto e, πσ (Σ) = Σ, onde Σe o sistema simples associado a C. Como tanto w quanto σ sao isometrias, πσ e umautomorfismo do diagrama determinado por Σ que depende exclusivamente de σ. Emtermos desse automorfismo se faz a seguinte distincao:

• σ e interior se πσ = 1, isto e, se σ e um elemento do grupo de Weyl, e

• σ e exterior se πσ 6= 1. Nesse caso σ nao pertence ao grupo de Weyl.

Os unicos diagramas irredutıveis que admitem automorfismos nao-triviais sao Al,Dl e E6. Assim, exceto para esses diagramas, σ e necessariamente um elemento dogrupo de Weyl.

A origem dos termos interior e exterior vem do grupo dos automorfismos de umaalgebra de Lie: no caso de um sistema de raızes de uma subalgebra de Cartan de umaalgebra semi-simples, transformacoes que preservam as raızes, como e o caso de σ,sao obtidas por restricoes de automorfismos da algebra. Se o automorfismo e interno(isto e, da forma exp ad (X)), entao a restricao e interna como na definicao acima evice-versa.

As questoes a estudar sobre os σ-sistemas dizem respeito a posicao relativa entre oconjunto Π das raızes e os auto-espacos de σ. Como σ e involutiva, seus autovaloressao ±1 e E se decompoe como

E = E+ ⊕ E−,onde E+ e auto-espaco associado ao autovalor +1 (subespaco dos pontos fixos porσ) e E− associado ao autovalor −1. O fato de σ ser ortogonal implica que E− e ocomplementar ortogonal de E+. Para α ∈ E, pode-se escrever

α =α + σα

2+α− σα

2

como soma de elementos de E+ e E−. Como essa decomposicao e unica, as projecoesortogonais P± sobre E± sao dadas, respectivamente, por

P+α =α + σα

2P−α =

α− σα2

.

Os resultados interessantes sobre os σ-sistemas sao mostrados com a seguinte hipo-tese adicional.

Definicao 14.1 Um σ-sistema de raızes e dito normal se para toda raiz α ∈ Π, α−σαnao e raiz.

Os σ-sistemas que aparecem nas aplicacoes (as algebras semi-simples reais, porexemplo) sao normais. Para os sistemas normais, a projecao ortogonal do conjunto dasraızes sobre o subespaco dos pontos fixos por σ ainda e um sistema de raızes:

Proposicao 14.2 Suponha que o σ-sistema de raızes Π seja normal e seja P+ aprojecao ortogonal sobre E+. Entao, P+ (Π)− 0 e um sistema de raızes em E+.

14.1. Sistemas restritos 401

Demonstracao: Por simplicidade de notacao, P+ sera denotado apenas por P . Oconjunto P (Π) e evidentemente finito e gera E+, pois Π gera E.

As reflexoes associadas aos elementos de P (Π)−0 serao tomadas como sendo asreflexoes ortogonais em relacao ao produto interno restrito a E+. Para Pα 6= 0, α ∈ Π,essa reflexao e dada por

rPα (λ) = λ− 2〈Pα, λ〉〈Pα, Pα〉

Pα.

Para verificar que P (Π)−0 e um sistema de raızes e necessario verificar que essasreflexoes deixam P (Π) invariantes e que os numeros de Killing


para α, β ∈ Π sao inteiros. Para isso, sao considerados os seguintes casos:

1. Pα = α, isto e, σα = α. Nesse caso α ∈ E+ e 〈Pα, Pβ〉 = 〈α, β〉 para qualquerβ ∈ Π, pois β se escreve como Pβ + P−β e P−β e ortogonal a E+. Por isso, onumero de Killing


=2〈α, β〉〈α, α〉

e inteiro. Alem do mais,

rPα (Pβ) = Pβ − 2〈Pα, Pβ〉〈Pα, Pα〉

Pα = P

(β − 2〈α, β〉

〈α, α〉α

)e, portanto, rPα deixa P (Π) invariante.

2. Pα 6= α e σα e ortogonal a α. Entao,

〈Pα, Pα〉 = 〈α + σα

2,α + σα

2〉 =

1

2〈α, α〉 =

1

2〈σα, σα〉.

Portanto, para β ∈ Π, o numero de Killing associado a Pα e Pβ e


=〈α + σα, β〉〈Pα, Pα〉

=2〈α, β〉〈α, α〉


.

O ultimo membro desta igualdade e inteiro por ser a soma de numeros de Killingde Π. Essa igualdade mostra tambem que a reflexao rPα e dada por

rPα (Pβ) = P

(β − 2〈α, β〉

〈α, α〉α− 2〈σα, β〉〈σα, σα〉

σα

).

A expressao no argumento de P no segundo membro e nada mais nada menosque rαrσα (β), ja que α e σα sao ortogonais. Isso mostra que rPα = P rα rσα.Portanto, rPα deixa P (Π) invariante.


3. Pα 6= α e σα nao e ortogonal a α. E aqui que entra a hipotese de que o sistemae normal. Em primeiro lugar,

〈Pα, Pα〉 =1

4〈α, α〉 =

1

4〈σα, σα〉. (14.1)

De fato, α − σα nao e raiz, pois o sistema e normal. Como σα nao e ortogonala α, a formula de Killing aplicada a α-sequencia iniciada em σα garante que〈α, σα〉 < 0. Mas α e σα sao raızes de mesmo comprimento e daı que o numerode Killing correspondente so pode ser

2〈α, σα〉〈α, α〉

= −1.

Portanto, 2〈α, σα〉 = −〈α, α〉, o que implica (14.1).

Seja β outra raiz. Por (14.1) o numero de Killing entre Pα e Pβ e

2〈Pα, β〉〈Pα, Pα〉

=4〈α, β〉〈α, α〉


,

que e inteiro. Com essa expressao para o numero de Killing, fica facil mostrarque

rPα (Pβ) = P (rαrσαrα (β)) ,

o que garante que rPα deixa P (Π) invariante.

Em geral, a projecao P+ (Π)−0 nao e um sistema reduzido de raızes. Um exemplopode ser dado em D4:

Exemplo: As raızes positivas de D4,

eα1

eα2,,

ll

eα3

eα4

saoα1, α2, α3, α4

α1 + α2, α2 + α3, α2 + α4

α1 + α2 + α3, α1 + α2 + α4, α2 + α3 + α4

α1 + α2 + α3 + α4, α1 + 2α2 + α3 + α4 .

Denotando por ri a reflexao em relacao a raiz simples αi, i = 1, . . . , 4, as reflexoes r1,r3 e r4 comutam entre si, pois as raızes sao ortogonais duas a duas. Por essa razao,

σ = r1r3r4

e uma involucao. Alem do mais, σ (αi) = −αi, i = 1, 3, 4 e

σ (α2) = α1 + α2 + α3 + α4 .


Os valores de σ nas demais raızes sao encontrados por linearidade. Esses valores mos-tram que σ define um sistema normal. O subespaco dos pontos fixos por σ e dedimensao um e e gerado por α1 + 2α2 + α3 + α4, enquanto que E− e gerado por−α1, α3, α4. A projecao P+ (Π)− 0 e o sistema de raızes formado por

±P (α2) e ± P (α1 + 2α2 + α3 + α4) = ±2P (α2) ,

que nao e um sistema reduzido. 2

Por analogia ao conjunto de raızes restritas de uma algebra semi-simples real osistema P+ (Π) − 0 em E+ e chamado de sistema restrito associado ao σ-sistemanormal.

Sistemas simples para P (Π+) − 0 podem ser construıdos a partir de sistemassimples em E, tomando uma ordem lexicografica que seja compatıvel com uma ordemlexicografica em E+. Uma ordem dessas e definida por uma base

γ1, . . . , γl

de E, cujos primeiros elementos estejam em E+ e os demais em E−.Em relacao a uma ordem lexicografica dada por uma base desse tipo, σ e bem

comportada no sentido em que se σβ 6= −β entao β > 0 se e so se σβ > 0. De fato,denotando por k a dimensao de E+, se

β = a1γ1 + · · ·+ alγl ,

entaoσβ = a1γ1 + · · ·+ akγk − ak+1γk+1 − · · · − alγl.

Portanto, o primeiro coeficiente nao-nulo de β coincide com o de σβ caso β tenhacomponentes na direcao dos k primeiros elementos da base.

Fixando uma ordem lexicografica compatıvel, seja Σ o sistema simples de raızescorrespondente. Esse sistema simples se divide nos subconjuntos

• Σ− = Σ ∩ E− das raızes simples em que σα = −α e

• Σ+ = Σ− Σ− das raızes simples α que satisfazem σα 6= −α.

De maneira semelhante, seja Π− = Π ∩ E−. Esse conjunto e a intersecao de umsistema de raızes com um subespaco. Portanto, se Π− nao for vazio, ele e um sistemade raızes no subespaco que ele gera (que, em geral, e menor que E−).

A propriedade principal de Σ− e dada pela proposicao a seguir.

Proposicao 14.3 Σ− e um sistema simples de raızes em Π−.

Demonstracao: Como a ordem lexicografica e adaptada a E± os elementos de Σ−sao positivos em relacao a essa ordem. Alem do mais, α ∈ Σ− nao pode ser escritacomo soma de duas raızes positivas de Π e em particular de Π−, o que mostra que


Σ− esta contido no conjunto das raızes simples de Π−. Por outro lado, se α ∈ Π−e uma soma de raızes positivas, α = β + γ, entao β e γ sao raızes em E−. De fato,σα = σβ+σγ < 0 e se β ou γ nao esta em E−, entao σβ+σγ e positiva pelo comentariofeito acima. Isso mostra que ao escrever os elementos de Π− como combinacao linearde raızes simples so aparecem coordenadas nao-nulas em Σ−. Daı que Σ− gera Π−,mostrando que Σ− e um sistema simples. 2

A acao de σ em Σ− e evidente. O mesmo nao ocorre porem com a acao em Σ+. Aanalise dessa acao passa pelo seguinte fato sobre transformacoes lineares cujas matrizessao positivas, isto e, em que todas as entradas sao positivas.

Lema 14.4 Seja A = (aij) uma matriz real n × n inversıvel e suponha que aij ≥ 0para todo i, j. Seja tambem

Rn+ = (x1, . . . , xn) : xi ≥ 0

o primeiro octante em Rn. Tome v ∈ Rn+ e suponha que duas ou mais de suas co-

ordenadas sejam estritamente positivas. Entao, Av tem pelo menos duas coordenadasestritamente positivas, isto e, Av nao pertence a um dos eixos coordenados.

Demonstracao: Sejav = (x1, . . . , xn)

e suponha, sem perda de generalidade, que x1, x2 > 0. Suponha por absurdo queAv pertenca a um eixo coordenado, por exemplo, Av = (y, 0, . . . , 0). Tome a, b ∈ Rarbitrarios. Entao, para t suficientemente pequeno, o segmento

vt = (x1 + at, x2 + bt, . . . , xn)

permanece em Rn+ e, como ARn

+ ⊂ Rn+, Avt ∈ Rn

+. Escrevendo Avt como

Avt = (y1(t), . . . , yn(t)) ,

cada uma das coordenadas depende linearmente de t e y1(0) = y. Alem do mais,yi(0) = 0 para i 6= 1 e yi (t) ≥ 0 se |t| e suficientemente pequeno. Portanto, se i 6= 1,yi = 0 ao longo de um segmento. Isso mostra que a imagem do segmento esta contidana reta gerada pelo primeiro vetor da base e, portanto, essa reta contem a imagem porA do plano gerado pelos dois primeiros vetores da base, ja que a, b sao arbitrarios. Issocontradiz o fato de que A e inversıvel, o que mostra o lema. 2

Esse lema tem a seguinte consequencia: uma matriz de permutacao e uma matrizquadrada inversıvel, cujas colunas sao os elementos da base canonica, isto e, tem umaunica coordenada igual a um e as demais sao todas nulas. Como A e inversıvel, suaslinhas tambem sao elementos da base canonica. Em outras palavras, uma matriz depermutacao e a matriz de uma transformacao linear que permuta os elementos da base.

Corolario 14.5 Seja A uma matriz cujas entradas sejam ≥ 0 e suponha que A2 = 1.Entao, A e uma matriz de permutacao.


Demonstracao: Se ei e um elemento da base canonica, o lema aplicado a v = Aeimostra que se v tem pelo menos duas coordenadas nao-nulas, entao o mesmo ocorrecom Av. Mas Av = A2ei = ei, portanto v pertence a base canonica e A e uma matrizde permutacao. 2

Agora, e possıvel descrever a forma como a conjugacao atua nos elementos de Σ+.Para isso, e conveniente ordenar Σ pondo

Σ = α1, . . . , αs, αs+1, . . . , αl (14.2)

com os primeiros s elementos em Σ+ e os demais em Σ−.

Proposicao 14.6 Escrevendo Σ como em (14.2), existe uma permutacao involutiva πde 1, . . . , s tal que para 1 ≤ i ≤ s,

σαi = απ(i) +l∑

j=s+1

njαj

com nj ≥ 0.

Demonstracao: Denote por Z a matriz de σ na base Σ. Essa matriz se decompoeem blocos como

Z =

(A BC D

)com os blocos divididos de acordo com a decomposicao de Σ em Σ+ e Σ−. Comoσ (α) = −α se α ∈ Σ−, D = −1 e B = 0, isto e,

Z =

(A 0C −1

).

As matrizes A e C sao positivas, pois se α ∈ Σ+, entao σ (α) > 0. No entanto, σ einvolutiva, o que implica que Z2 = 1 e daı que A2 = 1. Pelo corolario anterior, A euma matriz de permutacao. Juntando isso ao fato de que as entradas de C sao ≥ 0chega-se a

σαi = απ(i) +l∑

j=s+1

njαj

com nj ≥ 0, dado pelas entradas de C, e π a permutacao associada a A. Essa per-mutacao e involutiva, pois A2 = A. 2

Esta proposicao tem a seguinte consequencia, que sera fundamental no momentode determinar os σ-sistemas.

Corolario 14.7 O auto-espaco E− e gerado por Σ− e pelas diferencas απ(i) − αi, αipercorrendo Σ+.


Demonstracao: Como P− (Σ) gera E−, este subespaco e gerado pelas diferencasσ (α)− α, α ∈ Σ. A proposicao 14.6 garante que se αi ∈ Σ+, entao

σ (αi)− αi = απ(i) − αi + βi

com βi ∈ Σ−, o que mostra o corolario. 2

A permutacao π que aparece nessa proposicao e proveniente de um automorfismode diagrama. De fato, seja w0 a involucao principal de Π− em relacao a Σ−, isto e,w0 e o unico elemento do grupo de Weyl de Π− tal que w0 (Σ−) = −Σ−. Como w0 eum produto de reflexoes em relacao a raızes em Σ−, sua restricao a E+ e a identidade,portanto w0σ (Σ) e um conjunto de raızes positivas. No entanto, esse conjunto e umsistema simples em Π, e daı que w0σ (Σ) = Σ e w0σ = πσ e um automorfismo dodiagrama determinado por Σ.

Alem do mais, usando ainda o fato de que w0 e um produto de reflexoes em relacaoa raızes de Σ−, seu valor numa raiz simples αi ∈ Σ+ e da forma

w0αi = αi + γi (14.3)

com γi uma combinacao das raızes em Σ−, pois se r e uma reflexao que compoe w0,entao rαi = αi + βi com βi ∈ Σ−. Aplicacoes sucessivas dessas reflexoes fornecem(14.3). Dessa forma, se as matrizes de σ e w0 em relacao a base Σ sao escritas emblocos, divididos de acordo com Σ+ e Σ−, como

σ =

(A 0C −1

)w0 =

(a 0b c

),

entao a matriz de w0σ e

w0σ =

(aA 0

bA+ cC −c

).

Por (14.3), a = 1 e, portanto, aA = A. Como w0σ permuta os elementos de Σ, suamatriz e uma matriz de permutacao. Mas −c e uma matriz inversıvel, pois w0σ einversıvel. Dessa forma, nenhuma linha de −c se anula. Isso implica que bA+ cC = 0,mostrando que w0σαi = απ(i). Em resumo,

Proposicao 14.8 A permutacao π da proposicao 14.6 corresponde ao automorfismodo diagrama w0σ = πσ, onde w0 e o unico elemento do grupo de Weyl em que w0σ (Σ) =Σ. Alem do mais, w0 e a involucao principal de Σ−.

Apenas os diagramas Al, Dl e E6 admitem automorfismos nao triviais. Por isso sonesses casos pode acontecer de a permutacao π ser nao trivial.

A formula da proposicao 14.6 diz que, modulo Π−, σαi para αi ∈ Σ+ e uma raizsimples. Com essa informacao e possıvel mostrar que a projecao de Σ+ e um sistemasimples do conjunto das raızes restritas.

Proposicao 14.9 Suponha que o σ-sistema de raızes seja normal. Entao, P+ (Σ+) eo sistema simples de raızes de P+ (Π)− 0 associado a ordem lexicografica em E+.


Demonstracao: Seja α uma raiz com Pα > 0 onde P = P+. Entao, α > 0, poisσα 6= −α. Portanto, α e uma combinacao linear com coeficientes inteiros ≥ 0 deΣ. Dessa forma, Pα e uma combinacao linear semelhante de P (Σ). Mas P (Σ) =P (Σ+)∪ 0, o que mostra que P (Σ+) e um conjunto de raızes positivas que gera E+

e, portanto, contem o conjunto das raızes simples correspondentes.Por outro lado, seja αi ∈ Σ+ e suponha que

Pαi = Pβ + Pγ (14.4)

com Pβ, Pγ > 0. Entao, β e γ assim como σβ e σγ sao positivas. Pela proposicaoanterior,

σαi = απ(i) + δ

com 0 ≤ δ ∈ E−. Pode-se escrever β = β+ +β− e γ = γ+ +γ− com β±, γ± combinacoeslineares de Σ±. Entao, σβ = σβ+− β− e σγ = σγ− γ−. Substituindo essas expressoesem (14.4), obtem-se

αi + απ(i) + δ = β+ + σβ+ + γ+ + σγ+ .

Como as raızes sao positivas, essa igualdade mostra que apenas uma das raızes β ou γpode ter coordenada na direcao de αi ou de απ(i) e que a outra deve estar em E−. Issocontradiz o fato de que suas projecoes sao positivas. Portanto, as raızes em P (Σ+) saosimples, concluindo a demonstracao. 2

O objetivo agora e relacionar os grupos de Weyl dos sistemas de raızes em E e emE+. Para isso, considere o centralizador de σ em W :

Wσ = w ∈ W : wσ = σw.

Um elemento w ∈ Wσ comuta com σ, portanto deixa invariante E+ e E−. Reciproca-mente, suponha que w ∈ W deixa invariante E+. Entao, wE− = E−, pois w e isometriae, como σ = ±1 em E±, σ comuta com w. Portanto, Wσ e definido alternativamentecomo o subgrupo dos elementos de W que deixam invariante E+.

O grupo de Weyl W− de Σ− e gerado por reflexoes em relacao as raızes em E−,que e ortogonal a E+. Isso implica que wα = α para w ∈ W− e α ∈ E+. Portanto,

W− ⊂ Wσ .

No caso de sistemas normais o grupo de Weyl de P+ (Π)−0 e o quociente entre Wσ

e W−, como sera mostrado a seguir.

Lema 14.10 Seja w ∈ Wσ. Entao, w ∈ W− se e so se wα = α para α ∈ E+.

Demonstracao: Se w ∈ W−, entao sua restricao a E+ e a identidade. Reciproca-mente, suponha que a restricao de w ∈ Wσ seja a identidade. Entao, pela escolha daordem lexicografica, w (α) > 0 se α e uma raiz positiva fora de E−. Em particular,w (Σ+) esta contido no conjunto das raızes positivas. Por outro lado, w deixa invariante


E− e, portanto, Π−. Daı que w (Σ−) e um sistema simples em Π−. Existe, portanto,w′ ∈ W− tal que w′w (Σ−) = Σ−. Da mesma forma que para w, w′w (Σ+) esta contidono conjunto das raızes positivas. Juntando isso ao fato de que w′w (Σ−) = Σ−, chega-sea que w′w (Σ) esta contido no conjunto das raızes positivas. Portanto, w′w = 1 e daıque w ∈ W−. 2

A restricao de w ∈ Wσ a E+ define um homomorfismo de Wσ a valores no grupodas transformacoes lineares inversıveis de E+. O lema acima mostra que o nucleo dessehomomorfismo e exatamente W−. Em particular W− e normal em Wσ. O proximolema mostra que a imagem desse homomorfismo contem o grupo de Weyl do sistemade raızes em E+.

Lema 14.11 Suponha que o sistema seja normal e tome α ∈ Σ+. Entao, a reflexaorP+α coincide com a restricao a E+ de algum elemento de Wσ.

Demonstracao: Existem as seguintes possibilidades:

• α + σα e raiz. Entao, α + σα = 2P+α e, portanto, rP+α = rα+σα ∈ Wσ.

• α+σα nao e raiz. Como o sistema e normal, α−σα nao e raiz. Assim, ou σα = αou a α-sequencia iniciada em σα se reduz a σα. No primeiro caso, P+α = α erα ∈ Wσ. No segundo caso, α e ortogonal a σα e, portanto, a reflexao em relacaoa P+α coincide com a composta rαrσα que esta em Wσ.

Em qualquer um dos casos, rα e a restricao de um elemento de Wσ. 2

Com esses lemas, e possıvel mostrar que Wσ/W− e o grupo de Weyl de E+.

Proposicao 14.12 Num σ-sistema normal a restricao de w ∈ Wσ a E+ e um homo-morfismo de Wσ sobre o grupo de Weyl W+ de P+ (Π) − 0. O seu nucleo e W−.Portanto, W+ ≈ Wσ/W

−.

Demonstracao: Devido aos lemas anteriores, so falta verificar que a restricao dew ∈ Wσ esta em W+. Os elementos de Wσ permutam os sistemas simples em E+.Como P+ (Σ+) e um sistema simples, existe w′ ∈ W+ tal que w′wP+ (Σ+) = P+ (Σ+).Pelo lema anterior, w′w ∈ Wσ e, como na demonstracao do lema 14.10, existe w′′ ∈ W−

tal que w′′w′w = 1, o que mostra que a restricao de w a E+ esta em W+. 2


O objetivo desta secao e classificar os σ-sistemas normais. A ideia da classificacao vemdo corolario 14.7 que garante que o auto-espaco E− e gerado por Σ− e pelas diferencasαπ(i) − αi, αi ∈ Σ+. Uma vez conhecido E−, σ fica completamente determinada, pois


E+ e o complementar ortogonal de E− e σ = ±1 em E±. Dessa forma, os dados π eΣ− classificam os σ-sistemas de raızes.

Um diagrama de Satake e uma forma de codificar, atraves do diagrama de Dynkin,o conjunto Σ e a permutacao π dos ındices das raızes em Σ+. Isso e feito marcando,no diagrama de Dynkin, as raızes em Σ− por um cırculo cheioue indicando a permutacao entre as demais raızes por flechas duplas ←→.

Um diagrama de Satake e dito interior ou exterior de acordo com a propriedadecorrespondente de σ. Nos diagramas interiores, a permutacao π e a identidade, comosegue da proposicao 14.8. Nesses diagramas nao existem raızes ligadas por ←→. Paraeles o subespaco E− e gerado por Σ− apenas.

No que segue, serao encontrados todos os diagramas de Satake provenientes de siste-mas normais. Esses diagramas sao chamados tambem de normais. Deve ser salientadoaqui que num diagrama de Satake o sistema simples Σ e proveniente de uma ordemlexicografica adaptada a E±.

Exemplos:

1. No diagrama

u e eα1 α2 α3

existe uma unica raiz em Σ− e como nao existe ligacao entre as raızes de Σ+,dimE− = 1 e dimE+ = 2. Isso garante que σ e uma reflexao, mais especifica-mente, a reflexao em relacao a α1, ja que essa raiz esta em Σ−. Isso implica queesse diagrama nao e normal. De fato,

σα2 = α2 −2〈α2, α1〉〈α1, α1〉

α1 = α1 + α2

e σα2 − α2 = α1 e raiz.

2. De forma semelhante ao caso anterior, a involucao σ associada ao diagrama

e u eα1 α2 α3

e a reflexao em relacao a α2. Esse diagrama tambem nao e normal, pois σα1−α1 =α2, que e raiz.

3. Para o diagrama

u e uα1 α2 α3


a involucao correspondente e o produto de reflexoes σ = rα1rα3 , pois E− e geradopelas raızes α1 e α3. Este e um diagrama normal, como pode ser visto calculandoσ em cada uma das raızes, levando em conta que

σα2 = α1 + α2 + α3 ,

σα1 = −α1 e σα3 = −α3. 2

Um subdiagrama invariante e um subconjunto de um diagrama de Satake em queo subespaco gerado pelas raızes correspondentes e invariante por σ. Um subdiagramainvariante da origem a um σ-sistema e se o diagrama original e normal, entao o sistemadefinido pelo subdiagrama tambem e normal.

Os diagramas de Satake serao encontrados por uma analise caso a caso dos diagra-mas de Dynkin. Nessa analise, muitas possibilidades sao descartadas por intermedioou do calculo explıcito do que seria o valor de σ nas raızes simples ou por conter sub-diagramas invariantes que nao sao normais. Os lemas seguintes fornecem a tecnicautilizada nesse procedimento.

O primeiro deles foi demonstrado nos exemplos acima:

Lema 14.13 Os diagramasu e e e u enao sao normais.

Lema 14.14 Considere um diagrama interior, isto e, em que a permutacao π = 1.Seja α ∈ Σ+. Entao,

σα = α + γ

onde γ e uma combinacao linear das componentes conexas de Σ− que se ligam a α.

Demonstracao: Como o diagrama e interior, σα e da forma α+γ com γ combinacaolinear de raızes em Σ−. Como σα e raiz, seu suporte e conexo (veja o exercıcio 7 docapıtulo 6). Daı que γ e combinacao linear apenas das componentes conexas de Σ−que se ligam a α. 2

O lema seguinte fornece condicoes para que um subdiagrama de um diagrama inte-rior seja invariante. Essas condicoes serao utilizadas reiteradamente no procedimentode classificacao.

Lema 14.15 Um subdiagrama e invariante se as raızes de fora do subdiagrama que seligam a ele estao em Σ+.

· · · e e· · ·α


Demonstracao: Basta verificar que σα pertence ao subespaco gerado pelas raızesdo subdiagrama para α ∈ Σ+, pois σβ = −β se β ∈ Σ−. Como o diagrama e interior,σα = α + γ com γ combinacao linear das componentes conexas de Σ− que se ligama α. Essas componentes conexas estao contidas no subdiagrama, pois, por hipotese,nenhuma raiz do subdiagrama esta ligada a uma raiz de Σ− de fora do mesmo. 2

O proximo lema ainda diz respeito a diagramas interiores. Para esses diagramas, seα ∈ Σ+, entao σα = α + γ onde γ e uma combinacao linear das componentes conexasde Σ− que se ligam a α.

Lema 14.16 Para α ∈ Σ+, seja

Σc− = α1, . . . , αk

uma componente conexa de Σ− que e ligada a α. Essa componente conexa e um dia-grama de Dynkin. Denote por C sua matriz de Cartan. Suponha que α e ligada a Σc

−por uma ligacao simples e seja j o ındice da unica raiz de Σc

− ligada a α. Entao, oscoeficientes de γ em relacao a Σc

− sao dados pelo dobro da j-esima coluna da inversaC−1 da matriz de Cartan.

eα u

...

u

Demonstracao: Sejam Σi−, i = 1, . . . , l as componentes conexas de Σ− que se ligam

a α. Entao, σα se escreve como

σα = α + γ1 + · · ·+ γl

com γi combinacao linear das raızes em Σi−. Nessa expressao γi e ortogonal a γj se

i 6= j, por serem combinacoes lineares de componentes conexas distintas.Os coeficientes de γi em relacao as raızes simples serao encontrados usando a

condicao de que σα + α ∈ E+, isto e, σα + α e ortogonal a E−. Observe que issoacontece se e so se σα + α e ortogonal as componentes conexas Σi

−. De fato, comoo diagrama e interior, E− e gerado por Σ− e tanto α quanto σα sao ortogonais ascomponentes conexas de Σ− que nao estao ligadas a α.

Seja a componente conexa Σi− = α1, . . . , αk. Entao,

σα = α + a1α1 + · · ·+ akαk + γ

com γ uma combinacao linear das componentes conexas de Σ−, que se ligam a α,diferentes de Σi

−. Sendo assim, os coeficientes a1, . . . , ak sao encontrados usando acondicao de que

β = 2α + a1α1 + · · ·+ akαk (14.5)


e ortogonal a αi, 1 ≤ i ≤ k. Essa ortogonalidade se traduz num sistema de equacoeslineares em a1, . . . , ak dado pelas igualdades

2〈β, αi〉〈αi, αi〉

= 0 i = 1, . . . , k. (14.6)

Seja αj a unica raiz de Σi− que se liga a α. Entao,

2〈α, αn〉〈αn, αn〉

= −1 se n = j, pois, por

hipotese, a ligacao entre αj e α e simples, e 0, caso i 6= j. Portanto, o sistema linear eescrito como

Ca = 2bj,

onde C e a matriz de Cartan de Σi− e bj e a matriz coluna, cuja j-esima entrada e 1

e as demais sao nulas. A solucao desse sistema e o dobro da j-esima coluna de C−1

concluindo a demonstracao. 2

As colunas da inversa de uma matriz de Cartan desempenham um papel na teoria derepresentacoes por formarem os coeficientes dos pesos fundamentais, a partir dos quaissao obtidas as representacoes irredutıveis das algebras semi-simples. Essas inversasforam incluıdas, portanto, no capıtulo sobre representacoes de algebras semi-simples(capıtulo 11), explicitamente para os diagramas excepcionais (veja o final do capıtulo)e de forma indireta, atraves dos pesos fundamentais, para os diagramas classicos (vejaexercıcio 15 do capıtulo 11).

O dobro das colunas de algumas dessas inversas nao tem coeficientes inteiros e, por-tanto, os diagramas correspondentes nao podem aparecer como componentes conexasde Σ−, que se liga a uma raiz α nas condicoes do lema anterior. Alguns exemplos emque isso ocorre, que serao utilizados adiante, sao:

• Ak, k ≥ 2. Nesse caso, em toda coluna de C−1 aparece pelo menos uma entradaque e multipla de 1/ (k + 1) cujo dobro nao e inteiro (veja o exercıcio 15 docapıtulo 11).

• No caso de Dk, na ultima coluna de C−1 aparecem as entradas (k − 2) /4 e k/4.Assim, se k e ımpar, o dobro dessa coluna nao e formado por inteiros (veja oexercıcio 15 do capıtulo 11).

• A primeira coluna de E6 (veja o final do capıtulo 11).

14.2.1 Diagramas Normais

A seguir serao encontrados os diagramas de Satake normais para cada um dos diagra-mas de Dynkin. Para isso se assume que Σ− 6= Σ, descartando o caso trivial em queσ = −1.


Diagramas de Al

O diagrama

Al, l ≥ 1 e e . . . e eα1 α2 αl−1 αl

tem um automorfismo diferente da identidade. Dessa forma, σ pode ser interior ouexterior.

I σ e interior. Neste caso, a permutacao π entre as raızes de Σ+ e a identidade e,portanto, E− e gerado pelas raızes marcadas por cırculos cheios. Alem do mais,σ e um elemento do grupo de Weyl.

O conjunto das raızes pode ser realizado como λi − λj, 1 ≤ i, j ≤ l + 1, i 6= jcom o sistema simples λi−λi+1. O grupo de Weyl e dado pelas permutacoes nosındices

w (λi − λj) = λw(i) − λw(j) .

A condicao para que σ = w seja normal e que

w (λi − λj)− (λi − λj) = λw(i) − λw(j) + λj − λi

nao seja raiz para nenhum par i 6= j. O segundo membro dessa igualdade e umaraiz se e so se w fixa um dos ındices e varia o outro. Assim, se w define umsistema normal e w (j) = j para algum ındice, entao w (i) = i para todo ındicei e w e a identidade. Se isso ocorre, o diagrama de Satake e o proprio diagramade Dynkin.

Por outro lado, se w (j) 6= j para todo j, entao w e necessariamente a seguintepermutacao, que e um produto de ciclos disjuntos:

w = (1, 2) (3, 4) · · · (l, l + 1) . (14.7)

De fato, como E− e gerado por Σ−, esse conjunto e nao-vazio. Alem do mais,α1 ∈ Σ−. De fato, suponha que α1 /∈ Σ− e seja k o primeiro ındice em queαk ∈ Σ−. Entao, αk+1 /∈ Σ−, pois, se isso ocorresse, a raiz αk−1 estaria li-gada a uma componente conexa de Σ− cujo diagrama e Aj, j ≥ 2, o que eabsurdo pelo lema 14.16 e pela matriz de Cartan de Aj. Portanto, α1, . . . , αke um subdiagrama invariante, como segue do lema 14.15. No entanto, com essascondicoes α1, . . . , αk nao e um diagrama de Satake, pois a transformacao invo-lutiva σ que lhe corresponde e a reflexao em relacao a αk e essa reflexao satisfazσαk−1 − αk−1 = αk.

Por simetria, αl ∈ Σ−. Juntando isso ao lema 14.13, que assegura que

u e e


nao e diagrama normal, a unica possibilidade que resta e o diagrama AI2 abaixo,que so ocorre quando l e ımpar. A involucao σ que corresponde a esse diagramae o elemento w do grupo de Weyl apresentado em (14.7), que e o produto dasreflexoes em relacao as raızes simples, que aparecem no diagrama numa posicaoımpar.

II σ e exterior. Neste caso, existe w0 ∈ W− tal que w0σ e o automorfismo π dodiagrama que permuta as raızes equidistantes de seu centro

π : αi −→ αl−i+1.

No diagrama de Satake essas raızes sao ligadas entre si se elas nao estiverem emΣ−: αi ←→ αl−1+1. Por construcao, w0 ∈ W− e o unico elemento do grupode Weyl de Σ− que satisfaz w0 (Σ−) = −Σ−. Como tanto w0 quanto σ deixamΣ− invariante, o mesmo ocorre com π e, portanto, Σ− e simetrico em relacao aocentro do diagrama. Alem do mais, Σ− e conexo. De fato, se Σ− contem mais deuma componente conexa, uma delas nao e simetrica em relacao ao centro. Seja Γuma componente conexa de Σ− que nao e simetrica em relacao ao centro. Comow0α = −πα para α ∈ Σ−, w0 (Γ) ∩ Γ = ∅. Mas isso nao pode acontecer, pois oselementos do grupo de Weyl de um diagrama preservam as componentes conexasdo mesmo. Dessa forma, os diagramas de Satake possıveis sao da forma AIIabaixo com o numero de elementos em Σ− variando de zero a l − 2.

Esses diagramas sao normais. De fato, −π e o unico elemento de W que leva Σem −Σ e, portanto, σ = −w para algum w ∈ W . Usando a realizacao das raızescomo λi − λj, os elementos de W sao as permutacoes nos ındices e a condicaopara que o sistema seja normal e que

w (λi − λj) + (λi − λj) = λw(i) − λw(j) + λi − λj

nao seja raiz para nenhum par i 6= j. Essa condicao e satisfeita por qualquerpermutacao que seja o produto disjunto de ciclos da forma (i, j), pois para umapermutacao dessas o segundo membro se anula. Por outro lado, como σ e involu-tiva, o mesmo ocorre com w e, portanto, σ = w e um produto de ciclos disjuntos.Isso implica que σ e normal.

Diagramas Normais de Al:

AI1 e e . . . e eAI2 u e u . . . u e u l ımpar


AII

e e . . . e uu...

ue e . . . e

?

6

?

6

?

6

Diagramas de Bl

O unico automorfismo do diagrama

Bl, l ≥ 2 e e . . . e eAα1 α2 αl−1 αl

e a identidade, pois a raiz αl tem tamanho diferente das demais. Dessa forma, σe necessariamente um elemento do grupo de Weyl e nos diagramas de Satake naoaparecem raızes ligadas por ←→.

Para encontrar os diagramas de Satake, deve-se separar os casos em que αl esta ounao em Σ−.

1. Se αl /∈ Σ−, entao Σ− = ∅. De fato, nesse caso Σ − αl e invariante e seudiagrama e Al−1. As possibilidades para Al mostram que ou Σ− = ∅ ou αl−1 ∈ Σ−e αl−2 nao esta em Σ+, isto e, o lado direito do diagrama e

· · · e u eAαl−2 αl−1 αl

Portanto, pelo lema 14.15, αl−1, αl e um subdiagrama invariante. Mas essediagrama nao e normal ja que a aplicacao involutiva σ correspondente e a reflexaoem relacao a αl−1 e

σαl = αl −2〈αl, αl−1〉〈αl−1, αl−1〉

αl−1 = αl + αl−1

e, portanto, σαl − αl = αl−1 e raiz.

Em suma, se αl /∈ Σ−, entao o diagrama de Satake coincide com o de Dynkin.

2. No caso em que αl ∈ Σ−, o diagrama de Satake e o diagrama B2 abaixo.

Para ver isso e suficiente verificar que Σ− e um diagrama conexo. Sendo assim,suponha que a componente conexa de αl e αj+1, . . . , αl. Entao, αj /∈ Σ− e,portanto, α1, . . . αj−1 e invariante. O diagrama desse ultimo conjunto e Aj−1


e se ele contem raızes em Σ−, entao ou ele esta contido em Σ− ou essas raızesaparecem alternadas com α1, αj−1 ∈ Σ−. O primeiro caso e descartado pelo lema14.16 (αj e ligada a uma componente conexa de Σ− que e um Al). Ja se as raızesaparecem alternadas, αj−2 /∈ Σ− se essa raiz existe. Assim, assumindo que Σ−nao e conexo, a contradicao e dada pelo fato de que

α = αj + αj+1 + · · ·+ αl (14.8)

e uma raiz tal que σα − α e raiz. De fato, j > 1, pois, por hipotese, Σ− nao econexo. Portanto, αj−1 existe e esta em Σ−. Alem do mais, a inversa da matrizde Cartan de Bl e o lema 14.16 garantem que

σαj = αj−1 + αj + 2 (αj+1 + · · ·+ αl) .

Substituindo em (14.8), fica

σα = αj−1 + αj + · · ·+ αl .

Portanto, σα− α = αj−1 e raiz e daı que o sistema nao e normal.

Isso mostra que Σ− e conexo e, portanto, o unico diagrama normal possıvel e B2.Para esse diagrama, se αj /∈ Σ− e αj+1 ∈ Σ−, entao, pelos mesmos argumentosque acima, verifica-se que

σαj = αj + 2 (αj+1 + · · ·+ αl) .

Tomando agora a realizacao canonica do diagrama, as raızes sao dadas por λi−λj,λi + λj, i 6= j, e λi. O grupo de Weyl e formado pelas permutacoes nos ındices,combinadas com mudancas de sinal nas coordenadas λj. Um sistema simples e

Σ = λ1 − λ2, . . . , λl−1 − λl, λl

e, como αj = λj − λj+1, σαj = λj + λj+1. Juntando isso ao fato de que σαi = αise i < j e σαi = −αi se i > j, chega-se a que σ e o elemento do grupo de Weylem que

σλi =

λi se i ≤ j−λi se i > j.

A partir dessa expressao para σ e imediato verificar que, para qualquer raiz α,σα− α e 0 ou ±2λi e, portanto, nao e raiz. O sistema e, portanto, normal.

Diagramas Normais de Bl:

B1 e e . . . e eA

B2 e . . . e u . . . u uA

1 ≤ |Σ−| ≤ l − 1


Diagramas de Cl

Assim como em Bl, a identidade e o unico automorfismo do diagrama

Cl, l ≥ 3 e e . . . eA


Portanto, σ pertence ao grupo de Weyl. As raızes de Cl sao dadas por λi − λj, i 6= j,e λi + λj. O grupo de Weyl coincide com o de Bl e e formado por permutacoes nosındices e mudancas de sinal em λi. Um sistema simples e

Σ = λ1 − λ2, . . . , λl−1 − λl, 2λl.

Os diagramas de Satake sao encontrados distinguindo os casos em que αl esta ounao em Σ−.

1. Se αl /∈ Σ− e αl−1 /∈ Σ−, entao Σ− = ∅. De fato, nesse caso α1, . . . , αl−2 einvariante e e uma cadeia simples. Portanto, Σ− 6= ∅ implica que αl−2 ∈ Σ− edaı que σαl−1 − αl−1 = αl−2 e raiz e o sistema nao e normal. Portanto, σ = 1e o diagrama de Satake coincide com o diagrama de Dynkin. Por outro lado, aocontrario de Bl, existe um diagrama normal em que αl /∈ Σ− e αl−1 ∈ Σ−, que eo C2 abaixo. Nesse diagrama o subconjunto invariante αl−1, αl e normal, poisαl−1 e menor que αl, o que acarreta que σαl = αl + 2αl−1 e, portanto, σαl − αlnao e raiz. O diagrama C2 so ocorre quando l e par. A transformacao σ que seobtem do diagrama e o elemento do grupo de Weyl dado pela permutacao

(1, 2) (3, 4) · · · (l − 1, l) .

A partir daı e facil verificar que σα−α nao e raiz para nenhuma raiz α e, portanto,que o diagrama e normal.

2. No caso em que αl ∈ Σ− o diagrama de Satake so pode ser o diagrama C3, poisnesse caso Σ− nao e conexo. De fato, seja αj+1, . . . , αl a componente conexade αl em Σ− e suponha que αj−1 /∈ Σ−. Entao, a inversa da matriz de Cartan deCl mostra que

σαj = αj + 2 (αj+1 + · · ·+ αl−1) + αl .

Dessa forma,σαj − αj = 2 (αj+1 + · · ·+ αl−1) + αl (14.9)

e raiz de Cl. O fato de que o segundo membro de (14.9) e raiz deve-se essen-cialmente a que αl e de comprimento maior que as demais raızes simples. Narealizacao canonica de Cl, σαj − αj = 2λj+1.

Portanto, αj−1 ∈ Σ− se j 6= 1 e daı que α1, . . . , αj−1 e invariante. Isso mostraque o diagrama e como indicado. Se a componente conexa de αl termina emαj+1, entao j = 1 ou j e par.


Para esse diagrama, σαi = −αi se i < j e ımpar ou i > j, σαi = αi−1 +αi +αi+1

se i < j e i e par e

σαj = αj−1 + αj + 2 (αj+1 + · · ·+ αl−1) + αl,

onde αj−1 = 0 se j = 1. Escrevendo as raızes em termos de λi, αj = λj − λj+1 eσαj = λj + λj+1 se j = 1, enquanto que σαj = λj−1 + λj se j > 1. Assim, σ eelemento do grupo de Weyl PS = SP , onde S e a mudanca de sinal Sλi = −λi,i > j, P = 1 se j = 1 e P e a permutacao

(1, 2) · · · (j − 1, j) ,

se j > 1. Dessa expressao para σ, obtem-se de imediato que o sistema e normal.

Diagramas Normais de Cl:

C1 e e . . . eA

eC2 u e . . . u

Ae l par

C3 u e . . . e u . . . uA

u

Diagramas de Dl

O diagrama

Dl, l ≥ 4 eα1

eα2

. . . eαl−2,,

ll

eαl−1

eαltem um automorfismo de ordem dois que e a permutacao entre αl−1 e αl (para l = 4existem outros automorfismos, que sao equivalentes a esse por simetria). Na realizacaocanonica as raızes sao λi − λj e λi + λj, i 6= j, e o grupo de Weyl e formado porelementos da forma SP com P uma permutacao dos ındices e S uma mudanca de sinalnos λi de tal forma que seu determinante seja +1.

Na analise dos diagramas de Satake deve-se distinguir entao os casos interiores eexteriores.

I Diagramas interiores. As possibilidades principais sao dadas por αl−1, αl estarem ounao em Σ−.

1. αl /∈ Σ−. Entao, o complementar de αl e Al−1 e, assim, os diagramas possıveissao o proprio diagrama de Dynkin e o diagrama DI2. A outra possibilidade seria


o caso em que Σ− = Σ−αl, que e descartada pelo lema 14.16. A transformacaoσ correspondente ao diagrama DI2 e a permutacao

(1, 2) (3, 4) · · · (l − 1, l) ,

que pertence ao grupo de Weyl. Para essa permutacao σα − α nao e raiz paranenhuma raiz α. O diagrama DI2 so ocorre quando l e par.

Esse caso cobre tambem, por simetria, o caso em que αl−1 /∈ Σ−. Por isso so faltaconsiderar o caso em que

2. αl−1, αl /∈ Σ−. Existem duas possibilidades:

(a) αl−2 /∈ Σ−. Entao, α1, . . . , αl−3 e invariante. Se esse conjunto nao inter-cepta Σ−, entao o diagrama fica sendo DI3, que e normal, com σ dada porσ (λl−1) = −λl−1 e σ (λl) = −λl e com os demais λi fixos. Outra possibili-dade e dada pelo diagrama DI4 em que σ e o produto da permutacao

P = (1, 2) (3, 4) · · · (l − 1, l)

por S tal que Sλl−1 = −λl−1 e Sλl = −λl e Sλi = λi para os demais valoresde i. (O caso em que αi ∈ Σ−, i < l − 3, e descartado por dar origem a σque nao deixa invariante o conjunto das raızes, ja que aparece uma ligacaocom componente conexa Ak, k ≥ 2). O diagrama DI4 so ocorre com aordem de Σ− par, pois a restricao de σ a Σ− pertence ao grupo de Weyldesse diagrama e −1 esta no grupo de Weyl de Dl se e so se l e par.

(b) αl−2 ∈ Σ−. Existem duas possibilidades: se Σ− e conexo, entao o diagramae DI-II5 que esta associado a σ = S com Sλi = λi se i ≤ j e Sλi = −λise i > j onde j e o maior ındice em que αj /∈ Σ−. Ja se Σ− nao e conexo eαj e a maior raiz fora de Σ−, entao α1, . . . , αj−1 e um Aj−1 invariante e apossibilidade e um diagrama DI6 para o qual σ = PS = SP , onde

P = (1, 2) (3, 4) · · · (j − 1, j)

e Sλi = λi se i ≤ j e Sλi = −λi se i > j.

Para ser interior, o diagrama DI-II5 deve ter uma quantidade par de raızesem Σ−. Ja o diagrama DI-II6 so e interior se l−j e j sao pares. Neste casol tambem e par. No entanto, essas restricoes nao devem ser consideradas,pois se elas nao ocorrem, entao os diagramas continuam sendo diagramasde Satake normais so exteriores.

II Caso exterior. Como o automorfismo do diagrama permuta as raızes αl−1 e αl, elaspertencem ou nao a Σ− simultaneamente. Assim,

1. se αl−1, αl ∈ Σ−, entao αl−2 ∈ Σ−, pois no diagrama A3 formado por

αl−2, αl−1, αl


o conjunto Σ− correspondente deve ser conexo e simetrico em relacao ao centro.Usando agora os mesmos argumentos do caso interno, em que essas tres raızesestavam em Σ−, os diagramas que aparecem sao os mesmos que ja ocorreramnaquele caso, isto e, os diagramas DI-II1 e DI-II2. Para o primeiro dessesdiagramas, σ e dado, como no caso interior, pelo produto da permutacao P porS. A diferenca aqui e que σ nao pertence ao grupo de Weyl e, portanto, essediagrama so ocorre quando Σ− tiver uma quantidade ımpar de elementos. Omesmo comentario vale para DI-II2. Esses diagramas sao interiores ou exterio-res, dependendo de l e da quantidade de raızes em Σ−.

2. Se αl−1, αl /∈ Σ−, entao o conjunto Al−2 = α1, . . . , αl−2 e invariante, pois αl−2

e ortogonal a αl−1 − αl. Dessa forma, uma das possibilidades e que Al−2 naocontenha raızes de Σ− e, portanto, o diagrama e DII3. Para esse diagrama σ eo proprio automorfismo do diagrama que e normal. Outra possibilidade e dadapor DII4. Esse diagrama so ocorre com l ımpar e nesse caso σ e o produto dapermutacao

P = (1, 2) (3, 4) · · · (l − 2, l − 1)

por Sλl = −λl, Sλi = λi, i < l. Aqui P pertence ao grupo de Weyl enquantoque S realiza o automorfismo do diagrama.

Diagramas Normais de Dl:

Interiores

DI1 e e e . . . e e,,ll

ee

DI2 u e u . . . u e,,ll

ue l par

DI3 e e e . . . e e,,ll

uu

DI4 u e u . . . u e,,ll

uu |Σ−| par


Interiores e Exteriores (dependendo da quantidade de raızes)

DI − II1 e . . . e u u . . . u,,ll

uu

DI6 u e u . . . e u e u. . . u,,ll

uu

Exteriores

DII1 e e e . . . e e,,ll

ee?6

DII2 u e u . . . e u,,ll

ee?6 l ımpar

Diagramas excepcionais

Da mesma forma que para os diagramas classicos, uma analise exaustiva dos diagramasexcepcionais permite determinar os diagramas de Satake.

O unico diagrama de Satake de G2 e o proprio diagrama de Dynkin

e eAα1 α2

Pois, se, por exemplo, α2 ∈ Σ−, entao σα1 = α1 + 3α2 e

σ (α1 + α2)− (α1 + α2) = α2

e raiz e o sistema nao e normal. De maneira semelhante, α1 /∈ Σ−.Para os demais diagramas excepcionais, serao eliminados aqui os casos dos diagra-

mas que nao sao normais, sem apresentar uma justificativa de que os restantes sao defato normais. Isso pode ser verificado atraves da realizacao dos sistemas de raızes.


F4 Alem do diagrama de Dynkin

F41 eα1

eα2

eα3

A

eα4

o unico diagrama de Satake de F4 e o diagrama

F42 u u uA

eIsso pode ser visto considerando os seguintes casos:

1. α4 /∈ Σ−.

(a) Se α3 ∈ Σ−, entao α2 ∈ Σ−, pois caso contrario, α3, α4 e invariantenao-normal. Isso implica que α1 ∈ Σ−, pois caso contrario, α2, α3, α4e um diagrama C3 invariante nao-normal. Esse caso da origem ao dia-grama F42. E se

(b) α3 /∈ Σ−, entao α1, α2, α3 e um B3 invariante que so e normal seα1, α2 /∈ Σ−.

2. α4 ∈ Σ−. Entao, em nenhuma possibilidade o diagrama e normal. Aspossibilidades sao:

(a) α1 ∈ Σ−. Nesse caso α2 ou α3 ∈ Σ−, pois caso contrario α1, α2 einvariante nao-normal. Se α2 ∈ Σ−, o lema 14.16 fornece

σα3 = α3 +2

3α1 +

4

3α2 + α4

que nao e raiz. O mesmo acontece com σα2 se α3 ∈ Σ−.

(b) α1 /∈ Σ−. Entao, α2, α3, α4 e um C3 invariante e daı que este conjuntoesta em Σ−. Mas se isso ocorre, σα1 = α1 + 3α2 + 4α3 + 2α4 e

σ (α)− α = α2 + 2α3

para α = α1 + α2 + α3 + α4.

E6 Os diagramas internos de

E6I1 e e e e ee

α1 α2 α3 α4 α5

α6

sao o diagrama de Dynkin e


E6I2 e u u u eu

Para ver isso, consideram-se os casos em que α6 esta ou nao em Σ−. Se α6 /∈ Σ−entao o seu complementar e um A5 invariante e a unica possibilidade e que aparecao diagrama de Dynkin. Por outro lado, se α6 ∈ Σ− existem dois casos:

1. α2 /∈ Σ−. Entao, A4 = α3, α4, α5, α6 e invariante e, portanto, esta con-tido em Σ−. Mas isso nao ocorre, ja que α2 nao pode estar ligado a umacomponente conexa de Σ− que e um A4.

2. α2 ∈ Σ−. Por simetria α4 ∈ Σ− e, necessariamente, α3 ∈ Σ−. De fato, seα1 /∈ Σ−, entao α1, α2 e um invariante nao-normal se α3 /∈ Σ−. Por outrolado, o lema 14.16 impede que α3 /∈ Σ− e α1 ∈ Σ. O mesmo argumento seaplica a α5. Assim, as possibilidades sao:

(a) α1, α5 /∈ Σ− e o diagrama e E6I2.

(b) α1 /∈ Σ−, α5 ∈ Σ−. Nesse caso,

σα1 = α1 + β

onde β e uma combinacao linear de Σ − α1 cujos coeficientes sao odobro da ultima coluna da inversa da matriz de Cartan de D5 como nolema 14.16. Esses coeficientes nao sao inteiros.

Os diagramas externos de E6 sao

E6II1 e e,,ll

e,, e

ell e

6

?

6

?

E6II2 e u,,ll

u,, e

ull e

6

?

De fato, se α6 /∈ Σ−, entao seu complementar e um A5 invariante e so podemaparecer os diagramas acima, pois as outras possibilidades sao descartadas oupelo lema 14.16 (se o complementar de α6 estiver contido em Σ−) ou porqueα2, α3, α4, α6 e um D4 invariante nao-normal (se Σ− = α3).Ja se α6 ∈ Σ− o diagrama nao e normal. As possibilidades sao

1. α2, α4 /∈ Σ−. Se α1, α5 /∈ Σ−, entao α2, α3, α4, α6 e um D4 invariante nao-normal. Por outro lado, se α1, α5 ∈ Σ−, entao σα2 = α4 +γ e σα2 = α4 +γ′

com γ 6= γ′, ja que γ nao tem componente na direcao de α1, o que naoocorre com γ′. Mas isso contradiz o fato de que σ e involutiva.


2. α2, α4 ∈ Σ−. Aqui se distinguem mais duas possibilidades:

(a) α1, α5 /∈ Σ−. Entao, α3 ∈ Σ− (caso contrario, σα1 = α5 + α4 e, noentanto, σα5 = α1 + α2, o que nao e possıvel) e nesse caso

σα1 = α5 +3

4α2 +

1

2α3 +

3

4α5 +

1

4α6.

(b) α1, α5 ∈ Σ− e aqui α3 esta ligado a uma componente conexa A2.

E7 Os diagramas de Satake de E7 sao o diagrama de Dynkin

E71 e e e e e ee

α1 α2 α3 α4 α5 α6

α7

e os diagramas

E72

e e u u u eu E73

u e u e e eu

E74

u u u u u eu E75

u e u u u eu

Se α1 /∈ Σ−, entao α2, . . . , α6 e um E6 invariante e, portanto, as possibilidadessao o diagrama E72 ou o caso em que α1 e a unica raiz fora de Σ−. Essa segundapossibilidade e descartada pelo fato de que o diagrama fornece

σα1 = α1 +8

3α2 +

10

3α3 + 4α4 +

8

3α5 +

4

3α6 + 2α7.

Os coeficientes que aparecem aı formam o dobro da primeira coluna da inversada matriz de Cartan de E6 (veja pagina 330).

E suficiente considerar, entao, os casos em que α1 ∈ Σ−. Em todos eles α7 ∈ Σ−,pois caso contrario, o seu complementar e um A6 invariante. Agora, distinguem-seos casos:

1. α3 /∈ Σ−. Entao, α4, . . . , α7 e um A4 invariante e, portanto, esta contidoem Σ− e assim, como no lema 14.16, os coeficientes de σα3 em relacao a esseA4 nao sao inteiros. Esse caso nao fornece nenhum diagrama.


2. α3 ∈ Σ−. Em primeiro lugar, se α5 /∈ Σ−, entao α1, α2, α3, α4, α7 e umA5 invariante e, pelo lema 14.16, a unica possibilidade e o diagrama E73apresentado acima. Por outro lado, suponha que α5 ∈ Σ−. Entao, seα6 ∈ Σ−, a ligacao de α4 com α5, α6 forca que α4 ∈ Σ− e daı σα2 naoe raiz, pois esta ligado a uma componente conexa D5 de Σ−. E necessario,portanto, que α6 /∈ Σ−. Se isso ocorre, α4 ∈ Σ− para evitar o invariantenao-normal α5, α6 e assim os diagramas sao E74 e E75.

E8 Alem do diagrama de Dynkin

E81 e e e e e e ee

α1 α2 α3 α4 α5 α6 α7

α8

os diagramas que ocorrem em E8 sao

E82 e e e u u u eu

E83 e u u u u u uu

Esses diagramas aparecem no caso em que α1 /∈ Σ−. Se isso ocorre, o complementarde α1 e um E7 invariante e so aparecem essas possibilidades.

Resta entao descartar os casos em que α1 ∈ Σ−. Nesse caso, os mesmos argumentosde E6 e E7 mostram que α8 ∈ Σ−. Agora α5 ∈ Σ−, pois caso contrario α1, . . . , α4 eum A4 invariante que deve estar contido em Σ−, o que e impossıvel pelo lema 14.16. Ofato de que α5 ∈ Σ− implica que α4 ∈ Σ− por sua ligacao com um Ak contido em Σ−.Pelo comentario anterior ao lema 14.16, α2 ou α3 esta em Σ− e se α3 /∈ Σ− essa raizseria ligada a um A2 ⊂ Σ−. Portanto, α3 ∈ Σ−. Da mesma forma que α4, α6 ∈ Σ−.Se α2 /∈ Σ−, entao α7 esta ligado a ultima raiz de uma componente conexa D5 de Σ−e daı que α7 ∈ Σ−. Mas se isso ocorre, entao α2 esta ligado a primeira raiz de umacomponente conexa E6. Portanto, α2 ∈ Σ−. Por fim, α7 /∈ Σ− nao ocorre devido a sualigacao com a ultima raiz de D7. Isso mostra que se α1 ∈ Σ−, entao todas as raızesestao em Σ−. No caso do segundo dos diagramas, em que α1 e a unica raiz fora de Σ−,σα1 e dado pelo dobro da primeira coluna da inversa da matriz de Cartan de E7:

σα1 = α1 + 3α2 + 4α3 + 5α4 + 6α5 + 4α6 + 2α7 + 3α8.


14.3 Exercıcios

1. Mostre que se um diagrama normal e conexo, entao sua projecao no espaco dospontos fixos por σ tambem e um diagrama conexo.

2. Encontre os diagramas de Dynkin de P (Σ+) para cada um dos diagramas normaisdescritos ao longo do capıtulo.

3. Encontre os diagramas de Dynkin para os quais existem reflexoes no grupo deWeyl que definem sistemas normais.

4. Mostre que −1 pertence ao grupo de Weyl de um sistema de raızes se e so seΠ contem uma base ortogonal de E. (Use inducao sobre a dimensao do espacojuntamente com a caracterizacao do grupo de Weyl do sistema projetado).

5. De uma demonstracao alternativa de que −1 /∈ W para o diagrama E6.

6. Mostre diretamente, sem recorrer aos diagramas de Satake, que a permutacao

w = (1, 2) (3, 4) · · · (l, l + 1)

e o unico elemento do grupo de Weyl tal que wα−α nao e raiz para toda raiz α.

7. Mostre que o diagrama

e u u u u u uu

e normal. (Sugestao: com as notacoes do capıtulo 8, σα1 = α1 + 3α2 + 4α3 +6α5 + 4α6 + 2α7 + 3α8 e σα1−α1 = − (λ2 + · · ·+ λ8)− 2λ8 = λ1 +λ9− 2λ8, istoe, σ (λi) = −λi, 2 ≤ i ≤ 8, e σ (λ1) = −λ9, σ (λ9) = −λ1.)

8. Seja λ ∈ P (Π) uma raiz restrita e denote por m (λ) a quantidade das raızesα ∈ Π tais que P (α) = λ. Entao, valem as seguintes afirmacoes:

(a) λ ∈ Π se e so se m (λ) e ımpar.

(b) Se m (λ) e ımpar, entao 2λ nao e raiz restrita.

(c) Se m (λ) e par e 2λ ∈ P (Π), entao m (2λ) e ımpar.

(d) Se m (λ) e par, entao 2λ ∈ P (Π) se e so se existe α ∈ Π com λ = P (α) talque

〈α, σα〉 < 0

e, nesse caso, 〈β, σβ〉 < 0 para toda raiz β com P (β) = λ.

(e) Se m (λ) e ımpar, entao 〈α, σα〉 = 0 para toda raiz α 6= λ tal que P (α) = λ.

(f) Se λ = P (α) = P (β) e tal que 2λ nao e raiz restrita e α 6= β, α 6= σβ,entao 〈α, β〉 ≥ 0 e 〈α, β〉 > 0 se e so se 〈α, σβ〉 = 0.

Capıtulo 15

Algebras simples reais.Classificacao

O objetivo deste capıtulo e classificar as formas reais das algebras simples complexas.O procedimento consiste em considerar uma forma real como a algebra dos pontosfixos de um automorfismo involutivo da algebra complexa (involucao de Cartan). Ospossıveis automorfismos involutivos sao determinados por suas restricoes a subalgebrasde Cartan. Essas restricoes sao automorfismos do sistema de raızes da subalgebra deCartan que foram vistos no capıtulo 9 e sao essencialmente elementos do grupo deWeyl. Dessa forma, para classificar das formas reais deve-se determinar as classes deconjugacao das extensoes dos automorfismos dos sistemas de raızes que efetivamentedeterminam formas reais como algebras de pontos fixos.

Ao longo deste capıtulo g denota uma algebra de Lie simples real tal que suacomplexificada gC tambem e simples. Se usara sistematicamente notacoes com sub ousuper ındice C para indicar objetos relacionados a gC. Por exemplo Π e um sistema deraızes de g enquanto que ΠC e sistema de raızes de gC, etc.

Para a algebra simples gC se fixa de uma vez por todas uma forma real compactau cuja conjugacao e denotada por τ . Como no capıtulo 12, u e definida por uma basede Weyl de gC que e determinada por elementos Xα ∈ (gC)α.

15.1 Automorfismos

No capıtulo 12 foi provado que toda forma real de gC e conjugada a uma forma realg bem adaptada a forma real compacta u no sentido em que a conjugacao σ de gCem relacao a g comuta com τ (veja teorema 12.18). Nesse caso θ = στ = τσ e umautomorfismo de gC que satisfaz θ2 = 1 e comuta com σ e portanto deixa g invariante.A restricao de θ a g, tambem denotada por θ, e a involucao de Cartan da decomposicaode Cartan

g = k⊕ s = (g ∩ u)⊕ (g ∩ iu) .

O automorfismo θ comuta com τ e portanto θ (u) = u.

427

428 Capıtulo 15. Algebras simples reais. Classificacao

Reciprocamente, um automorfismo θ de gC tal que θ2 = 1 e θ (u) = u decompoe ucomo

u = u+ ⊕ u−

com θ = 1 em u+ e θ = −1 em u−. Como θ e automorfismo, os colchetes entre essessubespacos sao dados por

[u+, u+] ⊂ u+ [u+, u−] ⊂ u− [u−, u−] ⊂ u+.

Em particular, u+ e uma subalgebra e

g = u+ ⊕ iu−

e uma forma real de gC. Como pode ser verificado diretamente o isomorfismo antilinear

σ = τθ = θτ

e a conjugacao em relacao a g = u+ ⊕ iu−.Em suma, as formas reais de gC sao determinadas por seus automorfismos invo-

lutivos que deixam u invariante. Por construcao, automorfismos conjugados definemalgebras isomorfas, isto e, se θ1 e θ2 sao automorfismos involutivos de u que determinamas formas reais g1 e g2, respectivamente, e se

θ1 = φθ2φ−1

para algum automorfismo φ, entao φg2 = g1.Dessa forma a classificacao das formas reais e equuivalente a classificacao dos au-

tomorfismos de ordem 2 que deixam u invariante.????O objetivo dessa secao e olhar como esses automorfismos sao obtidos a partir de suas

restricoes a subalgebras de Cartan e dessa forma preparar o caminho para classificaras algebras reais a partir dos diagramas.

Pela construcao canonica de u a partir de uma base de Weyl, pode-se escolher comosubalgebra de Cartan de u o subespaco ihR onde hR e o subespaco real gerado pelosduais das raızes da subalgebra de Cartan h de gC.

Seja agora θ um automorfismo de u que deixa ihR invariante. Entao, θ se estendea um automorfismo de gC que deixa invariante tanto h quanto hR e, portanto, θ definediferentes transformacoes lineares, todas elas denotadas da mesma maneira por θ. Atransposta de θ,

θ∗ (α) = α θ−1 = α θ,

define uma transformacao linear do dual de h. Essa transformacao linear deixa invari-ante o conjunto das raızes, pois se α e uma raiz, H ∈ h e X ∈ gα onde gα e o espacode raızes em gC, entao

[H, θX] = θ[θH,X] = α (θH) θ (X)

15.1. Automorfismos 429

e, portanto, α θ e raiz cujo espaco de raızes e

gθ∗α = θgα.

Por outro lado, toda transformacao que deixa invariante o conjunto das raızes e arestricao de um automorfismo da algebra:

Theorem 15.1 Seja θ uma transformacao linear de ihR e suponha que θ∗ (Π) = Πonde Π e o conjunto das raızes de h. Entao, θ se estende a um automorfismo de u.

Demonstracao: Pelo teorema 8.8, existe uma extensao de θ a um automorfismo φde gC. Por isso, a demonstracao consiste em modificar φ e obter um automorfismo quedeixa u invariante e cuja restricao a h coincide com θ.

Seja Xα, α ∈ Π uma base de Weyl de g que define u e use a notacao

[Xα, Xβ] = mα,βXα+β .

O fato de que a restricao de φ a h e θ, garante que

φ (gα) = gθ∗α

e, portanto, para cada α ∈ Π existe um numero complexo aα tal que

φ (Xα) = aαXθ∗α .

Esses numeros complexos satisfazem a relacao

aαa−α = 1,

pois, em uma base de Weyl, [Xα, X−α] = Hα e daı que

Hθ∗α = θ (Hα) = [θXα, θX−α] = aαa−αHθ∗α .

Ainda pelo fato de Xα formar uma base de Weyl, mα,β = −m−α,−β e, portanto, o lema8.5 garante que

m2α,β = q (p+ 1)

〈α, α〉2

,

onde p e q sao dados pela α-sequencia iniciada em β. O segundo membro dessa igual-dade permanece inalterado se α e β sao substituıdos por θ∗α e θ∗β, respectivamente,pois θ∗ e uma transformacao linear ortogonal em relacao a forma de Cartan-Killinge a θ∗α-sequencia iniciada em θ∗β e a imagem por θ∗ da α-sequencia iniciada em β.Portanto, m2

α,β = m2θ∗α,θ∗β e daı que

mα,β = ±mθ∗α,θ∗β .

Este fato aplicado a igualdade φ[Xα, Xβ] = [φXα, φXβ] mostra que

mα,βaα+β = mθ∗α,θ∗βaαaβ


e, portanto, queaα+β = ±aαaβ .

Uma vez verificadas essas propriedades de aα, e possıvel modificar φ e obter umautomorfismo que preserva u. Essa modificacao sera da forma

ψ = φ exp (ad(iH))

com H ∈ hR. Como h e abeliana, a restricao de exp (ad(iH)) a h e a identidade e,portanto, φ e ψ coincidem em h. Alem do mais, exp (ad(iH)) e diagonal na base deWeyl e

exp (ad(iH))Xα = eα(iH)Xα .

Dito isso, seja Σ = α1, . . . , αl um sistema simples de raızes. Entao, como aα 6= 0,pois aαa−α = 1 e Σ e uma base de hR, existe H ∈ hR tal que

aαj = e−αj(H).

Para esse H, o automorfismo ψ e a modificacao desejada, pois deixa u invariante.De fato,

ψ (Xα) = aαeα(H)Xθ∗α = εαXθ∗α

sendo que o coeficiente εα que aparece aı e ±1, ja que se α e uma das raızes simples,entao εα = 1 pela propria definicao de H e se

α = n1α1 + · · ·+ nlαl ,

entao uma inducao simples a partir da formula aα+β = ±aαaβ mostra que

εα = ±εn1α1· · · εnlαl

Alem do mais, ε−α = εα, pois aαa−α = 1. A expressao dada para ψ mostra, entao, que

ψ (Aα) = ±Aα e ψ (Sα) = ±Sα

e, como esses elementos geram u, essa forma real compacta e invariante por ψ. 2

Uma consequencia desta demonstracao e que as extensoes da identidade sao expo-nenciais dos elementos de u.

Corolario 15.2 Seja φ um automorfismo de u e suponha que sua restricao θ a ihRseja a identidade. Entao, existe H ∈ hR tal que

φ = exp (ad(iH)) .

Demonstracao: Na demonstracao do teorema,

ψ (Xα) = ±Xα .


O sinal ± provem do sinal da igualdade aα+β = ±aαaβ que por sua vez e dado por

mθ∗α,θ∗β = ±mα,β .

Como agora θ e a identidade, o sinal ± desaparece e, portanto,

ψ (Xα) = Xα

e ψ = 1. O corolario e, entao, consequencia da definicao de ψ como

ψ = φ exp (ad(iH)) ,

como foi feita na demonstracao do teorema. 2

O automorfismo ψ, que estende θ, construıdo na demonstracao do teorema 15.1 eda forma

ψ (Xα) = εαXθ∗α,

onde Xα ∈ gα forma uma base de Weyl e os coeficientes εα satisfazem

• εα = ±1,

• εαε−α = 1 e

• εα+β =mθ∗α,θ∗β

mα+β

εαεβ se α + β e raiz.

Uma extensao dessas e chamada de extensao canonica associada a base de Weyl.Essa extensao depende apenas dos coeficientes εα, α ∈ Π, e, devido a ultima proprie-dade, esses coeficientes sao determinados a partir de seus valores nos elementos de umsistema simples Σ.

Para a construcao das formas reais, o que interessa sao automorfismos involutivos.Se θ e involutivo, entao

ψ2 (Xα) = εαεθ∗αXα ,

e a extensao canonica e involutiva se e so se os coeficientes εα satisfazem a propriedadeadicional

• εαεθ∗α = 1.

As formas reais das algebras simples complexas serao encontradas pela analise dospossıveis conjuntos de coeficientes εα = ±1, α ∈ Π, que sao determinados a partir deseus valores para as raızes simples. A determinacao das formas reais a partir dessescoeficientes e viavel, pois a algebra dos pontos fixos de uma extensao involutiva qual-quer e isomorfa a algebra dos pontos fixos de uma extensao canonica, como mostra aproposicao a seguir.


Proposicao 15.3 Seja θ como acima. Suponha que θ 6= 1 admita alguma extensaocanonica involutiva. Denote uma dessas extensoes por ψ0. Seja φ uma extensao in-volutiva de θ a um automorfismo de u. Entao, existem uma extensao canonica ψ eH0 ∈ hR tal que

exp (i (adH0))φ exp (−i (adH0)) = ψ.

Alem do mais, ψ e dado por

ψ = ψ0 exp (i (adH+))

para algum H+ ∈ hR com θH+ = H+.

Demonstracao: Tanto φ quanto ψ0 sao extensoes de θ. Portanto, ψ−10 φ e uma

extensao da identidade. O corolario 15.2 garante, entao, que

φ = ψ0 exp (i (adH)) (15.1)

para algum H ∈ hR. Escreva

H = H+ +H−

com θ (H±) = ±H± e defina

ψ = ψ0 exp (i (adH+)) e H0 =H−2. (15.2)

Esses valores de ψ e H0 satisfazem o que se pede. Para verificar isso, vai ser usada anotacao H` para indicar a transformacao i ad (H), H ∈ hR.

Para uma extensao qualquer η de θ valem as formulas

ηH`η−1 = (θH)` , η(expH`

)η−1 = exp (θH)`

para todo H ∈ hR. Aplicando a segunda dessas formulas a φ2 e usando o fato de quetanto φ quanto ψ0 sao involucoes, chega-se a

exp (θH +H)` = 1,

o que e equivalente a

exp 2H`+ = 1.

Por um calculo semelhante,

ψ2 = ψ0eH`

+ψ0eH`

+ = e2H`+ = 1

e daı que ψ e de fato uma involucao. Por outro lado, as expressoes para φ e ψ em(15.1) e (15.2) mostram que

φ = ψ expH`− .


Portanto,

exp(H`

0

)φ exp

(−H`

0

)= ψψ−1 exp

(H`

0

)ψ exp (H− −H0)`

= ψ exp (θH0 +H− −H0)`

= ψ exp(−H−

2+H− − H−

2

)`= ψ.

Para concluir, so falta verificar, entao, que ψ e uma extensao canonica. Para isso,seja α uma raiz. Entao, para X ∈ gα, H`X = iα (H)X e, portanto,

exp(H`)X = eiα(H)X.

Aplicando essa igualdade a H`+ e usando o fato de que exp

(2H`

+

)= 1, conclui-se que

α (H) e um multiplo par de π para toda raiz α. Portanto, α (H) e um multiplo de π edaı que

exp(H`

+

)Xα = ±Xα ,

o que mostra que a composta ψ = ψ0 exp(H`

+

)e uma extensao canonica se o mesmo

ocorre com ψ0. 2

Nessa proposicao a hipotese de que θ admite uma extensao canonica involutiva podeser enfraquecida assumindo apenas a existencia de uma extensao involutiva, ja que aconstrucao feita na demonstracao do teorema 15.1 fornece uma extensao canonica apartir de uma extensao arbitraria. O problema central aqui e a existencia de extensoesinvolutivas, pois nem sempre uma transformacao involutiva θ que preserva as raızesadmite uma extensao involutiva. Exemplos de tais transformacoes sao dadas pelosdiagramas nao-admissıveis que aparecem na secao 15.3 adiante. Em todo caso, vale apena mencionar que se φ e uma extensao canonica de θ, entao φ4 = 1, pois φ2 e umaextensao canonica da identidade e, portanto, φ2 (Xα) = ±Xα para toda raiz α.

Como fica claro a partir da demonstracao da proposicao acima, o fato de que φe ψ sao conjugados se deve a que um desses automorfismos e obtido do outro pormultiplicacao a direita de exp (i (adH−)) com θ (H−) = −H−. Esse fato e ressaltadono seguinte

Corolario 15.4 Sejam φ e ψ extensoes involutivas de θ tais que

φ = ψ exp (i (adH−))

com θ (H−) = −H−. Entao,

exp

(i

(ad

H−2

))φ exp

(−i(

adH−2

))= ψ.

Um caso particular em que este corolario se aplica e quando θ = −1. Nesse caso,duas extensoes quaisquer de θ sao relacionadas como no enunciado e, portanto, elassao equivalentes entre si, com a equivalencia dada por um automorfismo de u.


Em geral, se as extensoes estao relacionadas por

φ = ψ exp (i (adH+))

com θ (H+) = H+, elas nem sempre sao conjugadas por um automorfismo da algebra(ou mesmo por uma transformacao linear qualquer). Isso ocorre, no entanto, no casoem que tanto φ quanto ψ se restringem a identidade nos espacos de raızes gα em queθ∗α = α, como sera mostrado na proxima secao.

15.2 Sistemas de raızes

Nesta secao, concluem-se os preparativos para a classificacao das formas reais dasalgebras simples complexas por intermedio dos diagramas de Satake. Seja g uma formareal da algebra simples complexa gC e g = k + s uma decomposicao de Cartan de g.Seja tambem h uma subalgebra de Cartan de g que contem um abeliano maximal a des. Entao, pode-se decompor h como

h = hk ⊕ a

com hk = h ∩ k (veja a proposicao 12.25). Essa decomposicao permite escrever acomplexificada hC de h como

hC = hk ⊕ a⊕ ihk ⊕ ia.

Os termos intermediarios desta decomposicao formam o subespaco real em que as raızesde hC sao reais. De fato, tem-se

Proposicao 15.5 Para uma raiz α denote por Hα seu dual pela forma de Cartan-Killing: α (·) = 〈Hα, ·〉. Seja hR o subespaco real de hC gerado Hα, α ∈ Π. Entao,

hR = ihk ⊕ a.

Demonstracao: O subconjunto de hC em que as raızes de hC assumem valores reaise exatamente hR. De fato, as raızes de hC assumem valores reais em hR. Alem do mais,hC = hR ⊕ ihR e para H ∈ hR existe uma raiz β tal que β (H) 6= 0. Dessa forma,se H ′ = H1 + iH2 ∈ hC nao pertence a hR, entao β (H ′) nao e real para alguma raizβ. Por outro lado, as adjuntas dos elementos de a sao simetricas em relacao ao pro-duto interno Bθ. Portanto, seus autovalores sao reais. Como os autovalores de ad (H),H ∈ a sao da forma α (H) com α raiz, isso mostra que a ⊂ hR. De maneira semelhante,os autovalores das adjuntas dos elementos de hk sao puramente imaginarios e daı queihk ⊂ hR. Essas inclusoes, juntamente com o fato de que a dimensao (real) de ihk ⊕ acoincide com a de h, mostram a proposicao. 2

A analise da algebra real g sera feita a partir das raızes restritas que sao os autovalo-res das adjuntas dos elementos de a. Essas raızes sao as restricoes a a das raızes de hC.


Para olhar essas restricoes, e conveniente considerar o dual de a como um subespaco dodual de h atraves da aplicacao a∗ → h∗ que associa a um funcional de a sua extensaoa h que e identicamente nula em hk. Por essa inclusao, as restricoes a a sao descritasatraves da conjugacao X → X de gC em relacao a g da seguinte maneira.

A um funcional linear α de hC se associa o funcional linear α definido por

α(H) = α(H)

onde H denota a conjugacao em gC enquanto que a outra conjugacao do segundomembro e a usual de numeros complexos. A aplicacao α→ α e uma conjugacao no dualde hC, pois e antilinear e satisfaz α = α. Por isso, usa-se para as raızes a terminologiausual dos numeros complexos: uma raiz α e imaginaria se α = −α e e real se α = α.O conjunto das raızes imaginarias e denotado por Πim e o seu complementar Π− Πim

em Π por Πco.Se α e raiz, entao ela assume valores reais em hR e, portanto, o mesmo ocorre

com α e daı que, restrito a hR, α e um funcional linear real. Alem do mais, se umaraiz e imaginaria, entao ela e identicamente nula em a enquanto as raızes reais saoidenticamente nulas em hk. Em geral, para uma raiz α, tem-se que

• α (H) = −α (H) se H ∈ ihk e

• α (H) = α (H) se H ∈ a.

Desses fatos, tira-se que a restricao de α a a e dada por

1

2(α + α) ,

ja que esse funcional se anula em ihk e coincide em a com sua restricao.Uma maneira alternativa de descrever as restricoes das raızes a a e atraves da

involucao de Cartan θ associada a decomposicao g = k ⊕ s que vem sendo utilizada.Essa involucao e um automorfismo de g e como tal se estende a um automorfismo degC que tambem e denotado por θ. Como θ = 1 em k e θ = −1 em s, sua restricao a hRe dada por

θ (H) = −H.Juntando isso ao fato de que α e real em hR, tem-se que nesse espaco,

α = −θ∗α = −α θ−1 = −α θ.

Como θ e um automorfismo, isso mostra que se α e raiz, entao a restricao de α a hRcoincide com uma raiz. Com essa expressao, a restricao de α a a pode ser escrita como

1

2(1− θ∗)α.

Em outras palavras, a restricao de uma raiz e sua imagem pela projecao ortogonal

P =1

2(1− θ∗)


sobre o auto-espaco de θ∗ associado ao autovalor −1. Como θ∗α = −α, P e tambema projecao ortogonal sobre o subespaco dos pontos fixos pela conjugacao α → α e oconjunto das raızes restritas e P (Πco).

Projecoes ortogonais de sistemas de raızes foram estudados no capıtulo 9 para σ-sistemas. Uma das coisas que se mostrou para esses sistemas e que se ele e normal,isto e, se σα− α nao e raiz para nenhuma raiz α, entao a projecao sobre o espaco dospontos fixos e um sistema de raızes, possivelmente nao-reduzido.

Evidentemente, a conjugacao α → α permuta as raızes, definindo assim um σ-sistema em hR. O lema a seguir mostra que esse σ-sistema e normal.

Lema 15.6 Seja θ a involucao de Cartan de uma forma real nao-compacta que deixainvariante a subalgebra de Cartan. Se α e uma raiz tal que θ∗α = α, entao o espacode raızes correspondente gα esta contido em k+ ik. E se β e uma raiz arbitraria, entaoβ + θ∗β nao e raiz. Portanto, β − β nao e raiz e a conjugacao define um σ-sistemanormal em hR.

Demonstracao: Como ocorre para automorfismos em geral, θgα = gθ∗α. A hipotesegarante, entao, que θgα = gα. Portanto, se X ∈ gα, entao θ (X) = cX e como θ einvolutivo, c2 = 1, isto e, c = ±1. Se c = 1, entao X ∈ k + ik e X ∈ s + is se c = −1.No entanto, a condicao de que θ∗α = α garante que, para H ∈ a, α (H) = 0 e daı que[H,X] = 0. Isso mostra que c 6= −1, pois a e um abeliano maximal em s. Portanto,c = 1 e X ∈ k + ik.

Quanto a segunda afirmacao, seja α = β + θ∗β. Entao, θ∗α = α e, portanto, gαesta contido em k + ik. Por outro lado,

gα = [gβ, gθ∗β]

e, como gθ∗β = θgβ, se 0 6= Y ∈ gβ, entao

X = [Y, θY ]

gera gα. MasθX = θ[Y, θY ] = −X

e, portanto, X ∈ s + is e daı que α = β + θ∗β nao e raiz. 2

Com esse lema, ficam disponıveis os resultados mostrados no capıtulo 14 sobresistemas normais. Em particular, o conjunto das raızes restritas e um sistema deraızes, em geral nao-reduzido. O conjuto das raızes imaginarias Πim tambem e umsistema de raızes que tem Σim como raızes simples.

Para tomar um sistema simples das raızes restritas, basta tomar uma ordem lexi-cografica em h∗R que seja compatıvel com uma ordem lexicografica de a∗. Denotandopor Σ o sistema simples em relacao a uma ordem dessas, seja Σim o conjunto das raızessimples imaginarias e Σco o seu complementar em Σ. Entao, Σim e um sistema simplesdo sistema de raızes Πim e a projecao de Σco sobre a∗ e um sistema simples para asraızes restritas. Alem do mais, usando a notacao

Σco = α1, . . . , αp,


existe uma permutacao σ dos subındices tal que

αj = ασ(j) + βj (15.3)

com βj uma combinacao linear de Σim (veja proposicao 14.6 no capıtulo 14).O que se pretende agora e discutir a maneira como as formas reais sao obtidas

dessas transformacoes em hR e h∗R. Seja α → α uma aplicacao involutiva de h∗R quepreserva as raızes. Definindo θ∗α = −α, e θ por dualidade, as formas reais sao obtidaspor extensoes involutivas de θ a u. Se ψ e uma extensao dessas, entao deve-se construiruma forma real g como g = k⊕ s com

k = X : ψX = X e is = X : ψX = −X.

De acordo com a proposicao 15.3, se θ admite uma extensao canonica involutiva,entao toda extensao involutiva de θ e equivalente a uma extensao canonica. Nem todaθ admite uma extensao canonica involutiva. As que admitem serao encontradas naproxima secao quando for feita a analise dos diagramas de Satake. Em todo caso, esuficiente olhar as extensoes canonicas. Elas sao dadas por coeficientes εα atraves dasigualdades

ψXα = εαX−α,

onde Xα ∈ gα forma uma base de Weyl e ψ denota a extensao. Usando a notacao

[Xα, Xβ] = mα,βXα+β ,

se α + β e raiz, os coeficientes εα devem satisfazer as condicoes da pagina 435. Essascondicoes, escritas em termos de α→ α, ao inves de θ, sao:

C1) εα = ±1,

C2) εαε−α = 1,

C3) εα+β = −mα,β

mα,β

εαεβ e

C4) εαεα = 1.

Esta ultima condicao e para garantir que a extensao e involutiva. Construindo aforma real g a partir de α→ α dessa maneira, o subespaco

a = H : θH = −H

nao e, em geral, um abeliano maximal em s. Para que isso ocorra, e necessario incluiruma condicao extra sobre o sistema εα, que e dada pelo seguinte lema.

Lema 15.7 Com as notacoes acima, a condicao

εα = 1 se α = −α (15.4)

e necessaria e suficiente para que a seja abeliano maximal em s.


Demonstracao: O centralizador de a e

h⊕∑

gα

com a soma sobre α tal que α (H) = 0 para todo H ∈ a. Como isso ocorre se e so seα = −α, esse centralizador intercepta h se e so se εα = −1 para alguma raiz imaginariaα. Assim, a e abeliano maximal em s se e so se εα = 1 para as raızes em que α = −α. 2

Em resumo, uma aplicacao α → α que define em h∗R um σ-sistema normal, deter-mina uma forma real g de gC se for possıvel encontrar um sistema de numeros εα, α ∈ Πsatisfazendo as condicoes acima. Se alem do mais, a condicao do lema for satisfeita,entao a forma real esta bem posicionada em relacao a forma real compacta u, de talmaneira que a conjugacao α→ α fornece o posto de g assim como as raızes restritas.

Com essas condicoes, existe uma liberdade na escolha de εα. A questao aqui e quequalquer sistema εα define uma mesma classe de equivalencia de formas reais desde queεα = 1 para as raızes imaginarias, como e mostrado a seguir.

Lema 15.8 Sejam φ e ψ extensoes involutivas de θ e suponha que φ (X) = ψ (X) = Xpara X ∈ gα se θ∗α = α (isto e, φ e ψ satisfazem (15.4)). Entao, existe H0 ∈ hR talque

exp (i (adH0))φ exp (−i (adH0)) = ψ.

Demonstracao: Como φ e ψ sao extensoes de uma mesma transformacao, pelocorolario 15.2 existe H ∈ hR tal que

φ = ψ exp (i (adH)) . (15.5)

Esse H nao e unico, pois para X ∈ gα,

exp (i (adH))X = eiα(H)X

e daı que exp (i (adH)) = exp (i (adH ′)) se α (H)−α (H ′) e um multiplo par de π paratoda raiz α. Em vista disso, a ideia e mostrar que e possıvel encontrar H satisfazendo(15.5) de tal forma que θ (H) = −H e aplicar o corolario 15.4 que garante, entao, aconjugacao entre φ e ψ.

Para H ∈ hR, θ (H) = −H se e so se β (H) = 0 para todo β ∈ h∗R em que θ∗β = β,isto e, o auto-espaco de θ associado a −1 e o anulador do espaco dos pontos fixos de θ∗.Esse espaco de pontos fixos e gerado pelas raızes simples imaginarias e pelas diferencasαj−ασ(j), αj ∈ Σco, onde σ e a permutacao do diagrama de Satake correspondente (veja(15.3)). Assim, o que se procura e H, satisfazendo (15.5) de tal forma que α (H) = 0para α ∈ Σim e

(αj − ασ(j)

)(H) = 0 para αj ∈ Σco.

Escrevendo o sistema simples, dado por ordens lexicograficas compatıveis, como

Σ = α1, . . . , αk, αk+1, . . . , αl

com αj, 1 ≤ j ≤ k, as raızes imaginarias, seja H1, . . . , Hl a base de hR dual de Σ:

αr (Hs) = δrs .


Entao, H se decompoe como

H = α1 (H)H1 + · · ·+ αl (H)Hl = H ′ +H ′′

com H ′ = α1 (H)H1 + · · · + αk (H)Hk a combinacao correspondente as raızes ima-ginarias.

Se α e uma raiz com θ∗α = α, entao para X ∈ gα, φ (X) = ψ (X) = X e, portanto,exp (i (adH))X = X de onde se conclui que eiα(H) = 1, isto e, α (H) e um multiplo parde π. Dessa forma, pode-se assumir que H ′ = 0. Assumindo isso, α (H) = 0 para asraızes imaginarias. Quanto as demais raızes, o fato de que εα = εα, tanto para φ quantopara ψ garante que αj (H) e ασ(j) sao multiplos inteiros de π com a mesma paridade.Assim, e possıvel tomar H de tal forma que αj (H) = ασ(j) (H) para as raızes em Σco,o que conclui a demonstracao da proposicao, pois para esse H, β (H) = 0 para todoβ ∈ h∗R fixo por θ∗. 2


De acordo com a discussao da secao anterior, as formas reais sao determinadas pelasconjugacoes normais α → α em h∗R. A condicao para que uma conjugacao dessasseja proveniente de uma forma real e que exista um conjunto de numeros εα = ±1satisfazendo as condicoes C1 − C4 e (15.4). Se isso ocorre, a conjugacao e chamadaadmissıvel.

As conjugacoes normais foram encontradas no capıtulo 14 atraves dos diagramasde Satake. Portanto, para encontrar as formas reais, falta apenas verificar, entre essesdiagramas, quais sao os admissıveis.

Para isso, deve-se escolher εα, α ∈ ±Σ. A condicao C3 garante uma extensaounica a um conjunto εα para α ∈ Π (como na demonstracao do teorema 15.1). Asrestricoes para εα, α ∈ ±Σ, sao dadas por C1, C2 e (15.4). Fazendo a escolha com essascondicoes, a extensao a εα para α ∈ Π satisfaz automaticamente C1, pois mα,β = ±1.Como m−α,−β = −mα,β para uma base de Weyl, a condicao C2 tambem e satisfeitapela extensao. Por essa mesma relacao, (15.4) vale para toda raiz α ∈ Πim se elafor satisfeita para α ∈ Σim. Quanto a C4, se ela for satisfeita para α ∈ ±Σco, entaoela continua valendo para todas as raızes nao imaginarias, devido a C3. Assim, umdiagrama de Satake normal e admissıvel caso exista uma escolha de εα, α ∈ Σ, tal queεα = 1 para α ∈ Σim e a condicao C4 for satisfeita para α ∈ Σco. O seguinte lemafornece um metodo para decidir se uma raiz simples nao imaginaria satisfaz ou naoC4, no caso dos diagramas interiores. Esse lema garante tambem que, nesse caso, aexistencia de εα admissıvel independe da escolha dos mesmos para as raızes simples,desde que εα = 1 para as raızes imaginarias.

Lema 15.9 Tomando εα, α ∈ Σ, com εα = 1 para α ∈ Σim, seja β ∈ Σco. Entao,

1. seβ = β + γ + δ


com γ 6= −δ raızes imaginarias tais que β + γ e β + δ sao raızes e γ + δ nao eraiz, entao εβεβ = 1.

2. Seβ = β + γ + δ + τ

com γ, δ, τ raızes imaginarias tais que

• β + γ, β + δ, β + τ , β − γ, β − δ e β − τ sao raızes e

• γ + δ, γ + τ e δ + τ nao sao raızes,

entao εβεβ = −1.

Demonstracao: E uma aplicacao reiterada dos lemas 8.6 e 8.7 (veja paginas 200 e201). Esses lemas dizem que para raızes α, β, γ e δ, que nao sao opostas duas a duas,entao

• se α + β + γ = 0, mα,β = mβ,γ = mγ,α e

• se α + β + γ + δ = 0, mα,βmγ,δ +mα,δmβ,γ +mγ,αmβ,δ = 0.

Como na secao anterior θα = −α e sua extensao, definida por εα, e denotada porφ:

φ (Xα) = εαXα,

onde Xα ∈ gα forma uma base de Weyl.

1. Aplicando φ a ambos os membros de

[[Xβ, Xγ], Xδ] = mβ,γmβ+γ,δXβ

e usando o fato de que εγ = εδ = 1, chega-se a

εβεβ =mβ,γmβ+γ,δ

m−β,γm−β−δ,δ.

O lema 8.7, aplicado as raızes −β, β, γ e δ (que somam zero), fornece

mβ,γm−β,δ +mγ,−βmβ,δ = 0,

ja que, por hipotese, γ + δ nao e raiz e, portanto, mγ,δ = 0. Substituindo nessaigualdade mγ,−β = −m−β,γ, chega-se a

mβ,γ

m−β,γ=

mβ,δ

m−β,δ

e daı que

εβεβ =mβ,δmβ+γ,δ

m−β,δm−β−δ,δ= 1,


pois o lema 8.6, aplicado as raızes −β, δ e β + γ, mostra que

mβ+γ,δ = −mδ,β+γ = −m−β,δ .

E pelo mesmo lema aplicado, agora, as raızes − (β + δ), δ, β, tem-se

mβ,δ = −mδ,β = −m−β−δ,δ .

2. Da mesma forma que no item anterior, obtem-se a expressao

εβεβ =mβ,γmβ+γ,δmβ+γ+δ,τ

m−β,γm−β+γ,δm−β+γ+δ,τ

aplicando φ a ambos os membros de

[[[Xβ, Xγ], Xδ], Xτ ] = mβ,γmβ+γ,δmβ+γ+δ,τXβ .

Como γ + δ nao e raiz, [Xγ, Xδ] = 0 e, portanto, a identidade de Jacobi implicaque

[[Xβ, Xγ], Xδ] = [[Xβ, Xδ], Xγ],

o que por sua vez mostra que

mβ,γmβ+γ,δ = mβ,δmβ+δ,γ

e, portanto,

εβεβ =mβ,δmβ+δ,γmβ+γ+δ,τ

m−β,γm−β+γ,δm−β+γ+δ,τ

.

Agora, aplicando o lema 8.7 as raızes −β, β + δ, γ e τ e usando o fato de queγ + τ nao e raiz, mostra-se que

mβ+δ,γm−β,τ +mγ,−βmβ+δ,τ = 0 .

Mas o lema 8.6, aplicado as raızes −β, τ e β + γ + δ, fornece

m−β,τ = mτ ,β+γ+δ = −mβ+γ+δ,τ

e daı quemβ+γ+δ,τ

m−β,γ= −mβ+δ,τ

mβ+δ,γ

.

Dessa forma, a expressao para εβεβ se simplifica como

εβεβ = − mβ,δmβ+γ,τ

m−β+γ,δm−β+γ+δ,τ

.

Procedendo da mesma maneira, aplicando o lema 8.7 as raızes −β + γ, β, δ e τ ,juntamente com o lema 8.6 as raızes −β + γ, τ e β + δ, chega-se a igualdade

εβεβ =mβ,τ

m−β+γ+δ,τ


e o segundo membro dessa igualdade e −1, pois o lema 8.6, aplicado as raızes β,τ e −β + γ + δ, garante que

mβ,τ = mτ ,−β+γ+δ = −m−β+γ+δ,τ ,

concluindo a demonstracao. 2

Com esse lema, e possıvel encontrar finalmente os diagramas de Satake admissıveis.Esses diagramas estao listados na segunda coluna da tabela adiante. Entre os diagramasnormais do capıtulo 14, apenas quatro nao sao admissıveis e nao constam dessa tabela.Esses diagramas, assim como as raızes que satisfazem o item 2 do lema 15.9, estaolistados a seguir.

Diagramas nao-admissıveis

• O diagrama de Dl

u e u . . . uγ

eβ,,

ll

uδuτ

e normal mas nao admissıvel, pois as raızes indicadas satisfazem as condicoes doitem 2 do lema 15.9.

• Outro diagrama de Satake de Dl, que e normal mas nao admissıvel, e

u e u . . . e u eαj

u. . . u,,ll

uu

Aqui, β = αj e a maior raiz, que nao e imaginaria. Como foi visto no capıtulo14,

β = αj−1 + αj + 2 (αj+1 + · · ·+ αl−2) + αl−1 + αl

e, se for tomado γ = αj−1 e

δ = αj+1 + · · ·+ αl−1 τ = αj+1 + · · ·+ αl ,

essas raızes satisfazem o lema 15.9.

• O diagrama normal de E7

u u u u u eu

α1 α2 α3 α4 α5 α6

α7


nao e admissıvel. Aqui, β = α6 e, por intermedio da inversa da matriz de Cartande D6, encontra-se que

β = α6 + α1 + 2α2 + 3α3 + 4α4 + 2α7 + 3α5 .

Usando a realizacao de E7 como no capıtulo 8, β = λ2 − λ3, β se escreve como

β = − (λ2 + λ4 + λ5 + λ6 + λ7 + λ8) = λ1 + λ3 + λ9

e as raızes que satisfazem o item 2 do lema 15.9 sao

γ = − (λ2 + λ7 + λ8) δ = − (λ2 + λ5 + λ6) τ = λ3 − λ4.

• O diagrama normal

u e u u u eu

nao e admissıvel. Tomando β = α2,

β = α1 + α2 + 2α3 + 2α4 + α5 + α7

e as raızesγ = α1 δ = α3 + α4 τ = α3 + α4 + α5 + α7

satisfazem o lema.

• O diagrama

e u u u u u uu

α1 α2 α3 α4 α5 α6 α7

α8

de E8 nao e admissıvel. Tomando β = α1, β e calculada atraves da inversa damatriz de Cartan de E7:

β = α1 + 3α2 + 4α3 + 5α4 + 6α5 + 4α6 + 2α7 + 3α8 .

Em termos da realizacao de E8 feita no capıtulo 8, β = λ8 − λ9, enquanto que

β = − (λ2 + λ3 + λ4 + λ5 + λ6 + λ7 + 2λ8 + λ9) = λ1 − λ8

e as raızes que mostram que o diagrama nao e admissıvel sao, por exemplo,

γ = − (λ2 + λ3 + λ8) δ = − (λ4 + λ5 + λ8) τ = − (λ6 + λ7 + λ8) .


Diagramas admissıveis

O item 1 do lema 15.9 permite mostrar que todos os diagramas interiores que aparecemna tabela sao de fato admissıveis. As raızes γ e δ sao indicadas a seguir para cada umdos diagramas:

• Diagrama AII: se β = αj e uma raiz simples nao-imaginaria, entao

β = αj−1 + αj + αj+1

e pode-se tomar γ = αj−1, δ = αj+1.

• Para um diagrama em B, a unica raiz simples cuja conjugada nao e ela mesmae β = αj, a raiz que se liga a Σim. Para essa raiz, a inversa da matriz de Cartande Bl fornece

β = αj + 2 (αj+1 + · · ·+ αl)

e, tomandoγ = δ = αj+1 + · · ·+ αl ,

verifica-se que o diagrama e admissıvel.

• Para o primeiro dos diagramas em CII, a situacao e como em AII, exceto pelaultima raiz β = αl. Nesse caso,

β = αl + 2αl−1

e γ = δ = αl.

• Para o segundo dos diagramas em CII so falta verificar o caso em que β = αj ea maior das raızes nao-imaginarias. Para essa raiz,

β = αj−1 + αj + 2 (αj+1 + · · ·+ αl−1) + αl

e, aqui, pode-se tomar γ = αj−1 e

δ = 2 (αj+1 + · · ·+ αl−1) + αl .

• Para o segundo dos diagramas em DI, a questao se reduz a raiz β = αj que seliga as raızes imaginarias. Para essa raiz,

β = αj + 2 (αj+1 + · · ·+ αl−2) + αl−1 + αl

e as raızes que satisfazem o lema sao

γ = αj+1 + · · ·+ αl−2 δ = αj+1 + · · ·+ αl−2 + αl−1 + αl .

• O diagrama DII e semelhante ao anterior, enquanto que o DIII e igual ao AII.


• No diagrama F4II, o conjugado da raiz β = α4 nao-imaginaria e dado pelainversa da matriz de Cartan de B3:

β = α4 + α1 + 2α2 + 3α3

e as raızes que satisfazem o lema sao

γ = α1 + α2 + α3 δ = α2 + α3 .

• Para E6IV, se β = α1, entao

β = α1 + 2α2 + 2α3 + α4 + α6

eγ = α2 + α3 δ = α2 + α3 + α4 + α6 .

• No diagrama E7II as raızes sao como em AII, ja em E7III e em E8II a situacaoe a mesma de E6IV.

No caso dos diagramas exteriores, os que nao contem raızes imaginarias sao ad-missıveis, pois pode-se tomar εα = 1 para toda a raiz simples α, ja que para essesdiagramas o conjugado de uma raiz simples e outra raiz simples. Os diagramas exte-riores que nao contem raızes imaginarias sao o segundo de AIII, o terceiro de DI eE6II. Os restantes tres diagramas exteriores sao

• o primeiro de AIII. Para esse diagrama, se αj, αk ∈ Σco sao tais que αj ↔ αk enenhuma delas esta ligada a uma raiz imaginaria, entao αj = αk, pois o suportede uma raiz e conexo. Portanto, basta tomar εαj = εαk . Ja, se elas estao ligadasas raızes imaginarias, entao k = l − j + 1 e, assumindo j < k,

αj = αk + (αj+1 + · · ·+ αl−j) = αk + γ

com γ raiz. Assim, pode-se tomar εαj arbitrario e εαk de tal forma que a condicaoC3 seja satisfeita para αk e γ.

• Quanto ao segundo diagrama de DIII, exceto por αl−1 e αl, as raızes tem umcomportamento como em AII e, para essas raızes,

αl−1 = αl + αl−2

e αl−1 − αl e raiz e a escolha de εαl−1e εαl pode ser feita de maneira compatıvel

com C3.

• Por fim, no diagrama E6III, α6 e calculado pela inversa da matriz de Cartan deA3, o que fornece

α6 = α6 + α2 + 2α3 + α4

e, tomando γ = α2 + α3 + α4 e δ = α3, o item 1 do lema 15.9 garante queεα6εα6 = 1. Por outro lado,

α1 = α5 + α2 + α3 + α4 ,

pois o suporte de α1 e a base do diagrama. Assim, α1 − α5 e raiz e e possıveltomar εα1 e εα5 compatıveis com C3.


Tipo Σ P (Σ)

AI e e e e e e e eAII

u e u u e u e e e e

AIII e e e uu

ue e e

?

6

?

6

?

6

e e e eA

e e e ee e e e e

ZZ

?6

?6

?6

?6 e e e

Ae

Be e e u u uA

e e e eA

CIe e e

Ae e e e

Ae

CIIu e u e u

Ae e e e

Ae

u e u e u uA

u e e e eA

DI

e e,,ll

ee e e,,

ll

ee

e e u u,,ll

uu e e e eA

e e e e e,,ll

ee?6 e e e eA


Tipo Σ P (Σ)

DII

e u u u u,,ll

uu e

DIII

u e u u e,,ll

ue e e e

Ae

u e u e u,,ll

ee?6 e e e eA

G2e eA

e eA

F4Ie e eA

e e e eA

e

F4IIu u uA

e e

E6Ie e e e e

ee e e e e

e

E6II

e e,,ll

e,, e

ell e

6

?

6

? e e eA

e

E6III

e u,,ll

u,, e

ull e

6

? e eA


Tipo Σ P (Σ)

E6IVe u u u e

ue e

E7I e e e e e ee

e e e e e ee

E7II u e u e e eu e e eA

e

E7III e e u u u eu e eA

e

E8I e e e e e e ee

e e e e e e ee

E8II e e e u u u eu e e eA

e

A ultima coluna dessa tabela indica o diagrama de Dynkin do sistema restritoP (Π) − 0. Uma maneira de encontrar esse diagrama e utilizando os calculos feitosna demonstracao da proposicao 14.2 do capıtulo 14, em que se consideram os seguintescasos para uma raiz α nao-imaginaria:

1. se α = α, entao, para qualquer raiz β,

2〈Pβ, Pα〉〈Pα, Pα〉

=2〈β, α〉〈α, α〉

.

2. Se α 6= α e 〈α, α〉 = 0, entao


=2〈β, α〉〈α, α〉

+2〈β, α〉〈α, α〉

.

3. Se α 6= α e 〈α, α〉 6= 0, entao


=4〈β, α〉〈α, α〉

+4〈β, α〉〈α, α〉

.

Essas formulas fornecem de imediato os numeros de Killing entre os elementos deP (Σco) e, portanto, os diagramas de Dynkin. Por exemplo, para o primeiro diagramaem AIII, se αr e αl−r+1 sao as raızes ligadas a Σim, entao, para i < r, αi = αl−i+1 eortogonal tanto a αi quanto as raızes ligadas a ela. Assim, os numeros de Killing

2〈Pαk, Pαi〉〈Pαi, Pαi〉


sao iguais a −1 para k = i − 1 ou i + 1 e 0 para k diferente desses valores. A unicaligacao de P (αr) e com P (αr−1) e, como αr nao e ortogonal a αr e 〈αr, αr−1〉 = 0, aterceira das formulas acima mostra que

2〈Pαr−1, Pαr〉〈Pαr, Pαr〉

=4〈αr−1, αr〉〈αr, αr〉

= −2

e daı que o diagrama do sistema restrito e Br. Os demais diagramas de Dynkin saoencontrados de forma semelhante.

Os tipos indicados na primeira coluna da tabela, para os diagramas Al-Dl, seguema nomenclatura de Cartan e correspondem as algebras classicas reais com os mesmostipos.

15.4 Exercıcios

1. Dada uma decomposicao de Cartan g = k⊕ s, seja a ⊂ s um abeliano maximal edenote por Φ o conjunto das raızes restritas de a em g. Escolhendo um sistemapositivo de raızes Φ+, seja

n+ =∑α∈Φ+

gα .

Mostre que n+ e nilpotente e que g = k⊕ a⊕ n+. (Decomposicao de Iwasawa).Interprete essa decomposicao para a algebra sl (n,R).

2. Use as tecnicas de extensoes desenvolvidas neste capıtulo para mostrar que umautomorfismo de diagrama involutivo admite uma extensao involutiva, se o corpode base e algebricamente fechado, complexo ou nao.

3. Mostre que se φ : sl (2n,C) → sl (2n,C) e da forma φ (X) = −J−1X tJ , entao φe automorfismo. Mostre tambem que tomando J em blocos n× n como

J =

(0 11 0

)ou J =

(0 −11 0

),

entao em qualquer um dos casos φ e uma involucao e as respectivas algebras dospontos fixos nao sao isomorfas e, no entanto, as suas restricoes a subalgebra deCartan das matrizes diagonais coincidem.

4. Encontre os diagramas de Satake das realificadas das algebras simples complexas.

5. Este exercıcio contem informacoes sobre as subalgebras de Cartan de uma algebrasemi-simples real g. Para mais detalhes, veja [44] ou [50]. Mantenha fixa umadecomposicao de Cartan g = k⊕ s com involucao correspondente θ, assim comoum abeliano maximal a ⊂ s.

(a) Seja h ⊂ g uma subalgebra de Cartan. Mostre que existe um automorfismoφ de g tal que φ (h) e invariante por θ. (Construa a forma real compacta dacomplexificada de g a partir da complexificada de h).


(b) Se h e uma subalgebra de Cartan invariante por θ, entao

h = (h ∩ k)⊕ (h ∩ s) = hk ⊕ hs.

(c) Se h e uma subalgebra de Cartan invariante por θ, entao existe um auto-morfismo φ de g tal que φ (h)s ⊂ a.

(d) Seja h uma subalgebra de Cartan tal que hs ⊂ a. Entao, o complementarortogonal h⊥s de hs em a e gerado por Hα ∈ h⊥s .

6. O objetivo deste exercıcio e mostrar que os elementos do grupo de Weyl dosistema de raızes restrito de uma algebra semi-simples nao-compacta g podemser vistos como restricoes a a de elementos do grupo

K = eadX1 · · · eadXm : Xi ∈ k.

(a) Denote por gα ⊂ g o espaco associado a raiz restrita α e seja X ∈ gα talque Bθ (X,X) = 1 onde θ e a involucao de Cartan. Mostre que o subespacog (α) gerado X, θX e Hα e uma subalgebra isomorfa a sl (2,R).

(b) Se H ∈ a, entao o subespaco UH gerado por H e g (α) e invariante pelarepresentacao adjunta de g (α) em g e, portanto, por

w = exp (X + θX) .

(c) UH se decompoe em componentes irredutıveis pela representacao de g (α)como UH = U ′+g (α) onde U ′ e o complementar ortogonal de Hα em U ∩a.Portanto, wH ′ = H ′ se H ′ ∈ U ′.

(d) Conclua que wa = a e que a restricao de w a a coincide com a reflexaoortogonal em relacao a Hα.

Capıtulo 16

Representacoes de algebras reais

A teoria de representacao das algebras semi-simples reais e feita a partir da teoria de-senvolvida para algebras sobre corpos algebricamente fechados e, em particular, paraalgebras complexas. O procedimento e o de sempre nessas situacoes e consiste em com-plexificar as representacoes reais, obtendo representacoes complexas cuja classificacaoe utilizada para descrever as representacoes reais. Este capıtulo esta baseado no artigode Iwahori [27].

16.1 Tipos de representacoes

As representacoes irredutıveis reais de uma algebra real se distinguem de acordo coma redutibilidade de suas complexificadas.

Para a discussao a seguir, nao e necessario supor de antemao que a algebra de Lieseja semi-simples.

Dessa forma, seja g uma algebra de Lie real. Ao longo desse capıtulo, serao conside-radas representacoes complexas de g, que sao representacoes de g em espacos vetoriaiscomplexos, o que faz sentido, ja que os espacos vetoriais complexos podem ser realifi-cados, isto e, considerados como espacos vetoriais sobre R.

Seja ρ uma representacao irredutıvel real de dimensao finita de g no espaco vetorialV . Denote por VC o complexificado de V e seja ρc a representacao complexa de g emVC obtida por complexificacao de ρ, isto e, ρc(X) e o complexificado de ρ(X) para todoX ∈ g. Existem duas possibilidades:

• ρc e irredutıvel. Nesse caso, ρ sera dita do tipo I.

• ρc e uma representacao complexa redutıvel de g e nesse caso ρ e do tipo II .

Essa distincao entre as representacoes irredutıveis reais e feita com o objetivo deassociar a elas representacoes irredutıveis de algebras complexas. Se gC e a algebracomplexificada de g, a representacao ρc se estende a uma representacao (evidentementecomplexa) de gC em VC que sera denotada tambem por ρc. Como os elementos de gC saoprodutos de elementos de g por complexos, um subespaco complexo de VC e invariante

451

452 Capıtulo 16. Representacoes de algebras reais

por g se e so se ele e invariante por gC. Dessa forma, ρ e uma representacao do tipo Ise e so se ρc e uma representacao irredutıvel de gC e do tipo II caso contrario.

Exemplos de representacoes do tipo I ou II apareceram no estudo das algebrassimples reais feito no capıtulo anterior. A complexificada de uma algebra real simplesg pode ser simples ou nao. No primeiro caso, a representacao adjunta de g – quee irredutıvel – se complexifica em uma representacao irredutıvel e, portanto, e dotipo I. Da mesma forma, as representacoes adjuntas das algebras reais simples, cujascomplexificadas nao sao simples, sao representacoes do tipo II. Em outras palavras, otipo da representacao adjunta de uma algebra real simples acompanha o tipo da algebra.No caso das algebras do tipo II, foi mostrado que a algebra complexificada se decompoeem dois ideais simples isomorfos, sendo que um e obtido do outro por conjugacaoem relacao a algebra real. Uma decomposicao dessa natureza ocorre tambem comrepresentacoes do tipo II, em geral. De fato, seja v → v a conjugacao de VC em relacaoa V . Entao, as representacoes do tipo II se decompoem em subespacos conjugados,como mostra a proposicao seguinte.

Proposicao 16.1 Seja ρ uma representacao do tipo II. Entao, VC se decompoe como

VC = U ⊕ U

com U e U subespacos complexos invariantes e irredutıveis por ρc e U = v : v ∈ U.

Demonstracao: Seja U ⊂ VC um subespaco complexo nao-nulo invariante e irre-dutıvel por ρc. Como os elementos ρ(X), X ∈ g, sao reais, o subespaco U e invariantepelos elementos de g e, portanto, e ρc invariante. Tomando conjugacoes, verifica-se deimediato, a partir da irredutibilidade de U , que U tambem e irredutıvel.

Visto como subespaco real de VC, U + U e invariante por g e, portanto, W =(U + U

)∩V e um subespaco de V invariante por ρ. Alem do mais, dado u ∈ W , tanto

sua parte real quanto sua parte imaginaria estao em W , ja que tanto V quanto U +Usao invariantes por conjugacao. Dessa forma, W 6= 0, de onde se tira que W = V , poisρ e irredutıvel. Como os elementos da forma u + iv, u, v ∈ W , estao em U + U , issomostra que

VC = U + U.

Por outro lado, U ∩ U e um subespaco invariante, tanto em U quanto em U . ComoU e irredutıvel, U ∩ U se anula ou coincide com U . Se U ∩ U = U entao U = U e aigualdade acima mostra que VC = U . Mas isso nao ocorre, ja que U e irredutıvel e arepresentacao e do tipo II. Portanto, U ∩ U = 0 e a soma

VC = U ⊕ U

e direta. 2

Como VC e soma direta de subespacos de mesma dimensao, sua dimensao e par.Portanto,

16.1. Tipos de representacoes 453

Corolario 16.2 Representacoes do tipo II so ocorrem em dimensao par.

Essa decomposicao do complexificado das representacoes do tipo II permite esta-belecer uma bijecao entre as representacoes irredutıveis reais das algebras reais e asrepresentacoes irredutıveis de suas complexificadas. Isso e feito da seguinte maneira:

Como foi comentado acima, uma representacao complexa de g e irredutıvel se e so sea representacao correspondente de gC tambem e irredutıvel. Dessa forma, considerar asrepresentacoes irredutıveis de gC e o mesmo que considerar as representacoes complexasirredutıveis de g.

Sendo assim, seja σ uma representacao complexa e irredutıvel de g em U . Tomandoo realificado de U , obtem-se uma representacao real de g. Denote essa representacaopor σr. Da mesma forma que acima, existem duas possibilidades:

• σr e redutıvel. Nesse caso, σ sera dita de tipo I .

• σr e uma representacao real irredutıvel de g e nesse caso σ e do tipo II .

As representacoes reais e complexas do mesmo tipo estao relacionadas entre si.

Proposicao 16.3 a) Seja ρ uma representacao real em V do tipo I. Entao, suacomplexificada ρc e uma representacao complexa irredutıvel do tipo I. Reciproca-mente,

b) seja σ uma representacao complexa em U e suponha que ela seja do tipo I. Entao,σ e a complexificada de uma representacao real irredutıvel do tipo I. Em outraspalavras, o espaco realificado Ur se decompoe em subespacos invariantes e irre-dutıveis por σr como

Ur = V ⊕ iV,

onde V e um subespaco real de Ur e as restricoes de σr a V e iV sao repre-sentacoes equivalentes, irredutıveis e do tipo I.

Demonstracao:

a) De fato, a complexificada de ρ e irredutıvel complexa e do tipo I, pois tanto Vquanto iV sao subespacos reais de VC invariantes pelo realificado de ρc.

b) Seja V ⊂ Ur um subespaco invariante irredutıvel nao-nulo. Entao, iV e umsubespaco real de Ur tambem invariante por σr, ja que essa representacao e orealificado de uma representacao complexa. O conjunto V + iV e um subespacocomplexo nao-nulo de U e invariante por σ. Como σ e irredutıvel,

U = V + iV.

Por outro lado, V ∩ iV e um subespaco real de Ur invariante por σr. Como V eirredutıvel, V ∩ iV se anula ou coincide com V . Esse ultimo caso nao ocorre, jaque V e irredutıvel e, portanto, diferente de U , pois σ e do tipo I. Isso garante que


V ∩iV = 0, mostrando a primeira parte de b). O operador de intercambio entre asrestricoes de σr a V e iV e a multiplicacao por i. De fato, essa multiplicacao defineuma estrutura complexa J : Ur → Ur cuja restricao a V define um isomorfismoV → iV que comuta com σr(X) para todo X ∈ g, pois σr e o realificado de umarepresentacao complexa.

Por fim, o fato de que U = V ⊕ iV garante que σ e o complexificado da repre-sentacao em V , obtida por restricao de σr, e daı que essa restricao e de fato dotipo I. 2

Essa proposicao estabelece uma bijecao entre as representacoes reais e complexasdo tipo I. De maneira mais precisa, a bijecao e entre classes de equivalencia de repre-sentacoes. De fato, a partir de a) se define a aplicacao que associa a representacao realρ do tipo I o seu complexificado que tambem e do tipo I. Como as complexificadas derepresentacoes reais equivalentes sao tambem equivalentes, essa aplicacao define umaaplicacao entre o conjunto das classes de equivalencia de representacoes reais do tipo Ie o das classes de equivalencia de representacoes complexas do mesmo tipo.

Por outro lado, o item b) garante que representacoes complexas do tipo I sao com-plexificadas de representacoes reais irredutıveis. Isso permite associar a representacaoσ a representacao em V (ou em iV ), da qual ela e a complexificada, definindo assimuma aplicacao do conjunto das representacoes complexas do tipo I nas reais do mesmotipo. Essa aplicacao induz uma aplicacao correspondente entre os conjuntos das classesde equivalencia. De fato, se duas representacoes complexas sao equivalentes, entao suasrealificadas tambem sao equivalentes, ja que o realificado do operador de intercambioentre as representacoes e um operador de intercambio entre as representacoes reali-ficadas. Dessa forma, a construcao feita em b) da proposicao anterior garante quea aplicacao preserva classes de equivalencia, podendo, portanto, ser definida entre osconjuntos dessas classes.

Por construcao, as aplicacoes definidas entre os conjuntos de classes de equivalenciade representacoes de tipo I sao uma a inversa da outra, estabelecendo dessa forma umabijecao entre esses conjuntos de classes de equivalencia.

A proposicao anterior garante ainda que as representacoes complexas do tipo Isao exatamente as representacoes complexas irredutıveis que sao complexificadas derepresentacoes reais. Por essa razao, essas representacoes sao denominadas, as vezes,de representacoes complexas do tipo real.

Para as do tipo II, a situacao e mais ou menos semelhante.

Proposicao 16.4 a) Seja ρ uma representacao real do tipo II em V e considere adecomposicao

VC = U ⊕ U

em invariantes irredutıveis por ρc. Entao, as restricoes de ρc a U e U sao repre-sentacoes complexas do tipo II. Reciprocamente,

b) seja σ uma representacao complexa do tipo II em U . Entao, sua realificada eirredutıvel do tipo II.

16.2. Representacoes conjugadas 455

Demonstracao:

a) Seja W ⊂ U um subespaco vetorial real nao-nulo invariante pela realificada darestricao de ρc a U . Entao, W ⊂ U e invariante pela realificada de ρc e, portanto,o mesmo ocorre com

(W +W

)∩ V . Como esse subespaco e nao-nulo, e ρ e

irredutıvel, isso mostra queV ⊂ W +W.

Usando o mesmo argumento com o subespaco real iV no lugar de V mostra-se ainclusao

iV ⊂ W +W

que, juntamente com a anterior, garante que W = U . Portanto, a realificada darestricao de ρc a U e irredutıvel e daı que essa representacao e do tipo II.

b) O realificado de σ e irredutıvel por definicao. Para ver que essa representacao edo tipo II, seja J : Ur → Ur a estrutura complexa dada pela multiplicacao por i.Entao, Jσr(X) = σr(X)J para todo X ∈ g. Como J2 = −1, seus autovalores sao±i e os auto-espacos correspondentes – no complexificado de Ur – sao invariantespor σr(X) para todo X ∈ g. Isso mostra que a complexificacao de σr e redutıvele, portanto, essa representacao e do tipo II. 2

Como no caso das representacoes do tipo I, essa proposicao permite associar re-presentacoes reais do tipo II a representacoes complexas do mesmo tipo, e vice-versa,definindo dessa forma aplicacoes entre os conjuntos dessas representacoes. A diferencaaqui, e que essas aplicacoes nao estao bem definidas nas classes de equivalencia de re-presentacoes. De fato, no caso a) pode-se associar a ρ tanto a representacao complexaem U quanto a representacao em U . A questao e que essas representacoes em geral naosao equivalentes. Elas sao, no entanto, conjugadas, no sentido em que sera discutidona proxima secao.

16.2 Representacoes conjugadas

Para discutir as representacoes conjugadas e necessario, antes de mais nada, introduziros espacos vetoriais conjugados aos espacos complexos.

Um aplicacao T : U → W entre os espacos vetoriais complexos U e W e ditaantilinear se ela satisfaz para v, u ∈ U e z ∈ C

• T (v + u) = T (v) + T (u) e

• T (zu) = zT (u) onde z e o conjugado de z em C.

Seja U um espaco vetorial complexo. O espaco conjugado a U e construıdo comouma especie de bidual, tomando funcionais antilineares ao inves de funcionais lineares.Para realizar essa construcao, denote por U (∗) o conjunto dos funcionais antilineares

α : U −→ C.


Com as operacoes usuais de soma e produto por escalar, U (∗) se torna um espacovetorial complexo que tem a mesma dimensao de U .

O espaco conjugado a U e definido como sendo o dual (usual) de U (∗)

U =(U (∗))∗

e, portanto, sua dimensao tambem e a mesma de U . A relacao entre U e U e dada pelaaplicacao de conjugacao entre esses espacos que e definida da seguinte forma: dadou ∈ U , a aplicacao u : U (∗) → C definida por

u : α ∈ U (∗) 7−→ α(u) ∈ C

e linear e, portanto, pertence a U . Isso define uma aplicacao

u ∈ U 7−→ u ∈ U.

Essa aplicacao e antilinear, pois os elementos de U (∗) sao funcionais antilineares de U ,e e, evidentemente, uma bijecao.

Uma vez construıdo U , seja A : U → U uma transformacao linear e defina A : U →U por

Au = Au.

Entao, A e linear e, portanto, A → A define uma aplicacao entre gl (U) e gl(U)

que,como pode ser verificado, e antilinear e inversıvel. No caso em que U e de dimensaofinita, dada uma base β = u1, . . . , un de U tem-se que β = u1, . . . , un e uma basede U e, como pode ser verificado sem maiores problemas, a matriz de A em relacao aβ e exatamente a complexa conjugada da matriz de A em relacao a β.

A construcao de U como uma especie de bidual e feita com o intuito de evitar aescolha de formas reais em U . De fato, quando U = V +iV e o complexificado do espacovetorial real V , o espaco U pode ser identificado com U atraves de sua conjugacao emrelacao a V definindo, para u ∈ U , o funcional linear α→ α (u) de U (∗), com u, tomadoaqui, como sendo a conjugacao em relacao a V . Por esse procedimento, define-se umisomorfismo linear entre U e U com as conjugacoes se identificando entre si.

As transformacoes antilineares sao lineares sobre os reais, isto e, sobre os espacosrealificados. Dessa forma, quando se realifica os espacos envolvidos, as conjugacoesdefinidas acima passam a ser isomorfismos lineares.

Seja agora g uma algebra real e σ uma representacao complexa de g em U . Entao,para cada X ∈ g, σ (X) e uma transformacao linear de U . Como g e uma algebra real,a aplicacao σ definida por

σ (X) = σ(X)

define uma representacao de g em U . Essa e a representacao conjugada de σ.Uma vez introduzida esta terminologia e possıvel concluir a discussao feita na secao

anterior sobre as bijecoes entre representacoes irredutıveis reais e complexas. Para isso,fixando a algebra real g, introduzem-se as seguintes notacoes:

• R1 e o conjunto das classes de equivalencia das representacoes reais do tipo I.


• R2 e o conjunto das classes de equivalencia das representacoes reais do tipo II.

• C1 denota o conjunto das classes de equivalencia das representacoes complexasdo tipo I, enquanto que

• C2 denota o conjunto das classes de equivalencia das representacoes complexasdo tipo II.

Como foi visto na secao anterior, existe uma bijecao entre R1 e C1, nao acontecendoo mesmo com as representacoes do tipo II. Para entender essas representacoes, introduz-se, no conjunto das representacoes complexas irredutıveis do tipo II, a relacao σ1 ∼ σ2

que e satisfeita se σ1 e equivalente a σ2 ou a σ2. Essa relacao tambem e uma relacaode equivalencia e se denotara por

• C2 o conjunto das classes de equivalencia de ∼.

Representacoes na mesma classe de equivalencia por ∼ sao caracterizadas da se-guinte maneira.

Lema 16.5 Sejam σ1 e σ2 representacoes complexas em U1 e U2, respectivamente.Entao, σ1 ∼ σ2 se e so se existe P : U1 → U2 linear ou antilinear inversıvel tal que

Pσ1(X) = σ2(X)P

para todo X ∈ g. Em particular, se σ1 ∼ σ2, entao suas realificadas sao equivalentes.

Demonstracao: Para σ1 e σ2 equivalentes, toma-se P linear por definicao de re-presentacoes equivalentes. Por outro lado, σ1 e equivalente a σ2 se e so se existe umoperador de intercambio entre U1 e U2 ligando as representacoes σ1 e σ2. Compondoessa transformacao linear com a inversa da conjugacao entre U2 e U2, chega-se ao iso-morfismo antilinear que liga σ1 a σ2. 2

Com essas notacoes, pode-se enunciar o resultado final sobre a relacao entre asrepresentacoes irredutıveis reais e complexas.

Proposicao 16.6 Seja g uma algebra real.

1. R1 esta em bijecao com C1. A bijecao e obtida associando

(a) a uma representacao real ρ do tipo I sua complexificada, que tambem e dotipo I e

(b) a uma representacao complexa σ do tipo I a representacao real cuja com-plexificada e σ (representacoes complexas do tipo I sao complexificadas derepresentacoes reais do tipo I).


2. R2 esta em bijecao com C2. A bijecao e obtida associando

(a) a uma representacao real ρ do tipo II qualquer uma das componentes irre-dutıveis da complexificada ρc e

(b) a uma representacao complexa σ do tipo II sua realificada, que tambem e dotipo II.

Demonstracao: O caso das representacoes do tipo I foi analisado na secao anterior.Quanto as representacoes do tipo II, tem-se

a) Seja ρ uma representacao real do tipo II e

VC = U ⊕ U

a decomposicao de sua complexificada em invariantes irredutıveis. Os elementosda imagem de ρ sao reais. Portanto, tomando a conjugacao de VC em relacao aV ,

ρc(X)u = ρc(X)u

para todo u ∈ U e X ∈ g. Essa igualdade mostra que a conjugacao – que e umatransformacao antilinear entre U e U – e um operador de intercambio entre asrestricoes de ρc a esses subespacos. Pelo lema anterior, essas restricoes pertencema mesma classe de equivalencia por ∼.

Por outro lado, representacoes reais equivalentes tem complexificadas equivalen-tes. Daı que a forma, estabelecida no enunciado, de se associar representacoesreais a representacoes complexas define uma aplicacao de R2 a C2.

b) A realificacao de representacoes complexas define uma aplicacao entre C2 e R2,ja que, pelo lema anterior, se σ1 ∼ σ2, entao suas realificadas sao equivalentes.

Essas aplicacoes entre R2 e C2 sao inversas uma da outra. Para ver isso, tome emprimeiro lugar a situacao como em a). Entao, o realificado da representacao em U eequivalente a ρ. A equivalencia e dada por P : U → V definida por

P : u ∈ U −→ u+ u ∈ V.

Esta transformacao e linear sobre R e injetora, pois se u+u = 0, entao u ∈ U ∩U = 0.Como as dimensoes de U (como espaco) real e V coincidem, P e um isomorfismo. Alemdo mais, para X ∈ g, tem-se

ρ(X)Pu = ρ(X) (u+ u) = ρc(X)u+ ρc(X)u

e, portanto, ρ e isomorfo ao realificado da restricao de ρc a U .Por outro lado, seja σ uma representacao complexa do tipo II e σr sua realificada.

Essa e uma representacao real do tipo II em Ur. Portanto, sua complexificada decompoea complexificacao (Ur)c em invariantes irredutıveis como

(Ur)c = W ⊕W.


O que se deseja mostrar e que a representacao em W ou W e equivalente a σ. Ademonstracao disso e bastante semelhante ao que foi feito no capıtulo anterior comas algebras simples reais do tipo II (veja teorema 12.8). De fato, seja J : Ur → Ura estrutura complexa associada a realificacao. Os autovalores de J sao ±i e seusauto-espacos em (Ur)c sao conjugados entre si. Alem do mais, o fato de que σ euma representacao complexa garante que σr(X)J = Jσr(X) para todo X ∈ g. Issomostra que os auto-espacos sao invariantes pela complexificacao de σr e, portanto, nadecomposicao acima de (Ur)c, pode-se tomar W como sendo o auto-espaco associado aoautovalor i. Sendo assim, mostra-se como no teorema 12.8, que a aplicacao P : U → Wdada por

P (u) =1

2(u− iJ(u))

e um operador de intercambio entre σ e a representacao em W . 2

Esta secao sera concluıda com os seguintes comentarios sobre representacoes quesao equivalentes a suas conjugadas.

Definicao 16.7 Uma representacao complexa da algebra g e dita autoconjugada se elae equivalente a sua conjugada.

Dada uma representacao σ de g em U autoconjugada, existe um isomorfismo linearP : U → U tal que

σ(X)P = Pσ(X).

Definindo J : U → U por Ju = Pu, J e antilinear e inversıvel. Alem do mais, comopor definicao σ(X)u = σ(X)u, para u ∈ U , o isomorfismo antilinear J comuta com σ,isto e,

σ(X)J = Jσ(X)

para todo X ∈ g.Reciprocamente, suponha que exista um isomorfismo antilinear J : U → U que

comuta com σ. Definindo P : U → U por

Pu = Ju,

verifica-se imediatamente que P e um isomorfismo entre U e U . Alem do mais, parau ∈ U e X ∈ g, vale a igualdade

Pσ(X)u = P(σ(X)u

)= J (σ(X)u) = σ(X)Ju = σ(X)Pu

que mostra que P e um operador de intercambio entre σ a σ. Portanto, essas repre-sentacoes sao equivalentes. Em resumo,

Proposicao 16.8 Uma representacao complexa σ de g em U e autoconjugada se e sose existe um isomorfismo antilinear J : U → U tal que

Jσ(X) = σ(X)J

para todo X ∈ g.


16.3 Indice de representacoes autoconjugadas

Nas secoes anteriores, estabeleceu-se uma relacao entre as representacoes reais e com-plexas de uma algebra de Lie real g. Adiante, serao caracterizadas as representacoesdas algebras semi-simples que sao do tipo I ou II. Antes disso porem, e necessarioolhar detalhadamente as representacoes irredutıveis autoconjugadas. Seja σ uma re-presentacao dessas no espaco U . Entao, existe um isomorfismo antilinear J : U → Uque comuta com σ:

Jσ(X) = σ(X)J

para todo X ∈ g. Como J e antilinear, J2 e linear. Evidentemente, J2 tambem comutacom σ. Portanto, o lema de Schur garante que J2 e um multiplo nao-nulo da identidadeem U , isto e,

J2 = c1

com 0 6= c ∈ C. O coeficiente c e, na verdade, real. De fato, tomando v ∈ im J , v 6= 0,tem-se v = Jw e

cv = J2v = J (cw) = cv,

de onde se tira que c = c, ja que v 6= 0. Esse fato permite que se introduza a seguintedefinicao.

Definicao 16.9 Seja σ uma representacao complexa irredutıvel e autoconjugada de gem U . O ındice de σ e o sinal de c ∈ R onde c e dada por

J2 = c1,

sendo que J e qualquer isomorfismo antilinear que comuta com σ. Esse ındice seradenotado por ±1.

Essa nocao de fato independe da escolha de J , pois se J1 e outro isomorfismoantilinear que comuta com σ, entao J1J

−1 e linear e tambem comuta com σ. Aplicandonovamente o lema de Schur, conclui-se que J1 e um multiplo de J . Tomando v ∈ im J−1

e usando o fato que J1 e J comutam, o mesmo argumento utilizado acima, com J1J−1

no lugar de J2, mostra que J1 = aJ com a ∈ R. Portanto, J21 = a2c1, mostrando que

o ındice nao depende da escolha de J .O ındice de uma representacao esta ligado a existencia de conjugacoes ou estruturas

complexas, no realificado de U , invariantes pela representacao. De fato, multiplicandoum isomorfismo antilinear por 1/

√±c, obtem-se J , de tal forma que J2 = ε1, onde

ε = ±1 e o ındice da representacao.Dessa forma, nas representacoes autoconjugadas de ındice positivo existem, no

espaco da representacao, conjugacoes invariantes, enquanto que nas de ındice nega-tivo existem estruturas complexas invariantes.

Esse comentario revela uma relacao entre o ındice de uma representacao complexa eo seu tipo. Como foi visto, as representacoes do tipo I sao as complexificadas de repre-sentacoes reais e, portanto, elas admitem conjugacoes invariantes. Essas representacoesdevem ter, portanto, ındice +1. Isso e de fato o que ocorre:

16.3. Indice de representacoes autoconjugadas 461

Proposicao 16.10 Seja σ uma representacao irredutıvel complexa de g em U . Entao,σ e do tipo I se e so se σ e autoconjugada e de ındice +1.

Demonstracao: Suponha que σ seja do tipo I. Entao, U = VC e σ = ρc onde ρ euma representacao irredutıvel de g em V . Seja Ju = u a conjugacao de U em relacaoa V . E claro que J e um isomorfismo antilinear de U e, como σ e a complexificada deρ, ela comuta com J . Isso mostra que σ e autoconjugada. Alem do mais, J2 = 1 e,portanto, o ındice de σ e +1.

Reciprocamente, suponha que σ seja autoconjugada e de ındice +1 e tome umisomorfismo antilinear J de U que comuta com σ e tal que

J2 = 1.

Por ser antilinear, J e linear no realificado de U , os seus autovalores sao ±1 e Ur sedecompoe em auto-espacos como

Ur = U1 ⊕ U−1 .

Esses auto-espacos sao invariantes pelos realificados de σ, ja que σ comuta com J .Portanto, o realificado de σ e redutıvel e daı que a representacao e do tipo I. 2

O resultado dessa proposicao e que as representacoes complexas irredutıveis au-toconjugadas e de ındice +1 sao precisamente as complexificadas das representacoesreais.

Por outro lado, as representacoes autoconjugadas de ındice −1 estao ligadas arepresentacoes quaternionicas, como sera discutido a seguir.

A algebra dos quaternions H e gerada por 1, i, j, k cujos produtos sao dados por

i2 = j2 = k2 = −1 ij = k, jk = i, ki = j.

Um espaco vetorial real U e um espaco sobre os quaternions se H se representa fielmenteem U . Num espaco desses, faz sentido escrever, para z ∈ H e u ∈ U , o produto zu ∈ U ,fazendo com que os quaternios desempenhem o papel de escalares, ja que esse produtosatisfaz as propriedades usuais de produto por escalares em espacos vetoriais.

O produto em U por cada um dos elementos i, j, k define transformacoes linearesI, J , K de U . Como o quadrado de cada um desses elementos de H e −1, tem-se que

I2 = −1 J2 = −1 K2 = −1.

Essas transformacoes sao, portanto, estruturas complexas em U , o que mostra emparticular que U e de dimensao par. Tomando por exemplo a multiplicacao por i, Ue visto como um espaco vetorial complexo em que o produto por escalar complexo edado por

(a+ ib)u = au+ bIu = au+ ibu


(onde, a rigor, o primeiro i e o imaginario de C e o ultimo o de H. No entanto, essasquantidades imaginarias se identificam). Esse espaco vetorial complexo e denotado porU c. Tomando agora a transformacao J , tem-se para u ∈ U

J(iu) = j(iu) = −i(ju) = −iJ(u)

e, portanto, J e antilinear no espaco complexo U c.

Dessa forma, a um espaco quaternionico esta associado um espaco complexo junta-mente com um isomorfismo antilinear que satisfaz J2 = −1.

Vice-versa, seja U um espaco complexo e J : U → U antilinear com J2 = −1.Definindo a multiplicacao por j ∈ H pela igualdade ju = J(u), u ∈ U , ela fornece umamultiplicacao por k atraves de ku = i(ju), obtendo dessa forma uma representacao deH em U , fazendo com que ele se torne um espaco quaternionico.

Em resumo, o conjunto dos espacos quaternionicos coincide com o dos pares forma-dos por um espaco complexo U e uma transformacao antilinear J : U → U satisfazendoJ2 = −1.

Por analogia com as estruturas complexas, uma transformacao antilinear desse tipoe chamada de estrutura quaternonica .

Um espaco complexo U que admite uma estrutura quaternionica e de dimensao par(o dobro de sua dimensao quaternionica) e a dimensao de seu realificado e um multiplode quatro.

Voltando as representacoes, seja σ uma representacao complexa em U irredutıvel,autoconjugada e de ındice −1. Entao, σ comuta com uma estrutura quaternionica,o que faz com que as transformacoes lineares σ(X) sejam lineares tambem sobre osquaternions. Em virtude disso, essas representacoes sao conhecidas por representacoesquaternionicas.

16.4 Algebras semi-simples

Seja g uma algebra semi-simples real. Uma representacao irredutıvel complexa de g seestende de maneira natural a uma representacao irredutıvel de sua complexificada gCe, vice-versa, uma representacao irredutıvel de gC define – por restricao – uma repre-sentacao complexa de g que, como ja foi comentado, e tambem irredutıvel. Como ge semi-simples, as representacoes irredutıveis de gC sao determinadas pelos seus pesosmaximos. E natural entao caracterizar os pesos maximos de gC que dao origem arepresentacoes de g do tipo I ou II.

Nessa discussao, mantem-se fixada uma subalgebra de Cartan h de g. A complexifi-cada hc de h e uma subalgebra de Cartan de gC. O conjunto das raızes dessa subalgebrade Cartan sera denotado por Π e nesse conjunto se escolhe, de uma vez por todas, umsistema simples de raızes Σ. O subespaco real de h∗c gerado pelas raızes sera denotadopor h∗R. Da mesma forma, denota-se por hR o subespaco real de hc gerado por Hα,α ∈ Π. Em geral, hR e diferente de h. No caso em que g e uma forma real compacta deg, pode-se tomar h = ihR e, para as outras formas reais, e possıvel escolher h = ihk⊕ a

16.4. Algebras semi-simples 463

com a abeliano maximal na componente simetrica s de uma decomposicao de Cartande g.

A conjugacao de gC em relacao a g e denotada por X → X. Evidentemente, hc einvariante por conjugacao. Como no capıtulo anterior, isso permite definir no dual h∗ca conjugacao dada para λ ∈ h∗c por

λ (H) = λ(H),

onde o conjugado de λ(H)

e tomado em C.A conjugacao definida em h∗c pela formula acima e de tal forma que o isomorfismo

entre hc e seu dual comuta com as conjugacoes nesses espacos. De fato, a forma deCartan-Killing em gC satisfaz

〈X,Y 〉 = 〈X, Y 〉

para todo X, Y ∈ gC. Portanto, se λ ∈ h∗c e H ∈ h, entao

〈Hλ, H〉 = λ (H) = 〈Hλ, H〉 = 〈Hλ, H〉,

de onde se tira que Hλ = Hλ, mostrando a comutatividade entre as conjugacoes e oisomorfismo determinado pela forma de Cartan-Killing.

Essa conjugacao no dual vai ser utilizada para comparar representacoes irredutıveisconjugadas e dessa forma, por intermedio da proposicao 16.10, reconhecer o tipo darepresentacao. Como foi verificado no capıtulo anterior, a conjugacao deixa invarianteo conjunto das raızes e, portanto, define uma transformacao idempotente em hR.

O sistema simples de raızes Σ sera escrito explicitamente como

Σ = α1, . . . , αl.

Associado a Σ existe o sistema fundamental de pesos

Φ = µ1, . . . , µl

que e a base dual da base H ′α1, . . . , H ′αl de hR onde

H ′α =2

〈α, α〉Hα .

Em outras palavras, µj (H ′k) = δjk, j, k = 1, . . . , l.O conjunto

Σ = α1, . . . , αl

tambem e um sistema simples de raızes.

Proposicao 16.11 O sistema fundamental de pesos associado a Σ e dado por

Φ = µ1, . . . , µl,

onde Φ e o conjunto dos pesos fundamentais associado a Σ.


Demonstracao: Como foi comentado acima,

Hα = Hα

para α ∈ h∗. Em particular, essa igualdade vale para as raızes em Σ e, portanto, oconjunto dos pesos fundamentais associados a Σ e a base dual da base

H ′α1, . . . , H

′αl

de h. Mas dados j, k = 1, . . . , l,

µj

(H′αk

)= µj (Hαk) = µj (Hαk) = δjk ,

o que mostra que µ1, . . . , µl e o conjunto dos pesos fundamentais 2

Uma vez estabelecidas essas notacoes e fatos basicos, pode-se voltar a atencao asconjugadas das representacoes de g. Como foi comentado mais de uma vez, umarepresentacao complexa irredutıvel de g se estende a uma representacao irredutıvel degC tambem denotada por σ. Da mesma forma, a representacao conjugada σ se estendea uma representacao de gC. Em termos das conjugacoes em gC e U , a extensao de σ edada explicitamente por

σ (X) = σ(X)

X ∈ gC .

Proposicao 16.12 Seja λ um peso da representacao σ de gC. Entao, λ e um peso deσ. Alem do mais, se σ e irredutıvel e seu peso maximo – definido por Σ – e µ, entaoo peso maximo de σ, definido por Σ, e µ.

Demonstracao: Seja v ∈ Uλ um elemento nao-nulo no espaco de pesos associado aλ. Entao, para todo H ∈ h,

σ (H) v = σ (H) v = λ(H)v = λ (H)v

e o coeficiente do ultimo termo coincide com λ(H), pois H = H. Por outro lado,

σ(iH)v = i σ (H)v = λ

(iH)v,

o que mostra que σ (H ′)v = λ (H ′) v para todo H ′ ∈ hc e daı que λ e de fato um pesode σ.

Quanto ao peso maximo, esse e definido como sendo o unico peso µ da representacaotal que µ+ α nao e peso para toda raiz simples α. A primeira parte da demonstracaodeixa claro que se µ e o peso maximo de σ, entao µ+α nao e peso de σ para nenhumaraiz simples α ∈ Σ, mostrando que µ e o peso maximo de σ em relacao a Σ. 2


Com esses fatos, e possıvel mostrar que os conjugados das representacoes funda-mentais sao tambem representacoes fundamentais. De fato, como Σ e Σ sao sistemassimples de raızes, existe um unico elemento w0 do grupo de Weyl W tal que

Σ = w0Σ.

Tanto w0 quanto a conjugacao sao ortogonais em relacao a forma de Cartan-Killing,portanto a composta dessas aplicacoes, quando restrita a Σ, define um automorfismodo diagrama. Escrevendo o sistema simples como

Σ = α1, . . . , αl,

o automorfismo do diagrama determina uma permutacao π nos ındices das raızes pelaformula

απ(j) = w0 (αj) .

Essa permutacao pode ser aplicada tambem aos ındices dos pesos fundamentais. ComoΦ e definida pelas relacoes

2〈µj, αk〉〈αk, αk〉

= δjk ,

tem-se ainda que Φ = w0Φ, e a permutacao π nos ındices dos pesos fundamentaistambem e dada por

µπ(j) = w0

(µj).

Considerando agora as representacoes associadas aos pesos fundamentais, seja σj,1 ≤ j ≤ l, a representacao irredutıvel cujo peso maximo, em relacao a Σ, e µj. Pela pro-

posicao anterior, a representacao cujo peso maximo – em relacao a Σ – e µj e conjugadaa σj. Por outro lado, µπ(j) e a imagem de µj por um elemento do grupo de Weyl, por-tanto a representacao cujo peso maximo e µj e equivalente σπ(j). Consequentemente,σπ(j) e conjugada de σj. Em suma,

Proposicao 16.13 Fixando um sistema simples Σ, seja

Φ = µ1, . . . , µl

o sistema fundamental de pesos correspondente. Entao, existe uma permutacao π doconjunto de ındices 1, . . . , l, que e dada por um automorfismo do diagrama, tal queas representacoes fundamentais σj e σπ(j) sao conjugadas entre si.

Como a permutacao π satisfaz π2 = 1, os ındices podem ser rearranjados de talforma que

π(1) = 2, . . . , π(2k − 1) = 2k, π(2k + 1) = 2k + 1, . . . , π(l) = l

e a proposicao anterior pode ser reescrita como


Proposicao 16.14 O sistema fundamental de pesos pode ser escrito como

Φ = µ1, µ2, . . . , µ2k−1, µ2k, µ2k+1, . . . , µl

de tal forma que

• σ2j−1 e conjugada a σ2j, para 1 ≤ j ≤ k e

• as representacoes σj, 2k + 1 ≤ j ≤ l, sao autoconjugadas. 2

A partir dessa proposicao fica facil obter uma caracterizacao, em termos dos pesosmaximos, das representacoes irredutıveis que sao autoconjugadas.

Um peso maximo e uma combinacao linear, com coeficientes inteiros ≥ 0 dos pesosfundamentais. Tomando o sistema fundamental de pesos como na proposicao anterior,o peso maximo µ de uma representacao irredutıvel σ e escrito como

µ = m1µ1 + · · ·+m2kµ2k + n2k+1µ2k+1 + · · ·+ nlµl .

Pela proposicao 16.12, o peso maximo de σ em relacao a Σ e µ e, portanto, o pesomaximo de σ em relacao a Σ e w0 (µ). Usando a permutacao π na forma da proposicaoanterior, esse peso e escrito explicitamente como

w0 (µ) = m1µ2 +m2µ1 + · · ·+m2k−1µ2k +m2kµ2k−1 + n2k+1µ2k+1 + · · ·+ nlµl .

Como duas representacoes com pesos maximos sao equivalentes se e so se os pesos (emrelacao a um mesmo sistema simples de raızes) coincidem, essa expressao de w0 (µ)fornece a seguinte caracterizacao das representacoes autoconjugadas.

Proposicao 16.15 Tomando o sistema fundamental de pesos como na proposicao an-terior, seja σ uma representacao irredutıvel cujo peso maximo e

µ = m1µ1 +m2µ2 + · · ·+m2k−1µ2k−1 +m2kµ2k + n2k+1µ2k+1 + · · ·+ nlµl .

Entao, σ e autoconjugada se e so se

m1 = m2, . . . ,m2k−1 = m2k .

Uma vez estabelecido este criterio de autoconjugacao, o objetivo fica sendo a analisedo ındice das representacoes irredutıveis. Para isso, assumem-se como dados os ındicesdas representacoes fundamentais. Um peso maximo e a soma, com multiplicidades, dospesos fundamentais. Por isso, para encontrar o ındice de uma representacao irredutıvelem termos dos ındices fundamentais, e suficiente determinar o ındice da representacaocujo peso maximo e a soma de pesos maximos dados.

Sejam σ1 e σ2 representacoes irredutıveis em U1 e U2 com pesos maximos µ1 e µ2,respectivamente. A representacao irredutıvel com peso maximo µ1 + µ2 e dada pelacomposicao de Cartan σ1 ∗ σ2, que foi descrita no capıtulo 11. Essa e a representacaono subespaco invariante de U1⊗U2 gerado por v1⊗v2 onde v1 e um elemento primitivoem U1 e v2 e um elemento primitivo em U2.


Proposicao 16.16 Sejam σ1 e σ2 representacoes irredutıveis como acima e suponhaque elas sejam autoconjugadas. Entao, σ1 ∗σ2 e autoconjugada e seu ındice e ε1ε2 ondeεj e o ındice de σj.

Demonstracao: O fato de que σ1 ∗ σ2 e autoconjugada e consequencia da proposi-cao anterior: o peso maximo dessa representacao e µ1 + µ2 que satisfaz a condicao daproposicao se µ1 e µ2 satisfazem essa condicao.

Para ver o ındice, sejam J1 e J2 isomorfismos antilineares de U1 e U2 respectiva-mente, que comutam com as representacoes e tais que

Jj = εj1 j = 1, 2.

Entao, a transformacao J de U1 ⊗ U2 definida por extensao antilinear a partir deJ(u⊗ v) = J1u⊗ J2v satisfaz

J2 = ε1ε21,

pois J2 (u⊗ v) = J21u⊗J2

2v = ε1ε2u⊗v. Alem do mais, J comuta com a representacaoσ1 ⊗ σ2 em U1 ⊗ U2, pois dado X ∈ g

J ((σ1 ⊗ σ2) (X) (u⊗ v)) = J1σ1 (X)u⊗ J2v + J1u⊗ J2σ2 (X) v

e J1 comuta com σ1, assim como J2 comuta com σ2. Para concluir a demonstracao, esuficiente mostrar, entao, que J deixa invariante o subespaco de U1⊗U2 correspondentea representacao σ1 ∗ σ2. Para isso, seja

U1 ⊗ U2 = V1 ⊕ · · · ⊕ Vs

a decomposicao de U1⊗U2 em invariantes irredutıveis por σ1⊗σ2 com V1 o subespacoda representacao σ1 ∗σ2. As representacoes definidas em Vj, j 6= 1 nao sao equivalentesa σ1 ∗ σ2.

Denote por πj, j = 1, . . . , s, a projecao de U1 ⊗ U2 sobre Vj em relacao a decom-posicao acima e seja ψj a restricao a V1 da composta

ψj = πj J.

O que se pretende e mostrar que ψj = 0 se j 6= 1. Tanto J quanto πj comutam comσ1 ⊗ σ2. O mesmo ocorre, entao, com ψj. Portanto, o nucleo e a imagem de ψj saosubespacos invariantes pela representacao. Como V1 e Vj sao irredutıveis, ou ψj = 0ou e um isomorfismo. O segundo caso nao pode ocorrer se j 6= 1, pois caso contrario, arepresentacao em Vj seria equivalente a σ1 ∗σ2, ja que ψj e antilinear. Isso, no entanto,nao ocorre, pois σ1 ∗ σ2 e autoconjugada e a representacao em Vj nao e equivalente aσ1 ∗ σ2.

Isso mostra que V1 e invariante por J , que por sua vez, e um isomorfismo antilinearque satisfaz J2 = ε1ε2 e que comuta com σ1 ∗ σ2, concluindo a demonstracao. 2


Essa proposicao, juntamente com uma inducao simples, mostra que se o pesomaximo de uma representacao σ e combinacao linear apenas dos pesos fundamen-tais autoconjugados, entao o ındice de σ e o produto dos ındices das representacoesfundamentais, tomados com multiplicidades iguais aos coeficientes.

Para levar em conta as representacoes fundamentais que nao sao autoconjugadas,e necessario mais uma informacao sobre as composicoes de Cartan.

Proposicao 16.17 Seja σ uma representacao irredutıvel. Entao, σ ∗ σ e uma repre-sentacao autoconjugada de ındice +1.

Demonstracao: Antes de mais nada, σ ∗ σ e autoconjugada, pois se

µ = m1µ1 + · · ·+m2kµ2k + n2k+1µ2k+1 + · · ·+ nlµl

e o peso maximo de σ, entao o peso maximo de σ ∗ σ e

µ+ w0 (µ) = (m1 +m2)µ1 + (m1 +m2)µ2 + · · ·

que, pelo criterio da proposicao 16.15, e o peso maximo de uma representacao auto-conjugada. Seja U o espaco da representacao σ. O espaco de σ ∗ σ e um subespacoinvariante de U ⊗ U . Neste produto tensorial, a expressao

J (u⊗ v) = v ⊗ u

se estende de maneira unica a uma transformacao antilinear, pois

J (z (u⊗ v)) = J ((zu)⊗ v) = z (v ⊗ u) .

Evidentemente, J2 = 1. Alem do mais, J comuta com σ ⊗ σ. De fato, para X ∈ g,

J ((σ ⊗ σ) (X) (u⊗ v)) = v ⊗ σ (X)u+ σ (X) v ⊗ u,

ja que σ (X) v = σ (X) v e, por outro lado,

(σ ⊗ σ) (X) J (u⊗ v) = (σ ⊗ σ) (X) (v ⊗ u) = σ (X) v ⊗ u+ v ⊗ σ (X)u,

cujo ultimo membro coincide com o segundo membro da expressao anterior, ja queσ(X)u e por definicao σ (X)u.

A comutatividade de J com σ ⊗ σ, juntamente com o fato de que σ ∗ σ e autocon-jugada, permite mostrar, como no lema anterior, que J deixa invariante o subespacode σ ∗ σ definindo, portanto, um isomorfismo antilinear de ındice +1 nesse espaco,concluindo a demonstracao do lema. 2

Escrevendo o peso maximo de uma representacao autoconjugada como combinacaolinear dos pesos fundamentais, os coeficientes dos pesos fundamentais que definemrepresentacoes conjugadas entre si sao iguais. Em outras palavras, o peso maximo µ edado por

µ = m1 (µ1 + µ2) + · · ·+mk

(µ2k−1 + µ2k

)+ n2k+1µ2k+1 + · · ·+ nlµl

16.5. Exemplos 469

e daı que a representacao e dada por composicoes de Cartan sucessivas das repre-sentacoes cujos pesos maximos sao µ2j−1 + µ2j, j = 1, . . . , k, ou µj, j = 2k + 1, . . . , l,e, portanto, seu ındice e dado, por aplicacoes reiteradas da proposicao 16.16, peloproduto dos ındices dessas representacoes. As representacoes associadas a µ2j−1 + µ2j

sao composicoes de Cartan de representacoes conjugadas entre si. Portanto, pelo lemaanterior, seus ındices nao colaboram com o ındice da representacao original. Dessaforma, o ındice da representacao definida por µ e dado por

εn2k+1

2k+1 · · · εnll ,

onde εj e o ındice da representacao determinada por µj, j = 2k+ 1, . . . , l. Em resumo,

Theorem 16.18 Seja g uma algebra semi-simples real e gC sua complexificada. Esco-lha uma subalgebra de Cartan h de g e um sistema simples de raızes na subalgebra deCartan hc de gC. Denote por Φ o sistema fundamental correspondente. Entao, Φ podeser escrito como

Φ = µ1, µ2, . . . , µ2k−1, µ2k, ν1, . . . , νs

de tal forma que as representacoes definidas por νj, j = 1, . . . , s sao autoconjugadas eas representacoes dadas por µ2j−1 e µ2j, j = 1, . . . , k, sao conjugadas entre si.

Um peso maximo de uma representacao irredutıvel se escreve como

µ = m1µ1 + · · ·+m2kµ2k + n1ν1 + · · ·+ nsνs

e a representacao e autoconjugada se e so se

m2j−1 = m2j para todo j = 1, . . . , k. (16.1)

Se isso ocorre, o ındice da representacao e dado por

εn11 · · · εnss ,

onde εj e o ındice da representacao definida por νj.

Corolario 16.19 Uma representacao irredutıvel com peso maximo µ e do tipo I se eso se a condicao (16.1) for satisfeita e o seu ındice for +1.

16.5 Exemplos

A proposicao 16.15 mostra quais sao as representacoes autoconjugadas em termos dapermutacao π nas raızes simples. A partir daı e possıvel olhar as representacoes auto-conjugadas para os diferentes tipos de algebras reais simples.

Para as formas reais nao-compactas das algebras complexas simples, e possıvel lera permutacao π diretamente nos diagramas de Satake. Esses diagramas se referem asubalgebras de Cartan construıdas a partir de um abeliano maximal na parte simetricade uma decomposicao de Cartan (ao contrario do que foi feito ate aqui, em que a


subalgebra de Cartan e arbitraria). Escolhendo uma subalgebra de Cartan dessas,se o diagrama de Satake e interior, entao a permutacao π que aparece na proposi-cao 16.15 e a identidade (veja proposicao 14.8 do capıtulo 14). Por isso, para asformas reais associadas a um diagrama desses, todas as representacoes irredutıveissao autoconjugadas. Para os diagramas exteriores, a permutacao π e indicada pelaligacao ←→ entre as raızes simples nao-imaginarias que sao permutadas entre si. Issopermite reconhecer qual e o automorfismo do diagrama e a partir daı dividir as raızessimples como no teorema 16.18. Uma vez feita essa divisao, obtem-se de imediato asrepresentacoes irredutıveis que sao autoconjugadas.

No caso em que u e uma forma real compacta, pode-se tomar uma subalgebra deCartan da forma ihR. Nesse caso, α = −α para toda raiz α e, assim, a permutacaoπ das raızes simples e dada por −w0 onde w0 e o unico elemento do grupo de Weylem que w0 (Σ) = −Σ. No caso dos diagramas A1, Bl, Cl, Dl (l par), G2, F4, E7 e E8,w0 = −1 e, portanto, a permutacao e trivial. Dessa forma, todas as representacoesdas algebras compactas associadas a esses diagramas sao autoconjugadas. Para osdiagramas Al (l ≥ 2), Dl (l ımpar) e E6, a permutacao π nao e trivial e as representacoesautoconjugadas sao apenas aquelas que satisfazem a condicao (16.1). Por exemplo,nenhuma das representacoes fundamentais de Al (l ≥ 2) e autoconjugada para a formareal compacta, que nesse caso e su (n), n = l+1. Portanto, essas representacoes nao saodo tipo I. Em particular, a representacao canonica de su (n) em R2n e irredutıvel. Umexemplo de uma representacao autoconjugada, nesse caso, e a representacao adjunta,que e, alem do mais, do tipo I. O peso fundamental dessa representacao e µ1 + µl eesse peso satisfaz (16.1).

A terceira classe de algebras simples reais sao as algebras do tipo II, isto e, asrealificadas das algebras simples complexas. Para essas algebras, α = α para toda raizα e, assim, todas as representacoes irredutıveis sao autoconjugadas.

A questao de determinar os ındices das representacoes autoconjugadas e um tantomais delicada. Eis um exemplo.

Se g0 e uma forma real normal de g, entao toda representacao irredutıvel e dotipo I. Isso vem da construcao de g0 a partir de uma base de Weyl e da forma dasrepresentacoes irredutıveis. De fato, seja uma base de Weyl com Xα ∈ gα e Yα ∈ g−αcom α percorrendo o conjunto das raızes positivas. Se v e um elemento primitivo darepresentacao complexa, entao uma base da representacao e dada por

Y n1α1Y n2α2· · ·Y ns

αs v,

onde α1, . . . , αs e uma ordenacao do conjunto das raızes positivas. O subespaco realgerado por esses elementos e invariante por g0 e nao cobre todo o realificado do espacoda representacao. Dessa forma, o realificado nao e irredutıvel e a representacao e dotipo I.


16.6 Exercıcios

1. Seja g uma algebra de Lie real e ρ uma representacao irredutıvel real de g em V .Mostre que o centralizador de ρ (g) em gl (V ) e uma algebra de Lie isomorfa a R,C ou H.

2. Seja g uma algebra simples real e g = k⊕s uma decomposicao de Cartan. Mostreque a representacao adjunta de k em s e do tipo I se e so se o centro de k nao etrivial.

Apendice A

Algebra Linear

Este apendice faz um catalogo de conceitos, terminologia e resultados em algebra linearque sao utilizados ao longo do texto.

A.1 Quocientes

Seja V um espaco vetorial e W ⊂ V um subespaco. O quociente V/W e formado pelasclasses de equivalencia da relacao de equivalencia em V definida por v ∼ w se e so sev − w ∈ W . A classe de equivalencia de v ∈ V , denotada por v, e o subespaco afim

v = v +W = v + u : u ∈ W.

As operacoes em V/W sao definidas por

v + w = v + wxv = xv

com v, w ∈ V e x escalar. A aplicacao π : V → V/W definida por π(v) = v e linear esobrejetora. Se a dimensao de V e finita, entao dim (V/W ) = dimV − dimW e V/We isomorfo a qualquer complementar de W em V .

Seja T : V → V uma transformacao linear e suponha que W seja invariante porT , isto e, Tw ∈ W para todo w ∈ W . Entao, T passa ao quociente definindo umaaplicacao linear T : V/W → V/W por Tv = Tv. A aplicacao T e a unica que faz comque o diagrama

V/W - V/WT

V - VT

? ?π π

seja comutativo. (Se W nao e invariante por T , entao a expressao dada acima para Tdepende do representante da classe de equivalencia, nao definindo uma transformacaono quociente).

473

474 Apendice A. Algebra Linear

A.2 Decomposicao primaria e formas de Jordan

Sejam V um espaco vetorial de dimensao finita e T : V → V uma transformacao linear.O polinomio caracterıstico de T e

pT (λ) = det(λ1− T ),

onde 1 denota a aplicacao identidade. Esse polinomio e da forma

pT (λ) = λn + an−1λn−1 + · · ·+ a0,

onde n e a dimensao de V . O teorema de Cayley-Hamilton garante que pT se anulaem T , isto e,

pT (T ) = a01 + a1T + · · ·+ T n = 0.

Seja pT = pm11 · · · pmss a decomposicao primaria de pT . Nessa decomposicao, cada pi

e um polinomio irredutıvel. Defina

Vi = ker pmii (T ) = v ∈ V : pmii (T )v = 0.

Os polinomios qi = pT/pmii sao primos entre si e, portanto, existem polinomios r1, . . . , rs

tal que1 = r1q1 + · · ·+ rsqs.

Aplicando essa igualdade a T , obtem-se uma decomposicao da aplicacao identidade empolinomios em T . A partir dessa decomposicao, pode-se mostrar que V se decompoeem soma direta como

V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vs.

Essa e a decomposicao primaria de V em relacao a T . Os elementos dessa decomposicaosao invariantes por T e o polinomio caracterıstico da restricao T|Vi de T a Vi e pi.

No caso em que o corpo de escalares e algebricamente fechado, os polinomios irre-dutıveis sao lineares e daı que pi = λ− ai para algum ai. Dessa forma

Vi = v ∈ V : (T − ai1)mi v = 0,

ai e um autovalor de T e Vi contem o auto-espaco associado a ai. Por essa razao, ascomponentes da decomposicao primaria (em corpos quaisquer) sao denominadas, notexto, de auto-espacos generalizados . Escolhendo uma base de V que e a uniao debases dos auto-espacos generalizados, T se escreve em relacao a essa base como umamatriz em blocos diagonais da forma

T =

T1

. . .

Ts

,

onde Ti e a matriz da restricao de T a Vi.

A.3. Formas bilineares 475

A decomposicao de Jordan refina a decomposicao primaria. Supondo que o corpode escalares e algebricamente fechado, as restricoes (T − ai1)|Vi sao transformacoes

lineares nilpotentes. Em geral, quando se tem uma transformacao linear nilpotenteN de um espaco vetorial W de dimensao finita, W se decompoe em soma direta emsubespacos cıclicos por N . Esses subespacos sao gerados por conjuntos do tipo N iw :i ≥ 0, w ∈ W. Tomando no espaco cıclico uma base da forma N iw, . . . , w comN i+1w = 0, a matriz de N e dada por

N =

0 1

0. . .

0 10

.

Tomando N = (T − ai1)|Vi e usando o fato de que a transformacao linear ai1 em

qualquer base de Vi e diagonal, chega-se a decomposicao de Jordan de T que diz queexiste uma base de Vi para cada 1 ≤ i ≤ s tal que em relacao a essa base a matriz deT|Vi se decompoe em blocos da forma

ai 1

ai. . .

ai 1ai

.

Esses sao os blocos de Jordan da transformacao linear inicial T e uma matriz formadapor blocos desse tipo representa T em forma canonica de Jordan. Essa decomposicaomostra que T = S +N com S|Vi = a11, que e diagonal e N = T −S, que e nilpotente.

Essas tres transformacoes lineares comutam entre si.

Em espacos vetoriais sobre corpos gerais, uma transformacao linear T se decompoecomo

T = S +N

com S e N comutando entre si e tambem com T , N nilpotente e S semi-simples, istoe, sua extensao ao fecho algebrico e diagonalizavel. Alem do mais, essa decomposicaoe unica.

A.3 Formas bilineares

Uma forma bilinear num espaco vetorial V , de dimensao finita, sobre K e uma aplicacaoB : V × V → K que e linear em cada coordenada. Uma forma bilinear define umaaplicacao Bt : V → V ∗ a valores no dual de V por v ∈ V → B(v, ·) ∈ V ∗, onde B(v, ·)


e o funcional linear dado por w ∈ V → B(v, w) ∈ K. Uma forma bilinear e degeneradase a aplicacao Bt correspondente nao e inversıvel. Como

kerBt = v ∈ V : B(v, w) = 0 para todo w ∈ V ,

tem-se que B nao e degenerada se e so se o unico elemento v ∈ V que satisfaz B(v, w)para todo w ∈ V e v = 0.

Dada uma base β = e1, . . . , en de V , a matriz de B na base β e definida comosendo

[B]β = (B(ei, ej))ij .

Se β∗ = ε1, . . . , εn e a base dual de β (definida por εi(ej) = δij), entao a matriz [Bt]ββ∗de Bt em relacao as bases β e β∗ coincide com [B]β. Dessa forma, ve-se que B nao edegenerada se e so se det[B]β 6= 0. A matriz de uma forma bilinear permite calcula-laem coordenadas atraves da seguinte formula

B(v, w) = [w]tβ[B]β[v]β,

onde [v]β e a matriz coluna das coordenadas de v em relacao a β. Para fazer a mudancade base da matriz de B, seja β1 outra base. Entao [v]β = P [v]β1

onde P e a matriz demudanca de base entre β1 e β. Substituindo essa igualdade na formula para B, ve-seque [B]β1

= P t[B]βP .Para qualquer subconjunto ∅ 6= W ⊂ V o seu ortogonal em relacao a B e dado por

W⊥ = v ∈ V : ∀w ∈ W, B (v, w) = 0.

Esse ortogonal e um subespaco vetorial. Em termos da aplicacao Bt : V → V ∗ oortogonal e o anulador de Bt (W ):

W⊥ = (Bt (W )) = v ∈ V : ∀α ∈ Bt (W ) , α (v) = 0.

Em dimensao finita o anulador de um subespaco U ⊂ V ∗ satisfaz dimU = dimV ∗ −dimU . Portanto, para qualquer forma bilinear, dimW⊥ = dimV −dimBt (W ). ComodimBt (W ) ≤ dimW , segue que dimW⊥ ≥ dimV −dimW , isto e, dimW +dimW⊥ ≥dimV . Em geral W ∩W⊥ 6= 0, o que alias ocorre se, e so se, a restricao de B a W enao degenerada.

Duas formas bilineares B1 e B2 sao ditas equivalentes se existe uma transformacaolinear T : V → V inversıvel tal que

B1(v, w) = B2(Tv, Tw).

Se isso ocorre, entao [B1]β = P t[B2]βP para toda base β onde P e a matriz de T .A forma bilinear B e simetrica [respectivamente, anti-simetrica] se B(v, w) = B(w, v)

[= −B(w, v)]. Se uma forma bilinear e simetrica ou anti-simetrica o mesmo ocorre comsua matriz em relacao a qualquer base.

Para uma forma bilinear simetrica e possıvel encontrar uma base

β = e1, . . . , en

A.3. Formas bilineares 477

ortogonal em relacao B, isto e, tal que B(ei, ej) = 0 se i 6= j (isso se o corpo de escalaresnao e de caracterıstica dois). Para ver isso, tome

V ⊥ = v ∈ V : B(v, w) = 0 para todo w ∈ V .

Entao, a restricao de B a qualquer subespaco que complementa V ⊥ nao e degenerada.Tomando bases de V ⊥ e de um de seus complementares, pode-se supor que B nao edegenerada. Com isso, tome e1 tal que B(e1, e1) 6= 0. A existencia de e1, satisfazendoessa condicao, vem da igualdade

B(v + w, v + w) = B(v, v) + B(v, w) + B(w, v) + B(w,w),

de onde se tira que se B(v, v) = 0 para todo v ∈ V , entao B e anti-simetrica e, portanto,que B = 0 ou o corpo de escalares e de caracterıstica dois.

Com essa escolha de e1, tem-se que o subespaco

e⊥1 = v ∈ V : B(e1, v) = 0

nao contem e1 e e de codimensao um, por isso a restricao de B a e⊥1 nao e degeneradae a construcao dos demais elementos da base pode ser feita por inducao.

Em relacao a uma base ortogonal a matriz de B e diagonal

[B] = diagλ1, . . . , λn

com λi 6= 0 se B nao e degenerada. E possıvel escolher os elementos que aparecem nadiagonal de [B] de acordo com a existencia de raızes quadradas no corpo de escalares.De fato, ao se mudar de base a matriz de B e alterada multiplicando a direita e aesquerda por uma matriz inversıvel e sua transposta, respectivamente. Tomando amatriz inversıvel como sendo diaga1, . . . , an com ai 6= 0 os elementos diagonais de[B] passam a ser a2

iλi. Dessa forma, se 1/√λi pertence ao corpo de base, pode-se

escolher uma base tal que λi = 1 para todo subındice i. Em particular, se o corpo ealgebricamente fechado e B nao e degenerada, existe uma base β de V tal que [B]β e amatriz identidade e todas as formas bilineares nao-degeneradas sao equivalentes entresi.

Em corpos que nao sao algebricamente fechados, tudo depende do conjunto dosquadrados perfeitos do corpo. Por exemplo, no caso dos reais, todo x ≥ 0 e umquadrado perfeito e pode-se tomar uma base de V tal que na matriz de B em relacao abase se tenha λi = ±1 ou 0, sendo que λi = ±1 se B nao e degenerada. A quantidadede elementos diagonais que sao iguais a −1 distingue as classes de equivalencia dasformas bilineares simetricas nao degeneradas.

No caso das formas anti-simetricas , pode-se proceder como no caso das simetricas,trabalhando num complementar de V ⊥, o que permite supor que B nao e degene-rada. Nesse caso, pode-se escolher uma base e1, . . . , ek, f1, . . . , fk escolhendo suces-sivamente ei, fi tal que B(ei, fi) 6= 0 e tomando o ortogonal do subespaco gerado peloselementos ja escolhidos. Atraves desse processo, obtem-se que B(ei, ej) = B(ei, fj) =


B(fi, fj) = 0 se i 6= j. Com isso, pode-se encontrar uma base β tal que a matriz deuma forma bilinear anti-simetrica seja da forma 0k×k −Λ 0

Λ 0k×k 00 0 0l×l

,

onde Λ e uma matriz diagonal inversıvel e l = n − 2k. Se a forma nao e degenerada,l = 0 e n = 2k, isto e, formas anti-simetricas nao-degeneradas so ocorrem em dimensaopar.

Da mesma forma que no caso simetrico, pode-se escolher a matriz Λ de acordo comos quadrados perfeitos no corpo de escalares. Por exemplo, se a forma nao e degeneradae o corpo de escalares e algebricamente fechado, multiplicando-se a esquerda e a direitapor uma matriz blocos da forma (

aa

)com a matriz k×k inversıvel, pode-se obter uma base em que Λ e a matriz identidade.Ja no caso do corpo dos reais, o mesmo procedimento permite obter uma base em queΛ e uma matriz diagonal formada por ±1. Agora, trocando ei por fi nas posicoes emque aparece −1, chega-se a uma base em que Λ e a matriz identidade. Por isso, todasas formas anti-simetricas nao-degeneradas em corpos algebricamente fechados ou nocorpo dos reais sao equivalentes.

Uma maneira conveniente de escrever formas bilineares num espaco V e por in-termedio de uma forma bilinear nao-degenerada e transfomacoes lineares de V . Isso efeito da seguinte maneira: Suponha que B e B1 sejam formas bilineares e que B naoseja degenerada. Pode-se, entao, tomar P : V → V definida por

P = (Bt)−1 (B1)t .

Pela forma como se definiu Bt : V → V ∗, tira-se de imediato que

B1 (u, v) = B (Pu, v)

para todo u, v ∈ V . As propriedades de B1 se tiram a partir das propriedades de P .Por exemplo, B1 nao e degenerada se e so se P e inversıvel e se B e simetrica, entao B1

e simetrica ou anti-simetrica se e so se P e simetrica ou anti-simetrica em relacao a B.Isso significa que

B(Pu, v) = B(u, Pv) ou B(Pu, v) = −B(u, Pv),

respectivamente.

A.4 Espacos reais e complexos

A.4.1 Formas de Jordan reais

Sejam V um espaco vetorial sobre R e VC o seu complexificado. Os elementos de VC saoda forma u+ iw com u,w ∈ V . Para v = u+ iw ∈ VC, vu− iw denota sua conjugacao

A.4. Espacos reais e complexos 479

em relacao a V . As transformacoes lineares T : V → V se estendem a transformacoeslineares TC : VC → VC. Seja

pT = pm11 · · · pmss

a decomposicao primaria do polinomio caracterıstico pT de T . Os polinomios irre-dutıveis reais sao ou lineares ou quadraticos. A presenca dos primeiros na decomposicaoprimaria de pT dao origem a autovalores reais para T , enquanto que polinomios irre-dutıveis quadraticos dao origem a autovalores complexos conjugados.

O polinomio caracterıstico de TC coincide com o polinomio caracterıstico de T eem sua decomposicao primaria as componentes quadraticas de pT se decompoem emcomponentes lineares como (λ− a) (λ− a) com a 6= a. A decomposicao primaria deTC pode ser escrita como

VC = U ′1 ⊕ · · · ⊕ U ′r

com U ′j = ker(TC − aj)kj para algum kj e com aj autovalor de TC. Por essa expressao

de U ′j tira-se que U ′j = ker (TC − aj)kj , onde U ′j = v : v ∈ Uj. Portanto, U ′j tambem

e um elemento da decomposicao primaria de TC e U ′j coincide com U ′j no caso em queaj e um autovalor real. Dessa forma, a decomposicao primaria pode ser reescrita como

VC = W1 ⊕W1 ⊕ · · · ⊕Ws ⊕Ws ⊕ U1 ⊕ · · · ⊕ Ut

com Wj 6= Wj, j = 1, . . . , s, auto-espacos generalizados associados a autovalores com-plexos e Uj = Uj, j = 1, . . . , t, associados a autovalores reais.

Cada um desses auto-espacos generalizados se decompoe em blocos de Jordan, istoe, existem conjuntos linearmente independentes w1, . . . , wk tal que

TCwl = ajwl + wl−1

e a uniao desses conjuntos forma uma base do auto-espaco generalizado associado aoautovalor aj. Tomando conjugacao em relacao a V nessa ultima igualdade, verifica-seque para obter uma base de Wj e suficiente tomar o conjugado de uma base desse tipopara Wj. De maneira semelhante, a partir da conjugacao da expressao acima, mostra-se que uma base da decomposicao de Jordan de Uj pode ser tomada como sendo real.Com essas escolhas, pode-se escrever a forma canonica de Jordan real de T da seguintemaneira. Defina

V cj = V ∩

(Wj ⊕Wj

)j = 1, . . . , s

e

V rj = V ∩ Uj j = 1, . . . , t .

Entao, a decomposicao primaria de V , associada a T , e dada por

V = V c1 ⊕ · · · ⊕ V c

s ⊕ V r1 ⊕ · · · ⊕ V r

t .


Com a escolha feita das bases, a restricao de T aos auto-espacos generalizados reaisV rj se decompoe em blocos de Jordan da forma

aj 1

aj. . .. . . . . .

aj 1aj

com aj autovalor real. Para se obterem os blocos de Jordan de V c

j , toma-se umabase w1, . . . , wk que define um bloco de Jordan de Wj, como acima, e escreve-sewl = ul + ivl com ul, vl ∈ V . Entao, u1, v1, . . . , ul, vl e linearmente independente esua uniao forma uma base de V c

j . Escrevendo aj = αj + iβj, a expressao para TCwlfornece

Tul = αjul − βjvl + ul−1 e Tvl = βjul + αjvl + vl−1.

De onde se tira que a restricao de T a V cj se decompoe em blocos da forma

Aj IAj

. . .

Aj IAj

,

onde I denota a matriz identidade 2× 2 e

Aj =

(αj βj−βj αj

).

A.4.2 Realificacoes

Seja V um espaco vetorial sobre C e V R o espaco vetorial sobre R, obtido por restricaodos escalares a R. Considerado apenas como um conjunto, V R coincide com V e sedimV < ∞, entao dimV R = 2 dimV . Seja T : V → V uma transformacao linear(sobre os complexos). O seu polinomio caracterıstico pode ser escrito como

pT (λ) = (λ− a1)k1 · · · (λ− ar)kr

e T se decompoe em blocos de Jordan dados por conjuntos l.i, w1, . . . , wk com

Twl = ajwl + wl−1 .

Evidentemente, T e uma transformacao linear de V R. Seja U o subespaco de Vgerado por um conjunto w1, . . . , wk que define um bloco de Jordan de T . Esseconjunto l.i e uma base de U e U e invariante por T . Tambem e evidente que U e

A.5. Algebra tensorial 481

um subespaco real de V R. Por outro lado, wl e iwl, l = 1, . . . , k, sao linearmenteindependentes sobre R, pois wl 6= 0. A partir daı, verifica-se que

w1, iw1, . . . , wk, iwk

e uma base de U quando esse subespaco e visto como espaco vetorial real. Escrevendoaj = αj + iβj, tem-se que

Twl = αjwl + βj (iwl) + wl−1 e T (iwl) = −βjwl + αj (iwl) + iwl−1 .

Essas expressoes fornecem a forma canonica de Jordan real de T como trans-formacao linear de V R. Ao longo da diagonal aparecem os blocos(

αj −βjβj αj

),

o que mostra que o polinomio caracterıstico do realificado de T e dado por

q(λ) = (λ− a1)k1 (λ− a1)k1 · · · (λ− ar)kr (λ− ar)kr .

A.5 Algebra tensorial

Sejam V e W espacos vetoriais de dimensao finita sobre um mesmo corpo K. O produtotensorial entre V e W , V ⊗W , e o espaco (vetorial sobre K) das aplicacoes bilineares

f : V ∗ ×W ∗ −→ K

onde V ∗ e W ∗ sao os duais de V e W . Dados v ∈ V e w ∈ W , o seu produto tensorialv ⊗ w e o funcional bilinear cujo valor em (α, β) ∈ V ∗ ×W ∗ e dado por

(v ⊗ w) (α, β) = α(v)β(w).

O conjuntov ⊗ w : v ∈ V,w ∈ W

gera V ⊗ W e se v1, . . . , vn e w1, . . . , wm sao bases de V e W respectivamente,entao

vi ⊗ wj : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ me base de V ⊗W e, portanto, dim (V ⊗W ) = dimV dimW .

De maneira mais geral, se V1, . . . , Vs sao espacos vetoriais sobre o mesmo corpo K,o produto tensorial

V1 ⊗ · · · ⊗ Vse o espaco das aplicacoes multilineares definidas em V ∗1 × · · · × V ∗s e a valores em K e,da mesma forma, se vi ∈ Vi, i = 1, . . . , s, entao o seu produto tensorial v1 ⊗ · · · ⊗ vs eo funcional dado por

(v1 ⊗ · · · ⊗ vs) (α1, . . . , αs) = α1(v1) · · ·αs(vs),


e o conjuto desses produtos tensoriais gera o produto tensorial entre os espacos. Alemdo mais, a partir de bases vij, j = 1, . . . , ni, de Vi, i = 1, . . . , s, constroem-se bases deV1 ⊗ · · · ⊗ Vs tomando todos os produtos possıveis da forma

v1i1⊗ · · · ⊗ vsis .

Assim, a dimensao do produto tensorial e o produto das dimensoes dos fatores.A propriedade principal do produto tensorial e que toda aplicacao multilinear

f : V1 × · · · × Vs −→ W,

onde W e um espaco vetorial qualquer, fatora-se numa aplicacao linear do produtotensorial, isto e, existe uma aplicacao linear f : V1 ⊗ · · · ⊗ Vs → W tal que

f π = f,

onde π e a aplicacao canonica

π(v1, . . . , vs) = v1 ⊗ · · · ⊗ vs .

Quando os fatores de um produto tensorial sao todos iguais a, por exemplo V , oproduto de s de suas copias e denotado por

⊗sV ou V ⊗s.

A soma desses produtos define o espaco (de dimensao infinita se V 6= 0)

T (V ) =∑s≥0

V ⊗s,

onde V ⊗0 e o corpo de escalares e V ⊗1 e o proprio espaco V . Com o produto tensorial,T (V ) e uma algebra associativa com unidade, e e a algebra associativa livre gerada porV , ja que seus elementos sao combinacoes lineares de justaposicoes (produtos tensoriais)de elementos de V . Os elementos de T (V )⊗ T (V ∗), os quais sao produtos tensoriaissucessivos de V e V ∗, sao chamados de tensores de V . Se f ∈ V ⊗s, entao s e a ordemde f .

Existem diversos isomorfismos naturais entre diferentes produtos tensoriais e outrosespacos vetoriais. Alguns deles sao:

• O produto tensorial e associativo

(V ⊗W )⊗ U ≈ V ⊗ (W ⊗ U) ≈ V ⊗W ⊗ U

com os isomorfismos dados por (com a notacao evidente)

(v ⊗ w)⊗ u←→ v ⊗ (w ⊗ u)←→ v ⊗ w ⊗ u.


• O produto tensorial e comutativo

V ⊗W ≈ W ⊗ V

com o isomorfismo dado por v ⊗ w ↔ w ⊗ v.

• O espaco das transformacoes lineares : V → W , L (V,W ) e isomorfo a V ∗ ⊗W .O isomorfismo e obtido associando a α ⊗ w ∈ V ∗ ⊗W a transformacao linearT : V → W definida por

T (u) = α(u)w.

Fixando bases β e γ de V e W , esse isomorfismo e dado por um produto dematrizes. De fato, a matriz [α]β e uma matriz linha com n = dimV colunas, ja amatriz [w]γ e uma matriz coluna com m = dimW linhas. Faz sentido, portanto,realizar o produto [w]γ[α]β que e uma matriz m×n. Essa e exatamente a matrizde T :

[T ]βγ = [w]γ[α]β .

Esses isomorfismos sao chamados de naturais, pois eles dependem apenas das de-finicoes dos espacos envolvidos e nao requerem nenhuma escolha adicional. Um outroisomorfismo entre produtos tensoriais e

V ∗1 ⊗ · · · ⊗ V ∗s ≈ (V1 ⊗ · · · ⊗ Vs)∗ .

Aqui o isomorfismo depende da escolha de uma dualidade, isto e, existem diversosisomorfismos e nenhum deles e, do ponto de vista logico, melhor que os outros. Umaescolha canonica e feita associando o tensor α1 ⊗ · · · ⊗ αs com αi ∈ V ∗i ao funcionallinear dado por

v1 ⊗ · · · ⊗ vs 7−→ α1(v1) · · ·αs(vs).O fato de que essa expressao define um funcional linear no produto tensorial vem docomentario acima de que aplicacoes multilineares definidas em V1×· · ·×Vs se fatoramem aplicacoes lineares do produto tensorial. E comum escrever esse isomorfismo comouma dualidade entre os produtos tensoriais do duais e dos espacos, isto e, como umatransformacao bilinear 〈·, ·〉 a valores no corpo de escalares dada por

〈v1 ⊗ · · · ⊗ vs, α1 ⊗ · · · ⊗ αs〉 = α1(v1) · · ·αs(vs)

com vi ∈ Vi e αi ∈ V ∗i .Dois subespacos de V ⊗s que devem ser destacados sao os espacos dos tensores sime-

tricos e o dos tensores anti-simetricos. Um tensor f ∈ V ⊗s e um funcional multilinearno dual V ∗. Assim, f e um tensor simetrico se para toda permutacao σ dos ındicesi = 1, . . . , s tem-se, para αi ∈ V ∗,

f(ασ(1), . . . , ασ(s)) = f(α1, . . . , αs)

e o tensor e anti-simetrico se

f(ασ(1), . . . , ασ(s)) = (−1)|α| f(α1, . . . , αs),


onde |σ| e a ordem da permutacao, que e par ou ımpar dependendo se σ pode ser escritocomo o produto de um numero par ou ımpar de permutacoes simples (permutacoes dedois elementos).

O espaco dos tensores simetricos de ordem s e denotado por sV , enquanto que odos anti-simetricos de mesma ordem e denotado por ∧sV . Esses espacos sao obtidospor projecoes

S : ⊗sV −→ sV e A : ⊗sV −→ ∧sV.A projecao S, denominada simetrizador de tensores, e dada por

Sf(α1, . . . , αs) =1

s!

∑σ

f(ασ(1), . . . , ασ(s)),

quando o tensor f e visto como um funcional multilinear em V ∗, ou ainda por

S (v1 ⊗ · · · ⊗ vs) =1

s!

∑σ

vσ(1) ⊗ · · · ⊗ vσ(s) .

Em ambos os casos, a soma se estende a todas as permutacoes de s elementos.O anti-simetrizador A e definido por

Af(α1, . . . , αs) =1

s!

∑σ

(−1)|σ| f(ασ(1), . . . , ασ(s))

ou por

A (v1 ⊗ · · · ⊗ vs) =1

s!

∑σ

(−1)|σ| vσ(1) ⊗ · · · ⊗ vσ(s).

Nessas formulas, o coeficiente normalizador e colocado para garantir que tanto S quantoA sejam projecoes, isto e, que suas restricoes aos espacos dos tensores simetricos eanti-simetricos, respectivamente, sejam a identidade. Sem essas normalizacoes, obtem-se ainda aplicacoes sobre os tensores simetricos e anti-simetricos mas que nao saoprojecoes.

Com esses operadores, pode-se definir o produto simetrico

v1 · · · vs = S (v1 ⊗ · · · ⊗ vs)

e o produto exterior (anti-simetrico)

v1 ∧ · · · ∧ vs = A (v1 ⊗ · · · ⊗ vs) .

Assim como no caso do produto tensorial, sV e gerado pelos produtos simetricose ∧sV e gerado pelos produtos exteriores. Dessa forma, se v1, . . . , vn e uma base deV , entao o conjunto formado por

vi1 · · · vis i1 ≤ · · · ≤ is

e base de sV , enquanto que o conjunto formado por

vi1 ∧ · · · ∧ vis i1 < · · · < is


e base de ∧sV .As somas

V =∑s≥0

sV e ∧ V =∑s≥1

∧sV

sao algebras com o produto dado por simetrizacao ou anti-simetrizacao do produtotensorial. A algebra V e a algebra simetrica de V e e comutativa. Essa algebra seidentifica com a algebra dos polinomios em V ∗, pois uma forma multilinear simetricaf determina o polinomio

P (v) = f(v, . . . , v),

que por sua vez determina a forma multilinear por intemedio das identidades de pola-rizacao. Ja a algebra exterior ∧V e anti-comutativa no sentido em que

w ∧ v = (−1)pq v ∧ w,

onde p e q sao as ordens de v e w. Alem do mais, ∧V e de dimensao finita com ∧sV = 0se s > dimV e

dim∧sV =

(dimV

s

).

Ainda em analogia com os produtos tensoriais, os produtos simetricos e exteriores dosduais sao os duais dos respectivos produtos. Aqui, uma dualidade e dada por

〈v1 · · · vs, α1 · · · αs〉 =∑σ

ασ(1)(v1) · · ·ασ(s)(vs)

no caso simetrico e

〈v1 ∧ · · · ∧ vs, α1 ∧ · · · ∧ αs〉 =∑σ

(−1)|σ| ασ(1)(v1) · · ·ασ(s)(vs) (A.1)

no caso dos produtos exteriores. Essas dualidades nao sao restricoes das dualidades

entre os produtos tensoriais, pois o fator1

n!nas definicoes de S e A faz com que as

restricoes sejam as expressoes dadas acima multiplicadas por1

s!. Por fim, a soma que

aparece no segundo membro de (A.1) e nada mais nada menos que o determinante damatriz s× s, (αi(vj))i,j.

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Indice

algebraafim, 132, 141associativa, 18, 271derivada, 41exterior, 445simetrica, 445unitaria, 20

algebra de Jordan, 231algebra de Lie, 17

abeliana, 19bidimensional, 20compacta, 334de Heisenberg, 25nilpotente, 47, 59quase-abeliana, 76semi-simples, 50simples, 50soluvel, 45, 70

algebras classicas, 342, 352α-sequencia, 157, 159algebra de Clifford, 309, 311algebras especiais

gl(n), 18sl(n), 19, 155, 160, 167, 202so(n), 19, 203, 209so(p, q), 20sp(n), 20, 206su(n), 20u(n), 20

antiautomorfismo, 328aplicacao

antilinear, 326, 415polinomial, 113sesquilinear, 326

auto-espaco generalizado, 434automorfismo, 21

de diagrama, 256, 359de um sistema de raızes, 269exterior, 360interior, 360

base de Weyl, 335Borel

subalgebra de, 167, 290

cadeia simples, 182camara de Weyl, 244Cartan, 147

composicao de, 305criterios de, 83decomposicao de, 343involucao de, 344matriz de, 169subalgebra de, 101

Casimirelemento de, 95

centralizador, 28centro, 28centroide, 57Clifford

algebra de, 309, 311cociclo, 125cofronteira, 125cohomologia, 125composicao de Cartan, 305conjugacao, 326, 439constantes de estrutura, 22Coxeter

elemento de, 269grupos de, 266

criterio de Cartanpara algebras semi-simples, 87, 95para algebras soluveis, 87

491

492 Indice

decomposicaode Cartan, 343de Iwasawa, 409de Jordan, 435minimal, 252primaria, 434

derivacao, 38, 79decomposicao de Jordan, 81, 92em algebras semi-simples, 91interna, 38

diagramade Dynkin, 173, 189de Satake, 369

diferencial exterior, 124dualidade, 54Dynkin

diagrama de, 173, 189

elemento de Casimir, 322elemento de Coxeter, 269elemento primitivo, 290elemento regular, 103, 244

real, 349Engel

teorema de, 63espaco racional, 161estrutura complexa, 326

adaptada, 328estrutura quaternionica, 422extensao canonica, 391

forma bilinear, 435anti-simetrica, 437invariante, 54simetrica, 436

forma canonica de Jordan, 435real, 441

forma real, 328compacta, 334normal, 350

forma traco, 83de Cartan-Killing, 84

formula da dimensao de Weyl, 303formulas de comutacao, 65

grupode Weyl, 236finito, 236

grupo infinitesimal, 53grupos

cristalograficos, 266de Coxeter, 266

Haarmedida de, 334

Heisenbergalgebra de, 25, 54

homomorfismo, 21

ideal, 23a esquerda, 272a direita, 273bilateral, 273

identidade de Jacobi, 17ındice de uma representacao, 420inversa de matriz de Cartan, 320, 371involucao

de Cartan, 344principal, 256

isomorfismo, 21Iwasawa

decomposicao de, 409

Jacobiidentidade de, 17

Jacobson-Morozovteorema de, 177

Jordandecomposicao de, 435forma canonica de, 435

Killing, 147formula de, 158numero de, 158, 239

lemade Morozov, 99de Schur, 37de Whitehead, 134

Levicomponente de, 138

Indice 493

Lieteorema de, 70, 72

localmente nilpotente, 281

matriz de Cartan, 169inversa de, 320, 371

medida de Haar, 334modulo, 27momento de representacao, 55, 99Morozov

lema de, 99multiplicidade de um peso, 67, 290

nil-radical, 74nil-representacao, 59normalizador, 76, 101numero de Killing, 158

operador de intercambio, 30ordem lexicografica, 163, 242

pesobasico, 304de uma representacao, 67, 290fundamental, 304maximo, 290

de representacao adjunta, 323multiplicidade de, 67, 290

posto, 103real, 350

produto semidireto, 40produto tensorial, 441

de representacoes, 31prolongamento de uma algebra, 128

quaternions, 54, 352

radicalnilpotente, 73, 74soluvel, 49

raiz, 102altura de, 168imaginaria, 394real, 394restrita, 348, 357simples, 164, 242

realificado, 107, 325reflexao, 235

simples, 251representacao, 26

adjunta, 28autoconjugada, 419autodual, 323basica, 304co-adjunta, 32com peso maximo, 290completamente redutıvel, 34conjugada, 416do tipo I, 411, 413, 417do tipo II, 411, 413, 417dual, 31fiel, 26fundamental, 304indecomponıvel, 293, 299irredutıvel, 34momento de, 55, 99nilpotente, 59quaternionica, 422semi-simples, 34spin, 309

representacoes de sl(2), 148, 150

Satakediagrama de, 369

Schurlema de, 37

sequencia de raızes, 157, 159serie

central ascendente, 63central descendente, 44derivada, 41

sistema de raızes, 235irredutıvel, 238reduzido, 236

sistema fundamental de pesos, 304sistema restrito, 363sistema simples de raızes, 166, 242spin

representacao, 309subalgebra de Borel, 167, 232, 290

494 Indice

subalgebra de Cartan, 101de sl(n,C), 110de sl(n,R), 111em algebras semi-simples, 152

subalgebra parabolica, 232subdiagrama invariante, 370subespaco

de pesos, 67invariante, 32

suporte de raiz, 177

teoremade Ado, 287de Cayley-Hamilton, 434de decomposicao de Weyl, 137de Engel, 59, 63, 75de Jacobson-Morozov, 177de Levi, 138de Lie, 70, 72de Poincare-Birkhoff-Witt, 276

tipode algebra de Lie real, 330de representacao real, 411

truque unitario de Weyl, 141

Weylbase de, 335camara de, 244formula da dimensao de, 303grupo de, 236truque unitario de, 141

Whiteheadlemas de, 134

Zassenhaus, 75

luiz a. b. san martin 29 de mar˘co de 2020lino/alglie0.pdf · 5 8 algebras semi-simples....

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