m atem atyka pod staw a oklad ka prod u kcyjn a.in d d 1...

21

Upload: hahuong

Post on 27-Feb-2019

216 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Matematyka_podstawa_okladka_produkcyjna.indd 1 2014-05-06 13:21:07

Spis treści

Spis treści 3

I. Liczby rzeczywiste

1. Liczby naturalne, całkowite, wymierne ............. 5 2. Pierwiastki, liczby niewymierne ...................... 11 3. Potęga o wykładniku naturalnym,

całkowitym, wymiernym ............................... 15 4. Wyrażenia arytmetyczne ............................... 20 5. Przedziały liczbowe ....................................... 24 6. Logarytmy ................................................... 30 7. Wartość bezwzględna. Przybliżenia ................. 34 8. Obliczenia procentowe .................................. 38Sprawdzian po dziale I ....................................... 42

II. Wyrażenia algebraiczne

9. Wyrażenia algebraiczne. Proste przekształcenia algebraiczne .................. 44

10. Wzory skróconego mnożenia .......................... 4811. Zastosowanie wyrażeń algebraicznych

w zadaniach praktycznych ............................. 52Sprawdzian po dziale II ...................................... 56

III. Równania i nierówności

12. Równania liniowe ......................................... 5713. Nierówności liniowe ..................................... 6114. Układy równań liniowych .............................. 6515. Równania kwadratowe .................................. 7216. Nierówności kwadratowe............................... 7617. Równania wyższych stopni ............................. 8118. Proste równania wymierne ............................ 85Sprawdzian po dziale III ..................................... 89

IV. Funkcje

19. Sposoby opisywania funkcji ............................ 9120. Własności funkcji .......................................... 9721. Funkcja liniowa .......................................... 10222. Przekształcenia wykresów funkcji .................. 10823. Wzór i wykres funkcji kwadratowej ................ 11424. Własności funkcji kwadratowej ..................... 12125. Zastosowanie funkcji liniowej

i kwadratowej ........................................... 12626. Funkcja wymierna a

x ....................................131

27. Funkcja wykładnicza ................................... 138Sprawdzian po dziale IV ................................... 143

V. Ciągi

28. Opisywanie ciągu za pomocą wzoru ogólnego ......................................... 145

29. Ciąg arytmetyczny ...................................... 14930. Ciąg geometryczny ..................................... 15331. Zastosowanie ciągów arytmetycznego

i geometrycznego ....................................... 157Sprawdzian po dziale V .................................... 161

VI. Trygonometria

32. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym ............................ 162

33. Funkcje trygonometryczne kąta w układzie współrzędnych ........................... 166

34. Zależności trygonometryczne ....................... 17035. Zastosowanie trygonometrii ........................ 174Sprawdzian po dziale VI ................................... 177

VII. Planimetria

36. Figury płaskie ............................................. 17837. Zastosowanie trygonometrii

w problemach geometrycznych .................... 18438. Przekształcenia figur płaskich ....................... 18839. Kąt środkowy i kąt wpisany .......................... 19540. Wzajemne położenie prostej i okręgu

oraz dwóch okręgów na płaszczyźnie ............. 19941. Podobieństwo trójkątów .............................. 205Sprawdzian po dziale VII .................................. 210

VIII. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej

42. Odległość na płaszczyźnie kartezjańskiej ........ 21243. Równanie ogólne i kierunkowe prostej .......... 21644. Równoległość i prostopadłość prostych .......... 22045. Interpretacja graficzna układu

równań liniowych ....................................... 22346. Obrazy figur płaskich w symetrii

osiowej i środkowej ..................................... 227Sprawdzian po dziale VIII ................................. 232

IX. Stereometria

47. Graniastosłupy ........................................... 23348. Ostrosłupy ................................................. 23949. Bryły obrotowe ........................................... 24550. Kąt dwuścienny. Przekrój prostopadłościanu

płaszczyzną ................................................ 25251. Zastosowanie trygonometrii w stereometrii ... 257 Sprawdzian po dziale IX ................................... 262

X. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka

52. Analiza danych statystycznych ...................... 26353. Liczba obiektów w prostych sytuacjach

kombinatorycznych ..................................... 26854. Prawdopodobieństwo zdarzenia ................... 272Sprawdzian po dziale X .................................... 276

Zadania z rozwiązaniem krok po kroku .................. 278Arkusz maturalny – przykładowy zestaw zadań ...... 287Odpowiedzi do zadań .......................................... 305

Indeks ............................................................... 310

52. Analiza danych statystycznych

Średnia wielkość (wartość przeciętna)

-

Średnia arytmetyczna

n a a an1 2, , ..., a a a an

n= + + +1 2 ...

x = =+ + + +4 2 7 6 35

4 4,

Przykład 1.

Rozwiązanien a a an1 2, , ...,

a a an

n1 2 12+ + + =... . a a a nn1 2 12+ + + =... .

-a a a

nn1 2 29

113+ + + +

+=... . a a a nn1 2 12+ + + =... .

12 291

13nn

++

=

12 29 13 13n n+ = +

n = 16Odpowiedź:

Mediana

n a a an1 2 ...m an= + 1

2

n;

ma an n

=+

+2 2 1

2n.

X. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka

���������������� ��������������������8������������� ����������������� ���������� �����������

������������8������������� �������� 7 82

7 5+ = , �

��� Przykład 2. ������!�"��#�����$��������������� �������%�&�����������x���������� ��"'�������(%�����%�%�x�Rozwiązanie)����*�%��*���� ������%�&� #+��� -���!�"�% ��������%��%"��'����������������� ��/"�����"%����%������'�&��%"��'��/"�#��%�&�

6 52

= + x

12 5= + xx = 7

���� Średnia ważona

��������� �� n������ a a an1 2, , ..., ���!"�%!�"��#����%���������%����$���w w wn1 2, , ...,

���%���%�����- a w a w a w aw w w

n n

n= + + +

+ + +1 1 2 2

1 2

......

��� Przykład 3.:"�������$������$���������$������#"� ���������%#���#�� ��;���%�� +����<���*��%�&������%���!��#�'�������#�� ��;���%+��"'������<��=�� ��;�����%��������'�����#�� ��;��>� ;������'���?����%�%�+������/"��������$���$�����������%���#�� �Rozwiązanie)����*�%��*���������/@�����'����#�� ����*��%�!��"�#����@���#���$����/"���&��%�#'�����%�&�#�� ��&��A���+������/"���������%���#�� ����/"������*����

x = =⋅ + ⋅+

18 74 32 8218 32

79 12% % , %

Odpowiedź: C������/"�������$�������%�� ������<�

���� Odchylenie standardowe:"�����"%����%����������$"���������D�"����-����� �������%�&��E���!"�%#+���"����*�%�����%��'�&�����'����#�#��!"�����'�����#�����"�#��

F"����� ?���%����� ?���%�G��#�

�������%#� � �

�-�%#�!�� # ; �

D�%#� � ;

& ��"� � �

)�"'������!"�%!�#����������#��G��#��/"��������������H��(��%�����#��*�� %��������� ����!�+���"'*������%��D�"���������� �������%�&��%+��!�+��� ���� ���% �%#���D�"�������#������"�-������&������%��I��%������#�&���"�-���� �� ����������������� ���#�'"���'�� ���"'*���������%�#'������ �������%�&� ���% �%���%�&��!�#������"��!"� �������%�&� ��-�% �%���%�&�

X. ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ. TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA264

?�&%������ ����"��%��n���%�&�������%�&� a a an1 2, , ..., � #�'"%�&�/"�����"%����%�����

"'������ ��a � ���%���%�����- � = −( ) + −( ) + + −( )a a a a a an

n12

22 2... �

(%������%���&%����� ����"���������������G��#��

� Adam = = =−( ) + −( ) + −( ) + −( ) + + +6 4 3 4 6 4 1 44

4 1 4 92

182

2 2 2 22 12≈ , �

�Tomek = = =−( ) + −( ) + −( ) + −( ) + + +4 4 4 4 3 4 5 44

0 0 1 12

22

2 2 2 20 71≈ , �

I�#���@����!"�%!�#���������&%����� ����"������ ���-# ����*���!"�%!�#��G��#���������������*������%������ ����"����"��!"� �����

UWAGA

L���-�a a a a a a

nn1

22

2 2−( ) + −( ) + + −( )...����%���%������������%�&�

��� Przykład 4.(%�����%�%���&%����� ����"������ �������%�&�������������Rozwiązanie(�!�"� ����#������/���%������%�/"�����"%����%������� �������%�&�

a = =+ + +2 5 6 74

5

�*��%���"���!"�% ��!@����%�����������&%����� ����"���$��

� = =−( ) + −( ) + −( ) + −( )2 5 5 5 6 5 7 54

142

2 2 2 21 87≈ ,

Odpowiedź: ?�&%����� ����"������ ��"'�����#�+�������

��� Przykład 5.M���$"����!"�� ��������� ���������������������%#���#�� ��N�"�#���(%-�����%�%�/"�����"�����&%����� ���-�"������������������%#�������#�� ��Rozwiązanie(�!�"� ����#������/���%������%�/"�-�����*������ �������%�&�

a = = =⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅+ + + + +

0 1 2 2 4 3 4 4 8 5 6 60 2 4 4 8 6

10824

4 5,

�*��%���"���!"�% ��!@����%�����������&%����� ����"���$��

� = ⋅ −( ) + ⋅ −( ) + ⋅ −( ) + ⋅ −( ) + ⋅ −( ) +0 1 4 5 2 2 4 5 4 3 4 5 4 4 4 5 8 5 4 5 62 2 2 2 2, , , , , ⋅⋅ −( ) =

=

6 4 524

3824

2

1 26

,

,≈

Odpowiedź: :"������������������%#���#�� ��N�"�#���� ��"'�������������&%����� ����"�����%�� ��#�+�������

52. Analiza danych statystycznych 265

���� Zadania

Zadanie 1. ������������� � ����������������� ���������������������I�/���������!�"��#�����$����"� ����$���� ����� ��/������������������x��;��;��� ��"'���������A. x = 3 B. x = 4C. x = 5 D. x = 7

Zadanie 2. :"�����"%����%��������������������x��������;������ ��"'�������?��O�!"�����/@�#�*�$��������������P������������������������� �F����������!�"����� I. x = 5 P / F II.� ������� ��"'������� P / F III.� ������� ��"'����/"������"%����%������� P / F

Zadanie 3. ?�������&%����� ����"������ �������%�&��������������������� ����� �� ���#�A. 4 B. 5

C. 6

2 D.

64

Zadanie 4. G������!"�� �������"��#�!"�����#'��!������D"�%��?���������/"������"����#�*%���!"�����#'������D"�%�

L�����!"�����#'� (% �#�/@�!�� ��P�+Q

� ��HH

� ��HH

; ��HH

� ��HH

Zadanie 5. F�+�����!�"��#����%��� ������������!������/"�����"%����%��������/���������*�����#�*�$�����%�&��� ���'���������� ��"'������$���������� ��������� �� �����������%� I.�;�����a������ II.�����a������� III.����;��a���������

A. x = 5

B. x = 6

C. x = 7

D. x = 8

I – II – III –

Zadanie 6. :"��������������� ��� �������#�� ������� ��"'������H�������� �����"�%��- ��� �������#�� ������%�� ���H��I�#���� ��/"���������������#�� ��&R�������� ����� �� ���#�A. 4 3, B. 4 4,C. 4 5, D. 4 6,

X. ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ. TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA266

Zadanie 7. (%����������-�!"��- ������$�����#��� �������%�&��������� ����� �� ���#�A. 3 B. 3 5,C. 4 D. 4 5,

Zadanie 8. (�������!"�� �����������%�!����$���������"�������$����#�'"�������%���� �� ������!� ����$'��%�&� ��!���S����%�� �/"������*�����%�&�����R

(�$������% ?�"�%���������%

� ����

; �

� ���;��;

Zadanie 9. ?�������&%����� ����"������%�&�!"�� �����%�&������������#+���/�������-/���� -��%�&�

?���� � � ; � � �

L��������� � H � � � ;

Zadanie 10. :"������*������ ����������!"�� �����%�&����������� ��"'���������(%��������$-�����%���

?���� � � �

(�$� � � x

52. Analiza danych statystycznych 267

X. ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ. TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA268

53. Liczba obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych

���� Kombinatoryka���� & ������ �����������"���%�������������%��������'�����"'�� #�O����%�&������#+�'���%�&��������'���E��"�$�+� �� ����%�&���#�������"%�������*�������"�$�+����������"�-$�+�����*�������� I�/�����������'��!����$�����"�����"�%�%���������"%�����!����/�%�� ���@�>���%�#�"�% ���%����� �% �#�&��������'�����"�����%��%��"��%��%�#����#�'"��>���%��&�#������/@������%�����"����� ����*������%����������������>���%��������%�����$�����"����$�� -�!����"��@�

���� Reguła dodawaniaI�*���������%���/@�!���$�����!��-�����������k���%����!"�%���%��!�"� ������%�&���%�����*���!���@����n�� !� ��'���"�$�����n�� !� ��'���T��kU������nk� !� ��'��������+����%���/@��� -��%#���@����n��+ n��+�T�+ nk� !� ��'��

��� Przykład 1.F���I����%��"�� -�������� %��� �"��%���� ������� -�����%��"���#"������������� �#�� �����%��"���H�#"����'������� ��#��F����%�%�������� !� ��'����*���#���@��%��"��RozwiązanieI�*���!���I����%��"���#"�������������H���*���/���I�*����%��"����� �#-������������*���/���M����*���������/�����+�*%@�#"��������� �#��I�/���� �� ����%�"�$�+-�����������"�%�����%��H�+���=���� !� ��'�� #��!��������� �"����Odpowiedź: F���I���������%��"�������*���/��

���� Reguła mnożenia���� I�*���������%���/@�!���$�����!��-���#������ k���%����!"�%���%��!�"� �������&���*���!���@����n�� !� ��'���"�$�����n�� !� ��'���T��kU������nk� !� ��'��������+����%���/@��� -��%#���@����n��· n��V�T�V�nk� !� ��'������ W�$�+-����*���� �� ����%��� %�������&��$%��#"�/���%�����-�"'*�%�&���$'�� #�O����%�&��E��%��%�������"'������$'�����#�'"%�&��%"��%���$�� -�!����"��@����#����$'����"'*�%�&��%"����&�

��� Przykład 2.F���I����%��"�� -�������� %��� �"��%��=��!������� �"'���+�*��%���$�"���"���#� �����#"������X���%��%�"�+�����/���Y�� �����%��"��;�$�"���"%����#� ������H�#"����'���F����%�%�������� !� ��'����*�� -���"�@�RozwiązanieF���I������!�"���%��"��$�"���"�>����;���*���/���!�����#� ���-�>�����*���/����� �-!���#"�����>��H���*���/���A�� ����%�"�$�+-����*�������"�%�����%�;�V���V��H�=���H� !� ��'�� #��!��������� �"����Odpowiedź: F���I�����*����"�@� -������H� !� ��'��

��� Przykład 3.Z+'*�%�!������#�������������O��%$�������/���������*�����%���������%@�!����������#����-�%#��!�� #�$���& ��"���������%#������$���D�"���%#��M����� !� ��'����*��%�����"��@RRozwiązanie(�!�����������% ��!@�� �% �#���%�������!"�����%�����������#������/���#�*%��%�#��"���F���� �� �������!�"� ������#������%����%��"����!"�����'���!���� �� �������"�$�����#������%���*��%�#����!"�����%���"������>�;�!"�����%������"����>���!"�����%��!�����>���!"������A�� ����%�"�$�+-����*�������"�%�����%���V���V�;�V���V���=���H� !� ��'��� �������!"�����'�����#�����%�&���#����&�Odpowiedź: F����!-�����#�������������O���*��%��+�*%@������H� !� ��'��

��� Przykład 4.M����� !� ��'����*��%��+�*%@�#���"�%�%D"��%����%D"���!�"�% �%�&��#�'"�a) ��$�� -�!����"��@[ b) �����$�� -�!����"��@RRozwiązaniea) )�����"��� �% �#�&��%D"��%��"��%��%�#����!�"�% ������%�����;�����������F���� ��%��"����!�"� �����%D"%�#������%���% !��%������%D"��!���� ��%��"����"�$�����'�����%����%D"����!���� ��%��"�����"������>���#*�����%D"��\%D"%�����"���#�������V���V���=����� !� ��'��Odpowiedź: =���"�%�%D"��%���!����"�����%�&� -��%D"��&���*��%��+�*%@�������� !� ��'��

b) )�����"��� �% �#�&��%D"��%��"��%��%�#����!�"�% ������%�����;�����������F���� ��%��"����!�"� �����%D"%�#������%���% !��%������%D"��!���� ��%��"����"�$������%���*��%�#�����%D"%����!���� ��%��"�����"������]�;��%D"%��\%D"%�����"���#�������V���V�;�=��H� !� ��'��Odpowiedź: =���"�%�%D"��%���"'*�%�&��%D"��&���*��%��+�*%@�����H� !� ��'��

��� Przykład 5.�����N�"��#��\��"�#� �����"������#��#�" ���������%����$���S����� ����*���/�����-���!"������&�#�������!�"� ��$���"�$�$����"����$����� ��RRozwiązanie

Sposób I=�*%��&+�!�����*���%@����"������!�"� ��$����� ����"�$����� �����*������@���*��%�#���'�&��&+�!�'������"�������� ���!��� ������������$���&+�!����A���;�V���V���=���Sposób IIF� +�*�%� -�$"�D�����������"���-#���=�*%��&+�!�����*���%@����"������!�"� ��$�� ��� ���� "�$�� ��� �����*������@���*��%�#���'�&��&+�!�'������"�������� ���!��� ������������$���&+�!���L��%�%�#�O������%�#����"�%����-�%�����*���/��!"�%����������"�-�����#�����%�&���� ����!�"� ��$�����"����$��Odpowiedź: I� ������*���/�����-���!"�����"���&��&+�!�'��#�������!�"�- ��$���"�$�$����"����$����� ���

53. Liczba obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych 269

���� Zadania

Zadanie 1. M����� !� ��'����*���� ���@���#�������!-@�#�������"���&��-*��%��R�������� ����� �� ���#�A. 8 B. ���C. ��H D. �H�;�H

Zadanie 2. ^"�!�� #+��� -��� ��/������������ ��/����&+�!�'���M����� !� ��'����*�������"�%@� ��/@��� ���%�&�!�"��������%�&R�������� ����� �� ���#�A. � B. ;�C. ��H D. ;���HH

Zadanie 3. M����� !� ��'����*����%!�+�@���#��-��+�*�������H�!%��O����*������#�*��!%������"������!�����@�G�=�����MS_R�������� ����� �� ���#�A. ��H B. �H�

C. ��V��H D. �H

Zadanie 4. S���"'*�%�&�#�'�����"��%�&����#�'"%�&����"%�����-�� -�!����"��+%����*�����"�%��@���!-���"'*�%�&����"R$���������� ��������� �� �����������%� I.�#�%������"��� II.�#�%��"�%���"��� III.�#�%�����"����"���

A.���� B.���H C.��H D.��� E.��H

I – II – III –

Zadanie 5. =� ����*��!� +��&�@����%#���������"��@�D����M����� !� ��'����*���#���@��%��"�����*������;��!+%��\E������%#������!+%�%�E`E���D����R�������� ����� �� ���#�A. ;��+��� B. ;��V���C. � D. ���V�X;��−���Y

Zadanie 6. ^"�!��!"�%���'+���'�+�� -���� !��#�����=�*%������� ��#'�� !��#�������!�������!��+�"-#-�!��� ��+%���I���������� ��#'�� !��#����!����%+��*����%+�� -����!"�%-���O��S���� '���"�+�����+��� !��#���R�������� ����� �� ���#�A. �� B. ��C. �H D. �

Zadanie 7. M����� !� ��'����*����+�*%@������"��%�����$"������/����� -���% !��%���������"��#�'"����$�� -�!����"��@R���������������� ����� �� ������A. ���V��� B. ���V���C. ��V��� D. ���

X. ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ. TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA270

Zadanie 8. M��!�����#��%��!"�% ���#������ �����#�'"%���� �������� �� ����%�&����!� �-*�"'���� �+����� '���M�����"'*�%�&� !� ��'����$+%�� �/@����%���� �R�������� ����� �� ���#�A. 7 6 5 4 3 2 1⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ B. 127

C. 712 D. 12 11 10 9 8 7 6⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Zadanie 9. S����� ��� �% �#�&���������%D"��%�&�!�����%�&�!"������������;R�������� ����� �� ���#�A. ��; B. ��C. �� D. �

Zadanie 10. I�+� ! �����"���"�%�"��������!��!-@�"����'��"�$�&��O�����"������� �"'���������P������������������������� �F����������!�"����� I.��)� ���������%� #+�����%� -�����!%��"�$�$�������� �"��

��*������'�@����;H� !� ��'��� P / F II.��)� ���������%� #+�����%� -�����!%��"�$�$��������*���

���'�@������� !� ��'��� P / FIII.��E���%�"���$��� �"����*������'�@���!-��"�$������

������ !� ��'��� P / FIV.��E���%�"�������!%�"�$�������� �"���*������'�@�

����H� !� ��'��� P / F

53. Liczba obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych 271

X. ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ. TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA272

54. Prawdopodobieństwo zdarzenia

���� Doświadczenie i zdarzenie losowe���� ' ������������ � ������%���%���#���/���������#�'"�$���%�#�������*��%�������������!"�����@���!��"����#� �#���"���������������"���������#� �#������� =�*%�!���%���%��%�#��/���������� ���$�����%���%��������������������������!���"�����#� �#����"��������������"�%���� ����"�%������"���&�����#�������� ����"������������>���"�%������"+���I�/�� ��� ����"�%�����#�*�$������*��%�&��%�#'������%���/���������� ��%�� ����#�� ���������'��%��*��� �% �#����"�������������"��� ������#����!"���!���������� $������������������������������XΩY�����'"�� �% �#�&���*��%�&��%�#'�����$���/���������� ���$�.M��!"�%#+����"����� ��/������#� �#����$"%�Ω = { }1 2 3 4 5 6, , , , , ������"������"������������

Ω = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )O O O O O R O R O R O O O R R R O R R R O, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , RR R R, ,( ){ }�

���� ���������� � ����#�*%�!���'"����"����"��O���������"�%�&��I�*����!����"�����A ����������"�%�����!�"�% ��������%�����#���"����� ��/������#� �#����$"%�����A = { }2 4 6, , ; ��*�����"�����B�����������"�%�����������������'�&��"+'����"������"�����������������B O O O O O R O R O R O O= ( ) ( ) ( ) ( ){ }, , , , , , , , , , , .�I�*�����"�������������"������� ��������-������"�����A������'��%��*����"�������������"���� !"�%������/�����"�����A.

UWAGAL���-� �������'�� ���"�� A ��������%� A , �!�� �� ٠= { }1 2 3 4 5 6, , , , , ���%� ٠= 6, �� B O O O O O R O R O R O O= ( ) ( ) ( ) ( ){ }, , , , , , , , , , , ���%� B = 4.

���� Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

I�*���� �% �#����"�������������"��� ������#����!"���!�������������� � � �������� ���/�����"�����A��#�'"���� ��!����"���!"�� �"���������%���%���"�������%���"��O�������-��"�%�&� !"�%�����%�&����/�����"�����A !"��������-�� �% �#�&���"��O���������"�%�&���*�-�%�&�����%���/���������� ��%��

P A A( ) =Ω

.

M��!"�%#+��!"���!����O ������"���� A !���$�����$������%"�������!�"�% ��������%�����#�

��"����� ��/������#� �#����$"%��� ��"'����P A A( ) = = =Ω

36

12����!"���!����O ������"�����

B !���$�����$�������"�%�����������������'�&��"+'����"������"��������������%�� �

P B B( ) = = =Ω

48

12

��� Przykład 1.W�����%����"��%� ��/������#� �#����$"%��?����%�%�!"���!����O ������"�����!���$�-����$������%���*�� ��������#���% #��%�&������%���#� �#��&��� ���-# ����*���

Rozwiązanie(%������%����!�"��!"�� �"��O���"��O���������"�%�&�Ω = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){( ) ( ) ( )

1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6

2 1 2 2 2 3 2

, , , , , , , , , , , ,

, , , , , , ,, , , , , ,

, , , , , , , , , , , ,

,

4 2 5 2 6

3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6

4 1

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

, , , , , , , , , , ,

, , , , , , , ,

4 2 4 3 4 4 4 5 4 6

5 1 5 2 5 3 5 4 5,, , , ,

, , , , , , , , , , ,

5 5 6

6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}�������� ٠= 36.

M��&�A�����������"�����!���$����������%���*�� ��������#���% #��%�&������%���#� �#��&��� ���-# ����*���� ��%��-��A = ( ){ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 6 4 5 4 6 5 4 5 5 5 6 6 3 6 4 6 5 6, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,, 6( )}.�������� A = 10�

A���P A A( ) = = =Ω

1036

518

Odpowiedź: F"���!����O �����! ���$����"������� ��"'���� 518

��� Przykład 2.)�����"���%D"� 1 2 3 4 5 6 7 8 9, , , , , , , ,{ }����"�%�%�����%��"�%�%D"������"'*�%�&��%D"��&��I�#���� ��!"���!����O �����*������"������������"�%�%D"������ ���-# ������HHRRozwiązanieA#�"�% ����%����!�"����"�$�+%����*�������%��%�����%@�!"�� �"��O���"��O���������"�%�&��\%D"-� ���#�����%��"�%�%D"�������*��%��%�"�@������ !� ��'���F�����*��%D"%������$�� -�!����"��@������%D"-��� ���#���*��%��%�"�@���*��%�#������� !� ��'������%D"-�����/������� !� ��'����������� Ω = ⋅ ⋅ =9 8 7 504.M��&�A�����������"�����!���$����������%���*������"������������"�%�%D"������ ���-# ������HH����%���#��%+����%D"�� ���#��� ��� ��@��%�"����������"�� 5 6 7 8 9, , , ,{ }�� �*�������"��@���� �� !� ��'���\%D"-��� ���#��"�������/����*��%���*��%��"�@��������������� �%�!��-��@��*���%D"%������$�� -�!����"��@��\%D"-��� ���#���*��%��������%�"�@������ !� ��'������%D"-�����/������� !� ��'���������������*�� A = ⋅ ⋅ =5 8 7 280.

A���P A A( ) = = =Ω

280504

59

Odpowiedź: F"���!����O �����! ���$����"������� ��"'����59�

��� Przykład 3.(�#� �%#���� ��n�"'*�%�&�����'������%�����+#���$"� �#���(%��"��%��� �������������������- �-!���"�$��F"���!����O �����*���%�� ����%��������� �����+#���$"� �#����%�� � 1

21��

?����%�%���������'���� �����%��#� �%#��Rozwiązanie)����*�%��*��!�"� �%��������*����%�� ���@���#� �%#�����n� !� ��'�����"�$����n −��� !�- ��'���A��� Ω = ⋅ −( )n n 1 .I��+#���$"� �#-���*����%�� ���@������� !� ��%����������!�"�����+#���!�����$"� �#-�>����"��-����I�/���-����#��A�������%�%���"�����!���$����������%�� ���������+#���$"� �#����� A = 2�

54. Prawdopodobieństwo zdarzenia 273

��������P A An n( ) = =

⋅ −( )Ω2

1�

P A( ) = 121

21

121n n⋅ −( ) =

W����*�%����"'������n n⋅ −( ) =1 42

n n2 42 0− − =

n1 6= − �����n1 7=

?��%�/�� ����������'�������*���%@�������������������������'���� ����Odpowiedź: (�#� �%#���� ����"'*�%�&�����'��

���� Zadania

Zadanie 1. �����N������\��%����E������_%���#�!���������%���#����?�"�%����!-@�#����-�%�&���� �������%��"�-����I�#���� ��!"���!����O �����*����/���%��"����� ����� �����_%����-��� ���+�����#�E�����R�������� ����� �� ���#�

A. 12

B. 15

C. 25

D. 13

Zadanie 2. =������!-���"���"���$�� #+��� -����"���&��%D"�������"�� 0 1 2 3 4 5, , , , ,{ }��?��O�!"�����/@�#�*�$��������������P������������������������� �F����������!�"����� I.��I�/��#�*���%D"��#����� ����������!"���!����O �����"�D����

#������!�"� �%��"������%�� � 1120

. P / F

II.��I�/���%D"%���#������$�� -�!����"��@�����!"���!����O ����

�"�D����#������!�"� �%��"������� ��"'���� 1125

. P / F

III.I�/���������*��!�"� ����%D"����#���������*���%@���"�� �"���*���%D"%���$�� -�!����"��@�����!"���!����O �����"�D����

#������!�"� �%��"������%�� � 1180

. P / F

Zadanie 3. A!�/"'����������"���%�&��������HH��� ����%����������-��S����%�� �!"���!�-���O �����*���%�� �������������� ��!�������!"�����R�������� ����� �� ���#�

A. 12

B. 15

C. 120

D. 1

100

X. ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ. TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA274

Zadanie 4. W�����%����"��%� %���"%����� ��/������#� �#����$"%��Z��!�+����������#����%��%+%�!"������������������������ ����� ��� �� ����������� �� I.�F"���!����O �����*�� ��������#��� ���-# ���������%�� �A/ B/ C/ D�II.�F"���!����O �����*�� ��������#��� ��!�������!"����;���%�� �A/ B/ C/ D� III.�F"���!����O �����*�� ��������#��� ��������!�"� �����%�� �A/ B/ C/ D�

A. 12

B. 13

C. 7

12 D.

512

Zadanie 5. F���I�������� ��D��������!�"%� #�"!����(%��$���� ��������� #�"!��-������- �-!���"�$���I�#���� ��!"���!����O �����*���%��$�-��� #�"!��%� �������!�"-R�������� ����� �� ���#�

A. 12

B. 13

C. 14

D. 15

Zadanie 6. M��!+� ���%c������� ��!��#�%�A� B� C� D� E����#�'"%�&�*�����"�%���� ��� !'+�-�����F"����#�*��������%�&�!��#�'��!"�����%�!"� ����I�#���� ��!"���!����O �����*���� �����%�"����!"� ���!"���&���!"����!��#� AR�������� ����� �� ���#�

A. 15

B. 25

C. 35

D. 45

Zadanie 7. (�#�� ���� ���������������� ���&��-�����*��&+�!�'���F"���!����O �����*���� �����%�"����� ����������#�� %�������%�!������%�� � 4

17��S���� '��������#�� ��������%�!���R

Zadanie 8. A�#"���"#����! �+������"%�"'*�����!"� �������&��+������% +�@�!���������#�"�������������"��&�"'*�%�&�� '���)+�/��%��"� �!��� ��+������/����% +�+�������"� ��'���� �����I�#���� ��!"���!����O �����*���#+���������� ���"�D������+�/���$�����"�%R�������� ����� �� ���#�A. 0 B.

124

C. 14

D. 12

Zadanie 9. (��"��� ��#�������"���&�#���"��&��*'+�%������"�%������� #���I� ���&��-�����*�;H��������*��H��(�!"�%!�#���� ������������#������"�%�!"���!����O �����%�� ���-

���#���*'+������ ��"'����12

��!"���!����O �����%�� ������#������"�����%�� � 314

����!"���-

!����O �����%�� ������#������� #������27

��S����� ��#�����!� ����$'��%�&�#���"��&R

Zadanie 10. )�$"�!%�n�� '����/"'�#�'"%�&� ��G���#��(����#���%�"������ ���������� ��-������ �-!���"�$���F"���!����O �����*���%�� ������!�"-����"���G���#��(����#���%�� � 1

28��

S���� '���� ��������$"�!�R

54. Prawdopodobieństwo zdarzenia 275

X. ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ. TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA276

Sprawdzian po dziale X

Zadanie 1. G������!"�� �������"��#�!"�����#'��!������D"�%��)���c��&�����-�

L�����!"�����#'� �; � � �

(% �#�/@�!�� � ��HH��+ ��HH��+ ��HH��+ ��HH��+

�������� ����� �� ���#�A. 2000��+ B. 2200��+

C. 2300��+ D. 2600��+

Zadanie 2. (�#�'"%���� �������%�&���&%����� ����"������ ������-# ��R�������� ����� �� ���#�A. ���������� B. ����������C. ;��;��;��; D. ����������

Zadanie 3. S����� �����������"��%D"��%�&��-# �%�&����HHH��#�'"�� ��������������%D"�������"��d������;���������eR�������� ����� �� ���#�A. 3 6 5 4⋅ ⋅ ⋅ B. 3 5 4 3⋅ ⋅ ⋅

C. 64 D. 3 63⋅

Zadanie 4. =�������#�� #+��� -�������"��&��%D"�������"��d������;���������e��S����� ����*���/����#���������$�����#�����/��!�"� ����� �������%D"���� ����%@�"'*��R�������� ����� �� ���#�A. 6 5 4 3⋅ ⋅ ⋅ B. 6 52 2⋅

C. 5 63⋅ D. 6 53⋅

Zadanie 5. )��������#�"���� ����%������#�"�-��I�#���� ��!"���!����O �����*���%�� ������#�"����������!#R�������� ����� �� ���#�

A. 1752

B. 14

C. 1

13 D.

152

Zadanie 6. ���������!�����+�#��������%#-������$-���-�%#�!�� #��)�!�#���+����!����#���� �%����� �%��@����O��!�"-���#���#�*�$�����%�&�!"�����'���M��!"��"����%�-+��������� �%���������� �%��@����O�������!�"-���#��I�#���� ��!"���!����O �����*��� �% �#����%������$�� ���$��!"������R�������� ����� �� ���#�

A. 127

B. 1

18

C. 19

D. 13

Zadanie 7. (�� �����&�����"��&����&���� �!"������������� ���-�%�������%�������%-�� ��������%�� +��;������%��;��������;;�����%��;H�������?�������&%����� ����"������� '��!"������������� �����%���#"� ��

Zadanie 8. M����� !� ��'����*���� ���@����!�"#�$��!-@� ����&�'����"�%������%#������#���%����!�����#�� ��+%� ����&�%����!'c���������%#��R

Zadanie 9. (��"����� �����-@�#��������"%���+���!-@����� #�&��(%�� �����������#��-������ �-!���"�$���I�#���� ��!"���!����O �����*���%�� ������#���� ��"'*�%�&�#���"'�R

Zadanie 10. (� ��D��� ������"�%��!�#��������#"�������!�#��������#��^� !�%����- �����%�-+���� ��D#������"��#��I�#���� ��!"���!����O �����*����������������������&�����"����#-R

Sprawdzian po dziale X 277

Zadania z rozwiązaniem krok po kroku

���� Zadanie 1.(%#�*��*�� �� ���#��% �#�/������"�/�����D�"����$�����% �#�/����$��/���%��� ��"'��%�2 2

3�

��� Krok 1(�� � ������� ���� � �������

F"�%����%�����������a�>�+�$�/@�#"��-��h�>�+�$�/@��% �#�/��/���%���������H�>�+�$�/@��% �#�/������"�/�����

��� Krok 2(����������� � ��������� ������� � ����� �

:���%�����"�/�����D�"����$�� ��!"�% �����%���"'�#�����"'��������%��

W����*�%��"'�#���"'��������%�ACD�

A�� ����%���'"�����% �#�/@����"'�#����"'��������%��h a= 32

��� Krok 3(����������" ) �� ������EF.

(��"'�#����"'��������%��!��#��!"���-����% �#�/����������% �#�/���� �� ��#���������

)�����+�$�/@����#��EF��� ��"'����13��% �#�/��h�

EF h a a= = ⋅ =13

13

32

36

��� Krok 4(����������� � ���� � ����� �

W����*�%��"'�#���!"� ��#���%�FED�

h a= 32

A�� ����%����"�����F��$�"� ���H a a2 336

34

2 2+ =

H a a22 2

123

4+ =

H a a a a2 912 12

812

23

2 2 2 2= − = =

H a a= =23

63

2

��� Krok 5

*���������� � ���Hh

Hh

a aaa

= = ⋅ =6

33

2

63

23

2 23

���������*�+���%#���@�

Zadania z rozwiązaniem krok po kroku 279

297Arkusz maturalny

�+'+,-+*.(+/.0

��������������� ����������������������������������������������!����"�������#

Zadanie 26. (0–2)W����*�"'�������3 2

223

−+

=xx

.

Zadanie 27. (0–2)Z�� �����*����"��/@��%"�*���� 6 2 5 6 2 5− ⋅ + ��� ����������+#�����

Odpowiedzi do zadań 305

Odpowiedzi do zadań

I. Liczby rzeczywiste

1. Liczby naturalne, całkowite, wymierne

1. I. P; II. F; III. F; IV. P 2. I. 0 9 11011

, , ; II. − 186

11011

0 9, , , 3. I − C; II − D; III − A; IV − B 4. I. 10, 12, 14,

16, 18; II. 10, 15; III. 12, 15, 18 5. A; C; D 6. I. P; II. F; III. F; IV. P 7. I. <; II. <; III. >; IV. < 8. I − C; II − D; III − A 9. B; D 10. 0,123 < 0,(123) < 0,1(23) < 0,12(3)

2. Pierwiastki, liczby niewymierne

1. A; B 2. I. P; II. F; III. P; IV. F 3. A; D 4. I − B; II − D; III − C 5. B; C 6. A 7. D 8. B 9. 10 3 12 2+ 10. I − C; II − D; III − A

3. Potęga o wykładniku naturalnym, całkowitym, wymiernym1. I. >; II. >; III. <; IV. < 2. I. F; II. P; III. P; IV. F 3. D 4. I. <; II. >; III. <; IV. < 5. I − C; II − A; III − D 6. I. F; II. F; III. P; IV. P 7. I − E; II − C; III − B; IV − A 8. I − D; II − A; III − C 9. 336 > 427 > 245 > 518 10. I. P; II. F; III. P; IV. P

4. Wyrażenia arytmetyczne1. C 2. B 3. I. F; II. P; III. P; IV. F 4. I − C; II − D; III − A 5. D 6. I − A; II − D; III − B 7. C; D 8. I. P; II. P; III. F 9. B 10. ������H��+��G���#���H��+��N�"��#���H��+�

5. Przedziały liczbowe1. I. F; II. P; III. P; IV. F 2. C 3. B 4. D 5. C 6. A; C; D 7. I − D; II − C; III − B; IV − A 8. D 9. ����-# ����[�������� ���−4 10. I. P; II. F; III. P; IV. P

6. Logarytmy

1. C 2. I − B; II − C; III − A 3. I − D, II − A, III − B 4. a) 2 b) 2 5. log2

1100

< log2199

< log2 99 < log2100

6. I. P; II. F; III. P; IV. F 7. D 8. I. F; II. F; III. P 9. B 10.

23

7. Wartość bezwzględna. Przybliżenia1. I. F; II. P; III. P; IV. F 2. B 3. I − B; II − C; III − D; IV − A 4. C 5. A 6. I. F; II. P; III. P; IV. P 7. I − C; II − D; III − A 8. D 9. B 10. C

8. Obliczenia procentowe1. A 2. C 3. I. P; II. F; III. F; IV. P 4. ��HH��+� 5. I. P; II. F; III. F; IV. P 6. I − C; II − D; III − A 7. C 8. I. F; II. P; III. F; IV. P 9. I. F; II. P; III. P 10. C

Sprawdzian po dziale I

1. C 2. B 3. B 4. B 5. D 6. 10 7. A 8. − 170

9. 24 cm, 30 cm, 42 cm 10. 3 61495

II. Wyrażenia algebraiczne

9. Wyrażenia algebraiczne. Proste przekształcenia algebraiczne1. I − B; II − D; III − A; IV − C 2. D 3. B; D 4. A; C 5. I. 2,3a + 4,6b − 2,3c; II. 20x + 12; III. 3(2x2 − 6y + z) 6. C 7. I − D; II − C; III − B 8. I. F; II. P; III. P; IV. P 9. B; C; D 10. A; D

10. Wzory skróconego mnożenia1. D 2. A; B 3. I. F; II. P; III. P 4. I. F; II. P; III. P; IV. P 5. I − C; II − B; III − D 6. B 7. A 8. C 9. B 10. 18 24 2+

11. Zastosowanie wyrażeń algebraicznych w zadaniach praktycznych

1. C 2. A 3. P a a a= + +0 5 3 3 62 2, 4. C 5. I. F; II. F; III. P; IV. P 6. I. P; II. P; III. F 7. C 8. D 9.����+�10. n +���/���[��n���"��&�+#'��

Sprawdzian po dziale II

1. C 2. C 3. A 4. C 5. B 6. A 7. 3a2 + 3,5a + 1 8. 24t 9. hP r

r=

−22

2ππ

10.�( #��'�#���)����*��*��

(n + 5)2 + 4n2 = 5(n2 + 2n + 5).