Tugas Pengantar Teori Peluang

Kelas 1 J

Kelompok 3

1. 11.6738/Karmila Putri2. 11.6851/Raissa Samantha Hutajulu3. 11.6864/Ridho Fadillah4. 11.6886/Rouwvalth Rumaseuw5. 11.6936/Try Novian Hidayat

Distribusi PoissonDistribusi poisson adalah   distribusi   probabilitas   diskret   yang   menyatakan peluang  jumlah peristiwa yang terjadi  pada periode waktu  tertentu  apabila rata-rata kejadian tersebut diketahui dan dalam waktu yang saling bebas sejak kejadian   terakhir.   (distribusi   poisson   juga   dapat   digunakan   untuk   jumlah kejadian pada interval tertentu seperti jarak, luas, atau volume).

Apabila nilai harapan kejadian pada suatu interval adalah  , maka probabilitas terjadi peristiwa sebanyak k kali (k adalah bilangan bulat non negatif, k = 0, 1, 2, ...) maka sama dengan

dimana

e adalah basis logaritma natural (e = 2.71828...) k adalah jumlah kejadian suatu peristiwa  — peluang yang diberikan oleh fungsi ini k! adalah faktorial dari k λ adalah bilangan riil positif, sama dengan nilai harapan peristiwa yang terjadi dalam 

interval  tertentu.  Misalnya,  peristiwa yang terjadi  rata-rata 4 kali  per menit,  dan akan dicari probabilitas terjadi peristiwa k kali dalam interval 10 menit, digunakan distribusi poisson sebagai model dengan λ = 10×4 = 40.

Hubungan  Distribusi  Poisson  dengan  Distribusi  Binomial

Distribusi Poisson sebagai suatu bentuk pembatasan distribusi Binomial pada saat n besar , sedangkan p mendekati 0 , dan np konstan. 

Sehingga   bila   n   besar   dan   p  mendekati   0,   distribusi   Poisson   dapat digunakan untuk memperkirakan probabilitas Binomial, dengan   = np

Contoh soal poisson

1. Dua ratus penumpang telah memesan tiket untuk sebuah penerbangan luar negeri. Jika probabilitas penumpang yang telah mempunyai tiket tidak akan datang adalah 0.01 maka berapakah peluang ada 3 orang yang tidak datang.

Jawaban:

Dik :

n = 200

P = 0.01

X = 3

μ = n . p = 200 . 0.01 = 2 

P ( x ; μ ) = e – μ . μ XX !  

= 2.71828– 2 .23

3 !  

= 0.1804 atau 18.04 % 

2. Sebuah pabrik ban menyatakan dari 5000 ban yang dikirim ke distributor sebanyak 1000 warnanya sedikit pudar. Seorang pelanggan membeli 10 ban dari distributor secara acak saja. Berapa probabilitasnya bahwa ada 3 buah ban yg warnanya sedikit pudar?

Jawab:  Populasinya  N=5000,  ukuran   sampelnya  n=10   (n/N  <  5%),   jadi  bisa dipakai distribusi binomial saja, dengan probabilitas warna sedikit pudar p=k/N = 1000/5000 = 0.2, dan tidak pudar q=1-p=0.8. Jumlah sampel n=10, banyak yg pudar x=3, berarti probabilitasnya :

P(x=3;n=10,p=0.2) = B(r≤3;n=10,p=0.2)-B(r≤2;n=10,p=0.2)

= 0.8791 -0.6778

= 0.2013

= 20%

Contoh soal binomial dengan pendekatan poisson

1. Dua ratus penumpang telah memesan tiket untuk sebuah penerbangan luar   negeri.   Jika   probabilitas   penumpang   yang   telah   mempunyai tiket tidak akan datang adalah   0.01  maka   berapakah   peluang   ada   3 orang yang tidak datang.

2. Rata – rata seorang sekretaris baru melakukan lima kesalahan mengetik per halaman. Berapakah peluang bahwa pada halaman berikut ia :

1. Tidak ada kesalahan ( x = 0 )

2. Tidak lebih dari tiga kesalahan ( x ≤ 3) atau ( 0,1,2,3 )

3. Lebih dari tiga kesalahan ( x > 3 ) atau ( 4,…,15)

Jawab :

1. Dik : n = 200, P = 0.01, X = 3, μ = n . p = 200 . 0.01 = 2

P ( x ; μ ) =  e−μ μx

x !

= (2.71828 – 2 . 2 3)3! 

= 0.1804 atau 18.04 %

2.   Dik : μ = 5

a. x = 0

 P ( x ; μ ) = e−μ μx

x !

P ( 0 ; 5 ) = (2.71828 – 5 . 5 0)0! = 0.0067

b. x ≤ 3 ; P ( x ; μ ) = e−μ μx

x !

P (x ≤ 3 , 5) = P( x 1, μ ) +….+p(x3, μ)

= P( 0, 5 ) + P (1, 5 ) + P ( 2, 5 ) + P ( 3, 5 )

= 0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404

= 0.2650 atau 26.5 %

c. X > 3 ; P ( x ; μ ) = e−μ μx

x !

P (X > 3 , 5) = P( X 4, μ ) +….+p(X 15, μ)

= P( 4, 5 ) + P (5, 5 ) + …… + P ( 15, 5 ) 

atau

P (X > 3 , 5) = 1 – [P ( X ≤ 3 , 5 ) ]

= 1 – [ P ( X 0, μ ) +….+ p (X 3, μ) ]

= 1 – [ P ( 0, 5 ) +….+p ( 3, 5 ) ]

= 1 – [ 0.2650 ]

= 73.5 %

http://cyber-learn.blogspot.com/2008/09/modul-distribusi-poisson.html

DISTRIBUSI NORMALDistribusi   normal,   disebut   pula  distribusi Gauss,   adalah  distribusi 

probabilitas yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisisstatistika.

Distribusi normal baku adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata nol dan simpangan baku satu. Distribusi ini juga dijuluki kurva lonceng (bell curve ) karena   grafik  fungsi   kepekatan   probabilitasnya  mirip   dengan   bentuk lonceng.Distribusi normal memodelkan fenomena kuantitatif pada  ilmu alam maupun ilmu sosial. Beragam skor pengujian psikologidan fenomena fisika seperti jumlah  foton dapat dihitung melalui pendekatan dengan mengikuti distribusi normal. Distribusi normal banyak digunakan dalam berbagai bidang statistika, misalnya  distribusi   sampling  rata   -   rata  akan   mendekati   normal,   meski distribusi  populasi  yang diambil  tidak berdistribusi  normal.  Distribusi  normal juga   banyak   digunakan   dalam   berbagai   distribusi   dalam   statistika,   dan kebanyakan pengujian hipotesis mengasumsikan normalitas suatu data.

Distribusi normal didefinisikan dengan persamaan berikut: 

Z= x - µ ket : Z = standar normal                       µ = rata-rata populasiσ                       x = rata-rata sample                      σ = standar deviasiAdapun Kurva yang terdapat pada Distribusi Normal :

KURVA DISTRIBUSI NORMAL

Grafik distribusi  normal tergantung pada dua factor mean dan deviasi standart.  Mean   dari   distribusi  menentukan   lokasi   pusat   grafik,   dandeviasi standard  menentukan   tinggi   dan   dan   lebar   grafik.   Ketika   standard   deviasi besar, kurva pendek dan lebar, ketika standard deviasi kecil,  kurva kecil dan sempit.   Semua   distribusi   normal   tampak   sepertilonceng,   Kurva   berbentuk simetris,   seperti yang  di   tunjukan  di  gambar  ini.  Kurva  di   sebelah  kiri   lebih pendek dan lebih lebar dari kurva di sebelah kanan, karena kurva di sebelah kiri memiliki standar deviasi yang lebih besar.

CIRI-CIRI DISTRIBUSI NORMAL

Berbentuk lonceng berarti simetris di kanan dan kiri dari 'mean' 'Mean'   =   'median'   =   'mode',   nilai   dari   ketiga   ukuran   sentral   ini 

terletakpada titik yang sama pada sumbu X dan hanya mempunyai satu 'mode' (unimodal).

Jumlah   seluruh   daerah   diatas   sumbu   X\   dan   dibawah   kurva   setara dengan   satu   atau   seratus   persen.   Karena   kurva   Normal simetris,berbentuk lonceng dan unimodal maka daerah di di kanan dan di kiri  garis tegak lurus diatas mean masing-masing besarnya 0,5 atau 50%.

Kurva   ditetapkan   oleh   dua   parameter   yaitu   'mean'   yang  merupakan pusat atau konsentrasi distribusi dan standar deviasi yang menentukan penyebaran distribusi di sekitar 'mean'.

Ujung-ujung   kurva   meruncing   dikanan   dan   kiri   tetapi   tidak   pernah mennyentuh garis X (asymptotic), dan jarak keujungujungnya dari 'mean' menujukkan tingkat frekuensi pengukuran.

Bila garis tegak lurus dibuat pada jarak satu standar deviasi di kanan dan di kiri 'mean' akan mencakup daerah seluas kira-kira 68% di dalamnya (antara garis tersebut, kurva dan sumbu bila dua standard deviasi 95%, bila  tiga   standar   deviasi   99,7%  dan  area  di   luar  tiga   standar   deviasi hampir selalu diabaikan.

http://www.scribd.com/doc/43407296/Pengertian-Distribusi-Normal

Contoh Distribusi Normal1. Sebuah perusahaan menggaji  karyawannya  rata-rata  Rp.  925 per   jam 

dengan simpangan baku ( standar deviasi) Rp. 60. Bila gaji berdistribusi mendekati normal, dan dibayarkan dalam bentuk satuan bilangan bulat rupiah. Hitunglah ;a. Presentase karyawan yang bergaji antara   Rp. 875 dan Rp. 969 per 

jamb. Presentase karyawan yang bergaji di bawah Rp. 800 per jamc. Di atas berapa rupiah kah 5% gaji per jam tertinggi?d. Di bawah berapa rupiah kah 10% gaji per jam terendah ?

Solusi:

a. Presentase gaji antara Rp 875 dan Rp 969 µ = 925   σ=60

dengan rumus Z= X−μ

σ  diketahui

  Z1=875−925

60=−0 .83

  Z2=969−925

60=0 .73

P ( 875 < X < 969) = P ( -0.83 < z < 0 ) + P ( 0 < z < 0.73)   = 0.2967 + 0.2642   = 0.5609

Persentase gaji anatra Rp 875 dan Rp 969 adalah 56.09 %

b. Presentase gaji dibawah 800

Z=800−92560 =  -2.08

P ( X < 800 ) = 0.5 – ( -2.08 < z < 0 )    =  0.5 – 0.4812    = 0.0188

Presentase gaji dibawah 800 adalah 1.88 %

c. Probabilita 0.05 Prob Z = 0.5 – 0.05 = 0.45Z = 1.645

1 .645=X−925¿60 ¿

¿¿

X = (60.1,645) + 925X = 1023,7

Jadi 5% gaji tertinggi adalah diatas  Rp. 1023,7

d. Probabilita 0,1Prob Z = 0.5 – 0,1 = 0,4

Z= 1.285

X = ( 60. 1,285) + 925 = 1002,1

2. Saat   ini,   seluruh wilayah  Indonesia  sangat   rawan dengan gempa.   Jika frekuensi  gempa besar dalam setahun di  seluruh  Indonesia mengikuti distribusi   normal   dengan   rata-rata   20.8   dan   standar   deviasi   4.5, hitunglah :a. probabilitas   terjadinya  25  kali   gempa   besar   dalam   satu   tahun 

tertentu.b. hitunglah probabilitas terjadi paling sedikit 22 kali gempa besar.c. hitunglah probabilitas terjadi paling sedikit 20 sampai 25 kali gempa 

besar.Solusi:

a.

b.