makalah mancova

TUGAS

ANALISIS PEUBAH GANDA

“MULTIVARIATE ANALYSIS COVARIANCE”

AnggotaKelompok :

Irene Muflikh Nadhiroh (G151120211)

Rena Foris Windari (G152120111)

Vinna Rahmayanti S.N. (G152120161)

Erica Fera Juwita (G152120221)

DEPARTEMEN STATISTIKA

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

2013

1

BAB I

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Analysis of Variance (ANOVA) merupakan metode untuk mengukur adanya

perbedaan respon terhadap pemberian perlakuan yang berbeda pada beberapa kelompok. Pada

ANOVA variable bebas diberikan kontrol yang ketat untuk memastikan bahwa respon yang

muncul hanya berasal dari variable yang terlibat dan telah diperhitungkan dalam percobaan

(proses pengambilan data), sedangkan serinngkali variable bebas dipengaruhi oleh variable

lain yang tidak dapat dikontrol dan terkadang juga tidak dapat diperhitungkan, variable

tersebut seringkali disebut sebagai variable konkomitan (covariate). Dalam ilmu perancangan

percobaan terdapat beberapa cara untuk mengatasi variable konkomitan (covariate). Dalam

kasus terdapat variable bebas yang tidak dapat dikontrol dan memberikan pengaruh terhadap

respon, analysis of Covariance-Variance (ANCOVA) dapat digunakan, terutama jika variable

bebas yang memberi pengaruh terhadap respon terdiri dari variable yang terukur atau berskala

numerik.

ANCOVA digunakan untuk meneliti perbedaan respon pada variable tak bebas terkait

dengan pengaruh dari variable bebas dengan mempertimbangkan variable bebas lain yang

tidak terkontrol dalam proses percobaan (pengambilan data). ANCOVA seringkali digunakan

untuk menyingkirkan keragaman yang ada tetapi tidak berhubungan dengan variable tidak

bebas karena adanya faktor yang dianggap lebih penting.

Pada banyak penelitian seringkali respon yang diukur bukan hanya satu, tetapi lebih

dari satu. Hal ini yang disebut sebagai penelitian dengan multirespon. Dalam statistika untuk

menghadapai permasalahan pada penelitian dengan multirespon, maka analisis yang

digunakan adalah analisis multivariate. Beberapa isu akan muncul jika berhadapan dengan

penelitian multirespon, seperti bagaimana mengontrol adanya multiplicity, adanya korelasi

(hubungan) antar respon serta bagaimana menganalisis data dengan multirespon. Dalam hal

ini MANCOVA mampu untuk mengatasi permasalahan adanya variable konkomitan serta

permasalahn karena adanya multirespon dalam penelitian. Oleh karena itu tulisan ini berisi

penjelasan secara teori mengenai MANCOVA serta aplikasi dari MANCOVA

Tujuan

Tulisan ini bertujuan untuk:

1. Mengkaji secara mendalam mengenai Multivariate Analysis of Covariate

(MANCOVA).

2. Mengaplikasikan MANCOVA pada kasus untuk memberikan gambaran cara

menganalisis data multivariate dengan MANCOVA

2

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

ANCOVA Dua Arah

Analisis kovarians atau sering disebut dengan ANCOVA adalah teknik statistik yang

merupakan perpaduan antara analisis regresi dengan analisis varians atau ANOVA (Rencher,

1998 : 178). ANCOVA dilakukan berdasarkan pertimbangan bahwa dalam kenyataanya

variabel tertentu yang tidak dapat dikendalikan, tetapi sangat mempengaruhi variabel respons

yang diamati. Variabel yang demikian disebut variabel konkomitan. Dengan kata lain,

ANCOVA berfungsi untuk memurnikan pengaruh variabel respons dari pengaruh variabel

konkomitan.

Variabel independen dalam ANCOVA sering disebut dengan faktor. ANCOVA dapat

diterapkan pada percobaan satu faktor, dua factor maupun banyak faktor. Untuk percobaan

yang terdiri dari satu faktor disebut ANCOVA satu arah. Sedangkan percobaan yang terdiri

dari dua factor disebut ANCOVA dua arah. Berikut adalah tabel pengamatan ANCOVA dua

arah dalam rancangan acak lengkap (RAL).

Tabel diatas menjelaskan percobaan yang terdiri dari dua factor yaitu faktor 1 dengan

level z dan faktor 2 dengan level b, dengan subjek sebanyak n dan satu variabel konkomitan.

Menurut Rencher (1998 : 183), model linear ANCOVA dua arah adalah :

dimana :

𝑌𝑙𝑘𝑟 : nilai pengamatan pada satuan pengamatan ke-r yang memperoleh taraf ke- l dari

factor 1 dan taraf ke-k dari faktor 2

𝜇 : rata-rata keseluruhan

𝛼𝑙 : taraf ke- l pengaruh faktor 1

𝛾𝑘 : taraf ke- k pengaruh faktor 2

3

𝛼𝛾 𝑙𝑘 : pengaruh interaksi taraf ke- l faktor 1 dan taraf ke- k faktor 2

𝜀𝑙𝑘𝑟 : galat yang muncul dari satuan percobaan ke-r yang memperoleh kombinasi perlakuan

lk (taraf ke- l dari faktor 1 dan taraf ke- k dari faktor 2)

𝑋𝑙𝑘𝑟 : nilai pengamatan ke-lkr pada variabel konkomitan

𝛽 : koefisien regresi antara 𝑌𝑙𝑘𝑟 dengan 𝑋𝑙𝑘𝑟

Pada model tersebut asumsi yang harus dipenuhi adalah 𝛼𝑙𝑔𝑙=1 = 𝛾𝑘

𝑏𝑘=1 = 𝛼𝛾 𝑙𝑘

𝑔𝑙=1 =

𝛼𝛾 𝑙𝑘𝑏𝑘=1 = 0 dan 𝜀𝑙𝑘𝑟 ~ 𝐼𝑁 0,𝜎2 .

Dalam persamaan di atas terdapat model regresi linear sederhana yaitu :

Untuk analisis data ANCOVA dua arah diperlukan jumlah-jumlah kuadrat dan jumlah hasil

kali sebagai berikut :

a. Jumlah kuadrat total (JKT) dan jumlah hasil kali total (JHKT) untuk variabel X dan Y

b. Jumlah kuadrat perlakuan (JKP) dan jumlah hasil kali perlakuan (JHKP) untuk variabel X

dan Y

c. Jumlah kuadrat faktor 1 (JKA) dan jumlah hasil kali untuk faktor 1(JHKA)

4

d. Jumlah kuadrat faktor 2 (JKB) dan jumlah hasil kali untuk faktor 2 (JHKB)

e. Jumlah kuadrat interaksi faktor 1 dan 2 (JKAB) dan jumlah hasil kali untuk interaksi

faktor 1 dan faktor 2 (JKAB)

f. Jumlah kuadrat galat (JKG) dan jumlah hasil kali galat (JHKG) untuk variabel X dan Y

Dengan menggunakan metode penduga kuadrat terkecil akan dilakukan pendugaan

parameter sebagai berikut:

5

1) Penduga parameter μ

diketahui bahwa 𝛼𝑙𝑔𝑙=1 = 𝛾𝑘


𝑔𝑙=1 = 𝛼𝛾 𝑙𝑘

𝑏𝑘=1 = 0 maka

persamaan di atas menjadi :

Jadi, diperoleh 𝜇 = 𝑌 …

2) Penduga parameter 𝛼𝑙

6

3) Penduga parameter 𝛾𝑘

4) Penduga parameter 𝛼𝛾 𝑙𝑘

5) Penduga parameter β

7

Kemudian setelah disubtitusikan ke persamaan pendugaan sebelumnya, maka

diperoleh hasil sebagai berikut :

di mana

sehingga diperoleh :

Jadi penduga β adalah :

Kemudian menentukan jumlah-jumlah kuadrat terkoreksi. Berawal dari persamaan regresi

Jumlah kuadrat galat terkoreksi merupakan selisih kuadrat antara amatan dengan persamaan

regresi.

Jumlah kuadrat galat terkoreksi adalah :

8

Untuk mendapatkan uji hipotesis tentang pengaruh faktor 1, 2, dan interaksinya, perlu

diperoleh jumlah kuadrat terkoreksi untuk faktor-faktor tertentu. “Total” dari masing-masing

bentuk ( A, B, dan AB) diperoleh dengan menambahkan galat ke bentuk jumlah kuadrat dan

jumlah hasil kali (A+E, B+E, AB+E).

9

Jumlah kuadrat faktor 1 terkoreksi adalah :

Jumlah kuadrat faktor 2 terkoreksi adalah :

Jumlah kuadrat interaksi terkoreksi adalah :

Kuadrat tengah terkoreksi dapat diperoleh dengan membagi jumlah kuadrat terkoreksi

dengan derajat bebasnya.

10

Prosedur ANCOVA dua arah

a. Pengujian Asumsi ANCOVA dua arah

Untuk ANCOVA sejumlah asumsi diperlukan yang beberapa diantaranya sama

dengan ANAVA yakni yang menyangkut variabel dependen, tetapi ada asumsi tambahan

yang terkait dengan variabel konkomitan (Sudjana, 1994 : 352). Beberapa asumsi-asumsi

yang harus dipenuhi sebelum pengujian ANCOVA adalah sebagai berikut:

1. Antar pengamatan independen

2. Variabel dependen berdistribusi normal

3. Homogenitas Varians

Untuk menguji asumsi ini dapat menggunakan uji Bartlett dengan hipotesis nol

yang menyatakan bahwa sampel berasal dari populasi yang

mempunyai variansi yang homogen. Dimana sampel acak berukuran ni yang masing-

masing diambil dari populasi ke-i ( i = 1,2, ..., k ) yang berdistribusi normal, maka

sebelum uji Bartlett harus dilakukan dahulu uji normalitas (Sudjana, 1994 : 51).

Statistik uji yang digunakan untuk uji Bartlett adalah :

Nilai 𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔2 ini kemudian dibandingkan dengan nilai 𝜒𝛼(𝑘−1)

2 . Jika nilai

𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔2 < 𝜒𝛼(𝑘−1)

2 maka dapat disimpulkan bahwa sampel berasal dari populasi yang

mempunyai variansi homogen.

4. Ada hubungan linear antara variabel dependen dan variabel konkomitan

Hipotesis untuk uji ini adalah:

H0 : β = 0 (artinya variabel X tidak mempengaruhi Y)

H1 : β ≠ 0 (artinya variabel X mempengaruhi Y)

dengan statistic uji :

5. Koefisien regresi homogen antar perlakuan

Untuk menguji asumsi ini dilakukan dengan hipotesis, sebagai berikut :

11

H0 : koefisien regresi homogen antar perlakuan

H1 : koefisien regresi tidak homogen antar perlakuan

dengan statistik uji :

6. Variabel konkomitan tidak berkorelasi dengan perlakuan yang dicobakan.

Asumsi ini dapat diperiksa dengan ANAVA pada kovariat (Rencher, 1998 :

179). Karena persoalan yang dibahas adalah percobaan dua arah, maka uji ini dapat

dilakukan secara terpisah untuk faktor 1, faktor 2, dan interaksi faktor 1 dan faktor 2.

Hipotesis untuk uji ini adalah:

Untuk interaksi faktor 1 dan faktor 2

H0 : variabel konkomitan tidak berkorelasi dengan faktor 1 dan faktor 2 yang

dicobakan.

H1 : variabel konkomitan berkorelasi dengan faktor 1 dan factor 2 yang dicobakan.

Untuk faktor 1

H0 : variabel konkomitan tidak berkorelasi dengan faktor 1 yang dicobakan.

H1 : variabel konkomitan berkorelasi dengan faktor 1 yang dicobakan.

Untuk faktor 2

H0 : variabel konkomitan tidak berkorelasi dengan faktor 2 yang dicobakan.

H1 : variabel konkomitan berkorelasi dengan faktor 2 yang dicobakan.

12

dengan statistik uji :

Apabila asumsi-asumsi di atas telah dipenuhi maka dapat dilanjutkan ke pengujian

hipotesis ANCOVA dua arah.

b. Pengujian Hipotesis

Bentuk hipotesis ANCOVA dua arah adalah sebagai berikut :

1) Pengaruh interaksi faktor 1 dan faktor 2

(tidak ada pengaruh interaksi faktor 1 dan faktor 2 terhadap respons yang diamati)

(ada pengaruh interaksi faktor 1 dan faktor 2 terhadap respons yang diamati)

2) Pengaruh faktor 1

(tidak ada pengaruh faktor 1 terhadap respons yang diamati)

(ada pengaruh faktor 1 terhadap respons yang diamati)

3) Pengaruh faktor 2



13

Analisis Kovarians Multivariat (MANCOVA) Dua Arah dengan Satu Kovariat

Model MANCOVA merupakan gabungan antara MANOVA dan regresi multivariat

(Timm, 2002 : 225). MANCOVA yang terdiri dari dua faktor dan dipengaruhi oleh satu

variabel independen tambahan yaitu variabel konkomitan disebut MANCOVA dua arah

dengan satu kovariat. MANCOVA dua arah merupakan perluasan dari ANCOVA dua arah

sehingga prosedur dalam MANCOVA dua arah sama dengan ANCOVA dua arah,

perbedaannya adalah pada ANCOVA menggunakan variabel skalar sedangkan MANCOVA

menggunakan variabel vektor.

Proses komputasi dalam MANCOVA dua arah juga sama dengan ANCOVA dua arah

namun variabel dependen yang diamati lebih dari satu, berikut tabel pengamatannya.

Tabel 2.3 Data Pengamatan Mancova Dua Arah dengan Satu Kovariat

14

dengan :

l = 1,2,…,g ( l adalah taraf dari faktor 1 sebanyak g)

k = 1,2,…,b ( k adalah taraf dari faktor 2 sebanyak b)

r = 1,2,…,n ( r adalah ulangan dalam percobaan sebanyak n)

i = 1,2, ... ,p (i adalah respons yang diamati sebanyak p)

Tabel di atas merupakan data pengamatan MANCOVA dua arah dengan interaksi

yang terdiri dari taraf ke-l dari pengaruh faktor 1 dan taraf ke-k dari pengaruh faktor 2 dengan

ulangan ke-n, dan respons yang diamati sebanyak p dengan tambahan satu kovariat.

Menurut Rencher (1998 : 188) model linear MANCOVA dua arah dengan interaksi

adalah sebagai berikut:

Pada model tersebut asumsi yang harus dipenuhi adalah 𝛼𝑙𝑔𝑙=1 = 𝛾𝑘


𝑔𝑙=1 =

𝛼𝛾 𝑙𝑘𝑏𝑘=1 = 0 dan 𝜀𝑙𝑘𝑟 ~ 𝐼𝑁 0,𝜎2 .

Dalam model di atas terdapat model regresi multivariat yang terdiri dari satu kovariat yaitu :

di mana :

l = 1,2,…,g

k = 1,2,…,b

r = 1,2,…,n

i = 1,2, ... ,p

𝑌𝑙𝑘𝑟 : vektor respons atau nilai pengamatan pada satuan percobaan ke-r yang memperoleh

taraf ke- l dari faktor 1 dan taraf ke-k dari faktor 2

𝜇 : vektor rata-rata keseluruhan

𝛼𝑙 : vektor taraf ke- l pengaruh faktor 1

𝛾𝑘 : vektor taraf ke- k pengaruh faktor 2

𝛼𝛾 𝑙𝑘 : vektor pengaruh interaksi taraf ke- l faktor 1 dan taraf ke- k faktor 2

𝜀𝑙𝑘𝑟 : vektor galat yang muncul dari satuan percobaan ke-r yang memperoleh kombinasi

perlakuan lk (taraf ke- l dari faktor 1 dan taraf ke- k dari faktor 2)

𝑋𝑙𝑘𝑟 : vektor nilai pengamatan ke-lkr pada variabel konkomitan

𝛽 : matriks koefisien regresi yang menunjukkan ketergantungan antara 𝑌𝑙𝑘𝑟 pada 𝑋𝑙𝑘𝑟

dimana

15

Sebelum memulai pengujian, perlu menghitung matrik T, E dan H. Matriks T

merupakan matriks jumlah kuadrat dan hasil kali silang total untuk vektor kombinasi 𝑥𝑦

yang didefinisikan sebagai berikut :

dimana :

Matriks E merupakan matriks jumlah kuadrat dan hasil kali silang galat yang

didefinisikan sebagai berikut :

dimana :

Sementara itu matriks H merupakan matriks jumlah kuadrat dan hasil kali silang

pengaruh perlakuan yang didefinisikan sebagai berikut :

dimana :

16

Matrik HA merupakan matriks jumlah kuadrat dan hasil kali silang pengaruh faktor 1


dimana :

Matriks HB merupakan matriks jumlah kuadrat dan hasil kali silang pengaruh faktor 2


dimana :

Pada dasarnya, generalisasi analisis univariat ke analisis multivariate adalah dengan

mengganti variabel skalar seperti 𝑥 𝑙 .. − 𝑥 … 2 dengan variabel vektor 𝑥 𝑙 .. − 𝑥 … 𝑥 𝑙.. − 𝑥 …

′

(Johnson dan Wichern, 2002 : 310). Oleh karena itu matriks jumlah kuadrat dan hasil kali

silang terkoreksi yang merupakan generalisasi dari analisis univariat. Matriks jumlah kuadrat

dan hasil kali silang terkoreksi disajikan dalam Tabel 2.4 berikut :

17

Tabel 2.4. MANCOVA Dua Arah

Asumsi-Asumsi dalam MANCOVA Dua Arah dengan Satu Kovariat

Dalam analisis kovarians multivariate (MANCOVA), semua asumsi adalah sama

seperti pada analisis variance multivariate (MANOVA), tetapi ada asumsi tambahan terkait

dengan variable konkomitan. Beberapa asumsi yang harus dipenuhi sebelum pengujian

MANCOVA adalah:

a. Antar Pengamatan Independen

Salah satu usaha untuk memenuhi asumsi ini adalah dengan melakukan pengacakan.

Dengan demikian dengan menerapkan pengacakan maka asumsi ini telah terpenuhi.

b. Variabel Dependen berdistribusi Multivariat Normal

Seperti pada umumnya untuk menguji terpenuhinya asumsi variable dependen

mengikuti distribusi multivariate normal dilakukan dengan membuat plot Chi-Square

(Johnson. 2002). Dimana jika 𝑦1,𝑦2,𝑦3,… ,𝑦𝑝 berdistribusi normal multivariate maka

𝒀 − µ ′𝚺−𝟏(𝒀 − µ) akan mengikuti sebaran 𝑋𝑝2. Langkah-langkah dalam menguji

asumsi ini adalah:

1. Hitung:

)()( )(

1'

)(

2

iii xxd

2. Beri peringkat nilai di2

3. Carilah nilai khi-kuadrat dari nilai (i –1/2)/n dengan derajat bebas p.

n

ip

21

2

18

4. Buat plot

n

ip

21

2 dengan di2. bila pola hubungannya mengikuti garis lurus

dan lebih dari 50% dari 2

)5,0(

2

pid maka data tersebut dapat dikatakan

menyebar normal ganda.

Jika data tidak mengikuti sebaran multivariate normal maka perlu dilakukan

transformasi data, seperti transformasi log, kuadratik dan ln.

c. Homogenitas Matriks Varians-Kovarians

Pada MANCOVA juga diperlukan asumsi hommogenitas matriks Varians-Kovarians.

Pengujian asumsi ini dilakukan dengan Uji Box’s M.

Hipotesis untuk uji Box’s M adalah

H0: 1 = 2 = ⋯ =

𝑘 (matriks varians-kovarians homogen)

H1: ∃(𝑖≠ 𝑗) 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 (𝑖 ≠ 𝑗) (matriks varians-kovarians tidak homogen)

Statistik uji Box’s M yang digunakan adalah (Gaspersz,1995:541)

𝑀 = 𝑛𝑖 − 1 𝑙𝑛 𝑆 − 𝑛𝑖 − 1 𝑙𝑛 𝑆𝑖

𝑘

𝑖=1

𝑘

𝑖=1

𝐶−1 = 1 − 2𝑝2 + 3𝑝 − 1

6(𝑝 + 1)(𝑘 − 1)

1

𝑛𝑖 − 1−

1

(𝑛𝑖 − 1)𝑘𝑖=1

𝑘

𝑖=1

Dimana 𝑆 = (𝑛𝑖−1)𝑆𝑖𝑘𝑖=1

(𝑛𝑖−1)𝑘𝑖=1

, S adalah matriks gabungan varians kovarians dan merupakan

penduga bagi 𝛴, sedangkan 𝑆𝑖 adalah matriks kovarians 𝛴𝑖 dengan i=1,2,…,k dan k

adalah banyaknya respon yang diamati, ni adalah banyaknya ukuran contoh pada

respon ke-i.

Pada uji ini, H0 akan ditolak jika MC-1

> 𝑋𝑉;𝛼2 , dimana 𝑣 =

1

2(𝑘 − 1)(𝑝)(𝑝 + 1).

d. Hubungan linier antara variable dependen dan variable konkomitan

Untuk menguji asumsi ini digunakan statistic Wilk’s Lambda, dengan hipotesis yang

digunakan adalah

H0: 𝑩 = 0 (variable X tidak mempengaruhi variable Y)

H1: 𝑩 ≠ 0 (variable X mempengaruhi variable Y)

Statistik uji yang digunakan adalah

Λ = 𝐄𝒀.𝑿

𝐄𝒀.𝑿 + 𝐇𝑹

𝐄𝒚𝒚 − 𝑬𝒚𝒙.𝑬𝒙𝒙−𝟏.𝑬𝒙𝒚

𝐄𝒚𝒚

Statistika Wilk’s Lambda tersebut bsa ditransformasikan menjadi sebaran F, bentuk

transformasi ke sebaran F adalah sesuai dengan table 2.5 berikut

19

Tabel 2.5 . Transformasi ke sebaran F

dengan:

p = banyaknya variable respon yang diamati

𝑉𝐻 = derajat bebas perlakuan

𝑉𝐸 = derajat bebas galat

Wilk’s Lambda juga bisa ditransformasikan ke Uji Bartlett, yaitu:

𝑋2 = − 𝑔𝑏 𝑛 − 2 −𝑝 − 𝑔𝑏 − 1 + 1

2 𝑙𝑛

𝐄

𝐄 + 𝐇𝒍𝒌

Kriteria keputusan dari uji ini adalah tolak H0 jika Fhitung > Ftabel, sedangkan untuk uji

Bartlett’s H0 akan ditolak jika 𝑋2 > 𝑋𝑝𝑉𝐻 ;𝛼2

e. Koefisien regresi homogen antar perlakuan

Pada MANCOVA juga terdapat asumsi bahwa hubungan antara variable dependen

dan variable konkomitan homogen antar perlakuan, seperti pada ANCOVA. Untuk

menguji asumsi ini terlebih dahulu dihitung matriks jumlah kuadratdan hasil kali

silang galat setiap kelompok.

Misalkan 𝐄𝒍𝒌 merupakan matriks jumlah kuadrat dan hasil kali silang galat setiap

kelompok yang didefinisikan sebagai:

𝐄𝒍𝒌 = 𝐄𝒙𝒙𝒍𝒌 𝐄𝒙𝒚𝒍𝒌

𝐄𝒚𝒙𝒍𝒌 𝐄𝒚𝒚𝒍𝒌

Matriks regresi dihitung secara terpisah pada masing-masing kelompok dan hasilnya

dijumlahkan. Dengan demikian, model penuh (full model) untuk MANCOVA dua

arah dinotasikan sebagai 𝐇𝒍𝒌𝑭 dan dirumuskan sebagai

𝐇𝐅 = 𝑬𝒚𝒙𝒍𝒌.𝑬𝒙𝒙𝒍𝒌−𝟏 .𝑬𝒙𝒚𝒍𝒌

𝒃

𝒌=𝟏

𝒈

𝒍=𝟏

Sedangkan model turunan (reduced model) yang merupakan 𝐇𝑹 dirumuskan sebagai:

𝐇𝐑 = 𝑬𝒚𝒙.𝑬𝒙𝒙−𝟏.𝑬𝒙𝒚

20

Hipotesis untuk uji ini adalah

H0: koefisien regresi homogen antar perlakuan

H1: koefisien regresi tidak homogeny antar perlakuan

Statistik uji yang digunakan adalahh selisih antara model penuh dengan model

tereduksi, yaitu

𝐇𝐅 − 𝐇𝐑 = 𝑬𝒚𝒙𝒍𝒌.𝑬𝒙𝒙𝒍𝒌−𝟏 .𝑬𝒙𝒚𝒍𝒌

𝒃

𝒌=𝟏

𝒈

𝒍=𝟏

− 𝑬𝒚𝒙.𝑬𝒙𝒙−𝟏.𝑬𝒙𝒚

Dan matriks jumlah kuadrat dalam model penuh adalah

𝐄 = 𝐄𝒚𝒚 − 𝑬𝒚𝒙𝒍𝒌.𝑬𝒙𝒙𝒍𝒌−𝟏 .𝑬𝒙𝒚𝒍𝒌

𝒃

𝒌=𝟏

𝒈

𝒍=𝟏

Dengan menggunakan statistic ujia Wilk’s Lambda, lambda ditransformasikan ke

sebaran F sesuai dengan table 2.5, sehingga didapatkan rumus Wilk’s Lambda sebagai

statistic uji homogenitas koefisien regresi antar perlakuan, yaitu

Λ = 𝐄

𝐄 + 𝐇𝒍𝒌 =

𝐄𝒚𝒚 − 𝑬𝒚𝒙𝒍𝒌.𝑬𝒙𝒙𝒍𝒌−𝟏 .𝑬𝒙𝒚𝒍𝒌

𝒃𝒌=𝟏

𝒈𝒍=𝟏

𝐄𝒚𝒚 − 𝑬𝒚𝒙.𝑬𝒙𝒙−𝟏.𝑬𝒙𝒚

Wilk’s Lambda juga dapat ditransformasi ke Uji Bartlett’s yaitu:

𝑋2 = − 𝑔𝑏 𝑛 − 2 −𝑝 − 𝑔𝑏 − 1 + 1

2 𝑙𝑛

𝐄

𝐄 + 𝐇𝒍𝒌

Kriteria keputusan dari uji ini adalah tolak H0 jika Fhitung > Ftabel, sedangkan untuk uji

Bartlett’s H0 akan ditolak jika 𝑋2 > 𝑋2(gb-1)p;(α)

f. Variabel konkomitan tidak berkorelasi dengan perlakuan yang dicobakan

Asumsi terakhir yang harus dipenuhi adalah variable konkomitan tidak berkorelasi

dengan perlakuan yang dicobakan. Asumsi ini menunjukkan bahwa pada

MANCOVA, variable konkomitan tidak boleh dipengaruhi oleh factor yang ada dalam

percobaan. Jika variable konkomitan hanya satu maka asumsi ini bisa diuji dengan

melakukan uji ANOVA univariat dengan menggunakan kovariat.

Prosedur MANCOVA Dua Arah dengan Satu Kovariat

1. Menguji asumsi-asumsi MANCOVA

Pada tahap ini, akan diuji apakah data hasil penelitian memenuhi asumsi-asumsi

dalam MANCOVA yaitu antar pengamatan harus independen, variabel dependen

berdistribusi normal multivariat, homogenitas matriks varians kovarians, ada hubungan

linear antara variabel dependen dan variabel konkomitan, koefisien regresi homogen antar

perlakuan, dan variabel konkomitan tidak berkorelasi dengan perlakuan yang dicobakan.

Apabila semua asumsi terpenuhi maka dapat diteruskan ke tahap berikutnya. Tetapi

apabila ada asumsi yang tidak terpenuhi maka data tersebut harus ditransformasikan

terlebih dahulu supaya memenuhi semua asumsi dalam MANCOVA dua arah dengan satu

kovariat.

21

2. Melakukan pengujian terhadap vektor rata-rata untuk p variabel dependen pada tiap

perlakuan.

Pengujian hipotesis merupakan tahap paling penting dalam statistic inferensia.

Pengujian hipotesis dalam MANCOVA dua arah sama seperti pengujian dalam

MANOVA dua arah, hanya saja dalam MANCOVA dua arah perlu mempertimbangkan

hipotesis terhadap koefisien regresi yang ada karena adanya variabel konkomitan. Dengan

demikian hipotesis dalam MANCOVA dua arah adalah untuk menguji perbedaan

perlakuan terhadap sekelompok variabel dependen setelah disesuaikan dengan pengaruh

variabel konkomitan.

Pengaruh interaksi faktor 1 dan faktor 2

(tidak ada pengaruh interaksi faktor 1 dan faktor 2 terhadap respons yang diamati)

(ada pengaruh interaksi faktor 1 dan faktor 2 terhadap respons yang diamati)

Hipotesis tentang pengaruh interaksi ditempatkan pada bagian pertama, hal ini

menunjukkan bahwa dalam percobaan dua factor terlebih dahulu menguji tentang

pengaruh interaksi antara kedua faktor. Jika terdapat pengaruh interaksi (H0 ditolak),

maka tidak perlu melakukan hipotesis utama (hipotesis faktor 1 dan faktor 2) tetapi yang

terpenting adalah mencari lebih jauh bagaimana bentuk hubungan ketergantungan diantara

faktor 1 dan faktor 2. Jika pengujian terhadap hipotesis mengenai pengaruh interaksi

menyatakan bahwa tidak ada pengaruh interaksi (H0 diterima), maka dilakukan pengujian

terhadap hipotesis mengenai pengaruh utama faktor 1 dan pengaruh utama faktor 2

menjadi bermanfaat (Gaspersz, 1991 : 330)

Pengaruh faktor 1



Pengaruh faktor 2



dengan statistik uji menggunakan statistic uji wilk’s lambda, sebagai berikut :

Pengaruh interaksi faktor 1 dan faktor 2

atau

22

Tolak H0 jika Fint > Ftabel atau 𝑋2 > 𝑋2(g-1)(b-1)p;(α)

Pengaruh faktor 1

atau

Tolak H0 jika Ffak1 > Ftabel atau 𝑋2 > 𝑋2

(g-1)p;(α)

Pengaruh faktor 2

atau

Tolak H0 jika Ffak2 > Ftabel atau 𝑋2 > 𝑋2

(b-1)p;(α)

23

BAB III

CONTOH KASUS

Seorang peneliti tertarik melakukan penelitian untuk membandingkan dua metode

yang berbeda dalam pembelajaran fisik dalam kuliah kelas pagi, siang dan malam

menggunakan metode tradisional dan metode discovery. Variabel dependen yang diamati

adalah nilai tes yang diperoleh dalam bidang mekanik yang dilambangkan dengan M, panas

yanag dilambangkan H, dan bunyi yang dilambangkan S. Dalam kasus ini, terdapat variabel

lain yaitu nilai IQ (X) yang diperkirakan mempegaruhi nilai test (Variabel konomitan). Untuk

itu, peneliti menetapkan mengambil sampel random dari tiga kelas berdasarkan waktu

perkuliahan yaitu kelas A (kelas perkuliahan pagi pukul 08.00, kelas B (kelas perkuliahan

pukul 14.00) dan kelas C (kelas perkulihan malam pukul 20.00) yang terdiri dari 24

mahasisiwa. Dua belas mahasisiwa diajar menggunkan metode tradisional dan 12 mahasisiwa

lainnya diajar menggunakan metode discovery. Dengan demikina mahasisiwa diambil secara

acak untuk masing-masing metode pembelajaran dan perbedaan kelas berdasarkan waktu

dengan banyak mahasiswa adlah 4 orang setiap kelas. Tabel berikut menyajikan nilai tes yang

diperoleh dalam bidang mekanik (M), panas (H), bunyi (S) untuk 24 mahasiswa dengan satu

variabel konkomitan nilai IQ (X).

Tabel 3.1. Nilai Tes dan IQ untuk tiga Kelas dengan Dua Metode Pembelajaran

Berdasarkan permasalahan tersebut dapat diketahui bahwa percobaan tersebut adalah

percobaan MANCOVA dua arah 2 x 3 dengan satu kovariat dan ulanagn sebanyak empat kali.

Selanjutnya peneliti ingin mengetahui pengaruh variabel independen terhadap variabel

dependen setelah disesuaikan dengan variabel konkomitan sebagai berikut.

1. Pengaruh interaksi metode pembelajaran dan perbedaan kelas

Apakah metode pembelajaran dan perbedaan kelas akan berpengaruh terhadapa nlai tes

dalam bidang mekanik, panas, dan bunyi.

2. Pengaruh metode pembelajaran

Apakah metode pembelajaran akan berpengaruh terhadap nilai tes dalam

bidang mekanik, panas, dan bunyi.

3. Pengaruh perbedaan kelas

Apakah perbedaan kelas akan berpengaruh terhadap nilai tes dalam

24

bidang mekanik, panas, dan bunyi.

Penyelesaian kasus tersebut dengan menggunakan software SPSS 18 adalah sebagai berikut :

1. Uji asumsi MANCOVA dua arah dengan satu kovariat

Sebelum melakukan pengujian pada MANCOVA dua arah dengan satu kovariat

terlebih dahulu melakukan uji asumsi-asumsi pada MANCOVA dua arah dengan satu

kovariat sebagai berikut :

a. Distribusi normal mutivariat

Uji normalitas yang digunakan dengan jarak Mahalanobis. Dari Lampiran 1 dapat

ditunjukkan bahwa lebih dari 50% nilai dari 2

)50,0(

2

)( pid yaitu pengamatan 7, 8, 9,

11,13, 14, 16, 17, 19, 20, 21, 22, dan 23. Berdasarkan uji tersebut dapat dikatakan

bahwa data mendekati distribusi normal multivariate.

b. Homogenitas matriks varian kovarians

Asumsi ini dapat diperiksa berdasarkan statistik uji Box’s M berikut

Tabel 3.2. Statistik Uji Box’M

Box's M Fhit p-value

19,042 0,774 0,677

Berdasarkan tabel 3.2 terlihat p-value = 0.677> nilai α = 0.05, sehingga H0 diterima

yang artinya dapat disimpulkan bahwa ketiga variabel dependen (nilai tes dalam

bidang mekanik, panas dan bunyi) mempunyai matriks varian kovarians yang sama

pada kelompok kelas dan metode pembelajaran.

c. Ada hubungan linier antara variabel dependen (nilai tes dalam bidang mekanik, panas,

dan bunyi) dan variabel konkomitas (IQ).

Untuk menguji asumsi ini digunakan statistik uji berikut:

Tabel 3.3. Multivatiate test Pengaruh Variabel Konkomitan terhadap

Variabel Dependen

Statistik Uji P-value

Pillai's Trace 0.200

Wilks' Lambda 0.200

Hotelling's Trace 0.200

Roy's Largest Root 0.200

Tabel 3.3 menunukan bahwa p-value untuk sebesar statistik sebesar 0.2. Nilai tersebut

lebih besar dari tingkat signifikansi α = 0.05, sehingga H0 diterima. Dengan demikian,

dapat disimpulkan bahwa tidak terdapat pengaruh variabel konkomitan terhadap

variabel dependen. Dengan kata lain, tidak terdapat hubungan linier antara nilai IQ

dengan nilai test bidang mesin, panas dan bunyi.

d. Koefisien regresi homogen antar perlakuan.

Uji koefisien regresi homogen antar perlakuan menggunakan uji Bartlett Sphericity.

Adapun hipotesis pada uji Bartlett sebagai berikut.

H0 : koefisien regresi homogen antar perlakuan

H1 : koefisien regresi tidak homogen antar perlakuan

Pada Lampiran 2 ditunjukkan bahwa Pvalue < α sehingga H0 ditolak yang berarti

koefisien regresi antar kelompok bersifat heterogen.

25

e. Variabel konkomitan tidak berkorelasi dengan perlakuan yang dicobakan

Jika banyaknya kovariat hanya satu, maka untuk menguji asumsi ini dapat diperiksa

menggunakan uji ANOVA dengan hasil sebagai berikut

Tabel 3.4. ANOVA Metode Pembelajaran dan Kelas terhadapat IQ

Sumber Jumlah

Kuadrat

Derajat

Bebas

Kuadrat

Tengah

F-hit p-value

Metode 145,042 1 145,042 0,926 0,349

Kelas 276,083 2 138,042 0,882 0,431

Interaksi 305,583 2 152,792 0,976 0,396

Galat 2818,250 18 156,569

Total 343171,000 24

Pada tabel 3.4, untuk interaksi metode pembelajaran dan perbedaan kelas menunjukan

p-value = 0.396 > α = 0,05 maka H0 diterima. Artinya,nilai IQ tidak berkorelasi

dengan metode pembelajaran dan perbedaan kelas. Untuk metode pembelajaran,

karena p-value = 0.349 > α = 0,05 maka H0 diterima. Artinya, IQ tidak berkorelasi

dengan metode pembelajaran. Kemudian, untuk perbedaan kelas, didapatkan juga

bahwa p-value = 0. 431 > α=0,05 maka H0 diterima yang berarti nilai IQ juga tidak

berkorelasi dengan perbedaan kelas. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa

asumsi ariabel konkomitan tidak berkorelasi dengan perlakuan yang dicobakan

terpenuhi.

2. Uji MANCOVA Dua Arah dengan Satu Kovariat

Pada MANCOVA dua arah dengan satu kovariat yang diuji adalah pengaruh interaksi

antar metode pembelajaran dan perbedaan kelas, pengaruh metode pembelajaran dan

pengaruh perbedaan kelas terhadap nilai tes dalam bidang mekanik, panas, dan bunyi

setelah disesuaikan dengan nilai IQ. Berikut adalah tabel MANCOVA untuk pengujian

tersebut.

Tabel 3.5. MANCOVA Metode Pembelajaran dan Perbedaan Kelas Tehadap Nilai Tes

dalam Bidang Fisika yang Disesuaikan dengan Nilai IQ

Sumber Derajat

Bebas

F-hit p-value

Metode 1 2.222 0.128

Kelas 2 2.768 0.028

Interaksi 2 1.218 0.323

Galat 18

Total 24

Dari tabel 3.5 didapatkan, p-value untuk interaksi antara metode pembelajaran dan

kelas sebesar 0.323 lebih besar dari tingkat signifikansi α = 0.05 sehingga H0 diterima,

yang berarti tidak terdapat pengaruh yang signifikan dari interaksi antara metode

pembelajaran dan kelas terhadap nilai tes fisika yang telah disesuaiakan dengan IQ.

26

Kemudian, untuk faktor kelas didapatkan p-value = 0.028 < α = 0.05 maka H0 ditolak,

sehingga dapat disimpulkan bahwa terdapat pengaruh metode pembelajaran terhadap nilai

tes fisika. Sedangkan untuk faktor metode pembelajaran, diperoleh p-value = 0.128 > α =

0.05 maka H0 diterima, artinya tidak terdapat pengaruh kelas terhadap nilai fisika.

Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa, faktor yang mempengaruhi nilai tes dalam

bidang fisika adalah faktor kelas. Dengan kata lain, nilai tes fisika antara kelompok siswa

antar kelas berbeda.

27

BAB IV

KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan mengenai analisis kovarian multivariat dua arah dengan satu

kovariat beserta contoh pennerapannya dapat diambil kesimpulan bahwa contoh penerapan

mancova dua arah dapat diterapkan dalam bidang pendidikan. Salah satu terapan dalam

bidang pendidikan bertujuan untuk menyelediki apakah metode pembelajaran (tradisional dan

discovery) dan perbedaan kelas berdasarkan waktu perkuliahan (kelas A yaitu kelas

perkuliahan pagi pukul 08.00, kelas B yaitu kelas perkuliahan siang pukul 14.00, dan kelas C

yaitu kelas perkuliahan malam pukul 20.00) dalam pembelajaran fisika berpengaruh terhadap

nilai tes di bidang mekanik, panas, dan bunyi setelah disesuaikan dengan nilai IQ mahasiswa.

Hasil penelitian ini menunjukkan untuk factor perbedaan kelas terdapat pengaruh nilai tes

bidang mekanik, panas, dan bunyi setelah disesuaikan dengan nilai IQ. Sedangkan untuk

factor metode pembelajaran dan interaksi antara pembelajaran dan perbedaan kelas, tidak

mempengaruhi nilai tes ketiga bidang.

28

DAFTAR PUSTAKA

Johnson, R. A. & Wichern, D. W. 2002. Applied Multivariate Statistical Analysis. New Jersey

: Prantice Hall International, Inc.

Rencher, A. C. 1998. Multivariate Statistical Inference and Applications. New York : John

Wiley and Sons.

Sudjana. 1994. Desain dan Analisis Eksperimen Edisi Ketiga. Bandung : Tarsito.

Timm, N. H. 2002. Applied Multivariate Analysis. New York : Spinger - Verlag.

Wulandari,M.T.2011. Skripsi : Analisis Kovarians Multivariat Dua Arah Dengan Satu

Kovariat. UNY. Yogyakarta

29

LAMPIRAN

Lampiran 1. MANCOVA Metode Pembelajaran dan Perbedaan Kelas Tehadap Nilai Tes

dalam Bidang Fisika yang Disesuaikan dengan Nilai IQ

————— 12/16/2013 5:48:03 PM ————————————————————

MTB > %d:\qqplot.txt c1-c3

Executing from file: d:\qqplot.txt

Answer = 6.1860

Answer = 5.9030

Answer = 7.0692

Answer = 4.2319

Answer = 7.5966

Answer = 2.4921

Answer = 1.1373

Answer = 0.3355

Answer = 0.3140

Answer = 4.7196

Answer = 2.0677

Answer = 3.8353

Answer = 1.1373

Answer = 1.1373

Answer = 3.5448

Answer = 0.3140

Answer = 0.3355

Answer = 3.7463

Answer = 0.3355

Answer = 2.0677

Answer = 0.3140

Answer = 2.0677

Answer = 0.3355

Answer = 7.7767

Scatterplot of q vs dd

Data Display

t 0.541667

distribusi data multinormal

30

d

Chi

square

6.186 2.36

5.903 2.36

7.0692 2.36

4.2319 2.36

7.5966 2.36

2.4921 2.36

1.1373 2.36

0.3355 2.36

0.314 2.36

4.7196 2.36

2.0677 2.36

3.8353 2.36

1.1373 2.36

1.1373 2.36

3.5448 2.36

0.314 2.36

0.3355 2.36

3.7463 2.36

0.3355 2.36

2.0677 2.36

0.314 2.36

2.0677 2.36

0.3355 2.36

7.7767 2.36

31

Lampiran 2. Hasil Uji Bartlett Sphericity

Bartlett's Test of

Sphericitya

Likelihood Ratio .000

Approx. Chi-

Square

20.372

df 5

Sig. .001

Tests the null hypothesis that

the residual covariance

matrix is proportional to an

identity matrix.

a. Design: Intercept + IQ +

METODE + KELAS +

METODE * KELAS

32

Lampiran 3. Hasil uji Box’s M

Box's Test of

Equality of

Covariance

Matricesa

Box's

M

19,042

F ,774

df1 12

df2 392,538

Sig. ,677

Tests the null

hypothesis that the

observed

covariance matrices

of the dependent

variables are equal

across groups.

a. Design: Intercept

+ IQ_X + Metode

+ Kelas + Metode *

Kelas

33

Lampiran 4. Hasil Uji MANCOVA

Multivariate Testsc

Effect

Value F

Hypothesis

df Error df Sig.

Intercept Pillai's Trace ,993 717,572a 3,000 15,000 ,000

Wilks' Lambda ,007 717,572a 3,000 15,000 ,000

Hotelling's Trace 143,514 717,572a 3,000 15,000 ,000

Roy's Largest

Root

143,514 717,572a 3,000 15,000 ,000

IQ_X Pillai's Trace ,259 1,751a 3,000 15,000 ,200

Wilks' Lambda ,741 1,751a 3,000 15,000 ,200

Hotelling's Trace ,350 1,751a 3,000 15,000 ,200

Roy's Largest

Root

,350 1,751a 3,000 15,000 ,200

Metode Pillai's Trace ,308 2,222a 3,000 15,000 ,128

Wilks' Lambda ,692 2,222a 3,000 15,000 ,128

Hotelling's Trace ,444 2,222a 3,000 15,000 ,128

Roy's Largest

Root

,444 2,222a 3,000 15,000 ,128

Kelas Pillai's Trace ,683 2,768 6,000 32,000 ,028

Wilks' Lambda ,345 3,514a 6,000 30,000 ,009

Hotelling's Trace 1,818 4,241 6,000 28,000 ,004

Roy's Largest

Root

1,771 9,448b 3,000 16,000 ,001

Metode *

Kelas

Pillai's Trace ,372 1,218 6,000 32,000 ,323

Wilks' Lambda ,630 1,300a 6,000 30,000 ,287

Hotelling's Trace ,585 1,364 6,000 28,000 ,263

Roy's Largest

Root

,580 3,092b 3,000 16,000 ,057

a. Exact statistic

b. The statistic is an upper bound on F that yields a lower bound on the significance level.

c. Design: Intercept + IQ_X + Metode + Kelas + Metode * Kelas

Levene's Test of Equality of Error Variancesa

F df1 df2 Sig.

Mekanik_

Y1

,957 5 18 ,469

Panas_Y2 1,359 5 18 ,286

Bunyi_Y3 ,687 5 18 ,639

34

Tests the null hypothesis that the error variance of the

dependent variable is equal across groups.

a. Design: Intercept + IQ_X + Metode + Kelas +

Metode * Kelas

Tests of Between-Subjects Effects

Source Dependent

Variable

Type III Sum

of Squares df

Mean

Square F Sig.

Corrected

Model dime

nsion

1

Mekanik_Y

1

9,634a 6 1,606 1,922 ,135

Panas_Y2 28,231b 6 4,705 5,809 ,002

Bunyi_Y3 27,024c 6 4,504 7,223 ,001

Intercept dime

nsion

1

Mekanik_Y

1

1093,662 1 1093,662 1309,368 ,000

Panas_Y2 1219,508 1 1219,508 1505,645 ,000

Bunyi_Y3 1163,770 1 1163,770 1866,269 ,000

IQ_X dime

nsion

1

Mekanik_Y

1

,801 1 ,801 ,958 ,341

Panas_Y2 ,231 1 ,231 ,285 ,600

Bunyi_Y3 ,149 1 ,149 ,239 ,631

Metode dime

nsion

1

Mekanik_Y

1

3,206 1 3,206 3,838 ,067

Panas_Y2 5,210 1 5,210 6,432 ,021

Bunyi_Y3 3,523 1 3,523 5,650 ,029

Kelas dime

nsion

1

Mekanik_Y

1

6,354 2 3,177 3,804 ,043

Panas_Y2 12,314 2 6,157 7,602 ,004

Bunyi_Y3 17,805 2 8,903 14,276 ,000

Metode *

Kelas dime

nsion

1

Mekanik_Y

1

,945 2 ,472 ,566 ,578

Panas_Y2 6,338 2 3,169 3,913 ,040

Bunyi_Y3 5,297 2 2,648 4,247 ,032

Error dime

nsion

1

Mekanik_Y

1

14,199 17 ,835

Panas_Y2 13,769 17 ,810

Bunyi_Y3 10,601 17 ,624

Total dime

nsion

1

Mekanik_Y

1

140172,000 24

Panas_Y2 144192,000 24

Bunyi_Y3 144653,000 24

35

Corrected Total dime

nsion

1

Mekanik_Y

1

23,833 23

Panas_Y2 42,000 23

Bunyi_Y3 37,625 23

a. R Squared = ,404 (Adjusted R Squared = ,194)

b. R Squared = ,672 (Adjusted R Squared = ,556)

c. R Squared = ,718 (Adjusted R Squared = ,619)

36

Lampiran 5. ANOVA Metode Pembelajaran dan Kelas terhadap IQ

Tests of Between-Subjects Effects

Dependent Variable:IQ_X

Source Type III Sum

of Squares df

Mean

Square F Sig.

Corrected

Model

726,708a 5 145,342 ,928 ,486

Intercept 339626,042 1 339626,042 2169,172 ,000

Metode 145,042 1 145,042 ,926 ,349

Kelas 276,083 2 138,042 ,882 ,431

Metode *

Kelas

305,583 2 152,792 ,976 ,396

Error 2818,250 18 156,569

Total 343171,000 24

Corrected

Total

3544,958 23

a. R Squared = ,205 (Adjusted R Squared = -,016)

makalah mancova

Documents