Market survey & Forecast 市场调查与预测市场调查与预测

(7)(7)

制作：陈晓慧制作：陈晓慧

武汉理工大学出版社武汉理工大学出版社

20092009 年年 44 月月

生物的生长过程经历发生、发展到成熟三个阶段，在这三个阶段中生物生长速度是不一样的，例如 , 南瓜的增长速度，在第一阶段增长较慢，在成长时期则突然加快，而到了成熟期又趋减慢，形成一条 S 形曲线，这就是有名的生长曲线（生长曲线（增长曲线））。生命曲线生命曲线也可以是描述经济指标随时间变化呈某种生物变化规律的一种曲线。 在市场预测中，经常会碰到预测对象在其发展过程中呈现出与生物类似的发展过程。即在成长期快速增长、成熟（饱和期增长放慢）、衰退等各种不同形态。例如新技术、新产品的新技术、新产品的开发和更新换代过程，需求增长开发和更新换代过程，需求增长规律等均可用生命曲线来描述。这种方法是根据时间序列变化的历史数据，运用三和法、三点法。

第七章 生命曲线预测方法第七章 生命曲线预测方法

一、例子一、例子

11 、人类成长的生命曲线、人类成长的生命曲线

年龄 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

身高 48 76 112 140 168 172 176 178 180 181

例例 11人类身高的成长曲线的生长规律如表 5-1 所示 单位： cm

年龄

身高

图 5-1 人身高成长曲线

第一节 生命曲线的概念与一般模型第一节 生命曲线的概念与一般模型

例 例 22如表 5-2 是南瓜重量随时间变化的生长曲线。天 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

克 120 200 400 1000 2600 3300 3800 4300 4900 5100 5300 5400

图 5-2 南瓜重量生长曲线天

重量

22 、生物生长的生命曲线、生物生长的生命曲线

例例 33

典型产品生命周期曲线

导入期 成长期 成熟期 衰推期t

销量

1

1)3(

1

1

t

t

ttt

ttt

ttt

y

y

yyy

yyy

yyy

二阶差分

三阶差分 一阶差分环比指数

注意：注意：增长曲线增长曲线模型在理论上的变化规律都遵循着一模型在理论上的变化规律都遵循着一阶差分 、二阶差分 、三阶差分 、一阶差分 环比指数为阶差分 、二阶差分 、三阶差分 、一阶差分 环比指数为一常数的特征。一常数的特征。

一阶差分

补充知识：补充知识： n 阶差分

（一）简单指数型增长曲线模型（一）简单指数型增长曲线模型简单指数型增长曲线模型为：其中： a,b— 参数， t— 时间序列 , yt— 经济目标值 如图 所示 bb ＞＞

11

00 ＜＜ bb ＜＜ 11

图 简单指数型增长曲线图

tt aby

( 0( 0 ，， aa))

t

（ 1）

二、成长曲线预测模型的基本类型二、成长曲线预测模型的基本类型

（一）简单指数型增长模型

将（ 1 ）取对数，有：

ty

ba

btay

t

t

lg

lg,lg

lglglg （ 2 ）

（ 3 ）由（ 3 ）可知：①其曲线方程为一条直线。 ② 为一阶差分为一常数。即：

bttyy tt lg)1(lglg 1 结论结论 :: 当时间序列当时间序列 yytt 的环比指数大体相等，或时间序列 的环比指数大体相等，或时间序列 的对数一阶差分近似为一常数，可用简单指数曲线来 的对数一阶差分近似为一常数，可用简单指数曲线来拟合实际曲线。 拟合实际曲线。

bbab

bab

y

y

bababkabkyyy

t

t

t

t

tttttt

)1(

)1(

)1()()(

2

1

1

111

一阶差分环比为：

其一阶差分为：

结论结论∴ 当时间序列 ytt 的环比指数大体相等或大体相等时环比指数大体相等或大体相等时，可用修正指数曲线来拟合实际曲线。可用修正指数曲线来拟合实际曲线。

11 、其模型为：、其模型为： （ 5 ）tt abky

（二）修正指数型增长曲线模型（二）修正指数型增长曲线模型

k ＞ 0 ， a ＜ 0 ， 0 ＜ b＜ 1

y00=K+a

图 7-6 修正曲线的几种类型

ty

t

ky

ty

ty

ty

t

tt

图 (d) 饱和后期

图（ a ）饱和期 图 (b) 成长期

图（ c ） 衰退期

ky 0

k ＞ 0 ， a ＞ 1 ， b ＞ 1

k ＞ 0 ， a ＜ 0 ， b ＞ 1 k ＞ 0 ， a ＞ 0 ， 0 ＜ b＜ 1

ky

ky 0

修整曲线模型的几种类型图修整曲线模型的几种类型图

其模型为： （（ 11 ））tb

t kay

（（ 33））

（（ 22 ））

结论：结论： 龚柏兹曲线类似于修正曲线。龚柏兹曲线类似于修正曲线。

常数

)1(

1

)1(

)1(111

1

1

1

21

21

1

1

bbbb

bb

bb

bb

t

t

bbt

ttt

aaaka

aka

kaka

kaka

y

y

kakay

yyy

t

t

tt

tt

tt

abky tt lglglg1 ）可得：或由（

tt baky 11lg 则有：

（三）龚柏兹曲线模型（三）龚柏兹曲线模型

0 ＜ a ＜ 1 ， 0 ＜ b ＜ 1

y00=K

ty

t

ky

ty

tytyt

t t图 (d) 衰退期

图（ a ）成长期和成熟前期 图 (b) 成长期后半期和衰退期

图（ c ）成长期

ky

0 ＜ a ＜ 1 ， b ＞ 1

a ＞ 1 ， b ＞ 1

a ＞ 1 ， 0 ＜ b ＜ 1

ky

ky

y00=K

龚柏兹曲线的几种类型图 龚柏兹曲线的几种类型图

t

t

tt

abky

abky

1

1

式中： k,a,b 为待定参数 . 由（ 9 ）可得一阶、二阶导数为：

(9)

(10)

ky

b

akt

y

abk

abkbaby

abk

baby

k

t

t

tt

t

t

t

t

2

1,

ln

lnln

,0

)(

)()(ln

)(

ln

3

2

2

可得曲线的一拐点为：取

k ＞ 0 ， a ＞1

0 ＜ b ＜ 1

ty

t图 7-12

y0=1/(k+a)

（四）罗吉斯曲线其曲线模型（四）罗吉斯曲线其曲线模型

yt t =0

y∞∞ =1/k

罗吉斯罗吉斯曲线拐点左侧呈上凹趋势，过了该拐点后曲线转变为向下凹趋势。（ 1 ）当 t=0 时， 有： ytt =1/k+a ，则 yt t =0 和 ytt =1/k都是罗吉斯曲线的渐进线。（ 2 ）当 t→∞ 时， ytt →1/k 当 t→-∞ 时， ytt →0

罗吉斯罗吉斯曲线形状与龚柏兹龚柏兹曲线形状很相似，它所描述的经济变量的变化规律也是开始缓慢增长，而后逐渐加快，达到拐点后，增长率减缓，最后达到一临界值。

（四）生命曲线预测法（四）生命曲线预测法 是利用收集到的产品销售量的数据，组成一组时间序列，拟和某种成长曲线，对产品市场生命周期产品市场生命周期进行分析预测的方法。

生命曲线预测法生命曲线预测法比一般直线趋势有着更广泛的应用，因为它可以反映出现象的相对发展变化程度。

常用的生命曲线是指修正曲线、龚柏兹曲线、罗吉斯曲线修正曲线、龚柏兹曲线、罗吉斯曲线。利用这三种曲线可描述产品市场生命周期的不同阶段，从而揭示产品生命周期销售何时由某一阶段向另一阶段的转变，预测产品的市场需求潜量、最大销售量以及达到饱和状态的时间等。增长曲线预测方法有三和法、三点法、最小二乘法等。当极限值 k 可确定，可采用最小二乘法可简化计算；不能确定时就用三和法或三点法。但三点法用在时间序列数据收集不全的情况下下面就重点介绍三和法。

11 、将时间序列分为项数相等的三段，每段的项数为、将时间序列分为项数相等的三段，每段的项数为 rr(r=n/3,n 为时间序列总项数 ) ，若原序列项数不能被 3整除，需删除序列最初一期或两期数据；22 、时间序列、时间序列 tt 取值 取值 第一段， 0 ， 1 ，…， r-1 ； 第二段， r, r,… ， 2r-1; 第三段， r, r,… ， 3r-1;33 、分别求出序列每段数据的和、分别求出序列每段数据的和，第一，第二，第三段数据的和分别用∑ 11Ytt 、 ∑ 22Ytt 、 ∑ 33Ytt 表示，

增长曲线中的参数估计，以修正曲线为例，增长曲线中的参数估计，以修正曲线为例，具体具体

步骤如下：步骤如下：

解此方程组得：3 2

2 1

22 1

1

-= ,

-

-1= ( - )

( -1)

1 -1= ( - )

-1

t tr

t t

rt t

rt

Y Yb

Y Y

ba Y Y

b

bk Y a

r b

=1

1 =0

2 -1

2 =

3 -12

3 =2

-1= ( + ) = + ;

-1

-1= ( + ) = +

-1

-1= ( + ) = +

-1

rrt

t t

rrt r

t t r

rrt r

t t r

bY k ab rk a

b

bY k ab rk ab

b

bY k ab rk ab

b

44 、利用公式求出、利用公式求出 a,b,ka,b,k

用三和预测法确定成长曲线举例用三和预测法确定成长曲线举例 11 某地区电冰箱销售资料如表所示，试预测 2005 年的销售量和达到饱和状态的时间。 某地区电冰箱销售资料 单位：万台年份 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

销售量 256 390 498 586 656 714 762 800 830

解：解： （（ 11 ）画散点图）画散点图∵环比系数为 0.81,0.81,0.80,0.83,0.79,0.79, 大体相同，∴用修正曲线进行预测。N=9,r=3,t=0,1,2,……,8,计算得∑ 11Ytt=1142, ∑ 22Ytt =1956, ∑ 33Ytt=2392

1 2 3 4 5 6 7 8 9

900

600

300•

• •• • • • • •

3 2 33

2 1

- 2392 -1956= = = 0.813

- 1956 -1142t

t

Y Yb

Y Y

在前面，我们介绍了几种常用的生命曲线模型，但在实际的应用中，怎样根据时间序列变化，建立生命曲线模型？选择哪一种模型最合适？这就涉及到生命增长曲线模型的识别问题。下面，介绍几种识别的方法。一、模型识别一、模型识别 在识别模型之前，我们应根据图形的几种特性，掌握要识别模型的大概全貌，然后，才能识别模型。因此要注意以下几个方面：（一）图形的单调性（一）图形的单调性 利用 y'判断。（某区间内）（二）极值（二）极值 利用 y' 和 y"判断。（三）拐点（三）拐点 利用 y' 和 y"判断。（四）对称性（四）对称性 利用拐点左右两端及与对称中心的极限之差进行比较确定。（五）时间性（五）时间性

第二节 生命曲线模型的识别第二节 生命曲线模型的识别

第第二二节节 生生命命曲曲线线模模型型的的识识别别

二、预测模型的识别方法二、预测模型的识别方法（一）目估法（一）目估法 这种方法首先将图画出来，根据起图形，选择合适的模型。若构成指数形，可选择简单指数形或修正指数模型；若接近 S 形，可选择龚柏兹模型。特点：特点：1 、直观简便2 、若数据不足，（不能画出完整的图形）对选择模型造成困难。（二）离差法（二）离差法

iii

n

ii

yye

eQ

ˆ1

2

其中：

(i=1,2, …,n)

（三）增长特征法（三）增长特征法 这种方法就是以研究动态序列的增长变化特征与增长曲线的相应特征为基础的一种识别方法。其基本点就是选择增长曲线在理论上的变化规律与样本序列的实际的变化规律最接近的一种曲线作为选择的最优曲线。具体方法如下：11 、计算时间序列的滑动平均值、计算时间序列的滑动平均值 。 其目的是要消除时间序列中的随机因素，计算公式为：

定。，其大小由实际经验确称为移动平均的跨越期1p2

1p2

y

y

pt

ptii

t

（ 9）

ty

22 、计算时间序列的平均增长量。其公式为：、计算时间序列的平均增长量。其公式为：

28

3223,3

2112

22,2

2,1

321123

222112

11

2

ttttttt

ttttt

ttt

p

pi

p

piit

t

yyyyyyup

yyyyup

yyup

i

yi

u

时

时

时当

（ 10 ）

（ 10 ）是平均增长计算公式，主要是因为对动态时间序列选配趋势直线时，是以时间原点作为中心进行计算的。直线方程是： y=a+bt

b 是平均增长，其计算公式为：

p

pt

p

ptt

t

tyb

2

33 、计算时间序列的增长特征、计算时间序列的增长特征 时间序列 经过移动平均修匀后， 的变化特征，可通过计算平均增长数 及 和 来判断识别曲线的模型。如表 5-7

ty ty)( tu )(

t

ty

u)lg(lgt

tt y

uu、

的平均增长特征 平均增长特征对时间变化的性质 曲线模型

①① 基本一样 直线方程

②② 线性变化 二次曲线方程

③③ 线性变化 三次曲线方程

④④ 基本一样 指数曲线方程

⑤⑤ 线性变化 双指数曲线方程

⑥⑥ 线性变化 龚柏兹龚柏兹曲线方程

⑦⑦ 线性变化 罗吉斯罗吉斯曲线方程

表 5-7 增长特征法判别曲线模型

tytu

tu2tu

t

ty

u

tulg)/lg( tt yu

)/lg( 2tt yu

应用应用 11

某企业 1993～ 2004 年销售额如表 5-8 所示资料，试建立销售额的曲线模型。

表 5-8 1993～ 2004 年销售额资料表年

份 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

销售额

164 193 255 279 512 606 766 838 941 1055 1088 1044

思考： 1 、画出三点图，初步识别属于哪一类？ 2 、为识别增长曲线属于哪一种类型，可采用增长特征法进行识别。在这里我们用以 3 年为一个跨越期，求出 ，然后再求出 。 3 、分别计算出 、 、 、与时间 t 的相关系数 r, 计算公式如下：

ty tut

ty

utulg )/lg( tt yu

)()( 2222tttt

tt

ynyyny

ytntyr

具体计算结果如表 5-9 所示

)/lg( t2

t yu

91520rtyu

91620rtyu

tt

tt

.)/lg(

./

的相关系数与的相关系数与

其中：

年份 t

1993 1 164 - - - - -

1994 2 199 204 - - - -

1995 3 255 242.3 72.35 0.299 10857 -2.909-2.909

1996 4 279 348.7 111.7 0.320 2.048 -3.037-3.037

1997 5 512 465.7 139.7 0.300 2.145 -3.191-3.191

1998 6 606 628.0 135.5 0.216 2.132 -3.464-3.464

1999 7 766 736.7 110.2 0.150 2.042 -3.691-3.691

2000 8 838 848.3 104.0 0.123 2.017 -3.839-3.839

2001 9 941 944.7 89.9 0.115 1.954 -3.915-3.915

2002 10 1055 1028.0 58.8 0.057 1.769 -4.256-4.256

2003 11 1088 7062.3 - - - -

2004 12 1044 - - - - -

ty tu t

ty

utulg )/lg( 2

tt yuty

表 5-9 1993 年～ 2004 年销售额增长特征计算表

由表 5-9 可知， 的值基本保持不变。根据表 5-7 应选取双曲指数曲线模型。

)/lg( 2tt yu

在前面，介绍了对实际问题的模型识别，进行完了这一步工作后，还要确定预测方程里的参数（待定系数）后，才完成了建立预测模型。确定参数，以预测模型与实际模型之间的偏差为最小偏差为最小原则。通常是最最小二乘法小二乘法。由于非线性问题用最小二乘法，使得计算由于非线性问题用最小二乘法，使得计算非常复杂，于是用三和法、三点法和优选法非常复杂，于是用三和法、三点法和优选法，下面分别介绍如下：一、最小二乘法一、最小二乘法 (略 ) 二、三和法二、三和法 这种方法是将整个增长的时间序列分为三个相等的时间周期，并对每一个时间周期的数据求和后，再估计参数。它适用于“ S” 形的模型。 现以修正指数方程应用“三和法”确定参数为例：

第三节 生命曲线模型的参数估计第三节 生命曲线模型的参数估计

tt abky 由修正指数方程 ，将时间序列分为三段，

假定有 3n 段，每段为 n 。

);,(,),)(,(

);,(),,(),,(

);,(,),(),,(

1313121222

121211

111100

ntnntnntn

ntntnntnn

tnntt

ytytyt

ytytyt

ytytyt

第二段为：第二段为：

第三段为：第三段为：则第一段各期的观察值求和为：

)(

)()(

1b

1banky

1b

1bbbb

bbbankabky

n

I t

n1n10

1n101n

0t

tt

(1)

第一段为：第一段为：

)(

)(

1b

1babnky

1b

1babnky

nn2

III t

nn

II t

阶段的观察值分别为：同理：第二阶段、第三

(2)

(3)

将（ 2 ）－（ 1 ）和（ 3 ）－（ 2 ）得：

1b

1babyy

1b

1bayy

2nn

II tIII t

2n

tII t

)(

)(

（ 4 ）

（ 5 ）

（ 5 ） ÷ （ 4 ）有：

I tII t

III II ttn

yy

yyb （ 6 ）

])(

[

)(

)(

)()(

II tII tI t

I III II

2ttt

n

I t

2nI tII t

n

I tII t

III II tt

y2yy

yyy

n

1k

10871b

1by

n

1k1

1b

1byya4

yy

yyb

）得：）代入（、（将

）得：由（

）得：由（

则有：（ 7 ）

（ 8 ）

（ 9 ）

（ 10 ）

假设 k=120,a=-60,b=0.5, 各期的时间序列数据按 的规律形成，当 t=1,2, ……,11 的各时期 ，用三和法时，误差的大小对 a,b, k 的影响。见表 5-10

分析误差的大小对参数的影响分析误差的大小对参数的影响

tty 5.060120

ty

表 7-10 随机误差 εtt 对模型参数的影响计算表

t

0 60 +2.4 62.4

1 90 +4.8 94.8

2 105 -6.0 99.0

3 112.5 +6.0 118.5

367.5367.5 374.7374.7

4 116.25 -1.2 115.05

5 118.12 +3.6 121.72

6 119.06 -2.4 116.66

7 119.58 +2.5 122.03

472.96472.96 475.46475.46

8 119.77 +2.4 122.17

9 119.88 +1.2 121.08

10 119.94 -4.8 115.14

11 119.97 0 119.97

497.56497.56 478.36478.36 ty

tt 5060120y . t

ty

ty

27t

52t

21t

ttt yy ˆ

当用第二列的数据去估算，其参数为 a=-60,b=0.5,k=120 。但用第 4 列的数据去估算时， b=0.3528,a=-67.5K=114, 其模型为： 由此可见，用三和法，随机因素的大小对参数影响很大。因此，用这种方法时，最好先用指数平滑法对最好先用指数平滑法对时间序列滤去随机因素，再用此法。时间序列滤去随机因素，再用此法。在 式中，当：

tty 3528.05.67114ˆ

n

I tII t

III II tt

yy

yyb

变化范围内。能用在时间序列较小的由此可知，这种方法只

急剧减小。此时和时，则）当

无解。时，）当

002

01

akbyy

byy

III II tt

III II tt

三和法特点：三和法特点： 1 、对随机因素的干扰很敏感 2 、时间序列变化范围小 3 、收集的数据要完整。

三、三点法三、三点法 这种方法是用在观察数据不全观察数据不全的情况下，假定曲线通过已知的相邻间隔相等的三个点（必要条件）（必要条件），现假设：

)1(

)1(),3()2(

2,,0

,,,

21

10

22

1

00

210

nn

n

n

n

tt

babyy

bayy

aky

abky

akabky

nnt

abky

nyyy

同理：

有：

代入上式，有用

由修整指数增长模型个时间单位分别间隔(1)

(3)

(5)

(6)

（ 2）（ 4）

(5) ÷(6) 有：

n

nn

nn

yy

yyb

bba

bab

yy

yy

10

21

10

21

)1(

)1(

(7)

(8)

将（ 7 ）代入（ 5 ）有：

210

210

10

21

10

yy2y

yy

yy

yy1

yya

)( （ 9）

将（ 9 ）代入（ 2 ）得：

210

2120

0 2 yyy

yyyayk

（ 10）

将 a,b,k代入（ 1 ），即可得预测模型。

三点法特点：三点法特点：1 、在计算模型参数时，仅用了三个数据点，因而选用数据时，要尽量未受到随机因素干扰的数据要尽量未受到随机因素干扰的数据，因此，在可能情况下，最好选均值。最好选均值。2 、计算简单。

应用应用 22 现用三点法估算修正指数型增长曲线模型的各参数 k 、 a 和 b 。设曲线通过三点 y00=15,y11=90,y22=125,且相邻两点之间的间距为 6 个时间单位（ 2P+1=6 ），则

625140012590215

9015

yy2y

yya

880709015

12590

yy

yyb

2

210

210

6n

10

21

..)()(

.

tt

210

2120

88070625140625155y

62515612590215

90212515

yy2y

yyyk

...

.

：则修正指数曲线模型为

a<0,0<b<1

以上介绍“三和法”和“三点法”虽然在计算上简单，但精度较低。“最小二乘法”精度较高，但遇到非线性问题计算非常烦琐。为了简化计算，下面介绍在优选法的基础上利用“最小二乘法”简称“优选在优选法的基础上利用“最小二乘法”简称“优选法”。法”。具体方法如下：由龚柏兹曲线龚柏兹曲线 （（ 11 ））已知时间序列的历史统计数据为：若能通过某种方式首先估出参数 k, (1) 就可线性化了。即：

tbt kay

),,(,),(),,( 2211 nn ytytyt

btak

y t lg)lg(lg)lg(lg

（（ 22））

（（ 33））

四、优选法四、优选法

tbt ak

y

bB

aAk

yZ tt

lg

)lg(lg

)lg(lg

(4)(4)

有：令：

由（ 3 ）可将（ 2 ）转化为： （ 4 ）其中： A ， B 为待定参数。由最小二乘法可得 :

BtAZ t

B

A10

10b

10a

(5)(6)

现来确定 k,k 的优选标准是使： 则估计 k 的方法如下：11 、根据预测对象的发展规律，试估计、根据预测对象的发展规律，试估计 kk 的取值范围。 的取值范围。 例如，取22 、按、按 0.6180.618 法选取法选取 kk 的第一个估计值，计算的第一个估计值，计算 kk ：：

minˆ tti yye

00 kkk

1001 )618.0()( kkk

并将 代入（ 3 ），与历史数据算出 的时间序列值 组成新的时间序列数据 ，然后用最小二乘法估计参数 A 、B ，再求出 a11,b11.

1k ),,(,),(),,( 2211 nn ytytyt tZ

nttt ZZZ ,,,21

),(,),(),,(

21 21 ntntt ZtZtZt

33 、计算残差、计算残差 QiQi

n tn t

tt

bt

t

tttt kayyyQ

1

1

1

21

21 )()ˆ(

44 、按、按 0.6180.618 法的步骤，继续对法的步骤，继续对 kk 作第二次选择试作第二次选择试算。算。 2

002 )618.0()( kkk

（ 7）

（ 8）返回第二步，试估计出 a 、 b并类似第三步求出残差平方和 Q

22 ：

2b2t

t

tt

2tt2

t2

n

1

kayyyQ )()ˆ( （ 9）

55 、对比、对比 QQ11 和和 QQ22 ，按，按 0.6180.618 法的基本原理，若法的基本原理，若 QQ22 ＜＜QQ11 ，则，则 kk 的试算区间为的试算区间为 ,, 所示和见图 )()(),,( 01 bakk

0k 1k2k 0k

1Q2Q 2Q1Q

0k 1k 2k 0k 若Q11 ＜ Q22

略去（ a） (b) ),( 20 kk

若Q11 ＜ Q22

略去 ),( 10 kk

66 、按、按 0.6180.618 法，的优选步骤，在留下的区间法，的优选步骤，在留下的区间内继续优选内继续优选 kk 值，直到选出一个使残差平方和最小的值，直到选出一个使残差平方和最小的

),(),( 0210 kkkk 或

000 ,, bak 为止。为止。 第四节 生命预测法应用举例第四节 生命预测法应用举例

已知某地区某商品 1996～ 2004 年销售额如表 5-11 所示，试预测 2005 和 2006 年的销售额各为多少

万元？ 表 5-11 1998 ～ 1996 年销售额

应用应用 33

年份 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

销售额 25850 32800 44480 56000 64960 72080 8028085840

89900

图 5-18 销售额变化趋势图t

销售额

22 、识别模型、识别模型

1

1

t

t

ttt

y

y

yyy

33 、确定参数，建立模型、确定参数，建立模型（三和法、三点法、优选法）44 、进行预测。、进行预测。

11 、根据销售额画出散点图、根据销售额画出散点图分析：分析：

根据散点图，曲线的变化趋势是一个 S型的，为了确定合适的预测模型，需要计算时间序列数据的对数一阶差分及其环比指数，计算结果。

解解 ::（（ 11 ）模型识别计算表）模型识别计算表 5-125-12年份 年次

t

销售额yii （万元）

lgytt y'tt y'tt//y't-1t-1

（ %）

三段和∑

相对误差(%)

1996 0 25850 4.4125 - - 24231 6.236

1997 1 32800 4.5159 0.00340.0034 - 34495 -5.168

1998 2 44480 4.6481 0.13220.1322 127.85 45155 -1.518

1999 3 56000 4.7482 0.10010.1001 75.72 55442 0.996

2000 4 64960 4.8126 0.06440.0644 64.34 64832 0.197

2001 5 72080 4.8578 0.04520.0452 70.19 73045 -1.339

2002 6 80280 4.9046 0.04680.0468 103.53 79997 0.353

2003 7 85840 4.9337 0.02910.0291 62.18 85738 0.119

2004 8 89900 4.9538 0.02010.0201 69.07 90389 -0.544

ty

576513

y t

.

lg

418914

y t

.

lg

792114

y t

.

lg

∵ 除了 98 、 99 年的一阶差分外， 其他的都大体接近， ∴可用龚柏兹曲线进行预测。

表 5-12

（（ 22 ））用三和法计算参数，建立预测模型用三和法计算参数，建立预测模型取 n=3 ，第一组：（ 0 ， 25850 ），（ 1 ， 32800 ），（ 2 ， 44480 ）；第二组： （ 3,56000 ） , (4,64960) , (5,72080) ;第三组： （ 6 ， 80280 ），（ 7 ， 85840 ），（ 8 ， 89900 ）。①求每组销售额的对数之和： ： lgytt=lg25850+lg32800+lg44480=13.5765 ： lgytt=lg56000+lg64960+lg72080=14.4189 ： lgytt= lg80280+lg85840+lg89900=14.7921② 计算 a,b,k.

76230576513418914

418914792114

y

1

y

1y

1

y

1

b 3n

tt

tt .....

lglg

lglg

107078k

0297564540176230

176230576513

3

1a

1b

1b

y

1

n

1k

22630a

64540176230

176230576513418914

1b

1b

y

1

y

1a

3n

t

232ntt

.)].(..

.[]lglg[lg

.

.).(

.)..(

)()lglg(lg

(3)(3)建立预测模型建立预测模型 ,, 并计算预测值并计算预测值

（万元）

万元

97038y

94104y

22630107078kay

2006

2005

76230bt

tt

)(

).( .

罗吉斯曲线预测应用 (略 )

————————完————