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Teoria dell’integrazione
Matematica
con elementi di Informatica
Tiziano VargioluDipartimento di Matematica
Corso di Laurea Magistrale in Chimica e Tecnologie Farmaceutiche
Anno Accademico 2019/20
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 1 / 56
Integrale definito
Sia f : [0,T ]→ [0,+∞),T > 0 l’intensita di produzione di un impianto
se si considera ∆t > 0, alloraf · ∆t
e approssimativamente la quantita di prodotto in [t, t + ∆t]
caso speciale: f (t) ≡ f0allora la quantita totale di prodotto in [0,T ] e f0 · T
Interessa calcolare la quantita di prodotto ottenuta anche con intensita diproduzione f (t) non costante
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 2 / 56
Interessa calcolare la quantita di prodotto ottenuta anche con intensita diproduzione f (t) non costante
In casi semplici la quantita di prodotto e numericamentel’area della superficie sotto il grafico di f (t)
si puo credere che sia cosı anche in generale . . .
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 3 / 56
Suddivisione
Dato un intervallo limitato [a, b] chiameremo suddivisione di [a, b] uninsieme di punti D = {x0, ..., xn} con a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b.
Indicheremo con ∆ (a, b) l’insieme di tutte le possibili suddivisionidell’intervallo [a, b] .
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 4 / 56
Somme superiori ed inferiori
Dato un intervallo limitato [a, b] e data una funzione limitataf : [a, b]→ R. Indichiamo con ∆ (a, b) l’insieme delle possibili suddivisionidell intervallo [a, b].Definiamo su ∆ (a, b) due funzioni:
la somma inferiore secondo Riemann s:
s ({x0, ..., xn} , f ) = ∑n−1
i=0(xi+1 − xi ) inf
x∈[xi ,xi+1]f (x)
la somma superiore secondo Riemann S :
S ({x0, ..., xn} , f ) = ∑n−1
i=0(xi+1 − xi ) sup
x∈[xi ,xi+1]f (x)
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 5 / 56
Somme di Riemann
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 6 / 56
Somme di Riemann per funzione non continua
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 7 / 56
Limitatezza delle somme superiori ed inferiori
Dalla definizione di somme superiori ed inferiori deriva direttamente che∀D ∈ ∆ (a, b)
(b− a) infx∈[a,b]
f (x) ≤ s (D, f ) ≤ S (D, f ) ≤ (b− a) supx∈[a,b]
f (x)
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 8 / 56
Funzione Riemann integrabile
Dato un intervallo limitato [a, b] e data una funzione limitataf : [a, b]→ R, diremo che e integrabile secondo Riemann se e solo se
supD∈∆(a,b)
s (D, f ) = infD∈∆(a,b)
S (D, f ) ,
ovvero se e solo se l’integrale inferiore secondo Riemann e l’integralesuperiore secondo Riemann assumono lo stesso valore e scriveremo
supD∈∆(a,b)
s (D, f ) =∫ b
af (x) dx = inf
D∈∆(a,b)S (D, f ) .
Indichiamo la classe delle funzioni integrabili secondo Riemann su [a, b]con R(a, b).
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 9 / 56
Integrale di Riemann di funzioni continue
Se consideriamo ∆x = (xi+1 − xi ) costante, f funzione continua echiamiamo gli intervalli Ii := [xi , xi+1], allora le somme si scrivono
A−n = ∑n−1
i=0(xi+1 − xi ) inf
x∈[xi ,xi+1]f (x) = ∆x ∑n
i=1minIi
f (x) ,
A+n = ∑n−1
i=0(xi+1 − xi ) sup
x∈[xi ,xi+1]f (x) = ∆x ∑n
i=1maxIi
f (x) .
A =∫ b
af (x) dx = lim
n→+∞A−n = lim
n→+∞A+n
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 10 / 56
Somme di Riemann
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 11 / 56
Riemann integrabilita delle funzioni continue
TeoremaDato un intervallo limitato [a, b] e data una funzione f : [a, b]→ R
continua, allora questa funzione e Riemann integrabile.
Continua ⇒ Riemann Integrabile
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 12 / 56
Linearita e monotonia dell’integrale
Linearita. Dato un intervallo limitato [a, b] e date due funzionif , g : [a, b]→ R Riemann integrabili, allora per ogni α, β ∈ R∫ b
a(αf (x) + βg(x)) dx = α
∫ b
af (x) dx + β
∫ b
ag (x) dx
Monotonia. Inoltre se ∀x ∈ [a, b] accade che f (x) ≤ g (x) allora∫ b
af (x) dx ≤
∫ b
ag (x) dx
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 13 / 56
Additivita rispetto all’intervallo di integrazione
Dato un intervallo limitato [a, b] e data una funzione f : [a, b]→ R
Riemann integrabile allora per ogni c ∈ (a, b) vale l’equazione∫ b
af (x) dx =
∫ c
af (x) dx +
∫ b
cf (x) dx
A volte torna utile attribuire un significato al simbolo∫ bc f (x) dx con
c > b, per poter utilizzare in ogni caso l’equazione appena dimostrata.E quindi utile definire ∫ b
cf (x) dx = −
∫ c
bf (x) dx .
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 14 / 56
Limitazioni dell’integrale
Dato un intervallo limitato [a, b] e data una funzione f : [a, b]→ R
Riemann integrabile, allora
infx∈[a,b]
f (x) ≤ 1
(b− a)
∫ b
af (x) dx ≤ sup
x∈[a,b]f (x)
ovvero
(b− a) infx∈[a,b]
f (x) ≤∫ b
af (x) dx ≤ (b− a) sup
x∈[a,b]f (x)
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 15 / 56
Teorema della media integrale
Dato un intervallo limitato [a, b] e data una funzione f : [a, b]→ R
continua esiste c ∈ (a, b) tale che∫ b
af (x) dx = f (c) (b− a)
Dimostrazione. Se la funzione e continua in un intervallo [a, b] allora lafunzione assume ogni valore compreso tra infx∈[a,b] f (x) e supx∈[a,b] f (x)e dunque esistera certamente c tale che
f (c) =1
(b− a)
∫ b
af (x) dx
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 16 / 56
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Dato un intervallo limitato [a, b] e data una funzione f : [a, b]→ R
continua, indichiamo con A la funzione integrale (area)
A (x) :=∫ x
af (z) dz
allora A e continua in [a, b] ed inoltre per ogni x ∈ (a, b)
d
dx[A (x)] = A′ (x) = f (x)
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 17 / 56
Formula di Leibnitz
Dato un intervallo limitato [a, b] e data una funzione f : [a, b]→ R
Riemann integrabile, allora se esiste F differenziabile su [a, b], tale cheper ogni x ∈ (a, b) accade che F ′ (x) = f (x), allora∫ b
af (x) dx = F (b) − F (a) .
Dimostrazione. A(x) e F (x) hanno entrambe come derivata f (x), alloraesse differiscono per una costante. Esiste c ∈ R tale che
A(x) = F (x) + c per ogni x
Sia x = a, A(a) =∫ aa f (x) dx = 0 e dunque 0 = F (a) + c da cui
c = −F (a)Sia ora x = b∫ b
af (x) dx := A(b) = F (b) + c = F (b)− F (a)
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 18 / 56
Funzione primitiva
Dato un intervallo limitato [a, b] e data una funzione f : [a, b]→ R, allorase esiste F differenziabile su [a, b], tale che per ogni x ∈ (a, b)
F ′ (x) = f (x)
allora F (x) si chiama funzione primitiva di f (x)
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 19 / 56
Funzione primitiva
Se F (x) e primitiva di f (x) allora anche
F (x) + c e primitiva di f (x)
Se F1(x),F2(x) sono primitive della stessa f (x) allora differiscono per unacostante
F2(x) = F1(x) + c , c ∈ R, c 6= 0
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 20 / 56
Introduzione
Ad una funzione data f posso associare la sua derivata
derivata−−−−→
f : (a, b) → R f ′ : (a, b) → R
x 7→ f (x) x 7→ f ′ (x)
Esempio.f (x) = 3x2 + 4x + 1 f ′ (x) = 6x + 4
Possiamo “tornare indietro”? Ovvero una funzione data puo essere vistacome la derivata di un’altra funzione?
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 21 / 56
Integrale indefinito, definizione
Ad una funzione data f posso associare una sua primitiva
derivata−−−−→
F : (a, b) → R f : (a, b) → R
x 7→ F (x) x 7→ f (x)
integrale←−−−−−
F ′ (x) = f (x) ∀x ∈ (a, b)
Esempio.f (x) = 3x2 + 4x + 1 F (x) = x3 + 2x2 + x + ccon c costante additiva arbitraria.
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 22 / 56
Integrale indefinito, notazione
Definiamo ∫f (x) dx = F (x)
se e solo seF ′ (x) = f (x)
Osserviamo che
la primitiva di una funzione e unica a meno di costanti additive
partendo dalle regole di derivazione si possono costruire delle regole diintegrazione
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 23 / 56
Linearita dell’integrale
Siano f , g : (a, b)→ R funzioni integrabili e α ∈ R, allora∫f (x) + g (x) dx =
∫f (x) dx +
∫g (x) dx
∫α · f (x) dx = α ·
∫f (x) dx
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 24 / 56
Integrali immediati
Esempi di integrali immediati∫dx∫xdx∫x2dx∫xndx∫(x4 + 3x3 − x + 1) dx∫exdx∫1/x dx definita in (0,+∞)∫1/x dx definita in (−∞, 0)
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 25 / 56
Integrali per sostituzione
Dalla formula di derivazione delle funzioni composte
d
dx[f (g (x))] = f ′ (g (x)) · g ′ (x)
quindi ∫f ′ (g (x)) · g ′ (x) dx = f (g (x)) + c
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 26 / 56
Formula di integrazione per sostituzione
Vogliamo calcolare l’integrale indefinito di un prodotto∫f (g (x)) · g ′ (x) dx
e ci siamo accorti che:
la seconda funzione e proprio la derivata dell’argomento della primafunzione;
sappiamo calcolare l’integrale indefinito della funzione∫f (t) dt = F (t) (ovvero abbiamo posto t = g (x));
allora ∫f (g (x)) · g ′ (x) dx = F (g (x)) + c
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 27 / 56
Integrali per sostituzione, esercizi
Esercizi∫ (x2 + 3x + 1
)4(2x + 3) dx∫
ex3x2dx∫
x√x2 + 4dx∫x
(x2+1)2 dx
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 28 / 56
Integrali per parti
Dalla formula di derivazione del prodotto di funzioni otteniamo
d
dx[f (x) · g (x)] = f ′ (x) · g (x) + f (x) · g ′ (x)
quindi ∫f ′ (x) · g (x) dx = f (x) · g (x)−
∫f (x) · g ′ (x) dx + c
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 29 / 56
Formula di integrazione per parti
Vogliamo calcolare l’integrale indefinito di un prodotto∫f (x) · g (x) dx
e ci siamo accorti che:
sappiamo calcolare l’integrale del primo fattore∫f (x) dx = F (x)
l’integrale∫F (x) · g ′ (x) dx e piu agevole da calcolare rispetto a
quello iniziale
allora ∫f (x) · g (x) dx = F (x) · g (x)︸ ︷︷ ︸
fatto
−∫
F (x) · g ′ (x) dx︸ ︷︷ ︸e piu facile di quello iniziale
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 30 / 56
Integrali per parti, esercizi
Esercizi∫ln (x) dx∫ex(x2 − 1
)dx
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 31 / 56
Integrali di funzioni trigonometriche
∫sin x dx = − cos x + c∫cos x dx = sin x + c∫tan x dx = − ln | cos x |+ c∫cot x dx = ln | sin x |+ c∫arcsin x dx = x arcsin x +
√1− x2 + c∫
arctan x dx = x arctan x − 12 ln(1 + x2) + c
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 32 / 56
Integrale definito e aree
Come possiamo utilizzare questi risultati per calcolare esplicitamente areelegate a grafici di funzioni continue?
Ricordiamo la formula di Leibniz.
Sia f : [a, b]→ R una funzione continua, e sia F una sua primitiva, allora∫ b
af (s) ds = F (b)− F (a)
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 33 / 56
Esercizio
Calcolare l’area compresa tra le funzioni f (x) = x2 e g (x) = x .I due grafici si intersecano nei punti in cui f (x) = g(x).Risolvendo x2 = x , le soluzioni sono x = 0 e x = 1.Siccome in [0, 1] si ha f (x) ≤ g(x), l’area viene ad essere
A =∫ 1
0g(x) dx −
∫ 1
0f (x) dx
Calcoliamo: ∫ 1
0f (x) dx =
∫ 1
0x2 dx =
[1
3x3
]1
0
=1
3∫ 1
0g(x) dx =
∫ 1
0x dx =
[1
2x2
]1
0
=1
2
Infine
A =∫ 1
0f (x) dx −
∫ 1
0g(x) dx =
1
2− 1
3=
1
6
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 34 / 56
Integrazione di funzioni razionali
Sappiamo che una funzione razionale e un rapporto di polinomi
f (x) =N(x)
D(x)=
c0 + c1x + · · ·+ cmxm
d0 + d1x + ... + dnxn.
Per essa sussiste la scomposizione
f (x) = Q(x) +R(x)
D(x)
dove Q(x) e R(x) sono polinomi, il quoziente e il resto rispettivamentedella divisione fra N(x) e D(x) e dove il grado di R(x) e minore di quello,n, del divisore D(x).La funzione razionale f (x) = N(x)/D(x) e definita e continua su tutti ireali in cui
D(x) 6= 0.
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 35 / 56
f (x) = Q(x) +R(x)
D(x), (1)
Nel caso in cui m < n si ha che
Q(x) = 0 e R(x) = N(x).
Essa e detta propria se m < n, mentre e detta impropria se m ≥ n.In particolare, nella formula 1, il rapporto R(x)/D(x) e una funzionerazionale propria.Se la funzione razionale 1 e definita sull’intervallo [a, b], cioe se[a, b] ⊂ {x ∈ R : D(x) 6= 0},allora essa e ivi integrabile∫
f (x) dx =∫
Q(x) dx +∫
R(x)
D(x)dx .
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 36 / 56
Scomposizione in frazioni prime
E possibile esprimere una primitiva di qualunque funzione razionale intermini di funzioni elementari, utilizzando eventualmente una funzionetrigonometrica inversa.L’idea e esprimere la frazione in somme di frazioni aventi comedenominatori (potenze di) polinomi primi:
R(x)
D(x)= ∑
i ,βi≤αi
Ri (x)
Di (x)βi
doveD(x) = ∏
i
Di (x)αi
Esempi.D(x) = x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1)
x2 + 1
x3 − 1=
A
x − 1+
B(x)
x2 + x + 1
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 37 / 56
Denominatore con fattori semplici
Nel caso che
f (x) =R(x)
D(x)
sia una funzione razionale propria il cui denominatore ammetta la seguentefattorizzazione
f (x) = (x − α1)(x − α2) . . . (x − αn)
con α1, α2, . . . , αn reali distinti, la funzione razionale ammette unascomposizione come somma
β1
x − α1+
β2
x − α2+ · · ·+ βn
x − αn
per opportuni ed unici βi reali, i = 1, . . . , ne chiaro qui che f (x) ha il dominio R \ {α1, α2, . . . , αn}.
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 38 / 56
Caso 1Sull’intervallo I = (b,+∞) vale∫
a
x − bdx = a ln(x − b) + c ,
mentre sull’intervallo I = (−∞, b) vale∫a
x − bdx = a ln(b− x) + c .
La verifica e immediata in entrambe le situazioni, derivando i secondimembri.
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 39 / 56
Se f (x) ammette la scomposizione
f (x) = (x − α1)(x − α2) . . . (x − αn)
e se f (x) e definita sull’intervallo [a, b], allora essa e ivi integrabile e vale∫f (x) dx = β1
∫1
x − α1+ β2
∫1
x − α2+ · · ·+ βn
∫1
x − αndx
ossia (si ponga attenzione ai valori assoluti)∫f (x) dx = β1 ln |x − α1|+ β2 ln |x − α2|+ ... + βn ln |x − αn|+ c .
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 40 / 56
Esempio. Sia data la funzione razionale (propria)
f (x) =2x − 3
x2 − x − 2
L’equazionex2 − x − 2 = 0
ha le radici reali distinte α1 = −1 e α2 = 2, per cui il denominatore sifattorizza in
x2 − x − 2 = (x + α1)(x − α2) = (x + 1)(x − 2).
Dovendo valere l’identita
2x − 3
x2 − x − 2=
2x − 3
(x + 1)(x − 2)=
β1
x + 1+
β2
x − 2
per ogni x 6= −1, 2, occorre che
2x − 3 = β1(x − 2) + β2(x + 1) = (β1 + β2)x − 2β1 + β2.
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 41 / 56
Cio vale per ogni x 6= −1, 2, se e solo se{β1 + β2 = 2,
2β1 − β2 = 3,
cioe se e solo se
β1 =5
3, β2 =
1
3
Otteniamo quindi la scomposizione
f (x) =2x − 3
x2 − x − 2=
5/3
x + 1+
1/3
x − 2
e infine, passando all’integrale indefinito,∫f (x) dx =
∫2x − 3
x2 − x − 2dx =
∫5/3
x + 1dx +
∫1/3
x − 2dx
=5
3ln |x + 1|+ 1
3ln |x − 2|+ c .
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 42 / 56
Se vogliamo utilizzare il risultato ottenuto per calcolare, in particolare,l’integrale definito di f (x) su [−0.5, 1.5], abbiamo∫ 1.5
−0.5f (x) dx =
5
3ln |x + 1|1.5
−0.5 +1
3ln |x − 2|1.5
−0.5
=5
3(ln |2.5| − ln |0.5|) + 1
3(ln | − 0.5| − ln | − 2.5|)
=5
3(ln(2.5)− ln(0.5)) +
1
3(ln(0.5)− ln(2.5))
=4
3(ln(2.5)− ln(0.5)) =
4
3ln
(2.5
0.5
)=
4
3ln 5.
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 43 / 56
Intervalli d’integrazione disposti in modi diversi dai precedenti sono [3, 5] e[−3,−2] :per l’integrale definito di f (x) su [−3,−2] abbiamo
∫ −2
−3f (x) dx =
5
3ln |x + 1|−2
−3 +1
3ln |x − 2|−2
−3
=5
3(ln | − 1| − ln | − 2|) + 1
3(ln | − 4| − ln | − 5|)
=5
3(ln 1− ln 2) +
1
3(ln 4− ln 5)
= − 1
3
(5 ln 2 + ln
5
4
)< 0.
Ha senso chiedere il calcolo dell’integrale definito di f (x) sull’intervallo[1, 4], ne su [−3, 0]? Come si fa?
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 44 / 56
Caso 2Sull’intervallo (b,+∞) o su (−∞, b) e se n ≥ 2 vale∫
a
(x − b)ndx =
a
1− n· 1
(x − b)n−1+ c
Come per il caso 1, la verifica e immediata, derivando il secondo membro.
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 45 / 56
Denominatore con fattori multipli di primo grado
Se ad esempio dobbiamo integrare
f (x) =x2 + 1
(x − 1)2(x − 2)
cerchiamo una scomposizione del tipo
f (x) =a
x − 2+
b
x − 1+
c
(x − 1)2
Soluzione:
x2 + 1
(x − 1)2(x − 2)=−4
x − 2+
5
x − 1+
7
(x − 1)2
che si puo integrare.
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 46 / 56
Denominatore polinomio di secondo grado irriducibile
Caso 3Su qualunque intervallo [a, b] vale∫
a
(x − b)2 + a2dx = arctan
1
a(x − b) + c
Come per il caso 1, la verifica e immediata, derivando il secondo membro.Questo risultato si applica a tutti i denominatori che siano polinomi disecondo grado irriducibili (numeratore costante)!
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 47 / 56
Denominatore polinomio di secondo grado irriducibile - II
Caso 4Su qualunque intervallo [a, b] vale∫
2(x − b)
(x − b)2 + a2dx = ln((x − b)2 + a2) + c
Come per i casi precedenti, la verifica e immediata, derivando il secondomembro.Questo risultato si applica a tutti i denominatori che siano polinomi disecondo grado irriducibili, con numeratore polinomio di primo grado!
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 48 / 56
Denominatore ”qualsiasi”
Se ad esempio dobbiamo integrare
x2 + 1
x3 − 1=
A
x − 1+
B(x)
x2 + x + 1
la soluzione ex2 + 1
x3 − 1=
13
x − 1+
23x +
13
x2 + x + 1
Il primo addendo si integra facilmente:∫ 13
x − 1=
1
3ln |x − 1|+ c
Il secondo prima si scrive come
23x +
13
x2 + x + 1=
23x +
13
(x + 12 )
2 + 34
. . . e poi si scrive come somma di Caso 3 e Caso 4!Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 49 / 56
Scomposizione
Cerchiamo a e b tali che
23x +
13
(x + 12 )
2 + 34
= a
√34
(x + 12 )
2 + 34
+ b2(x + 1
2 )
(x + 12 )
2 + 34
Risulta b = 13 , a = 0, quindi
23x +
13
(x + 12 )
2 + 34
=1
3
2(x + 12 )
(x + 12 )
2 + 34
e quindi
∫ 23x +
13
(x + 12 )
2 + 34
=1
3ln
((x +
1
2
)2
+3
4
)+ c =
1
3ln(x2 + x + 1) + c
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 50 / 56
Integrali generalizzati
Sia data una funzione f : [a,+∞)→ R Riemann integrabile in ogniintervallo limitato [a, b] contenuto in [a,+∞) . La funzione si diceintegrabile in senso generalizzato se e solo se esiste finito
limb→+∞
∫ b
af (x) dx
e in tal caso si scrive∫ +∞
af (x) dx = lim
b→+∞
∫ b
af (x) dx
Analogamente ∫ b
−∞f (x) dx = lim
a→−∞
∫ b
af (x) dx
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 51 / 56
Integrali generalizzati
∫ +∞
1e−xdx = lim
b→+∞
∫ b
ae−x dx = lim
b→+∞[−e−x ]x=b
x=1
= limb→+∞
(−e−b + e−1) = e−1 = 1/e
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 52 / 56
Integrali generalizzati
∫ +∞
1
1
xαdx
Se α = 1 non e integrabile in [1,+∞)Se α 6= 1
∫ +∞
1
1
xαdx = lim
b→+∞
∫ b
1
1
xαdx = lim
b→+∞
[1
1− αx1−α
]x=b
x=1
Se α < 1 allora
limb→+∞
1
1− α
(b1−α − 1
)= +∞
Se α > 1 allora
limb→+∞
1
1− α
(1
bα−1− 1
)=
1
α− 1
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 53 / 56
Integrali generalizzati
Sia data una funzione f : [a, b)→ R Riemann integrabile in ogni intervallolimitato [a, c ] contenuto in [a, b) . La funzione si dice integrabile in sensogeneralizzato se e solo se esiste finito
limc→b−
∫ c
af (x) dx
e in tal caso si scrive∫ b
af (x) dx = lim
c→b−
∫ c
af (x) dx
Analogamente, se f : (a, b]→ R e Riemann integrabile in ogni intervallo
limitato [c , b] contenuto in (a, b], f e integrabile in senso generalizzato see solo se esiste finito∫ b
af (x) dx := lim
c→a+
∫ b
cf (x) dx
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 54 / 56
Integrali generalizzati
∫ 1
0
1
xαdx
Se α = 1: ∫ 1
0
1
xdx = lim
c→0+[ln x ]1c = 0− (−∞) = +∞
Se α 6= 1∫ 1
0
1
xαdx = lim
c→0+
∫ 1
c
1
xαdx = lim
c→0+
[1
1− αx1−α
]x=1
x=c
Se α < 1 allora∫ 1
0
1
xαdx = lim
c→0+
1
1− α
(1− c1−α
)=
1
1− α
Se α > 1 allora ∫ 1
0
1
xαdx = lim
c→0+
1
1− α
(1− c1−α
)= +∞
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 55 / 56
Integrale di Gauss
Non tutte le funzioni ammettono una primitiva espressa tramite funzionielementari.Un famoso esempio e dato dalla cosiddetta funzione gaussiana:
f (t) = e−12 t
2
la cui primitiva, detta funzione di errore,
erf(x) :=∫ x
0e−
12 t
2dt
peraltro utilissima in probabilita, statistica e in tutte le loro applicazioni,non si puo esprimere tramite funzioni elementari.Sussiste pero il risultato notevole (dimostrabile con strumenti nonelementari): ∫ +∞
−∞e−
12 x
2dx =
√2π
Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 56 / 56