UADER

Matemtica griega 1Seleccin de textos y material adicionalPreparado por el Prof. Jos O. Poli

2008

CTEDRA

DE

HISTORIA

Y

FUNDAMENTOS

DE LA

MATEMTICA

2 Ctedra de Historia y fundamentos de la matemtica

ContenidoLA CIENCIA JONIA EN EL SIGLO VI ............................................................................................................................................................. 3 Cuna asitica de la ciencia griega ......................................................................................................................................................... 3 Tales de Mileto ..................................................................................................................................................................................... 4 PITGORAS................................................................................................................................................................................................ 7 Quin fue Pitgoras?........................................................................................................................................................................... 7 La hermandad pitagrica y las primeras doctrinas pitagricas............................................................................................................. 8 Aritmtica ............................................................................................................................................................................................. 8 Geometra........................................................................................................................................................................................... 10 MATEMTICA, ASTRONOMA Y TECNOLOGA EN EL SIGLO V ................................................................................................................. 16 Zenn de Elea ..................................................................................................................................................................................... 16 Demcrito de Abdera ......................................................................................................................................................................... 17 Hipcrates de Quos ........................................................................................................................................................................... 17 Enpides de Quos .............................................................................................................................................................................. 19 Hipias de Elis ....................................................................................................................................................................................... 19 Teodoro de Cirene .............................................................................................................................................................................. 20 Antifonte el sofista ............................................................................................................................................................................. 21 Brisn de Heraclea .............................................................................................................................................................................. 22 MATEMTICA Y ASTRONOMA EN TIEMPOS DE PLATN ....................................................................................................................... 24 Teeteto ............................................................................................................................................................................................... 27 Leodamas, Neocleides y Len ............................................................................................................................................................. 28 Arquitas de Tarento ............................................................................................................................................................................ 29 Eudoxo de Cnido ................................................................................................................................................................................. 29 MATEMTICA, ASTRONOMA Y FSICA EN TIEMPOS DE ARISTTELES ................................................................................................... 33 Aristteles, matemtico ..................................................................................................................................................................... 33 Espeusipo de Atenas ........................................................................................................................................................................... 33 Jencrates de Calcedonia ................................................................................................................................................................... 34 Menecmo............................................................................................................................................................................................ 34 Dinstrato ........................................................................................................................................................................................... 34 Teudio de Magnesia ........................................................................................................................................................................... 35 Eudemo de Rodas ............................................................................................................................................................................... 35 Aristeo el Viejo.................................................................................................................................................................................... 35 La matemtica en la segunda mitad del siglo IV ................................................................................................................................. 35 EUCLIDES DE ALEJANDRA ....................................................................................................................................................................... 37 Vida y obra de Euclides ....................................................................................................................................................................... 37 Geometras no euclidianas ................................................................................................................................................................. 40 La tradicin euclidiana ........................................................................................................................................................................ 41 ARQUMEDES Y APOLONIO ..................................................................................................................................................................... 47 Arqumedes de Siracusa ..................................................................................................................................................................... 47 La tradicin arquimediana .................................................................................................................................................................. 52 Conn de Samos ................................................................................................................................................................................. 55 Apolonio de Perga .............................................................................................................................................................................. 56 La tradicin apolnica......................................................................................................................................................................... 59 LA MATEMTICA EN LOS DOS LTIMOS SIGLOS..................................................................................................................................... 65 Hpsicles de Alejandra ........................................................................................................................................................................ 65 Otros pocos matemticos griegos ...................................................................................................................................................... 65 Hiparco de Nicea................................................................................................................................................................................. 67 Teodosio de Bitinia ............................................................................................................................................................................. 69 Filsofos matemticos ........................................................................................................................................................................ 70 El papiro matemtico griego de Viena ................................................................................................................................................ 70

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Matemtica griega - 3 Sarton, George: Historia de la ciencia (Tomo 1, La ciencia antigua durante la edad de oro griega), EUDEBA, Bs. As., 1965. Pgs. 196-199, 208-212 199, 208

CAPITULO VII: LA CIENCIA JONIA EN EL SIGLO VICuna asitica de la ciencia griegaLos historiadores de la ciencia podrn deplorar que los tres captulos precedentes contengan muy poca ciencia, tal captulos como ellos la entienden; podrn tambin observar que los primeros captulos contenan mucha ms y maravillosa. Ambas observaciones son correctas. La edad homrica fue una de las ms grandes pocas literarias de todo el pasado, pero no fue una edad cientfica. Suscitse en ella gran inters por las artes decorativas que contribuyen a hermosear la inters vida y por las artes prcticas, que ayudan a hacerla ms prspera, pero difcilmente podramos hallar un inters por y prspera mente el conocimiento en s. Sin embargo, la comparacin de la cultura homrica con las orientales que precede no es muy bargo, justa. La edad homrica abarc slo unos pocos siglos, mientras que el desarrollo de la cultura egipcia o babilnica (pre (prehomrica) dur diez veces ms. De hecho, aquella edad no fue sino el prefacio literario de la era de la ciencia griega. Empleamos la palabra "milagro" cuando hablbamos de la repentina emergencia de obras de arte como la Ilada y repentina la Odisea, tan perfectas y completas como la propia Atenea, surgiendo de la cabeza de Zeus con todas sus armas y fectas lanzando un gran grito.1 El surgimiento y el desarrollo de la ciencia griega, en un lapso de tres siglos no es fcil de explicar. De ah que podamos emplear de nuevo la palabra milagro2 para expresar nuestra admiracin y nuestra perplejidad. En verdad, durante ese perodo tan breve (del VI al IV siglo) se consumaron tantas hazaas cientficas, consumaron hazaas tan variadas e inesperadas y de tal fecundidad, que debemos dedicar a ellas el resto de este volumen. ste y el captulo siguiente tratarn del nacimiento de la ciencia griega en el siglo VI, en Jonia (fig. 42). El lector recordar que la Ilada se compuso en dialecto afn al jonio, y que refleja los usos y costumbres caractersticos de la costumbres decadencia del perodo minoico. La relacin entre Jonia y las tierras de Minos no fue accidental. Los primitivos jonios tierras 3 fueron en gran medida colonos procedentes de Creta. Hemos descrito la edad homrica como un renacimiento de la micnica; y de igual manera podemos decir que la filosofa jonia, de la cual pronto hablaremos, fue el florecimiento de hablaremos, una larga serie de esfuerzos, no slo griegos, sino minoicos. En otras palabras: la filosofa jonia, tanto como la poesa homrica, debe ser o, por lo menos, puede considerarse ms rica, como una culminacin que como un comienzo, pero no minacin comien necesitamos disputar sobre esto, en primer lugar, porque toda culminacin es un comienzo; y en segundo lugar tmesela como se quiera la cuestin fundamental contina en pie. A qu se debi que la ciencia griega naciera en Jonia? Las explicaciones geogrficas no bastan, pues el contorno, en gran iones parte, es el mismo en ambas costas del Mar Egeo. Las te, explicaciones raciales no son ms satisfactorias, pues la misma les gente o la misma mezcla de gente puede hallarse en distintas partes de esa rea. Yo me aventurar a ofrecer dos o aventu explicaciones sociales. Primera, que los colonos jonios fueron un grupo selecto de gente que viva en un nuevo ambiente poltico, en gran medida de factura propia, es decir, de su gusto; les gustaba ser animosos, ingeniosos, espontneos y taba sentirse relativamente libres de sujeciones. Su xito puede compararse con el de otros colonos de tiempos muy posteriores, los Padres Peregrinos que se establecieron en Nueva Inglaterra, en 1620, y puede explicarse, en parte, de la misma manera. Los peregrinos jonios fundaron una Nueva era. Creta en la costa occidental de Asia, y aquella Nueva Creta fue la cuna de la Nueva Grecia. Segunda, que la costa occidental de Anatolia fue un medio excelente para la mezcla de ideas y de culturas y para el estmulo resultante. En la medida en que tante. la gente se estanca en sus aldeas atvicas no se plantean muchas cuestiones, pues toda cuestin ha sido ya planteada y resuelta muchas veces, de modo que nadie se inquieta ms por ellas. Por el contrario, cuando se renen gentes de razas Material compilado y digitalizado por el Prof. Jos O. Poli

4 Ctedra de Historia y fundamentos de la matemtica distintas con tradiciones diferentes, ms temprano o ms tarde los ms talentosos habrn de advertir que existe ms de un modo de considerar las cosas y de resolver los problemas. Y si son bastante inteligentes, pueden incluso preguntarse si sus propias soluciones tradicionales son correctas, o pueden comprobar que ciertas cosas que jams pensaron cuestionar son, por cierto, cuestionables. Los puertos jonios no slo eran los terminales de las lneas martimas griegas, fenicias y egipcias, sino tambin de las rutas de las caravanas de Anatolia que los conectaban, etapa tras etapa, con toda el Asia. Y de ah que las condiciones fuesen extremadamente favorables para el desarrollo de la ciencia: todo cuanto haca falta era un pueblo con suficiente talento natural para mejorarlas; los jonios fueron ese pueblo; ya haban probado su talento en la poesa; a fines del siglo VII eran llegados los tiempos de ponerlo a prueba en un nuevo campo, el de la filosofa natural o "fisiologa",4 como ellos la llamaban. Y as lo hicieron. Su xito material e intelectual result tan grande que durante mucho tiempo los "brbaros" (es decir, la gente cuya lengua no era griega) usaron la palabra jonio para designar a todos los griegos, como ms tarde los musulmanes llamaron "francos" a los cristianos latinos, y los sudamericanos llaman "yanquis" a sus vecinos del norte. ().

Tales de MiletoDos de los sabios, Tales y Bias, advirtiendo el peligro al que el creciente podero de los persas expona a su pas, aconsejaron la unin de las ciudades jonias y el establecimiento de un consejo general en Teos. Este relato y otros sugieren que Tales fue un hombre prctico, una especie de Franklin antiguo. Se deca que era de origen fenicio, lo cual 23 no deja de ser posible, aunque slo tengamos sobre esto la palabra de Herdoto. Naci c. 624 y vivi hasta 548 545, es decir, pudo vivir bastante como para presenciar la conquista persa que haba tratado de conjurar. Acaso heredase parte de su conocimiento y de su talento de sus antepasados fenicios, pero pudo obtenerlos tambin de los jonios, que hacia esa poca era una nacin rica y evolucionada, familiarizada con muchos oficios, pero, probablemente, desprovista de unidad. Qu poda hacer aquel pueblo prspero y desunido frente a sus totalitarios y belicosos vecinos? Haba mucho que aprender en Mileto, pero no era bastante para el ardiente joven, que viaj a Egipto, donde las nuevas ideas matemticas y astronmicas atrajeron su atencin. Su popularidad debi de ser grande, pues se le consider uno de los Siete Sabios. Su nombre figura en todas las listas y, en general, es el primero que se menciona en ellas, y resulta bastante curioso que su fama se deba principalmente a un hecho que estamos obligados a refutar, aunque su autenticidad se haya admitido casi como inconmovible hasta nuestros propios das. Una leyenda que es casi indestructible (destinada a reaparecer de cuando en cuando en libros desprovistos de sentido crtico) merece narrarse. En verdad, debemos referirla, pues no podemos destruirla sin narrarla primero. Posee una tradicin muy antigua y aparece por primera vez en Herdoto.24 Los lidios y los persas guerreaban desde haca tiempo con altibajos recprocos, sin ninguna victoria decisiva para ningn bando. Ambos ejrcitos estaban dispuestos para el combate, en 585, cuando se produjo (28 de mayo) un eclipse de sol que Tales haba pronosticado, y ambos reyes quedaron tan impresionados que dejaron de combatir. Gracias a los esfuerzos de dos pacificadores, Sinesis, el cilicio, y Labineto, el babilonio, se persuadi a los dos reyes que concluyesen un acuerdo jurado y un intercambio matrimonial. Se dice que Tales fue proclamado sabio por el orculo de Delfos en 582, y tal honor pudo obedecer a la prediccin del eclipse que se le atribuy. sta es una buena leyenda, pero ya no es posible admitirla. La teora era que los antiguos babilonios haban descubierto el saros, perodo que les permita predecir eclipses. Tales habra conocido el saros en Egipto y pudo, inclusive, presenciar el eclipse de 603 u or hablar de l. Y de ah que un nuevo eclipse deba ocurrir, o por lo menos poda ocurrir, 223 meses sindicos o 18 aos y 11 das despus, es decir, en 585. Como lo explicamos (pg. 143), los historiadores de la astronoma antigua estn ahora de acuerdo en que los babilonios no pudieron descubrir ese periodo antes de los siglos V o IV. Y, por ende, mal pudo Tales aprenderlo de ellos. Debemos recordar, sin embargo, que durante un largo perodo de tiempo se haban repetido observaciones babilnicas y quizs egipcias. Habra hecho Tales una conjetura feliz? Aun esto mismo resulta difcil de admitir. El relato de Herdoto es muy sobrio: "Tales de Mileto haba predicho esta prdida de la luz solar a los jonios, fijando el ao en que el suceso ocurrira." Significa esto que Tales pudo determinar slo el ao del eclipse, pero no el da? Mas, en tal caso, se habra perdido el efecto psicolgico de su prediccin. Debemos concluir que Tales no predijo el eclipse solar del 28 de mayo de 585, porque careca de los conocimientos necesarios, pero pudo alegar que lo haba predicho, o sus compaeros fueron llevados a creer que lo haba hecho. Carece de sentido para nosotros declarar que l lo predijo; y mucho menos sentido tiene an el decir que l comprenda el fenmeno. La explicacin, familiar para nosotros, habra sido incomprensible para l, pues conceba la tierra como un disco que flotaba sobre el ocano. Vuelvo a la comparacin inicial de Tales con Franklin. Ambos vivieron dentro de un contorno estimulante, y ambos respondieron a l con mente clara y talento natural. Ambos fueron inquisidores, rpidos para aprender, listos para aplicar sus conocimientos a objetivos prcticos. La estada de Tales en Egipto es como la de Franklin en Inglaterra; Universidad Autnoma de Entre Ros

Matemtica griega - 5 ambos observaron vivamente cuanto se haca en el Viejo Mundo, y trajeron, a su regreso, las nociones que estimaron tiles. Franklin trajo conocimientos de electricidad y Tales de astronoma. Despus de todo, no era leve hazaa. Tales fue el primer matemtico griego, as como el primer astrnomo. Aprendi en Egipto no slo la recurrencia peridica de los eclipses, sino tambin cierto nmero de hechos geomtricos. Prctico como era, hizo presa de los hechos y olvid las menudencias. Y trat entonces de utilizar los hechos, es decir, resolver problemas tales como medir la altura de un edificio o la distancia que separa a un buque de la costa. No sabemos exactamente cmo resolvera esos problemas, pues varias son las soluciones posibles, todas las cuales implican la comparacin de tringulos semejantes. Pero lo ms notable es que Tales no se detuvo all, sino que, siendo una mentalidad tan prctica como racional, sinti la necesidad de explicar sus soluciones, y eso lo condujo al descubrimiento de los principios geomtricos y de la ciencia de la geometra. Se le atribuye cierto nmero de proposiciones geomtricas: 1) un crculo es bisecado por su dimetro; 2) los ngulos, en la base de un tringulo issceles, son iguales; 3) si dos rectas se cortan, los ngulos opuestos por el vrtice son iguales; 4) el ngulo inscrito en una semicircunferencia es un ngulo recto; 5) los lados de tringulos semejantes son proporcionales; 6) dos tringulos son iguales si tienen dos ngulos y un lado respectivamente iguales. Conoci Tales todas y cada una de esas proposiciones, o proposiciones equivalentes a ellas? Supo demostrarlas? O, de lo contrario, cmo las conoci? No existe certeza sobre estos puntos, pero quizs podamos decir que Tales fue el primer hombre de pas alguno que concibi la necesidad de las proposiciones geomtricas. Esto implica cierta paradoja, pues hemos insistido en que Tales, como Franklin, fue un hombre prctico, y sin embargo su mayor mrito intelectual fue el reconocimiento de que no es suficiente resolver los problemas, sino que es preciso racionalizar las soluciones. Esta paradoja es fcil de resolver. Tales fue bastante inteligente para advertir que los mtodos eran ms valiosos que las soluciones individuales, y que implicaban principios o, como decimos en geometra, teoremas. Otro tema inagotable de discusin es ste. Fue Tales verdaderamente el primer gemetra (en el sentido cientfico) o se le anticiparon los egipcios? La discusin envuelve un nmero demasiado grande de dudas como para resultar provechosa. Nosotros no sabemos, en verdad, cmo pensaban los egipcios o qu pensaban los jonios respecto de sus problemas geomtricos. Una sola cosa es clara: la tradicin griega atribuye las primeras proposiciones geomtricas a Tales, y para la poca de ste las realizaciones egipcias ya haca tiempo que haban concluido. Su obra, derivada de stas, abri nuevas posibilidades de desarrollo que condujeron gradualmente a los Elementos de Euclides y a todos los maravillosos resultados geomtricos de nuestros das. Segn Aristteles25, Tales deca "que el imn tena alma porque atraa al hierro". Si la tradicin es correcta, Tales conoci una de las propiedades de la piedra imn. Y por tal razn puede llamrsele el iniciador de los estudios sobre magnetismo. La tradicin que hara de l un fundador en el estudio de la electricidad es ms dbil y prefiero omitirla. Los xitos prcticos de Tales en los campos de la astronoma, la geometra y el magnetismo debieron de acrecentar su ambicin intelectual. Como primer cientfico del mundo occidental, anticip el exagerado optimismo de los fsicos victorianos. No le bast racionalizar la prctica geomtrica; quiso explicar el mundo mismo, no como lo haban hecho sus infantiles predecesores mediante mitos, sino en trminos concretos, verificables. Sera posible, pens, determinar la naturaleza (physis) o la sustancia del mundo? De qu material est hecho el mundo? Su conclusin de que el agua es la sustancia originaria puede parecer fantstica a primera vista, pero se torna ms plausible en cuanto se la examina ms de cerca. El agua es la nica sustancia que el hombre conoce sin dificultad en los tres estados, slido, lquido y gaseoso. Es fcil reconocer que el vapor, en ebullicin, que sale de un caldero, es la misma sustancia que el agua que gradualmente va desapareciendo del caldero; que el hielo o la nieve que se funde en las montaas se transforma en agua en cuanto llega a lugares ms clidos. Y no es difcil correlacionar las nubes, la niebla, el roco, la lluvia y el granizo con el agua del mar y de los ros. El agua parece presentarse por doquiera en un estado o en otro. Sera temerario imaginar que tambin puede presentarse bajo formas ocultas? Adems, sin agua no hay vida posible, pero en cuanto el agua aparece puede haber vida. Y puede haberla en abundancia. Los pueblos que viven en climas hmedos tal vez no tengan conciencia de la necesidad biolgica del agua, pero a lo largo de las costas mediterrneas, donde todo se seca durante el verano, y donde las condiciones desrticas o semidesrticas son bastante familiares, las primeras lluvias benignas26 creaban algo as como una resurreccin de la naturaleza, cuyo espectculo es majestuoso e inolvidable. Finalmente, muchas viejas tradiciones llevaban a la misma conclusin. Tales, como Homero, pensaba que la tierra estaba rodeada por el ocano; sus concepciones fsicas no planteaban conflicto alguno con el mito ocenico o con la cosmologa egipcia. Pudo concebirse a s mismo como explicando y racionalizando esos antiguos mitos. Existe tambin la posibilidad de que sufriese el influjo de los babilonios, quienes consideraban el agua como primer principio increado; la palabra escogida por ellos para representar el agua signific originariamente voz, fuerte 27 grito (esto sugiere una comparacin con el logos griego, pero no nos anticipemos). Mientras los judos postulaban la unidad moral del cosmos, los "fisilogos" jonios que Tales encabezaba postulaban su unidad material. La induccin de Tales, segn la cual el agua era la sustancia originaria, fue prematura, pero no insensata ni irresponsable. Despus de tomar en consideracin todos los hechos, Tales concluy que exista Material compilado y digitalizado por el Prof. Jos O. Poli

6 Ctedra de Historia y fundamentos de la matemtica una sustancia originaria: el agua ubicua y creadora de vida fue la mejor conjetura. Los historiadores de mentalidad filosfica observarn con inters que el Profeta musulmn alcanz una conclusin 28 semejante unos doce siglos despus. En efecto, Dios le revel: "Todo lo viviente hemos hecho de agua." No es imposible que la concepcin de Tales se filtrara en la mente de Mahoma, pero no es absolutamente necesario admitir tal transmisin. El Profeta tuvo por lo menos las mismas oportunidades que Tales para presenciar la esterilidad del desierto, un da, y una abundante vida despus de la lluvia, en el siguiente. Ambos llegaron a la misma conclusin, que expresaron en forma distinta, segn el propio temperamento. Mahoma fue un vidente y un profeta (como sus antecesores judos); Tales, en cambio, fue un hombre de ciencia. Es tpico del genio griego que, no obstante ser el segundo hombre doce siglos posterior al primero, se halle ste mucho ms cerca de nosotros. Hay, por fin, una ltima tradicin que preferimos citar con las propias palabras de Aristteles:Por sus conocimientos astronmicos, Tales saba, cuando an era invierno, que en el ao siguiente habra gran cosecha de aceitunas. Y de ah que, disponiendo de poco dinero, realiz los depsitos necesarios para usar todas las prensas de aceite de Quos y de Mileto, que alquil a bajo precio, pues nadie competa con l. Cuando lleg la poca de la cosecha y de improviso muchos fueron tomados desprevenidos, se las alquilaba por el precio que quera, e hizo gran cantidad de dinero. Con eso demostr al mundo que los filsofos pueden enriquecerse fcilmente, si es tal su 29 deseo, aunque su ambicin sea de otra naturaleza.

Aristteles refiri la historia lo mejor que pudo para disculpar a su predecesor, pero no me agrada la idea de un filsofo que se hace rico precisamente para demostrar que puede hacerlo. Me parece algo tonto y poco inteligente. No es ms simple suponer que Tales se tom ese esfuerzo porque necesitaba dinero y que se hizo rico porque tal fue su deseo ntimo? Por lo dems, eso era muy jonio, muy griego. A juzgar por otros ejemplos, tanto como por el de Tales, los "sabios" entre los antiguos griegos no eran santos del otro mundo, sino gente ms bien prctica y hbil. Los griegos amaron generalmente el dinero, y muchos de ellos lo reunieron en gran cantidad y fueron muy generosos con l.30 El relato de Aristteles describe la codicia de Tales, pero no menciona su generosidad; por eso no nos convence. Lo habramos apreciado ms si su desinters hubiera sido mayor, pero debemos tratar de verlo tal como fue. Notas:1 2

Pndaro, Oda olmpica, VII, 36.

La palabra es correcta si se la considera solamente en su significado original: miraculum, algo asombroso o maravilloso; ha llegado a ser objetable por su uso en la Biblia inglesa para designar un signo divino o proftico (oth, semeion) o un acto del poder divino (dynamis).3

John Burnet, "Who was Javan?", escrito ledo ante la Classical Association of Scotland en 1912; Essays and addresses, Londres, 1929, pgs. 84-101.23 24 25 26 27 28 29 30

Herdoto, I, 170. Ibid. I, 74. De anima, 405A. Osiris 2, 415-416, 1936. Stephen Langdon, "The Babylonian conception of the logos", J. Roy. Asiatic Soc., 1918, pgs. 433-449. [Isis 4, 423, 1921-22.] Corn 21 : 30. Aristteles, Poltica, I, 1259A.

Fue siempre ambicin de todo hijo de la Hlade noblemente inspirado lograr suficiente dinero para ayudar a su pueblo y ser celebrado y recordado como benefactor (evergetes) de su pas o de su aldea.

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Matemtica griega - 7 Sarton, George: Historia de la ciencia (Tomo 1, La ciencia antigua durante la edad de oro griega), EUDEBA, Bs. As., 1965. Pgs. 245-261

CAPITULO VIII: PITGORASQuin fue Pitgoras?Nuestro captulo anterior termin con una exposicin excesivamente breve de la religin griega. Tal exposicin sera demasiado breve para cualquier propsito, con excepcin de uno: lograr que el lector advierta la importancia que la religin asuma en Grecia, cuna de la ciencia. El historiador de la ciencia, incluso el de la ciencia griega, no puede en modo alguno desentenderse de la religin. No sera correcto decir que el exuberante desarrollo de la religin, en todas sus formas desarrollo que culmin durante el siglo VI, haya contribuido a los fines de la ciencia ni que los haya perjudicado. Entonces, como ahora, ambos desarrollos, el cientfico y el religioso, fueron paralelos, contiguos, interrelacionados de modos diversos. No fueron necesariamente antagnicos; con frecuencia convivan en los mismos espritus. Un aspecto curioso de la eflorescencia religiosa durante el siglo VI se refiere al lugar en que ocurri, vale decir, que se produjo en la parte occidental del dominio griego, ms que en la parte oriental, como cabra esperar. Pero esto pudo ser accidental. En efecto: es cierto que los fisilogos jonios representaron el ala racionalista, pero cuntos eran?, o mejor: supuesto que eran pocos, cuntos fueron? Los griegos orientales o los orientales griegos eran, en general, de mentalidad religiosa, apasionados por los ritos y milagros. Cuando la amenaza persa y, ms tarde, cuando el terror persa los arroj hacia el oeste, hubo quienes no se detuvieron en Grecia o, por lo menos, no permanecieron en ella, sino que siguieron hacia el oeste hasta encontrar asilo en las colonias jonias de Sicilia y en la Magna Grecia.1 Ya hemos hablado de uno de estos orientales refugiados, Jenfanes de Colofn; otro, ms ilustre an, fue Pitgoras. Qu clase de hombre fue? Difcil es decirlo porque las biografas que han llegado hasta nosotros datan de tiempos posteriores y estn plagadas de adulteraciones. Fueron sus autores Digenes Laercio (III-1), Porfirio (III-2) y Jmblico (IV-1). La obra de este ltimo es la ms popular y, al mismo tiempo, la ms espuria. Lo ms inquietante es que las tradiciones ms antiguas, como las de Herdoto, Aristteles y sus discpulos, ya resultaban fabulosas en grado sumo. Por ejemplo, 2 Herdoto testigo ms prximo en el tiempo ya combina las ideas pitagricas con ideas egipcias, rficas y bquicas. 3 Y mezcla la historia de Pitgoras con la de Zalmoxis; de ah que explique obscurum per obscurius. Segn esta historia, que refiere con alguna desconfianza (y no debemos ser ms crdulos de lo que l fue), Zalmoxis era un tracio que haba sido esclavo de Pitgoras, hijo de Mnesarco. Tras lograr su libertad, riqueza y alguna familiaridad con el estilo de vida jonia, volvi a su pas natal, y construy un gran saln donde agasajaba a sus vecinos. Les expuso las ideas de inmortalidad y de paraso y, a fin de convencerles, desapareci durante tres aos en una cmara subterrnea. Y cuando todava le lloraban, reapareci, tan vivo como antes, en el cuarto ao, y ya no pudieron dejar de creerle. Este relato demuestra que ya en el siglo V Pitgoras era un ser tan mtico como el propio Zalmoxis. Sin embargo, hay un pequeo residuo real que acaso podamos aceptar como verdadero. Pitgoras, hijo de Mnesarco, naci en Samos y floreci en la isla durante el gobierno de Polcrates (ejecutado en 522). Segn Aristoxeno de Tarento (IV-2 a. C.) que no es un testigo demasiado tardo en lo que respecta a las antiguas tradiciones, dej Samos para librarse de la tirana de Polcrates. Es posible, como es tambin posible que se alejase, como muchos otros, por temor a los persas. Habra sido muy natural para l refugiarse en Egipto, donde los samios tenan muchos representantes (adems de un templo propio en Naucratis). Si hemos de creer a Jmblico, fue primero a Mileto, donde Tales reconoci su talento y le ense todo lo que saba; luego visit Fenicia, donde permaneci lo suficiente como para iniciarse en los ritos sirios. Esto acreci su deseo de ir a Egipto, considerado entonces como la fuente del conocimiento esotrico. Y en Egipto permaneci no menos de veintids aos, estudiando astronoma y geometra, as tambin como los misterios. Cuando Cambises conquist Egipto, en 525, Pitgoras lo sigui a Babilonia, donde pas doce aos ms, estudiando aritmtica, msica y otras disciplinas cultivadas por los magos.4 Volvi entonces a Samos, cuando ya frisaba en los 56 aos, pero pronto reanud sus viajes a travs de Delos, Creta y de la propia Grecia. 5 Finalmente lleg a Crotona, donde estableci su famosa escuela. Y tras conquistar considerable popularidad y poder del cual pudo tal vez abusar, las enemistades polticas o los celos locales le obligaron a salir de Crotona para pasar los 6 ltimos aos de su vida en Metaponto. Hemos relatado su historia con alguna extensin, aunque concedamos poco crdito a Jmblico. Pero sean correctos o no los detalles, lo sustancial es verosmil.7 Fue en verdad Pitgoras discpulo de Tales o no lo fue? Dedic treinta y cuatro aos de estudios de posgraduado en Egipto y Babilonia? Ni siquiera estamos seguros de que viajase tanto en su trayecto de Samos o Crotona. El relato evidencia las races babilnicas y egipcias del pensamiento de Pitgoras, pero un hombre tan inteligente y curioso como l pudo reunir una suma considerable de saber oriental sin necesidad de visitar dicho pases o, por lo menos, sin permanecer en ellos tantos aos como dice Jmblico. Sin duda, Pitgoras no necesit treinta y cuatro aos para aprender cuanto poda entonces ensearse all, todo ello asimilable por Material compilado y digitalizado por el Prof. Jos O. Poli

8 Ctedra de Historia y fundamentos de la matemtica su mente frtil y viva. La intencin de Jmblico, o de su informante, fue la de mostrar que Pitgoras no visit simplemente Egipto y Babilonia por razones de negocios o por placer conforme lo hacan muchos griegos, sino que permaneci en ambos pases el tiempo necesario para estudiar con sus sabios, saturarse de su sabidura e iniciarse inclusive en sus misterios.

La hermandad pitagrica y las primeras doctrinas pitagricasUno de los aspectos del renacimiento religioso acaecido en lugares diversos durante el siglo VI fue el aumento de ciertas comunidades de personas que compartan una nueva revelacin as como doctrinas ocultas de distintos tipos. Tales comunidades asumiran naturalmente la forma de hermandades, pues los hombres y las mujeres que compartan secretos escatolgicos seran como miembros de una familia, como hermanos y hermanas que defendiesen un patrimonio comn ante los extraos. Pitgoras y sus discpulos inmediatos imitaron aquellas mismas prcticas en Crotona. Algunas de sus enseanzas fueron doctrinas cientficas que se expondrn en los prrafos siguientes, pero otras fueron de naturaleza ms general, y a stas debi probablemente su popularidad la orden pitagrica. El pitagorismo, en efecto, fue ante todo un estilo de vida. Los pitagricos conceban una nueva especie de santidad, cuya consecucin implicaba ejercicios ascticos as como la observacin de tabes, por ejemplo, la abstinencia de ciertos alimentos tales como carne, pescado, habas y vino, y la 8 prohibicin de usar ropa de lana. La cofrada admita indistintamente a hombres y mujeres, y stas, segn parece, desempeaban un papel importante en la primitiva comunidad. Los miembros de la orden vestan trajes especiales, iban descalzos y vivan simple y pobremente. Imaginaban que el alma poda abandonar el cuerpo temporaria o permanentemente, y que poda habitar el cuerpo de otro hombre o de un animal, pero es imposible establecer, por supuesto, si Pitgoras tom esta creencia de fuente hind o de otra fuente oriental. Convenan en el sentimiento intuitivo de que el alma deja el cuerpo con el ltimo suspiro, y que hay una especie de parentesco entre los hombres y los animales,9 sentimiento ste compartido por muchos pueblos primitivos o evolucionados, en los cuales se presentaba (y se presenta) independientemente, en muchos lugares, el concepto de la trasmigracin de las almas.10 La religin de los pitagricos era extraterrena, en la medida en que conceban su vida la vida de este lado de la muerte como una especie de destierro (apodemia). Como toda religin, fue bastante pura en su nivel ms elevado, y 11 la anttesis en el ms bajo. Por ejemplo, muchas de sus reglas (como ya se observ) fueron meros tabes, es decir, interdicciones irracionales debidas al hecho de que cierta especie de cosas se consideraba sagrada y prohibida por razones de pureza o de impureza, y traa mala suerte meterse con ellas. Tales reglas se llamaban acusmata, y los ms humildes miembros de la orden, los acusmaticoi, eran los pobres beatones para quienes los tabes ocupaban el lugar de las doctrinas, pues eran incapaces de comprender algo ms elevado (fig. 50).12 En cambio, los iniciados atribuan mucha importancia a la escatologa y a la teologa, o a las ideas cientficas que constituan el verdadero ncleo de su pensamiento. Es imposible conocer mucho sobre tales doctrinas, o conocerlas con precisin, pues los miembros se comprometan a guardar silencio (echemythia, echerrhemosyne) y preservar, inclusive, el secreto. Las ideas polticas se fueron agregando gradualmente a las dems, pues la orden era una pequea sociedad inserta en otra mayor, pero celosamente separada de sta. Era fatal que surgieran conflictos entre los grupos, y si el pequeo grupo pitagrico trat de conquistar poder para librarse de esas dificultades, los trastornos debieron de aumentar. Lo cierto es que los pitagricos tropezaron con obstculos y molestias. Y que Pitgoras se vio forzado "a abandonar la ciudad" y dirigirse a Metaponto. Los secuaces que permanecieron en Crotona, Metaponto y otros lugares sufrieron grandes persecuciones despus de su muerte, y algunos, inclusive, fueron asesinados (ciertas persecuciones tal vez se produjeron, todava, en 450). El martirologio de los discpulos aument el prestigio de Pitgoras. Pronto fue considerado como un santo o como un hroe (a la manera griega), intermediario entre los dioses y los hombres. Y los relatos posteriores, de su vida y de sus hechos, se compusieron dentro del espritu de la hagiografa. En tales circunstancias, debe sorprendernos que las primitivas doctrinas sean oscuras y el fundador desconocido en gran medida? Hay tan escasas esperanzas de conocer sus hechos como los de San Gregorio el Taumaturgo o San Jorge mrtir.

AritmticaEn su libro perdido sobre los pitagricos, Aristteles escribi que "Pitgoras, hijo de Mnesarco, trabaj 13 primero en matemtica y aritmtica, y despus consinti, al mismo tiempo, en la milagrera practicada por Ferecides". La hiptesis de Aristteles es plausible, aunque no se ajuste a las tradiciones relacionadas con la educacin oriental de Pitgoras. Es posible que el primer pensamiento independiente de Pitgoras se centrara en la matemtica, y que las tendencias msticas de su juventud se afirmasen posteriormente en su vida. (En modo alguno fue el ltimo de los matemticos que se torn mstico en su vejez!) En todo caso, para desarrollar una teora mstica de los nmeros era necesario, ante todo, lograr un conocimiento suficiente de ellos, y Pitgoras fue con toda probabilidad el fundador de la gran escuela matemtica que lleva su nombre. Universidad Autnoma de Entre Ros

Matemtica griega - 9 He aqu unos pocos ejemplos de especulaciones con bastante antigedad como para atriburselas. La primera es la antigedad distincin entre nmeros pares (artios) e impares (perissos), de la cual surge que los primeros son divisibles en dos os) partes iguales, y los segundos no. Esto tuvo valor inmediato, pues a menudo se desea dividir un grupo en dos partes inmediato, menores lo ms exacta y simtricamente que sea posible. Si se construye un templo, el nmero de columnas de la entrada debe ser par, pues, en caso contrario, una columna enfrentara la parte central de la puerta, impedira la vista central del interior o del exterior, y obstruira la entrada: el nmero de columnas laterales, en cambio, puede ser par o impar.14 La aritmtica de Pitgoras se fund en el empleo de puntos dibujados en la arena o de guijarros, que podan agruparse fcilmente de diversas maneras. De este modo pudo realizar numerosas experiencias aritmticas relacionadas con el nmero de guijarros que podan llenar una determinada estructura. Si se ordenaban los guijarros de tal ma manera que formaran tringulos (fig. 51), el nmero de guijarros en los tringulos (1, 3, 6, 10, ...) eran los nmeros triangulares. an Pitgoras vio, probablemente, que esos nmeros eran las sumas de uno o ms nmeros naturales, comenzando por la nmeros unidad. Generaliz el resultado?

i =1

n

1

2

n(n + 1) .

Probablemente no, pero experiment lo suficiente como para ver que cada uno de esos nmeros derivaba del cada precedente:1=1 +2=3 +3=6 + 4 = 10 + 5 = 15 + 6 = 21 ..

realizando las sucesivas adiciones, no con cifras, como acabamos de hacer, sino con guijarros. El cuarto nmero triangular un tringulo con cuatro guijarros en cada lado interes especialmente a Pitgoras. Fue llamado cuaternio un lado 15 o tetractys (1 + 2 + 3 + 4 = 10), al cual la escuela asign propiedades maravillosas. Los pitagricos juraban por l! Los nmeros cuadrados fueron investigados de igual manera. Cmo se pasa de uno al siguiente? Para pasar, por ejemplo, del n 3 al n 4 (fig. 52) hay que aadir un nmero de guijarros que envuelva el n 3 por dos de los lados de un 16 ngulo. Y esa doble serie de guijarros, llamado gnomon, era necesariamente un nmero impar. De ah la regla evidente: un cuadrado ms un nmero impar da otro cuadrado: imp

n2 + (2n + 1) = (n + 1)2.

Consideremos, ms concretamente, la serie de nmeros impares 1, 3, 5, 7, 9,... El primero es tambin el primer cuadrado; si se agregan sucesivamente los siguientes nmeros impares se obtendrn los nmeros cuadrados:

Y de ah que cada nmero cuadrado sea la suma de todos los nmeros impares menores que el doble de su base:

1 + 3 + ... + (2n + 1) = n2.Esto es tan hermoso como simple. Es de imaginar la satisfaccin de Pitgoras cuando descubri estas partculas de verdad universal; si tena tendencias msticas, tal como pudo adquirirlas fcilmente en Egipto y Asia, su creciente exaltacin fue natural. Hablamos de guijarros, pues Pitgoras no dispona de cifras como nosotros. Es probable que los nmeros literales no 17 estuviesen an en uso durante la poca de Pitgoras. Si Pitgoras escribi nmeros, utiliz probablemente smbolos decimales semejantes a los egipcios, pero eso no fue sino una adaptacin a la escritura del mtodo del baco. Sin Material compilado y digitalizado por el Prof. Jos O. Poli

10 Ctedra de Historia y fundamentos de la matemtica embargo, supongamos que ya estuviesen a su disposicin los smbolos literales, pues ello nos dar la ocasin de pongamos discutirlos. Los nmeros griegos son 27 en total, y se dividen en tres grupos de nueve nmeros cada uno; los primeros nueve designan las unidades de 1 a 9; el segundo grupo, las decenas de 10 a 90; y el tercer grupo, las centenas de 100 a 900. Los smbolos empleados eran, simplemente, las letras griegas (con un pice a la derecha de cada una de ellas), por su orden alfabtico. Pero como no hay ms que 24 letras en el alfabeto griego, se agregaron tres letras inusitadas, una en cada grupo, es decir, digamma o estigma para 6, qoppa para 90 y sampi para 900. Adems, las primeras diez letras, incluyendo estigma, se usaron tambin para indicar los millares de 1000 a 10.000 (en este e caso el pice se pona a la izquierda de la letra, debajo de la lnea). De modo que los griegos no slo se vieron obligados a recordar un nmero de smbolos tres veces mayor que el nuestro, sino que muchas relaciones simples quedaron ocultas por esta multiplicidad. Consideremos la on distincin fundamental entre nmeros pares e impares. Para nosotros, es fcil recordar que todo nmero par termina en 0, 2, 4, 6, 8. Cmo era la cosa para los griegos? Un nmero par poda concluir con cualquiera de los 27 alquiera smbolos! (fig. 53 b). La tabla de multiplicacin que en muchos idiomas que se llama tabla pitagrica (mensula Pythagorae) no fue Pythagorae) ideada seguramente por Pitgoras. El ejemplo ms antiguo que conozco aparece en la Arithmetica de Boecio (VI (VI-1), impresa en Augsburgo en 1488.18 Puede haberse prepre sentado con anterioridad en manuscritos posiblemente escritos con nmeros romanos, pues las cifras indomeros indo arbigas difcilmente se introdujeran en Occidente antes ran de los siglos XII o XIII, y ofrecieron, por otra parte, tanta resistencia, que su uso no alcanz cierta popularidad sino mucho despus. La tabla de Pitgoras, con cifras hindes, es muy clara. Se ve de inmediato que las filas (o columnas) 2, 4, 6, 8, 10 slo contienen nmeros pares, que en la fila (o os columna) 5 todos los nmeros terminan en 5 en 0 (es cierto que con la grafa griega la mitad de los nmeros termina con ). Ningn pitagrico ni siquiera el ltimo ni pitagrico de la antigedad conoci las cifras hindes (o sus equivalentes), y de ah que, probablemente, la mensula s Pythagorae no sea sino una creacin medieval posterior, cin quizs no mucho ms vieja que el Boecio im impreso. 19

Fig. 50. Las "Palabras de oro" y los "smbolos" de Pitgoras. En setiembre de 1497 el gran impresor tiembre veneciano Aldo Manucci il Vecchio (1449 (1449-1515) public un pequeo in folio (30 cm de altura) que contena De mysteriis Aegyptiorum, Chaldaeorum et Assyriorum de Jmblico, y una docena de textos ms, traducidos por el platonista florentino Marsilio Ficino (1433 (1433-1499). Menos de tres pginas de ese libro se refieren a Pitgoras, pero esas pginas constituyen la primera publicacin pita era pitagrica impresa. Contienen sus "Palabras de oro" (frases que se le atribuyen) y sus "smbolos". La pgina que reproducimos muestra el final de las "urea verba" y el comienzo de los "symbola"; stos son, principalmente, del tipo de los tabes. [Del ejemplar de la Biblioteca del Harvard College.]

Las primeras ideas pitagricas sobre los nmeros se limitaron casi seguramente a aquellos que podan representarse, no mediante cifras, sino por medio de guijarros o contadores. Este simple mtodo evidenci hechos de significado trascendental. La aritmtica pitagrica es la raz no slo de toda nuestra aritmtica o del arte de los clculos sino ms bien de la actual teora de los nmeros. ().

GeometraEntre las realizaciones geomtricas de la escuela pitagrica, cuya antigedad parece suficiente como para atribuirlas al propio Pitgoras, yo elegira las siguientes: Los ngulos interiores de un tringulo suman dos rectos; esto n poda demostrarse casi inmediatamente, con slo saber que si una recta corta a dos paralelas los ngulos alternos internos son iguales (fig. 54). Si AA' es paralela a BC, los tres ngulos del tringulo son iguales a dos rectos en A. Pitgoras debi de extender esa misma demostracin a los polgonos de ms lados (fig. 55). En el hexgono ABCDEF, tracemos EA, EB, EC. La suma de los ngulos internos del hexgono es igual a la de los ngulos internos de los cuatro Universidad Autnoma de Entre Ros

Matemtica griega - 11 tringulos, u ocho ngulos rectos. Ms general, para un polgono de n lados, la suma de los ngulos internos es igual a (2n 4) ngulos rectos. La suma de los ngulos externos (si cada uno es el suplemento de uno interno) es igual a 2n (2n 4) = 4 ngulos rectos; es, por lo tanto, independiente del nmero de lados. Fig. 53aI II III IV V VI VII VIII IX X II IV VI VIII X XII XIV XVI XVIII XX III VI IX XII XV XVIII XXI XXIV XXVII XXX IV VIII XII XVI XX XXIV XXVIII XXXII XXXII XL V X XV XX XXV XXX XXXV XL XLV L VI XII XVIII XXIV XXX XXXVI XLII XLVIII LIV LX VII XIV XXI XXVIII XXXV XLII XLIX LVI LXIII LXX VIII XVI XXIV XXXII XL XLVIII LVI LXIV LXXII LXXX IX XVIII XXVII XXXVI XLV LIV LXIII LXXII LXXXI XC X XX XXX XL L LX LXX LXXX XC C

Fig. 53b

Fig. 53. Tablas pitagricas: a) Romana; el sistema egipcio (romano) slo requiere cinco smbolos diferentes, b) Griega; el sistema griego requiere 27 smbolos diferentes; los pices que se agregan a cada letra se han omitido, c) (en pg. siguiente) Hind-rabe; el sistema hind requiere 10 smbolos diferentes; su valor prctico reside en el hecho de que adapta el mtodo del baco a la escritura de una manera ms profunda que el egipcio. Las tres tablas son decimales, porque no se pens en otra base, excepto la sexagesimal (babilnica) para las fracciones y eso slo mucho despus (Ptolomeo, II-1); la duodecimal, en casos excepcionales (divisin del da, de la libra) y otras rarezas en sistemas de metrologa y monedas (tal como existe an hoy en los sistemas ingleses); ver Isis 23, 206-209, 1935.

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12 Ctedra de Historia y fundamentos de la matemtica Fig. 53c1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

La experiencia comn de pavimentar con baldosas o mosaicos contribuy a mostrar que los nicos polgonos contribuy regulares con que poda llenarse el plano sin huecos eran el tringulo equiltero, el cuadrado y el hexgono regular. La demostracin fue fcil, pues cada ngulo de dichos polgonos regulares mide, respectivamente, dos, tres o cuatro respectivamente, tercios de un ngulo recto. Como en un plano el ngulo alrededor de un punto es de cuatro rectos, puede l cios llenarse con

seis tringulos, cuatro cuadrados o tres exgonos (fig. 56).

Conoci Pitgoras el "teorema de Pitgoras", vale decir, que el cuadrado construido sobre la hipotenusa de un goras 22 tringulo rectngulo es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los otros dos lados de ese tringulo? Por qu no? Esto puede verse casi intuitivamente de diversas maneras. Por ejemplo, supngase que tengamos dos cuadrados desiguales (fig. 57) tales, que el menor EF2 est inscrito en el mayor AB2 (es decir, tal que sus cuatro vrtices pertenezcan a los cuatro lados del cuadrado mayor). Es evidente que los cuatro tringulos EAF, exteriores al cuadrado menor, son iguales. Trazando EE' paralela a AB y FF' paralela a BC que drado se cortan en O, dividimos el cuadrado AB2 en cuatro partes: dos rectngulos iguales y dos cuadrados EO2 y FB2. Ahora 2 bien, el rea del cuadrado mayor AB puede expresarse de dos maneras: Universidad Autnoma de Entre Ros

Matemtica griega - 13 AB = EF + 4 tringulos = = EO + FB + 2 rectngulos. Pero cada rectngulo equivale a dos tringulos, de manera que: EF = EO + FB = AF + AE .2 2 2 2 2 2 2 2 2

Q. E. D.

La demostracin es tan fcil que pudieron hallarla independientemente, con anterioridad, los egipcios, babilonios, chinos e hindes. La posibilidad de la antelacin egipcia fue considerada en el captulo II y no necesitamos considerar las otras posibilidades, pues no se acercan a la verdad. Pitgoras acaso haya sido el primero en demostrar la proposicin (vale decir que no se limit a comprobar su exactitud), o su demostracin pudo ser ms consciente, ms rigurosa, con el empleo de un mtodo equivalente al de Euclides. Se ha dicho que Pitgoras haba sacrificado un buey para celebrar tal descubrimiento, o fue quizs para celebrar el descubrimiento de los tringulos particulares (lados 3n, 4n, 5n) en los cuales la demostracin geomtrica se completaba fcilmente con una comprobacin numrica? Pudo iniciar los problemas geomtricos relacionados con la determinacin de un rea igual a otra (digamos, un cuadrado igual a un paralelogramo) o con la aplicacin de reas (parabole ton chorion) , una superando a la otra (hyperbole) o una inferior a la otra (elleipsis) en una cantidad dada. Con el tiempo, estos problemas condujeron a la solucin geomtrica de las ecuaciones cuadrticas, y resulta bastante curioso que los trminos que acaban de citarse, probablemente posteriores a Pitgoras, se aplicasen despus a las tres distintas especies de secciones cnicas. Las ideas y teoremas geomtricos que tratamos de atribuir a Pitgoras no podan demostrarse fcilmente, a pesar de su sencillez, sin el uso de letras que designasen las lneas implicadas en la demostracin. Nosotros hemos usado letras en nuestra explicacin sin advertirlo, porque es muy difcil hacerlo de otra manera. De esto no se sigue que Pitgoras usase letras. Por ejemplo, pudo demostrar el teorema que lleva su nombre trazando rectas en la arena y sealando las lneas y las reas con sus dedos; slo cuando la demostracin se escribe las letras (u otros smbolos) resultan indispensables. Segn una tradicin, cuyo eco tardo se oye en Luciano (120-180), los pitagricos usaban como smbolo de reconocimiento mutuo el pentagrama,23 al cual daban el nombre de "salud".24 Las cinco letras de ese nombre (, hygieia) eran los cinco vrtices de ese smbolo (fig. 58).25 Es quizs el ejemplo ms antiguo de la aplicacin de letras a distintos puntos (u otras partes) de una figura geomtrica. Puede ser ms arcaico que el uso de las letras para facilitar las demostraciones geomtricas, o pudo haber sido sugerido por ste.A E O F B E

G

D

H

F

C

Fig. 57. Teorema de Pitgoras

Fig. 58. Pentagrama pitagrico

En Pitgoras, o en sus discpulos inmediatos, exista ya familiaridad con algunos slidos regulares: el cubo y la pirmide (tetrahedron) eran bastante fciles de concebir o de construir, el octaedro no es difcil. Su conocimiento del pentagrama no demuestra que fuesen capaces de construir un pentgono regular, pues aunque desconocieran la construccin geomtrica, siempre podan dividir empricamente la circunferencia en cinco partes iguales. Adems, si despus de construir una pirmide regular, continuaban jugando con tringulos equilteros y reunan cinco de ellos (con un vrtice comn) llegaban as a construir uno de los ngulos poliedros del icosaedro. Y aunque no completasen el icosaedro, deban de haber reconocido que la base de ese ngulo poliedro era un pentgono regular. Jugando con pentgonos regulares podan haber logrado construir un dodecaedro. Todo esto, sin embargo, es muy conjetural, y debemos posponer toda discusin ulterior acerca de los poliedros regulares, las "figuras platnicas", para ms adelante. Notas:1

Se emplea aqu el trmino Magna Grecia por ms preciso que Sur de Italia, aunque era desconocido en el siglo VI. La Magna Grecia o la Grecia Mayor (he megale Hellas) alude a las colonias griegas del sur de Italia, nunca a todo este pas. Polibio (II-1 a. C.) fue el primero en utilizar el trmino griego, y Livio (I-2 a. C.) el latino; Estrabn (I-2 a. C.) lo extendi a las colonias griegas de Sicilia. T. J. Dunbabin, The Western Greeks. The history of Sicily and South Italy from the foundation of the Greek colonies to 480 B. C., 518 pgs., Oxford, Clarendon Press, 1948. [Isis 40, 154, 1949.]

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14 Ctedra de Historia y fundamentos de la matemtica2

Hablando de los egipcios, Herdoto observa (II, 81), "Nada de lana penetra en los templos o se entierra con ellos; est prohibido. En esto siguen la misma regla que en los ritos llamados rfico y bquico, pero que, en verdad, es egipcia y pitagrica, ninguno de los iniciados en estos ritos puede ser sepultado con vestimenta de lana." Hay algo de verdad en la confusin de Herdoto, pues el orfismo y el pitagorismo ya se haban mezclado mucho antes de esa poca. Las "laminillas de oro" que se encontraron en tumbas de Italia y Creta, y que se crey eran rficas, son pitagricas. F. Cumont, Lux perpetua, Pars, Geuthmer, 1949, pgs. 248, 406.3 4

Herdoto, IV, 95. Escribe Salmoxis, pero la grafa Zalmoxis es ms comn; Zalmos es una palabra tracia que significa piel.

La voz magos es la usada por Jmblico. Magos (derivada del persa antiguo magush) designaba al principio a los sacerdotes e intrpretes iranios, zorostricos; despus a los sacerdotes caldeos y a los nigromantes. De paso, la palabra magia tiene la misma raz, he mageia, he magice techne, la ciencia o el arte de los magos. Joseph Bidez y Franz Cumont, Les mages hellniss, 2 vols., Pars, Les Belles Lettres, 1938. [Isis 31, 458-462, 1939-40.]5

Crotona (Croton) o Crotn era entonces una colonia griega de antigua data, fundada por aqueos y espartanos c. 710. Metaponto era otra colonia aquea de las cercanas. Estaba situada cerca de Tarento, en el fondo del golfo, mientras Crotona est al suroeste, conforme se entra en l.6

Muri en Metaponto c. 497. Cuando Cicern visit la ciudad c. 78 a. C., se le mostr la casa en que haba muerto Pitgoras. De finibus, V, 2, 4.

7

La cronologa no es inaceptable. Si Pitgoras tena 56 aos en 510, naci en 566, y pudo muy bien conocer a Tales, que vivi hasta c. 548. Sin embargo, esto le habra dejado muy poco tiempo para sus actividades en Crotona, pues se dice que muri en 497. De acuerdo con el historiador siciliano Timeo de Metaponto (III-1 a. C.), Pitgoras pas veinte aos en Crotona, la revuelta contra l y su escuela acaeci en 510, o algo despus, y sera entonces cuando se traslad a Metaponto. Quizs pasara menos tiempo en Egipto y en Babilonia del que consigna Jmblico.8

La lana (como distinta del lino) era tab por tratarse de un producto animal. Ya se aludi a este particular tab en la nota 2. Es interesante sealar que as como a los msticos pitagricos les era prohibido vestir con lana, los musulmanes de poca posterior eran incitados a hacerlo; el vocablo rabe suf que se les aplica significa lanoso! Algunos de los tabes pitagricos fueron recogidos por Plutarco en su vida de Numa (cap. 14).9

Este sentimiento an existe entre nosotros. Respecto de los animales, reconocemos distintos animales en nosotros mismos o en nuestros semejantes: cuando llamamos a alguien len o cordero, mono o zorro, toro o cerdo, nuestra alusin es clara y se trasmite a otros sin ambigedad. Por supuesto, no debemos llevar la comparacin tan lejos como lo hicieron nuestros antepasados.10

Este concepto se llam palingenesia o metensomatosis, mejor que metempsychosis, muy empleado en los escritos en espaol. De ninguna manera fue raro; muchos pueblos lo compartieron ms o menos: pueblos primitivos, hindes y budistas, egipcios, griegos y romanos, judos, celtas y teutones; Encyclopedia of Religion and Ethics, vol. XII, 1922, pgs. 425-440. Para una discusin del pitagorismo en general, ms completa de lo que pueda darse aqu, ver John Burnet, Ibid., vol. X, 1919, pgs. 520-530.11

El cabal uso del vocablo tab implica una explicacin antropolgica de que no se dispuso hasta el siglo pasado. El trmino tab fue introducido por el Capitn Cook (1728-1779) que, as como la cosa significada, la encontr en Tonga (Pacfico sur); la explicacin de su significado se desarroll lentamente durante el siglo XIX. Ver el artculo de R. R. Marett, Ibid vol. XI, 1922, pgs. 181-185.12

He aqu unos cuantos tabes pitagricos: no recoger lo cado, no tocar un gallo blanco, no partir pan, no comer de una hogaza entera, no remover la lumbre con un atizador de hierro, no permitir que las golondrinas aniden en el propio techo. No debemos sonremos ni sentirnos superiores ante ellos, pues otros tabes, ni mejores ni peores, acompaan la vida de nuestros contemporneos, cuando no la propia.13

Segn Sir Thomas Heath, History of Greek Mathematics, Oxford, 1921, Vol. I, pg. 66, Fercides de Siro, hijo de Babys, "sabio", cosmlogo o fisilogo del siglo VI, a veces citado como maestro de Pitgoras. Kurt von Fritz, Pauly-Wissowa, vol. XXXVIII, pgs. 2025-2033, 1938.14 15

En el Partenn hay 8 columnas en cada frente y 17 a lo largo de cada costado: es decir, 46 en total.

Pitgoras saba que el cuarto nmero triangular es diez. Fue muy tentador elaborar las consecuencias msticas de este hecho; es imposible decir qu parte de esa elaboracin se le adeuda, y qu parte pertenece a pitagricos posteriores. La elaboracin de la aritmtica pitagrica puede seguirse durante un millar de aos, vislumbres de su madurez se presentan en Nicmaco de Gerasa (I-2) y en Jmblico (IV-1). En la teologa aritmtica de este ltimo, Theologumena tes arithmetices (obsrvese el ttulo!) se destaca el carcter sagrado del tetractys. La dcada representa el universo, no existen diez dedos de la mano, del pie, etc.? Martin Luther D'Ooge, Nicomachos, Nueva York, 1926, notas de las pgs. 219, 267. [Isis 9,120-123, 1927.] La referencia a la base decimal de numeracin estaba implcita; es notable que ningn pitagrico pensara en hacerla explcita.16

La misma palabra gnomon se us antes para designar un instrumento astronmico, el ndice vertical de un reloj de sol. El nuevo significado matemtico derivaba del hecho de que la palabra se usase para la escuadra del carpintero (latn, norma). La primera presencia de ellos es una inscripcin de Halicarnaso de 450 a. C; Heath, History of Greek mathematics, vol. I, pg. 32. Debieron de utilizarse antes para propsitos ms humildes, aunque los griegos, probablemente, hicieran todos sus clculos con algn tipo de baco o con guijarros. Cualquiera fuese el mtodo de calcular, las voces griegas aplicadas a los nmeros prueban que la base del sistema de numeracin y el baco eran decimales. La palabra griega para guijarro fue psephos. Herdoto usa la expresin psephois logizesthai para significar "calculan" en la frase, "Los griegos escriben y calculan moviendo la mano de izquierda a derecha" (II, 36). El verbo psephizo expresa la misma idea. Comprense nuestras palabras "clculo", "calcular", derivadas de "calculus", guijarro. Para el baco ver la nota 20, ms adelante. El uso de los guijarros es, por supuesto, mucho ms viejo que el del baco; el baco es una mquina inventada para una utilizacin mejor de los guijarros (o de sus equivalentes).18 17

Reproduccin facsimilar en Osiris 5, 138, 1938.

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Matemtica griega - 1519

Johannes Tropfke, Geschichte der Elementar-Mathematik, Berln, 3 ed., 1930, vol. I, pg. 144. Ravid Eugene Smith, History of Mathematics, Boston, 1925, vol. 2, pg. 124. [Isis 8, 221-225, 1926.] Euclides, I, 47.

22 23

El pentagrama es un polgono cncavo de cinco lados, una estrella de cinco puntas. El pentagrama regular se deduce fcilmente del pentgono regular trazando las diagonales de ste. En los tiempos medievales, y posteriores, el pentagrama fue llamado con frecuencia "pentaculum" (pentculo) y pentalfa.24

Luciano: un lapsus linguae en el saludo (Hyper tu en te prosagorusei ptais-matos). Ver Lucianus, ed. Cari Jacobitz, Leipzig, 1836, vol. I, pg. 448, o la traduccin inglesa por H. W. Fowler y F. G. Fowler, Oxford, 1905, vol. II, pg. 36. La figura es llamada to pentagrammon. El mismo captulo contiene una referencia al cuaternio de Pitgoras (he tetractys) usado como juramento sagrado.28

El diptongo ei se cuenta como una sola letra.

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16 Ctedra de Historia y fundamentos de la matemtica Sarton, George: Historia de la ciencia (Tomo 1, La ciencia antigua durante la edad de oro griega), EUDEBA, Bs. As., 1965. Pgs. 336-351

CAPITULO XI: MATEMTICA, ASTRONOMA Y TECNOLOGA EN EL SIGLO VEs conveniente dividir este captulo en tres secciones matemtica, astronoma, tecnologa no obstante el matemtica, tecnologa hecho de que ello pueda obligarnos a volver dos o tres veces sobre las mismas personalidades. () os

Zenn de EleaLos estudiosos de la primitiva matemtica griega se mantienen en un estado de continuo asombro ante dos hechos tica complementarios (o contradictorios); el descuido por la aritmtica elemental, y la singular profundidad del pensamiento matemtico. Los primeros pitagricos no prestaron mayor atencin a los mtodos ordinarios de clculo, a atencin pesar de que sus ideas geomtricas se fundaron ampliamente sobre los nmeros. Para ellos un punto no era sino una nmeros. unidad con posicin; toda figura geomtrica, comenzando por la recta, poda concebirse y representa representarse por cierto nmero de puntos. Esto plantea los problemas de la continuidad y de la divisibilidad infinita o, ms exactamente, plante esos problemas en la mentalidad griega porque las mentes estaban preparadas para la discusin filosfica. preparadas Poseemos muchas pruebas del genio griego, pero ninguna es ms slida ni ms extraordinaria que el pensamiento has matemtico de aquella poca, estimulado por dificultades lgicas, acerca de las cuales el hombre medio de hoy lgicas, (veinticinco siglos despus) apenas tiene noticia. Como primera aproximacin, uno siente la tentacin de decir que la noticia. gente ms inteligente es la de comprensin ms rpida, pero muy pronto se ve uno obligado a abandonar ese enunciado y, casi, a invertirlo. La gente de poco juicio comprende o cree comprender rpidamente, porque no es capaz comprender de imaginar las dificultades; y de ah que no tenga obstculos que superar. La inmensa diferencia entre la matemtica des; egipcia y babilnica, por una parte, y la matemtica griega, por la otra, consiste en que la primera no llega a concebir primera algunas de las dificultades con las que los griegos comenzaban, por entonces, a luchar. Debemos recordar que Zenn visit Atenas con su maestro Parmnides hacia mediados de siglo. Fue quizs en Atenas donde se encontr con matemticos como Hipcrates, quien estaba tratando de convertir el conocimiento geomtrico en un sistema rgidamente estructurado. Por ser ante todo un filsofo y un lgico, Zenn advirti estructurado. dificultades conceptuales que jams se les habran ocurrido a los matemticos prcticos (aunque fueran griegos!). s mticos Estos consideraran una recta como compuesta de puntos. Pero cmo podra reconciliarse esta nocin con la continuidad de la recta? La recta no es una sucesin de puntos o, dicho de otra manera, una sucesin de agujeros: es sucesi un todo continuo. El matemtico prctico dira: los puntos pueden tomarse tan prximos entre s, y los agujeros hacerse tan pequeos, como usted quiera. Y si la distancia entre dos puntos es para usted demasiado gran an, grande bueno, divdala en mil o un milln de partes e imagine todos los puntos adicionales en todas esas partes. Pero el lgico la objetara y respondera: la verdadera distancia entre dos puntos cualesquiera no afecta el argumento; por pequea que sea esa distancia, ambos puntos siguen separados y son distintos de la recta o del espacio que los une. Dificultades s semejantes concernan a las divisiones del tiempo (debe concebrselo como continuo o discontinuo?) y al movimiento (el pasaje de un cuerpo de un lugar a otro en cierto tiempo). Los resultados paradjicos de las meditaciones de Zenn djicos acerca de estos enigmas nos son conocidos, en parte, a travs de la Fsica de Aristteles,1 donde las llam falacias, aunque no fuese capaz de refutarlas; y, en parte, a travs del comentario aristotlico de Simplicio (VI (VI-1). Sin embargo, en esos resultados se hila tan delgado que se ha puesto a prueba la mente de los filsofos y de los matemti matemticos hasta nuestros propios das. Tales cuestiones son tan sutiles que llevara demasiado espacio dar de ellas una exposicin tiones completa y precisa. Ser suficiente indicar aqu su ndole general. Con arreglo al ejemplo de Cajori, distinguiremos los cuatro argumentos de Zenn en contra del movimiento con los nombres de "dicotoma", "Aquiles", "la flecha" y "el gumentos estadio". Y pasamos a resumirlos.1. Dicotoma. Usted no puede recorrer un nmero infinito de puntos en un tiempo finito. Usted no puede recorrer la mi mitad de una distancia dada antes de recorrer toda la distancia, y la mitad de aquella mitad antes de recorrer sta. Esto se repite ad infinitum, de manera que (si el espacio se compone de puntos) habr un nmero infinito de ellos en un espacio dado y stos no podrn recorrerse en un tiempo finito. 2. Aquiles. El segundo argumento es el famoso rompecabezas de Aquiles y la tortuga. Aquiles debe alcanzar primero el lugar de donde parti la tortuga. Pero, en el intervalo, la tortuga habr recorrido un pequeo camino. Aquiles deber recorrerlo tambin, camino. pero de nuevo la tortuga se le habr adelantado. Se acercar cada vez ms a la tortuga, pero no la alcanzar nunca. 3. La flecha. El tercer argumento en contra de la posibilidad del movimiento en un espacio compuesto de puntos es que, segn esta hiptesis, una flecha en un determinado momento de su vuelo debe mantenerse en reposo en algn punto determinado. 4. El estadio. Supongamos tres filas de puntos superpuestos:

Universidad Autnoma de Entre Ros

Matemtica griega - 17Una de ellas est inmvil (B), mientras que A y C se mueven en direcciones opuestas con igual velocidad, conforme lo indica la posicin representada en la figura 2. El movimiento de C respecto de A ser doble del movimiento respecto de B, o con otras palabras, por todo punto de C ha pasado el doble de puntos de A que de B. No puede ser, por tanto, que un instante de tiempo 2 corresponda al pasaje de un punto a otro.

Los cuatro argumentos parecen dirigirse contra la creencia sostenida por mucha gente de aquella poca (incluso los pitagricos y Empdocles), y que todava sostiene hoy la mayora de la gente, en el sentido de que el espacio es una suma de puntos y el tiempo una suma de instantes. Zenn argument que sobre un fundamento pluralstico el movimiento no era concebible.

Demcrito de AbderaDemcrito naci unos treinta aos despus que Zenn. Las fechas de su nacimiento y de su muerte son inciertas, pero no erraremos mucho si las fijamos c. 460, c. 370. No se sigue de esto que las especulaciones de Demcrito fuesen posteriores a las de Zenn, ni que Demcrito estuviera enterado de las perplejidades de Zenn. En todo caso, esas perplejidades u otras de la misma especie eran inevitables en cuanto se comenzase a pensar rigurosamente en la continuidad y en la infinitud. Y los griegos no uno, sino muchos estaban precisamente haciendo eso. En el catlogo de las obras de Demcrito publicado por Digenes Laercio (III-1) se enumeran cinco obras matemticas 1) sobre el contacto de un crculo y una esfera; 2) y 3) sobre geometra; 4) sobre los nmeros; 5) sobre los irracionales. Volveremos sobre esta ltima cuando discutamos este tema, dentro de poco. Los ttulos de las obras 2, 3 y 4 son demasiado vagos para ser tiles. En cuanto al primero, si suponemos que el ttulo alude al contacto entre una esfera y un plano tangente, ello nos llevar a considerar un ngulo infinitesimal. Si consideramos el caso ms simple (como Demcrito hizo probablemente) del ngulo entre una circunferencia y una tangente, las dificultades inherentes se impondran con rapidez. Primero era necesario definir la tangente; la mente de Demcrito era lo bastante aguda para advertir que la tangente y la circunferencia tenan un solo punto comn, aunque ello no pudiese comprobarse mediante dibujo alguno. Luego era preciso considerar el ngulo. Deba ser extraordinariamente pequeo, pues si la tangente girara, por poco que fuese, alrededor de su punto de contacto, tocara al crculo en un segundo punto y dejara de ser tangente. Platn ignora a Demcrito, pero Aristteles habl muy calurosamente de sus ideas respecto del cambio y del crecimiento. Un siglo despus, Arqumedes se refiri al prximo descubrimiento matemtico de Demcrito: el volumen de un cono y de una pirmide son un tercio del volumen del cilindro y del prisma de base y altura iguales, y agreg que las demostraciones de los teoremas de Demcrito no haban sido aportadas por l sino ms tarde por Eudoxo.8 Cmo los descubri Demcrito? Es probable que emplease un mtodo tosco e intuitivo de integracin, dividiendo la pirmide (o el cono) mediante un gran nmero de fajas paralelas. Ya volveremos sobre esto cuando discutamos el descubrimiento de Eudoxo y el empleo del mtodo de exhaucin. Los comienzos de la perspectiva aplicada al proyecto de los escenarios teatrales fueron atribuidos a Demcrito por Vitruvio, tanto como a Agatarco y a Anaxgoras. Tales atribuciones son verosmiles pero no estn probadas. Es cierto que problemas de perspectiva deban ser resueltos por quienes proyectaban los escenarios, pero pudieron encontrarse buenas soluciones por medios empricos.

Hipcrates de QuosLlegamos ahora al ms grande de los matemticos del siglo, el primer hombre que ilustra el nombre de Hipcrates. A casi toda persona culta le es familiar este nombre, aunque evoque en su mente la memoria de otro hombre, el padre de la medicina, Hipcrates de Cos. El nombre Hipcrates no es raro en Grecia,4 pero no deja de ser notable que los dos hombres ms ilustres que llevaron ese mismo nombre fuesen contemporneos y procedieran del mismo grupo de islas, las Sporadas, mar afuera de las costas de Asia Menor. El matemtico, que fue el ms viejo, naci en Quos y floreci en Atenas, durante el tercer cuarto del siglo V. El mdico perteneci a la generacin siguiente: era un nio an cuando el matemtico estaba en su madurez, y todava se hallaba en actividad al doblar el siglo. Proceda 8 de la isla de Cos (una de las Sporadas meridionales, grupo llamado tambin islas del Dodecaneso). Le concederemos todo el espacio que cabalmente se merece en otro captulo, pero fue menester recordarlo aqu y colocarlo por un momento al lado de su contemporneo. Espero que los lectores de este libro recuerden que hubo dos Hipcrates, cuyas respectivas hazaas fueron igualmente importantes, pero tan distintas que ninguna comparacin es posible entre ambos. En modo alguno puede decirse que el segundo sea ms grande que el primero, pero, sin embargo, slo a ste recuerda la mayora de la gente, mientras que el otro, ms viejo, permanece casi olvidado. Bien; no importa. La razn de la llegada de Hipcrates a Atenas hacia mediados del siglo se atribuye tradicionalmente al hecho de que perdiese sus bienes y a su tentativa de recuperarlos. Segn un relato, fue un mercader cuyo barco haba sido capturado por los piratas; segn otro relato (narrado por Aristteles),6 fue un gemetra a quien los recaudadores de la aduana de Bizancio haban despojado de mucho dinero "debido a su tontera". Por supuesto, los matemticos (desde Tales hasta Poincar) fueron acusados con frecuencia de ser incompetentes en la vida diaria, pero estas ancdotas tienen inters desde otros puntos de vista, en cuanto contribuyen a conocer otros aspectos de la vida griega los Material compilado y digitalizado por el Prof. Jos O. Poli

18 Ctedra de Historia y fundamentos de la matemtica mercaderes; los piratas y los aprovechados funcionarios de las aduanas. Aparentemente, Hipcrates se haba iniciado deres; Aparentemente, como mercader tanto como matemtico. La combinacin no era incongruente en la comunidad grie griega. Perdidos sus bienes, se dedic a la matemtica, y fue uno de los primeros que ense por dinero. No se ve por qu no poda ser remunerado como los sofistas: podra, incluso, llamrsele sofista, pero especializado en el campo matemtico. especializado Antes de explicar su obra debemos recordar otra ancdota, que es muy tpica del clima intelectual de aquella poca. Tres famosos problemas ponan entonces a prueba la mente de los matemticos atenienses: 1) la cuadratura del mas crculo; 2) la triseccin del ngulo; 3) la duplicacin del cubo. Cmo surgieron esos tres problemas? El primero es muy antiguo, y era imposible entonces saber que no poda llegarse a una solucin exacta. Los otros dos son menos naturales. Por lo menos, dos leyendas, ambas referidas por Eratstenes, circularon con respecto al tercer problema. Eratstenes, Ser suficiente referir una de ellas. Al pueblo de Delos, agobiado por una peste, el orculo orden que duplicase cierto altar cuya forma era cbica. Por lo tanto, el problema fue llamado problema de Delos. La leyenda ofrece todos los pro os. indicios de un invento post factum. Adems, por lo que s, jams hubo altares cbicos en Delos ni en ninguna otra parte.7 Una explicacin ms simple indicara que algunos matemticos tal vez deseasen generalizar un problema de geometra plana. Para duplicar un cuadrado basta trazar un nuevo cuadrado sobre su diagonal. No poda encontrarse una regla semejante para el cubo? No era tan fcil como pareca. La aparicin de estos tres problemas, entre una infinidad de otros, es una nueva prueba del genio griego, pues todos ellos combinan una sencillez aparente con a 8 dificultades inherentes de orden superior. No pueden resolverse sino por aproximacin: el segundo y el tercero no pueden resolverse por mtodos geomtricos simples (es decir, con regla y comps), no obstante lo cual fueron resueltos tericamente por los matemticos griegos del siglo V. Hipcrates no se ocup del segundo problema, pero le debemos soluciones incompletas de los otros dos. Sus tentativas de cuadrar el crculo lo condujeron al descubrimiento de las lnulas que podan cuadrarse. Y no deja de ser o cuadrarse. curioso que descubriera tres de las cinco especies de lnulas que pueden cuadrarse de manera sencilla. Esto debi de especies ser muy excitante, pues demostr que, por lo menos, algunas figuras curvilneas eran susceptibles de cuadratura. menos, He aqu el ejemplo ms simple de las lnulas de Hipcrates. Consideremos el semicuadrado ABC inscrito en el Consideremos semicrculo de centro O (fig. 63). Tracemos otro semicrculo de dimetro AB. Los dos semicrculos son entre s como los crculos 2 2 cuadrados de sus dimetros: AC = 2AB .

Fig. 63. Las lnulas de Hipcrates de Quos

Y de ah que la mitad del semicrculo mayor sea igual al menor. Restemos de ambas reas el segmento comn, y las Restemos reas restantes, es decir, la lnula y el tringulo ABO, sern iguales. Esto es bastante simple, pero implica, sin embargo, el conocimiento de la proposicin de que los crculos estn entre s como los cuadrados de sus dimetros.9 Si Hipcrates encontr el rea de esa lnula, debe suponerse que conoca tal proposicin. Su conocimiento pudo ser intuitivo. Segn Eudemo fue capaz de demostrarla, pero, si lo hizo, intuitivo. ignoramos cmo. La obra de Hipcrates sobre la cuadratura de las lnulas es muy importante en otro sentido: es el nico fragmento atura de matemtica helnica (prealejandrina) que nos fue trasmitido ntegramente; aunque la trasmisin haya sido muy 10 indirecta y lenta. Es ste un nuevo ejemplo de cuan difcil es conocer los hechos de los primeros matemticos grie c griegos y de cun prudente ha de ser el historiador. Su solucin del tercer problema la duplicacin del cubo es igualmente interesante por lo que implica, pues la cubo demuestra que tena clara comprensin de las ra razones compuestas. Ese conocimiento derivaba de los nmeros y se vaba aplic intuitivamente a los segmentos. Si el lado del cubo dado es a, el problema consiste en determinar x tal que x3 = 2a3. Se resolva buscando dos medias proporcionales en proporcin continua entre a y 2a: a/x = x/y = y/2a, pues, entonces, x2 = ay, y2 = 2ax; de 4 3 3 3 donde x = 2a x x = 2a . A mediados del siglo V se haban establecido ya tantos teoremas geomtricos y resuelto tantos problemas que fue cada vez ms necesario poner todos esos elementos en buen orden lgico. Esto implicaba no slo la clasificacin de los resultados ya obtenidos, sino, lo que es ms importante, el rigor de las demostraciones. En muchos casos (como aca acabamos de verlo con el ejemplo de la proposicin en Euclides) el conocimiento fue intuitivo, o la demostracin, de proposici cimiento haberse hallado, no se trasmiti. Al colocar cada tema en su ubicacin lgica, los huecos eran detectados. Y a medida que se iba construyendo el edificio geomtrico, resultaba ms slido y se saba ms claramente qu era preciso hacer Universidad Autnoma de Entre Ros

Matemtica griega - 19 para aproximarlo a su fin as como a la perfeccin lgica. Parece que Hipcrates fue uno de los primeros en intentar tal tarea; es decir, fue uno de los precursores de Euclides, no slo como descubridor de proposiciones individuales, sino como constructor del monumento geomtrico llamado despus los Elementos. Si el texto de Hipcrates relativo a la cuadratura de las lnulas, que nos ha trasmitido Simplicio, fue realmente escrito por l, resulta entonces que Hipcrates fue el primer matemtico conocido que emple, letras en las figuras geomtricas, con lo cual posibilit la descripcin de esas figuras sin ambigedad.11 De esta manera se facilit enormemente la tradicin manuscrita, pues las figuras, difciles a veces de dibujar con claridad, pueden omitirse. Ya no resultan indispensables, pues el lector puede fcilmente reconstruirlas sobre la base del texto. No nos sorprenda, pues, que el empleo de las letras, por parte de Hipcrates, no sea tan simple y claro como en Euclides, pero fue un comienzo muy importante, casi necesario, para el progreso futuro de la matemtica. Hipcrates escribe "la recta sobre la cual est AB", o "el punto sobre el cual est K", mientras que Euclides, y nosotros mismos, simplemente escribimos "el segmento AB", "el punto K". Tales modificaciones se presentan reiteradamente en la historia de las notaciones matemticas y, ms generalmente, en la historia de la ciencia. Raramente el inventor es capaz de expresar su invento de la manera ms simple, y es otro hombre o muchos hombres menos inteligente, pero ms prctico que l, quien completa el invento. La invencin de Hipcrates pudo ser perfeccionada, por ejemplo, por otros maestros o hasta por estudiantes que empleasen la frase, ms breve, "el segmento AB", hasta por pura haraganera. Si Hipcrates escribi, verdaderamente, el primer texto de geometra, lo cual no slo es probable, sino verosmil, fue obligado a ajustar las demostraciones, y podemos creer la afirmacin de Proclo en el sentido de que invent el mtodo de reduccin geomtrica (apagoge), es decir, el pasaje de un problema o teorema a otro cuya solucin resulta de la solucin del anterior. Ya discutiremos este punto ms adelante. Las hazaas de Hipcrates de Quos fueron notables, tan grandes, en verdad, que puede llamrsele el padre de la geometra con el mismo derecho que asiste a Hipcrates de Cos para ser llamado padre de la medicina. Sin embargo, es mejor evitar tales metforas, pues no existen ms padres absolutos que Nuestro Padre que est en los Cielos.

Enpides de Quos12Segn Proclo (V-2), Enpides era algo ms joven que Anaxgoras. Lo sita antes de Hipcrates y Teodoro. Puede suponerse que Enpides floreci en el tercer cuarto del siglo. Es interesante observar que no slo fue contemporneo de Hipcrates, sino tambin conciudadano suyo. Debieron de conocerse en Quos o en Atenas. Si es algo ms joven que Hipcrates, o no, apenas nos interesa. Lo que importa es el orden cronolgico de los descubrimientos, que difiere del orden cronolgico de las fechas de nacimiento. Algunos realizan su mejor obra cuando jvenes; otros, cuando viejos. Enpides es ms importante como astrnomo que como matemtico, y deberemos dedicarle un espacio mayor en la segunda seccin de este captulo. Sus contribuciones matemticas son modestas, pero significativas. Fue el primero que resolvi los problemas siguientes: 1) trazar una perpendicular a una recta dada desde un punto dado; 2) por un punto dado de una recta construir un ngulo igual a un ngulo dado. Como cualquiera poda resolver estos problemas en forma aproximada, la atribucin de su solucin a Enpides significa que l fue el primero en mostrar cmo se los resolva rigurosamente con regla y comps. Tales problemas deban resolverse para posibilitar la redaccin de los Elementos, aunque Proclo diga que Enpides resolvi el primer problema por razones astronmicas. Tambin dice que Enpides design a la perpendicular con un nombre antiguo (cata gnomona en lugar de orthios). Todo esto demuestra el carcter de transicin de este perodo: el conocimiento geomtrico se ordena y cristaliza gradualmente; los Elementos estn en preparacin.

Hipias de Elis

Hipias proceda de Elis, pequeo pas en el extremo noroeste del Peloponeso, renombrado por la cra de caballos y casi sagrado para los griegos, si se tiene para ello en cuenta los juegos olmpicos que cada cuatro aos se verificaban en las llanuras de Olimpia. Naci c. 460, y es mucho mejor conocido que sus mayores, Hipcrates y Enpides, porque haba viajado considerablemente por toda Grecia, enseando y dando clases pblicas. Era una especie de sofista errante cuyas actividades fueron dominadas por la ambicin de fama y de dinero. Estaba dispuesto a discutir sobre cualquier cosa, pero se interes especialmente por la matemtica y la ciencia natural. Al llegar a Esparta se sinti contrariado, pues a los espartanos no les interesaba bastante la ciencia como para gratificar las lecciones cientficas. Dos dilogos platnicos lo inmortalizaron, el Hipias mayor y el Hipias menor, donde aparece como un sofista vano y altanero. No es atrayente, pero su fama matemtica ha quedado asegurada, sin embargo, merced a un nico descubrimiento, que es en verdad sorprendente. Con el objeto de resolver el problema de la triseccin del ngulo, Hipias invent una nueva curva, el primer ejemplo en la historia de una curva superior, curva que no poda construirse por instrumento alguno, sino nicamente por puntos. Es decir, al mismo tiempo que los mejores matemticos trabajaban ahincadamente para consolidar el coMaterial compilado y digitalizado por el Prof. Jos O. Poli

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20 Ctedra de Historia y fundamentos de la matemtica nocimiento geomtrico en un cuerpo bien ordenado, l era lo bastante audaz como para saltar fuera de dicho cuerpo y comenzar a explorar lo desconocido misterioso de su exterior. rar La curva descubierta por Hipias se llam la cuadratriz (el nombre ser justificado ms adelante), y se engendra como sigue (fig. 64). Supngase que tenemos el cuadrado ABCD (lado a) y, dentro de l, un cuadrant de crculo de ) cuadrante radio a y centro A. Supngase tambin que el radio gire con velocidad constante desde la posicin AB hasta la AD y que, al mismo tiempo, el lado BC baje hasta AD con velocidad constante, mantenindose paralelo a s mismo. El lugar de los constante, puntos de interseccin (tales como F y L) de los dos segmentos es la cuadratriz. Ahora bien, > 3 10/71.35 El escriba del papiro de Viena fue, posiblemente, un hombre de talento, y su empleo de las fracciones generales qued como excepcional: no slo los egipcios, sino tambin los griegos y los romanos prefirieron las fracciones unitarias (excepto las sexagesimales en astronoma), y esas fracciones unitarias continuaron apareciendo en textos medievales. () Notas:1 2

Para la matemtica en el siglo III a.C., ver captulos III, V, VI.

El Libro XV es obra inferior y muy posterior. Su autor fue un discpulo de Isidoro de Mileto, el arquitecto de Hagia Sofia, en Constantinopla, c. 532.3 4

Volumen II, pg. 626.

La primera concepcin de tales nmeros, atribuida a Pitgoras, fue de origen geomtrico (volumen I, pg. 253). El enunciado de Diofanto se presenta en su tratado sobre los nmeros poligonales. Ver Thomas L. Heath, Diophantus, Cambridge, 2. Ed., 1910, pg. 252.5 6 7

Sarton, "The tradition of Zenodoros", Isis 28, 461-462, 1938. Sarton, "The years forty three, Isis 34, 195, 1942-43.

No fue sino en 1884 que las propiedades isoperimtricas de la circunferencia fueron demostradas rigurosamente por Hermann Amandus Schwarz, utilizando el mtodo de Weierstrass. B. L. Van der Waerden, Science awakening, trad. Arnold Dresden, Groningen, P. Noordhoff, 1954 [Isis 46, 368, 1955], pg. 269.8

Para la relacin entre las lneas espricas y otras curvas especiales, ver R. C. Archibald, "Curves", en Encyclopaedia a Britannica (14 ed., 1929), vol. VI, pgs. 887-899, nms. 11, 58.9

Con el objeto de resolver el problema de la duplicacin del cubo, volumen II, pg. 546. Las fechas aproximadas del primero son 273-194, y del segundo, 262-190. Fueron casi exactamente contemporneos. Los correspondientes nombres castellanos, son cclea y concoide. Los matemticos posteriores llamaron a la curva Material compilado y digitalizado por el Prof. Jos O. Poli

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72 Ctedra de Historia y fundamentos de la matemtica de Nicomedes "concoide de recta", para distinguirla de la "limaon de Pascal", "concoide de circunferencia". Ver Archibald, nms. 13, 14, 57. "Concoide" y "cclea derivan de dos palabras griegas, conchos y cochlos, que significan concha. "Cochlos