95

Índice

Álgebra

Capítulo 1 – Eu sei matemática! .................................................................................100

Capítulo 2 – Conjuntos numéricos ..............................................................................104

Capítulo 3 – Números racionais ..................................................................................109

Capítulo 4 – Resolvendo problemas ........................................................................... 117

Capítulo 5 – Números irracionais e números reais .....................................................120

Capítulo 6 – Tabelas e gráficos ...................................................................................126

Capítulo 7 – Radiciação I ............................................................................................134

Capítulo 8 – Propriedade dos radicais I ......................................................................139

Capítulo 9 – Propriedade dos radicais II .....................................................................144

Capítulo 10 – Operações com radicais .........................................................................147

Capítulo 11 – A sequência de Fibonacci ......................................................................152

Capítulo 12 – Radiciação II ...........................................................................................157

Capítulo 13 – Estatística – média, mediana e moda .....................................................161

Geometria

Capítulo 1 – Projeção de figuras espaciais .................................................................166

Capítulo 2 – Altura de um triângulo............................................................................. 174

Capítulo 3 – Mediana, mediatriz e bissetriz de um ângulo ..........................................183

Capítulo 4 – Construções geométricas .......................................................................191

Capítulo 5 – Razão áurea e construção de espirais ...................................................198

Capítulo 6 – Pontos notáveis de um triângulo ............................................................ 206

Matemática

96

97

MatemáticaApresentação

Parabéns! Você está no 9o ano. Este é o último ano do Ensino Fundamental. Você tem ideia de quanta coisa aprendeu nesses anos todos? Quantos amigos, professores e funcionários da escola você conheceu?

Neste ano, você aprenderá muitos con-teúdos novos e também ampliará o seu co-nhecimento em relação a outros conteúdos que já conhece.

Por isso, dedique-se muito aos estudos e uma boa aprendizagem!

Parte 1 – Conhecendo a estrutura do material

Para que você possa tirar o máximo provei-to do material, saiba como ele foi organizado:

Para começar

Objetivo: Antes mesmo de se envolver com as atividades, você tem a oportunidade de saber o que vai estudar.Com a atividade inicial, você começa a se preparar para o conteúdo que será proposto.

Quando aparecer este desenho, você fará a atividade ou leitura com um amigo de classe.

Para continuar

Atividades para serem feitas em aula.

Para finalizarÉ um momento de conversa sobre o que foi visto.

Hoje

Agora é sua vez de avaliar o que você compreendeu do conteúdo trabalhado.

Para casa

A lição de casa é uma atividade em que você irá rever os conteúdos que foram vistos em sala de aula.

Você sabia?Compartilhe com sua família

É interessante que o assunto tratado em algumas aulas seja compartilhado com as pessoas que moram com você: são questões de saúde, preservação da natureza…

Parte 2 – Como estudar MatemáticaAssim como em outras matérias, não é

decorando os exercícios que você aprende-rá Matemática. Você precisa compreender a linguagem matemática e interpretá-la para encontrar uma solução para os problemas e atividades que você está convidado a resol-ver. Lembre-se de que há muitos caminhos para se resolver um problema matemático, siga aquele que você considera mais fácil. Algumas dicas achamos interessante passar para você:

1o Preste atenção à aula. Quando o pro-fessor estiver explicando, preste atenção, pois ele lhe dará dicas importantes para a sua aprendizagem.

2o Nunca fique com dúvidas em aula. Pergunte a seu professor e peça-lhe auxílio para compreender determinado assunto ou atividade.

3o Mantenha um caderno organiza-do. Se seu professor fizer um resumo do conteúdo da aula ou acrescentar mais al-gumas informações, registre-os em seu caderno. As resoluções de problemas e cálculos também devem ser registradas organizadamente em seu caderno. Dessa

98

forma, quando for estudar, terá em mãos todo o material necessário.

4o Estude todos os dias. Faça a tarefa de casa com dedicação e da melhor forma que conseguir. Se esforce e, se tiver um tempinho a mais, resolva novamente algu-ma atividade que você fez em aula e que tenha deixado um pouco de dúvida. Dessa forma, quando o professor fizer uma ava-liação, você não precisará estudar tudo de uma só vez.

5o Seja perseverante, isto é, nunca de-sista. Quando você considerar um conte-údo ou uma atividade difícil, lembre-se de que você é capaz de compreendê-lo. Te-nha a certeza de que é comum não conse-guirmos resolver um problema na primeira tentativa.

6º Crie o hábito de conferir sua res-posta. Após resolver um problema, leia-o novamente e verifique se sua resposta é coerente.

Professor

99

Aluno

100

Eu sei matemática!1C

apítu

lo

MatemáticaÁlgebra

Para começar

Reconhecer que eu tenho um bom co-nhecimento matemático!

Neste ano, você aprenderá muitos con-teúdos novos e ampliará seu conhecimento matemático. Hoje, você terá a oportunidade de trabalhar com algumas atividades que aprendeu em anos anteriores. Lembre-se de que tudo que você já aprendeu é muito importante para compreender o que estu-dará neste ano.

Para continuar

RevisãoATIVIDADE 1 – Há um único valor que

torna a equação verdadeira. Qual é esse valor?

4x – 2 = 5 – 3x

a) –2 d) 1 b) –1 e) 2c) 0

ATIVIDADE 2 – O valor da expressão

a3 – 3a2x2y2, para a = 10, x = 2 e y = 1 é:a) 100 b) 50 c) 250

d) –150 e) –200

ATIVIDADE 3 – Calcule:

a) 1

1016

− =

b) 0 2 0 33 2 2 0

, ,, ,

⋅−

=

ATIVIDADE 4 – Fatore 6a4b2c + 8a3b5 – 12ab3c2.

101

ATIVIDADE 5 – As figuras abaixo foram formadas por quadrados de mesmas di-mensões.

Figura A

Figura B

Figura C

Figura Da) Qual dessas figuras possui perímetro diferente das demais?

b) Qual delas possui maior área?

ATIVIDADE 6 – As retas r e s da figura seguinte são paralelas.

2α

3α

r

s

O valor de α é:a) 18° d) 36° b) 30° e) 40° c) 32°

ATIVIDADE 7 – Um dos aspectos utilizados para avaliar a posição ocupada pela mulher na sociedade é a sua participação no mercado de trabalho. O gráfico a seguir mostra a evolução da presença de homens e mulheres no mercado de trabalho entre os anos de 1940 e 2000.

908070605040302010

01940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

MulheresHomens

Porcentagem (%)

Fonte: IBGE. Anuários Estátisticos do Brasil.

102

Da leitura do gráfico, pode-se afirmar que a participação percentual do trabalho femi-nino no Brasil:a) teve valor máximo em 1950, o que não ocorreu com a participação masculina.b) apresentou, tanto quanto a masculina, menor crescimento nas três últimas décadas.c) apresentou o mesmo crescimento que a participação masculina no período de 1960 a 1980.d) teve valor mínimo em 1940, enquanto a participação masculina teve o menor valor em 1950.e) apresentou-se crescente desde 1950 e, se mantida a tendência, alcançará, a curto prazo, a participação masculina.

ATIVIDADE 8 – O professor Márcio aplicou uma prova de Matemática valendo 10 pon-tos. Para ter uma ideia do desempenho da turma, ele organizou a seguinte tabela.

Notas Alunos

Menores ou iguais a 4 6

Maiores que 4 e menores ou iguais a 7 18

Maiores que 7 16

Qual é a única alternativa que mostra um possível valor para a média aritmética das notas da turma?a) 3,9 b) 4,1 c) 4,5 d) 4,9 e) 7,9

103

ATIVIDADE 9 – Usando uma balança de dois pratos, verificamos que 4 abacates pesam o mesmo que 9 bananas e que 3 bananas pesam o mesmo que 2 laranjas. Se colocarmos 9 laranjas em um prato de balança, quantos abacates deveremos colocar no outro prato para equilibrar a balança?

a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6

104

Conjuntos numéricos2C

apítu

lo

MatemáticaÁlgebra

Para começar

Rever os conjuntos numéricos apren-didos.

ATIVIDADE 1 – Escreva, quando for possível, os números que são pedidos:

a) Os números naturais menores que 4.

b) Os números inteiros maiores que –3 e menores que 2.

c) O número natural que é solução da equação x + 4 = 2

d) O número inteiro que é solução da equação 4x + 3 = 1

e) Um número racional que seja maior que 0 e menor que 1.

Para continuar

Conjuntos numéricosAo longo dos anos de estudo, você vem

acompanhando a ampliação dos conjuntos numéricos. Vamos recordar esses conjun-tos e as relações entre eles.

Conjunto dos números naturais ( ) O primeiro conjunto numérico que você

estudou foi o dos naturais. Relembre:

= {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

Observações • O conjunto dos números naturais é in-

finito.• Os números naturais são inteiros posi-

tivos e o zero.

Conjunto dos números inteiros ( ) O conjunto dos números inteiros é for-

mado pelos números:

= {…, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

Observações• O conjunto dos números inteiros é in-

finito.• Os números inteiros são positivos, ne-

gativos e o zero.• O conjunto dos números naturais está

incluído no conjunto dos números in-teiros.

Veja a última observação:

= {..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

ATIVIDADE – Determine os números de forma que:

a) a soma de dois números naturais seja igual a zero.

105

b) a soma de dois números inteiros dife-rentes seja igual a zero.

Para continuar

Conjunto dos números racionaisOs números racionais são todos aque-

les que podem ser expressos na forma de fração com numerador inteiro e denomi-nador inteiro e não nulo. Dessa maneira, o número 2 é um número racional, pois pode ser escrito sob a forma de fração; por

exemplo, 84

.

Observações• Os números racionais são infinitos.• O conjunto dos números inteiros está

incluído no conjunto dos números ra-cionais.

ATIVIDADE 1 – Julque verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações adiante

referentes ao número − 486

:

Ele é um número natural.

Ele é um número inteiro.

Ele é um número racional.

ATIVIDADE 2 – Apenas um dos núme-ros abaixo é natural. Qual é esse número?

223

312

412

151

188

ATIVIDADE 3 – Escreva os números ra-cionais a seguir na forma de fração:

a) 3 –

b) 2,5 –

c) 0,5 –

d) 0 –

ATIVIDADE 4 – Represente, na reta nu-mérica, os números a seguir:

a) –3,4 d) 64

b) 0,1 e) –0,6

c) 0,7

0

ATIVIDADE 5 – Joana e seu irmão estão re-presentando uma corrida em uma estrada assi-nalada em quilômetros, como na figura abaixo:

0 1 km 2 kmPartida

A B

Joana marcou as posições de dois cor-redores com os pontos A e B. Esses pontos — A e B — representam que os corredores já percorreram, respectivamente, em km:

a) 0,5 e 134

c) 14

e 2,75

b) 0,25 e 104

d) 12

e 2,38

106

ATIVIDADE 6 – O número 0,666… é igual a uma fração f. Essa fração está represen-tada na reta numérica da figura abaixo:

0 1–1 2

C DA B

O ponto que representa a fração f é:

a) A c) B

b) C d) D

Para finalizar

Você pôde rever alguns conceitos sobre os conjuntos numéricos de forma sucinta. Lembre-se de que o surgimento desses nú-meros e a sua utilização na vida da huma-nidade demoraram séculos para se conso-lidar. Você verá que ainda existem outros conjuntos, mas essa é outra história.

Hoje

EU SIM

MAS TENHO

ALGUMAS DÚVIDAS

NÃO

Fiz todas as atividades.

Li o texto teórico.

Compreendi o que eu li.

O que eu mais gostei de aprender hoje…

Para casa

TAREFA 1– Considere os números a se-guir:

–4

–3,12

155

–

142

23

–

0

Leia as pistas abaixo e descubra qual deles é, ao mesmo tempo:

• maior que –3,1;• racional;• inteiro;• não natural.

Esse número é .

107

TAREFA 2 – Para esta tarefa você pre-cisa de:

ME

DIO

IMA

GE

S/P

HO

TOD

ISC

/GE

TT

Y IM

AG

ES

ME

DIO

IMA

GE

S/P

HO

TOD

ISC

/GE

TT

Y IM

AG

ES

ME

DIO

IMA

GE

S/P

HO

TOD

ISC

/GE

TT

Y IM

AG

ES

• três objetos quaisquer de tamanhos diferentes que tenham base circular. Pode ser um prato, pires, lata, copo, cesto de lixo, CD…

• uma régua e uma fita métrica. Se você não tiver uma fita métrica, pode utilizar barbante, linha, lã ou tirinha de papel para fazer as medições do diâmetro e da circunferência, conforme indicadas no desenho abaixo:

Medida do diâmetro Medida do comprimento dacircunferência

108

Se você utilizar barbante ou qualquer outro material para medir o objeto, verifique com o auxílio da régua a medida do barbante. Procure ser o mais exato possível.

Anote, em uma tabela, os dados que você obteve nas medições e a que objeto se re-ferem.

Objeto Diâmetro Circunferência

109

Números racionais3C

apítu

lo

MatemáticaÁlgebra

Para começar

Ampliar o conjunto dos números racionais.

ATIVIDADE – Considere as retas abaixo representadas.

0– 1 1 2 3– 2– 3

B C A

0– 1 1 2 3– 2– 3

A B C

0– 1 1 2 3– 2– 3

C A B

0– 1 1 2 3– 2– 3

A C B

I

II

III

IV

A reta que contém os pontos A, B e C, valendo respectivamente − 32; 0,333… e 1, está in-

dicada por:

Para continuar

Dízimas periódicas simplesNa atividade inicial, um dos números

que deveriam ser localizados na reta era o 0,333… Em anos anteriores, você já es-tudou que esse número decimal é uma

dízima. Como após a vírgula só apare-cem algarismos que se repetem, essa dízima é chamada de dízima periódica simples. Dessa forma, 0,333… é uma dí-zima periódica simples, cujo período é o algarismo 3.

Outro exemplo:0,1818… é uma dízima periódica sim-

ples, de período com dois algarismos, 18.

a) I b) II c) III d) IV

110

Em vez das reticências, podemos identificar o período colocando um traço horizon-tal acima do período. Nos exemplos acima, a identificação será:

0,333… = 0,30,181818… = 0,18

As dízimas periódicas são números racionais e podem ser escritas sob a forma de fração.

Veja os exemplos:

0,333... = 39

Período

Quantidade de noves igual à quantidade de algarismos do período

Período

Quantidade de noves igual à quantidade de algarismos do período

Essas frações são chamadas de geratriz, isto é, é a fração que gera, que dá origem à dízima.

ATIVIDADE – Determine a fração geratriz das dízimas abaixo:

a) 0,444… =

b) 0,7272… =

c) 0,425425… =

d) 0,25 =

Para continuar

Dízimas periódicas compostasObserve o exemplo a seguir:

0,5666…Como após a vírgula aparece o algarismo 5 que não se repete, esse número decimal é

chamado de dízima periódica composta.Outra forma de representá-la seria:

0,5666… = 0,56Observe que o traço aparece apenas sobre o algarismo 6, que é o período.Nessa dízima, há um período de um algarismo (6) e uma parte não periódica (5), tam-

bém de um algarismo.Para obtermos a fração geratriz dessa dízima, devemos proceder da seguinte forma:

111

0,56 = 56 – 590

Número formado com a parte não periódica e o período menosa parte não periódica

Quantidade de noves igual à quantidade de algarismos do período, seguida de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica

Dessa forma, a geratriz é:

0 5656 5

905190

, = − =

Quer conferir? Basta dividir 51 por 90.

ATIVIDADE – Determine a fração geratriz das dízimas a seguir:a) 0,4333… =

b) 0,7222… =

c) 0,425 =

d) 0,1342 =

112

Para continuar

Os números na história da civilizaçãoOs números surgiram da necessidade do homem ao longo de sua história e de sua evolu-

ção. De riscos feitos em ossos e pedaços de madeira à criação de símbolos para representar as quantidades de objetos e números que representassem partes de um inteiro, transcorre-ram milhares de anos. Com a evolução, a humanidade “descobriu” outros números.

Veja como um desses números pode ser obtido. Vamos colocar uma roda de bicicleta no chão e marcar com uma fita verde o ponto em que a roda está apoiada. Vamos, tam-bém, marcar no chão, em vermelho, o ponto de apoio.

Girando essa roda sobre o chão até a fita verde estar apoiada novamente no chão, teremos dado uma volta inteira na roda. Marcamos no chão, com outro ponto vermelho, um novo ponto de contato.

As marcas feitas no chão são mostradas na figura a seguir:

A distância entre esses dois pontos representa o comprimento da roda.

Se fosse feita a mesma experiência, mas com uma roda maior que a anterior, a dis-tância entre os pontos marcados no chão seria maior ou menor que a distância obtida anteriormente? Justifique sua resposta.

113

Você deve estar se perguntando: qual é o número que estamos procurando? Faça as atividades a seguir e vamos determiná-lo.

ATIVIDADE 1 – Na sua tarefa de casa, você mediu três objetos com bases circulares. Anote na tabela a seguir esses dados. Para calcular os dados da 4ª coluna, faça a divisão do comprimento da circunferência pelo diâmetro com o auxílio de uma calculadora.

ObjetoComprimento da circunferência C

Diâmetrod

Cd

Agora, observando os seus dados e os de seu amigo, responda:a) Vocês mediram objetos iguais?

b) Quem mediu o maior objeto? Como você sabe que esse objeto é o maior?

c) Quem mediu o menor objeto?

d) Observando a coluna em que estão os resultados da divisão, o que você observa?

ATIVIDADE 2 – Uma lata para colocar clipes tem as seguintes medidas.

ObjetoComprimento da circunferência C

Diâmetrod

Cd

Lata 15 cm 4,8 cm

a) Calcule o quociente do comprimento da circunferência pelo diâmetro. Registre na tabela.

114

b) O valor encontrado nessa divisão é próximo ao que você e seu amigo encontraram na atividade anterior?

Para continuar

Um número irracionalAo fazerem os cálculos nas atividades anteriores, vocês podem não ter obtido o mesmo

número, mas esse número estava próximo de 3. Se as medições feitas por você e seu amigo fossem muito precisas, o resultado das divisões seria aproximadamente igual a 3,14159…

Esse número já era bastante conhecido há alguns milhares de anos pelos egípcios. Eles descobriram que, dividindo o comprimento de um círculo por seu diâmetro, obtinham o mesmo resultado, que era maior que 3.

No século XVIII, esse número foi chamado pi e passou a ser representado pela letra grega π.

Outra curiosidade é o registro feito por um dos escribas egípcios, Ahmes, que escre-veu que “a área de um campo circular com 9 unidades de diâmetro é a mesma de um quadrado de 8 unidades de lado”. É possível verificar essa constatação, dispondo 64 círculos idênticos com 1 unidade de diâmetro em um quadrado e em um círculo, confor-me é mostrado nas figuras abaixo.

Área do quadrado = Aquadrado = 82 = 64

115

Área do círculo = π ⋅ r 2

Acírculo = π ⋅ 92

2

= π ⋅ (4,5)2 = π ⋅ 20,25

Como Ahmes afirmava que essas áreas são iguais, então:64 = π ⋅ 20,25 ⇒ π 3,16049

Veja que essa é uma boa aproximação se levarmos em conta que foi determinada há milhares de anos.

As últimas aproximações desse número já possuem mais de 200 bilhões de casas de-cimais — as trinta primeiras são:

π = 3,141592653589793238462643383279…

Como você pode verificar, esse número não é uma dízima periódica. Portanto, não é um número racional, isto é, não pode ser escrito na forma fracionária com numerador inteiro e denominador inteiro não nulo. O π, portanto, é exemplo de um número irracional.

Quais seriam os outros números irracionais? Essa é outra história, que veremos em outra aula.

Para finalizar

É interessante observar como a curiosidade dos povos foi determinante para a evolu-ção da humanidade — mesmo sem recursos tecnológicos, muitos conhecimentos que hoje são utilizados em diferentes situações foram determinados e construídos por eles. Isso vale como exemplo para nós: é fundamental que sejamos curiosos e dispostos a pesquisar e estudar para responder às nossas curiosidades.

116

Hoje

EU SIMMAS TENHO ALGUMAS DÚVIDAS

NÃO

Fiz todas as atividades.

Li o texto teórico.

Compreendi o que eu li.

O que eu mais gostei de aprender hoje…

Para casa

TAREFA 1 – A parte decimal da repre-sentação de um número segue o padrão de regularidade indicado: 0,12112111211112…. Esse número é: a) racional não inteiro. b) inteiro negativo. c) irracional negativo. d) irracional positivo.

TAREFA 2 – A representação fracionária da dízima 2,444… é:

a) 29

b) 49

c) 229

d) 249

117

Resolvendo problemas4C

apítu

lo

MatemáticaÁlgebra

Para começar

Resolver problemas lógicos.

ATIVIDADE – Os números que aparecem em cada quadro foram colocados de forma a obedecer a uma regra e, em cada quadro, há um número faltando. Descubra que números são esses. Ah! Há mais uma dica: cada quadro possui uma regra diferente.

A B C

9

3

9

2

12

5

4

2

16

8

242015

5

21

Para continuar

Problemas lógicos

São chamados de problemas lógicos aqueles que possuem uma regra, uma lei de formação ou utilizam um raciocínio que vai além do uso de um cálculo ou de uma fór-mula. Para resolvê-los, você deve desvendar o mistério que existe neles. As estratégias de resolução são muitas, e é muito comum que algumas pessoas os resolvam de forma diferente. Qual é o objetivo de resolver um problema desses? Além de desenvolver um raciocínio mais lógico, à medida que você os resolve, executa um trabalho matemático bastante interessante de investigação de re-gras de formação, de observação de seme-lhanças e de diferenças. Portanto, arregace as mangas e se envolva em cada um deles. Em alguns, pode haver uma dica que o (a) ajude a organizar seu raciocínio.

ATIVIDADE 1 – Os quadros do ta-buleiro da figura devem ser preenchidos de modo que:

• nos quadrados de cada uma das re-giões na forma de “t”, apareçam os números 1, 3, 5 e 7 ou os números 2, 4, 6 e 8;

• em quadrados com um lado comum, não apareçam números consecuti-vos.

Qual é a soma dos números que vão aparecer nos quadrados roxos?

1

3

7

8

5

6

2

4

a) 12b) 14c) 16d) 18e) 20

118

ATIVIDADE 2 – Um senhor deseja transportar, para a outra margem do rio, uma ove-lha, um lobo e uma caixa de verduras, um de cada vez. Mas ele não pode deixar juntos em uma mesma margem a ovelha com a caixa de verduras nem a ovelha com o lobo. Como ele deverá fazer? Qual é o número mínimo de viagens necessárias? Compare com seus amigos seus resultados.

ATIVIDADE 3 – Em alguns dos 16 quadrados há alguns desenhos (barras, bolas ou quadrados) em diferentes quantidades. Do lado direito, há dois outros quadrados (A e B) que devem ser encaixados em duas das casas numeradas. Em quais das casas numera-das devem ser colocados esses dois quadrados? Há uma regra que deve ser obedecida: os quadrados A e B não podem ser colocados em linhas ou colunas que já tenham dese-nhos da mesma cor, forma ou com mesmo número de desenhos.

1 2

3

4

6

5

119

A

B

ATIVIDADE 4 – Na figura, há 17 gravetos que formam 6 quadrados pequenos. Retire apenas 5 gravetos de modo que ainda res-tem 3 quadrados completos.

Para finalizar

Há muito raciocínio matemático nesses problemas, mas a forma como eles são apresentados faz com que nem se perceba que se está fazendo cálculo, analisando se-quências… Em outras aulas, outros proble-mas com outros textos e contextos serão apresentados. Até lá!

Hoje

EU SIM

MAS TENHO

ALGUMAS DÚVIDAS

NÃO

Fiz todas as atividades.

Li o texto teórico.

Compreendi o que eu li.

O que eu mais gostei de aprender hoje…

Para casa

TAREFA – Com cinco palitos de fósforo, foi formada a figura de uma pá. Mudando de lugar apenas dois fósforos, faça com que o lixo fique fora da pá.

120

Números irracionais e números reais

5Cap

ítulo

MatemáticaÁlgebra

Para começar

Identificar outros números irracionais.

ATIVIDADE – Calculando-se 30, ob-tém-se 5,4772255…, número que tem re-presentação decimal infinita, mas não é dí-

zima periódica. Conclui-se então que 30 é um número:a) natural.b) inteiro.c) racional.d) irracional.

Para continuar

Números irracionais Nós vimos que o número π é um

número irracional já conhecido pelos egípcios há milhares de anos. Na Gré-cia Antiga, o matemático e filósofo Pitá-goras e seus discípulos, chamados de pitagóricos, consideravam os números inteiros como essência de todas as coi-sas. As questões práticas e teóricas da vida do homem podiam ser explicadas por meio das propriedades dos números inteiros. Para eles, “os números formam o céu todo”. Um discípulo de Pitágoras, ao calcular a diagonal de um quadrado de medida 1 unidade, surpreendeu-se com um novo número que não era uma razão entre dois números inteiros. Como não era conveniente que fosse divulgada a descoberta feita por esse discípulo, os pitagóricos ocultaram por muito tempo a existência desses números.

Que número seria esse? Utilizando o teore-ma de Pitágoras, podemos determinar a medi-da da diagonal.

x 1 unidade

x2 = 12 + 12 x2 = 1 + 1 x2 = 2

Logo: x = 2

Assim como 2, outras raízes são nú-meros irracionais:I. As raízes quadradas de números que não sejam quadrados perfeitos:

2 3 5 6 7 8, , , , , ,

II. As raízes de outras ordens em que não seja possível obter números racionais como resultado de sua extração:

2 3 2 53 3 4 4, , , ,

ATIVIDADE 1 – Verifique quais nú-meros são irracionais:

a) 12 d) 64

b) 16 e) 83

c) 24 f) 163

121

ATIVIDADE 2 – O número 17 está localizado entre quais números?a) 1 e 2 d) 4 e 5b) 2 e 3 e) 5 e 6c) 3 e 4

Para continuar

Números irracionais na reta numéricaNão é possível localizar precisamente os números irracionais em uma reta numérica.

Acompanhe como podemos localizar 2 na reta numérica, utilizando compasso, régua, calculadora e lápis.a) A reta numérica a seguir foi construída com unidade de medida de 1 cm.

0 1 2 3 4 5–1–2–3–4–5

b) Como vimos, o valor de 2 foi determinado pelos gregos como a diagonal de um qua-drado. Vamos aproveitar essa mesma ideia, utilizando um triângulo retângulo de catetos iguais a 1 cm. Para facilitar a construção, traçamos uma reta paralela à reta numérica com distância de 1 cm desta.

0 1 2 3 4 5–1–2–3–4–5

1 cm

c) Dessa forma, podemos traçar os catetos do triângulo construindo um ângulo de 90° em 1.

0 1 2 3 4 5–1–2–3–4–5

d) Unindo os vértices, teremos a medida 2.

0 1 2 3 4 5–1–2–3–4–5

2

122

e) Para transportar essa medida para a reta numérica, basta colocar a ponta-seca do compasso no 0 (origem) da reta numérica e, com a abertura igual a essa diagonal, traçar um arco, conforme aparece nas figuras a seguir.

0 1 2 3 4 5–1–2–3–4–5

2

0 1 2 3 4 5–1–2–3–4–5

2

0 1 2

2

3 4 5–1–2–3–4–5

2

Se fosse feito um arco para a esquerda, teríamos a localização de − 2.

0 1 2 3 4 5–1–2–3–4–5

2

22–

Observações• Lembre-se de que os números estão localizados na reta numérica simetricamente

em relação ao ponto de origem 0.

• É possível perceber que a localização de 2 se encontra em 1 e 2 e, mais preci-samente, entre 1 e 1,5.

• Usando a calculadora, verificamos que 2 1,4142135…

O símbolo significa “aproximadamente igual”.

Como podem ser localizados os números irracionais 3 5 6 7 8, , , , ,?

123

ATIVIDADE 1 – Agora é sua vez! Acompanhe os passos para localizar 3 3e − .

a) Na figura a seguir, já foi traçada uma perpendicular à reta numérica em 2. A nova

diagonal refere-se ao triângulo de catetos 2 e 1 cm.

0 1 2 3 4 5–1–2–3–4–5

2

A

b) Coloque a ponta-seca do compasso em 0 e abra-o até o ponto A (encontro da per-pendicular com a paralela). Trace o arco até encontrar a reta numérica. Esse ponto indica

a localização de 3.

0 1 2 3 4 5–1–2–3–4–5

2

A

c) Faça o arco para a esquerda e determine − 3.

d) O valor de 3 está entre e .

ATIVIDADE 2 – Faça o que se pede:

a) Procedendo de modo análogo ao da atividade 1, marque 5 , − 5, 6 e − 6 na reta numérica a seguir.

0 1 2 3 4 5–1–2–3–4–5– 2 2

2

– 3 3

b) Antes de localizar 5 , você teve de localizar um número racional. Que número é esse?

c) Qual será o próximo número racional que você localizará com esse processo?

124

ATIVIDADE 3 – Observe a reta numérica:

0 1 2–1–2

A B C

Os números A, B e C são, respectivamente:

a) –1,5; 6

10; 2 b)

−1510

; –0,6; 2 c) 1,5; 0,6; 1,5 d) 1,5; 2 ; π

Para continuar

Números reaisAté aqui estudamos os conjuntos dos números naturais, dos inteiros, dos racionais e

dos irracionais. Reunindo todos eles em um único conjunto, teremos o conjunto dos nú-meros reais ( ).

Nós também já vimos que o conjunto dos números naturais está incluído no conjunto dos números inteiros e que estes estão incluídos no conjunto dos números racionais. Vimos, também, que o conjunto dos números irracionais é considerado um conjunto à parte, isto é, nenhum desses números é considerado natural, inteiro ou racional.

Há uma forma de se organizar esse raciocínio por meio de um esquema que chama-mos de diagrama de Venn e que mostra as ligações existentes entre esses conjuntos.

John Venn (1834-1923) foi um matemático e lógico inglês que criou os diagramas que levam seu nome.

Diagrama de VennAnalisando o diagrama, vemos que o conjunto dos números reais inclui os números

naturais, inteiros, racionais e irracionais.

Números racionais

Números reais

Númerosinteiros

Númerosnaturais

Númerosirracionais

a) O conjunto dos números racionais inclui qual(is) conjunto(s)?

b) O conjunto dos números inteiros inclui qual(is) conjunto(s)?

125

Para finalizar

Durante séculos, não se aceitou a exis-tência dos números irracionais. Como vi-mos, essa dificuldade começou com os gregos por causa dos princípios filosóficos de que os números eram a base da vida e que apenas pelos números e pelas formas figurativas o homem podia compreender a natureza do Universo. Como você pode ver, a Matemática está muito ligada à vida da humanidade, quer por suas crenças, ne-cessidades e curiosidades. E ainda conti-nua sendo assim…

Hoje

EU SIM

MAS TENHO

ALGUMAS DÚVIDAS

NÃO

Fiz todas as atividades.

Li o texto teórico.

Compreendi o que eu li.

O que eu mais gostei de aprender hoje…

Para casa

TAREFA – Você já viu que 2 está loca-lizado entre 1 e 2 ou, utilizando os radicais,

entre 1 e 4 . Complete o quadro a seguir, indicando a localização dos seguintes nú-meros:

Os números a seguir

estão localizados

entre

2 1 e 2 1 4e

3

5

6

7

8

10

11

12

126

Tabelas e gráficos6C

apítu

lo

MatemáticaÁlgebra

Para começar

Ler gráficos e trabalhar com seus dados.

ATIVIDADE – Muitos países, como a Alemanha, os Estados Unidos e o Japão, estão criando e desenvolvendo produtos, mas a fabricação está sendo feita em outros países, como a China, a Índia e a Coreia do Sul. Dessa forma, os países que têm as ideias estão deixando de ser sociedades industriais para serem economias do conhecimento. Segundo um relatório divulgado pela Organização Mundial de Propriedade Intelectual, o Brasil ocupa apenas a 21a posição no ranking de pedidos de patentes internacionais.

Patentes: registros feitos em órgão do governo para proteger um invento, produto ou pesquisa. Dessa forma, previne-se que concorrentes copiem e vendam esse produto.

O gráfico a seguir mostra a situação do Brasil em relação a outros três países emer-gentes.

Patentes registradas nos Estados Unidos

0

1.000

2.000

3.000

4.000

5.000

6.000

7.000

8.000

Brasil China Índia Coreia do Sul

7.264

4.132

5783561.235

424118180

20032007

Fonte: Adaptado de Veja.

O Brasil tem a 10ª maior economia, mas ocupa o 21º lugar no ranking mundial de patentes. Os brasileiros publicam 2% dos artigos científicos do mundo, mas registram apenas 0,2% das patentes.

De acordo com o gráfico, responda:a) Qual país teve queda na quantidade de patentes registradas entre 2003 e 2007?

127

b) Qual país teve maior aumento no regis-tro de patentes? Calcule a porcentagem de aumento de registros desse país.

Para continuar

Gráficos, uma linguagem cada vez mais utilizada

Você já está bastante acostumado com essa forma de apresentar diversos dados. Cada vez mais, os gráficos estão sendo utilizados em jornais, revistas, televisão, relatórios e apresentações de dados em empresas, na educação. Em meios de co-municação, os gráficos mais utilizados são os pictóricos, pois são visualmente mais interessantes para expor os dados. Vamos trabalhar com diferentes gráficos e fazer al-gumas análises de seus dados.

ATIVIDADE 1 – Uma pesquisa feita com 1.000 pessoas de diferentes níveis de escolaridade mostrou que os brasileiros desconhecem a localização de seu próprio país. Para a pesquisa, foi dado às pessoas um mapa-múndi, e elas deveriam indicar a localização do Brasil, da França, da Argen-tina, dos Estados Unidos e do Japão.a) Antes de analisar os resultados dessa pesquisa, teste você o seu conhecimento so-bre a localização geográfica desses países. Indique em que continente cada país fica, re-gistrando suas respostas no quadro abaixo.

País Continente Não sei

Argentina

Brasil

Estados Unidos

França

Japão

b) Indique no mapa a localização de cada país citado na pesquisa.

OCEANOATLÂNTICO

OCEANOÍNDICO

OCEANOPACÍFICO

OCEANOPACÍFICO

MAPA-MÚNDI

EQUADOR

CÍRCULO POLAR ANTÁRTICO0 2461

km

TRÓPICO DE CAPRICÓRNIO

TRÓPICO DE CÂNCER

CÍRCULO POLAR ÁRTICO

América do Norte

América Central

América do Sul

África

EuropaÁsia

Oceania

128

c) Confira com seu (sua) colega as suas respostas. No quadro abaixo, marque um X indicando se um(a) de vocês, os (as) dois (duas) ou nenhum(a) acertou o continente e a localização de cada país.

PaísContinente Localização não sei

Um Dois Nenhum Um Dois Nenhum Um Dois Nenhum

Argentina

Brasil

Estados Unidos

França

Japão

d) Pesquise os resultados com mais quatro grupos de amigos, totalizando, dessa forma, dez pessoas incluindo você. Registre no qua-dro abaixo o resultado da pesquisa, indican-do o percentual de acerto em cada caso.

PaísContinente Localização

Não sei

% de acerto

% de acerto %

Argentina

Brasil

Estados Unidos

França

Japão

e) Verifique se os resultados obtidos por vocês são os mesmos da pesquisa feita.

97% não sabemPara 3%, fica na GroenlândiaPara 2%, na AlemanhaPara 2%, na UcrâniaPara 2%, na Arábia SauditaPara 2%, na Argélia

ONDE FICA A FRANÇA?

129

82% não sabemPara 4%, ficam na RússiaPara 7%, no CanadáPara 2%, na Groenlândia

ONDE FICAM OSESTADOS UNIDOS?

50% não sabemPara 2%, fica na RepúblicaDemocrática do CongoPara 2%, na ArgentinaPara 1%, no Chade

ONDE FICA O BRASIL?

92% não sabemPara 7%, fica na AustráliaPara 4%, na IndonésiaPara 4%, na GroenlândiaPara 3%, na ChinaPara 2%, na Rússia

ONDE FICA O JAPÃO?

84% não sabemPara 5%, fica na BolíviaPara 3%, no PeruPara 2%, na AustráliaPara 2%, no México

ONDE FICA A ARGENTINA?

130

ATIVIDADE 2 – Esta questão fez parte do exame vestibular de 2009 da Fundação para o Vestibular de São Paulo (Fuvest). Ela é muito interessante, pois é necessário fazer a leitura de dois gráficos para poder analisar cada uma das alternativas. Não é necessário fazer nenhum cálculo nem ter conhecimento sobre os países citados, mas fazer uma boa leitura e análise.

Densidade demográfica em 15 cidades – 1995

Habitantes por hectare

0

Atlanta

Nova York

Perth

Vancouver

Zurique

Munique

Bangcoc

Tóquio

São Paulo

Curitiba

Hong Kong

Cracóvia

Bogotá

Xangai

Cidade do Ho Chi Minh

40035030025020015010050

131

Litros por pessoa

Consumo de gasolina em transporte particular de passageiros em 15 cidades – 1995

0

Atlanta

Nova York

Perth

Vancouver

Zurique

Munique

Bangcoc

Tóquio

São Paulo

Curitiba

Hong Kong

Cracóvia

Bogotá

Xangai

Cidade do Ho Chi Minh

500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000

Fonte: Adaptado de O estado do mundo em 2007. Nosso futuro urbano (2007 State of the world. Our Urban Future). Linda Starke (ed.). Nova York e Londres: W.W. Norton & Company, 2007.

132

Com base nesses gráficos sobre 15 cidades, pode-se concluir que, no ano de 1995:a) nas três cidades da América do Sul, vale a regra: maior população, por hectare, acar-reta maior consumo de gasolina no transporte particular de passageiros.b) as cidades mais populosas, por hectare, são aquelas que mais consomem gasolina no transporte particular de passageiros.c) as três cidades com o menor número de habitantes, por hectare, são aquelas que mais consomem gasolina no transporte particular de passageiros.d) nas três cidades da América do Norte, vale a regra: maior população, por hectare, acarreta maior consumo de gasolina no transporte particular de passageiros.e) as três cidades mais populosas da Ásia, por hectare, estão entre as quatro com me-nor consumo de gasolina no transporte particular de passageiros.

Para finalizar

Você teve oportunidade de resolver uma questão que envolve conceitos de Geografia, mas que pode ser facilmente resolvida se for feita uma leitura adequada. Ler um gráfico é retirar dele todos os seus dados e analisá-lo apenas com os dados fornecidos.

Hoje

EU SIMMAS TENHO ALGUMAS DÚVIDAS

NÃO

Fiz todas as atividades.

Li o texto teórico.

Compreendi o que eu li.

O que eu mais gostei de aprender hoje…

133

Para casa

TAREFA – Observe o gráfico abaixo sobre a duração de pilhas de lanterna.

0h a 1h0 1h a 2h 2h a 3h 3h a 4h 4h a 5h

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Duração (horas)

Freq

uênc

ia (n

úmer

o de

pilh

as)

Quantas pilhas duraram mais que 3 horas?

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40

134

Radiciação7C

apítu

lo

MatemáticaÁlgebra

Para começar

Determinar a raiz quadrada exata e não exata de um número.

ATIVIDADE – Em anos anteriores, você já aprendeu que extrair a raiz quadrada de um número é determinar a medida do lado do quadrado que possui esse número como

área. Por exemplo, ao calcular 25, estamos determinando o lado do quadrado que pos-

sui 25 unidades quadradas de área. Como já sabemos, 25 = 5.

Mas, se não sabemos o valor de 121, como podemos determinar a medida do lado desse quadrado de área 121 unidades quadradas? Utilize o quadriculado adiante e deter-mine o lado desse quadrado.

135

Para continuar

Raiz quadradaAo realizar a atividade anterior, você

pôde utilizar o quadriculado e, dessa forma, determinar um quadrado com 121 quadra-dinhos de área. É claro que esse recurso não é o mais interessante para determinar a raiz quadrada de números maiores.

Podemos utilizar a fatoração de núme-ros primos para determinar a raiz quadrada, além do uso da calculadora, é lógico! Como

exemplo, vamos determinar 324 .324

162

81

27

9

3

1

2

2

3

3

3

3

Como estamos determinando a raiz quadrada, separamos os fatores primos em dois grupos iguais: 2 x 3 x 3. Portanto,

324 = 18.Mas, e se a raiz não for exata, o que

deverá ser feito?Vamos determinar 392.

392

196

98

49

7

1

2

2

2

7

7

Separando em dois grupos, temos: 2 x 7 e ainda resta o fator 2. Dessa forma, veri-ficamos que essa raiz não é exata.

Então, já determinamos que 392 é maior que 14 (2 x 7). Como resta um fator

igual a 2, e sabemos que 2 é, aproxima-damente, igual a 1,41, temos:

14 x 1,41 19,74Verificando na calculadora, vemos

que:

392 19,7989 ou 19,8.

Mas, e se não soubéssemos que 2 1,41? Faríamos por tentativa, verificando os produtos de números iguais; por exemplo:

14 x 14 = 196 ⇒ o produto é muito me-nor que 392.

20 x 20 = 400 ⇒ o produto é maior que 392, mas está bem próximo dele.

Portanto, podemos induzir que 392 19.

Para obtermos um valor mais aproxi-mado, podemos fazer os cálculos de, por exemplo, 19,5 x 19,5, e assim por diante, até chegarmos a 19,8.

ATIVIDADE 1 – A raiz quadrada de 882 está entre os números:a) 10 e 20b) 20 e 30c) 30 e 40d) 40 e 50

136

ATIVIDADE 2 – Se 3 1,73, deter-

mine 192 , com duas casas decimais.

ATIVIDADE 3 – Uma das raízes a se-guir é exata. Identifique qual é e determine seu valor.

a) 125

b) 248

c) 1 024.

Para continuar

Raiz cúbicaDa mesma forma que extraímos a raiz

quadrada de um número, podemos extrair a raiz cúbica, por exemplo. Podemos fato-rar de maneira análoga à feita na raiz qua-drada, mas agora deveremos formar três grupos iguais de fatores primos.

Veja o exemplo: 2163 = 2 x 3 = 6

216

108

54

27

9

3

1

2

2

2

3

3

3

Nós vimos que calcular a raiz quadra-da de um número é determinar a medida do lado de um quadrado. Assim, extrair a raiz cúbica é determinar a medida da aresta de um cubo. Observe como seria o cubo do exemplo anterior. Se “fatiássemos” esse cubo em 6 partes iguais, teríamos, em cada parte, 36 cubos, totalizando assim 6 x 36 = 216 cubos. Dessa forma, 216 é o volume desse cubo.

ATIVIDADE 1 – Determine as seguin-tes raízes:

a) 5123

137

b) 1 7283 .

ATIVIDADE 2 – O volume de um cubo é 125 unidades cúbicas. Qual é a medida da aresta desse cubo?

Para finalizar

Ao longo da História, o ser humano foi determinando diferentes formas para extrair a raiz quadrada de um número. Atualmen-te, utilizamos a calculadora como uma fer-ramenta para realizar esses cálculos mais rapidamente; mas é importante saber reali-zar alguns cálculos, uma vez que em con-cursos, vestibulares e em algumas outras situações a calculadora não pode ser utili-zada.

Hoje

EU SIM

MAS TENHO

ALGUMAS DÚVIDAS

NÃO

Fiz todas as atividades.

Li o texto teórico.

Compreendi o que eu li.

O que eu mais gostei de aprender hoje…

138

Para casaTAREFA 1 – Para determinar a raiz quarta, você pode utilizar o mesmo raciocínio

experimentado em aula, formando 4 grupos iguais de fatores primos ou extraindo duas ve-

zes a raiz quadrada, caso esteja usando a calculadora. Veja o exemplo a seguir: 20 7364 .

As teclas que deverão ser utilizadas são:

20736 144 12

Resposta decalculadora

Resposta decalculadora

Determine estas raízes usando a calculadora:

a) 14 6414 .

b) 6 5614 .

TAREFA 2 – Determine a raiz quinta de 7.776.

139

Propriedade dos radicais I

8Cap

ítulo

MatemáticaÁlgebra

Para começar

Identificar as propriedades dos radi-cais.

ATIVIDADE – Qual dos números abaixo é o maior?

233

323

2333

32

Para continuar

1ª propriedade dos radicais

Você já sabe que as propriedades matemáticas são importantes para facilitar os cálculos escrito e mental. Iremos es-tudar algumas propriedades dos radicais para que, depois, possamos realizar alguns cálculos com eles. Acompanhe com seu amigo as explicações e complete os racio-cínios quando solicitado. Mãos à obra!

Você sabe quanto é 325 ? Nós já traba-lhamos esse cálculo, lembra? Fatore o nú-mero 32.

32

Quantos fatores 2 você encontrou nessa fatoração? Complete a igualdade a seguir com o resultado obtido na fatoração.

32 25 5=

Analisando o resultado anterior, determi-ne o valor de:

a) 966 =

b) 388 =

c) 71515 =

140

Generalizando a propriedade

Nós já havíamos trabalhado essa proprie-dade quando extraímos as raízes quadrada, cúbica, quarta e quinta em aulas anteriores, mas sem generalizá-la. A seguir, vamos ge-neralizar essa propriedade.

Você pôde observar, nos exemplos ante-riores, que tanto o índice quanto o expoente do radicando são iguais. Dessa forma, a raiz será igual ao radicando. Veja essa conclusão com um exemplo numérico:

1277

Radicando

ÍndiceExpoente

= 12

Raiz

Generalizando, temos:

a ann =

Observações importantes:Você já aprendeu que generalizar signi-

fica validar para qualquer número. Mas você também já sabe que há exceções em algumas regras; isto é, há alguns casos em que determinados números não obedecem à regra. Na propriedade que acabamos de aprender, devemos considerar o seguinte:

• O expoente do radicando e o índice do radical (n) têm que ser números naturais maiores que 1.

• A base do radicando a pode ser qual-quer número real não negativo se n for par.

Veja, no exemplo seguinte, que a base é negativa (–2). Se fôssemos seguir a pro-

priedade, teríamos ( )− = −2 244 , o que não

está correto, pois você se lembra de que,

quando o índice é par, o radicando an só é válido para a ≥ 0. Dessa forma:

( )− = =2 16 244 4

(–2) · (–2) · (–2) · (–2) = 16

Portanto, nesse caso a primeira proprie-dade não é válida.

ATIVIDADE – Você viu que em ( )−2 44 nós não pudemos usar a primeira propriedade para calcular esse radical, pois n é par. Inven-te um exemplo e verifique se acontece coisa semelhante quando n for ímpar e a base a for negativa. Escreva suas conclusões.

Para continuar

2ª propriedade dos radicais

Acompanhe as explicações, pois você será solicitado a participar delas.

PARTE 1 – Calcule cada um dos radicais abaixo:

a) 83 =

b) 826 =

141

Observe os resultados obtidos. Você pôde verificar que eles são iguais. Há uma propriedade que garante essa igualdade. Vamos conhecê-la:

a amn m tn t= ⋅⋅

Vamos analisar essa propriedade. c) O sinal de igual separa dois radicais. Qual a diferença entre o radical que está à esquerda e o que está à direita da igual-dade?

d) Voltando ao exercício que você fez no

item a, podemos escrever 8 83 26= ?

e) Verifique se esse item é um exemplo dessa propriedade.

PARTE 2 – Veja como pode ser resolvi-do o radical a seguir:

2 2 2124 12 44 4 3= =::

Vamos analisar o que foi feito:

4212 =

4 : 4212 : 4

O índice foi dividido por 4.

O expoente foi dividido por 4

Dessa forma, como o expoente e o ín-dice foram divididos pelo mesmo número, temos:

2 2124 3=

Observe que com essa propriedade os cálculos se tornam mais simples. No nosso exemplo, você teria que calcular 212 e, de-pois, extrair a raiz quarta desse resultado.

Se você multiplicar ou dividir o índice e o expoente do radicando pelo mesmo nú-mero natural maior que 1, os valores das raízes não se alteram. Generalizando, te-remos:

a amn m tn t= ⋅⋅

a amn m rn r= ::

Observações importantesPara que essa propriedade seja válida,

devemos considerar o seguinte:

• O expoente do radicando (m) e o índi-ce do radical (n) têm que ser números naturais maiores que 1.

• Os números t e r também têm que ser números naturais maiores que 1.

• O número r tem que ser divisor comum de n e de m.

Para continuar

Redução ao mesmo índiceCom essa propriedade, podemos reduzir

os radicais ao mesmo índice. Você saberia dizer qual dos radicais a seguir é maior?

7 93ou

142

Observe que os índices são diferentes. Para compará-los, devemos reduzi-los

ao mesmo índice. Para isso, podemos mul-tiplicar o índice do radical e o expoente do radicando do primeiro radical por 3, tere-mos:

7 7 7 3431 33 2 36 6= = =´´

Procedendo da mesma maneira com o segundo radical, multiplicando por 2 o ín-dice do radical e o expoente do radicando, temos:

9 9 9 813 1 22 3 26 6= = =´´

Dessa forma, temos 7 93> , pois

343 816 6> .Talvez você esteja se perguntando: como

saber por quais números devemos multipli-car os índices e expoentes?

É fácil! Basta calcular o MMC dos índi-ces. Veja que, no exemplo, os índices são 2 e 3; portanto, o MMC deles é 6.

MMC(2, 3) = 6Dessa forma, esse deverá ser o novo ín-

dice dos radicais.

× 26

9

3

9× 3

7

6

7

E, analogamente, os expoentes serão multiplicados, respectivamente, por esses mesmos números.

× 37

6

7

× 26

9

3

3 2

9

ATIVIDADE 1 – Observe cada uma das igualdades e complete-as.

a) 2 26 =

b) 36 3=

c) 7 75 4=

d) 81 316 =

ATIVIDADE 2 – Escreva os radicais abai-xo reduzindo-os ao mesmo índice 36.

a) 23 =

b) 66108 =

143

ATIVIDADE 3 – Compare cada par de radicais e complete-os com > ou <:

a) 12 153 4

b) 3 56 4

Para finalizar

Há outras propriedades dos radicais que serão estudadas. Por enquanto, verifique se você compreendeu as duas estudadas. Nun-ca fique com dúvidas!

Hoje

EU SIMMAS TENHO ALGUMAS DÚVIDAS

NÃO

Fiz todas as atividades.

Li o texto teórico.

Compreendi o que eu li.

O que eu mais gostei de aprender hoje…

Para casa

TAREFA PARTE 1 – Marque um X na alternati-

va certa. O radical 51016 é igual a:

a) 5532

b) 5208

c) 524

d) 53048

PARTE 2 – Explique o que está errado em cada alternativa acima.

144

Propriedade dos radicais II

9Cap

ítulo

MatemáticaÁlgebra

Para começar

Identificar as propriedades dos radi-cais.

ATIVIDADE – Com todo o seu conhe-cimento matemático, você já percebeu que um número pode ser expresso de várias formas; por exemplo, o 9 pode ser expres-so, entre outras, das seguintes formas:

182

6 + 3 20 – 11

32 1 × 9 81

Escreva mais três formas de expressar o número 9, utilizando radicais. Lembre-se das propriedades!

Para continuar

3a propriedade dos radicaisVocê já verificou a validade de duas

propriedades; agora, vai estudar mais uma propriedade.

Determine o valor do radical.

36 =

Você sabe que podemos escrever o 36 como 4 × 9. Será que, se extrairmos sepa-radamente as raízes quadradas dos fatores 4 e 9 e multiplicarmos os resultados dessa extração, encontraremos o mesmo valor de

36? Verifique.

36

6

⇓

4 9

2 3

⋅⇓ ⇓

⋅Dessa forma, verificamos a proprieda-

de: o radical de um produto a ⋅ b, com a e b números reais positivos, é igual ao produto dos radicais de mesmo índice dos fatores (a e b), ou seja:

a b a bn n n⋅ = ⋅

Observações importantesPara que essa propriedade seja válida,

devemos considerar o seguinte:

Para índice n par, os radicandos a e b devem ser reais positivos ou nulos.

Para índice n ímpar, os radicandos a e b devem ser reais.

ATIVIDADE – Será que é verdadeira a igualdade abaixo, isto é, a 3a propriedade é válida para a divisão de radicandos? Verifi-que, fazendo os cálculos a seguir.

648

64

83

3

3=

145

Para continuar

4a propriedade dos radicaisComo você pôde verificar, a propriedade

vale também para a divisão. Portanto, o radi-

cal de um quociente ab

é igual ao quociente

dos radicais de mesmo índice dos termos a e b do radicando, ou seja:

ab

a

bn

n

n=

Observações importantes: Para que essa propriedade seja válida, devemos considerar o seguinte:

Para índice n par, o radicando a deve ser real positivo ou nulo, e b, real posi-tivo.

Para índice n ímpar, o radicando a deve ser real qualquer, e b, real diferente de zero.

ATIVIDADE 1 – Empregando as pro-priedades, simplifique os radicais.

a) 27 643 ´ =

b) 16 814 ´ =

c) 1

1 000 0006

. .=

d) − =32243

5

ATIVIDADE 2 – Empregando as proprie-dades, calcule os radicais. Lembre-se de fato-rar o radicando.

a) 3 3753 . =

b) 7 7765 . =

ATIVIDADE 3 – Explique por que não é possível determinar o radical abaixo:

− 64729

6

ATIVIDADE 4 – Simplificar os radicais a seguir:

a) 48 =

b) 543 =

146

c) 89

=

Para finalizar

O próximo assunto sobre radicais são as operações. Dessa forma, você irá empregar as propriedades aprendidas. Portanto, não fi-que com dúvidas.

Hoje

EU SIM

MAS TE-NHO AL-GUMAS

DÚVIDAS

NÃO

Fiz todas as atividades.

Li o texto teórico.

Compreendi o que eu li.

O que eu mais gostei de aprender hoje…

Para casa

TAREFA – Simplifique os radicais a se-guir:

a) 1 0003 . =

b) 16625

4 =

c) 9606 =

147

Operações com radicais

10Cap

ítulo

MatemáticaÁlgebra

Para começar

Realizar cálculos com os radicais.

ATIVIDADE – Qual dos números abai-xo é menor que –3?

− 9 − 164 − −273 − 16

Para continuar

Adição e subtração de radicaisVocê já aprendeu em anos anteriores a

fazer a seguinte soma:3x + 4y – 2x + y – 2y – 5x

Como nessa soma algébrica há termos em que aparece o x e outros em que apa-rece o y, você não pode somar ou subtrair todos os termos. Há uma regra para essa soma algébrica: somam-se ou subtraem-se

apenas os termos semelhantes. Separan-do os termos semelhantes, temos:

3 2 5 4 2x x x y y y− − + + −Termos semelhantes Ter� ��� ���

mmos semelhantes� ��� ���

Dessa forma, vem:

3x + 4y – 2x + y – 2y – 5x = = 3x – 2x – 5x + 4y + y – 2y = – 4x + 3y

Da mesma forma que na soma algébri-ca, a soma de radicais também só pode ser realizada com termos semelhantes. Vamos a um exemplo:

2 3 2 2 5 3+ + + =

Os termos semelhantes, nesse caso, são os radicais semelhantes, isto é, pos-suem o índice e o radicando iguais.

Nesse exemplo, temos:

2 3 2 2 5 3

2 2 2 3 5

+ + + =

= + + +Radicaissemelhantes

� �� �� 33

1 2 2 1 5 3

Radicaissemelhantes

� �� �� =

= +( ) + +( ) =

= 33 2 6 3+

Observe que foram somados apenas os coeficientes dos radicais, isto é, os nú-meros antecedem os radicais.

1 2 1 52 2 3 3+ + +

Portanto, para somar ou subtrair radi-cais, é necessário que os radicais sejam semelhantes.

Você percebe que 2 3 5+ ≠ ?Veja, geometricamente, como pode-

mos provar que essa soma não resulta em 5 . Você já viu como localizar os radicais 2 e 3 na reta numérica:

148

0 1 2 3 4 5–1–2–3–4–52

35

Transportando essas medidas, teremos: 2 3 5+ > .

0 1 2 3 4 5–1–2–3–4–5

2 + 3

5

Caso ainda não esteja convencido(a), basta determinar, na calculadora, os valores

de 2 , 3 e 5 .

ATIVIDADE 1 – Resolva, simplificando os radicais quando necessário:

a) 3 4 3+ =

b) 5 7 4 7− =

c) 32 4 2+ =

d) 3 48+ =

e) 5 2 3 3 3 5+ − + =

f) 75 5 3− =

g) 768 147− =

h) 54 2503 3− =

ATIVIDADE 2 – Demonstre que:

9 16 25+ ≠

149

Para continuar

Adição e subtração de radicais com índices diferentes

Você reparou que, nas atividades an-teriores, os índices dos radicais que foram somados (ou subtraídos) tinham o mesmo índice? O que fazer quando esses índices forem diferentes? Você já aprendeu a re-duzir os radicais ao mesmo índice. Veja o exemplo a seguir:

16 43 6+ =

O MMC de 3 e 6 é 6, portanto esse será o novo índice dos dois radicais. O ex-poente dos radicandos também deverá ser multiplicado pelos mesmos valores.

×23

16

6162

64

64

×1

Dessa forma, efetuando as simplifica-ções, temos:

16 4 16 4 2 23 6 26 6 4 26 26+ = + = ( ) + =

= 2 2 2 2 2 3 2 3 286 26 26 26 26 3+ = + = +

ATIVIDADE 1 – Resolver as adições, simplificando-as quando possível:

a) 9 2438 4+ =

b) 5 565 210+ =

c) 2 236 24− =

ATIVIDADE 2 – Verifique se a igualda-de abaixo é verdadeira:

4 9 36 6⋅ = =

Explique como você fez para chegar a essa resposta.

Para continuar

Multiplicação e divisão de radicais

Diferentemente da adição algébrica de dois radicais, a multiplicação e a divisão de dois radicais de mesmos índices é obtida pela multiplicação dos radicandos. Veja os exemplos a seguir:

a) 3 3 9 3⋅ = =

b) 12

4

124

3= =

Se os índices são diferentes, da mes-ma forma que na adição e subtração de dois radicais com índices diferentes, é necessário reduzir ao mesmo índice os dois radicais. Veja os exemplos a seguir:

a) 9 3 9 3

9 3 3 3 3 3 3

3 26 26

2 26 4 26 76 6

⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ = =

b) 2

2

2

2

2

2

84

23

36

26

3

26 6 6= = = =

ATIVIDADE – Resolva as multiplica-ções e divisões de radicais, simplificando-as quando possível:

150

a) 3 3⋅ =

b) 5 7 4 7⋅ =

c) 2 210⋅ =

d) 3 48⋅ =

e) 5 3⋅ =

f) 5 565 210⋅ =

g) 32

4

3

3=

h) 6

43=

i) 7

7

4

3=

Para finalizar

Você deve estar se questionando por que é necessário aprender as operações com números irracionais. Claro que em seu dia a dia, por enquanto, não há nenhuma utilidade mais prática nelas, mas você já sabe que a Matemática não é apenas uti-litária, isto é, ela é uma ciência que pos-sui linguagem e estrutura próprias. Dessa forma, para que você possa avançar em outros estudos, é necessário ter essas in-formações.

Hoje

EU SIM

MAS TENHO

ALGUMAS DÚVIDAS

NÃO

Fiz todas as atividades.

Li o texto teórico.

Compreendi o que eu li.

O que eu mais gostei de aprender hoje…

151

Para casa

TAREFA – Efetue as operações a seguir:

a) 12 3⋅ =

b) 3 4 23 ⋅ =

c) 18 3⋅ =

d) 2

3

3

4=

e) 5

5

3

=

152

A sequência de Fibonacci

11Cap

ítulo

MatemáticaÁlgebra

Para começar

Resolver problemas que envolvam a sequência de Fibonacci.

ATIVIDADE – Observe a sequência a seguir.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

a) Você sabe como essa sequência foi formada?

b) Qual seria o próximo número dessa se-quência?

Para continuar

Fibonacci e a naturezaVocê já conhece alguns matemáticos

que fazem parte da história da Matemática e da humanidade. Por volta de 1202, um matemático italiano chamado Leonardo de Pisa, conhecido como Fibonacci, escre-veu o livro Liber Abaci, ou “Livro do ába-co”, que teve uma enorme influência para a introdução do sistema de numeração indo-arábico. Na Europa a sua contribui-ção, entre outras, foi observar a natureza e os padrões encontrados em flores, fru-tas, árvores, animais etc. Fibonacci des-

cobriu que vários elementos da natureza possuem uma regularidade em sua forma-ção de acordo com a sequência que você analisou na atividade inicial. Nas figuras a seguir, o total de folhas de cada haste é um número da sequência de Fibonacci.

PROBLEMA 1 – Algumas plantas, por exemplo, têm o crescimento de seus galhos de acordo com essa sequência. Se olhar-mos o tronco de uma planta próximo ao solo, veremos que a planta possui apenas um galho. Um pouco mais acima, continua tendo 1 galho, na mesma distância, mais acima, 2 galhos, e mais acima 3… Verifi-que, realizando a contagem dos galhos nos cortes indicados pela figura, que a sequên-cia de Fibonacci continua no crescimento dos galhos. Quais serão os próximos três números dessa sequência?

5

3

2

1

1

PROBLEMA 2 – Leia o problema e acompanhe o esquema seguinte.

Em janeiro, Márcia ganhou um casal de coelhos recém-nascidos.

153

Os coelhos procriam após dois meses do nascimento e sempre têm um casal. (Os coelhos circulados são o casal adulto que já pode procriar.)

A partir da primeira cria, os coelhos continuam a procriar um novo casal todos os meses.

Mês Total de coelhos Total de casais

Janeiro

Fevereiro

Março

Abril

Maio

Junho

Julho

Agosto

a) Complete a coluna com o total de casais de coelhos de cada mês.

b) Quantos casais de coelhos serão, ao todo, no mês de agosto?

c) E no mês de dezembro?

d) Que números são esses que aparecem na coluna do total de casais?

154

Problema 3 – No quadriculado abaixo aparece pintado um quadrado de medida de lados igual a 1.

1

Pintando um outro quadradinho de mesma medida, teremos formado um retângulo:

1

1

Um terceiro quadrado é pintado com medida de lados igual ao maior lado do retân-gulo formado.

12

1

Da mesma forma, outros quadrados foram sendo pintados a partir dos retângulos formados anteriormente, conforme é mostrado na figura:

155

a) Escreva dentro de cada quadrado qual a medida dos lados.b) Complete a figura, pintando um novo quadrado, conforme foi sendo feito anteriormente.c) Escreva, nos espaços abaixo, as medidas dos lados dos quadrados pintados e ob-serve a sequência formada.

1, 1, , , , ,

CuriosidadeSe, com um compasso, traçarmos um quarto de circunferência

inscrita em cada quadrado construído anteriormente, encontrare-mos uma espiral denominada de espiral de Fibonacci, que pode ser encontrada na natureza na concha do molusco Nautilus e na couve-flor.

KR

YLO

N80

/DR

EA

MS

TIM

E.C

OM

PROBLEMA 4 – Podemos subir uma escada de um em um degrau ou pulando de-graus; isto é, de dois em dois degraus.

Se misturarmos esses dois tipos de ação, podemos mesclar essas duas ações e, por exemplo, subir três degraus das seguintes maneiras:

156

1a maneira: degrau – degrau – degrau2a maneira: salto – degrau3a maneira: degrau – salto Assim, totalizam-se três maneiras de

subir três degraus (veja o esquema a seguir):

Pense e responda:a) De quantas maneiras é possível subir apenas um degrau?

b) E dois degraus?

c) E quatro degraus? Faça algum esque-ma justificando sua resposta.

Para finalizar

Você viu quanta informação interessan-te em torno da sequência de Fibonacci? As situações apresentadas são algumas das muitas que podemos encontrar na nature-za. Por isso fique atento(a) a tudo, observe, analise, pois você também poderá chegar a conclusões bem interessantes.

Hoje

EU SIM

MAS TENHO

ALGUMAS DÚVIDAS

NÃO

Fiz todas as atividades.

Li o texto teórico.

Compreendi o que eu li.

O que eu mais gostei de aprender hoje…

Para casa

TAREFA – Observe a natureza ao seu redor e verifique se você encontra alguma regularidade na natureza que tenha algum dos números da sequência de Fibonacci.

157

Radiciação12C

apítu

lo

MatemáticaÁlgebra

Para começar

Realizar cálculos com os radicais.

ATIVIDADE – No quadrilátero da figura, as medidas dos lados estão em centímetros.

8

272

32

Qual é o perímetro desse quadrilátero?

a) 9 2 cmb) 22,375 cm

c) 13 2 cm

d) 114 cm

Para continuar

Potenciação de radicaisEm anos anteriores, você já aprendeu

a calcular a potenciação de números racio-nais. Por exemplo:

3 3 3 3 3 3 2435

5

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =fatores

� ��� ���

A potenciação de radicais é calculada da mesma forma. Veja o exemplo a seguir:

3 3 3 3 3 3

3

6 5 6 6 6 6 6

5

( ) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅

fatores� ����� �����

33 3 3 3 36 56⋅ ⋅ ⋅ =Mas será que é preciso fazer tudo isso

para determinar a potenciação?Veja uma forma mais prática. Como

você sabe, o expoente do radicando 3 é 1, então, para calcular a potenciação, basta multiplicar o expoente do radical que no exemplo é o 5 pelo expoente do radican-do. Veja como fica:

3 3 36 51 56 56( ) = =⋅

Veja outro exemplo:

2 2 2374

3 47 127− ⋅( ) = =

Simplificando essa expressão, temos:

2127 = 2 257

Para continuar

Radiciação de radicaisObserve o exemplo a seguir:

53

Nele, você observa que há dois radi-cais. Para resolver a radiciação de um radi-cal, basta multiplicar os índices desses dois radicais. Observe:

5 5 53 2 3 6= =⋅

Veja mais um exemplo:

7 7 743 3 4 2 24= =⋅ ⋅

Agora é sua vez! Resolva os exercícios a seguir:

158

ATIVIDADE – Resolva as potenciações e radiciações a seguir:

a) 348( ) =

b) 264( ) =

c) 3384

=

d) 26 =

e) 543 =

f) 236433=

Para continuar

Racionalização de denominadores

Há casos em que o radical aparece no denominador de uma fração. Para faci-litar os cálculos, mesmo que estes sejam feitos com calculadora, é aconselhável transformar essa fração com denominador irracional em uma fração equivalente com

denominador racional. Esse procedimento é chamado de racionalização de denomi-nador.

Veja o exemplo: 1

2

Como no denominador dessa fração

aparece 2, a forma de racionalizá-lo é multiplicar o numerador e o denominador

dessa fração por 2 . Veja como se faz:

1

2

2

2

2

2

222

⋅ = =

Dessa forma: 1

2

22

=

Para confirmar, basta fazer os cálculos em uma calculadora, isto é:

114142

141422,

,

ATIVIDADE 1 – Racionalize os deno-minadores de cada uma das frações:

a) 1

3=

b) 3

3=

c) 4

7=

d) 3

2=

159

ATIVIDADE 2 – Para racionalizar a fra-

ção 2

53, Carla procedeu da seguinte forma:

2

5

2

5

5

5

2 5

5

2 553 3

23

23

23

33

23

= ⋅ = =

PARTE 1 – Explique o que ela fez.

PARTE 2 – Racionalize os denomina-dores das frações abaixo, utilizando o mes-mo procedimento de Carla.

a) 2

24=

b) 1

223=

c) 3

324=

Para continuar

Racionalização de denominadores em que aparece uma soma ou diferença envolvendo raiz quadrada

Observe a fração abaixo:

1

3 2−

Como você pode observar, no denomi-nador aparece uma subtração com radical. Para racionalizar essa fração, empregare-

mos um produto notável: produto da soma pela diferença.

Recordando, temos:(a – b) ⋅ (a + b) = a2 – b2

Acompanhe o desenvolvimento com o exemplo inicial.

Como no denominador aparece a ex-

pressão 3 2− , multiplicaremos pela ex-pressão conjugada, isto é, por 3 2+ .

1

3 2

3 2

3 2

3 2

3 2

3 29 2

3 27

2 2−( ) ⋅+( )+( ) =

+

− ( )=

=+−

=+

ATIVIDADE – Racionalize os denomi-nadores de cada uma das frações a se-guir.

a) 1

2 2+=

b) 7

7 7−=

160

c) 12

2 1−= d)

6

3 2+=

Para finalizar

Estamos encerrando o estudo dos números irracionais de uma forma mais sistemáti-ca. Isso quer dizer que, deste ponto em diante, você encontrará os radicais em diferentes situações. Não fique com dúvidas! Verifique quais os tópicos que não ficaram esclareci-dos e peça ajuda a seu (sua) professor(a) ou amigos.

Hoje

EU SIMMAS TENHO ALGUMAS DÚVIDAS

NÃO

Fiz todas as atividades.

Li o texto teórico.

Compreendi o que eu li.

O que eu mais gostei de aprender hoje…

Para casa

TAREFA – Efetue as operações a se-guir e simplifique-as, quando possível.

a) 3258

=

b) 2 =

c) 5

535=

d) 9

5 8−=

161

Estatística — média, mediana e moda

13Cap

ítulo

MatemáticaÁlgebra

Para começar

Estudar as medidas de tendência cen-tral de uma pesquisa.

ATIVIDADE – Num determinado ano foi realizada uma pesquisa na qual relatou-se o tempo médio por mês que as crianças ficam conectadas à internet.

PaísesTempo médio

mensal de conexão na internet

Suíça 6h28

Estados Unidos 11h38

Austrália 10h57

Itália 7h17

França 10h23

Alemanha 6h48

Reino Unido 10h19

Espanha 9h12

Brasil 15h25

a) Coloque, em ordem crescente, os tem-pos médios de conexão.

PaísesTempo médio

mensal de conexão na internet

PaísesTempo médio

mensal de conexão na internet

b) O que significa tempo médio mensal?

Para continuar

Média aritméticaNa sua vida estudantil, você já ouviu mui-

to a palavra média; por exemplo, média de notas de prova. No dia a dia essa palavra também é usada saldo médio, inflação média, média de aprovação no vestibular, classe média e, na atividade anterior, tem-po médio de conexão etc.

Vamos ver o significado de uma das mé-dias em Estatística.

A média aritmética é obtida a partir da soma de um conjunto de dados divi-dida pela quantidade desses dados.

Acompanhe a explicação, resolvendo as situações.

162

ATIVIDADE 1 – Em uma pequena em-presa, sete pessoas trabalham com salá-rios diferenciados, conforme registrados na tabela a seguir:

Trabalhador Salário mensal

A R$ 300,00

B R$ 300,00

C R$ 350,00

D R$ 450,00

E R$ 750,00

F R$ 1.250,00

G R$ 2.550,00

O salário médio dessa empresa é igual à soma de todos os salários dividida pelo número de funcionários. Qual é o salário médio dessa empresa?

ATIVIDADE 2 – Você determinou o sa-lário médio dessa empresa. a) Existe algum funcionário dessa empre-sa que ganhe o salário médio?

b) Quantos funcionários recebem um sa-lário inferior ao médio?

c) Quantos funcionários recebem um sa-lário superior ao médio?

Como você pôde perceber, o salário médio não é o salário que todos ganham. Você pode estar se perguntando: como o salário médio é tão alto se há funcionários ganhando tão pouco? O que eleva o sa-lário médio são os salários mais altos: R$ 1.250,00 e R$ 2.550,00.

Sendo a média uma medida tão sen-sível aos dados, é preciso ter cuidado com a sua utilização, pois pode dar uma ima-gem distorcida dos dados que se pretende representar. Isto é, se alguém lhe diz que uma empresa paga bem, pois seu salário médio é alto, isso não significa que os salá-rios sejam todos iguais a essa média.

Para continuar

MedianaMediana é o valor que ocupa a posi-

ção central do conjunto de dados ordena-dos em ordem crescente.

Vamos usar o exemplo dos trabalhadores para determinar a mediana. Primeiro, deve-mos colocar os salários em ordem crescente:300 – 300 – 350 – 450 – 750 – 1.250 – 2.550

Nós temos sete valores de salários; por-tanto, o 4o salário é o central, pois 3 valores ficam antes dele e 3 valores, depois dele.

163

Trabalhador

A

B

C

D

E

F

G

R$ 300,00R$ 300,00R$ 350,00R$ 450,00R$ 750,00R$ 1.250,00R$ 2.550,00

Saláriomensal

R$ 450,00

Há 3 saláriosinferiores

a R$ 450,00.

Há 3 saláriossuperiores

a R$ 450,00.

A mediana, nesse caso, é igual a R$ 450,00. Observe que esse valor é inferior à média que você calculou, mas é mais pró-ximo do salário da maioria dos funcionários dessa empresa.

Mas, para que serve a mediana? Nós vimos na média que dizer que o salário mé-dio é de R$ 850,00 dá a impressão que a maioria dos funcionários recebe esse valor.

Olhando a tabela acima percebemos que isso não é a realidade. Se dissermos que a mediana é de R$ 450,00, significa que há a mesma quantidade de funcionários com salários inferiores a R$ 450,00 e com salá-rios superiores a esse valor. Muitas vezes a mediana descreve melhor a tendência cen-tral dos dados do que a média.

Como no exemplo acima o número de funcionários é ímpar, a mediana pode ser encontrada apenas separando-se, em partes iguais, os três maiores salários dos três menores salários, restando um salá-rio que ficou no meio, que é a mediana. E se o número de funcionários fosse par, por exemplo, 6? Como seria calculada a mediana?

Nesse caso, a mediana é a média arit-mética dos dois valores que ocupam a po-sição central dos dados. Voltando à tabela e dela retirando, por exemplo, o maior salá-rio, temos, assim, o seguinte quadro:

Trabalhador

A

B

C

D

E

F

R$ 300,00

R$ 300,00

R$ 350,00

R$ 450,00

R$ 750,00

R$ 1.250,00

Salário mensal

Há dois valoresmenores queos centrais.

Esses valores são osque ocupam a posição

central dos dados.

Há dois valoresmaiores que os

centrais.

A mediana, então, é: 350 450

2400

+=

164

Para continuar

Moda

Moda é o valor que ocorre com maior frequência em um conjunto de dados.

Voltando aos dados da empresa, verifi-que se há funcionários que ganham o mesmo salário. Qual é esse salário? Esse valor que é repetido mais vezes é chamado de moda.

É possível, com esse dado, determinar em qual faixa salarial se localiza a maior concentração da população.

No dia a dia, estar na moda significa estar se vestindo igual à maioria das pesso-as. Matemática também está na moda!

ATIVIDADE – Em uma escola de nata-ção, o número de matriculados varia mês a mês. Para saber quais os meses em que há um decréscimo no número de matrículas, o dono de uma escola resolveu organizar em uma tabela o total de alunos em cada mês do ano passado.

Mês Alunos

Janeiro 41

Fevereiro 48

Março 28

Abril 32

Maio 28

Junho 42

Julho 18

Agosto 36

Setembro 29

Outubro 40

Novembro 30

Dezembro 17

Com relação a esses dados, calcule, aproximadamente:a) a média aritmética;

b) a mediana;

c) a moda.

Para finalizar

Você pode perceber que falar em salário médio alto não signifi-

ca que todos recebam bons salários. Veja como estudar Matemática pode auxiliar você em sua vida.

165

Hoje

EU SIM

MAS TENHO

ALGUMAS DÚVIDAS

NÃO

Fiz todas as atividades.

Li o texto teórico.

Compreendi o que eu li.

O que eu mais gostei de aprender hoje…

Para casa

TAREFA – Pesquisou-se, em uma rua de uma cidade, o número de pessoas que cada família tinha. O resultado encontra-se a seguir:

2; 3; 4; 4; 4; 5; 7; 8; 8

Com relação a esses dados, calcule:a) a média aritmética;

b) a mediana;

c) a moda.

166

Projeção de figuras espaciais

1Cap

ítulo

MatemáticaGeometria

Para começar

Identificar a figura a partir de diferen-tes pontos de vista.

ATIVIDADE – Um objeto foi pendura-do no teto de uma sala entre duas paredes com espelhos. A figura abaixo mostra o re-flexo do objeto nesses dois espelhos

A alternativa que apresenta o objeto pendurado é:a)

b)

c)

d)

Para continuar

Diferentes pontos de vistaDiariamente, você encontra imagens

projetadas pela luz do Sol, de uma lâmpa-da, de uma vela ou de um farolete.

Na atividade anterior, você pôde anali-sar as imagens de uma figura em dois es-pelhos. Existe uma forma de representar um objeto, chamada de projeção ortográ-fica, que é mais bem entendida quando usamos o artifício do objeto refletido por dois espelhos que formam um ângulo reto entre si.

A projeção ortográfica é muito usada em indústrias na produção de peça, pois esta é mostrada em diferentes pontos de vista. Essa projeção fornece uma visão es-pacial do objeto projetado, mostrando-o em três posições diferentes.

Veja, por exemplo, a projeção ortográfi-ca de um paralelepípedo:

167

Como você pôde ver, ficam representa-das três faces do paralelepípedo. As outras três faces são paralelas e idênticas, duas a duas, a essas faces projetadas.

ATIVIDADE – Identifique qual figura geométrica possui a seguinte projeção.

a) b)

c) d)

Para continuar

Desenhando a projeção ortogonal

Como podemos desenhar a projeção de uma figura espacial?

Vamos mostrar a você, fazendo a proje-ção do paralelepípedo da atividade inicial.

Prolongamos as arestas do paralelepí-pedo em cada “parede”.

168

Unimos os pontos em que os prolonga-mentos das arestas e a “parede” se encon-tram. Estes são os vértices do retângulo que é uma das projeções do paralelepípedo.

Da mesma forma, são feitas as outras projeções, prolongando as arestas que se encontrarão com a “parede”.

ATIVIDADE 1 – Desenhe as outras duas projeções do paralelepípedo.

ATIVIDADE 2 – Proceda da mesma forma para o cubo:

ATIVIDADE 3 – Um rapaz, posicionado conforme a figura, olha para a casa. Que vi-são ele tem da casa?

a)

b)

c)

169

d)

ATIVIDADE 4 – Teresa juntou 6 cubos e formou uma figura, conforme mostrado a

seguir. Pinte da mesma cor que os cubos os quadrados que representam as projeções.

Obs: O cubo abaixo doamarelo é de cor Azul.

Vista superior

Projeção

Vista de frente

Vista lateral esquerda

Vista lateral direita

Vista de trás

ATIVIDADE 5 – Um cubo colorido foi refletifo em três espelhos, conforme visto na figura seguinte:

170

a) Se giramos o cubo uma vez, deixando a face inferior na posição da face lateral es-querda, como ficará essa nova face? Pinte os quadradinhos com suas respectivas cores.

b) Com esse giro do item a, como ficará a nova face lateral direita vista de frente?

171

c) E a nova face inferior?

ATIVIDADE 6 – Uma casa é observa-da de diferentes pontos de vista.

Vista da face posterior

Vista superior

Vista de frente

Vista lateral esquerda

Vista lateral direita

Relacione cada uma das vistas acima com sua respectiva projeção:a)

b)

c)

d)

e)

Para finalizar

Algumas pessoas têm dificuldade em “enxergar” uma figura espacial e suas pro-jeções. Caso isso também aconteça com você, não se preocupe, porque com o tem-po, e fazendo os exercícios como os vistos em aula, você conseguirá enxergar um ob-jeto sob todos os pontos de vista.

172

Hoje

EU SIM

MAS TENHO

ALGUMAS DÚVIDAS

NÃO

Fiz todas as atividades.

Li o texto teórico.

Compreendi o que eu li.

O que eu mais gostei de aprender hoje…

Para casa

TAREFA – Nós dissemos no começo da aula que sombras são também proje-ções. Há um passatempo muito antigo que hoje em dia poucas pessoas conhecem, a “sombra chinesa”. Você precisa ficar em um lugar escuro com uma vela ou luz de um abajur ou farolete e usar as duas mãos para formar figuras na parede.

CaracolSe você mover lentamente as mãos,

verá o caracol andando.

CavaloPara o cavalo galopar, suba e desça

as mãos, movendo-as sempre emfrente.

Canguru

Elefante

173

CaranguejoPara que o caranguejo ande, mexa os dedos à

medida que você os desloca para o lado. Lembre-se de que o caranguejo move-se de lado.

SerpentePara fazer a língua, corte duas tiras de papel e prenda-as entre o dedo anelar

e médio.

Peru

Coelho

174

Altura de um triângulo2C

apítu

lo

MatemáticaGeometria

Para começar

Identificar a altura de um triângulo.

ATIVIDADE – Em um site, as medidas da altura da girafa são dadas em m, conforme é mostrado na imagem da figura 1. Leia as informações e transporte os valores indicados na girafa da figura 1 para a girafa da figura 2, determinando a altura da girafa em metros.

AF

P/G

ET

TY

IMA

GE

S/C

AM

ER

ON

SP

EN

CE

R

Figura 2

DR

AG

ON

EY

E/D

RE

AM

ST

IME

.CO

M

1 m

2 m

2 m

Figura 1

Para continuar

Altura de um polígonoA girafa é o animal, atualmente, mais alto do planeta.A primeira foto dá ideia de que essa girafa é mais baixa do que a girafa que aparece

na segunda foto. Você sabe o porquê?

175

Observe os desenhos abaixo:

Você saberia dizer quem é o mais alto?Para se afirmar com certeza, seria necessário que os dois ficassem eretos para ver

quem é o mais alto ou que soubéssemos a altura dos dois para compará-las.E o que significa altura?No dia a dia, utilizamos a palavra altura para dizer, por exemplo, o tamanho de um

prédio, de uma pessoa ou a distância a que um avião está sobrevoando uma cidade.No nosso exemplo, queremos saber da altura das pessoas, isto é, a distância en-

tre o topo da cabeça (ponto mais alto) e a planta dos pés (solo). Mas será que apenas essa informação é suficiente?

Altura

Altura

176

Será que as alturas indicadas acima são as corretas?Observe, na figura acima, que o homem da esquerda não está totalmente ereto, isto é,

está com as pernas dobradas, enquanto o outro não. Portanto, uma das condições de que se precisa para determinar a altura é estar com o corpo ereto.

E no caso dos triângulos? A altura de um triângulo também é a distância de um ponto a outro? Mas que distância será essa?

ATIVIDADE – De acordo com as conclusões feitas anteriormente sobre o que é altura de uma pessoa, identifique a altura do triângulo.

a

bc

Para continuar

Alturas de um triângulo

A altura é um segmento de reta perpendicular (forma ângulo reto) que une um vér-tice com o seu lado oposto.

Observe o triângulo abaixo. Nele, está representada uma de suas alturas. Essa al-tura une o vértice A à base BC, perpendicularmente. Dizemos que essa altura é relativa à base BC.

A

B C

Altura

Mas essas não são a única altura nem a única base que esse triângulo possui. Como você já sabe, qualquer lado do triângulo pode ser considerado como base. Veja na figura a seguir as três alturas.

177

A

B CE

GF

Altura 1

Altura 2Altura 3

As três alturas indicadas referem-se a cada uma das bases AB, BC e AC.A altura 1 é relativa à base BC.A altura 2 é relativa à base AB.A altura 3 é relativa à base AC.

Nomeamos alturas 1, 2 e 3, apenas para que você pudesse identificá-las com maior facilidade, mas não é dessa forma que as alturas poderiam ser nomeadas.

Dizemos, então, que:

A

B CE

GF

BF é a altura relativa à base AC.

CG é a altura relativa à base AB.AE é a altura relativa à base BC.

178

Quando traçamos as três alturas de um triângulo, obtemos um ponto de intersecção, isto é, um ponto onde as três alturas se cruzam. Esse ponto de encontro é um dos pon-tos notáveis do triângulo e é chamado de ortocentro indicado pela letra H.

A

B CG

FE

H

Ortocentro

ATIVIDADE 1 – Utilizando o transferidor, determine as alturas dos triângulos abaixo e identifique cada altura em relação à base e o ortocentro.

a)

C

A B

179

b)

F

G E

c)

L

M N

ATIVIDADE 2 – Determine as alturas dos triângulos a seguir.

A

B C

180

E

F G

a) Meça os lados dos dois triângulos e verifique qual deles é equilátero (três lados iguais) e qual é isósceles (dois lados iguais e um desigual).

b) Meça as alturas desses dois triângulos. As três alturas do triângulo ABC são iguais?

c) As alturas do triângulo EFG são iguais?

181

d) O que você concluiu?

Para finalizar

Você hoje estudou um dos pontos notáveis do triângulo: o ortocentro. Você retomará esse conceito mais tarde quando fizer as construções utilizando compasso. Até lá.

Hoje

EU SIM MAS TENHO ALGUMAS DÚVIDAS NÃO

Fiz todas as atividades.

Li o texto teórico.

Compreendi o que eu li.

O que eu mais gostei de aprender hoje…

182

Para casa

TAREFA – Verifique se o ponto marcado é o ortocentro do triângulo. Justifique sua resposta.

A

F BC

E

G

183

Mediana, mediatriz e bissetriz de um triângulo

3Cap

ítulo

MatemáticaGeometria

Para começar

Identificar a mediana, a mediatriz e a bissetriz de um triângulo.

ATIVIDADE – Em uma folha de papel, desenhe um triângulo qualquer ABC. Re-corte esse triângulo. Ache os pontos mé-dios de AB, BC e AC.

Faça isso dobrando cada um dos lados ao meio, juntando vértice com vértice.

Com o lápis e a régua trace o segmento de reta que une C com o ponto médio de AB, A com o ponto médio de BC e B com o ponto médio de AC.

Para continuar

Identificando as medianasAo fazer a dobradura na atividade inicial,

você determinou mais um ponto notável do triângulo. Ao dobrar cada lado do triângulo, você encontrou o ponto médio do lado. Ao traçar com lápis os segmentos que uniam o vértice com o ponto médio do lado oposto, você determinou as medianas do triângu-lo. Observe no triângulo ABC que a media-na relativa à base BC já foi determinada.

A

B CE

Para indicar que esse segmento de reta AE divide o lado BC ao meio, usamos traci-nhos iguais. Dessa forma, queremos dizer que as medidas dos segmentos BE e EC são congruentes.

Determinando as demais medianas, te-mos:

A

B

D F

CE

CD é mediana relativa à AB e BF é me-diana relativa à AC.

O ponto de encontro das medianas é chamado de baricentro, que é identificado pela letra G e também é um ponto notável do triângulo.

A

B

D F

CE

G

Observação importanteO baricentro de um triângulo divide cada

mediana em duas partes, sendo uma parte o dobro da outra. Veja o nosso exemplo:

184

A

B

D F

CE

G

A mediana AE foi dividida pelo ponto G em dois segmentos AG e GE , sen-do a medida de AG o dobro da medida de GE .

Isso ocorre com as demais medianas do triângulo.

ATIVIDADE 1 – Determine o baricentro dos triângulos a seguir:

a) A

B C

b) I

H J

c) D

E F

ATIVIDADE 2 – Em cada um dos triân-gulos da atividade 1, meça as medianas, da seguinte forma: do vértice até o ponto G e do ponto G ao ponto médio do lado oposto. No exemplo a seguir, em relação à media-na AE , você deverá medir de A até G e depois de G até F. Anote essas medidas no quadro a seguir.

A

B

D E

CF

G

Triângulo

Medidas

Do vértice até G

G até o ponto médio

ABCAG

BG

185

Triângulo

Medidas

Do vértice até G

G até o ponto médio

ABC CG

DEF

DG

EG

FG

HIJ

HG

IG

JG

Compare cada uma das medidas do vértice até o G e do G até o ponto mé-dio. Que conclusão você pode tirar desse quadro?

Para continuar

Identificando as bissetrizes internas

Nós já vimos que o ortocentro e o ba-ricentro são dois pontos notáveis de um triângulo. O próximo ponto notável a ser estudado é o incentro. No triângulo abaixo, cada ângulo interno foi dividido em dois ân-gulos congruentes, isto é, foi determinada a bissetriz de cada ângulo.

O ponto de intersecção das bissetrizes é chamado de incentro que é indicado pela letra e também é um ponto notável do triângulo.

A

B

I

C

ATIVIDADE – Usando o transferidor, meça cada um dos ângulos e divida-os em duas partes de mesma medida, determi-nando suas bissetrizes. Indique o incentro de cada triângulo.a)

A

CB

b) D

FE

186

c) L

M

N

Observação importante

O incentro de um triângulo é o ponto que equidista dos lados do triângulo, isto é, possui a mesma distância até o lado do triângulo.

A

B C

I

Dessa forma, se colocarmos a ponta-se-ca do compasso no incentro, poderíamos traçar uma circunferência interna ao triân-gulo, também chamada de circunferência inscrita.

A

B C

I

Para continuar

Identificando mediatrizes do triângulo

O último ponto notável de um triângulo é o circuncentro. Ele é o ponto de encontro das mediatrizes.

Antes de estudarmos mais um ponto no-tável, vamos aprender o que é mediatriz. Analise o exemplo a seguir. A mediatriz é a reta perpendicular que passa pelo ponto médio de um segmento que no nosso exemplo é o lado do triângulo.

Vamos determinar a mediatriz do lado BC. Encontramos o ponto médio do seg-mento BC, medindo esse segmento. Vamos chamar esse ponto médio de M. Usando o transferidor, determinamos a perpendicular ao lado BC passando por M. Essa reta é chamada de mediatriz do lado BC.

A

B CM

187

Da mesma forma, encontramos a mediatriz dos demais lados do triângulo.

O ponto de encontro das três mediatrizes é chamado de circuncentro, que é indica-do pela letra O e também é um ponto notável do triângulo.

A

O

B CM

Q

P

Observação importanteNós vimos que o incentro é o centro da circunferência que pode ser inscrita (traçada

no interior) em um triângulo.

O circuncentro equidista dos vértices do triângulo.

Dessa forma, se colocarmos a ponta-seca do compasso no circuncentro, podemos traçar a circunferência circunscrita ao triângulo.

A

O

B CM

QP

188

ATIVIDADE 1 – Usando a régua e o transferidor, determine as mediatrizes e, depois, indique o circuncentro de cada triângulo.a) A

CB

c) L

M

N

b) D

FE

ATIVIDADE 2 – Como há muitas informações importantes vistas até aqui, vamos orga-nizá-las em um quadro-síntese.

Pontos notáveis

Encontro das O que sãoObservação importante

OrtocentroH

189

Pontos notáveis

Encontro das O que sãoObservação importante

BaricentroG

Incentro

CircuncentroO

Mediatrizes

Retas perpendiculares que passam pelo ponto médio de cada lado do triângulo.

O é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

Para finalizar

Hoje finalizamos o estudo dos pontos notáveis de um triângulo. Para que você possa entender melhor e rever esses conceitos, iremos determinar, utilizando

compasso e régua, cada um desses pontos.

Hoje

EU SIM MAS TENHO ALGUMAS DÚVIDAS NÃO

Fiz todas as atividades.

Li o texto teórico.

Compreendi o que eu li.

O que eu mais gostei de aprender hoje…

190

Para casa

TAREFA – Determine no triângulo abaixo o incentro e o baricentro.

A

C B

191

Construções geométricas

4Cap

ítulo

MatemáticaGeometria

Para começar

Construir com compasso e régua a al-tura, a mediana, a mediatriz e a bissetriz de um triângulo.

ATIVIDADE – Observe as figuras abaixo:

90°

A

P

Figura I

40°40°

A

P

Figura II

A

P

3 cm

3 cm

Figura III

Pode-se afirmar corretamente que:a) AP é bissetriz, na figura I.b) AP é altura, na figura II.c) AP é mediana, na figura II.d) AP é mediana, na figura III.

Para continuar

Um pouco sobre construçõesVocê já utilizou o transferidor para de-

terminar uma reta perpendicular. A partir de agora traçaremos uma perpendicular a uma reta, utilizando o compasso e a régua. Portanto, com esses instrumentos faremos todas as próximas construções.

Você já conhece o compasso e sabe que em uma das pontas há um grafite que deixará marcado no papel o desenho e que há outra ponta, de metal, que é chamada de ponta-seca, é o ponto de apoio para o desenho. Use lapiseira ou um lápis bem apontado para que os traçados sejam finos e precisos. Mãos à obra!

Para continuar

Traçando retas perpendiculares a partir de um ponto

É bem simples o traçado de uma reta perpendicular a uma reta dada, a partir de um ponto também dado.

1. São dados a reta r e um ponto A, fora da reta. Para construir uma reta perpendicu-lar à reta r e que passe pelo ponto A, basta colocar a ponta-seca do compasso em A e

192

traçar um arco de circunferência que corte r em dois pontos distintos, como é mostrado a seguir.

A

B C

2. Você pode perceber que esse arco definiu dois pontos (B e C) em r. Coloque a ponta-seca do compasso em um dos pon-tos e, com uma abertura qualquer do com-passo, trace um arco. Com a mesma aber-tura, coloque a ponta-seca em C e trace um arco que corte o arco que você acabou de fazer a partir de B. Trace uma reta li-gando o ponto do cruzamento dos arcos (P) e o ponto A. Essa é a reta perpendicu-lar à reta r passando pelo ponto A.

A

B C

P

r

s

ATIVIDADE 1 – Trace uma reta per-pendicular à reta r passando pelo ponto P.

P

r

ATIVIDADE 2 – Determine o ortocen-tro dos triângulos a seguir. Se for neces-sário, prolongue os lados com uma linha tracejada.a)

A

B C

b)

L

N

M

Para continuar

Determinando o ponto médio de um segmento

1. Dado um segmento qualquer, coloque a ponta-seca do compasso em um extremo do segmento e trace um arco com abertu-

193

ra maior que a metade do segmento. Com a mesma abertura do compasso, coloque a ponta-seca na outra extremidade e trace um arco que cruze o anterior em dois pontos.

A B

M

N

2. Unindo-se os pontos de intersecção (M e N) dos arcos traçados, obtém-se a media-triz que corta o segmento no ponto médio.

A BP

ATIVIDADE 1 – Determine o ponto mé-dio dos seguintes segmentos.

a) BA

b)

S

R

c) T

J

ATIVIDADE 2 – Determine o baricentro dos triângulos seguintes:a)

A

B C

194

b)

L

N

M

Para continuar

Traçando a mediatrizVocê já traçou uma reta perpendicular

e determinou o ponto médio de um seg-mento. Dessa forma, você consegue deter-minar a mediatriz dos lados de um triângulo e, assim, determinar o circuncentro.

Vamos traçar a mediatriz do lado BC do triângulo, determinando o ponto médio desse segmento e traçando a perpendicu-lar por esse ponto.

A

CMB

Agora é sua vez!Proceda da mesma forma para os la-

dos AB e AC determinando o circuncentro.

A

CMB

ATIVIDADE 1 – Determine o circun-centro dos triângulos abaixo:

a)

X Y

Z

b)

C

D

E

195

Para continuar

Traçando a bissetrizVocê já sabe que a bissetriz divide

o ângulo em dois outros ângulos con-gruentes. Vamos, agora, traçar essa bissetriz.

1. Coloque a ponta-seca do compasso no ponto O. Faça um arco que corte os lados do ângulo, conforme é mostrado na figura:

A

B

O

2. Coloque a ponta-seca em A e trace um novo arco. Com a mesma abertura do com-passo, trace um arco com a ponta-seca em B de modo que cruze com o arco traçado a partir de A. Unindo-se o vértice O com a intersecção dos arcos (X), encontra-se a semirreta que é a bissetriz.

A

B

O

A

B

O

ATIVIDADE 1 – Determine a bissetriz dos ângulos abaixo:

a)

b)

196

ATIVIDADE 2 – Determine o incentro dos triângulos.a)

X Y

Z

b)

C

D

E

Para finalizar

As construções que você acabou de fazer o auxiliam na compreensão dos pon-tos notáveis do triângulo, além de lhe dar a oportunidade de manusear alguns ins-trumentos de desenho. Fazer construções exige organização, traços definidos e preci-são. Caso você não tenha conseguido ser

muito preciso, não se preocupe, pois com o tempo você adquire essa precisão.

Hoje

EU SIM

MAS TENHO

ALGUMAS DÚVIDAS

NÃO

Fiz todas as atividades.

Li o texto teórico.

Compreendi o que eu li.

O que eu mais gostei de aprender hoje…

Para casa

TAREFA – Você ficou com alguma dú-vida em alguma construção? Então, é tem-po de você estudar mais um pouco e treinar o manuseio dos instrumentos. Em cada um dos triângulos a seguir, determine os pon-

197

tos notáveis que você está com dificuldade de determinar. Não se esqueça de dizer, ao lado de cada triângulo, que ponto notável você determinou.

a)

A

C

B

b)

X

ZY

198

Razão áurea e construção de espirais

5Cap

ítulo

MatemáticaGeometria

Para começar

Identificar a razão áurea e construir espirais.

ATIVIDADE – Faça as seguintes medi-das e cálculos procurando ser o mais preci-so possível em suas medições.a) Meça o comprimento de seu dedo indi-cador. Agora, meça da dobra central desse dedo até a ponta dele. Divida os valores en-contrados na ordem em que foram medidos.

b) Meça o comprimento de sua perna. Ago-ra, meça do joelho até o chão. Divida esses dois valores nessa ordem.

c) A razão (divisão) feita em a é próxima da razão em b?

Número de ouro — Razão áureaHá um número irracional que é encontra-

do em muitos elementos da natureza. Esse número fascinou muito o homem desde a Antiguidade. Acredita-se que as pirâmides tenham sido construídas tendo em con-ta esse número, chamado de número de ouro. Há um documento egípcio de milhares de anos, o papiro de Rhind, que traz uma re-ferência a uma “razão sagrada”. Essa razão sagrada foi utilizada em muitas construções e monumentos da Antiguidade.

Mas qual é esse número de ouro? Como ele aparece nas construções e na natureza?

Veja a representação da pirâmide de Quéops. A razão entre a altura de uma face (h) e metade do lado da base (a) dessa pi-râmide é igual ao número de ouro.

ha

= 161803398, ...

h

a

ME

DIO

IMA

GE

S/P

HO

TOD

ISC

/GE

TT

Y IM

AG

ES

Construída por volta de 2.500 a.C., a pirâmide de Quéops também é conhecida como a Grande Pirâmide.

Esse número de ouro, determinado pela razão áurea, é indicado pela letra gre-ga Φ (phi), que é a inicial do nome de Fí-dias, escultor e arquiteto grego encarrega-do da construção do Partenon, em Atenas. A fachada desse monumento é formada por diversos retângulos cuja razão entre a largura e altura é a razão áurea. Dessa for-ma, eram garantidas a beleza, a estética e a harmonia na construção.

199

ME

DIO

IMA

GE

S/P

HO

TOD

ISC

/GE

TT

Y IM

AG

ES

O Partenon foi construído entre 447 e 433 a.C.

θ

θ

θ

θ

θ θ

Essa razão não aparece apenas em construções, mas também em obras de arte de grandes artistas, como Leonardo da Vinci, e também em elementos da natu-reza, como no corpo humano, em animais, nas flores, na formação das árvores, na dis-posição das folhas em certas plantas, nos frutos…

Veja alguns exemplos da natureza em que esse número áureo aparece.

• A razão entre as abelhas fêmeas e as abelhas machos em uma colmeia é de 1,618;

• A diminuição da quantidade de folhas de uma árvore à medida de sua altura é de 1,618…

• A proporção que aumenta o tama-nho das espirais de um caracol é de 1,618;

• A proporção em que aumenta o diâ-metro das espirais sementes de um girassol é de 1,618;

ATIVIDADE 1 – Como construir um re-tângulo de ouro? Para isso faça a constru-ção segundo este roteiro:a) Desenhe um quadrado de 6 cm de lado.b) Divida o quadrado em duas partes iguais.

c) Com um compasso, desenhe um arco com centro em A e abertura em B.

A

B

d) Prolongue a base do quadrado até o fim do arco. Complete o retângulo

200

Agora é com você!e) Divida o comprimento desse novo retângulo pela largura e você terá o número de ouro.

Para continuar

FibonacciATIVIDADE – Observe o retângulo adiante:

a) Pinte o maior quadrado contido nele;

201

b) Desse retângulo que sobrou, pinte, de outra cor, o maior quadrado contido nele.c) Continue a fazer esse processo até chegar a um quadradinho de 1 unidade de lado.d) Quais são as medidas dos lados de cada um dos quadrados pintados? Que sequên-cia é essa?

Você viu, pela atividade, que as medidas dos lados são 5, 3, 2, 1, 1. Essa sequência você já conhece como a de Fibonacci.

Você construiu na aula de Matemática os quadradinhos a partir do 1, utilizando a se-quência de Fibonacci.

8

5

1

1

2

3

13

Veja que, a partir dessa construção, podemos desenhar a espiral de Fibonacci, que se assemelha à espiral que vemos na concha do molusco Nautilus e na couve-flor.

202

Vamos agora desenhar uma espiral, utilizando outros recursos.

Para continuar

Falsas espiraisATIVIDADE 1 – Vamos desenhar uma espiral utilizando a sequência: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, …Andando no sentido anti-horário, comece a traçar com lápis colorido os lados do qua-

driculado, na quantidade indicada pela sequência. Já começamos a traçar o 1, 1, 2.Cada vez que traçar uma determinada quantidade, mude a direção.

1

2

Começouaqui

1

203

ATIVIDADE 2 – Utilizando a malha triangular, também podemos desenhar uma espi-ral, mas a sequência é outra: 1, 2, 3, 4, 5, …

Para continuar

Construindo espiraisVocê desenhou espiral a partir de sequências numéricas. Essas espirais são uma

curiosidade que mostram a ligação entre números e geometria. Há espirais que são cons-truídas com régua e compasso.

Pegue esses instrumentos de desenho e mãos à obra!

ATIVIDADE 1 – Desenhando uma falsa espiral:a) Na reta abaixo, estão marcados dois pontos 1 e 2 , que serão considerados os “centros” da espiral. Coloque a ponta-seca do compasso em 1 e abra o compasso até o ponto 2. Trace para cima um arco que encontre a reta. Esse será o ponto A. Veja como ficou essa construção.

A2 1

b) Agora, com centro em 2 e a abertura do compasso até A, trace o arco para baixo até encontrar o ponto B, que ficará à esquerda de 2.

AB 2 1

204

c) Com centro em 1 e a abertura do compasso até B, trace o arco para cima até encon-trar o ponto C, que ficará à direita de 1.d) Com centro em 2 e a abertura do compasso até C, trace o arco para baixo até encontrar o ponto D, que ficará à esquerda de 2.e) Você pode continuar a construir sua espiral, sempre alternando os centros 1 e 2.

A2 1

Para finalizar

Ao longo da história da humanidade, sempre se buscaram a beleza, a estética e a perfeição. Até hoje, arquitetos, pintores e escultores buscam criar suas obras

com essas qualidades. Você já olhou para as construções de sua cidade ou de seu bairro? Há alguma obra que você considere muito bonita?

Hoje

EU SIM MAS TENHO ALGUMAS DÚVIDAS NÃO

Fiz todas as atividades.

Li o texto teórico.

Compreendi o que eu li.

O que eu mais gostei de aprender hoje…

205

Para casa

TAREFA – Construa a falsa espiral da seguinte sequência: 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, ...

Começouaqui

Quais são os quatro próximos números dessa sequência?

206

Pontos notáveis de um triângulo

6Cap

ítulo

MatemáticaGeometria

Para começar

Utilizar os conceitos sobre pontos no-táveis em diferentes situações e cons-truções.

ATIVIDADE – No triângulo abaixo, está indicado o baricentro. Determine as medi-das das medianas desse triângulo, saben-do que:

GD = 1,5 cmGB = 3,4 cmGE = 2,6 cm

B C

A

DF

G G

E

Para continuar

Situações-problema e construções

Para resolver as atividades a seguir, você precisará dos instrumentos de dese-nho e também das informações das aulas anteriores.

ATIVIDADE 1 – Inscreva uma circunfe-rência no triângulo abaixo.

ATIVIDADE 2 – Circunscreva uma circunferência no triângulo abaixo:

ATIVIDADE 3 – No triângulo a seguir, calcule cada um dos ângulos, sabendo que é o incentro desse triângulo.

207

20º

40º

30º

A

B C

I

ATIVIDADE 4 – Determine as medidas x e y dos lados dos triângulos:

3,2 cm

A

DF

CE

G

B

x

y2,65 cm

L

Q

F

Z

A

G

P

208

ATIVIDADE 5 – Em busca de um tesouro.Conta-se que os piratas tinham o hábito de guardar o que roubavam em baús e

enterrá-los em ilhas distantes e desertas… Como não confiavam na memória, elaboravam mapas rudimentares da ilha, com

indicações sobre a localização do tesouro, a fim de o recuperarem mais tarde. Por vezes, os mapas eram roubados por outros ladrões de tesouros que se dedicavam a desenterrar as riquezas conseguidas pelos piratas. Dessa forma, os piratas pas-saram a ser mais cautelosos, escrevendo apenas o número mínimo de informações nos mapas.

O pirata da nossa história é o famoso Barba Roxa Encaracolada. Ele, além de famoso, era muito bom em Matemática e aproveitava seus conhecimentos dessa fan-tástica disciplina para fazer seus mapas.

Certa noite, enquanto Barba Roxa Encaracolada dormia, um de seus companheiros, o Pirata Ruim de Cálculo, roubou o mapa. Ele seguiu todas as indicações e ficou muito próximo do local onde estava enterrado o baú. Só faltava cumprir a última instrução, mas, como Matemática nunca foi o seu forte, não conseguiu localizar o tesouro.

Leia a instrução que faltava para que o ladrão encontrasse o tesouro de Barba Roxa Encaracolada.

Após ter feito o triângulo na areia,

conforme as indicações, você encon-

trará o tesouro no ortocentro. Caso

você ache o tesouro, leia com cuidado

meu conselho, que está no baú...

Após ter feito o triângulo na areia,

conforme as indicações, você encon-

trará o tesouro no ortocentro. Caso

você ache o tesouro, leia com cuidado

meu conselho, que está no baú...

Encontre o local onde está enterrado o tesouro.

209

Para finalizar

Você já estudou diferentes aspectos dos pontos notáveis. Caso você tenha alguma dúvida, não deixe de tirá-la com seu (sua) professor(a).

Hoje

EU SIM MAS TENHO ALGUMAS DÚVIDAS NÃO

Fiz todas as atividades.

Li o texto teórico.

Compreendi o que eu li.

O que eu mais gostei de aprender hoje…

210

Para casa

TAREFA – Hoje a sua tarefa é refletir sobre o conselho de Barba Roxa Encaraco-lada.

Se você está lendo este manuscrito é porque

conseguiu localizar o baú. Isso significa que é

muito bom (boa) em Matemática. Lembre-se

sempre de que é preciso prestar atenção às aulas,

fazer as atividades e a lição de casa e estudar,

porque assim você encontrará muitos tesouros em

sua vida.

211

Anotações

212

Anotações

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