matemáticas para los negocios

Matemticas para negocios 215

Introduccin

La representacin grca de las vas de comunicacin de cualquier regingeogrcaesunclaroejemplodeunared,locualleconererelevancianaturalpor tener la capacidad de proporcionarnos informacin acerca de los diferentes caminos que podemos utilizar para trasladarnos de un origen hasta un destino preestablecido pero, en general, es necesario obtener an ms informacin de un diagrama de redes, como encontrar cul de todas las posibles rutas es la que tiene un recorrido total menor a cualquier otra, es decir, la ruta ms corta de todas o, porejemplo,culeslarutaconmayorauenciaoujo mximo, as como el ujo de costo mnimo. Se puede observar que el denominador comn de los trminos recin presentados como: ms corta y mnimo o mximo, tiene una relacin directaconlaoptimizacin.Esenestesentidoquesepresentatantoladenicinde los modelos de redes, su terminologa y construccin, as como casos prcticos para resolver con la metodologa presentada a lo largo de este captulo.

En las diferentes secciones del captulo se estudiarn los problemas mencionados a travs de la solucin de casos de aplicacin, por lo que se sugiere que el lector resuelva de nueva cuenta tales ejemplos, as como la seccin de ejercicios y la autoevaluacin.

6.1. Denicindelmodelo

Engeneral,unaredeslarepresentacingrcadeunproceso,seriedeactividadesinterconectadasoladistribucindepuntosgeogrcosespeccos,porejemplo,un mapa carretero o la distribucin de una red de computadoras representada en un diagrama, aunque existen muchos ms contextos donde se aplican las redes.

Pormostrarunarepresentacinde la realidad, las redesseclasicancomounmodelo.Esascomosedeneelmodeloderedes,elcualcuentaconterminologapropia, necesaria para su desarrollo. A continuacin se presenta la notacin y terminologa empleada.

216 Unidad 6 Modelo de redes

Notacin y terminologa

Red. Conjunto de puntos llamados nodos (o vrtices) y lneas que los unen llamadas arcos (o ligaduras, aristas o ramas).

Los arcos se etiquetan con los nombres de los nodos en sus puntos terminales, por ejemplo, AB es el arco entre los nodos A y B.

Arcos dirigidos.Unarcoesdirigidocuandotieneujoenunasoladireccinystaseindicaconunacabezadeechaalnaldelarcoolneaenladireccindelujo.

Arcos no dirigidos.Unarcodondesepermiteelujoenambasdirecciones.

Trayectoria. Sucesin de arcos distintos que conectan dos nodos.

Trayectoria dirigida. Una trayectoria dirigida del nodo i al nodo j, es una sucesin dearcoscuyadireccin(silatienen)eshaciaelnodoj,demaneraqueelujodelnodo i al nodo j, a travs de esta trayectoria, es factible.

Trayectoria no dirigida. Una trayectoria no dirigida del nodo i al nodo j es una sucesin de arcos cuya direccin (si la tienen) puede ser hacia o desde el nodo j.

Red dirigida. Es una red que tiene slo arcos dirigidos.

Red no dirigida. Es una red donde todos sus arcos son no dirigidos.

Red conexa. Una red conexa es una red en la que cada par de nodos est conectado. Se dice que dos nodos estn conectados si la red contiene al menos una trayectoria no dirigida entre ellos aparte.

Se debe resaltar que no es necesario que la trayectoria sea dirigida aun cuando la red sea dirigida.

Capacidad de arco.Eslacantidadmximadeujo(quizsinnito)quepuedecircular en un arco dirigido.

Nodo fuente (o nodo de origen). Tiene la propiedaddequeelujoquesaledelnodoexcedealujoqueentraal.

Nodo demanda (o nodo destino). Es el caso contrario al nodo fuente, donde el ujoquellegaexcedealquesaledel.


Nodo de trasbordo (onodo intermedio).Satisface laconservacindelujo,esdecir,elujoqueentraesigualalquesale.

Esta terminologa se utilizar en el desarrollo del algoritmo y ejemplos. Conforme se requiera, se recuperar alguno de los conceptos, ya sea para aplicar algn paso de un algoritmo o explicar alguna consideracin particular de una operacin o tipo de red.

El siguiente diagrama representa una red:

Los nodos 0 y F representan el origen y destino de la red, mientras que los nodos A, B, C, D y E, son nodos de trasbordo, el nmero en los arcos o lneas puede indicar distancia en kilmetros, por ejemplo, entre nodos adyacentes.

Como se mencion en un principio, los diagramas de redes, adems de representar vas de comunicacin, tambin se utilizan para obtener informacin adicional, por ejemplo, para obtener la ruta ms corta entre el nodo origen y el nodo destino. A continuacin se presenta el algoritmo de La ruta ms corta.

6.2. Problema de la ruta ms corta

El problema de la ruta ms corta tiene por objetivo determinar la ruta mnima entre un origen y un destino determinados utilizando la informacin disponible en una red y cumpliendo con las especicaciones de distancia, conexionesexistentes, etctera.

Elalgoritmoanalizalaredapartirdelorigen,identicandoenordenascendentela ruta ms corta hasta cada uno de los nodos desde el origen hasta alcanzar el nodo destino.

Ejemplo 1


Esto es partir de una red establecida, conexa y no dirigida con nodos origen y destino. A cada arco no dirigido se asocia una distancia no negativa. El objetivo es determinar la ruta ms corta, es decir, la trayectoria con la mnima distancia total, desde el origen hasta el destino.

Algoritmo de la ruta ms corta:

Objetivo de la n-sima iteracin. Encontrar el n-simo nodo ms cercano al origen (este paso se repetir para n=1,2, hasta que el n-simo nodo ms cercano sea el nodo destino).

Datos para la n-sima iteracin. Son los n-1 nodos ms cercanos al origen (encontrados en las iteraciones previas), incluida su ruta ms corta y la distancia desde el origen (estos nodos y el origen se llaman nodos resueltos, el resto son nodos no resueltos).

Candidatos para el n-simo nodo ms cercano. Cada nodo resuelto que tiene conexin directa por una ligadura con uno o ms nodos no resueltos, proporciona un candidato y ste es el nodo no resuelto que tiene la ligadura ms corta (los empates proporcionan candidatos adicionales). Clculo del n-simo nodo ms cercano. Para cada nodo resuelto y sus candidatos, se suma la distancia entre ellos y la distancia de la ruta ms corta desde el origen a este nodo resuelto. El candidato con la distancia total ms pequea es el n-simo nodo ms cercano (los empates proporcionan nodos resueltos adicionales) y su ruta ms corta es la que genera esta distancia.

El algoritmo es muy sencillo y su aplicacin se facilita an ms si se utiliza una tablaqueregistraelresultadodelasiteracionesypermitelaidenticacindelasconexiones que forman la ruta ms corta de la red.

La tabla contiene la siguiente informacin:

Tabla6.1. Tablaparaaplicarelalgoritmodelarutamscorta.

nNodos resueltos

conectados directamente a nodos no resueltos

Nodo no resuelto ms cercano conectado

Distancia total

involucrada

n-simo nodo ms cercano

Distancia mnima

ltima conexin

1...n


La primera columna indica el nmero de la iteracin.

La segunda columna: registra los nodos resueltos (nodos ya utilizados en la trayectoria) para iniciar la iteracin actual, despus de no considerar los nodos que no se utilizan.

La tercera columna: candidatos (nodos no resueltos con la ligadura ms corta al nodo resuelto) para el n-simo nodo ms cercano.

La cuarta columna: distancia de la ruta ms corta desde el origen a cada uno de estos candidatos.

La quinta columna: candidato con la menor distancia al origen.

La sexta columna: distancia de la ruta ms corta desde el origen al ltimo nodo resuelto.

La sptima columna: ltimo tramo en esta ruta ms corta.

En la ltima columna se puede determinar la ruta ms corta desde el nodo origen al destino.

El siguiente ejemplo muestra la aplicacin de la tabla a la red del ejemplo anterior.

Aplicar el algoritmo de la ruta ms corta a la red del ejemplo 1.

Se comienza por generar una tabla con los siguientes encabezados:

Ejemplo 2


Laprimeraiteracinseregistraenlalacorrespondientea 1n =

La primera iteracin se realiza comparando la distancia existente entre el nodo 0 y los nodos A y B respectivamente, seleccionando el nodo B como el nodo no resuelto ms cercano conectado con una distancia total involucrada de 4 km. Ahora, el n-simo nodo ms cercano aplica cuando se deba comparar ms de un nodo, en este caso el mismo nodo B es el ms cercano con una distancia mnima de 4 km, por lo que se establece la ltima conexin como 0B.

Ahora toca el turno de la segunda iteracin:

En esta iteracin, el nodo 0 y el nodo B son nodos resueltos, es decir, ya se pas por ellos, pero estn conectados a nodos no resueltos y, por esta razn, se consideran en la segunda iteracin.

El nodo no resuelto ms cercano a 0 y B respectivamente es A y C, el primero con una distancia total de 5 unidades, mientras que la distancia para llegar a C es la suma de las distancias de 0 a B y luego de B a C; siendo mnima la primera, se selecciona como ltima conexin.

nNodos resueltos



Distancia total

involucrada


Distancia mnima

ltima conexin

1 0 B 4 B 4 0B

nNodos resueltos



Distancia total

involucrada


Distancia mnima

ltima conexin

1 0 B 4 B 4 0B

20B

AC

54+6=10

AC

510

0A

nNodos resueltos



Distancia total

involucrada


Distancia mnima

ltima conexin

1...n


La tabla completa, considerando la misma explicacin que se present para la primera y segunda iteracin, est dada por:

De la ltima columna se extrae la informacin para resolver el problema:

La ruta ms corta desde el nodo destino hacia el nodo origen se determina desde el nalhaciaelprincipiodelaltimacolumna,esdecir,desdeeldestino T EBA0, con una distancia total de 16 kilmetros.

Si representamos la ruta ms corta sobre el diagrama de la red, queda como:

En algunas ocasiones, este algoritmo de solucin puede generar ms de una ruta ms corta y ser decisin del responsable del proyecto considerar, de las posibles rutasmscortas,laquemejoresbeneciosreporteparalosinvolucrados.

nNodos resueltos



Distancia total

involucrada


Distancia mnima

ltima conexin

1 0 B 4 B 4 0B

20B

AC

54+6=10

AC

5 0A

3 A D 5+4=9 C 9 AB

4 BED

9+2=119+3=12

ED

11 BE

5DE

FF

12+7=1911+5=16

FF

1916

ET


6.3. Flujo mximo

Cuandosepretendemaximizarelujoatravsdeunared,considerandocomoinicio de la red un nodo llamado fuenteycomonodonalunnodollamadodestino ytomandoencuentaqueelujoenlosarcosessloenladireccinqueeneldiagrama de la red se indica, se tiene un problema de ujo mximo, en el cual el objetivoesmaximizarlacantidadtotaldeujodelafuente al destino.

Este tipo de problema tiene una amplia gama de aplicaciones dentro de las cuales se pueden mencionar:

Maximizarelujodecualquieruidoatravsdeunatubera. Maximizarelujodevehculosporunsistemacarretero. Maximizarelujodeinsumosoproductosdesdelosproveedoreshacialos

clientes de cualquier tipo de empresa.

Pararesolveresteproblema,serequiereunaredconexadirigida,identicarlosnodos fuente y destino, as como conocer, por lo general, los lmites mximos permisiblesdeujoencadaunodelosarcosdirigidosdelared.Coneldiagramade la red y los datos mencionados se utiliza un algoritmo para obtener la solucin.

A manera de introduccin al algoritmo de solucin, se presentan algunos trminos necesarios en la aplicacin del mismo.

Red residual.Unavezasignadosujosalosarcosdelaredoriginal,lared residual es aquella que muestra las capacidades restantes (capacidades residuales) para asignarujosadicionales.Paraindicarlacapacidaddeujosecolocaunnmeroen la base del arco.


Suponer que entre un nodo adyacente y un nodo fuente se tiene una capacidad mximadeujode9unidadesdealgnproducto,locualestrepresentadoporlasiguientegura:

Observa que la capacidad residual de la derecha vale cero, pues no se ha realizado asignacindeujo.Entoncessiseasigna,porejemplo,unujode6unidadesalarco 0A, el diagrama de la red cambia a:

Este cambio en el diagrama indica que el nodo 0 tiene una capacidad residual de tres unidades y que la capacidad residual del nodo A es de seis unidades.

Trayectoria aumentada. Es la trayectoria dirigida desde el nodo fuente hacia el destino en la red residual, donde todos los arcos comprendidos en esta trayectoria tienen capacidad residual estrictamente positiva.

Algoritmo de la trayectoria de aumento:

1. Se identica una trayectoria de aumento encontrando alguna trayectoriadirigida del origen al destino en la red residual, tal que cada arco sobre esta trayectoria tiene capacidad residual estrictamente positiva (si no existe una, losujosnetosasignadosconstituyenunpatrndelujoptimo).

2. Se identica la capacidad residual c* de esta trayectoria de aumentoencontrando el mnimo de las capacidades residuales de los arcos sobre esta trayectoria.Seaumentaenc*elujodeestatrayectoria.

3. Sedisminuyeenc*lacapacidadresidualdecadaarcoenestatrayectoriadeaumento.Seaumentaenc*lacapacidadresidualdecadaarcoenladireccinopuesta en esta trayectoria. Se regresa al paso 1.

A continuacin se aplica este algoritmo a la siguiente red, que es la misma del ejemplo 1, pero sobre la red se escribieron los lmites mximos permisibles, como las capacidades residuales de los arcos de la red.

Ejemplo 3


Considera losujosde la siguiente redydetermina la trayectoriadeaumentoparaelproblemadeujomximo.

Iteracin 1. Primero se determina una trayectoria de aumento desde el nodo fuente hacia el destino de la red residual, para este caso la trayectoria de aumento est dada por 0BCDF, que tiene una capacidad residual igual al

( )min 9,12,7,9 7= , que corresponde a las capacidades residuales de cada arco. Asignamoselujode7aestatrayectoriaparaobtener:

Iteracin 2. Otra trayectoria de aumento desde el nodo fuente hacia el destino de la red residual para esta segunda iteracin es la trayectoria de aumento por 0BCEF, la cual tiene una capacidad residual igual al ( )min 2,5,6,6 2= , que correspondealascapacidadesresidualesdecadaarco.Asignamoselujode2aesta trayectoria para obtener:

Ejemplo 4


Iteracin 3. Una trayectoria ms ser 0ACEF mn (7, 7, 4, 4) = 4. Asignamos el flujo de 4 a esta trayectoria para obtener:

Comoyanoexistentrayectoriasdeaumento,elpatrndeujoactualesptimo.Entonceslasolucinptimadeesteproblemadeujomximoestdadaporlasiguiente red:

Estoquieredecirqueelujomximoparaestaredesde13unidades.

6.4. Flujo restringido de costo mnimo

En ocasiones, lo que se busca determinar acerca de una red es la manera en la cual distribuir algn tipo de material por los conductos de la misma (arcos) al menor costo posible, calculado ste con el costo unitario de transporte de cada conductoyrespetandoloslmitesmximospermisiblesdeujoentodalared.Para el transporte del material por los conductos de la red, desde los puntos de produccin hasta los de consumo, se denotan nodos fuentes, nodos de trasbordo dondeconcurrenvariasrutasynodosdestino.

Paraplantearelmodelodeujodecostomnimo,seconsideraunaredconexadirigida, en donde al menos se incluyen un nodo de produccin ( fuente) y uno de consumo (destino). La produccin total de la red debe ser igual a la demanda total de sta;estoesunproblemabalanceado,encasocontrario,seutilizannodoscticiospara lograr el balance. En adelante slo se considerarn problemas balanceados.


El objetivo del modelo es minimizar el costo de transporte, satisfaciendo tanto las demandasdelosconsumidorescomolasrestriccionesdeujoenlosconductosde la red.

La notacin de las variables y los datos involucrados en el desarrollo del modelo son:

:ijc costoporunidaddeujoatravsdelarcoquevadelnodoi al nodo j.

:iju capacidaddeujodelarcoquevadelnodoi al nodo j.

:ib ujonetogeneradodelnodoi.

Donde ib puede ser positiva si el nodo i es un nodo fuente, negativa si el nodo i es un nodo demanda o cero si el nodo i es un nodo trasbordo.

Lasvariablesdedecisinsonelujoenlosconductos:

:ijx ujoenelarcoquevadelnodoi al nodo j.

Como el objetivo es minimizar el costo de transporte a travs de la red y considerandoquelassumasdelosujosserealizasobrelosnodos,lafuncindecostos y las restricciones estn determinadas por las expresiones:

min

1 1

n n

ij iji j

Z c x= =

=

Sujeto a:

1 1

n n

ij ji ij j

x x b= =

= , para cada nodo i.

0 ij ijx u ; para cada arco del nodo i al nodo j.

Laprimerasumadelaprimerarestriccinindicaelujototalquesale del i-simo nodo,mientrasquelasegundasumaindicaelujototalqueentra al i-simo nodo, por lo que la diferencia de las sumas debe ser igual a la produccin o demanda del nodo e igual a cero para los nodos de trasbordo.


Considerarlosujosmximospermisiblesyloscostosunitariosdelosarcosdela siguiente red y determinar el costo mnimo de transporte. Tomando en cuenta que se tienen dos puntos de produccin de 500 y 350 metros cbicos de un corte ligero de crudo y que otros dos puntos consumen 450 y 400 metros cbicos delmismo corte ligero. Los costos unitarios de transporte y ujosmximospermisibles, as como la produccin y consumo de las fuentes y destinos, se muestran sobre la red:

Apartirdelainformacindelaredseplanteaelmodelodeujorestringidodecosto mnimo:

min

1 1

n n

ij iji j

Z c x= =

=

Sujeto a:

1 1

n n

ij ji ij j

x x b= =



De forma desarrollada se tiene:

min 13 13 14 14 24 24 25 25 34 34 36 36 46 46 47 47 54 54 57 57Z c x c x c x c x c x c x c x c x c x c x= + + + + + + + + +

Ejemplo 5


Sujeto a:

13 14 1x x b+ =

24 25 2x x b+ =

34 36 13 0x x x+ =

46 47 14 24 34 54 0x x x x x x+ =

54 57 25 0x x x+ =

36 46 6x x b =

47 57 7x x b =

13 130 x u

14 140 x u

24 240 x u

25 250 x u

34 340 x u

36 360 x u

46 460 x u

47 470 x u

54 540 x u

57 570 x u

Si se sustituyen los valores conocidos tanto en la funcin objetivo como en las restricciones, entonces se tiene:

min 13 14 24 25 34 36 46 47 54 5710 15 12 14 10 12 18 15 18 15Z x x x x x x x x x x= + + + + + + + + +

Sujeto a:

13 14 500x x+ =

24 25 350x x+ =

34 36 13 0x x x+ =

46 47 14 34 54 0x x x x x+ =

54 57 25 0x x x+ =

36 46 400x x =

47 57 450x x =

130 400x

140 200x

240 300x

250 200x

340 400x

360 300x


460 200x

470 350x

540 100x

570 300x

Resolviendo el modelo con apoyo de un paquete computacional, hoja de clculo de Excel, se llega a la siguiente solucin:

13 300x =

14 200x =

24 250x =

25 100x =

34 0x =

36 300x =

46 100x =

47 350x =

54 0x =

57 100x =

Con un costo total mnimo de min $22,550.00Z =

Deestasolucincabesealarquelosconductosidenticadosporlosarcos(3,4)y(5,4) no se utilizan en la misma. Entonces, otro resultado importante que puede obtenersedeestealgoritmoesidenticarlasreasdeoportunidaddelasredescon las que se trabaja, sin embargo, esto slo es una propuesta ya que, en realidad, elresponsabledelproyectoesquiendeberidenticarlainformacinrelevantepara el buen logro de las metas y objetivos planteados.

6.5. Aplicaciones al entorno de los negocios

Aplicarlosalgoritmosdesolucinaproblemasqueinvolucrenmaximizarunujoo minimizar el costo total de una serie de operaciones, siempre tendr remarcada importancia en cualquier tipo de negocio ya que, en la actualidad, debido a la globalizacin y la tendencia de grandes corporaciones a expandir sus operaciones ms all de sus pases de origen, se hace presente la necesidad de herramientas que apoyen, con resultados cuantitativos, la toma de decisiones de casi cualquier ndole referida a la empresa.


Cabe mencionar que el hecho de contar con estas herramientas, permitir distinguir la calidad de las decisiones soportadas en stas, de las decisiones poco afortunadas tomadas porque pareca lo correcto. Aun as, tambin debe considerarse que slo la constante y repetida prctica en la solucin de problemas, fortalecer las habilidades y conocimientos necesarios para aplicarlos en tareas cada vez ms complejas.

Con el fin de ejemplicar una de las posibles aplicaciones de las redes a losnegocios se presenta un caso prctico para resolver e interpretar.

Eldiagramaqueacontinuacinsepresentacorrespondealujoderecursosquevandesde dos Direcciones generales (fuentes) con disponibilidad de 7.5 millones y 4.5 millones de pesos respectivamente, hacia dos administradores de campaas publicitarias (destinos)conrequisitosde5y7millonescadauna.Paraesten,lasdosdireccionescanalizanlosrecursosatravsdetresdepartamentosquetienenrestriccionesdeujode capital. Estos requerimientos y los costos unitarios de las operaciones se indican en el diagrama. Los valores negativos de las variables b

6 y b

7 indican requerimientos.

Cada una de las Direcciones generales (nodos 1 y 2 en el diagrama) destina recursos a travs de dos departamentos (nodos 3 y 5 para la fuente 1 y nodos 4 y 5 para la fuente 2). Los departamentos (nodos 3, 4 y 5) dirigen recursos hacia los administradores de las campaas publicitarias (nodos 6 y 7). Los departamentos representados por los nodos 3 y 5 envan recursos hacia el administrador ubicado en el nodo 6, y los departamentos designados como nodos 4 y 5 canalizan sus recursos hacia el administrador del nodo 7. Observa que el departamento del nodo 5 tambin puede recibir transferencias desde los nodos 3 y 4.

Ejemplo 6


Elobjetivodelproblemaesdeterminarelujoderecursosatravsdelaredalmenor costo posible.

Apartirdelainformacindelaredseplanteaalmodelodeujorestringidodecosto mnimo, con las siguientes variables:

:ijc :costoporunidaddeujoatravsdelarcoquevadelnodoi al nodo j.

:iju :capacidaddeujodelarcoquevadelnodoi al nodo j.

:ib :ujonetogeneradodelnodoi.

La funcin de costos y las restricciones estn determinadas por las expresiones:

min

1 1

n n

ij iji j

Z c x= =

=

Sujeto a:

1 1

n n

ij ji ij j

x x b= =



De forma desarrollada se tiene:

min 13 13 15 15 25 25 24 24 35 35 36 36 56 56 57 57 45 45 47 47Z c x c x c x c x c x c x c x c x c x c x= + + + + + + + + +

Sujeto a:

13 15 1x x b+ =

24 25 2x x b+ =

35 36 13 0x x x+ =

56 57 15 25 35 45 0x x x x x x+ =

45 47 25 0x x x+ =

36 56 6x x b =

45 45 7x x b =

13 130 x u

15 150 x u

24 240 x u

25 250 x u

35 350 x u

36 360 x u

45 450 x u


47 470 x u

56 560 x u

57 570 x u

Si se sustituyen los valores conocidos tanto en la funcin objetivo como en las restricciones, se tiene:

min 13 15 25 24 35 36 561000 1500 1200 1150 1000 1200 1300Z x x x x x x x= + + + + + + + 57 45 471500 1000 1500x x x+ +

Sujeto a:

13 15 7.5x x+ =

24 25 4.5x x+ =

35 36 13 0x x x+ =

56 57 15 25 35 45 0x x x x x x+ =

45 47 25 0x x x+ =

36 56 5x x =

45 45 7x x =

130 8x

150 6x

240 1.5x

250 3x

350 3x

360 6x

450 2x

470 1x

560 10x

570 1x

Despus se determina el valor de las variables de decisin del modelo matemtico con apoyo de un procesador de clculo, hoja de Excel, para resolver el sistema de ecuaciones del modelo.

Para este caso se obtuvieron los siguientes valores de las variables de decisin:

13 5x =

15 2.5x =

24 1.5x =

25 3x =


35 0x =

36 5x =

45 0.5x =

47 1x =

56 0x =

57 1x =

Elvalordelosujosestdadoenmillonesdepesos.

Con un costo mnimo de min $31,075.00Z = .

Es importante notar que algunos arcos de la red no se utilizaron en la solucin del problema, lo cual podra indicar reas de oportunidad en la estructura de la empresa.

6.6. Algoritmo PERT

En 1958 aparece el sistema PERT (evaluacin de programa y tcnica de revisin), el cual fue desarrollado por Booz, Allen y Hamilton, cientficos de la oficina naval de proyectos espaciales y la divisin de sistemas de armamentos de la corporacin Lockheed Aircraft. La tcnica demostr tanta utilidad que ha ganado amplia aceptacin tanto en el gobierno como en el sector privado. El mtodo PERT fue probado en la construccin del submarino Polaris y se dice que redujo en dos aos la conclusin del proyecto.

Terminologa

Actividad. En trminos generales, se considera actividad a la serie de operaciones realizadas por una persona o grupo de personas en forma continua, sin interrupciones, con tiempos medibles de iniciacin y terminacin. Las actividades pueden ser fsicas o mentales, como construcciones, trmites, estudios, inspecciones, dibujos, etctera.

Relacin entre actividades. Es la forma lgica como se conectan las diferentes actividades del proyecto. Esta relacin se puede obtener por antecedentes o por secuencia. Por antecedentes se les preguntar a los responsables de los procesos cules actividades deben quedar terminadas para ejecutar cada una de las que aparecen en la lista. Debe tenerse especial cuidado de que todas y cada una de


las actividades tengan por lo menos un antecedente excepto en el caso de ser actividades iniciales, en cuyo caso su antecedente ser cero (0).

Si la relacin se hace por secuencia, se preguntar a los responsables de la ejecucin cules actividades deben hacerse al terminar cada una de las que aparecen en la lista.

Matriz de secuencia o de precedencia. Es la matriz en donde se coloca cada una de las actividades del proyecto y sus actividades secuenciales o precedentes. En el caso de la matriz de precedencia, est formada por tres columnas, la primera contiene el nmero de actividad, la segunda las actividades que preceden a la actividad mostrada en la primera columna y la ltima, una columna de anotaciones, la cual se utiliza para aclarar cualquier detalle del proyecto.

La matriz de secuencia tiene tambin tres columnas, la primera contiene las actividades que conforman el proyecto, la segunda contiene las actividades que estn despus de la actividad de la primera columna, mientras que la tercera es una columna de anotaciones.

Matriz de tiempos. Es la matriz que contiene el tiempo que necesita cada actividad para completarse.

Todos los clculos se hacen con la suposicin de que los tiempos de actividad son determinsticos. Para esto se necesita estimar tres tiempos:

a) Tiempo pesimista. Es el mayor tiempo posible en que se puede realizar una actividad, esto como consecuencia de un desperfecto de la maquinaria o errores de los operadores, falta de materia prima, etctera.

b) Tiempo optimista. Es el menor tiempo posible en el que se puede realizar una actividad, esto como consecuencia de que todos los factores sean favorables.

c) Tiempo ms probable. Es el tiempo modal, es decir, es el tiempo que ms se repite en la realizacin de la actividad.

Con estos tres tiempos se calcula el tiempo esperado, el cual se obtiene al calcular un promedio ponderado utilizando la siguiente frmula:

046

p me

t t tt

+ +=

La informacin de los tiempos (ya sea determinstico o estocstico) se aade a la matriz de actividades. Esto se hace creando una nueva columna, la cual contiene


el tiempo determinstico de cada actividad o el tiempo esperado de cada una de ellas. La matriz resultante recibe el nombre de matriz de informacin y se utiliza para construir la red de proyecto.

Evento. Se llama evento al momento de iniciacin o terminacin de una actividad.

Red de proyecto. Es la representacin grfica del proyecto, contiene cada una de las actividades a realizar, adems de sus interrelaciones y secuencias. En este caso, los nodos de la red son los eventos del proyecto que se conectan a travs de los arcos de la red o aristas, los cuales slo representan la secuenciacin del proyecto y en ningn caso su longitud o forma determinan el tiempo que requiere cada actividad.

Empecemos explicando el sistema PERT

Lo primero que nos interesa de un proyecto es hacer una estimacin del tiempo que necesitaremos para concluirlo. Una forma de realizar esta estimacin es utilizando la grfica de Gantt, la cual es un cronograma de tiempos, en la que el eje vertical contiene las actividades del proyecto y en el eje horizontal anotamos el tiempo. Para graficar cada una de las actividades utilizamos el siguiente algoritmo:

1. Se grafican las actividades iniciales, es decir, aquellas que no tienen actividades precedentes. Para graficar cada una de las actividades se traza una lnea horizontal a la altura de donde se etiqueta la actividad, la longitud de la recta es igual al tiempo esperado de la actividad, utilizando la escala del eje horizontal.

2. Se grafican las actividades que tienen como precedente las actividades del paso anterior. La lnea horizontal se traza a partir de donde termina la actividad precedente. Si una actividad depende de dos actividades o ms, tenemos que igualar la longitud de todas estas actividades a la ms larga, para ello trazamos una lnea punteada.

3. Si ya no hay ms actividades, entonces la grfica est terminada, el punto del tiempo hasta donde llega la ltima lnea recta es la aproximacin de tiempo de terminacin del proyecto. Si quedan actividades pendientes regresamos al punto 2.


Se pide a un ingeniero la ampliacin de una casa. La matriz de precedencia y de tiempos es la siguiente:

Lo primero es calcular el tiempo esperado de cada una de las actividades, para ello utilizamos la frmula:

046

p me

t t tt

+ +=

Ejemplo 7


Trazamos la grfica de Gantt:

De la grfica se concluye que el tiempo esperado para la terminacin del proyecto es de 15 das.

Una de las principales deficiencias que tiene esta tcnica es que no toma en cuenta la relacin entre las actividades. El mtodo PERT soluciona esta deficiencia al tomar en cuenta las relaciones existentes entre las diferentes actividades y nos proporciona la ruta crtica, es decir, identifica las actividades que repercuten directamente en el proyecto.

Algoritmo del mtodo PERT

Dada la lista de actividades, la relacin de precedencia y los tiempos pesimista, optimista y ms probable de las actividades de un proyecto, se hace lo siguiente:

1. Estimar los tiempos esperados de cada actividad.

2. Construir la red de proyectos.

Nota. Recuerda que entre dos eventos slo debe existir una actividad, en caso contrario se aaden actividades ficticias.

3. Determinar los tiempos para eventos. Esto es, debemos determinar la terminacin prxima y la terminacin lejana de cada evento utilizando las siguientes frmulas:

a) La terminacin prxima de un evento (TPEj) es igual a la terminacin

prxima del evento anterior ms el tiempo esperado de la actividad (TEA

ij) del evento anterior al evento j.


TPEj = TEPj + TEAij

Si hay dos trayectorias que lleguen a un evento se toma la de mayor tiempo. Al evento inicial se le asigna una terminacin prxima igual a cero (TPE

0 = 0).

b) La terminacin lejana de cada evento (TLEi) se calcula de derecha a

izquierda en la red y es igual a la terminacin lejana del evento posterior menos el tiempo esperado de la actividad posterior al evento i.

TLEi = TLEj TEAij

Si existen dos trayectorias que lleguen a un evento, consideramos la de menor tiempo. Al evento final se le asigna el valor de la terminacin prxima del evento final.

La notacin que se utiliza para expresar estos tiempos es una cruz arriba de cada evento, en la parte superior izquierda se anota la terminacin prxima y del lado superior derecho la terminacin lejana.

4. Calcular los tiempos para las actividades.

Terminacin prxima (TPA), es igual a la terminacin prxima de la actividad ms la duracin de sta.

TPAij = TPEj + TEAij

Con estos tiempos podemos calcular la holgura de cada actividad, la cual se define como: la diferencia entre la terminacin prxima y la terminacin lejana.

Hij = TPAij TLEj

5. La ruta crtica est formada por las actividades que tienen una holgura igual a cero.


6. Debido a la naturaleza probabilstica de los tiempos en cada actividad, no podemos tener un tiempo exacto de terminacin T, en su lugar debemos calcular el intervalo donde esperamos que caiga el tiempo. Para ello utilizamos las siguientes frmulas para calcular la esperanza y la varianza de la variable que mide el tiempo en que se realiza el proyecto:

=

varianza de la sima actividad6

p ot ti2

= rutacrtica

( ) eE T T

= rutacrtica

var( ) variT

Hallar la ruta crtica del siguiente proyecto:

Un ingeniero elctrico debe hacer una instalacin elctrica en una ampliacin realizada a una fbrica. A continuacin se presenta la matriz de precedencia y tiempos estimados en das.

Ejemplo 8


1. Estimamos los tiempos esperados de cada actividad.

2. Construimos la red del proyecto.

3. Calculamos los tiempos de cada evento, utilizando la siguiente tabla.


4. Una vez que calculamos los tiempos de los eventos, calculamos los tiempos para las actividades, para ello utilizamos la siguiente tabla:

5. De la tabla anterior concluimos que la ruta crtica est formada por los eventos A, B y E, es decir:

RC = A + B + E

Por lo tanto el ingeniero debe tener especial cuidado en:

Lacolocacindelosductosparaelcableado. Colocacindecables. Colocacindecontactosyarrancadores.

Para que, de esta manera, el proyecto se lleve a buen trmino. El tiempo esperado para la terminacin del proyecto es:

E(T) = 1.5 + 2 + 3 = 6.5 das

= + + =1 1 1 1( )36 9 9 4

V T

Por lo tanto, el tiempo esperado para la terminacin del proyecto es de 6.5 das, con una desviacin estndar de 0.5 das. La variable tiempo de terminacin se puede ajustar a una distribucin normal con media 6.5 y desviacin estndar de 0.5 das. Si tomamos el intervalo formado por la media menos la desviacin estndar y la media ms la desviacin estndar, sabemos que dentro de este intervalo tendremos 68.27% de los datos, es decir, tenemos 68.27% de probabilidad de que el tiempo de terminacin est dentro del intervalo [6,7].


Ejercicios

El problema de la ruta ms corta

1. Determina con el algoritmo de la ruta ms corta, la ruta a seguir desde el origen A hasta el destino G. Las distancias estn dadas en kilmetros sobre los arcos de la red.

2. Determina con el algoritmo de la ruta ms corta, la ruta a seguir desde el origen A hasta el destino H. Las distancias estn dadas en kilmetros sobre los arcos de la red. Existe slo una ruta ms corta para este ejercicio?


3. El siguiente diagrama representa las posibles rutas que se pueden seguir para llegar del origen A al destino K. Las distancias representan kilmetros entre cada nodo. Utiliza el algoritmo de la ruta ms corta e indica la ruta y la distancia mnima que se recorre sobre la misma.

Flujo mximo

1. Consideralosujosdelasiguienteredydeterminalatrayectoriadeaumentoparaelproblemadeujomximo.


2. Determina la trayectoria de aumento para el problema de ujo mximoasociado al siguiente diagrama:

3. Culeselujomximoenlasiguientered?

Flujo restringido de costo mnimo

1. Elsiguientediagramacorrespondeaunaredconujosmximospermisiblesy costo unitario sealados en cada arco de la red. Utiliza el diagrama para:


a)Obtenerelmodelomatemticodeujorestringidodecostomnimo. b) Resolver el sistema de ecuaciones resultante del modelado. c) Indicarelvalordecadaujoyelcostodelmodelo.

2. Elsiguientediagramacorrespondeaunaredconujosmximospermisiblesy costo unitario sealados en cada arco de la red. Utiliza el diagrama para:

a)Obtenerelmodelomatemticodeujorestringidodecostomnimo. b) Resolver el sistema de ecuaciones resultante del modelado. c) Indicarelvalordecadaujoyelcostodelmodelo.


3. El ujo de capital dentro de una empresa, necesario para llevar a cabodos proyectos de reingeniera, tiene dos fuentes de nanciamiento (b

1 y

b2), las cuales activan los procesos en los diferentes departamentos de la

empresa (nodos 1 a 10), los departamentos generan insumos necesarios para la reingeniera pero esto involucra un costo. As las cosas, es necesario determinarelujo restringidodecostomnimodeacuerdocon losdatospresentados en la siguiente red:

Aplicaciones a los negocios Caso prctico

Ungrancorporativo,desdesupasdeorigen,deseananciardosdesussucursalesms importantes ubicadas en diferentes pases cada una, para esto requiere utilizar unaestrategiaquelepermitasatisfacerlasnecesidadesdenanciamientodecadasucursal, las cuales ascienden a $5,000,000.00 y $4,000,000.00 respectivamente. Debido a la cantidad total requerida, el corporativo tomar el dinero de dos fuentes distintas, cada una dispone de $4,500,000.00.

Debido a las regulaciones de transferencias internacionales de recursos, el corporativo utilizar tres agencias del mercado de dinero para realizar las operaciones y as cumplir con los niveles mximos permisibles de traslados de dinero establecidos para cada agencia y pas.

Cada una de las fuentes puede transferir dinero a dos de las tres agencias (slo una de las tres agencias es comn), y slo dos agencias pueden transferir fondos a la tercera agencia (esta agencia es comn a las dos primeras). Cada agencia tiene un mximo permisible de transferencia de dinero para poder garantizar los


costos que maneja, razn por la cual no deber exceder tal lmite. Una vez que las agencias han realizado las operaciones de recibir el dinero de las fuentes y las transferenciaspermitidasentrelasagencias,sedebendeterminarlosujosquecada una de las tres agencias enviar a cada una de las dos sucursales.

Losujos de capitalmximos permisibles, as como el costo asociado a cadatransferencia y las operaciones permitidas entre agencias, estn dados en las siguientes tablas:

Tabla6.2. Indicaelujomximoycostosdesdelasfuentesalasagencias:

Fuente Agencia Flujo mximo en millones Costo unitario por milln transferido

F1A1 8 1000A2 6 1500

F2A2 3 1200A3 1.5 1150

Tabla6.3. Indicaelujomximoycostosdesdelasagenciasalaagenciacomn:

Agencia Agencia Flujo mximo en millones Costo unitario por milln transferidoA1 A2 3 1000A3 A2 2 1000

Tabla6.4. Indicaelujomximoycostosdesdelasagenciaslosdestinos:

Agencia Destino Flujo mximo en millones Costo unitario por milln transferidoA1 D1 6 1200A2 D1 10 1300A2 D2 6 1500A3 D2 1 1500

El gerente responsable de la operacin debe determinar la cantidad a transferir desdelasfuentesacadaagencia,ascomoelujoentreagencias(siesquesteexiste)ysatisfacerlosrequerimientosdenanciamientodelasdossucursalesalmenor costo posible.

Resuelve el problema con apoyo de un procesador de clculos.


Algoritmo PERT

Califica como verdadera (V) o falsa (F) cada una de las siguientes proposiciones:

1. Las actividades de la ruta crtica son ____ las que limitan la duracin del proyecto.

2. Las actividades que estn en la ruta ____ crtica tienen un tiempo de holgura diferente de cero.

3. PERT utiliza tiempos determinsticos de cada actividad. ____

4. La terminacin lejana de una actividad es igual a la terminacin lejana del evento en que termina la actividad. ____

5. La ruta crtica est formada por las actividades que tienen una holgura igual a cero. ____


Autoevaluacin

1. Es un conjunto de puntos y lneas que unen ciertos pares de puntos. Los puntos se llaman nodos (o vrtices):

a) Diagrama. b) Grafo. c) Red. d) Flujo mximo.

2. A una red en la que cada par de nodos est conectado, se le conoce como:

a) Red conexa. b) Red convergente. c) Red de proyecto. d)Reddeujo.

3. La trayectoria con la distancia mnima total desde el origen hasta el destino, es el objetivo del algoritmo de:

a) Flujo mximo. b) La ruta ms corta. c) Flujo restringido. d) Transporte.

4. Cuntas columnas de datos se utilizan en la tabla para aplicar el algoritmo de la ruta ms corta?

a) Seis. b) Siete. c) Cinco. d) Ocho.


5. Culeslacapacidadresidualdespusdeaplicarunujode6unidadesalsiguiente diagrama?

a)

b)

c)

d)

6. Elujoqueseasignaaunatrayectoriadeaumentocorrespondealvalor:

a) Del mnimo de la capacidad residual de la trayectoria. b)Delujototaldelacapacidadresidualdelatrayectoria. c)Delujorequeridoenlatrayectoriadeaumento. d) Del mximo de la capacidad residual de la trayectoria.

7. Qu modelo tiene por objetivo minimizar el costo de transporte satisfaciendo tanto las demandas de los consumidores como las restricciones deujoenlosconductosdelared?

a) Modelo al costo de transporte. b)Modelodeujorestringidoacostofactible. c) Modelo de costo mnimo. d)Modelodeujorestringidoacostomnimo.


8. Qu variables se utilizan en la funcin objetivo del modelo de ujorestringido a costo mnimo? Las variables de costoporunidaddeujo,capacidaddeujoyujonetogeneradopertenecenalmodelo:

a)Costoporunidaddeujoycapacidaddeujoenelarco. b)Costoporunidaddeujoyujonetogenerado. c)Costoporunidaddeujoyujomximoenelarco. d)Costoporunidaddeujoyujoenelarco.

9. Quvalorespuedetomarlavariable :ib ujonetogeneradodelnodoi?

a) Positiva o cero. b) Negativa o cero. c) Positiva, negativa o cero. d) Positiva, negativa y cero.

10. Un problema balanceado es aquel que cumple la condicin de que:

a) Elujomximodelareddebeserigualalademandatotaldelamisma. b) La produccin total de la red debe ser igual a la demanda total de la misma. c) Elujototaldelareddebeserigualalademandatotaldelamisma. d) La produccin total de la red debe ser igual a la oferta total de la misma.

11. Despus de aplicar el mtodo de PERT obtenemos los siguientes tiempos de holgura para cada actividad del proyecto.

La ruta crtica est formada por las actividades:

a) A + B + C +D + E b) A + D c) C + D + E d) B + C + E


Respuestas a los ejercicios

El problema de la ruta ms corta

1. La ruta ms corta desde el nodo destino hacia el nodo origen, es G ECDA, con una distancia total de 10 kilmetros.

2. La ruta ms corta desde el nodo destino hacia el nodo origen, es HG EBA HF EBA, con una distancia total de 20 kilmetros para ambas rutas.

3. La ruta ms corta desde el nodo destino hacia el nodo origen, es KJIGFCDA, con una distancia total de 47 kilmetros

Flujo mximo

1. Elujomximoes12unidades.


2. Elujomximoesde5unidades.

3. Elujomximoesde22unidades.


Flujo restringido de costo mnimo

1. El valor de las variables de decisin y del costo mnimo est dado por:

14 50x =

15 125x =

23 150x =

25 100x =

35 0x =

37 150x =

45 0x =

46 50x =

56 175x =

57 50x =


2.

14 300x =

15 137.5x =

23 200x =

25 237.5x =

35 0x =

37 200x =

45 0x =

46 300x =

56 300x =

57 75x =



3.

14 50x =

15 300x =

23 200x =

25 150x =

35 0x =

36 200x =

45 0x =

48 50x =

56 150x =

57 100x =

58 200x =

67 250x =

69 100x =

78 50x =

79 100x =

710 200x =

810 300x =

Con un costo total mnimo de min $13,500.00Z = .

Aplicacin a los negocios

Caso prctico

Fuente Agencia Flujo solucin en millones Costo del ujo por milln transferido

F1A1 4.5 4500A2 0 0

F2A2 3 3600A3 1.5 1725

Subtotal 9825


Agencia Agencia Flujo solucin en millones Costo del ujo por milln transferidoA1 A2 0 0A3 A2 0.5 500

Subtotal 500

Agencia Destino Flujo solucin en millones Costo del ujo por milln transferidoA1 D1 4.5 5400A2 D1 0.5 650A2 D2 3 4500A3 D2 1 1500

Subtotal 12050

Total $22,375.00

Enlatablasemuestranlosujossolucinparacadatransferencia,locualimplicauncostototalmnimode$22,375.00,porelprocesodenanciardossucursales,apartirdedosfuentesderecursosnancieros,utilizandotresagenciasdelmercadodedineroparaesten.

Algoritmo PERT

1. V 2. F 3. F 4. V 5. V

Respuestas a la autoevaluacin

1. c) 2. a) 3. b) 4. b)


5. c) 6. a) 7. d) 8. d) 9. c) 10. b) 11. d)

matemáticas para los negocios

Documents