matematiikkalehti solmu · 2005-12-15 · . ... {the relevance to life-long learning (information...

MatematiikkalehtiSolmuErikoisnumero 1/2005–2006

http://solmu.math.helsinki.fi

2 Solmu Erikoisnumero 1/2005–2006

Solmu

Erikoisnumero 1/2005–2006

ISSN 1458-8048 (Verkkolehti)ISSN 1459-0395 (Painettu)

Matematiikan ja tilastotieteen laitosPL 68 (Gustaf Hallstromin katu 2b)00014 Helsingin yliopisto

http://solmu.math.helsinki.fi

Erikoisnumeron paatoimittajaMarjatta Naatanen, dosentti; Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto

ToimitussihteeriMika Koskenoja, tohtoriassistentti; Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto

Sahkoposti [email protected]

Graafinen avustaja Marjaana Beddard

Kannen kuva: Notre Dame

Kiitamme taloudellisesta tuesta Jenny ja Antti Wihurin rahastoa.

Solmu Erikoisnumero 1/2005–2006 3

Sisallys

Paakirjoitus: Matematiikan opetus, osaamistaso ja -tarve (Marjatta Naatanen) . . . . . . . . . . . . . . 4

Toimitussihteerin palsta: PISA 2003 -tutkimuksen toteutuksesta (Mika Koskenoja) . . . . . . . . . . 7

PISA-tutkimus, matematiikan oppisisallot ja opettajat (Olli Martio) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Matematiikan taidoissa selvia puutteita (Kyosti Tarvainen ja Simo K. Kivela) . . . . . . . . . . . . . . 11

Lukion vapaaehtoisten ”matematiikan tukikurssien” synkka historia (Jukka O. Mattila) . . . . 13

Osataanko matematiikkaa kyllin hyvin? (Marjatta Naatanen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Kaksi askelta taaksepain (Seppo Visti) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Perusmatematiikkako tarpeetonta? (Mai Allo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Ranskalaisten akateemikkojen manifesti (Marjatta Naatanen ja Tapani Kuusalo) . . . . . . . . . . . 24

Matematiikan kayton rajahdysmainen kasvu – matematiikan ja yhteiskunnan uudetyhteydet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28


Matematiikan opetus, osaamistaso ja-tarve

Erikoisnumerot 2005 – 2006

Solmu julkaisee talvella 2005–2006 kaksi erikoisnume-roa, aiheena matematiikan opetus, osaamistaso ja -tarve. Numeroiden kansikuvat ovat tuttuja Pariisinnakymia, Notre Dame ja Eiffeltorni. Syy tahan on,etta erikoisnumerojen sisallosta suuri osa on yhteis-tyota ranskalaisten kanssa.

Ensimmaisessa erikoisnumerossa kerrotaan tarkemminPISA-tutkimuksesta, ja Suomen eriasteisten oppilai-tosten matematiikan opettajat kertovat kokemuksiaanmatematiikan osaamistasosta. Nama kokemukset tun-tuvat olevan ristiriidassa PISA-tutkimuksen uutisoin-nin kanssa, sehan kertoi, etta nuoremme ovat mate-matiikan huippuosaajia – niinpa yritamme paneutuaPISA-problematiikkaan yksityiskohtaisemmin ja py-rimme selvittamaan, mista on kyse.

Ranskan kielesta on kaannetty ja lyhennetty siellakiivasta keskustelua herattanyt akateemikkojen mani-festi, missa ilmaistaan huolestuminen Ranskan koulu-jen nykytilasta ja erityisesti matematiikan opetukses-ta. Jalkimmainen erikoisnumero sisaltaa Pariisissa pi-detyn Suomen ja Ranskan matemaattisten yhdistystenjarjestaman PISA-kokouksen esityksia.

Suomen PISA-menestyksesta ja kan-sainvalisista vertailuista

Kansainvalisesta kouluvertailusta, PISA:sta, on puhut-tu paljon viime aikoina. PISA on OECD:n Program-me for International Student Assessment. Matematii-kassa on kuitenkin useita muitakin vertailuja, kutenTIMSS ja Kassell. Suomen koululaiset eivat selvinneetkovin hyvin kahdessa viimeksimainitussa, sensijaan PI-SA:ssa ensimmainen oli Hong Kong (keskiarvo 550),sitten Suomi (544), Korea (542), Alankomaat (538),Lichtenstein (536), Japani (534), Kanada (532), Belgia(529).

OECD:n mukaan PISA mittasi seuraavaa:

PISA assesses the ability to complete tasks relating toreal life, depending on a broad understanding of thekey concepts, rather than limiting the assessment tothe possession of subject-specific knowledge.

PISA:sta puhuttaessa on siis tarkeaa muistaa, etteiPISA yrita mitata oppisisaltojen omaksumista, vaanPISA mittaa kuinka hyvin 15-vuotiaat ”ovat valmiitakohtaamaan tietoyhteiskunnan haasteet” ja ”miten hy-

Paakirjoitus


vin he osaavat kayttaa tietojaan ja taitojaan ratkais-takseen todellisen elaman haasteita”. PISA ei tutki, mi-ten hyvin koululaiset ovat oppineet koulun oppisisallot.Kyse on siita ”mita oppilaat osaavat tehda silla, mitahe ovat koulussa oppineet, eika vain siita, osaavatko hetoistaa koulussa oppimansa”.

TIMSS ja PISA

TIMSS ja PISA kehitettiin palvelemaan eri tarkoituk-sia, siksi ne antavat jonkin verran erilaisen kuvan op-pilaan matematiikan taidoista. TIMSS perustuu kan-sainvalisen tyoryhman yhteisesti valitsemiin matema-tiikan oppivaatimusten aiheisiin. PISA keskittyy lu-kutaidon kasitteeseen ja saattaa kertoa myos kou-lun ulkopuolisesta oppimisesta. TIMSS mittaa siis tar-kemmin oppisisaltojen oppimista, PISA ns. matema-tiikan lukutaitoa. TIMSS kohdistuu ylempaan luok-kaan niista kahdesta, joilla on enemmisto 9- ja 13-vuotiaita, yleensa siis 4. ja 8. luokka, PISA taas 15-vuotiaisiin riippumatta koululuokasta. Myos sisallossaon eroa, TIMSS pyrkii tutkimaan koululaisten osaa-mista matematiikan viidella alueella: luvut, mittaami-nen, geometria, data, algebra. Noin kaksi kolmannes-ta TIMSS:in kysymyksista on monivalintatehtavia, PI-SA:n tehtavista yksi kolmasosa. PISA:n aiheet eivatole oppisisalloista (kuten geometria ja algebra), vaanpainopiste on tilanteissa, joissa matematiikkaa sovel-letaan. PISA:n kysymyksista kasitteli dataa 40 % jaalgebraa 11 %, TIMSS:in vastaavasti 11 % ja 23 %.

Miksi PISA on tarkea?

Key features of PISA-survey are

– its policy orientation, with design and reportingmethods determined by the need of governments todraw policy lessons

– the innovative literacy concept that is concernedwith the capacity of students to apply knowledgeand skill in key subject areas and to analyse, reasonand communicate effectively as they pose, solve andinterpret problems in a variety of situations;

– the relevance to life-long learning (information onmotivation, beliefs, strategies)

– its regularity

– the breadth of geographic coverage (49 countries ha-ve participated so far)

OECD:n mukaan PISA siis pyrkii vastaamaan hallitus-ten tarpeisiin. Tama tarkoittaa, etta PISA-tutkimus onhyvin tarkea ja silla on suuri ohjaava vaikutus, johontulisi kiinnittaa vakavaa huomiota.

PISA:n suunnittelijoiden mielesta sen lukutaitokasiteon innovatiivinen ja silla voidaan tutkia oppilaiden ky-kya soveltaa tietoja ja taitoja, kykya paatella ja kom-munikoida samalla kun oppilaat asettavat, ratkaisevatja tulkitsevat eri tilanteiden ongelmia. PISA:n kysely-aineisto kertoo myos oppilaiden motivaatiosta, usko-muksista, strategioista. PISA toistetaan saannollisestija siihen on osallistunut 49 maata tahan mennessa

Miksi Suomi menestyi?

Suomen menestysta PISA-tutkimuksen matematiik-kaosassa on kasitelty paljon mediassa ja syita menes-tykseen on esitetty. En toista niita, vaan mainitsen vainpari seikkaa: kouluttautumismahdollisuudet ovat Suo-messa erinomaiset, koulujen opettajat ovat menestystaselitettaessa avainasemassa, samoin kuin heikoimpientukemiseen kaytetyt ponnistukset. PISA:n tehtavissatekstin ymmartaminen on valttamatonta, siina aut-taa suomalaisten hyva lukutaito, jota on harjoiteltuseka koulussa etta lukemalla lastenohjelmien tekstityk-sia paivittain, jopa tuntikaupalla. Suomen hieno kirjas-tolaitos on myos tukenut lasten lukuharrastusta. Suo-men koululuokilla jokseenkin kaikki saavat opetustaaidinkielellaan. PISA-tehtavien tyyppisia tehtavia har-joitellaan Suomessa koulussa – joissain maissa datanesittaminen ja todennakoisyyden kasite on vasta pa-ri vuotta sitten lisatty matematiikan oppisisaltoihin.Eraana tekijana on myos mainittu, etta suomalaisetlapset yrittavat ratkoa erilaisia tehtavia, kun taas esi-merkiksi venalaiset kertovat, etta heidan koululaisen-sa eivat edes yrita tehtavia, jotka ovat heille outoja.Mitenkaan vahattelematta suomalaisten lasten saavu-tuksia PISA-tutkimuksessa, on asia siis kuitenkin hiu-kan monimutkaisempi kuin etta nuoremme olisivat nyt”matematiikan huippuosaajia”.

Tarkemmin Suomen sijoituksesta

Suomen karkisija johtui heikoimpien oppilaiden menes-tyksesta muiden maiden heikkoihin oppilaisiin verrat-tuna. Tama nakyy vertailemalla jakaumien huonom-paa osaa. Joidenkin maiden 25. prosenttipisteet (tamanrajan alapuolelle jai 25 % jakaumasta) olivat Belgia456, Hollanti 471, Korea 479, Japani 467, Hong Kong485, Lichtenstein 470, Ranska 449, Suomi 488 (paras),OECD keskiarvo 432. Suomen ja OECD:n keskiarvon

Paakirjoitus


erotus matematiikassa oli 56, ongelmanratkaisussa 61,lukutaidossa 64.

75. prosenttipisteen (taman rajan alapuolelle jai 75 %jakaumasta, ylapuolelle 25 %) suhteen Suomi oli pa-ras vain lukutaidossa. Matematiikassa Suomen ohitti 4OECD maata: Belgia 611, Hollanti 608, Korea 606, Ja-pani 605 ja Hong Kong 622, seka Lichtenstein 609. Suo-men pisteluku oli 603, Ranskan 575, OECD keskiarvo571.

Mika PISA:ssa on ongelmallista?

PISA kasitteli seuraavia matematiikan sisaltoja:

– maara

– tila ja muoto

– muutos ja suhteet

– epavarmuus

ja seuraavia prosessisisaltoja:

– yksinkertaiset matematiikan taidot

– yksinkertaisten ongelmien ratkaisu ideoita yhdiste-lemalla

– laaja-alainen matemaattinen ajattelu

Itsekukin voi katsella PISA:n tehtavia ja muodostaaoman kasityksensa siita, mita esimerkiksi laaja-alainenmatemaattinen ajattelu tassa yhteydessa tarkoittaa.Tarvittavat matematiikan tyokalut loytyvat jokseenkinneljan peruslaskutoimituksen hallinnasta. PISA:n ma-tematiikkakasitysta kuvaa myos se, etta PISA:n ongel-manratkaisutehtavat ja matematiikan tehtavat olivathyvin samankaltaisia, niinpa suoritukset naissa kah-dessa korreloivatkin voimakkaasti. PISA-menestyksenuutisointi herattaa myos kiusallisen kysymyksen: eikomaasta loytynyt yhtaan tiedetoimittajaa, joka olisi sy-ventynyt asiaan ja kasitellyt sita monipuolisemminkuin nyt tapahtui?

Suomen menestys on ollut naina ankeina aikoinaerittain tervetullut uutinen. Niinpa onkin vast’edespelattavissa, etta PISA ohjaa yha voimakkaammin ma-tematiikan opetusta kouluissa. Nain kay, jos harjoitte-lu keskitetaan PISA-tyyppisiin tehtaviin, jotta menes-tys taattaisiin vastakin, ja lopetetaan osallistuminenmuihin, hieman enemman itse matematiikan hallintaamittaaviin vertailuihin. PISA:n matematiikkaosuus ra-joittuu jokseenkin neljaan peruslaskutoimitukseen, joi-ta tulee osata soveltaa terveella jarjella. Lisaksi tu-lee ymmartaa, mita tehtavassa halutaan, saada selvaatehtavan tekstista ja osata lukea sanomalehtien kaa-vioiden tyyppisia dataesityksia.

Marjatta Naatanen

Katso myos: PISA-tutkimus vain osatotuus suomalaisten matematiikan taidoista,

http://solmu.math.helsinki.fi/2005/pisakeskustelua.html.

Tahan osoitteeseen on keratty aihepiiriin liittyvia kirjoituksia.

Paakirjoitus


PISA 2003 -tutkimuksen toteutuksesta

PISA-tutkimusohjelma selvittaa kolmen vuoden valein15-vuotiaiden nuorten osaamista lukutaidossa, mate-matiikassa ja luonnontieteissa. Suomessa tutkimusoh-jelman kohderyhmana olevat 15-vuotiaat ovat paaosinperuskoulun yhdeksannen luokan oppilaita. PISA 2003-tutkimuksen perusjoukoksi maariteltiin ”peruskoulunkaikki oppilaat, jotka ovat syntyneet helmikuun 1987ja tammikuun 1988 valisena aikana”. Tutkimus onjarjestetty niin, etta tutkimustulokset ovat luotettaviaja eri maiden kesken vertailukelpoisia.

Ensimmaisessa PISA 2000 -tutkimuksessa paaalueenaoli lukutaito, toisessa PISA 2003 -tutkimuksessa kes-kityttiin matematiikkaan ja ongelmanratkaisutaitoihin.Kolmannessa PISA 2006 -tutkimuksessa paarooli tuleeolemaan luonnontieteiden osaamisessa.

PISA 2003 -tutkimukseen osallistui yhteensa 41 maata,joista 30 on OECD-maita. Suomesta otokseen valittiin197 koulua otoskoon ollessa 6 235 oppilasta. Tutkimuk-seen vastasi kaikista 197 koulusta 5 796 oppilasta, jotenvastauskato oli 7 %. Oppilaiden lisaksi tutkimukseenosallistui 197 rehtoria tai koulunjohtajaa, jotka vasta-sivat koulukyselyyn.

PISA 2000 ja PISA 2003 -tutkimuksista vastasi Suo-messa Jyvaskylan yliopiston Koulutuksen tutkimuslai-tos yhteistyossa opetusministerion kanssa. PISA 2003-tutkimuksen kansallisena koordinaattorina toimi pro-fessori Jouni Valijarvi ja matematiikka- ja ongelman-ratkaisuosuuden paavastuun kantoi erikoistutkija Pek-

ka Kupari. Tulevasta PISA 2006 -tutkimuksesta vas-taa Helsingin yliopiston soveltavan kasvatustieteen lai-toksen koulutuksen arviointikeskus. Suomessa toimiikansallinen tukiryhma, mihin kuuluvat opetusministe-rion, Suomen Kuntaliiton, Opetusalan ammattijarjestoOAJ:n ja Suomen rehtorien (SURE) kunkin nimeamaedustaja seka OECD:n koulutusindikaattoriprojektinoppimistulosjaoston suomalaisedustaja.

PISA 2000 ja 2003 -tutkimusten Suomen kansallinenverkkosivu on osoitteessa http://ktl.jyu.fi/pisa/,josta loytyvat kaikki tutkimukseen liittyvat suomen-kieliset dokumentit seka linkit kansainvalisille sivuille.Tutkimusohjelman kansainvalinen verkkosivu on osoit-teessa http://www.pisa.oecd.org. Nailla verkkosi-vuilla on tulostettavissa mm. PISA 2003 -tutkimuksenenglanninkielinen kansainvalinen paaraportti ”Lear-ning for Tomorrow’s World – First Results from PI-SA 2003” (478 sivua) seka suomenkielinen kansalli-nen paaraportti ”Osaaminen kestavalla pohjalla. PISA2003 Suomessa” (262 sivua).

PISA:n matematiikan osaamisessa arvioidaan oppi-laiden kykya ratkaista heille ”arkielaman tilanteissavastaan tulevia matematiikkaan liittyvia ongelmia”.Tutkimuksessa ei siis arvioida opetussuunnitelmiensisaltojen hallintaa. PISA 2003 -tutkimuksessa selvitet-tiin uutena alueena nuorten ongelmanratkaisutaitoja,jotka tarkoittavat oppilaiden kykya ratkaista oppiaine-rajoja ylittavia ongelmia.

Toimitussihteerin palsta


PISA 2003 -arvioinnissa matematiikan osaamista mi-tattiin yhteensa 85 tehtavan avulla. Matematiikantehtavat oli kuitenkin jaettu eri tehtavavihkoihin yh-dessa luetun ymmartamisen, luonnontieteiden seka on-gelmanratkaisun tehtavien kanssa siten, etta kunkinoppilaan tehtavavihkossa oli keskimaarin 50 tehtavaa,joista runsaat puolet oli matematiikan tehtavia.Tehtavien ratkaisemiseen oli varattu aikaa kaksi tun-tia. Osa tehtavista oli yksittaisia, mutta usein kaksi taiuseampi tehtava muodosti kokonaisuuden, joka poh-jautui yhteiseen tehtavan alussa esitettyyn kuva- taitekstiaineistoon. Samaan aineistoon tai teemaan liitty-neet tehtavat olivat usein vaikeudeltaan eritasoisia jatehtavatyypiltaan erilaisia (monivalintatehtava, sarjaoikein/vaarin-tehtavia, pelkkaan numerovastaukseenrajoittuva ja/tai pidempaa perustelua vaativa kysy-mys). Tallaisten tehtavakokonaisuuksien kayttaminenmahdollisti testausajan tehokkaan kayton, koska oppi-lailla kului vahemman aikaa tehtavakontekstiin tutus-tumisessa.

Esimerkkeja matematiikan tehtavista

Kasvaminen

Nuoriso kasvaa pidemmaksi

Seuraavasta kuvaajasta ilmenevat seka nuorten mies-ten etta nuorten naisten keskipituudet Hollannissavuonna 1998.

Tehtava 1. Vuodesta 1980 lahtien on 20-vuotiaidennaisten keskipituus kasvanut 2,3 cm 170,6 cm:iin saak-ka. Mika oli 20-vuotiaiden naisten keskipituus vuonna1980?

Tehtava 2. Milla ikakaudella tytot/naiset ovat kuvaa-jan mukaan keskimaarin pidempia kuin samanikaisetpojat/miehet?

Tehtava 3. Selita, miten kuvaajasta nakyy, etta kes-kimaarin tyttojen kasvunopeus hidastuu 12 ikavuodenjalkeen.

Vaihtokurssi

Tehtava 1. Mei-Ling havaitsi, etta Singaporen dolla-rien ja Etela-Afrikan randien valinen vaihtokurssi oli

1 SGD = 4,2 ZAR.

Mei-Ling vaihtoi 3 000 Singporen dollaria Etela-Afrikanrandeiksi talla vaihtokurssilla. Kuinka paljon Etela-Afrikan randeja Mei-Ling sai?

Tehtava 2. Palatessaan Singaporeen 3 kuukauden ku-luttua Mei-Lingilla oli jaljella 3 900 randia (ZAR). Hanvaihtoi nama takaisin Singaporen dollareiksi ja huoma-si, etta vaihtokurssi oli nyt

1 SGD = 4,0 ZAR.

Kuinka paljon Singaporen dollareita Mei-Ling sai?

Tehtava 3. Naiden 3 kuukauden aikana vaihtokurssioli siis muuttunut 4,2:sta 4,0 randiin (ZAR) Singapo-ren dollaria kohti. Oliko Mei-Lingille eduksi, etta vaih-tokurssi nyt kun han vaihtoi randinsa takaisin Singa-poren dollareiksi, oli 4,0 randia 4,2 randin sijasta? Pe-rustele vastauksesi.

Merkittava osa tehtavien ratkaisemista vaikuttaa ole-van kysymysten ymmartaminen. Vain osa tutkimuk-sessa kaytetyista tehtavista on julkaistu, mutta jul-kaistujen tehtavien perusteella useimmissa tehtavissavaadittiin enintaan yhden peruslaskutoimituksen suo-rittamista. Noin 40 % tehtavista testasi oppilaidenkykya tulkita kuvaajien, taulukoiden ja diagrammiensisaltamaa kvantitatiivista tietoa.

Lahteet

Tahan kirjoitukseen on osittain suoraan lainattu PISA-tutkimusohjelman kansalliselta (ktl.jyu.fi/pisa/)ja kansainvaliselta (www.pisa.oecd.org) seka ope-tusministerion (www.minedu.fi) ja Opetushallituksen(www.oph.fi) verkkosivuilta loytyvia dokumentteja.

Mika Koskenoja

Toimitussihteerin palsta


PISA-tutkimus, matematiikanoppisisallot ja opettajat

Olli MartioProfessoriMatematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin [email protected]

Suomalaisten koululaisten saavutukset PISA-tutkimuksessa ovat hatunnoston arvoisia. Tutkimuson huolella tehty ja data luotettavaa. Opetushallitusja sen matematiikan entinen asiantuntija R. Seppala(Helsingin Sanomat 2.4.2005) ovat syysta tyytyvaisia.

Koulujen, korkeakoulujen ja ammattikorkeakoulujenopettajat (Helsingin Sanomat 10.3.2005 ja 17.2.2005)ovat kuitenkin huolestuneita suomalaisten koululais-ten, lahinna ylioppilastutkinnon suorittaneiden, mate-matiikan osaamisesta. PISA-tutkimus mittasi maidenvalisia suhteellisia eroja. Ajan mukana tapahtuneitamuutoksia on myos mitattu. Professori D. Burghes ar-vioi, etta vuonna 1994 brittilaisten koulujen vaatimus-taso matematiikassa oli 5 vuotta jaljessa kuningatarVictorian aikaisesta tasosta.

PISA-tutkimus antaa odottaa, etta matematii-kan opetustulokset Suomessa eivat ole huonontu-neet. Lehtori Liisa Naverin tutkimuksesta (Lasketunymmartaminen?, Dimensio 3/2005) kay ilmi, ettasuomalaisten koululaisten laskentataidot (numero-osaaminen, murtoluvut, alkeellisten lausekkeidenkasittely) ovat vuosista 1981–87 vuoteen 2003 hei-kentyneet 20–30 %. Tyypillisia kysymyksia testissa,joka samana toteutettiin em. vuosina, olivat lasku-

toimitukset: 15 · 2

3 = ? ja 16 : 1

2 = ?. Oikein vastan-neiden prosenttiosuudet 1981–87 ja 2003 olivat en-simmaisessa tehtavassa 56,4 % ja 36,9 % seka toisessa56,5 % ja 28,3 %. Testi suoritettiin 15-vuotiaille, PISA-tutkimuksen ikaluokalle. Huoli tasosta nayttaa olevanperusteltu. Mista johtuvat ristiriitaiset tulokset?

Tason laskulle tarjotaan standardiselitysta: Koska ny-kyisin aikaisempaa suurempi osa ikaluokkaa harjoit-taa matematiikan opintoja, niin tason lasku on selvio.Tama ei kuitenkaan ole merkittavin syy. Kursseja onkevennetty ja vaatimustasoa laskettu, ja myos parhai-den oppilaiden osaamisen taso on heikentynyt. Ilmiotovat kansainvalisia ja monissa Euroopan maissa dra-maattisempia kuin Suomessa.

Opetussuunnitelmien muutokset ovat olleet sa-mansuuntaisia Euroopassa. Suunnittelijat ovat us-koneet lahinna kasvatustieteilijoiden vakuuttelua,etta matematiikan kouluopetus on muutettava”kaytannonlaheiseksi”. Usein kaytetty ilmaisu on on-gelmakeskeinen. Tata kansainvalista trendia heijastaaPISA-tutkimus; kysymykset kohdistuvat pitkalti ”lue-tun ymmartamiseen”. Suomen koululaitokselle on kun-niaksi, etta koululaisemme ovat tassa taidossa saavut-taneet kansainvalisen huipun.


Loytyy myos toinen selittava tekija. Matemaattistenaineiden opettajista on pulaa useissa Euroopan maissaja koulutuksessa on laskettu aineenhallinnan tasoa.

PISA-tutkijoiden vaite, etta nykyiset eurooppalaiset,ja myos suomalaiset, matematiikan oppisisallot luo-vat hyvan pohjan jatko-opinnoille, on vaara. Perusteetjaavat valitettavan hatariksi. Tama ei koske parhai-ta suoriutujia: he pystyvat aina paikkaamaan tieton-sa. Probleema kohdistuu ”keskikastiin”, jota yhteiskun-ta kipeasti tarvitsee matematiikkaa vaativiin tehtaviin.Matemaattinen osaaminen pysahtyy tassa ryhmassamonen kohdalla PISA:n kysymysten tasolle.

Ammattikorkeakouluista on tullut voimakas viesti. Nii-hin tulee paljon ylioppilastutkinnossa lyhyen mate-matiikan suorittaneita, joille edella mainittujen kah-den tehtavan suorittaminen on ylivoimaista. PISA-tutkimus paljastaa, etta Suomessa seka opettajat ettaopetus on niin korkeatasoista, etta PISA:n kysymystenkohdalla tavoitteet on saavutettu huipputasolla. PI-SA:n testi ja nykyiset oppisisallot matematiikassa Suo-messa ovat pitkalti yhdenmukaiset. Valitettavasti tamaei johda kestavaan kehitykseen.

On paljon ihmisia, jotka eivat juuri matematiikkaatarvitse. Veroilmoituksissakaan ei enaa tarvitse las-kea summia. Nykyisten opetussuunnitelmien kasitys”kaytannon matematiikasta” on kuitenkin aikansaelanyt. Matemaattiset rakenteet, mm. geometria, mur-toluvut ja niilla laskeminen, on kehitetty kaytannon

ongelmien ratkaisemiseen. Murtolukulaskujen tarkoi-tus ei ole oppilaiden kiusaaminen, vaan laskutoimitus-ten ja lukujen suuruussuhteiden ymmartaminen. Yllamainitut testikysymykset voidaan suorittaa laskimella.Suoritus vastaa laskun kopiointia paperille. Laskimienkaytto onkin yliarvostettu matematiikan kouluopetuk-sessa. Moderneja laskumetodeja pitaa opettaa, muttaoikeassa vaiheessa. Kurssimuotoisuus on myos vaikeut-tanut matematiikan opetusta pilkkomalla opetettavanaineksen.

PISA:n tulokset nayttavat, etta koululaitoksemmepystyy vastaamaan koulutuksellisiin haasteisiin. Onpystyttava vastaamaan myos oppisisaltoja koske-viin haasteisiin. Naista tarkeimmat ovat peruskou-lun matematiikan oppisisallot ja naiden aiheuttamatepajatkuvuuskohdat lukion ja peruskoulun saumassa.Lyhyen matematiikan lukion oppisisallot vaativat myospikaista korjausta. Valtioneuvoston tavoite, etta 40–50 % ikaluokasta suorittaisi korkeakoulututkinnon, onmahdoton nykyisilla pohjatiedoilla.

Matemaattisten aineiden opettajien aineenhallinnanheikkeneminen on toistaiseksi valtetty Suomessa, kiitosyliopistojen laadukkaalle koulutukselle ja opetusminis-terion asettamalle jarkevalle laatutasolle. Opettajapu-la on uhka Suomessakin. Alalle aikovat loytyvat pitkanmatematiikan yo-tutkinnossa suorittaneiden keskuu-desta, ja heita on liian vahan. Vaarallisinta olisi opetta-jien aineenhallinnan tason lasku. Suomella ei ole siihenvaraa.


Matematiikan taidoissa selvia puutteita

Kyosti TarvainenYliopettajaHelsingin ammattikorkeakoulu Stadia

Simo K. KivelaYliopistonlehtoriTeknillinen korkeakoulu

Ylaasteen lehtori Antero Lahti esitti (HS 28.2.2005),etta yli 200 opettajan esittama huoli matematiikanopetuksesta (HS 17.2.2005) olisi pelkastaan akateemi-sen maailman kritiikkia.

Itse asiassa allekirjoittajista noin puolet on ammatti-korkeakoulujen ja teknillisten yliopistojen (korkeakou-lujen) opettajia, jotka eivat opeta ”akateemista” mate-matiikkaa, vaan tekniikassa ja insinooritieteissa tarvit-tavaa matematiikkaa. Insinooriopinnot aloittaa vuosit-tain yli 12 000 opiskelijaa.

Uusien insinooriopiskelijoiden matematiikan taitoja onsystemaattisesti tutkittu Turun ammattikorkeakoulus-sa vuosina 1999–2004 jarjestetyissa 20 tehtavan tes-teissa (Turun ammattikorkeakoulun raportteja 29).Erittain huonoa osaamista kuvastaa esimerkiksi se, ettatesteihin osallistuneista 2400 opiskelijasta vain 35 %on osannut peruskoulun oppimaaraan kuuluvan laskun,jossa murtoluvusta vahennetaan toinen murtoluku jaerotus jaetaan kokonaisluvulla.

Jos ei osaa murtolukulaskuja, ei voi osata samo-ja laskusaantoja kayttavaa algebraakaan, joka in-sinooriopiskelijoille on keskeinen matematiikan osa-alue. Sen osaamista ei juurikaan testattu PISA-

tutkimuksessa. Algebrassa suomalaiset peruskoululai-set ovat menestyneet huonosti monissa vertailututki-muksissa (IEA 1981, Kassel 1994–96, TIMSS 1999).

Ammattikorkeakouluissa ammattiaineiden opettajatihmettelevatkin, kuinka huonosti osataan algebrallis-ten lausekkeiden kasittelysaantoja ja yhtaloiden ratkai-sumenetelmia. Opiskelijoiden heikentyneiden matema-tiikan taitojen vuoksi on ammattikorkeakouluissa ollutpakko karsia opetettavia asioita niissa tekniikan am-mattiaineissa, jotka kayttavat eniten matematiikkaa.Tama on vakava asia sen merkityksen kannalta, mikatekniikan osaamisella on Suomen talouselamalle ja hy-vinvoinnille.

Teknillisissa korkeakouluissa ja teknillisissa yliopistois-sa tilanne ei ole yhta huono, mutta niissakin on havait-tu nimenomaan algebrallisten taitojen heikentyminenja puutteet vahankin laajempien matemaattisten ko-konaisuuksien kasittelyssa. Sama koskee ylioppilastut-kintoa.

Suomalaisten matematiikan osaamisessa ja opetukses-sa on myonteisia seikkoja. Peruskoululaisten menes-tyminen PISA-tutkimuksen kaytannonlaheisissa nu-meerisissa tehtavissa on hyva asia, mihin ovat


myotavaikuttaneet erinomaisia arkielaman esimerkkejasisaltavat peruskoulun matematiikan kirjat. Pakollis-ten kurssien lisaksi lukiolaisilla on mahdollisuus sy-ventaa osaamistaan hyvilla valinnaisilla kursseilla. Suo-messa opettajat ovat tunnetusti motivoituneita ja saa-neet hyvan koulutuksen.

Kuitenkin ammattikorkeakouluihin ja yliopistoihin tu-levilla opiskelijoilla on kiistatta keskimaarin huonotmatematiikan taidot. Tilanteen parantamiseksi ope-tusministerion tulisi nimittaa tyoryhma joka selvittaa,mista osaamisen puutteet johtuvat, ja joka esittaaparannustoimenpiteita. Tassa tyoryhmassa tulee ollamerkittava edustus yliopistojen ja ammattikorkeakou-lujen opettajilla, koska he tietavat, minkalaista mate-matiikkaa jatko-opinnoissa ja eri alojen sovellutuksissatodella tarvitaan.

Talloin on selvitettava, onko ensimmainen sija PISA-tutkimuksessa vain jonkinlainen Pyrrhoksen voitto:onko Suomen peruskouluissa panostettu liikaa PISA-tutkimuksessa korostettuihin numeerisiin ongelmanrat-kaisutehtaviin ja ovatko muut maat sen sijaan panos-taneet algebraan varmentaen oppilaille paremman poh-jan, jolle matematiikan jatko-opinnot voidaan rakentaalukioissa, korkeakouluissa ja yliopistoissa.

On myos selvitettava, kuinka paljon ylioppilai-den huono keskimaarainen osaaminen johtuu nykyi-sista lukiojarjestelyista. Vakava virhe on ainakin se,etta useimmissa lukioissa matematiikasta voi saa-

da hyvaksytyn arvosanan, vaikka osa kursseista onhylattyja, ja kursseilta saa olla poissa useita tuntejailman patevaa syyta.

Matematiikan jatko-opinnoille naista seikoista on suur-ta haittaa. Varsinkin ammattikorkeakouluissa tulee il-mi se, etta oppilailla ei ole enaa yhtenaista perusosaa-misen pohjaa, jolle voi rakentaa. Heilla on erilaisiapuutteita tarkeassakin perusosaamisessa sen mukaan,mika lukion pakollinen kurssi on ollut hylatty tai vainosittain seurattu. Tama johtaa opetuksen tehottomuu-teen: ammattikorkeakouluissa suuri osa ensimmaisenvuoden matematiikan opetuksesta kuluu lukion asioi-den kertaamiseen.

Mistaan vaikeista, matemaattista erityislahjakkuuttaedellyttavista asioista ei lukion matematiikassa eikaylipaataan insinoorimatematiikassa ole kyse, koska am-mattikouluistakin valmistuneet opiskelijat, joita am-mattikorkeakouluissa on noin kolmannes, oppivat namaasiat.

Selvitysta vaatii myos se, etta LUMA-talkoissa asete-tusta 17 000 lukion pitkan matematiikan suoritukses-ta on jaaty todella kauas: viime vuosina hieman yli12 000 on suorittanut pitkan matematiikan. Tassakinkohtaa vaikeudet karjistyvat ammattikorkeakoulujeninsinooriopinnoissa, joissa ylioppilasluokilla noin 40 %oppilaista on suorittanut vain lukion lyhyen matema-tiikan.

Kirjoitus on julkaistu Helsingin Sanomissa 10.3.2005, ja se julkaistaan Solmussa kirjoittajiensa luvalla.


Lukion vapaaehtoisten ”matematiikantukikurssien” synkka historia

Jukka O. MattilaParainen

Korkeakoulujen matematiikan opetuksen asiantunti-jat ovat useaan otteeseen julkisesti kritisoineet yleis-sivistavan koulun tuottamia matematiikan hallinnantaitoja. Muun muassa yliopettaja Kyosti Tarvainen jayliopistonlehtori Simo K. Kivela arvostelivat maalis-kuussa 2005 Helsingin Sanomissa ammattikorkeakoulu-jen insinooriopiskelijoiden lahtovalmiuksia matematii-kan opintoihin.

Kirjoittajat toteavat suomalaisten koululaisten al-gebran taitojen olevan heikkoja ja kysyvat, onko PISA-tutkimuksessa korostettuihin numeerisiin ongelmanrat-kaisutaitoihin panostettu liikaa. Lisaksi he peraavat,etta opetusministerion tulisi perustaa tyoryhma, jokaselvittaisi, mista algebran osaamisen puutteet johtu-vat.

Eras valtakunnallisen kouluhallinnon tarkeimpiatehtavia on taata nuorten koulu-uralle aukoton jat-kumo. Nain on varsinkin yleissivistavassa koulutuk-sessa, koska sen kay lapi koko ikaluokka. Onhan kokoikaluokan juoheva lapimeno seka yksilon opintouranetta valtakunnallisen koulumenestyksen kulmakivia.Erityisen tarkea aukoton jatkumo on matematiikan ta-paisessa tiukan kumulatiivisessa aineessa, jossa laheskaikki uusi perustuu aikaisemmin opitulle.

Tama jatkumo sai saron vuonna 1985, jolloinylaasteelta poistettiin valtioneuvoston paatoksella yli

40 tuntia matematiikkaa, paaasiassa algebran alkei-ta. Taman lisaksi – mika on taman kirjoituksen varsi-nainen aihe – silloinen Kouluhallitus salytti peruskou-lussa tapahtuneen leikkauksen seuraukset peruskoulunjalkeisten oppilaitosten opettajien ja heidan opiskelija-polviensa niskoille lahes 20 vuodeksi. Koko ongelmanydin oli pitkaan vain muutaman henkilon tiedossa. Asiatuli ensi kertaa julkisuuteen allekirjoittaneen taholtaHelsingin Sanomissa vuonna 2002.

Ongelman syntyaikoihin 1980-luvun lopulla silloinenKouluhallituksen matematiikan ylitarkastaja vahattelialgebraa ”temppuopiksi”. Temppujen opiskelun sijas-ta olisi pitanyt muodikkaammin ”soveltaa”. Matemaat-tisten aineiden opettajien koulutuspaivilla saarnattiinjatkuvasti yhta aikaa temppuoppia vastaan ja sovelta-misen puolesta. Ei siis ollut ihme, etta temppuoppi, eliTarvaisen ja Kivelan peraankuuluttama algebra, ei ol-lut suosiossa. Kaikki arvo toki soveltamiselle, mutta seei aina onnistu ilman formaaleja tyokaluja eli perusal-gebraa ja sen ”temppujen” jatkuvaa jauhamista.

Ensimmainen ylaasteen algebralla karsitun matematii-kan lapikaynyt ikaluokka saavutti lukion syksylla 1989.Matemaattisten Aineiden Opettajien Liitto MAOL ry(toimin tuolloin puheenjohtajana) vaati useaan ottee-seen, etta pois jatetyn algebran opettamiseksi on rai-vattava tilaa lukiossa, koska matematiikassa kaikki pe-


rustuu aikaisemmin opitulle eika valista voi ottaa palaapois, kaikkein vahimmin tarkeimpia tyokaluja.

Kouluhallitus vastasi tahan tiedotteella T96/1989, jos-sa se totesi mm.: ”tarvittavien opetussuunnitelmal-listen ratkaisuiden tekeminen on osa kunnan ope-tussuunnitelman kehittamista”. Nain Kouluhallitusjatti valtioneuvoston tasolla tehdyn ylaasteen tuntija-kopaatoksen lukiolle aiheutuneiden ongelmien paikkaa-misen faktisesti kunnallisten opetussuunnitelmatoimi-kuntien ja yksittaisten lukioiden opettajien tehtavaksi.

Ainoa eksplisiittisesti ilmaistu matematiikan oppiai-neksen karsinta oli yleisen matematiikan kohdallamainittu ”murtolausekkeilla laskeminen voidaan si-vuuttaa”. Tiedote T96/1989 totesi lisaksi: ”eraissakouluissa on saatu hyvia kokemuksia jarjestamallatyojarjestykseen merkittyna heti 1. luokan alussa kaik-kien oppilaiden ohjelmaan sopiva matematiikan tuki-kurssi”.

Valtakunnallinen muutos olisi tietysti edellyttanyt val-takunnallista ratkaisua, eika paikallista. Onhan jopelkastaan ylioppilastutkintoa varten lukioiden oltavavaltakunnallisesti samalla lahtoviivalla. Kaikissa kou-luissa tukikurssien jarjestaminen ei ollut edes mahdol-lista joko taloudellisten syiden tai muun opettajakun-nan vastustuksen johdosta.

Seuraukset varsinkin heikompien ja keskinkertaisten-kin oppilaiden matematiikan opiskeluun saattaa vainkuvitella. Ne olivat myos lukion matematiikan opetta-jien yleisena puheenaiheena heti ensimmaisesta luku-vuodesta 1989–90. Vaikutukset heijastuivat luonnolli-sesti myos fysiikkaan ja kemiaan. ”Kuin valista puut-tuisi yksi luokka”, totesi eras peruskoulusta lukioon

siirtynyt oppilas.

Seuraavakaan tuntijako (1992) ei korjannut asiaa, jo-ten tukikurssit jaivat maan tavaksi. ”Valiaikaiset” tu-kikurssit on hiljaisesti sementoitu lukioiden matema-tiikan opintoihin jo yli 16 vuodeksi. Tuntuu uskomat-tomalta, etta koulusuunnittelussa voidaan valtakun-nan tasolla kasata niin monen perakkaisen opiskeli-jaikaluokan tielle nain kohtuuttomia taakkoja. Tilanneon todennakoisesti viela ongelmallisempi ammatillisel-la puolella, koska siella tata perussyyta tukikurssitar-peineen ei valttamatta ole edes tiedostettu.

Marjatta Naatanen vertaakin kirjoituksessaan ”Osa-taanko matematiikkaa kyllin hyvin” lukion kautta jaammattillista reittia saapuneiden opiskelijoiden ma-tematiikan taitoja, ja lukion hyvaksi. Sekin on seli-tettavissa siten, etta paatos T96/1989 lahetettiin vainlukioihin ja nain tiedettiin vain lukioissa jarjestaa tu-kikursseja. Ammatillisella puolella ei kai ollut ketaanheidan opiskelijoidensa etuja ajamassa.

Nyt kun peruskoulu on saanut vuonna 1985 me-nettamansa matematiikan vuosiviikkotunnin takai-sin, pitaisi katsoa, onko peruskoulun matematiikas-sa varmasti tarpeeksi ”temppuoppia” vai onko tuotila taytetty muulla aineksella. Edelleenkin yleises-ti kaytossa olevat ylimaaraiset lukion tukikurssitepailematta hamartavat kurssissuunnittelijoiden todel-lisuudentajua.

Kuten yliopettaja Kyosti Tarvainen ja yliopistonlehto-ri Simo K. Kivela ehdottavat, pitaisi viipymatta kootariippumaton ulkopuolinen elin varmistamaan, etta pe-ruskoulun jalkeiset matematiikan tukikurssit voidaansiirtaa pysyvasti historiaan.

Artikkelin kirjoittaja Jukka O. Mattila on jaanyt vuonna 2004 elakkeelle Paraisten lukion rehtorin tehtavasta.Han on kahden vuosikymmenen aikana toiminut useissa tehtavissa Matemaattisten Aineiden Opettajien LiittoMAOL ry:ssa, mm. puheenjohtajana 1988–1994.


Osataanko matematiikkaa kyllin hyvin?

Marjatta NaatanenDosenttiMatematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto

Solmun tekijoille on tullut paljon kannanottoja mate-matiikan osaamistasosta eri oppilaitosten matematii-kan opettajilta. Tassa on kooste kommenteista.

Matematiikkaan suhtautuminen nayttaa jakavan ihmi-set kahteen ryhmaan; niihin, jotka pitavat ja arvosta-vat matematiikka ja niihin, jotka pelkaavat ja inhoa-vat sita. Jos jakautuminen osuisi niin, etta ne, jot-ka pelkaavat ja inhoavat matematiikkaa, olisivat juuriniita, jotka eivat myohemmin ammattiopinnoissaan taityoelamassaan tarvitse matemaattista tietoutta ja tai-toja, olisi asiaan helpompi loytaa ratkaisuja: Opetuk-sessa peruskoulusta yliopistoon asti voitaisiin keskit-tya niihin, jotka pitavat matematiikasta ja arvostavatmatemaattista ajattelua ja tietavat saavansa siita etuaopiskelussaan ja tarvitsevansa sita tyoelamassaan. Va-litettavasti tilanne ei ole nain yksinkertainen. Nayttaajopa silta, etta viralliseksi kannaksi on muodostunut,etta opetuksen tavoitteet ja tyomaarat on suunnitelta-va erityisesti niiden mukaan, joiden tiedetaan tarvitse-van matematiikkaa tehtaviensa kunnolla hoitamisessa,mutta jotka samalla inhoavat sita yli kaiken.

Matematiikan parissa tyoskentelevat ovatkyllastymiseen asti saaneet kuulla kuin leuhkimisena”Matematiikasta en koskaan ymmartanyt mitaan” ja”Tarvitaanko tata johonkin? Koneethan nykyisin las-kevat.” Nain aikuiset siirtavat omat huonot asenteensaja tunteensa uusille polville median auliilla avustuk-

sella. Opettajat toki kohtaavat tyossaan myos positii-visia ja innostuneita asenteita. Positiivisia kokemuksiatulee raportoitua eteenpain harvoin; opetustyotahanraskauttavat ne, joilla on puutteelliset pohjatiedot jahuono asennoituminen ja joilta uuden oppiminen ei senvuoksi suju.

Parhaillaan kaynnistyva kerhotoiminta osoittaa kuiten-kin, etta negatiivisen suhtautumisen kierre on katkais-tavissa; oppilaat ovat kerhoissa – jos niita heille pie-nesta pitaen tarjotaan – hyvin innostuneita matema-tiikasta. Myos unkarilaisvaikutteista matematiikan al-kuopetuskokeilua tekevat suomalaiset opettajat iloitse-vat innostuneista oppilaista.

Kokemuksia korkeakoulusta

Korkeakoulun matematiikan opettaja kertoo: Jouduin1980-luvulta lahtien kokemaan, kuinka matematiikanja tilastotieteen suorittajien maara romahti siitakinpienesta osaajien ja kiinnostuneiden joukosta mika seoli ollut 1970-luvulla (noin 120 opiskelijasta matematii-kan arvosanoja suoritti vuosittain noin 10–15). Tastajoukosta useat jatkoivat ylempiin tutkintoihin ja tutki-mustyon pariin.


Kokemuksia ammattikorkeakoulusta

Ammattikorkeakoulun opettajalta: Surukseni taytyytunnustaa, etta opiskelijoiden (suomalaisten) mate-maattiset taidot tuntuvat vuosi vuodelta kayvankoykaisemmiksi. Eihan meille ole koskaan tullutkaanlukioista parasta ainesta, mutta nyt tilanne on aikakarmea. Alkeelliset peruslaskutoimitukset murtoluvuil-la, lausekkeiden sievennys, peruskaavojen ”vetta va-laen” hallinta ym. ovat monella taysin retuperalla.Sitten naiden opiskelijoiden kanssa pitaisi pystya sel-viytymaan sellaisista aiheista kuin Fourier’n sarjat,Fourier-muunnos, differenssiyhtalot, z-muunnos jne.,jotka esim. digitaalisessa signaalinkasittelyssa ovat pe-rustyokaluja. Matemaattinen tarkkuus (tasmalliset to-distukset) on suurelta osin hylattava. Lisaksi tahansoppaan on viela liitettava laskenta tietokoneel-la ja saastosyista tapahtunut kontaktiopetustuntienvahennys viime vuosina.

Mika mahtaa olla syyna tahan tilanteeseen? Mitalukioissa tapahtuu nykyaan? Vaaditaanko siellatehtavaksi kotitehtavia? Kaydaanko asioita lapi lii-an nopeasti? Meidan opiskelijamme eivat juurikaantee kotilaskuja, ilmeisesti tallainen kaytos on opittujostain; kun ei niita ole vaadittu ennenkaan, niin einiita tehda nytkaan. Taytyy siis laskea laskuja harjoi-tustunneilla koulussa ja oikein ratkaistuista tehtavistasaa lisapisteita kokeessa. Tamakaan ei saa kaikkia las-kemaan! Pitaisiko jarjestaa ilmainen oluttarjoilu lasku-harjoituksiin? Koska harjoitustuntejakin on niukasti,jaa opiskelijoiden laskurutiini vaatimattomaksi.

Eras syy on varmaan myos se, etta tekujenpaasykokeessa on viime vuosina supistettu runsaastimatematiikan osuutta. Sisaan paasee sellaisia, joilla ny-kyvaatimusten mukaan ei ole juuri edellytyksia selviy-tya opinnoista. Resurssien kaikinpuolista tuhlausta!

Totta kai poikkeuksiakin loytyy; onhan toki hy-viakin joukossa. Lisaksi jonkinlainen ilonaihe ovatulkomaalaiset, joiden laskutaito on keskimaarin ot-taen parempi kuin suomalaisten. Porukkaa on Kiinas-ta, Venajalta, USA:sta, Unkarista ja Itavallasta; osavaihto-opiskelijoita, mutta suurin osa kay lapi koko ne-livuotisen insinoorin koulutusohjelman. Tietotekniikkaon houkutin, ehka myos Nokia. Kiinalaiset ovat kerto-neet, etteivat he saa kayttaa kaavakokoelmia, vaan kaa-vat on opeteltava ulkoa. Kavin EU-opettajavaihdossa,opiskelijoiden keskimaarainen laskutaito oli huomatta-vasti parempi kuin taalla – mutta siella onkin kunnonkarsinta paikalliseen AMK:hon.

Ammattikorkeakoulujen tekniikan alan opiskelijoistakolmannes on lukenut lukion lyhyen matematiikan.Trigonometria–vektorit -perustan puuttuminen lukionnykyisesta OPS:sta on heille melkoinen opintoja vai-keuttava ongelma. Arvelisin, etta tilanne on saman kal-tainen myos yliopistoissa ja teknillisissa korkeakouluis-

sa matematiikan ja luonnontieteiden osalta. Tama ly-hyen matematiikan asia koskee tuhansia teknisten alo-jen opiskelijoita vuosittain. Oman ongelmansa muo-dostavat ammattioppilaitoksista tulevat opiskelijat.Heitakin on kolmannes AMK:n tekniikan opiskelijois-ta. Naiden opiskelijoiden matematiikan osaaminen onkaytannossa peruskoulutasoa. Opetuksen eriyttaminenon ollut melkoinen tyo, eika se ole aina onnistunut.Tosin jotkut ammattioppilaitoksista tulevat opiskelijatovat erittain lahjakkaita ja motivoituneita.

Ammattikorkeakoulusta loytyy insinooriopiskelijoita,joille tilavuuden kasite on epaselva; he eivat osaa laskeapinta-alaa, jos tunnetaan tilavuus ja korkeus.

Kokemuksia teknillisesta oppilaitoksesta

Oppilaiden perustiedot ovat osoittautuneen niin puut-teellisiksi, etta kaiken tarvitsemamme matematiikanopetamme alusta alkaen. Teknikkokoulutukseen ei tuleoppilaita, jotka ovat hyvia matematiikassa. Monet tu-lijat osaavat joukon temppuja, mutta eivat itse asioita.Kaikkien matematiikan alueiden kasittely on aloitetta-va perusteista asti (myos ylioppilailla). Lukio opettaakaksi pahaa asiaa:

1. En osaa, enka opikaan.

2. Voisiko tasta lintsata?

Naista poisopettamien on tyolasta.

Teknillisen opiston opettaja, joka ei suostunut alenta-maan matematiikan osaamisen vaatimustasoa lujuuso-pin opetuksessa, sai nuhteet opetusviranomaisilta. Eh-toja ei saa antaa eika luokalle jattaa, vaikkeivat oppi-laat osaisikaan oppisisaltoja. Kaikki vain insinooreinalujuuksia suunnittelemaan vaikkei ole hajuakaan mitenlasketaan! Opettaja painostettiin hyvaksymaan Gaus-sin kayran mukaisesti tentteja tuloksista riippumatta!Talloin oli kyse jo ammatin vaatimasta tiedosta ja tai-dosta eika perusopetuksen tasosta.

Esimerkkeja eri oppilaitoksista

Kauppaoppilaitoksessa peruslaskutoimitusten hallintaon olematonta, paassalaskutaito surkeaa ja matematii-kan inhoaminen on yleista.

Terveydenhuolto-oppilaitoksessa paassalaskutaito onolematonta, suuruusluokan arviointi ei onnistu. Laa-tuja ei osata muuntaa. Asenne matematiikkaa kohtaanon joko inhoava tai pelokas. Monien mielesta matema-tiikalla ei ole mitaan tekemista jokapaivaisen elamankanssa.

Maatalousoppilaitoksessa suureyhtaloista ei osata las-kea muuta kuin valmiiksi ratkaistu suure.


Metsaoppilaitoksessa on enemman sanallisia lasku-tehtavia, joten pitaisi erityisesti osata soveltaa. Useissaammattiaineissa vaaditaan melko korkeatakin matema-tiikan osaamista.

Kokemuksia peruskoulusta ja lukiosta

Lyhyen matematiikan abiturientti ei ensin tuntenut po-tenssimerkintaa x2 x ·x:lle. Tama selvitettiin ja sitten,nahtyaan lausekkeen −x − x han luuli, etta se on −xtoiseen potenssiin.

Lyhyen oppimaaran lukiolaisista merkittava osa eipysty ratkaisemaan yksinkertaista ensimmaisen asteenyhtaloa, tyyppia 3x = 5.

Tuntimaarista

Pitaisiko tuntimaaria lisata? Tama ratkaisu tulee tie-tysti ensimmaiseksi mieleen. Ongelma on kuitenkinmonimutkaisempi ja vaatii syvallisempaa pohdiskeluakuin vain tuntimaarien lisaamista, joka sekin voi ol-la osa ratkaisua. Tuntimaarien supistamista ovat va-littaneet lahes kaikkien aineiden edustajat. Asia onsiis yhteinen kaikille hyvaan kokonaistulokseen pyr-kiville opettajille ja kouluttajille aineesta riippumat-ta. Tuntimaarien lisaysta yritimme korkeakoulussa ai-koinaan, kun huomasimme, ettei porukka osannut lu-kion lyhyen oppimaaran asioita vaikka oli paassyt kor-keakouluun vain, jos oli ylioppilaskirjoituksissa saa-nut vahintaan cumun lyhyesta matematiikasta. Teim-me testeja osaamisesta ja jarjestimme vapaaehtoisia tu-kiopetuskursseja lukion oppimaarasta niille, jotka tes-tien mukaan ja omastakin mielestaan sita tarvitsivat.Oppilaat olivat jopa innostuneita taydentamaan osaa-mistaan, pisteita ei saanut. Myohemmin muita seu-raten korkeakoulu paatti, etta kaikkien pitaa suorit-taa pakollinen matematiikan (laskennon) oppimaara,4 opintoviikon laajuisena. Se synnytti lahes kapinantai ainakin loi uskomattoman vihamielisen asennoitu-misen matematiikkaa kohtaan, joka katsottiin ”syylli-seksi” paatokseen. Kielteista asennoitumista tuki ai-neiden valinen kilpailu, olihan matematiikalle uhrattuopintoviikkojen maara pois jostakin muusta. Kolman-nes oppilaista oli avoimen vihamielisia, kolmannes olikiinnostuneita ja asiansa hyvin hoitavia, vaikka sosiaa-linen paine vaikutti heihinkin, ja kolmannes vain halusijotenkin saada kurssin pois alta.

Tasovaatimukset

Tulisiko kiinnittaa enemman huomiota tasovaatimuk-siin ja vaatimusten toteutumisen kontrollointiin?

Miten ennen?

Ei kai perusopetuksen puitteissa voida lahtea erikoista-maan opetusta niin kuin erikoislukioissa? Aikaisemminasia hoitui arvosanojen jouston avulla. Oppilaat saat-toivat ”erikoistua” kutakin kiinnostaviin aineisiin siten,etta hankkivat toisista parhaat arvosanat ja jattivattoiset alimmalle tasolle. Jokainen opettaja loysi hyviaja huonoja oppilaita katraastaan ja huomio kiinnitet-tiin hyvien oppilaiden tasoon. Ylhaalta annetut taso-vaatimukset olivat myos hyvia oppilaita ajatellen laadi-tut niin, etta arvosanojen erilaisuudessa oli jarkea sekaosaamisen tason mittarina etta tarvittavan jouston to-teuttamisessa. Tassa suhteessa tasa-arvostaminen ar-vosanoissa ja vaatimusten asettamisessa aineen kannal-ta huonoimpien tai aineesta vahiten kiinnostuneidenoppilaiden ”mielentilan” kannalta optimaaliseksi on ol-lut tuhoisaa. Sita ei korjata tuntimaarilla vaan oppilas-kohtaisella joustolla.

Opetusmenetelmista

Myos opetusmenetelmat ovat tarkeita jouston aikaan-saamiseksi ja tyoskentelyn tehostamiseksi. Onko kokei-lutoiminta tassa asiassa vireaa ja tuloksellista vai onkoalan tutkimus vain pienia yksittaisia asennekyselyja?

Laskimen kaytto

Lyhyen matematiikan lukijat haluaisivat kayttaa las-kinta kaikessa. Esim. ei osata katsoa lukujen 1, 2−√7,4, 2 +

√7 suuruusjarjestysta ilman laskinta. Osittelu-

lakien soveltaminen on aivan outoa.

Jakaantuuko oppilasaines kahtia?

Tama on nappituntuman havainto. Dimensiossa jul-kaistavat tilastot osoittavat pitkan matematiikan yo-kirjoittajien jakautuneen kahteen kastiin riippuen siita,onko kirjoitettu pakollisena vai ei.

Asennoituminen

Monet ovat huolissaan siita, etta liian moni oppilasetenkin keskitason lukioissa yrittaa paasta helpolla jatyytyy huonompaan kurssiarvosanaan kuin mita kyvyttodellisuudessa edellyttaisivat. Asettavatko nuoret ta-voitteensa liian korkealle ja jos naihin ei ylleta, antavatperiksi liian helpolla? Eiko ”hyva keskitaso” kelpaa?Monien asenteet matematiikkaa kohtaan ovat aika hir-veat.


Oppikirjat

Ovatko oppikirjat tulleet liian yksityiskohtaisiksi? Ma-tematiikan oppikirjoissa on niin paljon valmiiksi lasket-tuja esimerkkeja, etta luulisi itseopiskelun olevan koh-tuullisen helppoa. Vuonna 1962 kaytettyjen matematii-kan oppikirjojen sivumaara oli noin 300. Talla hetkellauskoisin sivuja olevan noin 1 000! Lisaksi nykyisten tau-lukkokirjojen kaavakokoelma piti osata ulkoa.

Fysiikka

Syyna matematiikan tason putoamiseen on oppi-miskasitys, jossa pohdiskellaan loputtomasti eika tehdalapsille selvaksi mita pitaa muistaa ulkoa. En tieda ”ku-ka Perkele” on saanut ensimmaisena paahansa, ettamurtolukujen yhteenlasku on helpointa siten, etta kek-sitaan saannot joka ainoa kerta piirtelemalla uudestaankokonaisia ja osia sen sijaan, etta vaadittaisiin saannonosaaminen ulkoa!

Voiman komponentti on aina F sinα tai F cos α. Lu-kion toisluokkalaisista ei juuri kukaan osaa sanoa kum-pi on kumpi. No minahan opetan asian viimeinkin”kunnolla”: piirran suorakulmaisen kolmion ja ilmoi-tan sopimukset. Sanon viela, etta teidan kannattaisikayttaa muutama minuutti kotona siihen, etta muis-tatte: sini vastainen . . . tai te sotkette tata koko lukio-aikanne (omasta mielestani hyvin toimittu). Vuosi toi-sensa peraan sama lopputulos: lahes kaikki valitsevatsotkemisen!

On anteeksiantamatonta, etta samat ihmiset, jotkaovat valmiita opettelemaan vieraiden kielten tuhansiasanoja on totutettu siihen, etta he eivat voi opetellamatematiikasta pariakymmenta saantoa, joilla parjaisijo aika pitkalle.

Toinen asia, joka on mennyt ”ongelmanratkaisun” mu-kana metsaan on laskurutiinien huono hallinta. Ma-temaattisen ajattelun kielena ovat rutiinit. Jos ei oleniita, ei ole kieltakaan. Jos ei ole ajattelun valineita, eiole ajatteluakaan.

Omissa testeissani suunta huonompaan alkoi 1990-luvun puolivalissa. Matematiikan heikko osaaminennakyy fysiikan laskuissa esiintyvina alkeellisina vir-heina ja siina, etta asioiden perustelu on puutteellista.Johdonmukainen ajattelu puuttuu. On melko tyolastasaada oppilas ajattelemaan ja pyrkimaan kohti asioidenymmartamista, ei ulkolukua.

Osaamistason seurantatutkimus

Tuohi, Helenius, Hyvanen: Tietoa vai luuloa – in-sinooriopiskelijan matemaattiset lahtovalmiudet. Tu-run ammattikorkeakoulu, 2004, 110 s + 12 liitetta (Tu-run ammattikorkeakoulun raportteja; 29)

Tekijat ovat seuranneet aloittavien opiskelijoiden ma-tematiikan osaamistasoa testilla, jota on toistettu vuo-desta 1999 lahtien. Tuloksista havaitaan, etta matema-tiikan osaamisen taso on heikentynyt.

Tutkimuksessa todetaan, etta lukion oppimaaransuorittaneet osaavat matematiikkaa huomattavastiparemmin kuin ammatillista reittia opiskelemaantulleet. Eri koulutusohjelmien insinooriopiskelijoidenlahtotasovalmiuksissa on merkitsevia eroja. Samaa tes-tia tehtiin myos Teknillisessa korkeakoulussa, namaopiskelijat menestyivat kokeessa merkitsevasti parem-min kuin ammattikorkeakoulussa aloittavat opiskelijat.Tutkimuksessa selvitettiin myos opiskelijan oman osaa-misen arviointia. Monet opiskelijat uskoivat ratkaisun-sa varmasti oikeaksi, vaikka se olikin virheellinen.


Kaksi askelta taaksepain

Seppo VistiLehtoriNikkarin lukio, Kerava

Viime vuosien oppimiskasitys on korostanut tiedonhakemisen osaamista ja asioiden hallitsemista mah-dollisimman yleisella tasolla sen sijaan, etta paahanpantataan ”nippelitietoa”. Nykyaan ihmisten ei tarvit-se tuntea koivua ja leppaa erilleen, kunhan he hallitse-vat asian yleisella tasolla: Suomessa on monia erilaisiapuita. Goethea ei tarvitse tietaa saksalaiseksi kirjai-lijaksi. Riittaa, kun osaa hakea tietosanakirjasta C:n,G:n tai K:n kohdalta.

Se joka suosittelee laajoja kokonaisuuksia sirpaletiedonsijaan ja ajattelua mekaanisen harjoittelun tilalle saaymmartavaa hyminaa osakseen. Itse odotan kuitenkinhartaasti uutta gurua, joka kertoisi meille, etta tietoon maailmalla pienina palasina kuin leipa Tapsa Rau-tavaaran vanhassa laulussa. Todellinen suurguru ker-toisi, etta kaikki tieto on nippelitietoa, josta vasta voimuodostua suurempia kokonaisuuksia.

Matematiikassa uusi ajattelu merkitsi ennen kaikkeaongelmakeskeista lahestymistapaa, jossa ongelman rat-kaiseminen vaatii tietyt matemaattiset rutiinit. Ky-seiset laskurutiinit sitten opitaan ikaan kuin huo-maamatta kaupanpaallisiksi. Vahemman vaativissa-kin ”ongelmissa” tehtava muotoillaan mahdollisim-man usein johonkin kaytannon tilanteeseen sopivak-si sanalliseksi kysymykseksi. Mekaanista harjoitteluavahennettiin oleellisesti ja ainakin lausumattomanatoiveena oli, etta kaikenlaisten saantojen entisenlainen

paahan panttaaminen ei ollut samassa maarin tarpeen,koska oppimisprosessi oli nyt sellainen, etta saantonousi siita itsestaanselvyytena ilman erityista ulkolu-kua.

Matematiikan osaamistason romahtamiseen (nain voivarmasti sanoa) syita on ilmeisesti muitakin, muttaolen vakuuttunut, etta edella kuvattu lahestymistapavie metsaan ja yritan selvittaa, miksi. Lukiotulokkais-ta huomattava osa ei osaa laskea murtoluvuilla. Siisesimerkiksi 1

2 + 23 on mita milloinkin. Nain ei ollut vii-

sitoista vuotta sitten.

Murtoluvut pitaisi opettaa niin, etta kaavat toki pe-rustellaan (kerran). Saadut saannot vaaditaan ulkoaosattavaksi ja sitten lasketaan! Esimerkit eivat ole”kaytantoon liittyvia ja ajattelua opettavia”, vaan pal-jailla luvuilla tapahtuvaa yksinkertaista harjoittelua,jota ei rasita ”sanallisuus”, ja niita ehditaan kaydalapi suuri maara, jolloin oppilaat oppivat vahitellenkayttamaan osaamiaan laskusaantoja. Opettaja ontassa harjoittelussa parhaimmillaan: han tietaa tarkas-ti, mita on opettamassa, kun taas ”ajattelua” opet-taessaan hanella ei ole aavistustakaan, mita kunkinpaassa liikkuu. Ja ennen kaikkea oppilas tietaa, mitahanelta vaaditaan: laventamisen, supistamisen ja kol-men laskusaannon hallinta. Yleinen harhaluulo on,etta oppilaat kokevat toistuvan harjoittelun tylsana.Oman kokemukseni mukaan oppilaat kokevat palkit-


sevana minka tahansa laskemisen, joka heilta sujuu.

Pyrkimys kaytannonlaheisyyteen on kaksiterainenmiekka: Se nayttaa selkeasti, mihin kulloistakin ope-teltavaa laskurutiinia voidaan kayttaa ja motivoi op-pilaita jossain maarin – ei tosin niin paljon kuin opet-tajat luulevat. ”Pekka kulkee matkasta 1/3 jalan, 1/5pyoralla ja loput mopolla. . . ” Sana mopo villitseevahemman kuin luullaan. Toisaalta esimerkit ovat pa-kostakin liian yksinkertaisia. Oppilas vilkaisee kirjanpikku tehtavaa, laskee samoin ja saa oikean tuloksenilman, etta han oikeastaan tietaa, mita teki ja mik-si. Vaitan, etta murtolukuja, yhtaloita, potenssilausek-keita ja mita tahansa algebrallisia struktuureja pitaaharjoitella vaikeammilla lausekkeilla kuin ”kaytannontarve” vaatii. Laskurutiinien hyva hallinta on nahtavaitseisarvona sen sijaan, etta joka kaanteessa mietitaan,mihin tata tarvitaan kaytannossa.

Yhtaloiden ratkaisun opettamisessa pyritaan siihen,etta oppilaat eivat pelkastaan ratkaise yhtaloita, vaantietavat joka hetki mita tekevat. Paamaara on kunnioi-tettava, mutta menetelma ei toimi: oppilaat tietavatkenties paremmin kuin ennen, miksi temppu tehdaan– tehda he eivat osaa. Jos autokoulussa vaihteidenkayttoa opetettaisiin niin, etta ajo-oppilaan pitaisi ai-na ennen vaihtamista selittaa, mita ”konehuoneessa”tapahtuu, kestaisi autokoulu vuosia.

Nykykaytannon mukaan yhtaloita ratkaistaessa py-ritaan yhteys ns. vaakamalliin sailyttamaan mah-dollisimman pitkaan, jotta laskija tietaisi, mita te-kee ja miksi. Talloin termeja vahennetaan ja niitalisataan yhtalon molemmille puolille sen sijaan, ettavalittomasti tulkittaisiin toimenpiteiden merkitsevantermien siirtelya ja etumerkkien vaihtamista tuttuuntapaan. Oppilaiden pitaisi heikoilla algebran taidoil-laan pystya tekemaan murtolausekkeet samannimisik-si sen sijaan, etta nimittajat kerrottaisiin pois. Joskokonaislukujen allekkain kertomisessa oltaisiin yhtatunnollisia, pidettaisiin tarkkaa kirjaa, milloin kerto-va kolmonen edustaa ykkosia, milloin satoja. Asianymmartaminen olisi varmaan huippuluokkaa – kerto-laskujen tulokset mita sattuu.

Yhtaloita pitaisi siis sieventaa tehokkaimmilla mahdol-lisilla tavoilla: kertoa nimittajat pois, siirrella merk-kia vaihtaen tuntemattoman sisaltavat termit vasem-malle ja vakiot oikealle. Oppilaille kerrotaan, missajarjestyksessa toimenpiteet suoritetaan ja sitten alkaaharjoittelu, jossa mennaan niin hankaliin yhtaloihinkuin mahdollista. Miksi luokan heikoimpien pitaisi ainaponnistella kykyjensa aarirajoilla ja parempien loistaakirjan yksinkertaisia esimerkkeja matkien ilman, ettahe rasittaisivat itseaan juuri lainkaan? Ei kannata mu-rehtia sita, missa hankalahkoja yhtaloita tarvitaan – eiehka koskaan missaan. Joka tapauksessa niiden ratko-minen on oiva tapa kehittaa oppilaiden vaatimattomiaalgebran taitoja.

Potenssioppia hallitaan niinikaan toivottoman huonos-ti. Harva oppilas osaa kertoa kuhunkin tilanteeseen liit-tyvaa selkeaa saantoa. Sen sijaan ajatellaan, etta op-pilaat johtavat (ilmeisesti joka kerta) kaavan (am)n =amn tiedosta aaa = a3, jonka tyyppinen on ainoa (jasinansa arvokas) potenssiopin tieto, joka on jokseen-kin kaikkien hallinnassa. Mainittu kaava ja muutkinvastaavat onkin yhtalosta aaa = a3 yleistettavissa jase kay lukijoilta vaivatta. Valitettavasti vain useim-mat 16-vuotiaat eivat nae yhtaloilla mitaan sukulai-suutta. Oikea tapa opettaa asia on perustella kaa-vat (kuten nytkin) ja vaatia ne ulkoa. Harjoituksissakaytettaisiin runsaasti myos kirjainlausekkeita, jolloinoppilaiden olisi pakko sisaistaa kaavat. Asia ei ole help-po, eivatka laheskaan kaikki opi potenssilausekkeita su-juvasti kasittelemaan, kuten eivat oppineet ennenkaan.Silti muutos nykyiseen olisi melkoinen, jos edes toinenpuoli oppisi.

Mika edellisessa sitten oli uutta? Ei yhtaan mikaan.Seuraavassa on koottu yhteen se, mita kaksi askeltataaksepain voisi merkita:

1) Opettaja ottaa usein liian kunnianhimoisentehtavan opettaessaan matemaattista ajattelua on-gelmanratkaisun kautta. Menetelma toimii tilanteis-sa, joissa tehtava ratkeaa loogisin pohdinnoin ilmanvarsinaisia matematiikan taitoja (”Pisatehtavat”!).Sen sijaan on holmoa idealismia uskoa, etta oppi-laat oppivat vaikkapa toisen asteen epayhtaloidenhallinnan, kunhan heille esitetaan pari ”ongelmaa”suorakulmion muotoisen vasikkahaan pinta-alastatietyin ehdoin, jotka johtavat 2. asteen epayhtaloon.Oppilaalla ei ole valitettavasti harmainta aavistus-ta siita, mita taman mielenkiintoisen tehtavan olimaara hanelle opettaa.

Opetuksessa on otettava noyrempi asenne ja opetet-tava laskurutiinien hallintaa aikaisempaa enemmansen sijaan, etta pyrittaisiin suoraan huipulle ja ko-rostettaisiin itse ajattelua ”temppujen” kustannuk-sella. Ei taidealan oppilaitoksissakaan opeteta ”tai-teellisuutta”, vaan erilaisia tekniikoita; korkeintaanvoidaan selittaa, mita ei ainakaan kannata tehda.Kasittaakseni laskurutiinit ovat se kieli, jolla mate-maattinen ajattelu tapahtuu. Ei kielta – ei ajatte-lua.

2) Oppilaille on alakoulusta alkaen painotettava, ettamatematiikassa pitaa tietyt asiat osata ulkoa. Ennenkaikkea asia pitaa tehda selvaksi alakoulun opetta-jille, jotka kylla arvostavat matematiikkaa, muttaovat sen suhteen epavarmoja ja ulkopuolisista auk-toriteeteista riippuvaisia.

3) Matematiikan konkretisointia on vahennettava al-gebran opetuksessa! Vaatimus tuntuu jarjettomalta,mutta kuinka oppilaan kyky abstraktiseen ajatte-luun voi nousta, jos sita ei yritetakaan nostaa? Op-


pilaiden algebrallinen osaaminen on usein pieniin ko-konaislukuihin ankkuroitunutta vaistonvaraista toi-mintaa, joka voi sujuakin kohtalaisesti. Oppilas voiosata sieventaa a3a4, mutta, jos hanelta kysyy edel-lisen jatkona lausekkeesta xpxq, hanella ei ole aavis-tustakaan, mita siina pitaisi tehda. Han osaa kertoa,etta yhtalon 2x = 6 ratkaisu on 3, mutta ax = b eienaa hahmotukaan mitenkaan!

4) Oppilaille tulee peruskoulussa opettaa esimerkkinakaavasta ja sen soveltamisesta joku riittavan han-kala esimerkki. Oma suosikkini on (a + b)2 = a2 +2ab+b2. Se tarjoaa hyvan tavan kerrata potenssiopinlaskusaantoja ja ennen kaikkea riittavan abstraktinympariston opetella kasitteita kaava ja kaavaan si-joittaminen. Luulisin, etta vaikkapa toisen asteen

yhtalon ratkaisukaavan muistaminen ja siihen sijoit-taminen ei lukiossa tunnu niin ylivoimaiselta, kun onjotain samankaltaista harjoitellut. Ennen binominneliosta jatkettiin Pascalin kolmion kautta vaikka-pa binomin viidenteen potenssiin ja tama kahdek-santena kouluvuotena, joten aivan kohtuuttomastavaatimuksesta ei pitaisi olla kysymys.

5) Algebran taidot ja aritmeettinen ei-soveltava osaa-minen on nahtava arvokkaampana matemaattise-na paaomana kuin viime aikoina on totuttu. Oli-si ihanteellista, jos pystyisimme opettamaan nuoril-lemme hyvat laskennalliset valmiudet ja taidon so-veltaa niita. Jos mainittuja valmiuksia ei ole, ei voiolla jalkimmaistakaan. Juuri se on tilanne talla het-kella, joten, ”jotain tarttis tehda”.


Perusmatematiikkako tarpeetonta?

Mai AlloVTL, kansantaloustieteen st. tuntiopettaja

”Mita varten koulussa pitaisi viela nykyaikana opetel-la murtolukujen jako- ja kertolaskua, kun laskimet onkeksitty kauan sitten?”

”Jos kerran grafiikkaohjelmilla voi yhdella napin pai-nalluksella piirtaa mita tahansa suoria tai kayria, mik-si niiden yhtalot edelleen pitaa pantata ja viela piirtaalyijykynalla?”

”Onksun tarkotus niinku palauttaa meiat takasin Kek-kosen aikaseen oppikouluun?”

Lauseet on otettu suoraan elavasta elamasta. Harmis-tuksen purkauksia kuulee yliopiston kaytavilla tai opis-kelijain kahvitauolla, mutta viela useammin koulujenvanhempainilloissa, kun innokkaat aidit ja isit ohjaavatpilttejaan pienesta pitaen ennemmin netin selailuun javerkottumiseen kuin epamuodikkaisiin geometriaan taiaritmetiikkaan. Viimeksi mainitut kun eivat kuulostadynaamisilta tietoyhteiskunnan osaamisalueilta.

Sato – tai paremminkin sen puute – korjataan yliopis-toissa ja ammattikouluissa.

Kansantaloustieteen peruskurssilla luennoitsija ja las-kuharjoitusten pitaja kayttavat sitten lounastaukonsa-kin jalkien paikkaamiseen. Ei millaan tahdota paastaitse asiaan, kuten talouskasvun perusteisiin, tieteen-kritiikkiin tai hyvinvoinnin indikaattoreihin. Ei, vaik-ka taman tason opiskelijat ovat jo valmiiksi motivoitu-neita ja yrittavat parhaansa. Ei, vaikka sivuaineopis-kelijoille suunnatuista taloustieteen kurssikirjoista on

enimmat kaavat karsittu pois ja pyritty intuitiiviseen,verbaaliin esitystapaan. Opintoja hidastavat juuri isotaukot perusmatematiikan osaamisessa.

Kylla, kansantaloustiede on yhteiskuntatiede. Kylla,se kasittelee ihmisen luomaa jarjestelmaa ja inhimil-lista toimintaa. Ei, matematiikka ei ole taloustieteessapaaasia. Mutta se on jokaisen ekonomistin tarkeatyokalu, tilastotieteen ohella. Ja kylla, taloustieteilijatkayttavat pitkalle kehittyneita matematiikkaohjelmia– mutta ohjelmaa kayttaakseen pitaa tietaa, mita te-kee.

Korjasin kesalla ison pinon sivuaineopiskelijain tent-teja. Olin kehottanut kaikkia kertaamaan ainakin suo-ran yhtalon. Yllatyksekseni monelle jo gradua tekevalleopiskelijalle tuotti vaikeuksia muun muassa murtolu-kujen laskeminen. Tehtavan ymmartamista olisi sel-keyttanyt tarkan arvon laskeminen, mutta moni tur-vautui koneeseensa ja kaytti desimaaleja. Nain suo-ran piirtaminen tuli hankalaksi, mika taas sotki itseasian ymmartamista. Niin ikaan moni mielenkiintoi-nen asia – kuten suhteellisen edun teoria ja se, mita seoikeasti sisaltaa – olisi auennut helpommin ja tarjon-nut laajempia nakoaloja, jos derivaatan kasite ja senyhteys suoran kulmakertoimeen olisi ollut opiskelijanselkaytimessa.

Osa kurssini opiskelijoista on yrittanyt suorittaa ky-seista tenttia useana vuotena, eri tentaattoreille, sil-ti onnistumatta. Miten turhauttavaa opiskelijalle itsel-


leen, ja miten se viivyttaakaan valmistumista – kurssikun on esimerkiksi historian opettajiksi halajaville pa-kollinen. Nuorten alyssa ei ole mitaan vikaa – he vaineivat ota uskoakseen, etta ne tylsat, epamuodikkaat,vanhanaikaiset asiat pitaisi kayda pari kertaa lapikynan ja paperin kanssa.

Kun kansantaloustieteen perustekniikka on hallussa,voi vapaasti siirtya pohtimaan itse asiaa. Opituista ma-temaattisista metodeista voi aina sitapaitsi luopua, josne eivat tunnu soveltuvan kasilla olevaan ongelmaan;kylla ekonomistit kayttavat laadullisiakin menetelmia.Mutta metodeita ei voi valita, kritisoida eika hylata,ellei ensin tieda, mita ne sisaltavat.


Ranskalaisten akateemikkojen manifesti

Ranskassa on matematiikan kouluopetus noussut kii-vaan keskustelun aiheeksi. Akatemian jasenet RogerBalian, Jean-Michel Bismut, Alain Connes, LaurentLafforgue, Pierre Lelong, Jean-Pierre Serre ja Fourier-instituutin johtaja Jean-Pierre Demailly ovat kirjoit-taneet kannanoton nimelta Perusosaaminen tieteen jatekniikan tulevaisuuden pohjana (Les savoirs fonda-mentaux au service de l’avenir scientifique et tech-nique). Manifestin lyhyen yhteenvedon ovat koonneetja kaantaneet Marjatta Naatanen ja Tapani Kuusalo.

Koulun merkitys, tie intellektuaaliseentoimintaan

Kirjoittajat ilmaisevat syvan huolestumisensa, he ha-luaisivat tarjota nuorille samat mahdollisuudet kuinmista he itse ovat opiskeluaikoinaan nauttineet. Onhyvin tarkeaa, etta kaikkia lapsia, heidan sosiaalises-ta taustastaan riippumatta, opetetaan karsivallisestilukemaan, kirjoittamaan, laskemaan, olemaan tark-kaavaisia, tekemaan omiakin huomioita, siten etta hevahitellen tutustuvat kulttuurin ja tieteen vuosisatai-siin saavutuksiin. Kirjoittajat huomauttavat, ettei tieintellektuaaliseen toimintaan avaudu ilman ponniste-luja ja vaikeuksia. Opettajien on oltava seka asialleenomistautuneita etta samalla riittavan vaativia, niinetta oppilaille koituisi tilaisuus kokea myos todellis-ta alyllista mielihyvaa. Kirjoittajat kasittelevat myosmaahanmuuttajien koulutuksen synnyttamia haastei-ta ja toivovat, etta tasa-arvoisesta koulutuksesta huoli-matta Ranskan koulujen erittain korkea taso voitaisiinsailyttaa.

Huolestuttavat merkit kasaantuvat

Kirjoittajat toteavat huolestuttavien merkkien ka-saantumisen. Heidan mielestaan koulun ensimmaisetluokat luovat kaiken myohemman opiskelun perus-tan. Verratessaan nykyista tilannetta aikaisempiin op-pivaatimuksiin he toteavat oppimisen monilta osinmyohentyneen jopa vuosilla. Kirjoittajat toteavat, ettaylaasteelle tultaessa osa oppilaista ei hallitse kunnollaaidinkieltaan ja sen kielioppia, tai edes sen oikeinkir-joitusta. Aidinkielen heikko osaaminen heijastuu myosmatematiikan ja luonnontieteiden opintoihin, silla tar-vittava paattely ei ole mahdollista ilman kielen kun-nollista hallintaa. Aidinkielen opetuksen eri muoto-ja on karsittu, enaa ei aaneenlukua harjoiteta yhtapaljon kuin ennen, runoutta ei opetella siina maarinkuin ennen, sanavarastoa ei laajenneta, kielioppia eiopita kuten ennen, oikeinkirjoituksen harjoittelua onvahennetty. Oppilaiden oletetaan itse loytavan kieli-opin saannot teksteja havainnoimalla. Oppilailla luetet-tavat tekstit ovat niin banaaleja ja alyllisesti koyhia, et-teivat ne voi antaa heille tuntumaa oikeaan kirjallisuu-teen. Peruslaskutoimitusten suhteen kirjoittajat ovattypertyneina huomanneet, etta niiden opetus on kor-vattu hiljalleen etenevalla prosessilla, jossa pelkka yh-teenlasku opetetaan ensin.

Desimaalilukujen jakolasku seka kertolasku ovathavinneet melkein kokonaan ala-asteen opetuksesta.Didaktisena ohjeena on, etta ennenkuin itse laskutoi-mituksia opetellaan, tulisi oppilaille antaa tuntuma nii-den merkityksesta. Kirjoittajien mielesta luvut ja niillaoperointi saavat kuitenkin merkityksensa vain suhtees-sa toisiinsa. Esimerkiksi luku 342 on 3 kertaa 100 plus


4 kertaa 10 plus 2 (eli 342 = 3 ·100+4 ·10+2). Kirjoit-tajat ovat huomanneet, etta jos vertaa nykykoulua ai-kaisempien vuosien kouluun saa taantumuksellisen lei-man. Kirjoittajien mielesta ongelmana eivat ole opetta-jat eivatka lastensa parasta haluavat vanhemmat vaanse, etta muutamat jopa vuosikymmenia vallassa pysy-neet henkilot ovat soveltaneet totena pitamiansa ideo-logioitaan eivatka pysty myontamaan omia virheitaan.

Kirjoittajat toivovat julkista vaittelya, he valittavat,etta osa mediaa suhtautuu valinpitamattomasti tai jo-pa vahattelevasti niin oppimiseen kuin kulttuuriinkinsamoin kuin opettajien rooliin sen valittajana. Kirjoit-tajat valittavat myos opetushallinnon organisoimaa re-formitulvaa, jolla useimmiten ei ole mitaan kosketustaruohonjuuritasoon.

Oppisisaltojen vaheneminen ja pirstominen, alyllistenarvojen halveksunta seka kouluvakivalta eivat suinkaanole yhteiskunnallisen kehityksen valttamattomia seu-rauksia vaan ovat tietoisten koulutuspoliittisten valin-tojen seurauksia tilanteessa, jossa vakiintuneet sosiaali-set struktuurit ovat hajoamassa ja lapset jatetaan useinoman onnensa nojaan. Kirjoittajien mielesta myos ma-temaatikkojen on kannettava vastuunsa tilanteessa,jossa pitka, yli 30 vuotta kestanyt ”uudistusten” sar-ja on vavisuttanut koko julkisen koulutuksen perustaa.Ensimmainen toteutettu uudistus oli siirtyminen ns.”uuteen matematiikkaan”, jolla toki oli myonteisiakinvaikutuksia. Samalla kuitenkin dogmaattinen formalis-mi valtasi matematiikan opetuksen ja kaikki aiemminsaavutettu pedagoginen kokemus hylattiin.

Ongelmalahioiden aidinkielen opettajat ovat joutuneettoteamaan, etteivat lukion oppilaat enaa hallitse kun-nolla edes oikeinkirjoitusta tarkkaavaisuusongelmistanyt puhumattakaan. Tama siita huolimatta, etta heovat ennen lukiota kayneet koulua kolmisenkymmentatuntia viikossa 10–12 vuoden ajan ja vaikka useimmil-la heista on ollut hyvat edellytykset myos omaksuakoulussa saamansa opetus. Tallainen tulos on kirjoit-tajien mielesta kauhistuttavaa. Parempien asuinaluei-den kouluissa tilanne on parempi, mutta siellakin kau-kana ilahduttavasta. Nuoret tietavat itsekin osaavansavahemman kuin vanhempansa. Heilla on tuskin mitaankasitysta kirjallisuuden historiasta, he eivat halua lu-kea saannollisesti, ja selviytyminen 3–4 vuosittain luet-tavasta teoksesta tuottaa heille vaikeuksia. Monet maa-ilmankirjallisuuden suuret kirjailijat, jotka olisivat voi-neet avartaa heidan maailmankuvaansa, jaavat tunte-mattomiksi nykylukiolaisille. Oppilaat eivat enaa opijuurikaan kirjoittamaan aineita ja esseita, eivatka oi-kein omaa kirjoittamisen taitoa. Historian suurten ta-pahtumien ajallinen jarjestys on monille oppilaille tun-tematonta, kuten edelsiko Napoleon Ludvig XIV:tta,tai eliko Jeesus Ludvig XIV:n vai Rooman valtakunnanaikana. Sanotaan, etta nykykielten opetus on parem-paa kuin ennen, mutta kuinka usein tapaamme vieras-ta kielta sujuvasti puhuvan ylioppilaan? Lisaksi Rans-

kassa muita kielia kuin englantia (ehka espanjaa lukuu-nottamatta) opetetaan yha harvemmin. Toisaalta klas-sisten kielten latinan ja kreikan opetus, joka on suurestirikastunut monen matemaatikonkin alyllista koulutus-ta, on haviamassa Ranskan kouluista.

Myos matematiikan opetusta on lukiossa supistettu,niin etta lukiossa ns. luonnontieteellisella linjalla mate-matiikan tunneista on 30 vuoden takaiseen opetussuun-nitelmaan verrattuna vahennetty puolentoista vuodenoppimaaran osuus. Oppilailta ei enaa vaadita mate-maattisten todistusten oppimista, eika heille edes ha-luta nayttaa, millainen kunnon todistus oikein on. Heeivat opi tasmallisyyden ja tarkkuuden merkitysta edesmaaritelmissa, joita usein ollaan vain antavinaan. Asiatesitetaan usein epajohdonmukaisessa jarjestyksessa.Lukion luonnontieteellisen linjan kayneiden valtavaenemmisto tietaa vain pienen joukon resepteja jatoimintatapoja ilman, etta niita seuraa todellinensisaistetty ja syventynyt ymmarrys. Nykyisin saattaariittaa, kun osaa laskimen avulla piirtaa funktion ku-vaajan ja loytaa tasta joitain kvalitatiivisia piirteita.Jos matematiikan ylioppilaskokeissa esitetaan yllattavakysymys geometriasta tai vaihdetaan koordinaattiakse-lit keskenaan, seuraa kansallinen katastrofi, joka paaseemediaan ja televisioon ja johon ministerin on puutut-tava. On suorastaan ihme, etta viela nykyaankin jot-kut opettajat onnistuvat innostamaan oppilaita mate-matiikkaan ja luonnontieteisiin. Tahan liittyy erittaintarkea luonnontieteellista koulutusta vaativille aloillehakeutuvien maaran vaheneminen, eika tiedeta, kau-anko tama jatkuu, ellei nykytilanne parane.

Koulun antamien puutteellisten valmiuksien takia ma-tematiikan ja fysiikan korkeakouluopinnot osoittautu-vat monille aivan liian vaikeiksi, mika on johtanut opis-kelijamaarien selvaan vahenemiseen kaikissa luonnon-tieteellisissa koulutusohjelmissa. Jopa ns. ”suuriin kou-luihin” valmistavien erityisluokkien opettajat kertovat,etteivat heille tulevat oppilaat aina ymmarra, mitatodistaminen oikeastaan tarkoittaa eivatka aina tun-ne edes loogisen ajattelun perusperiaatteita. Valmis-tavilla luokilla nama lukion jattamat aukot onnistu-taan kuromaan kokoon, tosin vain paaosin. Niinpa jo-pa Ecole Normale Superieureen ja Ecole Polytechniqu-een hyvaksyttyjen ylioppilaiden tiedoissa saattaa ol-la hammastyttavia puutteita. Tilanne on tietysti vielahuonompi tavallisten yliopistojen osalta, joissa opinto-vaatimuksia on jouduttu laskemaan niin maarallisestikuin laadullisestikin.

Kirjoittajat kiinnittavat huomiota kouluun myos so-siaalisen nousun vaylana ja toteavat, etta erityisenvaikeita ongelmia syntyy maahanmuuttajien suhteen;heilla ei aina ole tarvittavia opiskelutraditiota ja -ambitioita eika aina edes luottamusta opiskelun merki-tykseen. Kirjoittajien mielesta niin opettajat kuin oppi-laatkin ja samalla koko kansallinen koulutusjarjestelmaovat harjoitetun politiikan uhreja. Opettajien auktori-


teetin heikentaminen kouluavustajien lukumaaran sa-malla pienentyessa on johtanut vakivallan ja kiusaa-misen lisaantymiseen, taman kohdistuessa monissa op-pilaitoksissa seka opettajiin etta oppilaisiin, jotka ha-luaisivat tehda tyota. Toisen asteen koulutuksen laa-jeneminen koko ikaluokan kattavaksi on johtanut ta-son laskuun paitsi kouluissa myos yliopistoissa. Suuriakoulu-uudistuksia on tehty paljon ja suuria riskeja onotettu joka kerralla.

Parannusehdotuksia

Olisi myonnettava, etta koulun paarooli ja olemas-saolon oikeutus ovat opetus, perustietojen siirto jaalyllisten kykyjen kehittaminen. Jotta koulu antaisikaikille tasaveroisesti mahdollisuudet, tarvitaan avus-tajia ja koulun jalkeen apua niille, joiden perheet eivatvoi auttaa lapsiaan tehtavissa. Koulun ei ole tarpeenjuosta tekniikan tai tieteen viimeisimpien saavutusten,kuten ei muidenkaan muoti-ilmioiden perassa. Koulunrooli on antaa perustietoja. Vasta perehtyminen huma-nismin vuosisatojen keskeisimpiin saavutuksiin mah-dollistaa syventymisen myos tieteisiin ja tekniikkaan.Koulun tulee tietenkin seurata myos nykyaikaa, kui-tenkin muotivirtauksia karttaen.

Oppiva lapsi ei vie muilta mitaan pois. Siksi kou-lutusohjelmien vaatimustason laskemista ei voi pe-rustella tasa-arvolla. On voitava luoda diversiteettiajo ylaasteelta lahtien, joillekin abstraktimpaa, toisil-le kadentaitoja, urheilua tai taidetta – kuitenkin niin,etta saadulla koulutuksella on arvoa tyomarkkinoilla.Tasa-arvon periaate ei saa myoskaan estaa oppilaidenarviointia, painvastoin. Oppilasarvioinnissa tulee sovel-taa selkeaa periaatetta: hyvia arvosanoja saa, jos op-pii hyvin, huonoja, jos huonosti. Kansallisten koulu-viranomaisten tulisi alkaa soveltaa arviointia itseensa,erityisesti tekemiinsa uudistuksiin. Erilaisten opetus-menetelmien tuloksia pitaisi jatkuvasti verrata toisiin-sa, kuten nykyisia entisiin, ja myos muissa maissakaytettyihin opetusmenetelmiin. Tarvittaisiin riippu-maton elin tata varten. Opettajien tulisi olla vapaitaopettamaan haluamallaan menetelmalla, heidan tulok-siaan tulisi tarkastella vain oppilaiden tulosten perus-teella, ei sen perustella, miten hyvin tama menetelmasoveltuu kansallisen opetushallinnon dogmeihin. Kou-lulaitokselle pitaisi myos antaa tilaisuus saavuttaa va-kaa tila eika uudistuksia siten pitaisi tehda liian ti-heasti. Koska opetus on kehittynyt vuosisatojen, jopatuhansien ajan, niin juuri lukemisen ja laskennon ope-tukseen on vaikeaa tehda todellisia parannuksia tuo-via uudistuksia. Koulu ei toimi, ellei opettajia arvos-teta. Kaikissa perheissa lapsille tulisi selvittaa, ettakoulun tarkoituksena on antaa juuri heille paremmatmahdollisuudet. Vanhempien tulisi valvoa, etteivat lap-set joudu television ja videopelien valtaan, vaan etta

heita rohkaistaan lukemaan ja tekemaan tyota. Ker-hot, tieteellinen ja kulttuurinen harrastus voivat aut-taa tassa. Luokat voivat toimia hyvin vain, jos oppi-lasaines ei ole liian heterogeenista. Kun paatetaan lap-sen siirtamisesta seuraavalle luokalle, niin vanhempienmielipide ei, heidan hyvasta tahdostaan huolimatta, voiolla kuin neuvoa-antava, ei koskaan paattava.

Kirjoittajat ovat kuulleet venalaisten yliopistotutki-joiden kauhistuksesta naiden todettua amerikkalai-sen koulun tason. Venalaiset reagoivat tahan luomallaeraalle epasuotuisalle asuinalueelle oman, tavanomais-ta amerikkalaista koulua huomattavasti vaativammankoulunsa, kayttaen siella venajasta ja muistakin kie-lista kaannettya oppimateriaalia. Kansallisten oppivaa-timusten tulisi Ranskassakin olla vain minimeja ja op-pilaitoksilla tulisi olla mahdollisuus pitaa vaatimusta-soa tata korkeammalla.

Aidinkieli on kaiken perusta

Kirjoittajat kasittelevat pitkaan ranskankielen osaami-sen ongelmia. Ensiksikin tulisi hallita oikeinkirjoitus,kielioppi ja osata kirjoittaa eritasoisia teksteja. Tie-teellinenkin ajattelu muodostuu lopulta kirjoittamal-la. Myos kaunokirjallisuutta tulisi lukea, silla runoudenkautta kauneuden taju kehittyy. Ajatuksen estetiikkaaloytyy myos matematiikasta, vaikkakin siella ehka vai-keammin lahestyttavissa.

Muu perusopetus

Lukemisen jalkeen perustietoa on luvut ja niilla ope-rointi, nelja peruslaskutoimitusta. Tasta lahtee myossuuruuden ja tilan hahmottaminen; konkreettisten esi-neiden tutkiminen, looginen ajattelu, kommunikointimuiden oppilaiden kanssa, lukujen kaytto kaytannontilanteessa, kuviot, kirjoituksen kaytto havaintojensynteesissa, pienet piirrokset ja graafiset esitykset.Luonnontieto, maantieto, kielet (myos muut kuinenglanti) ja historia ovat myos tarkeita. Kadentaitojatulisi harjoittaa, myos geometriassa, eika vain kasitellatietokoneita. Tama lista ei tarkoita, etta kirjoittajathaluaisivat lisata oppisisaltoja. Nain ei ole.

Ala-asteella pitaisi keskittya aidinkieleen, laskemiseenja geometriaan, aloittaa luonnontieteelliset kokeet,ymparistooppi, historia, maantiede, kaden taidot, yksivieras kieli. Myohemminkin aidinkieli on tarkea, eikaoppilaita, jotka eivat hallitse hyvin aidinkielen perus-tietoja, lukemista ja kirjoittamista, pitaisi paastaa ete-nemaan ylemmille luokille. Muut aineet olisivat mate-matiikka, historia ja maantiede, elavat kielet, fysiikkaja teknologia, luonnontieteet, kaden taidot, valinnalli-sena latina tai kreikka. Linjajakoa kaytettaisiin myos.


Todelliset kokeet ovat tarkeita hankittujen tietojen sel-vittamiseksi.

Joka tapauksessa pitaisi antaa etusija oppimisen syvyy-delle ja laadulle seka tarkkuudelle, ne ovat tarkeammatkuin ohjelmien tasmallinen sisalto. Matematiikasta tu-lisi hallita hyvin jokin osa, maaritelmineen, teoreemoi-neen, todistuksineen.

Matematiikan opetus ala-asteella

Luvut ja laskutoimitukset tulisi opettaa yhdessa, ede-ten helpoista vaikeampiin tapauksiin. Desimaalilukui-hin ja murtolukuihin tulisi tutustua, kayttaen suh-teen kasitetta. Paassalaskua tulisi harjoittaa. Nykyi-sin sattuu mediassa karkeita virheita, jotka aiheutu-vat huonosta peruslaskutoimitusten tai suuruusluok-kien ymmartamisesta. Laskinten ei tule korvata pe-ruslaskutoimitusten harjoittelua, paassalasku ja suu-ruuden arviointi on usein nopeampaa kuin laskimenesiinotto ja kaytto – jossa usein tulee virheita. Pitaisioppia valttamaan sokeaa uskoa koneen nayttamaantulokseen. Lukujen ja suuruussuhteiden yhteys tulisisailyttaa ja aloittaa geometria ensi luokalta. Tilavuu-den kaavoja voi kokeilla ontoilla muoteilla ja vedellaseka yksinkertaisilla mittalaitteilla.

Matematiikan opetus ylaasteella

Matematiikan opetus ei saisi olla pelkkia resepteja. To-distuksia ja deduktiivista pattelya tulisi harjoittaa. Mi-nimivaatimuksia tulisi olla: 1) lukujen hallinta, suu-ruusluokat ja suhteet, potenssi, eksponentti, n:s juuri,2) tasogeometriaa todellisten todistusten avulla, trigo-nometrian alkeet, 3) aritmetiikkaa (alkuluvut, murto-lukujen sieventaminen ja niilla laskeminen, Eukleideenalgoritmi, irrationaaliluvut,. . . ), 4) algebrasta matala-asteisten polynomien kasittely, tekijoihinjako ja sieven-nys, lineaariset yhtalot ja epayhtalot, joissa on yksi taikaksi tuntematonta, 5) vahan todennakoisyyslaskentaaja nimityksia kuten keskiarvo, frekvenssi,. . .

Lisaksi suorakulmainen koordinaatisto, virheen ar-viointi, lineaaristen ja affiinien funktioiden kuvaajat,toisen asteen funktion kuvaaja, porrasfunktiot,. . . Kyseon tassakin ennemminkin laadusta kuin maarasta. Oh-jelmien on oltava koherentteja ja hyvin rakennettuja,ylen heterogeenisia ryhmia on valtettava, oli sitten ky-se tasosta tai motivaatiosta.

Opetuksen henki

Opetuksen henki on melkeinpa sisaltoa tarkeampi. Yksimatematiikan opetuksen paamaarista on paattelyn jatarkkuuden oppiminen. Kurssin on oltava tasmallinen.

Uusia kasitteita ja aksioomia on esitettava mahdolli-simman saasteliaasti, vain sellaisia, joita ei voida johtaamuista ja joita todella tarvitaan. Aina kun uusi kasiteotetaan kayttoon, on se tehtava hyvin selkeasti. Op-pilaille on selvitettava, milloin on kyse maaritelmasta,milloin teoreemasta, milloin todistuksesta. Nama tuli-si oppilaiden myos oppia ja osata tehda todistukset,aluksi helpot. Logiikan saantoja on korostettava, esi-merkiksi, ettei implikaatio ole sama kuin ekvivalens-si, etta on ero sanojen ”ja” ja ”tai” valilla, ristiriitaanpaatyminen, vastaoletuksen kaytto.

Matematiikan – ja intellektuaalisen kasvatuksen – toi-nen paamaara on, etta oppilaiden tulisi hyvaksya vainse, minka osaavat itse todistaa. On parempi kayttaavahan taysin todistettua kuin paljon valmiina otettua.Ellei jotain keskeista tulosta todellakaan voida todis-taa luokassa, tulisi se kuitenkin aina perustella mah-dollisimmman hyvin. Kolmas paamaara on, etta oppi-laat oppivat abstraktion voiman. Merkintojen suhteenon rajoituttava tarpeellisiin.

Laskenta ja uusi teknologia

Tieteelliset ja ohjelmoitavat laskimet ovat nykyisin hel-posti saatavana – mutta se ei oikeuta niiden kayttoa en-nenaikojaan luokassa. Jos laskinta aletaan kayttaa liianaikaisin, ei oppilas opi paassalaskua ja peruslaskutoimi-tusten hallintaa. Naita ei kuitenkaan mikaan voi kor-vata, silla ne valmentavat algebralliseen laskemiseen.Heikko laskutaito on nykyisin este monelle yliopisto-opiskelijoille. Vain harvoin tarvitaan niin monimutkai-sia laskuja, etta laskin on valttamaton ala-asteella –tehtakoon laskutehtavat niin, etta ne vastaavat oppilai-den tasoa. Myohemmin, esimerkiksi kun laskuissa esiin-tyy luku π, voi kayttaa likiarvoa 22

7 .

Jo ylaasteelta alken tilanne on toinen, kokeellisissa tie-teissa voidaan kayttaa laskinta, oppilaat ovat jo sil-loin oppineet perusasiat. Tietokoneiden kaytto on ny-kyisin yleista. Ala-asteellakin voidaan tutustua tieto-koneen joihinkin kayttotapoihin, varsinkin sellaisinaaikoina, jolloin oppilaiden tarkkaavaisuutta on vaikeakiinnittaa. Ylaluokilla tietokonetta voidaan kayttaatieteellisten kokeiden mallintamiseen, mutta kayton onoltava hyvin rajoitettua eika sen tule mitatoida perus-oppimista. Koulun loppuvaiheessa voidaan opetella esi-merkiksi ohjelmointikielia.

Opettajankoulutus

Opettajankoulutus on kaikkein tarkein tekija. Jatko-koulutus on tarkeaa, sen avulla opettajat sailyttavatelavan suhteen opetusaineensa kehitykseen. Jatkokou-lutus ei kuitenkaan saa olla veruke eika oikeutus hei-kolle pohjakoulutukselle.


Matematiikan kayton rajahdysmainenkasvu – matematiikan ja yhteiskunnanuudet yhteydet

L’explosion des mathematiques

Kaannokset: Paula Kuusalo.

Verkkojulkaisun L’explosion des mathematiqueskaannokset julkaistaan Solmussa seuraavien yhdis-tysten luvalla: Societe Mathematique de France jaSociete de Mathematiques Appliquees et Industriel-les. Kaannosten osoite on http://solmu.math.hel-sinki.fi/2004/explo/.

Osa artikkeleista on suomennettu, osasta on lyhyt ku-vaus. Aiheiden monipuolisuudesta saa kasityksen siita,miten matematiikkaa on kaikkialla.

Claude Basdevant: Saa

Saan ennustaminen vaatii hyvin monenlaisten tapah-tumien mallintamista useilla eri tieteenaloilla: mate-matiikasta tietotekniikan kautta fysiikkaan ja kemiaan,jopa aina biologiaan asti. (Tassa tarvittavaa matema-tiikkaa: numeerinen analyysi, dynaaminen ohjelmointi,variationaaliset menetelmat, neuroverkot, vareet)

Daniel Krob: Kannykan sisus

Kannykka on nykyisin arkipaivainen, kenellapa ei olisisita taskussaan. Mutta vain harvat meista ymmartavatmiten haastavia tieteellis-teknisia lapimurtoja on tar-vittu kannykan toteuttamiseksi. (algoritmit, digitaali-nen tiedonsiirto, verkkoteoria)

Jean-Louis Nicolas: Salaus ja sen avaaminen: tiedon-siirron turvallisuus

Kryptografia on paaosassa taman paivan telekommu-nikaatioyhteiskunnassa. Siita onkin tullut oma tieteen-alansa, joka kuitenkin vaatii korkean tason matemaa-tikoita kehittyakseen edelleen. (lukuteoria ja algebral-linen geometria)

Pierre Perrier: Kuinka kompleksia maailmaa voikontrolloida

Pelkastaan tekniset innovaatiot eivat takaa lento-koneen ohjattavuutta, ison sillan turvallisuutta tailiikennevirran hallintaa. Tahan tarvitaan myos ab-straktia tutkimusta kuten matemaattista saatoteoriaa.(saatoteoria, differentiaaliyhtalot)

Etienne Ghys: Paljelause

Cauchy todisti 1800-luvun alussa, etta kaikki kupe-rat monitahokkaat ovat jaykkia. Mutta vasta 1970-luvulla Robert Connelly huomasi, etta epakuperat mo-nitahokkaat saattavat todellakin olla taipuisia. Pal-keiksi taipuisat monitahokkaat eivat kuitenkaan kel-paa. . . (paljelause, kuperat ja epakuperat monitahok-kaat)

Bernard Prum: Loytyyko syopageeni?

Biologia, erityisesti molekyyligenetiikka, tarvitseeuusia matemaattisia tyokaluja. Esimerkkina tilastotie-


teen merkitys erasta rintasyopageenia etsittaessa. (ti-lastotiede)

Stephane Mallat: Vareet ja kuvatiedostojen tii-vistaminen

Kuvat ovat tarkeita nykyajan viestinnassa kulkevatpane sitten internetissa tai ovat sailottyina tiedostoinatietokoneen muistissa. Kuvatiedostoja on mahdollistatiivistaa niiden laatua juurikaan heikentamatta. (aal-lot ja vareet, signaalinkasittely)

Daniel Bouche: Miten valttaa aaltojen kumu?

Kuinka voi valttaa tutkahavainnon? Mika on parasmuoto meluaidalle? Voiko kaikuluotainkuvia paran-taa? Ongelman ratkaisu perustuu syvallisiin teorioi-hin. (osittaisdifferentiaaliyhtalot, erityisesti lineaarit jaepalineaarit aaltoyhtalot)

Francine Delmar: Kuinka taide ja matematiikka liit-tyvat toisiinsa?

Matematiikka ei inspiroi vain tutkijoita. Useat taiteili-jat ovat ”kutoneet”matematiikkaa teoksiinsa, ja myospainvastoin: taide on antanut sysayksia geometrisilleteorioille.

Nguyen Cam Chi ja Hoang Ngoc Minh: DNA:stasolmuteoriaan

DNA-molekyylin asento ja kierteisyys geenin sisalla.(solmuteoria)

Pierre Cassou-Nogues: Filosofia ja matematiikka

Koko kehityshistoriansa ajan filosofia ja matematiikkaovat liittyneet laheisesti mutta ehka arvoituksellisesti-kin toisiinsa, mista vaikkapa Platon ja Descartes ovatesimerkkeina. Tassa tarkastellaan kahta 20. vuosisadansuurta tutkijaa, David Hilbertia ja Edmund Husserlia.(formalismi ja fenomenologia)

Jean-Jacques Laffont: Huutokaupan rationaalinenjarjestaminen

Huutokauppatapahtuman matemaattinen mallintami-nen auttaa saantojen ja optimaalisen strategian valin-nassa. (ekonometria, Nashin tasapaino)

Philippe Fevrier ja Michael Visser: Huippuviinienja obligaatioiden ekonometria

Niin huippuviineja kuin arvopapereitakin myydaanhuutokaupalla. Parhaan huutokauppatavan maarittele-miseksi tarvitaan mallinnuksen ohella myos ekonomet-riaa. (tilastotiede ja ekonometria)

Jean-Cristophe Culioli: Lentoyhtion toiminnan op-timointi

Laajan organisaation hallinta on vaikeaa. Tallaisissatehtavissa tyoskentelee maailmanlaajuisesti kymme-niatuhansia matemaatikoita ja insinooreja. (operaatio-tutkimus, lineaarinen optimointi)

Maurice Mashaal: Maailman synty: yksitoistaulot-teista geometriaa

Fyysikot ovat kauan etsineet alkeihiukkasten ja nii-den vuorovaikutusten yleista teoriaa. Tassa onkinviimeisten 15 vuoden aikana merkittavasti edistyttypaatyen samalla niin abstrakteihin avaruuksiin, et-teivat matemaatikotkaan sellaisia ole aiemmin tutki-neet. (janneteoriaa, kvanttikenttia ja supersaikeita)

Francois Baccelli: Internetin mallintaminen

Verkkosuunnittelijat yrkivat ymmartamaan paremmintietoliikenteen tilastollisia ominaisuuksia. Tama ontarkeata tietoliikenneverkkojen hallinnan ja vastaisenkehityksen kannalta. (tietoliikennevirran itsesimilaari-suus)

Elyes Jouini: Optioiden hinnat

Finanssimaailman kayttamat optioiden hin-nanmaaritykset perustuvat itse asiassa melko tuorei-siin matemaattisiin tuloksiin. Ja parhaiden kaavojenetsiminen jatkuu yha. . . (stokastiikka, Black-Scholesinmalli)

Gilles Lachaud: Virheenkorjaavat koodit

Koodausteorian tutkijat soveltavat algebraan ja geo-metriaan perustuvia menetelmia tiedonsiirron virhei-den havaitsemiseen ja korjaamiseen. (informaatioteo-ria, aarelliset kunnat)

Jean-Daniel Boissonnat: Kolmiulotteisten kappalei-den mallintaminen

Esimerkiksi arkeologiassa samoin kuin laaketieteessatai teollisuudessa joudutaan usein rekonstruoimaankappale, kun vain muutamia sen pinnan pisteista tun-netaan. (laskennallinen geometria)

Jean-Pierre Bourgignon: Matemaatikot Ranskassaja maailmalla

1800-luvun lopulle saakka matemaatikot tai ”geomet-rit”, kuten heita myos kutsuttiin, olivat melko harvalu-kuisia. Tanaan he joutuvat kohtaamaan oppiaineensasyvalliset muutokset.

Maurice Mashaal: Kuinka matemaatikoksi tullaan?

Pitkat oppivuodet ja luontainen taipumus ovat alantutkijan edellytykset. Ranskassa matemaatikoiksi ha-luavalle on tarjolla moninaisia opintovaylia.

matematiikkalehti solmu · 2005-12-15 · . ... {the relevance to life-long learning (information...

Documents