matematiikkalehti solmu · neljãnneksen keskiarvopistem ããr ã oli selv ãsti parem- pi...

MatematiikkalehtiSolmuErikoisnumero 2/2005–2006

http://solmu.math.helsinki.fi

2 Solmu Erikoisnumero 2/2005–2006

Solmu

Erikoisnumero 2/2005–2006

ISSN 1458-8048 (Verkkolehti)ISSN 1459-0395 (Painettu)

Matematiikan ja tilastotieteen laitosPL 68 (Gustaf Hallstromin katu 2b)00014 Helsingin yliopisto

http://solmu.math.helsinki.fi

Erikoisnumeron paatoimittajaMarjatta Naatanen, dosentti; Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto

ToimitussihteeriMika Koskenoja, tohtoriassistentti; Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto

Sahkoposti [email protected]

Graafinen avustaja Marjaana Beddard

Kannen kuva: Eiffeltorni

Kiitamme taloudellisesta tuesta Jenny ja Antti Wihurin rahastoa.

Solmu Erikoisnumero 2/2005–2006 3

Sisallys

Paakirjoitus: Pariisin kokouksen antia (Marjatta Naatanen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Toimitussihteerin palsta: Tutkimuksia PISA-tulosten pohjalta (Mika Koskenoja) . . . . . . . . . . . . . 6

Matematiikan opetusta kasittelevia puheenvuoroja Pariisissa (Marjatta Naatanen) . . . . . . . . . . . 8

Oppimaarien muutokset ja niiden vaikutukset matematiikan osaamiseenSuomessa (Olli Martio) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

PISA:n kattavuus matematiikan oppisisalloista Ranskassa (Marjatta Naatanen). . . . . . . . . . . . .14

Matematiikkaa tietoliikenneinsinooreille ammattikorkeakouluissa – tavoitteitaja haasteita Suomessa (Pertti Toivonen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Matematiikkakerhotoimintaa (Marjatta Naatanen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Tietokoneet ja matematiikan opetus:Eraan PISA-aineiston pohjalta tehdyn tutkimuksen tuloksia (Marjatta Naatanen) . . . . . . . . . . 21

Mitka ovat Suomen PISA-menestyksen taustalla olevat syyt? (George Malaty). . . . . . . . . . . . . .23

Paatoimittajan kommentti (Marjatta Naatanen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Tilanne Ranskan ”suurissa kouluissa” (Marjatta Naatanen). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

Tytot ja matematiikka PISA:n valossa (Marjatta Naatanen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Kaannosten tarkistus Tapani Kuusalo


Pariisin kokouksen antia

Tassa erikoisnumerossa julkaistaan kirjoituksia mate-matiikan opetusta ja PISA-tutkimusta kasitelleesta Pa-riisin kokouksesta. Kokous pidettiin Suomen Kulttuuri-instituutissa ja sen paajarjestajat olivat Suomen jaRanskan matemaattiset yhdistykset seka SuomessaMatematiikan kansallisen komitean matematiikan ope-tuksen toimikunta. Vastuulliset jarjestajat olivat GuyChasse ja Marjatta Naatanen. Osallistujat Suomes-ta olivat: Pekka Koskela, George Malaty , Olli Mar-tio, Marjatta Naatanen, Osmo Pekonen, Pertti Toi-vonen. Suomalaisten osallistumista kokoukseen avus-tivat taloudellisesti opetusministerio ja Suomalais-ranskalainen teknillistieteellinen seura.

Kokouksen paatteeksi oli lauantaipaiva keskusteluaInstitut des Hautes Etudes Scientifiques -instituutissa.Keskustelussa ICMI:n varapuheenjohtaja Michele Ar-tigue kasitteli mm. matematiikan yhteiskunnallistamerkitysta. Nykyisin odotetaan koulutetulta kansa-laiselta matematiikan osaamista, joka ylittaa suu-resti perusaritmetiikan. Kansalaisen tulisi pystya ar-vioimaan kriittisesti joka taholta tulvivaa numeeris-ta dataa, tekemaan paatoksia asioista, joihin liittyyepavarmuutta ja riskia, kuten terveydenhoito, vakuu-tukset, ymparisto. Matematiikka ei ole ainoa aine, jo-ka tukee kvantitatiivista lukutaitoa, eika kvantitatiivi-nen lukutaito ole matematiikan opetuksen ainoa tavoi-te, mutta matematiikan opetuksella on ratkaiseva osuuskvantitatiivisen lukutaidon kehittymisessa.

Teknologiaan sijoitetaan yha enemman resursseja, mut-

ta teknologiaa ei pystyta kunnolla hyodyntamaan eikasen ongelmia valttamaan.

Matematiikan kouluopetuksen tulisi pystya tasapainoi-sesti tarjoamaan riittava matematiikan osaaminen kai-kille ja samalla myos huolehtimaan tieteen ja matema-tiikan kykyjen tarpeista. Sen tulisi myos loytaa tasa-paino kyllin vahvan matematiikan oppimisen ja kvan-titatiivisen lukutaidon kehittymisen valille.

Pariisin kokouksessa tuli usein esille, etta perusal-gebran osaamisessa on puutteita – myos niilla, jot-ka selviavat hyvin PISA:n tehtavista, voi olla hy-vin vahaiset algebran kyvyt. Artigue esitti huolensasiita, etta PISA:n vaikutukset joidenkin maiden koulu-tusjarjestelmille voivat olla kaukana positiivisista. Hanei pelannyt niinkaan Ranskan puolesta, vaan niidenmaiden, jotka eivat ole yhta hyvin suojattuja. Erityi-sesti vaarassa ovat ne maat, jotka toivovat taloudellistatukea kansainvalisilta jarjestoilta koulujarjestelmansakehittamiseksi.

Kaikenkaikkiaan Pariisin kokouksessa tuli selvaksi,etta hienona matematiikkamaana tunnettu Ranska onvakavassa vaarassa matematiikan kouluopetuksen ta-son suhteen: matematiikan luonnollisia rakenteita eikayteta opetuksessa hyvaksi, tarketa asioita jatetaanpois ja eteneminen on hidastunut huomattavasti.

Suomessa Opettaja 10/2006 kertoo tutkimuksesta, jon-ka mukaan sanomalehtien saannollinen lukeminen onyksi selittava tekija suomalaisten karkituloksille PISA-

Paakirjoitus


vertailussa; se edistaa paitsi lukutaitoa, myos matema-tiikan ja luonnontieteiden osaamista seka ongelman-ratkaisua. Tulos ei ole yllattava, jos ottaa huomioon,etta PISA:n tehtavista 40 prosenttia kasitteli datan sa-manlaista esittamista, mita kaytetaan sanomalehdissa.Lisaksi tehtavan tekstin ymmartaminen, siis opetuskie-len taito on tietenkin edellytys tehtavan ratkaisemisel-le.

Suomen PISA-menestyksen salaisuus oli myos, ettaSuomen huonoin neljannes selvisi paljon paremminkuin muiden maiden huonoimmat neljannekset, katso

erikoisnumero 1/2005–2006, paakirjoitus ja kuva alla.

Matematiikan ja kvantitatiivisen lukutaidon suhteitaon kasitelty kirjassa: L.A. Steen (ed.) (2001). Mathe-matics and Democracy – The Case for Quantitative Li-teracy. National Council on Education and the Discipli-nes.

Erikoisnumeron lyhenneltyjen kaannosten alkuperaisetkirjoitukset loytyvat osoitteesta http://smf.emath.fr/en/VieSociete/Rencontres/France-Finlande-2005/ResumeConferences.html.

Marjatta Naatanen

300

400

500

600

700

Ala

nkom

aat

Bel

gia

Hon

g K

ong

Japa

ni

Kor

ea

Liec

hten

stei

n

OE

CD

kes

kiar

vo

Ran

ska

Sak

sa

Sve

itsi

Tan

ska

Unk

ari

Uus

i−S

eela

nti

Ven

äjä

Yhd

ysva

llat

Su

om

i

PISA:n matematiikan koe vuonna 2003: Kuvassa nakyvat kunkin maan jakauman 5., 25., 75. ja 95. pro-senttipisteet, siis alapuolelle jaa tama osuus jakaumasta. Keskella olevat poikkiviivat ovat keskiarvojen kohdalla.Naiden perusteella uutisoitiin Suomen huipputuloksesta. Kuva Petri Koistinen


Tutkimuksia PISA-tulosten pohjalta

Koululaisten lukutaidon, matematiikan ja luonnontie-teiden osaamista seka ongelmanratkaisutaitoja mitan-neen PISA 2003 -tutkimuksen pohjalta on alkanut il-mestya uusia, tulosten tarkempaa analyysia sisaltaviatutkimuksia. Suuntaukselle sopii toivoa jatkoa, silla en-situlokset nayttavat olleen vain alkuaskel laajan tutki-musaineiston tarjoamiin mahdollisuuksiin.

PISA-tutkimusohjelman jarjestaja OECD on itse to-teuttanut taman vuoden 2006 alussa julkaistun tutki-muksen ”Are Students Ready for a Technology-RichWorld? What PISA Studies Tell Us” (138 sivua). Tut-kimuksessa selvitettiin 15-vuotiaisen koululaisten mah-dollisuuksia kayttaa tietokoneita koulussa ja kotona,asenteita tietokoneiden opetuskayttoa kohtaan sekatietokoneiden kayton vaikutusta oppimistuloksiin.

Tutkimuksen mukaan saannollisesti tietokonetta koto-na tai koulussa kayttavat suoriutuvat keskimaaraistaparemmin matematiikassa, mutta tietokoneidenkaytosta saatava hyoty vaihtelee paljon eri maidenkesken. Eras tutkimuksen havainto oli, etta tytot luot-tavat itseensa poikia vahemman tietokoneella tyos-kennellessaan. Asennekyselyn mukaan Suomen kou-lulaiset kuuluvat negatiivisimmin tietokoneiden ope-tuskayttoa kohtaan suhtautuvien joukkoon, jossa oli-vat myos Tanskan, Unkarin, Irlannin ja Japanin kou-lulaiset.

Tanskan teknologinen instituutti (www.danishtechno-logy.dk) julkaisi marraskuussa 2005 raportin ”Explai-

ning Student Performance. Evidence from the inter-national PISA, TIMSS and PIRLS surveys” (216 si-vua). Vertailussa mukana olleet tutkimukset PISA jaTIMSS kohdistuvat matematiikan osaamisen eri aluei-siin, ja Suomen kannalta on harmillista, etta olemmeosallistuneet vain yhteen TIMSS-tutkimukseen (vuon-na 1999, muut ovat olleet vuosina 1995 ja 2003).Tanskalaisten tutkimuksessa keskitytaan opintomenes-tykseen vaikuttaviin taustatekijoihin, joita ovat mm.koulutusjarjestelmien erityispiirteet, koululaisten sosio-ekonominen viiteryhma, koulujen hallintotavat ja ilma-piiri seka koululaisten asenteet ja motivaatio.

OECD:n koulutusasiantuntija Andreas Schleicher esit-taa Lissabonin julistuksen (www.lisboncouncil.net)hengessa maaliskuussa 2006 julkaistussa artikkelis-saan ”The economics of knowledge: Why educationis key to Europe’s success” (20 sivua), etta Euroo-pan koulutuskehitys on taantumassa. Tama nakyy mm.kouluista valmistuneiden maarassa ja laadussa, kou-lutusjarjestelmien avoimuudessa kaikista sosiaaliryh-mista tulevia opiskelijoita kohtaan seka jatkokoulutuk-sen tarjonnassa ja eniten harjoitusta tarvitsevien tuke-misessa. Naihin Suomessa onkin panostettu. Schleic-herin tekemat johtopaatokset perustuvat PISA 2003-tutkimustuloksiin seka muutamiin muihin tutkimuk-siin. Raportissaan Schleicher tuo esille useita suosituk-sia kehityksen kaantamiseksi parempaan suuntaan.

Professori Pirjo Linnakyla ja FT Antero MalinJyvaskylan yliopiston koulutuksen tutkimuslaitokselta

Toimitussihteerin palsta


(ktl.jyu.fi) ovat selvittaneet, missa maarin suoma-laisnuorten sanomalehtien lukemisaktiivisuus on yh-teydessa oppimistuloksiin ja opiskeluasenteisiin. Sano-malehtien Liiton tilaamassa tutkimuksessa analysoitiinPISA 2003 -tutkimukseen kerattya materiaalia. Helmi-kuussa 2006 julkaistun raportin ”Tukeeko sanomaleh-tien lukeminen oppimista? Sanomalehtien lukemisak-tiivisuus ja oppimistulokset” (56 sivua) mukaan 15-vuotiaista nuorista noin 60 prosenttia lukee sanoma-lehtea useita kertoja viikossa. Toisaalta 15 prosenttialukee lehtea vain kerran kuukaudessa tai harvemmin.Kaupungeissa luetaan sanomalehtia vahemman kuinmaalla ja Uudellamaalla lukeminen on vahaisempaakuin muualla Suomessa.

PISA:n tehtavissa menestyivat sanomalehtia saannolli-sesti lukevat nuoret. Tata saattaa selittaa se, etta hyvatperustiedot ja -taidot omaavat oppilaat ymmartavatmuita paremmin sanomalehtien teksteja ja lukevatniita siksi innokkaammin kuin ne, joille lehtien luke-minen on puutteellisten tietojen takia tyolasta. Sa-nomalehtien lukeminen on myos vahvasti sidoksis-sa koulunkaynnin hyodylliseksi kokemiseen ja jatko-opintosuunnitelmiin. Vahan lehtia lukevat eivat koekoulunkayntia tulevaisuutensa kannalta hyodylliseksi.

Linnakyla ja Malin toteavat, etta ”koska PISAn koe-tehtavat eivat perustu kansallisiin opetussuunnitelmiinvaan niin koulussa kuin koulun ulkopuolellakin omak-suttuun tietoon, sanomalehtien ja muun joukkovies-tinnan valittama informaatio voi olla merkittava osate-kija koemenestyksessa. Esimerkiksi nuorten kasityksetilmastonlampenemisesta perustuvat suurelta osin leh-tien ja television valittamiin tietoihin (Nevanpaa 2005).Tama merkitseekin melkoista haastetta ja vastuuta tie-dotusvalineille oikean tiedon valittamisesta tulevaisuu-

den kannalta nainkin merkittavasta luonnontieteelli-sesta ilmiosta”.

Kolmen ensiksi mainitun tutkimuksen raportitovat tulostettavissa OECD:n PISA-verkkosivullawww.pisa.oecd.org. Viimeksi mainitun tutkimuk-sen raporttiin loytyy linkki mm. Sanomalehtien Liitonverkkosivulta www.sanomalehdet.fi.

Jyvaskylan yliopiston koulutuksen tutkimuslaitoksenPISA 2003 -tutkimuksen jatkoanalyysit eivat kovin hy-vin tue suomalaisten tiedotusvalineiden valittamaa ku-vaa ”koululaisistamme matematiikan huippuosaajina”.Professori Jouni Valijarvi ja FT Antero Malin toteavat(ks. mediatiedotteet ktl.jyu.fi, ”Heikoimmat oppi-laat nostivat Suomen karkeen PISAssa”), etta ”Suo-men PISA 2003 -huipputulos perustui erityisesti suo-malaisten heikoimpien ja keskitason oppilaiden erittainhyviin suorituksiin. Suomalaisoppilaiden heikoimmanneljanneksen keskiarvopistemaara oli selvasti parem-pi kuin minkaan muun maan vastaavan neljanneksen.Ero OECD:n heikoimman neljanneksen keskiarvoon oliSuomen hyvaksi matematiikassa 56, luonnontieteissaja ongelmanratkaisussa 61 ja lukutaidossa jopa 64 pis-tetta. Sen sijaan paras neljanneksemme oli paras ai-noastaan lukutaidossa”.

Matematiikassa kahdeksan maan parhaat menivat Suo-men parhaimmiston edelle (ks. kuva s. 5). Tulevaisuu-den haasteenamme on hyvan osaamisen vahvistami-nen varmistaen samaan aikaan, etta heikommin suo-riutuvat menestyvat vahintaan nyt saavutetulla tasol-la. Valijarvi ja Malin mainitsevat hyvin menestyvienoppilaiden osaamisen kehittamisen keinoina opetukseneriyttamisen opetusryhman sisalla seka lahjakkaidenrohkaisun, jotta he kehittavat ja hyodyntavat osaamis-taan seka koulussa etta sen ulkopuolella.

Mika Koskenoja

Toimitussihteerin palsta


Matematiikan opetusta kasitteleviapuheenvuoroja Pariisissa

Koonnut Marjatta Naatanen

Matematiikan kouluopetuksen muuttu-misesta

Keskustelussa Jean-Michel Bismut, eras akateemik-kojen manifestin (ks. Solmun erikoisnumero 1/2005–2006) kirjoittajista, kertoi omasta kouluajastaan n.50 vuotta sitten. Han sai opettajiltaan pyrkimyksentarkkuuteen ja alyllisen vapauden aatteen. Tarkkuuttaopetettiin erityisesti alkeisgeometrian todistuksilla, te-kemalla taydellisia loogisia paattelyita yksikertaisessatilanteessa. Eukleideen aksioomat todella esitettiin ak-sioomina. Ongelman ratkaisu tarkoitti tasmallisen, sel-kean, mahdollisimman elegantin todistuksen kirjoitta-mista. Bismut oppi, etta ratkaisusta voi kunnioittavas-ti vaitella opettajan kanssa ja ehdottaa muita ratkaisu-ja sailyttaen uskon omaan paattelykykyynsa. Oppikir-jat olivat yksinkertaisia, varittomia, mutta sisalloltaanasianmukaisia. Ymparoivaan maailmaan tutustuttiinsilloin myos tutkimalla yksinkertaisia laitteita, kutenradioita ja puhelimia.

Kielten ja kirjallisuuden opetus perustui monenlaisten,myos kovin vaikeiden tekstien lukemiselle. Han muis-taa valtavan ilonsa huomattuaan, etta romaanista tainaytelmasta voi vaitella samalla alyllisella tasolla, jos-kin eri termein kuin tieteen opiskelussa opittiin. Opis-keltiin myos englantia, latinaa, kreikkaa, historiaa, filo-sofiaa, fysiikkaa, biologiaa. Tarkoituksena oli kehittaa

tasapainoinen ja rikas persoonallisuus. Bismut oppi to-dennakoisyyslaskentaa lukemalla Pascalin kirjoituksen,jossa uskoa Jumalaan perustellaan peliteorian alkeilla.Samoin Pascalin kirjoitus geometrian hengesta ja hie-novaraisuuden tajusta antoi hanelle aiheen ajatella jon-kinasteista geometrian osaamistaan ja taydellista kyke-nemattomyyttaan jalkimmaisen suhteen. Kenellekaanei tullut mieleen kysya: Mita hyotya tasta kaikesta on?Koulun tarkoitus oli tehda moraalisesti ja alyllisesti ta-sapainoisia yksiloita. Bismut ei vaita, etta hanen saa-mansa koulutus olisi ihanteellinen, mutta se tarjosi val-tavia mahdollisuuksia kehittya yksilona.

Nykymaailma on erilainen. Nuoruus ei sinansa ole ko-vin toisenlaista kuin ennen, mutta heijastelee luonnol-lisesti ymparoivan yhteiskunnan kasityksia ja arvoja.Kysymys ”Miksi tama on hyodyllista?” on koko ajanlasna ja kaiken tiedon on perusteltava hyodyllisyytensa,jopa yhteiskunnan kannalta. Markkina-arvo nayttaaolevan kaiken lopullinen testi. Jossain jopa kerrotaan,etta koulutuksen tarkoitus on opettaa valitsemaankannykka tai mielikanavasi TV:ssa. Eras Euroopan val-tio on keskittanyt koulutuksensa tavoitteet: Internet,tietotekniikka, bisnes, joskus lisaten Wordin kayton jaarkienglannin hallinnan.

Tekniikan muutos tarjoaa jokaiselle merkittavia mah-dollisuuksia, mutta ikaankuin mustan laatikon muo-dossa.


Voidaanko matematiikkaa yha opettaa? Ranska pys-tyy yha tuottamaan ensiluokkaisia nuoria matemaa-tikkoja pitkallisen traditionsa ja opettajien ponniste-lujen avulla. Kuitenkin hyotynakokohtien vallitsemayleinen ilmapiiri tekee tehokkaan opetuksen mahdotto-maksi. Todistuksen idea hamartyy ja sekaantuu ”omi-naisuuteen”. Jos matematiikan merkitys on vain senhyodyllisyys tavallisen kansalaisen kannalta, niin semerkitsee matematiikan loppua tieteena. Matematiikanopetuksen tarkoituksiin kuuluu myos tarjota yksilollealyllisia virikkeita ja avata paasy alylliseen vapauteen.

Bismutin mielesta pitaisi ajatella esimerkiksi seuraa-via kysymyksia: Miten voi tuoda tietokoneet matema-tiikan opetukseen, ottaen huomioon laskinten massii-visen kayton aiheuttaman tuhon? Tama koskee myosyliopistoja. Mista loytaa hyvia matematiikan koulukir-joja tai hyvia verkko-osoitteita? Miten tehda pieniakokeita, joissa voisi kokeilla opetusmenetelmien muu-tosten vaikutuksia tai vertailla menetelmia? Miten se-littaa suurelle yleisolle ja muille tutkijoille, millainenrooli matematiikalla on heidan kaikissa tyovalineissaanja ymparistossaan?

Kansainvalinen matemaattinen unioni kirjoitti mate-matiikan opetuksen komissiolle ”Aikaisemmin oltiinhuolestuneita siita, etta tarpeeton formalismi peittiyksinkertaisimmatkin kasitteet. Nykyisin on huolena,etta todistuksen kasite on kadonnut joistain matema-tiikan kursseista ja etta peruskurssien sisaltoja on kar-sittu huomattavasti. Asiaa mutkistaa myos se, etta mo-nien maiden opetusviranomaiset ovat alkaneet kysella,eiko matemaattisten ohjelmistojen hallinta voisi korva-ta monia nykyisin vaadittuja matematiikan tietoja jataitoja.”

Uskon, etta matematiikan opetuksessa on kyse paljonenemmasta kuin oman alamme puolustuksesta. Tarkeaosa sisaista vapauttamme on kyseessa, taman koskiessaaivan samalla tavalla myos luonnontieteiden ja huma-nististen tieteiden opetusta.

Matematiikan opetus 20. vuosisadalla

Professori George Malaty kasitteli matematiikan ope-tusta 20:nnella vuosisadalla. Teknologian kehitys onsaanut monet uskomaan, etta matematiikan opetus-kulttuuri on jaanyt jalkeen teknologian kehittyessa jaetta nama tulisi kytkea yhteen. Professori Malaty oneri mielta. Matemaattisesti maailma ymparillamme eiole muuttunut, eika tule muuttumaan. Matematiikanopetus liittyy aina erilaisiin joukkoihin, muotoihin, lu-kuihin. Matematiikan kehitys perustuu deduktiivisenpaattelyn voiman keksimiseen ainakin 2600 vuotta sit-ten. Matematiikan opetuksessa euklidinen geometriaon ollut tarkein tyokalumme aina 1950-luvulle asti.

Oppisisaltouudistukset poistivat euklidisen geometriankouluista, painopistealueeksi tuli ongelmanratkaisu,

erityisesti jokapaivaiseen elamaan liittyva. Euklidisengeometrian pitaminen vanhanaikaisena nayttaa syyltatahan, mutta todellinen syy sen katoamiseen on ope-tustradition katkeaminen, ja sen seuraamus: sen ope-tuksen taitojen haviaminen.

Euklidista geometriaa tarvitaan muiden geometrioiden,kuten analyyttisen geometrian oppimiseen. Myos tri-gonometrian ja analyysin seka jopa aritmetiikan op-pimiseen se on tarpeellinen. Euklidinen geometria onerikoisasemassa ajattelutaidon kehittamisessa ja mo-net matemaatikot muistelevat lammolla sen opiske-lua 11–12-vuotiaasta alkaen. Einstein vihasi koulua,mutta euklidinen geometria teki hanesta tuntemam-me Einsteinin. Psykologian tutkimus vahvistaa, ettavain 30 % aikuisista on saavuttanut formaalin ajatte-lun tason. Piaget’n mukaan lopullinen vaihe ajattelunkehittymisessa tapahtuu noin 12–14- tai 15-vuotiaana.Saamansa kritiikin takia han kohotti ylarajaa 20 vuo-teen joidenkin ihmisten hitaamman kehityksen ta-kia. Alykkyysosamaaratestit on jo kauan ajoitettu 16-vuotiaisiin. Matematiikan historia osoittaa, etta mo-net suuret matemaatikot aloittivat luovan tyonsa 16-vuotiaana ja euklidinen geometria on ihanteellinenymparisto jokaisen ihmisen formaalin ajattelun ke-hittamiselle, mm. talle geometrialle on myos yksinker-tainen visuaalinen malli.

Nykyisin yritetaan Suomessa korostaa ongelmanratkai-sun ohella myos matematiikan struktuurin systemaat-tista opiskelua erityisesti yrittaen opettaa todistamistaeuklidisen geometrian avulla. Lapsia johdatellaan kek-simaan todistus tai jopa oma todistuksensa. Elegan-tin todistuksen tarjoaminen ei riita kehittamaan op-pilaiden ajattelua, vaan tarvittava prosessi on tarkea.Eriyttaminen on tallaisessa opetuksessa tarkea haas-te. Kaikkien, erityisesti 13–18-vuotiaiden, tulisi pystyaantamaan ainakin jokin todistus, joka ratkaisee jonkinhanen tasolleen sopivan ongelman.

Tietokoneiden kaytosta matematiikan opetuksessa onprofessori Malatyn mielesta muistettava, etta ne ovateras valine, mutta on monta muutakin valinetta, ku-ten taulu, kalvot – valinta on tehtava opetusryhmanmukaan. Jossain tilanteessa apuvalineet ja tyoskentelykasia kayttaen voisi olla paras valinta. Tietokoneeteivat pysty syrjayttamaan paperin ja kynan kayttoaongelmanratkaisussa. Koulut ja opettajat eivat tule ka-toamaan, silla koulutus on ihmisten valista toimintaa.

Tietokoneiden kaytto matematiikan opetuksessa onsiihen kohdistuvasta mielenkiinnosta huolimatta vielavahaista. Tahan on monia, myos kaytannon syita.Lasten deduktiivisen ajattelun kehittamisessa tieto-koneet eivat ole olleet menestys. Esimerkiksi Cabri-Geometrian luultiin motivoivan oppilaat todistustenetsimiseen, mutta kavi painvastoin. Cabri-Geometriaon vahva valine erilaisten tapausten tutkimiseen, mut-ta yleinen seuraus tasta oli, etta oppilaiden motivaa-tio todistusten etsimiseen havisi, koska tarkastelta-


vat suhteet nayttivat selvilta. Cabri-Geometrian kal-taiset ohjelmistot tarjoavat voimakkaan valineen in-duktiolle, pienessa ajassa oppilas voi tutkia kovin mo-nia tapauksia – mita ei voida tehda kynaa ja pa-peria kayttamalla. Tarkeita kysymyksia ovat: Mitentietokoneita voidaan tulevaisuudessa kayttaa paranta-maan matematiikan ymmartamista? Miten niilla voi-daan auttaa keksimista?

Pahin ongelma Suomen matematiikan opetuksessa ontuntimaarien vahyys, UNESCO:n tutkimus 1986 pal-jasti, etta viikkotuntien maara oli pienin koko Euroo-passa; vain 2,6, eika tilanne ole siita paljoa parantu-nut. On valittava, mita tassa vahassa ajassa pystytaantekemaan. Professori Malatyn mielesta deduktiivisenajattelun kehittaminen on tarkein paamaara.

Matematiikka tarjoaa mielihyvaa

Jean-Pierre Kahane kertoi matematiikan tarjoamastamielihyvasta. Hanen mielestaan matematiikan ilo onperin moninaista ja henkilokohtaista. Aiheesta voi pu-hua seka harrastelijana etta ammattilaisena. Han muis-teli ensimmaista matematiikkakokemustaan: isa ky-syi hanelta lyhinta etaisyytta kahden pisteen valilla(talosta toiselle) kulkien suoran (joen, joka ei ero-ta taloja) kautta. Kahane ei keksinyt vastausta, vaanisa antoi sen. Han ei muistanut enaa ikaansa, muttamuisti elavasti silloisen tunnereaktionsa. Matematiikkaheratti siis hanessa voimakkaan tunteen, joka saattaatietyssa tilanteessa olla myos hyvin tuottoisa.

Kahane arvioi, etta hanen intuitionsa, myos analyysinja kombinatoriikan suhteen, on ennen kaikkea geomet-rista. Sokeat matemaatiot kertovat myos, etta he kat-sovat ja yrittavat nahda; heidan sisaiset kuvansa ovatgeometrisia. Toisinaan Kahane antaa liikkeen kuljettaamielikuvitustaan, seuraa prosessin vivahteita tai laskunrullaamista. Han lisaa mielellaan liikkeen idean geomet-riseen intuitioon: Peanon kayra ilman liiketta on vaintasonpintaa. Kun kayra saa juosta pienissa erissa, saa-daan ihastuttava kuva turbulenssista.

Kahane on ollut seka tutkija etta opettaja. Hanestaammatti oli loistava seka matematiikan tutkimiseenetta sen opettamiseen. Matematiikka on kehittynyt val-tavasti hanen aikanaan. Han on nauttinut myos vanho-jen kirjoitusten lukemisesta.

Matematiikan historian paikka on ihmiskunnan his-toriassa. Kahane on lukenut Platonia (alkukielella),Eukleidesta, kiinalaisia kirjoituksia, Arkhimedesta,Gaussia, Laplace’n ja Fourier’n kirjoituksia. Naistahan on saanut innoitusta seka tutkimukseen etta ope-tukseen. Matematiikan tekee kulttuurin osaksi mieli-kuvitus, tarkkuus, kauneus, sen historiallinen merki-tys. Matematiikalla on ihmeellinen kestavyys, joka viit-taa ihmiskunnan ulkopuoliseen matemaattiseen todel-

lisuuteen: Eukleideen alkuluvut ovat edelleen alkulu-kujamme, Pythagoraan lause on aina yhta ihmeelli-nen. Niihin suhtautuminen kuitenkin muuttuu, fysiik-ka ja kryptografia muuttivat alkulukujen jakautumi-sen esoteerisesta asiasta kaikkia kiinnostavaksi, yhden-muotoisuus ja ortogonaaligeometria antaa keskeisen si-jan Pythagoraan lauseelle ja siihen liittyvalle, kutenBrownin liikkeelle. Matematiikan arvoa ei vahenna,etta se on ihmisen luomus. Voidaan ajatella katedraa-lin rakentamista tai harvinaisten kukkien kasvattamis-ta sen puutarhan nurkassa. Kahane tuntee itsensa pa-remminkin puutarhuriksi kuin katedraalin rakentajak-si. Han on osallistunut uusien avaruuksien teorioidenkehittamiseen, aluksi ne ovat tuntuneet oudoilta, sit-ten niihin on tutustuttu. Hanta johdattivat opetta-jien, tyotovereiden tai sattuman esittamat avoimet ky-symykset. Aina oli kehitettava tyokalut ja mielihyvatuli, kuten kaikissa ammateissa, siita, etta tyokauluttoimivat hyvin. Tiedetaan hyvin, ettei ole mielihyvaailman tuskaa. Karsimyksen aiheuttavat epaonnistuneetyritykset ja turha ponnistelu ennenkuin paastaan tu-loksiin, jotka lopulta tuottavat ilon. Vaikka muut saat-toivat toisinaan ratkaista hanen esittamansa ongelman,niin tamakin ilahdutti Kahanea.

Nykyisin matemaatikot ponnistelevat tehdakseen alan-sa tunnetuksi ja myos suuren yleison arvostamaksi. En-nemmin tai myohemmin median esteet murretaan. Ka-hanen kokemus on, etta vanhuudessa on matematiikas-ta paljon apua henkisten kykyjen sailyttamiselle. Mate-matiikan miettiminen, esimerkiksi kavellessa, yllapitaafyysistakin terveytta. Kahanen mielesta koulumatema-tiikka on opiskelua ja saantojen noudattamista. Setehdaan kuitenkin paremmin, jos matematiikka onhauskaa. Monet lapset nauttivat tavalla tai toisella ma-tematiikasta; matemaattisista peleista, kilpailuista, eri-laisista aktiviteeteista. Matematiikkalaboratoriot oli-sivat ehka keino yhdistaa hauska ja luova toimintaluokkahuoneessa tarpeelliseen maaratietoiseen ja hallit-tuun tyoskentelyyn. Jokaisen matemaatikon kokemuson, etta matematiikka on seka vaikeaa etta hauskaa.Myos epaonnistuminen voi luoda yrittamisen halua jaonnistumista. Kahane ei tieda, voiko tata soveltaa kaik-kiin lapsiin – ehka se onkin testi kyvysta harjoittaa ma-temaatikon ammattia.

Kiinnostuksen lisaaminen matematiik-kaa kohtaan

Keskusteluun osallistui myos Alexei Sossinsky Mosko-vasta. Han kertoi kahdesta tavasta lisata koululaistenkiinnostusta matematiikkaan. Ensimmainen on mate-matiikan tajoama alyllinen haaste, jota saadaan esi-merkiksi kilpailujen muodossa. Matematiikkakilpailu-ja Venajalla onkin paljon, seka paikallisella tasollaetta kansainvalisia. Toinen tapa on tutustuttaa oppi-laat matematiikan aiheuttamaan mielihyvaan koulu-


tuntien ulkopuolisella toiminnalla, jonka jarjestavat jo-ko matemaatikot tai korkeatasoiset opettajat. Kilpai-luja jarjestetaan myos matematiikan opettajille ja par-haat palkitaan.

Matematiikan osuus tietotekniikan opis-kelussa

Tietotekniikan professori Roberto Di Cosmo aloit-ti selvittamalla, miten olennaista yhteiskuntamme in-formaatioinfrastruktuurille on hyvien ohjelmoijien jasysteemi-insinoorien saaminen. Han jatkoi huomaut-tamalla, ettei ole yhta hyvin tiedossa, kuinka vaikeaatama on, vaikkakin aina silloin talloin jokin vakava oh-jelmointivirhe muistuttaa tasta suurta yleisoa. Tamanjalkeen han kertoi, miksi matematiikka on keskeinenosa tallaisten henkiloiden koulutuksessa.

Di Cosmo oli myos ehdottomasti sita mielta, etta tie-tokoneiden tuominen peruskouluun ja erikoistuneidenteknisten aineiden ottaminen opinto-ohjelmaan ilmanperusteiden opettamista on vaara lahestymistapa.

Di Cosmo kertoi myos omista koneellisen aanestamisenkokemuksistaan. Tietokonealan asiantuntijana hantavaivaavat kysymykset siita, miten hyva aanestystapatama on: Aanestaja painaa nappia tai jotain ruu-dun kohtaa, eika hanella ole mitaan mahdollisuut-ta tarkistaa, mita sen jalkeen tapahtuu. Onko ke-nellakaan mitaan tarkistusmahdollisuutta? Han oli ky-sellyt aanestysjonossa Pariisissa muiden mielipiteita jaoli jarkyttynyt siita, ettei kenellakaan ollut mitaan on-gelmaa pelkan napin painamisen hyvaksymisessa.

Matematiikan opetus tilastotieteilijannakokulmasta

Tilastotieteilija Jean-Pierre Raoult kasitteli matema-tiikan opetusta tilastotieteilijan nakokulmasta. Rans-kan traditio matematiikan opetuksessa on ollut hy-vin voimakas pyrkimys abstraktiin. Noin 25 vuot-ta sitten todettiin, etta pitaisi paasta eroon il-luusioista koskien lasten abstraktiokykyja. Valitetta-vasti ei kuitenkaan saatu aikaan yhtenaista ja tasa-painoista uutta kasitysta matematiikan perussisallostakoulua varten, vaan seurasi tiheita, matematiikalleepasuotuisia muutoksia seka oppisisalloissa etta kou-lutusjarjestelmassa. Raoult ehdottaa, etta satunnaisenkasite tulisi saada osaksi kaikkien kulttuuria. Matema-tiikan kauneutta voisi perustella sen universaaliudel-la, ehka tama viehattaisi nuoria. Oppisisalloissa voitai-siin tuoda esiin tata nakokohtaa ja tilastotiede voisiolla eras esimerkkiala. Tasta syysta tilastotiedetta tu-lisi opettaa nimenomaan matematiikan yhteydessa, eierikseen taloustieteessa, maantieteessa, tieteissa, jotkatekevat havaintoja, koska niissa ei tilastotieteesta tu-lisi yhtenaista kasitysta, vaikkakin yhteistyo eri ainei-den opettajien valilla olisi suositeltavaa. Teoreettinentilastotiede ei ole helppoa ja opettajien tulisi saada tu-kea esimerkiksi hyvien esimerkkien ja tutkimusaiheidenmuodossa, niita voisi kerata verkkosivuille.

Jean-Pierre Ferrier puolestaan oli eri mielta, vedotenAdrian Smithin tutkimukseen Englannissa han esitti,etta suuri osa tilastotieteen ja aineiston kasittelyn ope-tusta yli 14-vuotiaille voitaisiin siirtaa matematiikastamuihin aineisiin, kuten biologiaan ja maantieteeseen.Matematiikassa tulisi loytaa ydinsisallot, joiden parem-paan oppimiseen saastynyt aika tarvittaisiin.


Oppimaarien muutokset ja niidenvaikutukset matematiikan osaamiseenSuomessa

Olli MartioProfessoriMatematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin [email protected]

Koulujen matematiikan opetusohjelmat Suomessa ovatkokeneet muutoksia 8–10 vuoden valein. Viralliset op-pimaarat loytyvat Opetushallituksen arkistoista, mut-ta kokonaiskuvan saaminen muutoksista on vaike-aa. Syy tahan on, etta oppimaarat on kirjoitettuvarsin yleisin termein ja koulut voivat lisaksi vali-ta vapaasti oppikirjansa. Suomessa ei ole kaytossaoppikirjojen virallista hyvaksymisjarjestelmaa kutenuseissa muissa maissa. Systeemi perustuu markkina-talouden lakeihin, jotka nayttavat kuitenkin toimi-van tyydyttavasti. Siten matematiikan kouluopetuksenmuutosten ymmartaminen edellyttaa opetusohjelmienlisaksi oppikirjojen ja koulujen opetuskaytannon tunte-musta. Opettajien aineenhallinnassa tapahtuneet muu-tokset eivat myoskaan ole olleet merkityksettomia.

Ylioppilastutkinto on suomalaisen koulusysteeminpaatepysakki ja se tarjoaa mahdollisuuden koulutuksentehokkuuden arviointiin. Lukion suorittaneista mel-kein jokainen osallistuu ylioppilastutkintoon 18 vuodenikaisena. Matematiikan koe ylioppilastutkinnossa ei olepakollinen. Matematiikan tutkinto on sailynyt saman-kaltaisena yli sadan vuoden ajan. Oppilaat voivat valita

joko lyhyen tai pitkan matematiikan riippumatta siita,kumpaa oppimaaraa he ovat lukiossa opiskelleet. Lyhytmatematiikka on suositumpi kuin pitka matematiikka.Nykyisin molemmat kokeet kasittavat 15 kysymystakirjoitettuna kaksipuolisesti A4-arkille. Tehtavista ko-kelas valitsee enintaan kymmenen. Ratkaisemalla kak-si tehtavaa oikein, tai vahan vahemman, kokelas suo-rittaa kokeen hyvaksyttavasti. Kaytannossa kahdek-san tehtavan oikea suoritus riittaa korkeimpaan arvosa-naan. Arvosanoja on yhteensa seitseman. Arvosanojenprosenttiosuudet ovat vuosittain samat. Matematiikas-sa on kuitenkin perinteisesti suurempi hylkaysprosenttikuin muissa aineissa. Koska arvosanojen jakauma onkaytannossa muuttumaton vuodesta toiseen, ei mate-matiikan kokeen arvosanoja voida kayttaa matematii-kan osaamisen tason arviointiin. Matematiikan kokei-den tehtavat noudattavat virallisia oppisuunnitelmia.

Suomalaisen ylioppilastutkinnon rakennetta on kuvail-tu viitteessa [L] yksityiskohtaisesti.

Matematiikan oppisisallot ovat kokeneet useita muu-toksia 1970-luvulta lahtien. Ensimmainen niista tuli


”uuden matematiikan” mukana. Muutos heratti run-saasti keskustelua, mutta sen vaikutukset eivat ol-leet merkittavia. Seuraavilla oppisisaltoihin kohdistu-neilla muutoksilla oli huomattavasti suurempi merki-tys. Paamoottorina naissa oli matematiikan sovellustenkorostaminen – matematiikalla katsottiin olevan vainvalinearvo. Laskimien tulo opetukseen muutti myosopetuskaytantoja. Useissa Euroopan maissa kehitys olisamansuuntainen.

Suomessa oppisuunnitelmien muutokset johtivat seu-raavaan:

• Koulumatematiikka kehittyi kuvailevaan suuntaan –tarkat maaritelmat ja todistukset ohitettiin.

• Geometrian osuus supistui.

• Laskut suoritettiin laskimilla ja luvuilla. Algebral-listen kirjainlaskujen harjoittelu vaheni huomatta-vasti.

Matemaattisen koulutuksen sauma lukioon siir-ryttaessa on myos osoittautunut hankalaksi. Tata eiole pystytty riittavasti tasoittamaan oppimaaria uu-distettaessa. Kuvaava on syksyn ylioppilaskirjoitustenlyhyen matematiikan kysymys: Miksi kolmion kulmainsumma on 180 astetta? Kaytannossa kukaan kokeeseenosallistunut ei pystynyt tarjoamaan mitaan selitysta.Opettajat ovat tyytyneet opettamaan taman tosiasiansaksien ja paperin avulla.

L. Naveri [N] on askettain tutkinut matematiikanosaamistason muutoksia. Tutkimus perustuu kahteenidenttiseen testiin, jotka on tehty vuosina 1981/87ja 2003. Testin osallistujat kuuluivat ikaluokkaan15–16 (9. luokka); tama vastaa PISA-tutkimuksenikaluokkaa, silla koulunkaynti aloitetaan Suomessavuotta myohemmin kuin Euroopassa nykyisin on ta-vallista. Kumpaankin testiin osallistui yli 350 oppi-lasta. Testikysymykset oli tarkoitettu ratkaistaviksi il-man laskimia. Seuraavassa esitellaan joitakin tuloksiaL. Naverin tutkimuksesta.

Ensimmaisessa taulukossa on esitetty kertolaskua kos-kevia vaitteita ja niiden oikeiden vastausten prosent-tiosuuksia.

Kertolasku/vaite 1981 20035 · 5 · 5 · 5 = 54 95,2 % 90,1 %(−3)2 = 9 67,8 % 47,5 %18 · 4 · 32 · 15 = 15 · 32 · 4 · 18 93,2 % 85,9 %0,015 · 248 = 0,15 · 24,8 66,8 % 62,3 %0 · 8436 = 0 · 0,536 79,0 % 65,6 %

Oikeiden vastausten prosenttiosuuden pudotus oli suu-rin, noin 20 %, murtolukulaskuja koskevissa kysymyk-sissa.

Rationaaliluvut 1981 200326 + 17 = 98,5 % 89,8 %15· 23

= 56,4 % 36,9 %45· 5 = 66,3 % 44,4 %

16

:12

= 56,5 % 28,3 %15

: 3 = 49,2 % 27,5 %1278

2= 55,1 % 36,8 %

Alkeisalgebran osaaminen ei myoskaan antanut hyvaakuvaa nykyisesta osaaamistasosta. On ilmeista, ettatahan osioon oppisuunnitelmien muutoksilla on ollutvarsin suuri vaikutus.

Algebra 1981 2003103 · 102 = 72,5 % 43,3 %x4x5 = 71,7 % 47,3 %(592)3 = (593)2 61,1 % 31,7 %

Jos laskimet olisivat olleet sallittuja testissa, niin ai-nakin numerolaskut olisivat todennakoisesti antaneetparempia tuloksia vuonna 2003 kuin mita ylla olevistataulukoista ilmenee.

Vuoden 2003 tutkimuksessa kysyttiin lisaksi: Selita

omin sanoin, mita tarkoitetaan lausekkeella45· 5. Tu-

lokset olivat seuraavat:

Oikea selitys 6,5 %Melkein oikea selitys 5,4 %Tulos oikein, mutta selitys vaarin 8,8 %Tulos oikein, ei selitysta 31,5 %Tulos vaarin, ei selitysta 31,0 %Ei vastausta 16,8 %

Varsin harvoja luotettavia tutkimuksia on tehtyikaluokkien 7–15 oppilaiden matematiikan osaamisessatapahtuneista muutoksista 10–30 vuoden aikaskaalas-sa. Taman takia on vaikeaa eristaa tekijoita, jotka joh-tuvat oppisisaltojen muutoksista. L. Naverin tutkimuskuitenkin osoittaa, etta oppimaarien muutoksilla on ol-lut tietyilla osaamisalueilla varsin suuria vaikutuksia.Suomen ja muiden maiden oppimaarien, oppikirjojenja osaamistason vertailu antaisi varmasti lisavalaistustaasiaan.

Viitteet

[L] Lahtinen, A., The Finnish Matriculation Examina-tion in Mathematics. In: Nordic Presentations (eds.E. Pehkonen, G. Brandell & C. Winsløw), 2005, 64–68. University of Helsinki. Department of AppliedSciences of Education. Research Report 262.

[N] Naveri, L., Lasketun ymmartaminen, Dimensio3/2005, 49–52.


PISA:n kattavuus matematiikanoppisisalloista Ranskassa

Koonnut Marjatta NaatanenTaulukon kaannos Jouni Luukkainen

Antoine Bodin (IREM de Franche-Comte) on tutkinut,mita PISA mittaa. Hanen taulukoistaan nakyy ma-tematiikan oppisisallot Ranskassa luokilla 6–9. Taulu-koihin on merkitty lihavoidulla tekstilla ne osat oppi-sisalloista, jotka esiintyivat toisaalta PISA:n, toisaal-

ta v. 2005 Etela-Ranskan matematiikkakokeen kysy-myksissa. Bodin laski myos, kuinka suuren osan op-pisisalloista lihavoidut kohdat kattoivat. Tulos oli, ettaPISA:n matematiikan kysymykset kattoivat n.15 % oppisisalloista, Etela-Ranskan koe n. 35 %.

Vuosiluokittaiset matematiikan tutkintovaatimukset peruskoulun ylaluokilla RanskassaLihavoitu kirjasin: PISA-tutkimuksen matematiikan kysymysten koskettamat aihepiirit

Luokka 6 Luokka 7 Luokka 8 Luokka 9Ympyra. Kolmiot, Suunnikas. Kolmio: Saannolliset moni-

Muodot, erityiset kolmiot. Kolmioiden konst- kahta sivua kulmiot. Thaleenkonstruktiot Suorakulmio, ruktio (geometriset koskevat lauseet. lause ja senja vinonelio. valineet ja/tai Kolmiot, jotka maa- kaanteislause.muunnokset. Kuvioiden muunta- ohjelmistot). raytyvat kahden yh- Kuvioiden muunta-

minen peilauksella Kolmion keski- densuuntaisen suoran minen kierrolla;suoran suhteen. normaalien leikkaus. leikatessa kahta toi- keskusprojektioidenSuorakulmainen Kuvioiden muunta- siaan leikkaavaa suo- ja siirtojensuuntaissarmio. minen peilauksella raa: pituuksien suh- yhdistaminen.

pisteen suhteen. teet. Kolmion erityi- Vektorit, kahdenSuorat sarmiot, set suorat ja niiden vektorin summa.pyorahdyslieriot. leikkaaminen. Suora- Pallo.

kulmainen kolmio ja Kappaleidensen ymparipiirretty tasoleikkaukset.ympyra. Kuvioidenmuuntaminen siir-rolla. Pyramidit,pyorahdyskartio.


Luokka 6 Luokka 7 Luokka 8 Luokka 9Lukusuoran posi- Paikannus luku- Verrannollisuuden Lineaarisen tai

Paikka, tiiviset pisteet. suoralla, kahden graafinen esitys. affiinin funktionetaisyydet Kokonaislukujen pisteen etaisyys. Pythagoraan lause graafinen esitys.ja paikannus Paikannus tasossa ja sen kaanteis- Janan keskipisteenkulmat. lukusuoralla (koordinaatit). lause. Pisteen koordinaatit. Vek-

ja tasossa Kolmioepayhtalo. etaisyys suorasta. torin koordinaatit.(koordinaatit). Ympyran tangentti. Kahden pisteen

Teravan kulman etaisyys. Trigono-kosini. metria suorakul-

maisessa kolmiossa.Suorakulmion Kolmion kulmien Tavanomaiset Sekaluvut.

Suuruudet piiri ja ala, summa. Suunnik- murtoluvut. Pallon ala,ja suorakulmaisen kaan, kolmion, kie- Pyramidin kuulan tilavuus.mitat. kolmion ala. kon ala. Ajan tilavuus,

Ympyran piirin mittaaminen. pyorahdyskartionpituus. Suorakulmai- Suoran sarmion vaipan alasen suuntaissarmion ja pyorahdyslierion ja tilavuus.tilavuus kuutio- vaipan ala jajaosta lahtemalla. tilavuus.Desimaaliesitys ja Perakkaiset laskut, Laskutoimitukset Juuria sisaltavien

Luvut laskutoimitukset laskutoimitusten +, −, ·, : luvuille, lausekkeiden ka-ja +, −, ·. Kokonais- jarjestys. Murto- jotka on annettu sittely. Supistetutnumee- luvulla jakaminen: lukujen tulo. desimaaliesityksena murtoluvut. Yksin-rinen osamaara ja jako- Murtolukujen, tai (ei valttamatta kertaisia tietokone-laskenta. jaannos euklidisessa joiden nimittajat supistettuina) mur- esimerkkeja algo-

jaossa, likimaarai- ovat samat tai tolukuina. Kokonais- ritmeista janen jakolasku. kerrannaiset, ver- lukupotenssit. Lu- numeerisistaKatkaisu ja pyoristys. tailu, summa ja kujen tieteellinen sovelluksista.Kahden kokonaislu- erotus. Desimaali- esitys. Laskimenvun osamaaran esitys lukujen vertailu, neliojuuri- jamurtolausekkeena; summa ja erotus. kosininappaimet;yksinkertaistaminen. kaanteisluvut.Numeeristen Yhtalot k(a + b) = Lausekkeiden kehit- Tekijoihinjako (iden-

Symbo- arvojen sijoit- ka + kb ja k(a− b) taminen. Yhteen- titeetteja). Ensim-linen taminen kir- = ka− kb. Yhta- tai kertolaskun vai- maisen asteenlaskenta. jainten paikalle tai erisuuruuden kutus jarjestykseen. yhtaloihin palau-

kaavoissa. tutkiminen sijoitet- Yhden tuntemat- tuvat ongelmat.taessa numeerisia toman ensim- Epayhtalot. Kahdenarvoja yhteen tai maisen asteen tuntemattoman kah-useaan muuttujaan. yhtalo. den ensimmaisen as-

teen yhtalon ryhma.Korkoprosentin so- Tasainen liike. Keskinopeus. Kutistamisen ja ve-

Numee- velluksia. Pituuden Prosenttilasku Prosentteihin liit- nyttamisen vaikutusriset ja alan yksikoiden ja frekvenssit. tyvia laskuja. aloihin ja tilavuuk-funktiot. muunnokset. Enem- Ajan ja tilavuu- Tavalliset siin: yleinen tutki-

man tai vahem- den yksikoiden yksikko- mus. Yhdistettyjenman tarkeiden muunnokset. muunnokset. suureiden yksikoidenverrannollisuutta Verrannollisuus- Verrannollisuuden muunnosten ongel-koskevien esimerk- kertoimet. sovelluksia. mia. Lineaariset jakien tutkiminen. affiinit funktiot.Taulukoiden ja Luokat, tilastol- Kumuloituneet Tilastollisten

Aineiston graafisten esitys- lisen jakauman vaikutukset. Kumu- sarjojenesitys ten lukemiseen lukumaaraosuudet. loituneet frekvens- vertailunja ja laatimiseen Frekvenssit. sit. Keskiarvo. Tau- alkeita.jarjes- johtavia esi- Pylvasdiagram- lukointi- ja piirros-taminen. merkkeja. mit, kiekko- ohjelmistojen kayt-

diagrammit. toon perehtyminen.


Vuosiluokittaiset matematiikan tutkintovaatimukset peruskoulun ylaluokilla RanskassaLihavoitu kirjasin: Tavallisen 9. luokan matematiikan loppukokeen koskettamat aihepiirit

(Paattokoe 2005 – Etela-Ranska)Luokka 6 Luokka 7 Luokka 8 Luokka 9Ympyra. Kolmiot, Suunnikas. Kolmio: Saannolliset moni-

Muodot, erityiset kolmiot. Kolmioiden konst- kahta sivua kulmiot. Thaleenkonstruktiot Suorakulmio, ruktio (geometri- koskevat lauseet. lause ja senja vinonelio. set valineet ja/tai Kolmiot, jotka kaanteislause.muunnokset. Kuvioiden muunta- ohjelmistot). maaraytyvat kah- Kuvioiden muunta-

minen peilauksella Kolmion keski- den yhdensuun- minen kierrolla;suoran suhteen. normaalien leikkaus. taisen suoran lei- keskusprojektioidenSuorakulmainen Kuvioiden muunta- katessa kahta toi- ja siirtojensuuntaissarmio. minen peilauksella siaan leikkaavaa yhdistaminen.

pisteen suhteen. suoraa: pituuksien Vektorit, kahdenSuorat sarmiot, suhteet. Kolmion vektorin summa.pyorahdyslieriot. erityiset suorat ja Pallo.

niiden leikkaaminen. KappaleidenSuorakulmainen kol- tasoleikkaukset.mio ja sen ympari-piirretty ympyra. Ku-vioiden muuntaminensiirrolla. Pyramidit,pyorahdyskartio.

Lukusuoran posi- Paikannus luku- Verrannollisuuden Lineaarisen taiPaikka, tiiviset pisteet. suoralla, kahden graafinen esitys. affiinin funktionetaisyydet Kokonaislukujen pisteen etaisyys. Pythagoraan lause graafinen esitys.ja paikannus Paikannus tasossa ja sen kaanteis- Janan keskipisteenkulmat. lukusuoralla (koordinaatit). lause. Pisteen koordinaatit. Vek-

ja tasossa Kolmioepayhtalo. etaisyys suorasta. torin koordinaatit.(koordinaatit). Ympyran tangentti. Kahden pisteen

Teravan kulman etaisyys. Trigono-kosini. metria suorakul-

maisessa kolmi-ossa.

Suorakulmion Kolmion kulmien Tavanomaiset Sekaluvut.Suuruudet piiri ja ala, suo- summa. Suunnik- murtoluvut. Pallon ala,ja rakulmaisen kol- kaan, kolmion, kie- Pyramidin kuulan tilavuus.mitat. mion ala. Ympy- kon ala. Ajan tilavuus,

ran piirin pituus. mittaaminen. pyorahdyskartionSuorakulmaisen Suoran sarmion vaipan alasuuntaissarmion ja pyorahdyslierion ja tilavuus.tilavuus kuutio- vaipan ala jajaosta lahtemalla. tilavuus.Desimaaliesitys Perakkaiset las- Laskutoimitukset Juuria sisalta-

Luvut ja laskutoimi- kut, laskutoimi- +, −, ·, : luvuille, vien lausekkei-ja tukset +, −, ·. tusten jarjestys. jotka on annettu den kasittely.numee- Kokonaisluvulla Murtolukujen desimaaliesityksena Supistetut mur-rinen jakaminen: osamaa- tulo. Murto- tai (ei valttamatta toluvut. Yksin-laskenta. ra ja jakojaannos lukujen, joiden supistettuina) mur- kertaisia tieto-

euklidisessa jaossa, nimittajat ovat tolukuina. Koko- kone-esimerkkejalikimaarainen samat tai ker- naislukupotenssit. algoritmeista jajakolasku. Katkaisu rannaiset, ver- Lukujen tieteel- numeerisistaja pyoristys. Kah- tailu, summa ja linen esitys. sovelluksista.den kokonaislu- erotus. Desi- Laskimenvun osamaaran maalilukujen neliojuuri- jaesitys murtolau- vertailu, summa kosininappaimet;sekkeena; yksin- ja erotus. kaanteisluvut.kertaistaminen.


Luokka 6 Luokka 7 Luokka 8 Luokka 9Numeeristen Yhtalot k(a + b) = Lausekkeiden Tekijoihinjako (iden-

Symbo- arvojen sijoit- ka + kb ja k(a− b) kehittaminen. titeetteja). Ensim-linen taminen kir- = ka− kb. Yhta- Yhteen- tai kerto- maisen asteenlaskenta. jainten paikalle tai erisuuruuden laskun vaikutus yhtaloihin palau-

kaavoissa. tutkiminen sijoitet- jarjestykseen. tuvat ongelmat.taessa numeerisia Yhden tuntemat- Epayhtalot. Kahdenarvoja yhteen tai toman ensim- tuntemattoman kah-useaan muuttujaan. maisen asteen den ensimmaisen as-

yhtalo. teen yhtalon ryhma.Korkoprosentin so- Tasainen liike. Keskinopeus. Kutistamisen ja

Numee- velluksia. Pituu- Prosenttilasku Prosentteihin liit- venyttamisen vai-riset den ja alan yksi- ja frekvenssit. tyvia laskuja. kutus aloihinfunktiot. koiden muun- Ajan ja tilavuu- Tavalliset ja tilavuuksiin:

nokset. Enem- den yksikoiden yksikko- yleinen tutkimus.man tai vahem- muunnokset. muunnokset. Yhdistettyjen suurei-man tarkeiden Verrannollisuus- Verrannollisuuden den yksikoiden muun-verrannollisuutta kertoimet. sovelluksia. nosten ongelmia.koskevien esi- Lineaariset jamerkkien tutki- affiinit funktiot.minen.Taulukoiden ja Luokat, tilastol- Kumuloituneet Tilastollisten

Aineiston graafisten esitys- lisen jakauman vaikutukset. sarjojenesitys ten lukemiseen lukumaara- Kumuloituneet frek- vertailunja ja laatimiseen osuudet. Frek- venssit. Keskiarvo. alkeita.jarjes- johtavia esi- venssit. Pylvas- Taulukointi- jataminen. merkkeja. diagrammit, piirrosohjelmis-

kiekkodiagrammit. tojen kayttoonperehtyminen.


Matematiikkaa tietoliikenneinsinooreilleammattikorkeakouluissa – tavoitteita jahaasteita Suomessa

Pertti ToivonenYliopettajaHelsingin ammattikorkeakoulu [email protected]

Insinoorikoulutuksen laajuus Suomessa

Suomessa on asetettu tavoitteeksi kouluttaa varsin suu-ri osa ikaluokasta insinooreiksi:

• Ikaluokan koko on noin 64 000.

• Vuosittain noin 12 000 opiskelijaa aloittaa in-sinooriopinnot:

a) 4 000 opiskelijaa yliopistoissa,b) 8 000 opiskelijaa ammattikorkeakouluissa.

• Ammattikorkeakouluissa opiskelevista noin 2 000aloittaa opintonsa tietotekniikan koulutusohjelmis-sa ja heista 25% – 30% valitsee tietoliikenneteknii-kan suuntautumisvaihtoehdon.

Pieni tutkielma matematiikan opetuksentavoitteista

Insinoorit soveltavat matematiikkaa monipuolisesti.Matematiikan opetuksen tavoitteena on vastata teknii-

kan parissa tyoskentelevien tarpeisiin.

Tietoliikenneinsinoorille yksi peruskasite on signaa-lin spektri – amplitudi- ja vaihespektri. Puhe sig-naalin harmonisista komponenteista tai ”signaalinsisaltamista taajuuksista” on tietoliikenneinsinoorinarkipaivaa. Insinoorit analysoivat, suodattavat jamuokkaavat monenlaisia signaaleja. Minkalaisia mate-maattisia valmiuksia he siihen tarvitsevat?

Olkoon fT (ei liian monimutkainen) jaksollinen signaa-li, jonka jakso on T . Tiedetaan, etta jokaisessa pisteessat, missa fT on jatkuva, on

fT (t) =∞∑

k=−∞ck eikωt

= c0 +∞∑

k=1

2|ck| cos(kωt + ϕk) ,

missa

ck =1T

T∫

0

fT (t)e−ikωt dt ja ϕk = arg ck


ja missa on merkitty ω =2π

T.

Jos f on jaksoton, tunnetun rajaprosessin avullapaadytaan f :n integraaliesitykseen

f(t) =12π

∞∫

−∞F (ω) eiωt dω ,

missa

F (ω) =

∞∫

−∞f(t)e−iωt dt

on f(t):n Fourier-muunnos.

Pelkka silmays ylla oleviin lausekkeisiin paljastaa, ettajos haluaa ymmartaa jaksollisen signaalin amplitudis-pektrin

{. . . , |c−1|, |c0|, |c1|, |c2|, . . . }ja vaihespektrin

{. . . , arg(c−1), arg(c0), arg(c1), arg(c2), . . . }sisaltaman informaation tai jos haluaa ymmartaa jat-kuvan spektrin F (ω) sisaltaman informaation, on opis-keltava aika tavalla matematiikkaa. Ei ehka ole tar-peen tutustua kaikkiin matemaattisesti syvallisimpiintodistuksiin, mutta kaytettyjen kasitteiden ja ideoidenymmartaminen on kuitenkin valttamatonta.

Edella oleva on vain yksi esimerkki, joka kuvaa tekniik-kaan laheisesti kytkeytyvan matematiikan laajuutta.Esimerkki paljastaa heti, etta tietoliikenneinsinoorinmatematiikan opintojen aihepiirien on sisallettava ai-nakin kompleksiluvut ja vankka annos reaalimuuttujanfunktioiden differentiaali- ja integraalilaskentaa.

Kun analysoidaan tietoliikenneinsinoorin tarvitsemiamatemaattisia kasitteita ja menetelmia, havaitaan,etta vektorit, differentiaaliyhtalot, usean muuttu-jan funktioiden analyysi, kompleksifunktiot, Four-ier-, Laplace- ja z-muunnokset, matriisilaskenta, to-dennakoisyyslaskenta, tilastomatematiikka ja eraat dis-kreetin matematiikan osa-alueet ovat myos aihepii-reja, joiden tulee sisaltya – ainakin jossain laajuudessa– tietoliikenneinsinoorin matematiikan opintoihin. In-sinoorin matematiikan opintojen tavoitteet ovat vaati-vat.

Haasteita

Niin ylioppilas- kuin ammattioppilaitospohjalta opin-tonsa aloittavalla on pitka tie edessaan ennen kuinhanella on minkaanlaista mahdollisuutta ymmartaaesimerkiksi signaalin spektrin kasite. Monille opinton-sa aloittaville haaste saattaa nykyisin olla liian vaati-va, koska ammattikorkeakouluissa tekniikan ja liiken-teen alalla noin puolet keskeyttavat opintonsa. Tek-niikan opintoihin sisaltyvat, luonteeltaan matemaatti-set opinnot ovat yksi merkittava tekija keskeyttamisten

taustalla. Matematiikan opintojen lisaksi tallaisia ovatmyos kaikki matematiikkaa soveltavien ammattiainei-den opinnot.

Ensimmaisen vuosikurssin opiskelijoissa on paljon sel-laisia, joilla on suuria vaikeuksia aivan alkeellisessamatematiikassa. Esimerkiksi yksinkertaisten algebral-listen lausekkeiden kasittely nayttaa olevan vaikeaa. Eimyoskaan ole harvinaista, etta ensimmaisen vuosikurs-sin (ylioppilas)opiskelija lukee lausekkeen sin x ”sin ker-taa x”. Toisin sanoen opiskelija luulee ko. lausekettakertolaskuksi.

Tallaiset vaikeudet kielivat melko syvallisista ongelmis-ta. Kysymys ei ole siita, etta koulussa on joitakin yksi-tyiskohtia jaanyt oppimatta. Ongelmat perustuvat sii-hen, etta liian monella on kovin vahan tai ei ollen-kaan kokemusta matematiikasta ajatusrakennelmana,jossa ymmarrettavalla paattelylla on keskeinen asema.Insinooriopinnoissa tama on kohtalokasta, koska opin-tojen tavoitteita on mahdotonta saavuttaa yrittamallaopiskella ulkoa mystillisia merkintoja, saantoja jne.

Matematiikka on myos kieli. Tama nakokulma nayttaaolevan taysin tuntematon ammattikorkeakouluissa in-sinooriopintonsa aloittaville.

Monille on hyvin vaikeaa tarttua opintoihin mie-lekkaalla ja tuloksia tuottavalla tavalla. Samoin opetta-jille asetelma on haasteellinen. Joskus opettaja tuntee,etta hanella ja opiskelijalla ei matematiikan ongelmissaole lainkaan yhteista kielta.

PISA-tutkimuksen nostattamia kysy-myksia

Suomalaisten menestyminen matematiikan PISA-tutkimuksessa ilmaistaan usein julkisuudessa toteamal-la, etta Suomen koululaiset ovat hyvia matematiikassa.

PISA-tutkimus toki osoittaa, etta koulussa on opittujoitakin arvokkaita taitoja. Talla on varmasti positii-vinen vaikutus yhteiskuntaamme. Ammattikorkeakou-lun matematiikan opettajan nakokulmasta tilanne eikuitenkaan ole niin valoisa kuin saattaisi luulla. Edellakuvatut vaikeudet ovat todellisia ja vakavia.

Peruskoululla on kaksi tavoitetta: antaa evaat jo-kapaivaiseen elamaan ja toisaalta luoda riittavat val-miudet jatko-opinnoille. PISA-tutkimus keskittyy ta-voitteista ensin mainittuun. Eiko julkisessa keskuste-lussa pitaisi sanoa, etta PISA-tutkimus mittaa ”ky-kya selviytya arkipaivan tilanteista, joihin liittyy mate-maattisia nakokulmia” eika sanoa sen mittaavan ”ma-tematiikan osaamista”?

PISA-tutkimuksen kysymyksiin vastaaminen edel-lyttaa jossain maarin paattelytaitoja. Kykya mate-maattiseen paattelyyn tehtavat eivat kuitenkaan juu-


rikaan mittaa. (Tassa en tarkoita formaaleja mate-maattisia todistuksia, vaan matematiikan kasitteiden,tulosten ja ideoiden keskinaisia suhteita jasentavaapaattelya, jossa tullaan toimeen tavallisella talonpoi-kaisjarjella.)

Jos hyvaksytaan, etta peruskoulun yksi tavoite on an-taa opiskelijoille riittavat jatko-opintovalmiudet, ei ole

itsestaan selvaa minkalaista opetusta peruskoulussaolisi annettava. Olisiko realistista odottaa, etta mate-matiikan opiskelu peruskoulussa antaisi kuvan mate-matiikasta ajatusrakennelmana, jossa ymmarrettavallapaattelylla on keskeinen asema? Ja olisiko realistis-ta odottaa, etta matematiikan opiskelu peruskoulussaopastaisi ymmartamaan, etta matematiikka on myoskieli?

Matematiikkakerhotoimintaa

George Malaty esittelee artikkelissaan (s. 23) Joensuunmatematiikkakerhotoimintaa.

Oulussa alkoi Alli Huovisen aloitteesta koulutuutoroin-ti vuonna 1997. Lukiotuutoroinnin rinnalle on syntynytperuskoulun ja lukion yhdistavia niveltamiskurssejaseka Apua abeille ajoissa -kursseja. Alli Huovinen eh-dotti matematiikkakerhojen pitoa Oulun kaupunginopetusvirastolle kevaalla 2002. Syksylla ryhma Oulunyliopiston matemaattisten tieteiden laitoksen opiskeli-joita aloitti Huovisen johdolla yhteistyossa kahdeksanoululaisen luokkia 0–6 opettavan peruskoulun kanssakerhot. Sittemmin toimintaan on tullut lisaa koulujaja ohjaajia. Kesalla 2003 suosittujen matikkakerhojenpohjalta sama tyoryhma toteutti Matikkaraketti-leirejaneljalla Oulun koululla, viime kesana leireja oli jo mon-ta kymmenta.

Suuren suosion saaneet matematiikkakerhot saivat syk-sylla 2003 uuden tulokkaan, kun kerhoa alettiin oh-jata videoneuvotteluna Vaalaan. Siihen kuuluu olen-naisena osana tietotekninen puoli, jonka toteutukses-ta vastaa opettaja Vaalassa. Tarkoitus olisi huomata,etta matematiikka on paljon muutakin kuin laskemis-ta. Koska tallaista toimintaa ei voi olla kaikilla kouluillaeivatka kaikki lapsetkaan loyda matematiikkakerhoja,myos matematiikan tuntien monipuolisuus on tarkeaa.Kerhoissa kaytetaankin useita ideoita, joita voitaisiinkayttaa perusopetuksessa kaikilla luokka-asteilla, lu-kioissakin. Matematiikkakerhoissa suunnittelun ja ope-tuksen paavastuu oli alusta alkaen matematiikan opis-kelijoilla.

Turun matematiikkakerhotoiminta syntyi Oulun esi-merkin innoittamana v. 2004 Matti Vuorisen aloittees-ta. Tavoitteena on elavoittaa matematiikkaa ja tar-jota uusia virikkeita matematiikan maailmaan. Tu-run kerhon nimi on Origo ja silla on www-sivuwww.math.utu.fi/origo/. Kerhoaiheita loytyy osoit-teesta www.math.utu.fi/origo/testi.html.

Helsingin yliopistossa LUMA-keskuksen matema-tiikan kouluyhteistyo on kasittanyt matematiik-kapaivien jarjestamista, koululaisvierailuja, opetta-jien koulutusta, matematiikkakerhoja, matematiikankesaleireja, erilaisiin tapahtumiin osallistumista ja toi-minnallisen matematiikan kehittamista; Saara Leh-to on LUMA-keskuksen matematiikan kouluyhteis-tyohenkilo, Juha Oikkonen toimii neuvonantajana.Syksylla 2005 perustettiin Summamutikkakeskus, jokaon matematiikan opetuksen resurssikeskus. Keskuk-sen kirjasto sijaitsee Kumpulan kampuksella (Exac-tum, huone D347), ideavaraston verkko-osoite onwww.helsinki.fi/summamutikka. Keskeisessa osas-sa matematiikan LUMA-toiminnan toteutuksessa ovatlaitoksen opiskelijat. He toimivat ohjaajina ja saavattyostaan joko palkkaa tai opintosuorituksia.

Marjatta Naatanen on LUMA-keskuksen toimintan-sa lisaksi jarjestanyt Maunulan matematiikkalukiossamatematiikkaviikonloppuja vuodesta 2004. Osallistujiaon ollut useista paakaupunkiseudun koulusta. Unka-rin kesaleirille on osallistunut suomalaisryhma jo usei-ta vuosia. Matematiikkalehti Solmua on julkaistu kym-menkunta vuotta.

Marjatta Naatanen


Tietokoneet ja matematiikan opetus:Eraan PISA-aineiston pohjalta tehdyntutkimuksen tuloksia

Marjatta NaatanenDosenttiMatematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto

Selvyyden vuoksi: Tassa kirjoituksessa kerron eraantutkimuksen tuloksista, enka ota henkilokohtaisestikantaa siihen, vaikuttaako – ja milla tavalla – tieto-koneiden kayttomahdollisuus matematiikan oppimistu-loksiin.

Nykykoululaiset kohtaavat tietokoneita seka koulussaetta kotona. Hallitukset esittavat melkein maailman-laajuisesti ohjelmia koulujen varustamisesta tietoko-neilla ja internetyhteyksilla.

Tietokoneiden vaikutusta oppimistuloksiin ovat hiljat-tain tutkineet Thomas Fuchs ja Ludger Woessmann(Munchen, Saksa). Heidan tutkimuksensa analysoi, vai-kuttaako tietokoneiden kayttomahdollisuus ja kayttooppimistuloksin. Kaytetty aineisto on PISA 2000 -aineistoa, joten se on kyselyaineistoa, ei kokeellista (toi-sin sanoen aineisto ei perustu satunnaisesti valittuunkoeryhmaan ja kontrolliryhmaan).

Ensiksikin: Korrelaatioanalyysi, jossa kaytetaanvain kahta muuttujaa on erittain harhaanjohta-va tutkittaessa mahdollista yhteytta tietokoneidenja oppilaiden oppimistulosten valilla. Tietokoneidenkayttomahdollisuus kotona korreloi voimakkaasti mui-

den perheen taustaominaisuuksien kanssa (perheentaustatekijat – taloudelliset, sosiaaliset ja koulutuksel-liset ominaisuudet, kuten vanhempien koulutus, tyo,mahdollinen maahanmuuttaja-asema). Tietokoneidenkayttomahdollisuus koulussa taas korreloi voimakkas-ti muiden positiivisten koulun ominaisuuksien kanssa(kaytettavissa olevat varat, sosio-ekonomiset ominai-suudet).

Fuchs ja Woessmann huomauttavat, etta tasta huo-limatta kahden muuttujan korrelaatioon vedotaanusein, nain tekee jopa OECD (2001, s. 118).OECD esittaa samojen PISA-aineistojen perusteel-la, etta on tilastollisesti merkittava positiivinen kor-relaatio koululaisten oppimistulosten ja tietokonei-den kayttomahdollisuuden valilla. Kuitenkin Fuchs jaWoessmann nayttavat, etta jos perhetausta ja koulunominaisuudet kontrolloidaan, kodin tietokoneiden vai-kutus tulee negatiiviseksi ja koulutietokoneiden merki-tyksettomaksi. Tutkijat esittavat, etta monimuuttuja-analyysi osoittaa, kuinka huoleton kahden muuttu-jan korrelaation kaytto voi johtaa virheellisiin joh-topaatoksiin.

Toiseksi Fuchs ja Woessmann vaittavat, etta tieto-


koneiden ja oppilaiden oppimistulosten suhde riip-puu suuresti koneiden kayttotavasta – pelkka koneidenkayttomahdollisuus on liian suppea kasite

Kotikaytto: Tietokoneiden kayttomahdollisuus voi joh-dattaa oppilaan muihin puuhiin kuin opiskeluun – luul-tavasti talloin konetta kaytetaan lahinna tietokone-peleihin. Vain koneen konstruktiivisella kaytolla (ku-ten sahkoposti, tiedonhaku verkosta, opiskeluohjelmienkaytto) voidaan edellamainittu negatiivinen vaikutusainakin osittain kompensoida.

Koulukaytto: Matematiikan oppimistulosten ja tieto-koneiden seka internetin koulukayton valinen riippu-vuus on ylosalaisen U:n muotoinen. Koululaiset, jotkaeivat kayta koskaan konetta koulussa osoittavat huo-nompaa suoritustasoa kuin oppilaat, jotka kayttavatjoskus tietokonetta tai internetia koulussa. Oppilaat,jotka kayttavat niita useita kertoja viikossa suoriutu-vat heikommin. Fuchs and Woessmann antavat kaksimahdollista selitysta:

– Opettajat voivat valttaa tietokoneiden kayttoa huo-nosti menestyvien oppilaiden kanssa, ja tietokoneidenkaytto on saattanut myos alentaa oppilaiden suoritus-tasoa. Konetta kayttava opetus on voinut korvat mui-ta, tehokkaampia opetusmuotoja. Samanlaisia tuloksiasaivat myos Angrist ja Lavy 2002.

Fuchs ja Woessmann esittavat, etta kenties on olemas-sa optimaalinen tietokoneen ja internetin koulukaytontaso, se on selvasti alle useita kertoja viikossa.

Tietokoneen kayttomahdollisuus kotona ja koulussa ke-hittaa jokseenkin varmasti joitain koneenkayttotaitoja.Fuchsin ja Woessmannin tulokset viittaavat siihen, ettatama saattaa tapahtua muiden taitojen – kuten mate-matiikan ja kirjoittamisen – kustannuksella. Tutkijatesittavat seuraavia hypoteeseja:

Tietokoneita kaytetaan usein kotona pelkastaan leikki-kalujen tapaan. Myos internet tarjoaa viihdetta chat-tien ja pelien muodossa, vahentaen nain kotitehtaviinja opiskeluun kaytettavaa aikaa. Nain tietokoneiden jainternetin kayton vaikutus oppimiseen riippuu suures-ti siita, miten ja mihin tarkoitukseen niita kaytetaan.Tietokoneen kaytto opetuksessa aiheuttaa resurssienkayton uudelleenjaon ja korvaa vaihtoehtoisia, mah-dollisesti tehokkaampia opetustapoja. Kokonaistun-timaara on kuitenkin vakio, joten tama saattaa alen-taa oppimistuloksia. Koulujen budjetit ovat myos mel-ko kiinteita, joten koneet voivat aiheuttaa taloudellis-ten resurssien kayton uudelleenjakoa koneiden hyvaksi,mahdollisesti nain korvaten tehokkaampien opetusma-teriaalien ja tapojen kayttoa.

Tietokoneavusteinen opetus voi myos rajoittaa oppi-laiden luovuutta. Koneohjelmat sallivat yleensa vainvahan interaktiivisia mahdollisuuksia ja edellyttavat

tietylla tavalla toimimista. Tama saattaa rajoittaa op-pilaiden ongelmanratkaisua ja luovuutta, he joutu-vat ajattelemaan enneltamaaratylla tavalla eivatka voikayttaa omia luovia ratkaisujaan.

Muita tutkimuksia tietokoneiden talou-dellisesta ja koulutuksellisesta vaikutuk-sesta

Borghams ja ter Weel (2004) saivat tulokseksi, etteikyky kayttaa tehokkaasti tietokonetta vaikuta mer-kittavasti tulotasoon, sen sijaan matematiikka ja kir-jalliset kyvyt parantavat palkkatasoa (parempi palkkatietokoneiden kayttajien hyvaksi selittyy jokseenkin ko-konaan silla, etta tietokoneita kayttavissa ammateissatarvitaan osaavia henkiloita).

Angrist ja Lavy (2002) raportoivat, etta tietokonea-vusteisen opetuksen kayttoonotto israelilaisissa kou-luissa vaikutti tilastollisesti merkittavasti negatiivises-ti matematiikan osaamistasoon 4. luokan oppilailla jamuissa aineissa korkeammilla luokilla vaikutus oli ne-gatiivinen, mutta tilastollisesti merkitykseton. Namatutkimukset eivat tue oletusta, etta tietokoneilla oli-si merkittava taloudellinen ja koulutuksellinen vaiku-tus. Huolimatta poliitikkojen ja ohjelmistojen myyjienlukuisista painvastaisista vaitteista tahanastinen tut-kimus viittaa siihen, ettei tietokoneiden koulukayttoedesauta merkittavasti oppilaiden perustaitojen, kutenmatematiikan ja lukemisen oppimista.

Viimeisen PISA-tutkimuksen tuloksia on kaytetty tie-tokoneiden kayton ja matematiikan oppimistulostenselvittelyyn. OECD on julkaissut tuloksiaan osoitteessawww.pisa.oecd.org. He ovat saaneet tietokoneita pal-jon kayttaville samansuuntaisia tuloksia kuin Woess-mannin ylosalaisen U:n epalineaarisuus.

Lahteet

Angrist, Joshua, Victor Lavy (2002). New evidence onClassroom computers and Pupil learning. EconomicJournal 112 (4829): 735–765.

Borghams, Lex, Bas ter Weel (2004). Are ComputerSkills the Basic Skills? The returns to Computer, Wri-ting and Math Skills in Britain. Labor economics 11(1): 85–98.

Fuchs, Thomas, Ludger Woessmann (Munich, Germa-ny) CESifo Working Paper No. 1321 www.CESifo.de,November 2004.

OECD (2001) Knowledge and Skills for Life: First re-sults from the OECD Programme for International Stu-dent assessment (PISA) 2000 Paris: OECD.


Mitka ovat Suomen PISA-menestyksentaustalla olevat syyt?

George MalatyProfessoriJoensuun [email protected]

Suomen PISA-menetys on yllattanyt matemaatikot jamatematiikan opetuksen asiantuntijat niin Suomessakuin sen ulkopuolellakin, itseni mukaanlukien. Tausta-ni ja kokemukseni vuoksi minun oli kuitenkin helppoymmartaa taman menestyksen taustalla olevat syyt.

Mielestani viisi tarkeinta syyta Suomen PISA-menestykseen ovat:

(1) onnistuminen opettajankoulututuksessa,

(2) ammatillinen opetuskulttuuri,

(3) onnistuminen opettajien taydennyskoulutuksessa,

(4) matematiikan opetuksen kehittamisen eteen tehdyterilaiset panostukset,

(5) koulunkaynnin traditiot Suomessa.

Ainakin osittain nama syyt voivat nayttaa suomalaises-ta lukijasta itsestaanselvilta, kuitenkin ne ovat vahvuu-temme, jotka erottavat meita muista maista. Toisaal-ta pitaisi korostaa, etta onnistuminen opettajankou-lutuksessa on suhteellista verrattuna muihin maihin,eika opettajankoulutus meilla ole ongelmatonta. Olen

riittavan yksityiskohtaisesti kasitellyt opettajankoulu-tuksen ongelmia meilla toisessa kirjoituksessa (Malaty2004).

Onnistuminen opettajankoulutuksessa

Opettajankoulutuksen onnistumisessa Suomessa onkaksi tarkeaa nakokohtaa:

• opettajankoulutuksen tutkintovaatimusten saily-minen korkeana,

• motivoituneiden opiskelijoiden rekrytoimisen on-nistuminen.

Jokaisella patevalla opettajalla on maisterin tutkinto:kasvatustieteiden maisteri luokanopettajilla (peruskou-lun alaluokat 1–6) ja filosofian maisteri aineenopet-tajilla (peruskoulun ylaluokat 7–9 ja lukio). Aineen-opettajien rekrytointi onnistuu tyydyttavalla tasolla,sen sijaan luokanopettajan opinnot ovat yksi suosi-tuimmista korkeakoulutuksen aloista Suomessa. Ma-tematiikan aineenopettajan opintoihin pystytaan rek-rytoimaan riittavasti opiskelijoita, mutta luokanopet-


tajan opintoihin hakijoita on 5–6-kertainen maara aloi-tuspaikkojen lukumaaraan verrattuna. Valitsemattajaaneet pyrkivat yleensa uudestaan kerran tai useam-min seuraavina vuosina. Alakoulujen opettajat tun-netaan Suomessa luokanopettajina, silla heidan tuleeopettaa kaikkia oppiaineita luokalleen.

Yksi tarkeimmista syista luokanopettajaopintojen suo-sioon on luokanopettajien erityisasema suomalaisessayhteiskunnassa. Lukemisen ja kirjoittamisen opettami-nen on ollut luokanopattajien vastuulla noin 150 vuo-den ajan, aikaisemmin tehtavaa hoiti pyha organisaa-tio – kirkko. Vuoden 1921 kansakouluasetuksen mu-kaan jokaiseen kylaan pyrittiin perustamaan kansakou-lu, jonka opettajasta tuli kylayhteison ”kansankynt-tila”. Taman jalkeen kuntiin saatiin Kirkkokadun vie-reen Koulukatu. Vuoteen 1974 mennessa luokanopetta-jakoulutus oli taysin siirtynyt yliopistoihin, josta aiheu-tui kiinnostuksen lisaantyminen luokanopettajaopinto-ja kohtaan.

Suomalaiset nuoret muistavat peruskoulussa vietetynajan, erityisesti sen ensimmaiset kaksi vuotta, suurel-la lammolla. Naiden vuosien aikana on melko yleista,etta koulupaiva paatetaan kasia taputtamalla, eika olelainkaan harvinaista halata opettajaa.

Tarkeimmat syyt aineenopettajakoulutuksen suhteel-lisen hyvaan suosioon ovat yhteydessa muihin yleisiintekijoihin peruskouluissa ja lukioissa. Nama tekijat voi-daan jakaa neljaan ryhmaan:

(a) koulujen hyvinvointi,

(b) myonteinen tyoskentely-ymparisto kouluissa,

(c) koulunkayntiin liittyvat tavat,

(d) huolehtimisen, mukavuuden ja tasa-arvon periaat-teet kouluissa.

Ammatillinen opetuskulttuuri

Valtaosalle suomalaisista opettajista opettaminen onkutsumus, jossa on mukana pitkat perinteet opettajienkiinnostuksesta oppilaiden oppimiseen. Taman voi ha-vaita kahdesta seikasta: yksi on opettajien kiinnostuskehittaa itseaan, ja toinen on heidan halunsa auttaa yk-sittaisia oppilaita esimerkiksi matematiikan tehtavienratkaisemisessa. Opettajan istuminen polvillaan pul-petin edessa oppilaan kanssa kasvot vastatusten hiljaakeskustellen on tavallinen naky.

Suomalaisissa kouluissa ei pideta systemaattisia tarkas-tuksia. Tama ei ainoastaan saasta rahaa vaan saa jo-kaisen opettajan tuntemaan itsensa vapaaksi ja vas-tuulliseksi. Kukin opettaja voi luoda oman opetus-suunnitelmansa, jonka pohjana ovat Opetushallituk-sen julkaisemat valtakunnalliset opetussuunnitelman

perusteet seka paikallinen oman koulun hyvaksymatasmallisempi opetussuunnitelma, jonka kehittamiseenopettajat ovat itse osallistuneet. Opettajat ovat mu-kana myos valtakunnallisen opetussuunnitelman laa-dinnassa. Lisaksi jokaisella opettajalla on vapaus va-lita luokallaan kayttamansa oppikirjat eri kustantajienvalikoimista. Tallainen vapaus antaa opettajille aktii-visen roolin ammatissaan, mika tekee heista tyostaankiinnostuneita ja tarjoaa heille mahdollisuuden koke-muksen kehittymiselle.

Onnistuminen opettajien taydennyskou-lutuksessa

Opettajien taydennyskoulutus on Suomessa jarjestettyhyvin eri organisaatioiden tarjotessa erityyppisiakursseja. Esimerkiksi Opetushallitus jarjestaa mo-nenlaista matematiikan opetuksen taydennyskoulu-tusta ja paikalliset opetusviranomaiset tarjoavattaydennyskoulutuskursseja luokan- ja aineenopettajil-le. Myos opettajien ammattijarjestot jarjestavat mate-matiikan opetuksen taydennyskoulutusta seka paikalli-sesti etta kansallisesti. Tarkeimmat jarjestot ovat Ma-temaattisten aineiden opettajien liitto, Luokanopetta-jien liitto ja Suomen erityisopettajien liitto.

Kaikissa yliopistoissa on taydennyskoulutuskeskus jajokaisessa maakunnassa on kesayliopisto. Nama tarjoa-vat monenlaista koulutusta, mukaanlukien opettajientaydennyskoulutusta. Myos avoimet yliopistot ja kan-sanopistot voivat jarjestaa opettajien taydennyskoulu-tusta.

Tassa koosteessa on mainittu tarkeimmat opettajientaydennyskoulutusta tarjoavat organisaatiot, muttatama ei ole taydellinen luettelo. Taydennyskoulutus ontoisinaan ilmaista, mutta yleensa opettajilla on olta-va omaa rahoitusta esimerkiksi kouluiltaan. On mer-kille pantavaa, etta joissakin tapauksissa opettajat itsemaksavat osallistumisensa heita kiinnostaville kursseil-le – osoitus siita kuinka kiinnostuneita opettajat Suo-messa ovat ammatistaan ja siina kehittymisessa. Joskusopettajat voivat vaikuttaa taydennyskoulutuskurssiensisaltoon, mika lisaa opettajien motivaatiota osallistuakoulutukseen.

Matematiikan opetuksen kehittamiseksitehtyja toimenpiteita

Matematiikan opetuksen kehittamiseksi on Suomessatehty monia toimenpiteita, erityisesti 1990-luvulla, jol-loin mukana oli useita organisaatioita.

Yksi merkittava ongelma matematiikan opetuksessaoli puute luokanopettajista, jotka olivat erikoistuneetmatematiikkaan. Vaikka puolet luokanopettajakoulu-tuksen opinnoista on varattu kasvatustieteelle, niin


matematiikalla ja matematiikan opetuksella on vaati-maton pakollinen osuus. Luokanopettajan koulutusoh-jelma sisalsi 160 opintoviikkoa, joista kasvatustieteenosuus oli vahintaan 75 opintoviikkoa. Matematiikan jamatematiikan opetuksen yhteinen pakollinen osuus oli3–4 opintoviikkoa. Opintoviikko vastaa 20 luentotuntiaja yksi luentotunti on 45 minuuttia (Malaty 2004). Bo-lognan julistuksen seurauksena opettajankoulutuksenohjelmaan on tullut muutoksia vuodesta 2005 alkaen,mutta nama eivat ole vaikuttaneet opintojen rakentee-seen eivatka sisaltoon, joten matematiikan ja matema-tiikan opetuksen ohjelmat ovat sailyneet ennallaan.

On aina ollut mahdollista erikoistua yhteen tai kahteenoppiaineeseen tai valinnaisiin kasvatustieteen opintoi-hin, mutta matematiikka ei ole ollut suosittu valinta.Vahemman kuin 2 % opiskelijoista erikoistui matema-tiikkaan, ja tama oli tilanne aina vuoteen 1992, jol-loin Joensuun yliopistossa tehty tyo johti jyrkkiin muu-toksiin. Tana paivana matematiikka on yksi suosituim-mista erikoistumisaineista Joensuun yliopiston luokan-opettajien koulutuksessa, jopa yli 80 % opiskelijoistaerikoistuu matematiikkaan (15 opintoviikkoa) ja puo-let heista jatkaa opintoja 35 opintoviikkoon, joka antaaaineenopettajan patevyyden.

Toimia Joensuun yliopistossa

Suomessa kaikilla opettajankoulutuslaitoksilla on har-joittelukoulu, joka yleensa sijaitsee yliopiston kam-puksella. Naita kouluja kutsutaan normaalikouluik-si. Opetusharjoittelua ohjaavat normaalikoulun lehto-ri ja matematiikan opetuksen asiantuntija yliopistosta.Omat ponnistuksemme Joensuussa alkoivat matema-tiikan opetuksen ohjauksen parantamisesta.

Vuosina 1986–87 seurasin 135 neljankymmenenviidenopiskelijan pitamaa oppituntia. Ohjaukseen sisaltyi op-pituntien suunnittelun neuvonta. Pyysin opiskelijoi-tani opettamaan matematiikkaa systemaattisemminkuin oppikirjoissa. Lisaksi pyysin, etta he panosta-vat matematiikan ymmartamiseen ja kayttavat eri-laisia keksimisstrategioita. Nama ohjeet kuvastavattarkeimpia opetusperiaatteitamme. Avustaakseni opis-kelijoitani oppituntien suunnittelussa osallistuin op-pitunneille. Menestyksemme syntyi tasta tyosta, jokajohti ehdotukseen normaalikoulun matematiikkakerho-jen perustamisesta. Niista ensimmainen perustettiinsyksylla 1988. Viisi normaalikoulun opettajaa liittyinaiden kerhojen tyohon.

Vastauksena opiskelijoiden pyyntoon perustin vuonna1989 heille iltamatematiikkakerhon. Yli 50 opiskelijaaosallistui kerhoon, joka pidettiin kerran viikossa klo18.00–19.30. Seuraavana vuonna 1990 kerho muutettiinvalinnaiseksi kurssiksi Matemaattinen ajattelu (2 ov).Vuodesta 1993 lahtien kurssi on jaettu kahteen osaan,

Geometrinen ajattelu (1 ov) ja Algebrallinen ajattelu(1 ov).

Vuonna 1993 yli 50 opiskelijaa valitsi erikoistumisai-neekseen matematiikan. Tama luku vastasi yli puoltaluokanopettajaopiskelijoiden vuosittaisesta maarasta,ja se oli yli kolminkertainen maara verrattuna kaikkiinmuihin Suomen 10 opettajankoulutuslaitokseen. Me-nestys on jatkunut ja matematiikkaan erikoistuneidenosuus opiskelijoista on noussut jopa yli 80 prosenttiin.

Vuonna 1994 Korkeakoulujen arviointineuvosto nimittiJoensuun yliopiston matematiikan opettajankoulutuk-sen huippuyksikoksi. Samana vuonna Helsingin, Joen-suun ja Oulun yliopistojen kasvatustieteelliset tiede-kunnat arvioinut kansainvalinen komitea kirjoitti ra-portissaan, etta ”. . . Joensuun yliopisto on menestyk-sellisesti kehittanyt matematiikan opetukseen erikois-tuvien opettajien koulutusohjelmaa, joka voi toimiamallina muille tiedekunnille ja sisaltoalueille. . . ohjelmanayttaa vahentavan tulevilla opettajilla yleiseksi ha-vaittua matematiikan (opetuksen) aiheuttamaa ahdis-tusta”.

Vuonna 1990 Joensuun kouluvirasto pyysi minuajarjestamaan matematiikkakerhon opettajille, jotka oli-vat kiinnostuneet perustamaan oman matematiikka-kerhon. Kerhoon osallistui 39 opettajaa. Useimmatheista olivat luokanopettajia tai erityisopettajia, muttamuutamat olivat peruskoulun ylaluokkien 7–9 tai lu-kion aineenopettajia. Naiden opettajien ansiosta ma-tematiikkakerhot levisivat Joensuun peruskouluhin jajoihinkin lukioihin.

Vuosien 1990–95 aikana matematiikkakerhot levisivatkoko maahan opettajien taydennyskoulutuksen kautta.Opettajien tyon tueksi julkaistiin kerhojen materiaaliaja opettajille oppikirja (Malaty 1992, Malaty 1993, Ma-laty 1994).

1990-luvun aikana olin mukana yli 300 taydennys-koulutusohjelmassa yli 75 kunnassa mukaan-lukien kaikki suurimmat kaupungit saavuttaennain yli 12 000 opettajaa paivakodeista lukioihin.Taydennyskoulutusohjelmien sisalto ei aina liittynytmatematiikkakerhoihin, mutta matematiikkakerhojenmenestys toi koulutukseen uskottavuutta. Vuodesta1992 lahtien sisalloltaan ja menetelmiltaan samantyyp-pista kerhotoimintaa on ollut matematiikan opetuksentuomiseksi paivakoteihin. Tama antoi perustan vuoden1998 varhaiskasvatusasetukselle.

Monet henkilot – mm. poliitikot ja median edusta-jat – huomasivat tekemamme tyon. Matematiikkaker-hoista kerrottiin sanoma- ja viikkolehdissa. Yksi leh-dista jaettiin Suomen jokaiseen kotitalouteen vuonna1989. Myos televisiokanavilla esitettiin uutisia ja ohjel-mia matematiikkakerhojen toiminnasta. Taman julki-suus tuki muita virallisia toimenpiteita, mukaanlukienLUMA-talkoot (opetusministerio 1999).


Yhtena tarkeimmista saavutuksistamme Ita-Suomenalueella on nyt entista parempia matematiikan opetta-jia. Tama voidaan havaita PISA:n ja myos kansallistenarviointien tuloksista. Ponnistelumme opettajankoulu-tuksen kehittamisessa eivat rajoitu ainoastaan luokan-opettajien koulutukseen, silla vastaavia toimenpiteitaon tehty erityisopettajien koulutuksessa. Joensuun yli-opistossa on erityiskasvatuksen laitos, jossa matema-tiikan ja sen opetuksen sisalto on sama kuin luokan-opettajien koulutuksessa. Matematiikan ja sen ope-tuksen kurssit ovat yhteisia molempien laitosten opis-kelijoille. Tama antoi erityiskasvatuksen opiskelijoillemahdollisuuden osallistua luokanopettajakoulutuksenmatematiikkakerhoihin vuonna 1989. Vuodesta 1993lahtien paaosa Joensuun yliopiston erityiskasvatuksenopiskelijoista on osallistunut samaan matematiikan eri-koistumisohjelmaan kuin luokanopettajaopiskelijatkin(15/35 ov). Tama koulutus on tarjonnut Ita-Suomenperuskouluihin seka sen ala- etta ylaluokille parem-pia matematiikan erityisopettajia. Lisaksi muutamatlastentarhanopettajiksi opiskelevat ovat saaneet samanmatematiikan ja sen opetuksen koulutuksen kuin luo-kanopettajiksi ja erityisopettajiksi opiskelevat.

Koulujen hyvinvointi ja myonteinentyoskentely-ymparisto

Suomalaisessa yhteiskunnassa lapsilla ja nuorilla on pe-rinteisesti erityinen asema. HyvinvointiyhteiskuntanaSuomi tarjoaa – yleensa ilmaiseksi – monenlaisia pal-veluja erityisesti lapsille ja nuorille.

Kiinnostus lasten ja nuorten kehitysta kohtaan tuo mu-kanaan huomattavaa arvostusta opettajille. Suomessakoulutus ei ole ainoastaan ilmaista vaan myos hyvintuettua: koulut tarjoavat ilmaisen terveydenhuollon,oppilaat saavat ilmaisen lampiman lounaan, internet-yhteydella varustettuja tietokoneita voi kayttaa va-paasti, peruskoululaiset saavat oppikirjat, vihkot,kynat, jne. ilmaiseksi, ja yli viiden kilometrin koulu-matkoilla on ilmainen taksikyyti.

Suomessa koulut ovat hyvin kalustettuja ja varustettu-ja. Koulut ovat seka fyysisesti etta sosiaalisesti avoimiapaikkoja. Vierailijat voivat koska tahansa astua sisaankoulujen ovista. Opettajien tyo ei ole minkaanlaistensaannollisten tarkastusten kohteena. Suomen kouluissaei ole muodollisuuksia pukeutumisessa eika oppilaidenja opettajien valisessa kommunikaatiossa. Lisaksi eri-tyisesti peruskoulujen alakouluissa opettajien kunnioi-tus on itsestaan selvaa.

Aamuisin koulujen taulut on puhtaaksi pyyhitty, suo-malaiset koulut ovat verrattain hiljaisia, erityisesti ope-tustilojen sisalla. Tama antaa opettajille mahdolli-suuden huolehtia oppilaistaan ja heidan oppimises-taan, ja vastavuoroisesti se lisaa opettajien kiinnos-tusta tyotaan kohtaan. Oppimateriaaleista oppilaille

otettavien kopioiden maarissa ei ole rajoituksia, ja op-pilaat saavat ne ilmaiseksi. Luokissa on pesualtaatja paperipyyhkeet mm. kasien pesua varten. Luokat,kaytavat, auditoriot, juhlasalit ja pesutilat ovat ainasiisteja ja lampimia, jonka vuoksi oppilaat kulkevatkoulujen sisatiloissa sukkasillaan tai tohveleissa, mikatuo kodikkaan olon.

Huolehtiminen, mukavuus ja tasa-arvo

Oppilaista huolehtiminen on itsestaan selvaa, jokanakyy mm. luokkien melko pienina oppilasmaarina,yleensa 15 ja 25 valilla. Talla on merkitysta oppilaidensosiaalisuuteen ja oppimiseen. Se takaa myos oppilai-den ja opettajan valisen tuttavallisen kanssakaymisen.Oppimisen kannalta luokkien riittavan pieni oppi-lasmaara mahdollistaa sen, etta opettaja pystyy huo-lehtimaan kaikista oppilaista. Jos oppilaalla on vai-keuksia esimerkiksi matematiikassa, niin opettaja ta-vallisesti puuttuu asiaan heti ja niin myos erityisopet-taja voi ottaa hanet opetettavakseen. Tallaisen huolen-pidon seuraukset nakyvat PISA-tuloksissa.

Kouluissa jarjestetaan vanhempainiltoja, joissa keskus-tellaan koulunkayntiin liittyvista asioista. Oppilaidenvanhemmille annettaan myos tilaisuus yksityisiin kes-kusteluihin opettajien kanssa. Suomessa kouluissa eiole pelkoa rangaistuksista, fyysinen rankaiseminen eitule kuuloonkaan, eika edes huutamista tarvita. Ran-kaiseminen ja kontrollointi eivat ole tyypillisia piirteitakouluissa, opettajien tehtava on tukea oppilaiden kehi-tysta.

Oppilaiden hajanaisuus on Suomessa vahaisempaakuin muissa maissa, joka on tullut esille seka PISA- ettamuissa vertailututkimuksissa. Taman voi nahda tulok-seksi peruskoulujen tasapuolisuudesta kaikkia oppilaitakohtaan, joka on heijastumaa suomalaisen yhteiskun-nan perinteista. PISA-tutkimus osoittaa, etta oppilai-den erilaisilla sosio-ekonomisilla taustoilla ei ole mer-kitysta oppimistuloksiin. Tama ei ole yllattava tulos,silla Suomessa ei ole kiinnostusta yksityiskouluihin jayksityisopetus on tuntematonta.

Vanhemmat lahettavat lapsensa kouluun ei pelkastaanoppimaan vaan myos saamaan tukea kasvatukseen. Ko-titehtavat eivat aiheuta stressia, eika niita ole lomil-la eika viikonloppuisin. Kotitehtavien rajoitettu maaramerkitsee sita, etta oppilailla on koulupaivan jalkeenaikaa myos harrastuksille.

Koulut eivat ainoastaan valmista oppilaitaan tulevai-suutta varten, vaan ne takaavat viihtymisen myostamanhetkisessa elamassa. Asioiden oppiminen ei olekoulunkaynnin tarkein paamaara, mika on yksi syy sii-hen, etta oppilaat eivat ”lunttaa” kokeissa. Vanhem-mat luottavat opettajien kykyyn huolehtia lapsistaan,ja toisaalta opettajat ovat kiinnostuneita oppilaiden-sa kasvatuksesta, erityisesti niiden joilla on vaikeuksia.


Taman vuoksi suomalaisten oppilaiden erot oppimistu-loksissa ovat pienempia kuin muissa maissa. Toisaaltatama osoittaa yhden suuren ongelman matematiikanopetuksessa, tarpeen huolehtia enemman myos lahjak-kaista oppilaistamme.

Viitteet

Buchberger, F. et al. 1994. Educational studies andteacher education in Finnish universities. Helsinki. Mi-nistry of Education, Department for Higher Educationand Research.

Malaty, G. 1992. Geometrinen ajattelu I. Porvoo: Wei-lin+Goos.

Malaty, G. 1993. Geometrinen ajattelu I. Didaktiikka.Porvoo: Weilin+Goos.

Malaty, G. 1994. Algebrallinen ajattelu I. Didaktiikka.Porvoo: Weilin+Goos.

Malaty, G. 2004. Mathematics Teacher Training in Fin-land. In: Series of International Monographs on Math-ematics Teaching Worldwide. Monograph 2. TeacherTraining. Budapest: Muszaki Konyvkiado, A Wol-tersKluwer Company. (Uudempi versio on saatavis-sa ’La Societe Mathematique de France’:n sivuillahttp://smf.emath.fr/en/VieSociete/Rencontres/France-Finlande-2005/ResumeConferences.html)

Ministry of Education 1999. Finnish Knowledge inMathematics and Sciences in 2002. Revision of the Na-tional Joint Programme (LUMA). Helsinki: Ministry ofEducation.

Kaannos Mika Koskenoja

Paatoimittajan kommentti

Kuultuaan prof. Malatyn esityksen Suomen kouluistaranskalaiset kyselivat, miten tahan ihmeelliseen maa-han voi muuttaa – mutta seuraavissa esityksissa (Mar-tio, Toivonen) tuli jo selville, ettei Suomikaan vali-tettavasti enaa ole ennallaan. Ainakin joillain alueillaovat ongelmat alkaneet kasaantua ja Malatyn kirjoituk-sen tarkoitus onkin, etta suomalaiset osaisivat arvostaasita, mika heilla on ollut hyvaa, eivatka luopuisi siita.

Opettaja-lehdessa 7/2006 (17.2.2006) on kerrottu Po-rissa tehdysta selvityksesta opettajien joutumisestavanhempien kiusaamisen uhriksi. Tallainen ongelmanayttaa olevan kasvamassa ja opettajia jopa uhkail-laan. Suomen koulujen tilanne tuntuu ainakin paikoit-tain olevan nopeasti muuttumassa huonompaan suun-taan. Kunpa olisimme osanneet pitaa kiinni niista hy-vista puolista, joita Malaty tuo kirjoituksessaan esiin.

Marjatta Naatanen


Tilanne Ranskan ”suurissa kouluissa”

Lyhennelma ja kaannos: Marjatta Naatanen

Laurent Decreusefond kertoi matematiikan tilan-teesta Ranskan ”suurissa kouluissa”. Decreuse-fond toimii Ranskan Kansallisessa Tietoliikenne-korkeakoulussa (Ecole Nationale Superieure desTelecommunications) ja kertoi lukioista tulevien oppi-laiden hetorogeenisen matemaattisen tason ns. suurilleinsinoorikorkeakouluille eli Grandes Ecoles -korkeakou-luille aiheuttamista ongelmista (tunnetuimpia naista”suurista kouluista” lienevat Ecole Polytechnique,Ecole des Mines ja Ecole des Ponts et Chaussees).

Ranskan vuoden 1997 koulureformissa matematiikantuntimaaraa vahennettiin 20 % lukioiden suuriin kou-luihin valmistavilla luokilla, lisaksi eri linjojen vaati-mustasot muodostuivat hyvin erilaisiksi. Tarkoitukse-na oli keskittya opetuksessa ensisijaisesti kunkin koulu-tusohjelman tarvitsemiin matemaattisiin tyovalineisiinsamalla kuitenkin sailyttaen matematiikan asemanitsenaisena oppiaineena. Tassa ei onnistuttu, vaanvalmistavien luokkien useilla linjoilla on jaaty huo-mattavasti jalkeen aiemmin saavutetusta, suurinpiir-tein suomalaisen yliopiston matematiikan cum laude-oppimaaraa vastanneesta tasosta.

Ennen v. 1997 reformia suurien insinoorikoulujenpaasykokeisiin valmistavilla luokilla opitut aarellisulot-teiset vektoriavaruudet ja Riemannin integraali antoi-vat pohjan Hilbertin avaruuksien ja Lebesguen inte-graalin teorialle, minka lisaksi valmistavilla luokilla pe-rehdyttiin myos ryhmateoriaan ja aarellisiin kuntiinkuten myos lineaarisiin samoin kuin epalineaarisiinkin

differentiaaliyhtaloihin. Reformin jalkeen tasta on Dec-reusefondin mukaan lahinna jaanyt jaljelle vain lineaa-risten differentiaaliyhtaloiden alkeet. Opiskelijoiden ab-strakti paattelytaito on myos heikentynyt, eika sellai-siakaan kasitteita kuin Cauchyn jonot ja tasainen sup-peneminen enaa tunneta, monista keskeisista tuloksis-ta kuten esim. Cayley-Hamiltonin lauseesta puhumat-takaan.

Koska teknologiset innovaatiot perustuvat nykyaanyha suuremmassa maarin matematiikan ja fysiikan tut-kimuksen viimeisimpiin lapimurtoihin, Decreusefondtoteaa, etta insinoorikorkeakoulujen tulisi pystya pe-rehdyttamaan ainakin osa tulevista insinooreista tie-teen uusimpiinkin saavutuksiin.

Niinpa tulevan insinoorin olisi hallittava moderninmatemaattisen fysiikan kuten kvanttifysiikan, optii-kan, mekaniikan ja elektroniikan lisaksi myos sig-naalinkasittelya, informaatioteoriaa ja kryptografiaa,mika puolestaan edellyttaa varsin monien matematii-kan osa-alueiden kuten todennakoisyyslaskennan ja ti-lastotieteen, Fourier-analyysin, funktionaalianalyysin,kompleksianalyysin, tavallisten ja osittaisdifferentiaa-liyhtaloiden, ryhmateorian ja aarellisten kuntien tunte-musta. Insinoorikorkeakouluihin tulevan oppilasainek-sen heterogeenisuuden takia tahan on nykyaan kuiten-kin vaikea paasta.

Decreusefond kuvailee tyoelaman nuoren insinoorinkoulutukselle asettamia vaatimuksia Bloomin tunnetunluokittelun avulla, yhdistaen tasoja niin, etta jaa nelja


luokkaa: toiselle tasolle han ottaa kasittamisen ja sovel-tamisen, kolmannelle tason, jolla pystytaan analysoi-maan, neljannelle synteesin, jolloin pystytaan suunnit-telemaan, yleistamaan, kehittamaan. Hanen mielestaannykyaikana tarvittava laadukas koulutus edellyttaisi,etta tuleva insinoori saavuttaa kolmannen tason in-sinooritieteiden perustana olevissa matematiikassa jafysiikassa sen sijaan, etta jaisi toiselle tasolle; vainoppisi soveltamaan usean suppean erikoisalan mah-dollisesti piankin vanhenevia erityistekniikkoja. Kos-ka osa oppilaista ei ole enaa tottunut asioiden loogi-seen esittamiseen, abstraktista paattelykyvysta puhu-mattakaan, niin taman Bloomin kolmannen tason saa-vuttaminen on nykyaan varsin vaativa tehtava myosnaissa ns. suurissa kouluissa. Esityksensa kuluessa Dec-reusefond spontaanisti puuskahti: ”Tama on kauheaa!”Decreusefondin mukaan jopa aidinkielen opettajat ovatkiinnittaneet huomiota viime vuosina tapahtuneeseenkielteiseen kehitykseen.

Han toteaa edelleen, etta pelkan ”yleisjohtajuuden” si-

jasta ranskalaiset suuryritykset ovat huomanneet tar-vitsevansa insinooreiltaan modernin teknologian to-dellista hallintaa. Todetun huipputeknologian tarpeentyydyttamiseksi Ranskan suurten koulujen tulisikinkohentaa perustieteiden asemaa opetusohjelmassa sa-malla painottaen oppilaiden henkilokohtaisen tutki-mustyon merkitysta. Tahan ei kuitenkaan paasta,ellei Ranskan lukioihin samalla perusteta todellistamatemaattis-fysikaalista linjaa. Decreusefondin mie-lesta naihin hanen esitettamiinsa opetusohjelmien tar-kistuksiin olisi syyta ryhtya ripeasti niin lukioissa kuinkaikissa suurissa insinoorikorkeakouluissakin.

Selityksena suomalaisille lukijoille mainittakoon,etta lukion paattamisen jalkeen ”todellisilla” in-sinoorikokelailla on viela 2 vuotta valmistavia luokkiaennen ”suuren korkeakoulun” paasykoetta. On tietystimyos alemman tason insinoorikouluja, joihin voi pyrkiaaikaisemmin. Ranskalaisille luokkajako ”suuret koulut”verrattuna muihin (yli)opistoihin on hyvin oleellinen.


Tytot ja matematiikka PISA:n valossa

Marjatta NaatanenDosenttiMatematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto

PISA-vertailussa tyttojen ja poikien erot matematii-kan osaamisessa olivat poikien hyvaksi kaikissa muis-sa maissa paitsi Islannissa. Monissa maissa, esimerkik-si Suomessa ja Japanissa, erot olivat pienia.

Erot tyttojen ja poikien kasityksissa omista akateemi-sista kyvyistaan ja kyvystaan voittaa vaikeuksia opis-kelussa seka emotionaaliset vaikeudet matematiikanopiskelun suhteen ovat kuitenkin huomattavia.

Merkittavasti poikia suurempaa matematiikka-ahdistusta on OECD-maiden tytoilla Itavallassa, Ka-nadassa, Tanskassa, Suomessa, Ranskassa, Saksassa,Luxemburgissa, Hollannissa, Norjassa ja Sveitsissa.Vaikka Suomessa tyttojen ja poikien suoritukset eivateronneet paljoa, oli Suomessa – samoin kuin Hollan-nissa ja Sveitsissa – tytoilla erityisen huono kasityskyvyistaan matematiikan oppimisen ongelmien ratkai-sussa.

Tytoilla on siis yleinen ongelma, ettei ole kylliksi luot-tamusta omiin kykyihin. Mista tytot oppivat tallaisenasenteen? Jos tytoille ennakoidaan vaikeuksia matema-

tiikan opiskelussa, tytot vaistoavat sen ja menettavatitseluottamuksensa silloin, kun pitaisi ratkoa matema-tiikan ongelmia.

Yksiloiden kannalta olisi toivottavaa, etteivat stereo-typiat olisi kovin rajoittavia. Nain kukin voisi kehittaaomia lahjakkuustaipumuksiaan riippumatta siita, mikahanen sukupuolensa sattuu olemaan.

PISA-tutkimuksessa esitetaan, etta poikien korkeampimotivaatio oppia matematiikkaa voi olla yhteydessa sii-hen, etta he uskovat siita olevan hyotya heidan tulevas-sa ammatissaan. Matematiikka onkin nykyisin melkeinjoka alalla tarpeellinen tyokalu. Puutteelliset pohjatie-dot ovat myohemmin vaikeasti ylitettava este.

Median, perheen, yhteiskunnan odotukset ja kasityksetovat verhotut tai avoimet, nama kasitykset opitaanhuomaamatta. Millaista naiskuvaa media tarjoaa? Onaika tehda muutakin kuin selvityksia, raportteja, tut-kimuksia, erillisia projekteja – tiedostahan ei ole puu-tetta.

matematiikkalehti solmu · neljãnneksen keskiarvopistem ããr ã oli selv ãsti parem- pi...

Documents