matematika 1 - Čvut fsvmat.fsv.cvut.cz/ivana/p3ver1.pdf · matematika 1 3. pˇredn a´skaˇ 1 ......
TRANSCRIPT
Matematika 1
3. prednaska
1 Derivace
2 Vlastnosti a pouzitı
3. prednaska (6.10.2009) Matematika 1 1 / 16
1. zapoctovy test jiz behem 2 tydnu.
Je nutne se nej registrovat pres webove rozhranı na https://amos.fsv.cvut.cz.
Pri samotnem vyplnovanı testu - pozor na nechtene odhlasenı.
Prıkladova skripta.
Testovanı na webu katedry matematiky.
Prednasky, web, atd.
Skriptum Bubenık, Zindulka, Matematika 1:
1. prednaska - strany 67 - 76 a dodatky na stranach 136 - 148,2. prednaska - strany 77 - 99,3. prednaska - strany 100 - 106.
Ucebnice Budınsky, Charvat, Matematika 1.
3. prednaska (6.10.2009) Matematika 1 2 / 16
0 0.5 1 1.5 2−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
y
xxk
f(xk)
f(0,5)
−0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Pripomenutı pojmu limity funkce v bode.
Bod a je hromadny bod mnoziny M,jestlize ∀δ > 0 ∃x ∈ M : |x − a| < δ
Ekvivalentnı definice limity funkce v bode:
Heineova definice limity funkce v bode
Necht x0 je hromadny bod D(f ). Funkce f ma v bode x0 limitu L jestlize pro kazdou posloupnost{xk}∞k=1 takovou, ze {xk}∞k=1 ⊂ D(f ) a limk→∞ = x0, platı
limk→∞
f (xk ) = L.
Prıklad.
Neexistence limx→0 sin 1x .
Zvolıme posloupnostixk = 1
2kπ , xk = 12kπ+π/4 .
Pakf (xk ) = sin 2kπ = 0,f (xk ) = sin(2kπ + π/4) =
√2/2.
3. prednaska (6.10.2009) Matematika 1 3 / 16
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
x
y
x0
x0+h
f(x0)
f(x0+h)
f(x0+h)−f(x
0)
h
α
Derivace funkce v bodeNecht je funkce f definovana na nejakem okolı bodu x0 ∈ D(f ). Jestlize existuje (vlastnı) limita
limh→0
f (x0 + h)− f (x0)
h,
rekneme, ze funkce f ma (prvnı) (vlastnı) derivaci v bode x0. Derivace je rovna hodnote uvedenelimity.
Derivaci funkce f v bode x0 znacıme
f ′(x0),d fd x
(x0), nebod
d xf (x0).
Prıklad.
f (x) = x2, x0 = 3
limh→0(3+h)2−32
h =
= limh→09+6h+h2−9
h =
= limh→06h+h2
h =
= limh→0(6 + h) = 6,
tedy f ′(3) = 6
3. prednaska (6.10.2009) Matematika 1 4 / 16
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
x
y
x0
x0+h
f(x0)
f(x0+h)
f(x0+h)−f(x
0)
h
α
−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
x0 x
0+h
f(x0)
f(x0+h)
teènaseèna
0 0.5 1 1.5 2−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
y
x
γα
β
Smernicova rovnice prımky v rovine y = kx + q, kde k = tgα.
Derivace je smernice tecny grafu funkce f v bode x0.Rovnice tecny grafu funkce f v bode x0 je tedy
y = f ′(x0)x + q
y = f (x0) + f ′(x0)(x − x0).
Uhel dvou krivek (tedy uhel, pod kterym se protınajı dve krivky) γ - ze 2 smernic k1, k2 tecen 2krivek v bode pruniku
γ = arctg∣∣∣∣ k1 − k2
1 + k1k2
∣∣∣∣ ,jestlize k1k2 6= −1. (Jestlize k1k2 = −1, je uhel α = π/2.)Dukaz:
tg(γ) = tg(β − α) =sin(β − α)
cos(β − α)=
sinβ cosα− sinα cosβcosβ cosα+ sinβ sinα
=tgβ − tgα
1 + tgαtgβ.
3. prednaska (6.10.2009) Matematika 1 5 / 16
−1 −0.5 0 0.5 1−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 D(f) = R
0
f’(0)+=1f’(0)
−=−1
f(x) = |x|
−1 0 1 2 3 4−0.5
0
0.5
1
1.5
D(f) = <0,π>
π
f(x) = sin(x)1/2
0
f’(0)+=∞
Jednostranna derivace.
Derivace funkce f v bode x0 zleva je f ′−(x0) = limh→0−f (x0+h)−f (x0)
h ,
derivace funkce f v bode x0 zprava je f ′+(x0) = limh→0+
f (x0+h)−f (x0)h .
Prıklad.(√
sin(x))′
+|x=0 = limh→0+
√sin(h)
h = limh→0+
√sin(h)
h · 1√h
= 1 · ∞ =∞.
Funkce f ma derivaci v bode x0, prave kdyz existujı obe jednostranne derivace v bode x0 a jsou sirovny. Potom
f ′(x0) = f ′−(x0) = f ′+(x0).
3. prednaska (6.10.2009) Matematika 1 6 / 16
Zapamatujme si nasledujıcı dulezite tvrzenı.
VetaMa-li funkce vlastnı (konecnou) derivaci v bode x0 ∈ D(f ), je v tomto bode spojita. Opacnaimplikace neplatı.
Dukaz.Necht x0 ∈ D(f ) a necht f ′(x0) existuje. Pak funkce f je definovana na nejakem okolı bodu x0 aplatı
f ′(x0) = limx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0,
tedy
limx→x0
f (x) = limx→x0
(f (x0) +
f (x)− f (x0)
x − x0(x − x0)
)= lim
x→x0f (x0)+ lim
x→x0
f (x)− f (x0)
x − x0· limx→x0
(x−x0) =
= f (x0) + f ′(x0) · 0 = f (x0).
Tım je spojitost dokazana.
Naopak napr. funkce g(x) = |x | je spojita, ale v bode x0 = 0 nema derivaci, resp. derivace zlevaje −1 a derivace zprava je 1, tedy derivace v bode x0 = 0 neexistuje.
3. prednaska (6.10.2009) Matematika 1 7 / 16
Derivace na intervalu.Rekneme, ze funkce f ma derivaci na intervalu (a, b), jestlize ma derivaci v kazdem bode xintervalu (a, b). Derivaci na intervalu znacıme
f ′ nebod fd x
.
Jak derivaci spocıtat ?Pro elementarnı funkce lze odvodit vzorce. Prıklad.
(x2)′|x=x0 = limh→0
(x0 + h)2 − x20
h=
= limh→0
2x0h + h2
h=
= limh→0
2x0 + limh→0
h =
= 2x0,
(sin(x))′|x=x0 = limh→0
sin(x0 + h)− sin(x0)
h=
= limh→0
sin h2 · cos 2x0+h
2h2
=
= cos(x0)
3. prednaska (6.10.2009) Matematika 1 8 / 16
Tabulka derivacı.x je promenna z definicnıho oboru dane funkce, a je realna konstanta, n je celocıselna konstanta,
(a)′ = 0,
x ′ = 1, (x2)′ = 2x , . . . , (xn)′ = nxn−1 pro x ∈ R
(xn)′ = nxn−1 pro x 6= 0, n < 0
(xa)′ = axa−1 pro x > 0
(sin x)′ = cos x , (cos x)′ = − sin x , (tg x)′ =1
cos2 x, (cotg x)′ =
−1sin2 x
(arcsinx)′ =1√
1− x2, (arccosx)′ =
−1√1− x2
, (arctgx)′ =1
1 + x2, (arccotgx)′ =
−11 + x2
,
(ex )′ = ex , (ax )′ = ax ln a, (ln |x |)′ =1x, (loga x)′ =
1x ln a
.
3. prednaska (6.10.2009) Matematika 1 9 / 16
Pro vypocet derivacı platı nasledujıcı obecna pravidla (zde f , g jsou funkce, c je realna konstanta)
(cf )′ = cf ′,
(f + g)′ = f ′ + g′,
(fg)′ = f ′g + fg′,(fg
)′=
f ′g − fg′
g2.
Prıklad.(7x3)′ = 21x2,
(sin(x)−√
x)′ = cos(x)−12
1√
x,
(x5 ln x)′ = 5x4 ln x + x5 ·1x
= 5x4 ln x + x4,(e3x
x + 1
)′=
3e3x (x + 1)− e3x
(x + 1)2=
e3x (3x + 2)
(x + 1)2.
3. prednaska (6.10.2009) Matematika 1 10 / 16
Vetaa) Jestlize existujı derivace g′(x) a f ′(g(x)), je derivace slozene funkce (f o g)(x)
(f o g)′ (x) = (f (g(x))′ = f ′(g(x))g′(x).
b) Jestlize existuje derivace f ′(f−1(x)), je derivace inverznı funkce (f−1)′(x)(f−1)′
(x) =1
f ′(f−1(x)).
Prıklad. a) (sin(x3))′ = cos(x3)3x2, b) (ln x)′ = 1eln x = 1
x
Dukaz.Pouze naznacenı dukazu. Pocıtejme limitu
limh→0
f (g(x + h))− f (g(x))
h= lim
h→0
f (g(x + h))− f (g(x))
g(x + h)− g(x)
g(x + h)− g(x)
h= · · · = f ′(g(x))g′(x).
Pocıtejme
limh→0
f−1(x + h)− f−1(x)
x + h − x= lim
s→0
y + s − yf (y + s)− f (y)
=1
f ′(y)=
1f ′(f−1(x))
.
3. prednaska (6.10.2009) Matematika 1 11 / 16
Cvicenı.
(x2 + cos x)′,
(x2 cos x)′,
(ex tg x)′,
(x ex sin x)′,(sin xln x
)′,
(sin 4x)′,
(sin(ex + 2x))′,(4√
x)′,(
arctg1x
)′.
3. prednaska (6.10.2009) Matematika 1 12 / 16
Cvicenı.
(x2 + cos x)′ = (derivace souctu) = 2x − sin x ,
(x2 cos x)′,
(ex tg x)′,
(x ex sin x)′,(sin xln x
)′,
(sin 4x)′,
(sin(ex + 2x))′,(4√
x)′,(
arctg1x
)′.
3. prednaska (6.10.2009) Matematika 1 12 / 16
Cvicenı.
(x2 + cos x)′ = 2x − sin x ,
(x2 cos x)′ = (derivace soucinu) = 2x cos x − x2 sin x ,
(ex tg x)′,
(x ex sin x)′,(sin xln x
)′,
(sin 4x)′,
(sin(ex + 2x))′,(4√
x)′,(
arctg1x
)′.
3. prednaska (6.10.2009) Matematika 1 12 / 16
Cvicenı.
(x2 + cos x)′ = 2x − sin x ,
(x2 cos x)′ = 2x cos x − x2 sin x ,
(ex tg x)′ = (derivace soucinu) = ex tgx + ex 1cos2 x
,
(x ex sin x)′,(sin xln x
)′,
(sin 4x)′,
(sin(ex + 2x))′,(4√
x)′,(
arctg1x
)′.
3. prednaska (6.10.2009) Matematika 1 12 / 16
Cvicenı.
(x2 + cos x)′ = 2x − sin x ,
(x2 cos x)′ = 2x cos x − x2 sin x ,
(ex tg x)′ = ex tgx + ex 1cos2 x
,
(x ex sin x)′ = soucin 3 = ex sin x + x(ex sin x + ex cos x) = ex sin x + xex sin x + xex cos x ,(sin xln x
)′,
(sin 4x)′,
(sin(ex + 2x))′,(4√
x)′,(
arctg1x
)′.
3. prednaska (6.10.2009) Matematika 1 12 / 16
Cvicenı.
(x2 + cos x)′ = 2x − sin x ,
(x2 cos x)′ = 2x cos x − x2 sin x ,
(ex tg x)′ = ex tgx + ex 1cos2 x
,
(x ex sin x)′ = ex sin x + x(ex sin x + ex cos x) = ex sin x + xex sin x + xex cos x ,(sin xln x
)′= (derivace podılu) =
cos x ln x − sin x 1x
ln2 x,
(sin 4x)′,
(sin(ex + 2x))′,(4√
x)′,(
arctg1x
)′.
3. prednaska (6.10.2009) Matematika 1 12 / 16
Cvicenı.
(x2 + cos x)′ = 2x − sin x ,
(x2 cos x)′ = 2x cos x − x2 sin x ,
(ex tg x)′ = ex tgx + ex 1cos2 x
,
(x ex sin x)′ = ex sin x + x(ex sin x + ex cos x) = ex sin x + xex sin x + xex cos x ,(sin xln x
)′=
cos x ln x − sin x 1x
ln2 x,
(sin 4x)′ = (derivace slozene funkce) = 4 cos 4x ,
(sin(ex + 2x))′,(4√
x)′,(
arctg1x
)′.
3. prednaska (6.10.2009) Matematika 1 12 / 16
Cvicenı.
(x2 + cos x)′ = 2x − sin x ,
(x2 cos x)′ = 2x cos x − x2 sin x ,
(ex tg x)′ = ex tgx + ex 1cos2 x
,
(x ex sin x)′ = ex sin x + x(ex sin x + ex cos x) = ex sin x + xex sin x + xex cos x ,(sin xln x
)′=
cos x ln x − sin x 1x
ln2 x,
(sin 4x)′ = 4 cos 4x ,
(sin(ex + 2x))′ = (derivace slozene funkce) = cos(ex + 2x)) · (ex + 2),(4√
x)′,(
arctg1x
)′.
3. prednaska (6.10.2009) Matematika 1 12 / 16
Cvicenı.
(x2 + cos x)′ = 2x − sin x ,
(x2 cos x)′ = 2x cos x − x2 sin x ,
(ex tg x)′ = ex tgx + ex 1cos2 x
,
(x ex sin x)′ = ex sin x + x(ex sin x + ex cos x) = ex sin x + xex sin x + xex cos x ,(sin xln x
)′=
cos x ln x − sin x 1x
ln2 x,
(sin 4x)′ = 4 cos 4x ,
(sin(ex + 2x))′ = cos(ex + 2x)) · (ex + 2),(4√
x)′
= (derivace slozene funkce) =(
e√
x ln 4)′
= e√
x ln 4 ln 42√
x= 4√
x ln 42√
x,(
arctg1x
)′.
3. prednaska (6.10.2009) Matematika 1 12 / 16
Cvicenı.
(x2 + cos x)′ = 2x − sin x ,
(x2 cos x)′ = 2x cos x − x2 sin x ,
(ex tg x)′ = ex tgx + ex 1cos2 x
,
(x ex sin x)′ = ex sin x + x(ex sin x + ex cos x) = ex sin x + xex sin x + xex cos x ,(sin xln x
)′=
cos x ln x − sin x 1x
ln2 x,
(sin 4x)′ = 4 cos 4x ,
(sin(ex + 2x))′ = cos(ex + 2x)) · (ex + 2),(4√
x)′
= e√
x ln 4 ln 42√
x= 4√
x ln 42√
x,(
arctg1x
)′= (derivace slozene funkce) =
11 + 1
x2
·−1x2
=−1
x2 + 1.
3. prednaska (6.10.2009) Matematika 1 12 / 16
Cvicenı.
(x2 + cos x)′ = 2x − sin x ,
(x2 cos x)′ = 2x cos x − x2 sin x ,
(ex tg x)′ = ex tgx + ex 1cos2 x
,
(x ex sin x)′ = ex sin x + x(ex sin x + ex cos x) = ex sin x + xex sin x + xex cos x ,(sin xln x
)′=
cos x ln x − sin x 1x
ln2 x,
(sin 4x)′ = 4 cos 4x ,
(sin(ex + 2x))′ = cos(ex + 2x)) · (ex + 2),(4√
x)′ (
e√
x ln 4)′
= e√
x ln 4 ln 42√
x= 4√
x ln 42√
x,(
arctg1x
)′=
11 + 1
x2
·−1x2
=−1
x2 + 1.
3. prednaska (6.10.2009) Matematika 1 12 / 16
Uzitecnym trikem pro vypocet derivace vyrazu typu f (x)g(x) je prevedenı vyrazu podle vztahu
ab = eb ln a
a (f (x)g(x)
)′=(
eg(x) ln f (x))′
= eg(x) ln f (x)
(g′(x) ln f (x) +
g(x)f ′(x)
f (x)
)=
= f (x)g(x)
(g′(x) ln f (x) +
g(x)f ′(x)
f (x)
).
Prıklad.(xsin x
)′=(
esin x ln x)′
= esin x ln x ·(
cos x ln x + sin x1x
)= xsin x
(cos x ln x +
1x
sin x).
3. prednaska (6.10.2009) Matematika 1 13 / 16
Dva dulezite prıklady.
Funkcef (x) = |x |
je spojita na D(f ) = R, ale derivace f ′(x) je definovana pouze na D(f ′) = R \ {0}.Funkce
g(x) = x2 sin1x
je definovana na R \ {0}, ale lze spojite dodefinovat v bode x = 0, a to hodnotou 0. TedyD(g) = R. Pro derivaci platı
g′(x) = 2x sin1x− cos
1x
pro x 6= 0. V bode x = 0 je derivace
g′(0) = limx→0
g(x)− 0x − 0
= limx→0
x2 sin 1x
x= lim
x→0x sin
1x
= 0.
Tedy D(g′) = R, ale g′ nenı spojita v bode x = 0, protoze
limx→0
(2x sin
1x− cos
1x
)neexistuje.
3. prednaska (6.10.2009) Matematika 1 14 / 16
Prıklad. Pozice bodu pohybujıcıho se po prımce s(t) v case t . Zmena pozice ku delce casovehointervalu udava prumernou rychlost bodu
vp =s(t2)− s(t1)
t2 − t1.
Limita tohoto podılu pro t2 → t1
limt2→t1
s(t2)− s(t1)
t2 − t1
(= lim
h→0
s(t1 + h)− s(t1)
h
)je hodnotou okamzite rychlosti v case t1, s′(t1). (Okamzite zrychlenı v case t1 je s′′(t1).)
Prıklad. Polomer kruhu se rovnomerne zvetsuje stalou rychlostı v[m
s
]. Jakou rychlostı (v
jednotkach[
m2
s
]) se zvetsuje obsah tohoto kruhu?
Oznacme r(t) polomer kruhu v case t .
Obsah kruhu v case t je pak S(t) = πr(t)2.
(Prırustek obsahu od casu t1 do casu t2 je S(t2)− S(t1).)
Okamzita rychlost zmeny obsahu v case t1 jeS′(t) = (πr(t)2)′ = pravidla . . . = 2πr(t)r ′(t) = 2πr(t)v .
3. prednaska (6.10.2009) Matematika 1 15 / 16
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.5
0
0.5
1
v
aS
Prıklad. Dostredive zrychlenı.Necht pozice bodu v case t ma souradnice (x(t), y(t)),
x(t) = r cos(ct)
y(t) = r sin(ct),
kde c, r jsou realne konstanty.
Pak vektor okamzite rychlosti je
v(t) = (−c r sin(ct), c r cos(ct))
a vektor okamziteho (dostrediveho) zrychlenı je
a(t) = (−c2r cos(ct), −c2r sin(ct)).
Prıklad. Rychlost a zrychlenı bodu bohybujıcıho se po sroubovici,x(t) = r cos(ct)y(t) = r sin(ct)z(t) = bt ,kde b, c, r jsou realne konstanty.
3. prednaska (6.10.2009) Matematika 1 16 / 16