matematika 1 - mat.fsv.cvut.czmat.fsv.cvut.cz/ivana/p11ver3.pdf · 11. pˇredn ´aˇska...
TRANSCRIPT
Matematika 1
11. prednaska
MA1
1 Opakovanı
2 Determinant
3 Adjungovana matice
4 Cramerovo pravidlo
5 Vlastnı cısla a vlastnı vektory matic
6 Zkouska; konzultace; vyberova matematika; . . .
11. prednaska (15.12.2010) Matematika 1 1 / 29
AMOS - prihlasovanı na zkousky
”predtermın” se nekona
strany skript 49 - 61
11. prednaska (15.12.2010) Matematika 1 2 / 29
1 Opakovanı
2 Determinant
3 Adjungovana matice
4 Cramerovo pravidlo
5 Vlastnı cısla a vlastnı vektory matic
6 Zkouska; konzultace; vyberova matematika; . . .
11. prednaska (15.12.2010) Matematika 1 3 / 29
OpakovanıOperace s maticemi . . .Soucet matic (
a bc d
)+
(1 −10 3
)=
(a + 1 b − 1
c d + 3
),
skalarnı nasobek matice (ev. vytykanı)
15(
a bc d
)=
(15 a 15 b15 c 15 d
),
transpozice matice (a bc d
)T=
(a cb d
).
Soucin matic (nekomutativnı !!!) (a bc d
) (1 −10 3
)=
Nulova matice a jednotkova matice(0 0 00 0 0
),
(1 00 1
).
11. prednaska (15.12.2010) Matematika 1 4 / 29
OpakovanıOperace s maticemi . . .Soucet matic (
a bc d
)+
(1 −10 3
)=
(a + 1 b − 1
c d + 3
),
skalarnı nasobek matice (ev. vytykanı)
15(
a bc d
)=
(15 a 15 b15 c 15 d
),
transpozice matice (a bc d
)T=
(a cb d
).
Soucin matic (nekomutativnı !!!)(a bc d
) (1 −10 3
)=
(a −a + 3bc −c + 3d
).
Nulova matice a jednotkova matice(0 0 00 0 0
),
(1 00 1
).
11. prednaska (15.12.2010) Matematika 1 4 / 29
OpakovanıInverznı matice.
”(A |E) → (E |A−1)”,
(1 2 1 0−3 −2 0 1
)∼(
1 2 1 00 4 3 1
)∼(
1 2 1 00 1 3
414
)∼
∼(
1 0 − 12 − 1
20 1 3
414
).
AX = E .
Maticove rovnice.
XA + 7X = B − XB
XA + 7X + XB = B
X(A + 7E + B) = B
a bud a) resit soustavu X(A + 7E + B) = B (neboli (A + 7E + B)T X T = BT ),nebo b) vypocıtat X = B(A + 7E + B)−1, jestlize je matice A + 7E + B regularnı.
11. prednaska (15.12.2010) Matematika 1 5 / 29
1 Opakovanı
2 Determinant
3 Adjungovana matice
4 Cramerovo pravidlo
5 Vlastnı cısla a vlastnı vektory matic
6 Zkouska; konzultace; vyberova matematika; . . .
11. prednaska (15.12.2010) Matematika 1 6 / 29
Permutace usporadane n-tice prvku 1, 2, 3, . . . , n.
Inverze je dvojice cısel v permutaci, pro kterou platı, ze hodnoty jsou v opacne relaci nez pozice.Pocet inverzı v permutaci (s1, s2, . . . , sn) oznacıme P(s1, s2, . . . , sn).
Napr. (1, 3, 2, 4) ma jen jednu inverzi (3, 2), tedy P(1, 3, 2, 4) = 1.Napr. P(2, 3, 1, 4, 5, 6, 7) = 2.
Znamenı permutace je (−1)P(s1,s2,...,sn).
Napr.(−1)P(2,1,3) = −1, (−1)P(1,2,3) = 1, . . . .
DefiniceJe-li A ctvercova matice typu n × n, je jejı determinant
det A =∑
(s1,s2...,sn)
(−1)P(s1,s2...,sn)a1,s1 a2,s2 . . . an,sn ,
kde scıtame pres vsechny permutace (s1, s2 . . . , sn) cısel (1, 2 . . . , n) (pocet scıtancu ve vzorci jetedy n!).
Cıslo P(s1, s2 . . . , sn) je pocet inverzı v permutaci (s1, s2 . . . , sn).
11. prednaska (15.12.2010) Matematika 1 7 / 29
Determinant matice typu 1× 1 je hodnota jedineho prvku matice.Determinant matice typu 2× 2 je
det A = a11a22 − a12a21.
Determinant matice typu 3× 3 je
det A = a11a22a33 + a13a21a32 + a12a23a31 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32.
Pro snadne zapamatovanı dvou poslednıch vzorcu, muzeme pouzıt nasledujıcı schemata
det A =
(× .. ×
)−(
. ×× .
),
det A =
× . .. × .. . ×
+
. × .. . ×× . .
+
. . ×× . .. × .
−
. . ×. × .× . .
− . × .× . .. . ×
− × . .
. . ×
. × .
.
11. prednaska (15.12.2010) Matematika 1 8 / 29
det A =
(× .. ×
)−(
. ×× .
),
det A =
× . .. × .. . ×
+
. × .. . ×× . .
+
. . ×× . .. × .
−
. . ×. × .× . .
− . × .× . .. . ×
− × . .
. . ×
. × .
.
Naprıklad pro
A =
(7 2−3 1
), B =
7 2 −1−3 1 0
1 3 5
je
det A = 7 · 1− (−3) · 2 = 13,
det B = 7 · 1 · 5 + 2 · 0 · 1 + (−3) · 3 · (−1)− 1 · 1 · (−1)− 2 · (−3) · 5− 7 · 3 · 0 = 75.
11. prednaska (15.12.2010) Matematika 1 9 / 29
−1 0 1 2 3 4 5 6 7−1
0
1
2
3
4
5
[1,3]
[5,1]
−1 0 1 2 3 4 5
02
4
0
1
2
3
4
5
6
7
[1,3,7]
[−2,8,2]
[5,−1,1]
[0,0,0]
VetaAbsolutnı hodnota determinantu matice typu 2× 2 je rovna obsahu rovnobeznıka urcenehovektory, ktere jsou radky (nebo sloupce) matice.
Absolutnı hodnota determinantu matice typu 3× 3 je rovna objemu rovnobeznostenu urcenehovektory, ktere jsou radky (nebo sloupce) matice.
det(
1 35 1
), det
1 3 75 −1 1−2 8 2
11. prednaska (15.12.2010) Matematika 1 10 / 29
VetaPro determinanty matic platı nasledujıcı
a) det AB = det A det B;
b) det A = det AT ;
c) je-li A regularnı, je det A−1 = 1det A ;
d) A je regularnı, prave kdyz det A 6= 0;
e) jestlize B vznikne z A prohozenım dvou ruznych radku nebo sloupcu, je det B = − det A;
f) jestlize B vznikne z A vynasobenım radku nebo sloupce cıslem s, je det B = s det A;
g) jestlize B vznikne z A prictenım libovolneho nasobku radku (sloupce) k jinemu radku(sloupci), je det B = det A.
Napr.
det(
1 10 3
)= − det
(0 31 1
), . . . 3 = −(−3),
det(
1 10 3
)= det
(1 15 8
), . . . 3 = 3.
Jak pomocı vypoctu detereminantu pozname, ze sada 2 resp. 3 vektoru z R2 resp. R3 je bazı ?
11. prednaska (15.12.2010) Matematika 1 11 / 29
Budeme pouzıvat nasledujıcı oznacenı.
Aki je matice (submatice matice A), ktera vznikne z A vynechanım k -teho radku a i-teho sloupce.
Matice Aki je take ctvercova (ale mensı nez A), a tedy muzeme pocıtat jejı determinant.
Napr. pro
A =
1 1 00 3 2−1 0 7
je
det A12 = det(
0 2−1 7
)= 0 · 7− (−1) · 2 = 2,
det A33 = det(
1 10 3
)= 1 · 3− 0 · 1 = 3
Platıdet A = a11 · det A11 − a12 · det A12 + a13 · det A13.
11. prednaska (15.12.2010) Matematika 1 12 / 29
Pro vypocet determinantu matice A muzeme pouzıt nasledujıcı pravidlo.
VetaNecht A je matice typu n × n a 1 ≤ k ≤ n. Potom
det A =n∑
i=1
(−1)k+i aki det Aki .
Uvedeny vzorec pro vypocet determinantu se nazyva rozvoj determinantu podle k -teho radku.
Obdobne lze toto pravidlo formulovat pro sloupce (rozvoj determinantu podle k -teho sloupce).
Napr. spocteme usporne determinant matice A,
A =
7 2 −1−3 0 0
1 3 5
.
Ve druhem radku je ”hodne nulovych prvku”, pouzijeme tedy rozvoj determinantu podle druhehoradku,
det A = (−1)2+1 · (−3) · det A21 = 3 · (2 · 5− 3 · (−1)) = 39.
11. prednaska (15.12.2010) Matematika 1 13 / 29
1 Opakovanı
2 Determinant
3 Adjungovana matice
4 Cramerovo pravidlo
5 Vlastnı cısla a vlastnı vektory matic
6 Zkouska; konzultace; vyberova matematika; . . .
11. prednaska (15.12.2010) Matematika 1 14 / 29
Oznacme Adj A matici slozenou z determinantu vyse uvedenych submatic Aij
Adj A =
det A11 − det A21 . . . (−1)n+1 det An1− det A12 det A22 . . . (−1)n+2 det An2. . . . . . . . . . . .
(−1)1+n det A1n (−1)2+n det A2n . . . det Ann
,
cili na pozici (i, j) je cıslo(−1)i+j det Aji .
Matici Adj A nazyvame maticı adjungovanou k matici A.
Naprıklad pro matice
A =
(7 2−5 1
), B =
7 2 −1−3 1 0
1 3 5
jsou matice adjungovane
Adj A =
(1 −25 7
), Adj B =
5 −13 115 36 3−10 −19 13
.
11. prednaska (15.12.2010) Matematika 1 15 / 29
Veta
Pro ctvercovou matici A platıA · AdjA = AdjA · A = det A · E .
Dukaz.Pro soucin
B = A · Adj A
platı, ze bii = det A a bij pro i 6= j je roven determinantu matice, ktera ma dva stejne radky, tedynule.
Veta
Je-li A regularnı, platı
A−1 =1
det AAdj A.
Tedy naprıklad (7 2−3 1
)−1=
113
(1 −23 7
).
11. prednaska (15.12.2010) Matematika 1 16 / 29
1 Opakovanı
2 Determinant
3 Adjungovana matice
4 Cramerovo pravidlo
5 Vlastnı cısla a vlastnı vektory matic
6 Zkouska; konzultace; vyberova matematika; . . .
11. prednaska (15.12.2010) Matematika 1 17 / 29
Adjungovane matice lze vyuzıt take k vyjadrenı resenı soustavy linearnıch rovnic.
Veta(Cramerovo pravidlo) Mejme soustavu rovnic
Ax = b
s regularnı maticı A. Potom
xi =1
det Adet Bi ,
kde Bi je matice A, ve ktere byl i-ty sloupec vymenen za vektor prave strany b.
Dukaz.Jestlize Ax = b, potom
x = A−1b =1
det A(AdjA) b,
specialne i-ta slozka resenı je
xi =1
det A((AdjA)i1b1 + (AdjA)i2b2 + · · ·+ (AdjA)inbn) =
=1
det A((−1)i+1b1detA1i + (−1)i+2b2detA2i + · · ·+ (−1)i+nbndetAni ) =
1det A
det Bi ,
kde Bi je matice A, ve ktere byl i-ty sloupec vymenen za vektor prave strany b. Pouzili jsme rozvojdeterminantu podle i-teho sloupce.
11. prednaska (15.12.2010) Matematika 1 18 / 29
Prıklad. Pomocı Cramerova pravidla urceme naprıklad poslednı slozku resenı v rovnici 1 0 10 2 11 1 1
x1x2x3
=
413
.
Determinant matice soustavy je det A = 2 + 0 + 0− 2− 0− 1 = −1.
Determinant matice soustavy, kde je poslednı sloupec vymenen za vektor prave strany 1 0 40 2 11 1 3
je det B3 = 6 + 0 + 0− 8− 1 = −3.
Resenı x3 je tedy
x3 =det B3
det A=−3−1
= 3.
11. prednaska (15.12.2010) Matematika 1 19 / 29
Vypocet inverznı matice pomocı matice adjungovane
i resenı soustavy rovnic pomocı Cramerova pravidla
jsou pro rozsahlejsı ulohy nepouzitelne !
11. prednaska (15.12.2010) Matematika 1 20 / 29
1 Opakovanı
2 Determinant
3 Adjungovana matice
4 Cramerovo pravidlo
5 Vlastnı cısla a vlastnı vektory matic
6 Zkouska; konzultace; vyberova matematika; . . .
11. prednaska (15.12.2010) Matematika 1 21 / 29
V mnoha inzenyrskych vypoctech se objevuje potreba pocıtat jeste dalsı charakteristiky maticnızkych i vysokych radu.
Definice
Necht A je ctvercova matice. Cıslo λ, pro ktere ma rovnice
Ax = λx
aspon jedno nenulove resenı x (tedy x 6= (0, 0, . . . , 0)), se nazyva vlastnı cıslo matice A.
Vektor x, ktery je tım nenulovym resenım je vlastnı vektor matice A.
Napr. (2 30 7
) (35
)= 7
(35
).
Hledanı vlastnıch cısel a vlastnıch vektoru . . .
. . . urcovanı hlavnıch smeru napetı, vlastnıch frekvencı nebo meznıch zatızenı systemu.
Rozlozenı vlastnıch cısel matic ma vliv na rychlost resenı a presnost vysledku pri resenı velkychsoustav linearnıch rovnic na pocıtaci.
11. prednaska (15.12.2010) Matematika 1 22 / 29
Odvodıme prakticky vypocet vlastnıho cısla matice A typu n × n.
Veta
Cıslo λ je vlastnım cıslem matice A, prave kdyz je λ korenem polynomu det(A− λE).
Dukaz.Platı
Ax = λx ,
neboli(A− λE)x = 0
a pritom x 6= (0, 0, . . . , 0)T , prave kdyz matice A− λE je singularnı, a tedy
det(A− λE) = 0.
Cıslo λ tedy spocteme tak, ze vyresıme rovnici det(A− λE) = 0 vzhledem k λ. Rovnice senazyva charakteristicka rovnice matice A. Vyraz
p(λ) = det(A− λE)
je polynomem n-teho stupne v promenne λ a nazyva se chrakteristicky polynom matice A.Ma nejvyse n ruznych korenu, a tedy je nejvyse n vlastnıch cısel, obecne komplexnıch.
11. prednaska (15.12.2010) Matematika 1 23 / 29
Vypocteme vlastnı cısla a prıslusne vlastnı vektory matice
A =
(2 31 0
).
Charakteristicky polynom matice A je determinant matice
A− λE =
(2− λ 3
1 −λ
),
p(λ) = det(A− λE) = (2− λ)(−λ)− 3 = λ2 − 2λ− 3 = (λ− 3)(λ+ 1),
tedy vlastnı cısla matice A jsouλ1 = −1, λ2 = 3.
Urcıme take vlastnı vektory. Dosadıme λ1 = −1 do matice A− λI a resıme
(A− λ1E) =
(3 31 1
)(v1v2
)=
(00
).
Dostaneme v = (1,−1)T (a vsechny jeho nenulove nasobky). Podobne pro λ2 = 3 zjistımeresenı
(A− λ2E)u =
(−1 3
1 −3
)(u1u2
)=
(00
).
Zjistıme, ze u = (3, 1)T (a vsechny jeho nenulove nasobky).
11. prednaska (15.12.2010) Matematika 1 24 / 29
Pro vlastnı cısla matic platı mnoho zajımavych tvrzenı.
VetaDeterminant matice je soucinem jejıch vlastnıch cısel. (Tedy jestlize je jedno z nich nula, je nulovyi determinant.)
VetaCayleyova-Hamiltonova veta. Dosadıme-li do charakterisktickeho polynomu matice A matici A zapromennou λ, dostaneme nulovou matici.
VetaSoucet diagonalnıch prvku matice (tzv. stopa matice) je roven souctu vlastnıch cısel matice.
11. prednaska (15.12.2010) Matematika 1 25 / 29
Prıklady.
1. Jaky determinant ma jednotkova matice?
2. Jaky je determinant diagonalnı matice?
3. Jaky je determinant hornı trojuhelnıkove matice?
4. Jaka je obecne inverznı matice k regularnı matici
A =
(a bc d
)?
5. Jaka vlastnı cısla ma matice
A =
(7 310 5
)?
11. prednaska (15.12.2010) Matematika 1 26 / 29
1 Opakovanı
2 Determinant
3 Adjungovana matice
4 Cramerovo pravidlo
5 Vlastnı cısla a vlastnı vektory matic
6 Zkouska; konzultace; vyberova matematika; . . .
11. prednaska (15.12.2010) Matematika 1 27 / 29
Zkouska: 120 minut, sesite papıry, . . .
Odpovedi na otazky - vetami.
Nasledujıcı den: nahledy, zkousenı na A, zapis znamky do indexu.
Vyberova Matematika 2 . . . web Katedry matematiky
Vycichlova soutez v matematice, aplikovane matematice a geometrii, kveten
Rektorysova soutez v aplikovane matematice, listopad
Kapitoly ze soucasne matematiky XKSM,
seminar
. . . web Katedry matematiky
11. prednaska (15.12.2010) Matematika 1 28 / 29
Zkouska: 120 minut, sesite papıry, . . .
Odpovedi na otazky - vetami.
Nasledujıcı den: nahledy, zkousenı na A, zapis znamky do indexu.
Vyberova Matematika 2 . . . web Katedry matematiky
Vycichlova soutez v matematice, aplikovane matematice a geometrii, kveten
Rektorysova soutez v aplikovane matematice, listopad
Kapitoly ze soucasne matematiky XKSM,
seminar
. . . web Katedry matematiky
11. prednaska (15.12.2010) Matematika 1 28 / 29
Zkouska: 120 minut, sesite papıry, . . .
Odpovedi na otazky - vetami.
Nasledujıcı den: nahledy, zkousenı na A, zapis znamky do indexu.
Vyberova Matematika 2 . . . web Katedry matematiky
Vycichlova soutez v matematice, aplikovane matematice a geometrii, kveten
Rektorysova soutez v aplikovane matematice, listopad
Kapitoly ze soucasne matematiky XKSM,
seminar
. . . web Katedry matematiky
11. prednaska (15.12.2010) Matematika 1 28 / 29
Katedra matematiky
predmet YZAI (Zaklady informatiky)
MATLAB
SCILAB - volne
11. prednaska (15.12.2010) Matematika 1 29 / 29