matematika 3 - pomocni materijal za pripremu ispita - usmeni
DESCRIPTION
analiza,koลกijev nizTRANSCRIPT
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
1
1. Definicija skupa C, algebarske operacije u C, oblici kompleksnog broja
Definicja. Skup kompleksnih brojeva je skup โ = ๐, ๐ : ๐ โ โ โง ๐ โ โ , dakle skup ฤiji su
elementi ureฤeni parovi realnih brojeva, za koje se jednakost, sabiranje i mnoลพenje, respektivno,
definiลกu slijedeฤim relacijama:
๐, ๐ ๐1
= ๐, ๐ ๐2
โ ๐ = ๐ โง ๐ = ๐ , ๐ก๐. ๐ ๐ ๐ง1 = ๐ ๐ ๐ง2 โง ๐ผ๐ ๐ง1 = ๐ผ๐ ๐ง2
๐, ๐ + ๐, ๐ = (๐ + ๐, ๐ + ๐)
๐, ๐ โ ๐, ๐ = (๐๐ โ ๐๐, ๐๐ + ๐๐)
๐ผ ๐, ๐ = ๐ผ๐, ๐ผ๐ , ๐ผ โ โ
Na osnovu ovih osobina skupa โ, zakljuฤuje se da je (โ, +, โ ) polje, u algebarskom smislu. Element
0,0 je neutralni element za sabiranje, a 1,0 je neutralni (jediniฤni) element za mnoลพenje.
โ๐, โ๐ je suprotni element elementa ๐, ๐ za sabiranje.
Oduzimanje i dijeljenje kompleksnih brojeva su operacije inverzne operacijama sabiranja i
mnoลพenja. Ako su ๐ง1 = ๐, ๐ i ๐ง2 = (๐, ๐) oznaฤimo dva kompleksna broja tada je:
๐ง1 โ ๐ง2 โ ๐ง1 + โ๐2 = ๐, ๐ + โ๐, โ๐ = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐)
๐ง2 โ ๐ง = ๐ง2 โ ๐ง =๐2
๐2 , ๐ง2 โ 0 , 0 0,0 , ๐ง = ๐ฅ, ๐ฆ
๐, ๐ โ ๐ฅ, ๐ฆ = ๐, ๐
๐๐ฅ โ ๐๐ฆ, ๐๐ฆ + ๐๐ฅ = ๐, ๐ ๐ท๐ฅ = ๐ โ๐๐ ๐
= ๐๐ + ๐
๐๐ฅ โ ๐๐ฆ = ๐ , ๐๐ฅ + ๐๐ฆ = ๐ , ๐ท๐ฆ = ๐ ๐๐ ๐
= ๐๐ โ ๐๐ , ๐ง๐ ๐ ๐ฃ๐ ๐, ๐ โ 0,0 .
๐ท = ๐ โ๐๐ ๐
= ๐2 + ๐2 , ๐ฅ, ๐ฆ =(๐, ๐)
(๐, ๐)=
๐๐ + ๐๐
๐2 + ๐2 ,๐๐ โ ๐๐
๐2 + ๐2
Za sabiranje i mnoลพenje kompleksnih brojeva zakoni komutacije i asocijacije, kao i distributivnost
mnoลพenja prema sabiranju.
Ako 0, 1 oznaฤimo sa ๐ , tada je prema definiciji mnoลพenja kompleksnih brojeva:
0,1 โ 0,1 = 0 โ 0 โ 1 โ 1, 0 โ 1 + 1 โ 0 = โ1,0 = โ1 โ ๐ = 0,1
Neka je ๐ง = ๐, ๐ = ๐, 0 + ๐, ๐ = ๐ 1,0 + ๐ 0,1 = ๐ + ๐๐ , tada ๐ ๐ ๐ง = ๐ predstavlja realni, a
๐ผ๐ ๐ง = ๐ imaginarni dio kompleksnog broja ๐ง.
Oblik ๐ง = ๐, ๐ = ๐ + ๐๐ predstavlja Algebarski ili Gaussov oblik kompleksnog broja.
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
2
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja
๐ = ๐ง = ๐ + ๐๐ = ๐2 + ๐2 - je apsolutna vrijednost ili modul kompleksnog broja.
Ugao ํ = ๐ด๐๐ ๐ง = ๐๐๐๐ง + 2๐๐ ๐ = 0, ยฑ1, ยฑ2, โฆ je argument kompleksnog broja ๐ง = ๐ + ๐๐.
โ๐๐๐๐ง โ (โ๐, ๐) je glavna vrijednost od funkcije ๐ด๐๐ ๐ง.
Uzmemo li u obzir polarne koordinate ๐, ํ neke taฤke ๐ง โ 0, tada je:
๐
๐= cos ํ
๐
๐= sinํ
= ๐ ๐ = ๐ cos ํ , ๐ = ๐ sin ํ , ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐ลพ๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐ก๐ ๐ข
๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ข: ๐ง = ๐, ๐ = ๐ + ๐๐ = ๐ cos ํ + ๐๐ sin ํ
๐ง = ๐ cos ํ + ๐ sin ํ
๐๐ํ = cos ํ + ๐ sinํ โ ๐ง = ๐ โ ๐๐ํ predstavlja EULEROV OBLIK.
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
3
2. Mnozenje, dijeljenje, stepenovanje i korjenovanje kompleksnog broja
Mnoลพenje i dijeljenje preko trigonometrijskog oblika ฤe biti:
๐ง1 โ ๐ง2 = ๐1 cos ํ1 + ๐ sinํ1 โ ๐2 cos ํ2 + ๐ sinํ2 =
= ๐1 โ ๐2 cos ํ1 cos ํ2 โ sin ํ1 sin ํ2 + ๐ sin ํ1 cos ํ2 + cos ํ1 sin ํ2
= ๐1๐2 cos ํ1 + ํ2 + ๐ sin ํ1 + ํ2
๐ง1
๐ง2=
๐1 cos ํ1 + ๐ sin ํ1
๐2 cos ํ2 + ๐ sinํ2 =
๐1 cos ํ1 + ๐ sin ํ1
๐2 cos ํ2 + ๐ sinํ2 โ
cos ํ2 โ ๐ sin ํ2
cos ํ2 โ ๐ sin ํ2=
=๐1
๐2โ cos ํ1 cos ํ2 โ sin ํ1 sin ํ2 + ๐ sinํ1 cos ํ2 + cos ํ1 sin ํ2
cos ํ2 2 + sinํ2 2
=๐1
๐2โ cos ํ1 โ ํ2 + ๐ sin ํ1 โ ํ2
Preko trigonometrijskog oblika je sada moguฤe i vrลกiti stepenovanje kompleksnog broja. Neka je
๐ง = ๐ cos ํ + ๐ sinํ โ ๐ง2 = ๐ง โ ๐ง = ๐2 cos ํ + ๐ sinํ cos ํ + ๐ sinํ = ๐2 cos 2ํ + ๐ sin 2ํ
๐ง3 = ๐3 cos 3ํ + ๐ sin 3ํ
๐ง๐ = ๐๐ cos ๐ํ + ๐ sin ๐ํ , te dolazimo do formule, tzv. MOAVROV OBRAZAC za stepenovanje
kompleksnog broja:
cos ํ + ๐ sin ํ ๐ = cos ๐ํ + ๐ sin ๐ํ
Korijenovanje
Definicija. Broj ๐ je n โ ti korijen kompleksnog broja ๐ง ako je ๐๐ = ๐ง. Tada piลกemo ๐ = ๐ง๐ , ๐ โ โ.
Neka je: ๐ง = ๐ cos ํ + ๐ sin ํ , ๐ = ๐ cos ๐ + ๐ sin ๐
๐ = ๐ง๐ tj. ๐๐ = ๐ง , tada je ๐๐ = ๐๐ cos ๐ + ๐ sin ๐ ๐ = ๐ cos ํ + ๐ sin ํ
โ ๐๐ = ๐ โง cos ๐๐ + ๐ sin ๐๐ = cos ํ + ๐ sin ํ
โ ๐ = ๐๐
โง ๐๐ = ํ + 2๐๐ โ ๐ = ๐๐
โง ๐ =ํ + 2๐๐
๐
Zakljuฤak:
๐ = ๐ง๐ = ๐ cos ๐ + ๐ sin๐ = ๐๐ cosํ + 2๐๐
๐+ ๐ sin
ํ + 2๐๐
๐ , ๐ = 0, ยฑ1, ยฑ2 โฆ , ๐ โ 1
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
4
3. Skupovi tacaka kompl. ravni, oblasti, ๐-okolina konacne tacke, R โ okolina beskrajno daleke tacke
Definicija. Za skup ๐ taฤaka kompleksne ravni kaลพemo da je povezan ako se ma koje dvije taฤke tog
skupa mogu meฤusobno povezati poligonalnom linijom koja ne izlazi iz skupa ๐ . Poligonalna linija je
unija konaฤno mnogo povezanih duลพi. Svaki otvoren i povezan skup nazivamo OBLAST.
Ako oblasti dodamo sve njene rubne taฤke, tada dobijamo zatvorenu oblast.
Definicija. Za skup ๐ taฤaka kompleksne ravni kaลพemo da je ograniฤen ako postoji konstanta ๐ > 0
takva da je โ๐ง โ ๐ ๐ง โค ๐ .
Ograniฤena oblast je prosto povezana ili viลกestruko povezana, u zavisnosti od toga da li je njena granica
povezan ili nepovezan skup. Ako je granica ograniฤene oblasti jedna linija, tada je ona prosto povezana,
a ako granica ograniฤene oblasti nije jedna linija, tada je oblast viลกestruko povezana.
Definicija. Ako je svakoj taฤki oblasti ๐ท pridruลพen isti smisao rotacije, tada je ova oblast
ORIJENTISANA.
Oblast ๐ท je pozitivno orijentisana ako je smisao rotacije pozitivan (suprotan smjeru obrtanja kazeljke na
satu) u suprotnom je negativno orijentisan.
Pozitivno orijentisana jednostruko povezana oblast ๐ท ostaje nam s lijeve strane kada je obilazimo iduฤi
njenim rubom ๐ u pozitivnom smislu.
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
5
Viลกestruko povezana oblast je pozitivno orijentisana ako, kada je obilazimo iduฤi puta ma kojim njenim
rubom, ona ostaje s lijeve strane.
Definicija. Pod ํ โokolinom taฤke ๐ง0 โ โ kompleksne ravni podrazumijevamo skup svih taฤaka ๐ง โ โ,
takvih da je: ๐ง โ ๐ง0 < ํ, tj. skup svih taฤaka koje leลพe unutar kruลพnice polupreฤnika ํ, sa centrom u ๐ง0.
Definicija. Pod ๐ okolinom beskrajno daleke taฤke โ podrazumijevamo sve one taฤke ๐ง โ โ koje se
nalaze izvan kruลพnice ๐ง = ๐ , ili ๐ง โ โ โถ ๐ง > ๐ โ
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
6
4. Navesti i dokazati teoreme koji daju potreban i dovoljan uslov da bi niz kompl. Brojeva konvergirao
Teorem. Da bi niz ๐ง๐ = ๐ฅ๐ + ๐๐ฆ๐ ๐ = 1,2, โฆ konvergirao, potrebno je i dovoljno da konvergira niz
๐ฅ๐ ๐=1โ realnih dijelova, i niz ๐ฆ๐ ๐=1
โ imaginarnih dijelova kompleksnog niza ๐ง๐ ๐=1โ , tj. ako i samo
ako je lim๐โโ ๐ฅ๐ = ๐ฅ0 i lim๐โโ ๐ฆ๐ = ๐ฆ0 vrijedi lim๐โโ ๐ง๐ = ๐ง0 = ๐ฅ0 + ๐๐ฆ0.
Dokaz: Neka je lim๐โโ ๐ง๐ = ๐ง0 , to znaฤi da ๐ง โ ๐ง0 โ 0 ๐ โ โ . Tada je
๐ง โ ๐ง0 = ๐ฅ๐ + ๐๐ฆ๐ โ ๐ฅ0 + ๐๐ฆ0 = ๐ฅ๐ โ ๐ฅ0 + ๐ ๐ฆ๐ โ ๐ฆ0 =
= ๐ฅ๐ โ ๐ฅ0 2 + ๐ ๐ฆ๐ โ ๐ฆ0
2 โฅ ๐ฅ๐ โ ๐ฅ0
๐ฆ๐ โ ๐ฆ0
Dakle, ๐ฅ๐ โ ๐ฅ0 โค ๐ง โ ๐ง0 โ 0 ๐ โ โ , pa slijedi da je lim๐โโ ๐ฅ๐ = ๐ฅ0 . Takoฤer,
๐ฆ๐ โ ๐ฆ0 โค ๐ง โ ๐ง0 โ 0 ๐ โ โ , pa je lim๐โโ ๐ฆ๐ = ๐ฆ0.
Ako je lim๐โโ ๐ฅ๐ = ๐ฅ0 i lim๐โโ ๐ฆ๐ = ๐ฆ0, tada za fiksirano, malo ํ > 0 postoji neki broj ๐ ํ > 0, takav
da je ๐ฅ๐ โ ๐ฅ0 < ํ/2 i ๐ฆ๐ โ ๐ฆ0 < ํ/2 za svako ๐ โฅ ๐ ํ .
Nejednakost trougla: ๐ง1 + ๐ง2 โค ๐ง1 + ๐ง2 , โ๐ง1, ๐ง2 โ โ โ ๐ = 1
Tada za ๐ง0 = ๐ฅ0 + ๐๐ฆ0, koristeฤi se relacijom (โ) vrijedi:
๐ง โ ๐ง0 = ๐ฅ๐ โ ๐ฅ0 + ๐ ๐ฆ๐ โ ๐ฆ0 โค ๐ฅ๐ โ ๐ฅ0 + ๐ ๐ฆ๐ โ ๐ฆ0 โค ๐ฅ๐ โ ๐ฅ0 + ๐ฆ๐ โ ๐ฆ0 โค
โคํ
2+
ํ
2= ํ
ล to znaฤi da je lim๐โโ ๐ง๐ = ๐ง0 .
Teorem. (Opลกti koลกijev kriterij konvergencije) Da bi niz {๐ง๐} bio konvergentan, potrebno i dovoljno je
da se za svako ํ > 0 moลพe naฤi broj ๐ = ๐(ํ) takav da vrijedi:
๐ง๐+๐ โ ๐ง๐ < ํ โ๐ โ 1,2, โฆ ili ๐ง๐+๐ โ ๐ง๐ < ํ โ๐ โ 1,2, โฆ , โ๐ โฅ ๐
Dokaz. Ako je lim๐โโ ๐ง๐ = ๐ง0 , tj. ๐ง๐ โ ๐ง0 < ํ za sve ๐ โฅ ๐ ํ tada je:
๐ง๐+๐ โ ๐ง๐ = ๐ง๐+๐ โ ๐ง0 + ๐ง0 โ ๐ง๐ โค ๐ง๐+๐ โ ๐ง0 ํ/2
+ ๐ง๐ โ ๐ง0 ํ/2
โค ํ โ๐ โฅ ๐ ํ
Uslov potreban
Obrnuto iz: ๐ง๐+๐ โ ๐ง๐ < ํ โ๐ โฅ ๐ ํ (๐ = 1,2, โฆ ) treba pokazati da je lim๐โโ ๐ง๐ = ๐ง0 . Tada
vrijedi pretpostavka za realne nizove {๐ฅ๐} i ๐ฆ๐ , tj.
๐ฅ๐+๐ โ ๐ฅ๐ โค ๐ง๐+๐ โ ๐ง๐ < ํ ๐ฆ๐+๐ โ ๐ฆ๐ โค ๐ง๐+๐ โ ๐ง๐ < ํ
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
7
Realni nizovi {๐ฅ๐} i ๐ฆ๐ zadovoljavaju opลกti kriterij konvergencije za realne nizove, a oni moraju biti
konvergentni, zato je: ๐ง๐ = ๐ฅ๐ + ๐๐ฆ๐ .
Kao i kod realnih nizova i kod kompleksnih vrijedi:
lim ๐ง๐ = ๐ง0 , lim ๐๐ = ๐0 , lim ๐ง๐ + ๐๐ = ๐ง0 + ๐0 ,
lim๐ง๐ โ ๐๐ = ๐ง0 โ ๐0 , lim๐ง๐
๐๐=
๐ง0
๐0 (๐0 โ 0)
5. Ako je z=x+iy, dokazati da je
lim๐โโ
๐ +๐ง
๐
๐
= ๐๐ฅ cos ๐ฆ + ๐ sin ๐ฆ ๐๐ง โ lim๐โโ
๐ +๐ง
๐
๐
; ๐๐ง = ๐ง๐
๐!
โ
๐=0
Dokaz:
1 +๐ง
๐= 1 +
๐ฅ + ๐๐ฆ
๐= 1 +
๐ฅ
๐ + ๐
๐ฆ
๐ , ๐ = 1 +
๐ง
๐ = 1 +
๐ฅ
๐
2
+ ๐ฆ
๐
2
ํ = ๐๐๐ ๐ก๐
๐ฆ
๐
1 +๐ฅ
๐
=
๐ฆ
๐๐+๐ฅ
๐
=๐ฆ
๐ + ๐ฅ= ๐๐๐ ๐ก๐
๐ฆ
๐ + ๐ฅ
Za velike vrijednosti ๐ ce biti 1 + ๐ฅ/๐ > 0 , ํ โ โ๐/2, ๐/2
1 +๐ง
๐
๐
= [๐ cos ํ + ๐ sin ํ ๐ = ๐๐ cos ๐ํ + ๐ sin๐ํ =
= 1 +๐ฅ
๐
2
+ ๐ฆ
๐
2
๐
โ cos ๐ โ ๐๐๐๐ก๐๐ฆ
๐ + ๐ฅ+ ๐ sin ๐๐๐๐๐ก๐
๐ฆ
๐ + ๐ฅ
Za realno x: ๐๐ฅ = lim๐โโ 1 +๐ฅ
๐
๐
;
1 +๐ฅ
๐
2
+ ๐ฆ
๐
2
= 1 +๐ฅ
๐
2
+ 1 +๐ฅ
๐ โ
๐
๐ + ๐ฅโ๐ฆ
๐
2
= 1 +๐ฅ
๐
2
โ 1 + ๐ฆ
๐ + ๐ฅ
2
1 +๐ง
๐
๐
= 1 +๐ฅ
๐
2
+ 1 + ๐ฆ
๐ + ๐ฅ
2
๐
2
โ cos ๐ โ ๐๐๐๐ก๐๐ฆ
๐ + ๐ฅ+ ๐ sin ๐๐๐๐๐ก๐
๐ฆ
๐ + ๐ฅ =
= 1 +๐ฅ
๐
๐
โ ๐๐ฅ
โ 1 + ๐ฆ
๐ + ๐ฅ
2
๐
2
โ 1
โ [cos ๐ํ + ๐ sin ๐ํ] ๐ฆ
Potrebno je joลก pokazati da je:
๐ โ ๐๐๐๐ก๐๐ฆ
๐ + ๐ฅโ ๐ฆ , ๐ โ โ ๐ 1 +
๐ฆ
๐ + ๐ฅ
2
๐
2
โ 1 , ๐ โ โ
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
8
lim๐ฅโ0
๐๐๐๐ก๐๐ฅ
๐ฅ= 1
lim๐โโ
๐ โ ๐๐๐ ๐ก๐๐ฆ
๐ + ๐ฅ= lim
๐โโ๐ โ
๐๐๐๐ก๐๐ฆ
๐+๐ฅ๐ฆ
๐+๐ฅ
โ๐ฆ
๐ + ๐ฅ
lim๐โโ
๐๐ฆ
๐ + ๐ฅ= lim
๐โโ
๐ฆ
1 +๐ฅ
๐
= ๐ฆ
lim๐โโ
1 + ๐ฆ
๐ + ๐ฅ
2
๐
2
= lim๐โโ
1 +1
๐+๐ฅ
๐ฆ
2
๐+๐ฅ
๐ฆ
2โ
๐ฆ
๐ +๐ฅ
2โ๐
2
= ๐ lim๐โโ
๐
2
๐ฆ2
๐ + ๐ฅ 2= ๐0 = 1
ฤime je dokaz zavrลกen. Dakle
lim๐โโ
1 +๐ง
๐
๐
= ๐๐ฅ cos ๐ฆ + ๐ sin๐ฆ
6. Pojam funkcije, granicna vrijednost i neprekidnost funkcije kompleksne promjenljive
Definicja. Pod funkcijom kompleksne promjenljive ๐ค = ๐(๐ง) podrazumijevamo svako preslikavanje ๐
koje jednu oblast (๐ง) ravni preslikava u drugu oblast (๐ค) ravni sa osama ๐ข ๐ฅ, ๐ฆ ๐ ๐ฃ(๐ฅ, ๐ฆ).
Definicija. Neka je ๐ funkcija kompleksne promjenljive definisana u nekoj okolini taฤke ๐ง0. Neka je
๐ด โ โ. Ako je โํ > 0 โ๐ฟ ํ > 0 โ๐ง โ ๐ง0 ๐ ๐ง โ ๐ด < ํ ฤim je ๐ง โ ๐ง0 < ๐ฟ onda kaลพemo da
funkcija ๐(๐ง) u taฤki ๐ง0 ima graniฤnu vrijednost i piลกemo:
lim๐งโ๐ง0
๐(๐ง) = ๐ด
Definicija. Kaลพemo da je funkcija ๐ ๐ง neprekidna u taฤki ๐ง = ๐ง0 ako je lim๐งโ๐ง0
๐ ๐ง = ๐ ๐ง0 .
Definicja. Funkcija je neprekidna u oblasti ๐บ ako je neprekidna u svakoj taฤki te oblasti.
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
9
7. Navesti i dokazati teorem koji daje potreban uslov diferencijabilnosti f-je kompl. promjenljive
๐ ๐ง = ๐ข ๐ฅ, ๐ฆ + ๐๐ฃ(๐ฅ, ๐ฆ)
Teorem. Neka je jednoznaฤna funkcija ๐ค = ๐(๐ง) definisana u nekoj okolini taฤke ๐ง0 โ โ i neka je
diferencijabilna (ima izvod) u ๐ง0 . Tada realni i imaginarni dio ๐ข(๐ฅ, ๐ฆ) i ๐ฃ(๐ฅ, ๐ฆ) funkcije ๐(๐ง) imaju
parcijalne izvode po promjenljivoj ๐ฅ, ๐ฆ u taฤki ๐ง0(๐ฅ0, ๐ฆ0), vrijede jednakosti:
๐ข๐ฅโฒ ๐ฅ0, ๐ฆ0 = ๐ฃ๐ฆ
โฒ (๐ฅ0, ๐ฆ0)
๐ข๐ฆโฒ ๐ฅ0, ๐ฆ0 = โ๐ข๐ฅ
โฒ (๐ฅ0, ๐ฆ0)
Dokaz: ๐ ๐ง = ๐ข ๐ฅ, ๐ฆ + ๐๐ฃ ๐ฅ, ๐ฆ . Posmatrajmo
limโ๐งโ0
๐ ๐ง0 + โ๐ง โ ๐ ๐ง0
โ๐ง= ๐โฒ (๐ง0)
1. Neka ๐ง โ ๐ง0 u pravcu ose ๐๐ฅ , tada je โ๐ฅ > 0
๐ ๐ง0 + โ๐ง โ ๐ ๐ง0
โ๐ง=
๐ข ๐ฅ0 + โ๐ฅ, ๐ฆ0 + ๐๐ฃ ๐ฅ0 + โ๐ฅ, ๐ฆ0 โ ๐ข ๐ฅ0, ๐ฆ0 โ ๐๐ฃ(๐ฅ0, ๐ฆ0)
โ๐ฅ
limโ๐งโ0
๐ ๐ง0 + โ๐ง โ ๐ ๐ง0
โ๐ง= lim
โ๐ฅโ0
๐ข ๐ฅ0 + โ๐ฅ, ๐ฆ0 โ ๐ข ๐ฅ0, ๐ฆ0
โ๐ฅ+ ๐ lim
โ๐ฅโ0
๐ฃ ๐ฅ0 + โ๐ฅ, ๐ฆ0 โ ๐ฃ ๐ฅ0, ๐ฆ0
โ๐ฅ
Dakle ๐โฒ ๐ง0 = ๐ข๐ฅโฒ ๐ฅ0, ๐ฆ0 + ๐๐ฃ๐ฅ ๐ฅ0, ๐ฆ0 โฆ (1)
2. Neka je ๐ง โ ๐ง0 u pravcu ose ๐๐ฆ , tada je โ๐ฆ > 0
limโ๐งโ0
๐ ๐ง0 + โ๐ง โ ๐ ๐ง0
โ๐ง= lim
โ๐ฆโ0
๐ข ๐ฅ0 , ๐ฆ0 + โ๐ฆ + ๐๐ฃ ๐ฅ0, ๐ฆ0 + โ๐ฆ โ ๐ข ๐ฅ0, ๐ฆ0 โ ๐๐ฃ(๐ฅ0, ๐ฆ0)
๐โ๐ฆ=
= limโ๐ฆโ0
๐ข ๐ฅ0, ๐ฆ0 + โ๐ฆ โ ๐ข ๐ฅ0, ๐ฆ0
โ๐ฆ
1
๐+ ๐ lim
โ๐ฆโ0
๐ฃ ๐ฅ0 , ๐ฆ0 + โ๐ฆ โ ๐ฃ ๐ฅ0, ๐ฆ0
โ๐ฆ
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
10
= limโ๐ฆโ0
๐ฃ ๐ฅ0 , ๐ฆ0 + โ๐ฆ โ ๐ฃ ๐ฅ0, ๐ฆ0
โ๐ฆโ ๐ lim
โ๐ฆโ0
๐ข ๐ฅ0, ๐ฆ0 + โ๐ฆ โ ๐ข ๐ฅ0, ๐ฆ0
โ๐ฆ
Dakle
๐โฒ ๐ง0 = ๐ฃ๐ฆโฒ ๐ฅ0, ๐ฆ0 โ ๐๐ข๐ฆ ๐ฅ0, ๐ฆ0 โฆ (2)
Poreฤenjem formula (1) i (2) dobijamo da je ๐ข๐ฅโฒ = ๐ฃ๐ฆ
โฒ i ๐ข๐ฆโฒ = โ๐ฃ๐ฅ
โฒ u taฤki ๐ฅ0, ๐ฆ0 . Ove jednaฤine se
nazivaju Koลกi-Rimanove jednaฤine.
8. Analiticke funkcije, definicija, osobine, primjeri
Definicija. Za jednoznaฤnu funkciju ๐ค = ๐(๐ง) kaลพemo da je analitiฤka (regularna) u taฤki ๐ง0, ako ima
izvod u svakoj taฤki okoline te taฤke ๐ง0. Funkcija je analitiฤka u oblasti ๐บ ako ima izvod u svakoj taฤki te
oblasti.
Taฤke u kojima funkcija nije analitiฤka nazivamo singularne taฤke. Analitiฤnost i diferencijabilnost
funkcije u oblasti se poklapaju, ali se u taฤki razlikuju.
Npr. funkcija ๐ ๐ง = ๐ง โ ๐ ๐๐ง ima izvod u taฤki ๐ง = 0, ali nije analitiฤka u toj taฤki, jer nema izvod ni u
jednoj taฤki ๐ง โ 0.
Primjeri analitiฤkih funkcija:
- Svaka stepena funkcija ๐ ๐ง = ๐ง๐ je analitiฤka u cijeloj kompleksnoj ravni.
- Svaki polinom je regularna funkcija u svakoj ograniฤenoj oblasti, ๐ ๐ง = ๐๐๐ง๐โ๐=0
- Koliฤnik funkcija (racionalne funkcije):
๐ ๐ง
๐ ๐ง , u bilo kojoj ograniฤenoj oblasti koja ne sadrลพi nule nazivnika.
- Funkcije predstavljene cijelim redovima: ๐ ๐ง = ๐๐ ๐ง โ ๐0 ๐โ
๐=0 gdje su ๐ ๐ = 0,1,2, โฆ
koeficijenti, ๐ง0 kompleksni brojevi.
- Trigonometrijske funkcije ๐ ๐๐, ๐๐๐ , ๐ก๐, ๐๐ก๐, ๐๐ง โeksponencijalna
- Funkcija ๐ โ ๐ ๐ง je regularna ako i samo ako je ๐ ๐ง regularna i vrijedi: ๐๐ ๐ง โฒ = ๐๐โฒ ๐ง
Iz diferencijabilnosti funkcije slijedi njena neprekidnost, ali obratno ne vrijedi.
Ako postoje izvodi ๐โฒ(๐ง) i ๐โฒ(๐ง) tada vrijede formule:
๐ ๐ง ยฑ ๐ ๐ง โฒ = ๐โฒ ๐ง ยฑ ๐โฒ (๐ง)
๐ ๐ง โ ๐ ๐ง โฒ = ๐โฒ ๐ง ๐ ๐ง + ๐ ๐ง ๐โฒ (๐ง)
๐ ๐ง
๐ ๐ง
โฒ
=๐โฒ ๐ง ๐ ๐ง โ ๐ ๐ง ๐โฒ ๐ง
๐2 ๐ง ; ๐ ๐ง โ 0
Takoฤe vaลพi i pravilo za izvod sloลพene funkcije.
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
11
9. Navesti i dokazati teorem koji daje dovoljan uslov diferencijabilnosti f-je kompl. promjenljive
Teorem. (Dovoljan uslov diferencijabilnosti) Neka je jednoznaฤna funkcija ๐ ๐ง = ๐ข ๐ฅ, ๐ฆ + ๐๐ฃ(๐ฅ, ๐ฆ)
definisana u nekoj okolini taฤke ๐ง0, a funkcije ๐ข(๐ฅ, ๐ฆ) i ๐ฃ ๐ฅ, ๐ฆ diferencijabilne u toj taฤki. Dovoljan uslov
da funkcija ๐ ๐ง bude analitiฤka (diferencijabilna) u taฤki ๐ง0 = ๐ฅ0 + ๐๐ฆ0 je da u toj taฤki budu
zadovoljeni Koลกi-Rimanovi uslovi.
๐ข๐ฅโฒ = ๐ฃ๐ฆ
โฒ , ๐ข๐ฆโฒ = โ๐ฃ๐ฅ
โฒ
Dokaz: Kako ๐ข ๐ฅ, ๐ฆ i ๐ฃ(๐ฅ, ๐ฆ) imaju neprekidne parcijalne izvode u taฤki ๐ง0 = ๐ฅ0 + ๐๐ฆ0 to vrijedi:
โ๐ข = ๐ข ๐ฅ0 + โ๐ฅ, ๐ฆ0 + โ๐ฆ โ ๐ข ๐ฅ0, ๐ฆ0 = ๐ข๐ฅโฒ ๐ฅ0, ๐ฆ0 โ๐ฅ + ๐ข๐ฆ
โฒ ๐ฅ0 , ๐ฆ0 โ๐ฆ + ๐ผ1โ๐ฅ + ๐ผ2โ๐ฆ
โ๐ฃ = ๐ฃ ๐ฅ0 + โ๐ฅ, ๐ฆ0 + โ๐ฆ โ ๐ฃ ๐ฅ0, ๐ฆ0 = ๐ฃ๐ฅโฒ ๐ฅ0, ๐ฆ0 โ๐ฅ + ๐ฃ๐ฆ
โฒ ๐ฅ0, ๐ฆ0 โ๐ฆ + ๐ฝ1โ๐ฅ + ๐ฝ2โ๐ฆ
gdje ๐ผ1, ๐ผ2, ๐ฝ1, ๐ฝ2 โ 0 โ๐ฅ, โ๐ฆ โ 0
โ๐ค
โ๐ง=
โ๐ ๐ง
โ๐ง=
โ๐ข + ๐โ๐ฃ
โ๐ฅ + ๐โ๐ฆ=
๐ข๐ฅโฒ โ๐ฅ + ๐ข๐ฆ
โฒ โ๐ฆ + ๐ผ1โ๐ฅ + ๐ผ2โ๐ฆ + ๐(๐ฃ๐ฅโฒ โ๐ฅ + ๐ฃ๐ฆ
โฒ โ๐ฆ + ๐ฝ1โ๐ฅ + ๐ฝ2โ๐ฆ)
โ๐ฅ + ๐โ๐ฆ
Koristeฤi K-R uslove dobijamo:
โ๐ค
โ๐ง=
๐ข๐ฅโฒ โ๐ฅ + ๐๐ข๐ฅ
โฒ โ๐ฆ + ๐๐ฃ๐ฅโฒ โ๐ฅ โ ๐ฃ๐ฅ
โฒ โ๐ฆ
โ๐ฅ + ๐โ๐ฆ+ ๐ผ1 + ๐๐ฝ1
โ๐ฅ
โ๐ฅ + ๐โ๐ฆ+ ๐ผ2 + ๐๐ฝ2
โ๐ฆ
โ๐ฅ + ๐โ๐ฆ=
= ๐ข๐ฅโฒ ๐ฅ0, ๐ฆ0 + ๐ข๐ฃ๐ฅ
โฒ ๐ฅ0, ๐ฆ0 + ๐ผ1 + ๐๐ฝ1 โ๐ฅ
โ๐ฅ + ๐โ๐ฆ ๐ผ2 + ๐๐ฝ2
โ๐ฆ
โ๐ฅ + ๐โ๐ฆ
Kako je โ๐ฅ
โ๐ฅ+๐โ๐ฆ โค 1 ๐
โ๐ฆ
โ๐ฅ+๐โ๐ฆ posljednja dva razlomka teลพe ka nuli, kada โ๐ฅ, โ๐ฆ โ 0, tj. โ๐ง โ 0,
zato postoji:
๐โฒ ๐ง0 = limโ๐งโ0
โ๐ค
โ๐ง= ๐ข๐ฅ
โฒ ๐ฅ0, ๐ฆ0 + ๐๐ฃ๐ฅโฒ ๐ฅ0 , ๐ฆ0
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
12
10. Koลกi โ Rimanove jednacine u polarnim koordinatama
Za neke primjere jednostavnije je koristit K-R jednaฤine u polarnim koordinatama. Ako je:
๐ง = ๐(cos ๐ + ๐ sin ๐)
tada je: ๐ฅ = ๐ cos ๐ , ๐ฆ = ๐ sin๐ , ๐ค = ๐ ๐ง = ๐ข ๐ฅ, ๐ฆ + ๐๐ฃ ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ข ๐, ๐ + ๐๐ฃ ๐, ๐
Sada je
๐ข๐โฒ = ๐ข๐ฅ
โฒ โ ๐ฅ๐โฒ + ๐ข๐ฆ
โฒ โ ๐ฆ๐โฒ = ๐ข๐ฅ
โฒ cos ๐ + ๐ข๐ฆโฒ sin๐
๐ฃ๐โฒ = ๐ฃ๐ฅ
โฒ โ ๐ฅ๐โฒ + ๐ฃ๐ฆ
โฒ โ ๐ฆ๐โฒ = ๐ฃ๐ฅ cos ๐ + ๐ฃ๐ฆ
โฒ sin ๐
Koriลกtenjem K โ R uslova dobijamo
๐ข๐โฒ = ๐ฃ๐ฆ
โฒ cos ๐ โ ๐ฃ๐ฅโฒ sin๐
๐ฃ๐โฒ = โ๐ข๐ฆ
โฒ cos ๐ + ๐ข๐ฅโฒ sin๐
(1)
Takoฤer,
๐ข๐โฒ = ๐ข๐ฅ
โฒ ๐ฅ๐โฒ + ๐ข๐ฆ
โฒ ๐ฆ๐โฒ = ๐ข๐ฅ
โฒ โ๐ sin ๐ + ๐ข๐ฆโฒ ๐ cos ๐
๐ฃ๐โฒ = ๐ฃ๐ฅ
โฒ ๐ฅ๐โฒ + ๐ฃ๐ฆ
โฒ ๐ฆ๐โฒ = ๐ฃ๐ฅ
โฒ (โ๐ sin ๐) + ๐ฃ๐ฆโฒ ๐ cos ๐
(2)
Uporeฤujuฤi (1) i (2), dobijamo:
๐ โ ๐ข๐โฒ = ๐ฃ๐
โฒ ๐ โ ๐ฃ๐โฒ = โ๐ข๐
โฒ
Ove jednaฤine predstavljaju K-R jednaฤine u polarnim koordinatama.
11. Diferencijal funkcije
Iz definicje izvoda funkcije ๐ค = ๐ ๐ง u taฤki ๐ง, slijedi
โ๐ค
โ๐ง= ๐โฒ ๐ง + ํ,
gdje ํ โ 0 kada โ๐ง โ 0. Odatle je โ๐ค = ๐โฒ ๐ง โ โ๐ง + ํ โ โ๐ง
Veliฤina ๐โฒ (๐ง) โ โ๐ง zove se glavni dio od โ๐ค. Oznaฤimo: ๐โฒ ๐ง โ โ๐ง = ๐๐ค ๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐ง .
๐๐ค = ๐โฒ(๐ง) โ โ๐ง - zove se Diferencijal funkcije ๐(๐ง) u taฤki ๐ง, koji odgovara prirastu โ๐ง.
Specijalno, za ๐ค = ๐ง je ๐๐ค = ๐๐ง (jer je ๐โฒ ๐ง = ๐งโฒ = 1), tj. ๐๐ง = โ๐ง , te zato umjesto prirasta โ๐ง
nezavisno promjenljive ๐ง , moลพemo pisati njen diferencijal ๐๐ง. Dakle,
๐๐ค = ๐๐ ๐ง = ๐ ๐ง ๐๐ง
Zato ๐โฒ (๐ง) takoฤer oznaฤavamo sa ๐๐ค/๐๐ง ili ๐๐(๐ง)/๐๐ง .
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
13
12. Harmonijske funkcije, definicija i veza sa analitickom funkcijom
Definicija. Funkcija ๐(๐ฅ, ๐ฆ) koja ima neprekidne parcijalne izvode prvog i drugog reda u nekoj oblasti ๐ท
i zadovoljava laplasovu jednaฤinu:
๐2๐(๐ฅ, ๐ฆ)
๐๐ฅ2=
๐2๐(๐ฅ, ๐ฆ)
๐๐ฆ2= 0
zove se harmonijska funkcija u toj oblasti.
Laplasovu jednaฤinu piลกemo i u obliku โ๐ ๐ฅ, ๐ฆ = 0, gdje se operator โ=๐2
๐๐ฅ 2 +๐2
๐๐ฆ2 zove laplasov
operator.
Realni i imaginarni dio ๐ข ๐ฅ, ๐ฆ i ๐ฃ(๐ฅ, ๐ฆ) analitiฤke funkcije su harmonijske funkcije. Kako kod analitiฤke
funkcije vrijede K-R jednaฤine ๐ข๐ฅโฒ = ๐ฃ๐ฆ
โฒ i ๐ข๐ฆโฒ = โ๐ฃ๐ฅ
โฒ diferenciranjem prve jednaฤine po ๐ฅ , a druge
jednaฤine po ๐ฆ dobijamo:
๐ข๐ฅ๐ฅโฒโฒ = ๐ฃ๐ฆ๐ฅ
โฒโฒ i ๐ข๐ฆ๐ฆโฒโฒ = โ๐ฃ๐ฅ๐ฆ
โฒโฒ
Kako je ๐ฃ๐ฆ๐ฅโฒโฒ = ๐ฃ๐ฅ๐ฆ
โฒโฒ , sabiranjem prethodnih jednakosti dobijamo da je: ๐ข๐ฅ๐ฅโฒโฒ + ๐ข๐ฆ๐ฆ
โฒโฒ = 0 , te je ๐ข
harmonijska funkcija.
Na sliฤan naฤin se dokazuje da je i ๐ฃ harmonijska funkcija:
๐ฃ๐ฆโฒ = ๐ข๐ฅ
โฒ /๐ฆโฒ
๐ฃ๐ฅโฒ = โ๐ข๐ฆ
โฒ /๐ฅโฒ + โ ๐ฃ๐ฆ๐ฆ
โฒโฒ + ๐ฃ๐ฅ๐ฅโฒโฒ = 0
te je ๐ฃ harmonijska funkcija.
Zakljuฤujemo da samo harmonijske funkcije mogu biti realni i imaginarni dio analitiฤke kompleksne
funkcije.
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
14
13. Elementarne funkcije kompleksne promjenljive
1). Funkcija ๐๐
Definicija. Funkcija ๐ ๐ง = ๐๐ง kompleksne promjenljive ๐ง je
๐๐ง = lim๐โโ
1 +๐ง
๐
๐
= ๐๐ฅ (cos ๐ฆ + ๐ sin๐ฆ) , ๐ง = ๐ฅ + ๐๐ฆ
A moลพemo je definisati i stepenim redom:
๐๐ง = ๐ง๐
๐!
โ
๐=0
Funkcija ๐๐ง je regularna u cijeloj ๐ง ravni, izuzev u taฤki ๐ง = โ. Zato je red ๐ง๐
๐ !โ๐=0 ravnomjerno
konvergentan i moลพe se diferencirati ฤlan po ฤlan. Tako je:
๐๐ง โฒ = ๐ โ ๐ง๐โ1
๐!
โ
๐=0
= ๐ง๐โ1
(๐ โ 1)!
โ
๐=0
= ๐ง๐
๐!
โ
๐=0
= ๐๐ง , ๐๐ง โ 0 ๐ง๐ (โ๐ง โ โ)
Jer ๐๐ง = 0 โ ๐๐ง = ๐๐ง โ ๐๐๐ฆ = ๐๐ฅ = 0, ลกto je nemoguฤe.
Izvorna funkcija: ๐ค = ln ๐ง โ ๐ง = ๐๐ค .
2). Trigonometrijske i hiperbolne funkcije
Na osnovu jednakosti
๐๐๐ฆ = cos ๐ฆ + ๐ sin ๐ฆ i ๐โ๐๐ฆ = cos ๐ฆ โ ๐ sin๐ฆ
(sabiranjem i oduzimanjem) dobijaju se izrazi za cos ๐ฆ i sin ๐ฆ, i to
cos ๐ฆ =๐๐๐ฆ + ๐โ๐๐ฆ
2 , sin๐ฆ =
๐๐๐ฆ โ ๐โ๐๐ฆ
2
Funkcije sin ๐ง i cos ๐ง kompleksne promjenljive ๐ง definiลกu se jednakostima
cos ๐ง =๐๐๐ง + ๐โ๐๐ง
2 , sin๐ง =
๐๐๐ง โ ๐โ๐๐ง
2
Lako se dokazuju jednakosti
1) cos2 ๐ง + sin2 ๐ง = 1
2) cos(๐ง1 + ๐ง2) = cos ๐ง1 cos ๐ง2 โ sin ๐ง1 sin๐ง2
3) sin(๐ง1 + ๐ง2) = sin๐ง1 cos ๐ง2 + cos ๐ง1 sin๐ง2
Funkcije sin ๐ง i cos ๐ง imaju period 2๐ (odnosno 2๐๐, ๐ = 0, ยฑ1, ยฑ2, . . ).
Funkcije ๐ก๐ ๐ง i ๐๐ก๐ ๐ง definiลกu se jednakostima
๐ก๐ ๐ง =sin๐ง
cos ๐ง , ๐ง โ
๐
2+ ๐๐ , ๐ = 0, ยฑ1, ยฑ2, โฆ
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
15
๐๐ก๐ ๐ง =cos ๐ง
sin ๐ง , ๐ง โ ๐๐ , ๐ = 0, ยฑ1, ยฑ2, โฆ
Kako su sin๐ง i cos ๐ง analitiฤke funkcije u cijeloj kompleksnoj ravni, takve su i ๐ก๐ ๐ง i ๐๐ก๐ ๐ง, osim u gore
navedenim taฤkama.
Hiperbolne funkcije se definiลกu jednakostima
๐ ๐ ๐ง =๐๐ง โ ๐โ๐ง
2 , ๐๐ ๐ง =
๐๐ง + ๐โ๐ง
2 , ๐ก๐ ๐ง =
๐ ๐ ๐ง
๐๐ ๐ง , ๐๐ก๐ ๐ง =
๐๐ ๐ง
๐ ๐ ๐ง
Neposredno iz datih definicija slijedi
๐ ๐ ๐ง = โ๐ sin ๐๐ง , ๐ ๐ ๐๐ง = ๐ sin ๐ง , ๐๐ ๐ง = cos ๐๐ง , ๐๐ ๐๐ง = cos ๐ง
Izvodi ovih funkcija su
sin ๐ง โฒ = cos ๐ง , cos ๐ง โฒ = โ sin๐ง , ๐ก๐ ๐ง โฒ =1
cos2 ๐ง , ๐๐ก๐ ๐ง โฒ =
โ1
sin2 ๐ง
๐ ๐ ๐ง โฒ = ๐๐ ๐ง , ๐๐ ๐ง โฒ = ๐ ๐ ๐ง , ๐ก๐ ๐ง โฒ =1
๐๐2 ๐ง , ๐๐ก๐ ๐ง โฒ =
โ1
๐ ๐2 ๐ง
3* Opลกta stepena funkcija ๐ง๐ (๐ง โ 0, โ, ๐ ma koji kompleksan broj) definiลกe se pomoฤu jednakosti
๐๐ง = ๐๐ง ln ๐
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
16
14. Integral f-je kompleksne promjenljive, definicija, primjeri, osobine
Neka je ๐ ๐ง = ๐ข ๐ฅ, ๐ฆ + ๐๐ฃ(๐ฅ, ๐ฆ) jednoznaฤna funkcija definisana u oblasti ๐บ ๐ง โravni. Neka je ๐ โ ๐บ
glatka orjentisana kriva sa poฤetnom taฤkom ๐ i krajnjom taฤkom ๐. Podijelimo luk ๐ na ๐ dijelova
taฤkama ๐ = ๐ง0, ๐ง1 , ๐ง2, โฆ , ๐ง๐ = ๐. Neka je ํ๐ = ๐๐ + ๐ํ๐ taฤka koja leลพi na luku odreฤenom taฤkama
๐ง๐โ1 , ๐ง๐ . Formirajmo sumu
๐๐ = ๐ ๐๐ (๐ง๐ โ ๐ง๐โ1)
๐
๐=1
= ๐ ๐๐ โ๐ง๐
โ
๐=1
Oznaฤili bi: ๐ ๐๐ = ๐ข๐ + ๐๐ฃ๐ , โ๐ง๐ = โ๐ฅ๐ + ๐โ๐ฆ๐ sada imamo
๐๐ = ๐ข๐ + ๐๐ฃ๐
๐
๐=1
โ๐ฅ๐ + ๐โ๐ฆ๐ = ๐ข๐โ๐ฅ๐ โ ๐ฃ๐โ๐ฆ๐
๐
๐=1
+ ๐ ๐ฃ๐โ๐ฅ๐ + ๐ข๐โ๐ฆ๐
๐
๐=1
Sume na desnoj strani jednakosti su integralne sume realnih funkcija ๐ข i ๐ฃ, koje se pojavljuju kod
linijskog integrala druge vrste.
Definicija. Kaลพemo da je kompleksan broj ๐ผ integral funkcije ๐(๐ง) po luku ๐ od taฤke ๐ do taฤke ๐, ako
za svako ํ > 0 postoji ๐ฟ ํ > 0, tako da, nezavisno od izbora taฤaka ํ๐ , vaลพi
๐ผ โ ๐๐ < ํ
ฤim je max๐ ๐ง๐ โ ๐ง๐โ1 < ๐ฟ. Broj ๐ผ oznaฤavamo sa
๐ผ = ๐ ๐ง ๐๐ง๐
๐
๐๐๐ ๐ผ = ๐ ๐ง ๐๐ง๐
Po ovoj definiciji je
๐ผ = ๐ผ1 + ๐ผ1
๐ผ1 = ๐ข ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ฅ โ ๐ฃ(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฆ๐
, ๐ผ2 = ๐ข ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ฅ + ๐ฃ(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฆ๐
๐ผ = ๐ ๐ง ๐๐ง๐
= ๐ข๐๐ฅ โ ๐ฃ๐๐ฆ๐
+ ๐ ๐ฃ๐๐ฅ + ๐ข๐๐ฆ๐
= ๐ข + ๐๐ฃ ๐๐ฅ + ๐๐๐ฆ ๐
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
17
To znaฤi da se raฤunanje integrala ๐ผ svodi na raฤunanje linijskih integrala druge vrste, a time i na
raฤunanje obiฤnih integrala.
Osobine integrala:
(1)
(๐) ๐(๐ง)๐
๐
๐๐ง = โ(๐) ๐(๐ง)๐
๐
๐๐ง
(2)
๐๐
๐
๐=1
๐๐(๐ง)๐
๐๐ง = ๐๐
๐
๐=1
๐๐(๐ง)๐๐ง๐
(3)
๐(๐ง)๐
๐๐ง = ๐(๐ง)๐1
+ ๐(๐ง)๐2
, ๐ = ๐1 โช ๐2
(4)
๐ ๐ง ๐
๐๐ง โค ๐(๐ง) ๐๐ง๐
Primjer 1. Izraฤunati integral
๐๐ง
๐ง โ ๐ง0 , ako je kruลพnica ๐ง โ ๐ง0 < ๐
Rjeลกenje: ๐ง โ ๐ง0 = ๐ โ ๐๐๐ก , ๐ โค ๐ก โค 2๐ , ๐ก โ [0, 2๐]
๐ง = ๐ง0 + ๐๐๐๐ก , ๐๐ง = ๐๐๐๐๐ก ๐๐ก
๐ผ = ๐๐ง
๐ง โ ๐ง0=
๐๐๐๐๐ก
๐๐๐๐ก
2๐
0
= ๐ โ ๐ก 02๐ = 2๐๐
Primjer 2. Ako je ๐ ๐ง = 1, onda je
๐๐ = 1 โ ๐ง๐ โ ๐ง๐โ1
๐
๐=1
= ๐ โ ๐
ลกto znaฤi da je za bilo koju krivu ๐
๐ ๐๐ง๐
๐
= ๐ โ ๐
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
18
15. Koลกijeva i Koลกi โ Gurasova teorema o integralu regularne f-je na jednostruko i viลกestruko povezanoj oblasti, primjeri
Teorem 1.(Cauchy). Neka je ๐บ jednostruko povezana oblast u โ i neka je ๐(๐ง) regularna funkcija koja
ima neprekidan izvod u ๐บ. Tada za svaku zatvorenu glatku (po dijelovima glatku) krivu ๐ โ ๐บ vrijedi:
๐(๐ง)๐
๐๐ง = 0
Dokaz: ๐ โ ๐บ
๐(๐ง)๐
๐๐ง = ๐ข๐๐ฅ โ ๐ฃ๐๐ฆ๐
+ ๐ ๐ฃ๐๐ฅ + ๐ข๐๐ฆ๐
Posmatrajmo
๐ ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ฅ + ๐ ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ฆ๐
๐บ๐๐๐๐๐ฃ๐ ๐๐๐๐๐ข๐๐
Ako su funkcije ๐, ๐,๐๐
๐๐ฅ ,
๐๐
๐๐ฆ neprekidne na oblasti ๐ท, ฤiji je rub ๐, vrijedi:
๐๐๐ฅ + ๐๐๐ฆ๐
= ๐๐
๐๐ฅโ
๐๐
๐๐ฆ ๐๐ฅ๐๐ฆ
๐ท
Na osnovu Green-ove formule imamo
๐(๐ง)๐
๐๐ง = โ๐๐ฃ
๐๐ฅโ
๐๐ข
๐๐ฆ ๐๐ฅ๐๐ฆ
๐ท 0
+ ๐ ๐๐ข
๐๐ฅโ
๐๐ฃ
๐๐ฆ ๐๐ฅ๐๐ฆ
๐ท 0
= 0
Jasno da ๐(๐ง) zadovoljava K โ R uslove ๐(๐ง)๐
๐๐ง = 0
Teorem 2. (Goursat) Neka je ๐บ jednostruko povezana oblast i ๐(๐ง) regularna funkcija u ๐บ. Tada, za
svaku zatvorenu glatku krivu ๐ koja leลพi u ๐บ, vrijedi:
๐(๐ง)๐
๐๐ง = 0
U Koลกi โ Gursaovoj teoremi pretpostavlja se da kriva leลพi u ๐บ, zato je funkcija ๐(๐ง) regularna u svim
taฤkama krive ๐. I ova pretpostavka se moลพe izostaviti.
Teorem 3. Neka jednostruko povezana oblast ๐บ ima glatki rub ๐พ i neka je funkcija ๐(๐ง) regularna u ๐บ i
neprekidna na ๐บ = ๐บ โช ๐พ, tada je
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
19
๐(๐ง)๐พ
๐๐ง = 0
Ovaj teorem vaลพi i u sluฤaju viลกestruko povezanih oblasti, npr kod dvostruko povezane oblasti ๐บ
omeฤene sa ๐พ = ๐พ0 โช ๐พ1 โช ๐พ2
Pomoฤu glatkog luka oblast ๐บ ฤemo podijeliti na dvije jednostruko povezane oblasti, a zatim ฤemo na
svaku dobijenu jednostruko povezanu oblast primjeniti teorem 3 i sabrati integrale. Integrali po duลพini
se anuliraju i dobija se:
๐(๐ง)๐พ
๐๐ง = 0
Primjedba: Ako je ๐(๐ง) regularna u jednostruko povezanoj oblasti ๐บ onda je
๐1 ๐ ๐ง ๐
๐
๐๐ง = ๐2 ๐ ๐ง ๐
๐
๐๐ง โฆ ๐1, ๐2 โ ๐บ .
Dokaz:
Prema Koลกi โ Gursaovoj teoremi je
๐ ๐ง ๐๐ง๐1โช๐2
= 0 ๐ก๐.
๐ ๐ง ๐๐ง๐1
โ ๐ ๐ง ๐๐ง๐2
= 0 โ ๐ ๐ง ๐๐ง๐1
= ๐ ๐ง ๐๐ง๐2
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
20
16. Osnovna i uopลกtena Koลกijeva integralna formula
Teorem 1. Neka je oblast ๐บ ograniฤena po dijelovima glatkom krivom ๐พ, i neka je funkcija ๐(๐ง)
analitiฤka u oblasti ๐บ i neprekidna u zatvorenoj oblasti ๐บ = ๐บ โช ๐พ. Tada (โ๐ โ ๐บ) vrijedi:
๐ ๐ =1
2๐๐
๐ ๐ง
๐ง โ ๐๐๐ง
๐พ
(โ)
Dokaz: Neka je ๐พ๐ โ ๐บ kruลพnica polupreฤnika ๐ sa centrom u taฤki ๐ โ ๐บ, tako da krug ฤija je granica
๐พ๐ ฤitav leลพi u ๐บ. Funkcija
1
2๐๐ ๐ ๐ง
๐ง โ ๐
je regularna u oblasti ๐ท koja se dobije kada se od oblasti ๐บ odstrani krug ograniฤen kruลพnicom ๐พ๐ , i
neprekidna na ๐ท . Sada imamo
1
2๐๐
๐ ๐ง
๐ง โ ๐๐พโช๐๐
๐๐ง = 0 โ1
2๐๐
๐ ๐ง
๐ง โ ๐๐พ
๐๐ง +1
2๐๐
๐ ๐ง
๐ง โ ๐๐๐
๐๐ง = 0
1
2๐๐
๐ ๐ง
๐ง โ ๐๐พ
๐๐ง =1
2๐๐
๐ ๐ง
๐ง โ ๐๐๐
๐๐ง
1
2๐๐
๐ ๐ง
๐ง โ ๐๐๐
๐๐ง =1
2๐๐
๐ ๐ง โ ๐(๐)
๐ง โ ๐๐๐
๐๐ง +1
2๐๐๐ ๐
1
๐ง โ ๐๐๐
๐๐ง
๐๐ง
๐ง โ ๐๐๐
= ๐ : ๐ง โ ๐ = ๐๐๐๐
๐ 02๐
๐๐ง = ๐๐๐๐๐ ๐๐
= ๐๐๐๐๐ ๐๐
๐๐๐๐
2๐
0
= 2๐๐
Kako je po pretpostavci f โ ja ๐(๐ง) neprekidna funkcija to: |๐ ๐ง โ ๐ ๐ | โ 0, kada ๐ง โ ๐ = ๐ โ 0, tj.
โํ > 0 โ๐ ํ > 0 ๐ ๐ง โ ๐ ๐ < ํ , kada je ๐ง โ ๐ < ๐(ํ).
1
2๐๐
๐ ๐ง โ ๐(๐)
๐ง โ ๐๐๐
๐๐ง โค1
2๐๐
๐ ๐ง โ ๐(๐)
๐ง โ ๐ ๐๐
๐๐ <ํ
2๐๐ ๐๐ ๐๐ 2๐๐
=ํ
2๐๐2๐๐ = ํ
Kako je ํ proizvoljno mali broj, zakljuฤujemo da:
1
2๐๐
๐ ๐ง โ ๐(๐)
๐ง โ ๐๐๐
๐๐ง โ 0 ๐๐๐๐ ๐ โ 0
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
21
1
2๐๐
๐ ๐ง
๐ง โ ๐๐พ๐
๐๐ง = ๐(๐) โ 1
2๐๐
๐ ๐ง
๐ง โ ๐๐พ
๐๐ง = ๐(๐)
Teorem 2. (Poopลกtena koลกijeva integralna formula) Neka je ๐บ ograniฤena po dijelovima glatkom
zatvorenom krivom ๐พ. Neka je funkcija ๐(๐ง) regularna u oblasti ๐บ i neprekidna u ๐บ = ๐บ โช ๐พ. Tada
funkcija ๐(๐ง) u svakoj unutraลกnjoj taฤki ๐ โ ๐บ ima izvod ๐ ๐ (๐) i vrijedi:
๐๐ (๐) =๐!
2๐๐
๐ ๐ง
๐ง โ ๐ ๐+1๐พ
๐๐ง , (๐ = 0,1,2 โฆ )
Dokaz. Formula vaลพi za ๐ = 0 jer se tada svodi na Koลกijevu integralnu formulu. Pretpostavimo da vaลพi
za ๐ = ๐ i dokaลพimo da vaลพi za ๐ = ๐ + 1 (dokaz matematiฤkom indukcijom).
Primjedba. Teorem 2 pokazuje da regularna funkcijaima izvod ma kog reda, tj. izvod regularne funkcije
je regularna funkcija.
Primjer 1.
๐ผ = ๐๐ง
๐ง๐๐ง , ๐ง = 1
๐ ๐ง = ๐๐ง , ๐ = 0 โ ๐ผ = 2๐๐ โ ๐ 0 = 2๐๐ โ ๐0 = 2๐๐
Primjer 2.
๐ผ = cos ๐ง
๐ง3 , ๐ ๐ง = cos ๐ง , ๐ = 0 , ๐ = 2, ๐ง = 2
๐ผ = cos ๐ง
๐ง โ 0 3๐๐ง =
2๐๐
2!๐๐ 0 = ๐๐ โ cos 0 = โ๐๐
17. Primitivna funkcija i integral
Definicija 1. Za funkciju ๐ ๐ง kaลพemo da je primitivna funkcija funkcije ๐(๐ง) na oblasti ๐ท ako vrijedi
๐นโฒ ๐ง = ๐ ๐ง , za svaku taฤku ๐ง โ ๐ท.
Ako je ๐น(๐ง) primitivna funkcija od ๐(๐ง) na ๐ท, onda je i ๐น ๐ง + ๐ (c konstanta) takoฤe primitivna funkcija
funkcije ๐(๐ง) na ๐ท.
Ako su ๐น1(๐ง) i ๐น2(๐ง) primitivne ๐ โ je od ๐(๐ง) na ๐ท , onda je ๐น1 ๐ง โ ๐น2 ๐ง = ๐ถ na ๐ท. Naime ako je
๐น ๐ง = ๐น1 ๐ง โ ๐น2 ๐ง = ๐ข + ๐๐ฃ , tada je
๐นโฒ ๐ง = ๐น1โฒ ๐ง โ ๐น2
โฒ ๐ง = ๐ ๐ง โ ๐ ๐ง = 0 , ๐ง โ ๐ท
i, zatim
๐นโฒ ๐ง =๐๐ข
๐๐ฅ+ ๐
๐๐ฃ
๐๐ฅ= 0 , ๐นโฒ ๐ง =
๐๐ข
๐๐ฆโ ๐
๐๐ฃ
๐๐ฆ= 0
Slijedi
๐๐ข
๐๐ฅ=
๐๐ข
๐๐ฆ=
๐๐ฃ
๐๐ฅ=
๐๐ฃ
๐๐ฆ= 0 โ ๐ข = ๐1 , ๐ฃ = ๐2
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
22
A to znaฤi da je
๐น ๐ง = ๐ข + ๐๐ฃ = ๐1 + ๐๐2 = ๐.
Teorem 1. Neka je funkcija ๐(๐ง) neprekidna u oblasti ๐บ i integral od ๐(๐ง) zavisi samo od krajnjih taฤaka
krive integracije (koja sva leลพi u ๐บ ). Tada je funkcija ๐ ๐ง = โซ ๐(๐ก)๐ง
๐ง0๐๐ก regularna u ๐บ i vrijedi
๐โฒ ๐ง = ๐ ๐ง .
Dokaz.: Neka je ๐ง โ ๐บ, proizvoljna taฤka i โ๐ง takav da je (๐ง + โ๐ง) โ ๐บ. Imamo:
๐ ๐ง + โ๐ง โ ๐(๐ง)
โ๐งโ ๐(๐ง) =
1
โ๐ง ๐ ๐ก ๐๐ก โ ๐ ๐ก
๐ง
๐ง0
๐ง+โ๐ง
๐ง
๐๐ก โ ๐ ๐ง =
=1
โ๐ง ๐ ๐ก ๐๐ก โ
๐(๐ง)
โ๐ง ๐๐ก
๐ง+โ๐ง
๐ง
๐ง+โ๐ง
๐ง
=1
โ๐ง ๐ ๐ก โ ๐ ๐ง
๐ง+โ๐ง
๐ง
๐๐ก
Zbog neprekidnosti funkcije ๐(๐ง) moลพemo za svako ํ > 0 odrediti ๐ฟ ํ > 0, tako da je
๐ ๐ก โ ๐ ๐ง < ํ
ฤim je ๐ก โ ๐ง < ๐ฟ ํ . Zato je
๐ ๐ง + โ๐ง โ ๐(๐ง)
โ๐งโ ๐(๐ง) โค
ํ
โ๐ง โ โ๐ง = ํ
tj. ๐โฒ ๐ง = ๐(๐ง).
Primjedba. Teorem 1 izraลพava ฤinjenicu da je i funkcija ๐(๐ง) primitivna funkcija funkcije ๐(๐ง). Zato je
๐ ๐ง = ๐(๐ก)๐ง
๐ง0
๐๐ก = ๐น ๐ง + ๐
pri ฤemi je ๐น(๐ง) proizvoljna primitivna funkcija funkcije ๐(๐ง). Stavljajuฤi u ovoj jednakosti ๐ง = ๐ง0 ,
dobijamo 0 = ๐น ๐ง0 + ๐, tj. ๐ = โ๐น(๐ง0). Dakle
๐ ๐ง = ๐(๐ก)๐ง
๐ง0
๐๐ก = ๐น ๐ง โ ๐น(๐ง0)
Dobijena jednakost se po obliku poklapa sa Newton โ Leibntzovom formulom.
Primjer 1.
cos ๐ก ๐๐ก๐ง
0
= sin ๐ก 0๐ง = sin๐ง
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
23
18. Teoremi Morera i Liuvila
Teorem 1. Ako je funkcija ๐(๐ง) neprekidna na jednostruko povezanoj oblasti ๐บ, i ako integral funkcije
๐(๐ง) po bilo kojoj zatvorenoj krivoj ๐พ โ ๐บ ima vrijednost nula, onda je ๐(๐ง) regularna funkcija u ๐บ.
๐๐
๐๐ง = 0
Dokaz: Predpostavka da ๐(๐ข)๐พ
๐๐ข = 0. Neka su ๐ง0 i ๐ง1 prozvoljne taฤke iz ๐บ i vrijedi
๐1 ๐ ๐ข ๐ง
๐ง0
๐๐ข = ๐2 ๐ ๐ข ๐ง
๐ง0
๐๐ข
๐ ๐ข ๐๐ข๐พ
= ๐ ๐ข ๐๐ข๐1
+ ๐ ๐ข ๐๐ข๐2
= 0
+
Integral โซ ๐ ๐ข ๐ง
๐ง0๐๐ข zavisi samo od poฤetne i krajnje taฤke.
๐(๐ง) โ ๐ ๐ข ๐ง
๐ง0
๐๐ข
je dobro definisana funkcija.
๐ ๐ง โ je primitivna funkcija funkcije ๐(๐ง) na ๐บ, a to znaฤi:
1. ๐ ๐ง โ je regularna na ๐บ
2. ๐โฒ (๐ง) = ๐ ๐ง , ๐ง โ ๐บ
๐ ๐ง = โซ ๐ ๐ข ๐ง
๐ง0๐๐ข zadovoljava sve uslove u oblasti ๐บ poopลกtene Koลกijeve formule.
Onda โ๐ โ โ vrijedi : ๐โฒโฒ (๐ง) = ๐โฒ ๐ง , ๐ง โ ๐บ. Funkcija ๐ ๐ง je regularna na ๐บ (jer ima izvod u svakoj
taฤki skupa).
Primjer 1. Integral
๐ผ = ๐1/๐ง
2 โ ๐ง ๐ง๐๐ง
๐ง =3
rijeลกiti smjenom: ๐ง = 1/๐ค .
Rjeลกenje.
๐ง =1
๐ค โ ๐๐ง =
โ๐๐ค
๐คโ2 , ๐ง = 3 โ ๐ค =
1
3
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
24
Pa je
๐ผ = ๐๐ค
2 โ1
๐ค
1
๐ค
โโ๐๐ค
๐คโ2
๐ค =1/3
= โ ๐๐ค
2๐ค โ 1
๐ค =1/3
Funkcija ๐๐ค
2๐คโ1 je regularna u krugu ๐ค โค 1/3, jer taฤka ๐ค = 1/2 ne pripada tom krugu. Zato je ๐ผ = 0.
Teorem 2. Ako je funkcija ๐(๐ง) regularna u cjeloj kompleksnoj ravni i ograniฤena po apsolutnoj
vrijednosti, onda je ona konstanta.
Dokaz: Neka je ๐ง proizvoljna taฤka kompleksne ravni i ๐พ๐ kruลพnica sa centrom u ๐ง i polupreฤnika ๐. Tada
je
๐โฒ ๐ง =1
2๐๐
๐ ๐
๐ โ ๐ง 2๐พ๐
๐๐
๐โฒ ๐ง โค1
2๐
|๐ ๐ |
๐ โ ๐ง 2๐พ๐
๐๐ โค๐
2๐๐2 ๐๐ ๐พ๐
=๐
2๐๐2โ 2๐๐ =
๐
๐
Kako ๐ moลพe biti po volji veliki broj, to dobijamo da je ๐โฒ ๐ง = 0, odakle slijedi da je ๐ konstanta.
Na osnovu prethodne teoreme zakljuฤujemo da funkcija ๐ ๐ง = sin๐ง nije ograniฤena u kompleksnoj
ravni. Naime sin ๐ง je regularna u ๐ง โravni. Ako bi bila i ograniฤena, bila bi i konstantnafunkcija, ลกto
znamo da nije taฤno.
19. Stepeni redovi, poja, osobine, konvergencija
Red oblika ๐๐ ๐ง โ ๐ ๐โ๐=0 = ๐0 + ๐1 ๐ง โ ๐ + ๐2 ๐ง โ ๐ 2 + โฏ, gdje su ๐, ๐0 , ๐1, ๐2, โฆ kompleksne
konstante, zove se stepeni (potencijalni) red. Ako je ๐ = 0, dobijamo red oblika
๐๐
โ
๐=0
๐ง๐ = ๐0 + ๐1๐ง + ๐2๐ง2 + โฆ . (2).
Teorem 1. (Abel) Ako stepeni red (2) konvergira u taฤki ๐ง = ๐ง0 โ 0 onda on
a) konvergira apsolutno u krugu ๐ง < ๐ง0
b) konvergira uniformno na krugu ๐ง โค ๐ < ๐ง0
Teorem 2. Postoji realan broj ๐ โ 0, โ takav da red (2) konvergira za svako ๐ง za koje je ๐ง < ๐ , a
divergira za svako ๐ง za koje je ๐ง > ๐ .
Broj ๐ zove se polupreฤnik konvergencije reda (2) i odreฤuje se pomoฤu Dalamberovog ili Koลกijevog
kriterija korijena. Naime, ako postoje granice
lim๐โโ
๐๐ ๐ ili lim
๐โโ
๐๐
๐๐+1
tada je
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
25
๐ =1
lim๐โโ
๐๐ ๐ ili ๐ =
1
lim๐โโ
๐๐
๐๐+1
Ako navedene graniฤne vrijednosti ne postoje, onda u izrazima za ๐ treba uzeti lim๐โโ = lim
๐โโ superior.
Oblast ๐ง < ๐ zove se krug konvergencije (2). U taฤkama ๐ง = ๐ red moลพe i konvergirati i divergirati.
Primjer. Odrediti krug konvergencije reda
๐๐
๐!
โ
๐=1
๐ง๐
Rjeลกenje. Imamo
๐๐ =๐๐
๐!โ lim
๐โโ ๐๐+1
๐๐ = lim
๐โโ
๐+1 ๐+1
๐+1 !
๐๐
๐ !
= lim๐โโ
๐! ๐ + 1 ๐+1
๐ + 1 ! ๐๐= lim
๐โโ 1 +
1
๐
๐
= ๐
Red konvergira za ๐ง โ ๐ < 1, tj. za ๐ง < 1/๐ . Dakle, ๐ = 1/๐ .
Teorem 3.
(a) Suma stepenog reda je regularna funkcija u krugu konvergencije
(b) Stepeni red se moลพe diferencirati i integrirati ฤlan po ฤlan u krugu konvergencije
(c) Diferenciranjem i integracijom se ne mijenja polupreฤnik reda.
20. Teorem o razvoju funkcije u Tejlorov red
Odgovor na pitanje da li regularna funkcija odreฤuje stepeni red koji je konvergenran nam daje slijedeฤi
teorem.
Teorem. Ako je funkcija ๐(๐ง) regularna u krugu ๐ง โ ๐ < ๐ , onda se ona u tom krugu razlaลพe u
konvergentan red oblika:
๐ ๐ง = ๐๐ ๐ง โ ๐ ๐
โ
๐=0
pri ฤemu su koeficijenti ๐๐ odreฤeni formulom
๐๐ =1
2๐๐
๐ ๐
๐ โ ๐ ๐+1๐๐
๐พ๐
=๐ ๐ ๐
๐!
gdje je ๐พ๐ kruลพnica ๐ง โ ๐ < ๐ i ๐ง โ ๐ < ๐ < ๐ .
Dokaz : Neka je ๐ง proizvoljna taฤka kruga ๐ง โ ๐ < ๐ i ๐ง โ ๐ < ๐ < ๐ . Na osnovu koลกijeve integralne
formule vrijedi:
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
26
๐ ๐ง =1
2๐๐
๐ ๐
๐ โ ๐ง๐๐
๐พ๐
(1)
Za ๐ง โ ๐ < ๐ โ ๐ vaลพi razvoj
๐ง โ ๐
๐ โ ๐ < 1
1
๐ โ ๐ง=
1
๐ โ ๐ โ ๐ง โ ๐ =
1
๐ โ ๐โ
1
1 โ๐งโ๐
๐โ๐
=1
๐ โ ๐โ
๐ง โ ๐ ๐
๐ โ ๐ ๐
โ
๐=0
1
๐ โ ๐ง=
๐ง โ ๐ ๐
๐ โ ๐ ๐+1
โ
๐=0
(2)
Red (2) kovergira ravnomjerno po ๐ na kruลพnici ๐พ๐ , jer je
๐ง โ ๐ ๐
๐ โ ๐ ๐+1 โค
๐ง โ ๐ ๐
๐๐+1 ๐๐๐ง๐๐ฃ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐ โ ๐พ๐
Zato se u jednakosti (koja slijedi iz (1) na osnovu (2))
๐ ๐ง =1
2๐๐ ๐ ๐ โ
๐ง โ ๐ ๐
๐ โ ๐ ๐+1
โ
๐=0๐พ๐
๐๐
Smije izvrลกiti integracija ฤlan po ฤlan. Dakle,
๐(๐ง) = ๐ง โ ๐ ๐ โ1
2๐๐
๐ ๐
๐ โ ๐ ๐+1๐๐
๐พ๐
โ
๐=0
Primjedba 1. Kruลพnicu ๐พ๐ moลพemo zamijeniti bilo kojom zatvorenom krivom koja leลพi u kgrugu
๐ง โ ๐ < ๐ i obuhvata taฤku ๐.
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
27
21. Loranov red, teorem i primjeri
Uopลกtenje Tejlorovog reda jeste red oblika
๐๐ ๐ง โ ๐ ๐
+โ
k=โโ
= ๐๐ ๐ง โ ๐ ๐
โ1
k=โโ
+ ๐๐ ๐ง โ ๐ ๐
+โ
k=0
|k = โk|=
๐โ๐ ๐ง โ ๐ โ๐
+โ
k=1
+ ๐๐ ๐ง โ ๐ ๐
+โ
k=0
= +1
2
ovaj red se zove Loranov red.
Ako je ๐ท1 oblast konvergencije reda ฮฃ1 , a ๐ท1 oblast konvergencije reda ฮฃ2, onda je ๐ท1 โฉ ๐ท2 oblast
konvergencije datog Loranovog reda.
Ako je
lim๐โโ
|๐โ๐ |๐ = ๐1
nnda red ฮฃ1 konvergira u oblasti ๐ง โ ๐ > ๐1. Ako je
lim๐โโ
|๐๐ |๐ =1
๐2
onda red ฮฃ2 konvergira u oblasti ๐ง โ ๐ > ๐2. Redovi ฮฃ1 i ฮฃ2 imaju zajedniฤku oblast konvergencije
akoe je ๐1 < ๐2. Dakle, Loranov red konvergira u prostoru ๐1 < ๐ง โ ๐ < ๐2 , a u prstenu ๐1 < ๐1 โค
๐ง โ ๐ โค ๐2 < ๐2 konvergencija je ravnomjerna, U prstenu konvergencije Loranov red definiลกe
regularna funkcija.
Teorem. (Loranov) Ako je funkcija ๐(๐ง) regularna u prstenu ๐1 < ๐ง โ ๐ < ๐2, onda se ona u tom
prstenu razlaลพe u konvergentan Loranov red:
๐ ๐ง = ๐๐ ๐ง โ ๐ ๐
+โ
๐=โโ
pri ฤemu je
๐๐ =1
2๐๐
๐ ๐
๐ โ ๐ ๐+1๐๐
๐พ๐
gdje je ๐พ๐ kruลพnica ๐ง โ ๐ = ๐ , pri ฤemu je 0 โค ๐1 < ๐ < ๐2 < โ.
Primjer 1. Funkciju
๐ ๐ง =1
๐ง โ 1 ๐ง โ 2
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
28
razloลพiti u Loranov red u oblasti: a) ๐ง < 1, b) 1 < ๐ง < 2, c) ๐ง > 2
Rjeลกenje. a) Kako je
๐ ๐ง =1
๐ง โ 2โ
1
๐ง โ 1
1
๐ง โ 2= โ
1
2
1
1 โ๐ง
2
= โ1
2
๐ง๐
2๐
โ
๐=0
, ๐ง < 2
1
๐ง โ 1= โ
1
1 โ ๐ง= โ ๐ง๐
โ
๐=0
, ๐ง < 1
to je
๐ ๐ง = 1 โ1
2๐+1 ๐ง๐
โ
๐=0
za ๐ง < 1.
22. Singularne tacke funkcije, pojam residuma f โ je
Definicija. Ako je funkcija ๐(๐ง) regularna u oblasti 0 < ๐ง โ ๐ < ๐ izuzev u taฤki ๐ง = ๐, onda se taฤka ๐
zove izolovani singularitet ili izolovana singularna taฤka.
Primjer 1. Funkcija ๐ ๐ง =1
๐งโ1 regularna u oblasti 0 < ๐ง โ 1 โค 2 , ali nije regularna u okolini
๐ง โ 1 < ๐ฟ, jer u taฤki ๐ง = 1 iz te okoline nema izvod. Taฤka ๐ง = 1 je izolovana singularna taฤka za ovu
funkciju.
Postoje slijedeฤe vrste singulariteta:
1. Ako lim๐งโ๐ ๐(๐ง) postoji, onda je taฤka ๐ otklonjivi (prividni) singularitet.
2. Ako lim๐งโ๐ ๐(๐ง) = โ, onda je taฤka ๐ pol funkcije ๐(๐ง)
3. Ako lim๐งโ๐ ๐(๐ง) ne postoji, onda se taฤka ๐ zove esencijalni singularitet.
Primjer 2. Taฤka ๐ = 0 za funkciju ๐ ๐ง =sin ๐ง
๐ง je otklonjivi singularitet. Jer lim
๐งโ0
sin ๐ง
๐ง= 1 postoji.
Primjer 3. Taฤka ๐ = 0 za funkciju ๐ ๐ง = ๐1/๐ง je esencijalni singularitet. Naime, ako se taฤki ๐ = 0
pribliลพimo preko taฤaka 1/๐ , ๐ = 1,2, โฆ, dobijemo lim๐งโ0
๐ ๐ง = lim๐โโ
๐๐ = โ . Ako se taฤki ๐ = 0
pribliลพimo preko taฤaka โ1/๐ , ๐ = 1,2, โฆ, dobijemo lim๐งโ0
๐ ๐ง = lim๐โโ
๐โ๐ = 0.
Tvrdnja:
1. Ako je ๐ otklonjivi singularitet, onda je ๐ = 0 za sve ๐ = โ1, โ2, โ3, โฆ ,
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
29
2. Ako je ๐ pol funkcije, tada je samo konaฤno mnogo koeficijenata ๐๐ , za negativne vrijednosti
indeksa ๐, razliฤito od nule
3. Ako je ๐ esencijalni singularitet, tada je beskonaฤno mnogo ๐๐ , za negativne ๐, razliฤito od nule.
Dokaz. 2)
Neka je ๐ pol od ๐(๐ง) tj. lim๐งโโ
๐ ๐ง = โ. To znaฤi da je u jednoj okolini taฤke ๐, ๐ ๐ง > ๐ > 0 odnosno
1
๐ ๐ง <
1
๐ , pa je u toj okolini funkcija
1
๐ ๐ง regularna, zato se moลพe razviti u Tejlorov red.
1
๐ ๐ง = ๐0 + ๐1 ๐ง โ ๐ + ๐2 ๐ง โ ๐ 2 + โฏ + ๐๐ ๐ง โ ๐ ๐ + โฏ
Odakle je
๐ ๐ง =1
๐0 + ๐1 ๐ง โ ๐ + ๐2 ๐ง โ ๐ 2 + โฏ + ๐๐ ๐ง โ ๐ ๐ + โฏ
Odande zakljuฤujemo da mora biti ๐0 = 0 jer bi u protivnom vrijedilo ๐ ๐ =1
๐0โ โ.
Neka je ๐0 = ๐1 = โฏ = ๐๐โ1 = 0 , ๐๐ โ 0. Tada imamo:
1
๐ ๐ง = ๐ง โ ๐ ๐ ๐๐ + ๐๐+1 ๐ง โ ๐ 1 + โฏ = ๐ง โ ๐ ๐๐(๐ง)
pri ฤemu je ๐(๐ง) regularna funkcija u taฤki ๐, ๐ ๐ง โ 0 . Iz ove jednakosti dobijamo
๐ ๐ง =1
๐ง โ ๐ ๐โ
1
๐ ๐ง =
๐ ๐ง
๐ง โ ๐ ๐
Funkcija ๐ ๐ง = 1/๐(๐ง) je regularna u taฤki ๐, pa se moลพe razviti u Tejlorov red
๐ ๐ง = ๐ต0 + ๐ต1 ๐ง โ ๐ + ๐ต2 ๐ง โ ๐ 2 + โฏ
Zato je
๐ ๐ง =๐ต0
๐ง โ ๐ ๐+
๐ต1
๐ง โ ๐ ๐โ1+ โฏ + ๐ต๐ + ๐ต๐+1 ๐ง โ ๐ + ๐ต๐+2 ๐ง โ ๐ 2 + โฏ =
=๐ทโ๐
๐ง โ ๐ ๐+
๐ทโ๐+1
๐ง โ ๐ ๐โ1+ โฏ +
๐ทโ1
๐ง โ ๐+ ๐ท0 + ๐ท1 ๐ง โ ๐ + โฏ , 2
Pri ฤemu je ๐ทโ๐ โ 0.
Definicija 2. Priroda taฤke ๐ง = โ za funkciju ๐ ๐ง ista je kao taฤke ๐ค = 0 za funkciju ๐ 1
๐ค .
Npr. Taฤka ๐ง = โ je regularna taฤka za funkciju ๐ ๐ง = ๐1/๐ง , jer je taฤka ๐ค = 0 regularna za funkciju
๐ 1
๐ค = ๐๐ค .
Definicija 3. Ostatak funkcije ๐(๐ง) u izolovanoj singularnoj taฤki ๐ โ โ jeste kompleksan broj
Res๐งโ๐
๐(๐ง) โ1
2๐๐ ๐ ๐ง ๐๐ง ๐พ
gdje je ๐พ kruลพnica ๐ง โ ๐ = ๐ koja ne obuhvata druge singularne taฤke funkcije ๐ ๐ง .
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
30
Definicija 4. Ostatak (residum) funkcije ๐(๐ง) u taฤki ๐ง = โ definiลกe se kao
Res๐ง=โ
๐(๐ง) =1
2๐๐ ๐ ๐ง ๐๐ง ๐พ
gdje je ๐พ kruลพnica ๐ง = ๐ koja leลพi u jednoj okolini taฤke โ u kojoj osim taฤke โ nema drugih
singulariteta funkcije ๐(๐ง). U sluฤaju da je taฤka ๐ pol (reda ๐) funkcije, ostatak se moลพe izraฤunati
pomoฤu izvoda funkcije ๐.
23. Navesti i dokazati teorem o izracunavanju ostatka f-je u polu primjenom izvoda f-je, navesti primjere
Teorem 1. Ostatak (residum) funkcije ๐(๐ง) u polu ๐ โ โ raฤuna reda ๐ jeste
Res๐ง=๐
๐(๐ง) =1
๐ โ 1 !๐๐๐๐งโ๐
๐๐โ1
๐๐ง๐โ1 ๐ง โ ๐ ๐๐ ๐ง
Dokaz : Znamo da se funkcija ๐(๐ง) moลพe napisati u obliku ๐ ๐ง =๐ ๐ง
๐งโ๐ ๐ gdje je ๐(๐ง) regularna funkcija
u taฤki ๐, odnosno da se ๐ ๐ง moลพe razviti u red
๐ ๐ง =๐ทโ๐
๐ง โ ๐ ๐+
๐ทโ๐+1
๐ง โ ๐ ๐โ1+ โฏ +
๐ทโ1
๐ง โ ๐+ ๐ท0 + ๐ท1 ๐ง โ ๐ + โฏ
Mnoลพeฤi prethodni izraz sa ๐ง โ ๐ ๐ dobijamo
๐ง โ ๐ ๐๐ ๐ง = ๐ทโ๐ + ๐ทโ๐+1 ๐ง โ ๐ + โฏ + ๐ทโ1 ๐ง โ ๐ ๐โ1 + ๐ท0 ๐ง โ ๐ ๐ + ๐ท1 ๐ง โ ๐ ๐+1 + โฏ
Odatle je
๐ ๐โ1 ๐ง โ ๐ ๐๐ ๐ง
๐๐ง๐โ1= ๐ โ 1 ! ๐ทโ1 +
๐ ๐โ1
๐๐ง๐โ1 ๐ท๐ ๐ง โ ๐ ๐+1
โ
๐=0
Iz ove jednakosti se dobija
๐ทโ1 =1
๐ โ 1 !lim๐งโ๐
๐๐โ1 ๐ง โ ๐ ๐๐ ๐ง
๐๐ง๐โ1
ฤime je teorem dokazan.
Primjer 1. Funkcija
๐ ๐ง =1
๐ง2 ๐ง โ 1
Ima u taฤki ๐ง = 0 pol drugog reda.
Res๐ง=0
๐(๐ง) = lim๐งโ0
๐ง2 โ1
๐ง2 ๐ง โ 1
โฒ
= lim๐งโ0
โ1
๐ง โ 1 2= โ1
U taฤki ๐ง = 1, ๐(๐ง) ima pol prvog reda:
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
31
Res๐ง=1
๐(๐ง) = lim๐งโ1
๐ง โ 1 โ1
๐ง2 ๐ง โ 1
โฒ
= 1
Primjer 2. Ostatak funkcije
๐ ๐ง =๐๐ง
๐ง2 โ 1
u polu ๐ = 1 je
Res๐ง=1
๐(๐ง) = lim๐งโ1
๐ง โ 1 โ๐๐ง
๐ง โ 1 (๐ง + 1)
โฒ
= lim๐งโ1
๐๐ง
๐ง + 1=
๐
2
ostatak u polu ๐ = โ1 je
Res๐ง=โ1
๐(๐ง) = lim๐งโโ1
๐ง + 1 โ๐๐ง
๐ง โ 1 (๐ง + 1)
โฒ
= lim๐งโโ1
๐๐ง
๐ง โ 1=
๐โ1
โ2= โ
1
๐ โ 2
Primjedba. Ako regularna funkcija ๐ ๐ง ima konaฤno mnogo izolovanih singulariteta ๐ง1, โฆ , ๐ง๐
(ukljuฤujuฤi i taฤku ๐ง = โ), onda je
Res๐ง=๐ง๐
๐(๐ง)
๐
๐=1
= 0
Zaista, oznaฤavajuฤi sa ๐ง๐ = โ, imamo po definiciji 4. (Prethodno pitanje) da je
Res๐ง=๐ง๐ =โ
๐(๐ง) =1
2๐๐ ๐(๐ง)
๐พ
๐๐ง
pri ฤemu je ๐พ kruลพnica koja obuhvata taฤke ๐ง1 , โฆ , ๐ง๐โ1. Takoฤer,
Res๐ง=๐ง๐
๐(๐ง)
๐โ1
๐=1
= 1
2๐๐ ๐(๐ง)
๐พ๐
๐๐ง
๐โ1
๐=1
=1
2๐๐ ๐(๐ง)
๐พ
๐๐ง ,
Zato je
Res๐ง=๐ง๐
๐(๐ง)
๐
๐=1
=1
2๐๐ ๐(๐ง)
๐พ
๐๐ง +1
2๐๐ ๐(๐ง)
๐พ
๐๐ง = 0
Zbog suprotnih orijentacija integracije.
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
32
24. Koลกijev teorem o ostacima i primjeri
Teorem. (Koลกijev) Neka je funkcija ๐(๐ง) regularna u zatvorenoj oblasti G = G โช ฮณ, pri ฤemu je ๐พ rub
oblasti ๐บ, osim u konaฤno mnogo izolovanih singularnih taฤaka ๐ง1 , ๐ง2, โฆ , ๐ง๐ koji leลพe u unutraลกnjosti
oblasti ๐บ. Tada je
๐(๐ง)๐พ
๐๐ง = 2๐๐ Res๐ง=๐ง๐
๐(๐ง)
๐
๐=1
Dokaz: Oko svake taฤke ๐ง๐ opiลกimo kruลพnicu ฮณk โ G (slika) koja ne obuhvata singularitete ๐ง๐ , ๐ โ ๐.
Tada je
funkcija ๐(๐ง) je regularna na ๐ท
๐(๐ง)๐๐ง๐๐ข๐๐ท
= 0 โ ๐(๐ง)๐พ
๐๐ง + ๐(๐ง)๐๐ง๐พ๐
๐
๐=1
= 0
๐(๐ง)๐พ
๐๐ง = ๐(๐ง)๐๐ง๐พ๐
๐
๐=1
= 2๐๐ 1
2๐๐ ๐(๐ง)๐๐ง๐พ๐
๐
๐=1
๐(๐ง)๐พ
๐๐ง = 2๐๐ Res๐ง=๐ง๐
๐(๐ง)
๐
๐=1
Praktiฤna vrijednost ove teoreme je u tome ลกto se izraฤunavanje integrala svodi na izraฤunavanje
ostataka u izolovanim singularnim taฤkama.
Primjer 1.
๐ผ = cos ๐ง
๐ง3 ๐ง =2
๐๐ง
๐ง = 0 je jedini izolovani singularitet i to pol treฤeg reda. Zato je
Res๐ง=0
cos ๐ง
๐ง3=
1
2!lim๐งโ0
๐ง โ 0 3cos ๐ง
๐ง3 โฒโฒ
=1
2lim๐งโ0
โ sin ๐ง โฒ = โ1
2cos 0 = โ
1
2
Zato je
๐ผ = 2๐๐ โ1
2 = โ๐๐.
Primjer 2.
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
33
๐ผ = ๐ง3๐1
๐ง
๐ง+1 =2
๐๐ง
Imamo samo jedan singularitet (esencijalni) ๐ง = 0. Kako je
๐1
๐ง = 1 +1
๐ง+
1
2! ๐ง2+
1
3! ๐ง3+ โฏ
to je
๐ง3๐1
๐ง = ๐ง3 + ๐ง2 +๐ง
2!+
1
3!+
1
4! ๐ง+ โฏ
Odakle zakljuฤujemo da je
Res๐ง=0
๐ง3 ๐1
๐ง = ๐โ1 =1
4!=
1
24
Zato je
๐ผ = 2๐๐ โ1
24=
๐๐
12 .
25. Integral oblika โซ ๐ ๐๐จ๐ฌ ๐ , ๐ฌ๐ข๐ง ๐ ๐๐
๐๐ ๐ฝ , nacin rjeลกavanja i
primjeri
Ovaj integral se smjenom ๐ง = ๐๐ํ pretvara u integral kompleksne funkcije po kruลพnici ๐ง = 1. Zaista,
imamo
๐ํ =1
๐
๐๐ง
๐ง , cos ํ =
1
2 ๐๐ํ + ๐โ๐ํ =
1
2 ๐ง +
1
๐ง
sin ํ =1
2๐ ๐๐ํ โ ๐โ๐ํ =
1
2๐ ๐ง โ
1
๐ง
i, zatim,
ฯ cos ํ , sin ํ ๐ํ2ฯ
0
=1
๐ ๐ ๐ง =1
1
2 ๐ง +
1
๐ง ,
1
2๐ ๐ง โ
1
๐ง
๐๐ง
๐ง= ๐ ๐ง ๐๐ง
๐ง =1
.
A zatim primjenimo Koลกijev teorem o ostacima.
Primjer 1. Izraฤunati integral
๐ผ = ๐ํ
cos ํ โ 2
2ฯ
0
.
Rjeลกenje. Smjenom ๐ง = ๐๐ํ dobijemo ๐ํ = ๐๐ง/๐๐ง , cos ํ =1
2 ๐ง +
1
๐ง pa je
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
34
๐ผ =1
๐
๐๐ง
๐๐ง1
2 ๐ง +
1
๐ง โ 2 ๐ง =1
=
๐๐ง
๐๐ง๐ง2+1โ4๐ง
2๐ง ๐ง =1
=2
๐
๐๐ง
๐ง2 โ 4๐ง + 1 ๐ง =1
Funkcija ๐ ๐ง =๐๐ง
๐ง2โ4๐ง+1 ima dva pola ๐ง1,2 = 2 ยฑ 3.
Pol ๐ง1 = 2 + 3 ne leลพi u krugu
Res๐ง=๐ง2
1
๐ง2 โ 4๐ง + 1= lim
๐งโ๐ง2
๐ง โ 2 โ 3 โ1
๐ง โ 2 โ 3 ๐ง โ 2 + 3 =
= lim๐งโ2โ 3
1
๐ง โ 2 + 3 = โ
1
2 3
Zato je
๐ผ =2
๐โ 2๐๐ โ โ
1
2 3 = โ
2๐
3
Primjer 2. Uvjeriti se da je
๐๐ฅ
sin ๐ฅ + 2
2ฯ
0
=2ฯ
3
26. Integral oblika โซ ๐๐ฆ(๐ฑ)/๐๐ง ๐ฑ ๐๐ฑ+โ
โโ , gdje je mโคn-2 i polinom
Qn(x) nema realnih nula, nacin rjeลกavanja i primjeri
Pretpostavimo da je ๐ ๐ฅ =๐๐ ๐ฅ
๐๐ ๐ฅ racionalna funkcija pri ฤemu polinomi ๐๐ ๐ฅ i ๐๐(๐ฅ) imaju stepene ๐
i ๐ respektivno, i pri tom ๐ โค ๐ โ 2. Pored toga, pretpostavimo da polinom ๐๐(๐ฅ) nema realnih nula.
Tada funkcija ๐ ๐ฅ , (๐ง = ๐ฅ + ๐๐ฆ), ima ๐ โค ๐ polova koji leลพe u oblasti ๐ง < ๐ 0.
Uoฤimo zatvorenu krivu ๐พ koja se sastoji od duลพi โ๐ , ๐ na ๐ฅ osi i gornje polukruลพnice ๐ง = ๐ , pri
ฤemu je ๐ > ๐ 0 , (slika).
Neka ๐ โค ๐ polova leลพi u oblasti ฤiji je rub kriva ๐พ. Tada je
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
35
๐ ๐ง ๐๐ง๐พ
= 2๐๐ Res๐ง=๐ง๐
๐
๐=1
๐(๐ฅ)
Odnosno
๐ ๐ฅ ๐๐ฅ๐
โ๐
+ ๐ ๐ง ๐๐ง๐พ๐
= 2๐๐ Res๐ง=๐ง๐
๐
๐=1
๐ ๐ฅ โฆ (1)
Gdje je ๐พ๐ = ๐ง โถ ๐ง = ๐ ๐๐ํ , 0 โค ํ โค ๐ .
Procijenimo integral po polukruลพnici ๐พ๐ kada ๐ โ โ. Kako je stepen brojioca za 2 manji od stepena
imenioca, to je
๐ง2๐ ๐ง โค ๐ za ๐ง โฅ ๐ 1.
To znaฤi da za ๐ > ๐ 1 i ๐ง โ ๐พ๐ vaลพi
๐ง2๐ ๐ง โค ๐ tj. ๐ 2 ๐ ๐ง โค ๐ ,
Odnosno
๐ ๐ง โค๐
๐ 2 , ๐ง โ ๐พ๐ .
Zato je
๐ ๐ง ๐๐ง๐พ๐
โค๐
๐ 2 ๐๐ ๐พ๐
=๐๐
๐ โ 0 , ๐ โ โ .
Na osnovu ove procjene iz (1) se dobija
lim๐ โโ
๐ ๐ฅ ๐๐ฅ๐
โ๐
= 2๐๐ Res๐ง=๐ง๐
๐
๐=1
๐ ๐ฅ ,
Odnosno
๐ ๐ฅ ๐๐ฅโ
โโ
= 2๐๐ Res๐ง=๐ง๐
๐
๐=1
๐ ๐ฅ
Primjedba. Sliฤno se razmatra integral funkcije ๐ ๐ฅ = ๐๐๐๐ฅ ๐ ๐ฅ , ๐ > 0 , po realnoj osi. Neka je
funkcija ๐(๐ง) regularna u gornjoj poluravni, ๐ผ๐ ๐ง > 0 , osim u konaฤno mnogo izolovanih singulariteta
od kojih ni jedan nije na realnoj osi. Osim toga, neka ๐ ๐ง โ 0 ravnomjerno po arg ๐ง, (0 โค arg ๐ง โค ๐)
kada ๐ง โ โ. Tada je za ๐ > 0
๐๐๐๐ง ๐ ๐ฅ ๐๐ฅโ
โโ
= 2๐๐ Res๐ง=๐ง๐
๐
๐=1
๐๐๐๐ง ๐ ๐ง โฆ (2)
gdje su ๐ง๐ singulariteti funkcije ๐(๐ง) u gornjoj poluravni. Integracijom funkcije po konturi ๐พ na
prethodnoj slici i dokazivanjem da
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
36
๐๐๐๐ง ๐ ๐ง ๐๐ง๐พ๐
โ 0 (๐ โ โ)
dolazi se do jednakosti (2) .
Primjer 1.
๐ผ = ๐๐ฅ
๐ฅ2 + 1 2
โ
โโ
, ๐ ๐ฅ = 1 , ๐ ๐ฅ = ๐ฅ2 + 1 2
๐(๐ฅ) nema realnih nula
๐ ๐ง =1
๐ง2 + 1 2
Ima polove ๐ง = ยฑ๐, drugog reda. Pol ๐ง = ๐ se nalazi u oblasti Im ๐ง > 0. Zato je,
๐๐ฅ
๐ฅ2 + 1 2
โ
โโ
= 2๐๐ โ Res๐ง=๐
๐ ๐ง .
Res๐ง=๐
1
๐ง2 + 1 2=
1
1!lim๐งโ๐
๐ง โ ๐ 2 1
๐ง2 + 1 2 โฒ
= lim๐งโ๐
1
๐ง2 + 1 2 โฒ
=
lim๐งโ๐
โ2
๐ง + ๐ 3=
โ2
2๐ 3=
โ2
โ8๐=
1
4๐ โ ๐ผ = 2๐๐ โ
1
4๐=
๐
2
27. Pojam ortogonalnog sistema funkcija i trigonometrijskog reda
Funkcionalan red oblika
๐0
2+ ๐๐ cos ๐๐ฅ + ๐๐ sin ๐๐ฅ
โ
๐=1
(1)
pri ฤemu su ๐๐ , ๐๐ realni brojevi i ๐ฅ realna promjenljiva, naziva se trigonometrijski red. Interesuju nas
konvergentni trigonometrijski redovi ฤija suma je neka periodiฤna funkcija ๐(๐ฅ). Tada se koeficijenti
reda mogu po odreฤenom pravilu izraฤunati u zavisnosti od funkcije ๐(๐ฅ).
Pretpostavimo da je ๐(๐ฅ) realna periodiฤna funkcija osnovnog perioda ๐. Tada je ๐ ๐ฅ + ๐ = ๐ ๐ฅ
โ๐ฅ โ ๐ . Pokaลพimo da je โ๐ โ ๐ ,
๐ ๐ฅ ๐๐ฅ๐+๐
๐
= ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ๐
0
(2)
Vrijedi
๐ ๐ฅ ๐๐ฅ๐+๐
๐
= ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ0
๐
+ ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ๐
0
+ ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ๐+๐
๐
Kako je
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
37
๐ ๐ฅ ๐๐ฅ๐+๐
๐
๐ ๐๐๐๐๐:๐ฅ = ๐ + ๐ก๐๐ฅ = ๐๐ก
= ๐ ๐ก + ๐๐ก =๐
0
๐ ๐ก ๐๐ก๐
0
To se prvi i treฤi integral poniลกtavaju, pa dobijamo
๐ ๐ฅ ๐๐ฅ๐+๐
๐
= ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ๐
0
Grafiฤko tumaฤenje je slijedeฤe
Povrลกina 3 je jednaka povrลกini 1 pa zato zbir povrลกina 1 i 3 predstavlja povrลกinu cijelog krivolinijskog
trapeza. Zato je
๐ ๐ฅ ๐๐ฅ๐+๐
๐
= ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ๐
0
Definicija. Skup (sistem) funkcija ๐๐ ๐ฅ (๐ = 1,2,3, โฆ ) je ortogonalan na intervalu ๐, ๐ ako je
๐๐(๐ฅ) โ ๐๐ ๐ฅ ๐
๐
๐๐ฅ = 0 , ๐ง๐ ๐ โ ๐๐๐ , ๐ = ๐
.
Primjer. Sistem funkcija 1 ๐1(๐ฅ)
, cos ๐ฅ ๐2(๐ฅ)
, sin ๐ฅ ๐3(๐ฅ)
, ๐๐๐ 2๐ฅ ๐4(๐ฅ)
, sin 2๐ฅ ๐3(๐ฅ)
, โฆ je ortogonalan na proizvoljnom intervalu
duลพine 2๐.
Dokaz. Funkciju (1) moลพemo napisati kao cos 0 โ ๐ฅ tj. cos ๐๐ฅ za ๐ = 0. Zbog osobine (2) odreฤenog
integrala periodiฤne funkcije moลพemo izraฤunati integral na bilo kojem intervalu duลพine 2๐. Uzmimo
npr. interval โ๐, ๐ . Ako je ๐ โ ๐, tako je
๐๐๐ ๐๐ฅ โ ๐๐๐ ๐๐ฅ๐๐ฅ๐
โ๐
= 1
2 ๐๐๐ ๐ + ๐ ๐ฅ + ๐๐๐ ๐ โ ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
๐
โ๐
=
= 1
2 sin ๐ + ๐ ๐ฅ
๐ + ๐+
sin ๐ โ ๐ ๐ฅ
๐ โ ๐
โ๐
๐
= 0 ,
a za ๐ = ๐ imamo
๐๐๐ 2 ๐๐ฅ๐
โ๐
= (1 + cos 2๐๐ฅ)
2
๐
โ๐
๐๐ฅ = 1
2 ๐ฅ +
1
2๐sin 2๐๐ฅ
โ๐
๐
= ๐ .
Za ๐ โ ๐ je
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
38
๐ ๐๐ ๐๐ฅ โ ๐ ๐๐ ๐๐ฅ ๐๐ฅ๐
โ๐
= 1
2 ๐๐๐ ๐ โ ๐ ๐ฅ โ ๐๐๐ ๐ + ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
๐
โ๐
=
= 1
2 sin ๐ โ ๐ ๐ฅ
๐ โ ๐โ
sin ๐ + ๐ ๐ฅ
๐ + ๐
โ๐
๐
= 0 ,
a za ๐ = ๐ imamo
๐ ๐๐2 ๐๐ฅ๐
โ๐
= (1 โ cos 2๐๐ฅ)
2
๐
โ๐
๐๐ฅ = 1
2 ๐ฅ โ
1
2๐sin 2๐๐ฅ
โ๐
๐
= ๐ .
Za sve ๐ = 0,1,2, โฆ i ๐ = 1,2, โฆ je
๐๐๐ ๐๐ฅ โ ๐ ๐๐ ๐๐ฅ ๐๐ฅ๐
โ๐
= 1
2 ๐ ๐๐ ๐ + ๐ ๐ฅ โ ๐ ๐๐ ๐ โ ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
๐
โ๐
Ako je ๐ = ๐ tada imamo
1
2 sin 2๐๐ฅ ๐๐ฅ
๐
โ๐
= โ1
4๐cos 2๐๐ฅ
โ๐
๐
= 0
Takoฤer za ๐ โ ๐ dobijamo
โ 1
2 cos ๐ + ๐ ๐ฅ
๐ + ๐โ
cos ๐ โ ๐ ๐ฅ
๐ โ ๐
โ๐
๐
= 0 .
Dakle sistem funkcija
๐1 ๐ฅ = 1 , ๐2 ๐ฅ = cos ๐ฅ , ๐3 ๐ฅ = sin ๐ฅ , ๐4 = cos 2๐ฅ , ๐5 = sin 2๐ฅ , โฆ , ๐2๐ ๐ฅ = cos ๐๐ฅ ,
๐2๐+1 ๐ฅ = sin ๐๐ฅ , โฆ zadovoljava uslov definicije ortogonalnosti na bilo kojem intervalu duลพine 2๐.
Primjedba. Ako je ๐ โ 0 bilo koji realan broj tada ๐๐ฅ โ [0, 2๐] ako i samo ako ๐ฅ โ [0, 2๐/๐ ]. Zato je
sistem funkcija 1, cos ๐๐ฅ , sin ๐๐ฅ , cos 2๐๐ฅ , sin 2๐๐ฅ , โฆ ortogonalan na svakom intervalu duลพine 2๐/๐ .
Tada odgovarajuฤi trigonometrijski red (1) ima oblik
๐0
2+ ๐๐ cos ๐๐๐ฅ + ๐๐ sin๐๐๐ฅ
โ
๐=1
(1)
Teorema. Ako red (1) ravnomjerno konvergira na razmaku โ ๐ โค ๐ฅ โค ๐ ka funkciji ๐ ๐ฅ , onda vrijede
formule:
๐0 =1
๐ ๐(๐ฅ)
๐
โ๐
๐๐ฅ , ๐๐ =1
๐ ๐(๐ฅ)
๐
โ๐
cos ๐๐ฅ ๐๐ฅ , ๐๐ =1
๐ ๐(๐ฅ)
๐
โ๐
sin ๐๐ฅ ๐๐ฅ, (๐ = 1,2, โฆ )
Dokaz:
1)
๐ ๐ฅ ๐0
2+ ๐๐ cos ๐๐ฅ + ๐๐ sin ๐๐ฅ
โ
๐=1
/โ ๐๐ฅ๐
โ๐
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
39
Zbog ravnomjerne konvergencije red(1) moลพemo integraliti ฤlan po ฤlan, pa dobijemo
๐(๐ฅ)๐๐ฅ๐
โ๐
= ๐0
2
๐
โ๐
+ ๐๐ cos ๐๐ฅ ๐๐ฅ๐
โ๐ 1,cos ๐๐ฅ =0
+ ๐๐ sin๐๐ฅ๐๐ฅ๐
โ๐ 1,sin ๐๐ฅ =0
โ
๐=1
โ ๐(๐ฅ)๐
โ๐
๐๐ฅ = ๐0๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐0 = 1
๐ ๐(๐ฅ)
๐
โ๐
๐๐ฅ
2) Redovi ๐ ๐ฅ cos ๐๐ฅ ๐ ๐ ๐ฅ sin๐๐ฅ su takoฤer ravnomjerno konvergentni jer je cos ๐๐ฅ โค 1 i
sin๐๐ฅ โค 1 zato se i oni mogu integraliti ฤlan po ฤlanpa imamo
๐ ๐ฅ ๐0
2+ ๐๐ cos ๐๐ฅ + ๐๐ sin ๐๐ฅ
โ
๐=1
/โ cos ๐๐ฅ
๐ ๐ฅ cos ๐๐ฅ =๐0
2cos ๐๐ฅ + ๐๐ cos ๐๐ฅ cos ๐๐ฅ + ๐๐ sin๐๐ฅ cos ๐๐ฅ
๐
๐=1
/โ ๐๐ฅ๐
โ๐
(i dalje uniformno konvergira jer smo mnoลพili sa ograniฤenom funkcijom)
๐(๐ฅ)๐
โ๐
cos ๐๐ฅ ๐๐ฅ =๐0
2 cos ๐๐ฅ ๐๐ฅ
๐
โ๐ 1,cos ๐๐ฅ =0
+
๐๐ cos ๐๐ฅ๐
โ๐
cos ๐๐ฅ ๐๐ฅ
cos ๐๐ฅ ,cos ๐๐ฅ = 0,๐ง๐ ๐โ ๐๐ ,๐ง๐ ๐=๐
+ ๐๐ sin๐๐ฅ cos ๐๐ฅ ๐๐ฅ๐
โ๐ sin ๐๐ฅ ,cos ๐๐ฅ =0
๐
๐=1
๐(๐ฅ) cos ๐๐ฅ ๐๐ฅ๐
โ๐
= ๐๐ โ ๐ โ ๐๐ =1
๐ ๐(๐ฅ) cos ๐๐ฅ ๐๐ฅ
๐
โ๐
3) Analogno sa 2., samo ลกto funkciju mnoลพimo sa sin ๐๐ฅ
28. Pojam Furijeovog reda, Dirihletovi uslovi, primjeri razvoja f-je u Furijeov red
Teorem 1. Neka je zadana funkcija ๐(๐ฅ) na [โ๐, ๐]. Ako funkcija ๐(๐ฅ) ima neprekidan drugi izvod na
[โ๐, ๐] onda njoj pridruลพen Furierov red uniformno konvergira na [โ๐, ๐].
Teorem 2. (Dirichletโov T). Neka 2๐ periodiฤna funkcija ๐(๐ฅ) zadovoljava slijedeฤe uslove:
a) Ima konaฤan broj maksimuma i minimuma na [โ๐, ๐]
b) (uslov integrabilnosti) ima konaฤan broj prekida prve vrste na [โ๐, ๐].
Tada Furierov red funkcije ๐(๐ฅ) uniformno konvergira na [โ๐, ๐] i vrijedi
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
40
๐ ๐ฅ + 0 + ๐ ๐ฅ โ 0
2=
๐0
2+ ๐๐ cos ๐๐ฅ + ๐๐ sin ๐๐ฅ
โ
๐=1
Primjetimo da je u taฤki neprekidnosti
๐ ๐ฅ + 0 + ๐ ๐ฅ โ 0
2
Analogna formulacija Dirihletovog teorema vaลพi i za funkcije periodiฤne sa osnovnim periodom 2๐.
Tada je โ๐, ๐ osnovni interval, pa iz ๐ฅ โ โ๐, ๐ slijedi ๐๐ฅ
๐โ โ๐, ๐ . Tada Furijeov red glasi
๐0
2+ ๐๐ cos
๐๐๐ฅ
๐+ ๐๐ sin
๐๐๐ฅ
๐
โ
๐=1
,
a koeficijenti se raฤunaju po formulama
๐๐ =1
๐ ๐(๐ฅ)
๐
โ๐
๐๐๐ฅ
๐๐๐ฅ , ๐๐ =
1
๐ ๐(๐ฅ)
๐
โ๐
sin๐๐๐ฅ
๐๐๐ฅ, (๐ = 1,2, โฆ )
Ako je 2๐ periodiฤna funkcija na intervalu โ๐, ๐ parna tada je ๐ ๐ฅ sin๐๐ฅ neparna funkcija, pa je taa
๐๐ =1
๐ ๐(๐ฅ)
๐
โ๐
sin๐๐ฅ ๐๐ฅ = 0
Zato Furijeov red parne funkcija sadrลพi samo ฤlanove sa kosinusima, a zbog parnosti funkcije
๐ ๐ฅ cos ๐๐ฅ je tada
๐๐ =2
๐ ๐(๐ฅ)
๐
0
cos ๐๐ฅ ๐๐ฅ ๐ = 1,2, โฆ .
Ako je ๐ ๐ฅ neparna funkcija, tada je ๐ ๐ฅ cos ๐๐ฅ takoฤer neparna funkcija, pa je zato tada
๐๐ =1
๐ ๐(๐ฅ)
๐
โ๐
cos ๐๐ฅ ๐๐ฅ = 0
Zato Furijeov red neparne funkcija sadrลพi samo ฤlanove sa sinusima, a zbog parnosti funkcije
๐ ๐ฅ sin ๐๐ฅ je
๐๐ =2
๐ ๐(๐ฅ)
๐
0
sin ๐๐ฅ ๐๐ฅ ๐ = 1,2, โฆ
Primjer 1. ๐ ๐ฅ = ๐ฅ2/4 , ๐ฅ โ [โ๐, ๐].
Rjeลกenje. Funkcija je parna pa je ๐๐ = 0 (โ๐ โ โ)
๐0 =1
๐ ๐(๐ฅ)
๐
โ๐
๐๐ฅ =1
๐
๐ฅ2
4
๐
โ๐
๐๐ฅ = 2
๐
๐ฅ2
4
๐
0
๐๐ฅ = 1
2๐
๐ฅ3
3
0
๐
=๐3
6๐=
๐2
6
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
41
๐๐ =2
๐
๐ฅ2
4
๐
0
๐๐ฅ cos ๐๐ฅ ๐๐ฅ =1
2๐ ๐ฅ2 cos ๐๐ฅ
๐
0
๐๐ฅ
๐ข = ๐ฅ2 โ ๐๐ข = 2๐ฅ๐๐ฅ๐๐ฃ = cos ๐๐ฅ ๐๐ฅ
๐ฃ =1
๐sin ๐๐ฅ
=
=2
๐ ๐ฅ2 1
๐sin ๐ฅ
0
๐
โ 1
๐sin ๐ฅ โ 2๐ฅ๐๐ฅ
๐
0
=1
2๐ โ
2
๐ ๐ฅ sin๐๐ฅ ๐๐ฅ
๐
0
๐ข = ๐ฅ โ ๐๐ข = ๐๐ฅ๐๐ฃ = sin ๐๐ฅ ๐๐ฅ
๐ฃ =1
๐cos ๐๐ฅ
= โ 1
๐๐ โ
1
๐cos ๐๐ฅ
0
๐
+1
๐ cos ๐๐ฅ ๐๐ฅ
๐
0
=
=1
๐2๐ ๐ โ1 ๐ โ 0 +
โ1
๐๐ 1
๐2sin ๐๐ฅ
โ0
0
๐
= โ1 ๐
๐2 , ๐ = 1,2, โฆ
Dakle,
๐ฅ2
4=
๐2
12+
โ1 ๐
๐2cos ๐๐ฅ
โ
๐=1
, ๐ง๐ โ ๐ โค ๐ฅ โค ๐
Ako funkciju ๐ ๐ฅ = ๐ฅ2/4 periodiฤki produลพimo na cijelu realnu osu, tada dobijamo Furijeov razvoj i
vrijedi za svaki ๐ฅ โ โ jer funkcija zadovoljava Dirihletove uslove i u svakoj taฤki ๐ฅ je neprekidna.
Specijalno, za ๐ฅ = 0 iz Furijeovog rda slijedi jednakost
๐2
12= โ
โ1 ๐
๐2
โ
๐=1
= 1 โ1
22+
1
32โ
1
42+ โฏ
Za ๐ฅ = ๐ slijedi
๐2
4=
๐2
12+
1
๐2
โ
๐=1
, ๐ก๐.๐2
6= 1 +
1
22+
1
32+
1
42+ โฏ
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
42
29. Laplasova transformacija, poja, osobine, primjeri
Definicija. Laplasova transformacija je preslikavanje koje funkciji ๐(๐ก) realnog argumenta ๐ก โฅ 0, koju
nazivamo orginalna funkcija pridruลพuje drugu funkciju ๐น(๐) kompleksne promjenljive ๐ (slika funkcije
๐(๐ก)) pomoฤu formule
โ ๐ = ๐ ๐ก ๐โ๐๐กโ
0
๐๐ก = ๐น ๐ (1)
U sluฤaju kada ovaj integral konvergira, tj. postoji. Da bi integral (19 konvergirao, potrebno je da
orginalna funkcija ๐(๐ก) bude eksponencijalno ograniฤena tj. da vrijedi โ๐ก โฅ 0 ๐ ๐ก โค ๐๐๐ผ๐ก , za neke
konstante ๐ > 0, i ๐ผ โฅ 0. Tada integral (1) konvergira za sve kompleksne ๐, ฤiji je ๐ ๐ ๐ > ๐ผ.
Primjer 1. Ako je ๐ ๐ก = 1 tada je
๐น ๐ = ๐โ๐๐ก ๐ ๐ก โ
0
๐๐ก ๐โ๐๐ก โ 1๐๐กโ
0
= โ 1
๐๐โ๐๐ก
0
โ
=1
๐ , ๐ก๐. ๐ฟ 1 =
1
๐.
Moguฤe je dokazati slijedeฤe osobine za Laplasove transformacije:
1.) Linearnost LP
โ ๐๐๐๐ ๐ก
๐
๐=1
= ๐๐๐น๐(๐)
๐
๐=1
2.) Sliฤnost
โ ๐ ๐๐ก =1
๐ผ๐น
๐
๐ (๐ > 0 ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐)
3.) Teorem o translaciji โ ๐ ๐ก โ ๐ = ๐โ๐๐ ๐น ๐
โ ๐ ๐ก + ๐ = ๐๐๐ ๐น ๐ โ ๐โ๐๐ก๐ ๐ก ๐
0
๐๐ก
4.) Teorem o gaลกenju
โ ๐โ๐๐ก ๐ ๐ก = ๐น(๐ + ๐)
5.) Diferenciranje i orginalnoj oblasti
โ ๐โฒ ๐ก = ๐๐น ๐ โ ๐(+0)
โ ๐โฒโฒ ๐ก = ๐2๐น ๐ โ ๐ +0 ๐ โ ๐โฒ (+0)
โฎ
โ ๐ ๐ ๐ก = ๐๐๐น ๐ โ ๐ +0 ๐๐โ1 โ ๐โฒ +0 ๐๐โ2 โ โฏโ ๐๐โ2 +0 ๐ โ ๐๐โ1 +0
6.) Diferenciranje u preslikanoj oblasti
โ โ1 ๐๐ก๐๐ ๐ก = ๐น ๐ ๐ ๐ = 1,2, โฆ
7.) Integracija u orginanoj oblasti
โ ๐ ๐ ๐ก
0
=1
๐๐น ๐
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
43
8.) Teorem o dijeljenju
โ ๐ ๐ก
๐ก = ๐น ๐ง ๐๐ง
โ
๐
.
30. Konvolucija funkcija, slike specijalnih funkcija
Definicija. Konvolucija dviju funkcija ๐1(๐ก) i ๐2 ๐ก je nova funkcija ๐1 โ ๐2 (๐ก) koju definiลกemo
jednakoลกฤu
๐1 โ ๐2 ๐ก = ๐1(๐) โ ๐2 ๐ ๐๐๐ก
0
Za operaciju konvolucije โ vrijede zakoni komutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti u odnosu
na sabiranje funkcija. Laplasova transformacija konvoluciji funkcija pridruลพuje proizvod njihovih
slika
โ ๐1 โ ๐2 ๐ก = โ ๐1 ๐ก โ โ ๐2 ๐ก = ๐น1 ๐ + ๐น2 ๐
Primjer. Odrediti sliku funkcije ๐ ๐ก = โซ ๐ cos ๐ก โ ๐ ๐๐๐ก
0
Rjeลกenje. I)
๐ ๐ก = ๐ โ sin ๐ก โ ๐ 0
0
๐ก
+ sin(๐ก โ ๐) ๐๐๐ก
0
= cos ๐ก โ ๐ 0๐ก = 1 โ cos ๐ก.
Zato je
โ ๐ ๐ก = โ 1 โ cos ๐ก = ๐ก๐ฤ๐๐ ๐ฟ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ก๐ = โ 1 โ โ cos ๐ก =
1
๐โ
๐
๐2 + 1=
1
๐ ๐2 + 1 , ๐๐๐ ๐๐ โ cos ๐ผ๐ก =
๐
๐2 + ๐ผ2 , ๐ผ = 1.
II) Funkcija ๐(๐ก) je jednaka konvoluciji funkcija:
๐1 ๐ก = ๐ก ๐ ๐2 ๐ก = cos ๐ก
Zato je
โ ๐ ๐ก = โ ๐1 ๐ก โ ๐2 ๐ก = โ ๐ก โ โ cos ๐ก =1
๐2โ
๐
๐2 + 1=
1
๐ ๐2 + 1
Iz tabele LT koristili smo
โ ๐ก๐โ1
๐ โ 1 ! =
1
๐๐ ๐ง๐ ๐ = 2, ๐ โ cos ๐ผ๐ก =
๐
๐2 + ๐ผ2 ๐ง๐ ๐ผ = 1
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
44
31. Inverzna Laplasova transformacija
โโ1 ๐น ๐ = ๐(๐ก)
Za izraฤunavanje originalne funkcije koristimo formulu
โโ1 ๐น ๐ =1
2๐๐ ๐น ๐ ๐๐๐ก ๐๐
๐ +๐โ
๐ โ๐โ
= ๐ ๐ก , ๐ง๐ ๐ก โฅ 0
0 , ๐ง๐ ๐ก < 0
Integracijska putanja ovog integrala funkcije kompleksne promjenljive je prava paralelna imaginarnoj
osi, ๐ ๐ ๐ = ๐ > ๐ผ, gdje je ๐ผ > 0 konstanta eksponencijalne ograniฤenosti. Osim koriลกtenja navedene
formule ฤesto za odreฤivanje originalne funkcije moลพemo koristiti teorem o konvoluciji ili rastavljanju
funkcije ๐น(๐) na zbir proizvoljnih elementarnih razlomaka.
Primjer.
๐น ๐ =1
๐ + ๐ ๐2 + ๐2 = ๐น1(๐) โ ๐น2 ๐
Gdje je
๐น1 ๐ =1
๐2 + ๐2 , ๐น2 ๐ =
1
๐ + ๐
โโ1 ๐น1 ๐ = โโ1 1
๐2 + ๐2 =
1
๐sin ๐๐ก = ๐1(๐ก)
โโ1 ๐น2 ๐ = โโ1 1
๐ + ๐ = ๐โ๐ ๐ก = ๐2(๐ก)
๐ ๐ก = ๐1 โ ๐2 ๐ก = ๐1 ๐ ๐ก
0
๐2 ๐ ๐๐ = ๐๐ ๐กโ๐ ๐ก
0
sin๐๐
๐๐๐
๐ ๐ก =1
๐ 2 + ๐2 ๐ sin ๐๐ก โ ๐ cos ๐๐ก
๐+ ๐โ๐ ๐ก
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE | SUDO
MA
TE
MA
TIK
A I
II
45
32. Rjeลกavanje Koลกijevog problema za diferencijalne jednacine primjenom Laplasove transformacije
Diferencijalna jednaฤina n โ tog reda sa konstantnim koeficijentima
๐ฆ ๐ ๐ก + ๐๐โ1๐ฆ ๐โ1 ๐ก + โฏ + ๐1๐ฆ
โฒ ๐ก + ๐0๐ฆ ๐ก = ๐(๐ก)
sa poฤetnim vrijednostima ๐ฆ +0 = ๐ฆ0 , ๐ฆโฒ +0 = ๐ฆ0โฒ 0 , โฆ , ๐ฆ ๐โ1 +0 = ๐ฆ0
๐โ1 prelazi LT u
jednaฤinu:
๐๐๐๐๐(๐)
๐
๐=0
โ ๐๐
๐
๐=1
๐๐โ๐ โ1
๐โ1
๐ =0
๐ฆ0(๐ )
= ๐น ๐ (๐๐ = 1)
Pri tome je
๐บ ๐ = ๐๐๐๐
๐
๐=0
= 0
Karakteristiฤna jednaฤina diferencijalne jednaฤine
๐น ๐ = โ ๐ ๐ก ๐ ๐ ๐ = โ ๐ฆ ๐ก .
Primjer. Rijeลกiti koลกijev problem za diferencijalnu jednaฤinu
๐ฆโฒ ๐ก + 2๐ฆ ๐ก = sin ๐ก
uz poฤetni uslov ๐ฆ 0 = 0.