matematika i - unizg.hr · matematika i vektori ii katedra za matematiku, fsb katedra za matematiku...
TRANSCRIPT
Matematika IVektori II
Katedra za matematiku, FSB
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 1 / 46
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Koordinatizacija tocaka i vektoraIzracunavanje duljine vektoraVektor smjera-prostorna jednadzba pravcaGeneriranje ravnine preko dva nekolinearna vektora i tocke
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 2 / 46
Sadrzaj
Sadrzaj:
1 Koordinatizacija tocaka i vektoraOperacije u koordinatamaPravila racunanjaDuljina u koordinatamaParametarska jednadzba pravca u koordinatamaParametarska jednadzba ravnine u koordinatama
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 3 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora
Koordinatizacija tocaka i vektora
−→r = x~i +y~j +z~k
(−→r =
−→rT =−→OT )
(x ,y ,z) su koordinate
{tocke Tvektora −→rT
~r
~i
~j
~k
x~i
y~j
z~k
T
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 4 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora
Zadatak 1.
Nacrtaj koordinatne osi i na njima jedinicne vektore~i ,~j ,~k . Odaberitocku T i nacrtaj njezine projicirajuce ravnine koje odredujukomponente x~i ,y~j ,z~k .
Zadatak 2.Skicirajte tocke i vektore u koordinatnom sistemu u prostoru.
A(1,0,−2) tj. −→rA = (1,0,−2) =~i−2~k
B(2,1,0) tj. −→rB = (2,1,0) = 2~i +~j
C(0,0,−3) tj. −→rC = (0,0,−3) =−3~k
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 5 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora
OZNAKE:
~r =−→OT = x~i +y~j +z~k
jos zapisujemo i ovako
T = (x ,y ,z) ili T (x ,y ,z)~r = (x ,y ,z) ili ~r(x ,y ,z)
Slicno,~a = a1~i +a2~j +a3~k jos zapisujemo i ovako
~a = (a1,a2,a3) ili ~a(a1,a2,a3)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 6 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Operacije u koordinatama
Operacije u koordinatama
(1) ZBRAJANJE I ODUZIMANJE:
~a = (a1,a2,a3) i~b = (b1,b2,b3) =⇒
~a±~b = (a1±b1,a2±b2,a3±b3)
Dokaz.~a = a1~i +a2~j +a3~k , ~b = b1~i +b2~j +b3~k =⇒
~a±~b = (a1~i +a2~j +a3~k)± (b1~i +b2~j +b3~k)
= (a1±b1)~i +(a2±b2)~j +(a3±b3)~k
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 7 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Operacije u koordinatama
Operacije u koordinatama
(2) MNOZENJE SKALAROM:−→a = (a1,a2,a3) =⇒ k−→a = (ka1,ka2,ka3)
Zadatak 3.
Zadani su vektori −→a = (1,2,3),−→b = (−1,0,2), −→c = (−2,1,0),−→
d = (0,0,7). Odredi sljedece vektore (njihove koordinate)
(1) 2−→a +−→b −−→d
(2) −−→a +−→b −3−→c +
−→d
(3)12−→a +
12−→b
(4) 3−→b +
13−→c +2
−→d
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 8 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Operacije u koordinatama
Rjesenje :
(1) 2−→a +−→b −−→d = (1,4,1)
(2) −−→a +−→b −3−→c +
−→d = (4,−5,6)
(3)12−→a +
12−→b = (0,1,
52)
(4) 3−→b +
13−→c +2
−→d = (−11
3,13,20)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 9 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Operacije u koordinatama
Zadatak 4.
Zadani su vektori −→u = (1,−1,1), −→v = (0,1,2), −→w = (2,−5,−4).Odredi sljedece vektore
(1) −2−→u +−→v −−→w
(2) 10−→u −20−→v +5−→w(3) 2−→u −3−→v −−→w
Rjesenje :
(1) −2−→u +−→v −−→w = (−4,8,4)
(2) 10−→u −20−→v +5−→w = (20,−55,−50)(3) 2−→u −3−→v −−→w = (0,0,0).
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 10 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Operacije u koordinatama
Zadatak 4.
Zadani su vektori −→u = (1,−1,1), −→v = (0,1,2), −→w = (2,−5,−4).Odredi sljedece vektore
(1) −2−→u +−→v −−→w
(2) 10−→u −20−→v +5−→w(3) 2−→u −3−→v −−→w
Rjesenje :
(1) −2−→u +−→v −−→w = (−4,8,4)
(2) 10−→u −20−→v +5−→w = (20,−55,−50)(3) 2−→u −3−→v −−→w = (0,0,0).
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 10 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Pravila racunanja
Pravila racunanja
−→a +−→b =
−→b +−→a KOMUTATIVNOST
−→a +(−→b +−→c ) = (
−→a +−→b )+
−→c ASOCIJATIVNOST−→a +
−→0 =−→a ,
−→a +(−−→a ) =−→0
k(−→a +−→b ) = k−→a +k
−→b DISTRIBUTIVNOST
(k + `)−→a = k−→a + `
−→a DISTRIBUTIVNOST
k(`−→a ) = (k`)−→a1−→a =
−→a , 0−→a =−→0
k−→0 =−→0 , (−1)−→a =−−→a
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 11 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Duljina u koordinatama
Duljina u koordinatama
~a
a1
a2
a3
√a 21 +
a 22
|−→a |=√
a21 +a2
2 +a23
SPECIJALNO:
|−→AB|= |−→rB −−→rA |= |(b1−a1,b2−a2,b3−a3)|
=√
(b1−a1)2 +(b2−a2)2 +(b3−a3)2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 12 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Duljina u koordinatama
Primjer 1.
−→a = (1,2,−3), |−→a |=?−→b = (−3,0,2), |−→b |=?
|−→a |=√
1+4+9 =√
14, |−→b |=√
9+0+4 =√
13
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 13 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Duljina u koordinatama
Primjer 1.
−→a = (1,2,−3), |−→a |=?−→b = (−3,0,2), |−→b |=?
|−→a |=√
1+4+9 =√
14, |−→b |=√
9+0+4 =√
13
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 13 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Duljina u koordinatama
Primjer 2.Zadane su tocke A(1,2,3), B(−2,1,3), C(0,1,2)
|−→AB|=? |−2−→BC +3
−→BA|=?
−→AB = (−3,−1,0) =⇒ |−→AB|=
√9+1+0 =
√10
−2−→BC +3
−→BA = (5,3,2) =⇒ |−2
−→BC +3
−→BA|=
√25+9+4 =
√38
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 14 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Duljina u koordinatama
Primjer 2.Zadane su tocke A(1,2,3), B(−2,1,3), C(0,1,2)
|−→AB|=? |−2−→BC +3
−→BA|=?
−→AB = (−3,−1,0) =⇒ |−→AB|=
√9+1+0 =
√10
−2−→BC +3
−→BA = (5,3,2) =⇒ |−2
−→BC +3
−→BA|=
√25+9+4 =
√38
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 14 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Duljina u koordinatama
Primjer 2.Zadane su tocke A(1,2,3), B(−2,1,3), C(0,1,2)
|−→AB|=? |−2−→BC +3
−→BA|=?
−→AB = (−3,−1,0) =⇒ |−→AB|=
√9+1+0 =
√10
−2−→BC +3
−→BA = (5,3,2) =⇒ |−2
−→BC +3
−→BA|=
√25+9+4 =
√38
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 14 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Duljina u koordinatama
Zadatak 5.Koji od vektora je najdulji?
−→a = (3,2,3),−→b = (−2,0,4)
−→c = (1,5,0),−→d = (3,−4,0)
Rjesenje :
|−→a |=√
22, |−→b |=√
20
|−→c |=√
26, |−→d |= 5.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 15 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Duljina u koordinatama
Zadatak 5.Koji od vektora je najdulji?
−→a = (3,2,3),−→b = (−2,0,4)
−→c = (1,5,0),−→d = (3,−4,0)
Rjesenje :
|−→a |=√
22, |−→b |=√
20
|−→c |=√
26, |−→d |= 5.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 15 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Duljina u koordinatama
Zadatak 6.Zadane su tocke A(1,−1,1), B(0,2,2) i C(−3,1,−2). Izracunati duljinuvektora: (1) |−→AB|, (2) |−→AB+
−→BC| (3) |2−→CB−−→AB|.
Rjesenje :
(1) |−→AB|=√
11, (2) |−→AB+−→BC|=
√29 (3) |2−→CB−−→AB|=
√99.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 16 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Duljina u koordinatama
Zadatak 6.Zadane su tocke A(1,−1,1), B(0,2,2) i C(−3,1,−2). Izracunati duljinuvektora: (1) |−→AB|, (2) |−→AB+
−→BC| (3) |2−→CB−−→AB|.
Rjesenje :
(1) |−→AB|=√
11, (2) |−→AB+−→BC|=
√29 (3) |2−→CB−−→AB|=
√99.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 16 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba pravca u koordinatama
Parametarska jednadzba pravca u koordinatama
A(a1, a2, a3)
T (x, y, z)
−→s (s1, s2, s3)
−→rA
−→r
O
−→r =−→rA +
−→AT =
−→rA + t−→s , t ∈ R(x ,y ,z) = (a1,a2,a3)+ t(s1,s2,s3)
x = a1 + ts1
y = a2 + ts2
z = a3 + ts3
t ∈ R
PARAMETARSKAJEDNADZBA
PRAVCA
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 17 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba pravca u koordinatama
Primjer 1.
Zadana je tocka A(−1,2,3) i vektor smjera −→s = (2,1,−1). Napisijednadzbu pravca koja prolazi tockom A i ima vektor smjera −→s .
Rjesenje.
−→r =−→rA + t−→s
(x ,y ,z) = (−1,2,3)+ t(2,1,−1)tj .
x =−1+2ty = 2+ tz = 3− t
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 18 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba pravca u koordinatama
Primjer 1.
Zadana je tocka A(−1,2,3) i vektor smjera −→s = (2,1,−1). Napisijednadzbu pravca koja prolazi tockom A i ima vektor smjera −→s .
Rjesenje.
−→r =−→rA + t−→s
(x ,y ,z) = (−1,2,3)+ t(2,1,−1)tj .
x =−1+2ty = 2+ tz = 3− t
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 18 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba pravca u koordinatama
Primjer 2.Odredi pravac kroz tocke M(1,0,2) i N(3,−1,2).
Rjesenje.−→r =
−→rM + t−→sgdje je −→s vektor smjera:
−→s =−−→MN = (2,−1,0)
(x ,y ,z) = (1,0,2)+ t(2,−1,0)
x = 1+2ty =−tz = 2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 19 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba pravca u koordinatama
Primjer 2.Odredi pravac kroz tocke M(1,0,2) i N(3,−1,2).
Rjesenje.−→r =
−→rM + t−→sgdje je −→s vektor smjera:
−→s =−−→MN = (2,−1,0)
(x ,y ,z) = (1,0,2)+ t(2,−1,0)
x = 1+2ty =−tz = 2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 19 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba pravca u koordinatama
Zadatak 7.Napisi jednadzbu pravca koji prolazi tockom A(−2,1,1) i ima vektor
smjera −→s = (1,3,−2)
Rjesenje.
(x ,y ,z) = (−2,1,1)+ t(1,3,−2)tj .
x =−2+ ty = 1+3tz = 1−2t
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 20 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba pravca u koordinatama
Zadatak 7.Napisi jednadzbu pravca koji prolazi tockom A(−2,1,1) i ima vektor
smjera −→s = (1,3,−2)
Rjesenje.
(x ,y ,z) = (−2,1,1)+ t(1,3,−2)tj .
x =−2+ ty = 1+3tz = 1−2t
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 20 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba pravca u koordinatama
Zadatak 8.Napisi jednadzbu pravca koji prolazi tockama A(1,2,3) i B(−2,−1,0).
Rjesenje.
Startna tocka npr. A(1,2,3), vektor smjera −→s =−→AB = (−3,−3,−3)
=⇒ (x ,y ,z) = (1,2,3)+ t(−3,−3,−3)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 21 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba pravca u koordinatama
Zadatak 8.Napisi jednadzbu pravca koji prolazi tockama A(1,2,3) i B(−2,−1,0).
Rjesenje.
Startna tocka npr. A(1,2,3), vektor smjera −→s =−→AB = (−3,−3,−3)
=⇒ (x ,y ,z) = (1,2,3)+ t(−3,−3,−3)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 21 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba pravca u koordinatama
Zadatak 9.Zadan je pravac
x =−1+ ty = 3− tz = 1+ t
Napisi jednu tocku koja lezi na tom pravcu i jedan vektor smjera togpravca.
Rjesenje.
T (−1,3,1), −→s = (1,−1,1).
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 22 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba pravca u koordinatama
Zadatak 9.Zadan je pravac
x =−1+ ty = 3− tz = 1+ t
Napisi jednu tocku koja lezi na tom pravcu i jedan vektor smjera togpravca.
Rjesenje.
T (−1,3,1), −→s = (1,−1,1).
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 22 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba pravca u koordinatama
Zadatak 10.Zadan je pravac (x ,y ,z) = (2,−4,1)+ t(2,−1,1). Napisi bar dvije
tocke (osim (2,−4,1)) i bar jedan vektor smjera pravca (osim(2,−1,1)).
Rjesenje.Npr. za t = 1⇒ T (4,−5,2) i npr. t =−2⇒ T (−2,−2,−1). Za vektorsmjera mozemo uzeti npr. −→s = 3(2,−1,1) = (6,−3,3).
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 23 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba pravca u koordinatama
Zadatak 10.Zadan je pravac (x ,y ,z) = (2,−4,1)+ t(2,−1,1). Napisi bar dvije
tocke (osim (2,−4,1)) i bar jedan vektor smjera pravca (osim(2,−1,1)).
Rjesenje.Npr. za t = 1⇒ T (4,−5,2) i npr. t =−2⇒ T (−2,−2,−1). Za vektorsmjera mozemo uzeti npr. −→s = 3(2,−1,1) = (6,−3,3).
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 23 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba pravca u koordinatama
Zadatak 11.Zadan je pravac
x = 2− ty = 3+2tz = t
Koja od sljedecih tocaka lezi na ovom pravcu:A(1,2,3), B(0,1,−1), C(2,3,0), D(3,1,−1)?
Rjesenje.Trazi se postoji li vrijednost parametra t za koju se dobivajuodgovarajuce vrijednosti koordinata x , y , z zadane tocke.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 24 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba pravca u koordinatama
Zadatak 11.Zadan je pravac
x = 2− ty = 3+2tz = t
Koja od sljedecih tocaka lezi na ovom pravcu:A(1,2,3), B(0,1,−1), C(2,3,0), D(3,1,−1)?
Rjesenje.Trazi se postoji li vrijednost parametra t za koju se dobivajuodgovarajuce vrijednosti koordinata x , y , z zadane tocke.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 24 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba pravca u koordinatama
Rjesenje.
A(1,2,3) :1 = 2− t ⇒ t = 12 = 3+2t ⇒ t =−1/23 = t
TOCKA A NE LEZI NA PRAVCU!
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 25 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba pravca u koordinatama
Rjesenje.
B(0,1,−1) :0 = 2− t ⇒ t = 21 = 3+2t ⇒ t =−1−1 = t
TOCKA B NE LEZI NA PRAVCU!
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 26 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba pravca u koordinatama
Rjesenje.
C(2,3,0) :2 = 2− t ⇒ t = 03 = 3+2t ⇒ t = 00 = t
TOCKA C LEZI NA PRAVCU!
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 27 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba pravca u koordinatama
Rjesenje.
D(3,1,−1) :3 = 2− t ⇒ t =−11 = 3+2t ⇒ t =−1−1 = t
TOCKA D LEZI NA PRAVCU!
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 28 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba pravca u koordinatama
Zadatak 12.Jesu li pravci p1 i p2 paralelni?
(a)x = 2− t
p1 y = tz = 4+2t
x = 1− tp2 y = 2+3t
z = 4
(b)x = t
p1 y =−1− tz = 1/2+3t
x = 7−2tp2 y = 2+2t
z =−6t
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 29 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba pravca u koordinatama
Rjesenje.Pravci su paralelni ako su im vektori smjera kolinearni tj. ako je−→s1 = k−→s2 za neki k ∈ R.(a) −→s1 = k−→s2⇒ (−1,1,2) = k(−1,3,0). S obzirom da ovaj sustav od trijednadzbe s jednom nepoznanicom k nema rjesenje, zadani pravcinisu paralelni.(b) −→s1 = k−→s2⇒ (1,−1,3) = k(−2,2,−6)⇒ k =−1/2⇒ paralelni su.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 30 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba pravca u koordinatama
Zadatak 13.Sijeku li se pravci?
(a)x = 2− t
p1 y = 3+2tz = 1+ t
x = 3+2sp2 y = 1−s
z = 4s
(b)x =−t
p1 y = 3+ tz = 1− t
x =−1+sp2 y = 2
z = 3−s
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 31 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba pravca u koordinatama
Rjesenje.(a) Pravci se sijeku ako sljedeci sustav od tri jednadzbe ima rjesenje
2− t = 3+2s3+2t = 1−s
1+ t = 4s
=⇒ s = 0, t =−1. Pravci se sijeku u jednoj tocki T (3,1,0).
(b) Rjesavamo sustav
−t =−1+s3+ t = 21− t = 3−s
Sustav nema rjesenje i pravci se ne sijeku.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 32 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba ravnine u koordinatama
Parametarska jednadzba ravnine u koordinatama
−→r−→rA
−→p
−→sA
T
O−→r =−→rA +
−→AT =
−→rA +u−→p +v−→s , u, v ∈ R(x ,y ,z) = (a1,a2,a3)+u(p1,p2,p3)+v(s1,s2,s3)
x = a1 +up1 +vs1
y = a2 +up2 +vs2
z = a3 +up3 +vs3
u, v ∈ R
PARAMETARSKAJEDNADZBA
RAVNINE
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 33 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba ravnine u koordinatama
Primjer 1.
Zadana je tocka A(1,2,−4) i vektori −→p = (−1,2,0) i −→s = (3,1,−1).Napisati jednadzbu ravnine koja prolazi tockom A i sadrzi vektore−→p ,−→s .
Rjesenje.
−→r =−→rA +u−→p +v−→s
(x ,y ,z) = (1,2,−4)+u(−1,2,0)+v(3,1,−1)(x ,y ,z) = (1−u+3v ,2+2u+v ,−4−v)
tj .x = 1−u+3vy = 2+2u+vz =−4−v
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 34 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba ravnine u koordinatama
Primjer 1.
Zadana je tocka A(1,2,−4) i vektori −→p = (−1,2,0) i −→s = (3,1,−1).Napisati jednadzbu ravnine koja prolazi tockom A i sadrzi vektore−→p ,−→s .
Rjesenje.
−→r =−→rA +u−→p +v−→s
(x ,y ,z) = (1,2,−4)+u(−1,2,0)+v(3,1,−1)(x ,y ,z) = (1−u+3v ,2+2u+v ,−4−v)
tj .x = 1−u+3vy = 2+2u+vz =−4−v
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 34 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba ravnine u koordinatama
Zadatak 14.Napisi jednadzbu ravnine koja sadrzi tocku A(2,−1,1) i vektore−→p = (−1,1,2), −→s = (3,0,−1).
Rjesenje.
x = 2−u+3vy =−1+uz = 1+2u−v
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 35 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba ravnine u koordinatama
Zadatak 14.Napisi jednadzbu ravnine koja sadrzi tocku A(2,−1,1) i vektore−→p = (−1,1,2), −→s = (3,0,−1).
Rjesenje.
x = 2−u+3vy =−1+uz = 1+2u−v
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 35 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba ravnine u koordinatama
Zadatak 15.Napisi jednadzbu ravnine koja sadrzi tocke
A(2,−1,4), B(0,5,−2), C(2,2,−1).
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 36 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba ravnine u koordinatama
Rjesenje.Tocka: A(2,−1,4)
vektori:
−→p =−→AB = (−2,6,−6)
−→s =−→AC = (0,3,−5)⇒
x = 2−2uy =−1+6u+3vz = 4−6u−5v
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 37 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba ravnine u koordinatama
Zadatak 16.Zadana je ravnina
x = 2+u−vy = 1−uz = u+3v
Napisi jednu tocku i dva vektora koji leze u toj ravnini.
Rjesenje.
Tocka: A(2,1,0)
vektori: −→p = (1,−1,1)−→s = (−1,0,3)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 38 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba ravnine u koordinatama
Zadatak 16.Zadana je ravnina
x = 2+u−vy = 1−uz = u+3v
Napisi jednu tocku i dva vektora koji leze u toj ravnini.
Rjesenje.
Tocka: A(2,1,0)
vektori: −→p = (1,−1,1)−→s = (−1,0,3)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 38 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba ravnine u koordinatama
Zadatak 17.Zadana je ravnina
x = uy = 2+u−vz = 3+v
Napisi tri tocke (osim (0,2,3)) koje leze u toj ravnini.
Rjesenje.Uvrstavanjem razlicitih vrijednosti u, v dobivamo nove i nove tocke
koje leze na ravnini:
u = 1,v = 1⇒A(1,2,4)u =−1,v = 1⇒B(−1,0,4)u = 1,v =−1⇒C(1,4,2)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 39 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba ravnine u koordinatama
Zadatak 17.Zadana je ravnina
x = uy = 2+u−vz = 3+v
Napisi tri tocke (osim (0,2,3)) koje leze u toj ravnini.
Rjesenje.Uvrstavanjem razlicitih vrijednosti u, v dobivamo nove i nove tocke
koje leze na ravnini:
u = 1,v = 1⇒A(1,2,4)u =−1,v = 1⇒B(−1,0,4)u = 1,v =−1⇒C(1,4,2)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 39 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba ravnine u koordinatama
Zadatak 18.Lezi li neka od tocaka A(1,3,3), B(1,2,−1), C(−2,0,5), D(3,−1,1)
na ravnini
x = 2−uy = u+vz = 1+v
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 40 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba ravnine u koordinatama
Rjesenje.Tocka A(1,3,3) lezi na ravnini ako sljedeci sustav ima rjesenje:
1 = 2−u3 = u+v3 = 1+v
Sustav ima rjesenje u = 1, v = 2⇒ tocka A lezi na ravnini.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 41 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba ravnine u koordinatama
Tocka B(1,2,−1) :
1 = 2−u2 = u+v−1 = 1+v
Sustav nema rjesenje⇒ tocka B ne lezi na ravnini.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 42 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba ravnine u koordinatama
Tocka C(−2,0,5) :
−2 = 2−u0 = u+v5 = 1+v
Sustav nema rjesenje⇒ tocka C ne lezi na ravnini.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 43 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba ravnine u koordinatama
Tocka D(3,−1,1) :
3 = 2−u−1 = u+v
1 = 1+v
Sustav ima rjesenje u =−1, v = 0⇒ tocka D lezi na ravnini.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 44 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba ravnine u koordinatama
Zadatak 19.Zadana je ravnina
x = u+vy = 1−vz = 3+u
Napisite jednadzbu koja sadrzi samo x , y , z tako da eliminirateparametre u i v .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 45 / 46
Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba ravnine u koordinatama
Rjesenje.
x = u+vy = 1−v =⇒ v = 1−yz = 3+u =⇒ u = z−3
=⇒ x = u+v = (z−3)+(1−y) = z−y −2 =⇒
x +y −z =−2.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 46 / 46