matematika i - n. adzic

7/21/2019 Matematika I - N. Adzic

http://slidepdf.com/reader/full/matematika-i-n-adzic 1/89

Nevenka Adžić

MATEMATIKA 1

za studente Fakulteta tehničkih nauka

Novi Sad, 2011.



Naziv udžbenika: ” M ATEM ATIK A 1 za studente Fakulteta tehničkih nauka”

Autor:

dr Nevenka Adžić,redovni profesor Fakulteta tehničkih nauka u Novom Sadu

Recenzenti:

dr Boško Jovanović.redovni profesor Prirodno-matematičkog falculteta u Beogradu

dr Zorica Uzelac,

redovni profesor Fakolteta tehničkih nauka u Novom Sadu

Izdavai:

Centar za matematiku i statistiku

Fakulteta tehničkih nauka u Novom Sadu

15,

A u tor i zadržavaju sva prava. Bez pismene saglasnosti autora nije

dozvoljeno reprodukovanje (fotokopiranje, fotograflsanje, magnetniupis ili umnožavanje na bilo koji način) ili ponovno objavljivanje

sadržaja (u celini ili delovima) ove knjige.



Predgovor

Ova knjiga obuhvata elemente više mateinatike koji su potiebni stuđen-

tima Arhitektonskog, Saobraćajnog, Mašinskog i Građevinskog odseka, Industrijskogmenadžmenta, Grafičkog inženjerstva kao i studenti Inženjerstva zaštite životne sre-

dine i zaštite na radu Fakulteta tehničkih. nauka u Novom Sadu.U lcnjizi je obrađena materija vezana za realae funkcije realne promenljive.

polinome, sisteme Iinearnili jednačina, matrični račun. analitičku geometriju u

prostoru i kompleksne brojeve.Knjiga je pisana na osnovu predavanja koja je autor držao na Arhitekton-

skom odseku poćev od njegovog osnivanja i ima karakter udžbenika koji studen-

tima treba da posluži ne samo za uspešno savladavanje predviđenog gradiva,

već i za pralctičnu primenu pri rešavanju određenili problema sa kojima će se

sretati u stručnim predmetima.U knjizi su date osnovne defmicije i teoreme iz navedenih oblasti, kao i veći

broj primera kojima se ilustruje izloženo gradivo. Najvažniji pojmovi su jasnoistaknuti u olcviru samog teksta posebnom vrstom slova, tako da ih čitalac može

lako uočiti.Autor se zahvaljuje recenzentima na korisnim primedbama i savetima koji

su doprineli da knjiga bude napisana matematički korektno.Autor se nada da će knjiga korisno poslužiti svima koji žele da savladaju

oblasti matematike o kojima je ovde reč.Autor se unapred zahvaljuje svima koji mu ukažu na eventualne greške kako

bi ih u narednim izdanjhna mogao otkloniti.

prof. dr Nevenka Adžić



I /

I

!

i

!

!



SADRŽAJ

Sadržaj

1 Realne funkcije realne promenljive 51.1 Osnovni pojmovi o preslikavanju............................................... 5

1.1.1 Jednoznačna i višeznaćna preslikavanja ........................ 51.1.2 Osnovne osobine fu n kcija ............................................... 6

1.2 N iz o v i ......................................................................................... 71.2.1 Pojam n i z a ..................................................................... 7

1.2.2 Ograničenost niza .......................................................... 71.2.3 Tačka nagomilavanja n iz a .............................................. S

1.2.4 Granična vrednost n i z a ................................................. 9

1.2.5 Divergentni n iz o v i ......................................... ................ 111.2.6 Monotoni nizovi ............................................................. 12

1.3 Granične vrednosti fn nkcije ....................................................... 14

1.3.1 Granična vrednost kada x —* ±co .................................... 141.3.2 Granična vrednost u ta čk i............................................... 161.3.3 Granične vrednosti funkcija i (1 + x ) i kad x —* 0 . . 17Neprfikidnost, fnnkcije ............................................................. 1*

1.4.1 Neprekidnost u tačk i..................................................... 18

1.4.2 Neprekidnost na intervalu ............................................ 2'i

Izvođ funkcije i njegove primene ............................................ 22

1.5.1 Definicija prvog izvoda ................................................. 9,0

1.5.2 Viši izvodi i diferencijal funkcije ................... ............. , 23

1.5.3 Pravila za nalaženje iz v o d a .......................................... 93

1.5.4 Tzvodi elementarnih fiirikcija.......................................... ?5

1.5.5 Geometrijska interpretacija iz v o d a .............................. ?,7 1.5.6 Monotonost i ekstremne vrednosti .............................. ?8

1.5.7 Tavlorova f o rm u la ........................................................ 30

1.5.8 L ’Hospitalovo pravilo .................................................. 33

1.5.9 Prevojna ta čk a ............................................................. 34

1.5.10 Tspitivanje funkcija........................................................ 35Polinomi i racionalne funkcije.................................................. 38

1.6.1 Polinom - osnovne definicije......................................... 38

1.6.2 Operacije sa polinomima............................................... 38

1.6.3 Nule i faktorizacija polinom a....................................... , 4(1

1.6.4 Racionalne funkcije........................................................ . 41

2 Sistemi linearnih jednačina i matrice 42

2.1 Sistemi lineamih je dnačina ....................................................... 42

2.1.1 Jednačina i njeno rešenje ................................................ 42

2.1.2 Sistem jednačina i njegovo rešen je .................................. 42

2.1.3 Priroda sitema lineamiii jednačina . . ............................ 432.1.4 Homogen sistem jednačina................................................ 442.1.5 Ekvivalentni sistemi jednaSina ....................................... 44



4 SADRŽAJ

2.1.6 Gaussov algoritam i diskusija prirode sistema................. 452.2 Matrice i determinante................................................................ 48

2.2.1 Definicija matrice i osnovni p o jm ov i............................... 482.2.2 Osnovne operacije sa m atr icain a..................................... 502.2.3 Determinante —definicija i izračunavanje ....................... 53

2.2.4 Osobine determ inanti ..................................................... 56

2.2.5 Inverzna m atric a ............................................................. 58

2.3 Rešavanje sistema pomoću determinanti i matričnog računa . . . 61

2.3.1 Cramerovo p rav ilo ........................................................... 61

2.3.2 Određivanje prirode rešenja homogenog sistema jednačina 63

2.3.3 Matrične jednačine........................................................... 64

3 Vektorski račun i analitička geometrija 66

3.1 Veictori u prostoru ...................................................................... 66

3.1.1 Koordinate vektora u prostoru i osnovne operacije . . . . 66

3.1.2 Vektor koji spaja dve tačke i podela duži u datoj razmeri 68

3.1.3 Pojam i osobine skalarnog pro izvoda............................... 69

3.1.4 Vektorski proizvod i njegove osobine............................... 703.1.5 Mešoviti proizvod .......................................................... 72

3.2 Ravan u prostoni........................................................................ 743.2.1 Jednačina ravni / ..................................: ........................ 74

3.2.2 Međusobni položaj ra vni.................................................. 76

3.3 Prava u prostoru .......................................... .............................. 77

3.3.1 Jeđnačina prave u prosto ru............................................. 773.3.2 Međusobni'položaj prafah' u prostoru . . . : .................... 793.3.3 Uzajamni položaj prave i ravni ....................................... 81

3.3.4 Prodor prave kroz ra van................... . ......................... 82

4 Dođatak 1 — Kompleksni brojevi 854.1 Algebarski oblik kompleksuog broja ...................................... . 85

4.1.1 Osnovne operacije . ...................... ............................... 85

4.1.2 Geometrijska interpretacija kompleksnog b r o ja ............... 864.2 Trigonometrijski i eksponencijalni oblik ...................................... 87

4.2.1 Kompleksan broj u trigonometrijskom o b lik u ................. 874.2.2 Koropleksan broj u eksponencijalnom obliku ................. 88

4.2.3 Stepenovanje kompleksih brojeva i Moivreov obrazac . . . 88

4.2.4 Korenovanje........................................................ .............. 89



5

1 Realne funkcije realne promenljive

1.1 Osnovni pojmovi o preslikavanju

Ako elementima nekog skupa A dodelimo (pridružimo) elemente nekog dru-

gog skupa B, kažemo da smo izvršili preslikavanje skupa A u skup B. Elemente skupa A nazivamo originali ili nezavisno promenljive i običnoih obeležavamo slovom x, a elemente u lcoje se originali preslikavaju nazivamoslike ili zavisno prom en ljiv e i obično ib obeležavamo sa y. Skup svih origina-la zovemo dom en preslikavanja i obeležavamo ga sa D, a skup slika nazivamo

antidomen ili kodomen i obeležavamo ga sa D. Mi ćemo posmatrati pres-

likavanja skupa realnih brojeva u skup realnih brojeva, tj. domen i kodomen ćebiti podskupovi skupa R.

Dalde, preslikavanje je skup uređenih parova- (x,y), gde je x 6 D, a y € D. Ako ove uređene parove predstavimo u koordinatnom sistemu u ravni, dobijamo

grafik preslikavanja.

1.1.1 Jednoznačna i višeznačna preslikavanja

Akp svakom originalu odgovara samo jedna slika, kažemo da je presiikavanje jednoznačno. Ako nekim originalima odgovara više slika, kažemo da je pres-

likavanje višeznačno. Jednoznačno preslikavanje nazivamo funkcija.Preslikavanja najčešće zadajemo aneditički, tj. formulom koja predstavlja

vezu između promenljivih x i y. Ova formula može imati oblik <p(x, y) — 0. kojinazivamo impiicitnim, ili y = f ( x ) , koji nazivamo eksplicitnim.

Pr im er 1.1 Preslikavanje zadato formvlom x3 + y2 = 4 je dato u implicitnoj

formi.Domen ovog preslikavanja je interual [—2,2], pošto. zbog y2 > 0, mora važiti

4 —x2 > 0 . Na sličan način se zaključuje da je i kodomen ovog preslikavanja

interval [—2,2].

Grafik ovog preslikavanja predstavlja kružnicu poluprečnika r = 2 sa centrom u koordinatnom početku.

Vidimo da ovo preslikavanje nije funkcija. pošto jednoj vrednosti nezavisno promenljive x odgovaraju po dve vrednosti zavisno promenljive y (npr. vrednosti x = 0 odgovaraju vrednosti y = ±2 ). Ovde je reč o jednom dvoznačnom

preslikavanju.

Primer 1.2 Preslikavanje x — siny je takođe dato u implicitnom obliku jer ga

možemo zapisati kao x — siny = 0.Domen ovog preslikavanja je interval [—1,1] pošto vrednosti sinusa bilo kog

ugla pripadaju ovom intervalu, dok je kodomen ceo skup R , pošto sinus možemo izračunati za bilo koji argument (ugao).

Posmatrano preslikavanje je višeznačno jer menljive x odgovara bezbroj vrednosti zavisno x = 0 odgovaraju vrednosti y = kit, k 6 TL).

jednoj vredno, promenlji

'zamsno pro- vrednosti



6 1 REA LNE FUNKCIJE REALNE PROM ENLJIVE

Prim er 1.3 Preslikavanje y —x —2 = Qje zadato implicitno, ali se može izraziti i eksplicitno kao y — x + 2.

Domen i kodomen ovog preslikavanja je ceo skup R . Grafik preslikavanja predstavlja pravu liniju koja sa pozitivnim smerom x-ose zaklapa ugao od 45°, a odsečak na y-osi isnosi 2.

Kako svakoj vrednosti nezavisno promenljive x odgovara samo jedna vrednost zavisno promenljive y, to je reč o jednoznačnom preslikavanju, tj. funkciji.

1.1.2 Osnovne osobine funkcija

Neka funkcija / preslikava skup A u skup B (što možemo zapisati kraće/ : .4 — B). Ovo preslikavanje je in jektivn o (” ako svakoj slici odgovara

samo jedan original, tj. ako važi f ( x i ) = f(x^ ) ■&■ x± = s j.Posmatrano preslikavanje je sirjektivn o (” na” ) ako se svi elementi skupa

B pojavljuju kao slike, tj. ako je D = B. Preslilcavanje koje je u isto vreme iinjektivno i sirjektivno se naziva bijekcija.

Primer 1.4 Funkdja / : R —*•R zadata analitički kao y = x2 nije injekcija je r jednoj slici, npr. y = 4. odgovaraju dva originala x — 2 i x = —2. Ovo preslikavanje nije ni sirjekcija. je r je D = [0, oo). Da smo zadatu funkciju posmatrali kao preslikavanje f : B, —►[0,oo). tada bi ona predstavljala sirjekciju.

Primer 1.5 Funkcija y = x + 2 koju smo posmatrali u Primeru 1.3 jeste injekcija i sirjekdja, tj. predstavlja jed.no bijektvmo prsslikavanje je r svakoj slici odgovara samo jedan original i pri tom je moguće za svaki realan broj y odrediti original koji se u njega preslikava.

Posmatrajmo dve funkcije f : A —>■ B i g : B —<■ C. Zafunkciju h : A -* C, definisanu kao h(x) = g{ f (x ) ) , reći ćemo da predstavljakompoziciju fuiikcija / i g, ođnosno složenu funkciju.

Posmatrajmo ftmkciju / : A —►B. Za preslikavanje /-1 : B —* A za koje je / (/- 1(x )) = x za sve x € A, reći ćemo da predstavlja inverznopreslikavanje za f {x ). Može se pokazati da inverzno preslikavanje predstavlja

funlcciju samo ako je f (x ) bijekcija.



1.2 Nizovi

Primer 1.6 Posmatrajmo funkcije f (x ) = x2 i g (x ) = x + 2.Kompozicija ovih funkcija je funkcija h(x) = g ( f ( x ) ) = f (x ) + 2 = x2 + 2:. Inverzno preslikavanje za f (x ) je /- 1(:r) = ±\/x, jer f (f ~ 'L(x )) = ( is/ r)2 = x. Dobijeni izraz f ~ x(x ) nije funkcija već predstavlja dvoznačno preslikavanje. Inverzno preslikavanje za g (x ) je g ~l (x ) = x — 2 i ono predstavlja funkc-iju.

1.2 Nizovi

1.2.1 Po jam niza

Nizovi su funkcije kod kojih je domen D = 1N. To znači da realn i b ro jniniz predstavlja preslikavanje skupa prirodnih brojeva u skup realnih brojeva

kod koga svakom prirodnom broju' n odgovara tačno jedan realan broj an. Slikeoi, d2. su članovi brojnog niza, a an nazivamo opšti član niza. Niz sečesto može zadati analitički eksplicitnom formulom a„ = f (n ).

Primer 1.7 Članovi niza an = n2 su a\ = 1, = 4, 03 = 9, 04 = 16,...,članom niza bn = £ su i>i = 1, 62 = *3 = .§, 64 = 5 ,..., a članovi niza c„ = 2su C], = 2, C2 = 2, C3 = 2, C4 = 2,.....

Niz kod koga svi članovi imaju istu vrednost (kao u slučaju niza cn u Primeru1.7 ) se naziva stacionaran niz.

Kako je kod nizova domen skup izolovanih tačaka na x-osi, to je grafik nizaskup izolovanih tačaka u ravni čije ordinate su jednake članovima niza. Radi jednostavnijeg grafičkog pri.kaza dovoljno je posmatrati samo jednu brojnu osuna koju se nanose vrednosti članovajiiza.

Primer 1.8 Za nizove iz Primera 1.7 imamo sledeće prikaze na brojnoj osi:

t l o . „ &3 (I 4

0 1 4

... 64

9

63 ’ &216

61

0 ,

I I •

1 ■3

c2 = •

12 1

0 1 2 3 4

1.2.2 Ograničenost niza

Ako postoji realan broj G takav da

V n e N , an < G,

kažemo da je niz an ograničen s gornje strane brojem G. Broj G se nazivagornje ograničenje niza.



8 1 REALN E FUNKCIJE REALNE PRO MEN LJIVE

Ako postoji realan broj g takav da

Vn € N , an > g ,

kažemo da je niz an ograničen s donje strane brojem g. Broj g se naziva

donje ograničenje niza.Aka postoji i gornje i donje ograničenje niza, kažemo da je niz ograničen.

Očigiedno je da donje, kao i gornje ograničenje jednog niza, nije jedinstveno.Najmanje gornje ogranićenje niza se naziva supremum i označava sa sup an, anajveće donje ograničenje se naziva infinum i označava sa inf an.

Primer 1.9 Ispitaćemo ograničenost nizova iz Primera 1.7.Niz an = n2 je ograničen s donje strane. Brojevi 0, —2, i . 1 itd. predstavl-

jaju njegova donja ograničenja. a inf an = 1 je r je n2 > 1 za svako n 6 1ST. Ovaj niz nije ograničen sa goi'nje strane.

Niz 6n = i je ograničen ( i sa gomje i sa donje strane). a poito je

0 < < 1 , Vn € K ,

to je sup6n = 1 i inf 6„ = 0.Niz cn = 2 je takođe ograničen i važi supcn = inf cn = 2 .

1.2.3 Tačka nagomilavanja niza

Neka je A proizvoljan realan broj, a £ proizvoljan pozitivan broj. Otvoreniinterval (A — s, A 4- s ) nazivamo e-okolina tačke A.

Realan broj .4 predstavlja tačku nagomilavanja za niz u„ ako se u svakoje-okolini tačke A nalazi bezbroj ćlanova niza, t-j. ako za bezbroj vrednosti n € Nvaži

*4 - £ < an < A + s.

Ova nejednakost se može zapisati i u obliku |a„ — A| < e .

Primer 1.10 Odredimo tacke nagomilavanja za nizove iz Primera 1.7.Za niz bn = £ tačku nagomilavanja predstavlja broj 0 je r se u proizvoljnoj

£-okolini tačke A = 0, tj. u intervalu ( —£,£) nalazi bezbrvj članova niza, tj. svi

članovi či ji je indeks veći od Naime, ^ < s n > ~.Za niz cn = 2 tačka nagomilavanja je broj 2 je r se svi članovi posmatranog

niza nalaze u- bilo kojo j okoiini tačke A = 2.Niz an = n2 nema tačaka nagomilavanja jer se njegovi članovi neograničeno

povećavaju.

Niz može imati i više tačaka nagomilavanja.

Primer 1.11 N-iz sa opštim članom dn = (—l ) re--2j^ ima dve tačke nagomilavanja 1 i — 1 što se lako može zaključiti na osnovu prikaza njegovih članova na

brojnoj osi



1.2 Nizovi 9

di d,3 d&

-2

4 6 ,

" 3 " 5 " i

d± đ2

1 i 1• * • 4 2

Niz čiji članovi uzimaju aaizmenično pozitivne i negativne vrednosti, kao u

prethodnom primeru, zovemo oscila toran niz.

1.2.4 Gran ična vredn ost niza

Za broj -4 ćemo reći da pređstavlja graničnu vrednost niza o„ alco segotovo svi članovi niza nalaze unutar proizvoljne £-okoline tačke A (van oveokoline ima samo konačno nmogo članova niza). To znači da se za svako e > 0može pronaći broj uq , lcoji zavisi od e. talcav da se svi članovi niza čiji je indeksveći od no nalaze u c-okolini tačke A, tj.

Včt > 0 , , Vn > no(ć) , |a„ — A\ < e .

no—1 ®n.o ^no+l

A — e A A + e

Za granićmi vrednost niza se upotrebljavaju sledeće oznake:

lim an = A ili an —*■A kad n —>oo.n—-cc

Za niz koji ima graničnu vrednost kažemo da je ksonvergentan. (Niz on kon-

vergira ka A.)Očigledno je da je granična vrednost niza ujedno i tačka nagomilavanja za

dati niz, kao i da niz sa više tačaka nagomilavanja nije konvergentan.

P rim er 1.12 Niz an = n 2 nije konvergentan jer smo u Primeru 1.10 pokazali da on nema tačaka nagomilavanja.

Niz dn = (—l )71• nije konvergentan jer smo u Primeru 1.11 pokazali da on ima dve tačke nagomilavanja.Niz Cn = 2 je očigledno konvergentan i vazi lim Cn = 2 je r se u svakoj

n—*oc

s-okolini tačke 2 nalaze svi članovi ovog niza.Niz bn = i je takođe konvergentan (konvergira ka broju 0). jer je

| i - 0] < e n > i,

što znači da se unutar proizvoljne s-okoline tačke 0 nalaze svi članovi niza čiji indeks je veći od U q = j .

Na isti način kao u slučaju niza cn = 2 (videti Primer 1.12) može se zaključiti

da svaki stacionarni niz konvergira, tj. da važi lim c = c , gde je c bilo kojan—*-oo

konstanta.Ođredićemo granične vređnosti nekih najčešće kDrisćenih nizova:



10 1 REA LNE FUNKCIJE REALN E PROM ENLJIVE

a) Prvi niz je an = pri čemu je k bilo koji pozitivan realan broj. Na isti

način kao kod niza bn = ^ (videti Primer 1.12) može se pokazati da je

lim A = 0 . Ovde je n0 = (£ )^ .n -+oc n ' e

b) Drugi niz je an = qn, gde je q realan broj za koji je |g| < 1.

Pokažimo da je lim qn = 0 .n—+cc

Logaritmovanjem nejednakosti |qn — 0| < e dobijamo

nlog |q| < log£

pošto je |g| < 1 pa je log |q |< 0. Dakle, u proizvoljnoj £-okolini tačke 0 se

nalaze svi članovi niza čiji indeks je veći od no =

Može se pokazati da- za računanje sa graničnim vrednostima nizova važe

sledeća pravila:Neka su an i bn dva konvergentna niza. Tada je

1. Iim (a„ ± 6n) = Iim an ± lim 6n,n-+oo n —*-oc n-—►oc

2. lim (an - 6n) = lim an • lim 6n,n— oo ■ n.- -oo n—»oo -

lim On

3. lim = n~*°° . , uz uslov lim bn ^ 0. Ti—oo bn lim bn » —<»n—*■oo

4. Ako za dovoljno veliko n važi a„ < bn onda je lim an < lim bn.n —>o o n—*-cc

5. Ako je lim an — lim 6n = A, a niz cn je takav da za dovoljno veliko nn—+oc n—co

važi an < cn < b„, onda je i lim = A.n —+oo

Koristeći ova pravila možemo odrediti granične vrednosti još dva često kori-šćena niza:

a) Prvi niz je an = \fn. Počevši već od drugog člana niza je tfn > 1, tj.

= l + hn, hn > 0 .

Nakon stepenovanja sa n, primenom binonmog obrasca ćemo imati

n = (1 + hn)n = 1 + nhn + ^ = ^ - h 2 n + ... + h’l

Ceo zbir (koji je jednak n) je veći od trećeg sabirka, tj.

n > ^ h l ^ hn < y / ^ .



1.2 Nizovi 11

Prema tome za niz hn važi 0 < hn < J Lako je videti da je

/ 2 1lim \ ------ = 2 lim — r = 0

n -r oo V n — 1 m -»oo

(uvedena je smena n — 1 = m), pa je i lim ft-n = 0. Vidimo da jen— j-oo

lim \/n — lim (1 + hn) = lim 1 + lim hn = 1 + 0 = 1.n—*•oc n—*■oo n —*00 n—*-oo

b) Drugi niz je an = tfa, a > 0. Razmotrićemo dva slučaja:

1. Ako je a > 1, orida postoji n e K takvo da je a < n. Vidimo da važi

1 < y/a < \/n.

Kako je lim ^Jn — 1, jasno je da je i lim tfa = 1.n—*oo n —-*-oc

2. Ako je a < 1, onda je 6 = i > 1, pa je lim \/b = l. Sada je° n—»cc

lim y/a = lim = lim -^= = ---- — ■= = 1.

n—oon—oo V 0 n—oo n — t o o

Dakle, lim z/a = 1 za svako a > 0.n—oo

1.2.5 D ivergentn i nizov i

Za svaki niz koji nije konvergentan kažemo da divergira.Ako članovi niza postaju veći od ma kog unapred zadatog broja, tj. ako

VK > 0, 3no(if ), Vn > no (K ) , an > K ,

onda kažemo da niz an divergira ka +oo i pišemo lim an = +oo.n-+oo

Lako je videti da važi sledeća osobina: Ako je lim an = +co i bn > an n —*oc

poćev od nekog člana niza bn, tada je i lim 6n = +oo, jer ako Vn > n0(A") važin —*oo

an > K, onda je i bn > K , gde je K proizvoljan pozitivan broj.

Primeri nizova koji divergiraju ka +co su:

1. an = log0n jer je logan > K < &n > aK .

2. an = na, a > 0 jer je n“ > K n > K i .

3. an = an, a > 1 jer je an > K & n > loga K .

4. an = n! jer je n! > n, a lim n = +oo.



12 1 REALNE FUNKCIJE REALNE PROM ENLJIVE

Ako članovi niza postaju manji od ma kog unapred zadatog broja, tj. alco

VIi < 0, 3n o(I ), Vn > no(L) , an < L,

onda kažemo da niz an divergira ka —cc i pišemo lim an = —co.n »oc

Za nizove koji divergiraju ka +oo ili —oo kažemo da divergiraju u užemsmislu.

Svi nizovi koji ne konvergiraju ili ne divergiraju u užem smislu divergi-ra ju u širem smislu. Viđimp da svi nizovi koji imaju više od jedne tačlcenagomilavanja divergiraju u širem smislu.

Pr im er 1.13 Niz dn — (—1)" ■ divergira u širem smislu je r smo Prim eru 1.11 pok-azali da on ima dve tačke nagomilavanja.

1.2.6 M onoton i nizovi

Za niz an se kaže da je monotono rastući ako je svaki sledeći član niza

veći od prethodnog, tj. ako važi

Vn € JM, an+i > an.

Za monotono rastući niz se upotrebljava oznaka an Za niz an se kaže da je monotono opadajuć i ako je svaki sledeći član niza

manji od prethodnog, tj. a.ko važi

Vn € N, an+i < an.

Za monotono opadajući niz se upotrebljava oznaka an \ .Monotono rastući i monotono opadajući nizovi su strogo monotoni, za

razliku od nizova kod kojih neki susedni članovi mogu imati istu vrednost. Ako je

an+i — o.n kažemo da je niz neopadajuć i, a ako je an+i < an niz je nerastući.

Primer 1.14 Niz an = n2 je monotono rastući jer je (n + l )2 > n2 za svaki

prirodan broj n.Niz an = [g|rl, gde je |g| < 1, je opadajući je r je

— = ¥ l i r = M < l an+1<an.an |g|n

Posmatrajmo jedan monotono neopadajući ograničen niz an. Neka je

inf an = m i sup an = M .

Kako je M supremum posmatranog niza, to za srako s > 0 postoji član niza(označimo ga sa a^) takav da važi



1.2 Nizovi 13

(Da ovakvih članova nema, onda bi supremum posmatranog niza bio manji ili

jednak M — e.) Kako je niz monotono neopadajući, to za sve naredne članoveposmatranog niza važi

M —e < Oiv < Oiv+i < a/v+2 < ••• < M,

što znači da se u e-okolini tačke M naiaze skoro svi članovi posmatranog niza.Dakle, lim an = M .

71—*-OG

Na isti način se može pokazati da ako m predstavlja infimun jednog mono-tono nerastućeg niza an, onda je lim an = m.

n.—►co

Ovim je dokazan princip monotonije: Svaki monoton i ograničen niz jekonvergentan. Monotono neopadajući ograničen niz konvergira ka svom supre-mumu, a monotono nerastući ograničen niz konvergira ka svom infinumu.

Koristeći princip monotonije može se pokazati konvergencija još jednog ve-oma često korišćenog niza. To je niz sa opštim članom

« - - ( ! + * ) " •

Kod ovog niza. izraz koji predstavlja osnovu 1 + £ teži broju 1, a eksponent n teži beskonačnosti, pa opšti član ovog niza predstavlja neodređeni izraz oblilca

Može se pokazati da je ovaj niz ograničen, tj. da je 2 < an < 3 i da jemonotono rastući, što znači da konvergira ka svom supremumu. Supremumovog niza je iracionalan broj e, čija vrednost zaokružena na pet decimala iznosi2,71828.

Polazećiod ove grajiične vrednosti važi i sledeće: Ako f (n ) —>0 i g(n) —*■+cckad n —* oo. onda je

lim f l + f ( n ) ) 7*T = e i lim (1 + f (n ) )9<n) = .n—*-oo ' n —**oo

Posmatrajmo niz zatvorenih. intervala kod koga je svaki sledeći interval sa-držan u prethodnom i kod koga dužina posmatranih intervala teži nuli:

[ai, &i] D [a2,62] 3 ... D [o», 6nj 3 ... , lim (b„ - an) = 0.n —»00

Ovakav niz naaivamo nizom sužavajućih intervala.

A = B

Oi a2 a3 an bn 63 ž>2‘

Niz sužavajućih intervala određuje dva brojna niza an i b„. Niz an je monotononeopadajući niz ograničen sa gornje strane (ograničen je npr. brojem 61) pa,prema principu monotonije, ovaj niz konvergira. Neka je lim an = A . Niz bn je



14 1 REAL NE FUNKCIJE REALN E PROM ENLJIVE

monotono nerastući niz ograničen s donje strane (bn > ai), pa i on konvergira.Nelca je lim bn = B . Iz

n—*-oo

B —A = lim bn — lim an = lim (bn — an ) = 0n—*-oo n —co n—*cc

sledi da je B = A, tj. oba niza konvergiraju lca istom broju koji predstavljasuprcmum niza an i infinum niza Ovaj broj pripada svim posmatranimintervalima. Kako dužina posmatranih intervala teži nuli to ne mogu postojatidva broja koja bi pripadala svim posmatranim intervalima.

Ovim je pokazano da niz sužavajućih intervala ima jednu i samo jednu za- jedničku tačku.

1.3 Granične vrednosti funkcijeRealnu funlcciju realne promenljive smo definisali kao funkciju čiji domen

i kodomen su podskupovi skupa realnih brojeva. Ponašanje realne funkcije unelcoj taćki, kao i'za proizvoljno velike ili male vrednosti nezavisno promenljive,

određuje se na osnovu graničnih. vrednosti posmatrane funkcije.

1.3.1 Granična vređ nost kada x —>±oo

Slično kao kod nizova i za realnu funkcije f (x ) možemo definisati graničnuvrednost kada nezavisno promenljiva teži beskonačnosti, tj. kad nezavisno

promenljiva postaje veća od bilo kog filcsnog pozitivnog realnog broja.Broj A je granična vredn ost funkcije kad x —* +oc ako

Ve > 0 , 3A(e) >0 , Va: > A(.s) , \f(x) - A\ < e ,

tj. ako Va; > x q , gde je xo dovoljno velilco, vrednosti funkcije f ( x ) se nalazeunutar proizvoljne e-okoline tačke A. (Podrazumeva se da je funkcija f ( x ) definisana za dovoljno velike vrednosti x.) Kao i kod nizova, i ovde se za graničnuvrednost upotrebljava oznaka lim f ( x ) = A .

x—H-ec

Ako broj A predstavlja graničnu vređnost funkcije f ( x ) lcad x —►+oo,

kažemo da prava y = A predstavlja horizontalnu asimptotu funkcije f ( x ) kad x —►+oo.

Na isti način, za broj B ćemo reći da pređstavlja graničnu vrednost

funkcije kad x —►—oo ako

Ve > 0 , 3A(e) > 0,. Va: < -A (e ) , \f(x) - B \ < s .

Pisaćemo lim f ( x ) = B .oo

Ako broj B predstavlja graničnu vrednost funlccije f ( x ) kad x —►— oo,

kažemo da prava y = B predstavlja horizontalnu asimptotu funkcije f ( x ) kad

x —>— oo.



1.3 Granične vrednosti funkcije 15

Ako Vx > xo gde je xo đovoljno veliko, vrednosti funkcije postaju. proizvoljnovelike, tj. ako

V K > 0 , 3 A ( K ) >0 , V x > A ( K ) , f ( x ) > K ,

onda je ^lim f ( x ) = +oo . Ako umesto uslova f ( x ) > K važi f ( x ) < - K ,

onda je lim f ( x ) = —oc- . x—H-oo

Na sličan način se može definisati anaiogno ponašanje funlccije lcad x —*•—co.Lako je videti da je

lim xm = +oo za m > 0x—H-oo

jer V K > 0S xm > K « x > Km , pa je A (K ) = K™ .Na isti način se pokazuje da je

lim = 0 za m > 0 X -—+30 Xm

jer Vs > 0, |^r — 0| < s ^ > ( 7) ” pa je A(e) = (A) ™.Ovaj primer ilustrtije tvrđenje: Kad jedna veličina teži beslconačnosti, onda

njena recipročna vrednost teži nuli.

Može se pokazati da za računanje sa graničnim vrednostima funkcija važe

ista pravila kao i za računanje sa graničnim vrednostima nizova:

Neka su f ( x ) i g(x) dve realne funkcije definisane za sve x > xo> gde je a'odovoljno veliko, i nelca postoje granične vređnosti ovih fimkcija lcad x —>■+cc.

Tada je

1. lim ( f ( x ) ± g ( x ) ) = lim f ( x ) ± lim g (x ),x—*H-oe x— +oo x—++00

2. lim ( f ( x ) -g(x) ) = lim f ( x ) - lim g(x), X — '4 “ CO X —* + O G T — *-+OG

f M 3 . lim ) . = x~! 00—— , uz uslov l im g( x) ^ 0 .

+00 g[x) lim g(x) x^+<x X—H-00

4. Ako za svako x > x q , gde je xq dovoljno veliko, važi f ( x ) < g(x) onda jeIim f ( x ) < lim g(x).

x-H-oo J K — x —i-+oo w .

5. Ako je lim f ( x ) = lim g(x) = A, a. funkcijah(x) je takvada za svakox —*-+oo x— +00

x > xo, gde je xo dovoljno veliko, važi f ( x ) < h(x) < g( x) , onda je i

lim h(x) = A. x—H-00

Ista pravila važe i za računanje sa graničnim vrednostima realnih funkcija kad



16 1 REALNE FUNKCIJE REALNE PROM ENLJIVE

Ako dve funkcije f ( x ) i g(x) obe teže ili +00 ili —00 kad x —* +cc; a

lim ^7—r = 1 i lim (/ (x ) - ff(x’)) = 0,i —+oc g(x) 1—+oo ' ’

kažemo da je funkcija g(x) aisimptota funkcije f ( x ) kad x —>+ 00.

U specijalnom slučaju, da bi ftmkcija g(x) = kx + n (koja predstavlja

jednačinu prave) bila asimptota funkcije f ( x ) , iz lim l^+n = delenjem

brojioca i imenioca sa x dobijamo

/M lim ^1- X X — * + O Q * -

k + 5 _ k ’

odakie je k = Iim •Iz lim ( f ( x ) —(A:z + n)) = 0 sledi da je n = lim (/ (x ) — kx) .

X—*+CC OO sPrava y = kx + n sa ovako ođređenim koeficijentom pravca k i odsečkom na

y- osi n predstavlja kosu asimptotu funkcije f ( x ) kad x —►+ 00.

Na isti način se dolazi i do jednačine kose asimptote kađ x - * —00.Primetimo da i u slučaju kad prava y = .4 predstavlja horizontalnu asimp-

totu funkcije f ( x ) važi da je lim = 1 i lim ( f ( x ) —A) = 0.X—cc ^+oo

1.3.2 Gran ična vredn ost u tački

Kod funkcija je moguće definisati i graničnu vrednost .funkcije u tačla. Po-sebno se mogu definisati leva i desna granična vreduost.

Za broj A ćemo reći da predstavlja levu graničnu vrednost funlccije f ( x ) u tački X q ako se vrednosti funkcije nalaze u £-okolini tačlce A za sve vrednostia: koje se nalaze ulevo od tačke a;o na dovoljno malom rastojanju, tj. ako

Ve > 0 , 3t5(e) > 0, Vz e (xo —6, xo) , \f (x )—A\<e.

Uslov |/(i) — A\ < s možemo zapisati i u obliku A —s < f ( x ) < y l + s .Za levu graničnu vrednost upotrebljavamo oznaku lim f ( x ) = A.

X — £ q “

Za broj B ćemo reći da predstavlja desnu graničnu vrednos t funkcije f ( x )

u tački xo ako se vrednosti funkcije nalaze u £-okolini tačke B za sve vrednostix koje se nalaze udesno od tačke xq na dovoljno malom rastojanju, tj. ako

Vs > 0 , 35(e ) > 0, Vx 6 (zo. zo + <5) , |/(x) —B\ < e .

Za desnu graničnu vrednost upotrebljavamo ozuaku lim f ( x ) = B.

Ako su leva i desna granična vrednost u nekoj tački xq iste, onda funkcija

ima graničnu vrednost u taćki xo, što zapisujemo kao

Um f ( x ) = A . X — * X 0



1.3 Granične vrednosti funkcije 17

Dalde. f ( x ) —►A kad x - * x0 alco

Ve > 0 , 35(e) > 0 , V i e (^o - S, x0 + 5) A x / x0 , |/(x) — A\ < e .

Primetimo da je u prethodnim defmicijama bilo potrebno da funkcija f ( x ) bude

definisana u nekoj okolini tačke xo, dok u samoj tački ne mora biti definisana.Moguće je da funkcija u nekoj tački teži ka +oo ili —oo.

Reći ćemo da je lim f ( x ) — +oo akoX—*-*0

VjK > 0 , 36(K) >0 , Vx e (xo —S, xq + <5) A x ^ xq , f ( x ) > K.

Na isti način se može definisati i lim f ( x ) = —oo, kao i odgovarajuće jed-X—

nostrane granične vrednosti.

Na osnovu definicije vidinio da je

1lim — = +oo '

1—0+ x

jer je \/K > 0, j > K •«► x < , pa je 5(K) =

Ovaj primer ilustruje tvrdenje: Kad jedna vehčina teži nuli, onda njena

recipročna vrednost teži beskonačnosti.Za računajije sa gianičnim vrednostima funkcija u tački važe ista pravila kao

i za računanje sa graničnim vrednostima kad x —►+oo.

Ako je bax jedna od jednostranih graničnih vrednosti funkcije f ( x ) u tačld xq

beslconačna, onda za pravu x = xq kažemo da predstavlja vertikalnu asimp-to tu funkcije f ( x ) .

Primer 1.15 Funkcija y = e* u tački x = 0 nerna graničnu vrednost jer leva i desna granična vrednost u tački x = 0 nisu iste. Naime.

lim e« = 0 i lim e* = +oo .r— x—*0-1-

Prava x = 0 je vertikalna asimptota ove funkcije. Funkcija se pozitivnom delu y-ose asimptotski približava samo sa desne strane.

1.3.3 Granične vrednosti funkcija i (1 + x ) i kad.x —►0

Koristeći pravila za računanje sa graničnim vrednostima funkcija izračuna-

ćemo dve granične vrednosti koje se često upotrebljavaju u praksi:

a) Posmatrajmo jediničnu kružnicu i uočimo centralni ugao x, 0 < x < f .

Dužina luka koji odgovara uočenom uglu je jednaka x pa je

sinx < x < tgx .



18 1 REA LNE FUNKCIJE REALN E PRO ME NLJIVE

Za recipročne vrednosti važi - je sins > 0 za 0 < x < j , dobijamo

cos x < < 1 .

Kako je granična vrednost funkcija f ( x ) = cosx i g(x) = 1, kad x —♦ 0,ista i iznosi 1, to je i

lim = 1 .®—*0

b) Posmatrajmo proizvoljno veliki realan broj t. Funkcija h(t) = ( l + ,kad t —* +oo, predstavlja neodređen izraz oblika ” l° c” .

Jasno je da za svaki dovoljno veliki realan broj t

3n £ N, n < t < n + 1 .

Tada je < j < ^ •Nakon đođavanja broja 1 svakom izrazu u prethod-noj nejednakosti, a s obzirom n a n < t < n + l, imaćemo da je

( X + S + l ) < ( X + t ) * < ( X + n )

Kada t —<•+oo tada i n —>+cc. Kako je

n-f*l

( i 1 1 V ,• , 1 \ n V V >»+1/ elim 1 + —7T = lim ----y --------- = - = e. n — oc V n T l / n — co 1 + - L . 1

n + l

1 \ n+Xlim (1 + i ) " + = lini (1 + i ) n • (1 + 1 ) = e •1 = e,

to Je i t“?loc(1-+..T)t = e-

Smenom t = - se direktno dobija da je liiri^(l + x ) i = e.

Može se pokazati da je i odgovarajuća leva granična vrednost ista pa je

lim(l +a;)* = e.x-*0

1.4 Neprekidnost funkcije1.4.1 Neprekidnost u tački

Ako je funkcija f ( x ) definisana u nekoj okolini tačke x q kao i u samoj tački

xo i ako jelim f ( x ) = f (xo) ,

®—►ajo

onda kažemo da je funkcija f ( x ) neprekidna u tački x q .

Dakle, za neprekidnost funkcije u taćki potrebno je da



1.4 Neprekidnost fankcije 19

1. postoji granična vrednost funkcije u posmatranoj tačld i

2. da ta granična vrednost bude baš jednaka vrednosti funkcije u posmatra-noj tački.

Prema definiciji granične vrednosti funkcije u tački to znači da

V o > 0 , 3J(ff) > 0, |x-a:o| < 5(s) , \f(x) - f ( x 0)\ < s.

Izraz Ax = x — x0 se naziva priraštaj nezavisno promenljive.

Vidimo da je vrednost promenljive x u okolini tačke x0 moguće prikazatipreko priraštaja nezavisno promenljive kao x — x0 + Ax. Tada je odgovarajućavređnost funkcije f (x ) = f ( x 0 + A x).

Izraz Ay = f ( x + A x ) —f ( x ) se na.ziva prirašta j funkcije. Priraštaj fimkcijeu tački x0 je Ay = f ( x 0 + A x) - f ( x 0).

Vidimo da je funkcija neprekidna u nekoj tački ako dovoljno malom priraštaju

nezavisno promenljive odgovara proizvoljno mali priraštaj funkcije, tj. ako je

lim Ay = 0 .

Drugim rečima malim promenama nezavisno promenljive odgovaraju male pro-

inene funkcije.

Na osnovu pravila za računanje sa graničnim vrednostima funkcija lako se

može pokazati sledeće: Ako su f ( x ) i g(x) dve neprekidne funkcije u nekoj tački.x‘o, onda je i

1. h(x) = f ( x ) ± g(x) neprekidna funkcija u posmatranoj tački,

2. h(x) = f ( x ) ■g(x) neprekidna funkcija u posmatranoj tački,

3. h(x) = neprekidna funkcija u posmatranoj tački, pod uslovom da je

5(x0) ž 0.




Iz definicije neprekidnosti funkcije u tački vidimo da funlccija nije neprekidnau nekoj tački, tj. da u nekoj tački postoji prekid funkcije ako bilo koji od dvauslova lcoji su potrebni za neprekidnost nije ispunjen:

a) Ako postoji granična vrednost funkcije u tački, ali ona nije jednaka vred-nosti funkcije, što značii da funkcija može biti i nedefinisana u posmatranojtački, radi se o priv idnom prek idu funkcije.

b) Ako u posmatranoj tački ne postoji granična vrednost. što se dešava ako

su leva i desna granična vrednost konačni ali različiti brojevi ili ako jebar jedna od. jednostranih graničnih vrednosti beskonačna ili uopšte nepostoji, radi se o stvarnom prekidu funkcije.

Primer 1.16 Funkcija f(x ) = ima u tackix = 0 prividan prekid je r u ovoj taiki nije definisana, ali postoji granićna vrednost funkcije u ovoj tačkA. Naime ,

pokazali smo da je lini = 1 . Ovaj prividan prekid je moguće otkloniti tako

što se umesto funkcije f ( x ) posrnatra funkcija

^ = { I x = 0 '

Jasno je da g(x) predstavlja neprekidnu funkciju u tački x = 0.

Primer 1.17 Funkcija f ( x ) = e* ima stvami prekid u tački x = 0. U Primeru 1.15 smo videli daje leva granična vrednost u ovoj tački lim f ( x ) = 0 , a desna

x — 0—

lim f ( x ) = +00 , tako da ne postoji granična vrednost posmatrane funkcije u x — s-0-i-tački x = 0.

Posmatrajmo složenu funkciju f ( g ( x ) ) đefinisanu u nekoj okolini tačke x0.

Ako funkcija u = g(x) ima graničnu vrednost u tački x$, tj. ako je

lim g(x) = 0 X —*-Xo

i ako je funlccija f ( u ) neprekidna u tački ff, tj. lim f (u ) = f( i3), s obzirom dau-+/5

u —>[3 kad i - n o , a f ( u ) = f (g (x ) ) , vidimo da je

lim f ( g (x ) ) = f( j3) = f ( lim p(x)'] .x —* xq \ x —* xq J

Ovim smo pokazali da je dozvoljeno s limesom ući pod neprekidnu funkciju.

Primer 1.18 Posmatrajmo funkciju h(x) = ln(l + x). Kako je f(x) = Ina;neprekidna funkcija u b-ilo kojoj tački iz skupa R + , to je

lim ln (l + x) = ln Iixa(1 + x )j = ln l = 0 .

Ako je funkcija u = g(x) neprekidna u tački xo, a funkcija f (u ) neprekidna

u tački (3 = g(xo), jasno je da je složena funkcija f ( g ( x ) ) neprekidna u tački



1.4 Neprekidnost funkcije 21

1.4.2 Neprekidnost na intervalu

Funkcija je neprekidna na intervalu (otvorenom ili zatvorenom) ako jeneprekidna u svakoj tacki posmatranog intervala.

Posmatrajmo funkciju f ( x ) , koja je neprekidna na zatvorenom intervalu [a, 6]i koja na krajevima tog intervala uzima vrednosti različitog znaka, tj. za koju

je f (a ) ■f (b) < 0. Podelimo interval [a, 6j na dva dela tačkom c = Mogućasu dva slučaja:

a) f ( c ) = 0 i

b) f ( c ) j* 0. U ovom slučaju jedan od dobijenih podintervala [a, c]ili [c, b] je

takav da funkcija f ( x ) na njegovim krajevima uzima vrednosti različitogznaka. Označimo taj interval sa [ai,&i] i ponovimo opisan postupakpolovljenja.

Ako, stalno ponavljajući opisan postupalc, ni u jednoj deobenoj tački vrednostfunkcije f ( x ) ne bude jednaka nuli, onda smo dobili niz sužavajućih intervala

jer je

[a,6] D [ai,6i] D [a2,&2] D ... D [a„,6n] D ...,

lim (bn —a„) = lim = 0.n—►oo n—‘ oo “

Poznato je da postoji samo jedna tačka £ koja pripaćla svim ovim intervalima iza nju važi

f = lim an = lim bn.n —*oo n —»co

Ivako je f ( a n) ■f (bn) < 0 za svako n 6 N, to je lim f ( a n) ■f(bn) < 0 . Pošton—'CC

je f ( x ) neprekidna funkcija na intervalu [a, 6], tj. u svakoj tački ovog intervala,onda je

lim f {an) - f (bn) = lim f ( a n)- lim /(&„) = / ( lim an) - f ( lim 6n) = f 2(£).n — oo n—*-oo n —*•00 \n—*•oc / \n— co /

Dakle, /2(|) < 0. Medutim, kako kvadrat bilo kog broja ne može biti negativan,zaključujemo da je /2( f ) = 0. tj. /(£) = 0.

Broj za koji je /(£) = 0 zove se nula funkcije /(x).Dakle, pokazali smo da svaka funkcija koja je neprekidna na nekom zatvore-

nom intervalu i na njegovim krajevima uzima vrednosti različitog znaka, imutartog intervala ima bar jednu nulu.

Takođe se može pokazati da fimkcija f ( x ) neprekidna na zatvorenom in-

tervalu [a.&] bar jednom, na tom intervalu dostiže svoju najveću i najmanju

vrednost. Samim tim, ova funkcija je i ograničena, tj. postoje realni brojevi m i M , takvi daVx € [a, 6] , m < f ( x ) < M .

Iz neprekidnosti funkcije f ( x ) na intervalu [a, &] sledi da

Vpt,' m < jj.< M , 3$ 6 [a, 6], /(£) = fj,.



22 1 REALNE FUNKCIJE REA LNE PRO ME NLJIVE

1.5 Izvod funkcije i njegove primene

1.5.1 De finicija prvog izvoda

Neka je funkcija f ( x ) đefinisana u nekoj okolini tačke x. Ako postoji granična

vrednost količnika priraštaja funkcije i priraštaja aezavisno promenljive kadpriraštaj nezavisno promenljive teži nuli, tj.

rlim - — ,

Az-»o

tada ovu graničnu vrednost nazivamo prvi izvod funkcije f { x ) (ili kraće samoizvod funkcije) u tački x i obeležavamo sa f ' {x) . Dakle,

f { x ) = lim +Ax-»0 Ax

Za funkciju koja ima izvod u tački x kažemo da je diferencijabilna u tačkix. Postupak nalaženja izvoda zovemo diferencirarsje.

Ako u prethodnoj formuli posmatramo levu, ođnosno desnu graničnu vred-nost, dobijamo levi. odnosno desni izvod u tački x. koji obeležavamo sa f ( x —), odnosno f { x + ) . Polazeći od definicije granične vrednosti funkcije u

tački dolazimo do sleđećeg tvrđenja: Ako je funkcija diferencijabilna u nekoj

tački, onda su levi i desni izvod u toj tački jednaki i obrnuto.

Iz definicije granične vrednosti sleđi da

lim Ay = lim / ' ( i ) A i = f ' ( x ) -0 = 0.0 A i—0

Ovim je pokazano da ako je funkcija diferencijabilna u nekoj tački, onda je ona

u toj tački i neprekidna.

Obruuto nije tačno, što pokazuje sleđeći primer.

Primer 1.19 Funkcija f(x) = |a;| je neprekidna u tački x = 0 je r je

lim f ( x ) = lim jarj = 0 = /(0) .

ali nije diferencijabUna, pošto je

f ( 0+ ) = Iim p - = lim Iim ^ = 1 i A.o;-+0+ A x Ax -*0+ A i -*0 t

f ( Q - ) = Iim lim ^ = lim = - 1 ,Ax—o- A x A i—o- A x A i—o- Aa:

pa f ( 0) ne postoji.



1.5 Izvod faakcije i njegove primene 23

1.5.2 V iši izvodi i diferen cijal funkcije

Videli smo da je prvi izvod funkcije f ( x ) ponovo funkcija promenljive i pa je moguće ovu funkciju ponovo diferencirati. Tako dolazimo do pojma višegizvođa. Izraz

Samu funlcciju f ( x ) možemo smatrati nultim izvodom, tj. /(0) (x) = f (x ) .Za funkciju koja ima n-ti izvod kažemo da je n puta diferencijabilna.Proizvod izvoda funkcije i priraštaja nezavisno promenljive nazivamo dife-

rencijal funkcije i obeležavamo ga sa dy. Dakle, za funkc-iju y = y(x) je

Kako je za funkciju y(x) - x izvod x' = lim 1+^ x = 1. to je diferencijal ove&.x —0

funkcije dx = 1 ■Ax, tj. dx = Ax, pa je diferencijal funkcije y = y(x) jednak

proizvodu izvoda funkcije i diferencijala nezavisno promenljive, ti.

Odavde vidimo da se izvod funkcije y = y(x) može prikazati i kao koiičnik

diferencijala zavisno pronienljive i diferencijala nezavisno promenljive, tj.

1.5.3 Prav ila za nalaženje izvoda

Neka su f ( x ) i g(x) diferencijabilne funkcije u tački x. Ta.da važe sledeća

pravila:Izvod konstante

Ako je f ( x ) = c, onda je A y = f ( x + Ax ) —f ( x ) = c — c = 0, pa je

je treći iz vod itd. U opštem slučaju n-ti iz vod funkcije je

n € W .

dy = y' ( x )A x .

dy = y'(x)d.x .

A x —»0lim 0 = 0 .

Izvod zbira i razlike

( f ( x ) ± g ( x ) )' = limAa:-f0

f ( x + Ax ) ± g (x + A j ) - ( f ( x ) ± g( x) )

Ax



24 1 REALN E FUNKCIJE REALNE PRO ME NLJIVE

= iim + iim 9( * + t e ) - g{x) j Ax-*o A x Ax—fO Ax j \ y \ 1

Izvod proizvoda

!■ f ( x + Ax )g (x + A x ) - f ( x ) g ( x ) _ ( f ( x ) ■g(x) ) = ^ ------------------ — ------------------ =

f ( x + Ax )g (x + A x ) ± f ( x ) g ( x + A x ) - f ( x ) g ( x ) = i im -------- --------------------------------- -------------------------------------------- =

- lim „ (» + & Ito / w a (» + A x ) - gM _ Ax^ 0yV A x Ax^0 V ' Ax

= /'( i ) j { i ) + / W s ' ( i ) '

Spftcijalno ( r . f (x ) ) ' = c! f (x ) + r.f ' (x) = 0 ■ f ( x ) + r. f ' (x) = c.f '(x).

Izvod količnilca

f f ( x ) \ ' _ lim g(x+Ax) ~ ^ f ( x + Ax )g (g ) - f ( x ) g ( x + Ax) \ g ( x ) ) As-*o A x Ax—o Ax g( x + Ax)g (x )

jjm f ( x + A x ) g( x) ± f ( x) g( x) - f ( x ) g ( x + A i ) _

lim

Ax—-o Axg(x + Ax)g (x )

9( x) H *+ * z i - r w - f ( x ) r { x ) 9 (x) - f ( x W (x)

Ax-*o g(x)g (x + Ax) g2(x)

pri čemu mora važiti g(x) ^ 0.Izvod složene funkcijeNeka je kod složene funkcije y = f (g ( x ) ) uvedena oznaka u = g(x). Tada je

( f ( g ( x ) ) ) ' = £ = £ •% = f ' (u )g ' (x ) = f ’ (g(x) )g' (x) .

Izvo d inverzne funkcijeNeka x = /_ 1(y ) predstavlja inverznu funkciju za f ( x ) . Pod pretpostavkom

da postoji izvod inverzne funkcije i da je f ' ( x ) 7^ 0, imaćemo

<r‘<»»'=f=f=7w-Izvod parametarski zadate funkcije

Za funkciju y = y(x) ćemo reći da je data param etarskim jednačinam aako su i nezavisno promenljiva x i zavisno promenljiva y prikazane Itao funkcije

neke treće promenljive —parametra t : tj. ako je

x = <fi(t) , y = i ' (t ) , t e D t C K ..

Na primer, x = rcosć , y = rs'mt , t € [0,27r] predstavlja jednačinukružnice poluprečnika r sa centrom u koordinatnom početku jer je x2 + y2 = r 2.



1.5 Izvod funkcije i njegove primene 25

(Napomenimo da nije uvek moguće izvTŠiti eliminaciju parametra t, tj. dobiti

implicitnu jednačinu kao u posmatranom primeru.)Ako funkcije ip(t) iip(t) imaju izvode u tački t i ako je y'{ t ) / 0,onda je

W (x \ = = - i - = = £d x ||. <p'(t ) x '

Ovde smo upotrebili standardnu oznaku za izvod fimkcije po parametru: <p'(t) =x i i ' ' ( t ) = y.

1.5.4 Izvodi elementarnih funkcija

Koristeći definiciju prvog izvoda i pravila za računanje sa graničnim vred-nostima možemo odrediti izvode elementarnih funkcija:

1. Izvod stepena

Formulu ćemo izvesti samo za slučaj kada je eksponent prirodan brcj,a može se pokazati da ona važi i za svaki realni eksponent. Pvilikomizvođenja koristićemo binomni obrazac.

( * » ) '= & ± * f n ~ * n = Ax—0 A x

xn + (” ) z n_1Ax + ( 2)a;n-2(Aa:)2 + ... + (” )(Aa-)n - i n _ ^ m o : — =

= Almio (© X " - 1 + O n- 2A z + ... + (™) (A x )n_1) = nxn_1 .

2. Izvod logaritamske funkcije

Prilikom izvođenja koristićemo Sinjenicu da je loga o > 0, neprelcidna

funkcija za sve x > 0, da je log0 b = kao i da je lirn (1 + t) * = e.

(logaX)' = ^ t o g J ^ + M - i o g ^ ^ ( z ± * x \ & = ■ &a ’ Az-0 A x Ax-*Q a \ X )

( A x \ * '■ j. 1 1= log0 lim 11 + ---- = logQe* = — loga e = —;— .

“ Ax->o \ x ) x i k a

Specijalno je (ln x )f = j .

3. Izvod eksponencijaine funkcije

Eksponencijalna funkcija y = ax je inverzna logaritamskoj funkcijix = loga y pa je potrebno primeniti pravilo za nalaženje izvoda inverzne

funkcije.

(a*), = -r .—-—— = —r— = j/lna = a* lna.' 0ogoy)' ^

Specijalno je (ex)' = ex.



1 REA LNE FUNKCIJE REA LNE PROM ENL JIVE

4. Izvodi trigonometrijskih funkcija

Prilikom izvođenja koristićemo formule za razliku sinusa i kosinnsa. kao

sint . . j *

Tkoličnika, izvoda složene funkcije i identitet sin2 x + cos2 x = 1.

i da je lim = 1. Takođe ćemo primeniti pravila za nalaženje izvoda

. . sin(a; + Aa;) —sinx (sinz) = lim — ------ t —‘ --------

A:x-*Q A x

2 sin cos (a; + / Aa;\ s in 4 r= lim -------- =— -—1-=-£- == lim cos a; -I— — 1 ------------ 'm u ---------- — : ---- — i * ju \ — i x

Ax—*-o A x Ax->o \ 2 y s *

= cos x ■1 = cosX .

, cosfa; + Ax) — cos x (cos x) = lim ----5------ - — -----------=v A i—o A x

—2 sin sin (x + 4&) . / A x \ s i n ^= lim ---------- —t— -------= _ iim sin x + — . 2=

As-0 A x. Ax-0 \ 2 ) ^

= — sinx ■1 = —sin x .

. ., _ / sinx V _ (sin x )' ■cos x — sin x • (cos x)' _

\cosx) cos2x

cosx •cosx — sinx ■(— sinx) cos2x + sin2 x 1

cos2 x cos2 x cos2 x

(ctgx)' = (tg xx )' = - t g 2x • (tgx )' C°S X 1 1sin^ x

5. Izvodi mverznih trigonometrijskih funkcija

Prilikom izvođenja koristićemo pravilo za nalaženje izvoda inverzne funk-cije i identitet sin2 x + cos2 x = 1.

Funkcija y = arcsinx je inverzna funkciji x = siny, pa je

(axcsmx) - sinyy ~ cosy ~ ^ _ gin2 y ~ _ x 2 '

Funkcija y = arccosx je inverzna funkciji x = cos y, pa jei i i 1

(arccosx)':(cos y) ' -s iny ^/l - cos2y V'l - x2

Funkcija y = arctgx je inverzna funkciji x = tgy, pa je

(arctgx)' = 1 * ^ 1 ' l (tg2/y co cV + ^ y l + tg2j/ l + x2

Funkcija y = arcctgx je inverzna funkciji x = ctgj/, pa je

1 1 - 1 - 1 - 1(arcctgrr)' =(etgV) ' -zsrg ,ctg




1.5.5 Geometrijska interpretacija izvoda

Posmatrajmo grafik funkcije y = f ( x ) i na njemu proizvoljne tačke M(x , y) i L (x + Aa;, y + A y). Sečica M L zaklapa ugao 0 sa pozitivnim smerom a>ose ivaži

to-fl = = /(z + Aa~) ~ / »8P A x Aa:

Kada priraštaj nezavisno promenljive A x teži nuli, tačka L teži ka tački M, asečica M L teži ka tangenti krive postavljenoj u tački M. Ako ugao između ovetangente i poaitivnog smera x-ose označimo sa a, onda je

tga = lim tg8 = limi x - 0 A i- >0

f ( x + A s) - f ( x )

A x - f ' ix ) .

Dakle, prvi izvod funkcije u nekoj tački predstavlja koeficijent pravca tangenteu posmatranoj tački.

Jednačina tangente na krivu / (x ) u tačkiM ( x q , y 0 ).

pri čemu je uvedenaoznaka y 0 = f ( x 0), glasi

V - V o - f ' ( x 0) (x - x0) .

a jednač ina normale, tj. prave koja prolazi kroz posmatranu tačku M inormalna je na tangentu, glasi

y - y o ~ - f ' ( x o)

(x - x0) .

Alco presek x-ose sa tangentom označimo sa T, a presek sa normalom saN , onda možemo izračunati dužinu tangente kao t = \M ?| i dužinu nor-

maie kao n = |M]$\. Projekcija tačke M na ar-osu je P(zq, 0). Duži T P i N P



28 1 REALN E FUNK CIJE REAL NE PROM ENLJIVE

nazivamo subtangenta i subnormala. Dužine subtangente i subnormalemožemo izračunati kao

st = \T?\ i sn = \NP\.

Primer 1.20 Posmatrajmo krivu koja predstavlja grafik funkcije

f ( x ) = e2x + l

i tačku M(0 , t/o) na njoj. Napisimo jednačinu tangente i normale na krivu u posmatranoj tački, a zatim odredimo dužine tangente i subtangente.

Koordinate tačke M zadovoljavaju jednačinu krive pa je yo = e° + 1 = 2.Kako je f ' ( x ) = e2x ■2 pa je f ' ( 0) = 2, to je jednačina tangente u tački x = 0,tj. u tački M ( 0,2),

y - 2 = 2(x - 0), tj. y = 2x + 2,

a jednačina normale y —2 = —\ ( x —0). tj. y = —~x + 2.Presek tangente sax -o so mj ex = —1 (rešenje jednačine 2x+2 — 0). tj. T (— 1,0)

pa je M T = ( —1, —2). Dužina tangente je t = \MT\ = \/5.

Kako je projekcija tačke M na x-osu P ( 0,0), to je T P = (1,0), a dužina

subtangente St = |TP| = 1.

1.5.6 Monotonost i ekstremne vrednosti

Za funkciju f ( x ) ćemo reći da je monotono rastuća na intervalu [a, 6], ako

važi da je

Vx i , x2 e [a,6] , x2 > x i =? f ( x 2) > f ( x i),

tj. ako se, gledano sleva aadesno, vrednosti funkcije stalno povećavaju.Ako je

V x i,x 2 £ [a,b] , x2 > x i =*■ f ( x 2) < f ( x i),

tj. ako se, gledano sleva nadesno, vrednosti funkcije stahio smanjuju, za funkcijućerno reći da je monotono opadajuća.

Ako je funkcija y = f ( x ) diferencijabilna i monotono rastuća u svakoj tačkiposmaferanog intervala, onda za Ax > 0 je A y = f ( x + A x ) — / (x ) > 0, a za

A x < 0 je A y = f ( x + A x) — f ( x ) < 0. Vidimo da je izraz ^ uvek pozith'an,paje

f ( x ) = lim > 0, x € [a,6],zix~*-0 I \X

Dalde, ako je diferencijabilna funkcija f ( x ) monotono rastuća na nekom inter-valu, onda je f ' ( x ) > 0 na tom intervalu. Znak jednakosti može važiti samo za

pojedine tačke posmatranog intervala.

Primer 1.21 Funkcija f(x) = x3 je rastuća na celom skupu realnih brojeva, a f ( x ) = 3x2 > 0 za sve x 6 R osim za x = 0, gde je f ( 0) = 0.




Obrnuto, ako za diferencijabilnu funkciju f ( x ) na nekom intervalu [a, b 1važi

/'(x) > 0 (osim možda u pojedinim tačlcama tog intervala gde je f ' { x ) = 0),onda to znači da je izraz ^ uvek pozitivan, pa je funkcija f ( x ) rastuća.

Na sličan način se može posmatrati i monotono opadajuća funkcija.

Na osnovu ovih razmatranja dolazi se do sledećeg zaključka: Diferencijabilnafunkcija f { x ) je monotono rastuća (opadajuća) na nekom intervalu, ako i samoalc° je f ' ( x ) > 0 (/ '(x ) < 0) na tom intervalu, pri čemu f ' ( x ) = 0 može važitisamo u pojedinim tačkama intervala.

Za funkciju f ( x ) kažemo da u tački xq ima lokalni minim um ako dovoljnomaloj okolini tačke xq važi f ( x ) > f ( x o). To znači da u toj okolini ulevo odtačke xq funkcija opada, a udesno raste. Ako je funkcija f (x) diferencijabilna uokolini tačke xo, onda. to znači da je u toj okolini ulevo od tačke x0 prvi izvodfunkcije negativan, a udesno pozitivan, tj. u samoj tački x0 prvi izvod funkcije

menja znak. Ako u samoj tački xq postoji prvi izvod, onda je f ' ( x o) = 0.Slično. za funkciju /(x) kažemo da u tački xo ima lokalni maksimum

alco u dovoljno maloj okolini tačke xo važi /(x ) < /(xo)- To znači da u tojokolini ulevo od tačke x0 funkcija raste. a udesno opada. Ako je funkcija /(x )diferencijabilna u okolini tačke xo, onda to znači da je u toj okolini ulevo odtačke xo prvi izvod funkcije pozitivan, a udesno negativan. Ako u samoj tačkiXo postoji prvi izvod, onda je f { x 0) = 0.

Na ovaj način je pokazano sledeće: Pot-reban uslov da diferencijabilna funk-cija f ( x ) u nekoj tački xo ima ekstrem (lokalni minimiun ili maksimum) je da

u toj tačla važi f ( x 0) = 0.Međutim, uslov f ( x o) = 0 nije i dovoljan uslov za postojanje ekstrema u

tački xo, tj. ako je f (x o) = 0, to još uvek ne znači da u tački x 0 funkcija f ( x ) ima ekstrem. Dovoljan uslov za postojanje ekstrema u tački xo je da prvi izvod

u tački xo menja znak.

P rim er 1.22 Funkcija f(x) = x2 je diferencijabilna na celom skupu I I je r je



30 1 REA LNE FUNKCIJE REA LNE PRO ME NLJIVE

f ' ( x ) = 2x. Vidimo da je

f ' { x ) = 0 za x = 0, f ( x ) < 0 za x < 0 i f ' ( x ) > 0 za x > 0,

pa ova funkcija u tački x = 0 ima lokalni minimum.Međutim, za funkciju f{x) = |x| ne postoji izvod u tački x = 0 (videti Primer

1.19), ali je

«*>={1: * ? 2• pa posmatrana funkcija u tački 2 = 0 ima lokalni minimum jer ulevo od tačk-e x = 0 opada. a udesno raste.

U Primeru 1.21 smo pokazali da za funkciju f { x ) = x3 važi f ' { 0) = 0, ali funkcija nema ekstrem u tački x = 0 je r je ona rastuća na celom skupu R .

1.5.7 Taylorova formula

Posmatrajmo funkciju f { x ) koja je neprekidna na intervalu [a, 6], diferencijabilna u svakoj tački unutar posmatranog intervala i za koju je f (b) = f (a) . Kako neprelcidna funkcija na zatvorenom intervalu dostiže svoju najmanju inajvećii vrednost, to je ili f ( x ) = c na celom intervalu [o, 6], u kom slučaju

je f ' ( x ) = 0 za sve x £ [o,6], ili postoji lokalni minimum ili maksimum datefunkcije unutar posmatranog intervala. S obzirom da je f {x ) diferencijabilna

funkcija na intervalu (a,b ), u tački lokalnog minimuma ili maksimuma mora

prvi izvod biti jednak nuli.Ovim je dokazana Rolle ova teorema: Ako je funkcija f { x ) neprekidna

na zatvorenom intervalu [a, 6] i ima izvod u otvorenom intervalu (o, b) i ako je f (a ) = /(&), onda postoji bar jedna tacka £ 6 (a, b) takva da je f ' (£) = 0.

Posmatrajmo funkciju f ( x ) koja je n —1 puta diferencijabilna na intervalu[o,6] i koja u svakoj tački intervala {a,b) ima n-ti izvod. Neka je xo £ [tz, 6].Pokušajmo funkciju f ( x ) prikazati u obliku

f ( x ) = Pn- i (x ) + Rn(x),

gde je

Pn- i {x ) = a o+ o i(x—x o )+ 02(ar-xo)2H----- ban- i { x —xo)n~l , ao, ...on_i £ R

polinom stepena n — 1, a Rn(x) = M ( x —xo)n, M € R , pri čemu vrednostM zavisi od posmatranili tačaka x i xo. Kako želimo da posmatrana jednakostvaži za svako x € [a, 6], to ona mora biti taćna i za x = xq, što nam daje

f ( x o) = P „ - i (x 0) + Rn(x c) = Oo, tj. oo = f ( x o).

Diferen.ciran.jem posmatrane jednakosti dobijamo da je

/ ' ( * ) = Pn- i(x) + K( x) =



1.5 Izvođ funkcije i njegove primene 31

= ax 4- 2a2(x — x q ) H------ h (n - l ) a „ _ i (x - x0) n 2 + n M ( x - x0) n l .

I ova jednalcost mora biti tačna za x = x0, što daje ai = f ' ( x 0).Drugi izvod posmatrane jednakosti je

f " ( x ) = P Z - i ( * ) + K ( x ) =

= 202+ 603(1 — x0)-\ ----- h(n — l) (n — 2)an_ i (x —x0)n~3+n (n — l )M (x — x0)n~2.

Za x = x0 dobijamo / "(x0) = 2a2, tj. a2 = f - l2x°K Ponavljajući opisanpostupak n — 1 puta zaključujemo da je

f ^ ( xo) = k(k — 1) ■■•2 •1 • afc, tj. ak = Č ^ , k = 0, 1,. . ., n - 1.

Dobijeni polinom

P n - 1 ( * ) = / ( X 0 ) + ^ ( X - X 0) + ^ (X - X 0) 2 + - • • + (X - ^ o ) - 1,

koji se kraće može zapisati u obliku

se naziva Tayioro v po lia om funkcije f ( x ) u tački x0 stepena n - 1. IzrazRn(x) = M ( x — x0)n se zove ostatak.

Da bismo odredili M u izrazu za ostatak, posmatrajmo funkciju

F ( x ) = f ( x ) - P n- i ( x ) - Rn( x),

gde je Pn- i ( x ) Taylorov polinom funkcije f ( x ) . Tražili smo da jednakost f ( x ) =

P n - i ( x ) + R n (x ) bude zadovoljena za sve x e [a, 6], što znači da je F (x ) = 0 nacelom interra.Iu [a, 6]. Tada i svi njeni izvodi moraju biti identićki jednaki nulina celom intervalu [a, 6], Označimo izvod reda n — 1 sa if(x). Vidimo da je

V?(x) = F (n_1)(x) = / (" - « ( x ) - P t S ^ ) - R ^ H ^ ) tj.

<p(x) = / n -1 (x) - /^i - 1 (x0) - n\M(x - x0).

Posmatrajmo bilo koji podinterval [x0, x] C [a, 6]. Iz pretpostavki o funkciji f ( x ) sledi da je ip(x) neprekidna funkcija na posmatranom intervalu i da u svakoj

tačld intervala (x0,x ) ima prvi izvod. Kako je <p(x0) = 0 i <p(x) = 0, to suispunjeni svi uslovi iz Rolleove teoreme, pa mora postojati tačka £ e (xo, x) zakoju je (£) = 0. Ovo nam daje

</(£) = f ln)(Z ) - * \ M = 0, tj. M = Č - $ ± .

Dakle. ostatak kod posmatranog Taylorovog polinoma je

Rnfr ) = :£~S^i (a: -® o )n> £ fc(x 0,x).




Ista formula važi i za interval [x, Xo] s tim što je tada £ e (x, xo)-U specijalnom slučaju kada je xo = 0 dobijamo M ac lau rinov po linom

funkcije /(x)

/ (* ) = E 1^ * * + * » (* )■fe=0

Taylorov i Maclaurinov polinom služe za aproksimiranje funkcije / (x ) poli-

nomom (n —l)-og stepena u okolini tačke x = xo, odnosno x = 0,

/ ( * ) *fc=0

pri čemu se učinjena greška meri ostatkom /žn(x).

Primer 1.23 Za funkciju /(x) = ex je

V&SIN' / ^ ( a O ^ e 1 t7. /W (0) = e° = l,

tafco rfa se za Maclaurinov polinom ove funkcije dobija

P n - i(aO = E = 1 + 3 + f H ---- + ^ r i jr ■&=o

Afco, koristeći ovu formulu. posmatranu funkciju aproksimiramo polinomom dru-

gog stepena e ^ a l + i + j učinjena greška je |i?3(x)| = -|rx3, |£| < x.

Za x = 0.1 dobija se e a l « 1 + 0.1 + = 1.105, pri čemu je učinjena

greška |J?3(0.1)| = f ■O.l3 < ■0.001 < 0.0005.

Na sličan način kao u prethodnom primeru dolazi se do Maclaurinovik poli-noma i za neke druge elementarne funkcije:

sinx = TE ( - l ) fcIf ^ T , |i?2n(x)| = W | x | 2", ||t < x, Ifc=0 I

n—1COSX= E o( - l ) fe I , l *3» (* ) l = |£|<S,

K i + ^ ^ e V i ^ t . ! * » (* )! = d f c .

(2k)l > lu 2n W I — ( 2n )!

JT+eP

( i + * ) “ = 'E ( 2) ** - l ^ ( * ) l = l( S | N " | i + €la" " . I € l< * .

fc=l

n—1

k = 0

pri čemu je (“ ) = , Q e M.

Ako u Taylorovoj formuli stavimo da je n = 1, imaćemo

f (b ) - f (a ) = f ' (£) (b - a) , £ e (a, 6).

I



1.5 Izvod fimkcije i njegove primene 33

Ova osobina je iskazana Lagrangeovom teoremom o srednjoj vrednosti:

Ako je funkcija f ( x ) neprekidna u zatvorenom intervalu [a, 6] i ima izvod uotvorenom intervalu ( a , b ) , onda postoji bar jedna tačka f € (a , b ) takva da je

b — a

1.5.8 L ’Hosp italovo pravilo

Posmatrajmo dve funkcije f ( x ) i g ( x ) koje su neprekidne u nekoj okolini

tačke x q , imaju izvod za x ^ x 0 i za koje je f ( x 0 ) = g(xci ' ) = 0. Tada graničnavrednost f ( x )

lim•*» fl (* ) (

predstavlja neodređen izraz oblik Ako na funkcije f ( x ) i g ( x ) primenimo Taylorovu formulu u tački x 0 sa n = 1, dobićemo da je

l im M = lirn + = l im m )

*0 g ( x ) x - * o g ( x o ) + g ' ( & ) ( x - x 0 ) g ' ( { 2) ’

gde su £l. £2 € (xQ,x) ili Ci, £2 £ (x, a-'o). Kada x x0 onda i —►x0 i £2 -* x0,pa možemo pisati

l im 4 4 = l i m /,(3:)x0 g ( x ) x ^ x 0 g ' ( x )

Na ovaj način smo dokazali L ’Hosp italovo pravilo: Ako su funkcije f ( x )

i g ( x ) neprekidne u nekoj obolini tačke x 0 i imaju izvod za x ^ x 0 uz g ' ( x ) 0za x t* x 0 i ako je lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0, onda je

* X q X - ^ X 0

g ( x ) g ' ( x ) ’

pocl uslovom da poslednja granična vrednost postoji.Ako je lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0, tada ćemo, uvođenjem smene x = 7,

x—>±00 x— ioo ‘imati

t o U f i . = u „ 4 |1 = / ' « ) ( - » ; = llm limx - * ± x g ( x ) t—»0 ± g ( i ) t - 0 ± g ' ( I ) ( _ £ ) t - 0 ± g ' ( i ) * -.± a o g ' ( x )

Dakle, L ’Hospitalovo pravilo važi i kad nezavisno promenljiva teži beskonačno-sti, pod uslovom da navedene pretpostavke o funkcijama f ( x ) i g ( x ) važe zadovoljno velike pozitivne (ili negativne) vrednosti nezavisno promenljive x.

Ako umesto uslova lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 važi da jeX-*X0 X—*XQ

l im f ( x ) = l im g ( x ) — ± 0 0 ,® — + X q X —* X q

(



34 1 REALN E FUNKC IJE REA LNE PROM ENLJIVE

onda je lim -4-4 = lim ^ r - <P « čemu, sada, i brojilac i imenilac teže nuliz-xo *-*o ^L-

kad x - * x q , pa možemo primeniti L ’Hospitalovo pravilo. Dobićemo

lim Z 2 H £ ± l . r I to /W'im ■» -- —r~ — ;------- —- - — i l im “ j * l im j't/ \ •*-*=0 g{x) x-xo \X-*XQ g(x) J j (x)

f ( x )

9'(x)

Iz ove jednakosti nalazimo da je lim f ( x )

lim ,, ' , tj. vidimo da i u*zo g(x ) x-*xa g' (x ) ’

ovom slučaju važi L ’Hospitalovo pravilo.

L ’Hospitalovo pravilo se može primenjivati i više puta uzastopno uz proveru

navedenib. uslova u svakom lcoraku.

Primer 1.24 Da bismo izračunali lim , koji predstavlja neodređen izraz £—*+00 eoblika" H ” . moramo L ’Hospitalovo pravilo prim en itin puta (onoliko puta koliki

je stepen proraenljive x ). U svakom koraku stepen promenljive x će se sniziti za 1, ali ćemo i dalje, sve do poslednjeg koraka, imati izraz oblika ” f§ ".

x—*+oc = lim

x—*+oo

n(n —l)!rn= ... = lim —^= 0 .

x—!-+oc e x — f+oo ex

1.5.9 Prevojna tačkaPosmatrajmo funkciju f ( x ) koja je diferencijabilna na intervalu [a, b] i lcoja

ima drugi izvod u svalcoj tački intervala (a, b).

Ako se u svim tačkama intei-vala kriva y = f ( x ) nalazi iznad tangente postavl- jene u posmatranoj tački, onda kažemo da je funkcija f ( x ) konveksna nadole

na intervalu (a,b). Ako se kriva nalazi ispod tangente, funkcija je konveksna

nagore.

Jednačina tangente na krivu y = f ( x ) u proizvoljnoj tački x0 e (a, b) glasi

V t - f ( x o) = /'(*o)(a; - x0),




pri čemu su sa yr označene orđinate tačaka koje se nalaze na tangenti. Pri-menimo na datu funkciju Taylorovu formulu u tačlci xo sa n = 2:

f ( x ) = f { x 0) + f ( x 0) (x - x0) + Q p -(x - x0)2,

gde je £ e (*oi x) ili £ € (*,xo), pri čemu x G (a, b). Vidimo da je

f ( x ) - y r = - a:0)2,

pa je znak ove razlike jednak znaku drugog izvoda u tački £.Ovim je dokazano sledeće tvrđenje: Purikcija f ( x ) je konveksna nađole na

intervalu (a, b) ako i sanio ako je f ' ( x ) > 0 za sve 1 6 (a, b), a konveksna nagore,

ako i samo ako je f " ( x ) < 0 za sve x e (a,b ), pri čemu znalc jednakosti može TOŽiti samo u pojedinim tačkama intervala. Tačka u kojoj funkcija prelazi iz jednog oblika konveksnosti u drugi zove

se prevojn a tačka funkcije. Ako je tačka x0 prevojna tačka funkcije i akopostoji drugi izvod funkcije u ovoj tački, onda je / " (x0) = 0. Dakle, potrebanuslov da dva puta diferencijabilna funkcija ima prevoj u nekoj tački je da drugiizvod posmatrane funlccije u toj tački bude jednak nuli. Međutim ovaj uslovnije i dovoljan, tj. ako je f " ( x 0) = 0, to još uvek ne znači da funkcija / (x) u tački x = x0 ima prevoj. Dovoljan uslov za postojanje prevojne taćke je dadrugi izvod u posmatranoj tački menja znak.

Primer 1.25 Za funkciju f ( x ) = x :i je f " ( x ) = 6:c. odakle vidimo da je ona

konveksna nagore za x < 0. a konveksna nadole za x > 0. Tačka x = 0 je prevojna tačka date funkcije i važi f " ( 0) = 0.

Međutim, za funkciju f ( x ) = x4 je f " ( x ) = 12x2 pa je. i za nju f " ( 0) = 0..ali ovde x = 0 nije prevojna tačka jer je funkcija konveksna nadole na celom domenu I I.

Za f (x ) = |lnx| =

što pokazuje da, iako / " (1) ne postoji, drugi izvod funkcije u tački x = 1 menja

znak, pa tačka x = 1 jeste prevojna tačka za posmatranu funkciju.

1.5.10 Ispitivanje funkcija

Granične vrednosti i izvodi omogućuju detaljno ispitivanje funkcija i crtanjenjihovih grafika-. Prilikom ispitivanja funkcije potrebno je odrediti

1. domen funkcije,

2. ponašanje funkcije na krajevima intervala definisanosti, tj. vertilcalne,

horizontalne i kose asimptote,

3. nule funkcije,

4. ekstremne vrednosti i intervale monotonosti (analizom prvo

Ina-, x > 1 je f " ( x )

< x < 1X > .1



36 1 REALN E FUNKC IJE REALN E PRO ME NLJIVE'

5. prevojne tačke i intervale konveksnosti (analizom drugog izvoda).

Ako u domenu postoje tačke u kojima funkcija nije diferencijabilna, preporučlji-vo je da se u tim tačkan#i odrede levi i desni izvod (ako postoje), radi preciznijeg

crtanja grafika funkcije.Grafici nekih funkcija su simetrični u ođnosu na y- osu ili koordinatni početak,

ili se sastoje iz niza identičnih delova. U takvim slučajevima je moguće ispiti-vanje funkcije ograničiti samo na deo domena.

Simetričnost funkćije u odnošu na y-osu znači da za suprotne vrednosti neza-visno promenljive funkcija ima istu vrednost, tj. da je

Vx e D , f ( - x ) = f ( x ).

Ovu osobinu nazivamo parnost funkcije. Na primer, funkcija f ( x ) = coax jeparna jer je cos(—x) = cosx za svaki realan broj x.

Simetričnost funkcije u odnosu na koordinatni početak znači da za suprotnevrednosti nezavisno promenljive funkcija ima suprotne vrednosti, tj. da je

Vx 6 D , f ( - x ) = - f ( x ) .

Ovu osobinu nazivamo neparnost funkcije. Na primer, f ( x ) = sinx je

neparna funkcija jer je sin (-x) = — sinx za svaki realan broj x.Kod parnih i neparnih funkcija dovoljno je ispitati ponašanje funkcije nad

delom domena koji pripada skupu nenegativnih realnih brojeva.Ako se vrednosti funkcije periodično ponavljaju, tj. ako je

Vx € D , f. (x + w) = f ( x ) ,

gde jew ^ 0 neki fiksni realau broj, onda kažemo da je funkcija periodična. Najmanji broj u>. za koji važi prethodna jednakost se naziva osnovni period. U ovom slučaju je dovoljno ispitati ponašanje funkcije nad bilo kojim delomdomena dužine w. Na primer, funkcija f ( x ) = sin x je periodična sa osnovnimperiodom w = 2ir jer je sin(x + 2-ir) = sinx i oj = 2ir predstavlja najmanji brojkoji zadovoljava jednakost sin(x + u.’) = sinx za sve x € R.

Primer 1.26 Ispitajmo funkciju f(x) = e_ I (2 - x2) i nacrtajmo njen grafik.

1. D = R je r su eksponencijalna funkcija i polinom definisani Vx 6 R .

2. Funkcija nema vertik'alnih asimptota je r je definisana Vx € R.

v 2 — x2 —2x -2hm --------= hm ------ --- hm — = 0,

x—h-oo ex x —*+ cq ex *—f+oo ex

pa funkcija ima horizontalnu asimptotu y = 0 kad x —* +oo.

Um e- x (2 — x2) = — oo i X—♦—oo



T


k = lim = lim e x ( - - x \ = + 00,x —*—00 x x —*•—00 \ x J

pa funkcija ntma ni horizontalnu, ni kosu asimptotu kad x —>— 00.

3. Kako je eksponencijalna funkcija uvek pozitivna, iz f ( x ) = 0 sledi da je 2 —x2 = 0 pa su xi = — V 2 i x 2 = v/2 jedine nule date funkcije.

4- Prv i izvod date funkcije je

f ' ( x ) = - e ~ x(2 - x 2) + e~x(—2x) = e~x (x2 - 2 x - 2).

Nule pruog izvoda su reienja kvadratne jednačine x2 — 2x — 2 = 0, tj.x i = 1 — \/3 i *2 = 1 + \/3.Z a x S (—oo, 1 — -v/3) je f ' ( x ) > 0, pa funkcija raste, za x € (1 — i/3, 1 + t/S) je f ( x ) < 0. pa funkcija opada. a za x £ (1 + \/3, + 00) je f ( x ) > 0. pa funkcija raste.

Za x = 1 — -s/3 funkcija -ima maksimum / (I — v/3) = 2ev^ -1(\/3 — 1), a

:a 1 = 1 + V3 funkcija ima minimum f ( 1 + \/3) = —2e-v/ -1 (\/3 + 1).

5. Drugi izvod date funkcije je

f " ( x ) = - e ~ x(x2 - 2x - 2) + e~x(2x - 2) = e~x( - x 2 + 4r).

Nule drugog izvoda su rešenja kvadratne jednačine —x2+ i x = 0, tj. xi = 0i x 2 = 4 .Z a x 6 (—co,0) je f " ( x ) < 0, pa je funkcija konveksna nagore. za x 6 (0,4) je f " ( x ) > 0, paje funkcija konveksna nadole, a za x € (4, +oc) je f " ( x ) < 0, pa je funkcija konveksna nagore.Za x = 0 i x = 4 funkcija ima prevojne tačke, za koje je f ( 0) = 2 i /(4) = —14e-4 .



40 1 REALN E FUNKCIJE REA LNE PRO ME NLJIVE

Primer 1.28 Odrediti ostatak pri deljenju polinoma P ( x ) = x3 —1 sa x + 1.

R = P ( - 1) = ( - l )3 - 1 = - 2

Ako ostatak odredimo primenom Homerove šeme, odmah ćemo dobiti i koefici-

jente količnika S (x) = x2 —x + 1.

1.6.3 Nule i fafctorizacija polinoma

Nula (ili fcoren) polinoma Pn (x ) je (kompleksan) broj a'o za koji je

Pn(xo) = 0.Osnovni stav algebre glasi: Svaki polinom stepena n, n > 1, ima bar

jednu nulu (rednu ili kompleksnu).Na osnovu Bezoutovog stava sledi tvrđenje: Ako je xq nula polinoma Pn(x)

onda je Pn(x) deljiv sa x —x0. Naime, u ovom slučaju je R = Pn(cso) = 0.Dakle, ako je x = x0 nula polinoma Pn(x) onda je moguće Pn(x) prikazati

u obliku

P n( x) = ( x - 2r 0 ) • S(x ) .

Nalazeći sukcesivno nule za svaki dobijeni količnik i primenjujući prethodni

zapis u svakom koraku dolazimo do faktorizac ije polinoma nad skupom €

Pn(x) = (x - x0y° ■■■(x ~ Xk)tk , io + ---- i - i k = n .

Ako je i j = m ^ 1 onda broj xj predstavlja višestruku nulu pohnoma Pn(x) reda m. Pr i tome je

Pn (x ) = ( x - x j )ms ( x ) .

Diferenciranjem ove jednakosti dobijamo da je

P'n{x) = m(x - Z j )"1-1^ * ) + ( x - Xj )mS' (x ) = ( x - T j)”1- 1 !^ ),

gde je S\(x) = m S ( x ) + (x — x j ) 8 ' ( x ) polinom istog stepena kao i S(x ). Naovaj naćin je polcazano da ako broj x = Xj predstavlja nulu reda m za Pn(x) ,

onda on predstavlja nulu reda m — 1 za Pn(x) . Posledica ove činjenice je da zabroj x = Xj koji predstavlja nulu reda m mora važiti

P P ( x j ) = 0, r = 0, 1,.. .. m - 1 i Pim) (xj ) # 0.

Na osnovu faktorizacije pohnoma zaključujemo da svaJd polinom stepena nima tačno n nula (realnih ili kompleksnih) uraćunajući i njihovu višestrulcost.

Primer 1.29 Odrediti nule polinoma P(x ) = 2x3—4x2+2x i Q ( x ) = i 2— 2x+2.Za polinom P(x) = 2x3 —4x2 + 2x broj x\ = 0 predstavlja jednostruku, a

broj X 2 = 1 dvostruku nulu, s obzirom da je P ( x ) = 2x(x — l) 2.Polinom Q(x) ima dve kompleksne nule £1,2 = 1 ± i, pa faktorizacija ovog

polinoma nad C predstavlja Q (x) = (x — 1 — i ) ( x — 1 + i).



1.6 Polinomi i racionalne funkcije 41

Prethodni primer pokazuje da ako kompleksan broj zq predstavlja nulu re-ahiog polinoma Pn(x), onda i io predstavlja njegovu nulu, tj. kompleksne pule

se javljaju uvek u paru konjugovano kompleksnih vrednosti. Dokaz ove osobinepotiče iz činjenice da je P(zo) = P ( zq ) == P ( zq ).

Proizvod faktora ( x —zq ) ( x —£ q ) predstavlja prost kvadratni trinom. Naime;

(x — a —ib) (x —a + ib) = (x —a)2 — (ib)2 = x2 — 2ax + a2 + b2 = Ax2 + Bx + C,

pri čemu je A = 1, B = -2a, C = a2+b2 i D = B 2 —4AC = -462 < 0. Polazeći

od faktorizacije nad skupom C dolazimo do faktorizacije nad skupom I I kodkoje se polinom predstavlja u obliku proizvoda linearuih i prostih kvadratnih

faktora.Ako polinom Pn (x ) ima celobrojne koeficijente, onda njegove racionalne nule

x = | (also ih ima) možemo odrediti iz činjenice da p deli a„. a q deli oq. Naime,

množenjem jednakosti a0^- + ai^prr + •+ On-if + “ n = 0 sa qn-1 dobijamo

a0^- + axj>n_1 -I------ 1- a„gn-1 = 0. Očigledno je da su svi sabirci koji se dodajuprvom sabirku ceh brojevi. To znači da i prvi sabirak mora biti ceo broj. S

obzirom da su p i q uzajamno prosti brojevi zaključujemo da mora važiti q \ a0.

Na isti način, množenjem polazne jednakosti sa dobijamo da mora važiti

P I o,n.

1.6.4 Racionalne funkcije

Raeionalna funkcija je količnik dva pohnoma. Ukohko je stepen polinoma u

brojiocu manji od stepena polinoma u imeniocu, reč je o pravoj racionalnojfunkciji. Ako je stepen polinoma u brojiocu veći ih jednak stepenu polinoma uimeniocu reč je o nepravoj racionalnoj funkciji. Svaka neprava ra.cionalnafunkcija se može delenjem predstaviti u obliku zbira polinoma i prave racionalnefunkcije. Prava racionalna funkcija se, dalje, može predstaviti u obliku zbira

parcijalnih razlomaka.

Parcijalni razlomci odgovaraju prostim falctorima imenioca racionalnefunkcije i oni imaju oblik

A . Ax + B ,za p ' —4<? < 0,

(x —a)k (x2 + p x + q)k

gde su A, B, a. p i q realni brojevi, a k je prirodan broj koji uzima vrednosti od1 pa do vrednosti eksponenta posmatranog prostog faktora. To znači da svakom

faktoru imenioca racionalne funkcije odgovara onohko parcijalnih razlomaka lco-liki je njegov stepen.

ReaLni brojevi u brojiocu posmatranih parcijalnih razlomaka određuju sesvođenjem zbira parcijalnih razlomaka na zajednički imenilac i izjednačavanjem

koeficijenata uz odgovarajuće stepene promenljive x.



42 2 SISTEMILINEA RNIH JEDNAČINA IMATRJCE

2 Sistemi linearnih jednačina i matrice

2.1 Sistemi linearnih jednačina

2.1.1 Jednačina i njeno rešenje

Jeđnakost u kojoj figuriše jedna ili više nepoznatih veličina naziva se jed-

načina. Stepen jedn ač ine je određen najvišim stepenom nepoznatih u datoj

jednačini.

Primer 2.1 Izraz 3x2 — 9x + 6 = 0 predstavlja kvadratnu jednačinu (jednačinu drugog stepena) sa jednom nepoznatom. izraz x — xy2 = 1 predstavlja kubnu

jednačinu (jednačinu trećeg stepena) sa dve nepoznate, dok —3x + 2y + z = 4

predstavlja lineamu jednačinu (jednačinu pruog stepena) sa tri nepoznate.

Reš enje jedna čine sa n nepoznatih je uređena 72-torka brojeva koja zado-

voljava datu jednačinu: Ako elemente ove n-torke zamenimo redom umestonepoznatih, posmatrana jednačina će preći u brojnu jednakost.

Primer 2.2 Uprethodnom primeru. posmatrali smo jednačinu sa jednom nepoznatom

3x2 —9x + 6 = 0

pa je njeno rešenje broj. Postoje dva broja koja zadovoljavaju datu jednačinu, što znači da ona ima dva rešenja. Jedno rešenje je broj 1, a drugo broj 2, je r je

3 - i2 —9- l + 6 = 0 i 3-22 —9-2 + 6 = 0 .

U istom primeru posmatrali smo i jednačinu sa tri nepoznate

-3a- + 2y + z = 4

pa je njeno rešenje uređena trojka brojeva. Na primer. jedno rešenje date

jednačine je uređena trojka (—1,0,1), je r je —3 • (—1) + 2 ■0 + 1 = 4Posmatrana jednačina, ustvari, ima bezbroj rešenja je r svaka uređena trojka (a ,0,4 + 3a — 20), gde su a i 0 proizvoljni realni brojevi, zadovoljava datu

jednačinu:. —3a + 20 + 4 + 3a — 20 = 4 .

2.1.2 Sistem jednačina i njegovo rešenje

Skup od dve ili više jednačina sa dve ili više nepoznatih. naziva se sistem

jednač ina.Sistem linearnih jednačina sa n nepoznatih se sastoji od dve ili više

jednačina oblikadiXx + a^xi + ■••+ anXn — b ,

gde su Oj, i = 1,2,. . . , n i b realni brojevi. Brojevi o, (koji stoje uz nepoznate

x i ,X 2 , ■• ■,xn) nazivaju se koeficijenti sistema, a brojevi koji stoje sa desne

strane jednakosti (uz koje se ne nalazi ni jedna nepoznata) se uazivaju slob odničlanovi.



2.1 Sistezai linearnih jednačina 43

Primer 2.3X 2 +

y2 =

92x — 3y = 0

predstavlja sistem od jedne kvadratne i jedne lineame jednačine sa dve nepoznate, dok

2x — 3y + 5s = 23a; + 2y — 4z = 3

predstavlja sistem dve lineame jednačine sa tr i nepoznate.

Rešenje s istem a linearn ih jednačina sa n nepoznatih je svalca uieđena

ra-torka brojeva koja zadovoljava sve jednačine sistema.

Primer 2.4 Posmatrajmo sistem tri lineame jednačine sa dve nepoznate

x + 2y = 3x — y — 0 V

2x + y = 3 .

Njegovo jedino rešenjeje uređenpar ( 1, 1). Ako bi. naprimer, u trećoj jednačini slobodan član bio promenjen, tj. ako posmatramo sistem

X + 2y = 3X — V = 0

2x + V = 4

vidimo da njegovo rešenje ne postoji pošto jedini uređen par ( 1, 1) koji zadovoljava prue dve jednačine sistema, ne zadovoljava i treću jednačinu.

U praksi se najčešće javljaju sistemi linearnih jednačina kod kojih je brojnepoznatih jedna.k broju jednaćina. To su takozvani kvadra tn i sistemi.

Pr im er 2.5 Posmatrajmo kvadratni sistem tri lineame jednačine sa tri nepo-

znate x + 2y + 3z = 3

x - y = 02x + y + 3s = 3 •

Ovaj sistem ima bezbroj rešenja pošto svaka uređena trojka (a , a, 1 —a), gde je a proizvoljan realan broj, zadovoljava sve tri jednačine.

2.1.3 P riroda sitema Lmearnih jednačina

Na osnovu Primera 2.4 i 2.5 vidimo da su kod sistema linearnih jednačina

moguća sledeća tri slučaja:

1. Sistem tnože imati samo jedno rešenje, tj. postoji samo jedna uređe-na n-torka koja zadovoljava sve jednačine sistema (prvi sistem u Primeru2.4). Za takav sistem kažemo da je određen.



44 2 SISTEMIL INEARNIH JEDNAČINA IM A TR ICE

2. Sistem može imati bezbroj rešenja, tj. postoji bezbroj uređenih n-torkikoje zađovoljavaju sve jednačine sistema (sistem u Primeru 2.5). Za takav

sistem kažemo da je neodređen.

3. Moguće je da sistem nem a rešenja, tj. da ne postoji nijedna uređena

n-torka koja zadovoljava sve jednačine sistema (drugi sistem u Primeru2.4). Za takav sistem kažemo da je nemoguć, odnosno kontradiktoran(protivrečan).

U prva dva slučaja, tj. kada sistem ima rešenje (bez obzira da li postoji jedinstveno rešenje ili ih ima više), kažemo da je sistem saglasan.

O postupcima za određivanje rešenja sistema, kao i ispitivanja prirode s

tema, biće reči kasnije.

2.1.4 Hom ogen sistem jednačina

Sistem jednačina kod koga su svi slobodni članovi jednaki nuli naziva sehom ogen sistem.

Homogen sistem je uvek saglasan pošto uređena n-torka čiji su svi elementi jednaki nuli zadovoljava sve jednačine homogenog sistema. Ovo rešenje (kodkogasve nepoznate imaju vrednost nula) liazivamo triv ija ln o rešenje. Ako ho-mogen sistem ima i neko drugo rešenje osim trivijalnog, tj. rešenje kod koga nisusve nepoznate je'đnake nuli, onda kažemo da postoje i netrivijalna rešenja.

Prim er 2.6 Sistem

x + 2y + Zz = 0x — y = . 0

2x + y + 3^ = 0

pored trivijalnog resenja (0,0,0) ima i netrivijalno rešenje (a ,a, —a), gde je a proizvoljan realan broj različit od nule.

2.1.5 Ek vivalentn i sistemi jednačina

Jedan od najčešće korišćenih metoda za rešavanje sistema linearnih jednači-na je Gaussov algoritam. On se zasniva na konstruisanju ekvivalentnih sistema

jednačina.Ekvivalentni sistem i jednačina su oni sistemi čiji skupovi rešenja su isti,

tj. kod kojih svako rešenje jednog sistema ujedno predstavlja i rešenje drugog i

obrnuto.

Prim er 2.7 Sistemi

x + y = 0 . x — y = 22x — y = 3 1 x + 2y = — 1



2.1 Sistemi linestrnih jednačina 45

su ekvivalentni pošto uređen par (1, —1) predstavlja jedino rešenje oba sistema. Sistemi

x + y = 0 . x — y = 2 2x - y = 3 1 2x - 2y = 4

nisu ekvivalentni jer, iako jedino rešenje prvog sistema (1, —1) ujedno predstavlja

i rešenje drugog sistema, sva rešenja drugog sistema (a to su uređeni parovi (a,a — 2), a fc R j ne zadovoljavaju jednačine prvog sistema (osim za a = 1).

Ekvivalentni sistemi se dobijaju primenom ekv iva ien tn ih transformacija..Postoje tri vrste elcvivalentnih tiansformacija:

1. zamena mesta dveju jednačina u sistemu,

2. množenje neke jednaćine biojem različitim od nuie,

3. dodavanje jedne jednačine, piethodno pomnožene nekim brojem, nekojdrugoj jednačini u sistemu.

Očigledno je da će svako rešenje polaznog sistema predstavljati i lešenje sist.emakoji se dobije nakon piimene ekvivalentnih transformacija i obrnuto.

2.1.6 Gaussov adgoritam i diskusija prirode sistema

Gaussov algoritam se sastoji u tome da se prvo, zamenom mesta jednačina,na prvo mesto u sistemu dovede jednačina u kojoj je koeficijent uz prvu nepoz-natu (koju najčešće označavamo sa x ) različit od nule. Zatim se svim ostalim

jednačinama u sistemu dodaje ova prva jednačina pomnožena određemm brojem

lcoji. je talco' odabran da, nakon sabiianja, koeficijent uz pivu nepoznatu bude jednak nuli. Time se dobija ekvivalentan sistem u kome samo u pivo j jednačinifiguriše nepoznata x. U sledećem koiaku se opisaui postupak ponavlja u podsis-temu koji čine sve dobijene ekvivalentne jednačine, tj. jednačine u kojima višenema piomenljive x.

Piilikom piimene Gaussovog algoritma mogu se desiti dve stvaii:

1. Eliminacijom jedne nepoznate iz neke od jednačina dobija se da su i ko-eficijenti uz ostale nepoznate u ekvivalentnoj jednačini jednaki nuli, dokslobodan član u ovoj jednačini nije nula. Tada je algoritam zavišen pošto

je dobijena jednačina lcoja nema rešenja. U ovom slučaju posmatrani sis-tem je kontrad iktoran.

2. Eliminacijom jedne nepoznate iz neke od jednačina dobija se da su i koefi-cijenti uz ostale nepoznate, kao i slobodan član, u ekvivalentnoj jednačini

jednaki nuli, tj. dobije se jednačina- oblika 0 = 0. Ovakve jednačine se u

daljem radu jednostavno zajiemaruju (pošto su očigledno zadovoljene zasvako rešenje preostalih jednačina).



46 2 SISTEMIL INEAR NIH JEDNAČINA IM AT RIC E

Ako sistem nije kontradiktoran, na ovaj način, primenom Gaussovog algo-ritma, na kraju ćemo dobiti ekvivalentan sistem u kome se javlja jedan odsledeća dva slučaja:

a) U poslednjoj jednačini figuriše samo jedna nepoznata, a u svakoj pret-hodnoj po jedna nepoznata više. Sistem ovakvog oblika nazivamo trougaoni sistem i u njemu je broj jednačina jednak broju nepoznatih. Uovom slučaju, iz poslednje jednačine izračunavamo nepoznatu koja u njojfiguriše pa dobijenu vrednost uvrštavamo u prethodnu jednačinu, nalazimorešenje ove jednačine, uvrštavamo oba rešenja u prethodnu jednačinu itd.,sve dok ne dođemo do prve jednačine i nađemo i njeno rešenje. Uređena n-torka koja je na ovaj način dobijena predstavlja jedinstveno rešenje datogsistema, što znači da je sistem određen.

b) Sistem nema trougaoni oblik, već je broj jednačina manji od broja nepoz-natih, tako da u poslednjoj jednačini figuriše više nepoznatih. Jednuod njih izražavamo preko preostalih nepoznatih koje proizvoljno biramo.Proizvoljno izabrane nepoznate zovemo slobodne promenljive. Nepoz-natu koju smo izrazili prelco slobodnih promenljivih uvrštavamo u pret-hodnu jednačinu, a zatim iz nje izražavamo sledeću nepoznatu preko is-tih slobodnih promenljivih itd., sve dolc, na ovaj način, ne rešimo i prvu

jednačinu. Ovakav sistem je neodređen, a broj slobodnih promenljivihpredstavlja stepen neodređenosti sistema.

Primer 2.8 Posmatrajmo prvi sistem iz Primera 2-4

x + 2y = 3x — y = 0

2x + y = 3 .

Pomnožimo prvu jednačinu sa — 1 i dodajmo je drugoj jednačim, a zatim pomno- žimo prvu jednačinu sa —2 i dodajmo je trećoj jednačini. Dobijamo ekvivalentan sistem

x + 2y = 3

- 3y = -3- 3y = -3 .

U drugom koraku množimo drugu jednačinu sa -1 j dodajemo trećoj, pri čemu ona prelazi u identitet 0 = 0 koji zanemarujemo. Tako smo dobili sistem od dve

jednačine x + 2y = 3

- 3y = -3 .

Dobijeni sistem je trougaonog oblika. Iz poslednje jednačine izračunavamo da je y = 1 i uvrštavamo u prvu jednačinu, odakle dobijamo x = 1. Ovako dobi- jen uređen par (1,1) je jedino rešenje polaznog sistema, što znači da je sistern određen.



2.1 Sistemi liaeamih jednačina 47

Primer 2.9 Posmatrajmo drugi sistem iz Primera 2-4

X + 2y = 3X - y = 0

2x + V = 4

Posle prvog koraka, koji je isti kao u prethodnom primeru, dobijamo ekvivalentan sistem

x + 2y = 3

- 3y = -3

- 3y = -2

a u drugom koraku, oduzimanjem druge jednačine od treće, dobijamo netačnu

jednakost 0 = 1, što znači da je sistem kontradiktoran. ( Ovo se vidi već posle prvog koraka pošto ne postoji realan broj koji pomnožen sa —3 u isto vreme ima vrednost —3 i —2.)

Primer 2.10 Posmatrajmo sistem iz Primera 2.5

x + 2y + 3z = 3x — y = 0

2x + y + 3z = 3

Množenjem prve jednačine sa — 1 i dodavanjem drugoj, a zatim množenjem prve jednačine sa —2 i dodavanjem trećoj, dobijamo ekvivalentan sistem

x + 2y + 3s = 3

- Zy - 3z = -3

- 3y - 3z = -3 . ■

Vidimo da treću jednačinu možemo odbaciti jer bi množenjem druge jednači-

ne sa —1 i dodavanjem trećoj jednačini dobili identitet 0 = 0. Dakle, ostaje nam sistem od dve jednačine sa tri nepoznate. Ovaj sistem nema trougaoni oblik. On je jednostruko neodređen pošto jednu nepoznatu možemo proizvoljnc izabrati. Neka to bude nepoznata z. Iz druge jednačine izračunauamo y = 1 — z. Uvrštavanjem ove vrednosti u prvu jednačinu dobijamo

x + 2(1 —z) + 3z = 3, tj. x = 1 —z .

Dakle, rešenje datog sistema je svaka uređena trojka (1 — z, 1 —z, z), gde je z

bilo koji realan broj.

Primetimo još da sistem u kome je broj nepozaatih veći od broja jednačinane mora biti neodređen. On može biti i kontradiktoran.

Primer 2.11 Sistem

x + 2y + 3z = 3x + 2y + 3z = 0



48 2 SISTEM ILINEA RNIH JEDNAČINA IM A TR ICE

se sastoji od dve jednačine sa tr i nepoznate. Ovaj sistem je kontradiktoran pošto ne postoji ni jedna trojka brojeva (x ,y,z ) za koju izraz x + 2y + 3z istovre-

meno ima vrednost 3 i 0. Primenom Gaussovog algoritma, oduzimanjem prue jednačine od druge, dobili bismo ekvivalentan sistem

x + 2y + 3z = 3

0 = -3 .

Sistem u kome je broj nepoznatih veći od broja jednačina jedino nikada nemože biti određen.

Sto se tiče sistema kod kojih je broj jednačina veći ili jednak broju nepoz-natih, oni mogu biti i određeni i neođređeni i kontradiktorni.

2.2 Matrice i determinante

Da bi se ođređila priroda sistema linearnih jednačina, lcao i da bi se izraču-nalo njegovo rešenje (ukoliko postoji), dovoljno je poznavati koeficijente sistemai slobodne članove. Posmatranje ovih veličina zapisanih u obliku pravougaonešeme zahteva uvođenje dva nova pojma - pojma matrice i pojma determinante.

2.2.1 Definicija matrice i osnovni po jm ov i

M atric a je pravougaona šema brojeva. Ove brojeve nazivamo elem en timatrice, horizontalne redove u matrici zovemo vrste, a vertikalni redovi sezovu kolone. Broj vrsta i kolona određiije format matrice: Za matricu kojaima m vrsta i n kolona kažemo da je formata m x n. Ako element i-te vrstei j-te kolone označimo sa onda ćemo matricu A koju čine element.i cijj,i = 1,. . ., m, j = 1 ,. .. , n označiti sa

«n0,21

0, 12

<222

a i j

^2 j ti'ln

A = &il &i2

0,m2 0>mn

ili kraće A = { a^ } , i = 1 ,..., m, j = 1,. . . , n , odnosno A = {oy } mx„.

Matrica čiji svi elementi su jednaki nuli zove se nula-matrica i za nju sekoristi oznaka 0.

M atr ica kolona je matrica formata m x 1, m € JN, tj. matrica koja ima

samo jednu kolonu, dok matrica vrsta ima samo jednu vrstu, odnosno pred-stavlja matricu formata 1 x n, n 6 N,



2.2 Matrice i determinahte 49

Svakom sistemu linearnih jenačina odgovara matrica sistema koju činelcoeficijenti sistema. Ako se radi o sistemu m jednačina sa n nepoznatih, ma-

trica sistema je formata m x n. Slobodnim članovima sistema odgovara ma-trica kolona slobodnih članova, a nepoznatima odgovara matrica kolonanepoznatih.

Primer 2.12 Posmatrajmo sistem iz Primera 2.8

x + 2y = 3x — y = 0

2x + y = 3 .

Matrica sistema A je formata 3 x 2 , matrica kolona slobodnih članova B je formata 3 x 1, a matrica kolona nepoznatih je formata 2 x 1 i one glase

' 1 2 ' ‘ 3 ' r1 -1 , B = 0 , x =

X

2 1 3 . v .

Matricu lcod koje je broj vrsta jednak broju kolona zovemo kvadratna ma-trica. Ona se javlja kao matrica sistema kod koga je broj jeđnačina jednalcbroju nepoznatih, tj. kod kvadratnih sistema. Kod lcvadratne matrice. elementi

koji se nalaze na dijagonali koja spaja levi gomji ugao sa desniin donjim čineglavnu dijagonalu, dok sporednu dijagonalu čine elementi koji se nalazena đijagonali koja spaja desni gornji ugao matrice sa levim donjim uglom.

Pr im er 2.13 Posmatrajmo sistem iz Primera 2.6

x + 2 y + Sz = 0

x — y = 02x + y + 3z = 0 .

Matrica sistema. matrica kolona slobodnih članova i matrica kolona nepoznatih sv

' 1 2 3 " ' 0 ■ X 1 - 1 0 , o = 0 , x = V 2 1 3 0 z

Matrica sistema je kvadratna matrica formata 3x3. Glavnu dijagonalu čine elementi 1, —1, 3. a sporednu 3, —1,2. S obzirom daje posmatrani sistem homogen,

matrica kolona slobodnih članova je nula matrica.

Kvadratna matrica kod koje su svi elementi na glavnoj dijagonali jednaki 1,a svi elementi van glavne dijagonale jednaki 0, zove se jedin ična matrica i zanju se upotrebljava oznaka E ili I .



50 ■2 S ISTEMIL INEA RNM JEDNAČINA IM ATR ICE

2.2.2 Osnovne operacije sa matricama

Osnovne operacije sa matricama su: sabiranje matrica, množenje matrice re-

aJnim brojem i množenje matrica. Pre nego što definišemo ove operacije moramouvesti pojam jednakosti matrica. Dve matric e su jednake ako imaju isti for-mat i ako su im odgovarajući elementi jednaki.Sabiranje matrica

Mogu se sabirati samo matrice istog formata. Sabiranjem dve matrice for-mata m x n, dobija se matrića istog formata m x n čiji elementi su jednakizbiru odgovarajućih elemenata matrica koje se sabiraju. Dakle, ako imamo dvematrice A = {a^ } i B = {bij}, i = 1. ... , m, j = 1,... ,n. onda je A + B = C,

gde je

C = { Cij } ,Cij = a.ij + bij , i = 1, . .. , m, j = 1,. . . , n .

Množenje matrice realnim brojemMatrica se množi realnim brojem tako što se svaki element matrice pomnoži

datim brojem. Dakle, ako je A = { a^ } , i = 1, .. .,m , j = i a € R,onda je 0: 4 = C, gde je

C = {ci j } , d j = acnj, i = l , j = 1, . . ., n .

Množenjem matrice A brojem —1 dobija se suprotna matrica —.4.Oduzimanje matrica, tj. nalaženje matrice A —B predstavlja sabiranje ma-

trice A i matrice —B. Ako je A = {a, -} i B = {bij}, i = 1,. . . , m, j = 1 ,..., n, onda je A —B = C, gde je

C = {ci j } ,Cij = &ij bij . i = l , . . . , m , j = 1 ,..., n .

Lako je videti da je sabiranje matrica komutativno, asocijativno i distribu-tivno u odnosu na množenje realnim brojem.

Primer 2.14 Odredimo matricu A za koju je 2A —AI = B, gde je

Iz date jednakosti dobijamo 2A = B + 41 o A = \B + 21, gde je I jedinična matrica formata 2x2. Primenom definicija množenja realnim brojem

i sabiranja matrica nalazimo

1 _2 6 '+ 2

' 1 0 ' -1 3 ' '2 0 ' ' 1 3 '

2 4 0 0 1 2 0+

0 2 2 2

Množenje matricaProizvod dve matrice A ■B postoji samo ako je broj kolona prve matrice

(matrice .4) jednak broju vrsta druge matrice (matrice B ), tj. ako je broj



52 2 SISTEM ILINEA RNIH JEDNAČINA I MATRICE

Element C 21 dobijamo skalamim množenjem druge vrste matrice A i prve

kolone matrice B

C2 i = 2 - 4 — 3-1 + 0- 0 + 0- (-1 ) = 5 .

Element C22 dobijamo skalamim množenjem druge vrste matrice A i druge kolone matrice B

c22 = 2 •0 - 3 •2 + 0 •(-2 ) + 0 •0 = -6 .

Element C 23 dobijamo skalamim množenjem druge vrste matrice A i treće kolone mairice B

c23 = 2 • (- 1 ) —3 '0 + 0- 0 + 0- 3 = —2.

Dakle,- 1 2

0 0

4 0 - 1 ‘

1 2 0 ‘ 2 2 5

0 - 2 0 _ 5 - 6 - 2

- 1 0 3

S obzirom na način na koji je definisan proizvod dve matrice jasno je da

nmoženje matricanije komutativno, tj. da u opštem slucaju ne važi A-B = B-A. Može se pokazati da je množenje matrica asocijativno i distributivno prema

operaciji sabiranja matrica.

Prim er 2.16 Posmatrajmo matrice

A = - 1 2

0 1B i C =

i izračunajmo A - B , B ■A, A - C i C ■A.

A B = -1 2

0 1

dok je

B ■A =

Vidimo da je A ■B B ■A.

A C =

a

C ■A =

‘ 2 - 3 " - 2 + 2 3 + 0

- _ 1 0

0 + 10 + 0

- 1 2 ’ - 2 + 0 4 - 3 '

0 1 - 1 + 0 2 + 0

- 2 .1 1

- 1 2 J

r - 1 2 i .0 1 1

j

‘ 2 - 3 '

0 - 1-

' - 2 + 0

0 + 0

3 - 2 1

0 - 1 _ = h 2

L 0

1 ‘

- 1

" 2 - 3 1

0 - 1

‘ - 1 2 ’

0 1

I I

‘ - 2 + 0

0 + 0

4 - 3 '

0 - 1

1 1

r

-

t

1

0

r o

1

1

1

Vidimo da su matrice A i C komutativne, tj. da je A ■C = C ■A.



2.2 Matrice i đetermmaute 53

Polazeći od definicije jedinične matrice lako se može videti da za bilo kojumatricu A važi

A ■I = I ■A = A,

gde je I jedinična matrica odgovarajućeg formata.Stepenovanje matrica

Pomoću operacije množenja matrica može se definisati i stepenovanje matriceprirodnim brojem na isti način kao kod stepenovanja realnih brojeva:

A° = I, A X= A, A 2 = A - A, A n = An~x ■A, n = 2,3,... .

S obzirom na način na koji se množe dve matrice, jasno je da se mogu stepenovati

samo kvadratne matrice i da je rezultat stepenovanja ponovo kvadratna matrica

istog formata kao i polazna matrica A.

Primer 2.17 Odredimo A5 za matricu A =

Prvo ćemo odrediti A2 = A ■A =

-1 20 2

. 0 4 Jobzirom da je množenje matrica asocijativno mozemo odmah izračunati

' -1 2■ I - 1 2 '0 2 L 0 2

A* = A 2 ■A 2 = 1 2 ' ' 1 2

0 4 0 4 _

1011 6 j •

‘ 1 1 0 ' ' - 1 2 ' - 1 2 2 '

0 1 60 2 0 3 2

Konačno A5 = A4 ■A ■

2.2.3 De term inan te —de flnicija i izračunavanje

Determ inanta je vrednost koja se, na određen način, pridružuje kvadrat-noj matrici ili, opštije, bilo kojoj kvadratnoj šemi brojeva. Determinantu kojaodgovara matrici A obeležavaćemo sa |A|.

Determinanta reda 1 sastoji se od jednog jeainog realnog broja i njenavrednost je jednaka tom broju, tj.

|a| = a , a 6 H.

Determinanta reda 2 (koja odgovara kvadra.tnoj matrici formata 2 x 2) jeodređena kvadratnom šemom koju čine četiri elementa, zapisujemo je u obliku

a b c d

a, b, c, d 6 R

i njena vrednost se izračunava tako što se od proizvoda elemenata na glavnojđijagonali oduzme proizvod elemenata na sporednoj dijagonali. Dakle,

a b c d

= ad — bc.



54 2 SISTEMILINEARNIH JEDNAČINA IMA TR ICE

Primer 2.18 Determinanta koja odgovara matrici A = J/e

|A| =1 - 2

2 3= 1 •3 - 2 ■(-2 ) = 7.

Determ inanta reda 3 (koja odgovara matrici formata 3 x 3 ) je'određenakvadratnom šeraom koju čini devet elemenata i zapisujemo je u obliku

a\ 6i cx

0/2 62 C 203 63 C3

Ako izostavimo vrstu i kolonu u kojoj se nalazi jedan element determinante(odnosno kvadratne matrice), preostali elementi će određivati determinantunižeg reda koju nazivamo minor posmatranog elementa. Ako se ovaj minorpomnoži sa ( —l ) l+-' , gde je i redni broj vrste, a j redni broj kolone posmatra-nog eiementa, dobijamo kofaktor posmatranog elementa. Na primer, minor

elementa C2 je

61C2 =a\

W2 — , — U.IV3 —i/iu.3,«3 »3

a kako se posmatrani element nalazi u drugoj vrsti i trećoj koloni, to je njegovkofaktor

= CI1&3 — 6 iCl3,

kofaktor

Č2 = ( -1 )2+3C2 = ( - l )5ai 61

03 &3= -{a ifo - bia^).

Izračunavanje vrednosti determinante reda 3 se može svesti na nalaženje

vrednosti određenili determinajiti reda 2 razvijanjem determinante po nekoj od

vrsta ili kolona.Razvoj determinante po elementima neke vrste se vrši tako što se

svaki elemenat posmatrane vrste pomnoži odgovarajućim kofalctorom i dobijenevrednosti saberu. Može se pokazati da razvoj po bilo kojoj vrsti iii koloni uvek

daje isti rezultat koji, ustvari, predstavlja vrednost determinante.

Za determinantu reda 3 razvoj po elementima prve vrste (što se najčešćekoristi) je

cii b\ cL

0,1 62 C2

<13 63 C3

= ai62 C2bz c3

-61a2 c2a3 c3

+ Cia2 62a3 63

= a i ( bo c3 — c263) — 6 i ( a 2c3 — c2a3 ) + c i ( a 2 &3 — 62a3 ) =

= aib2C3 + fcic2a,3+ cia2 63 — Ci62fl3 — ajCo 63 — bia^c^.



2.2 Matrice i determinante 55

Razvoj po elementima druge kolone je

a 1 &i Cl

a2 &2 C2 = -& la 2 C2

+ &2a i Cl

-& 3a i Cl

a3 &3 C3o-z C3 03 c3 a2 c2

= —&l(02C3 — C2&3) + &2(<H C3 — ClClz) — 63(01^2 —C1O2) =

= CI1&2C3 + &iC2<X3 + CiCt-2&3 — Ci&2<l3 ~ CI1C2&3 — &ift2C3.

Razvijajući posmatranu determinantu po preostalim vTstama i kolonama

možemo se uveriti da je rezultat uvek isti i on predstavlja vrednost determinante.

Formulu za izračunavanje vrednosti determinante reda 3 nazivamo Sarusovopravilo i možemo ga formulisati na sledeći način: Ako iza posmatrane deter-minante dopišemo redom prve dve kolone, vrednost determinante ćemo dobititako što ćemo pomnožiti sve elemente na glavnoj đijagonali i pomoćnim glavnimdijagonalama i ove proizvode sabrati, a zatim pomnožiti sve elemente na spored-

noj dijagonali i pomoćnim sporednim dijagonalama i sve ove proizvode oduzetiod prethodnog zbira. Dakle,

ai &i cia2 &2 c2

a 3 &3 C3

ai &i

a 2 62 = ai&2C3 + &1C2123 + c ia 2 &3 — Ci&2a 3 — aiC2&3 — &ia 2cs.

a3 &3

Primer 2.19 Izmčunajmo vrednost determinante koja odgovara matrici

A = 21 - 1

9 23 3

razvojem po elementima neke vrste ili kolone i primenom Samsovog pravila.Najbrze ćemo doći do rezultata ako determinantu razvijemo po elementima

prve kolone ili druge vrste fjer je u njima jedan elemenat 0 pa za njega nije potrebno računati vrednost kofaktoraj. Ako se odlučimo za razvoj po elementima prve kolone, imaćemo

|A| =

1

0

21

9

-12 = 1 -

9 23 3

- 0 -21 -1

3 3+ ( - 2) ■

21 -1

9 2-2 3 3

= 1 • (27 - 6) - 0 - 2 • (42 + 9) = 21 - 2 • 51 =

Primena Sarusovog pravila nam daje

21

-81

|A| =

1

0- 2

21

9

3

1

0-2

= 1 • 9 •3 + 21 • 2 - ( - 2 ) + (- 1 ) • 0 • 3 - ( - 1 ) • 9 • ( -2 ) - 1 •2-3 - 21 - 0- 3 =

= 27 - 84 + 0 - 18 - 6 - 0 = -81.



56 2 SISTEMILINEARNIH JEDNAČINA IM AT RIC E

Kod determinanti višeg reda ne važi Sarusovo pravilo. Njihovu vrednost

izračunavamo razvojem, tj. svođenjem na determinante nižeg reda.

Pr im er 2.20 Odredimo vrednost determinante koja odgovara matrici

2 0 —1 3 5-4 2 0 5 0

A = 0 0 1 0 - 75 0 0 0 11 0 2 0 - 1

Razvojem po elementima druge kolone (u njoj ima najviše nula) imamo da je

|A| = 2.

2 - 1 30 1 05 0 01 2 0

Dalje, dobijenu determinantu reda 4 (kofaktor elementa 2 iz druge kolone po-

lazne determinante) razvijamo po elementima treće kolone što daje

|-4| = 2 •3 ■

0 1

5 0

1 2

Na dobijenu determinantu reda 3 možemo primeniti Sarusovo pravilo pa je

|A| - 6 • (0 + 1 - 70 - 0 - 0 + 5) = 6 ■(-6 4 ) = -384 .

2.2.4 Osobine determ inanti

Osobine determinanti ćemo dokazati na determinantama reda 2. Kako se

izračunavanje đeterminanti višeg reda, razvojem po nekoj od vrsta- ili kolona,na kraju svođi na izračunavanje determinanti reda 2, to se može pokazati da

iste osobine važe i za determinante bilo kog reda.Pri dokazivanju posmatraćemo proizvoljnu determinantu reda 2

D =a b

c d = ad —bc.

Za determinante važe sledeće osobine:

1. Determinanta ne menja vrednost ako vrste i kolone zamene ulogu.

a c

b d = ad —cb = D.




2. Ako dve suseđne vrste zamene mesta, determinanta menja znak.

= cb —da = —(ad —bc) = —D.c a a b

3. Determ.in.anta se množi brojem tako što se svi elementi jedne vrste po-množe tim hrojem.

\a Xb c d

= Aad —Xbc = \(ad — bc ) = \D = Aa b c d

4. Determinanta ne menja vrednost ako se elementima jedne vrste dodajuodgovarajući elementi neke druge vrste prethodno pomnoženi nekim brojem.

ci + Ac b -{- Ad d

= (a + Ac)cl —(b + Ađ)c =

= ad + Acd — bd —\cd = ad —bc = D = a b c d

5. Ako su svi elementi jedne vrste jednaki nuli, vrednost determinante je

nula. 0 0

c d = 0- d — 0 •c = 0.

6. Alco su elementi jedne vrste proporcionalni (ili jednalci) odgovarajućimelementima neke druge vrste, vrednost determinante je jednaka nuli.

a b \a \b

= a\b —b\a — 0.

U slučaju jednakosti vrsta uzima se A = 1.

7. Ako elemente jedne vrste pomnožimo kofaktorima odgovarajućih eleme-

nata neke druge vrste i dobijene proizvode saberemo dobićemo vrednost 0.

Na primer, kad kod posmatrane determinante reda 2 elemente prve vrstepomnožimo kofaktorima odgovarajućih elemenata druge vrste, vidimo da

je njihov zbir

a ■b + 6 • (— a) = ab —ab = 0 .

Na osnovu osobine 1. jasno je da sve osobine determinanti koje sino naveli za

vrste automatski važe i za kolone.Na osnovu osobine 2. je jasno da u dokazima nije bitno na koju vrstu se

odnose navedene osobine.Navedene osobine se često koriste i pri izračunavanju vrednosti determinanti.



58 2 SISTEMILINEA RNIH JEDNAČINA IM AT RICE

Primer 2.21 Izračunajmo vrednost determinante iz Primera 2.19

D =1 21 - 1 0 9 2

-2 3 3

koristeći osobine determinanti, tako da je pri razvoju potrebno izračunati samo jednu detei'minantu reda 2. Prvo ćemo, koristeći osobinu 3., izvući zajednički faktor 3 iz druge kolone. Dobijamo da je

D = 3- 1 7 - 1

0 3 2- 2 1 3

Ako, zatim. koristeći osobinu 4- trećoj vrsti dodanio pruu vrstu pomnozcnu sa

2, imaćemo 1 7 - 1

D = 3- 0 3 2

0 15 1

Razvojem po elementima prue kolone. dobijamo da je

D = Z -1 - 3 2

15 1= 3 • (3 - 30) = -81.

2.2.5 Inverzna matrica

Inverzna mairica za matricu A, u oznaci A ” 1, je matrica za koju je

>1 •.4- 1 = A-1 ■A = I .

S obzirom na način na koji se vrši množenje matrica jasno je da inverzna matrica

može postojati samo za lcvadratne matrice. Uslov pod kojim inverzna matricapostoji i način na koji se inverzna matrica nalazi izvešćemo za matrice formata3 x 3 . No, pre toga moramo uvesti još neke nove pojmove.

Ako kod neke matrice A vrste i kolone zamene ulogu, tj. ako posmatramomatricu kod koje su vrste redom jednake kolonama matrice A. onda tu matricunazivamo transponovana matrica matrice A i označavamo je sa AT . Sam

postupak zamene vrsta kolonama polazne matrice zovemo transponovanje.Ako elemente neke matrice zamenimo njihovim kofaktorima, a zatim dobi-

jenu matricu transponujemo, dobijamo adjungovanu matr icu matrice A, koju

označavamo sa A*.

Primer 2.22 Odredimo A* za matricu iz Primera 2.19

A =

21 -1

9 23 3




Kofaktori elemenata matrice A (gledano po vrstama) su redom

C u = 9 23 3

= 2 7 -6 = 21,

Ćl2 = —

Č 2 1 = -

Č?23 =

Č 3 2 = —

0 2-2 3

21 - 1

3 3

1 21

-2 3

1 -1

0 2

— —(0 + 4) — —4. C13

= -(6 3 + 3) = -66, Č22 =

= - (3 + 42) = -45, C31 =

= -(2 + 0) = - 2, C33 =

0 9-2 3

-1 1-2 3

21 - 1

9 2

1 210 9

= 0 + 18 = 18:

3 - 2 = 1,

= 42 + 9 = 51,

= 9 - 0 = 9.

Kad svaki element polazne matrice zamenirno njegovim kofaktorom dobijamo

( A * f =

Transponovanjem ove matrice dobijamo adjungovanu matricu matrice A

21 -4

-66 1 51 -2

18-45

A* =

21-4

18

-66 511 - 2

-45 9

Posmatrajmo proizvoljnu matricu A formata 3 x 3 i njenu adjungovanu ma-tricu A*

’ cn Cl2 Cl3 ' ć u Ć21 Ć31 ‘

A = C21 C22 C23 A* = Ć12 Ć22 Ć32

. C31 C32 C33 . Ć13 Ć23 Ć33 .

Ako ove dve matrice pomuožimo dobićemo

" Cu Cl2 Cl3 ć n Ć21 Ć31 ‘ A - A* = C21 C22 C23 ć l 2 Ć22 Ć32

. C31 C32 C33 . Ć13 Ć23 Ć33 .

C l l č l l + C12 1 2 + C13Ć13 C11C21 + C12C22 + C13Ć23 C11C31 + C12C32 + C13C33

C2lćn + C22C12 + C23C13 C21Ć21 + C22C22 + C23C23 C2lC 31 + C22Ć32 + C23C33

C31Č11 + C32Ć12 + C33Č13 C31Ć21 + C32Č22 + C33Č23 C31Č31 + C32Č32 + C33Ć33Kako je, prema osobini 7. (videti Osobine determinanti)

C11C21 + C12C22 + C13C23 = 0 , C11C31 + C12C32 + C13C33 = 0 .



60 2 SISTEMILINEARNIH JEDNAČINA IM AT RIC E

C21C11 + 022Č12 + C23C13 = 0 , C21C31 + C22C32+ C

C31C11 + C32C12 + C33C13 = 0 , C31C21 + C32C22+ C

a kao razvoj determmante matrice A po elementima prve, druge, odnosno treće

vrstec n č i i + C12C12 + C13Č13 = |A| ,

C21Č21 + C22C22 + C23C23 = |A| ,

C31Č31 + C32C32 + c33Č33 = |j4| ,

to je

r \ a \ 0 0 ' 1 0 0 ‘ I I

0 \A\ 0 = |AJ- 0 1 00 0 1 4 . 0 0 1

Na isti način se dobija da je i A* ■A = \A\ ■I. Ako je | j 4| 0 prethodne jednakosti daju

što, s obzirom na definiciju inverzne matrice (.4 1 •A = A ■A 1 = I ) znači da

se inverzna matrica matrice -4 izračunava na sledeći način

Matrica A za koju postoji inverzna matrica naziva se regularna matrica. a

uslov za postojan je inverzne matrice je JA| 7 0.

Pr im er 2.23 Odredimo inverznu matricu za matricu iz Primera 2.19

1 21 - 10 9 2

- 2 3 3

U Primeru 2.19 smo izraiunali |A| = —81, a u Primeru 2.22 smo odredili

21 -6 6 51- 4 1 - 2

18 -4 5 9

Prema tome.



2.3 Rešavanje sistema pomoću determinanti i matričnog računa 61

2.3 Rešavanje sistema pomoću determinanti i matričnog računa

2.3.1 Cramerovo pravilo

Kvađratne sisteme možemo rešavati koristeći determinante primenom Cra-merovih formtila.

Posmatrajmo sistcm n iincarnih jcdnačina sa n ncpoznatih. Matrici sis-tema odgovara determinanta reda n koju nazivamo determinan ta sistema ioznačavamo sa D. Svakoj nepoznatoj može se, talcođe, dodeliti po jedna de-terminanta koja se, polazeći od determinante sistema, dobija na sledeći način:Kolona koeficijenata koji u sistemu stoje uz posmatranu nepoznatu zameni sekolonom slobodnih članova.

Kod sistema tri linearne jednačine sa tri nepoznate

a i z + biy + c\z =a2 X + &2j/ + c2z =a3x + bAy + czz =

đeterminanta sistema i pomoćne determinante su

di d2 d-i

D = ai b\

cl 2 b2

a-3 &3

Ci

C2

C3

dx b i c 1 f l l d\ Cl a\ h diD x = d-2 6 2 C2 , Dy = 0 2 d2 C-2 , D z = 0 .2 do

d3 6 3 C 3 « 3 d3 C 3 az ^3 dz

Neka ureaena trojlca brojeva (a:, y, z) predstavlja rešenje sistema tri lineame jednačine sa tri nepoznate. Posmatrajmo determinantu sistema i pomnožimo jesa x tako što ćemo sve elemente prve kolone pomnožiti sa x. Dakle,

x ■D =

&\X b\ C\

a2x 62 C2a3x 63 c3

Dodajmo. sađa, prvoj koloni drugu kolonu, prethodno pomnoženu sa y i trećukolonu, prethodno pomnoženu sa z. Na osnovu osobine 4. (videti Osobine deter-minanti) posmatrana determinanta ne menja vrednost pri ovoj transformaciji,

pa jea\X + b\y + Cjz bi Ci d\ b\ Cl

x ■D = a2x + 62J/+ c2z 62 C2 = d2 62 C2a 3X + b3y + C 3 Z &3 C3 d3 63 C3

Dobili smo da je x ■D = D x. Na isti način se dolazi i do jednakosti y ■D — D y i z ■D = D z. Ako postoji jedinstveno rešenje sistema, onda postoji samo jedna



62 2 SISTEMILINEARNIH JEDNAČINA IMA TR ICE

vrednost nepoznatih x. y i z koja zadovoljava prethodne jednakosti, pa je

D X Dy . D z X = -D ' V=- D 1 2 =

Prethodne jednaJcosti pomoću kojih se izračunavaju nepoznate x, y i z nazi-vaju se Cram erove formule. Jasno je da pri tom mora biti D / 0, tj. akosist.em ima jedinstveno rešenje onda je D ^ 0.

Ako je D £ 0 i ako bi postojala dva rešenja (.t1,{/i,zi) i (12,1/2,22), onda bina osnovu prethodnog razmatranja važilo

xi ■D = Dx i X2 •D = D x

i analogno za ostale nepoznate. Oduzimanjem ovih jednakosti bismo dobili

(2'l — X-2) ■D = 0 => X\ —X2 — 0,

jer je D 7 0. Dakle, moralo bi važiti x\ = X 2 i analogno za ostale nepoznate, štoznači da se posmatrana rešenja poklapaju, tj. da postoji samo jedno rešenje.

Ovim je pokazano da je kvadratni sistem linearnih jednačina određen alco isamo ako je determinanta sistema različita od nule.

Cramerovo pravilo se može primeniti na sve kvadratne sisteme od n linearnih jednaćina sa n nepoznatih, n 6 N.

Primer 2.24 Primenom Cramtrovih formula rešiti sistem

x + 21y — 2 = 09y + 2z = 0

—2x + 3y + 3z = 81 .

U Primtru 2.19 smo izračunali determinantu sistema

D =1 210 9

-2 3

Determinante koje odgovaraju nepoznatima su

0 21 -121 -1

= 0 9 2 = 81- 0 981 3 3

&

1 0 -1

A , = 0 0 2 = -81-

- 2 81 3

1 21 0

D ,= 0

90

= 81- _2 3 81

1 -10 2

1 21

0 9

-81

: 81 • (42 + 9) = 81 • 51

= -81 • (2 + 0) = -81 •2 ,

= 81 - (9 -0 ) = 81-9,



2.3 Rešavanje sistema pom oć u determinanti i matričnog računa 63

pa je

D x 81-51 D y -81-2 „ D z 81-9* - i r - — — 61' * = d ^ - ^ š t - 2' ‘ - - D - r s r

- - 9 .

Ako je determinanta sistema jednaJsa nuli, potrebna su naknadna ispitivanja(pomoću Gaussovog algoritma), koja će nam pokazati da li je sistem neodređenili kontradiktoran. U ovom slučaju prirodu rešenja sistema ne možemo odreditina osnovu determinanti, što pokazuju sledeći primeri.

Primer 2.25 Sistem x + y + z = 1

x + y + z = 1x + y + z = 1

je očigledno dvostruko neodređen, a na osnovu osobine 6. (videti Osobine determinanti) je

1 1 :D = D x = D v = D z = 0.

Pr im er 2.26 Sistem x + y + z = 1x + y + z = 2x + y + z = 3

je očigledno kontradiktoran iako je det.erminanta sistema ista kao u prethodnom primeru, tj. D = 0. a i determinante koje odgovaraju svakoj nepoznatoj su na osnovu osobine 6. (videti Osobine determinanti) jednake nidi, npr.

D x =1 1 12 1 1

3 1 1= 0 .

2.3.2 Određivan je prirode rešenja hom ogenog sistema jednačina

Priroda rešenja homogenog sistema linearnih jednačina se može odrediti naosnovu determinante sistema. Homogen sistem je uvek saglasan pa su moguća

samo dva slučaja:

1. Ako je D ^ 0 sistem je određen, tj. ima samo jedno rešenje. Kako svakihomogen sistem ima trivijalno rešenje, to znači da ako je D ^ 0 homogensistem ima. samo trivijalno rešenje.

2. Ako je D = 0, kako homogen sistem ne može biti kontradiktoran, onda jeon neodređen, tj. ima bezbroj rešenja. To znači da ako je D — 0 homogensistem ima i netrivijalna rešenja.



64 2 S ISTEMILINEARNIH JEDNAČINA IM A TR ICE

Pr im er 2.27 Kod. sistema iz Primera 2.6

x + 2y + 3z = 0x — y = 0

2x + y + 3z = 0

determinanta sistema je D = — —3 + 0 + 3 + 6 —0 — 6 — 0 tako 1 2 31 - 1 02 1 3

da posmatrani sistem ima i netrivijalna rešenja. (a, a, —ct), a S R, a 7 0. koja

se mogu naći jedino primenom Gaussovog algoritma.

2.3.3 M atričn e jednačine

Prinienu matričnog raćuna na rešavanje sistema lineainih jednačina prika-

zaćemo na sistemu tri linearne jednačine sa tri nepoznate

a\x + biy + ciz = di

a? x + b-},y + C2- = d% a3x + b3y + c3z = d3

uz napomenu da se na. isti način može rešavati i bilo koji drugi kvadratni sistem.

Viđeli smo da posma.tranom sistemu linearnih jednačina mogu da se pridruže

matrica sistema, matrica kolona nepoznatih i matrica kolona slobodnih članovai

bi Ci ' X ' d! ‘

A = a2 b2 C2 , x = y i B = d2

“ 3 h C3 s d3

Ako pomnožimo matricu sistema i matricu lcolonu nepoznatili, imaćemo

' oi bx Ci X a\x + bxy + c\Z A •X = Q>2 C2 y = “l"

az &3 z a%x + fe3y + c&z

Ako postoji rešenje posmatranog sistema, onda možemo pisati da je

A - X = B .

Dakle, posmatrani sistem je elcvivalentan dobijenoj matričnoj jednačini, tako daumesto da direktno rešavamo sistem linearnih jednačina, mi mošemo rešavati

dobijenu matričnu jednačinu. Rešenje matrične jednačine dobijamo množenjeminverznom matricom A - 1 . S obzirom da množenje matrica nije komutativno,

moramo naglasiti da se množenje matrične jednačine vrši s leve strane, tj. pos-matramo jednakost

A '1 ■A - X = A '1 ■B .



2.3 Rešavanje sistema pomoću determinanti i nmtričnog računa 65

Naravno, ovaj postupak ima smisla samo ukoliko je matrica A regularna, tj.pod uslovom |/1| ^ 0, a kako je |A| ustvari determinanta posmatranog sistema

linearnib jednačina, uslov |j4| 7 0 je ispunjen samo u slučaju kada je sistemodređen, tj. kad ima jedinstveno rešenje.S obzirom da je A _1 ■A = I i l ■X = X , dobijamo da je

X = A _1 •B

što izjednačavanjem odgovarajućih. elemenata daje rešenje polaznog sistema.

Pr im er 2.28 Primenom matričnog računa rešiti sistem iz Primera 2.24

x + 21y — z = 0

Qy + 2z = 0-2 x + Sy + 3z = 81 .

U Primeru 2.23 smo za matricu sistema

A =

1 21 - 1

0 9 2-2 3 3

izračunali inverznu matricu

A * 1 ■'81

21 -6 6 - 4 1

18 -45

51 _2

9

pa rešenje posmatranog sistema dobijamo iz

X = A~B = - Š I

21 -66 -51 ' 0 '-4 1 -2 0

18 -45 9 81

Množenjem matrica sa desne strane jednakosti nalazimo da je

X ~ 81

51-81 ' ' -51 '

-2-81 = 2

9-81 -9

Dakle, x = —51, y = 2, z = —9, tj. rešenje posmatranog sistema je uređena trojka (x,y, z) = ( —51,2. —9) .



66 3 VE KTO RS KIRA ČU NIAN ALIT IČKA GEOMETRIJA

3 Vektorski račun i analitička geometrija

3.1 Vektori u prostoruKoordinatrii sistem u prostoru čine tri uzajamno normalne ose koje se seku

u jednoj tački koju nazivamo koordinatni početak i obeležavamo sa O. Hor-izontalnu ravan određuju i-osa i y- osa, a z-osa je vertikalna i usmerena nagore. TJsvojićemo orijentaciju koja se dobija na sledeći način: alco posmatramoij/-ravan iz pozitivnog smera -s-ose, onda se rotacijom i-ose za 90° u smerusuprotnom od kretanja kazaljke na časovniku dolazi do y-ose.

3.1.1 Ko ord ina te vek tora u prostoru i osnovne ope racije

Pod pojmom vektora se podrazumeva veličina koja ima određeni pravac,smer i intenzitet. U matematici, slobodan vekto r predstavlja skup ineđusobnoparalelnih. podudarnih orijentisanih duži.

Slobodan vektor u prostoru možemo predstaviti pomoću orijentisane dužičija početna tačlca je u koordinatnom početku, a krajnja u tački T (x i ,y i , z i ) . Vektor, koji je na ovaj način određen, ima iste koordinate kao i sama krajnja

tačka, tj.

v = O T = (Si . ja.zi ) .

Ovaj vektor se često naziva vektor po loža ja tačke T.

•Jasno je da su dva vektora vi = (xi, yi, z i) i v2 = (x2, y2, z2) jednaka ako suim odgovarajuće koordinate jednake, tj.

(x i,y i,z i) = (x2,y2,z2) x i = x2 A yi = y2 A z i= z2 .

Vektor O = (0,0 ,0), tj. vektor kod koga je i krajnja i početna taćka ukoordinatnom početku, nazivamo nuia vektor.

Intenzitet vektora predstavlja dužinu duži O T i označavamo ga sa |y|,

odnosno |0?j. Prema Pitagorinoj teoremi je



3.1 Vektori u prostoru 67

Vektor čiji intenzitet je jednak jedinici se naziva jedin ični vektor.

Poznato je da se vektori sabiraju ili

po principu paralelograma - ako dva vektora sa istom početnom tačkom

predstavljaju stranice paralelograma, njihov zbir je jednak dijagonali ili

nadovezivaajem - ako se početak drugog vektora nadoveže na kraj prvog,

zbir je jednak vektoru koji je ođređen početnom tačkom prvog i krajnjomtačkom dmgog vektora.

Vektor se množi realnim brojem (skalarom) A tako što se za rezultat dobija

vektor istog pravca, A puta većeg intenziteta i smera koji zavisi od znaka broja

A (ako je A > 0 smer je isti, a ako je A < 0 smer je suprotan).

Vektor koji se dobija množenjem vektora v brojem —1 naziva se suprotanvektor i označava se sa —v.

Oduzimanje vektora v[ —vn pređstavlja sabiranje vektora v\ i suprotnog

vektora za vektor .

Vektore koji imaju isti pravac nazivamo ko linearni vektori. Iz definicijemnoženja vektora skalarom dobijamo uslov za kolinearnost dva vektora: Potre-

ban i dovoljan uslov da vektori v\ i V 2 budu kolinearni je da postoji realan broj

A takav da važi Vi = Xv2-

Uočimo na koordinatnim osama jedinične vektore: i na s-osi, j na y-osi i

k na s-osi. tako da im smer odgovara pozitivnoj orijentaciji osa. Ove vektore



68 3 VEK TOR SK IRAČU NIAN ALIT IČKA GEOMETRIJA

nazivamo ortovi. Očigledno je (na osnovu načina množenja vektora skalarom isabiranja vektora) da svalci vektor v = (z i, j/i, 21) možemo zapisati u obliku

v = x i i + y i j + zik.

Koristeći ovakav način predstavljanja vektora možemo izvesti formule za sabi-ranje i oduzimanje vektora, kao i množenje vektora skaJarom. Neka je

vi = {x i ,y i ,z i ) = x-ii + y ij + zik i v2 = {x2,yi,Z2) = Xzi + yi j + z2k.

Zbir (razlika) ovih vektora je

= x i%+yi j + z ik ± (x i i + y- 2 j + zzk) = ( x i ± x 2 ) i + ( y i ±y 2 ) j + ( z i ± z 2 )k,

tj- (Xi. yi, 2i) ± (X2,V 2 ,Z 2 ) = ( l l ± X 2 ,Vl ± 2/2,21 ± 22).Proizvod vektora tii i realnog b roja A je

Avj = \(x i i + y ij + zik) = \x-ri + \yij + \zik,

tj. A (ii,y lt zi) = (Ari,Ayi,A2i).

Pr imer S. l Za vektore a = (2,1, —1) i b = (0, —1,3) odredimo |c|. gde je

Č = —2a + 3b .

Prema pravilu za množenje vektora skalarom i sabiranje vektora prvo nalazimo

c = -2(2,1, -1 ) + 3(0, -1 ,3 ) = (-4 , -2,2 ) + (0, -3,9 ) = (-4 , -5,11).

Intensitet ovog uektora je |Č|= \/l6 + 25 + 121 = \/162 .

3.1.2 Vektor ko ji spaja dve tačke i podela duži u da toj razmeri

Koristeći operacije sabiranja i oduzimanja vektora možemo odrediti koordi-nate vektora koji spaja dve tačke. Neka su A (x i,y i,z i ) i B (x 2,2/2,z2) dve tačke

u prostoru kojima odgovaraju vektori vi i v2. Očigledno je Vi + A Š = v2, odakle

je ______

AB = v 2 —vi = (x2 - xi, y2 - yi, z2 - 21) .




Koristeći operacijri množenja vektora skalarom možemo odrediti koordinatetačke koja duž A B đeli u datoj razmeri m : n. Označimo traženu tačku sa

T (x, y, z ) i uvedimo oznalcu A = Očigledno je

A T = X A S ( x - x 1 , y - y 1 , z - z 1 ) = \ ( x ' i - x i . . y 2 - y - i . , z i - z x ) .

Rešavanjem jednačina

x - x i = ACr2 - x i ) , y - y i = $y2 - 3/1) i z - z i = \ ( z 2 - z \ )

nalazimo koordinate tražene tačke

x = \x2 + (1 — A )xi . y = A2/2+ (1 —$yi i 2: = A?2 + (1 —A)?i .

U specijalnom slućaju, lcada se radi o srediai duži AB (A = i ) , dobićemo taćku

čije koordinate su 1 = Jv+g.s , y = , z = ■ .

Primer 3.2 Posmatrajmo tačke A(3,0,5) i B ( — 2,5,0) i odredimo vektor koji spaja ove dve tačke kao i tačku T (x ,y ,z ) koja deli duž AB u odnosu A T :T B = 2 : 3.

Traženi vektor je AB = (—2 — 3,5 — 0; 0 — 5) = (—5,5. —5) .Tačka T se dobija iz uslova

A T = l A B (x —3,y,z — 5) = § (—5,5, —5) = (—2,2 ,-2 ) .

Ova jednakost je zadovoljena za x — 3 = — 2 , y = 2 . a —5 = —2 odakle dobijamo x = 1, y = 2, z = 3 pa je tražena tačka T ( l, 2, 3).

3.1.3 Po jam i osobine skalarnog proizvod a

Skalarni proizvod dva vektora i7i i v% je broj koji je jednak proizvoduintenziteta datih vektora pomnoženog lcosinusom ugla koji ovi vektori zaldapaju.

Skalami proizvod označavamo sa vi ■V 2 - Ako ugao između vektora zTi i v -2

označimo sa tp, onda je

t?i ■V 2 = l^iHtT^I COSi p.

Za skalarni proizvod važe sledeće osobine:

1. v\ ■ = V 2 ■v i ■pošto veličina kosinusa ne zavisi od orijentacije, već samood veličine ugla.

2. v-v = |{T|2, jer je za vj. = v^ = v ugao između posmatranih vektora jednak

nuli pa je cos tp = 1.

3. Ako su vi i V '2 uzajamno normaJni vektori, koji su različiti od nule, onda je r i • ?2 = 0 i obrnuto. pošto je cos90° = 0.



70 3 V E K T O R S K I R A Č U N I A N A L I T IČ K A G E OM E TR IJ A

Skalarni proizvod nam omogućuje da izraćunamo ugao između dva vektora

prema formuli

Vi ■V 2

COS lfi = 7= -77=rT.K I N I

Iz navedenih osobina je jasno da za ortove i, j i k važi

i . i = j ■j = k ■k = 1, i ■j = i ■k = j ■k = 0.

Može se pokazati da je operacija skalarnog množenja đistributivna prema op-

eraciji sabiranja vektora pa je

VI ■V 2 = ( x i i + y j + Z ik ) ■(x2T + V2j + z2k) =

= x i x 2 i ■ i + x \ y 2 t - j + *x sat • k + t/ix2'i • J + y i V 2 j - j +

+ y i Z 2 j • k + siarii • k + z i y ^ j •k + zizok ■k =

= x iT 2 + 0 + 0 + 0 + t/ij/2 + 0 + 0 + 0 + z iz 2 ■

Dakle. (x i,y i,3 i) •(x2.y2.22) = ^ i’ + V iV i + 3 1 Z 2 •

Primer 3.3 O d r e d i m o u g a o i z m e đ u v ek t o r a a = (4, —3.0) i b = (1,2,2).

Kako je a ■b = 4 ■1 + (—3) • 2 + 0 • 2 = —2, to ugao između ova dva vektora možemo naći pomoću

a -b - 2 2

^ |a| •|fe| v 16 + 9 • \/l + 4 + 4 5 •3

Dakle, p = arccos

3.1.4 Vektoi-ski proizvod i njegove osobine

Vektorski proizvod dva vektora; koji označavamo sa vi x v2, je vektorodređen na sledeći naćin:

1. Intenzitet vektorskog proiz\roda je jvt x v2|= |vi||tT2|sin^, gde je kon-

veksan ugao koji zaklapaju posmatrani vektori.

2. Pravac vektorskog proizvoda je normalan na ravan vektora vi i v -

3. Smer vektorskog proizvoda se određuje na sledeći način: ako se ravan u

kojoj leže velctori vi i V 2 zamisli kao horizontalna i ako se od vektora vi kavektoru vo kreće u smeru suprotnom od smera kretanja kazaljke na satu,

onda će njihov vektorski proizvod biti usmeren nagore.



72 3 V'EKTORSKI RA ČU NIA NA LTTIČK A GEOMETRIJA

Ako napišemo kvađratnu šemu kod koje prvu vrstu čine ortovi i, j i k. a drugu itreću vrstu čine koordinate vektora v'i i v2, onda prethodnu jednakost možemo

smatrati razvojem po elementima prve vrste, analogno kao kod determinantireda 3. Dakle,

i j k v i x v 2 = xi yi zi

%2 V 2 z 2

pri čemu je oznaka za determinantu samo formalna.

Primetimo da su koordinate vektorskog proizvoda jednake kofaktorima ele-

menata prve vrste.

Primer 3.4 Vektorski proizvod, vektora a = (1,0,1) i b = (0,1, —1) je

a x b = t j k 0 1 1 1 1 01 0 1 = 1 -1

i — 1 1 —1 1

1 O J + 0 1

0 1 - 1

tj. a x b = —i + j + k = (—1,1,1).

3.1.5 Mešoviti proizvođ

M ešovit i p roizvod tri vektora je skalar koji se dobija kad se vektorskiproizvod dva vektora skalarno pomnoži trećim, tj. (vi x v2) ■V 3 -

Izvedimo formulu za izračunavanje mešovitog proizvoda:

Označimo sa v i = (xi .yi ,z i ) , V2 = (x2-.y-2,z2) i V3 = { x z , y z , z 3 ) tri vektora uprostoru. Videli smo da kofaktori elemenata prve vrste u determinanti kojom jeodređen vektor vi x v2 predstavljaju redom koordinate tog vektora, tj. vi x v2 = v = (A , B , C ), gde je

A = 3/1 Z i , B = -

X I Z i , C =

X I yi V 2 Zo X 2 z2 x2 V 2

Kako ovaj vektor treba skalarno pomnožiti sa v ?J , prema formuli za izračunavanje

vrednosti skalarnog proizvoda imaćemo

v - v 3 = x 3A + y3B + z3C = x3 Vi zi V 2 Z 2 - 1/3

Xl Z\

Xn Z2 + Z 3

xi y1

* 2 V 2

Dobijenu jednakost možemo smatrati razvojem po trećoj vrsti determinante čijielementi su koordinate vektora vi, v2 i v3, napisani redom po vrstama. Dakle,

(iTi x v2) ■v3 ■x i y 1 zi x2 2/2 z2 x3 y3 z3




Posmatrajmo tri komplanarna vektora Vi, V 2 i vs- Za vektore ćemo reći dasu kom planarni ako leže u istoj ravni. Prema definiciji vektorskog proizvoda

velctor v = vi x v^ je normalan na ravan 11kojoj leže posmatrani vektori. Kakoi treći vektor vz leži u toj istoj ravni, to je velctor v normalan i na njega. Premaosobini 3. skalarnog proizvoda, tada je v ■V 3 = 0. Na ovaj način smo dobilinslov za komplanarnost tri vektora: Tri vektora, različita od nula vektora.su komplanarni ako i samo ako je njihov mešoviti proizvod jednak nuli.

Posmatrajmo tri nekomplanarna vektora i“ i , H 2 IV 3 . Oni u prostoru ođređujuparalelopiped čije ivice su jednake posmatranim velctorima. Intenzitet. vektorat = i ’i x V 2 je, prema definiciji vektorskog proizvoda, jednak površini paralelo-grama određenog ovim vektorima, tj. predstavlja površinu baze paralelopipedaB.

S druge strane, ako sa a označimo ugao između vektora v i £3, onda apsolutnavrednost izraza |v3|cosa predstavlja visinu paralelopipeda. Kako je zapreminaparalelopipeda jednaka proizvodu površine baze i odgovarajuće visine, to je

■ B - H -

Prema definiciji skalarnog proizvoda, izraz sa desne strane jednakosti predstavljaapsolutnu vrednost slcalarnog proizvoda vektora v i O3, tj.

V = |(tfi x v2) ■ŽJ3I .

Primer 3.5 Izračunajmo zapreminu paralelopipeda konstruisanog nad vektorima a = (1,0, 1), 6 = (0, 1, —1) i č = (2, 1,0).

Kako je

1 0 1

( a x b ) - Č = 0 1 —1 = —2 + 1 = —12 1 0

to je traženazapremina V = |(a x 6) - c| = 1.

S obziromda smo u Prim eru 3-4 izračunali da je a x b = (—1,1,1), traženi rezultat smo mogli dobiti i skalamim množenjem ovog vektora sa vektorom Č

V = | (-1 ,1,1) - (2,1,0)1 = I - 2 + 1 + 0| = 1.



74 3 VE KTO RS KIRA ČU NIAN ALIT IČK A GEOMETRIJA

3.2 Ravan u prostoru

3.2.1 Jednačina ravniRavau je određena sa tri nekolinearne tačke. Označimo ih. sa P {x i,y i, z\),

Q (x 2jS/2iz' 2 ) i R(x-i,V 3 , 23). Ove tri tačke određuju dvanekolinearna vektoraq =

PQ = (x2-x x,y 2-yi,2 2 -3 i) i f - PlŽ = (13- * i , 1/3- 1/1,23- 21)- Posmatrajmoproizvoljnu tačku T (x. y, z) koja pripada datoj ravni i vektor određen tačkama

P i T, tj. vektor p = T * t = (x - x\, y - yi, z - zi).

Vektori q. r i p su komplanarni pa je njihov mešoviti proizvod jednak nuli, tj.

(p x q) ■f = 0 .

Na ovaj način smo dobili jednacinu ravni kroz tri tačke:

x — xi y - y 1 z - z i

- x i y2 - y 1 z2 - ziX 3 - x i y3—yi Z 3 —.Z 1 :0 .

Ako kofalctore elemenata prve vrste označimo redom sa

A =Vi - 2/i Z 2 - Z 1 |: B = - 3?2 Z -2 —Z\

, c =X2 —X\ 2/2 - 2/1

2/3 — 3/1 Z$ —Zl | X3 - X\ 23 ~ z\ 13 —XI 2/3- 2/1

razvijanjem determinante po prvoj vrsti ćemo dobiti

A ( x - x i ) + B (y - y i) + C (z - z {) = 0.

Dobijena formula predstavlja jednaćinu ravni kroz jednu tačku. KoeflcijentiA, B i C predstavljaju koordinate vektorskog proizvoda

q x r =i j k

X2 - X l 1/2 - y i 22 - 21

X3 - X l 2/3 - 2/1 2 3 - 21

Prema definiciji vektorskog proizvoda vektor q x r = ( A , B , C ) je normalanna ravan u kojoj leže vektori q i f , tj. normalan je na ravan čiju jednačinuposmatramo. Vektor n = ( A , B , C ) nazivamo vektor normale ravni i to

može biti bilo koji nenula vektor čiji pravac je normalan na posmatranu ravan(smer i intenzitet ovog vektora nisu bitni).



3.2 Ravan u prostoru 75

Ako se u jednačini ravni kroz jedmi tačku oslobodimo zagrada i uvedemooznaku —A xi —Byi — Cz\ — D, dobićemo opšti oblik jednačine ravni

Ax + By + Cz + D = 0,

koji se najčešće koristi.

Dakle. vidimo da svaka linearna jednačina sa tri nepoznate predstavlja jed-načinu ravni. Nepoznate (x, y, z) (svako rešenje date jednačine) predstavljaju

koordinate neke tačke u ravni. Prema tome, ako tačka leži u ravni, onda njenekoordinate moraju zadovoljavati jednačinu ravni.

Primer 3.6 Pokažimo da tačka T ( — 1,1.0) ne leži u ravni određenoj tačkama A(1,0,0), 5(1 ,2,1 ) * C(0,0,1).

Tačke A, B i C određuju ravan a čija jednačina je

x - 1 y 0 2

-1 0= 0 2 (x — 1) —y + 2 z = 0 <S> 2 x —y + 2 z — 2 = 0.

Tačka T (— 1,1,0) ne pripada ovoj ravni jer uvrštavanjem njenih koordinata u jednačinu ravni a dobija,mo netačnu jednakost

2 - ( - 1 ) - 1 + 2 - 0 - 2 = 0 - 5 = 0.

Ako u opštem obliku jednačine ravni nisu svi koeficijenti različiti od nule,imamo sledeće specijalne slučajeve:

1. Ako je D = 0, tj. ako imamo jednaćinu oblika Ax + By + Cz = 0, onda

ravan koja je njome određena prolazi kroz koordinatni početalc, pošto

koordinate taćke 0 (0 ,0 ,0 ) zadovoljavaju ovu jednačinu.

2. Ako je jedan od koeficijenata uz nepoznate jednak nuli, onda je ravan

paralelna odgovarajućoj osi. Na primer, ako je B = 0, tj. ako jeđnačinaravni glasi Ax + Cz + D = 0 , onda je vektor normale ravni n = (A, 0, C) normalan na ort j jer je njihov skalami proizvod jednak nuli:

n •J = (A , 0, C) - (0,1,0) = A • 0 + 0 •1 + C ■0 = 0.

Lako je videti da to znači da je data ravan normalna na a;z-ravan, tj.

paralelna sa t/-osom.



76 3 VE K TO R S K IR A Č U N I A N A L IT I Č K A GEOM ETR IJ A

3. Ako su dva koeflcijenta uz nepoznate jednaka nuli, onda je ravan normalnana ođgovarajuću osu. Na primer, ako je A = 0 i B = 0, tj. ako jednačina

ravni glasi Cz + D = 0, onda je vektor normale ravni n = (0, 0, C ) =(7(0,0,1), dakle kolinearan je sa ortom k. Ravan je normalna na ovajvektor, a samim tim i na z-osu.

3.2.2 Međusobni položaj ravni

Dve ravni mogu

a) da se poklapaju,

b) da budu paralelne (nemaju zajedničkih tačalca),

c) da se seku (duž jedne prave).

Posmatrajmo dve ravni date opštim jednačinama

a : A i x + Biy + C\z + D\ = 0, j3 : A^x + Bzy + Ciz + D i = 0.

Dobih smo sistem od dve linearne jednačine sa tri nepoznate. Velctori normaladatih ravni su na = (A i, B\, C\) i n^ = (A 2 , B 2 , Co).

Ako se ravni poklapaju, onda se one mogu zadati istom jednačinom, što značida se množenjem jedne jednačine u sistemu dobija druga, tj. da su odgovarajući

koeficijenti sistema, kao i slobodni članovi, proporcionalni. Dakle, sistem jedvostrulco neodređen pošto će, nakon primene Gausovog algoritma, ostati samo

jedna jednačina sa tri nepoznate. Iz proporcionalnosti koeficijenata i slobod-nih članova zaključujemo sledeće: Potreban i dovoljan uslov da se dve ravnipoklapa ju je da postoji realan broj k Q, takav da važi

(Prv i uslov znači da su vektori normala ovih ravni kolinearni.)Ako su ravni paralelne, onda one nemaju zajedničkih tačaka, pa. je sLstem

jednačina kontradiktoran. I ovde su vektori normala ravni kolinearni, tj. odgo-varajući koeficijenti sistema su proporcionalni, ali slobodni članovi nisu. Prematome: Potreban i dovoljan uslov da dve ravn i budu paralelne je da postojirealan broj 0, takav da važi

na = knj i D\ = kD^-

na = kns i D\ kD^-



3.3 Prava u prostoru 77

Ako se ravni seku duž jedne prave, onda odgOTOrajući koeficijenti sistema

nisu proporcionalni, tj. sistem je jednostruko neodrecTen. pošto se kod primeneGaussovog algoritma, jedna nepoznata može proizvoljno birati. Prema tcftne:Potreban i dovoljan uslov da se dve ravni seku je da

na ^ kn@, 'ik e R.

Alco se ravni seku, ugao <p između ovik. ravni se može izračunati kao ugaoizmeđu vektora normala

Ha ' nfj costp = • . .

\na\\n 0 \

Ako su ravni normalne, onda su i njihovi vektori normala međusobno nornialni,tj. mora važiti na ■np = 0.

Primer 3.7 Posmatmjmo ravni a : as —2y = 4 i fi : Ax + y + Cz = 0.

Odredim.o realne brojeve A i C tako da ra'mi a i 0 budu

a) paralehie-

b) normalne.-

Vektori normala posmatranih ravni su na = (1, —2,0) i ng = (.4,1, C).Ravni će biti paralelne ako su vektori normala kolinearni, tj. ako postoji

realan broj k takav da je na = kilg (1, —2,0) = k(A, 1, C). Ova jednakost je

zadovoljena ako je kA = 1, k = —2, kC = 0, što daje A = —| i C = 0.Ravni će biti normalne ako su vektori norrnala nonnalni, tj. ako je

na -nl3= 0 & ( l , - 2 , 0 ) - (A 1,C) = 0 <£> A - 2 = 0.

Dalđe, rami su normalne ako je A = 2 . aC- bilo koji realan broj.

3.3 Prava u prostoru

3.3.1 Jednačina prave u prostoru

Pravajeodređenasadvetačlce. Označimoihsa A(x\,y\,z{) iB (x 2

:y 2

- sz), avektor određennjima sa p = (x 2 —x\,yn.—y\,z 2 —zi ). Posmatrajmo proizvoljnu

tačku T(x ,y ,z ) koja pripada datoj pravoj i vektor određen tačkama A i T,

A t = (x - H , y - y i , z - s i ) .



78 3 V E K T O R S KI R A Č UN IA N A L I T IČK A G E OM E T RIJ A

Vektori A t i p su kolinearni pa postoji realan broj A takav da važi

A f = Xp (x - x i , y - y i , z - = X(x 2 - x i . y 2 - y i,z 2 - z i ) .

Ova jednakost znači da je

x - xi = A(x2 - x i) , y - 2/1= X(y 2 — yi) i z - z i = X(z 2 - z i)

* £ ^ £ l = a , - 2 ^ L = A i * Z i L = A.x 2 ~ X i 3/2— 3/i z 2 - z i

Eliminacijom paiametra A iz preth.odnili jednakosti dolazimo do jednačine

prave kroz dve tačke

x - x i 3/ —2/i z - z iX 2 — X l t /2 — 2/1 z 2 — Z\

Možemo pisati.da je p = (a i, a2, a.3), pa jednačina prave dobija oblik

x - x i _ y - 2/1 _ z - z i

CL\ (22

Vektor p nazivamo vektor pravca prave i to može biti bilo koji nenula vektor

koji ima isti pravac kao posmatrana prava. tj. koji joj je paralelan. Poslednju

jednakost zovemo kanonički oblik jednačine prave. Vidimo da je za pisanje jednačine prave u kanoničkom oblilcu potrebno poznavanje vektora pravca i

jedne tačke na pravoj.

Napomenimo da izrazi u dobijenoj jednačini ne predstavljaju stvarne ra-zlomke pošto neka od koordinata vektora pravca može biti jednaka nuli. Ako jena primer ai = O. tada zapis znači da je x — x i = 0.

Pošto je svaki od razlomaka u kanoničkom obliku jednačine prave jednak

parametru A, rešavanjem jednačina

x - x i 2/~ 2/i , . z - « i .----------- A , --------= A 1 -------- = ACLi 0,2 &3

po nepoznatiraa x, y i 2 dobijamo parametarski oblik jednačine prave

x = x i + A a i , y = 2/1+ Aa2 , z = zi + Aa3.

Nepoznate x, y i z predstavljaju koordinate taičke sa prave i za razne vrednostiparametra A dobijamo koordinate svih mogućih tačaka na pravoj.

Primer 3.8 Jednačina prave p. određene tačkama A (l, 0, —3) i B ( — 1,4,5), je

x — 1 _ y _ z + 3 x - 1 _ y _ z + 3

-2 ~ 4 “ 8 1 1 -1 ~ 2 ~ 4 ’



3.3 Prava u prost-oru 79

je r je A Š = ( -2 ,4 ,8 ) = 2 ( - l , 2 ,4 ) , pa se za vektor pravca prave može uzeti vektor p — (—1,2,4). Parametarski oblik jednačine prave p je

x = —X + 1, y = 2A, z = 4A — 3.

Ove jednačine, za A = 0, daju koordinate tačke A, za A = 2, koordinate tačke B. a za ostcde vrednosti parametra X dobijamo koordinate preostalih tačaka prave. Na primer, za X = 1 imaćemo tačku 5(0,2,1).

Videli smo da dve ravni koje se seku određuju pravu pa se prava u prostorumože zađati i sistemom jednačina

A\x + B iy + C\3 + Z?i — 0, A ix + B%y + C2z + D 2 = 0.

Ako nađcmo dva različita rcšcnja ovog sistclna, dobićcmo dvc tačkc kojc pri-padaju posmatranim ravnima, pa možemo napisati jednačinu presećne prave

kao jednačinu prave kroz dve tačke.

3.3.2 Međusobni položaj pravih u prostoru

Dve prave u prostoru mogu

a) biti paralelne,

b) poklapati se,

c) seći se,

d) biti mimoilazne.

Neka su prave date jednačinama u kanoničkom oblilcu

x - x \ _ y - yi _ z - z i _ x - x 2 _ y - y 2 _ z - z 2

ftj 02 a3 b 2 63

Označimo sa A(xx, -yi, s i) tačku na pravoj p, sa B (x 2 ,y2, z 2 ) tačku na pravojq, dok su vektori pravaca ovih pravih dati sa p = (a i,a 2 ,a-z) i q = (bi.b2, b$).

Tačke A i B određuju vektor AB = (x 2 — X i , y 2 — y i , z 2 — zi).Ako su prave paxalelne, onda njihovi vektori pravaca moraju biti kolinearni,

dok vektor AB nije kolinearan sa njima. Dakle, potreban i dovoljan uslov dadve prave budu paralelne je da

€ B ., p = kq i A B ^ m p , Vm € R.

Ako se prave pok!a,paju, onda su njihoi'i vektori pravaca takođe kolinearni,ali je i vektor AB kolinearan sa njima. Dakle, potreban i dovoljan uslov da se

dve prave poklapaju je da

Bk e I I , p = kq i 3m € B ., A Š = mp.



80 3 VE KT OR SK IRAČ UN I ANALITIČKA GEOMETRIJA

Ako se prave seku, onda im vektori pravaca nisu kolineami. Poznato je daprave koje se seku leže u jednoj ravni. To znači da vektori p, q i A Š moraju

biti komplanami. Dakle, potreban i dovoljan uslov da se prave seku je da

p j^ kq , VA: 6 I I i (p x q) ■AB = 0.

Ako se prave mimoilaze, onda ne postoji ravan u kojoj leže ove dve prave. To znači da vektori p, q i AB nisu komplanarni. Dakle, potreban i dovoljanuslov da prave budu mimoilazne je da

(p x q) ■A Š ^ 0.

(Naravno, i u ovom slučaju vektori pravaca posmatranih pravih nisu kolinearni,ali ovaj uslov nije potrebno ispitivati.)

Rastojanje između dve mimoilazne prave možemo zamisliti teo visinu par-alelopipeda određenog vektorima p, q i AB. Kako mešoviti proizvod ova tri

velctora predstavlja zapreminu paralelopipeda, a intenzitet vektorskog proizvodavektora pravaca pravih predstavlja površinu baze (kojoj odgovara posmatranavisina), to je traženo rastojanje jednalco količnikuzapremine i površine baze, tj.

F = [(p x g ) - A Š \

B |p x q\ ■

Ako vektori pravaca posmatranih pravih nisu kolinearni, odnos posmatranih

pra\ih možemo odrediti i primenjujući postupak za nalaženje presečne tačke.Presečnu tačku dve prave određujemo kao rešenje sistema četiri jednačine sa tri

nepoznate

X - X i V - V l X —X i Z - Z I X - X-z V - V 2 X - X 2 3 - 32

f t l 0-2 al 0,3 6 1 6 2 ’ 6 1 6 3

Ako postoji jedinstveno rešenje ovog sistema, onda ono određuje koordinate

presečne tačke pravih, tj. prave se seku. Ako rešenje ne postoji, tj. ako jesistem kontradiktoran, onda su prave mimoilazne.

Prilikom određivanja presečne tačke mogu se koristiti i parametarslce jedna-

čine datih pravih, što će biti ilustrovano sledećim primerom.Primer 3.9 Odredimo presečnu tačku pravih

x — 1 y — 7 z — 5 , x — 6 y + 1 z V ■

2 1 4 3 —2 1

Vektori pmvaca ovih pramh p = (2,1,4) i q = (3, —2,1) nisu kolineami, što znači da prave nisu paralelne, niti se poklapaju. Ostaju dve mogućnosti: da se

prave seku Ui da budu mimoilazne. Posmatrajmo parametarske jednačine datih pravih

{x = 2m + 1 f 1 = 3t + 6

y = m + 7 i q : < y = —21 — 1 .

z = 4m + 5 I z = t




Za razne vrednosti parametara m i t ovim jednačinama su zadate koordinate svih mogućih tačaka na posmatranim pravama. Ako se prave seku, mora postojati

jedna vrednost parametra m i jedna vrednost parametra t koje daju istu tačku na obe prave. tj. mora važiti

2m + l = 3č + 6, m + 7 = —21 — 1, 4m + 5 = t.

Za ovaj sistem postoji jedinstveno rešenje m = —2, t = —3. (Dobijamo ga; na primer, rešavanjem druge i treće jednačine. a zatim proveravamo da je za nađeno rešenje zadovoljena i prva jednačina.) Prema tome, date prave se seku, a koordinate presečne tačke dobijamo uvrštavanjem nađenih vrednosti parametara u parametarske jednačine datih pravih. Na primer, kad t = — 3 uvrstimo u

jednačinu prave q dobijamo x = —3, y = 5 i z = —3, što znači da se prave seku

■utački T (— 3, -5, -3 ).Daje sistem bio kontradiktoran, tj. da rešenje, koje bismo našli posmatrajući

dve jednačine sistema, nije zadovoljavalo i treću jednačinu, zaključili bismo da prave nemaju zajedničkih tačaka. tj. da su rrdmoilazne.

3.3.3 Uzajamni položaj prave i ravni

Prava može

a) ležati u ravni,

b) biti paralelna ravni,

c) prodirati ravan. u jednoj tački.

Ako jednačinu prave predstavimo kao skup od dve linearne jednačine

x - x i _ y - yi y - yi _ z - zi

a i fl-2 a 2 a 3

i njima dodamo jeđnačimi ravni Ax + By + Cz + D = 0, dobićemo sistem odtri lineame jednačine sa tri nepoznate.

Ako prava leži u ravni, onda postoji bezbroj zajedničkih. tačaka prave i ravni,tj. bezbroj rešenja posmatranog sistema. Dakle, sistem je neodređen.

Ako je prava paralelna ravni, onda prava i ravan nemaju zajedničkih tačaka,pa posmatrani sistem nema rešenja. Dakle, sistem je kontradiktoran.

Ako prava prodire ravan, onda postoji samo jedna zajednička tačka prave iravni, tj. samo jedno rešenje posmatranog sistema. Dakle, sistem je određen.Koordinate prodome tačke se dobijaju kao rešenja ovog sistema.

Praktične kriterijume za ispitivanje odnosa- prave i ravni ćemo dobiti pos-matranjem vektora pravea prave p = (ai, a , 03), tačke na pravoj A(xi ,y i , si) ivektora normale ravni n = (A, B, C).

Ako prava leži u ravni, onda je vektor normale ravni normalan na velctorpravca prave, a tačka A (kao i sve dmge tačke sa prave) pripada ravni, tj.




Rastojanje tačke T (x 0, y0, z 0) od ravni a : Ax + By + Cz + D = 0 je

jednako intenzitetu vektora TP, gde je P projekcija tačke T na ravan a. Ovu

projekciju dobijamo kao prodor prave

x - x 0 y - y 0 z - z 0

U : A ~ B ~ C

(koja prolazikroz tačku T i normalna je na ravan a) kroz ravan a.

Primer 3.10Odredimo rastojanje tačke T ( 1,0, —1) od ravni

a : x — y + z + 3 = 0.

P ri’O ćemo kroz tačku T post-aviti prami n normalnu na ravan a. Za vektor pravca ove prave možemo uzeti vektor normale date ravni n = (1, —1,1).Jednačina prave glasi

x — 1 y s + 1

U '' 1 ~ ^ l “ 1 '

Zatim ćemo odrediti prodor ove prave kroz ravan a tako što ćemo parametarske jednačine prave n x = t + 1, y = —t, z = t —1, uurstiti u jednačinu ravni a:

t + 1 — (— t) + i — 1 + 3 = 0 3č + 3 = 0 .

Rešenje ove jednačine je t = —1. Zamenom ove vrednosti u parametarske jednačine prave dobijamo koordinate prodome tačke x = 0. y = 1. z = —2.Dakle, projekcija tačke T na ravan a je P ( 0,1, —2). Traženo rastojanje d pred-

stavlja intenzitet vektora T P = (—1,1, —1).. pa je d = \/3.

Istim postupkora određuje se rastojanje dve paralelne ravni kao i rastojanjeizmeđu prave koja je paralelna ravni a od ove ravni: Izabere se proizvoljna tačkana pravoj, odnosno u paralelnoj ravni, i nađe se njeno rastojanje od ravni a.



84 3 VE KTO RS KIRA Č UN I ANALIT IČKA GEOMETRIJA

Rastojanje tačke T(xo,yo, zo) °d prave

x - x i _ y - y i _ z - zi d i &2 ffl3

je jednako intenzitetu vektora TQ, gde je Q projekcija tačke T na pravu p. Ovuprojekciju dobijamo kao prodor prave p kroz ravan

a : ai(a; - x0) + a2(y - yo) + a3(-s - so) = 0,

koja prolazi kroz tačku T i normalna je na pravu p.

Prim er 3.11 Odredimo rastojanje tačke T(1,0, — 1) od prave

Prvo ćemo odrediti ravan (3 koja je normalna na pravu p i sadrži datu tačku T . Za- vektor normale ove ravni uzimamo vektor pravca date prave p = (1,0,0) pa jednačina ravni glasi

1 •(a: - 1) + 0 • (y - 0) + 0 • (z + 1) = 0 <s> * - 1 = 0.

Uvrštavanjem parametarskih jednačina prave p : x = t, y = 0, z = 1, u jednačinu ravni dobijamo t — 1 = 0, tj. t. = 1. Prema tome projekcija tačke T na pravu p je Q ( 1,0.1). Vektor koji spaja tačke T i Q je TQ = (0,0,2), a

traženo rastojanje je d = \TQ\ = \/4 = 2.

Na isti način se odrectuje i rastojanje dve paralelne prave, tako što se na jednoj ođ pravih. izabere proizvoljna tačka i određi njeno rastojanje od drugeprave.



85

4 Dodatak 1 —Kompleksni brojevi

4.1 Algebarski oblik kompleksnog broja Skup kom pleksnih brojev a je skup

C = {z = x + iy |x,y e E.}, i 2 = — 1 .

Izraz x + iy nazivamo algebarski oblik kompleksnog broja. Realan broj x nazivamo realein deo kompleksnog broja z, a realan broj y imaginaran deoi koristimo oznake x = Rez , y = Im z .

Ako je Im z = 0, onda je z realan broj, npr. 3, —5,0,1. Ako je Re s = 0,onda je z čisto iniaginaran broj, npr. 3t. —2i.

4.1.1 Osnovne operac ije

Jednakost komplelcsnih brojeva se definiše na sledeći način:

si = s2 Re zi = Re Z2 A Im si = Im z% .

Sabiranje, oduzimanje, množenje i delenje se izvode na sledeći način:

z i ± z 2 = j ji + iy i ± [x 2 ± iy i) = x x ± x 2 + i(y i ± y2)

Z i - Z 2 = (xi + iy i ) ■(x 2 + iyz) = x ix 2 - yiy 2 + i (xiy 2 + x 2 y{)

£L = +TOT. . X 2 —iVi _ ^1^2+VlV2+»'('g2» I—ziv -z ) r. u. 02 +'iV2 *2—iyi '

Primer 4.1Za brojeve z i = 3 + i i z 2 = 1 — 2i odrediti 3zi —2z 2 i

3zi — 2z2 = 3(3 + i ) — 2(1 —2i) = 9 + 3? — 2 + 4i = T + 7i = T ( l + 2 )iL — 3+t l+2t _ 3+6i+š+2i _ 3~2+7i _ l+7t _ !. , 7 • ZZ ~ 1 -2 i ■ l+2 i — 1—4i- — 1+4,~ 5 — 5 ~l~ 5 ‘

Konjugovano kompleksan broj za z = x + iy je ž = x —iy Za konjugovanje kompleksnih brojeva važe sledeće osobine:

1. 1 = z 2. Re z = i Im s =

-3. z ■ž = x 2 + y~ 4. z\ i z 2 = ž i ± ž 2

5. 'z'i '■i 2 = ž i - ž 2 6. = |£, z 2 j^0

Prim er 4.2 Odrediti konjugovano kompleksne brojeve za zi = 3 + i, Z2 = 1 —2*.

2 3 = 5 ^ 4 = ~ i-

ž i = 3 —i, ž 2 = 1 + i, Ž 3 = 5 i Ž 4 = i.

Kvadratni koren kompleksnog broja može se izračunati u algebarskomobliku. Ako je %/ž = a + ib, kvadriranjem. dobijamo

x + iy = a 2 + 2 abi + i 2 b~ = a 2 — b 2 + 2 abi.



86 4 DODATAK 1 - KOMPLEKSN IBROJEVI

Upoređivanjem realnih i imaginarnih delova dobijamo da je

x = o2 —62 i y = 2 ab.

Rešavanjem ovog sistema dobijamo realni deo a i imaginarni deo 6 traženog

korena.

Primer 4.3 Izračunati V3 + 4i.

•s/3 + 4i = a + i ’ o =>■ 3 + 4i = a 2 —b 2 + 2 abi

ar - b 2 = 3 A 2a6 = 4 => b = \

a 2 — = 3 4 a4 — 3a2 — 4 = 0.Uvođenjem smene a 2 = t dobijamo kvadratnu jednačinu t 2 —Zt — 4 = 0 čija

rešenja su t\o = 3±'/|+lg = tj. ti = 4, t 2 = —1. ifa&o t ne može biti negativno. vidimo da je a 2 = 4. što daje

'a i = 2, a2 = -2 , fci - 1, 62 = -1, tj .

= 2 + i, 22 = —2 — i.

4.1.2 Geometrijska interpretacija kompieksnog broja

Kompleksne brojeve je moguće predstaviti u kompleksnoj ravni, tj. u xy- koordinatnom sistemu. Svakom komplekšnom broju z = x + iy odgovara jednai samo jedna tačka M (x, y). _______ '

Modul kompleksnog broja \z\ = yjx 2 + y 2 predstavlja rastojanje tačke

M od koordinatnog početka.Argument kompleksnog broja z = x + iy, koji označavamo sa args je

orijentisani ugao koji duž O M zaklapa sa pozitivnim smerom realne ose. Lako

je videti da ako je arg z = <p. onda

tgv? = £ = > <P = arctg^ , - 7t < <p < jt.

Naravno, argument je moguće predstaviti i kao

args = + 2&7T = <fk, A: = 0,± 1 , ___

Za z = 0 argument se ne definiše.Kako je konjugovana vrednost ž simetrična broju z u odnosu na realnu osu,

to je |š| = \z\ A argš = — args.

Primer 4.4 Odrediti moduo i argument zakompleksne brojeve z\ = 2 — 2i,

z 2 ~ 3. 23 = —1, 24 = 2i s 25 — —2i.= V22 + 22 = \/8. Kako je tg<p= %= ^jr = — 1 i x > 0,y < 0,to je

argzi = tp = — j + 2A:7r, k = 0, ±1, . . . ,



4.2 Tr igonomet r i j sM i ek sponenc i ja ln i obl i k 87

Ako preostale kompleksne brojeve prikažemo u kompleksnoj ravni, s obsirom da se oni nalaze na koordinatnim osama, vidimo da je

|s2|= 3 i arg 32 = 0 + 2fc7r, |sa| — 1 i arg z = tt + 2kir

|s4|= 2 i argz* = j +2fcx, \z 5 \ = 2 i a rgz5 = - f + 2 kn.

4.2 Trigonometrijski i eksponencijalni oblik

4.2.1 Kompleksan broj u trigonometrijskom obliku

Ako kompleksan broj s = x + i y predstavimo u kompleksnoj ravni i označimo

!s| = r, sin tp = ^, cosp = ^

vidimo da je y = r sirn . x = r cos tp, tj.

z = x + iy = rcosi f + i ■rsm p = r(cos^ + isin^).

[izraz r(cos^> + {s in ijj) predstavlja trig ;onom etriisk i oblik komnleksnog broja.

Jednakost dva kompleksna broja predstavljena u trigonometrijskom oblikudefiniše se na sledeći način:

z i = z 2 |zi| = \z2\ Aar g2X= args2.

Operacije konjugovanja, množenja i delenja se izvode na sledeći način:3 = r(cos(— >p) + isin(— p )) jer je cos(—ip) = cost i sin(—v?) = — sin^.

Ako je z\ = r i (cos tp\ + i sin <p\), Z 2 = r 2 (cos p 2 + i sin<p2) , onda je

z\ ■z 2 = r$cos<p\ + is in^ i ) ■r 2 {cos<p 2 + i s i n ^ ) == rir^fcosiî cos p 2 + jsin î cos p 2 + i cos<p\ sin<p 2 - sini i sint^ )

= / ir2(cos cos<p 2 —sinî sini 2 + i(sinî cos^2 + cos^ i siniâ))= rira(cos(v7i + ’ P2) + tsin(iî + ^2))-

Vidimo da je \z\ -z2\= \z\\- \z2\ A arg(sx •z2) = argzi + args2-

Alco pođemo od

i -- -------- 3 -— . = r ( c o s ( - ^ i n ^ ) ) = 1 ( c o s ( _ y ) + i Sm (—.^ ) )z r(cos<čH-*sm^) r(cos<j>-tsm9?) r 2(cos2 +sm" <p) r '• V t '/ » \ r ' / /

dobijamo da je

= z\ ■± = r\(casip\ + ism<p$ ■£(cos (~<p2) + is m (—p2)) = %(cos(<p\ - ^2) + isin (î - <p2)).

Vidimo da je arg sl = argz\ - arg, Alf l = jfrj •



88 4 DODATAK 1 - KOM PLEKSNIBROJE17

4.2.2 Kompleksan broj u eksponencijalnom obliku

Ako uvedemo oznaku cos(^+isin</> = ev% onda z = r(cos v?+isin<£) možemo

predstaviti u obliku z = re'p%, što zovemo eksponencijalni oblik kompleksnogbroja.

Opcije u eksponencijalnom obliku se izvode kao operacije sa običnim stepen-

ima:

z i - Z 2 = r 1e(fili ■r^e^-* = r xr%e^1-iJr'e- i = r ir aeift,l+ 'w)

£L = rie1"1* = i L p V i i - V i i = Z L p i i V i - V z ) ■= — r p ~ ‘P i r2e',2‘ r2 ’ c

Iioristećieksponencijalnii trigonometrijskioblilc z & z i ž dobijamo Eulerove formule

e’ ’ + e- ’4’ • e 'v - e ~ i v COS< p = £ - ^ f --- , smtp = * --- j f --- .

Primer 4.5 Koristeći trigonometrijski i eksponencijalni oblik kompleksnih brojeva zi = 1 + VŠi- i Z 2 = 1 + * odrediti njihov proizvod i količnik.

|zi| = V I + 3 = V4 = 2, argzi = f , |z2|= v/l + T = \/2 , argz2 = f-Dakle,zi = 2(cos | + i sin f ) i Z 2 = \/2(cos f + i sinf) . tj. zi = 2e^” i z = V 2 e

z i ■z2 = 2V2 (cos ( f + f ) + tsin ( f + f ) ) = 2 \ / 2 (cos + i sin f )

t = 7 2 (cos (f ~ f ) + ^sin ( f — f ) ) = V2 (cos % + i sin £ )

z i •z2 = 2 e ■y/2 e^z = 2V2e^1 i fj- = = y/2 e^l~^'' = \f 2 e ^ %.

4.2.3 Stepenovanje kompleksih bro jeva i Moivreov obrazac

Posmatrajmo kompleksan broj z = r(cos <p + i sm<p). Na osnovu pravila zamnoženje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku dobijamo da je

zn = r n( cos np + i sin rnp).

Isto se dobija i posmatranjem eksponencijalnog oblika z = rel<?

zn = (reiif) n = rneinv.

Primer 4.6 Izračunajmo (1 + i )97.

(1 + i ) 97 = (V 2 ( c o s f + i s i n f ) ) 97 = 24SV 2 ( co s 2 l2 i + i s in ^ ) =

= 248\/2 (cos (247T + f ) + isin (247T + f ) ) = 248V2 (cos f + i s i n f )) =

= 248 •V2 = 248(1 + i) = 248 + 248i, odnosno

(1 + i f 7 = (V 2 e ) 9 7 = ( V ^ e * ? 4= 2 «V 2 e(a4' + * ) 1=

= 2^ V2 • e24,ri ■e** = 248V2 •1 • + i ^ ) = 248(1 + i ).



4.2 Trigonometrijski i eksponendjalni oblik 89

Ako uzmemo r = 1 tj. z = cos <p + i cos tp, vidimo da je

Vn 6 N (cos tp + i sin ^)" = cos rup + i sinnip.Ova jednakost važi i za n — 0 jer je

(costp + isintp)° = 1 = cosO + isinO = 1 + i ■0 = 1

Icao i za negativne cele brojeve, pošto je

(cos x + i sin tp)~n = ( ----- — 'l =\ r T'1 ^COSV?+lSlIlV? J

= (cos(— tp) + isin(— <p))n = cos(-ntp) + is m (—n<p).

Ovim je izveden M o iv re ov obrazac koji glasi

(Vn e Z ) (cos tp + i sin tp)n = cos ntp + i sinntp.

4.2.4 Korenovanje

Posmatramo jednačinu zn = a, gde je a £ C poznato. Treba naći kompleksnebrojeve s za koje je z = \/a.

Neka je z = < (cos i? + i sint?) i o = r(cos <p + i sintp)

zn = a <pn (cos nt? + i sinni}) = r (cos 'p + i sin tp) <=>

<3- tpn = r. ni3 = tp + 2feir o ip = tf r A i9 = y+^fc7r, f c e l .Za k = 0,1,. . . , n —1 dobijamo različite vrednosti z a ^ , a za A = n,n + l , . . .

one se ponavljaju. Dakle. postoji n različitih vrednosti za ^fa:

zk = (cos + isin i ) k = 0, 1,... ,n - 1.

Rešenja leže na kružnici poluprečnika tfr i čine temena pravilnog n-touglačije jedno teme (zo) ima argument a za svako sledeće teme argument sepovećava za

Primer 4.7 Naći tj. sva rešenja jednačine r6 + 1 = 0.Kako je -1 = 1- (cos(tt + 2kir) + i sin(x + 2&7r)), to je

z = (cos + is in ^ f^ r ) ,k = 0,1,... , 5,

matematika i - n. adzic

Documents