Matematika

ZADANIE NEOTVÁRAJTE, POČKAJTE NA POKYN!

Zopakujte si základní informace ke zkoušce

n Test obsahuje 30 úloh.

n Na jeho riešenie máte 90 minút čistého času.

n Každá úloha má správnu len jednu odpoveď.

n Za každú správnu odpoveď získáte bod, za nesprávnu odpoveď sa vám odčíta 1/4 bodu.

n Najlepšie je riešiť najskôr jednoduché úlohy a k náročnejším sa vrátiť.

n Nebuďte nervózni z toho, že nevyriešite všetko, to sa podarí len málokomu.

NÁRODNÉ POROVNÁVACIE SKÚŠKY

JÚN II 2020

PREHĽAD VZORCOV

© Scio® 2018 Matematika

Kvadratická rovnica: 2 0ax bx c ; 2

1,2

4

2

b b acx

a

; x1 + x2 =

b

a ;

1 2

cx x

a ; 0a

Goniometrické funkcie:

2 2sin cos 1x x

tg cotg 1,2

x x x k

sin 2 2 sin cosx x x ; 2 2cos2 cos sinx x x

xx cos2

πsin

;

πcos sin

2x x

cos

tg cotg ,2 sin

xx x x k

x

π sin π

cotg tg , 2 12 cos 2

xx x x k

x

sin sin cos cos sinx y x y x y

cos cos cos sin sin x y x y x y

2

cos1

2sin

xx ;

2

cos1

2cos

xx

x 0 6

π

4

π

3

π

2

π

sin x 0 1

2

1

22

1

23 1

cos x 1 1

23

1

22

1

2 0

Trigonometria: sínusová veta:

sin

sin

b

a;

sin

sin

c

b;

sin

sin

a

c

kosínusová veta: 2 2 2 2 cosa b c b c ; 2 2 2 2 cosb a c a c ; 2 2 2 2 cosc a b a b

Logaritmus: log log logz z zx y x y ; log log logz z z

xx y

y ; log logk

z zx k x ; log y

z x y x z

Aritmetická postupnosť: 1 1na a n d ; 12

n n

ns a a

Geometrická postupnosť: 1

1

n

na a q ; 1

1, 1

1

n

n

qs a q

q

Geometrický rad: 1

1, 1

1s a q

q

Rozklad na súčin: 1 2 3 2 2 1( )( ... ) n n n n n n na b a b a a b a b a b b

Kombinatorika: ( ) !P n n ;

V k nn

n k( , )

!

!

;

!,

! !

n nC k n

k k n k

;

1; =

1 1

n n n n n

k n k k k k

1 2

1 2

1 2

( ... )!’( , , ..., )

! !... !

k

k

k

n n nP n n n

n n n

; ’ , kV k n n ;

1 1’ ,

1

n k n kC k n

k n

Binomická veta: 1 2 2 1....1 2 1

n n n n n nn n n

a b a a b a b a b bn

Analytická geometria: veľkosť vektoru: 1 2( ; )u u u je: 2 2

1 2u u

Kosínus odchýlky priamok 1 1 1 1: 0p a x b y c a

2 2 2 2: 0p a x b y c je 1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

cosa a b b

a b a b

Vzdialenosť bodu M[m1;m2] od priamky p: ax + by + c = 0 je 1 2

2 2

a m b m cMp

a b

Stredový tvar rovnice kružnice: 2 2 2x m y n r ; elipsy:

2 2

2 21

x m y n

a b

; e

2 = a

2 – b

2

Stredový tvar rovnice hyperboly:

2 2

2 21

x m y n

a b

;

1

2

2

2

2

b

ny

a

mx; e

2 = a

2 + b

2

Vrcholová rovnica paraboly: 2

2 , ;2

py n p x m F m n

;

22 , ;

2

px m p y n F m n

Objemy a povrchy telies:

Kváder Valec Ihlan Kužeľ Guľa

Objem a b c 2r v 1

3S v

21π

3r v

34π

3r

Povrch 2(ab+ac+bc) 2π r r v S+Q π r r s 24π r

Matematika 

© Scio 2020  3 

1.

Počet všetkých celých čísel, ktoré sú riešením nerovnice

2 3x ,

sa rovná:

(A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) 4 (E) 6

2.

Ak v meste Anapolis padajú krúpy a zároveň kvitnú čerešne, obyvatelia buď búrlivo oslavujú v uliciach, alebo pijú doma levanduľový čaj. Tento rok obyvatelia ani búrlivo oslavovať nebudú, ani nebudú piť levanduľový čaj. Čo musí nutne platiť o meste Anapolis?

(A) Padajú krúpy. (B) Nekvitnú čerešne. (C) Nekvitnú čerešne alebo nepadajú krúpy. (D) Nekvitnú čerešne a nepije sa levanduľový čaj. (E) Ak nebudú padať krúpy, tak vykvitnú čerešne.

3.

Súčet všetkých možných dvojciferných čísel v tvare AB, kde A ≠ 0, takých, aby číslo 71AB30 bolo deliteľné piatimi, sa rovná:

(A) 4 905 (B) 4 950 (C) 5 005 (D) 5 050 (E) 5 000

4.

Pre všetky uhly α z intervalu π

,π2

platí:

(A) sin α < cotg α (B) sin α < cos α (C) cos α < tg α (D) sin α < tg α (E) cotg α < cos α

Matematika 

© Scio 2020  4 

5.

Riešením rovnice

– sin x = | – sin x |

v je množina:

(A) π, 1 π

k

k k

(B) π, 1 π

k

k k

(C) 2 π, 2 1 π

k

k k

(D) 2 π, 2 2 π

k

k k

(E) 2 1 π, 2 2 π

k

k k

6.

Výraz 3

3 2

1x

x x

sa pre každé x ≠ 0, x ≠ 1 rovná:

(A) 3 2

11

x x

(B) 2

3 2

11

x

x x

(C) 2

3 21

x

x x

(D) 2

3 2

11

x

x x

(E) 3 2

1xx

x x

7.

Na každú z desiatich stoličiek označených číslami 1, 2, 3, …, 9, 10 sa má posadiť jedna osoba zo skupiny piatich žien a piatich mužov tak, že ženy budú sedieť na stoličkách s párnymi číslami a muži na stoličkách s nepárnymi číslami. Počet spôsobov, ktorými sa to dá urobiť, sa rovná:

(A) 2 ⋅ 5! (B) 5 ⋅ 5! (C) 10! (D) 0,5 ⋅ 10! (E) 5! ⋅ 5!

8.

Najmenšia možná hodnota, ktorú môže nadobudnúť výraz

1 2 (3 (4 5)) ,

ak namiesto každého štvorčeka doplníme znamienko plus, alebo mínus, sa rovná:

(A) –15 (B) –13 (C) –11 (D) –9 (E) –3

Matematika 

© Scio 2020  5 

9.

Chceme vyskladať obdĺžnikovú plochu s rozmermi 10 m a 12 m celými štvorcovými dlaždicami. Dĺžka hrany dlaždice môže byť ľubovoľná, ale pre všetky dlaždice rovnaká. Najmenší počet dlaždíc, ktoré musíme použiť, sa rovná:

(A) 30 (B) 60 (C) 120 (D) 240 (E) 480 10.

Sú dané dve neprázdne množiny A, B. Ak A B A B , potom platí:

(A) A B B (B) A B (C) A B A (D) A B A (E) A B A B 11.

Lietadlo nemôže z technických dôvodov aktuálne pristáť, a tak preletelo konštantnou rýchlosťou v konštantnej výške nad pristávacou dráhou po celej jej dĺžke. Na prístrojoch riadenia letovej prevádzky sme zaznamenali čas, kedy nos lietadla minul začiatok dráhy a kedy chvost lietadla minul koniec dráhy. Koľko z nasledujúcich dodatočných informácií minimálne potrebujeme k určeniu dĺžky lietadla?

priemerná spotreba paliva lietadla rýchlosť preletu lietadla objem nádrží lietadla dĺžka pristávacej dráhy

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 12.

Pre čísla 4100, 3250 a 6423 platia nerovnosti:

(A) 4100 > 3250 > 6423

(B) 4100 > 6423 > 3250

(C) 3250 > 4100 > 6423

(D) 3250 > 6423 > 4100

(E) 6423 > 3250 > 4100

Matematika 

© Scio 2020  6 

13.

Pre každé reálne číslo x je súčet výrazov

x2 + x − 1 a x2 + 2

väčší ako ich rozdiel (v rovnakom poradí) o:

(A) 2x2 + 4 (B) 2x2 + 2x − 2 (C) x2 + 4 (D) x − 2 (E) x + 4

14.

Trasa nákladnej lode z Hamburgu do New Yorku je dlhá 6 700 km. Priemerná rýchlosť nákladnej lode je 40 km/h. Nákladná loď vypláva v pondelok o 7 hodine ráno z Hamburgu, po niekoľkých dňoch dorazí do New Yorku, kde sa zdrží 24 hodín vykladaním tovaru, a potom sa po rovnakej trase vydá na cestu späť. Deň, ktorý sa doplaví späť do Hamburgu, bude:

(A) piatok (B) sobota (C) nedeľa (D) pondelok (E) utorok

15.

Pre každé dve kladné čísla a, b platí:

(A) 2 22 2ab a b

(B) 2 22 2ab a b

(C) 2 22 2ab a b

(D) 2 22 2ab a b

(E) 2 22 2ab a b

16.

Koľko existuje spôsobov ako z čísel 1, 2, …, 10 vybrať tri rôzne čísla tak, aby jedno z vybraných bolo aritmetickým priemerom ostatných dvoch?

(A) 20 (B) 18 (C) 16 (D) 14 (E) 12

Matematika 

© Scio 2020  7 

17.

Priamka

x + y + p = 0

je dotyčnicou paraboly s rovnicou

x2 − 6x − 12y − 15 = 0

pre nasledujúcu hodnotu reálneho parametra p:

(A) p = −2 (B) p = −1 (C) p = 0 (D) p = 1 (E) p = 2

18.

Na obrázku je plán bludiska. Na začiatku (bod Z) stojí človek, ktorý sa snaží dostať k východu (bod V). Predpokladáme, že človek si na oboch križovatkách vyberá cestu náhodne a že sa nikdy nevracia naspäť. (Takže na križovatke neuvažuje o odchode rovnakou cestou, akou práve prišiel.) Pravdepodobnosť, že človek pôjde k východu najkratšou cestou (tzn. ani raz nevojde do nesprávnej chodby), sa rovná:

(A) 1

2

(B) 2

3

(C) 1

5

(D) 1

6

(E) 5

6

Matematika 

© Scio 2020  8 

19.

Súčet

5 5 5 5 5 5

0 1 2 3 4 5

sa rovná:

(A) 52

(B) 62

(C) 25

(D) 6

23

(E) 6

5

20.

Na osvetlenie pracovnej dosky je použitých 80 žiaroviek, z ktorých niektoré sú 75 W a niektoré 100 W. Žiarovky majú celkovo výkon 7125 W. Počet 100 W žiaroviek sa rovná:

(A) 25 (B) 35 (C) 45 (D) 55 (E) 65

21.

Rovnica 13 9 0x x p s reálnym parametrom p má

riešenie práve vtedy, keď:

(A) p < 9 (B) p < 3 (C) p < 0 (D) p < −3 (E) p < −9

Matematika 

© Scio 2020  9 

22.

Z postupností

1 na n

1

n

na

n

11

nan

1

10

n

na

1 n

na

sú klesajúce:

(A) žiadna (B) práve jedna (C) práve dve (D) práve tri (E) práve štyri

23.

Výraz

log 7 2 log 6 log3 log9

sa nerovná výrazu:

(A) 2

7 9log

6 3

(B) 2

7 3log

6

(C) log 7 2 log 6 log 3

(D) log 7 log12 log9

(E) log 7 log12

24.

Počet prvočísel, ktoré sú riešením rovnice 3 5 3 0x x , sa rovná:

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

Matematika 

© Scio 2020  10 

25.

Graf prvých piatich členov postupnosti (an), kde

an+2 = 2an – an+1, a1 = 5, a2 = 1,

je na obrázku:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

Matematika 

© Scio 2020  11 

26.

Rovnica

y2 = x(x – 4)

je rovnicou:

(A) priamky (B) kružnice (C) elipsy (D) paraboly (E) hyperboly 27.

V rovine sú dané body A [−2; 0], B [9; 1], C [4; p]. Tieto body tvoria vrcholy pravouhlého trojuholníka s pravým uhlom pri vrchole C napríklad pre p rovné:

(A) −5 (B) −4 (C) 0 (D) 1 (E) 4 28.

V rovnoramennom lichobežníku ABCD, kde AB || CD, je zo stredu kružnice opísanej vidieť každá zo strán BC, CD, DA pod uhlom 60°. Uhol CAB sa rovná:

(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75° (E) 90° 29.

V rovine sú dané priamky:

p: 3x – y + 4 = 0

q: 2x + 6y – 3 = 0

Ak zobrazíme priamku p v osovej súmernosti podľa osy q, dostaneme priamku:

(A) 3x – y + 4 = 0 (B) 2x + 2y + 1 = 0 (C) 3x + y – 4 = 0 (D) x – 3y – 2 = 0 (E) 2x + 6y – 3 = 0 30.

Výška kužeľa je polovičná ako polomer jemu opísanej gule. Pomer objemu kužeľa a gule sa rovná:

(A) 1

8

(B) 1

9

(C) 2

9

(D) 3

27

(E) 3

32

Matematika 

© Scio 2020  12