matematika ii5. prednáška matematika ii, 1. sjf, km pojemfunkcieviacpremenných deﬁnícia...

MATEMATIKA II

Katedra aplikovanej matematiky a informatiky

SjF TU Košice

5. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM

5. prednáška

Diferenciálny početfunkcie viac premenných


Obsah prednášky

Funkcia viac premenných.Parciálne derivácie funkcie viac premennýchDotyková rovina a normála ku plocheLokálne extrémy funkcie dvoch premenných


Diferenciálny početfunkcie viac premenných


Pojem funkcie viac premenných

DefiníciaPravidlo (predpis), ktorým každému bodu X ∈ En priradíme najviacjednu hodnotu y ∈ R nazývame funkciou n premenných aoznačujeme

y = f (X ) alebo y = f (x1, x2, . . . , xn).

Množinu všetkých bodov X ∈ En takých, ktorým jeprostredníctvom funkcie f priradené nejaké y ∈ R nazývamedefiničným oborom funkcie f a označujeme Df .

Množinu všetkých hodnôt y ∈ R takých, ktoré sú prostredníctvomfunkcie f priradené nejakému bodu X ∈ En nazývame oboromhodnôt funkcie f a označujeme Hf .


Obor definície funkcie

Nájdime obor definície nasledujúcich funkciíPríklad 1.

f (x , y) =1y+

3x − y + xyx

Príklad 2.f (x , y) =

1y2 − x2

Príklad 3.f (x , y) = ln(x2 + y2 − 4)

Príklad 4.

f (x , y) = arcsiny − 1x



Grafom funkcie f , definovanej na množine Df ⊂ En, rozumiememnožinu G všetkých takých bodov

Y = [x1, x2, . . . , xn, f (x1, x2, . . . , xn)] ∈ En+1,

teda prvých n súradníc bodu Y určuje bodX = [x1, x2, . . . , xn] ∈ Df a (n + 1)-vá súradnica bodu Y jef (x1, x2, . . . , xn).



Poznámka:

Podobne ako pri funkcii jednej reálnej premennej zavádzame pojmyohraničenosť,maximum, minimum,spojitosť,limitu (pre limitu platia analogické vety).


Parciálne derivácie



DefiníciaNech funkcia f (X ), resp. f (x1, x2, . . . , xn) je definovaná na nejakomokolí bodu A = [a1, a2, . . . , an]. Deriváciu tejto funkcie (pokiaľexistuje) v čísle ai , t.j. limitu

limxi→ai

f (a1, a2, . . . , ai−1, xi , ai+1, . . . , an)− f (a1, . . . , ai−1, ai , ai+1, . . . , an)xi − ai

nazývame parciálnou deriváciou funkcie f (X ) podľa premennejxi v bode A.



Označenie:[∂f

∂xi

]A

alebo∂f (A)

∂xialebo

∂f (a1, a2, . . . , an)

∂xi,

f ′xi (A) alebo f′xi(a1, a2, . . . , an)



Spôsob derivovania:Pri výpočte parciálnej derivácie funkcie f (X ) podľa premennejxi postupujeme rovnako, ako pri výpočte derivácie funkciejednej reálnej premennej.

Za premennú však považujeme len xi , ostatné premennépovažujeme za konštanty.



Spôsob derivovania:Pri výpočte parciálnej derivácie funkcie f (X ) podľa premennejxi postupujeme rovnako, ako pri výpočte derivácie funkciejednej reálnej premennej.Za premennú však považujeme len xi , ostatné premennépovažujeme za konštanty.



Špeciálne pre z = f (x , y):

∂f (x , y)

∂x= f ′x ,

∂f (x , y)

∂y= f ′y .



Vypočítajme parciálne derivácie funkcie f (X ) podľa jednotlivýchpremennýchPríklad 1.

f (x , y) = arctg(x2 + y2)

Príklad 2.f (x , y) = 3x3 + 4x2y − 7y4 + y x

Príklad 3.

f (x , y) = sin x · arctgxy+

x2y2

3+ x3y+ (3y + 5)4x

Príklad 4. Dokážme, že funkcia z = y2 sin(x2 − y2) vyhovujerovnici

y2∂z

∂x+ xy

∂z

∂y= 2xz


Parciálne derivácie vyšších rádov

Uvažujme funkciu f = f (x1, x2, . . . , xn). Vo všeobecnosti súparciálne derivácie ∂f∂xi , i = 1, 2, . . . , n opäť funkcie premennýchx1, x2, . . . , xn a môžeme nájsť (ak existujú) ich parciálne derivácie

∂

∂xj

(∂f

∂xi

)i , j = 1, 2, . . . , n,

ktoré nazývame parciálne derivácie druhého rádu funkcie f .



Označenie:

∂

∂xj

(∂f

∂xi

)=

∂2f

∂xi∂xj= f ′′xixj i , j = 1, 2, . . . , n,

∂

∂xi

(∂f

∂xi

)=∂2f

∂x2i= f ′′xixi i = 1, 2, . . . , n.



Špeciálne pre z = f (x , y):

∂

∂y

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂x∂y= f ′′xy ,

∂

∂x

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂y∂x= f ′′yx ,

∂

∂x

(∂f

∂x

)=∂2f

∂x2= f ′′xx ,

∂

∂y

(∂f

∂y

)=∂2f

∂y2= f ′′yy .



Vypočítajme všetky druhé parciálne derivácie funkcie f (X )Príklad 1.

f (x , y) = x3 + 4x4y + y6



Podobne môžeme definovať parciálne derivácie tretieho a vyššíchrádov.Napríklad

∂

∂x

(∂2f

∂y∂z

)=

∂3f

∂y∂z∂x= f ′′′yzx ,

∂

∂x

(∂2f

∂y∂x

)=

∂3f

∂y∂x2= f ′′′yxx .

Veta

Nech existujú spojité ∂2f

∂xi∂xj, ∂

2f∂xj∂xi

, potom ∂2f

∂xi∂xj= ∂

2f∂xj∂xi

.



Vypočítajme parciálne derivácie tretieho ráduPríklad 1.

f (x , y) = x3y2 − 4xy4 + x2y


Lokálne extrémy funkcie viac premenných



DefiníciaHovoríme, že funkcia y = f (x1, x2, . . . , xn) nadobúda v bode Alokálne maximum (minimum), ak existuje δ-okolie Oδ(A)bodu A také, že pre každý bod X , X ∈ Oδ(A) ∩ Df , platí

f (X ) ≤ f (A), (f (X ) ≥ f (A)).

Ak pre každý bod X , X ∈ Oδ(A) ∩ Df , X 6= A, platí

f (X ) < f (A), (f (X ) > f (A)),

hovoríme, že funkcia f nadobúda v bode A ostré lokálnemaximum (minimum).

Body, v ktorých funkcia f nadobúda lokálne minimá a lokálnemaximá, nazývame lokálnymi extrémami funkcie f .



VetaNutná podmienka existencie lokálneho extrémuNech existujú ∂f (A)∂x1 ,. . . ,

∂f (A)∂xn

a nech f nadobúda v bode A lokálnyextrém, potom

∂f (A)

∂x1= · · · = ∂f (A)

∂xn= 0.

Body, v ktorých sú všetky parciálne derivácie prvého rádu funkcie frovné nule, nazývame stacionárnymi bodmi funkcie f .



Nech A je bod, v ktorom sú všetky parciálne derivácie druhého rádufunkcie f spojité. Označme

aij = aji =∂2f (A)

∂xi∂xj, i , j = 1, 2, . . . , n,

D1(A) = a11, D2(A) =

∣∣∣∣ a11 a12a21 a22∣∣∣∣ ,

D3(A) =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ , . . . , Dn(A) =∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .



VetaPostačujúca podmienka existencie lokálneho extrémuNech v bode A existujú spojité parciálne derivácie druhého rádu

funkcie f a nech ∂f (A)∂x1 =∂f (A)∂x2

= · · · = ∂f (A)∂xn = 0. Ak

1 D1(A) > 0, D2(A) > 0, . . . , Dn(A) > 0, tak funkcia fnadobúda v bode A ostré lokálne minimum,

2 D1(A) < 0, D2(A) > 0, D3(A) < 0, . . . (znaky nerovnosti sapravidelne striedajú), tak funkcia f nadobúda v bode A ostrélokálne maximum,

3 pri ľubovoľnej inej kombinácii ostrých znakov nerovnosti, nežsú prípady 1 a 2, funkcia f nenadobúda v bode A lokálnyextrém.



Špeciálne pre z = f (x , y) :1 D2(A) > 0, D1(A) > 0, tak funkcia f nadobúda v bode Aostré lokálne minimum,

2 D2(A) > 0, D1(A) < 0, tak funkcia f nadobúda v bode Aostré lokálne maximum,

3 D2(A) < 0, funkcia f nenadobúda v bode A lokálnyextrém.


Lokálne extrémy funkcie dvoch premenných

Nájdime lokálne extrémy funkcie f (x , y)Príklad 1.

f (x , y) = 1+ 6x − y2 − xy − x2

Príklad 2.f (x , y) = x3 + 8y3 − 6xy

Príklad 3.f (x , y) =

2x+

4y+ xy


Dotyková rovina a normála ku grafu funkciedvoch premenných


Dotyková rovina a normála ku grafu funkcie dvochpremenných

A. Plocha v explicitnom tvare z = f (x , y)

Uvažujme funkciu dvoch premenných z = f (x , y) a bodA = [x0, y0]. Nech existujú parciálne derivácie f ′x(A), f

′y (A). Potom

rovnica dotykovej roviny ku grafu funkcie f (X ) v bode A je

f ′x(A)(x − x0) + f ′y (A)(y − y0)− (z − f (A)) = 0.



Parametrické rovnice normálovej priamky ku grafufunkcie f (X ) v bode A sú

x = x0 + f′x(A) · t

y = y0 + f′y (A) · t

z = f (A)− t, t ∈ R.



Napíšme rovnicu dotykovej roviny a normály ku grafu funkciez = f (x , y) v danom dotykovom bode.Príklad 1.

z = 3x2 + 2y2 v bode [−1, 2, 11]

Príklad 2.

z =√

19− x2 + 2y2 v bode [1, 3, 6]

Príklad 3.z = exy − 3 v bode [1, 0,−2]



B. Plocha v implicitnom tvare F (x , y , z) = 0

Uvažujme plochu P v E3 danú rovnicou F (x , y , z) = 0 a bodA = [x0, y0, z0], ktorý je bodom plochy P , t.j. F (x0, y0, z0) = 0.Nech existujú parciálne derivácie F ′x(A), F

′y (A), F

′z(A). Rovnica

dotykovej roviny ku ploche P v bode A je

F ′x(A)(x − x0) + F ′y (A)(y − y0) + F ′z(A)(z − z0) = 0.



Parametrické rovnice normálovej priamky ku ploche P vbode A sú

x = x0 + F′x(A) · t

y = y0 + F′y (A) · t

z = z0 + F′z(A) · t, t ∈ R.



Napíšme rovnicu dotykovej roviny a normály ku grafu funkcie vimplicitnom tvare F (x , y , z) = 0 v danom dotykovom bode.Príklad 1.

xy + xz + yz + 1 = 0 v bode [1, 2,−1]

Príklad 2.

x2

4+

y2

9− z

2

25= 1 v bode [2, 3, 5]

Príklad 3.

z − y − ln xz= 0 v bode [1, 1, 1]



Poznámka:

Ak je funkcia daná v explicitnom tvare, t.j.

z = f (x , y),

tak ju jednoduchou úpravou vieme prepísať na explicitný tvar

f (x , y)− z = 0F (x , y , z) = 0.


Ďakujem za pozornosť


matematika ii5. prednáška matematika ii, 1. sjf, km pojemfunkcieviacpremenných deﬁnícia...

Documents