matematika - fsb online€¦ · matematika 1 vektorski i mjesoviti produktˇ katedra za matematiku,...
TRANSCRIPT
Matematika 1Vektorski i mjesoviti produkt
Katedra za matematiku, FSB
Zagreb, 2015
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 1 / 28
Sadrzaj
Sadrzaj:
1 Vektorski produktVektorski produktSvojstva vektorskog produktaVektorski produkt u koordinatama
2 Mjesoviti produktMjesoviti produktMjesoviti produkt u koordinatama
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 2 / 28
Sadrzaj
Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Definiranje nekomutativne binarne operacije vektora iz R3
Geometrijska interpretacija vektorskog produktaMjesoviti produkt-geometrijska interpretacijaMjesoviti produkt-komplanarnost vektora
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 3 / 28
Sadrzaj
Sadrzaj:
1 Vektorski produktVektorski produktSvojstva vektorskog produktaVektorski produkt u koordinatama
2 Mjesoviti produktMjesoviti produktMjesoviti produkt u koordinatama
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 4 / 28
Vektorski produkt Vektorski produkt
Vektorski produkt
−→a
−→b
−→a ×−→b
ϕ
(1) |−→a ×−→b |= P−→a ,−→b = ab sinϕ
(2)−→a ×−→b ⊥−→a ,−→b
GLEDANO SA STRANE OD−→a ×−→b ORIJENTACIJA OD −→aPREMA
−→b MORA BITI POZI-
TIVNA
−→a ×−→b =−→0 ⇔−→a ‖−→b ⇔−→a = k
−→b
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 5 / 28
Vektorski produkt Vektorski produkt
Zadatak 1.
Za jedinicne vektore u smjeru koordinatnih osi−→i ,−→j ,−→k izracunati
vektorske produkte
−→i ×−→i , −→
j ×−→i , −→k ×−→i
−→i ×−→j , −→
j ×−→j , −→k ×−→j
−→i ×−→k ,
−→j ×−→k ,
−→k ×−→k
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 6 / 28
Vektorski produkt Vektorski produkt
Rjesenje.−→i ×−→i =
−→j ×−→j =
−→k ×−→k =
−→0−→
i ×−→j =?
|−→i ×−→j |= |−→i ||−→j |sin90◦ = 1 ·1 ·1.Dakle rezultat vektorskog mnozenja
−→i ×−→j je jedinicni vektor okomit
na ravninu odredenu s vektorima−→i ,−→j i kojem je smijer odreden
pravilom desnog vijka. Prema tome
−→i ×−→j =
−→k .
Slicno−→j ×−→i =−−→k ,
−→i ×−→k =−−→j , −→k ×−→i =
−→j ,−→k ×−→j =−−→i , −→j ×−→k =
−→i .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 7 / 28
Vektorski produkt Vektorski produkt
Rjesenje.−→i ×−→i =
−→j ×−→j =
−→k ×−→k =
−→0−→
i ×−→j =?
|−→i ×−→j |= |−→i ||−→j |sin90◦ = 1 ·1 ·1.Dakle rezultat vektorskog mnozenja
−→i ×−→j je jedinicni vektor okomit
na ravninu odredenu s vektorima−→i ,−→j i kojem je smijer odreden
pravilom desnog vijka. Prema tome
−→i ×−→j =
−→k .
Slicno−→j ×−→i =−−→k ,
−→i ×−→k =−−→j , −→k ×−→i =
−→j ,−→k ×−→j =−−→i , −→j ×−→k =
−→i .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 7 / 28
Vektorski produkt Svojstva vektorskog produkta
Svojstva vektorskog produkta
(1) (k−→a )×−→b = k(−→a ×−→b ) HOMOGENOST
(2) −→a ×−→b =−−→b ×−→a ANTIKOMUTATIVNOST
(3) −→a × (−→b +−→c ) =
−→a ×−→b +−→a ×−→c DISTRIBUTIVNOST
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 8 / 28
Vektorski produkt Svojstva vektorskog produkta
Primjer 1.
(3−→i +2
−→j )× (−−→i +
−→j +2
−→k ) =
=−3−→i ×−→i︸ ︷︷ ︸=−→0
−2−→j ×−→i +3
−→i ×−→j
+2−→j ×−→j︸ ︷︷ ︸=−→0
+6−→i ×−→k +4
−→j ×−→k
= 5−→i ×−→j +6
−→i ×−→k +4
−→j ×−→k
= 5−→k −6
−→j +4
−→i
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 9 / 28
Vektorski produkt Vektorski produkt u koordinatama
Vektorski produkt u koordinatama
−→a = a1−→i +a2
−→j +a3
−→k
−→b = b1
−→i +b2
−→j +b3
−→k
}=⇒
−→a ×−→b = a1b1−→i ×−→i +a1b2
−→i ×−→j +a1b3
−→i ×−→k
+a2b1−→j ×−→i +a2b2
−→j ×−→j +a2b3
−→j ×−→k
+a3b1−→k ×−→i +a3b2
−→k ×−→j +a3b3
−→k ×−→k
= (a2b3−a3b2)−→i +(a3b1−a1b3)
−→j +(a1b2−a2b1)
−→k
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 10 / 28
Vektorski produkt Vektorski produkt u koordinatama
Kako pamtiti prethodni rezultat:
−→a ×−→b
∣∣∣∣∣∣=−→i−→j−→k
a1 a2 a3b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣=−→i∣∣∣∣ a2 a3
b2 b3
∣∣∣∣−−→j ∣∣∣∣ a1 a3b1 b3
∣∣∣∣+−→k ∣∣∣∣ a1 a2b1 b2
∣∣∣∣
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 11 / 28
Vektorski produkt Vektorski produkt u koordinatama
Kako pamtiti prethodni rezultat:
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k
a1 a2 a3b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣==−→i∣∣∣∣ a2 a3
b2 b3
∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸=a2b3−a3b2
−−→j∣∣∣∣ a1 a3
b1 b3
∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸=a1b3−a3b1
+−→k∣∣∣∣ a1 a2
b1 b2
∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸=a1b2−a2b1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 12 / 28
Vektorski produkt Vektorski produkt u koordinatama
Primjer 2.
(3−→i −2
−→j +−→k )× (2
−→i −3
−→j +2
−→k ) = (3,−2,1)× (2,−3,2)
=
∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k
3 −2 12 −3 2
∣∣∣∣∣∣=−→i [(−2) ·2− (−3) ·1]−−→j [3 ·2−2 ·1]+−→k [3 · (−3)−2 · (−2)]
=−−→i −4−→j −5
−→k
= (−1,−4,−5)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 13 / 28
Vektorski produkt Vektorski produkt u koordinatama
Zadatak 15.
Izracunati vektorski produkt −→a ×−→b ako je
(1) −→a = (1,2,3),−→b = (1,−2,0)
(2) −→a = (0,1,1),−→b = (4,−1,2)
(3) −→a = (2,−1,3),−→b = (−4,2,−6)
Rjesenje.
(1) 6−→i +3
−→j −4
−→k = (6,3,−4)
(2) 3−→i +4
−→j −4
−→k = (3,4,−4)
(3)−→0 = (0,0,0)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 14 / 28
Vektorski produkt Vektorski produkt u koordinatama
Zadatak 15.
Izracunati vektorski produkt −→a ×−→b ako je
(1) −→a = (1,2,3),−→b = (1,−2,0)
(2) −→a = (0,1,1),−→b = (4,−1,2)
(3) −→a = (2,−1,3),−→b = (−4,2,−6)
Rjesenje.
(1) 6−→i +3
−→j −4
−→k = (6,3,−4)
(2) 3−→i +4
−→j −4
−→k = (3,4,−4)
(3)−→0 = (0,0,0)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 14 / 28
Vektorski produkt Vektorski produkt u koordinatama
Zadatak 16.Izracunati povrsinu paralelograma komu su vektori−→a = (2,−1,3),
−→b = (2,1,1) dvije stranice. Kolika je povrsina trokuta
komu su −→a i−→b stranice?
Rjesenje.
P = |−→a ×−→b |.
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k
2 −1 32 1 1
∣∣∣∣∣∣= (−4,4,4)⇒
P = |−→a ×−→b |=√
16+16+16 = 4√
3.P4 = 1
2P = 2√
3.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 15 / 28
Vektorski produkt Vektorski produkt u koordinatama
Zadatak 16.Izracunati povrsinu paralelograma komu su vektori−→a = (2,−1,3),
−→b = (2,1,1) dvije stranice. Kolika je povrsina trokuta
komu su −→a i−→b stranice?
Rjesenje.
P = |−→a ×−→b |.
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k
2 −1 32 1 1
∣∣∣∣∣∣= (−4,4,4)⇒
P = |−→a ×−→b |=√
16+16+16 = 4√
3.P4 = 1
2P = 2√
3.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 15 / 28
Vektorski produkt Vektorski produkt u koordinatama
Zadatak 17.Izracunaj povrsinu trokuta komu su vrhoviA(1,−1,2), B(2,3,1), C(0,2,−1).
Rjesenje.
P4ABC =12|−→AB×−→AC|
−→AB×−→AC =
∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k
1 4 −1−1 3 −3
∣∣∣∣∣∣= (−9,4,7)
P4ABC =12
√81+16+49 =
12
√146
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 16 / 28
Vektorski produkt Vektorski produkt u koordinatama
Zadatak 17.Izracunaj povrsinu trokuta komu su vrhoviA(1,−1,2), B(2,3,1), C(0,2,−1).
Rjesenje.
P4ABC =12|−→AB×−→AC|
−→AB×−→AC =
∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k
1 4 −1−1 3 −3
∣∣∣∣∣∣= (−9,4,7)
P4ABC =12
√81+16+49 =
12
√146
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 16 / 28
Vektorski produkt Vektorski produkt u koordinatama
Zadatak 18.(a) Napisi neki vektor koji je okomit na ravninu trokuta4ABC, A(1,2,−1), B(2,1,0), C(0,2,1).(b) Napisi jedinicni vektor(vektor duljine 1) okomit na ravninu trokuta4ABC.
Rjesenje.(a)
−→n =−→AB×−→AC (
−→n ⊥4ABC)
−→n =
∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k
1 −1 1−1 0 2
∣∣∣∣∣∣= (−2,−3,−1)
(b)
−→n0 =−→n|−→n |
=1√
4+9+1(−2,−3,−1) =
( −2√14
,−3√14
,−1√14
)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 17 / 28
Vektorski produkt Vektorski produkt u koordinatama
Zadatak 18.(a) Napisi neki vektor koji je okomit na ravninu trokuta4ABC, A(1,2,−1), B(2,1,0), C(0,2,1).(b) Napisi jedinicni vektor(vektor duljine 1) okomit na ravninu trokuta4ABC.
Rjesenje.(a)
−→n =−→AB×−→AC (
−→n ⊥4ABC)
−→n =
∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k
1 −1 1−1 0 2
∣∣∣∣∣∣= (−2,−3,−1)
(b)
−→n0 =−→n|−→n |
=1√
4+9+1(−2,−3,−1) =
( −2√14
,−3√14
,−1√14
)Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 17 / 28
Vektorski produkt Vektorski produkt u koordinatama
Zadatak 19.Napisi implicitnu jednadzbu ravnine koja sadrzi tocke
A(1,2,1), B(−1,2,0), C(1,−2,3).
Rjesenje.Za vektor normale uzet cemo
−→AB×−→AC =
∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k
−2 0 −10 −4 2
∣∣∣∣∣∣= (−4,4,8)
Uocimo da za normalu −→n mozemo uzeti (kolinearni) vektor−→n = (−1,1,2). Kod odredivanja jednadzbe ravine uzmimo jos tocku A :
n1(x−a1)+n2(y −a2)+n3(z−a3) = 0⇒
−1(x−1)+(y −2)+2(z−1) = 0⇒ −x +y +2z−3 = 0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 18 / 28
Vektorski produkt Vektorski produkt u koordinatama
Zadatak 19.Napisi implicitnu jednadzbu ravnine koja sadrzi tocke
A(1,2,1), B(−1,2,0), C(1,−2,3).
Rjesenje.Za vektor normale uzet cemo
−→AB×−→AC =
∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k
−2 0 −10 −4 2
∣∣∣∣∣∣= (−4,4,8)
Uocimo da za normalu −→n mozemo uzeti (kolinearni) vektor−→n = (−1,1,2). Kod odredivanja jednadzbe ravine uzmimo jos tocku A :
n1(x−a1)+n2(y −a2)+n3(z−a3) = 0⇒
−1(x−1)+(y −2)+2(z−1) = 0⇒ −x +y +2z−3 = 0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 18 / 28
Mjesoviti produkt Mjesoviti produkt
Mjesoviti produkt
−→a
−→b
−→a ×−→b
−→v
B
−→c
Neka vektori −→a ,−→b ,−→c cine
desni sustav.
(−→a ×−→b ) · −→c = (
−→a ×−→b ) · −→v =
|−→a ×−→b ||−→v |= Bv
(−→a ×−→b ) ·−→c = V
VOLUMENPARALEPIPEDAODREDENOG S−→a ,
−→b ,−→c
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 19 / 28
Mjesoviti produkt Mjesoviti produkt
Mjesoviti produkt
AKO VEKTORI −→a ,−→b ,−→c CINE LIJEVI SUSTAV DOBIVAMO
REZULTAT SUPROTNOG PREDZNAKA. DAKLE, BILO KOJIPOREDAK VEKTORA −→a ,
−→b ,−→c U MJESOVITOM PRODUKTU
UVIJEK DAJE V ILI −V .
(−→a ×−→b ) ·−→c = 0⇐⇒
−→a ,−→b ,−→c
LEZE U ISTOJRAVNINI
(KOMPLANARNI SU)
Primjer.
(−→i ×−→j ) ·−→k = 1, (
−→j ×−→i ) ·−→k =−1, (
−→k ×−→i ) ·−→j = 1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 20 / 28
Mjesoviti produkt Mjesoviti produkt
Mjesoviti produkt
AKO VEKTORI −→a ,−→b ,−→c CINE LIJEVI SUSTAV DOBIVAMO
REZULTAT SUPROTNOG PREDZNAKA. DAKLE, BILO KOJIPOREDAK VEKTORA −→a ,
−→b ,−→c U MJESOVITOM PRODUKTU
UVIJEK DAJE V ILI −V .
(−→a ×−→b ) ·−→c = 0⇐⇒
−→a ,−→b ,−→c
LEZE U ISTOJRAVNINI
(KOMPLANARNI SU)
Primjer.
(−→i ×−→j ) ·−→k = 1, (
−→j ×−→i ) ·−→k =−1, (
−→k ×−→i ) ·−→j = 1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 20 / 28
Mjesoviti produkt Mjesoviti produkt u koordinatama
Mjesoviti produkt u koordinatama
−→a · (−→b ×−→c ) = (a1,a2,a3) ·
∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k
b1 b2 b3c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣
a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣
Primjer.
(1,−1,2) · ((2,0,1)× (−2,2,0)) =
∣∣∣∣∣∣1 −1 22 0 1−2 2 0
∣∣∣∣∣∣= 1 · [0 ·0−2 ·1]− (−1) · [2 ·0− (−2) ·1]+2 · [2 ·2− (−2) ·0] = 8
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 21 / 28
Mjesoviti produkt Mjesoviti produkt u koordinatama
Mjesoviti produkt u koordinatama
−→a · (−→b ×−→c ) = (a1,a2,a3) ·
∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k
b1 b2 b3c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣
a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣Primjer.
(1,−1,2) · ((2,0,1)× (−2,2,0)) =
∣∣∣∣∣∣1 −1 22 0 1−2 2 0
∣∣∣∣∣∣= 1 · [0 ·0−2 ·1]− (−1) · [2 ·0− (−2) ·1]+2 · [2 ·2− (−2) ·0] = 8
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 21 / 28
Mjesoviti produkt Mjesoviti produkt u koordinatama
Zadatak 20.
Za vektore −→a = (1,0,−1),−→b = (2,2,−1), −→c = (3,−1,2) izracunati
mjesoviti produkt (−→a ×−→b ) ·−→c
Rjesenje.
(−→a ×−→b ) ·−→c =
∣∣∣∣∣∣3 −1 21 0 −12 2 −1
∣∣∣∣∣∣= 11.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 22 / 28
Mjesoviti produkt Mjesoviti produkt u koordinatama
Zadatak 20.
Za vektore −→a = (1,0,−1),−→b = (2,2,−1), −→c = (3,−1,2) izracunati
mjesoviti produkt (−→a ×−→b ) ·−→c
Rjesenje.
(−→a ×−→b ) ·−→c =
∣∣∣∣∣∣3 −1 21 0 −12 2 −1
∣∣∣∣∣∣= 11.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 22 / 28
Mjesoviti produkt Mjesoviti produkt u koordinatama
Zadatak 21.(1) Izracunati volumen paralelepipeda kojemu su tri brida vektori−→a = (1,1,2),
−→b = (2,−1,2), −→c = (0,1,4).
(2) Koliki je volumen tetraedra s bridovima −→a ,−→b ,−→c .
(3) Izracunati visinu paralelepipeda spustenu na bazu sa stranicama−→a i−→b .
Rjesenje.(1)
−→a · (−→b ×−→c ) =
∣∣∣∣∣∣1 1 22 −1 20 1 4
∣∣∣∣∣∣=−10⇒
V = 10
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 23 / 28
Mjesoviti produkt Mjesoviti produkt u koordinatama
Zadatak 21.(1) Izracunati volumen paralelepipeda kojemu su tri brida vektori−→a = (1,1,2),
−→b = (2,−1,2), −→c = (0,1,4).
(2) Koliki je volumen tetraedra s bridovima −→a ,−→b ,−→c .
(3) Izracunati visinu paralelepipeda spustenu na bazu sa stranicama−→a i−→b .
Rjesenje.(1)
−→a · (−→b ×−→c ) =
∣∣∣∣∣∣1 1 22 −1 20 1 4
∣∣∣∣∣∣=−10⇒
V = 10
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 23 / 28
Mjesoviti produkt Mjesoviti produkt u koordinatama
Rjesenje.(2)
Vtetr =16
Vpp =53
(Kliknite na sliku.)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 24 / 28
Mjesoviti produkt Mjesoviti produkt u koordinatama
Rjesenje.(3)
V = B ·hB
B = |−→a ×−→b |=√
29⇒
hB =10√29
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 25 / 28
Mjesoviti produkt Mjesoviti produkt u koordinatama
Zadatak 22.Izracunati volumen tetraedra s vrhovima
A(2,−3,−1), B = (0,4,1), C = (−1,1,1), D(3,2,0).
Rjesenje.
−→AB · (−→AC×−→AD) =
∣∣∣∣∣∣−2 7 2−3 4 21 5 1
∣∣∣∣∣∣= 9⇒
Vtetr =96=
32
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 26 / 28
Mjesoviti produkt Mjesoviti produkt u koordinatama
Zadatak 22.Izracunati volumen tetraedra s vrhovima
A(2,−3,−1), B = (0,4,1), C = (−1,1,1), D(3,2,0).
Rjesenje.
−→AB · (−→AC×−→AD) =
∣∣∣∣∣∣−2 7 2−3 4 21 5 1
∣∣∣∣∣∣= 9⇒
Vtetr =96=
32
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 26 / 28
Mjesoviti produkt Mjesoviti produkt u koordinatama
Zadatak 23.
Leze li vektori −→a ,−→b ,−→c u istoj ravnini?
(1) −→a = (1,0,2)−→b = (2,−1,3)−→c = (2,1,4)
(2) −→a = (−1,1,3)−→b = (2,3,1)−→c = (5,0,−8)
Rjesenje.(1)
−→a · (−→b ×−→c ) =
∣∣∣∣∣∣1 0 22 −1 32 1 4
∣∣∣∣∣∣= 1 6= 0⇒
Ne leze u istoj ravnini.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 27 / 28
Mjesoviti produkt Mjesoviti produkt u koordinatama
Zadatak 23.
Leze li vektori −→a ,−→b ,−→c u istoj ravnini?
(1) −→a = (1,0,2)−→b = (2,−1,3)−→c = (2,1,4)
(2) −→a = (−1,1,3)−→b = (2,3,1)−→c = (5,0,−8)
Rjesenje.(1)
−→a · (−→b ×−→c ) =
∣∣∣∣∣∣1 0 22 −1 32 1 4
∣∣∣∣∣∣= 1 6= 0⇒
Ne leze u istoj ravnini.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 27 / 28
Mjesoviti produkt Mjesoviti produkt u koordinatama
Rjesenje.(2)
−→a · (−→b ×−→c ) =
∣∣∣∣∣∣−1 1 32 3 15 0 −8
∣∣∣∣∣∣= 0⇒
Leze u istoj ravnini.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 28 / 28