Matematika II.

1. előadás

Műszaki térinformatikai 2014/2015. tanévszakirányú továbbképzési szak őszi félév

Lineáris programozás

• Miért lineáris ?

• Lássunk egy példát!

• A feladat:– Szendvicsek gyártása egy házibulira!

– Alapanyagok:• 120 dkg vaj

• 100 dkg sonka

• 200 dkg sajt

• 20 db főtt kemény tojás

Lineáris programozás

• A szendvicsek típusai:– A típus (x1 darab):

• 3 dkg vaj

• 3 dkg sonka

• 2 dkg sajt

• 1/4 db tojás

– B típus (x2 darab):• 2 dkg vaj

• 1 dkg sonka

• 5 dkg sajt

• 1/2 db tojás

Lineáris programozás

• Mi a feladat?– A lehető legtöbb szendvics elkészítése az alap-

anyagokból (kenyér korlátlanul rendelkezésre áll).

• Matematikai modell:x1 >= 0; x2 >= 0 (negatív mennyiség ?)

3·x1 + 2·x2 <= 120 (vajas feltétel)

3·x1 + x2 <= 100 (sonkás feltétel)

2·x1 + 5·x2 <= 200 (sajtos feltétel)

1/4·x1 + 1/2·x2 <= 20 (tojásos feltétel)

• Célfüggvény: z = x1 + x2 max.

Lineáris programozás

• Grafikus megoldás:1. lépés:a „vajas” egyenes

A félterek irányítása

2. lépés:a többi egyenes

A lehetséges megoldások halmaza

A célfüggvény egyenesei 3. lépés: Optim. megoldás

Lineáris programozás

• Tapasztalatok a feladat kapcsán:– A lehetséges megoldások halmaza a síknak

egyenesekkel határolt tartománya

– Az azonos célfüggvény-értékkel rendelkező pontok egy párhuzamos egyenes-sereg valamelyik egyenesén fekszenek

– A max. célfüggvény-értéket ezen egyenesek párhuzamos eltolásával kaphatjuk meg

Lineáris programozás

• A grafikus megoldás elemzése:

A Szimplex módszer

• A feladat:– Adott egy m egyenlőtlenségből álló n változós

lineáris egyenlőtlenségrendszer és egy n változós lineáris függvény;

– Az egyenlőtlenségrendszer együtthatómátrixa legyen A;

– Az egyenlőtlenségrendszer jobb oldalán álló paraméterek m dimenziós vektora legyen b;

– A célfüggvény paramétereit fejezze ki a c*; n dimenziós sorvektor;

A Szimplex módszer

• A lineáris programozás általános feladata ezek alapján a következő:

A x <= b; x >= 0

z = c* x max.!• Észrevételek:

– A feltételrendszerben lehetnek <= és >= irányú egyenlőtlenségek is.

– Az esetleges egyenletek helyettesíthetők két megfelelő egyenlőtlenséggel.

– A maximum-feladat helyett szerepelhet minimum-feladat is, ha a -c* vektorral dolgozunk.

A Szimplex módszer

• A lineáris programozási feladatat kanonikus alakja a következő:

A x = b; x >= 0

z = c* x max.!

• Észrevételek:– Az általános alakkal szemben itt csak egyenletek

szerepelnek;

– Az általános alak mindig átalakítható kanonikusra, néhány új változó bevonásával.

A Szimplex módszer

• Az átalakításhoz tekintsünk egy olyan általános feladatot, amelyben a következő feltételek szerepelnek:

A1 x = b1

A2 x <= b2

A3 x >= b3

x >= 0

z = c* x max.!.

A Szimplex módszer

• Az előző feltételrendszer új változók bevezetésével átalakítható az alábbira:

A1 x = b1

A2 x + Eq u = b2

A3 x - Er v = b3

x >= 0; u >= 0; v >= 0

z = c* x max.!.

A Szimplex módszer

A Szimplex módszer induló táblája az alábbi:

A Szimplex módszer

• Az algoritmus lépései:– A megoldás optimális, ha a c* minden együtthatója

negatív;

– Ha van cj > 0, akkor a legnagyobb ilyen oszlopát

vizsgáljuk;

– Megkeressük azt a ak,j> 0 számot, amelyre az xk/ak,j hányados minimális lesz, ez lesz a generáló elem;

– Elvégezzük az elemi bázistranszformációt úgy, hogy a j. és a k. elemet cseréljük ki egymással;

– Az eljárást az elejével folytatjuk.

A Szimplex módszer

• Megállási feltétel:– Nincs cj > 0 elem, ekkor találtunk optimális

megoldást;

– Bár még van cj > 0, de ebben az oszlopban minden

ak,j <= 0; Ebben az esetben a célfüggvény nem

korlátos, tehát nincs optimális megoldás

Példa a Szimplex módszer alkalmazására

• Egy üzemben öt különböző terméket lehet három korlátozott mennyiségben rendelkezésre álló erőforrás segítségével előállítani. Az erőforrások mennyiségét, a fajlagos ráfordításokat és az egyes termékek fajlagos hozamát a következő táblázat foglalja össze. Készítsük el az optimális termelési tervet, amely a maximális hozamot eredményezi!

Példa a Szimplex módszer alkalmazására

• A mintapélda alapadatai:

I. II. III. IV. V.

A 1 2 1 0 1 100

B 0 1 1 1 1 80

C 1 0 1 1 0 50

2 1 3 1 2

Példa a Szimplex módszer alkalmazására

• Az induló Szimplex tábla, amely egyben egy lehetséges megoldást is tartalmaz:

Mivel van cj > 0, a megoldás még nem optimá-lis. Válasszunk generáló elemet!

x1 x2 x3 x4 x5

u1 1 2 1 0 1 100

u2 0 1 1 1 1 80

u3 1 0 1 1 0 50

2 1 3 1 2 0

Példa a Szimplex módszer alkalmazására

• Az első transzformáció nyomán kapott Szimplex tábla:

Ismét van cj > 0, a megoldás még mindig nem optimális. Válasszunk újabb generáló elemet!

x1 x2 u3 x4 x5

u1 0 2 -1 -1 1 50

u2 -1 1 -1 0 1 30

x3 1 0 1 1 0 50

-1 1 -3 -2 2 -150

Példa a Szimplex módszer alkalmazására

• A második transzformáció nyomán kapott Szimplex tábla:

Még van cj > 0, a megoldás még mindig nem optimális. Válasszunk újra generáló elemet!

x1 x2 u3 x4 u2

u1 1 1 0 -1 -1 20

x5 -1 1 -1 0 1 30

x3 1 0 1 1 0 50

1 -1 -1 -2 -2 -210

Példa a Szimplex módszer alkalmazására

• A harmadik transzformáció nyomán kapott Szimplex tábla:

Itt már az összes cj < 0, a megoldás tehát opti-mális.

u1 x2 u3 x4 u2

x1 1 1 0 -1 -1 20

x5 1 2 -1 -1 0 50

x3 -1 -1 1 2 1 30

-1 -2 -1 -1 -1 -230

A mintapélda megoldása

• Az optimális termelési stratégia az előbbiek alapján tehát az, ha a vállalat a következő-képpen jár el:– I. termék: 20 egység

– II. termék: 30 egység

– V. termék: 50 egység

• Ekkor a tiszta hozam:– z = 230

Módosított mintapélda

• A módosított mintapélda alapadatai (a IV. termék fajlagos tiszta hozama 1-ről 2-re nő):

I. II. III. IV. V.

A 1 2 1 0 1 100

B 0 1 1 1 1 80

C 1 0 1 1 0 50

2 1 3 2 2

Állítsuk elő a megoldást!