Via tehnika kola Doboj

Predavanja

Mr. Duko Joji

vii predava

Doboj 2003OBLASTI

I semestar1. Kompleksni brojevi Matematika indukcija binomni obrazac

2. Sistemi jednainaMatrice i determinante

3. Vektori u prostoru i operacije sa vektorimaAnalitika geometrija u prostoruII semestar

4. Funkcije i izvodi

5. Integrali neodreeni - metoda zamjene promjenljivih

- metod parcijalne integracije

- integracija racionalnih funkcija

odreeni - primjena integrala

6. Diferencijalne jednaine diferencijalne jednaine I reda

diferencijalne jednaine II reda sa konstantnim koeficijentima

homogena

linearna

Bernnoulijeva

Brojevita je broj ? Teko !

Ne moemo precizno opisati ta je to , ali pokuajmo !

1 2 3 4 5 6 7 8 9 - prirodni brojeviNajmanji prirodni broj koji postoji je jedan (1).

Svaki prirodni broj ima svog sljedbenika.

Ne postoji najvei prirodni broj.

N skup prirodnih brojeva

N0 = N {0}

X+3 =7 5+Y=2

X=7-3 Y=2-5

X=4 Y=-3 NCijeli brojevi { Z }. . . . . . . . .

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Z skup cijelih brojeva

X+Y = Z

Y=Z-XU skupu prirodnih brojeva nema najmanjeg broja

3X=15

X=15:3 =5

Racionalni brojevi (razlomci) { Q }5X=2Q ={ ; m Z , n N }X=2:5 . . . . . .

0 1

;

Teorema :

Izmeu svaka dva racionalna broja postoji racionalni broj (njihov poluzbir).Izmeu svaka dva racionalna broja postoji beskonano racionalnih brojeva.c2 =a2+b2

d =a

b c 1 d = Pitanje?

1 Da li Q a Pretpostavimo Q

= m Z , n N m i n su skraeni

NZD (m,n) =1

2= 2n2=m2 je paran

paran

2n2=4k2 n2=2k2Primjer :

Q

I iracionalni brojevi , oni koji ne mogu da se napiu kao razlomak

,, , e IQI = R skup realnih brojeva

X2 - 5 =0X2 + 1 =0 i = - imaginarna jedinicaX2=5X2=-1X=

X =

i2= -1

i3=-i

i4=1

Kompleksni brojevi

C Z C Z=x+iy x,yR

Z=2-3i ; Z= ; Z=2 ;

I R

Q

Z

N

Polje kompleksnih brojeva C = { a+bi , a,b R } { (a,b) : a,b R }

Z=3-4i C ReZ =3 ; ImZ =-4 ;Sabiranje i oduzimanje kompleksnih brojeva

Z1=a1+ib1Z1Z2 =(a1+a2) (b1+b2)i Z2=a2+ib2Z. Ako je Z1=2-3i Z2=-2+3i izraunaj

3Z1 2Z2 =6 9i (-4 +6i)=6+4-9i -6i =10 -15i(a+bi)(x+yi)=ax+ayi+xbi-by=ax-by+ayi+bxiPrimjer:

(3-2i)(1+i)=3-2i+3i+2=5+iDefinicija:

Neka je Z=a+bi neki kompleksan broj definiimo =a-bi (konjugovan broj broju Z)

Z=3-2i =3+2i Z=(a+bi)(a-bi)=a2+b2=

Z=-7i =7i - kvadrat modula kompleksnog brojaZ=2 =2 Z=a+bi = A2-B2 =(A-B)(A+B)512-492=(51-49)(51+49)=200

Dijeljenje kompleksnih brojeva

Primjer :

1.

2. Odredi realni i imaginarni dio kompleksnog broja

ReZ= ImZ=03.

Geometrijska interpretacija kompleksnih brojevaC = { a+bi , a,b R } Z=a+bi (a,b)=(ReZ, ImZ) Im Z=3+2i

Z=3+2i (a,b)Z=a+bi

Reb a

(a,-b)

= a2+b2

Skiciraj u koordinatnioj ravni kompleksne brojeve kojima je modul jednak jedinici. a.)

=1b.) 1 < 2

c.) skiciraj u koordinatnom sistemu skup onih kompleksnih brojeva kojima je modul od 2

ReZ < 1 ImZ > -

- udaljenost take a,b od take ( 0,0 )

=1

=1

a2+b2=12 i

-1 1

1

1 2 - i

Neto malo trigonometrije :

A c

b 1

BaC

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

0

=argZ=ugao izmeu x- ose i prave

Z=a+bi Z je zadan sa

b

a 2

Primjer:

Korijenovanje kompleksnih brojeva

Kompleksni brojevi

Eulorov oblik

Y(Im) b (a,b);Z=a+bi

a X(Re) Stepeni i korijeni kompleksnih brojeva

Teorema: a)

b)

c)

Dokaz:

1.

Nai modul

2.Izraunati

Moe da se rastavi kao proizvod linearnih parova.

Problem :Rastavljanje polinoma na faktore stepena

gdje su x1 i x2 rijeenja.

Primjer :

Ne mora svaka jednaina da ima realna rijeenja.

Primjer :

Teorema:

U skupu kompleksnih brojeva svaki polinom moemo faktorisati kao proizvod linearnih faktora.

Teorema:

Ako je Z=a+bi nula polinoma p(x) onda je takoer nula za polinom p(x).

Matematika indukcija

N skup prirodnih brojeva N ={1,2,3,4,5}

ima poetak (jedan je najmanji prirodan broj).

svaki ima svog sljedbenika

nije ogranien (ne postoji najvei).

takav da vrijedi a.)

b.) ako je onda je i

Tada je S=N , ovo je aksioma matematike indukcije.

Zadatak :

Dokai da je

Dokaz :

I sluaj : Za n=1

II sluaj : Za n=k tada pretpostavimo da je jednakost tana, pa e biti

III sluaj : Za (k+1)

to je i trebalo dokazati!

a)

b)

Domai zadatak:

Binomna formula

Za def.

0!=1

Za prirodne brojeve n i k 0 k n definiemo od n biramo k

Binomna formula Broj naina kako iz skupa od n elemenata moe da se izabere podskup od k elemenata je tano

Primjer :

A={a,b,c,d,e}

Zadatak :

Dokaz :

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1 1 4 6 4 1 Pascalov trokut

Primjer:

Teorema : (Binomna formula)

Za svaki prirodan broj

Dokaz :

I nain : ako iz i - zagrada odaberete x iz ostalih n-i zagrada birate y i kao proizvod dobije .To se pojavi puta (broj i lanih podskupova

II nain : Matematikom indukcijom

n=1

Pretpostavimo da vrijedi za n

Sistemi linearnih jednaina

Sistem linearnih jednaina je skup m jednaina oblika :

a11 x1 +a12 x2 + + a1 n x n =b1

2219a21 x1 +a22 x2 + + a2 n xn =b2

am 1 x1 + am 2 x2 + +am n x n =bm

aij - koeficijenti x1,x2 nepoznate b1,b2 - slobodni lanovi

Primjer :

2x - y =3 x 2y =5 3x y = 7 / (-2)

x + y =0 -2x+4y =-10 6x 2y =8

x =1 0+0 =0 0+0 = -6 y =-1 y bude bilo koji broj t 0 =-6

sistem ima jedinstveno x=5+2y =5+2t sistem je nemogurijeenje (5+2t , t ) t=0 (5,0) nema rijeenja sistem ima beskonano

mnogo rijeenja

Gaussova metoda eliminacije

Ideja :

a11x + a12y + a13 z =b1 / * *

a21x + a22y + a23z = b2 a31x + a32 y + a33 z = b3 START a11x + a12y + a13 z =b1

py + qz = r

ky + lz = s

a11x + a12y + a13 z =b1

py + qz = r Trougaoni sistem tz = d

t=z zamjena

Ovaj sistem je nemogu sistem ima beskonano mnogo rijeenja

Sistemi jednaina sa parametrima

Rijei sistem jednaina

Ako je p-6 0 tada mora biti y=0, a x=3 tada su x=3 i y =0 jedinstvena rjeenja sistema.

ta ako je p = 6 ? 0y=0 x+2y =3 / 3

3x +6y=9

y=t (3-2t , t ) za p=6Rijei sistem jednaina u zavisnosti od parametra a

/(-a) ako je a=0 tada je x=0 i y =1

Kada je (1-a2)0 tj. a tada x mora da bude jednak nuli

x=0 , y=1 to su jedinstvena rjeenja

x+y=1

x+y=10=0 ima beskonano mnogo rjeenja y=t

(1-t , t ) / - (m-1) m-1=0 m=1 x+z=1

x+y=0

x+z=1Za m=1 sistem je nemogu

/(-m(2-m))

za m=-1 sistem je nemogu

Za m2 m1 m-1 ovo su jedinstvena rjeenja, za m=1 m=-1 m =2 sistem je nemoguMatrice i determinante

Matrica = tabela

vrste m

a13=4 kolone n a22=-2Matrica je tipa mn =32Operacije sa matricama

Mnoenje matrice sa brojem

1 i m 1 j n

1 i m 1 j n

Sabiranje i oduzimanje matrica

Mogu se sabirati i oduzimati samo matrice istog tipa :

1 i m 1 i m 1 j n 1 j n

Pitanje :

Da li za kvadratnu matricu A postoji matrica A-1 takva da AA-1=A-1A=I

Ako postoji onda se matrina jednaina (dolazi iz sistema) AX=B moe rijeiti :

A-1AX=A-1B

IX=A-1B

X=A-1B

Determinante Determinanta je broj koji se po odreenim pravilima dodijeli kvadratnoj matrici.

Sarusovo pravilo

Razvijanje determinante po nekoj vrsti ili koloni

Ako se vrst ili kolona determinante doda pomnoena sa nekim brojem nekoj drugoj vrsti ili koloni determinante vrijednost determinante se ne mijenja.

Kada dobijete trougaonu matricu, onda je proizvod matrica poroizvod dijagonale matrice.

Teorema :

A-1 postoji samo ako je det [A] 0 !

Aij - algebarski komplement

nai A-1

Sistemi linearnih jednaina

a11x + a12y + a13z = b1a21x + a22y + a23z = b2a31x + a32y + a33z = b3

det A 0 ; Tada sistem ima jedinstvena rjeenja

Pretpostavimo da je det A 0

tada je X=A-1B

Kramerovo pravilo

Ako je det A = 0 onda sistem ima jedinstvena rjeenja i rjeenja su :

gdje je

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 sistem linearnih

jednaina

Nai

Sistem nema NE DA

jedinstveno 0

rjeenja

Gauss

nem. 0=1 neodr. 0=0

OPII GA ! KRAJ

Rijei sistem jednaina u zavisnosti od parametara p

Za koje je 0

p2-1=0

p=1

Rijei sistem jednaina u zvisnosti od parametra m

Za m2 i m-1 sistem ima jedinstveno rjeenje :

Za m=2

Za m=2 sistem je nemoguZa m=-1

Za m=-1 sistem je neodreen

za

Homogeni sistem linearnih jednaina

Sistem linearnih jednaina je homogen, ako su svi slobodni lanovi bi=0.

x=y=0 (Trivijalno rjeenje)

Svaki homogen sistem ima bar jedno (trivijalno) rjeenje.Homogen sistem ima netrivijalnih rjeenjaako i samo ako je =0.

Imae netrivijalnih rjeenja kada je a=1

-Vektori u R3(prostoru)-

Koordinatni sistem u R3Vektori i operacije sa vektorima

ta je vektor?Skalarna Vektorska

temperatura brzina

20c v=

D BL Skalarne

intezitetom

Vektorske

intezitetom, pravcem, smjerom.

Vektor = orijentisana du

B

B D A

A

C

y

vektor u ravni

2

1 j x i 0 1 2 3 Sabiranje i mnoenje vektora sa brojem (skalar)

Nula vektor

- vektor - intezitet vektora

- vektor iji je pravac isti kao i kod vektora ;smijer je isti kao kod , ako je , a suprotan ako je .

- x osi y

- y osi

1 Ty T

Tx x 0 1 2

Vektor u ravni je par ureenih parova u realnoj ravni.

Vektor u prostoru

z - vektor u prostoru

y

i

x

Linearna kombinacija vektora i skalara je vektor

.

Svaki vektor u ravni je neka linearna kombinacija i .

Svaki vektor u prostoru je neka linearna kombinacija .

Pitanje: ta je skup svih linearnih kombinacija vektora i ?Odgovor: Ravan koja sadri vektore i .

Definicija :Vektori su linearno zavisni ako postoje koji nisu svi nule, a linearna kombinacija tih brojeva i tih vektora je nula vektor

.

Primjer :

su linearno zavisni

i su istog pravca.Teorema :

Tri vektora su linearno zavisna ako i samo ako lee u istoj ravni!

Dokaz :

je vektor u ravni koju odrede i

- lee u istoj ravni

su linearno zavisni

EMBED Equation.3 pripada ravni koja sadri i

Pitanje :

Da li su vektori linearno zavisni?

Odgovor :Ovi vektori jesu linearno zavisni.

Da li su vektori u prostoru (R3) uvijek zavisni?Ako lee u istoj ravni onda jesu zavisni.Ako ne lee u istoj ravni onda su nezavisni.

T

M

T

M

Vektori su linearno nezavisni ako nisu linearno zavisni.

.Ako je tada su linearno zavisni.

Dva ne nula vektora su linearno nezavisna ako ne lee na istoj pravoj.

Tri ne nula vektora su linearno nezavisna ako ne lee u istoj ravni.

Baza u vektorskom prostoru je skup linearno nezavisnih vektora takvih da je skup svih njihovih linearnih kombinacija itav prostor. - Baza

Dimenzija je broj elemenata u bazi.

Napii vektor kao linearnu kombinaciju vektora .

Odrediti parametar k tako da vektori budu linearno zavisni tj.

Skalarni proizvod vektora

Ako su vektori i ortogonalni (normalni) njihov skalarni proizvod je 0.

kada je onda je

Zadani su vektori . Odrediti ugao izmeu vektora.

Odrediti projekciju vektora i .

Odrediti vrijednost parametra p dva paralelna vektora .

Vektorski proizvod vektora

srednji

prst

kaiprst

desne ruke

palac desne

ruke

Pravac je normalan i na i na .Smjer se odredi pravilom desne ruke. Intezitet povrina paralelograma kojeg odrede i .

h

Ako je onda je

Izraunati povrinu trougla ije su koordinate .

Mjeoviti proizvod vektora

zapremina paralelopipeda

H

Zadani su vektori odredi tako da vektori .

Odredi ugao izmeu ako se zna da su i

Dva vektora su linearno zavisna ako su paralelna.Zadatak :

Odredi parametar p tako da vektori proporcijalni.

tako da

Nad vektorima i je konstruisan trougao.Odrediti visinu koja odgovara stranici b.

Kada su tri vektora linearno zavisna?Kada se nalaze svi u istoj ravni.

u istoj ravni

Da li take A, B, C, D lee u istoj ravni?

Take lee u istoj ravni zbog toga to je mjeoviti proizvod jednak nuli.

Analitika geometrija u prostoru Z Taka je ureena trojka realnih brojeva (XA,YA,ZA) Y

B(XB,YB,ZB)

ZA

YA A(XA,YA,ZA)

XA X

Udaljenost izmeu dvije take

Zadatak :

Zadate su take A,B,C izraunati obim trougla koji ine vektori tih taaka?

Podjela dui u zadanom omjeru C(X,Y,Z)

A (XA,YA,ZA) B(XB,YB,ZB)

Problem je nai C tako da je

EMBED Equation.3

Formula za taku C i njene koordinate X,Y,Z

a) Odredi koordinate polovita dui A P B

(XA,YA,ZA) (XB,YB,ZB)

b) Teite trougla

A

B'

T

B C

Formule za koordinate teita trougla

y

Taka ureen par (x,y)

Pitanje : 1 Ako su x i y koordinate

x take na slici da li postoji

0 jednaina takva da su

rjeenja jednaka skupu

koordinata taaka na slici.

Slika. Jednaina

krunice

Jednaina ravni

A,B,C tri nekolinearne

B take zadane sa

A svojim koordinatama.

One odreuju tano

X proizvoljna taka jednu ravan . (x,y,z) - promjenljive

C

Pitanje :

Kako izgledaju sve take u toj ravni (Napii jednainu ravni)

su u istoj ravni

Jednaina ravni kroz tri take A,B,CZadatak :

Napii jednainu ravni kroz take A (2,1,0) B (3,1,-1) C (5,2,-2)

jednaina ravni

Zadatak :Koja od navedenih taaka pripada dobijenoj ravni

P (4,3,1) 4-3+1-1=10 ne Q (2,-1,-2) 2+1-2-1=0=0 da r (5,3,-1) 5-3-1-1=0=0 da

Kanonski oblik jednaine ravni

vektor normale na ravan

A (XA,YA,ZA)

X (X,Y,Z)

Zadatak :

Nai jednainu ravni ako zna - vektor normalan na i A jednu taku u toj ravni

Zadatak :

Ako 0 (nula) pripada ravni koliko iznosi D=?

Ax+By+Cz+D=0

A0+B0+C0+D=0

D=0

Zadatak :

Napisati jednainu ravni koja sadri z osu i koja prolazi kroz taku M (2,1,1).

jednaina ravni

Zadatak :Kakav je meusobni poloaj sljedeih ravni

1 (x-2y+6z-4=0)

2 (-2x+4y-12z+14=0)

1 2

() : Ax+By+Cz+D=0 jednaina ravni

x-3y+z-2=0 () (1,-3,1)(2,1,1)=0

2x+y+z-3=0 () (12+1(-3)+11)=0

ravan je okomita na ravan

EMBED Equation.3 Traimo take presjeka dviju ravni . z=5 proizvoljno

x-3y+5-2=0

2x+y+5-3=0 /3

x-3y=-3

6x+3y=-6

Jednaina prave kroz dvije take

A(5,0,4) B(1,4,2)

A

S

B

Jednaina ravni kroz taku M(X1,Y1,Z1).

A (2,0,4)

B (3,2,5) S

C (4,2,1)

S (7,7,2)

C A B

(ABC)

C(4,2,1)

D(X,Y,Z)

A(2,0,4) B(3,2,5)

je jednaina ravni

Uslov normalnosti ravni

Ravan

Jednaina ravni

Primjer :Koordinatne ravnix0y z=0 z x0z y=0 y

y0z x=0

(0,0,1) x

Ugao izmeu dvije ravni

Udaljenost take od ravni A (XA,YA,ZA)

Ax+By+Cz+D=0

d

A'

Udaljenost take od ravni

Primjer :

Odrediti visinu piramide ako su poznate koordinate taaka.

A (1,0,-1)

B (2,-1,-1) DC (3,-1,-2) D (1,1,1) HD A C

B

Pramen ravniPramen ravni su sve ravni koje sadre p. p

Pitanje :Ako zna jednainu ravni i .

Kako izgleda jednaina ravni iz pramena

odreenog sa i ?

Jednaina pramena prave

Zadatak :Zadate su ravni () x+2y+z-3=0 i () 3x-y-z+5=0.Nai jednainu ravni

koja prolazi kroz taku M (1,1,1)

Prava u prostoru

T (x,y,z) Nepoznata

Vektor pravca

A(XA,YA,ZA) Poznato

i su proporcionalni

Jednaina prave u parametarskom obliku

Kanonski oblik jednaine prave

Jednaina prave kao presjek dvije ravni

Primjer :Napisati jednainu prave kao presjek dviju ravni x+y+z-3=0 i 2x-y+z=0.

jednaina prave Uslov normalnosti prave i ravni

Uslov paralelnosti prave i ravni

Uslov paralelnosti dvije prave

Primjer :

Kroz taku M(1,-2,1) povui pravu koja je paralelna sa pravom koju dobijamo iz pramena ravni x-y+z-4=0 i 2x+y-2z+5=0.

Primjer :Odrediti parametar i tako da ravan bude normalna na pravu

Ugao izmeu prave i ravni

Ugao koji zaklapaju vektori prave i ravni

Uslov da prava pripada ravni

i i nisu paralelne prave i .

Primjer : Nai projekciju take A (1,2,3) na ravan 2x+y+z-3=0

A(1,2,3)

A'

Nai simetrinu taku A (1,2,3) obzirom na ravan A

A

A'

A je polovite dui

simetrina taka A' ima koordinate

lei u ravni odreenog sa i

MatematikaFunkcije realne promjenljive

Pojam funkcijeGrafik funkcije

Nule funkcije

Znak funkcije

Ekstremne vrijednosti funkcije

Elementarne funkcije

Pojam funkcije

Definicija :

Ako su A i B neprazni skupovi, funkcija kojam preslikava skup A u skup B je pravilo koje svakom elementu iz skupa A dodijeli tano jedan element iz skupa B.

A f B

Funkcija realne promjenljive a 1 A a b c f 1 1 2

b 2

c Primjer :

x 0 21-1

f(x)-31-1-5

A B

2

1 1

0

-1

-3

y x=2

yA A(xA,yA) 2

(2,1) y=1

1

(4,0)

-2 -1 0 1 2 3 4 xA x

-1 (1,-1)

-2 (0,-2)

Grafik funkcije realne promjenljive je

y

1

-x 1 2 x

-1

-2

-3 -y

Primjer :

x012 -1-2

01414

y

x2

x x

Oblast definisanosti (Domen) DfOblast definisanosti funkcije je skup onih realnih brojeva x za koje moe da se rauna f(x).

f(x) = formula

Komplikacije :

Dijeljenje sa nulom

Korijen iz negativnog broja Ne moe da se rauna u R Logaritam iz negativnog broja

Primjeri :

za

-1 1 +

-x -3 4 x Oblast definisanosti je dio x- ose iznad ili ispod koje grafik postoji.Nule funkcije

Nule funkcije su oni brojevi x0 iz oblasti definisanosti za koje je f(x) =0.

(x0,0) ovakva taka lei na x osi, odnosno nula funkcije to je mjesto gdje grafik sijee x osu. Primjer :

Nule funkcije

y

x=1

nema grafika 1 2 x

Znak funkcije

Odrediti znak funkcije znai rjeiti nejednainu .Odrediti za koje x iz oblasti definisanosti e f(x) biti pozitivno.Ako je tu je grafik iznad x- ose.Primjer :

x+2 - - - - + + + + + + + + + + + + +

y

-2 0 2 3 x

Znak :

-2 2 3 x

x-3 - - - - - - + + + + + +

+ + + + + + + + + +

- - +

Ekstremne vrijednosti funkcijeDefinicija :Kaemo da funkcija ima maksimum u taki ako postoji > 0 takvo da je za sve .Funkcija ima minimum u taki ako postoji > 0 takav da je za sve .

y MAX

MAX

MAX

x

MIN MIN

MIN

y y max

0 x 0 x

min

Elementarne funkcije

y

3

0 x

y

0 (0,0) x

y

0 x

y

0 x

Df=R x f(x)

y

Definisana

Uvijek pozitivna

Nema nula funkcije

1

0 x

Kvadratna nejednaina

x1,x2 nule funkcije x1,x2 tu grafik funkcije sijee x osu.Grafik funkcije je a>0 ili a 0 eA uvijek je vee od nule.Primjer :

Nule

nema rjeenja

Znak

- -1 1 +

x2-1 + + + + - - - - - - + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + +

+ - +

y

-1 0 1 x

Granine vrijednosti (limesi)

Domen oblast definisanosti.Nule presjek grafika sa x- osom.

Znak gdje je funkcija ispod (iznad) x ose.

Primjer :

-2 0 3

x2 + + + + + + + + + + + + + + + + +

x2-x-6 + + - - - - - - - - - - - - + + + + +

+ - - +Pitanje :

ta je sa f(x) (grafikom) kada je x blizu granice oblasti definisanosti.

Primjeri :

=x+1 za x1

1

nule nema

uvijek je

pozitivna

Kada je x blizu 1, x-1 je blizu nule,

Definicija :

Neka je D oblast definisanosti funkcije f ; a- taka na rubu (granici) D, i L realan broj.Kaemo da je ako :

takav da vrijedi

Definicija :

Neka je D oblast definisanosti funkcije f ; a- taka na rubu (granici) D, i L realan broj.Kaemo da je ako :

takav da vrijedi .

Zadatak :Dokai da je .

.Neka je

ako je a0 Funkcija je konveksna konkavna za x