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Matematika spanyol nyelven emelt szint — írásbeli vizsga 1611

EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

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MATEMATIKA SPANYOL NYELVEN

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

2017. május 9. 8:00

Időtartam: 240 perc

Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati

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9.

Matematika spanyol nyelven emelt szint

1611 írásbeli vizsga 2 / 24 2017. május 9.

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Información importante

1. Para la resolución de los ejercicios dispone de 240 minutos, acabado este tiempo debefinalizar el trabajo.

2. El orden para resolver los ejercicios es opcional.

3. En la parte II solo tiene que resolver cuatro de los cinco ejercicios propuestos. Tiene que

escribir el número del ejercicio que no resuelva en este cuadrado. Si para el profesor que corrige no queda absolutamente claro cuál es el ejercicio que el alumno no desea que se le corrija, entonces no recibirá puntos por el ejercicio 9.

4. Para la resolución de los problemas se puede usar una calculadora que no tenga memoria de datos y cualquier libro con tablas y fórmulas. No se puede usar ayuda electrónica ni impresa.

5. Por favor, especifique los pasos que ha seguido en el desarrollo del ejercicio hasta

llegar a la solución porque la mayoría de los puntos que puede obtener se dan por las explicaciones.

6. Preste atención a que todos los pasos en el proceso de la resolución puedan seguirse de

manera clara.

7. Durante el desarrollo de la explicación es aceptable el uso de la calculadora – sin más razonamiento – para las operaciones siguientes: suma, resta, multiplicación, división,

elevar a la potencia, sacar raíz, calcular n! y

kn

, se pueden sustituir las tablas del libro de

fomulas (seno, coseno, tg, ctg, log y sus inversos), dar el valor aproximado de y e, determinar las raíces de la ecuación de segundo grado. En aquellos casos donde el texto del ejercicio no exige explicaciones detalladas también se puede utilizar la calculadora sin razonamiento matemático para determinar la media y la desviación típica. En cualquier otro caso, los cálculos con cálculadora hay que considerarlos como pasos sin razonamiento por los que no se pueden conceder puntos.



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8. Al resolver los ejercicios, si necesita hacer referencia a alguno de los teoremas conocidos,

(por ejemplo, el teorema de Pitágoras o el teorema de la altura), no tiene que especificar su enunciado ni la demostración; es suficiente nombrarlos y aplicarlos explicando por qué puede hacerlo. Por otra parte, si necesita utilizar otros teoremas que no tienen nombre concreto, deberá comentar explícitamente su enunciado (sin demostración) y justificar su aplicación en el problema.

9. Tiene que explicar el resultado (la respuesta del problema) también con alguna o algunas frases.

10. Escriba con bolígrafo. Se pueden hacer los dibujos a lápiz. Todo lo que esté escrito a lápiz

aparte del dibujo no se calificará. Si tacha cualquier respuesta o una parte de ella, esa parte no se tendrá en cuenta.

11. Solo se puede puntuar una solución por ejercicio. En caso de que haya varios

procedimientos para la resolución, debe indicar, con absoluta claridad, cuál es el válido.

12. Por favor, no escriba nada en los recuadros de puntuación de color gris.



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I.

1. Resuelva las siguientes inecuaciones en el conjunto de los números reales.

a) lg x < 2 b) 254 xx c) 25,05,0 3 x

a) 3 puntos

b) 4 puntos

c) 5 puntos

T.: 12 puntos



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2. El examen de Noemí en la universidad está compuesto por tres partes: un proyecto, una

prueba escrita y una prueba oral. Los resultados de las tres partes del examen así como de la nota final se comunican en porcentaje. El resultado final del examen se expresa mediante un único valor numérico que se determina calculando la media aritmética ponderada de los resultados parciales de forma que el porcentaje del proyecto tiene un peso de 2, el examen escrito de 5 y el examen oral de 3. Si en el proyecto Noemí obtuvo un 73% y en el examen escrito, un 64%.

a) ¿Cuántos puntos necesitará conseguir en el examen oral para que su porcentaje total

sea al menos de un 70%? Sumando los resultados de los estudiantes universitarios del primer curso se pudo calcular que la nota media de las 75 alumnas de ese curso fue de un 70% y la de los alumnos de un 62%. La media de los 40 estudiantes que viven en la residencia fue de un 71% y la de quienes no viven en la residencia fue de un 65%.

b) ¿Cuántos estudiantes realizaron el examen en ese primer curso?

a) 4 puntos

b) 7 puntos

T.: 11 puntos



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3. La siguiente tabla muestra el peso de 8 miembros de un grupo de amigos.

nombre Albert Bori Csaba Dénes Elek Frigyes Gabi Helga peso (kg) 82 74 90 88 85 85 63 71 a) Determine la media, la mediana y la desviación típica de los 8 datos.

Estas 8 personas quieren subir en el ascensor al piso superior del edificio donde se organiza una fiesta. En la entrada del ascensor se puede leer este letrero: “Como máximo 3 personas y 230 kg”(es decir, en el ascensor no pueden subir más de 3 personas a la vez y además la suma de sus pesos no puede exceder los 230 kg).

b) Justifique que es suficiente utilizar el ascensor en tres ocasiones para subir a la fiesta

a todas las personas del grupo (respetando las indicaciones del letrero).

Al renovar el ascensor se aumenta la suma del peso permitido de los pasajeros a 300 kg, pero la limitación de las personas se mantiene (solo pueden viajar juntas un máximo de 3 personas).

c) Considerando las nuevas indicaciones: ¿de cuántos modos diferentes podrían subir

en el ascensor las 8 personas del grupo de amigos si en cada viaje suben como mínimo 2 personas? (Dos modos de subir son diferentes si al menos hay un grupo cuyos miembros no son los mismos o si los grupos suben en diferente orden al piso superior.)

a) 4 puntos

b) 3 puntos

c) 7 puntos

T.: 14 puntos



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4. a) ¿Cuál será el área de la figura geométrica que está formada por la parábola de

ecuación 62 xxy y la recta de ecuación x – y + 2 = 0?

La parábola 62 xxy corta al eje x en los puntos A y B. b) Calcule la pendiente de la tangente a la parábola en el punto B, si sabemos que la

primera coordenada del punto B es positiva.

a) 8 puntos

b) 6 puntos

T.: 14 puntos



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II.

Solo tiene que resolver cuatro de entre los ejercicios 5-9. Escriba el número

del ejercicio eliminado en el cuadrado que aparece en la página 2. 5. En 2015 apareció en Internet una noticia interesante: los matemáticos descubrieron un

nuevo método para cubrir el plano sin intersticios (sin dejar huecos) con pentágonos equivalentes no regulares. (En estas dos figuras se ve una parte del parqué, y algunos datos del pentágono: EA = AB = CD = 1, BC = 2, EAB = 90º, ABC = 150º, BCD = 60º.)

a) Justifique que en la figura adjunta las dos diagonales del punto B forman 75°.

b) Justifique (p.ej. mediante los teoremas de adición) que 4

2675cos .

c) Justifique que la medida exacta del lado DE del pentágono es 32 .

d) Justifique que 2

2632 .

a) 5 puntos

b) 3 puntos

c) 5 puntos

d) 3 puntos

T.: 16 puntos



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del ejercicio eliminado en el cuadrado que aparece en la página 2. 6. a) El valor lógico de las afirmaciones A y C es verdad, y el valor lógico de B es falso.

Determine los valores lógicos de las siguientes afirmaciones. (No es necesario justificar las respuestas dadas en este apartado.)

(1) A B (2) (A B) C (3) B A (4) A B (5) A (B C)

El conjunto H es el conjunto de los grafos simples de 10 vértices. La afirmación siguiente se refiere a los elementos de H : Si un grafo (simple y de 10 vértices) tiene 8 aristas como máximo, entonces no contiene ciclos.

b) Decida el valor lógico de esta afirmación. Justifique su respuesta. c) Redacte el inverso de la afirmación, referida a los elementos de H, y decida sobre si

es verdadera o falsa. Justifique la respuesta.

Tenemos un grafo completo de 10 vértices. Elegimos al azar 3 aristas diferentes. (Grafo completo: grafo simple en el que cada par de vértices está unido por una arista.)

d) Determine la probabilidad de que las tres aristas del grafo elegidas formen un ciclo.

a) 3 puntos

b) 3 puntos

c) 4 puntos

d) 6 puntos

T.: 16 puntos



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del ejercicio eliminado en el cuadrado que aparece en la página 2. 7. a) ¿Cuántos triángulos acutángulos diferentes hay que cumplan que sus ángulos,

medidos en grados, sean números enteros distintos y términos consecutivos de una progresión aritmética creciente? (Consideramos dos triángulos diferentes si no son semejantes.)

b) Justifique que no existe ningún polígono regular de n vértices con ángulos interiores

de n grados.

c) De un polígono regular de n vértices sabemos que sus ángulos interiores, medidos en grados, son números enteros. ¿Cuántos valores numéricos diferentes puede tomar n?

a) 4 puntos

b) 4 puntos

c) 8 puntos

T.: 16 puntos



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del ejercicio eliminado en el cuadrado que aparece en la página 2. 8. El 0,2% de la población de una gran ciudad ha contraído un determinado virus lo que ha

causado una crisis epidémica. En este periodo, 80 habitantes de la ciudad viajan en el mismo autobús.

a) ¿Cuál es la probabilidad que entre los 80 pasajeros del autobús haya al menos uno

infectado? Dé la respuesta redondeando a dos decimales.

Según las previsiones de propagación de la epidemia, en la ciudad el número de infectados aumenta cada día un 105% con respecto al valor del día anterior.

b) Si el ritmo de aumento evoluciona según esa previsión entonces, ¿cuántos días serán

necesarios para que el número de infectados pase del 0,2 % de la población total a ser exactamente un 1% de la misma?

Un test rápido que está a la venta promete a los usuarios detectar la infección por el virus. En la descripción del producto se puede leer: “La probabilidad de que el test dé positivo (señale la existencia de una infección) en las personas infectadas es del 99%. Algunas veces el test muestra un falso positivo, es decir, indica infección en las personas no infectadas, pero la probabilidad de esta señal equivocada solo es de un 4%.”

c) Sabemos que el 0,2 % de la población de la ciudad está contagiada con este virus

que ha causado la epidemia. Justifique que si realizamos un test rápido a una persona elegida al azar y resulta ser positivo entonces la probabilidad de que esta persona realmente esté infectada es menor que 0,05 (es decir, este test rápido no es adecuado para detectar la infección).

a) 4 puntos

b) 5 puntos

c) 7 puntos

T.: 16 puntos



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del ejercicio eliminado en el cuadrado que aparece en la página 2. 9. Queremos transportar en ferrocarril 350 toneladas de mercancías en diferentes envíos. En

la oferta de precios de una empresa de transporte, el precio consta de dos partes. Por un lado hay que pagar un precio proporcional al cuadrado del peso de las mercancías y, por otro lado, hay un precio básico para el envío, independientemente del peso de las mercancías: si encargamos el transporte de t toneladas de mercancías, entonces tenemos

que pagar 20510

2t euros.

a) Justifique que si queremos transportar estas 350 toneladas de mercancías en dos

partes entonces los gastos de ferrocarril serán mínimos si las transportamos en dos partes iguales.

Para disminuir los gastos de transporte de ferrocarril dividimos las 350 toneladas de mercancías en n partes iguales y planeamos transportar cada parte por separado. (n N+)

b) Justifique que, según la oferta de la empresa, el precio total de transportar las n partes

será nn

20525012 euros.

Además de los gastos de transporte de ferrocarril, también se debe tener en cuenta que si queremos repartir estas mercancías en n grupos se debe pagar a los operarios por este trabajo 400)1( n euros. (n N+)

c) ¿En cuántas partes iguales habrá que repartir las 350 toneladas de mercancías para

pagar el precio total mínimo de transporte?

a) 4 puntos

b) 3 puntos

c) 9 puntos

T.: 16 puntos



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número del ejercicio puntuación máxima conseguida máxima conseguida

I. parte

1. 12

51

2. 11 3. 14 4. 14

II. parte

16

64

16 16 16 ← ejercicio no elegido

Puntuación de la parte escrita del examen 115

fecha profesor que corrige

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pontszáma egész számra kerekítve

elért programba beírt

I. rész II. rész

dátum dátum

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