3

Pratarmė

Šioje knygelėje rasite reikalingiausias matematikos formules, apibrė-žimus, teiginius bei matematikos lenteles. Leidinio turinys paremtas gim-nazijų ir vidurinių mokyklų matematikos kursų temomis. Rengiant šią kny-gelę buvo stengiamasi, kad medžiaga būtų suprantama ir reikalinga, o paieška — kuo lengvesnė. Leidinyje pateikiama keletas apibrėžimų bei pavyzdžių tiesiogiai nesusijusių su mokymo programa. Tačiau tai įdomi ir naudinga medžiaga, kuri leis geriau suprasti atskiras matematikos temas. Tikimės, kad knygelė pateisins besimokančiųjų lūkesčius.

Matematikos lentelės visų pirma skiriamos moksleiviams. Taip pat yra parengta ir keletas kitoms disciplinoms skiriamų šios serijos knygelių. Lin-kime susidomėti ir jomis!

Leidėjai

5

TURINYS

Keletas matematinių konstantų 7 Skaičių savybės 8 Trupmenos, proporcijos, apytiksliai skaičiai 9 Pagrindinės algebros formulės 10 Daugi anariai 12 Kvadratinių šaknų reikšmių lentelė 14 Kubinių šaknų reikšmių lentelė 16 Lygtys 18 Lygčių sistemos 20 Matricos ir determinantai 21 Logaritmai '22 Natūraliųjų logaritmų lentelė 22 Dešimtainių logaritmų lentelė 23 Antilogaritmai 25 Trigonometrinės funkcijos 26 Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos 29 Trigonometrinių ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų grafikai 30 Trigonometrinių funkcijų lentelės 31 Progresijos, sekos, skaičių eilutės 36 Skaičių eilučių sumos 37 Kai kurių funkcijų skleidimas laipsninėmis eilutėmis 37 Sekų ribos 38 Funkcijų ribos 40 Išvestinė ir integralas 41 Funkcijų išvestinės ir integralai 42 Paprasčiausi geometrijos apibrėžimai 44 Plokštumos transformacijos 47 Kai kurios transformacijos erdvėje 49 Pagrindinės geometrinės konstrukcijos 50 Geometri jos teiginiai 51 Trikampiai 52 Keturkampiai 55 Daugiakampių klasifikacija 56 Skritulys ir jo dalys 57 Erdviniai kūnai 58 Koordinačių sistemos 60

6

Vektoriai 60 Tiesės lygtys 62 Plokštumos kreivių lygtys 64 Funkcijų monotoniškumo tyrimas 65 Elipsė, parabolė, hiperbolė 66 Rinkt inės kreivės ir funkcijos 67 Logika ir veiksmai su aibėmis 68 Kombinatorika 70 Tikimybių teorija 70

7

KELETAS MATEMATINIŲ KONSTANTŲ Skritulio skersmens ir jo ilgio sąryšis:

tc = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169... = 3,14 Natūraliojo logaritmo pagrindas: e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 266 249 775 724... = 2,72

Aukso pjūvis: <p = 1,618 033 988 749 894 848 204 586 834... = 1,62

1 1 ^ + 1 9 - 1 = - q> = -

(p 2 •Ji = 1,414 213 562 373 095 Ū48... -JI = 1,732 050 807 568 772 935... •JŠ = 2,236 067 977 499 789 696... VlO = 3,162 277 660 168 379 332... log|(,e = 0,434 294 481 903 251 827... log„,2 = 0,301 029 995 663 981 195... ln 10 = 2,302 585 092 994 045 684... In 2 = 0,693 147 180 559 945 309... 1 radianas = 57° 1744,80625" 1° = 0,017 453 292 519 943 296... rad

Skaičių pavadinimai Tūkstantis 103

= 1 000 Milijonas 10" = 1 000 000 Milijardas 10® = 1 000 000 000 Bilijonas 10'* = 1 000 000 000 000 Bilijardas" 1015

= 1 000 000 000 000 000 Trilijonas 10la

= 1 000 000 000 000 000 000 Kvadriiijonas 102J

= 1 000 000 000 000 000 000 000 000 Kvintilijonas ĮO30 — 1 000 000 000 000 000 000 000 000 Sekstilijonasb 10M

= 1 000 000 000 000 000 000 000 000

" retai Lietuvoje vartojamas pavadinimas; analogiškai 1021 — tai trilįjardas, 10-7 — kvad-rilijardas ir 1.1,; b tolimesni: 104! — septilijonas, 104" — oktilijonas, 105,1 — rtonilijonas, 10™ — decilijonas, 10™" — centiiijonas

Pagrindiniai realiųjų skaičių poaibiai

Skaičiai Žymė-jimus

Paaiškinimai; l 'mj id / ta i

..Natūralieji N Skaičius 1 ir skaičiai gauti pridedant vienetą" 1, 2, 3, 6, 1000

Sveikieji Z 0, natūralieji skaičiai bei jiems priešingi skaičiai 1, 2, 0, -1 , - 4

Racionalieji Q Skaičiai, kuriuos galima išreikšti trupmena 1 123

0, 2, 15, j . - ^

Iracionalieji i Realieji skaičiai, kurie nepriklauso racionaliųjų skaičių aibei

•Ji, n

.Algebriniai. (bet kurio laipsnio) algebrinių lygčių su sveikai-siais koeficientais šaknys

1, 2 ' V ž '

2 ^ / 1 3 - ^ + 7

Transcon- , (lentiniai

Realieji skaičiai, kurie nėra algebriniai skaičiai 7i, eJ, 2ri

' kartais (ne Lietuvoje) mažiausiu natūraliuoju skaičiumi vadinamas 0, o ne 1

8

SKAIČIŲ SAVYBĖS Apibrėžimai, susiję su skaičių dalyba

Pavadinimas Apibrėžimas : Pavyzdžiai :

Pirminiai skaičiai Natūralieji skaičiai n > 1, kurie turi tik du natūraliuosius daliklius — 1 ir n

2, 3, 5, 7, 11, 13, 2 3 l - l , 212"-l

•Reliatyviai: pir-: miniai skaičiai

Du natūralieji skaičiai, kurių bendras di-džiausias daliklis yra 1

2 ir 3, 4 ir 9, 9 ir 14

Tobulieji skaičiai'

Skaičiai, kurių skaitmenų suma yra lygi natū-raliųjų daliklių sumai (išskyrus patį skaičių)

6 = 3 + 2 + 1 ; 28 = 1 4 + 7 + 4 + 2 + 1

Btjndraįi didžiau-sias dgiklis" ;

Didžiausias natūralusis skaičius, iš kurio galima padalyti visus (du arba daugiau) na-tūraliuosius skaičius

bdd(4, 6) = 2; bdd(10, 20) = 10; bdd(24, 30, 60) = 6

Bendras mažiau-sias kartotini.-;

Mažiausias natūralusis skaičius, kuris dali-jasi iš kiekvieno duoto (dviejų arba dau-giau) natūraliojo skaičiaus

bmk(12, 30) = 60; bmk(5, 10, 11) = 55

" iki 2001 m. birželio mėn. buvo žinomi 38 tobulieji skaičiai. Visus juos galima išreikšti taip: 2^'(2* - 1), kai 2^ - 1 — pirminis skaičius; didžiausias žinomas tobulasis skaičius dešimtai-nėje sistemoje sudarytas iš 2098960 skaitmenų — tai 2H725»2(24'7"'J3 - 1), kuris buvo atrastas 1999 m. Nėra žinoma, ar yra daugiau tobulųjų skaičių, kaip nėra žinoma, ar egzistuoja nelyginiai tobulieji skaičiai

bmk(<3, b, ..., q) • bdd(a, b, ..,, q) = a • b • ... • ą

Sveikųjų skaičių dalumo savybės* Daliklis Duotas skaičius dalijasi be liekanos iš n... Pavyzdžiai r " 2 į ;į ... jei paskutinis skaitmuo 0, 2, 4, 6 arba 8 1234567 nesidalija iš 2

3 ... jei skaitmenų suma dalijasi iš 3 1234567890 dalijasi iš 3 (nes 45 da-lijasi iš 3, nes 4 + 5 = 9 dalijasi iš 3)

4 : ... jei paskutiniai du skaitmenys sudaro dvi-ženklį skaičių, kuris dalijasi iš 4

1234567890 nesidalija iš 4, nes 90 nesidalija iš 4

5 ... jei paskutinis skaitmuo 0 arba 5 1234567890 dalijasi iš 5

... jei skaičius dalijasi iš 2 ir 3 2345678 nesidalija iš 6 (nors dalijasi iš 2, bet nesidalija iš 3)

•H ... jei trys paskutiniai skaitmenys sudaro tri-ženklį skaičių, kuris dalijasi iš 8

12345100 nesidalija iš 8, nes 100 ne-sidalija iš 8

9 ... jei skaitmenų suma dalijasi iš 9 12345678 dalijasi iš 9, nes 36 dalijasi iš 9

10 ... jei paskutinis skaičiaus skaitmuo yra 0 123445560 dalijasi iš 10

11 ... jei skaitmenų, esančių lyginėse vietose, ir skaitmenų, esančių nelyginėse vietose, su-mų skirtumas dalijasi iš 11 (gali būti lygus nuliui)

12345678 nesidalija iš 11, nes 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 = - 4 nesidalija iš 11

... jei skaičius dalijasi iš 3 ir 4 12345678 nesidalija iš 12 (nors skai-čius dalijasi iš 3, bet jis nesidalija iš 4)

' dešimtainiai skaičiai

9

TRUPMENOSPROPORCIJOS, APYTIKSLIAI SKAIČIAI Pagrindiniai veiksmai su trupmenomis a c ad + bc a _c _ad-b-c a c _ac a c _a-d b + d ~ bd b d~ b-d b'd~~b^d b'd~~b~c

Pagrindinės proporcijų savybės 15 proporcijos = — išplaukia tokie sąryšiai (jei trupmenų vardikliai yra nelygūs nuliui):

, , ū + b c+rf a-b c-d £+c=£-ę = a = c a • d = b • c —- = —— = h + d b_d b d a c a c

Praktinės apytikslių skaičiavimų taisyklės

Veiksmai Formulė Po kablelio paliekamas skaitmenų skaičius'

••'•• Pavyzdys'' ;;; l'iiklai(l:i • ':•.

Teigiamųjų skaičių suma :

fl, + a} Tiek skaitmenų po kable-lio, kiek jų turi mažiau tikslus skaičius

123,245 + 4,3 - 127,5; 1,23 -107 + 120 = 1,23 -107

Teigiamųjų skaičių skirtumas;

"r ai Tiek skaitmenų po kable-lio, kiek jų turi mažiau tikslus skaičius

123,245 - 3,2 | 120,0; 123,345 - 123,2 = 0,1; 11,2 - 0,001 = 11,2

Kartais staigiai auga (antrasis pvz.)

Skaičių: sandauga

a, • a2 Tiek reikšmingų skaitme-nų po kablelio, kiek jų tu-ri mažiau tikslus skaičius

1,234 • 1,1 - 1,4; 50,001 • 4,0 = 2,0 • 103

Iki dviejų kar-tų didesnė nei toji, kurią turi mažiau tikslus skaičius

Skaičių dalmuo £L

«2

Tiek reikšmingų skaitme-nų po kablelio, kiek jų tu-ri mažiau tikslus skaičius

^ 2 3 4 » 1 , 0 0 0 ; 1 2 ' 2 3 4 = 1 2 1,234 1,0

Iki dviejų kar-tų didesnė nei toji, kurią turi mažiau tikslus skaičius

Skaičiaus-kvadratas

a2 Tiek, kiek reikšmingų skaitmenų

1,242 » 1,54; 0,0 l l 2 = 0,00012

Vidutiniškai auga du kartus

Skaičiaus .'i—asis laipsnis . -

a" Tiek skaitmenų po kable-lio, kiek reikšmingų skait-menų turi mažiau tikslus laipsniu keliamas skaičius

5,2S « 1,4 • 10!; 1,01'" = 1,10

Vidutiniškai auga n kartų

Skaičiaus šaknis ':

•fa Tiek skaitmenų po kable-lio, kiek reikšmingų skait-menų turi mažiau tikslus pošaknyje esantis skaičius

V U 4 - 1 . 1 1 ; .

-7123,45 = 11,111

Mažėja vidutiniškai du kartus

n -o jo : ; laipsnio :

šaknis

\[a Tiek skaitmenų po kable-lio, kiek reikšmingų skait-menų turi mažiau tikslus pošakninis skaičius

< / Ū 4 = 1,06 ;

^0,000012 = 0,24

Mažėja viduti-niškai n kartų

logaritmas log a Tiek skaitmenų po kable-lio, kiek reikšmingų skait-menų turėjo skaičius a

log 123,456 = 2,091 512; log 0,00 011 = -3,96

* atliekant skaičiavimus su apytiksliais skaičiais patartina tarpiniuose skaičiavimuose rašyti po kablelio bent vienu skaitmeniu daugiau, kad vėliau gavus galutinį rezultatą galima būtų atmesti skaitmenį, paliktą atsargai; ^ darome prielaidą, kad duotieji skaičiai yra tikri, nė vieno jų negalima laikyti tiksliuoju; c skaičius 0,00 002 turi lik vieną reikšmingąjį skaitmenį ir penkis skaitmenis po kablelio; skaičius 2000 turi keturis reikšmingus skaitmenis; tas pats skaičius užrašytas 2,0*103 turi du reikšmingus skaitmenis (ir formaliai „-2" skaitmenis po kablelio, nes taip užrašytas skaičius neteikia informacijos apie šio skaičiaus dešimtis ir vienetus)

10

PAGRINDINĖS ALGEBROS FORMULĖS Pagrindiniai aritmetiniai veiksmai realiųjų skaičių aibėje

Veiksnias '.-.• (Lidutyvumas) f'crstatii triumas

(komutatyvumas) : ' Skirstoinumas

(distributyvumas) Atvirkštinė opcrncija

• ' 'i ' Sudctis [a + b) + c = a + (b + c) a + b = b + a — Atimtis

Daugyba (a • b) • c = a • (b • c) a • b = b • a

Sudėties atžvilgiu a-(b + c)=a-b + ac

Dalyba" Daugyba (a • b) • c = a • (b • c) a • b = b • a Atimties atžvilgiu a • (b - c) = a • b - a • c

Dalyba"

" dalyba -• , kai b = 0 negalima, t. y. daugyba iš 0 neturi atvirkštinės operacijos b

Modulio savybės \a, kai a>0,

Apibrėžimas \a\ = -o, kai a < 0

S«| > 0 Jeigu \a \ = 0, tai a = 0 \a + b\ < M + \b\

\a b\ = H • \b\

ž M - M | M IMI 5 \a + b\

Kėlimas laipsniu a" = a • a • ... • a (n kartų) (a - realusis skaičius, n - natūralusis skaičius)

a° = 1 (a * 0) 0" = 0 (n * 0) 1" = 1

= —(a*0) (_<,)» = a» („ lyginis) (-o)" = -a" (n nelyginis)

(a")"1 = a"'" a" • a"1 = a"*1" (a • b)" = a" • b"

£ . b b"

0) ( f ( 6 * 0 )

Skaičių laipsnių a" lentelė

;i II a- P I ; ; ::. m | u 1 1 \ i.,:: a;.-. ...v; a t

•m. 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

m 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049

16 64 256 1024 4096 16384 65536 262144 1048576

iilį 25 125 625 3125 15625 78125 390625 1953125 9765625

36 216 1296 7776 46656 278836 1679616 10077696 60466176

7 49 343 2401 16807 117649 823543 5764801 40353607 282475249

g 64 512 4096 32768 262144 2097152 16777216 134217728 1073741824

H 81 729 6561 59049 531441 4782969 43046721 387420489 3486784401

11

Šaknies traukimas

V o = o VT=1 i i i

a" = Vn (a £ 0) a~" = -j= (a > 0)

(jei « - nelyginis, tai dvejose paskutinėse formulėse galimi veiksmai, kai a < 0)

a™ = = (iii)" ' - ( / ^ = V ? ? = '"Va

Ja+s/b = <Ja + b + 2*Jab (a, £> > 0)

|Vfl-Vb| = V « ^ 6 - 2 V f l 6 (a, b > 0)

Iracionalumo šalinimo iš vardiklio būdai

a _ a-Jb a a-"'-Jb 4b~ b ~ŠJb " b

—~r ~ ~ZT~(b-y/c) — (b + vt) b+4l b -c^ ' b-Šc b —c '

TČv-Čil*-*! j R T i a * * )

Aukščiau pateiktose formulėse tariame, kad po šaknimi esantys skaičiai yra teigiami, o vardikliai — nelygūs nuliui.

Faktorialai Apibrėžimas: 0! = 1 n! = {n - 1 ) !n (kai n > 0) n! = 1 • 2 • ... • n

1! = 1 11! = 39 916 800 2! = 2 12! - 479 001 600 3! = 6 13! 6 227 020 800 4! = 24 14! - 87 178 291 200 5! = 120 15! - 1 307 674 368 000 6! = 720 16! - 20 922 789 888 000 7! = 5040 17! = 355 687 428 096 000 8! = 40320 18! - 6 402 373 705 728 000 9! = 362880 19! = 121 645 100 408 832 000 10! = = 3628800 20! = 2 432 902 008 176 640 000

Stirlingo formulė jjtt

e" (tai apytikslė faktorialo reikšmė esant dideliems skaičiams n; kai n = 20 formulės paklaida mažesnė nei 0,5 %)

12

D A UGIANARIAI Daugianorių pateikimo būdai Pavadinimas Formulė" i: .."•, Pastabos

Bendra ; išraiška : :

W(x) = anx" + an j^'"1 + ... + a^č1 + atx +

Dažniausiai sutinkama išraiška. Patogi braižant grafikus

Homer io išraiška

W(x) = {{...{{ax + a^)x + a„-i) x + + at)x + oa

Patogi išraiška įvairiems skaičiavimams: daugy-bos veiksmo taikymo skaičius, reikalingas rasti W(x), yra minimalus

Daugina- ' r mųjų : : : išraiška

W(x) = a (x-xt) ... (je -xt) ... (x2 + bįc + c,) ... (*2 + V + cp)

Taip parašytame daugianaryje iš karto matome jo šaknis; jei W(x) = 0 turi tik realiąsias šaknis, tai p = 0. Jei neturi tokių šaknų — tai A: = 0b

* a. — daugianario koeficientai; x.— lygties H^jc) = 0 šaknys; cr d. — žinomi koeficientai; h jei darome prielaidą, kad kompleksinės šaknys gali būti, tai p = 0 (egzistuoja tik pirmojo laipsnio dauginamieji)

Daugianarių dalyba, P(x)/Q(x)*

Problema Sprendinio budai l'avv/dy.-i, kai: P(x) •-= r H- ̂ -- 3x + .1; Q[x)~x*-x

Daugiana-rių: dalyba1

(sveikosios dalies išskyrimas)

1) randame T(x), dalydami aukš-čiausiojo laipsnio vienanarius, esan-čius P(x) ir Q(x)

Tt(x)*į=x2

Daugiana-rių: dalyba1

(sveikosios dalies išskyrimas)

2) randame daugianarį P f i ) = P(x) - T(x) Q(x)

P,(j:) = P(x) -x-Q(x) =xl +xi-2x + \ Daugiana-rių: dalyba1

(sveikosios dalies išskyrimas)

3) kartojame 1-ąjį ir 2-ąjį veiksmą imdami daugianarį P (x) vietoj P(x) tol, kol Pt(x) laipsnis bus mažesnis nei Q(x) laipsnis

T2{X) = xi/x2 = x\ P,(x) = x3 + x2 - 3* + 1; Tjx) = x3/x3 = 1; P ,(jc) = x2 - 2x + 1 (nutraukti!)

Daugiana-rių: dalyba1

(sveikosios dalies išskyrimas)

Taip gaunamų vienanarių suma Tfa) sudaro dalmenį, o paskutinis daugia-naris f'.(x) yra dalybos liekana

P{x) , . x2-2x+l ) [=X +X+l-\

Q(x) X3-X

Bendro :!

didžiausio daliklio paieška ;

1) dalijame P(x)/Q(x), randame dal-menį T, (j:) ir liekaną /?,(*)

T,(x) = x2 +x + 1; J?,(x) = X2 -2x + \

Bendro :!

didžiausio daliklio paieška ;

2) dalijame Q(x)/RtŲc), randame dalmenį T2(x) ir liekaną R2(x)

T,(x) = x + 2; R2(X) = 2x - 2 = 2(x - 1)

Bendro :!

didžiausio daliklio paieška ;

3) dalijame x)/R2(x) randame lie-kaną R3(x), vėliau iš R7(x)/R,(x) lieka-ną RJx) ir t. t., kol liekana bus lygi 0

J w 2 2 ' /?,(*) = 0 (nutraukti!)

Bendro :!

didžiausio daliklio paieška ;

4) paskutinė nenulinė liekana yra bendras didžiausias daliklis

bdd = x - 1

Skaidymas: paprasto-siomis trup-menomis"

Vardiklį reikia suskaidyti į pirmojo ir antrojo laipsnio dauginamuosius (jie sudarys paprastųjų t rupmenų vardiklius). Nežinomus skaitiklius (A, B, ...) reikia rasti iš lygčių siste-mos (palyginti koeficientus prie skirtingų kintamojo laipsnių)

Jt-l A B *(* + !) x (* + l ) '

iš čia x - 1 = A(x + 1) + Bx, f x = Ax + Bx

gauname į _ i = j 4

iš čia A = -1; B - 2. 3 tiktai taisyklingoms t rupmenoms (vardiklio laipsnis didesnis nei skaitiklio) bei nesupras-t inamoms t rupmenoms (vardiklį ir skaitiklį padalijome iš bendro didžiausio daliklio) * čia ir toliau taip pateikiamas t rupmenos ženklas

13

Dvinarių kėlimas laipsniu

(,a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

(ia + b)1 = a3 + 3a2b -i- 3ab2 + b3

(a - bf = a3 - 3a2b + 3ab2 - i 3

Niutono dvinaris

(a + b)" =a" +įn\i"~ib+(n\"~2b2 + ... +( " )ab"-i + b", Čia ( " ] = - — ~ -

Paskalio trikampis n = 0 1

n = 1 1 1 n = 2 1 2 1 n = 3 3 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1

n = 5 1 5 10 10 5 1 n = 6 1 6 15 20 15 6 1 n - 7 1 7 21 35 35 21 7 1

n = 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 n = 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 n = 10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

n = 11 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 n = 12 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12

m—oji eilutės reikšmė yra lygi , n, m = 0, 1, ... H

Kiekviena reikšmė (išskyrus abi kraštutines) yra lygi dviejų reikšmių, esančių virš jos, sumai:

" u ^ y p " 1

n-m [m-1 m

/t-ojoje eilutėje visų reikšmių suma yra lygi 2":

41 " U " n ,

Daugianorių skaidymas dauginamaisiais a2-b2 = (a - b) (a -i- b) a2 + b1 — neišskaidomas a3 - 63 = (a - b) (a2 + ab + b2) a1 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2) a2"*1 + b2"*' = (a + b) (a2" - a'"-'b + a2"^2 - ... - ab2"-' + b2") a2,1+1 - b**' = (a - b) (a11 + a^b + S&b2 + ... + ab^ + b2") a2" - b2" = (a - b) (a2"1 + a2"-^ + a^b2 + ... + ab2"-2 + b2"1)

14

KVADRATINIŲ ŠAKNŲ REIKŠMIŲ LENTELĖ VI i 0,1 f*' / v + fi,l VI i 0,1 ,[i + 0,6 •y A' -:!. / V-i f 0,8 yt- t l ' ,9

M 1,0000 1,0488 1,0954 1,1402 1,1832 1,2247 1,2649 1,3038 1,3416 1,3784 2,11 1,4142 1,4491 1,4832 1,5166 1,5492 1,5811 1,6125 1,6432 1,6733 1,7029 3.11 1,7321 1,7607 1,7889 1,8166 1,8439 1,8708 1,8974 1,9235 1,9494 1,9748 4,0 2,0000 2,0248 2,0494 2,0736 2,0976 2,1213 2,1448 2,1676 2,1909 2,2136 5.0 2,2361 2,2583 2,2804 2,3022 2,3238 2,3452 2,3664 2,3875 2,4083 2,4290 6,0 2,4495 2,4698 2,4900 2,5100 2,5298 2,S495 2,5690 2,5884 2,6077 2,6268 7,0 2,6458 2,6646 2,6833 2,7019 2,7203 2,7386 2,7568 2,7749 2,7928 2,8107 8,0 2,8284 2,8460 2,8636 2,8810 2,8983 2,9155 2,9326 2,9496 2,9665 2,9833 9.0 3,0000 3,0166 3,0332 3,0496 3,0659 3,0822 3,0984 3,1145 3,1305 3,1464 10,0 3,1623 3,1780 3,1937 3,2094 3,2249 3,2404 3,2558 3,2711 3,2863 3,3015 11.0 3,3166 3,3317 3,3466 3,3615 3,3764 3,3912 3,4059 3,4205 3,4351 3,4496 12,0 3,4641 3,4785 3,4928 3,5071 3,5214 3,5355 3,5496 3,5637 3,5777 3,5917 1X0 3,6056 3,6194 3,6332 3,6469 3,6606 3,6742 3,6878 3,7104 3,7148 3,7283 14,0 3,7417 3,7550 3,7683 3,7815 3,7947 3,8079 3,8210 3,8341 3,8471 3,8601 15.D 3,8730 3,8859 3,8987 3,9115 3,9243 3,9370 3,9497 3,9623 3,9749 3,9875 16,0 4,0000 4,0125 4,0249 4,0373 4,0497 4,0620 4,0743 4,0866 4,0988 4,1110 17.0 4,1231 4,1352 4,1473 4,1593 4,1713 4,1833 4,1952 4,2071 4,2190 4,2308 18,0 4,2426 4,2544 4,2661 4,2778 4,2895 4,3012 4,3128 4,3243 4,3359 4,3474 19.0 4,3589 4,3704 4,3818 4,3932 4,4045 4,4159 4,4272 4,4385 4,4497 4,4609 20,0 4,4724 4,4833 4,4944 4,5056 4,5166 4,5277 4,5387 4,5497 4,5607 4,5717 21.0 4,5826 4,5935 4,6043 4,6152 4,6260 4,6368 4,6476 4,6583 4,6690 4,6797 :22i0 4,6904 4,7011 4,7117 4,7223 4,7329 4,7434 4,7539 4,7645 4,7749 4,7854 23,0 4,7958 4,8062 4,8166 4,8270 4,8374 4,8477 4,8580 4,8683 4,8785 4,8888 24,0 4,8990 4,9092 4,9193 4,9295 4,9396 4,9497 4,9598 4,9699 4,9800 4,9900 25,0 5,0000 5,0100 5,0200 5,0299 5,0398 5,0498 5,0596 5,0695 5,0794 5,0892 26,0 5,0990 5,1088 5,1186 5,1284 5,1381 5,1478 5,1575 5,1672 5,1769 5,1865 27.0 5,1962 5,2058 5,2154 5,2249 5,2345 5,2440 5,2536 5,2631 5,2726 5,2820 28,0 5,2915 5,3009 5,3104 5,3198 5,3292 5,3385 5,3479 5,3572 5,3666 5,3759 29,0 5,3852 5,3944 5,4037 5,4129 5,4222 5,4314 5,4406 5,4498 5,4589 5,4681 30.0 5,4772 5,4863 5,4955 5,5045 5,5136 5,5227 5,5317 5,5408 5,5498 5,5588 31,0 5,5678 5,5767 5,5857 5,5946 5,6036 5,6125 5,6214 5,6303 5,6391 5,6480 32,0 5,6569 5,6657 5,6745 5,6833 5,6921 5,7009 5,7096 5,7184 5,7271 5,7359 33,0. 5,7446 5,7533 5,7619 5,7706 5,7793 5,7879 5,7966 5,8052 5,8138 5,8224 34,0 5,8310 5,8395 5,8481 5,8566 5,8652 5,8737 5,8822 5,8907 5,8992 5,9076 35,0 5,9161 5,9245 5,9330 5,9414 5,9498 5,9582 5,9666 5,9749 5,9833 5,9917 36,0 6,0000 6,0083 6,0166 6,0249 6,0332 6,0415 6,0498 6,0581 6,0663 6,0745 37,0 6,0828 6,0910 6,0992 6,1074 6,1156 6,1237 6,1319 6,1400 6,1482 6,1563 38,0 6,1644 6,1725 6,1806 6,1887 6,1968 6,2048 6,2129 6,2209 6,2290 6,2370 39,0 6,2450 6,2530 6,2610 6,2690 6,2769 6,2849 6,2929 6,3008 6,3087 6,3166 40,6 6,3246 6,3325 6,3403 6,3482 6,3561 6,3640 6,3718 6,3797 6,3875 6,3953 41,0 6,4031 6,4109 6,4187 6,4265 6,4343 6,4420 6,4498 6,4576 6,4653 6,4730 42,0 6,4807 6,4885 6,4962 6,5038 6,5115 6,5192 6,5269 6,5345 6,5422 6,5498 43,o: 6,5574 6,5651 6,5727 6,5803 6,5879 6,5955 6,6030 6,6106 6,6182 6,6257 44,0 6,6332 6,6408 6,6483 6,6558 6,6633 6,6708 6,6783 6,6858 6,6933 6,7007 45,0 6,7082 6,7157 6,7231 6,7305 6,7380 6,7454 6,7528 6,7602 6,7676 6,7750 46,0; 6,7823 6,7897 6,7971 6,8044 6,8118 6,8191 6,8264 6,8337 6,8411 6,8484 17,il 6,8557 6,8629 6,8702 6,8775 6,8848 6,8920 6,8993 6,9065 6,9138 6,9210 48,0 6,9282 6,9354 6,9426 6,9498 6,9570 6,9642 6,9714 6,9785 6,9857 6,9929 49,(1 7,0000 7,0071 7,0143 7,0214 7,0285 7,0356 7,0427 7,0498 7,0569 7,0640 50,0 7,0711 7,0781 7,0852 7,0922 7,0993 7,1063 7,1134 7,1204 7,1274 7,1344 51,0 7,1414 7,1484 7,1554 7,1624 7,1694 7,1764 7,1833 7,1903 7,1972 7,2042 52,(1 7,2111 7,2180 7,2250 7,2319 7,2388 7,2457 7,2526 7,2664 7,2664 7,2732

15

-/v i a ; v'A-+ 0,3 i 0,4 v!.v 1-0,6 V.v -r-0,7 ; 0.9

53,6 7,2801 7,2870 7,2938 7,3007 7,3075 7,3144 7,3212 7,3280 7,3348 7,3417 54.0 7,3485 7,3553 7,3621 7,3689 7,3756 7,3824 7,3892 7,3959 7,4027 7,4095 55,0 7,4162 7,4229 7,4297 7,4364 7,4431 7,4498 7,4565 7,4632 7,4699 7,4766 50.0 7,4833 7,4900 7,4967 7,5033 7,5100 7,5166 7,5233 7,5299 7,5366 7,5432 57,0 7,5498 7,5565 7,5631 7,5697 7,5763 7,5829 7,5895 7,5961 7,6026 7,6092 5.8,0 7,6158 7,6223 7,6289 7,6354 7,6420 7,6485 7,6551 7,6616 7,6681 7,6746 59,0 7,6811 7,6877 7,6942 7,7006 7,7070 7,7136 7,7201 7,7266 7,7330 7,7395 60,0 7,7460 7,7524 7,7589 7,7653 7,7717 7,7782 7,7846 7,7910 7,7974 7,8038 61,ii 7,8102 7,8166 7,8230 7,8294 7,8358 7,8422 7,8486 7,8549 7,8613 7,8677 62,0 7,8740 7,8804 7,8867 7,8930 7,8994 7,9057 7,9120 7,9183 7,9246 7,9310 63,0 7,9373 7,9436 7,9498 7,9561 7,9624 7,9687 7,9750 7,9812 7,9875 7,9937 64.0 8,0000 8,0062 8,0125 8,0187 8,0250 8,0312 8,0374 8,0436 8,0498 8,0561 65,0 8,0623 8,0685 8,0747 8,0808 8,0870 8,0932 8,0994 8,1056 8,1117 8,1179 66,0 8,1240 8,1302 8,1363 8,1425 8,1486 8,1548 8,1609 8,1670 8,1731 8,1792 .67,0 8,1854 8,1915 8,1976 8,2037 8,2098 8,2158 8,2219 8,2280 8,2341 8,2401 68,0 8,2462 8,2523 8,2583 8,2644 8,2704 8.276S 8,2825 8,2885 8,2946 8,3006 69,0. 8,3066 8,3126 8,3187 8,3247 8,3307 8,3367 8,3427 8,3487 8,3546 8,3606 70,0 8,3666 8,3726 8,3785 8,3845 8,3905 8,3964 8,4024 8,4083 8,4143 8,4202 71.0 8,4261 8,4321 8,4380 8,4439 8,4499 8,4558 8,4617 8,4676 8,4735 8,4794 72,6 8,4853 8,4912 8,4971 8,5029 8,5088 8,5147 8,5206 8,5264 8,5323 8,5381 73,0 8,5440 8,5499 8,5557 8,5615 8,5674 8,5732 8,5790 8,5849 8,5907 8,5965 7-1,0 8,6023 8,6081 8,6139 8,6197 8,6255 8,6313 8,6371 8,6429 8,6487 8,6545 75,01 8,6603 8,6660 8,6718 8,6776 8,6833 8,6891 8,6948 8,7006 8,7063 8,7121 76,o: 8,7178 8,7235 8,7293 8,7350 8,7407 8,7464 8,7521 8,7579 8,7636 8,7693 77,U 8,7750 8,7807 8,7864 8,7920 8,7977 8,8034 8,8091 8,8148 8,8204 8,8261 p i 8,831 S 8,8374 8,8431 8,8487 8,8544 8,8600 8,8657 8,8713 8,8769 8,8826 79,0 8,8882 8,8938 8,8994 8,9051 8,9107 8,9163 8,9219 8,9275 8,9331 8,9387 80,0 8,9443 8,9499 8,9554 8,9610 8,9666 8,9722 8,9778 8,9833 8,9889 8,9944 8 S ,0 9,0000 9,0056 9,0111 9,0167 9,0222 9,0277 9,0333 9,0388 9,0443 9,0499 82,0 9,0554 9,0609 9,0664 9,0719 9,0774 9,0830 9,0885 9,0940 9,0995 9,1049 83,0 9,1104 9,1159 9,1214 9,1269 9,1324 9,1378 9,1433 9,1488 9,1542 9,1597 84,6: 9,1652 9,1706 9,1761 9,1815 9,1869 9,1924 9,1978 9,2033 9,2087 9,2141 85,0 9,2195 9,2250 9,2304 9,2358 9,2412 9,2466 9,2520 9,2574 9,2628 9,2682 86,0 9,2736 9,2790 9,2844 9,2898 9,2952 9,3005 9,3059 9,3113 9,3167 9,3220 87^0 9,3274 9,3327 9,3381 9,3434 9,3488 9,3541 9,3595 9,3648 9,3702 9,3755 88,0 9,3808 9,3862 9,3915 9,3968 9,4021 9,4074 9,4128 9,4181 9,4234 9,4287 89,0 9,4340 9,4393 9,4446 9,4499 9,4552 9,4604 9,4657 9,4710 9,4763 9,4816 90,0 9,4868 9,4921 9,4974 9,5026 9,5079 9,5131 9,5184 9,5237 9,5289 9,5341 91,0 9,5394 9,5446 9,5499 9,5551 9,5603 9,5656 9,5708 9,5760 9,5812 9,5864 92,0 9,5917 9,5969 9,6021 9,6073 9,6125 9,6177 9,6229 9,6281 9,6333 9,6385 93,0 9,6437 9,6488 9,6540 9,6592 9,6644 9,6695 9,6747 9,6799 9,6850 9,6902 94,0 9,6954 9,7005 9,7057 9,7108 9,7160 9,7211 9,7263 9,7314 9,7365 9,7417 95,6 9,7468 9,7519 9,7570 9,7622 9,7673 9,7724 9,7775 9,7826 9,7877 9,7929 96.0 9,7980 9,8031 9,8082 9,8133 9,8184 9,8234 9,8285 9,8336 9,8387 9,8438 97.0 9,8489 9,8539 9,8590 9,8641 9,8691 9,8742 9,8793 9,8843 9,8894 9,8944 98.1! 9,8995 9,9045 9,9096 9,9146 9,9197 9,9247 9,9298 9,9348 9,9398 9,9448 99,0 9,9499 9,9549 9,9599 9,9649 9,9700 9,9750 9,9800 9,9850 9,9900 9,9950

Norint rasti bet kurio skaičiaus a šaknį, reikia jį išreikšti taip: x • 103"; kai 1 <x < 100, n — sveikasis skaičius.

•Ja = V* • 102" = -Jx • 10"; -Jx randame lentelėje.

Pavyzdžiai

VlOSO = 710,5 100 = VIOTŠIO = 3,2404-10 = 32,404;

70,00074 = ^7,4• 10^' = J l A • - J l f F = 2,7203- 1(T2 = 0,027203.

16

KUBINIŲ ŠAKNŲ REIKŠMIŲ LENTELĖ

X Lentelėje pateiktos skaičių kubinių šaknų reikšmės

X A" x + 0,1 x + 0,2 x + 0,3 A' + 0,4 x + 0,5 A: + 0,6 A- + 0,7 A + 0,8 A + 0,9

1 1,0000 1,0323 1,0627 1,0914 1,1187 1,1447 1,1696 1,1935 1,2164 1,2386 2 1,2599 1,2806 1,3006 1,3200 1,3389 1,3572 1,3751 1,3925 1,4095 1.4260

> 3 1,4422 1,4581 1,4736 1,4888 1,5037 1,5183 1,5326 1,5467 1,5605 1,5741 ' -4 • . 1,5874 1,6005 1,6134 1,6261 1,6386 1,6510 1,6631 1,6751 1,6869 1,6985

1,7100 1,7213 1,7325 1,7435 1,7544 1,7652 1,7758 1,7863 1,7967 1,8070 6 1,8171 1,8272 1,8371 1,8469 1,8566 1,8663 1,8758 1,8852 1,8945 1,9038 1 1,9129 1,9220 1,9310 1,9399 1,9487 1,9574 1,9661 1,9747 1,9832 1.9916 a 2,0000 2,0083 2,0165 2,0247 2,'03 28 2,0408 2,0455 2,0567 2,0646 2.0724 9 2,0801 2,0878 2,0954 2,1029 2,1105 2,1179 2,1253 2,1327 2,1400 2,1472

X X .r + 1 + 2 .r + 3 .r + 4 x + 5 A' + 6 x + 1 .v + 8 -t + 9 10 2,1544 2,2240 2,2894 2,3513 2,4101 2,4662 2,5198 2,5713 2,6207 2,6684 20 2,7144 2,7589 2,8020 2,8439 2,8845 2,9240 2,9625 3,0000 3,0366 3,0723 30 3,1072 3,1414 3,1748 3,2075 3,2396 3,2711 3,3019 3,3322 3,3620 3,3912 40 3,4200 3,4482 3,4760 3,5034 3,5303 3,5569 3,5830 3,6088 3,6342 3,6593 50 3,6870 3,7084 3,7325 3,7563 3,7798 3,8030 3,8259 3,8485 3,8709 3,8930 60 3,9149 3,9365 3,9579 3,9791 4,0000 4,0207 4,0412 4,0615 4,0817 4,1016 70 4,1213 4,1408 4,1602 4,1793 4,1983 4,2172 4,2358 4,2543 4,2727 4,2908 80 4,3089 4,3267 4,3445 4,3621 4,3795 4,3968 4,4140 4,4310 4,4480 4,4647 90 4,4814 4,4979 4,5144 4,5307 4,5468 4,5629 4,5789 4,5947 4,6104 4,6261 100 4,6416 4,6570 4,6723 4,6875 4,7027 4,7177 4,7326 4,7475 4,7622 4,7769 110 4,7914 4,8059 4,8203 4,8346 4,8488 4,8629 4,8770 4,8910 4,9049 4,9187 120 4,9324 4,9461 4,9597 4,9732 4,9866 5,000 5,0133 5,0265 5,0397 5,0528 130 5,0658 5,0788 5,0916 5,1045 5,1172 5,1299 5,1426 5,1551 5,1676 5,1801 140 5,1925 5,2048 5,2171 5,2293 5,2415 5,2536 5,2656 5,2776 5,2896 5,3015 150 5,3133 5,3251 5,3368 5,3485 5,3601 5,3717 5,3832 5,3947 5,4061 5,4175 160 5,4288 5,4401 5,4514 5,4626 5,4737 5,4848 5,4959 5,5069 5,5178 5,5288 170. 5,5397 5,5505 5,5613 5,5721 5,5828 5,5934 5,6041 5,6147 5,6252 5,6357 180 5,6462 5,6567 5,6671 5,6774 5,6877 5,6980 5,7083 5,7185 5,7287 5,7388 190 5,7489 5,7590 5,7690 5,7790 5,7890 5,7989 5,8088 5,8186 5,8285 5,8383 200 5,8480 5,8578 5,8675 5,8771 5,8868 5,8964 5,9059 5,9155 5,9250 5,9345

.2.10 5,9439 5,9533 5,9627 5,9721 5,9814 5,9907 6,0000 6,0092 6,0185 6,0277 220 6,0368 6,0459 6,0550 6,0641 6,0732 6,0822 6,0912 6,1002 6,1091 6,1180 230 6,1269 6,1358 6,1446 6,1534 6,1622 6,1710 6,1797 6,1885 6,1972 6,2058 240 6,2145 6,2231 6,2317 6,2403 6,2488 6,2573 6,2658 6,2743 6,2828 6,2912 250 6,2996 6,3080 6,3164 6,3247 6,3330 6,3413 6,3496 6,3579 6,3661 6,3743 260 6,3825 6,3907 6,3988 6,4070 6,4151 6,4232 6,4312 6,4393 6,4473 6,4553 270 6,4633 6,4713 6,4792 6,4872 6,4951 6,5030 6,5108 6,5187 6,5265 6,5343 280 6,5421 6,5499 6,5577 6,5654 6,5731 6,5808 6,5885 6,5962 6,6039 6,6115 290 6,6191 6,6267 6,6343 6,6419 6,6494 6,6569 6,6644 6,6719 6,6794 6,6869 300 6,6943 6,7018 6,7092 6,7166 6,7240 6,7313 6,7387 6,7460 6,7533 6,7606 310 6,7679 6,7752 6,7824 6,7897 6,7969 6,8041 6,8113 6,8185 6,8256 6,8328 320. 6,8399 6,8470 6,8541 6,8612 6,8683 6,8753 6,8824 6,8894 6,8964 6,9034 .330 6,9104 6,9174 6,9244 6,9313 6,9382 6,9451 6,9521 6,9589 6,9658 6,9727 • 340 6,9795 6,9864 6,9932 7,0000 7,0068 7,0136 7,0203 7,0271 7,0338 7,0406 350 7,0473 7,0540 7,0607 7,0674 7,0740 7,0807 7,0873 7,0940 7,1006 7,1072 360 7,1138 7,1204 7,1269 7,1335 7,1400 7,1466 7,1531 7,1596 7,1661 7,1726 370 7,1791 7,1855 7,1920 7,1984 7,2048 7,2112 7,2177 7,2240 7,2304 7,2368 380 7,2432 7,2495 7,2558 7,2622 7,2685 7,2748 7,2811 7,2874 7,2936 7,2999 390 7,3061 7,3124 7,3186 7,3248 7,3310 7,3372 7,3434 7,3496 7,3558 7,3619 400 7,3681 7,3742 7,3803 7,3864 7,3925 7,3986 7,4047 7,4108 7,4169 7,4229 410: 7,4290 7,4350 7,4410 7,4470 7,4530 7,4590 7,4650 7,4710 7,4770 7,4829 420 7,4889 7,4948 7,5007 7,5067 7,5126 7,5185 7,5244 7,5302 7,5361 7,5420 430 7,5478 7,5537 7,5595 7,5654 7,5712 7,5770 7,5828 7,5886 7,5944 7,6001

: 440- 7,6059 7,6117 7,6174 7,6232 7,6289 7,6346 7,6403 7,6460 7,6517 7,6574

17

įį;: Lentelėje pateiktus skuiėių kubinių šaknų reikšmės įį;: • x. ; x;+ t x .+ 2 .v ! 3 x + 4 .t + 5 ' x + 6 + 7 x + s x + 9

450 7,6631 7,6688 7,6744 7,6801 7,6857 7,6914 7,6970 7,7026 7,7082 7,7138 460 7,7194 7,7250 7,7306 7,7362 7,7418 7,7473 7,7529 7,7584 7,7639 7,7695 470 7,7750 7,7805 7,7860 7,7915 7,7970 7,8025 7,8079 7,8134 7,8188 7,8243 480 7,8297 7,8352 7,8406 7,8460 7,8514 7,8568 7,8622 7,8676 7,8730 7,8784 490 7,8837 7,8891 7,8944 7,8998 7,9051 7,9105 7,9158 7,9211 7,9264 7,9317 500 7,9370 7,9423 7,9476 7,9528 7,9581 7,9634 7,9686 7,9739 7,9797 7,9843 510 7,9896 7,9948 8,0000 8,0052 8,0104 8,0156 8,0208 8,0260 8,0311 8,0363 520 8,0415 8,0466 8,0517 8,0569 8,0620 8,0671 8,0723 8,0774 8,0825 8,0876 530 8,0927 8,0978 8,1028 8,1079 8,1130 8,1180 8,1231 8,1281 8,1332 8,1382 540 8,1433 8,1483 8,1533 8,1583 8,1633 8,1683 8,1733 8,1783 8,1833 8,1882 550 8,1932 8,1982 8,2031 8,2081 8,2130 8,2180 8,2229 8,2278 8,2327 8,2377 560 8,2426 8,2475 8,2524 8,2573 8,262 8,2670 8,2719 8,2768 8,2816 8,2865 570 8,2913 8,2962 8,3010 8,3059 8,3107 8,3155 8,3203 8,3251 8,3300 8,3348 580 8,3396 8,3443 8,3491 8,3539 8,3587 8,3634 8,3682 8,3730 8,3777 8,3825 590 8,3872 8,3919 8,3967 8,4014 8,4061 8,4108 8,4155 8,4202 8,4249 8,4296 600 8,4343 8,4390 8,4437 8,4484 8,4530 8,4577 8,4623 8,4670 8,4716 8,4763 610 8,4809 8,4856 8,4902 8,4948 8,4994 8,5040 8,5086 8,5132 8,5178 8,5224 620 8,5270 8,5316 8,5362 8,5408 8,5453 8,5499 8,5544 8,5590 8,5635 8,5681 630 8,5726 8,5772 8,5817 8,5862 8,5907 8,5952 8,5997 8,6043 8,60S8 8,6132 640 8,6177 8,6222 8,6267 8,6312 8,6357 8,6401 8,6446 8,6490 8,6535 8,6579 650 8,6624 8,6668 8,6713 8,6757 8,6801 8,6845 8,6890 8,6934 8,6978 8,7022 660 8,7066 8,7110 8,7154 8,7198 8,7241 8,7285 8,7329 8,7373 8,7416 8,7460 670 8,7503 8,7547 8,7590 8,7634 8,7677 8,7721 8,7764 8,7807 8,7850 8,7893 680 8,7937 8,7980 8,8023 8,8066 8,8109 8,8152 8,8194 8,8237 8,8280 8,8323 690 8,8366 8,8408 8,8451 8,8493 8,8536 8,8578 8,8621 8,8663 8,8706 8,8748 700 8,8790 8,8833 8,8875 8,8917 8,8959 8,9001 8,9043 8,9085 8,9127 8,9169 710 8,9211 8,9253 8,9295 8,9337 8,9378 8,9420 8,9462 8,9503 8,9545 8,9587 720 8,9628 8,9670 8,9711 8,9752 8,9794 8,9835 8,9876 8,9918 8,9959 9,0000 730 9,0041 9,0082 9,0123 9,0164 9,0205 9,0246 9,0287 9,0328 9,0369 9,0410 740 9,0450 9,0491 9,0532 9,0572 9,0613 9,0654 9,0694 9,0735 9,0775 9,0816 750 9,0856 9,0896 9,0937 9,0977 9,1017 9,1057 9,1098 9,1138 9,1178 9,1218 760 9,1258 9,1298 9,1338 9,1378 9,1418 9,1458 9,1498 9,1537 9,1577 9,1617 770 9,1657 9,1696 9,1736 9,1775 9,1815 9,1855 9,1894 9,1933 9,1973 9,2012 780 9,2052 9,2091 9,2130 9,2170 9,2209 9,2248 9,2287 9,2326 9,2365 9,2404 790 9,2443 9,2482 9,2524 9,2560 9,2599 9,2638 9,2677 9,2716 9,2754 9,2793 800 9,2832 9,2870 9,2909 9,2948 9,2986 9,3025 9,3063 9,3102 9,3140 9,3179 810 9,3217 9,3255 9,3294 9,3332 9,3370 9,3408 9,3447 9,3485 9,3523 9,3561 820 9,3599 9,3637 9,3675 9,3713 9,3751 9,3789 9,3827 9,3865 9,3902 9,3940 830 9,3978 9,4016 9,4053 9,4091 9,4129 9,4166 9,4204 9,4241 9,4279 9,4316 840 9,4354 9,4391 9,4429 9,4466 9,4503 9,4541 9,4578 9,4615 9,4652 9,4690 850 9,4727 9,4764 9,4801 9,4838 9,4875 9,4912 9,4949 9,4986 9,5023 9,5060 860 9,5097 9,5134 9,5171 9,5207 9,5244 9,5281 9,5317 9,5354 9,5391 9,5427 870 9,5464 9,5501 9,5537 9,5574 9,5610 9,5647 9,5683 9,5719 9,5756 9,5792 880 9,5828 9,5865 9,5901 9,5937 9,5973 9,6010 9,6046 9,6082 9,6118 9,6154 890 9,6190 9,6226 9,6262 9,6298 9,6334 9,6370 9,6406 9,6442 9,6477 9,6513 900 9,6549 9,6585 9,6620 9,6656 9,6692 9,6727 9,6763 9,6799 9,6834 9,6870 910 9,6905 9,6941 9,6976 9,7012 9,7047 9,7082 9,7118 9,7153 9,7188 9,7224 920 9,7259 9,7294 9,7329 9,7364 9,7400 9,7435 9,7470 9,7505 9,7540 9,7575 930 9,7610 9,7645 9,7680 9,7715 9,7750 9,7785 9,7819 9,7854 9,7889 9,7924 940 9,7959 9,7993 9,8028 9,8063 9,8097 9,8132 9,8167 9,8201 9,8236 9,8270 950 9,8305 9,8339 9,8374 9,8408 9,8443 9,8477 9,8511 9,8546 9,8580 9,8614 960 9,8648 9,8683 9,8717 9,8751 9,8785 9,8819 9,8854 9,8888 9,8922 9,8956 970 9,8990 9,9024 9,9058 9,9092 9,9126 9,9160 9,9194 9,9227 9,9261 9,9295 980 9,9329 9,9363 9,9396 9,9430 9,9464 9,9497 9,9531 9,9565 9,9598 9,9632 990 9,9666 9,9699 9,9733 9,9766 9,9800 9,9833 9,9866 9,9900 9,9933 9,9967

Norėdami rasti skaičiaus a kubinę šaknį, turime jį užrašyti taip; a = x • 103"; kai 1 <x < 1000. šfa =<Jx-10'" =ifx • 10" reikiamą šfx randame lentelėje.

18

LYGTYS Pirmojo ir antrojo laipsnio lygčių su vienu nežinomuoju sprendimas

Lygtis Sąlygos Sprendiniai Geometrini interpretacija

pirmojo laipsnio lygtis su vienu nežinomuoju

: : : '

a* 0 b x = —

a Lygties y = ax + b susikir-timo taškas su ašimi Ox y \ :

: : '

a* 0 b x = —

a Lygties y = ax + b susikir-timo taškas su ašimi Ox

0 X

.... . • •• •• ax + /; = <)

a = 0, b * 0 x e 0 (tiesė y = b nekerta ašies Ox)

y .... . • •• •• ax + /; = <)

a = 0, b * 0 x e 0 (tiesė y = b nekerta ašies Ox)

.... . • •• •• ax + /; = <)

a = 0, b * 0 x e 0 (tiesė y = b nekerta ašies Ox) 0 X

.... . • •• •• ax + /; = <)

a = 0, b = 0 x e Ji tiesė y = 0, kuri yra ašis Ox y

.... . • •• •• ax + /; = <)

a = 0, b = 0 x e Ji tiesė y = 0, kuri yra ašis Ox

0 X

antrojo laipsnio su vienu nežinomuoju'

«.c + bx + + c = 0

a = 0 pirmojo laips-nio lygtis

žiūrėti aukščiau

«.c + bx + + c = 0

a # 0, A > 0 -b±JA ~ 2a

Parabolė y = ax2 + bx + c kerta ašį Ox dviejuose taš-kuose

X

\ J , «.c + bx + + c = 0

a # 0, A > 0 -b±JA ~ 2a

Parabolė y = ax2 + bx + c kerta ašį Ox dviejuose taš-kuose

0 V / y "

«.c + bx + + c = 0 a * 0, A = 0 b

X 2a

parabolės y = ax2 + bx + c ir ašies Ox lietimosi taškas

X vy, «.c + bx + + c = 0 a * 0, A = 0 b

X 2a

parabolės y = ax2 + bx + c ir ašies Ox lietimosi taškas

0 y

«.c + bx + + c = 0

a * 0, A < 0 x e 0 (parabolė y = ax2 + bx + c neturi bendrų taškų su aši-mi Ox)

X \ J

«.c + bx + + c = 0

a * 0, A < 0 x e 0 (parabolė y = ax2 + bx + c neturi bendrų taškų su aši-mi Ox) 0 y

' A diskriminantas, A = b2- 4ac

Vieto formulės b c

Kvadratinio trinario vaizdavimo būdai

Pavadinimas Išraiška" Paaiškinimai, pastabus

Bendras ax2 + bx + c (0, c) - susikirtimo su ašimi Oy taškas

Kanoninis f b)2 A

a\ x + — [ 2a J 4a

f b A Taškas su koordinatėmis _ 2 i ' ~ 4 / — t a ' P a r a ' 3 0 ' ^ s

viršūnė, kurios šakos nukreiptos aukštyn (a > 0) arba žemyn (a < 0)

Daugina- ' mųjų

a (x-xl) (x - x2) xlt x2 - trinario šaknys; dauginamųjų vaizdavimo būdas neegzistuoja, jei A < 0

' Prielaida: a * 0.

19

n-ojo laipsnio daugianorių lygčių savybės Formulės lygtims ax" + a,,.,*"-' + •-- + a2x2 + atx + aQ = 0

Problema .Taisyklė ' Pavyzdysį pastabos, f Realiųjų šaknų /•kaičius'

Šaknų skaičius yra lygus lygties laipsniui ar-ba lyginiu šaknų skaičiumi yra mažesnis. Kiekviena nelyginio laipsnio lygtis turi bent vieną realųjį sprendinį

Lygtis x5 + x* + x' + x2 + x + 1 = 0 tikrai turi realųjį sprendinį; tokių sprendinių gali būti 1, 3 arba 5

Teigiamų-jų šaknų skaičius

Toks pats kaip ir lygties koeficientų (« , au t «u) ženkių keitimo skaičius ar-ba yra mažesnis lyginiu skaičiumi"

Lygties j c 5 + . r 4 + x i + j f 2 - l - s + 1 = 0 koeficientai nekeičia ženklo, todėl lyg-tis neturi teigiamų sprendinių

Neigia--•» 3 . •

šaknų skaičius

Pakeičiame x —» -x ir taikome ankstes-nę taisyklę"

Lygties -jr5 + X1 + x3 + x2 + x + 1 = = 0 koeficientai keičia ženklą 5 kar-tus, todėl lygtis xs + .t4 + + x2 + .v + 1 = 0 turi 1, 3 arba 5 neigiamus sprendinius

Raciona-liosios šakny?

p Jei - yra nesuprastinama trupmena ir

yra lygties šaknis su sveikaisiais koefi-cientais®, tai p yra a(l daliklis, o q yra an

daliklis

Lygties j r 5 + j r ' - i - A - ' ' + j ; 2 + j : - l - l = 0 koeficientai yra sveikieji. Galimos p reikšmės ± 1, o q reikšmės taip pat ± 1. Galimas racionalusis sprendinys ± 1. Įrašę į lygtį apskaičiuojame, kad tik - 1 tinka lygčiai

Bezu, teorema

Jei yra lygties D(x) = 0 m kartų šak-nis, tai D(a') dalijasi iš (x -JC0)m

Teorema leidžia sumažinti lygties laipsnį. Iš gautosios lygties apskaičiuo-jame likusius sprendinius. Pavyzdžiui, lygtį + + x + 1 = 0 galima pakeisti lygtimi (x + 1) (x* + x2 + 1) = 0

Šakai; stirna • an

Apibendrintos Vieto formulės11

Šaknų;'; sandauga

W - •*„ = H ) " 7 h

Apibendrintos Vieto formulėsd

" jei tariame, kad lygties šaknys gali būti kompleksinės, tai n-ojo laipsnio lygtis visada turi n šaknų (taip formuluojama pagrindinė algebros teorema); ^ Dekarto taisyklė; c pakeitę x x - a, galime patikrinti, kiek yra šaknų, didesnių už duotąją a\ d formulė teisinga, jei įtrauktos ir kompleksinės šaknys;e taip galima užrašyti lygtį su racionaliaisiais koeficientais padauginus ją iš atitinkamo sveikojo skaičiaus

Daugianorės nelygybės (pvz.: D(x) > 0) Problema ^i.:'::.;:'' 'Pastabos.' ;•: •• JJJi-

Sprendinio išraiška Intervalų sąjunga (gali būti tuščia aibė arba visa abscisių ašis) Intervalų rūšys Nelygybėms D(x) > 0 ir D(x) < 0 atviri intervalai Intervalų rūšys

Nelygybėms D(x) > 0 ir D(x) < 0 uždari intervalai" Galimi intervalų galai : bei skaičiai, kurie yra lygties D{x) = 0 sprendiniai Minimalus intervalų skaičius 0 (lygtis D(x) yra lyginio laipsnio) arba 1 (lygtis D(x) yra nely-

ginio laipsnio)

Maksimalus intervalų skaičius " +1 , kai n lyginis, , kai n nelyginisb

a arba atviri begaliniai intervalai; b n - daugianario D(x) laipsnis

20

LYGČIŲ SISTEMOS Dviejų lygčių sistemos su dviem nežinomaisiais sprendimas

" Lygtis Sąlygos Sprendiniai Geometrinė interpretacįja

hx+/> ,>•=r ,

a p 2 - a p , t - 0

x _ b 1 c l - b l c i

a p 2 - a2bi

y = u t c 2 ~ a 2 c i

a l b 1 - a 1 b l

Dviejų tiesių susi-kirtimo taškas

y

1

1 / /

hx+/> ,>•=r ,

a p 2 - a p , t - 0

x _ b 1 c l - b l c i

a p 2 - a2bi

y = u t c 2 ~ a 2 c i

a l b 1 - a 1 b l

Dviejų tiesių susi-kirtimo taškas

0 ' X

hx+/> ,>•=r , a p 2 - a p l = 0 ,

b 2 c 1 - b l c 1 * 0 x E 0

Dvi nesikertan-čios tiesės — tiesės lygiagrečios (sprendinių nėra)

y i

hx+/> ,>•=r , a p 2 - a p l = 0 ,

b 2 c 1 - b l c 1 * 0 x E 0

Dvi nesikertan-čios tiesės — tiesės lygiagrečios (sprendinių nėra)

0

hx+/> ,>•=r ,

a f i 2 - a p i = 0 ,

6 2 C , - b f 2 = 0

Be galo daug sprendinių, tenki-nančių vieną lygtį

Tiesės yra sutam-pančios

y '

K ,

hx+/> ,>•=r ,

a f i 2 - a p i = 0 ,

6 2 C , - b f 2 = 0

Be galo daug sprendinių, tenki-nančių vieną lygtį

Tiesės yra sutam-pančios

0 ^ X

Lygčių sistemų sprendimas skaičiavimo budu

Metodas Paaiškinimas Sprendimo būdas, kai duota

\2x&3y - 5 sistema <

į .v 3>- - i

Pakeitimų metodas"

Iš vienos lygties išreiškiame vieną ne-žinomųjų, o gautą išraišką įrašome į likusias lygtis

Antrąją lygtį galima užrašyti taip: x = = 3y + 1. ]rašę šią išraišką į pirmąją lygtį, gauname 2(3y + 1) + 3y = 5; iš

čia 9y = 3 ir y = ^ . Įrašę į antrąją 1

lygtį, gauname x = 3 • ^ + 1 = 2

Elementa-riųjų ope-racijų me-todas1'

Sistemos sprendinys nesikeičia: • jei padauginsime vieną lygčių iš

skaičiaus a * 0 • jei prie vienos lygties pridėsim kitą

lygti • iš vienos lygties atimsime kitą lygtį

Pridėję pirmąją lygtį prie antrosios [3* = 6,

gauname: j ^ ^ iš čia lengva ap-

skaičiuoti sprendinius:

Dctcrmi-nantų metodas (Krame-rio)c

Taikome formules x = -J-; D, ° y = — ; ..., čia D yra determinantas,

sudarytas iš lygčių sistemos koefi-cientų115, o Dx, D, ... determinantai, gauti iš D, atitinkamus jų stulpelius pakeitus laisvaisiais koeficientais

D =

Ą =

Dy =

2 3

1 - 3 5 3 i - :

2 51 1 l |

= - 9 .

- 9

' y - 9 3

' labai bendras metodas, bet pakankamai greitas; b taikant šj metodą dažnai galima greitai išspręsti lygčių sistemą, bet tai priklauso nuo pačios lygčių sistemos bei sprendžiančiojo pas tabumo; c patogus metodas, pavyzdžiui, įrodinėti teoremas, tačiau reikalauja labai daug skaičiavimų, kai lygčių skaičius didesnis už tris; u determinantai - žiūrėti kitą puslapį; ' jei D = 0, tai lygčių sistema neturi sprendinių (jei nors viena reikšmių Dy, ... nelygi nuliui) arba turi be galo daug sprendinių (jei visi Dx, Df, ... yra lygūs nuliui)

21

MATRICOS IR DETERMINANTAI Matricos apibrėžimas Matrica - stačiakampė m • n skaičių lentelė, kurią sudaro n eilučių ir m stulpelių. Atskiri matricos elementai žymimi o„ (< — l..n, j = l..m).

[A] =

... o l t

... a„

Matricų rūšys Pavadinimas Sąlyga Paaiškinimai, pastabus Pavyzdys Kvadratinė matrica

m = n Stulpelių ir eilučių skaičius yra lygus a b c d

Diagonalio-ji matrica11 Uy = 0, kai i * j

Visi matricos elementai, išskyrus pagrindinės įstrižainės elementus, yra lygūs nuliui

"4 0 0 - 3

Simetrinė matrica' a.. = a., Simetriškai išdėstyti pagrindinės įstrižainės

atžvilgiu elementai yra lygūs 1 ~ 3 1

- 3 5

Vienetinė matrica"

a.. = 1, kai i - /; a. = 0, kai i * j 'i ' '

Visi diagonalieji elementai (t. y. esantys pa-grindinėje įstrižainėje) yra lygūs vienetui. Ki-ti elementai — nuliai

"1 01

iJ • tinka tik kvadratinei matricai

Paprastųjų determinantų skaičiavimas \a c f) d

ai\ % fl2i a n a n

a31 a3>

= ad-bc

auauan + fl12a2Ja3J + a^anan - a]ya22a}i - aua1)an - a^2)ay

Pastaba: formulės, skirtos didesniems determinantams apskaičiuoti, yra sudėtingesnės.

Determinantų savybės Taisyklė Pavyzdys

Jei duoto ik termmanto eilutės ar stulpelio visi elementai yra lygūs nuliui, tai ir pa:s dcteiruiuautas lygu:-: nuliui

1 6 ° i = 0 -37 0[

Jei; bet kurios dvi determinanio eilutės (ar stulpeliai) ly-gios arba proporcingos, tai determinantas! lygus nuliui . 7 1 = 0;

7 9|

1 2 „ 3 6

Sukeitus i'ilutc. stulpeliais |l. y. transponuojant .j --=• a 0 ar stulpelius eilutėmis, deterrainanto reikšmė nesikeičia

1 2 3 5

1 ~ 2

3 5

= - 1

Sukeitus dvi gretimas dete-rminanto eilutės arba stulpėlius vietomis, doterminanto reikšmė keičia ženklą.

1 - 3 - 3 5

= -

~3 5 1 - 3

= - 4

Bendrą eilutės ar stulpelio dauginamąjį.galima iškelti priėš tleterminąnfą.

6 2

P 4 = 3

2 4

= 6 2 1

; . I 8

Sudėjus arba atėmus dvi detertninantV) eilutes arba -.tui-peliūs., detėrminanto reikšmė nekeičia ženklo

1 -1

2 l °

2 C 1 2 = 4

22

LOGARITMAI Skaičiaus x logaritmo pagrindu a apibrėžimas

logoJf = y <=> x = a* (čia ir kitose formulėse sutarta, kad x > 0, a > 0, a * 1)

Pagrindinės logaritmų savybės logol = 0 l°g a

f l = 1

loga (x y) = logux + loga y Iog„ * = log„x- log ,y

logo xr = y log, x log, €x = i iog„ x

Logaritmo pagrindo keitimas

log„ jc = log4 a • log, j:

Dešimtainis logaritmas Natūralusis logaritmas log jr = logl0 x ln x = logt x (e = 2,718...) In x — Iri 10 • log x ~ 2,303 log x

NATŪRALIŲJŲ LOGARITMŲ LENTELĖ Lentelėje rasite šių skaičių natūraliųjų logaritmų reikšmes

JC x + 0,00 x + 0,05 ^ + 0,10 x + 0,15 x + 0,20 A: + 0,25 x + 0,30 * + 0,35 x + 0,40 x + 0,45

1,00 0,0000 0,0488 0,0953 0,1398 0,1823 0,2231 0,2624 0,3001 0,3365 0,3716 1,50 0,4055 0,4383 0,4700 0,5008 0,5306 0,5596 0,5878 0,6152 0,6419 0,6678 2,00 0,6931 0,7178 0,7419 0,7655 0,7885 0,8109 0,8329 0,8544 0,8755 0,8961 2,50 0,9163 0,9361 0,9555 0,9746 0,9933 1,0116 1,0296 1,0473 1,0647 1,0818 3,00 1,0986 1,1151 1,1314 1,1474 1,1632 1,1787 1,1939 1,2090 1,2238 1,2384 3,50 1,2528 1,2669 1,2809 1,2947 1,3083 1,3218 1,3350 1,3481 1,3610 1,3737 4,00 1,3863 1,3987 1,4110 1,4231 1,4351 1,4469 1,4586 1,4702 1,4816 1,4929 4,50 1,5041 1,5151 1,5261 1,5369 1,5476 1,5581 1,5686 1,5790 1,5892 1,5994 5,00 1,6094 1,6194 1,6292 1,6390 1,6487 1,6582 1,6677 1,6771 1,6864 1,6956 5,50 1,7047 1,7138 1,7228 1,7317 1,7405 1,7492 1,7579 1,7664 1,7750 1,7834 6,00 1,7918 1,8001 1,8083 1,8165 1,8245 1,8326 1,8405 1,8485 1,8563 1,8641 6,50 1,8718 1,8795 1,8871 1,8946 1,9021 1,9095 1,9169 1,9242 1,9315 1,9387 7,00 1,9459 1,9530 1,9601 1,9671 1,9741 1,9810 1,9879 1,9947 2,0015 2,0082 7,50 2,0149 2,0215 2,0281 2,0347 2,0412 2,0477 2,0541 2,0605 2,0669 2,0732 8,00 2,0794 2,0857 2,0919 2,0980 2,1041 2,1102 2,1163 2,1223 2,1282 2,1342 8,50 2,1401 2,1459 2,1518 2,1576 2,1633 2,1691 2,1748 2,1804 2,1861 2,1?17 9,00 2,1972 2,2028 2,2083 2,2138 2,2192 2,2246 2,2300 2,2354 2,2407 2,2460 9,50 2,2513 2,2565 2,2618 2,2670 2,2721 2,2773 2,2824 2,2875 2,2925 2,2976

Norint apskaičiuoti ln x, logaritmuojamą skaičių x reikia išreikšti taip: x = y • 10" (čia 1 < y < 10, n - sveikasis skaičius), toliau taikome tokią formulę ln x = ln (y • 10") = = Iny + n ln 10. Iny randame iš lentelių, ln 10 = 2,302585... (tikslesnė reikšmė, ir. p. 7). Jei y labai artimas vienetui, tai galima taikyti tokią formulę ln (1 + a) = a (tikslesnė formulė, žr. p. 37). Pavyzdžiai: ln 550 = ln (5,5 • 10J) = ln 5,5 + 2 ln 10 = 1,7047 + 2 • 2,3026 = 6,310; ln 0,002 = ln (2 • 10 3) - ln 2 - 3 ln 10 = 0,6931 - 3 • 2,3026 = -6,215; ln 0,99995 = ln (1 - 0,00005) = -0,00005.

23

DEŠIMTAINIŲ LOGARITMŲ LENTELĖ Lentelėje rasite šių skaičių; dešimtainių logaritmų reikšmes

Hį-jegį į. i 0,00 .v 1 0,01 •r i 0.02 * i 0.03 x l i),01 .v 1 0,05 .v i 0,06 .r + 0,(17 •c + O.Oii X i 0.09

1.0 0,0000 0,0043 0,0086 0,0128 0,0170 0,0212 0,0253 0,0294 0,0334 0,0374 1,1 0,0414 0,0453 0,0492 0,0531 0,0569 0,0607 0,0645 0,0682 0,0719 0,0755 1,2 0,0792 0,0828 0,0864 0,0899 0,0934 0,0969 0,1004 0,1038 0,1072 0,1106

•1,3 0,1139 0,1173 0,1206 0,1239 0,1273 0,3303 0,1335 0,1367 0,1399 0,1430 :VA 0,1461 0,1492 0,1523 0,1553 0,1584 0,1614 0,1644 0,1673 0,1703 0,1732

1,5 0,1761 0,1790 0,1818 0,1847 0,1875 0,3903 0,1931 0,1959 0,1987 0,2034 1,6 0,2041 0,2068 0,2095 0,2122 0,2148 0,2175 0,2201 0,2227 0,2253 0,2279 1.7 0,2304 0,2330 0,2355 0,2380 0,2405 0,2430 0,2455 0,2480 0,2504 0,2529 i,s 0,2553 0,2577 0,2601 0,2626 0,2648 0,2672 0,2695 0,2718 0,2742 0,2765

: 1,9 0,2788 0,2810 0,2833 0,2856 0,2878 0,2900 0,2923 0,2945 0,2967 0,2989 2,0 0,3010 0,3032 0,3054 0,3075 0,3096 0,3118 0,3139 0,3160 0,3181 0,3201 2,1 0,3222 0,3243 0,3263 0,3284 0,3304 0,3324 0,3345 0,3365 0,3385 0,3404 2,2 0,3424 0,3444 0,3464 0,3483 0,3502 0,3522 0,3541 0,3560 0,3579 0,3598 2,3 0,3617 0,3636 0,3655 0,3674 0,3692 0,3711 0,3729 0,3747 0,3766 0,3784 •2,4 0,3802 0,3820 0,3838 0,3856 0,3874 0,3892 0,3909 0,3927 0,3945 0,3962 2,5 0,3973 0,3997 0,4014 0,4031 0,4048 0,4065 0,4082 0,4099 0,4116 0,4133 2,6 0,4350 0,4166 0,4183 0,4200 0,4216 0,4232 0,4249 0,4265 0,4281 0,4298

:%v 0,4314 0,4330 0,4346 0,4362 0,4378 0,4393 0,4409 0,4425 0,4440 0,4456 2,8 0,4472 0,4487 0,4502 0,4518 0,4533 0,4548 0,4564 0,4579 0,4594 0,4609

m : 0,4624 0,4639 0,4654 0,4669 0,4683 0,4698 0,4713 0,4728 0,4742 0,4757 3,0 0,4771 0,4786 0,4800 0,4814 0,4829 0,4843 0,4857 0,4871 0,4886 0,4900

: a,i:: 0,4914 0,4928 0,4942 0,4955 0,4969 0,4983 0,4997 0,5011 0,5024 0.503S 3,2 0,5051 0,5065 0,5079 0,5092 0,5105 0,5119 0,5132 0,5145 0,5159 0,5172 3,3 0,5185 0,5198 0,5231 0,5224 0,5237 0,5250 0,5263 0,5276 0,5289 0,5302 3,4 0,5315 0,5328 0,5340 0,5353 0,5366 0,5378 0,5391 0,5403 0,5416 0,5428 3,5 0,5441 0,5453 0,5465 0,5478 0,5490 0,5502 0,5514 0,5527 0,5539 0,5551 3,6 0,5563 0,5575 0,5587 0,5599 0,5611 0,5623 0,5635 0,5647 0,5658 0,5670 3,7 0,5682 0,5694 0,5705 0,5737 0,5729 0,5740 0,5752 0,5763 0,5775 0,5786 3,8 0,5798 0,5809 0,5821 0,5832 0,5843 0,5855 0,5866 0,5877 0,5888 0,5899 3,9 0,5911 0,5922 0,5933 0,5944 0,5955 0,5966 0,5977 0,5988 0,5999 0,6010 4,0 0,6021 0,6031 0,6042 0,6053 0,6064 0,6075 0,6085 0,6096 0,6107 0,6117 4,1 0,6128 0,6138 0,6149 0,6160 0,6170 0,6180 0,6191 0,6201 0,6212 0,6222 4,2 0,6232 0,6243 0,6253 0,6263 0,6274 0,6284 0,6294 0,6304 0,6314 0,6325 4.3 0,6335 0,6345 0,6355 0,6365 0,6375 0,6385 0,6395 0,6405 0,6415 0,6425 4,4 0,6435 0,6444 0,6454 0,6464 0,6474 0,6484 0,6493 0,6503 0,6513 0,6522 •1-5 0,6532 0,6542 0,6551 0,6561 0,6571 0,6580 0,6590 0,6599 0,6609 0,6618

.4,6 0,6628 0,6637 0,6646 0,6656 0,6665 0,6675 0,6684 0,6693 0,6702 0,6712 4,7 0,6721 0,6730 0,6739 0,6749 0,6758 0,6767 0,6776 0,6785 0,6794 0,6803 4.8 0,6812 0,6821 0,6830 0,6839 0,6848 0,6857 0,6866 0,6875 0,6884 0,6893 4,9 0,6902 0,6911 0,6920 0,6928 0,6937 0,6946 0,6955 0,6964 0,6972 0,6981 5.0 0,6990 0,6998 0,7007 0,7016 0,7024 0,7033 0,7042 0,7050 0,7059 0,7067 •\1 0,7076 0,7084 0,7093 0,7101 0,7110 0,7118 0,7126 0,7335 0,7143 0,7152 5,2 0,7160 0,7168 0,7177 0,7185 0,7193 0,7202 0,7210 0,7218 0,7226 0,7235 5,3 0,7243 0,7251 0,7259 0,7267 0,7275 0,7284 0,7292 0,7300 0,7308 0,7316 5,4 0,7324 0,7332 0,7340 0,7348 0,7356 0,7364 0,7372 0,7380 0,7388 0,7396 5,5 0,7404 0,7412 0,7419 0,7427 0,7435 0,7443 0,7451 0,7459 0,7466 0,7474 5,6 0,7482 0,7490 0,7497 0,7505 0,7513 0,7520 0,7528 0,7536 0,7543 0,7551

0,7559 0,7566 0,7574 0,7582 0,7589 0,7597 0,7604 0,7612 0,7619 0,7627 5,8 0,7634 0,7642 0,7649 0,7657 0,7664 0,7672 0,7679 0,7686 0,7694 0,7701 5,9 0,7709 0,7716 0,7723 0,7731 0,7738 0,7745 0,7752 0,7760 0,7767 0,7774

24

.(

Lentelėje rasite Sių skaičių dešimtainių logaritmų rclftSmes .(

x + 0,00 A +.0,01 .<• + 6,02 + 0,03 .t + 0,04 x + 0,05 .v 1 0,06 .i i 0,07 .v •(- 0,08 .r + 0,09

6,0 0,7782 0,7789 0,7796 0,7803 0,7810 0,7818 0,7825 0,7832 0,7839 0,7846 6,1 0,7853 0,7860 0,7868 0,7875 0,7882 0,7889 0,7896 0,7903 0,7910 0,7917 6,2 0,7924 0,7931 0,7938 0,7945 0,7952 0,7959 0,7966 0,7973 0,7980 0,7987 6,3 0,7993 0,8000 0,8007 0,8014 0,8021 0,8028 0,8035 0,8041 0,8048 0,8055 6,4 0,8062 0,8069 0,8075 0,8082 0,8089 0,8096 0,8102 0,8109 0,8116 0,8122 6,5 0,8129 0,8136 0,8142 0,8149 0,8156 0,8162 0,8169 0,8176 0,8182 0,8189 6,6 0,8195 0,8202 0,8209 0,8215 0,8222 0,8228 0,8235 0,8241 0,8248 0,8254 6,7 0,8261 0,8267 0,8274 0,8280 0,8287 0,8293 0,8299 0,8306 0,8312 0,8319 6,8 0,8325 0,8331 0,8338 0,8344 0,8351 0,8357 0,8363 0,8370 0,8376 0,8382 6,9 0,8388 0,8395 0,8401 0,8407 0,8144 0,8420 0,8426 0,8432 0,8439 0,8445 7,0 : 0,8451 0,8457 0,8463 0,8470 0,8476 0,8482 0,8488 0,8494 0,8500 0,8506 7,1 0,8513 0,8519 0,8525 0,8531 0,8537 0,8543 0,8549 0,8555 0,8561 0,8567 7,2 0,8573 0,8579 0,8585 0,8591 0,8597 0,8603 0,8609 0,8615 0,8621 0,8627 7,3 0,8633 0,8639 0,8645 0,8651 0,8657 0,8663 0,8669 0,8675 0,8681 0,8686 7,4 0,8692 0,8698 0,8704 0,8710 0,8716 0,8722 0,8727 0,8733 0,8739 0,8745 7,5 : 0,8751 0,8756 0,8762 0,8768 0,8774 0.S779 0,8785 0,8791 0,8797 0,8802 7,6 0,8808 0,8814 0,8820 0,8825 0,8831 0,8837 0,8842 0,8848 0,8854 0,8859 7,7 0,8865 0,8871 0,8876 0,8882 0,8887 0,8893 0,8899 0,8904 0,8910 0,8915 7,8 0,8921 0,8927 0,8932 0,8938 0,8943 0,8949 0,8954 0,8960 0,8965 0,8971 7,9 0,8976 0,8982 0,8987 0,8993 0,8998 0,9004 0,9009 0,9015 0,9020 0,9025 8,0 0,9031 0,9036 0,9042 0,9047 0,9053 0,9058 0,9063 0,9069 0,9074 0,9079 8,1: 0,9085 0,9090 0,9096 0,9101 0,9106 0,9112 0,9117 0,9122 0,9128 0,9133 8,2 0,9138 0,9143 0,9149 0,9154 0,9159 0,9165 0,9170 0,9175 0,9180 0,9186 8,3 0,9191 0,9196 0,9201 0,9206 0,9212 0,9217 0,9222 0,9227 0,9232 0,9238 8,4' 0,9243 0,9248 0,9253 0,9258 0,9263 0,9269 0,9274 0,9279 0,9284 0,9289 8,5 0,9294 0,9299 0,9304 0,9309 0,9315 0,9320 0,9325 0,9330 0,9335 0,9340 8,6 0,9345 0,9350 0,9355 0,9360 0,9365 0,9370 0,9375 0,9380 0,9385 0,9390 8,7 0,9395 0,9400 0,9405 0,9410 0,9415 0,9420 0,9425 0,9430 0,9435 0,9440 8,8 0,9445 0,9450 0,9455 0,9460 0,9465 0,9469 0,9474 0,9479 0,9484 0,9489 8,9 0,9494 0,9499 0,9504 0,9509 0,9513 0,9518 0,9523 0,9528 0,9533 0,9538 9,0 0,9542 0,9547 0,95S2 0,9557 0,9562 0,9566 0,9571 0,9576 0,9581 0,9586 9,1 0,9590 0,9595 0,9600 0,9605 0,9609 0,9614 0,9619 0,9624 0,9628 0,9633 9,2 0,9638 0,9643 0,9647 0,9652 0,9657 0,9661 0,9666 0,9671 0,9675 0,9680 9,3 0,9685 0,9689 0,9694 0,9699 0,9703 0,9708 0,9713 0,9717 0,9722 0,9727 9,4 0,9731 0,9736 0,9741 0,9745 0,9750 0,9754 0,9759 0,9763 0,9768 0,9773 9,5 0,9777 0,9782 0,9786 0,9791 0,9795 0,9800 0,9805 0,9809 0,9814 0,9818 9,6 0,9823 0,9827 0,9832 0,9836 0,9841 0,9845 0,9850 0,9854 0,9859 0,9863 9,7 0,9868 0,9872 0,9877 0,9881 0,9886 0,9890 0,9894 0,9899 0,9903 0,9908 9,8 0,9912 0,9917 0,9921 0,9926 0,9930 0,9934 0,9939 0,9943 0,9948 0,9952 9,9 0,9956 0,9961 0,9965 0,9969 0,9974 0,9978 0,9983 0,9987 0,9991 0,9996

10,0 1,0000 1,0004 1,0009 1,0013 1,0017 1,0022 1,0026 1,0030 1,0035 1,0039

Norint apskaičiuoti Iog x, logaritmuojamą skaičių x reikia išreikšti taip: x = y • 10" (čia 1 <, y < 10, n - sveikasis skaičius); toliau taikome tokią formulę log x = log (y • 10") = = logy + n. log y randame lentelėse. Jei y labai artimas vienetui, tai galima taikyti tokią formulę log (1 + a) ~ a log |0 e = = a/in 10 = 0,4343 a (tikslesnė ln 10 ir loglu e reikšmė, žr. p. 7).

Pavyzdžiai: log 6,29 = 0,7987; log 195 = log (1,95 • 102) = log 1,95 + log 10J = 0,2900 + 2 = 2,2900; log 0,834 = log (8,34 • 10"') = log 8,34 + log 10"' = 0,9212 + (-1) = -0,0788.

25

ANTILOGARITMAI X 10 10"' e* e" X 10' ::: 10? • e ' - : ::

0,00 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,50 3,1623 0,3162 1,6487 0,6065 0,01 1,0233 0,9772 1,0101 0,9900 0.51 3.2359 0,3090 1,6653 0,6005 0.02 1,0471 0,9550 1,0202 0,9802 0,52 3,3113 0,3020 1,6820 0,5945 0.03 1,0715 0,9333 1,0305 0,9704 0,53 3,3884 0,2951 1,6989 0,5886 0.04 1,0965 0,9120 1,0408 0,9608 0,54 3,4674 0,2884 1,7160 0,5827 0,05 1,1220 0,8913 1,0513 0,9512 0,55 3,5481 0,2818 1,7333 0,5769 0,06 1,1482 0,8710 1,0618 0,9418 0,56 3,6308 0,2754 1,7507 0,5712 0,07 1,1749 0,8511 1,0725 0,9324 0,57 3,7154 0,2692 1,7683 0,5655 0.08 1,2023 0,8318 1,0833 0,9231 0,58 3,8019 0,2630 1,7860 0,5599 0,09 1,2303 0,8128 1,0942 0,9139 0,59 3,8905 0,2570 1,8040 0,5543 0,10 1,2589 0,7943 1,1052 0,9048 0,60 3,9811 0,2512 1,8221 0,5488 0,11 1,2882 0,7762 1,1163 0,8958 0,61 4,0738 0,2455 1,8404 0,5434 0,12 1,3183 0,7586 1,1275 0,8869 0.62 4,1687 0,2399 1,8589 0,5379 0,13 1,3490 0,7413 1,1388 0,8781 0,63 4,2658 0,2344 1,8776 0,5326 0,14 1,3804 0,7244 1,1503 0,8694 0.64 4,3652 0,2291 1,8965 0,5273 0,15 1,4125 0,7079 1,1618 0,8607 0.65 4,4668 0,2239 1,9155 0,5220 0,16 1,4454 0,6918 1,1735 0,8521 0,66 4,5709 0,2188 1,9348 0,5169 0.17 1,4791 0,6761 1,1853 0,8437 0,67 4,6774 0,2138 1,9542 0,5117 0,18 1,5136 0,6607 1,1972 0,8353 0,68 4,7863 0,2089 1,9739 0,5066 0,19 1,5488 0,6457 1,2092 0,8270 0,69 4,8978 0,2042 1,9937 0,5016 0,20 1,5849 0,6310 1,2214 0,8187 0,70 5,0119 0,1995 2,0138 0,4966 0,21 1,6218 0,6166 1,2337 0,8106 0,71 5,1286 0,1950 2,0340 0,4946 0,22 1,6596 0,6026 1,2461 0,8025 0,72 5,2481 0,1905 2,0544 0,4868 0.23 1,6982 0,5888 1,2586 0,7945 0,73 5,3703 0,1862 2,0751 0,4819 0.24 1,7378 0,5754 1,2712 0,7866 0,74 5,4954 0,1820 2,0959 0,4771 0.25 1,7783 0,5623 1,2840 0,7788 0,75 5,6234 0,1778 2,1170 0,4724 0,26 1,8197 0,5495 1,2969 0,7711 0,76 5,7544 0,1738 2,1383 0,4677 0,27 1,8621 0,5370 1,3100 0,7634 0,77 5,8884 0,1698 2,1598 0,4630 0,28 1,9055 0,5248 1,3231 0,7558 0,78 6,0256 0,1660 2,1815 0,4584 0,29 1,9498 0,5129 1,3364 0,7483 0.79 6,1660 0,1622 2,2034 0,4538 0,30 1,9953 0,5012 1,3499 0,7408 0,80 6,3096 0,1585 2,2255 0,4493 0,31 2,0417 0,4898 1,3634 0,7334 0,81 6,4565 0,1549 2,2479 0,4449 0,32 2,0893 0,4786 1,3771 0,7261 0,82 6,6069 0,1514 2,2705 0,4404 0,33 2,1380 0,4677 1,3910 0,7189 0,83 6,7608 0,1479 2,2933 0,4360 0,34 2,1878 0,4571 1,4049 0,7118 0,84 6,9183 0,1445 2,3164 0,4317 0,35 2,2387 0,4467 1,4191 0,7047 0.85 7,0795 0,1413 2,3396 0,4274 0,36 2,2909 0,4365 1,4333 0,6977 0,86 7,2444 0,1380 2,3632 0,4232 0,37 2,3442 0,4266 1,4477 0,6908 0,87 7,4131 0,1349 2,3869 0,4190 0,38 2,3988 0,4169 1,4623 0,6839 0,88 7,5858 0,1318 2,4109 0,4148 0,39 2,4547 0,4074 1,4770 0,6771 0,89 7,7625 0,1288 2,4351 0,4107 0,40 2,5119 0,3981 1,4918 0,6703 0,90 7,9433 0,1259 2,4596 0,4066 0,41 2,5704 0,3890 1,5068 0,6637 0.91 8,1283 0,1230 2,4843 0,4025 0,42 2,6303 0,3802 1,5220 0,6570 0,92 8,3176 0,1202 2,5093 0,3985 0,43 2,6915 0,3715 1,5373 0,6505 0,93 8,5114 0,1175 2,5345 0,3946 0.44 2,7542 0,3631 1,5527 0,6440 0,94 8,7096 0,1148 2,5600 0,3906 0,45 2,8184 0,3548 1,5683 0,6373 0,95 8,9125 0,1122 2,5857 0,3867 0,46 2,8840 0,3467 1,5841 0,6313 0,96 9,1201 0,1096 2,6117 0,3829 0,47 2,9512 0,3388 1,6000 0,6250 0,97 9,3325 0,1072 2,6379 0,3791 0.48 3,0200 0,3311 1,6161 0,6188 0,98 9,5499 0,1047 2,6645 0,3753 0,49 3,0903 0,3236 1,6323 0,6126 0,99 9,7724 0,1023 2,6912 0,3716

Pavyzdžiai: Jeigu log x = 6,23, tai * =106'23 = 10u'23 • 106 «= 1,6982 • 106; Jeigu log = -6,23, tai * = = 10-°'23 • 10* « 0,5888 • 10 6 = 5,888 • 10 7; Jeigu lnjc = 6,23, tai A: = e6'23 = 10«M° 1 0 = ĮO"3 '""3 = 102-" = 10°'71 • 102 = 513.

26

TRIGONOMETRINES FUNKCIJOS Apibrėžimai

seca = ~ (jc ̂ 0)

r

c t g a = - ( j f^O)

c o s e c a = - ( y ^ O )

Pagrindinės formulės

t g « = -

sin2 a + cos2 a = 1

cosa c tga =

Y i

11 R / y

11 I

ySa1 111 0 I V *

X

cosa sin a

Duotų kampų trigonometrinių funkcijų reikšmės

tga = J.

c tga

a siu a i c o , a : | ctj; a Rttdianai Laipsniai

siu a i c o , a : | ctj; a

0 MM 0 1 0 —

. K • 12 | |

-; !• i: • • . .

7 6 - 7 2 4

76 + 7 2 4

2 - 7 3 2 + 73

K 10 '

•f;:h.'^ĮS 18 v / 5 - 1

4

7 l 0 + 275 4

7 2 5 - 1 0 7 5 5

7 5 + 2 7 5

•'• - J Į :

S

i :

22 į L

V I W 2 2

^ 2 + 72 2

7 2 - 1 72 + 1

K %

'

30 1 2

7 3 2

73 3

7 3

i 7t : 72

2 7 2 2

1 1

: T. 3

60 73 2

1 2 73

73 3

:• - į

i i - * 75 . •

76 + 72 4

7 6 - 7 2 4

2 + 73 2 - 7 3

7c : 1 0 — 0

• V 120 • 7 3 2

1 " 2 - 7 3

73 3

4 •

; 1 3 5 72 2

7 2 2

- 1 - 1

v . ft 181.' 0 - I 0 —

' :;2 7C

- • -- 1 0 — 0

• : :2)l-: 3 6 1 ! 0 1 0 —

27

Redukcijos formulės : <p sin (p cos (p tg cp ctg (p

-a - a - sin a cos a - t g a - c t g a 90° + u K/2 + a cos a - s i n a - c t g a - t g a 90° - K K/2-a cos a sin a ctg a tg a

180° + a n + a - sin a - c o s a tg a ctg a 180° - a K - a sin a - c o s a - t g a - c t g a

270° + a 3/2n + a - cos a sin a - c t g a - t g a 270° - a 3/2k - a - c o s a - s i n a ctg a tg a

360°:+ a 2 7t + a sin a cos a tg a ctg a 360° - a 2re - a - sin a cos a - t g a - c t g a

Pavyzdys: cos (180° + a ) = -cos a

Dvigubo kampo funkcijos • , , • 2 tg a

sin 2 a = 2 sin a cos a = l + tg2a

1 — tg ' a cos 2a = cos2 a - sin2 a = 2 cos2 a - 1 = 1 - 2 sin2 a = ',

l + tg"a

t g 2 a = J J l « _ = 1 a = c t g 2 a - l = c t g a - i g a 1 - t g ' a c t g a - t g a B 2 c tga 2

Pastaba! Čia ir visose kitose formulėse tariame, kad visos išraiškos yra apibrėžtos.

Pusinės kampo funkcijos

Funkcija Formulė Rezultatą ženklas, kai y yra ketvirtyje:

Funkcija Formulė I 11 III IV

. a: s ū r į .: 2

+ 11-cosa V 2

+ + - -

: i a .

c o s 2 + - - + : i

a . c o s 2

+ ll + cosa "V 2

+ - - +

tg;* L

+ l l - c o s a _ s ina _ 1 - c o s a ~V 1 + cos 1 + cosa s ina

+ - + -

, a 2

11+cosa 1 + cosa s ina V l - c o s a s ina 1 - c o s a

+ - + -

Kampų sumos ir skirtumo funkcijos sin ( a + p) = sin a cos p + cos a sin p sin (a - p) = sin a cos p - cos a sin p

cos ( a + p) = cos a cos p - sin a sin p cos ( a - p) = cos a cos p + sin a sin p

, g ( a + P) = J M į t g (« - P) = _ S « z ! S L b K w 1 - t g a t g p w 1 + t g a t g P

c t g a c t g p - 1 . c t g a c t g p + 1 ctg ( a + p) = _ - ctg ( a - p) = 6 „ b H -

ctg p + ctg a ctg p - c t g a

28

Sumos ir skirtumo trigonometrinės funkcijos

, • n „ . a + 0 a — R „ a + B a - p sin a + siu p = 2 sjn - c o s sin a - sin p = 2 cos cos 2 2 2 2

n „ a + p a - p „ . . a + B . a - B cos a + cos p = 2 cos cos cos a - cos p = - 2 sin -sin

2 2 2 2

s in (a+B) s t n ( a - B ) tg a + tg p = — ^ — - į tg a - tg p = — ^ ^

cosa cosp c o s a c o s p

„ sin(B + a ) . s i n ( P - a ) ctg a -s- ctg p = - — v r — 4 ctg a - ctg p = - — — į

sin a sin p s i n a s i n p

cos a + sin a = sin (45° + a ) = -Jt cos (45° - a )

cos a - sin a = 7 2 cos (45° + a ) = -Jl sin (45° - a )

sin2 a - sin2 p = cos2 p - cos2 a = sin ( a + p) sin ( a - p)

cos2 a - sin2 p = cos2 p - sin2 a = cos (a + p) cos (a - p)

Funkcijų sandaugos

l sin a sin P = į [cos ( a - p) - cos ( a 4- P)]

cos a cos p = 2 [cos ( a - P) - cos (a + P)]

1 sin a cos p = į [sin (a - p) + sin ( a + p)]

Funkcijos ir vieneto suma bei skirtumas

1 + sin a = 2 sin2 į 45°+ ~ J= 2 cos3

1 - sin a = 2 cos2 | 45° + - 1=2 sin2f 4 5 > - a

a , ~ • •> a 1 + cos a = 2 cos2 — 1 - cos a = 2 sin2 —

2 2

1 + tg2 a = 1 + ctg2 a = cosJ a sin c

Trigubo kampo funkcijos

sin 3a = -4sin3 a + 3 sin a cos 3a = 4 cos3 a - 3 cos a

= 3 tg a - t g ] a a = c t g 3 a - 3 c t g a 1 - 3 tg2a 3 c t g 2 a - l

Kitos formulės

a . . 21 l - r 2 / ; •-- , tai: s m a = = - , c o s a = , , t g a =

2 1 + ?J 1+f 3 6 1 - f 2

29

ATVIRKŠTINĖS TRIGONOMETRINES FUNKCIJOS Vienų funkcijų keitimas kitomis

• t 71 . are s:n x = -are sin (-x) = - - are cosjc = arc tg

, . IC . X are cos x = tc - are (-jc) = - - are stnjr = arc ctg ^ j

u < \ 71 . . x are tg x = -are tg (-A) = - - are ctg* = are sin , 2 Vl+Jt

ji x are ctg x = n - are ctg (-x) = - a r e tg;r = arc cos r - — 2 V 1+Jc'

Žemiau esančios formulės teisingos, kai x > 0

JT7 are sin x = are cos V i - * 2 = are ctg - are cosx = are s i n i į l - x 1 = are tg

are tg x = are cos -» 1 . =are ctg 1

v r ;

Funkcijų sumos ir skirtumai

are tg x + are tg y - A + are tg x + y l-xy

are tg x - are tg y - A + are tg x-y 1 + jty

1 1 are ctgjc = arc s i n - r =arc tg •Jl + x2 x

10, kai x y<\

n, kai xy> 1 bei * > 0 -it , kai x-y > 1 be i j r cO

10, kai x-y>-1

Tt,kai x-y<-l bei jc>0 -n, kai x • y < - 1 bei x < 0 are sin x + are sin y =

are sin x - are sin y

are cos x + are cos y =

are cos x - are cos y

are sin į^x^jl-y2 + y^Jl-x2 J, kai ;t - y < 0 arba X2 + y2 < 1

n - are s i n ^ j t ^ l - y 1 + yV 1- jc 2 J, kai x > 0, y > 0 ir x2 + y2 > 1

- n - a r c s i n [ x j l - y 2 +y\ll-*2), kai * < 0 , y < 0 ir x2 + y2 >1

a rc s in (x , / l -y 2 -y\ll-x2 J, ka i . i ' -y>0 arba *2 + y 3 < l

it - are siti(x^l-y2 - y*Jl-x2 j , kai * > 0 , y < 0 i r* 2 + y2 > 1

- i c - a r c s i n ^ ^ / l - y 2 -yjl-x2 j , kai * < 0 , y > 0 ir x2 +y2 > 1

are c o s ( . t y - - v / l - x 2 \ j l - y 2 J, k a i * + y > 0

2 i r - are cos^xy-^Jl-x2 ^jl-y2 )> kai i + y < 0

[xy + ^]l-x2 Jl-y2^, kai x<y

+ J, k a i j r > y

are cos^

-are cos f

30

TRIGONOMETRINIŲ IR ATVIRKŠTINIŲ TRIGONOMETRINIŲ FUNKCIJŲ GRAFIKAI

y

Al* o / 2 L X 11 / f

- J .::Rmk#jįt^:;k'Iš'įrA; J i • įM^-Šit . ' : Apibrėžimo sritis: a- e K : y * (-! . 1];

;• y^Mt ^ t įp^HS | ̂ Š?!; | "į;;. ' j ^ į ^ i

tiuliai x = kn. Maksimumai Į ^ > j ,

:- Funkcija y sf čas '.t/ ^Apiiįrėžjiiio sritis: ^ e R ; y s

periodas 2r.; n

nuliai x ;

minimumai Maksimumai (2/c;t,l),

minimumai ((2A - l į re.

1-1. H:

-1)

5 ±kft § Funkcija v - ig v

Ap:brė?um: =.rii:s: a R -

periodas k:

nuliai x = kn; vertikalios asimptotės x = + + furikcija:didėja .visoje; apibrėžimo srityje

- i t •

Funkcija v • ctg A' ; . Apibrėžimo sritis: x e K - (Am}; y e K;

periodas n;

n u l i a i : * = | + fcvertikalios ąsimptotės x = kili funkcija-mažėja; visoje apibrėžimo

: : .' r : ~ stityie .'

! y ; i

j ^ — TE 2

-i! V > i x

Funkcija y = are si n, v

Apibrėžimo sritis:-c e M . 1 ]; v e

nuliai x = 0; funkcija .didėja visoje apibrėžimo Srityje*

Funkciją y - are cos A" 'Apibrėšimo sritis; x e [-T, lj; y s [0, t:]';

nuliui A' = 1; funkcija mažėja visoje apibrėžimo srityje".

:•.;•'•• Funkcija y =..arętg,v ;: : : į? i ..:

Apibrėžimo sritis: .Y 6 R; y ;

nuliai i = 0; horizontalios. asimptotes y = ± funkcija auga visoje apibrėžimo srityje

2 : '

:• -;. Funkciją >' ..= are ctg .r Apibrėžimo sritis: .v € U: y i: [ii. 7t| •;

nuliai a = d; horizontalios lasimptotėsy = 0 • l i ' I l H I l l ® i ^ S M i M g K f M ^ f

r.inkcija mažėja visoje apibrėžimo srityje

sveikasis skaičius (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...). ' Sia nenagrinėjant daugiareikšmių funkcijų

31

TRIGONOMETRINIŲ FUNKCIJŲ LENTELĖS «{"] a ĮrtidĮ s in .a

cos f) •! Ctg p P n . o w 0,0000 0,0000 0,0000 90°00' 0"10' 0,0029 0,0029 0,0029 89*50': 0C20' 0,0058 0,0058 0,0058 89°40':: 0°30': 0,0087 0,0087 0,0087 89-30' 0C40'. 0,0116 0,0116 0,0116 S9"'2d' 0'.'•('' 0,0145 0,0145 0,0145 89"JO' r oo' 0,0175 0,0175 0,0175 89*00'

. m o ' 0,0204 0,0204 0,0204 88*50' T20' 0,0233 0,0233 0,0233 ; 88-40* • 1-30' 0,0262 0,0262 0,0262 . 88"30' r i o ' 0,0291 0,0291 0,0291 88°20' ' !°50' 0,0320 0,0320 0,0320 38*10': 2-00' 0,0349 0,0349 0,0349 88°0(i' 2°ia' 0,0378 0,0378 0,0378 S7°50' 2°2Q' 0,0407 0,0407 0,0407 87°40' 2*30' 0,0436 0,0436 0,0437 87°30'

: 2 0,0465 0,0465 0,0466 &T20' 2"50' 0,0495 0,0494 0,0495 3"00' 0,0524 0,0523 0,0524 87"00' 3° 10' 0,0553 0,0552 0,0553 86"50' 3620': 0,0582 0,0581 0,0582 86"40'

• 3"30' 0,0611 0,0610 0,0612 8fi"30' 3°40'; 0,0640 0,0640 0,0641 86"20' 3'50' 0,0669 0,0669 0,0670 : 86-10' i: 4°00' 0,0698 0,0698 0,0699 86°00' 4° 10' 0,0727 0,0727 0,0729 85-50' 4820': 0,0756 0,0756 0,0758 85-40' 4 30" 0,0785 0,0785 0,0787 85=30'l: 4 t40' 0,0814 0,0814 0,0816 85-20' : 4' 50'' 0,0844 0,0843 0,0846 8S°10' 5'00' 0,0873 0,0872 0,0875 85"00' 5'10' 0,0902 0,0901 0,0904 84°50' 5*20' 0,0931 0,0929 0,0934 84-40' 5-30': 0,0960 0,0958 0,0963 84*30' 5'40' 0,0989 0,0987 0,0992 84-20' 5'50' 0,1018 0,1016 0,1022 84-10' 6"00' 0,1047 0,1045 0,1051 84-00' 6° 10': 0,1076 0,1074 0,1080 :83"50' 6"'20'i 0,1105 0,1103 0,1110 '.83°40' 6°30' 0,1134 0,1132 0,1139 83-30' 6°40'. 0,1164 0,1161 0,1169 .:83"2Ci' 6°50' 0,1193 0,1190 0,1198 fc.V'10' 7°00' 0,1222 0,1219 0,1228 83°00' 7° 10': 0,1251 0,1248 0,1257 82"5.6'

: 7-20' 0,1280 0,1276 0,1287 82°40'• 7*30' 0,1309 0,1305 0,1317 30' 7*40' 0,1338 0,1334 0,1346 S2"20' 7J50' 0,1367 0,1363 0,1376 Š2"10' 8 :00' 0,1396 0,1392 0,1405 82-00' 8"'10' 0,1425 0,1421 0,1435 8 l.c50' 8*20' 0,1454 0,1449 0,1465 ai-40' 8°30' 0,1484 0,1478 0,1495 81-30' S-40' 0,1513 0,1507 0,1524 81°20:. :8į50' 0,1542 0,1536 0,1554 81-10'

a n a l radj sin n '« « vos p ė«Š P P n

9-00' 0,1571 0,1564 0,1584 s r o o ' 9;'10' 0,1600 0,1593 0,1614 50"'50' 9-20'; 0,1629 0,1622 0,1644 80°40' 9-30' 0,1658 0,1650 0,1673 B® UI' 9-40' 0,1687 0,1676 0,1703 80'"20' 9°50' 0,1716 0,1708 0,1733 80-10' 10-00' 0,1745 0,1736 0,1763 80°00' 10"10' 0,1774 0,1765 0,1793 79°50': 10=20' 0,1804 0,1794 0,1823 79c40' 10a30.' 0,1833 0,1822 0,1853 79-30' 10 -4U 0,1862 0,1851 0,1883 : 7-J-21V 10-50' 0,1891 0,1880 0,1914 79-10' 11°00' 0,1920 0,1908 0,1944 79-00' ll-lO' 0,1949 0,1937 0,1974 78-5(1' 11'20' 0,1978 0,1965 0,2004 78-40': li°30' 0,2007 0,1994 0,2035 78-36': 11-40' 0,2036 0,2022 0,2065 78"20' 11-50' 0,2065 0,2051 0,2095 78°10' 12-00' 0,2094 0,2079 0,2126 78°00': 12-10' 0,2123 0,2108 0,2156 77-50': 12-20' 0,2153 0,2136 0,2186 77c40' 12-30' 0,2182 0,2164 0,2217 77*30'. 12-40' 0,2211 0,2193 0,2247 77-20' 12°50' 0,2240 0,2221 0,2278 77 10' 13-00' 0,2269 0,2250 0,2309 77-00'•• 13-10' 0,2298 0,2278 0,2339 76-50' •3-20' 0,2327 0,2306 0,2370 76°40' 13-30' 0,2356 0,2334 0,2401 76-30' 13°40' 0,2385 0,2363 0,2432 76"2l): 13-50' 0,2414 0,2391 0,2462 76-10' 14-00' 0,2443 0,2419 0,2493 76-00' 14?10' 0,2473 0,2447 0,2524 75-50' i ; 20- 0,2502 0,2476 0,2555 75-40' 14-30' 0,2531 0,2504 0,2586 75"30', 14-40' 0,2560 0,2532 0,2617 75-20' 14-50' 0,2589 0,2560 0,2648 75-10' 15°00' 0,2618 0,2588 0,2679 75°00' 1510' 0,2647 0,2616 0,2711 • 74-5 6'-1.5-20' 0,2676 0,2644 0,2742 74-40' 15-30' 0,2705 0,2672 0,2773 74-30' ;

15°40' 0,2734 0,2700 0,2805 74-20' 15 "50' 0,2763 0,2728 0,2836 74°10' 16-00' 0,2793 0,2756 0,2867 74-00' 16-10' 0,2822 0,2784 0,2899 7.V50' i6 ::m' 0,2851 0,2812 0,2931 73-40' 16°30' 0,2880 0,2840 0,2962 73 30' 16-40' 0,2909 0,2868 0,2994 73 "20' 16°50' 0,2938 0,2896 0,3026 73'10' 17-00' 0,2967 0,2924 0,3057 73-00' n n o ' 0,2996 0,2952 0,3089 72-50* 17'20' 0,3025 0,2979 0,3121 72°4lj' 17'3U' 0,3054 0,3007 0,3153 72'30' :

17M0' 0,3083 0,3035 0,3185 72*20' : 17'50' 0,3113 0,3062 0,3217 72" 10'

32

« n n Įr-atlJ sin a tg a cos p ctg p P n

18*00' 0,3142 0,3090 0,3249 72°00' 18° JO' 0,3171 0,3118 0,3281 71"50' 18*20' 0,3200 0,3145 0,3314 71 "40' J S '30' 0,3229 0,3173 0,3346 71*30' i8*40' 0,3258 0,3201 0,3378 71*20'

18*50' 0,3287 0,3228 0,3411 •71*10' i r o o ' 0,3316 0,3256 0,3443 71 "00' 19*10' 0,3345 0,3283 0,3476 70*50' 19*20' 0,3374 0,3311 0,3508 70*40' 19*30' 0,3403 0,3388 0,3541 70°30' 1.9*40' 0,3432 0,3365 0,3574 70°20' 19*50' 0,3462 0,3393 0,3607 70°10' 20°00' 0,3491 0,3420 0,3640 70*00' 20n0 ' 0,3520 0,3448 0,3673 69°50' 20"20' 0,3549 0,3475 0,3706 69°40' 20 30' 0,3578 0,3502 0,3739 69*30' 20540' 0,3607 0,3529 0,3772 69*20' 2H-50' 0,3636 0,3557 0,3805 69" 10' 21*00' 0,3665 0,3584 0,3839 69*00' 21*10' 0,3694 0,3611 0,3872 68*50' 21*20' 0,3723 0,3638 0,3906 68°40' tSO' 0,3752 0,3665 0,3939 68*30' 2 r 4ir 0,3782 0,3692 0,3973 68°20' 21 "50' 0,3811 0,3719 0,4006 68° 10' 22*00' 0,3840 0,3746 0,4040 68c00' 22 J U' 0,3869 0,3773 0,4074 67c50' 22°20' 0,3898 0,3800 0,4108 67*40' 22-30' 0,3927 0,3827 0,4142 67*30' 22*40' 0,3956 0,3854 0,4176 67*20' 22*50' 0,3985 0,3881 0,4210 67*10' 23*00' 0,4014 0,3907 0,4245 67*00' 23*10' 0,4043 0,3934 0,4279 66*50' 23°20' 0,4072 0,3961 0,4314 66=40' 23*30' 0,4102 0,3987 0,4348 66*30' 23*40' 0,4131 0,4014 0,4383 66*20' 23*50' 0,4160 0,4041 0,4417 66*10' 24-00' 0,4189 0,4067 0,4452 66*00' 24°10' 0,4218 0,4094 0,4487 65*50' 24*20' 0,4247 0,4120 0,4522 65°40' 24*30' 0,4276 0,4147 0,4557 65*30' 24*40' 0,4305 0,4173 0,4592 65*20' 24*50' 0,4334 0,4200 0,4628 65*10' 25"00' 0,4363 0,4226 0,4663 65*00' 25*10' 0,4392 0,4253 0,4699 64*50' 25*20' 0,4422 0,4279 0,4734 64*40' 25°30' 0,4451 0,4305 0,4770 64*30' 25*40' 0,4480 0,4331 0,4806 64*20' 25°50' 0,4509 0,4358 0,4841 64*10' 26*00' 0,4538 0,4384 0,4877 64*00' 26*10 0,4567 0,4410 0,4913 63*50' 26"20' 0,4596 0,4436 0,4950 63*40' 26*30' 0,4625 0,4462 0,4986 63*30' 26=40' 0,4654 0,4488 0,5022 63*20' 26-50' 0,4683 0,4514 0,5059 63*10'

a n a tradi sin a tg a cos p ctg p P n

27*00' 0,4712 0,4540 0,5095 63*00' 2 7 W 0,4741 0,4566 0,5132 62*50' 27*20' 0,4771 0,4592 0,5169 62*40' 27"30' 0,4800 0,4617 0,5206 62*30' 27*40' 0,4829 0,4643 0,5243 62*20' 27*50' 0,4858 0,4669 0,5280 62*10' 28*00' 0,4887 0,4695 0,5317 62*00' 28*10' 0,4916 0,4720 0,5354 61*50' 28*20' 0,4945 0,4746 0,5392 61*40' 28*30' 0,4974 0,4772 0,5430 61*30' 28*40' 0,5003 0,4797 0,5467 61*20' 28*50' 0,5032 0,4823 0,5505 61*10' 29*00' 0,5061 0,4848 0,5543 61*00' 29*10' 0,5091 0,4874 0,5581 60*50' 29*20' 0,5120 0,4899 0,5619 60*40' 29=30' 0,5149 0,4924 0,5658 60*30' 29*40' 0,5178 0,4950 0,5696 60*20' 29*50' 0,5207 0,4975 0,5735 60*10' 30*00' 0,5236 0,5000 0,5774 60*00' 30*10' 0,5265 0,5025 0,5812 59*50' 30*20' 0,5294 0,5050 0,5851 59*40' 30-30' 0,5323 0,5075 0,5890 59*30' 30*40' 0,5352 0,5100 0,5930 59*20' 30"50' 0.5381 0,5125 0,5969 59*10' 31*00' 0,5411 0,5150 0,6009 S9C00' 31*10' 0,5440 0,5175 0,6048 58*50' 31*20' 0,5469 0,5200 0,6088 58*40' 31*30' 0,5498 0,5225 0,6128 58*30' 31*40' 0,5527 0,5250 0,6168 58*20' 31*50' 0,5556 0,5275 0,6208 58*10' 32*00' 0,5585 0,5299 0,6249 58*00' 32*10' 0,5614 0,5324 0,6289 57*50' 32*20' 0,5643 0,5348 0,6330 57*40' 32*30' 0,5672 0,5373 0,6371 57*30' 32*40' 0,5701 0,5398 0,6412 57*20' 32*50' 0,5730 0,5422 0,6453 57*10' 33*00' 0,5760 0,5446 0,6494 57*00' 33*10' 0,5789 0,5471 0,6536 56*50' 33*20' 0,5818 0,5495 0,6577 56*40' 33*30' 0,5847 0,5519 0,6619 56*30' 33*40' 0,5876 0,5544 0,6661 56*20' 33*50' 0,5905 0,5568 0,6703 56*10' 34*00' 0,5934 0,5592 0,6745 56*00' 34*10' 0,5963 0,5616 0,6787 55*50' 34*20' 0,5992 0,5640 0,6830 55*40' 34*30' 0,6021 0,5664 0,6873 55*30' 34*40' 0,6050 0,5688 0,6916 55*20' 34*50' 0,6080 0,5712 0,6959 55*10' 35*00' 0,6109 0,5736 0,7002 55*00' 35*10' 0,6138 0,5760 0,7046 54*50' 35*20' 0,6167 0,5783 0,7089 54*40' 35*30' 0,6196 0,5807 0,7133 54*30' 35*40' 0,6225 0,5831 0,7177 54*20' 35*50' 0,6254 0,5854 0,7221 54*10'

33

a [°] a [rad] sin a <8 a cos P ctg p P n

36°00' 0,6283 0,5878 0,7265 54°00' 36'10' 0,6312 0,5901 0,7310 53-50' 36°20' 0,6341 0,5925 0,7355 53°40' 36°30' 0,6370 0,5948 0,7400 53°30' 36°40' 0,6400 0,5972 0,7445 53°20': 36°50' 0,6429 0,5995 0,7490 53°i0'- • 37°00' 0,6458 0,6018 0,7536 53°00' 37° 10' 0,6487 0,6041 0,7581 52°50' 37°20' 0,6516 0,6065 0,7627 52°40' 37°30' 0,6545 0,6088 0,7673 52-30' 37°40' 0,6574 0,6111 0,7720 52-20' 37°50' 0,6603 0,6134 0,7766 5 2" 10' 38°00' 0,6632 0,6157 0,7813 52-00' 38°;® 0,6661 0,6180 0,7860 51-50" 38°20' 0,6690 0,6202 0,7907 51'40' 38°30' 0,6720 0,6225 0,7954 51°30' 3S-40' 0,6749 0,6248 0,8002 51°20' 38°50' 0,6778 0,6271 0,8050 51°10' 39°00' 0,6807 0,6293 0,8098 51-00' 39°10' 0,6836 0,6316 0,8146 50°50' 39°20' 0,6865 0,6338 0,8195 50°40' 39-30' 0,6894 0,6361 0,8243 5O"30' 39°40' 0,6923 0,6383 0,8292 50°20' 39°50' 0,6952 0,6406 0,8342 50-10' 40°00' 0,6981 0,6428 0,8391 50-00' 40'i 0' 0,7010 0,6450 0,8441 49-50' 40°20' 0,7039 0,6472 0,8491 49-40': 40°30' 0,7069 0,6494 0,8541 49-36' 40D40' 0,7098 0,6517 0,8591 49°20' 40°50' 0,7127 0,6539 0,8642 49-10' 4T00' 0,7156 0,6561 0,8693 49°00' 41°10' 0,7185 0,6583 0,8744 48-50' 4T20' 0,7214 0,6604 0,8796 48-40' 41°30' 0,7243 0,6626 0,8847 48-30' 41'40' 0,7272 0,6648 0,8899 4a"20' 41°50' 0,7301 0,6670 0,8952 48-10' 42-00' 0,7330 0,6691 0,9004 48°00' 42°10' 0,7359 0,6713 0,9057 47-50' 42°20' 0,7389 0,6734 0,9110 47°40' 42°30' 0,7418 0,6756 0,9163 47-30' 42°40' 0,7447 0,6777 0,9217 47-20' 42°50' 0,7476 0,6799 0,9271 47°10' 43"00' 0,7505 0,6820 0,9325 47°00' 43° 10' 0,7534 0,6841 0,9380 46-50' 43°20' 0,7563 0,6862 0,9435 46-40' 43°30' 0,7592 0,6884 0,9490 46°30' 43-40' 0,7621 0,6905 0,9545 46-20':: 43°50' 0,7650 0,6926 0,9601 46-10':: 44°00' 0,7679 0,6947 0,9657 46-00' 44° 10' 0,7709 0,6967 0,9713 45-50' 44°20' 0,7738 0,6988 0,9770 45-40' 44°30' 0,7767 0,7009 0,9827 45°30' 44°40' 0,7796 0,7030 0,9884 45.-20' 44°50' 0,7825 0,7050 0,9942 45°10'

a [°] a [rad] siu a tg a l'OS p ctg P P l°l

45-00' 0,7854 0,7071 1,0000 45-00' 45c10' 0,7883 0,7092 1,0058 44°50' 45-20' 0,7912 0.7112 1,0117 44-40' 45-30' 0,7941 0,7133 1,0176 44-30' 45'40' 0,7970 0,7153 1,0235 44-20' 45-50' 0,7999 0,7173 1,0295 44°i0' 46°00' 0,8029 0,7193 1,0355 44-00' 46-10' 0,8058 0,7214 1,0416 43-50' 46-20' 0,8087 0,7234 1,0477 43-40' 46°30' 0,8116 0,7254 1,0538 43-30' 46"40' 0,8145 0,7274 1,0599 43°20' 46-50' 0,8174 0,7294 1,0661 43°10' 47-00' 0,8203 0,7314 1,0724 43°00' 47-10' 0,8232 0,7333 1,0786 42-50' 47-20' 0,8261 0,7353 1,0850 42-40' 47-30' 0,8290 0,7373 1,0913 42c30' 47-40' 0,8319 0,7392 1,0977 42-20' 47-50' 0,8348 0,7412 1,1041 42-10' 48-00' 0,8378 0,7431 1,1106 42°00' 48°10' 0,8407 0,7451 1,1171 41-50' 48-20' 0,8436 0,7470 1,1237 41°40' 48-30' 0,8465 0,7490 1,1303 41°30' 48-40' 0,8494 0,7509 1,1369 41-20' 48-50' 0,8523 0,7528 1,1436 41-10' 49-00' 0,8552 0,7547 1,1504 41-00' 49-10' 0,8581 0,7566 1,1571 40°50' 49-20' 0,8610 0,7585 1,1640 40°40' 49°30' 0,8639 0,7604 1,1708 40-30' 49-40' 0,8668 0,7623 1,1778 40-20' 49-50' 0,8698 0,7642 1,1847 40-10' 50-00' 0,8727 0,7660 1,1918 40-00' 50-10' 0,8756 0,7679 1,1988 39-50' 50"20' 0,8785 0,7698 1,2059 39-40' 50°30' 0,8814 0,7716 1,2131 39-30' 50-40' 0,8843 0,7735 1,2203 39-20' 50-50' 0,8872 0,7753 1,2276 39°10' 5l°00' 0,8901 0,7771 1,2349 39-00' 51-10' 0,8930 0,7790 1,2423 38°50' 51-20' 0,8959 0,7808 1,2497 38-40' 51-30' 0,8988 0,7826 1,2572 38-30' 51-40' 0,9018 0,7844 1,2647 38-20' 51-50' 0,9047 0,7862 1,2723 38-10' 52°00' 0,9076 0,7880 1,2799 38-00' 52-10' 0,9105 0,7898 1,2876 37-50' 52-20' 0,9134 0,7916 1,2954 37°40' 52'30' 0,9163 0,7934 1,3032 37-30' 52-40' 0,9192 0,7951 1,3111 37-20' 52°50' 0,9221 0,7969 1,3190 37-10' S3°00' 0,9250 0,7986 1,3270 37°00' 53-10' 0,9279 0,8004 1,3351 36-5.0' 53-20' 0,9308 0,8021 1,3432 36-40' 53°30' 0,9338 0,8039 1,3514 36-30' 53-40' 0,9367 0,8056 1,3597 36°20' 53-50' 0,9396 0,8073 1,3680 36-10'

34

<x n a Iruri] sin a tg a COS P ctg f) P n

54*00' 0,9425 0,8090 1,3764 36*00' 54"10' 0.9454 0,8107 1,3848 35*50' 54*20' 0,9483 0,8124 1.3934 35*40' 54*30' 0,9512 0,8141 1,4019 35*30' 54°40' 0,9541 0,8158 1,4106 35*20' 54*50' 0,9570 0,8175 1,4193 35*10' 55*00' 0,9599 0,8192 1,4281 35*00' 55*10' 0,9628 0,8208 1,4370 34*50' 55*20' 0,9657 0,8225 1,4460 34*40' 55*30' 0,9687 0,8241 1,4550 34*30' 55*40' 0,9716 0,8258 1,4641 34*20' 55*50' 0,9745 0,8274 1,4733 34*10' 56*00' 0,9774 0,8290 1,4826 34*00' 56*10' 0,9803 0,8307 1,4919 33*50' 56*20' 0,9832 0,8323 1,5013 33*40' 56*30' 0,9861 0,8339 1,5108 33*30' 56*40' 0,9890 0,8355 1,5204 33*20' 56*50' 0,9919 0,8371 1,5301 33*10' 57*00' 0,9948 0,8387 1,5399 33*00' 57*10' 0,9977 0,8403 1,5497 32*50' 57*20' 1,0007 0,8418 1,5597 32*40' 57*30' 1,0036 0,8434 1,5697 32*30' 57*40' 1,0065 0,8450 1,5798 32*20' 57*50' 1,0094 0,8465 1,5900 32*10' 58°00' 1,0123 0,8480 1,6003 32*00' 58*10' 1,0152 0,8496 1,6107 31*50' 58*20' 1,0181 0,8511 1,6212 31*40' 58*30' 1,0210 0,8526 1,6319 31*30' 58*40' 1,0239 0,8542 1,6426 31*20' 58*50' 1,0268 0,8557 1,6534 31*10' 59*00' 1,0297 0,8572 1,6643 31*00' 59*10' 1,0327 0,8587 1,6753 30*50' 59*20' 1,0356 0,8601 1,6864 30*40' 59*30' 1,0385 0,8616 1,6977 30*30' 59*40' 1,0414 0,8631 1,7090 30*20' 59*50' 1,0443 0,8646 1,7205 30*10' 60°00' 1,0472 0,8660 1,7321 30*00' 60*10' 1,0501 0,8675 1,7437 29*50' 60*20' 1,0530 0,8689 1,7556 29*40' 60*30' 1,0559 0,8704 1,7675 29*30' 60*40' 1,0588 0,8718 1,7796 29*20' 60*50' 1,0617 0,8732 1,7917 29*10' 61*00' 1,0647 0,8746 1,8040 2 9 W 61*10' 1,0676 0,8760 1,8165 28*50' 61*20' 1,0705 0,8774 1,8291 28*40' 61*30' 1,0734 0,8788 1,8418 28*30' 61*40' 1,0763 0,8802 1,8546 28*20' 61*50' 1,0792 0,8816 1,8676 28*10' 62*00' 1,0821 0,8829 1,8807 28*00' 62"10' 1,0850 0,8843 1,8940 27*50' 62*20' 1,0879 0,8857 1,9074 27*40' 62*30' 1,0908 0,8870 1,9210 27*30' 62*40' 1,0937 0,8884 1,9347 27*20' 62*50' 1,0966 0,8897 1,9486 27*10'

a [°] a Irudj sin a tg a cos P ctg p p n

63*00' 1,0996 0,8910 1,9626 27*00' 63*10' 1,1025 0,8923 1,9768 26*50' 63*20' 1,1054 0.8936 1.9912 26*40' 63*30' 1,1083 0,8949 2,0057 26°30' 63*40' 1,1112 0,8962 2,0204 26*20' 63*50' 1,1141 0,8975 2,0353 26*10' 64*00' 1,1170 0,8988 2,0503 26*00' 64*10' 1,1199 0,9001 2,0655 25*50' 64*20' i , 1228 0,9013 2,0809 25*40' 64*30' 1,1257 0,9026 2,0965 25*30' 64*40' 1,1286 0,9038 2,1123 25*20' 64*50' 1,1316 0,9051 2,1283 25*10' 65*00' 1,1345 0,9063 2,1445 25*00' 65*10' 1,1374 0,9075 2,1609 24*50' 65*20' 1,1403 0,9088 2,1775 24*40' 65*30' 1,1432 0,9100 2,1943 24*30' 65*40' 1,1461 0,9112 2,2113 24*20' 65*50' 1,1490 0,9124 2,2286 24*10' 66*00' 1,1519 0,9135 2,2460 24*00' 66*10' 1,1548 0,9147 2,2637 23*50' 66*20' 1,1577 0,9159 2,2817 23*40' 66*30' 1,1606 0,9171 2,2998 23*30' 66*40' 1,1636 0,9182 2,3183 23*20' 66*30' 1,1665 0,9194 2,3369 23*10' 67*00' 1,1694 0,9205 2,3559 23*00' 67*10' 1,1723 0,9216 2,3750 22*50' 67*20' 1,1752 0,9228 2,3945 22*40' 67*30' 1,1781 0,9239 2,4142 22*30' 67*40' 1,1810 0,9250 2,4342 22*20' 67*50' 1,1839 0,9261 2,4545 22*10' 68*00' 1,1868 0,9272 2,4751 22*00' 68*10' 1,1897 0,9283 2,4960 21*50' 68*20' 1,1926 0,9293 2,5172 21*40' 68*30' 1,1956 0,9304 2,5386 21*30' 68*40' 1,1985 0,9315 2,5605 21*20' 68*50' 1,2014 0,9325 2,5826 21*10' 69*00' 1,2043 0,9336 2,6051 21*00' 69*10' 1,2072 0,9346 2,6279 20*50' 69*20' 1,2101 0,9356 2,6511 20*40' 69*30' 1,2130 0,9367 2,6746 20*30' 69*40' 1,2159 0,9377 2,6985 20*20' 69*50' 1,2188 0,9387 2,7228 20*10' 70*00' 1,2217 0,9397 2,7475 20"00' 70*10' 1,2246 0,9407 2,7725 19*50' 70*20' 1,2275 0,9417 2,7980 19*40' 70*30' 1,2305 0,9426 2,8239 19*30' 70*40' 1,2334 0,9436 2,8502 19*20' 70*50' 1,2363 0,9446 2,8770 19*10' 71*00' 1,2392 0,9455 2,9042 19*00' 71*10' 1,2421 0,9465 2,9319 18*50' 71*20' 1,2450 0,9474 2,9600 18*40' 71*30' 1,2479 0,9483 2,9887 18*30' 71*40' 1,2508 0,9492 3,0178 18*20' 71*50' 1,2537 0,9502 3,0475 18*10'

35

a n a [rad) sin a tg a cos p ctg p p n

72°00' 1,2566 0,9511 3,0777 18-00' 72-10' 1,2595 0,9520 3,1084 17-50' 72c20' 1,2625 0,9528 3,1397 17-40' 72c30' 1,2654 0,9537 3,1716 17-30' 72°40' 1,2683 0,9546 3,2041 17-20': 72-50' 1,2712 0,9555 3,2371 17-10' 73-00' 1,2741 0,9563 3,2709 17°00' 73°10' 1,2770 0,9572 3,3052 16-50' 73°20' 1,2799 0,9580 3,3402 16-40' 73°30' 1,2828 0,9588 3,3759 16-30' 73-40' 1,2857 0,9596 3,4124 16-20 73°50' 1,2886 0,9605 3,4495 16-10' 74°00' 1,2915 0,9613 3,4874 16°00' 74-10' 1,2945 0,9621 3,5261 15-50' 74°20' 1,2974 0,9628 3,5656 15-40' 74-30' 1,3003 0,9636 3,6059 15-30' 74-40' 1,3032 0,9644 3,6470 : 15-20' 74°50' 1,3061 0,9652 3,6891 15°l0' 75°00' 1,3090 0,9659 3,7321 15-00' 75°10' 1,3119 0,9667 3,7760 14-50' 75-20' 1,3148 0,9674 3,8208 14-40' 75-30' 1,3177 0,9681 3,8667 14-30' 75-40' 1,3206 0,9689 3,9136 14-20' 75-50' 1,3235 0,9696 3,9617 14-10' 76-00' 1,3265 0,9703 4,0108 14-00' 76°10' 1,3294 0,9710 4,0611 13-50.' 76-20' 1,3323 0,9717 4,1126 13-40' ; 76°30' 1,3352 0,9724 4,1653 13-30' 76-40' 1,3381 0,9730 4,2193 13-20' 76-50' 1,3410 0,9737 4,2747 13"10' 77-00' 1,3439 0,9744 4,3315 13°00' 77-10' 1,3468 0,9750 4,3897 12°50' 77-20' 1,3497 0,9757 4,4494 12°40' 77-30' 1,3526 0,9763 4,5107 12-30' 77-40' 1,3555 0,9769 4,5736 12-20' 77-50' 1,3584 0,9775 4,6382 12-10' 78°00' 1,3614 0,9781 4,7046 12-00' 78°10' 1,3643 0,9787 4,7729 11-50' 78-20' 1,3672 0,9793 4,8430 11-40' 78-30' 1,3701 0,9799 4,9152 11-30' 78-40' 1,3730 0,9805 4,9894 11-20' 78°50' 1,3759 0,9811 5,0658 11-20' 79-00' 1,3788 0,9816 5,1446 11-00' 79-10' 1,3817 0,9822 5,2257 10-50' 79-20' 1,3846 0,9827 5,3093 10°40' 79°30' 1,3875 0,9833 5,3955 10-30' 79-30' 1,3904 0,9838 5,4845 10-20' 79-50' 1,3934 0,9843 5,5764 10-10'; 80-00' 1,3963 0,9848 5,6713 10-00' 80-10' 1,3992 0,9853 5,7694 9-50' 80-20' 1,4021 0,9858 5,8708 9-40' 80-30' 1,4050 0,9863 5,9758 9-30' 80°40' 1,4079 0,9868 6,0844 9-20' 80-50' 1,4108 0,9872 6,1970 9-10':

a H a [rad] sin a tfi tx cos p ctg p P [-]

81-00' 1,4137 0,9877 6,3138 9-00' 8l°10' 1,4166 0,9881 6,4348 8°50' Sl°20' 1,4195 0,9886 6,5606 . 8-40' 81-30' 1,4224 0,9890 6,6912 8-30' 81-40' 1,4254 0,9894 6,8269 8-20' 81-50' 1,4283 0,9899 6,9682 8-10' 82°00' 1,4312 0,9903 7,1154 8-00' 82-10' 1,4341 0,9907 7,2687 7-50' 82°20' 1,4370 0,9911 7,4287 7°4(}' 82°30' 1,4399 0,9914 7,5958 7°30' 82=40' 1,4428 0,9918 7,7704 7-20' 82-50' 1,4457 0,9922 7,9530 7-10' 83-00' 1,4486 0,9925 8,1443 7-00' 83-10' 1,4515 0,9929 8,3450 6-50' 83-20' 1,4544 0,9932 8,5555 6-40' 83-30' 1,4573 0,9936 8,7769 6»30' 83°40' 1,4603 0,9939 9,0098 6-20' 83"50' 1,4632 0,9942 9,2553 6-10' 84°00' 1,4661 0,9945 9,5144 6°00' 84-10' 1,4690 0,9948 9,7882 5"50' 84-20' 1,4719 0,9951 10,078 5°40' 84°30' 1,4748 0,9954 10,385 5°30' 84°40' 1,4777 0,9957 10,712 5-20' 84-50' 1,4806 0,9959 11,059 5°10' 85"00' 1,4835 0,9962 11,430 5-00' 85-10' 1,4864 0,9964 11,826 4°50' 85°20' 1,4893 0,9967 12,251 4-40' 85-30' 1,4923 0,9969 12,706 4-30' 85-40' 1,4952 0,9971 13,197 4'20' 85-50' 1,4981 0,9974 13,727 4-10' 86"00' 1,5010 0,9976 14,301 4-00' 86-10' 1,5039 0,9978 14,924 3°50' 86-20' 1,5068 0,9980 15,605 3-40' 86-30' 1,5097 0,9981 16,350 3-30' 86-40' 1,5126 0,9983 17,169 3-20' 86'50' 1,5155 0,9985 18,075 3-10' 87°00' 1,5184 0,9986 19,081 3-00' 87-10' 1,5213 0,9988 20,206 2-50' 87-20' 1,5243 0,9989 21,470 2-40' 87-30' 1,5272 0,9990 22,904 2-30' 87-40' 1,5301 0,9992 24,542 2-20' 87-50' 1,5330 0,9993 26,432 2°10' 88-00' 1,5359 0,9994 28,636 2°00' 88°10' 1,5388 0,9995 31,242 1°50' 88°20' 1,5417 0,9996 34,368 1-40' 88°30' 1,5446 0,9997 38,189 1-30' 88°40' 1,5475 0,9997 42,964 1-20' 8S°50' 1,5504 0,9998 49,104 1-10' 89-00' 1,5533 0,9998 57,290 i w 89-10' 1,5563 0,9999 68,750 0°50' 89-20' 1,5592 0,9999 85,940 0-40' 89-30' 1,5621 1,0000 114,59 0-30' 89°40' 1,5650 1,0000 171,89 0-20' 89-50' 1,5679 1,0000 343,77 0-10' 90-00' 1,5708 1,0000 — 0-00'

Norėdami apskaičiuoti sinuso ir tangento reikšmes, taikykite a reikšmes, esančias kairėje. Norėdami apskaičiuoti kosinuso ir kotangento reikšmes, taikykite p reikšmes, esančias dešinėje.

36

PROGRESIJOS, SEKOS, SKAIČIŲ EILUTĖS Progresijos

Progresijos pavadinimas

Formulė dviem: skaičiams

Bendra formulė, kai turim n : skaičių

Pavyzdys: skaičių 1, 2 ir 4 progresija

Aritmetine • a + b a, + a, +... + a„ m = — = -

n 1 + 2 + 4 7 . , „ m = = - = 2,333

3 3

Geometrinė' ; g = iji-"2-4 = 7 Š = 2

Kvadratinė' 1 a>+b> d / 1 j + 2 2 + 4 2 R „ 6 1 6 Kvadratinė' 2 d- i \ 3

Harmonine ' : :

• 2 * * = 1 1

i n

" i i i — + — + . . . + — ūl a2 a«

3 12 * - l ^ 1 = 7

= 1 ' 7 1 4

1 2 4

11 tariame, kad po šaknimi esantis skaičius teigimas; " skaičiai, kurių vidurkis skaičiuojamas, turi būti neneigiami; 0 nei vienas skaičių, kurių vidurkis skaičiuojamas, negali būti lygus nuliui. Skirtingos progresijų rūšys (turint tą patį skaičių rinkinį) visada atitinka sąlygą h < g < m < d .

Geometrinė ir aritmetinė seka Problema Aritmetinė seka Geometrinė seka

• Apibrėžimas .

Seką {ou} vadiname aritmeti-ne, jei gretimų sekos narių skirtumas r yra pastovus: = a „ + r

Seką {a } vadiname geometri-ne, jei ^ 0 ir bet kurio (n > 1) sekos elemento ir po jo einančio elemento dalmuo q yra pastovus:

«„+, = «„' <7

Sekos n-asis narys

an = a, + (n -I) r (n > 1)

a„ = 2 (« > 1)

a „ = fli ' <f'x ( " ž J )

= " «„+1 ( " > 1)

Sekos n-asis narys a , kai n > 1, tai tų elementų, tarp kurių jis yra, aritmetinis vidurkis

a , kai n > 1, tai geometrinis vidurkis tų elementų, tarp ku-rių jis yra

Sekos riba u:i (n. -•> •>-) f+™ (kai r > 0 ) j a, (kai r = 0 )

(kai r < 0 )

+oo (kai q > 1 bei a, >0 ) -oo (kai q > 1 bei a, < 0)

a, (kai q = 1) 0 (kai Įij| < 1)

nėra ( k a i g < - l )

Sekos n pirmųjų narių suma

S = n f l | = 2

= nUl+r-n(n-l)

L 1 U (kai q*l) S „ H 1 -q

[(jo, (kai t/ = 1)

Sekų pavyzdžiai 1

3, 5, 7, 9, 11, ... (a, = 3, r = 2)

1, 2, 4, 8, 16, ... («, = i, ą «jį 2)

Sekų pavyzdžiai 1

2, -1 , -4 , -7 , -10 , ... K = 2, r = -3 )

2, -6 , 18, -54 , 162, ... («, = 2; ą = -3 )

37

SKAIČIŲ EILUČIŲ SUMOS

t=i

y i = 5 ! h k 1 6

/ i ( / i + l ) A , n ( n + l ) ( 2 « + l )

h ~ 6

» 2 n (4n2 — l) V ( 2 f c - 1 ) = - (nelyginių skaičių kvadratų suma)

KAI KURIŲ FUNKCIJŲ SKLEIDIMAS LAIPSNINĖMIS EILUTĖMIS

S™ X" - X X — = 1 + * + — + — + ...

, Itl •>! " 2! 3! x e R

^ 2! 3!

^-i i~-x) X2"+i X3 X5 X7

sin jc = r r r = x - ~ + — - — + . » £0 (2n + l ) ! 3! 5! 7!

x <ž R

x matuojamas radianais; x s R

~ ( - l ) V " . COSJC = > r r = 1 + + ...

3 (2«)! 2! 4! 6! a- matuojamas radianais; j; g J?

1 , 2 , 17 7 62 ų tg x = x + -x3 + a + - x +- - -x +..

3 15 315 2835 x matuojamas radianais; |a-| < —

v ( - l ) " ^ " + 1 - - -are tg jt = > • •• = x + - - — + ... 6 £ 2/i + l 3 5 7

1 x3 1 -3 Jt3 I - 3 ' 5 a:7

are sin x = xh - + — • -+ • 2 3 2 - 4 5 2 - 4 - 6 7

f f rt 2 3 4

!n 1 + JC " 1 - *

r2"-1 I r3 r3

= 2 y ——~ = 2 .* + - - + +... 12/1-1 1 1 5 3 5

= x* = l-x-rx2-X1 +... 1 + * :i=!)

r , 1 1 j 1-3 3 1 -3 -5 4 V 1 + = 1 + — X : X H ; X -J X +... 2 2 - 2 ! 2 -3! 2 4 - 4

1 , 1 1-3 2 1 -3 -5 3 1 - 3 - 5 - 7 4 i — 1 AT + X~ A" + X -Jl+x 2 2 - 4 2 - 4 - 6 2 - 4 - 6 - 8

x e ( -1 , 1

-1, 1

-1, 1

-1, 1

-1, 1

-1, i

-1, 1

38

SEKŲ RIBOS Sekos ribos apibrėžimas Skaičių g vadiname skaičių sekos {c^} riba, jei kiekvienai skaičiaus g aplinkai priklauso visi sekos elementai, išskyrus baigtinį elementų skaičių.

Kitaip tariant:

skaičius g yra sekos { a j riba, jei kiekvieną skaičių e > 0 atitinka toks natūralusis skaičius M, kad su kiekvienu n > M teisinga nelygybė < e.

Jei seka {a } turi ribą e, tai rašome taip: l i m a = / » . " ii Pastaba: seka gali turėti tik vieną ribą.

Elementariosios sekų rūšys Pavadinimas Sąlyga Pavyzdys

Pastovi Su kiekvienu n > 1 an - eonst 1, 1, 1, 1, 1, ...

Didėjant i : Su kiekvienu n > 1 a > a ii+i n 1, 2, 3, 4, 5, ...

.Mažėjanti Su kiekvienu n > 1 a < an 1 i 1

1, 2 , 3 , 4 , ...

Nemažėjai:!! Su kiekvienu n > 1 an+1 > an 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4 , , . .

Nedidėjant! • Su kiekvienu n > 1 a r + ] < a 1, 0, 0, 0, 0, ...

Monotoninė Seka nemažėjanti arba nedidėjanti 1 1, 1, 0, 0, 0, ...

Kintanti Su kiekvienu n > 1 a • ci, < 0 ii II+1 1, -2, 4, -8 , 16, -32, ...

Aprėžta iš apsčios Egzistuoja toks ska ič ius i , kad su kiekvienu n > 0 teisinga nelygybė an >A (t. y. egzistuo-ja nemažesnis skaičius už bet kurį sekos elementą)

1, 2, 4, 8, 36, 32, ...

Aprėžta iš viršaus Egzistuoja toks s k a i č i u s i , kad su kiekvie-nu n > 0 teisinga nelygybė an < A

1, 0, -1, -2 , -3 , ...

Aprėžtoji . Seka aprėžta iš viršaus ir iš apačios 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...

Artėjanti Į skaičių į' Egzistuoja toks skaičius g, kad g yra sekos riba (žiūrėti sekos ribos apibrėžimą)

1 1 1 1 !> 2 ' 4 ' 8 ' 16 ' ••• (seka artėja į g = 0)

Artėjanti i +•••=, r. y. linui,, h

: • : . >

Jei bet kurį skaičių A atitinka toks natūra-lusis skaičius M, kad su kiekvienu n > M teisinga nelygybė an > A (t. y. beveik visi" sekos elementai didesni už duotąjį skaičių)

1 , 2 , 3 , 4, 5, 6, ...

A n ė j auti į — t. y. iimi„

•

Jei bet kurį skaičių A atitinka toks natūra-lusis skaičius M, kad su kiekvienu n > M teisinga nelygybė an < A (t. y. beveik visi" sekos elementai mažesni už duotąjį skaičių)

0, -2 , -4 , -6 , ...

' „beveik visi" reiškia „visi, išskyrus baigtinį elementų skaičių"

39

Sekų ribų skaičiavimo taisyklės

Jei egzistuoja sekų {a } ir {b } ribos: įima,, = a ir limfe, = b, tai tenkinamos tokios ribos: " <i ll-JM lim (a„+b„) = a + b \\m(a„-bn) = a-b

(kiekvienam b 0) b„ I b

lim (anbn) = ab lim

Jei seka {a;i} artėja į nulj, o seka {i>B} aprėžta, tai lim(£i„ b„) = 0.

Sekos, artėjančios į nulį, ir sekos, tolstančios į begalybę

Jei su kiekvienu n a > 0 ir lim a = 0, tai lim — = +«•. " n-f " n-i- au

1 Jei su kiekvienu n a < 0 ir l imo = 0, tai lim— = -<*>. " n-t~ " a u

Jei limjal = °°, tai lim * .

Trijų sekų teorema

Jeigu teisinga lygybė lim an = lim cn = g, o trečios sekos elementai (pradedant « -uo ju

elementu) tenkina sąlygą an < bn < cn, tai sekos b:i riba lim £>„ = g.

Monotoninių sekų ribos

Monotoninės ir aprėžtos sekos riba yra baigtinė.

Keletas ribų

lim 1 = 0 lim Va = 1 (a > 0) į i

limf 1 + — J = e = 2,718 ... (natūraliojo logaritmo pagrindas)

lim 1 +

lim a' = 1 (a > 0)

į>" lim — = +o°

l im^- = 0 (a 6 R)

l im- ln f 1+ 1

H l

limo" = 1 n -*<• (a > 0)

e" lim —r = + » «-- n

(ik e N)

n" lim — = 0 n~i™ n!

(k e N)

,. ln ln« „ hm = 0 lnn

,. In n „ ,. ln Inn „ .. . 1 , lim = 0 l i m — — = 0 limrzsin—= 1 n->- n "->•• lnn »-•» n

Keletas funkcijų ribų (žr. kitą puslapj):

,. sin* , ,. ln(l + jr) a ' . . lim = 1 hm — '- = 1 l i m — ^ . = lna (a > 0) x-*Q X x—ifJ X X

40

FUNKCIJŲ RIBOS Funkcijų ribų apibrėžimai

Kibus rūšis i Apibrėžimus

Funkcijos ; riba taške

•

Skaičius g yra funkcijos / riba taške xa, jei kiekvienos sekos {xj elementai x priklauso funkcijos apibrėžimo sričiai ir iš sąlygos iimx„ =x„ išplaukia " rp— lim f ( x j = g. Sekos {xit} nariai yra tokie, kad su kiekvienu n e N tenki-

nama jr & x0

Riba iš kairės (iŠ dešinės)

Skaičius g yra funkci jos / r iba iš kairės (iš dešinės) taške .t,,, jei kiekvienos sekos {a^} elementai xn priklauso funkcijos apibrėžimo sričiai ir iš sąlygos lim xn = x0 išplaukia lim f(x„) = g. Sekos {xj nariai yra tokie, kad su bet

kuriuo n e N tenkinama x < xn [xn > j:(|]

Neapibrėžto i didumo riba

Kai galioja prielaidos iš ankstesnių apibrėžimų, tai gauname, kad

lim f(x ) = + « ir lim/(jc) = - » rt—H-H->

Pastaba: lygybė lim |/(.r) + g(jt)l = lim/(x) + lim g(x) teisinga ir analogiškos lygybės skir-

tumui, ir dalmeniui, ir sandaugai. Palyginkite su sekų formulėmis ankstesniame puslapyje.

Lopitalio (l'Hospital) taisyklė l i m & U m Z M

Sąlygos: f(x) irg(x) apibrėžtos intervale, kuriam priklauso taškas jr0 (pačiame taške gali būti ir neapibrėžtos), funkcijų išvestinės (žr. kitą puslapį) f\x) ir g'(x) tame intervale baigtinės,

0 M į''(r0) # 0, neapibrėžtumas gaunamas toks - arba . Išraiška dešinėje formulės pusėje

egzistuoja arba yra lygi ±m.

Neapibrėžtumai apskaičiuojant ribas Ni<'upihri->.tumt)

: : rūšys Neapibrėžtumo šalinimo budai

I) , •• arba :: 0 .

Algebriniai pertvarkiai (pvz., suprastinti pradinę trupmeną) I) , •• arba

:: 0 . Išdiferencijuoti vardiklį ir skaitiklį, taikant Lopitalio taisyklę (kartą dife-rencijuoti, jei reikia - kelis kartus)

0 • M; •:' Kadangi a • b = T j y tai galime duotąją reikšmę pakeisti trupmena ir

1 f> J 0 oo elgtis taip kaip su neapibrėžtumais arba —

0

0", .«",• I ' : .

Reiškinį išlogaritmuoti (potencijuoti) (gausime išraišką tokiu pavidalu 0 • 0 «•

ir transformuoti aukščiau aprašytu būdu į reiškinį - arba — . Rasti ribą (tar-ti

kim, kad ji lygi A), gautą rezultatą nntilogaritmuoti (galutinis rezultatas = ef1)

Kadangi a-b = į - - - • ) : — , gauname neapibrėžtumą - (sprendimo bū-yb a J ab 0

das aukščiau)

Pavyzdys: lim = lim - - - - = 1 (kai turime neapibrėžtumą - , taikome Lopitalio taisyklę). ' ,i-.o x "->" 1 0

41

IŠVESTINĖ IR INTEGRALAS Pagrindiniai apibrėžimai ir žymėjimai

Apibrėžiamas dydis Apibrėžimas : Sąlygos, pastabos

Skirtuminis dalmuo Išraiška / ( * + » > - / < * > h

x0 ir xit + h priklauso f u n k c i j o s / a p i -brėžimo sričiai, pokytis h # 0

/'(.v,), funkcijos išvestinė raško .v., i 1 K aJ M> h

Sąlygos tokios kaip ir skirtuminiam dalmeniui, be to, duota riba egzis-tuoja (nepriklausomai nuo to, kaip h artėja prie nulio) ir yra baigtinė

/ ' . f u n k c i j o s / išvestinė

f ( x ) = d f ( x ) ; w dx

funkcija priskiria argumen-tams .v: e X funkcijos išvestinę duotame taške

X— tų argumentų aibė, kurioje eg-zistuoja funkcijos / išvestinė

F, funkcijos / pirmykštė funkcija

F yra funkcijos / pirmykštė funkcija, jei duotame x s X F(x) = j'(x)

Teisinga visiems duoto intervalo X taškams

j / l ' . t uiv. funkcijos / neapibrežtifįįs integralas

Neapibrėžtinis integralas, tai visų duotos funkcijos f pir-mykščių funkcijų aibė

Skirtingos pirmykštės funkcijos ski-riasi tik konstanta, F(x) + C

J/(A)<ic funkcijos

/ a p i b r ė ž t i m s integralas intervale nito a iki b

Vienas apibrėžimų gali būti: b j f ( x ) d x = F(b)~ F(a) o

Integralas apibrėžiamas tik uždara-jame intervale [a, ti\

Svarbiausi integravimo budai Būdas Paaiškinimas Pastabos

Taikant elementą- .: riuosius . pertvarkius

Integralo sumos skaidymas integralų sumomis (algebriniai pertvarkiai, trigonometrinės formulės ir 1.1.)

Nėra bendros formulės, kaip suinteg-ruoti bet kurį funkcijos dalmenį arba sandaugą

integravimas dalimis

i m 8'(x) dx = = M g(x) - \ f ' ( x ) g{x) dx

Integruojamus dauginamuosius pa-renkant taip, kad f(x) supaprastėtų su-integravus (pavyzdžiui, daugianaris), o g'(x) neliktų labiau sudėtinga nei prieš integravimą (pavyzdžiui, sin;r, e')

Integravimas taikant keitinius

!/(x) dx = S f m i s V ) dt

Pakeičiant g(t) - x\ nėra bendrų tai-syklių kaip parinkti tinkamiausią g(l); jei turim apibrėžtinį integralą, reikia atitinkamai keisti integravimo ribas, apskaičiuojant kokį t atitinka duota-sis x ~ ci, x — b

Lentelių laikymas :;

Yra detalių integralų lentelių, kurio-se rasime dažniausiai sutinkamas su-integruotas funkcijas

Manoma, kad vartotojas žino papras-čiausias integravimo taisykles

Grafiniai ir skaitiniai būdai .

Pavyzdžiui, grafinis ploto įvertinimas po kreive (palyginti p. 43 medžiagą), apytikslis išreiškimas sumomis

Tokie būdai tinka apskaičiuoti apy-tiksles apibrėžtinių integralų reikšmes

42

FUNKCIJŲ IŠVESTINĖS IR INTEGRALAI

« Diferencijavimas ————-/(*) —— Integravimas -———-*

Funkcijos išvestinė Funkcija" Pirmykštė funkcija

Bendros formulės

f'(x) f(x) J / M dx

a f\x) : Skaičiaus ir funkcijos sandauga>: u f(x) a J / ( A - ) dx

f\x) + g ' M : Funkcijų suma (arba skirtumas), f(x) + g(x) J f ( x ) dx + fg(x) dx

a f'(ax + b) f (.lt + h) , 1 J / ( O A - + b ) d x = • F (ax + b )

m g(x) + f(x) g\x) Funkcijų sandauga, m M

Nėra paprastos bendros formulės

f'(x)g(x)-f(x)g'(x)

O M T

f M Funkcijų dalmuo, . ^ i' W

Nėra paprastos bendros formulės

1

/ ' (*) Atvirkštinė funkcija, / 1 (A-) Nėra paprastos bendros

formulės

f'(x)(*\ H*V '

Funkcijos logaritmas,

Nėra paprastos bendros formulės

f (s(x)) • g'M Sudėtinė funkcija, f(g(x))

Nėra paprastos bendros formulės

Keleto funkcijų išvestinės ir integralai

0 a ax + C

1 : X -x2 + C 2

- 1 1 A"

ln |A:| + C

/Lt""1 " -A" — x"l+C (n*-1) n +1 V ;

C r <:•' e" + C

a* ln a a" a' „ •—+C ln a

1 X

ln x x ln x - x + C

1 x\na

— ( l n * - l ) + C Ina '

COS .1 sin x -cos x + C

-sin * cos A sin JC + C

1 cos2 *

t g A -ln (cos x) + C

- 1 sin2 * - ttg A' .. ln (sin x) + C

43

4 Diferencijavimas .••.-•--—• -:• f(x) Integravimas '.' ' >:

Kunigijos išvestinė Funkcija" Pirmykštė lunkcija i:'.;''-1

sJl-X2 . are sin x • x are sin J: + •J\-xi + C

- 1 arė cos .v x are c o s * --Jl-x2 + C

1 l - r* 2 are tg .v A: are tg x - į In (1 +*2) + C

- 1 l + x2 : " a r e ctg. -r are c tg* + | ln (1 + x2) + C

" praleista prielaida, svarbi funkcijos apibrėžtumui (vardikliai nelygūs nuliui ir 1.1.); į taip vadinama logaritminė išvestinė, praverčianti diferencijuojant funkcijas, kurių išraiška yra tokia: / (

Išvestinių taikymai fizikoje ir geometrijoje. Pavyzdžiai Problema Formulė :: Brėžinys::. . Sąlygos

Funkcijos/(x) liestinė taSkc .v .= .v„

Liestinės lygtis: v = k (A- -JC„) + /(*„); Cia: k - tg a = f'(x0)

y t

jr, x

Funkcija ir jos išves-tinė turi būti api-brėžta, kai A: = x0

Kampas a tarp krei-vių f(x) ir g(x), kurios kertasi taške .v = .v(. •

t f ' M - s ' M 1 + / ' (x 0 )g '{Aį )

r

0 ' X

Abi funkcijos ir jų iš-vestinės turi būti apibrėžtos, kai A: = xa

Momentinis kūno greitis v 1 dt

— x(t) - kūno padėtis momentu t

Kūno pagreitis momentu t

M<)J>x{<) K ' dt dt2

— Antrosios išveslinės taikymo pavyzdys

Integralų taikymas geometrijoje Problema Paaiškinimas Formulė Brėžinys ? : Sąlygos"

Plotas po kreive :

Plotas tarp kreivės ir ašies Oz? a

y1. Funkcija f(x) turi būti aprėžta in-tervale [a, fe]

Plotas po kreive :

Plotas tarp kreivės ir ašies Oz? a 0 a i X

Funkcija f(x) turi būti aprėžta in-tervale [a, fe]

Kreivės lanko, ilgis

Kreivės f(x) lankas tarp taškų x = a ir a: = b a

y

f , f(x) ir jos išvesti-nė/ ' (x) negali tu-rėti trūkio taškų intervale [a, fc]

Kreivės lanko, ilgis

Kreivės f(x) lankas tarp taškų x = a ir a: = b a a i X

f(x) ir jos išvesti-nė/ ' (x) negali tu-rėti trūkio taškų intervale [a, fc]

Sukinių šonir.io paviršiaus. plotas1 •

Paviršių gavome, apsukę kreivę f(x) apie ašį Ox

t y

f(x) ir jos išvesti-nė/ ' (x) negali tu-rėti trūkio taškų intervale [a, fc]

Sukinių šonir.io paviršiaus. plotas1 •

Paviršių gavome, apsukę kreivę f(x) apie ašį Ox

Sb=2K$f(x)Jl+[f'(x)]2dx t> 0 - m

f(x) ir jos išvesti-nė/ ' (x) negali tu-rėti trūkio taškų intervale [a, fc]

Sukinių, tūris ;

Paviršių gavome, apsukę kreivę f(x) apie ašį Ox

b

V = n j f 2 ( x ) d x y' (T^f)

Funkcija f(x) ne-gali turėti trūkio taškų intervale [a, b]

Sukinių, tūris ;

Paviršių gavome, apsukę kreivę f(x) apie ašį Ox

b

V = n j f 2 ( x ) d x 0 X

Funkcija f(x) ne-gali turėti trūkio taškų intervale [a, b]

" sąlygos priklauso nuo to, kaip apibrėžiame apibrėžtinj integralą; " jei formulėje nėra modulio ženklo, tai plotas, kai f(x) > 0, skaičiuojamas kaip teigiamas; kai f(x) < 0 — skaičiuojamas kaip neigiamas

44

PAPRASČIAUSI GEOMETRIJOS APIBRĖŽIMAI

Pirminės geometrijos sąvokos Taškas, tiesė, plokštuma, erdvė.

Elementariosios taškų ir tiesių savybės 1. Per du skirtingus taškus (A ir B) galime nubrėžti tik vieną tiesę, einančią per šiuos du

taškus (tiesė AB).

2. Jei plokštumos taškas nepriklauso tiesei, tai per jį galime nubrėžti tik vieną tiesę, neker-tančią kitos toje plokštumoje esančios tiesės. Tai tiesė, kuri yra lygiagreti šiai tiesei.

3. Tiesė — tai vienai plokštumai priklausančių taškų, lygiai nutolusių nuo duotų taškų A ir B, geometrinė vieta.

4. Plokštuma — tai vienos erdvės taškų, lygiai nutolusių nuo duotų taškų A ir B, geomet-rinė vieta.

Tiesių šeimos Tiesių pluoštas — grupė visų tiesių, kertančių joms bendrą tašką A.

Lygiagrečių tiesių piuoštas — grupė visų tiesių, lygiagrečių duotai tiesei a.

Atstumo tarp taškų savybės 1. \AB| > 0; \AB\ = 0 » A = B.

2. \AB\ = \BA\.

3. Kai A, B, C — trys taškai, tai \AB\ + \BC\ ž \AC\ (trikampio nelygybė).

Keletas priklausomybių

Problema Galima situacija • Pastabos .

Trys skirtingi Kinkai. I. B ir C

.

•

•.

Priklauso vienai tiesei Sąlyga: arba \AB\ = \AC\ + | C B | , arba \AB\ = \AC\ - \CB\

Trys skirtingi Kinkai. I. B ir C

.

•

•.

Nepriklauso vienai tiesei (kiek-viena pora taškų apibrėžia at-skirą tiesę)

A, B ir C sudaro trikampį

Dviejų tiesių su-sikirtimo takias

Nėra Lygiagrečiosios tiesės3 Dviejų tiesių su-sikirtimo takias Vienas Susikertančiosios tiesės

Dviejų tiesių su-sikirtimo takias

Be galo daug1' Sutampančiosios tiesės

Apskritimo ir tiesės susikirti-mo plokštumoje taškai

Nėra Tiesė išorinė apskritimo atžvilgiu Apskritimo ir tiesės susikirti-mo plokštumoje taškai

Vienas taškas Apskritimo liestinė

Apskritimo ir tiesės susikirti-mo plokštumoje taškai Du taškai Apskritimo kirstinė

Tiesės ir plokš-, turnos susikirti mo taškai

Nėra Tiesė, lygiagreti plokštumai Tiesės ir plokš-, turnos susikirti mo taškai Vienas Tiesė, kertanti plokštumą

Tiesės ir plokš-, turnos susikirti mo taškai

Be galo daug (visa tiesė) Tiesė, esanti plokštumoje

• erdvėje tiesės, neturinčios bendrų taškų arba lygiagrečios (esančios vienoje plokštumoje), arba prasilenkiančios (kitu atveju); b visi abiejų tiesių taškai

45

Figūrų ir joms priklausančių taškų rūšys Problema Apibrėžimas Pastabos, pavyzdžiai

Aprėžtoji figūra Figūra, kuri yra skritulyje" Atkarpa Neaprėžtoji figūra :

Figūra, kurios negalima patalpinti jokiame skritulyje1

Tiesė

Vidinis figūros taškas

Taškas, kurio aplinka11 priklauso duotai figūrai Vidinis taškas visada pri-klauso figūrai

Išorinis figūros taškas

Taškas, kurio aplinkab nepriklauso figūrai Išorinis taškas nepri-klauso figūrai

Figūros krašto taškas

Taškas, kurio kiekvieną aplinką" sudaro taš-kai, priklausantys figūrai ir nepriklausantys jai

Krašto taškas gali pri-klausyti figūrai arba ne

Figūros vidus [išorė/kraštas]

Visų vidinių [išorinių/krašto] taškų aibė Skritulio vidus — tai skritulys be apskritimo

Uždaroji figūra Figūra, kuriai priklauso kiekvienas krašto taš-kas

Skritulys, apskritimas

Atviroji figūra Figūra, kuriai nepriklauso nė vienas krašto taškas

Skritulys be krašto

Iškilioji figūra ; Figūra, kurios bet kuriuos du taškus galime sujungti viena atkarpa, priklausančia duotai figūrai

Bendra iškiliųjų figūrų dalis — tai iškilioji fi-gūra

Jungioji figūrą (paviršius) .

Figūra, kurios bet kuriuos du taškus galime sujungti paprastąja laužte, priklausančia duo-tai figūrai

Pavyzdžiui: skritulys, at-karpa, plokštuma'

Figūra, kertanti plokštumą

Figūra, kuri yra bendras dviejų susikertančių paviršių kraštas, kai paviršių sąjunga sutam-pa su duota plokštuma

Tiesė plokštumoje

a žiūrėti toliau lentelėje esantį apibrėžimą; b taško A aplinka plokštumoje - tai kiekviena figūra, kurioje yra kažkoks skritulys su centru taške A\ ' nejungios figūros pavyzdys - per-skirtų skritulių sąjunga

Paprastosios geometrinės figūros Figūra Brėžinys Apibrėžimas (vienas galimų) Pastabos

Pusticsė A

Pusticsė AB-* su pradžia taške A — tai aibė tiesės AB taškų P, kurie tenkina vieną sąlygų — \AP\ + \PB\ = \AB\ arba \AB\ + \BP\ = \AP\

Tiesės taškas dalija ją į dvi pustieses

Atkarpa A

Geometrinė vieta tų tiesės taškų (P), kurie nuo atkarpos galų yra nutolę atstumu, tenkinančiu sąlygą: \AP\ + \PB\ = \AB\

Kitaip: tiesės taškų, esančių tarp A ir B, geometrinė taškų vieta

Pusplokš-tumė

Plokštumos dalis, kurios kraštas yra tiesė, kar-tu su tiese

Nustatyta, pavyzdžiui, tiese ir tašku

Tiesės pusė

Plokštumos dalis, kurios kraštas yra tiesė, be tiesės

Kitaip - pusplokštu-mė be krašto

Taško pusė y

Viena iš pustiesių, sutampančių su pačia tiese ir prasidedanti duotame taške, be paties taško

Kitaip - pustiesė be pradinio taško

Juosta Bendra pusplokštumių abir ba" dalis, jei a || b (jei a = b, tai juosta yra tiesė)

Juosta yra neaprėžta iškilioji figūra

46

Figiirn Brėžinys Apibrėžimas (vienas galimu) Pastabos

Laužte Figūra, sudaryta iš tokios atkarpų A^AV A2A]t

A,A„ ...,A ,A sekos, kad kiekvienos dvi at-3 4' ' (1-1 Ii karpos viena su kita turi tik vieną bendrą tašką

ArA2, ...,A„ — lauž-tės viršūnės

Papras-toji laužte %

Laužte, kurios atkarpos tenkina tokias sąlygas: 1) bet kurios dvi atkarpos su bendra viršūne

nepriklausančios vienai tiesei; 2) bendru dviejų atkarpų tašku gali būti tik jų

viršūnė; 3) duotas taškas gali būti daugiausiai dviejų at-

karpų viršūne

Laužtės, kurios nėra paprastosios, vadina-mos sudėtinėmis laužtėmis

Uždara papras-toji ' laužte: :

Paprastoji laužte, kurios pradžios viršūnė su-tampa su pabaigos viršūne (At = AJ

Dalija plokštumą į dvi dalis: aprėžtą ir neaprėžtą

Skritu-lys

Aibė plokštumos taškų, kurių nuotolis nuo taš-ko O (skritulio centro) ne didesnis nei /-(r > 0)

Žr. p. 57

Apskri-timas ©

Aibė plokštumos taškų, kurių nuotolis nuo taš-ko O (apskritimo centro) yra lygus r (r > 0)

Apskritimas o(0, r) yra skritulio k(0, r) kraštas

Daugia-kampis. m Paprastoji uždaros laužtės ir apribotos figūros

sąjunga Žr. p. 50 ir 51

Kampas / . :

Sąjunga dviejų pustiesių (kampo šonų) su ben-dru pradžios tašku (viršūne) ir vieno iš plotų, kuriuos tos pustiesės iškerpa iš plokštumos

Žr. toliau pateiktą lentelę

Sąjunga dviejų pustiesių (kampo šonų) su ben-dru pradžios tašku (viršūne) ir vieno iš plotų, kuriuos tos pustiesės iškerpa iš plokštumos

Kampų rūšys

Pavadinimas Brėžinys Apibrėžimas Kampo matas

Ištęstinis i Kampas, kurio kraštinės yra viena kitą papildan-čios pustiesės

180°

Iškilasis Kampas, kuris riboja iškilą figūrą < 180°

Įgaubtasis C < Kampas, kuris riboja neįskilą figūrą > 180°

Kampai Su '.'iena bendra kraštine

Kampai, kurių bendra dalis yra jų bendra kraštinė Žr, toliau

Gretutiniai;, kampai y i: y mrnį*.

Du iškilieji kampai, kurių viena kraštinė yra bendra, o kitos dvi kraštinės papildo viena kitą iki tiesės

Suma 180°

Kryžminis kampas ><

Kampas, kurio kraštinės papildo viena kitą iki duoto kampo kraštinių

Lygi duotam kampui

Statusis • kampas U Kampas, lygus savo gretutiniam kampui 90°

Kampo matas: turi neneigiamą reikšmę; gretutinių kampų matai yra lygūs; kampo, kuris lygus dviejų gretutinių kampų sumai, matas lygus tų kampų matų sumai.

47

PLOKŠTUMOS TRANSFORMACIJOS Transformacijos

rūšis Sinibo- Taško koordinatės

po transformacijos"1. Pastovūs: :

. taškai į Lyriš-kumas

•;•: Pavyzdys!:

Izometrijos ;

Tapačioj! transformacija.: E K yj

Visi plokštu-mos taškai

Lygi-nis

y ;

Tapačioj! transformacija.: E K yj

Visi plokštu-mos taškai

Lygi-nis 0 X

I.ygiagretusis postūmis ' ; . vektoriumi'::' Tv (x0 + a, y0 + b) —

Lygi-nis

-y v --I.ygiagretusis postūmis ' ; . vektoriumi'::' Tv (x0 + a, y0 + b) —

Lygi-nis 0 X

Simetrija ašies . Ox atžvilgiu ;-.'. s, (% - y0)

Visi simetrijos ašies taškai

Nely-ginis

y 1 im> Simetrija ašies . Ox atžvilgiu ;-.'. s, (% - y0)

Visi simetrijos ašies taškai

Nely-ginis 0

Simetrija ašies Ox atžvilgiu su.; postūmiu vektoriumi'5 a y:

K + a> "Vu) — Nely-ginis

y' i i ® .

Simetrija ašies Ox atžvilgiu su.; postūmiu vektoriumi'5 a y:

K + a> "Vu) — Nely-ginis o :

1 a

Centrinė simetrija su centru taške O • '

K ' Taškas O -simetrijos centras

Lygi-nis

y Centrinė simetrija su centru taške O • '

K ' Taškas O -simetrijos centras

Lygi-nis 0 X

• • • •

Posūkis kampu o: apie tašką 0 oa

(jr0cos a - y 0 s i n a , xb sin a + y.. cos a )

Taškas O -posūkio centras

Lygi-nis

K h - d ^

jvfSm • • • •

Posūkis kampu o: apie tašką 0 oa

(jr0cos a - y 0 s i n a , xb sin a + y.. cos a )

Taškas O -posūkio centras

Lygi-nis 0 X

Neizometrinės transformacijos

Jlomotetija su centru O ir koeficientu .v ( ^ 0 ) S :

J'o K > Va) Taškas 0 -homoteti-jos centras

—

y /

/ Jlomotetija su centru O ir koeficientu .v ( ^ 0 ) S :

J'o K > Va) Taškas 0 -homoteti-jos centras

—

** 0 X

Sąspūdis išilgai ašies Qy su koeficientu s

K K Visi ašies Ox taškai

—

y1 Sąspūdis išilgai ašies Qy su koeficientu s

K K Visi ašies Ox taškai

— 1 *

•

Stačiakampė projekcija į aši

% l l l l l

p, (*0. o) Visi ašies Ox taškai —

y ' •

Stačiakampė projekcija į aši

% l l l l l

p, (*0. o) Visi ašies Ox taškai — 0 X

a taškas iš pradžių turi koordinates (jc,,,^,,); b jei simetrijos centras arba išskirta ašis nesutampa su koordinačių sistemos pradžia arba ašimi Ox, tai transformuojamo taško koordinatės for-mulės sudėtingesnės; c darome prielaidą, kad vektorius nenulinis ir nclygiagretus ašiai Ox

48

Transformacijų savybės Transfor-

macija : | f-: Apibrėžimas .Kitos savybės

Izometrija:

Transformaci-ja, iSlaikanti atstumus tarp taškų

Išsaugomas taškų priklauso-mumas tai pačiai tiesei; tiesių lygiagretumas; figūrų paviršių plotai; kampai tarp tiesių

Tapačiosios transformacijos, po-stūmis, centrinė simetrija, ašinė simetrija, simetrija su postūmiu, posūkis aplink tašką, postūmis

Panašumas

Transformaci-ja, išlaikanti kampus tarp atkarpų

Išsaugomas taškų priklauso-mumas tai pačiai tiesei; tie-sių lygiagretumas; bet kurių atkarpų santykiai lieka pa-stovūs; figūros ir jos vaizdo ploto santykis yra pastovus

Bet kuri izometrija arba bo-motetija, taip pat bet kuri šių transformacijų kombinacija

Sąspūdis - : (afininė transtor-itiacija)

Transformacija abipusiškai vie-nareikšmė, iš-sauganti taškų priklausomumą tai pačiai tiesei

Išsaugomas tiesių lygiagre-tumas; bet kurios atkarpos ir jos vaizdo atitinkamos at-karpos ilgio santykis yra pa-stovus; figūros ir jos vaizdo ploto santykis yra pastovus

Pavieniai atvejai: izomctrijos, panašumai, stačiakampis są-spūdis

Visos transformacijos apgręžiamos. Neapgręžiama, pavyzdžiui, yra stačiakampė projekcija.

Kelių sutampančių transformacijų pavyzdžiai Transformacija Sudėties rezultatas . Pastabos : *

Du pcisūkifti aplink bendrą cen-trą kampais a ir p, Q J ) t

Posūkis apie tą patį cen-trą kampu a + įi, Oa+p

Kelių posūkių suma yra po-sūkis

Du postūmiai: vektoriumi įy\\ it vektoriumi w , 7'u//;

Postūmis vektoriumi v + w , r , * M + IV

Kelių postūmių suma yra po-stūmis

Dvi centrinės simetrijos", Transformacija T ^ , Išvada: sudėjus postūmius ir centrines simetrijas gauname centrinę simetriją Trys centrinės siir.etrijos' Centrinė simetrija

Išvada: sudėjus postūmius ir centrines simetrijas gauname centrinę simetriją

Ašinė simetrija ir postūmis U Simetrija su postūmiu

Dvi ašinės •simetrijos

Ašys tarpusavy : statmėpoši •;••.•;•,

Centrinė simetrija su cen-tru, sutampančiu su ašių susikirtimo tašku

Kiekvieną centrinę simetriją galime išskaidyti į dvi ašines simetrijas

Dvi ašinės •simetrijos

Ašys tarpusavy -į.:;: lygiagrečios ir nu-tolusios atsturiiii d

Postūmis statmenu abe-joms ašims vektoriumi, kurio ilgis yra 2d

Kiekvieną postūmį galime iš-skaidyti į dvi ašines simetrijas

Dvi ašinės •simetrijos

Ašys kertasi kampu «? : v

Posūkis apie ašių kirtimo-si tašką kampu 2<p

Kiekvieną posūkį galime iš-skaidyti į dvi ašines simetrijas

Lyginis ašinių simetrijų skaičius Lyginė izometrija (žr. ankstesnį puslapį) Nelyginis ašinių simetrijų skai-čius •

Nelyginė izometrija (žr. ankstesnį puslapį)

Dvi homoietijbs su bendru centru f ) ir V.ceficiL-nlais.s. ir .v.., j'į J'lj

Homotetija su centru O ir koeficientu s, • sz,

Sudėjus bet kokį homotetijos skaičių gauname homotetijąb

Homote t i j a su koeficientu s ir s/oinclrija .

Panašumas, kurio koeficientas i

Kiekvieną panašumą galime išskaidyti į homotetiją ir izo-metriją

a centrai nebūtinai turi sutapti; b centrai turi sutapti

49

KAI KURIOS TRANSFORMACIJOS ERDVĖJE Erdvės transformacijos

Transformacija Simbolis| Pastovūs taškai L Pastabos Izometrijos*

Tapačioji transformacija

E Visi erdvės taškai L EE = E

Centrinė simetrija su centru taške O

So Taškas O — simetrijos taškas

n

Ašinė simetrija ašies C)x atžvilgiu

S X Visi simetrijos ašies taš-kai

L S A = E

Simetrija plokštumos n atžvilgiu

s lt Visi plokštumos simetri-jos taškai

n \ S, = E

Postūmis nenuliniu vektoriumi v

r„ — L TT = r , r H1 v+iv

Posūkis apie L ašį kam-pu a ( a t- 0, a * 180°)

K Visi L ašies taškai L

Simetrija su postūmiu1' — n

Simetrija su posūkiu- — n Sraigtinis judėjimas11

— L Neizometrinės transformacijos (pavyzdžiai)

Homotetija su centru O ir koeficientu s (s * 0)

J'o Taškas O Izometrijos ir panašu-

mo sąjunga

Panašumas su centru O ir koeficientu i- (v > 0)

Tbškas O Transformacija išlaiko kampų matus

Sąspūdis (afininė trans-formacija)

Priklausomai nuo trans-formacijos rūšies

— Išlaiko vienatiesišku-mą

Lygiagreti projekcija kryptimi.V į plokštumą JI

K Visi plokštumos rt taškai — Erdvės transformacija į plokštumą

L — izomelrijos lygiškumas (L, n — lyginės ir nelyginės izometrijos, tokios, kurių sąjungą galima sudaryti iš lyginio/nelyginio plokštumos simetrijų skaičiaus; lyginės izometrijos - tai vadinamieji erdvės judėjimai). a duota išsami izometrijų klasifikacija; b sąjunga plokštuminės simetrijos ir postūmio su nenuliniu, lygiagrečiu plokštumai vektoriumi; c sąjunga plokštuminės simetrijos ir posūkio, su nenuliniu (ir skirlingu nei 180°) kampu, aplink statmeną į plokštumą ašį; d sąjunga po-sūkio su nenuliniu (ir skirtingu nei 180°) kampu ir postūmio, su nenuliniu, lygiagrečiu sukimosi ašiai, vektoriumi; c x — tiesė, kuri nėra lygiagreti plokštumai K

Pagrindinės projekcijų savybės

1. P£P* = P* (idempotentyvumas). 2. Lygiagrečių atkarpų ilgių (bet nelygiagrečių projekcijos atžvilgiu) ir jų projekcijų santy-

kis yra pastovus. \AB\-.\CD\ = \A'B'\ : |C'£>' | . 3. Atkarpos centro projekcija yra projekcijos centras (atkarpai, nelygiagrečiai projekcijos

krypčiai).

50

PAGRINDINĖS GEOMETRINĖS KONSTRUKCIJOS Konstrukcija Konstrukcijos elementai lirėžlnys Pastabos

Atkarpos AB

simetrijos ašis

1. Lankai su centrais taškuose A ir B bei spinduliu AB.

2. Tiesė per taškus C ir D

>

A

s

<c

B

<D

Simetrijos ašis da-lija atkarpą AB pusiau ir yra jai statmena; ABC ir ABD — ly-giakraščiai tri-kampiai

Tiesė, statme-na duotai tie-sei ir einanti per duotą taš-ką A

1. Lankas su centru taške A ir to-kiu spinduliu, kuris kirstų tiesę dviejuose skirtinguose taškuose B ir C.

2. Simetriška atkarpa BC

A>

>

<

C

Trikampis ABC yra lygiašonis, at-karpos BC simet-rijos ašis eina per tašką A

Tiesė, lygia-greti duotai tiesei ir einan-ti per duotą tašką A

1. Lankas su centru taške A, ker-tantis tiesę taškuose B ir C.

2. Lankas su centru taške A ir spinduliu BC, lankas su centru taške C ir spinduliu AB bei jų susikirtimo taškas D.

3. Tiesė AD

- H * ABCD — lygiagre-tainis

Atkarpos Ali dalijimas į n lygių atkarpų

1. PusticsėylA'"' nesudaro bendra-tiesės su AB~".

2. Pustiesėje/IA'-' atidedame >1 lygių atkarpų AAt,A...,An lAn.

3. Tiesė a, einanti per taškus B ir An. 4. Tiesės, lygiagrečios tiesei a ir ei-

nančios per taškusA t ,A 2 , ..., /!„_,

Konstrukcijos tei-singumas pagrįs-tas Talio teorema (brėžinyje atkarpa AB dalijama į tris

lygias dalis)

Kampo su vir-šūne A pu-siaukampinė

1. Lankas su centru taške A (bet kokio spindulio) ir jo susikirti-mo su kampo kraštinėmis taš-kai (B ir C).

2. Atkarpos BC simetrijos ašis ir taškas D — tai lanko susikirti-mo su simetrijos ašimi vieta.

3. Tiesė su taškais A ir D

k : Pusiaukampinė AD dalija kampą BAC pusiau ir yra lygiai nutolusių nuo kampo krašti-nių taškų aibė

Apskritimo licstinė ta.škc/1

1. Lankas su centru taške A, ker-tantis apskritimą dviejuose taš-kuose B ir C.

2. Tiesė, einanti per tašką A, ir ly-giagreti tiesei, einančiai per taš-kus ii ir C

t A — lietimosi taš-kas; liestinė yra statmena apskriti-mo spinduliui

Apskritimo centro nustatymas

1. Dvi, bet kurios nclygiagrcčios apskritimo stygos: AB ir CD.

2. Abiejų stygų simetrijos ašys. 3. Apskritimo centras yra simetri-

jos ašių kirtimosi taškas

(

Apskritimo cen-tras nustatomas vienareikšmiai

Čia pateiktas konstrukcijas galima nubrėžti su skriestuvu ir liniuote (liniuotė be padalų). Kai kurias pateiktų konstrukcijų galima nubrėžti lengviau, jei turime kitokius įrankius, pavyzdžiui, statųjį trikampį

51

Keletas konstrukcijų, kurių negalime nubrėžti su skriestuvu ir liniuote Konstrukcija Paaiškinimai, pastabos Neįvykdotmmio įrodymas

Apskritimo1: kvadratura >

Radimas kvadrato, kurio plotas yra lygus apskri-timo plotui

Ferdinandas (Ferdinand Lindemann) (1883)

Kampo trisekcija

Bet kuriob kampo dalijimas į tris lygias dalis Pjeras Loranas Vantzelis (Pierre Laurent Wantzell) (1837)

Taisyklinga-sis septynia-kampis

Užduotis lygiavertė pilnojo kampo padalijimui į septynias lygias dalis

Karlas Fridrichas Gausas (Carl Friedrich Gauss) (1796)'

Kubo dvi-gubiniriiaš11.

Kubo, kurio tūris būtų du kartus didesnis nei kubo su duota kraštine, krašlinės radimas

Pjeras Loranas Vantzelis (Pierre Laurent Wantzell) (1837)

' sprendimo, nesėkmingai, buvo ieškoma nuo senovės;" kai kuriems kampams (pavyzdžiui, statmenajam), šią užduotį galima išspręsti, bet vartojamas algoritmas netinka kitiems kam-pams; c Gausas įrodė tokį teiginį, kai n yra pirminis skaičius, tai iš taisyklingųjų n-kampių galima sukonstruoti tik tuos, kuriems n yra išreikštas išraiška 2a ' + 1 (k = 0 : trikampis, k = 1: penkiakampis, k - 2: septyniolikakampis ir t. t , ) ; v a d i n a m o j i Delo salos problema

GEOMETRIJOS TEIGINIAI Problema Brėžinys Pagrindinės savybės Pastabos

L y g i a g r e -čiosios tie-sės perkirs-tos; tiese

a / f a.

S / n' s'

a = a ' , p = p'; y = Y, 5 = 5'

Atitinkamieji kampai L y g i a g r e -čiosios tie-sės perkirs-tos; tiese

a / f a.

S / n' s'

a = 5', p = y ' Išorės priešiniai kampai

L y g i a g r e -čiosios tie-sės perkirs-tos; tiese

a / f a.

S / n' s'

a ' = 5, p' = y Vidaus priešiniai kampai

Talio teorc-ma A A B\

AB_AD. BC DE ' AB _AD _ BD AC AE CE

Atitinkamų atkarpų proporcingu-mas

Pitagoro teorema. :

h \ / "

c

Pagrindinė formulė: a2 + b2 = c2

Papildomos formulės: /i! = ef; d1 = ce; b2 = cf

Tik statmeniesiems trikampiams; a, b — statiniai; c — įžambi nė; h — aukštinė nuleista į įžambinę; c, f— statinių projekcijos į įžam-binę (e + / = c)

Teoremos I apie apskritimą . ir tašką

•

PA • PB = PC • PD Tiesės AB ir CD — kirstinės su bendru tašku P (kuris gali būti ap-skritimo viduje arba išorėje); jeigu vietoj vienos kirstinės paim-sime apskritimo liestinę (C = D),

Teoremos I apie apskritimą . ir tašką

• ( \

/ o \

X* f

PA PB = PC PD tada PA • PB = PC2

52

TRIKAMPIAI Žymėjimai A, B, C — viršūnės, a, b, c — kraštinės (kraštinių ilgiai); a , fi, 7 — kampai; R — apibrėžtinio apskritimo spindulys; r— įbrėžtinio apskritimo spindulys; ha — aukštinė, nuleis-ta į kraštinę a; S — plotas;

a + b + c . , . . P = — - — (pusperimetns).

Trikampio vidaus kampų suma a + M y = 180°

Įbrėžtinio ir apibrėžtinio apskritimų spinduliai

abc r_J(p-a}(p-b)(p-c) R-Ąrp

(palygink su sinusų formule)

Bet kurie trikampiai — ploto skaičiavimo budai _ aha _ abiiny ~ ~2~ ~ 2

S = Jp{p-a)(p-b)(p-c)

5 = 2R2 s ina sin Ji siny S = "^^=rp 4 R

Bet kurio trikampio trigonometrinės priklausomybės

, - N , - A P Y sin a + sin p + sin y = 4 cos — cos!~ c o s -P 2 2 2 fy R -y

cos a + cos p + cos y = l + 4sin s i n - s i n -2 2 2

tg a + tg p + tg y = tg a tg p tg y

oc (3 7 cx S y Ctg - + ctg | + Ctg i = ctg - ctg ̂ Ctg i

Sinusų formulė: 2R - ° - —^ - = ——-sina sin p siny

Kosinusų formulės;

a1 = b2 + c2 - 2bc cos a b2 = a2 + c1 - 2ac cos p c1 = a1 H- b1 - 2ab cos y

Tangentų formulės:

a - į " t g i ( a - P )

53

Ypatingosios atkarpos ir tiesės trikampyje Atkarpa •I Apibrėžimas : Brėžinys ,.: Atkarpos ilgio

formulė kirt imosi

taškas Trikam-pio aukštinė

Atkarpa, jungianti tr ikam-pio viršūnę ir jos stačiakam-pė projekcija priešingoje kraštinėje

h-AHĄ,

į t B

i bc , . h,=- - = b sin y —

" 2 R = c sin p

Or tocen-tras"

Kraštinės simetri-jos ašis

Tiesė, s tatmena kraštinei ir einanti per jos centrą

aL

A

3 \B

Apibrėžti-nio apskrit imo centras J b

Trikam-pio kraštinės ; pusiau • • : kraštinė;

Atkarpa, jungianti viršūnę su priešingos kraštinės centru

ma =AMa

:A A M k Trikampio svorio centras

Kampo ; pusiau-kampinė

Tiesės atkarpa, dalijanti vir-šūnės kampą pusiau — tai atkarpa nuo viršūnės iki priešingos kraštinės

1 % b+c

Įbrėžtinio apskrit imo centras i ,b

Vidurio Unija

Atkarpa, jungianti dviejų kraštinių vidurį (tiesė lygia-greti trečiai kraštinei) ' •A k f B

Tos kraštinės, kuriai ji lygiagreti, ilgio pusė

c

• kiekviename trikampyje egzistuoja šios trys atkarpos arba tiesės, jos kertasi viename taške; b žr. formules ankstesniame puslapyje; c trys vidurio linijos apibrėžia trikampį DEF panašų

į ABC, kurio plotas sudaro - to trikampio

Ypatingosios trikampių rūšys Trikampis Brėžinys Sąlyga Pagrindinis priklausomybės Paaiškinimai, pastabos

Smailusis 4

a, p, y < 900 Formulės rasti S, h, R, r — kaip ir bet kuriam trikampiui

Apibrėžtinio apskritimo cen-tras yra trikampio viduje

Stutusi.v

K ' 2

ę ab i = 2 '

atlikta Pitagoro teoremos sąlyga (žr. p. 51)

a, b — statiniai, c — įžambinė; apibrėžtinio apskritimo centras yra įžambinėje

Bukasis •• Vienas kam-pų > 90°

Formulės rasti S, h, R, r — kaip ir bet kuriam trikampiui

Apibrėžtinio apskritimo cen-tras yra trikampio išorėje

I.ygiašo-

A a = b

Išvada: a = P; c = o ( 2 - 2 cos y)

Turi mažiausiai vieną simet-rijos ašį (turi tris simetrijos ašis, jei jis lygiakraštis)

Lygia-kraštis A a = b = c;

a = p = y

V3 . V3 , hge~ą S= 4 a ;

r=-h; R = -h 3 3

Turi tris simetrijos ašis; svo-rio centro taškas, ortocentras bei įbrėžtinio ir apibrėžtinio apskritimų centrai su tampa

Lygia-kraštis

a = b = c; a = p = y

V3 . V3 , hge~ą S= 4 a ;

r=-h; R = -h 3 3

Turi tris simetrijos ašis; svo-rio centro taškas, ortocentras bei įbrėžtinio ir apibrėžtinio apskritimų centrai su tampa

" ypatingi statieji trikampiai — tai Pitagoro (egiptietiški) trikampiai, su kraštinėmis, išreikš-tomis natūraliaisiais skaičiais (pavyzdžiui, 3, 4, 5)

54

Trikampių panašumo ir lygumo kriterijai Trikampiai •'.y= Koniiiuentiški : ' J'unašūs

Apibrėžimas Trikampiai yra kongruentiški, jei eg-zistuoja izometrija, transformuojanti vieną trikampį į kitą

Trikampiai yra panašūs, jei egzistuo-ja panašumas, transformuojantis vie-ną trikampį į kitą

Brėžinys • o . A / / '

bbb Trys pirmo trikampio kraštinės yra lygios trims kito trikampio krašti-nėms

Trys pirmo trikampio kraštinės yra proporcingos trims kito trikampio kraštinėms

Krite ; rijus

bkb Dvi vieno trikampio kraštinės ir kampas tarp jų yra atitinkamai lygūs dviem kito trikampio kraštinėms ir kampui tarp jų

Dvi vieno trikampio kraštinės yra ati-tinkamai proporcingos dviem kito tri-kampio kraštinėms, o kampai tarp jų lygūs

kbk / kk

Kraštinė ir du kampai, esantys prie jos, yra atitinkamai lygūs kito tri-kampio kraštinei ir kampams prie jos

Du vieno trikampio kampai yra lygūs dviem kito trikampio kampams"

° žinoma, kad tai atitinka visų trikampių kampų lygybei

Trikampių sprendimai Duoti dydžiai Nežinomų dydžių: skaičiavimo būdai Sprendimo egzistavimo sąlyga

Statusis trikampis Kraštinė ir .smailusis kampas

Antras kampas statusis = (90° mi-nus duotas kampas), likusieji kam-pai iš sinusų teoremos

Visada egzistuoja sprendi-nys

Dvi kraštinės Trečia kraštinė — iš Pitagoro teore-mos, kampai — iš formulių apibrė-žiančių trigonometrines funkcijas (sin, cos, tg)

Egzistuoja sprendinys, jeigu a < c, b < c bai a + b < c

Bet kuris trikampis .Trys kraštinės: u. b ir c

Kampai a , p ir y —- iš kosinusų teoremos

Sprendinys egzistuoja, jei bet kurios kraštinės ilgis ma-žesnis nei likusių dviejų kraštinių iigių suma

f)vi kraštinės (a,.b) ir kampu.-, nup jų (y)

c — iš kosinusų formulių, kampai a ir p iš sinusų arba kosinusų formu-lės

Visada egzistuoja sprendi-nys

Kraštine (V) ir du kampai prie tos kraš rinos (į! ir 7}

Trūkstamas kraštines — iš sinusų formulės, trečią kampą — iš trikam-pio kampų sumos (180°)

Sprendinys egzistuoja, jeigu p + y < 180°

Dvi kraštinės (b ir c) ir kampas -priėš vieną iš jų (P)

Kampą y— iš sinusų formulės, kam-pą a iš trikampio kampų sumos (180°), trečią kraštinę (a) iš sinusų formulės

Sprendinys neegzistuoja tik tada, kai b < c ir c sin p > b'

° egzistuoja du sprendiniai, jei b < c ir c sin p < b, kitais atvejais — vienas sprendinys

55

KETURKAMPIAI Pažymėjimai ir bendros keturkampių savybės S — plotas; a, b, c, d — kraštinės; d{, d2 — įžambinės; h — aukštinė; a — kampas tarp kraštinių; A — kampas tarp įžambinių.

S = i n A os + p = Y + 5 = 360° 2

Sąlyga, kad galima būtų įbrėžti keturkampį į apskritimą: a + c = b + d. Sąlyga, kad galima būtų keturkampį apibrėžti apskritimu: a + y = P + S.

Pagrindiniai keturkampiai Pavadinimas Brėžinys S Kitos formulės, pastabos

Trapecija™ _ (a + b)h 2

Dvi kraštinės (trapecijos pagrindai) yra lygiagrečios

Deltoidas 2

Įstrižainės tarpusavyje statmenos ir vie-na jų dalija kitą pusiaub; kraštinės poro-mis yra lygios (a = b, c — d)b

Lygiagre-tainis;. / S = ah = ab • sin a

Priešais esančios kraštinės poromis yra lygiagrečios11 ir lygiosb, priešingieji kam-pai poromis yra !ygūsb, įstrižainės kerta viena kitą pusiaub; turi simetrijos centrą11

Rombas S = ali= ' d, d, = 2

= a2 sin a

Lygiagretainis, kurio visos kraštinės yra Iygiosb; lygiagretainis, kurio įstrižainės kertasi stačiuoju kampub

Stačia- * karnpis

- * * n " • - .

S = ab = —-- sin A 2

Lygiagretainis, kurio visi kampai yra sta-tieji; d = d = -Ja2 +b% ; tg A = -

2 a

Kvadratas / ' V

- a *>

S = a2=-d2

2

Taisyklingas keturkampis; rombas, kuris kartu yra stačiakampis; d, = d2 = -J2a\A = 90°

a ypatingos rūšies stačioji trapecija (viena kraštinių statmena abiems pagrindams) ir lygia-šonė trapecija (dvi kraštinės, skirtingos nuo pagrindų, yra vienodo ilgio); 6 iš kiekvienos savybės pažymėtos žyme1', išplaukia ir likusios savybės

Ypatingosios stačiakampio rūšys Pavadinimas a : b Brėžinys Ypatingos savybės, pastabos

Kvadratas 1 : 1 / - 4 / a *»

Visos kraštinės, kampai ir įžambinės yra lygios; įžambinės kertasi stačiuoju kampu; formulės - aukščiau esančioje lentelėje

Sunor-mintas stačią- ; karnpis

-s/2:1 Padaliję pusiau gauname du sunormintus stačiakampius, taikomus poligrafijoje (pavyzdžiui: formatai A4, A5)

Auksinis : stačia-kampis

cp : l Atkirpus kvadratą, lieka mažesnis auksinis stačiakampis; ilgio proporcija (ip = 1,618..., 7 puslapis) laikoma labai malonia akiai; sutinkamas Graikijos architektūroje

56

DAUGIAKAMPIŲ KLASIFIKACIJA Rinktinės daugiakampių rūšys Daugiakampis Apibrėžimas" Pavyzdžiai Iškilusis Daugiakampis, kuris yra iškilioji figūra

(žr. 45 puslapis) Trapecija, lygiagretainis, trikampis

Įgaubtasis Daugiakampis, nesantis iškilioji figūra Kai kurie deltoidai, pentagrama Pusiautai-syklingasis

Daugiakampis, kurio visos kraštinės ar-ba visi kampai lygūs

Stačiakampis (kampai lygūs), rom-bas (lygios kraštinės)

Taisyklin-gasis

Daugiakampis, kurio visos kraštinės ir kampai yra lygūs11

Lygiakraštis trikampis, kvadratas

Žvaigždiš-kasis

Įgaubtas daugiakampis, kurio kraštinės ir kampai yra lygūs

Pentagrama

" bendras daugiakampio apibrėžimas žr. 46 puslapį; b kartais papildomai reikalaujama, kad daugiakampis būtų iškilusis

Bendros daugiakampių savybės n-kampio vidinių kampų suma = (n - 2) • 180°. Kampų, gretimų vidiniams, iškiliojo n -kampio kampų suma = 360°.

Iškiliojo n-kampio įstrižainių skaičius = ^ / i ( « - 3 ) .

Žvaigždiniai ir taisyklingieji daugiakampiai

Figūros pavadinimas Brėžinys

Aplbrėžtinio apskritimo

spindulys" K

{hrėžtinio apskritimo spindulys" r

Plotas 5 Vidiniai kampai

Iškilosios Lygiakraštis t r ikampis A

7 3 — a

3 f 4 60°

Kvadratas a

7 2 • — a

2

1 2 °

a2 90°

Taisyklinga-sis penkia-kampis O

2 —f — a V 1 0 - 2 V Š

1 -į— -.-i -—a V 2 0 - 7 1

V25 +10V5 2

4 108°

Taisyklinga-sis šešia-kampis 0

a S — a

2 2 120°

Taisyklinga-sis aštuo-niakampis O M- 1 + 7 2

a 2

2(1+72 y 135°

Taisyklinga-sis>i-kampiš (iškilusis)3 (

1 a

2 sin — n

2 ( C t S « ) — 180"

n

Žvaigždiniai

Pentagrama * 2

VlO + 2V5 1

—7=—=--a 2V5+2VŠ

sudėtinga formulė

36°

a — daugiakampio kraštinės ilgis.a kiekvienam taisyklingam n-kampiui teisinga/- = R cos\-

Taisyklingojo n-kampio įžambinės dk — a—— (k > 1). sin - \

n

57

SKRITULYS IR JO DALYS Skritulys ir jo dalys

Figūra Brėžinys Plotas" Kitos formulės, pastabos'

Skritulys:-. 5 = įtr2 Ilgis: L = 2k r.

Iš figūrų su duotu ilgiu skritulys turi didžiausią plotą

Skritulys:-.

k j

Ilgis: L = 2k r. Iš figūrų su duotu ilgiu skritulys turi didžiausią plotą

Skutulio išpjova

G

ę, rL an r1 _ a 2

" 2 ~ 360° ~~ 36U°7t ' ( a išreikšta laipsniais)

a L- ji r 180°

Skritulio r/

h | r f t a sin a ^ , h = į- = r-1J 4 ^ - c 1 ; 2 r 2

c = 2^2hr-h1 nuopjova <aJ C

f [360° 2 J

h = į- = r-1J 4 ^ - c 1 ; 2 r 2

c = 2^2hr-h1

Dviejų apskritimu bemini iCiaJis; v/.y'-. 0 0

c 2(90°-a s in2a ^ S = r. n + 1 [ 360° 2 J

2f a s in2a ' ) +K\ K--

[ 360° 2 J

a — centrinis kampas su centru mažesniam skritulyje, besire-miantis į didžiausią lanką, pri-klausantį bendrai abiejų apskri-timų daliai

• kampai, pažymėti simboliu a , išreikšti kampiniais laipsniais

Atkarpos ir kampai skritulyje. Apibrėžimai Dydis: Apibrėžimas Pastabus

Centrinis kampas;/ .

Kampas su viršūne, esančia skritulio centre Žiūrėti teiginius kitoje lentelėje

Įbrėžtasis kampas.

Kampas su viršūne, priklausančia skritulio ap-skritimui

Žiūrėti teiginius kitoje lentelėje

Apskritinio styga -

Atkarpa, kurios galai priklauso apskritimui

Žiūrėti teiginius kitoje lentelėje

Skersmuo Styga, einanti per apskritimo centrą Tai ilgiausia styga

Stygos ir kampai skritulyje Problema Teiginys.;.;;; Brėžinys,

Centriniai kampai Centriniai kampai, kurie remiasi į vienodo ilgio stygas yra lygūs (brėžinyje kampas AOB lygus kampui COD)

Įbrėžtieji kampai;;;; Įbrėžtieji kampai, kurie remiasi į tą patį lanką (į pačią stygą), yra lygūs

€ 1

įbrėžtasis kampas, ku-ris remiasi j skersmenį

Kiekvienas įbrėžtasis kampas, kuris remiasi į ap-skritimo skersmenį, yra statusis

0 Įbrėžtasis kampas ii centrinis kumpa*

Centrinis kampas yra du kartus didesnis nei įbrėžtasis kampas, kuris remiasi į tą patį lanką ©

Kampas tarp stygos ir (testinės

Smailusis kampas, esantis tarp stygos ir liestinės, einančios per vieną stygos galą, yra lygus įbrėžta-jam kampui, kuris remiasi į duotąją stygą 6 1

58

ERDVINIAI KŪNAI Svarbesni daugiasieniai Erdvės: kūnas Brėžinys Paviršiaus plotas ./ Pastabos •

a > V = a? S = 6a2 d = asj3

Stačioji:

prizmė;./. . . i \ K\ a

c

b V = abc S = 2{ab + bc +

+ ca) d = -Ja2+b2+c2

Prizmė h-t V = h-sr Ss = h • L

S = 2S + S.

Jeigu briaunos yra X pagrindui, tai prizmė vadinama paprastąja (tada h = l)

Paprastoji.;• piramidė

V = \ S J 2 S = s + s,

p s

Pagrindas yra daugia-kampis, šoninės sie-nos — tai trikampiai su bendra viršūne

Taisyklingo-ji piramidė

a

• H "

Pagrindas yra taisyk-lingasis n-kampis su briauna a, apotemų ilgiai vienodi

Nupjautinė piramidė: h'

r/ h V = ~x

3 s=s,+sPi+Sp!

Pagrindai — panašūs daugiakampiai, kurie yra lygiagretūs

Prizina- : •:;;;. toid.is M k

Pagrindai — lygiagre-tūs daugiakampiai; S — pjūvio, nubrėž-to per aukštinės h, pusę, plotas

V— tūris; S — bendras piotas; Ss — šoninis plotas; S — pagrindo plotas; h — aukštinė; l — apotemos ilgis (šoninės sienos aukštinė); L — pagrindo perimetras; d — įžambinė

Taisyklingieji briaunainiai (Platono erdviniai kūnai) Tetraedras Kubas Oktacdras Dodekacdras :: Ikosaedras

Sienos !;įiįl; Briaunos Viršūnės

4 trikampiai 6 4

6 kvadratai 12 8

8 trikampiai 12 6

12 penkiakampių 30 20

20 trikampių 30 12

M l B B Brėžinys: ;.;

A /

s / @ H —

Paviršiaus plotas i-į/į S = V3a2 S = 6a2 S = 2^3 a2 5 = 3^/25 + 10^5 a1 S = 5-j3a2

Tūris : : ••• • ': 12

V = a> 3

K = J l 5 + 7V5— 4

V= 5 + -JŠa3

12

<p 70°33' 90° 109°28' 116°34' i 3 8 ° i r

a — kiekvienos briaunainio kraštinės ilgis; (p — kampas tarp sienų su bendrąja briauna

59

Oilerio iškiliųjų briaunainių teorema Viršūnių skaičius + sienų skaičius = briaunų skaičius + 2

Svarbesni kreivieji erdvės kūnai Iirdvės kunasj Brėžinys Tūris | Kitos formulės | Pastabos

Erdviniai sukimosi kūnai

Rutulys; (^--..-JLjj V = 4KR> 3

5 = 4JIR2 Kiekvienas rutulio pjūvis plokštuma yra skritulys

Ištemp-tasis sukimosi3

elipsoidas

K = ~j t ab1

3

S = 2nbx

x ^ f > + f l a r c s i n e j

a > b; 2 i b'

6

Suplotasis sukimosi" elipsoidas

a m V = -na~b 3

„ - 2 Tlb2 , 1+ E S = 2na + ln —

e l - e

a > b; 2 i b'

6

Ritinys V-/ V = nR2h = 2nRh; S = 2kRŲI + R)

Skersinis pjūvis Skritulys

Kūgis i

V = — R2 h 3

Sb = JtRl; S = JtR(R + /); Viršūnė yra virš

pagrindo centro

Nupjauti-nis kūgis § V = ^h(R2 + Rr + r2)

5b = ji (R + r) h S = S„ + Jtft2 + Ttr2;

l = Jh2+(R-r?

Pagrindai yra ly-giagretūs vienas kito atžvilgiu

Toras f V = 2n2Rr2 S =

Statinė m * V = ~ (8R1 + 15

+ 4rR + 3 H)

Kreivė L — tai parabolėsb lankas

Rutulio išpjova 3

S = KR (2JI + a) = \Jh(2R-h)

Rutulio nuopjova

..„fl.....;

3 Sb = 2tlRJI\

S = Sb + na1

= \Jh(2R-h)

Erdvinis nesukimosi kūnas

Triašis elipsoidas K = — nabc

3 Nėra paprastos for-mulės plotui išreikšti

a, b, c — elipsoi-do pusašiai

a palyginti su triašiu elipsoidu; b jei L yra rutulio lankas, tai apytiksliai teisinga formulė

V » - JI A (2R2 + r2)

60

KOORDINAČIŲ SISTEMOS Pagrindinės koordinačių sistemų rūšys plokštumoje

Sistema Brėžinys • •••••• Koordinatės Kilimo

sritis Dviejų taškų atstumas

•

Dekar-to"

y F(x.y) x - abscisė (-oo, +oo)

d - J ( x 2 X,) + (y, yj)

•

Dekar-to"

y F(x.y)

y - ordinatė (—oo) -j-oa) d - J ( x 2 X,) + (y, yj)

•

Dekar-to"

0 JT y - ordinatė (—oo) -j-oa)

d - J ( x 2 X,) + (y, yj)

Polinė

p — atstumas nuo poliaus (polinis spindulys)

[0, +«.)b

Polinė

p — atstumas nuo poliaus (polinis spindulys)

[0, +«.)b

d = Vpi + pl - 2 P i P : c o s C*p2 - <Pi) Polinė

(p — polinis kampas (amplitudė, fazė)

[ 0 , 271 ) ' "

d = Vpi + pl - 2 P i P : c o s C*p2 - <Pi) Polinė

0 P (p — polinis kampas (amplitudė, fazė)

[ 0 , 271 ) ' "

d = Vpi + pl - 2 P i P : c o s C*p2 - <Pi)

" stačiakampė koordinačių sistema; h jei p = 0, tai polinis kampas neapibrėžtas; c galime tarti, kad tp įgyja bet kokias reikšmes iš intervalo + « )

Dekarto sistemos keitimas į polinę ir atvirkščiai x = p cos <p y = p sin (p

p = Jx2+y2 sin(p=_. / cos<p = - ; - - - - — (p > 0)

VEKTORIAI Pagrindiniai veiksmai su vektoriais

Veiksmas Užrašas Savybės Rezultatas = 0...

Vektoriaus daugyba ; iš skaičiaus

ū = a • v Jungiamumas: a • (i> • v ) = (a • b) v Skirstomumas: a • (v + w) = (a • v ) + + (a • w) (a + b) • v = (a • v ) + (b • v )

...jei a - 0 arba v = 0

Vektorių sudėtis :,

ū = v+iv Pcrstatomumas: v + w = vv + v Jungiamumas: ( ū - t - v ) + vt' = « + (v + m>) Trikampio nelygybė: 5 +h\ < ]fl| + |S|

...jeigu v ir vv yra priešingieji vektoriai (lygiagretūs, vieno-do ilgio ir priešingos krypties)

Skaliarine sandauga

a = vow Perstatomumas: ūoiv^ivov Skirstomumas sudėties atžvilgiu: ū°(v + w)=ū°v+ū°w

Jungiamumas daugybos atžvilgiu": (a-v)°w = a-(y°w)

... jeigu v arba w nuliniai vektoriai ar-ba jie statmeni

Vektorine sandaugai

ū = vxw Antikomutatyvumas: vxw=-wxv Skirstomumas sudėties atžvilgiu: ūx(v + w) = ūxv + ūxw Jungiamumas daugybos atžvilgiu": (a-v)xvv = fl-(vxiv)

... jeigu v arba vv nuliniai vektoriai ar-ba jie yra lygiagretūs

" paprastojo jungiamumo bendru atveju nebūna; b veiksmas neįvykdomas plokštumoje; vek-torius, kuris yra daugybos rezultatas, yra statmenas abiems dauginamiesiems

61

Koordinatės plokštumoje ir erdvėje, vektoriai

:.' Objektas Koordinates; plukštuinoje ; Koordinatės erdvėje • : • ••

Taškas A k Ą] e Ą ^ A J

Atkarpos ilgis | / ! / i | i ::i

Atkarpos; AB . centro' r Ą+B, Ar~BĄ \AX+BX Ay + By Ą + BĄ konnlir.alės i,:.;:,;;::.:;-.: >:,: 2 ' 2 l 2 ' 2 ' 2 j

Vektorius

:

v = {vl-, vy} v = {v,] Vy-, f , }

•

Vektorius su pradžia taške-/I ir taške B . . . . . . . . . . . . . ...... , :.,..:

P = {Bx-Ą,Bt-By} v = {Bx-Ą; By-Ą;BX-Ą}

Nulinis vektorius

• :

0 = {0; 0} 0 = {0; 0; 0}

Vektorius,; priešingas ;.: vektoriui v •• -v ={-vx; -vy} -v = {-vI;-vx;-vr}

Vektoriaus ilgis . . . 1 v\~Jv2

x+v2f P\ = Jv2

x+v2y+vl

.••.••.•. •..•.•.• . Vektorių suma

• : » = • a m :

:

ū = {vx + wx\ vy + wy} « ={v, + v,; vy + wy\ Vj + v»į}

Skaičiaus ir vektoriaus sandauga.ū - a - v ] .: :

ū = {a-vx;a-vy} « = {«•• v,; ū'Vy\ a v,}

Skaliarinė: vektorių..: s-andauga .-j -- - ; a = vx • wx + vy • wy a = v • w + v • w + v • w x x y y i i

•

Vektorinė sandauga • :'3 =ivU'ti

—

lt = {vy -wz-vz- wy; vz-wz-vx- wz;

V 'W — V • W }

Skaliarinė ir vektorinė sandauga, kampas tarp vektorių

v c. tv = |p| • |ivj-casa (šią formulę galime taikyti norėdami apibrėžti kampą tarp vektorių)

|Pxvv| = |v|-|iv|-sina

62

TIESĖS LYGTYS Skirtingos tiesės lygties išraiškos

I.ygtis Prielaida Brėžinys. Tiesės apibūdinimas:

Bendroji Ax + By + C = 0 A* 0 arba

B * 0

y Tiesė, statmena vektoriui n ir einanti per duotą tašką P(x0, >>„); C = - (Ax0 + By0)

Bendroji Ax + By + C = 0 A* 0 arba

B * 0

o X

Tiesė, statmena vektoriui n ir einanti per duotą tašką P(x0, >>„); C = - (Ax0 + By0)

N H M i m .-.• :• .

Ašinė • a b

a * 0 ir b * 0

y, b \ Tiesė, atkertanti koordi-

načių sistemos ašyse at-karpas, kurios yra lygios atitinkamai a ir b

N H M i m .-.• :• .

Ašinė • a b

a * 0 ir b * 0

o a <xm

Tiesė, atkertanti koordi-načių sistemos ašyse at-karpas, kurios yra lygios atitinkamai a ir b

:

Kryptine

• r::-..: .. •

y = nvc + b •

y t g a = m Tiesė, sudaranti su ašimi Ox kampą, kurio tangen-tas yra lygus m, ir atker-tanti ašyje Oy atkarpą b

:

Kryptine

• r::-..: .. •

y = nvc + b •

o v

Tiesė, sudaranti su ašimi Ox kampą, kurio tangen-tas yra lygus m, ir atker-tanti ašyje Oy atkarpą b

•

Normalioji •

:

y s i n p + A : c o s p = rf —

y Tiesė, nutolusi nuo koor-dinačių sistemos pra-džios atstumu d ir tokia, kad jos normalė kerta ašį Ox kampu p

•

Normalioji •

:

y s i n p + A : c o s p = rf —

0 / x'

Tiesė, nutolusi nuo koor-dinačių sistemos pra-džios atstumu d ir tokia, kad jos normalė kerta ašį Ox kampu p

Determinaii-i|:

i l l l l i l l

x~xo y~y<t = Q

P H

p * 0 arba q* 0

y i

y

p /

Tiesė, lygiagreti vektoriui v ir einanti per duotą

tašką P{xa, y0)

Parametr inė x = x0 + pt, y= y0 + qt

p ž 0 arba

y i

y

p /

Tiesė, lygiagreti vektoriui v ir einanti per duotą

tašką P{xa, y0)

Parametr inė x = x0 + pt, y= y0 + qt

p ž 0 arba o X

Tiesė, lygiagreti vektoriui v ir einanti per duotą

tašką P{xa, y0)

:

Dvitaškė _ y~yi xi-x1 y,-y2

* xv

y *y2

y

0

Tiesė einanti per du duo-tus taškus: P,(Xp yj) ir P&V yd

:

Dvitaškė _ y~yi xi-x1 y,-y2

* xv

y *y2

y

0

Tiesė einanti per du duo-tus taškus: P,(Xp yj) ir P&V yd

Polinė d

c o s ( ę - p ) d * 0"

Tiesė, kurios arčiausias poliui (žr. p. 60) taškas pelinėje s is temoje. turi koordinates (d, P)*

Polinė d

c o s ( ę - p ) d * 0"

0 P

Tiesė, kurios arčiausias poliui (žr. p. 60) taškas pelinėje s is temoje. turi koordinates (d, P)*

• tiesės, einančios per polių lygtis yra tokia: (p = (}; b sąlygos kaip tiesei, apibrėžiamai normaliąja lygtimi

Žymėjimai ir sąryšiai tarp parametrų m = tg a — krypties koeficientas; d— tiesės atstumas nuo koordinačių pradžios; n = {A\B} — vektorius, statmenas tiesei; v = {p; q) — vektorius, lygiagretus tiesei

cos P — — J l - sinP = — - d = n ^ - = - . 1 1

±ylA2 + B- t-JA1 + B1 Ja2 + B2 ~Jl + m2

Formulėse sin p ir cos p reikia įrašyti ženklą priešingą ženklui C.

63

Taškai ir tiesės plokštumoje. Priklausomybės

Problema Tiesės lygties išraiška •M' i .Pastabos '-v^-.. Problema Bendroji Kryptinė'

•M' i .Pastabos '-v^-..

S, taško /'iĮvt„ _v„1 atstu-mas1 nuo tiesės

^_\Axtl + By„+C\

\!A1+B2 Vl+m 2 8 = |x0 cos p -f ya sin p - d \

C-, kampas tarp tiesių ĄĄ+BA

tg<p = ' 1

l + m:m2

Formulė netinka statme-nosioms tiesėms

Tiesių stątrnenumo A A + BFI2 = 0 mim2 ~ - 1

Tiesių lygiagretumo sąlyga . : AFC-AĮ}^ 0 ml — m2

' tokios išraiškos lygtimi negalime apibrėžti tiesių, lygiagrečių ašiai Oy

Parinktosios tiesių ir plokštumų lygtys erdvėje

: Išraiška • Lygtis : ' Prielaidos j ' ^ . Apibudinimas Plokštumos lygtis

Bendroji plokštu- . JTĮOS

Ax + By + Cz + D = 0 A* 0

arba B * 0 arba C * 0

Plokštuma, statmena vektoriui, kurio ko-ordinatės {A, B, C} ir einanti per tašką pMv y v zd> D =-(AxI+ Byl + Cz,)

Ašinė x y z , a b c

a * 0, b * 0

ir c * 0

Plokštuma, atkertanti koordinačių siste-mos ašyse atkarpas, kurių ilgiai a, b ir c

Tiesės lygtis Bendroji į: tiesės ;

(Ąx + Bly + Ciz + D1 =0 [A2x+ B2y+C2z + D2= 0

— Tiesė, kuri yra dviejų plokštumų susikir-timo rezultatas

Dvitaškc x-xl _ y-y, _ z-zl xl * x2,

y y * y v h

Tiesė, einanti per du skirtingus taškus P M v yi> z i ) i r Fi(xv y? h)

Dvitaškc x\~x2 yi~yi

xl * x2,

y y * y v h

Tiesė, einanti per du skirtingus taškus P M v yi> z i ) i r Fi(xv y? h)

Paramet- -rinė

X = xt + pt, y = y, + qt, z = Zi + rt

p * 0 arba q ?s 0 arba r / 0

Tiesė, lygiagreti vektoriui, kurio koordi-natės {p, q, r} ir einanti per duotą tašką

y,,

Lygiagretumo sąlygos

Figūra i Šąiygii" Pastabos

L? Vį ; t i Ė S ė S ': • EL=3L = T±

PI h h Jei kuris nors vardiklis yra nulis, tai ir atitinka-mas skaitiklis turi būti nulis

Dvi plokštumos - A _ Ą _ cį Ą B2 C2

Jei kuris nors vardiklis yra nulis, tai ir atitinka-mas skaitiklis turi būti nulis

Plokštuma ir tiesė' Ap + Bq + Cr = 0 Sąlyga lygiavertė tai, kuri sako, kad tiesės kryp-ties vektoriaus ir normaliojo plokštumos vekto-riaus skaliarinė sandauga būtų lygi nuliui

" plokštumos lygtis bendrojoje išraiškoje ir tiesės lygtis parametrinėje išraiškoje

64

PLOKŠTUMOS KREIVIŲ LYGTYS Pagrindinės kreivių lygčių rūšys

: l ygtii-s išraiška Bendra formulė Pavyzdys , Pauiškinimai, pastabus Paprastoji;'(De-karto sistemoje)

y = f(x) y = X1 (parabolė) Išraiška dažniausiai varto-jama mokykloje

Paprastoji (poli neje sistemoje)

P = m p = R (apskritimas) p = a • (p (Archimedo spiralė)

Plg. formules p, 60, 67

Neišreikštinė- F(x, y) = 0 X1 + y2 = R2 (apskritimas) Kartais neįmanoma pa-keisti į paprastąją išraišką

parametrinė :: J * = / i 0 ) J* = flcosr ( a p s k r i t i m a s ) į>> = J? sin /

Kreivės taškų koordinatės priklauso nuo parametro f

Elementariosios funkcijų transformacijos

IninsffinnįicUa Grafiku transformacija Funkcijos, nektičian fios savo grafiko Brėžinys

- \ f ( x + a) (kai c > d)

Postūmis (į kairę per a vie-netų)

Pavyzdžiui, periodi-nės funkcijos su periodu a

J(x) /(.r) + .1 (kai u > 0)

Postūmis (į viršų per a vie-netų)

Nesikeičia lygties x = a grafikas

/Cv) ->/(--v) Ašinė simetrija ašies Oy at-žvilgiu

Lyginės funkcijos

/l-1') l Ašinė simetrija ašies Ox at-žvilgiu

Funkcija y = 0, lygties x - a grafi-kas

/ M • /i - 0 Centrinė simetrija koordi-načių sistemos pradžios at-žvilgiu

Nelyginės funkcijos

M ~> /(<"') (a > 0. a * 1)

Sąspudis išilgai ašies Ox su koeficientu a

Pastoviosios funk-cijos

J\x) -> ,7 /(r) (« > 'l - ' į)

Ištempis išilgai ašies Oy su koeficientu a

Funkcija y = 0, lyg-ties x = a grafikas

m m m . i - i i Dalies grafiko ašinė simet-rija (kaijt < 0) ašies Oy at-žvilgiu

Lyginės funkcijos

m :• i/lVil Dalies grafiko ašinė simet-rija (kai y < 0) ašies Ox at-žvilgiu

Neneigiamai aprėž-tos funkcijos,

m s o

r \ r f \ r y \ ,

m , ^ e m : . Ašinė simetrija ašies y = x atžvilgiu

x, y = -x

65

FUNKCIJOS MONOTONIŠKUMO TYRIMAS Funkcijos" tyrimo etapas j Gautos žinios j Paaiškinimai, pastabos"

Įžanginiai duomenys Išanalizuoti reiškinį v = f(x) (var-diklis, neigiamų skaičių šaknys ir logaritmai ir t. t.)

Apibrėžimo sritis Apibrėžimo sritis — aibė tokių x, su kuriais f(x) apibrėžta

Palyginti /(.v) ir f(-x) Lyginu mas arba nelyginumas

Lyginės funkcijos: f(x) = / ( - * ) ; ne-lyginės funkcijos: / ( - r ) ir -f(x)

Paieškoti tokių a reikšmių, su ku-r i o m i s / ^ + a) = f(x)

Periodiškumas Sutinkama, pavyzdžiui, trigono-metrinėse funkcijose

Asimptočių apibrėžimasb

Apskaičiuoti a = ji m į(x) Horizontaliosios asimptotės y = a

Gali egzistuoti, jei apibrėžimo sri-tis iki begalybės

Patikrinti ar.kažkokiam m teisin-

ga a = lim f(x) = x -» m

Vertikaliosios asimptotės x = m

Intervalų galai' ir taškai, kuriuose funkcija neapibrėžtad

Apskaičiuoti a ~- hm ; X :

Pasvirusiosios asimptotės (įstri-žos), y - ax + b

Pasvirusioji asimptotė egzistuoja, riba a egzistuoja ir yra baigtinė, taigi b = lim \f{x) - ax]

JR-»±W

Skaičiavimui taikant funkcijų išvestines Apskaičiuoti pirmąją išvestinę f\x) ir nustatyti apibrėžimo sritį

Taškai, kuriuose f'(x) neegzistuoja

Tokiu būdu galima rasti smailėji-moe ir trūkio taškus

Apskaičiuoti antrąją išvestinę /"(-v)

Palyginti toliau Palyginti toliau

Ištirti, kada f'(x) = 0 (išspręsti atitinkamą lygtį)

Galimi ekstremu-mai

Maksimumas, jei f ( x ) < 0, minimumas, jei f"(x) > 0

Ištirti funkcijos f'(x) ribas inter-valų galuose' ir taškuose, kuriuo-se funkcija f\x) yra neapibrėžta"1

Galimi ekstremu-mai

Reikia ištirti, kokia yra funkcija tuose taškuose

Ištirti funkcijos išvestinės ženklą įvairiuose intervaluose

Funkcijos monotoniškumas

Funkcija didėja intervale, kuriame f'(x) > 0 ir mažėja, kai f\x) < 0

Ištirti, kada /"{-<) = 0 Galimi kreivės perlinkio taškai

Perlinkio taško aplinkoje f(x),f'(x) ir f"(x) turi būti apibrėžtos

Ištirti antrosios išvestinės ženklą Funkcijos įgaubtu-mas ir iškilumas

Funkcija įgaubta intervale, kuria-me f"(x) > 0 ir iškila su tais x, su kuriais f'\x) < 0

Baigiamieji skaičiavimai Apskaičiuoti /(O) Susikirtimo taškai

su koordinačių sis-temos ašimis

Reikia patikrinti, ar 0 ir funkcijos f(x) = 0 šaknys priklauso apibrėži-mo sričiai Išspręsti f(x) = 0

Susikirtimo taškai su koordinačių sis-temos ašimis

Reikia patikrinti, ar 0 ir funkcijos f(x) = 0 šaknys priklauso apibrėži-mo sričiai

Apskaičiuoti funkcijos reikšmę ypatinguose taškuose

Kiti ypatingi taš-kai, priklausantys kreivės grafikui

Apskaičiuojame funkcijos reikšmę ekstremumų ir perlinkio taškuose, taip pat ribas trūkio taškuose

» funkcijoms, kurių išraiška y = f(x)\ b tiesės, kurių atstumas nuo kreivės artėja prie nulio, kai kreivė artėja į begalybę; c vienpusės ribos; d ribos iš kairės ir dešinės; e pavyzdžiui, f(x) = |,v| smailėja, kai jc = 0; f pavyzdžiui,/(*) = \x\!x nėra tolydi, kai x = 0

66

ELIPSĖ, PARABOLĖ, HIPERBOLĖ : Problema Elipsė Parabolė Hiperbolė

Brėžinys

:

i i — l / b i i

t i i t i —'

y\ Brėžinys

: ' Vft 0 1 —

o1 i i

V. x

JP ' ' 1 i

Klasikinis api-brėžimas (geo-metrinių taškų vieta plokštu-moje)

Taškai, kurių atstumų nuo dviejų apibrėžtų taškų (židinių) suma yra pastovi (ir lygi 2a)

Taškai, lygiai nutolę nuo duoto taško (ži-dinio) ir duotos tie-sės (direktrisės)

Taškai, kurių atstumų nuo dviejų taškų (židi-nių) skirtumas yra pasto-vus (lygus 2a)

Kanoninė lygtis a1 m

y- = 2px 7 1

a2 b2

Paaiškinimai- a, b — pusašės (a, b > 0) p — parametras (p > 0) a, b — pusašiai (a, b > 0) Židiniai (—c, 0) ir (c, 0),

c2 = a2- b2 M U (-c, 0) ir (c, 0),

c2 = a2 + b2

Direktiisės' ' c ' c - f

a1 a2

x = ; x = — c c

Asiir.pU.nės — — b b

y = — x ; y = - x a a

Viršūnės . : . : . :

Keturios: (-«, 0), (a, 0), (0, -b), (0, b)

Viena: (0, 0) Dvi: (-a, 0), (a, 0)

Simetrijos ašys Koordinačių sistemos ašys

Ašis Ox Koordinačių sistemos ašys

Uostinės .lygtis taške (.t,, y,,)"'

X f x + %y = 1 a b

y yu = p{x + *„) a2 b2>

Ekšeentrieile- : tas" 0 < e < 1 e = 1 e > 1

Atskiri; kreivių atvejai ir kiti :

vaizdavimo būdai

Apskritimas: a = b = R, e = 0 židiniai sutampa

y = Ax2 + Bc + C (parabolė, kurios si-metrijos ašis lygia-greti ašiai Oy)

Lygiaašėc hiperbolė: a = b, e = V2;

a2

lygtis xy = k = —

Plotas' ; S = nab — —

tik tuo atveju, kai židiniai yra ašyje Ctr; " kiekvieno kreivės taško atstumų direktrisės nuo židinio santykis yra pastovus ir iygus kreivės ckscentricitetui;c darome prielaidą, kad taškas priklauso kreivei; d e = - ; * elipsę, parabolę ir hiperbolę (vieną šaką) galime pavaizduoti

ir polinėje sistemoje (žr. p. 60), kurios išraiška p = — , , p — parametras; ' elipsės { L 4* £ COS Cp I

ilgio negalime išreikšti elementariąja išraiška, apytiksliai L - Jt[l,5(a + b)

Antrojo laipsnio lygtis Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F - Q

(kurioje bent vienas skaičių vl, B arba C yra nelygus nuliui) gali apibrėžti apskritimą, elipsę, parabolę, hiperbolę, taip pat (pavieniu atveju) tiesių porą, tiesę, tašką arba tuščią aibę. Kiekvieną šių figūrų galima gauti perkirtus kūginį paviršių plokštuma.

RINKTINĖS KREIVĖS IR FUNKCIJOS

l iesino funkcija I ygtis y = <u" + h. Tiesė. Funkcija didėjanti, kai u > O ir mažėjanti, kai a < 0; pastovi, kai a - 0

Kvadratinė funkcija Lygtis y = ox2 + bx + C (a * 0). Parabolė. Funkcija iškila (a > 0) aiba įgaubta (a < 0; plg. su p. 18)

•4 Kubinė funkcija Lygtis y - ax' + bxl + cr + d (u * 0). x e R,y e R. Hiri 1, 2 arba 3 nulius. Asimptočių neturi.

I'rupmcninė racionalioji funkcija ax + b

ac + Hiperbolė. Monotoninė visoje api-brėžimo srityje • turi dvi nsimptotes)

Modulio ženklas x, kai j: <11, x, kai x ž 0

mažėjanti, kai .v < I); didėjanti, kai x > 0; turi minimu-mą (kartu ir smailumą), kai x ~ 0

Funkcija signum I -1, kai j < 0

y = sgnj( = j 0, kai x — 0 | 1. kai x>0

trūki taške x - 0; pastovi, kai x * 0

Kodiklinė funkcija n" (a > 0). Apibrėžta kai x<= R.

I'.istovi, kai a - 1, didėjanti (a > 0) aiba mažėjanti (0 < a < t); ašis ( h — horizontalioji asimptotė

Logaritminė funkcija y = log^t (<i > 0, a * l). Apibrėžta, kai x > 0. monotoninė; ašis Oy — vertikalioji asimptotė

Šaknies funkcija Funkcija v ~ J x . Apibrėžta, kai x S 0. Visoje apibrėžimo srityje iš-kila ir didėjanti. Mažiausią reikš-m ę (y = 0 ) Į g y j a , k a i x = 0

Cikloidė Parametrinės lygtys:

x -•£>(/ sin/) y = o(l -cos/)

Periodinė kreivė (periodas 2itct) nu-brėžta taškų apskritimo, su spindu-liu a, riedančio be slydimo ašimi Ox. Vieno periodo lanko ilgis: L = Sa; plotas po vienu lanku: S = 3iur

Kardioidė Pūlinėje koordinačių sistemoje: p = R(J + cos <p). Kreivė nubrėžta taške apskritimo, kurio spindulys R, riedančio be slydimo apskriti-mu, kbrio spindulys R. Turi vieną smailumo tašką. Kreivės perimet-ras: L = plotas kreivės viduje:

S = 3 ltR2

Astroidė i i 2 Neišreikštinė lygtis: x ' į y'-R'. Kreivė nubrėžta taške apskritimo, jį

kurio spindulys , riedančių be slydimo viduje apskritimo, kurio spindulys R. Turi keturis smailumus, ilgis/. ; 6/č; plotas aprėžtas kreive:

S = 3 nR~

Grandininė kreivė

forma; kurią įgau-na neišsitempiantis siūlas, paka bintas, ant dviejų taškų: Viršūnė A (0, a); lanko ilgis nuo viršūnės iki

- „ Į j j j

jų ' gis r

• r - ) taško (x, y): /.

|io lanku: S = a L

plotas

Archimedo spiralė Folinėje koordinačių sistemoje p := u(p (a > 0). Apibrėžiama taš-ku, kuris: tolsta pastoviu; greičiu duotąja pustiese, kuri sukasi aplink savo pradžią pastoviu greičiu; pus-tiesėse, išeinančiose is koordinačių pradžios, atidetlaiboS vienodo ilgio atkarpos: Paprastai imame tik q> > 0

Logaritminė spiralė Folinėje koordinačių sistemoje p = = eir'-7 (u. k >0). Kreivė, kertanti visas pustięses, išeinančias iš koor-dinačių pradžios pastoviu kumpu a (k — ctg a); :kai (p spiralė asimptotiškai artėja prie poliaus. Lanko dalies ilgis

, V T + F . ~r—(Pi-Pi)

68

LOGIKA IR VEIKSMAI SU AIBĖMIS Loginio teiginio reikšmė 1 — teisingas teiginys O — neteisingas teiginys

Loginiai ryšiai

leidiniu Neiginys Disjunkcija Konjunkcija Implikacija Ekvivalentiškumas teisingumas ~ P pvq P A « P =* 1 p 1 ne p p arba q P ve H jei Pi tai ą p ekvivalentiškas ų

1 i •:•;•••• 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0

0 1 .v 1 1 0 1 0 0 o-;- 1 0 0 1 1

Kai kurie logikos dėsniai Trečio negalimojo dėsnis p v ~p Dvigubo neigimo dėsnis /><=> — (—p) Implikacijos neigimo dėsnis ~ (p => q) O \p A Kontrapozicijos dėsnis {p q) o (~q => —p) Implikacijos tranzityvumas [(p =>• q) A (q => r)] =*> (p r) Eliminavimo taisyklė [(p => q) A p\ q

De Morgano dėsniai Konjunkcijos neiginys yra neiginių disjunkcija —{p A q) o (~p v ~q) Disjunkcijos neiginys yra neiginių konjunkcija ~(p v q) » (—p A ~q)

Kvantoriai ir jų neigimas Kvantorius Kvnnturlaus neigimas

Pavadinimas Simbolis Reikšmė Kvnnturlaus neigimas

Bendrumo Vx: p(x) Su kiekvienu x teisingas p(x) - [V*:/>(*)] o [3r: ~p(x)]

Egzistavimo 3a:: p(x) Egzistuoja toks x, su kuriuo teisingas p(x)

- [3x :p (x ) ] [V*: ~p{x)\

Pastaba: taip pat yra kitoks kvantorių žymėjimas.

Bendrumo kvantorius: A p(x), Egzistavimo kvantorius: \/p(x). X X

Pagrindinės loginių ryšių rūšys

Ryšių rūšys Reikalaujamos ryšių" savybės Pavyzdžiui

Tvarkos ryšiai 1) jei a * b ir aRb, tai netiesa, kad bRa (dalinė antisimetrija); 2) jei aRb ir bRc, tai aRc (tranzityvumas)

Ryšiai < , <, >, > skaičių aibė-se, aibių tarpusavio dalys

Tapatybės ryšiai::

1) su kiekvienu a teisinga aRa (refleksy-vumas); 2) jei aRb, tai bRa (simetriškumas); 3) jei aRb ir bRc, tai aRc (transityvumas)

Skaičių lygybės, tiesių lygia-gretumas, aibių galios vieno-dumas, figūrų kongruentumas

a užrašą aRb skaitome „a susietas su b sąryšiu R"

69

Pagrindiniai veiksmai su aibėmis

Veiksmas Veiksmu rezultatų aibės elementai yru... Brėžinys Kai kurios savybės

Aibių sąjungą AuB ... visi tie elementai, kurie priklauso A arba B

A u A = A A u 0 = A

Aibių sankirta A n B ... visi tie elementai, kurie priklauso A ir B X 3 0

A n A = A A n 0 = 0

Aibių skirtumas A-B ... visi tie elementai, kurie priklauso A ir nepriklauso B

' ( S J

A-A = 0 A - 0 = A

Aibes.-! papildi-nys iki i i A'

... visi tie elementai, kurie priklauso i l ir nepriklauso A o '

A n A' = 0 A u A' = i l

Aibių Dekarto sandauga A y. B

... visos sutvarkytos poros (o, b), tokios, kad a įgyja vi-sas aibės A elementų reikš-mes, o b įgyja visas aibės B elementų reikšmes

A j in i iii •

i ; į ;

III! • • -S>B

J c M * B bei A ir B netuščios aibės, tai A x B * BxA

Teiginių ir aibių taisyklių palyginimas Teiginių skaičiavimas

. ..

Aibių skaičiavimas

Teiginys p Aibė A

Teiginio neiginys ~p Aibės papildinys A'

Teiginių disjunkcija v Aibių sąjunga u

Teiginių konjunkcija A Aibių sankirta n

Teiginių implikacija p => q Aibės poaibis A <z B

Teiginių ekvivalentiškumas p « q Aibių lygumas A = B

Disjunkcijos komutatyvumas Sudėties komutatyvumas A u B = Bu A

Konjunkcijos komutatyvumas Daugybos komutatyvumas A n B = B n A

Disjunkcijos asociatyvumas [{p v q) v r] o \p v (q v r)]

Sudėties asociatyvumas (A u B) u C = A u (B u C)

Konjunkcijos asociatyvumas [[p A q) A r] o [p A (q A r)]

Daugybos asociatyvumas (A n B) n C = A n (B n C)

Disjunkcijos distributyvumas konjunkcijos atžvilgiu [{p A q) v r] <=>[(/? v r) A (q v /•)]

Sudėties distributyvumas daugybos atžvilgiu (A n B) u C = (A vj C) n (B u C)

Konjunkcijos distributyvumas disjunkcijos atžvilgiu [(p v I?) A r] o [[p A r) v (q A r)}

Daugybos distributyvumas sudėties atžvilgiu (A u B) n C = (A n C) u (B n C)

De Morgano dėsniai ~ ( P M ) » K~P) V ( - 9 ) ] ~ (p v q) o [ (~p) A (~<j)]

De Morgano dėsniai (A n) B)' = A' u B' (A u B)' = A' n B'

70

KOMBINATORIKA Pagrindinės kombinatorikos formulės Iš aibės A, kurioje yra tam tikri skirtingi elementai, sudaromi junginiai.

Sudarymo būdas Aibė A

Sudaromuose junginiuose Galimų parinkimų skaičius

Sudarymo būdas Aibė A Kiek yra

elementų? Elementai gali

kartotis? Eiliškumas svarbus?

Galimų parinkimų skaičius

Kėliniai be pasikartojimų

n-ele-menčioji

n Ne

Taip

Pn = n\

Kėliniai su pasikartoji-mais

k-ele-menčioji

n Taip, atitinka-mai n2

nk kartų" Taip

P,m -n, 1 • Wj! •... • nk!

Gretiniai he ; pasikartoji-mų

n-ele-menčioji

k (čia k iri)

Ne

Taip

y t _ m " " ( " - * ) !

Gretiniai su pasikartoji-mais n-ele-

menčioji k

(čia k iri)

Taip

Taip

Deriniai be pasikartojimų

n-ele-menčioji

k (čia k iri)

Ne

Ne c * - f " V " [k j k\(n-k)\

Deriniai su pasikartoji-mais:

n-ele-menčioji

k (čia k iri)

Taip

Ne -t f n + fc-n (n + Jfc-1)

k J ~ * ! ( * - ! ) !

" pirmas iš k elementų pasirodo n, kartų, antras n2 kartų ir t. t.; sumoje rc, + n2 + ... + + nt = n Pavyzdžiai

Aibė A Užduotis Sprendinių skaičius Galimi poaibiai

A =

-{a, b, c)

Kėliniai be pasikartojimų P, = 3! = 6 (abc, acb, bac, bea, cab, cba)

A =

-{a, b, c)

Gretiniai be pasikartojimų (kai k = 2)

3' K - - = 3!-6 3 (3-2)!

{ab, ba, ac, ca, bc, cb)

A =

-{a, b, c) Gretiniai su pasikartojimais (k = 2) Wį = 3J = 9 {ab, ba, ac, ca, bc, cb, aa, bb, cc} A =

-{a, b, c) Deriniai be pasikartojimų (kai k = 2) cl = P V 3 ! =3 į 2 211!

{ab, ac, bc}

A =

-{a, b, c)

Deriniai su pasikartojimais (kai k = 2) č U

3 + 2 - M = - A . = 6 2 J 2! 2!

{ab, ac, bc, aa, bb, cc)

A = =' (a, t}

Kėliniai su pasikartojimais (k = 2,« = 3, n, = 2, n2 = 1)

< 31 {aac, aca, caa)

TIKIMYBIŲ TEORIJA Aksiominis tikimybės apibrėžimas Elementariųjų įvykių aibėje (aibė £2 baigtinė) apibrėžiama tikimybė, jei kiekvienam įvykiui A c: Q priskiriamas tik vienas skaičius P(A) (vadinamas įvykio A tikimybe) su tokiomis savybėmis: 1) P(A) > 0; 2) kai A ir B — nesutaikomųjų įvykių pora, tai P(A u B) = P(A) + P{B)\ 3) P ū = 1.

71

Pagrindinės tikimybių savybės

Jei A elementariųjų įvykių aibė, o A ir B įvykiai (A c C2 ir B c £i), tai:

P(0) = 0; P(A) & 1; P(n -A) = 1 - P(A).

Jei A a B, tai P(A) < P(B).

P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A n B).

P(A n B) = P(B) • P(A\B) = P(A) • P{B\A).

Jei P(A n B) = P(A) • P(B), tai įvykius A ir B vadiname nepriklausomais.

Klasikinis tikimybės apibrėžimas (Laplaso apibrėžimas)

Jei visi elementarieji įvykiai vienodai galimi, tai turime P(A) = ^ ; čia n — įvykių, palankių

įvykiui A, skaičius N — visų įvykių skaičius.

Sąlyginė tikimybė Tikimybė įvykti įvykiui A, jei įvyko įvykis B:

P(A\B) = (P(B) > 0)

Pilnoji tikimybė poromis nesutaikomų įvykių Bp B2, ..., Bn, tokių, kad jų sumos tikimybė yra lygi 1, o kiekvieno įvykio tikimybė > 0:

P(A) = P(A\Bl) • P(B) + P(A\B-) • P (B.,) + ... + P(A\BJ • P(Bn).

Pagrindinės atsitiktinių kintamųjų funkcijos Funkcįįa Apskaičiavimo būdas" Pastabos

E.Y, vidurkis

EAT = ^ P j + xlPl + ... + xtlpa = Pagrindinis atsitikti-nio dydžio matas

DlX. dispersija" D2AT = E(X - EA^1 = - E * ) 2 p, = E(JP) - (EY)2 Sklaida apie vidurkį

* atsitiktiniam dydžiui, kuris gali įgauti n reikšmių xv ..., xn) su atitinkama t ik imybep t , p2 pn\ b DX = -JD2X vadinamas standartiniu nuokrypiu

Parinktieji tikimybių pasiskirstymai

Skirstinys Matematinė išraiška t.\ m Apibrėžimas

J Binominis nP npq Tikimybė, kad per n bandymų k kartų

įvyks teisi ngas" įvykis

Puasono P(X=k)Jnp)k e- np np Ribinė binominio skirstinio išraiška, kai n dideli ir p b maži

p — pasisekimo tikimybė, 0 < p < 1, q — nesėkmės tikimybė, q = 1 - p. * taip vadinama Bernulio schema; b Puasono skirstinio taikymas vietoj binominio dažniau-siai yra patenkinamas, kai n > 20, p < 0,2