1

მათემატიკური ლოგიკის ელემენტები

გამონათქვამთა ლოგიკა

ყველა მათემატიკური თუ არამათემატიკური თეორია არის ჭეშმარიტებად მიღებული

წინადადებების ერთობლიობა. მაგალითად, ერთი წინადადებიდან “გამოიყვანება" მეორე

წინადადება, რომელსაც პირველის “ლოგიკურ შედეგს” უწოდებენ.

ოპერაციები, რომლებიც მოქმედებს წინადადებებზე სხვა წინადადებების მიღების მიზნით,

ემორჩილებიან გარკვეულ კანონებს, რომლებიც ალგებრულ გარდაქმნებს მოგვაგონებენ.

ასეთი კანონების ერთობლიობა შეადგენს მათემატიკური ლოგიკის ნაწილს. მათემატიკურ

ლოგიკაში განიხილავენ მხოლოდ ისეთ თხრობით წინადადებებს, რომელთა შესახებაც

შეიძლება ითქვას, რომ ისინი არის ან ჭეშმარიტი ან მცდარი. ასეთ წინადადებებს

გამონათქვამები ეწოდებათ, ხოლო მათ ჭეშმარიტობას და მცდარობას მათი ჭეშმარიტული

მნიშვნელობები.

მაგალითი. 1. “ორს მივუმატოთ ორი არის ოთხი" არის გამონათქვამი და მისი ჭეშმარიტული

მნიშვნელობაა ჭ, რადგან ეს წინადადება გამოხატავს ჭეშმარიტ ფაქტს.

2. ”პარიზი არის საქართველოს დედაქალაქი " არის გამონათქვამი, რომლის ჭეშმარიტული

მნიშვნელობაა მ, რადგან ეს წინადადება გამოხატავს მცდარ ფაქტს.

3. “რა გქვია შენ? " არ არის გამონათქვამი, რადგან ის არ არის თხრობითი წინადადება.

4. “აიღეთ ეს წიგნი! " აგრეთვე არ არის გამონათქვამი, რადგან არც ის არის თხრობითი

წინადადება.

სავარჯიშო. შემდეგი წინადადებებიდან რომელია გამონათქვამები?

1. გთხოვთ, ჩართოთ მიკროფონი!

2. 1=0 .

3. რიცხვი 5.

4. ხვალ იწვიმებს.

5. რა დღეა ხვალ?

ლოგიკაში მთავარია არა გამონათქვამის შინაარსი, არამედ მხოლოდ მისი ჭეშმარიტული

მნიშვნელობა. ასე რომ, ორი ჭეშმარიტი გამონათქვამი შეიძლება გაიგივდეს, მიუხედავად

მათი შინაარსისა. მაგალითად, გამონათქვამი “კვირაში შვიდი დღეა " და “საქართველოს

დედაქალაქია თბილისი " ლოგიკის თვალსაზრისით ერთი და იგივეა, რადგან ორივეს

ჭეშმარიტული მნიშვნელობაა ჭ (ანუ, ორივე ჭეშმარიტი გამონათქვამია). ასევე,

2

გამონათქვამები “ლომი შინაური ცხოველია " და “ნიორი ტკბილია " ლოგიკის აზრით ერთი

და იგივეა, რადგან ორივე მცდარია (ანუ ორივეს ჭეშმარიტული მნიშვნელობაა მ).

შემდეგში ჩვენ გამონათქვამებს მათ ჭეშმარიტულ მნიშვნელობებთან გავაიგივებთ.

გამონათქვამების ჩასაწერად გამოვიყენებთ ასოებს პ, ქ, რ, ს, … . მაგალითად, ჩვენ შეგვიძლია

გამოვიყენოთ ასო პ შემდეგი გამონათქვამის “მთვარე მრგვალია" აღსანიშნავად. ამას ასე

ჩავწერთ: პ= მთვარე მრგვალია. იმ ფაქტს, რომ პ გამონათქვამის ჭეშმარიტული მნიშვნელობა

არის ჭ (მ), ანუ რომ პ გამონათქვამი არის ჭეშმარიტი (მცდარი), ასე ჩავწერთ: პ=ჭ (პ= მ).

ოპერაციებს, რომლებიც საშუალებას იძლევა, გამონათქვამებიდან მივიღოთ სხვა

გამონათქვამები, ლოგიკური ოპერაციები ეწოდებათ. განვიხილოთ ძირითადი ლოგიკური

ოპერაციები.

უარყოფის ოპერაცია. განვიხილოთ გამონათქვამი:

პ= მე ვარ ფეხბურთელი.

ჩვენ შეგვიძლია, შევცვალოთ ეს გამონათქვამი მისი უარყოფით:

მე არ ვარ ფეხბურთელი,

ან რაც იგივეა:

არაა სწორი, რომ მე ვარ ფეხბურთელი.

ახლა განვიხილოთ ასეთი გამონათქვამი:

პ= ცა მწვანეა.

თუ უარვყოფთ ამ გამონათქვამს (ანუ იმ ფაქტს, რომ ცა მწვანეა), მივიღებთ გამონათქვამს:

ცა მწვანე არაა,

ან

არაა სწორი, რომ ცა მწვანეა.

თუ დავაკვირდებით ამ გამხილულ მაგალითებს, დავინახავთ, რომ თუ პ ჭეშმარიტია, მაშინ

მისი უარყოფა მცდარია და პირიქით, თუ პ მცდარია, მაშინ მისი უარყოფა ჭეშმარიტია. თუ პ

გამონათქვამის უარყოფას სიმბოლოთი აღვნიშნავთ, მაშინ ეს ფაქტი ასე შეიძლება

ჩაიწეროს:

თუ პ=ჭ, მაშინ =მ

3

თუ პ=მ, მაშინ =ჭ.

მაშასადამე, რაიმე გამონათქვამის უარყოფა შეიძლება დახასიათდეს როგორც გამონათქვამი,

რომელიც მცდარია მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როდესაც საწყისი გამონათქვამია ჭეშმარიტი,

და ჭეშმარიტია მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როდესაც საწყისი გამონათქვამია მცდარი.

ეს განმარტება ცხრილის გამოყენებით ასე შეიძლება ჩაიწეროს:

პ

ჭ მ

მ ჭ

ამ ცხრილს გამონათქვამის ჭეშმარიტული მნიშვნელობების ცხრილი ეწოდება. ამ ცხრილში

მოცემულია პ და გამონათქვამების ჭეშმარიტულ მნიშვნელობებს შორის დამოკიდებულება.

შენიშვნა. ცნობილი გავრცელებული შეცდომაა, როდესაც –ბ გამოსახულებას, სადაც ბ რაიმე

ნამდვილი რიცხვია, უარყოფით სიდიდედ თვლიან. ცხადია, -ბ დადებითია, როდესაც ბ

უარყოფითი რიცხვია. ანალოგიურად, სხის გამონათქვამს ხშირად მცდარ გამონათქვამად

თვლიან. მაგრამ ჭეშმარიტია, თუ პ გამონათქვამი მცდარია.

შევნიშნოთ აგრეთვე, რომ “პლატონი ჩემი მეგობარია" გამონათქვამის უარყოფაა “პლატონი

ჩემი მეგობარი არაა ", ან “არაა სწორი, რომ პლატონი ჩემი მეგობარია” და არა გამონათქვამი

“პლატონი ჩემი მტერია ", რაც საწყისი გამონათქვამის პოლარულად საწინააღმდეგო

გამონათქვამია. უნდა გვახსოვდეს, რომ უარყოფისას ჩვენ უარვყოფთ გამონათქვამის

მხოლოდ ჭეშმარიტულ მნიშვნელობას.

სავარჯიშო. დაწერეთ თითოეული შემდეგი გამონათქვამების უარყოფა:

1. ბაღი არის სახლის უკან

2. 2+2=4

3. ეზოში ავი ძაღლია

კონიუნქცია. განვიხილოთ შემდეგი გამონათქვამები

პ=პეტრე ნიჭიერია ქ=პავლე ძლიერია.

თუ ამ გამონათქვამებს “და" კავშირით შევაერთებთ, მივიღებთ ახალ გამონათქვამს

პეტრე ნიჭიერია და პავლე ძლიერია.

4

რომელიც ჩვეულებრივად ითვლება ჭეშმარიტად მხოლოდ მაშინ, როდესაც პ და ქ ორივე

გამონათქვამი ჭეშმარიტია. მაგალითად, თუ პ ჭეშმარიტია (ე.ი. თუ პეტრე ნიჭიერია), მაგრამ

ქ არაა ჭეშმარიტი (ე.ი. პავლე არაა ძლიერი), მაშინ გამონათქვამი

პეტრე ნიჭიერია და პავლე ძლიერია

ცხადია, არაა ჭეშმარიტი.

მაშასადამე, “და" კავშირის ჩვეულებრივი შინაარსიდან გამომდინარე, შეგვიძლია,

განვსაზღვროთ ლოგიკური ოპერაცია, რომელასც კონიუნქცია ეწოდება.

ორი პ და ქ გამონათქვამის კონიუნქცია, რომელიც სიმბოლთი აღინიშნება, არის

გამონათქვამი, რომელიც ჭეშმარიტია მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როდესაც ორივე

გამონათქვამია ჭეშმარიტი.

ეს განმარტება ჭეშმარიტული მნიშვნელობების ცხრილის გამოყენებით ასე ჩაიწერება:

ჭ ჭ ჭ

ჭ მ მ

მ ჭ მ

მ მ მ

რომელშიც პ და ქ გამონათქვამების ჭეშმარიტული მნიშვნელობების ყველა შესაძლო

წყვილების გასწვრივ მოცემულია გამონათქვამის შესაბამისი მნიშვნელობა. მაგალითად,

თუ განვიხილავთ ცხრილის მეორე სტრიქონის შესაბამის სიტუაციას, ე.ი. როდესაც პ= ჭ და ქ=

მ, მაშინ გამონათქვამი მცდარია, ე.ი. = მ.

სავარჯიშო

1. მოცემულია ორი გამონათქვამი პ= 4 > 3 და პ=

. შეადგინეთ მათი კონიუნქცია,

დაადგინეთ მათი ჭეშმარიტული მნიშვნელობები.

2. გამოარკვიეთ, შემდეგი გამონათქვამებიდან რომელია კონიუნქცია და დაადგინეთ მათი

ჭეშმარიტული მნიშვნელობები:

5

1. 27 იყოფა 3-ზე და 9-ზე

2. 17< 25 < 21

3. ყოველი პარალელოგრამის დიაგონლები ურთიერთმართობულია და გადაკვეთის

წერტილით იყოფა შუაზე.

4. =-4 , მაგრამ -4

3. მოცემულია გამონათქვამები:

პ=პეტრემ იყიდა ავტომანქანა ქ=პავლემ ჰოლანდიაში იმოგზაურა

რ =დათო მძლეოსანია

ჩაწერეთ კონიუნქციები: ა) ბ) გ) ( ; დ) ; ე) .

დიზიუნქცია. ჩვეულებრივ სალაპარაკო ენაში “ან " კავშირი სულ მცირე ორი სხვადასხვა

აზრით იხმარება: არაგამომრიცხავი აზრით ორი წინადადების “ან " კავშირის გამოყენებით

მიღებული რთული წინადადება ჭეშმარიტია მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როდესაც ამ ორი

წინადადებიდან ერთი მაინც ჭეშმარიტია (ხოლო მეორე ნებისმიერი), მაშინ როდესაც

გამომრიცხავი აზრით ეს რთული წინადადება ჭეშმარიტია მაშინ და მხოლოდ მაშინ,

როდესაც მხოლოდ ერთია ჭეშმარიტი ამ ორი წინადადებიდან (ე.ი. როდესაც ერთი

ჭეშმარიტია, მეორე კი მცდარი). ამ დროს უფრო მიღებულია “ან. . . , ან . .” კონსტრუქციის

გამოყენება. მაგალითად, განცხადებაში:

მსურველებმა უნდა წარმოადგინონ უნივერსიტეტის დიპლომი ან პროფილით მუშაობის

ხუთი წლის სტაჟი

“ან " სიტყვა, ცხადია, პირველი აზრით არის გამოყენებული. ხოლო წინანდადებაში:

ზაფხულში წავალ ზღვაზე, ან მთაში - კი მეორე აზრით.

მათემატიკაში “ან " კავშირი გამოიყენება მხოლოდ პირველი აზრით. განვიხილოთ

გამონათქვამები:

პ=პეტრე ნიჭიერია ქ=პავლე ძლიერია.

მაშინ გამონათქვამი: პეტრე ნიჭიერია ან პავლე ძლიერია

ნიშნავს, რომ პეტრეა ნიჭიერი, ან პავლეა ძლიერი, ან პეტრე ნიჭიერია და, ამავე დროს,

პავლეც ძლიერია. ორი და გამონათქვამის დიზიუნქცია (რომელიც სიმბოლურად ასე

ჩაიწერება ) არის გამონათქვამი, რომელიც ჭეშმარიტია მაშინ და მხოლოდ მაშინ,

როდესაც პ და ქ გამონათქვამებიდან ერთი მაინც ჭეშმარიტია. გამონათქვამის

ჭეშმარიტული მნიშვნელობების ცხრილს აქვს შემდეგი სახე:

p q

qp

qp

6

პ ქ

ჭ ჭ ჭ

ჭ მ ჭ

მ ჭ ჭ

მ მ მ

ცხრილიდან ჩანს, რომ gამონათქვამი მცდარია მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როდესაც და

გამონათქვამი ორივე მაცდარია.

მაგალითი. ვთქვათ:

პ=ეს მზარეულმა გააკეთა

და

ქ=ეს პეტრემ გააკეთა.

რას ნიშნავს გამონათქვამი ?

ამოხსნა. ცხადია, რომ

=ეს გააკეთა მზარეულმა ან ეს გააკეთა პეტრემ

რომელიც ასეც შეძლება გადაიწეროს:

ეს გააკეთა მზარეულმა ან პეტრემ

შეგახსენებთ, რომ ეს არ გამორიცხავს იმ შესაძლებლობას, როდესაც ეს ორივემ ერთად

გააკეთა, ან უფრო მეტიც, რომ ეს ორი პიროვნება ერთი და იგივეა, ე.ი. რომ პეტრეა ზუსტად

ეს მზარეული. აქ მთავარია, რომ დიზიუნქცია მცდარია მაშინ და მხოლოდ მაშინ,

როდესაც ეს არც მზარეულმა გააკეთა და არც პეტრემ.

მაგალითი. ვთქვათ, რომ პ და ქ წინა მაგალითიდანაა და

რ=ეს გააკეთა სასადილოს გამგემ

მაშინ რას ნიშნავს გამონათქვამი?

qp

qp

qp

qp

qp

rqp )(

7

ამოხსნა. ეს ნიშნავს, რომ ეს გააკეთა მზარეულმა, ან პეტრემ (ან ორივემ ერთად), მაგრამ ეს

ნამდვილად არ გაუკეთებია სასადილოს გამგეს.

სავარჯიშო. ვთქვათ:

პ=5 არის 55-ის გამყოფი ქ=11 არის 676-ის გამყოფი

ქ=11 არის 55-ის გამყოფი

ჩაწერეთ სიმბოლურად შემდეგი გამონათქვამები:

1. 11 არ ყოფს 55 და 676 რიცხვებიდან ერთ-ერთს

2. 55-ის გამყოფია 5 ან 11, ან 676-ის გამყოფია 11.

სავარჯიშო. ვთქვათ:

პ=პეტრე არის კარგი მასწავლებელი ქ=პავლე არის კარგი მასწავლებელი

რ=პეტრეს მოსწავლეებს არ უყვართ მათემატიკა

ს=პავლეს მოსწავლეებს არ უყვართ მათემატიკა

ჩაწერეთ სიტყვებით შემდეგი გამონათქვამები:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8.

სავარჯიშო. ვთქვათ: “პეტრე კარგად მღერის " ჭეშმარიტი გამონათქვამია, “პავლე წერს

კარგად " - მცდარი, ხოლო “ივანე მათემატიკას სწავლობს კარგად " - ჭეშმარიტი. იპოვეთ

შემდეგი გამონათქვამების ჭეშმარიტული მნიშვნელობები:

1. პეტრე კარგად მღერის და პავლე კარგად წერს

2. პეტრე კარგად მღერის ან პავლე კარგად წერს

3. პეტრე მღერის ცუდად და პავლე კარგად წერს

4. პეტრე მღერის ცუდად ან პავლე წერს ცუდად

5. პეტრე მღერის ცუდად და პავლე წერს ცუდად ან ივანე მათემატიკას სწავლობს კარგად

6. პეტრე მღერის ცუდად ან ივანე მათემატიკას სწავლობს კარგად.

იმპლიკაცია. მარტივი გამონათქვამებიდან უფრო რთულის მისაღებად გამოიყენება აგრეთვე

იმპლიკაციის ან გამომდინარეობის ოპერაცია.

ვთქვათ, მოცემულია ორი გამონათქვამი:

პ=გუშინ კვირა იყო ქ=პეტრე არ იყო სამსახურში

rp

qp )(

qrp ))( qpr

qq

rr ))( qsp

rs

8

მაშინ “თუ . . ., მაშინ . . ." სიტყვების გამოყენებით შეგვიძლია შევადგინოთ შემდეგი

გამონათქვამი:

თუ გუშინ კვირა იყო, მაშინ პეტრე არ იყო სამსახურში

“თუ მაშინ " სახის გამონათქვამებს, რომელთაც სიმბოლურად ასე ჩაწერენ ◘ ,

იმპლიკაციას, გამომდინარეობას ან პირობით გამონათქვამებს უწოდებენ (ან ამბობენ, რომ

იწვევს -ს, ან რომ არის საკმარისი პირობა –სი, ან რომ გამომდინარეობს -დან ).

ჩანაწერში, სიმბოლოს იმპლიკაციის (ან გამომდინარების) ოპერაცია, –ს პირობა (ან

ჰიპოთეზა, ან წანამძღვარი, ან ანტეცედენტი), ხოლო –ს კი დასკვნა (ან კონსექვენტი)

ეწოდება.

იმპლიკაცია ითვლება მცდარად მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც პირობა ჭეშმარიტია,

დასკვნა კი მცდარი. ყველა სხვა შემთხვევაში, იმპლიკაცია ითვლება ჭეშმარიტად. მაშასადამე,

გამონათქვამის ჭეშმარიტული მნიშვნელობების ცხრილს აქვს ასეთი სახე:

შევნიშნოთ, რომ ბუნებრივ ენებში კავშირი “ თუ . . . , მაშინ . . . " სხვადასხვა აზრით

გამოიყენება: დამოკიდებულების (თუ წყალს 100 გრადუსამდე გააცხელებეთ, მაშინ ის

ადუღდება), დროში მოვლენების თანამიმდევრობის (დღეს თუ შაბათია, მაშინ ხვალ კვირა

იქნება), მიზნებისა და საშუალებების კავშირის (თუ გინდა კარგი ნიშანი მიიღო გამოცდაზე,

ბევრი უნდა იმეცადინო), რაიმე საწყისი პირობებით შეთანხმების (თუ ამ ამოცანას ამოხსნი,

მაშინ ჩათვლას მიიღებ) და ა.შ. გამოსახატავად. მაგრამ, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ლოგიკაში

გამონათქვამების შინაარსი კი არა, არამედ მხოლოდ მათი ჭეშმარიტული მნიშვნელობები

განიხილება. ამიტომ ჩვენ არ განვიხილავთ, თუ რა სახის ბუნებრივი კავშირები არსებობს

პირობასა და დასკვნას შორის, და ამიტომ იმპლიკაცია განიმარტება როგორც გამონთქვამი,

რომლის ჭეშმარიტული მნიშვნელობები ზემოთ მოყვანილ ცხრილშია მოცემული. ამრიგად,

“თუ . . . , მაშინ . . ." კავშირის გამოყენება ლოგიკასა და სალაპარაკო ენებში განსხვავებულია.

ამ უკანასკნელში, მაგალითად, როგორც წესი, იგულისხმება, რომ თუ გამონათქვამი

მცდარია, მაშინ გამონათქვამს საერთოდ აღარა აქვს აზრი. გარდა ამისა, სალაპარაკო

9

ენაში როცა ვიხილავთ “თუ , მაშინ " სახის გამონათქვამს, ყოველთვის იგულისხმება, რომ

უშუალოდ გამომდინარეობს პირობიდან. ლოგიკაში კი ამის საჭიროება არ არის.

მაგალითად, ლოგიკაში გამონათქვამი:

თუ ორჯერ ორი ექვსია, მაშინ მზე დასავლეთიდან ამოდის

ან:

თუ მზე ამოდის დასავლეთიდან, მაშინ საქართველოს დედაქალაქი თბილისია

მისაღებია, და უფრო მეტიც, მიუხედავად იმისა, რომ არც ერთ გამონათქვამში არ არსებობს

უშუალო კავშირი პირობასა და დასკვნას შორის, ეს ორივე გამონათქვამი ჭეშმარიტია,

იმიტომ რომ პირველ შემთხვევაში პირობაც და დასკვნაც მცდარია, ხოლო მეორე

შემთხვევაში პირობა კი მცდარია, მაგრამ დასკვნაა ჭეშმარიტი და ამიტომ იმპლიკაციაც

ჭეშმარიტია.

ლოგიკური გამომდინარეობის ასეთი ინტერპრეტაცია განპირობებულია იმით, რომ როდესაც

ჩვეულებრივ სალაპარაკო ენაში ამბობენ, რომ გამონათქვამი “თუ , მაშინ " ჭეშმარიტია,

ამით, როგორც წესი, იმის თქმა კი არ უნდათ, რომ და ორივე გამონათქვამი ჭეშმარიტია,

არამედ იმისი, რომ თუ ჭეშმარიტია, მაშინ –ც ჭეშმარიტი იქნება (ე.ი. თუ ჭეშმარიტია,

ვერ იქნება მცდარი), ხოლო თუ მცდარია, მაშინ შეიძლება ჭეშმარიტიც იყოს და მცდარიც.

ზუსტად ასევე, შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი როგორც ჭეშმარიტი, ასევე მცდარი -ს

პირობებში.

კიდევ უფრო ნათლად რომ გავერკვიოთ სიტუაციაში, განვიხილოთ მაგალითი. ვთქვათ,

მოცემულია ორი გამონათქვამი:

=პეტრემ მიიღო უმაღლესი შეფასება ლოგიკაში =მამამ პეტრეს კომპიუტერი უყიდა.

მაშინ “თუ , მაშინ " გამონათქვამი სიტყვიერად ასე ჩაიწერება:

თუ პეტრე მიიღებს უმაღლეს შეფასებას ლოგიკაში, მაშინ მამა მას კომპიუტერს უყიდის.

შევხედოთ ამ გამონათქვამს, როგორც შეთანხმებას (უყიდის ) წინასწარი პირობით (პეტრე

მიიღებს უმაღლეს შეფასებას ლოგიკაში) და გავაანალიზოთ, რა შემთხვევაში შეიძლება ეს

შეთანხმება ჩაითვალოს დარღვეულად და რა შემთხვევაში - არა. ამისათვის განვიხილოთ

ყველა შესაძლო შემთხვევა:

1. პეტრემ მიიღო უმაღლესი შეფასება ლოგიკაში (ე.ი. =ჭ) და მამამ მას უყიდა

კომპიუტერი (ე.ი. =ჭ). მაშინ ცხადია, რომ შეთანხმება შესრულდა (ე.ი. ( )=ჭ).

10

2. პეტრემ ვერ მიიღო უმაღლესი შეფასება ლოგიკაში (ე.ი. =მ), მაგრამ (ცხადია, რაღაც

სხვა მოსაზრებით) მამამ მას მაინც უყიდა კომპიუტერი (ე.ი. =ჭ). ამ შემთხვევაშიც,

ცხადია, რომ შეთანხმება არ დაიღვა (ე.ი. ( )=ჭ).

3. პეტრემ ვერ მიიღო უმაღლესი შეფასება ლოგიკაში (ე.ი. =მ) და მამამ მას არ უყიდა

კომპიუტერი (ე.ი. =მ). შეთანხმება არც ამ შემთხვევაში დარღვეულა (ე.ი. ისევ (

)=ჭ), რადგან მამა პეტრეს უყიდდა კომპიუტერს აუცილებლად მხოლოდ იმ

შემთხვევაში, თუ პეტრე მიიღებდა უმაღლეს შეფასებას ლოგიკაში. მაგრამ ეს არ

მოხდა და ამიტომაც მამა უკვე თავისუფალია თავის არჩევანში: მას უკვე შეუძლია,

აღარ უყიდოს პეტრეს კომპიუტერი.

4. პეტრემ მიიღო უმაღლესი შეფასება ლოგიკაში (ე.ი. =ჭ), მაგრამ მამამ მაინც არ უყიდა

მას კომპიუტერი (ე.ი. =მ). ამ შემთხვევაში ცხადია, რომ შეთანხმება დაირღვა (ე.ი.

( )=მ).

მაშასადამე, ( )=მ (ე.ი. შეთანხმება ირღვევა ) მხოლოდ მაშინ, როდესაც =ჭ (ე.ი. პეტრე

იღებს უმაღლეს შეფასებას ლოგიკაში) და =მ (ე.ი. მამა არ ყიდულობს კომპიუტერს).

ალბათობის ელემენტები

შედგენილი ხდომილებების ალბათობები

ჯამის ალბათობის ფორმულა: თუ , მაშინ .

საწინააღმდეგო ხდომილების ალბათობა: .

სხვაობის ალბათობის ფორმულა: თუ , მაშინ .

საზოგადოდ:

თუ Ø, როცა , მაშინ: .

როცა ხდომილებები თავსებადია: .

საზოგადოდ:

.

BA )()()( BPAPBAP

)(1)( APAP

B A )()()\( BPAPBAP

)()()\( BAPAPBAP

ji AA ji 1 1

( ) ( )n n

i ii iP A P A

)()()()( BAPBPAPBAP

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B C P A P B P C P A B P A C P B C P A B C

1

1 11

( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( )nn n

n

i i i j i j k ii i

i i j i j k

P A P A P A A P A A A P A

11

პირობითი ალბათობის ფორმულა

ხდომილების პირობითი ალბათობა იმ პირობით, რომ ადგილი ჰქონდა ხდომილებას,

აღინიშნება (ან ) სიმბოლოთი და

, თუ .

თვისებები:

;

=Ø ;

;

თუ Ø, როცა , მაშინ: ;

;

;

;

;

.

ნამრავლის ალბათობის ფორმულა:

.

.

საზოგადოდ:

.

შენიშვნა. საზოგადოდ .

დამოკიდებული და დამოუკიდებელი ხდომილებები

ხდომილებას ეწოდება ხდომილებისაგან დამოუკიდებელი, თუ ან რაც

იგივეა . თუ , მაშინ გვაქვს დამოკიდებული ხდომილე-

ბები.

თუ და ხდომილებები დამოუკიდებელია, მაშინ ხდომილებები და აგრეთვე და-

მოუკიდებელია.

ორ და ხდომილებას ეწოდება პირობითად დამოუკიდებელი მოცემული ხდომილების მი-

მართ, თუ .

ხდომილებათა ერთობლიობას ეწოდება წყვილ-წყვილად დამოუკიდებელი, თუ:

.

A B

)|( BAP ( )BP A

( | ) : ( ) / ( )P A B P A B P B 0)( BP

1)|(0 BAP

BA 0)|( BAP

AB 1)|( BAP

ji AA ji 1 1

[( ) | ] ( | )n n

i ii iP A B P A B

)|(1)|( BAPBAP

)(1)( BAPBAP

)(1)( BAPBAP

]|)[()|()|(]|)[( CBAPCBPCAPCBAP

]|)[()|(]|)\[( CBAPCAPCBAP

( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P A B P A P B A P B P A B

( ) ( ) ( | ) [ | ( )]P A B C P A P B A P C A B

1 2 1 2 1 1 1( ) ( ) ( | ) ( | )n n nP A A A P A P A A P A A A

1)|()|( BAPBAP

A B )()|( APBAP

)()()( BPAPBAP )()|( APBAP

A B A B

A B C

)|()|()|( CBPCAPCBAP

nAAA ,...,, 21

jiAPAPAAP jiji ),()()(

12

ხდომილებათა ერთობლიობას ეწოდება ერთობლივად დამოუკიდებელი, თუ

, : .

მაგალითი 1. ალბათობა იმისა, რომ მოსწავლე გადალახავს მინიმალური კომპეტენციის

ზღვარს მათემატიკაში, არის 2/3, ხოლო ფიზიკაში კი 4/9. ალბათობა იმისა, რომ მოსწავლე გა-

დალახავს მინიმალური კომპეტენციის ზღვარს ერთ საგანში მაინც, შეადგენს 4/5-ს. რას უდ-

რის ალბათობა იმისა, რომ მოსწავლე ორივე საგანში გადალახავს მინიმალური კომპეტენციის

ზღვარს?

ამოხსნა. შემოვიღოთ ხდომილებები: – მოსწავლე გადალახავს მინიმალური კომპეტენციის

ზღვარს მათემატიკაში, – მოსწავლე გადალახავს მინიმალური კომპეტენციის ზღვარს ფი-

ზიკაში. მაშინ ჩვენ გვაქვს, რომ: , და . საპოვნელია –

. ხდომილებათა ჯამის ალბათობის ფორმულიდან შეგვიძლია დავწეროთ, რომ

.

შესაბამისად, გვაქვს:

.

მაგალითი 2. რას უდრის ალბათობა იმისა, რომ ორი კამათლის გაგორებისას ჯამში მოვა 7 ან

11 ქულა?

ამოხსნა. შემოვიღოთ ხდომილებები: – ორი კამათლის გაგორებისას ჯამში მოვა 7 ქულა, –

ორი კამათლის გაგორებისას ჯამში მოვა 11 ქულა. ცხადია, რომ

და . როგორც აღნიშნული იყო, ამ შემ-

თხვევაში ელემენტარულ ხდომილებათა სივრცე შედგება ტოლშესაძლებელი 36 ელემენტა-

რული ხდომილებისაგან, ამიტომ ალბათობის კლასიკური განმარტების თანახმად:

და . გარდა ამისა, გასაგებია, რომ და ხდომილე-

ბები უთავსებადია და, შესაბამისად, გვაქვს:

.

მაგალითი 3 (მეტეოროლოგიური პარადოქსი). ერთი მეტეოროლოგიური სადგური 10-დან 9

შემთხვევაში სწორად იცნობს ამინდს, ხოლო მეორე კი 10-დან 8 შემთხვევაში. 1 აგვისტოსათ-

ვის პირველმა სადგურმა იწინასწარმეტყველა "სველი" ამინდი, მეორე სადგურმა კი "მშრალი"

ამინდი. ვინაიდან სხვა შესაძლებლობა არ არსებობს, ამ ორი ხდომილების გაერთიანება წარ-

მოადგენს აუცილებელ ხდომილებას: . ამასთანავე, ეს ხდომი-

ლებები ურთიერთგამომრიცხავია. შესაბამისად,

შემოვიღოთ ხდომილებები:

nAAA ,...,, 21

nk 1 2 ki i i )()()()(

2121 kk iiiiii APAPAPAAAP

A

B

3/2)( AP 9/4)( BP 5/4)( BAP

)( BAP

)()()()( BAPBPAPBAP

45/145/49/43/2)( BAP

A B

)}3,4(),4,3)(2,5(),5,2(),1,6(),6,1{(A )}5,6(),6,5{(B

6/136/6)( AP 18/136/2)( BP A B

9/218/16/1)()()( BPAPBAP

}{ mSrali"{"}sveli""

.1}{})({ mSrali"{"}sveli""mSrali"{"}sveli"" PPP

13

,

.

მაშინ, პირობის თანახმად და . აქედან გამომდინარე, 1 აგვისტოს "სვე-

ლ" ამინდს უნდა ველოდეთ ალბათობით , ხოლო "მშრალ" ამინდს ალბა-

თობით . შესაბამისად,

სად დავუშვით შეცდომა?

არ შეიძლება ჩაითვალოს, რომ და , თუნდაც

იმის გამო, რომ და არ არის არათავსებადი (სინამდვილეში 0.9 არის პირობითი ალბა-

თობა იმისა, რომ 1 აგვისტოს იქნება "სველი" ამინდი, პირობაში პროგნოზს აკეთებს I სადგუ-

რი).

მაგალითი 4. თქვენ მოისმინეთ ახალ ამბებში, რომ 50%-ია შანსი იმისა, რომ შაბათს იწვიმებს

და 50%-ია შანსი იმისა, რომ კვირას იწვიმებს. არის თუ არა სწორი: 100%-ია შანსი იმისა, რომ

დასვენების დღეების განმავლობაში იწვიმებს.

ამოხსნა. ეს დასკვნა არ არის სწორი. თუ შემოვიღებთ ხდომილებებს:

და , ხდომილება – დასვენების დღეების

განმავლობაში იწვიმებს არის . გვაქვს: . ამიტომ

,

რაც ნაკლებია 1-ზე, ანუ შანსი იმისა, რომ დასვენების დღეებში იწვიმებს, ნაკლებია 100%-ზე.

შეცდომა მდგომარეობს იმაში, რომ ჩვენ შეგვიძლია ალბათობების პირდაპირი შეკრება მხო-

ლოდ მაშინ, როცა ხდომილებები უთავსებადია მაშინ, როდესაც, საზოგადოდ, ალბათობების

ჯამს უნდა გამოვაკლოთ თანაკვეთის ალბათობა, რომელიც ამ შემთხვევაში ნიშნავს, რომ იწ-

ვიმებს როგორც შაბათს, ისე კვირას.

მაგალითი 5. რას უდრის ალბათობა იმისა, რომ რიცხვებიდან შემთხვევით ამორჩეუ-

ლი რიცხვი გაიყოფა ან 2-ზე, ან 3-ზე, ან 5-ზე.

ამოხსნა. შემოვიღოთ ხდომილებები: , . მაშინ საძიებელია

. ცხადია, რომ: , , და

. ადვილი მისახვედრია, რომ:

, ; ;

; ; ;

.

}{ aminds icnobs sworad sadguri IA

}{ aminds icnobs sworad sadguri IIB

9.0)( AP 8.0)( BP

0.9}sveli"" {P

8.0}mSrali"{"P

1 ( ) { } { }

0.9 0.8 1.7.

P P P P

"sveli"} {"mSrali" "sveli"} {"mSrali"

}sveli""{P )(AP )(} BPP mSrali"{"

A B

}{ iwvimebsSabaTsA }{ iwvimebskvirasB

BA 5.0)()( BPAP

)(1)()()()( BAPBAPBPAPBAP

100,...,1

{ }kA k ricxvi iyofa ze ...,2,1k

)( 532 AAAP 632 AAA 1052 AAA 1553 AAA

30532 AAAA

5.0100/50)( 2 AP 33.0100/33)( 3 AP 2.0100/20)( 5 AP

16.0100/16)( 6 AP 1.0100/10)( 10 AP 06.0100/6)( 15 AP

03.0100/3)( 30 AP

14

ამიტომ სამი ხდომილებისათვის ჯამის ალბათობის ფორმულის მიხედვით ვღებუ-

ლობთ, რომ: .

მაგალითი 6. ყუთში არის 10 თეთრი, 10 შავი და 10 წითელი ბურთი. ყუთიდან შემთხვევით იღებენ

5 ბურთს, დაბრუნების გარეშე. რას უდრის ალბათობა იმისა, რომ მათში არ იქნება ყველა ფერი?

ამოხსნა. შემოვიღოთ ხდომილებები:

, და .

მაშინ ჩვენთვის საინტერესო ხდომილება იქნება . ცხადია, რომ .

ადვილი დასანახია, რომ:

; .

შესაბამისად, სამი ხდომილებისათვის ჯამის ალბათობის ფორმულა გვაძლევს:

.

მაგალითი 7. ალბათობა იმისა, რომ იწვიმებს შაბათს, იგივეა რაც ალბათობა იმისა, რომ იწვი-

მებს კვირას და არის 0.5. ასევე, ცნობილია, რომ წვიმიან დღეს მოსდევს წვიამიანი დღე, ალბა-

თობით 0.7. რას უდრის ალბათობა იმისა, რომ დასვენების დღეების განმავლობაში იწვიმებს.

ამოხსნა. შემოვიღოთ ხდომილებები: და ,

მაშინ ხდომილება – დასვენების დღეების განმავლობაში იწვიმებს, არის . გვაქვს:

და . შესაბამისად,

,

ხოლო ნამრავლის ალბათობის ფორმულა გვაძლევს, რომ

.

ამიტომ გვაქვს: .

მაგალითი 8. 52 კარტიდან შემთხვევით იღებენ 4 კარტს დაბრუნების გარეშე. თუ მათში აღმოჩ-

ნდა "ტუზი", მაშინ მეორე 52 კარტიდან იღებენ კარტს. რას უდრის ალბათობა იმისა, რომ

ორივე დასტიდან აღებული იქნება ზუსტად ორ-ორი "ტუზი"?

ამოხსნა. შემოვიღოთ ხდომილებები: და

. ჩვენთვის საინტერესო ხდომილება იქნება , რომ-

ლის ალბათობის პირდაპირი გზით გამოთვლა არ არის მარტივი, მაგრამ საქმე საკმაოდ გა-

მარტივდება, თუ გამოვიყენებთ პირობითი ალბათობის ცნებას და ვისარგებლებთ ნამრავლის

ალბათობის ფორმულით. ადვილი დასანახია, რომ:

და

74.003.006.01.016.02.033.05.0)( 532 AAAP

}{ TeTri aris arW }{ Savi aris arB }{ wiTeli aris arR

RBW RBW

5

30

5

20 /)()()( CCRPBPWP 5

30

5

10 /)()()( CCWRPRBPBWP

32.00/3/3}{ 5

30

5

10

5

30

5

20 CCCCP feri yvela aris ar

}{ iwvimebsSabaTsA B kviras{ }iwvimebs

BA

5.0)()( BPAP 7.0)|( ABP

)(1)()()()( BAPBAPBPAPBAP

( ) ( | ) ( ) 0.7 0.5 0.35P A B P B A P A

65.035.01)( BAP

k k

{A ori "tuzi" I }dastidan

}{ dastidan II tuzi"" oriB BA

2

52

2

48

2

4)(C

CCAP

2

52

2

4)|(C

CABP

15

და, შესაბამისად, .

მაგალითი 9. განვიხილოთ ოჯახები, სადაც ორ-ორი ბავშვია. როგორია ალბათობა იმისა, რომ

ოჯახში ორივე ბავშვი ვაჟია, თუ ცნობილია, რომ: ა) უფროსი ბავშვი – ვაჟია; ბ) ერთი ბავშვი

მაინც – ვაჟია?

ამოხსნა. აქ ელემენტარულ ხდომილებათა სივრცე ასეთია

,

სადაც "ვ" აღნიშნავს ვაჟს, ხოლო "ქ" – ქალს. ჩავთვალოთ, რომ ოთხივე შედეგი ტოლალბათურია.

შემოვიღოთ ხდომილებები: – იყოს ხდომილება, რომ უფროსი ბავშვი – ვაჟია, ხოლო –

იყოს ხდომილება, რომ უმცროსი ბავშვი – ვაჟია. მაშინ – იქნება ხდომილება, რომ ორივე

ბავშვი ვაჟია, ხოლო – კი იქნება ხდომილება, რომ ერთი ბავშვი მაინც ვაჟია. შესაბამისად,

საძიებელი ალბათობები იქნება: ა) და ბ) . ადვილი დასანახია,

რომ:

,

.

მაგალითი 10. თუ და დამოუკიდებელი ხდომილებებია, მაშინ დამოუკიდებელია აგ-

რეთვე ხდომილებები: და , და , და . ადვილი მისახვედრია, რომ საკმარისია

შემოწმდეს და ხდომილებების დამოუკიდებლობა. შესამოწმებელია, რომ

.G გვაქვს:

ამიტომ, და ხდომილებების დამოუკიდებლობის საფუძველზე ვღებულობთ შესამოწმე-

ბელ თანაფარდობას:

.

მაგალითი 11. ორ კამათელს აგდებენ ორჯერ. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ამ აგდებებისას

მოსულ ქულათა ჯამები იქნება 7 და 11.

ამოხსნა. შემოვიღოთ ხდომილებები: – ორი კამათლის -ური ( ) გაგორებისას მოსულ

ქულათა ჯამი 7 ქულა, – ორი კამათლის -ური ( ) გაგორებისას მოსულ ქულათა

ჯამი იქნება 11 ქულა. ცხადია, რომ ხდომილებათა წყვილები და და და დამოუ-

კიდებელია, როგორც დამოუკიდებელი აგდებების შედეგები, ხოლო ხდომილებები

და უთავსებადია. ამიტომ საძიებელი ალბათობა იქნება

0001.0)()|()( APABPBAP

{ } vv, vq, qv, qq

A B

BA

BA

)|( ABAP )|( BABAP

2

1

2/1

4/1

)(

)(

)(

])[()|(

AP

BAP

AP

ABAPABAP

3

1

4/3

4/1

)(

)(

)(

)]()[()|(

BAP

BAP

BAP

BABAPBABAP

A B

A B A B A B

A B

)()()( BPAPBAP

( ) ( ) [ ( )] [( ) ( )]

( ) ( ).

P A P A P A B B P A B A B

P A B P A B

A B

)()()()()()()()( BPAPBPAPAPBAPAPBAP

iA i 2,1i

iB i 2,1i

1A 2B 2A 1B

21 BA

21 AB

)()()]()[( 21212121 ABPBAPABBAP

16

.

მაგალითი 12. და დამოუკიდებელი ხდომილებებია და . იპოვეთ

.

ამოხსნა. ვინაიდან და დამოუკიდებელია, ამიტომ დამოუკიდებელი იქნება აგრეთვე

და . შესაბამისად, შეგვიძლია დავწეროთ:

.

ამიტომ .

მაგალითი 13. თუ უთავსებად და ხდომილებებს გააჩნიათ არანულოვანი ალბათობები,

მაშინ ისინი არ შეიძლება იყოს დამოუკიდებელი. მართლაც, ვინაიდან , ამიტომ

თუ და იქნებოდა დამოუკიდებელი, მაშინ უნდა შესრულდეს ტოლობა

,

რაც ეწინააღმდეგება პირობას, რომ , .

მაგალითი 14. 36 კარტისაგან შემდგარი დასტიდან შემთხვევით იღებენ ერთ კარტს. არის თუ

არა დამოუკიდებელი ხდომილებები: – ეს კარტი მეფეა, – ეს კარტი აგურისაა?

ამოხსნა. ცხადია, რომ იქნება ხდომილება, რომ ეს კარტი აგურის მეფეა. ალბათობის

კლასიკური განმარტებიდან გვაქვს:

, , .

რამდენადაც ამ შემთხვევაში სრულდება ტოლობა , ამიტომ აღნიშნული

ხდომილებები დამოუკიდებელია.

მაგალითი 15. 52 კარტიდან შემთხვევით იღებენ კარტს. განვიხილოთ ხდომილებები: A = {კარტი

"ტუზია"} და B = {კარტი "გულისაა"}. არის თუ არა და დამოუკიდებელი?

ამოხსნა. ინტუიციურად გასაგებია, რომ ეს ხდომილებები არ იძლევა ინფორმაციას მეორის

შესახებ. "ტუზის" ამოღების ალბათობაა 4/52=1/13 და თუ თქვენ გაქვთ ინფორმაცია, რომ ამო-

ღებული კარტი "გულისაა", მაშინ "ტუზის" ალბათობა ისევ 1/13-ია. "ტუზის" პროპორცია

მთლიან დასტაში იგივეა, რაც ცალკე განხილულ "გულებში".

ახლა ფორმალურად შევამოწმოთ, რომ ეს ხდომილებები დამოუკიდებელია. გვაქვს:

, ,

და, შესაბამისად, . მაშასადამე, და დამოუკიდებელია.

მაგალითი 16. თუ მაგალით 15-ში კარტის დასტიდან წინასწარ გადავაგდებთ "აგურის" 2-ი-

ანს, დარჩება თუ არა და დამოუკიდებელი?

54

1

6

1

18

1

18

1

6

1)()()()( 2121 APBPBPAP

A B )|( BAP 1)|( BAP

)(AP

A B A

B

)(2)()()|()|(1 APAPAPBAPBAP

2/1)( AP

A B

BA

A B

0)()()()( PBAPBPAP

0)( AP 0)( BP

A B

BA

( ) 1/ 36P A B ( ) 4 / 36P A ( ) 9 / 36P B

)()()( BPAPBAP

A B

52/4)( AP 4/152/13)( BP 52/1}{)( gulisaa"" tuzi""PBAP

)()()( BPAPBAP A B

A B

17

ამოხსნა. ერთი შეხედვით, უნდა ვიფიქროთ, რომ პასუხი დადებითია, ვინაიდან "აგურის" 2-

იანს არაფერი საერთო არა აქვს არც "გულებთან" და არც "ტუზებთან". მაგრამ სინამდვილეში

ეს ასე არ არის. კარტის გადაგდებამ შეცვალა "ტუზის" პროპორცია დასტაში (4/51-ის ნაცვლად

გახდა 4/51), მაშინ როცა არ შეცვლილა პროპორცია "გულებში" (ის ისევ დარჩა 1/13). ფორმა-

ლურად უპირობო ალბათობა , ხოლო პირობითი კი არის და

ესენი ტოლი არ არის.

მაგალითი 17 (დე მერეს ამოცანა). აზარტული თამაშების მოყვარული ფრანგი შევალიე დე მე-

რე სთავაზობდა პარტნიორებს თამაშის შემდეგ პირობებს: ის გააგორებს ორ კამათელს 24-

ჯერ და მოგებული იქნება, თუ ერთჯერ მაინც მოვა ორი ექვსიანი. მისი მოწინააღმდეგე გაა-

გორებს ოთხ კამათელს ერთჯერ და მოიგებს, თუ ერთი ექვსიანი მაინც მოვა. ერთი შეხედ-

ვით, დე მერე ეშმაკობს, მაგრამ სინამდვილეში ის უფრო ხშირად აგებდა, ვიდრე იგებდა და

გაკვირვებულმა მიმართა ცნობილ მათემატიკოსს, ბ. პასკალს. გავარკვიოთ რა უპასუხა მას პას-

კალმა.

ამოხსნა. შემოვიღოთ ხდომილებები:

, .

ცხადია, რომ ხდომილებები ერთმანეთისაგან დამოუკიდებელია და . გარდა ამისა,

. შესაბამისად,

.

ამიტომ შევალიე დე მერეს მოგების ალბათობა იქნება:

.

ანალოგიურად, გასაგებია, რომ ხდომილებები ერთმანეთისაგან დამოუკიდებელია,

, და

.

შესაბამისად, შევალიე დე მერეს მოწინააღმდეგის მოგების ალბათობა იქნება:

.

როგორც ვხედავთ, , რაც წარმოადგენს დე მერეს დაკვირვების მეცნიერულ ახ-

სნას.

51/4)( AP 13/1)|( BAP

{ 24

};

A ori kamaTlis -jer gagorebisas erTjer

mainc mova ori eqvsiani

{

}, 1,2,...24;

iA i

i

ori kamaTlis -uri gagorebisas ar mova

ori eqvsiani

{

};

B oTxi kamaTlis erTjer gagorebisas mova

erTi eqvsiani mainc

}{ kamaTelze ur- mova ar eqvsiani iBi 4,3,2,1i

iAi

iAA

24

1

36/35)()()( 2421 APAPAP

24

2421

24

1)

36

35()()()()()(

APAPAPAPAP i

i

491404.0)36

35(1)(1)( 24 APAP

iB

ii

BB4

1 6/5)()()()( 4321 BPBPBPBP

4

4321

4

1)

6

5()()()()()()(

BPBPBPBPBPBP i

i

517747.0)6

5(1)(1)( 4 BPBP

)()( BPAP

18

მაგალითი 18. გონებაგაფანტული მოქალაქე უადგილო ადგილას ქუჩაზე გადასვლისათვის

12-ჯერ იქნა დაჯარიმებული. ცნობილია, რომ ეს ყოველთვის ხდებოდა სამშაბათობით ან

ხუთშაბათობით. აიხსნება ეს შემთხვევითობით, თუ ამ დღეებში პატრული აძლიერებს საგ-

ზაო მოძრაობის კონტროლს?

ამოხსნა. შემოვიღოთ ხდომილებები:

;

ცხადია, რომ ; , და

.

მეორე მხრივ, კვირის ერთსა და იმავე ორ დღეს 12-ჯერ შემთხვევით დაჯარიმება იქნება გა-

ერთიანება თანაუკვეთი ხდომილებების: 12-ჯერ შემთხვევით დაჯარიმება ორშაბათობით ან

სამშაბათობით, 12-ჯერ შემთხვევით დაჯარიმება ორშაბათობით ან ოთხშაბათობით და ა.შ.

12-ჯერ შემთხვევით დაჯარიმება შაბათობით ან კვირაობით. თითოეული ამ ხდომილების

ალბათობა ტოლია 0.0000003-ის, ხოლო მათი რაოდენობა შეადგენს -ს. შესაბამისად,

.

ორივე ეს ალბათობა ძალიან მცირეა, ანუ როგორც ერთ, ისე მეორე შემთხვევაში დაჯარიმების

ალბათობა ძალზე მცირეა, რაც მიუთითებს იმაზე, რომ აღნიშნულ დღეებში პატრული უფრო

მეტად მომთხოვნია.

მაგალითი 19. სისტემა შედგება დამოუკიდებლად ფუნქციონირებადი ორი კომპონენტისაგან,

რომელთაგან თითოეული ფუნქციონირებს ალბათობით . იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ

სისტემა იფუნქციონირებს კომპონენტების: ა) მიმდევრობითი შეერთებისას; ბ) პარალელური

შეერთებისას.

ამოხსნა. შემოვიღოთ ხდომილებები:

,

,

.

მაშინ ა) შემთხვევაში , ხოლო ბ) შემთხვევაში კი – და დამოუკიდებ-

ლობის გამო შესაბამისად გვაქვს:

{

}

A 12 -jer daajarimes samSabaTobiT an

xuTSabaTobiT SemTxveviT

{

1,2,...12;

kA k

k

-uri dajarimeba samSabaTobiT an

xuTSabaTobiT SemTxveviT},

{12B -jer daajarimes kviris erTsa da imave

or dRes SemTxveviT}.

1221 AAAA 7/2)( kAP 12,...,2,1k

0000003.0)7/2()()()()( 12

1221 APAPAPAP

212

7 C

0000063.00000003.021)( BP

p

}{ ebsfunqcionir sistemaA

}{1 ebsfunqcionir komponenti IA

}{2 ebsfunqcionir komponenti IIA

21 AAA 21 AAA

19

ა) ;

ბ)

.

მაგალითი 20 ("ბედნიერ" ბილეთებზე). 25 საგამოცდო ბილეთიდან 5 "ბედნიერია", ხოლო და-

ნარჩენი 20 – "არა ბედნიერი". რომელ სტუდენტს აქვს "ბედნიერი" ბილეთის აღების მეტი ალ-

ბათობა: ვინც პირველი იღებს ბილეთს, თუ ვინც მეორე იღებს ბილეთს?

ამოხსნა. ჩვენ ეს მაგალითი უკვე ამოვხსენით ალბათობის კლასიკური განმარტების გამოყენე-

ბით. ამოვხსნათ ახლა იგი ელემენტარულ ხდომილებათა სივრცის ახლებური შემოტანითა

და ნამრავლის ალბათობის ფორმულის გამოყენებით. წინასწარ შემოვიღოთ შემდეგი ხდომი-

ლებები: იყოს ხდომილება, რომ პირველმა სტუდენტმა აიღო ბედნიერი ბილეთი, ხოლო

იყოს ხდომილება, რომ მეორე სტუდენტმა აიღო ბედნიერი ბილეთი. მაშინ ცხადია, რომ

ურთიერთგამომრიცხავ ხდომილებათა სიმრავლე შედგება ოთხი ხდომილებისაგან

.

ალბათობის კლასიკური განმარტების თანახმად, , ხოლო .

მეორე მხრივ, ამოცანის შინაარსიდან გამომდინარე, თუ ცნობილია, რომ პირველმა სტუდენ-

ტმა აიღო ბედნიერი ბილეთი, მაშინ ალბათობა იმისა, რომ მეორე სტუდენტი აიღებს ბედნი-

ერ ბილეთს ისევ შეიძლება გამოვითვალოთ ალბათობის კლასიკური განმარტებით: ამ შემ-

თხვევაში ყველა შესაძლო შედეგთა რაოდენობაა 24, ხოლო ხელშემწყობ ელემენტარულ ხდო-

მილებათა რაოდენობა კი მხოლოდ 4 (რადგან ერთი ბედნიერი ბილეთი უკვე აღებულია) და,

შესაბამისად,

.

ანალოგიურად, , და . ამი-

ტომ ორი ხდომილების ნამრავლის ალბათობის ფორმულის თანახმად გვაქვს:

; ;

და

(შევნიშნავთ, რომ ჩვენ აქ მხოლოდ სისრულისათვის გამოვთვალეთ ყველა შესაძლო პირობითი

და ნამრავლის ალბათობები).

ცხადია, რომ . ამიტომ ალბათობათა შეკრების კანონის თანახმად,

.

მაგალითი 21. კარტების ნაკრებიდან (რომელშიც 36 კარტია) შემთხვევით იღებენ ერთ კარტს.

განვიხილოთ ხდომილებები: იყოს ხდომილება, რომ ამოღებული კარტი "აგურისაა", ხო-

2

2121 )()()()( pppAPAPAAPAP

)()(1)(1)()( 212121 APAPAAPAAPAP2)1(1)1)(1(1 ppp

A

B

, , ,A B A B A B A B

5/125/5)( AP ( ) 20 / 25 4/5P A

6/124/4)|( ABP

6/524/20)|( ABP 24/524/5)|( ABP ( | ) 19 / 24P B A

30/16/15/1)|()()( ABPAPBAP 6/16/55/1)( BAP

6/124/55/4)( BAP 30/1924/195/4)( BAP

)()( BABAB

))((5/16/130/1)()()( APBAPBAPBP

A

20

ლო იყოს ხდომილება, რომ ამოღებული კარტი "სურათიანია" წითელი ფერით. არის თუ

არა ეს ხდომილებები დამოუკიდებელი?

ცხადია, რომ ამ შემთხვევაში

, , და

.

ე.ი. ეს ხდომილებები არაა დამოუკიდებელი.

მაგალითი 22. დავუშვათ, რომ ვაგორებთ ორ სათამაშო კამათელს. განვიხილოთ ხდომილებე-

ბი: – პირველ კამათელზე მოვიდა კენტი ქულა, – მეორე კამათელზე მოვიდა კენტი ქუ-

ლა, – ორივე კამათელზე მოსულ ქულათა ჯამი კენტია. გავარკვიოთ ამ ხდომილებების

დამოუკიდებლობის საკითხი.

ცხადია, რომ , ხოლო . ამიტომ და ხდომილე-

ბები დამოუკიდებლია. გარდა ამისა, რომ (შეამოწმეთ!).

შევნიშნოთ, რომ და ხდომილებიდან ერთ-ერთის მოხდენის პირობაში ხდომილება

ხდება მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა ან პირველ, ან მეორე კამათელზე, შესაბამისად, მოვიდა

ლუწი ქულა, ანუ გვაქვს თანაფარდობები:

და .

და ხდომილებების დამოუკიდებლობიდან გამომდინარე, ხდომილებები და და

და აგრეთვე დამოუკიდებლებია, ამიტომ

და .

შესაბამისად, და .

ეს თანაფარდობები კი, ალბათობის გათვალისწინებით, ნიშნავს, რომ დამოუკი-

დებლებია და და და ხდომილებათა წყვილებიც. მაგრამ ეს ხდომილებები არ

არის ერთობლივად დამოუკიდებელი (შეამოწმეთ!).

ამოცანები

1. ექვსი მონადირე ერთდროულად ესვრის გადამფრენ იხვს. სამი მათგანისათვის მიზან-

ში მოხვედრის ალბათობაა 0.4, ხოლო დანარჩენი სამისათვის – 0.6. როგორია ალბათო-

ბა იმისა, რომ მიზანში მოახვედრებს ერთი მონადირე მაინც?

2. და არათავსებადი ხდომილებებია, და . იპოვეთ: ა) ;

ბ) ; გ) ; დ) .

B

36|| 4/136/9)( AP 9/236/8)( BP

)()(9/24/19/136/4)( BPAPBAP

A B

C

2/16/3)()( BPAP 4/136/33)( BAP A B

2/1)( CP

A B C

BACA BACB

A B A B

A B

4/1)()()( BPAPBAP 4/1)( BAP

4/1)()( BAPCAP 4/1)()( BAPCBP

2/1)( CP

A C B C

A B 4.0)( AP 5.0)( BP )( BAP

)(AP )( BAP )\( BAP

21

3. რაიონულ ცენტრს გააჩნია ერთმანეთისაგან დამოუკიდებლად მომუშავე ორი სახანძრო

მანქანა. ალბათობა იმისა, რომ კონკრეტული მანქანა თავისუფალია საჭიროების შემ-

თხვევაში არის 0.99. ა) რას უდრის ალბათობა იმისა, რომ საჭიროების შემთხვევაში არც

ერთი მანქანა არ იქნება თავისუფალი? ბ) რას უდრის ალბათობა იმისა, რომ საჭიროების

შემთხვევაში თავისუფალი იქნება ერთი სახანძრო მანქანა მაინც? გ) რას უდრის ალბა-

თობა იმისა, რომ საჭიროების შემთხვევაში თავისუფალი იქნება ზუსტად ერთი სახან-

ძრო მანქანა? დ) რას უდრის ალბათობა იმისა, რომ საჭიროების შემთხვევაში თავისუფა-

ლი იქნება არა უმეტეს ერთი სახანძრო მანქანა?

4. ალბათობა იმისა, რომ ივანე (შესაბამისად, პავლე) ცოცხალი იქნება 20 წლის შემდეგ

არის 0.6 (შესაბამისად, 0.9). რას უდრის ალბათობა იმისა, რომ 20 წლის შემდეგ: ა) არც

ერთი იქნება ცოცხალი? ბ) ერთი მაინც იქნება ცოცხალი? გ) მხოლოდ ერთი იქნება

ცოცხალი?

5. ალბათობა იმისა, რომ დაოჯახებული მამაკაცი (შესაბამისად, ქალი) უყურებს სერი-

ალს, არის 0.4 (შესაბამისად, 0.5). ალბათობა იმისა, რომ მამაკაცი უყურებს სერიალს

პირობაში, რომ მისი ცოლი უყურებს მას, ტოლია 0.7-ის. იპოვეთ ალბათობა იმისა,

რომ: ა) დაოჯახებული წყვილი უყურებს სერიალს; ბ) ცოლი უყურებს სერიალს პირო-

ბაში, რომ მისი ქმარი უყურებს მას; გ) სულ ცოტა ერთი მეუღლეთაგანი უყურებს სე-

რიალს.

6. დამზადებულია მონეტა, რომელზეც გერბის მოსვლის ალბათობაა . ეს მონეტა ავაგ-

დოთ 3-ჯერ და განვიხილოთ ხდომილებები: ={ერთხელ მაინც მოვიდა საფასური}

და ={ყოველ აგდებაზე მოვიდა ერთი და იგივე მხარე}. -ს რა მნიშვნელობისათვის

იქნება და ხდომილებები დამოუკიდებელი?

7. ალბათობა იმისა, რომ ადამიანი დაბადებულია წლის I ნახევარში, არის . რას უდ-

რის ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით შერჩეული ორი ადამიანი დაბადებულია

წლის ერთსა და იმავე ნახევარში. -ს რა მნიშვნელობისათვის იქნება ეს ალბათობა

მაქსიმალური?

8. გარკვეული ტექსტის 1/3 ნაწილი ხმოვანია, ხოლო 2/3 ნაწილი – თანხმოვანი. შემთხვე-

ვით ირჩევენ 5 ასოს და გთავაზობენ, ჩამოთვალოთ ეს ასოები. იპოვეთ ალბათობა იმი-

სა, რომ ყველა ასო იქნება გამოცნობილი, თუ თქვენ: ა) ხმოვანსა და თანხმოვანს ასახე-

ლებთ თანაბარი ალბათობებით; ბ) ხმოვანს ასახელებთ ალბათობით 1/3, ხოლო თან-

ხმოვანს – ალბათობით 2/3; გ) ყოველთვის ასახელებთ თანხმოვანს.

9. სამ ისარს ერთმანეთისაგან დამუკიდებლად და შემთხვევით ესვრიან მიზანს. ერთი

ისრის მიზანში მოხვედრის ალბათობაა 1/3. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ: ა) არ მოხ-

ვდება არც ერთი; ბ) მოხვდება ერთი მაინც; გ) მოხვდება კენტი რაოდენობა; დ) მოხ-

ვდება ზუსტად ორი.

10. ყუთში არის 10 თეთრი, 10 შავი და 10 წითელი ბურთი. ყუთიდან შემთხვევით იღებენ

5 ბურთს დაბრუნებით. რას უდრის ალბათობა იმისა, რომ მათში არ იქნება ყველა ფე-

რის ბურთი?

p

A

B p

A B

p

p

22

11. თამაში მდგომარეობს შემდეგში: თქვენ დებთ 1 ლარს, აგორებენ წესიერ სათამაშო კა-

მათელს და თუ კამათელზე მოვიდა 6 ქულა, თქვენ იგებთ 4 ლარს, წინააღმდეგ შემ-

თხვევაში კარგავთ თქვენს 1 ლარს. თუ თქვენ გეძლევათ უფლება, დაასახელოთ კა-

მათლის გაგორებათა რიცხვი, რომლის შემდეგაც თქვენ წყვეტთ თამაშს, როგორ უნდა

შეარჩიოთ ის ისე, რომ მაქსიმალური იყოს თქვენი შანსი, დარჩეთ მოგებულ

მდგომარეობაში და რას უდრის ამის ალბათობა?

12. სტუდენტმა უნდა გაიაროს ტესტირება ლაბორატორიაში მუშაობის დასაწყებად. ტეს-

ტირების გავლის შემდეგ სტუდენტი ტესტს უკან არ აბრუნებს. ალბათობა იმისა, რომ

შემთხვევით შერჩეული სტუდენტი ტესტირებას გაივლის პირველ ცდაზე, არის 1/3.

განმეორებითი ტესტირების შემთხვევაში ჩაჭრის ალბათობა არის წინა ცდაზე ჩაჭრის

ალბათობის ნახევარი. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ სტუდენტი: ა) გაივლის ტესტირე-

ბას არა უმეტეს 3 მცდელობის შედეგად; ბ) გაივლის ტესტირებას პირველ მცდელობაზე,

თუ ცნობილია, რომ მან ტესტირება გაიარა არა უმეტეს 3 მცდელობით.

13. მოყვარული სინოპტიკოსის თეორიის თანახმად, თუ ერთ წელს იყო წყალდიდობა, მა-

შინ ალბათობა იმისა, რომ იგი განმეორდება მომდევნო წელს, არის 0.7, ხოლო თუ ერთ

წელს არ იყო წყალდიდობა, მაშინ ალბათობა იმისა, რომ იგი არ იქნება მომდევნო

წელს არის 0.6. გასულ წელს წყალდიდობა არ ყოფილა. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ

წყალდიდობა იქნება: ა) მომდევნო სამ წელიწადს ზედიზედ; ბ) ზუსტად ერთხელ,

მომდევნო სამი წლის განმავლობაში.

14. ჩანთაში დევს 25 დისკი, რომელთაგან ნაწილი თეთრია და დანარჩენი შავი. ჩანთიდან

ერთდროულად შემთხვევით იღებენ ორ დისკს. ალბათობა იმისა, რომ ამოღებული

დისკები ერთი და იგივე ფერისაა, ემთხვევა ალბათობას იმისა, რომ ეს დისკები სხვა-

დასხვა ფერისაა. რამდენი თეთრი დისკია ჩანთაში?

სრული ალბათობის ფორმულა. განმეორებითი ცდები

ხდომილებათა ერთობლიობას ეწოდება ხდომილებათა სრული სისტემა, თუ

Ø, როცა და (მაგალითად, და ).

თუ ხდომილებათა სრული სისტემაა ( ), მაშინ ადგილი

აქვს სრული ალბათობის ფორმულას:

.

თუ ხდომილებათა სრული სისტემაა,

, მაშინ ადგილი აქვს

ბაიესის ფორმულას:

.

nAAA ,...,, 21

ji AA ji

i

n

iA

1A A

nAAA ,...,, 21 ( ) 0,iP A 1,2,...,i n

)|()()(1

i

n

i

i ABPAPBP

nAAA ,...,, 21 ,0)( iAP ni ,...,2,1

1

( ) ( | )( | )

( ) ( | )

i ii n

j jj

P A P B AP A B

P A P B A

23

განვიხილოთ ერთი და იგივე ექსპერიმენტების სერია, რომლებიც ტარდება ერთსა და იმავე

პირობებში, ერთმანეთისაგან დამოუკიდებლად. ამასთანავე, ყოველ კონკრეტულ ექსპერიმენ-

ტში ჩვენ განვასხვავებთ მხოლოდ ორ შედეგს: გარკვეული ხდომილების მოხდენა (რო-

მელსაც პირობითად "წარმატებას" უწოდებენ) და მისი არმოხდენა – (რომელსაც "მარცხს"

უწოდებენ). ხდომილების მოხდენის ალბათობა ნებისმიერი ექსპერიმენტისათვის მუდმი-

ვია და ტოლია , სადაც . შესაბამისად, (

).

ალბათობას იმისას, რომ ექსპერიმენტში ხდომილება მოხდა -ჯერ, გამოითვლება ე. წ.

ბერნულის ფორმულით:

.

ალბათობების ერთობლიობას , როცა ეწოდება ალბათობების ბინომიალუ-

რი განაწილება.

ისეთ რიცხვს, რომლის შესაბამისი ალბათობა უდიდესია , ,...,

ალბათობებს შორის, უალბათესი რიცხვი ეწოდება. უალბათესი რიცხვი გვიჩვენებს დამო-

უკიდებელ ცდაში წარმატებათა რა რაოდენობაა ყველაზე უფრო მოსალოდნელი. უალბათესი

რიცხვი წარმოადგენს შემდეგი უტოლობის მთელ ამონახსნს: .

მაგალითი 1. სიტყვიდან "სამშობლო" შემთხვევით ვიღებთ ორ ასოს და შემდეგ შემთხვევით

ვდებთ უკან ამ ასოებს ცარიელ ადგილებზე. რას უდრის ალბათობა იმისა, რომ ისევ მივი-

ღებთ სიტყვას "სამშობლო".

ამოხსნა. განვიხილოთ ორი განსხვავებული შემთხვევა: 1) ამოღებულია ორივე "ო", რომელ

შემთხვევაშიც ნებისმიერი დაბრუნებისას მიიღება სიტყვა "სამშობლო" და 2) ამოღებულია

სხვადასხვა ასო, რომელ შემთხვევაშიც სიტყვა "სამშობლო" მიიღება, თუ ასოების დაბრუნება

მოხდება მათ საწყის მდებარეობაზე. ცხადია, რომ ეს ორი შემთხვევა გამორიცხავს ერთმანეთს

და ამოწურავს ყველა შესაძლებლობას. შესაბამისად, სრული ალბათობის ფორმულის გამოყე-

ნება შესაძლებელია. ელემენტარულ ხდომილებათა სივრცის ზუსტად აღწერის გარეშე ჩვენ

შეგვიძლია განვმარტოთ ხდომილებები:

და .

ცხადია, რომ . თუ ასოები განსხვავებულია, მაშინ ისინი თავიანთ მდებარეობას

დაუბრუნდება ალბათობით 1/2, ანუ . ორი ასოს შერჩევა 8-დან შესაძლებელია

სხვადასხვანაირად, რომელთა შორის მხოლოდ ერთ (ფორმალურად ) შემ-

თხვევაში შეგვხვდება ორი "ო". შესაბამისად, და (შედეგი არ

A

A

A

pAP )( 10 p qpAPAP :1)(1)(

1 qp

n A k

!( )

!( )!

k k n k k n k

n n

nP k C p q p q

k n k

( )nP k 0,1,...,k n

0k 0( )nP k )0(nP )1(nP )(nPn

n

0np q k np p

}{ samSoblo""sityvamiiRebaA }{ o""asoaoriveB

1)|( BAP

2/1)|( BAP

282

8 C 12

2 C

28/1)( BP 28/27)( BP

24

შეიცვლება, თუ ასოების ამოღებისა და დაბრუნების რიგს გავითვალისწინებთ:

). ამიტომ, საბოლოოდ გვექნება:

.

მსჯელობის ეს გზა ხშირად საკმარისია ამოცანის ამოსხსნელად და იმავდროულად იგი თავი-დან გვაცილებს ელემენტარულ ხდომილებათა სივრცის ზუსტად აგების პროცედურას.

მაგალითი 2. ფილტვების კიბოს განვითარების რისკი საზოგადოდ დაახლოებით 0.1%-ია, ხო-

ლო მწეველებს შორის კი 0.4%. ცნობილია, რომ მოსახლეობის 20% მწეველია. რას უდრის ალ-

ბათობა იმისა, რომ არამწეველს განუვითარდება ფილტვების კიბო?

ამოხსნა. შემოვიღოთ ხდომილობები: A = {განუვითარდება კიბო} და B = {მწეველია}. საძიებელია

პირობითი ალბათობა – P . ამოცანის პირობის თანახმად გვაქვს, რომ:

, ,

, .

შევიტანოთ ეს მონაცემები სრული ალბათობის ფორმულაში და იქიდან ამოვხსნათ საძიებე-

ლი პირობითი ალბათობა. გვაქვს: , საიდანაც

.

ქვემოთ ჩვენ მოვიყვანთ მარტივ მაგალითს კამათლებზე, რომელშიც ერთი შეხედვით თქვენ

არ უნდა გქონდეთ უპირატესობა, მაგრამ სინამდვილეში ეს ასეა.

მაგალითი 3. განვიხილოთ სამი სათამაშო კამათელი , და , რომელთა წახნაგებზე შე-

საბამისად წერია:

კამათელი : 1, 1, 5, 5, 5, 5

კამათელი : 3, 3, 3, 4, 4, 4

კამათელი : 2, 2, 2, 2, 6, 6

თამაში მიმდინარეობს შემდეგნაირად: თქვენ და თქვენი მოწინააღმდეგე დებთ თითო-თითო

ლარს და თქვენ სთავაზობთ მოწინააღმდეგეს, აირჩიოს სათამაშო კამათელი და გააგოროს

იგი. შემდგომ თქვენ ირჩევთ ერთ-ერთს დარჩენილი კამათლებიდან და აგორებთ მას. მოგე-

ბულია ის, ვისაც მოუვა უფრო მაღალი ქულა. თითქოს თქვენს მოწინააღმდეგეს გააჩნია უპი-

რატესობა, ვინაიდან იგი პირველი ირჩევს კამათელს. მაგრამ, რამდენადაც თქვენთვის ცნობი-

ლია მისი არჩევანი, ყოველთვის შეგიძლიათ ისე შეარჩიოთ მოგების ალბათობა, რომ ის მეტი

იყოს 1/2-ზე. ეს აიხსნება შემდეგი გარემოებით: სათამაშო კამათლები ისეთია, რომ კამა-

თელზე საშუალოდ მეტი ქულა მოდის, ვიდრე კამათელზე; კამათელზე საშუალოდ მე-

ტი ქულა მოდის, ვიდრე კამათელზე და კამათელზე საშუალოდ მეტი ქულა მოდის,

28/1/)( 2

8

2

2 AABP

56

29

2

1

28

271

28

1)( AP

)|( BAP

001.0%100:%1.0)( AP 2.0%100:%20)( BP

8.02.01)( BP 004.0%100:%4.0)|( BAP

)|(8.0004.02.0001.0 BAP

00025.0)|( BAP

A B C

A

B

C

A

B B

C C

25

ვიდრე კამათელზე. მართლაც, თუ აღვნიშნავთ აგრეთვე სათამაშო კამათლებზე მოსულ

ქულებს, შესაბამისად, , და ასოებით, მაშინ ცხადია, რომ

,

,

ხოლო მესამე შემთხვევისათვის ვისარგებლოთ სრული ალბათობის ფორმულით:

.

როგორც ვხედავთ, ყველა ეს ალბათობა ნახევარზე მეტია. გასაგებია, რა იქნება მეორე გამგო-

რებლის სტრატეგია: ა) თუ პირველი აირჩევს კამათელს, მაშინ მეორემ უნდა არჩიოს კა-

მათელი; ბ) თუ პირველი აირჩევს კამათელს, მაშინ მეორემ უნდა არჩიოს კამათელი; გ)

თუ პირველი აირჩევს კამათელს, მაშინ მეორემ უნდა არჩიოს კამათელი. მართალია, თითქოს თქვენ ძალიან გულუხვი ხართ თქვენი ოპონენტის მიმართ, აძლევთ რა მას უფლე-ბას, გააკეთოს პირველი არჩევანი, მაგრამ სწორედ მისი არჩევანის ცოდნა გაძლევთ უპირატე-სობას.

ხისებრი დიაგრამა წარმოადგენს სრული ალბათობის ფორმულის ილუსტრირების საუკეთე-

სო საშუალებას. აქ ყოველი განსხვავებული შემთხვევა წარმოიდგინება ხის ტოტის სახით და

გრძელდება მანამ, სანამ არ დადგება ჩვენთვის საინტერესო დადებითი ან უარყოფითი პასუ-

ხი. თითოეული განშტოების ალბათობა გამოითვლება მისი ტოტების შესაბამისი ალბათობე-

ბის გადამრავლებით, ხოლო საძიებელი ალბათობა მიიღება განშტოებების ალბათობების შეკ-

რებით. ქვემოთ მოყვანილია: ა) შემთხვევის შესაბამისი ხისებრი დიაგრამა (დენდროგრამა):

მაგალითი 4. ორი ერთნაირი ყუთიდან ერთში მოთავსებულია თეთრი და შავი ბურთი,

ხოლო მეორეში კი თეთრი და შავი ბურთი. თითოეული ყუთიდან შემთხვევით იღებენ

თითო ბურთს და ათავსებენ მესამე ყუთში. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ამის შემდეგ მესამე

ყუთიდან ამოღებული ერთი ბურთი იქნება თეთრი.

A

A B C

3/26/4)5()( APBAP

3/26/4)2()( CPCBP

)5()5|()1()1|()( APAACPAPAACPACP

9

5

3

2

3

1

3

1

6

4)6(

6

21 CP

A C

B A

C B

a b

c d

26

ამოხსნა. შემოვიღოთ ხდომილობები: ( ) – -ური ყუთიდან ამოღებული ბურთი

თეთრია; – მესამე ყუთიდან ამოღებული ბურთი თეთრია. მესამე ყუთში შესაძლებელია

აღმოჩნდეს: ორი თეთრი ბურთი – ხდომილება ; ერთი თეთრი და ერთი შავი ბურთი

– ხდომილება ან ორი შავი ბურთი – ხდომილება . გასაგებია,

რომ ხდომილებები , , და ქმნის ხდომილებათა სრულ სის-

ტემას. აღვნიშნოთ ეს ხდომილებები შესაბამისად , , და -ით. ცხადია, რომ ხდო-

მილებათა წყვილები ; ; და დამოუკიდებელია. ამიტომ გვაქვს:

; ;

; .

გარდა ამისა, ცხადია, რომ: ; ; . შესაბამისად,

სრული ალბათობის ფორმულის თანახმად, ვღებულობთ:

.

შენიშვნა. იგივე იქნება ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით შერჩეული ყუთიდან შემთხვევით

ამოღებული ბურთი თეთრია. მართლაც, ვინაიდან ამ შემთხვევაში ხდომილებათა სრული

სისტემა იქნება: შეირჩა I ყუთი (აღვნიშნოთ ის -ით) ან შეირჩა II ყუთი (აღვნიშნოთ ის -

ით, ცხადია, რომ ), ამიტომ სრული ალბათობის ფორმულა გვაძლევს:

.

ახლა განვიხილოთ სიტუაცია, როცა ცნობილია პირობითი ალბათობები ერთი მიმართულე-ბით და გამოსათვლელია "შებრუნებული" პირობითი ალბათობები. შესაბამის შედეგს წარმო-ადგენს ბაიესის ფორმულა, რომელიც მიიღება ნამრავლის ალბათობისა და სრული ალბათო-ბის ფორმულის გამოყენებით და რომელსაც კერძო შემთხვევაში აქვს სახე:

iA 2,1i i

B

21 AA

)()( 2121 AAAA 21 AA

21 AA 21 AA 21 AA 21 AA

1H 2H 3H 4H

21, AA 21 , AA 21 , AA 21 , AA

dc

c

ba

aAPAPAAPHP

)()()()( 21211

dc

d

ba

aHP

)( 2

dc

c

ba

bHP

)( 3

dc

d

ba

bHP

)( 2

1)|( 1 HBP 2/1)|()|( 32 HBPHBP 0)|( 4 HBP

))((2

20

2

1

2

11)(

dcba

bcadac

dc

c

ba

b

dc

d

ba

a

dc

c

ba

aBP

1C 2C

2/1)()( 21 CPCP

))((2

2][

2

1)|()()|()()( 2211

dcba

bcadac

dc

c

ba

aCBPCPCBPCPBP

27

.

მაგალითი 5. სიცრუის დეტექტორი (პოლიგრაფი) 95 % შემთხვევაში იძლევა ზუსტ პასუხს.

ცნობილია, რომ საშუალოდ ყოველი ათასი ადამიანიდან ერთი ცრუობს. განვიხილოთ შემ-

თხვევით შერჩეული ადამიანი, რომელიც გადის ტესტირებას დეტექტორზე და რომელსაც გა-

დაწყვეტილი აქვს, იცრუოს. რას უდრის ალბათობა იმისა, რომ დეტექტორი აღმოაჩენს, რომ

ის ცრუობს?

ამოხსნა. შემოვიღოთ ხდომილებები: L={ადამიანი ცრუობს}, LP={დეტექტორმა დაადგინა რომ

ადამიანი ცრუობს}. ამოცანის პირობის თანახმად და

. საძიებელია პირობითი ალბათობა , რომელიც,

ბაიესის ფორმულის თანახმად, იქნება:

.

ალბათობის თეორია განსაკუთრებით ხშირად გამოიყენება სამართალწარმოებაში, როცა

მტკიცებულებებში ფიგურირებს ადამიანის "დნმ". განვიხილოთ ე. წ. კუნძულის ამოცანა.

მაგალითი 6. (კუნძულის ამოცანა). კუნძულზე მოკლეს ადამიანი და მკვლელი უნდა იყოს

კუნძულის დარჩენილი მცხოვრებიდან ერთ-ერთი. დანაშაულის ადგილის შესწავლისას

გაკეთებულმა "დნმ"-ს ანალიზმა აჩვენა, რომ მკვლელს გააჩნია განსაკუთრებული გენოტიპი,

რომელიც ცნობილია და მთელ მოსახლეობაში გვხვდება პროპორციით. ვიგულისხმოთ,

რომ კუნძულის მცხოვრებთა გენოტიპები დამოუკიდებელია. გამომძიებელმა დაიწყო კუნძუ-

ლის მცხოვრებთა გენოტიპების შემოწმება. პირველი, ვინც შეამოწმეს, იყო ბატონი ზეზვა და

მას აღმოაჩნდა მკვლელის გენოტიპი. რას უდრის ალბათობა იმისა, რომ ბატონი ზეზვა დამ-

ნაშავეა?

ამოხსნა. შემოვიღოთ ხდომილობები: C={ბატონი ზეზვა დამნაშავეა} და D={ბატონი ზეზვას

გენოტიპი აღმოჩენილია მკვლელობის ადგილზე}. საძიებელია პირობითი ალბათობა

, რომლის გამოსათვლელად უნდა ვისარგებლოთ ბაიესის ფორმულით, სადაც დაგ-

ვჭირდება როგორც -ს, ისე "პირდაპირი" პირობითი ალბათობების ცოდნა. არის

ალბათობა იმისა, რომ ბატონი ზეზვა დამნაშავეა მანამ, სანამ გენოტიპების შემოწმება დაწყე-

ბულა და, თუ ჩვენ დავუშვებთ, რომ არანაირი მიზეზი არ არსებობს იმისა, რომ რომელიმე

პერსონაში მეტი ეჭვი შევიტანოთ, ვიდრე სხვა რომელიმეში, მაშინ ბუნებრივია ჩავთვალოთ,

რომ . თუ ბატონი ზეზვა დამნაშავეა, მაშინ მისი გენოტიპი აუცილებლად აღმოჩ-

ნდება დანაშაულის ადგილზე და, შესაბამისად, . თუკი ბატონი ზეზვა უდანაშა-

ულოა, მაშინ მისი გენოტიპი ისევ შეიძლება აღმოჩნდეს დანაშაულის ადგილზე იმ ალბათო-

ბით, რა პროპორციითაც გვხვდება აღნიშნული გენოტიპი საზოგადოდ ადამიანთა პოპულა-

ციაში, ანუ . ამიტომ:

)|()()|()(

)|()(

)(

)()|(

BAPBPBAPBP

BAPBP

AP

ABPABP

001.01000/1)( LP

( | ) ( | )P P

P L L P L L 95 /100 0.95 )|( PLLP

02.0999.005.0001.095.0

001.095.0

)|()()|()(

)|()()|(

LLPLPLLPLP

LLPLPLLP

PP

PP

n

p

)|( DCP

)(CP )(CP

nCP /1)(

1)|( CDP

pCDP )|(

28

.

მაგალითი 7. მაღაზიაში შემოსული ტელევიზორების, შესაბამისად, 2, 5 და 3 ნაწილი დამზა-

დებულია I, II და III ფირმის მიერ. საგარანტიო დროის განმავლობაში I, II და III ფირმის მიერ

შემოტანილი ტელევიზორი მოითხოვს რემონტს, შესაბამისად, 15%, 8% და 6% შემთხვევებში.

ვიპოვოთ ალბათობა იმისა, რომ მაღაზიის მიერ გაყიდული ტელევიზორი საგარანტიო დრო-

ის განმავლობაში მოითხოვს რემონტს (ხდომილება ).

ამოხსნა. შემოვიღოთ ხდომილებათა სრული სისტემა: – გაყიდული ტელევიზორი დამზა-

დებულია -ური ფირმის მიერ . პირობის თანახმად, მაღაზიაში არსებული ტელე-

ვიზორებიდან I, II და III ფირმის მიერ დამზადებულია შესაბამისად , და ტელევი-

ზორი. შესაბამისად, ალბათობის კლასიკური განმარტების თანახმად:

, , .

გარდა ამისა, ამოცანის პირობის თანახმად, გვაქვს:

, , .

საბოლოოდ, სრული ალბათობის ფორმულის თანახმად, ვღებულობთ:

.

მაგალითი 8. პაციენტის ნახვის შემდეგ ექიმს მიაჩნია, რომ თანაბრად შესაძლებელია ორი

ავადმყოფობიდან ჰქონდეს ერთ-ერთი: ან . დიაგნოზის დასაზუსტებლად, პაციენტს აგ-

ზავნიან ანალიზზე, რომლის შედეგი ავადმყოფობის დროს დადებით რეაქციას იძლევა 30%

შემთხვევაში, ხოლო ავადმყოფობის დროს კი 20% შემთხვევაში. ანალიზმა მოგვცა დადები-

თი რეაქცია (ხდომილება ). რომელი ავადმყოფობაა უფრო ალბათური?

ამოხსნა. ხდომილებათა სრულ სისტემას ქმნის ხდომილებები: = {პაციენტს აქვს ავად-

მყოფობა}, ={პაციენტს აქვს ავადმყოფობა}. ამასთანავე, . გარდა ამი-

სა, და ამიტომ ბაიესის ფორმულა გვაძ-

ლევს:

,

pnnpn

nDCP

)1(1

1

)/11()/1(1

)/1(1)|(

B

iA

i )3,2,1( i

x2 x5 x3

5/110/2)( 1 xxAP 2/110/5)( 2 xxAP 10/310/3)( 3 xxAP

15.0100/15)|( 1 ABP 08.0100/8)|( 2 ABP 06.0100/6)|( 3 ABP

088.006.010

308.0

2

115.0

5

1)|()()(

3

1

i

ii ABPAPBP

X Y

X

Y

B

1A X

2A Y 5.0)()( 21 APAP

3.0100/30)|( 1 ABP 2.0100/20)|( 2 ABP

6.025.0

15.0

)|()()|()(

)|()()|(

2211

111

ABPAPABPAP

ABPAPBAP

29

.

ვინაიდან , ამიტომ ავადმყოფობა უფრო ალბათურია.

მაგალითი 9. კლუბის წევრებმა უნდა აირჩიონ კლუბის პრეზიდენტი. ალბათობა იმისა, რომ

არჩეული იქნება ბექა, ნიკა ან ლუკა, შესაბამისად არის 0.3, 0.5 და 0.2. თუ აირჩევენ ბექას, ნი-

კას ან ლუკას, მაშინ ალბათობა იმისა, რომ გაიზრდება კლუბის საწევრო გადასახადი, შესაბა-

მისად არის 0.8, 0.1 და 0.4. ვიპოვოთ ალბათობა იმისა, რომ კლუბის პრეზიდენტად არჩეულ

იქნა ლუკა, თუ ცნობილია, რომ საწევრო გადასახადი გაიზარდა.

ამოხსნა. განვიხილოთ ხდომილებები: – კლუბის პრეზიდენტად არჩეულ იქნა ბექა,

ნიკა, ლუკა; – საწევრო გადასახადი გაიზარდა. ცხადია, რომ B ხდომილებები

ქმნის ხდომილებათა სრულ სისტემას და ბაიესის ფორმულის თანახმად, საძიებელი ალბა-

თობა გამოითვლება ფორმულით

.

ამოცანის პირობიდან გამომდინარე, გვაქვს:

;

, , .

ამიტომ

.

მაგალითი 10. მოქალაქემ იპოვა სხვისი საკრედიტო ბარათი, რომლის კოდი ოთხციფრიანია.

იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ მოქალაქეს ეყოფა ორი მცდელობა კოდის გამოსაცნობად (მეტ

შესაძლებლობას ბანკომატი არ იძლევა).

ამოხსნა. შემოვიღოთ ხდომილებები: ( ) – მოქალაქემ პირველად კოდი გამოიცნო -

ური მცდელობისას. მაშინ საძიებელი ხდომილება იქნება . ვინაიდან

და ხდომილებები არათავსებადია, მითუმეტეს არათავსებადი იქნება ხდომილებები

და . ამიტომ ხდომილებათა ჯამისა და ნამრავლის ალბათობების ფორმულების თა-

ნახმად გვაქვს:

4.025.0

1.0

)|()()|()(

)|()()|(

2211

222

ABPAPABPAP

ABPAPBAP

)|()|( 21 BAPBAP X

321 ,, AAA

B321 ,, AAA

)|()()|()()|()(

)|()()|(

332211

33

3ABPAPABPAPABPAP

ABPAPBAP

2.0)(,5.0)(,3.0)( 321 APAPAP

8.0)|( 1 ABP 1.0)|( 2 ABP 4.0)|( 3 ABP

37

8

08.005.024.0

08.0

4.02.01.05.08.03.0

4.02.0)|( 3

BAP

iA 2,1i i

)( 211 AAAA 1A

1A1A

21 AA

30

,

სადაც

, , .

ამიტომ საძიებელი ალბათობა იქნება:

.

მაგალითი 11. რას უდრის ალბათობა იმისა, რომ წესიერი მონეტის 10-ჯერ აგდებისას 2-ჯერ

მოვა გერბი?

ამოხსნა. ვისარგებლოთ ბერნულის ფორმულით. ამ შემთხვევაში: , და

. შესაბამისად,

.

მაგალითი 12. ერთი გასროლით მიზანში მოხვედრის ალბათობაა 1/8. რას უდრის ალბათობა

იმისა, რომ 12 გასროლიდან არც ერთი მოხვდება მიზანს?

ამოხსნა. ამ შემთხვევაში გვაქვს: , , და . ამიტომ ბერნულის ფორ-

მულის თანახმად:

.

მაგალითი 13. ყუთში 3 თეთრი და 5 შავი ბურთია. ყუთიდან შემთხვევით იღებენ 4 ბურთს

დაბრუნებით. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ამოღებული ბურთებიდან თეთრი ბურთების

რაოდენობა მეტი იქნება შავი ბურთების რაოდენობაზე?

ამოხსნა. თუ წარმატებად ჩავთვლით თეთრი ბურთის ამოღებას, მაშინ პირობის თანახმად

ერთ ცდაში წარმატების ალბათობა იქნება . საძიებელი ხდომილების ხელშემწყობ

უთავსებად შემთხვევებს წარმოადგენს ოთხ ცდაში 3 ან 4 თეთრი ბურთის ამოღება, რომელთა

ალბათობები, ბერნულის ფორმულის თანახმად, შესაბამისად ტოლია:

და .

შესაბამისად, საძიებელი ალბათობა, ალბათობათა შეკრების კანონის თანახმად, იქნება:

.

მაგალითი 14. საშუალოდ ბანკის მიერ გაცემული კრედიტების 5% არ ბრუნდება. ვიპოვოთ

ალბათობა იმისა, რომ ბანკის მიერ გაცემულ 100 კრედიტიდან დაბრუნების პრობლემა შეიქ-

)|()()()()()( 1211211 AAPAPAPAAPAPAP

4

1 10/1)( AP4

11 10/11)(1)( APAP )110/(1)|( 4

12 AAP

4444 10/2)]110/(1[)10/11(10/1)( AP

10n 2k

2/1 qp

044.01024

45)

2

1()

2

1()2( 21022

1010 CP

12n 0k 8/1p 8/7q

25.0)8

7()

8

7()

8

1()0( 121200

1212 CP

8/3p

1024/135)8/31()8/3()3( 3433

44 CP 4096/81)8/5()8/3()4( 044

44 CP

4096/6214096/811024/135

31

მნება არანაკლებ ორ შემთხვევაში. იგულისხმება, რომ კრედიტები გაიცემა და ბრუნდება ერ-

თმანეთისაგან დამოუკიდებლად.

ამოხსნა. კრედიტის არდაბრუნებას დავარქვათ "წარმატება" და ვისარგებლოთ ბერნულის სქე-

მით, სადაც "წარმატების" ალბათობა . ერთი და იგივე ცდა, რომელიც მდგომარეობს

კრედიტის გაცემაში, მეორდება -ჯერ. მოსაძებნია ალბათობა ხდომილების – ={კრე-

დიტი არ დაბრუნდება 2 შემთხვევაში მაინც}. გადავიდეთ საწინააღმდეგო ხდომილებაზე –

={კრედიტი არ დაბრუნდება ორზე ნაკლებ შემთხვევაში}. ეს უკანასკნელი შეიძლება წარმო-

ვადგინოთ შემდეგი ორი ხდომილების გაერთიანების სახით: ={კრედიტი არ დაბრუნდება 0

შემთხვევაში} და ={კრედიტი არ დაბრუნდება 1 შემთხვევაში}. შესაბამისად, ბერნულის

ფორმულის თანახმად გვექნება:

.

ამიტომ საძიებელი ალბათობა იქნება:

.

ამოცანები

1. ნახმარი ავტომობილების დაახლოებით 5% ადრე დაზიანებული იყო წყალდიდობის

გამო და, სპეციალისტების შეფასებით, ასეთი ავტომობილების 80%-ს მომავალში ექნე-

ბა ძრავის სერიოზული პრობლემები, ხოლო თუ ნახმარი ავტომობილები ადრე არ იყო

დაზიანებული წყალდიდობის გამო, მაშინ ამ ავტომობილების მხოლოდ 10%-ს შეიძ-

ლება შეექმნას ანალოგიური პრობლემები. თუ თქვენს ავტომობილს შეექმნა ძრავის

პრობლემები, მაშინ რას უდრის ალბათობა იმისა, რომ თქვენ შეიძინეთ ავტომობილი,

რომელიც დაზიანებული იყო წყალდიდობის გამო.

2. ყუთში დევს ორი ჩვეულებრივი მონეტა, მხარეებზე გერბისა და ნომინალის გამოსა-

ხულებებით და ერთი მონეტა ორივე მხარეზე გერბის გამოსახულებით. ა) რას უდრის

ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით ამოღებული მონეტა ორგერბიანია; ბ) შემთხვევით

ამოიღეს ერთი მონეტა და დაუხედავად აგდების შემდეგ მასზე მოვიდა გერბი. რას

უდრის ალბათობა იმისა, რომ ის ორგერბიანია.

3. კარტიდან დაბრუნების გარეშე შემთხვევით იღებენ ორ კარტს და დებენ სხვა 52 კარ-

ტში. ასე მიღებულ 54 კარტს ურევენ ერთმანეთში და მისგან იღებენ ერთ კარტს. თუ

ამოღებული კარტი "ტუზია", რას უდრის ალბათობა იმისა, რომ პირველი დასტიდან

მეორეში "ტუზი" არ გადაუტანიათ.

4. ერთ ურნაში მოთავსებულია 1-დან 10-მდე დანომრილი 10 ბურთი, ხოლო მეორეში კი

– 1-დან 100-მდე დანომრილი 100 ბურთი. შემთხვევით შეარჩიეს ყუთი და იქიდან შემ-

თხვევით ამოღებული ბურთის ნომერია 5. ა) რას უდრის ალბათობა იმისა, რომ ეს

ბურთი ამოღებულია პირველი ყუთიდან; ბ) რა იქნება ა) პუნქტის ალბათობა, თუ

ბურთი შემთხვევით იქნება ამოღებული ყველა 110 ბურთიდან.

5. გარკვეული დაავადება გვხვდება ადამიანთა პოპულაციის 0.1%-ში. დიაგნოსტიკის მე-

თოდი კორექტულ პასუხს იძლევა ალბათობით 0.99. პაციენტმა გაიარა შემოწმება და

05.0p

100n A

A

B

C

9911

100

10000

100 )95.0()05.0()95.0()05.0()()()( CCCPBPBP

99100 )95.0(5)95.0(

96.0)95.0(5)95.0(1)(1)( 99100 BPBP

32

გამოკვლევამ აჩვენა დადებითი შედეგი. რას უდრის ალბათობა იმისა, რომ პაციენტი

დაავადებულია?

6. I ბრიგადა აწარმოებს დეტალების 30%-ს, რომელთა შორის 1% წუნდებულია. II ბრიგა-

და აწარმოებს იმავე დეტალების 20%-ს, რომელთა შორის 3% წუნდებულია. III ბრიგა-

და აწარმოებს დეტალების 50%-ს, რომელთა შორის 2% წუნდებულია. ერთ საწყობში

მოგროვილი ამ დეტალებიდან შემთხვევით აიღეს ერთი დეტალი და ის აღმოჩნდა

წუნდებული. როგორია ალბათობა იმისა, რომ ეს დეტალი დაამზადა: ა) I ბრიგადამ; ბ)

II ბრიგადამ; გ) III ბრიგადამ?

7. ავადმყოფის გამოკვლევის შედეგად გაკეთდა დასკვნა, რომ მას აქვს ორი დაავადებიდან

ერთ-ერთი – ან (ჰიპოთეზა ), ან (ჰიპოთეზა ). და .

ექიმმა გადაწყვიტა დიაგნოზის დაზუსტება და დანიშნა ანალიზის ჩატარება, რომლის შე-

დეგს წარმოადგენს დადებითი ან უარყოფითი რეაქცია. თუ პაციენტს აქვს ავადმყო-

ფობა, ანალიზმა უნდა მოგვცეს დადებითი რეაქცია ალბათობით 0.9 და უარყოფითი რე-

აქცია – ალბათობით 0.1. თუ პაციენტს აქვს ავადმყოფობა, მაშინ დადებითი და უარ-

ყოფითი რეაქციები ტოლალბათურია. ანალიზი ჩატარდა და მან მოგვცა უარყოფითი რე-

აქცია. როგორია ალბათობა იმისა, რომ ეს შედეგი განპირობებულია: ა) ავადმყოფო-

ბით; ბ) ავადმყოფობით?

8. ერთ ჩანთაში დევს 4 თეთრი და 3 შავი ბურთი, მეორე ჩანთაში კი 3 თეთრი და 5 შავი

ბურთი. პირველი ჩანთიდან შემთხვევით იღებენ ერთ ბურთს და დებენ მეორეში. ა)

იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ამის შემდეგ მეორე ჩანთიდან ამოღებული ბურთი იქ-

ნება შავი. ბ) იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ პირველი ჩანთიდან მეორეში გადატანილი

ბურთი იყო თეთრი, თუ ცნობილია, რომ გადატანის შემდეგ მეორე ჩანთიდან ამოღე-

ბული ბურთი თეთრია.

9. ყუთიდან, რომელშიც დევს 5 შავი და 3 წითელი ბურთი, მიმდევრობით იღებენ 3

ბურთს დაბრუნებით (აფიქსირებენ ამოღებული ბურთის ფერს, აბრუნებენ ყუთში და

შემდეგ იღებენ მომდევნო ბურთს). იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ: ა) სამივე ბურთი

თეთრია; ბ) სამივე ბურთი ერთი და იმავე ფერისაა; გ) ერთი თეთრია და 2 შავი; დ)

ორივე ფერი იქნება წარმოდგენილი.

1A 1A 2A 2A 1( ) 0.4P A 2( ) 0.4P A

1A

2A

1A

2A