matematyka dyskretna - wykład nr 1: indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 a....
TRANSCRIPT
![Page 1: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/1.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Matematyka dyskretna - wykład nr 1:Indukcja i rekurencja; Arytmetyka komputerowa
Hanna Furmańczyk; [email protected]
15.10.2016
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 2: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/2.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Wymiar godzinowy zajęć - studia zaoczne
studia licencjackie: 16h wykładu, 16h ćwiczeństudia inżynierskie: 16h wykładu, 16h ćwiczeń
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 3: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/3.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Literatura
1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG2004.
2 skrypt do przedmiotu (fragmenty) - dostępny na portaluedukacyjnym
3 K. A. Ross, Ch. R. B. Wright, Matematyka dyskretna,Wydawnictwo Naukowe PWN 1999.
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 4: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/4.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Indukcja matematyczna - metoda dowodzenia twierdzeń oliczbach naturalnych
Zasada indukcjiJeżeli istnieje taka liczba naturalna n0, że:
1 T (n0) jest zdaniem prawdziwym,2 dla każdej liczby naturalnej n ≥ n0 prawdziwa jest implikacja
T (n) ⇒ T (n + 1),to T (n) jest zdaniem prawdziwym dla każdej liczby naturalnejn ≥ n0.
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 5: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/5.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Przykład
Udowodnij metodą indukcji matematycznej prawdziwość wzoru dlawszystkich liczb naturalnych n ≥ 1
1 + 2 + · · ·+ n =n(n + 1)
2(1)
1 Sprawdzamy prawdzowiść wzoru (1) dla n0 = 1Lewa strona (1): L=1Prawa strona (1): P=1(1+1)
2 = 1L=P, a zatem wzór (1) jest prawdziwy dla n0 = 1
2 Założenie indukcyjneZakładamy prawdziwość wzoru (1) dla pewnego n, czyli że:
1 + 2 + · · ·+ n =n(n + 1)
2
dla pewnego n
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 6: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/6.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Przykład
Udowodnij metodą indukcji matematycznej prawdziwość wzoru dlawszystkich liczb naturalnych n ≥ 1
1 + 2 + · · ·+ n =n(n + 1)
2(1)
1 Sprawdzamy prawdzowiść wzoru (1) dla n0 = 1Lewa strona (1): L=1Prawa strona (1): P=1(1+1)
2 = 1L=P, a zatem wzór (1) jest prawdziwy dla n0 = 1
2 Założenie indukcyjneZakładamy prawdziwość wzoru (1) dla pewnego n, czyli że:
1 + 2 + · · ·+ n =n(n + 1)
2
dla pewnego n
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 7: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/7.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
3 Dowodzimy prawdziwość wzoru (1) dla n + 1:Chcemy udowodnić, że zachodzi wzór:
1 + 2 + · · ·+ (n + 1) =(n + 1)((n + 1) + 1)
2
1 + 2 + · · ·+ (n + 1) =(n + 1)(n + 2)
2(2)
Lewa strona (2):
L = 1 + 2 + · · ·+ (n + 1) = 1 + 2 + · · ·+ n + (n + 1) =
= 1 + 2 + · · ·+ n︸ ︷︷ ︸zal .ind .
+(n + 1) =n(n + 1)
2+ (n + 1) =
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 8: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/8.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
3 Dowodzimy prawdziwość wzoru (1) dla n + 1:Chcemy udowodnić, że zachodzi wzór:
1 + 2 + · · ·+ (n + 1) =(n + 1)((n + 1) + 1)
2
1 + 2 + · · ·+ (n + 1) =(n + 1)(n + 2)
2(2)
Lewa strona (2):
L = 1 + 2 + · · ·+ (n + 1) = 1 + 2 + · · ·+ n + (n + 1) =
= 1 + 2 + · · ·+ n︸ ︷︷ ︸zal .ind .
+(n + 1) =n(n + 1)
2+ (n + 1) =
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 9: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/9.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
3 Dowodzimy prawdziwość wzoru (1) dla n + 1:Chcemy udowodnić, że zachodzi wzór:
1 + 2 + · · ·+ (n + 1) =(n + 1)((n + 1) + 1)
2
1 + 2 + · · ·+ (n + 1) =(n + 1)(n + 2)
2(2)
Lewa strona (2):
L = 1 + 2 + · · ·+ (n + 1) = 1 + 2 + · · ·+ n + (n + 1) =
= 1 + 2 + · · ·+ n︸ ︷︷ ︸zal .ind .
+(n + 1) =n(n + 1)
2+ (n + 1) =
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 10: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/10.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
3 Dowodzimy prawdziwość wzoru (1) dla n + 1:Chcemy udowodnić, że zachodzi wzór:
1 + 2 + · · ·+ (n + 1) =(n + 1)((n + 1) + 1)
2
1 + 2 + · · ·+ (n + 1) =(n + 1)(n + 2)
2(2)
Lewa strona (2):
L = 1 + 2 + · · ·+ (n + 1) = 1 + 2 + · · ·+ n + (n + 1) =
= 1 + 2 + · · ·+ n︸ ︷︷ ︸zal .ind .
+(n + 1) =n(n + 1)
2+ (n + 1) =
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 11: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/11.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
3 Dowodzimy prawdziwość wzoru (1) dla n + 1:Chcemy udowodnić, że zachodzi wzór:
1 + 2 + · · ·+ (n + 1) =(n + 1)((n + 1) + 1)
2
1 + 2 + · · ·+ (n + 1) =(n + 1)(n + 2)
2(2)
Lewa strona (2):
L = 1 + 2 + · · ·+ (n + 1) = 1 + 2 + · · ·+ n + (n + 1) =
= 1 + 2 + · · ·+ n︸ ︷︷ ︸zal .ind .
+(n + 1) =n(n + 1)
2+ (n + 1) =
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 12: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/12.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
3 Dowodzimy prawdziwość wzoru (1) dla n + 1:Chcemy udowodnić, że zachodzi wzór:
1 + 2 + · · ·+ (n + 1) =(n + 1)((n + 1) + 1)
2
1 + 2 + · · ·+ (n + 1) =(n + 1)(n + 2)
2(2)
Lewa strona (2):
L = 1 + 2 + · · ·+ (n + 1) = 1 + 2 + · · ·+ n + (n + 1) =
= 1 + 2 + · · ·+ n︸ ︷︷ ︸zal .ind .
+(n + 1) =n(n + 1)
2+ (n + 1) =
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 13: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/13.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
=n(n + 1)
2+(n+1) =
n(n + 1)2
+2(n + 1)
2=
n(n + 1) + 2(n + 1)2
=
=(n + 1)(n + 2)
2= Prawa strona
Na mocy zasady indukcji matematycznej wzór (1) jest prawdziwydla każdego n ≥ 1.
□
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 14: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/14.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
=n(n + 1)
2+(n+1) =
n(n + 1)2
+2(n + 1)
2=
n(n + 1) + 2(n + 1)2
=
=(n + 1)(n + 2)
2= Prawa strona
Na mocy zasady indukcji matematycznej wzór (1) jest prawdziwydla każdego n ≥ 1.
□
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 15: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/15.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
=n(n + 1)
2+(n+1) =
n(n + 1)2
+2(n + 1)
2=
n(n + 1) + 2(n + 1)2
=
=(n + 1)(n + 2)
2= Prawa strona
Na mocy zasady indukcji matematycznej wzór (1) jest prawdziwydla każdego n ≥ 1.
□
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 16: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/16.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
=n(n + 1)
2+(n+1) =
n(n + 1)2
+2(n + 1)
2=
n(n + 1) + 2(n + 1)2
=
=(n + 1)(n + 2)
2= Prawa strona
Na mocy zasady indukcji matematycznej wzór (1) jest prawdziwydla każdego n ≥ 1.
□
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 17: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/17.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
=n(n + 1)
2+(n+1) =
n(n + 1)2
+2(n + 1)
2=
n(n + 1) + 2(n + 1)2
=
=(n + 1)(n + 2)
2= Prawa strona
Na mocy zasady indukcji matematycznej wzór (1) jest prawdziwydla każdego n ≥ 1.
□
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 18: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/18.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
=n(n + 1)
2+(n+1) =
n(n + 1)2
+2(n + 1)
2=
n(n + 1) + 2(n + 1)2
=
=(n + 1)(n + 2)
2= Prawa strona
Na mocy zasady indukcji matematycznej wzór (1) jest prawdziwydla każdego n ≥ 1.
□
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 19: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/19.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Przykład 2
Udowodnij metodą indukcji matematycznej prawdziwośćnierówności dla wszystkich liczb naturalnych n ≥ 5
2n ≥ n2 (3)
1 Sprawdzamy prawdzowiść nierówności (3) dla n0 = 5Lewa strona (1): L=25 = 32Prawa strona (1): P=52 = 25L ≥ P, a zatem nierówność (3) jest prawdziwa dla n0 = 5
2 Założenie indukcyjneZakładamy prawdziwość (3) dla pewnego n, czyli że:
2n ≥ n2
dla pewnego n
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 20: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/20.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Przykład 2
Udowodnij metodą indukcji matematycznej prawdziwośćnierówności dla wszystkich liczb naturalnych n ≥ 5
2n ≥ n2 (3)
1 Sprawdzamy prawdzowiść nierówności (3) dla n0 = 5Lewa strona (1): L=25 = 32Prawa strona (1): P=52 = 25L ≥ P, a zatem nierówność (3) jest prawdziwa dla n0 = 5
2 Założenie indukcyjneZakładamy prawdziwość (3) dla pewnego n, czyli że:
2n ≥ n2
dla pewnego n
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 21: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/21.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
3 Dowodzimy prawdziwość nierówności (3) dla n + 1:
2n+1 ≥ (n + 1)2
L = 2n+1 = 2∗2n = 2n+2n ≥︸︷︷︸dwukrotnie zal . ind .
n2+n2 ≥ n2+2n+1
L ≥ (n + 1)2
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 22: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/22.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
3 Dowodzimy prawdziwość nierówności (3) dla n + 1:
2n+1 ≥ (n + 1)2
L = 2n+1 = 2∗2n = 2n+2n ≥︸︷︷︸dwukrotnie zal . ind .
n2+n2 ≥ n2+2n+1
L ≥ (n + 1)2
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 23: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/23.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
3 Dowodzimy prawdziwość nierówności (3) dla n + 1:
2n+1 ≥ (n + 1)2
L = 2n+1 = 2∗2n = 2n+2n ≥︸︷︷︸dwukrotnie zal . ind .
n2+n2 ≥ n2+2n+1
L ≥ (n + 1)2
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 24: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/24.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
3 Dowodzimy prawdziwość nierówności (3) dla n + 1:
2n+1 ≥ (n + 1)2
L = 2n+1 = 2∗2n = 2n+2n ≥︸︷︷︸dwukrotnie zal . ind .
n2+n2 ≥ n2+2n+1
L ≥ (n + 1)2
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 25: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/25.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
3 Dowodzimy prawdziwość nierówności (3) dla n + 1:
2n+1 ≥ (n + 1)2
L = 2n+1 = 2∗2n = 2n+2n ≥︸︷︷︸dwukrotnie zal . ind .
n2+n2 ≥ n2+2n+1
L ≥ (n + 1)2
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 26: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/26.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
3 Dowodzimy prawdziwość nierówności (3) dla n + 1:
2n+1 ≥ (n + 1)2
L = 2n+1 = 2∗2n = 2n+2n ≥︸︷︷︸dwukrotnie zal . ind .
n2+n2 ≥ n2+2n+1
L ≥ (n + 1)2
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 27: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/27.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
3 Dowodzimy prawdziwość nierówności (3) dla n + 1:
2n+1 ≥ (n + 1)2
L = 2n+1 = 2∗2n = 2n+2n ≥︸︷︷︸dwukrotnie zal . ind .
n2+n2 ≥ n2+2n+1
L ≥ (n + 1)2
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 28: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/28.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
3 Dowodzimy prawdziwość nierówności (3) dla n + 1:
2n+1 ≥ (n + 1)2
L = 2n+1 = 2∗2n = 2n+2n ≥︸︷︷︸dwukrotnie zal . ind .
n2+n2 ≥ n2+2n+1
L ≥ (n + 1)2
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 29: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/29.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Rekurencja
skrypt - strony 111–115
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 30: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/30.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Arytmetyka komputerowa
System dziesiętny; baza systemu: 10; dozwolone cyfry: {0, 1, . . . , 9}
178(10) = 1 ∗ 100 + 7 ∗ 10 + 8 ∗ 11 ∗ 102 + 7 ∗ 101 + 8 ∗ 100
System dwójkowy; baza systemu: 2; dozwolone cyfry: {0, 1}
100111(2) = 1 ∗ 20 + 1 ∗ 21 + 1 ∗ 22 + 0 ∗ 23 + 0 ∗ 24 + 1 ∗ 25 =
= 1 + 2 + 4 + 32 = 39(10)
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 31: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/31.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Arytmetyka komputerowa
System dziesiętny; baza systemu: 10; dozwolone cyfry: {0, 1, . . . , 9}
178(10) = 1 ∗ 100 + 7 ∗ 10 + 8 ∗ 11 ∗ 102 + 7 ∗ 101 + 8 ∗ 100
System dwójkowy; baza systemu: 2; dozwolone cyfry: {0, 1}
100111(2) = 1 ∗ 20 + 1 ∗ 21 + 1 ∗ 22 + 0 ∗ 23 + 0 ∗ 24 + 1 ∗ 25 =
= 1 + 2 + 4 + 32 = 39(10)
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 32: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/32.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Arytmetyka komputerowa
System dziesiętny; baza systemu: 10; dozwolone cyfry: {0, 1, . . . , 9}
178(10) = 1 ∗ 100 + 7 ∗ 10 + 8 ∗ 11 ∗ 102 + 7 ∗ 101 + 8 ∗ 100
System dwójkowy; baza systemu: 2; dozwolone cyfry: {0, 1}
100111(2) = 1 ∗ 20 + 1 ∗ 21 + 1 ∗ 22 + 0 ∗ 23 + 0 ∗ 24 + 1 ∗ 25 =
= 1 + 2 + 4 + 32 = 39(10)
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 33: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/33.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Arytmetyka komputerowa
System dziesiętny; baza systemu: 10; dozwolone cyfry: {0, 1, . . . , 9}
178(10) = 1 ∗ 100 + 7 ∗ 10 + 8 ∗ 11 ∗ 102 + 7 ∗ 101 + 8 ∗ 100
System dwójkowy; baza systemu: 2; dozwolone cyfry: {0, 1}
100111(2) = 1 ∗ 20 + 1 ∗ 21 + 1 ∗ 22 + 0 ∗ 23 + 0 ∗ 24 + 1 ∗ 25 =
= 1 + 2 + 4 + 32 = 39(10)
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 34: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/34.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Arytmetyka komputerowa
System dziesiętny; baza systemu: 10; dozwolone cyfry: {0, 1, . . . , 9}
178(10) = 1 ∗ 100 + 7 ∗ 10 + 8 ∗ 11 ∗ 102 + 7 ∗ 101 + 8 ∗ 100
System dwójkowy; baza systemu: 2; dozwolone cyfry: {0, 1}
100111(2) = 1 ∗ 20 + 1 ∗ 21 + 1 ∗ 22 + 0 ∗ 23 + 0 ∗ 24 + 1 ∗ 25 =
= 1 + 2 + 4 + 32 = 39(10)
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 35: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/35.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Arytmetyka komputerowa
System dziesiętny; baza systemu: 10; dozwolone cyfry: {0, 1, . . . , 9}
178(10) = 1 ∗ 100 + 7 ∗ 10 + 8 ∗ 11 ∗ 102 + 7 ∗ 101 + 8 ∗ 100
System dwójkowy; baza systemu: 2; dozwolone cyfry: {0, 1}
100111(2) = 1 ∗ 20 + 1 ∗ 21 + 1 ∗ 22 + 0 ∗ 23 + 0 ∗ 24 + 1 ∗ 25 =
= 1 + 2 + 4 + 32 = 39(10)
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 36: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/36.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Arytmetyka komputerowa
System dziesiętny; baza systemu: 10; dozwolone cyfry: {0, 1, . . . , 9}
178(10) = 1 ∗ 100 + 7 ∗ 10 + 8 ∗ 11 ∗ 102 + 7 ∗ 101 + 8 ∗ 100
System dwójkowy; baza systemu: 2; dozwolone cyfry: {0, 1}
100111(2) = 1 ∗ 20 + 1 ∗ 21 + 1 ∗ 22 + 0 ∗ 23 + 0 ∗ 24 + 1 ∗ 25 =
= 1 + 2 + 4 + 32 = 39(10)
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 37: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/37.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Arytmetyka komputerowa
System dziesiętny; baza systemu: 10; dozwolone cyfry: {0, 1, . . . , 9}
178(10) = 1 ∗ 100 + 7 ∗ 10 + 8 ∗ 11 ∗ 102 + 7 ∗ 101 + 8 ∗ 100
System dwójkowy; baza systemu: 2; dozwolone cyfry: {0, 1}
100111(2) = 1 ∗ 20 + 1 ∗ 21 + 1 ∗ 22 + 0 ∗ 23 + 0 ∗ 24 + 1 ∗ 25 =
= 1 + 2 + 4 + 32 = 39(10)
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 38: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/38.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Arytmetyka komputerowa
System dziesiętny; baza systemu: 10; dozwolone cyfry: {0, 1, . . . , 9}
178(10) = 1 ∗ 100 + 7 ∗ 10 + 8 ∗ 11 ∗ 102 + 7 ∗ 101 + 8 ∗ 100
System dwójkowy; baza systemu: 2; dozwolone cyfry: {0, 1}
100111(2) = 1 ∗ 20 + 1 ∗ 21 + 1 ∗ 22 + 0 ∗ 23 + 0 ∗ 24 + 1 ∗ 25 =
= 1 + 2 + 4 + 32 = 39(10)
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 39: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/39.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Arytmetyka komputerowa
System szesnastkowy; baza systemu: 16; dozwolone cyfry:{0, 1, . . . , 9,A,B,C ,D,E ,F}
$ABC = 12∗160+11∗161+10∗162 = 12+176+2560 = 2748(10)
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 40: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/40.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Arytmetyka komputerowa
System szesnastkowy; baza systemu: 16; dozwolone cyfry:{0, 1, . . . , 9,A,B,C ,D,E ,F}
$ABC = 12∗160+11∗161+10∗162 = 12+176+2560 = 2748(10)
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 41: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/41.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Zamiana cd.
”10” → ”2”
iloraz reszta
178 : 2 89 089 : 2 44 144 : 2 22 022 : 2 11 011 : 2 5 15 : 2 2 12 : 2 1 01 : 2 0 1
↑
178(10) = 10110010(2)
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 42: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/42.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Zamiana cd.
”10” → ”2”
iloraz reszta
178 : 2 89 089 : 2 44 144 : 2 22 022 : 2 11 011 : 2 5 15 : 2 2 12 : 2 1 01 : 2 0 1
↑
178(10) = 10110010(2)
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 43: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/43.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Zamiana systemów ′2′ ↔′ 16′
′10′ ′16′ ′2′
0 0 01 1 12 2 103 3 114 4 1005 5 1016 6 1107 7 111
8 8 10009 9 100110 A 101011 B 101112 C 110013 D 110114 E 111015 F 1111
11|0010|1101(2) = $32D
$A13 = 1010|0001|0011(2)
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 44: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/44.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Zamiana systemów ′2′ ↔′ 16′
′10′ ′16′ ′2′
0 0 01 1 12 2 103 3 114 4 1005 5 1016 6 1107 7 111
8 8 10009 9 100110 A 101011 B 101112 C 110013 D 110114 E 111015 F 1111
11|0010|1101(2) = $32D
$A13 = 1010|0001|0011(2)
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 45: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/45.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Zamiana systemów ′2′ ↔′ 16′
′10′ ′16′ ′2′
0 0 01 1 12 2 103 3 114 4 1005 5 1016 6 1107 7 111
8 8 10009 9 100110 A 101011 B 101112 C 110013 D 110114 E 111015 F 1111
11|0010|1101(2) = $32D
$A13 = 1010|0001|0011(2)
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 46: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/46.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Zamiana systemów ′2′ ↔′ 16′
′10′ ′16′ ′2′
0 0 01 1 12 2 103 3 114 4 1005 5 1016 6 1107 7 111
8 8 10009 9 100110 A 101011 B 101112 C 110013 D 110114 E 111015 F 1111
11|0010|1101(2) = $32D
$A13 = 1010|0001|0011(2)
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 47: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/47.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Zamiana systemów ′2′ ↔′ 16′
′10′ ′16′ ′2′
0 0 01 1 12 2 103 3 114 4 1005 5 1016 6 1107 7 111
8 8 10009 9 100110 A 101011 B 101112 C 110013 D 110114 E 111015 F 1111
11|0010|1101(2) = $32D
$A13 = 1010|0001|0011(2)
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 48: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/48.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Liczymy w systemie dwójkowym
dodawanieodejmowanie
Skrypt - strony 12–13
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 49: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/49.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Reprezentacja liczb w komputerze
Skrypt - strony 18–20
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 50: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/50.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Przeszukiwanie binarne
Skrypt - strony 20–21
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1
![Page 51: Matematyka dyskretna - wykład nr 1: Indukcja i rekurencja ...hanna/md/md_zao_1_4h.pdf · 1 A. Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo UG 2004. 2 skrypt do przedmiotu (fragmenty)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022802/5c774bc309d3f2cd0e8b81dc/html5/thumbnails/51.jpg)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Podsumowanie
Dziękuję za uwagę
Hanna Furmańczyk Matematyka dyskretna - wykład nr 1