Escuela Normal Superior N° 11

MATEMÁTICA

PRESENTACION DEL MATERIAL

ESTIMADO ALUMNO

El material que encontraras a continuación contiene dos bloques temáticos, el

primero presenta una selección de contenidos de Sistemas Numéricos y el

segundo una selección de contenidos de Geometría (nociones del plano).

Esta selección procura fomentar la actividad de lectura comprensiva, que

conlleva al alumno a trabajar en Matemática con el razonamiento, las distintas

formas de comunicación y los problemas, la Matemática es mucho mas saber

hacer que meramente saber.

Cada bloque comienza con una serie de actividades que puedes emprender con

los instrumentos que ya dominas, hay ejemplos en el marco teórico que te

ayudaran a internalizar los diferentes conceptos y a continuación encontraras

numerosos problemas con complejidad creciente.

Te pedimos que leas comprensivamente los textos presentados y que resuelvas

los problemas de cada bloque.

La excelencia te convierte en una persona de éxito, determinada, que sabe todo lo

que hace y todo lo que quiere, porque el lugar donde hoy estás no es tu llegada sino

tu lugar de partida hacia el cumplimiento de tu sueño. BERNARDO STAMATEAS

MARCO TEÓRICO

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

SISTEMA DE NUMERACIÓN

Es un conjunto de símbolos y reglas que se usan para representar los números.

Los sistemas de numeración pueden clasificarse en dos grandes grupos:

Posicionales

No posicionales

Sistemas de numeración no posicionales

Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los símbolos de todas las unidades, decenas…

como sean necesarios hasta completar el número. Como las numeraciones egipcias, sumeria (de

base 60), hitita, cretense, azteca (de base 20), las alfabéticas de los griegos, armenios, judíos y

árabes.

El sistema de los números romanos no es estrictamente posicional. Por esto, es muy complejo

diseñar algoritmos de uso general (por ej. Para sumar, restar, multiplicar, dividir)

Signos

Convenciones para la escritura, recuerda estas:

1. Toda letra colocada a la derecha de otra de igual o mayor valor, le suma a su valor: siendo X=

10, es XX= 20; XI= 11, etc.

2. Toda letra colocada a la izquierda de otra de mayor valor, le resta su valor: siendo X=10, es

IX= 9, etc.

3. No pueden repetirse más de tres veces consecutivas: I; X; C; M. Ej. III=3, XXX=30, CCC=300,

MMM=3000. V, L, D no pueden repetirse.

4. Una rayita superpuesta aumenta mil veces su valor, dos rayitas un millón de veces:

= 5000 =10.000 = 200.000.000; etc.

5. Los números se escriben por descomposición. Ej. 499 (=400+90+9) se escribe CDXCIX (CD=

400; XC= 90; IX=9). Luego, es incorrecto escribirlo así: ID (500-1=499)

Sistemas de numeración posicionales:

Mucho más efectivos que los sistemas anteriores son los posicionales. En ellos, la posición de una

cifra nos dice si son decenas, centenas… o en general la potencia de la base correspondiente. Es

decir, que el número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce

como base del sistema de numeración.

Letras mayúsculas: I V X L C D M

Valores: 1 5 10 50 100 500 1000

SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL O EN BASE DIEZ

Es oriundo de la India, fue divulgado en Europa por los árabes. De ahí que sus símbolos se

conozcan con el nombre de cifras indo-árabe.

Está compuesto por los símbolos denominados dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

Nuestro Sistema de Numeración se llama DECIMAL, porque su base es 10, es decir, utilizamos 10

símbolos para representar todas las cantidades y es POSICIONAL, es decir que diez unidades

forman una unidad del orden inmediato superior.

DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO EN

CUALUIER BASE

Descomponer polinómicamente un número consiste en expresarlo como la suma de los valores

posicionales de sus cifras (utilizando las potencias sucesivas de la base). Por ej.

1269 = 1 x 1000 + 2 x 100 + 6 x 10 + 9 = 1 x 103 + 2 x 102 + 6 x 101 + 9 x 100

Cabe señalar que la base de las potencias es la base del sistema y el exponente que le corresponde

a cada cifra es el número anterior a su valor de orden.

DIVISOR COMUN MAYOR Y MULTIPLO COMUN MINIMO

DCM

El DCM de varios números es el mayor número que los divide a todos exactamente.

Para hallar el DCM de varios números se descomponen éstos en sus factores primos y se determina

el producto de los factores comunes con su menor exponente.

Hallar el DCM de 20, 30 y 50.

20 2 30 2 50 2 20 = 22 x 5

10 2 15 3 25 5 30 = 2 x 3 x 5

5 5 5 5 5 5 50 = 2 x 52

1 1 1 DCM = 2 x 5 = 10

Los números 20, 30 y 50 por ej. tienen varios divisores comunes: 1, 2, 5 y 10; el mayor es 10; luego

10 es el DCM de 20, 30 50.

MCM

El MCM de varios números es el menor número que los contiene a todos exactamente.

Para hallar el MCM de varios números se descomponen éstos es sus factores primos y se determina

el producto de sus factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

DIVISIBILIDAD

Un número es divisible por otro cuando lo contiene un número exacto de veces:

15 es divisible por 5 pus lo contiene exactamente 3 veces; y 15 es divisible por 3 pues lo contiene

exactamente 5 veces.

Un número divisible llámese múltiplo del divisor, y éste submúltiplo de aquél; 15 es múltiplo de 5 y

de 3, en tanto que éstos son submúltiplos de 15.

NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

Números primos son los que únicamente son divisibles por sí mismos y por la unidad: 1, 2, 3, 5, etc.

Los números compuestos son divisibles además, por otros números: 4, 6, 8, etc. Se pueden

descomponer en un producto de factores primos; ej: 10 = 2 x 5

DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUS FACTORES PRIMOS

Se divide el número por su menor divisor primo: el cociente obtenido se divide también por su menor

divisor primo, y así se continúa hasta que el cociente sea 1. Ej: Sea descomponer 480 en sus

factores primos:

480 2 240 2

120 2 480 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 60 2 30 2 480 = 25 x 3 x 5

15 3 5 5 1

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Los criterios de divisibilidad son reglas que sirven para saber si un número es divisible por otro sin

necesidad de realizar la división.

Aunque pueden buscarse criterios para todos los números, sólo expondremos los más comunes:

Criterio de divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 si acaba en 0 o cifra par.

Ejemplos: 36, 94, 521342, 40…

Criterio de divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es

múltiplo de 3. Ejemplos: 36, 2142, 42…

Criterio de divisibilidad por 4: Cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo

de 4. Ejemplos: 300, 508, 12018…

Criterio de divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5 si la última de sus cifras es 5 o

es 0. Ejemplos: 35, 2145, 40...

Criterio de divisibilidad por 6: Cuando es divisible por dos y tres. Ejemplos: 12, 34002…

Criterio de divisibilidad por 8: Cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo

de 8. Ejemplos: 15000, 15408…

Criterio de divisibilidad por 9: Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es

múltiplo de 9. Ejemplos: 495, 945, 53640...

Criterio de divisibilidad por 11 : Debemos hacer lo siguiente: Sumamos las cifras que

ocupan lugares pares, sumamos las cifras que ocupan lugares impares. A la suma mayor le

restamos la suma menor, si la diferencia es 0 o múltiplo de 11, entonces el número es múltiplo

de 11. Ejemplos: 2343649, 9889, 18161902...

Criterio de divisibilidad por 25: Cuando termina en 00, 25, 50 o 75. Ejemplos: 700, 625…

Criterio de divisibilidad por 125: Cuando termina en 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750 u

875. Ejemplos: 10000, 47875…

EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES

Para designar al conjunto de los números naturales utilizamos el símbolo lN. Si definimos a este

conjunto por extensión, será: lN = { 0, 1, 2, 3, 4, ...}

Habrás notado que algunos autores excluyen el cero del conjunto de los naturales. Debes entender

que se trata de una convención. En nuestro caso adoptamos la otra, justificada por el hecho de que

al considerar el cero como número natural, (0ϵ IN), la relación “menor o igual que” (≤) definida en el

conjunto IN, resulta ser una relación de orden.

Cuando hablamos de los números naturales es conveniente observar que se trata de un conjunto, y

se presentan ordenados en una sucesión. Algunas características de los naturales son:

Se parte de un elemento especial: el cero.

Tampoco se cierra sobre sí mismo como ocurre con los números del reloj, que después del 12

sigue el numero 1, de partida.

Es un conjunto infinito, no tiene último elemento.

No existen números naturales intercalados entre los de la sucesión, es discreto. En otras

palabras entre dos números naturales existe un número finito de números naturales.

Para los niños, estas características pueden partir, hasta quinto año, de la observación guiada e

informal y en ejercicios que las evidencien, y darse en forma explícita en sexto de la siguiente

manera:

Tiene primer elemento: el cero.

Es un conjunto infinito, no tiene último elemento.

Todo numero tiene antecesor y sucesor, menos el cero que solo tiene sucesor

Los números naturales se representan en una recta, a la que llamamos “recta numérica”.

Resulta muy útil tener una imagen geométrica para IN, esto es, asociar a cada número natural un

punto de una recta en la cual previamente se fijo una escala. Entre dos puntos naturales existen

infinitos puntos de la recta a los cuales no les corresponde ningún número natural. La recta numérica

se irá completando con números de otra naturaleza.

OPERACIONES DEFINIDAS EN lN

Adición

Es una operación definida en lN y es: a + b = c donde a, b y c son números naturales.

Los números que intervienen reciben los siguientes nombres: 372 + 421 = 793

SUMANDOS SUMA

Propiedades fundamentales:

Ley de composición interna: La suma de dos números naturales es otro número natural

a + b

Conmutativa: La suma no se altera si se cambia el orden de los sumandos

a + b = b + a

Asociativa: Dados 3 o más sumandos existen distintos caminos para encontrar la suma. Es

decir que la suma no cambia si se asocian los sumandos de diferentes maneras.

(a + b) + c = a + (b + c)

Elemento neutro: El cero es el operador neutro de la suma. Si a un número se le suma cero

se obtiene el mismo número. a + 0 = a

Iteración: El operador +1 (agregación de la unidad) permite obtener “el siguiente de”.

Todas las propiedades que se mencionaron son demostrables, sin embargo a lo largo de la escuela

primaria y la secundaria inclusive, las aceptaremos simplemente como validas y las verificaremos

con ejemplos numéricos. Atención!!: Demostrar y verificar son cosas totalmente diferentes.

Sustracción

Dados dos números naturales a y b, llamados minuendo y sustraendo, se llama diferencia a

b a un número natural c, si existe, tal que sumándole el sustraendo da el minuendo.

Es evidente que hay una restricción porque en la definición se habla de numero natural c, si existe,

que puede o no existir. Es necesario que el minuendo no sea menor que el sustraendo. Ahora si es

a≥b entonces: abc cba

Recordemos los nombres de los números que intervienen en la sustracción:

3 7 2 Minuendo

- 1 5 2 Sustraendo

2 2 0 Resta o diferencia

La sustracción:

No es asociativa

No es conmutativa 5 − 2 ≠ 2 − 5

Elemento neutro es el 0

El operador -1 permite obtener “el inmediato anterior de”

Multiplicación

Es la operación definida de lN en lN, llamada producto entre a y b, donde a y b son números

naturales y b ≠ 0 no es otra cosa que la suma reiterada de a, b veces. Esto es:

a x b = a + a + a +........

b veces el sumando a

La definición de producto queda completa estableciendo que a x 0 = 0 x a = 0.

Los números que intervienen en la multiplicación se llaman: 372 x 2 = 744

FACTORES PRODUCTO

Propiedades fundamentales:

Ley de composición interna: La multiplicación de dos números naturales es otro número

natural. a · b

Conmutativa: El orden de los factores no altera el producto. a · b = b · a

Asociativa: Dados 3 o más factores existen distintos caminos para encontrar el producto.

(a · b) · c = a · (b · c)

Distributiva respecto de la adición y sustracción: Se transforma en una adición de

productos parciales. a · (b + c) = a · b + a · c

Elemento neutro: El uno es el operador neutro del producto. Si a un número se lo multiplica

por uno se obtiene el mimo número. a · 1 = a

Elemento absorbente: El cero es el operador absorbente de la multiplicación.

División

Dados dos números naturales a y b , con b ≠ 0, llamados dividendo y divisor respectivamente, se

llama cociente a/b a un numero natural c, si existe, tal que dé el dividendo cuando se lo multiplica

por el divisor.

Esto es: a/b c significa que a c b

Recordemos:

Dividendo 3251 8 Divisor

051 406 Cociente

3 Resto

El cociente a/b también es posible expresarlo a: b o

Lo mismo que en la sustracción, la división no es operación dentro de los naturales.

La división:

No es asociativa.

No es conmutativa. 6 : 2 ≠ 2 : 6

Es distributiva respecto a la adición y la sustracción.

El uno es el operador neutro.

El cero, dividido por cualquier número, es cero. 0 : 5 = 0

El cero como divisor carece de sentido. No se puede dividir por cero.

No siempre la división es exacta, es posible la existencia de un resto.

División entera – división exacta

División exacta: es aquella donde el cociente es un número entero y el resto es igual a cero.

Ejemplo: 12:4 =3

División entera: es aquella donde el cociente es entero y el resto es igual o mayor que cero y menor

que el divisor.

Prioridades en las operaciones

1. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.

2. Calcular las potencias y raíces.

3. Efectuar los productos y cocientes.

4. Realizar las sumas y restas.

EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS

Para designar al conjunto de los números enteros utilizamos la letra ℤ. El mismo está formado por

los enteros positivos (ℤ +), el cero y los enteros negativos (ℤ -). ℤ= ℤ + U {0} U ℤ -

Por extensión, este conjunto será: ℤ= {…;-3;-2;-1;0; 1;2; 3; 4; …}

Los números enteros tienen un distintivo: el signo. Para expresar un número negativo utilizamos el

signo “–“ que tiene un significado diferente al signo negativo que expresa una sustracción. Lo mismo

ocurre con el signo “+”, aunque, por convención, cuando un numero es positivo el signo no se coloca.

Los números enteros resuelven el problema de la sustracción y de las ecuaciones del tipo:

a x b con a b . Ejemplo: 6 x 4; dentro de los naturales 4 6 no tiene solución, sin embargo

en el conjunto de los enteros es 4 6 2

Además este nuevo conjunto numérico permite interpretar diversas situaciones: fechas anteriores al

nacimiento de Cristo; distancias bajo el nivel del mar; saldo deudor; las pérdidas de una empresa;

temperaturas bajo cero etc.

Por ser una ampliación de los naturales, en este nuevo conjunto siguen vigentes las operaciones

validas en el conjunto de los naturales, lo mismo que sus propiedades características.

A las propiedades conocidas, se le agregan:

Número opuesto: todo número entero tiene un opuesto, tal que la suma del numero y su opuesto es

cero. Por ejemplo: el opuesto de 3 es –3 entonces 3 + (-3) =0. De la misma forma el opuesto de –4

es 4, entonces (-4) + 4 = 0

Características:

No hay ni primer ni último elemento. Es un conjunto infinito.

No existen números enteros intercalados entre los de la sucesión: es no denso o discreto.

Todo número tiene antecesor y sucesor.

Todo número tiene su opuesto.

El cero es negativo y positivo a la vez.

Recta numérica.

En la recta numérica se representan el cero, los números enteros negativos (a la izquierda) y los

números enteros positivos (a la derecha). Recuerda que la recta esta graduada.

Los números opuestos se encuentran a la misma distancia del cero. La distancia que existe entre un

numero y el cero se llama modulo o valor absoluto. Por lo tanto los números opuestos tienen el

mismo modulo. Para expresar el modulo de un numero se utilizan las barras de valor absoluto. Ej: l 3

l = 3 y l –3 l = 3

El 3 y el –3 están a una distancia de tres unidades del cero.

Lectura y escritura de números enteros:

Lectura: Sea leer el número 54003005742834

Se separan períodos de 3 cifras de derecha a izquierda (por medio de puntos) y luego, también de

derecha a izquierda, a cada período de 6 cifras se coloca un numérico de orden según la serie

natural: 1, 2, 3…., etc.; los que indicarán respectivamente millones, billones, trillones, etc.

54.003.005.742.834

Lectura: Se lee el 1er período de la izquierda (que puede tener menos de 6 cifras, como en este

caso), agregando al final la palabra billones, que es la que indica el número 2; se lee luego el 2°

periodo, millones; y luego el último, unidades. A cada punto o espacio situado en el medio de cada

período de 6 cifras se leerá la palabra mil. El número se lee así:

Billones Mil Millones Mil Unidades

54. 003. 005. 742. 034

2 1

Escritura: Sea escribir: catorce trillones setenta y tres millones veinte metros.

Se escribe el primer período (14 trillones), seguido de un punto, y se trazan luego arcos para cada

período de 6 cifras hasta llegar a las unidades, dando así a 14 el valor de trillones; en cada arco se

colocan los puntos para los períodos de 3 cifras. Luego se escriben los demás períodos en el lugar

que les corresponde, colocando ceros para llenar los lugares que carecen de unidades:

14. 000.000. 000.073. 000.020 m

Trillones Billones Millones Unidades

OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS

Adición

Para adicionar números enteros tendremos en cuenta las siguientes indicaciones:

Si los dos tienen igual signo (son los dos positivos o los dos negativos), sumamos sus

módulos y al resultado le colocamos el mismo signo que tienen los sumandos. Ejemplos: 12 +

4 = 16 -12 + (-4) = -16

Si los sumandos tienen distinto signo resto sus módulos y al resultado le colocamos el signo

del que tiene el sumando de mayor valor absoluto.

Ejemplos: 15 + (-3) = 12 -15 + 3 = -12

La adición en ℤ cumple con las siguientes propiedades: conmutativa, asociativa, existencia del

elemento neutro, existencia del elemento inverso aditivo u opuesto.

Propiedades de la adición

Propiedad conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma. a + b = b + a

Propiedad asociativa: Dados dos o más números enteros la suma final no varía si se

reemplazan varios sumandos por su suma ya efectuada.

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

Ley del elemento neutro: Existe en el conjunto ℤ, el elemento cero que sumado a cualquier

número entero, no altera la suma. a + 0= 0 + a = a

Ley del elemento opuesto: Todo elemento del conjunto ℤ, admite un opuesto, tal que

sumado al número dado, da por resultado cero. a + (-a)= (-a) + a = 0

Sustracción

La sustracción no es más que un caso particular de la adición.

Restar un número entero es lo mismo que sumar su opuesto.

Ejemplos: 200 – (-150) = 200 + (+150) =350 - (+150) = 100 + (-150) = - 50

a – b = a + (-b)

Multiplicación

Cuando multiplicamos dos números enteros debemos respetar las siguientes reglas de los signos:

Al multiplicar dos factores de igual signo (los dos positivos o los dos negativos) el resultado

es positivo.

Al multiplicar dos factores de distinto signo (uno es positivo y el otro es negativo) el

resultado es negativo.

La multiplicación cumple con las siguientes propiedades: conmutativa, asociativa, existencia del

elemento neutro, distributiva con respecto a la adición y sustracción.

Propiedades de la multiplicación

Propiedad conmutativa: El orden de los factores no altera el producto. a . b = b . a

Propiedad asociativa: Dados dos o más números enteros el producto final no varía si se

reemplazan varios factores por su producto ya efectuado.

a . b . c = (a . b) . c = a .( b . c)

Ley del elemento neutro: Existe en el conjunto ℤ, el elemento uno que multiplicado a

cualquier numero entero, no altera el producto. 1 . 0= 1 . a = a

Ley del elemento absorbente: Existe en el conjunto Z, el elemento cero que multiplicado a

cualquier número entero, da por resultado cero. a . 0= 0. a = 0

Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma y la resta: El producto de

un numero entero por una suma algebraica, puede ser obtenido calculando la suma de los

productos de cada termino de la suma por el factor considerado.

d . (a+ b –c)=d.a +d.b - d.c

(a+b –c) . d =a.d +b.d – c.d

Suma algebraica

Se denomina suma algebraica a la sucesión de adiciones y sustracciones.

Para resolver una suma algebraica se procede así: a la suma de los números precedidos por el signo

“+” se le resta la suma de los números precedidos por los signos “-”

Ejemplos: -17 – 8 - 5 + 3 + 21 – 12 + 5 =

(21 + 3 ) – (17 + 8 +12) =

24 - 37 = -7

Si un mismo número esta sumando y restando en el mismo miembro lo puedo cancelar.

+ . + = + + . - = -

- . - = + - . + = -

Supresión de paréntesis

Recuerda:

Todo paréntesis precedido del signo + se pueden eliminar sin cambiar el signo de los términos

que están encerrados en el.

a) 2 + (11 - 4) = 2 + 11 - 4

2 + 7 = 13 - 4

9 = 9

Todo paréntesis precedido del signo - se pueden eliminar cambiando el signo de todos los

términos que están encerrados en el.

b) 12 - (11 - 4) = 12 - 11 + 4

12 - 7 = 1 + 4

5 = 5

Si en el ejercicio aparecen paréntesis, corchetes y llaves, se suprimen en ese orden, aplicando las

mismas reglas de supresión de paréntesis.

División

Para dividir números enteros, dividimos sus módulos y al cociente le colocamos el signo que

corresponde según la regla de los signos de la multiplicación.

Operaciones combinadas

(+6) . (-5) – (7+2) : (-3) – 3 + 4 = Se separa en términos.

(-30) - 9 : (-3) – 3 + 4 = Se resuelven las operaciones indicadas entre paréntesis.

(-30) - (-3) - 3 + 4 = Se resuelven las multiplicaciones y divisiones.

-30 + 3 - 3 + 4 = Cuando dos términos son números opuestos, se pueden cancelar.

-30 + 4 = -26 Se resuelven las sumas y las restas.

Potencias de números enteros

Una vez más recordamos que el conjunto de los números enteros es una ampliación del conjunto de

los números naturales. Por lo tanto todo lo que ya sabíamos para el conjunto de los naturales se

cumple en el conjunto de los enteros.

+ : + = + + : - = -

- : - = + - . + = -

Veamos el significado de las potencias de exponente positivo en el conjunto de los enteros, para ello

presentamos distintas situaciones.

1. Si a es un número estrictamente positivo, entonces a x a x a x.....x a , n veces, se escribe an

2. Si a es un número estrictamente negativo, entonces ax ax ax.....x a, n veces, se

escribe n a . La base es ay el exponente es n.

3. Si a es 0 y n>0, entonces: 0n 0 .

4. Si a es un entero no nulo, y n=0, entonces a0 1

5. Si a es un entero cualquiera, y n=1, entonces a1 a

Regla de los signos:

si la base es positiva el resultado es positivo.

Si la base es negativa el resultado depende del exponente:

- si es par el resultado es positivo.

- si es impar el resultado es negativo.

Para tener en cuenta:

-22 ≠ (-2)2

-4 ≠ +4

Las potencias gozan de las siguientes propiedades:

Producto de potencia de igual base: el producto de dos potencias de igual base es otra

potencia de la misma base, cuyo exponente es la suma de los exponentes dados.

Cociente de potencia de igual base: el cociente de dos potencias es otra potencia de la

misma base, cuyo exponente es la diferencia de los exponentes dados.

Propiedad distributiva: la potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la

división.

(a . b)n = an . bn

( )n = an / bn, si a es múltiplo de b

Potencia de potencia: la potencia de una potencia es otra potencia de la misma base cuyo

exponente es igual al producto de los exponentes dados.

(bn)m = bn.m

+par

= + +impar

= + -

par = + -

impar = -

Si una potencia tiene base negativa, esta

se debe encerrar entre paréntesis.

Radicación

Es la operación inversa de la potenciación.

Índice

= r Raíz

Radicando

Gozan de las siguientes propiedades

Propiedad distributiva con respecto a la multiplicación y a la división: la radicación es

distributiva con respecto a la multiplicación y división de los radicando

Raíz de raíz: la raíz de raíz es otra raíz de igual radicando, donde el índice es igual al producto

de los índices dados.

Propiedad cancelativa de los índices: si dos raíces de igual índice son iguales, entonces sus

radicandos son iguales.

EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS DECIMALES

Recordemos primero con el siguiente diagrama la cadena de inclusión de los distintos conjuntos

numéricos.

El diagrama nos otorga la siguiente información: IN Z ID Q

IN es el conjunto de los números naturales: 0; 1; 2; …

Z es el conjunto de los números enteros … -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …

ID es el conjunto de los números decimales acepta dos formas de escritura, la posicional y la

fraccionaria… ; 0,4…

Q es el conjunto de los racionales

A partir de este diagrama surgen las primeras dudas: ¿qué diferencias hay entre 0, y 0,3 que

justifiquen que aparezcan en diferentes conjuntos numéricos? ¿No todo número provisto con coma

es un número decimal?

¿Cuál es la diferencia? En los números decimales hay un número finito de cifras después de la

coma.

Sin embargo algo tienen en común. Cualquiera de ellos aparece por división de dos números enteros

a, b con b≠0.

Lo que tienen en común las tres situaciones es que dados dos números enteros a y b, se busco el

número x, tal que b • x = a

Decimos que los cocientes son números decimales, cuando al dividir a por b, llegamos al resto cero.

Los decimales forman un conjunto, se denota con la letra ID.

Si bien es cierto que los números enteros no tienen coma, también son decimales, porque se pueden

obtener como cocientes de dos números enteros, siendo el segundo no nulo. Por otra parte nada nos

impide que los escribamos con coma. Así por ejemplo:

6 = 6,0 = 6,00 = 6,000………

OTRA FORMA DE DEFINIR LOS NUMEROS DECIMALES

Un número es un decimal, si y solo si, puede escribirse bajo la forma d = n • 10p donde n y p son

números enteros.

Si p es positivo, el decimal d = n • 10p es un entero. Clarifiquemos con un ejemplo:

200 es un entero pues 200 = 2 • 102, o –3 es un entero pues -3 = 3 • 100

Si p es negativo, el decimal d = n •10p es un decimal, por ejemplo:

Los números decimales pueden darse mediante escritura posicional, con el uso de una coma

decimal. Usualmente se dice que esa escritura es una escritura decimal. Con esa escritura, los

algoritmos desarrollados en Z , con respecto a las operaciones enteras, se extienden naturalmente a

ID. Por otra parte, ambos tienen la misma estructura algebraica, a partir de la suma y la

multiplicación; por lo tanto todo lo que se sabe de Z, se aplica naturalmente a ID. También cabe

destacar la similitud entre IN y, por lo que lo aprendido en IN, se extiende a ID.

La característica fundamental de ser un sistema posicional es que, a cada cifra que forma parte del

numeral de un numero hay que reconocerle dos valores: un valor absoluto (propio o intrínseco) y un

valor relativo que depende de su posición.

Entre las distintas variantes que podemos emplear para representar un número, recordemos dos de

ellas:

Escritura multiplicativa (mixta): 1 x 10 000 + 2 x 1 000 + 3 x 100 + 5 x 10 + 6 x 1

Escritura expandida: 1 x 104 + 2 x 103+ 3 x 102 + 5 x 101 + 6 x 100

Entre ambas no hay grandes diferencias, en la exponencial, se pone en evidencia lo siguiente:

Toda cifra escrita inmediatamente a la izquierda de otra, representa unidades del orden

inmediato superior, y cada unidad de un determinado orden es igual a 10 unidades del orden

inmediato inferior.

Toda cifra escrita, escrita inmediatamente a la derecha de otra, representa unidades del orden

inmediato inferior.

Se trata de continuar ese mismo convenio, para representar números decimales con escritura

posicional, es decir, dados mediante escritura condensada, en la cual, el uso de la coma, distingue la

parte entera decimal, o sea la parte fraccionaria del numero decimal.

¿Cuáles son las unidades de los diversos ordenes decimales?

Algunos son:

Escritura multiplicativa (mixta):

134,256 11003104120,150,0160,001

Escritura expandida

134,256 1102 3101 4100 2101 5102 6103

Los números decimales también admiten representación fraccionaria con a, b enteros yb 0

OPERACIONES CON NUMEROS DECIMALES

Adición

La suma o adición en los, como ya lo anticipamos, prolonga la suma o adición en los IN. Por lo tanto

tiene las mismas propiedades que en naturales. Luego,

es asociativa.

el cero es elemento neutro para la adición,

es conmutativa.

Por otra parte siendo ℤ una parte de ID, es natural pensar que la suma cumpla las mismas

propiedades que en este conjunto numérico.

Propiedades de la adición

Al igual que ocurre con los números enteros, la sustracción enriquece la adición. Por lo que

cualquiera sean los decimales a y b, a b a b

Recuerda entonces para sumar y/o restar los números decimales, debes colocar los números uno

debajo del otro de manera que los diversos ordenes de unidades se correspondan, esto se consigue

haciendo que las comas de los distintos números queden en columna.

Por ejemplo:

Multiplicación

De igual forma la multiplicación en decimales positivos prolonga la multiplicación en IN y ℤ , porque

cumple con las mismas propiedades.

Cuando uno quiere multiplicar los números decimales positivos acepta la siguiente regla práctica: se

multiplican como si fueran enteros positivos, separando en el producto tantas cifras decimales como

tengan los factores. Por ejemplo: 0,312 3,6

La multiplicación en ID es una ampliación de la multiplicación en por lo que operamos de la misma

manera y por ser además una ampliación de la multiplicación en ℤ cuando tenemos que multiplicar

decimales de igual y distinto signo lo resolvemos de manera similar:

Cuando los números decimales a y b, son del mismo signo, el producto ab es positivo.

Cuando los números decimales a y b, son de distinto signo, el producto ab es negativo.

Ejemplo: 0,312 3,6 0,32,5 7,5

Las propiedades que tiene la multiplicación en ID son las mismas que tiene la multiplicación en

enteros.

Propiedades de la multiplicación

ORDEN – COMPARACION – VALOR ABSOLUTO

Resaltaremos algunas ideas que debes tener claras y que seguramente ya conoces.

Todo numero decimal tiene su lugar en la recta numérica.

Si a es un número decimal positivo, su opuesto es negativo y, recíprocamente, si a es

negativo su opuesto es positivo.

0 es el único decimal que es igual a su opuesto.

Recuerda que se llama “valor absoluto” o “modulo” de un numero a, y se expresa “| |” a la

distancia que existe de dicho numero al cero.

El valor absoluto de cero es 0: | | =

Para comparar números decimales aplicamos las reglas similares a las que usábamos con los

números enteros:

Si los dos son positivos comparamos la parte entera, el que tenga mayor parte entera será el

mayor. Ejemplo: 12,5 < 18,87 65,125 > 50, 235

Si los dos son positivos e igual la parte entera, comparamos la parte decimal prestando

atención a las unidades de distinto orden.

Ejemplo: 18,5 y 18,87 como 18,5=18,50 tengo 18,50<18,87

Cuando los números a comparar tienen diferente signo entonces

Si ab significa que baID, por el contrario si ab significa que abID

Ejemplo: 2,352,37. En efecto, 2,372,350,07 y 0,07ID3,6 2,1.

En efecto, 2,1 3,65,7 y 5,7ID

APROXIMACIONES

En diversas ocasiones y por diferentes motivos, es frecuente utilizar en vez del valor exacto una

aproximación de la cantidad. Existen dos formas de aproximación: por redondeo o por truncamiento.

Truncar es cortar la expresión en una determinada cantidad de decimales. (Omitimos las cifras

ubicadas a la derecha de la última que nos interesa). Ejemplo: 4,5825

Trunco a los centésimos 4,5825 4,58 Trunco a los décimos 4,5825 4,5

Redondear es aproximar la expresión al valor más cercano, con el siguiente criterio: además de

omitir las cifras ubicadas a la derecha de la ultima que nos interesa, a esta la aumentamos en uno si

la cifra siguiente es igual o mayor que cinco y la dejamos igual, si es igual o menor que cuatro.

Ejemplo: 4,5825

Redondeo a los centésimos 4,5825 4,58 (2<5, luego se deja como estaba)

Redondeo a los décimos 4,5825 4,6 (8>5, luego se suma 1 a la cifra de las decenas)

EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES

Todo numero (positivo o negativo) que puede ser expresado como cociente de dos números enteros

a y b, siendo b≠0, y que satisfacen la ecuación b x a es un numero racional.

Resulta de esta definición que el número x es racional si: x = significa b • a = x

Es decir, los números racionales admiten representación fraccionaria b/a con a, b enteros y b ≠ 0,

tal como vimos para los racionales decimales.

Entonces: ℚ = { ∈ ℚ, b ∈ ℚ, ≠ 0}

Todo número racional también puede darse mediante escritura posicional, con el uso de una coma

decimal. Usualmente se dice que esa escritura es una expresión o representación decimal.

El conjunto de los números racionales se simboliza con la letra Q (de Quotient palabra inglesa que

en español significa cociente o razón).

Ten presente:

a y b son números enteros y b 0.

Puesto que para todo entero a, a a1 , se puede escribir a= ; entonces el número entero a

es un numero racional.

25,4 10 254 por lo tanto 25,4 = . Entonces como con todo número decimal puedo

proceder de la misma manera (multiplicándolo por una potencia de diez), los números

decimales son racionales.

Todo número natural, entero o decimal es racional pero existen números racionales que no

son de ninguna de estas categorías de números. Es el caso de por ejemplo, ya que no

podemos escribirlo bajo la forma de un número decimal, en efecto el resto de la división no es

cero.

Todo número racional admite distintas escrituras: la posicional y la fraccionaria.

La escritura (que se lee “a sobre b”) se llama fracción de numerador a y denominador b”

DOS ESCRITURAS DISTINTAS PARA UN MISMO NÚMERO RACIONAL

La escritura decimal de los números racionales expresados como fracciones:

Para obtener la escritura posicional de un número decimal hay que dividir el numerador de la fracción

por el denominador hasta obtener resto cero; en el caso de no obtener resto cero, es un racional no

decimal. Por ejemplo:

La escritura fraccionaria de un número decimal:

Para expresar como fracción un número decimal (es decir aquellas con un numero finito de cifras

decimales) se coloca en el numerador el numero sin la coma y en el denominador la unidad seguida

de tantos ceros como cifras decimales tiene el número.

Como escribir un número racional no decimal con su escritura posicional, en escritura fraccionaria.

NUMERADOR: El número dado sin la coma menos la parte periódica.

DENOMINAOR: El número con tantos nueves como cifras tenga el periodo, seguido de tantos ceros

como cifras tenga la parte decimal no periódica.

DENSIDAD

Los números racionales cumplen la propiedad arquimediana o de densidad, esto es, para cualquier

par de números racionales existe otro número racional situado entre ellos. Por eso se dice que los

números racionales son densos en la recta de los números reales.

O sea, el conjunto Q es denso en el conjunto IR de los números reales, porque entre dos números

racionales existe otro racional.

OTROS CONCEPTOS

Recordemos algunos conceptos relacionados con la escritura fraccionaria:

o FRACCION DECIMAL: es toda fracción cuyo denominador es una potencia de diez o una

fracción equivalente a ella. Corresponde a la escritura fraccionaria de un número decimal.

Ejemplo: ya que = =

o NUMERO MIXTO: toda fracción mayor que la unidad puede ser expresada como número

mixto. Ejemplo: = 2

o FRACCION IRREDUCIBLE: el numerador y el denominador son coprimos.

o FRACCIONES EQUIVALENTES: dos o más fracciones son equivalentes si representan al

mismo número racional. Para obtener fracciones equivalentes se puede multiplicar (o dividir, si

es posible) numerador y denominador por el mismo número. Ejemplo: = =

o FRACCION PROPIA: fracción menor que la unidad. (El numerador es menor que el

denominador). Ejemplo: ;

o FRACCION IMPROPIA: fracción mayor que la unidad. (El numerador es mayor que el

denominador). Ejemplo:

o FRACCION APARENTE: fracción que al dividir el numerador por el denominador se obtiene

un número entero. (El numerador es múltiplo del denominador). Ejemplo:

Comparación de números fraccionarios: Recordemos los más usados.

Operaciones con números racionales

Adición y Sustracción

La adición de números racionales prolonga la adición en ID, porque cumple con las mismas

propiedades.

La adición de números racionales cumple con las siguientes propiedades: conmutativa, asociativa,

existencia del elemento neutro (0) y existencia del elemento opuesto (inverso aditivo).

MULTIPLICACIÓN

Las propiedades de la multiplicación: conmutativa, asociativa, existencia del elemento neutro (0);

existencia del elemento absorbente y distributiva respecto de la adición y sustracción.

DIVISIÓN

El cociente entre dos números racionales es otro número racional que se obtiene multiplicando la

primera fracción por el inverso multiplicativo de la segunda.

POTENCIACIÓN

Para elevar un número racional a un exponente positivo, lo escribimos como numero fraccionario y

aplicamos la propiedad distributiva de la potenciación respecto de la división. Para elevar un numero

racional distinto de cero, a un exponente negativo, invierto el numero fraccionario y la elevo al

opuesto del exponente (es decir al exponente positivo).

RADICACIÓN

Para calcular las raíces de un número fraccionario aplicamos la propiedad distributiva de la

radicación respecto de la división.

Respecto a los signos aplicamos las reglas de los signos ya vistas para el conjunto de los números

enteros.

PROPIEDADES DE LA POTENCIACION

Potencia de exponente negativo

Potencia de otra potencia (los exponentes se multiplican)

Producto de potencias de igual base (los exponentes se suman).

Cociente de potencias de igual base (los exponentes se restan).

Distributiva respecto de la multiplicación.

Distributiva respecto de la división.

PROPIEDADES DE LA RADICACION

La radicación se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario:

Raíz de raíz (los índices se multiplican)

Distributiva respecto de la multiplicación.

Distributiva respecto de la división.

Simplificación de los índices (divido índice y exponente por el mismo número)

Eliminación del radical

Amplificación de índices (multiplico índice y exponente por el mismo número)

NOCIONES GEOMÉTRICAS

PUNTO, RECTA, PLANO

Punto, recta, plano y espacio son los objetos matemáticos que consideramos inicialmente. Se trata

de términos no definibles, son ideas o conceptos primitivos.

La matemática no se preocupa por definirlos, nos indica simplemente como se usan y cuales son sus

propiedades y relaciones.

El punto

Ya se dijo que es imposible establecer una definición de punto en el sentido geométrico. Sin

embargo, como estamos acostumbrados a asociar las cosas físicas con las ideas geométricas,

vinculamos la idea de punto con la de la punta del alfiler, de una aguja o de un lápiz.

Convendremos en representar los puntos por la marca que deja la punta del lápiz o de la tiza, por

una pequeña cruz o por un círculo pequeño, colocando junto a cada uno, una letra minúscula cursiva

o imprenta y así no tendremos dificultades para nombrarlos, sea al hablar o al escribir.

Ejemplo:

. a x b

punto a punto b

El plano

Los puntos del espacio están agrupados en ciertos conjuntos parciales de infinitos puntos llamados

planos.

Si bien podemos afirmar que “Plano es un conjunto infinito de puntos”, no debemos interpretar

esto como una definición.

Podemos materializar un plano a través de una hoja de papel, la cara del pizarrón, el piso, dando la

idea de que continúa en toda dirección y sentido. El plano geométrico es ilimitado, es decir no tiene

borde o frontera

Cuando necesitamos representar un plano, dibujamos una porción de él con un borde o frontera

irregular.

Observamos que hemos designado al plano utilizando una letra griega.

Las letras griegas que utilizaremos frecuentemente:

alfa epsilon beta omega gamma pi delta

Recordemos que existen infinitos planos incluidos en el espacio. A veces tendremos la

Recordemos que existen infinitos planos incluidos en el espacio. A veces tendremos la necesidad de

representar algunos puntos de un plano.

Gráficamente, la situación quedara expresada así:

Interpretamos que: b y c son dos puntos cualesquiera que pertenecen al plano .

Abreviadamente, es conveniente emplear estas expresiones:

En símbolos:

c “ c pertenece a “ o “contiene a c “

b “ b pertenece a “ “ o “ “contiene a b “

Si indicamos a b estamos significando que nos referimos al mismo punto.

a b se lee “a coincide con b”

En cambio si indicamos que los puntos c y d, no coinciden; anotaremos c ≠d.

LA RECTA

A su vez, podemos agrupar los puntos de cada plano o del espacio, en otros conjuntos parciales que

denominaremos RECTA.

Una materialización de una recta está dada por un rayo luminoso o el borde de una regla.

Pero, una recta geométrica se extiende sin límite en ambos sentidos. No comienza ni termina.

Si deslizamos la punta de un lápiz sobre el papel siguiendo el borde de una regla, podemos dibujar

trozos de recta.

Convengamos en designar las rectas generalmente con letras mayúsculas imprenta.

Las rectas son conjuntos infinitos de puntos.

Conclusión: hay infinitas rectas

Si en algunas ocasiones necesitamos representar algún punto de una recta visualizaremos la

situación así:

a y b son puntos de la recta R

A la recta R dibujada también podemos anotar Rab (se lee recta R que contiene a los puntos a y b)

POSTULADOS

Se llaman postulados a aquellas propiedades que satisfacen los elementos geométricos que se

aceptan sin demostrar y que surgen de la simple observación.

1. Existen infinitos puntos, infinitas rectas e infinitos planos.

2. Todo punto pertenece a infinitas rectas, ya que por un punto pasan infinitas rectas.

El conjunto de rectas que concurren en un punto se denomina haz de rectas.

3. Toda recta está incluida en infinitos planos ya que por una recta pasan infinitos planos.

El conjunto de planos que pasa por una recta se denomina haz de planos.

4. Dos puntos determinan una y sólo una recta a la cual pertenecen.

5. A una recta pertenecen infinitos puntos y existen también infinitos puntos que no pertenecen a

ella.

6. Una recta y un punto fuera de ella determinan un plano de modo que el punto pertenece al

mismo y la recta está incluida en él.

7. La recta determinada por dos puntos de un plano está incluida a dicho plano.

También puede enunciarse como: Dos puntos incluidos en un plano determinan una recta que

está incluida en el plano.

8. A un plano pertenecen infinitos puntos y existen también infinitos puntos que no pertenecen a

ella.

Segmento

Dados los puntos a y b de una recta R tal que “a“ es anterior o coincidente con “ b “ (a ≤ b)

En símbolos: Sean los puntos a y b de R: Seg. ab=ab x / xR a x b

Los puntos a y b son los extremos del segmento.

Los infinitos puntos que están entre “a” y “b”, distintos de “a” y “b”, son los puntos interiores del

seg. ab.

Puede ocurrir que a = b. A este segmento especial lo llamaremos segmento nulo.

En símbolo es: Seg. aa=aa

Segmentos colineales

Llamaremos segmentos colineales a los que estan incluidos en una misma recta.

Segmentos consecutivos

Dos segmentos son consecutivos si y sólo si tienen un extremo común y ningún otro punto común.

Dados tres o más segmentos distintos tomados en un cierto orden, diremos que son consecutivos si

y solo si cada uno es consecutivo al anterior, excepto el primero, por su extremo libre.

Poligonal

Se llama poligonal a la FIGURA UNIÓN de segmentos consecutivos no colineales.

abbc cd poligonal abcd

Tipos de poligonales:

Figura convexa

Una figura es convexa si y solo si para TODO par de puntos distintos que pertenecen a ella el segmento que ellos determinan está incluido en ella.

Una figura es cóncava si y solo si EXISTE al menos un par de puntos distintos que pertenecen a la figura y el segmento que ellos determinan NO está incluido en la figura.

Semirrecta

Dado un punto “o”, que pertenece a una recta R y los puntos “a” y “b” de R, siendo “a” anterior a “o”

(a<o) y “b” posterior a “o” (o< b) llamaremos, SEMIRRECTA DE ORIGEN “o” QUE CONTIENE a “b”

( )al conjunto formado por los puntos de R posteriores o coincidentes con “o” y SEMIRRECTA DE

ORIGEN “ o “ QUE CONTIENE A “a” ( )al conjunto formado por los puntos de R anteriores o

coincidentes con “o“.

Gráficamente:

Rectas secantes: oblicuas y perpendiculares

Si dos rectas tienen un punto en común se llaman secantes.

Las rectas secantes se clasifican en oblicuas y perpendiculares.

Rectas Oblicuas

Si dos rectas tienen un punto de intersección, y forman ángulos no todos iguales, las rectas se

llaman oblicuas.

Rectas Perpendiculares

Si dos rectas tienen un punto de intersección, y forman cuatro ángulos iguales, las rectas se

llaman perpendiculares y los ángulos se llaman rectos.

Rectas paralelas

Dos rectas que están en el mismo plano y no tienen ningún punto de intersección, se llaman

rectas paralelas.

RECTAS ALABEADAS

NO se cortan, no son paralelas, pero están en distintos planos.

Dos rectas que no se cruzan en ningún punto del plano reciben el nombre de rectas

paralelas.

Si se cortan, serán rectas secantes.

Cuando las rectas se cortan, forman 4 regiones llamadas ángulos. Cada ángulo

está limitado por dos lados y un vértice.

RELACIÓN DEALGUNOS ÁNGULOS RESPECTO A UN ÁNGULO RECTO

ÁNGULOS SEGÚN SU SUMA

Polígono convexo

Dado tres o más puntos distintos que pertenecen a un mismo plano, tal que dos de ellos determinan

una recta que deja a los restantes en un mismo semiplano abierto, la intersección de esos

semiplanos cerrados es una figura llamada polígono convexo cuyos vértices son los puntos

considerados.

Los segmentos ab; bc; cd; de; ea; son los lados del polígono.

La figura unión de los lados de un polígono es una POLIGONAL que llamaremos FRONTERA del

polígono.

Todos los puntos de un polígono convexo que no pertenecen a su frontera forman un conjunto

llamado región interior de mismo ( I )

Podemos definir a algunos POLIGONOS como la figura UNION de una poligonal simple cerrada y la

región interior que esta determina.

De acuerdo con este último concepto observamos que existen polígonos que son figuras cóncavas.

Clasificación de los polígonos convexos según el número de lados y ángulos

Número de ángulos o lados

Nombre Gráfico

3 Triángulo

4 Cuadrado- Cuadrilátero

5 Pentágono

6 Hexágono

7 Heptágono

8 Octógono

9 Eneágono

10 Decágono

11 Undecágono

Clasificación de triángulos

SEGUN SUS LADOS:

ISOSCELES: es el que tiene al menos dos de sus lados congruentes.

ESCALENO: es el que tiene sus tres lados congruentes.

EQUILATEROS: tienen sus tres lados congruentes.

SEGUN SUS ANGULOS:

ACUTANGULO: Es el que tiene sus tres ángulos interiores agudos.

OBTUSANGULO: Es el que tiene un ángulo interior obtuso.

RECTANGULO: Es el que tiene un ángulo interior recto.

CLASIFICACIÓN DE CUADRILATEROS:

TRAPECIO: cuadrilátero que tiene al menos un par de lados paralelos.

PARALELOGRAMO: cuadrilátero que tiene dos pares de lados opuestos paralelos.

SEMIRROMBOIDE: cuadrilátero que tiene al menos un par de lados consecutivos congruentes.

ROMBOIDE: cuadrilátero que tiene al menos dos pares de lados consecutivos congruentes.

RECTANGULO: cuadrilátero que tiene sus cuatro ángulos congruentes.

ROMBO: cuadrilátero que tiene sus cuatro lados congruentes.

CUADRADO: cuadrilátero con sus cuatro lados y cuatro ángulos congruentes.

PROPIEDADES DE LOS LADOS, ÁNGULOS Y DIAGONALES DE LOS

CUADRILÁTEROS

ROMBOIDE PARALELOGRAMO RECTANGULO ROMBO CUADRADO

Dos pares de lados opuestos

congruentes

x x x x

Lados Consecutivos congruentes

x x x

Un par de ángulos opuestos

congruentes

x x x x x

Dos pares de ángulos opuestos

congruentes

x x x x

Diagonales que se cortan

mutuamente en

partes congruentes

x x x x

Diagonales

congruentes x x

Diagonales perpendiculares

x x x

Una diagonal es bisectriz de un

par de ángulos opuestos

x x x

Cada diagonal es bisectriz de

un par de ángulos opuestos

x x

EJEMPLOS GRAFICOS DE ALGUNOS CUADRILATEROS

Mediatriz de un segmento

Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a la recta del segmento en el punto medio de este.

Gráficamente

Bisectriz de un ángulo

Bisectriz de un ángulo es la semirrecta interior del ángulo que lo parte en dos ángulos congruentes.

Gráficamente:

Amplitudes de los ángulos en el sistema sexagesimal

Sistema Métrico Legal Argentino

La medición es una necesidad básica ya desde el comienzo de los tiempos. La humanidad necesita

medir diferentes cosas para saber por ejemplo cuantos días va a tardar en desplazarse de un lugar a

otro, cuantas semillas necesita para poder sembrar un terreno, etc.

Era común utilizar partes del cuerpo humano como unidades para medir: las longitudes de los

antebrazos, pies, manos o pulgadas. Y así, las distintas tribus, pueblos o naciones tomaron como

patrones los tamaños del cuerpo humano de sus respectivos reyes. El problema era que, por

ejemplo el rey de un lugar no tenía la misma talla de pie que el rey vecino y para colmo, cuando el

rey moría o era sucedido, cambiaba el tamaño de la unidad, pero no el nombre.

Eran variables de una ciudad a la vecina, lo que suponía con frecuencia conflictos entre mercaderes,

ciudadanos y los funcionarios del fisco.

El objetivo del Sistema Métrico fue la unificación y racionalización de las unidades de medición, y de

sus múltiplos y submúltiplos. Fue el resultado de las muchas reformas aparecidas durante el periodo

de la Revolución Francesa, entre 1789 y 1799.

Ningún otro aspecto de la ciencia aplicada afecto tanto al curso de la actividad humana tan directa y

universalmente.

En 1863 nuestro país adopto por la ley No 52 el Sistema Métrico Decimal. La ley No 845 del año

1877 lo declara de uso obligatorio a partir del 1 de enero de 1878 y prohíbe el uso de otros sistemas.

A partir de 1960, el Sistema Métrico pasa a llamarse Sistema Internacional de Unidades, (conocido

como S.I.). Argentina lo adopta con el nombre de Sistema Métrico Legal Argentino (SI.ME.L.A.)

Es el constituido por las unidades, múltiplos y submúltiplos, prefijos y símbolos del SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) y las unidades ajenas al S.I. que se incorporan para satisfacer

requerimientos de empleo en determinados campos de aplicación.

El SIMELA fue establecido por la ley 19.511 de 1972, como único sistema de unidades de uso

autorizado en Argentina.

Se parte de 7 unidades bases a saber:

Magnitud Nombre de la unidad SI básica Símbolo

Longitud Metro M

Masa Kilogramo Kg

Tiempo Segundo S

Intensidad de la Corriente Eléctrica

Amperio A

Temperatura Termodinámica

Kelvin K

Cantidad de sustancia Mol Mol

Intensidad luminosa Candela Cd

Las unidades derivadas que veremos son:

Magnitud Nombre de la unidad SI básica Símbolo

Superficie Metro cuadrado m2

Masa Gramo g

Volumen Metro cubico m3

Múltiplos y submúltiplos

Medidas de longitud

Km Hm dam m dc cm mm

Medidas de masa

kg hg dag g dg cg mg

Medidas de capacidad

kl hl dal l dl cl ml

Medidas de superficie

Km2 Hm2 Dam2 M2 Dc2 Cm2 Mm2

Medidas agrarias

Hm2 Dam2 M2

Hectárea Área Centiárea

De equivalencia entre capacidad, volumen y mas

Capacidad Volumen Masa

1kl 1m3 1t

1l 1dc3 1kg

1ml 1cm3 1g

Medidas de tiempo 1 día = 24 horas 1 hora = 60 minutos 1 minuto = 60 segundo

Otras unidades son:

La semana: 7 días El año común: 365 días La década: 10 años

La quincena: 15 días El año bisiesto: 366 días El siglo: 100 años

El mes: 30 días El lustro: 5 años El milenio: 1000 años

PERÍMETRO Y ÁREA DE FIGURAS GEOMÉTRICAS

Figura geométrica

Perímetro y área

Triángulo

Cuadrado

Rectángulo

Rombo

Romboide

P = 2 · (a + b) A = b · h

Trapecio

Polígono

A = T 1 + T 2 + T 3 + T 4

Polígono regular

Longitud de una circunferencia

Círculo