matemÁticas i tema 2 ecuaciones e inecuaciones · 2019-12-03 · los procedimientos de resolución...

MATEMÁTICAS Itema 2

Ecuacionese

Inecuaciones

IES Mata Jove curso 2019/2020

Matemáticas I DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

ud2: ECUACIONES E INECUACIONES IES Mata Jove

UD2. Ecuaciones e Inecuaciones 2 material alumnadoDepartamento de Matemáticas IES Mata Jove (Gijón, Asturias)

¿Qué es una ecuación?Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas.

expresión algebraica 1 = expresión algebraica 2

Se llaman miembros de la ecuación a cada una de las expresiones algebraicas que forman la ecuación. Esos miembros están formados por términos; los términos son monomios formados por coeficientes (los números) y variables o incógnitas (las letras). Los exponentes de las variables informan sobre el grado de las expresiones algebraicas que forman la ecuación.Se llama solución de la ecuación al valor de la variable que hace que los dos miembros tengan el mismo valor numérico.Resolver una ecuación, encontrar su solución o soluciones, es encontrar esos valores de las incógnitas que hacen iguales ambos miembros de la ecuación.

Ecuaciones de primer grado con una incógnitaSe llama ecuación de primer grado con una incógnita a cualquier ecuación formada por expresiones algebraicas de grado 1 y con una única variable.Todas las ecuaciones de este tipo pueden expresarse en la forma reducida

a ⋅ x + b = 0donde a y b son coeficientes conocidos y x representa el valor desconocido, la incógnita.Para reducir una de estas ecuaciones a la forma reducida hay que usar dos reglas muy útiles en la resolución de ecuaciones, la regla de la suma y la regla del producto.

Regla de la suma Regla del productoLos términos de la ecuación que están sumando o restando en uno de los miembros de la ecuación

pasan al otro cambiando de signo.

Los términos de la ecuación que están multiplicando en uno de los miembros pasan al otro dividiendo; si

están dividiendo pasan al otro miembro multiplicando.

Ecuaciones de segundo grado con una incógnitaSe llama ecuación de segundo grado con una incógnita a cualquier ecuación formada por expresiones algebraicas de grado 2 y con una única variable.Todas las ecuaciones de este tipo pueden expresarse en la forma

a ⋅ x2 + b ⋅ x + c = 0 donde a, b y c son coeficientes conocidos yx representa la incógnita.

x =

−b ± b2 − 4ac2a

Para resolver este tipo de ecuaciones, que pueden tener hasta dos soluciones, se usa esta conocida fórmula

Para determinar, antes de calcularlas, el tipo de soluciones de una ecuación podemos calcular el discriminante b2 — 4·ac. El signo de este discriminante nos indica el número de soluciones reales de la ecuación.

b2 − 4ac > 0 b

2 − 4ac = 0 b2 − 4ac < 0

Las 2 soluciones son números reales

La solución es un único número real (solución doble)

Las dos soluciones son números complejos




Ecuaciones bicuadradasSe llaman ecuaciones bicuadradas a las de la forma

a ⋅ x4 + b ⋅ x2 + c = 0

Estas ecuaciones se resuelven con el cambio de variable y = x2

Como consecuencia de este cambio de variable, se tiene que y2 = x4 , por lo que la ecuación se

puede escribir como a ⋅ y 2 + b ⋅ y + c = 0 , lo que permite calcular y utilizando la fórmula de la

ecuación de segundo grado; y luego calcular x utilizando y = x2 .

Ecuaciones polinómicas Se llaman ecuaciones polinómicas a las de la forma p(x) = 0, siendo p(x) un polinomio de grado n.Para resolver una ecuación polinómica se factoriza el polinomio

p x( ) = q1 x( ) ⋅q2 x( ) en el

producto de otros dos polinomios q1 x( ) y

q2 x( ) de grado menor que n.

De este modo,

p x( ) = 0 ⇒ q1 x( ) ⋅q2 x( ) = 0 ⇒q1 x( ) = 0

q2 x( ) = 0

⎧⎨⎪

⎩⎪

Por lo que hemos pasado de tener que resolver un ecuación polinómica de grado n a tener que resolver dos ecuaciones polinómicas pero de menor grado. Si completamos la factorización de p(x), la resolución de la ecuación p(x) = 0 se transforma en la resolución de varias ecuaciones de primer y segundo grado.

Ecuaciones racionalesSe llaman ecuaciones racionales a las ecuaciones en las que aparecen denominadores polinómicos, es decir, sus términos son fracciones algebraicas.Para resolver este tipo de ecuaciones se utilizan las mismas técnicas que para resolver las ecuaciones con denominadores numéricos: reducir todos los términos de la ecuación a denominador común, eliminar los denominadores y finalmente, resolver la ecuación polinómica que se obtiene.

Para el caso particular de las ecuaciones de la forma

p x( )q x( ) =

m x( )n x( ) se puede proceder así:

p x( )q x( ) =

m x( )n x( ) ⇒ p x( ) ⋅n x( ) = q x( ) ⋅m x( ) , que da lugar a una ecuación polinómica.

Ecuaciones irracionalesSe llaman ecuaciones irracionales a las ecuaciones que incluyen términos irracionales, es decir, raíces cuadradas de polinomios (en realidad, cualquier tipo de raíz).

La resolución de este tipo de ecuaciones pasa por la aplicación de técnicas que permitan eliminar los términos irracionales (también llamados términos radicales) y así transformar la ecuación en una polinómica.




InecuacionesUna inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas. El tipo de estas expresiones algebraicas (grado, número de variables) determina el tipo de inecuación.

expresión algebraica 1 < expresión algebraica 2

expresión algebraica 1 ≤ expresión algebraica 2

expresión algebraica 1 > expresión algebraica 2

expresión algebraica 1 ≥ expresión algebraica 2Resolver una inecuación es buscar los valores de la variable que hacen que se cumpla la desigualdad.Las inecuaciones más simples son las de primer grado con una incógnita. Para resolver este tipo de inecuaciones se siguen los mismos pasos que para resolver una ecuación de primer grado. En el último paso, al despejar la variable, hay que tener en cuenta que al multiplicar una desigualdad por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido. Esto tiene como consecuencia lo siguiente:

a ⋅ x < b ⇒x <

ba

si a > 0

x >ba

si a < 0

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Los procedimientos de resolución de inecuaciones de una incógnita consisten en resolver la ecuación asociada a la inecuación y luego estudiar el signo de la expresión algebraica a ambos lados de los soluciones de la ecuación.




1. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas.

a) x4 + 2x2 − 48 = 0 b) x4 − 9x2 = 0 c) x4 −16 = 0

d) x4 −10x2 + 9 = 0 e) x4 + 8x2 +15 = 0 f) x2 − 2( ) x2 − 3( ) = 2

2. Calcula las soluciones de las siguientes ecuaciones polinómicas.

a) 3x − 9( ) 10 − 5x( ) = 0 b) x2 x +1( ) x + 2( )2

= 0

c) x − 3( )2

x + 3( )2= 0 d) x3 − 4x2 − 4x +16 = 0

e) x4 + 2x3 − 8x2 = 0 f) x4 − 2x3 −11x2 +12x = 0

g) x3 − 25x = 0 h) x3 + 2x2 = 0

i) x3 − 4x = 0 j) x3 − 5x2 = 0

3. Escribe ecuaciones que tengan las soluciones indicadas en cada apartado.

a.

x1 = 2, x2 = −1, x3 = 3, x4 = 4b.

x1 = 1, x2 = −2 (raíz doble)b.

x1 = 1, x2 = −2 (raíz doble)c.

x1 = 4, x2 = −3 (raíz triple)

d.

x1 = −5x2 = 1 (raíz doble)x3 = −1 (raíz triple)

d.

x1 = −5x2 = 1 (raíz doble)x3 = −1 (raíz triple)

e. x1 =

13

, x2 =12

, x3 = 3, x4 =14

e. x1 =

13

, x2 =12

, x3 = 3, x4 =14

4. Encuentra las soluciones de las siguientes ecuaciones racionales.

a) x + 86 − x

= 13 b) x − 23 − x

= −54

c)

1x −1

+1

x +1=

512

d) 1x+

12x

=3

10e)

3 − xx + 2

−x −1x − 2

= −2 f)

−2

x − 2+

1

x − 2( )2 =9

16

5. Encuentra las soluciones de las siguientes ecuaciones irracionales.

a) 2x + 5 − 3x + 3 = 0 b) 9 + 7x − 2x = 2 c) 3x − 5x = 10

d) 1+ 4 − 2x = x +11 e) x2 + 3 + 4x = 0 f) 5x +1 = x2 − 5




6. Encuentra las soluciones de las siguientes ecuaciones irracionales.

a) 3x − 2 − 4 = 0 b) x + 4 = 5x + 4 c) 10 − 2x + x = 5

d) x2 − 9 +1= 2x − 5 e) 3 ⋅ 6x +1− 5 = 2x f ) 25 − x2 − x = 1

7. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 2x +13x − 6

=32

b)

1x +1

+2

x −1=

54

c) 4x4 + 9 = 37x2 d) x3 − 5x2 + 6x = 0

e) 6x3 + x2 = 26x + 21e) 6x3 + x2 = 26x + 21 f) x + 3 = x3 + 3x2 g) 7 − 3x − x = 7

8. Resuelve las siguientes inecuaciones de grado 1.

a) 5 − 2x ≤ 3 + 2 4 − 2x( ) b) 7 + x( ) ⋅ −8( ) − 2 < 9x − 3 c) x +1

2+

x + 43

≤16

d) x + 2

3−

x −14

≤12 e) x4−

x8+ 5 ≥ x f)

2x −1

6−

3x10

<4x − 5

2

g) 1+ x

5−

x10

≤x

12

9. Calcula el conjunto de soluciones de las inecuaciones polinómicas siguientes.

a) x − 2( ) x + 3( ) > 0 b)

x x + 5( ) ≤ 0 c) x2 − 9x + 20 < 0

d) 4x2 −16x < 0 e) x2 − 2x +1< 0 f) x2 + 6x + 9 ≤ 0

g) x2 ≥1 h) x2 − 8x +16 ≥ 0 i) −4x2 +17x − 4 ≤ 0

j) 25x > x2 +144 k) −97x +1300 < 4 − x2

10. Calcula el conjunto de soluciones de las inecuaciones.

a) x2 −1( ) x2 +1( ) > 0 b) x −1( )3 x +1( )22x −1( ) ≥ 0 c) x x2 + x + 3( ) < 0 d) x3 ≤ x

11. Calcula el conjunto de soluciones de las inecuaciones.

a) x3 ≥ x2 + 4x − 4 b) x2 x −1( ) ≤ 2x x −1( ) c) 3x4 − 2 + 3x3 > x4 + 8x3 − 5x




12. Dos depósitos tienen la misma capacidad. Ambos están llenos de agua. Sacamos 2000 litros del primero y 9000 litros del otro, de modo que ahora el volumen de agua en el primer depósito es el doble que en el segundo. ¿Cuál es la capacidad de los depósitos?

13. Una persona distribuye su salario mensual del modo siguiente: una quinta parte va al alquiler de la casa; un 35% lo gasta en alimentación; un 15% lo guarda en una cuenta de ahorro, y el resto, que son 468€ los dedica a otros gastos. Calcula el salario mensual de esta persona.

14. El cateto mayor de un triángulo rectángulo mide un metro más que el otro cateto. Calcula el perímetro del triángulo sabiendo que su área es 10m2.

15. Dos cuadrados tienen un área total de 58m2. El lado del cuadrado mayor es 4m más largo que el lado del cuadrado menor. Calcula la longitud de los lados de los dos cuadrados.

16. Una familia dispone en su jardín de un estanque rectangular de 2x4 metros. De una obra en la casa les han sobrado 27m2 de baldosa que quieren aprovechar para rodear el estanque con un paseo que tenga siempre la misma anchura. ¿Cuál debe ser el ancho del paseo para que pueda construirse con las baldosas que ya tienen?.

17. Una librería vendió 600 copias de un libro por un valor total de 6408€. El libro costaba 12€ sin descuento, pero también vendieron algunas copias con un descuento del 30%. Calcula el número de copias vendidas con y sin descuento.

18. Un matrimonio y sus tres hijos viajan a Lanzarote por 330€. En el mismo vuelo, un padre y sus hijos pagaron 190€. Calcula el precio de los billetes de adulto y de niño.




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