materi pertemuan ix,x,xi - sisfo.itp.ac.id ajar... · tegangan pada balok ... jadi bagian bawah...
TRANSCRIPT
Bahan Ajar – Mekanika Bahan – Mulyati, ST., MT
VI‐1
Pertemuan IX,X,XI VI. Tegangan Pada Balok
6.1 Lenturan Pada Balok
Pembebanan yang bekerja pada balok menyebabkan balok melentur,
sehingga sumbunya terdeformasi membentuk lengkungan yang disebut kurva
defleksi (lendutan) balok. Defleksi suatu balok di sembarang titik di
sepanjang sumbu balok merupakan peralihan titik tersebut dari posisi semula,
diukur dalam arah y.
Gambar 6.1 Lentur Pada Balok Kantilever
Balok kantilever AB tanpa dibebani, balok kantilever AB memikul
beban P di ujung bebas. Sumbu yang semula lurus akan melentur membentuk
lengkungan, yang disebut kurva defleksi (lendutan) balok yang besarnya
tergantung pada besar beban yang bekerja.
Dalam menganalisis suatu balok, seringkali dibutuhkan pembedaan
antara lentur murni dan lentur tak seragam. Lentur murni mengandung arti
lentur pada suatu balok akibat momen lentur konstan. Dengan demikian,
lentur murni terjadi hanya diadaerah balok dimana gaya geser adalah nol.
Sebaliknya lentur tak seragam mengandung arti lentur yang disertai adanya
gaya geser, yang berarti bahwa momen lentur berubah pada saat kita
menyusuri sepanjang sumbu balok.
Bahan Ajar – Mekanika Bahan – Mulyati, ST., MT
VI‐2
Gambar 6.2 Lentur Murni Balok Sederhana
Gambar 6.3 Lentur Murni Balok Kantilever
Gambar 6.4 Lentur Tak Seragam Pada Balok Sederhana
Pada suatu balok yang dibebani, kemungkinan balok akan melengkung
akibat gaya momen yang bekerja. Regangan longitudinal di suatu balok dapat
diperoleh dengan menganalisis kelengkungan suatu balok beserta
deformasinya.
Bahan Ajar – Mekanika Bahan – Mulyati, ST., MT
VI‐3
Gambar 6.5 Deformasi balok Yang Mengalami Lentur Murni
Karena adanya deformasi lentur seperti terlihat pada Gambar 6.5,
penampang mn dan pq berputar satu sama lain terhadap sumbu yang tegak
lurus bidang xy. Garis longitudinal pada bagian cembung (bawah) dai balok
memanjang, sedangkan pada bagian cekungnya (atas) dari balok memendek.
Jadi bagian bawah balok mengalami tarik dan bagian atas mengalami tekan.
Antara bagian atas dan bawah balok terdapat permukaan dengan garis
longitudnal yang tidak berubah panjangnya yang disebut garis permukaan
netral balok. Perpotongannya dengan bidang penampang disebut sumbu
netral penampang.
6.2 Diagram Tegangan Lentur
Elemen logitudinal dari suatu balok hanya mengalami tarik atau tekan,
maka kita dapat menggunakan kurva tegangan-regangan bahan tersebut untuk
menentukan tegangan kalau diketahui regangan. Tegangan bekerja di seluruh
bagian penampang dari suatu balok dan intensitasnya bervariasi berantung
pada bentuk diagram tegangan-regangan dan dimensi penampang.
Sumbu netral suatu balok, selalu melewati pusat berat suatu penampang
apabila bahannya mengikuti hukum Hooke dan tidak ada gaya aksial yang
bekerja di penamapang tersebut, sehingga kita mudah menetukan sumbu
netral. Balok dengan sumbu y adalah sumbu simetri, karena itu sumbu y juga
Bahan Ajar – Mekanika Bahan – Mulyati, ST., MT
VI‐4
melewati pusat berat. Dengan demikian, pusat sumbu koordinat 0 terletak di
pusat berat penamapang.
Distribusi tegangan untuk kasus dimana momen lentur M adalah positif
dan balok melentur dengan kelengkungan positif. Apabila kelengkungan
adalah positif, maka tegangan σx adalah negatif (tekan) di atas permukaan
netral dan positif (tarik) di bawahnya, sebagaimana diperlihatkan pada
Gambar 6.6.
Gambar 6.6 Diagram Tegangan Pada Balok Akibat Momen Positif
Distribusi tegangan untuk kasus dimana momen lentur M adalah negatif
dan balok melentur dengan kelengkungan negatif. Apabila kelengkungan
adalah negatif, maka tegangan σx adalah positif (tarik) di atas permukaan
netral dan negtif (tekan) di bawahnya, sebagaimana diperlihatkan pada
Gambar 6.7.
Bahan Ajar – Mekanika Bahan – Mulyati, ST., MT
VI‐5
Gambar 6.7 Diagram Tegangan Pada Balok Akibat Momen Negatif
6.3 Tegangan Lentur
Setelah lokasi sumbu netral ditentukan dan hubungan momen-
kelengkungan sudah didapatkan, maka dapat ditentukan tegangan yang
dinayakan dalam momen lentur.
Tegangan lentur menunjukkan bahwa tegangan sebanding dengan
momen lentur dan berbanding terbalik dengan momen inersia penampang,
besarnya tegangan bervariasi secara linier terhadap jarak y dari sumbu netral.
Tegangan lentur dinyatakan dengan persamaan :
.......... (6.1)
Dimana M adalah besarnya momen yang bekerja, y adalah jarak dari serat
yang ditinjau terhadap garis netral, I adalah momen inersia penampang.
IyM .
=σ
Bahan Ajar – Mekanika Bahan – Mulyati, ST., MT
VI‐6
Rumus lentur memberikan hasil yang hanya akurat di daerah balok,
dimana distribusi tegangan tidak terganggu oleh perubahan bentuk balok atau
diskontiniutas pembebanan. Rumus tidak dapat digunakan di dekat tumpuan
balok atau dekat beban terpusat. Ketidakteraturan seperti ini menimbulkan
tegangan lokal, atau konsentrasi tegangan, yang jauh lebih besar dari
tegangan yang diperoleh dari rumus lentur.
6.4 Tegangan Geser
Kebanyakan balok mengalami bebana yang menghasilkan momen
lentur dan gaya geser (lentur tak seragam). Pada kasus seperti ini tegangan
normal dan tegangan geser timbil di dalam balok.
Tegangan geser τ yang bekerja di penampang dapat diasumsikan sejajar
dengan gaya geser, yaitu sejajar dengan sisi vertikal penampang. Juga dapat
diasumsikan bahwa tegangan geser mempunyai distribusi terbagi rata di
seluruh lebar balok, meskipun tegangan terebut bervariasi terhadap tingginya.
Gambar 6.8 Tegangan Geser Disuatu Balok Penampang Persegi Panjang
Bahan Ajar – Mekanika Bahan – Mulyati, ST., MT
VI‐7
Tegangan geser menunjukkan bahwa tegangan sebanding dengan gaya
geser dan berbanding terbalik dengan momen inersia penampang, besarnya
tegangan bervariasi secara kuadratik terhadap jarak y dari sumbu netral,
dinyatakan dengan persamaan berikut.
.......... (6.2)
Dimana V adalah besarnya gaya geser yang bekerja, Q adalah statis momen
dari tegangan geser pada serat yang ditinjau terhadap garis netral, I adalah
momen inersia penampang, b adalah lebar penampang pada serat yang
ditinjau.
6.5 Distribusi Tegangan Geser
Distribusi teganagan geser disuatu balok dengan berbagai bentuk
penampang. Momen pertama atau statis momen Q dari bagian penampang
yang digelapkan diperoleh dengan mengalikan luas dengan jarak titik
beratnya ke sumbu netral.
1. Distribusi tegangan geser pada balok persegi panjang
Gambar 6.9 Diagram Tegangan Geser Pada Balok Persegi
Tegangan geser yang terjadi :
.......... (6.3)
bIQV..
=τ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= 2
1
2
42yh
IVτ
Bahan Ajar – Mekanika Bahan – Mulyati, ST., MT
VI‐8
2. Distribusi tegangan geser pada balok lingkaran
Gambar 6.10 Diagram Tegangan Geser Pada Balok Lingkaran
Tegangan geser yang terjadi pada garis netral :
Dimana,
3. Distribusi tegangan geser pada balok lingkaran berlobang
Gambar 6.11 Diagram Tegangan Geser Pada Balok Lingkaran Berlobang
( ) AV
rV
rr
rV
bIQV mak
mak 34
34
24
32
..
24
3
==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
==ππ
τ
rbrI
rrrQmak
2;4
32
34
24
32
==
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
π
ππ
Bahan Ajar – Mekanika Bahan – Mulyati, ST., MT
VI‐9
Tegangan geser yang terjadi pada garis netral :
Dimana,
4. Distribusi tegangan geser pada balok T
Gambar 6.12 Diagram Tegangan Geser Pada Balok T
Tegangan geser yang terjadi :
( )21
22
21
22
2112
22
34
..
rrA
rrrrrr
AV
bIQV mak
mak
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
++==
π
τ
( )
( )( )12
41
42
31
32
24
32
rrb
rrI
rrQ mak
−=
−=
−=
π
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
=
2.
2.
..
22
1211
11
cctQ
hchtQ
tIQV
mak
τ
Bahan Ajar – Mekanika Bahan – Mulyati, ST., MT
VI‐10
Tegangan geser yang terjadi pada garis netral :
5. Distribusi tegangan geser pada balok I
Gambar 6.13 Diagram Tegangan Geser Pada Balok I
Tegangan geser yang terjadi :
Tegangan geser yang terjadi pada pertemuan flens dan badan :
( ) ( )( ) ( )3
13
13
313
21
21
21
2
...121
12.
121
488
..
hthbhbhtbhbI
yhthhbQ
tIQV
+−=−
−=
−+−=
=τ
I
cV
tI
cctV
tIQV mak
mak2
.
.2
.
..
222
2
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
==τ
( )21
2min .8
. hhtIbV
−=τ
Bahan Ajar – Mekanika Bahan – Mulyati, ST., MT
VI‐11
Tegangan geser yang terjadi pada garis netral :
6.6 Contoh-Contoh Soal dan Pembahasaan
Soal 1. Sebuah balok sederhana AB dengan panjang L = 6 m, memikul beban
terbagi rata q = 1 kN/m dan beban terpusat P = 5 kN yang terletak di
tengah bentang. Tentukan tegangan tarik dan tekan maksimum di
balok akibat lentur.
Penyelesaian :
• Momen maksimum :
• Titik barat dan momen inersia :
( )21
21
2 ....8.
. hthbhbtI
VtIQV mak
mak +−==τ
P
20 cm
30 cm
NmmxkNmM
LPLqM
mak
mak6
412
81
412
81
1012.126.5.6.1.
....
==+=
+=
483121
21
21
105,4300.200.
.150.150.1530.
.100.1020.
mmxI
mmymmcmymmcmx
x
b
a
==
====
===
Bahan Ajar – Mekanika Bahan – Mulyati, ST., MT
VI‐12
• Tegangan tekan maksimum.
• Tegangan tarik maksimum.
Soal 2. Sebuah balok gantung ABC dengan panjang L = 6 m, dan panjang
bagian yang menggantung 2 m, memikul beban terbagi rata q = 1
kN/m. Tentukan tegangan tarik dan tekan maksimum di balok akibat
lentur.
( ) 28
6
1 /.4105,4
150.1012.mmN
xx
IyM
x
amak ===+
σ
( ) 28
6
2 /.4105,4
150.1012.mmN
xx
IyM
x
bmak ===+
σ
6 m 2 m
A B
q
40 cm 40 cm
40 cm
20 cm
80 cm
Bahan Ajar – Mekanika Bahan – Mulyati, ST., MT
VI‐13
Penyelesaian :
• Reaksi perletakan dan momen maksimum :
• Titik barat dan momen inersia :
• Tegangan tekan maksimum, akibat momen positif maksimum.
• Tegangan tekan maksimum, akibat momen positif maksimum.
kNmxxMkNmM
mqR
xqxRddM
xqxRM
kNxxR
kNxxR
B
mak
VAVA
x
x
VAx
VB
VA
.2121.564,3))67,2.(1.()67,2.67,2(
67,2167,200
...
.33,56
481
.67,26
281
22
1
22
1
−=−==−=
===→=−→=
−=
==
==
410
2312123
121
2
1
.1074,1
43,21).800400(800.400.57,28).2001200(200.1200.
.43,21.57,28
.57,3843,61100
.43,61)8040()20120(
)8040.(40)20120.(90
mmxI
xxI
cmycmy
cmy
cmxxxxy
x
x
a
b
=
+++=
==
=−=
=++
=
( )
210
6
)(2
210
6
)(1
/.013,01074,1
43,61).10564,3(.
/.008,01074,1
57,38.10564,3.
mmNxx
IyM
mmNx
xIyM
x
bmaktarik
x
amaktekan
===
===
+
+
σ
σ
( )
210
6
)(2
210
6
)(1
/.007,01074,1
43,61).102(.
/.004,01074,1
57,38.102.
mmNx
xIyM
mmNx
xIyM
x
bmaktekan
x
amaktarik
===
===
−
−
σ
σ
Bahan Ajar – Mekanika Bahan – Mulyati, ST., MT
VI‐14
Soal 3. Sebuah balok sederhana AB dengan panjang L = 6 m, memikul beban
terbagi rata q = 1 kN/m dan beban terpusat P = 5 kN yang terletak di
tengah bentang. Tentukan geser maksimum di balok akibat gaya
geser.
Penyelesaian :
• Gaya geser maksimum
• Titik barat dan momen inersia :
• Tegangan geser maksimum yang terjadi di garis netral :
P
20 cm
30 cm
kNVPLqRRV
mak
VBVAmak
.5,55.6.1....
21
21
21
.21
=+=
+===
483121
21
21
105,4300.200.
.150.150.1530.
.100.1020.
mmxI
mmymmcmymmcmx
x
b
a
==
=======
222
8
3
21
2
/.103,0754
300)105,4.(2
105,5
42
mmNxx
yhIV
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
τ
τ
Bahan Ajar – Mekanika Bahan – Mulyati, ST., MT
VI‐15
Soal 4. Sebuah balok gantung ABC dengan panjang L = 6 m, dan panjang
bagian yang menggantung 2 m, memikul beban terbagi rata q = 1
kN/m. Tentukan tegangan geser maksimum di balok akibat gaya
geser
Penyelesaian :
• Reaksi perletakan dan gaya geser maksimum :
• Titik barat dan momen inersia :
• Statis Momen
6 m 2 m
A B
q
40 cm 40 cm
40 cm
20 cm
80 cm
makVB
VA
VkNxxR
kNxxR
===
==
.33,56
481
.67,26
281
410
2312123
121
.1074,1
43,21).800400(800.400.57,28).2001200(200.1200.
.57,3843,61100
.43,61)8040()20120(
)8040.(40)20120.(90
mmxI
xxI
cmy
cmxxxxy
x
x
a
b
=
+++=
=−=
=++
=
28
11
322
31211
/.1,2400)105,4(
68576000.5500.
.
.754728982
3,6143,614.4002
.
.685760002
8003,614800.4002
.
mmNxtI
QV
mmcctQ
mmhchtQ
mak
===
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
τ
Bahan Ajar – Mekanika Bahan – Mulyati, ST., MT
VI‐16
• Tegangan yang terjadi :
28
222
2
/.3,2400)105,4(
754728985500
2.
.2
.
..
mmNxx
I
cV
tI
cctV
tIQV
mak
makmak
==
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
==
τ
τ
28
11 /.1,2
400)105,4(68576000.5500
.. mmN
xtIQV
===τ