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MÓDULO

3

Geometría analítica

Contenido

1. Conceptos básicos

1.1. Elementos del plano cartesiano

1.2. Distancia entre dos puntos

1.3. Punto medio entre dos puntos

2. Lugares geométricos 2.1. Generación de lugares geométricos y sus ecuaciones

3. La línea recta 3.1. Pendiente de una recta

3.2. Rectas paralelas y perpendiculares

3.3. Modelos analíticos y gráficos de las ecuaciones de la recta

3.4. Distancia de un punto a una recta

4. Secciones cónicas 4.1. Circunferencia

4.2. Parábola

4.3. Elipse

4.4. Hipérbola

Bibliografía

1. Fuller, G. (1979). Geometría Analítica. México: CECSA 2. Lehmann, C. (1997). Geometría Analítica. Ed. LIMUSA 3. May, A., Pech, J., Reyna, L. (2002). Matemáticas 3. Trigonometría y Geometría Analítica Básicas. México:

Universidad Autónoma de Yucatán 4. Steen, F., Ballou, D. (1985). Geometría Analítica. México: Publicaciones Culturales, S.A. de C.V. 5. Swokowski, E. (2006). Algebra y trigonometría con geometría analítica. (11a. Ed.). Thomson.

CURSO DE NIVELACION ACADÉMICA - CALENDARIO DE ACTIVIDADES

ALGEBRA Del 12 al 16 de julio 8:00 A 12:30 HORAS

GEOMETRÍA PLANA Y TRIGONOMETRÍA

Del 19 al 23 de julio 8:00 A 12:30 HORAS

GEOMETRÍA ANALÍTICA Del 26 al 30 de julio 8:00 A 12:30 HORAS

PRECÁLCULO Del 2 al 6 de agosto 8:00 A 13:30 HORAS

Facultad de Matemáticas – UADY Curso de Nivelación en Matemáticas

Departamento de Matemática Educativa Módulo 3: Geometría Analítica

Julio – Agosto, 2010 1

1. CO�CEPTOS BÁSICOS

1.1. Elementos del plano cartesiano

A cada punto de un plano le asociamos una pareja de números (x,y), llamados coordenadas rectangulares o

cartesianas. Estas coordenadas son simplemente las distancias dirigidas desde un punto a dos rectas fijas, una

de ellas horizontal, llamada eje X, y la otra vertical, llamada eje Y. El punto de intersección de los ejes se

llama origen, se representa por la letra O y tiene como coordenada el punto (0,0).

A la primera coordenada se la denomina abscisa del punto o coordenada � del punto. La abscisa es la

distancia horizontal al eje vertical o de ordenadas. A la segunda coordenada se la denomina ordenada del

punto o coordenada y del punto. La ordenada es la distancia vertical al eje horizontal o de abscisas.

1.2. Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos ��(��, ��) y �(�, �) está dada por la fórmula:

( ) ( )221

221 yyxxd -+-=

1.3. Punto medio entre dos puntos

Si los puntos extremos de un segmento son (��, ��) y �(�, �), las coordenadas del punto medio del

segmento coinciden con la semisuma de las coordenadas de de los puntos extremos:

�� =��

, �� =

��

Ejercicios

1) Determina el perímetro del triangulo cuyos vértices son (-3, -1), (3, 4), (4, -1).

2) Calcular el valor de y si la distancia entre (7, 1) y (3, y) es 5.

3) Determinar las coordenadas del punto que equidista de los puntos fijos: (3, 3), (6, 2), (8, -2).

4) Los vértices de un triángulo son A(3, 8), B(2, -1) y C(6, -1). Si D es el punto medio del lado BC, calcula

la longitud de la mediana AD.

5) Uno de los extremos de un segmento es el punto (7, 8), y su punto medio es (4, 3). Calcula el otro

extremo.

6) Determina las coordenadas de p que está sobre la recta que pasa por los puntos A y B, sabiendo que la

distancia de P a B es el doble que la de P a A.




2. LUGAR GEOMÉTRICO

2.1. Generación de lugares geométricos y sus ecuaciones

Al conjunto de puntos de un plano (o espacio) que poseen cierta característica en común o que cumplen

ciertas condiciones dadas se denomina lugar geométrico.

Ejemplo 1: Circunferencia

Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una

distancia constante de un punto fijo de ese plano. El punto fijo se llama centro (P) y la distancia constante se

llama radio (r). (Ver Fig. 1).

Ejemplo 2: Mediatriz

Mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos.

�ota: El conjunto de puntos que conforman un lugar geométrico, se puede interpretar como un punto que se desplaza describiendo una trayectoria que cumple la característica del lugar geométrico.

2.1.1. Rectas paralelas a los ejes y recta identidad.

Actividad de inducción

1. Consideremos un punto que se mueve en el plano, en diferentes periodos de tiempo, con las siguientes

trayectorias:

Periodo 1: siempre permanece a cinco unidades de distancia del eje x

Periodo 2: siempre permanece a tres unidades de distancia del eje y

Periodo 3: siempre se encuentra a la misma distancia tanto del eje x como del eje y

a) Bosqueja la grafica del los lugares geométricos generados por el movimiento de ese punto.

b) Determina la ecuación de cada uno de los lugares geométricos.

A

B




2. Representa gráficamente cada uno de los lugares geométricos que se presentan en la tabla:

Descripción del lugar geométrico Representación gráfica

El lugar geométrico del punto que se mueve de

tal manera que su distancia al eje es siempre

la misma.


tal manera que su distancia al eje es siempre

la misma.


tal forma que su distancia al eje y al eje es

siempre igual.




Ejercicios propuestos

1. Determinar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x, y) cuya suma de cuadrados de las

distancias a los puntos fijos A (0, 0) y B (2, -4) sea igual a 20.

2. Dados dos puntos P1(2, 4) y P2(5, -3), determinar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x, y)

de manera que la pendiente de PP1 sea igual a la pendiente PP2 más la unidad.

3. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje Y disminuida en 3 es siempre igual al doble de su

distancia al eje X. Determinar la ecuación de su lugar geométrico y dar su interpretación geométrica.

4. Una vía férrea está situada entre dos pueblos A y B. La vía está más cerca del pueblo A que del pueblo B.

¿En qué lugar hay que colocar la estación, sobre la vía, para que esté a la misma distancia del pueblo A y

del pueblo B? Justifica tu respuesta

3. LA LÍ�EA RECTA

3.1. Pendiente de una recta

Se llama pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación.

� La pendiente de una recta se designa comúnmente por la letra m.

m = tan α donde � es el ángulo de inclinación

� Si P1(x1, y1) y P2(x2, y2) son dos puntos diferentes cualesquiera de una recta, la pendiente de la recta es:

21

21

21 ,-

-xx

xx

yym ≠=

Ejercicios

1. Calcular la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (−3, 2) y (7, −3).

2. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3, 2). La abscisa de otro punto de la recta es 4. Determinar su

ordenada.

3. La pendiente de una recta que pasa por el punto (3, 2) es igual a 4

3. Determina 2 puntos sobre la recta

que equidisten 5 unidades de A.

4. Por medio de pendientes explicar porqué los puntos A(-3, 4), B(3,2) y C(6, 1) son colineales.

A

B




3.2. Rectas paralelas y perpendiculares

Dadas dos rectas 1L y 2L con pendientes 1m y 2m respectivamente, ocurre que:

� Si son paralelas, entonces sus pendientes son iguales, es decir:

21 mm =

� Si son perpendiculares, entonces la pendiente de una de ellas es igual al recíproco de la pendiente de la

otra con signo contrario, es decir:

21 m

1-m = , o bien, 1-mm 21 = .

3.3. Modelos analíticos y gráficos de las ecuaciones de la recta

� Punto-pendiente

La ecuación de la recta que pasa por el punto )y,x(P 111 y cuya pendiente es m es:

)x-x(my-y 11 =

� Pendiente-ordenada en el origen

La ecuación de la recta de pendiente � y que corta al eje � en el punto (0, b) es:

bmxy +=

� General

Una ecuación de primer grado en las variables x e y se puede escribir de la forma:

0CByAx =++

En donde A, B y C son constantes arbitrarias. La pendiente de la recta escrita de esta forma es B

A-m = y su

ordenada en el origen es B

C-b= .

3.4. Distancia de un punto a una recta

La distancia de un punto )y,x(P 111 a una recta 0CByAx =++ se obtiene sustituyendo las coordenadas

del punto en la fórmula, donde , � � � son los coeficientes de los términos de la ecuación de la recta:

22

11

BA

CByAxd

+

++=




Ejercicios

1. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto A (1, 5) y tiene de pendiente 2. Bosqueja la

grafica de la recta.

2. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y es paralela a la recta determinada por los

dos puntos (4, 1) y (-2, 2). Bosqueja la grafica de la recta.

3. Determina la ecuación de la recta cuya abscisa y ordenada en el origen son 5 y -3, respectivamente.

Bosqueja la grafica de la recta.

4. Determina la ecuación de la recta cuya pendiente es –4 y que pasa por el punto de intersección de las

rectas 2� + � – 8 = 0 y 3� − 2� + 9 = 0. Bosqueja la grafica de la recta.

5. Determina la ecuación de la recta cuyos puntos equidistan de las dos rectas paralelas 12� – 5� + 3 = 0 y 12� – 5� – 6 = 0. Bosqueja la grafica de la recta.

6. Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos (−3, 1) � (1, 6), sabiendo que su ecuación

general es de la forma � − �� + 4 = 0

7. Cacular el valor de k para que la recta 03y)1k(xk 2 =+++ sea perpendicular a la recta

011-y2-x3 = . Bosqueja la grafica de la recta.

4. SECCIO�ES CÓ�ICAS

4.1. Circunferencia

Definición. La circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera

que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano.

El punto fijo se llama centro de la circunferencia, y la distancia constante se llama radio.




Ecuación ordinaria y gráficas de circunferencias con centro en y fuera del origen

Circunferencia con centro en

el origen (0, 0) y radio r. 222 ryx =+

Circunferencia con centro en

(h, k) y radio r. ( ) ( ) 222

rk-yh-x =+

Ecuación general de la circunferencia

Toda ecuación de la circunferencia se puede expresar por medio de una ecuación del tipo:

0FEyDxyx 22 =++++

Si dejamos la ecuación en la forma:

4

4

22

2222F-EDE

yD

x+

=

++

+

El centro es el punto (-D / 2, -E / 2) y el radio F4-ED2

1r 22 +=

Si 0F4-ED 22 >+ , la circunferencia es real.

Si 0F4-ED 22 <+ , la circunferencia es imaginaria.

Si 0F4-ED 22 =+ , el radio es cero y la ecuación representa al punto (-D / 2, -E / 2).

Ejercicios

1. Determinar si cada una de las siguientes ecuaciones representa una circunferencia. En caso de serla,

indica su centro y su radio.

a) 07y10x6-y2x2 22 =+++

b) 053y8-x28y4x4 22 =+++




� Foco: Es el punto fijo F.

� Eje Focal: Es la recta que pasa por el Foco y es

perpendicular a la Directriz. Representa el eje de

simetría de la parábola. También se conoce como el

eje de la parábola.

� Directriz: Es la recta perpendicular al eje focal. Es la

recta fija D.

� Vértice V: Punto de intersección de la curva con su eje

focal.

� Radio vector: segmento que une un punto cualquiera

de la parábola con el foco.

� Parámetro: Es la distancia del vértice al foco de la

parábola, se designa por la letra P.

� Lado recto: Es la secante que pasa por el foco y es

perpendicular al eje de la parábola. La longitud del

lado recto se designa como L.L.R = |4p|

� Excentricidad: e = 1

1

1

D

F

p LR

V

Radio vectora

b

c) 077y8x64-y16x16 22 =+++

2. Determina si las circunferencias 013y12x16-y4x4 22 =+++ y

055y36x48-y12x12 22 =+++ son concéntricas.

3. Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje X y que pasa por los puntos A(1, 3) y

B(4, 6).

4. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (-1, -4), (2, –1) y cuyo centro está sobre la

recta 05y7x4 =++ .

5. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (5, 9) y que es tangente a la recta

03-y2x =+ en el punto (1,1).

6. Una circunferencia de radio 5 pasa por los puntos (0, 2) y (7, 3). Halla su ecuación.

7. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (2, -2), (-2, -4) y (4, 2).

8. Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos vértices están determinados por las

intersecciones de las rectas 02y-x =+ , 01-y3x2 =+ , y 017-yx4 =+ .

4.2. Parábola

Definición. La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo y de

una recta fija del mismo plano. El punto fijo se llama Foco de la parábola y la recta fija es su directriz.

Si la grafica de la parábola fuera la figura de abajo, se identificarían los siguientes elementos:

Elementos de la parábola

x




Ecuaciones ordinarias

Parábola

con vértice

en el origen

O

Horizontal

Hacia la derecha

px4y 2 =

Foco: F(p, 0)

Directriz: x = -p

Hacia la izquierda

px4-y 2 =

Foco: F(-p, 0)

Directriz: x = p

Vertical

Hacia arriba

py4x2 =

Foco: F(0,p)

Directriz: y = -p

Hacia abajo

py4-x2 =

Foco: F(0,-p)

Directriz: y = p

Parábola

con Vértice

en (h, k)

Horizontal

Hacia la derecha

)h-x(p4)k-y( 2 =

Foco: F(h+p, k)

Directriz: x = h-p




Hacia la izquierda

)h-x(p4-)k-y( 2 =

Foco: F(h-p, k)

Directriz: x = h+p

Vertical

Hacia arriba

)k-y(p4)h-x( 2 =

Foco: F(h, k+p)

Directriz: y = k -p

Hacia abajo

)k-y(p4-)h-x( 2 =

Foco: F(h, k-p)

Directriz: y = k+p

Ecuación general de la parábola

Toda ecuación de la parábola vertical se puede expresar por medio de una ecuación del tipo:

02=+++ FEyDxAx

Con FyEDA ,, constantes.

Toda ecuación de la parábola horizontal se puede expresar por medio de una ecuación del tipo:

02=+++ FEyDxAy

Con FyEDA ,, constantes.




� Longitud del eje mayor (V1V2) = 2a

� Longitud del eje menor (B1B2) = 2b

� Distancia entre los focos (F1F2) = 2c

� Se cumple la siguiente relación entre los

parámetros a, b y c:

222 bac −=

� Longitud del lado recto (L.R.) = a

b2 2

� Excentricidad. 1<=

a

ce

LR

Ejercicios

1. Determina la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco el punto (3,0).

2. Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y directriz la recta x + 5 = 0.

3. Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X pasa por el punto (-2,4).

Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud de su

lado recto.

4. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos (-4,3) y (-1,3) respectivamente.

Hallar también la ecuación de su directriz y su eje focal.

5. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos (3,3) y (3,1) respectivamente.

6. La directriz de una parábola es la recta y – 1 = 0 y su foco es el punto (-4,3). Hallar la ecuación de la

parábola.

En los ejercicios 7 y 8, reduzca la ecuación de la parábola a su forma ordinaria y halle las coordenadas del

vértice y del foco, las ecuaciones de la directriz y del eje focal.

7. 4y2 – 48x – 20y = 71

8. 9x2 + 24x + 72y + 16 = 0

9. Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje focal es paralelo al eje X y que pasa por los puntos (0,0), (8,-4)

y (3,1).

10. Hallar la ecuación de la parábola con vértice en (4,-1), eje focal sobre la recta # + # = # y que pasa por

el punto (3,-3).

4.3. Elipse

Definición. La elipse es el lugar geométrico de un punto P(x, y) que se mueve sobre un plano de manera tal

que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es siempre constante. Los puntos fijos se llaman focos.

Elementos de la elipse





Elipse con

centro en

el origen

Horizontal 12

2

2

2

=+b

y

a

x

Vertical 12

2

2

2

=+a

y

b

x

Elipse con

centro en

(h, k)

Horizontal ( ) ( )

12

2

2

2

=−

+−

b

ky

a

hx

Vertical ( ) ( )

12

2

2

2

=−

+−

a

ky

b

hx

Ecuación general

Toda ecuación de la elipse se puede expresar por medio de una ecuación del tipo:

022=++++ FEyDxCyAx

Siempre que A y C sean del mismo signo.




Ejercicios

Halla la ecuación de la elipse y realiza un bosquejo de la gráfica :

a) );0,4(y )0,2( 11 VF

b) 2;12y )0,4(2 =− aF c) 5

3y )4,0(1 =eF

2. Halla los vértices, focos y excentricidad de la elipse y bosqueja la gráfica:

a) ;12516

22

=+yx

b) ;225259 22

=+ yx

c) .1243 22=+ yx

En los ejercicios 3-6 el centro de la elipse se encuentra en el origen:

3. Un foco de la elipse está en )4,0( − y el eje mayor es el doble del eje menor. Obtener su ecuación y

calcular su excentricidad.

4. Una elipse horizontal pasa por el punto )3,2( y su excentricidad es 2

1; obtener su ecuación.

5. Hallar la ecuación de la elipse horizontal que pasa por )2,6(y )3,4( −− .

6. Hallar la ecuación y la excentricidad de la elipse que tiene uno de sus vértices en )7,0( − y pasa por el

punto

3

14,5

7. Los focos de una elipse son los puntos ),0,3(),0,3( − y la longitud del lado recto es igual a 9. Hallar la

ecuación de la elipse.

8. Hallar la ecuación de la elipse si:

a) Los focos son: )2,3(y )8,3( , y la longitud del eje mayor es 10;

b) Los vértices son: )1,5(y )1,3( −−− , y su excentricidad es3

4;

c) Los vértices sobre el eje menor son )2,2(y )6,2( − , y la longitud del lado recto es 4.

9. Los vértices de una elipse son los puntos )1,7(y )1,1( y su excentricidad es 3

1 . Hallar la ecuación de la

elipse, su centro, las coordenadas de sus focos, las longitudes de su eje mayor y menor y la longitud de su

lado recto.

10. Los focos de una elipse son los puntos )2,3(y )8,3( , y la longitud de su eje menor es 8. Hallar la

ecuación de la elipse, su centro, las coordenadas de sus vértices y su excentricidad.

11. El centro de una elipse es el punto )1,2( − y uno de sus vértices es el punto )1,5( − . Si la longitud de cada

lado recto es 4, hállese la ecuación de la elipse, su excentricidad y las coordenadas de sus focos.

12. El centro de una elipse es el punto )4,2( − y el vértice y el foco son los puntos

)4,1(y )4,2( −−−− respectivamente. Hallar la ecuación de la elipse, su excentricidad, la longitud de su

eje menor y la de cada lado recto.




13. Reducir las siguientes ecuaciones a su forma ordinaria y determine las coordenadas del centro, vértices y

focos:

a) ;0211664 22=++−+ yxyx

b) ;037183294 22=+−++ yxyx

c) .032849 22=−−+ yyx

14. Hallar la ecuación de la elipse que pasa por los puntos )3,8(y )4,2( , )1,8( , )4,6( −−−− .

4.4. Hipérbola

Definición. La hipérbola es el lugar geométrico de un punto P(x, y) que se mueve en un plano de tal manera

que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos de un plano, llamados focos, es

siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos.

Elementos de la hipérbola

� Centro (C)

� Longitud del eje transverso (V1V2) = 2a

� Longitud del eje conjugado (B1B2) = 2b

� Distancia entre los focos (F1F2) = 2c

222 bac +=

� Longitud del lado recto = a

b22

� Excentricidad. 1>=a

ce





Hipérbola

con centro en

el origen

Horizontal

12

2

2

2

=−b

y

a

x

Asíntotas

xa

by ±=

Vertical

12

2

2

2

=−b

x

a

y

Asíntotas

xb

ay ±=

Hipérbola

con centro en

(h, k)

Horizontal

( ) ( )1

2

2

2

2

=−

−−

b

ky

a

hx

Asíntotas

Vertical

( ) ( )1

2

2

2

2

=−

−−

b

hx

a

ky

Asíntotas




Ecuación general

Toda ecuación de la hipérbola se puede expresar por medio de una ecuación del tipo:

Siempre que A y C sean de signo distinto.

Ejercicios

1. Determina los elementos de las siguientes hipérbolas:

a) 36y4x9 22=−

b) 36x4y9 22=−

c) 078x30yx3 22=++−

d) 01x2y4x 22=+−−

2. Los vértices de una hipérbola son V1(2,0), V2(-2,0), y sus focos los puntos F1 (3,0), F2(-3,0). Hallar su

ecuación y su excentricidad.

3. El centro de una hipérbola está en el origen, y su eje transverso está sobre el eje Y. Si un foco es el punto

(0,5) y la excentricidad es igual a 3, hállese la ecuación de la hipérbola y la longitud de cada lado recto.

4. Los extremos del eje conjugado de una hipérbola son los puntos (0,3) y (0,-3) y la longitud de cada lado

recto es 6. Hallar la ecuación de la hipérbola y las coordenadas de sus focos.

5. Una hipérbola tiene su centro en el origen y su eje transverso sobre el eje X. Hallar su ecuación sabiendo

que su excentricidad es √6

2 y que la curva pasa por el punto (2,1).

6. Una hipérbola tiene su centro en el origen y su eje conjugado está sobre el eje X. La longitud de cada lado

recto es 2/3, y la hipérbola pasa por el punto (-1,2). Hallar su ecuación.

7. Los vértices de una hipérbola son los puntos (-1,3) y (3,3) y su excentricidad = 3/2. Hallar la ecuación de

la hipérbola, las coordenadas de sus focos, y las longitudes de sus ejes transverso y conjugado y de cada

lado recto.

8. Los focos de una hipérbola son los puntos (4,-2) y (4,-8) y la longitud de su eje transverso es 4. Hallar la

ecuación de la hipérbola, la longitud de su lado recto y su excentricidad.

9. Reducir la ecuación dada a la forma ordinaria de la ecuación de la hipérbola y determinar las coordenadas

del centro, vértices y focos, las longitudes de los ejes transverso y conjugado y del lado recto, la

excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas.

0FyExDyCxA 22 =++++




Miscelánea de ejercicios

1. Para cada una de las siguientes ecuaciones generales, determina por simple inspección la curva que se

presenta: Recta, Circunferencia, Parábola, Elipse o Hipérbola.

a) 043161849 22=−++− yxyx

b) yyxx +−=−22

c) 1433 22=++ xyx

d) 035 =++ yx

e) 86222=−−− yxyx

f) 0612633 22=+−++ yxyx

g) 4

3

2

1−= xy

h) 741025 22+−=−+ yxyx

i) 18623 22+=+−− yxyx

j) 0222=−− yxy

2. Para cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas generales determina si se trata de una

circunferencia, elipse o hipérbola con centro en el origen o fuera del origen, en caso de ser una parábola

con vértice en el origen o fuera del origen

a) 2322−=++ yxyx

b) yx 202=

c) 100254 22=− yx

d) yxyx 8253 22+=++

e) 017862=+−− xyy

f) 04442 22=+++− yxyx

g) 22 22=+ yx

h) 0822=−+ yx




Para cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas generales determina si se trata de una parábola, elipse

o hipérbola y si es horizontal o vertical.

a) 043161849 22=−++− yxyx

b) 741025 22+−=−+ yxyx

c) 18623 22+=+−− yxyx

d) 144169 22=− xy

e) yxyx 8253 22+=++

f) 0222=−− yxy

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