matriks (cont’d - ub
TRANSCRIPT
Matriks (Cont’d)
Transformasi (operasi) Elementer pada Baris danKolom Matriks
Transformasi Elementer pada matriks adalah:
• Penukaran tempat baris ke i dan ke j (baris ke i dijadikan bariske j dan baris ke j dijadikan baris ke i), ditulis Hij(A)
• Penukaran tempat kolom ke i dan kolom ke j (kolom ke idijadikan kolom ke j atau sebaliknya), ditulis Kij (A)
12((A)H
1 2 0
A 1 2 0
0 1 a 0 1
2
2 3
a
3 1
1
H12(A) berarti menukar baris ke-1matriks A dengan baris ke-2
23((A)K
0 0
1 1
1 1
1 2 1 2
A 2 3 2 3
0 1 0 1
K23(A) berarti menukar kolom ke-2matriks A dengan kolom ke-3
• Mengalikan baris ke i dengan skalar ≠ 0, ditulis
Hi (A). Mengalikan kolom ke i dengan ≠ 0, ditulis Ki (A)
• Menambah kolom ke-i dengan kali kolom ke-j, ditulis Kij (A) dan menambah baris ke-i dengan kali baris ke-j,
ditulis Hij (A).
)(
)(
)(
H K( 2) (1/2)2 3
1 2 0 1 2 0 1 2 0
A 2 3 1 (A) (A) 2 3 1/2
0 1 1 0
4
1 1 0 1 1/2
6 2
)(
H K
( 1) (2)23 31
2 3 3 1
(A) (A)
H ( 1*H ) K (2*K )
1 2 0 1 2 0 1 2
A 2 3 1 2 2
0 1 1 0 1 1 0
2
2 2 0 4
11
Transformasi (operasi) Elementer pada Baris danKolom Matriks
• Jika transformasi elementer hanya terjadipada baris saja disebut ELEMENTER BARIS
• jika transformasi terjadi pada kolom sajadisebut ELEMENTER KOLOM
Transformasi (operasi) Elementer pada Baris danKolom Matriks
Latihan 1
3 1 2 1
A= 4 1 0 2 ,carilah matrik B yang dihasilkan dari
1 3 0 1
sederetan transformasi elementer
. Carilah B tersebut.
(-1) (2)H , H , H ,31 2 12
(1)K41
• Penyelesaian
( 1)31
(2)2 12
H
H H
4 1 0 2
3 1 2 1 3 1 2 1
4 1 0 2
1 3 0 1 -2 2 -2 0
3 1 2 1 8 2 0 4
8 2 0 4 3 1
-2 2 -2 0
(1)41K 2
2 1
-2 2 -2 0
8 2 0 12
3 1 4
-2 2 -2 -2
Latihan 2
(-1) (1/2)12 31 13 2
2 2 1 2
B= 6 0 4 2 ,diperoleh dari A dengan sederetan
1 2 3 1
transformasi elementer berturut-turut: H ,H ,K ,K .
Carilah A.
Determinan
• Setiap matriks persegi atau bujur sangkar memiliki nilaideterminan
• Nilai determinan dari suatu matriks merupakan suatuskalar.
• Jika nilai determinan suatu matriks sama dengan nol,maka matriks tersebut disebut matriks singular.
• Misalkan matriks A merupakan sebuah matriks bujursangkar
• Fungsi determinan dinyatakan oleh det (A)
• Jumlah det(A) disebut determinan A
• det(A) sering dinotasikan |A|
• Pada matriks 2x2 cara menghitung nilaideterminannya adalah :
• Contoh :
2221
1211
aa
aaA
21122211)det( aaaaA
31
52A 156)det( A
2221
1211)det(
aa
aaA
31
52)det( A
Determinan
• Pada matriks 3x3 cara menghitung nilaideterminannya adalah menggunakan MetodeSarrus
• Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi3x3
122133112332132231322113312312332211)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaaA
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Determinan
• Contoh :
• Nilai Determinan dicari menggunakan metodeSarrusdet(A) = (-2·1 ·-1) + (2 ·3 ·2) + (-3 ·-1 ·0) – (-3 ·1 ·2) –
(-2 ·3 ·0)-(2 ·-1 ·-1)= 2 +12+0+6-0-2= 18
102
311
322
A
Determinan
• Metode Cramer (orde 3 x 3)
Determinan
• Misalkan
• Determinan hanya untuk matriks bujur sangkar• Untuk order lebih dari 2, digunakan pengertian
minor dan kofaktor.
• Ilustrasi:
• Minor komponen adalah
• Kofaktor komponen adalah
det A = | A | = ad-bc
Minor adalah bagian matrik terkecil dengan dimensi 2x2 dari suatu matrik bujursangkar yang sama atau lebih dari dimensi 3x3.
Kofaktor adalah nilai skalar permutasi dari minor
Determinan : Minor-Kofaktor
• Yang dimaksud dengan MINOR unsur aij adalahdeterminan yang berasal dari determinan orde ke-n tadidikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j.
• Dinotasikan dengan Mij
• Contoh Minor dari elemen a₁₁
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A3332
2322
11aa
aaM
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
444342
343332
242322
11
aaa
aaa
aaa
M
Minor
• Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskandengan
Contoh :• Kofaktor dari elemen a11
2323
32
23 )1( MMc
Kofaktor
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris• Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3
• Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktorbaris pertama|A|
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11
131312121111
131312121111
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
MaMaMa
cacaca
Determinan
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom• Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3
• Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktorkolom pertama|A|
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
2322
1312
31
3332
1312
21
3332
2322
11
313121211111
313121211111
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
MaMaMa
cacaca
Determinan
sehingga determinan matriks A adalah = 36 + 12 + 16 = 64
Mencari determinan matriks A dengan kofaktor
36
-4
3
0= 3 x (-1)1+1 x (6x0 - 3x-4) = 36
21
2
3
0= 2 x (-1)1+2 x (1x0 - 3x2) = 12
-11
2
6
-4= -1 x (-1)1+3 x (1x-4 - 6x2) = 16
i = 1, j = 1
i = 1, j = 2
i = 1, j = 3
• Matriks invers dari suatu matriks A adalahmatriks B yang apabila dikalikan denganmatriks A memberikan satuan I
• AB = I• Notasi matriks invers :• Sebuah matriks yang dikalikan matriks
inversenya akan menghasilkan matriksatuan
1A
IAA 1
Invers matriks
• Invers matriks (ordo 2 x 2)
1 1invers A
det(A)
ket :
-1
a bA =
c d
d -b
-c a
A = invers matriks A
det(A) = determinan dari matriks A
Invers matriks
Contoh soal
1 !
3 5A =
1 2
tentukan A
• Invers matriks (ordo 3 x 3)
-1
a a a
A = a a a
a a a
A = invers matriks A
Adj(A) = matriks Adjoin dari A (transpos dari matriks kofaktor A)
det(A) = deter
11 12 13
21 22 23
31 23 33
1 1invers A Adj(A)
det(A)
ket :
minan dari matriks A
Invers matriks
22 23 12 13 12 13
32 33 32 33 22 23
21 23 11 13 11 13
31 33 31 33 21 23
21 22 11 12 11 12
31 32 31 32 21 22
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a aAdj(A) =
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A = a a a
a a a
Menentukan adjoin
Latihan 3
1 2 -1
HItunglah invers matriks A = 0 -2 3
-3 4 5
b.
c. d.
tentukan invers dari matriks berikut :
2 4 3 2a.
4 7 10 7
2 0 3 1 0 1
1 4 5 2 3 7
0 2 -1 4 1 6
Latihan 4
Penyelesaian persamaan matriks
• Penyelesaian persamaan matriks berbentuk A.X = B atau X.A = B, dengan A, B, dan X adalahmatriks-matriks berordo 2x2, dan matriks A adalah matriks nonsingular, sehingga matriks A mempunyai invers (A-1).
1. Persamaan bentuk A.X = B
Untuk persamaan A.X = B, kalikan persamaanmatriks tersebut dengan A-1 dari arah kiri.
A-1.(A.X) = A-1 .B
(A-1.A).X = A-1 .B
I.X = A-1 .B (sebab A-1 .A = I)
X = A-1 .B (sebab I.X = X.I = X)
Jadi, jika A.X = B, maka X = A-1 .B
2. Persamaan bentuk X.A = B
Untuk persamaan X.A = B, kalikan persamaanmatriks tersebut dengan A-1 dari arah kanan.
(X.A) A-1 = B. A-1
X.(A. A-1) = B. A-1
X.I = B. A-1 (sebab A.A-1 = I)
X = B. A-1 (sebab I.X = X.I = X)
Jadi, jika X.A = B, maka X = B. A-1
Contoh
• Metode Cramer
Penyelesaian sistem persamaan linear
i
i
i
AX
A
A
dengan Xi = bilangan yang tidak diketahui ke-i
= nilai determinan dari A (matriks koefisien)
yang kolom ke-i sudah d
A
iganti dengan
matriks H atau matriks konstanta
= nilai determinan matriks A
Contoh soal
Penyelesaian sistem persamaan linear
ax by puntuk
cx dy q
x p
y q
persamaan linear berbentuk :
dapat diubah menjadi perkalian matriks sbb :
a b a b dengan masing-masing ruas dikalikan invers matriks
c d c
1 1
1
x p
y q
x p
y q
x
y
d
diperoleh :
a b a b a b
c d c d c d
1 0 a b
0 1 c d
p1
qad bc
d -b
-c a
• Metode Invers
Contoh soal
Latihan 5
1. Diketahui matriks
2 1 5 7A = dan B =
3 4 11 3
a. Tentukan matriks X ordo 2x2, sehingga A.X=B
b. Tentukan matriks X ordo 2x2 sehingga X.A=B
2. Tentukan himpunan dari sistem p
x y z 32x 3y 1
2x y z 53x y 5
x 2y z 7
ersamaan berikut :
a. b.
Eigenvalue-Eigenvector
• Jika A adalah sebuah matriks n kali n, makasebuah vektor yang tak nol x berukuran n kali 1 di dalam Rn dinamakan vektor eigen dari A jikaAx adalah kelipatan skalar dari x, yaitu:
Ax = λx
untuk suatu skalar λ, Ax sebuah vektorberukuran n kali 1.
Skalar λ dinamakan nilai eigen dari A dan x dikatakan sebuah vektor eigen yang bersesuaian dengan A
Contoh soal :
1. Buktikan vektor adalah vektor eigen dari
dan tentukan nilai eigennya!
Jawab :
Untuk membuktikannya dilakukan dengan caramengalikan matrik dengan vektor, sehingga diperolehhasil kelipatan dari vektor itu sendiri.
1 4
2 3A
2
-1x
1 4 2 -2 21
2 3 -1 1 -1Ax
vektor eigen
nilai eigen
Cara menentukan nilai eigen dari A
Untuk mencari nilai eigen dari matrik A yang berukuran n kali n yang memenuhi persamaan :
Ax = λx dapat ditulis sebagai :
Ax = λI.x atau ekuivalen : (λI – A)x = 0
Sistem persamaan tersebut memiliki jawaban bukannol , jika dan hanya jika :
Ini disebut sebagai persamaan karakteristik
(polinomial dalam λ)
0I A
2. Carilah nilai eigen dari :
Jawab :
Persamaan karakteristik :
= (λ)(λ-2)(λ-3) - (-2(λ-2)) = (λ-2) (λ(λ-3)+2)=0
= (λ-2)((λ-2)(λ-1))= 0 λ=2 dan λ= 1
Nilai-nilai eigen: 1 dan 2
0 0 -2
1 2 1
1 0 3
A
1 0 0 0 0 -2 0 2
0 1 0 1 2 1 -1 -2 -1 0
0 0 1 1 0 3 -1 0 -3
I A
Menentukan vector eigen
1. Diberikan vektor matriks A dan salah satu nilai eigennya, misalnya λ= 3. Tentukan semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 3.
1 2 3
3
1 2 3
2 0
3 0
2 2 0
x x x
x
x x x
1
2 ,
0
a a R
1
2
3
1 3 1 1 0
( 3 ) 0 3 3 3 0
2 1 1 3 0
x
A I x x
x
(A - 3 I)x = 0
Penyelesaian 1
2
3
2
0
x a
x a
x
Himpunan vektor eigen A bersesuaian dengan λ =3 :
Himpunanpenyelesaian
1
2 , 0,
0
a a a R
1 3 1 1
3 0 3 3 3
2 1 1 3
A I A I
1 1 1
0 3 3
2 1 1
A
2. Carilah nilai-nilai eigen dan basis-basis untuk
matriks A :
Jawab :
Persamaan karakteristik :
det (λI – A)= 0
(λ-3)(λ) – (1)(-2)=0
λ 2- 3 λ + 2 = 0 Nilai eigen : λ1 = 2, λ2 = 1
3 2
-1 0A
1 0 3 2 -3 -2
0 1 -1 0 1 I A
Ruang vektor :
Untuk λ1 = 2 diperoleh :
-x1 – 2x2 = 0
x1 + 2x2 = 0
Jadi vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan λ adalah
vektor tak nol :
Jadi untuk λ=2, basisnya adalah :
1
2
-3 -2 0
1 0
x
x
1
2
-1 -2 0
1 2 0
x
x
x1 = –2x2
-2s -2
s 1x s
-2
1
Latihan 6
2 11. Tentukan nilai eigen dari matriks A =
3 2
3 22. Tentukan vector eigen dari matriks A =
-1 0