mÓdulo iv Álgebra inecuaciones · propiedades de orden • propiedad i: suma de una constante si...

ANEXO CIU 2019

DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA PRODUCCIÓN E INNOVACIONES

TECNOLÓGICAS:

LICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS

TECNICATURA EN ANALISTA PROGRAMADOR UNIVERSITARIO

MÓDULO IV

ÁLGEBRA

INECUACIONES

Universidad Nacional de José C. Paz Secretaría Académica

Dirección General de Acceso y Apoyo al Estudiante Equipo de Coordinación y Asesores de Matemática Ciclo de Inicio Universitario

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INECUACIONES

Definición: Una inecuación es una desigualdad compuesta por dos expresiones algebraicas, relacionadas por los signos de orden, menor (<), menor e igual (≤), mayor (>) o mayor e igual (≥). Las inecuaciones pueden tener una o más incógnitas (variables). Las soluciones de una inecuación son los valores que puede tomar la incógnita tales que al sustituirlos en la inecuación la conviertan en una desigualdad cierta. Las inecuaciones se aplican principalmente en los problemas de decisión en la vida diaria, esto cuando hay más de una alternativa que satisfaga el problema. La inecuación trata de programar una situación con el objeto de decidirse por una alternativa óptima, donde se busca encontrar el máximo o el mínimo, según sea el problema planteado. Ejemplos:

i) 𝑥𝑥 + 4. (𝑥𝑥 – 2) >0 Inecuación lineal con una incógnita ii) 𝑥𝑥2 – 4𝑥𝑥 + 6 ≤ 0 Inecuación de 2º grado con una incógnita iii) 8𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 < −2 Inecuación lineal con dos incógnitas

Propiedades de orden

• Propiedad I: Suma de una constante Si a 5 < 10 El signo < se conserva.

• Propiedad II: Resta de una constante Si a –3 < 2 El signo < se conserva

• Propiedad III: Producto por una constante Factor positivo Si a 0 → a .c < b.c

Ejemplo: –1< 2 multiplicamos por 3 en ambos miembros – 1 .3 < 2 .3 => –3 < 6

Ejemplo: –3< -1 multiplicamos por 3 en ambos miembros – 3 .3 < -1 .3 => –9 < -3

En ambos casos multiplicamos por un valor de c =3, o sea positivo (c >0) y el signo de la

desigualdad se ha conservado.

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• Propiedad III: Producto por una constante Factor negativo Si a b.c

Ejemplo: –1< 2 multiplicamos por -3 en ambos miembros – 1. (-3) < 2. (-3) => –3 > -6

Ejemplo: –3< -1 multiplicamos por -3 en ambos miembros – 3. (-3) < -1. (-3) => 9 > 3

En ambos casos multiplicamos por un valor de c = -3, o sea negativo (c <0) en consecuencia

el signo de la desigualdad es de sentido contrario.

• Propiedad IV: División por una constante Factor positivo Si a 0 → a :c < b:c

Ejemplo: –6 < 9 dividimos por 3 en ambos miembros – 6:3 < 9:3 => –2 < 3

Ejemplo: –15 < -12 dividimos por 3 en ambos miembros – 15:3 < -12:3 => –5 < -4

En ambos casos dividimos por un valor de c =3, o sea positivo (c >0) y el signo de la

desigualdad se ha conservado.

• Propiedad IV: División por una constante Factor negativo Si a b.c

Ejemplo: –6 < 9 dividimos por -3 en ambos miembros – 6:(-3) < 9:(-3) => 2 > -3

Ejemplo: –15 < -12 dividimos por -3 en ambos miembros – 15:(-3) < -12:(-3) => 5 > 4

En ambos casos dividimos por un valor de c = -3, o sea negativo (c <0) en consecuencia

el signo de la desigualdad es de sentido contrario.

Estas propiedades son también válidas para “mayor”, “menor o igual” y “mayor o igual”

Intervalos de números reales. Definición. Llamamos intervalos a todo subconjunto de números reales. Dados dos números reales a y b tales que a < b, se llama intervalo cerrado [a; b] al

conjunto de los números reales mayores o iguales que a y a la vez menores o iguales que

b. Es decir, el número a, el número b y todos los comprendidos entre a y b.

La notación que se suele usar es: [a; b], por lo tanto

[a; b] = {x/ x є ℝ Λ a ≤ x ≤ b}

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Los números a y b se llaman extremos del intervalo y los otros, números o puntos interiores.

Dados dos números reales a y b tales que a < b, se llama intervalo abierto (a; b) al conjunto de los números reales mayores que a y a la vez menores que b. Es decir, ni el número a, ni el número b corresponden al intervalo, pero si todos los comprendidos entre a y b.

La notación que se suele usar es: (a; b) por lo tanto

(a; b) = {x/ x є ℝ Λ a < x < b}

Para indicar un intervalo semi abierto o semi cerrado, lo hacemos a través de las siguientes maneras:

[a; b)= {x/ x є ℝ Λ a ≤ x < b}

(a; b] = {x/ x є ℝ Λ a < x ≤ b}

Resumiendo hasta aquí lo que hemos desarrollado, en cuanto a intervalos se refiere, gráficamente, el punto “lleno” indica que el mismo pertenece al conjunto solución, y el punto “vacío” que no pertenece. Según la notación utilizada, significan lo mismo:

Los paréntesis, los signos < o > y el punto vacío. Los corchetes, los signos ≤ o ≥ y el punto lleno.

Para nombrar a todos los números reales mayores, mayores e iguales, menores o menores e iguales que “a”, se usan los siguientes intervalos infinitos.

• [a; +∞) = {x /x є ℝ Λ x ≥ a} • (a; +∞) = {x /x є ℝ Λ x > a} • (-∞ ; a] = {x /x є ℝ Λ x ≤ a} • (-∞ ; a) = {x /x є ℝ Λ x < a}

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Actividad Nº1 Indicar V (verdadero) o F (falso) en cada caso. Fundamenta tu respuesta.

i) El número 15 , pertenece al intervalo ( 𝟏𝟏

𝟓𝟓 ; +∞)

ii) Si sumamos o restamos el mismo número a ambos miembros de la inecuación, se mantiene la desigualdad.

iii) La inecuación 2𝑥𝑥 < 5 es equivalente a 𝑥𝑥 > 52

Actividad Nº2 Representa cada uno de los siguientes intervalos de números reales.

i) (−2; 4) ii) [−2; +∞)

iii) (−∞; 3 ) iv) (−∞; 3) U ( 5; +∞) v) (−∞; 0) U ( 1; +∞) vi) [2; +∞) ∩ (−2; 4) vii) (−∞; 5) ∩ ( −3; +∞)

Actividad Nº3 Indicar los siguientes conjuntos de números reales como un intervalo y representarlo en la recta numérica.

i) 3 < 𝑥𝑥 ≤ 7 ii) 𝑥𝑥 ≥ 8 iii) 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 5,3 iv) 𝑥𝑥 < − 20 v) 1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 15 vi) 0 < 𝑥𝑥 ≤ 13

Resolución de inecuaciones de primer grado Resolver una inecuación de primer grado con una incógnita, x, es similar a resolver una ecuación de primer grado con esa misma incógnita. La interpretación gráfica de la solución de una inecuación de primer grado en x es un intervalo en la recta numérica. El objetivo es, entonces, despejar la variable x, respetando las normas de las propiedades enunciadas, anteriormente, para las desigualdades.

Veamos algunos ejemplos:

En todos ellos resolveremos la inecuación y te daremos las soluciones como conjunto solución, en forma de intervalo y gráfica.

a) 10𝑥𝑥 + 16 – 6𝑥𝑥 < 26 – 4𝑥𝑥 + 14 10𝑥𝑥 – 6𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 < 26 + 14 – 16 8𝑥𝑥 < 24 𝑥𝑥 < 24 ∶ 8 => 𝑥𝑥 < 3 Solución:{x∈ ℝ / x<3} Solución:(−∞;𝟑𝟑 )

5

b) 4. (𝑥𝑥 – 3) – 6𝑥𝑥 < 6 – 2. (−5𝑥𝑥 – 9)

4𝑥𝑥 – 12 – 6𝑥𝑥 < 6 + 10𝑥𝑥 + 18

4𝑥𝑥 – 6𝑥𝑥 – 10𝑥𝑥 < 6 + 18 + 12 −12𝑥𝑥 < 36 𝑥𝑥 > 36: (−12) => 𝑥𝑥 > −3

Solución:{x∈ ℝ / x> -3} Solución:(−𝟑𝟑; +∞ )

c) 52 + 5𝑥𝑥 ≥

43 𝑥𝑥 + 8

5𝑥𝑥 - 43 𝑥𝑥 ≥ 8 - 5

2

113

𝑥𝑥 ≥

𝑥𝑥 ≥ 112

: 113

=> 𝑥𝑥 ≥ 32 Solución:{𝑥𝑥 ∈ ℝ / 𝑥𝑥 ≥ 3

2} Solución: [ 32 ; +∞ )

d) 1−𝑥𝑥3− 1 > 𝑥𝑥+2

2

1−𝑥𝑥−1.33

> 𝑥𝑥+22

Buscamos el común denominador en el primer miembro

−𝑥𝑥−23

> 𝑥𝑥+22

Operamos con términos semejantes (−𝑥𝑥 − 2). 2 > 3. (𝑥𝑥 + 2) Propiedad fundamental de la proporciones −2𝑥𝑥 − 4 > 3𝑥𝑥 + 6 Aplicamos propiedad distributiva −2𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 > 6 + 4 Trasponemos términos −5𝑥𝑥 > 10 Operamos con términos semejantes 𝑥𝑥 < 10 ∶ (−5) Invertimos el signo de la desigualdad, pues el factor del primer miembro es negativo (-5) 𝒙𝒙 < −2 Solución: {𝑥𝑥 ∈ ℝ / 𝑥𝑥< -2} Solución:(−∞;−𝟐𝟐)

Recuerda: Al resolver una inecuación debemos tener en cuenta que, al trasponer un factor o divisor negativo, se invierte el signo de la desigualdad. (Propiedad III)

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e) 𝟓𝟓 𝒙𝒙−𝟑𝟑𝒙𝒙−𝟐𝟐

> 4

Caso 1: Si el denominador es positivo la desigualdad no cambia, esto es, si x – 2 >0 (a)

Tenemos entonces: 5𝑥𝑥 – 3 > 4. (𝑥𝑥 – 2)

5𝑥𝑥 – 3 > 4𝑥𝑥 – 8

5𝑥𝑥 – 4𝑥𝑥 > −8 + 3 => 𝒙𝒙 > −𝟓𝟓, pero 𝑥𝑥 – 2 > 0 según (a) => 𝒙𝒙 > 𝟐𝟐

Dadas las dos restricciones, la solución para este caso es la intersección de ambas, es decir x > 2

Caso 2: Si el denominador es negativo la desigualdad si cambia, esto es, si x – 2 <0 (b)

Tenemos entonces: 5𝑥𝑥 – 3 < 4. (𝑥𝑥 – 2)

5𝑥𝑥 – 3 < 4𝑥𝑥 – 8

5𝑥𝑥 – 4𝑥𝑥 < −8 + 3 => 𝒙𝒙 < −𝟓𝟓, pero 𝑥𝑥 – 2 <0 según (b) => 𝒙𝒙 < 𝟐𝟐

Dadas las dos restricciones, la solución para este caso es la intersección de ambas, es decir 𝒙𝒙 < −𝟓𝟓

Considerando ambos resultados, el conjunto solución es:

Solución:{x∈ ℝ/ 𝑥𝑥 < -5 ⋁ 𝑥𝑥 > 2} Solución:(-∞; −𝟓𝟓) ∪ (2; +∞)

Inecuaciones donde el cociente o el producto entre dos factores son menores,

menores o iguales, mayores o mayores e iguales que cero.

f) (𝑥𝑥 – 4). (𝑥𝑥 – 1) > 0

Para que se cumpla la desigualdad, es decir, que el producto sea mayor que cero o positivo, ambos factores (𝑥𝑥 – 4) y (𝑥𝑥 – 1), deben ser positivos (mayores que cero) o los dos negativos (menores que cero). Las soluciones parciales estarán dadas por la intersección de las soluciones obtenidas a partir de las dos inecuaciones (a y b) y la solución final, será la unión de las soluciones dos parciales.

a) 𝑥𝑥 – 4 > 0 ⋀ 𝑥𝑥 – 1 > 0 V b) 𝑥𝑥 – 4 < 0 ⋀ 𝑥𝑥 – 1 < 0

𝑥𝑥 > 4 ⋀ 𝑥𝑥 > 1 V 𝑥𝑥 < 4 ⋀ 𝑥𝑥 < 1

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Solución parcial (a): {x ∈ ℝ/ x > 4} Solución parcial (b):{ x ∈ ℝ/ x < 1}

La solución de la inecuación es la unión de ambas soluciones parciales:

Solución: {𝑥𝑥 ∈ ℝ/ 𝑥𝑥 > 4 V 𝑥𝑥 < 1} Solución: :(-∞; 𝟏𝟏) ∪ (4; +∞)

g) 4𝑥𝑥−2𝑥𝑥−6

< 0

Para que se cumpla la desigualdad, es decir, que el cociente sea menor que cero o negativo, el numerador (4x – 2) y el denominador (x – 6), deben ser ambos de diferente signo.

a) 4𝑥𝑥 – 2 > 0 ⋀ 𝑥𝑥 – 6 < 0 V b) 4𝑥𝑥 – 2 < 0 ⋀ 𝑥𝑥 – 6 > 0 4𝑥𝑥 > 2 ⋀ 𝒙𝒙 < 𝟔𝟔 V 4𝑥𝑥 < 2 ⋀ 𝒙𝒙 > 𝟔𝟔 𝑥𝑥 > 2: 4 V 𝑥𝑥 < 2: 4

𝒙𝒙 > 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒙𝒙 < 𝟏𝟏

𝟐𝟐

Solución parcial (a): {𝑥𝑥 ∈ ℝ/ 12 < 𝑥𝑥 <6} Solución parcial (b): ∅

La solución final es la unión de ambas soluciones. Como una de las soluciones es el vacío (∅), nos queda:

Solución: {𝑥𝑥 ∈ ℝ/ 12 < 𝑥𝑥 <6} Solución: (

12 ; 6)

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Actividad Nº4 Resolver cada una de las siguientes inecuaciones e indicar el conjunto solución en forma de intervalo y representar gráficamente.

𝟔𝟔 – 𝟓𝟓𝒙𝒙 ≥ 𝟕𝟕 𝟓𝟓𝒙𝒙 – 𝟐𝟐𝟓𝟓 ≥ 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒

𝟏𝟏𝟔𝟔 – 𝟕𝟕𝒙𝒙 ≥ 𝟏𝟏𝟒𝟒𝒙𝒙 – 𝟒𝟒 3. (2𝑥𝑥 + 1) > 2. (1 – 3𝑥𝑥)

𝟏𝟏𝟕𝟕– 𝟒𝟒𝒙𝒙 ≤ 𝟖𝟖𝒙𝒙 – 𝟕𝟕 4𝑥𝑥 – 6 >

20 𝑥𝑥−34

– 𝟒𝟒𝒙𝒙 < −𝟖𝟖 4𝑥𝑥 –

2.( 𝑥𝑥−1)3

< 1 𝒙𝒙 – 𝟒𝟒 < − 𝟓𝟓 + 𝟖𝟖𝒙𝒙

5 𝑥𝑥−23

– 𝑥𝑥−84

> 𝑥𝑥+ 142

− 2

𝟒𝟒.𝟏𝟏𝟓𝟓𝒙𝒙 – 𝟐𝟐𝟓𝟓 ≥ 𝟑𝟑𝟓𝟓𝟒𝟒

𝑥𝑥2

+𝑥𝑥+17

– 𝑥𝑥 + 2 < 0

𝟑𝟑𝒙𝒙

< 𝟐𝟐

4𝑥𝑥+ 1𝑥𝑥

< 0

𝟐𝟐𝒙𝒙+ 𝟏𝟏𝒙𝒙+𝟑𝟑

> 𝟑𝟑

−2𝑥𝑥𝑥𝑥−1

< 0

𝒙𝒙+ 𝟏𝟏𝒙𝒙−𝟏𝟏

< 1

2𝑥𝑥. (𝑥𝑥 + 1) < 𝑥𝑥. (𝑥𝑥 + 3)

𝟑𝟑. ( 𝒙𝒙 – 𝟐𝟐). ( 𝒙𝒙 – 𝟑𝟑) ≤ 𝟒𝟒

(𝑥𝑥 − 1). (𝑥𝑥 + 2) ≤ 0

Inecuaciones con módulo

Para resolver inecuaciones con módulo, recurrimos a las siguientes propiedades:

1) |𝑥𝑥| < 𝑎𝑎 => −𝑎𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑎𝑎

Esta propiedad nos dice que cuando el valor absoluto de la variable es menor que un valor fijo determinado, éste se encuentra en el intervalo entre el negativo y positivo del valor definido.

2) |𝑥𝑥| > 𝑎𝑎 => 𝑥𝑥 > 𝑎𝑎 ∨ 𝑥𝑥 < −𝑎𝑎

Para este caso el valor absoluto de la variable es mayor que un valor fijo determinado, ésta puede ser mayor que el positivo o menor que el negativo del valor fijo definido.

Estas propiedades se extienden para el “mayor o igual” y el “menor o igual” .

Veamos algunos ejemplos:

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a) |𝑥𝑥 − 5| < 2 Aplicando la propiedad 1 y resulta: −2 < 𝑥𝑥 – 5 < 2 −2 + 𝟓𝟓 < 𝑥𝑥 < 2 + 𝟓𝟓 Trasponemos términos 3 < 𝑥𝑥 < 7 Operamos con términos semejantes Solución: {x ∈ ℝ/ 3 < x <7} Solución: (3 ; 7)

b) |2𝑥𝑥 − 1| ≥ 6 Aplicamos la propiedad 2 2𝑥𝑥 – 1 ≥ 6 v 2𝑥𝑥 – 1 ≤ −6 2𝑥𝑥 ≥ 6 + 1 v 2𝑥𝑥 ≤ −6 + 1 𝑥𝑥 ≥ 7: 2 v 𝑥𝑥 ≤ −5: 2 𝑥𝑥 ≥ 3,5 v 𝑥𝑥 ≤ − 2,5

Solución:{x ∈ ℝ/ x ≥ 3,5 v x ≤ - 2,5} Solución: :(-∞; −2,5] ∪ [3,5; +∞)

Actividad Nº5 Encuentra el conjunto solución, cuando sea posible. Escríbelo en forma de intervalo y represéntalo graficamente.

a) �𝒙𝒙𝟐𝟐

+ 𝟕𝟕� ≥ 𝟐𝟐 g)|𝒙𝒙| + 𝟖𝟖 < 𝟐𝟐

b)|𝒙𝒙 − 𝟐𝟐| < 𝟔𝟔 h)|2 + 3. (𝑥𝑥 − 1)| < 20 c)|𝒙𝒙 − 𝟑𝟑| ≤ 𝟐𝟐 i)|6𝑥𝑥 − 5| > 4𝑥𝑥 + 7 d)|𝒙𝒙 − 𝟐𝟐| ≥ 𝟒𝟒 j)|(−1). (𝑥𝑥 + 5)| > 9 − |−2| e)|𝟓𝟓 − 𝟒𝟒𝒙𝒙| ≤ 𝟑𝟑 k)|(−2)3| ≤ |𝑥𝑥 − 1| f)|𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝟖𝟖| > 𝟔𝟔 l)|𝑥𝑥 + 2| ≤ |−3.4|

• Andrés- Pablo J Kaczor – María C Latorre – Gustavo E Piñeiro- Gisela B Serrano Editorial Santillana Matemática III

• Martín Pérez – Gabriela Righetti – Gustavo E Piñeiro- Gisela B Serrano Editorial Nuevamente Santillana Matemática III

• Silvia Altman – Mabel Arnejo – Claudia Comparatore Editorial Tinta Fresca matemática ES3 • Stanley A Smith – Randall I. Charles – John A. Dossey – Mervin L. Keedy – Marvin L.

Bittinger. Álgebra y Trigonometría. Red federal de Formación Docente Continua. Ministerio de Cultura y Educación de la Nación. Addison Wesley Longman.

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