mec1-2003-07-25 -...
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Licenciatura em Engenharia Civil MECÂNICA I
Exame de Época de Recurso – 25/07/2003
NOME: ___________________________________________________________________________
Não esqueça de escrever o
nome
1) (3 VAL.) Tempo estimado de resolução – 20 minutos
a) Considere o cabo representado na Figura, suspenso entre os pontos A e B, submetido a uma acção
distribuída variável descendente p(x). Mostre que, independentemente da lei que caracteriza a força
p(x), o esforço axial no cabo é máximo em B.
As componentes de tensão num ponto genérico do cabo são:
∫+⋅=
=⋅=x
AV
AH
dxxpTxT
TxT
0
)(sen)(
constantecos)(
α
α
A componente horizontal do esforço axial num ponto qualquer do
cabo é constante. Por sua vez, a componente vertical é a soma da
componente vertical em A (que é uma constante) com a resultante da
carga e o ponto genérico situado a uma distância x do ponto A.
Assim, para hipótese de α > 0, quanto maior a distância x maior
essa resultante. Portanto, o esforço é máximo em B, que é o ponto
mais afastado de A.
b) Defina ângulo de atrito estático eφ . Relacione-o com o coeficiente de atrito estático eµ entre as
duas superfícies. Justifique a resposta com base na análise das condições de equilíbrio do bloco de
peso P assente numa superfície inclinada caracterizada pelo ângulo α.
O ângulo de atrito estático, eφ , é o ângulo formado pela reacção, R,
e a normal à superfície de contacto, quando o movimento de
translação é iminente. No caso da figura, também corresponde ao
ângulo, α, de inclinação da superfície de contacto para o qual o
deslizamento é iminente.
Considerando as equações de equilíbrio na superfície de contacto:
ea
aa
tgtg
NF
tgNF
senNFφαµ
µ
ααα==⇒
=
=⇒⋅=⋅e
e :definiçãopor como
cos
l
hy
xA
B
p(x)
α
P
TA α
T(x)
β
x
N R
Fa
α
c) Considere o seguinte sistema estrutural. Determine as reacções pelo método do polígono funicular.
B C
E
F
A
D
I
II
F A linha I tem que passar por este ponto.
I
O ponto E está impedido de se mover segundo a direcção vertical.
II
L.F.
L.F.
RB
RE
RB RE
HB
VB
Polígono de forças
Polígono funicular
Licenciatura em Engenharia Civil MECÂNICA I
Exame de Época de Recurso – 25/07/2003
RESOLUÇÃO DO EX. 2
a) Determine a tensão máxima no cabo e o valor da força F de interacção nós nós I e O;
Equilíbrio de momentos flectores no nó O: 0=∑ OM
O
2.5 2.5 2.5 2.5
I
L M N 3.0
VI VO
HI HO
8 kN8 kN8 kN
085,280,585,710 =⋅−⋅−⋅−⋅ IV kNVI 12=
Equilíbrio de forças na direcção vertical: 0=∑ VF
0888 =−−−+ OI VV kNVO 12=
Equilíbrio de forças na direcção horizontal: 0=∑ HF
0=− OI HH IO HH =
Equilíbrio de momentos flectores no nó M: 0=∑ MM
2.5 2.5
I
L M 3.0
VI
TM
HI
8 kN8 kN
085,235 =⋅−⋅−⋅ II HV ( )kNHH OI 340==
Licenciatura em Engenharia Civil MECÂNICA I
Exame de Época de Recurso – 25/07/2003
Tensão máxima no cabo:
O
2.5 2.5 2.5 2.5
I
L M N 3.0
VI VO
HI HO
8 kN8 kN8 kN
Tmax Tmax
222222max 3,130,12 +=+=+= OOII HVHVT kNT 94,17max =
Força máxima de interacção nos nós I e O:
O
2.5 2.5 2.5 2.5
I
L M N 3.0
V’I V’O
HI HO
8 kN8 kN8 kN
Fint
8 kN 8 kN
Fint
kNVVV OII 208 =′=+=′ 222222int 3,130,20 +=+′=+′= OOII HVHVF
kNF 04,24int =
b) Determine as reacções nos apoios nos nós V e G;
Equilíbrio de forças na direcção vertical: 0=∑ VF
4.0
5.05 kN
R
U V
S NQR
NTU HV
VV
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Exame de Época de Recurso – 25/07/2003
05 =−VV kNVV 5=
Equilíbrio de momentos flectores no nó P: 0=∑ PM
O
9kN/m
4.0 4.0 2.0 4.0
5.05 kN
Q R
T U
P S
V’O
HO V
HV
VV
HP
VP
( ) 0545634294510 =⋅−′⋅−⋅−⋅−⋅⋅−⋅ OOVV HVHV kNHV 13,30−=
Equilíbrio de momentos flectores no nó D: 0=∑ DM
4.0 4.0
15 kN
D G
H I
V’I
HI
VD
HD
VG
5.0
0584 =⋅−′⋅−⋅ IIG HVV kNVG 67,56=
c) Determine o esforço axial na barra bi-articulada [TU].
Equilíbrio de momentos flectores no nó R: 0=∑ RM
4.0
5.05 kN
R
U V
S NQR
NTU HV
VV
05554 =⋅−⋅−⋅ TUV NH kNHV 13,26−=
4 4 kN/m
G
B D
3 kN
20 kNm
E FCA
5 kN
a)
δAδB
θ
VA
3 kN
θδ 4A = e θδ 2B =
0WFext =∑ ⇒ 03V BAA =⋅+⋅− δδ ⇒ kN5.1VA =
b)
θ2θ1
VD
4 kN/m
R1 R2
δD δR1δR2
Esta força distribuída é transformada en duas resultantes R1 e R2 aplicadas nos dois corpos distintos
δE
1.5 m 0.5 m
11R 5.1 θδ = , 1D 2θδ = , 22R 5.0 θδ = , 21E 13 θθδ == ⇒ 213 θθ = kN12R1 = e kN4R2 =
0WFext =∑ ⇒ 0RVR 2R2DD2R1 =⋅+⋅−⋅ δδδ ⇒ kN12VD =
c)
5 kN
20 kNm
θ
δ
MG
θδ 1=
0WFext =∑ ⇒ 0M205 G =⋅−⋅+⋅ θθδ ⇒ kNm25MG =
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Exame de Época de Recurso – 25/07/2003
NOME: ___________________________________________________________________________
6/8
Não esqueça de escrever o
nome Assinale nas quadrículas verdadeiro V ou falso F .
Nota: Poderão existir nenhuma ou mais do que uma resposta verdadeiras.
5) (3 VAL.)
a) F Um torsor cujos invariantes escalar e vectorial são nulos é equivalente a zero. V Os elementos definidores de um campo de momentos são o vector principal e o vector
momento num ponto qualquer do espaço. V Adicionando a um sistema de forças um vector igual e oposto à sua resultante, aplicado
num ponto qualquer do eixo central, obtém-se um novo sistema de forças equivalente a binário.
b)
F1
F3
F4
F2
F5
F6
F O torsor { }4321 F,F,F,Frrrr
≡τ representado na Figura é equivalente a resultante aplicada no centroíde.
V O polígono funicular associado ao sistema de forças { }4321 F,F,F,Frrrr
≡τ é aberto.
F Adicionando ao torsor τ os vectores 5Fr
e 6Fr
, de magnitude 2, obtém-se um torsor equivalente a zero.
7/8
c)
Figura 1 Figura 2
20 kNGFEDCB45º
10 kNA
4.0m 4.0m2.0m2.0m2.0m2.0m 1.0m
Figura 3
V O sistema estrutural representado na Figura 1 é hipostático. V O sistema estrutural representado na Figura 2 é uma vez hiperestático. F A reacção de apoio em D do sistema estrutural representado na Figura 3 vale 10kN
(ascendente).
d) Considere o sistema estrutural representado na Figura, submetido às forças concentradas
indicadas.
3.0m
4.0m 4.0m 4.0m
10 kN10 kN
10 kN
A B C D
F E
V O esforço axial na barra BF é nulo. V A barra EF está comprimida e as barras AB, BC e CD estão traccionadas. V A barra FC está comprimida e submetida a um esforço axial de 25/6 kN.
8/8
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NOME: ___________________________________________________________________________
e) Considere o cabo flexível representado na Figura, de peso próprio desprezável, submetido a uma
força uniformemente distribuída constante por unidade de comprimento na direcção horizontal;
10.0m
4.0m
10º B
A
2 kN/m
V O esforço axial é mínimo em B. V O cabo tem uma configuração geométrica parabólica. V Sendo o esforço axial em B dado por T=45,4kN, então o esforço axial em A vale 52,7kN.
f) O bloco B1, de peso P=20N encontra-se apoiado sobre um bloco B2, de peso Q=40N, de acordo
com a representação da Figura, estando submetido a uma força horizontal H, aplicada de forma
gradual .
0.10
0.15
0.05
0.20
0.10
Q=40kN
P=20kNH B1
2B
F Admitindo que o movimento relativo entre os dois blocos está impedido, sendo os
coeficientes de atrito estático e dinâmico na superfície de contacto de 30.0e =µ e 20.0d =µ , respectivamente, então o movimento do conjunto só é possível mediante a
aplicação de uma força mínima de 12N. F Admitindo agora que o movimento relativo entre os blocos B1 e B2 não está impedido e que
o coeficiente de atrito estático entre as respectivas superfícies de contacto é de 50.0e =µ , então a aplicação de uma força horizontal de 10N leva ao derrube iminente do bloco B1.
V O derrube e deslizamento iminentes do bloco B1 são concomitantes quando o coeficiente de atrito estático entre as superfícies de contacto dos dois blocos é 33.0e =µ .
B1
B2
40N
20N
Não esqueça de escrever o
nome