mechanics of materials...mechanics of materials รองศาสตราจารย ดร....

กลศาสตรวัสดุMechanics of Materials

รองศาสตราจารย์ ดร. ชาวสวน กาญจโนมัยภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล คณะวิศวกรรมศาสตร์

มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

1

2

สัปดาหที่ เนื้อหา เอกสาร (หนา)

1 นิยามและหลักการเบื้องตนของความเคนและความเครียด 1 - 14

2 ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับแรงตามแนวแกน 1 15 - 28

3 ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับแรงตามแนวแกน 2 29 - 48

4 ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับแรงบิด 1 49 - 78



7 สอบกลางภาค

แผนการบรรยาย

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

3

สัปดาหที่ เนื้อหา เอกสาร (หนา)

8 ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับโมเมนตดัด 1 1 - 14



11ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับภาระผสม การวิเคราะหตำแหนงวิกฤติ

49 - 78

12การวิเคราะหขนาดและทิศทางของความเคนตั้งฉากสูงสุดและความเคนเฉือนสูงสุด

49 - 78

13 ทฤษฎีความเสียหายเบื้องตน 49 - 78

14 การวัดความเคนและความเครียด 49 - 78

15 สอบปลายภาค


4

โครงสรางที่รับแรงตามแนวแกน(Axially loaded members)


• การเปลี่ยนแปลงขนาดของโครงสรางที่รับแรงตามแนวแกน

• โครงสรางที่ไมสามารถคำนวณภาระดวยสมการสมดุล

• ผลกระทบจากอุณหภูมิ และความเครียดคงคาง

• ความเคนบนพื้นที่หนาตัดที่เอียง

5


หัวขอบรรยาย

6

2.1 การเปลี่ยนแปลงขนาดของโครงสร้างที่รับแรงตามแนวแกน (Displacements of axially loaded members)


• โครงสรางที่มีแกนกลาง (longitudinal axes) เปนเสนตรง

• รับแรงในแนวแกน (axial force) ซึ่งอาจจะเปนแรงดึง (tensile force) หรือแรงอัด (compressive force) เชน กานสูบในเครื่องยนต

7


การศึกษาทางดานกลศาสตรของโครงสรางที่รับแรงตามแนวแกน แบงเปน

1 - การวิเคราะห (analysis) คือ การศึกษาสมบัติของชิ้นสวนเครื่องจักรกลที่ใชงานอยูแลว และใชทฤษฎีมาทํานายพฤติกรรมภายใตสภาพตาง ๆ

2 - การออกแบบ (design) คือ การคิด คํานวณ หารูปราง และคุณสมบัติของชิ้นสวนเครื่องจักรกลเพื่อใหเหมาะกับความตองการภายใตสภาพตาง ๆ

3 - การเพิ่มประสิทธิภาพสูงสุด (optimization) คือ การออกแบบ ภายใตขอจํากัดตาง ๆ เชน น้ำหนัก คาใชจาย ขนาด

8


• สําหรับโครงสรางมีลักษณะตรง (prismatic bar) และมีพื้นที่หนาตัด (A) คงที่ตลอดความยาว (L) มีการกระจายของวัสดุอยางตอเนื่อง โดยไมมีชองวางใด ๆ เกิดขึ้น มีสมบัติของวัสดุที่เปนสวนประกอบคงที่ในทุก ๆ ตําแหนงและทิศทางของโครงสราง (homogeneous and isotropic) เมื่อมีแรงกระทําผานจุดศูนยกลางมวล (centroid) ของพื้นที่หนาตัด โดยอยูในทิศทางเดียวกับแกนหลัก (longitudinal axis) ของโครงสราง

9


• เมื่อเปรียบเทียบการตอบสนองของโครงสรางเมื่อรับแรงตามแนวแกนกับการตอบสนองของสปริงเมื่อรับแรงตามแนวแกน พบวา ความสัมพันธระหวางการเปลี่ยนแปลงขนาดของสปริง (s) กับแรง (P) เปน

• โดย k คือ คาคงที่สปริง (spring’s constant)

10


กำหนดให:

k คือ คาคงที่สปริง (spring’s constant) หรือความคงตัว (stiffness)

f คือ ความยืดหยุน (flexibility หรือ compliance) ซึ่งเปนสวนกลับของความคงตัว ( f = 1/k)

P = AEL

11


• โครงสรางรับแรงตามแนวแกนมากกวา 1 แรง หรือโครงสรางที่ประกอบดวยวัสดุหรือพื้นที่หนาตัดที่แตกตางกัน การเปลี่ยนแปลงขนาดรวม คํานวณไดจากผลรวมของการเปลี่ยนแปลงขนาดของแตละชิ้นสวนยอย

12


• ชิ้นสวนยอยที่ 1

13



14



15


• การเปลี่ยนแปลงขนาดรวมของชิ้นสวน

• i คือ ตัวแปรแสดงสวนประกอบแตละสวนของโครงสราง

• n คือ จํานวนของสวนประกอบของโครงสราง

• Pi คือ แรงตามแนวแกนที่เกิดบนสวนประกอบแตละชิ้นสวน

16


• โครงสรางที่พื้นที่หนาตัดมีการเปลี่ยนแปลงอยางตอเนื่องตามแนวแกน (longitudinal axis) การเปลี่ยนแปลงขนาดรวมคำนวณไดจากการรวม (integrate) การเปลี่ยนแปลงขนาดของสวนเล็กๆ เขาดวยกัน

17


• พิจารณาแตละชิ้นสวนเล็กๆ ที่มีความยาว dx ของพื้นที่หนาตัด C

18


• เมื่อรวม (integrate) แตละชิ้นสวนเล็กๆ เพื่อหาการเปลี่ยนแปลงขนาดรวม

• สมการนี้ตั้งอยูบนสมมุติฐานที่ความเคนบนพื้นที่หนาตัดกระจายแบบสม่ำเสมอ ( = P/A) ซึ่งเกิดขึ้นกับชิ้นสวนที่มีมุมระหวางดานทั้งสองนอยกวา 20 องศา ซึ่งทำใหเกิดความผิดพลาดจากการคำนวณนอยกวา 3%





19



20


• โครงสราง AB ถูกยึดดานบน และดานลางดวยจุดยึดแบบแข็ง (rigid support) โดยมีแรงในแนวแกนกระทำที่จุด C ทำใหเกิดแรงปฎิกริยา และ ซึ่งไมสามารถคำนวณไดดวยสมการสมดุล

2.2 โครงสร้างที่ไม่สามารถคำนวณภาระด้วยสมการสมดุล (Statically Indeterminate Structures)

21


วิธีความยืดหยุน (flexibility method or force method)

• กำหนดสมการสมดุลของแรง

• กำหนดแรงที่ไมสามารถหาไดจากสมการสมดุล (statical redundant)

• แยกแรงที่ไมสามารถหาไดจากสมการสมดุลออกจากโครงสราง โดยจะได primary structure และ statically redundant structure

22


primary structure statically-redundant structure

23


• หาความสัมพันธรวมกัน (constitutive relation) จากกฎของฮุก โดยพิจารณาการเปลี่ยนแปลงขนาดของ AB เนื่องจากแรง P ใน primary structure

• พิจารณาการเปลี่ยนแปลงขนาดของ AB เนื่องจากแรง ใน statically redundant structure

24


• หาการเปลี่ยนแปลงขนาดของ AB รวม เนื่องจากแรง P และ Ra โดยรวม P และ R (ทิศลงเปนบวก)

• จาก compatibility equation พบวาการเปลี่ยนแปลงขนาดของ AB เปนศูนย (ถูกประกบดวยพื้นแข็งทั้งบนและลาง)

25


• คา flexibility (f) ซึ่งเทากับ L/EA flexibility method

• ตัวแปรที่ไมทราบคา คือ แรง force method

26


27


วิธีความคงตัว (stiffness method or displacement method)

• พิจารณาการเปลี่ยนแปลงขนาดของโครงสราง พบวาหลังจากที่มีแรง P มากระทำ สวนบนของ C มีแนวโนมที่จะยืดยาวขึ้น ในขณะที่สวนลางของ C มีแนวโนมที่จะ

ถูกอัดใหสั้นลง ซึ่งจากกฎของฮุก ( = E) พบวา

• โดย EA/a และ EA/b เปน stiffness และกำหนดให C มีคาเปนบวกเมื่อมีทิศลง

28


• พิจารณาชิ้นสวนเล็ก ๆ ลอมรอบจุด C

29


• จาก C ทำการหา Ra และ Rb โดย

• คำตอบที่ไดก็เปนเชนเดียวกับ flexibility method

วิธีความยืดหยุน (flexibility method) vs วิธีความคงตัว (stiffness method)

30


• วิธีความยืดหยุน (flexibility method)

• วิธีความคงตัว (stiffness method)

31


ตัวอยางที่ 2.1 ทรงกระบอกตัน S ทำจากเหล็ก (steel) และทรงกระบอกกลวง

C ทำจากทองแดงมีความยาวเทากัน L ถูกยึดอยูระหวางแผนแข็งซึ่งไมมีการ

เปลี่ยนแปลงรูปราง (rigid plate) โดยมีแรง P มากระทำ จงหา (a) Ps และ Pc,

(b) s และ c, และ (c) ของระบบ

32


• พิจารณาแผนแข็งซึ่งไมมีการเปลี่ยนแปลงรูปราง (rigid plate) พบวา

Pc/2 Pc/2Ps

33


• ซึ่งมีสมการสมดุล 1 สมการ แตมีแรงที่ไมทราบคา 2 แรง (Ps และ Pc) ดังนั้นโครงสรางนี้เปนโครงสรางที่ไมสามารถคำนวณภาระดวยสมการสมดุล (statically-indeterminate structures)

วิธีความยืดหยุน (flexibility method)

34


• กำหนดใหการหดสั้นลงเปน +

• โดย L/EsAs และ L/EcAc เปนความยืดหยุน (flexibility) ของเหล็กและทองแดง

C = P R

35


• พิจารณาสมการ compatibility

จากสมการสมดุล

36


37






38



39


ผลกระทบจากอุณหภูมิ (temperature effect)

• ความรอนอยางสม่ำเสมอ (uniform heat)

• วัสดุที่มีสวนประกอบคงที่ในทุก ๆ ตำแหนงและทิศทาง (homogeneous and isotropic) มีการกระจายของวัสดุอยางตอเนื่องโดยไมมีชองวางใดๆ มีอิสระในการขยาย และหดตัวในทุกทิศทาง

• ความเครียดจากความรอนอยางสม่ำเสมอ

(uniform thermal strain, T)

40


• ถาใหความรอนกับทุกๆ ชิ้นสวนเทาๆ กัน จะทำใหทุกๆ ชิ้นสวนเกิดการขยายตัวพรอม กัน ไมมีการดันหรือฉุดซึ่งกันและกัน จึงไมเกิดความเคนเนื่องจากความรอน (thermal stress)

ความรอน

41


• ถาใหความรอนแตละชิ้นสวนไมเทากัน แตละชื้นสวนก็จะขยายตัวไมเทากัน สงผลใหเกิดการฉุดหรือดันซึ่งกันและกัน ทำใหเกิดความเคนเนื่องจากความรอน (thermal stress) ในโครงสราง

ความรอน

42


• ความเครียดจากความรอน (thermal strain, T)

• T คือ ความเครียดจากความรอน เปนปริมาณที่ไมมีหนวย มีคาเปนบวกเมื่อเกิดการขยายตัว และมีคาเปนลบเมื่อเกิดการหดตัว

• คือ สัมประสิทธิการขยายตัวของวัสดุเนื่องจากความรอน (coefficient of

thermal expansion) โดยเปนคุณสมบัติเฉพาะของวัสดุ มีหนวยเปน TΔ1

• T คือ การเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิ มีหนวยเปน , Co, Ko หรือ Fo

43


ตัวอยางที่ 2.2 เมื่อใหความรอน (T) กับโครงสราง

อยากทราบวาขนาดของแรง R เปนเทาไร กำหนดให

โครงสรางมีสัมประสิทธิการขยายตัวของวัสดุเนื่องจาก

ความรอนเปน และไมคิดน้ำหนักของโครงสราง

44


จากวิธีความยืดหยุน (flexibility method)

45


• พบวาแรงตาน (R) และความเคนเนื่องจากความรอน (T) ไมขึ้นกับระยะ L

46


ตัวอยางที่ 2.3 เมื่อใหความรอน (T) กับปลอกกลวง (sleeve) ยาว L ถูกยึดดวย

นอต จงหา s และ b กำหนดใหปลอกกลวงและนอตทำจากวัสดุที่แตกตางกัน

โดย s < b

47


จากวิธีความยืดหยุน (flexibility method)

48


กำหนดสมการ compatibility

สมการสมดุล

49


แกสมการ compatibility และสมการสมดุล

แทน Pb หรือ PS ลงในสมการ compatibility

50


ถาปลอกกลวงและนอตทำจากวัสดุชนิดเดียวกัน (s = b และ = 0)

51


ความเครียดคงคาง (prestrains)

• เมื่อโครงสรางหลักในสภาพสมดุลประกอบดวยโครงสรางยอยที่มีการดึงและการอัด สงผลใหเกิดความเครียดคงคาง (prestrain) หรือความเคนคงคาง (prestress) ขึ้นในโครงสราง เชน คานคอนกรีตอัดแรง (prestressed concrete beam), ซี่เหล็กในลอรถจักรยาน เปนตน

• โดยความเครียดคงคางไมสามารถคำนวณภาระดวยสมการสมดุล

52


ตัวอยางที่ 2.4 เมื่อหมุนตัวยึดเคเบิล (turnbuckle) จะทำใหความยาวของเคเบิล

สั้นลง และดึงแผนแข็งซึ่งไมมีการเปลี่ยนแปลงรูปราง (rigid plate) กดคานใหสั้น

ลงดวย ทำใหเกิดโครงสรางที่ไมสามารถคำนวณภาระดวยสมการสมดุล อยาก

ทราบวาขนาดของแรง R เปนเทาไร

53


กำหนดให p คือระยะหางระหวางชวงเกลียว (pitch) ดังนั้นระยะที่สั้นลงเมื่อ

หมุนตัวยึดเคเบิล จำนวน n รอบ เปน

54


วิธีความยืดหยุน

(flexibility method)

55




56








57



58

2.4 ความเค้นบนพื้นที่หน้าตัดเอียง (stress on inclined section)


• กำหนดใหโครงสรางมีลักษณะตรง และมีพื้นที่หนาตัดคงที่ตลอดความยาว (prismatic bar) มีการกระจายของวัสดุอยางตอเนื่อง โดยไมมีชองวางใด ๆ เกิดขึ้น มีคุณสมบัติของวัสดุที่เปนสวนประกอบคงที่ในทุก ๆ ตำแหนงและทิศทางของโครงสราง (homogeneous and isotropic) เมื่อมีแรงกระทำผานจุดศูนยกลางมวล (centroid) ของพื้นที่หนาตัด โดยอยูในทิศทางเดียวกับแกนหลัก (longitudinal axis) ของโครงสรางโดยความเคนตั้งฉาก (σ) มีการกระจายอยางสม่ำเสมอ

59


• พิจารณาชิ้นสวนเล็กๆ บนรอยตัด m-n:

60


• พิจารณารอยตัด p-q:

61


• พิจารณารอยตัด p-q:

• A คือ พื้นที่หนาตัดเอียง

• N คือ แรงตั้งฉากที่กระจายอยางสม่ำเสมอตลอดพื้นที่หนาตัด, N = Pcosθ

• V คือ แรงเฉือนที่กระจายอยางสม่ำเสมอตลอดพื้นที่หนาตัด, V = Psinθ

62


• มีคาเปนบวกในกรณีแรงดึงและเปนลบในกรณีแรงอัด

63


• มีคาเปนบวกในกรณีที่ความเคนเฉือนมีทิศทวนเข็มนากา (ccw) และเปนลบในกรณีที่ความเคนเฉือนมีทิศตามเข็มนากา (cw)

64


• พิจารณาชิ้นสวนความเคน (stress element) บนรอยตัดเอียง:

• จากสมการสมดุล:

65


• เมื่อนำ σθ และ τθ มาวาดกราฟเทียบกับ θ จะไดความสัมพันธดังตอไปนี้

66


• ในกรณีที่โครงสรางรับแรงอัด (compressive structure) เราสามารถแทนคา

σx เปนลบ (มีทิศทางตรงขามกับกรณีโครงสรางรับแรงดึง)

• ความเคนตั้งฉาก (normal stress)

• ความเครียดตั้งฉาก (normal strain)

• แผนภูมิความเคน-ความเครียด (stress-strain diagrams)

• อัตราสวนปวซอง (Poisson’s ratio)

• ความเคนเฉือนและความเครียดเฉือน (shear stress and shear strain)

• แรงและความเคนที่ยอมใหเกิดขึ้นในโครงสราง (allowable stresses and

allowable loads)

67


สรุปการบรรยาย

1) ระบบซึ่งประกอบดวยชิ้นสวน 2 ชิ้น

ทำจากวัสดุชนิดเดียวกัน ถูกกระทำดวย

แรง P1 และ P2 จงหาอัตราสวนระหวาง

P1/P2 ที่ทำใหจุด C ไมมีการ

เปลี่ยนแปลงตำแหนง (จัดอยูในความ

สัมพันธของ A1, A2, L1, L2, L3 และ L4)

68


การบาน 3

3) แทงคอนกรีตซึ่งมีพื้นที่หนาตัดเปนสี่เหลี่ยม

จัตุรัส ดังรูป มีคาโมดูลัส E = 24 GPa จงหา

ระยะหดตัวเมื่อมีแรงอัด 1600 kN มากระทำ

(ไมคิดน้ำหนักของคอนกรีต)

69


5) แทงเหล็ก (S) และทองเหลือง (B) ถูกยึดดวย

วัสดุแข็งและประกอบกันเปนระบบ ถาพื้นที่หนา

ตัดรวมของแทงเหล็กมากเปน 1.5 เทาของพื้นที่

หนาตัดของแทงทองเหลือง และคาโมดูลัสอิลาสติก

ซิตีของเหล็กสูงเปน 2 เทาของคาโมดูลัสอิลาสติก

ซิตีของทองเหลือง จงหาแรงที่เกิดขึ้นในแทงทอง

เหลือง

70


11) แทง ABC ยาว L ทำจากวัสดุซึ่งมีโมดูลัสอิลาสติกเปน E และสัมประ

สิทธิการขยายตัวเนื่องจากความรอนเปน ถูกยึดระหวางผนังแข็งเกร็ง

ถามีการเพิ่มขึ้นของอุณหภูมิอยางสม่ำเสมอ T เกิดขึ้นกับระบบ และ

A2 > A1 จงหา (a) ความเคนสูงสุดในแนวแกน และ (b) การเปลี่ยน -

แปลงตำแหนงของจุด B กำหนดใหการเปลี่ยนแปลงตำแหนงไปทาง

ซายเปนบวก

71



!

12) ปลอกทองเหลือง (b) มีเสนผาศูนยกลางภายใน 26 มม. และเสนผา

ศูนยกลางภายนอก 36 มม. ถูกยึดอยางพอดี (ไมมีแรงกระทำที่ผิวทั้งสอง

ขางของปลอกทองเหลือง) ดวยนอตเหล็ก (s) เสนผาศูนยกลาง 25 มม.

จงหาการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิ (T) ที่ทำใหเกิดความเคนอัด 25 MPa

ในปลอกทองเหลือง กำหนดให b = 20 x 10-6 /oC, s = 12 x 10-6 /oC,

และ Eb = 100 GPa, Es = 200 GPa

72


!

13) ในการผลิตคอนกรีตอัดแรง เหล็ก

เสนถูกยืดดวยแรง Q จากนั้นเท

คอนกรีตหุมเหล็กเสน และรอจนกระทั้ง

คอนกรีตแหงจึงคลายแรง Q ออก ซึ่ง

ทำใหเหล็กเสนรับแรงดึง และคอนกรีต

รับแรงอัด ถาแรง Q ทำใหเกิดความเคน

เริ่มตนในเหล็กเสนเปน 760 MPa

อัตราสวนระหวาง Esteel/Econcrete = 8

และ Asteel/Aconcrete = 1/30 จงหาความ

เคนที่เกิดในเหล็กเสนและคอนกรีตหลัง

จากเสร็จกระบวนการผลิต

73


!

15) คานซึ่งรับแรงอัดประกอบดวยพลาสติก 2 ชิ้นประกบกันดวยกาว

ตามแนว pq ดวยมุม = 40o กาวสามารถรับความเคนอัดได 8 MPa

และความเคนเฉือนได 7 MPa และพลาสติกสามารถรับความเคนอัดได

16 MPa และความเคนเฉือนได 10 MPa จงหาวาความกวางต่ำสุด

(bmin) ของคานควรเปนเทาไหรที่จะไมทำใหคานเสียหาย เมื่อมีแรงอัด

P = 142 kN มากระทำ

74


!


16) จากชิ้นสวนความเคน (stress element) ซึ่งถูกตัดออกมาจากคาน

ที่รับแรงในแนวแกน จงหา , r, max และ rmax

75


!

จบการบรรยาย

76


mechanics of materials...mechanics of materials รองศาสตราจารย ดร....

Documents